Επιμέλεια: lisari team αποκλειστικά για το lisari

1. ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι
ΕΠΑ.Λ
ΠΕΜΠΤΗ 19 – 05 – 16
12:30 πμ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ
lisari team
ΘΕΜΑ Α
ΜΑΡΙΑ
ΠΑΠΑΔΟΜΑΝΩΛΑΚΗ
ΘΕΜΑ Β
ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΜΠΕΛΗΣ
ΘΕΜΑ Γ
ΧΡΗΣΤΟΣ ΣΙΣΚΑΣ
ΘΕΜΑ Δ
ΜΙΧΑΛΗΣ
ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ
ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ
ΓΙΆΝΝΗΣ ΖΑΜΠΕΛΗΣ
SITE
http://lisari.blogspot.gr
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ
ΛΥΣΕΙΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ
ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016
ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

2. Οι απαντήσεις και οι λύσεις
είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς
των μελών της lisari team
http://lisari.blogspot.gr/2014/10/blog-post_13.html
1η έκδοση: 19 – 05 – 2016 (συνεχής ανανέωση)
Οι λύσεις διατίθεται αποκλειστικά
από το μαθηματικό blog
http://lisari.blogspot.gr

3. Πρόλογος
Στο παρόν αρχείο περιλαμβάνονται οι λύσεις των Πανελλαδικών Εξετάσεων στο
μάθημα Μαθηματικά I των ΕΠΑ.Λ. Η παρουσίαση των λύσεων είναι πλήρης και
αναλυτική στο μέγιστο δυνατό, προκειμένου οι μαθητές να μπορούν να μελετήσουν
και να επεξεργαστούν εύκολα το αρχείο.
Η εργασία αυτή εκπονήθηκε αποκλειστικά από τη γνωστή διαδικτυακή ομάδα
Μαθηματικών από διάφορα μέρη της Ελλάδος, τη lisari team.
Την αρχική συγγραφή των λύσεων ακολούθησαν ενδελεχείς έλεγχοι, διορθώσεις και
βελτιώσεις με στόχο μια πληρέστερη και ποιοτική παρουσίαση. Ζητούμε συγνώμη
για τυχόν παραλείψεις, λάθη ή αστοχίες που ενδεχομένως θα έχουν διαφύγει της
προσοχής μας, γεγονός αναπόφευκτο δεδομένων των στενών χρονικών περιθωρίων.
Θα ακολουθήσουν επόμενες εκδόσεις, όπου η εν λόγω παρουσίαση θα βελτιωθεί, ίσως
εμπλουτιστεί και με εναλλακτικές λύσεις. Οποιαδήποτε σχόλια, παρατηρήσεις,
διορθώσεις και βελτιώσεις επί των λύσεων είναι ευπρόσδεκτα στην ηλεκτρονική
διεύθυνση lisari.blogspot@gmail.com.
Με εκτίμηση
lisari teaμ
19 – 05 – 2016

4. lisari team
1. Αντωνόπουλος Νίκος (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "Κατεύθυνση" - Άργος)
2. Αυγερινός Βασίλης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίου "ΔΙΑΤΑΞΗ" - Ν. Σμύρνη και Νίκαια)
3. Βελαώρας Γιάννης (Φροντιστήριο "ΒΕΛΑΩΡΑΣ" - Λιβαδειά Βοιωτίας)
4. Βοσκάκης Σήφης (Φροντιστήριο "Ευθύνη" - Ρέθυμνο)
5. Γιαννόπουλος Μιχάλης ( Θεσσαλονίκη - Αμερικάνικη Γεωργική Σχολή)
6. Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης (Φροντιστήριο "Αστρολάβος" - Άρτα)
7. Δούδης Δημήτρης (3ο Λύκειο Αλεξανδρούπολης)
8. Ζαμπέλης Γιάννης (Φροντιστήρια "Πουκαμισάς" Γλυφάδας)
9. Ηλίας Ζωβοΐλης (Μαθηματικός - Χαϊδάρι)
10. Κακαβάς Βασίλης (Φροντιστήριο "Ώθηση" - Μαρούσι)
11. Κάκανος Γιάννης (Φροντιστήριο "Παπαπαναγιώτου – Παπαπαύλου" - Σέρρες)
12. Κανάβης Χρήστος (Διδακτορικό στο ΕΜΠ – 2ο ΣΔΕ φυλακών Κορυδαλλού)
13. Καρδαμίτσης Σπύρος (Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων)
14. Κοπάδης Θανάσης (Ιδιοκτήτης Φροντιστηρίων "19+" - Πολύγωνο)
15. Κουλούρης Ανδρέας (3ο Λύκειο Γαλατσίου)
16. Κουστέρης Χρήστος (Φροντιστήριο "Στόχος" - Περιστέρι)
17. Μανώλης Ανδρέας (Φροντιστήριο "Ρηγάκης" - Κοζάνη)
18. Μαρούγκας Χρήστος (3ο ΓΕΛ Κηφισιάς)
19. Δημήτρης Μπαδέμης (Φροντιστήριο "Πουκαμισάς" - Γλυφάδας)
20. Νάννος Μιχάλης (1ο Γυμνάσιο Σαλαμίνας)
21. Νικολόπουλος Θανάσης (Λύκειο Κατασταρίου, Ζάκυνθος)
22. Παγώνης Θεόδωρος (Φροντιστήριο "Φάσμα" - Αγρίνιο)
23. Παπαδομανωλάκη Μαρία (Συνιδιοκτήτρια Πρότυπου Κέντρου Μάθησης "ΔΙΑΚΡΙΣΙΣ" - Ρέθυμνο)
24. Παπαμικρούλης Δημήτρης (Εκπαιδευτικός Οργανισμός "Ρόμβος")
25. Πάτσης Ανδρέας (Βόνιτσα - Μαθηματικός)
26. Ποδηματάς Θωμάς ( Σπουδαστήριο Μαθηματικών Θωμάς και Ρόζα Ποδηματά - Βόλος)
27. Ράπτης Γιώργος (6ο ΓΕΛ Βόλου)
28. Σίσκας Χρήστος (Φροντιστήριο "Μπαχαράκης" - Θεσσαλονίκη)
29. Σκομπρής Νίκος (Συγγραφέας – 1ο Λύκειο Χαλκίδας)
30. Σπλήνης Νίκος (Φροντιστήριο "ΟΡΙΖΟΝΤΕΣ" - Ηράκλειο Κρήτης)
31. Σταυρόπουλος Παύλος (Ιδιωτικά Εκπαιδευτήρια Δούκα)
32. Σταυρόπουλος Σταύρος (Γραμματέας Ε.Μ.Ε Κορινθίας - Γυμνάσιο Λ.Τ. Λεχαίου Κορινθίας)
33. Τρύφων Παύλος (1ο Εσπερινό ΕΠΑΛ Περιστερίου)
34. Τσακαλάκος Τάκης (συνταξιούχος αλλά ενεργός μαθηματικός)
35. Χαραλάμπους Σταύρος (Θεσσαλονίκη - Μουσικό Λύκειο)
36. Χατζόπουλος Μάκης (1ο ΓΕΛ Πετρούπολης)

5. Μαθηματικά Ι (Άλγεβρα) http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 19– 05 – 2016
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
1
lisari team / Σχολικό έτος 2015 – 16
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑΔΑΣ Α)
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΠΕΜΠΤΗ 19 ΜΑΙΟΥ 2016
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ)
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Συχνότητα τιμής ix μιας μεταβλητής ονομάζεται το πλήθος των ατόμων του πληθυσμού ( ή
του δείγματος) για τα οποία η μεταβλητή παίρνει την τιμή ix και συμβολίζεται με iν .
Α2. α) Σωστό β) Λάθος γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό
Α3.
α)  
       
 2
f x g x f x g xf
x
g g x
     
 
 
β)
β
α
1dx β α  γ) 1 2 κf f ... f 1   
ΘΕΜΑ Β
Β1.
ix iν iΝ if % i ix ν ix x  
2
i ix x ν 
0 5 5 20 0 -2 20
1 4 9 16 4 -1 4
2 7 16 28 14 0 0
3 4 20 16 12 1 4
4 5 25 20 20 2 20
ΣΥΝΟΛΑ 25 100 50 48
Β2. Έχουμε:
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 4 5
x ν x ν x ν x ν x ν 50
x 2
ν ν ν ν ν 25
   
  
   
Β3. Επειδή ν 25 , δηλαδή περιττός αριθμός, άρα 13δ t 2 
B4. Έχουμε:
         
2 2 2 2 2
2 0 2 5 1 2 4 2 2 7 3 2 4 4 2 5 20 4 0 4 20 48
s 1,92
25 25 25
                 
   

6. Μαθηματικά Ι (Άλγεβρα) http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 19– 05 – 2016
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
2
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Για κάθε x  R έχουμε:
   3 2 2
f x x 3x 9x 2 3x 6x 9       
Γ2. Είναι
  2 2
f x 0 3x 6x 9 0 x 2x 3 0         
   
22
Δ β 4αγ 2 4 1 3 4 12 16 0           
άρα,
 
1,2
2
1
2 16β Δ 2 4 2
x
62α 2 1 2
3
2

 
    
   


Ο πίνακας μονοτονίας της f είναι ο εξής:
x  -1 3 
 f x   
f < > <
Η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα  , 1  και  3, ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο
διάστημα  1,3 .
Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1 το
       
3 2
f 1 1 3 1 9 1 2 1 3 9 2 7               
και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 3 το
  3 2
f 3 3 3 3 9 3 2 27 27 27 2 25           
Γ3. Έχουμε
       2 2
g x h x 3x 6x 9 3x 6x 9 f x       
x  -1 3 
   g x h x   
Έχουμε    g x h x 0  για κάθε  x 1,3  και συνεχής , οπότε
            
        
3 3 3
1 1 1
3
1
g x h x dx g x h x dx f x dx
f x f 3 f 1 25 7 32 . .
  

        
             
  

7. Μαθηματικά Ι (Άλγεβρα) http://lisari.blogspot.gr
Γ΄ Λυκείου 19– 05 – 2016
Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016: Αναλυτικές λύσεις από τη lisari team
3
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Έχουμε:
 
   
  
   
   
  
2
x 1 x 1 x 1
2
x 1 2
x 1
x 1
1 x 1 x x 11 x
lim f x lim lim
x 1 x 1 x 1
x 1 1 x x 1
lim
x 1
x 1 1 x x 1
lim
x 1
lim 1 x x 1
2 2 4
  



  



  
 
  
   


   


    
 
    
Δ2. Πρέπει:
   2 2
x 1 x 1
lim f x lim αx βx α 1 β 1 α β 
 
       
Δ3. Επειδή υπάρχει το  x 1
limf x

ισχύει:
   x 1 x 1
lim f x lim f x 4 α β 
 
     (1)
Για κάθε x 1 έχουμε:
   2
f x αx βx 2αx β    
Άρα
 f 2 2 2α 2 β 2 4α β 2         (2)
Λύνουμε το σύστημα των (1) και (2)
α β 4
α 4α 4 2 3α 6 α 2
4α β 2
  
          
 
Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε:
4 2 β β 4 2 β 6         