LİSE - KÜMELER 2

2. KÜMELER
KÜME:Nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir.Kümeyi oluşturan
nesnelere Kümenin Elemanları denir.
Kümeler;A,B,C,D,...gibi büyük harflerle gösterilir.
Kümede bir eleman birden fazla yazılamaz.Elemanların, kümenin
içerisinde yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez K
A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.1 O
N
U
L
A
R

3. KONULAR
Kümenin Gösterilişi Eşit Küme
Boş KÜME Alt KÜME
Öz Alt KÜME Evrensel KÜME,Tümleme
KÜMELERİN KESİŞİMİ Kümelerin Birleşimi
İKİ KÜMENİN FARKI Sonlu ve Sonsuz Küme

4. A KÜMENİN GÖSTERİLİŞİ
10 Tabanında,elemanları 5 ten büyük rakamlardan oluşan kümeyi 3
ayrı yöntemle gösterilir.
1)Liste yöntemi: Elemanları küme parantezi({ })içerisine alıp,her bir
eleman arasına virgül ( , ) gelecek şekilde yazılılır ve kümeler adları
büyük harfle yazılır.
2)Ven Şeması: Düzgün kapalı şekil içerisine eleman yazılarak küme
oluşturulur.
.3
.5
3)Ortak Özellik yöntemi: A={ x I x,10 tabanındaki beşten büyük
f
rakamlar}veya A={ x I x 5ve x 10 tabanındaki rakamlar }
Konuyla İlgili Sorular

5. SORULAR
A={a,1,2,{ 1 }}kümesi kaç elemanlıdır.
E={Eylül,Ekim,kasım} ortak özellik yönteminle yazınız.

6. EŞİT KÜME
Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye Eşit Küme denir
ÖRNEK:A={ 1,2,5,10}
B={x I x,10 sayısının pozitif tam bölenleri}kümelerinin eşit
olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM:
Konuyla ilgili sorular

7. eşit küme
Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye Eşit Küme denir
ÖRNEK:A={ 1,2,5,10}
B={x I x,10 sayısının pozitif tam bölenleri}kümelerinin eşit
olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM:10 sayısının pozitif tam bölenleri 1,2,5,10 dur
O halde, B={1,2,5,10} dur
Aile B kümeleri eşittir.A=B şeklinde gösterilir
ÖNCEKİ slayt

8. SORULAR
A={1,2,5,10}
B={xI x,10 sayısının pozitif tam bölenleri} kümesi eşitimidir?
neden.

9. Sonlu ve Sonsuz Küme
SONLU KÜME: Elemanlarının sayısı bir doğal sayı olan kümeye sonlu
küme denir.
SONSUZ KÜME:Sayılamayacak kadar çok elemanlı olan kümeye
sonsuz küme denir.
≤
ÖRNEK:A={xI x 2,-3 ∈ X p5} S(A)=8 A kümesi Sonlu küme
≤
B={x I x R,-3 ∈ X p 5} B kümesi sonsuz küme olur.

10. BOŞ KÜME
Hiçbir elemanı olmayan kümeye BOŞ KÜME denir.Boş küme {}
sembolüyle gösterilir.Boş kümenin eleman sayısı sıfır dır.

11. öz ALT KÜME
Bir kümenin kendisinden başka bütün Alt kümelerine bu kümenin ÖZ
ALT KÜMESİ denir. N elemanlı bir kümenin “ALT küme-1”sayıda Öz
altküme sayısı var.
A={x,y}kümesinin öz alt kümeleri { } ,{x} ,{y} dır
Konuyla İlgili Sorular

12. SORULAR
A ve C kümesinin Öz Alt kümelerinin sayısı63 ile 15 tir. Buna göre ,
S(A)-S(C) yi bulunuz?
≤ ≤
A={x:3 x 7,x tamsayı } kümesinin öz alt küme sayısını bulunuz?
A kümesinin Alt küme sayısı, B kümesinin Alt küme sayısının 5
katıdır.buna göre,S(A)- S(B) değerini bulunuz.
Alt küme sayısının8fazlası Öz Alt küme sayısının 4 katına eşit o
halde küme kaç elemanlıdır?
Alt küme sayısı ile Öz Alt küme sayısı toplamı 31 olan küme kaç
elemanlıdır?

13. Alt küme
Bir A kümesinin bütün elemanları B kümesinin de elemanı ise A kümesine B
kümesinin ALT KÜMESİ denir ve A ⊂ B şeklinde gösterilir.Eğer A,B nin alt
kümesi değil ise bu A ⊄ B şeklinde gösterilir.
A ⊂ B,A kümesi B kümesinin Alt kümesidir.
B ⊃ A,B kümesi A kümesini kapsar. S(a)
Not:A kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı 2 dır
ÖZELLİKLER
1) Boş küme her kümenin Alt kümesidir.
2) A ⊂ B ve B ⊂ A ise A=B
3) A ⊂ B ve B ⊂ C ise A ⊂ B ⊂ C
ALT KÜMENİN Özellikleri KONUYLA İLGİLİ SORULAR

14. ALT KÜMEYE AİT ÖZELLİKLER
1)A ⊂ A (Her küme kendisinin alt kümesidir.)
2) { } ⊂ A ( Boş küme her elemanın Alt kümesidir)
⊂ ⊂
3) (A B ve B A) ise A=B dir.
4) (A ⊂ B ve B ⊂ C) ise A ⊂ C dir.
5) n ≥ r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt
kümelerinin sayısı:
n n!
 =
 r  ( n − r ) !.r !
Alt kümeye dönüş

15. SORULAR
A kümesinin Tüm alt kümelerinin 32 olduğuna göre, A
kümesinin eleman sayısını bulunuz?
A={1,2,3} B={1,2,3,4,5,6,7} olduğuna göre B kümesinin Alt
kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar?
A ve B aynı E kümesinin alt kümeleridir.S(A’)=10, S(B)=7,
S(B’)=12 ise A kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
8 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı Alt küme sayısını bulunuz?
4 elemanlı bir kümenin en fazla 2 elemanlı Alt Küme sayısı
kaçtır?
3’ten az elemanlı Alt kümelerinin sayısı 46 olan kümenin 4
elemanlı Alt kümelerinin sayısı kaçtır?

16. Sorular
7 elemanlı bir kümenin, 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz?
6 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını
bulunuz?
A={1,2,3,4,5} kümesinin alt kümelerinin kaçında
a)1 elemanı bulunur b) 2 elemanı bulunur ve 3 elemanı
bulunmaz. C)4 elemanı veya 5 elemanı bulunur.

17. Evrensel küme VE Tümleyen
Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan
kümeye,evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E
harfiyle gösterilir.
Evrensel kümenin, A kümesinin dışındaki elemanlarının
kümesine A kümesinin tümleyeni denir.
A kümesinin tümleyeni A’ şeklinde gösterilir.
A’
A
E
Konuyla İlgili Sorular Tümleyenin özellikleri

18. TÜMLEYENİN ÖZELLİKLERİ
1) (A’)’=A
2)s(A)+ s(A’)= s(E)
3) ( ∅) ' = E
5) A ⊂ B ⇒ B ' ⊂ A '
4) ( E ) ' = ∅
6) A ∩ A ' = ∅
TÜMLEYENE Dönüş DE MORGAN Kuralı

19. DE MORGAN
KURALI
1) A ve B herhangi iki küme ise; (AUB)’ =A’ ∩ B’
2) A ve B herhangi iki küme ise ; (A ∩ B)’ =A’UB’

20. SORULAR
1)R ve A Kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
S(A)=7 S(A’)=8 S(R)=10 olduğuna göre, kümesinin alt
kümelerinin sayısı kaçtır?

21. KÜMELERİN BİRLEŞİMİ
A ve B herhangi iki küme olmak üzere; A ile B kümelerinin bütün
elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin birleşimi denir.

.a .b .e A={a,b,c,d}, B={b,c,e,f} kümeleri veriliyor AUB
.d ..c .f
kümesini liste biçiminde yazalım.
AUB={a,b,c,d,e,f} dir
AUB
AUB
BİRLEŞİM İŞLEMİNİN Özellikleri

22. BİRLEŞİM İŞLEMİNİN
ÖZELLİKLERİ
1)TEK KUVVET Özelliği : AUA=A
2)DEĞİŞME Özeliği : AUB=BUA
3) BİRLEŞME Özeliği : her A,B,C kümesi için AU(BUC)=(AUB)UC
4) BİRİM (ETKİSİZ) ELEMAN Özeliği : her küme için AU{ }={ }UA
ALIŞTIRMA BİRLEŞİM İŞLEMİNE Dönüş

23. ALIŞTIRMALAR
1)A= {1,2,3,4},B={2,3,5,6} ve C={3,4,5,7} kümeleri veriliyor.
@(AUB)UC kümesini liste biçiminde yazınız
@ (AUB)UC=AU(BUC) olup olmadığını gösteriniz.
2)A;B;C herhangi üç küme olmak üzere, BUC=BUA olduğu halde,A
eşit değil C ye olduğunu gösteriniz.
3)A={xI x,60 ın çarpanları},B={xI x210 un asal çarpanları} ise AUB
kümesini gösteriniz.
4)Şekildeki sayılar bulundukları
bölgelerin sayılarını göstermektedir. 10 2
S(AUBUC)=37 olduğuna göre 1 12
S(C)=? 4 6
m.m+m

24. KÜMELERİN KESİŞİMİ
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A ve B nin ortak
elemanlarından oluşan kümeye bu kümenin kesişimi denir. kümelerinin
∩
kesişimi A B şeklinde gösterilir.AileI B = kesişimiA∧ ∈ x}
A B nin {xIx ∈ .
Biçiminde tanımlanır.
ÖRNEK: A={1,2,3,4,5}ve B={3,4,6,7} kümeleri veriliyor. A ∩
B kümesini
liste biçiminde yazalım ve Ven şemasında gösterelim:
ÇÖZÜM: A ∩ B={3,4}
A B
.1 .3 .6
.2 .4
.5 .7
Konuyla İlgili Sorular KESİŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

25. KESİŞİM İŞLEMİNİN
ÖZELLİKLERİ
1)Tek kuvvet özelliği:Her eleman için A I A = A dır
A I A = {xIx ∈ A ∧ x ∈ A}
= {xIx ∈ A}
=A
2)Değişme özelliği: her A ve B kümeleri için A I B = B I A dir.
A I B = {xIx ∈ a ∧ x ∈ B}
= {xIx ∈ B ∧ x ∈ A}
= BI A
KESİŞİM İŞLEMİNE DÖNÜŞ DEVAMI

26. 3) Birleşme özelliği:Her A;B;C kümeleri için A I (B I C) = ( A I B ) I C
A I ( B I C ) = { xIx ∈ A ∧ x ∈ ( B I C ) }
= { xIx ∈ A ∧ ( x ∈ B ∧ x ∈ C ) }
= { xI ( x ∈ A ∧ x ∈ B ) ∧ x ∈ C }
= ( A I B) I C
4)Yutan eleman özelliği: Her A kümesi için A I ∅ = ∅ I A = ∅ dir
(Bu işlemde yutan eleman ∅ dir)

27. SORULAR
A={3,4,5,6,7} ve B={5,6} kümeleri veriliyor.A kesişim B kümesini
liste biçiminde yazıp Venn şemasında gösteriniz?
A = { x :1 p x ≤ 8, x ∈ R}
B = { y : 0 ≤ y p 6, y ∈ z} Kümeleri içinIA B=?

28. İKİ KÜMENİN FARKI
Tanım:A ve B herhangi iki küme olsun.A da olup B de olmayan
elemanların oluşturduğu kümeye “A”nın”B”den farkı denir ve AB
veya A-B Biçiminde gösterilir.
A − B = { xIx ∈ A ∧ x ∉ B}
ÖRNEK:A={1,2,3,4,5},B{3,5,6,7}kümeleri veriliyor.A-B ve B-A
kümelerini bulunuz.
ÇÖZÜM:A-B={1,2,4},B-A={6,7}dir.
B
A
.1 .3 .6
.2
.3 .5 .7 KÜMELERİN
FARKI İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
A-B B-A
SORULAR

29. SORULAR
25 kişilik bir sınıfta tüm öğrencilerin İngilizce veya Almanca
dillerinden en az birini bildiğini varsayalım.Sadece İngilizce
bilenlerin sayısı sadece Almanca bilenlerin sayısının 3 katıdır.her iki
dili bilen 5öğrenci bulunduğuna göre,bu sınıfta Almanca bilen kaç
öğrenci vardır.
70 kişilik bir öğrenci grubundaki öğrencilerin bazıları sarışın,
bazıları yeşil gözlü,bazıları mavi gözlüdür.24 öğrenci mavi gözlü
sarışın,41 öğrenci kumral ve 12 öğrenci yeşil gözlü ise yeşil gözlü
kumral öğrenci sayısı kaçtır?
Türkçe ve almanca dillerinin konuşulduğu bir turist grubunda,
Türkçe konuşanlar 60/100 Almanca konuşanlar 70/100 ve sadece
Almanca konuşanlar 12 kişi olduğuna göre,yalnız Türkçe konuşan kaç
kişi vardır.

30. KÜMELERİN FARKI İLE İLGİLİ
ÖZELLİKLER
1)AB= A′
2)E-A=A′
3)A-A= ∅
4)A- ∅ =A
5) ∅ -A= ∅
6) A ⊂ BiseA − B = ∅
7) A − B = A − ( A I B )
8)( A − B ) ′ = A′ U B
9) ( A − B ) U B = A U B
10) ( A − B ) − C = A − ( B − C ) 11)A − B ≠ B − A

31. TEST
1)A={{1},{2,3},3,{4,5},{4}} A kümesi için aşağıdakilerden kaç tanesi
doğrudur?
I.32 tane alt kümesi var
II.{2,3} ⊂ A
⊂
III.{{4,5}} A
IV.5 ∈ A
V. 1∈A
∈
VI.{4} A
A)2 B)3 C)4 D)5 D)6

32. YANLIŞ CEVAP

33. DOĞRU CEVAP
SONRAKİ SORUYA GEÇEBİLİRSİNİZ

34. 2)Bir kümenin eleman sayısı 2 azaltıldığında alt küme sayısı 192
azalıyor. Buna göre, bu kümenin en çok 2 elemanlı alt küme sayısı
kaçtır?
A)37 B)36 C)35 D)30 E)29
3)A={otobüsteki sarışın yolcular}
B={otobüsteki bayan yolcular}
C={otobüsteki ceketli yolcular}
D={otobüsteki erkek yolcular}
olduğuna göre(A ∩ B)-(C U D) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)Ceketli olmayan bayan yolcular
B)Ceketli sarışın bayan yolcular
C)Ceketli olmayan sarışın bayan yolcular
D)bayan olmayan sarışın yolcular
E)Ceketsiz sarışın yolcular

35. DOĞRU CEVAP
Bir sonraki soruya geçebilirsiniz

36. DOĞRU CEVAP
DİĞER SORUYA GEÇEBİLİRSİNİZ

37. YANLIŞ CEVAP

38. 4)A ve B ayrık olmayan kümelerdir.
S(AUB)=6x+8 s(A)=3x+4 s(B)=4x-1
olduğuna göre AUB nin eleman sayısı en az kaçtır?
A)14 B)20 C)32 D)44 E)49
5)Bir mahallede,evlerin %80 inde Çamaşır makinesi,%90 ında Televizyon,
%60ında Bulaşık makinesi vardır.
Bu mahallede,Evlerin en az yüzde kaçında her üçünden mevcut olabilir?
A)30 B)35 C)40 D)45 E)50
6)45 kişilik bir sınıfta İngilizce bilenlerin sayısı Fransızca bilenlerin
sayısının 3 katıdır.her iki dili bilen 3 kişi ve hiç dil bilmeyen 12 kişidir.
Buna göre, Fransızca bilen kaç kişidir.
A)9 B)12 C)15 D)18 E)21
7)32 kişilik bir sınıfta kız veya gözlüklü öğrencilerin sayısı 25,erkek
öğrencilerin sayısı 16 ise gözlüklü erkek öğrenci sayısı kaçtır?
A)16 B)13 C)9 D)8 E)6

39. YANLIŞ CEVAP

40. DOĞRU CEVAP
DİĞER SORUYA GEÇEBİLİRSİNİZ

41. DOĞRU CEVAP
DİĞER SORUYA GEÇİNİZ

42. 8)Bir sınıfta Almanca bilen herkes İngilizce bilmektedir.En az bir dil
bilenler 9,en çok bir dil bilenler 14 ve almanca bilenlerle dil
bilmeyenlerin toplamı 13 kişidir. Buna göre, sınıf mevcudu kaç
kişidir?
A)16 B)17 C)18 D)19 E)20
9)bir sınıfta bütün öğrenciler matematik veya Türkçe’den
başarılıdır.Bu sınıfın %60’ı Matematik, %80’i Türkçe dersinden
başarılı olmuştur.her iki dersten başarılı olan öğrenci sayısı 10
dur.
Sadece bir dersten başarılı olan öğrenci sayısı kaçtır?
A)5 B)8 C)10 D)15 E)20
10)A={x,y,{z}}
B={1,2,X,Y,{Z},{XYZ}}
A ve B kümeleri için aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
I.{X,Y,Z}∈B III.{1,2,X}∈A ∈
V.{Z} B
II.s(AB)=3 IV.s(A∩ B)=3
A)1 B)2 C)3 D)4 D)5

43. YANLIŞ CEVAP

44. DOĞRU CEVAP

45. Oh bu konuyu da
anladım
Gösteriyi bitir