Teks tersebut membahas bahwa himpunan bilangan real dan kompleks memiliki cardinalitas (banyak elemen) yang sama meskipun himpunan bilangan real merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks. Hal ini dapat dibuktikan karena setiap elemen dalam himpunan bilangan real dapat dipasangkan secara bijektif dengan elemen dalam himpunan bilangan kompleks.

1. Matematika Diskret 2. Prinsip Inklusi dan Eksklusi
Rate This
Prinsip Inklusi dan Eksklusi merupakan perluasan ide
dalam Diagram Venn beserta operasi irisan dan gabungan, namun dalam pembahasan kali
ini konsep tersebut diperluas, dan diperkaya dengan ilustrasi penerapan yang bervariasi
dalam matematika kombinatorik. Kita awali dengan sebuah ilustrasi:
Sebuah perkuliahan umum dihadiri oleh 20 mahasiswa yang memiliki kegemaran
membaca dan 30 mahasiswa yang memiliki kegemaran menulis. Berapa mahasiswa di
dalam perkuliahan tersebut yang memiliki kegemaran membaca atau menulis?
Dari permasalahan ini terlihat bahwa informasi yang diketahui belum memadai.
Banyaknya mahasiswa yang memiliki kegemaran membaca atau menulis hanya dapat
diketahui jika banyaknya mahasiswa yang menggemari kedua kegiatan tersebut
diketahui.
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Banyaknya anggota himpunan gabungan antara himpunan A dan himpunan B merupakan
jumlah banyaknya anggota dalam himpunan tersebut dikurangi banyaknya anggota di
dalam irisannya. Dengan demikian,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Contoh 1.
Dalam sebuah program studi pendidikan matematika yang terdiri atas 350 mahasiswa,
terdapat 175 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan 225
mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis kompleks, dan 50 mahasiswa yang
mengambil mata kuliah persamaan diferensial dan analisis kompleks. Ada berapa
mahasiswa di dalam perkuliahan itu jika setiap mahasiswa mengambil mata kuliah
persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya?

2. Penyelesaian:
Misalkan A adalah banyaknya mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan
diferensial dan B menyatakan mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis
kompleks. Maka A B merupakan himpunan mahasiswa yang mengambil kedua mata
kuliah tersebut. Banyaknya mahasiswa di dalam kelas itu yang mengambil mata kuliah
persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya adalah
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
= 175 + 225 – 50
= 350
Ini berarti, terdapat 350 mahasiswa di dalam kelas yang mengambil mata kuliah
persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya. Karena banyaknya siswa
keseluruhan di dalam kelas tersebut adalah 350 mahasiswa, artinya tidak terdapat
mahasiswa yang tidak memilih salah satu dari kedua konsentrasi itu.
Contoh 2
Di sebuah jurusan dalam suatu perguruan tinggi terdapat 134 mahasiswa tingkat 3. Dari
sekian banyak mahasiswa tersebut, 87 di antaranya mengambil mata kuliah teori graf
diskrit, 73 mengambil mata kuliah matematika ekonomi, dan 29 mengambil mata kuliah
teori graf dan matematika ekonomi. Berapa banyak mahasiswa yang tidak mengambil
sebuah mata kuliah baik dalam teori graf maupun dalam matematika ekonomi?
Penyelesaian:
Untuk menentukan banyaknya mahasiswa tingkat 3 yang tidak mengambil mata kuliah
teori graf ataupun matematika ekonomi, kurangilah banyaknya mahasiswa yang
mengambil mata kuliah dari salah satu mata kuliah ini dari keseluruhan banyaknya
mahasiswa tingkat 1. Misalkan A merupakan himpunan semua mahasiwa tingkat 3 yang
mengambil mata kuliah teori graf, dan B adalah himpunan mahasiswa yang mengambil
mata kuliah matematika ekonomi. Maka n(A)=87, n(B)=73, dan n(A ∩ B) = 29.
Banyaknya mahasiswa tingkat 3 yang mengambil mata kuliah teori graf atau matematika
ekonomi adalah
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
= 87 + 73 – 29
= 160-29
= 131
Ini artinya terdapat sebanyak 134–131 = 3 mahasiswa tingkat 3 yang tidak mengambil
mata kuliah teori graf ataupun matematika ekonomi.
Dalam bagian berikutnya akan diuraikan bagaimana cara-cara menentukan banyaknya
anggota dalam gabungan antara himpunan terhingga dari sebuah himpunan. Hasil ini
kemudian akan dikembangkan menjadi sebuah prinsip yang dinamakan Prinsip Inklusi-
Eksklusi.

3. Sebelum membicarakan gabungan dari n himpunan, dengan n sebagai bilangan bulat
positif, sebuah rumusan bagi banyaknya anggota dalam gabungan 3 himpunan A, B, dan
C akan diturunkan. Untuk menyusun rumus ini perlu diingat bahwa n(A)+n(B)+n(C)
membilang tiap anggota tepat satu kali dari ketiga himpunan tersebut satu kali, anggota
yang tepat 2 kali dari himpunan-himpunan itu adalah dua kali, dan anggota-anggota
dalam 3 himpunan tersebut 3 kali. Ini diilustrasikan dalam Gambar berikut :
Diagram Venn Tiga Himpunan
Ekspresi final ini membilang tiap anggota satu kali, apakah itu 1, 2 atau 3 dalam 3
himpunan. Jadi,
n(A ∪ B ∪ C)= n(A)+n(B)+n(C)- n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Teorema (Prinsip Inklusi-Eksklusi)
Aplikasi Prinsip Inklusi-Eksklusi
Prinsip Inklusi-Eksklusi memiliki banyak aplikasi, di antaranya dalam penyelidikan
banyaknya bilangan prima dalam yang tidak meliebihi suatu bilangan bulat positif
tertentu. Perhitungan ini dapat dimanfaatkan dalam menjawab permasalahan saringan

4. Eratosthenes.
Dalam saringan Eratosthenes, kita membuat suatu saringan yang mampu menyaring
bilangan-bilangan, demikian sehingga yang tersisi setelah disaring hanyalah bilangan
prima yang dimaksud.
Untuk memahami prinsip ini, pertama-tama kita kaji pengertian bilangan bulat komposit.
Bilangan komposit adalah bilangan yang habis dibagi oleh bilangan prima yang tidak
melebihi akar kuadratnya. Sebagai contoh, 50 adalah bilangan komposit. Bilangan ini
dapat dibagi habis oleh bilangan prima yang tidak lebih dari 50 7 . Dalam hal ini 50 habis
dibagi 2 dan 5. Untuk mencari banyaknya bilangan prima yang tidak lebih dari 100, kita
perlu mencari bilangan komposit yang tidak melebihi 100. Karena 100 10 , maka
bilanganbiangan prima yang kurang dari 10 adalah 2, 3, 5, 7. Dengan demikian
banyaknya bilangan prima yang tidak lebih dari 100 adalah 4 ditambah dengan
banyaknya bilangan bulat positif antara 100 yang habis dibagi 2, 3, 5, atau 7.Untuk
memecahkan masalah ini akan kita gunakan prinsip Inklusi-Eksklusi
Matematika Diskret 1. Himpunan
Himpunan
Pengertian Himpunan
Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai sifat tertentu. Objek yang
dimaksud dapat berupabilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya.
Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu.
Notasi
Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan sebagainya. Untuk
menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{….}”. Sementara itu untuk

5. melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y dan
sebagainya. Perlu diperhatikan bahwa penulisan anggota dalam suatu himpunan hanya
sekali saja Jadi tidak boleh kita menuliskan himpunan sebagai {1,a,b,8,b}. Demikian pula
kita tidak boleh menyatakan himpunan sebagai {bunga, kambing, sapi, kerbau, sapi,
tumbuhan}. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “ ”
(baca:anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan igunakan
lambang “∉ ” (baca: bukan anggota).
Penulisan Himpunan
Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu :
1. Mendaftarkan semua anggotanya.
Contoh:
- A = {a,e,i,o,u}
- B = {2,3,5,7,11,13,17,19}
2. Menggunakan sifat dari anggota himpunan
Contoh:
- P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}
(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})
- Q = { t | t biangan asli}
(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}
- R = { s | s2-1=0, s bilangan real}
(Maksudnya R = {-1,1})
Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan.
Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U.
Contoh :
Kalau kita membahas mengenai 1, ½ , -2, -½ , 3 5 ,… maka semesta pembicaraan kita
adalah bilangan real. Jadi himpunan semesta yang dimaksud adalah R. Apakah hanya R
saja? Jawabannya tidak. Tergantung kita mau membatasi pembicaraanya. Pada contoh di
atas bisa saja dikatakan semestanya adalah C (himpunan bilangan kompleks). Namun kita
tidak boleh mengambil Z (himpunan bilangan bulat) sebagai semesta pembicaraan.
Himpunan Kosong

6. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dilambangkan
dengan “ ” atau { }
Contoh:
- Himpunan bilangan bulat yang ganjil
- Himpunan orang yang tingginya 100 meter
Himpunan Bagian
Diberikan himpunan A dan B. Jika setiap anggota A merupakan anggota B maka
dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan B memuat A dan
dilambangkan dengan A B.
Jadi A B jika dan hanya jika x A dan x B
Jika ada anggota dari A yang bukan merupakan anggota B maka A bukan bukan
himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan A ; B.
Contoh:
- A = {1,3,5} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka A ; B.
- C = {a,b, c, 1,2} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka C t; B, karena ada anggota dari C
yang bukan merupakan anggota B, yaitu a. (Pengertian “ada” berarti terdapat satu
anggota C yang bukan merupakan anggota B, sudah cukup)
- Suatu himpunan pasti merupakan subset dirinya sendiri. Jadi H ; H.
Operasi Himpunan
Gabungan (Union)
Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota A
atau B atau keduanya.
A ∪ B = {x |x ; A atau x ; B}
Notasi: A ∪ B , A + B
Contoh:
A = { mouse, keyboard, scanner} ,
B = { monitor,printer}, C = { mouse, keyboard, CPU }
maka:

7. A ∪ B = {mouse, keyboard, scanner, monitor,printer}
A ∪ C = { mouse, keyboard, scanner , CPU }
Irisan (Intersection)
Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya dimiliki bersama
oleh himpunan A dan B
Notasi : A ∩ B ={x| x A dan x B}
Contoh:
A = { mouse,keyboard,touch sreen}
B = { monitor, touch screen, printer, scanner}
C = { monitor,printer, scanner}
Maka:
A ∩ B = { touch screen }
A ∩ C = { }
Relative Complement/Selisih
Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya hanya menjadi
anggota himpunan A tetapi tidak termasuk anggota himpunan B.
Notasi: A — B={x | x A dan x B}
Contoh:
A = { SQLserver,MySQL,MsAcces}
B = { MySQL,MsAcces,Oracle}
Maka:
A — B = {SQL server }
Symmetric Difference/Beda Setangkup
Beda setangkup dua himpunan A dan B adalah himpunan yang merupakan anggota
himpunan A atau anggota himpunan B tetapi bukan merupakan anggota kedua himpunan
secara bersamaan.
Notasi: A ⊕ B={x| x A dan x B tetapi x ∉ A ∩ B}
Contoh:

8. A = { Win3.1, Win3.11, Win95,Win97 }
B = { Win95,Win97,Win98,Win98SE, WinME,Win2000 }
A ⊕ B = { Win3.1, Win3.11, Win98, Win98SE ,WinME, Win2000 }
Komplemen
Komplemen Himpunan A adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota A
Notasi : A’ , Ac
Contoh:
U = { Win3.1, Win3.11, Win95,Win97,Win98,
Win98se, WinME,Win2000, WinXP,… }
A = { Win3.1, Win3.11, Win95,Win97 }
A’ = {Win98,Win98se, WinME,Win2000, WinXP,… }
Diagram Venn
Adalah suatu cara untuk menggambarkan hubungan antara himpunan-himpunan.
Diagram Ven
Hukum-hukum aljabar Himpunan :

9. Contoh Soal Penyederhanaan Operasi Himpunan :

10. Real dan Kompleks mempunyai cardinalitas yang sama
January 11, 2011 by Aria Turns
Kita tahu bahwa himpunan bilangan real merupakan himpuan bagian dari himpuan
bilagan kompleks . Apakah itu berarti cardinalitas (banyak elemen) pada lebih besar
dari , ? Kita juga tahu bahwa setiap elemen di mempunyai bentuk
untuk sebarang . Apakah itu berarti
Tidak, tidak, mempunyai cardinalitas yang sama dengan ,
Kok bisa?
Untuk menujukan 2 himpunan A dan B mempunyai cardinalitas yang sama, kita harus
menjukan terdapat fungsi bijektif dari A ke B. Karena dengan adanya fungsi bijektif, itu
berati setiap elemen A dan B dapat dipasang-pasangkan. Akan tetapi untuk
menujukan bukan dengan cara menunjukan terdapat fungsi bijektif dari ke
. Melainkan dengan menujukan mempunyai cardinalitas yang sama
dengan . Diketahui bahwa , itu berarti dengan
menunjukan , kita telah menunjukan
Diberikan fungsi dari ke
yang didefinsikan sebagai berikut
Contoh
·
·
·
Nah.. selanjutnya tinggal kita buktikan bijektif. Errr… Nah.. telah kita tunjukan bahwa
, itu berarti terbukti