Krasnosel’skii-Mann iterations に不動点コンビネータを適用して得られた不動点を用いて非拡大写像の不動点を求めてみた #ABPro 2013

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Krasnosel’skii-Mann iterations に
不動点コンビネータを適用して
得られた不動点を用いて
非拡大写像の不動点を求めてみた
明治大学理工学部情報科学科 数理最適化研究室
Kazuhiro Hishinuma (@kazh98)
ABPro 2013
http://abpro.jp/
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

2. ABProの定義
ABPro :=
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

3. ABProの定義
ABPro :=
ABnormal
Mathematical Programming
(普通じゃない数理計画)
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

4. ABProの定理
xが普通じゃない数理計画
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

5. ABProの定理
xが普通じゃない数理計画
⇐⇒ xが数理計画における特別な点
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

6. ABProの定理
xが普通じゃない数理計画
⇐⇒ xが数理計画における特別な点
⇐⇒ xは不動点
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

7. ABProの定理
xが普通じゃない数理計画
⇐⇒ xが数理計画における特別な点
⇐⇒ xは不動点
⇐⇒
def
T(x) = x
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

8. Krasnosel’skii-Mann algorithm
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

9. Krasnosel’skii-Mann algorithm
T : 非拡大写像, αn ∈ (0, 1),
xn+1 = αxn + (1 − α)T(xn)
このxn はT の不動点に近づく(see, [1, 4])
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

10. これは普通の
不動点近似法
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

11. 不動点×不動点×不動点コンビネータ
普通じゃない不動点近似法
⇓
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

12. 不動点×不動点×不動点コンビネータ
普通じゃない不動点近似法
⇓
不動点近似法の不動点
で不動点近似
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

13. 不動点コンビネータ
Y が不動点コンビネータである
⇐⇒
def
for all g : 関数, Y (g) = g(Y (g))
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

14. 不動点コンビネータ
Y が不動点コンビネータである
⇐⇒
def
for all g : 関数, Y (g) = g(Y (g))
e.g. (Y コンビネータ; see, [2, 3])
for all g : 関数, Y := λf.((λx.f(x(x)))(λx.f(x(x)))),
Y (g) = (λx.g(x(x)))(λx.g(x(x)))
= g((λx.g(x(x)))(λx.g(x(x))))
= g(Y (g))
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

15. Krasnosel’skii-Mann iterations
不動点コンビネータに適用可能な (iterator) 形の
Krasnosel’skii-Mann algorithm:
ε > 0, α ∈ (0, 1),
M := λfx.
({
T(x) (|x − T(x)| < ε)
f(αx + (1 − α)T(x)) (otherwise)
)
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

16. 不動点コンビネータによる再帰計算
(otherwise の成立を仮定して考察する)
α ∈ (0, 1), M := λfx.f(αx + (1 − α)T(x)),
Y (M)(x0) =
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

17. 不動点コンビネータによる再帰計算
(otherwise の成立を仮定して考察する)
α ∈ (0, 1), M := λfx.f(αx + (1 − α)T(x)),
Y (M)(x0) = M(Y (M))(x0)
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

18. 不動点コンビネータによる再帰計算
(otherwise の成立を仮定して考察する)
α ∈ (0, 1), M := λfx.f(αx + (1 − α)T(x)),
Y (M)(x0) = M(Y (M))(x0)
= Y (M)(αx0 + (1 − α)T(x0))
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

19. 不動点コンビネータによる再帰計算
(otherwise の成立を仮定して考察する)
α ∈ (0, 1), M := λfx.f(αx + (1 − α)T(x)),
Y (M)(x0) = M(Y (M))(x0)
= Y (M)(αx0 + (1 − α)T(x0))
x1 := αx0 + (1 − α)T(x0)
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

20. 不動点コンビネータによる再帰計算
(otherwise の成立を仮定して考察する)
α ∈ (0, 1), M := λfx.f(αx + (1 − α)T(x)),
Y (M)(x0) = M(Y (M))(x0)
= Y (M)(αx0 + (1 − α)T(x0))
x1 := αx0 + (1 − α)T(x0)
Y (M)(x0) = Y (M)(x1)
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

21. 不動点コンビネータによる再帰計算
(otherwise の成立を仮定して考察する)
α ∈ (0, 1), M := λfx.f(αx + (1 − α)T(x)),
Y (M)(x0) = M(Y (M))(x0)
= Y (M)(αx0 + (1 − α)T(x0))
x1 := αx0 + (1 − α)T(x0)
Y (M)(x0) = Y (M)(x1)
= M(Y (M))(x1)
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

22. 不動点コンビネータによる再帰計算
(otherwise の成立を仮定して考察する)
α ∈ (0, 1), M := λfx.f(αx + (1 − α)T(x)),
Y (M)(x0) = M(Y (M))(x0)
= Y (M)(αx0 + (1 − α)T(x0))
x1 := αx0 + (1 − α)T(x0)
Y (M)(x0) = Y (M)(x1)
= M(Y (M))(x1)
= Y (M)(αx1 + (1 − α)T(x1))
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

23. 不動点コンビネータによる再帰計算
(otherwise の成立を仮定して考察する)
α ∈ (0, 1), M := λfx.f(αx + (1 − α)T(x)),
Y (M)(x0) = M(Y (M))(x0)
= Y (M)(αx0 + (1 − α)T(x0))
x1 := αx0 + (1 − α)T(x0)
Y (M)(x0) = Y (M)(x1)
= M(Y (M))(x1)
= Y (M)(αx1 + (1 − α)T(x1))
x2 := αx1 + (1 − α)T(x1)
Kazuhiro Hishinuma 不動点 × 不動点 × 不動点コンビネータ

24. 不動点コンビネータによる再帰計算
(otherwise の成立を仮定して考察する)
α ∈ (0, 1), M := λfx.f(αx + (1 − α)T(x)),
Y (M)(x0) = M(Y (M))(x0)
= Y (M)(αx0 + (1 − α)T(x0))
x1 := αx0 + (1 − α)T(x0)
Y (M)(x0) = Y (M)(x1)
= M(Y (M))(x1)
= Y (M)(αx1 + (1 − α)T(x1))
x2 := αx1 + (1 − α)T(x1)
Y (M)(x0) = Y (M)(x2)
= · · ·
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25. 結論
Krasnosel’skii-Mann iterations の不動点は，
(function(f){return((function(x){return(f(x(x)));})(function(x){return
(f((function(t){return((x(x))(t));})));}));})(function(f){return(funct
ion(p){return((function(n){return((function(a,b){return(Math.pow((func
tion(p){return(p(function(a,b){return(a);}));})(a)-(function(p){return
(p(function(a,b){return(a);}));})(b),2)+Math.pow((function(p){return(p
(function(a,b){return(b);}));})(a)-(function(p){return(p(function(a,b)
{return(b);}));})(b),2));})(p,n)<1e-8?n:f(n));})((function(p){return((
function(a,b){return((function(a,b){return(function(s){return(s(a,b));
});})((function(p){return(p(function(a,b){return(a);}));})(a)+(functio
n(p){return(p(function(a,b){return(a);}));})(b),(function(p){return(p(
function(a,b){return(b);}));})(a)+(function(p){return(p(function(a,b){
return(b);}));})(b)));})((function(a,b){return((function(a,b){return(f
unction(s){return(s(a,b));});})((function(p){return(p(function(a,b){re
turn(a);}));})(a)*b,(function(p){return(p(function(a,b){return(b);}));
})(a)*b));})(p,0.5),(function(a,b){return((function(a,b){return(functi
on(s){return(s(a,b));});})((function(p){return(p(function(a,b){return(
a);}));})(a)*b,(function(p){return(p(function(a,b){return(b);}));})(a)
*b));})((function(p){return((function(a,b){return(function(s){return(s
(a,b));});})(-(function(p){return(p(function(a,b){return(b);}));})(p),
(function(p){return(p(function(a,b){return(a);}));})(p)));})(p),0.5)))
;})(p)));});}) /* JavaScript */
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26. Thanks1 for
Your Listening!
1
Special Thanks for Hideaki Iiduka2
and @koropicot3
.
2
Hideaki Iiduka: http://www.ndrc.kyutech.ac.jp/∼iiduka/
3
@koropicot: http://twitter.com/koropicot
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27. 参考文献
[1] 山田功『工学のための関数解析』数理工学社, pp.212-213.
[2] 吉田武『素数夜曲: 女王陛下の LISP』東海大学出版会, pp.572-580.
[3] D.P.Friedman and M.Felleisen『Scheme 手習い』オーム社,
pp.162-175.
[4] Bauschke, H.H., Combettes, P.L.: Convex Analysis and Monotone
Operator Theory in Hilbert Spaces. Springer (2011), pp.78-82
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