2. Выполнил: студентка
группы МО-11
Григорьева С.А.
Проверил: Сухинин С.В.
Новосибирск 2014
СОДЕРЖАНИЕ:
1. Теория множеств.
a. История создания теории
b. Алгебра множеств.
c. Мощность множеств.
d. Кардинальные числа.
e. Теория меры.
f. Парадоксы теории множеств.
g. Задачи по теории множеств.
2. Комбинаторика.
a. История создания теории
b. Правила суммы и умножения.
c. Урновые схемы.
d. Примеры.
e. Задачи.
3. Теория алгебраических структур.
a. История создания теории
b. Общая теория.
c. Теория конечных групп симметрий.
d. Группы матриц, перестановок и т.п.
e. Задачи
4. Теория графов.
a. История создания теории
b. Планарные, уникурсальные графы
c. Способы описания графов
3. d. Маршруты, деревья
e. Оптимальный маршрут на графе
f. Остовный граф минимального веса
5. При помощи спутниковых фотографий, дорожных карт и алгоритма
Дийкстры найдите оптимальный маршрут от главного корпуса НГПУ до
вашего дома.
a. На автомобиле – дороги с покрытием.
b. На велосипеде или мотоцикле – проселочные дороги.
6. При помощи алгоритма Краскала построить остовный граф
минимального веса для всех зданий НГПУ. Найти оптимальное
расположение собственной газовой котельной НГПУ.
1)А) Теория множеств — раздел математики, в котором изучаются
общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной
природы, обладающих каким-либо общим свойством. Множества, в том
числе и бесконечные, в неявной форме фигурировали в математике со времён
Древней Греции: например, в том или ином виде рассматривались отношения
включения множеств всех рациональных, целых, натуральных, нечётных,
простых чисел. Зачатки идеи о равномощности множеств встречаются у
Галилея: рассуждая о соответствии между числами и их квадратами, он обращает
внимание на неприменимость аксиомы «целое больше части» к бесконечным
объектам (парадокс Галилея).
Первое представление об актуально бесконечном множестве относят к
работам Гаусса начала 1800-х годов, опубликованным в его
«Арифметических исследованиях», в которых вводя сравнения на множестве
рациональных чисел он обнаруживает классы эквивалентности (классы
вычетов), и разбивает всё множество на эти классы, отмечая их
бесконечность и взаимное соответствие, рассматривает бесконечное
множество решений как единую совокупность,
классифицирует бинарные квадратичные формы ( ) в
зависимости от определителя и рассматривает этот бесконечный набор
классов как бесконечные совокупности объектов нечисловой природы,
предполагает возможность выбирать из классов эквивалентностей по
одному объекту-представителю всего класса: использует методы,
характерные для теоретико-множественного подхода, не
использовавшиеся явно в математике до XIX века. В более поздних
работах Гаусс, рассматривая совокупность комплексных чисел с
рациональными вещественной и мнимой частью, говорит о
вещественных, положительных, отрицательных, чисто мнимых целых
числах как её подмножествах. Однако бесконечные множества или
классы как самостоятельные объекты исследования Гауссом явно не
выделялись, а также за Гауссом отмечены высказывания против
4. возможности использования актуальной бесконечности в
математических доказательствах[
.
Более отчётливое представление о бесконечных множествах
проявляется в работах Дирихле, в курсе лекций 1856—1857 годов,
построенном на основе гауссовых «Арифметических исследований». В
работах Галуа, Шёмана и Серре по теории функциональных сравнений 1820
—1850-х годов также намечаются элементы теоретико-множественного
подхода, которые обобщил Дедекинд в 1857 году, явно
сформулировавший в качестве одного из выводов необходимость
рассмотрения целой системы бесконечно многих сравнимых чисел как
единого объекта, общие свойства которого равным образом присущи
всем его элементам, а систему бесконечно многих несравнимых
классов уподобляет ряду целых чисел. Отдельные понятия теории
множеств можно встретить в трудах Штейнера и Штаудта 1830—1860-х
годов по проективной геометрии: практически весь предмет в значительной
степени зависит от представления о взаимно-однозначном соответствии,
ключевом для теории множеств, однако в проективной геометрии на
такие соответствия накалывались дополнительные ограничения
(сохранение некоторых геометрических соотношений). В частности,
Штейнер явно вводит понятие несчётного множества для множества
точек на прямой и множества лучей в пучке, и оперирует с их
несчётными подмножествами, а в работе 1867 года вводит понятие
мощности как характеристики множеств, между которыми возможно
установить проективное соответствие (Кантор позднее указывал, что
заимствовал само понятие и термин у Штейнера, обобщив проективное
соответствие до взаимно-однозначного).
Наиболее близкие к наивной теории множеств Кантора представления
содержатся в трудах Больцано, прежде всего, в работе «Парадоксы
бесконечного», опубликованной после смерти автора в 1851 году, в которой
рассматриваются произвольные числовые множества, и для их
сравнения явно определено понятие взаимно-однозначного соответствия, и сам
термин «множество» (нем. menge) также впервые систематически
использован в этой работе. Однако, работа Больцано носит в большей
степени философский характер, нежели математический, в частности, в
ней нет чёткого разграничения между мощностью множества и
понятием величины или порядка бесконечности, и сколь-нибудь
формальной и целостной математической теории в этих представлениях
нет. Наконец, теории вещественного числа Вейерштрасса, Дедекинда и
Мерэ, созданные в конце 1850-х годов и опубликованные в начале 1860-х
во многом перекликаются с идеями наивной теории множеств в том
смысле, что рассматривают континуум как множество, образованное из
рациональных и иррациональных точек.
5. В) Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система
подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения
(разности) и объединения (суммы).
Объединением (суммой) двух множеств A и B называется множество
состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат
хотя бы одному из этих множеств - либо A, либо B.
Пример. Рассмотрим множества A = {1, 2, 3, 4}, B = {1,3,5}, C = {5,6}.
Тогда, согласно введенному определению получаем:
Аналогично определяется объединение (сумма) множеств
A1,A2, ..., An. Объединением этих множеств называется множество,
обозначаемое , состоящее из тех и только тех элементов,
которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Достаточно часто для наглядного изображения этих операций над
множествами используют, так называемые, круги Эйлера (диаграммы
Венна). Множества при таком подходе изображают кругами, а результат
операции закрашивают или заштриховывают. Вот так выглядит
результат операции объединения двух множеств.
Пересечением (произведением) двух множеств A и B называется
множество состоящее из всех тех и только тех элементов, которые
принадлежат каждому из множеств A и B.
Пример. В рамках введенных в предыдущем примере определений
множеств A, B, C мы получаем:
6. Также можно определить пересечение (произведение) конечного числа
множеств.
На кругах Эйлера пересечение множеств выглядит следующим
образом:
Бывает удобно ввести понятие "универсального" множества U, которое
по предположению содержит все используемые нами множества.
Введенные операции над множествами обладают свойствами
коммутативности:
и свойством ассоциативности:
справедливость этих свойств следует из самих определений операций
пересечения и объединения множеств, поэтому, обычно, скобки в таких
групповых операциях опускают.
Имеет место также закон взаимной дистрибутивности:
Разностью двух множеств A и B называется множество (его обычно
обозначают AB или A-B), состоящее из тех и только тех элементов,
которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.
7. На кругах Эйлера
Пример. В рамках введенных в предыдущем примере определений
множеств A, B, C справедливы следующие результаты
AB = {2,4}; BC = {1,3}; AC = A.
Почти очевидно следующее свойство, которое также можно принять за
определение разности двух множеств:
Симметрической разностью множеств A и B называется множество
обозначаемое через A B и определяемое следующим образом:
На кругах Эйлера эта операция выглядит вот как
Пример.
a) ;
b) .
Кроме того, справедливо следующее свойство:
8. .
Доказательство этого свойства, как и других утверждений о равенстве
каких-либо множеств, состоит в том, чтобы предположив
принадлежность некоторого элемента x множеству из левой части
равенства доказать, что этот же самый элемент принадлежит
множеству, стоящему в правой части равенства и наоборот.
Множество UA называется дополнением множества A (до
универсального множества)
Принцип двойственности. Пусть Ak, k = 1,...,n - некоторые
подмножества универсального множества U, тогда имеют место
следующие равенства:
Эти равенства связывающие операции пересечения и объединения
множеств и их дополнений до универсального множества обычно
называют соотношениями принципа двойственности.
С) Множеством называется собрание, совокупность, коллекция
вещей, объединенных по какому-либо признаку или по какому-
либо правилу. Понятие множества возникает путем абстракции.
Рассматривая какую-либо совокупность предметов как
множество, отвлекаются от всех связей и соотношений между
9. различными предметами, составляющими множества, но
сохраняют за предметами их индивидуальные черты. Таким
образом, множество, состоящее из пяти монет, и множество,
состоящее из пяти яблок, — это разные множества. С другой
стороны, множество из пяти монет, расположенных по кругу, и
множество из тех же монет, положенных одна на другую, — это
одно и то же множество.
Мощность множества — характеристика множеств (в том
числе бесконечных), обобщающая понятие количества
(числа) элементов конечного множества. ,Мощность множества
-как и другие основные конструкции традиционной теоретико
,множественной математики может достаточно плодотворно
,рассматриваться и под углом зрения отличным от широко
известной интуиционистской критики в рамках альтернативной
.теории множеств
Примеры:
Множество называется конечным, если оно равномощно
отрезку натурального ряда при некотором
неотрицательном целом n. Число n выражает количество
элементов конечного множества. При n=0 множество не
содержит элементов (пустое множество). Если n<m, то не
существует инъективного отображения из в (принцип
Дирихле), а значит, не существует и биекции между ними.
Поэтому множества и имеют различную мощность.
Множество называется счётным, если оно равномощно
множеству всех натуральных чисел . Счётными множествами
являются:
Множество при любом натуральном k. Соответствие:
Множество . Соответствие:
Множество целых чисел . Соответствие получается при
сопоставлении членов ряда 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... его
частичным суммам (члены ряда берутся без учёта знака).
Множество пар натуральных чисел
10. Множество рациональных чисел инъективно
отображается во множество (несократимой дроби вида p/q
соответствует пара чисел Поэтому множество
рациональных чисел не более, чем счётно. Но так как оно
содержит множество натуральных чисел, то оно и не менее, чем
счётно. По теореме Кантора-Бернштейна оно счётно.
Бесконечные множества, неравномощные множеству ,
называются несчётными. По теореме Кантора несчётным
является множество бесконечных последовательностей,
составленных из цифр 0 и 1. Мощность этого множества
называется континуум.
Мощность множества вещественных чисел равна
континууму.
D) - ,Кардинальное число характеристика множества
" ", "позволяющая сравнивать множества по мощности число
" , ,элементов множества например кардинальное число
множества действительных чисел больше кардинального числа
,множества натуральных чисел так как между этими
-множествами не может быть установлено взаимно однозначное
.соответствие
Е) - ,Теория меры раздел математики изучающий свойства мер
. . . .множеств Возникла на основе работ М Э К Жордана, Э. Бореля
.и в особенности А Лебег 19 — 20 .,а в конце начале вв в которых
,понятия длины площади и объёма распространялись за
.пределы класса обычно рассматриваемых в геометрии фигур
Впоследствии предметом теории меры стали меры в наиболее
( ).общем понимании вполне аддитивные функции множеств
F) Парадоксами теории множеств называют
• рассуждения, демонстрирующие противоречивость наивной теории
множеств, такие как
o парадокс Бурали-Форти (1897)
Можно доказать, что если — произвольное множество
порядковых чисел, то множество-сумма есть порядковое число,
большее или равное каждому из элементов . Предположим
теперь, что — множество всех порядковых чисел. Тогда —
11. порядковое число, большее или равное любому из чисел в . Но
тогда и — порядковое число, причём
уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в .
Но это противоречит условию, по которому — множество всех
порядковых чисел.
o парадокс Кантора (1899)
• Предположим, что множество всех множеств
существует. В этом случае справедливо , то есть
всякое множество является подмножеством . Но из этого следует
— мощность любого множества не превосходит мощности .
• Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для , как и любого
множества, существует множество всех подмножеств , и по теореме
Кантора , что противоречит предыдущему
утверждению. Следовательно, не может существовать, что вступает в
противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически
корректное логическое условие определяет множество, то есть что
для любой формулы , не содержащей свободно.
o парадокс Рассела (1905)
Пусть — множество всех множеств, которые не содержат себя в
качестве своего элемента. Содержит ли само себя в качестве
элемента? Если предположить, что содержит, то мы получаем
противоречие с "Не содержат себя в качестве своего элемента".
Если предположить, что не содержит себя как элемент, то
вновь возникает противоречие, ведь — множество всех
множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента,
а значит должно содержать все возможные элементы, включая и
себя.
• рассуждения, результат которых интуитивно кажется ложным или
«парадоксальным», но которые, тем не менее, являются следствием
аксиом формальной теории множеств, включая:
12. o предложенный Бертраном Расселом «парадокс Тристрама Шенди»,
демонстрирующий нарушение принципа «часть меньше целого»
для бесконечных множеств,
o нетривиальные следствия аксиомы выбора:
парадокс Банаха — Тарского,
парадокс Хаусдорфа;
• особое место занимает парадокс Скулема, представляющий собой
ошибочное рассуждение, которое может быть допущено
неспециалистом при применении теоремы Лёвенгейма — Скулема к
аксиоматической теории множеств.
G) :Задачи по теории множеств
1Задача №
В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие
40 ,учащихся им было предложено решить одну задачу по
, .алгебре одну по геометрии и одну по тригонометрии По алгебре
20 , – 18 ,решили задачу человек по геометрии человек по
– 18 .тригонометрии человек
7 ,По алгебре и геометрии решили человек по алгебре и
– 9 . 3тригонометрии человек Ни одной задачи не решили
.человека
1. ?Сколько учащихся решили все задачи
2. ?Сколько учащихся решили только две задачи
3. ?Сколько учащихся решили только одну задачу
1Решение задачи №
:Запишем коротко условие и покажем решение
• m ( ) = 40Е
• m ( ) = 20А
• m ( ) = 18В
• m ( ) = 18С
• m ( ) = 7А∩В
• m ( ) = 8А∩С
• m ( ) = 9В∩С
___________
m (А В ) = 3 => m (С А В ) = 40 – 3 = 37С
Обозначим разбиение универсального множества Е
, , ( .5).множествами А В С рис
13. ( .5)рис
1К – ,множество учеников решивших только одну задачу по
;алгебре
2К – ,множество учеников решивших только две задачи по
;алгебре и геометрии
3К – , ;множество учеников решивших только задачу по геометрии
4К – ,множество учеников решивших только две задачи по
;алгебре и тригонометрии
5К – , ;множество всех учеников решивших все три задачи
6К – , ,множество всех учеников решивших только две задачи по
;геометрии и тригонометрии
7К – ,множество всех учеников решивших только задачу по
;тригонометрии
8К – , .множество всех учеников не решивших ни одной задачи
Используя свойство мощности множеств и рисунок можно
:выполнить вычисления
• m ( 5) = m ( )= m (К А∩В∩С А В ) - m ( ) - m ( ) - m ( ) + mС А В С
( ) + m ( ) + m ( )А∩В А∩С В∩С
• m ( 5) = 37-20-18-18+7+8+9=5К
• m ( 2) = m ( ) - m ( 5) = 7-5=2К А∩В К
• m ( 4) = m ( ) - m ( 5) = 8-5=3К А∩С К
• m ( 6) = m ( ) - m ( 5) = 9-5=4К В∩С К
• m ( 1) = m ( ) - m ( 2) - m ( 4) - m ( 5) = 20-2-3-5=10К А К К К
• m ( 3) = m ( ) - m ( 2) - m ( 6) - m ( 5) = 18-2-4-5=7К В К К К
• m ( 7) = m ( ) - m ( 4) - m ( 6) - m ( 5) = 18-3-4-5 =6К С К К К
• m ( 2) + m ( 4) + m ( 6) = 2+3+4=9 –К К К число учеников
;решивших только две задачи
14. • m ( 1) + m ( 3) + m ( 7) = 10+7+6=23 –К К К число учеников
.решивших только одну задачу
:Ответ
5 ;учеников решили три задачи
9 ;учеников решили только по две задачи
23 .ученика решили только по одной задаче
2)
)А История комбинаторики освещает развитие комбинаторики —
раздела конечной математики, который исследует в основном
различные способы выборки заданного числа m элементов из
заданного конечного
множества: размещения, сочетания, перестановки, а
также перечисление и смежные проблемы. Начав с анализа
головоломок и азартных игр, комбинаторика оказалась
исключительно полезной для решения практических задач почти
во всех разделах математики. Кроме того, комбинаторные
методы оказались полезными
в статистике, генетике, лингвистике и многих других науках.
В начале XX века начала развиваться комбинаторная геометрия:
были доказаны теоремы Минковского —
Радона, Радона, Хелли, Юнга, Бляшке. А также строго
доказана изопериметрическая теорема. На стыке топологии,
анализа и комбинаторики были доказаны теоремы Борсука —
Улама и Люстерника — Шнирельмана. Во второй четверти XX
века были поставлены проблема Борсука и проблема Нелсона —
Эрдёша — Хадвигера. В 1940-х годах оформилась теория
Рамсея. Отцом современной комбинаторики считается Пал
Эрдёш, который ввёл в комбинаторику вероятностный анализ.
Внимание к конечной математике и, в частности, к
комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX
века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно
содержательная и быстроразвивающаяся область математики.
В) Правило суммы: если элемент А можно выбрать n различными
способами и независимо от него элемент B можно
выбрать m различными способами, то выбрать все различные
комбинации элементов «A или B» можно n+m способами.
Правило произведения: если элемент A можно
выбрать n различными способами и независимо от него
элемент B можно выбрать m различными способами, то все
различные комбинации элементов «A и B» можно
выбрать n*m способами.
15. С) Урновая схема - одна из простейших моделей теории вероятностей.
Описание У. с. таково: рассматривается некий сосуд - урна - с шарами
белого и черного цвета. Из урны наугад извлекается один шар. а затем
он возвращается в урну вместе с с шарами того же цвета, что и
вынутый шар, и d шарами другого цвета. После перемешивания шаров
в урне процедура повторяется любое нужное число раз. Предполагается,
что первоначально урна содержала а>0 и b>0 белых и черных шаров
соответственно. Числа си d - параметры У. с.- могут быть и
отрицательными.
У. с. дает удобную возможность вычисления некоторых основных
вероятностей через условные вероятности. При различных значениях
параметров с и d получаются многие известные схемы теории
вероятностей: при с=0, d=0 - схема случайного выбора с возвращением
(см. Бернулли испытания), при с=-1, d=0 - схема случайного выбора без
возвращения, при с=-1, d=-1 - модель диффузии Эренфестов, при с>0,
d=0 - урновая схема Пойа и т. д. Эти частные случаи служат моделями
многих реальных явлений или методов их исследования. Так, напр., У.
с. Пойа используется для описания эпидемий, при которых
осуществление к.-л. событий увеличивает вероятность их последующего
появления. В рамках У. с. могут быть введены многие распределения
теории вероятностей, такие, как биномиальное, гипергеометрическое,
геометрическое, Пойа. Для описания предельных случайных
процессов, возникающих в У. с., применяются отрицательное биномиальное
распределение и распределение Пуассона.
Общее количество выборок в схеме выбора $k$ элементов из $n$ без
возвращения и без учета порядка определяется формулой
и называется числом сочетаний из $n$ элементов по $k$ элементов.
Доказательство. Заметим, что, согласно следствию 1, из каждой
выборки данного состава (состоящей из $k$ элементов) можно
образовать $k!$ выборок, отличающихся друг от друга только порядком
элементов.
То есть число выборок, различающихся еще и порядком, в $k!$ раз
больше, чем число выборок, различающихся только составом. Поделив
$A_n^k$ на $k!$, получим утверждение теоремы.
D) Задача 1: Найдите количество трехзначных чисел, которые можно
составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться
не могут.
16. Решение. Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы
будем составлять, порядок учитывается и не все элементы
одновременно выбираются. Значит, это соединение – размещение из 7
элементов по 3. Воспользуемся формулой для числа размещений: A7
3
=
7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.
Задача 4. В классе 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории
возле школы нужно 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами
можно их выбрать со всех учеников класса?
Решение.Сначала отдельно выберем 4 мальчика из 16 и 3 девочки из 12.
Так как порядок размещения не учитывается, то соответственные
соединения – сочетания без повторений. Учитывая необходимость
одновременного выбора и мальчиков, и девочек, используем правило
произведения. В результате число способов будет вычисляться таким
образом:
С16
4
· С12
3
= (16!/(4! · 12!)) · (12!/(3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4))
·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.
3) А) В математике и различных её приложениях важную роль
играют такие математические объекты, которые называются
алгебраическими структурами. Изучением их свойств занимается
целый большой раздел математики – Высшая алгебра.
В широком смысле под алгебраической структурой понимают всякое
множество, на котором заданы некоторые операции (т. е. законы,
ставящие в соответствие одному или паре элементов по определённому
правилу другой элемент), обладающие определёнными свойствами.
Примеры таких структур постоянно возникают в различных разделах
математики. Это, прежде всего:
1) Различные числовые множества с обычными операциями +, · на них.
2) Векторы с операциями [ · , · ], +, умножение на число.
3) Матрицы с операциями +, · , умножение на число.
4) Булева алгебра множеств с операциями , дополнение.
5) Множество функций (отображений) из R В R c операциями +, · ,
композиция.
6) Решётки (наличие sup и inf определяет наличие двух операций: (A,B)
sup(A,B) и (A,B) inf(A,B) .
Большинство свойств и результатов об этих множествах мы получаем, в
основном опираясь на конкретную природу элементов этих множеств и
на конкретный смысл операций над ними. В то же время многие
результаты можно получить независимо от природы этих множеств и
конкретного смысла операций, а исходя только из свойств этих
операций.
17. Среди таких свойств таких операций рассматриваются:
ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, наличие
специальных элементов, обладающих определёнными свойствами
(нулевой, единичный (нейтральный), обратный элемент к данному и т.
д.).
В зависимости от количества операций и свойств, которыми они
обладают, различают следующие алгебраические структуры.
В) Общая алгебра — раздел математики,
изучающий алгебраические системы (также иногда называемые
алгебраическими структурами), такие
как группы, кольца, поля, модули, решётки, а
также отображения между такими структурами.
С) Теория групп — раздел общей алгебры,
изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и
их свойства. Группа является центральным понятием в общей
алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие
как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с
расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во
всех областях математики, и методы теории групп оказывают
сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе
развития теории групп построен мощный инструментарий, во
многом определивший специфику общей алгебры в целом,
сформирован собственный глоссарий, элементы которого
активно заимствуются смежными разделами математики и
приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп —
линейные алгебраические группы и группы Ли — стали
самостоятельными областями математики.
4) А) Граф — это совокупность непустого множества вершин и
наборов пар вершин (связей между вершинами).
Теория графов — раздел дискретной математики, изучающий
свойства графов. В общем смысле граф представляется как
множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. В строгом
определении графом называется такая пара множеств. G=(V,E),
где V есть подмножество любого счётного множества, а E —
подмножество V×V.
Теория графов находит применение, например,
в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь
проектируемые дома, сооружения, кварталы и т. п.
рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги,
18. инженерные сети, линии электропередачи и т. п. — как рёбра.
Применение различных вычислений, производимых на таком
графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь
или ближайший продуктовый магазин, спланировать
оптимальный маршрут.
Теория графов содержит большое количество нерешённых
проблем и пока не доказанных гипотез.
В) Планарный граф — граф, который может быть изображен
на плоскости без пересечения ребер.
Граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно на ней
нарисовать без пересечения ребер. Уложенный граф называется
геометрическим, его вершины — это точки плоскости, а ребра —
линии на ней. Области, на которые граф разбивает поверхность,
называются гранями.
Плоский граф — граф, уложенный на плоскость. Граф
называется планарным, если он изоморфен некоторому плоскому
графу.
Замечание: Всякий плоский граф планарен, всякий подграф
планарного графа (плоского) планарен (плосок). Плоский граф иногда
называется плоской картой.
Определение: Грань плоского графа есть часть плоскости,
ограниченная простым циклом графа. Конечная грань называется
внутренней, бесконечная грань называется внешней.
Простой цикл, ограничивающий грань, называется границей грани.
Дерево имеет единственную бесконечную внешнюю грань (при отсутствии
конечной грани).
Планарные графы в задачах
Раскраска карты. Необходимо раскрасить плоскую карту заданным
числом красок так, что любые две страны, имеющие общий участок
границы, имели различные цвета. Оказывается, что при
отсутствии анклавов, всегда достаточно четырех красок, но это
утверждение чрезвычайно сложно доказать.
Такие графы, которые можно начертить, не отрывая карандаша от
бумаги, называются уникурсальными (от латинского unus cursus –
один путь), или эйлеровыми. Итак, задача ставится таким образом: при
каких условиях граф уникурсален? Ясно, что уникурсальный граф не
перестанет быть уникурсальным, если изменить длину или форму его
ребер, а также изменить расположение вершин – лишь бы не менялось
соединение вершин ребрами (в том смысле, что если две вершины
соединены, они должны оставаться соединенными, а если разъединены
– то разъединенными).
19. Тополог
эквивал
Если граф уникурсален, то и топологически эквивалентный ему граф тоже
будет уникурсальным. Уникурсальность, таким образом, является
топологическим свойством графа.
Во-первых, надо отличать связные графы от несвязных. Связными
называются такие фигуры, что любые две точки можно соединить каким-
нибудь путем, принадлежащим этой фигуре. Например, большая часть
букв русского алфавита связны, но вот буква Ы – нет: невозможно перейти
с ее левой половинки на правую по точкам, принадлежащим этой букве.
Связность – это топологическое свойство: оно не меняется при
преобразованиях фигуры без разрывов и склеек. Понятно, что если граф
уникурсален, то он обязан быть связным.
Во-вторых, рассмотрим вершины графа. Будем называть индексом
вершины число ребер, встречающихся в этой вершине. Теперь зададимся
вопросом: чему могут равняться индексы вершин уникурсального графа.
Здесь может быть два случая: линия, вычерчивающая граф, может
начинаться и заканчиваться в одной и той же точке (назовем ее
«замкнутый путь»), а может в разных (назовем ее «незамкнутый путь»).
Попробуйте сами нарисовать такие линии – с какими хотите
самопересечениями – двойными, тройными и т. д. (для наглядности
лучше, чтобы ребер было не больше 15).
Нетрудно видеть, что в замкнутом пути все вершины имеют четный
индекс, а в незамкнутом – ровно две имеют нечетный (это начало и конец
пути). Дело в том, что, если вершина не является начальной или конечной,
то, придя в нее, надо затем из нее выйти – таким образом, сколько ребер
входят в нее, столько же выходят из нее, а всего число входящих и
исходящих ребер будет четным. Если начальная вершина совпадает с
конечной, то ее индекс также четен: сколько ребер из нее вышло, столько
же и вошло. А если начальная точка не совпадает с конечной, то их
индексы нечетные: из начальной точки нужно один раз выйти, а затем,
если в нее и вернемся, то выйти снова, если еще раз вернемся – опять
выйти, и т. д.; а в конечную нужно придти, а если из нее потом и выходим,
то опять нужно вернуться, и т. д.
20. Итак, чтобы граф был уникурсальным, необходимо, чтобы все его
вершины имели четный индекс либо чтобы число вершин с нечетным
индексом равнялось двум
С) Задать граф - значит описать множество его вершин, множество
ребер и отношение инцидентности вершин и ребер. Кроме
графического представления, наиболее употребительны также
описания графов с помощью матриц инциденций, списков ребер,
матриц смежности вершин и посредством отображений.
Матрица инциденций. Если граф конечен, для его описания
достаточно указать список вершин V={v1,….,vn}, список ребер E={e1,
….,em} и матрицу инциденций . Элементы матрицы
инциденций неориентированного графа определяются следующим
образом:
В матрицах инциденций ориентированных графов используются
дополнительные символы для отражения направленности дуг.
Например, часто применяется следующая нотация элементов матрицы
инциденций:
На рис. I.2, б и рис. I.3, б приведены примеры матриц инциденций
неорграфа и орграфа, изображенных, соответственно, на рис. I.2, а и
рис. I.3, а.
Список ребер. Как видно из определения и примеров, каждый столбец
матрицы инциденций содержит не более двух ненулевых элементов,
что при компьютерной обработке больших графов требует много
лишней памяти компьютера. В таких случаях часто граф описывают
списком ребер, каждое из которых представляется парой вершин. В
неорграфах порядок вершин не имеет значения и не учитывается. В
орграфах первой в паре указывается вершина, являющаяся началом
дуги, а второй - вершина, являющаяся ее концом. На рис. I.2, г и рис.
1.3, г представлены списками ребер выше уже упомянутые графы,
изображенные на рис. I.2, a и на рис. 1.3, a.
21. Матрица смежности. Для выполнения над графами алгебраических
операций удобно описание графов матрицами смежности вершин.
Матрица смежности вершин графа - это квадратная матрица
строки и столбцы которой соответствуют вершинам графа, а каждый ее
элемент hij равен числу дуг из вершины vi в вершину vj. Таким образом,
для неорграфа матрица смежности вершин симметрична относительно
главной диагонали и, по сути, выражает каноническое представление
неорграфа орграфом. Для орграфа свойство симметрии матрицы
смежности вершин, как правило, не имеет места. На рис. 1.2, в и рис.
1.3, в даны матрицы смежности вершин неорграфа и орграфа,
представленных графически на рис. 1.2, а и рис. 1.3, а, соответственно.
Рис. 1.2. Способы представления неорграфа:
а - графический; б - матрицей инциденций;
в - матрицей смежности вершин; г - списком ребер
Рис. 1.3. Способы представления орграфа:
а - графический; б - матрицей инциденций;
в - матрицей смежности вершин; г - списком ребер (дуг)
Отображение. Для выполнения алгебраических операций над
ориентированными графами часто удобно их описание в виде
отображения множества V вершин графа на это же множество [8].
Граф G=(V,Г)задается в этом случае множеством V его вершин и
22. отображением где образом вершины vi является множество
вершин Г(vi), в которые заходят дуги, исходящие из вершины vi. Так,
для графа, данного на рис. I.3, a, имеем
Г(v1)={}, Г(v2)={v1, v2, v3}, Г(v3) = {v1} .
Если задано отображение Г, то можно говорить и об обратном
отображении Г–1
, где образом вершины vj является множество вершин
Г–
1(vj), из которых выходят дуги, заходящие в вершину vj. Так, для того
же графа рис.I.3, a имеем
Г–1
(v1)={ v2, v3}, Г–1
(v2)={v2}, Г(v3) = {v2} .
Когда отображение Г действует на множество вершин, то
образом множества х является множество вершин Г(x), где
.
Это позволяет рассматривать двукратные Г(Г(vi))=Г2
(vi), трехкратные
Г(Г(Г(vi)))=Г3
(vi) и т.д. отображения. Аналогично понимаются
обозначения Г–2
(vi), Г–3
(vi) и т.д. для обратного отображения. Так, для
графа рис.I.3, a двукратные и трехкратные отображения
вершины v2 имеют вид
Г2
(v2)= { v1, v2}, Г–2
(v2)={ v2}, Г3
(v2)= { v1, v2}, Г–3
(v2)={ v2}.
Таким образом, графическое представление позволяет достаточно
просто находить подобные отображения.
Е) Дерево — это связный граф без циклов.
Деревья особенно часто возникают на практике при изображении
различных иерархий. Например, популярны генеалогические деревья.
Путь в ориентированном графе — это последовательность дуг, в
которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней,
является начальной вершиной следующей.
Вершины v0, vn называются связанными данным путем (или просто
связанными). Вершину v0 называют началом, vn - концом пути. Если v0
= vn, то путь называют замкнутым. Число n называется длиной пути.
Маршрут в графе путь, ориентацией дуг которого можно пренебречь.
Цепь маршрут, в котором все ребра попарно различны.
Цикл замкнутый маршрут, являющийся цепью.
Маршрут, в котором все вершины попарно различны,
называют простой цепью. Цикл, в котором все вершины, кроме
первой и последней, попарно различны, называются простым циклом.
Оптимальный маршрут на графе
Принцип работы алгоритма Дейкстры, который находит оптимальные
маршруты и их длину между одной конкретной вершиной (источником)
и всеми остальными вершинами графа. Недостаток данного алгоритма
23. в том, что он будет некорректно работать если граф имеет дуги
отрицательного веса.
Для примера возьмем такой ориентированный граф G:
Этот граф мы можем представить в виде матрицы С:
Возьмем в качестве источника вершину 1. Это значит что мы будем
искать кратчайшие маршруты из вершины 1 в вершины 2, 3, 4 и 5.
Данный алгоритм пошагово перебирает все вершины графа и назначает
им метки, которые являются известным минимальным расстоянием от
вершины источника до конкретной вершины. Рассмотрим этот
алгоритм на примере.
Присвоим 1-й вершине метку равную 0, потому как эта вершина —
источник. Остальным вершинам присвоим метки равные
бесконечности.
24. Далее выберем такую вершину W, которая имеет минимальную метку
(сейчас это вершина 1) и рассмотрим все вершины в которые из
вершины W есть путь, не содержащий вершин посредников. Каждой из
рассмотренных вершин назначим метку равную сумме метки W и
длинны пути из W в рассматриваемую вершину, но только в том случае,
если полученная сумма будет меньше предыдущего значения метки.
Если же сумма не будет меньше, то оставляем предыдущую метку без
изменений.
После того как мы рассмотрели все вершины, в которые есть прямой
путь из W, вершину W мы отмечаем как посещённую, и выбираем из
ещё не посещенных такую, которая имеет минимальное значение
метки, она и будет следующей вершиной W. В данном случае это
вершина 2 или 5. Если есть несколько вершин с одинаковыми метками,
то не имеет значения какую из них мы выберем как W.
Мы выберем вершину 2. Но из нее нет ни одного исходящего пути,
поэтому мы сразу отмечаем эту вершину как посещенную и переходим
к следующей вершине с минимальной меткой. На этот раз только
вершина 5 имеет минимальную метку. Рассмотрим все вершины в
которые есть прямые пути из 5, но которые ещё не помечены как
посещенные. Снова находим сумму метки вершины W и веса ребра из
25. W в текущую вершину, и если эта сумма будет меньше предыдущей
метки, то заменяем значение метки на полученную сумму.
Исходя из картинки мы можем увидеть, что метки 3-ей и 4-ой вершин
стали меньше, то есть был найден более короткий маршрут в эти
вершины из вершины источника. Далее отмечаем 5-ю вершину как
посещенную и выбираем следующую вершину, которая имеет
минимальную метку. Повторяем все перечисленные выше действия до
тех пор, пока есть непосещенные вершины.
Выполнив все действия получим такой результат:
Также есть вектор Р, исходя из которого можно построить кратчайшие
маршруты. По количеству элементов этот вектор равен количеству
вершин в графе, Каждый элемент содержит последнюю
промежуточную вершину на кратчайшем пути между вершиной-
источником и конечной вершиной. В начале алгоритма все элементы
вектора Р равны вершине источнику (в нашем случае Р = {1, 1, 1, 1, 1}).
Далее на этапе пересчета значения метки для рассматриваемой
вершины, в случае если метка рассматриваемой вершины меняется на
меньшую, в массив Р мы записываем значение текущей вершины W.
26. Например: у 3-ей вершины была метка со значением «30», при W=1.
Далее при W=5, метка 3-ей вершины изменилась на «20»,
следовательно мы запишем значение в вектор Р — Р[3]=5. Также при
W=5 изменилось значение метки у 4-й вершины (было «50», стало
«40»), значит нужно присвоить 4-му элементу вектора Р значение W —
P[4]=5. В результате получим вектор Р = {1, 1, 5, 5, 1}.
Зная что в каждом элементе вектора Р записана последняя
промежуточная вершина на пути между источником и конечной
вершиной, мы можем получить и сам кратчайший маршрут.
F) Минимальное остовное дерево (или минимальное
покрывающее дерево) в связанном
взвешенном неориентированном графе — это остовное
дерево этого графа, имеющее минимальный возможный вес, где
под весом дерева понимается сумма весов входящих в него
рёбер.
5)Оптимальный маршрут от главного корпуса НГПУ до улицы
Сухарной
На машине:
