1. Khảo sát hàm số
1
Câu 1. Cho hàm số y = (m - 1) x 3 + mx 2 + (3m - 2) x (1)
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
· Tập xác định: D = R. y ¢= (m - 1) x 2 + 2mx + 3m - 2 .
(1) đồng biến trên R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ 2
Câu 2. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 - mx - 4 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (-¥;0) .
· Tập xác định: D = R. y ¢= 3 x 2 + 6 x - m . y¢ có D¢ = 3(m + 3) .
+ Nếu m £ -3 thì D¢ £ 0 Þ y¢ ³ 0, "x Þ hàm số đồng biến trên R Þ m £ -3 thoả YCBT.
+ Nếu m > -3 thì D¢ > 0 Þ PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 < x2 ) . Khi đó hàm số
đồng biến trên các khoảng (-¥; x1 ),( x2 ; +¥) .
ìD¢ > 0 ìm > -3
ï ï
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;0) Û 0 £ x1 < x2 Û í P ³ 0 Û í-m ³ 0 (VN)
ïS > 0
î ï-2 > 0
î
Vậy: m £ -3 .
Câu 3. Cho hàm số y = 2 x 3 - 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +¥)
· Tập xác định: D = R. y ' = 6 x 2 - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có D = (2m + 1)2 - 4(m 2 + m) = 1 > 0
éx = m
y' = 0 Û ê . Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; m), (m + 1; +¥)
ëx = m +1
Do đó: hàm số đồng biến trên (2; +¥) Û m + 1 £ 2 Û m £ 1
Câu 4. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K = (0; +¥) .
· Hàm đồng biến trên (0; +¥) Û y ¢= 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + (2 - m) ³ 0 với "x Î (0; +¥)
3x 2 + 2 x + 2
Û f ( x) = ³ m với "x Î (0; +¥)
4x + 1
6(2 x 2 + x - 1) 1
Ta có: f ¢( x ) = = 0 Û 2 x 2 + x - 1 = 0 Û x = -1; x =
(4 x + 1) 2 2
æ1ö 5
Lập BBT của hàm f ( x ) trên (0; +¥) , từ đó ta đi đến kết luận: f ç ÷ ³ m Û ³ m .
è2ø 4
Câu hỏi tương tự:
1 4
a) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ¹ -1) , K = (-¥; -1) . ĐS: m ³
3 11
1
b) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ¹ -1) , K = (1; +¥) . ĐS: m ³ 0
3
1 1
c) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ¹ -1) , K = (-1;1) . ĐS: m ³
3 2
Trang 5