1. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1
Sưu tầm by hoangly85

3. 1.Các số thực và đường thẳng thực
Các số thực là những số có thể biểu diễn dưới dạng thập phân như :

4. trong đó dấu ba chấm ( ) chỉ dãy các ký số sau dấu chấm thập phân kéo dài đến vô hạn .
Các số thực có thể được biểu diễn về mặt hình học bởi các điểm trên 1 đường thẳng, được gọi
là đường thẳng thực như minh họa dưới đây:
Tập hợp tất cả các số thực (hay đừng thẳng thực ) sẽ được ký hiệu là .
Trên tập hợp các số thực ta có hai phép toán cơ bản + và * với một số tính chất đại số quen
thuộc đã biết . Từ đó ta cũng có phép toán trừ (-) và phép chia (/) cho số khác 0.
Ngoài ra trên ta cũng có một thứ tự thông thường và với thứ tự này ta có một số tính chất được
viết dưới dạng các bất đẳng thức như sau:
Nếu a,b, và c là các số thực thì ta có
a < b ⇒a+c <b+c
a < b ⇒a-c <b-c
a < b và c > 0 ⇒ac <bc
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1
Bài 1 Giới hạn và liên tục
I. SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ
Sưu tầm by hoangly85

5. > 0
Nếu (a và b cùng là số dương )

6. hay (a và b cùng là số âm )
Thì ta có :
có một số tập hợp con quen thuộc là tập hợp các số tự nhiên ,tập hợp các số nguyên !, và
tập hợp các số hữu tỉ " . Theo thứ tự "bao hàm trong " thì
#⊂#!#⊂#"#⊂#
Các số thực không thuộc " được gọi là các số vô tỉ .
Ký hiệu các khoảng đoạn và nửa khoảng :
Với a và b là các số thực , ta ký hiệu :
(a ,b ) là { x ∈ / a< x <b}
[ a,b ] là {x ∈ / a <=x <= b}
[a,b) là {x ∈ / a <= x < b }
(a ,b ] là { x ∈ / a < x <=b}
(a,∞ ) là {x ∈ / x > a}
[a, ∞ ) là { x ∈ /x >= a}
( -∞ ,b) là {x ∈ /x < b }
( -∞ b] là {x ∈ /x <= b}
( - ∞ , ∞ ) là
a < b và c< 0 ⇒bc <ac
đặc biệt : a < b ⇒-b <-a
a > 0 ⇒
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1
Sưu tầm by hoangly85

7. Ghi chú : Người ta còn chứng minh được rằng có tính chất đầy đủ . Theo tính chất này thì
mọi tập số thực khác rỗng bị chặn trên đều có cặn trên đúng (tức là chặn trên nhỏ nhất). Tương

8. tự , mọi tập số thực khác rỗng bị có chặn dưới đúng.
Ký hiệu "giá trị tuyệt đối :
Giá trị tuyệt đối của một số thực x ,ký hiệu bởi |x|, được định nghĩa như sau :
Từ đó ta có một số tính chất dưới đây:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Lưu ý rằng về mặt hình học , │ x│ biểu diễn khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên đường
thẳng thực . Tổng quát hơn là :
│ x-y│ = khoảng cách giữa x và y
Với mọi
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1
Sưu tầm by hoangly85

9. Ðịnh nghĩa:
Một hàm số f từ một tập D vào IR là một quy tắc cho ứng với mỗi x ∈ D là một phần tử duy nhất

10. f (x) ∈ .
Một hàm số thường được cho dưới dạng công thức như các ví dụ sau:
Khi hàm số được cho bởi một công thức như hàm số g(x) ở trên thì tập hợp tất cả các x mà
g(x) xác định được gọi là miền xác định của hàm số.
Ví dụ: Miền xác định của hàm số
là tập hợp các số thực x sao cho :
x2 4 ≥ 0
⇔x ≤ -2 hay x ≥ 2
Vậy miền xác định là : ( - ∞ , -2 ] ∪ [ 2 , ∞ )
Ðồ thị của hàm số:
Ðồ thị của hàm số f là đường biểu diễn trong mặt phẳng Oxy có phưng trình y=f(x). Nó bao gồm
tất cả các điểm (x , f(x)) với x chạy trong miền xác định của hàm số.
Ví dụ :
1) Ðồ thị hàm số y = x2
2) Ðồ thị hàm số y = x3/2
2. Hàm số
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1
Sưu tầm by hoangly85

11. Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số:
Cho f và g là 2 hàm số, và c là một hằng số. Ta định nghĩa các hàm f+g, f g, f.g, f/g và c.f bởi

12. các công thức sau:
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
(f - g) (x) = f(x) - g(x)
(f . g) (x) = f(x) . g(x)
(c.f) (x) =c.f(x)
Hợp nối của các hàm số:
Hợp nối của f(x) và g(x) là 1 hàm số được ký hiệu là gof và được định nghĩa bởi :
(go f) (x) = g(f(x) )
Miền xác định của go f là tập hợp các giá trị x sao cho f(x) ∈ miền xác định của g.
Ví dụ: Hàm số y =
có miền xác định là tập hợp tất cả các số thực x sao cho
hay x ∉ (1, 2). Vậy miền xác định là D = (-∞ , 1] ∪ [2, +∞ ).
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1
Sưu tầm by hoangly85

13. Ðịnh nghĩa 1:
Cho hai hàm số f(x)và g(x) không triệt tiêu trong một khoảng quanh x

14. o
( có thể loại trừ x
o
). Ta nói f(x) tương đương với g(x) khi x -> x
o
nếu:
Khi ấy , ta viết :
f(x) ~ g(x) khi x -> xo
Hoặc là : khi x -> x
o ,
f(x) ~ g(x)
Tính chất : Khi x -> x
o
(i) f(x) ~ g(x)
(ii) f(x) ~ g(x) ⇒g(x) ~ f(x)
(iii) f(x) ~ g(x) và g(x) ~ h(x) ⇒f(x) ~ h(x)
Ví dụ : Khi x -> 0, ta có :
sin x ~ x ln(1+x) ~ x
tg x ~ x ex -1 ~ x
arcsin x ~ x arctg x ~ x
Ðịnh nghĩa 2:
Cho f (x) xác định quanh x
o
). Ta nói f (x) là một đại lượng vô cùng
bé khi x -> xo viết tắt là VCB , khi
(hoặc Trong trường hợp ta có
+ ∞ , hoặc - ∞ ) ta nói f (x) là vô cùng lớn (viết tắt là
VCL) khi x -> x
o
Ví dụ:
1 . Hàm tương đương ,VCB ,VCL
III. CÁC DẠNG VÔ ÐỊNH
(có thể loại trừ x
o

15. GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1
Sưu tầm by hoangly85

16. Khi x -> 0 , ta có x, ln(1+x), 1 cos x là các VCB.
Khi x -> 0+, ta có ln(x),

17. là các VCL
Khi x -> +∞ , ta có x, ln(x), ex là các VCL
Ghi chú : Các khái niệm về hàm tương đương, VCB và VCL cũng được định nghĩa tương
tự như hai định nghĩa trên khi xét giới hạn ở vô tận, tức là khi xét x - > ∞ , hoặc x -> +∞ , hoặc x
-> -∞ .
2. Bảy dạng vô định.
Giả sử ta xét giới hạn của f(x) và g(x)trong cùng một qúa trình biến đổi của x.Khi đó
1) Ta nói f (x) g (x) có dạng vô định ∞ - ∞ nếu f (x) và g (x) cùng tiến về + ∞ (hoặc là -∞ ).
2) Ta nói f(x).g (x) có dạng vô định o .∞ nếu:
f (x) là VCB và g (x) là VCL , hoặc là:
f (x) là VCL và g (x) là VCB
3) Ta nói
nếu f(x) và g (x) đều là các VCB
4) Ta nói
nếu f(x) và g(x) đều là các VCL
5) Ta nói f(x)
g(x)
có dạng vô định 0
0
khi f (x) và g (x) đều là các VCB.
6) Ta nói f(x) g(x) có dạng vô định ∞ 0 nếu f(x) -> + ∞ và g (x) là VCB.
7) Ta nói f (x) g(x) có dạng vô định 1∞ nếu f(x) -> 1 và g (x) là VCL .
3. Quy tắc thay thế tương đương khi tính giới hạn.
Ðịnh lý : Giả sử ta xét giới hạn trong một quá trình biến đổi của x. khi ấy :
f (x) ~ g (x) và g (x) có giới hạn L
⇒f(x) có giới hạn L. (L hữu hạn hoặc vô hạn)
có dạng vô định
có dạng vô định
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1
Sưu tầm by hoangly85

18. Khi x -> 0, ta có : x . ln(1+x) ~ x . x = x2
=>

19. Vậy:
Ðịnh nghĩa: Xét x -> a (a ∈ , hoặc a là vô tận )
Giả sử u = f (x)và v = g (x) là các VCB . Khi đó:
(i) Ta nói u và v có cùng cấp nếu
(ii) Ta nói u có cấp cao hơn v nếu
(iii) Ta nói u có cấp thấp hơn v nếu
Ví dụ : Khi xét x -> 0, ta có 1 cos x và x2 là 2 VCB cùng cấp , 1 cos x là VCB cấp cao hơn
ln(1+x)
Ðịnh nghĩa: (So sánh VCL)
Giả sử f(x) và g (x) là 2 VCL khi x -> a . Ta nói
4. So sánh các VCB , và các VCL
Ví dụ: Tính
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1
Sưu tầm by hoangly85
và

20. (i) f (x) có cùng cấp với g (x) nếu
(ii) f(x) có cấp cao hơn g (x) nếu

21. (iii) f(x) có cấp thấp hơn g(x) nếu
Ví dụ: Khi x -> + ∞ , ta có x và
Ðịnh lý: Giả sử f (x) và g(x) là các VCB khi x -> a .Ta có:
(i) Nếu f(x) có cấp nhỏ hơn g(x) thì f(x) ± g(x) ~ f(x) khi x->a
(ii) Nếu f(x) cùng cấp g(x) và f(x) ~ f
1
(x), g(x) ~ g
1
(x) thì :
f(x) - g(x) ~ f
1
(x) - g
1
(x)
với điều kiện f(x) và g(x) không tương đương.
Ðịnh lý: Giả sử f(x) và g(x) là các VCL khi x -> a. Ta có:
(i) Nếu f(x) có cấp lớn hơn g(x) thì:
f(x) ± g(x) ~ f(x) khi x->a
(ii) Nếu f và g cùng cấp nhưng không tương đương, và: f(x) ~ f
1
(x) thì :
f(x) - g(x) ~ f
1
(x) - g
1
(x)
Ví dụ: Khi x - > + ∞ , ta có:
3x4 + x + 1 ~ 3x2
GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1
Sưu tầm by hoangly85
3/2 cùng cấp , x
có cấp cao hơn
(x), g(x) ~ g
1