3. Ch֓ng 1
· thi tuyºn sinh lîp 10
1.1 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1989
(cho måi thí sinh)
Bài 1. Cho a thùc P(x) = ax2 + bx + c.
Bi¸t r¬ng vîi måi giá trà nguyên cõa x, giá trà cõa a thùc P(x) ·u là
nhúng sè chính ph÷ìng (nghia là b¬ng bình ph÷ìng cõa mët sè nguyên).
Chùng minh r¬ng các h» sè a, b, c ·u là nhúng sè nguyên, và b là mët sè
ch®n.
Bài 2. Tìm giá trà bé nh§t cõa biºu thùc
a2 + ab + b2 − 3a − 3b + 1989
Giá trà bé nh§t ó ¤t ÷ñc t¤i giá trà nào cõa a và b?
Bài 3. Chùng minh r¬ng trong 52 sè nguyên d÷ìng b§t ky luôn luôn có
thº tìm ÷ñc 2 sè sao cho têng ho°c hi»u cõa 2 sè ó chia h¸t cho 100.
Bài 4. Cho tam giác ABC. V· phía ngoài tam giác v³ các góc[BAx =
[CAy = 21. H¤ BE vuông góc vîi Ax (E n¬m trên Ax), CF vuông góc vîi
Ay (F n¬m trên Ay. M là trung iºm cõa BC.
1. Chùng minh r¬ng tam giác MEF là tam giác cân
2. Tính các góc cõa tam giác MEF.
Bài 5. Có 9 håc sinh vøa lîp A vøa lîp B sp thành mët hàng dåc,
ùng cách ·u. Chùng minh r¬ng có ít nh§t 1 håc sinh ùng cách hai em
cùng lîp vîi mình mët kho£ng cách nh÷ nhau.
5
www.vnmath.com
4. 6 Ch÷ìng 1. · thi tuyºn sinh lîp 10
1.2 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1989
(cho thí sinh thí sinh chuyên lý)
Bài 1. Tìm t§t c£ nhúng giá trà nguyên cõa x º biºu thùc sau là sè nguyên
−2x2 + x + 36
2x + 3
Bài 2. Tìm giá trà bé nh§t cõa biºu thùc
a2 + ab + b2 − 3a − 3b + 3
Giá trà bé nh§t ó ¤t ÷ñc t¤i giá trà nào cõa a và b?
Bài 3.
1. Chùng minh r¬ng vîi måi m nguyên d÷ìng, biºu thùc m2 + m + 1
không ph£i là sè chính ph÷ìng (nghia là không thº b¬ng bình ph÷ìng
cõa sè nguyên).
2. Chùng minh r¬ng vîi måi m nguyên d÷ìng, m(m+1) không thº b¬ng
tích cõa bèn sè nguyên liên ti¸p.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông cân, góc A = 90. CM là trung tuy¸n
(M n¬m trên AB). Tø A v³ ÷íng vuông góc vîi MC ct BC ð H. Tính
t sè BH
HC .
Bài 5. Có 6 thành phè, trong ó cù 3 thành phè b§t ky thì có ít nh§t 2
thành phè liên l¤c ÷ñc vîi nhau. Chùng minh r¬ng trong 6 thành phè nói
trên tçn t¤i 3 thành phè liên l¤c ÷ñc vîi nhau.
1.3 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1989
(cho thí sinh chuyên toán - tin håc)
Bài 1. Phân tích biºu thùc sau thành nhân tû
a4 + b4 + c4 − 2a2b2 − ab2c2 − 2c2a2
Bài 2.
1. Cho bi¸t x
x2+x+1 = −2
3 . Hãy tính giá trà cõa biºu thùc
x2
x4 + x2 + 1
www.vnmath.com
5. 1.4. · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1991 (cho måi thí sinh) 7
2. Tìm giá trà lîn nh§t cõa biºu thùc
x2
x4 + x2 + 1
Giá trà lîn nh§t ó ¤t ÷ñc t¤i giá trà nào cõa x
Bài 3. Cho biºu thùc P(n) = an + bn + c, trong ó a, b, c là nhúng
sè nguyên d÷ìng. Chùng minh r¬ng n¸u vîi måi giá trà nguyên d÷ìng cõa
n, P(n) luôn chia h¸t cho m (m là sè nguyên d÷ìng cè ành), thì b2 ph£i
chia h¸t cho m. Vîi ví dö sau ây hãy chùng tä r¬ng không thº suy ra b
chia h¸t cho m
P(n) = 3n + 2n + 3 (xét khi m = 4)
Bài 4. Cho a giác lçi sáu c¤nh ABCDEF.M, I,L,K,N,H l¦n l÷ñt là
trung iºm cõa các c¤nh AB,BC,CD,DE,EF,FA. Chùng minh r¬ng các
trång tâm cõa hai tam giác MNL và HIK trùng nhau.
Bài 5. Gi£ sû trong mët tr÷íng có n lîp ta ký hi»u am là sè håc sinh
cõa lîp thù m, dk là sè lîp trong ó méi lîp có ít nh§t k håc sinh, M là sè
håc sinh cõa lîp ông nh§t. Chùng minh r¬ng:
1. a1 + a2 + · · · + an = d1 + d2 + · · · + dM
2. a21
+a22
+· · ·+a2
n = d1+3d2+5d3+· · ·+(2k−1)dk +· · ·+(2M−1)dM
1.4 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1991
(cho måi thí sinh)
Bài 1.
1. Gi£i và bi»n luªn ph÷ìng trình.
p
a + x +
p
a − x
p
a + x −
p
a − x
=
p
b
Trong ó a, b là các sè d÷ìng ã cho.
2. Cho ph÷ìng trình x2 + ax + b+1 = 0. Trong ó a, b 2 Z và b6= −1.
Chùng minh r¬ng n¸u ph÷ìng trình có hai nghi»m ·u là nhúng sè
nguyên thì a2 + b2 là hñp sè.
www.vnmath.com
6. 8 Ch÷ìng 1. · thi tuyºn sinh lîp 10
Bài 2. Cho a, b, c là các sè ôi mët khác nhau và khác 0. Gi£i h»
8
:
a3x + a2y + az = 1
b3x + b2y + bz = 1
c3x + c2y + cz = 1
Bài 3.Tìm nghi»m nguyên, d÷ìng cõa ph÷ìng trình 7x = 3.2y + 1.
Bài 4.
1. Cho hình thang ABCD(AB//CD). Gåi giao iºm cõa AD và BC là
E, giao iºm cõa AC và BD là F. Chùng minh r¬ng ÷íng th¯ng EF
i qua giao iºm cõa hai áy AB,CD.
2. Cho tam giác ABC. M,N,P l¦n l÷ñt là các iºm trên các c¤nh
BC,CA,AB. Nèi AM,BN,CP. Chùng minh r¬ng n¸u di»n tích cõa
bèn tam giác g¤ch chéo b¬ng nhau thì các di»n tích cõa ba tù giác
không g¤ch chéo cung b¬ng nhau. (Xem hình v³)
Bài 5. Tçn t¤i hay không 1991 iºm trên m°t ph¯ng sao cho ba iºm
b§t ky trong chúng là ba ¿nh cõa mët tam giác có mët góc tù?
1.5 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1991
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1.
1. Rút gån biºu thùc
A =
q
3
p
3 − 4
2
p
2.
q
6
p
6
44 + 16
2. Phân tích biºu thùc sau thành nhân tû
P = (x − y)5 + (y − z)5 + (z − x)5
www.vnmath.com
7. 1.6. · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1992 (cho måi thí sinh) 9
Bài 2.
1. Cho các sè a, b, c,
10. b +
c = 0
Hãy tính giá trà cõa biºu thùc A = a2 +
11. b2 +
c2
2. Cho bèn sè a, b, c, d méi sè ·u không âm và nhä hìn ho°c b¬ng 1.
Chùng minh r¬ng
0 a + b + c + d − ab − bc − cd − da 2
Khi nào thì d§u ¯ng thùc x£y ra?
Bài 3. Cho tr÷îc a và d là nhúng sè nguyên d÷ìng. Xét t§t c£ các sè
có d¤ng
a, a + d, a + 2d, . . . , a + nd, . . .
Chùng minh r¬ng trong các sè ó có ít nh§t mët sè mà 4 chú sè ¦u
tiên cõa nó là 1991.
Bài 4. Trong mët cuëc hëi th£o khoa håc có 100 ng÷íi tham dü. Gi£
sû méi ng÷íi ·u quen bi¸t vîi ít nh§t 67 ng÷íi. Chùng minh r¬ng có thº
tìm ÷ñc mët nhóm 4 ng÷íi mà b§t ky 2 ng÷íi trong nhóm ó ·u quen
bi¸t nhau.
Bài 5.
1. Cho hình vuông ABCD. L§y iºm M n¬m trong hình vuông sao cho
MAB =MBA = 15.
Chùng minh r¬ng tam giác MCD là tam giác ·u.
2. Hãy xây düng mët tªp hñp gçm 8 iºm có tính ch§t: ÷íng trung
trüc cõa o¤n nèi hai iºm b§t ky luôn i qua ít nh§t hai iºm cõa
tªp hñp iºm ó.
1.6 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1992
(cho måi thí sinh)
Bài 1.
www.vnmath.com
12. 10 Ch÷ìng 1. · thi tuyºn sinh lîp 10
1. Gi£i ph÷ìng trình
q
p
2x − 5 +
x+ 2 + 3
q
p
2x − 5 = 2
x − 2 − 3
p
2
2. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
xy2 − 2y + 3x2 = 0
y2 + x2y + 2x = 0
Bài 2. Tìm t§t c£ các c°p sè nguyên không âm (m, n) º ph÷ìng trình
x2 − mnx + m + n = 0
có nghi»m nguyên.
Bài 3. Cho tam giác ABC có di»n tích S. Trên các c¤nh AB,BC,CA
l¦n l÷ñt l§y C0,A0,B0 t÷ìng ùng, sao cho
AC0 = C0B,
BA0
A0C
=
1
2
,
CB0
B0A
=
1
3
Gi£ sû AA0 ct BB0 t¤i M, BB0 ct CC0 t¤i N, CC0 ct AA0 t¤i P. Tính
di»n tích tam giác MNP theo S.
Bài 4. Cho tam giác ABC nëi ti¸p trong mët ÷íng tròn. L§y mët iºm
D trên cung BC (không chùa A) cõa ÷íng tròn ó. H¤ DH vuông góc vîi
BC, DI vuông góc vîi CA và DK vuông góc vîi AB. Chùng minh r¬ng
BC
DH
=
AC
DI
+
AB
DK
Bài 5. Tìm t§t c£ các c°p sè nguyên d÷ìng (m, n) sao cho 2m+ 1 chia
h¸t cho n và 2n + 1 chia h¸t cho m
1.7 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1992
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1.
1. Tìm t§t c£ các sè nguyên n º n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 là sè chính
ph֓ng.
2. Cho a, b, c 0 và a + b + c 1. Chùng minh r¬ng
1
a2 + 2bc
+
1
b2 + 2ca
+
1
c2 + 2ab 9
www.vnmath.com
13. 1.8. · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1993 (cho måi thí sinh) 11
Bài 2. Cho a là têng các chú sè cõa (29)1945, b là têng các chú sè cõa
sè a. Tìm têng các chú sè cõa b.
Bài 3. Cho tam giác ABC. Gi£ sû ÷íng phân giác trong và ngoài cõa
góc A ct ÷íng th¯ng BC t¤i D,K t÷ìng ùng. Chùng minh r¬ng n¸u
AD = AK thì AB2+AC2 = 4R2, trong ó R là bán kính ÷íng tròn ngo¤i
ti¸p tam giác ABC
Bài 4. Trong m°t ph¯ng k´ 1992 ÷íng th¯ng sao cho không có 2 ÷íng
nào song song và không có ba ÷íng nào çng quy. Tam giác t¤o bði ba
÷íng th¯ng trong sè các ÷íng th¯ng ã cho gåi là tam giác xanh n¸u
nó không bà ÷íng th¯ng nào trong sè các ÷íng th¯ng còn l¤i ct.
1. Chùng minh r¬ng sè tam giác xanh không ít hìn 664.
2. Chùng minh k¸t luªn m¤nh hìn: Sè tam giác xanh không ít hìn 1328.
Bài 5. Có 41 thành phè ÷ñc nèi vîi nhau b¬ng các ÷íng ch¿ i ÷ñc
mët chi·u. Bi¸t r¬ng tø méi thành phè có úng 16 ÷íng ¸n các thành
phè khác và úng 16 ÷íng tø các thành phè khác ¸n nó. Giúa hai thành
phè b§t ky không có quá mët con ÷íng cõa m¤ng ÷íng nói trên. Chùng
minh r¬ng tø mët thành phè b§t ky A ·u có thº i ¸n mët thành phè
b§t ky B mà ch¿ i qua nhi·u nh§t hai thành phè trung gian.
1.8 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1993
(cho måi thí sinh)
Bài 1.
1. Gi£i ph÷ìng trình
x +
s
x +
1
2
+
r
x +
1
4
= 2
2. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
x3 + 2xy2 + 12y = 0
8y2 + x2 = 12
Bài 2. Tìm giá trà lîn nh§t và bé nh§t cõa biºu thùc
A = x2y(4 − x − y)
khi x và y thay êi tho£ mãn i·u ki»n: x 0, y 0, x + y 6 6
www.vnmath.com
14. 12 Ch÷ìng 1. · thi tuyºn sinh lîp 10
Bài 3. Cho hình thoi ABCD. Gåi R, r l¦n l÷ñt là bán kính các ÷íng
tròn ngo¤i ti¸p các tam giác ABD,ABC và a là ë dài c¤nh hình thoi.
Chùng minh r¬ng:
1
R2 +
1
r2 =
4
a2
Bài 4. Cho tam giác ·u ABC nëi ti¸p ÷íng tròn tâm O bán kính R.
Quay 4ABC mët góc 90 quanh tâm O ta ÷ñc 4A1B1C1. Tính di»n tích
ph¦n chung cõa hai hình tam giác ABC và A1B1C1 theo R.
Bài 5. Tìm t§t c£ các sè nguyên d÷ìng a, b, c ôi mët khác nhau sao
cho biºu thùc
A =
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
ab
+
1
ac
+
1
bc
nhªn giá trà nguyên d÷ìng.
1.9 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1994
(cho måi thí sinh)
Bài 1. Gi£i các ph÷ìng trình sau:
1. x4 − 2x3 − 6x2 + 16x − 8 = 0
2. x2 + 2x + 4 = 3
p
x3 + 4x
Bài 2. Xét các sè x, y, z, t 0 tho£ mãn h» thùc
xy + 4zt + 2yz + 2xt = 9
Tìm giá trà lîn nh§t cõa biºu thùc
A =
p
zt
p
xy + 2
Bài 3. Tìm t§t c£ các sè nguyên x, y, z, t tho£ mãn h» ph÷ìng trình
(
xy − 3zt = 1
xz + yt = 2
Bài 4. Cho tam giác cân ABC có AB = AC và H là trung iºm cõa
c¤nh BC. Mët ÷íng tròn i qua A và ti¸p xúc vîi c¤nh BC t¤i B ct
AC,AH l¦n l÷ñt t¤i D và E. Bi¸t r¬ng D là trung iºm cõa AC và bán
kính ÷íng tròn b¬ng R. Tính ë dài các dây cung AE,AD theo R.
Bài 5. Cho tam giác ABC có BC AC. Mët ÷íng th¯ng song song
vîi c¤nh AB ct các c¤nh BC và AC l¦n l÷ñt t¤i các iºm M và N. Chùng
minh r¬ng BN AM.
www.vnmath.com
15. 1.10. · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1994(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)13
1.10 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1994
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1. Gi£i h» ph÷ìng trình
8
:
(x + y)(y + z) = 4xy2z
(y + z)(z + x) = 4yz2x
(z + x)(x + y) = 4zx2y
Bài 2. Tìm t§t c£ các c°p sè nguyên (x, y) tho£ mãn ph÷ìng trình
12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)
Bài 3. Xác ành các giá trà nguyên d÷ìng n(n 3) sao cho sè A =
1, 2, 3 . . .n (tích cõa n sè nguyên d÷ìng ¦u tiên) chia h¸t cho sè B =
1 + 2 + 3+· · · + n.
Bài 4. Cho a, b, c 1. Chùng minh r¬ng
1
1 + a
+
1
1 + b
+
1
1 + c 1
1 + 4 p
ab3
+
1
1 + 4 p
bc3
+
1
1 + 4 p
ca3
Bài 5. Cho 4ABC có AB = AC.
1. Chùng minh r¬ng n¸u BAC = 20 thì luôn tìm ÷ñc các iºm D và
K trên các c¤nh AB và AC sao cho AD = DK = KC = CB.
2. Ng÷ñc l¤i, chùng minh r¬ng n¸u tçn t¤i các iºm D và K trên các
c¤nh AB và AC sao cho AD = DK = KC = CB thì BAC = 20.
1.11 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1995
(cho måi thí sinh)
Bài 1. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
2x2 − y2 = 1
xy + x2 = 2
Bài 2. Gi£i ph÷ìng trình
p
1 − x +
p
4 + x = 3
www.vnmath.com
16. 14 Ch÷ìng 1. · thi tuyºn sinh lîp 10
Bài 3. Gi£ sû a, b là các sè nguyên d÷ìng sao cho: a+1
b + b+1
a là mët sè
nguyên. Gåi d là ÷îc sè cõa a và b. Chùng minh r¬ng: d 6
p
a + b.
Bài 4. Cho hai hình chú nhªt có cùng di»n tích. Hình chú nhªt thù nh§t
có các kích th÷îc a và b (a b). Hình chú nhªt thù hai có các kích th÷îc
c và d (c d). Chùng minh r¬ng: n¸u a c thì chu vi cõa hình chú nhªt
thù nh§t lîn hìn chu vi cõa hình chú nhªt thù hai.
Bài 5. Cho ba iºm cè ành A,B,C th¯ng hàng theo thù tü §y. Gåi (
)
là mët vòng tròn qua B và C. K´ tø A các ti¸p tuy¸n AE và AF ¸n vòng
tròn (
). (E và F là các ti¸p iºm). Gåi O là tâm cõa vòng tròn (
), I là
trung iºm cõa BC, N là trung iºm cõa EF.
1. Chùng minh r¬ng: E và F n¬m trên mët vòng tròn cè ành khi vòng
tròn (
) thay êi.
2. ÷íng th¯ng FI ct vòng tròn (
) t¤i E0. Chùng minh r¬ng EE0 song
song vîi AB.
3. Chùng minh r¬ng tâm vòng tròn ngo¤i ti¸p tam giác ONI n¬m trên
mët ÷íng th¯ng cè ành khi vòng tròn (
) thay êi.
1.12 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1995
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1. Cho
x +
p
x2 + 3
y +
= 3
p
y2 + 3
Hãy tính giá trà cõa biºu thùc
E = x + y
Bài 2. Gi£i h» ph÷ìng trình
8
:
x + xy + y = 1
y + yz + z = 3
z + zx + x = 1
Bài 3. Cho x, y 0 và x2 + y2 = 1. Chùng minh r¬ng
1
p
2
6 x3 + y3 6 1
Bài 4. Tìm sè nguyên có chín chú sè A = a1a2a3b1b2b3a1a2a3, trong
24
23
22
21
ó a16= 0 và b1b2b3 = 2a1a2a3 çng thíi A có thº vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng
A = ppppvîi p1, p2, p3, p4 là bèn sè nguyên khác nhau.
www.vnmath.com
17. 1.13. · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1996 (cho måi thí sinh) 15
Bài 5. Cho vòng tròn (
), v³ hai dây cung AB và CD ct nhau ð I (I
n¬m trong vòng tròn). Gåi M là trung iºm cõa BD, MI kéo dài ct AC
ð N. Chùng minh r¬ng
AN
NC
=
AI2
CI2
1.13 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1996
(cho måi thí sinh)
Bài 1. Cho x 0, hãy tìm giá trà nhä nh§t cõa biºu thùc
P =
x + 1
x
6
−
x6 + 1
x6
− 2
x + 1
x
3
+ x3 + 1
x3
Bài 2. Gi£i h» ph÷ìng trình
8
:
p1
x +
q
2 − 1
y = 2
1 p
y +
q
2 − 1
x = 2
Bài 3. Chùng minh r¬ng vîi måi n nguyên d÷ìng ta có
n3 + 5n
...6
Bài 4. Cho a, b, c 0, chùng minh r¬ng
a3
b
+
b3
c
+
c3
a ab + bc + ca
Bài 5. Cho hình vuông ABCD c¤nh b¬ng a. Gåi M,N,P,Q là các iºm
b§t ky l¦n l÷ñt n¬m trên các c¤nh AB,BC,CD,DA.
1. Chùng minh r¬ng
2a2 6 MN2 + NP2 + PQ2 + QM2 6 4a2
2. Gi£ sû M là mët iºm cè ành cho tr÷îc trên c¤nh AB. Hãy xác ành
và trí cõa các iºm N, P,Q l¦n l÷ñt trên các c¤nh BC,CD,DA sao
cho MNPQ là mët hình vuông.
www.vnmath.com
18. 16 Ch÷ìng 1. · thi tuyºn sinh lîp 10
1.14 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1996
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Ph¦n chung cho chuyên toán và chuyên tin
Bài 1. Gi£i ph÷ìng trình
(
p
x − 1 + 1)3 + 2
p
x − 1 = 2 − x
Bài 2. Gi£i h» ph÷ìng trình
8
:
x −
p
y = 1
y −
p
z = 1
z −
p
x = 1
Bài 3. Cho x, y là nhúng sè nguyên d÷ìng thay êi tho£ mãn i·u ki»n
x + y = 201
Hãy tìm giá trà lîn nh§t và nhä nh§t cõa biºu thùc: P = x(x2+y)+y(y2+x).
Bài 4. Cho o¤n th¯ng BC và ÷íng th¯ng (d) song song vîi BC. Bi¸t
r¬ng kho£ng cách giúa ÷íng th¯ng (d) và ÷íng th¯ng i qua BC nhä hìn
BC
2 . Gi£ sû A là mët iºm thay êi trên ÷íng th¯ng (d).
1. Hãy xác ành và trí cõa iºm A º bán kính vòng tròn ngo¤i ti¸p
4ABC nhä nh§t
2. Gåi ha, hb, hc là ë dài các ÷íng cao cõa 4ABC. Hãy xác ành và trí
cõa iºm A º tích ha.hb.hc là lîn nh§t.
Ph¦n dành cho chuyên toán
Bài 5. Cho x, y, z 0 và x + y + z 6 3
2. Chùng minh r¬ng:
r
x2 −
1
x2 +
r
y2 −
1
y2 +
r
z2 −
1
z2 3
2
p
17
Ph¦n dành cho chuyên tin
Câu 5. Chia mët hình tròn thành 14 hình qu¤t b¬ng nhau. Trong méi
hình qu¤t °t mët viên bi (xem hình v³). Gåi T là mët phép bi¸n êi: L§y
hai hình qu¤t b§t ky có bi và chuyºn tø méi hình qu¤t ó mët viên bi sang
hình qu¤t li·n k· nh÷ng theo hai chi·u ng÷ñc nhau (ví dö, n¸u viên bi ð
mët hình qu¤t ÷ñc chuyºn theo chi·u kim çng hç thì viên bi ð hình qu¤t
kia ÷ñc chuyºn theo chi·u ng÷ñc l¤i). Häi b¬ng vi»c thüc hi»n phép bi¸n
êi trên, sau mët sè húu h¤n b÷îc ta có thº chuyºn ÷ñc t§t c£ các viên bi
vào mët hình qu¤t ÷ñc không. N¸u có, hãy ch¿ ra quá trình bi¸n êi.N¸u
không, hãy gi£i thích t¤i sao?
www.vnmath.com
19. 1.15. · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1997 (cho måi thí sinh) 17
1.15 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1997
(cho måi thí sinh)
Bài 1. Cho
x =
3 p
p
p
p
10 + 6
3(
3 − 1) 6 + 2
p
5 −
p
5
Tính P = (x3 − 4x + 1)1997
Bài 2. Gi£i ph÷ìng trình
p
x + 3+
p
x + 8 = 5
p
x
Bài 3. Gi£i h» ph÷ìng trình
8
:
2xy = x + y + 1
2yz = y + z + 7
2xz = z + x + 2
Bài 4. Tìm t§t c£ các sè tü nhiên n º
2n + 15
là sè chính ph÷ìng.
Bài 5. Cho tam giác ·u ABC c¤nh l. Bên trong tam giác ta °t 2
÷íng tròn (O,R) và (O0,R0) ti¸p xúc ngoài vîi nhau, sao cho mët trong
hai ÷íng tròn ti¸p xúc vîi các c¤nh BC và BA, ÷íng tròn kia ti¸p xúc
vîi các c¤nh BC và CA.
1. Chùng minh r¬ng R + R0
p
3−1
2 .
2. Các bán kính R và R0 b¬ng bao nhiêu º têng di»n tích các hình tròn
(O,R) và O0,R0 nhä nh§t và tính giá trà nhä nh§t ó.
1.16 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1997
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
y3 + y2x + 3x − 6y = 0
x2 + xy = 3
www.vnmath.com
20. 18 Ch÷ìng 1. · thi tuyºn sinh lîp 10
Bài 2. Có tçn t¤i hay không các sè nguyên x, y tho£ mãn i·u ki»n
1992x1993 + 1993y1994 = 1995
Bài 3. Sè 1997 vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng têng n hñp sè, nh÷ng không vi¸t
÷ñc d÷îi d¤ng têng n + 1 hñp sè. Häi n b¬ng bao nhiêu?
Bài 4. Cho các tam giác ABC ngo¤i ti¸p vòng tròn có bán kính b¬ng
1. Gåi ha, hb, hc l¦n l÷ñt là ë dài các ÷íng cao h¤ tø ¿nh A,B,C tîi các
c¤nh èi di»n. Hãy tìm giá trà lîn nh§t cõa biºu thùc.
M =
1
ha + 2hb
+
1
hb + 2hc
+
1
hc + 2ha
Bài 5. Trên ÷íng tròn cho 16 iºm và dùng 3 màu: xanh, ä, vàng º
tô các iºm này (méi iºm tô b¬ng mët màu. Giúa méi c°p iºm nèi b¬ng
mët o¤n th¯ng ÷ñc tô b¬ng màu tím ho°c màu nâu.
Chùng minh r¬ng vîi måi cách tô màu trên các iºm (ch¿ dùng 3 màu:
xanh, ä, vàng) và måi cách tô màu trên các o¤n th¯ng nèi giúa các c°p
iºm (ch¿ dùng hai màu: tím ho°c nâu) ta ·u tìm ÷ñc trên hình v³ mët
tam giác có ¿nh là các iºm ã cho, mà các ¿nh ÷ñc tô b¬ng cùng mët
màu và các c¤nh cung ÷ñc tô b¬ng cùng mët màu (di nhiên khác màu tô
trên ¿nh).
1.17 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1998
(cho måi thí sinh)
Bài 1.
1. Gi£i ph÷ìng trình p
2 − x2 +
p
x2 + 8 = 4
2. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
x2 + xy + y2 = 7
x4 + x2y2 + y4 = 21
Bài 2. Các sè a, b tho£ mãn i·u ki»n:
(
a3 − 3ab2 = 19
b3 − 3a2b = 98
Hãy tính giá trà cõa biºu thùc sau: P = a2 + b2.
www.vnmath.com
21. 1.18. · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1998(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)19
Bài 3. Cho các sè a, b, c 2 [0, 1]. Chùng minh r¬ng
a + b2 + c3 − ab − bc − ca 6 1
Bài 4. Cho ÷íng tròn () bán kính R. A và B là hai iºm cè ành trên
÷íng tròn, (AB 2R). Gi£ sû M là mët iºm thay êi trên cung lîn AB
cõa ÷íng tròn.
1. K´ tø B ÷íng th¯ng vuông góc vîi AM, ÷íng th¯ng này ct AM
t¤i I và ct ÷íng tròn () t¤i N. Gåi J là trung iºm cõa MN.
Chùng minh r¬ng khi M thay êi trên ÷íng tròn thì méi iºm I, J
·u n¬m trên mët ÷íng tròn cè ành.
2. Xác ành và trí cõa iºm M º chu vi cõa 4AMB là lîn nh§t.
Bài 5.
1. Tìm t§t c£ các sè nguyên d÷ìng n sao cho méi sè n + 26 và n − 11
·u là lªp ph÷ìng cõa mët sè nguyên d÷ìng.
2. Cho các sè x, y, z thay êi tho£ mãn i·u ki»n: x2 + y2 + z2 = 1.
Hãy tìm giá trà lîn nh§t cõa biºu thùc:
P = xy + yz + zx +
1
2
[x2(y − z)2 + y2(z − x)2 + z2(x − y)2]
1.18 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1998
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1.
1. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
x + x2 + x3 + x4 = y + y2 + y3 + y4
x2 + y2 = 1
2. Vîi nhúng giá trà nào cõa a thì ph÷ìng trình sau ây có nghi»m
p
1 − x +
p
1 + x = |1 − a| + |1 + a|
Bài 2. Tìm nghi»m nguyên cõa ph÷ìng trình
19x3 − 98y2 = 1998
Bài 3.
www.vnmath.com
22. 20 Ch÷ìng 1. · thi tuyºn sinh lîp 10
1. Cho a, b, c là các sè tho£ mãn hai i·u ki»n sau
i) 0 a b
ii) Ph÷ìng trình ax2 + bx + c = 0 vô nghi»m. Chùng minh r¬ng
a + b + c
b − a
3
2. Cho x, y, z 0. Hãy tìm giá trà nhä nh§t cõa biºu thùc
P =
x2
x2 + 2yz
+
y2
y2 + 2zx
+
z2
z2 + 2xy
Bài 4. Cho b£ng ô vuông kích th÷îc 1998 ×2000 (b£ng gçm 1998 hàng
và 2000 cët)
Ký hi»u (m, n) là ô vuông n¬m ð giao cõa hàng thù m (tính tø trên
xuèng d÷îi)và cët thù n (tính tø trái qua ph£i).
Cho các sè nguyên p, q vîi 1 6 p 6 1993 và 1 6 q 6 1995;
Tô màu các ô vuông con cõa b£ng theo quy tc: L¦n thù nh§t tô màu
nam ô: (p, q); (p + 1, q + 1); (p + 2, q + 2); (p + 3, q + 3); (p + 4, q + 4). L¦n
thù hai trð i, méi l¦n tô nam ô ch÷a có màu n¬m liên ti¸p trong cùng mët
hàng ho°c cùng mët cët.
Häi b¬ng cách ó ta có thº tô màu h¸t t§t c£ các ô vuông con cõa b£ng
hay không? Vì sao?
Bài 5. Cho tam giác ·u ABC.
Trong 4ABC, v³ ba vòng tròn 1, 2, 3 có bán kính b¬ng nhau, ti¸p
xúc ngoài l¨n nhau và méi vòng tròn ·u ti¸p xúc vîi hai c¤nh cõa tam
giác.
Gåi là vòng tròn ti¸p xúc ngoài vîi c£ ba vòng tròn 1, 2, 3. Bi¸t bán
kính cõa vòng tròn là r, hãy tính ë dài c¤nh cõa 4ABC.
1.19 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1999
(cho måi thí sinh)
Bài 1. Cho các sè a, b, c tho£ mãn i·u ki»n
(
a + b + c = 0
a2 + b2 + c2 = 14
Hãy tính giá trà cõa biºu thùc: P = 1+a4 + b4 + c4
Bài 2.
www.vnmath.com
23. 1.19. · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1999 (cho måi thí sinh) 21
1. Gi£i ph÷ìng trình
p
x + 3 −
p
7 − x =
p
2x − 8
2. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
x + y + 1
x + 1
y = 9
2
xy + 1
xy = 5
2
Bài 3. Tìm t§t c£ các sè nguyên d÷ìng n sao cho: n2 + 9n − 2 chia h¸t
cho n + 11.
Bài 4. Cho vòng tròn () và iºm I ð trong vòng tròn. Düng qua I hai
dây cung b§t ky MIN và EIF. Gåi M0,N0,E0, F0 là các trung iºm cõa
IM,IN,IE, IF.
1. Chùng minh r¬ng tù giác M0E0N0F0 là tù giác nëi ti¸p.
2. Gi£ sû I thay êi, các dây cung MIN,EIF thay êi. Chùng minh
r¬ng vòng tròn ngo¤i ti¸p tù giác M0E0N0F0 có bán kính không êi.
3. Gi£ sû I cè ành, các dây cung MIN,EIF thay êi nh÷ng luôn luôn
vuông góc vîi nhau. Tìm và trí cõa các dây cung MIN và EIF sao
cho tù giác M0E0N0F0 có di»n tích lîn nh§t.
www.vnmath.com
24. 22 Ch÷ìng 1. · thi tuyºn sinh lîp 10
Bài 5. Các sè d÷ìng x và y thay êi tho£ mãn i·u ki»n: x + y = 1.
Hãy tìm giá trà nhä nh§t cõa biºu thùc:
P =
x2 +
1
y2
y2 +
1
x2
Các thí sinh chuyên Sinh không ph£i làm bài 5
1.20 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 1999
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1. Gi£i ph÷ìng trình
r
x + 7
x + 1
+ 8 = 2x2 +
p
2x − 1
Bài 2. Các sè a1, a2, . . . ÷ñc xác ành bði công thùc
ak =
3k2 + 3k + 1
(k2 + k)3 vîi måi k 1
Hãy tính giá trà cõa têng: 1 + a1 + a2 + · · · + a9.
Bài 3. Chùng minh r¬ng tçn t¤i mët sè chia h¸t cho 1999 và têng các
chú sè cõa sè ó b¬ng1999.
Bài 4. Cho vòng tròn tâm O bán kính R. Gi£ sû A và B là hai iºm cè
p
3.
ành trên vòng tròn vîi AB = R
1. Gi£ sû M là mët iºm thay êi trên cung lîn AB cõa ÷íng tròn.
Vòng tròn nëi ti¸p 4MAB ti¸p xúc vîi MA t¤i E và ti¸p xúc vîi
MB t¤i F. Chùng minh r¬ng ÷íng th¯ng EF luôn ti¸p xúc vîi mët
÷íng tròn cè ành khi M thay êi.
2. Tìm tªp hñp t§t c£ các iºm P sao cho ÷íng th¯ng 4 vuông góc vîi
OP t¤i P ct o¤n th¯ng AB.
Bài 5. Cho hình tròn (C) bán kính b¬ng 1. Gi£ sû A1,A2, . . . ,A8 là 8
iºm b§t ky n¬m tròn hình tròn (kº c£ biên). Chùng minh r¬ng trong các
iºm ã cho luôn tçn t¤i hai iºm ma kho£ng cách giúa chúng nhä hìn 1.
1.21 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2000
(cho måi thí sinh)
Bài 1.
www.vnmath.com
25. 1.22. · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2000(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)23
1. Tính
S =
1
1.2
+
1
2.3
+ · · · +
1
1999.2000
2. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
x2 + 1
y2 + x
y = 3
x + 1
y + x
y = 3
Bài 2.
1. Gi£i ph÷ìng trình
p
x − 1 +
p
x3 + x2 + x+ 1 = 1+
p
x4 − 1
2. Tìm t§t c£ các giá trà cõa a (a là sè thüc) º ph÷ìng trình
2x2 −
4a +
11
2
x + 4a2 + 7 = 0
có ít nh§t mët nghi»m nguyên.
Bài 3. Cho ÷íng tròn tâm O nëi ti¸p trong hình thang ABCD(AB//CD),
ti¸p xúc vîi c¤nh AB t¤i E và vîi c¤nh CD t¤i F (nh÷ hình v³)
1. Chùng minh r¬ng
BE
AE
=
DF
CF
2. Cho bi¸t AB = a,CB = b, (a b),BE = 2AE. Tính di»n tích hình
thang ABCD.
Bài 4. Cho x, y là hai sè thüc b§t ky khác không. Chùng minh r¬ng
4x2y2
(x2 + y2)2 +
x2
y2 +
y2
x2 3
D§u ¯ng thùc x£y ra khi nào?
1.22 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2000
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1.
www.vnmath.com
26. 24 Ch÷ìng 1. · thi tuyºn sinh lîp 10
1. Tìm t§t c£ các c°p sè nguyên (x, y) tho£ mãn ¯ng thùc y(x − 1) =
x2 + 2
2. Cho c°p sè (x, y) tho£ mãn các i·u ki»n
−1 6 x + y 6 1, −1 6 xy + x + y 6 1
Chùng minh r¬ng |x| 6 2, |y| 6 2
Bài 2.
1. Gi£i ph÷ìng trình
1
x
+
r
x −
1
x
= x +
r
2x −
5
x
2. Cho f(x) = ax2 + bx+c có tính ch§t f(1), f(4) và f(9) là các sè húu
t. Chùng minh r¬ng khi ó a, b, c là các sè húu t.
Bài 3.
1. Cho tù giác lçi ABCD. Chùng minh r¬ng n¸u các góc B và D cõa tù
giác là vuông ho°c tù thì AC BD
2. Cho o¤n th¯ng AC cè ành và iºm B di ëng. Hãy tìm tªp hñp t§t
c£ các iºm B º tam giác ABC là tam giác không tù và góc [BAC
là góc bé nh§t cõa tam giác ABC.
Bài 4. Trên m°t ph¯ng cho 6 iºm sao cho không có ba iºm nào th¯ng
hàng và kho£ng cách giúa các c°p iºm là các sè khác nhau. Ta nèi méi c°p
iºm bði mët o¤n th¯ng. Chùng minh r¬ng trong các o¤n th¯ng thu ÷ñc
có mët o¤n th¯ng là c¤nh bé nh§t cõa mët tam giác có 3 ¿nh là 3 trong
6 iºm ã cho çng thíi là c¤nh lîn nh§t cõa mët tam giác khác cung có 3
¿nh là 3 trong 6 iºm ã cho.
1.23 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2001
(cho måi thí sinh)
Bài 1. Tìm các giá trà nguyên x, y tho£ mãn ¯ng thùc
(y + 2)x2 + 1 = y2
Bài 2.
www.vnmath.com
27. 1.24. · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2001(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)25
1. Gi£i ph÷ìng trình
p
x(3x + 1) −
p
p
x2
x(x − 1) = 2
2. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
x2 + xy + 2 = 3x + y
x2 + y2 = 2
Bài 3. Cho nûa vòng tròn ÷íng kính AB = 2a. Trên o¤n AB l§y
iºm M. Trong nûa m°t ph¯ng bí AB chùa nûa vòng tròn, ta k´ hai tia
Mx và My sao choAMx =BMx = 300. Tia Mx ct nûa vòng tròn ð E,
tia My ct nûa vòng tròn ð F. K´ EE0, FF0 vuông góc xuèng AB.
1. Cho AM = a
2 , tính di»n tích hình thang vuông EE0F0F theo a.
2. Khi iºm M di ëng trên AB, chùng minh r¬ng ÷íng th¯ng EF luôn
ti¸p xúc vîi mët vòng tròn cè ành.
Bài 4. Gi£ sû x, y, z là các sè thüc khác không tho£ mãn h» ¯ng thùc:
(
x
1
y + 1
z
+ y
1
z + 1
x
+ z
1
x + 1
y
= −2
x3 + y3 + z3 = 1
Hãy tính giá trà cõa biºu thùc
P =
1
x
+
1
y
+
1
z
Bài 5. Vîi x, y, z là nhúng sè thüc d÷ìng, hãy tìm giá trà lîn nh§t cõa
biºu thùc
M =
xyz
(x + y)(y + z)(z + x)
1.24 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2001
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1.
1. Cho f(x) = ax2 + bx + c có tính ch§t f(x) nhªn giá trà nguyên khi x
là sè nguyên. Häi các h» sè a, b, c có nh§t thi¸t ph£i là các sè nguyên
hay không? T¤i sao?
www.vnmath.com
28. 26 Ch÷ìng 1. · thi tuyºn sinh lîp 10
2. Tìm các sè nguyên không âm x, y tho£ mãn ¯ng thùc:
x2 = y2 +
p
y + 1
Bài 2. Gi£i ph÷ìng trình
p
x + 1 = x2 − 5x + 14
4
Bài 3. Cho các sè thüc a, b, x, y tho£ mãn h»
8
:
ax + by = 3
ax2 + by2 = 5
ax3 + by3 = 9
ax4 + by4 = 17
Hãy tính giá trà cõa biºu thùc
A = ax5 + by5
B = ax2001 + by2001
Bài 4. Cho o¤n th¯ng AB có trung iºm là O. Gåi d1, d2 là các ÷íng
th¯ng vuông góc vîi AB t÷ìng ùng t¤i A và B. Mët góc vuông ¿nh O có
mët c¤nh ct d1 ð M, còn c¤nh kia ct d2 ð N. K´ OH vuông góc xuèng
MN. Vòng tròn ngo¤i ti¸p tam giác MHB ct d1 ð iºm thù hai E khác
M, MB ct NA ð I, ÷íng th¯ng HI ct EB ð K. Chùng minh r¬ng K
n¬m trên mët vòng tròn cè ành khi góc vuông quay xung quanh ¿nh O.
Bài 5. Cho 2001 çng ti·n, méi çng ti·n ÷ñc sìn mët m°t b¬ng màu
ä và m°t kia b¬ng màu xanh. X¸p 2001 çng ti·n ó theo mët vòng tròn
sao cho t§t c£ các çng ti·n ·u có m°t xanh ngûa lên phía trên. Cho phép
méi l¦n êi m°t çng thíi 5 çng ti·n liên ti¸p c¤nh nhau. Häi vîi cách làm
nh÷ th¸, sau mët sè húu h¤n l¦n ta có thº làm cho t§t c£ các çng ti·n ·u
có m°t ä ngûa lên phía trên ÷ñc hay không? T¤i sao?
1.25 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2002
(cho måi thí sinh)
Bài 1.
1. Gi£i ph÷ìng trình:
p
8 +
p
x +
p
5 −
p
x = 5
www.vnmath.com
29. 1.26. · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2002(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)27
2. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
(x + 1)(y + 1) = 8
x(x+ 1)+y(y + 1) + xy = 17
Bài 2. Cho a, b, c là ë dài ba c¤nh cõa mët tam giác. Chùng minh r¬ng
ph÷ìng trình x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vô nghi»m.
Bài 3. Tìm t§t c£ các sè nguyên n sao cho n2 + 2002 là mët sè chính
ph֓ng.
Bài 4. Tìm giá trà nhä nh§t cõa biºu thùc
P =
1
1 + xy
+
1
1 + yz
+
1
1 + zx
trong ó x, y, z là các sè d÷ìng thay êi tho£ mãn i·u ki»n x2+y2+z2 6 3.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD, M là iºm thay êi trên c¤nh BC (M
không trùng vîi B) và N là iºm thay êi trên c¤nh CD (N không trùng
vîi D) sao cho:
MAN =MAB +NAD
1. BD ct AN và AM t÷ìng ùng t¤i P và Q. Chùng minh r¬ng nam
iºm P,Q,M,C,N cùng n¬m trên mët ÷íng tròn.
2. Chùng minh r¬ng ÷íng th¯ng MN luôn ti¸p xúc vîi mët ÷íng tròn
cè ành khi M và N thay êi.
3. Ký hi»u di»n tích cõa tam giác APQ là S1 là di»n tích cõa tù giác
PQMN là S2. Chùng minh r¬ng t¿ sè S1
S2
không êi khi M và N thay
êi.
1.26 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2002
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1.
1. Gi£i ph÷ìng trình:
p
x2 − 3x + 2+
p
x + 3 =
p
x − 2+
p
x2 + 2x − 3
2. Tìm nghi»m nguyên cõa ph÷ìng trình
x + xy + y = 9
www.vnmath.com
30. 28 Ch÷ìng 1. · thi tuyºn sinh lîp 10
Bài 2. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
x2 + y2 + xy = 1
x3 + y3 = x+ 3y
Bài 3. Cho m÷íi sè nguyên d÷ìng 1, 2, . . . , 10. Sp x¸p m÷íi sè ó mët
cách tuy ý thành mët hàng. Cëng méi sè vîi sè thù tü cõa nó trong hàng,
ta ÷ñc m÷íi têng. Chùng minh r¬ng trong m÷íi têng ó tçn t¤i ít nh§t
hai têng có chú sè tªn cùng gièng nhau.
Bài 4. Tìm giá trà nhä nh§t cõa biºu thùc
P =
4a
b + c − a
+
9b
a + c − b
+
16c
a + b − c
trong ó a, b, c là ë dài ba c¤nh cõa mët tam giác.
Bài 5. ÷íng tròn (C) tâm I nëi ti¸p tam giác ABC ti¸p xúc vîi các
c¤nh BC,CA,AB t÷ìng ùng t¤i các iºm A0,B0,C0.
1. Gåi các giao iºm cõa ÷íng tròn (C) vîi các o¤n IA,IB,IC l¦n
l÷ñt là M,N,P. Chùng minh r¬ng các ÷íng th¯ng A0M,B0N,C0P
çng quy.
2. Kéo dài o¤n AI ct ÷íng tròn ngo¤i ti¸p tam giác ABC t¤i D (khác
A). Chùng minh r¬ng IB.IC
ID = 2r trong ó r là bán kính ÷íng tròn
(C).
1.27 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2003
(cho måi thí sinh)
Bài 1. Gi£i ph÷ìng trình
(
p
x + 5 −
p
x + 2)(1 +
p
x2 + 7x + 10 = 3
Bài 2. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
2x3 + 3x2y = 5
y3 + 6xy2 = 7
Bài 3. Tìm các sè nguyên x, y tho£ mãn ¯ng thùc
2y2x + x + y + 1 = x2 + 2y2 + xy
Bài 4. Cho nûa ÷íng tròn (O) ÷íng kính AB = 2R (R là mët ë
dài cho tr÷îc), M,N là hai iºm trên nûa ÷íng tròn (O) sao cho M thuëc
cung AN và têng các kho£ng cách tø A,B ¸n ÷íng th¯ng MN b¬ng
R
p
3.
www.vnmath.com
31. 1.28. · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2003(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)29
1. Tính ë dài o¤n MN theo R.
2. Gåi giao iºm cõa hai dây AN và BM là I, giao iºm cõa các ÷íng
th¯ng AM và BN là K. Chùng minh r¬ng bèn iºm M,N, I,K cùng
n¬m trên mët ÷íng tròn. Tính bán kính cõa ÷íng tròn ó theo R.
3. Tìm giá trà lîn nh§t cõa di»n tích tam giác KAB theo R khi M,N
thay êi nh÷ng v¨n tho£ mãn gi£ thi¸t cõa bài toán.
Bài 5. x, y, z là các sè thüc tho£ mãn i·u ki»n
x + y + z + xy + yz + zx = 6
Chùng minh r¬ng: x2 + y2 + z2 3.
1.28 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2003
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1. Cho ph÷ìng trình
x4 + 2mx2 + 4 = 0
Tìm giá trà cõa tham sè m º ph÷ìng trình có 4 nghi»m phân bi»t x1, x2, x3, x4
tho£ mãn
x41
+ x42
+ x43
+ x44
= 32
Bài 2. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
2x2 + xy − y2 − 5x + y + 2 = 0
x2 + y2 + x + y −4 = 0
Bài 3. Tìm các sè nguyên x, y tho£ mãn ¯ng thùc
x2 + xy + y2 = x2y2
Bài 4. Cho ÷íng tròn tâm O nëi ti¸p tam giác ABC ti¸p xúc vîi các
c¤nh BC,CA,AB t÷ìng ùng t¤i các iºm D,E,F. ÷íng tròn tâm O0 bàng
ti¸p trong góc [BAC cõa tam giác ABC ti¸p xúc vîi c¤nh BC và ph¦n kéo
dài cõa các c¤nh AB,AC t÷ìng ùng t¤i các iºm P,M,N.
1. Chùng minh r¬ng: BP = CD.
2. Trên ÷íng th¯ngMN ta l§y các iºm I và K sao cho CK//AB,BI//AC.
Chùng minh r¬ng các tù giác BICE và BKCF là các hình binh hành.
www.vnmath.com
32. 30 Ch÷ìng 1. · thi tuyºn sinh lîp 10
3. Gåi (S) là ÷íng tròn i qua ba iºm I,K,P. Chùng minh r¬ng (S)
ti¸p xúc vîi các ÷íng th¯ng BC,BI,CK.
Bài 5. Sè thüc x thay êi và tho£ mãn i·u ki»n x2+(3−x)2 5. Tìm
giá trà nhä nh§t cõa biºu thùc
p = x4 + (3 − x)4 + 6x2(3 − x)2
1.29 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2004
(cho måi thí sinh)
Bài 1.
1. Gi£i ph÷ìng trình
|x + 1| + |x − 1| = 1+|x2 − 1|
2. Tìm nghi»m nguyên cõa h»
(
2y2 − x2 − xy + 2y − 2x = 7
x3 + y3 + x − y = 8
Bài 2. Cho các sè thüc d÷ìng a và b tho£ mãn
a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102
Hãy tính giá trà cõa biºu thùc
P = a2004 + b2004
Bài 3. Cho 4ABC có AB = 3cm,BC = 4cm,CA = 5cm. ÷íng cao,
÷íng phân giác, ÷íng trung tuy¸n cõa tam giác k´ tø ¿nh B chia tam
giác thành 4 ph¦n. Tính di»n tích méi ph¦n.
Bài 4. Cho tù giác ABCD nëi ti¸p trong ÷íng tròn có hai ÷íng chéo
AC và BD vuông góc vîi nhau t¤i H (H không trùng vîi tâm cõa ÷íng
tròn). Gåi M và N l¦n l÷ñt là chân các ÷íng vuông góc h¤ tø H xuèng các
÷íng th¯ng AB và BC; P và Q l¦n l÷ñt là giao iºm cõa ÷íng th¯ng MH
và NH vîi các ÷íng th¯ng CD và DA. Chùng minh r¬ng ÷íng th¯ng
PQ song song vîi ÷íng th¯ng AC và bèn iºm M,N,P,Q n¬m trên cùng
mët ÷íng tròn.
Bài 5. Tìm giá trà nhä nh§t cõa biºu thùc
Q =
1
2
x10
y2 +
y10
x2
+
1
4
(x16 + y16) − (1 + x2y2)2
www.vnmath.com
33. 1.30. · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2004(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)31
1.30 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2004
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1. Gi£i ph÷ìng trình
p
x+ 3+
p
x − 1 = 2
Bài 2. Gi£i h» ph÷ìng trình
(x + y)(x2 + y2) = 15(x − y)(x2 − y2) = 3
Bài 3. Tìm giá trà nhä nh§t cõa biºu thùc
P =
(x3 + y3) − (x2 + y2)
(x − 1)(y − 1)
trong ó, x, y là nhúng sè thüc lîn hìn 1.
Bài 4. Cho hình vuông ABCD và iºm M n¬m trong hình vuông.
1. Tìm t§t c£ các và trí cõa iºm M sao choMAB =MBC =MCD =
MDA
2. Xét iºm M n¬m trên ÷íng chéo AC. Gåi N là chân ÷íng vuông
góc h¤ tø iºmM xuèng AB và O là trung iºm cõa o¤n AM. Chùng
minh r¬ng t sè OB
CN có giá trà không êi khi M di chuyºn trên ÷íng
chéo AC.
3. Vîi gi£ thi¸t M n¬m trên ÷íng chéo AC, xét các ÷íng tròn (S1) và
(S2) có ÷íng kính t÷ìng ùng là AM và CN. Hai ti¸p tuy¸n chung
cõa (S1) và (S2) ti¸p xúc vîi (S2) t¤i P và Q. Chùng minh r¬ng ÷íng
th¯ng PQ ti¸p xúc vîi (S1)
Bài 5. Vîi sè thüc a, ta ành nghia ph¦n nguyên cõa sè a là sè nguyên
lîn nh§t không v÷ñt quá a và ký hi»u là [a]. Dãy các sè x0, x1, x2, . . . ,xn, . . .
÷ñc xác ành bði công thùc
xn =
hn + 1
p
2
i
−
h n
p
2
i
Häi trong 200 sè {x0, x1, . . . ,x199} có bao nhiêu sè khác 0? (Cho bi¸t
1, 41
p
2 1, 42).
www.vnmath.com
34. 32 Ch÷ìng 1. · thi tuyºn sinh lîp 10
1.31 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2005
(cho måi thí sinh)
Bài 1. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
x + y + xy = 3
x2 + y2 = 2
Bài 2. Gi£i ph÷ìng trình
p
x + 3 + 2
x + 4
p
3 − 2x = 11
Bài 3. Tìm nghi»m nguyên cõa ph÷ìng trình
x2 + 17y2 + 34xy + 51(x + y) = 1740
Bài 4. Cho ÷íng tròn (O), (O0) n¬m ngoài nhau có tâm t÷ìng ùng là
O và O0. Mët ti¸p tuy¸n chung ngoài cõa hai ÷íng tròn ti¸p xúc vîi (O)
t¤i A và (O0) t¤i B. Mët ti¸p tuy¸n chung trong cõa hai ÷íng tròn ct AB
t¤i I, ti¸p xúc vîi (O) t¤i C và (O0) t¤i D. Bi¸t C n¬m giúa I và D.
1. Hai ÷íng th¯ng OC,O0B ct nhau t¤i M. Chùng minh r¬ng OM
O0M.
2. Ký hi»u (S) là ÷íng tròn i qua A,C,B và (S0) là ÷íng tròn i
qua A,D,B. ÷íng th¯ng CD ct (S) t¤i E khác C và ct (S0) t¤i
F khác D. Chùng minh r¬ng AF vuông góc vîi BE.
Bài 5. Gi£ sû x, y, z là các sè d÷ìng thay êi và tho£ mãn i·u ki»n
xy2z2 + x2z + y = 3z2. Hãy tìm giá trà lîn nh§t cõa biºu thùc
P =
z4
1 + z4(x4 + y4)
1.32 · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2005
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1. Gi£i ph÷ìng trình
p
2 − x +
p
2 + x +
p
4 − x2 = 2
Bài 2. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
x3 + y3 − xy2 = 1
4x4 + y4 = 4x + y
Bài 3. Gi£ sû x, y là nhúng sè không âm tho£ mãn i·u ki»n x2+y2 = 1
www.vnmath.com
35. 1.32. · thi tuyºn sinh lîp 10 nam 2005(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)33
1. Chùng minh r¬ng 1 6 x + y 6
p
2
2. Tìm giá trà lîn nh§t và giá trà nhä nh§t cõa biºu thùc
P =
p
1 + 2x +
p
1 + 2y
Bài 4. Cho hinh vuông ABCD và iºm P n¬m trong tam giác ABC.
1. Gi£ sû gócBPC = 1350. Chùng minh r¬ng 2PB2 + PC2 = PA2.
2. Các ÷íng th¯ng AP và CP ct các c¤nh BC và BA t÷ìng ùng t¤i
các iºm M và N. Gåi Q là iºm èi xùng vîi B qua trung iºm cõa
o¤n MN. Chùng minh r¬ng khi P thay êi trong 4ABC, ÷íng
th¯ng PQ luôn i qua D.
Bài 5.
1. Cho a giác ·u (H) có 14 ¿nh. Chùng minh r¬ng trong 6 ¿nh b§t
ky cõa (H) luôn có 4 ¿nh là các ¿nh cõa mët hình thang
2. Có bao nhiêu phân sè tèi gi£n m
n lîn hìn 1 (m, n là các sè nguyên
d÷ìng) tho£ mãn m.n = 13860.
www.vnmath.com
36. Ch֓ng 2
áp án tuyºn sinh
2.1 áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1989
(cho måi thí sinh)
Bài 1. Gåi tªp hñp các sè chính ph÷ìng là . P(x) = ax2 + bx + c Ta có
P(0) = c 2 ! c = c21
, c1 2 Z
P(1) = a + b + c 2
P(−1) = a − b + c 2 !
(
a + b 2 Z
a − b 2 Z
!
(
2a = a1 2 Z
2a = b1 2 Z
P(4) = 16a + 4b + c21
= k2, k 2 Z ! 8a1 + 2b1 = k2 − c21
Do 8a1 + 2b1 ch®n nên k2 − c21
ch®n hay k và c1 cùng tính ch®n, l´ nên
k2 − c21 ...
4 ! b1
...
2 ! b =
b1
2
2 Z
Do a − b 2 Z nên tø ây ta có a 2 Z
P(2) = 4a+ 2b + c21
= t2, t2 Z ! 4a+2b = t2 − c21
! t2 − c21
là ch®n
suy ra t và c1 cùng tính ch®n, l´ nên ta có t2 − c21
.. .4 ! b là ch®n
Vªy a, b, c 2 Z và b ch®n.
Bài 2. °t
P = a2 + ab + b2 − 3a − 3b + 1989
! 4P = a2 − 2ab + b2 + 3(a2 + b2 + 4 + 2ab − 4a − 4b) + 4.1989 − 12
= (a − b)2 + 3(a + b − 2)2 + 4.1986 4.1986
Suy ra P 1986, d§u = ¤t ÷ñc khi và ch¿ khi
(
a − b = 0
a + b − 2 = 0
! a = b = 1
34
www.vnmath.com
37. 2.1. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1989 (cho måi thí sinh) 35
Vªy P ¤t giá trà bé nh§t b¬ng 1986, ¤t ÷ñc khi a = b = 1
Bài 3. Gåi 52 sè nguyên d÷ìng b§t ky ã cho là a1, a2, . . . ,a52. Méi sè ai
·u có d¤ng ai = 100bi +ci, trong ó bi, ci 2 N và 0 ci 99, (i = 1, 52).
N¸u trong sè c1, c2, . . . , c52 có hai sè b¬ng nhau, gi£ sû ci = ck ! ai−ak =
100(bi − bk)
.. .100.
N¸u t§t c£ c1, c2, . . . , c52 ôi mët khác nhau thì có ít nh§t 51 sè khác
50, gi£ sû ó là c1, c2, . . . , c51. Khi ó ta °t di = 100 − ci thì d1, d2, . . . ,d51
là các sè nguyên khác nhau và 1 di 100. Nh÷ vªy 102 sè c1, c2, . . . , c52,
d1, d2, . . . ,d51 ch¿ nhªn không quá 101 giá trà (tø 0 ¸n 100) và do ó có 2 sè
trong chúng b¬ng nhau. Do các sè c1, c2, . . . , c51 khác nhau và d1, d2, . . . ,d51
khác nhau nên hai sè b¬ng nhau là ci và dk nào ó suy ra ci = dk = 100 −
ck ! ci+ck = 100, ð ây i6= k vì ci6= 50 ! ai+ak = 100(bi+bk)+100
...
100.
Bài 4 Kéo dài BE,CF các o¤n EI = BE và FK = CF. Khi ó
4ABI,4ACK cân ð A vàBAK =CAK = 30.
1. N¸u [BAC = 150 thì B,A,K th¯ng hàng, C,A,K th¯ng hàng và
BK = BA = AK = IA + AC = IC.
Do E,M, F là các trung iºm cõa IB,BC,CK nên EM = 1
2IC =
1
2BK = MF )4MEF cân ð M
2. Gåi giao iºm cõa IC và BK là O thì trong måi tr÷íng hñp ta ·u có
A,B,O, I cùng n¬m trên mët ÷íng tròn và góc giúa hai tia BK,CI
b¬ng 150. Tø ó ta cóMEF =MFE = 15.
Bài 5. Gi£ sû theo thù tü 9 b¤n håc sinh là a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9.
Ta chùng minh bài toán b¬ng ph£n chùng.
Gi£ sû ng÷ñc l¤i: Không có b¤n nào ùng cách ·u hai b¤n cùng lîp (1).
Không m§t têng quát gi£ sû a5 là håc sinh lîp A, khi ó a4 và a6 không
thº cùng thuëc lîp A. Vì vªy có hai kh£ nang sau:
1. a4 và a6 cùng thuëc lîp B. Khi ó do a4 cách ·u a2 và a6, còn a6
cách ·u a4 và a8 nên a2 và a8 thuëc lîp A suy ra a5 ùng cách ·u
hai b¤n cùng lîp là a2 và a8, trái vîi gi£ thi¸t (1).
2. a4 và a6 thuëc hai lîp khác nhau, không m§t têng quát gi£ sû a4 thuëc
lîp A còn a6 thuëc lîp B. Do a4 cách ·u a3 và a5, nên a3 thuëc lîp
B. Do a6 cách ·u a3 và a9 nên a9 thuëc lîp A. Do a5 cách ·u a1 và
a9 nên a1 thuëc lîp B. Do a2 cách ·u a1, a3 nên a2 thuëc lîp A. Do
a5 cách ·u a2, a8 nên a8 thuëc lîp B. Do a6, a8 thuëc lîp B nên a7
thuëc lîp A. Nh÷ vªy a7 ùng cách ·u hai b¤n cùng lîp A là a5 và
a9, trái vîi gi£ thi¸t (1).
Vªy c£ hai kh£ nang a) và b) ·u d¨n ¸n vô lý nên i·u gi£ sû (1) là
sai.
www.vnmath.com
38. 36 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
2.2 áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1989
(cho thí sinh chuyên lý)
Bài 1.
f(x) =
−2x2 + x + 36
2x + 3
= −x + 2+
30
2x + 3
Vîi x nguyên f(x) là sè nguyên khi và ch¿ khi 2x + 3 là ÷îc sè cõa
30. Do 2x + 3 là l´ nên 2x + 3 ch¿ có thº nhªn mët trong tám giá trà là
±1,±3,±5,±15, tø ó thu ÷ñc 8 giá trà c¦n tìm cõa x là −9,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 6.
Bài 2. °t P = a2 + ab + b2 − 3a − 3b + 3 ta có
4P = a2 − 2ab + b2 + 3(a2 + b2 + 4 + 2ab − 4a − 4b)
= (a − b)2 + 3(a + b − 2)2 0
Suy ra P 0, d§u = ¤t ÷ñc khi và ch¿ khi
(
a − b = 0
a + b − 2 = 0
) a = b = 1
Vªy P ¤t giá trà bé nh§t b¬ng 0, ¤t ÷ñc khi và ch¿ khi a = b = 1
Bài 3
1. Vîi m nguyên d÷ìng ta có m2 m2 + m + 1 (m + 1)2. Do ó
m
p
m2 + m + 1 m+1 !
p
m2 + m + 1 không là sè nguyên hay
m2 + m + 1 không là sè chính ph÷ìng.
2. Gi£ sû ng÷ñc l¤i: m(m+1) b¬ng tích cõa 4 sè nguyên liên ti¸p, tùc là
tçn t¤i a 2 Z mà m(m+1) = a(a+1)(a +2)(a+3) = (a2 +3a)(a2 +
3a + 2) = n(n + 2), vîi n = a2 + 3a 2 Z.
Vªy m(m+1) = n(n+2) suy ra m2 +m+1 = n2 +2n+1 = (n+1)2
hay m2 +m+1 là sè chính ph÷ìng, trái vîi k¸t luªn câu 1) nên i·u
gi£ sû m(m+ 1) b¬ng tích cõa 4 sè nguyên liên ti¸p là sai.
Bài 4.
www.vnmath.com
39. 2.3. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1989 (cho thí sinh chuyên toán - tin håc) 37
Gi£ sû AH ct MC ð I. Gåi trung iºm cõa BH là K thì MK//AM.
D¹ th§y ba tam giác vuông AMC, IAC và IMA çng d¤ng mà AC = 2AM
nên IC = 2IA = 4IM suy ra
MK
MC
=
IM
IC
=
1
4
!
BH
HC
=
2HK
HC
=
1
2
Vªy
BH
HC
=
1
2
Bài 5. Gåi 6 thành phè ã cho là A,B,C,D,E,F.
Xét thành phè A. Trong 5 thành phè còn l¤i thì có ít nh§t 3 thành phè
liên l¤c ÷ñc vîi A ho°c có ít nh§t ba thành phè không liên l¤c ÷ñc vîi A
(vì n¸u sè thành phè liên l¤c ÷ñc vîi A không v÷ñt quá 2 và sè thành phè
không liên l¤c ÷ñc vîi A cung không v÷ñt quá 2 thì ngoài A, sè thành phè
còn l¤i không v÷ñt quá 4). Ta xét c£ hai kh£ nang.
a) Sè thành phè liên l¤c ÷ñc vîi A không ít hìn 3, gi£ sû B,C,D liên
l¤c ÷ñc vîi A. Theo gi£ thi¸t, trong 3 thành phè B,C,D có hai thành phè
liên l¤c ÷ñc vîi nhau, khi ó hai thành phè này cùng vîi A là ba thành
phè (ôi mët) liên l¤c ÷ñc vîi nhau.
b) Sè thành phè không liên l¤c ÷ñc vîi A không ít hìn 3, gi£ sû ba
thành phè không liên l¤c ÷ñc vîi A là D,E,F. Khi ó trong bë ba thành
phè (A,D,E) thì D và E liên l¤c ÷ñc vîi nhau (vì D,E không liên l¤c
÷ñc vîi A).
T÷ìng tü, trong các bë ba (A,E, F), (A,F,D) thì E và F liên l¤c ÷ñc
vîi nhau, F và D liên l¤c ÷ñc vîi nhau và nh÷ vªy D,E,F là ba thành
phè (ôi mët) liên l¤c ÷ñc vîi nhau.
2.3 áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1989
(cho thí sinh chuyên toán - tin håc)
Bài 1.
a4 + b4 + c4 − 2a2b2 − 2b2c2 − 2c2a2 =
= (a2 + b2 − c2)2 − 4a2b2
= (a2 + b2 − c2 + 2ab)(a2 + b2 − c2 − 2ab)
= [(a + b)2 − c2][(a− b)2 − c2]
= (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(a − b − c)
Bài 2.
www.vnmath.com
40. 38 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
1.
x
x2 + x+ 1
= −
2
3
)
x2 + x + 1
x2 = −
3
2
)x +
1
x
+ 1 = −
3
2
) x +
1
x
= −
5
2
)
x4 + x2 + 1
x2 = x2 +
1
x2 + 1 =
x +
1
x
2
−1 =
25
4
−1 =
21
4
Vªy
x2
x4 + x2 + 1
=
4
21
Chú ý: Có thº gi£i ph÷ìng trình x
x2+x+1 = −2
3, thu ÷ñc hai nghi»m
2 . Tø ó ta có: x2
x4+x2+1 = 4
21.
x1 = 2 và x2 = 1
2.
P(x) =
x2
x4 + x2 + 1
Ta có P(x) 0 vîi måi x6= 0 và P(0) = 0.
Vîi x6= 0 ta có 1
P(x) = x2 + 1
x2 + 1 3 (vì x2 + 1
x2 2)
D§u = ¤t ÷ñc khi và ch¿ khi x2 = 1 ! x = ±1. Vªy P(x) 1
3
hay P(x) ¤t giá trà lîn nh§t b¬ng 1
3, ¤t ÷ñc khi và ch¿ khi x = ±1.
Bài 3.
P(n) = an + bn + c )
8
:
P(1) = a + b + c
P(2) = a2 + 2b + c
P(3) = a3 + 3b + c
Tø ó ta có
P(2) − P(1)
...
.. .m
m , a(a − 1) + b
! 2ba(a − 1) + 2b2...
m (1)
và
[a(a − 1) + b]2...
m , a2(a − 1)2 + 2ba(a − 1) + b2.. .m (2)
P(1) + P(3) − 2P(2)
...
.. .m ) a(a − 1)2...
m , a3 − 2a2 + a
m ) a2(a − 1)2.. .m
www.vnmath.com
41. 2.3. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1989 (cho thí sinh chuyên toán - tin håc) 39
Do ó, tø (2) ta có
2ba(a − 1) + b2...
m (3)
Tø (1) và (3) ta suy ra b2...
m.
Có thº th§y r¬ng tø gi£ thi¸t cõa bài toán không suy ra ÷ñc b
.. .m. Thªt
vªy, vîi a = 3, b = 2, c = 3 thì P(n) = 3n + 2n + 3. Chån m = 4 khi ó:
.. .4, do ó P(n) = 3n + 1 + 2(n + 1)
Vîi n l´ thì d¹ th§y 3n + 1
...
4
...
Vîi n ch®n thì d¹ th§y 3n + 3
4, do ó P(n) = 3n + 3 + 2n
...
4
Vªy vîi måi sè nguyên d÷ìng n ta có P(n)
...
4, nh÷ng b = 2 không chia
h¸t cho 4.
Bài 4. Gåi trung iºm cõa CF là O thì MIOH và KLON là các hình
bình hành. Suy ra hai o¤n MO, IH có chung trung iºm P và hai o¤n
KO,LN có chung trung iºm Q. Có hai kh£ nang:
1. M,O,K không th¯ng hàng. Khi ó MQ là ÷íng trung tuy¸n chung
cõa 4MLN và 4MOK. Do vªy trång tâm G cõa 4MLN cung là
trång tâm 4MOK. T÷ìng tü, KP là ÷íng trung tuy¸n chung cõa
4MOK và 4IKH nên trång tâm G cõa 4MOK cung là trång tâm
4IKH. Vªy trång tâm hai tam giác MLN và IKH trùng nhau.
2. M,O,K th¯ng hàng. Gåi G và G0 là trång tâm 4MLN và 4IKH
t÷ìng ùng. °t MP = PO = a,OQ = QK = b.
Khi ó
MG =
2
3
MQ =
2
3
(2a + b) =
4
3
a +
2
3
b
KG0 =
2
3
KP =
2
3
(2b + a) =
4
3
b +
2
3
a
) MG0 = MK − KG0 = 2a + 2b −
4
3
b +
2
3
=
a
4
3
a +
2
3
b = MG
Do G,G0 cùng thuëc o¤n MK nên tø ây ta có G0 G
Bài 5. Gåi têng sè håc sinh là T thì T = a1 + a3 + · · · + an. Gåi sè lîp
có úng i håc sinh là pi (i = 1,M).
1. D¹ th§y T = 1p1 + 2p2 + 3p3 + · · · + MpM. M°t khác do dk là sè lîp
www.vnmath.com
42. 40 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
mà trong méi lîp ó có sè håc sinh không ít hìn k nên
d1 = p1 + p2 + p3 + · · · + pM−1 + pM (1)
d2 = p2 + p3 + · · · + pM−1 + pM (2)
d3 = p3 + · · · + pM−1 + pM (3)
. . . . . .
dM−1 = pM−1 + pM (M-1)
dM = pM (M)
Cëng các ¯ng thùc trên l¤i ta ÷ñc
d1+d2+· · ·+dM = 1p1+2p2+3p3+· · ·+MpM = T = a1+a2+· · ·+an
2. Ta có a21
+a22
+· · · +a2
n = p112 + p222 + · · ·+pMM2. M°t khác, nhân
các ¯ng thùc (1), (2), (3), . . . , (M) ð câu 1) vîi 1, 3, 5, . . . , (2M − 1)
t÷ìng ùng rçi cëng l¤i ta ÷ñc
d1 + 3d2+5d3 + · · · + (2M − 1)dM =
= p1 + (1 + 3)p2 + (1+3 + 5)p3 + · · ·+
+ (1 + 3 + 5+· · · + (2M − 1))pM
= 12P1 + 22p2 + 33p3 + · · · +M2pM = a21
+ a22
+ · · · + a2
n
(Chú ý r¬ng 1+3 + 5 + (2k − 1) = k2)
2.4 áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1991
(cho måi thí sinh)
Bài 1.
1. p
a + x +
p
a − x
p
a + x −
p
a − x
=
p
b (1)
º các can có nghia ta ph£i có −a x a. Do v¸ ph£i d÷ìng nên p
p
a + x −
a −x 0 suy ra x 0.
Vªy i·u ki»n èi vîi x là: 0 x a. Vîi i·u ki»n ó (1) t÷ìng
÷ìng vîi
p
a2 − x2
2a + 2
p
a2 − x2
2a − 2
= b )
2a
1 −
p
a2 − x2
−1 = b
2a
b + 1
= a −
p
a2 − x2 )
p
a2 − x2 =
a(b − 1)
b + 1
(2)
www.vnmath.com
43. 2.4. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1991 (cho måi thí sinh) 41
Do ó
N¸u b 1 thì (2) vô nghi»m do ó (1) vô nghi»m
N·u b 1 thì (2) t÷ìng ÷ìng vîi
a2 − x2 =
a2(b − 1)2
(b+ 1)2
) x2 = a2 4b
(b + 1)2
) x = ±
2a
b + 1
p
b
Lo¤i nghi»m âm ta ÷ñc nghi»m x = 2a
b+1
p
b tho£ mãn i·u ki»n
p
b).
0 x a (vì b + 1 2
p
b
b+1
Vªy (1) có nghi»m khi và ch¿ khi b 1 và nghi»m ó là x = 2a
2.
x2 + ax + b + 1 = 0 (1)
Gi£ sû x1, x2 là hai nghi»m nguyên cõa (1). Do b6= −1 nên x16= 0 và
x26= 0. Theo ành lý Viét ta có
(
x1 + x2 = −a
x1x2 = b + 1
! a2 + b2 = (x1 + x2)2 + (x1x2 − 1)2 = x21
+ x22
+ x21
x22
+ 1
= (x21
+ 1)(x22
+ 1)
Do x1, x2 là các sè nguyên khác 0 nên x21
+1 và x22
+1 là các sè nguyên
không bé hìn 2 và nh÷ vªy a2 + b2 là hñp sè.
Bài 2. 8
:
a3x + a2y + az = 1
b3x + b2y + bz = 1
c3x + c2y + cz = 1
Nhân (1) vîi b và (2) vîi a rçi trø tøng v¸ cho nhau, sau ó chia cho
a − b6= 0 ta ÷ñc ph÷ìng trình
ab(a + b)x + aby = −1 (4)
T÷ìng tü, nhân (1) vîi c và (3) vîi a rçi trø tøng v¸ cho nhau, sau ó chia
cho a − c6= 0 ta ÷ñc
ac(a + c)x + acy = −1 (5)
www.vnmath.com
44. 42 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
Khi ó h» ã cho t÷ìng ÷ìng vîi
8
:
a3x + a2y + az = 1
ab(a + b)x + aby = −1
ac(a + c)x + acy = −1
Nhân (4) vîi c, (5) vîi b rçi trø tøng v¸ cho nhau, sau ó chia cho b−c6= 0
ta ֖c abcx = 1 hay x = 1
abc . Thay x = 1
abc vào (4) thu ÷ñc y = −a+b+c
abc .
Thay x = 1
abc, y = −a+b+c
abc vào (1) thu ÷ñc z = ab+bc+ca
abc . Vªy nghi»m cõa
h» ã cho là
x =
1
abc
, y= −
a + b + c
abc
, z=
ab + bc + ca
abc
Bài 3 D¹ th§y 7x chia 4 d÷ 3 n¸u x l´ và d÷ 1 n¸u x ch®n. Ph÷ìng trình
ã cho t÷ìng ÷ìng vîi
7x − 1 = 3.2y (1)
N¸u x l´ thì 7x − 1 chia 4 d÷ 2 còn vîi y 2 thì 3.2y...
4 do ó y ch¿ có
thº là 1. Vîi y = 1 ta ÷ñc nghi»m là x = 1, y = 1.
N¸u x ch®n tùc là x = 2z (z nguyên d÷ìng) ph÷ìng trình (1) có d¤ng
(7z + 1)(7z − 1) = 3.2y (2)
Vì 2,3 là các sè nguyên tè, nên (2) là d¤ng phân tích cõa (7z + 1)(7z − 1)
thành tích các thøa sè nguyên tè.
Do 7z +1 chia 3 d÷ 2 nên 7z +1 = 2n.(3) vîi n là sè nguyên d÷ìng nào
ó. Tø ó ta có 7z −1 = 2n − 2 suy ra (2) có d¤ng
2n(2n − 2) = 3.2y ) 2n+1(2n−1 − 1) = 3.2y
Do ó 2n−1 −1 không chia h¸t cho 2 nên 2n−1 −1 = 3 hay n = 3. Thay vào
(3) ta thu ÷ñc z = 1 suy ra x = 2. Thay x = 2 vào (1) ta ÷ñc nghi»m là
x = 2, y = 4.
Vªy ph÷ìng trình ã cho có hai nghi»m nguyên d÷ìng là x = 1, y = 1
và x = 2, y = 4
Bài 4.
1. Gåi các giao iºm cõa EF vîi AB,CD t÷ìng ùng là I,K. Qua F k´
÷íng th¯ng song song vîi AB và CD ct AD ð M, ct BC ð N.
Ta có
MF
DC
=
AM
AD
=
BN
BC
=
FN
DC
) MF = FN
www.vnmath.com
45. 2.4. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1991 (cho måi thí sinh) 43
Do AB//MN,CD//MN nên ba ÷íng th¯ng çng quy EC,ED,EK
ct các ÷íng th¯ng AB,MN,DC thành các o¤n th¯ng t l»
IA
IB
=
KD
KC
=
FM
FN
= 1
Suy ra EF i qua các trung iºm I,K cõa AB và CD
2.
SIJK = SNJC ) SICK = SICN ) KN//IC
Khi ó theo (1) thì AJ i qua trung iºm E cõa KN suy ra SAKJ =
SANJ mà SAKP = SCJN nên
SAPJ = SAIC ) PJ = JC ) SBPJ = SBJC
Do SBIM = SIJK nên tø ây ta có SBIKP = SCJIM. T÷ìng tü ta chùng
minh ÷ñc SCJIM = SAKJN. Vªy di»n tích cõa ba tù giác không g¤ch
chéo b¬ng nhau.
Bài 5. Trên nûa ÷íng tròn ÷íng kính AB ta l§y 1991 iºm khác
nhau và khác A,B : A1,A2,A3, . . . ,A1991. Gi£ sû Ai,Aj,Ak là ba iºm b§t
www.vnmath.com
46. 44 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
ky trong chúng, khi ó Ai,Aj,Ak không th¯ng hàng. Gi£ sû trên nûa ÷íng
tròn ã cho AJ n¬m giúa Ai và Ak (tùc Aj thuëc cung nhä AjAk) khi ó
AiAjAk 90 và 4AiAjAk là tam giác tù
Vªy trên m°t ph¯ng tçn t¤i 1991 iºm mà ba iºm b§t ky trong chúng
là ba ¿nh cõa mët tam giác tù.
2.5 áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1991
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1.
1. Rút gån
A =
q
3
p
3 − 4
2
p
2
q
6
44 + 16
p
6
=
q
3
p
3 − 4
2
q
(2
p
2 6
p
3 + 4
p
2)2
q
= 3
(2
p
3 − 4
p
2)(2
p
3 + 4
p
2) = − 3 p
20
2. P = (x − y)5 + (y − z)5 + (z − x)5
°t a = x − y, b = y − z, z − x = −(a + b) Khi ó
P = a5 + b5 − (a + b)5 = (a + b)[a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4 − (a + b)4]
= (a + b)(a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4 − a4 − 4a3b − 6a2b2 − 4ab3 − b4)
= (a + b)[−5(a3b + a2b2 + ab3)] = −5(a + b)ab(a2 + ab + b2)
= 5(x − y)(y − z)(z − x)[(x − y)2 + (x − y)(y − z) + (y − z)2]
= 5(x − y)(y − z)(z − x)(x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx)
Bài 2.
1. 8
:
a + b + c = 0
+
66. b2 +
c2 = 0
2. 0 a, b, c, d 1. °t P = a + b + c + d − ab − bc − cd − da
a) Ta có
a − ab = a(1 − b) 0 d§u = ¤t ÷ñc , a = 0 ho°c b = 1
(1)
b − bc 0 d§u = ¤t ÷ñc , b = 0 ho°c c = 1
(2)
c − cd 0 d§u = ¤t ÷ñc , c = 0 ho°c d = 1
(3)
d − da 0 d§u = ¤t ÷ñc , d = 0 ho°c a = 1
(4)
Cëng bèn b§t ¯ng thùc trên ta ÷ñc P 0
Gi£ sû d§u = ¤t ÷ñc, khi ó c£ bèn b§t ¯ng thùc ð (1), (2), (3),
(4) ph£i là ¯ng thùc. Tø (1) ta có a = 0 ho°c b = 1.
N¸u a = 0 thì tø (4) ta có d = 0, do ó tø (3) ta có c = 0 và tø (2)
suy ra b = 0. Vªy a = b = c = d = 0
www.vnmath.com
67. 46 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
N¸u b = 1 thì tø (2) ta có c = 1, tø (3) ta có d = 1 và tø (4) suy ra
a = 1. Vªy a = b = c = d = 1
Ng÷ñc l¤i d¹ th§y vîi a = b = c = d = 0 ho°c a = b = c = d = 1 thì
p = 0
Tóm l¤i: P 0, P = 0 khi và ch¿ khi a = b = c = d = 0 ho°c
a = b = c = d = 1
b) Tø (1 − a)(a − b) 0 ! 1 − a − b + ab 0 ! a + b − ab 1.
Vªy
a + b − ab 1, d§u = ¤t ÷ñc , a = 1 ho°c b = 1 (5)
T÷ìng tü
b + c − bc 1, d§u = ¤t ÷ñc , b = 1 ho°c c = 1 (6)
c + d − cd 1, d§u = ¤t ÷ñc , c = 1 ho°c d = 1 (7)
d + a − da 1, d§u = ¤t ÷ñc , d = 1 ho°c a = 1 (8)
M°t khác
(a + c)(b + d) 0 ! ab + bc + cd + da 0
!−(ab + bc + cd + da) 0
D§u = ¤t ÷ñc , a + c = 0 ho°c b + d = 0
! a = c = 0 ho°c b = d = 0 (9)
Cëng các b§t ¯ng thùc ð (5),(6),(7),(8) và (9) ta ÷ñc 2p 4 hay
p 2
N¸u d§u = ¤t ÷ñc thì ð c£ 5 b§t ¯ng thùc ·u có d§u =, nh÷
vªy, tø (9) ta có a = c = 0 ho°c b = d = 0.
Vîi a = c = 0 thì tø (5), (7) suy ra b = d = 1.
Vîi b = d = 0 thì tø (5), (7) suy ra a = c = 1
Ng÷ñc l¤i, vîi a = c = 0, b = d = 1 ho°c b = d = 0, a = c = 1 thì
P = 2.
Tóm l¤i P 2, P = 2 khi và ch¿ khi a = c = 0, b = d = 1 ho°c
b = d = 0, a = c = 1
Chú ý: Có thº gi£i cách khác nh÷ sau:
P = (a + c)(1 − b − d) + b + d
P = (b + d)(1 − a − c) + a + c
!
2P = (a + c)(2 − b − d) + (b + d)(2 − a − c)
1
4
[(a + c + 2 − b − d)2 + (b + d + 2 − a − c)2]
www.vnmath.com
68. 2.5. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1991(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)47
Do a + c + 2 − b − d 0, b+ d + 2 − a − c 0 nên tø ây ta có.
2P
1
4
[(a + c + 2 − b − d) + (b + d + 2 − a − c)]2 = 4 hay P 2
D§u = ¤t ÷ñc khi và ch¿ khi
a + c + 2 − b − d = 0
b + d + 2 − a − c = 0
!
a = c = 0, b= d = 1
b = d = 0, a = c = 1
(vì 0 a, b, c, d 1)
Bài 3. Gi£ sû k là sè tü nhiên tho£ mãn a 10k, d 10k. °t
an = a + nd và xn = an
1991 = a
1991 + n d
1991
Do a
1991 10k và d
1991 0 nên tçn t¤i sè tü nhiên m mà
xm−1 10k xm (1)
M°t khác
xm = xm−1 +
d
1991
xm−1 +
10k
1991
10k +
10k
1991
=
1992.10k
1991
(2)
Tø (1) và (2) ta có
10k xm
1992.10k
1991
! 1991.10k 1991.xm 1992.10k
Hay
1991.10k am 1992.10k
Do ó am = a + md là sè có bèn chú sè ¦u tiên là 1991.
Bài 4. Gåi 100 ng÷íi dü hëi th£o là a1, a2, a3, . . . ,a99, a100. Gi£ sû a1
quen bi¸t vîi 67 ng÷íi là a2, a3, . . . ,a68.
Khi ó không kº a1 và 32 ng÷íi là a69, a70, . . . ,a100 thì a2 quen bi¸t
vîi ít nh§t 34 ng÷íi trong sè a3, a4, . . . ,a68. Không m§t têng quát, gi£
sû a2 quen bi¸t vîi a3, a4, . . . ,a36. T÷ìng tü, không kº a1, a2 và 64 ng÷íi là
a37, a38, . . . ,a100 thì a3 quen bi¸t vîi ít nh§t mët ng÷íi trong sè a4, a5, . . . ,a36,
ch¯ng h¤n a3 quen bi¸t vîi a4.
Tø ó ta có 4 ng÷íi là a1, a2, a3, a4 ôi mët quen bi¸t nhau.
Bài 5. 1) Cùng phía vîi hình vuông èi vîi CD düng tam giác ·u
M0CD. Khi ó 4ADM cân ð D và 4BCM cân ð C nên ta có
ADM0 =BCM0 = 90 − 60 = 30 !DAM0 =CBM0 = 75
www.vnmath.com
69. 48 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
M°t khác, d¹ th§y M0 n¬m cùng phía vîi hình vuông ABCD èi vîi AB.
Theo gi£ thi¸t thì M n¬m trong hình vuông vàABM =BAM = 15 suy
ra M0 M hay 4MCD ·u
Chú ý: Có thº chùng minh b¬ng ph£n chùng nh÷ sau:
Gi£ sû 4MCD không ·u. D¹ th§y 4AMD = 4BMC (c-g-c) suy ra
MC = MD,MCD =MDC. Có hai kh£ nang
a) MDC = MCD 60 suy ra MD CD và ADM 30. Mà
DAM = 75 nênDMA 75 ! AD MD CD vô lý (Vì ABCD là
hình vuông).
b)MDC =MCD 60, lý luªn t÷ìng tü d¨n ¸n i·u vô lý, do ó gi£
thi¸t 4MCD không ·u là sai.
2) Trong hình vuông ABCD düng bèn iºm M,N,P,Q tho£ mãnMAB =
MBA =NBC =NCB =PCD =PDC =QDA =QAD = 15 thì theo
chùng minh trên, bèn tam giác MCD,NDA,PAB và QBC là ·u.
Ta chùng minh tªp hñp 8 iºm {A,B,C,D,M,N, P,Q} tho£ mãn i·u
ki»n bài toán.
Có t§t c£ là 8.7
2 = 28 o¤n th¯ng nèi hai trong tám iºm trên. Ta chia
chúng thành 6 nhóm sau:
a) 4 c¤nh AB,BC,CD,DA cõa hình vuông ABCD
b) 2 ÷íng chéo AC,BD cõa hình vuông ABCD
c) 4 c¤nh MN,NP,PQ,QM cõa hình vuông MNPQ (d¹ th§y MNPQ
là hình vuông)
d) 2 ÷íng chéo MP,NQ cõa hình vuông MNPQ
www.vnmath.com
70. 2.6. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1992 (cho måi thí sinh) 49
e) 8 o¤n MA,MB,NB,NC,PC,PD,QD,QA
f) 8 o¤n MC,MD,ND,NA, PA, PB,QB,QC
Ta chùng minh các o¤n ð nhóm e) và f) tho£ mãn i·u ki»n bài toán.
(Vi»c chùng minh các o¤n ð các nhóm còn l¤i tho£ mãn i·u ki»n bài
toán ìn gi£n hìn, b¤n åc tü chùng minh)
Do 4AMD cân ð D vàADQ =MDQ = 15 nên DQ là trung trüc cõa
AM hay trung trüc cõa AM i qua hai iºm D,Q, èi vîi các o¤n khác ð
nhóm e) chùng minh t÷ìng tü.
Do 4MCD ·u còn 4MQD cân ð Q nên trung trüc cõa MD i qua
hai iºm C,Q. èi vîi các o¤n khác ð nhóm f) chùng minh t÷ìng tü.
2.6 áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1992
(cho måi thí sinh)
Bài 1.
1. q
p
2x − 5 +
x + 2 + 3
q
p
2x − 5 = 2
x − 2 − 3
p
2 (1)
i·u ki»n: x 5
2
Nhân hai v¸ vîi
p
2 ta có (1) t÷ìng ÷ìng vîi
q
p
2x − 5 + 9+
(2x − 5) + 6
q
p
2x − 5+1 = 4
(2x − 5) − 2
q
)
(
p
2x − 5 + 3)2 +
q
(
p
2x − 5 − 1)2 = 4
p
2x − 5 + 3+|
)
p
2x − 5 − 1| = 4 (2)
Vîi x 3 thì (2) có d¤ng
p
2x − 5 + 3+
p
2x − 5 −1 = 4 )
p
2x − 5 = 1
)2x − 5 = 1 ) x = 3 (tho£ mãn x 3)
2 6 x 3 thì (2) có d¤ng
Vîi 5
p
2x − 5 + 3 + 1 −
p
2x −5 = 4 luôn
tho£ mãn.
Vªy nghi»m cõa (1) là 5
2 6 x 6 3.
2. (
xy2 − 2y + 3x2 = 0
y2 + x2y + 2x = 0
)
(
xy2 − 2y = −3x2 (1)
x2y + 2x = −y2 (2)
www.vnmath.com
71. 50 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
D¹ th§y x = 0, y = 0 là mët nghi»m cõa h» và ng÷ñc l¤i n¸u (x, y) là
nghi»m mà x ho°c y b¬ng 0 thì sè kia cung b¬ng 0. Ta tìm nghi»m
tho£ mãn x6= 0, y6= 0.
Vîi i·u ki»n x6= 0, y6= 0, chia (1) cho y2 và (2) cho x2 ta ÷ñc h»
(1), (2) t÷ìng ÷ìng vîi
(
x − 2
y = −3x2
y2 (3)
x = −y2
x2 (4)
y + 2
Nhân hai ph÷ìng trình vîi nhau ta ÷ñc h» (3), (4) t÷ìng ÷ìng vîi
(
x − 2
y = −3x2
y2
x − 2
y
y + 2
x
= 3
)
(
xy2 − 2y = −3x2 (1)
xy − 4
xy (5)
Ta có (5) t÷ìng ÷ìng vîi
(xy)2 − 3xy − 4 = 0 ) xy =
−1
4
Thay xy = −1 hay y = −1
x vào (1) ta ÷ñc
1
x
+
2
x
= −3x2 ) x3 = −1 ) x = −1 ) y = 1
Thay xy = 4 hay y = 4
x vào (1) ta ÷ñc
16
x
−
8
x
= −3x2 ) x3 = −
8
3
) x = −
2
3 p
3
) y = −2
[
3
]3
Vªy h» ã cho có ba nghi»m là x = y = 0;x = −1, y = 1 và x =
− 2
3 p
3
, y = −2 3 p
3
Bài 2.
x2 − mnx + m + n = 0 (1)
Vîi m = 0 ph÷ìng trình (1) có d¤ng x2 + n = 0. N¸u ph÷ìng trình có
nghi»m nguyên a vîi n 0 nào ó thì a2 + n = 0 ) n = −a2 0 do ó
n = 0 và nghi»m là x = a = 0. Lý luªn t÷ìng tü èi vîi tr÷íng hñp n = 0.
Nh÷ vªy n¸u mët trong hai sè m, n b¬ng 0 thì (1) có nghi»m nguyên suy
ra sè còn l¤i cung b¬ng 0 và nghi»m là x = 0.
www.vnmath.com
72. 2.6. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1992 (cho måi thí sinh) 51
Ta xét tr÷íng hñp m, n 1. Khi ó gi£ sû a, b là các nghi»m cõa (1),
theo ành lý Viét ta có (
a + b = mn
ab = m + n
(2)
Do m, n 1 nên tø ây suy ra a, b 0 ) a, b 1 ) (a−1)(b−1) 0 hay
ab − a − b + 1 0 ) m + n − mn+ 1 0 ) mn − m − n + 1 6 2
) (m − 1)(n − 1) 6 2 (3)
1. Vîi m = 1 thì (1) có d¤ng
x2 − nx + 1+n = 0 (2)
x2 + 1 = n(x − 1) ) n =
x2 + 1
x − 1
) n = x+ 1+
2
x − 1
N¸u ph÷ìng trình có nghi»m nguyên x thì x − 1 là ÷îc cõa 2, do ó
x − 1 2 {1,−1, 2,−2}.
Vîi x−1 = 1 tùc x = 2 thì n = 5, ph÷ìng trình (2) có d¤ng x2−5x+
6 = 0 (có hai nghi»m x = 2, x = 3).
Vîi x −1 = −1 tùc x = 0 thì n = −1 (lo¤i).
Vîi x − 1 = 2 tùc x = 3 thì n = 5, ph÷ìng trình x = 2, x = 3.
Vîi x −1 = −2 tùc x = −1 thì n = −1 (lo¤i).
Vªy vîi m = 1 thì ph÷ìng trình (1) có nghi»m nguyên khi n = 5.
Lý luªn t÷ìng tü ta có vîi n = 1 thì ph÷ìng trình (1) có nghi»m
nguyên khi m = 5. Ta xét tr÷íng hñp m, n 2.
2. Vîi m = 2 thì tø (3) ta có n = 2 ho°c n = 3.
Khi n = 2 thì (1) có d¤ng x2 − 4x + 4 = 0 có nghi»m nguyên x = 2.
Khi n = 3 thì (1) có d¤ng x2 −6x+5 = 0 có nghi»m nguyên là x = 1
và x = 5.
Nh÷ vªy vîi m = 2 thì (1) có nghi»m nguyên khi n = 2 ho°c n = 3.
Lý luªn t÷ìng tü ta có vîi n = 2 thì (1) có nghi»m nguyên khi m = 2
ho°c m = 3.
3. Vîi m, n 3 ¯ng thùc (3) không tho£ mãn.
Tóm l¤i: Ph÷ìng trình (1) có nghi»m nguyên (vîi m, n không âm) khi
(m, n) là mët trong các c°p sè sau: (0, 0); (1, 5); (5, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 2).
www.vnmath.com
73. 52 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
Bài 3.
SMNP = S − SABM − SBCN − SCAP
Qua A0 k´ ÷íng th¯ng song song vîi BB0 ct CB0 t¤i I, ta có:
AM
MA0 =
AB0
B0I
=
AB0
B0C
.
B0C
B0I
= 3.
BC
BA0 = 3.3 = 9
AM
AA0 =
AM
AM +MA0 =
9
10
)
SABM
SABA0
=
AM
AA0 =
9
10
mà SABA0 =
S
3
) SABM =
9
10
SABA0 =
3
10
S
T÷ìng tü: Qua B0 k´ ÷íng th¯ng song song vîi CC0 ct AC0 t¤i H, ta có
BN
NB0 =
BC0
C0K
=
BC0
C0A
.
C0A
C0K
= 1.
CA
CB0 = 4
BN
BB0 =
4
5
)
SBCN
SBCB0
=
BN
BB0 =
4
5
mà SBCB0 =
S
4
) SBCN =
4
5
SBCB0 =
S
5
Hoàn toàn t÷ìng tü ta tính ÷ñc
SCAP =
2
5
S ) SMNP = S −
3
10
S +
S
5
+
2
5
S
=
S
10
Bài 4. Trên c¤nh BC l§y iºm M sao cho BDM = ADC )
CDM = ADB. D¹ th§y 4BDM v 4ADC ) BM
AC = DH
DI (t sè hai
÷íng cao t÷ìng ùng cõa hai tam giác çng d¤ng b¬ng t sè çng d¤ng),
suy ra
BM
DH
=
AC
DI
(1)
T÷ìng tü
4CDM v 4ADB )
CM
AB
=
DH
DK
)
CM
DH
=
AB
DK
(2)
Cëng (1) và (2) ta ÷ñc
BC
DM
=
AC
DI
+
AB
DK
www.vnmath.com
74. 2.6. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1992 (cho måi thí sinh) 53
Bài 5. Gi£ sû m, n nguyên d÷ìng và
8
:
...
2m + 1
n
...
2n + 1
m
...
) (2m + 1)(2n + 1)
mn
...
) 2m + 2n + 1
mn ) 2m + 2n + 1 = kmn (k 2 N) (1)
Suy ra: k,m, n ·u l´. Vì
m 1, n 1 ) (m − 1)(n − 1) 0 ) m+ n 6 mn + 1
2m + 2n + 1 6 2mn + 3 6 5mn (2)
Do ó tø (1) suy ra k 6 5.
1. Vîi k = 5 ) 2m + 2n+1 = 5mn, tø (2) ta suy ra 3mn = 3 ) m =
...
n = 1. Rõ ràng m = n = 1 tho£ mãn 2m + 1
...m.
n và 2n + 1
2. Vîi k = 3, gi£ sû m n, ta có 3mn = 2m + 2n + 1 6 5m ) 3n 6
5 ) n = 1 ) 3m = 2m + 3 ) m = 3. Rõ ràng n = 1,m = 3 tho£
mãn 2m + 1
...
...
n và 2n + 1
m. Vîi m 6 n ta ÷ñc n = 3,m = 1 tho£
mãn.
3. Vîi k = 1, gi£ sû m n, ta có mn = 2m + 2n + 1 6 5m ) n 6 5 )
n = 1 ho°c n = 3 ho°c n = 5.
Vîi n = 1 ¯ng thùc mn = 2m + 2n + 1 trð thành m = 2m + 3 vô lý
Vîi n = 3 ta có 3m = 2m + 6 + 1 ) m = 7. Rõ ràng n = 3,m = 7
tho£ mãn i·u ki»n 2m + 1
...
...
n; 2n + 1
m.
Vîi n = 5 ta có 5m = 2m + 10 + 1 ) m = 11
3 (lo¤i).
Vîi m 6 n lý luªn t÷ìng tü ta ÷ñc m = 3, n = 7 tho£ mãn i·u ki»n
...
2m + 1
...
n; 2n + 1
m.
Tóm l¤i: Có 5 c°p sè (m, n) tho£ mãn yêu c¦u bài toán là
(1, 1); (1, 3); (3, 1); (3, 7); (7, 3)
.
www.vnmath.com
75. 54 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
2.7 áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1992
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1.
1.
P = n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 = (n2 + n)2 + (n2 + n) + 7
Do n nguyên nên n2+n 0. °t k = n2+n ta có P = k2+k+7 k2.
Ta có:
P (k + 3)2 (vì(k + 3)2 − P = 5k + 2 0)
Do ó k2 P (k + 3)2 ) P = (k + 1)2 ho°c p = (k + 2)2.
Vîi P = (k + 1)2 tùc k2 + k + 7 = k2 + 2k + 1 ta thu ÷ñc k = 6 )
n2 + n = 6 ) n = 2 và n = −3.
Vîi P = (k + 2)2 tùc k2 + k + 7 = k2 + 4k + 4 ta thu ÷ñc k = 1 )
n2 + n = 1 ) n = 2 không có nghi»m nguyên.
Vªy P là sè chính ph÷ìng khi n = 2 và n = −3 (khi ó P = 49).
2.
A =
1
a2 + 2bc
+
1
b2 + 2ca
+
1
c2 + 2ab
°t x = a2 + 2bc, y = b2 + 2ac, z = c2 + 2ab thì
x, y, z 0 và
x+y+z = (a+b+c)2 6 1, do (x+y+z)A = (x+y+z)
1
x+1
y +1
z
9
mà x + y + z 6 1 nên A 9.
Bài 2. Vîi n 2 N ta ký hi»u têng các chú sè cõa n là S(n). Ta có
N = (29)1945 = (23)3.1945 = 85835 105835
Nên N có không quá 5835 chú sè mà a = S(N) 6 5835.9 = 52515 suy ra
a có không quá 5 chú sè, b = S(a) 6 5.9 = 45. Trong các sè tü nhiên tø 0
¸n 45 thì sè có têng các chú sè lîn nh§t là 39 và têng các chú sè cõa nó là
12. Suy ra S(b) 6 12.
Ta bi¸t r¬ng vîi måi n 2 N thì S(n) n (mod 9), do ó S(b) b =
S(a) a = S(N) (mod 9). Mà N = 85835 suy ra N −1 (mod 9) hay
S(b) −1 (mod 9). Do S(b) 6 12 nên S(b) = 8.
Vªy têng các chú sè cõa b là 8.
Bài 3. Gi£ sû K n¬m ngoài o¤n BC v· phía C (tr÷íng hñp AB AC),
khi ó d¹ th§y ACK nhån và ACB tù suy ra cung AB không chùa C
lîn hìn cung ACE. Trên cung AB không chùa C l§y iºm E sao cho cung
BE b¬ng cung AC, khi ó ACBE là hình thang cân.
www.vnmath.com
76. 2.7. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1992(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)55
Ta có AEB + EAB = EAC + EAB = 2(EAB + BAD) =
2EAD = 90 suy ra ABE = 90 nên AE là ÷íng kính cõa ÷íng tròn
(O) ngo¤i ti¸p 4ABC. Do ó
AB2 + AC2 = AB2 + EB2 = AE2 = 4R2
Chú ý: Có thº chùng minh b¬ng cách l§y iºm M trên cung AB không
chùa C sao cho cung AM b¬ng cung AC, sau ó chùng minh BAM = 90,
tø ó suy ra ¯ng thùc AB2 + AC2 = 4R2
Bài 4. Gåi các ÷íng th¯ng ã cho là d1, d2, . . . ,d1992 và giao iºm cõa
÷íng th¯ng di, dk là Aik ho°c Aki.
a) Xét ÷íng th¯ng di b§t ky trong 1992 ÷íng th¯ng ã cho. Do không
có 3 ÷íng th¯ng nào çng quy nên các giao iºm Akl cõa các c°p ÷íng
th¯ng dk, dl(k6= i, l6= i) ·u n¬m ngoài di. Do sè giao iºm ó là húu h¤n
nên có 1 giao iºm g¦n nó nh§t, gi£ sû ó là Akl. Ta chùng minh tam giác
AklAkiAli là tam giác xanh. Thªt vªy n¸u tam giác ó bà ÷íng th¯ng dm
nào ó trong 1989 ÷íng th¯ng còn l¤i ct thì dm ph£i ct mët trong hai
o¤n AklAki ho°c AklAli, gi£ sû dm ct o¤n AklAki t¤i Akm thì Akm g¦n di
hìn Akl, trái vîi gi£ thi¸t Akl là iºm g¦n di nh§t. Nh÷ vªy vîi méi ÷íng
th¯ng di luôn tçn t¤i mët tam giác xanh có c¤nh n¬m trên nó. Trên méi di
ta chån mët c¤nh cõa mët tam giác xanh thì ta thu ÷ñc 1992 c¤nh khác
nhau cõa các tam giác xanh. Tø ó suy ra sè tam giác xanh không ít hìn
1992 : 3 = 664.
b) Xét ÷íng th¯ng di trong sè 1992 ÷íng th¯ng ã cho. N¸u trong
méi nûa m°t ph¯ng có bí là di ·u có các giao iºm cõa các c°p ÷íng
th¯ng còn l¤i thì trong méi nûa m°t ph¯ng ta l§y giao iºm g¦n di nh§t và
lý luªn nh÷ câu a) ta ÷ñc hai tam giác xanh n¬m v· hai phía cõa di. Hai
tam giác ó có hai c¤nh n¬m trên di và hai c¤nh ó là khác nhau (không
có ba ÷íng nào çng quy).
Ta chùng minh r¬ng sè ÷íng th¯ng mà các giao iºm cõa các c°p ÷íng
th¯ng còn l¤i n¬m v· cùng mët phía cõa nó không v÷ñt quá 2. Thªt vªy, gi£
sû có 3 ÷íng th¯ng nh÷ vªy, ch¯ng h¤n ó là di, dk, dl. Khi ó xét ÷íng
th¯ng dn khác, dn ct di, dk, dl t¤i 3 iºm phân bi»t Ani,Ank,Anl. Trong 3
iºm ó có 1 iºm n¬m giúa hai iºm kia, gi£ sû Ank. Khi ó hai giao iºm
Ani và Anl n¬m v· hai phía cõa dk trái vîi gi£ thi¸t.
Vªy có ít nh§t 1990 ÷íng th¯ng mà v· hai phía cõa méi ÷íng ·u có
các giao iºm cõa các ÷íng th¯ng còn l¤i. Theo lý luªn ð trên thì có hai
tam giác xanh n¬m v· hai phía cõa méi ÷íng th¯ng ó và có hai c¤nh khác
nhau n¬m trên nó. Trong hai ÷íng th¯ng còn l¤i, trên méi ÷íng th¯ng có
ít nh§t mët c¤nh cõa mët tam giác xanh. Nh÷ vªy sè c¤nh khác nhau cõa
các tam giác xanh không ít hìn 1990 × 2 + 2 = 3982 = 1327.3 +1. Suy ra
sè tam giác xanh không ít hìn 1327 + 1 = 1328.
Bài 5.
www.vnmath.com
77. 56 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
2.8 áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1993
(cho måi thí sinh)
Bài 1.
1. Gi£i ph÷ìng trình
x +
s
x +
1
2
+
r
x +
1
4
= 2 (1)
i·u ki»n: x −1
2
(1) ) x +
s
r
x +
1
4
+
1
2
2
= 2 ) x +
r
x +
1
4
+
1
2
= 2
)
r
x +
1
4
+
1
2
2
= 2 )
r
x +
1
4
=
p
2 −
1
2
) x +
1
4
= 2+
1
4
−
p
2
) x = 2−
p
2(tho£ mãn i·u ki»n x −
1
2
)
2. Gi£i h» ph÷ìng trình
(
x3 + 2xy2 + 12y = 0
8y2 + x2 = 12
)
(
x3 + 2xy2 + (8y2 + x2)y = 0 (1)
8y2 + x2 = 12 (2)
Ta có (1) t÷ìng ÷ìng vîi
x3 + x2y + 2xy2 + 8y3 = 0 (3)
D¹ th§y h» không có nghi»m vîi y = 0, vì n¸u y = 0 thì tø (3) suy ra
x = 0 không tho£ mãn (2).
Vîi y6= 0 t÷ìng ÷ìng vîi
x
y
3
+
x
y
2
+ 2
x
y
+ 8 = 0 (4)
°t x
y = t thì (4) có d¤ng
t3 + t2 + 2t + 8 = 0 ) (t + 2)(t2 − t+4) = 0 ) t = −2
Tø ó x
y = −2 ) x = −2y. Thay vào (2) ta ÷ñc
12y2 = 12 ) y = ±1 ) x = 2
Vªy h» ã cho có hai nghi»m x = 2, y = −1 và x = −2, y = 1
www.vnmath.com
78. 2.8. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1993 (cho måi thí sinh) 57
Bài 2. Tr÷îc h¸t ta chùng minh r¬ng: Vîi a, b, c, d 0 thì
abcd 6
a + b + c + d
4
4
(1)
D§u = ¤t ÷ñc khi và ch¿ khi a = b = c = d.
Ta có vîi a, b 0 thì ab 6
a+b
2
2
, d§u = ¤t ÷ñc khi và ch¿ khi
a = b. Do ó vîi a, b, c, d 0 thì
abcd 6
a + b
2
2c + d
2
2
=
a + b
2
.
c + d
2
2
6
ha + b + c + d
4
2i2
=
a + b + c + d
4
4
) abcd 6
a + b + c + d
4
4
N¸u trong a, b, c, d có mët sè b¬ng 0 thì d§u = ¤t ÷ñc khi và ch¿
khi a = b = c = d = 0.
N¸u c£ 4 sè a, b, c, d ·u d÷ìng thì d§u = ¤t ÷ñc khi và ch¿ khi
8
:
a = b
c = d
a + b = c + d
) a = b = c = d
Tóm l¤i abcd 6
a+b+c+d
4
4
d§u = ¤t ÷ñc khi và ch¿ khi a = b = c = d.
Xét
A = x2y(4 − x − y) vîi x 0, y 0, x + y 6 6 (1)
a) Giá trà lîn nh§t:
Vîi x + y 4 thì A 6 0
Vîi x +y 4 ta có
A = 4.
x
2
.
x
2
x
.y(4 − x − y) 6 4
2 + x
2 + y + 4 − x − y
4
4
= 4
D§u = ¤t ÷ñc khi và ch¿ khi x
2 = y = 4 − x − y ) x = 2, y = 1.
Vªy A ¤t giá trà lîn nh§t b¬ng 4 ¤t ÷ñc khi x = 2, y = 1 (tho£ mãn
i·u ki»n (1)).
b) Giá trà bé nh§t.
Vîi x + y 6 4 thì A 0.
Vîi 4 x+ y 6 6 ta có
−
A
4
=
x
2
.
x
2
.y(x + y − 4) 6
x
2 + x
2 + y + x + y − 4
4
4
=
h2(x + y) − 4
4
i4
6
2.6 − 4
4
4
= 16
www.vnmath.com
79. 58 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
Vì x+y 6 6 nên A −64. D§u = ¤t ÷ñc khi và ch¿ khi x
2 = y = x+y−4
và x + y = 6 ) x = 4, y = 2.
Vªy A ¤t giá trà bé nh§t b¬ng −64, ¤t ÷ñc khi x = 4, y = 2.
Bài 3. K´ ÷íng trung trüc cõa AB ct AC ð O1, ct BD ð O2 thì
O1,O2 là tâm các ÷íng tròn ngo¤i ti¸p 4ABD và 4ABC suy ra R =
O1A, r = O2B.
4AIO1 v 4AOB )
O1A
AB
=
AI
AO
) R = O1A =
AB.AI
AO
=
a2
AC
)
1
R2 =
AC2
a4
T÷ìng tü:
1
r2 =
BD2
a4
)
1
R2 +
1
r2 =
AC2 + BD2
a4 =
4AB2
a4 =
4
a2
Bài 4. Gi£ sû trên ÷íng tròn (O) chi·u i tø A ! B ! C ! A là
ng÷ñc chi·u kim çng hç và gi£ sû quay 4ABC mët góc 90 thuªn chi·u
kim çng hç quanh (O) ta thu ÷ñc 4A1B1C1. Khi ó A1,B1,C1 thuëc
các cung nhä AC,AB,BC t÷ìng ùng. Do ó c¤nh A1B1 ph£i ct các c¤nh
AB,AC, gi£ sû l¦n l÷ñt t¤i M,N. T÷ìng tü ta có c¤nh A1C1 ct các c¤nh
AC,BC l¦n l÷ñt t¤i P,Q và c¤nh B1C1 ct các c¤nh BC,BA l¦n l÷ñt t¤i
T,K, suy ra ph¦n chung cõa hai hình tam giác ABC và A1B1C1 là löc giác
MNPQTK. Gåi di»n tích löc giác ó là S thì
S = SABC − SAMN − SBKT − SCPQ
Ta có:
SABC =
p
3
4
BC2
=
p
3R2
4
3
Khi quay mët góc 90 thì OA1?OA,OB1?OB,OC1?OC mà BC?OA nên
OA1 k BC, t÷ìng tü: OB1 k CA,OC1 k AB.
Gåi giao iºm cõa OA1 vîi AC là E. Do các cung AA1,BB1,CC1 có sè
o b¬ng 90 nên AMN = 90 mà MAN = 60 nên suy ra AN = 2AM.
D¹ th§y 4NEA1 cân ð E (các góc ð áy b¬ng 30). Do OE k BC còn
AO b¬ng 2
3 trung tuy¸n AA0 cõa 4ABC nên
AE =
2
3
AC =
2
p
3
R,OE =
BC
3
=
R
p
3
) EN = EA1 = OA1 − OE = R −
R
p
3
) AN = AE − EN =
2
p
3
R −
R −
R
p
3
= (
p
3 − 1)R
) SAMN =
AM.MN
2
=
1
2
AN
2
p
3
2
AN
=
p
3
8
AN2 =
=
p
3
p
3(4 − 2
8
R2 =
p
3 − 3
2
4
R2
www.vnmath.com
80. 2.8. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1993 (cho måi thí sinh) 59
T÷ìng tü ta có SBKT = SCPQ = 2
p
3−3
4 R2.
Vªy
S =
p
3
4
9 − 3
R2
.
Bài 5.
A =
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
ab
+
1
bc
+
1
ca
=
ab + bc + ca + a + b + c
abc
(1)
Ta chùng minh ba sè a, b, c cùng ch®n ho°c cùng l´.
N¸u abc là l´ thì méi sè a, b, c ·u l´.
N¸u abc là ch®n thì mët trong ba sè ph£i ch®n, ch¯ng h¤n a ch®n. Vì
tû sè ð (1) chia h¸t cho abc nên tû sè ph£i ch®n suy ra bc + b + c ch®n hay
(b + 1)(c + 1) − 1 ch®n ) (b + 1)(c + 1) l´. Vªy b + 1 và c+ 1 là l´ hay b, c
ch®n. Vªy a, b, c cùng ch®n ho°c cùng l´. Vì a, b, c ôi mët khác nhau nên
ta có thº gi£ sû r¬ng a b c. Khi ó, a 6 2, vì n¸u a 3 thì b 5, c 7,
do ó
A 6 1
3
+
1
5
+
1
7
+
1
15
+
1
35
+
1
21
1
Suy ra A không nguyên.
a) Vîi a = 2 thì b 4, c 6 và
A =
1
2
+
1
b
+
1
c
+
1
2b
+
1
2c
+
1
bc 6 1
2
+
1
4
+
1
6
+
1
8
+
1
12
+
+
1
16
+
1
24
=
28
24
2
)A = 1.
Vîi b 6 thì c 8 khi ó
A 6 1
2
+
1
6
+
1
8
+
1
12
+
1
16
+
1
48
=
46
48
1
)A không nguyên
Do ó b = 4. Vªy a = 2 thì b = 4 suy ra 1 = 1
2 + 1
4 + 1
c + 1
8 + 1
4c + 1
2c .
Tø ây ta thu ÷ñc c = 14.
Vªy vîi a = 2 ta ÷ñc nghi»m là a = 2, b = 4, c = 14.
Chú ý: Tø i·u ki»n a = 2 và A = 1 ta ÷ñc ph÷ìng trình
1 =
1
2
+
1
b
+
1
c
+
1
2b
+
1
2c
+
1
bc
)
2b + 2c + b + c + 2
2bc
=
1
2
)3b + 3c + 2 = bc ) (b − 3)(c − 3) = 11 )
(
b − 3 = 1
c −3 = 11
)
(
b = 4
c = 14
www.vnmath.com
81. 60 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
Do ó ta cung tìm ÷ñc nghi»m trên.
b) a = 1, khi ó b 3, c 5 và
A = 1+
2
b
+
2
c
+
1
bc
=
32
15
3
mà A 1 ) A = 2 ) 2
b + 2
c + 1
bc = 1
Khi ó n¸u b 5 thì 2
b + 2
c + 1
bc 1, do ó b ch¿ có thº là 3. Vîi b = 3
ta ֖c 2
3 + 2
c + 1
3c = 1 ) c = 7.
Vªy vîi a = 1 ta ÷ñc nghi»m là a = 1, b = 3, c = 7.
Tóm l¤i, vîi gi£ thi¸t a b c ta có hai nghi»m là (2, 4, 14) và (1, 3, 7).
Thay êi vai trò a, b, c ta thu ÷ñc 12 nghi»m là các cách sp thù tü cõa ba
sè 2, 4, 14 và ba sè 1, 3, 7.
2.9 áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1994
(cho måi thí sinh)
Bài 1.
1.
x4 − 2x3 − 6x2 + 16x − 8 = 0 (1)
Phân tích v¸ trái thành các nhân tû ta ÷ñc (1)
(x − 2)2(x2 + 2x − 2) = 0 , x =
2
−1 ±
p
3
Vªy ph÷ìng trình có ba nghi»m: x = 1, x= −1 +
p
3, và x =
−1 −
p
3
2.
x2 + 2x + 4 = 3
p
x3 + 4x
p
x2 + 4 + 2x − 3
(x2 + 4)x = 0
i·u ki»n: x 0
°t:
p
x2 + 4 = u,
p
x = v thì ph÷ìng trình có d¤ng:
u2 + 2v2 − 3uv = 0
(u − v)(u − 2v) = 0
u =
v
2v
Vîi u = v ta ÷ñc
p
x2 + 4 =
p
x , x2 + 4 = x vô nghi»m.
Vîi u = 2v ta ÷ñc
p
x2 + 4 = 2
p
x , x2 + 4 = 4x , x = 2.
www.vnmath.com
82. 2.9. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1994 (cho måi thí sinh) 61
Vªy ph÷ìng trình có nghi»m duy nh§t: x = 2.
Bài 2.
A =
p
zt
p
xy + 2
p
xyzt = xy + 4zt + 2(2
A2 = xy + 4zt + 4
p
xt)
p
yz.
6 xy + 4zt + 2yz + 2xt = 9
Tø gi£ thi¸t suy ra A 6 3.
D§u = ¤t ch¯ng h¤n khi x = y = z = t = 1, (tho£ mãn xy + 4zt +
2yz + 2xt = 9).
Vªy A ¤t giá trà lîn nh§t b¬ng 3.
Bài 3.
(
xy − 3zt = 1 (1)
xz + yt = 2 (2)
)
(
x2y2 − 6xyzt+ 9z2t2 = 1 (3)
x2z2 + 2xyzt + y2t2 = 4 (4)
Nhân (4) vîi 3 và cëng tøng v¸ vîi (3) ta có
x2y2 + 9z2t2 + 3x2z2 + 3y2t2 = 13
Vì x, y, z, t là các sè nguyên mà têng các h» sè cõa v¸ trái là 16 nên n¸u
x, y, z, t tho£ mãn h» ã cho thì ph£i có mët sè b¬ng 0.
N¸u x = 0 ho°c y = 0 thì tø (1) ta có: −3zt = 1, vô lý.
N¸u z = 0 h» có d¤ng (
xy = 1
yt = 2
H» này có hai nghi»m nguyên là: x = y = 1, t = 2 và x = y = −1, t = −2
N¸u t = 0 h» có d¤ng (
xy = 1
xz = 2
H» này có hai nghi»m nguyên là: x = y = 1, z = 2 và x = y = −1, z = −2
Vªy h» ã cho có 4 nghi»m nguyên là
x = y = 1, z = 0, t = 2; x = y = −1, z = 0, t = −2
x = y = 1, t = 0, z = 2; x = y = −1, t = 0, z = −2
Bài 4. Gåi tâm ÷íng tròn ã cho là O và trung iºm cõa AB là I thì
OI?AB và AI = BI = AD = DC. °t CD = x.
www.vnmath.com
83. 62 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
Do AH k OB (cùng k BC), nên OBI = BAH. Tø ó suy ra
4OBI v 4BAH )
AI
AH
=
OA
AB
) AH =
AI.AB
OA
=
2x2
R
(2.1)
M°t khác do ÷íng tròn (O) ti¸p xúc vîi BC t¤i B nên
CD.CA = BC2 = 4BH2 = 4(AB2 − AH2) = 16x2 − 4AH2
) 2x2 = 16x2 − 4AH2
) AH2 =
7
2
x2 (2.2)
Tø (2.1) và (2.2) ta suy ra
4x4
R2 =
7
2
x2 ) x2 =
7
8
R2 ) x =
R
2
r
7
2
Vªy
AD = x =
R
2
r
7
2
(2.3)
Tø (2.1) và (2.3) suy ra
AH =
7
4
R ) HB2 = AB2 − AH2 = 4x2 −
49
16
R2 =
28
8
R2 −
49
16
R2 =
7
16
R2
Do HE.HA = HB2 nên ta có
HE =
HB2
HA
=
R
4
) AE = AH − HE =
3
2
R
Bài 5. Do BC AC nên BAC ABC. Trong nûa m°t ph¯ng có
bí là AB và chùa C k´ tia Bx sao cho ABx = BAC. Bx ct ÷íng
th¯ng MN t¤i P thì M n¬m giúa N và P (vì ABP ABM). Khi
ó ABPN là hình thang cân nên APN = BNP. Xét 4AMP ta có:
AMP ANM BNM BNP = APN APM.
Do ó: AM AP = BN.
2.10 áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1994
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)
Bài 1. 8
:
(x + y)(y + z) = 4xy2z (1)
(y + z)(z + x) = 4yz2x (2)
(z + x)(x + y) = 4zx2y (3)
www.vnmath.com
84. 2.10. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1994(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)63
Rõ ràng x = y = z = 0 là mët nghi»m cõa h». Ng÷ñc lai, d¹ th§y n¸u
(x, y, z) là nghi»m cõa h» mà môt trong ba sè x, y, z b¬ng 0 thì hai sè kia
cung b¬ng 0.
Ta tìm nghi»m tho£ mãn x6= 0, y6= 0, z6= 0.
Ta chùng minh n¸u (x, y, z) là nghi»m mà x6= 0, y6= 0, z6= 0 thì
x = y = z. Thªt vªy, n¸u (x, y, z) tho£ mãn (1), (2), (3) thì x + y6=
0, y + z6= 0, z + x6= 0, do ó chia (1) cho (2) ta ÷ñc
x + y
z + x
=
y
z
) xz + yz = yz + xy ) x(y − z) = 0 ) y = z
T÷ìng tü, chia (2) cho (3) ta thu ÷ñc z = x.
Vªy vîi i·u ki»n x6= 0, y6= 0, z6= 0 h» (1),(2),(3) t÷ìng ÷ìng vîi
(
x = y = z
4x2 = 4x4
) x = y = z = ±1
Vªy h» ã cho có ba nghi»m là
(x, y, z) =
2
4
(0, 0, 0)
(1, 1, 1)
(−1,−1,−1)
Bài 2.
12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y) ) 3(4x2 + 2xy + y2) = 28(x + y) (1)
Do 3 và 28 nguyên tè cùng nhau nên x + y
.. .3 hay x + y = 3k vîi k 2 Z.
Tø (1) suy ra
3x2 + (x + y)2 = 28k ) 3x2 + 9k2 = 28k ) k
.. .3 hay k = 3n(k 2 Z)
)x2 + 3k2 = 28n mà k = 3n ) x2 + 27n2 = 28n ) x2 = n(28 − 27n) 0
)n
28
27
− n
0 ) 0 6 n 6 28
27
) n = 0 ho°c n = 1
Vîi n = 0 ) k = 0 )
(
x = 0
x + y = 0
) x = y = 0
Vîi n = 1 ) k = 3 )
(
x2 = 1
x + y = 9
)
x = 1; y = 8
x = −1; y = 10
Vªy ph÷ìng trình ã cho có ba nghi»m nguyên là
x = y = 0; x = 1, y = 8 và x = −1, y = 10
www.vnmath.com
85. 64 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
Bài 3. Ký hi»u A = 1.2.3 . . . n = n! (åc là n giai thøa). Ta có
B = 1 + 2 + 3+· · · + n =
n(n + 1)
2
(n 3)
...
Vîi n = 3 thì rõ ràng A = B = 6 suy ra A
B.
Ta xét n 4. Khi ó có hai kh£ nang sau:
a) n+ 1 là sè nguyên tè. Ta chùng minh A không chia h¸t cho B. Thªt
...
vªy, n¸u A
B thì
n! = k
n(n + 1)
2
) 2(n − 1)! = k(n + 1)
i·u này vô lý vì n+1 là sè nguyên tè nên (n+1) và các sè 1, 2, . . . ,n −1
là nguyên tè cùng nhau.
b) n + 1 là hñp sè. Khi ó
n + 1 = p.q (p, q 2 N, p, q 2) (1)
Suy ra n + 1 2p hay p 6 n+1
2 .
Do n 3 ta có 2n n+ 3 suy ra 2n − 2 n + 1 hay n+1
2 n− 1 nên
p n− 1. T÷ìng tü q n− 1.
Do ó n¸u n +1 có thº vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng (1) vîi p6= q thì p, q là các
sè tü nhiên nhä hìn n − 1 nên trong tích (n − 1)! = 1.2.3 . . . (n − 1) có hai
thøa sè là p và q suy ra
(n − 1)!
...
(p − q) = n + 1 ) n!
.. .B
.. .n(n − 1) ) A
N¸u n+1 có d¤ng (1) vîi p = q tùc n+1 = p2(p 2) và p là hñp sè thì
.. .B.
n + 1 cung có d¤ng (1) vîi p6= q do ó A
Ta xét tr÷íng hñp n + 1 = p2 vîi p sè nguyên tè. Khi ó, do n + 1 5
nên p 3 suy ra p2 9 hay n 8. Ta chùng minh
p2 = n + 1
n − 1
2
2
(2)
Ta có (2) t÷ìng ÷ìng vîi
4n + 4 n2 − 2n + 1 ) n2 − 6n − 3 0 ) (n2 − 8n) + (2n − 3) 0
B§t ¯ng thùc này úng vì n 8, do vªy (2) úng. Tø (2) suy ra
p n−1
2 . Khi ó (n − 1)! = 1.2 . . . p.(p + 1. . . (n − 1). Do (n − 1) 2p nên
www.vnmath.com
86. 2.10. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1994(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)65
tích (p+1) . . . (n−1) có nhi·u hìn p thøa sè do ó có mët thøa sè chia h¸t
cho p nên ta có
(n − 1)!
...
p2 = n + 1 ) n!
...
.. .B
n(n + 1) ) A
K¸t hñp vîi tr÷íng hñp n = 3 ta có k¸t luªn:
Vîi n + 1 là sè nguyên tè thì A không chia h¸t cho B.
Vîi n + 1 là hñp sè thì A
.. .B.
Bài 4. Ta chùng minh r¬ng vîi x, y 1 ta có
1
1 + x
+
1
1 + y 1
1 +
p
xy
(1)
Ta có (1) t÷ìng ÷ìng vîi
(1 + y)(1 +
p
xy) + (1 + x)(1 +
p
xy) − 2(1 + x)(1 + y) 0
)1 +
p
xy + y + y
p
xy + 1+
p
xy + x + x
p
xy − 2 − 2x − 2y − 2xy 0
)x
p
xy + y
p
xy − 2xy − x − y + 2
p
xy 0
p
xy(
)
p
x −
p
y)2 − (
p
x −
p
y)2 0
)(
p
xy − 1)(
p
x −
p
y)2 0
B§t ¯ng thùc này úng vì x, y 1 hay (1) úng (có thº th§y r¬ng d§u
= ¤t ÷ñc khi và ch¿ khi x = y ho°c xy = 1).
Áp döng vîi a, b, c 1 ta có
1
1 + a
+
3
1 + b
=
1
1 + a
+
1
1 + b
+
1
1 +
2
1 + b 2
p
ab
+
1
1 + b
4
1 +
p
b
p
ab
=
4
1 + 4 p
ab3
Vªy
1
1 + a
+
3
1 + b 4
1 + 4 p
ab3
(2)
T÷ìng tü
1
1 + b
+
3
1 + c 4
1 + 4 p
bc3
(3)
www.vnmath.com
87. 66 Ch÷ìng 2. áp án tuyºn sinh
và
1
1 + c
+
3
1 + a 4
1 + 4 p
ca3
(4)
Cëng (2), (3), (4) rçi chia cho 4 ta ÷ñc b§t ¯ng thùc ph£i chùng minh.
Bài 5.
1. Gi£ sû BAC = 20. Trên các c¤nh AB,AC l§y các iºm D,K t÷ìng
ùng sao cho AD = KC = BC (chú ý AB = AC BC). Ta chùng
minh AD = DK = KC
Phía trong 4ABC düng tam giác ·u BCI thì A, I n¬m trên trung
trüc cõa BC suy ra AI là phân giác cõa góc BAC. Khi ó ACB =
80 ) ACI = 20 = CAD, mà AD = BC = CI nên d¹ th§y
ACID là hình thang cân (áy là AC và ID), tø ó ta có AC k
ID ) DIA = IAC = IAD = 10 ) 4ADI cân ð D. Suy ra
ID = AD = CK nên CIDK là hình bình hành suy ra DK = BC.
Vªy AD = DK = KC = CB.
2. Ng÷ñc l¤i, gi£ sû tçn t¤i các iºm D và K trên các c¤nh AB,AC
t÷ìng ùng sao cho AD = DK = KC = CB. K´ o¤n th¯ng CI song
song, cùng chi·u và b¬ng KD thì CKDI là hình bình hành và là hình
thoi. Do CI = DK = AD và DAC = AKD = ACI nên ACID
là hình thang cân.
Vì CD là phân giác cõa ACI (CKDI là hình thoi) nên d¹ th§y AI
là phân giác cõa góc DAC tø ó ta có AI là trung trüc cõa BC suy
ra IB = IC = BC hay 4IBC ·u. °t BAC = x, ta có
ABI = ACI = BAC = x ) IBC + ICB + 3x = 180
hay
120 + 3x = 180 ) BAC = x = 20
2.11 áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1995
(cho måi thí sinh)
Bài 1.
(
2x2 − y2 = 1
xy + x2 = 2
)
(
2x2 − y2 = 1 (1)
xy + x2 = 2(2x2 − y2) (2)
www.vnmath.com
88. 2.11. áp án tuyºn sinh lîp 10 nam 1995 (cho måi thí sinh) 67
Tø (2) suy ra
2y2 + xy − 3x2 = 0 ) (y − x)(2y + 3x) = 0 )
y = x
y = −3
2x
Vîi y = x thay vào (1) ra ÷ñc ph÷ìng trình: x2 = 1
Do ó h» có nghi»m là x = y = ±1
Vîi y = −3
2x thay vào (1) ta ÷ñc ph÷ìng trình: −x2
2 = 1 (vô nghi»m)
Vªy h» ã cho có hai nghi»m: x = y = 1 và x = y = −1.
Bài 2. p
1 − x +
p
4 + x = 3 (2.4)
i·u ki»n: −4 6 x 6 1. Khi ó (2.4) t÷ìng ÷ìng vîi
p
1 − x + 4+x + 2
(1 − x)(4 + x) = 9
p
4 − 3x − x2 = 2
)
)4 − 3x − x2 = 4
)x2 + 3x = 0 )
x = 0
x = −3
C£ hai nghi»m ·u tho£ mãn i·u ki»n.
Vªy ph÷ìng trình (2.4) có hai nghi»m: x = 0 và x = −3.
Bài 3.
a + 1
b
+
b + 1
a
=
a2 + b2 + a + b
ab
=
(a + b)2 + (a + b)
ab
− 2
Do a+1
b + b+1
a
2 N nên
(a + b)2 + (a + b)
ab
2 N ) (a + b)2 + (a + b) = ka (1)
vîi k 2 N. N¸u d 0 là ÷îc sè chung cõa a, b thì a = md, b = nd, (n,m 2
N) ) a + b = (m + n)d, ab = mnd2. Do ó (1) có d¤ng
(m+ n)2d2 + (m + n)d = kmnd2
)m+ n = [kmn − (m + n)2]d = ld (l 2 N)
p
)a + b = ld2 d2 ) d 6
a + b
Bài 4. Gåi di»n tích cõa hai hình chú nhªt là S thì ta có:
ab = cd = S ) b =
S
a
, d =
S
c
và
a + b − (c + d) = a +
S
a
− (c +
S
c
) = a − c − (
S
c
−
S
a
) = (a − c)(1 −
S
ac
0
www.vnmath.com
