ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ 2015

1. Đ THI OLYMPIC TOÁN QU C T 2015
Ban biên t p
1. Nhận xét về đề thi
Đánh giá một cách tổng quan thì đề thi năm nay là một đề thi khó. Ngay cả bài 1 và bài 4, các
bài truyền thống là “cho điểm” thì năm nay cũng không đơn giản chút nào, đặc biệt là ý 1b, tức
là chứng minh không tồn tại hệ điểm cân bằng không tâm có số điểm chẵn. Các bài 2 và 4 không
khó về ý tưởng nhưng đòi hỏi có kỹ thuật xử lý điêu luyện. Bài hình số 3 không quá khó nhưng
cũng là một cửa ải không đơn giản. Bài 6 được đánh giá là khó nhất kỳ thi, là một bài nằm giữa
đại số và tổ hợp, phải có thời gian để ngấm tình huống mới xử lý nổi.
Đi chi tiết vào từng bài. Bài 1 là một bài toán hình tổ hợp. Đây là một bài toán hay, dù ý a) có thể
là đã được biết trước. Ý b) là ý mới và lời giải thông qua phép đếm rất thú vị. Phải nói đây là một
bài toán đẹp, đơn giản nhưng không hiển nhiên. Rất IMO! Chỉ tiếc là như một số bạn đã nhận
xét, ý a) đã từng xuất hiện trong các cuốn sách Olympic.
Bài 2 là một bài toán số học. Bài này được chọn có lẽ do cách phát biểu đẹp và đối xứng của nó.
Đi sâu vào lời giải của nó thì không còn đẹp lắm, chủ yếu là vẫn dùng các xử lý kỹ thuật phức
tạp nhưng không mới, không có ý nào hay. Những đề toán thế này sẽ thuận lợi cho các đội được
ôn luyện nhiều, quen tay. Tuy nhiên, bài toán cũng có một ưu điểm là bài thuần túy số học, vì
nhiều năm qua thì bài số học thuần túy bị “xâm lấn” bởi các bài toán “số học tổ hợp”. Ví dụ bài
các đồng xu năm ngoái ở Nam Phi được tính là bài số học nhưng bản chất là tổ hợp.
Bài số 3 là một bài toán hình học. Bài này không quá khó như những bài số 3 trước đó. Mô hình
ở đây không phải quá lạ và chỉ cần chứng minh được một ý mấu chốt là có thể giải quyết được
nhanh chóng bài toán. Nếu dùng các công cụ cao cấp như tứ giác điều hòa, phép nghịch đảo hay
cực đối cực thì công việc đó sẽ rất nhanh chóng. Thậm chí vẫn có thể dùng cách biến đổi góc hay
chứng minh tam giác bằng nhau rất thuần túy hình học. Bên cạnh đó, nếu thử dùng số phức hay
đưa về tọa độ thì dù tính toán phức tạp hơn nhưng hướng đi lại khá rõ ràng. Đây có lẽ là xu thế ra
đề của BGK IMO những năm gần đây, họ chọn các bài đều hơn thay vì rất chênh lệch như trước,
bài 1 nâng độ khó lên và bài 3 giảm độ khó xuống, không còn “killing” như trước. Đồng thời,
đây cũng là năm thứ 3 liên tiếp cho bài hình ở vị trí số 3.
Bài số 4 là một bài toán hình học dễ. Dù phát biểu khá dài dòng với nhiều yếu tố, ràng buộc
nhưng kỳ thực, chính điều đó đã làm hạn chế các trường hợp phát sinh. Thêm nữa, chỉ cần chú ý
một chút là tìm được ý tưởng giải quyết. Lời giải chỉ dùng biến đổi góc rất nhẹ nhàng thông qua
các tứ giác nội tiếp hoặc tam giác đồng dạng. Đây thực sự là bài toán dễ nhất của kỳ thi năm nay.
Bài số 5 là một bài phương trình hàm, thuộc phân môn đại số. Bài này cũng thuần túy kỹ thuật,
giải bằng các phép thế liên tiếp. Bài này cũng không có ý gì mới. Bài này có thể đánh giá ngang
với bài 2 về mọi mặt.
Bài số 6 là bài khó nhất của kỳ thi, bất đẳng thức rời rạc. Ý tưởng cơ bản cần khai thác
là nếu đặt ci D ai C i 1 thì i Ä ci Ä i C 2014 và các ci đôi một khác nhau và ci
1

2. 2 Các phương pháp giải toán qua các kỳ thi Olympic
chứa mọi số nguyên dương ngoại trừ b số. Để hình dung được lời giải, ta cứ thay 2015 bằng
1 số lẻ bất kỳ và xét các số nhỏ trước, sẽ thấy được hướng đi rõ ràng hơn. Bài toán này
có lẽ được xuất phát từ khái niệm tung hứng lượng tử (Quantum juggling, hay Siteswap,
https://en.wikipedia.org/wiki/Siteswap) trong kỹ thuật, liên quan đến nhóm
Weyl a-phin trong toán học hiện đại: hãy tưởng tượng là chúng ta tung các quả bóng vào thời
gian i lên độ cao ai 1 và rơi xuống vào thời gian ai –1 C i:
2. Đề thi chính thức
2.1. Ngày thi thứ nhất (ngày 10 tháng 7 năm 2015)
Bài 1. Ta nói tập S gồm hữu hạn điểm trên mặt phẳng là tập cân đối nếu với hai điểm phân biệt
A và B tùy ý thuộc S; tồn tại điểm C thuộc S sao cho AC D BC. Ta nói S là tập vô tâm nếu
với ba điểm phân biệt A; B; C tùy ý thuộc S; không tồn tại điểm P thuộc S sao cho
PA D PB D P C:
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 3; tồn tại tập cân đối gồm n điểm.
b) Hãy tìm tất cả các số nguyên n 3 sao cho tồn tại tập cân đối và vô tâm gồm n điểm.
Bài 2. Hãy tìm tất cả các bộ số nguyên dương .a; b; c/ sao cho mỗi số trong các số:
ab c; bc a; ca b
là lũy thừa của 2: .Lũy thừa của 2 là một số nguyên có dạng 2n
với n là số nguyên không âm./
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC với AB > AC: Ký hiệu € là đường tròn ngoại tiếp, H là trực
tâm và F là chân đường cao hạ từ A của tam giác đó. Gọi M là trung điểm của BC: Gọi Q là
điểm nằm trên € sao cho ∠HQA D 90ı
, và gọi K là điểm nằm trên € sao cho ∠HKQ D 90ı
:
Giả sử rằng các điểm A; B; C; K và Q đôi một phân biệt, và nằm trên € theo thứ tự đó. Chứng
minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác KQH và FKM tiếp xúc với nhau.
2.2. Ngày thi thứ hai (ngày 11 tháng 7 năm 2015)
Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O: Đường tròn € tâm A cắt đoạn thẳng
BC tại các điểm D và E sao cho B; D; E và C đôi một phân biệt và nằm trên đường thẳng BC
theo thứ tự đó. Gọi F và G là các giao điểm của € và ; sao cho A; F; B; C và G nằm trên
theo thứ tự đó. Gọi K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF và đoạn
thẳng AB: Gọi L là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác CGE và đoạn thẳng
CA: Giả sử các đường thẳng FK và GL phân biệt và cắt nhau tại điểm X: Chứng minh rằng X
nằm trên đường thẳng AO:
Bài 5. Hãy tìm tất cả các hàm số f W R ! R thỏa mãn phương trình:
f x C f .x C y/ C f .xy/ D x C f .x C y/ C y f .x/
với mọi số thực x và y:

3. Đề thi Olympic Toán quốc tế 2015 3
Bài 6. Dãy số nguyên a1; a2; a3; : : : thỏa mãn các điều kiện sau:
i) 1 Ä aj Ä 2015 với mọi j 1I
ii) k C ak ¤ ` C a` với mọi 1 Ä k < `:
Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương b và N sao cho
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
nX
jDmC1
.aj b/
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Ä 10072
với mọi số nguyên m và n thỏa mãn n > m N:
3. Kết quả của đội tuyển
Kết quả chính thức của kỳ thi vừa được công bố vào tối ngày 14 tháng 7, sau 3 ngày chấm thi.
Năm nay, đội tuyển Việt Nam đã xuất sắc đạt được 2 Huy chương vàng, 3 Huy chương bạc, 1
Huy chương đồng, giành vị trí thứ 5 toàn đoàn với tổng số điểm là 151.
Dưới đây là kết quả chi tiết:
Họ tên 1 2 3 4 5 6 Tổng điểm Huy chương
Vũ Xuân Trung 7 7 7 7 6 0 34 Vàng
Nguyễn Thế Hoàn 7 5 7 7 5 0 31 Vàng
Hoàng Anh Tài 7 3 1 7 7 0 25 Bạc
Nguyễn Huy Hoàng 4 2 7 7 1 2 23 Bạc
Nguyễn Tuấn Hải Đăng 7 2 0 7 7 0 23 Bạc
Nguyễn Thị Việt Hà 3 2 1 7 2 0 15 Đồng