Метод математической индукции

1. Метод математической
индукции

2. Метод математической индукции является
важным способом доказательства
предложений (утверждений), зависящих от
натурального аргумента.

3. 1.P(1) является истинным предложением
(утверждением);
2.P(n) остается истинным предложением
(утверждением), если n увеличить на
единицу, то есть P(n + 1) - истинное
предложение (утверждение).

4. 1.1. Этап проверки: проверяется, истинно ли
предложение (утверждение) P(1).
2.Этап доказательства: предполагается, что
предложение P(n) истинно, и доказывается
истинность предложения P(n + 1) (n увеличено
на единицу).

5. Утверждение 1
Утверждение 2
Утверждение 3
…
Утверждение Р

6. 1) Утверждение 1 – верно

7. 2) Утверждение n – верно ⇒
Утверждение n + 1 – верно

8. «Если утверждение верно для n=1 и из
справедливости его для n=k вытекает
справедливость этого утверждения для
n=k+1, то оно верно для всех n»

9. Пример 1
Докажите тождество
1 + 3 + 5 … + 2𝑛 − 1 = 𝑛2

10. Пусть 𝑛 = 1, тогда:
𝑛 = 1 1 = 12
𝑛 = 2 1 + (2 ∙ 2 − 1) = 1 + 3 = 4
𝑛 = 3 1 + 3 + 5 = 9
𝑛 = 4 1 + 3 + 5 + 7 = 16

11. Утверждение 1 𝑛 = 1 1 = 12

12. Утверждение 1 𝑛 = 1 1 = 12
Утверждение 1 + 3 + 5 … + 2𝑛 − 1 = 𝑛2
Утверждение 1 + 3 + 5 + 2𝑛 − 1 + 2𝑛 + 1 = (𝑛 + 1)2

13. 1 + 3 + 5 + 2𝑛 − 1 = 𝑛2
1 + 3 + 5 + 2𝑛 − 1 + 2𝑛 + 1 = (𝑛 + 1)2

14. 𝑛2
+ 2𝑛 + 1 = (𝑛 + 1)2
𝑛2
+ 2𝑛 + 1 = 𝑛2
+ 2𝑛 + 1

15. Пример 2
1 + 2 + ⋯ + 𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1)
2

16. Утверждение 1 n = 1 1 =
1∙2
2
— верно
Утверждение 2 n = k 1 + 2 + ⋯ + 𝑘 =
𝑘 𝑘+1
2
Утверждение 2 n = k + 1 1 + 2 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =
(𝑘+1)(𝑘+2)
2

17. 𝑘 𝑘 + 1
2
+ 𝑘 + 1 =
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
2

18. (𝑘 + 1) 𝑘 + 2
2
=
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
2

19. Задачи для тренировки
Докажите тождество

20. Докажите тождество

21. Докажите тождество

22. Докажите тождество

23. Докажите тождество

24. Пример 3
Любую ли сумму из целого числа рублей,
больше семи, можно уплатить без сдачи
денежными купюрами по 3 и 5 рублей?

25. Утверждение сумму 8 выплатить можно — верно

26. Утверждение пусть сумму в n рублей можно выплатить
3- и 5-рублёвыми, то и сумму в n+1 можно

27. 𝑛 − 5 + 3 + 3 = 𝑛 + 1
𝑛 − 3 − 3 − 3 + 5 + 5 = 𝑛 + 1

28. Пример 4
n разбойников делят добычу. У каждого из них
свое мнение о ценности той или иной доли
добычи, и каждый из них хочет получить не
меньше, чем 1/n долю добычи (со своей точки
зрения). Придумайте, как разделить добычу
между разбойниками.

29. 1) Утверждение 1 Число разбойников n=1, тогда
один из них делит добычу на две части, а второй
выбирает наибольшую
2) Утверждение 2 Число разбойников k имеют
способ разделить добычу безобидно, тогда
количество разбойников k+1 тоже могут разделить
добычу

30. 1
𝑘
∙
1
𝑘 + 1
∙ k =
1
𝑘 + 1

31. 1
𝑘
∙
𝑘
𝑘 + 1
=
1
𝑘 + 1

32. Пример 5
Дано n точек, n > 4. Докажите, что можно соединить их
стрелками так, чтобы из каждой точки в любую другую
можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке,
либо по двум (каждые две точки можно соединить
стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке
можно только в указанном на ней направлении).

33. При n = 5 требуемый граф представлен на рисунке

35. Шаг индукции. Рассмотрим n + 1 точку. Пусть n из них
уже соединены – получился граф с n вершинами.
Можно считать, что каждые две из этих n точек
соединены стрелкой: иначе проведём все
недостающие стрелки (направив их в любую сторону),
условие тем более будет выполняться. Обозначим
(n+1)-ю точку через C и рассмотрим два случая.

36. n чётно. Разобьём n точек на пары. Пусть {Ak, Bk} –
одна из пар (1 ≤ k ≤ n/2) и из Ak идёт стрелка в Bk.
Тогда проведём из C стрелку в Ak и из Bk проведём
стрелку в C. Так проделаем для каждой пары.
Новый граф с n + 1 вершиной построен. Пусть X, Y –
две любые различные его вершины.

38. n нечётно. Выберем любую вершину A1. Она
соединена стрелками со всеми остальными
вершинами: A2, ..., An. Из A1 выходят не
менее чем две стрелки или в A1 входят не
менее чем две стрелки (так как n > 4).

39. Пример 6
В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух
лет в городе проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в
первый год на некоторых дорогах было введено
одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах
было восстановлено двустороннее движение, а на остальных
дорогах введено одностороннее движение. Известно, что в
каждый момент ремонта можно было проехать из любой точки
города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно
ввести одностороннее движение так, что из каждой точки
города удастся проехать в любую другую точку.

40. Если в Никитовке имеются всего два перекрёстка
A и B, то утверждение очевидно: по условию из A
в B ведут не менее двух дорог; поэтому
достаточно установить по одной из этих дорог
движение от A к B, а по второй – от B к A, мы
сможем проехать от каждого перекрёстка до
любого, отличного от него.

41. Рассмотрим город Никитовку, имеющий n + 1 перекрёсток и два
соседних из этих перекрёстков – перекрёстки A и B, соединенные
улицей AB. Поскольку после введения на улице AB (при её ремонте)
одностороннего движения – скажем, от A к B – проехать от B к A было
возможно, то из B в A ведёт некоторая не включающая улицы AB
"цепочка" улиц (эту "цепочку" можно считать не имеющей
самопересечений). Таким образом, мы приходим к существованию в
Никитовке "кольца" s – замкнутой сети улиц, ведущей из A в B, а
затем (через ряд "промежуточных" перекрёстков) – снова в A.

42. Пример 7
Докажите, что число, записываемое при
помощи 3 𝑛
единиц, делится на 3 𝑛
.

43. )𝐴 𝑛 = 11 … 1 ∗ (10 … 010 … 01

44. 𝐴 𝑛 ⋮ 3
𝐴1 = 111 ⋮ 3 — верно

45. )𝐴 𝑛+1 = 𝐴 𝑛 ∗ 10 … 010 … 01 = 11 … 1 ∗ (10 … 010 … 01

46. 𝐴 𝑛+1 ⋮ (3 𝑛∗ 3) = 𝐴 𝑛+1 ⋮ 3 𝑛+1 ⇒
𝐴 𝑛 ⋮ 3 𝑛