最急降下法で制約つき最適化問題を解いてみた

きっかけ
解法
結果
.
.
最急降下法で
制約つき最適化問題を解いてみた
Kazuhiro HISHINUMA (@kazh98)
明治大学情報科学科数理最適化研究室
at 私立・プログラミング 2013 (8/18)
Kazuhiro HISHINUMA (@kazh98) 最急降下法で制約つき最適化問題を解いてみた

きっかけ
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研究室紹介で・・・

きっかけ
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結果
研究室紹介で・・・
数理計画問題の例（生産計画）
2種類の原料 M1,
M2

から、3種類の製品P1,
P2,
P3

を生産し、利潤を最大にしたい。

決定変数：P1,
P2,
P3

の生産量
（トン） → 最大化

条件：

P1

P2

P3
利用可能量

(トン)

M1

(トン)
3

5

2

500

M2 (トン)

2

7

4

400
利潤 (万円/トン)

4

5

3

きっかけ
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おぺにゃん
解いてっ( ・ヮ＜)-♡

きっかけ
解法
結果
おぺにゃん
「

きっかけ
解法
結果
おぺにゃん
「x1 = 150, x2 = 0, x3 = 25」

きっかけ
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＼終了／

きっかけ
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結果
ということで、
1
最適化ソルバ lp-solve

きっかけ
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結果
おぺにゃんが飛び道具1を
持ちだして悔しいので、
1

きっかけ
解法
結果
おぺにゃんが飛び道具1を
持ちだして悔しいので、
Schemeで解き返そう！！
1

きっかけ
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制約なし最適化問題
制約あり最適化問題へ
射影の定義
手元にあるのは・・・1
1
PC 絶不調のためウェブが使えない！！

きっかけ
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結果
射影の定義
手元にあるのは・・・1
の解法のみ
1
PC 絶不調のためウェブが使えない！！

きっかけ
解法
結果
射影の定義
最急降下法
Minimize f(x) に対して，
x(n+1) = x(n) −λ(n)∇f(x(n))
lim
n→∞
λ(n)
= 0 だと嬉しいなぁ・・・

きっかけ
解法
結果
射影の定義
方針は・・・

きっかけ
解法
結果
射影の定義
方針は・・・
飛び出た部分を
ぶっ叩け！！！

きっかけ
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結果
射影の定義
制約つき最適化問題に対する最急降下法
Maximize f(x) のために，
λ(n)
= 1
(n+1)
0.45 として，
x(n+1)
= P2
(
P1
(
P0
(
x(n)
+ λ(n)
∇f(x(n)
)
)))
P0 は題意からの条件 x ∈ R3
+ に，
P1 は制約条件① 3x1 + 5x2 + 2x3 ≤ 500 に，
P2 は制約条件② 2x1 + 7x2 + 4x3 ≤ 400 に，
それぞれ対応。

きっかけ
解法
結果
射影の定義
題意からの条件
P0(x) =


max{0, x1}
max{0, x2}
max{0, x3}


P0 は x ∈ R3
+ に対応

きっかけ
解法
結果
射影の定義
制約条件①
3x1 + 5x2 + 2x3 > 500 のとき，
a = 3, b = 5, c = 2, d = 500 として，
P1(x) =
1
(abc)2
{
(ab)2
+ (bc)2
+ (ca)2
}
× (ax1 + bx2 + cx3 − d)


a
b
c


3x1 + 5x2 + 2x3 ≤ 500 であれば，P1(x) = x

きっかけ
解法
結果
射影の定義
制約条件②
2x1 + 7x2 + 4x3 > 400 のとき，
a = 2, b = 7, c = 4, d = 400 として，
P2(x) =
1
(abc)2
{
(ab)2
+ (bc)2
+ (ca)2
}
× (ax1 + bx2 + cx3 − d)


a
b
c


2x1 + 7x2 + 4x3 ≤ 400 であれば，P2(x) = x

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解法
結果
x1, x2, x3 各値
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 100 200 300 400 500 600 700 800
x1
x2
x3

きっかけ
解法
結果
目的関数値
0
100
200
300
400
500
600
700
0 100 200 300 400 500 600 700 800
value

きっかけ
解法
結果
結果まとめ
10000 回の反復計算で，
x =


150.095
0.000
24.887

 , f(x) = 675.042
17.0 秒 on 2.3GHz Intel Core i5

きっかけ
解法
結果
最適化ソルバになんか、
負けないんだからねっ！！
(震え声)

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