Traitement des données massives (INF442, A8)

1. ÁÆ ¾ ÌÖ Ø Ñ ÒØ × ÓÒÒ × Å ×× Ú ×
Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ×ÙÖ Ð × Ö Ô ×
Ö Ò Æ Ð× Ò
Ò Ð× ÒРܺÔÓÐÝØ
Ò ÕÙ º Ö
¾¼½¿
¿ Ù Ò ¾¼½

2. ÈÐ Ò
◮ ÔÖÓ Ö ÑÑ ÔÓÙÖ Ð
ÓÒØÖÐ
Ö Ø ´ µ
½¼ Ù Ò ¾¼½ ¸ ¹½¾
◮ Ð × Ö Ô ×
◮ Ð × Ö Ò × Ö Ô × Ø
Ø ÓÒ ×ÓÙ×¹ Ö Ô × Ò× ×
◮ Ð × Ô Ø Ø× Ö Ô × Ø
Ø ÓÒ ´×ÓÙ×¹µ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ ×
◮ ÜÔÓ× ÒÚ Ø Ð ÀÈ ÐÓÙ
Ô Ö Åº È ØÖ
Ð Ö ´È ¸ ØÓ×» ÙÐе

3. Ê Ú × ÓÒ× ÔÓÙÖ Ð
ÓÒØÖÐ
Ö Ø
◮ ÐÓ ³
Ð Ö Ø ÓÒ ´ Ñ Ðµ ÔÓÙÖ Ð × ÔÖÓ Ö ÑÑ × Ô Ö ÐÐ Ð ×
◮ Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ Ð × k¹ÑÓÝ ÒÒ × Ø Ð Ñ Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ × ÓÒ
Ø ÓÒ
Ó Ø
Î Ö Ò
»
ÒØÖÓ ³ÙÒ ÖÓÙÔ
Ó Ø ×ÓÑÑ × Ú Ö Ò
× × ÖÓÙÔ × ººº
◮ Ð × Ð ÓÖ Ø Ñ × Ô Ö ÐÐ Ð × × ÖÓÒØ
Ö Ø Ò Ô× Ù Ó¹
Ó ÅÈÁ
´ÓÔ Ö Ø ÓÒ× Ö Ù
¸ ×
ØØ Ö¸ Ø Öµº
◮ È× Ù Ó¹×ÝÒØ Ü ÅÈÁ Ø Ô × ×ÝÒØ Ü ··º
ÈÖÓ Ö ÑÑ ¾¼ Ð Ò × Ù Ñ Ü ÑÙÑ
◮ ØÓÔÓÐÓ Ð³ ÝÔ Ö
Ù ¸
Ó Ö Ý¸ ×Ø Ò
À ÑÑ Ò Ø ÖÓÙØ º
ÁÐ Ò³ ÙÖ Ô × ··¸ Ò
Ð ××
Ø ÓÒ¸ Ò ³ Ð ÓÖ Ø Ñ × ×ÙÖ Ð ×
Ñ ØÖ
׸ Ò Å ÔÊ Ù
¸ Ø Ò ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð ×
ÙÖ׺

4. Ê Ú × ÓÒ× Ð
Ó Ö Ý

5. ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ Ö
ÙÖ× Ú Ù
Ó Ö Ý
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ Ö
ÙÖ× Ú
◮
Ó Ö Ý ½ Ø ´
× Ø ÖÑ Ò Ðµ G(½) = (¼, ½)
◮
Ó Ö Ý d Ø×
G(d) = (¼G(d − ½), ½Gr
(d − ½))
Ú
Gr (·) Ð
Ó Ö Ý Ò× Ð³ÓÖ Ö ÒÚ Ö× ´
Ó Ö
µ
È Ö Ü ÑÔÐ ¸
◮ G(¾) = (¼G(½), ½Gr (½)) = (¼¼, ¼½, ½½, ½¼)
◮ G(¿) = (¼G(¾), ½Gr (¾)) = (¼¼¼, ¼¼½, ¼½½, ¼½¼, ½½¼, ½½½, ½¼½, ½¼¼)
◮ G( ) = (¼G(¿), ½Gr
(¿)) =
(¼¼¼¼, ¼¼¼½, ¼¼½½, ¼¼½¼, ¼½½¼, ¼½½½, ¼½¼½, ¼½¼¼, ½½¼¼, ½½¼½, ½½½½, ½½½¼, ½¼½¼, ½¼½½, ½¼¼½, ½¼¼¼)
◮ Ø
º
Ö Ò Æ Ð× Ò ½º
Ó Ö Ý

6. ÁÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒ Ð
ÓÒ×ØÖÙ
Ø ÓÒ Ö
ÙÖ× Ú Ù
Ó Ö Ý
0
1
0
1
1
0
00
01
11
10
00
01
11
10
10
11
01
00
000
001
011
010
110
111
101
100
G(1)
miroir pr´efixe
G(2) G(3)
miroir pr´efixe
Ö Ò Æ Ð× Ò ½º
Ó Ö Ý

7. ÀÝÔ Ö
Ù Ø
Ó Ö Ý
0D 1D 2D 3D 4D
∅ 0
1
00
01
10
11
001 011
000 010
101 111
100 110
0001 0011
0000 0010
0101 0111
0100 0110
1001 1011
1000 1010
1101 1111
1100 1110
ÙÜ
ÓÔ × ´ÔÖ Ü ¼ Ø ÔÖ Ü ½µ Hd−½(Gd−½) Õ٠гÓÒ Ö Ð ÒØÖ ÐÐ ×
Ú
Ð × Ô Ö × Ò Ù ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ×
Ö Ò Æ Ð× Ò ½º
Ó Ö Ý

8. Ó ·· × ÑÔÐ Ö Ý
Ó ¾º
ÔÔ
»» ÒÚ Ö× Ð³ÓÖ Ö ³ÙÒ
Ó
× Ø Ö Ò ∗ Å Ö Ó Ö ´ × Ø Ö Ò ∗ × ¸ Ò Ø Ò µ
ß × Ø Ö Ò ∗ Ö ×
Ö × Ò Û × Ø Ö Ò Ò ℄
Ò Ø
Ó Ö ´ ¼ Ò ··µ
ß Ö × ℄ × Ò −½− ℄ »»
¸ ÓÒ Ö
ÓÔ
Ö Ø Ù Ö Ò Ö ×
»» Ð ÓÖ Ø Ñ Ö
ÙÖ× ÔÓÙÖ Ð
Ó Ö Ý
× Ø Ö Ò ∗ Ö Ý Ó ´ Ò Ø Ñ µ
ß × Ø Ö Ò ∗ Ö ×
Ò Ø
Ò Ø
Ö ½ ´ Ñ −½µ »» Ú ÙØ Ö ¾
Ñ−½¸ ÔÐÙ× Ö Ô ÕÙ Math.pow(¾, Ñ − ½)
´ Ñ ½µ
ß Ö × Ò Û × Ø Ö Ò ¾ ℄ Ö × ¼ ℄ ¼ Ö × ½ ℄ ½
Ð ×
ß
× Ø Ö Ò ∗ Ö Ý Ó ´ Ñ −½µ
× Ø Ö Ò ∗ Ö Ð
Å Ö Ó Ö ´ ¸
Ö µ
Ö × Ò Û × Ø Ö Ò ¾ ∗
Ö ℄
»» ÔÖ Ü
Ó Ö ´ ¼
Ö ··µ
ß Ö × ℄ ¼ · ℄
Ö × ·
Ö ℄ ½ · Ö Ð
℄
Ö Ø Ù Ö Ò Ö ×
Ö Ò Æ Ð× Ò ½º
Ó Ö Ý

9. Ó ·· × ÑÔÐ Ö Ý
Ó ¾º
ÔÔ
Ò
Ð Ù Ó × Ø Ö Ñ
Ò
Ð Ù × Ø Ö Ò º
Ù × Ò Ò Ñ ×Ô
× Ø
× Ø Ö Ò ∗ Å Ö Ó Ö ´ × Ø Ö Ò ∗ × ¸ Ò Ø Ò µ
º º º
× Ø Ö Ò ∗ Ö Ý Ó ´ Ò Ø Ñ µ
º º º
Ú Ó Ô Ö Ò Ø Ó ´ × Ø Ö Ò ∗
Ó ¸ Ò Ø Ò µ
ß
Ò Ø
Ó Ö ´ ¼ Ò ··µ
ß
Ó Ù Ø
Ó ℄ Ò Ð
Ò Ø Ñ Ò ´ µ
ß
Ò Ø ¸ Ñ
Ó Ù Ø ÁÆ ¾
Ó Ö Ý Ò Ñ Ò × Ó Ò Ñ Ò
× Ø Ö Ò ∗ Ö Ý Ó ´ Ñ µ
Ô Ö Ò Ø Ó ´ ¸ ½ Ñ µ »» Ú ÙØ Ö ¾
Ñ
Ö Ò Æ Ð× Ò ½º
Ó Ö Ý

10. ÓÒÚ ÖØ Ö
Ó Ò Ö ⇔
Ó Ö Ý
code binaire
code de Gray
0 b0b1b2b3
g0g1g2g3
bit extra `a 0
(ne fait pas partie du code)
gi = 0 ⇔ bi+1 XOR bi = 0
Ä Ø Ù
Ó Ö Ý gi ×Ø Þ ÖÓ × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ × Ð × Ø×
ÒØ× Ð Ö ÔÖ × ÒØ Ø ÓÒ Ò Ö
Ó Ò
ÒØ ´ Çʸ ÇÍ Ü
ÐÙ× µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ½º
Ó Ö Ý ½¼

11. Ü ÑÔÐ
ÓÒÚ Ö× ÓÒ× Ò Ö → Ö Ý
code binaire
code de Gray
0 0 1 1 0
code binaire
code de Gray
0 0 1 1 0
1 0 10
Conversion (0110)b → (0101)g
XOR XOR XORXOR
XOR
?
Ð
ÙÐ× Ö
Ø× × Ò×
×
´ Ø× gi Ô ÙÚ ÒØ ØÖ
Ð
ÙÐ × Ò Ô Ö ÐÐ Ð ¸ Ê Ïµ
Ö Ò Æ Ð× Ò ½º
Ó Ö Ý ½½

12. Ü ÑÔÐ
ÓÒÚ Ö× ÓÒ× Ö Ý → Ò Ö
code binaire
code de Gray
0
1 10
code binaire
code de Gray
0
Conversion (1011)g → (1101)b
XOR XOR XORXOR
XOR
1
1 10 1
1 01 1
?
Ð
ÙÐ Ù Ø Ò Ö ÔÓ × ÓÖØ Ú Ö× Ð Ø ÔÓ × Ð ¸
×
ººº
Ö Ò Æ Ð× Ò ½º
Ó Ö Ý ½¾

13. Ä × Ö Ò × Ö Ô × ØÖÓÙÚ Ö
ÙÒ ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð Ò×
Ð ÒÓÝ Ù
Ð ÔÐÙ× Ö Ò
ÓÑÑÙÒ ÙØ
ººº
Ö Ò Æ Ð× Ò ½º
Ó Ö Ý ½¿

14. Ê ÔÔ Ð ×ÙÖ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ö Ô ×
◮ G = (V , E) ÙÒ Ö Ô |V | = n Ò Ù × Ø |E| = m Ö Ø × º Ö Ô
ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ º
◮ Ö Ø (vi , vj ) Ô Ö Ò Ù ×
◮ Ö Ø ÓÖ ÒØ Ö
¸ Ö Ô Ö
Ø Ö Ô
◮ Ö Ô × Ò×
Ý
Ð
Ý
Ð
Ö Ô
◮ Ö Ô ÔÓ × ´×ÙÖ Ð × Ö Ø × Ø»ÓÙ Ð × Ò Ù ×µ
◮ Ñ ØÖ
³ Ò
Ò
ME Ù Ö Ô V = {xi }
e = (xi , xj ) ∈ E ⇔ ME [i][j] = ½
´ Ø ¼ ÙØÖ Ñ Òص
◮ Ö Ô ÔÐ Ò Ö ´ÕÙ Ô ÙØ ØÖ ÔÐÓÒ ×× Ò Ò× Ð ÔÐ Ò × Ò×
ÒØ Ö×
Ø ÓÒ × Ö Ø ×µ m = |E| ≤ ¿(n − ¾) ÔÓÙÖ n = |V | ¾º
◮ Ö Ô Ò× ¸ Ö Ô Ô Ö׸ Ö Ô Ô Ø Ø× ÑÓÒ × ´
ÕÙ Ò Ù Ö Ð
Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð ÙØÖ Ò Ù Ô Ö ÙÒ
ÓÙÖØ
Ò µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹½ºÒÓØ Ø ÓÒ× ½

15. Ä × Ö Ô × × ÑÔР׸ ÙØ Ð × Ñ × Ô Ö Ó ×
Ð × Ò ÐÝ× Ö
Ð Ø ÓÖ Ñ ×
ÓÙÐ ÙÖ× ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØÙ Ø Ñ × ÔÖ ÙÚ ×
ÓÑÔÐ Ü ×
Ò Ù Ô ÖØ Ñ ÒØ׺ ÙÒ Ö Ø ÔÓÙÖ ÙÜ Ö ÓÒ×
ÓÒÒ Ü ×
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹½ºÒÓØ Ø ÓÒ× ½

16. Ä × Ö Ô × Ø Ð × Ö × ÙÜ ×Ó
ÙÜ
◮ ÙÒ Ô Ö×ÓÒÒ ´ Ò Ù µ ÙÒ Ð ×Ø ³ Ñ × ´ Ö Ø ×µº
◮ ½¸¿ Ñ ÐÐ Ö × ³ÙØ Ð × Ø ÙÖ× ´¾¼½¿µ¸ ¿ Ñ ÐÐ Ö × ³ ÓÑÑ ×
ÓÒÒ
Ø ×
´ ¼±µº Ù ÓÙÖ ³ Ù ¸ Ò
ÓÖ Ð ÑÓ Ø Ð ÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ ÑÓÒ Ð Ö ×Ø
ÓÒÒ
Ø Ö
ÈÁ ØØÔ× »» Ú ÐÓÔ Ö׺
ÓÓ º
ÓÑ» Ó
×» Ö Ô ¹ Ô
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹½ºÒÓØ Ø ÓÒ× ½

17. Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹½ºÒÓØ Ø ÓÒ× ½

18. ËÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò×
◮ ×ÓÙ×¹ Ö Ô G′ = (V ′, E′) ⊆ G V ′ ⊆ V ¸ e = (vi , vj ) ∈ E ÔÔ ÖØ ÒØ
E′ ×× º vi ∈ V ′ Ø vj ∈ V ′
◮ ÓÒ
Ö
Ð ×ÓÙ×¹ Ö Ô V ′ ⊆ V ÕÙ Ñ Ü Ñ × Ð Ò× Ø ρ
ρ(V ′
) =
|E(V ′)|
|V ′|
Ó E(V ′) = {(u, v) ∈ E : u, v ∈ V ′}
◮ ÔÓÙÖ Ð
Ð ÕÙ G = Kn¸ ÓÒ ρ = ρ(V ) = n(n−½)
¾n = n−½
¾
◮ ÈÖÓ Ð Ñ ³ÓÔØ Ñ × Ø ÓÒ
ρ∗
= Ñ Ü
V ′⊆V
ρ(V ′
)
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¾ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× ½

19. Ü ÑÔÐ Ò× Ø ×ÓÙ× Ö Ô ×
ρ = ½, ... ρ = ½,
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¾ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× ½

20. ÔÔÐ
Ø ÓÒ× Ù
Ð
ÙÐ ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò×
ÌÖ × ÙØ Ð Ò Ò ÐÝ× Ö Ô ×
ÒÓØ ÑÑ ÒØ ÔÓÙÖ Ð × Ö Ô × × Ö × ÙÜ ×Ó
ÙÜ
ÌÖÓÙÚ Ö Ð ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× ÒØ ÖÚ ÒØ Ò×
◮ Ð Ø
Ø ÓÒ
ÓÑÑÙÒ ÙØ
◮ Ð
ÓÑÔÖ ×× ÓÒ Ö Ô ×
◮ Ø
º
Ä × Ö × ÙÜ ×ÓÒØ Ô ÖÚ × × Ò× ÒÓØÖ ÕÙÓØ Ò
◮ Ö × ÙÜ
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ×
◮ Ö × ÙÜ
Ø Ø ÓÒ× ×
ÒØ ÕÙ ×
◮ Ö × ÙÜ
ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÒ×
◮ Ö × ÙÜ ³ ÒØ Ö
Ø ÓÒ ÔÖÓØ Ò ×
◮ Ö × ÙÜ ³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ
◮ Ö × ÙÜ Ò Ò
Ö×
◮ Ø
º
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¾ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× ¾¼

21. ÓÑÔÐ Ü Ø Ù
Ð
ÙÐ ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò×
◮ Ø ÑÔ× ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ô Ö Ö ×ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ × Ð Ò Ö × ´Äȵ
◮ Ú ÒØ Æȹ ÙÖ × ÓÒ ÑÔÓ× |V ′| = k
ÆÓØÓÒ× V ∗ ÙÒ ×ÓÐÙØ ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ò× Ø ÓÔØ Ñ Ð ρ∗
ρ∗
= ρ(V ∗
) =
|E(V ∗)|
|V ∗|
ÒÓÙ× ÐÐÓÒ× ÓÒÒ Ö ÙÒ ÙÖ ×Ø ÕÙ ÕÙ
Ð
ÙÐ ÙÒ ¾¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ
V ′′
, ρ(V ′′
) ≥
½
¾
ρ∗
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¾ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× ¾½

22. À ÙÖ ×Ø ÕÙ
Ð
ÙÐ ³ÙÒ ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ò×
À ÙÖ ×Ø ÕÙ Ø Ö Ø Ú Ö Ö ´ÈÖ Ò
ØÓÒ Í¸ ¾¼¼¼µ
◮ ÒÐ Ú Ö Ð Ò Ù ÔÐÙ× Ð Ö Ò× ÕÙ ØÓÙØ × × × Ö Ø ×
Ò
ÒØ ×¸ Ñ ØØÖ ÓÙÖ Ð × Ö × × ÙØÖ × Ò Ù ×¸
Ð
ÙÐ Ö Ð Ò× Ø
Ù Ö Ô Ó Ø ÒÙ¸ Ø Ö
ÓÑÑ Ò
Ö Ù×ÕÙ³ ÔÙ × Ñ ÒØ × Ò Ù ×
◮ ×ÓÐÙØ ÓÒ Ö Ö Ð Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× Ô ÖÑ
× n = |V | Ø Ö Ø ÓÒ×
Ö ÒØ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ¾¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ´
º ÔÖ ÙÚ ÔÓÐÝ
ÓÔ µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾¾

23. Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾¿

24. Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾

25. Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾

26. Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾

27. Ø ÍÒ Ö Ô ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ G = (V , E)
Ê ×ÙÐØ Ê ØÓÙÖÒ ÙÒ ×ÓÙ×¹ Ò× Ñ Ð ˜S ⊆ V × ×ÓÑÑ Ø× ÕÙ Ò Ù Ø Ð Ö Ô
Ö ×ØÖ ÒØ G| ˜S ÕÙ ÓÒÒ ÙÒ ¾¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ù ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ×
Ò× Gº
˜S ← V
S ← V
Û Ð S = ∅ Ó
s ← Ö Ñ Òs∈S S(s)
S ← S{s}
ρ(S) ρ( ˜S) Ø Ò
˜S ← S
Ò
Ò
Ö ØÙÖÒ ˜S
⇒ ¾¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ˜S Ù ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× G = (V , E)º
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾

28. ÑÓ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾

29. ÓÑÔÐ Ü Ø Ð³ ÙÖ ×Ø ÕÙ
ËÙÖ Ð ÑÓ Ð Ê Åº
ÌÖÓÙÚ Ö Ð ×ÓÑÑ Ø Ö Ñ Ò ÑÙѸ
Ö¸
Ð
ÙÐ Ö Ð Ò× Ø ¸ Ø
Ö
ÓÑÑ Ò
Ö Ò× Ù×ÕÙ³ Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ô Ú
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ú O(n¾) ´Ô Ö Ü ÑÔÐ Ò ÙØ Ð × ÒØ Ð Ñ ØÖ
³ Ò
Ò
µ
◮ Ø ÑÔ× O((n + m) ÐÓ n) Ò ÙØ Ð × ÒØ ÙÒ Ø × ´ Ö Ö Ò Ö ÓÒØ Ð ×
Ð ×
× Ò Ù × ×ÓÒØ ×ÙÔ Ö ÙÖ × ÙÜ
Ð × × Ð׸
º Ð ÔÖ ÓÖ Ø µ
◮ Ø ÑÔ× O((n + m)) Ò Ñ ÒØ Ò ÒØ ÙÒ Ð ×Ø Ô Ö Ö ´
º ÔÓÐÝ
ÓÔ µ
Å ×
ØØ ÙÖ ×Ø ÕÙ ×Ø
Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð × Ð
ÓÑÑ Ø ÐÐ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹¿ºÀ ÙÖ ×Ø ÕÙ × ÕÙ ÒØ ÐÐ ¾

30. ÍÒ ÙÖ ×Ø ÕÙ
Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÐÐ Ð × Ð
ÆÓÙÚ ÐÐ ÙÖ ×Ø ÕÙ
◮ ÒÐ Ú Ö ØÓÙ× Ð × Ò Ù × Ö ÔÐÙ× Ô Ø Ø ÕÙ (½ + ǫ) Ó × Ð ÑÓÝ ÒÒ
× Ö × ´ Ú
ǫ ≥ ¼µ
◮ ÓÒ ÒÐ Ú ÓÒ
ÓÖ
Ñ ÒØ Ð × Ò Ù × Ö Ñ Ò Ñ Ð
ÕÙ ØÓÙÖ
ÅÓÝ ÒÒ × Ö × ººº
¯d = v∈V d(v)
|V |
= ¾
|E|
|V |
= ¾ρ
ººº ×Ø Ð ÙÜ Ó × Ð Ò× Ø ρ
¯d(G) = ¾ρ(G)
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹ º ÙÖ ×Ø ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ¿¼

31. Ð ÓÖ Ø Ñ ½ À ÙÖ ×Ø ÕÙ ÐÓÙØÓÒÒ ´Ô Ö ÐÐ Ð µ Ô Ö ÐÓ
× ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ
ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ˜S Ù ×ÓÙ×¹ Ö Ô Ð ÔÐÙ× Ò× º
Ø ÍÒ Ö Ô G = (V , E) Ø ǫ ¼
˜S ← V
S ← V
Û Ð S = ∅ Ó
A(S) ← {s ∈ S | S(s) ≤ ¾(½ + ǫ)ρ(S)}
S ← SA(S)
ρ(S) ρ( ˜S) Ø Ò
˜S ← S
Ò
Ò
Ö ØÙÖÒ ˜S
Ö ÔÔ Ð ¯d(G) = ¾ρ(G)
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹ º ÙÖ ×Ø ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ¿½

32. Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹ º ÙÖ ×Ø ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ¿¾

33. Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹ º ÙÖ ×Ø ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ¿¿

34. ÑÓ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹ º ÙÖ ×Ø ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ¿

35. È Ö ÓÖÑ Ò
г ÙÖ ×Ø ÕÙ
◮ ÓÒ ÔÖÓÙÚ Õ٠гÓÒ Ø O(½
ǫ ÐÓ n) Ø Ö Ø ÓÒ׺
ÉÙ ÐÕÙ × Þ Ò × ³ Ø Ö Ø ÓÒ× ÔÓÙÖ × Ö Ô × ½ Ñ ÐÐ Ö Ò Ù × ººº
◮ ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ³ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ (¾ + ǫ)¹ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ
ρ∗
≥ ρ(V ′
) ≥
ρ∗
¾ + ǫ
◮
ØØ ÙÖ ×Ø Õ٠׳ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÔÐÙ× ÙÖ× Ø Ô × Å ÔÊ Ù
´
º
ÔÓÐÝ
ÓÔ µ
⇒
º ÔÓÐÝ
ÓÔ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹ º ÙÖ ×Ø ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ¿

36. Ì ×Ø Ö Ð³ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ
´Ô Ø Ø×µ Ö Ô ×
ÕÙ Ð Ö
Ö
Ö Ò Æ Ð× Ò ¾º Ö Ô ×¹ º ÙÖ ×Ø ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ¿

37. ×ع
Ð Ñ Ñ Ö Ô
Ö Ô ÒØ ÕÙ ×ØÖÙ
ØÙÖ ÒØ ÕÙ
ººº
ÓÑÑ ÒØ ÔÙ ×¹ ѳ Ò Ô Ö×Ù Ö
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô × ¿

38. Á×ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ö Ô ×
◮ G½ = (V½, E½) Ø G¾ = (V¾, E¾) ÙÜ Ö Ô ×¸ Ú
n½ = |V½| Ø
m½ = |E½| Ø n¾ = |V¾| Ø m¾ = |E¾|
◮ ×ع
ÕÙ G½ = G¾
◮ ÙÒ
ÓÒ Ø ÓÒ Ò
×× Ö ×Ø ³ ÚÓ Ö n½ = n¾ = n Ø m½ = m¾ = m Ñ ×
Ò³ ×Ø Ò × Ö Ô × ÙÒ
ÓÒ Ø ÓÒ ×Ù × ÒØ
◮ Ò ÔÖ Ø ÕÙ ¸ ÓÒ Ø ÕÙ ØØ Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ð × Ò Ù × V½ Ø V¾ Ú
× ÒØ Ö× ÒØÖ ½ Ø n¸ Ø ÓÒ
Ö
ÙÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ
σ : [n] = {½, ..., n} → [n] Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ò Ù vi ∈ V½
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ù Ò Ù
vσ(i) ∈ V¾
◮ ÍÒ Ó × σ ØÖÓÙÚ ¸ ÓÒ Ö ÒÙÑ ÖÓØ Ð × Ò Ù × V¾ Ò × ÒØ i ← σ(i)
◮ ÆÓØ Ø ÓÒ ÕÙ Ò ÙÜ Ö Ô × ×ÓÒØ ×ÓÑÓÖÔ × ´
ÓÒ ÖÙ ÒØ×µ
G½
∼= G¾
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô × ¿

39. Á×ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ö Ô × Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ð
Á×ÓÑÓÖÔ ×Ñ
ÓÑÔ Ö Ö Ð ×ØÖÙ
ØÙÖ × Ö Ô × ´
ÓÒ ÖÙ Ò
µ
G½
∼= G¾ : ∃f : V½ → V¾, (v, v′
) ∈ V½ ⇔ (f (v), f (v′
)) ∈ V¾
f ÓÒ
Ø ÓÒ ×ÙÖ Ð × Ø ÕÙ ØØ ×
¸ ÒØ Ö׻РØØÖ ×
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô × ¿

40. 1
2
3
4
5
6
7
8
1 5
638
2 7 4
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô × ¼

41. ËÓÙ×¹ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ö Ô ×
G½ ×Ø ×ÓÙ×¹ ×ÓÑÓÖÔ G¾ × Ø × ÙÐ Ñ ÒØ × Ð Ü ×Ø G′
½ ⊆ G½ Ø Ð ÕÙ
G′
½
∼= G¾
⇒ Ö
ÓÒÒ ×× Ò
ÑÓØ × Ò× Ð × Ö Ô × ´Ô ØØ ÖÒ Ñ Ø
Ò µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹½ºËÓÙ×¹ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ ½

42. ÔÔÐ
Ø ÓÒ Ê
Ö
ÑÓØ × ×ØÖÙ
ØÙÖ ÙÜ ÒØ ÕÙ ×
◮ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ö Ô ØÖ × ØÙ Ò
Ñ ÔÙ × Ð × ÒÒ × ½ ¼ ººº
◮ ×ع
ÕÙ³ÙÒ ÑÓØ
Ñ ÕÙ × ØÖÓÙÚ Ö Ô ÖØÓÖ Ò× ÙÒ ×
ÓÒÒ ×
È Ö Ü ÑÔÐ ¸ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ ÑÓØ ÊÆ ´ × ÞÓØ × ¸ ¸ ¸ ͵ Ò× ×
ÖÙÒ× ³ ÊÆ ººº
◮ Ò
Ó Ö ÙÒ ÑÓÐ
ÙÐ Ô Ö ÙÒ Ö Ô
ÒÓÒ ÕÙ ´ÔÐÙ× ÙÖ× ×Ø Ò Ö ×
Ü ×Ø ÒØ
ÓÑÑ ËÅÁÄ Ë¸ ÁÒ Áµ
◮ ÔÙ × Ø ×Ø Ö Ð³ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ ×ÓÙ×¹ Ö Ô ´ Ö Ô Ø Ñ Ò Ò µ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹½ºËÓÙ×¹ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ ¾

43. ÓÑÔÐ Ü Ø Ô × Ò
ÓÖ Ö ×ÓÐÙ
Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ø ×Ø Ö Ð³ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ö Ô
◮ ÔÔ ÖØ ÒØ Ð
Ð ××
ÓÑÔÐ Ü Ø ÆÈ ´Ú Ö Ð Ò Ø ÑÔ× ÔÓÐÝÒÓÑ Ðµ
Ø ÒØ ÓÒÒ σ¸ ÓÒ Ú Ö ÕÙ σ(V½) = V¾ Ø σ(E½) = E¾
◮ ÔÔ ÖØ ÒØ Ð
Ð ×× È ´Ø ÑÔ× ÔÓÐÝÒÓÑ Ðµ ÔÓÙÖ
ÖØ Ò × Ñ ÐÐ ×
Ö Ô × Ð × Ö Ö ×¸ Ð × Ö Ô × ÔÐ Ò Ö ×¸ Ø
º
◮ ÙÒ
ÙÖ Ó× Ø Ò× Ð
× Ò Ö Ð
Ò× È ÓÙ Ò× Æȹ
ÓÑÔÐ Ø ÓÙ ÐÓÖ× Ò Ò× Ð³ÙÒ Ò Ò× Ð³ ÙØÖ
◮ Å ÐÐ ÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ´Ä٠׸ ½ ¿µ
¾
O(
√
n ÐÓ n)
ººº ÔÓÙÚ Þ¹ÚÓÙ× Ö Ñ ÙÜ ÓÙ ÐÓÖ× ÑÓÒØÖ Ö ÙÒ ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ
ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹¾º ÓÑÔÐ Ü Ø ¿

44. Ê Ñ ÖÕ٠гÓÖ Ò Ø ÙÖ Ò ÚÓ Ø Ô × ººº
Ð × Ö Ô × Ò ×ÓÒØ Ô × ×× Ò × Ò Ñ ÑÓ Ö ººº г Ð ÙÑ Ò ´·
ÖÚ Ù µ ×Ø
Ö Ñ ÖÕÙ Ð ÔÓÙÖ × ×
Ô
Ø × Ö
ÓÒÒ ×× Ò
ÑÓØ ×
Ö Ô ¸ ÙØÖ ×× Ò Ù Ö Ô ¸ · Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ×ÙÖ Ð × Ø ÕÙ ØØ ×
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹¾º ÓÑÔÐ Ü Ø

45. Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÔÓÙÖ Ð³ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ Ø ×Ø Ö ØÓÙØ
◮ I½ Ð Ñ ØÖ
Ò Ö ³ Ò
Ò
G½¸ Ø I¾ Ð Ñ ØÖ
³ Ò
Ò
G¾
´ ×Ô
Ñ ÑÓ Ö n¾µ
◮ ÔÓÙÖ ØÓÙØ × Ð × n! Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ× σ¸ ÓÒ Ø ×Ø × I½ = Iσ
¾ ´Ø ÑÔ×
ÕÙ Ö Ø ÕÙ µ
O(n¾
n!)
ÓÖÑÙÐ ËØ ÖÐ Ò n! ≃
√
¾πn n
e
n
½¼! = ¿, ¾ , ¼¼
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹¿º Ð ÓÖ Ø Ñ × ÒÙÑ Ö Ø ×

46. Ð ÓÖ Ø Ñ × ÒÙÑ Ö Ø × ÔÔ Ö Ñ ÒØ× ÔÖÓ Ö ×× ×
◮ ÓÒ Ù Ñ ÒØ Ø Ö Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÔÔ Ö Ñ ÒØ Ô ÖØ Ð × ×ÓÑÑ Ø× M
´Ñ Ø
Ò µº ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ö
ÙÖ× Ú ¸ ØÝÔ ÔØ Ö×Ø Ë Ö
´ ˵
◮ Ð × Ô Ö × ×ÓÑÑ Ø× ××Ó
× ×ÓÒØ
Ó × × ÓÒ Ö ×Ô
Ø Ö
ÖØ Ò ×
ÓÒ Ø ÓÒ× ´Ô Ö Ü ÑÔÐ ¸ ÚÓ Ö Ð Ñ Ñ Ö ¸ Ñ Ñ ×
ÞÓØ ¸ Ø
ºµ
◮ ÓÒ Ð Ñ Ò Ð ×
Ñ Ò× Ö
Ö
ÕÙ Ò³ ÓÙØ ×× ÒØ Ô × ÙÒ
ÔÔ Ö ÑÑ ÒØ
ÓÑÔÐ Ø × ×ÓÑÑ Ø× Ð ¸ ÔÖÙÒ Ò
◮ ÐÓÖ×ÕÙ³ÓÒ ÖÖ Ú ÙÒ ÑÔ ×× ¸ ÓÒ ×ÙÔÔÖ Ñ Ð ÖÒ Ö ÝÔÓØ × ÓÒ
Ø Ñ Ö
ÖÖ Ö
ØÖ
Ò
◮ г Ð ÓÖ Ø Ñ ×³ ÖÖ Ø ÐÓÖ×ÕÙ³ Ð ØÖÓÙÚ ÙÒ ×ÓÐÙØ ÓÒ ´ Ú
ÙÒ
ÖØ
Ø σ
³ ÔÔ Ö ÑÑ Òص ÕÙ ÔÖÓÙÚ Ð³ Ü ×Ø Ò
г ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ ÓÙ ÐÓÖ×ÕÙ
ØÓÙ× Ð × ÔÔ Ö ÑÑ ÒØ× ÔÓ×× Ð × ÓÒØ Ø Ø ×Ø × ÓÒ Ò ÖÙ
ØÙ Ù× º
Ò× Ð Ô Ö ×
׸ Ð × Ð ÓÖ Ø Ñ × ÒÙÑ Ö Ø × ×ÓÒØ ÜÔÓÒ ÒØ Ð×
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹¿º Ð ÓÖ Ø Ñ × ÒÙÑ Ö Ø ×

47. ÍÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö
ÙÖ× ÔÓÙÖ Ð Ø ×Ø ³ ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ
Ì ×Ø Á×ÓÑÓÖÔ ×Ñ (g, M, G, H)
ÓÖ ÐÐ hi ∈ Hv Ó
g ∈ M Ò hi ∈ M Ø Ò
M′ ← M ∪ (g, hi )
ËÓ Ø g′ ∈ G{gi | (gi , x) ∈ M}
M′′ = Ì ×Ø Á×ÓÑÓÖÔ ×Ñ (g′, M′, G, H)
|M′′| = |G| Ø Ò
Ö ØÙÖÒ M′′
Ò
Ò
Ö ØÙÖÒ ∅
Ò
ÇÒ ÔÔ ÐÐ
ØØ ÔÖÓ
ÙÖ Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ú
M = ∅ Ø g ∈ G
Ì ×Ø Á×ÓÑÓÖÔ ×Ñ (g, M, G, H)
ÓÑÔÐ Ü Ø O(dÑ Ü!n)
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹¿º Ð ÓÖ Ø Ñ × ÒÙÑ Ö Ø ×

48. È Ö ÐÐ Ð × Ø ÓÒ × Ð ÓÖ Ø Ñ × ÒÙÑ Ö Ø × ´ Ò ÅÈÁµ
◮ ×Ó Ø ÙÒ
ÐÙ×Ø Ö P = n ÔÖÓ
×× ÙÖ× ´Ô Ø Ø× Ö Ô × n ×ÓÑÑ Ø×µ
◮ Ô Ö ÐÐ Ð × Ø ÓÒ ØÖ Ú Ð Ò Ø Ð Ñ ÒØ ÔÓÙÖ Ð ×ÓÑÑ Ø v
(½)
½ ×Ø ÔÔ Ö ÐÐ Ù
×ÓÑÑ Ø v
(j)
¾ Ú
j ∈ {½, ..., P = n} ×ÙÖ Ð ÔÖÓ
×× ÙÖ Pj º ÇÒ Ú Ö
³ ÓÖ ÕÙ Ð × Ö ×
Ó Ò
ÒØ ººº
◮ Ð ØÖ Ú Ð ×ÙÖ
ÕÙ ÔÖÓ
×× ÙÖ ´
ÕÙ ÔÖÓ
××Ù×µ Ô Ò ÓÒ
Ð
×ØÖÙ
ØÙÖ × Ö Ô ×º Ä × ÔÖÓ
××Ù× Ò Ò ×× ÒØ Ô × Ò Ñ Ñ Ø ÑÔ׺
ÏÓÖ ÐÓ Ö ÒØ
◮
ÓÑÑ ÒØ ÕÙ Ð Ö Ö Ð
Ö ØÖ Ú Ð
⇒ ÙØ Ð × Ö ÙÒ Ö
Ø
ØÙÖ Ñ ØÖ »× ÖÚ Ø ÙÖ× Ú
×
ÓÑÑÙÒ
Ø ÓÒ×
ÒÓÒ¹ ÐÓÕÙ ÒØ × ´ÅÈÁ Á× Ò Ø ÅÈÁ ÁÖ
Úµ
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹ ºÔ Ö ÐÐ Ð × Ø ÓÒ Ò ÅÈÁ

49. Ö
Ø
ØÙÖ Ñ ØÖ »× ÖÚ Ø ÙÖ× Ø ÕÙ Ð Ö
Ö ×
ÕÙ Ð Ö
Ö × ÐÓ ¹ Ð Ò
Ò
Ö ØÖ Ú Ð ×ÙÖ
ÕÙ
ÔÖÓ
××Ù× × Ñ Ð Ð
ÍÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÐÙ× Ò Ö Ð ×ÙÖ Ð ×
ÐÙ×Ø Ö× ÓÖ ÓÒÒ Ò
Ñ ÒØ Ø
× ¸
Ò Ö ÙÒ Ö Ô Ô Ò Ò
´
ÓÑÑ Ð Å Ð ÔÓÙÖ Ð
ÓÑÔ Ð Ø ÓÒµ Ø
ÕÙ Ð Ö Ö Ð ×
Ö × ´ Ù
ÓÙÔ ÔÖÓ Ð Ñ × ³ÓÖ ÓÒÒ Ò
Ñ ÒØ ×ÓÒØ
Æȹ ÙÖ×µº
Ö Ò Æ Ð× Ò ¿º ×ÓÑÓÖÔ ×Ñ × Ö Ô ×¹ ºÔ Ö ÐÐ Ð × Ø ÓÒ Ò ÅÈÁ

50. Ê ×ÙÑ
Ø
Ø ÓÒ ×ÓÙ×¹ Ö Ô × Ò× ×
Ø
Ø ÓÒ ´×ÓÙ×µ¹ ×ÓÑÓÖÔ × × Ö Ô × ´ ÕÙ Ð Ö
Ö µ
Ð Ö Ð
Ô ØÖ ½½ Ù ÔÓÐÝ
ÓÔ

51. ÎÓ Ð
Å Ö
ØÓÙ×
ÔÓÙÖ
ØØ ÔÖ Ñ Ö Ø ÓÒ
³ÁÆ ¾
ÎÓÙ× Ò Ú Þ Ø Ð ×
Ô ÓÒÒ Ö×

52. ÌÓÙØ Ð³ ÕÙ Ô ×Ô Ö ÚÓ Ö
Ö Ù×× ÚÓÙ× Ò× Ò Ö ÙÒ
ÓÒ
ÒØÖ
◮ ··
◮
Ð
ÙÐ ÙØ Ô Ö ÓÖÑ Ò
×ÙÖ ÙÒ
ÐÙ×Ø Ö Ú
ÅÈÁ
◮ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ô Ö ÐÐ Ð ×ØÖ Ù
◮ ×
Ò
× ÓÒÒ ×
ÇÒ Ñ Ö Ø Ò ÚÓÙ× Ö ÚÓ Ö
Ò ¿