Digital Passband Communication MASK, MFSK, MPSK, MDPSK modulation/demodulation BER

1. Digital Passband
Communication
Jay Chang
1

2. 2
二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制原理原理原理原理
• 2ASK
• 2FSK
• 2PSK/2DPSK
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲性能性能性能性能
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的性能制系統的性能制系統的性能制系統的性能比較比較比較比較
多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製原理原理原理原理
• MASK
• MFSK
• MPSK/MDPSK
多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲性能性能性能性能

3. 3
二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制原理原理原理原理
• 2ASK
• 2FSK
• 2PSK/2DPSK
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲性能性能性能性能
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的性能制系統的性能制系統的性能制系統的性能比較比較比較比較
多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製原理原理原理原理
• MASK
• MFSK
• MPSK/MDPSK
多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲性能性能性能性能

4. 4
概述概述概述概述
數字調製: 把數字基帶信號變換為數字帶通信號(已調信號)的過程. 因為大多數信道(無線信道)
具有帶通特性不能直接傳送BB signal.
數字帶通傳輸系統: 通常把包括調製和解調過程的數字傳輸系統.
數字調製技術有兩種方法:
1. 利用模擬調製的方法去實現數字式調製;
2. 利用數字信號離散取值特點, 通過開關鍵控載波, 通常稱為鍵控鍵控鍵控鍵控法法法法(shift keying).
• 基本鍵控方式: 振幅鍵控(ASK)、頻移鍵控(FSK)、相移鍵控(PSK).
數字調製可分為二進制調製和多進制調製.
t t t
Amplitude Shift Keying Frequency Shift Keying Phase Shift Keying
ASK PSKFSK

5. 5
2ASK: 利用利用利用利用載波載波載波載波的的的的振幅振幅振幅振幅變化變化變化變化來傳遞數字來傳遞數字來傳遞數字來傳遞數字信息信息信息信息
2ASK(OOK):
cos , "1"
( )
0,
On-Off (OO
1 "0"
:
K) c
OOK
A t P
e t
P
ω
= 
−
以機率 發送 時
以機率 發送 時
鍵控 信號運算式
波形
:
tsT
( )s t
t
t
cω
2ASK2ASK :
, 1,
, 2ASK O
( ) ( )cos , where ( ) ( ), .
:
( ):
1,
: ,
0
O
( )
K
, 1
c n B
n
B
B B
n n
e t s t t s t a g t nT
T
T T
P
a a
g t
s
N
P
tω= = −

= 
−
∑信號的一般運算式
碼元持續時間
持續時間為 的基帶
機率為
機率為
脈衝波形 通常假設是高度為 寬度等於 的矩形脈衝
第 個符號的電平取值 若取 則相應的 信號就是
單極性
信號.

6. 6
2ASK信號產生信號產生信號產生信號產生方法方法方法方法有兩有兩有兩有兩種種種種: 1. 模擬模擬模擬模擬調製法調製法調製法調製法(相乘器法相乘器法相乘器法相乘器法) and 2. 鍵鍵鍵鍵控控控控法法法法
)(2ASK tetcωcos
模擬調製法 數字鍵控法

7. 7
2ASK信號解調信號解調信號解調信號解調方法方法方法方法: noncoherent
包絡檢波法包絡檢波法
2ASK ( )e t

8. 8
( ) cos cc t tω=
2ASK ( )e t
相干解調法相干解調法
2ASK信號解調信號解調信號解調信號解調方法方法方法方法: coherent

9. 9
Ex. 求求求求隨機相位余弦波隨機相位余弦波隨機相位余弦波隨機相位余弦波ξξξξ(t) = Acos(ωωωωct + θθθθ )的的的的ACF和和和和PSD
2
2
2
( )
( ) cos
2
( ) ( )
cos [ ( ) ( )]
PSD : ( ) [
ACF PSD Fourier , i.e.
( ) ( )]
2
1
: (0 ( ))
2 2
c
c c c
c c
A
R
R P
A
P
A
S R P
t
d
ξ
ξ
ξ
ξ
τ ω τ
τ ω
ω τ π δ ω ω δ ω ω
π
ω δ ω ω δ ω ω
ω ω
π
∞
−∞
=
⇔
⇔ − + +
∴ = − + +
= = =∫
∵
隨機相位余弦波 是一個平穩過程
平穩隨機過程的 與 是一對 變換
平均功率
Review…

10. 10
2
1 2
2
1 2
2 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
( ) (1 ) ( ) ( )
( ) [ ( ) (1 ) ( )] ( )
( )
DSB PSD: ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) [ ( ) (1 ) ( )] (
,
,
u B
v B B B B
m
s u v B B B B B
P f f P P G f G f
P f f PG mf P G mf f mf
P f P f P f f P P G f G
s t u t v t
f f PG mf P G mf f mf
s t
δ
δ
∞
=−∞
= − −
= + − −
= + = − − + + −
= +
−
∑
i
由於 所以將下兩式相加
得到隨機序列 的功率譜密度 即
2
1 2
2 22 2
1 2 1 2
2
1
1
).
SSB PSD: ( ) 2 (1 ) ( ) ( )
(0) (1 ) (0) ( ) 2 ( ) (1 ) ( ) ( ),
where 1/ : ,
0.
( ),: )( ( )
m
s B
B B B
B B B B B
m
P f f P P G f G f
f PG P G f f PG mf P G mf f
f T T G f G
f
f
m fδ δ
∞
=−∞
∞
=
=
= − − +
+ − + + − − ≥
∑
∑
i
碼元速率 碼元寬度 持續時間 和 分別 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( )
(
Fourier
) ( )
(
:
1. .
2. , , ) .
.
3 ). , ( )
u vs
g t g t
P f
g t g t G f G f
g t g t P
g t g t
P P
≠
是 和 的 變換.
結論
二進制隨機脈衝序列的功率譜 可能包含連續譜 第一項 和離散譜 第二項
連續譜總是存在的 這是因為代表數據信息的 和 波形不能完全相同 故有
譜的形狀取決於 和 的頻譜以及出現的機率
離散譜是否存在 取決於 和 的波形及其出現的
1 2
. ,
, 1/ 2 , .
( 0) ( 1)
( ) ( ) ( ) ( )
.
( )B
P
g t g t g t P
m
mf
m
fδ= − = =
= =
−
機率 一般情況下 它也總是存在的,
但對於雙極性信號 且機率 等概 時 則沒有離散分量
根據離散譜可以確定隨機序列是否有直流分量 和定時分量
3. s(t)的功率譜密度的功率譜密度的功率譜密度的功率譜密度Ps(f) Review…

11. 11
2ASK功率功率功率功率譜密度譜密度譜密度譜密度
[ ]
2
2ASK
2ASK
ASK
2A
( ) ( )cos , ( ):
( ) ( ) ( ):
2ASK (single-polarity)
: : 2ASK
, 2A
1
( ) ( ) ( )
4
( ) ( )
( )
SK .
c
s c s c
s
s
s
e t s t t
P f
s t
P f s t P
P f f P
P
P
f
f
f
f
f P
ω=
= + −⇒ +
信號可以表示成 二進制單極性 隨機矩形脈衝序列
設 的功率譜密度, 信號的功率譜密度
由上式可見 信號的功率譜是基帶信號功率譜 的線性搬移 屬線性調製
知道了 即可確定 S
2 2
K
1/ , ( ): ( )
(NRZ, )
( ).
( ) (1 ) ( ) (1
, ( ) , 0 ,
( ) sinc
PSD :
:
( ) 0
) ( ) ( )
( )
s B B B B
B B
B
B
m
s
B
f T G f g t
T g
P f f
t m
G
P P G f f P G mf
mf
P f
f
f
T
mf
n
δ
τ
π
∞
=−∞
= − + − −
=
= ≠
= ⋅ =
∑單極性的隨機脈衝序列 的一般運算式為
單個基帶信號碼元 的頻譜函數
對於全占空 占滿 矩形脈衝序列 根
故上式
據矩形波形 的頻譜特點 對於所有的
為
的整數
簡化
有
可 [ ]
[ ]
2 22 2
2ASK
2 2 22 2
2ASK
2ASK
1
(1 ) ( ) (1 ) (0) ( ) ( ) ( ) ( )
4
1 1
(1 ) ( ) ( ) (1 ) (0) ( ) ( ) .
4 4
( ) sinc( ), (0)
(
1/ 2 ,
2A )SK
B B s c s c
B c c B c c
B B B
f P P G f f P G f P f P f f P f f
P f P P G f f G f f f P G f f f f
G f T f T G T
P f
P
δ
δ δ
π
= − + − = + + −
 ⇒ = − + + − + − + + −
 
= = =
=
代入
當機率 時 並考慮到
則 信號的功率譜密度為: [ ]
2 2
sin ( ) sin ( ) 1
( ) ( ) .
16 ( ) ( ) 16
c B c BB
c c
c B c B
f f T f f TT
f f f f
f f T f f T
π π
δ δ
π π
 + −
 + + + + −
+ −  

12. 12
( )2ASKP f
⋯⋯ f
cfcf−
c sf f+c sf f− 2c sf f+-2c sf f
2ASK信號的功率譜密度信號的功率譜密度信號的功率譜密度信號的功率譜密度
2ASK
( )
( )
2 ,
:
2ASK ,
DSB spectrum, .
,2ASK
2ASK .w
ma
he
in lobe ,
re 1 ,/ .B B B BB f
g t
f T R= = =
i
i 信號的頻寬是
從以上分析及上圖可以看出
信號的功率譜由連續譜和離散譜兩部分組成
連續譜取決於 經線性調製後的 而離散譜由載波分量確定
若只基帶 計譜的主瓣 第一個譜零點位置
則有
信號帶寬的兩倍
信號的傳輸帶寬是碼元速率的兩倍即
B2ASK
P.S. ASK是受噪聲影響最大的調製技術是受噪聲影響最大的調製技術是受噪聲影響最大的調製技術是受噪聲影響最大的調製技術!!

13. 13
ASK應用應用應用應用: NFC
NFC RF signal parameters
• NFC uses the global 13.56 MHz allocation as this is an unlicensed radio frequency ISM band.
• Using ASK - amplitude shift keying, as the format for the NFC modulation, most of the RF energy is
concentrated in the allowed 14 kHz bandwidth, although the sidebands may extend out as far as ± 1.8 MHz.
NFC RF signal coding
• NFC employs two different coding systems on the RF signal to transfer data. In most cases a level of 10%
modulation is used, with a Manchester coding format.
• However for an active device transmitting data at 106 kbps, a modified Miller coding scheme is used with
100% modulation.
• In all other cases Manchester coding is used with a modulation ratio of 10%.
DATA RATE
KBPS
ACTIVE DEVICE PASSIVE DEVICE
106 Modified Miller, 100%, ASK Manchester, 10%, ASK
212 Manchester, 10%, ASK Manchester, 10%, ASK
424 Manchester, 10%, ASK Manchester, 10%, ASK

14. 14
3. 雙雙雙雙相碼相碼相碼相碼: 又稱曼徹斯特又稱曼徹斯特又稱曼徹斯特又稱曼徹斯特(Manchester)碼碼碼碼
用一個週期的正負對稱方波表示"0", 而用其反相波形表示"1".
"0"碼用"01"兩位碼表示, "1"碼用"10"兩位碼表示.
Ex:
消息碼: 1 1 0 0 1 0 1
雙相碼: 10 10 01 01 10 01 10
優缺點:
• 雙相碼波形是一種雙極性NRZ波形, 只有極性相反的兩個電平.
• 優點: 它在每個碼元間隔的中心點都存在電平跳變, 所以含有豐富的位元定時信息, 且沒有直流
分量, 編碼過程也簡單.
• 缺點: 佔用帶寬加倍, 使頻帶利用率降低.
• 應用: NFC coding, 局域網(LAN)中的傳輸碼型.
Review…

15. 15
7. Miller code: 又又又又稱稱稱稱延遲延遲延遲延遲(delay)調製碼調製碼調製碼調製碼
編碼規則:
"1"碼用"10"或"01"表示, ex: 只要出現"1"下次就switch the state.
"0"碼有兩種情況:
• 單個"0"時, 在碼元持續時間內不出現電平躍變, 且與相鄰碼元的邊界處也不躍變,
• 連"0"時, 在兩個"0"碼的邊界處出現電平躍變, 即"00"與"11"交替.
Ex: 圖(a)是雙相碼的波形. 圖(b)為密勒碼的波形
若兩個"1"碼中間有一個"0"碼時, 密勒碼流中出現最大寬度為2Ts的波形, 即兩個碼元週期. 這一
性質可用來進行宏觀檢錯.
用雙相碼的下降沿去觸發雙穩電路, 即可輸出密勒碼.
應用: NFC coding, 氣象衛星和磁記錄, 現在也用於低速基帶數據機.
2 ST
T
( )a
( )b
t
t
Manchester code
Miller code
Review…

16. 16
clc, close all;
h=[1 1 0 1 0 0 1];
est_initial=1;
con=est_initial;%Set 1 -1
long=length(h);%Number of bits of the signal
n=1;%Initial state for "while" loop
ac=[];%Null matrix to code signal.
bits=[];%Null matrix to original signal.
h(long+1)=0;
while n<=long%Code to finished the length of the signal.
if h(n)==1 %If the bit is 1
bit=[ones(1,100)];
s=[con*ones(1,50) -con*ones(1,50)];
con=con*-1;%Switch state of the signal
else %If the bit is 0
bit=[zeros(1,100)];
s=[con*ones(1,100)];
if h(n+1)==0%If the next bit is 0
con=con*-1;%Switch state of the signal
end
end
ac=[ac s];%Accumulate miller code.
bits=[bits bit];%Accumulate signal
n=n+1;%Increment of the cycle
s=[];%Reset temporal matrix s.
end
subplot(2,1,1);plot(bits,'LineWidth',2);
title('input signal');
axis([0 100*(length(h)-1) -2 2])
grid on
subplot(2,1,2);plot(ac,'LineWidth',2)
title('miller code')
axis([0 100*(length(h)-1) -2 2])
grid on
https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/19881-program-to-simulate-the-miller-code
Review…

17. 17
二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制原理原理原理原理
• 2ASK
• 2FSK
• 2PSK/2DPSK
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲性能性能性能性能
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的性能制系統的性能制系統的性能制系統的性能比較比較比較比較
多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製原理原理原理原理
• MASK
• MFSK
• MPSK/MDPSK
多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲性能性能性能性能

18. 18
2FSK: 利用載波的頻率變化來傳遞數字信息利用載波的頻率變化來傳遞數字信息利用載波的頻率變化來傳遞數字信息利用載波的頻率變化來傳遞數字信息
1
2FSK
2
2FS 1
1 2
K 1
2FSK , .
, 2FSK ( )
( ) ( ),
2FSK 2
cos( ), "1"
( )
cos( ), "0"
( ) ( )cos
ASK .
(
FS
)
, 2 K
n
n
n
f f
a
b
A t
e t
A t
e t s t t
c
ω φ
ω θ
ω φ
+
= 
+
= +
運算式: 在 中 載波的頻率隨二進制基帶信號在 和 兩個頻率點間變化
由圖可見 信號的波形
可以分解為波形 和波形
一個 信號可以看成是兩個不同載頻的 信號的疊加
因此 信號的時域運算式又可寫成:
發送
發送
2 2
1 2
( )cos( )
where ( ) ( ) , ( ) ( )
( ): :
1, 1, 1
,
0, 1
,
1 0 , 0,
in ge
0,
n
( )
e
n
n B n B
n n
B
n n n
n n
s t t
s t a g t n
g
T s t a g t nT
T
P P
a a a
P
t
n
P
ω θ
φ θ
+ +
   
= − = −   
   
− 
= = 

⇒
−
∑ ∑
單個矩形脈衝 脈衝持續時間
和
機率為 機率為
是 的反碼
機率為 機率
分別是第 個信號碼元 或 的初始相位 通常
為
可令為
2FSK 1 1 2 2( ) ( )cos (ral, 2FS )K cos .e t s t t s t tω ω= +信號的運算式可簡化為:
t
t
t
( )2FSKa 信號
( )1 1) cosb s t tω（
( )2 2( ) cosc s t tω

19. 19
2FSK信號的產生信號的產生信號的產生信號的產生方法方法方法方法: 1. 調頻調頻調頻調頻法法法法, 2. 鍵控法鍵控法鍵控法鍵控法
采用模擬調頻電路來實現: 信號在相鄰碼元之間的相位是連續變化的(Continuous-Phase FSK).
采用鍵控法來實現: 相鄰碼元之間的相位不一定連續.
• 2進制基帶矩形脈衝序列下通過開關電路, 對兩個不同獨立頻率源進行選通, 使其在每個碼
元TB期間輸出f1或f2兩個載波之一.
• 特點: 轉換速度快、電路簡單、產生的波形好、頻率穩定度高.
2FSK ( )e t
)(ts)(ts
1f
2f

20. 20
為了防止帶外洩漏
一般用Continuous Phase FSK透過VCO調製
非連續相位FSK 連續相位FSK
相鄰兩符號不同 → cross處相位跳變 →
頻譜出現高頻成分 → 帶外洩漏
2ASK信號作為VCO控制電壓
VCO輸出連續相位調製
相鄰碼元之間的相位不一定連續所帶來的缺點

21. 21
2FSK信號的解調方法信號的解調方法信號的解調方法信號的解調方法
1ω
2ω
)(2 te FSK
1ω
2ω
)(2 te FSK
t1cosω
t2cosω
非相干解調非相干解調非相干解調非相干解調
相干相干相干相干解調解調解調解調

22. 22
2FSK其他其他其他其他解調方法解調方法解調方法解調方法: 比如鑒頻法比如鑒頻法比如鑒頻法比如鑒頻法、、、、差分檢測法差分檢測法差分檢測法差分檢測法、、、、過過過過零零零零(zero-crossing)檢測檢測檢測檢測法等法等法等法等.
下圖給出了過零檢測法的原理方框圖及各點時間波形.
過零原理: 基於2FSK信號的過零點數隨不同頻率而變, 通過檢測過零點的數目, 從而區分兩個不
同頻率的信號碼元.
限幅 微分 整流
脈衝
展寬
低通
尖脈衝數目
就是過零點的數目
增大DC分量,
DC分量大小和信號頻
率高低成正比
根據直流分量幅度上
的區別還原數字信
號”1” or “0”.

23. 23
2FSK信號的功率譜密度信號的功率譜密度信號的功率譜密度信號的功率譜密度
1 1 2 2
2FSK 1 1 2 2
1 2
2FSK 1 1 2 2
( ) ( )cos ( )cos .
( ) ( )
2FSK , 2ASK , :
where,
2F
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .SK :
1/ 2, 2
4
ASK
4
s s s s
e t s t t s t t
s t s t
P f P f f P f f P f f P f f
P
ω ω= +
   = − + + + − + 
=
+ 
對相位不連續的 信號 可看成由兩個不同載頻的 信號的疊加 表示為
和 為兩路二進制基帶信號.
信號的功率譜密度的表示式
令機率 將 信號
[ ]
2 2
1
2 2
1 1 2 2
2FSK
1 1 2 2
1 1 2 2
2
sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( )
( )
16 ( ) ( ) 16 ( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
, ,
( .
6
:
)
1
B B B B B B
B B B B
c
T f f T f f T T f f T f f T
P f
f f T f f T f f T f f T
f f f f f
f f f
f f f
π π π π
π π π π
δ δ δ δ
   + − + −
   = + + +
+ − + −      
+ + + − + + + −
頻譜中的 分別替換為 和 然後代入上式 即可得到
其曲線如下:
1/s B BR f T= =
sR

24. 24
1 1 2 2
2FSK 1 1 2 2 1 2
2FSK 1 1 2 2
2
1 1
2FSK
1
( ) ( )cos ( )cos . ( ) ( )
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
4 4
si
where,
n ( ) sin ( )
( )
1
2FSK : 1/ 2
6 ( ) (
s s s s
B B B
B
e t s t t s t t s t s t
P f P f f P f f P f f P f f
T f f T f f T
P f
f f T
P
ω ω
π π
π π
= +
   = − + + + − + +   
+ −
= +
+
=
和 為兩路二進制基帶信號.
信號的功率譜密度的表示式 機率
[ ]
2 2 2
2 2
1 2 2
1
1 1 2
1 2
2
2
sin ( ) sin ( )
) 16 ( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
:
1.
( )
2FSK PSD .
whe
.
16
re, , ;
2.
B B B
B B B
f f f f
T f f T f f T
f f T f f T f f T
f f f f f f f f
π π
π π
δ δ δ δ
   + −
   + +
− + −      
+ + + − + + + −
由上圖可以看出
相位不連續 信號的 由連續譜和離散譜組成
連續譜由兩個中心位於 和 處的雙邊譜疊加而成 離散譜位於兩個載頻 和 處
連 1 2
1 2
2FSK 2 1
, , ;
.
3. 2FSK ,
where, 1/ . .
2 c
B c
B
B B c
f f f f
f f f
f
B f f f
T f
= − +
− <
− >
=
續譜的形狀隨著兩個載頻之差的大小而變化 若 連續譜在 處出現單峰
若 則出現雙峰
若以功率譜第一個零點之間的頻率間隔計算 信號的帶寬 則其帶寬近似為
為基帶信號的帶寬 圖中的 為兩個載頻的中心頻率
2FSK信號的功率譜密度信號的功率譜密度信號的功率譜密度信號的功率譜密度
P.S. ITU建議建議建議建議 data rate < 1200 bps 採用採用採用採用

25. 25
二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制原理原理原理原理
• 2ASK
• 2FSK
• 2PSK/2DPSK
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲性能性能性能性能
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的性能制系統的性能制系統的性能制系統的性能比較比較比較比較
多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製原理原理原理原理
• MASK
• MFSK
• MPSK/MDPSK
多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲性能性能性能性能

26. 26
2PSK: 利用載波的利用載波的利用載波的利用載波的相位相位相位相位變化來傳遞數字信息變化來傳遞數字信息變化來傳遞數字信息變化來傳遞數字信息
2PSK
2PSK
0, "0"
( ) cos( ), where
, "1
: 2PSK , 0 "0" "1".
:
,
"
cos ,
( )
cos ,
, 2PSK (bipolarity)
1
c n n n
c
c
e t A t
A t P
e t
n
A t P
ω φ
π
π
φ φ
ω
ω

= + = 


⇒ = 
− −
時域運算式 在 中 通常用初始相位 和 分別表示二進制 和
表示第 個符號的絕對相位
由於兩種碼元的波形相同 極性相反 故 信
發送
發送
機率
號可以表述為
為
機率
性
為
一個雙極 全
2PS
2PSK
2PSK
K ( ) ( )cos , where ( ) ( )
(10
, ( )
1,
1, 1
0% duty ratio)
:
:
"0" ( ) ( )
( ) (
1 , 0 ;
"1" 1 ,
c n B B
n
n n
n
n
g t
e t
e t s t t s t a
e
g t nT T
P
a a
P
a
a
ω= = −

= 
− −
+
−

∑
占空
矩形脈衝序列與一個正弦載波的相乘
是脈寬為 的單個矩形脈衝
的統計特性為
即發送二進制符號 時 取 取 相位
發送二進制符號
機率為
機
時 取
率為
雙極性
,
) .
.
t π取 相位
這種以載波的不同相位直接去表示相應二進制數字信號的調製方式 稱為二進制絕對相移方式

27. 27
2PSK信號的調製器原理方框圖信號的調製器原理方框圖信號的調製器原理方框圖信號的調製器原理方框圖
)(2 te PSK
tcωcos
)(ts
tcωcos
)(ts
)(2 te PSK
移相0
180
π
模擬調製法:
鍵控法:

28. 28
2PSK信號的解調器原理方框圖和波形圖信號的解調器原理方框圖和波形圖信號的解調器原理方框圖和波形圖信號的解調器原理方框圖和波形圖
)(2 te PSK
tcωcos
a
b
c d e
BT
t
a
b
c
d
t
t
t
t
e

29. 29
clear,close,clc all
% function: s-input binary sequence, f-carrier signal frequency
function bpskdigital(s,f)
t=0:2*pi/99:2*pi;
cp=[];
mod=[];
bit=[];
for n=1:length(s)
if s(n)==0
cp1=-ones(1,100);
bit1=zeros(1,100);
else s(n)==1
cp1=ones(1,100);
bit1=ones(1,100);
endif
c=cos(f*t);
cp=[cp cp1];
mod=[mod c];
bit=[bit bit1];
endfor
bpsk=cp.*mod;
subplot(3,1,1);
plot(cp,'b','LineWidth',1);grid on;
ylabel('cp Signal');
axis([0 100*length(s) -2 2]);
subplot(3,1,2);
plot(bit,'b','LineWidth',1);grid on;
ylabel('Binary Signal');
axis([0 100*length(s) -2 2]);
subplot(3,1,3);
plot(bpsk,'b','LineWidth',1);grid on;
ylabel('BPSK modulation');
axis([0 100*length(s) -2 2]);
endfunction
bpskdigital([1 0 1 1 0 0 1 0],2)
2
2
( ) ( ) cBPS os
cos , 1
( )
cos ,
K :
2PSK , 0 "0" " ".
1
1
PSK n B c
n
c n
PSK
c n
t a g t nT t
A t a
s t
A t a
s
π
ω
ω
ω
 
= − 
 
= +
⇒ = 
− = −
∑時域運算式
在 中 通常用初始相位 和 分別表示二進制 和
2PSK mod

30. 30
PSK and PAM對對對對phase noise敏感程度敏感程度敏感程度敏感程度
clear,close,clc all
len = 10000;
M = 16;
msg = randint(1,len,M);
txpsk = pskmod(msg,M);
txpam = pammod(msg,M);
scatterplot(txpsk); title('PSK Scatter Plot')
scatterplot(txpam); title('PAM Scatter Plot')
phasenoise = randn(1,len)*.015;
rxpsk = txpsk.*exp(j*2*pi*phasenoise);
rxpam = txpam.*exp(j*2*pi*phasenoise);
scatterplot(rxpsk); title('Noisy PSK Scatter Plot')
scatterplot(rxpam); title('Noisy PAM Scatter Plot')
recovpsk = pskdemod(rxpsk,M);
recovpam = pamdemod(rxpam,M);
numerrs_psk = symerr(msg,recovpsk)
numerrs_pam = symerr(msg,recovpam)

31. 31
QPSK mod demod by using monte carlo simulation
https://gist.github.com/oklachumi/6dff18d9cd309dcad15f4e1bd1c6c654

32. 32
波形圖中, 假設相干載波的基準相位與2PSK信號的調製載波的基準相位一致(通常默認為0相位). 但是, 由於
在2PSK信號的載波恢復過程中存在著的相位模糊(phase ambiguity), 即恢復的本地載波與所需的相干載波可
能同相, 也可能反相, 這種相位關係的不確定性將會造成解調出的數字基帶信號與發送的數字基帶信號正
好相反, 即”1”變為”0”, “0”變為”1”, 判決器輸出數字信號全部出錯.
這種現象稱為2PSK 方式的”倒倒倒倒π”現象現象現象現象或”反反反反相相相相工作工作工作工作”. 這也是2PSK方式在實際中很少採用的主要原因.
另外, 在隨機信號碼元序列中, 信號波形有可能出現長時間連續的正弦波形, 致使在接收端無法辨認信號碼
元的起止時刻.
為了解決上述問題, 可以採用差分相移鍵控(DPSK)體制.

33. 33
2PSK存在問題：：：：
Differential PSK
載波相位模糊
倒π現象
(反相工作)
解決方案：：：： DPSK
複習: 載波恢復存在π相位模糊!!

34. 34
波形波形波形波形:
差分編碼規則差分編碼規則差分編碼規則差分編碼規則：：：： ⊕為模2加
bn-1為 bn的前一碼元
最初bn-1可任意設定
Ex:
Binary code
2DPSK
Signal Phase
Binary code {an}
Differential PSK
{an}
{bn-1}

35. 35
2PSK信號的功率譜密度信號的功率譜密度信號的功率譜密度信號的功率譜密度
2ASK
2PSK
( ) ( )cos , where ( ) ( ),
cos ,
( ) ( )cos , where ( ) ( ),
c
2ASK 2PSK :
, ,
os , 1
(
( ) .
( ) .
)
c n B
n
c
c n B
nc
e t s t t s t a g t nT
A t P
s t
e t s t t s t a g t nT
s
t
t
t
s
A P
ω
ω
ω
ω
= = −

= = = −
− −
∑
∑
比較 信號的運算式和 信號的運算式
可知 兩
單極性
雙極性
者的表示形式完全一樣 區別僅在於基帶信
機率
號
為
機率為
不
[ ]2PSK
, (ASK) , (PSK) .
, 2ASK 2PSK
( )
1
( )
,
( ) ( ) P.S. .( )
4
s s
n
sc cP f P f f P f f
a
P f= + + −
同 不同 前者 為單極性 後者 為雙極性
因此 我們可以直接引用 信號功率譜密度的公式來表述 信號的功率譜 即
這裡的 是雙極性矩形脈衝序列的功率譜

36. 36
Ex: 求求求求雙雙雙雙極性極性極性極性NRZ和和和和RZ矩形脈衝序列的功率矩形脈衝序列的功率矩形脈衝序列的功率矩形脈衝序列的功率譜譜譜譜
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2: , DSB PSD( ) ( ) ( )
( ) (1 ) ( ) ( ) [ ( ) (1 ) ( )] ( )
( ) 4 (1 ) ( ) (2 1)
,
DSB PSD ( ) ( )
( )
:
1 (/ 2 ,
s B B B B B
m
s B B B B
m
s B
P f f P P G f G f f PG mf P G mf f mf
P f f P P G f f P G m
g t g t g t
f f mf
P f fP G
δ
δ
∞
=−∞
∞
=−∞
= − =
=
= − − + + − −
= − + − −
=
∑
∑
對於雙極性波形 設 將其代入下式
得隨機脈衝序列的
時 上式簡化為
2
2
2
(1) ( ) 1 NRZ , ( ) sinc ( ).
(2) ( ) 1 RZ , ( ) sinc .
4 2
) .
s B B
B B
s
g t P f T fT
T f
f
T
g t P f
π
π
=
 
=  
 
若 是高度為 的 矩形脈衝 上式可寫成
若 是高度為 的半占空 矩形脈衝 則
雙極性NRZ PSD
雙極性RZ PSD
2 21
( ) sinc sinc ( )
16 2 16 2
B B
s B
m
T fT m
P f f mf
π π
δ
∞
=−∞
   
= + −  
  
∑
2 1
( ) sinc ( ) ( )
4 4
B
s B
T
P f fT fπ δ= +
2
( ) sinc ( )s B BP f T fTπ=
2
( ) sinc
4 2
B B
s
T fT
P f
π 
=  
 
Review…

37. 37
2 2
rec
NR
t(
Z DS
/
B PSD:
1/ , ) s
(NRZ, ) , ,
( ) 4 (1 ) ( ) (2 1) ( ) ( )
( ): ( )
0( )
( ) sinc
,
( ) 0
inc )
.
(
s B B B B
m
B
B
B
F
B
T
B
T G f g t
T g t m
T
P f f P P G f f P G mf f mf
f
G m m
f
f
t τ π
τ
δ
π
τ τ
∞
=−∞
= ⇒
= ≠
⋅
↔
= − + − −
= =
∑雙極性
單個基帶信號碼元 的頻譜函數
對於全占空 占滿 矩形脈衝序列 根據矩形波形 的頻譜特點 對於所有的 的整數 有
[ ]
[ ]
2 22 2
2PSK
2 2 22 2
2PSK
( ) 4 (1 ) ( ) (1 2 ) (0) ( )
1
( ) ( ) ( ) P.S. ( )
NRZ
( )
4
1
( ) (1 ) ( ) ( ) (1 2 ) (0) (
DSB PSD
) ( ) ,
4
,
s B B
s c s c s
s c c B
s
c c
P f f P P G f f P G f
P f P Pf f P f f P f
P f f P P G f f G f f f P G f
f
f
P
f f
δ
δ δ⇒
⇒ = − + −
= + + −
 = − + + − + − + + −
 
=
雙極性矩形脈衝
這裡的 是雙極性矩形脈衝序列的功率譜 代入
若
2 2
2PSK
1/ 2, :
2PSK signa
( ) sinc( ), (0)
sin ( ) sin ( )
(l PSD
2PSK 2ASK , .
1/ 2 ,
)
2P
.
4 ( ) (
SK ) 2
)
( , P
B B B
c B c BB
c B c B
G f T f T G T
f f T f f TT
P f
f f
P
f T f T
π
π π
π π
= =
 + −
 ⇒ = +
+
∴
− 
=

並考慮到矩形脈衝的頻譜
的頻譜特性與 的十分相似 帶寬也是基帶信號帶寬的兩倍
區別僅在於當 時 頻譜中無離散譜 即載波分量 此時 SK DSB .
, .
信號實際上相當於抑制載波的 信號
因此 它可以看作是雙極性基帶信號作用下的調幅信號
2PSK信號的功率譜信號的功率譜信號的功率譜信號的功率譜密度密度密度密度 cont.
2DPSK 2PSK 2 BB B f= =

38. 38
2DPSK: 利用利用利用利用前後相鄰碼元的載波相對相位變化傳遞前後相鄰碼元的載波相對相位變化傳遞前後相鄰碼元的載波相對相位變化傳遞前後相鄰碼元的載波相對相位變化傳遞數字信息數字信息數字信息數字信息, 所以又稱相對相移鍵控所以又稱相對相移鍵控所以又稱相對相移鍵控所以又稱相對相移鍵控
假設∆ϕ為當前碼元與前一碼元的載波相位差, 定義數字信息與∆ϕ 之間的關係為
由此例可知, 對於相同的基帶信號, 由於初始相位不同, 2DPSK信號的相位可以不同. 即2DPSK信號的相位並
不直接代表基帶信號, 而前後碼元的相對相位才決定信息符號. 在某個長碼元序列中, 信號波形的相位可能
仍沒有突跳, 接收端仍不知道信號碼元的起始時刻, 碼元定時問題仍沒解決.
在B方式中, 當前碼元的相位相對於前一碼元的相位改變±π/2. 因此, 在相鄰碼元之間必定有相位突跳. 在接
收端檢測此相位突跳就能確定每個碼元的起止時刻.
0, "0" 0, "1"
or
, "1" , "0"
: 1 1 0 1 0 0 1 1 0
2DPSK : (0) 0 0 0
( ) 0 0 0 0
ϕ ϕ
π π
π π π π π π
π π π
 
∆ = ∆ = 
 
表示數字信息 表示數字信息
表示數字信息 表示數字信息
二進制數字信息
信號相位
或 0 0π
( )a 絕對碼
( )b 相對碼
t
( )2DPSKc
解決了定時問題解決了定時問題解決了定時問題解決了定時問題

39. 39
2DPSK信號調製器信號調製器信號調製器信號調製器原理圖原理圖原理圖原理圖
tcωcos
)(ts
)(2 te DPSK
移相0
180
π
先對二進制數字基帶信號進行差分編碼, 即把表示數字信息序列的絕對碼變換成相對碼相對碼相對碼相對碼(差分碼差分碼差分碼差分碼), 然後再根
據相對碼進行絕對調相, 從而產生二進制差分相移鍵控信號.
上圖中使用的是傳號差分碼, 即載波的相位遇到原數字信息”1”變化, 遇到”0”則不變.
差分碼可取傳號差分碼或空號差分碼. 其中, 傳號差分碼的編碼規則為 式中, ⊕為模2加, bn-1為
bn的前一碼元, 最初的bn-1可任意設定.
上式的逆過程稱為差分解碼(碼反變換), 即
1n n nb a b −= ⊕
1n n na b b −= ⊕

40. 40
2DPSK信號的解調方法之信號的解調方法之信號的解調方法之信號的解調方法之一一一一: 相干相干相干相干解調解調解調解調(極性比較法極性比較法極性比較法極性比較法) + 碼碼碼碼反變換法反變換法反變換法反變換法
原理: 先對2DPSK信號進行相干解調, 恢復出相對碼, 再經碼反變換器變換為絕對碼, 從而恢復出發送的二進
制數字信息.
在解調過程中, 由於載波相位模糊性的影響, 使得解調出的相對碼也可能是”1”和”0”倒置, 但經差分解碼(碼
反變換)得到的絕對碼不會發生任何倒置的現象, 從而解決了載波相位模糊性帶來的問題.
2DPSK ( )e t bandpass
filter
相乘器
cos ( )c tω
lowpass
filter
抽樣
判決器
碼
反變換器
定時
脈衝
output
相對碼
絕對碼
block diagram
各點時間波形圖
1n n nb a b −= ⊕
1n n na b b −= ⊕

41. 41
2DPSK信號的解調方法之二信號的解調方法之二信號的解調方法之二信號的解調方法之二: 差差差差分相干解調分相干解調分相干解調分相干解調(相位比較相位比較相位比較相位比較)法法法法
原理:用這種方法解調時不需要專門的相干載波, 只需由收到的2DPSK信號延時一個碼元間隔, 然後與2DPSK
信號本身相乘.
相乘器起著相位比較的作用, 相乘結果反映了前後碼元的相位差, 經低通濾波後再抽樣判決, 即可直接恢復
出原始數字信息, 故解調器中不需要碼反變換器.
2DPSK系統是一種實用的數字調相系統, 但其抗加性白噪聲性能比2PSK的要差.
2DPSK ( )e t bandpass
filter
相乘器
lowpass
filter
抽樣
判決器
定時
脈衝
output
block diagram
各點時間波形圖
delay BT
1n n nb a b −= ⊕

42. 42
2PSK and 2DPSK vs 2ASK PSD
2DPSK與2PSK具有相同形式的運算式.
所不同的是2PSK中的基帶信號s(t)對應的是絕對碼序列; 而2DPSK中的基帶信號s(t)對應的是碼變換後的相對
碼序列.
因此, 2DPSK信號和2PSK信號的功率譜密度是完全一樣的. 信號帶寬為
與2ASK的相同, BW也是碼元速率的兩倍.
2DPSK 2PSK 2 BB B f= =
2 2
2PSK
sin ( ) sin ( )
( )
4 ( ) ( )
c B c BB
c B c B
f f T f f TT
P f
f f T f f T
π π
π π
 + −
 = +
+ −  
[ ]
2 2
2ASK
sin ( ) sin ( ) 1
( ) ( ) ( )
16 ( ) ( ) 16
c B c BB
c c
c B c B
f f T f f TT
P f f f f f
f f T f f T
π π
δ δ
π π
 + −
 = + + + + −
+ −  
2DPSK 2PSK 2 .BB B f= =
2ASK 2 BB f=

43. 43
二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制原理原理原理原理
• 2ASK
• 2FSK
• 2PSK/2DPSK
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲性能性能性能性能
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的性能制系統的性能制系統的性能制系統的性能比較比較比較比較
多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製原理原理原理原理
• MASK
• MFSK
• MPSK/MDPSK
多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲性能性能性能性能

44. 44
二進制數字調制系統的抗噪聲二進制數字調制系統的抗噪聲二進制數字調制系統的抗噪聲二進制數字調制系統的抗噪聲性能性能性能性能
通信系統的抗噪聲性能是指系統克服加性噪聲影響的能力. 在數字通信系統中, 信道噪聲有可
能使傳輸碼元產生錯誤, 錯誤程度通常用誤碼率來衡量.
因此, 與分析數字基帶系統的抗噪聲性能一樣, 分析數字調製系統的抗噪聲性能, 也就是求系統
在信道噪聲干擾下的總誤碼率.
分析條件: 假設信道特性是恒參信道, 在信號的頻帶範圍內具有理想矩形的傳輸特性(可取其傳
輸係數為K); 信道噪聲是AWGN. 並且認為噪聲只對信號的接收帶來影響, 因而分析系統性能是
在接收端進行的.

45. 45
2ASK系統系統系統系統的抗噪聲的抗噪聲的抗噪聲的抗噪聲性能性能性能性能:同步檢測法的系統同步檢測法的系統同步檢測法的系統同步檢測法的系統性能性能性能性能
Tx
bandpass
filter
( )Ts t
相乘器
lowpass
filter
抽樣
判決器
定時
脈衝
output
channel
( )in t
( )iy t ( )y t ( )x t
eP
2cos ctω
( ) "1" cos 0
( ) where ( )
0 "0" 0 other
,
( ) ( ) "1"
( ) ( )
( )
0,? ,
T c B
T T
i
i
B
i
B
i
u t A t t T
s t u t
t
u t n t
y t
T
n t
T
ω < < 
= = 
 
+
=
i 設在一個碼元的持續時間 內 其發送端輸出的信號波形可以表示為
則在每一段時間 內 接收端的輸入波形為
發送
發送
"0"
( ) ( )
( )
cos 0
( ) , ( ) ( )
0
, , , ,
, , 0,
other
( )
i T
i i
c Ba t t T
u t
t
u t u t
K a AK
n t n t
n t
ω



< <
= 

=i
i
為 經信道傳輸後的波形.
為簡明起見 信號經過信道傳輸後只受到固定衰減 未產生失真 信道傳輸係數取為 令 則有
是高斯白色噪聲, 經過帶通濾波器的輸出噪聲.
由隨機信號分析可知 為窄帶高斯噪聲 其均值為 方差 2
( ) ( )cos ( )sin
cos ( )cos ( )sin [ ( )]cos ( )sin "1"
( )
( )cos ( )sin ( )cos ( )sin
,
2 ,
"0"
( ) cos
c c s c
c c c s c c c s c
c c s
c
n
c c c s c
n t n t t n t t
a t n t t n t t a n t t n t t
y t
n t t n t t n t t n t t
ty t
ω ω
ω ω ω ω ω
σ
ω ω ω ω
ω
= −
+ − + − 
= = 
− − 
為 且可表示為
與相干載波 相乘
2
2
LPF ,
,
( ), "1"
( )
( ), "0"
( )
( ) (" ) (
0, ,
, 1" 0 0" , ." )
c
c
c n
n
a n t
x t
n t
n
a
ta
x t
σ
σ
+
= 

i
然後由 濾除高頻分量 在抽樣判決器輸入端得到的波形為
為信號成分 由於 也是均值為 方差為 的高斯噪聲
所以 也是一個高斯隨機過程 其均值分別為 和 方差等於

46. 46
2 2
1 02 2
, . ,
( ) "1"
( ) ( )
"1" ,
( ) "0"
1 ( ) 1
( ) exp , ( ) exp .
2 2
0
2 2
" " ,
c
c
B
B B
n nn n
B
B
a n
x x
n
x a
kT
k kT x t kT kT
kT
xx fx
x
f x
σ σπσ πσ
+
= = 

   −
= − = −   
   
i 設對第 個符號的抽樣時刻為 則 在 時刻的抽樣值 是一個高斯隨機變數 因此
發送 時 的一維概率密度函數為 發送 時 的一維概率密度函數為
0(0) ( )P f x 1(1) ( )P f x
2
1
1
(0 /1) ( ) (
, "1"
,
, "0"
) 1 ,
2 2
2
w
"1" , "0" ,
, "0" , "1"
here
,
( ;)
b
n
u
x
b a
P P x b f x dx erfc
erfc x e
x b
b
x b
x
du
b
x b
σ
π
−∞
∞
−
>

≤
 −
= ≤ = = −   
 
=
∫
∫
i
時 判為
若取判決門限為 規定判決規則為
時 判為
則當發送 時 錯誤接收為 的概率是抽樣值 小於或等於 的概率 即
同理 發送 時 錯誤接收為 的概率是抽樣值 大於 的概率 0
1
1 0
0
1
(1/ 0) ( ) ( ) .
2 2
(1) (0 /1) (0) (1/ 0)
"1" (1), "0" (0),
2ASK
,
(1) ( ) (0) ( )
((1), (0) ), ,)(
b
n
b
e
e
b
b
P P x b f x dx erfc
P P P P P P f x dx P f x dx
P P
P P f x f x P b
σ
∞
∞
−∞
 
= > = =   
 
= + = +
∫
∫ ∫
i
即
設發 的概率 發 的概率為
則同步檢測時 系統的總誤碼率為
上式表明 當 及 一定時 系統的誤碼率 與判決門限 的選擇密切相關

47. 47
0(0) ( )P f x 1(1) ( )P f x
最佳最佳最佳最佳門限門限門限門限
從曲線求解:
• 從陰影部分所示可見, 誤碼率Pe等於圖中陰影的面積. 若改變判決門限b, 陰影的面積將隨之改變, 即誤碼率
Pe的大小將隨判決門限b而變化.
• 進一步分析可得, 當判決門限b取P(1)f1(x)與P(0)f0(x)兩條曲線相交點b*時, 陰影的面積最小. 即判決門限取為
b*時, 系統的誤碼率Pe最小. 這個門限b*稱為最佳判決門限.
從公式求解:
1 0
* * * *
1 0 1 0
1
* 2
0 2
0, where (1) (0 /1) (0) (1/ 0) (1) ( ) (0) ( )
(1) ( ) (0) ( ) 0 (1) ( ) (0) ( )
(1) ( )
( ) ( ) exp
22
,
,
b
e
e b
n
e
n
P
P P P P P P f x dx P f x d
P b
f
x
b
P f b P f b P f b P f b
x
a
f x
P b
σπσ
∞
−∞
∂
= = + = +
∂
− = ⇒ =
 −
−

∫ ∫
最佳判決門限也可通過求誤碼率 關於判決門限 的最小值的方法得到 令
將 和 的公式代入上式 得到
2* 2
*
2
*
2
2
/4
,
"1" "0" ,
(0) ( ) (0)
exp ln .
2
/ 2
2ASK .
1, ,
2 (1)2
1
( ) ,
2 4 2
1
.
n
nn
e
n
r
e
P b a P
b
a P
b
r a
P erfc r
P e
r
a
r
σ
σπσ
σ
π
−
 
= − ⇒ = +  
  
 
= =  
 
=
≈
i
≫
化簡整理
若發送 和 的概率相等 則最佳判決門限為
信號採用相干解調 同步檢測 時系統的誤碼率為 為解調器輸入端的信噪比
當 即大信噪比時 上式可近似表示為

48. 48
2ASK系統系統系統系統的抗噪聲的抗噪聲的抗噪聲的抗噪聲性能性能性能性能:包絡檢波包絡檢波包絡檢波包絡檢波法法法法的系統的系統的系統的系統性能性能性能性能
Tx
bandpass
filter
( )Ts t
整流器
lowpass
filter
抽樣
判決器
定時
脈衝
output
channel
( )in t
( )iy t ( )y t ( )x t
eP
2cos ctω
分析模型: 只需將相干解調器(相乘-低通)替換為包絡檢波器(整流-低通), 即可以得到2ASK採用包絡檢波法的
系統性能分析模型.
2 2
2
( )
[ ( )]cos ( )sin "1"
( )
( )cos ( )sin
: ,
"1" ,
"0"
( ) [ ( )] ( )
( ) ( )
:
"0" , :
c c s c
c c s c
c s
c
a n t t n t t
y t
n t t n t t
V t a n t n t
V t n
y
n
t
t
ω ω
ω ω
+ −
= 
−
= + +
= +
i 計算 顯然 帶通濾波器的輸出波形 與相干解調法的相同
當發送 符號時 包絡檢波器的輸出波形為
當發送 符號時 包絡檢波器的輸出波形為
2 2 2 2 2
2
( )/2 /2 2
1 0 02 2 2
( )
( ) , ( ) ,
"1" Rayleigh ; "0" Rayleigh , :
,
where (
"1
,
,
)
"
n n
s
V a V
n
n n n
n t
V b
b
t
V aV V
f V I e f V e
V b
σ σ
σ
σ σ σ
− + − 
= =
>
≤

 
i
發 時的抽樣值是廣義 隨機變數 發 時的抽樣值是 隨機變數 它們的一維概率密度函數分別為
為窄帶高斯噪聲 的方差.
抽樣值 時 判為
設判決門限為 規定判決規則為
抽樣值 時 判
2 2 2
2 2
( )/2
1 1 02 20
( )/2
0
"0"
"1" "0" :
Marcum
(0 /1) ( ) ( ) 1 ( ) 1
,
Ma ( , ) ( ) .rcum
n
b
V a
b b
n n
t
V aV
P P V b f V dV f V dV I e dV
Q tI t e dt
Q
Q
σ
α
β
σ σ
α β α
∞ ∞
− +
∞
− +
 
= ≤ = = − = −  
 



≡
∫ ∫ ∫
∫
i
為
發送 時錯判為 的概率為
上式中的積分值可以用 函數計算
函數的定義是

49. 49
2 2 2
( )/2
1 1 02 20
0
(0 /1) ( ) ( ) 1 ( )
, "1"
,
, "0"
"1" "0" :
Marcum ,
Marc
1
( , )m ( )u
n
b
V a
b b
n n
V aV
P P V b f V dV f V dV I e dV
Q
V b
b
V b
Q
Q tI t
σ
σ σ
α β α
∞ ∞
− + 
= ≤ =
>

= − = −  
 
≡
≤
∫ ∫ ∫
i
i
抽樣值 時 判為
設判決門限為 規定判決規則為
抽樣值 時 判為
發送 時錯判為 的概率為
上式中的積分值可以用 函數計算
函數的定義是
2 2
2 2 2 2 2
0
2
( )/2
2
0
/2 /2 2
0 2
0
/
, , ,
(0 /1) 1 , 1 / , /
, "
( 2 , ),
(1/ 00" "1" : ) ( ( ) .) n n
t
n n n
n n
n n
V b b
b b
n
a b V
e dt t
a b
P Q Q r b
V
P P V b f V dV e dV e
r a b b
e
α
β
σ σ
α β
σ σ σ
σ σ
σ σ
σ
∞
− +
∞ ∞
− − −
=
= = =
 
∴ = − = − 
 
= > = = =
=
=
∫
∫ ∫
i
i
為信號噪聲功率比 為歸一化門限值.
同理 當發送 時錯 為
令
判 的概率為
系
2
0
2
0
/2
0
/2
0
(1) (0 /1) (0) (1/ 0) (1) 1 ( 2 , ) (0) ,
1 1
(1) ( ,0) 1 ( 2 , )
2 2
b
e
b
e
P P P P P P Q r b P e
P P P Q r b e
−
−
 = + = − + 
 = − +=  
統的總誤碼率為
當 時 有
從曲線求解:
• 上式表明, 包絡檢波法的系統誤碼率取決於信噪比r和歸一化門限
值b0.
• 按照上式計算出的誤碼率Pe等於右圖中陰影面積的一半. 由圖可
見, 若b0變化, 陰影部分的面積也隨之而變; 當b0處於f1(V)和f0(V)兩
條曲線的相交點b0
*時, 陰影部分的面積最小, 即此時系統的總誤
碼率最小. b0
*為歸一化最佳判決門限值.

50. 50
從曲線求解:
• 上式表明, 包絡檢波法的系統誤碼率取決於信噪比r和歸一化門限
值b0.
• 按照上式計算出的誤碼率Pe等於右圖中陰影面積的一半. 由圖可
見, 若b0變化, 陰影部分的面積也隨之而變; 當b0處於f1(V)和f0(V)兩
條曲線的相交點b0
*時, 陰影部分的面積最小, 即此時系統的總誤
碼率最小. b0
*為歸一化最佳判決門限值.
從公式求解:
*
1 0
* * * *
* * *
1 0 1 0
2
0
*
02 20 1 0
*
0 (1) ( ) (0) ( ) (1) (0) ( ) ( )
(
, ,
) ( )
( ) (
, .
) l
2
. .n,n
e
n n
f V f V V b
b b b f V
P
P f b P f b P P f b f
f
b
b
a ab
rb IVσ
σ σ
∂
= ⇒ = ⇒ =
∂
 
= =  
 
=
=
i 最佳門限也可通過求極值的方法得到 令 當 時 有
即 和 兩條曲線交點處的包絡
歸一化最佳
值 就是最佳判決門限值 記為
和 的關係為 由 和 的公式和門限值 上式 可得出
1 1
2 *2 2
* * *
0
* 1/2 1/2
0
2
/ 2, 1 / 2, 18 4
1 1 ,
2 2 2 , 1 2
,
, 2 / 2
,
, 1
( )
,
n
nn
a r r ra a b
b b b
a r r r
r b r
σ
σσ
    
≈ + = + ⇒ = = =    
     
⇒
≫ ≫
i
i
≪ ≪
上式為一超越方程 求解最佳門限值的運算比較困難.
給出其近似解為 歸一化最佳門限值
對於任意的信噪比 介於 和 之間.
在實際工作中 系統總是工作在大信噪比的情況下 因此最佳門限應 * *
0
4 4
,
/ 2
2
1 1 1
,
:
, , .
, . ,
24
,
4 2
( )
r r
e e
a
b r b
r
P erfc P ere
− −
= ⇒ =
 
= + =   ∞

→

i
取
此時系統的總誤碼率為 當 時 左式的下界為
將上式和同步檢測法 即相干解調 的誤碼率公式比
在相同
較可以看出
但在大信噪比時 兩者性能相差不大
包絡檢波法不需要相干載波 因而設備比
的
較
信噪比條件下 同步檢測法
簡單 另外
的抗噪聲性能優於包絡檢波法
包絡檢波法存在門限效應, .同步檢測法無門限效應

51. 51
Ex:
設有一2ASK信號傳輸系統, 其碼元速率為RB = 4.8 × 106 Baud, 發”1”和發”0”的概率相等, 接收端分別
採用同步檢測法和包絡檢波法解調. 已知接收端輸入信號的幅度a = 1 mV, 信道中加性高斯白色噪
聲的單邊功率譜密度n0 = 2 × 10-15 W/Hz. 試求
(1) 同步檢測法解調時系統的誤碼率;
(2) 包絡檢波法解調時系統的誤碼率.
6
2 8
0
2 6
2 8
/4 6.5
2 9.6 10 Hz
1.92 10 W
1 10
26 1
2 2 1.
(1) 2ASK , 2
92 10
1 1
1.66
3.1416 26
ASK ,
B
n
n
r
e
B R
n B
a
r
P e e
r
σ
σ
π
−
−
−
− −
= = ×
= = ×
×
= = ≈
× ×
≈ = × = ×
×
≫
根據 信號的頻譜分析可知 信號所需的傳輸帶寬近似為碼元速率的兩倍 所以接收端帶通濾波器帶寬為
帶通濾波器輸出噪聲平均功率為
信噪比為
同步檢測法解調時系統的誤碼率為 4
6.5 44
10 .
1 1
(2) 7.5 10 .
2 2
,
r
eP e e
−
− − −
= = = ×包絡檢波法解調時系統的誤碼率
在大信噪比的情況下 包絡檢波法解調性能接近同步檢測法解調性能.

52. 52
2FSK系統系統系統系統的抗噪聲的抗噪聲的抗噪聲的抗噪聲性能性能性能性能: 同步同步同步同步檢測法的系統檢測法的系統檢測法的系統檢測法的系統性能性能性能性能
相乘器
抽样
判决器
定时
脉冲
输出
t1cos2 ω发送端 信道
)(tsT
)(tni
)(tyi
)(1 ty
)(1 tx
eP
相乘器
t2cos2 ω
)(2 ty
)(2 tx
1ω
2ω
Tx
1
bandpass
filter ω
相乘器
lowpass
filter
抽樣
判決器
定時
脈衝
output
channel
2
bandpass
filter ω
相乘器
lowpass
filter
1 1 2
1 0
1 2
0
1 2, ,
, 2FSK
"1" ( ) "0" ( )
( ) "1" cos 0 cos 0
( ) where ( ) , ( )
( ) "0" 0 other 0
T B B
T T T
T
B
u t A t t T A t t T
s t u t u t
u t
T
t
f f
ω ω
ω ω
< < < < 
= = = 

i
設 符號對應載波頻率 符號對應載波頻率
設在一個碼元的持續時間 內 發送端產生的 信號可表示為
發送
發送
1 1
0 2
1
other
( ) ( ) "1" cos ( ), "1"
( ) ( ) , ( )
( ) ( ) "0" cos ( ), "0"
( )
0,? ,
, 0.
, BPF
T i i
i i
i
i
B
T i
t
Ku t n t a t n t
y t y t
Ku t n t a t n
T
n t
f
t
ω
ω



+ + 
= = 
+ + 
i
則在每一段時間 內 接收端的輸入波形為
為加性高斯白色噪聲 均值為
在分析模型中 解調器採用兩個 來區分中心頻率分別為 和 2
1 1 2
2 2
1 1 2
1 2
1
1
.
,
cos ( ) "1" (
( ) , ( )
( ) "
,
"0
;
a t n t n t
y t y t
f
f f f
f f f
n t
ω +
= =

的信號
中心頻率為 的帶通濾波器只允許中心頻率為 的信號頻譜成分通過 而濾除中心頻率為 的信號頻譜成分
中心頻率為 的帶通濾波器只允許中心頻率為 的信號頻譜成分通過 而濾除中心頻率為 的信號頻譜成分.
接收端上下支路兩個帶通濾波器的輸出波形和分別
1 2
2
2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
:
, 0, ,
) "1"
cos ( ) "0"
( ) ( ) ( )
( ) ( )cos ( )sin
( ) ( )cos ( )sin
s
c
i
c
s
n
a t n t
n t n t t n t t
n t n t t n t t
n t n t n t
ω
ω
ω
σ
ω
ω


+
= −

=
⇒
−
和 分別為高斯白色噪聲 經過上下兩個帶通濾波器的輸出噪聲
窄帶高斯噪聲 其均值同為 方差同為 只是中心頻率不同而已.
相干解調器相干解調器相干解調器相干解調器

53. 53
1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2
1 1
2 2
( ) [ ( )]cos ( )sin
( ) ( )
( ) ( )cos ( )sin
( ) (
0,? "1" , BPF
, .
,
)
( )
wher
)
e
(
c s
c s
c
B
c
y t a n t t n t t
y t n t t n t t
x t a n t
x t
T
n t
a
ω ω
ω
ω ω
= + −




=
=
−
= +
i
i
現在假設在時間 內發送 符號 對應 則上下支路兩個 的輸出波形分別為
它們分別經過相干解調後 送入抽樣判決器進行比較
比較的兩路輸入波形分別為 為信號 2
1 2
1 2
1 1 2 2
2
1
1 2
2
2
2 2
, , 0, .( ) ( )
(
, "0
)1
( ) exp
22
( ) ( )
1
( ) exp
22
" , "1" "0( " ,) ( )
c c
nn
n
nn
t t
x t x t
x t x x
n n
x a
f x
x
f x
t x
σπσ
σ
σ
πσ
 −
= − 







 
 
= − 
 
i
i
成分 和 均為低通型高斯噪聲 其均值為 方差為
和 抽樣值的一維概率密度函數分別為
當 的抽樣值 小於 的抽樣值 時 判決器輸出 符號 造成將 判為 的錯誤 故這時錯誤
2 2
1 2 1 2 1 2
2
0 0
2
(0 /1) ( ) ( 0) ( 0), where 2 .
1 ( ) 1
( ) (0 /1) ( 0) ( ) exp
, , ,
, .
2 2 22
, "0"
z n
zz
P P x x P x x P z x x
x a r
P P z f z dz dz erf
z z a
z f z c
σ σ
σπσ−∞ −∞
= < = − < = < − =
  −
= < = = − =    
=

   
∫ ∫
i
概率為
故 是高斯型隨機變數 其均值為 方差為
設 的一維概率密度函數為 則由上式得到
同理可得 發送 錯判 1 2
2
"1"
, . 2FSK
,
1
(1/ 0) ( ) .
2 2
1
2 2
1
.
2
e
r
e
r
P P x x erfc
r
P erfc
P e
rπ
−
 
= > =   
 
 
=   
 
≈
i
為 的概率
由於上下支路的對稱性 以上兩個錯誤概率相等 採用同步檢測時 系統的總誤碼率為
在大信噪比條件下 上式可以近似表示為

54. 54
相乘器
抽样
判决器
定时
脉冲
输出
t1cos2 ω发送端 信道
)(tsT
)(tni
)(tyi
)(1 ty
)(1 tx
eP
相乘器
t2cos2 ω
)(2 ty
)(2 tx
1ω
2ω
Tx
1
bandpass
filter ω
整流器
lowpass
filter
抽樣
判決器
定時
脈衝
output
channel
2
bandpass
filter ω
整流器
lowpass
filter
2FSK系統系統系統系統的抗噪聲的抗噪聲的抗噪聲的抗噪聲性能性能性能性能:包絡檢波法的系統性能包絡檢波法的系統性能包絡檢波法的系統性能包絡檢波法的系統性能 包絡檢波器包絡檢波器包絡檢波器包絡檢波器
2 2 2
1
2 2
2
( )/21 1
2 2 1 02 2
1 1 1
2 2
/222 2 2
2 2
1
( )
( ) [ (
:
, 2FSK
,
)] ( )
( ) ( ) ( ) ( )
, (
n
n
B
V a
c s n n
Vc s
n
V aV
f V I e
V t a n t n t
VV t n t n f V
T
t e
V
σ
σ
σ σ
σ
− +
−


 
 

 
=  = + +  
= +  =


i
分析計算
設在一個碼元的持續時間 內 發送端產生的 信號
這時兩路包絡檢波器的輸出 其一維概率密度函數分別為
由隨機信號分析可知
( )2 1
1 2 2
1 2
2 2 21 1
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 0 1 12 20 0
1 1
02
) ( )
(0 /1
, ( ).
"1" , ,
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp 2 / 2 nV V
n nc
n
t V V t V
V V
V aV
P P V V f V f V dV dV f V f V dV dV I V a dV
V aV
I
σ
σ σ
σ σ
∞ ∞ ∞
=
<
    = ≤ = = = − −       
=
∫∫ ∫ ∫ ∫
i
的抽樣值 服從廣義瑞利分佈 的抽樣值 服從瑞利分佈 如上式
發送 時 若 則發生判決錯誤
錯誤概率為
2 2 2 2 2 2
1
2 2 2
(2 )/2 2 ( )/21
1 020 0
( )/2 /2 2
00
M
2 1
, , (0 /1) ( )
22
1 1
( ,0) ( )arcum :
"0" "
1, (0 /1)
2 2
1" ,
nV a z t z
n n n
t z z r
V a
e dV t z P e tI zt e dt
Q z tI zt eQ dt P e e
σ
σ σ
∞ ∞
− + − − +
∞
− + − −
 
= = = 
 
= = ∴ = =
∫ ∫
∫
i
並代入上式化簡可得
根據 函數的性質
同理可求得發送 時判為 的
令
錯誤概率
,
其結果 2
1 2
2
2 2
2
2F
1
(1/ 0) ( )
2
1
, whereS .
2
K
2
r
r
e
n
P P V V e
a
P e r z
σ
−
−
= > =
∴ = = =
與上式完全一樣:
信號包絡檢波時系統的總誤碼率為

55. 55
結論結論結論結論:
將同步檢波與包絡檢波時系統的誤碼率公式比較可見:
在大信噪比條件下, 2FSK信號包絡檢波時的系統性能與同步檢測時的性能相差不大, 但同步檢
測法的設備卻複雜得多. 因此, 在滿足信噪比要求的場合, 多採用包絡檢波法.
2
2
2 2
2
2FSK
,
2FS
. .
1
2 2
1
.
2
1
, whereK .
2 2
e
r
e
r
e
n
c f
r
P erfc
P e
r
a
P e r z
π
σ
−
−
 
=   
 
≈
= = =
i
i
系統採用同步檢測時的總誤碼率為
在大信噪比條件下 上式可以近似表示為
系統採用包絡檢波時的總誤碼率為

56. 56
Ex:
採用2FSK方式在等效帶寬為2400 Hz的傳輸信道上傳輸二進制數字. 2FSK信號的頻率分別為f1 = 980
Hz, f2 = 1580 Hz, 碼元速率RB = 300 B. 接收端輸入(即信道輸出端)的信噪比為6 dB. 試求:
(1)2FSK信號的帶寬;
(2)包絡檢波法解調時系統的誤碼率;
(3)同步檢測法解調時系統的誤碼率.
2FSK 2 1(1)2FSK
BPF .
FSK , BPF
2400 Hz 1/ 4, 1
2 1580 980 2 300 1200 Hz.
(2)
2 2 600
/ 4, BPF 4 .
Hz.
6
B
B B
B f f f
B f R
= − + = − + × =
= = =
信號的帶寬為
由於誤碼率取決於 輸出端的信噪比
由於 接收系統中上 下支路 的帶寬近似為
它僅是信道等效帶寬 的 故噪聲功率也減小了 因而 輸出端的信噪比比輸入信噪比提高了 倍
又由於接收端輸入信噪比為
2 8 4
8 52
4dB, 4 , B 4 16
1 1
1.7 10 .
2 2
1 1
(3) 3.39 10 .
2 32
PF
, r
e
r
e
r
P e e
P e e
rπ π
− − −
−
− −
= × =
= = = ×
≈ = = ×
即 倍 故 輸出端的信噪比應為
將此信噪比值代入誤碼率公式 可得包絡檢波法解調時系統的誤碼率
同理可得同步檢測法解調時系統的誤碼率

57. 57
2PSK, 2DPSK系統系統系統系統的抗噪聲性能的抗噪聲性能的抗噪聲性能的抗噪聲性能
1
1
0 1
( ) "1" cos 0
( ) where ( )
( ) ( ) "0" 0 other
( ) "1" "0"
:
2PSK 2DP
( );
( )
SK, .
,
2PSK ,
2DPSK ,
T c B
T T
T T
T
B
T
u t A t t T
s t u t
u t t
s t
s
T
u t
t
ω < < 
= = 
= − 
信號運算式
無論是 信號還是 其運算式的形式完全一樣
在一個碼元的持續時間 內 都可表示為
代表 信號時 上式中 及 是原始數字信息 絕對碼
當 代表 信號時 上式 "1" "0" "1 "0"."中 及 是絕對碼變換成相對碼後的 及

58. 58
2PSK系統系統系統系統的抗噪聲的抗噪聲的抗噪聲的抗噪聲性能性能性能性能: 相干解調相干解調相干解調相干解調法法法法的系統的系統的系統的系統性能性能性能性能
2cos ctω
( )Ts t
( )in t
( )iy t ( )y t ( )x t
eP
Tx channel
bandpass
filter
相乘器
lowpass
filter
定時
脈衝
抽樣
判決器
output
2
1
[ ( )]cos ( )sin , "1"
( )
[ ( )]cos ( )sin , "0"
( ), "1"
( )
( ), "0"
1
:
B
( )
2
( )
PF
,
0 ), (,
c c s c
c c s
n
c
c
c
c
a n t t n t t
y t
a n t t n t t
a n t
x t
a n t
f
x t
x
n t
ω ω
ω ω
π
σ
+ −
= 
− + −
+
= 
− +
=
分析計算
接收端 輸出波形為
經過相干解調後 送入抽樣判決器的輸入波形為
由於 是均值為 方差為 的高斯噪聲 所以 的一維概率密度函數為
( )
2
2
2
0 2
0
1
0
*
( )
exp , "1"
2
1 ( )
( ) exp , "0"
22
1
, "1" "0" , 0.
"1" "0 (0 /1) ( 0) ( )
2
(1/ 0) (
"
, "0" 0" )1"
nn
nn
x a
x a
f x
P P x f x dx erfc r
P P x
b
f
σσ
σπσ
−∞
  −
− 
  

 + = − 
 
= ≤ = =
> =
=
=
∫
由最佳判決門限分析可知 在發送 符號和發送 符號概率相等時 最佳判決門限
發 而錯判為 的概率為
同理 發送 而錯判為 的概率為 ( )
( )
0
1
( )
2
1
(1) (0 /1) (0) (0 /1)
2
1
.
2
2PSK
( 1) ,
e
r
e
x dx erfc r
P P P P P erfc r
r P e
rπ
∞
−



 =

= + =
≈
∫
≫
故 信號相干解調時系統的總誤碼率為
在大信噪比 條件下 上式可近似為

59. 59
cf:
雙極性系統雙極性系統雙極性系統雙極性系統 單極性系統單極性系統單極性系統單極性系統
最佳判決門限電平
等機率時
系統總碼誤率
2
(0)
ln
12 ( )
n
d
P
A
V
P
σ∗
=
2
(0)
ln
(2 1)
n
d
A
A
P
V
P
σ∗
= +
0dV ∗
= / 2dV A∗
=
1
2 2
e
n
A
P erfc
σ
 
=   
 
1
2 22
e
n
A
P erfc
σ
 
=   
 
2PSK-相干系統相干系統相干系統相干系統
( )
2
2
2
(0)
ln
2 (1
2
)
0 ,
1 1
2 22
n
d
n
n
d
e
P
V
a P
V
a
P erfc erfc r
a
r
σ
σ
σ
∗
∗

=


⇒ =

  = =  

=

解調器輸入等機率時 端信噪比

60. 60
2DPSK信號相干解調系統信號相干解調系統信號相干解調系統信號相干解調系統性能性能性能性能
2DPSK的相干解調法, 又稱極性比較-碼反變換法, 其模型如下.
原理是: 對2DPSK信號進行相干解調, 恢復出相對碼序列, 再通過碼反變換器變換為絕對碼序列, 從而恢復出發
送的二進制數字信息. 因此, 碼反變換器輸入端的誤碼率可由2PSK信號採用相干解調時的誤碼率公式來確定. 於
是, 2DPSK信號採用極性比較-碼反變換法的系統誤碼率, 只需在2PSK信號相干解調誤碼率公式基礎上再考慮碼
反變換器對誤碼率的影響即可.
2DPSK ( )e t bandpass
filter
相乘器
cos ( )c tω
lowpass
filter
抽樣
判決器
碼
反變換器
定時
脈衝
output
相對碼
絕對碼
block diagram
各點時間波形圖
1n n nb a b −= ⊕
1n n na b b −= ⊕

61. 61
eP eP′
{ }nb { }na
1 2
2
1 2
, ,
,
, " , 1 "
{ }
{ } 2 2 2
{ }
(1 ) (1 ) (1 ) , (1
e n
e n
n
e e e e e
e n
n
P P P P
P
P P P P
P b
P a
b n n
P P P
′ = + + + +
= − − = − =
′
−
⋯ ⋯
誤碼率
設 為碼反變換器輸入端相對碼序列 的誤碼率 並假設每個碼出錯概率相等且統計獨立
為碼反變換器輸出端絕對碼序列 的誤碼率 由以上分析可得
式中 為碼反變換器輸入端 序列連續出現 個錯碼的概率 它是 個碼元同時出錯 而其兩端都有 個碼元沒錯 這一事件的概率
2 2 2
2 2 2 2 2
2
) (1 ) (1 )
(1 ) (1 ) (1 ) , 2(1 ) ( ) 2(1 ) (1 )
2(1 )
1,
,
,
( )
1
2
1
1
e e e e e
n n n n
n e e e e e e e e e e e e e e e
n
e e e e e e
e
P P P P P
P P P P P P P P P P P P P P P
P P P
P
P P P
P
− = −
′= − − = − = − + + + + = − + + + + +
+ + + + + =
−
= −
+
⇒
<
∴ ′
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯
個碼元中前面碼元出錯且後面碼元沒錯的機率 後面碼元出錯且前面
因為
碼元
誤碼率
代入
沒錯的機
( ) ( ) ( )
121
2D
,
, , 1~ 2
, 1/ 2,
/ 2
.
/ 1
1
2
PSK 1
2
2
.
(1
2PSK
1 , )
e
e e e
e e
e e e e
e
e e e e
P
e
e
P P P
P
P erf
P
P P P P
P er erfc rfc r
P P P PP
r ′
 ′ ≈ ′⇒
′≈ ≈
= ⇒ = −
  
′′ = − =
≈
≪
≪
若 很小 則有
總是大於 也就是說 反變換器總是使誤碼率增加 增加的係數在 之間變化.
若 很大 即 則有
將 相干解
率
相調總誤碼率 可得到代
當 時
干解調加碼反變換
可近似為
率入 器總誤碼
( )2 .eP erfc r=
{ }nb相對碼 { }na絕對碼反碼
變換器
{ }
{ } 100101011
0111001101
n
n
a
b
{ }
{ } 1001011
011100101
××
×
n
n
a
b
{ }
{ } 1001111
01110101
××
××
n
n
a
b
{ }
{ } ××
×××××
010111
0101
⋯
⋯
n
n
a
b
(無誤碼時)
(1個錯碼時)
(連續2個錯碼時)
(連續n個錯碼時)
1n n na b b −= ⊕
2PSK相干
解調系統
2DPSK

62. 62
2DPSK信號差分相干解調系統信號差分相干解調系統信號差分相干解調系統信號差分相干解調系統性能性能性能性能, 相位比較法相位比較法相位比較法相位比較法(非相干解調非相干解調非相干解調非相干解調)
( )Ts t
( )in t
( )iy t
1( )y t
( )x t
eP
2 ( )y t
bandpass
filter
相乘器
lowpass
filter
抽樣
判決器
定時
脈衝
output
Tx channel
delay BT
1 1 1 1
2 2 2 2
1
1 2
:
"1", "1" "0" ,
where ,
( ) ( ) ( )( )
( ) cos ( ) [ ( )]cos ( )sin
( ) cos ( ) [ ( )]cos ( )sin
)(
c c c s c
c c c s c
y t a t n t a n t t n t t
y t a t n
y t y t
a t
t a n t t n t t
n
ω ω ω
ω ω ω
= + = + −
= + = + −



分析計算
假設當前發送的是 且令前一個碼元也是 也可以令其為 則送入相乘器的兩個信號 和 延遲器輸出可表示為
為信號振幅 為疊加在 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
1
( ) {[ ( )][ ( )] ( ) ( )},
2
1
[( )( ) ],
2
, , .
LPF
0, "1",
0, "0",
"1" "0"
c c s s
c c s s
t t t
x
n n n
x t a n t a n t n t n t
x a n a n n n
x
>

≤
= + + +
= + + +
前一碼元上的窄帶高斯噪聲 為疊加在後一碼元上的窄帶高斯噪聲 並且 和 相互獨立
的輸出為
若 則判為 正確接收
經抽樣後的樣值為 按下述判決規則判決
若 則判為 錯誤接收
錯判為
{ }
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1
(0 /1) { 0} { [( )( ) ] 0},
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,
4
(0 /1) [(2 ) ( ) (
:
:
c c s s
c c s s
c c s s c
P P x P a n a n n n
x x y y x x y y x x y y x a n x a n y a n y a n
P P a n n n n n n
= < = + + + <
   + = + + + − − + − = + = + = + = +   
= + + + + − −
的錯誤概率為
利用恒等式 令上式中
{ }2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2
) ( ) ] 0 , (2 ) ( ) , ( ) ( )
(0 /1) { }.
, , 0, .
, , ,
, ,
c s s c c s s c c s s
c c s s n
n n R a n n n n R n n n n
P P R R
n n n n σ
− − < = + + + + = − + −
= <
令
上式可以化簡為
因為 是相互獨立的高斯隨機變數 且均值為 方差相等為
根據高斯隨機變數的代數和仍為高斯隨機變數 且均值為各隨機變數的均值的代數和 方差為各隨機變數方差之和的性質
則 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
0, 2 . , ,, 0, 2c c s sn nc c s sn n n n n n n nσ σ−+ + −是均值 方差為 的高斯隨機變數 同理 都是均值 方差為 的高斯隨機變數.

63. 63
{ }2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1
(0 /1) [(2 ) ( ) ( ) (
,
) ] 0 , (2 ) ( ) , ( ) ( )
(0 /1) { }.
( )
, , :
c c s s c c s s c c s s c c s sP P a n n n n n n n n R a n n n n R n n n n
P P R R
R R
R
f R
= + + + + − − − − < = + + + + = − + −
= <
=
令
上式可以化簡為
由隨機信號分析理論可知 的一維分佈服從廣義瑞利分佈 的一維分佈服從瑞利分佈 其概率密度函數分別為
2 2 2
1
2 2
2
2 2 2
1
2 1
( 4 )/41 1
02 2
1 2
/42
2 2
(2 4 )/41 1
1 2 1 2 2 1 0 12 20 0
2
, (0 /1) { }
( )
2
1
(0 /1) { } ( )
, "0
(
"
)
2 2
n
n
n
R a
n n
R
n
R a r
R R
n n
aR
I e
P P R R
R
f R e
R aR
P P R R f R f R dR dR I e dR e
σ
σ
σ
σ σ
σ
σ σ
− +
−
∞ ∞ ∞
− + −
=
  
  
   = <
 =


  = < = = =     
∫ ∫ ∫
將以上兩式代入
同理 可以求得將 錯判為"1" ,
,
1
2DPSK
1
(1/ 0) (0 /1) .
2
.
2
e
r
r
P e
P P e−
−
= =
=信號差分相干解調系統的總誤碼率為
的概率 即
因此

64. 64
2DPSK信號差分相干解調系統信號差分相干解調系統信號差分相干解調系統信號差分相干解調系統性能性能性能性能, 相位比較法相位比較法相位比較法相位比較法(非相干解調非相干解調非相干解調非相干解調)
2DPSK ( )e t bandpass
filter
相乘器
lowpass
filter
抽樣
判決器
定時
脈衝
output
block diagram
各點時間波形圖
delay BT
1n n nb a b −= ⊕

65. 65
Ex: 假設採用2DPSK方式在微波線路上傳送二進制數字信息. 已知碼元速率RB = 106 B, 信道中AWGN的SSB PSD n0
= 2 × 10-10 W/Hz. 今要求誤碼率不大於10-4. 試求
(1)採用差分相干解調時, 接收機輸入端所需的信號功率;
(2)採用相干解調-碼反變換時, 接收機輸入端所需的信號功率.
6 2 10 6 4
0
4
2
2 2 2 4 3
:
2 2 10 Hz. 2 10 2 10 4 10 W.
1
10 8.52
2
/ 2 ,
(1)
8.52 8
BPF
2DP
.52 4 10 3.4 10 W
SK
(2) -
.
2
2 12DPSK
B n
r
e
n n
e e
sol
B R n B
P e r
a
r a
P P
σ
σ σ
− −
− −
− −
= = × = = × × × = ×
= ≤ ⇒ ≥
= ∴ ≥ = × × = ×
′ ≈ =
∵
接收端 的帶寬為 輸出的噪聲功率為
採用差分相干接收的誤碼率為
接收機輸入端所需的信號功率為
對於相干解調 碼反變換的 系統 4
4 4
2
2 2 2 4 3
( ), 10
1 ( ) 10 ( ) 1 10 0.9999, 2.75, 7.56,
/ 2 , 7.56 7.56 4 10 3.02 10 W.
2
e
n n
erf r P
erf r erf r r r
a
r a σ σ
−
− −
− −
′− ≤
− ≤ ⇒ ≥ − = ≥ ≥
= ∴ ≥ × = × × = ×∵
查誤差函數表得
接收機輸入端所需的信號功率為

66. 66
二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制原理原理原理原理
• 2ASK
• 2FSK
• 2PSK/2DPSK
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲性能性能性能性能
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的性能制系統的性能制系統的性能制系統的性能比較比較比較比較
多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製原理原理原理原理
• MASK
• MFSK
• MPSK/MDPSK
多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲性能性能性能性能

67. 67
相干解調相干解調相干解調相干解調(相乘相乘相乘相乘+LPF) 非相干解調非相干解調非相干解調非相干解調(整流整流整流整流+LPF = 包絡檢波包絡檢波包絡檢波包絡檢波)
mod/demod 精確值 近似值 精確值
2ASK
2FSK
2PSK
2DPSK
1
2 4
e
r
P erfc
 
=   
 
1
2 2
e
r
P erfc
 
=   
 
( )1
2
eP erfc r=
( )eP erfc r=
/41 r
e
rπ
−
≈
/21
2
r
e
rπ
−
≈
1
2
r
e
rπ
−
≈
1 r
e
rπ
−
≈
/41
2
r
eP e−
=
/21
2
r
eP e−
=
1
2
r
eP e−
=
2
2
2
0 0
,
2
2
n
Bn
a
r
n RB n
σ
σ
=
= = ⋅
1. BER

68. 68

69. 69
%Octave code
clear,close,clc all
SNR = -6:1:18;
r = 10.^(SNR/10);
BASK_coh = 0.5*erfc(sqrt(r/4));
BASK_noncoh = 0.5*exp(-r/4);
BFSK_coh = 0.5*erfc(sqrt(r/2));
BFSK_noncoh = 0.5*exp(-r/2);
BPSK_coh = 0.5*erfc(sqrt(r));
BDPSK_coh = erfc(sqrt(r));
BDPSK_noncoh = 0.5*exp(-r);
semilogy(SNR,BASK_coh,'linewidth',2,...
SNR,BASK_noncoh,'linewidth',2,...
SNR,BFSK_coh,'linewidth',2,...
SNR,BFSK_noncoh,'linewidth',2,...
SNR,BPSK_coh,'linewidth',2,...
SNR,BDPSK_coh,'linewidth',2,...
SNR,BDPSK_noncoh,'linewidth',2);
axis([-6 18 10^-7 10^0]);
grid on
xlabel('SNR [dB]','fontsize',12)
ylabel('BER','fontsize',12)
title('ASK FSK PSK Pe','fontsize',12)
legend('BASK-coh','BASK-noncoh',...
'BFSK-coh','BFSK-noncoh','BPSK-coh','BDPSK-coh','BDPSK-noncoh');
set(gca,'fontsize',12);

70. 70
2. 頻帶寬度頻帶寬度頻帶寬度頻帶寬度
2ASK系統和2PSK(2DPSK)系統的頻帶寬度
2FSK系統的頻帶寬度
3. 對對對對信道特性變化的敏感性信道特性變化的敏感性信道特性變化的敏感性信道特性變化的敏感性
在2FSK系統中, 判決器是根據上下兩個支路解調輸出樣值的大小來作出判決, 不需要人為地設置
判決門限, 因而對信道的變化不敏感, 適合於隨參信道.
在2PSK系統中, 判決器的最佳判決門限為零, 與接收機輸入信號的幅度無關. 因此, 接收機總能保
持工作在最佳判決門限狀態.
對於2ASK系統, 判決器的最佳判決門限與接收機輸入信號的幅度有關, 對信道特性變化敏感, 性
能最差.
2ASK 2PSK
2
B
B B
T
= =
2FSK 2 1
2
B
B f f
T
= − +

71. 71
二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制原理原理原理原理
• 2ASK
• 2FSK
• 2PSK/2DPSK
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲性能性能性能性能
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的性能制系統的性能制系統的性能制系統的性能比較比較比較比較
多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製原理原理原理原理
• MASK
• MFSK
• MPSK/MDPSK
多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲性能性能性能性能

72. 72
多進制數多進制數多進制數多進制數字字字字調製原理調製原理調製原理調製原理
2進制: 每個 symbol 只攜帶 1 bit 信息
M log2M bit
Rb = bit rate = bps = [bit/sec]
RB = symbol rate
= #symbol/sec = [Baud]
Baud
Hz
bit
s Hz
B
b
b
R
B
R
B
η
η
 
=   
 
=  ⋅ 
2logb BR R M=
Rb 固定, 增加進制數M↑, 可降低RB↓
減少信號BW, 節省頻率資源
RB 固定, 增加進制數M↑, 可增大Rb↑
在相同BW內傳輸更多bit, ηb↑
目的: 就是為了提高信道的頻帶利用率!!
代價:
• BER↑(判決範圍減小), 系統複雜
• 若要保證一定的BER, SNR↑, 發射功率增大, 耗能…
0
0 0
0
2
2 2
, .
:
SSB PSD :
, , bit log .
bit
/ 2 ,
, bit
/ .
/
n
b
b
r a
r E n
E E r
n k
r
E n
M E k M
E
n
k
E E k
σ=
= =
⇒ =
⇒
=
i
i
i
i
為了提高頻帶利用率 最有效的辦法是使一個碼元傳輸多個比特的信息
各種鍵控體制的誤碼率都決定於信噪比
還可以改寫為碼元能量 和噪聲 之比
設多進制碼元的進制數為 碼元能量為 一個碼元中包含信息
若碼元能量 平均分配給每個 則每個 的能量 等於
, .
.b
bM
r
k
r∴
=
i 在研究不同 值下的錯誤率時 適合用 為單位來比較不同體制的性能優劣

73. 73
MASK
多進制振幅鍵控又稱多電平調製
優點: MASK信號的帶寬和2ASK信號的帶寬相同, 故單位頻帶的信息傳輸速率高, 即頻帶利用率高.
(b) MASK信號
(a) 基帶多電平單單單單極性極性極性極性NRZ信號
0
01 0110 10 101111
00 00
t
0
t
01 01
10 10 10
1111
00
01 01
10 10 10
1111
00 00
0
t
(c) 基帶多電平雙雙雙雙極性極性極性極性NRZ信號
00 00
0
t
01 0110 10 10
1111
(d) 抑制載波MASK信號

74. 74
(a) 4FSK信號波形
f3f1 f2 f4
TT T T
t
f1 f2 f3 f4
00 01 10 11
(b) 4FSK信號的取值
MFSK
V1(t)
抽樣
判決
帶通濾波
f
1
包絡檢波
帶通濾波
f
M
包絡檢波
輸入
輸出
VM(t)
定時脈衝
帶通濾波
f
2
包絡檢波
⋅
.
.
⋅
.
.
⋅
.
.
⋅
.
.
MFSK非相干解調器的原理方框圖
MFSK信號的帶寬:
B = fM - f1 + ∆f
where
f1 － 最低載頻
fM － 最高載頻
∆f － 單個碼元的帶寬

75. 75
MPSK
0( ) cos( ) 1,2
:
MP , ,
2
( 1), 1,2, , 2 ,
SK
:
k k
k
kA
e t A t k M
k k M M k
M
ω θ
π
θ
= + =
= − = = ∈
⋯
⋯ ℕ
基本原理
一個 信號碼元可以表示為
常數,
• 當k = 3時, θk取值的為例.
• 圖中示出當發送信號的相位為θ1 = 0時, 能夠正確接收的相位範圍在±π/8內.
• 對於多進制PSK信號, 不能簡單地採用一個相干載波進行相干解調. 若用cos2πf0t作為相干載波時, 因為cosθk
= cos(2π-θk), 使解調存在模糊. 這時需要用兩個正交的相干載波解調.
8PSK信號相位
• 可以將MPSK信號碼元表示式展開寫成
• 上式表明, MPSK信號碼元sk(t)可以看作是由正弦和余
弦兩個正交分量合成的信號, 並且ak
2 + bk
2 = 1. 因此,
其帶寬和MASK信號的帶寬相同.
0 0 0( ) cos( ) cos sin
cos , sin
k k k k
k k k k
e t t a t b t
a b
ω θ ω ω
θ θ
= + = −
= =

76. 76
QPSK
4PSK信號每個碼元含有2 比特的信息, 現用ab代表這兩個比特.
兩個比特有4種組合, 即00、01、10和11. 它們和相位θk之間的關係通常都按Gray碼的規律安排, 如下表.
Gray碼的好處在於相鄰相位所代表的兩個比特只有一位不同. 由於因相位誤差造成錯判至相鄰相位上的概
率最大, 故這樣編碼使總比特誤碼率降低.
a b θk
0 0 90°
0 1 0°
1 1 270°
1 0 180°
01
00
10
11
參考相位
QPSK信號的向量圖
QPSK信號的信號的信號的信號的編碼編碼編碼編碼(A方式方式方式方式)
a b θk
0 0 225°
0 1 135°
1 1 45°
1 0 315°
QPSK信號的信號的信號的信號的編碼編碼編碼編碼(B方式方式方式方式)
00
10
11
01

77. 77
序號 格雷碼 二進碼
0 0 0 0 0 0000
1 0 0 0 1 0001
2 0 0 1 1 0010
3 0 0 1 0 0011
4 0 1 1 0 0100
5 0 1 1 1 0101
6 0 1 0 1 0110
7 0 1 0 0 0111
8 1 1 0 0 1000
9 1 1 0 1 1001
10 1 1 1 1 1010
11 1 1 1 0 1011
12 1 0 1 0 1100
13 1 0 1 1 1101
14 1 0 0 1 1110
15 1 0 0 0 1111
Gray碼碼碼碼編碼規則編碼規則編碼規則編碼規則
Gray碼又稱反射碼

78. 78
碼元相位關係碼元相位關係碼元相位關係碼元相位關係
θk稱為初始相位, 常簡稱為相位, 而把(ω0t + θk)稱為信號的暫態相位.
當碼元中包含整數個載波週期時, 初始相位相同的相鄰碼元的波形和暫態相位才是連續的, 如下圖:
若每個碼元中的載波週期數不是整數, 則即使初始相位相同, 波形和暫態相位也可能不連續.
或者波形連續而相位不連續.
在碼元邊界, 當相位不連續時, 信號的頻譜將展寬, 包絡也將出現起伏.
在後面討論各種調製體制時, 還將遇到這個問題. 並且有時將碼元中包含整數個載波週期的假設隱含不提,
認為PSK信號的初始相位相同, 則碼元邊界的暫態相位一定連續.

79. 79
QPSK modulation: 相乘相乘相乘相乘電路法電路法電路法電路法
-sinω0t
相干載
波產生
相乘
電路
相乘
電路
π/2
相移
串/並
變換
相加
電路
cosω0t
s(t) e(t)
a
b
0 1 2 3 4 5
(a) 輸入基帶碼元 t
0 2 4
(b) 並行支路a碼元 t
1 3 5
(c) 並行支路b碼元 t
碼元串/並變換
QPSK信號產生方法
0 0 0( ) cos( ) cos sin
cos , sin
k k k k
k k k k
e t t a t b t
a b
ω θ ω ω
θ θ
= + = −
= =

80. 80
01
11
00 10
a(1)a(0)
b(1)
b(0)
QPSK向量的產生
二進制信號碼元”0”和”1”在相乘電路中與NRZ雙極性矩形脈衝振幅的關
係如下:
二進制碼元”1” → 雙極性脈衝”+1”;
二進制碼元”0” → 雙極性脈衝”-1”.
相位跳變相位跳變相位跳變相位跳變: 0°°°°, ±±±± 90°°°°, ±±±± 180°°°°
跳跳跳跳變週期變週期變週期變週期 2Tb
帶寬帶寬帶寬帶寬 B = Rb
QPSK

81. 81
QPSK modulation: 選擇選擇選擇選擇法法法法
串/並
變換
相位
選擇
帶通
濾波
4相載波
產生器
θ1 θ4θ3θ2
a
b
選擇法產生QPSK信號
s(t) e(t)

82. 82
載波
提取
相乘 低通 抽判
π/2
相乘 低通 抽判
並/串
s(t)e(t)
a
b
cosω0t
-sinω0t
定時
提取
QPSK信號解調原理方框圖
QPSK demodulation
用兩路正交的相干載波去解調, 可以很容易地分離這兩路正交的2PSK信號.
相干解調後的兩路並行碼元a和b, 經過並/串變換後, 成為串列資料輸出.
存在問題存在問題存在問題存在問題: 存在900的相位模糊
解決方案解決方案解決方案解決方案: 採用QDPSK.

83. 83
2PSK存在問題：：：：
Differential PSK
載波相位模糊
倒π現象
(反相工作)
解決方案：：：： DPSK
複習: 載波恢復存在π相位模糊!!
Review…

84. 84
OQPSK
QPSK體制的缺點: 它的相鄰碼元最大相位差達到180°, 這在頻帶受限的系統中會引起信號包絡的很大起伏.
OQPSK的改進: 為了減小此相位突變, 將兩個正交分量的兩個比特a和b在時間上錯開半個碼元, 使之不可能
同時改變. 這樣安排後相鄰碼元相位差的最大值僅為90°(見下表), 從而減小了信號振幅的起伏.
a b θk
0 0 90°
0 1 0°
1 1 270°
1 0 180°
OQPSK和QPSK的唯一區別在於:
• 對於OQPSK, 上表中的兩個比特a和b的持
續時間原則上可以不同;
• 而對於QPSK, a和b的持續時間必須相同.
( )e t
( )e t
a b θk
0 0 225°
0 1 135°
1 1 45°
1 0 315°

85. 85
OQPSK

86. 86
QPSK 與 Offset-QPSK 對比對比對比對比：：：：
最大相位跳變最大相位跳變最大相位跳變最大相位跳變180°°°°
——包絡起伏包絡起伏包絡起伏包絡起伏大大大大→ISI
——頻譜擴展頻譜擴展頻譜擴展頻譜擴展大大大大
相位跳變週期相位跳變週期相位跳變週期相位跳變週期 2Tb
最大相位跳變最大相位跳變最大相位跳變最大相位跳變90°°°°
——包絡起伏包絡起伏包絡起伏包絡起伏小小小小
——頻譜擴展頻譜擴展頻譜擴展頻譜擴展小小小小
相位跳變週期相位跳變週期相位跳變週期相位跳變週期 Tb
影響影響影響影響
主瓣主瓣主瓣主瓣
頻寬頻寬頻寬頻寬
2=
最大值
最小值
→ ∞
最大值
最小值
QPSK
缺點
OQPSK
改進
0( ) cos( )k ke t tω θ= + a b θk
0 0 90°
0 1 0°
1 1 270°
1 0 180°
信號點不作對角線移動
即雙比特ab不同時跳變

87. 87
由兩個相差π/4的QPSK星座圖交替產生：
A方式: 0°, ±90°, ±180°
B方式: ±45°, ±135°
可能相位跳變: ± 45°, ± 135°
A組只能往B組跳
優勢
相鄰碼元總有相位跳變 有利於同步
Multi-path fading時π/4-QPSK 優於OQPSK
原理和特點原理和特點原理和特點原理和特點：：：：
ππππ/4 - QPSK
• 當前碼元的相位相對於前一碼元的相位改變±45°或±135°. 例如, 若連續輸入“11 11 11 11…”, 則
信號碼元相位為“45° 90° 45° 90° …”
• 優點: 這種體制中相鄰碼元間總有相位改變、最大相移為±135°, 比QPSK的最大相移小.

88. 88
MDPSK
MDPSK信號和MPSK信號類似, 只需把MPSK信號用的參考相位當作是前一碼元的相位, 把相移θk
當作是相對於前一碼元相位的相移.
這裡仍以4進制DPSK信號為例作進一步的討論. 4進制DPSK通常記為QDPSK.
QDPSK信號編碼方式:
a b
∆θk
A方式 B方式
0 0 90° 225°
0 1 0° 135°
1 1 270° 45°
1 0 180° 315°

89. 89
波形波形波形波形
180 – 0 = 180
180 → 11
QPSK找11波形
270 – 180 = 90
90 → 10
QPSK找10波形
90 – 270 = -180
180 → 11
QPSK找11波形
0 – 90 = -90
270 → 01
QPSK找01波形
assume:

90. 90
產生產生產生產生方法方法方法方法: 第第第第一種一種一種一種方法方法方法方法
a
b
c
d
碼
變換
相加
電路
QDPSK
(A方式)
第一種QDPSK信號產生方法
s(t) 串/並
變換
-π/4
載波
產生
相乘
電路
相乘
電路
π/4
圖中a和b為經過串/並變換後的一對碼元, 它需要再經過碼變換器變換成相對碼c和d後才與載波相乘.
c 和d 對載波的相乘實際是完成絕對相移鍵控.

91. 91
當前輸入的一對碼元及
要求的相對相移
前一時刻經過碼變換後的
一對碼元及所產生的相位
當前時刻應當給出的
變換後一對碼元和相位
ak bk ∆θk ck-1 dk-1 θk-1 ck dk θk
0 0 90°°°° 0 0
0 1
1 1
1 0
90°
0°
270°
180°°°°
0 0
0 1
1 1
1 0
180°
90°
0°
270°°°°
0 1 0° 0 0
0 1
1 1
1 0
90°
0°
270°
180°
0 1
0 0
1 0
1 1
90°
0°
270°
180°
1 1 270° 0 0
0 1
1 1
1 0
90°
0°
270°
180°
1 1
1 0
0 0
0 1
0°
270°
180°
90°
1 0 180° 0 0
0 1
1 1
1 0
90°
0°
270°
180°
1 0
1 1
0 1
0 0
270°
180°
90°
0°
碼變換器碼變換器碼變換器碼變換器: 輸入輸入輸入輸入ab和輸出和輸出和輸出和輸出cd間的間的間的間的16種可能關係種可能關係種可能關係種可能關係(A方式方式方式方式):

92. 92
碼變換器的電路碼變換器的電路碼變換器的電路碼變換器的電路
唯讀
存儲器
T
T
•
•
ak
bk
ck
dk
dk-1ck-1
碼變換器
二進制碼元”0” 和”1”與相乘電路輸入電壓關係:
二進制碼元”0” → “+1”
二進制碼元”1” → “-1”

93. 93
串/並
變換
相位
選擇
帶通
濾波
4相載波
產生器
θ1 θ4θ3θ2
a
b
選擇法產生QDPSK信號
產生產生產生產生方法方法方法方法: 第第第第二二二二種方法種方法種方法種方法
唯讀
存儲器
T
T
•
•
ak
bk
ck
dk
dk-1ck-1
碼變換器

94. 94
QDPSK解調解調解調解調方法方法方法方法: 有極性比較法和有極性比較法和有極性比較法和有極性比較法和相位比較法相位比較法相位比較法相位比較法兩兩兩兩種種種種
極性比較法極性比較法極性比較法極性比較法:
A方式QDPSK信號解調方法
b
a
c
d
s(t)
-π/4
相乘
電路
相乘
電路
+π/4
e(t)
低通
濾波
低通
濾波
抽樣
判決
抽樣
判決
並/串
變換
逆碼
變換
定時
提取
載波
提取

95. 95
0
0
0
0 0 0
0 0
( ) cos( ), ( 1)
cos( )
4
cos( )
4
1 1
cos( )cos( ) cos 2 ( ) cos( )
4 2 4 2 4
1
cos( )cos( )
4 2
k k
k k k
k
e t t kT t k T
t
t
t t t
t t
k ω θ
π
ω
π
ω
π π π
ω θ ω ω θ θ
π
ω θ ω




= + < ≤ +
+
−
 
+ + = + + + − 


+ − =
相干解調過程:
設第 個接收信號碼元可以表示為
上支路:
相干載波:
下支路:
上支路:
信號和載波相乘:
下支路: 0
1
cos 2 ( ) cos( )
4 2 4
1
cos( )
2 4
1
cos(
, , , .
:
"0" " 1" " " "0
)
2 4
"
"1" " 1" " " "1"
k k
k
k
k
t
π π
ω θ θ
π
θ
π
θ
θ
 
+ − + +  
−
+











→ + + →
→ − − →
⇒
上支路:
低通濾波後:
下支路:
判決規則:
按照 的取值不同 此電壓可能為正 也可能為負 故是雙極性電壓
在編碼時曾經規定
二進制碼元 二進制碼元
二進制碼元 二進制碼元
A方式QDPSK信號解調方法
b
a
c
d
s(t)
+π/4
相乘
電路
相乘
電路
-π/4
e(t)
低通
濾波
低通
濾波
抽樣
判決
抽樣
判決
並/串
變換
逆碼
變換
定時
提取
載波
提取

96. 96
逆碼變換逆碼變換逆碼變換逆碼變換器器器器
設逆碼變換器的當前輸入碼元為ck和dk, 當前輸出碼元為ak和bk, 前一輸入碼元為ck-1和dk-1.
為了正確地進行逆碼變換, 這些碼元之間的關係應該符合碼變換時的規則. 為此, 現在把碼變換表
中的各行按ck-1和dk-1的組合為序重新排列, 構成下表.
前一時刻輸入的一對碼元 當前時刻輸入的一對碼元
當前時刻應當給出的逆
變換後的一對碼元
ck-1 dk-1 ck dk ak bk
0 0 0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0 1 0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1 1 0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1 0 0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0

97. 97
1
1 1
1
1
1 1
1
(1) 0,
(2) 1
:
,
k k k
k k
k k k
k k k
k k
k k k
a c c
c d
b d d
a d d
c d
b c c
−
− −
−
−
− −
−
= ⊕
⊕ = 
= ⊕
= ⊕
⊕ = 
= ⊕
表中的碼元關係可以分為兩類
當 有
當 有
上兩式表明, 按照前一時刻碼元ck-1和dk-1之間的關係不同, 逆碼變換的規則也不同, 並且可以從中畫出逆碼變
換器的原理方框圖如下
dk-1
ck-1
＋＋＋＋
延遲T
＋＋＋＋
延遲T
＋＋＋＋
交
叉
直
通
電
路
逆碼變換器原理方框圖
dk
ck
bk
ak
dk-1
ck-1
圖中將ck和ck-1以及dk和dk-1分別作模2加法運算, 運算結果送到交叉
直通電路.
另一方面, 將延遲一個碼元後的ck-1和dk-1也作模2加法運算, 並將運
算結果去控制交叉直通電路;
若ck-1⊕dk-1 = 0, 則將ck⊕ck-1結果直接作為ak輸出;
若ck-1⊕dk-1 = 1, 則將ck⊕ck-1結果作為bk輸出.
對於dk⊕dk-1的結果也作類似處理.
這樣就能得到正確的並行絕對碼輸出ak和bk. 它們經過並/串變換後
就變成為串列碼輸出.

98. 98
QDPSK解調解調解調解調方法方法方法方法: 有有有有極性比較法極性比較法極性比較法極性比較法和相位比較法兩和相位比較法兩和相位比較法兩和相位比較法兩種種種種
相位比較法相位比較法相位比較法相位比較法:
s(t)
-π/4
相乘
電路
相乘
電路
π/4
e(t)
低通
濾波
低通
濾波
抽樣
判決
抽樣
判決
並/串
變換
定時
提取
延遲
T
由此原理圖可見, 它和2DPSK信號相位比較法解調的原理基本一樣, 只是由於現在的接收信號
包含正交的兩路已調載波, 故需用兩個支路差分相干解調.

99. 99
二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制二進制數字調制原理原理原理原理
• 2ASK
• 2FSK
• 2PSK/2DPSK
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲制系統的抗噪聲性能性能性能性能
二進制二進制二進制二進制數字調數字調數字調數字調制系統的性能制系統的性能制系統的性能制系統的性能比較比較比較比較
多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製多進制數字調製原理原理原理原理
• MASK
• MFSK
• MPSK/MDPSK
多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲多進制數字調製系統的抗噪聲性能性能性能性能

100. 100
clear all
clc
M = 4;
data = randi([0 M-1],1000,1); %sample interval[0,M-1], 1000*1 matrix
txSig = pskmod(data,M,pi/M); %pi/M is initial phase
rxSig = awgn(txSig,20);
scatterplot(rxSig)

101. 101
clear all
clc
M = 16;
data = randi([0 M-1],1000,1); %sample interval[0,M-1], 1000*1 matrix
txSig = pskmod(data,M,pi/M); %pi/M is initial phase
rxSig = awgn(txSig,20);
scatterplot(rxSig)

102. 102
Binary to Gray Mapping for Bits
Binary Code Gray Code
000 000
001 001
010 011
011 010
100 110
101 111
110 101
111 100
Gray to Binary Mapping for Integers
Binary Code Gray Code
0 0
1 1
2 3
3 2
4 6
5 7
6 5
7 4
• Gray coding is a technique that multilevel modulation schemes often use to minimize the bit error rate.
• It consists of ordering modulation symbols so that the binary representations of adjacent symbols differ by
only one bit.
https://www.mathworks.com/help/comm/ug/gray-coded-8-psk.html
https://www.mathworks.com/help/comm/ug/digital-modulation.html

103. 103
• Biterr
• 功能: 誤比特數, 誤比特率計算.
• 語法: [number,ratio]=biterr(x,y);
• [number,ratio]=biterr(x,y,k);
• [number,ratio]=biterr(x,y,k,'column-wise');
• 指定x、y中每個元素用k位二進制數字表示; ‘column-wise’指定按行(col)比較.
Error Analysis in MATLAB
Ex: x=[1,2,3], y=[1,2,2]
[number1,ratio1]=biterr(x,y,3), 則x、y中每個元素用3位二進制數字表示,
number1=1,ratio1=1/(3*3)=1/9.
[number2,ratio2]=biterr(x,y,2), 則x、y中每個元素用2位二進制數字表示,
number2=1,ratio1=1/(3*2)=1/6.

104. 104
http://savannah.gnu.org/bugs/?45497
• rectpulse
• 功能: Rectangular pulse shaping.
• 語法: y = rectpulse(x,nsamp);
• y = rectpulse(x,nsamp) applies rectangular pulse shaping to x to produce an output signal having nsamp samples
per symbol.
• Rectangular pulse shaping means that each symbol from x is repeated nsamp times to form the output y. If x is a
matrix with multiple rows, the function treats each column as a channel and processes the columns independently.
%matlab code
nsamp=4; % # of samples per symbol
nsymb=3; % # of symbols
ch1=randi([0 1],nsymb,1); % Random binary channel
ch2=[1:nsymb]';
x=[ch1 ch2]; % Two-channel signal
y=rectpulse(x,nsamp);
Octave missing function 要自己寫要自己寫要自己寫要自己寫

105. 105
• intdump
• 功能: Integrate and dump.
• 語法: y = intdump(x,nsamp);
• y = intdump(x,nsamp) integrates the signal x for one symbol period, then outputs the averaged one value into Y.
• nsamp is the # of samples per symbol. For 2-dimensional signals, the function treats each column as one channel.
Octave missing function 要自己寫要自己寫要自己寫要自己寫
%octave code
clear,clc,close all
function [DATA]=intdump(IN,num)
outidx=1;
for z=1:num:length(IN)
DATA(outidx)=sum(IN(z:z+num-1))/num;
outidx=outidx+1;
end
% return DATA
end
nsamp=4;
x=randi([0,5],1,5)
x_rect=x(ones(nsamp,1),:)(:).'
x_intdump=intdump(x_rect,nsamp)
注意!!
• transpose, .'
• 功能: Transpose vector or matrix.
• 語法: B = A.' or B=transpose(A);

106. 106
Es/No 與與與與Eb/No的關係的關係的關係的關係

107. 107
Jakes模型來產生單徑的平坦模型來產生單徑的平坦模型來產生單徑的平坦模型來產生單徑的平坦型型型型Rayleigh衰落衰落衰落衰落信道信道信道信道
https://github.com/oklachumi/octave-in-communications

108. 108
QPSK in AWGN channel octave code
https://gist.github.com/oklachumi/884d36cfd0ef07a6a703b4a2e7bc30d4

109. 109
QPSK in AWGN + Rayleigh fading channel octave code
https://github.com/oklachumi/octave-in-communications

110. 110
QPSK in AWGN + Rayleigh fading channel octave code
QPSK Rayleigh BER AWGN channel BER, Rayleigh .
:
1. pilot , , .
2. DQPSK, MFSK... .
≫經過 衰落 在此情況下如果不對 信道進行補償是無法通信的
補償方法
發送已知的 信號對信道進行估計 利用估計的信道值對接收信號進行校正 然後解調
採用其他調製方式 這些對信道衰落所引起的相位變化不敏感

111. 111
t
0
+d
-d
+3d
-3d
+(M-1)d
-(M-1)d
2d
2d
MASK系統的抗噪聲性能系統的抗噪聲性能系統的抗噪聲性能系統的抗噪聲性能
0
0
0
0
0
0
0 0
cos2
3 cos2 3
Tx : ( )
( 1) cos2 ( 1)
cos2 ( )
3 cos2 ( ) 3
Rx : ( )
( 1) cos2 ( ) ( 1)
where ( ) ( )cos2 ( )sin 2c s
d f t d
d f t d
s t
M d f t M d
d f t n t d
d f t n t d
s t
M d f t n t M d
n t n t f t n t f t
π
π
π
π
π
π
π π
± ±
± ±
= 

± − ± −
± + ±
± + ±
= 

± − + ± −
= −
⋯ ⋯
⋯ ⋯
• 對於抑制載波MASK信號, 判決電平應該選擇在0、±2d、…、±(M-2)d. 當噪聲抽樣值|nc|超過d時, 會發生錯誤判決.
• 例外, 這就是對於信號電平等於±(M-1)d的情況. 當信號電平等於+(M-1)d時, 若nc > +d, 不會發生錯判;
• 同理, 當信號電平等於-(M-1)d時, 若nc < - d, 也不會發生錯判.
• 所以, 當抑制載波MASK信號以等概率發送時, 即每個電平的發送概率等於1/M時, 平均誤碼率等於
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
/2
/2
2 2 1 1 2
1 ,
2 2
1 2 1 2
1 1 , where ( )
2 2
n
n
x
e c c c c d
n
x z
e d x
n n
M
P P n d P n d P n d P n d e dx
M M M
d
P e dx erfc erfc x e dz
M M
σ
σ
πσ
πσ σ π
∞
−
∞ ∞
− −
−  
= > + ⋅ > = − > > = 
 
    
= − = − =           
∫
∫ ∫

112. 112
誤碼率和信噪比的關係誤碼率和信噪比的關係誤碼率和信噪比的關係誤碼率和信噪比的關係
為了找到誤碼率Pe和接收信噪比r 的關係, 將上式作進一步的推導. 首先來求信號平均功率. 對於等概率的抑制
載波MASK信號, 其平均功率等於
[ ]
2/2
2 2 2
2
1
2 2 2
62 1
(2 1) / 2
6 1
1 3 1 3
: 1 1 ,
1 1
1
2, : ( ), 2PSK
2
M
s
s
i
s
e e
n
e
PM
P d i d d
M M
P
P erfc P erfc r r SNR
M M M M
M P erfc r
σ
=
−
= − = ⇒ =
−
      
= − ⋅ ⇒ = − =         − −      
= =
∑
帶入碼誤率公式
退化成 同 碼誤率.

113. 113
MFSK系統的抗噪聲系統的抗噪聲系統的抗噪聲系統的抗噪聲性能性能性能性能: 1. 非非非非相干解調時的誤碼相干解調時的誤碼相干解調時的誤碼相干解調時的誤碼率率率率
2 2 2
1
/2 /2
2
Rayleigh
( ) [1 ( )]
( ) Rayl
1. , , .
2.
eigh ( )
,
1
, n
M
N h
n
M P h
N
P h e dN
h
h e
M
M
P h σ
σ
−
− −
+
−−
= =
假設:
當某個碼元輸入時 個帶通濾波器的輸出中僅有一個是信號 噪聲 其他各路都只有噪聲
路帶通濾波器中的噪聲是互相獨立的窄帶高斯噪聲 其包絡服從 分佈.
故這 路噪聲的包絡都不超過某個門限電平 的概率等於
是一路濾波器的輸出噪聲包絡超過此門限 的概率 由 分佈等於
2
2 2
2
1
1
/21 1
:
( ) [1 ( )]
1
( ) 1 [1 ( )] 1 1 ( 1
:
3. 1 ,
4. ,
)
n
n
h
n
M
M
hM n
e
P h
M
P h P h e
n
N
M h
σ
σ
σ
∞
−
−
−− −
−
−  = − − = − − = −   
−
∫
濾波器輸出噪聲的包絡, 濾波器輸出噪聲的功率.
假設這 路噪聲都不超過此門限電平 就不會發生錯誤判決 的概率就是不發生錯判的概率.
有任意一路或一路以上噪聲輸出的包絡超過此門限就將發生錯誤判決 此錯判的概率將等於
2 2
1
/2
1
,n
M
nh
n
e hσ
−
−
=


∑ 和門限值 有關.

114. 114
( )2 2 2
02 2 2
: :
Rayleigh
1
( ) exp , 0,
. , .
,
2
n
n n n
e
x Ax
p x I x x A
x x h
A x
P
σ
σ σ σ
   
= − + ≥   
   
有信號碼元輸出的帶通濾波器的輸出電壓包絡服從廣義 分佈
輸出信號和噪聲之和的包絡, 輸出信號碼元振幅, 輸出噪聲功率.
其他路中任何路的輸出電壓值超過了有信號這路的輸出電壓值 就將發生錯判 因此 這裡的輸出信號和噪聲之和 就是上面的門限值
因此 發生錯誤判決的概率是
2
2 2 2 2 2
2 2
0
1 1
2 (1 ) /2 /2( 1)1 1
02 20
1 1
/4
( ) ( )
1 1 1
( 1) ( 1)
1
1
2
, , , 1
n n n
n
e
A
M M
n h nA nn n
e
n nn n
A
e
p h P h dh
M Mh Ah
P e I e dh e
n n n
M
P e P
σ σ σ
σ
σ σ
∞
− −− ∞
− + − +− −
= =
−
=
− −    
⇒ = − = −    
+    
−
≤ ⇒
∫
∑ ∑∫
上式是一個正負項交替的多項式 求和時隨著項數增加 其值起伏振盪 但是可以證明它的第 項是它的上界
2
0
2 2
/2
2
0
/4
ln2
/2
2log ,
1
2
/ ( ) /
1
/ ,
1 / 2, , ,
1
exp( / 2)
2 2
( ) exp( / 2)
2
1
2
n
E
e
b
A
e e b
e b
r
k
M k M E k
M
e
r E k r k
M M
P e P kr
P M k
M
e
rM
M e
M
σ
σ
σ
−
−−−
≤
=
=
= =
− −
⇒ ≤ ⇒ ≤ −
< −
= =
−
−
一個 進制碼元含有 比特信息 所以每比特佔有的能量等於 這表示每比特的信噪比
在上式中若用 代替 不等式右端的值將增大 但是此不等式仍然成立 所以有 比較弱的上界
, , 0,
2ln 2 1.39 1.42 dB
exp ln 2
2
ln 2 0, 2ln 2
2
MFSK , . , ,
,
.
,
k
b
e
b
e b
b
k
k
k
r
P k
r
P
r
k
r
  
< − −  

→ ∞
 
−
=
>
=
>由上式可以看出當 時 按指數規律趨近於 但要保證
只要保證比特信噪比 大於 則
對於 體制而言 就是以增大佔用帶寬換取誤碼率的降低 但是 隨著 的增大 設備的複雜程度也按指數規律增大
不斷增大 就能得
即
到任意小的誤碼
所以 的增大是
率
受到實際應用條件的限制的.

115. 115
碼元錯誤率碼元錯誤率碼元錯誤率碼元錯誤率Pe和比特錯誤率和比特錯誤率和比特錯誤率和比特錯誤率Pb之間的之間的之間的之間的關係關係關係關係
假定當一個M進制碼元發生錯誤時, 將隨機地錯成其他(M-1)個碼元之一. 由於M 進制信號共有M種不同的
碼元, 每個碼元中含有k個比特, M = 2k. 所以, 在一個碼元中的任一給定比特的位置上, 出現”1”和”0”的碼元
各占一半, 即出現信息” 1”的碼元有M/2種, 出現信息”0”的碼元有M/2種.
例: 圖中, M=8, k=3, 在任一行中均有4個”0”和4個”1”. 所以若一個碼元錯成另一個碼元時, 在給定的比特位
置上發生錯誤的概率只有4/7.
碼元 比特
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
一般而言, 在一個給定的碼元中, 任一比特位置上的信息和其他(2k-1 – 1)種碼元
在同一位置上的信息相同, 和其他2k-1種碼元在同一位置上的信息則不同. 所以,
比特錯誤率Pb和碼元錯誤率Pe之間的關係為
1
2
, / 2
2 1 2[1 (1/ 2 )]
k
e
b e b ek k
P
P P P Pk
−
= = ≈
−
⇒
−
當 很大時

116. 116
Non-coherent demodulation Coherent demodulation
比較相干和非相干解調的誤碼率:
由曲線圖可見, 當k > 7時, 兩者的區別可以忽略. 這時相干和非相干解調誤碼率的上界都可以用下式表示
MFSK
2 2
/41
2
nA
e
M
P e σ−−
≤

117. 117
MFSK系統的抗噪聲系統的抗噪聲系統的抗噪聲系統的抗噪聲性能性能性能性能: 2. 相干相干相干相干解調時的誤碼解調時的誤碼解調時的誤碼解調時的誤碼率率率率
2 2
1
2
/2 /21 1
, MFSK
1
2 2
( 1) ( )
,
M
A r
A u
e
e
P e e du dA
P M erfc r
π π
−
∞ +
− −
−∞ −∞
 
= −  
 
≤ −
∫ ∫
上式較難作數值計算 為了估計相干解調時 信號的誤碼率 可以採用下式給出的誤碼率上界公式

118. 118
MPSK系統的抗噪聲性能系統的抗噪聲性能系統的抗噪聲性能系統的抗噪聲性能
01
11
00
10
90°
0°
/2
0
0 0 0
( ) ( )
1 ( )
( ) cos( ) cos sin where cos ,
: ,
:
QPSK 4
sin
15
2PSK , ,
/ 2
1/ 2
e
k k k k k k k k
k k k
f
P f d
s t t a t b t a b
a b
π
θ
θ θ
ω θ ω ω θ θ
θ
= −
= + = − =
= °
=
= =
∫
誤碼率 設 為接收向量包括信號和噪聲 相位的概率密度 則發生錯誤的概率等於
設 信號表示式為
當 碼元的相位 時
信號碼元相當於是互相正交的兩個 碼元 其幅度分別為接收信號幅度的 倍
功率為接收信
2 2 2 2
( ) cos( ) ( ),
1/ 2 . ,
,
QPSK 2PS
( ) ( )cos ( )sin
( ) .
K
. SNR
,
2PSK ,
c c c s c
n c s n
r t A t n t n t n t t n
t
t t
n
ω θ ω ω
σ σ σ σ
= + + = −
= =
號功率的 倍 另一方面 接收信號與噪聲之和為
的方差為 噪聲的兩個正交分量的方
相干檢測器中解調時
只有和 信號同相的噪聲才有影響
差為
若把此 信號當作兩個 信號分別在兩個
由於誤碼率決定於各個相干檢測器輸入的
而此處的信號功率為 2
1/ 2 , .
SNR , / 2.
2PSK
, / 2
1
2
1
/ 2 1 (1/ 2),
, QP .
2 .
S
2
K
/
n
e
e
P erfc r
P erfc r erfc
r r
r r r r
σ
=
 = ∴ − 
接收信號功率的 倍 噪聲功率為
若輸入信號的 為 則每個解調器輸入端的信噪比將為
相干解調的誤碼率為
其中 為解調器輸入端的信噪比 故現在應該用 代替 即誤碼率為 正確概率為
只有兩路正交的相干檢測都正確 才能保證 信號的解調輸出正確
由於兩路正交相干檢測都正
,
確的概率為
2
2 1
1 (1/ 2) 1 1 /K
2
QPS 2eerfc r P erfc r
  − ⇒ = − −  
∴ 
信號解調錯誤的概率為