prosomoiwsh_math_gen_lisari_team_2016

1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
Επιμέλεια θεμάτων:
lisari team
# ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ #
Όλα τα διαγωνίσματα προσομοίωσης
2016 της lisari team
για όλες τις τάξεις Γυμνασίου – Λυκείου
θα τα βρείτε στο
lisari.blogspot.gr
lisari team 7/5/2016 Έκδοση 1η
Διαγώνισμα Προσομοίωσης 2016
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015 - 2016

2. Πρόλογος
Η lisari teaμ παρουσιάζει με χαρά τα φετινά (2016) διαγωνίσματα προσομοίωσης. Για πρώτη φορά
προτείνουμε θέματα και από τις άλλες τάξεις εκτός της Γ΄ Λυκείου.
Η λογική όλων των θεμάτων είναι κοινή:
«Βάλτε, προτείνετε, επεξεργαστείτε θέματα από το σχολικό βιβλίο».
Φυσικά όπου είναι εφικτό και στο βαθμό που επιθυμεί ο διδάσκων. Πρέπει η βάση και η νοοτροπία όλων
των εκπαιδευτικών να αποτελέσει το σχολικό βιβλίο. Μετά από τόσες δοκιμές, πειράματα φθάσαμε
αρκετές φορές στην ακραία ασκησιολογία. Ιδίως στις Πανελλαδικές Εξετάσεις προτείνουμε να
καθιερωθεί - νομοθετηθεί το ένα θέμα (πχ. το Β) να είναι μέσα από το σχολικό βιβλίο.
Τα θέματα που θα δείτε δεν έχουν σκοπό να αποθαρρύνουν τους μαθητές, αντίθετα φιλοδοξούν να τους
προετοιμάσουν άρτια.
Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι είναι θέματα προσομοίωσης μιας ομάδας μαθηματικών από ένα διαδικτυακό
χώρο. Επομένως δεν πρέπει να θεωρούνται άκριτες προτάσεις για τις σχολικές μονάδες που τις
περισσότερες φορές το επίπεδο είναι πιο χαμηλό.
Ελπίζουμε, όσο είναι εφικτό, να το διασκεδάσετε, να προβληματίσετε και να σας ανοίξουμε μονοπάτια
σκέψης, τότε τα θέματα θα θεωρούνται ότι πέτυχαν το σκοπό τους.
Συντονισμός: Μάκης Χατζόπουλος
Ιστότοπος: lisari.blogspot.gr
Επεξεργασία – επιμέλεια θεμάτων:
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΟΥΣΤΕΡΗΣ, ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΝΩΛΗΣ , ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΑΔΕΜΗΣ ,
ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΩΝΗΣ , ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ
Οποιαδήποτε παρατήρηση, σημείωση ή ένστασή προκύψει μη διστάσετε να μας τη στείλετε
στο email lisari.blogspot@gmail.com υπόψη του Μάκη Χατζόπουλου.

3. lisari team
Σχολικό έτος 2015 -΄16
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ
ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΣΑΒΒΑΤΟ 7 ΜΑΙΟΥ 2016
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΕΡΙΣ (4) ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Για τη σχετική συχνότητα να αποδείξετε ότι:
α) i0 f 1  για i 1,2,...,k (μονάδες 3)
β) 1 2 kf f ... f 1    (μονάδες 6)
Μονάδες 9
Α2. Τι ονομάζουμε μέτρα θέσης και τι μέτρα διασποράς;
Μονάδες 6
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο
τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η
πρόταση είναι λανθασμένη.
α. Η διαδικασία με την οποία εξετάζουμε όλα τα άτομα (στοιχεία)
του πληθυσμού ως προς ένα χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει
λέγεται απογραφή.
β. Όταν έχουμε πολλές παρατηρήσεις η κατανομή τους μπορεί να
περιγραφεί με το σημειόγραμμα.
γ.  c 0, c  R
δ. Κάθε συνάρτηση έχει παράγωγο σε κάθε 0x A .
ε. Παίρνουμε ένα στοιχείο του δειγματικού χώρου  1 2, ,...,     
τότε όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα με πιθανότητα
 i
1
, i 1,2,..,v
v
    . Μονάδες 10

4. lisari team
Σχολικό έτος 2015 -΄16
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΘΕΜΑ Β
Για δύο ισοπίθανα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω
δίνονται:
      
1
P A P A B P B 1
3
    

 
 
N A 3
N B 2

 Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α είναι κατά
1
6
μεγαλύτερη από την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το
ενδεχόμενο Β
Β1. Να δείξετε ότι  
1
P A
2
 και  
1
P B
3
 .
Μονάδες 8
Β2. Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί
i) το πολύ ένα από τα Α και Β.
Μονάδες 4
ii) ακριβώς ένα από τα Α και Β.
Μονάδες 6
iii) το Α ή να μην πραγματοποιηθεί το Β.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνάρτηση  
1
f x x ,
x
    r
Γ1. Να δείξετε ότι το τοπικό ελάχιστο της f είναι μεγαλύτερο από το τοπικό
μέγιστο της f για κάθε r.
Μονάδες 4
Γ2. Να υπολογίσετε το όριο
   
x 1
f x f 1
lim
x x x


Μονάδες 4

5. lisari team
Σχολικό έτος 2015 -΄16
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ3. Αν για δύο θετικούς αριθμούς κ, λ ισχύει ότι     2 3
f f 2 3      να
βρείτε τους κ και λ ώστε το άθροισμα τους να γίνεται ελάχιστο.
Μονάδες 9
Γ4. Αν η εφαπτομένη της fC στο σημείο της
1 1
A ,f
2 2
  
  
  
τέμνει τον άξονα
x x στο σημείο  B 2,0 να δείξετε ότι 2  .
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις εκατό με
τους χρόνους (min) επίλυσης των μαθητών του ΓΕΛ Γαύδου για το
προηγούμενο Γ θέμα της lisari team.
Αν ο μέσος χρόνος επίλυσης του θέματος ήταν 27 min και οι
παρατηρήσεις σε κάθε κλάση είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες τότε:
Δ1. Να δείξετε ότι το πλάτος c των κλάσεων ισούται με 10.
Μονάδες 6

6. lisari team
Σχολικό έτος 2015 -΄16
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Γ΄ ΤΑΞΗ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Δ2. Να υπολογίσετε τη διάμεσο του δείγματος (μονάδες 2) και στη
συνέχεια να παραστούν τα δεδομένα σε ένα πίνακα σχετικών
συχνοτήτων (απόλυτων και αθροιστικών) (μονάδες 5).
Μονάδες 7
Δ3. Να αποδείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές (μονάδες 4) και στη
συνέχεια να βρείτε τον ελάχιστο ακέραιο αριθμό που πρέπει να
προσθέσουμε σε κάθε τιμή των παρατηρήσεων, ώστε το δείγμα να
γίνει ομοιογενές (μονάδες 3). Δίνεται: 111 10,54 .
Μονάδες 7
Δ4. Αν κάθε μαθητής έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί , να βρεθεί η
πιθανότητα να εκλεγεί ένας μαθητής που να έχει λύσει το θέμα το
πολύ μέχρι το μέσο χρόνο επίλυσής του.
Μονάδες 5