Από το θερινό σχολείο του 2015 της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας.

3. 1
32 Χρόνια Προςφοράσ
και Δθμιουργίασ
ςτθ Μακθματικι Επιςτιμθ
και Παιδεία τθσ Κφπρου
1983 – 2015
ΚΤΠΡΛΑΚΘ ΜΑΚΘΜΑΣΛΚΘ ΕΣΑΛΡΕΛΑ
΢ΘΜΕΛΩ΢ΕΛ΢
ΕΛ΢ΑΓΩΓΘ ΢ΣΘ ΚΕΩΡΛΑ ΑΡΛΚΜΩΝ
25Ο
ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ ΢ΧΟΛΕΙΟ
ΑΓΡΟ΢ 2015
ΕΠΛΠΕΔΟ I
Λευκωσία, Ιούλιος 2015

4. 2
ΕΙ΢ΑΓΩΓΗ: ΒΑ΢ΙΚΑ ΢ΤΝΟΛΑ ΢ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙ΢ ΣΟΤ΢
΢φντομθ Ιςτορικι Αναδρομι
1. Ποια ςφνολα αρικμϊν γνωρίηετε ςτα Μακθματικά;
Αν ρωτθκοφμε ποιο ςφνολο με αρικμοφσ γνωρίηουμε ι ζςτω ποιο είναι το ποιο ςφνθκεσ, είναι
ςχεδόν βζβαιο ποιο κα απαντιςει ο κακζνασ μασ! * +
Είναι το γνωςτό μασ ςφνολο των Φυςικών Αρικμών και το ςυμβολίηουμε με το ( από τθν
αγγλικι φράςθ Natural Νumbers). Σο κατεξοχιν ςφνολο με το οποίο αςχολείται θ Κεωρία Αρικμϊν
είναι οι Φυςικοί Αρικμοί, μαηί με τισ ιδιότθτεσ και τισ ςχζςεισ που τουσ διζπουν. Θ Κεωρία
Αρικμϊν είναι ζνα αχανζσ πεδίο, άκρωσ ενδιαφζρον και ςθμαντικό για τα Μακθματικά. Δεν είναι
τυχαίο που ο Gauss ονομάηει τα Μακθματικά ωσ τθ «βαςίλιςςα των Επιςτθμϊν» και πιο ειδικά τθ
Κεωρία Αρικμϊν ωσ τθ «βαςίλιςςα των Μακθματικϊν». Από τθν ανάγκθ του πρωτόγονου
ανκρϊπου να μετριςει και να επιλφςει απλά κακθμερινά προβλιματα, φκάνουμε ςτουσ
πρϊτουσ, με τουσ οποίουσ ιςτορικά αςχολοφνται κάπωσ πιο ςοβαρά και ςυςτθματικά . Αυτοί είναι
οι Πυκαγόρειοι και ο Καλισ ,ονομάηοντασ μάλιςτα «Λογιςτικι» τθν επιςτιμθ που ζχει να κάνει με
τουσ αρικμοφσ και τισ πράξεισ τουσ, διαχωρίηοντασ τθν από τθν «Αρικμθτικι» που αςχολείται με
τθ μελζτθ των ιδιοτιτων και ςχζςεων μεταξφ των αρικμϊν. Απλά ςιμερα θ Κεωρία Αρικμϊν είναι
αυτό που οι Πυκαγόρειοι τότε ονόμαηαν Αρικμθτικι, ενϊ ςιμερα θ Αρικμθτικι είναι κάτι πιο
πρακτικό, με τθν ζννοια τθσ τζχνθσ να εκτελεί κάποιοσ πράξεισ με αρικμοφσ επιλφοντασ
προβλιματα.
Πρόδρομοι λοιπόν τθσ ςθμερινισ Κεωρίασ Αρικμϊν κεωροφνται οι Πυκαγόρειοι και ο Καλισ που
με τισ μελζτεσ τουσ, ζκαναν τισ πρϊτεσ ταξινομιςεισ των φυςικϊν αρικμϊν ςε Άρτιουσ,
Περιττοφσ, πρϊτουσ ,ςφνκετουσ, τζλειουσ, ελλιπείσ, πλιρεισ, φίλιουσ και Πολφγωνουσ Αρικμοφσ (
τρίγωνοι, τετράγωνοι, πεντάγωνοι, κλπ.). Με αυτά τα υποςφνολα των Φυςικϊν Αρικμϊν κα
αςχολθκοφμε ςτθ ςυνζχεια. Θ ανακάλυψθ του Πυκαγορείου Κεωριματοσ τουσ οδιγθςε ςτθ
βακφτερθ μελζτθ των Πυκαγόρειων τριάδων, κακϊσ και τθν εμπλοκι του Πλάτωνα ςε μελζτθ για
εφρεςθ γενικοφ τφπου που να δίνει όλεσ τισ Πυκαγόρειεσ τριάδεσ. Θ ςυνζχεια ςτθ μελζτθ τθσ
Κεωρίασ Αρικμϊν εμφανίηεται με μεγαλοπρεπι τρόπο ςτα ςτοιχεία του Ευκλείδθ, όπου
διερευνάται διεξοδικά θ διαιρετότθτα των φυςικϊν αρικμϊν με τθν καταςκευι του Ευκλείδειου
αλγόρικμου. Επίςθσ αναλφονται προβλιματα με βάςθ το Κεμελιϊδεσ Κεϊρθμα τθσ Κεωρίασ
Αρικμϊν, όπου κάκε φυςικόσ αρικμόσ μπορεί να αναλυκεί κατά μοναδικό τρόπο ςε γινόμενο
πρϊτων παραγόντων, κακϊσ και το πρόβλθμα εφρεςθσ του μζγιςτου κοινοφ διαιρζτθ δφο ι
περιςςοτζρων φυςικϊν αρικμϊν. ΢ε άλλα κεφάλαια των ςτοιχείων του Ευκλείδθ γίνεται λόγοσ
για τουσ άπειρουσ αρικμοφσ και αποδεικνφεται ότι το ςφνολο των πρϊτων αρικμϊν είναι άπειρο
(ιςτορικι απόδειξθ τόςο για τθν εποχι που ζγινε, όςο και για τθν ζξυπνθ μζκοδο που
χρθςιμοποιικθκε). Οι Πυκαγόρειεσ τριάδεσ κακϊσ και οι άρτιοι τζλειοι αρικμοί κοςμοφν ςτθ
ςυνζχεια τα «΢τοιχεία του Ευκλείδθ».
Δεν κα μποροφςαμε να μθν αναφζρουμε και τθ ςυμβολι του Αρχιμιδθ με τουσ οριςμοφσ του και
τισ ζννοιεσ περί μεγάλων αρικμϊν και τζλοσ για τουσ αρχαίουσ Ζλλθνεσ ο Διόφαντοσ, που με το
ζργο του «Αρικμθτικά» ζχει επθρεάςει ςε τόςο βακμό τουσ μεταγενζςτερουσ Μακθματικοφσ
ϊςτε να τον αποκαλζςουν και «πατζρα» τθσ Άλγεβρασ. Σο πιο αξιοςθμείωτο ίςωσ ζργο του
Διόφαντου είναι και οι επϊνυμεσ εξιςϊςεισ του. Με τισ περίφθμεσ γραμμικζσ Διοφαντικζσ
εξιςϊςεισ αναηθτοφνται ακζραιοι αρικμοί που να είναι λφςεισ τθσ εξίςωςθσ , όπου

5. 3
και φυςικοί ι ακζραιοι αρικμοί. Από τότε και μζχρι τθν Αναγζννθςθ δεν παρατθρείται
ςχεδόν καμμιά ςθμαντικι πρόοδοσ, εκτόσ από τουσ Λνδοφσ Μπραχμαγκοφπα ( 7οσ
αιϊνασ μ.Χ) και
Μπαςκάρα (12οσ
αιϊνασ μ. Χ).
Θ νζα περίοδοσ , θ ανάπτυξθ και θ άνκιςθ τθσ Κεωρίασ Αρικμϊν αρχίηει τον 17ο
αιϊνα με
ςυςτθματικι μελζτθ και ανάπτυξθ κεωρθμάτων που ςυνδζονται άμεςα με θχθρά ονόματα όπωσ
τουσ Pierre de Fermat (1601-1665), Euler (1707-1783), Lagrange (1736,1813), Legendre
(1752,1833), Gauss (1777-1855), Dirichlet (1805-1859) και πολλοφσ άλλουσ και με τουσ οποίουσ κα
αςχολθκοφμε με κάποιουσ, αφοφ γίνεται αναφορά ςε επϊνυμα κεωριματα και προτάςεισ.
Φυςικοί Αρικμοί-΢φμβολα-Τποςφνολα και ιδιότθτζσ τουσ
2. Τπάρχουν άλλα ςφνολα ςτα Μακθματικά; Ι μιπωσ μασ βολεφει το ςφνολο των Φυςικϊν Αρικμϊν
μόνο ; ΢το κάτω –κάτω οι φυςικοί αρικμοί , κατά τον Kronecker, είναι δϊρο του Κεοφ ςτουσ
ανκρϊπουσ και ότι οποιοδιποτε άλλο ςφνολο κα είναι πλζον καταςκεφαςμα των ανκρϊπων για
να ξεπεραςτοφν κάποια προβλιματα ι δυςκολίεσ.
Ασ ςτακοφμε λίγο ςτο * + και αργότερα κα δοφμε πωσ το βαςικό αυτό ςφνολο
κα αποτελζςει το εφαλτιριο για τθν καταςκευι άλλων ςυνόλων. ΢τθ γλϊςςα των ςυνόλων όταν
λζμε ότι το είναι φυςικόσ αρικμόσ αυτό γράφεται: , ενϊ όταν λζμε το δεν είναι φυςικόσ
αρικμόσ αυτό γράφεται: . ΢χολιάηοντασ το * + ασ δοφμε κάποια πολφ
βαςικά χαρακτθριςτικά του. Καταρχιν αρχίηει από κάπου. Από το ( πολλά ςυγγράμματα δεν
κατατάςςουν το ςτουσ φυςικοφσ αρικμοφσ). Ζχει δθλαδι ελάχιςτο ςτοιχείο, όπωσ ελάχιςτο
ςτοιχείο κα ζχει και οποιοδιποτε άλλο υποςφνολο του Σι ςυμβαίνει όμωσ ςτο άλλο του άκρο; (
Ιταν ίςωσ και μια πρϊτθ απορία μασ ςτα παιδικά μασ χρόνια! Που δθλαδι ςταματοφν και αν
ςταματοφν κάπου οι Φυςικοί αρικμοί). Αυτι θ αζναθ αρίκμθςθ του το κακιςτά όπωσ λζμε ςε
πιο αυςτθρι γλϊςςα να μθν είναι άνω φραγμζνο ςφνολο.
3. Οι διαδοχικζσ ανιςότθτεσ κάνουν τουσ φυςικοφσ αρικμοφσ να διατάςςονται και
θ ςχζςθ να είναι ςχζςθ αυςτθρισ διάταξθσ ςτουσ φυςικοφσ αρικμοφσ. Σο γεγονόσ ότι αν μασ
δοκοφν δφο οποιοιδιποτε φυςικοί αρικμοί και , τότε για αυτοφσ κα ιςχφει μία από τισ τρεισ
ςχζςεισ: ι και ζτςι λζμε ότι το είναι ζνα ολικά διατεταγμζνο ςφνολο . Αυτό
αργότερα κα κρφβει μια από τισ ςπουδαιότερεσ μεκόδουσ ςτουσ Φυςικοφσ Αρικμοφσ που κα
ονομάηεται «Τζλεια Επαγωγι». Από τθν άλλθ τϊρα θ διαδοχι αυτι των φυςικϊν αρικμϊν το
χαρακτθρίηει ωσ άπειρο, αλλά αρικμιςιμο ςφνολο.
4. Ασ πάρουμε τουσ Φυςικοφσ Αρικμοφσ τϊρα και να προςπακιςουμε να τουσ χωρίςουμε ςε
διάφορα άλλα ςφνολα ( υποςφνολα των φυςικϊν). Μπορείτε να ειςθγθκείτε κάποια; Μςωσ τα πιο
«διάςθμα» υποςφνολά του να είναι:
*
*
Αν προςπακιςουμε να τοποκετιςουμε τουσ φυςικοφσ αρικμοφσ ςε ευκεία γραμμι, κα
διαπιςτϊςουμε ότι υπάρχουν μεταξφ δφο φυςικϊν αρικμϊν ζνα κενό διάςτθμα όπου ςίγουρα δεν
υπάρχει χϊροσ για άλλο φυςικό αρικμό, αλλά ίςωσ κάποιοι άλλοι αρικμοί να ζχουν κζςθ

6. 4
ανάμεςά τουσ. Πάντωσ να το ζχουμε υπόψθ και να κεωριςουμε ωσ παιχνίδι το «γζμιςμα» τθσ
αρικμθτικισ γραμμισ με αρικμοφσ. Κα καταφζρουμε άραγε να βροφμε τόςουσ αρικμοφσ ϊςτε να
γεμίςει πλιρωσ θ γραμμι; ΢ε κάκε ςθμείο τθσ δθλαδι να αντιςτοιχίηεται και ζνασ αρικμόσ;
Να λφςετε ςτο τισ εξιςϊςεισ:




Πωσ ςχολιάηετε τισ τελευταίεσ δφο εξιςϊςεισ;. Ποιοσ φυςικόσ αρικμόσ τισ επαλθκεφει ,αν υπάρχει
ζνασ τζτοιοσ αρικμόσ; Μιπωσ υπάρχει θ ανάγκθ δθμιουργίασ ενόσ νζου ςυνόλου, όπου τα
ςτοιχεία του κα επαλθκεφουν όλεσ τισ πιο πάνω εξιςϊςεισ; Να γράψετε κάποια ςτοιχεία από το
νζο αυτό ςφνολο εκτόσ του Ποια κα είναι θ νζα ονομαςία αυτοφ του ςυνόλου και πωσ κα
ςυμβολίηεται; ΢ασ είναι γνωςτι άραγε;
Ακζραιοι Αρικμοί {
5. Ποια θ ςχζςθ των δφο ςυνόλων; ΢ε τι μοιάηουν και ςε τι διαφζρουν κατά τθ γνϊμθ ςασ; Είναι
λογικό το γεγονόσ ότι ςτα αγγλικά ό όροσ ακζραιοσ εμπίπτει ςτθν κατθγορία των Directed Νumbers
( Αρικμοί με κατεφκυνςθ). Με λίγα λόγια οι φυςικοί αρικμοί «εμπλουτίηονται»! Δζχονται ( χωρίσ
παράπονο ελπίηουμε) το αρνθτικό πρόςθμο μπροςτά τουσ και χάνουν πλζον τθν αποκλειςτικότθτά
τουσ!
6. Ποιο ςφνολο από τα κα περιζχει τα περιςςότερα ςτοιχεία; Μθν απαντιςετε βιαςτικά. Αν
δοφμε τα δφο ςφνολα, το ζνα είναι γνιςιο υποςφνολο του άλλου. ΢τθν πιο κάτω οριηόντια ευκεία
να τοποκετιςετε τουσ ακζραιουσ αρικμοφσ.
7. Πωσ μποροφμε άραγε μζςα από κάποια πράξθ να δθμιουργιςουμε κάποιο άλλο ςφνολο;
8. Μιπωσ θ αναηιτθςθ λφςεων κάποιων εξιςϊςεων να μασ βοθκιςει όπωσ και προθγουμζνωσ να
ορίςουμε και πάλι ζνα νζο ςφνολο από αρικμοφσ διαφορετικοφσ από τουσ ακζραιουσ; Τπάρχουν
άραγε φυςικοί ι ζςτω ακζραιοι που να είναι λφςεισ των πιο κάτω εξιςϊςεων;


9. Σι ςυμβαίνει εδϊ; Ελπίηω ότι είςαςτε ςε κζςθ να λφςετε τισ πιο πάνω εξιςϊςεισ. Οι λφςεισ τουσ
είναι φυςικοί ι ακζραιοι αρικμοί; Μιπωσ και πάλι δθμιουργείται θ ανάγκθ καταςκευισ ενόσ νζου
ςυνόλου; Να γράψετε και κάποια άλλα ςτοιχεία από το νζο αυτό ςφνολο εκτόσ του και του .

7. 5
10. Οι πιο πάνω εξιςϊςεισ δεν είναι και τόςο τυχαίεσ. Οι άνκρωποι κατά τθν αναηιτθςθ λφςεων ςε
πολλά προβλιματα κατάλαβαν ότι δεν ιταν δυνατόν να λυκοφν ςτο πλαίςιο των φυςικϊν ι ζςτω
των ακζραιων αρικμϊν. Για παράδειγμα:
Πωσ κα μοιράηαμε εξίςου πζντε μιλα ςε δφο παιδιά;
Αν 5 κιλά φαςόλια ςτοιχίηουν , πόςο ςτοιχίηει ζνα κιλό φαςόλια;
Ποια κα είναι θ ονομαςία του νζου αυτοφ ςυνόλου;
11. ΢κεφτείτε τα γνωςτά ςασ κλάςματα και προςπακιςτε! Ι και ακόμθ, αν πάρετε δφο
οποιουςδιποτε ακζραιουσ και τουσ διαιρζςετε κα ζχετε ζνα ρθτό με τον περιοριςμό και τθν
προχπόκεςθ όμωσ ότι απαγορεφονται οι διαιρζςεισ με το μθδζν! Να προςπακιςετε να γράψετε
κάποιουσ ρθτοφσ αρικμοφσ πιο κάτω, αφοφ ορίςουμε το ςφνολο των ρθτϊν ι ςφμμετρων αρικμϊν
ςε λίγο πιο αυςτθρι γλϊςςα με :
* +
*
Φυςικά κάκε ρθτόσ αρικμόσ όταν μασ ζρχεται με το ςυμβολιςμό , πικανόν να
ζχει και διαφορετικό νόθμα. Αρχικά οι νζοι αυτοί αρικμοί ονομάςτθκαν κλαςματικοί αρικμοί ωσ
επζκταςθ των φυςικϊν αρικμϊν και δφο κλάςματα κεωροφνται ιςοδφναμα όταν
. Εδϊ αξίηει τον κόπο να κάνουμε τθ διάκριςι μασ μεταξφ των κλαςματικϊν αρικμϊν και των
ρθτϊν. Ζνασ ρθτόσ αποτελείται από όλουσ τουσ ιςοδφναμουσ του κλαςματικοφσ αρικμοφσ. Για
παράδειγμα ο ρθτόσ: { } { } είναι το ςφνολο όλων των κλαςμάτων
που είναι ιςοδφναμα με το .
Μια πρϊτθ παρατιρθςθ ςε ζνα ρθτό αρικμό μπορεί να μασ δείχνει λόγο δφο ομοειδών ι μθ
ποςών. Για παράδειγμα, από 17 ευρϊ πόςεσ τετράδεσ μποροφμε να ςχθματίςουμε; ΢ε αυτι τθν
περίπτωςθ, ο αφθρθμζνοσ αρικμόσ μασ δθλϊνει τθ ςχζςθ που ςυνδζει τα δφο ομοειδι ποςά
και μάλιςτα δθλϊνει το ακριβζσ πθλίκο τθσ διαίρεςθσ των δφο ομοειδϊν ποςϊν ( τα 17
ευρϊ προσ τα 4 ευρϊ). Αν τα ποςά είναι μθ ομοειδι και το 17 για παράδειγμα δθλϊνει τθν
απόςταςθ που διανφει ζνα κινθτό ςε χιλιόμετρα και το 4 είναι ο χρόνοσ ςε λεπτά που καλφπτει το
κινθτό όταν κινείται με ςτακερι ταχφτθτα, τότε το , δθλαδι παριςτάνει τθν
ταχφτθτα του κινθτοφ.
΢ε άλλθ περίπτωςθ το ςφμβολο μπορεί να μασ δθλώνει τθ ςχζςθ του μζρουσ προσ το όλον!
Γράφοντασ , πικανόν το όλον να είναι χωριςμζνο ςε ιςομεγζκθ τμιματα από τα οποία να
παίρνουμε τα , όπωσ για παράδειγμα όταν αναφερόμαςτε ότι «φάγαμε τα τθσ ςοκολάτασ».
12. Μποροφμε να γεμίςουμε τθν αρικμθτικι μασ γραμμι με αρικμοφσ χωρίσ να αφιςουμε κενά;
Μεταξφ του αρικμοφ και του , προςπακιςτε να βάλετε 8 αρικμοφσ και ςτθ ςυνζχεια όςουσ
άλλουσ ακόμα αρικμοφσ μπορείτε. Σο γεγονόσ ότι μία ακζραια μονάδα μποροφμε να τθ χωρίςουμε

8. 6
ςε 8 ίςα τμιματα, το κάκε τμιμα αντιπροςωπεφεται από τον αφθρθμζνο αρικμό , που
γεωμετρικά είναι και το τθσ απόςταςθσ από το 1 μζχρι το 2.
13. Σϊρα, μζςα ςτο ίδιο ςφνολο των ρθτϊν φαίνεται να «παράγονται» δφο διαφορετικά είδθ ρθτϊν
ωσ προσ τθν ζννοια του τερματιηόμενου ι μθ δεκαδικοφ αρικμοφ που προκφπτει:
Για παράδειγμα οι ρθτοί από τα ςφνολα:
* , + και * +
αν μετατραποφν ςε αντίςτοιχα δεκαδικά κλάςματα, τα δφο ςφνολα μποροφμε να τα δοφμε και ςε
διαφορετικι μορφι όπωσ φαίνονται ςτον πιο κάτω πίνακα:
Σφνολο Σφνολο
Κλαςματικι
αναπαράςταςθ
ρθτοφ
Αντίςτοιχθ
δεκαδικι
αναπαράςταςθ
ρθτοφ
Κλαςματικι
αναπαράςταςθ
ρθτοφ
Αντίςτοιχθ δεκαδικι
αναπαράςταςθ ρθτοφ
̇
̇ ̇
̇
̇ ̇
̇
̇ ̇
̇ ̇
̇ ̇
1 2

9. 7
14. Άρα ςφμφωνα με τον πιο πάνω πίνακα, κάκε ρθτόσ μπορεί να γραφεί και ωσ κλαςματικόσ και ωσ
δεκαδικόσ. Ο διαχωριςμόσ μασ κα γίνει από το γεγονόσ αν ο δεκαδικόσ τερματίηεται ι όχι. Όταν
λζμε δεκαδικό κλάςμα, εννοοφμε κλάςμα με παρονομαςτι ι κάποια δφναμθ του . Είναι
φανερό και από τον πιο πάνω πίνακα ότι τα δεκαδικά ψθφία ενόσ ρθτοφ τερματίηονται, όταν το
αντίςτοιχο κλάςμα που τον αντιπροςωπεφει ζχει παρονομαςτι κάποια δφναμθ του 10 ι όταν είναι
τθσ μορφισ . Σϊρα ςτθν αντίκετθ περίπτωςθ που τα δεκαδικά κλάςματα δεν ζχουν
τερματιςμό, παρατθρείται μια περιοδικότθτα . ΢ε όλεσ τισ περιπτϊςεισ πάντοτε κα
επαναλαμβάνεται ζνα, δφο ι και περιςςότερα ψθφία! Ο αρικμόσ που ςχθματίηουν τα
επαναλαμβανόμενα ψθφία του κα ονομάηεται περίοδοσ του αρικμοφ. Για παράδειγμα το
ζχει περίοδο 1 το ζχει περίοδο 2 κοκ. Καταλιγοντασ,
ςυμπεραίνουμε ότι κάκε ρθτόσ αρικμόσ ι είναι δεκαδικόσ (δθλαδι ζχει ςυγκεκριμζνο πλικοσ
δεκαδικϊν ψθφίων) ι είναι περιοδικόσ δεκαδικόσ (δθλαδι ζχει άπειρο πλικοσ δεκαδικϊν ψθφίων
τα οποία, από κάποιο ψθφίο και μετά, επαναλαμβάνονται περιοδικά). Κα μποροφςαμε ακόμθ να
κάνουμε και μια παραδοχι λζγοντασ ότι και ζνασ τερματιηόμενοσ δεκαδικόσ αρικμόσ π.χ κα
μποροφςε να γραφεί και ωσ , δθλαδι να γραφεί ςε μορφι περιοδικοφ αρικμοφ με
περίοδο όμωσ
15. Κα είμαςτε ςε κζςθ να αναγνωρίςουμε ότι κάποια δεκαδικά κλάςματα είναι όντωσ δεκαδικοί;
Ποιοί κατά τθ γνϊμθ ςασ από τουσ πιο κάτω αρικμοφσ είναι ςίγουρα ρθτοί;
̇
̇ ̇
̇ ̇
….
̇ ̇
16. Ποιά κα είναι θ αντίςτοιχθ κλαςματικι μορφι τουσ; Ασ δοφμε ζνα παράδειγμα για τον :
Αν , τότε . Αφαιρϊντασ τισ δφο εξιςϊςεισ, παίρνουμε:
Δοκιμάςτε τα υπόλοιπα ζχοντασ υπόψθ το πλικοσ των ψθφίων του επαναλαμβανόμενου μοτίβου.
΢τον αρικμό δεν κα μασ βοθκιςει ο πολλαπλαςιαςμόσ με το 10, διότι τϊρα επαναλαμβάνονται
2 ψθφία. Ζτςι αν ζχετε
17. Οι Πυκαγόρειοι είχαν κτιςμζνθ όλθ τουσ τθν φιλοςοφία ςτουσ ρθτοφσ (ςφμμετρουσ) αρικμοφσ.
Κάκε μζτρθςθ, άρα και κάκε αρικμόσ, μπορεί να γραφεί ωσ ρθτόσ αρικμόσ. Θ ευκεία των ρθτϊν
αρικμϊν φαίνεται να είναι διάςπαρτθ με ρθτοφσ. Σο γεγονόσ ότι πάντοτε μεταξφ οποιονδιποτε
δφο ρθτϊν αρικμϊν, οςοδιποτε κοντά κι αν είναι ο ζνασ ςτον άλλον, μπορεί να υπάρχει κάποιοσ
άλλοσ ρθτόσ, κακιςτά όπωσ λζμε το ςφνολο των ρθτϊν πυκνό ςφνολο. Σι όμωσ κα μποροφςε να
φζρει τα πάνω κάτω; Πωσ είναι δυνατόν μζςα ςε μια τόςο πυκνι γραμμι από ρθτοφσ αρικμοφσ να
μποροφν να χωράνε και άλλου είδουσ αρικμοί, ζτςι ϊςτε να αποδεικνφεται ταυτοχρόνωσ θ πυκνι
αυτι γραμμι αραιι, διότι κα χωράνε τόςοι άλλοι αρικμοί και μάλιςτα τόςο κεαματικά
περιςςότεροι από τουσ ρθτοφσ ϊςτε να μθν μποροφμε οφτε καν να τουσ αρικμιςουμε;
18. Θ απόδειξθ του Πυκαγόρειου Κεωριματοσ ιταν μια ιςτορικά ευλογθμζνθ ςτιγμι για αυτοφσ που
κατάφεραν και το απζδειξαν, αλλά και ίςωσ τουλάχιςτον για τουσ ίδιουσ, καταραμζνθ! Γιατί όμωσ;
Μιπωσ κάκε φορά που αναγκάηεται κάποιοσ να λφςει μια εξίςωςθ, θ λφςθ του να μθν είναι

10. 8
αρικμόσ από το ςφνολο που γνωρίηει; Αφοφ οι ρθτοί αρικμοί ιταν άπαντεσ οι αρικμοί, πωσ μετά
τθν ανακάλυψθ του Πυκαγορείου Κεωριματοσ κα αναηθτοφςαμε το μικοσ τθσ υποτείνουςασ ενόσ
ορκογωνίου τριγϊνου με ίςεσ κάκετεσ πλευρζσ μικουσ μίασ μονάδασ;
Ποιοσ ρθτόσ αρικμόσ ικανοποιεί τθν εξίςωςθ: Πεποίκθςθ των
Πυκαγορείων ιταν θ ανεφρεςθ κάποιου ρθτοφ ( αφοφ μόνο αυτοί υπιρχαν), διαφορετικά τα πάντα
κα γκρεμίηονταν και το όλο φιλοςοφικό οικοδόμθμα των Πυκαγορείων κα κατζρρεε και κα
χανόταν θ μεγάλθ εκτίμθςθ και υπόλθψθ που τουσ είχε ο κόςμοσ. Δυςτυχϊσ για αυτοφσ ( δεν
νομίηω για μασ ςιμερα!!), κανζνασ ρθτόσ αρικμόσ δεν επαλικευε μια τζτοια εξίςωςθ.
Οι ρθτοί αρικμοί 2135…. αποτελοφν πολφ καλζσ
προςεγγίςεισ τθσ λφςθσ τθσ εξίςωςθσ που προςπακοφμε να λφςουμε, χωρίσ ωςτόςο να
είναι όμωσ ο «πολυπόκθτοσ» ρθτόσ που ψάχνουμε! Σζλοσ, αποδεικνφεται και με επίςθμο πλζον
τρόπο, ότι ζνασ τζτοιοσ ρθτόσ δεν υπάρχει και ζτςι «γεννιζται» ζνα ακόμα νζο ςφνολο, διαφορετικό
και εντελϊσ ξζνο τϊρα με τουσ ρθτοφσ! Αυτό των αςφμμετρων ι αρριτων αρικμϊν και αποτελείται
απλά από κάκε μθ ρθτό αρικμό! Ασ το ςυμβολίςουμε με ( Irratonal Νumbers). Πολλοί γνωςτοί
μασ αρικμοί είναι ςτθν τεράςτια λίςτα των αρριτων αρικμϊν: *√ , √ , √
√
, π , ,
+. Με ςυμβολίηουμε τουσ μθ-ρθτοφσ, δθλαδι τουσ άρρθτουσ! Αν ζνασ αρικμόσ
γραφεί ωσ δεκαδικόσ και δεν είναι τερματιηόμενοσ ι περιοδικόσ, τότε κατατάςςεται ωσ άρρθτοσ.
19. Οι ρθτοί μαηί με τουσ άρρθτουσ αποτελοφν όλουσ τουσ πραγματικοφσ αρικμοφσ και κάπου εδϊ το
παιχνίδι «γεμίςματοσ» τθσ αρικμθτικισ τελειϊνει! Πράγματι, ςε κάκε ςθμείο τθσ αντιςτοιχεί και
ζνασ πραγματικόσ αρικμόσ και θ ευκεία μασ είναι τϊρα πυκνότατθ και χωρίσ το παραμικρό κενό.
20. Όπωσ διαχωρίςτθκαν οι ρθτοί αρικμοί ςε δφο κατθγορίεσ ανάλογα με το αν εμφανίηουν κάποια
περιοδικότθτα ςτο δεκαδικό τουσ ανάπτυγμα, ζτςι και οι άρρθτοι μποροφν να τεκοφν ςε δφο
μεγάλεσ κατθγορίεσ ανάλογα με τον τρόπο που προκφπτουν. Αν για παράδειγμα από εξιςϊςεισ τθσ
μορφισ παίρνουμε τουσ άρρθτουσ √ και √ , αυτοί κατθγοριοποιοφνται ςε
«αλγεβρικοφσ αρικμοφσ», γιατί προκφπτουν από λφςεισ εξιςϊςεων τθσ μορφισ:
Όμωσ από τθ λφςθ εξιςϊςεων όπωσ: ι ακόμθ από οριακζσ καταςτάςεισ
αυξουςϊν και φραγμζνων ακολουκιϊν όπωσ από τθν . / , παίρνουμε ζνα
άλλο είδοσ αρριτων αρικμϊν που το ονομάηουμε «υπερβατικοί».

11. 9
21. Ερώτηςη
Τι ξζρετε για τουσ αρικμοφσ και ; Σε ποιο ςφνολο αρικμών ανικουν;
Αςκήςεισ
1. Πόςοι φυςικοί αρικμοί περιζχονται ςτα πιο κάτω ςφνολα;
* +
* +
2. Πόςοι προςκετζοι υπάρχουν ςτα ακροίςματα:
3. Ο επόμενοσ φυςικόσ αρικμόσ του , είναι το . Ποια είναι θ τιμι του
4. Ποιοι ακζραιοι αρικμοί τα τετράγωνα τουσ είναι το
5. Πόςοι ακζραιοι αρικμοί υπάρχουν ςε κακζνα από τα διαςτιματα , - , -
6. Να γράψετε τρία διαφορετικά κλάςματα που να αναπαριςτοφν τον ρθτό .
7. Ποια ςχζςθ πρζπει να ζχουν οι ακζραιοι ζτςι ϊςτε οι ρθτοί αρικμοί να είναι
ίςοι;
8. Να βρείτε πζντε ρθτοφσ από το μζχρι το .
9. Ποιοσ φυςικόσ αρικμόσ κάνει τουσ ρθτοφσ και ίςουσ;
10.Να κάνετε διάγραμμα με κφκλουσ που να αναπαριςτοφν τα ςφνολα των φυςικϊν, ακεραίων,
ρθτϊν και αρριτων αρικμϊν.
11. Για ποιεσ τιμζσ του ο αρικμόσ ( )είναι φυςικόσ, ενϊ ο είναι ακζραιοσ;
12. Ποιοι από τουσ ακζραιουσ: { , -130} είναι τθσ μορφισ:( ),
13. Να βρείτε αρικμοφσ μεταξφ των ακεραίων
14. Να εξθγιςετε τισ βαςικζσ ιδιότθτεσ που ιςχφουν ςτουσ πραγματικοφσ αρικμοφσ: μετακετικι,
προςεταιριςτικι, ουδζτερο ςτοιχείο πρόςκεςθσ και πολλαπλαςιαςμοφ και επιμεριςτικι .
Ο Cantor είχε μιλιςει για πλθκικό αρικμό και πλθκάρικμο ςυνόλων. Αν ζνα ςφνολο είναι
πεπεραςμζνο ζχει για παράδειγμα 10 ςτοιχεία ι 100, λζμε ότι ζχουν πλθκικό αρικμό 10 και 100
αντίςτοιχα. Μάλιςτα για το ςφνολο * + γράφουμε | |
Σα πράγματα όμωσ δυςκολεφουν όταν τα ςφνολα είναι άπειρα. Πωσ κα λζμε για ζνα
απειροςφνολο πόςα ςτοιχεία ζχει; Πωσ κα μποροφμε να ςυγκρίνουμε δφο απειροςφνολα; Κα
μποροφμε άραγε να ποφμε με βεβαιότθτα ότι οι φυςικοί αρικμοί ζχουν περιςςότερα ςτοιχεία από
τουσ άρτιουσ ι τουσ περιττοφσ; Σι απαντάτε εςείσ ςτθν ερϊτθςθ;
Ποιο ςφνολο ζχει τα περιςςότερα ςτοιχεία; Οι φυςικοί αρικμοί ι οι άρτιοι αρικμοί; Ανεξάρτθτα
με τθν απάντθςι ςασ και τθ διαίςκθςι ςασ, νομίηουμε πωσ υπάρχουν δφο τρόποι να κάνουμε τισ
μετριςεισ μασ. Ο πρϊτοσ είναι να ξεκινιςουμε το μζτρθμα των δφο ςυνόλων κάτι που δεν είναι
και τόςο «φρόνιμο», διότι κα δοφμε ότι θ προςπάκεια μασ δε κα τελειϊςει ποτζ και οφτε κα
είμαςτε ποτζ ςε κζςθ να αποφαςίςουμε ποιο είναι το ακριβζσ πλικοσ των ςυνόλων. Αυτό που μασ
μζνει είναι θ αντιςτοίχιςθ. Ζνα παιδάκι όταν ρωτθκεί αν είναι 6 τα κουτάλια ςτο τραπζηι για τθ

12. 10
ςοφπα και δεν γνωρίηει τι ςθμαίνει 6 ι δεν ξζρει πϊσ να μετρά, μπορεί όμωσ να μασ εξαςφαλίςει
ότι όντωσ τα κουτάλια είναι 6, όταν τα αντιςτοιχίςει με το πλικοσ των πιάτων που υπάρχουν ςτο
τραπζηι. Αν ςε κάκε πιάτο αντιςτοιχεί και ζνα κουτάλι, τότε είναι ορκι και θ μζτρθςθ. Κάτι
ανάλογο μασ μζνει να κάνουμε ςτθν περίπτωςθ που ςυγκρίνουμε τα ςφνολα των φυςικϊν
αρικμϊν και των αρτίων αρικμϊν. Ποιο ςφνολο ζχει τα περιςςότερα ςτοιχεία; Όποια και να είναι
πάλι θ απάντθςι ςασ, νομίηετε ότι κα αλλάξετε γνϊμθ αν αντιςτοιχίςουμε ζνα προσ ζνα τα
ςτοιχεία των δφο ςυνόλων;
. . . , 100 , . .
. . . ,
Σο πιο πάνω γεγονόσ, ότι δθλαδι υπάρχει τρόποσ για να αντιςτοιχίςουμε ζνα ςφνολο με το ίδιο το
* . + , μασ δίνει τθ δυνατότθτα να τα «ανακθρφξουμε» ιςοδφναμα ςφνολα.
Μάλιςτα όταν το ζνα ςφνολο ( όπωσ είναι οι άρτιοι αρικμοί) είναι και γνιςιο υποςφνολο του . Σο
παράδοξο αυτό γεγονόσ , δθλαδι να ονομάηουμε κάποιο άπειρο ςφνολο ιςοδφναμο με κάποιο
γνιςιο υποςφνολο του είναι τελικά βαςικό χαρακτθριςτικό - οριςμόσ των άπειρων αρικμιςιμων
ςυνόλων. Ζτςι, όποτε κα ζχουμε τθ δυνατότθτα να αντιςτοιχίηουμε κάποιο ςφνολο με τουσ
φυςικοφσ αρικμοφσ, τότε κα ζχουμε ιςοδυναμία των δφο ςυνόλων και άρα το ςφνολο που κα
ςυγκρίνεται με τουσ φυςικοφσ αρικμοφσ κα είναι πλζον «αρικμιςιμο» και ότι τα δφο ςφνολα κα
ζχουν τον ίδιο πλθκάρικμο. Σο * . + ζχει ωσ απειροςφνολο τον απλοφςτερο
πλθκάρικμο και ςυμβολίηεται με | | a. O Cantor είχε δϊςει το Εβραϊκό γράμμα που
ονομαηόταν Άλεφ μθδζν.
15. Να βρείτε άπειρα υποςφνολα του * . + και να τα ςυγκρίνεται με το Για
παράδειγμα:
 οι κφβοι των φυςικϊν αρικμϊν
 Οι κετικζσ δυνάμεισ του2
 Οι τετράγωνοι φυςικοί αρικμοί
 Σα πολλαπλάςια του 5 αυξθμζνα κατά 2.
 Οι ακζραιο αρικμοί.
 Οι ρθτοί αρικμοί.
16. Ασ δθμιουργιςουμε και άλλα υποςφνολα των φυςικϊν αρικμϊν. Να γράψετε τα πολλαπλάςια του
. Όςοι αρικμοί δεν είναι πολλαπλάςια του 3, πωσ μποροφμε άραγε να τουσ χωρίςουμε ςε
διαφορετικζσ ομάδεσ (κλάςεισ), ϊςτε να ςχθματίηουν όλουσ τουσ φυςικοφσ αρικμοφσ;
΢υμπλθρϊςτε τον πιο κάτω πίνακα διαχωρίηοντασ τουσ φυςικοφσ αρικμοφσ ςε κλάςεισ. Να
προςζξετε ότι όταν λζμε κλάςεισ, εδϊ εννοοφμε υποςφνολα των φυςικϊν αρικμϊν που το κφριο
χαρακτθριςτικό τουσ είναι ότι δεν ζχουν κανζνα κοινό ςτοιχείο και ςίγουρα όταν ενϊςουμε τισ
διαφορετικζσ κλάςεισ μεταξφ τουσ κα πάρουμε το ςφνολο των Φυςικϊν Αρικμϊν!

13. 11
Πολλαπλάςια του3
Αφινουν υπόλοιπο 1
(αν διαιρεκοφν δια 3)
Αφινουν υπόλοιπο 2
(αν διαιρεκοφν δια 3)
Αν ςτον πιο πάνω πίνακα ςυμβολίςουμε τα πολλαπλάςια του με τότε πωσ κα ςυμβολίηαμε
τουσ γενικοφσ όρουσ των δφο άλλων κλάςεων;
΢υμπεραςματικά κα καταλιγαμε ςε κάποια ιςοδφναμθ πρόταςθ που λζει ότι ζνασ ακζραιοσ αν
διαιρεκεί δια του 3, τότε τα πικανά υπόλοιπα είναι: . Αυτό κα αποτελζςει ςτθ ςυνζχεια
αντικείμενο μελζτθσ όταν κατά τθ διαίρεςθ δυο φυςικϊν αρικμϊν προκφπτει υπόλοιπο.
17. Να προςπακιςετε να κάνετε το ίδιο με τα πολλαπλάςια του 4 και του 5 χωρίηοντασ ζτςι τουσ
Φυςικοφσ Αρικμοφσ ςε άλλεσ κλάςεισ.
Ποια κα είναι τα πικανά υπόλοιπα αν διαιρζςουμε κάποιο ακζραιο δια 4 ι 5;
18. Αν το ςφνολο αποτελείται από τουσ πιο κάτω φυςικοφσ αρικμοφσ * +
και είναι μία κλάςθ των Φυςικϊν Αρικμϊν, να βρείτε τισ υπόλοιπεσ κλάςεισ που αν ενωκοφν
μεταξφ τουσ κα ςχθματίςουν τουσ φυςικοφσ αρικμοφσ. ΢ε κάκε κλάςθ, να δϊςετε και ζνα τφπο
που να τθ χαρακτθρίηει.
19. ΠΟΛΤΓΩΝΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
΢πουδαίοι Ζλλθνεσ Μακθματικοί είχαν δθμιουργιςει τουσ πολφγωνουσ αρικμοφσ, που βαςικά
ιταν ακολουκίεσ αρικμϊν που θ γεωμετρικι αναπαράςταςθ του ζδινε κανονικά πολφγωνα.

14. 12
Όπωσ φαίνεται και ςτο πιο πάνω ςχιμα οι τρίγωνοι αρικμοί είναι: 1, 3, 6, 10, 15, . . . και
προκφπτουν κάκε φορά από τα μερικά ακροίςματα διαδοχικϊν φυςικϊν αρικμϊν: ( ),
( ),( ), . . ., ενϊ οι τετράγωνοι αρικμοί είναι: 1, 4, 9 , 16 ,25, ….
προκφπτουν κάκε φορά από τα μερικά ακροίςματα των διαδοχικϊν περιττϊν φυςικϊν αρικμϊν:
( ), ( ),( )
Οι ζλλθνεσ μακθματικοί γνϊριηαν τα μοτίβα των πολφγωνων αρικμϊν κακϊσ και πολλζσ ιδιότθτεσ
που τουσ χαρακτιριηαν.
Οι πολφγωνοι αρικμοί είχαν όλοι τουσ ωσ πρϊτο όρο το 1 και ςχθματίηονταν από τα μερικά
ακροίςματα των γραμμικϊν ακολουκιϊν ( Αρικμθτικζσ πρόοδοι) με αντίςτοιχεσ διαφορζσ
Για παράδειγμα οι τρίγωνοι αρικμοί δθμιουργοφνται από τθν ακολουκία όταν
παίρνουμε τα διαδοχικά μερικά ακροίςματα:
Άςκθςθ
(α) Ποιοσ είναι ο τφποσ που εκφράηει το γενικό όρο των τρίγωνων
αρικμϊν; (β) Αν παρατθριςετε ο τρίγωνοσ αρικμόσ είναι διπλάςιοσ του Να βρείτε ακόμθ ζνα
ηεφγοσ τρίγωνων αρικμϊν όπου ο ζνασ να είναι διπλάςιοσ του άλλου. (γ) Τπάρχουν τρίγωνοι
αρικμοί που ο ζνασ να είναι τριπλάςιοσ του άλλου;
Ομοίωσ οι τετράγωνοι αρικμοί δθμιουργοφνται από τα μερικά ακροίςματα τθσ: δθλ. οι
όροι των τετράγωνων αρικμϊν είναι:

15. 13
Οι πεντάγωνοι αρικμοί δθμιουργοφνται από τα μερικά ακροίςματα τθσ: δθλ. οι όροι
των πεντάγωνων αρικμϊν είναι:
( ) .
Να δθμιουργιςετε τουσ εξάγωνουσ, επτάγωνουσ και οκτάγωνουσ αρικμοφσ από τα μερικά
ακροίςματα των αντίςτοιχων ακολουκιϊν και να προςπακιςετε να τουσ αναπαραςτιςετε
γεωμετρικά, αλλά και να δϊςετε αν είναι δυνατόν το τφπο που να εκφράηει τον γενικό όρο ςε κάκε
είδοσ πολφγωνου αρικμοφ:
( ) ( ) ( )
20. Πόςοι τετράγωνοι αρικμοί υπάρχουν μεταξφ του
21. Ποιεσ είναι οι 4 βαςικζσ πράξεισ που γνωρίηετε ςτουσ φυςικοφσ αρικμοφσ και πωσ ονομάηεται ςε
κάκε περίπτωςθ το αποτζλεςμα τθσ πράξθσ;
22. Για τθν πρόςθεςη ιςχφουν κάποιεσ ιδιότθτεσ. Να αναφζρετε τισ πιο κάτω ιδιότθτεσ και να δϊςετε
αντίςτοιχο παράδειγμα για τθν κάκε μια.
Αντιμετακετικι:
Προςεταιριςτικι:
Ουδζτερο ςτοιχείο τθσ πρόςκεςθ:
Λδιότθτα απαλοιφισ:
23. Για τον πολλαπλαςιαςμό ιςχφουν και κάποιεσ άλλεσ ιδιότθτεσ. Να αναφζρετε τισ πιο κάτω
ιδιότθτεσ και να δϊςετε αντίςτοιχο παράδειγμα για τθν κάκε μια.
Αντιμετακετικι:
Προςεταιριςτικι:
Ουδζτερο ςτοιχείο του πολλαπλαςιαςμοφ:
Απορροφθτικό ςτοιχείο:
Ιδιότθτα απαλοιφισ:
Επιμεριςτικι του πολλαπλαςιαςμοφ ωσ προσ τθν πρόςκεςθ:
Δυνάμεισ των φυςικών αρικμών: Αν α , ⏟
24. Πωσ κα υπολογίηατε τα πιο κάτω ακροίςματα χωρίσ Θ/Τ;
25. Ασ δοφμε πωσ μπορεί να δθμιουργθκεί ζνα νζο ςφμβολο. Σο ςφμβολο του καυμαςτικοφ ! κάνει
τθν πιο κάτω πράξθ.

16. 14
26. Να υπολογίςετε τα 1
Ασ δοφμε και κάποιεσ άλλεσ ιδιότθτεσ των φυςικϊν αρικμϊν ςχετικά με τθ διαιρετότθτα και τουσ
πρϊτουσ αρικμοφσ .
27. ΔΙΑΙΡΕΣΟΣΗΣΑ
Θ διαίρεςθ ςτουσ φυςικοφσ αρικμοφσ είναι μια κεμελιϊδθσ πράξθ που επιλφει πολλά
προβλιματα.
Αν ζνασ φυςικόσ αρικμόσ διαιρεκεί δια και το πθλίκο είναι , ενϊ δεν μζνει υπόλοιπο, τότε
μποροφμε να ποφμε ότι το β διαιρεί το , ι ιςοδφναμα ότι το είναι πολλαπλάςιο του .
΢υμβολίηουμε όταν ο β διαιρεί τον α : β / α
Κάκε φυςικόσ αρικμόσ είτε είναι 2-ψιφιοσ, είτε 3-ψιφιοσ μπορεί να αναπτυχκεί ωσ άκροιςμα
πολλαπλαςίων δυνάμεων του 10. Για παράδειγμα:
Σο . Γενικά όμωσ όταν κα κζλουμε να
παραςτιςουμε ζνα 2-ψιφιο αρικμό γράφουμε ̅̅̅̅ . Ακόμθ:
Απλζσ ΢χζςεισ δεκαδικοφ ςυςτιματοσ
Κάκε τριψιφιοσ αρικμόσ ςτο δεκαδικό ςφςτθμα ζχει τθν μορφι
̅̅̅̅̅
Κάκε τετραψιφιοσ αρικμόσ ςτο δεκαδικό ςφςτθμα ζχει τθν μορφι
2348 1000.2 100.3 10.4 8.1
1000. 100. 10.
1000.
1000. 100.
100
abcd a b c d
abcd a bcd
abcd a b cd
abcd ab cd
   
   
 
  
 
Ιδιότθτα 1
Αν ζνασ φυςικόσ αρικμόσ διαιρεί ακριβϊσ δφο άλλουσ φυςικοφσ αρικμοφ και , τότε ο
διαιρεί τόςο το άκροιςμα και τθ διαφορά τουσ, αλλά και οποιοδιποτε γραμμικό ςυνδυαςμό των
και
Πράγματι, αν 15 και , τότε ( ) ι ( ).
Γιατί να ιςχφει όμωσ αυτό και γενικά; Πωσ μποροφμε να κάνουμε μια απόδειξθ; Δοκιμάςτε το και
είναι απλό. Δθλαδι αν και , γιατί ( ) ι ( ) ι και ακόμθ ( )

17. 15
Ιδιότθτα 2
Αν ο διαιρεί τον και ο β το τότε και ο διαιρεί το . ( Αυτό ςτθ γλϊςςα των Μακθματικϊν
μπορεί να γραφεί: Αν και , τότε α ).
Ασ δϊςουμε ζνα παράδειγμα, αλλά να μθ κεωρθκεί απόδειξθ. Να αποδείξετε τθ γενικι πρόταςθ!
Παράδειγμα: Αν 15 και , τότε
Ιδιότθτα 3
Αν ο α διαιρείται από τουσ τότε ο διαιρείται και από το ( ).
Δθλαδι: το και το , τότε το ( ) και ιςχφει: .
Να προςζξουμε ότι ςτθν πιο πάνω ιδιότθτα δεν μποροφμε να ιςχυριςτοφμε ότι, ενϊ και το
τότε το διαιρεί το . Σο ερϊτθμα είναι αν και πότε το γινόμενο κα
διαιρεί το Αυτό κα μασ το πει θ επόμενθ ιδιότθτα.
Ιδιότθτα 4
Αν ο φυςικόσ αρικμόσ διαιρείται ακριβϊσ δια του τότε κα διαιρείται και δια του
να τα είναι ςχετικά πρϊτοι αρικμοί, δθλαδι ζχουν
Για παράδειγμα: το και το 4 διαιροφν το και ο ( ) . Άρα το γινόμενο του
δθλαδι το κα διαιρεί επίςθσ το .
Σο γεγονόσ ότι για να ιςχφει θ πιο πάνω πρόταςθ πρζπει απαραίτθτα να ιςχφει το «ςχετικά
πρϊτοι» μεταξφ των δφο αρικμϊν, δθλαδι να ζχουν , είναι πάρα πολφ βαςικι! Δεν
μποροφμε δθλαδι να ιςχυριςτοφμε ότι αφοφ το , ότι και ………………….
διότι……………………
΢χόλιο: Θ ιδιότθτα 4 φαίνεται να είναι ειδικι περίπτωςθ τθσ ιδιότθτασ 3.
28. ΚΡΙΣΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΟΣΗΣΑ΢
Πολλζσ φορζσ είναι χριςιμο να διακρίνουμε αν ζνασ αρικμόσ διαιρείται ακριβϊσ από ζναν άλλο.
Αυτι θ ιδιότθτα ενόσ αρικμοφ να διαιρείται ακριβϊσ με ζναν άλλον, χωρίσ να αφινει υπόλοιπο
λζγεται διαιρετότθτα.
Για να διαπιςτϊςουμε γριγορα αν ζνασ ακζραιοσ αρικμόσ διαιρείται ακριβϊσ από ζναν άλλο,
χρθςιμοποιοφμε οριςμζνουσ κανόνεσ που ονομάηουμε κριτιρια διαιρετότθτασ.
Με τα κριτιρια διαιρετότθτασ μποροφμε ςε οριςμζνεσ πολφ ςυνθκιςμζνεσ περιπτϊςεισ να δοφμε
αν κάποιοσ αρικμόσ διαιρείται ακριβϊσ με ζνα άλλο χωρίσ να κάνουμε τθ διαίρεςθ.
Κριτιρια διαιρετότθτασ δεν υπάρχουν για όλουσ τουσ αρικμοφσ αλλά για οριςμζνουσ πολφ
χαρακτθριςτικοφσ και κυρίωσ για αυτοφσ που μασ ενδιαφζρουν άμεςα.

18. 16
Για να βροφμε τα κριτιρια διαιρετότθτασ ςτθριηόμαςτε ςε μιαν ιδιότθτα τθσ διαίρεςθσ ςφμφωνα
με τθν οποία :
« Κάκε αρικμόσ διαιρεί τα πολλαπλάςια του και μόνο αυτά»
1ο Κριτιριο διαιρετότθτασ με το 10, το 100, το 1000,…
Ζνασ αρικμόσ διαιρείται με το 10, το 100, το 1000, ..., αν τελειϊνει ςε ζνα, δφο, τρία, ... μθδενικά
αντίςτοιχα. Ο αρικμόσ 230 διαιρείται με το 10, ο αρικμόσ 2300 με το 10 και το 100, ...Να εξθγιςετε
γιατί ιςχφει αυτόσ ο κανόνασ.
2ο Κριτιριο διαιρετότθτασ με το 2
Ζνασ ακζραιοσ διαιρείται ακριβϊσ με το 2, αν το τελευταίο του ψθφίο είναι 0 ή 2 ή 4 ή
6 ή 8 (δθλ. είναι ηυγόσ αρικμόσ). Γιατί;
3ο Κριτιριο διαιρετότθτασ με το 5
Ζνασ ακζραιοσ διαιρείται ακριβϊσ με το 5, αν το τελευταίο του ψθφίο είναι 5 ή 0. Γιατί;
4ο Κριτιριο διαιρετότθτασ με το 25
Γράψετε τα πολλαπλάςια του
,………………………………………………………………………………………..
Σι παρατθρείτε; Μπορείτε να βγάλετε κάποιο κανόνα. Γιατί ιςχφει;
Να ελζγξετε ποιοι αρικμοί διαιροφνται με το
5ο Κριτιριο διαιρετότθτασ με το 4
Γράψετε τα πολλαπλάςια του 4
,…………………………………………………………………………………………
,……………..………………………………………………………………………
,…………………...……………………………………………………………………
Σι παρατθρείτε; Μπορείτε να βγάλετε κάποιο κανόνα. Γιατί ιςχφει;
Να ελζγξετε ποιοι αρικμοί διαιροφνται με το 4

19. 17
6ο Κριτιριο διαιρετότθτασ με το 3 ι το 9
6α Διαιρετότθτα με το 3
Σα πολλαπλάςια του είναι:
Μπορείτε να παρατθριςετε και να βγάλετε κάποιο κανόνα; Γιατί;
Για το κριτιριο του 3 κα ςτθριχτοφμε ςτο ότι κάκε αρικμόσ χωρίηεται ςε μονάδεσ , δεκάδεσ,
εκατοντάδεσ κ.τ.λ. Επιπλζον ςτο ότι το 10 γράφεται ωσ ι 1 . Δθλαδι κάκε δφναμθ
είναι πολλαπλάςιο του 3 και 1. Δθλαδι:
10 9 1 3 1πολ   
100 99 1 3 1πολ   
1000 999 1 3 1πολ   
Ασ πάρουμε ζνα αρικμό π.χ. τον και ασ υποκζςουμε ότι είναι ευρϊ και κζλουμε να τα
μοιράςουμε ςε τρία παιδιά. Με ότι ζχουμε πει προθγουμζνωσ ο αρικμόσ αναλφεται ςε
2754 2 1000 7 100 5 10 4      
Αν μοιράςουμε τα 2000 ευρϊ ςτα τρία παιδιά κα περιςςζψουν 4
 4 1000 4 3 1 4 3 4πολ πολ      
Αν μοιράζουμε ηα 700 ευρώ ζηα ηρία παιδιά θα περιζζέψουν 7
 7 100 7 3 1 7 3 7πολ πολ      
Αν μοιράςουμε τα 50 ευρϊ ςτα τρία παιδιά κα περιςςζψουν 5
 5 10 5 3 1 5 3 5πολ πολ      
Αν μοιράςουμε τα 2 ευρϊ ςτα τρία παιδιά κα περιςςζψουν 2
Δθλαδι ζχουμε να μοιράςουμε ςτα τρία παιδιά ακόμα 4 7 5 2 1 8    ευρϊ τα οποία
μποροφν να μοιραςτοφν εξίςου ςτα τρία παιδιά.
Σο άκροιςμα αυτό δεν είναι άλλο από το άκροιςμα των ψθφίων του αρικμοφ.
΢υμπζραςμα Ζνασ φυςικόσ αρικμόσ διαιρείται με το 3, αν το άκροιςμα των ψθφίων
του διαιρείται με το τρία.
6β Διαιρετότθτα με το 9
Ζνασ ακζραιοσ διαιρείται ακριβϊσ με το 9, όταν το άκροιςμα των ψθφίων του δίνει 9.

20. 18
Μπορείτε να εξθγιςετε γιατί ιςχφει αυτόσ ο κανόνασ.
Ασ πάμε ςε μια διαφορετικι προςζγγιςθ για επεξιγθςθ των πιο πάνω κριτθρίων .Οι πιο πάνω
ιδιότθτεσ κα μασ βοθκιςουν να κατανοιςουμε τα ίςωσ γνωςτά μασ μζχρι τϊρα κριτιρια
διαιρετότθτασ με το: , αλλά να μπορζςουμε να δοφμε και άλλα κριτιρια με
άλλουσ αρικμοφσ;
Ασ κεωριςουμε το 6-ψιφιο αρικμό: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ .
Δια 2 και 5
Αν παρατθριςουμε ότι ςτο ανάπτυγμα του αρικμοφ εκτόσ του ψθφίου των μονάδων ο αρικμόσ
είναι πολλαπλάςιο του ( και άρα πολλαπλάςιο του ), δθλαδι
( ) , τότε αν το είναι πολλαπλάςιο του
και αφοφ το είναι πολλαπλάςιο του τότε κα πρζπει και το η να είναι άρτιοσ αρικμόσ
δθλαδι: Ομοίωσ και για το 5, άρα το η κα πρζπει να είναι .
Δια 4 και 25
Με τθν ίδια λογικι το ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ μπορεί να γραφεί
ωσ . Αν Α είναι πολλαπλάςιο του 4 και αφοφ το 100λ είναι πολλαπλάςιο του 4
τότε κα πρζπει και , δθλαδι ̅ να είναι πολλαπλάςιο 4.Λεκτικά αυτό το παρουςιάηουμε
ωσ το «τελευταίο 2-ψθφιο τμιμα του Α»
Σο , δεν είναι μόνο πολλαπλάςιο του 4, είναι και του Άρα για να είναι ο πολλαπλάςιο
του 25, κα πρζπει επίςθσ το «τελευταίο 2-ψθφιο τμιμα του Α» να είναι πολλαπλάςιο του 25,
δθλαδι να είναι τθσ μορφισ:
Ερϊτθςθ:
Με τθν ίδια λογικι είναι φανερό ότι μποροφμε να ςυμπεράνουμε και το κριτιριο διαιρετότθτασ
με το . Ποιοσ άλλοσ αρικμόσ εκτόσ του 8 ζχει ανάλογο κριτιριο όπωσ του
Ζνα παράδειγμα που κα ςασ βοθκιςει να βγάλετε κάποια κριτιρια που αναφζρονται ςτθν πιο
κάτω άςκθςθ. Πότε ο πιο πάνω 6-ψιφιοσ μασ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
διαιρείται δια του 11; Πωσ γενικεφεται αυτό για κάποιο φυςικό αρικμό με ακόμθ
περιςςότερα ψθφία;
Αφοφ ο είναι πολλαπλάςιο του , τότε «αναηθτϊντασ» πολλαπλάςια του 11 ςτισ δυνάμεισ του
αυτό φαίνεται αδφνατο, αλλά μποροφμε να τα βροφμε ςε πολφ «κοντινοφσ» αρικμοφσ των
δυνάμεων του 11. Δθλαδι αρχίηοντασ από το , το είναι πολφ κοντά ςτο , άρα είναι
ι ακόμθ διαφορετικά Για τισ υπόλοιπεσ δυνάμεισ του 10
ζχουμε:
, ,
και τζλοσ .

21. 19
Δθλ. το ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ). Είναι φανερό και με χριςθ προθγοφμενων ιδιοτιτων ότι ο
κα είναι πολλαπλάςιο του 11, αν και ο αρικμόσ που προκφπτει μζςα ςτθν παρζνκεςθ
( ) είναι και αυτόσ κάποιο πολλαπλάςιο του Δθλαδι πρζπει να ζχει
ςυνολικό άκροιςμα 11, όπωσ: Γιατί όχι
Ερϊτθςθ: Είναι οι αρικμοί : , , πολλαπλάςια του
Άςκθςθ
Με τθν πιο πάνω λογικι πωσ κα μποροφςατε να βγάλετε το κριτιριο διαιρετότθτασ δια του
Κα μποροφςατε ακόμθ να ζχουμε και κριτιριο δια 7; Να ελζγξετε με αντίςτοιχα
παραδείγματα ότι τα κριτιρια διαιρετότθτασ ςασ είναι ορκά.
29. Ζνα πολφ ςπουδαίο υποςφνολο των Φυςικϊν Αρικμϊν
Ασ δοφμε ζνα από τα πιο ςπουδαία υποςφνολα των φυςικϊν Αρικμϊν. Για να μπορζςουμε να το
δοφμε κα καταγράψουμε αρχικά όλουσ τουσ διαιρζτεσ των Φυςικϊν Αρικμϊν. ΢τον πιο κάτω
πίνακα παρουςιάηονται οι φυςικοί αρικμοί με τουσ διαιρζτεσ τουσ και το πλικοσ τουσ. Εκτόσ τθσ
μονάδασ οι υπόλοιποι φυςικοί κα μποροφςαν να διαχωριςτοφν ςε δφο μεγάλεσ κατθγορίεσ
ανάλογα με το πλικοσ των διαιρετϊν τουσ. Αν παρατθριςετε το πλικοσ όλων των φυςικϊν
αρικμϊν κάποιοι ζχουν πιο πολλοφσ διαιρζτεσ από τουσ άλλουσ. Αυτό κα είναι και το «κλειδί» ςτο
να αναηθτιςουμε κάποιο υποςφνολο των φυςικϊν αρικμϊν ανάλογα με το πλικοσ των διαιρετϊν
του. ΢τον πιο κάτω πίνακα ςυμπλθρϊςτε αρικμοφσ που απουςιάηουν μετά το 13.
Φυςικόσ Αριθμόσ Διαιρζτεσ του Πλήθοσ Διαιρετών
1 {1} 1
2 {1,2} 2
3 {1,3} 2
4 {1,2,4} 3
5 {1,5} 2
6 {1,2,3,6} 4
7 {1,7} 2
8 {1,2,4,8} 4
9 {1,3,9} 3
10 {1,2,5,10} 4
11 {1,11} 2
12 {1,2,3,4,6,12} 6
13 {1,13} 2
. . .

22. 20
30. Πρϊτοι και ςφνκετοι αρικμοί
Οριςμόσ Πρϊτου αρικμοφ
Ζνασ φυςικόσ αρικμόσ, μεγαλφτεροσ από το 1, που ζχει μόνο δφο διαιρζτεσ (το 1 και τον εαυτό
του) λζγεται πρϊτοσ.
Ο αρικμόσ 2, ζχει για διαιρζτεσ μόνο το 1 και το 2. Είναι ο μοναδικόσ πρώτοσ άρτιοσ αρικμόσ.
Οριςμόσ ΢φνκετου αρικμοφ
Ζνασ αρικμόσ που ζχει τουλάχιςτον τρεισ διαιρζτεσ λζγεται ςφνκετοσ. « Ο αρικμόσ 4, ζχει
για διαιρζτεσ του το 1, το 2 και το 4».
Ο αρικμόσ 1 δεν είναι οφτε πρώτοσ οφτε ςφνκετοσ ( ζχει μόνο ζναν διαιρζτθ, τον εαυτό του).
Οι Πρϊτοι
Ο «6» είναι «γινόμενο» του «2» και του «3», «γίνεται» από τον 2 και τον 3. Ο «30» «γίνεται» από
τον 2, τον 3 και τον 5, ενϊ ο 17 «δεν γίνεται» από κάποιουσ άλλουσ αρικμοφσ. Ο «17» είναι
ΠΡΩΣΟ΢ , όπωσ και ο 13, ο 5, ο 7 και ο 11 , όπωσ και κάκε ακζραιοσ που δεν ζχει διαιρζτθ εκτόσ
φυςικά από τον εαυτό του και από τον 1. Οι ΠΡΩΣΟΛ είναι οι «δομικοί λίκοι» των (ακζραιων)
αρικμϊν και αυτό είναι κάτι που το διζκριναν οι Ζλλθνεσ όταν διαπίςτωςαν ότι κάκε αρικμόσ
μπορεί να «γίνει» από πρϊτουσ αρικμοφσ.
.
.
.
.
.
.
47 {1,47} 2

23. 21
Όπωσ οι χθμικοί αγωνίςτθκαν να προςδιορίςουν τα βαςικά ςτοιχεία τθσ φλθσ και κατζλθξαν ςτα
92 διαφορετικά άτομα, οι Ζλλθνεσ μακθματικοί ζκαναν μια καλι αρχι βλζποντασ τουσ ΠΡΩΣΟΤ΢
κάτι ςαν « ΑΣΟΜΑ τθσ ΑΡΛΚΜΘΣΛΚΘ΢ » ςαν δομικοφσ δθλαδι λίκουσ όλων των αρικμϊν.
Σα κριτιρια διαιρετότθτασ μασ διευκολφνουν ςτθν εκλογι των κατάλλθλων διαιρετϊν, για να
διακρίνουμε αν ζνασ φυςικόσ αρικμόσ είναι πρϊτοσ ι ςφνκετοσ.
Ποιοι είναι οι πρϊτοι αρικμοί; Εφκολθ θ απάντθςθ για τουσ «μικροφσ» αρικμοφσ, δφςκολθ ωσ
αδφνατθ για τουσ πολφ μεγάλουσ . Ασ αρχίςουμε όμωσ από τουσ μικροφσ. Κατ’ αρχιν κανζνασ
πρϊτοσ δεν μπορεί είναι άρτιοσ. ΢τθν περιοχι των μονοψιφιων οι πρϊτοι είναι τζςςερεισ, ο 2, ο 3,
ο 5 και ο 7. ΢τθ δεφτερθ δεκάδα είναι επίςθσ τζςςερεισ, ο 11, ο 13, ο 17, ο 19 ενϊ ςτθν τρίτθ
δεκάδα είναι τρεισ, ο 23, ο 27 και ο 29 και ςτθν τζταρτθ ο 31, ο 37 και ο 39 και ςτθν πζμπτθ ο 41, ο
43 και ο 47. ΢τουσ πρϊτουσ δθλαδι 50 ακζραιουσ οι ΠΡΩΣΟΛ είναι δεκαπζντε αρικμοί.
Τουσ πρώτουσ αρικμοφσ από το 2 μζχρι το 100 τουσ βρίςκουμε με τθ
βοικεια του κόςκινου του Ερατοςκζνθ. Ο Ερατοςκζνθσ, ςπουδαίοσ Ζλλθνασ
μακθματικόσ και φιλόςοφοσ, γεννικθκε περίπου το 275 π.Χ. Ήταν ο πρώτοσ
που υπολόγιςε τθ διάμετρο τθσ Γθσ με ακρίβεια. Δυςτυχώσ ςώηονται
ελάχιςτεσ από τισ μελζτεσ του.
Ο παρακάτω πίνακασ είναι μία επινόθςι του, για να ξεχωρίηει τουσ
αρικμοφσ που ζχουν μόνο 2 διαιρζτεσ από τουσ υπόλοιπουσ.
Ακολουκοφμε τθν εξισ διαδικαςία, διαγράφουμε:
• τον αρικμό 1.
• τα πολλαπλάςια του 2, εκτόσ από το 2.
• τα πολλαπλάςια του 3, εκτόσ από το 3.
• τα πολλαπλάςια του 5, εκτόσ από το 5.
• τα πολλαπλάςια του 7, εκτόσ από το 7.
• Βάλε ςε ζναν κφκλο τουσ αρικμοφσ που
απζμειναν.
• Πόςοι ζμειναν ςτουσ αρικμοφσ μζχρι το
100;
Ιδιότθτεσ πρϊτων
- Τπάρχουν άπειροι πρϊτοι αρικμοί.
- Κάκε κετικόσ ακζραιοσ μεγαλφτεροσ από τον 1 ζχει ζναν τουλάχιςτον πρϊτο διαιρζτθ.

24. 22
- Κάκε κετικόσ ακζραιοσ μεγαλφτεροσ από τον 1 αναλφεται κατά μοναδικό τρόπο ωσ γινόμενο
πρϊτων παραγόντων.
- Αν ο p είναι πρϊτοσ και διαιρεί το γινόμενο για κάποιουσ ακζραιουσ a, b τότε ο p διαιρεί το
a ι το b (Ευκλείδθσ).
Ερϊτθςθ
΢κεφτείτε μερικά παραδείγματα που να επιβεβαιϊνουν τθν τελευταία ιδιότθτα.
Θ πιο πάνω πρόταςθ ιςχφει ςτθν περίπτωςθ που ο p δεν είναι πρϊτοσ αρικμόσ;
Δϊςτε ζνα παράδειγμα για να επιβεβαιϊςετε τθν απάντθςθ ςασ.
31. Oι εικαςίεσ του Γκόλντμπαχ
Είναι πολφ γνωςτι θ πρϊτθ εικαςία που διατφπωςε ο Κρίςτιαν Γκόλντμπαχ (1690-1764), θ οποία
ςχετίηεται με τουσ πρϊτουσ αρικμοφσ. Ο Γκόλντμπαχ υποςτιριξε ότι κάκε άρτιοσ αρικμόσ
μεγαλφτεροσ του 2, μπορεί να γραφεί ςαν άκροιςμα δφο πρϊτων αρικμϊν. Θ απόδειξθ τθσ
παραπάνω εικαςίασ ταλανίηει ακόμα και ςιμερα τουσ μακθματικοφσ, κακϊσ παράλλθλα οι
υπολογιςτζσ επιβεβαιϊνουν τθν εικαςία για όλο και μεγαλφτερουσ αρικμοφσ. Tο 1998 θ εικαςία
επιβεβαιϊκθκε για αρικμοφσ μζχρισ και τθσ τάξθσ του 1014.
Θ δεφτερθ εικαςία του Γκόλντμπαχ ζγκειται ςτο ότι κάκε περιττόσ αρικμόσ μεγαλφτεροσ του 6
είναι άκροιςμα τριϊν πρϊτων αρικμϊν. Και αυτι θ εικαςία παραμζνει αναπόδειχτθ, αν και
επιβεβαιϊνεται από θλεκτρονικοφσ υπολογιςτζσ. Συχόν απόδειξθ τθσ πρϊτθσ εικαςίασ του
Γκόλντμπαχ κα αποδείκνυε αμζςωσ και τθ δεφτερθ εικαςία.
Άςκθςθ
Μπορείτε να ςκεφτείτε μερικοφσ πρϊτουσ αρικμοφσ που να επιβεβαιϊνουν τισ εικαςίεσ του
Γκόλντμπαχ;
Θεϊρθμα: Αν είναι ζνασ ςφνκετοσ ακζραιοσ, τότε ζχει πρϊτο διαιρζτθ ο οποίοσ είναι
μικρότεροσ ι ίςοσ √ .
Άςκθςθ: Δείξτε ότι ο 101 είναι πρϊτοσ αρικμόσ.
Άςκθςθ: Γράψε τον 7007 ςαν γινόμενο πρϊτων παραγόντων.
Αςκιςεισ
1) Να βάλεισ ςε κφκλο τθ ςωςτι απάντθςθ, που είναι μια κάκε φορά.

25. 23
α) Ποιοσ από τουσ πιο κάτω αρικμοφσ είναι πρϊτοσ;
Α. 13 Β. 49 Γ. 65 Δ. 34 Ε. 50
β) Πόςοι από τουσ αρικμοφσ 27, 37, 47, 57 είναι πρϊτοι αρικμοί;
Α. ζνασ Β. δφο Γ. τρεισ Δ. τζςςερισ Ε. κανζνασ
γ) Πόςοι από τουσ αρικμοφσ 54 , 80 , 31 , 11, 25 είναι ςφνκετοι;
Α. ζνασ Β. δφο Γ. τρεισ Δ. τζςςερισ Ε. πζντε
2) Σο Β01 ζχει 22 μακθτζσ και το Β02 ζχει 23. Ο γυμναςτισ κζλει να χωρίςει κάκε τμιμα ςε ίςεσ
ομάδεσ. ΢ε ποιο τμιμα κα δυςκολευτεί και γιατί; ΢το άλλο τμιμα πόςοι είναι οι πικανοί
ςυνδυαςμοί που μπορεί να κάνει;
3) Να βρείτε πόςουσ διαιρζτεσ ζχει ο 3600.
4) Ζνασ πειρατισ ζχει χρυςά και αςθμζνια νομίςματα. Σα χρυςά είναι περιςςότερα από τα
αςθμζνια. Σόςο ο αρικμόσ των χρυςϊν όςο και ο αρικμόσ των αςθμζνιων νομιςμάτων είναι
διψιφιοι αρικμοί. Αν αντιςτρζψουμε τα ψθφία των αρικμϊν αυτϊν προκφπτουν αρικμοί που
διαιροφνται με το 5. Πόςα χρυςά νομίςματα ζχει ο πειρατισ;
5) Να βρεκοφν οι τιμζσ του κετικοφ ακζραιου α ζτςι ϊςτε, οι αρικμοί και να
είναι ςυγχρόνωσ όλοι πρϊτοι αρικμοί.
6) Να βρείτε πόςοι ακζραιοι από το 1 ζωσ τον 50 ζχουν ακριβϊσ τρεισ διαιρζτεσ (παράγοντεσ),
ςυμπεριλαμβανομζνων του εαυτοφ τουσ και τθσ μονάδασ .
7) Να βρείτε τισ τιμζσ του φυςικοφ αρικμοφ ν ζτςι, ϊςτε ο αρικμόσ ν 1 ν
α 2 5 1
   να είναι
πρϊτοσ.
8) Ποιοσ είναι ο μικρότεροσ τετραψιφιοσ αρικμόσ που ζχει ακριβϊσ 14 κετικοφσ διαιρζτεσ
(ςυμπεριλαμβανομζνων του 1 και του εαυτοφ του) και το ψθφίο των μονάδων ενόσ πρϊτου
διαιρζτθ του είναι 3;
9) Αν α, β, γ φυςικοί αρικμοί με , να αποδείξετε ότι ο αρικμόσ α + β + 2γ είναι
ςφνκετοσ.
32. Διαιρετότθτα
Θ διαιρετότθτα είναι μια από τισ βαςικζσ ζννοιεσ τθσ κεωρίασ αρικμϊν και αναφζρεται ςτθν
διαίρεςθ ακεραίων.
Οριςμόσ
Ζνασ ακζραιοσ αρικμόσ δ ονομάηεται διαιρζτθσ ενόσ ακζραιου αρικμοφ α, αν και μόνο αν ιςχφει
α π δ  για κάποιον ακζραιο π. Ο π λζγεται πθλίκο τθσ διαίρεςθσ. ΢υμβολίηουμε το παραπάνω
ωσ δ α (Διαβάηουμε ο δ διαιρεί τον α).
Αν ζνασ αρικμόσ διαιρείται από τον δ τότε διαιρείται και από τον -δ. Επομζνωσ αν γνωρίηουμε τουσ
κετικοφσ διαιρζτεσ του γνωρίηουμε όλουσ τουσ διαιρζτεσ.
Για παράδειγμα ο 2 διαιρεί τον 6 (με πθλίκο 3), αφοφ 6=3 2.

26. 24
Κάκε ακζραιοσ αρικμόσ ζχει και ζνα ςφνολο διαιρετϊν που είναι πάντοτε πεπεραςμζνο ςφνολο
εκτόσ αν πρόκειται για τον 0 που διαιρείται από όλουσ τουσ ακεραίουσ και επομζνωσ ζχει
άπειρουσ το πλικοσ διαιρζτεσ.
Σο ςφνολο των διαιρετϊν ενόσ αρικμοφ μπορεί να βρεκεί με τθν ανάλυςθ ςε γινόμενο πρϊτων
παραγόντων (βλ. και κεμελιϊδεσ κεϊρθμα αρικμθτικισ).
Άςκθςθ
Να βρείτε όλουσ τουσ διαιρζτεσ του 36. Να κάνετε το ίδιο για τον -20.
Ιδιότθτεσ
Για ιςχφουν τα ακόλουκα:
 και – για κάκε
 a/0 για κάκε α.
 Αν , τότε
 Αν (μεταβατικότθτα)
 Αν
 Αν τότε ( ) Γενικότερα, ( ) για κάκε m και n.
Άςκθςθ
1. Διαιρεί άραγε ο α τον 5α; Ο α τον α2
; Ο αβ τον αβ2
; Ο 4 τον 4444; Ο 5 τον 505050;
2. Ποιεσ από τισ παρακάτω ςχζςεισ είναι ςωςτζσ και ποιεσ λάκοσ;
⁄ ⁄ ⁄
3. Για ποιεσ τιμζσ του φυςικοφ αρικμοφ α ιςχφει α/12;
4. Να βρείτε όλα τα ηεφγθ φυςικϊν αρικμϊν α, β για τα οποία ιςχφει α/36 και β/α.
5. Να προςδιορίςετε τουσ φυςικοφσ αρικμοφσ ν που είναι τζτοιοι , ϊςτε ο αρικμόσ να είναι
ακζραιοσ.
Λφςθ
Για να είναι
42
2v 1
ακζραιοσ πρζπει το 2v 1 να είναι διαιρζτθσ του 42.
Οι διαιρζτεσ του 42 είναι  1 2 3 6 7 14 21 42, , , , , , ,
Επειδι ο 2v 1 είναι περιττόσ αρικμόσ τότε
2v 1 1 v 0   
ι 2v 1 3 v 1   
ι 2v 1 7 v 3   

27. 25
ι 2v 1 21 v 10   
6. Δίνεται ο ακζραιοσ αρικμόσ α . Αν 7 α 5 να δείξετε ότι 7 6α 9
Λφςθ
Τπόδειξθ . Για να δείξουμε ότι: αν ζνασ αρικμόσ α β τότε α γ αρκεί να αποδείξουμε ότι
ι ότι β γ πολ α  ι λ β γ πολ α   ι γ πολ α
     α 5 6α 9 7α 14 7 α 2 πολ 7       
Άρα    7 α 5 6α 9   και 7 α 5 τότε και 7 6α 9
7. Αν οι ακζραιοι αρικμοί α 2 και 46 β διαιροφνται με το , να αποδείξετε ότι α β
διαιρείται με το 11.
8. Πόςοι αρικμοί μικρότεροι του διαιροφνται με όλουσ τουσ μονοψιφιουσ αρικμοφσ;
9. ΢ε πόςουσ αρικμοφσ μεταξφ του και του παρουςιάηεται ο αρικμόσ 5;
10. Να αποδείξετε ότι ο αρικμόσ
2 3 2009
1 2 2 2 2...     διαιρείται με 7.
11. Να αποδειχκεί ότι αν α β τότε 3 3
α α β .
12. Αν  11 α 2 και  11 35 β , να αποδείξετε ότι  11 α β .
13. Να αποδείξετε ότι ο αρικμόσ ν
α 7 11  είναι πολλαπλάςιο του 6.
33. Διαιρζτεσ και πολλαπλάςια
Διαιρζτεσ (Δ) ενόσ αρικμοφ, είναι όλοι οι ακζραιοι που διαιροφν ακριβϊσ αυτόν τον αρικμό.
Σο 1 είναι διαιρζτθσ κάκε αρικμοφ.
Κάκε ακζραιοσ αρικμόσ ζχει και ζνα ςφνολο διαιρετϊν που είναι πάντοτε πεπεραςμζνο ςφνολο
εκτόσ αν πρόκειται για τον 0 που διαιρείται από όλουσ τουσ ακεραίουσ και επομζνωσ ζχει
άπειρουσ το πλικοσ διαιρζτεσ.
Κοινοί (Κ.Δ.) δφο ι περιςςότερων αρικμϊν είναι οι διαιρζτεσ οι οποίοι είναι κοινοί (ίδιοι) ςε όλουσ
τουσ αρικμοφσ.
Γράψετε τουσ διαιρζτεσ των αρικμϊν 55, 70 και κυκλϊςτε τουσ κοινοφσ.
Το ςφνολο των κοινών διαιρετών είναι πεπεραςμζνο, άρα μποροφμε να βροφμε και τον μζγιςτο
από αυτοφσ.
Τι είναι Μ.Κ.Δ. και πώσ τον βρίςκουμε;
΢τθν παραπάνω περίπτωςθ ο μεγαλφτεροσ κοινόσ διαιρζτθσ ………………….
( Μ.Κ.Δ (55,70)=……………..)
΢υμβολίηουμε με α β( , ) τον μζγιςτο κοινό διαιρζτθ (Μ.Κ.Δ) των αρικμϊν α και β .

28. 26
Πώσ μποροφμε να βροφμε το Μ.Κ.Δ. κάποιων αριθμών γρήγορα;
Ζνασ ςφντομοσ και ςχετικά εφκολο τρόποσ να βροφμε το Μ.Κ.Δ. είναι θ μζκοδοσ ανάλυςθσ
ςφνκετων αρικμϊν ςε γινόμενο πρϊτων αρικμϊν-παραγόντων.
Να βρείτε το Μ.Κ.Δ των αρικμϊν 12, 54, 250.
΢υμπζραςμα
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Ο Μ.Κ.Δ των α και β είναι μοναδικόσ κετικόσ ακζραιοσ με τισ ιδιότθτεσ
 και , δθλαδι διαιρεί τον α και β
 Αν και , τότε
 Αν και , τότε ( )
 ( ) ( )
Άςκθςθ
1. Να βρείτε το Μ.Κ.Δ και το Ε.Κ.Π των αρικμϊν 12, 100, 64
2. Να βρείτε  3 2
63 2 3 5 90, , 
Οριςμόσ: Οι ακζραιοι α και β είναι πρϊτοι μεταξφ τουσ (ςχετικά πρϊτοι), αν ο μζγιςτοσ κοινόσ
διαιρζτθσ τουσ είναι το 1 . (΢υμβολιςμόσ ( ) )
Άςκθςθ
1. Δείξετε κατά πόςο οι ακζραιοι 121, 66 είναι πρϊτοι μεταξφ τουσ. Κάντε το ίδιο για τουσ
ακεραίουσ 45, 24.
2. Ποια ηεφγθ από τουσ αρικμοφσ είναι ηεφγθ ςχετικά πρϊτων
αρικμϊν;
3. Αν α, β κετικοί ακζραιοι και ιςχφει 5α 4β 3α 2β 1( , )   να αποδείξετε ότι το κλάςμα
α
β
είναι ανάγωγο.
(Τπόδειξθ λφςθσ)
Για να αποδείξουμε ότι δφο αρικμοί α, β είναι πρϊτοι μεταξφ τουσ δθλαδι  α β 1,  ι το κλάςμα
α
β
είναι ανάγωγο, τότε ακολουκοφμε τθν διαδικαςία:
- Ονομάηουμε  δ α β,
- Αφοφ και με κατάλλθλουσ ςυνδυαςμοφσ δείχνουμε ότι , οπότε .
4. Να δείξετε ότι το κλάςμα είναι ανάγωγο για κάκε φυςικό αρικμό ν.

29. 27
Πολλαπλάςια
Κάκε αρικμόσ εκτόσ από διαιρζτεσ ζχει και πολλαπλάςια. Σο 0 ζχει μόνο ζνα πολλαπλάςιο τον
εαυτό του. Όλοι οι άλλοι ακζραιοι ζχουν άπειρα πολλαπλάςια. Όπωσ και με τουσ διαιρζτεσ αν ζνασ
αρικμόσ m είναι πολλαπλάςιο του α και ο αντίκετοσ του -m είναι πολλαπλάςιο του α. Διότι αφοφ
m λ α  είναι m λ α( )    . Επομζνωσ αν γνωρίηουμε τα κετικά πολλαπλάςια ενόσ α 0
γνωρίηουμε όλα τα πολλαπλάςια.
Πολλαπλάςια (Π) ενόσ αρικμοφ είναι οι αρικμοί που προκφπτουν αν πολλαπλαςιάςουμε αυτό τον
αρικμό με άλλουσ ακζραιουσ αρικμοφσ.
Σα πολλαπλάςια ενόσ αρικμοφ δεν μποροφμε να τα υπολογίςουμε όλα. Είναι άπειρα (πάρα
πολλά).
Να γράψετε όλα τα πολλαπλάςια του 3
Να γράψετε όλα τα πολλαπλάςια του 4 που ανικουν ςτο διάςτθμα *-31, -1]
Κοινά πολλαπλάςια (Κ.Π.) δφο ι περιςςότερων αρικμϊν είναι τα πολλαπλάςια τα οποία είναι
κοινά (ίδια) ςε όλουσ τουσ αρικμοφσ.
Γράψετε τα πολλαπλάςια των αρικμϊν 2,6, 9 και κυκλϊςτε τα κοινά πολλαπλάςια
2,………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3,………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
6,………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
΢υμπζραςμα
Σα κοινά πολλαπλάςια δφο ι περιςςότερων αρικμϊν δεν μποροφμε να τα υπολογίςουμε όλα.
Είναι πάρα πολλά (άπειρα).
Τι είναι Ε.Κ.Π. και πώσ το βρίςκουμε;
Απάντθςθ:…………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….………………
΢τθν παραπάνω περίπτωςθ το μικρότερο κοινό τουσ πολλαπλάςιο είναι το ………………….
( Ε.Κ.Π.(2,3,6)=……………..)
΢υμβολίηουμε με  α β, το ελάχιςτο κοινό πολλαπλάςιο (Ε.Κ.Π) των αρικμϊν α και β .
Πώσ μποροφμε να βροφμε το Ε.Κ.Π. κάποιων αριθμών γρήγορα;
Ζνασ ςφντομοσ και ςχετικά εφκολο τρόποσ να βροφμε το Ε.Κ.Π. είναι θ μζκοδοσ ανάλυςθσ
ςφνκετων αρικμϊν ςε γινόμενο πρϊτων αρικμϊν-παραγόντων.

30. 28
Να βρείτε το Ε.Κ.Π των αρικμϊν 12, 54, 250
΢υμπζραςμα
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Σο των είναι μοναδικόσ κετικόσ ακζραιοσ ε με τισ ιδιότθτεσ

 x ε
 α β  α β β, 

   λα λβ λ α β, ,
Αςκιςεισ
1. Να αναλυκοφν ςε γινόμενο πρϊτων παραγόντων οι αρικμοί 37800 , 35280 . ΢τθ ςυνζχεια να
προςδιοριςτεί το Ε.Κ.Π. και ο Μ.Κ.Δ αυτϊν.
2. Όταν ρϊτθςαν τον Γρθγόρθ πόςα βιβλία ζχει, απάντθςε: «ο αρικμόσ των βιβλίων μου είναι
πολλαπλάςιο των αρικμϊν 9, 12, 14, είναι μεγαλφτεροσ του 480 και μικρότεροσ του 580».
Πόςα είναι τα βιβλία του Γιάννθ;
3. Να βρείτε το μικρότερο αρικμό ο οποίοσ αφινει υπόλοιπο 2 όταν διαιρεκεί διά του 8, του 9
και του 12.
4. ΢ε τεςτ των 100 ερωτιςεων, 9 πόντοι δίνονται για κάκε ςωςτι απάντθςθ και 5 πόντοι
αφαιροφνται για κάκε λάκοσ απάντθςθ. Ερωτιςεισ οι οποίεσ δεν ζχουν απαντθκεί δεν
υπολογίηονται ςτο ςυνολικό αποτζλεςμα. Ποιοσ είναι ο μεγαλφτεροσ αρικμόσ από ερωτιςεισ
που πρζπει να απαντθκοφν, ϊςτε να δθμιουργθκεί ζνα τελικό αποτζλεςμα βακμολογίασ 0;
5. Αν τοποκετιςουμε τουσ μακθτζσ ςε ςειρζσ των 2,3,4,5 ι 6 μακθτϊν τότε περιςςεφει κάκε
φορά ζνασ μακθτισ αλλά αν τουσ τοποκετιςουμε ςε ςειρζσ των 7 μακθτϊν τότε δεν
περιςςεφει κανζνασ μακθτισ. Να βρείτε τον ελάχιςτο αρικμό μακθτϊν που μπορεί να ζχει το
ςχολείο.
6. Ζςτω A ο μικρότεροσ φυςικόσ αρικμόσ με τθν ακόλουκθ ιδιότθτα: ο 10A είναι τζλειο τετράγωνο
και ο 6A είναι τζλειοσ κφβοσ. Αν τϊρα γράψουμε τον A ωσ γινόμενο παραγόντων ςτθν μορφι
α β γ
A 2 3 5   , με πόςο ιςοφται το άκροιςμα
) ) ) ) )
7. Πόςοι φυςικοί αρικμοί υπάρχουν ανάμεςα ςτουσ που να είναι
πολλαπλάςια του 18;

31. 29
8. Σο ελάχιςτο κοινό πολλαπλάςιο δφο αρικμϊν είναι 105 και ο μζγιςτοσ κοινόσ διαιρζτθσ είναι 5.
Ποιο είναι το άκροιςμα των αρικμϊν;
9. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακζραιοι αρικμοί ϊςτε : α β 6( , )  και  α γ 20,  .
10.Σρεισ δρομείσ κάνουν το γφρο ενόσ γθπζδου, ο πρϊτοσ ςε 6 λεπτά, ο δεφτεροσ ςε 8 και ο
τρίτοσ ςε 9 λεπτά. Αν ξεκινιςουν μαηί μετά πόςα λεπτά κα ςυναντθκοφν πάλι και πόςουσ
γφρουσ του γθπζδου κα κάνει κάκε δρομζασ;
11.Δυο φάροι κινδφνου αναβοςβινουν ο ζνασ κάκε δευτερόλεπτα και ο άλλοσ κάκε 36
δευτερόλεπτα. Και οι δυο οι φάροι αναβόςβθςαν μαηί για 1θ φορά ςτισ 10:45 π.μ. Σι ϊρα κα
αναβοςβιςουν ξανά μαηί για 13θ φορά;
12.Οι μακθτζσ μιασ ςχολικισ τάξθσ , με ςκοπό να ανακουφίςουν κάποια παιδάκια τθσ περιοχισ
τουσ, ςυγκζντρωςαν:
756€ , 360 τετράδια και 90 μολφβια.
Πόςα όμοια πακζτα μποροφν να κάνουν και πόςα αντικείμενα από τα είδθ αυτά κα περιζχει το
κάκε πακζτο.
13.Ο Κϊςτασ πθγαίνει ςτον κινθματογράφο κάκε 2 εβδομάδεσ και θ Μαρία κάκε 3 εβδομάδεσ.
Σθν Κυριακι 12/06/2011 πιγαν μαηί.
α) Μετά από πόςεσ εβδομάδεσ το ςυντομότερο κα βρεκοφν και πάλι μαηί ςτον
κινθματογράφο;
β) Ποια κα είναι θ θμερομθνία τθσ δεφτερθσ ςυνάντθςθσ τουσ;
γ) Μζχρι να βρεκοφν για δεφτερθ φορά ςτον κινθματογράφο πόςεσ φορζσ κα ζχει πάει ο
κακζνασ μόνοσ του.
34. ΔΙΑΙΡΕ΢Η ΜΕ ΤΠΟΛΟΙΠΟ- ΕΤΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕ΢Η
΢ε αρκετζσ περιπτϊςεισ κατά τθ διαίρεςθ δφο ακζραιων αρικμϊν μασ μζνει υπόλοιπο. Για
παράδειγμα όταν γράφουμε είναι ςίγουρο ότι θ διαίρεςθ μασ τϊρα δεν είναι τζλεια. Σο
πθλίκο τθσ πιο πάνω διαίρεςθ είναι και το υπόλοιπο . Δθλαδι , ι ακόμα:
΢τθν περίπτωςι μασ το 23 είναι ο διαιρετζοσ και το 5 ο διαιρζτθσ. Σο πθλίκο μασ βγικε και
το υπόλοιπο
Παράδειγμα 1

32. 30
Ο αρικμόσ 5397 όταν διαιρεκεί με πρϊτο αρικμό δίνει υπόλοιπο 15. Να βρείτε τον πρϊτο αρικμό.
Λφςθ: Ο πρϊτοσ διαιρζτθσ διαιρεί ακριβϊσ το και αφοφ ο
διαιρζτθσ κα πρζπει να είναι μεγλφτεροσ του 15 και μάλιςτα πρϊτοσ, τότε αυτόσ είναι το
Παράδειγμα 2
Ποιο το υπόλοιπο του δια
Λφςθ: Αναηθτϊντασ όςο γίνεται πολλαπλάςια του 7 που να πλθςιάηουν το αρικμό μασ και με
διαδοχικζσ αφαιρζςεισ ζχουμε: ,
Παράδειγμα 3
Ζνασ ακζραιοσ αρικμόσ μεγαλφτεροσ τθσ μονάδασ διαιρεί τουσ αρικμοφσ
Ποιοσ κα μποροφςε να είναι ζνασ τζτοιοσ
αρικμόσ;
Λφςθ: Αφοφ ςτισ αντίςτοιχεσ διαιρζςεισ των πιο πάνω αρικμϊν δια του ακεραίου που ψάχνουμε
ζχουμε το ίδιο υπόλοιπο, τότε αυτόσ ο αρικμόσ κα πρζπει να διαιρεί και τισ διαφορζσ τουσ που
είναι:
Ο ακζραιοσ που είναι κοινόσ διαιρζτθσ των διαφορϊν είναι το
Παράδειγμα 4
΢ε μια ακολουκία από ακζραιουσ αρικμοφσ ( ι μοτίβο ακεραίων) ο πρϊτοσ είναι το 15 και ο
επόμενοσ το 40. Από τον τρίτο και μετά κάκε όροσ είναι το άκροιςμα των δφο προθγοφμενων
αρικμϊν. Ποιο είναι το υπόλοιπο αν ο 1998οσ
αρικμόσ διαιρεκεί δια 3;
Σάξθ
αρικμοφ
1οσ 2οσ 3οσ 4οσ
5οσ 6οσ 7οσ 8οσ 9οσ 10οσ
Αρικμόσ 15 40 55 95 150 245 …. … … …
Τπόλοιπο 0 1 1 2 0 2 2 1 0 1
Διαιρϊντασ το 15 και το 40 δια 3, μετά προςκζτουμε τα υπόλοιπα και διαιροφμε δια τρία
φτιάχνοντασ κάκε φορά το επόμενο υπόλοιπο χωρίσ να χρειάηεται να υπολογίηουμε τον ίδιο τον
αρικμό. Παρατθρϊντασ τον πιο πάνω πίνακα βλζπουμε ότι από το 9ο
υπόλοιπο και μετά αρχίηει

33. 31
μια επανάλθψθ των υπολοίπων. Επειδι το , είναι φανερό ότι το ηθτοφμενο
υπόλοιπο μασ κα είναι το ίδιο με το υπόλοιπο του 6ου
αρικμοφ.
Άςκθςεισ
1. Ποιο το υπόλοιπο του
2. ΢τθν ακολουκία αρικμϊν: εκτόσ του 1ου και του 2ου κάκε αρικμόσ είναι
ίςοσ με το 1/3 του ακροίςματοσ των δφο αρικμϊν που βρίςκονται αριςτερά και δεξιά του
αρικμοφ. Ποιο κα είναι το υπόλοιπο του 70ου
όρου όταν διαιρεκεί δια 6;
3. Ζνασ αρικμόσ διαιροφμενοσ δια 3 δίνει υπόλοιπο 2, ενϊ διαιροφμενοσ δια 4 δίνει υπόλοιπο
1.Ποιο το υπόλοιπο αυτοφ του αρικμοφ όταν διαιρεκεί δια 12;
Λφςθ
Όλοι οι ακζραιοι που δίνουν υπόλοιπο 2 όταν διαιρεκοφν δια 3 είναι: , Αν
αυτοί οι αρικμοί διαιρεκοφν δια 12 τα αντίςτοιχα υπόλοιπα είναι: , ενϊ αυτοί
που αφινουν υπόλοιπο 1 διαιροφμενοι δια είναι: 20,23, . . . και τα αντίςτοιχα
υπόλοιπα τουσ δια 12 είναι: Είναι πλζον φανερό ότι θ απάντθςι μασ είναι το 5 διότι
είναι το μοναδικό κοινό υπόλοιπο ςτα δφο μοτίβα των υπολοίπων.
35. ΕΤΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕ΢Η
Ευκλείδεια διαίρεςθ ενόσ φυςικοφ αρικμοφ α με τον φυςικό αρικμό β με β ≠ 0 λζμε τθ
διαδικαςία κατά τθν οποία βρίςκουμε δφο μοναδικοφσ φυςικοφσ αρικμοφσ κ και υ που ζχουν
τθν ιδιότθτα :
Αν α και β ακζραιοι με β ≠ 0, τότε υπάρχουν πάντα μοναδικοί ακζραιοι αρικμοί κ και υ
τζτοιοι, ϊςτε
| |
΢τθν ιςότθτα τθσ ευκλείδειασ διαίρεςθσ του α με το β ονομάηουμε τον (μοναδικό) αρικμό κ
πθλίκο και τον (μοναδικό) αρικμό υ τον ονομάηουμε υπόλοιπο . Όταν ςε μια ευκλείδεια διαίρεςθ
δφο φυςικϊν αρικμϊν ι δφο ακεραίων αρικμϊν το υπόλοιπο προκφπτει μθδζν (υ = 0), τότε θ
διαίρεςθ λζγεται τζλεια.
Θ ευκλείδεια διαίρεςθ ενόσ φυςικοφ ι ακεραίου αρικμοφ α με το 2 δίνεται από τθν ιςότθτα
α = 2κ + υ με υ = 0 ι 1 (όπου κ є Η).
Από τθν ιςότθτα αυτι προκφπτει ότι:
Αν , τότε

34. 32
Ο ακζραιοσ αρικμόσ που ζχει τθ μορφι α = 2κ , κ є Η, λζγεται άρτιοσ, ενϊ ο ακζραιοσ
αρικμόσ που ζχει τθ μορφι α = 2κ + 1, κ є Η, λζγεται περιττόσ.
Θ ευκλείδεια διαίρεςθ ενόσ φυςικοφ ι ακεραίου αρικμοφ α με το φυςικό αρικμό β με β > 0
εκφράηεται με τθν ιςότθτα
α = βκ + υ με 0 ≤ υ <|β|
΢υνεπϊσ τα δυνατά υπόλοιπα τθσ ευκλείδειασ αυτισ διαίρεςθσ κα είναι οι αρικμοί: 0, 1, 2, 3, 4,
. . . , β -1
Άρα κάκε ακζραιοσ α μπορεί να γραφεί με μια από τισ μορφζσ:
α =…. ι α = …. ι α =…. ι . . . α = …
Αςκιςεισ:
Να βρείτε το πθλίκο και το υπόλοιπο τθσ ευκλείδειασ διαίρεςθσ του α με το β όταν:
i) α = -43 και β = 5 ii) α = 55 και β = -6 iii) α = -77 και β = -18
Να αποδείξετε:
i) Κάκε αρικμόσ τθσ μορφισ 2κ - 1, κ є Η, είναι περιττόσ.
Σο γινόμενο δφο διαδοχικϊν ακζραιων αρικμϊν είναι άρτιοσ αρικμόσ.
Σο (2κ - 1)2 κ є Η, είναι τθσ μορφισ 8λ + 1 , λ є Η.
Αν για τουσ ακζραιουσ αρικμοφσ α, β, κ και υ ιςχφει α = βκ + υ με 0 ≤ υ <|β| , να
ςυμπλθρϊςετε τον πίνακα.
α β κ υ
193 17
897 8 89
- 581 23

35. 33
Να βρείτε για ποιεσ τιμζσ του ακεραίου κ ο αρικμόσ είναι ακζραιοσ.
Να ςθμειϊςετε το ΢ (ςωςτι) ι το Λ (λανκαςμζνθ) ςε κακεμία από τισ παρακάτω προτάςεισ:
Θ ιςότθτα εκφράηει τθν ευκλείδεια διαίρεςθ του με τον 3.
΢ / Λ
Θ ιςότθτα - 26 = 3.(-7) - 5 εκφράηει τθν ευκλείδεια διαίρεςθ του -21 με τον 3.
΢ / Λ
Αν α, β є Η, το υπόλοιπο τθσ ευκλείδειασ διαίρεςθσ του α με το β ικανοποιεί τθν ανιςότθτα
0 ≤ υ ≤ |β| - 1 ΢ / Λ
Αν α περιττόσ, τότε είναι α2 = 8λ + 1, λ є Η. Θ μορφι αυτι του α2 είναι μοναδικι.
΢ / Λ
Αν ο ακζραιοσ αρικμόσ α διαιρείται με τον ακζραιο β (β ≠ 0), τότε υπάρχει μοναδικόσ κ є Η
τζτοιοσ, ϊςτε α = βκ. ΢ / Λ
Να ςυμπλθρϊςετε τισ ακόλουκεσ προτάςεισ:
Δφο διαδοχικοί ακζραιοι αρικμοί ζχουν τθ μορφι . . . . . . . . .
Σο γινόμενο δφο διαδοχικϊν ακεραίων αρικμϊν είναι πάντα αρικμόσ . . . . . . . . . . . . . . . . .
΢ε μια ευκλείδεια διαίρεςθ κετικϊν ακεραίων το πθλίκο είναι 7 και το υπόλοιπο 5. Να βρείτε το
διαιρετζο και το διαιρζτθ, όταν είναι γνωςτό ότι ο διαιρετζοσ είναι μικρότεροσ του 52.
Για ποιεσ τιμζσ του κετικοφ ακεραίου β το πθλίκο τθσ ευκλείδειασ διαίρεςθσ του 209 με το β
είναι ίςο με 13; Ποιο είναι το υπόλοιπο τθσ διαίρεςθσ αυτισ ςε κακεμία περίπτωςθ;
Να αποδείξετε ότι το γινόμενο τριϊν διαδοχικϊν ακεραίων αρικμϊν διαιροφμενο με τον 6 δίνει
υπόλοιπο 0 (είναι τθσ μορφισ ).
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ακζραιοσ α τζτοιοσ , ϊςτε ο να είναι ακζραιοσ.