kansrek les 4 pps gvalst

1. Kansrekening DT 1415
Les 4
Gerard van Alst
1

2. Doelen
• Discreet en continu
• Kansverdeling
• Gemiddelde en verwachtingswaarde
• Variantie (vanuit een frequentieverdeling
van de gehele populatie)
• De binomiale verdeling.
• Verwachtingswaarde en variantie bij de
binomiale verdeling.
2

3. Huiswerk en andere vragen?
• Zijn er nog vragen over huiswerk of
andere vragen?
3

4. Discreet en continu
• Een kansvariabele is discreet als de mogelijke
uitkomsten losse punten vormen op de getallenlijn.
• Een kansvariabele is continu als de mogelijke
uitkomsten een interval (evt. meerdere intervallen)
vormen op de getallenlijn.
• De lengte van een persoon is een continue variabele.
In principe vormen de uitkomsten een interval (hoewel
we meestal afronden).
• Ook leeftijd is een continue variabele.
• Het aantal keer zes dat ik gooi met een dobbelsteen
als ik 100 keer gooi, is een discrete variabele.
4

5. 5

6. 6

7. Kansverdeling
• Bij een kansverdeling is de som van alle
kansen gelijk aan 1.
• Stel we gooien met een dobbelsteen: 60
keer. Er doet zich de volgende verdeling
voor:
• Het gemid-
delde is
dan: 3,45
7
Aantal ogen Frequentie Totaal aantal ogen
1 12 12
2 8 16
3 11 33
4 10 40
5 8 40
6 11 66

8. Kansverdeling en theoretisch
gemiddelde
• Hoeveel gooi je theoretisch gezien,
gemiddeld met een (zuivere) dobbelsteen?
• Kansverdeling:
8
Aantal
ogen
Kans
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6

9. Kansverdeling en theoretisch
gemiddelde
• Stel in een vaas zitten balletjes met een
nummer erop: 4 balletjes met een 1, 9
balletjes met een 2 en 7 balletjes met een 3.
• Ik trek één balletje.
• Wat is theoretisch gemiddelde in dit geval?
• Theor. gem.= 1 ∙
4
20
+2 ∙
9
20
+ 3 ∙
7
20
=
43
20
= 2,15
• We zien hier:
9

10. 10

11. 11
Expected value heet in het Nederlands: verwachtingswaarde.

12. Variantie en standaardafwijking:
12

13. De binomiale verdeling
13
• Bijvoorbeeld: het aantal zessen bij 100
worpen met een dobbelsteen.
• Er is een vaste kans op een zes (nl. 1/6) en
er zijn 100 onafhankelijke pogingen.

14. Binomiale verdeling (2)
• Bijvoorbeeld: X is het aantal zessen bij
100 worpen met een dobbelsteen: dan is
0 ≤ X ≤ 100.
14

15. Binomiale verdeling (3)
15

16. 16

17. Uitleg (bin. verdeling 4)
• X = aantal vluchten dat op tijd ging.
• T = op tijd, kans 0,8
• L = niet op tijd, kans 0,2.
• P(X=4) = (0,8)4
• P(X=3) = 4·(0,8)3·(0,2)
• Tel het aantal uiteinden
met drie L en één L.
17

18. Uitleg binomiale verdeling (5)
• P(X=2) = 6 ·(0,8)2·(0,2)2
• Het aantal mogelijkheden met twee keer L en
twee keer T:
• LLTT, LTLT, LTTL, TLLT, TLTL, TTLL.
• We zien dat we twee plaatsen van de vier
moeten kiezen voor de L: hiervoor zijn
4
2
mogelijkheden.
• We zien: P(X=k) =
4
𝑘
(0,8)k·(0,2)4-k ,voor
k=0,1,2,3,4.
18

19. Uitleg binomiale verdeling (6)
19
• De verwachtingswaarde X = np kunnen we
begrijpen: 80% van de vliegtuigen komt op
tijd. Bij 4 vluchten is de verwachtingswaarde
dus 4 x 0,8 = 3,2.
• De variantie (en standaardafwijking) is
moeilijk te begrijpen.

20. Oefening.
20

21. 21

22. 22

23. 23

24. Opmerking
• Vraag b is alleen met meer kennis “hard” te
beantwoorden:
• Bij dit aantal (n=4) kunnen we bij benadering
de normale verdeling toepassen (Bell). Bij de
normale verdeling geldt: binnen van
liggen ongeveer 68% van de waarden, binnen
2 van liggen ongeveer 95% van de
waarden.
• We hebben hier = 140 en =9,54, dus de
waarde van 162 ligt meer dan 2 af van en
dat is onwaarschijnlijk. 24

25. Binomiale verdeling met de TI-84
• Binompdf(n,p,k)= P(X=k) waarbij X
binomiaal verdeeld is (n,p)
• Binomcdf(n,p,k)= P(X≤k) waarbij X
binomiaal verdeeld is (n,p)
• Op TI 84:
• Ga naar beneden totdat je Binompdf of
Binomcdf verschijnt.
• Nu geeft Binompdf(4,0.8,2) = 0.1536.
25

26. 26