Giáo trình Cơ học thủy khí ứng dụng.pdf

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-------o0o-------
TS. LƯƠNG NGỌC LỢI
CƠ HỌC THỦY KHÍ
ỨNG DỤNG
Hà Nội, 2008

Cơ học thủy khí ứng dụng
- 1 -
Quyển sách giới thiệu kiến thức lý thuyết cơ bản về cơ học chất lỏng và chất khí
và ứng dụng của nó trong các ngành kỹ thuật. Nội dung chủ yếu gồm tính chất cơ bản
chất lỏng và chất khí ,tĩnh học, động học, động lực học chất lỏng và một số chuyên đề
ứng dụng trong tính toán đường ống thuỷ lực và khí động, dòng chảy trong khe hẹp
(bài toán bôi trơn và làm mát…), lực tác động lên vật ngập trong lòng chất lỏng chuyển
động, lý thuyết thứ nguyên-tương tự. Đặc biệt có phần giới thiệu thiệu cơ bản dòng tia
và nguyên lý cơ bản về máy thuỷ lực.
Giáo trình này cho sinh viên chuyên ngành kỹ thuật tàu thuỷ với thời lượng 4 đv
học trình theo nội dung của Chương trình khung ngành Kỹ thuật Tàu thuỷ được duyệt
năm2008 của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Ngoài ra là giáo trình cho sinh viên các ngành
cơ khí, làm lài liệu tham khảo cho sinh viên, kỹ sư các ngành kỹ thuật khác .

- 2 -
MỤC LỤC
trang
Chương 1 Một số tính chất vật lý cơ bản của chất lỏng 3
Chương 2 Tĩnh học chất lỏng 10
Chương 3 Động học chất lỏng 25
Chương 4 Động lực học chất lỏng 36
Chương 5 Chuyển động một chiều của chất lỏng không nén được 59
Chương 6 Chuyển động một chiều của chất khí 71
Chương 7 Tính toán thuỷ lực đường ống 82
Chương 8 Lực tác động lên vật ngập trong lòng chất lỏng chuyển động 89
Chương 9 Lý thuyết thứ nguyên và tương tự 98
Chương 10 Máy thủy lực và trạm 107
Tài liệu tham khảo 115

- 3 -
CHƯƠNG I
MỘT SỐ TÍNH CHẤT VẬT LÝ CƠ BẢN
CỦA CHẤT LỎNG
♣ 1-1. ĐỐI TƯỢNG, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU MÔN HỌC ỨNG DỤNG.
I. Đối tượng:
Môn học Thuỷ khí động lực ứng dụng, còn được gọi là Cơ học chất lỏng ứng
dụng hay gọi một cách gần đúng là Thuỷ lực. Đối tượng nghiên cứu của môn học là
chất lỏng. Chất lỏng ở đây hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm chất lỏng ở thể nước - Chất
lỏng không nén được ( Khối lượng riêng ρ không thay đổi) và chất lỏng ở thể khí -
Chất lỏng nén được ( Khối lượng riêng thay đổi ρ ≠ const ). Để tiện cho việc nghiên
cứu, cũng như theo sự phát triển của khoa học, người ta chia chất lỏng thành chất lỏng
lý tưởng hay là chất lỏng không nhớt và chất lỏng thực, còn gọi là chất lỏng nhớt (độ
nhớt μ ≠ 0). Chất lỏng tuân theo quy luật về lực nhớt của Niu-Tơn (Isacc Newton) là
chất lỏng Niu-Tơn. Còn những chất lỏng không tuân theo quy luật này người ta gọi là
chất lỏng phi Niu-Tơn, như dầu thô chẳng hạn.
Thuỷ khí động lực nghiên cứu các quy luật cân bằng và chuyển động của chất
lỏng. Thông thường trong giáo trình, người ta chia thành ba phần:
- Tĩnh học chất lỏng: nghiên cứư các điều kiện cân bằng của chất lỏng ở trạnh
thái tĩnh.
- Động học chất lỏng: nghiên cứu chuyển động của chất lỏng theo thời gian,
không kể đến nguyên nhân gây ra chuyển động.
- Động lực học chất lỏng: nghiên cứu chuyển động của chất lỏng và tác dụng
tương hỗ của nó với vật rắn. Cụ thể là phải giải 2 bài toán cơ bản sau đây:
+ Xác định sự phân bố vận tốc, áp suất, khối lượng riêng và nhiệt độ trong
chất lỏng.
+ Xác định lực tác dụng tương hỗ giữa chất lỏng và vật rắn xung quanh nó.
Vị trí của môn học: nó là nhịp nối giữa những môn khoa học cơ bản (Toán, Lý..)
với những môn kỹ thuật chuyên ngành.
II. Phương pháp nghiên cứu
Dùng 3 phương pháp sau đây:
Lý thuyết: Sử dụng công cụ toán học, chủ yếu như toán giải tích, phương trình vi
phân. Chúng ta sẽ gặp lại các toán tử vi phân quen thuộc như:
gradient:
z
p
k
y
p
j
x
p
i
p
grad
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
divergent:
z
u
y
u
x
u
u
div z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=

- 4 -
rotor:
z
y
x u
u
u
z
y
x
k
j
i
u
rot
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
Toán tử Laplas: 2
2
2
2
x
2
2
z
y
x ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
=
Δ
Đạo hàm toàn phần:
dt
dz
z
u
dt
dy
y
u
dt
dx
x
u
t
u
dt
u
d
:
)
t
,
z
,
y
,
x
(
W
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
r
r
r
r
r
Và sử dụng các định lý tổng quát của cơ học như định lý bảo toàn khối lượng,
năng lượng, định lý biến thiên động lượng, mômen động lượng, ba định luật trao đổi
nhiệt (Fourier), vật chất (Fick), động lượng (Newton).
Phương pháp thực nghiệm: dùng trong một số trường hợp mà không thể giải bằng
lý thuyết, như xác định hệ số cản cục bộ.
Bản thực nghiệm: kết hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm.
III. Ứng dụng:
Thuỷ khí động lực có ứng dụng rất rộng rãi trong các ngành khoa học, kỹ thuật
như giao thông vận tải, hàng không, cơ khí, công nghệ hoá học, vi sinh, vật liệu… vì
chúng đều có liên quan đến chất lỏng: nước và khí .
♣ 1-2. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN MÔN HỌC.
Thuỷ khí động lực biểu thị sự liên hệ rất chặt chẽ giữa khoa học và yêu cầu thực
tế. Nông nghiệp đã đòi hỏi thuỷ lợi phát triển rất sớm như kênh đào, đập nước, đóng
thuyền, bè… Ở đây chỉ xin nêu ra một số nhà bác học quen thuộc mà qua đó thấy sự
phát triển của môn học. Tên tuổi Acsimet (287-212, TCN) gắn liền với thuỷ tĩnh-lực
đẩy Acsimet.
Nhà danh hoạ Ý, Leonardo da Vinci, (1452-1519) đưa ra khái niệm về lực cản
của chất lỏng lên các vật chuyển động trong nó. Ông rất muốn biết tại sao chim lại bay
được. Nhưng phải hơn 400 năm sau, Jucopxki và Kutta mới giải thích được: đó là lực
nâng.
Hai ông L.Euler (1707-1783) và D.Becnuli (1700-1782) là những người đã đặt
cơ sở lý thuyết cho thuỷ khí động lực, tách nó khỏi cơ học lý thuyết để thành một
ngành riêng. Hai ông đều là người Thuỵ Sĩ, sau được Nữ hoàng Nga mời sang làm việc
ở Viện Hàn lâm Khoa học Peteburg cho đến khi mất. Chúng ta sẽ còn gặp lại hai ông
nhiều lần trong giáo trình sau này. Tên tuổi của Navie và Stôc gắn liền với nghiên cứu
chất lỏng thực. Hai ông đã tìm ra phương trình vi phân chuyển động từ năm 1821 đến
năm 1845. Nhà bác học người Đức L.Prandtl đã sáng lập ra lý thuyết lớp biên (1904),
góp phần giải nhiều bài toán động lực học. Nửa cuối thế kỷ này, thuỷ khí động lực phát
triển như vũ bão với nhiều gương mặt sáng chói, kể cả trong nước ta.

- 5 -
♣ 1-3. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
VÀ TÍNH CHẤT CƠ LÝ CỦA CHẤT LỎNG
I. Tính chất chung.
Chất lỏng có tính chất liên tục, di động, không chịu lực cắt, lực kéo, có tính chống
nén cao (như nước, dầu), hoặc khả năng chịu nén tốt( như không khí, hơi).
Tính liên tục: vật chất được phân bố liên tục trong không gian. Tính dễ di động
biểu thị ở chỗ: ứng suất tiếp (nội ma sát) trong chất lỏng chỉ khác 0 khi có chuyển động
tương đối giữa các lớp chất lỏng.
II. Khối lượng riêng và trọng lượng riêng.
Khối lượng M của chất lỏng được đặc trưng bởi khối lượng của 1 đơn vị thể tích
w gọi là khối lượng riêng hay khối lượng đơn vị:
(1-1)
Tương tự, trọng lượng riêng (1-2)
Trọng lượng 1 vật có khối lượng 1 kg có thể coi bằng 9,8N ;
1kG ≈ 10N = 1daN
Ta có mối liên hệ: γ =ρg; g = 9,8 m/s2
Tỷ trọng là tỷ số giữa trọng lượng riêng của chất đó so với trọng lượng riêng của
nước ở nhiệt độ to
=4o
C.
4
,
n
γ
γ
=
δ (1-3)
Sự khác nhau về tính chất của một số chất thể hiện trên bảng 1-1.
III. Tính nén được:
Sự thay đổi thể tích W của chất lỏng khi tác dụng của áp suất p hoặc nhiệt độ t.
Để biểu thị sự thay đổi đó ta có hệ số nén được:
Do áp suất )
N
/
m
(
,
dp
dW
W
1 2
p −
=
β (1-4)
Do nhiệt độ )
K
/
1
(
,
dT
dW
W
1 0
T =
β
Mô đuyn đàn hồi:
β
=
1
E (1-5)
Là khả năng chống lại sự biến dạng của chất lỏng khi bi tác động của áp suất hoặc
nhiệt độ.

- 6 -
Bảng 1 – 1: Tính chất vật lý của một số chất
TT Tên gọi
KLR,
r, kg/m3
TLR
γ, N/m3 Tỷ trọng δ
Nhiệt độ,
0
C
1 Nước sạch 1000 9810 1 4
2 Xăng 0,7-0,75 16
3 Thuỷ ngân 13,55 15
4 Sắt 7,8
5 Cồn 0,8 0
6 Dầu madut 0,89-0,92 15
7 Không khí 1,127 11,77 1,127.10-3
27o
; 1at
1. Tính nhớt và giả thuyết của Newton:
Tính nhớt là thuộc tính của chất lỏng làm cản trở chuyển động của bản thân chất
lỏng. Ta nghiên cứu tính nhớt dựa trên thí nghiệm của Newton. Có hai tấm phẳng :
Tấm dưới II cố định, tấm trên I có diện tích S chuyển động dưới tác dụng của ngoại lực
F. Giữa 2 tấm có 1 lớp mỏng chất lỏng h. Sau đó một thời gian nào đó, tấm I sẽ chuyển
động đều với vận tốc tương đối u // với tấm II.
n
u
Hình 1-1
Thí nghiệm cho ta thấy rằng các phân tử chất lỏng dính chặt vào tấm I sẽ di
chuyển cùng với vận tốc u, còn những phần tử dính chặt vào tấm II thì không chuyển
động. Vận tốc các lớp chất lỏng giữa 2 tấm phẳng tăng theo quy luật tuyến tính và tỉ lệ
với khoảng cách tấm II (Hình 1-1).
Newton giả thiết là khi chất lỏng chuyển động, nó chảy thành lớp vô cùng mỏng
với vận tốc khác nhau, do đó trượt lên nhau. Giữa các lớp chất lỏng chuyển động tương
đối với nhau ấy xuất hiện lực ma sát. Đó là lực ma sát trong, còn gọi là lực nhớt:
T = τ×S (1-6)

- 7 -
Ứng suất tiếp:
dn
du
μ
=
τ (1-7)
μ là hệ số chỉ phụ thuộc vào chất lỏng giữa hai tấm phẳng, nó đặc trưng cho tính
nhớt gọi là hệ số nhớt động lực hoặc độ nhớt động lực.
Trong đó du/dn là gradient vận tốc theo phương n vuông góc với dòng chảy u.
Những chất lỏng tuân theo (1-6) gọi là chất lỏng Newton như đã nói ở trên.
Từ (1-6) rút ra:
Nếu lấy S=1 đơn vị, 1
dn
du
= đơn vị thì μ tương ứng với một lực. Đơn vị đo μ trong
hệ SI là N.s/m2
; trong hệ CGS là poa-zơ: P; 1P = 10-1
N.s/m2
Ngoài μ, còn dùng hệ số nhớt động học ν = μ/ρ (1-8)
Trong các biểu thức có liên quan tới chuyển động. Đơn vị đo ν trong hệ SI là
m2
/s, trong hệ CGS là Stốc:(St) ; 1St = 10-4
m2
/s =cm2
/s.
Các hệ số μ và ν thay đổi theo nhiệt độ và áp suất. Nhìn chung μ và ν của chất
lỏng giảm khi nhệt độ tăng và tăng khi áp suất tăng; của chất khí tăng khi nhiệt độ tăng
và giảm khi áp suất tăng.
Bảng 1 – 2: Độ nhớt động học của một số chất
Để
thuận tiện cho việc tính toán sau này có thể chia ngoại lực tác dụng lên chất lỏng được
chia thành 2 loại:
- Lực mặt là lực tác dụng lên chất lỏng tỉ lệ với diện tích mặt tiếp xúc (như áp lực:
P=p.S, lực ma sát: T=τ.S,…)
- Lực khối là lực tác dụng lên chất lỏng tỉ lệ với khối lượng (như trọng lực:G=mg,
lực quán tính: Fqt=m.a,…)
Chất lỏng thực là chất lỏng có độ nhớt (μ khác không). Khi giải những bài toán
thủy lực phức tạp, có nhiều ẩn số người ta đơn giản hóa bài toán. Một trong cách đó là
coi chất lỏng có độ nhớt thấp như chất lỏng không có tính nhớt, gọi đó là chất lỏng lý
tưởng.
Nhiệt độ,
t,0
C
Áp suất
p,at
Độ nhớt
ν, St
Nước 20 1 0,0001
Dầu thủy lực: IC-30,
PS-46
50
1
30
Không khí 0 1 0,133
Không khí 100 1 0,245
Không khí 0 0,01 13,3
Dầu hỏa 20 1 0,025

- 8 -
* Câu hỏi:
1. Khái niệm về khối lượng riêng, trọng lượng riêng, tỷ trọng của chất lỏng, chất
khí. Chỉ ra sự khác nhau cơ bản về giá trị của nước thường, không khí, thủy ngân,
sắt.
2. Khai niệm về tính nén được của chất lỏng. Thể tích chất lỏng thay đổi phụ thuộc
những yếu tố nào?
3. Khái niệm về tính chất của chất lỏng. Bản chất của việc sinh ra tính nhớt.
4. Khái niệm độ nhớt động học, độ nhớt động lực học, đơn vị. Sự khác nhau cơ bản
độ nhớt của không khí, nước thường, dầu.
5. Khái niệm về chất lỏng thực, chất lỏng lý tưởng. Phân loại ngoại lực tác động lên
chất lỏng.

- 9 -
Hình 2 - 1
CHƯƠNG II
TĨNH HỌC CHẤT LỎNG
Tĩnh học chất lỏng hay thuỷ tĩnh học nghiên cứu các quy luật về cân bằng của
chất lỏng ở trạng thái tĩnh. Người ta phân ra làm 2 trạng thái tĩnh: Tĩnh tuyệt đối - chất
lỏng không chuyển động so với hệ toạ độ cố định gắn liền với trái đất; Tĩnh học tương
đối - chất lỏng chuyển động so với hệ toạ độ cố định, nhưng giữa chúng không có
chuyển động tương đối. Như vậy, ở đây chất lỏng thực và lý tưởng là một. Chương này
chủ yếu nghiên cứu áp suất và áp lực do chất lỏng tạo nên.
♣ 2-1. ÁP SUẤT THUỶ TĨNH.
I. Định nghĩa:
Áp suất thuỷ tĩnh là những ứng suất gây ra bởi các ngoại lực tác dụng lên chất
lỏng ở trạng thái tĩnh.
P
Δw
ΔP
w
Để thể rõ khái niệm áp suất thuỷ tĩnh trong chất lỏng, ta xét thể tích chất lỏng giới
hạn bởi diện tích Ω (Hình 2-1). Tưởng tượng cắt khối chất lỏng băng mặt phẳng AB,
chất lỏng trong phần I tác dụng lên phần II qua mặt cắt ω. Bỏ I mà vẫn giữ II ở trạng
thái cân bằng thì phải thay tác dụng I lên II bằng lực P gọi là áp lực thuỷ tĩnh tác dụng
lên mặt ω.
Áp suất trung bình:
ω
=
P
ptb
Còn áp suất tại điểm M:
ω
Δ
Δ
=
→
ω
Δ
P
Lim
p
0
M
Đơn vị của áp suất: N/m2
= Pa (Pascal)
1at = 9,8.104
N/m2
= 104
kG/m2
= 10mH2O = 10T/m2
= 1kG/cm2
1bar=105
.N/m2
; MPa=106
N/m2
; tor= 1mmHg
Áp suất là một đơn vị véctơ
II. Hai tính chất của áp suất thuỷ tĩnh.

- 10 -
a. Áp suất thuỷ tĩnh luôn luôn tác dụng thẳng góc và hướng vào mặt tiếp xúc
(Hình 2-2).
b. Áp suất thuỷ tĩnh tại mỗi điểm theo mọi phương bằng nhau.
Có thể giả thích điều đó bằng cách xét khối chất lỏng dạng một tứ diện (Hình
2-2) là một góc của toạ độ DềCác.Các cạnh dz
,
dx
,
dx vô cùng nhỏ bé như hình vẽ.
Trên bốn mặt có bốn véctơ áp suất tương ứng.
Hình 2-2
Khi thể tích khối chất lỏng ΔW=dx.dy.dz ≠ 0 thì các véctơ đó hoàn toàn khác
nhau:
p
p
p
p z
y
x
r
r
r
r
≠
≠
≠
Khi thể tích này nhỏ vô cùng ΔW=dx.dy.dz→ 0 thì giá trị của các vectơ này hoàn
toàn bằng nhau: p
p
p
p z
y
x =
=
= (2-1)
♣ 2-2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÂN BẰNG CỦA CHẤT LỎNG
PHƯƠNG TRÌNH Ơ-LE TĨNH (1755)
Phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa ngoại lực tác dụng vào một phần tử chất
lỏng với nội lực sinh ra trong đó (tức là áp suất thuỷ tĩnh p).
Xét một phần tử chất lỏng hình hộp có các cạnh dx, dy, dz // x, y, z (Hình 2-3).
Trọng tâm M(x,y,z) chịu áp suất thuỷ tĩnh p(x,y,z).
Lực mặt tác dụng lên hình hộp gồm các lực do áp suất thuỷ tĩnh tác động trên 6
mặt (áp lực).
Theo phương ox áp lực từ hai phía sẽ là:
dydz
dx
x
p
2
1
p
Px ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
= và dydz
dx
x
p
2
1
p
'
P x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
Lực khối theo phương ox là: dxdydz
X
mX ρ
=
Với m = ρ.dx.dy.dz;

- 11 -
x
z
o
dz
dx
dy
p-Δp/2 p+Δp/2
mF
p
y
Hình 2-3
Lập điều kiện cân bằng của phân tử chất lỏng hình hộp dưới tác dụng của lực khối
và áp lực.
Hình chiếu của các lực lên trục x:
Do áp suất 0
mX
P
'
P x
x
x
=
+
−
=
∑ (2-2)
Thay vào (2-2) ta được:
0
dxdydz
.
X
dxdydz
x
p
x
=
ρ
+
∂
∂
−
=
∑ , với: m=ρ.dx.dy.dz ≠ 0
Hay là
Tương tự cho trục y và z (2-3)
Đó là phương trình Ơle tĩnh (hay phương trình Ơle I) viết dưới dạng ba hình
chiếu.
Viết dưới dạng vectơ: 0
gradp
1
F =
ρ
− (2-4)
Trong đó :Flà lực khối đơn vị - lực khối của 1 đơn vị khối lượng:
Z
k
Y
j
X
i
F +
+
=
Nhân các phương trình (2-3) lần lượt với ,
dz
,
dy
,
dx rồi cộng lần lượt lại theo cột,
ta được:
Hay là dp
1
Zdz
Ydy
Xdx
ρ
=
+
+ (2-5)
Đây là một dạng khác của phương trình vi phân cân bằng của chất lỏng thể hiện
sự biến thiên áp suất theo không gian ba chiều.

- 12 -
Mặt đẳng áp là mặt trên đó tại mọi điểm áp suất p = const, hay dp =0. Từ (2-5)
suy ra phương trình của mặt đẳng áp:
Hay là 0
Zdz
Ydy
Xdx =
+
+ (2-5’)
♣ 2-3. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN THUỶ TĨNH
Là việc áp dụng cụ thể phương trình vi phân cân bằng trong các trường hợp chất
lỏng tĩnh tuyệt đối và tĩnh tương đối.
I. Chất lỏng tĩnh tuyệt đối
Khái niệm tĩnh tuyệt đối là tuyệt đối xét với hệ quy chiếu là trái đất.
Xét khối chất lỏng trong bình chứa đặt cố định dưới mặt đất.Trường hợp này lực
khối chỉ có trọng lực hướng xuống: g
m
G
r
r
= , nên các thành phần của lực khối sẽ là:
g
Z
,
0
Y
,
0
X −
=
=
=
Từ (2-5) ta có: dp
1
gdz
ρ
=
−
Sau khi tích phân lên, ta được phương trình cơ bản thuỷ tĩnh:
z
p
p o γ
−
= (2-6)
hay C
const
z
p
=
=
+
γ
Khi dp = 0 ta có phương trình họ mặt đẳng áp là:
z = const (2-6’)
Các mặt đẳng áp trong chất lỏng tĩnh tuyệt đối (trong đó có mặt thoáng p=pa) là
các mặt phẳng nằm ngang.
Hệ quả: Tính áp suất điểm
Cần tính áp suất tại điểm M: ?
p =
Từ công thức (2-6): Const
..
z
p
z
p
A
A
=
=
+
γ
=
+
γ
( ) )
z
z
(
p
p
z
z
p
p
A
A
A
A
−
γ
+
=
→
−
+
γ
=
γ
Nếu điểm A tại măt thoáng a
A
p
p = và zA – z = h là độ sâu từ
mặt thoáng đến điểm M, ta được:
h
.
p
p
h
p
p a
A γ
+
=
→
γ
+
= (2-7)
γh là trọng lượng cột chất lỏng cao bằng h và có diện tích đáy bằng 1 đơn
vị;
γ
−
= a
p
p
h biểu thị áp suất, nên có đơn vị là m cột nước, 1at = 10mH2O.
Ý nghĩa của phương trình cơ bản thuỷ tĩnh (2-6).

- 13 -
Ý nghĩa hình học hay thuỷ lực.
z - độ cao hình học
γ
p
- độ cao của một cột chất lỏng biểu thị áp suất, gọi là độ cao
đo áp
const
H
p
z t
t
=
=
γ
+ - cột áp thuỷ tĩnh tuyệt đối.
x
z z
z
A
h
o
pa
M
A
Hình 2-4
Vậy, trong một môi trường chất lỏng cân bằng, cột áp thuỷ tĩnh của mọi điểm là
một hằng số.
Ý nghĩa năng lượng.
Xét phân tử chất lỏng quanh điểm A có khối lương dm, dG = gdm ở độ cao hình
học z và chịu áp suất p. So với mặt chuẩn của phân tử có thế năng z.gdm = z.dG, đặc
trưng cho vị trí của phân tử, gọi là vị năng. Do chịu áp suất p nên có năng lượng dG
p
γ
- cũng là thế năng, nhưng đặc trưng cho áp suất thuỷ tĩnh tác dụng lên phân tử chất
lỏng, gọi là áp năng.
Tổng thế năng là : dG
p
z ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+
Tính cho một đơn vị trọng lượng chất lỏng:
γ
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+
p
z
dG
/
dG
p
z
Trong môi trường chất lỏng cân bằng, theo phương trình cơ bản thuỷ tĩnh,
const
e
p
z t =
=
γ
+
Vậy, thế năng đơn vị của mọi điểm trong một môi trường chất lỏng cân bằng đều
bằng nhau và bằng cột áp thuỷ tĩnh Ht.

- 14 -
II. Chất lỏng tĩnh tương đối.
Ta xét hai dạng tĩnh tương đối đặc trưng sau đây.
Bình chúa chất lỏng chuyển động thẳng thay đổi đều (gia tốc a= const).
Hiện tượng này có trong các xe chở dầu, nước sau khi khởi động, bộ chế hoà khí
của ô tô, máy bay v.v..
Ở đây cần xác định sự biến thiên áp suất trong không gian và mặt đẳng áp của
chất lỏng.
Chọn hệ toạ độ như hình vẽ (Hình 2-5).
Xuất phát từ phương trình (2-5), lực khối tác dụng ở đây gồm:
Trọng lực g
m
G = , lực quán tính a
m
F −
= . Các hình chiếu của lực khối đơn vị
tương ứng là:
X = 0; Y = - a; Z = -g
Do đó dp = ρ(- a.dy – g.dz)→ p = -ρay - ρgz + C
Khi y = 0, z = 0 thì p = C = po .
Vậy, phân bố áp suất tại mọi điểm trong chất lỏng p = p0 - γz - ρay
Phương trình các mặt đẳng áp khi p = const dp = 0 là:
ady + gdz = 0 → ay + gz = C
a
x
z
o
G
Fqt
a
Đó là họ các mặt phẳng nghiêng một góc α so với mặt nằm ngang:
g
a
tg −
=
α ;

- 15 -
0
a
0
g
a
>
→
<
− : vận tốc tăng, chuyển động nhanh đần đều, đường dốc xuống như
hình 2-5.
0
a
0
g
a
<
→
>
− : vận tốc giảm (khi hãm), chuyển động chậm đần đều, đường dốc
lên..
Bình chứa chất lỏng quay đều theo trục thẳng đứng với vận tốc góc ω = const
(Hình 2-6).
Lúc này lực khối gồm: trọng lực G = mg; lực quán tính li tâm: Fqt = mω2
r
Các hình chiếu của lực khối đơn vị: X = ω2
x, Y = ω2
y, Z = -g.
Do đó dp = ρ(ω2
xdx + ω2
ydy – gdz)
( ) C
gz
y
x
2
p 2
2
2
+
ρ
−
+
ω
ρ
=
khi x = y = z = 0, thì p=C=p0=pa và→
0
2
2
p
z
.
r
2
p +
γ
−
ω
ρ
=
Phương trình các mặt đẳng áp sẽ là : C
z
.
2
r2
2
=
γ
−
ρω
Đó là phương trình các mặt paraboloit quay quanh trục 0z.
Phương trình mặt thoáng khi gốc toạ độ trùng với mặt thoáng: p = p0 = pa
w
x
x
y
z
Flt
Hình 2-6

- 16 -
Do đó
g
2
r
2
r
z
h
2
2
2
2
ω
=
γ
ω
ρ
=
=
Δ (2-8)
Trong đó, Δh- là chiều cao của mặt thoáng so với gốc toạ độ O của điểm M có
khoảng cách r so với trục quay.
Dựa trên hiện tượng này, người ta chế tạo các máy đo vòng quay, các hệ thống
bôi trơn ổ trục, đúc các bánh xe, các ống gang thép v.v..
♣2- 4. PHÂN LOẠI ÁP SUẤT, BIỂU ĐỒ ÁP SUẤT
I. Phân loại áp suất:
Trên cơ sở công thức tính áp suất điểm (2-7) người ta chế tạo ra các dụng cụ đo
áp suất điểm bằng chất lỏng trong ống đo áp chữ U(ống bằng thuỷ tinh có đường kính
d = 0,015 m, uốn hình chữ U, chất lỏng là thuỷ ngân hoặc nước, cồn,…). Nối trực tiếp
một đầu ống thuỷ tinh qua ống cao su vào điểm cần đo áp suất, một đầu thông với khí
trời có áp suất pa = 1 at.
- Khi áp suất cần đo trong bình bằng áp suất khi trời (Hình 2-7a) thì mực nước
hai cột ống chữ U bằng nhau .
- Khi áp suất bình lớn hơn áp suât khí trời (Hình 2-7b) mực nước cột thông với
bình giảm xuống, cột nước tự do dâng cao hơn cột kia một lượng là Δh. Áp
suất tính theo (2-7):
p – pa = Δp = γ.Δh.
Ta định nghĩa là áp suất dư: Δp = γ.Δh=pd.
pd =p - pa (2-9)
- Khi áp suất bình nhỏ hơn áp suât khí trời (Hình 2-7c) mực nước cột thông với
bình dâng lên, cột tự do hạ xuống hơn nhau một lượng là - Δh. Áp suất tính
theo (2-7):
p – pa = Δp = -γ.Δh
Ta định nghĩa là áp chân không: -Δp = γ.Δh=pck.
pck = pa – p (2-10)
- Độ chân không được ký hiệu là
γ
−
=
γ
=
p
p
p
H a
CK
cK . Độ chân không tuyệt đối
khi p = 0, )
0
H
(
m
10
9810
98100
.
1
p
p
p
H 2
a
CK
cK =
=
γ
−
=
γ
= .
Như vậy, khi trong bình là chân không tuyệt đối thì nước chỉ dâng lên một độ cao
là Δhn=10m, còn thuỷ ngân có độ dâng là ΔhHg = (10/13,55) m.

- 17 -
Hình 2-7
II. Biểu đồ áp suất:
Là biểu đồ thể hiện sự thay đổi áp suất theo không gian trong các trường hợp chất
lỏng là tĩnh tuyệt đôi hay tĩnh tương đối. Để đơn giản ta chỉ xét trường hợp chất lỏng
tĩnh tuyệt đối.
Từ biểu tức (2-7) h
.
p
p a γ
+
= hay
Pd = γ.h (2-10)
Trong thực tế chỉ cần vẽ biểu đồ với áp suât dư (2-11). Chọn một trục toạ độ là
chiều sâu h hướng xuống theo thực tế, gốc toạ độ sẽ là điểm nằm trên mặt thoáng (tại
đó áp suất dư bằng không), trục toạ độ thứ hai là giá trị áp suất dư pd(để đơn giản từ
sau đây gọi tắt là p) có thể chọn bên trái hay phải tuỳ theo cách bố trí bản vẽ. Đồ thị
h
.
p γ
= là đường thẳng nghiêng với trục h một góc α với tgα=p/h=γ . Để dễ nhớ ta ký
hiệu góc α =”γ ” với hàm ý là góc đó (trên biểu đồ là độ) phụ thuộc vào giá trị của
trọng lượng riêng chất lỏng γ(N/m3
) .
Vẽ biểu đồ áp suất theo đúng vị trí của vật khi vật chắn là tấm phẳng chú ý
phương và chiều của các véctơ áp suất luôn hướng vào và vuông góc bề mặt tác dụng
(Hình 2-7d), với chất lỏng hai lớp (γ2 >γ1) trên (Hình 2-7e), với mặt chiụ tác dụng là
bình dạng cầu (Hình 2-7g).
♣ 2.5. ĐỊNH LUẬT PASCAL VÀ MÁY ÉP THUỶ LỰC
Xét bình nước và khí được đậy kín bởi quả pittong (Hình 2-8). Áp suất phần khí
trên bề mặt nước là p0 . Ap suất tại điểm 1 và 2 bất kỳ trong lòng nước có độ sâu là h1
và h2 trong hai trường hợp tải trọng trên pittong khác nhau:

- 18 -
Hình 2-8
G = 0 thì áp suất tại hai điểm là;
p10 = p0 + γh1
p20 = p0 + γh2
G ≠ 0, trên mặt nước có áp suất là: p0 + Δp
Và, tại hai điểm sẽ có áp suất là:
p1 = p0 + γh1 + Δp = p10 + Δp
p2 = p0 + γh2 + Δp = p20 + Δp
với Δp = P/S
- Áp suất tĩnh do ngoại lực tác động lên bề mặt chất lỏng được truyền nguyên vẹn
đến mọi điểm trong lòng chất lỏng ( với tốc độ âm thanh).
Theo định luật Pascal người ta chế tạo ra máy ép thuỷ lực, máy kích, máy tích
năng, các bộ phận truyền lực v.v..
Theo sơ đồ máy ép thuỷ lực (Hình 2-9), tải trọng G cân bằng với áp lực dưới đáy
piston lớn:
G = Δp. πD2
/4
Phía piston nhỏ, lực P, sinh ra do lực R tác động lên tay đòn cân bằng với áp lực
dưới piston nhỏ P = Δp.πd2
/4
Hệ số khuyếch đại thuỷ lực: Kt = G/P = (D/d)2
Hệ số khuyếch đại toàn bộ: K = G/R = (D/d)2
.(a+b)/b
Để chế tạo máy ép thuỷ lực người ta chỉ cần thêm vào khối xylanh một khung
chịu lực (Hình 2-9).
♣ 2-5. TÍNH ÁP LỰC THUỶ TĨNH.
Là việc tính áp lực của chất lỏng lên các công trình, thiết bị.
I. Áp lực lên thành phẳng.
Tính áp lực P lên diện tích S (H. 2-10). Phải xác định 3 yếu tố: phương chiều, trị
số, điểm đặt của P.
Cách tính: tính dp tác dụng lên dS, sau tích phân trên toàn S sẽ được P.
- Phương chiều: P⊥ S, hướng vào.

- 19 -
Hình 2-9
- Trị số:
c
c
c
S
S
S
S
S
Sp
h
.
.
S
S
y
.
sin
ydS
sin
dS
.
sin
.
y
.
dS
.
h
.
dS
.
p
dP
P
=
γ
=
α
γ
=
α
γ
=
α
γ
=
γ
=
=
= ∫
∫
∫
∫
∫
với: pc = γhc - áp suất tại trọng tâm.
h = ysinα; hc= yc sinα (Hình 2-10);
Ix = S
y
ydS c
S
=
∫ - mô men tĩnh của diện tích S so với trục ox.
Vậy, giá trị của áp lực là: P = γ.hc.S (2-12)
Điểm đặt của áp lực:
y
yc
yD
D
C
M
y
x
dP
P
s
dS
o
h
Hình 2-10
Giả sử hình phẳng S có 1 trục đối xứng // với oy. Gọi D là điểm đặt của P có toạ
độ là yD. Lấy mô men của lực P và các dP với trục ox, theo định lý Varinhong( Mô
men của hợp lực (P) đối với một trục bằng tổng các mômen của các lực thành phần
(dP) đối với trục đó):
Với ∫ +
=
= S
y
J
dS
y
J 2
c
xc
2
ox - là mômen quán tính của S đối với trục ox

- 20 -
Thay các giá trị vào biểu thức trên, ta rút ra:
S
y
J
y
y
c
xc
c
D +
= (2-13)
Jxc- là mômen quán tính của S đối với trục song song với ox đi qua trọng tâm C.
Trường hợp hình phẳng không có trục đối xứng phải tính thêm xD
II. Áp lực chất lỏng lên thành cong (ống dẫn nước, bể chứa dầu…)
Xét trường hợp thành cong S của bình chứa có một mặt tiếp xúc với chất lỏng còn
mặt kia tiếp xúc với không khí (Hình 2-11). Đặt hệ toạ độ x0y trùng với mặt thoáng.
Chia nhỏ mặt cong thành các mặt cong nhỏ. dS nhỏ nên coi như mặt phẳng. Tính dP
lên dS chứa điểm M có độ sâu h.
n
P
d
.......
........,.
dS
p
P
d ≡
= (véctơ pháp của phân tố diện tích dS). Các phân tố lực
P
d
r
không song song với nhau nên không thể cộng đại số được. Một phương pháp giải
quyết như sau:
Chia P
d thành 3 véc tơ theo toạ độ Đềcác:
Lúc đó ta có ba cặp các phân tố lực. Mỗi cặp các phân tố lực cùng phương, cùng
chiều với nhau nên có thể tổng đại số được.
Các hình chiếu của các véctơ P
d của các dS đều cùng phương nên:
Al
z
z
cy
y
y
c
x
x
V
dV
hdSz
)
z
,
n
cos(
.
dS
.
p
)
z
,
n
cos(
.
dP
dP
P
Sy
h
.
hdSy
)
y
,
n
cos(
.
dS
.
p
)
y
,
n
cos(
.
dP
dP
P
Sx
h
.
hdSx
)
x
,
n
cos(
.
dS
.
p
)
x
,
n
cos(
.
dP
dP
P
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
γ
=
γ
=
γ
=
=
=
=
γ
=
γ
=
=
=
=
γ
=
γ
=
=
=
=
(2-14)
Trong đó: Sx, Sy là hình chiếu của mặt cong S theo phương x,y.

- 21 -
O
y
x
-z
0
p
x
C
x
S
z
S
x
C
h
`
dP
dPz
dPx
dPy
VAL là vật thể áp lực, là hình lăng trụ có đáy dưới là mặt cong S, đáy trên là hình
chiếu của nó lên mặt thoáng (Sz), diện tích xung quanh là các mặt chiếu.
Cuối cùng lực ( );
P
,
P
,
P
P z
y
x
r
có giá trị 2
z
2
y
2
x P
P
P
P +
+
=
Điểm đặt của lực P là giao điểm của ba lực z
y
x P
,
P
,
P
III. Phương pháp đồ giải.
Giả thiết rằng cần tính lực tác dụng lên cánh cửa hình chữ nhật có kích thước: h .
b (Hình 2-12).
Hình 2-12
Hình 2-11

- 22 -
Vẽ biểu đồ áp suất thuỷ tĩnh tác dụng lên cánh cửa theo áp suất dư ta được tam
giác vuông có đáy là γh (theo tính chất 1 của áp suất thuỷ tĩnh và công thức tính áp suất
điểm).
Theo công thức giải tích tính áp lực lên thành phẳng (2-12):
b
.
2
h
.
h
.
b
.
h
.
2
h
S
.
h
.
P c γ
=
γ
=
γ
=
'
S
2
h
.
h =
γ chính là diện tích của tam giác biểu đồ áp suất. Giá trị của lực:
b
.
2
h
.
h
b
'.
S
"
V
"
P γ
=
=
= (2-15)
Vậy, P có trị số bằng thể tích của lăng trụ có một hình chiếu là biểu đồ áp suất
(
2
h
h
.
'
S γ
= ) và hình chiếu thứ hai là diện tích chịu áp suất (b.h), điểm đặt của lực đi qua
trọng tâm của lăng trụ đó.
Ví dụ:Tính áp lực bằng biểu đồ rất thuận tiện trong trường hợp có nước ở hai bên
(Hình 2-10). Biểu đồ áp suất là hình thang vuông nên áp lực lên cánh cửa sẽ là:
2
1 P
P
P
r
r
r
+
= với b
).
h
h
(
2
1
P 2
1
1 −
γ
= và b
.
h
.
P 2
2 γ
= ,
Điểm đặt của hai lực này xác định đơn giản là trọng tâm của tam giác vuông và
của hình chữ nhật.
Hình 2-13
♣ 2-7. ĐỊNH LUẬT ACSIMET VÀ ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG VẬT NỔI
Định luật: Một vật ngập trong lòng chất lỏng chịu một lực thẳng đứng từ dưới
lên; Giá trị của nó bằng trọng lượng khối chất lỏng mà vật đó chiếm chỗ, điểm đặt của
lực là trọng tâm hình học khối chất lỏng bị chiếm chỗ đó .
PA = γVC (2-16)
P2
P1

- 23 -
G
P
1
2
A
3
c
V
Hình 2-14
Xét ba vật thể có trọng lượng riêng khác nhau thả xuống lòng hồ nước. Khi vật
đứng yên là chịu hai lực cân bằng, ngược chiều: lực Acsimet và trọng lực G = γV. Vật
1 là gỗ có γ1 < γn nên VC < V, nổi một phần lên mặt nước. Vật 2 là đá có γ2> γn , mà
khi chìm hết xuống nước VC = V nên PA < G, vật chìm xuống tận đáy bể. Vật 3 là bọc
nước có γ2= γn , VC =V nên sẽ đứng yên tại bất cứ điểm nào trong lòng nước. Chúng sẽ
chiếm ba vị trí khác nhau như (Hình 2-14).
Điều kiện cân bằng vật nổi:
Muốn cho vật nổi ở trạng thái cân bằng điều kiện cần và đủ là trọng lượng cân
bằng với lực đẩy Acsimet và điểm đặt của chúng nằm trên một đường thẳng đứng.
Một vật nnổi cân bằng có thể ổn định hoạc không ổn định tĩnh. ặnn định là tính
chất của vật nổi có khuynh hướng chống lại các lực ngoại làm nghiêng vật nổi khỏi vị
trí cân bằng ban đầu.
Khả năng ổn định của vật nổi được đặc trưng bằng mô men phục hồi Mp. Giả sử
do tác động nào đó vật nổi bị nghiêng đi một góc δ so với vị trí cân bằng ban đầu
(Hình 2-15) và vật nổi chịu tác động của trọng lực và lực đẩy Acsimet. Lúc đó tâm đẩy
D đã dịch chuyểnn sang vị trí D’.Xuất hiện hai ngẫu lực có xu hướng chống đối nhau:
Md =(m+n) P = (m+n)γV, là mô men ổn địn hình dáng;
Mt = n G, là mô men ổn định trọng lượng.
Mô men phục hồi sẽ là:
Mp = Md – Mt
Điều kiện tĩnh của vật nổi được xác định bởi:
Mp > 0
Khi δ nhỏ có thể xem:
n=aδ
n+m=(a + h)δ =rđk.δ
Trong đó: a + h =rđk, là khoảng cách tâm định khuynh và tâm đẩy gọi là bán kính
định khuynh.
Khả năng ổn định của vật nổi được đặc trung bằng mômen phục hồi M. Tại vị trí
cân bằng ban đầu.

- 24 -
Giả sử dưới tác dụng của ngoại lực vật nổi nghiêng đi một góc δ so với vị trí cân
bằng ban đầu (Hình 2-15) và vật nổi chỉ chịu tác dụng của trọng lực và lực đẩy
Acsimet. Lúc đó tâm đẩy D dịch sang vị trí D’.
Sự lệch đi vị trí của vật so với vị trí cân bằng ban đầu sinh ra hai ngẫu lực có xu
hướng chống đối nhau. Ngẫu lực có xu hướng chống đối nhau. Ngẫu lực thứ nhất là
mômen quay ổn định hình dáng:
(2-17)
Ngẫu lực thứ hai có mômen là mômen ổn định trọng lượng:
nG
Mt = (2-18)
Mômen ổn định hình dáng phụ thuộc rất lớn vào dạng diện tích của vật nổi, có xu
hướng làm vật nổi trở lại vị trí cân bằng ban đầu; còn mômen ổn định trọng lượng làm
cho vật càng bị nghiêng hơn.
Mômen phục hồi sẽ là:
Mp = Md - Mt (2-19)
Điều kiện ổn định tĩnh là Mp > 0 (2 - 19’)
Khi góc nghiêng δ bé có thể xem:
(2-20)
Trong đó:
+ a: khoảng cách giữa trọng tâm C và tâm đẩy D.
+ Γdk = m + n : khoảng cách giữa tâm động khuynh M và tâm đẩy D gọi là
bán kính định khuynh
+ h: khoảng cách tâm định khuynh và trọng tâm C, gọi là độ cao định
khuynh.
Thay (2-20) vào (2-17), (2-18) ta có:
(2-21)
Kết hợp với (2-19’) ta có:
h > 0
Vậy, vật nổi sẽ ổn định nếu trọng tâm C của vật ở vị trí sao cho độ cao định
khuynh có giá trị dương.
Đối với tâm truyền để tăng ổn định người ta hạ thấp trọng tâm C và nâng cao tâm
định khuynh (bằng cách tạo tuyến tính thích hợp). Khi vật ngập hoàn toàn trong nước,
do thể tích ngập không đổi (V = VC), tâm định khuynh M trùng với tâm đẩy D, điều
kiện ổn định tĩnh là trọng tâm C phải thấp hơn tâm đẩy D.

- 25 -
D D'
C
P
M
h
a
m
n
G
Hình 2-15
* Câu hỏi:
1. Định nghĩa áp suất tĩnh, đơn vị đo áp suất.
2. Hai tính chất của áp suất thủy tĩnh.
3. Phương trình vi phân cân bằng chất lỏng.
4. Khái niệm mặt đẳng áp.
5. Sự phân bố áp suất trong lòng chất lỏng tĩnh tuyệt đối và chất lỏng tĩnh tương đối.
6. Phân loại áp suất. Biểu đồ áp suất theo các thành rắn khác nhau.
7. Định luật Pascal và nguyên lý máy ép thủy lực.
8. Xác định lực tác động lên diện tích phẳng, nghiêng.
9. Xác định lực tác động lên mặt cong 3 chiều.
10.Thế nào là vật thể áp lực, đơn vị tính, tác dụng.
11.Phát biểu và chứng minh định luật Acsimet. Lực đẩy Acsimet có phụ thuộc vào
chiều sâu?
12.Điều kiện ổn định tĩnh và điều kiện ổn định chuyển động của vật nổi là gì?

- 26 -
CHƯƠNG III
ĐỘNG HỌC CHẤT LỎNG
Trong chương này ta nghiên cứu chuyển động của chất lỏng, nghĩa là nghiên cứu
các đại lượng đặc trưng của chuyển động như dạng chuyển động, vận tốc, khối lượng
riêng v.v.. Ta chưa xét nguyên nhân gây ra chuyển động, tức là lực.
♣ 3-1. HAI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘNG
CỦA CHẤT LỎNG
I. Phương pháp Lagrangiơ
z
x
O
r
z
x
y
c
b a
0
r
)
t
(
A 0
0 )
t
(
A
Hình 3-1
Phương pháp này khảo sát chuyển động của từng phần tử chất lỏng riêng biệt. Giả
sử ở thời điểm ban đầu to, phần tử chất lỏng có vị trí Ao(a,b,c); ở thời điểm t, nó chuyển
sang A(x,y,z). Gọi r là véctơ bán kính chuyển động của mỗi phần tử ở thời điểm t:
Hay, hình chiếu lên các trục toạ độ (Hình 3-1):
).
t
,
c
,
b
,
a
(
z
z
);
t
,
c
,
b
,
a
(
y
y
);
t
,
c
,
b
,
a
(
x
x
3
2
1
=
=
=
Nếu biết x1, y2, z3 ta sẽ biết chuyển động của phần tử chất lỏng và quĩ đạo của nó
và từ đó suy ra vận tốc: gia tốc
a,b,c,t - gọi là biến số Lagrăngiơ.
II. Phương pháp Ơle.
Khảo sát một cách tổng quát chuyển động của chất lỏng đi qua những điểm cố
định trong không gian ở những thời điểm t khác nhau (Hình 3-2). Chọn điểm M cố

- 27 -
định trong không gian được xác định bởi véctơ bán kính ).
z
,
y
,
x
(
r Tại thời điểm t ta xác
định được véctơ vận tốc của phần tử chất lỏng đi qua điểm đó:
Khảo sát chuyển động của nhiều phần tử chất lỏng tại các điểm cố định trong
dòng chảy.
3
2
1
u
u
u
Hình 3-2
Ứng với thời điểm t xác định, ta có các véctơ vận tốc phân bố tại các điểm trong
không gian, nghĩa là ta có trường vận tốc.
Hình chiếu của lên các trục toạ độ:
Gia tốc:
z
y
x u
z
u
u
y
u
u
x
u
t
u
dt
dz
z
u
dt
dy
y
u
dt
dx
x
u
t
u
dt
u
d
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
ω
So sánh hai phương pháp: Phương pháp Lagrăngiơ nghiên cứu chuyển động bằng
cách gắn chặt vào một phần tử chất lỏng, do đó tìm được quỹ đạo của nó ( như chuyển
động sóng). Còn phương pháp Ơle xác định được trường vận tốc và sẽ tìm được dòng
của các phần tử chất lỏng. Trong giáo trình này ta nghiên cứu theo phương pháp Ơle.
Có thể chuyển từ biến số Lagrăngiơ sang biến số Ơle và ngược lại.
♣ 3-2. CÁC ĐẶC TRƯNG ĐỘNG HỌC.
I. Phân loại chuyển động.
Hình 3-3

- 28 -
- Theo thời gian:
Chuyển động dừng: các yếu tố chuyển động không biến đổi theo thời gian:
0
t
),..,
t
,
z
,
y
,
x
(
u
u =
∂
∂
=
Chuyển động không dừng: 0
t
),...,
t
,
z
,
y
,
x
(
u
u ≠
∂
∂
=
- Theo sự phân bố vận tốc:
Dòng chảy đều (trong chuyển động dừng): sự phân bố vận tốc trên mọi mặt cắt
dọc theo dòng chảy giống nhau (không đổi):
Dòng chảy không đều:
- Theo giá trị áp suất:
Dòng chảy có áp là dòng chảy không có mặt thoáng, còn dòng chảy không áp là
dòng chảy có mặt thoáng.
II. Các yếu tố thuỷ lực.
Hình 3-4
- Mặt cắt ướt là mặt cắt vuông góc với véctơ vận tốc của dòng chảy, ký hiệu trong
công thức là ω, trong bản vẽ là1-1, b-b,…, đơn vị là m2
- Chu vi ướt là đoạn tiếp xúc giữa chất lỏng và thành giới hạn dòng chảy, ký hiệu
χ, đơn vị là m
- Bán kính thuỷ lực:
χ
ω
=
R , ví dụ: tiết diện tròn
2
r
r
.
2
r
.
R
2
=
π
π
=
- Lưu lượng là lượng chất lỏng chảy qua ω trong 1 đơn vị thời gian,
- Lưu lượng thể tich: ký hiệu là Q:
∫
ω
ω
= ud
Q Đơn vị đo Q: m3
/s
- Lưu lượng trọng lượng: ký hiệu là G:

- 29 -
∫
ω
ω
γ
= d
.
u
.
G Đơn vị đo G: N/s, KG/s
Trong trường hợp xét chuyển động theo đường cong kín trong mặt phẳng
(Hình 3-4):
∫
=
s
nds
u
Q
∫
=
Γ
s
s ds
.
u - gọi là lưu số vận tốc.
dS
S
u
n
u
s
u
A
B
Hình 3-4
Với 1 cung AB:
ds – tiếp tuyến tại một điểm nào đó của AB
Vận tốc trung bình của tiết diện ướt:
ω
=
Q
v
Suy ra: Q=v.ω
III. Đường dòng, Dòng nguyên tố.
Đường dòng là đường cong trên đó véctơ vận tốc của mỗi điểm trùng với tiếp
tuyến với đường cong tại điểm đó.
Từ định nghĩa suy ra:
- Cách vẽ đường dòng là vẽ đường cong tiếp tuyến với các véc tơ vận tốc tại một
thời điểm trong không gian.
- Phương trình đường dòng trong chuyển động dừng: từ định nghĩa ta xét chuyển
động dừng vận tốc trùng phương với dịch chuyển dS
0
dz
dy
dx
u
u
u
k
j
i
..
0
s
d
u
s
d
//
u z
y
x =
→
=
∧
→
r
r
r
r

- 30 -
Từ đó, để định thức bằng không thì:
z
y
x u
dz
u
dy
u
dx
=
= (3-1)
3
2
1
u
u
u
d
Chú ý: Tại mỗi điểm trong không gian, ở mỗi thời điểm chỉ đi qua một đường
dòng, nghĩa là các đường dòng không cắt nhau.
Cần phân biệt quĩ đạo với đường dòng:
Quỹ đạo đặc trưng cho sự biến thiên vị trí của phần tử chất lỏng theo thời gian,
còn đường dòng biểu diễn phương vận tốc của các phần tử chất lỏng tại một thời điểm.
Trong chuyển động dừng thì chúng trùng nhau.
Các đường dòng tựa lên một vòng kín vô cùng nhỏ dω ta được một ống dòng.
Chất lỏng chảy đầy trong ống gọi là dòng nguyên tố. Chất lỏng không thể xuyên qua
ống dòng.
IV. Hàm dòng và thế vận tốc.
Để đơn giản, ta khảo sát chuyển động trong mặt phẳng xoy. Từ phương trình
đường dòng:
Đưa vào hàm ψ(x,y) và ϕ(x,y) sao cho thoả mãn điều kiện:
y
x
u
;
x
y
u y
x
∂
ϕ
∂
=
∂
ψ
∂
−
=
∂
ϕ
∂
=
∂
ψ
∂
=
Ta có: 0
d
dy
y
dx
x
:
hay
.;
0
dy
u
dx
u x
y =
ψ
=
∂
ψ
∂
+
∂
ψ
∂
=
+
−
Do đó phương trình đường dòng có dạng: ψ = const = C. gọi ψ là hàm dòng;
Tương tự, ta có ϕ = const biểu diễn họ đường đẳng vận tốc,gọiϕ là thế vận tốc.
Từ định nghĩa của ψ và ϕ ta được:
Hình 3-5

- 31 -
0
y
y
x
x
=
∂
ϕ
∂
∂
ψ
∂
+
∂
ϕ
∂
∂
ψ
∂
Đó là điều kiện trực giao của các
đường dòng và đường thế vận tốc hay
goi là điều kiện Côsi-Riêman.
Để thấy rõ ý nghĩa vật lý của ψ và
ϕ, từ định nghĩa của lưu số vận tốc ở
trên:
Hình 3-6
)
A
(
)
B
(
d
dy
y
dx
x
)
dy
u
dx
u
(
ds
u
B
A
B
A
y
B
A
x
B
A
s
AB ϕ
−
ϕ
=
ϕ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ
∂
+
∂
ϕ
∂
=
+
=
=
Γ ∫
∫
∫
∫
Tương tự:
)
A
(
)
B
(
d
dy
y
dx
x
)
dy
u
dx
u
(
ds
u
Q
B
A
B
A
y
B
A
x
B
A
n
AB ψ
−
ψ
=
ψ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ψ
∂
+
∂
ψ
∂
=
−
=
= ∫
∫
∫
∫
Nghĩa là hiệu các giá trị hàm dòng tại hai điểm nào đó bằng lưu lương chất lỏng
chảy qua ống dòng giới hạn bởi hai đường dòng đi qua hai điểm đó.
V. Đường xoáy, ống xoáy.
Chuyển động quay của mỗi phần tử chất lỏng xung quanh một trục quay tức thời
đi qua nó được gọi là chuyển động xoáy.
Vectơ vân tốc góc quay trong chuyển động xoáy:
u
rot
2
1
=
Ω
Chuyển động không xoáy hay chuyển động thế khi:
0
u
rot =
Tương tự như khái niệm về đường dòng và ống dòng, ở đây ta có khái niệm về
đường xoáy và ống xoáy. Nếu cho trước trường vận tốc, từ biểu thức trên ta có thể xác
định trường vectơ vận tốc góc Ω . Đường cong tiếp xúc với vectơ vận tốc góc gọi là
đường xoáy. Tập hợp các đường xoáy bao quanh một phân tố diện tích dω nào đó gọi
là ống xoáy. Chất lỏng chảy đầy trong ống xoáy gọi là sợi xoáy.

- 32 -
Hình 3-7
Cường độ của ống xoáy:
∫
ω
ω
= d
.
u
rot
i n
Phương trình đường xoáy:
z
dz
y
dy
x
dx
Ω
=
Ω
=
Ω
♣ 3.3. ĐỊNH LÝ COSI – HEMHON (ĐỊNH LÝ HEMHON 1)
Hay là định lý cơ bản của động học chất lỏng.
Định lý về sự biến dạng của phân tố chất lỏng.
Theo cơ học lý thuyết, đối với vật rắn, vận tốc tại M bằng vận tốc tịnh tiến tại 0
cộng với vận tốc quay của M quanh 0 (H.3-8):
MO
o
M u
u
u +
= r
uMO ∧
Ω
=
O
r
ω
0
u
M
Hình.3-8
Đối với chất lỏng, mọi thể tích bất kỳ nào đó đều bị biến dạng trong quá trình
chuyển động. Vì vậy khảo sát vận tốc của một phân tố chất lỏng phải thêm vào thành
phần vận tốc biến dạng bd
u :
bd
o u
r
u
u +
∧
Ω
+
=
Đó là nột dung của định lý Hemhon 1. bd
u của phân tố chất lỏng tại M có thể viết
dưới dạng ma trận: v
S
S &
&
= - tenxơ vận tốc biến dạng, với các thành phần:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
i
j
j
i
v
x
u
x
u
2
1
S &
& ; i,j = 1,2,3
Ngoài ra, còn có các định lý về chuyển động xoáy sau đây:
Định lý Hemhon 2: Định lý bảo toàn xoáy.
Định lý Stốc: Định lý về sự liên hệ giữa cường độ của ống xoáy và lưu số vận tốc:
i = Γ

- 33 -
Công thức Biô - Xava: Tìm phân bố vận tốc cảm ứng quanh sợi xoáy đã biết.
♣ 3.4. PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC
Đây là một dạng của định luật bảo toàn khối lượng: Khối lượng m của hệ cô lập
không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động:
I. Dạng tổng quát (hay là dạng Ơle)
Trong môi trường chất lỏng chuyển động ta tưởng tượng tách ra một phân tố hình
hộp có thể tích dxdydz
V =
Δ (Hình 3-9).
Theo định luật bảo toàn khối lượng:
0
dt
)
V
.
(
d
=
Δ
ρ
)
t
,
z
,
y
,
x
(
ρ
=
ρ khối lượng riêng của chất lỏng
Lấy đạo hàm:
0
dt
V
d
V
1
dt
d
1
=
Δ
Δ
+
ρ
ρ
x
z
o
dz
dx
dy
ux ux+Dux
y
Hình 3-9
dt
V
dΔ
là vận tốc biến dạng tương đối của thể tích phân tố chất lỏng, được xác định
như là tổng hợp của các biến dạng dài thành phần theo ba phương x,y,z.
Xét theo phương x, vận tốc mặt 1: Ux
vận tốc mặt 2: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∂
+ dx
dx
u
u x
x
,
dx
x
u
u x
x
∂
∂
=
Δ
Thể tích của phân tố chất lỏng thay đổi theo hướng trục x một lượng tuyệt đối sau
thời gian dt bằng:
dxdydzdt
x
u
dydzdt
u
dydzdt
dx
x
u
u x
x
x
x
∂
∂
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+

- 34 -
Tương tự cho hai phương y,z, và tổng biến dạng theo ba phương sẽ là:
dxdydzdt
z
u
y
u
x
u
V
d z
y
x
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Δ
và
z
u
y
u
x
u
dt
V
d
V
1 z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Δ
Δ
Vậy 0
z
u
y
u
x
u
dt
d
1 z
y
x
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
ρ
ρ
Đó chính là phương trình liên tục dạng tổng quát. Có thể viết dưới dạng gọn hơn:
0
u
.
div
dt
d
1
=
+
ρ
ρ
Hay là: 0
)
u
(
div
t
=
ρ
+
∂
ρ
∂
(3-1)
Trong chuyển động dừng: 0
t
=
∂
ρ
∂
nên 0
)
u
(
div =
ρ
Đối với chất lỏng không nén được (`ρ = const) ta được:
0
u
.
div =
Có thể chứng minh phương trình liên tục gọn hơn bằng các công thức và biến đổi
tích phân.
III. Đối với dòng nguyên tốvà toàn dòng chảy.
Hình 3-10
Đối với dòng nguyên tố:
Khảo sát đối với chất lỏng trong dòng nguyên tố giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2. Giả
thiết chuyển động dừng.
Sau thời gian dt lượng chất lỏng:
- đi vào 1-1: dm1 = ρ1u1.dω1 dt
- đi ra 2-2: dm2 = ρ2u2dω2dt
Theo định luật bảo toàn khối lượng, lượng mất đi phải băng lượng thêm vào:
ρ1u1dω1 = ρ2u2dω2
Chất lỏng không nén được: u1dω1 = u2dω2 = dQ = Const
Đối với toàn dòng:
1
2
1
u
1
dω
2
dω 2
u
1
2

- 35 -
v1ω1 = v2ω2 = Const
Hay là: Q1 = Q2 = Const,
Nghĩa là, trong dòng chảy dừng của chất lỏng không nén được, lưu lượng qua
mọi mặt cắt đều bằng nhau, suy ra vận tốc tỷ lệ nghịch với tiết diện.
* Câu hỏi:
1. Thế nào là chuyển động dừng, không dừng, dòng chảy đều, dòng chảy không đều,
dòng chảy có áp, dòng chảy không áp?
2. Thế nào là tiết diện ướt, chu vi ướt, bán kính ướt?
3. Khái niệm về lưu lượng, vận tốc phân bố, vận tốc trung bình.
4. Khái niệm đường dòng, đường quỹ đạo, ống dòng, dòng nguyên tố.
5. Các đường dòng có thể cắt nhau? Khi nào đường dòng trùng với đường quỹ đạo.
6. Phương trình vi phân của đường dòng.
7. Khái niệm về hàm dòng.
8. Định lý thứ nhất của Hemhom về sự chuyển động tổng quát của mỗi phần tử
chất lỏng.
9. Thế nào là chuyển động xoáy của phần tử chất lỏng? Khái niệm hàm thế và điều
kiện Côsi-Riman về sự trực giao của đường dòng và đường thế vận tốc trong
dòng thế phẳng.
10.Khái niệm đường xoáy, ống xoáy, sức xoáy. Phương trình đường xoáy, lưu số
vận tốc.
11.Quan hệ giữa các thành phần vận tốc xoáy với cá thành phần vận tốc tịnh tiến?
12.Phương trình liên tục của môi trường chất lỏng, chất khí chuyển động dạng tổng
quát của dòng nguyên tố và đối với toàn dòng chảy.

- 36 -
CHƯƠNG IV
ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG
Trong chương này ta nghiên cứu các quy luật chuyển động của chất lỏng dưới tác
dụng của lực và những ứng dụng của nó. Để tiết kiệm thời gian, ta khảo sát chất lỏng
thực trước, sau đó suy ra cho chất lỏng lý tưởng.
§ 4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG
CỦA CHẤT LỎNG THỰC.
I. Dạng ứng suất.
Trong chất lỏng thực chuyển động, áp suất thuỷ động vẫn hướng vào mặt tác
dụng (giống như áp suất thuỷ tĩnh, chương II), nhưng không chỉ hướng theo pháp
tuyến, mà nó là tổng của thành phần ứng suất pháp tuyến, ký hiệu là p và thành phần
ứng suất tiếp τ do lực nhớt gây ra (Hình 4-1).
x
y
z
O
mF
xy
τ
xx
p
dx
x
xz
xz
∂
∂
+
τ
τ
xz
τ
dx
x
xy
xy
∂
∂
+
τ
τ
dx
x
p
p xx
xx
∂
∂
+
dx
dy
dz
Hình 4-1
Để thành lập được phương trình vi phân chuyển động, ta tiến hành giống như khi
thành lập phương trình Ơle tĩnh (2-3). Trong môi trường chuyển động, ta khảo sát một
phân tố hình hộp chất lỏng với vận tốc u. Ơ đây, lực mặt gồm áp lựcP , và lực ma sát

- 37 -
T. Lực khối mF tác dụng lên khối chất lỏng có thể tách ra được lực quán tính
dt
u
d
m
Fqt −
= .
Theo nguyên lý Đalămbe, ta có điều kiện cân bằng:
0
F
T
P
F
m qt =
+
+
+
r
Xét hình chiếu các lực lên trục x gồm:
Về lực mặt: ứng suất nhân với diện tích dydz.
pxx - ứng suất pháp(do áp suât).
Ứng suất tiếp: τxy
chỉ số x: τ nằm trong mặt phẳng ⊥Ox ;
chỉ số y: chiếu τ lên Oy;
Tương ứng với ứng suất tiếp τxz
Lực quán tính: Fqt,x=-ρ.dx.dy.dz.
dt
du
Lực khối: (m F)x=ρ.dx.dy.dz.X.
Vậy ∑x = (mF)x+ Tx- Px+Fqt,x= 0
Haylà:
+
ρ X
.
dz
.
dy
.
dx
. ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
+
∂
∂
z
y
x
p xz
xy
xx
. 0
dz
.
dy
.
dx
.
dt
du
.
dz
.
dy
.
dx =
ρ
−
Sau khi đơn giản cho ρ.dx.dy.dz, ta được:
dt
du
z
y
x
p
1
X x
xz
xy
xx
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
+
∂
∂
ρ
+ ;
Tương tự cho trục y và z:
dt
du
z
y
p
x
1
Y
y
yz
yy
yx
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
τ
∂
+
∂
∂
+
∂
τ
∂
ρ
+
dt
du
z
p
y
x
1
Z z
zz
zy
zx
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
τ
∂
+
∂
τ
∂
ρ
+
(4-1)
(4-1) là phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực dạng ứng suất.
Có thể chứng minh:
τxy=τỹ; τxz=τzx; τzy=τyz;
II. Phương trình Navie-Xtốc:
Hai ông Navie (người Pháp) và Stokes (người Anh) đã viết hệ phương trình (4-1)
dưới dạng khác, tiện sử dụng, dựa trên các giả thuyết về ứng suất, và phương trình đó
được mang tên hai ông.Với các giả thuyết sau:
Áp suất thuỷ động p tại một điểm là trung bình cộng của các ứng suất pháp tuyến
lên ba mặt vuông góc với nhau qua điểm đó:

- 38 -
( )
zz
yy
xx p
p
p
3
1
p +
+
−
= (4-2)
Có dấu trừ vì áp suất nén vào còn ứng suất có chiều kéo giãn phần tử chất lỏng.
Ứng suất pháp của chất lỏng nhớt đồng chất đã làm xuất hiện các ứng suất pháp
bổ sung σ
xx
xx p
p σ
+
−
= ; với divu
.
3
2
x
u
2 x
xx μ
−
∂
∂
μ
=
σ ;
yy
yy p
p σ
+
−
= divu
.
3
2
y
u
2
y
yy μ
−
∂
∂
μ
=
σ (4-3)
zz
zz p
p σ
+
−
= divu
.
3
2
z
u
2 z
zz μ
−
∂
∂
μ
=
σ
Ứng suất tiếp:
Theo Newton: ứng suất tiếp gây ra bởi lực nhớt tỷ lệ với các vận tốc biến dạng
tương ứng. Trong mặt phẳng ta có (1-1):
dy
du
μ
=
τ
Trong không gian: ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
μ
=
τ
y
u
x
u x
y
xy ;
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
μ
=
τ
x
u
z
u z
x
xz (4-4)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
μ
=
τ
y
u
z
u z
y
yz
Thay các biểu thức (4-2) – (4-4) vào (4-1) và sau một số phép biến đổi phức tạp,
ta được phương trình Navie – Xtốc:
u
div
x
v
3
1
u
.
v
x
p
1
X
dt
du
x
x
∂
∂
+
Δ
+
∂
∂
ρ
−
=
u
div
y
v
3
1
u
.
v
y
p
1
Y
dt
du
y
y
∂
∂
+
Δ
+
∂
∂
ρ
−
= (4-5)
u
div
z
v
3
1
u
.
v
z
p
1
Z
dt
du
z
z
∂
∂
+
Δ
+
∂
∂
ρ
−
=
Hay viết dưới dạng véctơ:
( )
u
div
grad
3
v
u
.
v
gradp
1
F
dt
u
d
+
Δ
+
ρ
−
= (4-6)
Trong đó Δ- toán tử Laplas; ν=μ/ρ độ nhớt động học.
Từ (4-6) ta có một số nhận xét sau:
- Đối với chất lỏng không nén được:

- 39 -
0
u
.
div
const =
→
=
ρ nên phương trình (4-6) mất đi số hạng cuối cùng:
u
.
v
gradp
1
F
dt
u
d
Δ
+
ρ
−
= (4-7)
Như vậy 3 phương trình (4-7) và phương trình liên tục 0
u
div = đủ để xác định
4 ẩn: ux, uy, uz và p, có nghĩa mô hình toán là kín.
Đối với chất lỏng không chuyển động (ở trạng thái tĩnh): 0
u = , hay chuyển động
thẳng đều: 0
dt
u
d
= , phương trình (4-8) có dạng:
0
gradp
1
F =
ρ
−
Đó chính là phương trình Ơle tĩnh (2-4).
§ 4.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG
CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG
I. Dạng Ơle:
- Khi ν = 0, nghĩa là chất lỏng lý tưởng, từ phương trình Navie-Stoc (4-6) ta được
phương trình dạng:
gradp
1
F
dt
u
d
ρ
−
= (4-8)
Đó chính là phương trình (4-8), hay còn gọi là phương trình Ơle động.
II. Dạng Lămbơ- Grômêca:
Từ phương trình Ơle động (4-8) biểu diễn chuyển động tổng quát của chất lỏng.
Để thấy rõ hơn những dạng chuyển động riêng biệt như chuyển động tịnh tiến,
quay, biến dạng, Lămbơ - Grômêca đã biến đổi về dạng sau đây.
Ta xét phương trình hình chiếu xuống trục ox của (4-8)và biến đổi
x
u
u
x
u
u
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
x
p
1
X z
z
y
y
x
z
x
y
x
x
x
∂
∂
±
∂
∂
±
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
ρ
−
=
∂
∂
ρ
−
x
p
1
X ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
x
u
z
u
u
x
u
y
u
u
x
u
u
x
u
u
x
u
u
t
u z
x
z
y
x
y
z
z
y
y
x
x
x
y
z
2
x
w
2
v
2
2
u
x
t
u
x
p
1
X Ω
+
Ω
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
ρ
−
Hay là:
( )
y
z
z
y
2
x
u
u
2
2
u
x
t
u
x
p
1
X Ω
−
Ω
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
ρ
−
Tương tự:

- 40 -
( )
z
x
x
z
2
y
u
u
2
2
u
y
t
u
y
p
1
Y Ω
−
Ω
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
ρ
−
( )
u
v
2
2
u
z
t
u
z
p
1
Z y
x
2
z
Ω
−
Ω
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
ρ
−
Hay viết dưới dạng véctơ:
u
2
t
u
2
u
p
grad
F
2
∧
Ω
=
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
− (4-9)
Đó là phương trình Lămbơ - Grômêca.
Đặt ∫ ρ
=
dp
P là hàm áp suất và có các đạo hàm riêng:
x
p
1
x
P
∂
∂
ρ
=
∂
∂
;
y
p
1
y
P
∂
∂
ρ
=
∂
∂
;
z
p
1
z
P
∂
∂
ρ
=
∂
∂
Nếu lực khối là hàm có thế, ta đưa vào hàm thế U
x
U
X
∂
∂
−
=
y
U
Y
∂
∂
−
=
z
U
Z
∂
∂
−
=
Khi đó phương trình (4-9) được viết dưới dạng:
u
2
t
u
2
u
P
U
grad
2
∧
Ω
=
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
− ; (4-10)
§ 4.3. TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA
CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG
I. Tích phân Côsi – Lagrăngiơ:
Xét chuyển động thế và không dừng . Khi đó tồn tại hàm thế vận
tốc ϕ : thì
Do đó phương trình (4-10) có dạng:
0
t
2
u
P
U
grad
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ
∂
+
+
+ (4-10’)
Suy ra biểu thức trong dấu ngoặc không phụ thuộc vào toạ độ mà chỉ phụ thuộc
vào thời gian:
( )
t
C
t
2
u
P
U
2
=
∂
ϕ
∂
+
+
+ (4-11)
Đó là tích phân Côsi – Lagrăngiơ.
Nếu lực khối chỉ là trọng lực, trục Oz hướng lên:
X=Y=0; Z=-g; -U=-gZ

- 41 -
Khi đó (4-11) có dạng:
( )
t
C
t
2
u
P
gz
2
=
∂
ϕ
∂
+
+
+
II. Tích phân Béc nu li.
Xét cho chất lỏng chuyển động dừng: . Khi đó phương trình (4-10) viết
dưới dạng hình chiếu có dạng:
( )
y
z
z
y
2
u
u
2
2
u
P
U
x
Ω
−
Ω
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
∂
∂
− ;
( )
z
x
x
z
2
u
u
2
2
u
P
U
y
Ω
−
Ω
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
∂
∂
− ; (4-12)
( )
x
y
y
x
2
u
u
2
2
u
P
U
z
Ω
−
Ω
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
∂
∂
− ;
Nhân phương trình (4-12) lần lượt với dx, dy, dz rồi cộng lại, ta được:
z
u
u
u
dz
dy
dx
2
2
u
P
U
d
y
x
z
y
x
2
Ω
Ω
Ω
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+ (4-13)
Phương trình (4-13) dễ dàng phân tích khi vế phải = 0, nghĩa là:
a.
z
y
x u
dz
u
dy
u
dx
=
= : Phương trình (4-13) tích phân dọc theo đường dòng.
b.
z
y
x
dz
dy
dx
Ω
=
Ω
=
Ω
: Tích phân dọc theo sợi xoáy.
c.
z
z
y
y
x
x u
u
u
Ω
=
Ω
=
Ω
: Nghĩa là:chuyển động xoắn đinh vít.
d. Ωx = Ωy = Ωz = 0 : Chuyển động thế.
Do đó: const
2
u
P
U
2
=
+
+ (4-13’)
Nếu lực khối chỉ là trọng lực: ,
g
z
u
Z −
=
∂
∂
−
= ta được:
C
const
2
u
dp
gz
2
=
=
+
ρ
+ ∫ (4-14)
Đó là tích phân Béc nu li.

- 42 -
§ 4.4. CÁC PHƯƠNG TRÌNH BECNULI
I. Phương trình Bécnuli viết cho dòng nguyên tố của chất lỏng không nén được:
a. Cho chất lỏng lý tưởng chuyển động dừng ( 0
t
=
∂
∂
), lực khối chỉ có trọng lực
Từ (4-14) khi ρ=const tích phân lên ta được:
C
Const
2
u
p
gz
2
=
=
+
ρ
+
Hay là:
g
2
u
P
z
g
2
u
P
z
2
2
2
2
2
1
1
1 +
γ
+
=
+
γ
+ (4-15)
- Ý nghĩa của phương trình Béc nu li
®uêng ®o ¸p
®uêng n¨ng thôc
®uêng n¨ng lý tuëng
v
1
1
2
2
hw
z
p/
2
v /2g
Hình 4-2
- Ý nghĩa hình học (Hình 4-2)
z - Độ cao hình học, m
γ
p
- Độ cao đo áp,m;
γ
+
P
z =Ht cột áp tĩnh
g
2
u2
=Hđ - Độ cao vận tốc, cột áp động, m;
H
g
2
u
P
z
2
=
+
γ
+ - Cột áp toàn phần
- Ý nghĩa về năng lượng:
z – Vị năng đơn vị, m

- 43 -
γ
p
- áp năng đơn vị, m;
γ
+
P
z - Thế năng đơn vị: et
g
2
u2
- Động năng đơn vị: eđ
const
e
g
2
u
p
z
2
=
=
+
γ
+ - Năng lượng đơn vị
Nghĩa là, năng lượng đơn vị tại các mặt cắt dọc theo dòng nguyên tố của chất
lỏng lý tưởng không nén được trong chuyển động dừng là không đổi.
b. Cho chất lỏng lý tưởng chuyển động không dừng , lực khối chỉ có trọng
lực:
Từ phương trình (4-11), suy ra:
const
dl
t
u
g
1
g
2
u
p
z
1
0
2
=
∂
∂
+
+
γ
+ ∫
Khoảng cách dọc theo đường dòng từ mặt cắt đầu đến mặt cắt xét.
qt
1
0
h
dl
t
u
g
1
=
∂
∂
∫ - Cột áp quán tính.
Cho dòng nguyên tố:
qt
2
2
2
2
2
1
1
1 h
g
2
u
P
z
g
2
u
P
z +
+
γ
+
=
+
γ
+ (4-16)
c. Trong chuyển động tương đối:
Lực khối bây giờ có thêm lực quán tính X=-a (H.4-3a) hoặc
(Hình 4-3b). Từ (4-13’) phương trình Becnuly có dạng giống (4-16):
qt
2
2
2
2
2
1
1
1 h
g
2
w
P
z
g
2
w
P
z +
+
γ
+
=
+
γ
+ (4-17)
Nhưng w – vận tốc tương đối.
Còn hqt được tính như sau:

- 44 -
Hình 4-3
- Ống chất lỏng chuyển động với gia tốc không đổi (Hình 4-3a)
l
g
a
hqt = (4-18)
- Rãnh mang chất lỏng quay với vận tốc góc Ω = const (Hình 4 – 3b)
( )
2
2
2
1
2
qt r
r
g
2
h −
Ω
= (4-19)
d. viết cho dòng nguyên tố chất lỏng thực.
Đối với chất lỏng thực, do tính nhớt nên khi chất lỏng chuyển động, nó gây ra
những lực ma sát trong làm cản trở chuyển động. Một phần năng lượng của chất lỏng
bị tiêu hao để khắc phục những lực ma sát đó, nghĩa là có sự tổn thất năng lượng: h’
w1-2
của dòng chảy dọc theo dòng chảy, nên: const
g
2
u
p
z
2
≠
+
γ
+
suy ra: '
2
1
w
2
2
2
2
2
1
1
1 h
g
2
u
p
z
g
2
u
p
z −
+
+
γ
+
=
+
γ
+ (4-20)
Đó là phương trình Béc nu li viết cho dòng nguyên tố của chất lỏng thực.
Ta có thể nhận được phương trình (4-20) một cách chặt chẽ có nghĩa là tích phân
từ phương trình Navie – Stốc (4-7) với các điều kiện:
ρ = const ; 0
t
=
∂
∂
; X=Y=0; Z=-g
Ký hiệu: - u
.
Tms Δ
ν
= - Hàm lực ma sát, đặc trưng cho lực nhớt. Gọi L là công
ma sát gây ra do một đơn vị khối lượng chất lỏng chuyển động:
z
L
R
;
y
L
R
;
x
L
R z
y
x
∂
∂
−
=
−
∂
∂
−
=
−
∂
∂
−
=
−
Với những điều kiện trên, phương trình (4-7) viết dưới dạng hình chiếu:
x
L
x
p
1
dt
dux
∂
∂
−
∂
∂
ρ
−
=
y
L
y
p
1
dt
duy
∂
∂
−
∂
∂
ρ
−
= (4-21)

- 45 -
z
L
z
p
1
g
dt
duz
∂
∂
−
∂
∂
ρ
−
−
=
Nhân lần lượt các phương trình (4-21) với : dx=uxdt, dy=uy.dt, dz=uzdt
Rồi cộng lại theo cột ta được:
Hay là:
Với
g
L
h'
2
1
w =
− là tổn thất năng lượng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng di
chuyển từ mặt cắt 1-1 đến mặt cắt 2-2 ( có thứ nguyên độ dài)
Ý nghĩa
Biểu diễn trên hình 4-2
Đường năng luôn luôn dốc xuống vì có tổn thất năng lượng. Để xác định độ dốc
của đường năng, ta đưa vào khái niệm độ dốc thuỷ lực J: là tỷ số giữa tổn thất năng
lượng đơn vị trên đơn vị dài:
dL
dh
J
'
w
= →
L
h
J
'
w
tb = (4-22)
Trong đó L độ dài đường ống tính theo phương ngang
II. phương trình Béc-nu-li cho toàn dòng:
Ta phải tính năng lượng toàn dòng chảy tại các mặt cắt 1-1; 2-2;
Cách làm như sau: Viết phương trình Béc-nu-li (4-17) cho dG trọng lượng, sau đó
tích phân trên toàn mặt cắt, nghĩa là nhân phương trình (4-17) với dG=γdQ, rồi tích
phân:
∫
∫ ω
ω
γ
+
γ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+
1
1
dQ
g
2
u
dQ
P
z
2
1
1
1 = ∫
∫
∫ ω
−
ω
ω
γ
+
γ
+
γ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+
2
2
2
dQ
h
dQ
g
2
u
dQ
P
z '
2
1
w
2
2
2
2
Như vậy ta lần lượt xét ba loại tích phân.
- Tại các mặt cắt, áp suất phân bố theo quy luật thuỷ tĩnh (2-6) vì coi chất lỏng tại
đó chuyển động gần như đều: const
p
z =
γ
+ , nên:

- 46 -
∫ γ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+
=
γ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+ Q
p
z
dQ
p
z
- Động năng trung bình: 2
2
tb Qv
g
2
1
mv
2
1
T γ
=
=
- Động năng tính toán: tb
2
tt T
dQ
u
g
2
T α
=
γ
= ∫
α là hệ số hiệu chỉnh động năng:
Q
v
dQ
u
T
T
2
2
tb
tt ∫
=
=
α
giá trị của nó phụ thuộc vào chế độ chảy(sẽ chứng minh trong chương 5):
α = 2: chảy tầng
α = 1: chảy rối
Vậy, phương trình Béc nu li cho toàn dòng:
2
1
w
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 h
g
2
v
p
z
g
2
v
p
z −
+
α
+
γ
+
=
α
+
γ
+ (4-23)
Trong đó v1, v2- vận tốc trung bình tại mặt cắt: v=Q/ω
dQ
h
Q
1
h
2
2
1
w
'
2
1
w
w ∫ −
=
−
- tổn thất năng lượng trung bình dọc theo dòng chảy.
§ 4.5 ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH BÉC- NU- LI
I. Xác định độ cao đặt bơm:
Có một trạm bơm li tâm (H.4-5). Cho biết lưu lượng Q, pck, đường kính d và độ
chân không cho phép của chất lỏng công tác [ ] ]
p
[
H ck
ck
γ
= . Tính độ cao đặt bơm Hs.
Hình 4-5

- 47 -
Tưởng tượng có dòng chảy như hình vẽ. Chọn mặt cắt 1-1 là mặt thoáng bể dưới (
ngoài ống) và 2-2 mặt cắt ống trước khi vào bơm, mặt chuẩn trùng với mặt thoáng.
Viết phương trình Béc-nu-li (4-15)
Với 2
2
d
Q
4
Q
u
π
=
ω
=
Trong trường hợp có tổn thất hw1-2, độ cao đặt bơm sẽ thấp hơn:
Điều kiện tránh xâm thực
pbh - áp suất bão hoà (là áp suất mà tại đó chất lỏng sẽ sôi ở một nhiệt độ nhất
định); Δh - cột áp dự trữ chống xâm thực.
Theo Rútnhép: 3
4
)
C
Q
n
(
10
h ≥
Δ
n(vòng/ph) Q(m3
/s) C = 800 ÷ 1000
Hình 4-6: Vết xâm thực trên BCT bơm ly tâm
]
Hck
[
)
h
p
(
p bh
a
=
Δ
+
γ
−
γ
[ ] wh
2
v
v
ck
s h
g
2
v
H
H −
α
−
≤
Bảng 4.1 áp suất bay hơi của nước khi nhiệt độ khác nhau [8]

- 48 -
t, o
C 0 5 10 20 25 30 40 50
Pbh,bar 0.006 0.009 0.012 0.024 0.032 0.043 0.075 0.0126
t, o
C 60 70 75 80 90 100 125 150
Pbh,bar 0.202 0.317 0.392 0.482 0.714 1.033 2.370 4.850
II. Dòng chảy qua vòi.
Cho H, d- đường kính của vòi. Tính u, Q.
Xét vòi nhỏ, bình lớn (H.4-7)
Chọn các mặt cắt như hình vẽ. áp dụng phương trình (4-15) ta được :
gH
2
u
u
g
2
u
0
0
0
0
H 2
2
2
=
=
→
+
+
=
+
+
Hình 4-7
Đó chính là công thức Torixeli:
Q = u.ω
Trong thực tế, khi dòng chảy qua vòi có tổn thất do hình dạng của vòi, nên
gH
2
u ϕ
= với ϕ < 1, gọi là hệ số vận tốc. Còn lưu lượng qua vòi, tiết diện bị thu hẹp
(h.4-6b):ω0 = εω: ε < 1-hệ số co hẹp. Nên:
gH
2
.
.
gH
2
.
.
u
Q 0 ω
μ
=
ϕ
ε
ω
=
ω
=
Các hệ số ϕ, ε, μ được lập thành bảng và được nghiên cứu kỹ trong thuỷ lực-
chương dòng chảy qua lỗ, vòi.
III.Dụng cụ đo vận tốc, ống pitô - prandtl.
Đo vận tốc của một điểm trong dòng chảy. Cắm ống đo áp và ống Pitô hình chữ L
vào dòng chảy như hình vẽ 4-8. ống đo áp cho còn độ chênh . Suy ra
.

- 49 -
Kết hợp hai ống này được ống Pitô - Prandtl (xem [4]).
Hình 4-8
IV. Lưu lượng kế ven-tu-ri.
Biết D là đườn kính lớn , d là đường kính nhỏ của lưu lượng kế, Δh là chênh lẹch
mực nước dâng lên trong ống thuỷ tinh. Tính được lưu lượng chảy qua Q (hình 4-8b):
Từ (4-15):
g
2
u
P
z
g
2
u
P
z
2
2
2
2
2
1
1
1 +
γ
+
=
+
γ
+
Suy ra:
g
2
u
u
p
z
p
z
h
2
1
2
2
2
2
1
1
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
γ
+
=
Δ
2
1
D
Q
4
u
π
= ; 2
2
d
Q
4
u
π
= ;
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
=
Δ
→ 4
4
2
2
D
1
d
1
Q
16
h
g
2
h
K
D
1
d
1
h
g
2
4
Q
4
4
Δ
=
−
Δ
π
=
→
Đối với chất lỏng thực sẽ có tổn thất
g
2
u
h
2
1
0
2
1
w ξ
=
− , ξ0 là hệ số tổn thất cục bộ qua
lỗ nhỏ.
Khi đó: h
K
Q 1 Δ
=
Với 1
0
4
4
K
)
1
(
D
1
d
1
g
2
4
=
ξ
+
−
π
Tóm lại, các bước áp dụng phương trình Béc nu li như sau:
− Chọn các mặt cắt thứ tự 1-2 dọc theo dòng chảy (mặt cắt ⊥u). Tại các mặt
cắt chất lỏng chuyển động đều. Số ẩn tại mặt cắt nhỏ hơn 2, nếu bằng 2 phải
viết thêm phương trình lưu lượng : Q = ωv.
− Lưu lượng qua các mặt cắt không đổi: Q = ωv = const.
− Mặt chuẩn chọn tuỳ ý, nhưng tiện cho tính toán.

- 50 -
− Áp suất có thể là tuyệt đối, dư, nhưng phải thống nhất cho 2 vế. Nếu lấy áp
suất dư thì tại mặt cắt nào đó có áp suất chân không phải đổi dấu.
§ 4.6. CÁC ĐỊNH LÝ ƠLE
Một số bài toán không thể giải được bằng phương trình Béc nu li thường phải
dùng đến định lý Ơle.
I. ĐỊNH LÝ ƠLE 1. (Hay là phương trình động lượng)
Là việc ứng dụng định lý biến thiên động lượng của cơ lý thuyết vào chất lỏng:
Sự biến thiên động lượng theo theo gian của dòng chất lỏng bằng tổng ngoại lực tác
dụng lên chúng;
( ) ∑
= c
F
u
m
dt
d
c
F là ngoại lực.
Như vậy không phải xét đến nội lực của chất lỏng (lực nhớt).
Hình 4-9
Xét dòng nguyên tố (H.4-9). Lực tác dụng lên khối chất lỏng: gọi m
R là tổng lực
khối, s
R là tổng lực mặt.
(2-24)
Thể hiện phương trình (4-24) là đa giác vec tơ trên hình H.4-9b
2. Định lý ơle 2. Hay là phương trình mô men động lượng.
Sự biến thiên mô men động lương theo thời gian của dòng chất lỏng bằng tổng
mô men ngoại lực tác dụng.
∑
= 0
0
M
dt
L
d

- 51 -
Xét khối chất lỏng chuyển động trong rãnh bánh công tác (của tua bin chẳng hạn)
(Hình 4-11).
M0 – mô men ngoại lực tác
động lên dòng chảy, chính là mô
men trên trục của tua bin (hoăc
bơm) truyền qua thành rãnh bánh
công tác- mômen làm quay bánh
công tác của tua bin.
Hình 4-11
dL = (mch)2 – (mch)1
= ρω2v2c2r2cosα2dt - ρω1v1c1r1cosα1dt
= ρQ(c2r2cosα2 – c1r1cosα1)dt
Đối với bơm: M0 = ρQ(c2r2cosα2 – c1r1cosα1) (4-25)
Đối với tua bin: M0 = ρQ(c1r1cosα1 – c2r2cosα2) (4-25’)
Tua bin quay với vận tốc góc Ω thì công suất hữu ích là công suất trên trục của nó
và là:
N = M0Ω
Công suất vào là công suất thuỷ lực:
Nv = γQH=N/η
η < 1- hiệu suất chung của tua bin.
Với lưu ý: rΩ = u vận tốc theo của dòng nước tức là vận tốc vòng của bánh
công tác.
§ 4.7. DÒNG TIA
I. Định nghĩa và phân loại
1. Định nghĩa:
Dòng chất lỏng khi ra khỏi lỗ, vòi và chảy vào môi trường chất lỏng hay chất khí,
gọi là dòng tia.
2. Phân loại:
Dòng tia có thể chảy tự do hoặc chảy ngập.
Dòng tia chất lỏng chuyển động trong môi trường chất lỏng là dòng tia ngập, ví
dụ dòng tia nước từ những vòi đặt ngầm dưới mặt nước sông để phá đất ở lòng sông.

- 52 -
Dòng tia tự do (không ngập) là dòng tia chuyển động trong môi trường khí, ví dụ
dòng tia nước của vòi chữa cháy, của máy làm mưa nhân tạo.
Trạng thái chảy trong dòng tia có thể là chảy tầng hoặc chảy rối, nhưng trong
thực tế thường gặp trạng thái chảy rối.
Dưới đây ta chỉ nghiên cứu một số tính chất của dòng tia ở trạng thái chảy rối.
II. Cấu tạo dòng tia
2-1. Dòng tia ngập:
Dòng tia có thể ngập trong môi trường chất lỏng cùng loại hoặc khác loại. Khi
dòng tia chuyển động, do tính nhớt và sự mạch động vận tốc của dòng chảy rối mà xuất
hiện các xoáy ở chỗ giáp của dòng tia và môi trường xung quanh. Các xoáy này làm
cho một phần chất lỏng của môi trường bị lôi kéo trong dòng tia, đồng thời lại gây tác
dụng kìm hãm chuyển động của dòng tia. Vì vậy mà dòng tia ngập loe rộng dần rồi
phân tán vào môi trường chất lỏng bao quanh (Hình 4-12).
Dựa vào biểu đồ phân bố vận tốc trên các mặt cắt ngang dòng tia ta thấy trong
dòng tia có hai phần: lõi và lớp biên chảy rối.
a) Lõi là phần trong cùng, trong đó vận tốc trên các mặt cắt ngang dòng tia đều
không đổi.
Lõi bắt đầu từ miệng vòi phun đến mặt cắt quá độ trên đó chỉ có điểm trên truc
dòng tia là có vận tốc bằng vận tốc ban đầu tại miệng vòi. Đường giới hạn lõi là đường
thẳng (theo thực nghiệm).
b) Phần được giới hạn bởi lõi và môi trường bao quanh dòng tia gọi là lớp biên
chảy rối, trong đó vận tốc biến đổi liên tục cho đến khi bằng vận tốc môi trường bên
ngoài. Đường giới hạn lớp biên chảy rối với môi trường bao quanh cũng là đường
thẳng (theo thực nghiệm).
Theo chiều dài dòng tia có thể chia làm hai đoạn:
- Đoạn đầu, từ miệng vòi phun cho đến mặt cắt quá độ tức là mặt cắt kết thúc lõi
dòng tia. Trong đoạn đầu có lõi và một phần của lớp biên chảy rối quanh lõi.
Hình 4-12

- 53 -
- Đoạn cơ bản, từ mặt cắt quá độ trở đi. Đoạn cơ bản chỉ gồm lớp biên chảy rối,
trong đó vận tốc giảm dần dọc theo trục dòng tia.
2-2. Dòng tia tự do (tia không ngập)
Quan sát một dòng tia tự do, ví dụ một tia nước từ một vòi hình trụ tròn phun vào
không khí ta thấy có ba phần rõ rệt (Hình 4-13).
Hình 4-13
- Phần tập trung: Trong phần này dòng tia vẫn giữ nguyên hình trụ tròn, chất
lỏng vẫn liên tục.
- Phần rời rạc: Trong phần này dòng tia mở rộng hơn, sự liên tục của chất lỏng bị
phá hoại.
- Phần tan rã: Trong phần này dòng tia tan thành những hạt rất nhỏ, như bụi.
Dòng tia tự do được sử dụng nhiều trong kỹ thuật, như sủng thủy lực dùng để phá
đất, khai thác than, dòng tia chữa cháy. Những loại này cần dùng phần tập trung của
dòng tia. Nhưng khi cần làm mưa nhân tạo để tưới thì lại phải lợi dụng phần tan rã.
2-3. Dòng tia thẳng đứng:
Xét một dòng tia phun thẳng đứng (H.4-14).
Hình 4-14

- 54 -
Một phần tử chất lỏng tại miệng vòi có vận tốc v sẽ có động năng là . Khi vận
tốc của phần tử chất lỏng giảm đến bằng không, động năng biến hoàn toàn thành thế
năng, thì độ cao nó đạt được tính từ miệng vòi là:
(4-26)
Đó chính là độ cao lý thuyết của dòng tia thẳng đứng.
Nhưng do ảnh hưởng của sức cản không khí, của sức cản trong nội bộ dòng tia và
cửa trọng lực nên độ cao toàn bộ của dòng tia phun thẳng đứng Hdt luôn luôn nhỏ hơn
H, và được xác định theo công thức:
(4-27)
Trong đó ψ là một hệ số, chủ yếu phụ thuộc đường kính d của miệng vòi phun, ψ
thường được xác định theo công thức:
ψ =
3
d
001
,
0
d
25
,
0
+ (4-28)
d = tính bằng mm.
Bảng (4-2) sau đây cho một số giá trị hệ số ψ tính theo công thức (4-28)
Bảng 4-2 Giá trị hệ số ψ của vòi phun[7]
d(mm) 10 13 16 19 22 25
ψ 0,0228 0,0165 0,0124 0,0097 0,0077 O,0061
Độ cao phần tập trung Httr tính theo công thức sau:
Httr = βHdt (4-29)
Trong đó β là một hệ số phụ thuộc độ phun cao của dòng tia. Bảng (4-3) sau đây
cho một số giá trị β rút từ thực nghiệm và thường được dùng trong thực tế:
Bảng 4-3 Giá trị hệ số β dùng tính độ cao phần tập trung Httr của dòng tia
Hdt(m) 7 9,5 12 14,5 17,2 20 22,9 24,5 30,5
β 0,840 0,840 0,835 0,825 0,815 0,805 0,790 0,785 0,725
2-4. Dòng tia nghiêng:
Các tia phun nghiêng, về mặt lý thuyết cho đến nay vẫn chưa được nghiên cứu
một cách đầy đủ. Thí nghiệm chứng tỏ rằng nếu nghiêng từ tia phóng ở vòi ra
(Hình 4-15).

- 55 -
Hình 4-15
Bán kính Rdt với( khoảng cách từ miệng vòi đến tâm vùng khuyêch tán) được xác
định gần đúng theo công thức:
Rdt = k. Hdt (4-30)
k: Hệ số phụ thuộc góc nghiêng θ của dòng tia khi ra khỏi miệng vòi giá trị của
nó cho trong Bảng 4-4.
Bảng 4-4: Giá trị hệ số k dùng tính giới hạn của tia phung nghiêng
θ0
900
750
600
450
300
150
00
k 1,00 1,03 1,07 1,12 1,20 1,30 1,40
Đối với các tia phun nước đào đất ở các súng phun thủy lực (để khai thác than đá,
nạo vét lòng sông…) tầm xa công phá của dòng tia có thể xác định gần đúng theo công
thức thực nghiệm của N. P. Gavưrin.
L = 0,415
3
0 H
.
d
.
θ (4-31)
Với: L - Tầm xa công phá của dòng tia tính bằng mét.
θ - Góc nghiêng của dòng tia tính bằng độ,
d0 - Đường kính miệng vòi phun, tính bằng mm.
H –Cột áp cửa ra của dòng tia, tính bằng mét.
Công thức (4-31) áp dụng đúng với
θ = 50
÷ 320
d0 = 5 ÷ 50mm
H = 30 ÷ 80m
III. Động lực học của dòng tia
Nghiên cứu tính chất động lực của dòng tia là nghiên cứu tác dụng xung kích của
dòng tia vào một vật chắn. Vấn đề đó có rất nhiều ứng dụng trong thực tế kỹ thuật.
3.1 Tính áp lực của dòng tia lên vật chắn

- 56 -
Giả thiết có dòng tia từ một vòi hình trụ tròn phun vào vật chắn rắn cố định
(Hình 4-16).
Hình 4-16
Khi gặp vật chắn thì dòng tia phân ra hai nhánh chảy dọc theo vật chắn. Do thay
đổi hướng dòng chảy áp suất chỗ tiếp xúc với vật rắn tăng lên, sinh ra tương tác giữa
chất lỏng và vật rắn. Dòng tia tác dụng lên chỗ chạm vào mặt chắn một lực P, ngược lại
dòng tia chịu một phản lực R của vật chắn. Ta xác định phản lực R, từ đó sẽ tìm được
lực P, vì P và R trực đối nhau.
Ta viết hình chiếu của phương trình động lượng(định lý Ơle I) lên phương n – n
cho khối chất lỏng giữa các mặt cắt 0 – 0, 1 – 1 và 2 – 2 (chú ý rằng ta bỏ qua ảnh
hưởng của trong lực):
-(m1v1cosα1 + m2v2cosα2) + m0v0 = Rcosβ (4-32)
Trong đó:
m0, m1, m2 là khối lượng chất lỏng đi qua mặt cắt 0 – 0, 1 – 1 và 2-2 trong một
đơn vị thời gian.
Từ phương trình (4-32) ta rút ra:
R =
β
+
α
+
α
−
cos
v
m
)
cos
v
m
cos
v
m
( 0
0
2
2
2
1
1
1
(4-33)
Hay là: R =
β
ρ
+
α
ρ
+
α
ρ
−
cos
v
Q
.
)
cos
v
Q
.
cos
v
Q
.
( 0
0
2
2
2
1
1
1
(4-34)
(Nhớ rằng Q = Q1 + Q2)
3.2. Ứng dụng tính lực tác dụng của dòng tia trong một số trường hợp đơn giản.
a) Vật chắn là một mặt phẳng đặt vuông góc với dòng tia (Hình 4-17)
Trường hợp này ta có α1 = α2 = 900
; β = 1800
v1 = v2 = v0
Q1 = Q2 =
2
Q
Thay các giá trị trên vào (4-34), có:
R = ρ.Q.v0

- 57 -
Vậy, lực tác động lên tấm chắn sẽ là: P = -ρQv0 (4-35)
Qua thực nghiệm thấy rằng trị số P nhỏ hơn trị số tính theo (4-35), cụ thể:
P =(0,92 – 0,95) ρQv0. (4-36)
b) Vật chắn là một mặt cong đối xứng (Hình 4-18)
Trong trường hợp này:
α1 = α2 = α; β = 1800
Q1 = Q2 =
2
Q
v1 = v2 = v0.
Sau khi thay các giá trị trên vào (4-34) thì có:
R = ρQv0 (1-cosα)
Đặc biệt khi: α = 1800
thì R = 2ρQv0 (4-35)
c) Vật chắn là một mặt phẳng đặt vuông góc với dòng tia nhưng di động theo
chiều dòng tia với vận tốc u (Hình 4-19)
Hình 4-19
Trong trường hợp này có sự chuyển động tương đối của dòng tia đối với mặt
chắn, với vận tốc tương đối là w = v0 – u. Vì vậy lực tác dụng của dòng tia trong
trường hợp này vẫn được tính theo (4-34) nhưng thay vận tốc tuyệt đối v0 bằng vận tốc
tương đối w = v0 – u. Ta có:
R’ = ρQ’(v0 – u) (4-36)

- 58 -
với Q’-lưu lượng va đập vào tấm chắn: Q’=ω0.(v0-u)
Vì vật chắn vuông góc với dòng tia nên công suất của dòng tia cung cấp cho vật
chắn sẽ là:
N’ =R’.u = ρ.ω0.(v0 – u)2
u (4-37)
Công suất cực trị của dòng tia cung cấp cho vật chắn sẽ xảy ra khi:
0
du
dN'
= khi u=o và u=v0/3
Công suất lớn nhất khi u =
3
v0
Và N’max =
g
v
.
.
27
4 3
0
0
ω
γ
=
Công suất của bản thân dòng tia vốn có là:
N1 = γ ω0
g
2
v3
0
=γ.Q.H (4-38)
Nếu vật chắn không phải đơn chiếc mà là hệ nhiều vô cùng các cánh(ví dụ như
bánh công tác của tua bin) thì lực tác dụng của dòng tia lên tấm chắn sẽ là:
P = ρQ(v0 – u)=ρω0.v0. (v0 – u)
Công suất lớn nhất khi u =
2
v0
Do đó: Nmax =
g
2
v
.
.
2
1 3
0
0
ω
γ
= (4-39)
So sánh (4-39) và (4-38) ta thấy: khi vật chắn là một mặt phẳng thẳng góc với
dòng tia và di động theo chiều dòng tia, ta chỉ lợi dụng được nhiều nhất là 1/2 công
suất của bản thân dòng tia.
* Câu hỏi:
1. Xây dựng phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực (Phương trình
Naviê-Xtốc).
2. Từ phương trình Naviê-Xtốc chứng minh phương trình vi phân chuyển động của
chất lỏng lý tưởng dạng Ơle II và dạng Lambo-Grômêcô.
3. Từ phương trình Ơle II, chứng minh phương trình Becnuli cho dòng nguyên tố
chất lỏng lý tưởng, chuyển động dừng.
4. Từ phương trình Ơle II, chứng minh phương trình Becnuli cho dòng nguyên tố
chất lỏng chuyển động, không dừng.
5. Từ phương trình Ơle II, chứng minh phương trình Becnuli cho dòng chất nguyên
tố chất lỏng chuyển động tương đối.

- 59 -
6. Từ phương trình Naviê-Xtôc, chứng minh phương trình Becnuli cho dòng chất
lỏng thực.
7. Ý nghĩa của phương trình Becnuli cho dòng nguyên tố chất lỏng thực.
8. Phát biểu và chứng minh định lý Ơle I – Phương trình động lượng tương đối với
dòng nguyên tố.
9. Phát biểu và chứng minh định lý Ơle II – Phương trình mômen động lượng.
CHƯƠNG V
CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU
CỦA CHẤT LỎNG KHÔNG NÉN ĐƯỢC
Trong chương IV ta đã thành lập được hệ phương trình vi phân chuyển động của
chất lỏng. Chương này xét cụ thể một số dạng chuyển động một chiều của chất lỏng
không nén được như nước chảy trong ống, dầu trong các khe hẹp ..v..v...Từ đó rút ra
những ứng dụng vào kỹ thuật.
§ 5.1. TỔN THẤT NĂNG LƯỢNG TRONG DÒNG CHẢY.
I. Hai trạng thái chảy.
O.Reynolds làm thí nghiệm vào năm 1883 và nhận thấy có hai trạng thái chảy
khác biệt nhau rõ rệt. Thí nghiệm gồm một bình nước lớn A và một bầu nhỏ nước màu
C – màu đỏ. Một ống thuỷ tinh trong suốt để trông thấy nước chảy (Hình 5-1). Điều
chỉnh khoá để nước màu đỏ chảy thành một sợi chỉ đỏ căng xuyên suốt ống thuỷ tinh,
nghĩa là các lớp chất lỏng không trộn lẫn vào nhau, chảy thành tầng lớp. Đó là trạng

- 60 -
thái chảy tầng (Hình 5-1b- chảy quá độ) sau đó chảy hỗn loạn hoà vào nước
(Hình 5-1c) - Đấy là chảy rối.
Như vậy trạng thái dòng chảy phụ thuộc vào vận tốc v, độ nhớt v và đường kính
ống d. Reynolds đã tìm ra tổ hợp 3 đại lượng ấy là một số không thứ nguyên mang tên
ông: Số Rây- nôn: và tìm được trị số trung bình của số Re hạn tương ứng với
trạng thái chảy quá độ: Re0 = 2320.
Vậy : Re < 2320 : chảy tầng
Re > 2320 : chảy rối
Đối với kênh hở,tiết diện tròn hay không tròn: số Reynolds giới hạn thấp
hơn: Re0 = 580., thậm chí có thể Re0 = 380.
Re < 2320 : chảy tầng
Re0 = 2320
Re > 2320 : chảy rối
Hình 5-1
II. Quy luật tổn thất năng lượng trong dòng chảy.
Nguyên nhân của tổn thất năng lượng có nhiều: tính nhớt của chất lỏng (v), đoạn
đường đi dài hay ngắn (l), tiết diện dòng chảy (ω), trạng thái chảy.v .v...
Để tiện tính toán, người ta quy ước chia thành hai dạng tổn thất: tổn thất dọc
đường: hd và tổn thất cục bộ: hc :hw = ∑hd + hc
1. Tổn thất dọc đường.
Đắc xi nhận thấy: ở chảy tầng hd = k1v
ở chảy rối hd = k2v2
và ông đưa ra công thức chung vào năm 1856, gọi là công thức Darcy:
g
2
R
4
lv
h
2
d λ
= hay
g
2
d
lv
h
2
d λ
= , đối với đường ống có áp
Trong đó:
+ l- chiều dài, d- đường kính ống, v - vận tốc trung bình.

- 61 -
+ λ - hệ số tỷ lệ, gọi là hệ số ma sát. Nó phụ thuộc vào số Re và độ nhám
thành ống n: λ(Re,n)
Việc tính λ khá phức tạp. Có nhiều công thức bán thực nghiệm. Người ta hay
dùng đồ thị Ni cu rát ze (Hình 5-2).
Hình 5-2
Có 5 khu vực:
+ Chảy tầng
Re
A
=
λ
+ Chảy quá độ từ tầng sang rối: chưa có quy luật vào.
+ Chảy rối thành trơn: λ = f(Re)
+ Chảy quá độ từ thành trơn sang thành nhám: λ = f(Re,n),
+ Chảy rối thành nhám: λ = f(n),
+
d
n
∇
= - độ bóng tương đối,∇- độ nhâp nhô,d- đường kính danh nghĩa
Trong từng khu vực có công thức tính λ tương ứng ( Xem trong sổ tay thuỷ lực)
2. Tổn thất cục bộ.
Thường dùng công thức Vai zơ bắc
g
2
v
h
2
c ς
=
ς hệ số tỷ lệ, gọi là hệ số tổn thất cục bộ, thường được xác định bằng thực
nghiệm. Nó phụ thuộc vào hệ số Re và đặc trưng hình học vật cản. Ví dụ xét hai
trường hợp (Hình 5-3a và 5-3b).

- 62 -
Đột mở (h.5-3a)
2
1
2
1
1
c 1
;
g
2
v
h ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Ω
ω
−
=
ς
ς
= ;
2
'
1
2
2
'
1
c 1
;
g
2
v
h ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
ω
Ω
=
ς
ς
=
Đột thu (h.5-3b)
2
1
2
2
2
c 1
5
,
0
;
g
2
v
h ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Ω
ω
−
=
ς
ς
= ;
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
ω
Ω
ω
Ω
=
ς
ς
= 1
5
,
0
;
g
2
v
h '
2
2
1
'
2
c
§ 5.2 DÒNG CHẢY RỐI TRONG ỐNG
I. Cấu trúc dòng rối trong ống.
Thực nghiệm chứng tỏ dòng chảy rối trong ống gồm hai phần chính (H.5-4a): lõi
rối và lớp chảy tầng sát thành có chiều dày.
λ
=
δ
Re
d
30
T
Hình 5-4a
Trong lõi rối, vận tốc điểm thay đổi về trị số và cả hướng theo thời gian
Nếu xét trong một khoảng thời gian tương đối dài T, thì thấy u giao động xung
quanh một trị số không đổi u (Hình 5-4b) gọi là vận tốc trung bình thời gian:

- 63 -
∫
=
T
0
udt
T
1
u
Lúc đó vận tốc tức thời '
u
u
u +
= , u’
gọi là vận tốc mạch động.
Tương tự có: '
'
;
p
p
p ρ
+
ρ
=
ρ
+
=
II. Phân bố vận tốc trong ống.
Ở trạng thái chảy tầng, theo Newton .
Ở trạng thái chảy rối, người ta đưa vào hệ số nhớt rối bổ sung .
Nhưng ε >> μ, nên
Hình 5-4b
Giả thuyết về ε có nhiều, nhưng theo Prandtl
dy
u
d
l2
ρ
=
ε
Trong đó l = ky, chiều dài xáo trộn, đặc trưng cho sự chuyển động theo phương
ngang của các phần tử chất lỏng; k = 0,4;
dy
u
d
-gradient vận tốc trung bình thời gian
Do đó:
2
2
dy
u
d
l
dy
u
d
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
=
ε
=
τ
l
1
u
l
1
dy
u
d
•
=
ρ
τ
= Với
ρ
τ
≡
•
u vận tốc động lực
y
dy
k
u
dy
l
u
u
d •
•
=
=
C
y
ln
k
u
u +
= •

- 64 -
Tại trục ống: y=r; max
u
u =
k
u
u
C max
•
−
=
→ r
ln
k
u
u
C max
•
−
=
→
Vậy :
y
r
ln
k
u
u
u max
•
−
= nghĩa là vận tốc biến thiên theo luật lôgarit (hình 5-4a)
còn v = Q/ω = 0,825 umax.
§ 5.3 DÒNG CHẢY TẦNG TRONG ỐNG – DÒNG HAGEN – POADƠI
I. Phương trình vi phân chuyển động.
Xét chuyển động một chiều (u ≠ 0) trong ống nằm ngang do độ chênh áp (p1 >p2)
của chất lỏng không nén được (ρ = const) chuyển động dừng , bỏ qua lực khối
(H.5-5). Với những điều kiện đó, xuất phát từ phương trình liên tục:
và phương trình Navie – Stốc:
dt
u
d
u
v
gradp
1
=
Δ
+
ρ
− ,
0
r 0
r
dr
max
u
u
Hình 5-5
Suy ra 0
z
u
y
u
dx
dp
1
2
2
2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
ν
+
ρ
−
C
const
dx
dp
1
z
u
y
u
2
2
2
2
=
=
μ
=
∂
∂
+
∂
∂
→ (5-1)
Ở đây cho hai vế bằng const, vì vế trái phụ thuộc vào y, z, còn vế phải không phụ
thuộc vào chúng.
J
l
h
l
p
dx
dp w
γ
−
=
γ
−
=
Δ
−
= (5-2)
J: độ dốc thuỷ lực
Để dễ tích phân phương trình (5-1), ta viết dưới dạng toạ độ trụ với giả thiết dòng
chảy đối xứng trục:
l
p
1
dr
du
r
dr
d
r
1 Δ
μ
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
(5-3)

- 65 -
Với điều kiện r = 0 :u hữu hạn
r = R0 :u = 0
II. Phân bố vận tốc.
Tích phân phương trình (5-3) với các điều kiện biên ta sẽ tìm được phân bố vận
tốc có dạng parabôn.
( )
2
2
0 r
R
l
4
p
u −
μ
Δ
=
Vận tốc max tại trục ống: 2
0
max R
l
4
p
u
μ
Δ
=
Ta tính được lưu lượng: max
2
0
R
0
R
0
u
R
2
dr
2
dQ
Q
0
0
π
=
π
=
= ∫
∫
Vận tốc trung bình:
2
u
Q
v max
=
ω
=
Độ chênh áp: 4
0
2
0 R
lQ
8
R
lv
8
p
π
μ
=
μ
=
Δ (5-4)
Đó là định luật Hagen – Poadơi, được ứng dụng để tính độ nhớt (xem [4])
Hệ số hiệu chỉnh động năng:
2
Q
v
d
u
3
3
=
ω
=
α
∫
ω
Phân bố ứng suất tiếp trong dòng chảy:
R
r
2
r
l
p
dy
du
0
τ
=
Δ
=
μ
=
τ
Với ( ) JR
2
R
l
p
R
r 0
0
0 γ
=
Δ
=
=
τ , R – bán kính thuỷ lực.
III. Tổn thất dọc đường của ống.
γ
Δ
=
≅
p
h
h d
w
( theo (5-2))
Thay Δp bằng (5-4) 4
2
d
d
lQ
128
v
l
d
32
h
πγ
μ
=
μ
γ
= (5-5)
Từ (5-5) ta có hai nhận xét sau đây:
Thứ nhất, hd ≈ v, nghĩa là như đã nêu ở Đ 5-1: trong chảy tầng: hd = k1v;
Thứ hai, với Q = const, d = const, khi μ giảm (do nhiệt độ tăng) thì hd giảm, nghĩa
là muốn tổn thất hd ít thì hâm nóng chất lỏng (hâm có mức độ)
Tiếp tục biến đổi (5-5) bằng cách thay γ = ρg và nhân với
v
2
v
2
ta được

- 66 -
g
2
v
d
l
g
2
v
d
l
Re
64
h
2
2
d λ
=
=
Chính là công thức Darcy đã nêu với hệ số ma sát trong chảy tầng
μ
ρ
υ
=
=
λ
d
Re
;
Re
64
§ 5.4 DÒNG CHẢY TẦNG CÓ ÁP TRONG CÁC KHE HẸP
Trong kỹ thuật, giữa các chi tiết máy có những khe hở nên có sự rò rỉ của chất
lỏng (xăng, dầu...) do chất lỏng làm việc dưới áp suất cao. Nên cần tính toán độ khít
cần thiết của những khe hở đó, hạn chế lưu lượng rò rỉ, v.v...
I. Dòng chảy giữa hai tấm phẳng song song.
Với những điều kiện như dòng chảy tầng trong ống (Đ 5-3) và do khe hẹp nên
u=u(y); (Hình 5-6).
h
y
x
u
Hình 5-6
Phương trình vi phân chuyển động có dạng:
dx
dp
1
dy
u
d
2
2
μ
=
Với điều kiện biên: y = 0 và y= h th : u = 0
Sau khi phân tích ta sẽ được phân bố vận tốc có dạng parabôn:
( )
y
h
y
dx
dp
2
1
u −
μ
−
=
Vận tốc max (tại y = h/2) 2
max h
dx
dp
8
1
u
μ
=
Lưu lượng b
h
l
p
12
1
h
dx
dp
12
b
budy
Q 3
3
h
0
Δ
μ
=
μ
−
=
= ∫
Vận tốc trung bình max
u
3
2
bh
Q
v =
=
Ở đây: b – bề rộng tấm phẳng;
l – chiều dài của khe.

- 67 -
II. Dòng chảy dọc trục giữa hai trụ tròn.
1. Mặt trụ đồng tâm:
1
r
2
r
Hình 5-7a
Ta dùng các ký hiệu sau đây (H.5-7a)
+ Dn - đường kính ngoài, 2
n r
2
D =
+ Dt - đường kính tron, 1
t r
2
D =
+
2
D
D
D t
n +
= - đường kính trung bình;
+
2
D
D t
n −
=
∂ - chiều dày của khe.
Xét δ << D/2, l – chiều dài của đoạn dòng chảy cần xét.
Áp dụng công thức (5-6) tính lưu lượng thay b = πD; h = δ, có:
1
p
12
D
Q
Q
3
1
Δ
μ
δ
π
=
≡
2. Mặt trụ lệch tâm.
Gọi:
+ δ - chiều dày của khe hở khi mặt trụ lệch tâm;
+ l - độ lệch tâm (H.5-7b)
+ ϕ - góc của l bán kính véc tơ với đường qua tâm của hai mặt trụ (toạ độ
cực 0 là tâm).
+ a(ϕ) – khe hở theo bán kính véctơ ứng với ϕ.

Giáo trình Cơ học thủy khí ứng dụng.pdf

Giáo trình Cơ học thủy khí ứng dụng.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Giáo trình Cơ học thủy khí ứng dụng.pdf

Similar to Giáo trình Cơ học thủy khí ứng dụng.pdf (20)

More from Man_Ebook

More from Man_Ebook (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (19)

Giáo trình Cơ học thủy khí ứng dụng.pdf