Imo 2017

Shortlisted
Problems
(with solutions)
58th
International Mathematical Olympiad
Rio de Janeiro, 12–23 July 2017

ÆÓØ Ó ÓÒ ÒØ Ð ØÝ
Ì Ë ÓÖØÐ ×Ø × ØÓ ÔØ ×ØÖ
ØÐÝ
ÓÒ ÒØ Ð
ÙÒØ Ð Ø
ÓÒ
ÐÙ× ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò
ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø
Ð ÇÐÝÑÔ º
ÁÅÇ Ò Ö Ð Ê ÙÐ Ø ÓÒ× ï º
ÓÒØÖ ÙØ Ò ÓÙÒØÖ ×
Ì ÇÖ Ò Þ Ò ÓÑÑ ØØ Ò Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ë Ð
Ø ÓÒ ÓÑÑ ØØ Ó ÁÅÇ ¾¼½ Ø Ò Ø
ÓÐÐÓÛ Ò ½
ÓÙÒØÖ × ÓÖ
ÓÒØÖ ÙØ Ò 150 ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÔÓ× Ð×
Ð Ò ¸ Ð Ö ¸ ÖÑ Ò ¸ Ù×ØÖ Ð ¸ Ù×ØÖ ¸ Þ Ö Ò¸ Ð ÖÙ×¸
Ð ÙÑ¸ ÙÐ Ö ¸ Ù ¸ ÝÔÖÙ×¸ Þ
Ê ÔÙ Ð
¸ ÒÑ Ö ¸ ×ØÓÒ ¸
Ö Ò
¸ ÓÖ ¸ ÖÑ ÒÝ¸ Ö
¸ ÀÓÒ ÃÓÒ ¸ ÁÒ ¸ ÁÖ Ò¸ ÁÖ Ð Ò ¸
Á×Ö Ð¸ ÁØ ÐÝ¸ Â Ô Ò¸ Ã Þ ×Ø Ò¸ Ä ØÚ ¸ Ä Ø Ù Ò ¸ ÄÙÜ Ñ ÓÙÖ ¸
Å Ü
Ó¸ ÅÓÒØ Ò ÖÓ¸ ÅÓÖÓ

Ó¸ Æ Ø ÖÐ Ò ×¸ ÊÓÑ Ò ¸ ÊÙ×× ¸ Ë Ö ¸
Ë Ò ÔÓÖ ¸ ËÐÓÚ ¸ ËÐÓÚ Ò ¸ ËÓÙØ Ö
¸ ËÛ Ò¸ ËÛ ØÞ ÖÐ Ò ¸
Ì Û Ò¸ Ì ×Ø Ò¸ Ì ÒÞ Ò ¸ Ì Ð Ò ¸ ÌÖ Ò Ò ÌÓ Ó¸ ÌÙÖ Ý¸
Í Ö Ò ¸ ÍÒ Ø Ã Ò ÓÑ¸ ÍºËº º
ÈÖÓ Ð Ñ Ë Ð
Ø ÓÒ ÓÑÑ ØØ
ÖÐÓ× Ù×Ø ÚÓ Ì ÑÑ Ö Ó ÅÓÖ Ö ´ Ù Ùµ ´
ÖÑ Òµ¸
ÄÙ
ÒÓ ÅÓÒØ ÖÓ ×ØÖÓ¸ ÁÐÝ Áº Ó ÒÓÚ¸ Þ Ã ×¸ ÖÐÓ× ÙÞÓ Ë Ò ¸
ÙÓ ÉÙÒ ´ Ð Üµ ËÓÒ ¸ Ê ÐÔ Ó×Ø Ì Ü Ö ¸ Ù Ö Ó Ì Ò Ò

ÁÅÇ ¾¼½ ¸ Ê Ó Â Ò ÖÓ
ÈÖÓ Ð Ñ×
Ð Ö
½º Ä Ø a1, a2, . . . , an, k¸ Ò M ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö× ×Ù
Ø Ø
1
a1
`
1
a2
` ¨ ¨ ¨ `
1
an
“ k Ò a1a2 . . . an “ M.
Á M ą 1¸ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð
Ppxq “ Mpx ` 1qk
´ px ` a1qpx ` a2q ¨ ¨ ¨ px ` anq
× ÒÓ ÔÓ× Ø Ú ÖÓÓØ×º
´ÌÖ Ò Ò ÌÓ Óµ
¾º Ä Ø q Ö Ð ÒÙÑ Öº Ù Ù × Ò Ô Ò Û Ø Ø Ò ×Ø Ò
Ø Ö Ð ÒÙÑ Ö× ÛÖ ØØ Ò
ÓÒ Ø¸ Ò ÛÖ Ø × Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ö Ð Ò × Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö× ÓÒ Ø Ð
Ó Ö
• ÁÒ Ø Ö×Ø Ð Ò ¸ Ù Ù ÛÖ Ø × ÓÛÒ Ú ÖÝ ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÖÑ a´ b¸ Û Ö a Ò b Ö ØÛÓ
´ÒÓØ Ò
×× Ö ÐÝ ×Ø Ò
Øµ ÒÙÑ Ö× ÓÒ × Ò Ô Òº
• ÁÒ Ø ×
ÓÒ Ð Ò ¸ Ù Ù ÛÖ Ø × ÓÛÒ Ú ÖÝ ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÖÑ qab¸ Û Ö a Ò b Ö
ØÛÓ ´ÒÓØ Ò
Øµ ÒÙÑ Ö× ÖÓÑ Ø Ö×Ø Ð Ò º
• ÁÒ Ø Ø Ö Ð Ò ¸ Ù Ù ÛÖ Ø × ÓÛÒ Ú ÖÝ ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÖÑ a2
` b2
´ c2
´ d2
¸ Û Ö
a, b, c, d Ö ÓÙÖ ´ÒÓØ Ò
Ø ÖÑ Ò ÐÐ Ú ÐÙ × Ó q ×Ù
Ø Ø¸ Ö Ö Ð ×× Ó Ø ÒÙÑ Ö× ÓÒ Ù Ù³× Ò Ô Ò¸ Ú ÖÝ
ÒÙÑ Ö Ò Ø ×
ÓÒ Ð Ò × Ð×Ó ÒÙÑ Ö Ò Ø Ø Ö Ð Ò º
´ Ù×ØÖ µ
¿º Ä Ø S Ò Ø × Ø¸ Ò Ð Ø A Ø × Ø Ó ÐÐ ÙÒ
Ø ÓÒ× ÖÓÑ S ØÓ Sº Ä Ø f Ò
Ð Ñ ÒØ Ó A¸ Ò Ð Ø T “ fpSq Ø Ñ Ó S ÙÒ Ö fº ËÙÔÔÓ× Ø Ø f ˝ g ˝ f ‰ g ˝ f ˝ g
ÓÖ Ú ÖÝ g Ò A Û Ø g ‰ fº Ë ÓÛ Ø Ø fpTq “ Tº
´ÁÒ µ
º × ÕÙ Ò
Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö× a1, a2, . . . × Ø × × Ø Ö Ð Ø ÓÒ
an “ ´ max
i`j“n
pai ` ajq ÓÖ ÐÐ n ą 2017º
ÈÖÓÚ Ø Ø Ø × × ÕÙ Ò
× ÓÙÒ ¸ º º¸ Ø Ö ×
ÓÒ×Ø ÒØ M ×Ù
Ø Ø |an| ď M ÓÖ ÐÐ
ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö× nº
´ÊÙ×× µ

Ë ÓÖØÐ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ×
º Ò ÒØ Ö n ě 3 × Ú Òº Ï
ÐÐ Ò n¹ØÙÔÐ Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö× px1, x2, . . . , xnq Ë ÒÝ
ÓÖ
Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ y1, y2, . . . , yn Ó Ø × ÒÙÑ Ö× Û Ú
n´1ÿ
i“1
yiyi`1 “ y1y2 ` y2y3 ` y3y4 ` ¨ ¨ ¨ ` yn´1yn ě ´1.
Ò Ø Ð Ö ×Ø
ÓÒ×Ø ÒØ K “ Kpnq ×Ù
Ø Ø
ÿ
1ďiăjďn
xixj ě K
ÓÐ × ÓÖ Ú ÖÝ Ë ÒÝ n¹ØÙÔÐ px1, x2, . . . , xnqº
´Ë Ö µ
º Ò ÐÐ ÙÒ
Ø ÓÒ× f : R Ñ R ×Ù
Ø Ø
fpfpxqfpyqq ` fpx ` yq “ fpxyq
ÓÖ ÐÐ x, y P Rº
´ Ð Ò µ
º Ä Ø a0, a1, a2, . . . × ÕÙ Ò
Ó ÒØ Ö× Ò b0, b1, b2, . . . × ÕÙ Ò
Ó ÔÓ× Ø Ú
ÒØ Ö× ×Ù
Ø Ø a0 “ 0, a1 “ 1¸ Ò
an`1 “
#
anbn ` an´1, bn´1 “ 1
anbn ´ an´1, bn´1 ą 1
ÓÖ n “ 1, 2, . . .º
ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ð ×Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ ÒÙÑ Ö× a2017 Ò a2018 ÑÙ×Ø Ö Ø Ö Ø Ò ÓÖ ÕÙ Ð ØÓ 2017º
´ Ù×ØÖ Ð µ
º ××ÙÑ Ø Ø ÙÒ
Ø ÓÒ f : R Ñ R × Ø × × Ø ÓÐÐÓÛ Ò
ÓÒ Ø ÓÒ
ÓÖ Ú ÖÝ x, y P R ×Ù
Ø Ø
`
fpxq`y
˘`
fpyq`x
˘
ą 0¸ Û Ú fpxq`y “ fpyq`xº
ÈÖÓÚ Ø Ø fpxq ` y ď fpyq ` x Û Ò Ú Ö x ą yº
´Æ Ø ÖÐ Ò ×µ

ÓÑ Ò ØÓÖ
×
½º Ö
Ø Ò Ð R Û Ø Ó ÒØ Ö × Ð Ò Ø × × Ú ÒØÓ ×Ñ ÐÐ Ö
Ø Ò Ð × Û Ø ÒØ Ö
× Ð Ò Ø ×º ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ö × Ø Ð ×Ø ÓÒ ÑÓÒ Ø ×Ñ ÐÐ Ö
Ø Ò Ð × Û Ó× ×Ø Ò
× ÖÓÑ
Ø ÓÙÖ × × Ó R Ö Ø Ö ÐÐ Ó ÓÖ ÐÐ Ú Òº
´Ë Ò ÔÓÖ µ
¾º Ä Ø n ÔÓ× Ø Ú ÒØ Öº Ò
Ñ Ð ÓÒ ØÓ ÒÝ × ÕÙ Ò
Ó 3n Ð ØØ Ö×¸ Û Ø
Ü
ØÐÝ n Ó

ÙÖÖ Ò
× Ó
Ó Ø Ð ØØ Ö× a¸ b¸ Ò cº Ò ×Û Ô ØÓ Ø ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ Ó
ØÛÓ
ÒØ Ð ØØ Ö× Ò
Ñ Ð ÓÒº ÈÖÓÚ Ø Ø ÓÖ ÒÝ
Ñ Ð ÓÒ X¸ Ø Ö Ü ×Ø×
Ñ Ð ÓÒ Y
×Ù
Ø Ø X
ÒÒÓØ
Ò ØÓ Y Ù× Ò Û Ö Ø Ò 3n2
{2 ×Û Ô×º
´ Ù×ØÖ Ð µ
¿º Ë Ö Ð Ü ÔÐ Ý× Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ñ ÓÒ ÖÓÛ Ó 9
ÐÐ×º ÁÒ Ø ÐÐÝ¸ ÐÐ
ÐÐ× Ö ÑÔØÝº ÁÒ

ÑÓÚ ¸ Ë Ö Ð Ü × ÐÐÓÛ ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ü
ØÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ×
´½µ ÓÓ× ÒÝ ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÖÑ 2j
¸ Û Ö j × ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÒØ Ö¸ Ò ÔÙØ Ø ÒØÓ Ò
ÑÔØÝ
ÐÐº
´¾µ ÓÓ× ØÛÓ ´ÒÓØ Ò
×× Ö ÐÝ
ÒØµ
ÐÐ× Û Ø Ø × Ñ ÒÙÑ Ö Ò Ø Ñ ÒÓØ Ø Ø
ÒÙÑ Ö Ý 2j
º Ê ÔÐ
Ø ÒÙÑ Ö Ò ÓÒ Ó Ø
ÐÐ× Û Ø 2j`1
Ò Ö × Ø ÒÙÑ Ö Ò
Ø ÓØ Ö
ÐÐº
Ø Ø Ò Ó Ø Ñ ¸ ÓÒ
ÐÐ
ÓÒØ Ò× Ø ÒÙÑ Ö 2n
¸ Û Ö n × Ú Ò ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö¸
Û Ð Ø ÓØ Ö
ÐÐ× Ö ÑÔØÝº Ø ÖÑ Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó ÑÓÚ × Ø Ø Ë Ö Ð Ü
ÓÙÐ
Ú Ñ ¸ Ò Ø ÖÑ× Ó nº
´Ì Ð Ò µ
º Ä Ø N ě 2 Ò ÒØ Öº NpN ` 1q ×Ó

Ö ÔÐ Ý Ö×¸ ÒÓ ØÛÓ Ó Ø × Ñ Ø¸ ×Ø Ò
Ò ÖÓÛ Ò ×ÓÑ ÓÖ Öº Ó
Ê ÐÔ Û ÒØ× ØÓ Ö ÑÓÚ NpN ´ 1q Ô ÓÔÐ ÖÓÑ Ø × ÖÓÛ ×Ó Ø Ø
Ò Ø Ö Ñ Ò Ò ÖÓÛ Ó 2N ÔÐ Ý Ö×¸ ÒÓ ÓÒ ×Ø Ò × ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ø ÐÐ ×Ø ÓÒ ×¸ ÒÓ ÓÒ ×Ø Ò ×
ØÛ Ò Ø Ø Ö Ò Ø ÓÙÖØ Ø ÐÐ ×Ø ÓÒ ×¸ º º º ¸ Ò Ò ÐÐÝ ÒÓ ÓÒ ×Ø Ò × ØÛ Ò Ø ØÛÓ
× ÓÖØ ×Ø ÓÒ ×º Ë ÓÛ Ø Ø Ø × × ÐÛ Ý× ÔÓ×× Ð º
´ÊÙ×× µ
º ÙÒØ Ö Ò Ò ÒÚ × Ð Ö Ø ÔÐ Ý Ñ Ò Ø Ù
Ð Ò ÔÐ Ò º Ì ÙÒØ Ö³×
×Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ H0
Ó Ò
× Û Ø Ø Ö Ø³× ×Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ R0º ÁÒ Ø nØ
ÖÓÙÒ Ó Ø Ñ
´n ě 1µ¸ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÔ Ò×º
´½µ Ö×Ø Ø ÒÚ × Ð Ö Ø ÑÓÚ × ×
Ö ØÐÝ Ò ÙÒÓ × ÖÚ ÖÓÑ Ø×
ÙÖÖ ÒØ ÔÓ ÒØ Rn´1 ØÓ
×ÓÑ Ò Û ÔÓ ÒØ Rn Û Ø Rn´1Rn “ 1º
´¾µ Ì ÙÒØ Ö × ØÖ
Ò Ú
´ º º Ó µ Ø Ø Ö ØÙÖÒ× Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÔÓ× Ø ÓÒ R1
n Ó
Ø Ö Ø¸ ×Ó Ø Ø RnR1
n ď 1º
´¿µ Ì ÙÒØ Ö Ø Ò Ú × ÐÝ ÑÓÚ × ÖÓÑ ÔÓ ÒØ Hn´1 ØÓ Ò Û ÔÓ ÒØ Hn Û Ø Hn´1Hn “ 1º
Á× Ø Ö ×ØÖ Ø Ý ÓÖ Ø ÙÒØ Ö Ø Ø Ù Ö ÒØ × Ø Ø Ø Ö 109
×Ù
ÖÓÙÒ × Ø ×Ø Ò
ØÛ Ò Ø ÙÒØ Ö Ò Ø Ö Ø × ÐÓÛ 100
´ Ù×ØÖ µ

º Ä Ø n ą 1 Ò ÒØ Öº Ò n ˆ n ˆ n
Ù ×
ÓÑÔÓ× Ó n3
ÙÒ Ø
Ù ×º
ÙÒ Ø
Ù × Ô ÒØ Û Ø ÓÒ
ÓÐÓÖº ÓÖ
n ˆ n ˆ 1 ÓÜ
ÓÒ× ×Ø Ò Ó n2
ÙÒ Ø
Ù × ´Ó ÒÝ
Ó Ø Ø Ö ÔÓ×× Ð ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ×µ¸ Û
ÓÒ× Ö Ø × Ø Ó Ø
ÓÐÓÖ× ÔÖ × ÒØ Ò Ø Ø ÓÜ ´

ÓÐÓÖ × Ð ×Ø ÓÒÐÝ ÓÒ
µº Ì × Û Ý¸ Û Ø 3n × Ø× Ó
ÓÐÓÖ×¸ ×ÔÐ Ø ÒØÓ Ø Ö ÖÓÙÔ×

ÓÖ Ò
ØÓ Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒº ÁØ ÔÔ Ò× Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ × Ø Ò ÒÝ ÖÓÙÔ¸ Ø × Ñ × Ø ÔÔ Ö× Ò ÓØ
Ó Ø ÓØ Ö ÖÓÙÔ×º Ø ÖÑ Ò ¸ Ò Ø ÖÑ× Ó n¸ Ø Ñ Ü Ñ Ð ÔÓ×× Ð ÒÙÑ Ö Ó
ÓÐÓÖ× Ø Ø Ö
ÔÖ × ÒØº
´ÊÙ×× µ
º ÓÖ ÒÝ Ò Ø × Ø× X Ò Y Ó ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö×¸ ÒÓØ Ý fXpkq Ø kØ
×Ñ ÐÐ ×Ø
ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö ÒÓØ Ò X¸ Ò Ð Ø
X ˚ Y “ X Y tfXpyq: y P Y u.
Ä Ø A × Ø Ó a ą 0 ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö×¸ Ò Ð Ø B × Ø Ó b ą 0 ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö×º ÈÖÓÚ
Ø Ø A ˚ B “ B ˚ A¸ Ø Ò
A ˚ pA ˚ ¨ ¨ ¨ ˚ pA ˚ pA ˚ Aqq . . . qlooooooooooooooooooomooooooooooooooooooon
A ÔÔ Ö× b Ø Ñ ×
“ B ˚ pB ˚ ¨ ¨ ¨ ˚ pB ˚ pB ˚ Bqq . . . qlooooooooooooooooooomooooooooooooooooooon
B ÔÔ Ö× a Ø Ñ ×
.
´ÍºËº ºµ
º Ä Ø n Ú Ò ÔÓ× Ø Ú ÒØ Öº ÁÒ Ø ÖØ × Ò ÔÐ Ò ¸
Ð ØØ
ÔÓ ÒØ
Û Ø ÒÓÒÒ Ø Ú
ÓÓÖ Ò Ø × Ò Ø ÐÐÝ
ÓÒØ Ò× ÙØØ Ö Ý¸ Ò Ø Ö Ö ÒÓ ÓØ Ö ÙØØ Ö¹
×º Ì Ò ÓÖ ÓÓ Ó Ð ØØ
ÔÓ ÒØ c
ÓÒ× ×Ø× Ó ÐÐ Ð ØØ
ÔÓ ÒØ× Û Ø Ò Ø Ü ×¹ Ð Ò
p2n` 1q ˆ p2n` 1q ×ÕÙ Ö
ÒØ Ö Ø c¸ Ô ÖØ ÖÓÑ c Ø× Ð º Ï
ÐÐ ÙØØ Ö Ý ÐÓÒ ÐÝ¸
ÖÓÛ ¸
ÓÖ
ÓÑ ÓÖØ Ð ¸ Ô Ò Ò ÓÒ Û Ø Ö Ø ÒÙÑ Ö Ó ÙØØ Ö × Ò Ø× Ò ÓÖ ÓÓ N × Ö ¹
×Ô
Ø Ú ÐÝ Ð ×× Ø Ò¸ Ö Ø Ö Ø Ò¸ ÓÖ ÕÙ Ð ØÓ Ð Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð ØØ
ÔÓ ÒØ× Ò Nº
Ú ÖÝ Ñ ÒÙØ ¸ ÐÐ ÐÓÒ ÐÝ ÙØØ Ö × Ý Û Ý × ÑÙÐØ Ò ÓÙ×ÐÝº Ì × ÔÖÓ
×× Ó × ÓÒ ÓÖ ×
ÐÓÒ × Ø Ö Ö ÒÝ ÐÓÒ ÐÝ ÙØØ Ö ×º ××ÙÑ Ò Ø Ø Ø ÔÖÓ
×× Ú ÒØÙ ÐÐÝ ×ØÓÔ×¸ Ø ÖÑ Ò
Ø ÒÙÑ Ö Ó
ÓÑ ÓÖØ Ð ÙØØ Ö × Ø Ø Ò Ð ×Ø Ø º
´ ÙÐ Ö µ

ÓÑ ØÖÝ
½º Ä Ø ABCDE
ÓÒÚ Ü Ô ÒØ ÓÒ ×Ù
Ø Ø AB “ BC “ CD¸ =EAB “ =BCD¸
Ò =EDC “ =CBAº ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ô ÖÔ Ò
ÙÐ Ö Ð Ò ÖÓÑ E ØÓ BC Ò Ø Ð Ò × ¹
Ñ ÒØ× AC Ò BD Ö
ÓÒ
ÙÖÖ ÒØº
´ÁØ ÐÝµ
¾º Ä Ø R Ò S ×Ø Ò
Ø ÔÓ ÒØ× ÓÒ
Ö
Ð Ω¸ Ò Ð Ø t ÒÓØ Ø Ø Ò ÒØ Ð Ò ØÓ Ω
Ø Rº ÈÓ ÒØ R1
× Ø Ö
Ø ÓÒ Ó R Û Ø Ö ×Ô
Ø ØÓ Sº ÔÓ ÒØ I ×
Ó× Ò ÓÒ Ø ×Ñ ÐÐ Ö Ö
RS Ó Ω ×Ó Ø Ø Ø
Ö
ÙÑ
Ö
Ð Γ Ó ØÖ Ò Ð ISR1
ÒØ Ö×
Ø× t Ø ØÛÓ Ö ÒØ ÔÓ ÒØ×º ÒÓØ
Ý A Ø
ÓÑÑÓÒ ÔÓ ÒØ Ó Γ Ò t Ø Ø ×
ÐÓ× ×Ø ØÓ Rº Ä Ò AI Ñ Ø× Ω Ò Ø Jº Ë ÓÛ
Ø Ø JR1
× Ø Ò ÒØ ØÓ Γº
´ÄÙÜ Ñ ÓÙÖ µ
¿º Ä Ø O Ø
Ö
ÙÑ
ÒØ Ö Ó Ò
ÙØ ×
Ð Ò ØÖ Ò Ð ABCº Ä Ò OA ÒØ Ö×
Ø× Ø
ÐØ ØÙ × Ó ABC Ø ÖÓÙ B Ò C Ø P Ò Q¸ Ö ×Ô
Ø Ú ÐÝº Ì ÐØ ØÙ × Ñ Ø Ø Hº ÈÖÓÚ
Ø Ø Ø
Ö
ÙÑ
ÒØ Ö Ó ØÖ Ò Ð PQH Ð × ÓÒ Ñ Ò Ó ØÖ Ò Ð ABCº
´Í Ö Ò µ
º ÁÒ ØÖ Ò Ð ABÇ Ð Ø ω Ø Ü
Ö
Ð ÓÔÔÓ× Ø Aº Ä Ø D¸ E¸ Ò F Ø ÔÓ ÒØ×
Û Ö ω × Ø Ò ÒØ ØÓ Ð Ò × BÇ CA¸ Ò AB¸ Ö ×Ô
Ø Ú ÐÝº Ì
Ö
Ð AEF ÒØ Ö×
Ø× Ð Ò BC
Ø P Ò Qº Ä Ø M Ø Ñ ÔÓ ÒØ Ó ADº ÈÖÓÚ Ø Ø Ø
Ö
Ð MPQ × Ø Ò ÒØ ØÓ ωº
´ ÒÑ Ö µ
º Ä Ø ABCC1B1A1
ÓÒÚ Ü Ü ÓÒ ×Ù
Ø Ø AB “ BÇ Ò ×ÙÔÔÓ× Ø Ø Ø
Ð Ò × Ñ ÒØ× AA1¸ BB1¸ Ò CC1 Ú Ø × Ñ Ô ÖÔ Ò
ÙÐ Ö ×
ØÓÖº Ä Ø Ø ÓÒ Ð×
AC1 Ò A1C Ñ Ø Ø D¸ Ò ÒÓØ Ý ω Ø
Ö
Ð ABCº Ä Ø ω ÒØ Ö×
Ø Ø
Ö
Ð A1BC1
Ò Ø E ‰ Bº ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ð Ò × BB1 Ò DE ÒØ Ö×
Ø ÓÒ ωº
´Í Ö Ò µ
º Ä Ø n ě 3 Ò ÒØ Öº ÌÛÓ Ö ÙÐ Ö n¹ ÓÒ× A Ò B Ö Ú Ò Ò Ø ÔÐ Ò º ÈÖÓÚ
Ø Ø Ø Ú ÖØ
× Ó A Ø Ø Ð Ò× B ÓÖ ÓÒ Ø× ÓÙÒ ÖÝ Ö
ÓÒ×
ÙØ Ú º
´Ì Ø ×¸ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö Ü ×Ø× Ð Ò × Ô Ö Ø Ò Ø Ó× Ú ÖØ
× Ó A Ø Ø Ð Ò× B ÓÖ ÓÒ
Ø× ÓÙÒ ÖÝ ÖÓÑ Ø ÓØ Ö Ú ÖØ
× Ó Aºµ
´ Þ
Ê ÔÙ Ð
µ
º
ÓÒÚ Ü ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ð ABCD × Ò Ò×
Ö
Ö
Ð Û Ø
ÒØ Ö Iº Ä Ø Ia¸ Ib¸ Iç
Ò Id Ø Ò
ÒØ Ö× Ó Ø ØÖ Ò Ð × DAB¸ ABÇ BCD¸ Ò CDA¸ Ö ×Ô
Ø Ú ÐÝº ËÙÔÔÓ×
Ø Ø Ø
ÓÑÑÓÒ ÜØ ÖÒ Ð Ø Ò ÒØ× Ó Ø
Ö
Ð × AIbId Ò CIbId Ñ Ø Ø X¸ Ò Ø
ÓÑÑÓÒ
ÜØ ÖÒ Ð Ø Ò ÒØ× Ó Ø
Ö
Ð × BIaIc Ò DIaIc Ñ Ø Ø Y º ÈÖÓÚ Ø Ø =XIY “ 900
º
´Ã Þ ×Ø Òµ
º Ì Ö Ö ¾¼½ ÑÙØÙ ÐÐÝ ÜØ ÖÒ Ð
Ö
Ð × Ö ÛÒ ÓÒ Ð
Ó Ö ¸ ×Ù
Ø Ø ÒÓ ØÛÓ
Ö Ø Ò ÒØ Ò ÒÓ Ø Ö × Ö
ÓÑÑÓÒ Ø Ò ÒØº Ø Ò ÒØ × Ñ ÒØ × Ð Ò × Ñ ÒØ Ø Ø
×
ÓÑÑÓÒ Ø Ò ÒØ ØÓ ØÛÓ
Ö
Ð ×¸ ×Ø ÖØ Ò Ø ÓÒ Ø Ò ÒØ ÔÓ ÒØ Ò Ò Ò Ø Ø ÓØ Ö ÓÒ º
ÄÙ
ÒÓ × Ö Û Ò Ø Ò ÒØ × Ñ ÒØ× ÓÒ Ø Ð
Ó Ö ¸ ÓÒ Ø Ø Ñ ¸ ×Ó Ø Ø ÒÓ Ø Ò ÒØ
× Ñ ÒØ ÒØ Ö×
Ø× ÒÝ ÓØ Ö
Ö
Ð × ÓÖ ÔÖ Ú ÓÙ×ÐÝ Ö ÛÒ Ø Ò ÒØ × Ñ ÒØ×º ÄÙ
ÒÓ Ô×
Ö Û Ò Ø Ò ÒØ × Ñ ÒØ× ÙÒØ Ð ÒÓ ÑÓÖ
Ò Ö ÛÒº Ò ÐÐ ÔÓ×× Ð ÒÙÑ Ö× Ó Ø Ò ÒØ
× Ñ ÒØ× Û Ò ×ØÓÔ× Ö Û Ò º
´ Ù×ØÖ Ð µ

Ì × Ô × ÒØ ÒØ ÓÒ ÐÐÝ Ð Ø Ð Ò

½¼ ÁÅÇ ¾¼½ ¸ Ê Ó Â Ò ÖÓ
ÆÙÑ Ö Ì ÓÖÝ
Æ½º Ì × ÕÙ Ò
a0, a1, a2, . . . Ó ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö× × Ø × ×
an`1 “
#?
an,
?
an × Ò ÒØ Ö
an ` 3, ÓØ ÖÛ ×
ÓÖ Ú ÖÝ n ě 0º
Ø ÖÑ Ò ÐÐ Ú ÐÙ × Ó a0 ą 1 ÓÖ Û
Ø Ö × Ø Ð ×Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö a ×Ù
Ø Ø an “ a ÓÖ
Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ú ÐÙ × Ó nº
´ËÓÙØ Ö
µ
Æ¾º Ä Ø p ě 2 ÔÖ Ñ ÒÙÑ Öº Ù Ö Ó Ò ÖÒ Ò Ó ÔÐ Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ñ Ñ Ò
ÑÓÚ × ÐØ ÖÒ Ø ÐÝ Ò
ÑÓÚ ¸ Ø
ÙÖÖ ÒØ ÔÐ Ý Ö
ÓÓ× × Ò Ò Ü i Ò Ø × Ø t0, 1, . . . , p´1u
Ø Ø Û × ÒÓØ
Ó× Ò ÓÖ Ý Ø Ö Ó Ø ØÛÓ ÔÐ Ý Ö× Ò Ø Ò
ÓÓ× × Ò Ð Ñ ÒØ ai Ó Ø
× Ø t0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9uº Ù Ö Ó × Ø Ö×Ø ÑÓÚ º Ì Ñ Ò × Ø Ö ÐÐ Ø Ò
×
i P t0, 1, . . . , p ´ 1u Ú Ò
Ó× Òº Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÙÑ Ö ×
ÓÑÔÙØ
M “ a0 ` 10 ¨ a1 ` ¨ ¨ ¨ ` 10p´1
¨ ap´1 “
p´1ÿ
j“0
aj ¨ 10j
.
Ì Ó Ð Ó Ù Ö Ó × ØÓ Ñ Ø ÒÙÑ Ö M Ú × Ð Ý p¸ Ò Ø Ó Ð Ó ÖÒ Ò Ó × ØÓ
ÔÖ Ú ÒØ Ø ×º
ÈÖÓÚ Ø Ø Ù Ö Ó × Û ÒÒ Ò ×ØÖ Ø Ýº
´ÅÓÖÓ

Óµ
Æ¿º Ø ÖÑ Ò ÐÐ ÒØ Ö× n ě 2 Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ ÓÖ ÒÝ ÒØ Ö× a1, a2, . . . , an
Û Ó× ×ÙÑ × ÒÓØ Ú × Ð Ý n¸ Ø Ö Ü ×Ø× Ò Ò Ü 1 ď i ď n ×Ù
Ø Ø ÒÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö×
ai, ai ` ai`1, . . . , ai ` ai`1 ` ¨ ¨ ¨ ` ai`n´1
× Ú × Ð Ý nº ´Ï Ð Ø ai “ ai´n Û Ò i ą nºµ
´Ì Ð Ò µ
Æ º ÐÐ Ö Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö × ÓÖØ Ø × Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ø× Ò Ø×
Ñ Ð ÜÔ Ò× ÓÒº
ÓÖ ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö m¸ Û × Ý Ø Ø ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö t × m¹Ø ×Ø
Ø Ö Ü ×Ø× ÒÙÑ Ö
c P t1, 2, 3, . . . , 2017u ×Ù
Ø Ø
10t
´ 1
c ¨ m
× × ÓÖØ¸ Ò ×Ù
Ø Ø
10k
´ 1
c ¨ m
× ÒÓØ × ÓÖØ ÓÖ ÒÝ
1 ď k ă tº Ä Ø Spmq Ø × Ø Ó m¹Ø ×Ø
ÒÙÑ Ö×º ÓÒ× Ö Spmq ÓÖ m “ 1, 2, . . .º Ï Ø ×
Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó Ð Ñ ÒØ× Ò Spmq
´ÌÙÖ Ýµ
Æ º Ò ÐÐ Ô Ö× pp, qq Ó ÔÖ Ñ ÒÙÑ Ö× Û Ø p ą q ÓÖ Û
Ø ÒÙÑ Ö
pp ` qqp`q
pp ´ qqp´q
´ 1
pp ` qqp´qpp ´ qqp`q ´ 1
× Ò ÒØ Öº
´Â Ô Òµ

Ë ÓÖØÐ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ× ½½
Æ º Ò Ø ×Ñ ÐÐ ×Ø ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö n¸ ÓÖ × ÓÛ Ø Ø ÒÓ ×Ù
n Ü ×Ø×¸ Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò
ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ö Ö Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ ×Ø Ò
Ø n¹ØÙÔÐ × Ó ÔÓ× Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö× pa1, a2, . . . , anq
×Ù
Ø Ø ÓØ
a1 ` a2 ` ¨ ¨ ¨ ` an Ò
1
a1
`
1
a2
` ¨ ¨ ¨ `
1
an
Ö ÒØ Ö×º
´Ë Ò ÔÓÖ µ
Æ º Ë Ý Ø Ø Ò ÓÖ Ö Ô Ö px, yq Ó ÒØ Ö× × Ò ÖÖ Ù
Ð Ð ØØ
ÔÓ ÒØ x Ò
y Ö Ö Ð Ø Ú ÐÝ ÔÖ Ñ º ÓÖ ÒÝ Ò Ø × Ø S Ó ÖÖ Ù
Ð Ð ØØ
ÔÓ ÒØ×¸ × ÓÛ Ø Ø Ø Ö ×
ÓÑÓ ÒÓÙ× ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò ØÛÓ Ú Ö Ð ×¸ fpx, yq¸ Û Ø ÒØ Ö
Ó
ÒØ×¸ Ó Ö Ø Ð ×Ø ½¸
×Ù
Ø Ø fpx, yq “ 1 ÓÖ
px, yq Ò Ø × Ø Sº
ÆÓØ ÓÑÓ ÒÓÙ× ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ö n × ÒÝ ÒÓÒÞ ÖÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó Ø ÓÖÑ
fpx, yq “ a0xn
` a1xn´1
y ` a2xn´2
y2
` ¨ ¨ ¨ ` an´1xyn´1
` anyn
.
´ÍºËº ºµ
Æ º Ä Ø p Ò Ó ÔÖ Ñ ÒÙÑ Ö Ò Zą0 Ø × Ø Ó ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö×º ËÙÔÔÓ× Ø Ø
ÙÒ
Ø ÓÒ f : Zą0 ˆ Zą0 Ñ t0, 1u × Ø × × Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ ×
• fp1, 1q “ 0
• fpa, bq ` fpb, aq “ 1 ÓÖ ÒÝ Ô Ö Ó Ö Ð Ø Ú ÐÝ ÔÖ Ñ ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö× pa, bq ÒÓØ ÓØ ÕÙ Ð
ØÓ 1
• fpa ` b, bq “ fpa, bq ÓÖ ÒÝ Ô Ö Ó Ö Ð Ø Ú ÐÝ ÔÖ Ñ ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö× pa, bqº
ÈÖÓÚ Ø Ø
p´1ÿ
n“1
fpn2
, pq ě
a
2p ´ 2.
´ÁØ ÐÝµ

½¾ ÁÅÇ ¾¼½ ¸ Ê Ó Â Ò ÖÓ
ËÓÐÙØ ÓÒ×
Ð Ö
½º Ä Ø a1, a2, . . . , an, k¸ Ò M ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö× ×Ù
Ø Ø
1
a1
`
1
a2
` ¨ ¨ ¨ `
1
an
“ k Ò a1a2 . . . an “ M.
Á M ą 1¸ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð
Ppxq “ Mpx ` 1qk
´ px ` a1qpx ` a2q ¨ ¨ ¨ px ` anq
× ÒÓ ÔÓ× Ø Ú ÖÓÓØ×º
´ÌÖ Ò Ò ÌÓ Óµ
ËÓÐÙØ ÓÒ ½º Ï Ö×Ø ÔÖÓÚ Ø Ø¸ ÓÖ x ą 0¸
aipx ` 1q1{ai
ď x ` ai, ´½µ
Û Ø ÕÙ Ð ØÝ Ò ÓÒÐÝ ai “ 1º ÁØ ×
Ð Ö Ø Ø ÕÙ Ð ØÝ Ó

ÙÖ× ai “ 1º
Á ai ą 1¸ Ø Å Å Ò ÕÙ Ð ØÝ ÔÔÐ ØÓ × Ò Ð
ÓÔÝ Ó x ` 1 Ò ai ´ 1
ÓÔ × Ó 1
Ý Ð ×
px ` 1q `
ai´1 ÓÒ ×hkkkkkkkikkkkkkkj
1 ` 1 ` ¨ ¨ ¨ ` 1
ai
ě ai
a
px ` 1q ¨ 1ai´1 ùñ aipx ` 1q1{ai
ď x ` ai.
Ë Ò
x ` 1 ą 1¸ Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ × ×ØÖ
Ø ÓÖ ai ą 1º
ÅÙÐØ ÔÐÝ Ò Ø Ò ÕÙ Ð Ø × ´½µ ÓÖ i “ 1, 2, . . . , n Ý Ð ×
nź
i“1
aipx ` 1q1{ai
ď
nź
i“1
px ` aiq ðñ Mpx ` 1q
řn
i“1 1{ai
´
nź
i“1
px ` aiq ď 0 ðñ Ppxq ď 0
Û Ø ÕÙ Ð ØÝ ai “ 1 ÓÖ ÐÐ i P t1, 2, . . . , nuº ÙØ Ø × ÑÔÐ × M “ 1¸ Û
× ÒÓØ ÔÓ×× Ð º
À Ò
Ppxq ă 0 ÓÖ ÐÐ x P R`
¸ Ò P × ÒÓ ÔÓ× Ø Ú ÖÓÓØ×º
ÓÑÑ ÒØ ½º ÁÒ ÕÙ Ð ØÝ ´½µ
Ò Ó Ø Ò Ò × Ú Ö Ð Û Ý×º ÓÖ Ò×Ø Ò
¸ Û Ñ Ý Ð×Ó Ù× Ø
ÒÓÑ Ð Ø ÓÖ Ñ × Ò
ai ě 1¸
ˆ
1 `
x
ai
˙ai
“
aiÿ
j“0
ˆ
ai
j
˙ ˆ
x
ai
˙j
ě
ˆ
ai
0
˙
`
ˆ
ai
1
˙
¨
x
ai
“ 1 ` x.
ÓØ ÔÖÓÓ × Ó ´½µ Ñ Ñ
ÔÖÓÓ × ØÓ ÖÒÓÙÐÐ ³× Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÖ ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö ÜÔÓÒ ÒØ ai Û
Ò
Ù× Ø × Ò ÕÙ Ð ØÝ Ö
ØÐÝ ˆ
1 `
x
ai
˙ai
ě 1 ` ai ¨
x
ai
“ 1 ` x,
Ò ×Ó
x ` ai “ ai
ˆ
1 `
x
ai
˙
ě aip1 ` xq1{ai
,
ÓÖ Ø× ´Ö Ú Ö× µ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ¸ Û Ø ÜÔÓÒ ÒØ 1{ai ď 1
p1 ` xq1{ai
ď 1 `
1
ai
¨ x “
x ` ai
ai
ùñ aip1 ` xq1{ai
ď x ` ai.

Ë ÓÖØÐ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ× ×ÓÐÙØ ÓÒ× ½¿
ËÓÐÙØ ÓÒ ¾º Ï Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ø Ø¸ Ò
Ø¸ ÐÐ
Ó
ÒØ× Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ppxq Ö ÒÓÒ¹ÔÓ× Ø Ú ¸
Ò Ø Ð ×Ø ÓÒ Ó Ø Ñ × Ò Ø Ú ¸ Û
ÑÔÐ × Ø Ø Ppxq ă 0 ÓÖ x ą 0º
ÁÒ ¸ × Ò
aj ě 1 ÓÖ ÐÐ j Ò aj ą 1 ÓÖ ×ÓÑ j ´× Ò
a1a2 . . . an “ M ą 1µ¸ Û Ú
k “ 1
a1
` 1
a2
` ¨ ¨ ¨ ` 1
an
ă n¸ ×Ó Ø
Ó
ÒØ Ó xn
Ò Ppxq × ´1 ă 0º ÅÓÖ ÓÚ Ö¸ Ø
Ó
ÒØ
Ó xr
Ò Ppxq × Ò Ø Ú ÓÖ k ă r ď n “ degpPqº
ÓÖ 0 ď r ď k¸ Ø
Ó
ÒØ Ó xr
Ò Ppxq ×
M ¨
ˆ
k
r
˙
´
ÿ
1ďi1ăi2ă¨¨¨ăin´rďn
ai1 ai2 ¨ ¨ ¨ ain´r “ a1a2 ¨ ¨ ¨ an ¨
ˆ
k
r
˙
´
ÿ
1ďi1ăi2ă¨¨¨ăin´rďn
ai1 ai2 ¨ ¨ ¨ ain´r ,
Û
× ÒÓÒ¹ÔÓ× Ø Ú ˆ
k
r
˙
ď
ÿ
1ďj1ăj2ă¨¨¨ăjrďn
1
aj1 aj2 ¨ ¨ ¨ ajr
. ´¾µ
Ï Û ÐÐ ÔÖÓÚ ´¾µ Ý Ò Ù
Ø ÓÒ ÓÒ rº ÓÖ r “ 0 Ø × Ò ÕÙ Ð ØÝ
Ù× Ø
ÓÒ×Ø ÒØ Ø ÖÑ Ó
Ppxq × Pp0q “ 0¸ Ò r “ 1¸ ´¾µ
ÓÑ × k “
řn
i“1
1
ai
º ÓÖ r ą 1¸ ´¾µ × ØÖÙ ÓÖ Ú Ò
r ă k¸ Û Ú
ˆ
k
r ` 1
˙
“
k ´ r
r ` 1
¨
ˆ
k
r
˙
ď
k ´ r
r ` 1
¨
ÿ
1
,
Ò Ø ×Ù
× ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø
k ´ r
r ` 1
¨
ÿ
1
ď
ÿ
1ďj1ă¨¨¨ăjrăjr`1ďn
1
aj1 aj2 ¨ ¨ ¨ ajr ajr`1
,
Û
× ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ
ˆ
1
a1
`
1
a2
`¨¨¨`
1
an
´r
˙ ÿ
1
aj1 aj2 ¨¨äjr
ďpr`1q
ÿ
1ďj1ă¨¨¨ăjrăjr`1ďn
1
aj1 aj2 ¨¨äjr ajr`1
.
Ë Ò
Ø Ö Ö r ` 1 Û Ý× ØÓ
ÓÓ× Ö
Ø ÓÒ
1
aji
ÖÓÑ
1
aj1
aj2
¨¨äjr ajr`1
ØÓ
ØÓÖ ÓÙØ¸ Ú ÖÝ
Ø ÖÑ
1
aj1
aj2
¨¨äjr ajr`1
Ò Ø Ö Ø Ò × ÔÔ Ö× Ü
ØÐÝ r ` 1 Ø Ñ × Ò Ø ÔÖÓ Ù
Ø
ˆ
1
a1
`
1
a2
` ¨ ¨ ¨ `
1
an
˙ ÿ
1
.
À Ò
ÐÐ Ø ÖÑ× Ò Ø Ö Ø Ò ×
Ò
Ð ÓÙØº
Ì Ö Ñ Ò Ò Ø ÖÑ× Ò Ø Ð Ø Ò ×
Ò ÖÓÙÔ Ò ×ÙÑ× Ó Ø ØÝÔ
1
a2
j1
aj2 ¨ ¨ ¨ ajr
`
1
aj1 a2
j2
¨ ¨ ¨ ajr
` ¨ ¨ ¨ `
1
aj1 aj2 ¨ ¨ ¨ a2
jr
´
r
“
1
ˆ
1
aj1
`
1
aj2
` ¨ ¨ ¨ `
1
ajr
´ r
˙
,
Û
Ö ÐÐ ÒÓÒ¹ÔÓ× Ø Ú
Ù× ai ě 1 ùñ 1
ai
ď 1¸ i “ 1, 2, . . . , nº
ÓÑÑ ÒØ ¾º Ì Ö ×ÙÐØ × Ú Ð ÓÖ ÒÝ Ö Ð ÒÙÑ Ö× ai¸ i “ 1, 2, . . . , n Û Ø ai ě 1 Ò ÔÖÓ Ù
Ø M
Ö Ø Ö Ø Ò 1º Ú Ö Ø ÓÒ Ó ËÓÐÙØ ÓÒ ½¸ Ò Ñ ÐÝ Ù× Ò Û Ø Å Å ´ÓÖ Ø ÖÒÓÙÐÐ Ò ÕÙ Ð ØÝ
ÓÖ Ö Ð ÜÔÓÒ ÒØ×µ¸
ØÙ ÐÐÝ ÔÖÓÚ × Ø Ø Ppxq ă 0 ÓÖ x ą ´1 Ò x ‰ 0º

½ ÁÅÇ ¾¼½ ¸ Ê Ó Â Ò ÖÓ
¾º Ä Ø q Ö Ð ÒÙÑ Öº Ù Ù × Ò Ô Ò Û Ø Ø Ò ×Ø Ò
Ø Ö Ð ÒÙÑ Ö× ÛÖ ØØ Ò ÓÒ
Ø¸ Ò ÛÖ Ø × Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ö Ð Ò × Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö× ÓÒ Ø Ð
Ó Ö
• ÁÒ Ø Ö×Ø Ð Ò ¸ Ù Ù ÛÖ Ø × ÓÛÒ Ú ÖÝ ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÖÑ a´ b¸ Û Ö a Ò b Ö ØÛÓ
´ÒÓØ Ò
Øµ ÒÙÑ Ö× ÓÒ × Ò Ô Òº
• ÁÒ Ø ×
ÓÒ Ð Ò ¸ Ù Ù ÛÖ Ø × ÓÛÒ Ú ÖÝ ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÖÑ qab¸ Û Ö a Ò b Ö
ØÛÓ ´ÒÓØ Ò
• ÁÒ Ø Ø Ö Ð Ò ¸ Ù Ù ÛÖ Ø × ÓÛÒ Ú ÖÝ ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÖÑ a2
` b2
´ c2
´ d2
¸ Û Ö
a, b, c, d Ö ÓÙÖ ´ÒÓØ Ò
Ø ÖÑ Ò ÐÐ Ú ÐÙ × Ó q ×Ù
Ø Ø¸ Ö Ö Ð ×× Ó Ø ÒÙÑ Ö× ÓÒ Ù Ù³× Ò Ô Ò¸ Ú ÖÝ
ÒÙÑ Ö Ò Ø ×
ÓÒ Ð Ò × Ð×Ó ÒÙÑ Ö Ò Ø Ø Ö Ð Ò º
´ Ù×ØÖ µ
Ò×Û Ö ´2, 0, 2º
ËÓÐÙØ ÓÒ ½º ÐÐ ÒÙÑ Ö q ÓÓ Ú ÖÝ ÒÙÑ Ö Ò Ø ×
ÓÒ Ð Ò ÔÔ Ö× Ò Ø Ø Ö Ð Ò
ÙÒ
ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝº Ï Ö×Ø × ÓÛ Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö× ¼ Ò ˘2 Ö ÓÓ º Ì Ø Ö Ð Ò Ò
×× Ö ÐÝ

ÓÒØ Ò× ¼¸ ×Ó ¼ × ÓÓ º ÓÖ ÒÝ ØÛÓ ÒÙÑ Ö× a, b Ò Ø Ö×Ø Ð Ò ¸ ÛÖ Ø a “ x´y Ò b “ u´v¸
Û Ö x, y, u, v Ö ´ÒÓØ Ò
Øµ ÒÙÑ Ö× ÓÒ Ø Ò Ô Òº Ï Ñ Ý ÒÓÛ ÛÖ Ø
2ab “ 2px ´ yqpu ´ vq “ px ´ vq2
` py ´ uq2
´ px ´ uq2
´ py ´ vq2
,
Û
× ÓÛ× Ø Ø ¾ × ÓÓ º Ý Ò Ø Ò ÓØ × × Ó Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ¸ Û Ð×Ó × Ø Ø ´2
× ÓÓ º
Ï ÒÓÛ × ÓÛ Ø Ø ´2, 0¸ Ò 2 Ö Ø ÓÒÐÝ ÓÓ ÒÙÑ Ö×º ××ÙÑ ÓÖ × Ó
ÓÒØÖ
Ø ÓÒ
Ø Ø q × ÓÓ ÒÙÑ Ö¸ Û Ö q R t´2, 0, 2uº Ï ÒÓÛ
ÓÒ× Ö ×ÓÑ Ô ÖØ
ÙÐ Ö
Ó
× Ó
ÒÙÑ Ö× ÓÒ Ù Ù³× Ò Ô Ò ØÓ ÖÖ Ú Ø
ÓÒØÖ
Ø ÓÒº
××ÙÑ Ø Ø Ø Ò Ô Ò
ÓÒØ Ò× Ø ÒØ Ö× 1, 2, . . . , 10º Ì Ò¸ Ø Ö×Ø Ð Ò
ÓÒØ Ò×
Ø ÒØ Ö× ´9, ´8, . . . , 9º Ì ×
ÓÒ Ð Ò Ø Ò
ÓÒØ Ò× q Ò 81q¸ ×Ó Ø Ø Ö Ð Ò ÑÙ×Ø
Ð×Ó
ÓÒØ Ò ÓØ Ó Ø Ñº ÙØ Ø Ø Ö Ð Ò ÓÒÐÝ
ÓÒØ Ò× ÒØ Ö×¸ ×Ó q ÑÙ×Ø Ò ÒØ Öº
ÙÖØ ÖÑÓÖ ¸ Ø Ø Ö Ð Ò
ÓÒØ Ò× ÒÓ ÒÙÑ Ö Ö Ø Ö Ø Ò 162 “ 92
` 92
´ 02
´ 02
ÓÖ Ð ××
Ø Ò ´162¸ ×Ó Û ÑÙ×Ø Ú ´162 ď 81q ď 162º Ì × × ÓÛ× Ø Ø Ø ÓÒÐÝ ÔÓ×× Ð Ø × ÓÖ q
Ö ˘1º
ÆÓÛ ××ÙÑ Ø Ø q “ ˘1º Ä Ø Ø Ò Ô Ò
ÓÒØ Ò 0, 1, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32º Ì Ö×Ø
Ð Ò
ÓÒØ Ò× ˘1 Ò ˘4¸ ×Ó Ø ×
ÓÒ Ð Ò
ÓÒØ Ò× ˘4º ÀÓÛ Ú Ö¸ ÓÖ Ú ÖÝ ÒÙÑ Ö a Ò Ø
Ö×Ø Ð Ò ¸ a ı 2 pmod 4q¸ ×Ó Û Ñ Ý
ÓÒ
ÐÙ Ø Ø a2
” 0, 1 pmod 8qº ÓÒ× ÕÙ ÒØÐÝ¸ Ú ÖÝ
ÒÙÑ Ö Ò Ø Ø Ö Ð Ò ÑÙ×Ø
ÓÒ ÖÙ ÒØ ØÓ ´2, ´1, 0, 1, 2 pmod 8q Ò Ô ÖØ
ÙÐ Ö¸ ˘4
ÒÒÓØ
Ò Ø Ø Ö Ð Ò ¸ Û
×
ÓÒØÖ
Ø ÓÒº
ËÓÐÙØ ÓÒ ¾º Ä Ø q ÓÓ ÒÙÑ Ö¸ × Ò Ò Ø Ö×Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ¸ Ò Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð
Ppx1, . . . , x10q ×
ź
iăj
pxi ´ xjq
ź
aiPS
`
qpx1 ´ x2qpx3 ´ x4q ´ pa1 ´ a2q2
´ pa3 ´ a4q2
` pa5 ´ a6q2
` pa7 ´ a8q2
˘
,
Û Ö S “ tx1, . . . , x10uº
Ï
Ð Ñ Ø Ø Ppx1, . . . , x10q “ 0 ÓÖ Ú ÖÝ
Ó
Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö× px1, . . . , x10qº Á ÒÝ ØÛÓ
Ó Ø xi Ö ÕÙ Ð¸ Ø Ò Ppx1, . . . , x10q “ 0 ØÖ Ú ÐÐÝº Á ÒÓ ØÛÓ Ö ÕÙ Ð¸ ××ÙÑ Ø Ø Ù Ù
× Ø Ó× Ø Ò ÒÙÑ Ö× x1, . . . , x10 ÓÒ × Ò Ô Òº Ì Ò¸ Ø ÒÙÑ Ö qpx1 ´ x2qpx3 ´ x4q × Ò
Ø ×
ÓÒ Ð Ò ¸ ×Ó Û ÑÙ×Ø Ú ×ÓÑ a1, . . . , a8 ×Ó Ø Ø
qpx1 ´ x2qpx3 ´ x4q ´ pa1 ´ a2q2
´ pa3 ´ a4q2
` pa5 ´ a6q2
` pa7 ´ a8q2
“ 0,

Ë ÓÖØÐ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ× ×ÓÐÙØ ÓÒ× ½
Ò Ò
Ppx1, . . . , x10q “ 0º
Ë Ò
Ú ÖÝ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ø Ú ÐÙ Ø × ØÓ Þ ÖÓ Ú ÖÝÛ Ö × Ø Þ ÖÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð¸ Ò Ø
ÔÖÓ Ù
Ø Ó ØÛÓ ÒÓÒÞ ÖÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð× × Ò
×× Ö ÐÝ ÒÓÒÞ ÖÓ¸ Û Ñ Ý Ò F ×Ù
Ø Ø
Fpx1, . . . , x10q ” qpx1 ´ x2qpx3 ´ x4q ´ pa1 ´ a2q2
´ pa3 ´ a4q2
` pa5 ´ a6q2
` pa7 ´ a8q2
” 0 ´½µ
ÓÖ ×ÓÑ Ô ÖØ
ÙÐ Ö
Ó
ai P Sº

Ó Ø × Ø× ta1, a2u¸ ta3, a4u¸ ta5, a6u¸ Ò ta7, a8u × ÕÙ Ð ØÓ Ø ÑÓ×Ø ÓÒ Ó Ø ÓÙÖ
× Ø× tx1, x3u, tx2, x3u, tx1, x4u¸ Ò tx2, x4uº Ì Ù×¸ Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó Ò Ö Ð ØÝ¸ Û Ñ Ý ××ÙÑ
Ø Ø Ø ÑÓ×Ø ÓÒ Ó Ø × Ø× ta1, a2u, ta3, a4u, ta5, a6u¸ Ò ta7, a8u × ÕÙ Ð ØÓ tx1, x3uº Ä Ø
u1, u3, u5, u7 Ø Ò
ØÓÖ ÙÒ
Ø ÓÒ× ÓÖ Ø × ÕÙ Ð ØÝ Ó × Ø× Ø Ø ×¸ ui “ 1 Ò ÓÒÐÝ
tai, ai`1u “ tx1, x3uº Ý ××ÙÑÔØ ÓÒ¸ Ø Ð ×Ø Ø Ö Ó Ø ui Ö ÕÙ Ð ØÓ ¼º
Ï ÒÓÛ
ÓÑÔÙØ Ø
Ó
ÒØ Ó x1x3 Ò Fº ÁØ × ÕÙ Ð ØÓ q ` 2pu1 ` u3 ´ u5 ´ u7q “ 0¸
Ò × Ò
Ø Ð ×Ø Ø Ö Ó Ø ui Ö Þ ÖÓ¸ Û ÑÙ×Ø Ú Ø Ø q P t´2, 0, 2u¸ × × Ö º

¿º Ä Ø S Ò Ø × Ø¸ Ò Ð Ø A Ø × Ø Ó ÐÐ ÙÒ
Ø ÓÒ× ÖÓÑ S ØÓ Sº Ä Ø f Ò
Ð Ñ ÒØ Ó A¸ Ò Ð Ø T “ fpSq Ø Ñ Ó S ÙÒ Ö fº ËÙÔÔÓ× Ø Ø f ˝ g ˝ f ‰ g ˝ f ˝ g
ÓÖ Ú ÖÝ g Ò A Û Ø g ‰ fº Ë ÓÛ Ø Ø fpTq “ Tº
´ÁÒ µ
ËÓÐÙØ ÓÒº ÓÖ n ě 1¸ ÒÓØ Ø n¹Ø
ÓÑÔÓ× Ø ÓÒ Ó f Û Ø Ø× Ð Ý
fn
“ f ˝ f ˝ ¨ ¨ ¨ ˝ flooooooomooooooon
n Ø Ñ ×
.
Ý ÝÔÓØ × ×¸ g P A × Ø × × f ˝ g ˝ f “ g ˝ f ˝ g¸ Ø Ò g “ fº Ò ØÙÖ Ð × ØÓ ØÖÝ ØÓ
ÔÐÙ Ò g “ fn
ÓÖ ×ÓÑ n Ò Ø ÜÔÖ ×× ÓÒ f ˝ g ˝ f “ g ˝ f ˝ g Ò ÓÖ Ö ØÓ Ø fn
“ f¸ Û
×ÓÐÚ × Ø ÔÖÓ Ð Ñ
Ð Ñº Á Ø Ö Ü ×Ø× n ě 3 ×Ù
Ø Ø fn`2
“ f2n`1
¸ Ø Ò Ø Ö ×ØÖ
Ø ÓÒ f : T Ñ T Ó f ØÓ T
×
Ø ÓÒº
ÈÖÓÓ º ÁÒ ¸ Ý ÝÔÓØ × ×¸ fn`2
“ f2n`1
ðñ f ˝ fn
˝ f “ fn
˝ f ˝ fn
ùñ fn
“ fº
Ë Ò
n ´ 2 ě 1¸ Ø Ñ Ó fn´2
×
ÓÒØ Ò Ò T “ fpSq¸ Ò
fn´2
Ö ×ØÖ
Ø× ØÓ ÙÒ
Ø ÓÒ
fn´2
: T Ñ Tº Ì × × Ø ÒÚ Ö× Ó f : T Ñ Tº ÁÒ
Ø¸ Ú Ò t P T¸ × Ý t “ fpsq Û Ø s P S¸
Û Ú
t “ fpsq “ fn
psq “ fn´2
pfptqq “ fpfn´2
ptqq, º º¸ fn´2
˝ f “ f ˝ fn´2
“ id ÓÒ T
´ Ö id ×Ø Ò × ÓÖ Ø ÒØ ØÝ ÙÒ
Ø ÓÒµº À Ò
¸ Ø Ö ×ØÖ
Ø ÓÒ f : T Ñ T Ó f ØÓ T ×
Ø Ú
Û Ø ÒÚ Ö× Ú Ò Ý fn´2
: T Ñ Tº l
ÁØ Ö Ñ Ò× ØÓ × ÓÛ Ø Ø n × Ò Ø
Ð Ñ Ü ×Ø×º ÓÖ Ø Ø¸ Ò
Sm “ fm
pSq pSm × Ñ Ó fm
q
Ð ÖÐÝ Ø Ñ Ó fm`1
×
ÓÒØ Ò Ò Ø Ñ Ó fm
¸ º º¸ Ø Ö × ×
Ò Ò
Ò Ó
×Ù × Ø× Ó S
S Ě S1 Ě S2 Ě S3 Ě S4 Ě ¨ ¨ ¨ ,
Û
ÑÙ×Ø Ú ÒØÙ ÐÐÝ ×Ø Ð × × Ò
S × Ò Ø ¸ º º¸ Ø Ö × k ě 1 ×Ù
Ø Ø
Sk “ Sk`1 “ Sk`2 “ Sk`3 “ ¨ ¨ ¨ “ S8.
À Ò
f Ö ×ØÖ
Ø× ØÓ ×ÙÖ
Ø Ú ÙÒ
Ø ÓÒ f : S8 Ñ S8¸ Û
× Ð×Ó
Ø Ú × Ò
S8 Ď S ×
Ò Ø º ÌÓ ×ÙÑ ÙÔ¸ f : S8 Ñ S8 × Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ð Ñ ÒØ× Ó Ø Ò Ø × Ø S8¸ Ò
Ø Ö Ü ×Ø× Ò ÒØ Ö r ě 1 ×Ù
Ø Ø fr
“ id ÓÒ S8 ´ ÓÖ Ü ÑÔÐ ¸ Û Ñ Ý
ÓÓ× r “ |S8|!µº
ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ×¸
fm`r
“ fm
ÓÒ S ÓÖ ÐÐ m ě k. p˚q
Ð ÖÐÝ¸ p˚q Ð×Ó ÑÔÐ × Ø Ø fm`tr
“ fm
ÓÖ ÐÐ ÒØ Ö× t ě 1 Ò m ě kº ËÓ¸ ØÓ Ò n × Ò
Ø
Ð Ñ Ò Ò × Ø ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ø × ÒÓÙ ØÓ
ÓÓ× m Ò t Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò×ÙÖ Ø Ø Ø Ö
Ü ×Ø× n ě 3 × Ø × Ý Ò
#
2n ` 1 “ m ` tr
n ` 2 “ m
ðñ
#
m “ 3 ` tr
n “ m ´ 2.
Ì ×
Ò
Ð ÖÐÝ ÓÒ Ý
ÓÓ× Ò m Ð Ö ÒÓÙ Û Ø m ” 3 pmod rqº ÓÖ Ò×Ø Ò
¸ Û
Ñ Ý Ø n “ 2kr ` 1¸ ×Ó Ø Ø
fn`2
“ f2kr`3
“ f4kr`3
“ f2n`1
Û Ö Ø Ñ Ð ÕÙ Ð ØÝ ÓÐÐÓÛ× Ý p˚q × Ò
2kr ` 3 ě kº

º × ÕÙ Ò
Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö× a1, a2, . . . × Ø × × Ø Ö Ð Ø ÓÒ
an “ ´ max
i`j“n
pai ` ajq ÓÖ ÐÐ n ą 2017º
ÈÖÓÚ Ø Ø Ø × × ÕÙ Ò
× ÓÙÒ ¸ º º¸ Ø Ö ×
ÓÒ×Ø ÒØ M ×Ù
Ø Ø |an| ď M ÓÖ ÐÐ
ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö× nº
´ÊÙ×× µ
ËÓÐÙØ ÓÒ ½º Ë Ø D “ 2017º ÒÓØ
Mn “ max
kăn
ak Ò mn “ ´ min
kăn
ak “ max
kăn
p´akq.
Ð ÖÐÝ¸ Ø × ÕÙ Ò
× pmnq Ò pMnq Ö ÒÓÒ
Ö × Ò º Ï Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø ÓØ Ö
ÓÙÒ º
ÓÒ× Ö Ò Ö ØÖ ÖÝ n ą D ÓÙÖ Ö×Ø Ñ × ØÓ ÓÙÒ an Ò Ø ÖÑ× Ó mn Ò Mnº
´ µ Ì Ö Ü ×Ø Ò
× p Ò q ×Ù
Ø Ø an “ ´pap ` aqq Ò p ` q “ nº Ë Ò
ap, aq ď Mn¸ Û
Ú an ě ´2Mnº
´ µ ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸
ÓÓ× Ò Ò Ü k ă n ×Ù
Ø Ø ak “ Mnº Ì Ò¸ Û Ú
an “ ´ max
ℓăn
pan´ℓ ` aℓq ď ´pan´k ` akq “ ´an´k ´ Mn ď mn ´ Mn.
ËÙÑÑ Ö Þ Ò ´ µ Ò ´ µ¸ Û Ø
´2Mn ď an ď mn ´ Mn,
Û Ò
mn ď mn`1 ď maxtmn, 2Mnu Ò Mn ď Mn`1 ď maxtMn, mn ´ Mnu. ´½µ
ÆÓÛ¸ × Ý Ø Ø Ò Ò Ü n ą D × ÐÙ
Ý mn ď 2Mnº ÌÛÓ
× × Ö ÔÓ×× Ð º
× ½º ××ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ü ×Ø× ÐÙ
Ý Ò Ü nº ÁÒ Ø ×
× ¸ ´½µ Ý Ð × mn`1 ď 2Mn Ò
Mn ď Mn`1 ď Mnº Ì Ö ÓÖ ¸ Mn`1 “ Mn Ò mn`1 ď 2Mn “ 2Mn`1º ËÓ¸ Ø Ò Ü n ` 1
× Ð×Ó ÐÙ
Ý¸ Ò Mn`1 “ Mnº ÔÔÐÝ Ò Ø × Ñ Ö ÙÑ ÒØ× Ö Ô Ø ÐÝ¸ Û Ó Ø Ò Ø Ø ÐÐ
Ò
× k ą n Ö ÐÙ
Ý ´ º º¸ mk ď 2Mk ÓÖ ÐÐ Ø × Ò
×µ¸ Ò Mk “ Mn ÓÖ ÐÐ ×Ù
Ò
×º
Ì Ù×¸ ÐÐ Ó Ø mk Ò Mk Ö ÓÙÒ Ý 2Mnº
× ¾º ××ÙÑ ÒÓÛ Ø Ø Ø Ö × ÒÓ ÐÙ
Ý Ò Ü¸ º º¸ 2Mn ă mn ÓÖ ÐÐ n ą Dº Ì Ò ´½µ
× ÓÛ× Ø Ø ÓÖ ÐÐ n ą D Û Ú mn ď mn`1 ď mn¸ ×Ó mn “ mD`1 ÓÖ ÐÐ n ą Dº Ë Ò
Mn ă mn{2 ÓÖ ÐÐ ×Ù
Ò
×¸ ÐÐ Ó Ø mn Ò Mn Ö ÓÙÒ Ý mD`1º
Ì Ù×¸ Ò ÓØ
× × Ø × ÕÙ Ò
× pmnq Ò pMnq Ö ÓÙÒ ¸ × × Ö º
ËÓÐÙØ ÓÒ ¾º × Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ×ÓÐÙØ ÓÒ¸ Ð Ø D “ 2017º Á Ø × ÕÙ Ò
× ÓÙÒ ÓÚ ¸ × Ý¸
Ý Q¸ Ø Ò Û Ú Ø Ø an ě minta1, . . . , aD, ´2Qu ÓÖ ÐÐ n¸ ×Ó Ø × ÕÙ Ò
× ÓÙÒ º ×¹
×ÙÑ ÓÖ × Ó
ÓÒØÖ
Ø ÓÒ Ø Ø Ø × ÕÙ Ò
× ÒÓØ ÓÙÒ ÓÚ º Ä Ø ℓ “ minta1, . . . , aDu¸
Ò L “ maxta1, . . . , aDuº ÐÐ Ò Ò Ü n ÓÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò
Ö Ø Ö ÓÐ
an ą ai ÓÖ
i ă n, an ą ´2ℓ, Ò n ą D ´¾µ
Ï Ö×Ø × ÓÛ Ø Ø Ø Ö ÑÙ×Ø ×ÓÑ ÓÓ Ò Ü nº Ý ××ÙÑÔØ ÓÒ¸ Û Ñ Ý Ø Ò
Ò Ü N ×Ù
Ø Ø aN ą maxtL, ´2ℓuº ÓÓ× n Ñ Ò Ñ ÐÐÝ ×Ù
Ø Ø an “ maxta1, a2, . . . , aN uº
ÆÓÛ¸ Ø Ö×Ø
ÓÒ Ø ÓÒ Ò ´¾µ × × Ø ×
Ù× Ó Ø Ñ Ò Ñ Ð ØÝ Ó n¸ Ò Ø ×
ÓÒ Ò
Ø Ö
ÓÒ Ø ÓÒ× Ö × Ø ×
Ù× an ě aN ą L, ´2ℓ¸ Ò L ě ai ÓÖ Ú ÖÝ i ×Ù
Ø Ø
1 ď i ď Dº

Ä Ø n ÓÓ Ò Üº Ï Ö Ú
ÓÒØÖ
Ø ÓÒº Ï Ú Ø Ø
an ` au ` av ď 0, ´¿µ
Û Ò Ú Ö u ` v “ nº
Ï Ò Ø Ò Ü u ØÓ Ñ Ü Ñ Þ au ÓÚ Ö 1 ď u ď n ´ 1¸ Ò Ð Ø v “ n ´ uº Ì Ò¸ Û ÒÓØ
Ø Ø au ě av Ý Ø Ñ Ü Ñ Ð ØÝ Ó auº
××ÙÑ Ö×Ø Ø Ø v ď Dº Ì Ò¸ Û Ú Ø Ø
aN ` 2ℓ ď 0,

Ù× au ě av ě ℓº ÙØ Ø ×
ÓÒØÖ
Ø× ÓÙÖ ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø an ą ´2ℓ Ò Ø ×
ÓÒ
Ö Ø Ö
Ó ´¾µº
ÆÓÛ ××ÙÑ Ø Ø v ą Dº Ì Ò¸ Ø Ö Ü ×Ø ×ÓÑ Ò
× w1, w2 ×ÙÑÑ Ò ÙÔ ØÓ v ×Ù
Ø Ø
av ` aw1 ` aw2 “ 0.
ÙØ
ÓÑ Ò Ò Ø × Û Ø ´¿µ¸ Û Ú
an ` au ď aw1 ` aw2 .

Ù× an ą au¸ Û Ú Ø Ø maxtaw1 , aw2 u ą auº ÙØ × Ò

Ó Ø wi × Ð ×× Ø Ò v¸ Ø ×

ÓÒØÖ
Ø× Ø Ñ Ü Ñ Ð ØÝ Ó auº
ÓÑÑ ÒØ ½º Ï ÔÖ × ÒØ ØÛÓ Ö Ö Ú Ö× ÓÒ× Ó Ø × ÔÖÓ Ð Ñ ÐÓÛº
Î Ö× ÓÒ ½º Ä Ø a1, a2, . . . × ÕÙ Ò
Ó ÒÙÑ Ö× Ø Ø × Ø × × Ø Ö Ð Ø ÓÒ
an “ ´ max
i`j`k“n
pai ` aj ` akq ÓÖ ÐÐ n ą 2017º
Ì Ò¸ Ø × × ÕÙ Ò
× ÓÙÒ º
ÈÖÓÓ º Ë Ø D “ 2017º ÒÓØ
Mn “ max
kăn
ak Ò mn “ ´ min
kăn
ak “ max
kăn
pákq.
Ð ÖÐÝ¸ Ø × ÕÙ Ò
× pmnq Ò pMnq Ö ÒÓÒ
Ö × Ò º Ï Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø ÓØ Ö ÓÙÒ º
ÓÒ× Ö Ò Ö ØÖ ÖÝ n ą 2D ÓÙÖ Ö×Ø Ñ × ØÓ ÓÙÒ an Ò Ø ÖÑ× Ó mi Ò Miº Ë Ø k “ tn{2uº
´ µ ÓÓ× Ò
× p¸ q¸ Ò r ×Ù
Ø Ø an “ ´pap ` aq ` arq Ò p ` q ` r “ nº Ï Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó
Ò Ö Ð ØÝ¸ p ě q ě rº
××ÙÑ Ø Ø p ě k ` 1pą Dq Ø Ò p ą q ` rº À Ò
áp “ max
i1ì2ì3“p
pai1 ` ai2 ` ai3 q ě aq ` ar ` ap´q´r,
Ò Ø Ö ÓÖ an “ ´pap ` aq ` arq ě paq ` ar ` ap´q´rq ´ aq ´ ar “ ap´q´r ě ´mnº
ÇØ ÖÛ × ¸ Û Ú k ě p ě q ě rº Ë Ò
n ă 3k¸ Û Ú r ă kº Ì Ò ap, aq ď Mk`1 Ò
ar ď Mk¸ Û Ò
an ě ´2Mk`1 ´ Mkº
Ì Ù×¸ Ò ÒÝ
× an ě ´ maxtmn, 2Mk`1 ` Mkuº
´ µ ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸
ÓÓ× p ď k Ò q ď k´1 ×Ù
Ø Ø ap “ Mk`1 Ò aq “ Mkº Ì Ò p`q ă n¸
×Ó an ď ´pap ` aq ` an´p´qq “ án´p´q ´ Mk`1 ´ Mk ď mn ´ Mk`1 ´ Mkº
ÌÓ ×ÙÑÑ Ö Þ ¸
´ maxtmn, 2Mk`1 ` Mku ď an ď mn ´ Mk`1 ´ Mk,
Û Ò
mn ď mn`1 ď maxtmn, 2Mk`1 ` Mku Ò Mn ď Mn`1 ď maxtMn, mn ´ Mk`1 ´ Mku. ´ µ

ÆÓÛ¸ × Ý Ø Ø Ò Ò Ü n ą 2D × ÐÙ
Ý mn ď 2Mtn{2u`1 ` Mtn{2uº ÌÛÓ
× × Ö ÔÓ×× Ð º
× ½º ××ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ü ×Ø× ÐÙ
Ý Ò Ü n × Ø k “ tn{2uº ÁÒ Ø ×
× ¸ ´ µ Ý Ð × mn`1 ď
2Mk`1 ` Mk Ò Mn ď Mn`1 ď Mn ´Ø Ð ×Ø Ö Ð Ø ÓÒ ÓÐ ×¸ × Ò
mn ´ Mk`1 ´ Mk ď p2Mk`1 `
Mkq´Mk`1 ´Mk “ Mk`1 ď Mnµº Ì Ö ÓÖ ¸ Mn`1 “ Mn Ò mn`1 ď 2Mk`1 `Mk Ø Ð ×Ø Ö Ð Ø ÓÒ
× ÓÛ× Ø Ø Ø Ò Ü n ` 1 × Ð×Ó ÐÙ
Ýº
Ì Ù×¸ ÐÐ Ò
× N ą n Ö ÐÙ
Ý¸ Ò MN “ Mn ě mN {3¸ Û Ò
ÐÐ Ø mN Ò MN Ö
ÓÙÒ Ý 3Mnº
× ¾º ÓÒÚ Ö× ÐÝ¸ ××ÙÑ Ø Ø Ø Ö × ÒÓ ÐÙ
Ý Ò Ü¸ º º¸ 2Mtn{2u`1 ` Mtn{2u ă mn ÓÖ ÐÐ n ą 2Dº
Ì Ò ´ µ × ÓÛ× Ø Ø ÓÖ ÐÐ n ą 2D Û Ú mn ď mn`1 ď mn¸ º º¸ mN “ m2D`1 ÓÖ ÐÐ N ą 2Dº
Ë Ò
MN ă m2N`1{3 ÓÖ ÐÐ ×Ù
Ò
×¸ ÐÐ Ø mN Ò MN Ö ÓÙÒ Ý m2D`1º
Ì Ù×¸ Ò ÓØ
× × Ø × ÕÙ Ò
× pmnq Ò pMnq Ö ÓÙÒ ¸ × × Ö º l
Î Ö× ÓÒ ¾º Ä Ø a1, a2, . . . × ÕÙ Ò
Ó ÒÙÑ Ö× Ø Ø × Ø × × Ø Ö Ð Ø ÓÒ
an “ ´ max
i1`¨¨¨`ik“n
pai1 ` ¨ ¨ ¨ ` aik
q ÓÖ ÐÐ n ą 2017º
Ì Ò¸ Ø × × ÕÙ Ò
× ÓÙÒ º
ÈÖÓÓ º × Ò Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ× ÓÚ ¸ Ð Ø D “ 2017º Á Ø × ÕÙ Ò
× ÓÙÒ ÓÚ ¸ × Ý¸ Ý Q¸ Ø Ò Û
Ú Ø Ø an ě minta1, . . . , aD, ´kQu ÓÖ ÐÐ n¸ ×Ó Ø × ÕÙ Ò
× ÓÙÒ º ××ÙÑ ÓÖ × Ó
ÓÒØÖ ¹

Ø ÓÒ Ø Ø Ø × ÕÙ Ò
× ÒÓØ ÓÙÒ ÓÚ º Ä Ø ℓ “ minta1, . . . , aDu¸ Ò L “ maxta1, . . . , aDuº
ÐÐ Ò Ò Ü n ÓÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò
Ö Ø Ö ÓÐ
an ą ai ÓÖ
i ă n, an ą ´kℓ, Ò n ą D ´ µ
Ï Ö×Ø × ÓÛ Ø Ø Ø Ö ÑÙ×Ø ×ÓÑ ÓÓ Ò Ü nº Ý ××ÙÑÔØ ÓÒ¸ Û Ñ Ý Ø Ò Ò Ü N
×Ù
Ø Ø aN ą maxtL, ´kℓuº ÓÓ× n Ñ Ò Ñ ÐÐÝ ×Ù
Ø Ø an “ maxta1, a2, . . . , aN uº ÆÓÛ¸ Ø Ö×Ø

ÓÒ Ø ÓÒ × × Ø ×
Ù× Ó Ø Ñ Ò Ñ Ð ØÝ Ó n¸ Ò Ø ×
ÓÒ Ò Ø Ö
ÓÒ Ø ÓÒ× Ö × Ø ×

Ù× an ě aN ą L, ´kℓ¸ Ò L ě ai ÓÖ Ú ÖÝ i ×Ù
Ø Ø 1 ď i ď Dº
Ä Ø n ÓÓ Ò Üº Ï Ö Ú
ÓÒØÖ
Ø ÓÒº Ï Ú Ø Ø
an ` av1 ` ¨ ¨ ¨ ` avk
ď 0, ´ µ
Û Ò Ú Ö v1 ` ¨ ¨ ¨ ` vk “ nº
Ï Ò Ø × ÕÙ Ò
Ó Ò
× v1, . . . , vk´1 ØÓ Ö ÐÝ Ñ Ü Ñ Þ av1 ¸ Ø Ò av2 ¸ Ò ×Ó ÓÖØ ¸
× Ð
Ø Ò ÓÒÐÝ ÖÓÑ Ò
× ×Ù
Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ v1 `¨ ¨ ¨`vk “ n
Ò × Ø × Ý ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö×
v1, . . . , vkº ÅÓÖ ÓÖÑ ÐÐÝ¸ Û Ò Ø Ñ Ò Ù
Ø Ú ÐÝ ×Ó Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò
Ö Ø Ö Ö × Ø × Ý
Ø vi
½º 1 ď vi ď n ´ pk ´ iq ´ pv1 ` ¨ ¨ ¨ ` vi´1qº
¾º avi × Ñ Ü Ñ Ð ÑÓÒ ÐÐ
Ó
× Ó vi ÖÓÑ Ø Ö×Ø
Ö Ø Ö º
Ö×Ø Ó ÐÐ¸ Û ÒÓØ Ø Ø ÓÖ
i¸ Ø Ö×Ø
Ö Ø Ö × ÐÛ Ý× × Ø × Ð Ý ×ÓÑ vi¸
Ù× Û
Ö Ù Ö ÒØ Ø Ø
vi´1 ď n ´ pk ´ pi ´ 1qq ´ pv1 ` ¨ ¨ ¨ ` vi´2q,
Û
ÑÔÐ ×
1 ď n ´ pk ´ iq ´ pv1 ` ¨ ¨ ¨ ` vi´1q.
Ë
ÓÒ ÐÝ¸ Ø ×ÙÑ v1 ` ¨ ¨ ¨ ` vk´1 × Ø ÑÓ×Ø n ´ 1º Ò vk “ n ´ pv1 ` ¨ ¨ ¨ ` vk´1qº Ì Ò¸ ´ µ
× × Ø × Ý Ø viº Ï Ð×Ó ÒÓØ Ø Ø avi ě avj ÓÖ ÐÐ i ă j ÓØ ÖÛ × ¸ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó vi¸ Û

ÓÙÐ Ú × Ð
Ø vj Ò×Ø º
××ÙÑ Ö×Ø Ø Ø vk ď Dº Ì Ò¸ ÖÓÑ ´ µ¸ Û Ú Ø Ø
an ` kℓ ď 0,
Ý Ù× Ò Ø Ø av1 ě ¨ ¨ ¨ ě avk
ě ℓº ÙØ Ø ×
ÓÒØÖ
Ø× ÓÙÖ ××ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø an ą ´kℓ Ò Ø ×
ÓÒ

Ö Ø Ö Ó ´ µº

¾¼ ÁÅÇ ¾¼½ ¸ Ê Ó Â Ò ÖÓ
ÆÓÛ ××ÙÑ Ø Ø vk ą D¸ Ò Ø Ò Û ÑÙ×Ø Ú ×ÓÑ Ò
× w1, . . . , wk ×ÙÑÑ Ò ÙÔ ØÓ vk ×Ù
Ø Ø
avk
` aw1 ` ¨ ¨ ¨ ` awk
“ 0.
ÙØ
ÓÑ Ò Ò Ø × Û Ø ´ µ¸ Û Ú
an ` av1 ` ¨ ¨ ¨ ` avk´1
ď aw1 ` ¨ ¨ ¨ ` awk
.

Ù× an ą av1 ě ¨ ¨ ¨ ě avk´1
¸ Û Ú Ø Ø maxtaw1 , . . . , awk
u ą avk´1
º ÙØ × Ò

Ó Ø wi
× Ð ×× Ø Ò vk¸ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø vk´1 Û
ÓÙÐ Ú
Ó× Ò ÓÒ Ó Ø wi Ò×Ø ¸ Û
×

ÓÒØÖ
Ø ÓÒº l
ÓÑÑ ÒØ ¾º ÁØ × Ñ× Ø Ø
× ÕÙ Ò
× Ø × Ý Ò Ø
ÓÒ Ø ÓÒ Ò Î Ö× ÓÒ ¾ × Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ô Ö Ó
¸
Ø Ð ×Ø Û Ò Ø× Ø ÖÑ× Ö ÒØ Ö×º
ÀÓÛ Ú Ö¸ ÙÔ ØÓ Ø × ÑÓÑ ÒØ¸ Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ë Ð
Ø ÓÒ ÓÑÑ ØØ × ÒÓØ Û Ö Ó ÔÖÓÓ ÓÖ Ø ×
Ø
´ Ú Ò Ò Ø
× k “ 2µº

Ë ÓÖØÐ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ× ×ÓÐÙØ ÓÒ× ¾½
º Ò ÒØ Ö n ě 3 × Ú Òº Ï
ÐÐ Ò n¹ØÙÔÐ Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö× px1, x2, . . . , xnq Ë ÒÝ
ÓÖ
Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ y1, y2, . . . , yn Ó Ø × ÒÙÑ Ö× Û Ú
n´1ÿ
i“1
yiyi`1 “ y1y2 ` y2y3 ` y3y4 ` ¨ ¨ ¨ ` yn´1yn ě ´1.
Ò Ø Ð Ö ×Ø
ÓÒ×Ø ÒØ K “ Kpnq ×Ù
Ø Ø
ÿ
1ďiăjďn
xixj ě K
ÓÐ × ÓÖ Ú ÖÝ Ë ÒÝ n¹ØÙÔÐ px1, x2, . . . , xnqº
´Ë Ö µ
Ò×Û Ö K “ ´pn ´ 1q{2º
ËÓÐÙØ ÓÒ ½º Ö×Ø Ó ÐÐ¸ Û × ÓÛ Ø Ø Û Ñ Ý ÒÓØ Ø Ð Ö Ö
ÓÒ×Ø ÒØ Kº Ä Ø t ÔÓ× Ø Ú
ÒÙÑ Ö¸ Ò Ø x2 “ x3 “ ¨ ¨ ¨ “ t Ò x1 “ ´1{p2tqº Ì Ò¸ Ú ÖÝ ÔÖÓ Ù
Ø xixj í ‰ jµ ×
ÕÙ Ð ØÓ Ø Ö t2
ÓÖ ´1{2º À Ò
¸ ÓÖ Ú ÖÝ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ yi Ó Ø xi¸ Û Ú
y1y2 ` ¨ ¨ ¨ ` yn´1yn ě pn ´ 3qt2
´ 1 ě ´1.
Ì × Ù×Ø × Ø Ø Ø n¹ØÙÔÐ px1, . . . , xnq × Ë ÒÝº ÆÓÛ¸ Û Ú
ÿ
iăj
xixj “ ´
n ´ 1
2
`
pn ´ 1qpn ´ 2q
2
t2
.
Ì Ù×¸ × t ÔÔÖÓ
× ¼ ÖÓÑ ÓÚ ¸
ř
iăj xixj Ø× Ö ØÖ Ö ÐÝ
ÐÓ× ØÓ ´pn ´ 1q{2º Ì × × ÓÛ×
Ø Ø Û Ñ Ý ÒÓØ Ø K ÒÝ Ð Ö Ö Ø Ò ´pn ´ 1q{2º ÁØ Ö Ñ Ò× ØÓ × ÓÛ Ø Ø
ř
iăj xixj ě
´pn ´ 1q{2 ÓÖ ÒÝ Ë ÒÝ
Ó
Ó Ø xiº
ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒÛ Ö ¸ ××ÙÑ Ø Ø px1, . . . , xnq × Ë ÒÝ n¹ØÙÔÐ º Ä Ø Ø zi ´1 ď i ď nµ
×ÓÑ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó Ø xi ØÓ
Ó× Ò Ð Ø Öº Ì Ò
× ÓÖ zi Û ÐÐ ÐÛ Ý× Ø Ò ÑÓ ÙÐÓ nº
Ï Û ÐÐ Ö×Ø ×ÔÐ Ø ÙÔ Ø ×ÙÑ
ř
iăj xixj “
ř
iăj zizj ÒØÓ tpn ´ 1q{2u ÜÔÖ ×× ÓÒ×¸
Ó Ø
ÓÖÑ y1y2 ` ¨ ¨ ¨ ` yn´1yn ÓÖ ×ÓÑ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ yi Ó Ø zi¸ Ò ×ÓÑ Ð ØÓÚ Ö Ø ÖÑ×º ÅÓÖ
×Ô

ÐÐÝ¸ ÛÖ Ø
ÿ
iăj
zizj “
n´1ÿ
q“0
ÿ
i`j”q pmod nq
iıj pmod nq
zizj “
tn´1
2
u
ÿ
p“1
ÿ
i`j”2p´1,2p pmod nq
iıj pmod nq
zizj ` L, ´½µ
Û Ö L “ z1z´1 ` z2z´2 ` ¨ ¨ ¨ ` zpn´1q{2z´pn´1q{2 n × Ó ¸ Ò L “ z1z´1 ` z1z´2 ` z2z´2 `
¨ ¨ ¨ ` zpn´2q{2zń{2 n × Ú Òº Ï ÒÓØ Ø Ø ÓÖ
p “ 1, 2, . . . , tpn ´ 1q{2u¸ Ø Ö × ×ÓÑ
Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ yi Ó Ø zi ×Ù
Ø Ø
ÿ
i`j”2p´1,2p pmod nq
iıj pmod nq
zizj “
n´1ÿ
k“1
ykyk`1,

Ù× Û Ñ Ý
ÓÓ× y2i´1 “ zi`p´1 ÓÖ 1 ď i ď pn ` 1q{2 Ò y2i “ zpí ÓÖ 1 ď i ď n{2º
Ï × ÓÛ ´½µ Ö Ô
ÐÐÝ ÓÖ n “ 6, 7 Ò Ø Ö Ñ× ÐÓÛº Ì × Ó Ø Ö Ô ×
Ö ÔÖ × ÒØ ÔÖÓ Ù
Ø zizj¸ Ò Ø × Ò ÓØØ × Ö × Ó Ð Ò × Ö ÔÖ × ÒØ× Ø ×ÙÑ Ó Ø
×¸ Û
× Ó Ø ÓÖÑ y1y2 ` ¨ ¨ ¨ ` yn´1yn ÓÖ ×ÓÑ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ yi Ó Ø zi ÔÖ
× ÐÝ Û Ò
Ø × Ö × Ó Ð Ò × × À Ñ ÐØÓÒ Ò Ô Ø º Ì ÐÐ × Ö ÔÖ × ÒØ Ø ×ÙÑÑ Ò × Ó Lº

¾¾ ÁÅÇ ¾¼½ ¸ Ê Ó Â Ò ÖÓ
ÆÓÛ¸
Ù× Ø zi Ö Ë ÒÝ¸ Û Ú Ø Ø ´½µ Ý Ð × Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÙÒ
ÿ
iăj
zizj ě ´
Z
n ´ 1
2
^
` L.
ÁØ Ö Ñ Ò× ØÓ × ÓÛ Ø Ø¸ ÓÖ
n¸ Ø Ö Ü ×Ø× ×ÓÑ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ zi Ó Ø xi ×Ù
Ø Ø L ě 0
Û Ò n × Ó ¸ Ò L ě ´1{2 Û Ò n × Ú Òº Ï ÒÓÛ ×ÔÐ Ø ÒØÓ
× × × ÓÒ Ø Ô Ö ØÝ Ó n
Ò ÔÖÓÚ
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ× Ó Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ× ziº
Ë Ò
Û Ú ÒÓØ Ñ ÒÝ ××ÙÑÔØ ÓÒ× Ý Ø ÓÙØ Ø xi¸ Û Ñ Ý ÒÓÛ ××ÙÑ Û Ø ÓÙØ
ÐÓ×× Ó Ò Ö Ð ØÝ Ø Ø
x1 ď x2 ď ¨ ¨ ¨ ď xk ď 0 ď xk`1 ď ¨ ¨ ¨ ď xn. ´¾µ
× ½ n × Ó º
Ï Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó Ò Ö Ð ØÝ¸ ××ÙÑ Ø Ø k ´ ÖÓÑ ´¾µµ × Ú Ò¸
Ù× Û Ñ Ý Ò Ø ÐÐ
Ø xi k × Ó º Ï Ø Ò Ú x1x2, x3x4, . . . , xn´2xn´1 ě 0
Ù× Ø
ØÓÖ× Ö Ó Ø
× Ñ × Òº Ä Ø L “ x1x2 ` x3x4 ` ¨ ¨ ¨ ` xn´2xn´1 ě 0º Ï
ÓÓ× ÓÙÖ zi ×Ó Ø Ø Ø × Ò Ø ÓÒ
Ó L Ö × Û Ø Ø ×ÙÑ Ó Ø Ð ØÓÚ Ö Ø ÖÑ× Ò ´½µº Ê Ð Ð Ø xi × zi ×Ù
Ø Ø
tz1, zn´1u, tz2, zn´2u, . . . , tzpn´1q{2, zpn`1q{2u
Ö ×ÓÑ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó
tx1, x2u, tx3, x4u, . . . , txn´2, xn´1u,
Ò zn “ xnº Ì Ò¸ Û Ú L “ z1zn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` zpn´1q{2zpn`1q{2¸ × × Ö º
× ¾ n × Ú Òº
Ä Ø L “ x1x2 `x2x3 `¨ ¨ ¨`xn´1xnº ××ÙÑ Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó Ò Ö Ð ØÝ k ‰ 1º ÆÓÛ¸ Û Ú
2L “ px1x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xn´1xnq ` px1x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xn´1xnq ě px2x3 ` ¨ ¨ ¨ ` xn´1xnq ` xkxk`1
ě x2x3 ` ¨ ¨ ¨ ` xn´1xn ` xnx1 ě ´1,
Û Ö Ø Ö×Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÐ ×
Ù× Ø ÓÒÐÝ Ò Ø Ú Ø ÖÑ Ò L × xkxk`1¸ Ø ×
ÓÒ
Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÐ ×
Ù× x1 ď xk ď 0 ď xk`1 ď xn¸ Ò Ø Ø Ö Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÐ ×
Ù×
Ø xi Ö ××ÙÑ ØÓ Ë ÒÝº Ï Ø Ù× Ú Ø Ø L ě ´1{2º Ï ÒÓÛ
ÓÓ× ×Ù Ø Ð zi
×Ù
Ø Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ó L Ñ Ø
× Ø Ð ØÓÚ Ö Ø ÖÑ× Ò ´½µº

Ë ÓÖØÐ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ× ×ÓÐÙØ ÓÒ× ¾¿
Ê Ð Ð Ø xi Û Ø zi Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ñ ÒÒ Ö x2i´1 “ z´i, x2i “ zi ´ Ò Ø Ò Ò
×
ÑÓ ÙÐÓ nµº Ï Ú Ø Ø
L “
ÿ
i`j”0,´1 pmod nq
iıj pmod nq
zizj,
× × Ö º
ËÓÐÙØ ÓÒ ¾º Ï ÔÖ × ÒØ ÒÓØ Ö ÔÖÓÓ Ø Ø
ř
iăj xixj ě ´pn ´ 1q{2 ÓÖ ÒÝ Ë ÒÝ n¹ØÙÔÐ
px1, . . . , xnqº ××ÙÑ Ò ÓÖ Ö Ò Ó Ø xi × Ò ´¾µ¸ Ò Ð Ø ℓ “ n ´ kº ××ÙÑ Û Ø ÓÙØ ÐÓ××
Ó Ò Ö Ð ØÝ Ø Ø k ě ℓº Ð×Ó ××ÙÑ k ‰ n¸ ´ × ÓØ ÖÛ × ¸ ÐÐ Ó Ø xi Ö ÒÓÒÔÓ× Ø Ú ¸ Ò
×Ó Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ × ØÖ Ú Ðµº Ò Ø × Ø× Ó Ò
× S “ t1, 2, . . . , ku Ò T “ tk ` 1, . . . , nuº
Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ×ÙÑ×
K “
ÿ
iăj
i,jPS
xixj, M “
ÿ
iPS
jPT
xixj, Ò L “
ÿ
iăj
i,jPT
xixj
Ý Ò Ø ÓÒ¸ K, L ě 0 Ò M ď 0º Ï Ñ ØÓ × ÓÛ Ø Ø K ` L ` M ě ´pn ´ 1q{2º
Ï ×ÔÐ Ø ÒØÓ
× × × ÓÒ Û Ø Ö k “ ℓ ÓÖ k ą ℓº
× ½ k ą ℓº
ÓÒ× Ö ÐÐ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ× φ: t1, 2, . . . , nu Ñ t1, 2, . . . , nu ×Ù
Ø Ø φ´1
pTq “ t2, 4, . . . , 2ℓuº
ÆÓØ Ø Ø Ø Ö Ö k!ℓ! ×Ù
Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ× φº Ò
fpφq “
n´1ÿ
i“1
xφpiqxφpi`1q.
Ï ÒÓÛ Ø Ø fpφq ě ´1 ÓÖ Ú ÖÝ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ φ Û Ø Ø ÓÚ ÔÖÓÔ ÖØÝº Ú Ö Ò fpφq
ÓÚ Ö ÐÐ φ Ú ×
´1 ď
1
k!ℓ!
ÿ
φ
fpφq “
2ℓ
kℓ
M `
2pk ´ ℓ ´ 1q
kpk ´ 1q
K,
Û Ö Ø ÕÙ Ð ØÝ ÓÐ ×
Ù× Ø Ö Ö kℓ ÔÖÓ Ù
Ø× Ò M¸ Ó Û
2ℓ Ö × Ð
Ø ÓÖ
φ¸
Ò Ø Ö Ö kpk ´ 1q{2 ÔÖÓ Ù
Ø× Ò K¸ Ó Û
k ´ ℓ ´ 1 Ö × Ð
Ø ÓÖ
φº Ï ÒÓÛ
Ú
K ` L ` M ě K ` L `
ˆ
´
k
2
´
k ´ ℓ ´ 1
k ´ 1
K
˙
“ ´
k
2
`
ℓ
k ´ 1
K ` L.
Ë Ò
k ď n ´ 1 Ò K, L ě 0¸ Û Ø Ø × Ö Ò ÕÙ Ð ØÝº
× ¾ k “ ℓ “ n{2º
Ï Ó × Ñ Ð Ö ÔÔÖÓ
¸
ÓÒ× Ö Ò ÐÐ φ: t1, 2, . . . , nu Ñ t1, 2, . . . , nu ×Ù
Ø Ø φ´1
pTq “
t2, 4, . . . , 2ℓu¸ Ò Ò Ò f Ø × Ñ Û Ýº Ò ÐÓ ÓÙ×ÐÝ ØÓ × ½¸ Û Ú
´1 ď
1
k!ℓ!
ÿ
φ
fpφq “
2ℓ ´ 1
kℓ
M,

Ù× Ø Ö Ö kℓ ÔÖÓ Ù
Ø× Ò M¸ Ó Û
2ℓ ´ 1 Ö × Ð
Ø ÓÖ
φº ÆÓÛ¸ Û Ú Ø Ø
K ` L ` M ě M ě ´
n2
4pn ´ 1q
ě ´
n ´ 1
2
,
Û Ö Ø Ð ×Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÐ ×
Ù× n ě 4º

¾ ÁÅÇ ¾¼½ ¸ Ê Ó Â Ò ÖÓ
º Ò ÐÐ ÙÒ
Ø ÓÒ× f : R Ñ R ×Ù
Ø Ø
fpfpxqfpyqq ` fpx ` yq “ fpxyq p˚q
ÓÖ ÐÐ x, y P Rº
´ Ð Ò µ
Ò×Û Ö Ì Ö Ö ¿ ×ÓÐÙØ ÓÒ×
x ÞÑ 0 ÓÖ x ÞÑ x ´ 1 ÓÖ x ÞÑ 1 ´ x px P Rq.
ËÓÐÙØ ÓÒº Ò ×Ý

× ÓÛ× Ø Ø ÐÐ Ø ¿ ÓÚ Ñ ÒØ ÓÒ ÙÒ
Ø ÓÒ× Ò × Ø × Ý Ø
ÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ p˚qº
ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø × Ö Ø ÓÒÐÝ ×ÓÐÙØ ÓÒ×¸ Ö×Ø Ó × ÖÚ Ø Ø fpxq × ×ÓÐÙØ ÓÒ
Ø Ò ´fpxq × Ð×Ó ×ÓÐÙØ ÓÒº À Ò
¸ Û Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó Ò Ö Ð ØÝ Û Ñ Ý ´ Ò Û ÐÐµ ××ÙÑ Ø Ø
fp0q ď 0 ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒº Ï Ú ØÓ × ÓÛ Ø Ø Ø Ö f × ÒØ
ÐÐÝ Þ ÖÓ ÓÖ fpxq “ x ´ 1
´@x P Rµº
Ç × ÖÚ Ø Ø¸ ÓÖ Ü x ‰ 1¸ Û Ñ Ý
ÓÓ× y P R ×Ó Ø Ø x ` y “ xy ðñ y “ x
x´1
¸
Ò Ø Ö ÓÖ ÖÓÑ Ø ÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ p˚q Û Ú
f
´
fpxq ¨ f
´ x
x ´ 1
¯¯
“ 0 px ‰ 1q. ´½µ
ÁÒ Ô ÖØ
ÙÐ Ö¸ ÔÐÙ Ò Ò x “ 0 Ò ´½µ¸ Û
ÓÒ
ÐÙ Ø Ø f × Ø Ð ×Ø ÓÒ Þ ÖÓ¸ Ò Ñ ÐÝ pfp0qq2
f
`
pfp0qq2
˘
“ 0. ´¾µ
Ï Ò ÐÝÞ ØÛÓ
× × ´Ö
ÐÐ Ø Ø fp0q ď 0µ
× ½ fp0q “ 0º
Ë ØØ Ò y “ 0 Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÒØ
ÐÐÝ Þ ÖÓ ×ÓÐÙØ ÓÒ
fpfpxqfp0qq ` fpxq “ fp0q ùñ fpxq “ 0 ÓÖ ÐÐ x P R.
ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ¸ Û ÛÓÖ ÓÒ Ø Ñ Ò
× ¾ fp0q ă 0º
Ï Ò Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò
Ð Ñ ½º
fp1q “ 0, fpaq “ 0 ùñ a “ 1, Ò fp0q “ ´1. ´¿µ
ÈÖÓÓ º Ï Ò ØÓ × ÓÛ Ø Ø 1 × Ø ÙÒ ÕÙ Þ ÖÓ Ó fº Ö×Ø¸ Ó × ÖÚ Ø Ø f × Ø Ð ×Ø ÓÒ
Þ ÖÓ a Ý ´¾µ a ‰ 1 Ø Ò × ØØ Ò x “ a Ò ´½µ Û Ø fp0q “ 0¸
ÓÒØÖ
Ø ÓÒº À Ò
ÖÓÑ ´¾µ Û Ø pfp0qq2
“ 1º Ë Ò
Û Ö ××ÙÑ Ò fp0q ă 0¸ Û
ÓÒ
ÐÙ Ø Ø fp0q “ ´1º l
Ë ØØ Ò y “ 1 Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ p˚q Û Ø
fpfpxqfp1qq`fpx`1q “ fpxq ðñ fp0q`fpx`1q “ fpxq ðñ fpx`1q “ fpxq`1 px P Rq.
Ò ×Ý Ò Ù
Ø ÓÒ × ÓÛ× Ø Ø
fpx ` nq “ fpxq ` n px P R, n P Zq. ´ µ

Ë ÓÖØÐ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ× ×ÓÐÙØ ÓÒ× ¾
ÆÓÛ Û Ñ Ø ÓÐÐÓÛ Ò
Ð Ñ ¾º f × Ò
Ø Ú º
ÈÖÓÓ º ËÙÔÔÓ× Ø Ø fpaq “ fpbq Û Ø a ‰ bº Ì Ò Ý ´ µ¸ ÓÖ ÐÐ N P Z¸
fpa ` N ` 1q “ fpb ` Nq ` 1.
ÓÓ× ÒÝ ÒØ Ö N ă ´b Ø Ò Ø Ö Ü ×Ø x0, y0 P R Û Ø x0 `y0 “ a`N `1¸ x0y0 “ b`Nº
Ë Ò
a ‰ b¸ Û Ú x0 ‰ 1 Ò y0 ‰ 1º ÈÐÙ Ò Ò x0 Ò y0 Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ p˚q Û
Ø
fpfpx0qfpy0qq ` fpa ` N ` 1q “ fpb ` Nq ðñ fpfpx0qfpy0qq ` 1 “ 0
ðñ fpfpx0qfpy0q ` 1q “ 0 Ý ´ µ
ðñ fpx0qfpy0q “ 0 Ý ´¿µº
ÀÓÛ Ú Ö¸ Ý Ð Ñ ½ Û Ú fpx0q ‰ 0 Ò fpy0q ‰ 0 × Ò
x0 ‰ 1 Ò y0 ‰ 1¸
ÓÒØÖ
Ø ÓÒº
l
ÆÓÛ Ø Ò × Ò Öº ÓÖ ÒÝ t P R¸ ÔÐÙ Ò px, yq “ pt, ´tq Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ p˚q ØÓ
Ø
fpfptqfp´tqq ` fp0q “ fp´t2
q ðñ fpfptqfp´tqq “ fp´t2
q ` 1 Ý ´¿µ
ðñ fpfptqfp´tqq “ fp´t2
` 1q Ý ´ µ
ðñ fptqfp´tq “ ´t2
` 1 Ý Ò
Ø Ú ØÝ Ó f.
Ë Ñ Ð ÖÐÝ¸ ÔÐÙ Ò Ò px, yq “ pt, 1 ´ tq Ò p˚q Û Ø
fpfptqfp1 ´ tqq ` fp1q “ fptp1 ´ tqq ðñ fpfptqfp1 ´ tqq “ fptp1 ´ tqq Ý ´¿µ
ðñ fptqfp1 ´ tq “ tp1 ´ tq Ý Ò
Ø Ú ØÝ Ó f.
ÙØ × Ò
fp1 ´ tq “ 1 ` fp´tq Ý ´ µ¸ Û Ø
fptqfp1 ´ tq “ tp1 ´ tq ðñ fptqp1 ` fp´tqq “ tp1 ´ tq ðñ fptq ` p´t2
` 1q “ tp1 ´ tq
ðñ fptq “ t ´ 1,
× × Ö º
ÓÑÑ ÒØº ÇØ Ö ÔÔÖÓ
× Ö ÔÓ×× Ð º ÓÖ Ò×Ø Ò
¸ Ø Ö Ð Ñ ½¸ Û Ñ Ý Ò
gpxq “ fpxq ` 1.
Ê ÔÐ
Ò x ` 1 Ò y ` 1 Ò ÔÐ
Ó x Ò y Ò Ø ÓÖ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ p˚q¸ Û Ø
fpfpx ` 1qfpy ` 1qq ` fpx ` y ` 2q “ fpxy ` x ` y ` 1q px, y P Rq,
Ò Ø Ö ÓÖ ¸ Ù× Ò ´ µ ´×Ó Ø Ø Ò Ô ÖØ
ÙÐ Ö gpxq “ fpx ` 1qµ¸ Û Ñ Ý Ö ÛÖ Ø p˚q ×
gpgpxqgpyqq ` gpx ` yq “ gpxy ` x ` yq px, y P Rq. p˚˚q
Ï Ö ÒÓÛ ØÓ × ÓÛ Ø Ø gpxq “ x ÓÖ ÐÐ x P R ÙÒ Ö Ø ××ÙÑÔØ ÓÒ ´ Ð Ñ ½µ Ø Ø 0 × Ø ÙÒ ÕÙ
Þ ÖÓ Ó gº
Ð Ñ ¿º Ä Ø n P Z Ò x P Rº Ì Ò
´ µ gpx ` nq “ x ` n¸ Ò Ø
ÓÒ Ø ÓÒ× gpxq “ n Ò x “ n Ö ÕÙ Ú Ð ÒØº
´ µ gpnxq “ ngpxqº

ÈÖÓÓ º ÓÖ Ô ÖØ ´ µ¸ Ù×Ø ÒÓØ Ø Ø gpx ` nq “ x ` n × Ù×Ø Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ´ µº Ì Ò gpxq “ n ðñ
gpx ´ nq “ 0 ðñ x ´ n “ 0 × Ò
¼ × Ø ÙÒ ÕÙ Þ ÖÓ Ó gº ÓÖ Ô ÖØ ´ µ¸ Û Ñ Ý ××ÙÑ Ø Ø x ‰ 0
× Ò
Ø Ö ×ÙÐØ × Ó Ú ÓÙ× Û Ò x “ 0º ÈÐÙ Ò y “ n{x Ò p˚˚q Ò Ù× Ô ÖØ ´ µ ØÓ Ø
g
´
gpxqg
ń
x
¯¯
` g
´
x `
n
x
¯
“ g
´
n ` x `
n
x
¯
ðñ g
´
gpxqg
ń
x
¯¯
“ n ðñ gpxqg
ń
x
¯
“ n.
ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ×¸ ÓÖ x ‰ 0 Û Ú
gpxq “
n
g
`
n{x
˘.
ÁÒ Ô ÖØ
ÙÐ Ö¸ ÓÖ n “ 1¸ Û Ø gp1{xq “ 1{gpxq¸ Ò Ø Ö ÓÖ Ö ÔÐ
Ò x Ð nx Ò Ø Ð ×Ø ÕÙ Ø ÓÒ
Û Ò ÐÐÝ Ø
gpnxq “
n
g
`
1{x
˘ “ ngpxq,
× Ö ÕÙ Ö º
Ð Ñ º Ì ÙÒ
Ø ÓÒ g × Ø Ú ¸ º º¸ gpa ` bq “ gpaq ` gpbq ÓÖ ÐÐ a, b P Rº
ÈÖÓÓ º Ë Ø x Ð ´x Ò y Ð ý Ò p˚˚q × Ò
g × Ò Ó ÙÒ
Ø ÓÒ ´ Ý Ð Ñ ¿´ µ Û Ø n “ ´1µ¸ Û
Ø
gpgpxqgpyqq ´ gpx ` yq “ ´gp´xy ` x ` yq.
ËÙ ØÖ
Ø Ò Ø Ð ×Ø Ö Ð Ø ÓÒ ÖÓÑ p˚˚q Û Ú
2gpx ` yq “ gpxy ` x ` yq ` gp´xy ` x ` yq
Ò × Ò
Ý Ð Ñ ¿´ µ Û Ú 2gpx ` yq “ gp2px ` yqq¸ Û Ñ Ý Ö ÛÖ Ø Ø Ð ×Ø ÕÙ Ø ÓÒ ×
gpα ` βq “ gpαq ` gpβq Û Ö
#
α “ xy ` x ` y
β “ ´xy ` x ` y.
ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ×¸ Û Ú Ø Ú ØÝ ÓÖ ÐÐ α, β P R ÓÖ Û
Ø Ö Ö Ö Ð ÒÙÑ Ö× x Ò y × Ø × Ý Ò
x ` y “
α ` β
2
Ò xy “
α ´ β
2
,
º º¸ ÓÖ ÐÐ α, β P R ×Ù
Ø Ø pα`β
2 q2 ´4¨ α´β
2 ě 0º Ì Ö ÓÖ ¸ Ú Ò ÒÝ a, b P R¸ Û Ñ Ý
ÓÓ× n P Z
Ð Ö ÒÓÙ ×Ó Ø Ø Û Ú Ø Ú ØÝ ÓÖ α “ na Ò β “ nb¸ º º¸
gpnaq ` gpnbq “ gpna ` nbq ðñ ngpaq ` ngpbq “ ngpa ` bq
Ý Ð Ñ ¿´ µº Ò
ÐÐ Ò n¸ Û Ø Ø × Ö Ö ×ÙÐØº ´ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÐÝ¸ × ØØ Ò Ø Ö pα, βq “ pa, bq ÓÖ
pα, βq “ pá, ´bq Û ÐÐ Ò×ÙÖ Ø Ø pα`β
2 q2 ´ 4 ¨ α´β
2 ě 0µº l
ÆÓÛ Û Ñ Ý Ò × Ø ×ÓÐÙØ ÓÒº Ë Ø y “ 1 Ò p˚˚q¸ Ò Ù× Ð Ñ ¿ ØÓ Ø
gpgpxqgp1qq ` gpx ` 1q “ gp2x ` 1q ðñ gpgpxqq ` gpxq ` 1 “ 2gpxq ` 1 ðñ gpgpxqq “ gpxq.
Ý Ø Ú ØÝ¸ Ø × × ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ gpgpxq ´ xq “ 0º Ë Ò
0 × Ø ÙÒ ÕÙ Þ ÖÓ Ó g Ý ××ÙÑÔØ ÓÒ¸ Û
Ò ÐÐÝ Ø gpxq ´ x “ 0 ðñ gpxq “ x ÓÖ ÐÐ x P Rº

º Ä Ø a0, a1, a2, . . . × ÕÙ Ò
Ó ÒØ Ö× Ò b0, b1, b2, . . . × ÕÙ Ò
Ó ÔÓ× Ø Ú
ÒØ Ö× ×Ù
Ø Ø a0 “ 0, a1 “ 1¸ Ò
an`1 “
#
anbn ` an´1, bn´1 “ 1
anbn ´ an´1, bn´1 ą 1
ÓÖ n “ 1, 2, . . .º
ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ð ×Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ ÒÙÑ Ö× a2017 Ò a2018 ÑÙ×Ø Ö Ø Ö Ø Ò ÓÖ ÕÙ Ð ØÓ 2017º
´ Ù×ØÖ Ð µ
ËÓÐÙØ ÓÒ ½º Ì Ú ÐÙ Ó b0 × ÖÖ Ð Ú ÒØ × Ò
a0 “ 0¸ ×Ó Û Ñ Ý ××ÙÑ Ø Ø b0 “ 1º
Ä ÑÑ º Ï Ú an ě 1 ÓÖ ÐÐ n ě 1º
ÈÖÓÓ º Ä Ø Ù× ×ÙÔÔÓ× ÓØ ÖÛ × Ò ÓÖ Ö ØÓ Ó Ø Ò
ÓÒØÖ
Ø ÓÒº Ä Ø
n ě 1 Ø ×Ñ ÐÐ ×Ø ÒØ Ö Û Ø an ď 0. ´½µ
ÆÓØ Ø Ø n ě 2º ÁØ ÓÐÐÓÛ× Ø Ø an´1 ě 1 Ò an´2 ě 0º Ì Ù× Û
ÒÒÓØ Ú an “
an´1bn´1 ` an´2¸ ×Ó Û ÑÙ×Ø Ú an “ an´1bn´1 ´ an´2º Ë Ò
an ď 0¸ Û Ú an´1 ď an´2º
Ì Ù× Û Ú an´2 ě an´1 ě anº
Ä Ø
r Ø ×Ñ ÐÐ ×Ø Ò Ü Û Ø ar ě ar`1 ě ar`2. ´¾µ
Ì Ò r ď n´2 Ý Ø ÓÚ ¸ ÙØ Ð×Ó r ě 2 b1 “ 1¸ Ø Ò a2 “ a1 “ 1 Ò a3 “ a2b2 `a1 ą a2
b1 ą 1¸ Ø Ò a2 “ b1 ą 1 “ a1º
Ý Ø Ñ Ò Ñ Ð
Ó
´¾µ Ó r¸ Ø ÓÐÐÓÛ× Ø Ø ar´1 ă arº Ò × Ò
2 ď r ď n ´ 2¸ Ý Ø
Ñ Ò Ñ Ð
Ó
´½µ Ó n Û Ú ar´1, ar, ar`1 ą 0º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ú ar`1 ě ar`2¸ Û ÑÙ×Ø Ú
ar`2 “ ar`1br`1 ´ ar ×Ó Ø Ø br ě 2º ÈÙØØ Ò Ú ÖÝØ Ò ØÓ Ø Ö¸ Û
ÓÒ
ÐÙ Ø Ø
ar`1 “ arbr ˘ ar´1 ě 2ar ´ ar´1 “ ar ` par ´ ar´1q ą ar,
Û

ÓÒØÖ
Ø× ´¾µº l
ÌÓ
ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ¸ Û ÔÖÓÚ Ø Ø maxtan, an`1u ě n Ý Ò Ù
Ø ÓÒº Ì
× × n “ 0, 1
Ö Ú Òº ××ÙÑ Ø × ØÖÙ ÓÖ ÐÐ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÒØ Ö× ×ØÖ
ØÐÝ Ð ×× Ø Ò n¸ Û Ö n ě 2º Ì Ö
Ö ØÛÓ
× ×
× ½ bn´1 “ 1º
Ì Ò an`1 “ anbn ` an´1º Ý Ø Ò Ù
Ø Ú ××ÙÑÔØ ÓÒ ÓÒ Ó an´1¸ an × Ø Ð ×Ø n ´ 1 Ò
Ø ÓØ Ö¸ Ý Ø Ð ÑÑ ¸ × Ø Ð ×Ø ½º À Ò
an`1 “ anbn ` an´1 ě an ` an´1 ě pn ´ 1q ` 1 “ n.
Ì Ù× maxtan, an`1u ě n¸ × × Ö º
× ¾ bn´1 ą 1º
Ë Ò
Û Ò b0 “ 1 Ø Ö × Ò Ò Ü r Û Ø 1 ď r ď n ´ 1 ×Ù
Ø Ø
bn´1, bn´2, . . . , br ě 2 Ò br´1 “ 1.
Ï Ú ar`1 “ arbr ` ar´1 ě 2ar ` ar´1º Ì Ù× ar`1 ´ ar ě ar ` ar´1º
ÆÓÛ Û
Ð Ñ Ø Ø ar ` ar´1 ě rº ÁÒ ¸ Ø × ÓÐ × Ý Ò×Ô
Ø ÓÒ ÓÖ r “ 1 ÓÖ r ě 2¸ ÓÒ
Ó ar, ar´1 × Ø Ð ×Ø r ´ 1 Ý Ø Ò Ù
Ø Ú ××ÙÑÔØ ÓÒ¸ Û Ð Ø ÓØ Ö¸ Ý Ø Ð ÑÑ ¸ × Ø
Ð ×Ø ½º À Ò
ar ` ar´1 ě r¸ ×
Ð Ñ ¸ Ò Ø Ö ÓÖ ar`1 ´ ar ě r Ý Ø Ð ×Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ Ò
Ø ÔÖ Ú ÓÙ× Ô Ö Ö Ô º
Ë Ò
r ě 1 Ò ¸ Ý Ø Ð ÑÑ ¸ ar ě 1¸ ÖÓÑ ar`1 ´ ar ě r Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ
Ò ÕÙ Ð Ø ×
ar`1 ě r ` 1 Ò ar`1 ą ar.

ÆÓÛ Ó × ÖÚ Ø Ø
am ą am´1 ùñ am`1 ą am ÓÖ m “ r ` 1, r ` 2, . . . , n ´ 1,
× Ò
am`1 “ ambm ´ am´1 ě 2am ´ am´1 “ am ` pam ´ am´1q ą amº Ì Ù×
an ą an´1 ą ¨ ¨ ¨ ą ar`1 ě r ` 1 ùñ an ě n.
ËÓ maxtan, an`1u ě n¸ × × Ö º
ËÓÐÙØ ÓÒ ¾º Ï × Ý Ø Ø Ò Ò Ü n ą 1 × bn´1 “ 1 Ò bn´2 ą 1 ÓØ ÖÛ × n × ÓÓ º
Ì Ú ÐÙ Ó b0 × ÖÖ Ð Ú ÒØ ØÓ Ø Ò Ø ÓÒ Ó panq × Ò
a0 “ 0 ×Ó Û ××ÙÑ Ø Ø b0 ą 1º
Ä ÑÑ ½º ´ µ an ě 1 ÓÖ ÐÐ n ą 0º
´ µ Á n ą 1 × ÓÓ ¸ Ø Ò an ą an´1º
ÈÖÓÓ º ÁÒ Ù
Ø ÓÒ ÓÒ nº ÁÒ Ø ×
× × n “ 1, 2 Û Ú a1 “ 1 ě 1¸ a2 “ b1a1 ě 1¸ Ò Ò ÐÐÝ
a2 ą a1 2 × ÓÓ ¸ × Ò
Ò Ø ×
× b1 ą 1º
ÆÓÛ Û ××ÙÑ Ø Ø Ø Ð ÑÑ ×Ø Ø Ñ ÒØ × ÔÖÓÚ ÓÖ n “ 1, 2, . . . , k Û Ø k ě 2¸ Ò
ÔÖÓÚ Ø ÓÖ n “ k ` 1º Ê
ÐÐ Ø Ø ak Ò ak´1 Ö ÔÓ× Ø Ú Ý Ø Ò Ù
Ø ÓÒ ÝÔÓØ × ×º
× ½ k × º
Ï Ú bk´1 “ 1¸ ×Ó ak`1 “ bkak ` ak´1 ě ak ` ak´1 ą ak ě 1¸ × Ö ÕÙ Ö º
× ¾ k × ÓÓ º
Ï ÐÖ Ý Ú ak ą ak´1 ě 1 Ý Ø Ò Ù
Ø ÓÒ ÝÔÓØ × ×º Ï
ÓÒ× Ö Ø Ö ×Ý
×Ù
× ×º
ËÙ
× ¾º½ bk ą 1º
Ì Ò ak`1 ě bkak ´ ak´1 ě ak ` pak ´ ak´1q ą ak ě 1º
ËÙ
× ¾º¾ bk “ bk´1 “ 1º
Ì Ò ak`1 “ ak ` ak´1 ą ak ě 1º
ËÙ
× ¾º¿ bk “ 1 ÙØ bk´1 ą 1º
Ì Ò k ` 1 × ¸ Ò Û Ò ØÓ ÔÖÓÚ ÓÒÐÝ ´ µ¸ Û
× ØÖ Ú Ð ak`1 “ ak ´ ak´1 ě 1º
ËÓ¸ Ò ÐÐ Ø Ö ×Ù
× × Û Ú Ú Ö Ø Ö ÕÙ Ö Ö Ð Ø ÓÒ×º l
Ä ÑÑ ¾º ××ÙÑ Ø Ø n ą 1 × º Ì Ò Ø Ö Ü ×Ø× j P t1, 2, 3u ×Ù
Ø Ø an`j ě
an´1 ` j ` 1¸ Ò an`i ě an´1 ` i ÓÖ ÐÐ 1 ď i ă jº
ÈÖÓÓ º Ê
ÐÐ Ø Ø bn´1 “ 1º Ë Ø
m “ infti ą 0: bn`i´1 ą 1u
´ÔÓ×× ÐÝ m “ `8µº Ï
Ð Ñ Ø Ø j “ mintm, 3u ÛÓÖ ×º Ò¸ Û ×Ø Ò Ù × × Ú Ö Ð
× ×¸

ÓÖ Ò ØÓ Ø Ú ÐÙ Ó m Ò
Ó Ø Ñ Û Ù× Ä ÑÑ ½ Û Ø ÓÙØ Ö Ö Ò
º
× ½ m “ 1¸ ×Ó bn ą 1º
Ì Ò an`1 ě 2an ` an´1 ě an´1 ` 2¸ × Ö ÕÙ Ö º
× ¾ m “ 2¸ ×Ó bn “ 1 Ò bn`1 ą 1º
Ì Ò Û ×Ù

×× Ú ÐÝ Ø
an`1 “ an ` an´1 ě an´1 ` 1,
an`2 ě 2an`1 ` an ě 2pan´1 ` 1q ` an “ an´1 ` pan´1 ` an ` 2q ě an´1 ` 4,
Û
× Ú Ò ØØ Ö Ø Ò Û Ò º

× ¿ m ą 2¸ ×Ó bn “ bn`1 “ 1º
Ì Ò Û ×Ù

×× Ú ÐÝ Ø
an`1 “ an ` an´1 ě an´1 ` 1, an`2 “ an`1 ` an ě an´1 ` 1 ` an ě an´1 ` 2,
an`3 ě an`2 ` an`1 ě pan´1 ` 1q ` pan´1 ` 2q ě an´1 ` 4,
× Ö ÕÙ Ö º l
Ä ÑÑ × ½´ µ Ò ¾ ÔÖÓÚ ÒÓÙ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø maxtan, an`1u ě n ÓÖ ÐÐ n
Ò ¸ ÑÓÖ ÓÚ Ö¸ Ø Ø an ě n Ó Ø Ò ÒÓÙ º ÁÒ ¸ ××ÙÑ Ø Ø Û Ú ÓÙÒ ×ÓÑ n Û Ø
an´1 ě n´1º Á n × ÓÓ ¸ Ø Ò Ý Ä ÑÑ ½´ µ Û Ú an ě n × Û ÐÐº Á n × ¸ Ø Ò Ä ÑÑ ¾
Ý Ð × maxtanì, anì`1u ě an´1 ì`1 ě nì ÓÖ ÐÐ 0 ď i ă j Ò an`j ě an´1 `j `1 ě n`j
×Ó n ` j × Ø Ò ÜØ Ò Ü ØÓ ×Ø ÖØ Û Ø º

¿¼ ÁÅÇ ¾¼½ ¸ Ê Ó Â Ò ÖÓ
º ××ÙÑ Ø Ø ÙÒ
Ø ÓÒ f : R Ñ R × Ø × × Ø ÓÐÐÓÛ Ò
ÓÒ Ø ÓÒ
Ø Ø
`
fpxq`y
˘`
fpyq`x
˘
ą 0¸ Û Ú fpxq`y “ fpyq`xº
ÈÖÓÚ Ø Ø fpxq ` y ď fpyq ` x Û Ò Ú Ö x ą yº
´Æ Ø ÖÐ Ò ×µ
ËÓÐÙØ ÓÒ ½º Ò gpxq “ x ´ fpxqº Ì
ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ f Ø Ò Ö ÛÖ Ø × × ÓÐÐÓÛ×
Ø Ø
`
px ` yq ´ gpxq
˘`
px ` yq ´ gpyq
˘
ą 0¸ Û Ú gpxq “ gpyqº
Ì ×
ÓÒ Ø ÓÒ Ñ Ý Ò ØÙÖÒ Ö ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑ
Á gpxq ‰ gpyq¸ Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö x ` y Ð × ´ÒÓÒ¹×ØÖ
ØÐÝµ ØÛ Ò gpxq Ò gpyqº p˚q
ÆÓØ
Ö Ø Ø Ø ÙÒ
Ø ÓÒ g1pxq “ ´gp´xq Ð×Ó × Ø × × p˚q¸ × Ò
g1pxq ‰ g1pyq ùñ gp´xq ‰ gpýq ùñ ´px ` yq Ð × ØÛ Ò gp´xq Ò gpýq
ùñ x ` y Ð × ØÛ Ò g1pxq Ò g1pyqº
ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Û Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ö × ÒÓÛ ×
gpxq ď gpyq Û Ò Ú Ö x ă yº ´½µ
Ò¸ Ø ×
ÓÒ Ø ÓÒ × ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø × Ñ ÓÒ Û Ø g Ö ÔÐ
Ý g1º
Á gpxq “ 2x ÓÖ ÐÐ x P R¸ Ø Ò p˚q × Ó Ú ÓÙ× ×Ó Ò Û Ø ÓÐÐÓÛ× Û
ÓÒ× Ö Ø ÓØ Ö

× º Ï ×ÔÐ Ø Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ÒØÓ × ÕÙ Ò
Ó Ð ÑÑ ×¸ ×ØÖ Ò Ø Ò Ò ÓÒ ÒÓØ Öº Ï ÐÛ Ý×

ÓÒ× Ö ×ÓÑ Ú ÐÙ Ó x Û Ø gpxq ‰ 2x Ò ÒÓØ X “ gpxqº
Ä ÑÑ ½º ××ÙÑ Ø Ø X ă 2xº Ì Ò ÓÒ Ø ÒØ ÖÚ Ð pX ´ x; xs Ø ÙÒ
Ø ÓÒ g ØØ Ò× Ø
ÑÓ×Ø ØÛÓ Ú ÐÙ × Ò Ñ ÐÝ¸ X Ò ¸ ÔÓ×× ÐÝ¸ ×ÓÑ Y ą Xº Ë Ñ Ð ÖÐÝ¸ X ą 2x¸ Ø Ò g ØØ Ò×
Ø ÑÓ×Ø ØÛÓ Ú ÐÙ × ÓÒ rx; X ´ xq Ò Ñ ÐÝ¸ X Ò ¸ ÔÓ×× ÐÝ¸ ×ÓÑ Y ă Xº
ÈÖÓÓ º Ï ×Ø ÖØ Û Ø Ø Ö×Ø
Ð Ñ Ó Ø Ð ÑÑ º ÆÓØ
Ø Ø X ´ x ă x¸ ×Ó Ø
ÓÒ× Ö
ÒØ ÖÚ Ð × ÒÓÒ ÑÔØÝº
Ì ÒÝ a P pX ´ x; xq Û Ø gpaq ‰ X ´ Ø Ü ×Ø×µº Á gpaq ă X¸ Ø Ò p˚q Ý Ð × gpaq ď
a ` x ď gpxq “ X¸ ×Ó a ď X ´ x Û
× ÑÔÓ×× Ð º Ì Ù×¸ gpaq ą X Ò Ò
Ý p˚q Û Ø
X ď a ` x ď gpaqº
ÆÓÛ¸ ÓÖ ÒÝ b P pX ´ x; xq Û Ø gpbq ‰ X Û × Ñ Ð ÖÐÝ Ø b ` x ď gpbqº Ì Ö ÓÖ ¸ Ø
ÒÙÑ Ö a ` b ´Û
× ×Ñ ÐÐ Ö Ø Ò
Ó a ` x Ò b ` xµ
ÒÒÓØ Ð ØÛ Ò gpaq Ò gpbq¸
Û
Ý p˚q ÑÔÐ × Ø Ø gpaq “ gpbqº À Ò
g Ñ Ý ØØ Ò ÓÒÐÝ ØÛÓ Ú ÐÙ × ÓÒ pX ´ x; xs¸
Ò Ñ ÐÝ X Ò gpaq ą Xº
ÌÓ ÔÖÓÚ Ø ×
ÓÒ
Ð Ñ¸ ÒÓØ
Ø Ø g1p´xq “ ´X ă 2 ¨ p´xq¸ ×Ó g1 ØØ Ò× Ø ÑÓ×Ø ØÛÓ
Ú ÐÙ × ÓÒ p´X ` x, ´xs¸ º º¸ ´X Ò ¸ ÔÓ×× ÐÝ¸ ×ÓÑ Ý ą ´Xº È ×× Ò
ØÓ g¸ Û Ø
Û Ø Û Ò º l
Ä ÑÑ ¾º Á X ă 2x¸ Ø Ò g ×
ÓÒ×Ø ÒØ ÓÒ pX ´x; xqº Ë Ñ Ð ÖÐÝ¸ X ą 2x¸ Ø Ò g ×
ÓÒ×Ø ÒØ
ÓÒ px; X ´ xqº
ÈÖÓÓ º Ò¸ Ø ×Ù
× ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ö×Ø
Ð Ñ ÓÒÐÝº ××ÙÑ ¸ ÓÖ Ø × Ó
ÓÒØÖ
Ø ÓÒ¸
Ø Ø Ø Ö Ü ×Ø a, b P pX ´ x; xq Û Ø gpaq ‰ gpbq Ý Ä ÑÑ ½¸ Û Ñ Ý ××ÙÑ Ø Ø gpaq “ X
Ò Y “ gpbq ą Xº
ÆÓØ
Ø Ø mintX ´ a, X ´ bu ą X ´ x¸ ×Ó Ø Ö Ü ×Ø× u P pX ´ x; xq ×Ù
Ø Ø
u ă mintX ´ a, X ´ buº Ý Ä ÑÑ ½¸ Û Ú Ø Ö gpuq “ X ÓÖ gpuq “ Y º ÁÒ Ø ÓÖÑ Ö

× ¸ Ý p˚q Û Ú X ď u ` b ď Y Û

ÓÒØÖ
Ø× u ă X ´ bº ÁÒ Ø ×
ÓÒ
× ¸ Ý p˚q
Û Ú X ď u ` a ď Y Û

ÓÒØÖ
Ø× u ă X ´ aº Ì Ù× Ø Ð ÑÑ × ÔÖÓÚ º l

Ë ÓÖØÐ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ× ×ÓÐÙØ ÓÒ× ¿½
Ä ÑÑ ¿º Á X ă 2x¸ Ø Ò gpaq “ X ÓÖ ÐÐ a P pX ´x; xqº Ë Ñ Ð ÖÐÝ¸ X ą 2x¸ Ø Ò gpaq “ X
ÓÖ ÐÐ a P px; X ´ xqº
ÈÖÓÓ º Ò¸ Û ÓÒÐÝ ÔÖÓÚ Ø Ö×Ø
Ð Ñº
Ý Ä ÑÑ × ½ Ò ¾¸ Ø ×
Ð Ñ Ñ Ý Ú ÓÐ Ø ÓÒÐÝ g Ø × ÓÒ
ÓÒ×Ø ÒØ Ú ÐÙ Y ą X
ÓÒ pX ´ x, xqº ÓÓ× ÒÝ a, b P pX ´ x; xq Û Ø a ă bº Ý p˚q¸ Û Ú
Y ě b ` x ě X. ´¾µ
ÁÒ Ô ÖØ
ÙÐ Ö¸ Û Ú Y ě b ` x ą 2aº ÔÔÐÝ Ò Ä ÑÑ ¾ ØÓ a Ò ÔÐ
Ó x¸ Û Ó Ø Ò Ø Ø g
×
ÓÒ×Ø ÒØ ÓÒ pa, Y ´ aqº Ý ´¾µ Ò¸ Û Ú x ď Y ´ b ă Y ´ a ×Ó x, b P pa; Y ´ aqº ÙØ
X “ gpxq ‰ gpbq “ Y ¸ Û
×
ÓÒØÖ
Ø ÓÒº l
ÆÓÛ Û Ö Ð ØÓ Ò × Ø ×ÓÐÙØ ÓÒº ××ÙÑ Ø Ø gpxq ą gpyq ÓÖ ×ÓÑ x ă yº ÒÓØ
X “ gpxq Ò Y “ gpyq Ý p˚q¸ Û Ú X ě x ` y ě Y ¸ ×Ó Y ´ y ď x ă y ď X ´ x¸
Ò Ò
pY ´ y; yq X px; X ´ xq “ px, yq ‰ ∅º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ × Ò
Y ´ y ă y Ò
x ă X´x¸ Ä ÑÑ ¿ × ÓÛ× Ø Ø g × ÓÙÐ ØØ Ò
ÓÒ×Ø ÒØ Ú ÐÙ X ÓÒ px; X´xq Ò
ÓÒ×Ø ÒØ
Ú ÐÙ Y ‰ X ÓÒ pY ´ y; yqº Ë Ò
Ø × ÒØ ÖÚ Ð× ÓÚ ÖÐ Ô¸ Û Ø Ø Ò Ð
ÓÒØÖ
Ø ÓÒº
ËÓÐÙØ ÓÒ ¾º × Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ×ÓÐÙØ ÓÒ¸ Û Ô ×× ØÓ Ø ÙÒ
Ø ÓÒ g × Ø × Ý Ò p˚q Ò ÒÓØ
Ø Ø Û Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ø
ÓÒ Ø ÓÒ ´½µº Ï Û ÐÐ Ð×Ó Ñ Ù× Ó Ø ÙÒ
Ø ÓÒ g1º
Á g ×
ÓÒ×Ø ÒØ¸ Ø Ò ´½µ ×
Ð ÖÐÝ × Ø × º ËÓ¸ Ò Ø × ÕÙ Ð Û ××ÙÑ Ø Ø g Ø × ÓÒ Ø
Ð ×Ø ØÛÓ Ö ÒØ Ú ÐÙ ×º ÆÓÛ Û
ÓÐÐ
Ø ×ÓÑ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø ÙÒ
Ø ÓÒ gº
Ð Ñ ½º ÓÖ ÒÝ c P R¸ ÐÐ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ× Ó gpxq “ c Ö ÓÙÒ º
ÈÖÓÓ º Ü ÒÝ y P R Û Ø gpyq ‰ cº ××ÙÑ Ö×Ø Ø Ø gpyq ą cº ÆÓÛ¸ ÓÖ ÒÝ x Û Ø gpxq “ ç
Ý p˚q Û Ú c ď x ` y ď gpyq¸ ÓÖ c ´ y ď x ď gpyq ´ yº Ë Ò
c Ò y Ö
ÓÒ×Ø ÒØ¸ Û Ø
Û Ø Û Ò º
Á gpyq ă ç Û Ñ Ý ×Û Ø
ØÓ Ø ÙÒ
Ø ÓÒ g1 ÓÖ Û
Û Ú g1pýq ą ćº Ý Ø ÓÚ
Ö ÙÑ ÒØ×¸ Û Ó Ø Ò Ø Ø ÐÐ Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ× Ó g1p´xq “ ć Ö ÓÙÒ ¸ Û
× ÕÙ Ú Ð ÒØ
ØÓ Û Ø Û Ò º l
× Ò ÑÑ Ø
ÓÒ× ÕÙ Ò
¸ Ø ÙÒ
Ø ÓÒ g Ø × ÓÒ Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ú ÐÙ ×¸ Û
× ÓÛ×
Ø Ø Ø Ò ÜØ
Ð Ñ × Ò Û ÐÝ ÔÔÐ
Ð º
Ð Ñ ¾º Á gpxq ă gpyq ă gpzq¸ Ø Ò x ă zº
ÈÖÓÓ º Ý p˚q¸ Û Ú gpxq ď x ` y ď gpyq ď z ` y ď gpzq¸ ×Ó x ` y ď z ` y¸ × Ö ÕÙ Ö º l
Ð Ñ ¿º ××ÙÑ Ø Ø gpxq ą gpyq ÓÖ ×ÓÑ x ă yº Ì Ò gpaq P tgpxq, gpyqu ÓÖ ÐÐ a P rx; ysº
ÈÖÓÓ º Á gpyq ă gpaq ă gpxq¸ Ø Ò Ø ØÖ ÔÐ py, a, xq Ú ÓÐ Ø × Ð Ñ ¾º Á gpaq ă gpyq ă gpxq¸
Ø Ò Ø ØÖ ÔÐ pa, y, xq Ú ÓÐ Ø × Ð Ñ ¾º Á gpyq ă gpxq ă gpaq¸ Ø Ò Ø ØÖ ÔÐ py, x, aq Ú ÓÐ Ø ×
Ð Ñ ¾º Ì ÓÒÐÝ ÔÓ×× Ð
× × Ð Ø Ö gpaq P tgpxq, gpyquº l
ÁÒ Ú Û Ó Ð Ñ ¿¸ Û × Ý Ø Ø Ò ÒØ ÖÚ Ð I ´Û
Ñ Ý ÓÔ Ò¸
ÐÓ× ¸ ÓÖ × Ñ ¹ÓÔ Òµ ×
Ö
Ð Ø ÒØ ÖÚ Ð∗
Ø ÙÒ
Ø ÓÒ g Ø × ÓÒ Ù×Ø ØÛÓ Ú ÐÙ × ÓÒ Iº
××ÙÑ ÒÓÛ¸ ÓÖ Ø × Ó
ÓÒØÖ
Ø ÓÒ¸ Ø Ø ´½µ × Ú ÓÐ Ø Ý ×ÓÑ x ă yº Ý Ð Ñ ¿¸
rx; ys × Ö
Ð Ø ÒØ ÖÚ Ðº Ë Ø
r “ infta: pa; ys × Ö
Ð Ø ÒØ ÖÚ Ðu Ò s “ suptb: rx; bq × Ö
Ð Ø ÒØ ÖÚ Ðu.
Ð ÖÐÝ¸ r ď x ă y ď sº Ý Ð Ñ ½¸ r Ò s Ö Ò Ø º ÒÓØ X “ gpxq¸ Y “ gpyq¸ Ò
∆ “ py ´ xq{2º
ËÙÔÔÓ× Ö×Ø Ø Ø Ø Ö Ü ×Ø× t P pr; r ` ∆q Û Ø fptq “ Y º Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó r¸ Ø
ÒØ ÖÚ Ð pr ´ ∆; ys × ÒÓØ Ö
Ð Ø¸ ×Ó Ø Ö Ü ×Ø× Ò r1
P pr ´ ∆; rs ×Ù
Ø Ø gpr1
q R tX, Y uº
∗
Ì Ò Ñ Ö
Ð Ø ÒØ ÖÚ Ð ×
Ó× Ò ÓÖ Ø Ö ×ÓÒ Ø Ø g Ø ÓÖ Ø
ÐÐÝ Ñ Ø
Ø × Ñ Ð ÖÐÝ ØÓ Ø Ö
Ð Ø
ÙÒ
Ø ÓÒ ÓÒ Ø × ÒØ ÖÚ Ðº

¿¾ ÁÅÇ ¾¼½ ¸ Ê Ó Â Ò ÖÓ
Ì ÙÒ
Ø ÓÒ g ØØ Ò× Ø Ð ×Ø Ø Ö ×Ø Ò
Ø Ú ÐÙ × ÓÒ rr1
; ys¸ Ò Ñ ÐÝ gpr1
q¸ gpxq¸ Ò gpyqº
Ð Ñ ¿ ÒÓÛ Ý Ð × gpr1
q ď gpyq Ø ÕÙ Ð ØÝ × ÑÔÓ×× Ð Ý Ø
Ó
Ó r1
¸ ×Ó Ò
Ø
gpr1
q ă Y º ÔÔÐÝ Ò p˚q ØÓ Ø Ô Ö× pr1
, yq Ò pt, xq Û Ó Ø Ò r1
` y ď Y ď t ` x¸ Û Ò
r ´ ∆ ` y ă r1
` y ď t ` x ă r ` ∆ ` x¸ ÓÖ y ´ x ă 2∆º Ì × ×
ÓÒØÖ
Ø ÓÒº
Ì Ù×¸ gptq “ X ÓÖ ÐÐ t P pr; r ` ∆qº ÔÔÐÝ Ò Ø × Ñ Ö ÙÑ ÒØ ØÓ g1¸ Û Ø gptq “ Y
ÓÖ ÐÐ t P ps ´ ∆; sqº
Ò ÐÐÝ¸
ÓÓ× ×ÓÑ s1, s2 P ps ´ ∆; sq Û Ø s1 ă s2 Ò ÒÓØ δ “ ps2 ´ s1q{2º × ÓÖ ¸
Û
ÓÓ× r1
P pr ´ δ; rq Û Ø gpr1
q R tX, Y u Ò Ó Ø Ò gpr1
q ă Y º ÓÓ× ÒÝ t P pr; r ` δq Ý
Ø ÓÚ Ö ÙÑ ÒØ×¸ Û Ú gptq “ X Ò gps1q “ gps2q “ Y º × ÓÖ ¸ Û ÔÔÐÝ p˚q ØÓ Ø
Ô Ö× pr1
, s2q Ò pt, s1q Ó Ø Ò Ò r ´ δ ` s2 ă r1
` s2 ď Y ď t ` s1 ă r ` δ ` s1¸ ÓÖ s2 ´ s1 ă 2δº
Ì × × Ò Ð
ÓÒØÖ
Ø ÓÒº
ÓÑÑ ÒØ ½º Ì ÓÖ Ò Ð ×Ù Ñ ×× ÓÒ ×
Ù×× Ø × Ñ ÙÒ
Ø ÓÒ× f¸ ÙØ Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ Û × Ö¹
ÒØ Ò Ñ ÐÝ¸ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ
ÈÖÓÚ Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ fpxq “ 2017x × Ø ÑÓ×Ø ÓÒ ×ÓÐÙØ ÓÒ¸ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ fpxq “ ´2017x
× Ø Ð ×Ø ÓÒ ×ÓÐÙØ ÓÒº
Ì ÈÖÓ Ð Ñ Ë Ð
Ø ÓÒ ÓÑÑ ØØ
Ø Ø Ø ÕÙ ×Ø ÓÒ Û Ö ÔÖÓÔÓ× Ò × ÑÓÖ Ò ØÙÖ Ð¸
× Ò
Ø ÔÖÓÚ × ÑÓÖ Ò ØÙÖ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø ÙÒ
Ø ÓÒ g ´Û
× Ò Ø Ñ Ò
Ö
Ø Ö
Ò Ø × ×ØÓÖÝµº ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ Ø Ò Û ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ø Ñ ÒØ × ×ØÖÓÒ ÒÓÙ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÑÔÐÝ Ø
ÓÖ Ò Ð ÓÒ × ÐÝº
Æ Ñ ÐÝ¸ Û Û ÐÐ Ù
ÖÓÑ Ø Ò Û ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ø Ñ ÒØ ´ ÐÓÒ Û Ø Ø
Ø× Ù× Ò Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ×µ
Ø Ø piq ÓÖ Ú ÖÝ N ą 0 Ø ÕÙ Ø ÓÒ gpxq “ Ńx × Ø ÑÓ×Ø ÓÒ ×ÓÐÙØ ÓÒ¸ Ò piiq ÓÖ Ú ÖÝ N ą 1
Ø ÕÙ Ø ÓÒ gpxq “ Nx × Ø Ð ×Ø ÓÒ ×ÓÐÙØ ÓÒº
Ð Ñ piq × ÒÓÛ ØÖ Ú Ðº ÁÒ ¸ g × ÔÖÓÚ Ò ØÓ ÒÓÒ¹
Ö × Ò ¸ ×Ó gpxq`Nx × ×ØÖ
ØÐÝ Ò
Ö × Ò
Ò Ø Ù× × Ø ÑÓ×Ø ÓÒ Þ ÖÓº
Ï ÔÖÓ
ÓÒ
Ð Ñ piiqº Á gp0q “ 0¸ Ø Ò Ø Ö ÕÙ Ö ÖÓÓØ × Ò ÐÖ Ý ÓÙÒ º ÇØ ÖÛ × ¸
Û Ñ Ý ××ÙÑ Ø Ø gp0q ą 0 Ò ÒÓØ c “ gp0qº Ï ÒØ Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø x “ c{N × Ø Ö ÕÙ Ö
ÖÓÓØº ÁÒ ¸ Ý ÑÓÒÓØÓÒ
ØÝ Û Ú gpc{Nq ě gp0q “ c Û gpc{Nq ą ç Ø Ò p˚q ÛÓÙÐ Ý Ð
c ď 0 ` c{N ď gpc{Nq Û
× Ð× º Ì Ù×¸ gpxq “ c “ Nxº
ÓÑÑ ÒØ ¾º Ì Ö Ö ÔÐ ÒØÝ Ó ÙÒ
Ø ÓÒ× g × Ø × Ý Ò p˚q ´ Ò Ò
Ó ÙÒ
Ø ÓÒ× f × Ø × Ý Ò
Ø ÔÖÓ Ð Ñ
ÓÒ Ø ÓÒ×µº ÇÒ × ÑÔÐ Ü ÑÔÐ × g0pxq “ 2xº Æ ÜØ¸ ÓÖ ÒÝ Ò
Ö × Ò × ÕÙ Ò
A “ p. . . , a´1, a0, a1, . . . q Û
× ÙÒ ÓÙÒ Ò ÓØ Ö
Ø ÓÒ× ´ º º¸ ÓÖ Ú ÖÝ N Ø × × ÕÙ Ò

ÓÒØ Ò×
Ø ÖÑ× Ö Ø Ö Ø Ò N¸ × Û ÐÐ × Ø ÖÑ× ×Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ńµ¸ Ø ÙÒ
Ø ÓÒ gA Ò Ý
gApxq “ ai ` ai`1 Û Ò Ú Ö x P rai; ai`1q
× Ø × × p˚qº ÁÒ ¸ Ô
ÒÝ x ă y Û Ø gpxq ‰ gpyq Ø × Ñ Ò× Ø Ø x P rai; ai`1q Ò y P raj; aj`1q
ÓÖ ×ÓÑ i ă jº Ì Ò Û Ú gpxq “ ai ` ai`1 ď x ` y ă aj ` aj`1 “ gpyq¸ × Ö ÕÙ Ö º
Ì Ö Ð×Ó Ü ×Ø Ü ÑÔÐ × Ó Ø Ñ Ü Ú ÓÖ º º¸ ÓÖ Ò Ö ØÖ ÖÝ × ÕÙ Ò
A × ÓÚ Ò Ò
Ö ØÖ ÖÝ ×Ù × Ø I Ď Z Ø ÙÒ
Ø ÓÒ
gA,Ipxq “
#
g0pxq, x P rai; ai`1q Û Ø i P I
gApxq, x P rai; ai`1q Û Ø i R I
Ð×Ó × Ø × × p˚qº
Ò ÐÐÝ¸ Ø × Ú Ò ÔÓ×× Ð ØÓ ÔÖÓÚ
ÓÑÔÐ Ø ×
Ö ÔØ ÓÒ Ó ÐÐ ÙÒ
Ø ÓÒ× g × Ø × Ý Ò p˚q ´ Ò
Ò
Ó ÐÐ ÙÒ
Ø ÓÒ× f × Ø × Ý Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ
ÓÒ Ø ÓÒ×µ ÓÛ Ú Ö¸ Ø × Ñ× ØÓ Ö ÓÙØ Ó ×
ÓÔ ÓÖ
Ø ÁÅÇº Ì × ×
Ö ÔØ ÓÒ ÐÓÓ × × ÓÐÐÓÛ×º
Ä Ø A ÒÝ
ÐÓ× ×Ù × Ø Ó R Û
× ÙÒ ÓÙÒ Ò ÓØ Ö
Ø ÓÒ×º Ò Ø ÙÒ
Ø ÓÒ× iA¸
sA¸ Ò gA × ÓÐÐÓÛ×
iApxq “ infta P A: a ě xu, sApxq “ supta P A: a ď xu, gApxq “ iApxq ` sApxq.

Ë ÓÖØÐ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ× ×ÓÐÙØ ÓÒ× ¿¿
ÁØ × ×Ý ØÓ × Ø Ø ÓÖ Ö ÒØ × Ø× A Ò B Ø ÙÒ
Ø ÓÒ× gA Ò gB Ö Ð×Ó Ö ÒØ ´× Ò
¸ º º¸
ÓÖ ÒÝ a P A z B Ø ÙÒ
Ø ÓÒ gB ×
ÓÒ×Ø ÒØ Ò ×Ñ ÐÐ Ò ÓÖ ÓÓ Ó a¸ ÙØ Ø ÙÒ
Ø ÓÒ gA × ÒÓØµº
ÇÒ Ñ Ý

¸ × Ñ Ð ÖÐÝ ØÓ Ø Ö ÙÑ ÒØ× ÓÚ ¸ Ø Ø
×Ù
ÙÒ
Ø ÓÒ × Ø × × p˚qº
Ò ÐÐÝ¸ ÓÒ ÑÓÖ ÑÓ
Ø ÓÒ × ÔÓ×× Ð º Æ Ñ ÐÝ¸ ÓÖ ÒÝ x P A ÓÒ Ñ Ý Ö Ò gApxq ´Û
× 2xµ ØÓ ÒÝ Ó Ø ÒÙÑ Ö×
gA`pxq “ iA`pxq ` x ÓÖ gA´pxq “ x ` sA´pxq,
Û Ö iA`pxq “ infta P A: a ą xu Ò sA´pxq “ supta P A: a ă xu.
Ì × Ö ÐÐÝ
Ò × Ø Ú ÐÙ x × ×ÓÑ Ö Ø ´Ö ×Ô
Ø Ú ÐÝ¸ Ð Øµ × Ñ ¹Ò ÓÖ ÓÓ × Ó ÒØ ÖÓÑ A¸
×Ó Ø Ö Ö Ø ÑÓ×Ø
ÓÙÒØ ÐÝ Ñ ÒÝ ÔÓ×× Ð
Ò × ÐÐ Ó Ø Ñ
Ò Ô Ö ÓÖÑ Ò Ô Ò ÒØÐÝº
Ï Ø ×ÓÑ ÓÖØ¸ ÓÒ Ñ Ý × ÓÛ Ø Ø Ø
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ ÓÚ ÔÖÓÚ × ÐÐ ÙÒ
Ø ÓÒ× g × Ø × Ý Ò p˚qº

¿ ÁÅÇ ¾¼½ ¸ Ê Ó Â Ò ÖÓ
ÓÑ Ò ØÓÖ
×
½º Ö
Ø Ò Ð R Û Ø Ó ÒØ Ö × Ð Ò Ø × × Ú ÒØÓ ×Ñ ÐÐ Ö
Ø Ò Ð × Û Ø ÒØ Ö
× Ð Ò Ø ×º ÈÖÓÚ Ø Ø Ø Ö × Ø Ð ×Ø ÓÒ ÑÓÒ Ø ×Ñ ÐÐ Ö
Ø Ò Ð × Û Ó× ×Ø Ò
× ÖÓÑ
Ø ÓÙÖ × × Ó R Ö Ø Ö ÐÐ Ó ÓÖ ÐÐ Ú Òº
´Ë Ò ÔÓÖ µ
ËÓÐÙØ ÓÒº Ä Ø Ø Û Ø Ò Ø Ó R Ó ÒÙÑ Ö× a Ò bº Ú R ÒØÓ ab ÙÒ Ø
×ÕÙ Ö × Ò
ÓÐÓÖ Ø Ñ Ö Ò Ò Ý ÐÐÓÛ Ò

Ö Ô ØØ ÖÒº Ë Ò
Ø × Ð Ò Ø × Ó a
Ò b Ö Ó ¸ Ø
ÓÖÒ Ö ×ÕÙ Ö × Ó R Û ÐÐ ÐÐ Ú Ø × Ñ
ÓÐÓÖ¸ × Ý Ö Òº
ÐÐ Ö
Ø Ò Ð ´ Ø Ö R ÓÖ ×Ñ ÐÐ Ö
Ø Ò Ð µ Ö Ò Ø×
ÓÖÒ Ö× Ö ÐÐ Ö Ò
ÐÐ Ø
Ý ÐÐÓÛ Ø
ÓÖÒ Ö× Ö ÐÐ Ý ÐÐÓÛ¸ Ò
ÐÐ Ø Ñ Ü Ø × ÓØ Ö Ò Ò Ý ÐÐÓÛ
ÓÖÒ Ö×º ÁÒ
Ô ÖØ
ÙÐ Ö¸ R × Ö Ò Ö
Ø Ò Ð º
Ï Û ÐÐ Ù× Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÖ Ú Ð Ó × ÖÚ Ø ÓÒ×º
‚ Ú ÖÝ Ñ Ü Ö
Ø Ò Ð
ÓÒØ Ò× Ø × Ñ ÒÙÑ Ö Ó Ö Ò Ò Ý ÐÐÓÛ ×ÕÙ Ö ×
‚ Ú ÖÝ Ö Ò Ö
Ø Ò Ð
ÓÒØ Ò× ÓÒ ÑÓÖ Ö Ò ×ÕÙ Ö Ø Ò Ý ÐÐÓÛ ×ÕÙ Ö
‚ Ú ÖÝ Ý ÐÐÓÛ Ö
Ø Ò Ð
ÓÒØ Ò× ÓÒ ÑÓÖ Ý ÐÐÓÛ ×ÕÙ Ö Ø Ò Ö Ò ×ÕÙ Ö º
Ì Ö
Ø Ò Ð R × Ö Ò¸ ×Ó Ø
ÓÒØ Ò× ÑÓÖ Ö Ò ÙÒ Ø ×ÕÙ Ö × Ø Ò Ý ÐÐÓÛ ÙÒ Ø ×ÕÙ Ö ×º
Ì Ö ÓÖ ¸ ÑÓÒ Ø ×Ñ ÐÐ Ö
Ø Ò Ð ×¸ Ø Ð ×Ø ÓÒ × Ö Òº Ä Ø S ×Ù
×Ñ ÐÐ Ö Ò
Ö
Ø Ò Ð ¸ Ò Ð Ø Ø× ×Ø Ò
× ÖÓÑ Ø × × Ó R x¸ y¸ u Ò v¸ × × ÓÛÒ Ò Ø Ô
ØÙÖ º
Ì ØÓÔ¹Ð Ø
ÓÖÒ Ö Ó R Ò Ø ØÓÔ¹Ð Ø
ÓÖÒ Ö Ó S Ú Ø × Ñ
ÓÐÓÖ¸ Û
ÔÔ Ò Ò
ÓÒÐÝ x Ò u Ú Ø × Ñ Ô Ö ØÝº Ë Ñ Ð ÖÐÝ¸ Ø ÓØ Ö Ø Ö Ö Ò
ÓÖÒ Ö× Ó S Ò
Ø Ø Ø
x Ò v Ú Ø × Ñ Ô Ö ØÝ¸ y Ò u Ú Ø × Ñ Ô Ö ØÝ¸ º º x¸ y¸ u Ò v Ö ÐÐ Ó ÓÖ ÐÐ
Ú Òº
u v
R
S
y
x

Ë ÓÖØÐ ×Ø ÔÖÓ Ð Ñ× ×ÓÐÙØ ÓÒ× ¿
¾º Ä Ø n ÔÓ× Ø Ú ÒØ Öº Ò
Ñ Ð ÓÒ ØÓ ÒÝ × ÕÙ Ò
Ó 3n Ð ØØ Ö×¸ Û Ø
Ü
ØÐÝ n Ó

ÙÖÖ Ò
× Ó
Ó Ø Ð ØØ Ö× a¸ b¸ Ò cº Ò ×Û Ô ØÓ Ø ØÖ Ò×ÔÓ× Ø ÓÒ Ó
ØÛÓ
ÒØ Ð ØØ Ö× Ò
Ñ Ð ÓÒº ÈÖÓÚ Ø Ø ÓÖ ÒÝ
Ñ Ð ÓÒ X¸ Ø Ö Ü ×Ø×
Ñ Ð ÓÒ Y
×Ù
Ø Ø X
ÒÒÓØ
Ò ØÓ Y Ù× Ò Û Ö Ø Ò 3n2
{2 ×Û Ô×º
´ Ù×ØÖ Ð µ
ËÓÐÙØ ÓÒ ½º ÌÓ ×Ø ÖØ¸ ÒÓØ
Ø Ø Ø ×Û Ô Ó ØÛÓ ÒØ
Ð Ð ØØ Ö× Ó × ÒÓØ
Ò
Ñ Ð ÓÒ¸
×Ó Û Ñ Ý ××ÙÑ Ø Ö Ö ÒÓ ×Ù
×Û Ô×º
ÓÖ ÒÝ ØÛÓ
Ñ Ð ÓÒ× X Ò Y ¸ Ò Ø Ö ×Ø Ò
dpX, Y q ØÓ Ø Ñ Ò Ñ Ð ÒÙÑ Ö
Ó ×Û Ô× Ò ØÓ ØÖ Ò× ÓÖÑ X ÒØÓ Y ´ÓÖ Ú
Ú Ö× µº Ð ÖÐÝ¸ dpX, Y q ` dpY, Zq ě dpX, Zq
ÓÖ ÒÝ Ø Ö
Ñ Ð ÓÒ× X¸ Y ¸ Ò Zº
Ä ÑÑ º ÓÒ× Ö ØÛÓ
Ñ Ð ÓÒ×
P “ aa . . . aloomoon
n
bb . . . bloomoon
n
cc . . . cloomoon
n
Ò Q “ cc . . . cloomoon
n
bb . . . bloomoon
n
aa . . . aloomoon
n
.
Ì Ò dpP, Qq ě 3n2
º
ÈÖÓÓ º ÓÖ ÒÝ
Ñ Ð ÓÒ X Ò ÒÝ Ô Ö Ó ×Ø Ò
Ø Ð ØØ Ö× u, v P ta, b, cu¸ Û Ò fu,vpXq
ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô Ö× Ó ÔÓ× Ø ÓÒ× Ò X ×Ù
Ø Ø Ø Ð Ø ÓÒ × Ó

ÙÔ Ý u¸ Ò
Ø Ö Ø ÓÒ × Ó

ÙÔ Ý vº Ò fpXq “ fa,bpXq ` fa,cpXq ` fb,cpXqº ÆÓØ
Ø Ø
fa,bpPq “ fa,cpPq “ fb,cpPq “ n2
Ò fa,bpQq “ fa,cpQq “ fb,cpQq “ 0¸ ×Ó fpPq “ 3n2
Ò
fpQq “ 0º
ÆÓÛ
ÓÒ× Ö ×ÓÑ ×Û Ô
Ò Ò
Ñ Ð ÓÒ X ØÓ X1
× Ý¸ Ø Ð ØØ Ö× a Ò b Ö ×Û ÔÔ º
Ì Ò fa,bpXq Ò fa,bpX1
q Ö Ý Ü
ØÐÝ ½¸ Û Ð fa,cpXq “ fa,cpX1
q Ò fb,cpXq “ fb,cpX1
qº
Ì × Ý Ð × |fpXq´fpX1
q| “ 1¸ º º¸ ÓÒ ÒÝ ×Û Ô Ø Ú ÐÙ Ó f
Ò × Ý 1º À Ò
dpX, Y q ě
|fpXq ´ fpY q| ÓÖ ÒÝ ØÛÓ
Ñ Ð ÓÒ× X Ò Y º ÁÒ Ô ÖØ
ÙÐ Ö¸ dpP, Qq ě |fpPq ´ fpQq| “ 3n2
¸
× × Ö º l

ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ø ÒÝ
Ñ Ð ÓÒ X Ò ÒÓØ
Ø Ø dpX, Pq`dpX, Qq ě dpP, Qq ě
3n2
Ý Ø Ð ÑÑ º ÓÒ× ÕÙ ÒØÐÝ¸ maxtdpX, Pq, dpX, Qqu ě 3n2
2
¸ Û
×Ø Ð × × Ø ÔÖÓ Ð Ñ
×Ø Ø Ñ ÒØº
ÓÑÑ ÒØ ½º Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ý Ö ÓÖÑÙÐ Ø Ò Ö Ô Ð Ò Ù º ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ö Ô G Û Ø Ø

Ñ Ð ÓÒ× × Ú ÖØ
×¸ ØÛÓ Ú ÖØ
× Ò
ÓÒÒ
Ø Û Ø Ò Ò ÓÒÐÝ Ø ×
Ñ Ð ÓÒ× Ö
Ý × Ò Ð ×Û Ôº Ì Ò dpX, Y q × Ø Ù×Ù Ð ×Ø Ò
ØÛ Ò Ø Ú ÖØ
× X Ò Y Ò Ø × Ö Ô º
Ê
ÐÐ Ø Ø Ø Ö Ù× Ó
ÓÒÒ
Ø Ö Ô G × Ò ×
rpGq “ min
vPV
max
uPV
dpu, vq.
ËÓ Û Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ö Ù× Ó Ø
ÓÒ×ØÖÙ
Ø Ö Ô × Ø Ð ×Ø 3n2{2º
ÁØ × Û ÐÐ¹ ÒÓÛÒ Ø Ø Ø Ö Ù× Ó ÒÝ
ÓÒÒ
Ø Ö Ô × Ø Ð ×Ø Ø Ð Ó Ø× Ñ Ø Ö ´Û
× × ÑÔÐÝ maxu,vPV dpu, vqµº Ü
ØÐÝ Ø ×
Ø × Ò Ù× ÓÚ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò × Ø ×ÓÐÙØ ÓÒº
ËÓÐÙØ ÓÒ ¾º Ï Ù× Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ×Ø Ò
ÖÓÑ ËÓÐÙØ ÓÒ ½¸ ÙØ ÔÖÓÚ Ö ÒØ ÐÓÛ Ö
ÓÙÒ ÓÖ Øº
ÁÒ ÒÝ
Ñ Ð ÓÒ X¸ Û ÒÙÑ Ö Ø Ø ÔÓ× Ø ÓÒ× Ò Ø ÖÓÑ Ð Ø ØÓ Ö Ø Ý 1, 2, . . . , 3nº
Ò scpXq × Ø ×ÙÑ Ó ÔÓ× Ø ÓÒ× Ó

ÙÔ Ý cº Ì Ú ÐÙ Ó sc
Ò × Ý Ø ÑÓ×Ø 1 ÓÒ

×Û Ô¸ ÙØ Ø ×
Ø ÐÓÒ Ó × ÒÓØ ×Ù
ØÓ ×ÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ×Ó Û Ò Ò ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØº
ÓÖ Ú ÖÝ
Ñ Ð ÓÒ X¸ ÒÓØ Ý Xc Ø × ÕÙ Ò
Ó Ø Ò ÖÓÑ X Ý Ö ÑÓÚ Ò ÐÐ n
Ð ØØ Ö× cº ÒÙÑ Ö Ø Ø ÔÓ× Ø ÓÒ× Ò Xc ÖÓÑ Ð Ø ØÓ Ö Ø Ý 1, 2, . . . , 2n¸ Ò Ò sc,bpXq
× Ø ×ÙÑ Ó ÔÓ× Ø ÓÒ× Ò Xc Ó

ÙÔ Ý bº ´ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ ×¸ Ö Û
ÓÒ× Ö Ø ÔÓ× Ø ÓÒ× Ó
Ø b³× Ö Ð Ø Ú ÐÝ ØÓ Ø a³× ÓÒÐÝºµ Ò ÐÐÝ¸ ÒÓØ
d1
pX, Y q :“ |scpXq ´ scpY q| ` |sc,bpXq ´ sc,bpY q|.

ÆÓÛ
ÓÒ× Ö ÒÝ ×Û Ô
Ò Ò
Ñ Ð ÓÒ X ØÓ X1
º Á ÒÓ Ð ØØ Ö c × ÒÚÓÐÚ ÒØÓ Ø ×
×Û Ô¸ Ø Ò scpXq “ scpX1
q ÓÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ Ü
ØÐÝ ÓÒ Ð ØØ Ö b
Ò × Ø× ÔÓ× Ø ÓÒ Ò Xç ×Ó
|sc,bpXq´sc,bpX1
q| “ 1º Á Ð ØØ Ö c × ÒÚÓÐÚ ÒØÓ ×Û Ô¸ Ø Ò Xc “ X1
ç ×Ó sc,bpXq “ sc,bpX1
q
Ò |scpXq ´ scpX1
q| “ 1º Ì Ù×¸ Ò ÐÐ
× × Û Ú d1
pX, X1
q “ 1º
× Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ× ×ÓÐÙØ ÓÒ¸ Ø × Ñ Ò× Ø Ø dpX, Y q ě d1
pX, Y q ÓÖ ÒÝ ØÛÓ
Ñ Ð ÓÒ× X
Ò Y º ÆÓÛ¸ ÓÖ ÒÝ
Ñ Ð ÓÒ X Û Û ÐÐ Ò
Ø
Ñ Ð ÓÒ Y Û Ø d1
pX, Y q ě 3n2
{2¸ Ø Ù×
Ò × Ò Ø ×ÓÐÙØ ÓÒº
Ì ÙÒ
Ø ÓÒ sc ØØ Ò× ÐÐ ÒØ Ö Ú ÐÙ × ÖÓÑ 1 ` ¨ ¨ ¨ ` n “ npn`1q
2
ØÓ p2n ` 1q ` ¨ ¨ ¨ ` 3n “
2n2
` npn`1q
2
º Á scpXq ď n2
` npn`1q
2
¸ Ø Ò Û ÔÙØ Ø Ð ØØ Ö c ÒØÓ Ø Ð ×Ø n ÔÓ× Ø ÓÒ× Ò Y
ÓØ ÖÛ × Û ÔÙØ Ø Ð ØØ Ö c ÒØÓ Ø Ö×Ø n ÔÓ× Ø ÓÒ× Ò Y º ÁÒ Ø Ö
× Û ÐÖ Ý Ú
|scpXq ´ scpY q| ě n2
º
Ë Ñ Ð ÖÐÝ¸ sc,b Ö Ò × ÖÓÑ
npn`1q
2
ØÓ n2
` npn`1q
2
º ËÓ¸ sc,bpXq ď n2
2
` npn`1q
2
¸ Ø Ò Û ÔÙØ
Ø Ð ØØ Ö b ÒØÓ Ø Ð ×Ø n ÔÓ× Ø ÓÒ× Ò Y Û
Ö ×Ø ÐÐ Ö ÓØ ÖÛ × ¸ Û ÔÙØ Ø Ð ØØ Ö b ÒØÓ
Ø Ö×Ø n ×Ù
ÔÓ× Ø ÓÒ×º Ì Ö Ñ Ò Ò ÔÓ× Ø ÓÒ× Ö Ó

ÙÔ Ý aº ÁÒ ÒÝ
× ¸ Û Ú
|sc,bpXq ´ sc,bpY q| ě n2
2
¸ Ø Ù× d1
pX, Y q ě n2
` n2
2
“ 3n2
2
¸ × × Ö º
ÓÑÑ ÒØ ¾º Ì ØÛÓ ×ÓÐÙØ ÓÒ× ÓÚ Ù× ØÛÓ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ × |fpXq ´ fpY q| Ò d1pX, Y q ÓÖ Ø
ÒÙÑ Ö dpX, Y qº ÇÒ Ñ Ý × Ø Ø Ø × ÓÙÒ × Ö
ÐÓ× ÐÝ Ö Ð Ø ØÓ
ÓØ Ö¸ ×
fa,cpXq ` fb,cpXq “ scpXq ´
npn ` 1q
2
Ò fa,bpXq “ sc,bpXq ´
npn ` 1q
2
.
ÇÒ
Ò × Ø Ø¸ º º¸ Ø ÓÙÒ d1pX, Y q
ÓÙÐ × Û ÐÐ Ù× Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ð ÑÑ Ò ËÓÐÙØ ÓÒ ½º
Ä Ø Ù× ×
Ö Ö Ò Ú Ò × ÖÔ Ö ÓÙÒ Û
Ð×Ó
Ò Ù× Ò Ö ÒØ Ú Ö× ÓÒ× Ó Ø
×ÓÐÙØ ÓÒ× ÓÚ º
ÁÒ

Ñ Ð ÓÒ X¸ ÒÙÑ Ö Ø Ø Ó

ÙÖÖ Ò
× Ó a ÖÓÑ Ø Ð Ø ØÓ Ø Ö Ø × a1, a2, . . . , anº
Ë Ò
Û ÓØ Ö Ó ×Û Ô× Ó ÒØ
Ð Ð ØØ Ö×¸ Ø Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ö Ó Ø × Ð ØØ Ö× Ö Ñ Ò× Ø × Ñ ÙÖ Ò
Ø ×Û Ô×º È Ö ÓÖÑ Ø × Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓØ Ö Ð ØØ Ö×¸ Ó Ø Ò Ò Ò Û Ð ØØ Ö× b1, . . . , bn Ò
c1, . . . , cnº ÒÓØ Ý A Ø × Ø Ó Ø 3n Ó Ø Ò Ð ØØ Ö×º
Ë Ò
ÐÐ 3n Ð ØØ Ö×
Ñ Ö ÒØ¸ ÓÖ ÒÝ
Ñ Ð ÓÒ X Ò ÒÝ s P A Û Ñ Ý Ò Ø
ÔÓ× Ø ÓÒ NspXq Ó s Ò X ´Ø Ù× 1 ď NspXq ď 3nµº ÆÓÛ¸ ÓÖ ÒÝ ØÛÓ
Ñ Ð ÓÒ× X Ò Y Û × Ý Ø Ø
Ô Ö Ó Ð ØØ Ö× ps, tq P AÂ × Ò pX, Y q¹ ÒÚ Ö× ÓÒ NspXq ă NtpXq ÙØ NspY q ą NtpY q¸ Ò Ò
d˚pX, Y q ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó pX, Y q¹ ÒÚ Ö× ÓÒ×º Ì Ò ÓÖ ÒÝ ØÛÓ
Ñ Ð ÓÒ× Y Ò Y 1 Ö Ò Ý
× Ò Ð ×Û Ô¸ Û Ú |d˚pX, Y q ´ d˚pX, Y 1q| “ 1º Ë Ò
d˚pX, Xq “ 0¸ Ø × Ý Ð × dpX, Y q ě d˚pX, Y q
ÓÖ ÒÝ Ô Ö Ó
Ñ Ð ÓÒ× X Ò Y º Ì ÓÙÒ d˚ Ñ Ý Ð×Ó Ù× Ò ÓØ ËÓÐÙØ ÓÒ ½ Ò ËÓÐÙØ ÓÒ ¾º
ÓÑÑ ÒØ ¿º ÁÒ
Ø¸ ÓÒ Ñ Ý ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ×Ø Ò
d˚ Ò Ò Ø ÔÖ Ú ÓÙ×
ÓÑÑ ÒØ
Ó Ò
×
Û Ø dº ÁÒ ¸ X ‰ Y ¸ Ø Ò Ø Ö Ü ×Ø Ò pX, Y q¹ ÒÚ Ö× ÓÒ ps, tqº ÇÒ
Ò × ÓÛ Ø Ø ×Ù
s Ò t
Ñ Ý
Ó× Ò ØÓ Ó

ÙÔÝ
ÓÒ×
ÙØ Ú ÔÓ× Ø ÓÒ× Ò Y º Ð ÖÐÝ¸ s Ò t
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ØÓ Ö ÒØ Ð ØØ Ö×
ÑÓÒ ta, b, cuº ËÓ¸ ×Û ÔÔ Ò Ø Ñ Ò Y Û Ø ÒÓØ Ö
Ñ Ð ÓÒ Y 1 Û Ø d˚pX, Y 1q “ d˚pX, Y q ´ 1º
ÈÖÓ
Ò Ò Ø × Ñ ÒÒ Ö¸ Û Ñ Ý
Ò Y ØÓ X Ò d˚pX, Y q ×Ø Ô×º
Í× Ò Ø ×
Ø¸ ÓÒ
Ò × ÓÛ Ø Ø Ø ×Ø Ñ Ø Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ø Ñ ÒØ × × ÖÔ ÓÖ ÐÐ n ě 2º
´ ÓÖ n “ 1 Ø × ÒÓØ × ÖÔ¸ × Ò
ÒÝ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ð ØØ Ö×
Ò
Ò ØÓ Ò ÓÔÔÓ× Ø ÓÒ Ò
ÒÓ Ð ×× Ø Ò Ø Ö ×Û Ô×ºµ Ï ÓÙØÐ Ò Ø ÔÖÓÓ ÐÓÛº
ÓÖ ÒÝ k ě 0¸ Ò
X2k “ abc abc . . . abclooooooomooooooon
3k Ð ØØ Ö×
cba cba . . . cbalooooooomooooooon
3k Ð ØØ Ö×
Ò X2k`3 “ abc abc . . . abclooooooomooooooon
3k Ð ØØ Ö×
abc bca cab cba cba . . . cbalooooooomooooooon
3k Ð ØØ Ö×
.
Ï
Ð Ñ Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ n ě 2 Ò Ú ÖÝ
Ñ Ð ÓÒ Y ¸ Û Ú d˚pXn, Y q ď
P
3n2{2
T
º Ì × Û ÐÐ Ñ Ò
Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ n ě 2 Ø ÒÙÑ Ö 3n2{2 Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ø Ñ ÒØ
ÒÒÓØ
Ò Ý ÒÝ ÒÙÑ Ö
Ð Ö Ö Ø Ò
P
3n2{2
T
º
ÓÖ ÒÝ ×Ø Ò
Ø Ð ØØ Ö× u, v P ta, b, cu Ò ÒÝ ØÛÓ
Ñ Ð ÓÒ× X Ò Y ¸ Û Ò d˚
u,vpX, Y q ×
Ø ÒÙÑ Ö Ó pX, Y q¹ ÒÚ Ö× ÓÒ× ps, tq ×Ù
Ø Ø s Ò t Ö Ò×Ø Ò
× Ó u Ò v ´ Ò ÒÝ Ó Ø ØÛÓ
ÔÓ×× Ð ÓÖ Ö×µº Ì Ò d˚pX, Y q “ d˚
a,bpX, Y q ` d˚
b,cpX, Y q ` d˚
c,apX, Y qº

Ï ×Ø ÖØ Û Ø Ø
× Û Ò n “ 2k × Ú Ò ÒÓØ X “ X2kº Ï × ÓÛ Ø Ø d˚
a,bpX, Y q ď 2k2
ÓÖ ÒÝ
Ñ Ð ÓÒ Y Ø × Ý Ð × Ø Ö ÕÙ Ö ×Ø Ñ Ø º ÈÖÓ
Ý Ø Ò Ù
Ø ÓÒ ÓÒ k Û Ø Ø ØÖ Ú Ð
×
× k “ 0º ÌÓ Ô Ö ÓÖÑ Ø Ò Ù
Ø ÓÒ ×Ø Ô¸ ÒÓØ
Ø Ø d˚
a,bpX, Y q × Ò Ø Ñ Ò Ñ Ð ÒÙÑ Ö Ó
×Û Ô× Ò ØÓ
Ò Yc ÒØÓ Xcº ÇÒ Ñ Ý × ÓÛ Ø Ø ÑÓÚ Ò a1 Ò a2k Ò Y ÓÒØÓ Ø Ö×Ø Ò Ø
Ð ×Ø ÔÓ× Ø ÓÒ× Ò Y ¸ Ö ×Ô
Ø Ú ÐÝ¸ Ø × Ø ÑÓ×Ø 2k ×Û Ô×¸ Ò Ø Ø ×Ù × ÕÙ ÒØ ÑÓÚ Ò b1 Ò b2k ÓÒØÓ
Ø ×
ÓÒ Ò Ø ×
ÓÒ Ð ×Ø ÔÓ× Ø ÓÒ× Ø × Ø ÑÓ×Ø 2k ´ 2 ×Û Ô×º Ø Ö Ô Ö ÓÖÑ Ò Ø Ø¸ ÓÒ Ñ Ý
Ð Ø Ø × Ð ØØ Ö× ÖÓÑ ÓØ Xc Ò Yc Ò ÔÔÐÝ Ø Ò Ù
Ø ÓÒ ÝÔÓØ × × ×Ó Xc
Ò Ó Ø Ò
ÖÓÑ Yc Ù× Ò Ø ÑÓ×Ø 2pk ´ 1q2 ` 2k ` p2k ´ 2q “ 2k2 ×Û Ô×¸ × Ö ÕÙ Ö º
Á n “ 2k ` 3 × Ó ¸ Ø ÔÖÓÓ × × Ñ Ð Ö ÙØ ÑÓÖ Ø
Ò
ÐÐÝ ÒÚÓÐÚ º Æ Ñ ÐÝ¸ Û
Ð Ñ Ø Ø
d˚
a,bpX2k`3, Y q ď 2k2 ` 6k ` 5 ÓÖ ÒÝ
Ñ Ð ÓÒ Y ¸ Ò Ø Ø Ø ÕÙ Ð ØÝ ×
Ú ÓÒÐÝ Yc “
bb . . . b aa . . . aº Ì ÔÖÓÓ ÔÖÓ
× Ý × Ñ Ð Ö Ò Ù
Ø ÓÒ¸ Û Ø ×ÓÑ
Ö Ø Ò Ó Ø ×
× ¸ ×
Û ÐÐ × Ó ÜØÖ
Ø Ò Ø ÕÙ Ð ØÝ
× º Ë Ñ Ð Ö ×Ø Ñ Ø × ÓÐ ÓÖ d˚
b,c Ò d˚
c,aº ËÙÑÑ Ò Ø Ö ×Ù
×Ø Ñ Ø ×¸ Û Ó Ø Ò
d˚
pX2k`3, Y q ď 3p2k2
` 6k ` 5q “
R
3n2
2
V
` 1,
Û
× Ý ½ ÑÓÖ Ø Ò Û Ò º ÙØ Ø ÕÙ Ð ØÝ
ÓÙÐ
Ú ÓÒÐÝ Yc “ bb . . . b aa . . . a
Ò ¸ × Ñ Ð ÖÐÝ¸ Yb “ aa . . . a cc . . . c Ò Ya “ cc . . . c bb . . . bº Ë Ò
Ø × Ø Ö ÕÙ Ð Ø ×
ÒÒÓØ ÓÐ
× ÑÙÐØ Ò ÓÙ×ÐÝ¸ Ø ÔÖÓÓ × Ò × º

¿º Ë Ö Ð Ü ÔÐ Ý× Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ñ ÓÒ ÖÓÛ Ó 9
ÐÐ×º ÁÒ Ø ÐÐÝ¸ ÐÐ
ÐÐ× Ö ÑÔØÝº ÁÒ

ÑÓÚ ¸ Ë Ö Ð Ü × ÐÐÓÛ ØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ü
ØÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ×
´½µ ÓÓ× ÒÝ ÒÙÑ Ö Ó Ø ÓÖÑ 2j
¸ Û Ö j × ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÒØ Ö¸ Ò ÔÙØ Ø ÒØÓ Ò
ÑÔØÝ
ÐÐº
´¾µ ÓÓ× ØÛÓ ´ÒÓØ Ò
×× Ö ÐÝ
ÒØµ
ÐÐ× Û Ø Ø × Ñ ÒÙÑ Ö Ò Ø Ñ ÒÓØ Ø Ø
ÒÙÑ Ö Ý 2j
º Ê ÔÐ
Ø ÒÙÑ Ö Ò ÓÒ Ó Ø
ÐÐ× Û Ø 2j`1
Ò Ö × Ø ÒÙÑ Ö Ò
Ø ÓØ Ö
ÐÐº
Ø Ø Ò Ó Ø Ñ ¸ ÓÒ
ÐÐ
ÓÒØ Ò× Ø ÒÙÑ Ö 2n
¸ Û Ö n × Ú Ò ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö¸
Û Ð Ø ÓØ Ö
ÐÐ× Ö ÑÔØÝº Ø ÖÑ Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó ÑÓÚ × Ø Ø Ë Ö Ð Ü
ÓÙÐ
Ú Ñ ¸ Ò Ø ÖÑ× Ó nº
´Ì Ð Ò µ
Ò×Û Ö 2
ř8
j“0
`n
j
˘
´ 1.
ËÓÐÙØ ÓÒ ½º Ï Û ÐÐ ×ÓÐÚ ÑÓÖ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ¸ Ö ÔÐ
Ò Ø ÖÓÛ Ó 9
ÐÐ× Û Ø ÖÓÛ Ó k

ÐÐ×¸ Û Ö k × ÔÓ× Ø Ú ÒØ Öº ÒÓØ Ý mpn, kq Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÔÓ×× Ð ÒÙÑ Ö Ó ÑÓÚ ×
Ë Ö Ð Ü
Ò Ñ ×Ø ÖØ Ò Û Ø ÖÓÛ Ó k ÑÔØÝ
ÐÐ×¸ Ò Ò Ò Û Ø ÓÒ
ÐÐ
ÓÒØ Ò Ò
Ø ÒÙÑ Ö 2n
Ò ÐÐ Ø ÓØ Ö k ´ 1
ÐÐ× ÑÔØÝº ÐÐ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó ØÝÔ ´½µ Ò Ò× ÖØ ÓÒ¸
Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó ØÝÔ ´¾µ Ñ Ö º
ÇÒÐÝ ÓÒ ÑÓÚ × ÔÓ×× Ð Û Ò k “ 1¸ ×Ó Û Ú mpn, 1q “ 1º ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Û
ÓÒ× Ö
k ě 2¸ Ò Û Ñ Ý ××ÙÑ Ë Ö Ð Ü³× Ð ×Ø ÑÓÚ Û × Ñ Ö º Ì Ò¸ Ù×Ø ÓÖ Ø Ð ×Ø ÑÓÚ ¸
Ø Ö Û Ö Ü
ØÐÝ ØÛÓ
ÐÐ× Û Ø Ø ÒÙÑ Ö 2n´1
¸ Ò Ø ÓØ Ö k ´ 2
ÐÐ× Û Ö ÑÔØÝº
È ÒØ ÓÒ Ó Ø Ó× ÒÙÑ Ö× 2n´1
ÐÙ ¸ Ò Ø ÓØ Ö ÓÒ Ö º ÆÓÛ ØÖ

Ë Ö Ð Ü³×
ÑÓÚ ×¸ ÐÛ Ý× Ô ÒØ Ò Ø ÒÙÑ Ö× ÐÙ ÓÖ Ö ÓÐÐÓÛ Ò Ø × ÖÙÐ a Ò b Ñ Ö ÒØÓ c¸
Ô ÒØ a Ò b Û Ø Ø × Ñ
ÓÐÓÖ × cº ÆÓØ
Ø Ø Ò Ø ×
Û Ö ÔÖÓ
×× Ò Û ÒÙÑ Ö× Ö
ÔÖÓ Ù
ÓÒÐÝ Ý Ö Ú Ö× Ò Ñ Ö ×¸ × Ò
Ö Ú Ö× Ò Ò Ò× ÖØ ÓÒ × ÑÔÐÝ Ñ Ò× Ð Ø Ò ÓÒ Ó
Ø ÒÙÑ Ö×º Ì Ö ÓÖ ¸ ÐÐ ÒÙÑ Ö× ÔÔ Ö Ò Ò Ø Û ÓÐ ÔÖÓ
×× Û ÐÐ Ö
Ú ÓÒ Ó Ø ØÛÓ

ÓÐÓÖ×º
Ë Ö Ð Ü³× Ö×Ø ÑÓÚ × Ò Ò× ÖØ ÓÒº Ï Ø ÓÙØ ÐÓ×× Ó Ò Ö Ð ØÝ¸ ××ÙÑ Ø × Ö×Ø ÒÙÑ Ö
Ò× ÖØ × ÐÙ º Ì Ò¸ ÖÓÑ Ø × ÔÓ ÒØ ÓÒ¸ ÙÒØ Ð Ø Ð ×Ø ÑÓÚ ¸ Ø Ö × ÐÛ Ý× Ø Ð ×Ø ÓÒ
ÐÐ
Û Ø ÐÙ ÒÙÑ Öº
× × Ø Ð ×Ø ÑÓÚ ¸ Ø Ö × ÒÓ ÑÓÚ ÒÚÓÐÚ Ò ÐÙ Ò Ö ÒÙÑ Ö¸ × Ò
ÐÐ Ñ Ö ×
ÒÚÓÐÚ × ÒÙÑ Ö× Û Ø Ø × Ñ
ÓÐÓÖ¸ Ò Ò× ÖØ ÓÒ× ÒÚÓÐÚ ÓÒÐÝ ÓÒ ÒÙÑ Öº ÐÐ Ò Ò× ÖØ ÓÒ
Ó ÐÙ ÒÙÑ Ö ÓÖ Ñ Ö Ó ØÛÓ ÐÙ ÒÙÑ Ö× ÐÙ ÑÓÚ ¸ Ò Ò Ö ÑÓÚ Ò ÐÓ ÓÙ×ÐÝº
Ì Û ÓÐ × ÕÙ Ò
Ó ÐÙ ÑÓÚ ×
ÓÙÐ Ö Ô Ø ÓÒ ÒÓØ Ö ÖÓÛ Ó k
ÐÐ× ØÓ ÔÖÓ Ù
ÓÒ
ÐÐ Û Ø Ø ÒÙÑ Ö 2n´1
Ò ÐÐ Ø ÓØ Ö× ÑÔØÝ¸ ×Ó Ø Ö Ö Ø ÑÓ×Ø mpn ´ 1, kq ÐÙ
ÑÓÚ ×º
ÆÓÛ Û ÐÓÓ Ø Ø Ö ÑÓÚ ×º Ë Ò
Ú ÖÝ Ø Ñ Û Ô Ö ÓÖÑ Ö ÑÓÚ Ø Ö × Ø Ð ×Ø
ÓÒ
ÐÐ Ó

ÙÔ Û Ø ÐÙ ÒÙÑ Ö¸ Ø Û ÓÐ × ÕÙ Ò
Ó Ö ÑÓÚ ×
ÓÙÐ Ö Ô Ø ÓÒ
ÖÓÛ Ó k ´ 1
ÓÒ
Ò ÐÐ Ø ÓØ Ö× ÑÔØÝ¸ ×Ó Ø Ö
Ö Ø ÑÓ×Ø mpn ´ 1, k ´ 1q Ö ÑÓÚ ×º Ì × ÔÖÓÚ × Ø Ø
mpn, kq ď mpn ´ 1, kq ` mpn ´ 1, k ´ 1q ` 1.
ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ Û
Ò ×Ø ÖØ Û Ø Ò ÑÔØÝ ÖÓÛ Ó k
ÐÐ× Ò Ô Ö ÓÖÑ mpn ´ 1, kq
ÑÓÚ × ØÓ ÔÖÓ Ù
ÓÒ
Ò ÐÐ Ø ÓØ Ö× ÑÔØÝ¸ Ò Ø Ö Ø Ø
Ô Ö ÓÖÑ mpn ´ 1, k ´ 1q ÑÓÚ × ÓÒ Ø Ó× k ´ 1 ÑÔØÝ
Ø ÒÙÑ Ö 2n´1
Ò ÓÒ
Ó Ø Ñ¸ Ð Ú Ò k ´ 2 ÑÔØÝº Ï Ø ÓÒ ÑÓÖ Ñ Ö Û Ø ÓÒ
ÐÐ Û Ø 2n
Ò Ø ÓØ Ö×
ÑÔØÝ¸ ÔÖÓÚ Ò Ø Ø
mpn, kq ě mpn ´ 1, kq ` mpn ´ 1, k ´ 1q ` 1.

ÁØ ÓÐÐÓÛ× Ø Ø
mpn, kq “ mpn ´ 1, kq ` mpn ´ 1, k ´ 1q ` 1, ´½µ
ÓÖ n ě 1 Ò k ě 2º
Á k “ 1 ÓÖ n “ 0¸ Û ÑÙ×Ø Ò× ÖØ 2n
ÓÒ ÓÙÖ Ö×Ø ÑÓÚ Ò ÑÑ Ø ÐÝ Ø Ø Ò Ð

ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ¸ ×Ó mp0, kq “ 1 Ò mpn, 1q “ 1¸ ÓÖ n ě 0 Ò k ě 1º Ì × Ò Ø Ð Ú ÐÙ ×¸
ØÓ Ø Ö Û Ø Ø Ö
ÙÖÖ Ò
Ö Ð Ø ÓÒ ´½µ¸ Ø ÖÑ Ò mpn, kq ÙÒ ÕÙ ÐÝº
Ò ÐÐÝ¸ Û × ÓÛ Ø Ø
mpn, kq “ 2
k´1ÿ
j“0
ˆ
n
j
˙
´ 1, ´¾µ
ÓÖ ÐÐ ÒØ Ö× n ě 0 Ò k ě 1º
Ï Ù× Ò Ù
Ø ÓÒ ÓÒ nº Ë Ò
mp0, kq “ 1 ÓÖ k ě 1¸ ´¾µ × ØÖÙ ÓÖ Ø ×
× º Ï Ñ
Ø Ò Ù
Ø ÓÒ ÝÔÓØ × × Ø Ø ´¾µ × ØÖÙ ÓÖ ×ÓÑ Ü ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö n Ò ÐÐ k ě 1º Ï
Ú mpn ` 1, 1q “ 1 “ 2
`n`1
0
˘
´ 1¸ Ò ÓÖ k ě 2 Ø Ö
ÙÖÖ Ò
Ö Ð Ø ÓÒ ´½µ Ò Ø Ò Ù
Ø ÓÒ
ÝÔÓØ × × Ú Ù×
mpn ` 1, kq “ mpn, kq ` mpn, k ´ 1q ` 1 “ 2
k´1ÿ
j“0
ˆ
n
j
˙
´ 1 ` 2
k´2ÿ
j“0
ˆ
n
j
˙
´ 1 ` 1
“ 2
k´1ÿ
j“0
ˆ
n
j
˙
` 2
k´1ÿ
j“0
ˆ
n
j ´ 1
˙
´ 1 “ 2
k´1ÿ
j“0
ˆˆ
n
j
˙
`
ˆ
n
j ´ 1
˙˙
´ 1 “ 2
k´1ÿ
j“0
ˆ
n ` 1
j
˙
´ 1,
Û

ÓÑÔÐ Ø × Ø ÔÖÓÓ º
ÓÑÑ ÒØ ½º Ø Ö Ù
Ò Ø Ö
ÙÖÖ Ò
Ö Ð Ø ÓÒ ´½µ¸ Ø Ñ Ý
ÓÒÚ Ò ÒØ ØÓ ÓÑÓ Ò Þ Ø
Ö
ÙÖÖ Ò
Ö Ð Ø ÓÒ Ý Ò Ò hpn, kq “ mpn, kq ` 1º Ï Ø Ø Ò Û Ö Ð Ø ÓÒ
hpn, kq “ hpn ´ 1, kq ` hpn ´ 1, kq, ´¿µ
ÓÖ n ě 1 Ò k ě 2¸ Û Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ × hp0, kq “ hpn, 1q “ 2¸ ÓÖ n ě 0 Ò k ě 1º
Ì × Ñ Ý ÐÔ ÓÒ ØÓ Ù ×× Ø Ò×Û Ö¸ Ò Ð×Ó Û Ø ÓØ Ö ÔÔÖÓ
× Ð Ø ÓÒ Û Ú ÐÓÔ
Ò ÜØº
ÓÑÑ ÒØ ¾º Ï
Ò Ù× Ò Ö Ø Ò ÙÒ
Ø ÓÒ ØÓ Ò Ø Ò×Û Ö Û Ø ÓÙØ Ù ×× Ò º Ï ÛÓÖ Û Ø
Ø ÓÑÓ Ò Þ Ö
ÙÖÖ Ò
Ö Ð Ø ÓÒ ´¿µº Ò hpn, 0q “ 0 ×Ó Ø Ø ´¿µ × Ú Ð ÓÖ k “ 1 × Û ÐÐº ÆÓÛ
Û × Ø ÙÔ Ø Ò Ö Ø Ò ÙÒ
Ø ÓÒ fpx, yq “
ř
n,kě0 hpn, kqxnykº ÅÙÐØ ÔÐÝ Ò Ø Ö
ÙÖÖ Ò
Ö Ð Ø ÓÒ ´¿µ
Ý xnyk Ò ×ÙÑÑ Ò ÓÚ Ö n, k ě 1¸ Û Ø
ÿ
n,kě1
hpn, kqxn
yk
“ x
ÿ
n,kě1
hpn ´ 1, kqxn´1
yk
` xy
ÿ
n,kě1
hpn ´ 1, k ´ 1qxn´1
yk´1
.
ÓÑÔÐ Ø Ò Ø Ñ ×× Ò Ø ÖÑ× Ð × ØÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ fpx, yq
fpx, yq ´
ÿ
ně0
hpn, 0qxn
´
ÿ
kě1
hp0, kqyk
“ xfpx, yq ´ x
ÿ
ně0
hpn, 0qxn
` xyfpx, yq.
ËÙ ×Ø ØÙØ Ò Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ ×¸ Û Ó Ø Ò
fpx, yq “
2y
1 ´ y
¨
1
1 ´ xp1 ` yq
.
Ú ÐÓÔ Ò × ÔÓÛ Ö × Ö ×¸ Û Ø
fpx, yq “ 2
ÿ
jě1
yj
¨
ÿ
ně0
p1 ` yqn
xn
.

¼ ÁÅÇ ¾¼½ ¸ Ê Ó Â Ò ÖÓ
Ì
Ó
ÒØ Ó xn Ò Ø × ÔÓÛ Ö × Ö × ×
2
ÿ
jě1
yj
¨ p1 ` yqn
“ 2
ÿ
jě1
yj
¨
ÿ
iě0
ˆ
n
i
˙
yi
,
Ò ÜØÖ
Ø Ò Ø
Ó
ÒØ Ó yk Ò Ø × Ð ×Ø ÜÔÖ ×× ÓÒ Û Ò ÐÐÝ Ó Ø Ò Ø Ú ÐÙ ÓÖ hpn, kq¸
hpn, kq “ 2
k´1ÿ
j“0
ˆ
n
j
˙
.
Ì × ÔÖÓÚ × Ø Ø
mpn, kq “ 2
k´1ÿ
j“0
ˆ
n
j
˙
´ 1.
Ì Ò Ö Ø Ò ÙÒ
Ø ÓÒ ÔÔÖÓ
Ð×Ó ÛÓÖ × ÔÔÐ ØÓ Ø ÒÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ× Ö
ÙÖÖ Ò
Ö Ð ¹
Ø ÓÒ ´½µ¸ ÙØ Ø
ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ× Ö Ð ×× ×ØÖ Ø ÓÖÛ Ö º
ËÓÐÙØ ÓÒ ¾º Ò Ñ Ö × Ò Ò× ÖØ ÓÒ× × Ò ËÓÐÙØ ÓÒ ½º Ø Ö
ÑÓÚ Ñ Ý Ë Ö Ð Ü
Û
ÓÑÔÙØ Ø ÒÙÑ Ö N Ó ÑÔØÝ
ÐÐ×¸ Ò Ø ×ÙÑ S Ó ÐÐ Ø ÒÙÑ Ö× ÛÖ ØØ Ò Ò Ø

ÐÐ×º ÁÒ× ÖØ ÓÒ× ÐÛ Ý× Ò
Ö × S Ý ×ÓÑ ÔÓÛ Ö Ó 2¸ Ò Ò
Ö × N Ü
ØÐÝ Ý 1º Å Ö × Ó
ÒÓØ
Ò S Ò
Ö × N Ü
ØÐÝ Ý 1º Ë Ò
Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ Ó N × 0 Ò Ø× Ò Ð Ú ÐÙ
× 1¸ Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ò× ÖØ ÓÒ× Ü
× Ø Ø Ó Ñ Ö × Ý Ü
ØÐÝ ÓÒ º ËÓ¸ ØÓ Ñ Ü Ñ Þ Ø
ÒÙÑ Ö Ó ÑÓÚ ×¸ Û Ò ØÓ Ñ Ü Ñ Þ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò× ÖØ ÓÒ×º
Ï Û ÐÐ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ º
Ä ÑÑ º Á Ø Ò ÖÝ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö A × d ÒÓÒÞ ÖÓ Ø×¸ Ø Ò A
ÒÒÓØ
Ö ÔÖ × ÒØ × ×ÙÑ Ó Û Ö Ø Ò d ÔÓÛ Ö× Ó 2º ÅÓÖ ÓÚ Ö¸ ÒÝ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó A ×
×ÙÑ Ó d ÔÓÛ Ö× Ó 2 ÑÙ×Ø
Ó Ò
Û Ø Ø× Ò ÖÝ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒº
ÈÖÓÓ º Ä Ø s Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó ×ÙÑÑ Ò × Ò ÐÐ ÔÓ×× Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ× Ó A × ×ÙÑ
Ó ÔÓÛ Ö× Ó 2º ËÙÔÔÓ× Ø Ö × ×Ù
Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Û Ø s ×ÙÑÑ Ò ×¸ Û Ö ØÛÓ Ó Ø
×ÙÑÑ Ò × Ö ÕÙ Ð ØÓ
ÓØ Öº Ì Ò¸ Ö ÔÐ
Ò Ø Ó× ØÛÓ ×ÙÑÑ Ò × Û Ø Ø Ö ×ÙÐØ Ó
Ø Ö ×ÙÑ¸ Û Ó Ø Ò Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Û Ø Û Ö Ø Ò s ×ÙÑÑ Ò ×¸ Û
×
ÓÒØÖ
Ø ÓÒº
Ï Ù
Ø Ø Ò ÒÝ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Û Ø s ×ÙÑÑ Ò ×¸ Ø ×ÙÑÑ Ò × Ö ÐÐ ×Ø Ò
Ø¸ ×Ó ÒÝ
×Ù
Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ ÑÙ×Ø
Ó Ò
Û Ø Ø ÙÒ ÕÙ Ò ÖÝ Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ó A¸ Ò s “ dº l
ÆÓÛ Û ×ÔÐ Ø Ø ×ÓÐÙØ ÓÒ ÒØÓ × ÕÙ Ò
Ó
Ð Ñ×º
Ð Ñ ½º Ø Ö Ú ÖÝ ÑÓÚ ¸ Ø ÒÙÑ Ö S × Ø ×ÙÑ Ó Ø ÑÓ×Ø k ´ 1 ×Ø Ò
Ø ÔÓÛ Ö× Ó 2º
ÈÖÓÓ º Á S × Ø ×ÙÑ Ó k ´ÓÖ ÑÓÖ µ ×Ø Ò
Ø ÔÓÛ Ö× Ó 2¸ Ø Ä ÑÑ ÑÔÐ × Ø Ø Ø k
ÐÐ×
Ö ÐÐ Û Ø Ø × ÒÙÑ Ö×º Ì × ×
ÓÒØÖ
Ø ÓÒ × Ò
ÒÓ ÑÓÖ Ñ Ö × ÓÖ Ò× ÖØ ÓÒ×
Ò
Ñ º l
Ä Ø Apn, k ´ 1q ÒÓØ Ø × Ø Ó ÐÐ ÔÓ× Ø Ú ÒØ Ö× ÒÓØ Ü
Ò 2n
Û Ø Ø ÑÓ×Ø k ´ 1
ÒÓÒÞ ÖÓ Ø× Ò Ø× × 2 Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒº Ë Ò
Ú ÖÝ Ò× ÖØ ÓÒ Ò
Ö × × Ø Ú ÐÙ Ó S¸ Ý
Ð Ñ ½¸ Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ò× ÖØ ÓÒ× × Ø ÑÓ×Ø |Apn, k ´ 1q|º Ï ÔÖÓ
ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ×
ÔÓ×× Ð ØÓ
Ú Ø × ÒÙÑ Ö Ó Ò× ÖØ ÓÒ×º
Ð Ñ ¾º Ä Ø Apn, k´1q “ ta1, a2, . . . , amu¸ Û Ø a1 ă a2 ă ¨ ¨ ¨ ă amº Á Ø Ö ×ÓÑ Ó Ë Ö Ð Ü³×
ÑÓÚ × Ø Ú ÐÙ Ó S × aj¸ Û Ø j P t1, 2, . . . , m ´ 1u¸ Ø Ò Ø Ö × × ÕÙ Ò
Ó ÑÓÚ × Ø Ö
Û
Ø Ú ÐÙ Ó S × Ü
ØÐÝ aj`1º
ÈÖÓÓ º ËÙÔÔÓ× S “ ajº È Ö ÓÖÑ Ò ÐÐ ÔÓ×× Ð Ñ Ö ×¸ Û Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ø Ö ÒØ ÔÓÛ Ö× Ó 2
Ò ÐÐ ÒÓÒ ÑÔØÝ
ÐÐ×º Ø Ö Ø Ø¸ Ý Ð Ñ ½ Ø Ö Û ÐÐ Ø Ð ×Ø ÓÒ ÑÔØÝ
ÐÐ¸ Ò Û
Û
Û ÒØ ØÓ Ò× ÖØ aj`1 ´ ajº ÁØ Ö Ñ Ò× ØÓ × ÓÛ Ø Ø aj`1 ´ aj × ÔÓÛ Ö Ó 2º
ÓÖ Ø × ÔÙÖÔÓ× ¸ Û ÒÓØ
Ø Ø aj × Ð ×× Ø Ò k ´ 1 ÒÓÒÞ ÖÓ Ø× Ò × 2 Ø Ò
aj`1 “ aj ` 1º ÇØ ÖÛ × ¸ Û Ú aj “ 2bk´1
` ¨ ¨ ¨ ` 2b2
` 2b1
Û Ø b1 ă b2 ă ¨ ¨ ¨ ă bk´1º Ì Ò¸
Ò ÒÝ ÒÙÑ Ö Ð ×× Ø Ò 2b1
ØÓ aj Û ÐÐ Ö ×ÙÐØ Ò ÒÙÑ Ö Û Ø ÑÓÖ Ø Ò k ´ 1 ÒÓÒÞ ÖÓ

Ò ÖÝ Ø×º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ¸ aj ` 2b1
× ×ÙÑ Ó k ÔÓÛ Ö× Ó 2¸ ÒÓØ ÐÐ ×Ø Ò
Ø¸ ×Ó Ý Ø
Ä ÑÑ Ø Û ÐÐ ×ÙÑ Ó Ð ×× Ø Ò k ×Ø Ò
Ø ÔÓÛ Ö× Ó 2º Ì × Ñ Ò× Ø Ø aj`1 ´ aj “ 2b1
¸

ÓÑÔÐ Ø Ò Ø ÔÖÓÓ º l
Ð Ñ× ½ Ò ¾ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó Ò× ÖØ ÓÒ× × |Apn, k ´ 1q|º Ï ÒÓÛ

ÓÑÔÙØ Ø × ÒÙÑ Öº
Ð Ñ ¿º |Apn, k ´ 1q| “
řk´1
j“0
`n
j
˘
º
ÈÖÓÓ º Ì ÒÙÑ Ö 2n
× Ø ÓÒÐÝ Ð Ñ ÒØ Ó Apn, k ´ 1q Û Ø n ` 1 Ò ÖÝ Ø×º ÒÝ ÓØ Ö
Ð Ñ ÒØ × Ø ÑÓ×Ø n Ò ÖÝ Ø×¸ Ø Ð ×Ø ÓÒ Ò Ø ÑÓ×Ø k ´ 1 Ó Ø Ñ Ö ÒÓÒÞ ÖÓ ´×Ó
Ø Ý Ö ÓÒ ×µº ÓÖ
j P t1, 2, . . . , k ´ 1u¸ Ø Ö Ö
`n
j
˘
×Ù
Ð Ñ ÒØ× Û Ø Ü
ØÐÝ j Ò ÖÝ
Ø× ÕÙ Ð ØÓ ÓÒ º Ï
ÓÒ
ÐÙ Ø Ø |Apn, k ´ 1q| “ 1 `
řk´1
j“1
`n
j
˘
“
řk´1
j“0
`n
j
˘
º l
Ê
ÐÐ Ò Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò× ÖØ ÓÒ× Ü
× Ø Ø Ó Ñ Ö × Ý Ü
ØÐÝ 1¸ Û Ù
Ø Ø
Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó ÑÓÚ × × 2
řk´1
j“0
`n
j
˘
´ 1º

Imo 2017

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

More from Θανάσης Δρούγας

More from Θανάσης Δρούγας (20)

Imo 2017