SlideShare a Scribd company logo
1 of 26
Лекция 4.  Соответствия между двумя множествами   ©   Гусева И.Н., кафедра СМиРЯ, КГУ, 2010
СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ МНОЖЕСТВАМИ   Изучая окружающий нас мир, математика рассматривает не только его объекты, но и главным образом связи между ними. Эти связи называют  зависимостями, соответствиями, отношениями , функциями.  Например, при вычислении длин предметов устанавливаются соответствия между предметами и числами, которые являются значениям их длин; при решении задач на движение устанавливается зависимость между пройденным расстоянием и временем, если скорость движения постоянна.
СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ МНОЖЕСТВАМИ   Конкретные зависимости, соответствия, отношения между объектами в математике изучались с момента ее возникновения. Но вопрос о том, что общее имеют самые разные соответствия, какова сущность любого соответствия, был поставлен в конце ХIХ — начале ХХ века, и ответ на него был найден в рамках теории множеств.  В   курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике изучения этих взаимосвязей.
Понятие соответствия.  Способы задания соответствий   Рассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
В первом случае мы устанавливаем соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями.  Во втором выясняем, какое число соответствует каждой из данных фигур, характеризуя ее площадь.  В третьем ищем число, которое является решением уравнения.  Что общее имеют эти соответствия?
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно, при помощи графов:
Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии:
Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов.  А так как упорядоченные пары - это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия. Определение.   Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.
Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множествами. Поскольку соответствие — это подмножество, то его можно задавать  как  любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества.
Нередко, изучая соответствие между множествами Х и  Y , приходится рассматривать и соответствие, ему обратное.  Например,  S  — соответствие «больше на 2» между множествами Х =  { 4, 5, 8, 10 }  и  Y = {2,3,6}. Тогда  S  = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} и его граф будет таким, как на рисунке.
Соответствие, обратное данному, — это соответствие «меньше на 2». Оно рассматривается между множествами  Y  и Х, и чтобы его представить наглядно, достаточно на графе соответствия  S  направление стрелок поменять на противоположное .
Условимся предложение «элемент х находится в соответствии  S  с элементом у» записывать кратко так: х S у. Запись х S у можно рассматривать как обобщение записей конкретных соответствий: х = 2y,  x >3 y +1 и др.  Воспользуемся введенной записью для определения понятия соответствия, обратного данному  .
 
 
 
Взаимно однозначные соответствия В математике изучают различные виды соответствий. Это не случайно, поскольку взаимосвязи, существующие в окружающем мире, многообразны.  Для учителя, обучающего математике школьников, особую значимость имеют взаимно однозначные соответствия. Определение.  Взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества Х сопоставляется единственный элемент множества  Y  и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу множества Х.
Рассмотрим примеры взаимно однозначных соответствий. Пример 1. Пусть Х— множество кружков,  Y — множество квадратов и соответствие между ними задано при помощи стрелок.   Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому кружку из множества Х сопоставляется единственный квадрат из множества  Y  и каждый квадрат из  Y  соответствует только одному кружку из множества Х .
Пример 2.  Пусть Х — множество действительных чисел,  Y  - множество точек координатной прямой.  Соответствие между ними таково: действительному числу сопоставляется точка координатной прямой.  Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому действительному числу сопоставляется единственная точка координатной прямой и каждая точка на прямой соответствует только одному числу.
В математике взаимно однозначное соответствие между множествами Х и  Y  Часто называют взаимно однозначным отображением множества Х на множество  Y .  Понятие взаимно однозначного соответствия позволяет определить отношение равномощности множеств. Определение.  Множества Х   и  Y  называются равномощными если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.  Если множества Х и  Y  равномощны, то пишут Х~У.
Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества.  Равномощные конечные множества называют еще равночисленными.  В начальном обучении математике равночисленность выражается словами «столько же» и может использоваться при ознакомлении учащихся со многими другими понятиями.  Например, чтобы ввести равенство чисел, сравнивают два множества, устанавливая между ними взаимно однозначное соответствие. Например, пишут, что 5=5, так как кружков столько же, сколько квадратов .
Понятие равночисленности множеств лежит и в основе определения отношений «больше на ...» и «меньше на…».  Например, чтобы утверждать, что 6 больше 4 на 2, сравнивают два множества, устанавливая взаимно однозначное соответствие между множеством Х, в котором  4 элемента, и подмножеством  Y 1, другого множества Y, в котором 6 элементов, и делают вывод: треугольников столько же, сколько кружков, и еще 2.  Другими словами, треугольников на 2 больше, чем кружков.
Как уже было сказано, равномощными могут быть и бесконечные множества. Приведем примеры таких множеств. Пример 3. Пусть Х — множество точек отрезка АВ,  Y — множество точек отрезка С D , причем длины отрезков различны. Так как между данными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то множества точек отрезка АВ и С D  равномощны.
Пример 4. Рассмотрим множество  N  натуральных чисел и множество  Y — чётных натуральных чисел. Они равномощны так как между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.
На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что можно установить взаимно однозначные соответствия между множеством и его частью: для конечных множеств такая ситуация невозможна. Однако в математике доказано,  что для бесконечного множества А всегда найдется такое его подмножество В, что между А и В можно установить взаимно однозначное соответствие. Иногда это утверждение считают определением бесконечного множества. Если бесконечное множество равномощно множеству  N  натуральных чисел, его называют счётным. Любое бесконечное подмножество множества  N  счётно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастания и нумеровать один за другим (т.е. так, как это сделано  в  примере 4).  Так, счётно множество всех нечетных натуральных чисел, множество натуральных чисел, кратных 5 и др.  Счетными являются также множества всех целых чисел, всех рациональных. Существуют ли множества, отличные от счетных? Доказано, что бесконечным множеством не равномощным множеству  N  натуральных чисел, является множество  R  всех действительных чисел.
Лекция закончена, уважаемый СТУДЕНТ, можете переходить к практическому занятию №4

More Related Content

Similar to лекция 4 соответствия

История комплексных чисел
История комплексных чиселИстория комплексных чисел
История комплексных чиселAlexes Stark
 
Математика в Древней Греции
Математика в Древней ГрецииМатематика в Древней Греции
Математика в Древней ГрецииDaria Drozdova
 
013
013013
013JIuc
 
еноене1
еноене1еноене1
еноене1Dimon4
 
Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.
Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.
Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.Vladimir Tcherniak
 
Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...
Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...
Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...Ильдус Ситдиков
 
554 1 алгебра. 9кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2014 -287с
554 1  алгебра. 9кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2014 -287с554 1  алгебра. 9кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2014 -287с
554 1 алгебра. 9кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2014 -287сdfdkfjs
 
Kuznecova 9klass
Kuznecova 9klassKuznecova 9klass
Kuznecova 9klassqwasar1
 
Phép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyết
Phép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyếtPhép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyết
Phép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyếtVõ Hồng Quý
 
Квадратичная математика
Квадратичная математикаКвадратичная математика
Квадратичная математикаDEVTYPE
 
комплексные числа
комплексные числакомплексные числа
комплексные числаfrooo
 
Проект обучающегося 12 класса на тему: Комбинаторика.
Проект обучающегося 12 класса на тему: Комбинаторика.Проект обучающегося 12 класса на тему: Комбинаторика.
Проект обучающегося 12 класса на тему: Комбинаторика.diana diana
 
11 geom e_ru
11 geom e_ru11 geom e_ru
11 geom e_ruUA1011
 

Similar to лекция 4 соответствия (18)

1314336.pptx
1314336.pptx1314336.pptx
1314336.pptx
 
585
585585
585
 
История комплексных чисел
История комплексных чиселИстория комплексных чисел
История комплексных чисел
 
Matanal 31oct
Matanal 31octMatanal 31oct
Matanal 31oct
 
Математика в Древней Греции
Математика в Древней ГрецииМатематика в Древней Греции
Математика в Древней Греции
 
013
013013
013
 
еноене1
еноене1еноене1
еноене1
 
Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.
Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.
Lecture 03 Алгебра множеств. Конечные множества.
 
Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...
Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...
Кванторные операции над предикатами. Формула логики предикатов. Тавтологии ло...
 
554 1 алгебра. 9кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2014 -287с
554 1  алгебра. 9кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2014 -287с554 1  алгебра. 9кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2014 -287с
554 1 алгебра. 9кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2014 -287с
 
Kuznecova 9klass
Kuznecova 9klassKuznecova 9klass
Kuznecova 9klass
 
117
117117
117
 
Phép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyết
Phép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyếtPhép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyết
Phép tính vector và tensor trong vật lý lý thuyết
 
Квадратичная математика
Квадратичная математикаКвадратичная математика
Квадратичная математика
 
комплексные числа
комплексные числакомплексные числа
комплексные числа
 
Проект обучающегося 12 класса на тему: Комбинаторика.
Проект обучающегося 12 класса на тему: Комбинаторика.Проект обучающегося 12 класса на тему: Комбинаторика.
Проект обучающегося 12 класса на тему: Комбинаторика.
 
csdcsv
csdcsvcsdcsv
csdcsv
 
11 geom e_ru
11 geom e_ru11 geom e_ru
11 geom e_ru
 

лекция 4 соответствия

  • 1. Лекция 4. Соответствия между двумя множествами © Гусева И.Н., кафедра СМиРЯ, КГУ, 2010
  • 2. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ МНОЖЕСТВАМИ Изучая окружающий нас мир, математика рассматривает не только его объекты, но и главным образом связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями, отношениями , функциями. Например, при вычислении длин предметов устанавливаются соответствия между предметами и числами, которые являются значениям их длин; при решении задач на движение устанавливается зависимость между пройденным расстоянием и временем, если скорость движения постоянна.
  • 3. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ МНОЖЕСТВАМИ Конкретные зависимости, соответствия, отношения между объектами в математике изучались с момента ее возникновения. Но вопрос о том, что общее имеют самые разные соответствия, какова сущность любого соответствия, был поставлен в конце ХIХ — начале ХХ века, и ответ на него был найден в рамках теории множеств. В курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике изучения этих взаимосвязей.
  • 4. Понятие соответствия. Способы задания соответствий Рассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
  • 5. В первом случае мы устанавливаем соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выясняем, какое число соответствует каждой из данных фигур, характеризуя ее площадь. В третьем ищем число, которое является решением уравнения. Что общее имеют эти соответствия?
  • 6.
  • 7. Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно, при помощи графов:
  • 8. Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии:
  • 9. Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары - это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия. Определение. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.
  • 10. Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множествами. Поскольку соответствие — это подмножество, то его можно задавать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества.
  • 11. Нередко, изучая соответствие между множествами Х и Y , приходится рассматривать и соответствие, ему обратное. Например, S — соответствие «больше на 2» между множествами Х = { 4, 5, 8, 10 } и Y = {2,3,6}. Тогда S = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} и его граф будет таким, как на рисунке.
  • 12. Соответствие, обратное данному, — это соответствие «меньше на 2». Оно рассматривается между множествами Y и Х, и чтобы его представить наглядно, достаточно на графе соответствия S направление стрелок поменять на противоположное .
  • 13. Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: х S у. Запись х S у можно рассматривать как обобщение записей конкретных соответствий: х = 2y, x >3 y +1 и др. Воспользуемся введенной записью для определения понятия соответствия, обратного данному .
  • 14.  
  • 15.  
  • 16.  
  • 17. Взаимно однозначные соответствия В математике изучают различные виды соответствий. Это не случайно, поскольку взаимосвязи, существующие в окружающем мире, многообразны. Для учителя, обучающего математике школьников, особую значимость имеют взаимно однозначные соответствия. Определение. Взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества Х сопоставляется единственный элемент множества Y и каждый элемент множества Y соответствует только одному элементу множества Х.
  • 18. Рассмотрим примеры взаимно однозначных соответствий. Пример 1. Пусть Х— множество кружков, Y — множество квадратов и соответствие между ними задано при помощи стрелок. Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому кружку из множества Х сопоставляется единственный квадрат из множества Y и каждый квадрат из Y соответствует только одному кружку из множества Х .
  • 19. Пример 2. Пусть Х — множество действительных чисел, Y - множество точек координатной прямой. Соответствие между ними таково: действительному числу сопоставляется точка координатной прямой. Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому действительному числу сопоставляется единственная точка координатной прямой и каждая точка на прямой соответствует только одному числу.
  • 20. В математике взаимно однозначное соответствие между множествами Х и Y Часто называют взаимно однозначным отображением множества Х на множество Y . Понятие взаимно однозначного соответствия позволяет определить отношение равномощности множеств. Определение. Множества Х и Y называются равномощными если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Если множества Х и Y равномощны, то пишут Х~У.
  • 21. Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Равномощные конечные множества называют еще равночисленными. В начальном обучении математике равночисленность выражается словами «столько же» и может использоваться при ознакомлении учащихся со многими другими понятиями. Например, чтобы ввести равенство чисел, сравнивают два множества, устанавливая между ними взаимно однозначное соответствие. Например, пишут, что 5=5, так как кружков столько же, сколько квадратов .
  • 22. Понятие равночисленности множеств лежит и в основе определения отношений «больше на ...» и «меньше на…». Например, чтобы утверждать, что 6 больше 4 на 2, сравнивают два множества, устанавливая взаимно однозначное соответствие между множеством Х, в котором 4 элемента, и подмножеством Y 1, другого множества Y, в котором 6 элементов, и делают вывод: треугольников столько же, сколько кружков, и еще 2. Другими словами, треугольников на 2 больше, чем кружков.
  • 23. Как уже было сказано, равномощными могут быть и бесконечные множества. Приведем примеры таких множеств. Пример 3. Пусть Х — множество точек отрезка АВ, Y — множество точек отрезка С D , причем длины отрезков различны. Так как между данными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то множества точек отрезка АВ и С D равномощны.
  • 24. Пример 4. Рассмотрим множество N натуральных чисел и множество Y — чётных натуральных чисел. Они равномощны так как между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.
  • 25. На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что можно установить взаимно однозначные соответствия между множеством и его частью: для конечных множеств такая ситуация невозможна. Однако в математике доказано, что для бесконечного множества А всегда найдется такое его подмножество В, что между А и В можно установить взаимно однозначное соответствие. Иногда это утверждение считают определением бесконечного множества. Если бесконечное множество равномощно множеству N натуральных чисел, его называют счётным. Любое бесконечное подмножество множества N счётно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастания и нумеровать один за другим (т.е. так, как это сделано в примере 4). Так, счётно множество всех нечетных натуральных чисел, множество натуральных чисел, кратных 5 и др. Счетными являются также множества всех целых чисел, всех рациональных. Существуют ли множества, отличные от счетных? Доказано, что бесконечным множеством не равномощным множеству N натуральных чисел, является множество R всех действительных чисел.
  • 26. Лекция закончена, уважаемый СТУДЕНТ, можете переходить к практическому занятию №4