Σύγκριση δυνατοτήτων Γεωμετρίας Άλγεβρας και Ανάλυσης μέσω κοινού προβλήματος σε περιβάλλον Δυναμικού Λογισμικού Ιωάννης Π. Πλατάρος Εκπαιδευτικός Π.Ε.03 Περίληψη Η εργασία αυτή, αναφέρεται σε μια ενδεικτική ανάδειξη των δυνατοτήτων τριών κλάδων των Μαθηματικών, όπως ιστορικά εξελίχθηκαν, μέσω ενός κοινού, εύκολου, προβλήματος εύρεσης ελαχίστου, όπου αναδεικνύονται με ενάργεια, οι επί μέρους ποιοτικές διαφορές του πιο αρχαίου εργαλείου, της Γεωμετρίας, με του πλέον σύγχρονου, της Ανάλυσης, με ιστορικά ενδιάμεση βαθμίδα την Άλγεβρα, με το πλαίσιο υλοποίησής τους- το δυναμικό Γεωμετρικό λογισμικό- να εκπέμπει πολλαπλά εκπαιδευτικά μηνύματα Λέξεις -Κλειδιά: Δυναμικό Γεωμετρικό Λογισμικό, Άλγεβρα, Ανάλυση, ακρότατα, Sketchpad

1. Σύγκριση δυνατοτήτων Γεωμετρίας Άλγεβρας και Ανάλυσης
μέσω κοινού προβλήματος σε περιβάλλον Δυναμικού Λογισμικού
Ιωάννης Π. Πλατάρος Εκπαιδευτικός Π.Ε.03
Περίληψη
Η εργασία αυτή, αναφέρεται σε μια ενδεικτική ανάδειξη των δυνατοτήτων τριών κλά-
δων των Μαθηματικών, όπως ιστορικά εξελίχθηκαν, μέσω ενός κοινού, εύκολου, προ-
βλήματος εύρεσης ελαχίστου, όπου αναδεικνύονται με ενάργεια, οι επί μέρους ποιοτι-
κές διαφορές του πιο αρχαίου εργαλείου, της Γεωμετρίας, με του πλέον σύγχρονου, της
Ανάλυσης, με ιστορικά ενδιάμεση βαθμίδα την Άλγεβρα, με το πλαίσιο υλοποίησής
τους- το δυναμικό Γεωμετρικό λογισμικό- να εκπέμπει πολλαπλά εκπαιδευτικά μηνύ-
ματα
Λέξεις -Κλειδιά: Δυναμικό Γεωμετρικό Λογισμικό, Άλγεβρα, Ανάλυση, ακρότατα,
Sketchpad
Εισαγωγή
Το πρόβλημα εύρεσης ελαχίστου, είναι το εξής: Ένα σημείο κινείται πάνω στην
πλευρά ενός τετραγώνου, ορίζοντας και ένα νέο τετράγωνο με πλευρά που ορίζεται
από το σημείο και μια κορυφή της πλευράς που κινείται. Επίσης με βάση την απέναντι
βάση του αρχικού τετραγώνου, και κορυφή του μικρότερο τετραγώνου, ορίζεται ένα
τρίγωνο, όπως στο παρακάτω σχήμα. Ζητείται να βρεθεί, σε ποια θέση του κινούμενου
σημείου, ελαχιστοποιείται το άθροισμα των εμβαδών τετραγώνου και τριγώνου.
Σχήμα 1.
148/955
_____________________________________________________________________________________
ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 19ο Τεύχος Ιούλιος 2020

2. Η Γεωμετρική προσέγγιση
Ο αρχαίος και ο νέος γεωμέτρης για να λύσει αυτό το πρόβλημα, πρέπει να γνωρίζει
την θέση του ελαχίστου. Είναι αδύνατον με καθαρά γεωμετρικά εργαλεία να την βρει.
Συνήθως ένα τέτοιο ανοικτό πρόβλημα εισάγεται με την κλειστή του διατύπωση «Να
αποδειχθεί ότι στην θέση τάδε, έχουμε ελάχιστο…» έτσι είναι εφικτή η λύση του, με
την μετατροπή του προβλήματος από ανοικτού σε κλειστό. Έτσι όμως παύει να είναι
πρόβλημα και γίνεται μια άσκηση. Πρωταρχικά όμως, πρέπει κάποιος πρέπει να ανα-
καλύψει στην θέση. Ο όποιος γεωμέτρης λοιπόν, ήταν υποχρεωμένος να πειραματι-
στεί. Να κάνει μετρήσεις, όσο κι αν οι αρχαίοι τις απέφευγαν. Τις απέρριπταν για α-
ποδεικτικούς γενικούς ισχυρισμούς, αλλά είχαν μια ανοχή -αποδοχή στην δημιουργία
εικασιών-υποθέσεων -συμπερασμάτων. Ο Αρχιμήδης αποδέχεται τις «μηχανικές λύ-
σεις» (Βρατσάνος, Γ. 2009)
Τοῦτο δὲ πέπεισμαι χρήσιμον εἶναι οὐδὲν
ἧσσον καὶ εἰς τὴν ἀπόδειξιν αὐτῶν τῶν θεωρημάτων.
Καὶ γάρ τινα τῶν πρότερόν μοι φανέντων μηχανικῶς
ὕστερον γεωμετρικῶς ἀπεδείχθη διὰ τὸ χωρὶς ἀποδείξεως
εἶναι τὴν διὰ τούτου τοῦ τρόπου θεωρίαν· ἑτοιμότερον
γάρ ἐστι προλαβόντα διὰ τοῦ τρόπου γνῶσίν τινα τῶν
ζητημάτων πορίσασθαι τὴν ἀπόδειξιν μᾶλλον ἢ μηδενὸς
ἐγνωσμένου ζητεῖν.
(᾿Αρχιμήδους «Περὶ τῶν μηχανικῶν θεωρημάτων
πρὸς ᾿Ερατοσθένην ἔφοδος» 3.83.24-3.84.4 )
Ο Ευκλείδης αποδεικνύει, ότι «από όλα τα ισοπεριμετρικά ορθογώνια παραλληλό-
γραμμα, μέγιστο εμβαδόν έχει το τετράγωνο.» Είναι μοναδικό και έχει εμβαδόν μικρό-
τερο από κάθε άλλο ισοπεριμετρικό ορθογώνιο. Ο τρόπος του Ευκλείδη εποπτικά μπο-
ρεί να αναπαρασταθεί καλύτερα με την βοήθεια δυναμικών Γεωμετρικών λογισμικών
όπως το Sketchpad όπως στην παρακάτω στατική εικόνα με τρία στιγμιότυπα.
149/955
_____________________________________________________________________________________
ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 19ο Τεύχος Ιούλιος 2020

3. Σχήμα 2.
Το κίτρινο τετράγωνο του πρώτου στιγμιοτύπου έχει Εμβαδόν α2
και Περίμετρο 4α.
Αν αποκόψω από αυτό έναν γνώμονα (=δύο πράσινα και το κόκκινο τμήμα ) στο δεύ-
τερο στιγμιότυπο, τότε το κατακόρυφο πράσινο μπορεί να προστεθεί στο οριζόντιο
πράσινο ίσο του, δημιουργώντας ένα ισοπεριμετρικό ορθογώνιο με το αρχικό τετρά-
γωνο. (κίτρινο τετράγωνο και δύο οριζόντια πράσινα ορθογώνια) Όμως τότε, από το
αρχικό εμβαδόν, έχουμε χάσει το εμβαδόν του κόκκινου τετραγώνου το χ2
. Και αυτό
γίνεται σε κάθε αποκοπή γνώμονα. Διατρέχουμε επομένως όλα τα ισοπεριμετρικά ορ-
θογώνια και αποδεικνύουμε ότι έχουν μικρότερο εμβαδόν από το αρχικό κίτρινο, κατά
το κόκκινο τετράγωνο.
Ο αρχαίος γεωμέτρης που θα καταπιανόταν με το αρχικό πρόβλημα στην εικόνα1, έ-
πρεπε πειραματικά να βρει ότι η θέση μεγίστου είναι στο ¼ της απόστασης της πλευ-
ράς του τετραγώνου. Έπειτα να αποδείξει ότι για όλες τις θέσεις μικρότερες από το ¼
έχω μεγαλύτερο εμβαδόν, όπως και σε όλες τις θέσεις τις μεγαλύτερες από το ¼.Το
μέγιστο Εμβαδόν είναι
2
1 1 3 7
1
4 2 4 16
 
Ε
= + ⋅ ⋅
=
 
 
. Στην αποδεικτική διαδικασία έχουμε
το παρακάτω:
Σχήμα 3
Στο πρώτο στιγμιότυπο, για έναν γνώμονα μετακίνηση με πλάτος α, αριστερά του ¼
έχω: Μείωση εμβαδού του κίτρινου τετραγώνου κατά δύο πράσινα τραπέζια με ύψος
α και βάσεις ¼ και ¼ -α και αύξηση κατά ένα κόκκινο τρίγωνο με βάση 2α και ύψος
150/955
_____________________________________________________________________________________
ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 19ο Τεύχος Ιούλιος 2020

4. το ήμισυ της διαγωνίου του μεγάλου τετραγώνου,
2
2
. Με πράξεις, έχουμε αύξηση
Α=
1
2
α και μείωση Μ= 2
1
2
α α
− . Επειδή προφανώς Α>Μ προς τα αριστερά έχω
διαρκή αύξηση. Αναλόγως, σε μετακίνηση δεξιά του ¼ κατά ένα γνώμονα πλάτους α
στο δεύτερο στιγμιότυπο, έχω αύξηση του εμβαδού του τετραγώνου κατά Α= 2
1
2
α α
+
και μείωση του εμβαδού του τριγώνου κατά το κόκκινο τρίγωνο, κατά Μ=
1
2
α Επειδή
Α>Μ έχω πάλι συνολική αύξηση. Άρα στην θέση ¼ έχω ελάχιστο συνολικό εμβαδόν.
Αλγεβρική προσέγγιση
Αν ονομάσω χ την απόσταση που διανύει το μεταβλητό σημείο από την μία κορυφή
του, τότε η απόστασή του από την άλλη θα είναι 1-χ τότε το συνολικό εμβαδόν θα
δίνεται από το τριώνυμο 2 1
(1 )
2
E x x
= + − . Με συμπλήρωση τετραγώνου, έχω
2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1 1 7
2
2 2 2 2 4 4 2 4 16
x x x x x
     
Ε = − + = − ⋅ + − + = − +
     
⋅      
απ΄όπου προκύπτει
ότι έχω ελάχιστο για x= ¼ και τιμή ελάχιστη το 7/16.
Απειροστική προσέγγιση
Όπως και προηγούμενα ορίζεται η συνάρτηση 2 1
( ) (1 ) /[0,1]
2
E x x x
= + −
' '' ''
1 1 1
( ) 2 ( ) 2 0 [0,1] 0
2 4 4
E x x ί E x x E
µε ρ ζα ρ και και
 
= − = = > ∀ ∈ >
 
 
Άρα στην θέση ¼ έχω ολικό ελάχιστο το
2
1 1 1 1 7
(1 )
4 4 2 4 16
E
   
= + − =
   
   
Συμπεράσματα και Προτάσεις
Στα δύο προηγμένα εργαλεία των μαθηματικών δηλ. της Άλγεβρας και της Ανάλυσης,
δεν χρειάζεται να γνωρίζεις τις θέσεις ακροτάτων για να εργαστείς. Ανακαλύπτονται
μέσω των εξισώσεων. Ο αρχαίος Γεωμέτρης έπρεπε να δουλέψει περίπου όπως δεί-
ξαμε. Σήμερα σε ένα Σχολείο, σχεδόν κανείς δεν θα έκανε μια τέτοια προσέγγιση,
αφού γνωρίζουμε τουλάχιστον στοιχειώδη Άλγεβρα, αν δεν ξέρουμε το ισχυρότερο
εργαλείο των παραγώγων. Η προσέγγιση όμως που μπορεί να γίνει μέσω ενός δυνα-
μικού Γεωμετρικού δυναμικού, μπορεί να δώσει τέλεια σχήματα, δυναμικώς μεταβαλ-
λόμενα, τα οποία διατρέχουν είτε φαίνεται πως διατρέχουν ή μπορούν να διατρέξουν
151/955
_____________________________________________________________________________________
ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 19ο Τεύχος Ιούλιος 2020

5. όλα τα σημεία ορισμού τους και δημιουργούν οπτικές που ποτέ δεν είχαμε πριν. Προ-
άγεται λοιπόν η λεγόμενη «οπτική σκέψη» σε όσα εκπαιδευτικά συστήματα καλλιερ-
γείται συστηματικώς και με ειδικώς προσαρμοσμένα ΑΠΣ στα νέα εργαλεία ΤΠΕ που
υποστηρίζονται συνεχώς. (Στην Ελλάδα δεν έχουμε κάτι τέτοιο, παρ΄ όλη την αφθονία
υλικού στα Εθνικά αποθετήρια ψηφιακού υλικού «Ιφιγένεια», «Φωτόδενδρο», «Αίσω-
πος» «Διαδραστικά Σχολικά βιβλία» κ.ά. Διαφαίνεται, ότι η οριστική λύση θα ήταν η
πλήρης αλλαγή των ΑΠΣ και βιβλίων, τα οποία θα πρέπει να είναι απολύτως προσαρ-
μοσμένα την νέα φιλοσοφία των ΤΠΕ με παράλληλη επέκταση της επιμόρφωσης Β1
και Β2 σε όλους τους εκπαιδευτικούς και με επίσης παράλληλη υλικοτεχνική υποστή-
ριξη των εκπαιδευτικών δομών (Ζαγούρας, Χ. 2020)
Αν εστιάζαμε ειδικότερα στα δυναμικά Γεωμετρικά λογισμικά θα βλέπαμε, ότι : (1)
Δημιουργούν σχήματα απόλυτης ακριβείας, ταχύτατα. (2) Τα σχήματα, ανάλογα και με
την κατασκευή τους είναι δυναμικώς μεταβαλλόμενα και διατρέχουν όλα τα δυνατά
σχήματα, επιτρέποντας διερευνήσεις όλων των δυνατών ειδικών είτε οριακών περιπτώ-
σεων. (3) Υλοποιούν την ανακαλυπτική και διερευνητική μάθηση από την φύση τους,
καθώς είναι σχεδιασμένα για πειραματισμό, εξαγωγή ισχυρών εικασιών, επαληθεύ-
σεων, μετρήσεων συναρτησιακών παραστάσεων μεταβαλλόμενων μεγεθών εντοπι-
σμού ακροτάτων, αυτόματης πινακοποίησης και αμέσου ελέγχου υποθέσεων. (4) δη-
μιουργούν εξαιρετικά μαθηματικά και μηχανικά μοντέλα και προσομοιώσεις από την
δυναμική τους φύση. (5) Μπορούν να λειτουργήσουν ως αναπαραστάτες καλλιτεχνι-
κών στατικών ή δυναμικών εικαστικών δημιουργιών (δυναμικών εικόνων) εξαιρε-
τικά αξιόλογων και πρωτότυπων. Είναι δηλαδή εκ κατασκευής ένα εργαλείο προαγω-
γής και καλλιέργειας κριτικής και δημιουργικής σκέψης. Εδώ μπορούμε να προσθέ-
σουμε και την δυνατότητα αναπαραγωγής φράκταλ με επαναληπτικές εντολές, που έ-
χουν και Μαθηματικό και Εικαστικό περιεχόμενο. (6) Γίνεται εμπέδωση της ελεύθερης
μεταβλητής και της εξαρτημένης ως σχήμα «αιτίου αποτελέσματος» με κιναισθητικές
διαδικασίες παρακολουθώντας το ίχνος που αφήνει το (χ,ψ) στο επίπεδο. Σε περίπτωση
όπου έχουμε πάνω από μία μεταβλητές και θέλουμε να βρούμε ακρότατα εξαρτημένων
μεγεθών, «κουνάμε» μόνο την μία αφήνοντας τις άλλες σταθερές βλέποντας πώς
επηρεάζει η μία. Αυτό γίνεται κυκλικά, έως ότου ανακαλύψουμε την συνάρτηση μετα-
βολής. Η εξαιρετικής διδακτικής σημασίας διαπίστωση, , είναι ότι ακριβώς έτσι εργά-
ζονται και οι πειραματικοί ερευνητές σε όλα τα επιστημονικά πεδία όταν επιχειρούν
να ανακαλύψουν ή να επανακακαλύψουν ή να επαληθεύσουν κάποιες μαθηματικές
σχέσεις μεταξύ μεταβλητών ποσοτήτων του πεδίου τους. (Πλατάρος, Ι.- Παπαδοπού-
λου,Α. 2009) . Διερευνησιμότητα, πειραματικότητα, εξαγωγή βάσιμων εικασιών, επα-
ληθευσιμότητα, ποτέ δεν ήταν σε τόσο βαθμό αναπτυγμένα σε ένα περιβάλλον διεπα-
φής προσώπου και λογισμικού, ισότιμα και απλά είτε με ερευνητή των Μαθηματικών
είτε με απλό μαθητή. Κυριολεκτικά παίζοντας ο μαθητής, αν έχει κατανοήσει ορισμέ-
νες βασικές λειτουργίες του λογισμικού, μπορεί να φτιάχνει τ δικά του φράκταλς, τους
δικούς του γεωμετρικούς τόπους , τις δικές του κινούμενες κατασκευές , τα δικά του
επαναληπτικά μοτίβα καμπυλών και όχι μόνον.
152/955
_____________________________________________________________________________________
ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 19ο Τεύχος Ιούλιος 2020

6. Αναφορές
Ζαγούρας, Χ.(2020) «Εκπαιδευτική Ημερίδα Προετοιμασίας Επιμορφωτών για τη διε-
ξαγωγή της Επιμόρφωσης Β2 Επιπέδου Τ.Π.Ε.» (Διαθέσιμο σε : https://e-
pimorfosi.cti.gr/imerida20200215/ προσπελάστηκε 20/2/2020 )
Βρατσάνος, Γ. (2009) Αρχιμήδους Μηχανικά Θεωρήματα, ‘‘Περί των Μηχανικών Θε-
ωρημάτων, προς Ερατοσθένην, έφοδος’’ Αθήνα, εκδόσεις ΔΙΑΥΛΟΣ
Πλατάρος,Ι. (2017) «Επεκτάσεις της σπουδής Γεωμετρικών τόπων, μέσω του λογισμι-
κού Sketchpad» Πρακτικά 34ου Συνεδρίου ΕΜΕ σε Λευκάδα (Διατίθεται σε :
https://www.academia.edu/35118259/96._Επεκτάσεις_της_σπουδής_Γεωμετρι-
κών_Τόπων_μέσω_του_Λογισμικού_Sketchpad/ προσπέλαση 20/2/2020 )
Πλατάρος Ι. (2016) «Ο νέος τρόπος διδασκαλίας της Γεωμετρίας και τα δυναμικά Γε-
ωμετρικά Λογισμικά.» Πρακτικά 3ου Συνέδριου «Νέος Παιδαγωγός»- Αθήνα.
Διατίθεται σε : https://www.academia.edu/34176700/77 προσπέλαση
20/2/2020)
Πλατάρος Ι. (2010) «Μια Γεωμετρική εφαρμογή Μεγίστου κι Ελάχιστου με χρόνο,
μέσω Δυναμικού Λογισμικού, ως Διδακτική Πρόταση» 2ο
Συνέδριο Ημαθίας
Διάθεση σε https://www.ekped.gr/praktika10/math/079.pdf προσπέλαση
20.2.2020)
Πλατάρος, Γ., & Παπαδοπούλου, Α. (2009) «Ο κρυφός πειραματικός χαρακτήρας της
Γεωμετρίας και η διδακτική του αξιοποίηση μέσω των δυναμικών γεωμετρικών
λογισμικών.» 1o Εκπαιδευτικό Συνέδριο «Ένταξη και Χρήση των ΤΠΕ στην Εκ-
παιδευτική Διαδικασία. Βόλος (Διάθεση σε )
http://www.etpe.gr/custom/pdf/etpe1441.pdf προσπέλαση 20/2/2020
Πλατάρος,Ι. (2008) «Η ολιστική διδασκαλία των απλών γεωμετρικών τόπων στα πλαίσια
σύγχρονων παιδαγωγικών θεωρήσεων» Πρακτικά 25ου Πανελλήνιου Συνέδριου
Μαθηματικής Παιδείας Βόλος. (Διατίθεται σε:
https://www.academia.edu/21246984/31._Η_ολιστική_διδασκαλία_των_α-
πλών_γεωμετρικών_τόπων/ προσπέλαση 20/2/2020 )
153/955
_____________________________________________________________________________________
ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 19ο Τεύχος Ιούλιος 2020