1. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
145
אינטגרל
קוי
)(א
אינטגרל
ראשון מסוג קווי
1
.
הגברה
פונקציה וקטור
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i j k
r t x t y t z t t
= + +
מתארת
עקום
L
הנקודות בין
A
ו
-
B
(
( ) ( ) ( )
( )
; ;
A x y z
,
( ) ( ) ( )
( )
; ;
B x y z
.)
העקום נקודות בכל
L
רציפה פונקציה מוגדרת
( )
; ;
x y z
.
1
.
:העקום חלוקת את נבצע
A
B
( ) ( )
:
L r t t
i
t
1
i
t −
i
M
2
.
:סכום נגדיר
( )
0
n
i i
i
M l
=
(
i
l
הוא
הקשת אורך
בין
הנקודות
( )
1
i
r t −
,
( )
i
r t
.)
3
.
הגבול
( )
0
max 0
lim
i
n
i i
n
i
l
M l
→
=
→
של ראשון מסוג קווי אינטגרל נקרא
( )
; ;
x y z
מעל
L
.
:הוא הסימון
( ) ( )
0
max 0
lim ; ;
i
n
i i
n
i L
l
M l x y z dl
→
=
→
=
.
2
.
אינטגרל חישוב
ראשון מסוג קווי
.
אם
לו
ו
פונקציה קטור
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i j k
r t x t y t z t t
= + +
,רציפות נגזרות
אז
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
; ; ; ;
L
x y z dl x t y t z t r t dt
=
או
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
; ; ; ;
L
x y z dl x t y t z t x t y t z t dt
= + +
:הערה
הדו הגרסא
-
:היא ממדית
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
; ;
L
x y dl x t y t x t y t dt
= +
2. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
146
דוגמא
את חשב
( )
L
x y dl
+
הצי מעל
:קלואידה
( ) ( ) ( ) ( )
sin i 1 cos j 0 2
r t t t t t
= − + −
.
פתרון
1
.
את נמצא
( )
r t
:מקבלים .
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
1 cos sin 2sin
2
t
r t x t y t t t
= + = − + =
2
.
כי מובן
( ) ( )
( )
; sin 1 cos
x t y t t t t
= − + −
.
3
.
,לכן
( ) ( )
2
0
sin 1 cos 2sin
2
L
t
x y dl t t t dt
+ = − + −
.
4
.
:לחישוב הכוונה
( )
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0
sin 1 cos 2sin 2 sin sin sin sin cos sin
2 2 2 2 2
t t t t t
t t t dt t dt t dt dt t dt
− + − = − + −
.
חלקים לפי לסכום ממכפלה
:החישובים כל לאחר
( )
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0
32
sin 1 cos 2sin 2 sin sin sin sin cos sin 8
2 2 2 2 2 3
t t t t t
t t t dt t dt t dt dt t dt
− + − = − + − = +
:סופית
( )
2
10 8
3
L
x y dl
+ = +
3
.
.העקום מסת
הפונקציה אם
( )
; ;
x y z
פונקצי את מתארת
י
,הקווית הצפיפות של התפלגות ת
אז
( )
; ;
L
x y z dl
.העקום של הקטע למסת שווה
דוגמא
:הבורג קו של הקשת מסת את מצא
( ) ( )
cos i sin j k 0 2
r t t t t t
= + +
אם
( )
; ;
1
A
x y z
z
=
+
.
פתרון
1
.
:הנוסחה ע"פ
( )
; ;
L
m x y z dl
=
.
2
.
:הביטוי את נכין
( ) ( ) ( )
2 2 2
x t y t z t
+ +
.
:מקבלים
( ) sin
x t t
= −
,
( ) cos
y t t
=
,
( ) 1
z t
=
.
,כלומר
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
sin cos 1 2
x t y t z t t t
+ + = + + =
.
3
.
ש משום
-
:
( )
; ;
1 1
A A
x y z
z t
= =
+ +
:נקבל ,
( ) ( )
2
0
; ; 2 2 ln 2 1
1
L
A
m x y z dl dt A
t
= = = +
+
.
3. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
147
)(ב
שני מסוג קווי אינטגרל
1
.
הקדמה
–
כוח עבודת
r
A B
F
F F F F
קבוע כוח בפעולת אם
F
מהנקודה עובר הגוף
A
לנקודה
B
,ישר בקו
הוא והעתק
r AB
=
,
כ לחשב אפשר הכוח עבודת אז
-
cos
W F r F r
= =
.
היא הכוח עבודת ,כלומר
המכפלה
הסקלרית
.ההעתק בווקטור הכוח וקטור של
:הערה
מהנקודה ינוע הגוף שאם מובן
B
לנקודה
A
של הסימן ,
W
.יתחלף
r
−
A B
F
F F F F
2
.
כ עבודת
העקום לאורך משתנה וח
ע"י המוגדר הווקטורי בשדה
( ) ( ) ( ) ( )
; ; ; ; i ; ; j ; ; k
F x y z P x y z Q x y z R x y z
= + +
.חלקיק נמצא
הכוח עבודת את למצוא צריך
F
.אלה נקודות המחבר העקום לאורך נקודות שתי בין חלקיק בהעברת
A
B
:מקבלים
( ) ( ) ( )
; ; ; ; ; ;
L L
W F dr P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
= = + +
ה
ערה
:
דו במקרה
-
:ממדי
( ) ( )
; ;
L L
W F dr P x y dx Q x y dy
= = +
4. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
148
3
.
הגדרה
הסוג מן האינטגרל
( ) ( )
; ;
L
P x y dx Q x y dy
+
נקרא
של סקלרית כמכפלה הבנוי אינטגרלי סכום של גבול מביע הוא .שני מסוג קווי אינטגרל
.העתק בווקטור שדה וקטור
4
.
חישוב
4
.א
פ מתואר העקום אם
רמטרית
( ) ( ) ( ) ( )
i j
r t x t y t t
= +
,
:אז
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
; ; ; ;
L
P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt
+ = +
.
האינ גם קיים
ט
גרל
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
; ;
P x t y t x t Q x t y t y t dt
+
העברת ומשמעותו
.ההפוך בכיוון חלקיק
:לפיכך
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
; ; ; ;
L
P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt
+
+ = +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
; ; ; ;
L
P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt
−
+ = +
:הערה
במקרה
.שלישי מחבר נוסף ממדי תלת
דוגמ
א
נתון
( ) cos i sin j 0
2
r t t t t
= +
.
( ) ( ) 2
; i j
F x y x y x
= + +
.
את חשב
( )
;
L
F x y dr
+
.
פתרון
1
.
:הוא המפורש שהייצוג מובן
( ) ( ) ( )
; ; ;
L L
F x y dr P x y dx Q x y dy
+ +
= +
.
2
.
:הסידור לאחר
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
0
; cos sin sin cos cos
L L
F x y dr x y dx x dy t t t t t dt
+ +
= + + = + − +
.
3
.
:שקיבלנו האינטגרל את ונחשב נסדר
( )
2 2 2 2
2 3 2 3
0 0 0 0
1
sin cos sin cos sin cos sin cos
6 4
t t t t dt t t dt t dt t dt
− − + = − − + = −
,כלומר
( )
1
;
6 4
L
F x y dr
+
= −
.
5. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
149
4
.ב
:מפורשת הצורה נתון העקום אם
( ) ( )
y f x a x b
=
:אז ,
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
; ; ; ;
b
L a
P x y dx Q x y dy P x f x Q x f x f x dx
+ = +
דוגמא
נתון
( )
2
: 1 0 1
L y x x
= −
.
( ) ( ) 2
; i j
F x y x y x
= + +
.
את חשב
( )
;
L
F x y dr
+
.
פתרון
1
.
לפי
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
; ; ; ;
b
L a
P x y dx Q x y dy P x f x Q x f x f x dx
+ = +
:מקבלים
( )
1
2 2 2
2
0
1
1
L
x
x y dx x dy x x x dx
x
−
+ + = + − +
−
.
2
.
ונחשב נפריד
:
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
1 1
1 1
x x
x x x dx xdx x dx x dx
x x
− −
+ − + = + − +
− −
:מקבלים
1
0
1
2
xdx =
,
( )
1 1
2 2
0
0
1
1 1 arcsin
2 4
x dx x x x
− = − + =
,
( )
2 2 2
1 0
2 2
2
0 1
2
1 1
2
1
3
1
1
x x
x
x dx d
x
d dx
x
x
= − = −
−
= = − = −
−
=
−
−
,כלומר
( )
1
;
4 6
L
F x y dr
+
= −
.
5
.
פוטנציאלי כוח שדה
6. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
150
דוגמא
1
את חשב
הסוג מן האינטגרל
2
2
L
xydx x dy
+
:הבאים המסלולים שלושת לפי
1 : ;0 1
L y x x
=
,
2
2 : ;0 1
L y x x
=
,
3
3 : ;0 1
L y x x
=
.
פתרון
1
.
לפי
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
; ; ; ;
b
L a
P x y dx Q x y dy P x f x Q x f x f x dx
+ = +
:נקבל
2
.
( )
1
1
1
2 2 2 3
0
0
2 2 1 1
L
xydx x dy x x dx x
+ = + = =
3
.
( )
2
1
1
2 3 2 4
0
0
2 2 2 1
L
xydx x dy x x x dx x
+ = + = =
4
.
( )
3
1
1
2 4 2 2 5
0
0
2 2 3 1
L
xydx x dy x x x dx x
+ = + = =
דוגמא
2
את חשב
הסוג מן האינטגרל
2
2
L
x dx xydy
+
:הבאים המסלולים שלושת לפי
1 : ;0 1
L y x x
=
,
2
2 : ;0 1
L y x x
=
,
3
3 : ;0 1
L y x x
=
.
פתרון
1
.
לפי
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
; ; ; ;
b
L a
P x y dx Q x y dy P x f x Q x f x f x dx
+ = +
:נקבל
2
.
( )
1
1
1
2 2 2 3
0
0
2 2 1
L
x dx xydy x x dx x
+ = + = =
3
.
( )
2
1
1 3 5
2 2 2
0 0
4 1 4 2
2 2 2 1
3 5 3 5 15
L
x x
x dx xydy x x x x dx
+ = + = + = + =
4
.
( )
3
1
1 3 7
2 2 3 2
0 0
6 1 6 4
2 2 3 1
3 7 3 7 21
L
x x
x dx xydy x x x x dx
+ = + = + = + =
7. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
151
x
y
( )
0;0
( )
1;1
6
.
.הגדרה
נקרא ווקטורי שדה
פוטנציאלי
מנקודה חלקיק להעברת השדה עבודת אם ,
A
ל
-
B
תלויה לא
.במסלול
השדה ,כלומר
( ) 2
; 2 i j
F x y xy x
= +
ו ,פוטנציאלי שדה הוא
-
( ) 2
; i 2 j
G x y x xy
= +
-
.לא
7
.
.פוטנציאליות קריטריון
ו שדה נתון
בתחום מישורי וקטורי
D
:
( ) ( ) ( )
; ; i ; j
F x y P x y Q x y
= +
.
הפונקציות
( )
;
P x y
ו
-
( )
;
Q x y
.רציפות חלקיות ונגזרותיהן רציפות
A
ו
-
B
כלשהן נקודות שתי
בתוך
D
.
האינטגרל
:
( ) ( )
; ;
A B
P x y dx Q x y dy
→
+
ב הנמצא במסלול תלוי לא
-
D
,
אם ורק אם
( ) ( )
; ;
y x
P x y Q x y
.
דוגמא
את חשב
( ) ( )
2 2
6 4 5 3 8 5
L
xy y y dx x xy x dy
+ + + + +
כאשר
3
: 2 ;1 2
L y x x x
= +
.
פתרון
1
.
נבדוק
השדה האם
( ) ( ) ( )
2 2
; 6 4 5 i 3 8 5 j
F x y xy y y x xy x
= + + + + +
.פוטנציאלי
:מקבלים
( )
; 6 8 5
y
P x y x y
= + +
וגם
( )
; 6 8 5
x
Q x y x y
= + +
.
.פוטנציאלי אכן השדה ,כלומר
2
.
כי גם מובן
3
: 2 ;1 2
L y x x x
= +
נקודות מחבר
( )
1;3
A
ו
-
( )
2;12
B
.
3
.
ישר בקטע נשתמש ,במסלול תלוי לא המבוקש שהאינטגרל כיוון
9 6
y x
= −
המחבר
A
ו
-
B
.
8. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
152
4
.
:מקבלים
( ) ( ) ( ) ( )
3 *
2 2 2 2
: 2 : 9 6
6 4 5 3 8 5 6 4 5 3 8 5
L y x x L y x
xy y y dx x xy x dy xy y y dx x xy x dy
= + = −
+ + + + + = + + + + +
:החישובים כל לאחר
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
*
2 2
: 9 6
6 9 6 4 9 6 5 9 6 3 8 9 6 5 9
L y x
x x x x dx x x x x dx
= −
− + − + − + + − +
א
ו
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
1
6 9 6 4 9 6 5 9 6 27 72 9 6 45
x x x x x x x x dx
− + − + − + + − +
.ולחשב לפתוח
8
.
.סגור במסלול מישורי אינטגרל
אינטגרל אם
( ) ( )
; ;
L
P x y dx Q x y dy
+
ו
-
L
נקודה באותה ונסתיים מתחיל
A
,
האינטגרל את לסמן מקובל
( ) ( )
; ;
L
P x y dx Q x y dy
+
.
נקראת אינטגרל תוצאת זה במקרה
צירקולציה
השדה של
( ) ( ) ( )
; ; i ; j
F x y P x y Q x y
= +
מסלול לפי
L
.
הערה
1
:
הסגור בקו צירקולציה ,בכיוון תלוי שני מסוג הקווי האינטגרל כללי שבאופן משום
.נגדי בכיוון הסימן את משנה
:הסכם לפי
הערה
2
:
אם ,הקודם הסעיף לאור
( ) ( ) ( )
; ; i ; j
F x y P x y Q x y
= +
-
שדה
פוטנציאלי
,
אז
( ) ( )
; ; 0
L
P x y dx Q x y dy
+ =
.
9
.
גרין משפט
(Green)
.
9. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
153
מגביל אותו התחום על כפול אינטגרל לבין ווקטורי שדה של צירקולציה בין קשר קובע המשפט
.הסגור המסלול
D
L
בתחום מישורי ווקטורי שדה נתון
D
:
( ) ( ) ( )
; ; i ; j
F x y P x y Q x y
= +
.
הפונקציות
( )
;
P x y
ו
-
( )
;
Q x y
.רציפות חלקיות ונגזרותיהן רציפות
הסגור המסלול
L
מגבי
התחום את ל
D
.
:אז
( ) ( ) ( ) ( )
( )
; ; ; ;
x y
L D
P x y dx Q x y dy Q x y P x y dxdy
+ = −
.
דוגמא
נתון
2 2
: 1
L x y
+ =
.
( ) ( ) 2
; i j
F x y x y x
= + +
.
את חשב
( )
;
L
F x y dr
.החיובי הכיוון
פתרון
1
.
( ) ( ) 2
;
L L
F x y dr x y dx x dy
= + +
.
2
.
:לפי
( ) ( ) ( ) ( )
( )
; ; ; ;
x y
L D
P x y dx Q x y dy Q x y P x y dxdy
+ = −
:מקבלים
( ) ( )
2
2 1
L D
x y dx x dy x dxdy
+ + = −
.
3
.
:חישובים
10. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
מחשב למדעי חוג
154
תרגילים
מס
'
1
למשטח המשיק ומישור הנורמל משוואת את מצא
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 3
; i j k
V t u t u t u t u
= + + + + +
בנקודה
( ) ( )
; 1;2
t u =
.
מס
'
2
העקום
L
ע"י מתואר
( )
→
→
→
→
+
+
= k
t
j
t
i
t
t
r
3
2
3
2
כאשר
0
t
.
מהנקודה העקום שאורך כך ,הנקודה את העקום על מצא
( )
0
;
0
;
0
לנקודה עד
הוא הזאת
12
.
מס
'
3
:הבורג קו קשת של המסה את חשב
( )
→
→
→
→
+
+
= k
t
j
t
i
t
t
r 3
sin
4
cos
4
,
2
0
t
הצפיפו כאשר
.מהראשית שלה המרחק לריבוע שווה בנקודה ת
מס
'
4
את חשב
אינטגרל
2 2
L
xy dx x y dy
+
כאשר
L
:
( ) ( )
cos i sin j 0 2
r t t t t
= +
מס
'
5
את חשב
:אינטגרל
( ) ( ) ( )
2
1 2
L
x dx x y dy x y z dz
+ + + + + −
כאשר
L
:
1 1
2 1 3
x y z
− +
= =
−
מהנקודה
( )
1; 1 ;0
−
לנקודה עד
( )
3; 2 ;3
−
.
מס
'
6
את חשב
אינטגרל
( )
2
L
ydx x y dy
− +
,
כאשר
L
-
הפרבולה חלק
2
2
y x x
= − +
ה ציר מעל הנמצא
-
x
השעו נגד והכיוון ,
.ן
תשובות
מס
'
1
מס
'
2
3 5 9
12 9 2
x y z
− − −
= =
−
,
12 9 2 9 0
x y z
− + − =
.
9
;
2
9
;
3
מס
'
3
מס
'
4
מס
'
5
מס
'
6
( )
2
3
4
40
+
.
0
1
5
6
4
−
