3. 3
PARATHĂNIE
Ky libĂ«r Ă«shtĂ« shkruar sipas planit dhe programit arsimor nga ïŹzika pĂ«r vitin e I pĂ«r
shkollën e mesme profesionale, që i përfshin drejtimet në vijim: shëndetësinë, bujqësinë-
veterinarinĂ«, shĂ«rbimet personale, kimike â teknologjike, pylltari-pĂ«rpunim i drurit, ndĂ«r-
tim-gjeodezi, graïŹke, elektroteknikĂ«n, makinerinĂ«, komunikacionin dhe profesionin e tek-
stilit dhe lëkurave.
PĂ«r vetĂ« faktin se libri i intereson programet arsimore nga ïŹzika pĂ«r vitin e I tĂ«
gjithĂ« drejtimeve, ky libĂ«r i ofron tĂ« gjitha temat nga ïŹzika pĂ«r arsim tĂ« mesĂ«m profesional.
Nëpërmjet temave të ofruara libri jep mundësi të zgjidhen përmbajtjet përkatëse të cilët
janĂ« tĂ« pĂ«rcaktuar nĂ« profesion konkret, ndĂ«rsa dituritĂ« tĂ« cilĂ«t duhet tâi ïŹtojnĂ« nxĂ«nĂ«sit tĂ«
jenë në funksion të profesionit. Për arsye të kësaj në këtë libër janë të përpunuara një numër
i madh disiplinash nĂ« ïŹzikĂ«., tĂ« grupuara nĂ« 14 tĂ«rĂ«si tematike: 1) Hyrje nĂ« ïŹzikĂ«, 2) Kine-
matika, 3) Dinamika, 4) Puna dhe energjia 5) Lëvizje duke u rrotulluar në trup të ngurtë,
6)Statika, 7) Mekanika e ïŹuidĂ«ve, 8) Fizika molekulare, 9) Termodinamika, 10) Oscilime
mekanike dhe valë, 11) Elektriciteti dhe magnetizmi, 12) Optika, 13) Fizika atomike, 14)
Fizika nukleare.
Ky libĂ«r ka dy qĂ«llime kryesore: tâi mundĂ«sojĂ« nxĂ«nĂ«sit paraqitje tĂ« rĂ«ndomtĂ« dhe
logjike pĂ«r principet kryesore nĂ« ïŹzikĂ« dhe nĂ«pĂ«rmjet shembujve interesant prej jetĂ«s reale
ta forcojë kuptimin e nxënësit për ato.
Për tu arritur këto qëllime, tërësitë tematike përmbajnë numër të caktuar shembujsh me
të cilët sqarohet lënda e ndërtimit dhe për secilën përmbajtje janë dhënë pyetje dhe detyra
për punë të pavarur. Detyrat kanë përgjigje ndërsa zgjidhjet janë të zgjedhura me qëllim
që nxënësi të udhëzohet në principin e zgjedhjes së problemeve të parashtruara. Janë bërë
përpjekje që niveli i detyrave të zgjedhura dhe shembujve të jetë adekuat me nxënësit me
profesionet e parapara.
Kjo u mundëson, nga njëra anë nxënësit pa vështirësi ta mposhtin materien ndërsa
nga ana tjetĂ«r tĂ« theksohet roli i ïŹzikĂ«s nĂ« disiplinat e tjera, siç janĂ« inxhinieria, kimia dhe
mjekĂ«sia. Gjithashtu nĂ« secilĂ«n pĂ«rmbajtje nocionet ïŹzike dhe ligjshmĂ«ritĂ« janĂ« shkruar me
shkronja dore, ndërsa para përfundimeve më kryesore qëndron fjala ta mbajmë në mend!
Për zotërim më të lehtë të lëndës së ndërtimit në fund të secilës temë ka rezyme të shkurtë
tĂ« ligjshmĂ«rive mĂ« tĂ« rĂ«ndĂ«sishme ïŹzike. PlotĂ«sisht me titullin: TĂ« mĂ«sojmĂ« mĂ« tepĂ«r, Ă«shtĂ«
propozuar faqe në internet në të cilën nxënësi mund të gjejë kuriozitete dhe stimulime
kompjuterike tĂ« ligjeve tĂ« ïŹzikĂ«s.
4. 4
Libri është i shkruar nga bashkëpunim i ngushtë i tre autoreve profesor universitar, prej
tĂ« cilĂ«ve dr. Hristina Spasevska Ă«shtĂ« autor i Hyrjes nĂ« ïŹzikĂ«, Dinamika, Puna dhe energjia,
Mekanika e ïŹuidĂ«ve dhe Fizika Molekulare; dr. Margarita Ginovska Ă«shtĂ« autore e Kine-
matikës; dr. Nevenka Andonovska është autor i Oscilimeve mekanike dhe valëve, Elektro-
statika dhe rryma e drejtë, Optika, Fizika atomike dhe nukleare.
Gjatë përgatitjes së librit është shfrytëzuar literaturë më bashkëkohore prej autorëve
maqedonas dhe të huaj, si dhe një numër të madh të internet faqeve. Gjithashtu, janë bërë
përpjekje që materia të jetë dhënë në mënyrë të qasur dhe bashkëkohore me shfrytëzim
të aparatit matematikor i aftësuar në nivelin e diturisë së nxënësve të vitit të parë. Sa këto
përpjekje janë të suksesshme do të tregojë përdorimi i librit.
Shkup, 2010 Autorët
6. 1.1. Fizika si shkencë natyrore.......................................................................................... 7
1.2. MadhĂ«sitĂ« dhe njĂ«sitĂ« ïŹzike....................................................................................... 8
1.3. Matja dhe gabime gjatë matjes.................................................................................. 10
Rezyme............................................................................................................................. 12
7. 7
Fizika është shkencë natyrore. Emri i saj
rrjedh prej fjalĂ«s greke ïŹzis qĂ« do tĂ« thotĂ«
natyrĂ«. Deri nĂ« mesin e shekullit XVI ïŹzika
bashkon më shumë shkenca. Si shkencë e
veçantĂ« ïŹllon tĂ« zhvillohet nĂ« kohĂ«n e ïŹzici-
entit dhe astronomit italian Galileo Galilejit
(Galileo Galilei, 1564-1642), i cili për herë
tĂ« parĂ« ïŹlloi tĂ« shfrytĂ«zojĂ« metoda shkencore
nĂ« hulumtimet ïŹzike. Ai dhe Isak Njutni
(Isaac Newton, 1643-1727) vlerësohen për
themeluesit e mekanikës klasike. Zhvillimi
i elektrodinamikës klasike është i lidhur me
emrin e Xhems Maksvelit (James Maxwell,
1831-1879) dhe zgjat deri nĂ« ïŹllim tĂ« shek-
ullit XX është periudhë e zhvillimit intensiv
tĂ« ïŹzikĂ«s, ndĂ«rsa si pasojĂ« e kĂ«saj zhvillohen
edhe të gjithë shkencat e tjera, që mundëson
zhvillim të teknikës.
NĂ« ïŹllim tĂ« shekullit XX ïŹllon tĂ« zhvil-
lohet ïŹzika moderne d.m.th. ïŹzika e mik-
rogrimcave (atome, molekula, jone), ose të
ashtuquajtura mekanikë e kuantit. Për arsye
të zhvillimit të shpejtë dhe lidhshmërisë
sĂ« ïŹzikĂ«s me shkencat e tjera, nĂ« shekul-
lin XX veçohen disiplina të reja shkencore:
bioïŹzika, kimia ïŹzike, gjeoïŹzika, astroïŹzika
etj.
Zhvillimi i ïŹzikĂ«s sĂ« gjysmĂ« pĂ«rcjellĂ«sve
në gjysmën e dytë të shekullit XX mundë-
soi zhvillim të rëndësishëm të elektronikës,
ndërsa me atë edhe informatika, kibernetika.
Gjithashtu nuk duhet që të harrohet zbulimi
i ïŹsionit, qĂ« paraqet njĂ« nga burimet krye-
sore energjetike dhe e zvogëlon krizën en-
ergjetike në botë.
Historikisht, deri nĂ« ndarjen e ïŹzikĂ«s nĂ«
disiplina të veçanta vjen paralelisht ne zbu-
limin e dukurive natyrore. Ende në shek-
ullin e XIX si disiplina të veçanta ndahen:
mekanika e trupave të ngurtë, lëngët dhe të
gaztë akustika, termodinamika, elektriciteti,
magnetizmi dhe optika. NĂ« ïŹllim tĂ« shekullit
XX zbulimet e reja e kushtëzojnë dhe duku-
rinë e disiplinave të reja shkencore siç janë
ïŹzika kuantike, atomike dhe nukleare dhe
ïŹzika e trupave tĂ« ngurtĂ«.
Secili zbulim nĂ« ïŹzikĂ« kontribuon pĂ«r
përkryerje dhe zhvillim i teknikës. Secili
zbulim i ri teknik mundëson zbatim të tij në
ïŹzikĂ« dhe zbulimet e reja ïŹzike. Gjithash-
tu, prej rëndësisë së veçantë të zhvillimit
tĂ« ïŹzikĂ«s Ă«shtĂ« lidhja e pandĂ«rprerĂ« ndĂ«r-
mjet saj dhe matematikës. Matjet, zgjidhja
e detyrave paraqitja graïŹke e dukurive dhe
proceseve nuk janë të mundshme pa zbatim
të matematikës. Për atë thuhet se matema-
tika Ă«shtĂ« gjuhĂ« e ïŹzikĂ«s.
Mbaje mend! DetyrĂ« e ïŹzikĂ«s Ă«shtĂ« ti stu-
diojë dukuritë natyrore dhe të përgjigjet në
pyetjet ku, kur dhe si këto dukuri ndodhin.
Fizika na sqaron se bota rreth nesh është
materiale, e ndërtuar nga materie dhe se
baza e secilës dukuri është lëvizja. Materia
paraqet realitet objektiv, ekziston e pavarur
nga njeriu i cili e percepton me shqisat e tij
dhe e studion. Ajo ekziston në forma më të
ndryshme, prej grimcave elementare, deri
1.1. FIZIKA SI SHKENCĂ NATYRORE
8. 8
;
në makro trupat. Secila lëndë që haset në
natyrĂ« quhet trup ïŹzik.
Materia prej tĂ« cilĂ«s pĂ«rbĂ«hen trupat ïŹzik
ose materia që është ruajtur në grimcat e tyre
(molekulat dhe atomet) quhet substancë. Të
gjithë trupat janë ndërtuar prej ndonjë sub-
stance: ujë, hekur, karbon, bakër, kalcium
etj.
Por substanca paraqitet edhe në formë
energjetike e njohur si fushĂ« ïŹzike, e cila
mund të jetë e graviditetit, nukleare, e dritës
dhe në të cilët luhen procese të cilat mani-
festohen me veprim të forcës. Domethënë,
mund të themi se veprimi reciprok ndërm-
jet trupave në natyrë zhvillohet nëpërmjet
fushĂ«s ïŹzike. PĂ«r shembull, veprimi reciprok
ndërmjet Tokës dhe Hënës zhvillohet nëpër-
mjet fushës së gravitetit; veprimi reciprok
ndërmjet bërthamës atomike dhe elektrone-
ve nëpërmjet fushës elektrostatike dhe ng-
jashëm.
E rëndësishme është të dihet se mate-
ria dhe lëvizja janë të pandara njëra prej
tjetrës. Materia është vazhdimisht lëvizje
d.m.th. nuk ka lëvizje pa materie dhe mate-
rie pa lëvizje. Ndryshimet e botës materiale
të cilët janë pasojë e lëvizjes të materieve
quhen dukuri natyrore.
Ato në natyrë janë shumë duke u falënde-
ruar shumë formave të lëvizjes së materies.
VarĂ«sisht nga lloji i lĂ«vizjes, ïŹzika ndahet
në mekanikë, ngrohtësi, optikë, elektricitet
dhe magnetizĂ«m, ïŹzikĂ« atomike dhe nuk-
leare, pĂ«r arsye tĂ« sĂ« cilĂ«s sot nuk ïŹitet pĂ«r
ïŹzikĂ«n si shkencĂ«, por pĂ«r shkencat ïŹzike.
Me zbulimet e tij ïŹzika mundĂ«son zhvil-
lim të shumë lëmive prej rëndësisë së gjerë
praktike. Arritjet kryesore nĂ« ïŹzikĂ« e kanĂ«
përshpejtuar edhe përparimin e teknikës. Por
edhe teknika i kthen ïŹzikĂ«s me makina tĂ«
përkryera dhe aparate të hyjë në fshehtësitë
e mikro botës dhe kozmosit.
PĂ«r atĂ« profesionistĂ« prej proïŹleve tĂ«
ndryshme duhet ta studiojnĂ« ïŹzikĂ«n deri nĂ«
atĂ« shkallĂ« tĂ« munden tâi zbatojnĂ« arritjet
e tyre në prodhim, veprimtari ekonomike,
teknologjitë e reja, mbrojtja e ambientit jetë-
sor, shkenca etj.
Pyetje dhe detyra
1. Cila Ă«shtĂ« detyra e ïŹzikĂ«s?
2. Ăka Ă«shtĂ« substanca, ndĂ«rsa çka Ă«shtĂ« fushĂ«
ïŹzike?
3. Në çka detyrohen dukuritë natyrore?
4. PĂ«rse duhet tĂ« studiohet ïŹzika?
1.2. MADHĂSITĂ DHE NJĂSITĂ FIZIKE
MĂ« parĂ« treguam se ïŹzika i studion dhe i
sqaron dukuritë natyrore. Gjatë asaj kryhen
vështrime, vendosje, hipoteza, eksperimente
dhe matje, prej çka kryhen përfundime dhe
vendosen ligjet ïŹzike.
9. 9
Secila dukuri në natyrë që mundet të regjis-
trohet mund tĂ« paraqitet me madhĂ«si ïŹzike.
Mbaje mend! MadhĂ«sitĂ« ïŹzike i karakter-
izojnĂ« dukuritĂ« ïŹzike ose pĂ«rbĂ«rĂ«s tĂ« pĂ«rcak-
tuar të materies. Lidhja ndërmjet madhësive
ïŹzike tĂ« cilĂ«t karakterizojnĂ« njĂ« dukuri ïŹzike
e jep ligji ïŹzik pĂ«r atĂ« dukuri.
Ligji ïŹzik mund tĂ« shĂ«nohet me (paraq-
itje) matematikore, me çka ïŹtohet baraz-
imi për atë ligj, ndërsa me atë edhe varësia
kuantitative ndĂ«rmjet madhĂ«sive ïŹzike.
Secila madhĂ«si ïŹzike mund tĂ« matet. TĂ«
matet njĂ« madhĂ«si ïŹzike domethĂ«nĂ« qĂ« ajo tĂ«
krahasohet me madhësinë e saj të së njëjtës
gjini e cila më parë është marrë për njësi
mase. MadhĂ«sia e matur ïŹzike X shprehet
me prodhimin e vlerës numerike n i dhe një-
sia e saj e masës x. Përkatësisht, nëse këtë e
tregojmĂ« me barazim, pĂ«rïŹtojmĂ«:
X = nx (1.1)
Kjo do tĂ« thotĂ« se secila madhĂ«si ïŹzike
do tĂ« jetĂ« e deïŹnuar nĂ«se pĂ«rballĂ« vlerĂ«s e
shprehur me numra qëndron edhe vlera e
njësisë. Për shembull: gjatësia prej 0,4 m,
kohë prej 10,2 s, masë prej 355 kg, rrymë
prej 2 A etj.
Duke u nisur prej nevojës për pajtim të
njësive matëse në botë, të XI konferenca
Gjenerale për masat dhe peshat, e mbajtur
në vitin 1960 në Paris, është pranuar Sistem
ndërkombëtar i (masës) njësive(Systeme
International dâUnites), i cili shkurtimisht
shĂ«nohet si SI-sistem. Me atĂ« deïŹnohen
shtatë kryesore (tabela 1) dhe dy njësi matëse
plotësuese. Këto quhen njësi të mhjerra.
T a b e l a 1
Njësitë kryesorenë sistemin
Ndërkombëtar të njësive
(SI)
MadhĂ«si ïŹzike
Njësia e
masës
Shenja
Gjatësia metri m
Masa kilogrami kg
Koha sekonda s
Fuqia e rrymës elektrike amperi A
Temperatura termodinamike kelvini K
Fuqia e rrymës kandela cd
Sasia e substancës moli
mol
Njësi plotësuese janë radijane (shen-
ja rad) për kënd të rrafshët dhe steradijan
(shenja sr) për kënd hapësire.
Kur zgjidhen detyra, të gjitha njësitë
matëse duhet të jenë në SI-sistemin. Shumë
shpesh nga shkaqe praktike, për tu lehtësuar
llogaritjet gjatë zgjidhjes së problemeve,
nevojitet vlera e madhĂ«sisĂ« ïŹzike tĂ« shprehet
në njësi të masës më të vogël ose më të mad-
he. Për shënim të shkurtë të njësive matëse
më të vogla dhe më të mëdha shfrytëzohen
preïŹkset tĂ« dhĂ«na nĂ« tabelĂ«n 2.
10. 10
;
T a b e l a 2
PreïŹkse tĂ« njĂ«sive matĂ«se
PreïŹksi Shenja Vlera
eksa E 1018
peta P 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
kile k 103
hekto h 102
deka da 101
deci d 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
mikro Ό 10-6
nano n 10-9
piko p 10-12
femto f 10-15
ato a 10-18
Shembulli 1. Një platformë metali ka
masë 1,2 Gkg. Sa arrin masa e platformës
në kilogramë?
Zgjidhje. Nga tabela 2 mund të shohim
se preïŹksi G thekson vlerĂ«n 109. Sipas asaj
masa e platformës arrin 1,2·109
kg.
Shembulli 2. Një automobil lëviz me
shpejtësi 72 km/h. Sa arrin shpejtësia e au-
tomobilit e shprehur në m/s.
Zgjidhje. Për ta shprehur shpejtësinë e
automobilit nëpërmjet njësive të madhësive
kryesore ïŹzike pĂ«r rrugĂ« dhe kohĂ«, nevojitet
kilometrat të shprehen në metra, ndërsa orët
në sekonda, këtë mundet ta shënojmë me
barazimin:
m/s20
s3600
m10
72
h
km
72
3
v .
Pyetje dhe detyra
1. Ăka karakterizojnĂ« madhĂ«sitĂ« ïŹzike?
2. Cili sistem i masave është pranuar në përgjithësi
në botë?
3. Sa madhĂ«si kryesore ïŹzike ka nĂ« SI-sistemin dhe
cilët janë ato?
4. Grimcë prej poleni me radius 2 mm lëviz në
ajër. Sa arrin diametri i kësaj grimce në metra?
[përgjigje 4·10-3
m.]
1.3. MATJET DHE GABIMET GJATĂ MATJES
Kur dukuritĂ« ïŹzike nĂ« natyrĂ« regjistrohen
ose përsëri kur eksperimentohet për tu treguar
ose dĂ«shmuar ligjet ïŹzike, bĂ«hen matje tĂ«
madhĂ«sive ïŹzike. Tani mĂ« treguam se qĂ« tĂ«
matet njĂ« madhĂ«si ïŹzike do tĂ« thotĂ« me atĂ« tĂ«
krahasohet madhĂ«si ïŹzike e njĂ« gjinie e cila
më parë është marrë për njësi mase.
Me gabim gjatë matjes kuptohet dallimi
ndërmjet vlerës së matur dhe të vërtetë të
madhĂ«sisĂ« ïŹzike. Matja do tĂ« jetĂ« aq e saktĂ«
sa është gabimi më i vogël dhe anasjelltas.
11. 11
Asnjë matje nuk mundet të jetë e kryer ab-
solutisht saktë. Gabimet e bëra gjatë matjes
mund të jenë sistematike dhe të rastësishme.
Gabimet sistematike janë prej karakterit
objektiv dhe eksperimentatori nuk mund tâi
mënjanojë. Këto paraqiten për arsye të mos
përkryerjes së instrumenteve matëse, si dhe
prej metodave të matjes, dhe e ndërrojnë
vlerĂ«n e madhĂ«sisĂ« ïŹzike prej vlerĂ«s sĂ« vĂ«r-
tetë vetëm në një drejtim, d.m.th. ose vetëm
e zmadhojnë ose vetëm e zvogëlojnë. Për
atë gabimet sistematike vetëm vlerësohen
dhe nuk i marrim parasysh gjatë shprehjes
tĂ« vlerĂ«s tĂ« madhĂ«sive ïŹzike.
Gabimet e rastësishme janë më shumë
nga karakteri subjektiv dhe paraqiten nga
faji i eksperimentatorit për arsye të mos
përkryerjes së organeve shqisore (të parit, të
dëgjuarit), si dhe për arsye të punës eksperi-
mentuese. Gjithashtu, gabimet e rastësishme
mund të paraqiten edhe për arsye të ndikimit
të jashtëm (për shembull ndryshimi i temper-
aturës së jashtme, të shtypjes dhe tjetra lidhur
me instrumentet në procesin e matjes). Të
dëbuarit që paraqiten gjatë matjes së një faze
tĂ« njĂ«jtĂ« ïŹzike gjithashtu mund tĂ« jenĂ« pozi-
tive ose negative, d.m.th. vlerat e matura të
jenë më të mëdha ose më të vogla nga e vër-
teta. Vlera të ndryshme të madhësisë së matur
gjenden në një interval të caktuar, duke grum-
bulluar rreth vlerës së vërtetë. Këto gabime
mund të jenë të shënuara në minimum, por
nuk mund të jenë krejtësisht të larguara. Për
atë parashtrohet pyetja si të gjendet vlera më
e besueshme e lartësisë së matur dhe sa është
madhësia e gabimit të bërë.
Gabimet e rastësishme mund të vlerëso-
hen, meqenëse ato u binden ligjeve të
matematikore statistikore dhe besueshmëri,
d.m.th. besueshmĂ«ria gjatĂ« matjes tĂ« ïŹtohen
vlera më të mëdha ose më të vogla prej të
vërtetës është e njëjtë. Sipas kësaj, si vlerë
më e besuar e lartësisë së matur X paraqitet
vlera e mesme aritmetike Xsr
nga rezultatet e
ïŹtuara gjatĂ« matjes.
Xsr
=
n
XXXX nï«ï«ï«ï« .......321
. (1.2)
Dallimi ndërmjet vlerës së mesme arit-
metike Xsr
dhe secila matje ndaras, për sh-
embull Xn
, ndërrim me parashenjë pozitive,
quhet gabim absolut ÎXn
. Për secilën matje
veçmas kjo mund të paraqitet me barazimin:
ÎXn
= Xsr
â Xn
. (1.3)
Vlera e mesme e gabimit absolut ïŹtohet
kur përmbledhja e gabimeve absolute të
matjeve individuale ÎX ndahet me numrin e
matjeve n d.m.th.
ÎXn
=
n
XXXX nïï«ï«ïï«ïï«ï .......321
.(1.4)
Vlera e vërtetë X e madhësisë së matur
ïŹzike shprehet nĂ«pĂ«rmjet vlerĂ«s sĂ« saj tĂ«
mesme Xsr
dhe vlerës së mesme të gabimit
absolut ÎXsr
në mënyrën në vijim:
X = Xsr
± ÎXsr
. (1.5)
Raporti ndërmjet gabimit të mesëm abso-
lut ÎXsr
dhe vlerës së mesme të madhësisë së
matur ïŹzike Xmes
jep gabim relativ Δ, e cila
shprehet në përqindje:
Δ = %100ï
ï sr
X
XÎXsr
Xsr
. (1.6)
12. 12
; Pyetje dhe detyra
1. Përse paraqiten gabime gjatë matjeve?
2. Si mund të jenë gabimet?
3. Si deïŹnohet gabimi absolut, ndĂ«rsa si gabimi rela-
tiv?
4. Si paraqitet vlera e vërtetë prej një madhësie të
madhe ïŹzike?
REZYME
DetyrĂ« e ïŹzikĂ«s Ă«shtĂ« ti studiojĂ« dukuritĂ«
natyrore dhe tu përgjigjet pyetjeve ku, kur
dhe si që ndodhin.
Fizika na sqaron se bota rreth nesh është
materiale, e ndërtuar nga materia dhe se
baza e secilës dukuri është lëvizja. Materia
paraqet realitet objektiv; ekziston e pavarur
nga njeriu i cili e percepton me shqisat e tij
dhe e studion.
Materia prej tĂ« cilĂ«s trupat ïŹzik ose ma-
teria e cila është ruajtur në grimcat e tyre
(molekulat dhe atomet) quhet substancë.
Materia paraqitet edhe në formë energje-
tike e njohur si fushĂ« ïŹzike.
Ndryshimet e botës materiale të cilët janë
pasojë prej lëvizjes së materies quhen du-
kuri natyrore.
MadhĂ«sitĂ« ïŹzike i karakterizojnĂ« duku-
ritĂ« ïŹzike ose pĂ«rbĂ«rĂ«s tĂ« pĂ«rcaktuar tĂ« ma-
teries.
MadhĂ«sia e matur ïŹzike X shprehet me
prodhimin prej vlerës numerike n dhe një-
sisë saj matëse x. Nëse atë e tregojmë me
barazimin, ïŹtojmĂ«:
X= nx.
Në SI-sistemin ka shtatë njësi matëse
kryesore dhe dy plotësuese. Të gjithë njësitë
të tjera matëse janë të kryera prej njësive
kryesoreve dhe prej njësive plotësuese.
Me gabim gjatë matjes nënkuptohet dal-
limi ndërmjet vlerës së matur dhe të vërtetë
e madhĂ«sisĂ« ïŹzike. Gabimet e bĂ«ra gjatĂ«
matjes mund të jenë sistemore dhe të rastë-
sishme.
Vlera më e besuar e madhësisë së matur
X është vlera e mesme aritmetike Xmes
nga
rezultatet e ïŹtuara gjatĂ« matjes:
Xmes
=
n
XXXX nï«ï«ï«ï« .......321
.
Vlera e vërtetë X e madhësisë së matur
ïŹzike shprehet vlerĂ«s sĂ« saj tĂ« mesme Xmes
dhe vlerës së mesme të gabimit absolut
ÎXmes
në mënyrën në vijim:
X=Xmes
± ÎXmes
Raporti ndĂ«rmjet gabimit absolut ÎXmes
dhe vlera e mesme e madhësisë së matur
ïŹzike Xmes
e jep gabimin relativ Δ.
Δ = %100ï
ï
sr
sr
X
X
.
Të mësojmë më tepër: http://www.Hazelwood.k12.mo.us/~grichert/sciweb/measure.htm
mes
mes
14. 14
2.1. Madhësitë e vektorëve dhe operacionet kryesore me ato.......................................... 15
2.2. LĂ«vizja mekanike...................................................................................................... 19
2.3. Lëvizje drejtvizore e njëtrajtshme............................................................................. 22
2.4. Lëvizje e nxituar e njëtrajtshme................................................................................ 25
2.5. Rreze veprimi............................................................................................................ 30
2.6. Lëvizja e vijave të lakuara......................................................................................... 36
Rezyme............................................................................................................................. 40
15. 15
2.1. MADHĂSITĂ VEKTORIALE DHE OPERACIONET
KRYESORE ME ATO
Shumica e madhĂ«sive ïŹzike nĂ« mekanikĂ«
mund të paraqiten matematikisht me ndihmë
të shkallëve dhe vektorëve. Skelari paraqet
madhësi që karakterizohet vetëm me vlerë
numerike. Skalari mund të jetë numër pozi-
tiv ose negativ. Vektori paraqet madhësi që
është përcaktuar me vlerë numerike, drejtim
dhe kahje.
Neve të gjithëve na janë të njohura oper-
acionet matematikore për mbledhje, zbritje,
shumëzim dhe pjesëtim. Këto operacione
shfrytëzohen gjatë kombinimit të dy ose
më shumë madhësive të shkallëve siç janë:
masa, koha ose vëllimi.
Mbledhja e madhësive së vektorëve
kërkon mënyra të veçanta të punës, meqe-
nëse gjatë mbledhjes duhet të merren para-
sysh madhësitë dhe drejtimet e tyre. Mad-
hësitë e vektorëve të cilët rëndom shfrytëzo-
hen në mekanikë janë: zhvendosje, forcë,
shpejtësi, përshpejtim, moment i forcës,
moment i rrotullimit, vektor i shpejtësisë së
këndit dhe moment i këndit.
Operacionet kryesore me vektorët
Mbledhja e vektorëve. Veprimi si mblid-
hen vektorët është treguar nëpërmjet shem-
bullit të anijes që lëviz nëpër liqen. Të supo-
zojmĂ« se anija ïŹllon prej pikĂ«s A, siç Ă«shtĂ«
vizatuar nĂ« ïŹg. 2.1. lundron kah veriu dhe
kalon distancë prej 6 km deri në pikën B,
ku e ndërron kursin dhe lundron kah lindja
në distancë prej 4 km deri në pikën C. Edhe
pse anija ka kaluar gjithsejtë distancë prej
6+4=10 km, dukshëm është se distanca prej
fundit deri nĂ« pozitĂ«n ïŹllestare nuk ïŹtohet
me këtë shumë aritmetike
V
P L
J
Fig. 2.1. Diagrami i mbledhjes së vektorëve
Për tu gjetur zhvendosje e vërtetë e anijes
nĂ« raport me pikĂ«n ïŹllestare duhet tĂ« viza-
tohet diagrami i treguar nĂ« ïŹgurĂ«n 2.1 me
shfrytëzim të përpjesëtimit të caktuar. Me
laps dhe vizore (shkallë centimetrash) viza-
tohet vija vertikale AB e gjatë 6 cm e cila e
thekson zhvendosjen ka=h jugu për 6 km.
Pastaj prej pikës N në të djathtë vizatohet vija
BC e gjatë 4 cm për ta treguar zhvendosjen
kah lindja për 4 km. Me lidhjen e pikave A
dhe C formohet trekëndësh kënddrejtë. Në
fund matet hipotenuza R e atij trekëndëshi,
d.m.th. distanca prej pikës A deri te C e cila
arrin 7,2 cm, që e shfaq zhvendosjen rezul-
tante.
16. 16
Kjo mundet të shënohet matematikisht në
formë të vektorit:
baR ï«ïœ (2.1)
Me ndihmë të këndmatësit matet këndi te
kurorat o A e cila arrin 33,7Âș. DomethĂ«nĂ«
drejtimi i vektorit rezultant R Ă«shtĂ« 33,7Âș
në raport me vektorin a .
E zakonshme është që diagramet e ve-
ktorëve të gjithë vektorët të paraqiten me
shigjeta, gjatë së cilës secila shigjetë është
vizatuar në drejtim të dhënë dhe me drejtësi
të caktuar. Me pak praktikë në vizatim do
të shihet se, pa dallim të asaj në çfarë për-
pjesëtimi shfrytëzohet për tu bërë diagrami,
rezultati duhet të jetë me madhësi të njëjtë
dhe drejtim. Gjithashtu sa më me kujdes
është vizatuar diagrami aq më i saktë do të
jetë vektori i matur rezultant.
Për tu vlerësuar madhësia e rezultantes
R nĂ« ïŹgurĂ«n 2.1, shfrytĂ«zohen teorema e
Pitagorës prej gjeometrisë, sipas së cilës
për secilën trekëndësh kënddrejtë katrori i
hipotenuzës është i barabartë me shumën e
katrorëve mbi dy anë të tjera.
R2
= a2
+ b2
. (2.2)
Me ndĂ«rrimin e vlerave pĂ«r a dhe b ïŹto-
het:
R2
= 62
+ 42
= 52 (2.3)
Madhësia e rezultantes arrin R = 7,21 km.
Mbledhja e vektorëve sipas metodës së
paralelogramit. Ekzistojnë dy metoda të
përgjithshme të pranuara të mbledhjes së
vektorëve: metoda e trekëndëshit, e cila
ishte e shënuar më lartë dhe e treguar në
ïŹgurĂ«n 2.1, dhe metodĂ« e paralelogramit, e
cila është e shënuar në poshtë. Për ta sqa-
ruar këtë metodë do të shikojmë dy vektorë
me madhësi b= 10 km dhe a= 5 km, të cilët
ndĂ«rmjet veti zĂ«nĂ« kĂ«nd prej 45ĐŸ
.
a)
b)b)
c)
Fig. 2.2. Diagrami i mbledhjes së vektorëve sipas
metodës së paralelogramit.
Siç Ă«shtĂ« treguar nĂ« ïŹgurĂ«n 2.2 a, ïŹl-
limisht vizatohen vektorĂ«t prej ïŹllimit tĂ«
njëjtë A. Pastaj prej pikës D vizatohet vijë
e ndërprerë paralele me vektorin b , ndërsa
deri te pika B vijë e ndërprerë paralele me
vektorin a , sikurse nĂ« diagramin nĂ« ïŹgurĂ«n
2.2 b. Në prerjen e këtyre dy vijave të ndër-
prera, në pikën C, tërhiqet diagonalja AC
dhe shënohet me shigjetë si rezultante R
(ïŹg. 2.2 b), qĂ« nĂ« kĂ«tĂ« rast ka vlerĂ« 14 km.
R
R
a
R
a
b
17. 17
Edhe të dy metodat, mbledhje të vek-
torëve sipas metodës së trekëndëshit dhe
sipas metodës së paralelogramit, pa dallim
të përpjesëtimit çojnë në rezultat të n njëjtë
numerik.
Zbritja e vektorëve. Dallimi ndërmjet dy
vektorëve a dhe b mund të tregohet si:
)( babaR ïï«ïœïïœ . (2.4)
Ky shumim vektorĂ«sh graïŹkisht Ă«shtĂ«
treguar nĂ« ïŹg. 2.3. DomethĂ«nĂ«, marrja e dy
vektorĂ«ve deïŹnohet si rast special i mbled-
hjes së vektorëve, ashtu që rregullat për
mbledhje të vektorëve mund të zbatohen
edhe gjatë marrjes së vektorëve.
b)
c)
a)
Fig. 2.3. Zbritja e vektorëve
GraïŹkisht marrja e vektorĂ«ve kryhet ash-
tu qĂ« ïŹllimi i vektorit (-b ) vendoset nĂ« ïŹl-
lim të vektorit a , ndërsa pastaj mblidhen me
zbatim tĂ« metodĂ«s sĂ« paralelogramit (ïŹg. 2.2
b).
Metodë tjetër e marrjes së dy vektorëve
(-b ) me ïŹllim tĂ« fundit tĂ« vektorit a , ndĂ«rsa
pastaj thjeshtë kryhet operacioni i mbled-
hjes sipas rregullĂ«s e trekĂ«ndĂ«shit (ïŹg. 2.2
c). Drejtimi i vektorit rezultant gjithmonë do
të jetë në drejtim të vektorit më të madh.
Shumëzimi i vektorit me skalar. Prod-
himi i vektorit b dhe skalar x deïŹnohen si
vektor që ka madhësi | xb |.
Drejtim të prodhimit xb është e njëjtë me
drejtimin e vektorit b derisa skalari x është
pozitiv. Drejtimi i xb është i kundërt me
drejtimin e vektorin b derisa skalari x ka
vlerĂ« negative. Tregim graïŹk i shumĂ«zimit
tĂ« vektorit me skalar Ă«shtĂ« dhĂ«nĂ« nĂ« ïŹgurĂ«n
2.4.
Fig. 2.4. Shumëzimi i vektorit me skalar
Shkoqitja e vektorit të komponentëve.
Secili vektor mund të paraqitet nëpërmjet
projektimeve të tij në raport me procesin e
dhënë me zbatimin e metodës së shkoqitjes
së komponentëve. Për tu zbatuar kjo metodë
në rast konkret, e patjetërsueshme është të
jetë i njohur këndi të cilën e zë vektori në ra-
a b
b
b
b
b
a
a
b
b
b
b
18. 18
port me drejtimin e dhënë. Si ilustrim shqyr-
tohet vektor i një force të njohur F , e cila
pĂ«rfshin kĂ«nd Ξ me boshtin x (ïŹg. 2.5).
Fig. 2.5. Zbërthimi i vektorit më komponentë
Nga pika A vizatohen vija normale në
boshtet x dhe y, gjatĂ« sĂ« cilĂ«s ïŹtohen kompo-
nentët e forcës xF dhe yF , pasi me mbled-
hjen e tyre vektoriale ïŹtohet forca F si re-
zultante. Trekëndëshat OAB dhe OAC, janë
faqe Fx
dhe Fy
normal njëra me tjetrën janë
trekëndëshat kënddrejtë ekuivalent d.m.th.
ABFy dhe ACFx . Nga trigonometria
vijojnë barazimet:
ï±cosïœ
F
Fx
(2.5)
ï±sinïœ
F
Fy
(2.6)
ï±tg
F
Fy
ïœ tg (2.7)
Rëndom janë të njohur madhësia e forcës
F dhe këndi Ξ, por për atë prej dy barazime-
ve të para më shpesh përcaktohen kompo-
nenti me forcën, të cilët mund të shënohen
me barazimet:
Fx
=F cos Ξ, (2.8)
Fy
=F sin Ξ. (2.9)
Shembulli 1. Forcë prej 250 N vepron
nĂ« dorezĂ« prej kositĂ«se me masĂ« 80 kg (ïŹg.
2.6). TĂ« llogaritet: (a) komponent horizon-
tal dhe vertikal të kësaj force nëse dorëza
pĂ«rfshin kĂ«nd prej 40Âș me horizontalen; (b)
forca që vepron nëpër cilindrin e tokës.
Fig. 2.6. Zbërthimi i forcës në dorëzën e kositëses
Zgjidhje. Zgjidhja graïŹke nĂ«n (a) Ă«shtĂ«
treguar nĂ« diagramin nĂ« ïŹgurĂ«n 2.6. mad-
hësitë e të dy komponentëve Fx
dhe Fy
llog-
ariten me ndërrim direkt në barazimet (2.8)
dhe (2.9) për komponentët e forcave:
Fx
= 250 N cos 40°
Fy
=250 N sin 40°.
Nga llogaritja ïŹtohet:
Fx
= 250 N · 0,766 =191,5 N
Fy
= 250N · 0,6428 = 160,7N.
F
F F
19. 19
F
FF
F
;
Forca Fx
= 191 N është komponentë hori-
zontale që e lëviz cilindrin. Komponenti
vertikal Fy
= 160, 7 N, e cila vepron drejt
teposhtĂ«, duhet tâi shtohet peshĂ«s sĂ« cilindrit
për tu gjetur forca e përgjithshme me të cilin
cilindri shtyp në tokë. Kjo arrin:
F = 80 · 9,81 +160,7 = 945 N.
*Shembulli 2. Barka
Problem që paraqet gjëegjëzë për shu-
micën e njerëzve, veçanërisht për ata që më
pak ose më shumë janë të lidhur me barkat,
është notimi me ndihmë të ajrit. Kjo dukuri,
e njohur si âlundrimâ, Ă«shtĂ« edhe njĂ« shem-
bull për shkoqitje të forcës të komponentëve
reciprok normal.
Siç Ă«shtĂ« treguar nĂ« ïŹgurĂ« 2,7 ajri fryn
prej lindjes, ndërsa barka është drejtuar
nga verilindje kur barka është e vendosur
në mënyrë të rregullt era që fryn në copën
e barkës dëbohet nga jashtë dhe në atë
mënyrë krijohet forca F e cila vepron nor-
mal në sipërfaqen e barkës. Me shkoqitjen e
kësaj force në dy komponent reciprok nor-
mal, njëra paralele, ndërsa tjetra normale me
urën e barkës, mund të përcaktohet B e cila
e lëviz anijen.
Velat
ura
ajri
Fig. 2.7. Barkë që lundron nga ana e kundërt e erës.
Shembull për zberthimin e forcës F të dy kompo-
nentëve reciproke normale P dhe B .
Komponenti tjetër P , e cila është nor-
male me drejtimin e lëvizjes të barkës, nuk
është e nevojshme gjatë lëvizjes, meqenëse
përpiqet ta prijë barkën dhe ta vendosë prej
baraspeshës.
Lëvizje më e shpejtë me ajër arrihet kur
ajri dhe ura zĂ«nĂ« kĂ«nd prej 45ĐŸ dhe barkat
vendosen ashtu timoni të jetë paralel me urën.
Pyetje dhe detyra
1. Si deïŹnohen madhĂ«sitĂ« shkallare dhe si ato tĂ« ve-
ktorëve?
2. Cilët metoda shfrytëzohen për mbledhjen e vek-
torëve?
3. Si mund të shkoqitet një vektor në komponentë?
2.2. LĂVIZJA MEKANIKE
PĂ«r tu deïŹnuar lĂ«vizja mekanike, shpesh
herë duhet të shqyrtohet sistem prej trupave
material ose lëndë të cilët lëvizje i studio-
jmë. Ky sistem prej trupash në lëvizje quhet
sistem mekanik. Nëse trupat në sistemin
mekanik veprojnë njëri me tjetrin, ndërsa
nuk ekziston veprim prej jashtë, themi se
sistemi mekanik është i izoluar. Shpeshherë
sistemi mekanik mund të përbëhet vetëm
prej një trupi që lëviz.
20. 20
Trup i palëvizshëm në raport me të cilët
shqyrtohet lëvizja në trup tjetër quhet trup
referent. Sipas marrëveshjes trupi referent
merret si trup absolut dhe i palëvizshëm. Me
trup referent lidhet sistem kordinant, i quaj-
tur sistem referent, i cili shërben ta shënojmë
lëvizjen e trupave. Sistemi referent mund
të zgjidhet arbitrarisht: heliocentrik (lidhur
për Dielli), egocentrik (i lidhur për Tokën)
laboratori (lidhur për laboratorin). Zgjidhja
e sistemit referent duhet të jetë i tillë ashtu
që lëvizja e trupave në raport me atë sistem
do të përshkruhet në mënyrë të rëndomtë.
Gjendja e sistemit mekanik përcaktohet
prej pozitës së tij dhe shpejtësisë së tij.
Domethënë, detyra kryesore e mekanikës
klasike është me sa vijon: nëse i dimë gjend-
jen e sistemit mekanik nĂ« momentin ïŹllestar
dhe ligjet të cilët i përshkruajnë lëvizjet e
atij sistemi, të përcaktohet gjendja e sistemit
në secilin moment të ardhshëm të kohës.
Ekzistojnë dy lloje lëvizjesh mekanike:
- translatore â paraqet zhvendosje para-
lele në secilën pikë të trupit ashtu që të gjitha
pikat e saj lëvizin në një mënyrë të njëjtë,
- rrotulluese (rotacionit) â kur tĂ« gjitha
pikat e trupit përshkruajnë rrathë të cilët sh-
trihen në rrafshe paralele. Qendrat e atyre
rrathëve shtrihen në një bosht të drejtë të
quajtur rotacion.
Pika materiale. Kjo është trupi të cilët
dimensione dhe forma janë të vegjël në ra-
port me dimensionet e hapësirës në të cilën
kryhet lëvizja. Pika materiale në natyrë
ekziston, që do të thotë se paraqet nocion të
supozuar, d.m.th. të idealizuar, i cili mundë-
son zgjidhje më të rëndomtë të shumë prob-
lemeve ïŹzike nĂ« mekanikĂ«.
Pozita e secilës pike materiale M në hapë-
sirë mund të përcaktohet me vektorin e poz-
itës në raport me pikën e zgjedhur referente
tĂ« quajtur radius â vektor r . Radius vektori
r paraqet drejtim tĂ« prerĂ« qĂ« i lidh ïŹllimin
referencën O me pozitën e pikës materiale
nĂ« moment tĂ« dhĂ«nĂ« prej kohĂ«s (ïŹg. 2.8)
Fig. 2.8. Përcaktimi i pozitës së pikës materiale M
Pozita e pikës materiale mund të paraq-
itet edhe në raport me sistem kordinant
drejtkëndësh i përcaktuar me kordinantet:
x - apscisa; y - ordinata, z - aplikata, d.m.th.
M(x, y, z). Fillimi kordinantëve zgjidhet ar-
bitrarisht, varësisht prej kushteve të detyrës.
NĂ«se janĂ« dhĂ«nĂ« radius â vektori ose
koordinantet e pikës materiale në moment të
dhënë prej kohës, atëherë thuhet se pozita
e pikës materiale është plotësisht e përcak-
tuar.
21. 21
;
Për tu përshkruar lëvizja mekanike e
njĂ« trupi, duhet tĂ« deïŹnohen karakteristikat
kryesore të asaj lëvizje. Për atë qëllim janë
vënë nocionet traektoria, rruga dhe zhven-
dosja.
Traektoria është vijë e imagjinuar që
pikën materiale e përshkruan në hapësirën
gjatë lëvizjes së tij. Varësisht prej formës së
traektorisë lëvizja mund të jetë drejtvizore
ose vijave të lakuara.
Ta shqyrtojmë lëvizjen e një pike mate-
riale sipas traektorisë së caktuar, prej pozitës
M1
prej pozitës M2
(ïŹg. 2.9).
Fig. 2.9. Zhvendosje Îr dhe rrugĂ« s si madhĂ«si
skalare
Distanca ndërmjet pikave M1
dhe M2
e
matur sipas traektores quhet rrugë s që e ka
kaluar pikën materiale.
Mbaje mend: Gjatësia e traektores ndërm-
jet dy pikave që shtrihen në traektoren quhet
rrugë e kaluar. Rruga është madhësi skalare.
Për të qemë lëvizja në pikën materiale
tërësisht e përshkruar, duhet të jetë e njohur
traektoria e lëvizjes dhe funksioni i rrugës,
d.m.th. varësia e rrugës nga koha s = s(t).
Pozita e pikës materiale në pikat M1 dhe
M2 është përcaktuar me radius-vektorët 1r
dhe 2r . Ndryshimi i pozitës së pikës mate-
riale prej M1
deri M2
do të jepet me dallimin
e këtyre radius-vektorë dhe do ta përcaktojë
vektorin e zhvendosjes:
Îr = 1r - 2r .
Domethënë, zhvendosja është madhësi
vektoriale. Kjo deïŹnohet si dallim i radius-
vektorëve që përcaktojnë pozitën e pikës
materiale në secilin moment prej kohës.
Në rast më të përgjithshëm të lëvizjes
së pikës materiale në hapësirë, radius-vek-
tori i saj r ndërrohet sipas madhësisë dhe
drejtimit, gjatë së cilës traektoria e lëvizjes
është lakesë e përbërë. Nëse radius-vektori
r ndërrohet vetëm me madhësinë, traekto-
ria është vijë e drejtë, por nëse ndërrohet
vetëm sipas drejtimit, traektoria është rreth
ose pjesë e rrethit, që paraqet rast të lëvizjes
në rrafshinë.
Pyetje dhe detyra
1. Si zgjidhet sistemi referent? Thekso disa shembuj
të sistemeve referent.
2. Ăka Ă«shtĂ« pika materiale? Si pĂ«rcaktohet pozita e
pikës materiale në hapësirë?
3. Si është dallimi ndërmjet rrugës dhe zhvendosjes?
4. Kur rruga është e barabartë me zhvendosjen, ndër-
sa kur është më e madhe?
22. 22
2.3. LĂVIZJA DREJTĂVIZORE E NJĂTRAJTSHME
Lloj më i thjeshtë i lëvizjes mekanike
paraqet lëvizja drejtvizore e barabartë. Vetë
emri na tregon se bëhet fjalë për lëvizje të
njëtrajtshme të pikës materiale në vijë të
drejtë, d.m.th. me shpejtësi konstante.
Shpejtësia gjatë lëvizjes drejtvizore të
njĂ«trajtshme deïŹnohet si ndryshim i poz-
itës së trupit në interval të dhënë kohor. Kjo
mund të paraqitet në lloj të barazimit:
Shpejtësia =
ndryshimi i pozitës,
koha e kaluar
r =
t
r
ï
ï
. (2.10)
Karakteristika kryesore e lëvizjes së
njëtrajtshme është se zhvendosja është e
barabartĂ« me rrugĂ«n e kaluar,|Îr | = ÎŃ . pĂ«r
atĂ« gjatĂ« deïŹnimit tĂ« shpejtĂ«sisĂ« mund tĂ«
ndërrohet vektori i shpejtësisë v .
NĂ« ïŹgurĂ«n 2.10 Ă«shtĂ« paraqitur ndryshi-
mi i pozitës së një automobili i cili lëviz me
shpejtësi të vazhdueshme në vijë të drejtë.
Fig. 2.10. Të treguarit skematik të trupit që lëviz me
shpejtësi konstante
Në distancë të caktuar nëpër gjatësinë e
rrufës janë vendosur shenja A dhe B. Au-
tomobili kalon afër përreth pikës A në mo-
ment të dhënë prej kohës t1
, ndërsa pastaj
afër pikës B në moment të kohës t2
.
Nëse pozitat e pikave A dhe B janë matur
prej ïŹllimi tĂ« dhĂ«nĂ« koordinant O, distancat
e tyre do tĂ« jepen me Ń 1
dhe Ń 2
, përkatësisht.
Ndryshimi i pozitĂ«s sĂ« automobilit Îx Ă«shtĂ«
i barabartë x2
â x1
, ndërsa koha e kaluar e
t2
â t1
. Atëherë për shpejtësinë mund të
shënohet:
v =,
t
x
ï
ï
(2-11)
ku v Ă«shtĂ« shpejtĂ«si, Îx Ă«shtĂ« ndryshimi i
pozitĂ«s, ndĂ«rsa Ît Ă«shtĂ« koha e nevojshme
të kalohet rrugë e caktuar. Ekziston rregull e
pranuar e përgjithshme madhësitë e matura
ose llogaritura me barazimin të tregohen si
depërtime të vogla, d.m.th. si ndryshime të
vogla të madhësive të tyre.
Shembulli 3. Një njeri me automobil arrin
deri në qytet të largët 180 km për kohë prej
2, 0 h. Me çfarë shpejtësie të mesme lëviz
automobili?
Zgjidhje: Për ta gjetur përgjigjen, e
shfrytëzojmë barazimin për shpejtësinë
(2.11) dhe në atë i ndërrojmë vlerat për x2
â
x1
= 180 km dhe t2
â t1
= 2h:
h
km
90
h2
km180
12
12
tt
xx
v . (2.12)
Përgjigja është 90 km/h. Njësitë matëse
janë aq të rëndësishëm si dhe vlera nu-
merike, po për atë gjithmonë duhet të jenë të
përfshira në përgjigje.
23. 23
Nëse në përgjigje rruga paraqitet me me-
tra, d.m.th. nëse 1 km paraqitet si 1000 m,
ndërsa koha prej 1 h si 3600 s, përgjigja mun-
det të shënohet edhe në mënyrën në vijim:
s
m
5,2
s3600
m1000
90
h
km
90v .
Edhe të dy përgjigjet janë plotësisht
të njëjtë dhe të saktë, vetëm që ata janë
të shprehur në njësi të ndryshme matëse.
Kur trupi kalon distanca të barabarta në
interval të njëjtë kohor, themi se kjo lëviz
me shpejtësi konstante. Për ta kuptuar këtë
nocion, do ta shqyrtojmë eksperimentin të
treguar nĂ« ïŹgurĂ«n 2.11.
Fig. 2.11. Matja e shpejtësisë së automobilit
Automobil lojë është lidhur me tel në një
makar (cilindër). Automobili mund të lëvizë
me sipërfaqe të rrafshët, ndërsa koha matet
me ndihmë të stopimit. Makaraja sillet me
ndihmë të motorit sinkron me cilindër me
diametër prej rreth 2,5 cm dhe ka fuqi për-
katëse, të mjaftueshme ta lëvizë automobilin.
Në një pjesë të rrugës janë të vendosur
shenja A dhe B në distancë të shkurtë njëra
nga tjetra, e matur me ndihmë të metrit. Au-
tomobili ïŹllon tĂ« lĂ«vizĂ« dhe kur do tĂ« kalojĂ«
afër shenjës A, inkuadrohet stopimi, ndërsa
kur kalon afër shenjës B, ajo shkyçet. Koha
që matet në stopim në sekonda e tregon ko-
hën e nevojshme të kalohet rruga AB.
Kjo provë përsëritet më shumë herë, gjatë
së cilës zhvendosen shenjat A dhe B më larg
njërës nga tjetra. Madhësitë e matura janë të
shënuara në tabelën 1.
T a b e l a 1.
Të dhëna të matura për eksperimentin me
automobil
Matje
Distancë
Ń (m)
Kohë
t (s)
E llogaritur
v (m/s)
0 0 0 -
1 0,398 5,3 0,751
2 0,864 11,5 0,751
3 1,089 14,5 0,751
4 1,420 18,9 0,751
5 1,743 23,2 0,751
Për tu përcaktuar varësia ndërmjet rrugës
së kaluar x dhe kohës t, më mirë është të
vizatohet graïŹk i cili do ty tregojĂ« varĂ«sinĂ«
e të dy madhësive. Nëse e tregojmë rrugën
x për boshtin vertikal, ndërsa koha t në hori-
zontale, sikurse nĂ« ïŹgurĂ«n 2.12, mundemi
ti vendosim vlerat e matura për rrugën dhe
kohën prej tabelës 1.
Fig. 2.12. GraïŹk i varĂ«sisĂ« kohĂ« - rrugĂ«
24. 24
Domethënë, me tërheqjen e vijës së dre-
jtĂ« ndĂ«rmjet pikave eksperimentale tĂ« graïŹ-
kut, vërtetohet varësia lineare e rrugës dhe
pikave dhe kohës. Kjo vijë e drejtë që kalon
nĂ«pĂ«r ïŹllimin e koordinatave, Ń = 0 dhe t =
0, tregon se rruga është drejtëproporcionale
me kohën.
Kjo konstantë quhet intensitet i shpe-
jtësisë v (kolona e fundit në tabelën 1) dhe
Ă«shtĂ« ïŹtuar me pjesĂ«tim tĂ« vlerave pĂ«r rrugĂ«n
x dhe kohën t:
t
x
v ïœ . (2.13)
Në këtë mënyrë tregohet lëvizja me shpe-
jtësi konstante.
Mbaje mend: Raporti i rrugës dhe kohës
gjatë lëvizjes së njëtrajtshme të barabartë
gjithmonë është konstant.
Edhe pse kjo paraqet eksperiment shumë
të thjeshtë i cili i demonstron principet krye-
sore të mekanikës qëllimi i tij është të trego-
het si duket një metodë shkencore, në këtë
rast eksperimental, i cili shfrytëzohet për
përcaktim të varësisë ndërmjet madhësive të
pĂ«rcaktuara ïŹzike.
Nëse është e njohur shpejtësia e lëvizjes së
trupit me zbatimin e barazimit (2,13) mund të
përcaktohet rruga e kaluar për cilin do qoftë
interval prej kohĂ«s gjatĂ« sĂ« cilĂ«s ïŹtohet:
Ń = v · t. (2.14)
Prej këtij barazimi mund të shprehet koha
që është e nevojshme që trupi ta kalojë
rrugën x:
v
x
t ïœ . (2.15)
Shembulli 4. Sa rrugë do të kalojë trupi
që lëviz me shpejtësi 4,5 m/s gjatë kohës
prej 2 min?
Zgjidhej: Që ta gjejmë rrugën e kaluar
e shfrytëzojmë barazimin (2.140 dhe në atë
i zëvendësojmë vlerat përkatëse për shpe-
jtësinë dhe kohën. Gjatë asaj duhet të ki-
het kujdes në njësitë matëse dhe të kryhet
shndërrim në njësi përkatëse: v = 4,5 m/s;
t = 2min = 120 s.
Ń = v · t = 4,5
s
m
. 120s,
Ń = 540 m.
VĂ«rejtje: MadhĂ«sitĂ« ïŹzike gjithmonĂ«
duhet të shprehen në njësi matëse të një
gjinie. Ky rregull zbatohet gjatë zgjidhjes së
detyrave tĂ« ïŹzikĂ«s.
Shembulli 5. NĂ«se aeroplani ïŹuturon me
shpejtësi konstante prej 450Km/h, për sa
kohë do të kalojë 2400 km?
Zgjidhje: Me ndërrim direkt të mad-
hĂ«sive tĂ« dhĂ«na ïŹzike pĂ«r shpejtĂ«sinĂ« dhe
rrugën që duhet ta kalojë aeroplani në baraz-
imin (2.15) mund të përcaktohet koha për të
cilën ai do ta kalojë distancën e dhënë:
km/h450
km2400
v
x
t ,
h33,5t .
Në mekanikë është e zakonshme të
anashkalohen dimensionet dhe forma e tru-
pit si dhe lëvizjet e tij, të shihet si lëvizjet
e trupit të vogël ose grimcë me madhësi të
anashkaluar. Për shembull, kur përshkruhet
ïŹuturimi i aeroplanit ndĂ«rmjet dy qyteteve,
25. 25
;
nuk ka nevojë të jepet përshkrim detal i
aeroplanit për tu përshkruar lëvizja e tij. Për
atë lëvizja e trupave në mekanikë duhet të
shqyrtohet si lëvizje e pikës materiale ose
grimce.
Mbaje mend: Shpejtësi konstante e
lëvizjes domethënë se trupi kalon zhven-
dosje të njëjta për intervale të barabarta
kohore, gjithmonë në drejtim të njëjtë nëpër
vijë të drejtë. Kjo do të thotë se distanca e
kaluar në sekondën e parë do të jetë identike
me distancën të kaluar prej ndonjë sekonde
tjetër të lëvizjes.
Pyetje dhe detyra
1. Si deïŹnohet shpejtĂ«sia? ĂfarĂ« domethĂ«nie ka trupi
që lëviz me shpejtësi konstante?
2. Nëse automobili lëviz me 70 km/h, sa kohë do të
udhëton prej Shkupi deri në Ohër, të cilët gjenden në
distancë prej 185 km? [Përgjigje: 2,5 h.]
3. Aeroplan udhĂ«tarĂ«sh i cili ïŹuturon nĂ« relacion Nju
Jork â Shkup e ïŹuturon distancĂ«n prej 4000 km pĂ«r
5 h dhe 20 min. Të llogaritet shpejtësia e mesme e
aeroplanit e shprehur në a) km/h, b) m/s [Përgjigje:
a) 750 km/h; b) 208 m/s.]
2.4. LĂVIZJA E NJĂTRAJTSHME E NXITUAR
Lëvizje e nxituar paraqet pjesë prej ki-
nematikës në të cilën studiohen ndryshimet
e shpejtësisë gjatë lëvizjes. Shumë është e
rëndësishme mirë të kuptohet esenca e lëvizjes
së nxituar, meqenëse kjo paraqitet në shumë
sfera tĂ« ïŹzikĂ«s, prej dukurive nĂ« strukturat e
atomit deri në lëvizjen e planetëve dhe yjeve
të largët. Lëvizja e nxituar e trupave haset në
shumë raste si tip kryesor i lëvizjes në interval
të gjatë kohor, derisa në raste të tjera paraqitet
vetëm në intervale të caktuara kohore.
ShpejtĂ«sia e momentit. QĂ« ta deïŹnojmĂ«
nocionin shpejtësi momentale, do të kthe-
hemi përsëri në eksperimentin me automo-
bil tĂ« treguar nĂ« ïŹgurĂ«n 2.11 dhe do ta viza-
tojmë diagramin e lëvizjes së automobilit
për rastin kur ai lëviz me shpejtësi të ndry-
shueshme (ïŹg. 2.13).
Fig. 2.13. Diagrami rrugĂ« â kohĂ« pĂ«r automobil qĂ«
lëviz me shpejtësi të ndryshueshme
Pikat nëpër gjatësinë e boshtit x e trego-
jnĂ« distancĂ«n e automobilit prej pikĂ«s ïŹll-
26. 26
2r
estare O deri në fund të secilës sekondë të
kaluar prej kohës t. Meqenëse shpejtësia e
lëvizjes është e ndryshueshme, madhësia e
saj ndryshohet gjatë kohës në vijim siç është
treguar në diagramin për rrugën dhe kohën.
Ta shqyrtojmë lëvizjen e automobilit në
distancë të caktuar AB, për ta gjetur shpe-
jtĂ«sinĂ« e tij tĂ« mesme. Zhvendosja Îx mun-
det tĂ« paraqitet me prerjen Aâ Bâ, ndĂ«rsa
koha me Ît, si anĂ« tĂ« trekĂ«ndĂ«shit kĂ«nddre-
jtë AEB. Prej aty shpejtësia e mesme mund
të shprehet si:
t
x
v
ï
ï
ïœ , (2.16)
qĂ« nĂ« graïŹkun Ă«shtĂ« treguar me tgΞ. MadhĂ«-
sia tgΞ e paraqet pjerrtësinë e drejtëzave AB
në raport me boshtin horizontal.
Nëse e zhvendosim pikën B kah pika A
ashtu qĂ« rritjet e rrugĂ«s Îx dhe tĂ« kohĂ«s Ît
bëhen më të vogla e më të vogla, shpejtë-
sia mesatare do të ndryshohet në mënyrën
nĂ« vijim: siç Ît do tĂ« afrohet deri nĂ« zero,
kĂ«shtu raporti Îx/Ît do tĂ« pĂ«rpiqet kah mad-
hësia e vërtetë e shpejtësisë së pikës A. Kjo
shpejtësi quhet shpejtësi momenti.
Shpejtësia e momentit është shpejtësi e
pikës materiale në moment të dhënë të kohës
ose në pikë të dhënë prej traektorimit. Kjo
është e barabartë me shpejtësinë e mesme
pĂ«r interval tĂ« shkurtĂ« kohor Ît.
Nxitimi deïŹnohet si raport i ndryshimit
të shpejtësisë dhe intervalit kohor. Automo-
bil i cili e zmadhon shpejtësinë ka nxitim
pozitiv, ndërsa automobili gjatë ndërprerjes
ka nxitim negativ. Nëse automobili qëndron
në vend ose lëviz me shpejtësi konstante, ky
nuk ka nxitim.
Nga kjo vijon se nxitimi mund të trego-
het në lloj të barazimit në mënyrën në vijim:
Nxitim =
ndryshimi i shpejtësisë
koha e kaluar
t
v
a
ï
ï
ïœ
. (2.17)
Ta shqyrtojmë lëvizjen e nxituar të auto-
mobilit nĂ« ïŹgurĂ«n 2. 14. NĂ«n veprim tĂ« forcĂ«s
së motorit, e cila bartet në rrota, automobili
përherë shpejtohet gjatë lëvizjes së tij nëpër
vijën e drejtë AB. Kur kalon afër pikës A,
ky ka shpejtësi relative të vogël 1v , ndërsa
kur kalon afër pikës B, lëviz më shpejtë, me
shpejtësi 2v . Shpejtësia 1v quhet shpejtësi
ïŹllestare, ndĂ«rsa 2v quhet shpejtĂ«si pĂ«rfun-
dimtare. NĂ«se Îv e paraqet ndryshimin e in-
tensitetit të shpejtësisë, mund të shënojmë:
Î 12 vvv ïïœ . (2.18)
Fig. 2.14. Automobili nxitohet pĂ«r interval kohor Ît
Koha e kaluar Ît mund tĂ« shĂ«nohet si
dallim i kohĂ«s pĂ«rfundimtare dhe kohĂ«s ïŹll-
estare:
Ît = t2
â t1
. (2.19)
27. 27
Atëherë intensitetin e nxitimit mund ta
paraqesim me barazimin në vijim:
12
12
tt
vv
a
ï
ï
ïœ , ose
t
v
a
ï
ï
ïœ . (2.20)
Shembulli 6. Ta shqyrtojmë shembullin
me automobilin tĂ« treguar nĂ« ïŹg. 2.14. ĂshtĂ«
matur shpejtësia e automobilit në pikën A
dhe kjo arrin 6 m/s. Shpejtësia e pikës B
është rritur në 30 m/s për kohë prej 4 s, të
nevojshme për automobilin ta kalojë dis-
tancën prej A deri në B. Sa është nxitimi i
automobilit?
Zgjidhje: Me ndërrim direkt të vlerave
të njohura të shpejtësive, v1
= 6 m/s; v2
= 30
m/s, dhe t2
â t1
= 4 s, ïŹtojmĂ«:
s0s4
m/s6m/s30
12
12
tt
vv
a ,
2
m/s6
s4
m/s24
a .
Domethënë, nxitimi arrin gjashtë metra
në sekondë për sekondë.
Shembulli 7. Shembull i nxitimit negativ.
Kur automobili ngjitet në përpjetëzë më
të gjatë dhe të lartë, shpejtësia e tij zvogëlo-
het prej 86 km/h në 38 km/h për kohë prej
4 minutash. Të përcaktohet nxitimi (d.m.th.
nxitimi) i automobilit!
Zgjidhje: Për tu gjetur përgjigjja, duhet të
merren vlerat e njohura:
v1
= 86 km/h; v2
= 38 km/h dhe t2
â t1
= 4min
në barazimin (2.20) për nxitimin. Më parë
duhet njësitë matëse të shprehen në njësi SI
â sistemit:
s
m
3600
1000
86km/h861v ;
s
m
3600
1000
38km/h382v ;
s604min412 Ëtt ;
s
m
s604
3600
1000
86
3600
1000
38
12
12
Ë
tt
vv
a ;
.m/s556,0 2
a
Lëvizja me nxitim të vazhdueshëm nega-
tiv quhet lëvizje e njëtrajtshme e ngadalësuar.
Shpejtësia është rrugë gjatë lëvizjes
sĂ« nxituar tĂ« njĂ«trajtshme. PĂ«r ta deïŹnuar
nxitimin ose ngadalësimin e trupit që lëviz
nga njëra në tjetrën pikë me shpejtësi të
ndryshueshme, ïŹllimisht duhet tĂ« vendosim
graïŹk nĂ« varĂ«si shpejtĂ«si â kohĂ«.
NĂ«se nĂ« graïŹkun paraqitet lĂ«vizja e tre
automobilave nëpër rrugë të drejtë rrëpirë
me shpejtĂ«si ïŹllestare 5 m/s, lĂ«vizja e tyre
do të jetë afërsisht me tre vija: (a), (b) dhe
(c) sikurse nĂ« ïŹgurĂ«n 2.15.
Fig. 2.15. GraïŹk i varĂ«sisĂ« sĂ« shpejtĂ«sisĂ« â kohĂ«s
për automobila që lëvizin me shpejtësi të ndry-
shueshme, por me shpejtësi të njëjta mesatare
LĂ«vizja e nxituar
28. 28
Duke ïŹlluar prej momentit t1
= 1s, auto-
mobili (a) nĂ« ïŹllim me fuqi nxiton, ndĂ«rsa
pastaj më ngadalë, duke arritur shpejtësi
prej 20 m/s në momentin e kohës t2
= 6 s.
Automobili i dytë (b) nxitohet njëtrajtësisht,
duke e arritur shpejtësinë e fundit të njëjtë
në momentin t2
. Nga ana tjetër, automobili
i tretĂ« (c) nxitohet ngadalĂ« nĂ« ïŹllim, ndĂ«rsa
pastaj më shpejtë për ta arritur shpejtësinë e
njëjtë të fundit në moment të kohës t2
.
Automobilat (a) dhe (c) kryejnë lëvizje
të nxituar të ndryshueshme, meqenëse rritja
e shpejtësisë është e ndryshme në intervale
të ndryshme kohore, d.m.th. shpejtimi i tyre
ndërrohet gjatë kohës në vijim.
LĂ«vizja e automobilit (b) paraqet rast spe-
cial dhe quhet lëvizje e ndryshme e njëtra-
jtshme, d.m.th. lëvizje me nxitim konstant.
Për atë rritje karakteristike e shpejtësisë
për 3 m/s në secilën sekondë të kohës, për
tërë gjatësinë të traektorisë. Kjo do të thotë
se cili do qoftĂ« ndryshim i shpejtĂ«sisĂ« Îv i
ndarĂ« me intervalin kohor Ît do tĂ« jep vlerĂ«
të njëjtë të nxitimit a.
Mbaje mend: Nxitimi konstant domethënë
ndryshim i njëjtë i shpejtësisë në intervale të
barabarta kohore.
Duke u nisur nga barazimi (2. 20) për
nxitim:
,
12
12
tt
vv
a
ï
ï
ïœ
mund të shprehet shpejtësia e fundit v2:
v2
= v1
+ a (t1
â t2
), (2.21)
NĂ«se lĂ«vizja ïŹllon prej ïŹllimit koordi-
nant, do të vazhdojë, t1
= 0, t2
= t:
Ît = t2
â t1
= t. 2.22
Me ndĂ«rrimin e barazimit (2.21) ïŹtohet
barazimi kryesor për shpejtësi gjatë lëvizjes
së njëtrajtshme të nxituar:
v2
= v1
+ at. (2.23)
Ky barazim shpesh mundet të haset edhe
në formë tjetër nëse ndërrohet shpejtësia
ïŹllestare v1
me v0
, ndërsa shpejtësia e fundit
v2
me v.
Mbaje mend: Barazimi kryesor për
shpejtësi gjatë lëvizjes së nxituar të njëtrajt-
shme është dhënë me shprehjen:
v = v0
+ a · t (2. 24)
Prova e njëjtë mund të zbatohet për tu për-
caktuar barazim për rrugë gjatë lëvizjes së
njĂ«trajtshme tĂ« nxituar. PĂ«r kĂ«tĂ« qĂ«llim deïŹno-
het shpejtësi e mesme e trupit kur kjo lëviz
njëtrajtshëm e nxituar si mjedis aritmetik prej
shpejtĂ«sisĂ« sĂ« saj ïŹllestare dhe tĂ« fundit:
2
0 vv
v
ï
ïœ . (2.25)
NĂ«se lĂ«vizja ïŹllon prej ïŹllimit koordi-
nant, do të vazhdojë x1
= 0, x2
= x, d.m.th.
Îx = x2
â x1
= x. (2.26)
Nga barazimi për rrugë gjatë lëvizjes së
njëtrajtshme drejtvizore x = v · t, me ndërrim
tĂ« barazimit (2.25) ïŹtohet:
t
vv
x
2
0 ï
ïœ . (2.27)
29. 29
;
Nëse në këtë barazim ndërrohet shprehja
pĂ«r shpejtĂ«sinĂ« (barazimi 2.24), ïŹtohet njĂ«
relacion i nevojshëm i cili shpesh përdoret
gjatë zgjidhjes së problemeve praktike:
t
atvv
x Ë
2
00 ,
t
at
t
v
x
22
2 0 .
Μ0
+Μ0
+ at
2Μ0
Mbaje mend: Barazimi i kryer për
rrugën gjatë lëvizjes së njëtrajtshme të nxi-
tuar thotë:
.
2
1 2
0 attvx (2.28)Μ0
t
Relacion tjetĂ«r shfrytĂ«zues mund tĂ« ïŹto-
het nëse eliminohet koha prej barazimeve
kryesore për shpejtësi (2.24) dhe për rrugë
(2.27):
a
vv
t 0
i
0
2
vv
x
t
. (2.29)dhe
Μ0
Μ0
Me barazimin e anëve të djathta të këtyre
dy barazimeve dhe zgjidhja në v2
ïŹtojmĂ«
barazim të kryer që e jep lidhja ndërmjet
shpejtësisë dhe përshpejtimit gjatë lëvizjes
së njëtrajtshme të nxituar:
axvv 22
0
2
. (2.30)Μ0
Kur trupi ïŹllon tĂ« lĂ«vizĂ« nga gjendja e
pushimit dhe vazhdon me nxitim konstant,
shpejtĂ«sia e tij ïŹllestare Ă«shtĂ« v0
= 0. NĂ«
kushte të tilla shpejtësia dhe rruga në cilin
do qoftë moment prej kohës t, për trup që
lĂ«viz njĂ«trajtshĂ«m i nxituar, e ïŹtojnĂ« formĂ«n:
tav Ë , (2.31)
vtx
2
1
, (2.32)
2
2
1
atx , (2.33)
axv 2
2
. (2.34)
KĂ«to barazime shpesh quhen barazime
speciale të lëvizjes së njëtrajtshme të nxi-
tuar. Barazimet kryesore dhe të kryera për
lëvizje të njëtrajtshme të nxituar, që i shqyr-
tuam në këtë kapitull, janë shumë të rëndë-
sishëm, meqenëse kanë zbatim të madh në
zgjidhjen e problemeve nga kinematika. PĂ«r
atë ato duhet mirë të ndihmohen! Barazimet
speciale nuk është patjetër të mbahen mend
për atë se rrjedhin prej kryesoreve me ndër-
rim tĂ« shpejtĂ«sisĂ« ïŹllestare v1
= 0.
Pyetje dhe detyra
1. Ăka paraqet nocioni shpejtĂ«si momentale? Si ajo
përcaktohet?
2. Aeroplani gjatĂ« ïŹuturimit ïŹllon tĂ« lĂ«vizĂ« nĂ«pĂ«r
pistë prej gjendjes së pushimit. Në fund të pistës
aeroplani ïŹton shpejtĂ«si 180 m/s pĂ«r kohĂ« prej 40 s.
Sa është nxitimi i aeroplanit? [Përgjigje: 4,5 m/s2].
3. NjĂ« automobil lĂ«viz me shpejtĂ«si 20 m/s, ïŹllon
njëtrajtësisht të frenojë dhe ndalet për kohën prej 10
s. Sa rrugĂ« do tĂ« kalojĂ« prej momentit kur do tĂ« ïŹllojĂ«
të frenojë derisa të ndalet? [Përgjigje: 100 m].
4. Një njeri vozit kamion me shpejtësi konstante
25 m/s. NĂ« njĂ« moment ai ïŹllon tĂ« frenojĂ« ashtu
që kamioni ndalet për 5 s. Të gjenden: a) nxitimi
(ngadalësimi) i kamionit; b) shpejtësia në fund prej 3
s; c) distanca e kaluar për 3 s! [Përgjigje: a) 5 m/s1;
b) 10 m/s; c) 52,5 m].
30. 30
2.5. RĂNIET
Rënie e lirë. Rënia e lirë e trupave nën
veprim të peshës së Tokës mund të shikohet
kinetikisht si rast special i lëvizjes së njëtra-
jtshme tĂ« shpejtuar pa shpejtĂ«si ïŹllestare.
Kjo do të thotë se barazimi (2.24) dhe (2.33)
për shpejtësi dhe rrugë te lëvizje të njëtrajt-
shme të nxituar të trupave
v = v0
+ at dhe x =
2
1
at2
do ta përshkruajnë lëvizjen e trupave kur
ato lirisht bien. Në rast të rënies së lirë e
zakonshme është rruga x të shënohet me h,
për atë se gjithmonë trupi lëshohet lirisht të
bie prej ndonjë lartësie. Për tu kryer rela-
cionet për rënie të lirë, duhet nxitimi a në
këto shprehje ta ndërrojmë me nxitimin e
Tokës g. Gjithashtu është e rëndësishme të
kihet parasysh se rënia e lirë është lëvizje e
njĂ«trajtshme e nxituar pa shpejtĂ«si ïŹllestare,
që do të thotë v0
= 0. Atëherë prej barazi-
meve (2.24) dhe (2.33) ïŹtohet:
v = gt (2.35)
h =
2
1
gt2
. (2.36)
Nga barazimi (2.34) mund të kryhet
barazim, për varësinë e shpejtësisë të rënies
së trupit dhe lartësisë prej të cilës bie:
v2
= 2gh, (2.37)
prej ku mundet të përfundohet se zmadhimi
i lartësisë prej të cilës bie trupi rritet edhe
shpejtësia me të cilën kjo godet në bazë.
Në rast kur trupi lëshohet të lëvizë teposhtë
me ndonjĂ« shpejtĂ«si ïŹllestare v0
,, atëherë
barazimet (2.35) dhe (2.36) e ïŹtojnĂ« formĂ«n:
v = v0
+ gt (2.38)
h = v0
t +
2
1
gt2
. (2.39)
Shembulli 9. Një djalosh lëshon disa
gurë në pus. Pas matjes së kohës për të cilën
secili gur bie në ujë, ka zbuluar se vlera e
mesme është 2,5 s. a) Sa është thellësia e pu-
sit deri në nivelin e ujit? b) Me çfarë shpe-
jtësie secili gurë godet në ujë?
Zgjidhje: I keni të njohura vlerat për ko-
hën t = 2,5 s dhe g = 9,81 m/s2. Madhësi e
panjohur Ă«shtĂ« thellĂ«sia h. PĂ«r tu ïŹtuar vlera
e saj, shfrytëzohet barazimi (2.36). me ndër-
rim direkt tĂ« vlerave tĂ« njohura ïŹtohet:
h =
2
1
9,81 m/s2
· (2,5 s)2
,
h = 4,91m/s2
· 6,25s2
,
h = 30,69 m.
Për tu përcaktuar shpejtësia me të cilin
guri bie në ujë, i ndërrojmë vlerat t = 2,5 s
dhe g = 9,81 m/s2
në barazimin (2.35), gjatë
sĂ« cilit ïŹtojmĂ«:
v = 9,81m/s2
· 2,5 s = 24,25 m/s.
RĂ«nia vertikale. Kur trup hidhet vertika-
lisht përpjetë, shpejtësia e tij shumë shpejtë
zvogëlohet deri te një pikë në të cilën trupi
31. 31
ndalet dhe pastaj bie prapë në Tokë, duke
goditur në atë me shpejtësinë të njëjtë që
e ka pasur gjatë hedhjes. Lëvizja e tillë e
trupave vertikalisht përpjetë nën veprim të
peshës së Tokës quhet hedhje vertikale.
Eksperimentet kanë treguar se koha e
nevojshme që të arrihet pika më e lartë prej
traektorisë të trupit është e barabartë me
kohën e rënies së tij prej asaj pikës prapa në
tokë. Kjo do të thotë se lëvizja vertikale për-
pjetë është krejtësisht e njëjtë me lëvizjen
teposhtë, por reversive, ndërsa koha dhe
shpejtësia e secilës pikë prej rrugës janë
dhënë me barazimet për rënie të lirë (2.38)
dhe (2.39) por me shpejtĂ«si ïŹllestare:
v = v0
+ gt,
h = v0
t +
2
1
gt2
.
NĂ« ïŹgurĂ«n 2.16 Ă«shtĂ« treguar top qĂ« hid-
het vertikalisht përpjetë me shpejtësi
Fig. 2.16. Lëvizja e një trupi përpjetë është i njëjtë
me lëvizjen teposhtë, vetëm në drejtim të kundërt.
Trup i hedhur përpjetë bie në Tokë me shpejtësinë e
njëjtë me të cilën ka qenë i hedhur përpjetë.
Nga ïŹgura shihet se nĂ« secilĂ«n sekondĂ«
shpejtësia e trupit gjatë lëvizjes përpjetë
është e barabartë me shpejtësinë e nivelit të
njëjtë gjatë lëvizjes teposhtë.
Për përshkrimin matematikor të gjuajtjes
vertikale rëndom shfrytëzohen barazimet
(2.38) dhe (2.39), duke e marrë pikën e hed-
hjes si ïŹllim kordinant. Nxitimi i tokĂ«s gjatĂ«
lëvizjes përpjetë është negativisht.
Padallimalëviztrupipërpjetëoseteposhtë,
nxitimi Tokësor g gjithmonë është drejtuar
teposhtë. Me zbatimin e këtyre rregullave për
shenjat, në barazimet e fundit vlera e g do të
duhej të shënohet me shenjë negative:
v = v0
â gt, (2.40)
h = v0
t â
2
1
gt2
. (2.41)
Shembulli 3. Topi hedhet vertikalisht
përpjetë me shpejtësi 39, 2 m/s. Të llogaritet
koha e nevojshme që ajo të arrijë në pozitën
më të lartë.
Zgjidhje: I kenë të njohura vlerat e
shpejtësisë vo
= 39,2 m/s dhe g = 9,81 m/
s2. Në pikën më të lartë ku topi momental-
isht ndalet, shpejtësia e tij arrin v = 0. Meqe-
nëse koha t është e panjohur, e shfrytëzojmë
barazimin (2.40):
v = v0
â gt.
Duke e zgjedhur këtë barazim pas kohës
t ïŹtojmĂ«:
t =
g
vv ï0
,
dhe me ndërrim të vlerave të njohura lloga-
risim:
s.4
m/s9,81
0âm/s39,2
2
t
32. 32
Domethënë 4 s topi do të arrijë në pozitën
më të lartë. Për 4 s në vijim kjo do të bie në
TokĂ«, siç Ă«shtĂ« treguar nĂ« ïŹgurĂ«n 2.16.
Hedhje horizontale. Lëvizja e trupit të
hedhur në drejtim horizontal prej lartësisë
quhet hedhje horizontale. Nëse një trup
ïŹllon tĂ« bie prej pozitĂ«s sĂ« pushimit nĂ« tĂ«
njëjtën kohë kur trup tjetër kryen gjuajtje
horizontale prej lartësisë së njëjtë, të dy tru-
pat do të bien në Tokë njëkohësisht. Dëshmi
pĂ«r kĂ«tĂ« zgjatje mund tĂ« ïŹtohet prej eksperi-
mentit tĂ« treguar nĂ« ïŹg 2.17.
Fig. 2.17. Një trup i lëshuar prej pikës së pushimit
dhe tjetri i hedhur horizontalisht godasin njëkohë-
sisht në tokë.
Dy topa identik M dhe N gjenden në tu-
bacion. Tubacioni ka tel të dendur S dhe kjo,
kur do të lirohet, e shtyp thuprën e metalit R
në të djathtë, duke e lëshuar topin M teposhtë
dhe duke e gjuajtur topin N horizontalisht në
moment të njëjtë. topi M duke rënë me nxi-
tim g dhe topi N duke e kaluar rrugën më të
gjatë ABCD godasin në tokë njëkohësisht.
Përsëritja e eksperimentit me shpejtësi më të
madhe ose më të vogël të gjuajtjes së topit
N, dhe prej lartësie të ndryshme, gjithmonë
e jep rezultatin e njëjtë: të dy topat gjithmo-
në në të njëjtën kohë godasin në tokë.
Përfundim i parë që mundet të tërhiqet
prej këtij eksperimenti është se koha e
lëvizjes së një trupi gjatë gjuajtjes horizon-
tale është e barabartë me kohën e nevojshme
ky trup lirisht të bie prej lartësisë së njëjtë.
lëvizja e tij është e pavarur prej zhvendosjes
së tij horizontale.
Mbaje mend: Trup i hedhur në drejtim hor-
izontal në të njëjtën kohë kryen dy lëvizje
të pavarura; 1) në drejtim horizontal me
shpejtësi konstante v (lëvizje e njëtrajtshme
drejtvizore) dhe 2) vertikalisht teposhtë me
nxitim g (rënie e lirë).
Rruga e kaluar horizontale x e topit mun-
det të përcaktohet prej barazimit për rrugë
gjatë lëvizjes drejtvizore të barabartë:
x = vt. (2.42)
Meqenëse topi njëkohësisht bie dhe me
nxitim g, rruga e kaluar vertikale mund të
përcaktohet prej barazimit për rrugë gjatë
rënies së lirë:
h =
2
1
gt2
. (2.43)
Vërtetimi eksperimental i këtyre dy baraz-
imeve është ilustruar me vlerat numerike të
dhĂ«na nĂ« ïŹg. 2.17. Me shpejtĂ«si ïŹllestare
4 m/s topi N kalon distancë vertikale prej
0,3062 m gjatĂ« kohĂ«s prej ÂŒ s dhe nĂ« tĂ«
njëjtën kohë kalon distancë horizontale prej 1
33. 33
m. PĂ«r Âœ s kalon distancĂ« vertikale prej 1,225
m, që është katër herë më tepër prej rastit të
mëparshëm, dhe horizontalisht kalon 2 m.
Shembulli 10. Një shigjetë hidhet në
drejtim horizontal me shpejtësi 20 m/s prej
majës së kullës të lartë 60 m. Pas sa kohësh
kjo do të bie në tokë.?
Zgjidhje: Koha e nevojshme shigjeta të
bjerë në tokë është e njëjtë me kohën kur
shigjeta lirisht bie dhe mundet të përcakto-
het prej barazimit (2.43):
h =
2
1
gt2
.
Me zgjidhjen e këtij barazimi për kohën
t dhe ndërrim të vlerave për lartësinë h = 60
m, shpejtësia v = 20 m/s dhe g = 9.81 m/s2,
ïŹtojmĂ«:
2
m/s9,81
m6022 Ë
g
h
t ,
s499,3s24,12 2
t .
Hedhje e pjerrët. Shumë predha artilerie
(projektil) të gjuajtura në ajër me shpejtësi të
caktuar me kënd të njëjtë në raport me hori-
zontin kanë rrugë parabolike. Lëvizja e këtillë e
trupit quhet gjuajtje e pjerrët. Rruga parabolike
paraqitet vetëm gjatë shpejtësive të vogla dhe
gjuajtjes, ku forca e fërkimit ajror është e lënë
pas dore. Nëse trupat janë gjuajtur me shpejtësi
të madhe, ajri e ngadalëson lëvizjen e tyre dhe
rruga e vërtetë largohet nga rruga parabolike.
Në rast të përgjithshëm fërkimi ajror anashkalo-
het dhe matet rruga teorike e trupit të gjuajtur,
ndërsa pastaj, nëse është e nevojshme, bëhen
korekcione për fërkim të ajrit.
Lartësia
parabola
Fig. 2.18. Trupat që kryejnë hedhje të pjerrët nëpër
rrugën parabolike. Për arsye të fërkimit të ajrit këto
bien më herët.
Parametra të njohura që kanë të bëjnë në
trup të gjuajtur të dhënë gjatë hedhjes së pjer-
rĂ«t sipas rregullĂ«s janĂ« shpejtĂ«sia ïŹllestare
v0
dhe këndi Ξ (kënd ndërmjet drejtimit të
gjuajtjes dhe horizontales), i cili quhet edhe
kënd i elevacionit. Faktorët të cilët duhet
të vlerësohen për tu karakterizuar hedhja e
pjerrĂ«t janĂ«: a) koha e ïŹuturimit tĂ« trupit, b)
arritja e lartësisë maksimale dhe c) rrezja e
veprimit.
Koha e ïŹuturimit T e trupit qĂ« kryen
gjuajtje deïŹnohet si kohĂ« qĂ« Ă«shtĂ« e nevo-
jshme kjo të bie në bazën prej të cilës është
hedhur. LartĂ«sia maksimale H deïŹnohet si
distancë më e madhe e arritur vertikale, e
matur nga rrafshina horizontale e rrezes (ïŹg.
2.19). Rrezja D është distancë horizontale
prej pikës së hedhjes deri te pika ku trupi i
gjuajtur bie në rrafshinë të gjuajtjes.
Për tu llogaritur lartësia maksimale dhe
gjuajtja e njĂ« trupi, shpejtĂ«sia ïŹllestare
ekspozohet në dy komponent, një vertikale
dhe njĂ« horizontale. Kjo Ă«shtĂ« treguar nĂ« ïŹg.
2.19.
34. 34
Fig. 2.19. Rruga e trupit të gjuajtur nën kënd Ξ i
përcakton lartësitë e arritura maksimale H, kohën e
ïŹuturimit T dhe rrezen e veprimit D
Nëse shpejtësinë e gjuajtjes së trupit e
shënojmë me v , ndërsa këndin e elevacion-
it me Ξ, atëherë komponentët e vektorit të
shpejtësisë për boshtet x dhe y mund të për-
caktohen me barazimet:
vy
= v sin Ξ dhe vx
= v cos Ξ (2.44)
Mbaje mend: Trektorimi i hedhjes së pjer-
rët është kombinim i dy lëvizjeve, njëra
është lëvizja e trupit të hedhur vertikalisht
pĂ«rpjetĂ« me shpejtĂ«si ïŹllestare vy
, ndërsa
tjetra është lëvizje në drejtim horizontal me
shpejtësi konstante vx
.
Me fjalë të tjera, trupi i hedhur vertika-
lisht përpjetë me shpejtësi vy
do të vijë deri
te lartësia e njëjtë dhe për kohë të njëjtë si
dhe ndonjë trup tjetër i hedhur me kënd Ξ
dhe shpejtësi vx
.
Meqenëse koha e nevojshme që trupi ta
arrijë pikën më të lartë është e barabartë me
kohën të nevojshme që të bie në të njëjtin
vend në Tokë, mund të zbatohet barazimi
për rënie të lirë:
vy
= gt. (2.45)
Me ndërrim të barazimit vy në barazimin
e fundit ïŹtojmĂ«:
g
v
g
v
t
y Tsin
. (2.46)
Meqenëse t është koha e ngjitjes ose koha
e rënies së trupit, koha e përgjithshme e
ïŹuturimit do tĂ« jetĂ« 2t. PĂ«r arsye tĂ« saj, koha e
ïŹuturimit T mund tĂ« pĂ«rcaktohet me thyesĂ«n:
g
v
T
Tsin2
. (2.47)
Për përcaktimin e lartësisë H shfrytëzo-
het barazimi për rënie të lirë që i lidh shpe-
jtësinë dhe lartësinë:
gHvy 22
, (2.48)
Duke e zgjedhur kĂ«tĂ« thyesĂ« pĂ«r H, ïŹto-
jmë:
g
v
H
y
2
2
. (2.49)
Nëse thyesa (2.49) ndërrohet shprehja e
shpejtësisë vy
= vsinΞ prej thyesës (2.44),
pĂ«r lartĂ«sinĂ« maksimale ïŹtohet thyesa:
g
v
H
2
sin22
T
. (2.50)
Meqenëse lëvizja nëpër horizontale te
hedhja e pjerrët paraqet lëvizje drejtvizore
të njëtrajtshme, për pikën maksimale të hed-
hjes D mund të shfrytëzohet thyesa për rrugë
H = v t. Me ndërrimin e H me D, v me vcosΞ
dhe t me kohĂ«n e pĂ«rgjithshme tĂ« ïŹuturimit
T prej barazimit (2.47) ïŹtojmĂ«:
g
v
vD
T
T
sin2
cos Ë
g
v
D
TT cossin2 2
. (2.51)
ose
35. 35
;
Për tu shkruar ky barazim në formë tjetër,
shfrytëzohet relacion trigonometrik 2sinΞ =
sin2Ξ, gjatĂ« sĂ« cilĂ«s e ïŹtojmĂ« thyesĂ«n nĂ« vi-
jim për hedhjen deri në pikë të caktuar:
D = ï±2sin
2
g
v
. (2.52)
Nga ky barazim mund të shihet se gjatë
shpejtësisë së dhënë të hedhjes së trupit në
kënd Ξ në raport me horizontin pika e hed-
hjes është maksimale kur sin2Ξ ka vlerë
maksimale. Me vetë faktin se sinusi për
kĂ«nd 90Âș ka vlerĂ« maksimale 1, kĂ«ndi Ξ gjatĂ«
së cilit hedhësi te hedhja e pjerrët ka vlerë
maksimale dhe bart 45Âș (ïŹg. 2.20).
Lartësia
Fig. 2. 20. GraïŹk qĂ« e tregon formĂ«n e traktorĂ«ve tĂ«
trupave të hedhur nën kënde të ndryshme të elevan-
cionit. ShpejtĂ«sia ïŹllestare e trupave arrin 25 m/s
Shembulli 11. Topi i bejsbollit është hed-
hur me shpejtësi prej 25 m/s nën këndin e
pjerrĂ«t (elevancionit) prej 65Âș. TĂ« llogariten:
a) koha e ïŹuturimit, b) lartĂ«sia e arritur
maksimale dhe c) hedhja e topit.
Zgjidhje: Janë dhënë vlera për shpe-
jtĂ«sinĂ« ïŹllestare v = 25 m/s, kĂ«ndi Ξ =65Âș
dhe g = 9,81 m/s2
. a) PĂ«r tu llogaritur koha e
ïŹuturimit T, direkt ndĂ«rrojmĂ« nĂ« barazimin
(2.47):
s62,4
81,9
9063,0252sin2 ËË
g
v
T
T
.
b) LartĂ«sia e arritur maksimale H ïŹto-
het me ndërrim të madhësive të njohura me
barazimin (2. 50):
m17,26
81,92
)9063,025(
2
)sin( 22
Ë
Ë
g
v
H
T
.
c) Hedhja llogaritet me barazimit (2.52):
m9,48766,0
81,9
)25(
2sin
22
ËT
g
v
D .
Pyetje dhe detyra
1. Cila lëvizje e trupave quhet rënie e lirë?
2. Thes me rërë, e hedhur si balast prej një balloni për
ïŹuturim, bie nĂ« tokĂ« me shpejtĂ«si 100 m/s. NĂ« cilĂ«n
lartësi gjendet balloni? [Përgjigje: 509, 7 m].
3. Sa është koha e ngjitjes së një trupi gjatë hedhjes
vertikale krahasuar me kohën e tij të rënies?
4. Një shigjetë, e hedhur vertikalisht përpjetë, ar-
rin lartësi prej 99,2m. Me cilën shpejtësi shigjeta e
lëshon harkun? [Përgjigje 44,1 m/s].
5. Prej cilëve dy lëvizje është përbërë hedhja hori-
zontale?
6. ZjarrïŹkĂ«s, i cili gjendet 18 m mbi tokĂ«, hedh ujĂ«
horizontalisht me shpejtësi prej 18 m/s. Gjej: a) koha
e nevojshme që uji të bie në tokë, b) distanca e kaluar
horizontale. [PĂ«rgjigje: Đ°) 1, 92 Ń, b) 34,51 m.]
36. 36
7. Prej cilëve dy lëvizje përbëhet hedhësi i pjerrët?
8. Shigjetë është hedhur në ajër me shpejtësi prej 46
m/s nĂ«n kĂ«nd tĂ« elevacionit prej 70Âș. Gjej: a) koha e
saj e ïŹuturimit, b) shpejtĂ«sia e arritur maksimale dhe
c) pika e gjuajtjes maksimale. BĂ«n diagram si nĂ« ïŹg
2.2 [PĂ«rgjigje: Đ°) 8,63 Ń, b) 91,2 m, c) 132,8 m.]
2.6. LĂVIZJA E LAKUAR
2r
Ta shqyrtojmë lëvizjen e pikës materiale
M1 pĂ«r rrugĂ« tĂ« lakuar tĂ« treguar nĂ« ïŹgurĂ«n
2,21.
ose
Fig. 2.21. LĂ«vizja e lakuar
NĂ« momentet t dhe t + Ît shpejtĂ«sitĂ« e
saj janë v1
dhe v2
, përkatësisht. Në pozitat
M1
dhe M2
këto dallohen sipas madhësisë,
drejtimit dhe kahjes. Dallimi i vektorëve të
tyre e jep ndryshimin e shpejtësisë në inter-
val të caktuar kohor, d.m.th. e jep vektorin e
ndryshimit të shpejtësisë:
Î 12 vvv ïïœ (2.53)
Raporti ndërmjet vektorit të ndryshimit
tĂ« shpejtĂ«sisĂ« Îv dhe intervali kohor pĂ«r tĂ«
cilin ky ndryshim ka ndodhur e jep nxitimin
e mesëm për pikën M1
, d.m.th.
t
v
asr
ï
ï
ïœsr (2.54)
Vektori sra ka drejtim të njëjtë dhe kahje
sikur vektori Îv , por intensitet i ndryshĂ«m,
meqenĂ«se Ît Ă«shtĂ« madhĂ«si skalare mĂ« e
madhe se zero.
NĂ«se Ît pĂ«rpiqet kah zero, atĂ«herĂ« Îv
do të përpiqet kah ndonjë vlerë saktësisht të
përcaktuar, po nxitimi praktikisht ka të bëjë
me momentin e dhënë prej kohës t dhe quhet
nxitim i momentit.
Mbaje mend: nxitimi gjatë lëvizjes së
lakuar të ndryshueshme është përbërë prej
dy komponentĂ«ve ra dhe 1a (ïŹg. 2.22). Kom-
ponenti ra quhet nxitim radial ose normal
dhe ndodh për arsye të ndryshimit të shpe-
jtësisë për drejtim. Komponenti 1a quhet
nxitim tangencial dhe paraqitet për arsye
të ndryshimit të shpejtësisë pas intensitetit.
Fig. 2.22. Nxitim gjatë lëvizjes së lakuar
37. 37
Barazimi pĂ«r nxitim tĂ« pĂ«rgjithshĂ«m ïŹto-
het prej ndryshimit të përgjithshëm të vekto-
rit vï . Nga barazimi (2.54) vijon se vektori i
nxitimit mund të përcaktohet me barazimin:
t
vvv r
ï
ïïï«ïïœï
1
/1
t
v
t
v
t
v rt
ï
ï
ï«
ï
ï
ïœ
ï
ï
.
raaa ï«ïœ 1 . (2.55)
Madhësia e vektorit të shpejtimit, d.m.th.
moduli i tij, arrin:
22
1 rsr aaa ï«ïœ . (2.56)
Shpejtësi këndesh dhe shpejtësi e vilës
gjatë lëvizjes së njëtrajtshme të rrethit. Nëse
trupi lëviz njëtrajtshëm nëpër rrugë qarkore,
shpejtësia me të cilën trupi kryen lëvizje qar-
kore quhet shpejtësi këndore. Numri i sjelljeve
të plota që i kryen trupi në njësinë kohë quhet
frekuencë dhe shënohet me shkronjën f.
Për shembull, një rrotë mund të ketë frekue-
ncë prej 10 rrotullimeve në sekondë. Kjo është
ekuivalente me frekuencën prej 600 rrotulli-
meve në minutë (600 rrot/min) dhe frekuencë
prej 36. 000 rrotullimeve në orë.
Njësia matëse për frekuencë është 1 Hz
(herc), që paraqet numër të rrotullimeve në
1 sekondë:
1Hz = 1s-1
.
Koha e nevojshme që të kryhet një rrotul-
lim i plotë quhet periudha e rrotullimit T.
Frekuenca e rrotullimit Ă«shtĂ« deïŹnuar si
vlerë reciproke prej periudhës T, përkatë-
sisht:
f =
T
1
. (2.57)
Gjatë formulimit të ligjeve mekanike
ndonjëherë është shprehje e mirë e lëvizjes
rrethore me radianë, por jo në shkallë ose
rrotullim. Radijan (rad) është njësia për
matjen e këndeve, siç është centimetri për
matje tĂ« gjatĂ«sisĂ«. Ky deïŹnohet si kĂ«nd i mb-
yllur prej harkut të rrethit e cila gjatësi është
e barabartë me radiusin rrezen e rrotullimit.
Me vetë faktin se i tërë parametri i qarkut
Ă«shtĂ« i barabartĂ« me prodhimin prej 2Ï dhe
rreze r, njĂ« rreth pĂ«rmban 2Ï radianĂ«. Do-
methënë:
2Ï radiane = 360ĐŸ.
Këndi Ξ i shprehur në radian ndërmjet dy
pikave të perimetrit të qarkut është dhënë me
gjatësi të harkut ndërmjet dy pikave x i ndarë
me rrezen r (ïŹg. 2.23). Me fjalĂ« tĂ« tjera:
r
x
ïœï± . (2.58)
Me matjen e këndeve në radiane ndër-
likohen të gjithë formulat për lëvizje qarku.
Si shembull ta shqyrtojmë shpejtësinë e gu-
rit i cili është i lidhur në skaj për një litar
me të cilin rrotullohet në rrafshin horizontal
(ïŹg. 2.23).
Fig. 2.23. Ilustrim për lëvizje të rrethit
mes
38. 38
Vektori i shpejtësisë së këndit të trupit që
kryen lĂ«vizje tĂ« qarkut (harkut) deïŹnohet si
kënd i rrotullimit i ndarë me kohën e kaluar:
shpejtësia këndore =
këndi i rrotullimit,
koha e kaluar
tï
ï
ïœ
ï±
ï·
.
NĂ«se nĂ« sjellje ÎΞ Ă«shtĂ« i barabartĂ« me
Ξ2
â Ξ1
, ndĂ«rsa koha e kaluar e sjelljes Ît
është e barabartë t2
â t1
. intensiteti për shpe-
jtësinë e këndit mund të tregohet:
12
12
tt ï
ï
ïœ
ï±ï±
ï· . (2.59)
Nëse Ξ1
= 0 dhe t1
= 0, ky barazim e ïŹton
formën:
t
ï±
ï· ïœ (2.60)
dhe nuk mund tĂ« krahasohet me deïŹnicionin
përkatës për shpejtësinë e vijës, v = x/t.
ShpejtĂ«sia kĂ«ndore Ï merr pjesĂ« nĂ« shpe-
jtësinë e vijës v, ndërsa zhvendosja Ξ merr
pjesë në zhvendosjen e vijës x. Nëse Ξ matet
në radiane dhe t në sekonda, shpejtësia kën-
dore Ï do tĂ« ketĂ« njĂ«si radijanesh nĂ« sekondĂ«
(rad/s).
Shembulli 12. Gurë i lidhur në fund për
një litarit me gjatësi prej 0,5 m) dhe rrotullo-
het në rrafshinë horizontale ashtu që bën 8
rrotullime në 2 s. Gjeje shpejtësinë e këndit
me të cilën sillet guri!
Zgjidhje: MeqenĂ«se 1 rrotullim = 2Ï ra-
diane, 8 rrotullime janĂ« ekuivalente nĂ« 8 ·2Ï
= 50,3 rad.
Me ndërrim direkt në barazimin (2.60):
t
ï±
ï· ïœ
ïŹtohet:
s
rad
15,25
s2
rad3,50
Z .
Për tu gjetur shpejtësia e vijës të gurit që
lëviz nëpër rrugë të rrethit, duhet të përdo-
ret barazimi (2.58) dhe prej saj të shprehet
zhvendosja e vijave e x dhe shpejtësisë së
kĂ«ndit Ï.
Duke e zgjedhur barazimin (2.58) pas x
ïŹtojmĂ« x = Ξ · r. Kjo shprehje ndĂ«rrohet nĂ«
barazimin për shpejtësi të vijës
t
x
v ïœ dhe ïŹtohet:
t
r
v
ï
ïœ
ï±
. (2.61)
Nga ana tjetër, e marrim parasysh baraz-
imin Ï = Ξ/t, por me ndĂ«rrim tĂ« barazimit
(2.61) ïŹtohet shprehje pĂ«r shpejtĂ«sinĂ« e vijĂ«s:
v = Ï·r (2.62)
Vërejmë se të gjitha barazimet ndërm-
jet tyre lidhen dhe se radiani si njësi nuk ka
dimensione. Radiani në raport ndërmjet dy
gjatësive dhe për atë ka vlerë të njëjtë në të
gjithë sistemet të njësive matëse.
Nxitim centripetal i pikës materiale.
Lëvizja e pikës materiale për rreth me shpe-
jtësi të intensitetit të vazhdueshëm quhet
lëvizje e njëtrajtshme rrethore. Gjatë asaj
madhësia e nxitimit është konstante, po
shpejtësia ndërrohet vetëm sipas drejtimit.
39. 39
;
Ndonjë pikë materiale ka kaluar rrugë
që përgjigjet me harkun M1
M2
= Îs si pjesĂ«
e rrethit me radius r pĂ«r kohĂ« Ît, siç Ă«shtĂ«
treguar nĂ« ïŹgurĂ«n 2.24. Ndryshimi i shpe-
jtĂ«sisĂ« vetĂ«m sipas drejtimit do tĂ« jetĂ« Îv,
për atë se shpejtësitë sipas madhësisë janë
të njëjta, d.m.th. | 1v | = | 2v |. Vektori v është
rrotulluar pĂ«r kĂ«nd ÎÏ = ïM1OM2. Nga
gjeometria dhe nga barazimi (2.58) treguam
se këndi mund të shprehet nëpërmjet gjatë-
sisĂ« sĂ« harkut dhe radiusit ÎÏ =
r
sï .
Fig. 2.24. Nxitim centripetal
PĂ«r ta gjetur nxitimin, duhet ta llogaritim
ndryshimin e shpejtësisë. Prej trekëndëshit
barabrinjës M1
AB me bazĂ« |Îv| pĂ«r kĂ«nde
tĂ« vogla ÎÏ, d.m.th. pĂ«r vlerĂ« tĂ« vogĂ«l tĂ« Ît,
vazhdon:
r
s
vvv
ï
ïïœïïœï ïȘ , (2.63)
t
s
r
v
t
v
a
ï
ï
ïœ
ï
ï
ïœ , (2.64)
ïœaa rïœ
r
v2
(2.65)
Nxitimi i ïŹtuar Ă«shtĂ« vektor i drejtuar
normalisht me shpejtësinë. Për atë gjatë
lëvizjes së njëtrajtshme të rrethit ka vetëm
nxitim normal e cila quhet edhe nxitim cen-
tripetal. Nxitimi normal e ndërron vetëm
drejtimin e vektorit të shpejtësisë.
Mbaje mend! Nxitimi që është i lidhur
me ndryshim të drejtimit të shpejtësisë të
pikës materiale e cila lëviz nëpër rrethin
quhet nxitim centripetal. Kjo gjithmonë
është drejtuar kah qendra e rrethit.
Pyetje dhe detyra
1. ĂfarĂ« komponentĂ«sh ka nxitimi gjatĂ« lĂ«vizjes sĂ«
ndryshueshme të lakesave dhe prej çka janë të për-
caktuara?
2. Ăka Ă«shtĂ« shpejtĂ«sia kĂ«ndore? Si Ă«shtĂ« lidhja e tij
me shpejtësinë e vijës?
3. Pika materiale rrotullohet me 120 rrotullime në
minutë. Për sa kohë do të bëjë 8 rrotullime të plota?
[PĂ«rgjigje: 4 s.]
4. Si ndikon nxitimi normal i shpejtësisë gjatë
lëvizjes së njëtrajtshme të rrethit të pikës materiale?
5. Pikë e dhënë materiale rrotullohet në distancë 3 m
prej boshtit i rrotullimit me 300 rrotullime në minutë.
Të përcaktohet shpejtimi i tij normal! [Përgjigje:
2960 m/s2.]
6. Nëse afërsisht e marrim se Toka rrotullohet
rreth Diellit nëpër rrugë të rrethit me rreze (radius)
r = 1,5 ·1011
m, me shpejtësi të vijës 30 km/s, të gjendet
shpejtësia këndore dhe nxitimi centripetal (qendror)
Tokës! [Përgjigje: a) 2 · 10-7
m/s; b) 6 · 10-3
m/s2.]
40. 40
REZYME
Kinematika është pjesë e mekanikës dhe
studion lëvizjen e trupave varësisht prej ko-
hës, pa pasur parasysh forcat që veprojnë në
atë trup.
Skalari paraqet madhësi që karakterizo-
het vetëm me vlerë numerike, pozitive ose
negative. Vektori paraqet madhësi që është e
përcaktuar me vlerën numerike, drejtim dhe
kahje.
Madhësitë skalare që i hasim më shpesh
nĂ« ïŹzikĂ« janĂ«: masa, koha, vĂ«llimi etj.
Madhësitë e vektorëve të cilët zakonisht
shfrytëzohen në mekanikë janë: zhvendosja,
forca, vektori i shpejtësisë, shpejtimi, mo-
menti i forcës, momenti i rrotullimit, vektori
i shpejtësisë këndore dhe momenti këndor.
Trupi i palëvizshëm në raport me të cilin
shqyrtohet lëvizja e trupit tjetër quhet trup
referues.
Situata mekanike e trupit në momentin e
dhënë përcaktohet prej pozitës së tij në ra-
port me sistemin e dhënë referues. Lëvizja
mekanike ndahet në: translatore - paraqet
zhvendosjen paralele të secilës pikë prej
trupit; rrotullues (rotacionit) â kur tĂ« gjithĂ«
pikat prej trupit përshkruajnë rrathë të cilët
shtrihen në rrafshe paralele. Qendrat e kë-
tyre rrathëve shtrihen në një drejtëz të njëjtë
të quajtur rrotullim.
Pika materiale quhet ajo, dimensionet
dhe forma janë aq të vogla sa që nuk merren
parasysh në raport me dimensionet e hapë-
sirës në të cilët kryhet lëvizja.
Pozita e secilës pike materiale M në
hapĂ«sirĂ« mund tĂ« pĂ«rcaktohet me rreze â ve-
ktor 1r , i cili paraqet prerje qĂ« i lidh ïŹllimin
referent O me pozitën e pikës materiale në
momentin e dhënë të kohës.
Trajektorija është vijë e paramenduar që
pika materiale e përshkruan në hapësirën
gjatë lëvizjes së saj. Varësisht nga forma e
trajektores lëvizja mund të jetë drejtvizore
ose e lakuar.
Gjatësia e trajektores ndërmjet dy pikave
që shtrihen në atë quhet rruga e kaluar. Rru-
ga është madhësi skalare.
Dallimi i vektorëve ndërmjet rreze
(radius)-vektor 1r dhe 2r të cilët e përshk-
ruajnë pozitën e pikës materiale në momente
të ndryshme prej kohës quhet zhvendosje
ose vektor i zhvendosjes rï .
ShpejtĂ«sia deïŹnohet si ndryshim i pozitĂ«s
së trupit në interval të dhënë kohor. Raporti
në rrugën dhe kohën gjatë lëvizjes së njëtra-
jtshme drejtvizore gjithmonë është konstan-
te.
Shpejtësia konstante e lëvizjes do të thotë
se trupi kalon zhvendosje të barabarta për
intervale kohore të njëjta, gjithmonë në të
njëjtin drejtim, sipas vijës së drejtë.
Shpejtësi e ndryshueshme e lëvizjes do të
thotë se intervale të njëjta kohore zhvendos-
ja e trupit është e ndryshme. Në këto raste
duhet tĂ« ïŹasim pĂ«r shpejtĂ«sinĂ« e mesme tĂ«
lëvizjes. Nxitimi konstant do të thotë ndry-
shim të barabartë në intervale të barabarta
kohore.
Raporti ndërmjet vektorit të ndryshimit të
shpejtësisë v dhe intervali kohor për të cilin ky
41. 41
ndryshim ka ndodhur e jep nxitimin e mesëm.
Nxitimi gjatë lëvizjes së lakuar përbëhet
prej dy komponentëve, ra dhe ta . Kompo-
nenti ra quhet nxitim normal ose radial dhe
ndodh për arsye të ndryshimit të shpejtësisë
për intensitet.
Komponenta ra quhet nxitim tangjencial
dhe varet prej ndryshimit të shpejtësisë për
intensitetin
Komponenti ra është gjithmonë e drejtuar
kah brendia e lakesës dhe e ka drejtimin e
rrezes së lakesës, po për atë është quajtur
nxitim radial ose nxitim centripetal ra .
Të mësojmë më tepër: http://www.physicslessons.com/exp1b.htm
44. 3.1. Ligji i parë i Njutonit................................................................................................ 45
3.2. Ligji i dytë i Njutonit................................................................................................ 47
3.3. Impulsi i trupit dhe impulsi i forcës.......................................................................... 48
3.4. Pesha e trupave......................................................................................................... 49
3.5. Ligji i tretë i Njutonit............................................................................................... 51
3.6. Ligji për kujdesie të impulsit................................................................................... 54
3.7. Forcat e fërkimit...................................................................................................... 57
3.8. Forca centrifugale.................................................................................................... 59
3.9. Ligji i Njutonit për gravitet..................................................................................... 61
3.10. LĂ«vizje e satelitĂ«ve artiïŹcial dhe shpejtĂ«si kozmike............................................. 63
Rezyme........................................................................................................................... 65
45. 45
3.1. LIGJI I PARĂ I NJUTONIT
Në kinematikë, të cilët ligjshmëri i studi-
uam në kapitullin e kaluar, lëvizja e trupave
përshkruhet pa u marrë parasysh shkaqet të
cilĂ«t e shkaktojnĂ« kĂ«tĂ« lĂ«vizje. NĂ« atĂ« deïŹni-
cionet dhe ligjet shprehen nëpërmjet mad-
hĂ«sive ïŹzike distancĂ« (zhvendosje), kohĂ«,
shpejtësi dhe nxitim. Në dinamikë, e cila
gjithashtu paraqet pjesë të mekanikës, do
tâi studiojmĂ« pikĂ«risht shkaqet qĂ« e shkak-
tojnë lëvizjen e trupave, ndërsa ligjshmëritë
do ti zbatojmĂ« madhĂ«sitĂ« ïŹzike masĂ«n dhe
forcën.
Isak Njutoni (Isaac Newton, 1642-1727)
ka qenĂ« ïŹzicienti i parĂ« qĂ« sistematikisht i
ka aplikuar kĂ«to madhĂ«si ïŹzike nĂ« mekan-
ikë dhe i ka formuluar ligjet kryesore për
lëvizjen e trupave. Këto ligje janë të njohur
si Ligje të Njutonit ose ligje dinamike.
Ligji i parë i Njutonit është shfaqur në li-
brin e tij të njohur Principia Lex I. Ky thotë:
Secili trup përpiqet të mbetet në gjendje të
qetësisë ose lëvizjes së njëtrajtshme drejt-
vizore derisa ndonjë forcë e jashtme nuk e
ndërron këtë gjendje.
Ky ligj mund të demonstrohet nëpërm-
jet vargut të eksperimenteve të rëndomta.
Një eksperiment i këtillë është treguar në
ïŹg. 3.1, kur gjatĂ« tĂ«rheqjes tĂ« befasishme tĂ«
mbulesës të vendosur në tavolinë nën enët
nuk ndĂ«rrohet pozita e tyre ïŹllestare.
Fig. 3.1. Mbulesa mund të tërhiqet pa zhvendosjen
e enëve
Eksperimenti tjetĂ«r, mĂ« ïŹgurĂ«n 3.2, tre-
gon rrotën e vogël e cila lirisht lëviz nëpër
binarë.
Fig. 3.2. Binari mundet të zhvendoset pa u lëvizur
qerrja e vogël
Nëse binari befasisht shtyhet në të majtë
ose në të djathtë, rrotat e karrocës së vogël do
të rrotullohen, por karroca e vogël do të për-
piqet të mbetet në gjendje të qetësisë. Përpjek-
ja e secilit trup të mbetet në gjendje të qetësisëi
detyrohet përbërjes, të përbashkët për të gjithë
trupa materiale, të quajtur inercion.
46. 46
Mbaje mend! Inercioni mund tĂ« deïŹnohet
si përbërës i trupave të kundërshtohen në
ndryshim të gjendjes së tyre të qetësisë ose
lëvizje të njëtrajtshme drejtvizore.
Inercioni i masës së trupave matet me
njësi të njëjtë, kilogrami (kg). Kjo do të
thotë se masë për inercionin e trupave është
në realitet masa e tyre. Në kohën kur Njuto-
ni e deïŹnonte masĂ«n si masĂ« pĂ«r inertitet tĂ«
trupave të gjithë eksperimentet kanë treguar
se kjo ka vlerë konstante dhe nuk varet prej
shpejtësisë së trupit. Kështu ka mbetur deri
në vendosjen e teorisë speciale të relativitetit
nga ana e Albert Ajnshtajnit (Albert Ein-
stein, 1879-1955), në të cilën masa e trupit
varet prej shpejtësisë së tij sipas barazimit:
2
2
0
1
c
v
m
m
ï
ïœ . (3.1)
Masa m quhet masë relative, masa m0
është masa e qetësisë, v është shpejtësia e
trupit, ndërsa c është shpejtësia e dritës në
vakum (c = 3 · 108
m/s).
Në dy eksperimentet e mëparshme ishin
shqyrtuar trupa që janë në qetësi. Pjesa e
dytë e Ligjit të Parë të Njutonit ka të bëjë me
trupa që bëjnë lëvizje drejtvizore të njëtrajt-
shme, po deïŹnicioni i ligjit, i shqyrtuar nga
ky aspekt, do të ishte: Trupi që bë lëvizje të
njëtrajtshme drejtvizore do të mbetet në atë
gjendje përderisa nuk vepron ndonjë forcë e
jashtme që do ta ndryshojë këtë gjendje.
Ky ligj matĂ«s te trupat ïŹllimisht ka qenĂ«
e vërejtur prej Galileo Galilej (Galileo Gali-
lei, 1564-1642) kur e ka studiuar nxitimin e
trupave që paraqitet si rezultat i gravitacionit
të Tokës. Ai ka vërejtur top që rrotullohet
teposhtë nëpër rrafshinë të pjerrët do të arrijë
afërsisht deri te lartësia e njëjtë nëpër rrafshinë
tjetër të pjerrët, pavarësisht prej pjerrtësisë së
tij (shiko ïŹgurĂ«n 3.3). kjo do tĂ« thotĂ« se topi
përpiqet të kthehet në cilën do qoftë mënyrë të
gjendjes së mëparshme. Dhe anasjelltas, nëse
topi lëshohet të rrotullohet nëpër rrafshinë hor-
izontale, kjo nuk do të mund ta arrijë lartësinë
ïŹllestare, por do tĂ« pĂ«rpiqet tĂ« rrotullohet edhe
më tutje derisa nuk ndalet për arsye të fërkimit
ndërmjet atij dhe bazës.
Fig. 3.3. Demonstrim i eksperimentit për inercion i
kryer nga ana e Galileit
Ligji i parë i Njutonit na jep mundësi
tĂ« deïŹnojmĂ« sistem referent tĂ« lidhur pĂ«r
Tokën. Atëherë lëvizja e secilit trup që gjen-
det në Tokën mund ta shqyrtojmë në raport
me atë sistem. Sistemet referent të cilët
pushojnë ose lëvizin njëtrajtësisht drejtvi-
zor, ndërsa në të cilët vazhdon Ligji i Parë
i Njutonit, quhen sisteme inerciale. Sipas
kësaj mund të vlerësojmë se për trupat e
Tokës kjo paraqet sistem inercia referent që
prihen. Të gjithë sistemet që lëvizin të nxi-
tuar në raport me sistemin referent inercia
të dhënë quhen joinercial. Për shembull,
tren që lëviz me nxitim nëpër binarë paraqet
sistem joinercial për udhëtar që ulet në atë,
duke llogaritur në raport me sistemin refer-
ent të Tokës.
47. 47
;
; Pyetje dhe detyra
1. Cila madhĂ«si ïŹzike Ă«shtĂ« masĂ« pĂ«r inertitetin e tru-
pave?
2. Cilët sisteme quhen sisteme inercia?
3. Llogarite masën relative të trupit me masë
m0
= 1 kg që lëviz me shpejtësi v = (3/4)c [Përgjigje:
4/ 7 ].
3.2. LIGJI I DYTĂ I NJUTONIT
Ligji i Dytë i Njutonit gjithashtu është
shfaqur në librin Principia Lex I. Ky thotë:
Kur një trup është nën veprim të forcës kon-
stante, shpejtësia e tij rezultante është pro-
porcionale me forcën, ndërsa anasjelltas
proporcionale me masën e tij. Ligji i Dytë i
Njutonit me barazim mund të tregohet si:
a =
m
F
. (3.2).
Ky barazim e shkruar në formë:
F = ma, (3.3)
paraqet barazim kryesor të dinamikës me
të cilën mundet të përshkruhet lëvizja e
trupave. Kjo shprehje për Ligjin e Dytë të
Njutonit tregon se nxitimi i trupit gjithmonë
është në drejtim të forcës që vepron në atë
(ïŹg. 3.4). Sipas asaj, barazimin pĂ«r forcĂ«
mund ta shënojmë edhe në formë të vektorit:
amF ïœ . (3.4)
Fig. 3.4. Nën veprim të forcës konstante F trupi
me masë m lëviz me nxitim a
Shembulli 1. Sa është vlera e forcës kon-
stante e cila në trup me masë 50 kg i jep nxi-
tim prej 5 m/s2. Fërkimi ndërmjet trupit dhe
bazës të anashkalohet.
Zgjidhje: Të njohura janë vlerat për
masën m = 50 kg dhe nxitimin a = 5 m/s2.
Me ndërrim direkt në barazimin (3.3) për
forcĂ«n ïŹtojmĂ«:
22
s
mkg
250
s
m
kg·550F .
Në barazimin e fundit njësia për forcë është
shprehur nëpërmjet njësive të madhësive
kryesore ïŹzike gjatĂ«sia (m), masa (kg) dhe
koha (s). Sipas kësaj njësia për forcë, që quhet,
njuton nĂ« respekt tĂ« Isak Njutonit, deïŹnohet si:
Një Njuton është forcë e cila zbatohet në trup
me masë 1 kg i jep nxitim prej 1 m/s2
.
2
s
m
1kg1N1 Ë .
Pyetje dhe detyra
1. Cili ligj i Njutonit paraqet barazim kryesor të din-
amikës?
2. Sa është vlera e forcës horizontale që vepron
në trup me masë 24 kg dhe i jep nxitim 5 m/s2
?
[PĂ«rgjigje: 120N.]
48. 48
3.3. IMPULSI I TRUPIT DHE IMPULSI I FORCĂS
Prodhimi prej masës së trupit dhe shpe-
jtësia e tij quhet impuls i trupit dhe mund të
përcaktohet me barazimin:
vmP ïœ . (3.5)
NĂ« pajtim me kĂ«tĂ« deïŹnicion, tĂ« gjithĂ«
trupat që lëvizin kanë impuls, gjatë së cilit
trup me masë të vogël m që lëviz me shpe-
jtësi të madhe v mund të ketë impuls të njëjtë
si dhe trup me masë të madhe m që lëviz në
drejtim të njëjtë, por me shpejtësi të vogël v.
Shembulli 2. Trup me masë 50 kg lëviz
nëpër rrugë të drejtë dhe të rrafshët me shpe-
jtësi 1,5 m/s. Pastaj trup tjetër me masë 15
kg lëviz nëpër rrugë të njëjtë, por me shpe-
jtësi 5 m/s. Sa arrin impulsi i secilit prej tru-
pave?
Zgjidhje: Të njohura i keni vlerat për ma-
sat dhe shpejtësitë të dy trupave: m1
= 50 kg,
v1
= 1,5 m/s, m2
= 15 kg dhe v2
= 5 m/s. Im-
pulsi p1 në trupin e parë arrin:
p1
= m1
v1
= 50 kg · 1,5 m/s = 75 kg m/s,
ndërsa në trupin e dytë ky ka vlerë të njëjtë:
p2
= p1
v2
= 15 kg · 5 m/s = 75 kg m/s.
Ligji i dytë i Njutonit gjithashtu mund të
deïŹnohet edhe nĂ«pĂ«rmjet impulsit tĂ« trupit:
Ndryshimi i impulsit Îp tĂ« trupit Ă«shtĂ« pro-
porcional me forcën F që vepron në atë në
interval tĂ« caktuar kohor Ît dhe ka drejtim
të njëjtë me veprimin e forcës:
Îp = F Ît. (3.6)
PĂ«r tu ïŹtuar barazimi (3.6), e nevojshme
është ana e djathtë prej barazimit (3.5) ta
shumëzojmë dhe pjesëtojmë me nxitim që
do ta ïŹton trupi nĂ«n veprim tĂ« forcĂ«s F:
tF
a
v
amp ,
Îp = F Ît.
Veprimi i forcës F në trup me masë m
shkakton nxitim, d.m.th. ndryshimi i shpe-
jtësisë së tij në interval të dhënë kohor. Në
pajtim me Ligjin e Dytë të Njutonit ligji vi-
jon se forca mund të paraqitet me barazimin:
t
vv
mmaF 12
. (3.7)
Ky barazim shfrytëzohet për zgjedhje të
detyrave nĂ« tĂ« cilĂ«t janĂ« dhĂ«nĂ« ïŹllestarja v1
dhe vlera e fundit v2 të shpejtësisë së trupit.
Shembulli 3. Automobil me masë 2000
kg lëviz me shpejtësi 12 m/s. Sa është vlera
e forcës që do të vepron për kohën prej 8 s të
automobilit, gjatë së cilit shpejtësia e tij do
të rritet prej 12 m/s të 40 m/s?
Zgjidhje: Të njohura janë vlerat për
masën m = 2000 kg, shpejtësinë v2
= 40 m/s,
v1
= 12 m/s dhe koha t = 8 s. Me ndërrim
direkt nĂ« barazimin (3.7) ïŹtojmĂ«:
kN.7
s
mkg
7000
s8
m/s12m/s40
kg2000
2
F
p
49. 49
;
Nëse të dy anët e barazimit (3.7) i
shumĂ«zojmĂ« me kohĂ«n t, ïŹtojmĂ« shprehje
pĂ«r madhĂ«sinĂ« ïŹzike impuls i forcĂ«s:
Ft = mv2
- mv1
(3.8)
Mbaje mend! Impulsi i forcës paraqet
prodhim prej forcës dhe kohës për të cilën
kjo vepron.
Kur trupi ïŹllon tĂ« lĂ«vizĂ« prej pushimit,
d.m.th. v1
= 0, impulsi i forcës mund të llog-
aritet sipas barazimit:
Ft = mv. (3.9)
*Shembulli 4. Ăekan me masĂ« 1,5 kg,
duke lëvizur me shpejtësi 6 m/s, godet në go-
zhdë dhe e lëviz në dru. Nëse çekani ndalet
së lëvizuri për 0,001 s, të përcaktohen vlerat
e impulsit të forcës, forca dhe distanca për të
cilën gozhda do të zhvendoset në dru.
Zgjidhje: Janë dhënë vlerat e masës
m = 1,5 kg, shpejtësia v = 6 m/s dhe koha t =
0,001 s. Me ndërrim direkt të këtyre vlerave
nĂ« barazimin (3.9) ïŹtohet vlera pĂ«r impulsin
e forcës që vepron në gozhdën:
Ft = 1,5 kg - 6 m/s = 9 kg m/s,
ndërsa forca arrin:
N9
0,001s
m/skg9
t
mv
F .
Për tu llogaritur distanca të cilën gozhda
do të zhvendoset në dru, d.m.th. rruga që do
ta kalojë, e nevojshme është të llogaritet nx-
itimi qĂ« gjatĂ« asaj ky do ta ïŹtojĂ« sipas baraz-
imit:
t
vv
a 12
.
ku v1
Ă«shtĂ« shpejtĂ«sia e mesme qĂ« e ïŹton
gozhda, e barabartë me shpejtësinë e çeka-
nit, ndërsa shpejtësia v2
është e barabartë
me zero, meqenëse në atë moment gozhda
ndalet së lëvizuri.
Distancën për të cilën do të lëviz gozhda
në dru do të shprehet si:
m003,0
22
12
2
t
vvat
x .
Pyetje dhe detyra
1. Në cilët njësi matet impulsi i trupit dhe impulsi i
forcës? A janë ata të njëjtë?
2. Sa duhet të jetë forca që do ta nxitojë automobilin
me masë 2000 kg nga shpejtësia 5 m/s të 25 m/s për
kohën prej 5 s. [Përgjigje. 8 · 103N].
3.4. PESHA E TRUPAVE
Trupat që gjenden në sipërfaqen e Tokës
ose në rrethinën e saj janë të ekspozuar në
forcë të drejtuar kah qendra e Tokës. Kjo
forcë quhet forca e gravitetit të Tokës ose
forcë e rëndesës dhe paraqet forcë tërheqëse
ndërmjet trupave dhe Tokës.
Ky është rast special i ligjit të gravita-
cionit, sipas së cilit përbërës të të gjithë tru-
pave është tërheqja e tyre e gravitacionit.
PĂ«r kĂ«tĂ« ligj mĂ« shumĂ« do tĂ« ïŹasim nĂ« ka-
pitullin 3.9.
50. 50
Veprimi i rëndesës së Tokës në trupat
regjistrohet me forcë të shtypjes në bazë, që
quhet peshë e trupave. Pesha e trupit është
e barabartë me forcën e rëndesës vetëm
nëse trupi gjendet në sistem inercia, d.m.th.
nëse prehet ose lëviz në mënyrë të njëtra-
jtshme drejtvizore në raport me Tokën. Për
atë duhet të bëhet dallim ndërmjet forcës së
rëndesës dhe peshës së trupit.
Nëse baza në të cilën gjendet trupi mën-
janohet, atëherë nën veprim të rëndesës së
TokĂ«s kjo ïŹllon lirisht tĂ« bjerĂ«. Eksperimental-
isht është vërtetuar se të gjithë trupat në vakum
ïŹtojnĂ« nxitim tĂ« njĂ«jtĂ«. Kjo mund tĂ« tregohet
me eksperimentin e treguar nĂ« ïŹg. 3.5.
pupël monedhë
Fig. 3.5. NĂ« vakum pupla dhe monedha bien me nxi-
tim të njëjtë dhe në të njëjtën kohë godasin në fundin.
Në një gyp të gjatë qelqi, në të cilën
gjendet një pupël dhe mjë monedhë prej
argjendi, është lidhur nëpërmjet ventilit
me vakum-pompë. Nëse pas mënjanimit të
ajrit gypi kthehet nga ana tjetër, pupla dhe
monedha e argjendit do të bien së bashku.
Kur në cilindrin përsëri vendoset ajër, pupla
do të bjerë shumë më ngadalë prej moned-
hës. Vijon se në mungesë të fërkimit të ajrit
të gjithë trupat bien në nxitim të njëjtë, të
quajtur nxitim i Tokës g.
Eksperimentet e kryera në shumë vende
në sipërfaqen e Tokës tregojnë se nxitimi i
gravitacionit nuk është gjithkund i njëjtë.
Edhe pse këto dallime janë të vogla dhe nuk
kanë ndikim në zgjidhjen e më shumë prob-
lemeve praktike, këto prapë ekzistojnë dhe
duhet të përmenden.
Marrë përgjithësisht, nxitimi i Tokës g ka
vlerë më të vogël të ekuatorit (9,7804 m/s2
),
ndërsa më të madhe në polin e veriut dhe të
jugut (9,8321 m/s2
). Biroja ndërkombëtare për
peshoja dhe masa e ka pranuar vlerën 9,80665
m/s2
si standard i nxitimit të Tokës. Megjithatë,
për detyra praktike e zakonshme është të
shfrytëzohet vlera e rrumbullakuar 9,81 m/s2
.
Domethënë, nëse shkak për rënie të lirë të
trupave me nxitim g është forca e rëndesës,
d.m.th. masa e trupit G, atëherë sipas Ligjit
të Dytë të Njutonit barazimin e tij mund ta
shënojmë si:
gmG
. (3.10)
Vektori G dhe g kanë drejtim dhe
kahe të njëjtë, prej së cilës vijon se nxitimi
i Tokës dhe pesha e trupave janë të drejtu-
ara kah qendra e Tokës, d.m.th. vertikalisht
teposhtë.
Shembulli 5. Llogarite masën e trupit me
masë 1 kg.
Zgjidhje: Nëse në barazimin (3.10) për
peshë të trupit ndërrohen masa e tij dhe nx-
itimi i TokĂ«s, ïŹtojmĂ«:
51. 51
;
N9,81
s
mkg
9,81
s
m
kg·9,811
22
G .
Rezultati tregon se për tu ngritur trup me
masë prej 1 kg përpjetë, e nevojshme është
të veprohet me forcë prej 9,81 N. Sipas kësaj
mund të përfundojmë se pesha e masës së
trupave numerikisht dallohen njëra prej
tjetrës për faktor të njëjtë të nxitimin e Tokës.
*Shembulli 6. Kamion me masë 1500
kg qëndron në majë të një kodrine me 20%
pjerrtësi. Gjatë lirimit momental të frenave
kamioni ïŹllon tĂ« lĂ«vizĂ« i nxituar tatĂ«pjetĂ«
nëpër kodër. Të gjendet: a) pesha e kami-
onit, b) forca që e nxiton.
Zgjidhje: Janë dhënë vlerat në vijim:
m = 1500 kg, g = 9,80 m/s2
dhe ulja tgΞ =
20%. NĂ« ïŹllim do ta gjeni kĂ«ndin Ξ.
20,0
100
20
tg
x
h
T q31,11T .
PĂ«r peshĂ«n e automobilit ïŹtohet:
2
m/s80,9kg1500 ËmgG ;
N7,14G .
Forca e nxitimit do të jetë e përcaktuar
me shprehjen
1961,0N7,14sin ËTGF ,
N883,2F .
Pyetje dhe detyra
1. Si deïŹnohet pesha e trupave?
2. A ka vlerë të njëjtë nxitimi i Tokës në tërë sipër-
faqen e Tokës?
3. Sa është pesha e automobilit me masë 2000 kg?
[PĂ«rgjigje. 19,62 kN].
3.5. LIGJI I TRETĂ I NJUTONIT
Sikurse edhe dy ligjet e tjerë të Njutonit,
edhe Ligji i Tretë i Njutonit është shfaqur në
librin e tij Principia Lex I. Ky thotë: Reaksioni
gjithmonë është i barabartë me kundër aksio-
nin, ose, me fjalë të tjera, forcat me të cilët dy
trupa veprojnë në mënyrë reciproke gjithmonë
janë të njëjtë sipas madhësisë, kanë drejtim të
njëjtë, ndërsa kahe të ndryshme.
Principiiaksionitdhereaksionitmundtëjetë
ilustruar me shembull të shkopit që godet top
(ïŹg,3.6).GjatĂ«goditjesshkopivepronmeforcĂ«
F në top, ndërsa topi vepron me të njëjtë, por
anasjelltas nëpër drejtimin forcë RF të shkopit.
Forca F i jep nxitim topit në të djathtë, derisa
forca RF e nxiton shkopin në të majtë.
Fig. 3.6. Shkopi vepron në top me forcë të barabartë
sipas madhësisë së forcës me të cilën topi vepron
me shkopin
![Autorë:
Margarita Ginovaka
Hristina Spasevska
Nevenka Andonovska
Recensentë:
Dr. Bllagoja Veljanovski
Zeqirija Zeqiri
Mihail Trenovski
PĂ«rkthyes:
Rushan Rahmani
Afrim Selimi
Redaktor i botimit në gjuhën shqipe:
Doc. dr. Abdyl Koleci
Lektor i botimit në gjuhën shqipe:
Abdulla Mehmeti
Ilustrues:
Igor Pançevski
Nevenka Andonovska
Botues:
Ministria për Arsim dhe Shkencë e Republikës së Maqedonisë
Shtypi:
Qendra graïŹke shpk, Shkup
Tirazhi: 3.100 copë
Me aktvendim të Ministrit përArsim dhe Shkencë të Republikës së Maqedonisë, nr. 22-4476/, të datës09.08.2010,
lejohet përdorimi i këtij libri.
CIP - ÉÉÉŹÉÉ„ÉšÉɹɥÉÉ°ÉąÊÉ ÉÉš É©ÉÉɄɹɀÉÉ°ÉąÊÉ
ÉÉɰɹɚɧÉÉ„É§É Éą ÉɧɹÉÉÉȘɥɹɏÉÉŹÉ«É€É ÉÉąÉɄɹɚɏÉÉ€É âÉÉ.ÉɄɹɊÉɧɏ ÉÉŻÉȘÉąÉɫɀɹâ , ÉɀɚɩÊÉ
53(075.3)
ÈœÉÉÉÈŒÉÉÈș, ÉÉÉȘÉÉÉȘɹɏÉ
ÉÉąÉĄÉąÉ€É : É©ÉȘÉÉ ÉÉšÉÉąÉ§É É«ÉȘÉÉɧɚ É«ÉŹÉȘÉɱɧɚ ÉšÉÉȘÉÉĄÉšÉÉÉ§ÉąÉ / ÉÉÉȘÉÉÉȘÉąÉŹÉ ÈœÉąÉ§ÉšÉÉ«É€É, ÉÉȘɹɫɏɹɧÉ
ÉÉ©ÉÉ«ÉÉÉ«É€É, ÉÉÉÉÉ§É€É ÈșɧÉɚɧɚÉÉ«É€É. - ÉɀɚɩÊÉ : ÉɹɧɹɫɏÉÉȘÉ«ÉŹÉÉš ÉĄÉ ÉšÉÉȘÉÉĄÉšÉÉÉ§ÉąÉ Éą ɧÉÉÉ€É É§É
ÉÉÉ©ÉÉÉ„ÉąÉ€É ÉÉÉ€ÉÉɚɧɹÊÉ, 2010. - 283 É«ÉŹÉȘ. : ɹɄÉÉ«ÉŹÉȘ. ; 30 É«ÉŠ
ISBN 978-608-226-259-8
1. ÉÉ©ÉÉ«ÉÉÉ«É€É, ÉÉȘÉąÉ«ÉŹÉąÉ§É [ ÉÉÉŹÉšÉȘ ] 2. ÈșɧÉɚɧɚÉÉ«É€É, ÉÉÉÉÉ§É€É [ ÉÉÉŹÉšÉȘ ]
COBISS.MK-ID 84270602](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)