Giai he-phuong-trinh-bang-phuong-phap-danh-gia 89300

1. 1

2. Kinh nghiệm
“GiảI hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ”
II. GiảI quyết vấn đề:
Phương pháp1: Phương pháp đánh giá bằng tập xác định
Ví dụ: Giải hệ phương trình:




=++
=++
11
11
xy
yx
(Đề thi vào trường chuyên tĩnh)
Lời giải
Điều kiện



≥
≥
0
0
y
x
Suy ra




≥++
≥++
11
11
xy
yx
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y = 0
Do vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 0
Phương pháp2: Đánh giá bằng bất đẳng thức
2

3. Ví dụ1: Giải hệ phương trình (I)




=++−
=+−
043147
02
32
222
yxx
yxyx
Lời giải
Viết lại (I) ⇔




=++−
=+
)2(0)1(3)1(7
)1(2)1(
32
22
yx
xyx
Từ (1) suy ra y2
=
1
2
2
+x
x
≤ 1 ⇒ 1≤y ⇒ 1 + y3
≥ 0
Lại có (x - 1)2
≥ 0 , ∀ x nên (2) ⇒




=+
=−
01
0)1(
3
2
y
x
⇔ )3(
1
1



−=
=
y
x
Kết quả (3) thỏa mản (1) ⇒



−=
=
1
1
y
x
là nghiệm duy nhất của hệ
phương trình (I)
Vídụ2: Giải hệ phương trình




=++
++=++
)2(3
)1(
2008200720072007
222
zyx
xzyzxyzyx
Lời giải
Ta có (1) ⇔ 2x2
+ 2y2
+ 2z2
- 2xy - 2yz - 2xz = 0
⇔ (x - y)2
+ (y - z)2
+ (x - z)2
= 0 (3)
Vì (x - y)2
≥ 0; (y - z)2
≥ 0; (x - z)2
≥ 0 với mọi x;y;z
⇒ (x - y)2
+ (y - z)2
+ (x - z)2
≥ 0 với mọi x; y; z
⇒ (3) ⇔ x –y = y – z = z – x = 0 ⇔ x = y = z
Thay vào (2) ta có:
3x2007
= 3y2007
= 3z2007
= 32008 ⇒ x2007
= y2007
= z2007
= 32007
Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm là x = y = z = 3
Phương pháp3: Đánh giá bằng tính chẵn lẻ
Ví dụ1: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất
3

4. (I)





=
++
++
=+−
2
2
2
1
1
113
a
yy
yx
yax
(Đề thi học sinh giỏi lớp 10 tĩnh Hà Tĩnh năm học 2000 - 2001)
Lời giải
Để ý yy
yy
−+=
++
1
1
1 2
2 nên hệ (I) ⇔ (II)




=++
=+−
22
2
1
113
ayx
yax
Điều kiện cần
Thấy rằng nếu có nghiệm (x0 ,y0 ) thì hệ cũng có nghiệm (x0 ,-y0 )
Bởi vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là y0 = 0
Thay y0 = 0 vào (II) ta có



=+
=−
2
1
13
ax
ax
⇔




=
−=
3
4
1
a
a
Điều kiện đủ
• a = -1, hệ (II) trở thành




=++
=++
11
113
2
2
yx
yx
⇔ x = y = 0
• a =
3
4
, hệ (II) trở thành






=++
=+−
9
16
1
11
3
4
3
2
2
yx
yx
⇔




=
=
0
9
7
y
x
Hệ có nghiệm duy nhất




=
=
0
9
7
y
x
Vậy tập hợp các giá trị của a tương thích với yêu cầu bài toán là






=−=
3
4
;1 aa
Ví dụ2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất




−++=++
=++
axxy
ayx
355
3
22
2
Lời giải
*Điều kiện cần
4

5. Thấy rằng, nếu hệ có nghiệm (x0 ,y0 ) thì nó cũng có nghiệm (-x0 ,-y0 ),
(-x0 ,y0 ),(x0 ,-y0 ).Bởi vậy, nghiệm duy nhất của hệ chỉ có thể là x0 = y0 = 0
Thay vào hệ ta có a = 3
*Điều kiện đủ
Với a = 3 , hệ trở thành




+=++
=++
)2(55
)1(33
22
2
xxy
yx
Để ý: 332
≥++ yx Dấu đẳng thức xẩy ra khi x = y = 0.
Suy ra (1) ⇔ x = y = 0. Thấy rằng x = y = 0 cũng là nghiệm của (2)
Suy ra x = y = 0 là nghiệm duy nhất của hệ
Tóm lại: Tập hợp các giá trị phải tìm của a là a = 3
Phương pháp 4: Đặc biệt hóa một ẩn
Ví dụ1: Giải hệ phương trình (I)




−=−−++
=−−+++
12
32
22
222
xyxzyzyx
yzxzxyzyx
(Đề thi giáo viên giỏi huyện Cẩm Xuyên năm 2004)
Lời giải
Viết lại (I) ⇔ (II)




=+−−−
=−++−+
01)()(
03)()(
2
22
yxzyx
zyxzyx
Đặt



−=
+=
yxv
yxu
⇔






−
=
+
=
2
2
vu
y
vu
x
Hệ (II) trở thành (III)




=+−
=−+−
01
03
2
22
zvv
zzuu
Hệ (III) có nghiệm ⇔



≥∆
≥∆
0
0
v
u
⇔




≥
≤
4
4
2
2
z
z
⇔ z = ± 2
*Với z = 2 ta có (III) ⇔ u = v = 1 ⇒



=
=
0
1
y
x
⇒ Hệ đã cho có nghiệm (1;0;2)
5

6. *Với z = -2 ta có (III) ⇔ u = v = -1 ⇒



=
−=
0
1
y
x
⇒ Hệ đã cho có nghiệm (-1; 0; -2)
*Tóm lại: Hệ đã cho có hai nghiệm là (1; 0; 2) và (-1; 0; -2)
Nhận xét: - Số ẩn nhiều hơn số phương trình suy ra đặc biệt hóa một
ẩn xem là tham số
- Sự vắng mặt hạng tử z 2
trong phương trình (2) cho ta thấy thiếu
bình đẳng của nó đối với x và y
- Sự phân tích trên dẩn chúng ta đặc biệt hóa ẩn z, xem nó là tham
số
Ví dụ2: Giải hệ phương trình (I)







≥
+=+−
=+
−=+
)4(0
)3(165)3)(2(
)2(84
)1(23)3(
22
3
z
xxxz
yyz
yx
Lời giải
Xem z là tham số,khi đó phương trình (2) trở thành 4(y - 1)2
= 4 - z2
(i)
Phương trình (i) có nghiệm khi và chỉ khi z2
≤ 4 ⇔ -2 2≤≤ z (5)
Phương trình (3) trở thành : x2
+ 2(4 - z)x + 16 - 6z = 0 (ii)
Phương trình (ii) có nghiệm ⇔ 0≥∆x ⇔ z(z - 2) 0≥ ⇔ )6(
2
0



≥
≤
z
z
Từ (4), (5), (6) suy ra 


=
=
2
0
z
z
*Thay z = 0 vào các phương trình (i) và (ii) sẻ lần lượt có
x = - 4, 


=
=
2
0
y
y
Cặp giá trị (x = - 4; y = 0; z = 0) không thỏa mản hệ phương trình (I) (7)
Cặp giá trị (x = -4; y = 2; z = 0) thỏa mản hệ phương trình (I)
(8)
*Thay z = 2 vào các phương trình (i) và (ii) ta sẻ lần lượt có x = -4 ; y = 1
(9)
6

7. Cặp giá trị (x = -4; y = 1; z = 2) thỏa mản hệ phương trình (I)
(10)
*Từ (7),(8),(10) kết luận hệ đã cho có hai nghiệm là (- 4; 2; 0) và (- 4; 1; 2)
Nhận xét:
Sự có mặt của bất đẳng thức (4) cho thấy tính đặc biệt của ẩn z đối với hệ
đã cho
Khi z được đặc biệt hóa, thì (2),(3) theo thứ tự trở thành phương trình một
ẩn đối với x,y.
Nhờ đó ta thu được các đánh giá độc lập đối với biến z
Phương pháp5: Đánh giá giữa các ẩn
Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của hệ





+=
+=
+=
)3(2
)2(2
)1(2
200720072008
200720072008
200720072008
yxz
zxy
zyx
Lời giải
Ta sẻ chứng minh x = y = z. Thật vậy:
Do vai trò của x , y , z như nhau nên không mất tính tổng quát,giả sử
x ≥ y và x ≥ z (4)
Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên:
Từ (1),(2),(4) ⇒ 2x2008
= y 20072007
z+ ≤ x 20072007
z+ = 2y2008
⇒ 2x2008
≤ 2y2008 ⇒ x ≤ y (5)
Từ (1),(3),(4) ⇒ 2x2008
= y 20072007
z+ ≤ y 20072007
z+ = 2z2008
⇒ 2x2008
≤ 2z2008 ⇒ x ≤ z (6)
Từ (4),(5),(6) suy ra x = y = z
Thay vào (1) ta có 2x2008
= x 20072007
x+ = 2007
2x suy ra x = 1 (do x > 0)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x = y = z = 1
Phương pháp 6: Đánh giá bằng tính chia hết
7

8. Ví dụ: Chứng tỏ rằng hệ phương trình





+=
+=
+=
)3(671
)2(670
)1(667
20052008
20052008
20052008
xz
zy
yx
không có nghiệm nguyên
Lời giải
Cộng vế theo vế của (1),(2),(3) ta được:
x2008
+ y2008
+ z2008
= x2005
+ y2005
+ z2005
+ 2008
⇔ (x2008
- x2005
)+ (y2008
- y2005
) + (z2008
- z2005
) = 2008
⇔ x2005
(x3
- 1) + y2005
(y3
- 1) + z2005
(z3
- 1) = 2008
⇔ x2005
(x- 1)x(x + 1) + y2005
(y- 1)y(y + 1) + z2005
(z- 1)z(z + 1) = 2008 (4)
Dể thấy vế trái của phương trình (4) chia hết cho 6 (do tích của 3 số
nguyên liên tiếp thì chia hết cho 6)
Mặt khác 2008 chia cho 6 có số dư là 4
Do đó phương trình (4) không có nghiệm nguyên.
Vì vậy hệ (I) không có nghiệm nguyên x,y,z
III.Kết luận - kiến nghị:
Trên đây là một vài phương pháp giải hệ phương trình bằng phương
pháp đánh giá mà trong quá trình giảng dạy tôi đã tổng hợp, sử dụng trong
quá trình dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.Đây chỉ là kinh nghiệm nhỏ về
cách giải hệ phương trình trong rất nhiều phương pháp giải hệ phương trình
chúng ta đã gặp. Mong nhận được sự góp ý chân thành từ các thầy cô giáo
và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
8

9. 9

10. 9