‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
1
‫األول‬ ‫الفصل‬/‫المركبة‬ ‫األعداد‬
‫تعرٌف‬:
‫مالحظة‬
‫الجذ‬ ‫كتابة‬ ‫ٌمكننا‬‫بداللة‬ ‫سالب‬ ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬ ‫ألي‬ ‫ر‬𝒊‫ا‬‫ال‬‫فمث‬:
‫مثال‬1)/‫صورة‬ ‫أبسط‬ ً‫ف‬ ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫أكتب‬:𝒂 𝒊 𝟏𝟔
𝒃 𝒊 𝟓𝟖
𝒄 𝒊 𝟏𝟐𝒏+𝟗𝟑
𝒅 𝒊−𝟏𝟑
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
2
3 − 5i
‫مالحظة‬
‫مثال‬2/‫أكتب‬‫الصورة‬ ‫على‬ ‫التالٌة‬ ‫األعداد‬𝒂 + 𝒃𝒊
𝒅
𝟏 + −𝟐𝟓
𝟒
𝒄 − 𝟏 − −𝟑𝒃 −𝟏𝟎𝟎𝒂 − 𝟓
𝒅
𝟏 + −𝟐𝟓
𝟒
=
𝟏
𝟒
+
𝟐𝟓𝒊
𝟒
=
𝟏
𝟒
+
𝟓
𝟒
𝒊
‫مثال‬/‫التا‬ ‫األعداد‬ ‫أكتب‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫لٌة‬:
𝒂 𝒊 𝟏𝟔
= 𝒊 𝟒 𝟒
= 𝟏 𝟒
= 𝟏 = 𝟏 + 𝟎𝒊
𝒃 𝒊 𝟏𝟓
= 𝒊 𝟏𝟐
. 𝒊 𝟑
= 𝟏 . −𝐢 = −𝐢 = 𝟎 − 𝐢
𝒄 𝒊 −𝟐𝟑
=
𝟏
𝒊 𝟐𝟑
=
𝒊 𝟐𝟒
𝒊 𝟐𝟑
= 𝒊 = 𝟎 + 𝒊
𝒅 𝒊−𝟔
=
𝟏
𝒊 𝟔
=
𝒊 𝟖
𝒊 𝟔
= 𝒊 𝟐
= −𝟏 = −𝟏 + 𝟎𝐢
𝒆 𝒊−𝟒𝟒
=
𝟏
𝒊 𝟒𝟒
=
𝒊 𝟒𝟒
𝒊 𝟒𝟒
= 𝟏 = 𝟏 + 𝟎𝐢
𝒇 𝒊 −𝟏𝟑
=
𝟏
𝒊 𝟏𝟑
=
𝒊 𝟏𝟔
𝒊 𝟏𝟑
= 𝒊 𝟑
= −𝒊 = 𝟎 − 𝒊 𝒐𝒓 𝒊 −𝟏𝟑
= 𝒊 −𝟏𝟑
. 𝒊 𝟏𝟔
= 𝒊 𝟑
= −𝒊 = 𝟎 − 𝒊
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
3
/ ‫مثال‬ٌ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫أكتب‬‫أ‬ً‫ت‬‫بالصٌغة‬bi:
, , ,
‫مثال‬/‫ثم‬ ‫التالٌة‬ ‫المركبة‬ ‫لؤلعداد‬ ً‫التخٌل‬ ‫والجزء‬ ً‫الحقٌق‬ ‫الجزء‬ ‫عٌن‬‫الجبرٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫ضعها‬‫المركب‬ ‫للعدد‬.
‫ضع‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫ا‬‫ال‬‫ك‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرٌة‬ ‫أو‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬
‫التساوي‬ ‫خاصٌة‬
‫مثال‬(3)/‫من‬ ‫كل‬ ‫قٌمة‬ ‫جد‬x ,y‫تحقق‬ ً‫الت‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬:
𝒂 𝟐𝒙 − 𝟏 + 𝟐𝒊 = 𝟏 + 𝒚 + 𝟏 𝒊
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
4
𝒃 𝟑𝐱 + 𝟒𝒊 = 𝟐 + 𝟖𝒚𝒊
(c ) 𝟐𝒚 + 𝟏 – 𝟐𝒙 – 𝟏 𝒊 = −𝟖 + 𝟑𝒊
‫الجمع‬ ‫عملٌة‬‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬
‫مزع‬ ‫التخٌلٌزة‬ ‫واألجززاء‬ ‫بعضها‬ ‫مع‬ ‫الحقٌقٌة‬ ‫األجزاء‬ ‫نجمع‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫جمع‬ ‫عند‬‫عزدد‬ ‫أٌضزا‬ ‫زو‬ ‫والنزاته‬ ‫بعضزها‬
‫مركب‬ً‫ٌل‬ ‫وكما‬:
‫نفرض‬𝑪 𝟏 = 𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏 𝒊‫و‬𝑪 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒊: ‫فأن‬ ‫مركبان‬ ‫عددان‬
𝑪 𝟏 + 𝑪 𝟐 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟏 + 𝒃 𝟐 𝒊
‫الجمع‬ ‫خواص‬: ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬
‫مغلقة‬
‫أبدالٌة‬
‫تجمٌعٌة‬
ً‫الجمع‬ ‫النظٌر‬
‫المحاٌد‬ ‫العنصر‬
‫أبدالٌة‬ ‫زمرة‬
‫مثال‬(4)/ٌ‫العدد‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬‫ن‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬
𝒂 𝟑 + 𝟒 𝟐 𝒊 , 𝟓 − 𝟐 𝟐 𝒊
𝟑 + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟐 𝟐 = 𝟑 + 𝟓 + 𝟒 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟖 + 𝟐 𝟐
𝟑 , 𝟐 − 𝟓
𝟑 + 𝟎 + 𝟐 − 𝟓 = 𝟑 + 𝟐 + 𝟎 − 𝟓 = 𝟓 − 𝟓
𝟏 − , 𝟑
𝟏 − + 𝟎 + 𝟑 = 𝟏 + 𝟎 + −𝟏 + 𝟑 = 𝟏 + 𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
5
‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫جمع‬ ‫ناته‬ ‫أوجد‬:
𝟏 = 𝟏 + 𝟓 , = 𝟑 + 𝟕 , = −𝟏 −
+ + = + 5 + 3 + 7 + − − = + 3 − + 5 + 7 − = 3 +
𝟐 𝟐 + −𝟐 , − 𝟓 + 𝟐
𝟐 + 𝟐 + −𝟓 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟓 + 𝟐 + 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 𝟐
‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫طرح‬
‫كان‬ ‫أذا‬= + ‫و‬ = +‫فأن‬− = + −
‫مثال‬(5)/: ‫ناته‬ ‫جد‬
𝟕 − 𝟏𝟑 − 𝟗 + 𝟒
𝟕 − 𝟏𝟑 + −𝟗 − 𝟒
𝟕 − 𝟗 + −𝟏𝟑 − 𝟒 = −𝟐 − 𝟏𝟕
‫مثال‬(6)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 − 𝟒 + = −𝟓 +‫حٌث‬ℂ
= −𝟓 + − 𝟐 − 𝟒 = −𝟓 + + −𝟐 + 𝟒 = −𝟓 − 𝟐 + 𝟏 + 𝟒 = −𝟕 + 𝟓
‫مثال‬/‫كان‬ ‫أذا‬= 𝟏 + 𝟐 , = −𝟏 − 𝟕 , = −𝟏 − 𝟏𝟏
‫ما‬ ‫فأوجد‬ً‫ٌل‬−𝟐 − 𝟒 + 𝟑
−𝟐 − 𝟒 + 𝟑 = −𝟐 𝟏 + 𝟐 − 𝟒 −𝟏 − 𝟕 + 𝟑 −𝟏 − 𝟏𝟏
= −𝟐 − 𝟒 + 𝟒 + 𝟐𝟖 + −𝟑 − 𝟑𝟑
= −𝟐 + 𝟒 − 𝟑 + −𝟒 + 𝟐𝟖 − 𝟑𝟑 = −𝟏 − 𝟗
‫كان‬ ‫أذا‬= 𝟏 + 𝟐 , = −𝟏 − 𝟕 , = −𝟏 − 𝟏𝟏‫ف‬‫ما‬ ‫أوجد‬ً‫ٌل‬:
𝟐 + 𝟑 𝟑𝟑 + +− 𝟑 + 𝟐 − 𝟒 + 𝟐𝟐 + + 𝟑
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
6
‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملٌة‬
‫كان‬ ‫أذا‬= +،= +,k‫فأن‬
𝟏 . = + + = + + + 𝟐
= − + +
𝟐 . = + = +
‫الضرب‬ ‫عملٌة‬ ‫خواص‬‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬
(1)‫الضرب‬ ‫عملٌة‬‫مغلقة‬‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫دائما‬ ‫الناته‬ ‫أن‬ ‫أي‬
(2)‫الضرب‬ ‫عملٌة‬‫أبدالٌة‬‫أن‬ ‫أي‬𝟏 . 𝟐 = 𝟐 . 𝟏
(3)‫الضرب‬ ‫عملٌة‬‫تجمٌعٌة‬‫أن‬ ‫أي‬𝟏 . 𝟐 . 𝟑 = 𝟏 . 𝟐 . 𝟑
(4)ً‫الضرب‬ ‫المحاٌد‬( ‫و‬1‫وٌكتب‬ )𝟏 = 𝟏 + 𝟎
(5)ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬‫للعدد‬(c)‫و‬−𝟏
‫و‬‫أن‬ ‫ٌمكن‬‫ٌكتب‬‫بالصٌغة‬
𝟏
‫مثال‬(7)/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ناته‬ ‫جد‬:
𝟐 − 𝟑 𝟑 − 𝟓
𝟐 − 𝟑 𝟑 − 𝟓 = 𝟔 − 𝟏𝟎 − 𝟗 + 𝟏𝟓 𝟐
= 𝟔 − 𝟏𝟓 + −𝟏𝟎 − 𝟗 = −𝟗 − 𝟏𝟗
𝟑 + 𝟒 𝟐
𝟑 + 𝟒 𝟐
= 𝟗 + 𝟐𝟒 + 𝟏𝟔 𝟐
= 𝟗 − 𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 = −𝟕 + 𝟐𝟒
𝟏 +
𝟏 + = + 𝟐
= − 𝟏 = −𝟏 +
−𝟓
𝟐
𝟒 + 𝟑
−𝟓
𝟐
𝟒 + 𝟑 =
−𝟓
𝟐
𝟒 −
𝟓
𝟐
𝟑 = −𝟏𝟎 −
𝟏𝟓
𝟐
i
𝟏 + 𝟐
+ 𝟏 − 𝟐
𝟏 + 𝟐
+ 𝟏 − 𝟐
= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐
+ 𝟏 − 𝟐 + 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 = 𝟎
: ً‫ٌل‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ناته‬ ‫جد‬
𝟐 𝟏 + − 𝟑
𝟏 + 𝟐𝟏 𝟐 + −𝟑 𝟏 + 𝟐 −𝟑
𝟒 𝟐 + −𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 + −𝟖 𝟐 + 𝟐 −𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
7
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
‫كان‬ ‫أذا‬C‫له‬ ‫ٌرمز‬ ‫مرافقه‬ ‫فأن‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬̅‫كان‬ ‫أذا‬ ‫أي‬= +‫فأن‬̅ = −.
: ‫ا‬‫ال‬‫فمث‬𝟑 +‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫و‬𝟑 −‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬‫و‬−. ‫وبالعكس‬
𝟑 + 𝟐‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫و‬𝟑 − 𝟐‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬𝟑‫و‬𝟑.
‫مالحظة‬
‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 = +‫هو‬ ‫مرافقه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬𝟐 = −‫و‬‫فأن‬
𝟏 𝟏 + 𝟐 = 𝟐
𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟐
𝟑 𝟏 𝟐 = 𝟐
+ 𝟐
ً‫والضرب‬ ً‫الجمع‬ ‫والنظٌر‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫المرافق‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدناه‬ ‫الجدول‬:
‫المركب‬ ‫العدد‬ً‫الجمع‬ ‫النظٌر‬ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬‫المرافق‬
+− −
𝟏
+
−
𝟑 − 𝟐−𝟑 + 𝟐
𝟏
𝟑 − 𝟐
𝟑 + 𝟐
−𝟒𝟒
𝟏
−𝟒
−𝟒
−𝟔𝟔
𝟏
−𝟔
𝟔
𝟑− 𝟑
=
𝟏
𝟑
𝟐− 𝟐
= 𝟏
𝟏
𝟐
= 𝟐
= −𝟏𝟐
= −𝟏
𝟏 , −𝟒−𝟏 , 𝟒
𝟏
𝟏 , −𝟒
𝟏 , 𝟒
‫مثال‬(8)/‫كان‬ ‫أذا‬𝟐 = 𝟑 − 𝟐 , 𝟏 = 𝟏 +‫فتحقق‬: ‫من‬
𝟏 𝟏 + 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏
̅̅̅ + 𝟐
̅̅̅
. 𝟏 + 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + + 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟒 −̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟒 +
. 𝟏
̅̅̅ + 𝟐
̅̅̅ = 𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅ + 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 − + 𝟑 + 𝟐 = 𝟒 + . = .
𝟐 𝟏 − 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏
̅̅̅ − 𝟐
̅̅̅
. 𝟏 − 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + − 𝟑 + 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = −𝟐 + 𝟑̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = −𝟐 − 𝟑
. 𝟏
̅̅̅ − 𝟐
̅̅̅ = 𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅ − 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 − − 𝟑 + 𝟐 = −𝟐 − 𝟑 . = .
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
8
𝟑 𝟏. 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏
̅̅̅ . 𝟐
̅̅̅
. 𝟏. 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + . 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟑 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟐 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟓 +̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟓 −
. 𝟏
̅̅̅ . 𝟐
̅̅̅ = 𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅ . 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 − . 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 − 𝟑 − 𝟐 𝟐
= 𝟓 −
𝟒 𝟏
̿̿̿ = 𝟏
𝟏
̿̿̿ = 𝟏 +̿̿̿̿̿̿̿ = 𝟏 −̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + = 𝟏
𝟓 (
𝟏
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅
=
𝟏
̅̅̅
𝟐
̅̅̅ 𝟐 𝟎
. (
𝟏
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅
= (
𝟏 +
𝟑 − 𝟐
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (
𝟏 +
𝟑 − 𝟐
𝟑 + 𝟐
𝟑 + 𝟐
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= .
𝟑 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟐 𝟐
𝟗 + 𝟒
/
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (
𝟏 + 𝟓
𝟏𝟑
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=
𝟏 − 𝟓
𝟏𝟑
.
𝟏
̅̅̅
𝟐
̅̅̅
=
𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅
𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=
𝟏 −
𝟑 + 𝟐
=
𝟏 −
𝟑 + 𝟐
𝟑 − 𝟐
𝟑 − 𝟐
=
𝟑 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟐 𝟐
𝟗 + 𝟒
=
𝟏 − 𝟓
𝟏𝟑
‫مالحظة‬
(1)‫ظهور‬ ‫عند‬‫وكسره‬ ‫البسط‬ ‫مقام‬ ‫نضرب‬ ‫المقام‬ ً‫ف‬‫الحل‬ ‫لتبسٌط‬ ‫المقام‬ ‫بمرافق‬.
(2)‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫وٌرمز‬ )ً‫الضرب‬ ‫(النظٌر‬ ‫بدل‬ )‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫(مقلوب‬ ‫التعبٌر‬ ‫أستخدام‬ ‫ٌمكن‬−𝟏
‫ٌساوي‬ ‫و‬ ‫و‬
𝟏
( ‫مثال‬9)/‫للعدد‬ ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬ ‫جد‬‫ال‬‫مركب‬= 𝟐 − 𝟐‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫وضعه‬
𝟏
=
𝟏
𝟐 − 𝟐
=
𝟏
𝟐 − 𝟐
𝟐 + 𝟐
𝟐 + 𝟐
=
𝟐 + 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐
=
𝟐 + 𝟐
𝟒 + 𝟒
=
𝟐 + 𝟐
𝟖
=
𝟐
𝟖
+
𝟐
𝟖
=
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟒
( ‫مثال‬10)/‫كان‬ ‫أذا‬
𝟑−𝟐−
𝟏+𝟓
,‫من‬ ‫كل‬ ‫قٌمة‬ ‫فجد‬ ‫مترافقان‬,.
−
𝟏+𝟓
= (
𝟑−𝟐
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ −
𝟏+𝟓
=
𝟑+𝟐
−
− − = 𝟑 + 𝟐 𝟏 + 𝟓
− + 𝟐
= 𝟑 + 𝟏𝟓 + 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟐
− − = −𝟕 + 𝟏𝟕
‫أن‬ ‫نجد‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
− = −𝟕 = 𝟕 ‫الحقيقي‬
− = 𝟏𝟕 = −𝟏𝟕 ‫التخيلي‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
9
( ‫مثال‬11)/‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 = 𝟑 − 𝟐,𝟐 = 𝟏 +‫من‬ ‫فتحقق‬( 𝟏
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅
= 𝟏̅̅̅̅
𝟐̅̅̅̅
. (
𝟏
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅
= (
𝟑 − 𝟐
𝟏 +
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (
𝟑 − 𝟐
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= .
𝟑 − 𝟑 − 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (
𝟏 − 𝟓
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=
𝟏 + 𝟓
𝟐
=
𝟏
𝟐
+
𝟓
𝟐
.
𝟏
̅̅̅
𝟐
̅̅̅̅
=
𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅
=
𝟑 + 𝟐
𝟏 −
=
𝟑 + 𝟐
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 +
=
𝟑 + 𝟑 + 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟏 + 𝟓
𝟐
=
𝟏
𝟐
+
𝟓
𝟐
‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫قسمة‬
ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫نضرب‬ ‫أخر‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫على‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫قسمة‬ ‫عند‬
𝟏
𝟐
= 𝟏
𝟐
𝟐̅̅̅̅
𝟐̅̅̅̅
( ‫مثال‬12)/‫بالصورة‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬+:
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 +
=
𝟏 + + + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟐
𝟐
= = 𝟎 +
𝟐 −
𝟑 + 𝟒
𝟐 −
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
𝟑 − 𝟒
=
𝟔 − 𝟖 − 𝟑 + 𝟒 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
=
𝟐 − 𝟏𝟏
𝟗 + 𝟏𝟔
=
𝟐 − 𝟏𝟏
𝟐𝟓
=
𝟐
𝟐𝟓
−
𝟏𝟏
𝟐𝟓
𝟏 + 𝟐
−𝟐 +
𝟏 + 𝟐
−𝟐 +
−𝟐 −
−𝟐 −
=
−𝟐 − − 𝟒 − 𝟐 𝟐
−𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟎 − 𝟓
𝟓
=
−𝟓
𝟓
= − = 𝟎 −
‫مالحظة‬
‫تحلٌل‬ ‫ٌمكن‬𝟐
+ 𝟐
‫الصورة‬ ‫من‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫مركبٌن‬ ‫عددٌن‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬+‫أي‬:
𝟐
+ 𝟐
= 𝟐
− 𝟐 𝟐
= − +
( ‫مثال‬13)/‫ح‬‫ا‬‫ال‬‫ك‬ ‫لل‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬‫الصورة‬ ‫من‬ ‫عاملٌن‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬+‫حٌث‬,‫نسبٌة‬ ‫أعداد‬.
𝟏𝟎 𝟓𝟑 𝟑𝟗
𝟏𝟎 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟗 − 𝟐
= 𝟑 − 𝟑 +
𝟓𝟑 = 𝟒𝟗 + 𝟒 = 𝟒𝟗 − 𝟒 𝟐
= 𝟕 − 𝟐 𝟕 + 𝟐
𝟑𝟗 = 𝟑𝟔 + 𝟑 = 𝟑𝟔 − 𝟑 𝟐
= 𝟔 − 𝟑 𝟔 + 𝟑
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
10
− ‫تمارين‬
‫س‬1/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫ا‬‫ال‬‫ك‬ ‫ضع‬:
𝟓
, 𝟔
, 𝟏𝟐𝟒
, 𝟗𝟗𝟗
, 𝟒 +𝟏
, 𝟐 + 𝟑 𝟐
+ 𝟏𝟐 + 𝟐 , 𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 ,
𝟏 + 𝟒
− 𝟏 − 𝟒
,
𝟏𝟐 +
,
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
,
𝟐 + 𝟑
, (
𝟑 +
𝟏 +
)
𝟑
,
𝟐 + 𝟑
𝟏 −
𝟏 + 𝟒
𝟒 +
,
𝟏 + 𝟑
+ 𝟏 − 𝟑
𝟓
= 𝟒
. = 𝟏 . = = 𝟎 +
𝟔
= 𝟒
. 𝟐
= 𝟏 −𝟏 = −𝟏 = −𝟏 + 𝟎
𝟏𝟐𝟒
= 𝟒 𝟑𝟏
= 𝟏 𝟑𝟏
= 𝟏 = 𝟏 + 𝟎
𝟗𝟗𝟗
= 𝟒 𝟐𝟒𝟗
. 𝟑
= 𝟏 𝟐𝟒𝟗
. 𝟐
. = 𝟏. −𝟏 . = − = 𝟎 −
𝟒 +𝟏
= 𝟒
. = 𝟒
. = 𝟏 = = 𝟎 +
𝟐 + 𝟑 𝟐
+ 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟏𝟐 + 𝟗 𝟐
+ 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟏𝟒
𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 = 𝟎 + 𝟔𝟎 + 𝟎 + 𝟏𝟖 𝟐
= −𝟏𝟖 + 𝟔𝟎
𝟏 + 𝟒
− 𝟏 − 𝟒
= 𝟏 + 𝟐 𝟐
− 𝟏 − 𝟐 𝟐
= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟐
− 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟐 𝟐
− −𝟐 𝟐
= 𝟒 𝟐
− 𝟒 𝟐
= 𝟎 = 𝟎 + 𝟎
𝟏𝟐 +
=
𝟏𝟐 + −
−
=
−𝟏𝟐 − 𝟐
− 𝟐
=
𝟏 − 𝟏𝟐
𝟏
= 𝟏 − 𝟏𝟐
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
=
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
𝟑 + 𝟒
𝟑 + 𝟒
=
𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟔 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
=
−𝟕 + 𝟐𝟒
𝟗 + 𝟏𝟔
=
−𝟕
𝟐𝟓
+
𝟐𝟒
𝟐𝟓
𝟐 + 𝟑
=
𝟐 + 𝟑
𝟐 − 𝟑
𝟐 − 𝟑
=
𝟐 − 𝟑 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐
=
𝟑 + 𝟐
𝟒 + 𝟗
=
𝟑 + 𝟐
𝟏𝟑
=
𝟑
𝟏𝟑
+
𝟐
𝟏𝟑
(
𝟑 +
𝟏 +
)
𝟑
= (
𝟑 +
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
)
𝟑
= .
𝟑 − 𝟑 + − 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/
𝟑
= (
𝟒 − 𝟐
𝟐
)
𝟑
= 𝟐 − 𝟑
= 𝟐 − 𝟐
𝟐 − = 𝟒 − 𝟒 + 𝟐
𝟐 − = 𝟑 − 𝟒 𝟐 − = 𝟔 − 𝟑 − 𝟖 + 𝟒 𝟐
= 𝟐 − 𝟏𝟏
𝟐 + 𝟑
𝟏 −
𝟏 + 𝟒
𝟒 +
=
𝟐 + 𝟖 + 𝟑 + 𝟏𝟐 𝟐
𝟒 + − 𝟒 − 𝟐
=
−𝟏𝟎 + 𝟏𝟏
𝟓 − 𝟑
=
−𝟏𝟎 + 𝟏𝟏
𝟓 − 𝟑
𝟓 + 𝟑
𝟓 + 𝟑
=
−𝟓𝟎 − 𝟑𝟎 + 𝟓𝟓 + 𝟑𝟑 𝟐
𝟓 𝟐 + 𝟑 𝟐
=
−𝟖𝟑 + 𝟐𝟓
𝟐𝟓 + 𝟗
=
−𝟖𝟑 + 𝟐𝟓
𝟑𝟒
=
−𝟖𝟑
𝟑𝟒
+
𝟐𝟓
𝟑𝟒
𝟏 + 𝟑
+ 𝟏 − 𝟑
= 𝟏 + 𝟐
𝟏 + + 𝟏 − 𝟐
𝟏 −
= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐
𝟏 + + 𝟏 − 𝟐 + 𝟐
𝟏 −
= 𝟐 + 𝟐 𝟐
− 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟒 𝟐
= −𝟒 = −𝟒 + 𝟎
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
11
‫س‬2/‫قٌمة‬ ‫جد‬‫من‬ ‫كل‬,: ‫األتٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫تحققان‬ ‫اللتٌن‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬
+ 𝟓 = 𝟐 + + 𝟐
+ 𝟓 = 𝟐 𝟐
+ 𝟒 + + 𝟐 𝟐
+ 𝟓 = 𝟐 𝟐
− 𝟐 + 𝟒 +
+ 𝟓 = 𝟐 𝟐
− 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐
− 𝟐 ‫معادلة‬①
𝟓 = 𝟓 = 𝟏 ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
= 𝟐 𝟏 𝟐
− 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 = 𝟎
𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏
𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 𝟐
+ 𝟏 𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 − 𝟑
𝟖 = − 𝟑 + 𝟐 + 𝟐
− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 =
𝟑
‫معادلة‬①
𝟐 + 𝟐 = 𝟖
𝟐
⇒ + = 𝟒 = 𝟒 − ② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
𝟒 − = 𝟑 𝟒 − 𝟐
= 𝟑 𝟐
− 𝟒 + 𝟑 = 𝟎 − 𝟑 − 𝟏 = 𝟎
− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬ = 𝟏
− 𝟏 = 𝟎 = 𝟏 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬ = 𝟑
(
𝟏 −
𝟏 +
) + + = 𝟏 + 𝟐 𝟐
+ = 𝟏 + 𝟐 𝟐
− (
𝟏 −
𝟏 +
) = 𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐
− (
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
) = −𝟑 + 𝟒 − .
𝟏 − − + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/
+ = −𝟑 + 𝟒 − (
−𝟐
𝟐
) = −𝟑 + 𝟒 + + = −𝟑 + 𝟓 = −𝟑 = 𝟓
𝟐 −
𝟏 +
+
𝟑 −
𝟐 +
=
𝟏
[
𝟐 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
] + [
𝟑 −
𝟐 +
𝟐 −
𝟐 −
] =
𝟒
0
𝟐 − 𝟐 − + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
1 + 0
𝟔 − 𝟑 − 𝟐 + 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
1 = 𝟑
[
𝟏 − 𝟑
𝟐
] + [
𝟓 − 𝟓
𝟓
] = −
( 𝟏𝟎 ‫بالعدد‬ ‫نضرب‬ )
⇒ 𝟓 𝟏 − 𝟑 + 𝟐 𝟓 − 𝟓 = −𝟏𝟎
𝟓 − 𝟏𝟓 + 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟎 − 𝟏𝟎
𝟓 + 𝟏𝟎 = 𝟎 ‫معادلة‬①
−𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 = −𝟏𝟎 ‫معادلة‬ ‫بالجمع‬ ‫أنيآ‬ ‫تحل‬
−𝟏𝟎 = −𝟏𝟎 = 𝟏 ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
𝟓 𝟏 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝟏𝟎 = −𝟓 =
−𝟓
𝟏𝟎
=
−𝟏
𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
12
‫س‬3/‫أن‬ ‫أثبت‬:
𝟏
𝟐 − 𝟐
−
𝟏
𝟐 + 𝟐
=
𝟖
𝟐𝟓
‫األولى‬ ‫الطريقة‬
𝟏
𝟐 − 𝟐
−
𝟏
𝟐 + 𝟐
= (
𝟏
𝟐 −
)
𝟐
− (
𝟏
𝟐 +
)
𝟐
(
𝟏
𝟐 −
𝟐 +
𝟐 +
)
𝟐
− (
𝟏
𝟐 +
𝟐 −
𝟐 −
)
𝟐
(
𝟐 +
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
)
𝟐
− (
𝟐 −
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
)
𝟐
(
𝟐 +
𝟓
)
𝟐
− (
𝟐 −
𝟓
)
𝟐
= .
𝟒 + 𝟒 + 𝟐
𝟐𝟓
/ − .
𝟒 − 𝟒 + 𝟐
𝟐𝟓
/ = (
𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓
) − (
𝟑 − 𝟒
𝟐𝟓
)
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓
=
𝟖
𝟐𝟓
‫الثانية‬ ‫الطريقة‬
𝟏
𝟐 − 𝟐
−
𝟏
𝟐 + 𝟐
=
𝟐 + 𝟐
− 𝟐 − 𝟐
𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟐
=
𝟒 + 𝟒 + 𝟐
− 𝟒 − 𝟒 + 𝟐
𝟒 − 𝟒 + 𝟐 𝟒 + 𝟒 + 𝟐
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 − 𝟒
𝟑 − 𝟒 𝟑 + 𝟒
=
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
=
𝟖
𝟗 + 𝟏𝟔
=
𝟖
𝟐𝟓
‫الثالثة‬ ‫الطريقة‬
𝟏
𝟐 − 𝟐
−
𝟏
𝟐 + 𝟐
=
𝟏
𝟒 − 𝟒 + 𝟐
−
𝟏
𝟒 + 𝟒 + 𝟐
=
𝟏
𝟑 − 𝟒
−
𝟏
𝟑 + 𝟒
(
𝟏
𝟑 − 𝟒
𝟑 + 𝟒
𝟑 + 𝟒
) − (
𝟏
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
𝟑 − 𝟒
) = (
𝟑 + 𝟒
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
) − (
𝟑 − 𝟒
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
)
(
𝟑 + 𝟒
𝟗 + 𝟏𝟔
) − (
𝟑 − 𝟒
𝟗 + 𝟏𝟔
) = (
𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓
) − (
𝟑 − 𝟒
𝟐𝟓
) =
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓
=
𝟖
𝟐𝟓
‫وزاري‬2012/‫د‬3
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
= −𝟐
‫األولى‬ ‫الطريقة‬
𝟏 − 𝟑
+ 𝟏 + 𝟑
𝟏 + 𝟏 −
=
𝟏 − 𝟐
𝟏 − + 𝟏 + 𝟐
𝟏 +
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
𝟏 − 𝟐 + 𝟐
𝟏 − + 𝟏 + 𝟐 + 𝟐
𝟏 +
𝟏 + 𝟏
=
−𝟐 𝟏 − + 𝟐 𝟏 +
𝟐
−𝟐 + 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟐 𝟐
+ 𝟐 𝟐
𝟐
=
−𝟐 − 𝟐
𝟐
=
−𝟒
𝟐
= −𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
13
‫الثانية‬ ‫الطريقة‬
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
=
𝟏 − 𝟏 −
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟏 +
𝟏 −
(
𝟏 −
𝟏 +
) 𝟏 − + (
𝟏 +
𝟏 −
) 𝟏 + = (
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
) 𝟏 − + (
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 +
) 𝟏 +
.
𝟏 − − + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/ 𝟏 − + .
𝟏 + + + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/ 𝟏 + = (
−𝟐
𝟐
) 𝟏 − + (
𝟐
𝟐
) 𝟏 +
− 𝟏 − + 𝟏 + = − + 𝟐
+ + 𝟐
= 𝟐
+ 𝟐
= −𝟏 − 𝟏 = −𝟐
‫الثالثة‬ ‫الطريقة‬
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
=
𝟏 − 𝟐 + 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐 + 𝟐
𝟏 −
=
−𝟐
𝟏 +
+
𝟐
𝟏 −
)‫المقامات‬ ‫(توحٌد‬ ‫المضاعف‬ ‫توجد‬ ‫أو‬ ‫بالمرافق‬ ‫جزء‬ ‫كل‬ ‫تضرب‬ ‫أن‬ ‫تستطٌع‬ ‫نا‬ ‫الطالب‬ ‫عزٌزي‬ ‫الحظ‬
−𝟐 𝟏 − + 𝟐 𝟏 +
𝟏 + 𝟏 −
=
−𝟐 + 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟐 𝟐
+ 𝟐 𝟐
𝟏 + 𝟏
=
−𝟐 − 𝟐
𝟐
=
−𝟒
𝟐
= −𝟐
‫الرابعة‬ ‫الطريقة‬
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
= 0
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
1 + 0
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 +
1
= 0
𝟏 − 𝟑
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
1 + 0
𝟏 + 𝟑
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
1 = 0
𝟏 − 𝟐
𝟏 −
𝟏 + 𝟏
1 + 0
𝟏 + 𝟐
𝟏 +
𝟏 + 𝟏
1
= 0
𝟏 − 𝟐 + 𝟐
𝟏 −
𝟐
1 + 0
𝟏 + 𝟐 + 𝟐
𝟏 +
𝟐
1 = 0
−𝟐 𝟏 −
𝟐
1 + 0
𝟐 𝟏 +
𝟐
1
= 0
−𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟐
1 + 0
𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟐
1 = [
−𝟐 − 𝟐
𝟐
] + [
−𝟐 + 𝟐
𝟐
] = −𝟏 − − 𝟏 + = −𝟐
𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
= 𝟒
𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
= 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ]
𝟏 − 𝟐 [𝟏 + ] = 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟐 + 𝟐 = 𝟒
‫س‬4/‫ا‬‫ال‬‫ز‬‫ز‬‫ك‬ ‫زل‬‫ز‬‫حل‬‫زداد‬‫ز‬‫األع‬ ‫زن‬‫ز‬‫م‬𝟐𝟗 , 𝟏𝟐𝟓 , 𝟒𝟏 , 𝟖𝟓‫زن‬‫ز‬‫م‬ ‫زاملٌن‬‫ز‬‫ع‬ ‫زرب‬‫ز‬‫ض‬ ‫زل‬‫ز‬‫حاص‬ ‫زى‬‫ز‬‫ال‬
‫الصورة‬+‫حٌث‬,‫نسبٌان‬ ‫عددان‬:
𝟐𝟗 = 𝟐𝟓 + 𝟒 = 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐
= 𝟓 − 𝟐 𝟓 + 𝟐
𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟐𝟏 + 𝟒 = 𝟏𝟐𝟏 − 𝟒 𝟐
= 𝟏𝟏 − 𝟐 𝟏𝟏 + 𝟐
𝟒𝟏 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 𝟐
= 𝟓 − 𝟒 𝟓 + 𝟒
𝟖𝟓 = 𝟖𝟏 + 𝟒 = 𝟖𝟏 − 𝟒 𝟐
= 𝟗 − 𝟐 𝟗 + 𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
14
‫س‬5/‫قٌمة‬ ‫جد‬,‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬
𝟔
+
,
𝟑+
𝟐−
‫مترافقان‬.
‫نغٌر‬‫إشارة‬ً‫التخٌل‬ ‫للعدد‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬
𝟑+
𝟐−
‫المعالة‬ ‫ونحل‬ ‫متساوٌان‬ ‫العددان‬ ‫ٌصبح‬ ً‫لك‬.
𝟔
+
=
𝟑 −
𝟐 +
𝟔 𝟐 + = + 𝟑 − + =
𝟔 𝟐 +
𝟑 −
+ =
𝟔 𝟐 +
𝟑 −
𝟑 +
𝟑 +
=
𝟔 𝟔 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟔 𝟓 + 𝟓
𝟗 + 𝟏
=
𝟑𝟎 + 𝟑𝟎
𝟏𝟎
+ = 𝟑 + 𝟑 = 𝟑 , = 𝟑
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافية‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫الجبرٌة‬ ‫أو‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫أكتب‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬
𝟏 𝟓 + 𝟑 𝟏 + + 𝟐 − 𝟐
𝟓 + 𝟓 + 𝟑 + 𝟑 𝟐
+ 𝟒 − 𝟒 + 𝟐
= 𝟐 + 𝟖 + 𝟑 − 𝟒 = 𝟓 + 𝟒
𝟐 .
𝟑 −
𝟏 + 𝟑
/
𝟗
.
𝟑 −
𝟏 + 𝟑
/
𝟗
= .
𝟑 −
𝟏 + 𝟑
𝟏 − 𝟑
𝟏 − 𝟑
/
𝟗
= (
𝟑 − 𝟑 − + 𝟑 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟑
𝟐
)
𝟗
= (
−𝟒
𝟒
)
𝟗
= − 𝟗
= − 𝟖
= − = 𝟎 −
𝟑 𝟏 − −𝟑
𝟐
+ 𝟐 − −𝟑
𝟐
𝟏 − 𝟑
𝟐
+ 𝟐 − 𝟑
𝟐
= 𝟏 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐
+ 𝟒 − 𝟒 𝟑 + 𝟑 𝟐
−𝟐 − 𝟐 𝟑 + 𝟏 − 𝟒 𝟑 = −𝟏 − 𝟔 𝟑
‫مثال‬/‫مركبٌن‬ ‫عددٌن‬ ‫جد‬‫مترافقٌن‬‫مجموعهما‬𝟔 =‫ضربهما‬ ‫وحاصل‬𝟏𝟎 =
‫أن‬ ‫نفرض‬‫هو‬ ‫العدد‬𝟏 = +‫هو‬ ‫مرافقه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬𝟐 = −
𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟔 = 𝟐 = 𝟑
𝟏. 𝟐 = 𝟐
+ 𝟐
𝟏𝟎 = 𝟑 𝟐
+ 𝟐 𝟐
= 𝟏 = 𝟏
∴‫هما‬ ‫العددان‬𝟑 −‫و‬𝟑 +
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
15
‫مثال‬/‫أكتب‬‫العدد‬𝟑 + 𝟐 −𝟐 +‫الدٌكارتٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫له‬ ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬.
𝟑 + 𝟐 −𝟐 + = −𝟔 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟐 𝟐
= −𝟖 − ‫االجبرية‬ ‫الصيغة‬
𝟏
−𝟖 −
=
𝟏
−𝟖 −
−𝟖 +
−𝟖 +
=
−𝟖 +
−𝟖 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
−𝟖
𝟔𝟓
+
𝟏
𝟔𝟓
= (
−𝟖
𝟔𝟓
,
𝟏
𝟔𝟓
) ‫الديكارتية‬ ‫الصيغة‬
‫مثال‬/‫كان‬ ‫أذا‬= −𝟏 + 𝟐‫المعادلة‬ ‫قٌمة‬ ‫فأوجد‬𝟐
+ 𝟐 + 𝟓
𝟐
+ 𝟐 + 𝟓 = −𝟏 + 𝟐 𝟐
+ 𝟐 −𝟏 + 𝟐 + 𝟓
= 𝟏 − 𝟒 + 𝟒 𝟐
+ −𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = −𝟑 − 𝟒 − 𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = 𝟎 = 𝟎 + 𝟎
‫مثال‬/‫كان‬ ‫أذا‬ℂ‫و‬̅‫ٌحقق‬ ‫الذي‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جد‬ ‫له‬ ‫مرافق‬𝟐 + 𝟑=𝟑 + ̅
= + ̅ = −
𝟑 + + − = 𝟐 + 𝟑 𝟑 + 𝟑 + − = 𝟐 + 𝟑
𝟑 + = 𝟑 𝟒 = 𝟑 =
𝟑
𝟒
𝟑 − = 𝟐 𝟐 = 𝟐 = 𝟏
= + =
𝟑
𝟒
+
‫مثال‬/‫أذا‬‫كان‬=
𝟏𝟑−
𝟒+
,=
𝟕−
𝟐−
‫أن‬ ‫أثبت‬,‫مترافقان‬‫ثم‬‫ر‬ ‫المقدا‬ ‫أحسب‬𝟐
+ 𝟐 𝟐
.
‫الحقيقية‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ينتمي‬ ‫والضرب‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫ناتج‬ ‫أن‬ ‫نثبت‬
=
𝟏𝟑 −
𝟒 +
=
𝟏𝟑 −
𝟒 +
𝟒 −
𝟒 −
=
𝟓𝟐 − 𝟏𝟑 − 𝟒 + 𝟐
𝟒 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟓𝟏 − 𝟏𝟕
𝟏𝟕
=
𝟓𝟏
𝟏𝟕
−
𝟏𝟕
𝟏𝟕
= 𝟑 −
=
𝟕 −
𝟐 −
=
𝟕 −
𝟐 −
𝟐 +
𝟐 +
=
𝟏𝟒 + 𝟕 − 𝟐 − 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟏𝟓 + 𝟓
𝟓
= 𝟑 +
𝟑 + + 𝟑 − = 𝟔
𝟑 + 𝟑 − = 𝟑 𝟐
+ 𝟏 𝟐
= 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎
, ‫مترافقان‬
𝟐
+ 𝟐
= + = 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟔𝟎
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
16
‫مثال‬/‫بالصٌغة‬ ‫أكتب‬)‫(المرافق‬ ‫المنسب‬ ‫بالعامل‬ ‫الضرب‬ ‫بدون‬ ‫الجبرٌة‬ ‫أو‬ ‫العادٌة‬
𝟓
𝟏 − 𝟐
𝟓
𝟏 − 𝟐
=
𝟏 + 𝟒
𝟏 − 𝟐
=
𝟏 − 𝟒 𝟐
𝟏 − 𝟐
=
𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐
𝟏 − 𝟐
= 𝟏 + 𝟐
𝟓
𝟐 −
𝟓
𝟐 −
=
𝟒 + 𝟏
𝟐 −
=
𝟒 − 𝟐
𝟐 −
=
𝟐 − 𝟐 +
𝟐 −
= 𝟐 +
𝟏𝟑
𝟐 + 𝟑
𝟏𝟑
𝟐 + 𝟑
=
𝟒 + 𝟗
𝟐 + 𝟑
=
𝟒 − 𝟗 𝟐
𝟐 + 𝟑
=
𝟐 − 𝟑 𝟐 + 𝟑
𝟐 + 𝟑
= 𝟐 − 𝟑
𝟏𝟑
𝟑 + 𝟐
𝟏𝟑
𝟑 + 𝟐
=
𝟗 + 𝟒
𝟑 + 𝟐
=
𝟗 − 𝟒 𝟐
𝟑 + 𝟐
=
𝟑 − 𝟐 𝟑 + 𝟐
𝟑 + 𝟐
= 𝟑 − 𝟐
𝟏𝟎
𝟏 + 𝟐
𝟏𝟎
𝟏 + 𝟐
=
𝟐 𝟓
𝟏 + 𝟐
=
𝟐 𝟏 + 𝟒
𝟏 + 𝟐
=
𝟐 𝟏 − 𝟒 𝟐
𝟏 + 𝟐
=
𝟐 𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐
𝟏 + 𝟐
= 𝟐 𝟏 − 𝟐
𝟏𝟎
𝟏 + 𝟐
= 𝟐 − 𝟒
𝟏𝟎
𝟐 +
𝟏𝟎
𝟐 +
=
𝟐 𝟓
𝟐 +
=
𝟐 𝟒 + 𝟏
𝟐 +
=
𝟐 𝟒 − 𝟐
𝟐 +
=
𝟐 𝟐 − 𝟐 +
𝟐 +
= 𝟐 𝟐 − = 𝟒 − 𝟐
‫مثال‬/‫مركبٌن‬ ‫لعددٌن‬ ‫عاملٌن‬ ‫الى‬ ‫حلل‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬
𝟏 𝟐
+ 𝟒 𝟐
+ 𝟒 = 𝟐
− 𝟒 𝟐
= − 𝟐 + 𝟐
𝟐 𝟐
+ 𝟐𝟓 𝟐 𝟐
+ 𝟐𝟓 𝟐
= 𝟐
− 𝟐𝟓 𝟐 𝟐
= − 𝟓 + 𝟓
𝟑 𝟑
− 𝟔𝟒 𝟑
− 𝟔𝟒 = 𝟑
+ 𝟔𝟒 𝟑
= + 𝟒 𝟐
− 𝟒 − 𝟏𝟔
𝟒 𝟑
+
𝟏
𝟐𝟕
𝟑
+
𝟏
𝟐𝟕
= 𝟑
−
𝟏
𝟐𝟕
𝟑
= ( −
𝟏
𝟑
) ( 𝟐
+
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟗
𝟐
)
𝟑
+
𝟏
𝟐𝟕
= ( −
𝟏
𝟑
) ( 𝟐
+
𝟏
𝟑
−
𝟏
𝟗
)
𝟓 𝟐
− + 𝟏𝟐 𝟐
− + 𝟏𝟐 = 𝟐
− − 𝟏𝟐 𝟐
= − 𝟒 + 𝟑
𝟔 𝟐
+ 𝟕 − 𝟏𝟎 𝟐
+ 𝟕 + 𝟏𝟎 𝟐
= + 𝟓 + 𝟐
𝟕 − 𝟐 𝟐
+ 𝟒 − 𝟐 𝟐
+ 𝟒 = − 𝟐 𝟐
− 𝟒 𝟐
= − 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 + 𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
17
‫مثال‬/‫قٌمة‬ ‫أوجد‬,‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ً‫والت‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬
𝟑 + 𝟐 𝟐
= + 𝟑 𝟐
𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟒 𝟐
= 𝟐
+ 𝟔 + 𝟗 𝟐
𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟒 = 𝟐
+ 𝟔 − 𝟗
𝟗 − 𝟒 = 𝟐
− 𝟗 𝟓 = 𝟐
− 𝟗 =
𝟐
− 𝟗
𝟓
‫معادلة‬
𝟏𝟐 = 𝟔 𝟐 = ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
=
𝟐
− 𝟗
𝟓
=
𝟐 𝟐
− 𝟗
𝟓
=
𝟒 𝟐
− 𝟗
𝟓
𝟓 = 𝟒 𝟐
− 𝟗 𝟒 𝟐
− 𝟓 − 𝟗 = 𝟎
𝟒 𝟐
− 𝟓 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 − 𝟗 + 𝟏 = 𝟎
𝟒 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 = 𝟗 =
𝟗
𝟒
= 𝟐 = 𝟐 (
𝟗
𝟒
) =
𝟗
𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 = −𝟏 = 𝟐 = 𝟐 −𝟏 = −𝟐
+ 𝟓 = 𝟐 + +
+ 𝟓 = 𝟐 + + + 𝟓 = 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + + 𝟐
+ 𝟓 = 𝟐 𝟐
+ 𝟑 − 𝟏
= 𝟐 𝟐
− 𝟏 ‫معادلة‬
𝟓 = 𝟑 =
𝟓
𝟑
‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
= 𝟐 (
𝟓
𝟑
)
𝟐
− 𝟏 = 𝟐 (
𝟐𝟓
𝟗
) − 𝟏 =
𝟓𝟎
𝟗
− 𝟏 =
𝟓𝟎 − 𝟗
𝟗
=
𝟒𝟏
𝟗
+ 𝟐 − = 𝟖 +
+ =
𝟖 +
𝟐 −
=
𝟖 +
𝟐 −
𝟐 +
𝟐 +
=
𝟏𝟔 + 𝟖 + 𝟐 + 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟏𝟓 + 𝟏𝟎
𝟓
= 𝟑 + 𝟐
+ = 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟐
+ + = 𝟏
+ =
𝟏
+
=
𝟏
+
−
−
=
−
𝟐 + 𝟐
+ =
−
𝟐 + 𝟐
= 𝟐 + 𝟐
=
−
𝟐 + 𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
18
+ + − = 𝟏𝟑 −
𝟐
+ + 𝟐
− = 𝟏𝟑 − 𝟐
+ 𝟐
+ − = 𝟏𝟑 −
𝟐
+ 𝟐
= 𝟏𝟑 ‫معادلة‬
− = −𝟏 = + 𝟏 ‫معادلة‬ ① ‫معادلة‬②‫في‬ ‫نعوض‬
𝟐
+ + 𝟏 𝟐
= 𝟏𝟑 𝟐
+ 𝟐
+ 𝟐 + 𝟏 = 𝟏𝟑
𝟐 𝟐
+ 𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟎
(𝟐 ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫نقسم‬ )
⇒ 𝟐
+ − 𝟔 = + 𝟑 − 𝟐 = 𝟎
+ 𝟑 = 𝟎 = −𝟑 = + 𝟏 = −𝟑 + 𝟏 = −𝟐
− 𝟐 = 𝟎 = 𝟐 = + 𝟏 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑
𝟐 + − + =
𝟗 𝟐
+ 𝟒𝟗
𝟑 + 𝟕
−𝟐 + 𝟐 − 𝟐
+ 𝟐
=
𝟗 𝟐
− 𝟒𝟗 𝟐
𝟑 + 𝟕
−𝟑 + 𝟐 − 𝟐
=
𝟑 − 𝟕 𝟑 + 𝟕
𝟑 + 𝟕
−𝟑 + 𝟐 − 𝟐
= 𝟑 − 𝟕
−𝟑 = 𝟑 − = ‫معادلة‬
𝟐 − 𝟐
= −𝟕 𝟐 + 𝟕 = 𝟐 𝟐
= 𝟗 = 𝟑 ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
= − = − 𝟑 = 𝟑
‫س‬1/‫حلل‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬‫مركبٌن‬ ‫لعددٌن‬ ‫عاملٌن‬ ‫الى‬:
𝟒 𝟑
+
𝟏
𝟏𝟐𝟓
𝟏 𝟐
+ 𝟗
𝟓 𝟐
− + 𝟔𝟐 𝟐
+ 𝟏𝟔 𝟐
𝟔 𝟐
+ 𝟕 − 𝟏𝟐𝟑 𝟑
− 𝟖
𝟖 𝟑
− 𝟐 𝟐
+ 𝟗𝟕 − 𝟏 𝟐
+ 𝟒
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
19
‫س‬2/‫قٌمة‬ ‫أوجد‬,‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ً‫والت‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬
+ 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟒
+ 𝟐
𝟏 + 𝟑
= 𝟏
+ −𝟏
=
𝟏 + 𝟑
𝟏 − 𝟑
𝟏
𝟏 +
=
+ 𝟐
𝟏 + 𝟑
+ = 𝟓 + 𝟐 −𝟐
‫س‬3/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ً‫ٌل‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬:
𝟓 + 𝟐 −𝟐
𝟑 + 𝟒 −𝟏
𝟏 + 𝟐 −𝟐
𝟑 + 𝟒 𝟐
******************************************************************
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬
‫كان‬ ‫أذا‬𝟐
=‫فأن‬=‫د‬ ‫للعد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ً ‫و‬‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫أما‬𝟐
= 𝟒‫فأن‬= 𝟐‫زو‬
‫التالٌة‬ ‫األمثلة‬ ‫الحظ‬ ‫طرٌقتان‬ ‫توجد‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫وألٌجاد‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬.
( ‫مثال‬14)/‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬= 𝟖 + 𝟔
‫الطرٌقة‬①/‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬(c)‫و‬+
+ 𝟐
= 𝟖 + 𝟔 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟖 + 𝟔 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟖 + 𝟔
𝟐
− 𝟐
= 𝟖 ‫معادلة‬①
𝟐 = 𝟔 = 𝟑 =
𝟑
‫معادلة‬② ① ‫معادلة‬②‫في‬ ‫نعوض‬
𝟐
−
𝟗
𝟐
= 𝟖
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒
− 𝟗 = 𝟖 𝟐 𝟒
− 𝟖 𝟐
− 𝟗 = 𝟎 𝟐
− 𝟗 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
𝟐
= 𝟗 = 𝟑 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬
=
𝟑
=
𝟑
𝟑
= 𝟏
𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 𝟐
= −𝟏 ‫يهمل‬
𝟑 + , − 𝟑 − ‫هما‬ ‫الجذران‬
‫الطرٌقة‬②/‫نجزئ‬‫عدد‬ ‫الى‬ ً‫الحقٌق‬ ‫الجزء‬‫ٌن‬
𝟖 + 𝟔 = 𝟗 + 𝟔 − 𝟏 = 𝟗 + 𝟔 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐
‫بالجذر‬
⇒ = 𝟑 +
𝟑 + , − 𝟑 − ‫هما‬ ‫الجذران‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
20
‫مالحظة‬
‫لعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫أٌجاد‬ ‫عند‬‫مركب‬‫على‬ ‫ٌحتوي‬‫زو‬ ‫الجزذر‬ ‫نفرض‬+‫كمزا‬ ‫الحزل‬ ‫ونكمزل‬ ‫نربعزه‬ ‫ثزم‬
ً‫التال‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬.
( ‫مثال‬51)/‫لؤلعداد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬:𝟖 , − , −𝟏𝟕, −𝟐𝟓
𝟖
‫الطرٌقة‬①/‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬𝟖‫و‬+
𝟖 = + 𝟐
𝟖 = 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟖 = 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐
𝟐
− 𝟐
= 𝟎 ‫معادلة‬①
𝟐 = 𝟖 = 𝟒 =
𝟒
‫معادلة‬② ① ‫معادلة‬②‫في‬ ‫نعوض‬
𝟐
−
𝟏𝟔
𝟐
= 𝟎
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
− 𝟒 𝟐
+ 𝟒 = 𝟎
𝟐
− 𝟒 = 𝟎 𝟐
= 𝟒 = 𝟐 ② ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬
=
𝟒
=
𝟒
𝟐
= 𝟐
𝟐
+ 𝟒 = 𝟎 𝟐
= −𝟒 ‫تهمل‬
𝟐 + 𝟐 , −𝟐 − 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬
‫الطريقة‬②/
𝟖 = 𝟒 + 𝟖 − 𝟒 = 𝟒 + 𝟖 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟐
‫بالجذر‬
⇒ 𝟐 + 𝟐
𝟐 + 𝟐 , −𝟐 − 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬
−
‫الطرٌقة‬①/‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬−‫و‬+
− = + 𝟐
− = 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
− = 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐
𝟐
− 𝟐
= 𝟎 ‫معادلة‬①
𝟐 = −𝟏 =
−𝟏
𝟐
=
−𝟏
𝟐
‫معادلة‬② ① ‫معادلة‬②‫في‬ ‫نعوض‬
𝟐
−
𝟏
𝟒 𝟐
= 𝟎
(𝟒 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒 𝟒
− 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
− 𝟏 𝟐 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
𝟐 𝟐
− 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
= 𝟏 𝟐
=
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟐
② ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬
=
−𝟏
𝟐
=
−𝟏
𝟐 (
𝟏
𝟐
)
=
−𝟏
𝟐 𝟐 (
𝟏
𝟐
)
=
𝟏
𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
21
𝟐 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
= −𝟏 𝟐
=
−𝟏
𝟐
‫تهمل‬
−𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
‫هما‬ ‫الجذران‬
‫الطريقة‬②/
− = √
𝟏
𝟐
− −
𝟏
𝟐
= √
𝟏
𝟐
− +
𝟏
𝟐
𝟐
= √(
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
)
𝟐
= (
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
)
−𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
‫هما‬ ‫الجذران‬
− 𝟏𝟕
𝟐
= −𝟏𝟕 = −𝟏𝟕 = 𝟏𝟕 −𝟏 = 𝟏𝟕 𝟐 = 𝟏𝟕
− 𝟐𝟓
𝟐
= −𝟐𝟓 = −𝟐𝟓 = 𝟐𝟓 −𝟏 = 𝟐𝟓 𝟐 = 𝟓
ً‫ف‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ
‫ال‬ ‫تربٌعٌة‬ ‫معادلة‬ ‫كل‬ٌ‫م‬‫الدستور‬ ‫بطرٌقة‬ ‫تحل‬ ً‫فه‬ ‫التجربة‬ ‫بطرٌقة‬ ‫حلها‬ ‫كن‬‫ا‬‫ال‬‫مث‬𝟐
+ + = 𝟎
‫حٌث‬𝟎‫و‬, ,‫فزأن‬=
− 𝟐−𝟒
𝟐
‫ونالح‬‫ـزـ‬‫أن‬ ‫ظ‬‫ــــزـ‬‫مق‬ ‫كزان‬ ‫أذا‬ ‫ه‬‫ــزـ‬ٌ‫المم‬ ‫دار‬‫ـزـ‬‫ز‬
𝟐
− 𝟒‫ا‬‫ا‬‫سالب‬‫المركبزة‬ ‫األعزداد‬ ‫مجموعزة‬ ‫الزى‬ ً‫تنتمز‬ ‫بالمعادلزة‬ ‫الخاصة‬ ‫الحلول‬ ‫مجموعة‬ ‫فأن‬‫نوعزان‬ ‫وٌوجزد‬
‫التربٌعٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ‫من‬.
‫الممٌز‬ / ‫األول‬ ‫النوع‬‫ٌحتو‬ ‫ال‬‫ي‬‫على‬
( ‫مثال‬16)/‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐
+ 𝟒 + 𝟓 = 𝟎‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ ً‫ف‬.
‫فأن‬ ‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫حسب‬= , = 4 , = 5
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟒 𝟏𝟔 − 𝟒 𝟏 𝟓
𝟐 𝟏
=
−𝟒 𝟏𝟔 − 𝟐𝟎
𝟐
=
−𝟒 −𝟒
𝟐
=
−𝟒 𝟒 −𝟏
𝟐
=
−𝟒 𝟒 𝟐
𝟐
=
−𝟒 𝟐
𝟐
= −𝟐
{−𝟐 + , −𝟐 − } ‫هي‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
22
‫مالحظة‬
‫أن‬ ‫نعلم‬ ‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬‫جذري‬‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬𝟐
+ + = 𝟎ً‫الت‬ً ‫الحقٌقٌة‬ ‫معامالتها‬
𝟏 =
− + 𝟐 − 𝟒
𝟐
, 𝟐 =
− − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟏 + 𝟐 =
− + 𝟐 − 𝟒
𝟐
+
− − 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− + 𝟐 − 𝟒 − − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟏 + 𝟐 =
−𝟐
𝟐 𝟏 + 𝟐 =
−
(‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬
𝟏. 𝟐 =
− + 𝟐 − 𝟒
𝟐
− − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟏. 𝟐 =
𝟐
+ 𝟐 − 𝟒 − 𝟐 − 𝟒 − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟒 𝟐
=
𝟐
− 𝟐
+ 𝟒
𝟒 𝟐
=
𝟒
𝟒 𝟐
=
𝟏. 𝟐 = (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ )
‫وٌمكن‬‫االستفادة‬ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫أعاله‬ ‫الخاصٌة‬ ‫من‬:
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎 𝟐
− + = 𝟎
( ‫مثال‬71)/‫ال‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬ً‫ت‬‫ا‬ ‫جذرا‬𝟐 + 𝟐
−𝟐 − 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟐 + −𝟐 + 𝟐 = 𝟎 + 𝟎 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
−𝟐 − 𝟐 . 𝟐 + 𝟐 = −𝟒 − 𝟒 − 𝟒 − 𝟒 𝟐
= −𝟒 − 𝟖 + 𝟒 = −𝟖 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟎 + −𝟖 = 𝟎 𝟐
− 𝟖 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫مالحظة‬
ً‫ز‬‫ز‬‫الت‬ ‫زة‬‫ز‬ٌ‫التربٌع‬ ‫زة‬‫ز‬‫المعادل‬ً‫ز‬‫ز‬‫والت‬ ‫زة‬‫ز‬ٌ‫حقٌق‬ ‫زا‬‫ز‬‫معامالته‬‫زذرا‬‫ز‬‫ج‬ ‫زد‬‫ز‬‫أح‬‫ا‬+‫زث‬‫ز‬ٌ‫ح‬𝟎‫زو‬‫ز‬ ‫زر‬‫ز‬‫األخ‬ ‫زذر‬‫ز‬‫الج‬ ‫زأن‬‫ز‬‫ف‬
−. ‫صحٌح‬ ‫والعكس‬
( ‫مثال‬81)/ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬‫وأحد‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫معامالتها‬‫جذر‬ٌ‫ها‬𝟑 − 𝟒
∵‫و‬ ‫حقيقية‬ ‫المعادلة‬ ‫معامالت‬‫هو‬ ‫الجذرين‬ ‫أحد‬𝟑 − 𝟒
∴‫ويساوي‬ ‫المرافق‬ ‫هو‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒 + 𝟑 + 𝟒 = 𝟑 + 𝟑 + −𝟒 + 𝟒 = 𝟔 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟑 − 𝟒 . 𝟑 + 𝟒 = 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐
= 𝟗 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟔 + 𝟐𝟓 = 𝟎 𝟐
− 𝟔 + 𝟐𝟓 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
23
− 2 ‫تمارين‬
‫س‬1/‫؟‬ ‫مترافقان‬ ‫ا‬ ‫جذرا‬ ‫ٌكون‬ ‫منها‬ ‫أي‬ ‫وبٌن‬ ‫األتٌة‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
𝟐
= −𝟏𝟐
𝟐
= 𝟏𝟐 𝟐
= 𝟏𝟐 𝟐 = 𝟐 𝟑 (‫مترافقان‬ ‫جذراها‬ )
𝟐
− 𝟑 + 𝟑 + = 𝟎
= 𝟏 = −𝟑 = 𝟑 + ‫بالدستور‬ ‫تحل‬
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− −𝟑 𝟗 − 𝟒 𝟏 𝟑 +
𝟐 𝟏
=
𝟑 𝟗 − 𝟏𝟐 − 𝟒
𝟐
=
𝟑 −𝟑 − 𝟒
𝟐
‫معادلة‬①
‫الجذر‬ ‫مقدار‬ ‫نحسب‬ ‫األن‬−𝟑 − 𝟒‫نعوضه‬ ‫ثم‬‫المعادلة‬ ً‫ف‬①
+ = −𝟑 − 𝟒
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
⇒ + 𝟐
= −𝟑 − 𝟒 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = −𝟑 − 𝟒
𝟐
− 𝟐
= −𝟑 ‫معادلة‬②
𝟐 = −𝟒 =
−𝟒
𝟐
=
−𝟐
‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫معادلة‬③ ‫نعوض‬
𝟐
− (
−𝟐
)
𝟐
= −𝟑 𝟐
−
𝟒
𝟐
= −𝟑 ( 𝟐
‫)نضرب‬
𝟒
− 𝟒 = −𝟑 𝟐 𝟒
+ 𝟑 𝟐
− 𝟒 = 𝟎 𝟐
+ 𝟒 𝟐
− 𝟏 = 𝟎
𝟐
+ 𝟒 = 𝟎 𝟐
= −𝟒 (‫)يهمل‬
𝟐
− 𝟏 = 𝟎 𝟐
= 𝟏 = 𝟏 ‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫نعوض‬
=
−𝟐
=
−𝟐
𝟏
= 𝟐
𝟏 − 𝟐 , −𝟏 + 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬①
=
𝟑 − 𝟏 + 𝟐
𝟐
=
𝟐 + 𝟐
𝟐
= 𝟏 +
=
𝟑 + 𝟏 − 𝟐
𝟐
=
𝟒 − 𝟐
𝟐
= 𝟐 −
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟏 + , 𝟐 − }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
24
𝟐 𝟐
− 𝟓 + 𝟏𝟑 = 𝟎
= 𝟐 = −𝟓 = 𝟏𝟑 ‫بالدستور‬ ‫تحل‬
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− −𝟓 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 𝟏𝟑
𝟐 𝟐
=
𝟓 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝟒
𝟒
=
𝟓 −𝟕𝟗
𝟒
=
𝟓 𝟕𝟗 𝟐
𝟒
=
𝟓 𝟕𝟗
𝟒
=
𝟓
𝟒
𝟕𝟗
𝟒
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬,
𝟓
𝟒
+
𝟕𝟗
𝟒
,
𝟓
𝟒
−
𝟕𝟗
𝟒
-‫مترافقان‬ ‫والجذران‬
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 − = 𝟎
= 𝟏 = 𝟐 = 𝟐 − = 𝟐 − 𝟐
= 𝟏 + 𝟐 ‫بالدستور‬ ‫تحل‬
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟏 + 𝟐
𝟐 𝟏
=
−𝟐 𝟒 − 𝟒 − 𝟖
𝟐
=
−𝟐 −𝟖
𝟐
‫معادلة‬①
‫الجذر‬ ‫مقدار‬ ‫نحسب‬ ‫األن‬−𝟖‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضه‬ ‫ثم‬①
+ = −𝟖
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
⇒ + 𝟐
= −𝟖 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟎 − 𝟖
𝟐
− 𝟐
= 𝟎 ‫معادلة‬②
𝟐 = −𝟖 =
−𝟖
𝟐
=
−𝟒
‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫معادلة‬③ ‫نعوض‬
(
−𝟒
)
𝟐
− 𝟐
= 𝟎
𝟏𝟔
𝟐
− 𝟐
= 𝟎 (− 𝟐
‫)نضرب‬
𝟒
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
− 𝟒 𝟐
+ 𝟒 = 𝟎
𝟐
− 𝟒 = 𝟎 𝟐
= 𝟒 = 𝟐 ‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫نعوض‬
=
−𝟒
=
−𝟒
𝟐
= 𝟐
𝟐 − 𝟐 , −𝟐 + 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬①
=
−𝟐 + 𝟐 − 𝟐
𝟐
=
−𝟐
𝟐
= −
=
−𝟐 − 𝟐 + 𝟐
𝟐
=
−𝟒 + 𝟐
𝟐
= −𝟐 +
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , − 𝟐 + }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
25
‫الفرع‬ ‫حل‬ ‫ٌمكن‬(d)‫بطرٌقة‬ ‫السابق‬‫قانون‬ ‫بواسطة‬ ‫أخرى‬‫الحل‬ ‫الحظ‬ ‫التجربة‬
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 − = 𝟎
+ + 𝟐 − = 𝟎
= − = −𝟐 +
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , − 𝟐 + }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬
𝟒 𝟐
+ 𝟐𝟓 = 𝟎
𝟒 𝟐
= −𝟐𝟓 𝟐
=
−𝟐𝟓
𝟒
𝟐
=
𝟐𝟓 𝟐
𝟒
= √
𝟐𝟓 𝟐
𝟒
=
𝟓
𝟐
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬,−
𝟓
𝟐
,
𝟓
𝟐
-‫مترافقان‬ ‫والجذران‬
𝟐
− 𝟐 + 𝟑 = 𝟎
𝟐
− 𝟐 − 𝟑 𝟐
= 𝟎 − 𝟑 + = 𝟎
− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 + = 𝟎 = −
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , 𝟑 }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬
𝟐
− 𝟐 + 𝟑 = 𝟎 (‫أخر‬ ‫حل‬ )
= 𝟏 = −𝟐 = 𝟑 ‫بالدستور‬ ‫تحل‬
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− −𝟐 −𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟑
𝟐 𝟏
=
𝟐 −𝟏𝟔
𝟐
=
𝟐 𝟒
𝟐
= 𝟐
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , 𝟑 }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬
‫س‬2/‫كون‬‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬,: ‫حٌث‬
= 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 −
𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − = 𝟏 + 𝟏 + 𝟐 − 𝟏 = 𝟐 + ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟏 + 𝟐 . 𝟏 − = 𝟏 − + 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟑 + ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟐 + + 𝟑 + = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
26
=
𝟑 −
𝟏 +
= 𝟑 − 𝟐 𝟐
=
𝟑 −
𝟏 +
=
𝟑 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
=
𝟑 − 𝟑 − + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟐 − 𝟒
𝟐
= 𝟏 − 𝟐
= 𝟑 − 𝟐 𝟐
= 𝟗 − 𝟏𝟐 + 𝟒 𝟐
= 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐
𝟏 − 𝟐 + 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟏 + 𝟓 + −𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟔 − 𝟏𝟒 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟏 − 𝟐 . 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 + 𝟐𝟒 𝟐
= −𝟏𝟗 − 𝟐𝟐 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟔 − 𝟏𝟒 + −𝟏𝟗 − 𝟐𝟐 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫س‬3/‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬‫لؤلعداد‬‫األتٌة‬ ‫المركبة‬:
− 𝟔
+ = 𝟔
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
⇒ + 𝟐
= −𝟔 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= −𝟔
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = −𝟔
𝟐
− 𝟐
= 𝟎 ‫معادلة‬①
𝟐 = −𝟔 =
−𝟔
𝟐
=
−𝟑
‫معادلة‬② ① ‫في‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬
𝟐
− (
−𝟑
)
𝟐
= 𝟎 𝟐
−
𝟗
𝟐
= 𝟎
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒
− 𝟗 = 𝟎
𝟒
− 𝟗 = 𝟎 𝟐
− 𝟑 𝟐
+ 𝟑 = 𝟎
𝟐
− 𝟑 = 𝟎 𝟐
= 𝟑 = 𝟑 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
=
−𝟑
=
−𝟑
𝟑
= 𝟑
𝟐
+ 𝟑 = 𝟎 𝟐
= −𝟑 (‫تهمل‬ )
− 𝟑 + 𝟑 , 𝟑 − 𝟑 ‫هما‬ ‫الجذران‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
27
𝟕 + 𝟐𝟒
+ = 𝟕 + 𝟐𝟒
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
⇒ + 𝟐
= 𝟕 + 𝟐𝟒
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟕 + 𝟐𝟒 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒
𝟐
− 𝟐
= 𝟕 ‫معادلة‬①
𝟐 = 𝟐𝟒 =
𝟐𝟒
𝟐
=
𝟏𝟐
‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
𝟐
− (
𝟏𝟐
)
𝟐
= 𝟕 𝟐
−
𝟏𝟒𝟒
𝟐
= 𝟕
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒
− 𝟏𝟒𝟒 = 𝟕 𝟐
𝟒
− 𝟕 𝟐
− 𝟏𝟒𝟒 = 𝟎 𝟐
− 𝟏𝟔 𝟐
+ 𝟗 = 𝟎
𝟐
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
= 𝟏𝟔 = 𝟒 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬
=
𝟏𝟐
=
𝟏𝟐
𝟒
= 𝟑
𝟐
+ 𝟗 = 𝟎 𝟐
= −𝟗 (‫تهمل‬ )
𝟒 + 𝟑 , −𝟒 − 𝟑 ‫هما‬ ‫الجذران‬
𝟒
𝟏 − 𝟑
‫الصٌغة‬ ‫الى‬ ‫تحوٌلة‬ ‫ٌجب‬+‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫الضرب‬ ‫طرٌق‬ ‫عن‬
𝟒
𝟏 − 𝟑
=
𝟒
𝟏 − 𝟑
𝟏 + 𝟑
𝟏 + 𝟑
=
𝟒 𝟏 + 𝟑
𝟏 𝟐 + 𝟑
𝟐
=
𝟒 𝟏 + 𝟑
𝟏 + 𝟑
=
𝟒 𝟏 + 𝟑
𝟒
= 𝟏 + 𝟑
‫الطرٌقة‬①/
+ = √ 𝟏 + 𝟑
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
⇒ + 𝟐
= 𝟏 + 𝟑
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟏 + 𝟑 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟏 + 𝟑
𝟐
− 𝟐
= 𝟏 ‫معادلة‬①
𝟐 = 𝟑 =
𝟑
𝟐
‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
.
𝟑
𝟐
/
𝟐
− 𝟐
= 𝟏
𝟑
𝟒 𝟐
− 𝟐
= 𝟏
( 𝟒 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟑 − 𝟒 𝟒
= 𝟒 𝟐
𝟒 𝟒
+ 𝟒 𝟐
− 𝟑 = 𝟎 𝟐 𝟐
+ 𝟑 𝟐 𝟐
− 𝟏 = 𝟎
𝟐 𝟐
− 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
= 𝟏 𝟐
=
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟐
‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬
=
𝟑
𝟐
=
𝟑
𝟐 (
𝟏
𝟐
)
=
𝟑
𝟐 𝟐 (
𝟏
𝟐
)
=
𝟑
𝟐
𝟐 𝟐
+ 𝟑 = 𝟎 𝟐 𝟐
= −𝟑 (‫تهمل‬ )
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
, −
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
‫هما‬ ‫الجذران‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
28
‫الطرٌقة‬②/
√ 𝟏 + 𝟑 = √
𝟑
𝟐
+ 𝟑 −
𝟏
𝟐
= √
𝟑
𝟐
+ 𝟑 +
𝟏
𝟐
𝟐
= √.
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
/
𝟐
= .
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
/
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
, −
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
‫هما‬ ‫الجذران‬
‫س‬4/‫ذات‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬‫و‬ ‫جذرٌها‬ ‫وأحد‬ ‫الحقٌقٌة‬ ‫المعامالت‬:
‫و‬ ‫و‬ ‫المرافق‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬ ‫لذا‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬ ‫المعامالت‬−
+ − = 𝟎 + 𝟎 + 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 + 𝟎 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
. − = − 𝟐
= − −𝟏 = 𝟏 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟎 + 𝟏 = 𝟎 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
𝟓 −
‫و‬ ‫و‬ ‫المرافق‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬ ‫لذا‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬ ‫المعامالت‬𝟓 +
𝟓 − + 𝟓 + = 𝟓 + 𝟓 + −𝟏 + 𝟏 = 𝟏𝟎 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟓 − . 𝟓 + = 𝟐𝟓 − 𝟓 + 𝟓 − 𝟐
= 𝟐𝟓 + 𝟏 = 𝟐𝟔 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟏𝟎 + 𝟐𝟔 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
𝟐 + 𝟑
𝟒
‫و‬ ‫و‬ ‫المرافق‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬ ‫لذا‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬ ‫المعامالت‬(
𝟐
𝟒
−
𝟑
𝟒
)
.
𝟐
𝟒
+
𝟑
𝟒
/ + .
𝟐
𝟒
−
𝟑
𝟒
/ = .
𝟐
𝟒
+
𝟐
𝟒
/ + (
𝟑
𝟒
−
𝟑
𝟒
) =
𝟐 𝟐
𝟒
=
𝟐
𝟐
‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
.
𝟐
𝟒
+
𝟑
𝟒
/ . .
𝟐
𝟒
−
𝟑
𝟒
/ = .
𝟐
𝟒
/
𝟐
+ (
𝟑
𝟒
)
𝟐
=
𝟐
𝟏𝟔
+
𝟗
𝟏𝟔
=
𝟏𝟏
𝟏𝟔
‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− .
𝟐
𝟐
/ + (
𝟏𝟏
𝟏𝟔
) = 𝟎 𝟐
−
𝟏
𝟐
+
𝟏𝟏
𝟏𝟔
= 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
29
‫س‬5/‫كان‬ ‫أذا‬𝟑 +‫ج‬ ‫أحزد‬ ‫و‬‫ــــزـ‬‫المعادلزة‬ ‫ذري‬𝟐
− + 𝟓 + 𝟓 = 𝟎‫قٌمزة‬ ‫فمزا‬‫ومزا‬ ‫؟‬
‫األخر؟‬ ‫الجذر‬ ‫قٌمة‬‫وزاري‬2011/‫د‬1
‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬
𝟑 + + = ‫معادلة‬① (‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬
𝟑 + . = 𝟓 + 𝟓 (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ )
=
𝟓 + 𝟓
𝟑 +
=
𝟓 + 𝟓
𝟑 +
𝟑 −
𝟑 −
=
𝟏𝟓 − 𝟓 + 𝟏𝟓 − 𝟓 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟐𝟎 + 𝟏𝟎
𝟏𝟎
= 𝟐 + (‫األخر‬ ‫)الجذر‬
= 𝟐 + ( ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫)نعوض‬
𝟑 + + = 𝟑 + + 𝟐 + = = 𝟓 + 𝟐
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافية‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫أوجد‬‫المركب‬−𝟓𝟓 − 𝟒𝟖‫أس‬ ‫ثم‬‫ــــ‬‫التربٌعٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫الناته‬ ‫تخدم‬
‫التالٌة‬𝟐
+ 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟏 + = 𝟎
‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬−𝟓𝟓 − 𝟒𝟖‫و‬+
+ = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
⇒ + 𝟐
= −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
𝟐
− 𝟐
= −𝟓𝟓 ‫معادلة‬①
𝟐 = −𝟒𝟖 =
−𝟒𝟖
𝟐
=
−𝟐𝟒
‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
𝟓𝟕𝟔
𝟐
− 𝟐
= −𝟓𝟓
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟓𝟕𝟔 − 𝟒
= −𝟓𝟓 𝟐 𝟒
− 𝟓𝟓 𝟐
− 𝟓𝟕𝟔 = 𝟎
𝟐
− 𝟔𝟒 𝟐
+ 𝟗 = 𝟎
𝟐
= 𝟔𝟒 = 𝟖 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬
=
−𝟐𝟒
=
−𝟐𝟒
𝟖
= 𝟑
𝟐
+ 𝟗 = 𝟎 𝟐
= −𝟗 ‫يهمل‬
𝟑 − 𝟖 , − 𝟑 + 𝟖 ‫هما‬ ‫الجذران‬
‫المعادلة‬ ‫نحل‬ ‫األن‬𝟐
+ 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟏 + = 𝟎‫حٌث‬ ‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫بأستخدام‬
= 𝟏 , = 𝟏 + 𝟐 , = 𝟏𝟑 𝟏 +
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟏𝟑 + 𝟏𝟑
𝟐 𝟏
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐 − 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐
𝟐 𝟏
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐
𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
30
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 − 𝟓𝟐
𝟐
=
− 𝟏 + 𝟐 −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
𝟐
‫ا‬ ‫الجذور‬ ‫نعوض‬ ‫األن‬‫للعدد‬ ‫سابقا‬ ‫بحسابها‬ ‫قمنا‬ ً‫لت‬−𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟑 − 𝟖
𝟐
𝟏 =
−𝟏 − 𝟐 − 𝟑 − 𝟖
𝟐
=
−𝟏 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟖
𝟐
=
−𝟒 + 𝟔
𝟐 𝟏 = −𝟐 + 𝟑
𝟐 =
−𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟖
𝟐
=
−𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟖
𝟐
=
𝟐 − 𝟏𝟎
𝟐 𝟐 = 𝟏 − 𝟓
ً ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{−𝟐 + 𝟑 , 𝟏 − 𝟓 }
‫مثال‬‫ا‬ ‫جذر‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬ /𝟑 −,
𝟏𝟎
𝟑−
𝟏 = 𝟑 − , 𝟐 =
𝟏𝟎
𝟑 −
=
𝟏𝟎
𝟑 −
𝟑 +
𝟑 +
=
𝟏𝟎 𝟑 +
𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟏𝟎 𝟑 +
𝟏𝟎 𝟐 = 𝟑 +
𝟑 − + 𝟑 + = 𝟑 + 𝟑 + −𝟏 + 𝟏 = 𝟔 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟑 − . 𝟑 + = 𝟗 + 𝟑 − 𝟑 − 𝟐
= 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟔 + 𝟏𝟎 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫مثال‬/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬−𝟖
𝟑
= −𝟖 𝟑
+ 𝟖 = 𝟎 𝟑
− 𝟖 𝟐
= 𝟎 𝟑
− 𝟖 𝟑
= 𝟎
𝟑
− 𝟖 𝟑
= − 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + 𝟒 𝟐
= − 𝟐 𝟐
+ 𝟐 − 𝟒 = 𝟎
− 𝟐 = 𝟎 𝟏 = 𝟐
𝟐
+ 𝟐 − 𝟒 = 𝟎
(‫بالدستور‬ )
⇒ = 𝟏 = 𝟐 = −𝟒
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟏 −𝟒
𝟐 𝟏
=
−𝟐 −𝟒 + 𝟏𝟔
𝟐
=
−𝟐 𝟏𝟐
𝟐
=
−𝟐 𝟐 𝟑
𝟐
= − 𝟑
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟐 , − + 𝟑 , − − 𝟑}
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
31
‫مثال‬/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬𝟖
𝟑
= 𝟖 𝟑
− 𝟖 = 𝟎 𝟑
− 𝟖 = − 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + 𝟒 = 𝟎
− 𝟐 = 𝟎 = 𝟐
𝟐
+ 𝟐 + 𝟒 = 𝟎
(‫بالدستور‬ )
⇒ = 𝟏 = 𝟐 = 𝟒
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟒
𝟐 𝟏
=
−𝟐 𝟒 − 𝟏𝟔
𝟐
=
−𝟐 −𝟏𝟐
𝟐
=
−𝟐 𝟏𝟐 𝟐
𝟐
=
−𝟐 𝟐 𝟑
𝟐
= −𝟏 𝟑
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟐 , −𝟏 + 𝟑 , −𝟏 − 𝟑 }
‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫أوجد‬𝟐
− 𝟐 − 𝟐 = 𝟎
𝟐
− 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 ( ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
−
𝟐
−
𝟐
= 𝟎 𝟐
−
𝟐 𝟒
− 𝟐 = 𝟎 𝟐
− 𝟐 𝟑
− 𝟐 = 𝟎
𝟐
+ 𝟐 − 𝟐 = 𝟎
(‫بالدستور‬ ‫تحل‬ )
⇒ = 𝟏 = 𝟐 = −𝟐
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 −𝟐
𝟐 𝟏
=
−𝟐 −𝟒 + 𝟖
𝟐
=
−𝟐 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟐
𝟐
= − 𝟏
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− + 𝟏 , − − 𝟏}
‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫أوجد‬𝟐
− 𝟒 + 𝟒 = 𝟎
𝟐
− 𝟒 + 𝟒 = 𝟎
(‫بالدستور‬ ‫تحل‬ )
⇒ = 𝟏 = −𝟒 = 𝟒
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− −𝟒 −𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟒
𝟐 𝟏
=
𝟒 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟏𝟔
𝟐
=
𝟒 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟏
𝟐
=
𝟒 𝟏𝟔 − 𝟐
𝟐
=
𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟒 𝟒
𝟐
= 𝟐 𝟐
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟐 + 𝟐 , 𝟐 − 𝟐 }
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
32
‫مثال‬/‫من‬ ‫كل‬ ‫قٌمة‬ ‫أوجد‬x , y‫التالٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬+ 𝟐
−
𝟖−𝟖
𝟏+
+ 𝟏𝟓 = 𝟎
+ 𝟐
−
𝟖 − 𝟖
𝟏 +
+ 𝟏𝟓 = 𝟎 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
=
𝟖 − 𝟖
𝟏 +
− 𝟏𝟓
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = (
𝟖 − 𝟖
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
) − 𝟏𝟓
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = .
𝟖 − 𝟖 − 𝟖 + 𝟖 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/ − 𝟏𝟓
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = (
−𝟏𝟔
𝟐
) − 𝟏𝟓 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = −𝟖 − 𝟏𝟓
𝟐
− 𝟐
= −𝟏𝟓 ‫معادلة‬①
𝟐 = −𝟖 =
−𝟖
𝟐
=
−𝟒
‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
(
−𝟒
)
𝟐
− 𝟐
= −𝟏𝟓
𝟏𝟔
𝟐
− 𝟐
= −𝟏𝟓
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟏𝟔 − 𝟒
= −𝟏𝟓 𝟐
𝟒
− 𝟏𝟓 𝟐
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
− 𝟏𝟔 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
𝟐
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
= 𝟏𝟔 = 𝟒 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوضها‬
=
−𝟒
=
−𝟒
𝟒
= 𝟏
𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 𝟐
= −𝟏 ‫تهمل‬
‫مثال‬/‫من‬ ‫كل‬ ‫قٌمة‬ ‫أوجد‬x , y‫التالٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬+ 𝟐
=
𝟑𝟔−𝟐
𝟑+𝟐
+ 𝟐
=
𝟑𝟔 − 𝟐
𝟑 + 𝟐
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= (
𝟑𝟔 − 𝟐
𝟑 + 𝟐
𝟑 − 𝟐
𝟑 − 𝟐
)
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = .
𝟏𝟎𝟖 − 𝟕𝟐 − 𝟔 + 𝟒 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟐 𝟐
/ = (
𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟖
𝟗 + 𝟒
) = (
𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟖
𝟏𝟑
)
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟖 − 𝟔 𝟐
− 𝟐
= 𝟖 ‫معادلة‬①
𝟐 = −𝟔 =
−𝟔
𝟐
=
−𝟑
‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
(
−𝟑
)
𝟐
− 𝟐
= 𝟖
𝟗
𝟐
− 𝟐
= 𝟖
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟗 − 𝟒
= 𝟖 𝟐
𝟒
+ 𝟖 𝟐
− 𝟗 = 𝟎 𝟐
+ 𝟗 𝟐
− 𝟏 = 𝟎
𝟐
− 𝟏 = 𝟎 𝟐
= 𝟏 = 𝟏 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوضها‬
=
−𝟑
=
−𝟑
𝟏
= 𝟑
𝟐
+ 𝟗 = 𝟎 𝟐
= −𝟗 ‫تهمل‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
33
‫مثال‬/ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬‫ا‬ ‫جذرا‬ ‫وأحد‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫معامالتها‬𝟐 −
𝟐
𝟐 −
𝟐
= 𝟐
𝟐
− 𝟐 𝟐 + 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 − 𝟐 𝟐 ‫األول‬ ‫الجذر‬
‫المرافق‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫معامالت‬𝟏 + 𝟐 𝟐
𝟏 − 𝟐 𝟐 + 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 + −𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟐 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟏 − 𝟐 𝟐 . 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐
𝟐
= 𝟏 + 𝟖 = 𝟗 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟐 + 𝟗 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
******************************************************************
‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬‫لؤلعداد‬‫التالٌة‬−𝟔𝟒 , 𝟔𝟒 , 𝟏𝟐𝟓 , −𝟐𝟕‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬ ‫ثم‬𝟔𝟒
‫ال‬ ‫التمثٌل‬‫هندس‬‫لؤل‬ ً‫عد‬‫ا‬‫المركب‬ ‫د‬‫ة‬
‫المركب‬ ‫العدد‬+‫بالنقطة‬ ‫ا‬‫ا‬ٌ‫ندس‬ ‫تمثٌله‬ ‫ٌمكن‬,‫المحور‬ ‫ٌسمى‬ ‫حٌث‬−‫بالمحور‬
‫المحور‬ ‫أما‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ً‫الحقٌق‬ ‫الجزء‬ ‫ٌمثل‬ ‫و‬ ‫و‬ ً‫الحقٌق‬−‫ٌمثل‬ ‫و‬ ‫و‬ ً‫التخٌل‬ ‫المحور‬ ‫فٌسمى‬
‫وتسمى‬ ‫ا‬‫ا‬ٌ‫ندس‬ ‫ا‬‫ال‬ٌ‫تمث‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬ ‫تجري‬ ً‫الت‬ ‫العملٌات‬ ‫بعض‬ ‫تمثٌل‬ ‫وٌمكن‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ً‫التخٌل‬ ‫الجزء‬
. ‫المركب‬ ‫بالمستوي‬ ‫ٌحتوٌها‬ ‫الذي‬ ‫المستوي‬ ‫وٌسمى‬ ‫أرجاند‬ ‫بأشكال‬ ‫الناتجة‬ ‫األشكال‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
34
‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 = 𝟏 + 𝟏,𝟐 = 𝟐 + 𝟐‫بالنقطتٌن‬ ‫ممثالن‬ ‫مركبان‬ ‫عددان‬𝟏 𝟏 , 𝟏
𝟐 𝟐 , 𝟐: ‫فأن‬
𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟏 + 𝟐
‫تمثٌل‬ ‫وٌمكن‬𝟏 + 𝟐‫بالنقطة‬𝟑 𝟏 + 𝟐 , 𝟏 + 𝟐‫بالمتجهات‬ ‫المتعلقة‬ ‫المعلومات‬ ‫بأستخدام‬ ‫وذلك‬
: ‫بالشكل‬ ‫موضح‬ ‫وكما‬
: ‫أن‬ ‫أي‬𝟏
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝟐
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝟑
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
( ‫مثال‬19): ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ً‫ف‬ ‫ا‬‫ا‬ٌ‫ندس‬ ‫األتٌة‬ ‫العملٌات‬ ‫مثل‬ /
𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐
𝟏 = 𝟑 + 𝟒 𝟏 𝟑, 𝟒
𝟐 = 𝟓 + 𝟐 𝟐 𝟓, 𝟐
𝟏 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐
𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟖 + 𝟔 𝟑 𝟖, 𝟔
𝟔 − 𝟐 − 𝟐 − 𝟓
𝟏 = 𝟔 − 𝟐 𝟏 𝟔, −𝟐
𝟐 = 𝟐 − 𝟓 𝟐 −𝟐, 𝟓
𝟏 + − 𝟐 = 𝟔 − 𝟐 + −𝟐 + 𝟓
𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟒 + 𝟑
𝟑 = 𝟒 + 𝟑 𝟑 𝟒, 𝟑
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
35
− 3 ‫تمارين‬
‫س‬1/. ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعٌة‬ ‫ا‬ ‫ونظائر‬ ‫االعداد‬ ‫ذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫األتٌة‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ً‫الجمع‬ ‫النظٌر‬ ‫أكتب‬
𝟏 = 𝟐 + 𝟑 , 𝟐 = −𝟏 + 𝟑 , 𝟑 = 𝟏 − , 𝟒 =
ً‫البٌان‬ ‫تمثٌله‬ً‫الجمع‬ ‫نظٌره‬‫العدد‬
− 𝟏 = −𝟐 − 𝟑
− 𝟏 = −𝟐 , − 𝟑
𝟏 = 𝟐 + 𝟑
𝟏 = 𝟐 , 𝟑
− 𝟐 = 𝟏 − 𝟑
− 𝟐 = 𝟏 , − 𝟑
𝟐 = −𝟏 + 𝟑
𝟐 = −𝟏 , 𝟑
− 𝟑 = −𝟏 +
− 𝟑 = −𝟏 , 𝟏
𝟑 = 𝟏 −
𝟑 = 𝟏 , −𝟏
− 𝟒 = −
− 𝟒 = 𝟎 , −𝟏
𝟒 =
𝟒 = 𝟎 , 𝟏
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
36
‫س‬2/‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫األعداد‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالٌة‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬
𝟏 = 𝟓 + 𝟑 , 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 , 𝟑 = 𝟏 − , 𝟒 = −𝟐
ً‫البٌان‬ ‫تمثٌله‬‫العدد‬ ‫مرافق‬‫العدد‬
̅ 𝟏 = 𝟓 − 𝟑
𝟏
̅ 𝟏 = 𝟓 , − 𝟑
𝟏 = 𝟓 + 𝟑
𝟏 𝟏 = 𝟓 , 𝟑
̅ 𝟐 = −𝟑 − 𝟐
𝟐
̅ 𝟐 = −𝟑 , − 𝟐
𝟐 = −𝟑 + 𝟐
𝟐 𝟐 = −𝟑 , 𝟐
̅ 𝟑 = 𝟏 +
𝟑
̅ 𝟑 = 𝟏 , 𝟏
𝟑 = 𝟏 −
𝟑 𝟑 = 𝟏 , −𝟏
̅ 𝟒 = 𝟐
𝟒
̅ 𝟒 = 𝟎 , 𝟐
𝟒 = −𝟐
𝟒 = 𝟎 , −𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
37
‫س‬3/‫كان‬ ‫أذا‬= 𝟒 + 𝟐‫من‬ ‫كآل‬ ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬, , −
= 4 + 2 = 4 , 2
= 4 − 2 = 4 , −2
− = −4 − 2 − = −4 , −2
‫س‬4/‫كان‬ ‫أذا‬𝟐 = 𝟏 + 𝟐 , 𝟏 = 𝟒 − 𝟐‫من‬ ‫كآل‬ ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬:
−𝟑 𝟐 , 𝟐 𝟏 , 𝟏 − 𝟐 , 𝟏 + 𝟐
−3 = −3 + 2 = −3 − 6 −3 = −3 , −6
2 = 2 4 − 2 = 8 − 4 2 = 8 , −4
− = 4 − 2 − + 2 = 4 − + −2 − 2 = 3 − 4
− = = 3 − 4 = 3, −4
+ = 4 − 2 + + 2 = 4 + + −2 + 2 = 5 + i
+ = = 5 + i = 5,
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
38
‫القطبٌة‬ ‫الصورة‬𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓 𝑭𝒐𝒓𝒎‫المركب‬ ‫للعدد‬
‫ارا‬‫كان‬= + = ,‫فان‬= =‫و‬= =‫حٍث‬‫أن‬
‫انجسء‬ً‫انحقٍق‬‫نهعذد‬‫انمركب‬‫انجسء‬ً‫انتخٍه‬‫نهعذد‬‫انمركب‬( )‫مقٍاش‬‫انعذد‬‫انمركب‬‫وهو‬‫ع‬‫ذد‬
ً‫حقٍق‬‫غٍر‬‫سانب‬‫وٌسمى‬‫وٌرمس‬‫نه‬‫بانرمس‬‖ ‖‫و‬‫تسمى‬(𝜃)‫سعة‬‫انعذد‬‫انمركب‬‫وتكتب‬
=‫حٍث‬[ 𝟎 , 𝟐‫أن‬ ‫انقول‬ ‫وٌمكه‬= ‖ ‖ +
‫ٌكتب‬ ‫أو‬= +
= ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐
= = ‖ ‖
= = ‖ ‖
( ‫مثال‬02)/‫كان‬ ‫اذا‬= 𝟏 + 𝟑‫لسعة‬ ‫األساسٌة‬ ‫والقٌمة‬ ‫المقٌاس‬ ‫فجد‬.
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑 = 𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟏
𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟑
𝟐
=
𝟑
‫األول‬ ‫الربع‬
=
𝟑
( ‫مثال‬12)/‫كان‬ ‫اذا‬= −𝟏 −‫للعدد‬ ‫األساسٌة‬ ‫والقٌمة‬ ‫المقٌاس‬ ‫فجد‬.
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐
= =
‖ ‖
=
−𝟏
𝟐
= =
‖ ‖
=
−𝟏
𝟐
=
𝟒
‫الثالث‬ ‫الربع‬
= +
𝟒
=
𝟓
𝟒
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
39
( ‫مثال‬22)/: ‫القطبٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫التالٌة‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫عبر‬
‫وزاري‬2012/‫د‬2
𝟐 𝟑 − 𝟐
= 𝟐 𝟑 − 𝟐
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟒
= 𝟏𝟔 = 𝟒
= =
‖ ‖
=
𝟐 𝟑
𝟒
=
𝟑
𝟐
= =
‖ ‖
=
−𝟐
𝟒
=
−𝟏
𝟐
= = 𝟐 −
𝟔
=
𝟏𝟏
𝟔
= 𝟒 (
𝟏𝟏
𝟔
+
𝟏𝟏
𝟔
)
‫وزاري‬2013/‫د‬1
− 𝟐 + 𝟐
= −𝟐 + 𝟐
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟒
= 𝟖 = 𝟐 𝟐
= =
‖ ‖
=
−𝟐
𝟐 𝟐
=
−𝟏
𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟐
𝟐 𝟐
=
𝟏
𝟐
= = −
𝟒
=
𝟑
𝟒
= 𝟐 𝟐 (
𝟑
𝟒
+
𝟑
𝟒
)
( ‫مثال‬32)/‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫عبر‬: ‫القطبٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫التالٌة‬
𝟏 − 𝟏 −
𝟏 = 𝟏 + 𝟎 = 𝟏 𝟎 + 𝟎
− 𝟏 = −𝟏 + 𝟎 = 𝟏 +
= 𝟎 + = 𝟏 (
𝟐
+
𝟐
)
− = 𝟎 − = 𝟏 (
𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
)
‫مالحظة‬
( ‫المثال‬ ‫خالل‬ ‫من‬23‫تطبٌقها‬ ‫ٌمكن‬ ‫طرٌقة‬ ‫نستنته‬ ‫السابق‬ ): ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬
𝟑 = 𝟑 𝟏 = 𝟑 𝟏 + 𝟎 = 𝟑 𝟎 + 𝟎
𝟓 = 𝟓 𝟎 + = 𝟓 (
𝟐
+
𝟐
)
−𝟐 = 𝟐 −𝟏 = 𝟐 −𝟏 + 𝟎 = 𝟐 +
−𝟕 = 𝟕 − = 𝟕 𝟎 − = 𝟕 (
𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
)
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
40
‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬𝑫𝒆 𝑴𝒐𝒊𝒗𝒓𝒆′
𝒔 𝑻𝒉𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎
= + = + ‫فأن‬ , ‫لكل‬
= − = − ‫فأن‬ , − ‫لكل‬
=
(
𝟏
)
( (
+ 𝟐
) + (
+ 𝟐
)) = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, , − 𝟏
( ‫مثال‬42)/‫أحسب‬(
𝟑
𝟖
+
𝟑
𝟖
)
𝟒
(
𝟑
𝟖
+
𝟑
𝟖
)
𝟒
= (
𝟏𝟐
𝟖
+
𝟏𝟐
𝟖
) = (
𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
) = 𝟎 −
( ‫مثال‬52)/− = − ‫فأن‬ , ‫لكل‬ ‫بين‬
‫األيسر‬ ‫الطرف‬ = − = + − = [ + − ]
= [ − + − ] = − ‫وبجعل‬
= [ + ] = +
= − + − = − =
‫مالحظة‬
ً‫ف‬ ‫مهمة‬ ‫التالٌة‬ ‫القوانٌن‬‫عملٌات‬: ‫التبسٌط‬
+ = +
− = −
+ = −
− = +
( ‫مثال‬62)‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫أحسب‬ /𝟏 + 𝟏𝟏
.‫وزاري‬3201/‫د‬2‫وزاري‬2015/‫د‬1
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
41
= + = = ‖ ‖ = + = + = 2
𝜃 = =
‖ ‖
=
2
𝜃 = =
2
=
4
= + = 𝜃 + i i 𝜃 = 2 ( (
4
) + i i (
4
))
= 2 ( (
4
) + i i (
4
)) = 2 2 ( (
8 + 3
4
) + i i (
8 + 3
4
))
= 2 2 ( (2 +
3
4
) + i i (2 +
3
4
))
= 32 2 *( 2 ( ) − 2 ( )) + ( 2 ( ) + 2 ( ))+
= 32 2 0( (
3
4
)) + . (
3
4
)/1 = 32 2 [
−
2
+
2
] = 32 − + = −32 + 32
‫مالحظة‬
−
= + −
= − + − = −
−
= −
( ‫مثال‬27)‫المعادلة‬ ‫حل‬ /𝟑
+ 𝟏 = 𝟎‫حٌث‬ℂ
𝟑
+ 𝟏 = 𝟎 𝟑
= −𝟏 𝟑
= + ‫التكعيبي‬ ‫بالجذر‬
= +
𝟏
𝟑 = (
+ 𝟐
𝟑
) + (
+ 𝟐
𝟑
) = 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = (
𝟑
) + (
𝟑
) =
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
= 𝟏 = + = −𝟏 + 𝟎 = −𝟏
= 𝟐 = (
𝟓
𝟑
) + (
𝟓
𝟑
) =
𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
2
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
, −𝟏 ,
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
3 ‫هي‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬
( ‫مثال‬28)/: ‫للمقدار‬ ‫القطبٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫أوجد‬𝟑 +
𝟐
. ‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
42
= 𝟑 + = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟑
𝟐
= =
𝟏
𝟐
=
𝟔
= 𝟐 (
𝟔
+
𝟔
) 𝟐
= 𝟐 𝟐
(
𝟔
+
𝟔
)
𝟐
𝟐
= 𝟒 (
𝟑
+
𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟓 = 𝟒
(
𝟏
𝟓
)
(
𝟑
+
𝟑
)
𝟏
𝟓
= 4 4 6
(
𝟑
) + 𝟐
𝟓
7 + i i 6
(
𝟑
) + 𝟐
𝟓
75
= 4 6 4
+ 𝟔
𝟑
𝟓
5 + 4
+ 𝟔
𝟑
𝟓
57
𝟐𝟓
= 𝟒
𝟓
[ (
+ 𝟔
𝟏𝟓
) + (
+ 𝟔
𝟑
)] = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
= 𝟎 𝟏 = 𝟒
𝟓
𝟏𝟓
+
𝟏𝟓
= 𝟏 𝟐 = 𝟒
𝟓 𝟕
𝟏𝟓
+
𝟕
𝟏𝟓
= 𝟐 𝟑 = 𝟒
𝟓 𝟏𝟑
𝟏𝟓
+
𝟏𝟑
𝟏𝟓
= 𝟑 𝟒 = 𝟒
𝟓 𝟏𝟗
𝟏𝟓
+
𝟏𝟗
𝟏𝟓
= 𝟒 𝟓 = 𝟒
𝟓 𝟐𝟓
𝟏𝟓
+
𝟐𝟓
𝟏𝟓
= 𝟒
𝟓 𝟓
𝟑
+
𝟓
𝟑
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
43
− 4 ‫تمارين‬
‫س‬1/: ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫أحسب‬
[
𝟓
𝟐𝟒
+
𝟓
𝟐𝟒
]
𝟒
[
𝟓
𝟐𝟒
+
𝟓
𝟐𝟒
]
𝟒
= [
𝟐𝟎
𝟐𝟒
+
𝟐𝟎
𝟐𝟒
] = [
𝟓
𝟔
+
𝟓
𝟔
] = * ( −
𝟔
) + ( −
𝟔
)+
= * ( 𝟔
) + ( 𝟔
)+ + * ( 𝟔
) − ( 𝟔
)+
= −
𝟔
+
𝟔
=
− 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
[
𝟕
𝟏𝟐
+
𝟕
𝟏𝟐
]
−𝟑
[
𝟕
𝟏𝟐
+
𝟕
𝟏𝟐
]
−𝟑
= [
−𝟐𝟏
𝟏𝟐
+
−𝟐𝟏
𝟏𝟐
] = [
−𝟕
𝟒
+
−𝟕
𝟒
] = [
𝟕
𝟒
−
𝟕
𝟒
]
= * (𝟐 −
𝟒
) − (𝟐 −
𝟒
)+
= * 𝟐 ( 𝟒
) + 𝟐 ( 𝟒
)+ − * 𝟐 ( 𝟒
) − 𝟐 ( 𝟒
)+
= 𝟐 (
𝟒
) + 𝟐 (
𝟒
) =
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
‫س‬2/‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫أحسب‬) ‫التعمٌم‬ ‫(أو‬ً‫ٌأت‬ ‫ما‬:
‫وزاري‬2012/‫د‬1
𝟏 − 𝟕
= − = = ‖ ‖ = + = + = 2
𝜃 = =
‖ ‖
=
2
, 𝜃 = =
−
2
, = 2 −
4
=
7
4
‫الرابع‬ ‫الربع‬
= 𝟏 − 𝟕
= 𝜃 + i i 𝜃 = 2 (
7
4
+ i i
7
4
)
= 2 (
49
4
+ i i
49
4
) = 2 2 * (
4
+ 2 ) + i i (
4
+ 2 )+
= 2 2 *( (
4
) 2 − (
4
) 2 ) + ( i (
4
) 2 + (
4
) 2 )+
= 8 2 *( (
4
) 2 ) + ( i (
4
) 2 )+ = 8 2 * (
4
) + i (
4
)+
= 8 2 [
2
+
2
] = 8 + = 8 + 8
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
44
‫وزاري‬2014/‫د‬2
𝟑 +
−𝟗
= 𝟑 + = = ‖ ‖ = + = 3 + = 2
𝜃 = =
‖ ‖
=
𝟑
2
𝜃 = =
2
=
6
‫األول‬ ‫الربع‬
−
= 𝟑 +
−𝟗
= −
𝜃 + i i 𝜃 −
= 2 −
(
6
+ i i
6
)
−
−
=
2
( (
−9
6
) + i i (
−9
6
)) =
5 2
( (
−3
2
) + i i (
−3
2
)) =
5 2
(
3
2
− i i
3
2
)
−
=
5 2
[ − − ] =
5 2
‫س‬3/ً‫ٌأت‬ ‫ما‬ ‫بسط‬:‫وزاري‬2013/‫د‬2
𝟐 + 𝟐 𝟓
𝟑 + 𝟑 𝟑
𝟐 + 𝟐 𝟓
𝟑 + 𝟑 𝟑
=
[ + 𝟐] 𝟓
[ + 𝟑] 𝟑
=
+ 𝟏𝟎
+ 𝟗
= +
+ 𝟖
− 𝟒
= 𝜃 + i 𝜃 𝜃 + i 𝜃 𝜃 − i 𝜃
= 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 + i 𝜃 𝜃 − i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 − i 𝜃 ]
= 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 + i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 = 4 𝜃 + i 4𝜃
‫س‬4/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫باستخدام‬−𝟏 + 𝟑
= − + 3 = = ‖ ‖ = + = + 3 = 4 = 2
𝜃 = =
‖ ‖
=
−𝟏
2
, 𝜃 = =
3
2
= −
3
=
2
3
‫الثاني‬ ‫الربع‬
= √− + 3 = − + 3
( )
=
( )
𝜃 + i i 𝜃
( )
= 2
( )
( (
2
3
) + i i (
2
3
))
( )
= 2 6 4
2
3
+ 2
2
5 + i i 4
2
3
+ 2
2
57 = 2 6 4
2 + 6
3
2
5 + i i 4
2 + 6
3
2
57
= 2 [ (
2 + 6
6
) + i i (
2 + 6
6
)] = 𝟎, 𝟏
= 𝟎 = 2[ (
2
6
) + (
2
6
)] = 2 (
𝟑
+
𝟑
) = 2 .
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
/ =
𝟏
2
+
𝟑
2
= 𝟏 = 2[ (
8
6
) + (
8
6
)] = 2 (
𝟒
𝟑
+
𝟒
𝟑
) = 𝟐 * ( +
𝟑
) + ( +
𝟑
)+
= 2[ (
𝟑
) − (
𝟑
)] + * (
𝟑
) + (
𝟑
)+
= 2[− (
𝟑
) − (
𝟑
)] = 2 .
−𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
/ =
−𝟏
2
−
𝟑
2
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
45
‫س‬5/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫باستخدام‬𝟐𝟕
= 𝟐𝟕 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟐𝟕 𝟐 = 𝟐𝟕
= =
‖ ‖
=
𝟎
𝟐𝟕
= 𝟎 , = =
𝟐𝟕
𝟐𝟕
= 𝟏 =
𝟐
‫االول‬ ‫الربع‬
𝟑
= 𝟐𝟕
𝟑
= 𝟐𝟕
(
𝟏
𝟑
)
=
(
𝟏
𝟑
)
+
(
𝟏
𝟑
)
= 𝟐𝟕
(
𝟏
𝟑
)
(
𝟐
+
𝟐
)
(
𝟏
𝟑
)
𝟑
= 𝟐𝟕
𝟑
4 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
5 + 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
55 = 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = 3[ (
6
) + (
6
)] = 𝟑 0
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 =
𝟑 𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
= 𝟏 = 3[ (
5
6
) + (
5
6
)] = 𝟑 * ( −
6
) + ( −
6
)+
= 𝟑 *− (
6
) + (
6
)+ = 𝟑 0
− 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 =
−𝟑 𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
= 𝟐 = 3[ (
9
6
) + (
9
6
)] = 𝟑 [ (
3
2
) + (
3
2
)] = 𝟎 + 𝟑 − = −𝟑
‫س‬6/‫الجذ‬ ‫جد‬‫األربعة‬ ‫ور‬‫للعدد‬−𝟏𝟔‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫باستخدام‬.
= −𝟏𝟔 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟏𝟔
= =
‖ ‖
=
−𝟏𝟔
𝟏𝟔
= −𝟏 , = =
𝟎
𝟏𝟔
= 𝟎 =
𝟒
= −𝟏𝟔
𝟒
= −𝟏𝟔
(
𝟏
𝟒
)
=
(
𝟏
𝟒
)
+
(
𝟏
𝟒
)
= 𝟏𝟔
(
𝟏
𝟒
)
+
(
𝟏
𝟒
)
= 6 ( (
+ 2
) + i i (
+ 2
)) = 4
= 𝟎 = 2[ (
4
) + (
4
)] = 𝟐 [
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
] = 𝟐 + 𝟐
= 𝟏 𝟐 = 𝟐[ (
𝟑
𝟒
) + (
𝟑
𝟒
)] = 𝟐[ ( −
𝟒
) + ( −
𝟒
)] = 𝟐[− (
𝟒
) + (
𝟒
)]
= 𝟐 [
−𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
] = − 𝟐 + 𝟐
= 𝟐 𝟑 = 𝟐[ (
𝟓
𝟒
) + (
𝟓
𝟒
)] = 𝟐[ ( +
𝟒
) + ( +
𝟒
)] = 𝟐[− (
𝟒
) − (
𝟒
)]
= 𝟐 [
−𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
] = − 𝟐 − 𝟐
= 𝟑 𝟒 = 𝟐[ (
𝟕
𝟒
) + (
𝟕
𝟒
)] = 𝟐[ (𝟐 −
𝟒
) + (𝟐 −
𝟒
)]
= 𝟐[ (
𝟒
) − (
𝟒
)] = 𝟐 [
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
] = 𝟐 − 𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
46
‫س‬7/‫للعدد‬ ‫الستة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬−64‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬.
= −64 = = ‖ ‖ = + = 64 = 64
𝜃 = =
‖ ‖
=
𝟎
64
= , 𝜃 = =
−𝟔𝟒
64
= − =
3
2
= −64 = −64 ( )
=
( )
𝜃 + i i 𝜃
( )
= 64
( )
(
3
2
+ i i
3
2
)
( )
= 64 6 4
3
2
+ 2
6
5 + i i 4
3
2
+ 2
6
57 = 2 [ (
3 + 4
2
) + i i (
3 + 4
2
)]
= 𝟎 = 2[ (
3
2
) + (
3
2
)] = 𝟐 * (
𝟒
) + (
𝟒
)+ = 𝟐 [
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
]
= 𝟐 + 𝟐
= 𝟏 𝟐 = 𝟐[ (
𝟕
𝟏𝟐
) + (
𝟕
𝟏𝟐
)] = 𝟐[ (
𝟑
+
𝟒
) + (
𝟑
+
𝟒
)]
= 𝟐 *( (
𝟑
) (
𝟒
) − (
𝟑
) (
𝟒
)) + ( (
𝟑
) (
𝟒
) + (
𝟑
) (
𝟒
))+
= 𝟐 0.
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
/ + .
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/1 = 𝟐 0.
𝟏
𝟐 𝟐
−
𝟑
𝟐 𝟐
/ + .
𝟑
𝟐 𝟐
+
𝟏
𝟐 𝟐
/1
= 𝟐 0.
𝟏 − 𝟑
𝟐 𝟐
/ + .
𝟑 + 𝟏
𝟐 𝟐
/1 =
𝟏 − 𝟑
𝟐
+
𝟑 + 𝟏
𝟐
= 𝟐 𝟑 = 𝟐[ (
𝟏𝟏
𝟏𝟐
) + (
𝟏𝟏
𝟏𝟐
)] = 𝟐[ ( −
𝟏𝟐
) + ( −
𝟏𝟐
)]
= 𝟐 *( (
𝟏𝟐
) + (
𝟏𝟐
)) + ( (
𝟏𝟐
) − (
𝟏𝟐
))+
= 𝟐 *− (
𝟏𝟐
) + (
𝟏𝟐
)+ = *− (
𝟒
−
𝟔
) + (
𝟒
−
𝟔
)+
= 𝟐 *− ( (
𝟒
) (
𝟔
) + (
𝟒
) (
𝟔
)) + ( (
𝟒
) (
𝟔
) − (
𝟒
) (
𝟔
))+
= 𝟐 0− .
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/ + .
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/1 = 𝟐 0
− 𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐
+
𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐
1
=
− 𝟑 − 𝟏
𝟐
+
𝟑 − 𝟏
𝟐
= 𝟑 = 2[ (
5
2
) + (
5
2
)] = 𝟐 [ (
𝟓
𝟒
) + (
𝟓
𝟒
)]
= 𝟐[ ( +
𝟒
) + ( +
𝟒
)]
= 𝟐 *( (
𝟒
) − (
𝟒
)) + ( (
𝟒
) + (
𝟒
))+
= 𝟐 *− (
𝟒
) − (
𝟒
)+ = 𝟐 [
−𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
] = − 𝟐 − 𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
47
= 𝟒 𝟓 = 𝟐[ (
𝟏𝟗
𝟏𝟐
) + (
𝟏𝟗
𝟏𝟐
)] = 𝟐[ (𝟐 −
𝟓
𝟏𝟐
) + (𝟐 −
𝟓
𝟏𝟐
)]
= 𝟐 [( 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐
) + 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐
)) + ( 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐
) − 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐
))]
= 𝟐 [ (
𝟓
𝟏𝟐
) − (
𝟓
𝟏𝟐
)] = * (
𝟒
+
𝟔
) − (
𝟒
+
𝟔
)+
= 𝟐 *( (
𝟒
) (
𝟔
) − (
𝟒
) (
𝟔
)) − ( (
𝟒
) (
𝟔
) + (
𝟒
) (
𝟔
))+
= 𝟐 0.
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/ − .
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/1 = 𝟐 0
𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐
−
𝟑 + 𝟏
𝟐 𝟐
1
=
𝟑 − 𝟏
𝟐
−
𝟑 + 𝟏
𝟐
= 𝟓 𝟔 = 𝟐[ (
𝟐𝟑
𝟏𝟐
) + (
𝟐𝟑
𝟏𝟐
)] = 𝟐[ (𝟐 −
𝟏𝟐
) + (𝟐 −
𝟏𝟐
)]
= 𝟐 *( 𝟐 (
𝟏𝟐
) + 𝟐 (
𝟏𝟐
)) + ( 𝟐 (
𝟏𝟐
) − 𝟐 (
𝟏𝟐
))+
= 𝟐 * (
𝟏𝟐
) − (
𝟏𝟐
)+ = * (
𝟒
−
𝟔
) − (
𝟒
−
𝟔
)+
= 𝟐 *( (
𝟒
) (
𝟔
) + (
𝟒
) (
𝟔
)) − ( (
𝟒
) (
𝟔
) − (
𝟒
) (
𝟔
))+
= 𝟐 0.
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/ − .
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/1 = 𝟐 0
𝟑 + 𝟏
𝟐 𝟐
−
𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐
1
=
𝟑 + 𝟏
𝟐
−
𝟑 − 𝟏
𝟐
******************************************************************
‫األول‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬ ‫حلول‬
‫س‬1/‫قٌمة‬ ‫جد‬,: ‫تحقق‬ ً‫والت‬
𝟏+
=
𝟐+𝟒
+𝟐
‫وزاري‬2013/‫د‬3
𝟏 +
=
𝟐
+ 𝟒
+ 𝟐 𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
=
𝟐
− 𝟒 𝟐
+ 𝟐
−
𝟏 𝟐+𝟏 𝟐 =
−𝟐 +𝟐
+𝟐
−
𝟐
= − 2
− = 𝟐 − 4 = 𝟐
− = −4
−
⇒ = 𝟒 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
𝟒 = 𝟐 = 𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
48
‫س‬2/‫كان‬ ‫أذا‬=
𝟏− 𝟑
𝟏+ −𝟑
‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫جد‬ , ‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫ا‬‫ا‬‫عدد‬
𝟏
𝟐
=
𝟏 − 𝟑
𝟏 + −𝟑
=
𝟏 − 𝟑
𝟏 + 𝟑
𝟏 − 𝟑
𝟏 − 𝟑
=
𝟏 − 𝟑
𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟑
𝟐
=
𝟏 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐
𝟏 + 𝟑
=
−𝟐 − 𝟐 𝟑
𝟒
=
−𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = √.
−𝟏
𝟐
/
𝟐
+ .
− 𝟑
𝟐
/
𝟐
= √
𝟏
𝟒
+
𝟑
𝟒
= 𝟏 = 𝟏
= =
‖ ‖
=
(
−𝟏
𝟐
)
𝟏
=
−𝟏
𝟐
, = =
.
− 𝟑
𝟐
/
𝟏
=
− 𝟑
𝟐
‫الثالث‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬
= +
𝟑
=
𝟒
𝟑
𝟏
𝟐 = .
−𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
/
(
𝟏
𝟐
)
=
(
𝟏
𝟐
)
+
(
𝟏
𝟐
)
= 𝟏
(
𝟏
𝟐
)
(
𝟒
𝟑
+
𝟒
𝟑
)
(
𝟏
𝟐
)
𝟏
𝟐 = 6 4
𝟒
𝟑
+ 2
2
5 + i i 4
𝟒
𝟑
+ 2
2
57 = ,
= 𝟎
𝟏
𝟐 = (
4
6
) + (
4
6
) = (
2
3
) + (
2
3
) = ( −
3
) + ( −
3
)
𝟏
𝟐 = [ (
𝟑
) + (
𝟑
)] + * (
𝟑
) − (
𝟑
)+
𝟏
𝟐 = (
𝟑
) − (
𝟑
) = −
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
= 𝟏
𝟏
𝟐 = [ 4
𝟒
𝟑
+ 2
2
5 + 4
𝟒
𝟑
+ 2
2
5] = 4
𝟒 + 𝟔
𝟑
2
5 + 4
𝟒 + 𝟔
𝟑
2
5
𝟏
𝟐 = .
𝟏𝟎
6
/ + .
𝟏𝟎
6
/ = .
5
3
/ + .
5
3
/ = (2 −
3
) + (2 −
3
)
𝟏
𝟐 = [ 2 (
𝟑
) + 2 (
𝟑
)] + * 2 (
𝟑
) − 2 (
𝟑
)+
𝟏
𝟐 = 2 (
𝟑
) − 2 (
𝟑
) =
𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
49
‫األول‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارية‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫د‬ /1‫ضع‬ :𝟏 + 𝟑 𝟐
+ 𝟑 − 𝟐 𝟐
.‫المركب‬ ‫للعد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬
/‫الحل‬‫المقدار‬ = + 6 + 9 + 9 − 2 + 4
= + 6 − 9 + 9 − 2 − 4 = −3 − 6
‫وزاري‬ ‫سؤال‬99‫/د‬1ً‫قٍمت‬ ‫جذ‬ :x‫و‬y:‫أن‬ ‫عهمت‬ ‫إرا‬ ‫انحقٍقٍتٍه‬𝟑 + 𝟐 𝟐
=
𝟐𝟎𝟎
𝟒+𝟑
/‫انحم‬9 + 2 + 4 =
+
−
−
9 − 4 + 2 =
−
+
9 − 4 + 2 = 32 − 24
9 − 4 = 32 . . , 2 = −24 ⇒ = −2 =
−
. 2
9 − 4 ( ) = 32 9 − = 32
.
⇒ 9 − 6 = 32
9 − 32 − 6 = 9 + 4 − 4 =
‫يهمـــل‬‫أما‬ 9 + 4 =
‫أو‬ − 4 = = 4 = 2
2 =
−
= −
−2 =
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬1:‫كان‬ ‫إرا‬ := 𝟐 + 𝟑,= 𝟑 −‫قٍمة‬ ‫جذ‬ ,𝟐
+ 𝟐 𝟐
.
/‫انحم‬= 2 + 3 = 4 + 2 + 9 = −5 + 2
= 3 − = 9 − 6 + = 8 − 6
+ 2 = −5 + 2 + 2 8 − 6 = −5 + 2 + 6 − 2 =
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
50
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬2‫مه‬ ‫كم‬ ‫قٍمة‬ ‫جذ‬ :x‫و‬y:‫عهمت‬ ‫إرا‬ ‫انحقٍقٍتٍه‬
+ + − + = 3
/‫انحم‬+ + − + = 3 + + − + = 3 +
+ = 3 . , − + = = + . . 2
+ + = 3 + + 2 + − 3 =
2 + 2 − 2 = ⇒ + − 6 = + 3 − 2 =
+ 3 = = −3 = −3 + = −2
− 2 = = 2 = 2 + = 3
‫وزاري‬ ‫سؤؤؤؤال‬2001‫/د‬1‫ؤؤؤذار‬‫ؤ‬‫انمق‬ ‫ؤؤؤم‬‫ؤ‬‫ض‬ :
𝟕+ 𝟑
𝟏+𝟐 𝟑
‫ؤؤؤة‬‫ؤ‬‫وانقٍم‬ ‫ؤؤؤاش‬‫ؤ‬ٍ‫انمق‬ ‫ؤؤؤذ‬‫ؤ‬‫ج‬ ‫اؤؤؤم‬ ‫ؤؤؤب‬‫ؤ‬‫انمرك‬ ‫ؤؤؤذد‬‫ؤ‬‫نهع‬ ‫ؤؤؤة‬‫ؤ‬ٌ‫انعاد‬ ‫بانصؤؤؤٍاة‬
.‫نهسعة‬ ‫األساسٍة‬
/‫انحم‬
+
+
=
+
+
−
−
=
− + −
+
=
−
= − 3
‫المقياس‬ = + 3 = 4 = 2 , 𝜃 = , i 𝜃 =
−
‫للسعة‬ ‫األساسية‬ ‫القيمة‬ 𝜃 = 2 − = ‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ 𝜃
‫وزاري‬ ‫ؤؤؤال‬‫ؤ‬‫س‬2002‫/د‬1‫ؤؤم‬‫ؤ‬‫ض‬ :𝟑 + 𝟐 −𝟐 +ً‫ؤؤرب‬‫ؤ‬ ‫ان‬ ‫ؤؤر‬‫ؤ‬ٍ ‫و‬ ‫ؤؤذ‬‫ؤ‬‫ج‬ ‫ؤؤم‬‫ؤ‬‫ا‬ ‫ؤؤب‬‫ؤ‬‫انمرك‬ ‫ؤؤذد‬‫ؤ‬‫نهع‬ ‫ؤؤة‬‫ؤ‬ٌ‫انعاد‬ ‫ؤؤٍاة‬‫ؤ‬‫بانص‬
.ً‫ا‬ ٌ‫أ‬ ‫انعادٌة‬ ‫وبانصٍاة‬
/‫انحم‬3 + 2 −2 + = −6 + 3 − 4 + 2 = −8 −
‫الضربي‬ ‫النظير‬ =
− −
− +
− +
=
− +
+
=
−
+
‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬− −3 − 4 + 5 + 6 =
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
51
‫سؤال‬2002‫/د‬2‫كان‬ ‫اذا‬ := − 𝟑, 𝟏‫والقٌمة‬ ‫مقٌاسه‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫العدد‬ ‫لهذا‬ ‫الجبري‬ ‫الشكل‬ ‫أكتب‬ ,‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫ا‬‫ا‬‫عدد‬
.‫لسعته‬ ‫األساسٌة‬
/‫الحل‬= − 3 + ‫الجبري‬ ‫الشكل‬
║ = 3 + = 4 = 2 ‫المقياس‬ , 𝜃 =
−
, i 𝜃 =
‫للسعة‬ ‫األسياسية‬ ‫القيمة‬ 𝜃 = −
6
=
5
6
‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ 𝜃
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ := 𝟏 − , = 𝟑 + 𝟐‫أن‬ ‫إثبت‬+ = +.
/‫الحل‬+ = 3 + 2 + − = 4 + = 4 −
+ = 3 + 2 + − = 3 − 2 + + = 4 −
+ = +
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬1‫المركب‬ ‫للعدد‬ ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬ ‫جد‬ :𝟑 + 𝟓.‫العادٌة‬ ‫بالصورة‬ ‫ضعه‬ ‫ثم‬
/‫الحل‬‫الضربي‬ ‫النظير‬ =
+
=
+
−
−
=
−
+
=
−
= −
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬2‫كان‬ ‫إذا‬ :Z( ‫مقٌاسه‬ ‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫ا‬‫ا‬‫عدد‬2‫وسزعته‬ )( 𝟑
)‫والجبزري‬ ً‫الزدٌكارت‬ ‫الشزكل‬ ‫مزن‬ ‫كزال‬ ‫جزد‬
.‫العدد‬ ‫لهذا‬
/‫الحل‬𝜃 = = = =
i 𝜃 = i = = = 3
‫الجبري‬ ‫الشكل‬= + 3
‫الديكارتي‬ ‫الشكل‬= , 3
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
52
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2004‫/د‬1‫المركب‬ ‫للعد‬ ‫العادٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫جد‬ :𝟏 − 𝟑
𝟐
+ 𝟐 − 𝟑
𝟐
.
/‫الحل‬− 𝟑 + 2 − 𝟑 = − 2 𝟑 + 3 + 4 − 4 𝟑 + 3
= 5 − 6 𝟑 − 3 − 3
= − − 6 𝟑
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2005‫/د‬1‫ناته‬ ‫جد‬ :𝟑 + 𝟒 𝟐
+ 𝟓 − 𝟑 𝟏 +.‫الدٌكارتٌة‬ ‫بالصٌغة‬
/‫الحل‬‫المقدار‬ = 9 + 24 + 6 + 5 + 5 − 3 − 3
= 9 − 6 + 5 + 3 + 24 + 5 − 3 = + 26
,26 ‫الديكارتية‬ ‫الصيغة‬
‫سؤال‬2005‫/د‬2‫كان‬ ‫إذا‬ := −𝟏 + 𝟐‫فجد‬𝟐
+ 𝟑 + 𝟓.‫الدٌكارتٌة‬ ‫بالصٌغة‬
+ 3 + 5 = − + 2 + 3 − + 2 + 5
= − 4 + 4 − 3 + 6 + 5 = − + 2
‫الصيغة‬‫الديكارتية‬− ,2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :z( ‫مقٌاسه‬ ‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫عددا‬4‫االساسٌة‬ ‫وسعته‬ )(
𝟓
𝟔
)ً‫الدٌكارت‬ ‫الشكل‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫فجد‬
‫للعد‬ ‫الجبري‬ ‫والشكل‬‫د‬z.
/‫الحل‬= − = 2 = −4 3 = −2 3
i = = 2 = 4 = 2
‫الجبري‬ ‫الشكل‬= −2 3 + 2
‫الديكارتي‬ ‫الشكل‬= −2 3, 2
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
53
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬1ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y:‫المعادلة‬ ‫من‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬𝟐 + + 𝟐 = 𝟐 + 𝟗.
/‫الحل‬2 + 4 + + 2 = 2 + 9 2 − 2 + 4 + = 2 + 9
2 − 2 = 2 2 = 4 = 2 =
4 + = 9 . 2
4 + = 9
.
⇒ 4 + 2 = 9 4 − 9 + 2 =
4 − − 2 =
‫أما‬ 4 − = 4 = =
4
=
2
4
= 8
‫أو‬ − 2 = = 2 =
2
2
=
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬2ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y:‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬
3 − 2 + + = 7
/‫الحل‬6 + 3 − 2 − + = + 7
6 + 2 + 3 − 2 = + 7
6 + 2 = ⇒ = −2 =
−
. .
3 − 2 = 7 . 2
3 − 2 (
−
) = 7
.
⇒ 3 + 4 = 7 3 − 7 + 4 =
3 − 4 − =
3 − 4 = 3 = 4 = =
−
=
−
=
−
− = = =
−
= −2
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
54
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬1‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬ :𝟑 + 𝟒.
/‫الحل‬‫نفرض‬ 3 + 4 = + ‫بالتربيع‬
3 + 4 = − + 2
− = 3 . . , 2 = 4 ⇒ = 2 =
2
. . 2
−
4
= 3
.
⇒ − 4 = 3 − 3 − 4 = − 4 + =
− 4 = = 4 = {
2 =
−2 = −
3 + 4 = ,
2 +
−2 −
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬2‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫األساسٌة‬ ‫والسعة‬ ‫المقٌاس‬ ‫جد‬ :(
𝟐
𝟏+
).
/‫الحل‬
+
=
+
−
−
=
−
=
+
= + = +
‫المقياس‬ = + = 2 , 𝜃 = , i 𝜃 = 𝜃 =
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬1‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫للسعة‬ ‫األساسٌة‬ ‫والقٌمة‬ ‫المقٌاس‬ ‫جد‬ :𝟏 + 𝟑
𝟐
.
/‫الحل‬+ 3 = + 2 3 + 3 = −2 + 2 3
‫المقياس‬ = 4 + 2 = 6 = 4 , 𝜃 =
−
=
−
, i 𝜃 = =
= − = ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬2ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫واللتان‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬
+ 5 = 2 + +
/‫الحل‬+ 5 = 2 + 2 + + + 5 = 2 − + 3
= 2 − . , 5 = 3 =
= 2 ( ) − = − =
−
= = 4
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
55
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1:‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬ :
𝟏𝟒+𝟐
𝟏+
.
/‫الحل‬
+
+
=
+
+
−
−
=
− + −
=
−
= 8 − 6
‫نفرض‬ 8 − 6 = +
‫بالتربيع‬
⇒ 8 − 6 = − + 2
− = 8 . . , 2 = −6 ⇒ = −3 =
−
. 2
−
9
= 8
.
⇒ − 9 = 8 − 8 − 9 = − 9 + =
‫يهمل‬
− 9 = = 9 = {
3 = −
−3 =
8 − 6 = ,
3 −
−3 +
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2‫المعادلة‬ ‫حل‬ :𝟒
+ 𝟏𝟑 𝟐
+ 𝟑𝟔 = 𝟎‫حٌث‬z.‫مركب‬ ‫عدد‬
/‫الحل‬+ 9 + 4 =
+ 9 = = −9 = 9 = 3
+ 4 = = −4 = 4 = 2
‫مج‬ = {−2 , 2 , −3 , 3 }
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
56
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y:‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫واللتان‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬
+ 𝟑 − 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟓
/‫الحل‬− 2 + 3 − 6 = 2 + 5 + 6 + −2 + 3 = 2 + 5
+ 6 = 2 = 6 = .
−2 + 3 = 5 2
−2 + 3 ( ) = 5
.
⇒ −2 + 8 = 5 2 + 5 − 8 =
2 + 9 − 2 =
2 + 9 = 2 = −9 =
−
= =
−
= =
−
− 2 = = 2 = = = 3
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬2‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌٌن‬ ‫الجذرٌن‬ ‫جد‬ :z‫حٌث‬= −𝟏 + 𝟕 𝟏 +
/‫الحل‬= − − + 7 + 7 = −8 + 6
‫نفرض‬ −8 + 6 = +
‫بالتربيع‬
⇒ −8 + 6 = − + 2
− = −8 . , 2 = 6 = 3 = . . 2
− ( ) = −8 − = −8
.
⇒ − 9 = −8 + 8 − 9 =
+ 9 − =
‫أما‬ + 9 = ‫يهمل‬
‫أو‬ − = = = {
= 3
− = −3
−8 + 6 = ,
+ 3
− − 3
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
57
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2012‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :
𝟐+
𝟑−
,
𝟓
+
ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ ,‫مترافقٌن‬y,x.‫الحقٌقٌتٌن‬
/‫الحل‬
+
=
−
+
2 − + = 5 + 5 + =
+
−
+
+
+ =
+ + +
+
+ =
+
= 5 , = 5+ = 5 + 5
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2012‫/د‬2:: ‫المقدار‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫ضع‬𝟏 + 𝟓
+ 𝟏 − 𝟓
/‫الحل‬
𝟏 + 𝟓
− 𝟏 − 𝟓
= [ 𝟏 + 𝟐] 𝟐
𝟏 + − [ 𝟏 − 𝟐] 𝟐
𝟏 −
= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 + − 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 −
= 𝟐 𝟐
𝟏 + − −𝟐 𝟐
𝟏 −
= −𝟒 𝟏 + − −𝟒 𝟏 −
= −𝟒 − 𝟒 + 𝟒 − 𝟒 = −𝟖 = 𝟎 − 𝟖
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2013‫/د‬1:: ‫قٌمة‬ ‫جد‬𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
‫الصفحة‬ ً‫ف‬ ‫محلول‬ ‫السؤال‬ ‫ذا‬ /‫الحل‬(13)‫أثبت‬ ‫بصٌغة‬𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
= 𝟒
𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
= 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ] = 𝟏 − 𝟐 [𝟏 + ]
= 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟐 + 𝟐 = 𝟒
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2013‫/د‬3:
‫كان‬ ‫أذا‬𝟐 = 𝟓 + 𝟐 , 𝟏 = 𝟑 + 𝟒‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ً‫ف‬ ‫وضح‬𝟏 + 𝟐
/‫الحل‬
𝟏 = 𝟑 + 𝟒 𝟏 = 𝟑 , 𝟒
𝟐 = 𝟓 + 𝟐 𝟐 = 𝟓 , 𝟐
𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐
𝟑 = 𝟖 + 𝟔 𝟑 = 𝟖 , 𝟔
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
58
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬1:‫القطبٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫جد‬‫الخمسة‬ ‫للجذور‬: ‫للمقدار‬√ 𝟑 +
𝟐𝟓
= 𝟑 + = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟑
𝟐
= =
𝟏
𝟐
=
𝟔
= 𝟐 (
𝟔
+
𝟔
) 𝟐
= 𝟐 𝟐
(
𝟔
+
𝟔
)
𝟐
𝟐
= 𝟒 (
𝟑
+
𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟓 = 𝟒
(
𝟏
𝟓
)
(
𝟑
+
𝟑
)
𝟏
𝟓
= 4 4 6
(
𝟑
) + 𝟐
𝟓
7 + i i 6
(
𝟑
) + 𝟐
𝟓
75
= 4 6 4
+ 𝟔
𝟑
𝟓
5 + 4
+ 𝟔
𝟑
𝟓
57
𝟐𝟓
= 𝟒
𝟓
[ (
+ 𝟔
𝟏𝟓
) + (
+ 𝟔
𝟏𝟓
)] = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
= 𝟎 𝟏 = 𝟒
𝟓
𝟏𝟓
+
𝟏𝟓
= 𝟏 𝟐 = 𝟒
𝟓 𝟕
𝟏𝟓
+
𝟕
𝟏𝟓
= 𝟐 𝟑 = 𝟒
𝟓 𝟏𝟑
𝟏𝟓
+
𝟏𝟑
𝟏𝟓
= 𝟑 𝟒 = 𝟒
𝟓 𝟏𝟗
𝟏𝟓
+
𝟏𝟗
𝟏𝟓
= 𝟒 𝟓 = 𝟒
𝟓 𝟐𝟓
𝟏𝟓
+
𝟐𝟓
𝟏𝟓
= 𝟒
𝟓 𝟓
𝟑
+
𝟓
𝟑
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
59
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3:‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫جد‬= 𝟓 − 𝟓
/‫الحل‬
= ‖ ‖ = = 𝟐 + 𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟐𝟓 = 𝟓𝟎 = 𝟓 𝟐
= ‖ ‖
=
𝟓
𝟓 𝟐
=
𝟏
𝟐
, = ‖ ‖
=
−𝟓
𝟓 𝟐
=
−𝟏
𝟐
= 𝟐 −
𝟒
=
𝟕
𝟒
‫الرابع‬ ‫الربع‬
= 𝟓 𝟐
𝟕
𝟒
+
𝟕
𝟒
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬2:‫كان‬ ‫اذا‬𝟐 − 𝟒‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫أحد‬ ‫و‬𝟐 𝟐
– – + – 𝟔 = 𝟎,
ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ , ‫حقٌقٌة‬ ‫معامالتها‬,
/‫الحل‬‫مترافقان‬ ‫الجذران‬ ‫فان‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬
= 𝟐 − 𝟒 , = 𝟐 + 𝟒
+ = 𝟐 − 𝟒 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟒
. = 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟒 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟎
𝟐
– 𝟒 + 𝟐𝟎 = 𝟎
.𝟐
⇒ 𝟐 𝟐
– 𝟖 + 𝟒𝟎 = 𝟎
‫مع‬ ‫بالمقارنة‬ 𝟐 𝟐
– 𝟏 + + − 𝟔 = 𝟎
𝟏 + = 𝟖 = 𝟕
– 𝟔 = 𝟒𝟎 = 𝟒𝟔
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3:
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
60
: ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬𝟑
− 𝟖 = 𝟎
/‫الحل‬
𝟑
− 𝟖 = 𝟎 𝟑
= 𝟖 𝟑
= 𝟖 * (
𝟐
) + (
𝟐
)+ ‫التكعيبي‬ ‫بالجذر‬
= 𝟐 . (
𝟐
) + (
𝟐
)/
𝟏
𝟑
= 𝟐 6 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
5 + 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
57
= 𝟐 6 4
+ 𝟒
𝟐
𝟑
5 + 4
+ 𝟒
𝟐
𝟑
57 = 𝟐 [ (
+ 𝟒
𝟔
) + (
+ 𝟒
𝟔
)]
= 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = 𝟐 * (
𝟔
) + (
𝟔
)+ = 𝟐 0
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 = 𝟑 +
= 𝟏 = 𝟐 [ (
𝟓
𝟔
) + (
𝟓
𝟔
)] = 𝟐 0
− 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 = − 𝟑 +
= 𝟏 = 𝟐 [ (
𝟗
𝟔
) + (
𝟗
𝟔
)] = 𝟐[𝟎 − ] = −𝟐
{ 𝟑 + , −𝟐 , − 𝟑 + } ‫هي‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2016‫/د‬1:‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ , ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬𝟖.
/‫الحل‬
= 𝟖 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 𝟐 = 𝟖
= =
‖ ‖
=
𝟎
𝟖
= 𝟎 , = =
𝟖
𝟖
= 𝟏 =
𝟐
‫االول‬ ‫الربع‬
𝟑
= 𝟖
𝟑
= 𝟖
(
𝟏
𝟑
)
=
(
𝟏
𝟑
)
+
(
𝟏
𝟑
)
= 𝟖
(
𝟏
𝟑
)
(
𝟐
+
𝟐
)
(
𝟏
𝟑
)
𝟑
= 𝟖
𝟑
4 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
5 + 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
55 = 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = 2[ (
6
) + (
6
)] = 𝟐 0
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 = 𝟑 +
= 𝟏 = 2[ (
5
6
) + (
5
6
)] = 𝟐 * ( −
6
) + ( −
6
)+
= 𝟐 *− (
6
) + (
6
)+ = 𝟐 0
− 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 = − 𝟑 +
= 𝟐 = 2[ (
9
6
) + (
9
6
)] = 𝟐 [ (
3
2
) + (
3
2
)] = 𝟎 + 𝟐 − = −𝟐
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
61
‫حول‬ ‫أسئلة‬‫المركبة‬ ‫األعداد‬
‫س‬1/‫كان‬ ‫إذا‬–( ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌن‬ ‫الجذرٌن‬ ‫أحد‬bi+3‫حٌث‬ ),‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫السعة‬ ‫جد‬ ,‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬
= 𝟐
− 𝟑 − 𝟐 − 𝟏𝟗
‫س‬2/: ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫ناته‬ ‫جد‬
𝟏 + 𝟑
𝟓
− 𝟏 + 𝟑
𝟓𝟐𝟏 − 𝟑
𝟒𝟏
𝟏 − 𝟔𝟒𝟏 + 𝟖𝟑
‫س‬3/‫التربٌعٌة‬ ‫الجدور‬ ‫أوجد‬‫للعدد‬𝟓 + 𝟏𝟐
‫س‬4/‫كان‬ ‫أذا‬= + 𝟑‫مقٌاسه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬𝟐‫قٌمة‬ ‫جد‬ ,.
‫س‬5/‫كان‬ ‫إذا‬+ =
𝟐+
𝟏−
‫أن‬ ‫فأثبت‬𝟐[ 𝟑
+ 𝟑] = 𝟕
‫س‬6/‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 +‫الجذور‬ ‫أحد‬ ‫و‬‫المعادلة‬‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬+ 𝟒ً‫قٌمت‬ ‫فجد‬,
‫س‬7‫المركب‬ ‫العدد‬ /𝟏 − 𝟐‫المعادلة‬ ‫جذور‬ ‫أحذ‬ ‫و‬𝟐
− 𝟐 − + − 𝟕 = 𝟎‫قٌم‬ ‫فجد‬,
‫س‬8/‫المعادلة‬ ‫حل‬ , ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬𝟐
+ 𝟐𝟕 = 𝟎‫حٌث‬ℂ
‫س‬9/‫المعادالت‬ ‫حل‬‫التالٌة‬‫المجموعة‬ ً‫ف‬‫مختلفتٌن‬ ‫بطرٌقتٌن‬ ℂ
𝟑
− 𝟖 = 𝟎𝟐𝟑
− 𝟖 = 𝟎𝟏
𝟑
− 𝟔𝟒 = 𝟎𝟒𝟑
+ 𝟔𝟒 = 𝟎𝟑
‫س‬10/: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫ا‬‫ال‬‫ك‬ ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫أحسب‬
𝟑 −
𝟕
−𝟏 + 𝟕
𝟏 + 𝟓
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
62
ً‫الثان‬ ‫الفصل‬/‫المخروطٌة‬ ‫المطوع‬
ً‫المخروط‬ ‫المطع‬:‫لٌكن‬( 𝟏 𝟏)‫ولٌكن‬ ‫المستوي‬ ً‫ف‬ ‫ثابتة‬ ‫نمطة‬𝟎ً‫ف‬ ‫ثابت‬ ‫مستمٌم‬
‫نفسه‬ ‫المستوي‬‫فان‬ ‫لذا‬‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫بعد‬ ‫نسبة‬ ً‫الت‬ ‫النماط‬ ‫كل‬ ‫مجموعة‬( 𝟏 𝟏)‫المستمٌم‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫الى‬
𝟎‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫تساوي‬( )ً‫المخروط‬ ‫بالمطع‬ ‫ٌسمى‬ ً‫هندس‬ ‫شكل‬ ‫تكون‬‫أو‬‫النمط‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬
‫معلوم‬ ‫مستمٌم‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫ٌساوي‬ ‫معلومة‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ً‫الت‬
‫عدة‬ ً‫مخروط‬ ‫شكل‬ ‫لكل‬ ‫ان‬ ‫حٌث‬ً‫وه‬ ‫بها‬ ‫ٌتعٌن‬ ‫أساسٌة‬ ‫مفاهٌم‬:
①‫الثابتة‬ ‫النمطة‬( 𝟏 𝟏)ً‫المخروط‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫تسمى‬( )
②‫الثابت‬ ‫المستمٌم‬𝟎ً‫المخروط‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫ٌسمى‬( )
③‫النسبة‬( )‫المركزي‬ ‫باالختالف‬ ‫تسمى‬( )‫كان‬ ‫أذا‬ ‫حٌث‬
( 𝟏) ‫مكافئ‬ ‫القطع‬ ‫نوع‬ ( 𝟏) ‫ناقص‬ ‫القطع‬ ‫نوع‬ ( 𝟏) ‫زائد‬ ‫القطع‬ ‫نوع‬
④= ‫والدلٌل‬ ‫البإرة‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬|𝟐 |
‫الم‬ ‫المطع‬‫كافئ‬:‫النمط‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬( )‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫ٌكون‬ ً‫والت‬ ‫المستوي‬ ً‫ف‬‫نمطة‬‫ثابت‬‫ة‬( 𝟎)‫تسمى‬
‫حٌث‬ ‫البإرة‬𝟎‫معلوم‬ ‫مستمٌم‬ ‫عن‬ ‫لبعدها‬ ‫دائمآ‬ ‫مساوٌآ‬( )‫البإرة‬ ‫ٌحتوي‬ ‫ال‬ ‫وهو‬ ‫الدلٌل‬ ‫ٌسمى‬ ‫والذي‬
‫أخر‬ ‫بمعنى‬ ‫أو‬ً‫والت‬ ‫مستوي‬ ‫داخل‬ ‫النمط‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬‫ٌك‬‫مستمٌم‬ ‫عن‬ ‫لبعدها‬ ‫مساوٌا‬ ‫معلومة‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫ون‬
‫معلوم‬.
‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬xis)a-(x‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬:
‫باستخدام‬‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌمكن‬ ‫التعرٌف‬‫نمطتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬ ‫لانون‬ ‫على‬ ‫باالعتماد‬
√( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 (‫البعد‬ ‫)قانون‬
( ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫من‬ )
√( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( ) 𝟐 ( ) 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟎
𝟐
𝟒 𝟎 (‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القٌاسٌة‬ ‫)المعادلة‬
‫و‬‫ذذذ‬‫ذ‬‫ه‬‫ذذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫للمطذذذع‬ ‫ذذٌة‬‫ذ‬‫المٌاس‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫المعادل‬ ً‫ذذ‬‫ذ‬‫ه‬‫ذذٌنات‬‫ذ‬‫الس‬ ‫ذذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ً‫تنتمذذذ‬ ‫ذذه‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬((x-axisً‫فذذذ‬ ‫ذذرأس‬‫ذ‬‫وال‬
‫ذذذل‬‫ذ‬‫األص‬ ‫ذذذة‬‫ذ‬‫نمط‬‫ذذذث‬‫ذ‬ٌ‫ح‬‫ذذذة‬‫ذ‬‫النمط‬ ‫ذذذمى‬‫ذ‬‫تس‬"O"‫ذذذث‬‫ذ‬ٌ‫ح‬ ‫ذذذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫ذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذرأس‬‫ذ‬‫ب‬‫ذذذه‬‫ذ‬‫بإرت‬( 𝟎)‫ذذذه‬‫ذ‬‫دلٌل‬ ‫ذذذة‬‫ذ‬‫ومعادل‬
𝟎‫حٌث‬‫أثبات‬ ‫ٌمكن‬ ‫األسلوب‬ ‫وبنفس‬𝟐
𝟒
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
63
‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬xis)a-(y‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬:
‫نمطتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬ ‫لانون‬ ‫على‬ ‫باالعتماد‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌمكن‬ ‫التعرٌف‬ ‫باستخدام‬
√( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 (‫البعد‬ ‫)قانون‬
( ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫من‬ )
√( 𝟎) 𝟐 ( ) 𝟐 √( ) 𝟐 ( ) 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟒 𝟎 (‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القٌاسٌة‬ ‫)المعادلة‬
‫ال‬ ‫لمحذور‬ ً‫تنتمذ‬ ‫بإرتذه‬ ‫الذذي‬ ‫المكذافئ‬ ‫للمطذع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ً‫ه‬ ‫وهذ‬‫صذاد‬‫ات‬( (‫نمطذة‬ ً‫فذ‬ ‫والذرأس‬
‫النمطة‬ ‫تسمى‬ ‫حٌث‬ ‫األصل‬"O"‫بإرته‬ ‫حٌث‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫برأس‬(𝟎 )‫دلٌله‬ ‫ومعادلة‬𝟎‫حٌذث‬
‫أثبات‬ ‫ٌمكن‬ ‫األسلوب‬ ‫وبنفس‬𝟐
𝟒
‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫معادلتٌن‬ ‫ٌوجد‬ ‫انه‬ ‫سبك‬ ‫مما‬ ‫نالحظ‬(𝟎 𝟎)‫على‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫أحداهما‬
‫الم‬ ‫على‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫واألخرى‬ ً‫السٌن‬ ‫المحور‬‫ح‬‫الصادي‬ ‫ور‬‫ذلن‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدنا‬ ‫والجدول‬.
‫انسٕىاث‬ ‫محُر‬ ّ‫عه‬ ‫ٔكُن‬ ‫عىدما‬( )‫انصاداث‬ ‫محُر‬ ّ‫عه‬ ‫ٔكُن‬ ‫عىدما‬( )
①‫انسٕىاث‬ ‫نمحُر‬ ٓ‫تىتم‬ ‫انبؤرة‬( )①‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬( )
②‫انبؤرة‬( 𝟎)‫اندنٕم‬ ‫َمعادنت‬②‫البإرة‬(𝟎 )‫الدلٌل‬ ‫ومعادلة‬
③ٌٓ ‫انمطع‬ ‫محُر‬ ‫معادنت‬𝟎③ً‫ه‬ ‫المطع‬ ‫محور‬ ‫معادلة‬𝟎
④‫اندنٕم‬ْ‫ُٔاس‬ْ‫انصاد‬ ‫انمحُر‬④‫الدلٌل‬‫ٌوازي‬ً‫السٌن‬ ‫المحور‬
⑤‫انسٕىاث‬ ‫محُر‬ ‫حُل‬ ‫انتىاظز‬⑤‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫التناظر‬
⑥‫الدلٌل‬ ‫ٌنصف‬ ً‫السٌن‬ ‫المحور‬⑥‫الصادي‬ ‫المحور‬‫الدلٌل‬ ‫ٌنصف‬
⑦‫المانون‬𝟐
𝟒⑦‫المانون‬𝟐
𝟒
‫عامة‬ ‫مالحظات‬:
❶‫صحٌح‬ ‫والعكس‬ ‫الدلٌل‬ ‫أشار‬ ‫عكس‬ ‫البإرة‬ ‫أشار‬
❷‫والدلٌل‬ ‫البإرة‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬=2p
❸) ‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫أن‬ ‫(أي‬ ‫معادلته‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬
❹‫للمطع‬ ً‫تنتم‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬‫الدلٌل‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫ٌساوي‬ ‫البإرة‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫المكافئ‬
❺ً‫ه‬ ‫به‬ ‫الخاصة‬ ‫الممٌز‬ ‫ومعادلة‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫هو‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫رأس‬( 𝟐
𝟒 𝟎)
❻‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادالت‬ ‫عن‬ ‫أكثر‬ ‫تفاصٌل‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدنا‬ ‫الجدول‬
‫التناظر‬‫المطع‬ ‫أتجا‬‫المحور‬‫الدلٌل‬‫البإرة‬‫المعادلة‬
x-axis‫الٌمٌن‬x-axis( 𝟎)𝟐
𝟒
x-axis‫الٌسار‬x-axis( 𝟎)𝟐
𝟒
y-axis‫األعلى‬y-axis(𝟎 )𝟐
𝟒
y-axis‫األسفل‬y-axis(𝟎 )𝟐
𝟒
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
64
‫مثال‬)1)/‫المكاف‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البإرة‬ ‫جد‬‫ئ‬𝟐
𝟖
/ ‫الحل‬𝟐
𝟖
𝟐
𝟒 (‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ )
𝟒 𝟖
𝟖
𝟒
𝟐
( 𝟎) ( 𝟐 𝟎) ‫انبؤرة‬
𝟐 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
‫مثال‬)2)/‫معادل‬ ‫جد‬‫بإرته‬ ) ‫أ‬ : ‫علم‬ ‫أذا‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫ة‬(3,0)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬.
‫معادلة‬ ) ‫ب‬‫الدلٌل‬𝟐 𝟔 𝟎. ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫ورأسه‬
/ ‫الحل‬) ‫أ‬( 𝟎) (𝟑 𝟎) ‫البؤرة‬
𝟑 𝟐
𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ )
𝟐
𝟒(𝟑) 𝟐
𝟏𝟐 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
___________________________
) ‫ب‬𝟐 𝟔 𝟎 ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬
𝟐 𝟔 𝟑
𝟑 𝟐
𝟒
𝟐
𝟒(𝟑) 𝟐
𝟏𝟐 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
‫مثال‬)3)/‫جد‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫ومعادلة‬ ‫بإرة‬𝟐
𝟒‫أرسمه‬ ‫ثم‬
/ ‫الحل‬𝟐
𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ )
𝟐
𝟒
𝟒 𝟒
𝟒
𝟒
𝟏
( 𝟎) (𝟏 𝟎) ‫انبؤرة‬
𝟏 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
𝟐
4 𝟒(𝟏) 𝟒 𝟐√
𝟐𝟏𝟎
𝟐√2𝟎
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
65
‫مثال‬)4)/‫التعرٌف‬ ‫بؤستخدام‬‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫بإرته‬ ‫أن‬ ‫علم‬ ‫أذا‬ ‫المكافئ‬(√𝟑 𝟎). ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/ ‫ذل‬‫ذ‬‫الح‬‫ذإرة‬‫ذ‬‫الب‬(√𝟑 𝟎)‫ذة‬‫ذ‬‫النمط‬ ‫ذتكن‬‫ذ‬‫ول‬( )‫ذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ً‫ذ‬‫ذ‬‫منحن‬ ‫ذى‬‫ذ‬‫ال‬ ً‫ذ‬‫ذ‬‫تنتم‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬‫ذة‬‫ذ‬‫النمط‬ ‫ذتكن‬‫ذ‬‫ول‬
( √ 𝟑 )ً‫ه‬‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫العمود‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬( )‫الدلٌل‬ ‫على‬⃡‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫فمن‬
( ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫من‬ )
√( √𝟑)
𝟐
( 𝟎) 𝟐 √( √𝟑)
𝟐
( ) 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
( √𝟑 )
𝟐
𝟐
( √𝟑 )
𝟐
𝟐
𝟐√𝟑 𝟑 𝟐 𝟐
𝟐√𝟑 𝟑
𝟐
𝟒√𝟑 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
‫مثال‬)5)/‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البإرة‬ ‫جد‬𝟑 𝟐
𝟐𝟒 𝟎
/ ‫الحل‬𝟑 𝟐
𝟐𝟒 𝟎 𝟑 𝟐
𝟐𝟒 (𝟑 ‫عهى‬ ‫انمعادنت‬ ‫طرفي‬ ‫وقسم‬ )
𝟐
𝟖
𝟐
𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ )
𝟒 𝟖
𝟖
𝟒
𝟐
(𝟎 ) (𝟎 𝟐) ‫انبؤرة‬
𝟐 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
‫مثال‬)6)/‫بإرته‬ ) ‫أ‬ : ‫علم‬ ‫أذا‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟎 𝟓)‫و‬‫رأس‬‫ه‬‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬.
‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ) ‫ب‬𝟕. ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫ورأسه‬
/ ‫الحل‬) ‫أ‬(𝟎 ) (𝟎 𝟓) ‫البؤرة‬
𝟓 𝟐
𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ )
𝟐
𝟒(𝟓) 𝟐
𝟐𝟎 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
___________________________
) ‫ب‬𝟕 (‫اندنيم‬ ‫معادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ )
𝟕 𝟐
𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ )
𝟐
𝟒(𝟕) 𝟐
𝟐𝟖 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
66
‫مثال‬)7)/‫بالنمطتٌن‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟐 𝟒) (𝟐 𝟒 )‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫ورأسه‬
/ ‫الحل‬‫لٌمة‬ ‫(ألن‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬ ‫النمطتان‬) ‫تتغٌر‬ ‫لم‬ ‫ثابتة‬
ٌٓ ‫انمكافئ‬ ‫نهمطع‬ ‫انمٕاسٕت‬ ‫انمعادنت‬𝟐
𝟒
‫انىمطت‬ ‫َنتكه‬ ‫بٍا‬ ‫ٔمز‬ ً‫ألو‬ ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬ ‫تحممان‬ ‫انهتٕه‬ ‫انىمطتٕه‬ ِ‫أحد‬ ‫وعُض‬(𝟐 𝟒)
(𝟒) 𝟐
𝟒 (𝟐) 𝟏𝟔 𝟖
𝟏𝟔
𝟖
𝟐
𝟐
𝟒 𝟐
𝟒(𝟐) 𝟐
𝟖 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
‫مثال‬)8)/‫بالنمطة‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫وٌمر‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟑 𝟓)
/‫الحل‬‫لعدم‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫أحتمالٌن‬ ‫ٌوجد‬, ‫انبؤرة‬ ‫تحدٔد‬‫َاالحتمانٕه‬: ‫ٌما‬
‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ : ‫أوال‬‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ : ‫ثانٌا‬
𝟐
𝟒 (‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ )
𝟓 (‫الدلٌل‬ ‫)معادلة‬
𝟓
𝟐
𝟒 𝟐
𝟒(𝟓)
𝟐
𝟐𝟎 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
𝟐
𝟒 (‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ )
𝟑 (‫الدلٌل‬ ‫)معادلة‬
𝟑
𝟐
𝟒 𝟐
𝟒( 𝟑)
𝟐
𝟏𝟐 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
(𝟐 𝟏)‫تمارين‬
‫س‬1/‫لها‬ ً‫البٌان‬ ً‫المنحن‬ ‫أرسم‬ ‫ثم‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬:
) ‫أ‬ (‫البإرة‬(𝟓 𝟎)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬(𝟓 𝟎)
𝟓 𝒙 𝟓 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
𝒚 𝟒𝟐
𝒚 𝟒(𝟓)𝟐
𝒚 𝟐𝟎 ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬𝟐
𝟐𝟏𝟎
2√2√5𝟎
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
67
) ‫ب‬ (‫البإرة‬(𝟎 𝟒)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬(𝟎 𝟒)
𝟒 y 4 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
𝑥 𝟒2
𝑥 𝟒(𝟒)2
𝑥 𝟏𝟔 ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬2
4√24𝟎
2𝟎
) ‫ج‬ (‫البإرة‬(𝟎 √𝟐 )‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬(𝟎 √𝟐 )
√𝟐 y √𝟐 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
𝑥 𝟒2
𝑥 𝟒(√𝟐) ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬2
2√2
2√√𝟐
𝟎
√𝟐𝟎
) ‫د‬ (‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫معادلة‬𝟒 𝟑 𝟎‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬
𝟒 𝟑 𝟎 𝟒 𝟑 y
3
4
‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
p
3
4
F
3
4
‫البؤرة‬
𝑥 𝟒2
𝑥 𝟒2
3
4
𝑥 𝟑 ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬2
√6√𝟑𝟎
𝟐𝟎
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
68
‫س‬2/‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫والدلٌل‬ ‫المحور‬ ً‫ومعادلت‬ ‫والرأس‬ ‫البإرة‬ ‫جد‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬:
( ) 𝟐
𝟒
/‫الحل‬𝟒 𝟒 𝑝 (𝟎 𝟏)‫البؤرة‬
𝟎 (‫المحور‬ ‫معادلة‬ ) 𝟏 (‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ) (𝟎 𝟎)‫الرأس‬
( ) 𝟐 𝟏𝟔 𝟐
𝟎
/‫الحل‬
𝟏𝟔 𝟐
𝟐 𝟐 𝟏
𝟖
𝟒
𝟏
𝟖
p
𝟏
𝟑𝟐
(
𝟏
𝟑𝟐
𝟎) ‫البؤرة‬
𝟎 (‫المحور‬ ‫معا‬‫دلة‬ )
𝟏
𝟑𝟐
(‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ) (𝟎 𝟎)‫الرأس‬
‫س‬3/‫بالنمطتٌن‬ ‫المار‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟐 𝟓) (𝟐 𝟓)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬∵‫ال‬‫نمطتان‬ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬‫والمانون‬( 𝟐
𝟒 )
‫تحمم‬ ‫النمطتان‬‫ان‬‫الن‬ ‫المعادلة‬‫بهما‬ ‫ٌمر‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬‫لذا‬‫نؤخذ‬‫النمطة‬( 𝟐 𝟓)‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫ونعوضها‬
(𝟓) 𝟐
𝟒 (𝟐) 𝟐𝟓 𝟖𝒑 𝒑
𝟐𝟓
𝟖
𝟐
𝟒 𝟒
25
8
𝟐
𝟐𝟓
𝟐
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫س‬4/‫بالنمطذة‬ ‫ٌمذر‬ ‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫دلٌل‬ ‫كان‬ ‫أذا‬( 𝟑 𝟒)‫بإرتذه‬ ‫أن‬ ‫علمذا‬ ‫معادلتذه‬ ‫جذد‬ ‫األصذل‬ ‫نمطذة‬ ً‫فذ‬ ‫والذرأس‬
‫المحورٌن‬ ‫ألحد‬ ً‫تنتم‬
/‫الحل‬∵‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫الدلٌل‬( 𝟑 𝟒)‫األول‬ ‫هما‬ ‫دلٌالن‬ ‫هنان‬( 𝟑)ً‫والثان‬( 𝟒)
‫مكافئ‬ ‫لطعان‬ ‫هنان‬‫ان‬
‫األول‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬)‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ (
𝟑 𝟑
‫المانون‬𝟐 𝟒
𝟐
𝟒(𝟑) 𝟐
𝟏𝟐
‫المكافئ‬ ‫المطع‬‫الصاد‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ ( ً‫الثان‬)‫ات‬
𝟒 𝟒
‫المانون‬𝟐 𝟒
𝟐
𝟒(𝟒) 𝟐
𝟏𝟔
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
69
‫س‬5/‫معادلته‬ ‫مكافئ‬ ‫لطع‬𝟐
𝟖 𝟎‫ٌمر‬‫بالنمطة‬( 𝟏 𝟐)‫لٌمة‬ ‫جد‬A‫ودلٌله‬ ‫بإرته‬ ‫جد‬ ‫ثم‬‫و‬‫المطع‬ ‫أرسم‬
/‫الحل‬∵‫ٌمر‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬‫ب‬‫النمطة‬(𝟏 𝟐 )
‫النمطة‬(𝟏 𝟐 )‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( 𝟐
𝟖 𝟎)
(𝟏) 𝟐
𝟖(𝟐) 𝟎 A 6 𝟐
𝟖 𝟎 ( 𝟏𝟔)6
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎 𝟐
𝟏
𝟐
( 𝟐
𝟒 ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫)بالمقارنة‬
𝟒𝒑
𝟏
𝟐
𝒑
𝟏
𝟖
F( 𝑝) F
𝟏
𝟖
‫البؤرة‬
𝟏
𝟖
‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬
yx
00
𝟏𝟏
√𝟐
𝟐
‫س‬6/‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫التعرٌف‬ ‫باستخدام‬:
) ‫أ‬ (‫البإرة‬(𝟕 𝟎)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬𝟕 𝒙 ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬𝟕
(‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ )
√( 𝟕) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( 𝟕) 𝟐 ( ) 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬)
( 𝟕) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 ( 𝟕) 𝟐
𝟐
𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟐 𝟐
𝟏𝟒 𝟒𝟗
𝟏𝟒 𝟐
𝟏𝟒 𝟐
𝟐𝟖 (‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
‫وزاري‬2011/‫د‬1
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
70
) ‫ب‬ (‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬√ 𝟑‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬√𝟑 𝑝 √𝟑
(𝟎 ) (𝟎 √𝟑) ‫البؤرة‬
(‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ )
√( 𝟎) 𝟐 ( √𝟑)
𝟐
√( ) 𝟐 ( √𝟑)
𝟐
(‫الطرفٌن‬ ‫)بتربٌع‬
𝟐
( √ 𝟑)
𝟐
( √ 𝟑)
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐√ 𝟑 𝟑 𝟐
𝟐√ 𝟑 𝟑
𝟐
𝟐√ 𝟑 𝟐√ 𝟑 𝟐
𝟒√ 𝟑 (‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫التالٌة‬ ‫الشروط‬ ‫وٌحمك‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬:
(1)‫بإرته‬(𝟓 𝟎)
‫انحم‬/‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ً‫ه‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬𝟐
𝟒
( 𝟎) (𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐
𝟒(𝟓) 𝟐
𝟐𝟎 𝟎
(2)‫بإرته‬(𝟎 𝟑)
‫انحم‬/‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ً‫ه‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬𝟐
𝟒
(𝟎 ) (𝟎 𝟑) 𝟑 𝟐
𝟒(𝟑) 𝟐
𝟏𝟐 𝟎
(3)‫دلٌله‬ ‫معادلة‬𝟐 𝟔 𝟎
‫انحم‬/
𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 (𝟎 𝟑) ‫البؤرة‬
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒( 𝟑) 𝟐
𝟏𝟐 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
71
(4)‫و‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ٌ‫بالنمطة‬ ‫مر‬(√𝟐
𝟏
𝟐
)
‫انحم‬/‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ً‫ه‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬𝟐
𝟒
‫النمطة‬(√𝟐
𝟏
𝟐
)‫معادلته‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬
(√𝟐)
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐 𝟏
𝟐
𝟒 𝟒(𝟏) 𝟐
𝟒 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
(5)‫بالنمطتٌن‬ ‫ٌمر‬(𝟏 𝟐√𝟓) (𝟏 √𝟓)‫دلٌله‬ ‫ومعادلة‬ ‫معادلته‬ ‫جد‬
‫انحم‬/‫لٌمة‬ ‫(ألن‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬ ‫النمطتٌن‬x) ‫تتغٌر‬ ‫لم‬ ‫ثابتة‬ٌٓ ً‫معادنت‬𝟐
𝟒
∴‫بٍا‬ ‫ٔمز‬ ً‫ألو‬ ‫انىمطتٕه‬ ِ‫أحد‬ ‫وعُض‬
(𝟐√𝟓)
𝟐
𝟒 (𝟏) 𝟐𝟎 𝟒 𝟓 𝟓 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
𝟐
𝟒 𝟒(𝟓) 𝟐
𝟐𝟎 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
(6)‫بانىمطت‬ ‫ٔمز‬ ً‫َدنٕه‬ ‫انسٕىاث‬ ‫نمحُر‬ ٓ‫تىتم‬ ً‫بؤرت‬(𝟐 𝟒)
‫انحم‬/‫انسٕىاث‬ ‫نمحُر‬ ٓ‫تىتم‬ ً‫بؤرت‬ٌٓ ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬𝟐
𝟒
‫بانىمطت‬ ‫ٔمز‬ ً‫دنٕه‬(𝟐 𝟒)‫فأن‬ ‫نذا‬𝟐‫اندنٕم‬ ‫معادنت‬ ٌٓٓ‫انسٕى‬ ٓ‫األحداث‬ ‫ٔمطع‬ ‫اندنٕم‬ ‫ألن‬𝟐
𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
𝟒( 𝟐) 𝟐
𝟖 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
(7)‫معادنتٍا‬ ٓ‫انت‬ ‫اندائزة‬ ‫مزكش‬ ً‫َبؤرت‬ ‫األصم‬ ‫ومطت‬ ً‫رأس‬𝟐 𝟐
𝟒 𝟏 𝟎
‫انحم‬/‫اندائزة‬ ‫مزكش‬=(
( ‫)معامم‬
𝟐
( ‫)معامم‬
𝟐
)=(
𝟎
𝟐
( 𝟒)
𝟐
)=(𝟎 𝟐)‫انبؤرة‬ =
𝟐ٌٓ ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫َمعادنت‬ ‫انصاداث‬ ‫نمحُر‬ ٓ‫تىتم‬ ‫انبؤرة‬ َ𝟐
𝟒
𝟐
𝟒 𝟒(𝟐) 𝟐
𝟖 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
(8)‫محُري‬ ‫َمعادنت‬ ْ‫انصاد‬ ‫انمحُر‬ ْ‫ُٔاس‬ ً‫دنٕه‬𝟎‫بانىمطت‬ ‫َٔمز‬( 𝟐 𝟏 )
‫انحم‬/‫بانىمطت‬ ‫َٔمز‬ ْ‫انصاد‬ ‫انمحُر‬ ْ‫ُٔاس‬ ‫اندنٕم‬( 𝟐 𝟏 )
‫انمُجب‬ ٓ‫انسٕى‬ ٓ‫األحداث‬ ّ‫عه‬ ‫تمع‬ ‫َانبؤرة‬ ‫انسانب‬ ٓ‫انسٕى‬ ٓ‫األحداث‬ ‫ٔمطع‬ ‫اندنٕم‬
ٌٓ ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬𝟐
𝟒
‫بانىمطت‬ ‫ٔمز‬ ‫انمطع‬( 𝟐 𝟏 )ً‫تحمم‬ ٍٓ‫ف‬ ‫نذا‬
𝟐
𝟒 (𝟏) 𝟐
𝟒 ( 𝟐) 𝟏 𝟖
𝟏
𝟖
𝟐
𝟒
𝟏
𝟖
𝟐
𝟏
𝟐
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
72
(9)‫انمستمٕم‬ ‫مه‬ ‫ٔمطع‬𝟒‫طُنٍا‬ ‫لطعت‬‫وحداث‬ (𝟏𝟎)
‫انحم‬/
𝟐 𝟏𝟎 𝟓 (𝟒 𝟓)(𝟒 𝟓) ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫رأسي‬
‫انسٕىاث‬ ‫محُر‬ ‫حُل‬ ‫انتىاظز‬‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬𝟐
𝟒‫َانىمطت‬( 𝟒 𝟓)ً‫تحمم‬
𝟐
𝟒 (𝟓) 𝟐
𝟒 (𝟒)
𝟐𝟓
𝟏𝟔
𝟐
𝟒 𝟒
𝟐𝟓
𝟏𝟔
𝟐
𝟐𝟓
𝟒
‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫الشروط‬ ‫وٌحمك‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
(1)‫للعدد‬ ‫الدٌكارتٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫بإرته‬𝐳
𝟒+𝟐𝐢
𝟐 𝐢
‫انحم‬/
𝐳
𝟒 𝟐𝐢
𝟐 𝐢
×
𝟐 𝒊
𝟐 𝒊
𝟖 𝟒𝒊 𝟒𝒊 𝟐
𝟓
𝟏𝟎
𝟓
𝟐 ( 𝟐 𝟎) ‫الدٌكارتٌة‬ ‫الصٌغة‬
( 𝟐 𝟎) (𝒑 𝟎) ‫البؤرة‬ 𝐩 𝟐
𝒚 𝟐
𝟒𝒑𝒙 𝟒( 𝟐)𝒙 𝒚 𝟐
𝟖𝒙 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
(2)‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫ودلٌله‬ ‫المحورٌن‬ ‫ألحد‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬(3,4)
‫انحم‬/∵‫بالن‬ ‫ٌمر‬ ‫الدلٌل‬‫مطة‬(3,4)‫ٌوازي‬ ‫المحورٌن‬ ‫الي‬ ‫ٌحدد‬ ‫ولم‬‫دلٌالن‬ ‫ٌوجد‬𝒑 𝟑 𝒑 𝟒
‫االولى‬ ‫بإرتان‬ ‫ٌوجد‬(𝟎 𝟒)‫والثانٌة‬( 𝟑 𝟎)‫مكافئان‬ ‫لطعان‬ ‫وجدود‬ ً‫ٌعن‬ ‫مما‬
𝒚 𝟐
𝟒𝒑𝒙 𝟒(𝟑)𝒙 𝒚 𝟐
𝟏𝟐𝒙 ‫األول‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝒙 𝟐
𝟒𝒑𝒚 𝟒(𝟒)𝒚 𝒙 𝟐
𝟏𝟔𝒚 ‫انثاوي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
(3)‫المثلث‬ ‫برإوس‬ ‫ٌمر‬ABC‫حٌث‬𝑨(𝟎 𝟎) 𝑩( 𝟐 𝟒) 𝑪(𝟐 𝒎)‫لٌمة‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬m
‫انحم‬/∵‫النمطة‬(2,m)‫الرابع‬ ‫أو‬ ‫األول‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬ ‫أما‬ ‫تمع‬
‫النمطة‬(2,m)‫المطع‬ ‫ٌتحمك‬ ً‫لك‬ ‫األول‬ ‫للربع‬
‫المانون‬ ‫و‬ ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫على‬ ‫تمع‬ ‫البإرة‬𝒙 𝟐
𝟒𝒑𝒚
∵‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫المطع‬( 𝟐 𝟒)‫تحممه‬ ً‫فه‬
( 𝟐) 𝟐
𝟒𝒑(𝟒) 𝒑
𝟒
𝟏𝟔
𝐩
𝟏
𝟒
𝒙 𝟐
𝟒𝒑𝒚 𝟒
𝟏
𝟒
𝒚 𝒙 𝟐
𝒚 ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
∵‫النمطة‬(2,m)‫معادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫لذا‬ ‫المطع‬ ‫على‬ ‫تمع‬‫المطع‬
(𝟐) 𝟐
𝐦 𝐦 𝟒
(4)‫دلٌله‬ ‫ومعادلة‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬𝟐𝒚 √ 𝟑 𝟎
‫ا‬‫نحم‬/
𝟐𝒚 √𝟑 𝟎 𝟐𝐲 √𝟑 𝐲
√𝟑
𝟐
𝐩
√𝟑
𝟐
𝒙 𝟐
𝟒𝒑𝒚 𝟒
√𝟑
𝟐
𝒚 𝒙 𝟐
𝟐√𝟑𝒚 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
73
‫س‬1‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫والدلٌل‬ ‫المحور‬ ً‫ومعادلت‬ ‫البإرة‬ ‫جد‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ::
( ) 𝟐
𝟖
( ) 𝟐
𝟒 𝟎
( ) 𝟐
𝟐𝟖 𝟎
‫س‬2‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ :( 𝟐 𝟓)‫بإرتــــــه‬ ‫أن‬ ‫علما‬ ‫معادلته‬ ‫فجد‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫المحورٌن‬ ‫ألحد‬ ً‫تنتم‬
‫س‬3‫جد‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ :: ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬
‫بإرته‬ )‫(أ‬( 𝟕 𝟎). ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫له‬ ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ )‫(ب‬𝟐 𝟑 𝟎. ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬ ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ )‫(ج‬(𝟑 𝟔). ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫دلٌله‬ ‫و‬ ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ )‫(د‬( 𝟒 𝟓). ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫معادلة‬ )‫(ب‬‫له‬ ‫الدلٌل‬𝟐 √ 𝟑 𝟎. ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫س‬4:‫معادل‬ ‫جد‬ ‫التعرٌف‬ ‫بؤستخدام‬‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫ة‬:
) ‫أ‬ (‫بإرته‬(𝟒 𝟎)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ) ‫ب‬ (𝟓 𝟎‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
74
‫ال‬ ‫المطع‬‫نالص‬) ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫الرأس‬ (:
‫هو‬‫مجموعة‬‫نماط‬‫المستوي‬( )ً‫الت‬‫ٌكون‬‫مجموع‬‫بعدي‬‫أي‬‫نمطة‬‫منهذا‬‫عذن‬‫نمطتذٌن‬‫ثذابتتٌن‬‫تسذمٌان‬‫البإرتذان‬
‫تساوي‬‫عددا‬‫ثابتا‬‫لٌمته‬‫تساوي‬(𝟐 )
‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمٌان‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬xis)a-(x‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬
𝟏 𝟐 𝟐 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ )
√( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐
√( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐 √( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 ( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬)
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
𝟒 √( ) 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟒 √( ) 𝟐 ( ) 𝟐 𝟒 𝟐
𝟒 ( 𝟒)
√ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬)
𝟐( 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐
𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐) [ 𝟎 ‫حٌث‬ 𝟐 𝟐 𝟐
‫]نفرض‬
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐)
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
‫أن‬ ‫حٌث‬( ) ( )
‫هما‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬𝟐( 𝟎) 𝟏( 𝟎)ً‫ه‬ ‫وبإرتا‬𝟐( 𝟎) 𝟏( 𝟎)
ً‫وهذذذ‬ ‫ذذادات‬‫ذ‬‫الص‬ ‫ذذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ‫ذذان‬‫ذ‬ٌ‫تنتم‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذاد‬‫ذ‬‫أٌج‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫ٌمكنن‬ ‫ذذلوب‬‫ذ‬‫األس‬ ‫ذذنفس‬‫ذ‬‫ب‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏‫أن‬ ‫حٌذذذذث‬‫ذذذذا‬‫ذ‬‫هم‬ ‫ذذذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذا‬‫ذ‬‫رأس‬𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )ً‫ذذذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذذذا‬‫ذ‬‫وبإرت‬
𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
75
: ً‫التال‬ ‫الشكل‬ ‫الحظ‬
: ‫مالحظات‬
①‫دائما‬( ) ( )‫أن‬ ‫حٌث‬( 𝟎)
②‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬𝟐
③‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬𝟐
④‫البإرتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬𝟐
⑤‫ٌكون‬ ‫دائما‬𝟐 𝟐 𝟐
⑥‫المركزي‬ ‫االختالف‬
√ 𝟐 𝟐
‫ٌكون‬ ‫أنه‬ ‫ٌالحظ‬ ‫حٌث‬( 𝟏)‫ولٌمة‬( √ 𝟐 𝟐 )
⑦‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫مساحة‬
⑧‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫محٌط‬𝟐 √
𝟐+ 𝟐
𝟐
‫أن‬ ‫حٌث‬(
𝟐𝟐
𝟕
)
⑨‫محورٌه‬ ‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫النسبة‬
𝟐
𝟐
⑩‫أذا‬‫مر‬‫المطع‬‫بنمطة‬‫أحد‬‫إحداثٌاتها‬‫صفر‬ً‫فاإلحداث‬ً‫الثان‬‫هو‬‫أما‬( )‫أو‬( )‫واألكبر‬‫هو‬( )‫واألصغر‬‫هو‬( )
⑪‫الجدول‬ ‫الحظ‬: ‫أدنا‬
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بإرتا‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بإرتا‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬
‫المعادلة‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏‫المعادلة‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
‫البإرتان‬𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )‫البإرتان‬𝟐( 𝟎) 𝟏( 𝟎)
‫الرأسان‬𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )‫الرأسان‬𝟐( 𝟎) 𝟏( 𝟎)
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
76
( ‫مثال‬9/)‫البإر‬ ‫من‬ ‫كل‬ ً‫وأحداث‬ ‫المحورٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬‫والرأسٌن‬ ‫تٌن‬‫واالختالف‬‫المركزي‬
①
𝟐
𝟐𝟓
𝟐
𝟏𝟔
𝟏 ② 𝟒 𝟐
𝟑 𝟐
𝟒
𝟑
‫الحل‬(1)
‫النالص‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫بالممارنة‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝑎 𝟐𝟓2
𝟓 𝟐
𝟏𝟔𝑎 𝟒 𝟐
b 𝑎 𝟐
𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗2
𝟑c
𝟐 𝟐(𝟓) 𝟏𝟎 ‫وحدة‬ ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝟐 𝟐(𝟒) 𝟖 ‫وحدة‬ ‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝟐 𝟐(𝟑) 𝟔 ‫وحدة‬ ‫البؤري‬ ‫البعد‬
𝟏(𝟓 𝟎) 𝟐( 𝟓 𝟎) ‫الرأسان‬ 𝟏 (𝟑 𝟎) 𝟐( 𝟑 𝟎) ‫البؤرتان‬
𝟓
𝟏 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟑
‫الحل‬(2)
𝟒 𝟐
𝟑 𝟐
𝟒
𝟑
×
𝟑
𝟒
𝟒 𝟐
(
𝟒
𝟑
)
𝟑 𝟐
(
𝟒
𝟑
)
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟑
)
𝟗 𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟑
)
𝟐
(
𝟒
𝟗
)
𝟏
𝑎
𝟒
𝟗
2
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
𝟑
𝑎
𝟏
√𝟑
𝟐
b 𝑎 𝟐
𝟒
𝟗
𝟏
𝟑
𝟏
𝟗
2
𝟏
𝟑
c
𝟐 𝟐
𝟐
𝟑
𝟒
𝟑
‫وحدة‬ ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝟐 𝟐
𝟏
√𝟑
𝟐
√𝟑
‫وحدة‬ ‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝟏 𝟎
𝟐
𝟑 𝟐 𝟎
𝟐
𝟑
‫الرأسان‬ 𝟏 𝟎
𝟏
𝟑 𝟐 𝟎
𝟏
𝟑
‫البؤرتان‬
𝟏
𝟑
(
𝟐
𝟑
)
( ) 𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
77
( ‫مثال‬10/)‫معادل‬ ‫جد‬‫ـــ‬‫النال‬ ‫المطع‬ ‫ـــة‬‫ــ‬‫بإرتــــــا‬ ‫الذي‬ ‫ـص‬𝟐( 𝟑 𝟎) 𝟏(𝟑 𝟎)‫ورأس‬‫ـ‬‫النمطـــــتـــان‬ ‫ــــا‬
𝟐( 𝟓 𝟎) 𝟏(𝟓 𝟎). ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬
/‫الحل‬
∵‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والمركز‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫ٌمعان‬ ‫والرأسان‬ ‫البإرتان‬⇐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟑 𝑪 𝟗𝟐
𝟓 𝒂 𝟐𝟓𝟐
𝑪 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝑪 𝟐
𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝒃 𝟐
𝟏 𝟔
𝟐
𝟐𝟓
𝟐
𝟏𝟔
𝟏 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
( ‫مثال‬11/)‫معادل‬ ‫جد‬‫ـ‬ٌ‫و‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالــــــص‬ ‫المطع‬ ‫ــة‬‫المحورٌـــ‬ ‫على‬ ‫محورا‬ ‫نطبك‬‫ـن‬‫اإلحداثٌٌن‬
‫وٌمطع‬‫من‬‫الس‬ ‫محور‬‫طوله‬ ً‫ا‬‫جزء‬ ‫ـٌنات‬(𝟖)‫الص‬ ‫محور‬ ‫ومن‬ ‫وحدات‬‫طوله‬ ً‫ا‬‫جزء‬ ‫ادات‬(𝟏𝟐),‫وحدة‬‫ثم‬
. ‫ومحٌطه‬ ‫منطمته‬ ‫ومساحة‬ ‫البإرتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬ ‫جد‬
/‫الحل‬
‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂 𝟐
(‫الصادات‬ ‫على‬ ‫تقع‬ ‫)البؤرة‬𝟑𝟔
‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ 𝟐 𝟖 b 4 𝑏2
6
𝑥
𝟏𝟔
2
𝒚
𝟑𝟔
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒄 𝟐
𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐𝟎
𝐜 √𝟐𝟎 𝟐√𝟓
𝟐𝐜 𝟒√𝟓 (‫انبؤرتيه‬ ‫بيه‬ ‫انمسافت‬ )
‫انمساحت‬ (6)(4) 24 ( ‫مربعة‬ ‫)وحدة‬
‫انمحيط‬ 2 √
2 2
2
2 √
𝟑𝟔 𝟏𝟔
2
2 √
𝟓𝟐
2
𝐩 2√𝟐𝟔 ( ‫)وحدة‬
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟐√𝟓
𝟔
√𝟓
𝟑
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
78
( ‫مثال‬21/)‫لتكن‬𝟐
𝟒 𝟐
𝟑𝟔‫معادلـــ‬‫م‬ ‫نالـــــــص‬ ‫لطع‬ ‫ة‬‫بإرتٌــــــــه‬ ‫وأحدى‬ ‫األصـــــل‬ ‫نمطة‬ ‫ــركز‬
(√𝟑 𝟎)‫لٌمة‬ ‫جد‬‫وزاري‬2015/‫د‬1
/‫الحل‬
𝟐
𝟒 𝟐
𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)
𝟐
𝟑𝟔
𝟒 𝟐
𝟑𝟔
𝟏
𝟐
(
𝟑𝟔
)
𝟐
𝟗
𝟏
∵‫البإرة‬(√𝟑 𝟎)‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬‫المانون‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ⇐
√𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
𝟗 𝑎
𝟑𝟔2
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝟑𝟔
𝟗 𝟑
𝟑𝟔
𝟏𝟐
𝟑𝟔
𝟏𝟐
𝐤 𝟑
( ‫مثال‬31/)‫معادل‬ ‫جد‬‫ـ‬‫النال‬ ‫المطع‬ ‫ــة‬‫ـ‬‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫ـص‬‫الســـ‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبإرتا‬ ‫األصل‬‫بٌن‬ ‫والمسافة‬ ‫ـــٌنات‬
‫البإرتٌن‬(𝟔)‫وحدات‬‫المحورٌن‬ ً‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫والفرق‬(𝟐). ‫وحدة‬
/‫الحل‬
𝟐 𝟔 c 3
𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝟏( ) 𝟐
𝒃 𝟗𝟐
𝟏 𝟐 𝒃 𝟐
𝒃 𝟗𝟐
𝟐 𝟖 𝐛 𝟒 𝒂 𝟓
𝒙
𝟐𝟓
𝟐
𝑦
𝟏𝟔
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
( ‫مثال‬41/)‫معادل‬ ‫جد‬‫ــ‬‫النال‬ ‫المطع‬ ‫ـة‬‫ــ‬‫ا‬ ‫ـص‬‫األصــ‬ ‫نمطــــــة‬ ‫مركز‬ ‫لذي‬‫وأحدى‬ ‫ــل‬‫المكافــــ‬ ‫المطـــع‬ ‫بإرة‬ ‫بإرتٌه‬‫ئ‬
𝟐
𝟏𝟐 𝟎‫ٌساوي‬ ‫الصغٌر‬ ‫محور‬ ‫وطول‬(𝟏𝟎). ‫وحدات‬
/‫الحل‬‫المعطى‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬:
𝟐
𝟏𝟐 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒 4p 2 p 3 (3 ‫البورة‬)
‫النالص‬ ‫المطع‬:‫البإرتان‬𝟏(𝟑 𝟎) 𝟐( 𝟑 𝟎)𝟑 ⇐
𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝑎 𝟐 𝟐2
𝑎 𝟐𝟓 𝟗2
𝑎 𝟑𝟒2
𝒙
𝟑𝟒
𝟐
𝑦
𝟐𝟓
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
79
( ‫مثال‬51/): ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعرٌف‬ ‫بؤستخدام‬
𝟐( 𝟐 𝟎) 𝟏(𝟐 𝟎)‫الثابت‬ ‫والعدد‬𝟔.
/‫الحل‬
𝟏 𝟐 𝟐 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ )
√( 𝟐) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( 𝟐) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐(𝟑)
√( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟔 √( 𝟐) 𝟐 𝟐 ( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬)
( 𝟐) 𝟐 𝟐
𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐) 𝟐 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟐
𝟐
𝟒 𝟒 𝟐
𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐
𝟒 𝟒 𝟐
𝟏𝟐√( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟖 ( 𝟒)
𝟑√( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟗 𝟐 ( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬)
𝟗( 𝟐
𝟒 𝟒 𝟐) 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐
𝟗 𝟐
𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟗 𝟐
𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐
𝟓 𝟐
𝟗 𝟐
𝟖𝟏 𝟑𝟔
𝟓 𝟐
𝟗 𝟐
𝟒𝟓 ( 𝟒𝟓)
𝟐
𝟗
𝟐
𝟓
𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
‫مالحظة‬
‫المطع‬ ‫ولٌكن‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬ ‫لرسم‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏: ‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬
①‫النمطتٌن‬ ‫نعٌن‬𝟏( 𝟎) 𝟐( 𝟎)
②‫النمطتٌن‬ ‫نعٌن‬𝟏(𝟎 ) 𝟐(𝟎 )
③‫األربعة‬ ‫النماط‬ ‫بٌن‬ ‫نصل‬𝟏 𝟏 𝟐 𝟐‫متصل‬ ً‫منحن‬ ‫ٌتكون‬ ‫حتى‬ ‫بالترتٌب‬
④‫البإرتٌن‬ ‫نعٌن‬𝟏( 𝟎) 𝟐( 𝟎)
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
80
(𝟐 𝟐)‫تمارين‬
‫س‬1/‫والرأسذٌن‬ ‫البذإرتٌن‬ ‫مذن‬ ‫كذل‬ ‫عذٌن‬‫والمركذز‬ ‫والمطبذٌن‬‫المحذورٌن‬ ‫مذن‬ ‫كذل‬ ‫ومعادلذة‬ ‫طذول‬ ‫جذد‬ ‫ثذم‬‫واالخذتالف‬
‫المركزي‬ٓ‫ٔأت‬ ‫مما‬ ‫كم‬ ٓ‫ف‬ ‫معادالتٍا‬ ‫انمبٕىت‬ ‫انىالصت‬ ‫نهمطُع‬:
ⓐ 𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
/‫الحل‬
𝟐
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
)
𝟏 𝑎 𝟏2
𝑎 𝑏
𝟏
𝟐
2
b
𝟏
√𝟐
𝟐𝒂 𝟐(𝟏) 𝟐 ‫وحدة‬ ( ‫انمحىرانكبير‬ ‫طىل‬)
𝟐 𝟐
𝟏
√𝟐
√𝟐 ‫وحدة‬ ( ‫انمحىرانصغير‬ ‫طىل‬)
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
√𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
√𝟐
√𝟐 ‫وحدة‬ ( ‫انبؤرتيه‬ ‫بي‬ ‫انمسافت‬)
𝟏(𝟏 𝟎) 𝟐( 𝟏 𝟎) ‫الرأسان‬
𝟏
𝟏
√𝟐
𝟎 𝟐
𝟏
√𝟐
𝟎 ‫البؤرتان‬
𝟏 𝟎
𝟏
√𝟐
𝟐 𝟎
𝟏
√𝟐
(‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫القطبٌن)طرفا‬
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟏
√𝟐
𝟏
𝟏
√𝟐
𝟏
‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬( 𝟎)‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫ومعادلة‬( 𝟎)‫والمركز‬(𝟎 𝟎)
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
81
ⓑ 𝟗 𝟐
𝟏𝟑 𝟐
𝟏𝟏𝟕
/‫الحل‬‫على‬ ‫بالمسمة‬(𝟏𝟏𝟕)
𝟐
𝟏𝟑
𝟐
𝟗
𝟏 𝑎 𝟏𝟑2
𝑎 √𝟏𝟑 𝑏 𝟗2
b 𝟑
𝟐𝒂 𝟐 √𝟏𝟑( ) √𝟏𝟑𝟐 ‫وحدة‬ ( ‫انمح‬‫ىرانكبير‬ ‫طىل‬)
𝟐 𝟐(𝟑) 𝟔 ‫وحدة‬ ( ‫انمحىرانصغير‬ ‫طىل‬)
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝟏𝟑 𝟗 𝟒 𝟐
𝟐 𝟐(𝟐) 𝟒 ‫وحدة‬ ( ‫انبؤرتيه‬ ‫بي‬ ‫انمسافت‬)
𝟏(√𝟏𝟑 𝟎) 𝟐( √𝟏𝟑 𝟎) ‫الرأسان‬
𝟏 (𝟐 𝟎) 𝟐( 𝟐 𝟎) ‫البؤرتان‬
𝟏 (𝟎 𝟑) 𝟐(𝟎 𝟑) ‫القطبٌن‬
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟐
√𝟏𝟑
𝟏
‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬( 𝟎)‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫ومعادلة‬( 𝟎)‫والمركز‬(𝟎 𝟎)
‫س‬2/‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬ً‫ٌؤت‬:
)‫(أ‬‫النمطتان‬ ‫هما‬ ‫البإرتان‬( 𝟓 𝟎) ‫و‬ (𝟓 𝟎)‫ٌساوي‬ ‫الكبٌر‬ ‫محور‬ ‫وطول‬(𝟏𝟐)‫وحدة‬
/‫الحل‬
𝟏(𝟓 𝟎) 𝟐( 𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐
𝟐𝟓
𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂 𝟐
𝟑𝟔
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝒄 𝟐
𝟑𝟔 𝟐𝟓 𝒃 𝟏𝟏𝟐
𝒙
𝟑𝟔
𝟐
y
𝟏𝟏
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
82
)‫(ب‬‫هما‬ ‫البإرتان‬(𝟎 𝟐)‫عند‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫وٌتماطع‬𝟒
/‫الحل‬
𝟏(𝟎 𝟐) 𝟐(𝟎 𝟐) 𝟐 𝟐
𝟒 (‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمٌان‬ ‫البؤرتان‬ )
‫التماطع‬ ‫نمط‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬‫عند‬𝟒ً‫وه‬ ‫المطبٌن‬ ‫تمثل‬( 𝟒 𝟎) (𝟒 𝟎)𝟐
𝟏𝟔 ⇐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟏𝟔 𝟒𝟐
𝒂 𝟐𝟎𝟐
𝒙
𝟏𝟔
𝟐 y
𝟐𝟎
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
()‫ج‬‫عن‬ ‫تبعد‬ ‫بإرتٌه‬ ‫أحدى‬ً‫نهاٌت‬‫بال‬ ‫الكبٌر‬ ‫محور‬‫عددٌن‬𝟓 𝟏‫وحدة‬‫الترتٌب‬ ‫على‬
/‫الحل‬
𝟐 𝟏 𝟓 2𝑎 6 𝑎 3 𝑎 𝟗2
𝟐 𝟓 𝟏 2c 4 𝑐 2 𝑐 𝟒2
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝒄 𝟗 𝟒𝟐 𝟐
𝟓
‫حالتٌن‬ ‫هنان‬‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫لمعادلة‬: ‫وهما‬
‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬
𝒙
𝟗
𝟐
y
𝟓
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬
𝒙
𝟓
𝟐
y
𝟗
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
83
)‫(د‬‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟏
𝟐
‫الصغٌر‬ ‫محور‬ ‫وطول‬(𝟏𝟐)‫طولٌة‬ ‫وحدة‬
/‫الحل‬
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝑐
𝑎 𝟐
c 𝟐
𝟐
𝟒
𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝒃 𝟐
𝟑𝟔
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟑𝟔
𝟐
𝟒
𝟐
𝒂
𝟏𝟒𝟒𝟐
𝒂
𝟒
𝟐
4𝒂 𝟐
44 𝒂 𝟐
3𝒂 𝟐
44 𝟐
𝟒𝟖
: ‫وهما‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫لمعادلة‬ ‫حالتٌن‬ ‫هنان‬
𝒙
𝟒𝟖
𝟐
y
𝟑𝟔
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬
𝒙
𝟑𝟔
𝟐
y
𝟒𝟖
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬
)‫(هـ‬‫تساوي‬ ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬(𝟖)‫ٌساوي‬ ‫الصغٌر‬ ‫محور‬ ‫ونصف‬ ‫وحدات‬(3)‫وحدة‬
/‫الحل‬
𝟏
𝟐
(𝟐 ) 𝟑 𝑏 3 b2
9
𝟐 𝟖 𝟒 c2
6
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟗 𝟏𝟔𝟐
𝒂 𝟐𝟓𝟐
: ‫وهما‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫لمعادلة‬ ‫حالتٌن‬ ‫هنان‬
𝒙
𝟐𝟓
𝟐
y
𝟗
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬‫السٌنات‬
𝒙
𝟗
𝟐
y
𝟐𝟓
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
84
‫س‬3/‫علم‬ ‫أذا‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫التعرٌف‬ ‫باستخدام‬:
ⓐ‫ب‬‫النمطتان‬ ‫إرتا‬(𝟎 𝟐)‫النمطتان‬ ‫ورأسا‬(𝟎 𝟑)‫االصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫ومركز‬.
/‫الحل‬
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐 𝟐 (‫التعرٌف‬ ‫حسب‬ )
√( 𝟎) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 √( 𝟎) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟐(𝟑)
√ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 √ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟔
√ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟔 √ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ )
𝟐 𝟐
𝟒 𝟒 𝟑𝟔 𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐
𝟒 𝟒
𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟖 𝟑𝟔 ( 𝟒)
𝟑√ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟗 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ )
𝟗( 𝟐 𝟐
𝟒 𝟒) 𝟒 𝟐
𝟑𝟔 𝟖𝟏
𝟗 𝟐
𝟗 𝟐
𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟒 𝟐
𝟑𝟔 𝟖𝟏
𝟗 𝟐
𝟓 𝟐
𝟖𝟏 𝟑𝟔
𝟗 𝟐
𝟓 𝟐
𝟒𝟓 ( 45 )
𝑥2
5
𝑦2
9
(‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
85
ⓑ‫البذإرتٌن‬ ‫بذٌن‬ ‫المسافة‬(𝟔)‫وحذدة‬‫الثابذت‬ ‫والعذدد‬(𝟏𝟎)ً‫فذ‬ ‫ومركذز‬ ‫السذٌنات‬ ‫محذور‬ ‫علذى‬ ‫تمعذان‬ ‫والبإرتذان‬
‫االصل‬ ‫نمطة‬.
/‫الحل‬
𝟐 𝟔 𝟑 ( 𝟑 𝟎) ‫البؤرتان‬
𝟐 𝟏𝟎 𝟓 ( 𝟓 𝟎)‫الراسان‬
‫وباالعتماد‬‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫على‬
𝟏 𝟐 𝟐
√( 𝟑) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( 𝟑) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐(𝟓)
√( 𝟑) 𝟐 𝟐 √( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟏𝟎
√( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟏𝟎 √( 𝟑) 𝟐 𝟐 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ )
𝟐
𝟔 𝟗 𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟎√( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟐
𝟔 𝟗 𝟐
𝟐𝟎√( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 ( 𝟒)
𝟓√( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐𝟓 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ )
𝟐𝟓( 𝟐
𝟔 𝟗 𝟐) 𝟗 𝟐
𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓
𝟐𝟓 𝟐
𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟐
𝟗 𝟐
𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓
𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟔𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟓
𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎)
𝑥2
25
𝑦2
6
(‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
86
‫وزاري‬2014/‫د‬2
‫س‬4/‫واحذذد‬ ‫االصذذل‬ ‫نمطذذة‬ ً‫فذذ‬ ‫مركذذز‬ ‫الذذذي‬ ‫النذذالص‬ ‫المطذذع‬ ‫معادلذذة‬ ‫جذذد‬‫ى‬‫المكذذافئ‬ ‫المطذذع‬ ‫بذذإرة‬ ً‫هذذ‬ ‫بإرتٌذذه‬
‫معادلته‬ ‫الذي‬( 𝟐
𝟖 𝟎)‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫ان‬ ‫علما‬(𝟐√𝟑 √ 𝟑)
/‫الحل‬ً‫ف‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬:
𝟐
𝟖
(‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ )
𝟐
𝟒 𝟒 𝟖 𝒑 𝟐 ( 𝟐 𝟎 ‫البورة‬)
ً‫ف‬: ‫النالص‬ ‫المطع‬
‫البإرتان‬(𝟐 𝟎) ( 𝟐 𝟎𝟐 )‫هو‬ ‫والمانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
‫النمطة‬(𝟐√𝟑 √ 𝟑)‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬
𝟐√𝟑( )
𝟐
𝒂 𝟐
√𝟑( )
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏𝟐
𝒂 𝟐 𝟐
𝟏
𝟑 𝟐
𝟑𝟏𝟐 𝒂 𝟐
𝒂 𝟐
(① ‫معادلة‬ )𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝟒 ①( ‫في‬ ‫وعىض‬ )
𝟐
𝟑𝟏𝟐 (𝒃 𝟐
𝟒) (𝒃 𝟐
𝟒 𝟐
) 𝟐
𝟑𝟏𝟐 𝒃 𝟐 𝟒
𝟏𝟐 𝟐
𝟒 𝟒
𝟏𝟏 𝟐
𝟏𝟐 𝟎
( 𝟐
𝟏𝟐)( 𝟐
𝟏) 𝟎
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟏𝟔
𝒙
𝟏𝟔
𝟐
𝒚
𝟏𝟐
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
𝟐
𝟏 ‫ٌهمل‬
‫س‬5/‫االصذذذل‬ ‫نمطذذذة‬ ً‫فذذذ‬ ‫مركذذذز‬ ‫الذذذذي‬ ‫النذذذالص‬ ‫المطذذذع‬ ‫معادلذذذة‬ ‫جذذذد‬‫وٌمذذذر‬ ‫السذذذٌنات‬ ‫محذذذور‬ ‫علذذذى‬ ‫وبإرتذذذا‬
‫بالنمطتٌن‬(𝟑 𝟒) (𝟔 𝟐)
/‫الحل‬∵‫البإرتان‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬⇐‫هو‬ ‫المانون‬
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
∵‫النمطة‬(𝟔 𝟐)‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬
(𝟔) 𝟐
𝒂 𝟐
(𝟐)
𝟐
𝟏
𝟐 𝟑𝟔
𝒂 𝟐 𝟐
𝟏
𝟒 𝟐
𝟒𝟑𝟔 𝒂 𝟐
𝒂 𝟐
(① ‫معادلة‬ )𝟐
∵‫النمطة‬(𝟑 𝟒)‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬
(𝟑) 𝟐
𝒂 𝟐
(𝟒)
𝟐
𝟏
𝟐 𝟗
𝒂 𝟐 𝟐
𝟏
𝟏𝟔 𝟐
𝟏𝟔𝟗 𝒂 𝟐
𝒂 𝟐
(② ‫معادلة‬ )𝟐
‫التالٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫بالطرح‬ ‫انٌا‬ ‫المعادلتٌن‬ ‫وبحل‬
𝟐
𝟏𝟐𝟐𝟕 𝒂 𝟐
𝟎 𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝟐
𝟐𝟕 𝟒 𝒂 𝟐 𝟐
𝟗 𝒂 𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
①( ‫في‬ ‫وعىض‬ )
𝟐
𝟒𝟑𝟔
𝟐
𝟗
𝟒
𝟐
𝟗
𝟒
𝟐 𝟐 𝟐
𝟑𝟔 𝟗
𝟐
𝟗
𝟒
𝟐 𝟐
𝟒𝟓
𝟒
𝟗
𝟒
𝟐 𝟒
𝟏𝟖𝟎 𝟗
𝟒
𝟗 𝟐
𝟏𝟖𝟎 𝟎 𝟒 𝟐
𝟐𝟎 𝟎 𝟐
( 𝟐
)𝟐𝟎 𝟎 𝟐
𝟐𝟎 𝟐
𝟒𝟓
𝒙
𝟒𝟓
𝟐
𝒚
𝟐𝟎
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
87
‫س‬6/‫ج‬‫ذذـ‬‫ذ‬‫ـــــ‬‫معادل‬ ‫د‬‫ذذـ‬‫ذ‬‫ــــــ‬‫النال‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ة‬‫ذذـ‬‫ذ‬‫ـــــ‬‫االص‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ص‬‫ذذـ‬‫ذ‬‫ــ‬‫ل‬‫ذذا‬‫ذ‬‫وبإرت‬ً‫ذذ‬‫ذ‬‫المنحن‬ ‫ذذاطع‬‫ذ‬‫تم‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫نمطت‬
𝟐 𝟐
𝟑 𝟏𝟔‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫وٌمس‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬𝟐
𝟏𝟐
/‫الحل‬∵ً‫المنحن‬( 𝟐 𝟐
𝟑 𝟏𝟔)‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫ٌمطع‬𝟎 ⇐
𝟐
𝟏𝟔 𝐲 𝟒
‫البإرتان‬(𝟎 𝟒) (𝟎 𝟒𝟐
𝟏𝟔 )‫هو‬ ‫والمانون‬ ⇐
𝒙
𝟐
𝟐 𝒚 𝟐
𝒂
𝟏𝟐
‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫المعطى‬
𝟐
𝟏𝟐 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒 𝟒 𝟏𝟐 𝒑 𝟑
𝐱 𝐩 𝒙 𝟑 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫دنيم‬ ( 𝟑 𝟎) ‫انتماس‬ ‫وقطت‬
∵‫النمطة‬( 𝟑 𝟎)‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬
( 𝟑)
𝟐
𝟐 (𝟎) 𝟐
𝒂
𝟏𝟐
𝟗
𝒃
𝟏𝟐
𝟐
𝟗
𝑎2
𝑏2
𝑐2
9 6 𝒂 𝟐𝟓𝟐
𝒙
𝟗
𝟐
𝒚
𝟐𝟓
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
‫س‬7/‫ج‬‫ـــ‬‫ــــ‬‫ــ‬‫النذالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫د‬‫بإرتذا‬ ‫الذذي‬‫الس‬ ‫محذور‬ ‫الذى‬ ً‫تنتمذ‬‫ـــ‬‫ــــ‬‫ـذـ‬‫األص‬ ‫نمطذة‬ ً‫فذ‬ ‫ومركذز‬ ‫ٌنات‬‫ــذـ‬‫ل‬
‫ذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫وٌمط‬ ‫ذغٌر‬‫ذ‬‫الص‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذول‬‫ذ‬‫ط‬ ‫ذعف‬‫ذ‬‫ض‬ ‫ذر‬‫ذ‬ٌ‫الكب‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذول‬‫ذ‬‫وط‬𝟐
𝟖 𝟎ً‫ذ‬‫ذ‬‫الت‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫النمط‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫عن‬
ً‫السٌن‬ ‫احداثٌها‬( 𝟐)
/‫الحل‬∵‫البإرتان‬‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬‫هو‬ ‫المانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
∵‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫ضعف‬ ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝟐 𝟐( 𝟐 ) 𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫لٌمة‬ ‫نعوض‬ ‫المعطى‬( 𝟐)
𝟐
𝟖 𝟎 𝟐
𝟖( 𝟐) 𝟎 𝟐
𝟏𝟔 𝟎 𝟐
𝟏𝟔 𝟎 𝟒
( 𝟐 𝟒) ( 𝟐 𝟒) ‫النقطتان‬‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫لذا‬ ‫النالص‬ ‫والمطع‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬
( 𝟐) 𝟐
𝒂 𝟐
(𝟒)
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒
𝒂 𝟐 𝟐
𝟏
𝟏𝟔
𝟒 𝟐
𝟒
𝟐
𝟏
𝟏𝟔
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏𝟔
𝟐
𝟏
𝟏𝟕 𝟐
𝟏𝟕
𝟐
𝟒 𝟐
𝟒(𝟏𝟕) 𝟐
𝟔𝟖
𝒙
𝟔𝟖
𝟐
𝒚
𝟏𝟕
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫مع‬‫ادلة‬ )
𝟐
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
88
‫س‬8/‫نالص‬ ‫لطع‬‫معادلته‬𝟐 𝟐
𝟑𝟔‫مركز‬ ‫و‬‫طول‬ ً‫مربع‬ ‫ومجموع‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ً‫محورٌه‬
‫ٌساوي‬(𝟔𝟎)‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ً‫ه‬ ‫بإرتٌه‬ ‫واحد‬𝟐
𝟒√ 𝟑‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌمة‬ ‫ما‬
/‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫المعطى‬
𝟐
𝟒√𝟑 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒
𝟒 𝟒√𝟑 𝒑 √𝟑 √𝟑( 𝟎 ‫البؤرة‬)
‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ √ 𝟑( 𝟎 √ 𝟑) ( 𝟎)𝟐
𝟑‫المانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)
𝒙 𝟐
(
𝟑𝟔
𝒉
)
𝒚
(
𝟑𝟔
)
𝟏
𝟐
𝒂 𝟐 𝟑𝟔
𝒉
𝟐 𝟑𝟔
∵= ‫محورٌه‬ ‫طول‬ ً‫مربع‬ ‫مجموع‬𝟔𝟎
( 𝟐 ) 𝟐
( 𝟐 ) 𝟐
𝟔𝟎 𝟒 𝟐
𝟒 𝟐
𝟔𝟎 𝟐 𝟐
𝟏𝟓 𝟐
𝟏𝟓 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟓 𝟐 𝟐
3 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟐
𝟔 𝟐
𝟗
𝒂 𝟐
𝟑𝟔
𝒉 𝟗
𝟑𝟔
𝟒
𝒃 𝟐
𝟑𝟔
𝒌 𝟔
𝟑𝟔
𝟔
‫س‬9/‫ج‬‫ـــذـ‬‫معادل‬ ‫د‬‫ــذـ‬‫النال‬ ‫المطذع‬ ‫ة‬‫ــذـ‬‫ص‬‫مركذز‬ ‫الذذي‬‫نمط‬‫ـــــــذـ‬‫االص‬ ‫ة‬‫ــ‬‫ــــ‬‫ـذـ‬‫واح‬ ‫ل‬‫ـــذـ‬‫المطذع‬ ‫بذإرة‬ ً‫هذ‬ ‫بإرتٌذه‬ ‫دى‬
‫المكافئ‬𝟐
𝟐𝟒‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫ومجموع‬(𝟑𝟔)‫وحدة‬.
/‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫المعطى‬
𝟐
𝟐𝟒 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒
𝟒 𝟐𝟒 𝐩 𝟔 𝟎( 𝟔 ‫البؤرة‬)
‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ 𝟎( 𝟔 𝟎) ( 𝟔)𝟐
𝟑𝟔‫المانون‬ ⇐
𝒙
𝟐
𝟐 𝒚 𝟐
𝒂
𝟏𝟐
𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝒂 𝒃 𝟏𝟖 𝒂 𝟏𝟖 𝒃
𝟐 𝟐 𝟐
( 𝟏𝟖 ) 𝟐 𝟐
36𝒃 𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟐
36
𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 36 𝟑𝟔 288 𝐛 𝟖 𝟐
𝟔𝟒
𝒂 𝟏𝟖 𝒃 𝟏𝟖 𝟖 𝟏𝟎 𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝒙
𝟔𝟒
𝟐
𝒚
𝟏𝟎𝟎
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
‫وزاري‬2012/‫د‬3
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
89
‫س‬10/‫النذالص‬ ‫المطذع‬ ‫معادلذة‬ ‫جذد‬‫بإرتٌذه‬ ‫الذذي‬𝟏( 𝟒 𝟎) 𝟐(𝟒 𝟎)‫والنمطذة‬‫النذالص‬ ‫للمطذع‬ ً‫تنتمذ‬
‫المثلث‬ ‫محٌــــــط‬ ‫أن‬ ‫بحٌث‬𝟏 𝟐‫ٌساوي‬(𝟐𝟒)‫وحدة‬.‫وزاري‬0142/‫د‬1
/‫الحل‬
𝟏( 𝟒 𝟎) 𝟐(𝟒 𝟎)
𝟒 𝐂 𝟐
𝟏𝟔
‫المثلث‬ ‫محٌــــــط‬𝟏 𝟐‫ٌساوي‬(𝟐𝟒)‫المطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫وحسب‬ ‫وحدة‬: ‫النالص‬ ∵
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐𝟒 ( ① ‫)معادلة‬
𝟏 𝟐 𝟐𝐂 𝟐( 𝟒) 𝟖 ‫وحدة‬ (‫البؤرتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬ )
𝟏 𝟐 𝟐𝒂 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫حسب‬ )
( ① ‫)معادلة‬ ً‫ف‬ ‫وبالتعوٌض‬: ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫على‬ ‫نحصل‬
𝟐 𝟖 𝟐𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝟐
𝟔𝟒
𝟐 𝟐 𝟐
𝟔𝟒 𝟐
6 𝟐
𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟐
𝟒𝟖
‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( 𝟒 𝟎) (𝟒 𝟎)‫المانون‬
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐 𝟏
𝟐
𝒙
𝟔𝟒
𝟐
𝒚
𝟒𝟖
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
90
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
ⓐ‫بإرتا‬( 𝟑 𝟎) (𝟑 𝟎)‫وطول‬‫المحور‬‫الكبٌر‬(‫وحدات‬ 𝟏𝟎 )‫ومركز‬‫نمطة‬‫األصل‬
𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟑 𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝒄 𝟐
𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝟒
𝒙
𝟐𝟓
𝟐
𝑦
𝟏𝟔
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
ⓑ‫رأسا‬(𝟎 𝟔) (𝟎 𝟔)‫وطول‬‫المحور‬‫الصغٌر‬(‫وحدات‬ 𝟖 )‫ومركز‬‫نمطة‬‫األصل‬
𝟐 𝟖 𝟒 𝟔
𝒚
𝟑𝟔
𝟐
𝑥
𝟏𝟔
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
ⓒ‫أحدى‬‫بإرتٌه‬(𝟎 𝟒)‫ومركز‬‫نمطة‬‫األصل‬‫والنسبة‬‫بٌن‬‫طول‬‫محور‬‫الصغٌر‬‫والمسافة‬‫بٌن‬‫بإرتٌه‬‫تساوي‬(
𝟑
𝟒
)
𝟐
𝟐
𝟑
𝟒
𝟒 𝟑 𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝟗 𝟏𝟔 𝟐𝟓 𝟓
𝒚
𝟐𝟓
𝟐
𝑥
𝟗
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
ⓓ‫مركز‬‫نمطة‬‫األصل‬‫بالنمطتٌن‬ ‫وٌمر‬(𝟎 𝟑) ( 𝟒 𝟎)‫ومحٌطه‬ ‫مساحته‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
𝟒 𝟑
𝒙
𝟏𝟔
𝟐
𝑦
𝟗
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫انمساحت‬ (4)(3) 2 ( ‫مربعة‬ ‫)وحدة‬
‫انمحيط‬ 2 √
2 2
2
2 √
𝟏𝟔 𝟗
2
2 √
𝟐𝟓
2
5√𝟐 ( ‫)وحدة‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
91
ⓔ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬‫لطبٌه‬ ‫وأحد‬‫ب‬ ‫ٌمر‬‫ؤحدى‬‫المستمٌم‬ ‫تماطع‬ ً‫نمطت‬𝟐 𝟖
/ ‫الحل‬‫نجعل‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫ألٌجاد‬( 𝟎)‫ثم‬‫ن‬‫لٌم‬ ‫جد‬( )‫نجعل‬ ‫ثم‬( 𝟎)‫لٌم‬ ‫ألٌجاد‬( )
𝟎 𝒚 𝟖 (𝟎 𝟖) 𝒊𝒇 𝒚 𝟎 𝟐𝒙 𝟖 (𝟒 𝟎)
𝟖 𝟒
𝒙
𝟐
𝟐
𝑦
𝟐
𝟏 ( ‫القانون‬ )
2
𝒙
𝟏𝟔
𝟐
𝑦
𝟔𝟒
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
ⓕ‫مركز‬‫نمطة‬‫األصل‬‫ومحور‬‫الكبٌر‬‫ٌنطبك‬‫على‬‫محذور‬‫السذٌنات‬‫لذه‬ ‫الثابذت‬ ‫والبعذد‬(‫وحدات‬ 𝟏𝟎)‫وطذول‬‫محذور‬
‫الصغٌر‬(‫وحدات‬ 𝟔)
𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟐 𝟔 b 3
𝒙
𝟐𝟓
𝟐
𝑦
𝟗
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
ⓖ‫بإرتٌه‬ ‫أحدى‬(𝟎 𝟑)‫تساوي‬ ‫محورٌه‬ ‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫والنسبة‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬(
𝟒
𝟓
)
𝟑
𝟐
𝟐
𝟒
𝟓
𝒃
𝟒
𝟓
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝒄 𝟐
6
25
𝒂 𝟐
𝒂 𝟐
𝟗 𝟏𝟔 𝒂 𝟐𝟓𝟐
𝒂 𝟐𝟐𝟓𝟐
𝟗 𝒂 𝟐
𝟐𝟐𝟓 𝒂 𝟐𝟓𝟐
𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝒄 𝟐
𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔
𝒚
𝟐𝟓
𝟐
𝑥
𝟏𝟔
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
ⓗ‫أحدى‬‫بإرتٌه‬(𝟒 𝟎)‫ومركز‬‫نمطة‬‫األصل‬‫واختالفه‬‫المركزي‬(
𝟏
𝟐
)
𝟒
𝟏
𝟐
4
𝑎
𝟖 𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝒄 𝟔𝟒 𝟏𝟔𝟐
𝒃 𝟒𝟖𝟐
𝑥
𝟔𝟒
2
𝒚
𝟒𝟖
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
92
ⓘ‫ومساحته‬ ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمٌان‬ ‫وبإرتا‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬(𝟐𝟒 )‫محورٌه‬ ‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫والنسبة‬(
𝟑
𝟖
)
𝟐𝟒 𝑎
24
( ‫معادلة‬ )
𝑏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟖
3𝑎 8𝑏
8
𝟑
𝑏 24
𝑏
8
𝟑
𝑏
8𝑏 𝟕𝟐2
𝑏 𝟗2
𝟑 𝟖
𝑥
𝟔𝟒
2
𝒚
𝟗
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
ⓙ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫ٌنطبمان‬ ‫ومحورا‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬‫اإلحداثٌٌن‬‫الذذي‬ ‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫بإرة‬ ً‫ه‬ ‫بإرتٌه‬ ‫وأحدى‬
‫معادلته‬( 𝟐
𝟏𝟐 𝟎)‫الصغٌر‬ ‫محور‬ ‫طول‬ ‫ضعف‬ ‫الكبٌر‬ ‫محور‬ ‫وطول‬
/ ‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬:
𝟐
𝟏𝟐 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒 4p 2 p 3 ( 3 ‫البورة‬)
‫من‬‫النالص‬ ‫المطع‬:
‫البإرتان‬(𝟎 𝟑) (𝟎 𝟑)𝟑 ⇐⇐‫هو‬ ‫المانون‬
𝒙
𝟐
𝟐 𝑦2
𝑎
𝟏2
𝟐 𝑎 𝟐 𝟐2
𝟐( ) 𝟐
𝟗2
𝟒 𝟐 𝟐
𝟗 𝟑 𝟐
𝟗 𝟐
𝟑
𝑎 𝟒 𝟐
𝟒(𝟑)2
𝑎 𝟏𝟐2
𝒙
𝟑
𝟐
𝑦
𝟏𝟐
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
ⓚ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬(𝟎 𝟑)‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫والمسافة‬(‫وحدات‬ 𝟔)
𝟐 𝟔 c 3
b (‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫ألنه‬ )3
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝟗𝟗 𝒂 𝟐
(‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫معادلتٌن‬ ‫)توجد‬𝟏𝟖
𝒙 𝟐
𝟗
𝑦2
𝟏 ( ‫األولى‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟏𝟖
𝒙
𝟏𝟖
𝟐
𝑦
𝟗
𝟏 ( ‫الثانٌة‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
93
‫مثال‬/‫المحذورٌن‬ ‫مذن‬ ‫كذل‬ ‫طذول‬ ‫جذد‬‫البذإري‬ ‫والبعذد‬‫وإحذداثٌات‬‫والرأسذٌن‬ ‫البذإرتٌن‬‫واالخذتالف‬‫والمحذٌط‬ ‫المركذزي‬
‫لمعادلة‬ ‫والمساحة‬‫التالٌة‬ ‫المطع‬𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎)
𝟏𝟔 𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝟐𝟓 𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝟏
𝟐
𝟐𝟓
𝟐
𝟏𝟔
𝟏
𝑎 𝟐𝟓2
𝟓 𝟐
𝟏𝟔𝑎 𝟒 𝟐
b 𝑎 𝟐
𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗2
𝟑c
𝟐 𝟐(𝟓) 𝟏𝟎 ‫وحدة‬ ( ‫الكبٌر‬ ‫)المحور‬ 𝟐 𝟐(𝟒) 𝟖 ‫وحدة‬ ( ‫الصغٌر‬ ‫)المحور‬
𝟐 𝟐(𝟑) 𝟔 ‫وحدة‬ (‫البؤري‬ ‫)البعد‬
(𝟓 𝟎) ( 𝟓 𝟎) ‫الرأسان‬ (𝟑 𝟎) ( 𝟑 𝟎) ‫البؤرتان‬
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟓
𝟑
‫انمساحت‬ (5)(4) 2 ( ‫مربعة‬ ‫)وحدة‬
‫انمحيط‬ 2 √
2 2
2
2 √
𝟐𝟓 𝟏𝟔
2
2 √
𝟒𝟏
2
( ‫)وحدة‬
‫ذذذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫ذذذتكن‬‫ذ‬‫ل‬𝟐 𝟐
𝟒𝟎𝟎‫ذذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذذدى‬‫ذ‬‫اح‬ ‫ذذذالص‬‫ذ‬‫ن‬ ‫ذذذع‬‫ذ‬‫لط‬ ‫ذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬(𝟑 𝟎)‫ذذذول‬‫ذ‬‫ط‬ ‫ذذذٌن‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذذذبة‬‫ذ‬‫والنس‬
‫الصغٌر‬ ‫ومحور‬ ‫الكبٌر‬ ‫محور‬
𝟒
𝟓
‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬
/ ‫انحم‬
𝟐 𝟐
𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎)
𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝟏
𝟐
(
𝟒𝟎𝟎
)
𝟐
(
𝟒𝟎𝟎
)
𝟏
∵‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬
‫المانون‬𝟑 𝟐 𝟒𝟎𝟎
𝑎
𝟒𝟎𝟎2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏⇐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟓
𝟒
𝟓
𝑏
𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟓
2
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐 𝟐
𝟏𝟔
𝟐𝟓
𝟐
𝟗
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
94
𝟐𝟓 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟐𝟓 𝟗 𝟐
𝟐𝟐𝟓 𝟐
𝟐𝟓 𝑏 𝟏𝟔2
𝟒𝟎𝟎
𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝟐𝟓
𝟏𝟔
𝟒𝟎𝟎
𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟔
𝟐𝟓
𝒙
𝟐𝟓
𝟐
𝑦
𝟏𝟔
𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫ذذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫ذذاحته‬‫ذ‬‫مس‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذد‬‫ذ‬‫ج‬(𝟖𝟎 )‫ذذد‬‫ذ‬‫للبع‬ ‫ذذاوٌا‬‫ذ‬‫مس‬ ‫ذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذٌن‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذذد‬‫ذ‬‫البع‬ ‫ذذون‬‫ذ‬‫ٌك‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫وال‬
‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫بٌن‬( 𝟐
𝟐𝟒 𝟎)‫ودلٌله‬
/ ‫انحم‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬
𝟐
𝟐𝟒 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒
4p 24 p 6 2|p| 2
2 2 c 6 𝑐2
36
‫من‬‫النالص‬ ‫المطع‬:
𝟖𝟎 𝟖𝟎 𝟐
𝟔𝟒𝟎𝟎
𝑎
( ‫)معادلة‬2
𝑎 𝟐 𝟐2
𝑎
𝟔𝟒𝟎𝟎2
𝑎
𝟑𝟔2
𝟒
𝟑𝟔 𝑎 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎2
(𝑎2 )( 𝑎2 ) 𝟎64
either 𝑎2 𝟐
𝟔𝟒 𝑜𝑟 𝑎2
64 ‫يهمم‬
𝒙 𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝑦2
𝟏 ( ‫األولى‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟔𝟒
𝒙
𝟔𝟒
𝟐
𝑦
𝟏𝟎𝟎
𝟏 ( ‫الثانٌة‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
95
‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬
𝟐
𝟑 𝟐
𝟎‫معادلة‬‫لطع‬‫مكافئ‬‫دلٌله‬‫ٌمذر‬‫بالنفطذة‬( 𝟏 𝟐)‫جذد‬‫معادلذة‬‫المطذع‬‫النذالص‬‫الذذي‬
‫أحد‬‫بإرتٌه‬(𝟎 )‫ومربع‬‫طول‬‫النسبة‬‫بٌن‬‫محورٌه‬
𝟑
𝟒
/ ‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫له‬ ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ‫فؤن‬ ‫لذا‬ ً‫السٌن‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫أن‬ ‫نالحظ‬
( [ 𝟏] 𝟏 )ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫على‬ ‫ٌمع‬ ‫ألنه‬
𝟐 ( 𝟑 𝟐)
(‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ )
𝟐
𝟒 ( 𝟑 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟐 4 M 2
‫من‬‫النالص‬ ‫المطع‬:‫بإرتا‬(𝟎 𝟐) (𝟎 𝟐)‫هو‬ ‫والمانون‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟒 𝟐
𝟒 𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
𝟐 𝟐
𝟒
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐 𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟒 𝟒 𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟏𝟐
𝒙
𝟏𝟐
𝟐
𝑦
𝟏𝟔
𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫مثال‬/‫الذذي‬ ‫النذالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫وبإرتذا‬ ‫األصذل‬ ‫نمطذة‬ ‫مركذز‬𝟏( √ 𝟔 𝟎) 𝟐(√𝟔 𝟎)‫خذالل‬ ‫وٌمذر‬
‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬𝟐
𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟏 𝟎
/ ‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬
‫حدود‬ ‫تكون‬ ‫بحٌث‬ ‫المعادلة‬ ‫نرتب‬( )‫وحدود‬ ‫طرف‬ ً‫ف‬( )‫األخر‬ ‫الطرف‬ ً‫ف‬𝟐
𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟏
‫نضٌف‬(𝟏)‫حدود‬ ‫تكون‬ ‫حتى‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ً‫طرف‬ ‫الى‬( )‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫بشكل‬
𝟐
𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟏 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐 𝟏𝟐𝟐 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐( 𝟏)𝟐
‫انمكافئ‬ ‫نهمطع‬ ‫انمٕاسٕت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمماروت‬( ) 𝟐
𝟒 ( )ّ‫عه‬ ‫وحصم‬
𝟏 𝟏 ( ) ( 𝟏 𝟏)‫انرأس‬
𝟒 𝟏𝟐 𝟑 F(𝑝 ℎ 𝑘) 𝐹 𝟑 𝟏( ) 𝐹 𝟐( (‫انىاقص‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬ ‫)تحقق‬)
‫النا‬ ‫المطع‬ ‫من‬: ‫لص‬
∵‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫بإرت‬( √ 𝟔 𝟎) (√𝟔 𝟎)‫هو‬ ‫المانون‬𝟐
𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ⇐
‫انىمطت‬𝟐() ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫بؤرة‬ ( ‫بٍا‬ ‫ٔمز‬ ً‫ألو‬ ‫انىالص‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬ ‫تحمك‬ )
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
96
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
(× 𝟐 𝟐 )
𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
( ① ‫معادلة‬ )
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟔 ( ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬ )
𝟒 𝟐 𝟐
𝟔 ( 𝟐
𝟔) 𝟐
𝟓 𝟐
𝟔 𝟒
𝟔 𝟐 𝟒 𝟐
𝟔 𝟎
(𝒃 𝟐 )(𝟑 𝒃 𝟐 ) 𝟎𝟐
𝑒𝑖𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑏2
2 𝟐
𝟖 𝑜𝑟 𝑏2
3 ‫يهمم‬
𝒙
𝟖
𝟐
𝑦
𝟐
𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫ذذذذذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫ذذذذذن‬‫ذ‬‫م‬ ‫ذذذذذل‬‫ذ‬‫ك‬ ‫ذذذذذـة‬‫ذ‬‫ومعادل‬ ‫ذذذذذـول‬‫ذ‬‫وط‬ ‫ذذذذذٌن‬‫ذ‬‫والمطب‬ ‫ذذذذذـٌن‬‫ذ‬‫والرأسـ‬ ‫ذذذذذإرتٌن‬‫ذ‬‫الب‬ ً‫ذذذذذداث‬‫ذ‬‫أح‬ ‫ذذذذذد‬‫ذ‬‫ج‬‫الم‬‫ذذذذذ‬‫ذ‬‫ح‬‫ذذذذذع‬‫ذ‬‫للمط‬ ‫ورٌن‬
‫النالص‬(𝟒 𝟐
𝟖 𝟗 𝟐
𝟑𝟔 𝟒 𝟎)‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬e‫؟‬
/ ‫انحم‬‫حدود‬ ‫تكون‬ ‫بحٌث‬ ‫المعادلة‬ ‫نرتب‬( )‫وحدود‬( )ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬:
𝟒 𝟐
𝟖 𝟗 𝟐
𝟑𝟔 𝟒 𝟒( 𝟐
𝟐 ) 𝟗( 𝟐
𝟒 ) 𝟒
‫بإضافة‬(𝟒𝟎)‫المطع‬ ‫معادلة‬ ً‫طرف‬ ‫الى‬‫انىالص‬‫حدود‬ ‫تكون‬ ‫حتى‬( )‫وحدود‬( )‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫بشكل‬
𝟒( 𝟐
𝟐 𝟏) 𝟗( 𝟐
𝟒 𝟒) 𝟒 𝟒𝟎 𝟒( 𝟏) 𝟐
𝟗( 𝟐) 𝟐
𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)
( 𝟏) 𝟐
𝟗
( 𝟐) 𝟐
𝟒
𝟏 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫انىالص‬ ‫نهمطع‬ ‫انمٕاسٕت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمماروت‬
( ) 𝟐
𝟐
( ) 𝟐
𝟐
𝟏ّ‫عه‬ ‫وحصم‬
𝟏 𝟐 ( ) (𝟏 𝟐) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫مركز‬
𝟐
𝟗 𝟑 𝟐
𝟒𝑎 b 2 𝟐
5 𝑐 √5
𝟐 𝟐(√ )5 2√ ‫وحدة‬5 ( ‫انبؤرتيه‬ ‫بي‬ ‫انمسافت‬)
𝑦 𝑘 𝑦 2 (‫انمحىرانكبير‬ ‫)معادنت‬ 𝑥 ℎ 𝑥 (‫انمحىرانصغير‬ ‫)معادنت‬
(ℎ ) 2(ℎ ) ( √ 2) 2(5 √ 2) ‫انبؤرتان‬5
(ℎ ) 2(ℎ ) (4 2) 2( 2 2) ‫انرأسان‬
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
√
3
𝟏
5
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
97
‫مثال‬/‫المحذورٌن‬ ‫مذن‬ ‫كذل‬ ‫ومعادلذة‬ ‫طذول‬ ‫و‬ ‫والمطبذٌن‬ ‫والرأسذٌن‬ ‫البذإرتٌن‬ ً‫أحذداث‬ ‫جذد‬‫وممذدار‬‫االخذتالف‬‫المركذزي‬
‫مركذز‬ ‫الذذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫ومعادلة‬(𝟏 𝟒)‫عذن‬ ‫تبعذد‬ ‫بإرتٌذه‬ ‫وأحذدى‬ ‫الصذادات‬ ‫محذور‬ ‫ٌذوازي‬ ‫الكبٌذر‬ ‫ومحذور‬
‫بالبعدٌن‬ ‫الرأسٌن‬2, 10‫طول‬ ‫وحدة‬
/ ‫انحم‬∵‫انبعدٔه‬ ‫مجمُع‬𝟐‫انبعدٔه‬ ‫بٕه‬ ‫َانفزق‬𝟐
𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝟐𝐜 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝐜 𝟖 𝐜 𝟒
∵‫انصاداث‬ ‫محُر‬ ْ‫ُٔاس‬ ‫انكبٕز‬ ‫محُري‬⇐‫انىالص‬ ‫نهمطع‬ ‫انمٕاسٕت‬ ‫انمعادنت‬
( ) 𝟐
𝟐
( ) 𝟐
𝟐
𝟏
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝒄 𝟐
𝒃 𝟐
𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟎 𝟏 𝟒
( 𝟏) 𝟐
𝟐𝟎
( 𝟒) 𝟐
𝟑𝟔
𝟏 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معا‬‫دلة‬
𝟐 𝟐( )4 ‫وحدة‬8 ( ‫انبؤرتيه‬ ‫بي‬ ‫انمسافت‬)
𝑥 ℎ 𝑥 (‫انمحىرانكبير‬ ‫)معادنت‬ 𝑦 𝑘 𝑦 4 (‫انمحىرانصغير‬ ‫)معادنت‬
(ℎ ) 2(ℎ ) ( ) 2( 8) ‫انبؤرتان‬
(ℎ ) 2(ℎ ) ( 2) 2( ) ‫انرأسان‬
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟔
4
𝟑
𝟏
2
******************************************************************
‫س‬1:‫جد‬ً‫أحداث‬‫البذإرتٌن‬‫والرأسذٌن‬‫والمطبذٌن‬‫و‬‫طذول‬‫ومعادلذة‬‫كذل‬‫مذن‬‫المحذورٌن‬‫المركذزي‬ ‫واالخذتالف‬‫للمطذوع‬
‫النالصة‬: ‫التالٌة‬
( ) 𝟐𝟓 𝟐
𝟗 𝟐
𝟐𝟐𝟓
( ) 𝟒 𝟐 𝟐
𝟏𝟔
( ) 𝟏𝟐 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟑𝟎𝟎
‫س‬2:‫جد‬ ‫التعرٌف‬ ‫بؤستخدام‬‫معادل‬‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫ة‬:
) ‫أ‬ (‫النمطتان‬ ‫بإرتا‬( 𝟑 𝟎)‫النمطتان‬ ‫ورأسا‬( 𝟔 𝟎)‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬.
) ‫ب‬ (‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تمعان‬ ‫بإرتا‬‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬‫انزأس‬ ‫عه‬ ‫تبعد‬ ًٕ‫بؤرت‬ ِ‫َأحد‬‫ـــــــــــــــــ‬‫ٕه‬
‫بانبعدٔه‬2, 8‫طُل‬ ‫َحدة‬.
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
98
‫ا‬:‫الزائد‬ ‫لمطع‬: ) ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫الرأس‬ (
‫هو‬‫مجموع‬‫ـــ‬‫ة‬‫نماط‬‫المس‬‫ــ‬‫توي‬( )ً‫الت‬‫ثذابتتٌن‬ ‫نمطتٌن‬ ‫عن‬ ‫منها‬ ‫اي‬ ‫بعدي‬ ‫لفرق‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌمة‬ ‫تكون‬‫تسذمى‬
‫لٌمته‬ ‫ثابتا‬ ‫عددا‬ ‫ٌساوي‬ ) ‫البإرتٌن‬ ((𝟐 )
‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمٌان‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬xis)a-(x‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬
| 𝟏 𝟐| 𝟐 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫حسب‬ )
𝟏 𝟐 𝟐
√( 𝒙 𝒄) 𝟐 (𝒚 𝟎) 𝟐 √( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐
√( 𝒙 𝒄) 𝟐 𝒚 𝟐 √( ) 𝟐 𝟐 𝟐𝒚
√( 𝒙 𝒄) 𝟐 𝒚 𝟐 𝟐 √( ) 𝟐 𝟐 ( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬)𝒚
(𝒙 𝒄) 𝟐
𝒚 𝟒 𝟐
𝟒 √( ) 𝟐𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐
𝒚 𝒚
(𝒙 𝒄) 𝟒 𝟐
𝟒 √( ) 𝟐𝟐 𝟐 ( ) 𝟐
𝒚
𝟐
𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
𝟒 √( ) 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝒚
𝟒 √( ) 𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
𝟒 ( 𝟒)𝒚
√( ) 𝟐 𝟐 𝟐
( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬)𝒚
𝟐( 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐
𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐) [ 𝟎 ‫حٌث‬ 𝟐 𝟐 𝟐
‫]نفرض‬
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐)
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
⦁‫ال‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬‫زا‬‫ئـ‬‫د‬‫هما‬( 𝟎) ( 𝟎)ً‫ه‬ ‫وبإرتا‬( 𝟎) ( 𝟎)‫والمعادلة‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
⦁‫ال‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌمكننا‬ ‫األسلوب‬ ‫بنفس‬‫زائد‬ً‫وه‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمٌان‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏‫أن‬ ‫حٌث‬
‫ال‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬‫زائد‬‫هما‬( 𝟎 ) ( 𝟎 )ً‫ه‬ ‫وبإرتا‬( 𝟎 ) ( 𝟎 )
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
99
: ‫مالحظات‬
①‫دائما‬( ) ( )‫أن‬ ‫حٌث‬( 𝟎)
②‫ال‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ً‫حمٌم‬𝟐
③‫المحور‬ ‫طول‬‫المرافك‬𝟐
④‫البإرتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬𝟐
⑤‫المركزي‬ ‫االختالف‬( )‫ٌكون‬ ‫أنه‬ ‫ٌالحظ‬ ‫حٌث‬( 𝟏)
⑥‫ٌكون‬ ‫دائما‬𝟐 𝟐 𝟐
⑦‫النمط‬‫ة‬‫ال‬ً‫ت‬‫تمع‬‫و‬ ‫المحورٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بها‬ ‫ٌمر‬‫تمثل‬‫ر‬‫أ‬‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫س‬‫لٌمة‬ ‫وتمثل‬( )
⑧( ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬ ‫نمطة‬ ‫واي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬ ‫تسمى‬‫البإري‬ ‫المطر‬ ‫منتصف‬)
( ‫مثال‬61/)‫الزائد‬ ‫للمطع‬ ‫والمرافك‬ ً‫الحمٌم‬ ‫المحورٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وطول‬ ‫والرأسٌن‬ ‫البإرتٌن‬ ‫عٌن‬
𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟑𝟔
𝟏
/‫الحل‬
𝟐
𝟔𝟒 𝒂 𝟖 𝟐𝒂 𝟏𝟔 ‫وحدة‬ ‫انحقيقي‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬
𝟐
𝟑𝟔 𝒃 𝟔 𝟐𝒃 𝟏𝟐 ‫وحدة‬ ‫انمرافق‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐
𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝒄 𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝒄 𝟏𝟎
𝐕𝟏(𝟖 𝟎) 𝐕𝟐( 𝟖 𝟎) ‫انزائد‬ ‫انقطع‬ ‫رأسا‬
𝑷 𝟏(𝟎 𝟔) 𝑷 𝟐(𝟎 𝟔) ‫انزائد‬ ‫انقطع‬ ‫قطبا‬
𝐅𝟏(𝟏𝟎 𝟎) 𝐅𝟐( 𝟏𝟎 𝟎) ‫انزائد‬ ‫انقطع‬ ‫بؤرتا‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
100
( ‫مثال‬17/)ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬ ‫وطول‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟔‫واالخ‬ ‫وحدات‬‫ـتالف‬
‫ٌساوي‬ ‫المركزي‬(𝟐)‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫والبإرتان‬
/‫الحل‬
𝟐 𝟔 𝒂 𝟑 𝒂 𝟐
𝟗
𝟐
𝟑
𝒄 (𝟐)(𝟑) 𝐜 𝟔 𝒄 𝟐
𝟑𝟔
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟑𝟔 𝟗 𝟐
𝟐𝟕
𝟐
𝟗
𝟐
𝟐𝟕
𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
( ‫مثال‬18/)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المرافك‬ ‫محور‬ ‫وطول‬(𝟒)‫وحدات‬‫و‬‫بإرتا‬‫هــــ‬‫ـما‬
‫النمطتان‬𝟏(𝟎 √ 𝟖) 𝟐(𝟎 √ 𝟖)
/‫الحل‬∵‫البإرتان‬‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬
ً‫ه‬ ‫الزائد‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐
𝒙
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟒 𝟐 𝒃 𝟒𝟐
√𝟖 𝒄 𝟖𝟐
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟖 𝟒 𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟏 ‫الزائـد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
ً‫ف‬‫المثال‬(18)‫المطوع‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫مثل‬ ‫المرافك‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫الى‬ ٍ‫و‬‫مسا‬ ً‫الحمٌم‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫أن‬ ‫نالحظ‬ ‫أعال‬
( ‫ٌدعى‬ ‫الزائدة‬‫األ‬ ‫متساوي‬ ‫او‬ ‫المائم‬ ‫الزائد‬ ‫بالمطع‬‫ضالع‬‫ٌكون‬ ‫وفٌه‬ ‫مربع‬ ‫رإوس‬ ‫تشكل‬ ‫األربعة‬ ‫النماط‬ ‫ألن‬ )
‫االختالف‬‫المركزي‬( )‫لٌمته‬ ‫ثابت‬ ‫ممدار‬(√𝟐 ).
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
101
(𝟐 𝟑)‫تمارين‬
‫س‬1/‫المركزي‬ ‫واألختالف‬ ‫المحورٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫والرأسٌن‬ ‫البإرتٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عٌن‬‫ان‬ ‫نهمطُع‬‫شائدة‬: ‫االتٕت‬
ⓐ 𝟏𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
𝟒𝟖
‫الحل‬/ّ‫عه‬ ‫انمعادنت‬ ٓ‫طزف‬ ‫ومسم‬( 𝟒𝟖)
𝟐
𝟒
𝟐
𝟏𝟐
𝟏
𝑎 𝟒2
𝑎 2 2𝑎 4 ‫وحدة‬ ‫انحقيقي‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬
𝑏 𝟏𝟐2
b 𝟐√𝟑 2𝑏 √𝟑4 ‫وحدة‬ ‫انمرافق‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝟒 𝟏𝟐 𝒄 𝟐
𝟏𝟔 𝟒
𝟏(𝟐 𝟎) 𝟐( 𝟐 𝟎) ‫الرأسان‬ 𝟏 (𝟒 𝟎) 𝟐( 𝟒 𝟎) ‫البؤرتان‬
𝟒
𝟐
𝟐 𝟏 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
ⓑ 𝟏𝟔 𝟐
𝟗 𝟐
𝟏𝟒𝟒
/‫الحل‬ّ‫عه‬ ‫انمعادنت‬ ٓ‫طزف‬ ‫ومسم‬( 𝟏𝟒𝟒)
𝟐
𝟗
𝟐
𝟏𝟔
𝟏
𝑎 92
𝑎 3 2𝑎 6 ‫وحدة‬ ‫انحقيقي‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬
𝑏 𝟏𝟔2
b 𝟒 2𝑏 8 ‫وحدة‬ ‫انمرافق‬ ‫انم‬‫حىر‬ ‫طىل‬
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝟗 𝟏𝟔 𝒄 𝟐
𝟐𝟓 𝟓
𝟏(𝟑 𝟎) 𝟐( 𝟑 𝟎) ‫الرأسان‬ 𝟏 (𝟓 𝟎) 𝟐( 𝟓 𝟎) ‫البؤرتان‬
𝟓
𝟑
𝟏 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
102
‫س‬2/‫أكتب‬ً‫ف‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬: ‫المطع‬ ‫ارسم‬ ‫ثم‬ ‫التالٌة‬ ‫الحاالت‬
ⓐ‫النمطتان‬ ‫هما‬ ‫البإرتان‬( 𝟓 𝟎)‫عند‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫وٌتماطع‬𝟑‫االصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫ومركز‬.
/‫الحل‬
∵‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( 5 ) 2 (5 )𝟓‫المانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
∵‫عند‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫ٌتماطع‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬𝟑
∴‫الراسان‬( 3 ) (3 )𝟐
𝟗 ⇐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔𝟐
𝒙
𝟗
𝟐
𝐲
𝟏𝟔
𝟏 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
103
ⓑً‫ذذذ‬‫ذ‬‫الحمٌم‬ ‫ذذذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذول‬‫ذ‬‫ط‬(𝟏𝟐)‫ذذذك‬‫ذ‬‫المراف‬ ‫ذذذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذول‬‫ذ‬‫وط‬ ‫ذذذدة‬‫ذ‬‫وح‬(𝟏𝟎)‫ذذذى‬‫ذ‬‫عل‬ ‫ذذذورا‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذك‬‫ذ‬‫وٌنطب‬ ‫ذذذدات‬‫ذ‬‫وح‬
‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬ ‫االحداثٌٌن‬ ‫المحورٌن‬.
/‫الحل‬
𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂 𝟐
𝟑𝟔
𝟐 𝟏𝟎 𝒃 𝟓 𝒃 𝟐
𝟐𝟓
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
25 36 𝑪 𝟐
𝟔𝟏
∴‫هن‬‫ــــ‬ٌ‫حالت‬ ‫ان‬‫ـــــــ‬‫الزائ‬ ‫للمطع‬ ‫ن‬‫ـــــــ‬‫وهما‬ ‫د‬:-
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫ٌوازي‬ ‫عندما‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫ٌوازي‬ ‫عندما‬
𝑭 𝟏(𝟎 √𝟔𝟏 ) 𝑭 𝟐(𝟎 √𝟔𝟏) ‫الرأسان‬
𝑽 𝟏(𝟎 𝟔) 𝑽 𝟐(𝟎 𝟔) ‫البؤرتان‬
𝟐
𝟑𝟔
𝟐
𝟐𝟓
𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝑭 𝟏(√𝟔𝟏 𝟎) 𝑭 𝟐( √𝟔𝟏 𝟎) ‫الرأسان‬
𝑽 𝟏(𝟔 𝟎) 𝑭𝑽 𝟐( 𝟔 𝟎) ‫البؤرتان‬
𝟐
𝟑𝟔
𝟐
𝟐𝟓
𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
ⓒ‫المرافذك‬ ‫محذور‬ ‫وطذول‬ ‫الصذادات‬ ‫محذور‬ ‫علذى‬ ‫وبإرتذا‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬(𝟐√𝟐)‫المركذزي‬ ‫واختالفذه‬ ‫وحذدة‬
‫ٌساوي‬(𝟑)
/‫الحل‬∵‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐‫المانون‬
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐
𝒙
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐√𝟐 𝒃 √𝟐 𝒃 𝟐
𝟐
𝟑 𝒄 𝟑𝒂
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝟗𝒂 𝟐
𝒂 𝟐
𝟐
𝟖𝒂 𝟐𝟐
𝒂 𝟐
𝟏
𝟒
𝑪 𝟐
𝟗
𝟒
(𝟎 ) 𝟎
𝟑
𝟐
𝟎
𝟑
𝟐
‫البؤرتان‬
(𝟎 ) 𝟎
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟐
‫الراسان‬
𝐲
(
𝟐
𝟏
)
𝟒
𝒙
𝟐
𝟏 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
‫وزاري‬/2013/‫د‬2
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
104
‫س‬3/‫وبإرتٌذه‬ ‫االصذل‬ ‫نمطذة‬ ‫مركذز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫باستخدام‬ ‫جد‬( 𝟐√𝟐 𝟎)(𝟐√𝟐 𝟎)‫وٌنطبذك‬
‫اال‬ ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫محورا‬‫ٌساوي‬ ‫بإرتٌه‬ ‫عن‬ ‫نمطة‬ ‫اٌة‬ ‫بعدي‬ ‫بٌن‬ ‫للفرق‬ ‫المطلمة‬ ‫والمٌمة‬ ‫حداثٌٌن‬(𝟒)‫وحدات‬
/‫الحل‬
𝟐 𝟒 𝒂 𝟐
‫النمطة‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬( )‫الزائد‬ ‫للمطع‬
| 𝟏 𝟐| 𝟐 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫)من‬
𝟏 𝟐 𝟐
√( 𝟐√𝟐)
𝟐
( 𝟎) 𝟐 √( 𝟐√𝟐 )
𝟐
( 𝟎) 𝟐 𝟒
√( 𝟐√𝟐)
𝟐
𝟐 𝟒 √( 𝟐√𝟐 )
𝟐
𝟐 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ )
( 𝟐√𝟐)
𝟐
𝟐
𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 )
𝟐
𝟐 ( 𝟐√𝟐)
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒√𝟐 𝟖 𝟐
𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 )
𝟐
𝟐 𝟐
𝟒√𝟐 𝟖 𝟐
𝟖√( 𝟐√𝟐)
𝟐
𝟐 𝟏𝟔 𝟖√𝟐 ( 𝟖)
√( 𝟐√𝟐)
𝟐
𝟐 𝟐 √𝟐 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ )
𝟐
𝟒√𝟐 𝟖 𝟐
𝟒 𝟒√𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟒 ] ( 𝟒)
𝑥2
4
𝑦2
4
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
105
‫س‬4/‫زائد‬ ‫لطع‬‫طول‬ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬(𝟔)‫نمطة‬ ‫راسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ً‫ه‬ ‫بإرتٌه‬ ‫واحدى‬ ‫وحدات‬
‫بالنمطتٌن‬ ‫وٌمر‬ ‫االصل‬(𝟏 𝟐√𝟓)(𝟏 𝟐√𝟓)‫والمطع‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫راسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ً‫معادلت‬ ‫جد‬ .
‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬.‫وزاري‬2013/‫د‬3‫وزاري‬2014/‫د‬1
/‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬:
∵‫النمطتان‬(𝟏 𝟐√𝟓)(𝟏 𝟐√𝟓)‫الس‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬‫ــ‬‫فالبإرة‬ ‫لذا‬ ً‫ٌن‬ً‫السٌن‬ ‫للمحور‬ ً‫تنتم‬
‫والمانون‬( 𝟐
𝟒 )
∴‫النمطة‬(𝟏 𝟐√𝟓)) ‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ( ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬
𝟐𝟎 𝟒 (𝟏) 𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 (𝟓 𝟎 ‫البؤرة‬)
𝟐
𝟐𝟎 ( ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
ً‫ف‬‫المطع‬‫الزائد‬:
𝟐 𝟔 𝟑 𝒂 𝟗𝟐
∵‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( 𝟓 𝟎)(𝟓 𝟎)𝟐
𝟐𝟓‫المانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔𝟐
𝒙
𝟗
𝟐
𝐲
𝟏𝟔
𝟏 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
‫س‬5/‫زائذد‬ ‫لطذع‬‫االص‬ ‫نمطذة‬ ‫مركذز‬‫ـــــــــذـ‬‫ل‬‫ومعادلتذه‬𝟐 𝟐
𝟗𝟎ً‫الحمٌمذ‬ ‫محذور‬ ‫وطذول‬(𝟔√𝟐)
‫معادلتذ‬ ‫الذذي‬ ‫النذالص‬ ‫المطذع‬ ً‫بذإرت‬ ‫على‬ ‫تنطبمان‬ ‫وبإرتا‬ ‫وحدة‬‫ـ‬‫ه‬𝟗 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟓𝟕𝟔‫ج‬‫ــذـ‬‫لٌم‬ ‫د‬‫ـــــذـ‬‫كذل‬ ‫ة‬
‫من‬‫الحمٌمٌة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬
/‫الحل‬‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫نالص‬:
𝟗 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟓𝟕𝟔 ] ( 𝟓𝟕𝟔)
𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟑𝟔
𝟏
𝟐
𝟔𝟒 𝟐
𝟑𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝟐
𝟐𝟖 𝟐√𝟕
‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬( 𝟐√ 𝟕 ) (𝟐√𝟕 )
‫من‬‫ال‬ ‫المطع‬‫زائد‬:
‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( 𝟐√ 𝟕 ) (𝟐√𝟕 )𝟐√ 𝟕‫المانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐
𝟏𝟖
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐𝟖 𝟏𝟖 𝟐
𝟏𝟎
𝟐
𝟏𝟖
𝟐
𝟏𝟎
𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝟐 𝟐 𝟗𝟎
𝟐
(
𝟗𝟎
)
𝟐
(
𝟗𝟎
)
𝟏
𝟐
𝟗𝟎 𝟗𝟎
𝟐
𝟗𝟎
𝟏𝟖
𝟓
𝟐
𝟗𝟎 𝟗𝟎
𝟏𝟎
𝟗
‫وزاري‬2012/‫د‬2
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
106
‫س‬6/‫االص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذب‬‫ذ‬‫اكت‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــــ‬‫ل‬‫اح‬ ‫ان‬ ‫ذت‬‫ذ‬‫علم‬ ‫اذا‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــ‬‫ذإرتٌن‬‫ذ‬‫الب‬ ‫ذن‬‫ذ‬‫ع‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ٌبع‬ ‫ذٌه‬‫ذ‬‫راس‬ ‫د‬
‫بالعددٌن‬𝟏 𝟗‫وٌنط‬ ‫الترتٌب‬ ‫على‬ ‫وحدات‬ٌٌ‫االحداث‬ ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫محورا‬ ‫بك‬‫ن‬.‫وزاري‬2012/‫د‬3
/‫الحل‬
𝟐 𝟏 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝒄 𝟓 𝒄 𝟐
𝟐𝟓
𝟓 𝟏 𝒂 𝟒 𝒂 𝟐
𝟏𝟔
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝒃 𝟗𝟐
∴‫أحتم‬ ‫هنان‬‫ـــــــــــــ‬‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫لمعادلة‬ ‫الٌن‬
𝟐
𝟏𝟔
𝟐
𝟗
𝟏 ‫سٌنٌة‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝟐
𝟏𝟔
𝟐
𝟗
𝟏 ‫صادٌة‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫س‬7/‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬ ‫هما‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟐‫والنسبة‬
‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫بٌن‬
𝟓
𝟑
‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬.‫وزاري‬2013/‫د‬3
/‫الحل‬‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫زائد‬:
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟐 ] ( 𝟏𝟐)
𝟐
𝟏𝟐
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
𝟏𝟐 𝟐
𝟒 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟒 𝟐
𝟏𝟔 𝟒
∴‫ال‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬‫زائد‬( 𝟒 ) (𝟒 )
‫من‬‫ا‬ ‫المطع‬‫لنالص‬:
‫ال‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬‫نالص‬⇐ ( 𝟒 ) (𝟒 )𝟒‫المانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓
𝟑
𝒂
𝟐
𝟐𝟓
𝟗
𝟐
𝟐 𝟐𝟓 𝟐
𝟗
𝟐 𝟐
𝒄 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟗
𝟐
𝟏𝟔
( 𝟗)
𝟐𝟓 𝟐
𝟗 𝟐
𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟔 𝟐
𝟏𝟒𝟒 𝟐
𝟗
2
25 2
9
25 (9)
9
2
25
2
25
2
9
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
107
‫س‬8/‫النمطة‬( 𝟔 )‫ومعادلته‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫الى‬ ً‫تنتم‬𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟐:‫من‬ ‫كال‬ ‫جد‬
‫أ‬.‫لٌمة‬‫النمطة‬ ‫من‬ ‫الٌمنى‬ ‫الجهة‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫للمطع‬ ‫البإري‬ ‫المطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ .‫ب‬
/‫الحل‬)‫(أ‬∵‫النمطة‬(𝟔 )‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫الى‬ ً‫تنتم‬
∴‫النمطة‬(𝟔 )‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( 𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟐)
(𝟔) 𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐 𝟑 𝟐
24 𝟑 𝟐 𝟐
𝟖 L 2√2
𝟏(𝟔 𝟐√𝟐) 𝟐(𝟔 𝟐√𝟐)
)‫(ب‬‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫زائد‬:
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟐
𝟐
𝟏𝟐
𝟐
𝟒
𝟏 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟒
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝟏𝟐 𝟒 𝒄 𝟏𝟔𝟐 (𝟒 𝟎) ‫االٌمن‬ ‫البؤرة‬ ً‫احداث‬
𝟏 𝟏 √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 √(𝟔 𝟒) 𝟐 (𝟐√𝟐 𝟎)
𝟐
√𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 𝟐√𝟑 (‫طول‬ ‫)وحدة‬
𝟐 𝟏 √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 √(𝟔 𝟒) 𝟐 ( 𝟐√𝟐 𝟎)
𝟐
√𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 𝟐√𝟑 (‫طول‬ ‫)وحدة‬
‫وزاري‬2011/‫د‬1‫وزاري‬4201/‫د‬2‫وزاري‬5201/‫د‬1
‫س‬9/‫ذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذذذد‬‫ذ‬‫الزائ‬‫هم‬ ‫ذذذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬‫ذذذـ‬‫ذ‬‫ــــ‬‫ذذذإرت‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ا‬ً‫ذذذع‬‫ذ‬‫المط‬‫ذذذالص‬‫ذ‬‫الن‬‫ذذذ‬‫ذ‬‫معادلت‬ ‫ذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬‫ـ‬‫ه‬
𝟐
𝟗
𝟐
𝟐𝟓
𝟏
‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫وٌمس‬𝟐
𝟏𝟐 𝟎
/‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬:
𝟐
𝟏𝟐 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒
𝟒 𝟏𝟐 𝐩 𝟑
𝐲 ( ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ )𝟑
‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫نالص‬:
𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟗 𝟐 𝟐
𝒄 𝟐
𝒄 𝟏𝟔𝟐
𝟒
(𝟎 𝟒 (𝟎 𝟒) ‫البؤرتان‬)
‫من‬‫ال‬ ‫المطع‬‫زائد‬:
∵‫النمطة‬ ‫عند‬ ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫ٌمطع‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬(𝟎 𝟑)‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫راس‬ ً‫وه‬
𝟑 𝟐
𝟗
‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ (𝟎 𝟒 (𝟎 𝟒))𝟒‫المانون‬ ⇐
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐
𝒙
𝟐
𝟏
𝟐
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟔 𝟗 𝟐
𝟕
𝟐
𝟗
𝟐
𝟕
𝟏 ‫الزائ‬‫د‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
108
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫ذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫االص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ــــ‬‫ل‬‫الص‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذى‬‫ذ‬‫عل‬ ‫ذان‬‫ذ‬‫والبإرت‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــ‬‫ادات‬‫ذور‬‫ذ‬‫المح‬ ‫ذول‬‫ذ‬‫وط‬
‫له‬ ً‫الحمٌم‬𝟏𝟔ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬ ‫وطول‬ ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬ ‫بٌن‬ ‫والنسبة‬
𝟓
𝟒
/‫الحل‬
𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝒂 𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟐
𝟓
𝟒
𝒄
𝟖
𝟓
𝟒
𝐜 𝟏𝟎 𝒄 𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟒 𝟐
𝟑𝟔
𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟑𝟔
𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫مثال‬/‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫بإرتٌه‬ ‫أحدى‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐
𝟐𝟎‫المرافك‬ ‫محور‬ ‫وطول‬
‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫بإرت‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬ ‫ٌساوي‬
𝟐
𝟗
𝟐
𝟏𝟔
𝟏
/‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬:
𝟐
𝟐𝟎 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒
𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 𝟎( 𝟓 ‫البؤرة‬)
‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫نالص‬:
𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟗 𝟐 𝟐
𝒄 𝟐
𝒄 𝟕𝟐
√𝟕 𝟐√𝟕 ‫البؤري‬ ‫البعد‬𝟐
‫من‬‫ال‬ ‫المطع‬‫زائد‬:
𝟐√𝟕 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬𝟐 √𝟕 𝟐
𝟕
‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ 𝟎( 𝟓 𝟎) ( 𝟓)𝟓‫المانون‬ ⇐
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐
𝒙
𝟐
𝟏
𝟐
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐𝟓 𝟕 𝟐
𝟏𝟖
𝟐
𝟏𝟖
𝟐
𝟕
𝟏 ‫ا‬‫لزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
109
‫مثال‬/‫بالنمطتٌن‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟎 𝟑√𝟐) (𝟑 𝟔)
/‫الحل‬
∵‫الزائذذذذذذذذد‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬‫بالنمطذذذذذذذذة‬ ‫ذذذذذذذر‬‫ذ‬‫ٌم‬(𝟎 𝟑√𝟐)‫ولٌمذذذذذذذذة‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫المطذذذذذذذذع‬ ‫رأس‬ ‫ذذذذذذذل‬‫ذ‬‫تمث‬ ‫فالنمطذذذذذذذذة‬ ‫ذذذذذذذذا‬‫ذ‬‫ل‬
( 𝟑√𝟐)‫هو‬ ‫والمانون‬
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐
𝒙
𝟐
𝟏
𝟐
(𝟑 𝟔) ‫النقطة‬‫معادلته‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫لذا‬ ‫الزائد‬ ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬
( 𝟔) 𝟐
𝟑√𝟐( )
𝟐
(𝟑)
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟑𝟔
𝟏𝟖
𝟗
𝟐 𝟐
𝟏
𝟗
𝟐
𝟏
𝟗 𝟐
𝟗
𝒚 𝟐
𝟏𝟖
𝒙
𝟗
𝟏 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معاد‬‫لة‬ )
𝟐
‫ذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬‫رأس‬ ‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــــــــ‬‫ذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ا‬
𝒙
𝟏𝟎𝟎
𝟐 𝒚
𝟔𝟒
𝟏‫مح‬ ‫ذول‬‫ذ‬‫وط‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ــــ‬‫ور‬
𝟐
ً‫الحمٌم‬(𝟏𝟐)‫وحدة‬
‫الحل‬/‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫نالص‬:
𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟐
𝟔𝟒 𝒂 𝟏𝟎 ( 𝟏𝟎 𝟎) (𝟏𝟎 𝟎) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫راسا‬
‫من‬‫ال‬ ‫المطع‬‫زائد‬:
‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( ) ( )𝟏𝟎‫المانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐
𝟑𝟔
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟑𝟔
𝟐
𝟔𝟒
𝟏 ‫الزا‬‫ئد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
110
‫س‬1:‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫و‬ ‫ذل‬‫ذ‬‫االص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ً‫ذ‬‫ذ‬‫ف‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذو‬‫ذ‬‫وط‬ ‫ذادات‬‫ذ‬‫الص‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ً‫ذ‬‫ذ‬‫تنتم‬‫ذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ل‬
‫ٌسذاوي‬ ‫المرافك‬‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫بذإرة‬ ‫بذٌن‬ ‫البعذد‬( 𝟐
𝟏𝟐 )‫طذول‬ ‫امثذال‬ ‫ثالثذة‬ ً‫الحمٌمذ‬ ‫محذور‬ ‫وطذول‬ ‫ودلٌلذه‬
‫المرافك‬ ‫محور‬
‫س‬2:‫ذذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ً‫ذذإرت‬‫ذ‬‫ب‬ ‫همذذا‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫راس‬ ‫و‬ ‫ذذل‬‫ذ‬‫االص‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ً‫ذذ‬‫ذ‬‫ف‬ ‫مركذذز‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫جذذد‬‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬
‫معادلته‬(𝟗𝒚 𝟏𝟔𝟐
𝒙 𝟏𝟒𝟒𝟐
‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫طول‬ ‫ومجموع‬(𝟏𝟔)‫طول‬ ‫وحدة‬ )
‫س‬3:‫معادلذذذة‬ ‫ذذت‬‫ذ‬‫كان‬ ‫فذذذاذا‬ . ‫ذذر‬‫ذ‬‫االخ‬ ‫ببذذذإرة‬ ‫ذذر‬‫ذ‬‫ٌم‬ ‫منهمذذذا‬ ‫ذذل‬‫ذ‬‫ك‬ ‫زائذذذد‬ ‫ذذر‬‫ذ‬‫واالخ‬ ‫نذذذالص‬ ‫ذذدهما‬‫ذ‬‫اح‬ ‫مخروطٌذذذان‬ ‫ذذان‬‫ذ‬‫لطع‬
‫احدهما‬( 𝟐 𝟐
𝟑)‫االخر‬ ‫معادلة‬ ‫فجد‬
‫س‬4:‫ذذذذذذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذذذذذذذالنمطتٌن‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذذذذذذذر‬‫ذ‬‫ٌم‬ ‫ذذذذذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬(𝟑 𝟏 )(𝟑 𝟏)‫ذذذذذذذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذذذذذول‬‫ذ‬‫وط‬
‫ٌساوي‬ ‫الكبٌر‬(𝟐𝟓)‫وحدة‬
‫س‬5:‫االصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ً‫ه‬ ‫بإرتا‬ ‫أحدى‬ ‫و‬‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬‫معادلته‬ ‫الذي‬
𝒙
𝟑𝟔
𝟐 𝒚
𝟐𝟎
𝟏‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ً‫ه‬ ‫رأسٌه‬ ‫وأحد‬𝟐
𝟖 𝟎
𝟐
‫س‬6:‫ذذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ً‫ذذإرت‬‫ذ‬‫ب‬ ً‫ذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫و‬ ‫ذذل‬‫ذ‬‫االص‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ً‫ذذ‬‫ذ‬‫ف‬ ‫ذذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬
‫معادلته‬(𝟖𝒚 𝟐
𝒙 𝟑𝟐𝟐
‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫وٌمس‬( 𝟐
𝟏𝟔 𝟎) )
‫س‬7:‫ذذذذذذذتكن‬‫ذ‬‫ل‬(𝒚 𝟐
𝒙 𝟑𝟐
‫ذذذذذذذا‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫راس‬ ً‫ذذذذذذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذذذذذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫أح‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫زائ‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫لط‬ ‫ذذذذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬‫لص‬ )
‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬( 𝟏 𝟐)‫بإرتٌه‬ ‫احد‬ ‫والذي‬(𝟎 √ 𝟔)‫لٌمة‬ ‫فجد‬
‫س‬8:‫ذذذذتكن‬‫ذ‬‫ل‬(𝟓𝒚 𝟒𝟐
𝒙 𝟐
‫ذذذذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫ذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذإرة‬‫ذ‬‫ب‬ ً‫ذذذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذذذد‬‫ذ‬‫أح‬ ‫ذذذذد‬‫ذ‬‫زائ‬ ‫ذذذذع‬‫ذ‬‫لط‬ ‫ذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬‫ذذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ )
‫معادلته‬(𝟒 √𝟓 𝟐
𝟎)‫لٌمة‬ ‫فجد‬
‫س‬9:‫لذذذذذذذتكن‬( 𝒙 𝟐
𝑵𝒚 𝟗𝟎𝟐
‫النذذذذذذذالص‬ ‫المطذذذذذذذع‬ ‫بإرتذذذذذذذا‬ ً‫هذذذذذذذ‬ ‫بإرتٌذذذذذذذه‬ ‫زائذذذذذذذد‬ ‫لطذذذذذذذع‬ ‫معادلذذذذذذذة‬ )
‫ذذذذذذذذذذه‬‫ذ‬‫معادلت‬ ‫ذذذذذذذذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬(𝟗 𝟐
𝟏𝟔𝒚 𝟓𝟕𝟔)ً‫ذذذذذذذذذذ‬‫ذ‬‫الحمٌم‬ ‫ذذذذذذذذذذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذذذذذذذذول‬‫ذ‬‫وط‬𝟔√𝟐‫ذذذذذذذذذذة‬‫ذ‬‫لٌم‬ ‫ذذذذذذذذذذد‬‫ذ‬‫فج‬ 𝟐
‫س‬10:‫ذذذذذذذتكن‬‫ذ‬‫ل‬(𝟓𝒚 𝟒𝟐
𝒙 𝟐
‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذذذذإرة‬‫ذ‬‫ب‬ ً‫ذذذذذذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذذذذذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذذذذذذدى‬‫ذ‬‫اح‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫زائ‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫لط‬ ‫ذذذذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ )
‫المكافئ‬‫معادلته‬ ‫الذي‬(𝟒 𝟓 𝟐
𝟎)‫لٌمة‬ ‫فجد‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
111
ً‫الثان‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬2014/‫د‬3
‫س‬3/‫األص‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬‫ـــــــ‬‫األخذر‬ ‫ببذإرة‬ ‫ٌمذر‬ ‫أحذدهما‬ ‫األصذل‬ ‫نمطة‬ ‫محورٌه‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬ ‫زائد‬ ‫ولطع‬ ‫ل‬
‫كانت‬ ‫فؤذا‬𝟗 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟐𝟐𝟓‫فجد‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬:
)‫(أ‬. ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫محٌط‬ )‫(ب‬ . ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫مساحة‬
. ‫منهما‬ ‫لكل‬ ‫المركزي‬ ‫األختالف‬ )‫(د‬ . ‫أرسمه‬ ‫ثم‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ )‫(ج‬
‫الحل‬/)‫(أ‬
𝟗 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟐𝟐𝟓
( 225) 𝟐
𝟐𝟓
𝟐
𝟗
𝟏
𝟐
𝟐𝟓 𝟓 𝟐
𝟗 𝟑
𝒂𝒃 (𝟓)(𝟑) 𝟏𝟓𝝅 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
)‫(ب‬
‫المحٌط‬ 𝒑 𝟐𝝅 √
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐𝝅 √
𝟐𝟓 𝟗
𝟐
𝟐 𝝅 √
𝟑𝟒
𝟐
𝟐 √𝟏𝟕 ‫وحدة‬
)‫(ج‬: ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫من‬
𝟐
𝟐𝟓 𝟓 𝟐
𝟗 𝟑
𝟐
𝒃 𝟐𝟐 𝟐
𝟐𝟓 𝟗 𝟐
𝟏𝟔 𝐜 𝟒
(𝟓 𝟎) ( 𝟓 𝟎) ‫الرأسان‬ (𝟒 𝟎) ( 𝟒 𝟎) ‫البؤرتان‬
‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫من‬:
‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫ببإرة‬ ‫ٌمر‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬
(𝟒 𝟎) ( 𝟒 𝟎) ‫الرأسان‬ (𝟓 𝟎) ( 𝟓 𝟎) ‫البؤرتان‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
112
𝟐
𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐
𝟗
𝟐
𝟏𝟔
𝟐
𝟗
𝟏 ‫انزائد‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
)‫(د‬
𝟒
𝟓
𝟏 ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫األختالف‬
𝟓
𝟒
𝟏 ‫الزائد‬ ‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫األختالف‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
113
‫وزاري‬2011/‫د‬2‫وزاري‬2015/‫د‬3
‫س‬4/‫ذـادل‬‫ذ‬‫معـــــ‬ ‫جذد‬‫ال‬ ‫ة‬‫ذع‬‫ذ‬‫مط‬‫ال‬‫ذالص‬‫ذ‬‫ن‬‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬‫الس‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ‫تنتمٌذان‬ ‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــــ‬‫ومس‬ ‫ذل‬‫ذ‬‫األص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫ومرك‬ ‫ٌنات‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــ‬‫احة‬
‫منطمته‬𝟕‫ٌساوي‬ ‫ومحٌطه‬ ‫مربعة‬ ‫وحدة‬𝟏𝟎‫وحدة‬.
‫الحل‬/
𝒂𝒃 𝟕𝝅 𝒃
𝟕
𝒂
( ① ‫معادلة‬ )
𝒑 𝟐𝝅 √
𝟐 𝟐
𝟐
𝟏𝟎𝝅 𝟐𝝅 √
𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟐 )
𝟓 √
𝟐 𝟐
𝟐
( ② ‫معادلة‬ )
‫المعادلة‬ ‫بتعوٌض‬①‫المعادلة‬ ً‫ف‬②: ‫على‬ ‫نحصل‬
𝟓
√
𝟐 𝟕 𝟐
𝟐
𝒂
𝟓
√
𝟐 𝟒𝟗
𝒂 𝟐
𝟐
( ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬ )
𝟐𝟓
𝟐 𝟒𝟗
𝒂 𝟐
𝟐
𝟓𝟎 𝟐
𝟒𝟗
𝒂 𝟐
( 𝟐 ‫ب‬ ‫المعادلة‬ ً‫طرف‬ ‫نضرب‬ )
𝟓𝟎 𝟐 𝟒
𝟒𝟗
𝟒
𝟓𝟎 𝟐
𝟎 ( 𝟐
𝟒𝟗)( 𝟐
𝟏) 𝟎𝟒𝟗
𝟐
𝟒𝟗 𝟎 𝟐
𝟒𝟗 𝟕 ( ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬ )
𝒃
𝟕
𝒂
𝟏 𝟐
𝟏
𝟕
𝟕
𝟐
𝟒𝟗
𝟐
𝟏
𝟏 ‫انىاقص‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
𝟐
𝟏 𝟎 𝟐
𝟏 𝟏 ( ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬ )
𝒃
𝟕
𝒂
𝟕
𝟕 ‫ٌهمل‬
𝟏
‫لٌمة‬ ‫ألن‬( )‫تكون‬ ‫أن‬ ‫ٌجب‬‫أ‬‫كب‬‫لٌمة‬ ‫من‬ ‫ر‬( )‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬.
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
114
ً‫الثان‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬98‫/د‬1
‫معادلته‬ ‫زائد‬ ‫لطع‬𝟐 𝟐
𝟗𝟎ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬ ‫وطول‬𝟔√𝟐‫المطذع‬ ً‫بذإرت‬ ‫علذى‬ ‫تنطبمذان‬ ‫وبإرتذا‬ ‫وحذدة‬
‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬𝟗 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟓𝟕𝟔‫لٌمة‬ ‫جد‬k,h.
:‫الحل‬
‫القطع‬ ً‫ف‬‫الناقص‬:
[9 2
6 2
576] 576
2 2
2
64 2
36
2 2 2
64 36 2
2
28 2√7
‫البؤرتان‬(2√7 ) ( 2√7 )
‫القطع‬ ً‫ف‬‫البؤرتان‬ : ‫الزائد‬(2√7 ) ( 2√7 )
c 2√7 2 6√2 3√2
2 2 2
8 2
28 2
ℎ 2 2
9 ] 9
2
9
ℎ
2
9
2
8 8ℎ 9 ℎ 5
2
9 9
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
115
‫وزاري‬ ‫سإال‬99‫/د‬2
‫النمطة‬(
𝟏
𝟑
𝟐)ً‫هذ‬ ً‫والت‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬ ‫وبإرته‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬
‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫بإرت‬ ‫احدى‬,‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫النسبة‬
𝟓
𝟒
,.‫والنالص‬ ‫المكافئ‬ ‫المطعٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
:‫الحل‬
‫المكافئ‬:2
4 (2)2
4 ( ) 4 3 (3 ) ‫البؤرة‬
2
4(3) 2
2
3 ⇐ (3 ) ( 3 ) ‫هما‬ ‫البؤرتان‬ ‫الناقص‬
2
2
5
4
4 5
5
4
2 2 2
25 2
6
2
9 ] ( 6)
25 2
6 2
44 9 2
44
2
6 4
5( )
5
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
2
25
2
‫وزاري‬ ‫سإال‬2000‫/د‬2
‫معادلتذه‬ ‫الذذي‬ ‫الزائذد‬ ‫المطذع‬ ً‫بذإرت‬ ‫همذا‬ ‫بإرتذا‬ ‫الذذي‬ ‫النذالص‬ ‫المطذع‬ ‫معادلذة‬ ‫جد‬𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟐‫بذٌن‬ ‫والنسذبة‬
‫محورٌة‬ ً‫طول‬
𝟓
𝟑
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫الزائد‬2
3 2
2
( 2) 2
2
2
2
2 2
4
2 2 2 2
2 4 2
6 4
‫البؤرتان‬( 4 ) (4 )
‫القطع‬ ً‫ف‬:‫الناقص‬( 4 ) (4 ) ‫البؤرتان‬⇐4
2
2
5
3 5
5
( )
2 2 2 25 2
2
6 25 2
9 2
44
6 2
44 2
9 3
5( )
5
‫النا‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬‫قص‬
2
25
2
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
116
‫وزاري‬ ‫سإال‬2001‫/د‬1
‫ذه‬‫ذ‬‫معادلت‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ً‫ذإرت‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذى‬‫ذ‬‫عل‬ ‫ذان‬‫ذ‬‫تنطبم‬ ‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬𝟑 𝟐
𝟓 𝟐
𝟏𝟐𝟎
‫و‬‫تساوي‬ ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫والبعد‬ ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬ ‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫النسبة‬
𝟏
𝟐
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬3 2
5 2
2
( 2 ) 2 2
2
2
4 2
24
2 2 2 2
4 24 2
6 4
‫البؤرتان‬( 4 ) (4 )
‫القطع‬ ً‫ف‬‫البؤرتان‬ :‫الزائد‬( 4 ) (4 )⇐4
2
2 2 4 2
2 4 2
2 2 2
4 2
6 2
2
2 2
2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2001‫/د‬2
:‫المكذافئٌن‬ ‫المطعذٌن‬ ‫بإرتذا‬ ‫همذا‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐
𝟐𝟎 𝟐
𝟐𝟎‫بذٌن‬ ‫والفذرق‬
= ‫والمرافك‬ ً‫الحمٌم‬ ‫محورٌه‬ ً‫طول‬2.‫وحدة‬
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫المكافئ‬2
2 2
2
4 2 5 4 2 5
( 5 ) ‫البؤرة‬ (5 ) ‫البؤرة‬
‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬:( ‫البؤرتان‬5,0( , )-5,0)⇐5
2 2 2
( 2)
2 2 2 ( )2 2
25 2 2 2
25
2 2
2 24
( 2)
2
2
( 4)( 3)
4 4 ‫ٌهمل‬
3 3
3 4
2
6
2
9
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
117
‫وزاري‬ ‫سإال‬2002‫/د‬1
( ‫تسذاو‬ ‫بإرتٌذه‬ ‫بذٌن‬ ‫والمسذافة‬ ‫السذٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبإرتا‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬8)
‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫ومجموع‬ ‫وحدات‬16.‫وحدة‬
:‫الحل‬2 8 4
2 2 6 8 8
2 2 2 (8 )2 2
6 64 6 2 2
6
6 48 3 8 3 5
2
25
2
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2002‫/د‬2
‫النذالص‬ ‫المطذع‬ ‫راسذا‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐
𝟗 𝟐
𝟑𝟔ً‫الحمٌمذ‬ ‫محذور‬ ‫طذول‬ ‫بذٌن‬ ‫والنسذبة‬
= ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬ ‫إلى‬
𝟏
𝟐
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬‫النالص‬
2 2
2
36 6
( 6 ) (6 ) ‫الرأسان‬
( 6 ) (6 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬⇐c 6
2
2 2 2
2 6 3
2 2 2
9 2
36 2
27
2 2
2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2003‫/د‬1
‫معادلته‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬𝟐
𝟒 𝟐
𝟒.‫ورأسٌه‬ ‫بإرتٌه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ً‫وأحداث‬ ‫محورٌه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬
:‫الحل‬
2
4 2
4
( ) 2 2
2
4 2
2
2 2(2) 4 ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
2 2( ) 2 ‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
( 2 ) (2 ) ‫الرأسان‬
2 2 2
4 2
2
3 √3
( √3 ) (√3 ) ‫البؤرتان‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
118
‫وزاري‬ ‫سإال‬2004‫د‬ /1
‫جد‬( ‫رإوسه‬ ‫احد‬ ‫والذي‬ ‫االحداثٌات‬ ‫محوري‬ ‫محورا‬ ‫الذي‬ ً‫المخروط‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬3,0( ‫بإرتٌه‬ ‫واحد‬ )-5,0)
:‫الحل‬
3 5
2 2 2
9 2
25 2
6 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ( ‫ألن‬ )
2 2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2004‫/د‬2
ً‫ه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ .‫اآلخر‬ ً‫ببإرت‬ ‫ٌمر‬ ‫احدهما‬ ‫نالص‬ ‫ولطع‬ ‫زائد‬ ‫لطع‬
𝟐
𝟐𝟓
𝟐
𝟗
𝟏.‫االحداثٌات‬ ‫محوري‬ ‫على‬ ‫محورٌهما‬ ‫أن‬ ‫علما‬
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬2
25 5 ( 5 ) (5 ) ‫الرأسان‬
2
9 2 2 2
25 9 2 2
6 4 ( 4 ) (4 ) ‫البؤرتان‬
4 ⇐ ( 4 ) (4 ) ‫الرأسان‬ ‫ا‬‫لزائد‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬
5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬
2 2 2
6 2
25 2
9
2 2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2006‫/د‬1
( ‫بالنمطتٌن‬ ‫وٌمر‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬-3,6( , )3,6.‫دلٌله‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ )
:‫الحل‬
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ‫القطع‬‫األعلى‬ ‫إلى‬ ‫القطع‬ ‫وفتحة‬ ‫الصادي‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫القطع‬
2
4 (3)2
4 (6) 9 24
2
4 ( ) 2
2
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2006‫د‬ /2
( ‫بالنمطتٌن‬ ‫وٌمر‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬1,-3( , )1,3.‫دلٌلة‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ )
:‫الحل‬
‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ‫القطع‬.‫الٌمٌن‬ ‫إلى‬ ‫القطع‬ ‫وفتحة‬ ً‫السٌن‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫القطع‬
2
4
(3)2
4 ( ) 9 4
2
4
9
4
2
9 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
119
‫وزاري‬ ‫سإال‬2007‫/د‬1
( ‫ذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذٌن‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫والبع‬ ‫ذل‬‫ذ‬‫األص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬8‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذا‬‫ذ‬‫ورأس‬ ‫ذدة‬‫ذ‬‫وح‬ )‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬
𝟐
𝟏𝟔
𝟐
𝟗
𝟏.
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬‫الزائد‬
2 2
2
6 2
9
2 2 2
6 9 2 2
25 5
( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬
4 ⇐ 2 8 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬
5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫هما‬ ‫الرأسان‬
2 2 2
25 2
6 2
25 6 2
9
2
25
2
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2007‫/د‬1
‫لتكن‬𝟐 𝟐
𝟑‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫بإرتٌه‬ ‫احدى‬ ‫زائد‬ ‫لطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬𝟐
𝟖‫لٌمة‬ ‫جد‬h.
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫المكافئ‬4 8 2 (2 ) ‫البؤرة‬
c 2 ⇐ ( 2 ) (2 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬
2
ℎ 2
3
2
3
2
3
ℎ
2
3 2
3
ℎ
2 2 2
3 4 ℎ 3
‫وزاري‬ ‫سإال‬2007‫/د‬2
‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬ ‫هما‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
𝟐
𝟒𝟏
𝟐
𝟏𝟔
𝟏( ‫المرافك‬ ‫محور‬ ‫وطول‬8.‫وحدات‬ )
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬2
4 2
6 2 2 2 2
4 6
2
25 5
( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬
5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬
2 8 4 2 2 2 2
6 25
2
9
2 2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
120
‫وزاري‬ ‫سإال‬2008‫/د‬1
‫المكافئٌن‬ ‫المطعٌن‬ ً‫بإرت‬ ‫هما‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐
𝟐𝟎 𝟐
𝟐𝟎‫محور‬ ‫وطول‬
= ‫المرافك‬8.‫وحدات‬
:‫المكافئ‬ :‫الحل‬2
2 2
2
4 2 5 4 2 5
( 5 ) ‫البؤرة‬ (5 ) ‫البؤرة‬
5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬
2 8 4
2 2 2 2
6 25 2
9
2 2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2008‫/د‬1
‫معادلته‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬𝟒 𝟐
𝟐 𝟐
= ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫والبعد‬𝟐√ 𝟑‫لٌمة‬ ‫جد‬ .‫وحدة‬L.
:‫الحل‬2 2√3 √3
4 2
2 2
]
2 2
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2 4
3
4
3 2
‫وزاري‬ ‫سإال‬2009‫/د‬1
‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫ببإرت‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟗 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟏𝟒𝟒ً‫ا‬‫جزء‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫وٌمطع‬
( ‫طوله‬12.‫وحدة‬ )
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫الزائد‬9 2
6 2
44
( ) 2 2
2
6 2
9
2 2 2
6 9 2 2
25 5
( 5) ( 5) ‫البؤرتان‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬5 2 2 6
2 2
25
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
121
‫وزاري‬ ‫سإال‬2010‫/د‬1
‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫ببذإرة‬ ‫وٌمر‬ ‫االحداثٌٌن‬ ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫ومحورا‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
𝟐
𝟏𝟔‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫منطمة‬ ‫ومساحة‬𝟐𝟎.‫مربعة‬ ‫وحدة‬
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫المكافئ‬2
6 4 6 4
(4 ) ‫البؤرة‬
‫المطع‬ ً‫ف‬‫النالص‬:2 2
2
( )
( ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬4,0)( ‫النمطة‬4,0)‫أ‬‫لطب‬ ‫أو‬ ‫رأس‬ ‫تمثل‬ ‫ما‬
4
2
5 ‫ممكن‬ ‫غٌر‬ ‫وهذ‬‫ا‬
b 4 4
2
4 2 5
‫الصادي‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫والمطع‬
2
25
2
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2010‫/د‬2
𝟐
𝟑 𝟐
‫المستمٌم‬ ‫تماطع‬ ‫بنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬𝟐 √ 𝟑‫مساحة‬ ‫أن‬ ً‫ا‬‫علم‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬
‫تساوي‬ ‫منطمته‬𝟐√ 𝟑‫لٌمة‬ ‫جد‬ .‫مساحة‬ ‫وحدة‬‫نمطذة‬ ‫ومركذز‬ ‫السذٌنات‬ ‫لمحذور‬ ‫تنتمٌذان‬ ‫بإرتذا‬ ‫حٌث‬
.‫االصل‬
:‫المستمٌم‬ :‫الحل‬2 √3
y √3 ⇐ 2( ) √3 ⇐ ‫عندما‬
( √3) ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬ً‫السٌن‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫المطع‬ ‫أن‬ ‫بما‬⇐√ 𝟑
ℎ 2
3 2
2 2 2 2
2 2
(ً‫السٌن‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫القطع‬ ‫ألن‬ )
2√3
2√ 2√
√
2
4 2 3
2
3ℎ 2 ℎ 4
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
122
‫وزاري‬2012‫د‬ /1
= ‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫ومجموع‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبإرتا‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬16
‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫بإرت‬ ‫على‬ ‫تنطبمان‬ ‫وبإرتا‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬𝟐
𝟐 𝟐
𝟔
:‫الحل‬
ً‫ف‬:‫الزائد‬ ‫المطع‬2
2 2
6
2 2
2
6 2
3
2 2 2
6 3 2 2
9 3
(3 ) ( 3 ) ‫البؤرتان‬
ً‫ف‬:‫النالص‬ ‫المطع‬‫البؤرتان‬c 3 ⇐ (3 ) ( 3 )
2 2 6
2
8 8
2 2 2 (8 )2 2
9 64 6 2 2
9
6 64 9 6 55
55
8
55 2 55
2
( )
2
2
( )
2
2
2
2
2
2
2
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬2012‫/د‬2
‫محور‬ ‫من‬ ‫وٌمطع‬ ‫االحداثٌٌن‬ ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫محورا‬ ‫وٌنطبك‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫طوله‬ ً‫ا‬‫جزء‬ ‫السٌنات‬8‫منمطته‬ ‫ومساحة‬ ‫وحدات‬𝟐𝟒.‫مساحة‬ ‫وحدة‬
:‫الحل‬24 24
2
‫طوله‬ ً‫ا‬‫جز‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫ٌمطع‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫أن‬ ‫بما‬(8)‫الكبٌذر‬ ‫المحذور‬ ‫طذول‬ ‫ٌمثل‬ ‫أما‬ ‫الجزء‬ ‫هذا‬ ‫فؤن‬ ‫وحدات‬
‫المحور‬ ‫طول‬ ‫ٌمثل‬ ‫الجزء‬ ‫هذا‬ ‫كان‬ ‫فؤذا‬ .‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫أو‬:‫فٌكون‬ ‫الكبٌر‬
2 8 4
2
6
‫ألن‬ ‫ممكن‬ ‫غٌر‬ ‫وهذا‬:‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫ٌمثل‬ ‫الممطوع‬ ‫الجزء‬ ‫فؤن‬ ‫لذا‬ .‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬ ً‫ا‬‫دائم‬
2 8 4 6
:‫الصادي‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫والمطع‬
2 2
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
123
‫وزاري‬2013‫/د‬1
‫بإرتا‬ ً‫مخروط‬ ‫لطع‬𝟏(𝟒 𝟎) 𝟐( 𝟒 𝟎)= ‫المركزي‬ ‫واختالفه‬2.‫معادلته‬ ‫جد‬ ,
:‫الحل‬
4 ⇐ ‫الن‬ ‫زائد‬ ‫القطع‬ ⇐ 2
2 2 4 2
2 2 2
4 2
6 2
6 4 2
2
2 2
2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬2015‫/د‬2
‫لتكن‬𝟓 𝟐
– 𝟒 𝟐
‫معادلة‬‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫بذإرة‬ ً‫هذ‬ ‫بإرتٌــذـه‬ ‫أحذدى‬ ‫زائذد‬ ‫لطذع‬𝟒 √𝟓 𝟐
𝟎
‫لٌمة‬ ‫جد‬.
:‫الحل‬
: ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬
𝟒 √ 𝟓 𝟐 𝟎 𝟒 √𝟓 𝟐 𝟐
𝟒
√𝟓
𝟐 𝟒 𝟒
𝟒
√𝟓
𝟏
√ 𝟓
𝟎
𝟏
√ 𝟓
‫البؤرة‬
: ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬‫البإرتان‬(𝟎
𝟏
√𝟓
) (𝟎
𝟏
√𝟓
)⇐c =
𝟏
√𝟓
𝟓 𝟐
– 𝟒 𝟐
( ) 𝟐
𝟓
𝟐
𝟒
𝟏 𝟐
𝟓
𝟐
𝟒
𝟐 𝟐 𝟐
[
𝟏
𝟓 𝟓 𝟒
]
(×𝟐𝟎)
𝟒 𝟒 𝟓 𝟗 𝟒
𝟗
𝟒
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
124
‫وزاري‬2015‫/د‬2
‫ذذذذاحته‬‫ذ‬‫مس‬ , ‫ذذذذادات‬‫ذ‬‫الص‬ ‫ذذذذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ‫ذذذذان‬‫ذ‬ٌ‫تنتم‬ ‫ذذذذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذذذد‬‫ذ‬‫ج‬𝟑𝟐‫ذذذذاحة‬‫ذ‬‫مس‬ ‫ذذذذدة‬‫ذ‬‫وح‬
‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫والنسبة‬
𝟏
𝟐
:‫الحل‬
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑𝟐 𝟐 × 𝟑𝟐 𝟐
𝟏𝟔 𝟒 𝟖
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟏𝟔
𝟏 ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2015‫/د‬3
‫المكافئٌن‬ ‫المطعٌن‬ ً‫بإرت‬ ‫هما‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐
𝟐𝟎 𝟐
𝟐𝟎‫محور‬ ‫وطول‬
= ‫المرافك‬8.‫وحدات‬
:‫المكافئ‬ :‫الحل‬2
2 2
2
4 2 5 4 2 5
( 5 ) ‫البؤرة‬ (5 ) ‫البؤرة‬
5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬
2 8 4
2 2 2 2
6 25 2
9
2 2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
125
‫وزاري‬ ‫سإال‬2016‫/د‬1
‫ذذن‬‫ذ‬‫ع‬ ‫المكذذافئ‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫بذذإرة‬ ‫ذذد‬‫ذ‬‫لبع‬ ً‫ا‬ٌ‫مسذذاو‬ ‫ذذإري‬‫ذ‬‫الب‬ ‫وبعذذد‬ ‫ذذل‬‫ذ‬‫األص‬ ‫نمطذذة‬ ‫ذذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫الذذذي‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫المطذذع‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫جذذد‬
‫دلٌله‬𝟐
𝟐𝟒 𝟎‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫مساحة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬ ,𝟖𝟎 𝟐
:‫الحل‬
: ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬
𝟐
𝟐𝟒 𝟎 𝟐
𝟐𝟒 (‫مع‬ ‫بالمقارنة‬ ) 𝟐
𝟒
𝟐𝟒 𝟒
( 𝟒)
𝟔 𝟐 𝟏𝟐 (‫ودلٌه‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫بٌن‬ ‫)البعد‬
: ‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐
𝟑𝟔
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟑𝟔 (𝟏)
𝟖𝟎
𝟖𝟎
(𝟐)
‫المعادلة‬ ‫نعوض‬(𝟐)‫المعدلة‬ ً‫ف‬(𝟏): ‫فٌنتج‬
𝟐
𝟔𝟒𝟎𝟎
𝟐
𝟑𝟔
(× 𝟐)
𝟒
𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟒
𝟑𝟔 𝟐
𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎
( 𝟐
𝟏𝟎𝟎)( 𝟐
𝟔𝟒) 𝟎
‫أما‬ 𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟐
𝟔𝟒𝟎𝟎
𝟐
𝟔𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟐
𝟔𝟒
‫أو‬ 𝟐
𝟔𝟒 ‫ٌهمل‬
∴: ‫وهما‬ ‫محدد‬ ‫غٌر‬ ‫البإرتٌن‬ ‫مولع‬ ‫ألن‬ ‫النالص‬ ‫للمطع‬ ‫معادلتان‬ ‫هنان‬
𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝟐
𝟔𝟒
𝟏
𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝟏
‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
126
‫وزاري‬ ‫سإال‬2016‫/د‬1
‫والنذذذالص‬ ‫الزائذذذد‬ ‫المطذذذع‬ ‫معادلذذذة‬ ‫جذذذد‬‫السذذذٌنات‬ ‫محذذذور‬ ‫علذذذى‬ ‫ٌمعذذذان‬ ‫وكالهمذذذا‬ ‫األخذذذر‬ ً‫ببذذذإرت‬ ‫ٌمذذذر‬ ‫كذذذل‬ ‫كذذذان‬ ‫أذا‬
‫ٌساوي‬ ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫وطول‬𝟔√𝟐‫ٌساوي‬ ً‫الحمٌم‬ ‫المحور‬ ‫وطول‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬𝟔. ‫طول‬ ‫وحدة‬
:‫الحل‬
‫األخر‬ ‫ببإرة‬ ‫ٌمر‬ ‫المطعٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬
∴‫الزا‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬ ‫تمثالن‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫وبإرتا‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬ ‫ٌمثالن‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬‫ئ‬‫د‬
ً‫ف‬‫النالص‬ ‫المطع‬:ً‫ف‬‫الزائد‬ ‫المطع‬:
𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐
𝟏𝟖
𝟐
𝟗
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏𝟖 𝟗 𝟐
𝟗
𝟐
𝟏𝟖
𝟐
𝟗
𝟏 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝟐 𝟔 𝟑 𝟐
𝟗
𝟐
𝟏𝟖
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏𝟖 𝟗 𝟐
𝟗
𝟐
𝟗
𝟐
𝟗
𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
127
‫الثالث‬ ‫الفصل‬/‫التفاضل‬ ‫تطبٌمات‬
) ‫مراجعة‬ ( ‫للمشتمة‬ ‫األساسٌة‬ ‫المواعد‬
‫األولى‬ ‫الماعدة‬:‫صف‬ ‫تساوي‬ ‫الثابتة‬ ‫الدالة‬ ‫مشتمة‬‫ر‬
(𝟏) ( ) 𝟑 ̅( ) 𝟎
(𝟐) ( ) √𝟒 ̅( ) 𝟎
(𝟑) ( )
𝟐
𝟓
̅( ) 𝟎
‫الثانٌة‬ ‫الماعدة‬‫كان‬ ‫أذا‬ :( )‫فأن‬̅( ) ( 𝟏)
(𝟏) ( ) 𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟐
(𝟐) ( ) √
.
𝟏
𝟐
/ ̅( )
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟐
/ 𝟏
𝟐√
(𝟑) ( ) 𝟕 ̅( ) 𝟕 𝟖
𝟕
𝟖
‫الثالثة‬ ‫الماعدة‬‫كان‬ ‫أذا‬ :( )‫فأن‬̅( ) ( ) ( 𝟏)
‫حٌث‬
(𝟏) ( ) 𝟔 𝟒 ̅( ) 𝟐𝟒 𝟑
(𝟐) ( ) 𝟕√ 𝟕
.
𝟏
𝟐
/ ̅( ) 𝟕 (
𝟏
𝟐
)
.
𝟏
𝟐
/ 𝟕
𝟐√
(𝟑) ( ) 𝟓 𝟑 ̅( ) 𝟏𝟓 𝟒
𝟏𝟓
𝟒
(𝟒) ( ) 𝟗 ̅( ) 𝟗
‫الرابعة‬ ‫الماعدة‬‫مشتماتها‬ ‫مجوع‬ = ‫دوال‬ ‫مجموعة‬ ‫مشتمة‬ :
(𝟏) ( ) 𝟑
𝟕 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟕
(𝟐) ( ) 𝟔 𝟒
𝟏
̅( ) 𝟐𝟒 𝟑
𝟏
𝟐
(𝟑) ( ) 𝟕√
𝟐
𝟓 ( ) 𝟕
.
𝟏
𝟐
/
𝟐 𝟏
𝟓
̅( ) 𝟕 (
𝟏
𝟐
)
.
𝟏
𝟐
/
𝟐 𝟐
𝟓
̅( )
𝟕
𝟐√
𝟐
𝟐
𝟓
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
128
‫الخامسة‬ ‫الماعدة‬:]‫األولى‬ ‫الدالة‬ = ‫دالتٌن‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫مشتمة‬‫الثانٌة‬ ‫الدالة‬ + ‫الثانٌة‬ ‫الدالة‬ ‫مشتمة‬‫األولى‬ ‫الدالة‬ ‫مشتمة‬[
( ) (𝟒 𝟑
𝟕 )(𝟐 ) ̅( ) (𝟒 𝟑
𝟕 )(𝟐) (𝟐 )(𝟏𝟐 𝟐
𝟕) 𝟖 𝟑
𝟏𝟒 𝟐𝟒 𝟑
𝟏𝟒
‫السادسة‬ ‫الماعدة‬= ‫دالتٌن‬ ‫لسمة‬ ‫مشتمة‬ :
‫الممام‬ ‫مشتمة‬ ‫البسط‬ ‫البسط‬ ‫مشتمة‬ ‫الممام‬
(‫)الممام‬
𝟐
( )
𝟐 𝟑
𝟏
𝟒 𝟏
̅( )
( 𝟒
𝟏)(𝟔 ) (𝟐 𝟑
𝟏)(𝟒 𝟑
)
( 𝟒 𝟏) 𝟐
𝟔 𝟓
𝟔 𝟖 𝟔
𝟒 𝟑
( 𝟒 𝟏) 𝟐
‫السابعة‬ ‫الماعدة‬ٌ‫مع‬ ‫ألس‬ ‫مرفوعة‬ ‫دوال‬ ‫مجموعة‬ ‫مشتمة‬ :‫ن‬̅( ) , ( )-( 𝟏) ̅( ) ‫فأن‬ ( ) , ( )-
(𝟏) ( ) (𝟒 𝟑
𝟕 ) 𝟓 ̅( ) 𝟓(𝟒 𝟑
𝟕 ) 𝟒 (𝟏𝟐 𝟐
𝟕) (𝟔𝟎 𝟐
𝟑𝟓)(𝟒 𝟑
𝟕 ) 𝟒
(𝟐) ( ) ( 𝟏) 𝟐 (𝟐 𝟐) 𝟑 ̅( ) ( 𝟏) 𝟐 ,𝟑(𝟐 𝟐) 𝟐(𝟐)- (𝟐 𝟐) 𝟑 ,𝟐( 𝟏)(𝟏)-
̅( ) 𝟔( 𝟏) 𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟑( 𝟏)
(𝟑) ( ) 𝟐√ 𝟒 𝟑 𝟐 ( ) 𝟐 (𝟒 𝟑
𝟐 )
𝟏
𝟐
̅( ) 𝟐
6(
𝟏
𝟐
) (𝟒 𝟑
𝟐 )
𝟏
𝟐 (𝟏𝟐 𝟐
𝟐)7 (𝟒 𝟑
𝟐 )
𝟏
𝟐 ,𝟐 -
𝟐
(𝟏𝟐 𝟐
𝟐)
𝟐(𝟒 𝟑 𝟐 )
𝟏
𝟐
𝟐 (𝟒 𝟑
𝟐 )
𝟏
𝟐
̅( )
𝟐
(𝟏𝟐 𝟐
𝟐) 𝟒 (𝟒 𝟑
𝟐 )
𝟐(𝟒 𝟑 𝟐 )
𝟏
𝟐
𝟏𝟐 𝟒
𝟐 𝟐
𝟏𝟔 𝟒
𝟖 𝟐
𝟐√ 𝟒 𝟑 𝟐
‫الدائرٌة‬ ‫الدوال‬ ‫ألشتماق‬ ‫األساسٌة‬ ‫المواعد‬
(𝟒) ( ) ̅( ) 𝟐
( )(𝟏) ( ) ̅( ) ( )
(𝟓) ( ) ̅( )(𝟐) ( ) ̅( ) ( )
(𝟔) ( ) ̅( )(𝟑) ( ) ̅( ) 𝟐( )
‫المهم‬ ‫والعاللات‬ ‫الموانٌن‬ ‫بعض‬
(𝟐 ) 𝟐(𝟐 ) 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟏
𝟏𝟏𝟏
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
129
(𝟐 )
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐𝟐
𝟏 𝟐
( )
𝟏
𝟐
𝟏 (𝟐 )
𝟐
𝟐
𝟏 (𝟐 )
𝟐
( )
( ) (‫األشارة‬ ‫)تعكس‬
‫مثال‬/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫مشتمة‬
(𝟏) ( ) √ ̅( )
𝟏
𝟐 √
(𝟐) ( )
𝟐
̅( )
𝟏
𝟐
(𝟑) ( ) ̅( ) ̅( ) ( 𝟏) ̅( ) 𝟏
(𝟒) ( ) ̅( )
(𝟓) ( ) √ ̅( )
𝟏
𝟐√
√
(𝟔) ( ) √ ̅( )
𝟏
𝟐√
(𝟕) ( ) 𝟐 ( ) 𝟐 ̅( ) 𝟐
(𝟖) ( ) 𝟐 ( ) 𝟐 ̅( ) 𝟐
(𝟗) ( ) ̅( ) ( ) ( )
̅( ) 𝟐 𝟐
̅( ) (𝟐 )
(𝟗) ( ) ̅( ) 𝟐
𝟏
̅( ) ( 𝟐
𝟏) 𝟏
̅( ) 𝟐
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
130
‫العلٌا‬ ‫الرتب‬ ‫ذات‬ ‫المشتمات‬
‫كانت‬ ‫أذا‬( )ً‫ه‬ ‫األولى‬ ‫مشتمتها‬ ‫فأن‬ ‫األشتماق‬ ‫شروط‬ ‫فٌها‬ ‫تتوافر‬ ‫دالة‬0̅ ̅( )1‫تمثل‬ ً‫وه‬
‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫الجدٌدة‬ ‫والدالة‬ , ‫جدٌدة‬ ‫دالة‬‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬ ‫جدٌدة‬ ‫دالة‬ ‫أٌضا‬ ‫تكون‬ ‫الثانٌة‬ ‫مشتمتها‬ ‫فأن‬
̅̅‫حٌث‬0̅̅
𝟐
𝟐
̅̅ ( )1‫دالة‬ ‫أٌضا‬ ‫تكون‬ ‫الثالثة‬ ‫مشتمتها‬ ‫فأن‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫الجدٌدة‬ ‫والدالة‬ ,
‫با‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬ ‫جدٌدة‬‫لرمز‬̅̅̅‫حٌث‬0̅̅̅
𝟑
𝟑
̅̅ ( )1‫كان‬ ‫فأذا‬ ‫وهكذا‬(n)‫المشتمة‬ ‫فأن‬ ‫موجب‬ ‫صحٌح‬ ‫عدد‬
‫الرتبة‬ ‫من‬(n)ً‫كالتال‬ ‫تكون‬0 ( )
( )1
‫عامة‬ ‫مالحظات‬
‫كانت‬ ‫أذا‬, ( ) -‫حٌث‬( )‫زمن‬ ‫أي‬ ‫عند‬ ‫الجسم‬ ‫أزاحة‬ ‫تمثل‬( ): ‫فأن‬ ‫لذا‬
̅( ) ①)‫األولى‬ ‫(المشتمة‬ً‫وه‬‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬ ‫للجسم‬ ‫اللحظٌة‬ ‫السرعة‬ ‫تمثل‬( )
𝟐
𝟐
̅̅( ) ②‫(المشتمة‬‫الثانٌة‬)ً‫وه‬‫تمثل‬‫التعجٌل‬‫للجسم‬‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬ ) ‫السرعة‬ ‫تغٌٌر‬ ‫(معدل‬( )
𝟑
𝟑
̅̅̅
( ) ③)‫الثالثة‬ ‫(المشتمة‬ً‫وه‬‫(معدل‬ ‫تمثل‬‫ال‬)‫للتعجٌل‬ ً‫الزمن‬ ‫تغٌٌر‬
④‫وم‬ , ‫الثانٌة‬ ‫بالمشتمة‬ ‫تسمى‬ ‫األول‬ ‫األشتماق‬ ‫ناتج‬ ‫مشتمة‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ , ‫مرة‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫الدوال‬ ‫بعض‬‫شتمة‬
‫األشتما‬ ‫ناتج‬‫الثالثة‬ ‫بالمشتمة‬ ‫تسمى‬ ً‫الثان‬ ‫ق‬
‫ال‬ ‫المشتمـــــــــة‬‫ضمنٌة‬
‫كانت‬ ‫أذا‬( )‫بداللة‬ ‫دالة‬( )‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫معادلة‬ ‫أشتماق‬ ‫فعند‬( )‫و‬( )‫لل‬ ‫بالنسبة‬‫ـ‬( )‫نضٌف‬(̅)‫بعد‬
‫لل‬ ‫مشتمة‬ ‫كل‬( )‫أس‬ ‫لٌمة‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫الضمنٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫وتستخدم‬ (( )) ‫واحد‬ ‫من‬ ‫أكبر‬: ً‫التال‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬ ‫كما‬
‫مثال‬/‫أوجد‬(̅): ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ً‫ال‬‫لك‬
① 𝟐 𝟐
𝟒
̅
( 𝟐)
⇒ ̅ ̅ ̅
② 𝟐
𝟐 𝟑
( ̅) ( ) ̅ ̅
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
131
‫مثال‬)1)/‫كان‬ ‫أذا‬𝟐‫فجد‬
𝟒
𝟒
‫الحل‬/
𝟐
( 𝟐 )(𝟐) 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐 𝟐 )(𝟐) 𝟒 𝟐
𝟑
𝟑
(𝟒 𝟐 )(𝟐) 𝟖 𝟐
𝟒
𝟒
(𝟖 𝟐 )(𝟐) 𝟏𝟔 𝟐
‫مثال‬))/‫أذا‬‫بأن‬ ‫علمت‬𝟐 𝟐
𝟏‫فبرهن‬: ‫أن‬ ‫على‬
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
𝟎
‫الحل‬/
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐 ( ) 𝟐 𝟎 ( 𝟐)
( ) 𝟎 ( ‫للمتغٌر‬ ‫بالنسبة‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نشتك‬ ‫)واالن‬
4
𝟐
𝟐
5 ( ) ( ) 𝟏 𝟎
4
𝟐
𝟐
5 ( )
𝟐
𝟏 𝟎 ( ‫أخرى‬ ‫مرة‬ ‫للمتغٌر‬ ‫بالنسبة‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نشتك‬ ‫)واالن‬
.
𝟑
𝟑/ .
𝟐
𝟐/ 𝟐 .
𝟐
𝟐/ 𝟎 𝟎 .
𝟑
𝟑/ 𝟑 .
𝟐
𝟐/ 𝟎
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
𝟎 (‫المطلوب‬ ‫)وهو‬
‫مثال‬/‫لتكن‬𝟏𝟑 𝟎‫حٌث‬𝟎 𝟎‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫فجد‬
‫الحل‬/
𝟎 𝟎
𝟎 ‫األولى‬ ‫المشتمة‬
𝟐
𝟐
𝟎 ̅̅ ̅( 𝟏) ̅ 𝟎
̅̅ 𝟐̅ 𝟎 ̅̅
𝟐̅
‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
132
‫مثال‬/‫أذا‬‫كانت‬( ) 𝟐
‫وكان‬(𝟏) 𝟓‫وكان‬̅(𝟏) 𝟑‫وكان‬̅̅ (𝟏) 𝟒‫فجد‬
‫الحل‬/
( 𝟏) ( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟓 𝟓 ① ‫معادلة‬
̅( ) 𝟐 ̅( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 ② ‫معادلة‬
̅̅ ( ) 𝟐 ̅̅ ( 𝟏) 𝟐 𝟒 𝟐 ② ً‫ف‬ ‫نعوض‬
𝟐 𝟑 𝟐( 𝟐) 𝟑 𝟑 𝟒 𝟕 ① ً‫ف‬ ‫نعوض‬
( 𝟐) ( 𝟕) 𝟓 𝟓 𝟐 𝟕 𝟎
‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬‫أن‬ ‫فبرهن‬
𝟐
𝟐
𝟐
‫الحل‬/
𝟐
𝟐
( ) 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
(𝟑 𝟏)‫تمارين‬
‫س‬1/‫جد‬
𝟐
𝟐
ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
( ) √𝟐 𝟐
‫الحل‬/
(𝟐 )
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
(𝟐 )
𝟏
𝟐 ( 𝟏)
𝟏
𝟐
(𝟐 )
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
(
𝟏
𝟐
) (
𝟏
𝟐
) (𝟐 )
𝟑
𝟐 ( 𝟏)
𝟏
𝟒(𝟐 )
𝟑
𝟐
𝟏
𝟒 √(𝟐 ) 𝟑
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
133
( )
𝟐
𝟐
𝟐
‫الحل‬/
(𝟐 )( 𝟏) (𝟐 )(𝟏)
(𝟐 ) 𝟐
𝟐 𝟐
(𝟐 ) 𝟐
𝟒
(𝟐 ) 𝟐
𝟒(𝟐 ) 𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟒)( 𝟐)(𝟐 ) 𝟑(𝟏)
𝟖
(𝟐 ) 𝟑
( ) 𝟐 𝟒 𝟓 𝟎 𝟐 𝟎
‫الحل‬/
𝟐 [ ] 𝟒 𝟎 𝟎
𝟐 𝟐 𝟒 𝟎 (𝟐 𝟒) 𝟐
𝟐
(𝟐 𝟒)
𝟐 6
𝟐
𝟐
7 𝟐 𝟒
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐 𝟒
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
(𝟐 𝟒) 𝟒
𝟐
𝟐
(𝟐 𝟒) ( 𝟒)
𝟐
(𝟐 𝟒)
𝟐
𝟐
𝟖
(𝟐 𝟒) 𝟐
𝟖
𝟒( 𝟐) 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐) 𝟐
‫لحل‬ ‫أخرى‬ ‫طرٌمة‬‫السؤال‬
𝟐 𝟒 𝟓
(𝟐 𝟒) 𝟓
𝟓
(𝟐 𝟒)
𝟓
𝟐( 𝟐)
𝟓
𝟐
( 𝟐) 𝟏
𝟓
𝟐
( 𝟏)( 𝟐) 𝟐(𝟏)
𝟓
𝟐
( 𝟐) 𝟐
𝟐
𝟐
𝟓
𝟐
( 𝟐)( 𝟐) 𝟑(𝟏) 𝟓( 𝟐) 𝟑
𝟐
𝟐
𝟓
( 𝟐) 𝟑
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
134
‫س‬2/‫جد‬̅̅̅ (𝟏)ً‫ت‬ ‫ٌأ‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
( ) ( ) 𝟒√𝟔 𝟐 𝟑
‫الحل‬/
( ) 𝟒(𝟔 𝟐 )
𝟏
𝟐 ̅( ) 𝟒 (
𝟏
𝟐
) (𝟔 𝟐 )
𝟏
𝟐 ( 𝟐) 𝟒(𝟔 𝟐 )
𝟏
𝟐
̅̅( ) 𝟒 (
𝟏
𝟐
) (𝟔 𝟐 )
𝟑
𝟐 ( 𝟐) 𝟒(𝟔 𝟐 )
𝟑
𝟐
̅̅̅
( ) 𝟒 (
𝟑
𝟐
) (𝟔 𝟐 )
𝟓
𝟐 ( 𝟐) 𝟏𝟐(𝟔 𝟐 )
𝟓
𝟐
𝟏𝟐
(𝟔 𝟐 )
𝟓
𝟐
̅̅̅
( 𝟏)
𝟏𝟐
(𝟔 𝟐)
𝟓
𝟐
𝟏𝟐
(𝟒)
𝟓
𝟐
𝟏𝟐
(𝟐 𝟐)
𝟓
𝟐
𝟏𝟐
(𝟐) 𝟓
𝟏𝟐
𝟑𝟐
𝟑
𝟖
( ) ( )
‫الحل‬/
̅( ) ( )
̅̅( ) ( ) 𝟐
̅̅̅( ) 𝟐 ( ) 𝟑
̅̅̅(𝟏) 𝟑 (𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟑
( ) ( )
𝟑
𝟐
𝟐
‫الحل‬/
( ) 𝟑(𝟐 ) 𝟏 ̅( ) 𝟑(𝟐 ) 𝟐 ( 𝟏) (𝟐 ) 𝟐
̅̅( ) 𝟑( 𝟐)(𝟐 ) 𝟑 ( ) (𝟐 ) 𝟑
̅̅̅
( ) ( )(𝟐 ) 𝟒 ( 𝟏) 𝟏𝟖(𝟐 ) 𝟒
𝟏𝟖
(𝟐 ) 𝟒
̅̅̅
( 𝟏)
( )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
135
‫س‬3/‫كانت‬ ‫أذا‬‫أن‬ ‫فبرهن‬
𝟐
𝟐
𝟐 (𝟏 𝟐)‫حٌث‬
(𝟐 𝟏)
𝟐
‫الحل‬/
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 ( 𝟏 𝟐
) 𝟐 ( 𝟏 𝟐)
‫س‬4/‫كانت‬ ‫أذا‬‫أن‬ ‫فبرهن‬:(𝟒)
𝟒 𝟎
‫الحل‬/
(𝟏)
𝟐
𝟐
( ) (𝟏) 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
̅ 𝟐
𝟒
𝟒
̅̅ 𝟐
𝟒
𝟒
𝟐 𝟐
𝟒
𝟒
𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟒)
𝟒 𝟎 .‫م‬ ‫هـ‬ ‫و‬/
‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
‫بالزمن‬ ‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬ ‫مسائل‬ ‫لحل‬‫الضمنٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫تطبٌمات‬ ‫أحدى‬ ً‫وه‬: ‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬
①‫نرس‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــــــ‬‫للمس‬ ‫ـط‬‫ـ‬‫مخط‬ ‫م‬‫ــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫و‬ ) ‫ـن‬‫ـ‬‫ذل‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫ال‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫أحتج‬ ‫(أن‬ ‫ألة‬‫ن‬‫و‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫والثواب‬ ‫ـرات‬‫ـ‬ٌ‫المتر‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ح‬‫ن‬‫و‬ ‫ـوز‬‫ـ‬‫الرم‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫له‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫ض‬‫ن‬‫ـة‬‫ـ‬‫العالل‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ح‬
‫السؤال‬ ‫لحل‬ ‫الرئٌسٌة‬
②‫الحل‬ ً‫ف‬ ‫الداخلة‬ ‫المترٌرات‬ ‫عدد‬ ‫ٌمل‬ ً‫لك‬ ‫المترٌرات‬ ‫بٌن‬ ‫أخرى‬ ‫عاللة‬ ‫أٌجاد‬ ‫نحاول‬
③‫للمترٌر‬ ‫بالنسبة‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نشتك‬t)‫(الزمن‬
④‫المطلوب‬ ‫فٌنتج‬ ‫األشتماق‬ ‫بعد‬ ‫المترٌرات‬ ‫من‬ ‫السؤال‬ ‫معطٌات‬ ‫نعوض‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
136
( ‫مثال‬1/)‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫بالماء‬ ‫مملوء‬ ‫خزان‬‫طول‬ ‫مربعة‬ ‫لاعدته‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬‫ضلعها‬𝟐‫ٌتس‬‫ـــ‬‫ـ‬‫منه‬ ‫رب‬
‫بمعدل‬ ‫الماء‬𝟎 𝟒 𝟑⁄‫زمن‬ ‫أي‬ ‫عند‬ ‫الخزان‬ ً‫ف‬ ‫الماء‬ ‫أنخفاض‬ ‫ترٌر‬ ‫معدل‬ ‫جد‬t
‫وزاري‬2011/‫د‬1‫وزاري‬2013/‫د‬2
‫الحل‬/
{
‫الخزان‬ ً‫ف‬ ‫الماء‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬
‫الماعـــــــــدة‬ ‫مســـــــــــــاحة‬
‫الخزان‬ ً‫ف‬ ‫الماء‬ ‫حجم‬ ‫نفرض‬
ً‫ف‬‫زمن‬ ‫أي‬t
‫الخزان‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬( )=[‫األرتفاع‬ ‫الماعدة‬ ‫مساحة‬ ]
(𝟐) 𝟐
𝟒
‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬
𝟒
𝟎 𝟒 𝟒
𝟎 𝟒
𝟒
𝟎 𝟏 ( ⁄ )
∴= ‫الخزان‬ ً‫ف‬ ‫الماء‬ ‫أنخفاض‬ ‫ترٌر‬ ‫معدل‬(𝟎 𝟏 ⁄ )
( ‫مثال‬2/)‫تسـاوي‬ ‫مسـاحتها‬ ‫المعـدن‬ ‫من‬ ‫مستطٌلة‬ ‫صفٌحة‬𝟗𝟔 𝟐
‫بمعـدل‬ ‫طولــــــها‬ ‫ٌتمـدد‬𝟐 ⁄‫بحٌـث‬
‫النم‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫ثابتة‬ ‫مساحتها‬ ‫تبمى‬‫عرضها‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫عرضها‬ ً‫ف‬ ‫صان‬𝟖
‫وزاري‬2014/‫د‬3‫وزاري‬2011/‫د‬2
‫الحل‬/
8
‫المستطٌل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬
‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫اي‬ ً‫ف‬t
‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬( )=, -
𝟗𝟔 ①‫معادلة‬ ( ‫لٌمة‬ ‫)نحسب‬
𝟗𝟔 (𝟖)
𝟗𝟔
𝟖
𝟏𝟐
① ‫معادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟎 (𝟏𝟐) (𝟖)(𝟐) 𝟎
𝟏𝟔
𝟏𝟐
𝟒
𝟑
( ⁄ )
∴= ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ً‫ف‬ ‫التنالص‬ ‫معدل‬.
𝟒
𝟑
⁄ /
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
137
( ‫مثال‬3/)‫حرفـه‬ ‫طـول‬ ‫صلد‬ ‫مكعب‬𝟖‫مكعـب‬ ‫ٌبمـى‬ ‫شـكله‬ ‫بحٌـث‬ ‫الجلٌـد‬ ‫مـن‬ ‫بطبمـة‬ ‫مرطـى‬,‫الجلٌـد‬ ‫بـدأ‬ ‫فـأذا‬
‫بالذوبان‬‫بمعدل‬𝟔 𝟑⁄= ‫السمن‬ ‫هذا‬ ‫فٌها‬ ‫ٌكون‬ ً‫الت‬ ‫اللحظة‬ ً‫ف‬ ‫الجلٌد‬ ‫بسمن‬ ‫النمصان‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬𝟏
‫الحل‬/‫وزاري‬2015/‫د‬1
8
‫الجلٌد‬ ‫سمن‬ ‫نفرض‬
‫الجلٌد‬ ‫حجم‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t
‫حساب‬ ‫المطلوب‬. /‫عندما‬( 𝟏 )‫حٌث‬. 𝟔 𝟑⁄ /
ً‫األصل‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ ‫بالجلٌد‬ ‫مغطى‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ ‫الجلٌد‬ ‫حجم‬
(𝟖 𝟐 ) 𝟑 (𝟖) 𝟑
(‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬
𝟑(𝟖 𝟐 ) 𝟐(𝟐) 𝟎
𝟔 𝟔(𝟖 𝟐(𝟏))
𝟐
𝟏 (𝟏𝟎) 𝟐
𝟏
𝟏𝟎𝟎
⁄
= ‫الجلٌد‬ ‫سمن‬ ً‫ف‬ ‫النمصان‬ ‫معدل‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬⁄0.01
( ‫مثال‬4/)‫طوله‬ ‫سلم‬𝟏𝟎‫ا‬ ‫طرفه‬ ‫ٌستند‬‫العلوي‬ ‫وطرفه‬ ‫أفمٌة‬ ‫أرض‬ ‫على‬ ‫السفل‬‫ف‬ , ً‫رأســــ‬ ‫حائط‬ ‫على‬‫انزلـك‬ ‫اذا‬‫الطـر‬
‫األ‬‫سف‬‫ل‬‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫مبتعدا‬ ‫مبتعد‬𝟐 ⁄‫بعد‬ ‫على‬ ‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬𝟖‫فجد‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬:
①‫العلوي‬ ‫الطر‬ ‫أنزالق‬ ‫معدل‬②‫واألرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫ترٌر‬ ‫سرعة‬
‫وزاري‬2014/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬1
‫الحل‬/①
‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬‫الحائط‬ ‫عن‬ً‫ف‬‫لحظة‬ ‫أي‬
‫نفرض‬‫األعلى‬ ‫الطر‬ ‫بعد‬ً‫ف‬ ‫األرض‬ ‫عن‬‫لحظة‬ ‫أي‬
‫واألرض‬ ‫الســــلم‬ ‫بٌــــن‬ ‫الزاوٌـــــة‬ ‫لـــــٌاس‬ ‫نفرض‬
𝟐 𝟐
𝟏𝟎𝟎 (‫)فٌثاغورس‬
𝟔𝟒 𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟐
𝟑𝟔 𝟔
𝟐 𝟐
𝟏𝟎𝟎 (‫الطرفٌن‬ ‫)نشتك‬
𝟐 𝟐 𝟎
𝟐(𝟖)(𝟐) 𝟐(𝟔) 𝟎
𝟑𝟐 𝟏𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝟑𝟐
𝟖
𝟑
( ⁄ )
∴‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬
𝟖
𝟑
⁄ =
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
138
‫الحل‬/②
(‫الطرفٌن‬ ‫)نشتك‬
( ‫لٌمة‬ ‫نعوض‬ )
( 𝟏𝟎 ‫ب‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نضرب‬ )
( 𝟖 ‫على‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نمسم‬ )
( ⁄ ) ‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫تغٌٌر‬ ‫سرعة‬
( ‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬5/)‫ورأس‬ ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫أفم‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫لاعدت‬ ً‫ـ‬‫ـ‬‫مخروط‬ ‫ـح‬‫ـ‬‫مرش‬‫ــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫ٌس‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫ارتفاع‬ ‫ـفل‬‫ـ‬‫االس‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫ال‬ ‫ه‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــــ‬‫اوي‬𝟐𝟒‫ـر‬‫ـ‬‫لط‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫وط‬
‫لاعدته‬𝟏𝟔‫بمعدل‬ ‫سائل‬ ‫فٌه‬ ‫ٌصب‬𝟓 𝟑⁄‫بمعـدل‬ ‫ئل‬ ‫السا‬ ‫منه‬ ‫ٌتسرب‬ ‫بٌنما‬𝟏 𝟑⁄‫معـدل‬ ‫جـد‬
‫عمك‬ ‫ترٌر‬ً‫ف‬ ‫السائل‬‫السائل‬ ‫عمك‬ ‫فٌها‬ ‫ٌكون‬ ً‫الت‬ ‫اللحظة‬𝟏𝟐
‫الحل‬/
{
‫الســـــــائل‬ ‫أرتفاع‬ ‫نفرض‬
‫الماعدة‬ ‫لطر‬ ‫نصف‬ ‫نفرض‬
‫الســــــــائل‬ ‫حجم‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t
‫التسرب‬ ‫معدل‬ ‫الصب‬ ‫معدل‬ ‫السائل‬ ‫حجم‬ ‫تغٌر‬ ‫معدل‬
𝟓 𝟏 𝟒 ( 𝟑⁄ )
‫مالحظة‬
ً‫المخروط‬ ‫المرشح‬ ً‫ف‬ ‫السائل‬ ‫حجم‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬
𝟏
𝟑
𝟐
①‫معادلة‬
①‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬
𝟏
𝟑
𝟐
𝟏
𝟑
(
𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟐𝟕
𝟑
𝟐𝟕
𝟑
(‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬
𝟐𝟕
𝟑 𝟐
𝟗
𝟐
𝟒
𝟗
(𝟏𝟐) 𝟐
(𝟒)(𝟗)
𝟏𝟒𝟒
𝟏
𝟒
( ⁄ ) ‫السائل‬ ‫أرتفاع‬ ‫أزدٌاد‬ ‫معدل‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
139
( ‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬6/)‫ـتكن‬‫ـ‬‫ل‬M‫ـاف‬‫ـ‬‫المك‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫المط‬ ً‫ـ‬‫ـ‬‫منحن‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫متحرك‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نمط‬𝟐
𝟒‫ـة‬‫ـ‬‫النمط‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫أبتعاده‬ ‫ـدل‬‫ـ‬‫مع‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫ٌك‬ ‫ـث‬‫ـ‬ٌ‫بح‬
( 𝟕 𝟎)‫ـــاوي‬‫ـ‬‫ٌس‬𝟎 𝟐 ⁄ً‫ـــٌن‬‫ـ‬‫الس‬ ً‫ـــداث‬‫ـ‬‫األح‬ ‫ـــر‬‫ـ‬ٌ‫لتر‬ ً‫ـــ‬‫ـ‬‫الزمن‬ ‫ـــدل‬‫ـ‬‫المع‬ ‫ـــد‬‫ـ‬‫ج‬‫ـــة‬‫ـ‬‫للنمط‬M‫ـــون‬‫ـ‬‫ٌك‬ ‫ـــدما‬‫ـ‬‫عن‬𝟒
‫الحل‬/
‫النمطة‬ ‫لتكن‬‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ( )
‫النمطة‬ ‫لتكن‬( )
S‫بٌن‬ ‫المسافة‬N , M
√( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐
√( 𝟕) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √ 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟐
√ 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟒 ( 𝟐
𝟒 )
√ 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗 ( 𝟐
𝟏𝟎 𝟒𝟗)
𝟏
𝟐 (‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬
𝟏
𝟐
( 𝟐
𝟏𝟎 𝟒𝟗)
𝟏
𝟐 (𝟐 𝟏𝟎)
𝟐 𝟏𝟎
𝟐 √ 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗
𝟎 𝟐
𝟐(𝟒) 𝟏𝟎
𝟐 √(𝟒) 𝟐 𝟏𝟎(𝟒) 𝟒𝟗
𝟎 𝟐
𝟐
𝟐√𝟐𝟓
𝟎 𝟐
𝟐
𝟏𝟎
𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 ( ⁄ )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
140
(𝟑 𝟐)‫تمارين‬
‫س‬1/‫عـ‬ ‫مبتعـدا‬ ‫األسـفل‬ ‫الطـر‬ ‫أنزلـك‬ ‫فـأذا‬ ً‫رأسـ‬ ‫حـائط‬ ‫علـى‬ ‫األعلـى‬ ‫وطرفـه‬ ‫أفمٌة‬ ‫أرض‬ ‫على‬ ‫األسفل‬ ‫طرفه‬ ‫ٌستند‬ ‫سلم‬‫ـ‬‫ن‬
‫بمعدل‬ ‫الحائط‬𝟐‫تساوي‬ ‫واألرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫لٌاس‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫العلوي‬ ‫الطر‬ ‫أنزالق‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬
𝟑
‫الحل‬/
‫الطريقة‬①
{
‫الســـــــــــــلم‬ ‫طــــــــــول‬ ‫نـــــفرض‬
‫الجدار‬ ‫عن‬ ‫الســــــــــلم‬ ‫لاعدة‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫األرض‬ ‫عن‬ ‫عن‬ ‫السلم‬ ‫رأس‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫األرض‬ ‫و‬ ‫الســــــــلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t
‫العاللة‬‫فٌثاغورس‬ ً‫ه‬
𝟐 𝟐 𝟐
①‫معادلة‬
𝟑
√𝟑
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 (
𝟏
𝟐
) (𝟐) 𝟐 4
√𝟑
𝟐
5 𝟎
𝟐 √𝟑 𝟎
𝟐
√𝟑
𝟐
√𝟑
( ⁄ )
‫االنزالق‬ ‫معدل‬‫للسلم‬ ‫العلوي‬ ‫الطر‬=
𝟐
√𝟑
m/s
‫الطرٌمة‬②
𝟑
√𝟑 √𝟑
‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐( )(𝟐) 𝟐(√𝟑 ) 𝟎
𝟒 𝟐√𝟑 𝟎
𝟒
𝟐√𝟑
𝟐
√𝟑
( ⁄ )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
141
‫س‬2/‫طول‬ ‫ـود‬‫ـ‬‫عم‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــ‬‫ه‬𝟕 𝟐‫طول‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫رج‬ ‫ـرن‬‫ـ‬‫ٌتح‬ ‫ـباح‬‫ـ‬‫مص‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫نهاٌت‬ ً‫فــ‬‫ـــ‬‫ـــ‬‫ــــ‬‫ه‬𝟏 𝟖‫العمــود‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـدا‬‫ـ‬‫مبتع‬
‫وبس‬‫ــــ‬‫رعة‬𝟑𝟎 ⁄‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ترٌٌر‬ ‫معدل‬ ‫جد‬‫وزاري‬2013/‫د‬1
‫الحل‬/
8
‫المصباح‬ ‫لاعدة‬ ‫عن‬ ‫الرجل‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫الرجــــــــــــل‬ ‫ظل‬ ‫طــــــول‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t‫حٌث‬𝟑𝟎
‫مثلثات‬ ‫تشابه‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬‫أستعمال‬ ‫او‬(tan)
𝟕 𝟐
‫الكبٌر‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬
𝟏 𝟖
‫الصغٌر‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬
𝟕 𝟐 𝟏 𝟖 𝟒 𝟏
𝟒 𝟑 ( ‫بداللة‬ ‫)نشتك‬
𝟑
. /
𝟑
𝟑𝟎
𝟑
𝟏𝟎 ( ⁄ )
‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ترٌٌر‬ ‫معدل‬=𝟏𝟎 ( ⁄ )
‫س‬3/‫للدائرة‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬ ‫النمط‬ ‫جد‬𝟐 𝟐
𝟒 𝟖 𝟏𝟎𝟖ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ‫ٌكون‬ ‫عندها‬ ً‫والت‬
‫لترٌٌر‬( )‫لترٌٌر‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ‫ٌساوي‬( )‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬t‫وزاري‬2012/‫د‬3
‫الحل‬/
‫معطاة‬ ‫العاللة‬ً‫وه‬( 𝟐 𝟐
𝟒 𝟖 𝟏𝟎𝟖)‫حٌث‬
𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟎 ( ‫ب‬ ‫كل‬ ‫بدل‬ ‫نعوض‬ )
𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟎 (𝟐 ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫)نمسم‬
𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 (‫المعطاة‬ ‫العاللة‬ ً‫ف‬ ‫نعوضها‬ )
(𝟐 ) 𝟐 𝟐
𝟒(𝟐 ) 𝟖 𝟏𝟎𝟖
𝟒 𝟒 𝟐 𝟐
𝟖 𝟒 𝟖 𝟏𝟎𝟖
𝟐 𝟐
𝟏𝟔 𝟏𝟎𝟖 𝟏𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟔 𝟗𝟔
𝟐
𝟖 𝟒𝟖 𝟐
𝟖 𝟒𝟖 𝟎 ( 𝟏𝟐)( 𝟒) 𝟎
𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎
𝟒 𝟐 ( 𝟒) 𝟔
( )( )‫النمطتان‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
142
‫س‬4/‫لتكن‬M‫المكاف‬ ‫المطع‬ ‫على‬ ‫تتحرن‬ ‫نمطة‬𝟐
‫النمطة‬ ً‫أحداث‬ ‫جد‬M‫ألبتعادها‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬
‫النمطة‬ ‫عن‬.𝟎
𝟑
𝟐
/‫للنمطة‬ ‫دي‬ ‫الصا‬ ً‫األحداث‬ ‫لترٌٌر‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ً‫ثلث‬ ‫ٌساوي‬M‫وزاري‬2012/‫د‬2
‫الحل‬/
‫النمطة‬ ‫لتكن‬‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ( )
𝟐
𝟑
‫النمطة‬ ‫لتكن‬.𝟎
𝟑
𝟐
/
S‫بٌن‬ ‫المسافة‬N , M
̅̅̅̅̅ √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐
√( 𝟎) 𝟐 (
𝟑
𝟐
)
𝟐
√ 𝟐 (
𝟑
𝟐
)
𝟐
√ ( 𝟐 𝟑
𝟗
𝟒
)
( 𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
)
𝟏
𝟐
(‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬
𝟏
𝟐
( 𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
)
𝟏
𝟐
(𝟐 𝟐 )
(𝟐 𝟐)
𝟐 . 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒/
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
(𝟐 𝟐)
𝟐 . 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒/
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐( 𝟏)
𝟐 √ 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒
𝟐√ 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒
𝟑( 𝟏) ( ‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
𝟒 ( 𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
) 𝟗( 𝟐
𝟐 𝟏)
𝟒 𝟐
𝟖 𝟗 𝟗 𝟐
𝟏𝟖 𝟗
𝟓 𝟐
𝟏𝟎 𝟎 𝟐
𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟎
𝟎 𝟎 (𝟎 𝟎)‫تهمل‬
𝟐 √𝟐 ( √𝟐 𝟐)
( √𝟐 𝟐)
‫س‬5/‫بمعـدل‬ ‫الماعـدة‬ ‫ضـلع‬ ‫طـول‬ ‫ٌـزداد‬ ‫ز‬ ‫الشـكل‬ ‫مربعـة‬ ‫لاعدتـه‬ ‫تبمى‬ ‫بحٌث‬ ‫تترٌر‬ ‫ابعاده‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬(𝟎 𝟑 ⁄ )
‫بمعدل‬ ‫ٌتنالص‬ ‫وأرتفاعه‬(𝟎 𝟓 ⁄ )‫الماعدة‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫الحجم‬ ‫ترٌٌر‬ ‫معدل‬ ‫جد‬(𝟒 )‫واالرتفاع‬(𝟑 )
‫الحل‬/
{
‫الماعدة‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬
‫ارتفاعـــــــــــــه‬ ‫نفرض‬
‫حجمــــــــــــــــــــــه‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t
‫حٌث‬ ‫الحجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬‫االرتفاع‬ ‫العرض‬ ‫الطول‬
𝟐
(‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬
𝟐 (𝟐 ) (‫المجاهٌل‬ ‫نعوض‬ )
(𝟒) 𝟐 ( 𝟎 𝟓) (𝟑) (𝟐 𝟒)(𝟎 𝟑)
(𝟏𝟔)( 𝟎 𝟓) (𝟎 𝟗)(𝟖) 𝟖 𝟕 𝟐 𝟎 𝟖 ( 𝟑⁄ )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
143
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫مبتعدا‬ ‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫أنزلك‬ ‫فأذا‬ ً‫رأس‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫األعلى‬ ‫وطرفه‬ ‫أفمٌة‬ ‫أرض‬ ‫على‬ ‫األسفل‬ ‫طرفه‬ ‫ٌستند‬ ‫سلم‬
‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫عـن‬(𝟐 )‫واألرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫لٌاس‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫العلوي‬ ‫الطر‬ ‫أنزالق‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬
‫تساوي‬
𝟒
‫الحل‬/
‫الطريقة‬①
{
‫الســـــــــــــلم‬ ‫طــــــــــول‬ ‫نــــــفرض‬
‫الجدار‬ ‫عن‬ ‫الســــــــــلم‬ ‫لاعدة‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫األرض‬ ‫عن‬ ‫عن‬ ‫السلم‬ ‫رأس‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫األرض‬ ‫و‬ ‫الســــــــلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t
‫فٌثاغورس‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬
𝟐 𝟐 𝟐
①‫معادلة‬
𝟒
𝟏
√𝟐
𝟒
𝟏
√𝟐
‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 (
𝟏
√𝟐
) (𝟐) 𝟐 (
𝟏
√𝟐
) 𝟎
𝟐√𝟐 √𝟐 𝟎
𝟐√𝟐
√𝟐
𝟐( ⁄ )
∴= ‫االنزالق‬ ‫معدل‬𝟐 ( )
‫الطريقة‬②
𝟒
𝟏
‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐( )(𝟐) 𝟐( ) 𝟎
𝟒 𝟐 𝟎
𝟒
𝟐
𝟐( ⁄ )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
144
‫مثال‬/‫تسـاوي‬ ‫ثابتـة‬ ‫بمسـاحة‬ ‫نـالص‬ ‫لطـع‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫معدنٌة‬ ‫لطعة‬(𝟔𝟎 )‫محـوره‬ ‫طـول‬ ‫أزداد‬ ‫فـأذا‬ ‫مربعـة‬ ‫وحـدة‬
‫بمعـدل‬ ‫األصـرر‬(𝟎 𝟐)‫ـوره‬‫ـ‬‫مح‬ ‫طـول‬ ‫ٌكـون‬ ‫ـدما‬‫ـ‬‫عن‬ ‫االكبـر‬ ‫محـوره‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫ط‬ ً‫فـ‬ ‫النمصـان‬ ‫ـدل‬‫ـ‬‫مع‬ ‫فجـد‬ ‫طول/دلٌمـة‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫وح‬
‫االصرر‬(𝟏𝟐)‫طول‬ ‫وحدة‬
‫الحل‬/
8
‫االكبر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬
‫االصغر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫نفرص‬
‫زمن‬ ‫اي‬ ً‫ف‬t
‫المساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬‫حٌث‬
𝟔𝟎
𝟔𝟎 .
𝟐
/ .
𝟐
/ ( ‫ب‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نضرب‬ )
𝟐𝟒𝟎
𝟐𝟒𝟎
𝟐𝟒𝟎 𝟏
(‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬
𝟐𝟒𝟎 𝟐
(
𝟐𝟒𝟎
𝟐
)
(
𝟐𝟒𝟎
(𝟏𝟐) 𝟐
) (𝟎 𝟐)
𝟒𝟖
𝟏𝟒𝟒
𝟏
𝟑
∴‫االكبر‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ً‫ف‬ ‫النمصان‬ ‫معدل‬( ‫دلٌمة‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬⁄ )
𝟏
𝟑
******************************************************************
‫س‬1:‫ـاز‬‫ـ‬‫الر‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫منه‬ ‫ـرب‬‫ـ‬‫ٌتس‬ ‫ـاز‬‫ـ‬‫بالر‬ ‫ـؤة‬‫ـ‬‫ممل‬ ‫ـرة‬‫ـ‬‫ك‬‫بمعدل‬( 𝟑 𝟑⁄ )‫ـا‬‫ـ‬‫لطره‬ ‫ـ‬‫ـ‬‫نص‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫ط‬ ً‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـان‬‫ـ‬‫النمص‬ ‫ـدل‬‫ـ‬‫مع‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫ج‬
‫عندم‬‫ـــــ‬‫ا‬‫حجمها‬ ‫ٌكون‬.
𝟑𝟐
𝟑
/
‫س‬2:‫معادلته‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫على‬ ‫تتحرن‬ ‫مادٌة‬ ‫نمطة‬√ 𝟐 𝟕ٌ‫تر‬ ‫معدل‬ ‫كان‬ ‫فأذا‬‫ـــــ‬‫الس‬ ً‫األحداث‬ ‫ر‬‫ـ‬ً‫ٌن‬
= ‫للنمطة‬(𝟑 ⁄ )‫عندما‬x=4,‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫النمطة‬ ‫بعد‬ ‫ترٌر‬ ‫معدل‬ ‫جد‬(0,0)
‫س‬3:‫طوله‬ ‫رجل‬(175 cm)‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ ‫ٌرتفع‬ ‫مصباح‬ ‫أمام‬ ‫ٌم‬(7 m)‫فـ‬‫ا‬‫باال‬ ‫الرجـل‬ ‫أخـذ‬ ‫ذا‬‫بتعـاد‬‫عـن‬
‫بمعدل‬ ‫المصباح‬ ‫لاعدة‬(6 m/s)‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ازدٌاد‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
145
‫مبرهن‬‫تا‬‫رول‬‫المتوسطة‬ ‫والمٌمة‬
‫كانت‬ ‫أذا‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬, -: ‫فأن‬
①‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫لٌمة‬ ‫تأخذ‬‫حٌث‬, -: ‫أذا‬ ‫وفمط‬ ‫أذا‬
𝒙 , - ‫لكل‬ ( ) ( )
②‫عند‬ ‫صررى‬ ‫لٌمة‬ ‫تأخذ‬‫حٌث‬, -: ‫أذا‬ ‫وفمط‬ ‫أذا‬
𝒙 , - ‫لكل‬ ( ) ( )
(𝟑 𝟏)‫كانت‬ ‫أذا‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬, -‫للدالة‬ ‫وكان‬‫صـررى‬ ‫لٌمـة‬ ‫أو‬ ‫عظمـى‬ ‫لٌمـة‬ ‫مبرهنة‬
‫عند‬C‫ح‬‫ـ‬‫ٌث‬( )‫وأن‬̅( )‫موجود‬‫ة‬‫فأن‬̅( ) 𝟎
(𝟑 𝟐)‫لتكن‬‫الدالة‬‫العدد‬ ‫عند‬ ‫معرفة‬Cٌ‫ـ‬‫ع‬ ‫مال‬‫ــــــــ‬‫العدد‬ ‫ن‬C‫حرج‬ ‫عدد‬ ‫بأنه‬(critical number) ‫مبرهنة‬
‫كان‬ ‫أذا‬̅( ) 𝟎‫الدال‬ ‫ان‬ ‫أو‬‫ــ‬‫ــ‬ً‫ف‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫غٌر‬ ‫ة‬C‫وتسمى‬( ( ))‫الحرجة‬ ‫بالنمطة‬
( ‫مثال‬1/)‫لتكن‬, 𝟏 𝟏- ( ) | |‫الدالة‬ ‫هل‬ ‫بٌن‬ ,‫صررى‬ ‫او‬ ‫عظمى‬ ‫لٌمة‬ ‫تمتلن‬
‫الحل‬/
‫الدالة‬‫من‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫لٌمة‬ ‫أعظم‬ ‫تمتلن‬𝟏 𝟏‫لٌمة‬ ‫أصرر‬ ‫وتمتلن‬‫عند‬𝟎
‫الدالة‬‫عند‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫غٌر‬𝟎‫أن‬ ‫أي‬̅(𝟎)‫ٌكون‬ ‫أن‬ ‫ٌشترط‬ ‫ال‬ ‫وهذا‬ ‫موجودة‬ ‫غٌر‬̅( ) 𝟎
‫وأن‬ ‫الصفر‬ ‫عند‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫وٌالحظ‬ (̅( 𝟎)‫للدالة‬ ‫الحرج‬ ‫العدد‬ ‫هو‬ " ‫صفر‬ " ‫العدد‬ ‫أن‬ ‫ٌمال‬ ‫لذا‬ ‫موجودة‬ ‫غٌر‬‫وأن‬
‫النمطة‬( 𝟎 (𝟎))‫)ز‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ ً‫ه‬
( ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ROLLE'S THEOREM)
‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬f
①‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, -②‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( )③( ) ( )
‫األلل‬ ‫على‬ ‫ٌوجد‬ ‫فأنه‬‫واحدة‬ ‫لٌمة‬‫ت‬‫الفترة‬ ‫الى‬ ً‫نتم‬( )‫بحٌث‬̅( ) 𝟎‫أدناه‬ ‫مبٌن‬ ‫كما‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
146
‫مالحظات‬
𝟏‫هندس‬ ً‫تعن‬ ‫النظرٌة‬ ‫هذه‬‫ـ‬‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫موازٌة‬ ‫وتكون‬ ً‫للمنحن‬ ً‫تنتم‬ ‫األلل‬ ‫على‬ ‫واحدة‬ ‫نمطة‬ ‫وجود‬ ‫ٌا‬
𝟐‫الشروط‬ ‫أحد‬ ‫توفر‬ ‫عدم‬ ‫عند‬‫ال‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫فأن‬ ‫الثالثة‬‫تنطبك‬
( ‫مثال‬2/)‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫؟‬ ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫تتحمك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫أن‬ ‫هل‬ ‫بٌن‬: ‫الممكنة‬
( ) ( ) (𝟐 ) 𝟐
,𝟎 𝟒-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟒-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 𝟒)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬(𝟒) (𝟎)
( ) (𝟐 𝟎) 𝟐 (𝟐) 𝟐
( ) (𝟐 𝟒) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐
(𝟎) (𝟒)
‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) (𝟐 ) 𝟐 ̅( ) 𝟐(𝟐 )
̅( ) 𝟐(𝟐 ) 𝟐(𝟐 ) 𝟎
𝟐 (𝟎 𝟒)
( ) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 𝟑
, 𝟏 𝟏-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟏-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟏)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬( 𝟏) (𝟏)
( ) 𝟗(𝟏) 𝟑(𝟏) 𝟐 (𝟏) 𝟑
𝟗 𝟑 𝟏
( ) 𝟗( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟑
𝟗 𝟑 𝟏
( 𝟏) (𝟏)
‫الدالة‬‫ال‬‫ٌتحمك‬ ‫لم‬ ‫الثالث‬ ‫الشرط‬ ‫ألن‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
147
( ) ( ) {
𝟐
𝟏 , 𝟏 𝟐-
𝟏 , 𝟒 𝟏-
‫الحل‬/
‫الدالة‬ ‫مجال‬, 𝟒 𝟐-
①‫األول‬ ‫الشرط‬
( 𝟏)
( 𝟐
𝟏) 𝟐 𝟏
( 𝟏)
( 𝟏) 𝟏 𝟐
𝟏 𝟐 ‫ألن‬ ‫مستمرة‬ ‫غٌر‬ ‫الدالة‬‫الفترة‬ ً‫ف‬, 𝟒 𝟐-
‫الدالة‬‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫ال‬
( ) ( ) , -
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, -‫ثابتة‬ ‫دالة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( )
③‫نوجد‬( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
‫الدالة‬‫لٌمة‬ ‫وأن‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫لٌمة‬ ‫أي‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬( )
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫؟‬ ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫تتحمك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫أن‬ ‫هل‬ ‫بٌن‬‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫عند‬
(𝟏) ( ) 𝟒
𝟖 𝟐 , 𝟐 𝟐-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟐-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟐 𝟐)
③‫نوجد‬(𝟐) ( 𝟐)
(𝟐) (𝟐) 𝟒
𝟖(𝟐) 𝟐
𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟏𝟔
( 𝟐) ( 𝟐) 𝟒
𝟖( 𝟐) 𝟐
𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟏𝟔
( ) ( )
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) 𝟒
𝟖 𝟐 ̅( ) 𝟒 𝟑
𝟏𝟔
̅( ) 𝟒( 𝟑) 𝟏𝟔( ) 𝟒 ( 𝟐
𝟒) 𝟎
𝟒 𝟎 𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟐
𝟒 𝟐 ( 𝟐 𝟐)
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
148
(𝟐) ( ) ,𝟎 𝟐 -
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟐 -‫دائرٌة‬ ‫دالة‬ ‫ألنها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 𝟐 )
③‫نوجد‬(𝟎) (𝟐 )
( ) (𝟎)
(𝟐 ) (𝟐 )
(𝟎) (𝟐 )
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) ̅( )
̅( ) ( ) ( )
𝟐 𝟐
(𝟎 𝟐 )
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
(𝟎 𝟐 )
(𝟑) ( ) 𝟗 ,𝟓 𝟗-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟓 𝟗-‫ثابتة‬ ‫دالة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟓 𝟗)
③‫نوجد‬(𝟓) (𝟗)
( ) 𝟗
( ) 𝟗
(𝟓) (𝟗)
‫الدالة‬‫لٌمة‬ ‫وأن‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫لٌمة‬ ‫أي‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬(𝟓 𝟗)
(𝟒) ( ) √ 𝟏𝟔 𝟐 , 𝟐 𝟐-
‫الحل‬/
𝟏𝟔 𝟐
𝟎 𝟐
𝟏𝟔 𝟒 , 𝟒 𝟒- ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟒 𝟒-‫الجزئٌة‬ ‫المجموعات‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟒 𝟒)‫الحظ‬
̅( )
𝟐
𝟐√𝟏𝟔 𝟐 √𝟏𝟔 𝟐
③‫نوجد‬(𝟐) ( 𝟐)
( ) √ 𝟏𝟔 (𝟐) 𝟐 √𝟏𝟔 𝟒 √𝟏𝟐
( ) √ 𝟏𝟔 ( 𝟐) 𝟐 √𝟏𝟔 𝟒 √𝟏𝟐
(𝟐) ( 𝟐)
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
̅( )
√𝟏𝟔 𝟐
̅( )
√𝟏𝟔 𝟐
𝟎 𝟎 ( 𝟒 𝟒)
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
149
(𝟓) ( ) √ 𝟐𝟑
, 𝟏 𝟏-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟏-‫الحمٌمٌة‬ ‫المجموعة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫النها‬R
②‫غٌر‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟏)‫الحظ‬ ‫الصفر‬ ‫عند‬ ‫معرفة‬ ‫غٌر‬ ‫ألنها‬
̅( )
𝟐
𝟑
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑4
𝟏
𝟑5
𝟐
𝟑 √
𝟑
∴‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تتحمك‬ ‫ال‬‫وال‬‫تطبٌمها‬ ‫ٌمكن‬‫متحمك‬ ‫غٌر‬ ً‫الثان‬ ‫الشرط‬ ‫ألن‬
******************************************************************
‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫تتحمك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫أن‬ ‫هل‬ ‫بٌن‬‫لٌمة‬ ‫وجد‬ ‫؟‬ ‫التالٌة‬C‫الممكنة‬
(𝟐) ( ) 𝟒
𝟒 𝟐
𝟏 , 𝟓 𝟓-‫الفترة‬(𝟏) ( ) 𝟑 𝟐
𝟏𝟐 𝟏𝟏 , 𝟒 𝟒-‫الفترة‬
(𝟒) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 𝟑 , 𝟏 𝟎-‫الفترة‬(𝟑) ( ) (𝟐 ) 𝟐 , 𝟒 𝟒-‫الفترة‬
(𝟔) ( ) {
𝟐
𝟏 , 𝟏 𝟑-
𝟏 , 𝟓 𝟏-
(𝟓) ( ) , -‫الفترة‬
(𝟖) ( ) ( 𝟐
𝟑) 𝟐 , 𝟏 𝟒-‫الفترة‬(𝟕) ( ) 𝟑 𝟐
𝟗 , 𝟓 𝟑-‫الفترة‬
(𝟏𝟎) ( ) 𝟐
𝟑 , 𝟏 𝟏-(𝟗) ( ) ( 𝟏) 𝟒 , 𝟑 𝟑-‫الفترة‬
(𝟏𝟐) ( ) |𝟐 𝟑| , 𝟓 𝟑-‫الفترة‬(𝟏𝟏) ( ) 𝟐 , 𝟐 𝟐 -‫الفترة‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
150
( ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬THE MEAN VALUE THEOREM)
‫كانت‬ ‫اذا‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫لالشتماق‬ ‫ولابلة‬‫على‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬( )‫األلل‬ ‫على‬ ‫ٌوجد‬ ‫فأنه‬
‫واحدة‬ ‫لٌمة‬C‫الى‬ ً‫تنتم‬( )‫وتحمك‬̅( )
( ) ( )
‫ٌكتب‬ ‫او‬( ) ( ) ( )̅( )
‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫لمبرهنة‬ ً‫الهندس‬ ‫التفسٌر‬ ‫ٌبٌن‬ ً‫التال‬ ‫المخطط‬
①‫الوتر‬ ‫ٌوازي‬ ‫المماس‬̅̅̅̅
②‫بالنمطتٌن‬ ‫المار‬ ‫الوتر‬ ‫مٌل‬‫ٌساوي‬
( ) ( )
③‫ػنذ‬ ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬‫للذالت‬ ‫األولى‬ ‫المشتقت‬ =‫ػنذ‬.̅ ( )/ ً‫أ‬
④‫والوت‬ ‫المماس‬‫ـــــــــ‬ٌ‫متواز‬ ‫ر‬‫ـــــــــــــــــــ‬‫أن‬ ‫أي‬ , ‫مٌلهما‬ ‫ٌتساوى‬ ‫لذا‬ ‫ان‬
̅ ( )
( ) ( )
‫مالحظات‬
𝟏‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫من‬ ‫خاصة‬ ‫حالة‬ ‫تعتبر‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬
/‫السبب‬‫الشرط‬ ‫ألن‬( ) ( )‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ً‫ف‬ ‫موجود‬ ‫غٌر‬
𝟐‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ً‫ف‬:‫المم‬‫ــــــ‬‫والوت‬ ‫اس‬‫ــــــــــ‬‫كاله‬ ‫ر‬‫ــــــ‬ٌ ‫ما‬‫ــــــــ‬‫وازي‬‫المح‬‫ــــــــ‬‫الس‬ ‫ور‬‫ـــــــــ‬‫ــــــــ‬‫أن‬ ‫أي‬ ً‫ٌن‬̅( ) 𝟎
‫الصادات‬ ‫فرق‬ ‫اي‬𝟎‫المٌل‬ ‫ٌصبح‬ ‫لذا‬𝟎
𝟑‫لٌمة‬ ‫ألٌجاد‬C‫تحمك‬ ً‫الت‬̅( )
( ) ( )
‫التالٌٌن‬ ‫الشرطٌن‬ ‫توافر‬ ‫ٌجب‬:
①‫تكون‬ ‫أن‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -
②‫تكون‬ ‫أن‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
151
( ‫مثال‬3/)‫أو‬ ‫و‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحمك‬ ‫األتٌة‬ ‫الدوال‬ ‫أن‬ ‫برهن‬‫لٌمة‬ ‫جد‬:
( ) ( ) 𝟐
𝟔 𝟒 , 𝟏 𝟕- 𝟑 ‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟐 ‫وزاري‬
‫الحل‬/
①‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬, 𝟏 𝟕-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟕)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( ) 𝟐 𝟔 ̅( ) 𝟐 𝟔 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) ( 𝟕) ( 𝟏)
𝟕 ( 𝟏)
𝟏𝟏 𝟏𝟏
𝟏𝟖
𝟎 (‫الوتر‬ ‫مٌل‬ )
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟔
𝟑 ( 𝟏 𝟕)
( ) ( ) √ 𝟐𝟓 𝟐 , 𝟒 𝟎-
‫الحل‬/
𝟐𝟓 𝟐
𝟎 𝟐𝟓 𝟐
𝟓 , 𝟓 𝟓- ( ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ )
①‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الدالة‬ ‫أستمرارٌة‬ ‫نبحث‬( 𝟒 𝟎)
( 𝟒)
( )
( 𝟒)
.√ 𝟐𝟓 𝟐/ √𝟐𝟓 𝟏𝟔 √𝟗 𝟑
(𝟎)
( )
(𝟎)
.√ 𝟐𝟓 𝟐/ √𝟐𝟓 𝟎 √𝟐𝟓 𝟓
∴‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟒 𝟎-
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟒 𝟎)
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( )
𝟐
𝟐√𝟐𝟓 𝟐 √𝟐𝟓 𝟐
̅( )
√𝟐𝟓 𝟐
(‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) (𝟎) ( 𝟒)
𝟎 ( 𝟒)
𝟓 𝟑
𝟒
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
.‫الوتر‬ ‫مٌل‬ /
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟏
𝟐 √𝟐𝟓 𝟐
√ 𝟐𝟓 𝟐 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫)تربٌع‬
𝟐𝟓 𝟐
𝟒 𝟐
𝟓 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟓 √
√ ( 𝟒 𝟎) √ ( 𝟒 𝟎)
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
152
( ‫مثال‬4/)‫كانت‬ ‫أذا‬,𝟎 - ( ) 𝟑
𝟒 𝟐
‫وكانت‬‫عند‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬
𝟐
𝟑
‫لٌمة‬ ‫فجد‬
‫الحل‬/
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟖 ̅( ) 𝟑
̅ (
𝟐
𝟑
) 𝟑 (
𝟐
𝟑
) (
𝟐
𝟑
) 𝟑 (
𝟒
𝟗
)
𝟏𝟔
𝟑
𝟒
𝟑
𝟏𝟔
𝟑
𝟏𝟐
𝟑
̅( ) 𝟒 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) ( ) (𝟎)
𝟎
𝟑
𝟒 𝟐
𝟎 𝟐
𝟒 (‫الوتر‬ ‫مٌل‬ )
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟒 𝟐
𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫اثبت‬‫شروط‬ ‫تحمك‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫على‬‫الفترة‬( )‫لٌمة‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬ ‫المعطاة‬C
(𝟏) ( ) 𝟐
𝟐 𝟏 ,𝟎 𝟏-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟏-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 𝟏)
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( ) 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟐 𝟐 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) (𝟏) (𝟎)
𝟏 𝟎
𝟐 ( 𝟏)
𝟏
𝟑 .‫الوتر‬ ‫مٌل‬ /
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏
𝟏
𝟐
(𝟎 𝟏)
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
153
(𝟐) ( ) √𝟒 ,𝟎 𝟒-
‫الحل‬/
𝟒 𝟎 𝟒 ( ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ )
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟒-‫الجزئٌة‬ ‫المجموعات‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 𝟒)
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬Cً‫الت‬‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬
̅( )
𝟏
𝟐√𝟒
̅( )
𝟏
𝟐√𝟒
(‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) (𝟒) (𝟎)
𝟒 𝟎
𝟎 (𝟐)
𝟒
𝟏
𝟐
.‫الوتر‬ ‫مٌل‬ /
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟏
𝟐√𝟒
𝟏
𝟐
𝟏
√𝟒
𝟏 (‫الطرفٌن‬ ‫)تربٌع‬
𝟏
𝟒
𝟏 𝟒 𝟏 𝟑 (𝟎 𝟒)
(𝟑) ( ) 𝟐 ,𝟎 -
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 -‫دائرٌة‬ ‫دالة‬ ‫ألنها‬
②‫الذالت‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 )
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
( ) 𝟐 ̅( ) 𝟐 ̅( ) 𝟐 ( ) (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) (𝟐 ) 𝟎
𝟎
𝟐
𝟐 .‫الوتر‬ ‫مٌل‬ /
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟐 ( ) 𝟐 ( ) 𝟎
𝟐
(𝟎 )
******************************************************************
ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫اثبت‬‫شروط‬ ‫تحمك‬‫مبرهنة‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬‫الفترة‬ ‫على‬( )‫لٌمة‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬ ‫المعطاة‬C
(𝟐) ( ) 𝟒 𝟏 ,𝟏 𝟒-(𝟏) ( ) 𝟐
𝟏 , 𝟐 𝟒-
(𝟑) ( ) ( 𝟐
𝟑) 𝟐 , 𝟏 𝟏-
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
154
( ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬ ‫التمرٌب‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬)
‫أ‬‫كانت‬ ‫ذا‬‫على‬ ‫ومعرفة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫لألش‬ ‫ولابلة‬‫ـــــ‬ً‫ف‬ ‫تماق‬( )‫ول‬‫ـــــ‬‫أعتبرنا‬ ‫و‬( )‫فأن‬
( )‫حٌث‬𝟎: ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بموجب‬ ‫فأنه‬-
̅( )
( ) ( )
̅( )
( ) ( )
̅( ) ( ) ( )
( ) ( ) ̅( ) ( ‫للدالة‬ ً‫التمرٌب‬ ‫التغٌٌر‬ ‫لانون‬ )
‫ألتراب‬ ‫ٌكون‬ ‫وعندما‬( )‫من‬( )‫الحالة‬ ‫هذه‬ ً‫ف‬ ‫تكون‬ ً‫ا‬ٌ‫كاف‬ ً‫ا‬‫لرب‬( )‫من‬ ‫لرٌبتان‬ ‫ونهاٌتٌه‬ ً‫ا‬‫صرٌر‬ ‫الوتر‬ ‫وٌصبح‬ ‫صرٌرة‬
( )‫عند‬ ‫المماس‬ ‫أن‬ ‫أي‬ ,( )‫حٌث‬ ‫النمطة‬ ‫من‬ ‫جدا‬ ‫لرٌبة‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ً‫للمنحن‬ ً‫ا‬‫مماس‬ ‫سٌكون‬( ): ‫وٌصبح‬
( ) ( ) ̅( )‫للممدار‬ ‫وٌمال‬̅( )‫للدالة‬ ً‫التمرٌب‬ ‫الترٌٌر‬
‫التمرٌب‬ ‫لمسائل‬ ‫أنواع‬ ‫ثالث‬ ‫هنان‬
‫األول‬ ‫النوع‬:‫الحظ‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫موجودة‬ ‫غٌر‬ ‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬( ‫مثال‬5)
( ‫مثال‬5/)‫للعدد‬ ً‫ا‬‫مناسب‬ ‫تمرٌبا‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬ ‫بأستخدام‬ ‫جد‬√ 𝟐𝟔
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟐𝟓)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟐𝟔)‫معطى‬
𝟐𝟔 𝟐𝟓 𝟏
( ) √ ( ) .
𝟏
𝟐
/ ̅( )
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟐
/ 𝟏
𝟐 .
𝟏
𝟐
/
̅( )
𝟏
𝟐√
( ) √ ( 𝟐𝟓) √𝟐𝟓 ( 𝟐𝟓) 𝟓
̅( )
𝟏
𝟐√
̅( 𝟐𝟓)
𝟏
𝟐√𝟐𝟓
̅( 𝟐𝟓)
𝟏
( 𝟐)( 𝟓)
𝟏
𝟏𝟎
̅( 𝟐𝟓) 𝟎 𝟏
( ) ( ) ̅( )
( 𝟐𝟓 𝟏) ( 𝟐𝟓) ( 𝟏) ̅( 𝟐𝟓) ( 𝟐𝟔) 𝟓 ( 𝟏)( ) 𝟓 𝟏
√𝟐𝟔 𝟓 𝟏
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
155
ً‫الثان‬ ‫النوع‬:‫الحظ‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫موجودة‬ ‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬( ‫مثال‬6)
( ‫مثال‬6/)‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟒 𝟓‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫فجد‬( 𝟏 𝟎𝟎𝟏)
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟏 𝟎𝟎𝟏)‫معطى‬
𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏
( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟒 𝟓 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟔 𝟒
( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟒 𝟓 ( 𝟏) ( 𝟏) 𝟑
𝟑( 𝟏) 𝟐
𝟒( 𝟏) 𝟓 ( 𝟏) 𝟏𝟑
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟔 𝟒 ̅( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐
𝟔( 𝟏) 𝟒 ̅( 𝟏) 𝟏𝟑
( ) ( ) ̅( )
( 𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏) ( 𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟎𝟏) ̅( 𝟏) ( 𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 ( 𝟎 𝟎𝟎𝟏)( 𝟏𝟑)
( 𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 𝟎 𝟎𝟏𝟑 ( 𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 𝟎𝟏𝟑
‫الثالث‬ ‫النوع‬:‫او‬ ‫حجم‬ ‫او‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬‫شابه‬ ‫ما‬‫الحظ‬ ‫ذلن‬( ‫مثال‬7)
( ‫مثال‬7/)‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬( 𝟗 𝟗𝟖 )‫بأستخدام‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫حجمه‬ ‫جد‬‫نتٌجة‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬
‫الحل‬/
‫لٌكن‬‫المكعب‬ ‫حجم‬‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫الذي‬( )
‫نفرض‬( 𝟏𝟎)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟗 𝟗𝟖)‫معطى‬
𝟗 𝟗𝟖 𝟏𝟎 𝟎 𝟎𝟐
( ) 𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟐
( ) 𝟑 ( 𝟏𝟎) ( 𝟏𝟎) 𝟑 ( 𝟏𝟎) 𝟏𝟎𝟎𝟎
̅( ) 𝟑 𝟐 ̅( 𝟏𝟎) 𝟑( 𝟏𝟎) 𝟐 ̅( 𝟏𝟎) 𝟑𝟎𝟎
( ) ( ) ̅( )
(𝟏𝟎 ( 𝟎 𝟎𝟐)) ( 𝟏𝟎) ( 𝟎 𝟎𝟐) ̅( 𝟏𝟎)
( 𝟗 𝟗𝟖) 𝟏𝟎𝟎𝟎 ( 𝟎 𝟎𝟐)( 𝟑𝟎𝟎) 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟔 ( 𝟗 𝟗𝟖) 𝟗𝟗𝟒 𝟑
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
156
( ‫مثال‬8/)‫لتكن‬( ) √ 𝟐𝟑
‫ترٌرت‬ ‫فاذا‬‫من‬𝟖‫الى‬𝟖 𝟎𝟔‫؟‬ ‫للدالة‬ ً‫التمرٌب‬ ‫الترٌٌر‬ ‫ممدار‬ ‫فما‬
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟖)‫معطى‬
‫نفرض‬( 𝟖 𝟎𝟔)‫معطى‬
𝟖 𝟎𝟔 𝟖 𝟎 𝟎𝟔
( ) √ 𝟐𝟑
( ) ( ).
𝟐
𝟑
/ ̅( )
𝟐
𝟑
( ).
𝟏
𝟑
/ ̅( )
𝟐
𝟑 √
𝟑
̅( )
𝟐
𝟑 √
𝟑
̅(𝟖)
𝟐
𝟑 √𝟖
𝟑
̅(𝟖)
𝟐
𝟔
̅(𝟖)
𝟏
𝟑
̅( ) ̅(𝟖) (𝟎 𝟎𝟔) (
𝟏
𝟑
) 𝟎 𝟎𝟐 ً‫التمرٌب‬ ‫التغٌٌر‬ ‫ممدار‬
( ‫مثال‬9/)‫طالء‬ ‫ٌراد‬‫حرفـه‬ ‫طـول‬ ‫مكعب‬( 𝟏𝟎 )‫الطـالء‬ ‫سـمن‬ ‫كـان‬ ‫فـأذا‬( 𝟎 𝟏𝟓 )‫بصـورة‬ ‫الطـالء‬ ‫حجـم‬ ‫أوجـد‬
‫وبأستخدام‬ ‫تمرٌبٌة‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬
‫الحل‬/
‫لٌكن‬‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫الذي‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬( )
‫نفرض‬( 𝟏𝟎)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟏𝟎 𝟑)
𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟎 𝟑
( ) 𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟐
̅( ) 𝟑 𝟐 ̅( 𝟏𝟎) 𝟑( 𝟏𝟎) 𝟐 ̅( 𝟏𝟎) 𝟑𝟎𝟎
̅( ) ̅(𝟏𝟎) (𝟎 𝟑)(𝟑𝟎𝟎) 𝟗𝟎 𝟑 ‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫حجم‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
157
( ‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬10/)‫ـثالث‬‫ـ‬‫ل‬ ً ‫ـا‬‫ـ‬‫وممرب‬ ‫ــة‬‫ـ‬‫تمرٌبٌـــــــــ‬ ‫ـورة‬‫ـ‬‫وبص‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫ج‬ ‫ــطة‬‫ـ‬‫المتوســــــــ‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المٌم‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مبرهن‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نتٌج‬ ‫ــتخدام‬‫ـ‬‫بأســـــــــ‬
‫األل‬ ‫على‬ ‫عشرٌة‬ ‫مراتب‬: ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫ل‬
( ) √𝟕 𝟖
𝟑
( ) √( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟑𝟓
(𝟎 𝟗𝟖) 𝟒
𝟑
( ) √𝟎 𝟏𝟐
𝟑
( ) √𝟏𝟕 √𝟏𝟕
𝟒
( ) √( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟑𝟓
(𝟎 𝟗𝟖) 𝟒
𝟑
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟎 𝟗𝟖)‫معطى‬
𝟎 𝟗𝟖 𝟏 𝟎 𝟎𝟐
( ) √ 𝟑𝟓 𝟒
𝟑 ( ) ( ).
𝟑
𝟓
/ 𝟒
𝟑
̅( )
𝟑
𝟓
( ).
𝟐
𝟓
/ 𝟒
𝟑 ̅( )
𝟑
𝟓 √ 𝟐𝟓 𝟒 𝟑
( ) ( ).
𝟑
𝟓
/ 𝟒
𝟑 ( 𝟏) ( 𝟏).
𝟑
𝟓
/
𝟏 𝟒
𝟑 ( 𝟏) 𝟓
̅( )
𝟑
𝟓 √ 𝟐𝟓 𝟒 𝟑 ̅( 𝟏)
𝟑
𝟓 √𝟏 𝟐𝟓 𝟒( 𝟏) 𝟑
𝟑
𝟓
𝟒 ̅( 𝟏) 𝟒 𝟔
( ) ( ) ̅( )
(𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟐)) ( 𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟐) ̅( 𝟏) ( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟐)( 𝟒 𝟔)
( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟓 𝟎 𝟎𝟗𝟐 √( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟑𝟓
( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟒 𝟑 𝟒 𝟗𝟎𝟖
( ) √𝟕 𝟖
𝟑
𝟏‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟖)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟕 𝟖)‫معطى‬
𝟕 𝟖 𝟖 𝟎 𝟐
( ) √
𝟑
( ) .
𝟏
𝟑
/
̅( )
𝟏
𝟑
.
𝟐
𝟑
/ ̅( )
𝟏
𝟑 .
𝟐
𝟑
/
̅( )
𝟏
𝟑 √ 𝟐𝟑
( ) √
𝟑
( 𝟖) √𝟖
𝟑
( 𝟖) 𝟐
̅( )
𝟏
𝟑 √ 𝟐𝟑
̅( 𝟖)
𝟏
𝟑 √ 𝟖 𝟐𝟑
𝟏
(𝟑) √𝟔𝟒
𝟑
𝟏
(𝟑)(𝟒)
𝟏
𝟏𝟐
̅( 𝟖) 𝟎 𝟎𝟖𝟑
( ) ( ) ̅( )
(𝟖 ( 𝟎 𝟐)) ( 𝟖) ( 𝟎 𝟐) ̅( 𝟖) ( 𝟕 𝟖) 𝟐 ( 𝟎 𝟐)( 𝟎 𝟎𝟖𝟑)
( 𝟕 𝟖) 𝟐 𝟎 𝟎𝟏𝟔𝟔 √𝟕 𝟖
𝟑
𝟏 𝟗𝟖𝟑𝟒
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
158
( ) √𝟏𝟕 √𝟏𝟕
𝟒
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟏𝟔)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟏𝟕)‫معطى‬
𝟏𝟕 𝟏𝟔 𝟏
( ) √ √
𝟒
( ) .
𝟏
𝟐
/ .
𝟏
𝟒
/
̅( )
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟐
/ 𝟏
𝟒
.
𝟑
𝟒
/ ̅( )
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟐
/
𝟏
𝟒
.
𝟑
𝟒
/
̅( )
𝟏
𝟐 √
𝟏
𝟒 √ 𝟑𝟒
( ) √ √
𝟒
(𝟏𝟔) √𝟏𝟔 √𝟏𝟔
𝟒
𝟒 𝟐 (𝟏𝟔) 𝟔
̅( )
𝟏
𝟐 √
𝟏
𝟒 √ 𝟑𝟒
̅(𝟏𝟔)
𝟏
𝟐 √ 𝟏𝟔
𝟏
𝟒 √(𝟏𝟔) 𝟑𝟒
𝟏
(𝟐)(𝟒)
𝟏
(𝟒)(𝟖)
̅( 𝟏𝟔)
𝟏
𝟖
𝟏
𝟑𝟐
𝟒 𝟏
𝟑𝟐
𝟓
𝟑𝟐
̅( 𝟏𝟔) 𝟎 𝟏𝟓𝟔
( ) ( ) ̅( )
(𝟏𝟔 𝟏) (𝟏𝟔) (𝟏) ̅(𝟏𝟔) (𝟏𝟕) 𝟔 ( 𝟏)( 𝟎 𝟏𝟓𝟔 )
(𝟏𝟕) 𝟔 𝟎 𝟏𝟓𝟔 √𝟏𝟕 √𝟏𝟕
𝟒
𝟔 𝟏𝟓𝟔
( ) √𝟎 𝟏𝟐
𝟑
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟎 𝟏𝟐𝟓)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟎 𝟏𝟐)‫معطى‬
𝟎 𝟏𝟐 𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟓
( ) √
𝟑
( ) .
𝟏
𝟑
/
̅( )
𝟏
𝟑
.
𝟐
𝟑
/ ̅( )
𝟏
𝟑 .
𝟐
𝟑
/
( ) √
𝟑
( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) √ 𝟎 𝟏𝟐𝟓
𝟑
( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟎 𝟓
̅( )
𝟏
𝟑
.
𝟐
𝟑
/
̅( 𝟎 𝟏𝟐𝟓)
𝟏
(𝟑)(𝟎 𝟏𝟐𝟓)
.
𝟐
𝟑
/
𝟏
(𝟑)((𝟎 𝟓) 𝟑).
𝟐
𝟑
/
𝟏
(𝟑)(𝟎 𝟐𝟓)
̅( 𝟎 𝟏𝟐𝟓)
𝟏
𝟎 𝟕𝟓
𝟏𝟎𝟎
𝟕𝟓
𝟒
𝟑
̅( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 𝟑𝟑𝟑
( ) ( ) ̅( )
( 𝟎 𝟏𝟐𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓)) ( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓) ̅( 𝟎 𝟏𝟐𝟓)
( 𝟎 𝟏𝟐) 𝟎 𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓)( 𝟏 𝟑𝟑𝟑)
( 𝟎 𝟏𝟐) 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟔𝟔𝟔𝟓 √𝟎 𝟏𝟐
𝟑
𝟎 𝟒𝟗𝟑𝟑𝟑𝟓
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
159
(𝟑 𝟑)‫تمارين‬
‫س‬1/‫لٌمة‬ ‫أوجد‬C‫تعٌن‬ ً‫الت‬‫مبرهنة‬ ‫ها‬‫رول‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬:
( ) ( ) 𝟑
𝟗 , 𝟑 𝟑-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟑 𝟑-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟑 𝟑)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬(𝟑) ( 𝟑)
(𝟑) (𝟑) 𝟑
𝟗(𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟎
( 𝟑) ( 𝟑) 𝟑
𝟗( 𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟎
(𝟑) ( 𝟑)
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) 𝟑
𝟗 ̅( ) 𝟑 𝟐
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟗 𝟑 𝟐
𝟗 𝟎 𝟑 𝟐
𝟗 𝟐
𝟑
√𝟑 ( 𝟑 𝟑)
( ) ( ) 𝟐
𝟐
[
𝟏
𝟐
𝟐]
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬0
𝟏
𝟐
𝟐1‫الن‬𝟎 0
𝟏
𝟐
𝟐1
②‫الذالت‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬.
𝟏
𝟐
𝟐/‫الن‬𝟎 0
𝟏
𝟐
𝟐1
③‫نوجد‬.
𝟏
𝟐
/ (𝟐)
(
𝟏
𝟐
) 𝟐 (
𝟏
𝟐
)
𝟐
.
𝟏
𝟐/
𝟏 𝟒 𝟓 (𝟐) 𝟐(𝟐)
𝟐
(𝟐)
𝟒 𝟏 𝟓
.
𝟏
𝟐
/ (𝟐)
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) 𝟐
𝟐
( ) 𝟐 𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟐
𝟐
𝟐
̅( ) 𝟐
𝟐
𝟐
𝟎 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟎 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟏 (
𝟏
𝟐
𝟐) ‫السالب‬ ‫نهمل‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
160
( ) ( ) ( 𝟐
𝟑) 𝟐 , 𝟏 𝟏-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟏-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟏)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬(𝟏) ( 𝟏)
(𝟏) (𝟏 𝟐
𝟑) 𝟐 (𝟏 𝟑) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐
𝟒
( 𝟏) (( 𝟏) 𝟐
𝟑) 𝟐 (𝟏 𝟑) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐
𝟒
(𝟏) ( 𝟏)
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) ( 𝟐
𝟑) 𝟐 ̅( ) 𝟐( 𝟐
𝟑)( 𝟐 ) 𝟒 ( 𝟐
𝟑)
̅( ) 𝟒 ( 𝟐
𝟑) 𝟒 ( 𝟐
𝟑) 𝟎
𝟒 𝟎 𝟎 ( 𝟏 𝟏)
𝟐
𝟑 𝟎 𝟐
𝟑 √𝟑 ( 𝟏 𝟏)
‫س‬2/ً‫ا‬‫تمرٌب‬ ‫جد‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
( )√𝟔𝟑 √𝟔𝟑
𝟑
‫الحل‬/
‫نفرض‬𝟔𝟒‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟔𝟑‫معطى‬
𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏
( ) √ √
𝟑
( ) √ ( ).
𝟏
𝟑
/ ̅( )
𝟏
𝟐 √
𝟏
𝟑
( ).
𝟐
𝟑
/ 𝟏
𝟐 √
𝟏
𝟑 √ 𝟐𝟑
( ) √ √
𝟑
(𝟔𝟒) √𝟔𝟒 √𝟔𝟒
𝟑
(𝟔𝟒) 𝟖 𝟒 (𝟔𝟒) 𝟏𝟐
̅( )
𝟏
𝟐 √
𝟏
𝟑 √ 𝟐𝟑
̅(𝟔𝟒)
𝟏
𝟐 √𝟔𝟒
𝟏
𝟑 √(𝟔𝟒) 𝟐𝟑
̅(𝟔𝟒)
𝟏
(𝟐)(𝟖)
𝟏
(𝟑)(𝟏𝟔)
̅(𝟔𝟒)
𝟏
𝟏𝟔
𝟏
𝟒𝟖
𝟑 𝟏
𝟒𝟖
𝟒
𝟒𝟖
𝟏
𝟏𝟐
̅(𝟔𝟒) 𝟎 𝟎𝟖𝟑
( ) ( ) ̅( )
( 𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) ̅(𝟔𝟒)
(𝟔𝟑) 𝟏𝟐 ( 𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟖𝟑) 𝟏𝟐 𝟎 𝟎𝟖𝟑 (√𝟔𝟑 √𝟔𝟑
𝟑
) 𝟏𝟏 𝟗𝟏𝟕
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
161
( ) (𝟏 𝟎𝟒) 𝟑
𝟑(𝟏 𝟎𝟒) 𝟒
‫الحل‬/
‫نفرض‬𝟏‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬b= 𝟏 𝟎𝟒‫معطى‬
𝟏 𝟎𝟒 𝟏 𝟎 𝟎𝟒
( ) 𝟑
𝟑 𝟒 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟏𝟐 𝟑
( ) 𝟑
𝟑 𝟒 (𝟏) (𝟏) 𝟑
𝟑(𝟏) 𝟒 (𝟏) 𝟒
̅( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑 ̅(𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟏𝟐( 𝟏) 𝟑 ̅(𝟏) 𝟏𝟓
( ) ( ) ̅( )
( 𝟏 𝟎 𝟎𝟒) (𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟒) ̅(𝟏)
(𝟏 𝟎𝟒) 𝟒 (𝟎 𝟎𝟒) ( 𝟏𝟓) 𝟒 𝟎 𝟔 (𝟏 𝟎𝟒) 𝟒 𝟔
( )
𝟏
√𝟗
𝟑
‫الحل‬/
‫نفرض‬𝟖‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟗‫معطى‬
𝟗 𝟖 𝟏
( )
𝟏
√
𝟑
𝟏
.
𝟏
𝟑
/
.
𝟏
𝟑
/ ̅( )
𝟏
𝟑
( ).
𝟒
𝟑
/
( ) .
𝟏
𝟑
/
(𝟖) (𝟖).
𝟏
𝟑
/
(𝟖) (𝟐 𝟑).
𝟏
𝟑
/
(𝟐) 𝟏
𝟏
𝟐
(𝟖)
𝟏
𝟐
̅( )
𝟏
𝟑
( )
(
𝟒
𝟑 )
̅(𝟖)
𝟏
𝟑
( 𝟖)
(
𝟒
𝟑 )
̅(𝟖)
𝟏
𝟑
. 𝟐 𝟑
/
(
𝟒
𝟑 )
̅(𝟖)
𝟏
( 𝟑). 𝟐 𝟒
/
̅(𝟖)
𝟏
( 𝟑)( 𝟏𝟔)
𝟏
𝟒𝟖
̅(𝟖)
𝟏
𝟒𝟖
( ) ( ) ̅( )
( 𝟖 𝟏) (𝟖) ( 𝟏) ̅(𝟖)
(𝟗)
𝟏
𝟐
(𝟏) (
𝟏
𝟒𝟖
)
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒𝟖
𝟐𝟒 𝟏
𝟒𝟖
𝟐𝟑
𝟒𝟖
(𝟗) 𝟎 𝟒𝟕𝟗
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
162
( )
𝟏
𝟏𝟎𝟏
‫الحل‬/
‫نفرض‬𝟏𝟎𝟎‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟏𝟎𝟏‫معطى‬
𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏
( )
𝟏 𝟏 ̅( ) 𝟏 ( ) 𝟐
( ) 𝟏 (𝟏𝟎𝟎) (𝟏𝟎𝟎) 𝟏
𝟏
𝟏𝟎𝟎
(𝟏𝟎𝟎) 𝟎 𝟎𝟏
̅( ) 𝟏 ( ) 𝟐 ̅(𝟏𝟎𝟎) 𝟏 (𝟏𝟎𝟎) 𝟐 ̅(𝟏𝟎𝟎)
𝟏
(𝟏𝟎𝟎) 𝟐
̅(𝟏𝟎𝟎)
𝟏
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
̅(𝟏𝟎𝟎) 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏
( ) ( ) ̅( )
(𝟏𝟎𝟎 𝟏) (𝟏𝟎𝟎) (𝟏) ̅(𝟏𝟎𝟎)
(𝟏𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟏 (𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏 (𝟏𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟎𝟗𝟗
( ) √
𝟏
𝟐
𝟐 ‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟐 ‫وزاري‬ 𝟐 ‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟒 ‫وزاري‬
‫الحل‬/
‫نفرض‬𝟎 𝟒𝟗‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟎 𝟓𝟎‫معطى‬
𝟎 𝟓𝟎 𝟎 𝟒𝟗 𝟎 𝟎𝟏
( ) √ ̅( )
𝟏
𝟐√
( ) √ (𝟎 𝟒𝟗) √𝟎 𝟒𝟗 (𝟎 𝟒𝟗) 𝟎 𝟕
̅( )
𝟏
𝟐√
̅(𝟎 𝟒𝟗)
𝟏
𝟐√𝟎 𝟒𝟗
𝟏
(𝟐)(𝟎 𝟕)
𝟏
𝟏 𝟒
̅(𝟎 𝟒𝟗) 𝟎 𝟕𝟏𝟒
( ) ( ) ̅( )
(𝟎 𝟒𝟗 𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟒𝟗) (𝟎 𝟎𝟏) ̅(𝟎 𝟒𝟗)
(𝟎 𝟓) 𝟎 𝟕 (𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟕𝟏𝟒) 𝟎 𝟕 𝟎 𝟎𝟎𝟕𝟏𝟒 (
𝟏
𝟐
) 𝟎 𝟕𝟎𝟕𝟏𝟒
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
163
‫س‬3/‫كرة‬‫لطرها‬ ‫نص‬(𝟔 )‫سمكه‬ ‫بطالء‬ ‫طلٌت‬(𝟎 𝟏 )‫تمرٌبٌـة‬ ‫بصـورة‬ ‫الطـالء‬ ‫كمٌـة‬ ‫جـد‬‫بأسـتخدام‬
‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫ز‬‫وزاري‬2014/‫د‬1
‫الحل‬/‫الطالء‬ ‫مع‬ ‫الكرة‬ ‫حجم‬ = ‫الطالء‬ ‫كمٌة‬ ‫حجم‬–‫الكرة‬ ‫حجم‬
‫نفرض‬𝟔‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫ونفرض‬𝟔 𝟏‫ز‬ ‫الطالء‬ ‫كمٌة‬ ‫له‬ ً‫ا‬‫مضاف‬ ‫للكرة‬ ‫المطر‬ ‫نص‬ ‫وٌمثل‬
𝟔 𝟏 𝟔 𝟎 𝟏
𝟒
𝟑
𝟑 ̅
𝟒
𝟑
(𝟑 𝟐) 𝟒 𝟐
̅( ) 𝟒 𝟐 ̅(𝟔) 𝟒 (𝟔) 𝟐 ̅(𝟔) 𝟏𝟒𝟒
̅( ) ̅(𝟔) (𝟎 𝟏) (𝟏𝟒𝟒 ) 𝟏𝟒 𝟒 𝟑
(‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫كمٌة‬ )
‫س‬4/‫كرة‬‫حجمها‬(𝟖𝟒 𝟑)‫جد‬‫لطرها‬ ‫نص‬‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬‫ز‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬
‫الحل‬/
‫الحجم‬ ‫نفرض‬
‫المطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬
𝟒
𝟑
𝟑
𝟖𝟒
𝟒
𝟑
𝟑 𝟑
(𝟑)(𝟖𝟒 )
𝟒
( )(𝟐𝟏) 𝟔𝟑 √𝟔𝟑
𝟑
‫نفرض‬𝟔𝟒‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟔𝟑‫معطى‬
𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏
( ) √
𝟑 .
𝟏
𝟑
/ ̅( )
𝟏
𝟑
( ).
𝟐
𝟑
/
( ) .
𝟏
𝟑
/
(𝟔𝟒) (𝟔𝟒).
𝟏
𝟑
/
(𝟒 𝟑).
𝟏
𝟑
/
(𝟔𝟒) 𝟒
̅( )
𝟏
𝟑
( ).
𝟐
𝟑
/ ̅(𝟔𝟒)
𝟏
𝟑
(𝟔𝟒).
𝟐
𝟑
/ ̅(𝟔𝟒)
𝟏
𝟑
(𝟒 𝟑).
𝟐
𝟑
/ 𝟏
𝟑
(𝟒)( 𝟐)
̅( 𝟔𝟒)
𝟏
(𝟑)(𝟒 𝟐)
𝟏
(𝟑)(𝟏𝟔)
̅( 𝟔𝟒) 𝟎 𝟎𝟐
( ) ( ) ̅( )
( 𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) ̅(𝟔𝟒)
(𝟔𝟑) 𝟒 ( 𝟏) (𝟎 𝟎𝟐) 𝟒 𝟎 𝟎𝟐 (𝟔𝟑) 𝟑 𝟗𝟖
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
164
‫س‬5/‫فأذا‬ ‫الماعدة‬ ‫لطر‬ ‫طول‬ ‫ٌساوي‬ ‫أرتفاعه‬ ‫لائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬‫ٌساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫كان‬(𝟐 𝟗𝟖 )‫حجمـه‬ ‫فجـد‬
‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬‫ز‬ ‫نتٌجتها‬ ‫أو‬
‫الحل‬/
‫األرتفاع‬ ‫نفرض‬
‫المطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬
𝟑
𝟐
( 𝟐
𝟏
𝟐
)
𝟑
(
𝟐
)
𝟐
𝟏𝟐
𝟑
‫نفرض‬𝟑‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟐 𝟗𝟖‫معطى‬
𝟐 𝟗𝟖 𝟑 𝟎 𝟎𝟐
𝟏𝟐
𝟑 ̅
𝟏𝟐
(𝟑 𝟐)
𝟒
𝟐
( )
𝟏𝟐
𝟑 (𝟑)
𝟏𝟐
(𝟑) 𝟑
𝟐𝟕
𝟏𝟐
𝟗
𝟒
(𝟑) 𝟐 𝟐𝟓
̅( )
𝟏
𝟒
𝟐 ̅(𝟑)
𝟏
𝟒
(𝟑) 𝟐 ̅(𝟑)
𝟗
𝟒
̅(𝟑) 𝟐 𝟐𝟓
( ) ( ) ̅( )
( 𝟑 ( 𝟎 𝟎𝟐)) ( 𝟑) ( 𝟎 𝟎𝟐) ̅(𝟑)
( 𝟐 𝟗𝟖) 𝟐 𝟐𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟐) (𝟐 𝟐𝟓 ) 𝟐 𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟒𝟓 ( 𝟐 𝟗𝟖) 𝟐 𝟐𝟎𝟓 𝟑
‫س‬6/‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫ازاء‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫دالة‬ ‫كل‬ ‫أن‬ ‫بٌن‬C
( ) ( ) ( 𝟏) 𝟒 , 𝟏 𝟑- 𝟐‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬
‫الحل‬/
①‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬, 𝟏 𝟑-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫الدالة‬( 𝟏 𝟑)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬(𝟑) ( 𝟏)
( 𝟏) ( 𝟏 𝟏) 𝟒 ( 𝟐) 𝟒
𝟏𝟔
(𝟑) (𝟑 𝟏) 𝟒 (𝟐) 𝟒
𝟏𝟔
( 𝟏) (𝟑)
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) ( 𝟏) 𝟒 ̅( ) 𝟒( 𝟏) 𝟑
̅( ) 𝟒( 𝟏) 𝟑
𝟒( 𝟏) 𝟑
𝟎
( 𝟏) 𝟑
𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ( 𝟏 𝟑)
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
165
( ) ( ) 𝟑 , 𝟏 𝟏- ‫د‬ ⁄ ‫وزاري‬
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟏-‫النها‬‫كثٌرة‬‫ال‬‫حدود‬
②‫الذالت‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟏)‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬( 𝟏) (𝟏)
( ) ( 𝟏) 𝟑 ( 𝟏)
( ) ( 𝟏) 𝟑 ( 𝟏)
( 𝟏) (𝟏)
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) 𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟏
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟏 𝟑 𝟐
𝟏
𝟑 𝟐 𝟐
𝟏
√𝟑
( 𝟏 𝟏)
( ) ( ) 𝟐
𝟑 , 𝟏 𝟒-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟒-‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟒)‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬( 𝟏) (𝟒)
( 𝟏) ( 𝟏) 𝟐
𝟑( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟒
(𝟒) (𝟒) 𝟐
𝟑(𝟒) 𝟏𝟔 𝟏𝟐 𝟒
( 𝟏) (𝟒)
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) 𝟐
𝟑 ̅( ) 𝟐 𝟑
̅( ) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟎 𝟐
𝟑
𝟐
( 𝟏 𝟒)
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
166
( ) ( ) ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) , 𝟎 𝟐 -
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟐 -
②‫الدالة‬‫لاب‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لة‬(𝟎 𝟐 )
③‫نوجد‬(𝟎) (𝟐 )
(𝟎) ( 𝟎) 𝟐 (𝟎) 𝟏 𝟐(𝟏) 𝟑
(𝟐 ) ( 𝟒 ) 𝟐 (𝟐 ) 𝟏 𝟐(𝟏) 𝟑
(𝟎) (𝟐 )
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) ̅( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( )
̅( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( )
( 𝟐 ) ( ) 𝟎 𝟐 ( ) ( ) ( ) 𝟎 ( ),𝟐 ( ) 𝟏- 𝟎
( ) 𝟎 𝟎 𝟐 𝟑 ( 𝟎 𝟐 )
𝟐 ( ) 𝟏 ( ) (‫الثالث‬ ‫و‬ ً‫الثان‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬ ‫ٌمع‬ ‫السالب‬ )
𝟑
𝟐
𝟑
( 𝟎 𝟐 ) ً‫الثان‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬
𝟑
𝟒
𝟑
( 𝟎 𝟐 ) ‫الثالث‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬
‫س‬7/‫السـبب‬ ‫ذكـر‬ ‫مـع‬ ‫ازاءهـا‬ ‫المعطـاة‬ ‫الفتـرة‬ ‫على‬ ‫األتٌة‬ ‫للدوال‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تطبٌك‬ ‫أمكانٌة‬ ‫أختبر‬.
‫لٌم‬ ‫جد‬ ‫المبرهنة‬ ‫تحممت‬ ‫وأن‬C‫الممكنة‬
( ) ( ) 𝟑
𝟏 , 𝟏 𝟐-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟐-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟐)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟏 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟏 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) (𝟐) ( 𝟏)
𝟐 ( 𝟏)
𝟓 ( 𝟏)
𝟑
𝟔
𝟑
.‫الوتر‬ ‫مٌل‬ /
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟑 𝟐
𝟏 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑 𝟐
𝟏 𝟏
( 𝟏 𝟐) ( 𝟏 𝟐)
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
167
( ) ( ) 𝟐
𝟒 𝟓 , 𝟏 𝟓-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟓-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟓)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( ) 𝟐 𝟒 ̅( ) 𝟐 𝟒 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) ( 𝟓) ( 𝟏)
𝟓 ( 𝟏)
𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝟓 𝟏
𝟎
𝟔
𝟎 (‫الوتر‬ ‫مٌل‬ )
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 ( 𝟏 𝟓)
( ) ( )
𝟒
𝟐
, 𝟏 𝟐-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟐-‫ألن‬𝟐 , 𝟏 𝟐-
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟐)‫ألن‬𝟐 ( 𝟏 𝟐)
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( )
𝟒
( 𝟐) 𝟐
̅( )
𝟒
( 𝟐) 𝟐
(‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) ( 𝟐) ( 𝟏)
𝟐 ( 𝟏)
𝟏 𝟒
𝟑
𝟑
𝟑
𝟏 (‫الوتر‬ ‫مٌل‬ )
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟒
( 𝟐) 𝟐
𝟏 ( 𝟐) 𝟐 𝟒 . ‫الطرفٌن‬ ‫جذر‬/
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟏 𝟐)
𝟐 𝟐 𝟒 ( 𝟏 𝟐)
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
168
( ) ( ) √( 𝟏) 𝟐𝟑
, 𝟐 𝟕-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟕-
②‫غٌر‬ ‫الدالة‬‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬‫عند‬( 𝟏)‫ألن‬𝟏 ( 𝟐 𝟕)
∴‫ألن‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫نظرٌة‬ ‫تطبٌك‬ ‫ٌمكن‬ ‫ال‬‫غٌر‬ ‫الدالة‬‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬‫عند‬( 𝟏)
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫للدالة‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تطبٌك‬ ‫أمكانٌة‬ ‫أختبر‬‫السـبب‬ ‫ذكـر‬ ‫مـع‬ ‫ازاءهـا‬ ‫المعطـاة‬ ‫الفتـرة‬ ‫علـى‬ ‫األتٌـة‬.
‫لٌم‬ ‫جد‬ ‫المبرهنة‬ ‫تحممت‬ ‫وأن‬C‫الممكنة‬
( ) 𝟑 𝟐
𝟏 , 𝟏 𝟑-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟑-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟑)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟐 𝟏 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) (𝟑) ( 𝟏)
𝟑 ( 𝟏)
𝟏𝟔 𝟎
𝟒
𝟏𝟔
𝟒
.‫الوتر‬ ‫مٌل‬ /
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟑 𝟐
𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐
𝟐 𝟓 𝟎 (𝟑 𝟓)( 𝟏) 𝟎
‫أما‬ 𝟑 𝟓 𝟎 𝟑 𝟓
𝟓
𝟑
( 𝟏 𝟐)
‫أو‬ 𝟏 𝟎 𝟏 ( 𝟏 𝟐)
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
169
‫مثال‬/: ‫نتٌجتها‬ ‫أو‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ً‫ا‬‫تمرٌب‬ ‫جد‬
(𝟏) √𝟖𝟐
𝟒
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟖𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟖𝟐)‫معطى‬
𝟖𝟐 𝟖𝟏 𝟏
( ) √
𝟒
( ) .
𝟏
𝟒
/ ̅( )
𝟏
𝟒
.
𝟑
𝟒
/
( ) √
𝟒
(𝟖𝟏) √𝟖𝟏
𝟒
(𝟖𝟏) 𝟑
̅( )
𝟏
𝟒
.
𝟑
𝟒
/ ̅(𝟖𝟏)
𝟏
𝟒
(𝟖𝟏).
𝟑
𝟒
/ ̅(𝟖𝟏)
𝟏
𝟒
(𝟑 𝟒).
𝟑
𝟒
/
̅(𝟖𝟏)
𝟏
𝟒
(𝟑)( 𝟑)
𝟏
𝟒
𝟏
(𝟑) 𝟑
𝟏
𝟏𝟎𝟖
̅(𝟖𝟏) 𝟎 𝟎𝟎𝟗
( ) ( ) ̅( )
(𝟖𝟐) 𝟑 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟎𝟗) 𝟑 𝟎 𝟎𝟎𝟗 (𝟖𝟐) 𝟑 𝟎𝟎𝟗
(𝟐) √𝟎 𝟏𝟐𝟔
𝟑
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟎 𝟏𝟐𝟓)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟎 𝟏𝟐𝟔)‫معطى‬
𝟎𝟏𝟐𝟔 𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟏
( ) √
𝟑
( ) .
𝟏
𝟑
/ ̅( )
𝟏
𝟑
.
𝟐
𝟑
/
( ) √
𝟑
(𝟎 𝟏𝟐𝟓) √𝟎 𝟏𝟐𝟓
𝟑
(𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟎 𝟓
̅( )
𝟏
𝟑
.
𝟐
𝟑
/ ̅(𝟎 𝟏𝟐𝟓)
𝟏
𝟑
(𝟎 𝟏𝟐𝟓)
.
𝟐
𝟑
/ ̅(𝟎 𝟏𝟐𝟓)
𝟏
𝟑
((𝟎 𝟓) 𝟑).
𝟐
𝟑
/
̅(𝟎 𝟏𝟐𝟓)
𝟏
𝟑
(𝟎 𝟓)( 𝟐)
𝟏
𝟑
𝟏
(𝟎 𝟓) 𝟐
𝟏
𝟎 𝟕𝟓
̅(𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑
( ) ( ) ̅( )
(𝟎 𝟏𝟐𝟔) 𝟎 𝟓 (𝟎 𝟎𝟎𝟏) (𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑) 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟔) 𝟎 𝟓𝟎𝟏𝟑𝟑
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
170
(𝟑) √ 𝟑𝟏
𝟓
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟑𝟐)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟑𝟏)‫معطى‬
𝟑𝟏 ( 𝟑𝟐) 𝟏
( ) √
𝟓
( ) .
𝟏
𝟓
/ ̅( )
𝟏
𝟓
.
𝟒
𝟓
/
( ) √
𝟓
( 𝟑𝟐) √ 𝟑𝟐
𝟓
( 𝟑𝟐) 𝟐
̅( )
𝟏
𝟓
.
𝟒
𝟓
/ ̅( 𝟑𝟐)
𝟏
𝟓
( 𝟑𝟐)
.
𝟒
𝟓
/ ̅( 𝟑𝟐)
𝟏
𝟓
(( 𝟐) 𝟓
)
.
𝟒
𝟓
/
̅( 𝟑𝟐)
𝟏
𝟓
( 𝟐)( 𝟒)
𝟏
𝟓
𝟏
(𝟐) 𝟒
𝟏
𝟖𝟎
̅( 𝟑𝟐) 𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓
( ) ( ) ̅( )
( 𝟑𝟏) 𝟐 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓 ( 𝟑𝟏) 𝟏 𝟗𝟖𝟕𝟓
‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑
𝟑 𝟐
‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫جد‬(𝟏 𝟎𝟎𝟏)‫عشرٌة‬ ‫مراتب‬ ‫ولثالث‬
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟎 𝟎𝟎𝟏)‫معطى‬
𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏
( ) 𝟑
𝟑 𝟐 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟔
( ) 𝟑
𝟑 𝟐 (𝟏) (𝟏) 𝟑
𝟑(𝟏) 𝟐 (𝟏) 𝟒
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟔 ̅(𝟏) 𝟑(𝟏) 𝟐
𝟔(𝟏) ̅(𝟏) 𝟗
( ) ( ) ̅( )
(𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟒 (𝟎 𝟎𝟎𝟏) (𝟗) 𝟒 𝟎 𝟎𝟎𝟗 (𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟒 𝟎𝟎𝟗
‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) √ 𝟑 𝟏‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫جد‬(𝟎 𝟗𝟗)
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟎 𝟗𝟗)‫معطى‬
𝟎 𝟗𝟗 𝟏 𝟎 𝟎𝟏
( ) √𝟑 𝟏 ( ) (𝟑 𝟏)
.
𝟏
𝟐
/ ̅( )
𝟑
𝟐 √ 𝟑 𝟏
( ) √𝟑 𝟏 (𝟏) √𝟑(𝟏) 𝟏 (𝟏) 𝟐
̅( )
𝟑
𝟐 √ 𝟑 𝟏
̅(𝟏)
𝟑
𝟐 √𝟑(𝟏) 𝟏
̅(𝟏)
𝟑
𝟒
̅(𝟏) 𝟎 𝟕𝟓
( ) ( ) ̅( )
(𝟎 𝟗𝟗) 𝟐 ( 𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟕𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟕𝟓 (𝟎 𝟗𝟗) 𝟏 𝟗𝟗𝟐𝟓
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
171
‫مثال‬/‫بأستخدام‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫مساحته‬ ‫مربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫جد‬(𝟓𝟎 𝟐)
‫الحل‬/
∵= ‫المربع‬ ‫مساحة‬‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫مربع‬
‫نفرض‬( 𝟒𝟗)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟓𝟎)‫معطى‬
𝟓𝟎 𝟒𝟗 𝟏
𝟐
𝟓𝟎 𝟐 √𝟓𝟎
( ) √ ̅( )
𝟏
𝟐 √
( ) √ (𝟒𝟗) √𝟒𝟗 (𝟒𝟗) 𝟕
̅( )
𝟏
𝟐 √
̅(𝟒𝟗)
𝟏
𝟐 √𝟒𝟗
̅(𝟒𝟗)
𝟏
𝟏𝟒
̅(𝟒𝟗) 𝟎 𝟎𝟕𝟏
( ) ( ) ̅( )
(𝟓𝟎) 𝟕 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟕𝟏) 𝟕 𝟎 𝟎𝟕𝟏 (𝟓𝟎) 𝟕 𝟎𝟕𝟏
******************************************************************
‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫جد‬‫بأستخدام‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫مما‬ ‫كل‬ً‫ٌأت‬:
( ) √𝟐𝟕 𝟏𝟒
𝟑
( ) √𝟏𝟓 𝟖𝟖
( ) √𝟑𝟏 𝟐𝟖
𝟓
( ) √𝟖𝟎
𝟒
( ) (𝟖 𝟏𝟐)
𝟐
𝟑 (𝟖 𝟏𝟐)
𝟓
𝟑( ) √ 𝟗 𝟏𝟐
𝟑
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
172
‫الدالة‬ ‫دراســـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــة‬
‫الحرجة‬ ‫النمطة‬:‫الدا‬ ً‫لمنحن‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬ ‫النمطة‬ ً‫ه‬‫ل‬‫عندها‬ ‫ٌكون‬ ً‫والت‬ ‫ة‬̅( ) 𝟎‫تكون‬ ‫أو‬‫ز‬ ‫معرفة‬ ‫غٌر‬
‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ‫اٌجاد‬ ‫كٌفٌة‬
‫األولى‬ ‫الحالة‬:‫نجد‬̅( )‫نجعل‬ ‫ثم‬̅( ) 𝟎‫لٌم‬ ‫ونجد‬ ‫المتكونة‬ ‫المعادلة‬ ‫نحل‬ ‫ثم‬(X)‫ولتكن‬(X1 ,X2 , X3 ,….)‫ثـم‬
‫لٌم‬ ‫نعوض‬(X)‫لٌم‬ ‫ونجد‬ ‫األصلٌة‬ ‫الدالة‬ ً‫ف‬(Y)‫فتكون‬ ‫لها‬ ‫الممابلة‬(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),…‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ً‫ه‬
ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ‫جد‬:
( ) ( ) 𝟐 𝟐
( ) 𝟐 𝟏
̅( ) 𝟐 𝟐 𝟐
̅( ) 𝟐
𝟐
𝟐 ( ̅( ) 𝟎)
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑
𝟐 𝟑
𝟏 𝟎
𝟏 (𝟏) 𝟏 𝟐 𝟑
(𝟏 𝟑)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬
( ) ( ) 𝟑 𝟐
𝟔
̅( ) 𝟔 𝟔 (̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟔 𝟔 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
(𝟏) 𝟑(𝟏) 𝟐
𝟔(𝟏) 𝟑
(𝟏 𝟑)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬
( ) ( )
𝟑
( ) 𝟑 𝟏
̅( ) 𝟑 𝟐
̅( )
𝟑
𝟐 ( ̅( ) 𝟎)
𝟑
𝟐
𝟎 𝟑 𝟎 ( ‫ممكن‬ ‫)غٌر‬
‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫التوجد‬
( ) ( ) 𝟐 𝟑
̅( ) 𝟐 (̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟐 𝟎 ( ‫ممكن‬ ‫)غٌر‬ ̅( ) 𝟎
‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫التوجد‬
( ) ( ) (𝟐 𝟏) 𝟑
𝟔
̅( ) 𝟑(𝟐 𝟏) 𝟐(𝟐) 𝟔
̅( ) 𝟔(𝟐 𝟏) 𝟐
𝟔
𝟔(𝟐 𝟏) 𝟐
𝟔 𝟎 ( 𝟔 )
(𝟐 𝟏) 𝟐
𝟏 𝟎
𝟒 𝟐
𝟒 𝟏 𝟏 𝟎
𝟒 𝟐
𝟒 𝟎 ( 𝟒 )
𝟐
𝟎 ( 𝟏) 𝟎
𝟎 𝟏
𝟏 𝟓
(𝟏 𝟓)(𝟎 𝟏)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬
( ) ( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟗 𝟓
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟔 𝟗
(̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟑 𝟐
𝟔 𝟗 𝟎 ( 𝟑 )
𝟐
𝟐 𝟑 𝟎
( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏
(𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟓 𝟐𝟐
( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟗 𝟓 𝟏𝟎
( 𝟏 𝟏𝟎) (𝟑 𝟐𝟐)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬
( ) ( )
𝟑 𝟏
𝟏 𝟐
𝟏
𝟐
̅( )
(𝟏 𝟐 )(𝟑) (𝟑 𝟏)( 𝟐)
(𝟏 𝟐 ) 𝟐
̅( )
𝟑 𝟔 𝟔 𝟐
(𝟏 𝟐 ) 𝟐
̅( )
𝟏
( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 (̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟏
(𝟏 𝟐 ) 𝟐
𝟎 𝟎 ( ‫ممكن‬ ‫)غٌر‬
‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫التوجد‬
( ) ( ) 𝟒
𝟐 𝟐
𝟏
̅( ) 𝟒 𝟑
𝟒
(̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟒 𝟑
𝟒 𝟎 ( 𝟒 )
𝟑
𝟎 ( 𝟐
𝟏) 𝟎
𝟎 𝟏
𝟏 𝟎
𝟏 𝟎
(𝟎 𝟏) (𝟏 𝟎)( 𝟏 𝟎)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
173
:‫الثانٌة‬ ‫الحالة‬‫المعطاة‬ ‫الدالة‬ ً‫ف‬ ‫الثوابت‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫ذلن‬ ‫من‬ ‫ٌستفاد‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫أعطٌت‬ ‫اذا‬
‫مثال‬ً‫توضٌح‬①/‫لتكن‬( ) 𝟑 𝟐
𝟓ً‫هـ‬ ‫حرجـة‬ ‫نمطـة‬ ‫للدالـة‬ ‫وكانت‬( 𝟏 𝟏𝟎)‫فجـد‬
‫الثوابت‬ ‫لٌم‬
‫الحل‬/
(-1,10)ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬𝟏𝟎 𝟏 𝟓𝟔( ‫معادلة‬① )
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟐̅( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐
𝟐.②‫معادلة‬ 𝟑 𝟐 𝟎/
: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ‫المعادلتٌن‬ ‫وبحل‬𝟑 𝟗
‫مثال‬ً‫توضٌح‬②/‫لتكن‬( ) 𝟐
ً‫ه‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ‫وكانت‬(1,3)‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬
‫الحل‬/
(𝟏 𝟑)ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬( ‫معادلة‬① 𝟑)
( ) 𝟐 𝟏̅( ) 𝟐 𝟐̅(𝟏) 𝟐 (𝟏)
(𝟏) 𝟐
𝟐 𝟎.②‫معادلة‬ /
: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ‫المعادلتٌن‬ ‫وبحل‬𝟏 𝟐
‫المشتمة‬ ‫بأستخدام‬ ‫للدالة‬ ‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫أختبار‬‫األولى‬
‫لتكن‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫الفتر‬ ً‫ف‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬‫المفتوحة‬ ‫ة‬(𝑎 𝑏)‫كانت‬ ‫فأذا‬:
( ) ̅( ) 𝟎 ‫متزاٌدة‬①
② ( ) ̅( ) 𝟎 ‫متنالصة‬
‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬ ‫أٌجاد‬ ‫طرٌمة‬
o‫لٌم‬ ‫نجد‬( )‫المشتمة‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬‫االولى‬‫سابما‬ ‫تعلمنا‬ ‫كما‬ ‫موجودة‬ ‫غٌر‬ ‫أو‬ ‫للصفر‬ ‫مساوٌة‬‫ز‬
o‫كانت‬ ‫فأذا‬ ‫األعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫المٌم‬ ‫نختبر‬
( ‫متزاٌدة‬ ‫الدالة‬ ̅( ) )
( ‫متنالصة‬ ‫الدالة‬ ̅( ) )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
174
( ‫مثال‬1/)‫لتكن‬( ) 𝟐
‫مناطك‬ ‫جد‬ ‫ز‬‫ا‬‫والتنالص‬ ‫لتزاٌد‬
‫الحل‬/
̅( ) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
̅( )
* + ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬
̅( )
* + ً‫ف‬ ‫متنالصة‬
( ‫مثال‬2/): ‫األتٌتٌن‬ ‫الدالتٌن‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬ ‫جد‬
( ) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 𝟑
‫الحل‬/
̅( ) 𝟗 𝟔 𝟑 𝟐 . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟗 𝟔 𝟑 𝟐 ( )
𝟐
𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏
‫نختبر‬‫على‬‫خ‬‫األعداد‬ ‫ط‬‫إشارة‬‫للعددٌن‬ ‫مجاورة‬ ‫بمٌم‬ ‫بالتعوٌض‬ ‫األولى‬ ‫المشتمة‬𝟏 𝟑
* 𝟏+ * 𝟑+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬
( 𝟏 𝟑) ‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬
( ) ( ) √ 𝟐𝟑
/‫الحل‬
( ) ( )
𝟐
𝟑 ̅( )
𝟐
𝟑
( )
𝟏
𝟑 ̅( )
𝟐
𝟑 √
𝟑
̅( )‫غٌر‬‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫معرفة‬( 𝟎)‫ان‬ ‫أي‬( 𝟎)‫حرج‬ ‫عدد‬
‫على‬ ‫نختبر‬‫خ‬‫األعداد‬ ‫ط‬‫إشارة‬‫للع‬ ‫مجاورة‬ ‫بمٌم‬ ‫بالتعوٌض‬ ‫األولى‬ ‫المشتمة‬‫دد‬𝟎
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
175
‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫والنهاٌة‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬
‫ـتكن‬‫ـ‬‫ل‬‫ـرة‬‫ـ‬‫الفت‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ــتمرة‬‫ـ‬‫مســــــــ‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫دال‬, -‫ـد‬‫ـ‬‫عن‬ ‫ـتماق‬‫ـ‬‫لألش‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫ولابل‬( )‫ــرة‬‫ـ‬‫الفتــ‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫ال‬ ً‫ــ‬‫ـ‬‫تنتمـــ‬ ً‫ـ‬‫ـ‬‫الت‬
‫المفتوحة‬( )‫كانت‬ ‫فأذا‬:
( ) ̅( ) 𝟎 ( )
̅( ) 𝟎 ( )
̅( ) 𝟎
( ) ̅( ) 𝟎 ( )
̅( ) 𝟎 ( )
̅( ) 𝟎
‫مالحظة‬
‫النمطة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬( ) ( ) ‫فمط‬ ‫حرجة‬ ( ) ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ( ) ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬
( ‫مثال‬3/)‫للدالة‬ ‫المحلٌة‬ ‫والصررى‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌات‬ ‫نمط‬ ‫جد‬f: ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬ ‫وجودها‬ ‫حالة‬ ً‫ف‬
( ) ( ) 𝟑
𝟗 𝟐
𝟐𝟒( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐) 𝟐( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐) 𝟐
( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐) 𝟐
/‫الحل‬
̅( ) ( 𝟐) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟐( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐
( 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟐
𝟏
* + ً‫ف‬ ‫متنالصة‬
* + ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬
‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬ (𝟐 𝟏) (𝟐 (𝟐)) ‫النمطة‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
176
( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐) 𝟐
/‫الحل‬
̅( ) ( 𝟐) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟐( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐
( 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟐
𝟏
* 𝟐+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬
* + ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬
‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬‫عظمى‬‫محلٌة‬ (𝟐 𝟏) (𝟐 (𝟐)) ‫النمطة‬
( ) ( ) 𝟑
𝟗 𝟐
𝟐𝟒
/‫الحل‬
̅( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟖 𝟐𝟒 . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟑 𝟐 𝟏𝟖 𝟐𝟒 𝟎
( 𝟑)
⇒ 𝟐 𝟔 𝟖 𝟎
( 𝟒)( 𝟐) 𝟎 𝟒 𝟐
( 𝟐) ( 𝟐) 𝟑
𝟗( 𝟐) 𝟐
𝟐𝟒( 𝟐) 𝟖 𝟑𝟔 𝟒𝟖 𝟐𝟎
( 𝟒) ( 𝟒) 𝟑
𝟗( 𝟒) 𝟐
𝟐𝟒( 𝟒) 𝟔𝟒 𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟔
( ) ‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬
* + * + ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬
‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬‫عظمى‬‫محلٌة‬ (𝟐 𝟐𝟎) (𝟐 (𝟐)) ‫النمطة‬
‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬‫صرر‬‫ى‬‫محلٌة‬ (𝟒 𝟏𝟔) (𝟒 (𝟒)) ‫النمطة‬
‫األنمالب‬ ‫ونمط‬ ‫المنحنٌات‬ ‫وتحدب‬ ‫تمعر‬
‫كانت‬ ‫أذا‬f‫دال‬‫ـــــ‬‫المفتوح‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫ة‬‫ـــ‬‫ة‬( )‫الدال‬ ‫عن‬ ‫فٌمال‬‫ـــــ‬‫ة‬‫محدب‬ ‫بأنهـا‬‫ـــــ‬‫كانـت‬ ‫أذا‬ ‫ة‬
̅‫متنالصة‬̅‫الفترة‬ ‫تلن‬ ‫خالل‬ ‫متزاٌدة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫ممعرة‬ ‫وتسمى‬ ‫الفترة‬ ‫تلن‬ ‫خالل‬‫ز‬
‫مالحظة‬
‫ك‬ ‫أذا‬‫ـــــ‬‫انت‬f‫م‬‫ـــــ‬‫ف‬ ‫عرفة‬‫ـــــ‬ً, -( )‫فأنه‬‫ــ‬‫ا‬: ‫مش‬ ‫ولها‬‫ــــــ‬‫ومش‬ ‫أولى‬ ‫تمة‬‫ـــــ‬‫ث‬ ‫تمة‬‫ـــــ‬‫انٌة‬‫على‬
‫تكون‬‫ممع‬‫ـ‬‫رة‬‫على‬( ): ً‫األت‬ ‫الشرط‬ ‫حممت‬ ‫أذا‬( ) ̅( ) 𝟎
‫تكون‬‫محدبة‬‫على‬( ): ً‫األت‬ ‫الشرط‬ ‫حممت‬ ‫أذا‬( ) ̅( ) 𝟎
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
177
( ‫مثال‬1/): ‫الدالتٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وتحدب‬ ‫تمعر‬ ‫أدرس‬
( ) ( ) 𝟑( ) ( ) 𝟐
( ) ( ) 𝟐
/‫الحل‬
̅( ) ̅̅( )
̅̅( ) ( ‫على‬ ‫ممعرة‬ ‫الدالة‬ )
/‫الحل‬( ) ( ) 𝟑
̅( ) 𝟐 ̅̅( )
‫نجعل‬̅̅( )‫أل‬‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫ٌجاد‬
𝟔 𝟎 𝟎 ( 𝟎) 𝟎
* + ً‫ف‬ ‫ممعرة‬
* + ً‫ف‬ ‫محدبة‬
‫النمطة‬(𝟎 𝟎) (𝟎 (𝟎))‫تسمى‬‫أنمالب‬ ‫نمطة‬
: ‫األنمالب‬ ‫نمطة‬
‫ل‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬ ‫النمطة‬ ً‫ه‬‫الدال‬ ً‫منحن‬‫ــــ‬ً‫المنحن‬ ‫ٌنملب‬ ‫عندها‬ ً‫والت‬ ‫ة‬‫بـالعكس‬ ‫أو‬ ‫التمعـر‬ ‫حالـة‬ ‫الـى‬ ‫التحـدب‬ ‫حالـة‬ ‫مـن‬
)‫أخر‬ ‫بأسلوب‬ ‫(أو‬‫النمطة‬( )‫النمطـة‬ ‫كانـت‬ ‫أذا‬ ‫أنمـالب‬ ‫نمطة‬ ً‫ه‬( )‫والمشـتمة‬ ‫الدالـة‬ ً‫لمنحنـ‬ ً‫تنتمـ‬
‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬ ‫الثانٌة‬( ( ) )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
178
‫األنمالب‬ ‫نمط‬ ‫اٌجاد‬ ‫كٌفٌة‬
‫األولى‬ ‫الحالة‬:‫نجد‬̅( )‫وم‬‫ــ‬‫ث‬ ‫ن‬‫ـــ‬‫نجـد‬ ‫م‬
̅( )‫ثـم‬‫نجع‬‫ـــ‬‫ل‬
̅( ) 𝟎‫نح‬ ‫ثـم‬‫ـــ‬‫المعادل‬ ‫ل‬‫ــــ‬‫ل‬ ‫ونجـد‬ ‫المتكونـة‬ ‫ة‬‫ــ‬‫ـــ‬‫ـــ‬‫ٌم‬
(X)‫ولـتكن‬( X1 ,X2 , X3,.. )‫ث‬‫ـــــــ‬‫ن‬ ‫م‬‫ــــــ‬‫لـٌم‬ ‫عوض‬(X)ٌ‫األصل‬ ‫الدالـة‬ ً‫فـ‬‫ـــــــــ‬‫ل‬ ‫ونجـد‬ ‫ة‬‫ـــــــ‬‫ٌم‬(Y)‫الممابل‬‫ـــــ‬‫له‬ ‫ة‬‫ــــــــــــ‬‫ا‬
‫فتكون‬(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),…‫االنمالب‬ ‫نمط‬ ً‫ه‬
‫حول‬ ‫مالحظات‬: ‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫أٌجاد‬ ‫طرٌمة‬
‫لٌم‬ ‫نجد‬( )‫للصفر‬ ‫مساوٌة‬ ‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬‫لٌم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬( )‫لها‬ ‫الممابلة‬
‫كانت‬ ‫فأذا‬ ‫األعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫المٌم‬ ‫نختبر‬. ‫ممعرة‬ ‫الدالة‬
̅
( ) / ‫أو‬ . ‫محدبة‬ ‫الدالة‬
̅
( ) /
‫تترٌر‬ ‫لم‬ ‫اذا‬‫إشارة‬
̅( )‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ً‫ه‬ ‫وأنما‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫لٌست‬ ً‫ه‬ ‫النمطة‬ ‫فأن‬
( ‫مثال‬2/): ً‫للمنحن‬ ‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬( ) 𝟐 𝟑
𝟑 𝟐
𝟏𝟐 𝟏
/‫الحل‬
̅( ) 𝟔 𝟐 𝟔 𝟏𝟐 ̅̅( ) 𝟏𝟐 𝟔
‫نجعل‬̅̅( )‫أل‬‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫ٌجاد‬
𝟏𝟐 𝟔 𝟎 𝟏𝟐 𝟔
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
)
𝟏𝟏
𝟐
‫موجبة‬
̅( ) ‫الن‬ 2 3 ً‫ف‬ ‫ممعرة‬
‫سالبة‬
̅( ) ‫الن‬ 2 3 ً‫ف‬ ‫محدبة‬
‫النمطة‬.
𝟏
𝟐
𝟏𝟏
𝟐
/ .
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
)/ً‫ه‬‫أنمالب‬ ‫نمطة‬
( ‫مثال‬3/): ‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫األنمالب‬ ‫ونمط‬ ‫والتمعر‬ ‫التحدب‬ ‫مناطك‬ ‫جد‬
( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟒
( ) ( )
𝟏
𝟎
( ) ( ) 𝟒 ( 𝟐) 𝟒
( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟐
( ) ( ) 𝟒
𝟑 𝟐
𝟑
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
179
/‫الحل‬( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟒
̅( ) 𝟐 𝟒 𝟑 ̅̅( ) 𝟐
‫نجعل‬̅̅( )‫أل‬‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫ٌجاد‬
𝟐 𝟎
( 𝟏𝟐)
⇒ 𝟐 𝟎
( ) 𝟎 𝟐 𝟎
( 𝟐) 𝟏𝟔 ( 𝟎) 𝟎
* + ‫و‬ * + ً‫ف‬ ‫محدبة‬
( ) ‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫ممعرة‬
‫النمطتان‬( ) ( )‫نمطتا‬ ‫هما‬‫أنمالب‬
/‫الحل‬( ) ( )
𝟏
𝟎
̅( )
𝟏
𝟐
̅̅( )
𝟐
𝟑
̅̅(𝟎)‫معرفة‬ ‫غٌر‬
* + ً‫ف‬ ‫محدبة‬
* + ً‫ف‬ ‫ممعرة‬
‫ألن‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬0‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ً‫ٌنتم‬ ‫ال‬
/‫الحل‬( ) ( ) 𝟒 ( 𝟐) 𝟒
̅̅̅( ) ( 𝟐) 𝟑 ̅̅( ) ( 𝟐) 𝟐
‫نجعل‬̅̅( )‫أل‬‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫ٌجاد‬
( 𝟐) 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟐 𝟎
𝟎 𝟐
* 𝟐+ ‫و‬ * 𝟐+ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ‫الدالــــــــة‬
∴‫عنـد‬ ‫أنمـالب‬ ‫نمطـة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬( )‫محدبـة‬ ‫الدالـة‬ ‫ألن‬
‫جهتٌها‬ ‫على‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
180
/‫الحل‬( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟐
̅ ( ) 𝟐 𝟐 ̅̅( )
‫جعل‬ ‫ٌمكن‬ ‫ال‬̅̅( )
ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ‫الدالــــــــة‬
∴‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
/‫الحل‬( ) ( ) 𝟒
𝟑 𝟐
𝟑
̅ ( ) 𝟒 𝟑 𝟔 ̅̅( ) 𝟏𝟐 𝟐 𝟔 𝟎
ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ‫الدالــــــــة‬‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ ‫لذا‬
‫المحلٌة‬ ‫والصررى‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌات‬ ‫لنمط‬ ‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫أختبار‬
‫المشتمة‬ ‫من‬ ‫ٌستفاد‬ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫دراستها‬ ‫دون‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ‫نوعٌة‬ ‫ومعرفة‬ ‫فحص‬ ً‫ف‬ ‫الثانٌة‬:
‫إشـارة‬ ‫ترٌٌـر‬ ‫كٌفٌـة‬ ‫مالحظـة‬ ‫مـن‬ ً‫ال‬‫فبد‬̅‫حٌـث‬ ‫الحرجـة‬ ‫بالنمطـة‬ ‫المـرور‬ ‫عنـد‬̅( )‫أسـتخدام‬ ‫ٌمكننـا‬ ‫فأنـه‬
‫صررى‬ ‫أو‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫فٌما‬ ‫لنمرر‬ ً‫التال‬ ‫األختبار‬‫أختبار‬ ‫بأستخدام‬ ‫وذلن‬ ‫محلٌة‬
: ً‫ٌأت‬ ‫وكما‬ ‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬
( )‫كانت‬ ‫أذا‬̅( )‫وأن‬̅̅( )‫فأن‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬( )‫ز‬
( )‫كانت‬ ‫أذا‬̅( )‫وأن‬̅̅( )‫فأن‬‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬‫صرر‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫ى‬( )‫ز‬
( )‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫أذا‬̅̅( )‫أو‬̅̅( )‫ـة‬‫ـ‬‫الطرٌم‬ ‫ـطة‬‫ـ‬‫بواس‬ ‫ـار‬‫ـ‬‫األختب‬ ‫ـاد‬‫ـ‬‫وٌع‬ ( ‫ـار‬‫ـ‬‫األختب‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـح‬‫ـ‬‫ٌص‬ ‫ـال‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫معرف‬ ‫ـر‬‫ـ‬ٌ‫غ‬
‫األولى‬ ‫المشتمة‬ ‫طرٌك‬ ‫عن‬ ‫السابمة‬)‫ز‬
‫مالحظة‬:
‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ ً‫ف‬ ‫الحال‬ ‫هو‬ ‫كما‬ ‫الثوابت‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫االنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫من‬ ‫ٌستفاد‬
( ‫مثال‬1/)‫جد‬ , ‫أمكن‬ ‫أن‬ ‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫أختبار‬ ‫بأستخدام‬‫األتٌة‬ ‫للدوال‬ ‫المحلٌة‬ ‫النهاٌات‬:
( ) ( ) 𝟔 𝟑 𝟐
𝟏
( ) ( )
𝟒
𝟐
𝟎
( ) ( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟗
( ) ( ) 𝟒 ( 𝟏) 𝟒
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
181
/‫الحل‬( ) ( ) 𝟔 𝟑 𝟐
𝟏
̅( ) 𝟔 𝟔 .̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/
𝟔 𝟔 𝟎 𝟔 𝟔 𝟏 ̅(𝟏) 𝟎
̅̅( ) 𝟔 ̅̅( 𝟏) 𝟔 𝟎
∵̅(𝟏) 𝟎‫و‬̅̅(𝟏) 𝟔 𝟎
∴‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫توجد‬( 𝟏)
∴‫ال‬‫نهاٌة‬‫ال‬‫عظمى‬‫ال‬‫محلٌة‬: ً‫ه‬(𝟏) 𝟔(𝟏) 𝟑(𝟏) 𝟐
𝟏 𝟐
/‫الحل‬( ) ( )
𝟒
𝟐
𝟎
̅( ) 𝟏
𝟖
𝟑
.̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/
𝟏
𝟖
𝟑
𝟎 𝟑 𝟖 𝟎 𝟑 𝟖 𝟐 ̅( 𝟐) 𝟎
̅̅( )
𝟐𝟒
𝟒
̅̅( 𝟐)
𝟐𝟒
𝟏𝟔
𝟎
∵̅( 𝟐) 𝟎‫و‬̅̅( 𝟐) 𝟎
∴‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫توجد‬( 𝟐)
∴‫ال‬‫نهاٌة‬‫ال‬‫عظمى‬‫ال‬‫محلٌة‬: ً‫ه‬( 𝟐) 𝟐
𝟒
𝟒
𝟐 𝟏 𝟑
/‫الحل‬( ) ( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟗
̅( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 .̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/
𝟑 𝟐
𝟔 𝟗 𝟎
( 𝟑)
⇒ 𝟐
𝟐 𝟑 𝟎
( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏
̅̅( ) 𝟔 𝟔
‫عندما‬𝟏
‫فأن‬̅( 𝟏) 𝟎‫و‬̅̅( 𝟏) 𝟏𝟐 𝟎
∴‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫توجد‬( 𝟏)
∴‫ال‬‫نهاٌة‬‫ال‬‫عظمى‬‫ال‬‫محلٌة‬: ً‫ه‬( 𝟏) ( 𝟏) 𝟑 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟗( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟗 𝟓
‫عندما‬𝟑
‫فأن‬̅(𝟑) 𝟎‫و‬̅̅(𝟑) 𝟏𝟐 𝟎
∴‫نهاٌة‬ ‫توجد‬‫صرر‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫ى‬( 𝟑)
∴‫ال‬‫نهاٌة‬‫الصرر‬‫ى‬‫ال‬‫محلٌة‬: ً‫ه‬(𝟑) ( 𝟑) 𝟑 𝟑( 𝟑) 𝟐 𝟗( 𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
182
( ) ( ) 𝟒 ( 𝟏) 𝟒
/‫الحل‬
̅( ) 𝟒( 𝟏) 𝟑 .̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/
𝟒( 𝟏) 𝟑 𝟎 ( 𝟏) 𝟑 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ̅( 𝟏) 𝟎
̅̅( ) 𝟏𝟐( 𝟏) 𝟐 ̅̅( 𝟏) 𝟎
∵̅̅( 𝟏) 𝟎‫ترٌٌر‬ ‫مالحظة‬ ‫الى‬ ‫نعود‬ ‫لذا‬ ‫تنفع‬ ‫ال‬ ‫الطرٌمة‬ ‫هذه‬ ‫أذن‬‫إشارة‬̅‫بجوار‬( 𝟏)
fً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬* 𝟏+
f‫متنالص‬ً‫ف‬ ‫ة‬* 𝟏+
∴‫توجد‬‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬: ً‫ه‬( 𝟏) 𝟒 ( 𝟏 𝟏) 𝟒 𝟒
( ‫مثال‬2/)‫لتكن‬( ) 𝟐
𝟎
‫لٌمـة‬ ‫فجـد‬‫عنـد‬ ‫أنمـالب‬ ‫نمطـة‬ ‫تمتلـن‬ ‫الدالـة‬ ‫أن‬ ً‫ا‬‫علمـ‬‫الدالـة‬ ‫أن‬ ‫بـٌن‬ ‫ثـم‬ ,‫عظمـى‬ ‫نهاٌـة‬ ‫تمتلـن‬ ‫ال‬
‫ز‬ ‫محلٌة‬
/‫الحل‬
̅( ) 𝟐 𝟐
̅̅( ) 𝟐
𝟐
𝟑
̅̅(𝟏) 𝟐
𝟐
( 𝟏) 𝟑
𝟐 𝟐 . ̅̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟏
( ) 𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟐
𝟏
𝟐
(̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎 𝟐 𝟑 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏
𝟐
√
𝟏
𝟐
𝟑
̅̅( ) 𝟐
𝟐
𝟑
̅̅( ) 𝟐
𝟐
.
𝟏
𝟐
/
𝟐 𝟒 ̅̅( ) 𝟔 𝟎
∴‫نهاٌة‬ ‫توجد‬‫صرر‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫ى‬4 √
𝟏
𝟐
𝟑
5
∴‫الدالة‬‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬ ‫ال‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
183
‫وزاري‬2012/‫د‬1‫وزاري‬2013/‫د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬3
( ‫مثال‬3/)‫الثابتٌن‬ ً‫لٌمت‬ ‫عٌن‬‫الدال‬ ً‫لمنحن‬ ‫ٌكون‬ ً‫لك‬‫ـ‬‫ة‬𝟑 𝟐
‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
‫عند‬𝟏‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫ونهاٌة‬𝟐‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬‫ز‬
/‫الحل‬
𝟑 𝟐
̅ 𝟑 𝟐
𝟐
∵‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬𝟏⇐̅ 𝟎
𝟎 𝟑( 𝟏) 𝟐
𝟐 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟎 ( ‫معادلة‬ )
∵‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬‫صرر‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫ى‬𝟐⇐̅ 𝟎
𝟎 𝟑(𝟐) 𝟐
𝟐 (𝟐) 𝟏𝟐 𝟒 𝟎 ( ‫معادلة‬ )
( ‫المعادلتٌن‬ ‫وبحل‬1( ‫و‬ )2: ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫أنٌا‬ )
𝟑
𝟐
𝟔
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
𝟔 ̅ 𝟑 𝟐
𝟑 𝟔 ̅ 𝟔 𝟑 (̅ 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟔 𝟑 𝟎 𝟔 𝟑
𝟏
𝟐
4
𝟏
𝟐
5 4
𝟏
𝟐
5
𝟑
𝟑
𝟐
4
𝟏
𝟐
5
𝟐
𝟔 4
𝟏
𝟐
5
𝟏
𝟖
𝟑
𝟖
𝟑
𝟏 𝟑 𝟐𝟒
𝟖
𝟐𝟔
𝟖
4
𝟏
𝟐
5
𝟏𝟑
𝟒
‫الدالة‬fً‫ف‬ ‫ممعرة‬2
𝟏
𝟐
3
‫الدالة‬fً‫ف‬ ‫محدبة‬2
𝟏
𝟐
3
∴.
𝟏
𝟐
𝟏𝟑
𝟒
/‫أنمالب‬ ‫نمطة‬
( ‫مثال‬4/)‫أذا‬‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫كان‬( ) 𝟑 𝟐
‫فــ‬ ‫ممعـــر‬ً‫ـ‬* 𝟏+‫ومح‬ً‫ف‬ ‫ـدب‬* 𝟏+
: ‫المستمٌم‬ ‫وٌمس‬𝟗 𝟐𝟖‫النمطة‬ ‫عند‬( 𝟑 𝟏)‫الحمٌمٌة‬ ‫األعداد‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬
/‫الحل‬‫وزاري‬2014/‫د‬1
∵‫و‬ ‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫ألنها‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ً‫فــــ‬ ‫ممعـــرة‬* 𝟏+ً‫ف‬ ‫ومحـــدبة‬* 𝟏+
∴‫عند‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫تمتلن‬ ‫الدالة‬𝟏
̅( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ̅̅( ) 𝟔 𝟐 ̅̅(𝟏) 𝟔 𝟐 . ̅̅(𝟏) 𝟎 ‫نجعل‬/
𝟔 𝟐 𝟎
( 𝟐)
⇒ 𝟑 𝟎 𝟑 ( ‫معادلة‬ )
∵‫للمستمٌم‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬𝟗 𝟐𝟖‫هو‬(̅ 𝟗)‫عند‬𝟑
∴̅( 𝟑)‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬ ‫هو‬f‫عند‬𝟑
̅(𝟑) 𝟐𝟕 𝟔 𝟗 𝟐𝟕 𝟔
( 𝟑)
⇒ 𝟑 𝟗 𝟐 . ‫معادلة‬ /
‫النمطة‬( 𝟑 𝟏)‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( ) 𝟑 𝟐
𝟏 𝟐𝟕 𝟗 (③ ‫معادلة‬ )
( ‫المعادلة‬ ‫وبتعوٌض‬1( ً‫ف‬ )2: ‫على‬ ‫نحصل‬ )
𝟑 𝟗 𝟔 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑
( ‫وبتعوٌض‬𝟏( ‫و‬ )𝟑‫المعادلة‬ ً‫ف‬ )(3): ‫على‬ ‫نحصل‬
𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟏
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
184
( ‫مثال‬5/)‫للدالة‬ ‫كان‬ ‫أذا‬( )‫محلٌــ‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬‫تســــاوي‬ ‫ة‬8‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫و‬ ,
‫عند‬‫لٌمة‬ ‫فجد‬‫وزاري‬2015/‫د‬2
/‫الحل‬
̅ 𝟑 𝟐
𝟔 ̅ 𝟔 𝟔
∵‫للدالة‬‫أنمالب‬ ‫نمطة‬‫عند‬𝟏⇐̅ 𝟎
𝟎 𝟔 (𝟏) 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏
∵‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬‫عظم‬‫محلٌة‬ ‫ى‬‫تساوي‬(𝟖)⇐̅ 𝟎
̅ 𝟑 𝟐
𝟔 𝟎 𝟑 𝟐
𝟔 𝟎 𝟑 ( 𝟐)
𝟎 𝟐
******************************************************************
‫واج‬‫ب‬/‫للدالة‬ ‫كان‬ ‫أذا‬( )‫نهاٌة‬‫صرر‬‫تســــاوي‬ ‫محلٌــــة‬ ‫ى‬4‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫و‬ ,
‫عند‬‫لٌمة‬ ‫فجد‬
(𝟑 𝟒)‫تمارين‬
‫س‬1/‫لتكن‬( ) 𝟐
𝟔‫حيث‬,* 𝟒 𝟖+‫قيمة‬ ‫جد‬: ‫كانت‬ ‫اذا‬
‫الدالة‬ )‫(أ‬f)‫(ب‬ ‫محدبة‬‫الدالة‬f‫ممعرة‬
/‫الحل‬
( ) 𝟐
𝟔 ̅( ) 𝟐 𝟔
̅( ) 𝟐
‫محدبة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ .‫/أ‬
̅( ) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟎 𝟒
‫مقعرة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ .‫/ب‬
̅( ) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟎 𝟖
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
185
‫س‬2/‫كانت‬ ‫أذا‬(2,6)‫حرج‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬‫ـــــ‬‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ‫ة‬( ) ( ) 𝟒
‫لٌمة‬ ‫فجد‬‫نوع‬ ‫وبٌن‬
‫النمطة‬‫الحرجة‬‫ز‬
/‫الحل‬
̅( ) 𝟒( ) 𝟑(𝟏) ̅( ) 𝟒( ) 𝟑
‫حرجة‬ ‫نمطة‬ (𝟐 𝟔) ‫النمطة‬ ‫ألن‬ 𝟐 ‫عندما‬ ( ̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟎 𝟒( 𝟐 ) 𝟑
( 𝟒)
⇒ 𝟎 ( 𝟐 ) 𝟑 . ‫الثالث‬ ‫بالجذر‬ /
𝟎 𝟐
‫النمطة‬(𝟐 𝟔)‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( ) ( 𝟐) 𝟒
𝟔 (𝟐 𝟐) 𝟒
𝟔 𝟎 𝟔
‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ ‫نوع‬ ‫لبٌان‬‫الرسم‬ ‫نالحظ‬:
̅( ) 𝟒( 𝟐) 𝟑
∴‫النمطة‬( )‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬‫محلٌة‬ ‫عظمى‬
‫س‬3/‫كان‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟐
‫وكان‬( ) 𝟏 𝟏𝟐‫من‬ ‫كل‬ ‫وكان‬‫متماســـــــ‬‫عند‬ ‫ان‬
‫للدالة‬ ‫وكانت‬ ‫األنمالب‬ ‫نمطة‬f‫أنمالب‬ ‫نمطة‬(1, -11)‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬
/‫الحل‬‫وزاري‬2014/‫د‬2
∵‫الدالتٌن‬( ) ( )‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫متماستان‬
∴‫الدالتٌن‬ ‫مٌل‬( ) ( )‫عند‬( )‫أي‬ ‫متساوٌان‬‫أن‬̅( ) ̅( )
( ) 𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐
𝟐
( ) 𝟏 𝟏𝟐 ̅( ) 𝟏𝟐
𝟑 𝟐
𝟐 𝟑 (𝟏) 𝟐
𝟐 (𝟏) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 ( ‫معادلة‬① )
∵‫النمطة‬( )‫لدالة‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬( )⇐(̅̅( ) 𝟎)‫عندما‬( )
̅( ) 𝟔 𝟐 𝟔 𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟑 𝟎 ( ‫معادلة‬② )
‫النمطة‬( )‫الدالة‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( )
( ) 𝟏𝟏 ( ‫معادلة‬③ )
‫المعادالت‬ ‫وبحل‬①‫و‬②‫و‬③‫على‬ ‫نحصل‬ ‫سو‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬
( ‫معادلة‬① )
( ‫معادلة‬③ )
‫بالطرح‬
( ‫معادلة‬② ) ‫بالطرح‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
186
‫س‬4/‫كانت‬ ‫أذا‬(𝟔)‫الدال‬ ً‫لمنحن‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمثل‬‫ــــ‬‫ة‬( ) 𝟑 𝟐 𝟑
‫لٌمة‬ ‫فجد‬‫جد‬ ‫ثم‬
‫معادلة‬ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ً‫ف‬‫انمالبه‬ ‫نمطة‬‫؟‬
/‫الحل‬
( ) 𝟑 𝟐 𝟑 ̅( ) 𝟔 𝟑 𝟐
( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬)
𝟎 𝟔 𝟑 𝟐 ( 𝟑)
⇒ 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐 ) 𝟎 𝟐
‫النمطة‬( )‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ً‫تنتم‬( )
( ) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟑( 𝟎) 𝟐 ( 𝟎) 𝟑 𝟔
̅( ) 𝟔 𝟑 𝟐 ̅̅( ) 𝟔 𝟔 . ̅̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/
𝟎 𝟔 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏
( ) 𝟑 𝟐 𝟑 ( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟑
𝟔 𝟑 𝟏 𝟔 𝟖 ( 𝟏) 𝟖
∴‫النمطة‬( )‫المماس‬ ‫مٌل‬ ‫نمطة‬ ً‫وه‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬‫نحسب‬ ‫اي‬ (̅( )‫عندما‬)
̅(𝟏) 𝟔( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 ̅(𝟏) 𝟑
( ) 𝟖 𝟑( 𝟏) 𝟖 𝟑 𝟑
(ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ )
‫س‬5/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟐
‫وكانت‬‫ممعـ‬‫ـــ‬‫ــرة‬( 𝟏)‫ومحدبــــــ‬‫ة‬( 𝟏)
‫وللدالة‬fً‫ه‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬( 𝟏 𝟓)‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬
/‫الحل‬‫وزاري‬2012/‫د‬3
‫النمطة‬( 𝟏 𝟓)ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬( )
( ) 𝟑 𝟐
𝟓 ( 𝟏) 𝟑 ( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟓 ( ‫معادلة‬① )
‫النمطة‬( 𝟏 𝟓)‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬‫للدالة‬f⇐( ) 𝟎‫عندما‬( 𝟏)
( ) 𝟑 𝟐
𝟐 𝟎 𝟑 ( 𝟏) 𝟐
𝟐 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟎 ( ‫معادلة‬② )
∵‫الدالة‬‫ممع‬‫ـــ‬‫رة‬( 𝟏)‫ومحدب‬‫ـــــ‬‫ة‬( 𝟏)
∴‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫النه‬ ( 𝟏) ‫عندما‬
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬
̅( ) 𝟔 𝟐 𝟎 𝟔 (𝟏) 𝟐 𝟔 𝟐 𝟎 ( ‫معادلة‬③ )
‫المعادالت‬ ‫وبحل‬①‫و‬②‫و‬③‫على‬ ‫نحصل‬ ‫سو‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬
( ‫معادلة‬① )
( ‫معادلة‬② )
‫بالجمع‬
( )
( ‫معادلة‬③ ) ‫بالجمع‬
( )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
187
‫س‬6/‫لتكن‬( )‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫برهن‬‫ز‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬ ‫ال‬
/‫الحل‬‫وزاري‬2013/‫د‬1
( ) 𝟐 𝟏
̅( ) 𝟐 𝟐
̅( ) 𝟐
𝟐
( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬)
𝟎 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟑 𝟑
𝟐
. ‫معادلة‬ /
̅̅( ) 𝟐 𝟐 𝟑 ̅̅( ) 𝟐
𝟐
𝟑
. ‫معادلة‬ /
‫وبتعوٌض‬‫المعادلة‬(1)ً‫ف‬(2: ‫على‬ ‫نحصل‬ )
̅̅( ) 𝟐
𝟐
.
𝟐
/
𝟐
𝟐
𝟏
4
𝟐
5 𝟐 𝟒 𝟔 ̅̅( ) 𝟔
∴‫الدالة‬‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬‫ألن‬̅̅( ) 𝟔 𝟎
∴‫الدالة‬‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬ ‫ال‬‫محلٌة‬ ‫عظمى‬‫لٌمة‬ ‫كانت‬ ‫مهما‬( )
‫س‬7/‫المس‬‫ـــ‬‫تمٌم‬𝟑 𝟕ً‫المنحن‬ ‫ٌمس‬𝟐
‫عند‬(𝟐 𝟏)‫نهاٌــ‬ ‫له‬ ‫وكانت‬‫ـــ‬‫ـة‬
‫عند‬ ‫محلٌة‬
𝟏
𝟐
‫لٌمة‬ ‫جد‬‫؟‬ ‫النهاٌة‬ ‫نوع‬ ‫وما‬ ,
/‫الحل‬‫وزاري‬2015/‫د‬1‫وزاري‬2016/‫د‬1
‫النمطة‬(𝟐 𝟏)‫نعوض‬ ‫حٌث‬ : ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( 𝟏 𝟐)
𝟐
𝟏 ( 𝟐) 𝟐
( 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟏 ( ‫معادلة‬① )
∵‫نهاٌة‬ ً‫للمنحن‬‫عند‬ ‫محلٌة‬
𝟏
𝟐
⇐‫عندما‬
𝟐 𝟎 𝟐 ( ) 𝟎 ( ‫معادلة‬② )
‫معادلته‬ ‫من‬ ‫المماس‬ ‫المستمٌم‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫نجد‬:
‫معامل‬
‫معامل‬
‫نجد‬ ‫اي‬ ( ‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬ ‫نجد‬‫عندما‬)
𝟐 𝟒
∵‫المماس‬ ‫المستمٌم‬ ‫مٌل‬‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬
𝟒 𝟒 𝟑 ( ‫معادلة‬③ )
‫بحل‬‫ا‬‫لمعادلتٌن‬(2)‫و‬(3)ً‫ا‬ٌ‫أن‬: ‫على‬ ‫نحصل‬
( ‫معادلة‬② )
( ‫معادلة‬③ )
‫بالطرح‬
( ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫)نعوض‬②
( 𝐜 ‫ألٌجاد‬ ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نع‬‫وض‬ )
( ) ( )
( ) 𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒
𝟏
𝟐
𝟑 𝟑
𝟏
𝟒
∴‫النمطة‬.
𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟒
/‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمثل‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
188
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫والنمط‬ ‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬ ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫جد‬:‫األتٌة‬ ‫للدوال‬ ‫النهاٌات‬ ‫نماط‬ ‫ولٌم‬ ‫الحرجة‬
( ) ( ) 𝟑
𝟑 𝟐
̅( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ /
( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎
𝟒 𝟎 𝟎
( )( )ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬
(‫النمطة‬(0,0‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
‫تساوي‬ ‫المحلٌة‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬( )
(‫النمطة‬(2,-4‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬
‫تساوي‬ ‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬( )
‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬2 3
‫الفترة‬ = ‫التنالص‬ ‫مناطك‬( )
( ) ( ) 𝟐
𝟔 𝟒
̅( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ /
𝟑 𝟗 𝟏𝟖 𝟒 𝟓
(𝟑 𝟓)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬
( ‫النمطة‬(3,-5‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬
‫تساوي‬ ‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬( )
‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬* +
‫التنالص‬ ‫مناطك‬* +
( ) ( ) 𝟒
̅( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ /
𝟎
(𝟎 𝟎)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬
(‫النمطة‬(0,0‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬
‫تساوي‬ ‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬( )
‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬* +
‫التنالص‬ ‫مناطك‬* +
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
189
( ) ( ) 𝟐 𝟑
̅( ) . ̅( ) ‫جعل‬ ‫الٌمكن‬/ 𝟎
‫حرجة‬ ‫نمط‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬* +
( ) ( )
𝟐
𝟏
𝟐 𝟒
̅( )
( 𝟐 𝟒)(𝟐 ) ( 𝟐 𝟏)(𝟐 )
( 𝟐 𝟒)
𝟐
𝟐 𝟑 𝟖 𝟐 𝟑 𝟐
( 𝟐 𝟒)
𝟐
𝟏𝟎
( 𝟐 𝟒)
𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟏𝟎
( 𝟐 𝟒) 𝟐
𝟎 𝟏𝟎 𝟎 𝟎
𝟏
𝟒
(𝟎
𝟏
𝟒
) ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬
‫النمطة‬.𝟎
𝟏
𝟒
/‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
= ‫المحلٌة‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬
‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬{
( )‫الفترة‬
‫التنالص‬ ‫مناطك‬ ‫و‬{
( )‫الفترة‬
‫مثال‬/‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬‫الدال‬ ً‫لمنحن‬ ‫كان‬ ‫أذا‬‫ــــــــــ‬‫ة‬( )‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬
ً‫ه‬ ‫محلٌة‬( )
/‫الحل‬
‫النمطة‬(3,-5)‫والمشتمة‬ ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬‫األولى‬‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬‫عندما‬( 𝟑)
( ) 𝟐
𝟒 𝟓 𝟗 𝟑 𝟒 𝟗 𝟗 𝟑
( 𝟑)
⇒ 𝟑 𝟑 ‫معادلة‬①
̅( ) 𝟐 . ̅( ) ‫نجعل‬ /
𝟎 𝟐 (𝟑) 𝟔 𝟎 ②‫معادلة‬
‫المعادلة‬ ‫وبحل‬①‫والمعادلة‬②: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ً‫ال‬‫ح‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
190
‫مثال‬/‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬‫الدالـ‬ ً‫لمنحن‬ ‫كان‬ ‫أذا‬‫ـــ‬‫ــة‬( ) ( )‫نهاٌـــ‬ ‫نمطة‬‫ــ‬‫ـة‬
ً‫ه‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬( )
/‫الحل‬‫النمطة‬(𝟏 𝟔)‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬ ‫والمشتمة‬ ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬
( ) ( ) 𝟔 ( ) ‫معادلة‬①
̅( ) ( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ /
𝟎 ( )
( 𝟐)
⇒ 𝟏 ②‫معادلة‬
‫نعو‬‫المعادلة‬ ‫ض‬②‫المعادلة‬ ً‫ف‬①: ‫على‬ ‫فنحصل‬
( ) 𝟔 𝟎 ( 𝟑)( 𝟐) 𝟎
(‫)ٌهمل‬
‫مثال‬/‫لتكن‬( )‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬ٌ‫محل‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬‫ـــ‬‫ة‬
‫عندما‬( )‫عندما‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫ونهاٌة‬( )
/‫الحل‬‫المشتمة‬ ‫على‬ ‫الحل‬ ً‫ف‬ ‫نعتمد‬ ‫لذلن‬ ‫فمط‬ ‫والصررى‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌات‬ ‫نماط‬ ‫حدد‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬‫األولى‬‫فمط‬
( )
̅( ) . ‫لٌم‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬ ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟏 ( ) ( ) 𝟒 𝟑 ( ‫معادلة‬① )
𝟑 ( ) ( ) 𝟐𝟕 (②‫معادلة‬ )
‫المعادلة‬ ‫وبحل‬①‫والمعادلة‬②: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝟏𝟔 𝟐𝟒
𝟑
𝟐
① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬
(
𝟑
𝟐
)
‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬(5)‫للدالة‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمثل‬( ) 𝟑
𝟑 𝟑‫لٌمة‬ ‫فجد‬
/‫الحل‬‫لٌمة‬ ‫وأنما‬ ‫كاملة‬ ‫النمطة‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬( 𝟓)‫لٌم‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌجب‬ ‫لذا‬ ‫فمط‬‫نه‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ‫ٌكون‬ ‫حتى‬‫ـــــ‬‫عظمى‬ ‫اٌة‬
‫محلٌة‬‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫الدالة‬ ‫مشتمة‬ ‫عندما‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫او‬(̅( ) 𝟎)
̅( ) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏 𝟏
‫النمطة‬((-1,5‫الدالة‬ ‫وتحمك‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
( ) 𝟑 𝟑 𝟏
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
191
‫مثال‬/‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬( )ً‫ه‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬(3,10)‫لٌمة‬ ‫فجد‬
/‫الحل‬‫النمطة‬(3,10)‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬ ‫والمشتمة‬ ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬
( ) 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟑
( 𝟐)
⇒ 𝟐𝟎 𝟔 ( ‫معادلة‬① )
( ) ( ) ̅( ) ( ) ̅( )
( )
( ̅( ) ‫نجعل‬ )
( ) ( )
( 𝟒)
⇒ 𝟒 𝟎 (②‫معادلة‬ )
‫المعادلة‬ ‫وبحل‬①‫والمعادلة‬②: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝟐 ② ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬
( )
‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟐
𝟗‫وكانت‬( 𝟏) 𝟓 ‫و‬ ̅(𝟑) 𝟎‫لٌم‬ ‫فجد‬
/‫الحل‬
( ) ( 𝟏) ( ) ( ) ( )
𝟓 𝟒 ( ‫معادلة‬① )
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟐 𝟗 ̅(𝟑) 𝟑 (𝟑) 𝟐
𝟐 (𝟑) 𝟗
𝟎 𝟎 𝟗 𝟐 𝟑 .②‫معادلة‬ /
‫مثال‬/: ‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫االنمالب‬ ‫ونمط‬ ‫التمعر‬ ‫ومناطك‬ ‫التحدب‬ ‫مناطك‬ ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫جد‬
( ) ( ) 𝟑
𝟑 𝟐
̅( ) ̅( ) .
̅( ) ‫نجعل‬ /
𝟏
‫مرشحة‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ( )‫النمطة‬
‫النمطة‬( )‫انمالب‬ ‫نمطة‬
‫التحدب‬ ‫مناطك‬* +
‫التمعر‬ ‫مناطك‬* +
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
192
( ) ( ) ( 𝟏) 𝟒
̅( ) ( ) ̅( ) ( ) .
̅( ) ‫نجعل‬ /
( ) ( ) 𝟏
‫مرشحة‬ ‫حرجة‬ (𝟏 𝟎)‫النمطة‬
‫التمعر‬ ‫مناطك‬* * +}
( ) ( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟐𝟒 𝟐
̅( ) ̅( ) .
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
( ) ( ) ( )
‫مرشحة‬ ‫انمالب‬ ‫(نمطة‬ 𝟏 𝟐𝟖)‫النمطة‬
‫التحدب‬ ‫مناطك‬* 𝟏+
‫التمعر‬ ‫مناطك‬* 𝟏+
‫مثال‬/‫لتكن‬( ) 𝟐
‫حٌث‬‫وكان‬* 𝟐 𝟓+
‫لٌمة‬ ‫فجد‬A‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬( )‫ممعرة‬( )‫محدبة‬
/‫الحل‬
‫أشاره‬ ‫على‬ ‫اعتمادا‬ ‫ممعرة‬ ‫أو‬ ‫محدبة‬ ‫الدالة‬ ‫تكون‬
̅( )‫نجد‬ ‫سو‬ ‫لذلن‬
̅( )
( ) ̅( ) ̅( )
‫ممعرة‬ ‫الدالة‬ ‫أذا‬ ( )
̅( )
‫محدبة‬ ‫الدالة‬ ‫أذا‬ ( )
̅( )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
193
‫مثال‬/‫الدال‬ ً‫منحن‬‫ــــــ‬‫ــــــ‬‫ــ‬‫ة‬( ) 𝟑 𝟐
𝟓‫مح‬ ‫ٌمس‬‫ــ‬‫الس‬ ‫ور‬‫ـــ‬‫النمطة‬ ‫عند‬ ‫ٌنات‬(2,0)
‫نمط‬ ‫وله‬‫ــــــ‬ً‫ه‬ ‫أنمالب‬ ‫ة‬(0,5)‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬
/‫الحل‬‫النمطة‬(𝟎 𝟓)‫والمشتمة‬ ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬‫الثانٌة‬‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬‫ولٌمة‬( )‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬
( ) 𝟑 𝟐
𝟓 ( ) (𝟎) (𝟎) (𝟎) 𝟓 (‫ٌنفع‬ ‫ال‬ )
̅( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟔 𝟐 𝟎 𝟔 ( 𝟎) 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎
‫النمطة‬(𝟐 𝟎)ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬
( ) 𝟑 𝟐
𝟓 𝟖 𝟐 𝟓 ‫معادلة‬①
‫المشتمة‬‫األولى‬̅( )‫عند‬‫النمطة‬(𝟐 𝟎)‫تساوي‬))‫صفر‬‫عندما‬( 𝟐)‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫تمس‬ ‫ألنها‬
̅( ) 𝟐
( ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوضها‬ )①
𝟖 𝟐 𝟓 𝟖 𝟐( 𝟏𝟐 ) 𝟓 𝟖 𝟐𝟒 𝟓 𝟏𝟔 𝟓
𝟓
𝟏𝟔
(
𝟓
𝟏𝟔
)
‫مثال‬/‫لتكن‬( ) 𝟑 𝟐
‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬‫للدال‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬‫ـــــــ‬‫ص‬ ‫نهاٌة‬ ‫ة‬‫ــــــ‬‫ررى‬
‫عندما‬ ‫محلٌة‬( 𝟒)‫ونمطة‬‫انمالب‬‫عندما‬( 𝟏)
/‫الحل‬
( ) 𝟑 𝟐 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟐 ̅( ) 𝟔 𝟐
̅( ) ( )
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟐 ( )( )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
194
‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬(6)‫للدالـة‬ ‫محلٌـة‬ ‫عظمـى‬ ‫نهاٌـة‬ ‫تمثـل‬( ) 𝟑
𝟑 𝟐
‫لٌمـة‬ ‫فجـد‬‫جـد‬ ‫ثـم‬
‫المماس‬ ‫معادلة‬‫انمالبه‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ً‫للمنحن‬‫ز‬
/‫الحل‬
( ) 𝟑
𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐
𝟔 ( ̅( ) ‫نجعل‬ )
𝟎 𝟑 𝟐
𝟔 𝟐
𝟐 ( )
‫النمطة‬(0,6)‫الدالة‬ ‫وتحمك‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬
( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟔 𝟎 𝟎 𝟔
( ) 𝟑 𝟐
𝟔
̅( ) 𝟔 𝟔 .
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟔 𝟔 ( ) 𝟑 𝟔
‫النمطة‬( )‫المماس‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫وتحمك‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬
‫المماس‬ ‫مٌل‬ ‫نجد‬ ‫األن‬‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬)‫األولى‬ ‫المشتمة‬ = ‫المماس‬ ‫(مٌل‬ ‫حٌث‬‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫لانون‬ ‫ونستخدم‬
( ) 𝟑 𝟐
𝟔 𝟑(𝟏) 𝟐
𝟔(𝟏) 𝟑 𝟔 𝟑
𝟏 ( 𝟏) 𝟒 𝟑( 𝟏) 𝟒 𝟑 𝟑
𝟑 𝟕 𝟎 ( ‫انمالبه‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ )
******************************************************************
‫والنمط‬ ‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬ ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫جد‬‫األتٌة‬ ‫للدوال‬ ‫النهاٌات‬ ‫نماط‬ ‫ولٌم‬ ‫الحرجة‬:
( ) ( )
𝟐 𝟏
𝟑
( ) ( )
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
( ) ( ) 𝟐
𝟏( ) ( ) 𝟑
(𝟒 )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
195
‫للدالة‬ ً‫البٌان‬ ‫المخطط‬ ‫رســم‬
‫دالة‬ ‫ألي‬ ً‫البٌان‬ ‫المخطط‬ ‫لرسم‬‫معطاة‬‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬‫للرسم‬ ‫األساسٌة‬ ‫النمط‬ ‫تمثل‬ ً‫والت‬:
❶‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬❷‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬❸‫التناظر‬❹‫المحاذٌات‬❺‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
❻‫دراسة‬
̅( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬❼‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
❶: ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬‫كانت‬ ‫أذا‬‫الى‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬( )‫لٌم‬ ‫كل‬ ‫هو‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫فأن‬( )‫ص‬ ‫لها‬ ً‫الت‬ ‫الحمٌمٌة‬‫ــ‬‫ور‬( )
‫الدالة‬ ‫بواسطة‬( )‫فٌها‬ ‫الموجودة‬ ‫المترٌرات‬ ‫حسب‬ ‫أشكال‬ ‫ثالث‬ ‫الى‬ ‫الدوال‬ ‫تمسٌم‬ ‫ٌمكن‬ ‫ولهذا‬
ⓐ‫الحــدود‬ ‫كثٌــرات‬ ‫الــدوال‬:‫مترٌرهــا‬ ً‫التــ‬ ‫الــدوال‬ ً‫وهــ‬( )‫داخــل‬ ً‫فــ‬ ‫موجــود‬ ‫غٌــر‬ ‫وكــذلن‬ ‫الدالــة‬ ‫ممــام‬ ً‫فــ‬ ‫موجــود‬ ‫غٌــر‬
‫لها‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫وٌكون‬ ‫الجذر‬
ⓑ‫الكس‬ ‫ـــدوال‬‫ـ‬‫ال‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ـــــــــ‬:‫رٌة‬‫وه‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫مترٌره‬ ً‫ـــ‬‫ـ‬‫الت‬ ‫ـــدوال‬‫ـ‬‫ال‬ ً‫ــــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫ا‬( )‫الدال‬ ‫ـــام‬‫ـ‬‫مم‬ ً‫ـــ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـــود‬‫ـ‬‫موج‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ــــــ‬‫وٌك‬ ‫ة‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ــــــ‬‫اوس‬ ‫ون‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫ع‬
‫مج‬‫ــــــ‬‫ل‬ ‫ال‬‫ــ‬‫ها‬
{𝟎 ‫الممام‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬ ‫}المٌم‬
ⓒ‫الدوال‬‫الجـــــــــــــــ‬:‫ذرٌة‬‫مترٌرها‬ ً‫الت‬ ‫الدوال‬ ً‫وه‬( )‫نوعان‬ ً‫وه‬ ‫الجذر‬ ‫داخل‬ ً‫ف‬ ‫موجود‬:
‫األول‬ ‫النوع‬:‫لٌم‬ ‫هو‬ ‫لها‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫وٌكون‬ ‫فردي‬ ‫جذرها‬ ‫دلٌل‬ ‫جذرٌة‬ ‫دوال‬( )‫الجذر‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬‫معرفا‬
:ً‫الثان‬ ‫النوع‬‫جذرها‬ ‫دلٌل‬ ‫جذرٌة‬ ‫دوال‬ً‫زوج‬‫لٌم‬ ‫هو‬ ‫لها‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫وٌكون‬( )‫الجذر‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬‫معرفا‬
ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬①/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫جد‬:
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )ⓐ ( )
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )ⓑ ( )
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )ⓒ ( ) ( )
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )ⓓ ( ) ( )( )
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )
Ⓔ ( )
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )
Ⓕ ( )
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )Ⓖ ( ) √
√
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )Ⓗ ( ) √
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )
Ⓘ ( )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
196
ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬②/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫جد‬:
① ( )
𝟐 𝟑
𝟐
➨ *𝟐+⁄
② ( )
𝟐
𝟐 𝟒
➨ * 𝟐+⁄
③ ( )
𝟏
𝟐 𝟏
➨ * 𝟏+⁄
‫الخاطئ‬ ‫الحل‬ ‫الى‬ ‫تؤدي‬ ‫النها‬ ‫المقام‬ ‫تبسيظ‬ ‫طرق‬ ‫تستخذم‬ ‫ال‬
( )
𝟏
𝟐 𝟏
𝟏
( 𝟏)( 𝟏)
𝟏
( 𝟏)
* 𝟏+⁄ (‫خاطئ‬ ‫حل‬ )
④ ( )
𝟐 𝟑
.
𝟑
𝟐
/
( ) (𝟐 𝟑 ) (
𝟐
𝟑
) ➨ * 𝟑+⁄
( )
𝟑 𝟐
➨ *𝟎+⁄
‫الدوال‬ ‫من‬ ً‫خال‬ ‫فالمنهج‬ ‫الجذرٌة‬ ‫الدوال‬ ‫أما‬‫لالطالع‬ ‫أمثلة‬ ‫سأضع‬ ‫لذلن‬ ‫علٌها‬ ‫مثال‬ ‫أي‬ ً‫ٌعط‬ ‫ولم‬ ‫الجذرٌة‬
ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬③/:‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫جد‬
① ( ) √𝟐 𝟖
𝟐
➨ * 𝟒+
② ( ) √
𝟏
𝟐 𝟖
𝟐
➨ *𝟒+⁄
❷‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬:‫نوعٌن‬ ‫على‬ ‫وهو‬:
(a)‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬( ):‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫ألٌجاد‬( )‫نجعل‬( 𝟎)‫لٌم‬ ‫الٌجاد‬( )
(b)ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬( ):‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫ألٌجاد‬( )‫نجعل‬( 𝟎)‫لٌم‬ ‫الٌجاد‬( )
ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬④/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫جد‬:
( ) ( ) 𝟑
𝟒
𝟎 𝟎
𝟎 𝟑
𝟒 𝟎 ( 𝟐
𝟒) 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎
(𝟐 𝟎) ( 𝟐 𝟎) (𝟎 𝟎 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
197
( ) ( ) ( 𝟐) 𝟑
𝟎 𝟖
𝟎 ( 𝟐) 𝟑
𝟎 𝟐
(𝟐 𝟎) (𝟎 𝟖 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
( ) ( )
𝟑
𝟒
𝟎
𝟑
𝟒
𝟎
𝟑
𝟒
𝟎 𝟑 𝟑
(𝟑 𝟎) (𝟎
𝟑
𝟒
) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
❸: ‫التناظر‬: ‫نوعٌن‬ ‫على‬ ‫وهو‬
(a)‫الم‬ ‫ٌكون‬‫ن‬‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫متناظر‬ ً‫حن‬(y-axis)‫المترٌر‬ ‫أسس‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬(x)‫أن‬ ‫أي‬ ‫زوجٌة‬ ‫كلها‬( ) ( )‫أي‬‫أن‬
( ) ➨ ( ) ( )
(b)‫الم‬ ‫ٌكون‬‫ن‬‫متناظر‬ ً‫حن‬‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫حول‬‫المترٌر‬ ‫أسس‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬(x)‫كلها‬‫فردٌة‬‫أن‬ ‫أي‬( ) ( )‫أن‬ ‫أي‬
( ) ➨ ( ) ( )
ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬⑤/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫التناظر‬ ‫جد‬‫التناظر‬ ‫وجود‬ ‫حالة‬ ً‫ف‬ ‫ذلن‬ ‫برهن‬ ‫ثم‬:
➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /ⓐ ( )
➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /ⓑ ( )
➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /ⓒ ( )
➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /
ⓓ ( )
➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /
Ⓔ ( )
➨ .‫فرديـــــــة‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /Ⓕ ( )
➨ .‫فرديـــــــة‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /Ⓖ ( )
➨ .‫فرديـــــــة‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /Ⓗ ( )
➨ ( ‫المتغيير‬ ‫اسس‬ ‫الختالف‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ )
Ⓘ
( )
( )
( ) ( )
}
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
198
‫البرهان‬‫األمثلة‬ ‫جمٌع‬ ً‫ف‬ ‫متشابه‬‫السابمة‬‫التناظر‬ ‫من‬ ‫نوع‬ ‫لكل‬ ‫مثال‬ ‫سنبرهن‬ ‫لذا‬
Ⓔ ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
Ⓕ ( ) ( ) ( ) ( ) , - ( ) ( )
❹‫المحاذٌات‬:‫لل‬ ‫دراستنا‬‫فمط‬ ‫الكسرٌة‬ ‫الدوال‬ ‫على‬ ‫تمتصر‬ ‫محاذٌات‬
‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫الموازي‬ ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬
‫الطرٌمة‬: ‫األولى‬
‫نجعل‬
( )
( )
‫نجعل‬ ‫ثم‬( ) 𝟎‫لٌم‬ ‫ونجد‬( )‫ولتكن‬( )‫ز‬ ً‫األفم‬ ‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬ ً‫فه‬
: ‫الثانٌة‬ ‫الطرٌمة‬
‫مع‬ ‫تكون‬‫ادلته‬‫عدد‬‫حاص‬ ‫هو‬ ‫العدد‬ ‫هذا‬‫ـــ‬‫من‬ ‫درجة‬ ‫االكبر‬ ‫الحد‬ ‫معامل‬ ‫على‬ ‫البسط‬ ‫من‬ ‫درجة‬ ‫االكبر‬ ‫الحد‬ ‫معامل‬ ‫لسمة‬ ‫ل‬
‫تساوي‬ ‫بشرط‬ ‫الممام‬‫الدرجتٌن‬
‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫الموازي‬ ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬
: ‫األولى‬ ‫الطرٌمة‬
‫نجعل‬
( )
( )
‫نجعل‬ ‫ثم‬( ) 𝟎‫لٌم‬ ‫ونجد‬( )‫ولتكن‬( )‫ز‬ ً‫الشالول‬ ‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬ ً‫فه‬
: ‫الثانٌة‬ ‫الطرٌمة‬
‫معادلته‬ ‫تكون‬‫عدد‬‫هو‬ ‫العدد‬ ‫هذا‬‫المجموعة‬ ‫من‬ ‫ٌستثنى‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬R‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫حساب‬ ‫عند‬ ‫الممام‬ ً‫ف‬‫ز‬
ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬⑥/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المحاذٌة‬ ‫المستمٌمات‬ ‫ومعادالت‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫جد‬:
( ) ( )
𝟑 𝟒
𝟐
𝟐 𝟎 𝟐 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
( )
𝟑 𝟒
𝟐
𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟐 ( 𝟑) 𝟒 𝟐
𝟒 𝟐
𝟑
𝟑 𝟎 𝟑 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫الثانٌة‬ ‫الطرٌمة‬ ‫الحظ‬ ‫او‬
* +⁄
ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
𝟑 𝟒
𝟐
𝟑
ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
199
( ) ( )
𝟑
𝟐 𝟒
* +⁄
‫الشالولٌة‬ ‫المحاذٌات‬
‫االفمٌة‬ ‫المحاذٌات‬
𝟑
𝟐 𝟒
𝟎 𝟐
𝟑
𝟐 𝟒
(‫الدرجتٌن‬ ‫)نساوي‬
( ) ( )
𝟐
𝟑 𝟑
𝟓
* +⁄
‫الشالولٌة‬ ‫المحاذٌات‬
‫االفمٌة‬ ‫المحاذٌات‬
𝟐
𝟑 𝟑
𝟓
𝟐
𝟑 𝟑
𝟎 𝟐 𝟓
(‫الدرجتٌن‬ ‫)نساوي‬
‫معرف‬ ‫غٌر‬
( ) ( )
𝟓
* +⁄
‫الشالولٌة‬ ‫المحاذٌات‬
‫االفمٌة‬ ‫المحاذٌات‬
𝟓 𝟎 𝟓
(‫الدرجتٌن‬ ‫)نساوي‬
( ‫مثال‬1/)‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫بمعلوماتن‬ ‫باألستعانة‬ ‫أرسم‬:( ) 𝟓
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ً‫المنحن‬
( ) ➨ ( ) ( )
( ) ( ) 𝟓 𝟓 ( )
‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬) ‫كسرٌة‬ (
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
‫األحداثٌٌن‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬ (𝟎 𝟎) ‫النمطة‬
‫وزاري‬2013/‫د‬3
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
200
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟓 𝟒 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟓 𝟒
𝟎 𝟎
( ) 𝟓 (𝟎) 𝟎 𝟎
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟐𝟎 𝟑
.
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟐𝟎 𝟑
𝟎 𝟎
( ) 𝟓 (𝟎) 𝟎 𝟎
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
201
( ‫مثال‬2/)‫الدالة‬ ‫بالتفاضل‬ ‫بمعلوماتن‬ ‫باألستعانة‬ ‫أرسم‬:( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟒
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( ) ( ) 𝟑
𝟑( ) 𝟐
𝟒 𝟑 𝟐 𝟒
∴‫ال‬: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬
( ) ( ) ( ) ( )
‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬) ‫كسرٌة‬ (
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟒
𝟎 (‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫ٌمكن‬ ‫ال‬ )
‫نمطة‬‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟎 𝟒) ‫النمطة‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟔 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟐
(𝟎) 𝟒 𝟒 (𝟎 𝟒)
(𝟐) 𝟎 𝟎 (𝟐 𝟎)
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟔 𝟔 .
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟔 𝟔 𝟎 𝟔 𝟔 𝟏
(𝟏) 𝟐 𝟐 (𝟏 𝟐)
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
202
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
( ‫مثال‬3/)‫الدالة‬ ‫بالتفاضل‬ ‫بمعلوماتن‬ ‫باألستعانة‬ ‫أرسم‬:( )
𝟑 𝟏
𝟏
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬/{-1}
‫التناظر‬/
∵‫العدد‬(𝟏)‫العدد‬ ‫ولكن‬ ‫الدالة‬ ‫مجال‬ ‫الى‬ ً‫ٌنتم‬( 𝟏)‫الدال‬ ‫مجال‬ ‫الى‬ ً‫ٌنتم‬ ‫ال‬‫ــــــ‬‫محور‬ ‫مع‬ ‫متناظر‬ ‫غٌر‬ ً‫فالمنحن‬ ‫لذلن‬ ‫ة‬
‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫متناظر‬ ‫وغٌر‬ ‫الصادات‬
∴‫ال‬‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬
/ ‫المحاذٌات‬
𝟏 𝟎 𝟏 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
( )
𝟑 𝟏
𝟏
𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 ( 𝟑) 𝟏
𝟏
𝟑
𝟑 𝟎 𝟑 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
𝟑 𝟏
𝟏
𝟑 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏
𝟏
𝟑
‫نمط‬‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬‫ٌن‬ .
𝟏
𝟑
𝟎/ (𝟎 𝟏) ‫النمط‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
𝟒
( 𝟏) 𝟐
𝟎 𝟒 𝟎 (‫ممكن‬ ‫غٌر‬ )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
203
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( 𝟏) 𝟐( 𝟎) 𝟒, 𝟐( 𝟏)-
( 𝟏) 𝟒
𝟖( 𝟏)
( 𝟏) 𝟒
𝟖
( 𝟏) 𝟑
( )
(‫ممكن‬ ‫غٌر‬ )
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
( ‫مثال‬4/)‫بأستخدام‬‫بالتفاضل‬ ‫معلوماتن‬ً‫المنحن‬ ‫أرسم‬:( )
𝟐
𝟐 𝟏
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( )
( ) 𝟐
( ) 𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟏
( )
∴: ‫ألن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ً‫المنحن‬( ) ( )
/ ‫المحاذٌات‬
𝟐
𝟏 𝟎 ‫عمودي‬ ‫محاذي‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬
( )
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟏)
𝟐
𝟏
𝟏 𝟎 𝟏 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
204
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
‫نمط‬‫ة‬‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟎 𝟎)
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
𝟐
( 𝟏) 𝟐
𝟎
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( ) ( ) , ( )-
( )
( ), -
( ) ( )
.
̅( ) ‫نجعل‬ /
( )
( )
⇒
√
( ) (
√
)
(
√
)
(
√
)
. /
. /
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
205
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
(𝟑 𝟓)‫تمارين‬
: ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫بأستخدام‬ ‫أرسم‬
(𝟏) ( ) 𝟏𝟎 𝟑 𝟐
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( ) 𝟏𝟎 𝟑( ) ( ) 𝟐
𝟏𝟎 𝟑 𝟐
∴‫ال‬‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬: ‫ألن‬
( ) ( ) ( ) ( )
‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬) ‫(كسرٌة‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟏𝟎
( )( )
𝟓 𝟐
( 𝟓 𝟎) (𝟐 𝟎) (𝟎 𝟏𝟎 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟑 𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟑 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
.
𝟑
𝟐
/ 𝟏𝟎 𝟑 .
𝟑
𝟐
/ .
𝟑
𝟐
/
𝟐
𝟏𝟎
𝟗
𝟐
𝟗
𝟒
𝟒𝟎 𝟏𝟖 𝟗
𝟒
𝟒𝟗
𝟒
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
206
‫النمطة‬.
𝟑
𝟐
𝟒𝟗
𝟒
/‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬
2
𝟑
𝟐
3 ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
{
𝟑
𝟐
} ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) ( ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ ‫دائما‬ ‫محدب‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫فلهذا‬ ‫لٌمة‬ ‫تكون‬ ‫مهما‬ ‫دائما‬ ‫سالب‬ )
* +ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
( 𝟐) ( ) 𝟐
𝟒 𝟑
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( ) ( ) 𝟐
𝟒( ) 𝟑 𝟐
𝟒 𝟑
∴‫ال‬: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬
( ) ( ) ( ) ( )
‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬) ‫(كسرٌة‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟑
( )( )
( 𝟑 𝟎) ( 𝟏 𝟎) (𝟎 𝟑 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
207
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏
‫النمطة‬( 𝟐 𝟏)‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬‫صرر‬‫محلٌة‬ ‫ى‬
* 𝟐+ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
* 𝟐+ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟐 ( ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ ‫دائما‬ ‫ممعر‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫فلهذا‬ ‫لٌمة‬ ‫تكون‬ ‫مهما‬ ‫دائما‬ ‫موجب‬ )
* +ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( ) ∴
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
( 𝟑) ( ) ( 𝟏 ) 𝟑
𝟏 𝟐‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬ 𝟐‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟑 ‫وزاري‬
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( ) (𝟏 ( ))
𝟑
𝟏 (𝟏 ) 𝟑
𝟏
∴‫ال‬: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬
( ) ( ) ( ) ( )
‫المحاذٌات‬‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ /)‫(كسرٌة‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 (𝟏 𝟎) 𝟑
𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐
(𝟏 ) 𝟑
𝟏 (𝟏 ) 𝟑
‫للطرفٌن‬ ‫الثالث‬ ‫بالجذر‬
(𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
208
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) ( ) ( ) ̅( ) ( ) ( ̅( ) ‫نجعل‬ )
( ) ( )
( ) ( ‫الطرفٌن‬ ‫)نجذر‬
( ) (𝟏 ) 𝟑
𝟏 (𝟏) (𝟏 𝟏) 𝟑
𝟏 𝟎 𝟏 𝟏
‫النمطة‬(𝟏 𝟏)‫فمط‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬
* 𝟏+ * 𝟏+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) ( ) ( ) ̅( ) ( ) .
̅( ) ‫نجعل‬ /
( )
∴‫النمطة‬(1,1)‫أنمالب‬ ‫نمطة‬
* 𝟏 +ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )
* 𝟏 +ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬‫رسمها‬ ‫ثم‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
209
( 𝟒) ( ) 𝟔 𝟑
𝟏‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟓 ‫وزاري‬
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( ) 𝟔( ) ( ) 𝟑
𝟔 𝟑 (𝟔 𝟑)
∴‫ال‬‫تناظر‬‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫حول‬: ‫ألن‬
( ) ( )
‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟎
𝟔 𝟑 (𝟔 𝟐)
‫أما‬
‫أو‬ 𝟔 𝟐 𝟐
√
(𝟎 𝟎) (√ 𝟎) ( √ 𝟎 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
√
( )
(√ ) (√ ) (√ ) √ √ √
( √𝟐) 𝟔( √𝟐) ( √𝟐)
𝟑
𝟔√𝟐 𝟐√𝟐 𝟒√𝟐
‫النمطة‬(√ √ )‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
‫النمطة‬( √ √ )‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬
( √ √ ) ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
{ √ 𝟐} { √ 𝟐} ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) .
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
∴‫النمطة‬(0,0)‫أنمالب‬ ‫نمطة‬
* 𝟎 +ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )
* 𝟎 +ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
210
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
(𝟓) ( )
𝟏
/‫الحل‬
= ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬*𝟎+
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( )
𝟏
(
𝟏
)
∴‫مع‬ ‫التناظر‬‫األصل‬ ‫نمطة‬: ‫ألن‬
( ) ( )
‫المحاذٌات‬
𝟎 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
( )
𝟏
𝟏
𝟏
𝟎 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
‫ٌوجد‬ ‫ال‬‫الن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬(𝟎 𝟏 ‫الن‬ 𝟎)
‫ٌوجد‬ ‫ال‬‫الن‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬(𝟎 𝟏 ‫الن‬ 𝟎)
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
( ) 𝟏 ̅( ) 𝟐
𝟏
𝟐
( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟏
𝟐
𝟎 𝟏 𝟎 (‫ممكن‬ ‫)غٌر‬
∴‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
211
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) .
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
(‫ممكن‬ ‫)غٌر‬
∴‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
* 𝟎 +ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )
* 𝟎 +ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
( 𝟔) ( )
𝟏
𝟏
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬* +
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( )
𝟏
𝟏
∴‫ال‬: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬
( ) ( ) ( ) ( )
/ ‫المحاذٌات‬
𝟏 𝟎 𝟏 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
( )
𝟏
𝟏
𝟏 𝟏 ( 𝟏) 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏 𝟎 𝟏 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
212
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
𝟏
𝟏
𝟏 𝟎 𝟏
‫نمط‬‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟏 𝟎) (𝟎 𝟏) ‫النمط‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( 𝟏)( 𝟏) ( 𝟏)( 𝟏)
( 𝟏) 𝟐
𝟏 𝟏
( 𝟏) 𝟐
𝟐
( 𝟏) 𝟐
𝟐
( 𝟏) 𝟐
𝟎
‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( ) ( ) , ( )-
( )
( )
( ) ( )
( )
(‫ممكن‬ ‫غٌر‬ )
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
213
( 𝟕) ( ) ( 𝟐)( 𝟏) 𝟐
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( ) ( 𝟐)( 𝟏) 𝟐
∴‫ال‬‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬:
( ) ( ) ( ) ( )
/ ‫المحاذٌات‬‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬)‫(كسرٌة‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 (𝟎 𝟐)(𝟎 𝟏) 𝟐 (𝟐)(𝟏) 𝟐
𝟎 𝟎 ( 𝟐)( 𝟏) 𝟐
𝟐 𝟎 𝟐
( 𝟏) 𝟐
𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
‫نمط‬‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟏 𝟎) ( 𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐) ‫النمط‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) ( 𝟐), 𝟐( 𝟏)- ( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) ( 𝟏), 𝟐 𝟒 𝟏-
̅( ) ( 𝟏), 𝟑 𝟑- ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
( 𝟏),𝟑 𝟑-
𝟏 𝟎 𝟏 (𝟏) (𝟏 𝟐)(𝟏 𝟏) 𝟐
𝟎
𝟑 𝟑 𝟎 𝟏 ( 𝟏) ( 𝟏 𝟐)( 𝟏 𝟏) 𝟐
𝟒
‫النماط‬( 𝟏 𝟒) (𝟏 𝟎)‫حرجة‬ ‫نماط‬
* 𝟏+ * 𝟏+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
( 𝟏 𝟏) ‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )
∴‫النمطة‬(𝟏 𝟎)‫محلٌة‬ ‫صررى‬
∴‫النمطة‬( 𝟏 𝟒)‫محلٌة‬ ‫عظمى‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) ( )( ) ( )( )
̅( ) .
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟔 𝟎 (𝟎) (𝟎 𝟐)(𝟎 𝟏) 𝟐
𝟐
∴‫النمطة‬(𝟎 𝟐)‫أنمالب‬ ‫نمطة‬
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
214
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
(𝟖) ( )
𝟐
𝟏
𝟐 𝟏
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬‫ألن‬( 𝟐
𝟏 𝟎 ➨ 𝟐
𝟏 )
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( )
( ) 𝟐
𝟏
( ) 𝟐 𝟏
𝟐
𝟏
𝟐 𝟏
∴‫ال‬‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬‫الصادات‬‫ألن‬( ) ( )
/ ‫المحاذٌات‬
𝟐
𝟏 𝟎 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫مستمٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬
( )
𝟐 𝟏
𝟐 𝟏
𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐( 𝟏) 𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟏 𝟎 𝟏 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
𝟐
𝟏
𝟐 𝟏
𝟐
𝟏 𝟎 ( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏
‫نمط‬‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ( 𝟏 𝟎) (𝟏 𝟎) (𝟎 𝟏) ‫النمط‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( 𝟐
𝟏)(𝟐 ) ( 𝟐
𝟏)(𝟐 )
( 𝟐 𝟏) 𝟐
𝟐 𝟑
𝟐 𝟐 𝟑
𝟐
( 𝟐 𝟏) 𝟐
̅( )
𝟒
( 𝟐 𝟏) 𝟐
( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
( )
𝟎
(𝟏) 𝟏 𝟏
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
215
∴‫النمطة‬( 𝟎 𝟏)‫نمطة‬‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( ) ( ) ( )( ( )( ))
( )
( ) ( )( )
( )
̅( )
( ), -
( )
, -
( )
, -
( )
̅( )
( )
.
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟐
( 𝟐 𝟏)
𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏
√𝟑
(
𝟏
√𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟐 𝟏
(
𝟏
√𝟑
)
𝟐
𝟏
(
𝟏
√𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑
𝟒
𝟑
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
(
𝟏
√𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟐 𝟏
(
𝟏
√𝟑
)
𝟐
𝟏
(
𝟏
√𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑
𝟒
𝟑
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
∴‫النماط‬.
𝟏
√𝟑
𝟏
𝟐
/ .
𝟏
√𝟑
𝟏
𝟐
/‫أنمالب‬ ‫نماط‬
{
𝟏
√ 𝟑
} {
𝟏
√ 𝟑
} ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
(
𝟏
√ 𝟑
𝟏
√ 𝟑
) ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
216
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
( 𝟗) ( ) 𝟐 𝟐 𝟒
𝟐‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟐 ‫وزاري‬
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( ) 𝟐 𝟐 𝟒
𝟐( ) 𝟐 ( ) 𝟒
𝟐 𝟐 𝟒
∴: ‫ألن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التناظر‬
( ) ( )
‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬() ‫كسرٌة‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟎
𝟐 𝟐 𝟒 𝟐(𝟐 𝟐)
‫أما‬ 𝟐
‫أو‬ 𝟐 𝟐 𝟐
√
(𝟎 𝟎) (√ 𝟎) ( √ 𝟎 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟒 𝟒 𝟑 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟒 𝟒 𝟑
𝟎
( 𝟒)
⇒ 𝟑
𝟎 ( 𝟐
𝟏) 𝟎 𝟏 𝟏
( ) 𝟐 𝟐 𝟒
𝟎 𝟏 𝟏
‫النمطة‬( )‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬
‫النمطة‬( )‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
‫النمطة‬( )‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
* 𝟏+ (𝟎 𝟏) ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
* 𝟏+ ( 𝟏 𝟎) ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
217
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟒 𝟏𝟐 𝟐
.
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟎 𝟒 𝟏𝟐 𝟐
( 𝟒)
⇒ 𝟏 𝟑 𝟐
𝟎 𝟐
𝟏
𝟑
𝟏
√𝟑
(
𝟏
√𝟑
) 𝟐 (
𝟏
√𝟑
)
𝟐
(
𝟏
√𝟑
)
𝟒
𝟐
𝟑
𝟏
𝟗
𝟔 𝟏
𝟗
𝟓
𝟗
‫النمط‬(
𝟏
√𝟑
𝟓
𝟗
)(
𝟏
√𝟑
𝟓
𝟗
)‫مرشحة‬ ‫أنمالب‬ ‫نمط‬
(
𝟏
√𝟑
𝟏
√𝟑
) ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )
8
𝟏
√ 𝟑
9 8
𝟏
√ 𝟑
9 ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
218
( 𝟏𝟎) ( )
𝟔
𝟐 𝟑
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬‫ألن‬( 𝟐
𝟑 𝟎 )
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( )
𝟔
( ) 𝟐 𝟑
𝟔
𝟐 𝟑
∴‫محور‬ ‫مع‬ ‫التناظر‬‫الصادات‬‫ألن‬( ) ( )
/ ‫المحاذٌات‬
𝟐
𝟑 𝟎 ً‫الشالول‬ ‫محاذي‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬
( )
𝟔
𝟐 𝟑
𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟔 𝟑
𝟐
𝟔 𝟑
𝟎 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟐
𝟎 𝟎
𝟔
𝟐 𝟑
𝟎 𝟔
‫نمط‬‫ة‬‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟎 𝟐) ‫النمطة‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( )( ) ( )
( )
𝟏𝟐
( )
( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟏𝟐 𝟎
(𝟎) 𝟐 𝟐
∴‫النمطة‬( 𝟎 𝟐)‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬‫عظمى‬‫محلٌة‬
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( ) ( ) ( )( ( )( ))
( )
( ) ( )( )
( )
̅( )
( ), ( ) -
( ) ( )
̅( )
( )
.
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟐
𝟎 𝟐 𝟐
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
219
( )
𝟔
(𝟏) 𝟐 𝟑
𝟔
𝟒
𝟑
𝟐
( )
𝟔
( 𝟏) 𝟐 𝟑
𝟔
𝟒
𝟑
𝟐
∴‫النماط‬. 𝟏
𝟑
𝟐
/ .𝟏
𝟑
𝟐
/‫أنمالب‬ ‫نماط‬
* 𝟏+ * 𝟏+ ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )
( 𝟏 𝟏) ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
******************************************************************
( ‫مثال‬1/)‫األتٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫كل‬ ً‫منحن‬ ‫أرسم‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫باستخدام‬
( ) ( ) 𝟓 ( ) ( ) (𝟐 𝟏) 𝟑
( ) ( ) 𝟒
𝟐 𝟐
𝟏 ( ) ( ) 𝟐 𝟐 𝟒
( ‫مثــال‬2/)‫كانــت‬ ‫أذا‬( ) 𝟐 ( 𝟏) 𝟏‫لٌمــة‬ ‫جــد‬ ‫الصــادات‬ ‫محــور‬ ‫حــول‬ ‫متنــاظرة‬(b)‫ثــم‬ ‫ومــن‬
‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫وأرسم‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫استخدام‬‫ز‬
( ‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬3/)‫ـة‬‫ـ‬‫الدال‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫أذا‬( )
𝟐
‫ـة‬‫ـ‬‫النمط‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫وكان‬1,3)-(‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫والعمود‬ ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫االفم‬ ‫ـات‬‫ـ‬ٌ‫المحاذ‬ ‫ـاطع‬‫ـ‬‫تم‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نمط‬
‫من‬ ‫كل‬ ‫جد‬ ‫للدالة‬‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫وأرسم‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫استخدام‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬‫ز‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
220
:‫المحلٌة‬ ‫والصررى‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌــات‬ ‫على‬ ‫عملٌة‬ ‫تطبٌمــــــات‬
‫مسـائل‬ ‫المسـائل‬ ‫هـذه‬ ‫ومـن‬ ‫والتكامـل‬ ‫التفاضـل‬ ‫حسـاب‬ ‫تطـور‬ ‫الـى‬ ‫أدت‬ ً‫التـ‬ ‫المسـائل‬ ‫مـن‬ ‫الكثٌـر‬ ‫الفٌزٌـاء‬ ً‫فـ‬ ‫ظهرت‬
‫الـى‬ ً‫ا‬ٌ‫شالول‬ ‫ممذو‬ ‫جسم‬ ‫ٌصله‬ ‫أرتفاع‬ ‫ألصى‬ ‫أو‬ ‫مختلفة‬ ‫بزواٌا‬ ‫أطلمت‬ ‫لذٌفة‬ ‫تصله‬ ‫أرتفاع‬ ‫ألصى‬ ‫حساب‬‫األ‬‫أو‬ ‫علـى‬
‫كلفة‬ ‫ألل‬‫زمن‬ ‫ألل‬ ‫أو‬‫ز‬ ‫ألخ‬ ‫ززز‬ , ‫محٌط‬ ‫وألل‬ ‫حجم‬ ‫وأكبر‬ ‫مساحة‬ ‫ألل‬ ‫مثل‬ ‫الصناعات‬ ‫من‬ ‫ومسائل‬
‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫الموضوع‬ ‫بهذا‬ ‫المتعلمة‬ ‫المسائل‬ ‫لحل‬:
Ⓘ‫نبـدأ‬ ‫ثـم‬ ‫ومـن‬ ‫والثوابـت‬ ‫المترٌـرات‬ ‫كـل‬ ‫الشـكل‬ ‫علـى‬ ‫ونثبـت‬ ‫ممكنـا‬ ‫ذلـن‬ ‫كـان‬ ‫كلمـا‬ ‫للمسـألة‬ ً‫توضـٌح‬ ‫رسـم‬ ‫نرسم‬
‫(جد‬ ‫كلمة‬ ‫على‬ ‫تعتمد‬ ً‫الت‬ ‫الفرضٌة‬ ‫بتكوٌن‬‫المطلوب‬ ‫أساس‬ ‫على‬ ‫الفرضٌة‬ ‫نكون‬ ‫أي‬ ) ‫ززز‬ ,‫,احسب‬ ‫,عٌن‬ ً‫ماه‬ ,‫ز‬
②‫الدال‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫نك‬‫ــ‬‫ـ‬‫ـــ‬‫أٌج‬ ‫ـوب‬‫ـ‬‫المطل‬ ‫ة‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــــ‬‫له‬ ‫ـررى‬‫ـ‬‫الص‬ ‫أو‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫العظم‬ ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫النها‬ ‫اد‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــــ‬‫ز‬ ‫ا‬‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـألة‬‫ـ‬‫المس‬ ً‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـث‬‫ـ‬‫نبح‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫أخ‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫بمعن‬
ٌ‫النها‬ ‫على‬ ‫تدل‬ ً‫الت‬ ‫الكلمات‬‫ـــــ‬‫م‬ ‫المحلٌـة‬ ‫الصررى‬ ‫أو‬ ‫العظمى‬ ‫ات‬‫ــــ‬‫م‬ ‫اصـرر‬ , ‫ٌمكـن‬ ‫مـا‬ ‫(اكبـر‬ ‫ثل‬‫ــــ‬‫ا‬‫ال‬ , ‫ٌمكـن‬‫ـــــ‬‫ل‬
)‫ززز‬ , ‫مسافة‬ ‫اطول‬ , ‫كمٌة‬‫الدالة‬ ‫هذه‬ ‫تكون‬ ‫األحٌان‬ ‫أكثر‬ ً‫وف‬ ‫الكلمات‬ ‫هذه‬ ‫أساس‬ ‫على‬ ‫الدالة‬ ‫بتكوٌن‬ ‫نبدأ‬ ‫ثم‬(‫لانون‬
‫محٌط‬ , ‫مساحة‬ , ‫حجم‬,)‫ززز‬ , ‫دائرٌة‬ ‫دوال‬ , ‫مثلثات‬ ‫تشابه‬ , ‫فٌثاغورس‬
③‫ٌجب‬ ‫لذا‬ ‫مترٌر‬ ‫من‬ ‫اكثر‬ ‫على‬ ‫تعتمد‬ ‫اعاله‬ ‫المكونة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬‫ذات‬ ‫دالـة‬ ‫لتكـوٌن‬ ‫المترٌـرات‬ ‫بـٌن‬ ‫عاللـة‬ ‫اٌجاد‬
‫السابمةز‬ ‫للموانٌن‬ ‫مشابهة‬ )‫ززززززززززز‬ , ‫مساحة‬ , ‫حجم‬ ‫(لانون‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬ ‫هذه‬ ‫االحٌان‬ ‫وأكثر‬ ‫واحد‬ ‫مترٌر‬
④‫كما‬ ‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫أو‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬ ‫ألٌجاد‬ ‫واحد‬ ‫مترٌر‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ً‫والت‬ ‫المتكونة‬ ‫الدالة‬ ‫بدراسة‬ ‫نبدأ‬ ‫أخٌر‬
‫ـــــا‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـــــا‬‫ـ‬‫تعلمن‬‫بما‬‫ـــــرة‬‫ـ‬‫الفت‬ ‫ـــــرا‬‫ـ‬‫أط‬ ً‫ـــــ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـــــة‬‫ـ‬‫الحرج‬ ‫ـــــداد‬‫ـ‬‫األع‬ ‫ـــــاد‬‫ـ‬‫أٌج‬ ‫ـــــك‬‫ـ‬ٌ‫طر‬ ‫ـــــن‬‫ـ‬‫ع‬( ‫أي‬‫ـــــة‬‫ـ‬‫الدال‬ ‫ـــــٌم‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـــــاد‬‫ـ‬‫أٌج‬‫)ز‬
( ‫مثال‬1/)‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أصرر‬ ‫الناتج‬ ‫ٌكون‬ ‫مربعه‬ ‫الى‬ ٌ‫أض‬ ‫أذا‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫جد‬:
/‫الحل‬
‫الفرضيت‬:‫نفرض‬‫الؼذد‬=
= ‫الؼذد‬ ‫مربغ‬𝟐
‫الذالت‬:‫مربؼو‬ + ‫الؼذد‬
( ) 𝟐
‫الذراست‬:
̅( ) 𝟏 𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجؼل‬ )
𝟏 𝟐 𝟎
𝟏
𝟐
̅( ) 𝟐 ̅
4
𝟏
𝟐
5 𝟐 𝟎
∴‫نهاية‬ ‫توجد‬‫صغر‬‫عندما‬ ‫محلية‬ ‫ى‬
𝟏
𝟐
∴‫هو‬ ‫العدد‬.
𝟏
𝟐
/
‫األختبار‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
221
( ‫مثال‬2/)‫ضـلعها‬ ‫طـول‬ ‫الشـكل‬ ‫مربعـة‬ ‫النحـاس‬ ‫مـن‬ ‫لطعة‬ ‫من‬ ‫مفتوح‬ ‫صندوق‬ ‫صنع‬(𝟏𝟐 )‫أربـع‬ ‫بمـص‬ ‫وذلـن‬
‫األربعة‬ ‫أركانها‬ ‫من‬ ‫األبعاد‬ ‫متساوٌة‬ ‫مربعات‬‫العلبة‬ ‫لهذه‬ ‫األعظم‬ ‫الحجم‬ ‫هو‬ ‫ما‬ ‫ز‬ ‫لها‬ ‫البارزة‬ ‫األجزاء‬ ً‫ثن‬ ‫ثم‬‫؟‬
/‫الحل‬‫وزاري‬2015/‫د‬1
‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫طول‬‫الممطوع‬ ‫المربع‬ ‫ضلع‬
= ‫الصندوق‬ ‫أبعاد‬( 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 )
‫الدالة‬:‫الصندوق‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫الثالثة‬ ‫أبعاده‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ =
(𝟏𝟐 𝟐 )(𝟏𝟐 𝟐 )( )
(𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟖 𝟒 𝟐)( )
𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟖 𝟐
𝟒 𝟑
‫العاللة‬:‫واحد‬ ‫مترٌر‬ ‫تحتوي‬ ‫المعادلة‬ ‫الن‬ ‫عاللة‬ ‫الى‬ ‫نحتاج‬ ‫ال‬
‫الدراسة‬:
𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟐 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟐 𝟐
𝟎 ( 𝟏𝟐)
𝟏𝟐 𝟖 𝟐 𝟎 (𝟔 )(𝟐 ) 𝟎
𝟔 ‫ٌمكن‬ ‫ال‬
𝟐
∴‫عندما‬( 𝟐): ‫تساوي‬ ‫للحجم‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫توجد‬
(𝟖)(𝟖)(𝟐) 𝟏𝟐𝟖 𝟑
:‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
222
( ‫مثال‬3/)‫لطرهـا‬ ‫نصـ‬ ‫دائـرة‬ ‫داخـل‬ ‫ٌوضع‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬ ‫السالٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫أكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬(𝟏𝟐 )‫بـرهن‬ ‫ثـم‬
‫الدائ‬ ‫مساحة‬ ‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫نسبة‬ ‫أن‬‫كنسبة‬ ‫رة‬
𝟑√𝟑
𝟒
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫المثلث‬ ‫أرتفاع‬ ‫نفرض‬=h= ‫المثلث‬ ‫لاعدة‬ ‫طول‬𝟐
‫الدالة‬:‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟏
𝟐
(𝟐 )( )
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬
𝟐 ( 𝟏𝟐) 𝟐 (𝟏𝟐) 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐𝟒 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟒𝟒
𝟐
𝟐𝟒 𝟐 √ 𝟐𝟒 𝟐
.√ 𝟐𝟒 𝟐 / √ 𝟐𝟒 𝟑 𝟒
‫الدراسة‬:
𝟕𝟐 𝟐
𝟒 𝟑
(𝟐)√𝟐𝟒 𝟑 𝟒
( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟕𝟐 𝟐
𝟒 𝟑
(𝟐)√𝟐𝟒 𝟑 𝟒
𝟎
𝟕𝟐 𝟐
𝟒 𝟑
𝟎 ( 𝟒)
𝟐(𝟏𝟖 ) 𝟎
𝟎 ( ‫)الٌمكن‬
𝟏𝟖
√𝟐𝟒(𝟏𝟖) (𝟏𝟖) 𝟐 √(𝟏𝟖)(𝟔) 𝟔√𝟑
∴‫المثلث‬ ‫لاعدة‬ ‫طول‬: ‫تساوي‬
𝟐 𝟐( 𝟔√ 𝟑 ) 𝟏𝟐√ 𝟑
‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫نسبة‬: ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬
𝟏
𝟐 (𝟏𝟐) 𝟐
𝟏𝟒𝟒 𝟐
‫الدائرة‬ ‫مساحة‬
𝟐
𝟏
𝟐
(𝟐 )( ) ( 𝟔√ 𝟑)(𝟏𝟖)
𝟐 𝟏𝟎𝟖√ 𝟑 𝟐
‫المثلث‬ ‫مساحة‬
‫المثلث‬ ‫مساحة‬
‫الدائرة‬ ‫مساحة‬
𝟐
𝟏
𝟏𝟎𝟖√ 𝟑
𝟏𝟒𝟒
𝟑√ 𝟑
𝟒
:‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
223
( ‫مثال‬4/)‫لاعدتـه‬ ‫طـول‬ ‫مثلـث‬ ‫داخل‬ ‫ٌوضع‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬(24 cm)‫وأرتفاعـه‬(18 cm)‫بحٌـث‬
‫ال‬ ‫على‬ ‫تمعان‬ ‫رؤوسه‬ ‫من‬ ‫متجاورٌن‬ ‫رأسٌن‬ ‫أن‬‫تمعان‬ ‫البالٌان‬ ‫والرأسٌن‬ ‫ماعدة‬‫على‬‫سالٌه‬‫ز‬‫وزاري‬2013/‫د‬2
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫المستطٌل‬ ‫بعدي‬:
‫الدالة‬:‫مساحة‬ ً‫ه‬‫المستطٌل‬‫بعدٌه‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
‫العاللة‬:‫تشـــــــا‬‫المثلثات‬ ‫به‬btr , bcq‫لتس‬ (‫ـــ‬‫لذا‬ ‫المتناظرة‬ ‫زواٌاهما‬ ‫اوي‬
‫تتناسب‬) ‫أرتفاعهما‬ ‫وكذلن‬ ‫المتناظرة‬ ‫أضالعهما‬
𝟐𝟒
𝟏𝟖
𝟏𝟖
𝟐𝟒 (
𝟏𝟖
𝟏𝟖
)
𝟒
𝟑
( 𝟏𝟖 )
(
𝟒
𝟑
( 𝟏𝟖 ))
𝟒
𝟑
( 𝟏𝟖 𝟐)
‫الدراسة‬:
𝟒
𝟑
( 𝟏𝟖 𝟐 ) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟒
𝟑
( 𝟏𝟖 𝟐 ) 𝟎 (
𝟒
𝟑
)
𝟏𝟖 𝟐 𝟎 𝟗 𝟏𝟐
∴‫هما‬ ‫المستطٌل‬ ‫بعدي‬( 𝟗) ( 𝟏𝟐)
:‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (
‫ثانٌة‬ ‫طرٌمة‬‫لألختبار‬:
𝟐
𝟐
𝟒
𝟑
( 𝟐)
𝟖
𝟑
𝟎
‫ل‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬‫لدالة‬‫عندما‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫مساحة‬( 𝟗 )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
224
( ‫مثال‬5/)‫ومربـع‬ ‫دائرة‬ ً‫محٌط‬ ‫مجموع‬(𝟔𝟎 )‫مـا‬ ‫أصـرر‬ ‫الشـكلٌن‬ ً‫مسـاحت‬ ‫مجمـوع‬ ‫ٌكـون‬ ‫عنـدما‬ ‫أنـه‬ ‫أثبـت‬
‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫ٌساوي‬ ‫الدائرة‬ ‫لطر‬ ‫طول‬ ‫فأن‬ ‫ٌمكن‬‫المربع‬‫ز‬‫وزاري‬2013/‫د‬3
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:= ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬x cm= ‫الدائرة‬ ‫لطر‬ ‫ونص‬R cm
‫الدالة‬:‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ +‫المربع‬ ‫مساحة‬ ً‫ه‬
𝟐 𝟐
𝟑𝟎 𝟐
𝟑𝟎 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 (
𝟑𝟎 𝟐
)
𝟐
𝟐
𝟏
(𝟑𝟎 𝟐 ) 𝟐 𝟐
𝟏
(𝟗𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟒 𝟐)
‫العاللة‬:=‫الدائرة‬ ‫محٌط‬ + ‫المربع‬ ‫محٌط‬60 cm
𝟔𝟎 𝟒 𝟐 ( 𝟐)
𝟐
𝟏
( 𝟏𝟐𝟎 𝟖 ) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐
𝟏
( 𝟏𝟐𝟎 𝟖 ) 𝟎 .
𝟐
/
𝟔𝟎 𝟒 𝟎 ( 𝟒) 𝟔𝟎
𝟔𝟎
𝟒
‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬
‫الدائرة‬ ‫لطر‬ 𝟐 𝟐 4
𝟏
(𝟑𝟎 𝟐 )5
𝟐
(𝟑𝟎
𝟏𝟐𝟎
𝟒
)
‫الدائرة‬ ‫لطر‬
𝟐
(
𝟑𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟐𝟎
𝟒
)
𝟐
(
𝟑𝟎
𝟒
)
𝟔𝟎
𝟒
‫الدراسة‬:
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
( 𝟖) 𝟎
: ‫األختبار‬
‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
225
( ‫مثال‬6/)‫لل‬ ً‫تنتم‬ ‫نماط‬ ‫أو‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬‫الزائد‬ ‫مطع‬𝟐 𝟐
𝟑‫للنمطة‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكون‬ ‫بحٌث‬(𝟎 𝟒)
/‫الحل‬
******************************************************************
: ‫مالحظات‬
Ⓘ‫عن‬ ‫المول‬ ‫ٌمكن‬‫المساحة‬ ‫دالة‬‫األحٌان‬ ‫بعض‬ ً‫ف‬‫مسطح‬ ‫أصرر‬ ‫أو‬ ‫أكبر‬‫للشكل‬
②‫عن‬ ‫المول‬ ‫ٌمكن‬‫السعة‬ ‫أو‬ ‫الحجم‬ ‫دالة‬‫األحٌان‬ ‫بعض‬ ً‫ف‬‫مجسم‬ ‫أصرر‬ ‫أو‬ ‫أكبر‬‫للشكل‬
③‫أٌجاد‬ ‫طرٌك‬ ‫عن‬ ‫السابك‬ ‫الحل‬ ‫نفس‬ ‫هو‬ ‫الحل‬ ‫ٌكون‬ ‫أعاله‬ ‫الحالتٌن‬ ‫كال‬ ً‫ف‬‫الفرضٌة‬,‫الدالة‬,‫العاللة‬ً‫ف‬ ‫(فمط‬
, )‫مترٌر‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫وجود‬ ‫حالة‬‫الدراسة‬,‫االختبار‬
‫الفرضٌة‬:‫النمطة‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬( )ً‫المنحن‬ ‫نمط‬ ‫من‬ ً‫ه‬𝟐 𝟐
𝟑‫للنمطة‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكن‬ ‫بحٌث‬(𝟎 𝟒)
√( 𝟎) 𝟐 ( 𝟒) 𝟐
‫الدالة‬:ً‫ه‬‫المسافة‬ ‫لانون‬
√( 𝟐 𝟑) 𝟐 𝟖 𝟏𝟔
√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑
‫العاللة‬:( 𝟐 𝟐 𝟑)
√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟔
𝟒 𝟖
(𝟐)√𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑
( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟒 𝟖
( 𝟐)√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑
𝟎
𝟒 𝟖 𝟎 𝟐 𝟎
𝟐
𝟐 𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏
‫الدراسة‬:
ً‫ه‬ ‫النماط‬(𝟏 𝟐) ( 𝟏 𝟐)
‫وزاري‬2011/‫د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬1
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
226
(𝟑 𝟔)‫تمارين‬
‫س‬1/‫مجموعهما‬ ‫موجبٌن‬ ‫عددٌن‬ ‫جد‬(75)‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫األخر‬ ‫مربع‬ ً‫ف‬ ‫أحدهما‬ ‫ضرب‬ ‫وحاصل‬‫ز‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:= ‫األول‬ ‫العدد‬ ‫نفرض‬= ً‫الثان‬ ‫والعدد‬
‫األول‬ ‫العدد‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬= ً‫الثان‬ ‫العدد‬ ‫مربع‬
‫الدالة‬:‫عددٌة‬ ‫عاللة‬ ً‫ه‬
𝟐
( ‫)معادلة‬
𝟕𝟓
𝟕𝟓 (② ‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
(𝟕𝟓 ) 𝟐
𝟕𝟓 𝟐 𝟑
‫الدراسة‬:
̅ 𝟏𝟓𝟎 𝟑 𝟐
(̅ 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟏𝟓𝟎 𝟑 𝟐
𝟎 ( 𝟑)
𝟓𝟎 𝟐
𝟎 (𝟓𝟎 ) 𝟎
𝟎 (‫)ٌهمل‬
𝟓𝟎 𝟕𝟓 𝟕𝟓 𝟓𝟎 𝟐𝟓
‫األول‬ ‫العدد‬(𝟐𝟓)ً‫الثان‬ ‫والعدد‬(𝟓𝟎)
:‫األختبار‬‫لألطالع‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
227
‫س‬2/‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫توضع‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫أرتفاع‬ ‫جد‬𝟒√‫وزاري‬2012/‫د‬3
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫االسطوانة‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬== ‫االسطوانة‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬𝟐= ‫الحجم‬ ‫ونفرض‬
‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐(𝟐 ) ( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬
𝟐 𝟐
. 𝟒√ 𝟑/
𝟐
𝟐
𝟒𝟖 𝟐
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐 𝟐 (𝟒𝟖 𝟐)
𝟐 (𝟒𝟖 𝟑) (③‫)معادلة‬
‫الدراسة‬:
𝟐 (𝟒𝟖 𝟑 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐 ( 𝟒𝟖 𝟑 𝟐
) 𝟎 ( 𝟐 )
𝟒𝟖 𝟑 𝟐
𝟎 ( 𝟑)
𝟏𝟔 𝟐
𝟎 (𝟒 )(𝟒 ) 𝟎
𝟒 ( ‫ٌهمل‬ )
𝟒
𝟐
𝟒𝟖 𝟐
𝟒𝟖 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟒√𝟐
: ‫لالسطوانة‬ ‫ارتفاع‬ ‫أكبر‬
𝟐 𝟐(𝟒 ) 𝟖
:‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
228
‫س‬3/‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫دائرة‬ ‫نص‬ ‫داخل‬ ‫ٌوضع‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬𝟒√‫وزاري‬2012/‫د‬1
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫المستطٌل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬=𝟐‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬= ‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫ونفرض‬A
‫الدالة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐 ( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬‫المائم‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬(ABC)
𝟐 𝟐
. 𝟒√ 𝟐/
𝟐
𝟐 𝟐
𝟑𝟐
√ 𝟑𝟐 𝟐 (②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐.√ 𝟑𝟐 𝟐/
𝟐.√ 𝟑𝟐 𝟐 𝟒/ √ 𝟒(𝟑𝟐 𝟐 𝟒)
√ 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒
‫الدراسة‬:
𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑
𝟐 .√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒/
( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑
𝟐 (√ 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒
)
𝟎 𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑
𝟎
𝟏𝟔 𝟑
𝟎 ( 𝟐)
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟐
𝟒 ( ‫السالب‬ ‫)ٌهمل‬
𝟒 ( ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ )
√ 𝟑𝟐 𝟐 √𝟑𝟐 √
𝟐 𝟐(𝟒) 𝟖 ( ‫المستطٌل‬ ‫طول‬ )
:‫األختبار‬‫لألطالع‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
229
‫س‬4/‫سالٌه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫السالٌن‬ ‫متساوي‬ ‫لمثلث‬ ‫مساحة‬ ‫أكبر‬ ‫جد‬𝟖√
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫أرتفاع‬‫المثلث‬= ‫المثلث‬ ‫لاعدة‬ ‫طول‬ ‫ونفرض‬𝟐= ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫ونفرض‬
‫الدالة‬:‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟏
𝟐
(𝟐 ) ( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬
𝟐 𝟐
. 𝟖√ 𝟐/
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏𝟐𝟖
𝟐
𝟏𝟐𝟖 𝟐
√𝟏𝟐𝟖 𝟐 (②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
.√ 𝟏𝟐𝟖 𝟐/
√ 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒
‫الدراسة‬:
𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑
𝟐 (√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒)
( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑
𝟐(√ 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒
)
𝟎 𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑
𝟎
𝟔𝟒 𝟑
𝟎 (𝟔𝟒 𝟐
) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟔𝟒 𝟐
𝟎 𝟐
𝟔𝟒
𝟖 ‫األرتفاع‬ 𝟖 ( ‫ٌهمل‬ )
𝟐 𝟐(𝟖) 𝟏𝟔 (‫المثلث‬ ‫لاعدة‬ ‫طول‬ )
: ‫للمثلث‬ ‫مساحة‬ ‫اكبر‬
(𝟖)(𝟖) 𝟔𝟒 𝟐
:‫األختبار‬‫لألطالع‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
230
‫س‬5/‫مساحته‬ ‫الذي‬ ‫للمستطٌل‬ ‫ممكن‬ ‫محٌط‬ ‫ألل‬ ‫جد‬𝟏𝟔 𝟐
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫طول‬‫المستطٌل‬== ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫ونفرض‬‫محٌط‬ ‫ونفرض‬‫المستطٌل‬=
‫مساحة‬ ‫ونفرض‬= ‫المستطٌل‬
‫الدالة‬:‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐 𝟐 ( ‫)معادلة‬
‫ا‬‫لعاللة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬
𝟏𝟔
𝟏𝟔
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐4
𝟏𝟔
5
𝟐 𝟑𝟐 𝟏
‫الدراسة‬:
𝟐 𝟑𝟐 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐 𝟑𝟐 𝟐
𝟎 ( 𝟐)
𝟏 𝟏𝟔 𝟐 𝟎 ( 𝟐
‫ب‬ ‫المعادلة‬ ‫)نضرب‬
𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟒 𝟒
: ‫ممكن‬ ‫محٌط‬ ‫ألل‬
𝟐 𝟐 𝟐( 𝟒) 𝟐( 𝟒) 𝟏𝟔
:‫األختبار‬‫لألطالع‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
231
‫س‬6/‫جد‬‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫وضعه‬ ‫ٌمكن‬ ‫لائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫أكبر‬ ‫حجم‬(3 cm)
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫المخروط‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬== ‫المخروط‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬= ‫الحجم‬ ‫ونفرض‬
‫الدالة‬:‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟏
𝟑
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬‫الزاوٌة‬ ‫المائم‬ ‫للمثلث‬ (ABC)
𝟐 ( 𝟑) 𝟐 (𝟑) 𝟐
𝟐 𝟐
𝟔 𝟗 𝟗 𝟐
𝟔 𝟐
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟏
𝟑
𝟐
𝟏
𝟑
(𝟔 𝟐
)
𝟑
(𝟔 𝟐 𝟑
)
‫الدراسة‬:
𝟑
( 𝟏𝟐 𝟑 𝟐
) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟑
(𝟏𝟐 𝟑 𝟐
) 𝟎 ( 𝟑)
𝟒 𝟐
𝟎 ( )
𝟒 𝟐
𝟎 (𝟒 ) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟒 ‫األرتفاع‬
𝟐
𝟔 𝟐
𝟔(𝟒) (𝟏𝟔) 𝟖
√𝟖 𝟐√𝟐 ‫المطر‬ ‫نصف‬
: ‫للمخروط‬ ‫حجم‬ ‫أكبر‬
𝟏
𝟑
𝟐
𝟏
𝟑
(𝟐√𝟐)
𝟐
(𝟒)
𝟑𝟐
𝟑
𝟑
: ‫األختبار‬‫لألطالع‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
232
‫س‬7/‫جد‬‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬ ‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬(6,8)‫مثلث‬ ‫أصرر‬ ‫األول‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫ٌصنع‬ ‫والذي‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬( 𝟎)‫المحور‬ ‫مع‬ ‫المستمٌم‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬
= ‫المثلث‬ ‫أبعاد‬ ‫نفرض‬x , y= ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫ونفرض‬A
‫الدالة‬:‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟏
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫المٌل‬ ‫لانون‬‫مٌل‬ (̅̅̅̅‫مٌل‬ =̅̅̅̅)
‫النمطة‬(𝟔 𝟖)‫للمستمٌم‬ ً‫تنتم‬̅̅̅̅
𝟐 𝟏
𝟐 𝟏
𝟖
𝟎 𝟔
𝟖 𝟎
𝟔
( 𝟖)(𝟔 ) 𝟒𝟖
𝟔 𝟒𝟖 𝟖 𝟒𝟖
𝟔 𝟖 𝟎
(𝟔 ) 𝟖
𝟖
𝟔
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
(
𝟖
𝟔
)
𝟒 𝟐
𝟔
(③‫)معادلة‬
‫الدراسة‬:
(𝟔 )( 𝟖 ) ( 𝟒 𝟐)( 𝟏)
(𝟔 ) 𝟐
𝟒𝟖 𝟖 𝟐
𝟒 𝟐
(𝟔 ) 𝟐
𝟒𝟖 𝟒 𝟐
(𝟔 ) 𝟐
( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟒 𝟐
𝟒𝟖
( 𝟔 ) 𝟐
𝟎 𝟒 𝟐
𝟒𝟖 𝟎 ( 𝟒 ‫على‬ ‫نمسم‬ )
𝟐
𝟏𝟐 𝟎 ( 𝟏𝟐) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟏𝟐
∴(𝟏𝟐 𝟎)‫المحور‬ ‫مع‬ ‫المستمٌم‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬) ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ (
(̅̅̅̅)
𝟐 𝟏
𝟐 𝟏
𝟖 𝟎
𝟔 𝟏𝟐
𝟖
𝟔
𝟒
𝟑
‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬(6,8)‫مٌله‬ ‫الذي‬.
𝟒
𝟑
/ً‫ه‬:
𝟏 ( 𝟏)
𝟖 (
𝟒
𝟑
) ( 𝟔)
( 𝟑)
⇒ 𝟑 𝟐𝟒 𝟒 𝟐𝟒
𝟒 𝟑 𝟒𝟖 𝟎
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
233
‫س‬8/‫جــد‬‫بعــدي‬‫مس‬ ‫أكبــر‬‫ــــــ‬‫ٌوض‬ ‫تطٌل‬‫ــــــ‬‫بالدال‬ ‫المحــددة‬ ‫المنطمــة‬ ‫داخــل‬ ‫ع‬‫ـــــ‬‫ة‬( ) 𝟏𝟐 𝟐
‫ومحــور‬
‫الس‬‫ـــــ‬‫ٌنات‬,‫رؤوس‬ ‫من‬ ‫رأسان‬‫ه‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫األخران‬ ‫والرأسان‬ ً‫المنحن‬ ‫على‬‫ز‬ ‫محٌطه‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ,
/‫الحل‬‫وزاري‬2012/‫د‬2
‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫طول‬‫المستطٌل‬=𝟐= ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬‫ونفرض‬‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬
‫الدالة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐 ( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫المعادلة‬( 𝟏𝟐 𝟐)
𝟏𝟐 𝟐
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐 (𝟏𝟐 𝟐)
𝟐𝟒 𝟐 𝟑
‫الدراسة‬:
𝟐𝟒 𝟔 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐𝟒 𝟔 𝟐
𝟎 𝟒 𝟐
𝟎
𝟐 𝟐 𝟒 ‫الطول‬
𝟏𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟒 𝟖 ‫العرض‬
: ‫للمستطٌل‬ ‫محٌط‬ ‫أكبر‬
𝟐(𝟐 )
𝟒 𝟐 𝟒(𝟐) 𝟐(𝟖) 𝟖 𝟏𝟔 𝟐𝟒
:‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
234
‫س‬9/‫مس‬ ‫جد‬‫ــــــــ‬‫أرتفاع‬ ‫لـائم‬ ‫دائـري‬ ‫مخـروط‬ ‫داخـل‬ ‫توضـع‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫احة‬‫ــــ‬‫ه‬(𝟖 )‫وطـول‬
‫لاعدته‬ ‫لطر‬(𝟏𝟐 )
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:= ‫األسطوانة‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬R‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬‫األسطوانة‬=h=‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V
‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫مثلثات‬ ‫تشابه‬(ADE , ABC)
𝟖
𝟖
𝟔
(
𝟏
𝟐
‫على‬ ‫الطرفين‬ ‫نقسم‬ )
𝟒 𝟐𝟒 𝟑
𝟐𝟒 𝟒
𝟑
.②‫معادلة‬/
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐
(
𝟐𝟒 𝟒
𝟑
)
𝟑
(𝟐𝟒 𝟐
𝟒 𝟑
)
‫الدراسة‬:
𝟑
( 𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐
) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟑
(𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐
) 𝟎 𝟏𝟔 𝟒 𝟐
𝟎 ( 𝟒 )
𝟒 𝟐
𝟎 ( 𝟒 ) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟒
𝟖
𝟑
‫لألسطوانة‬ ‫مساحة‬ ‫أكبر‬) ‫لألطالع‬ (:
(‫األرتفاع‬ ‫الماعدة‬ ‫)محٌط‬ ‫الماعدتٌن‬ ‫مساحة‬
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 (𝟒) (
𝟖
𝟑
) 𝟐 (𝟒) 𝟐
𝟔𝟒
𝟑
𝟑𝟐
𝟔𝟒 𝟗𝟔
𝟑
𝟏𝟔𝟎
𝟑
𝟐
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
235
‫س‬10/‫وتره‬ ‫طول‬ ‫الزاوٌة‬ ‫لائم‬ ‫مثلث‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫ناتج‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫أكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬𝟔√ 𝟑‫كاملة‬ ‫دورة‬‫حول‬
‫المائمٌن‬ ‫ضلعٌه‬ ‫أحد‬‫وزاري‬2014/‫د‬1‫وزاري‬1201/‫د‬1
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:= ‫المخروط‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬R= ‫المخروط‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬h=‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V
‫الدالة‬:‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟑
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬‫الزاوٌة‬ ‫المائم‬ ‫المثلث‬ ‫على‬
𝟐 𝟐
(𝟔√𝟑)
𝟐
𝟐
𝟏𝟎𝟖 𝟐
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟑
𝟐
𝟑
( 𝟏𝟎𝟖 𝟐)
𝟑
( 𝟏𝟎𝟖 𝟑)
‫الدراسة‬:
𝟑
( 𝟏𝟎𝟖 𝟑 𝟐
) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟑
(𝟏𝟎𝟖 𝟑 𝟐
) 𝟎 𝟑𝟔 𝟐
𝟎 ( )
𝟑𝟔 𝟐
𝟎
𝟔 (‫ٌهمل‬ )
𝟔
𝟐
𝟏𝟎𝟖
𝟐
𝟏𝟎𝟖 𝟑𝟔 𝟕𝟐
√ 𝟕𝟐
‫أكبر‬: ‫للمخروط‬ ‫حجم‬
𝟑
𝟐
𝟑
(√𝟕𝟐)
𝟐
(𝟔)
(𝟕𝟐)(𝟔)
𝟑
𝟏𝟒𝟒 𝟑
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
236
‫س‬11/‫علبة‬‫سـعتها‬ ‫األعلـى‬ ‫مـن‬ ‫مفتوحـة‬ ‫الشـكل‬ ‫أسـطوانٌة‬(𝟏𝟐𝟓 𝟑
)‫مس‬ ‫تكـون‬ ‫عنـدما‬ ‫أبعادهـا‬ ‫جـد‬‫ــــــ‬‫احة‬
‫أ‬ ‫صناعتها‬ ً‫ف‬ ‫المستخدم‬ ‫المعدن‬‫لل‬‫ٌمكن‬ ‫ما‬‫ز‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫لطر‬ ‫نص‬‫االسطوانة‬=R= ‫األسطوانة‬ ‫أرتفاع‬ ‫نفرض‬h= ‫غطاء‬ ‫بدون‬ ‫الكلٌة‬ ‫المساحة‬ ‫ونفرض‬A
‫الدالة‬:‫المساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫واحدة‬ ‫لاعدة‬ ‫مساحة‬ ‫المساحةالجانبٌة‬
𝟐
𝟐 ( ‫)معادلة‬
‫ا‬‫لعاللة‬:‫األسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬
𝟐
𝟏𝟐𝟓 𝟐
𝟏𝟐𝟓
𝟐
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 (
𝟏𝟐𝟓
𝟐
)
𝟐
𝟐𝟓𝟎 𝟏
‫الدراسة‬:
𝟐 𝟐𝟓𝟎 𝟐
𝟐
𝟐𝟓𝟎
𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐
𝟐𝟓𝟎
𝟐
𝟎
( 𝟐 )
⇒
𝟏𝟐𝟓
𝟐
𝟎 ( 𝟐
)
( 𝟑
𝟏𝟐𝟓) 𝟎
𝟓
𝟏𝟐𝟓
𝟐
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟓
𝟓
:‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
237
‫س‬12/ً‫فـ‬ ‫المسـتعمل‬ ‫المعـدن‬ ‫مسـاحة‬ ‫كانـت‬ ‫فـأذا‬ ‫عرضـها‬ ‫ضـع‬ ‫لاعدته‬ ‫طول‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫خزان‬
‫صناعته‬𝟏𝟎𝟖 𝟐
‫كامل‬ ‫غطاء‬ ‫ذو‬ ‫الخزان‬ ‫ان‬ ‫علما‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫حجمه‬ ‫ٌكون‬ ً‫لك‬ ‫الخزان‬ ‫أبعاد‬ ‫جد‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:= ‫الماعدة‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬x‫الماعدة‬ ‫طول‬ ‫ونفرض‬=2x= ‫االرتفاع‬ ‫ونفرض‬y=‫الخزان‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V
‫الدالة‬:‫الخزان‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
(𝟐 )( )( ) 𝟐 𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫المعدن‬ ‫مساحة‬
‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫الجانبٌة‬ ‫المساحة‬ ‫الماعدتٌن‬ ‫مساحة‬
𝟏𝟎𝟖 𝟐(𝟐 ) 𝟒 𝟐
𝟏𝟎𝟖 𝟐(𝟑 ) 𝟒 𝟐
( 𝟐)
𝟓𝟒 𝟑 𝟐 𝟐
𝟑 𝟓𝟒 𝟐 𝟐
𝟓𝟒 𝟐 𝟐
𝟑
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
4
𝟓𝟒 𝟐 𝟐
𝟑
5
𝟐
𝟑
(𝟓𝟒 𝟐 𝟑)
‫الدراسة‬:
𝟐
𝟑
(𝟓𝟒 𝟔 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐
𝟑
(𝟓𝟒 𝟔 𝟐) 𝟎 𝟓𝟒 𝟔 𝟐
𝟎 ( 𝟔 )
𝟗 𝟐
𝟎
𝟑 𝟐 𝟔 ‫الماعدة‬ ‫طول‬
𝟓𝟒 𝟐 𝟐
𝟑
𝟓𝟒 𝟏𝟖
𝟗
𝟑𝟔
𝟗
𝟒 ‫الماعدة‬ ‫عرض‬
:‫األختبار‬() ‫لألطالع‬
) ‫المستطٌلة‬ ‫السطوح‬ ‫لمتوازي‬ ‫المساحة‬ ‫لوانٌن‬ ( :‫للتذكٌر‬ ‫مالحظة‬
‫االرتفاع‬ × ‫القاػذة‬ ‫محيظ‬ = ‫الجانبيت‬ ‫المساحت‬
‫القاػذتين‬ ً‫مساحت‬ ‫مجمىع‬ + ‫الجانبيت‬ ‫المساحت‬ = ‫الكليت‬ ‫المساحت‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
238
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫وأرتفاعه‬ ‫لاعدته‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫مجموع‬ ‫لائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬(12 cm)‫ز‬ ‫المخروط‬ ‫لهذا‬ ‫حجم‬ ‫أكبر‬ ‫جد‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫المخروط‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬=R= ‫المخروط‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬h= ‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V
‫الدالة‬:‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟑
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:
𝟏𝟐 𝟏𝟐 (②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐(𝟏𝟐 )
𝟑
(𝟏𝟐 𝟐 𝟑) (③‫)معادلة‬
‫الدراسة‬:
𝟑
(𝟐𝟒 𝟑 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟑
(𝟐𝟒 𝟑 𝟐) 𝟎 (𝟖 𝟐) 𝟎
𝟖 𝟐
𝟎 (𝟖 ) 𝟎
𝟎 𝟏𝟐 ( ‫)الٌمكن‬
𝟖 𝟒
‫حجم‬ ‫أكبر‬: ‫للمخروط‬
𝟑
𝟐
𝟑
(𝟖) 𝟐(𝟒)
𝟐𝟓𝟔
𝟑
𝟑
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
239
‫مثال‬/‫لطرهـا‬ ‫نصـ‬ ‫كـرة‬ ‫داخـل‬ ‫موضـوعة‬ ‫لائمـة‬ ‫دائرٌـة‬ ‫اسطوانة‬𝟗‫ٌكـون‬ ً‫لكـ‬ ‫االسـطوانة‬ ‫أرتفـاع‬ ‫أحسـب‬
‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫حجمها‬‫ز‬
/‫الحل‬
‫ا‬‫لفرضٌة‬:‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬‫االسطوانة‬ ‫لاعدة‬=R‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬‫االسطوانة‬=2 h
‫الدالة‬:‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫االسطوانة‬
𝟐(𝟐 ) ( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬
𝟐 𝟐
𝟗 𝟐 𝟐
𝟖𝟏 𝟐
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐
𝟐 (𝟖𝟏 𝟐)
𝟐 (𝟖𝟏 𝟑) (③‫)معادلة‬
‫الدراسة‬:
𝟐 (𝟖𝟏 𝟑 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐 ( 𝟖𝟏 𝟑 𝟐
) 𝟎
( )
⇒ 𝟖𝟏 𝟑 𝟐
𝟎
𝟖𝟏 𝟑 𝟐
( )
⇒ 𝟐
𝟐𝟕
𝟑√𝟑 (‫ٌهمل‬ )
𝟑√𝟑 𝟑√𝟔
‫أكبر‬‫لالسطوانة‬ ‫ارتفاع‬:
‫األرتفاع‬ 𝟐 𝟐(𝟑√𝟑 ) 𝟔√𝟑
‫مثال‬/‫بٌنهما‬ ‫الفرق‬ ‫عددان‬(12)‫ز‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫ضربهما‬ ‫حاصل‬ ‫ٌكون‬ ‫بحٌث‬ ‫العددان‬ ‫هذان‬ ‫جد‬
‫الفرضٌة‬:= ‫األول‬ ‫العدد‬ ‫نفرض‬x= ً‫الثان‬ ‫والعدد‬𝟏𝟐
= ‫ضربهما‬ ‫وحاصل‬y
‫الدالة‬:ً‫ه‬‫عددٌة‬ ‫عاللة‬
( 𝟏𝟐) 𝟐
𝟏𝟐
‫الدراسة‬:
𝟐 𝟏𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐 𝟏𝟐 𝟎 𝟔 𝟎
𝟔
‫األول‬ ‫العدد‬(𝟔)ً‫الثان‬ ‫والعدد‬( 𝟔)
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
240
‫مثال‬/‫مساحته‬ ‫مستطٌل‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬𝟐𝟓 𝟐
‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫محٌطه‬ ‫ٌكون‬ ‫بحٌث‬
/‫الحل‬
‫ا‬‫لفرضٌة‬:‫هما‬ ‫المستطٌل‬ ‫بعدي‬ ‫نفرض‬x, y= ‫محٌطه‬ ‫ونفرض‬m
‫الدالة‬:‫محٌط‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫المستطٌل‬
𝟐 𝟐 ( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬
𝟐𝟓 (②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 (
𝟐𝟓
) 𝟐 𝟓𝟎 𝟏
(③‫)معادلة‬
‫الدراسة‬:
𝟐 𝟓𝟎 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐 𝟓𝟎 𝟐
𝟎 𝟏 𝟐𝟓 𝟐
𝟎
𝟐
𝟐𝟓 𝟎 𝟐
𝟐𝟓
𝟓 𝟓 (‫ٌهمل‬ )
𝟓 𝟓
‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬/‫ـه‬‫ـ‬‫لاعدت‬ ‫ـٌط‬‫ـ‬‫مح‬ ‫ـوع‬‫ـ‬‫مجم‬ ‫ـان‬‫ـ‬‫ك‬ ‫ـأذا‬‫ـ‬‫ف‬ , ‫ـكل‬‫ـ‬‫الش‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مربع‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫لاعدت‬ ‫ـتطٌلة‬‫ـ‬‫مس‬ ‫ـطوح‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـوازي‬‫ـ‬‫مت‬ ‫ـكل‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـوض‬‫ـ‬‫ح‬
‫وأرتفاعه‬24 m‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ) ‫(حجمه‬ ‫سعته‬ ‫تكون‬ ً‫لك‬ ‫الحوض‬ ‫ابعاد‬ ‫,جد‬
/‫الحل‬
‫ا‬‫لفرضٌة‬:‫الحوض‬ ‫ابعاد‬ ‫نفرض‬x, y,x‫ونفرض‬‫حجمه‬=V
‫الدالة‬:‫لانون‬ ً‫ه‬‫الحوض‬ ‫حجم‬
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:+ ‫المربعة‬ ‫الماعدة‬ ‫(محٌط‬‫االرتفاع‬)‫للحوض‬
𝟒 𝟐𝟒 𝟐𝟒 𝟒 (②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐
𝟐 (𝟐𝟒 𝟒 ) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒 𝟑
‫الدراسة‬:
𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐
𝟎 𝟒 𝟐
𝟎
(𝟒 ) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟒 𝟖
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
241
‫مثال‬/‫بعدي‬ ‫جد‬‫أكبر‬‫م‬ ‫مستطٌل‬‫حٌطه‬𝟏𝟎𝟎
/‫الحل‬
‫ا‬‫لفرضٌة‬:‫هما‬ ‫المستطٌل‬ ‫بعدي‬ ‫نفرض‬x, y‫ونفرض‬‫مساحته‬=A
‫الدالة‬:‫م‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫ساحة‬‫المستطٌل‬
( ‫)معادلة‬
‫ا‬‫لعاللة‬:‫م‬‫المستطٌل‬ ‫حٌط‬
𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎
𝟓𝟎 𝟓𝟎 .②‫معادلة‬/
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
( 𝟓𝟎 ) 𝟓𝟎 𝟐
‫الدراسة‬:
𝟓𝟎 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟓𝟎 𝟐 𝟎 𝟐𝟓 𝟎
𝟐𝟓 𝟐𝟓
‫مثال‬/‫محٌطه‬ ‫مستطٌل‬(30 cm)‫المسـتطٌل‬ ‫هـذا‬ ‫بعـدي‬ ‫جـد‬ , ‫لائمـة‬ ‫دائرٌـة‬ ‫أسطوانة‬ ‫فكون‬ ‫أضالعه‬ ‫أحد‬ ‫حول‬ ‫أدٌر‬
‫ز‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫المتكونة‬ ‫األسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫ٌكون‬ ً‫لك‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫االسطوانة‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬=x= ‫االسطوانة‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬y= ‫الحجم‬ ‫ونفرض‬V
‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬
𝟐 𝟐 𝟑𝟎 𝟏𝟓 𝟏𝟓 (②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐( 𝟏𝟓 )
( 𝟏𝟓 𝟐 𝟑)
‫الدراسة‬:
(𝟑𝟎 𝟑 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
( 𝟑𝟎 𝟑 𝟐) 𝟎 𝟏𝟎 𝟐
𝟎
(𝟏𝟎 ) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟏𝟎 𝟓
ً‫ه‬ ‫األسطوانة‬ ‫بعدي‬(10 cm , 5 cm)
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
242
‫مثال‬/‫مخـروط‬ ‫داخـل‬ ‫وضـعها‬ ‫ٌمكـن‬ ‫لائمـة‬ ‫دائرٌة‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬‫لـائم‬ ‫دائـري‬‫أرتفاعـه‬(12 cm)‫ونصـ‬
‫لاعدته‬ ‫لطر‬(9 cm)‫متماستان‬ ‫والمخروط‬ ‫األسطوانة‬ ً‫لاعدت‬ ‫أحد‬ ‫بحٌث‬‫ز‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫االسطوانة‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬=R= ‫االسطوانة‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬h= ‫الحجم‬ ‫ونفرض‬V
‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫مثلثات‬ ‫تشابه‬
𝟗
𝟏𝟐
𝟏𝟐
( 𝟑 )
𝟑𝟔 𝟑 𝟒 𝟑𝟔 𝟒 𝟑
𝟑𝟔 𝟒
𝟑
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐
(
𝟑𝟔 𝟒
𝟑
)
𝟑
(𝟑𝟔 𝟐
𝟒 𝟑)
‫الدراسة‬:
𝟑
(𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟑
(𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐) 𝟎 𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐
𝟎 ( )
𝟔 𝟐 (𝟔 ) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟔 𝟒
: ‫لالسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫أكبر‬
𝟐 (𝟔) 𝟐(𝟒) 𝟏𝟒𝟒
******************************************************************
ً‫المنحن‬ ‫على‬ ‫ٌمعان‬ ‫منه‬ ‫رأسان‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬𝟐
𝟖‫المستمٌم‬ ‫على‬ ‫ٌمعان‬ ‫األخران‬ ‫والرأسان‬𝟒
②‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫دائرة‬ ‫داخل‬ ‫رسمه‬ ‫ٌمكن‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬(𝟐 )
③‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬ ‫النمط‬ ‫أوجد‬𝟗
𝟏
𝟐
𝟐
‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫من‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكون‬ ‫بحٌث‬
④‫أرتفاعه‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫داخل‬ ‫وضعها‬ ‫ٌمكن‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬(𝟏𝟐 )‫لاعدته‬ ‫لطر‬ ‫ونص‬(𝟗 )
⑤‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫جد‬:
⒜‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫يكون‬ ‫مربعه‬ ‫على‬ ‫زيادته‬
⒝‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫أصغر‬ ‫يكون‬ ‫مربعه‬ ‫الى‬ ‫أضافته‬ ‫عند‬
⒞‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫أصغر‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مقلوبه‬ ‫الى‬ ‫أضافته‬ ‫عند‬
⑥‫كان‬ ‫أذا‬𝟒 𝟐𝟒‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬x , y‫تجعل‬ ً‫الت‬𝟐
‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
243
‫الثالث‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬
‫س‬5/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬‫الفروع‬( )‫التكامل‬ ‫بموضوع‬ ‫مرتبطة‬
( ) 𝟑 𝟐
𝟐 𝟓 𝟑
𝟑
(𝟐 ) 𝟐(𝟑 𝟐) 𝟐 𝟓 𝟐 𝟑
𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟐
𝟐 𝟑
𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟑
𝟐) 𝟓 𝟑 𝟐 𝟐
𝟓 𝟑 𝟐 𝟐
𝟐 𝟑 𝟐
( ) 𝟒 𝟐
𝟒 𝟐
𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟒 ( 𝟒) 𝟐 𝟒 𝟐
𝟐 𝟒 𝟐 𝟒
‫س‬6/‫لٌم‬ ‫ألٌجاد‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫ثم‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫أستخدم‬C‫للدالة‬
( ) 𝟒
𝟐 𝟐 , 𝟐 𝟐-
‫الحل‬/‫وزاري‬2013‫/د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬3
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟐-‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟐 𝟐)‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬( 𝟐) (𝟐)
(𝟐) (𝟐) 𝟒
𝟐(𝟐) 𝟐
𝟏𝟔 𝟖 𝟖
( 𝟐) ( 𝟐) 𝟒
𝟐( 𝟐) 𝟐
𝟏𝟔 𝟖 𝟖
(𝟐) ( 𝟐)
: ‫أوال‬‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬‫رول‬ ‫مبرهنة‬‫نفرض‬ ‫لذا‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) 𝟒 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟒 𝟑 𝟒
̅( ) 𝟒 𝟑
𝟒 𝟒 𝟑
𝟒 𝟎
( )
⇒ 𝟑
𝟎 ( 𝟐
𝟏) 𝟎
𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐)
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
244
‫ثانٌا‬:‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬
∴‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( ) 𝟒 𝟑 𝟒 ̅( ) 𝟒 𝟑 𝟒 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) (𝟐) ( 𝟐)
𝟐 ( 𝟐)
𝟖 𝟖
𝟒
𝟎
𝟒
.‫الوتر‬ ‫مٌل‬ /
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟒 𝟑 𝟒 𝟎
( )
⇒ 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎
𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐)
‫س‬7/( ) 𝟐
𝟒 𝟓‫الفتـرة‬ ‫علـى‬ ‫رول‬ ‫مبرهنـة‬ ‫شـروط‬ ‫تحمك‬ ‫دالة‬, 𝟏 -‫كانـت‬ ‫فـأذا‬𝟐
‫للفترة‬ ً‫تنتم‬( 𝟏 )‫لٌمة‬ ‫فجد‬
‫الحل‬/
‫الدالة‬‫ز‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحمك‬
̅( ) 𝟎 ̅( 𝟐) 𝟎
̅( ) 𝟐 𝟒 ̅( 𝟐) 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟎 𝟒 𝟒 𝟏
( ) ( ) ( 𝟏) ( ) ( 𝟏) 𝟐
𝟒( 𝟏) 𝟓
𝟐
𝟒 𝟓
𝟐
𝟒 𝟓 𝟏𝟎 𝟐
𝟒 𝟓 𝟎 ( 𝟓)( 𝟏) 𝟎
‫أما‬ 𝟓 𝟎 𝟓
‫أو‬ 𝟏 𝟎 𝟏 ‫ٌهمل‬
‫س‬8/‫عنـدما‬ ‫لـه‬ ً‫التمرٌب‬ ‫الحجم‬ ‫جد‬ , ‫لاعدته‬ ‫طول‬ ‫أمثال‬ ‫ثالثة‬ ‫أرتفاعه‬ ‫و‬ ‫مربعة‬ ‫لاعدته‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬
‫لاعدته‬ ‫طول‬ ‫ٌكون‬(𝟐 𝟗𝟕 )
‫ا‬‫لحل‬/
‫نفرض‬‫الماعدة‬ ‫طول‬
∴‫األرتفاع‬𝟑
( ) 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 𝟑 ( ) 𝟑 𝟑
̅( ) 𝟗 𝟐
‫نفرض‬𝟑‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟐 𝟗𝟕‫معطى‬
𝟐 𝟗𝟕 𝟑 𝟎 𝟎𝟑
(𝟑) 𝟑(𝟑) 𝟑
𝟑( 𝟐𝟕) 𝟖𝟏 ̅(𝟑) 𝟗(𝟑) 𝟐
𝟗( 𝟗) 𝟖𝟏
( ) ( ) ̅( )
( 𝟑 ( 𝟎 𝟎𝟑)) (𝟑) ( 𝟏) ̅(𝟑)
(𝟐 𝟗𝟕) 𝟖𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟑) (𝟖𝟏) 𝟖𝟏 𝟐 𝟒𝟑 (𝟐 𝟗𝟕) 𝟕𝟖 𝟓𝟕 𝟑
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
245
‫س‬9/‫حجمـــ‬ ‫ـائم‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـري‬‫ـ‬‫دائ‬ ‫ـروط‬‫ـ‬‫مخ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ــــ‬‫ـه‬(𝟐𝟏𝟎 𝟑)‫ـان‬‫ـ‬‫ك‬ ‫أذا‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫لاعدت‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫لط‬ ‫ـ‬‫ـ‬‫لنص‬ ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫التمرٌب‬ ‫ــة‬‫ـ‬‫المٌمــ‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫ج‬
‫أرتفاعه‬(𝟏𝟎 )‫وزاري‬2013/‫د‬2
‫ا‬‫لحل‬/
𝟏
𝟑
𝟐
𝟐𝟏𝟎
𝟏
𝟑
𝟐(𝟏𝟎) 𝟐
(𝟐𝟏𝟎)(𝟑)
𝟏𝟎
𝟐 (𝟐𝟏)(𝟑)
𝟐
𝟔𝟑 √𝟔𝟑
‫نفرض‬𝟔𝟒‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟔𝟑
𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏
( ) √ ( ) (𝟔𝟒) √𝟔𝟒 𝟖
̅( )
𝟏
𝟐 √
̅( ) ̅(𝟔𝟒)
𝟏
𝟐 √𝟔𝟒
𝟏
(𝟐)(𝟖)
𝟏
𝟏𝟔
𝟎 𝟎𝟔𝟑
( ) ( ) ̅( )
( 𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) ̅(𝟔𝟒)
(𝟔𝟑) 𝟖 ( 𝟏) (𝟎 𝟎𝟔𝟑) 𝟖 𝟎 𝟎𝟔𝟑 (𝟔𝟑) 𝟕 𝟗𝟑𝟕
‫س‬10/‫ــت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) √ 𝟑𝟏 𝟏
𝟓
‫ـــة‬‫ـ‬‫المٌمــ‬ ‫ـــطة‬‫ـ‬‫المتوســ‬ ‫ـــة‬‫ـ‬‫المٌمــ‬ ‫ــة‬‫ـ‬‫مبرهن‬ ‫ـــة‬‫ـ‬‫نتٌجـــ‬ ‫ـــتخدام‬‫ـ‬‫بأســـ‬ ‫ــد‬‫ـ‬‫ج‬
‫الى‬ ‫التمرٌبٌة‬(𝟏 𝟎𝟏)‫وزاري‬2013/‫د‬1
‫ا‬‫لحل‬/
‫نفرض‬𝟏‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟏 𝟎𝟏‫معطى‬
𝟏 𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟏
( ) √ 𝟑𝟏 𝟏
𝟓
( 𝟑𝟏 𝟏)
𝟏
𝟓 (𝟏) ( 𝟑𝟏 𝟏)
𝟏
𝟓 ( 𝟑𝟐)
𝟏
𝟓 . 𝟐 𝟓
/
𝟏
𝟓
𝟐
̅( )
𝟏
𝟓
(𝟑𝟏 𝟏)
𝟒
𝟓 (𝟑𝟏)
𝟑𝟏
𝟓(𝟑𝟏 𝟏)
𝟒
𝟓
̅(𝟏)
𝟑𝟏
𝟓(𝟑𝟐)
𝟒
𝟓
𝟑𝟏
𝟓(𝟐 𝟓)
𝟒
𝟓
𝟑𝟏
𝟓(𝟐) 𝟒
𝟑𝟏
𝟖𝟎
𝟎 𝟑𝟖𝟕𝟓
( ) ( ) ̅( )
( 𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟏)) (𝟏) (𝟎 𝟎𝟏) ̅(𝟏)
(𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 (𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟑𝟖𝟕𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟖𝟕𝟓 (𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 𝟎𝟎𝟑𝟖𝟕𝟓
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
246
‫س‬11/‫للدالة‬ ً‫البٌان‬ ً‫المنحن‬ ‫أرسم‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫بأستخدام‬𝟐
𝟏
/‫الحل‬
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬⁄ *𝟎+
‫التناظر‬/‫حول‬ ‫متناظر‬ ً‫المنحن‬‫الصادي‬ ‫المحور‬: ‫ألن‬
( ) ➨ ( ) ( )
( )
𝟏
( ) 𝟐
𝟏
𝟐
( )
/ ‫المحاذٌات‬
𝟐
𝟎 𝟎 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
𝟏
𝟐
𝟐 𝟏
𝟎 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬⁄‫ألن‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬𝟎 𝟎
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
( )
𝟏
𝟐
𝟐 ̅( ) 𝟐 𝟑
𝟐
𝟑
( ̅( ) 𝟎 )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟔 𝟒
𝟔
𝟒
.
̅( ) 𝟎 /
ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ‫الدالة‬‫الفترتٌن‬* 𝟎+ * 𝟎+
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
247
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
******************************************************************
‫الثالث‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬1
‫معادلتها‬ ً‫الت‬ ‫الدائرة‬ ‫على‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬𝟐 𝟐
𝟒 𝟒‫ازدٌاد‬ ‫معدل‬ ‫عندها‬ ‫ٌكون‬yً‫ا‬ٌ‫مساو‬‫ل‬‫ازدٌاد‬ ‫معدل‬x‫ز‬
:‫الحل‬
( )
- ( ) ‫على‬ ‫نمسم‬
( )
( )
( ) ‫على‬ ‫نمسم‬
⇒ ( )
( ) ‫النمطة‬
( ) ‫النمطة‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
248
X
Y
‫السٌارة‬
3m
‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬1
( ‫بسرعة‬ ‫تسٌر‬ ‫سٌارة‬30m/s( ‫ارتفاعها‬ ‫حمراء‬ ‫مرورٌة‬ ‫إشارة‬ ‫اجتازت‬ )3m‫ابتعدت‬ ‫أن‬ ‫وبعد‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ )
‫مسافة‬ ‫عنها‬(𝟑√𝟑 )‫بٌن‬ ‫المسافة‬ ‫ترٌر‬ ‫سرعة‬ ‫جد‬ ‫المرورز‬ ‫بموانٌن‬ ‫االلتزام‬ ‫عدم‬ ‫نتٌجة‬ ‫أخرى‬ ‫بسٌارة‬ ‫اصطدمت‬
‫الضوئٌةز‬ ‫واالشارة‬ ‫السٌارة‬
:‫الحل‬√
‫فٌثاغورس‬
( √ )
√
√ √ ( )
√
√
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1
( ‫كانت‬ ‫إذا‬1,6‫للدالة‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمثل‬ )( ) 𝟐 ( ) 𝟐
‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌمة‬ ‫جد‬b,‫الحمٌمٌتٌن‬
‫ال‬‫م‬‫وجبتٌنز‬
:‫الحل‬‫الدالة‬ ( )
( ) ( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬
( )
̀( ) ( ) ( ) ( ) -
( )
( )( )
‫ٌهمل‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
249
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1
‫حجمها‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫اسطوانة‬ ‫هٌئة‬ ‫على‬ ‫حاوٌة‬(𝟐𝟏𝟔 𝟑)ً‫ف‬ ‫المستخدم‬ ‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫ابعادها‬ ‫جد‬
‫األعلىز‬ ‫من‬ ‫مفتوحة‬ ‫الحاوٌة‬ ‫أن‬ ‫العلم‬ ‫مع‬ ‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫صناعتها‬
:‫الحل‬ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬
‫العاللة‬
. /
̅
( )
⇒ ( )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1
ً‫المنحن‬ ‫كان‬ ‫إذا‬( ) 𝟑 𝟐
( ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬-2,2‫عند‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ‫وكانت‬ )x=1ً‫لٌمت‬ ‫جد‬
‫للدالة‬ ‫المحلٌة‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬f‫ز‬
:‫الحل‬‫الدالة‬ ( )
( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬
( ) ( ) ( ) ( )
( )
̅( )
̅̅( ) ( )
( )
̅( ) ( ) ( ) ̀( )
( )
→ ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ( )
‫تنالص‬ ‫تزاٌد‬‫تزاٌد‬
‫إ‬‫شارة‬(x)̀++++++-------+++++++
3-1
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
250
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬2
( ‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫بكرة‬ ‫وٌحٌط‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫حجمه‬ ‫لائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫أبعاد‬ ‫جد‬3cm‫)ز‬
:‫الحل‬‫المخروط‬ ‫أبعاد‬ ‫نفرض‬r ,h
ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬
‫المثلث‬ ً‫ف‬abcً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫المائم‬b:
( ) √
‫المثلثٌن‬ ‫تشابه‬ ‫من‬abc,ade:‫على‬ ‫نحصل‬
√
√ ( ) ‫بالتربٌع‬
( ) ( )
( ) ( )
,( ) -
( )
‫العاللة‬
( ) ( )
̀ ( ) ( )
( )
, ( ) ( )-
( )
̀
, -
( )
( )
( )
( )
( )
̀ ‫نضع‬
( )
( )
⇒ ( )
‫ٌهمل‬
( )
( )
( )
√
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
251
‫وزاري‬ ‫سؤال‬99‫/د‬1
‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫موضوعة‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫الجانبٌة‬ ‫مساحتها‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫اسطوانة‬ ‫إبعاد‬ ‫جد‬𝟔√𝟐‫ز‬
:‫الحل‬ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬ ‫الجانبٌة‬ ‫المساحة‬ ‫لتكن‬
‫االسطوانة‬ ‫أبعاد‬ ‫نفرض‬r, 2h
( √ ) ‫فٌثاغورس‬
√ ‫العاللة‬
√ √ ( ) ( )
̅ ( ) ( )
( )
√
̅ ( )
( )
→ ( )
( )
‫ٌهمل‬
√ √
( ) ‫االرتفاع‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬2
( ‫بمعدل‬ ‫ارتفاعها‬ ‫ٌزداد‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫اسطوانة‬0.5 cm/sً‫ا‬ٌ‫مساو‬ ً‫ا‬‫دائم‬ ‫حجمها‬ ‫ٌظل‬ ‫بحٌث‬ )(𝟑𝟐𝟎 𝟑)‫جد‬
( ‫االرتفاع‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫الماعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫ترٌر‬ ‫معدل‬5 cm‫)ز‬
:‫الحل‬
‫العاللة‬
̅ ( ) ( )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
252
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬2
‫وحجمه‬ ‫مربعة‬ ‫لاعدته‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫كامل‬ ‫غطاء‬ ‫ذو‬ ‫الحدٌد‬ ‫من‬ ‫خزان‬𝟐𝟏𝟔 𝟐
‫ابعاده‬ ‫جد‬
‫ص‬ ً‫ف‬ ‫المستخدمة‬ ‫الصفائح‬ ‫مساحة‬ ‫لتكون‬‫نع‬‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫ة‬
:‫الحل‬‫لتكن‬A‫الكلٌة‬ ‫المساحة‬ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬
‫المربع‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬x‫االرتفاع‬ ,y
‫العاللة‬
. / ̅
̅
( )
⇒
( )
→
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬1
‫تساوي‬ ‫السطحٌة‬ ‫مساحتها‬ ,‫نهاٌتها‬ ‫من‬ ‫مسدودة‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫اسطوانٌة‬ ‫علبة‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬𝟐𝟒 𝟐
‫ٌكون‬ ‫عندما‬
‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫حجمها‬
:‫الحل‬‫االسطوانة‬ ‫ابعاد‬ ‫نفرض‬r , h
ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬
( )
⇒
‫العاللة‬
( ) ( )
̅ ( ) ( )
( )
⇒
( )
⇒
‫االرتفاع‬×‫الماعدة‬ ‫محٌط‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
253
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫/د‬1
‫لتكن‬𝟐
𝟖‫جد‬( ‫النمطة‬ ‫إلى‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫وتكون‬ ً‫المنحن‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬ ‫نمطة‬6,0)
:‫الحل‬( ‫النمطة‬ ‫نفترض‬x ,y)
ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬√( ) ( ) √
‫العاللة‬
√ √ ( )
̅ ( ) ( )
√
( ̅ ‫نجعل‬ )
( )
( ‫النماط‬2,4( , )2,-4)
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫/د‬2
‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ‫االنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬( ) 𝟑
𝟑 𝟐‫انمالبهز‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ً‫المنحن‬ ‫مماس‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
:‫الحل‬̀( ) ( )
( )
⇒ ( )
‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ( )
‫المماس‬ ‫مٌل‬ ̀( ) ( )
( ) ( )
‫المماس‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬2
‫المستمٌم‬𝟑 𝟕ً‫المنحن‬ ‫ٌمس‬𝟐
( ‫النمطة‬ ‫عند‬2,-1‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ً‫وللمنحن‬ )
‫عند‬ ‫محلٌة‬
𝟏
𝟐
‫لٌمة‬ ‫جد‬
:‫الحل‬̀
‫المٌل‬ ( )
‫المٌل‬
‫معامل‬
‫معامل‬
( )
̀ ( )
(
𝟏
𝟐
‫عند‬ )
⇒ ( )
( )
‫الدالة‬ ( )‫معادلتها‬ ‫تحمك‬
( ) ( )
‫بالطرح‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
254
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2004‫/د‬1
‫طولها‬ ‫سلن‬ ‫لطعة‬8 cm‫بحٌث‬ ‫لطعتٌن‬ ‫إلى‬ ‫لطعت‬‫صن‬‫عرضه‬ ‫نص‬ ‫طوله‬ ‫مستطٌل‬ ‫الثانٌة‬ ‫ومن‬ ‫دائرة‬ ‫األولى‬ ‫من‬ ‫ع‬
‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫والدائرة‬ ‫المستطٌل‬ ً‫مساحت‬ ‫مجموع‬ ‫لٌكون‬ ‫لطعة‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬
:‫الحل‬‫الدائرة‬ ‫محٌط‬ ‫لٌكن‬x
‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬y
‫هو‬ ‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬8-x
= ‫المستطٌل‬ ‫طول‬2y
( ) ‫المانون‬
( ) ‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬
( )‫العاللة‬
‫الدائرة‬ ‫محٌط‬ ( ) ‫العاللة‬
( ) . /
( )
( )
̀ ( ) ( ) ( ) ( )
̀ ( ) ( )
‫االولى‬ ‫المطعة‬ ‫طول‬
‫الثانٌة‬ ‫المطعة‬ ‫طول‬ ( )
‫االرتفاع‬×‫الماعدة‬ ‫محٌط‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
255
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2005‫/د‬1
‫لتكن‬( ) 𝟑 𝟐
𝟏( ,-1,2ً‫لٌمت‬ ‫جد‬ ‫للدالةز‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ )‫هل‬
‫للدالة؟ز‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬
:‫الحل‬‫الدالة‬ ( )
‫معادلتها‬ ‫تحمك‬
( )
̀( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬ . /
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬1
‫كانت‬ ‫إذا‬𝟑 𝟐
‫لٌمة‬ ‫جد‬( ً‫ه‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫الدالة‬ ً‫المنحن‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬1,2‫ز‬ )
:‫الحل‬( ) ( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬ ‫الدالة‬ ( )
( )
̀( ) ̀̀( )
‫انمالب‬ ‫نمطة‬ (𝟏 𝟐)⇐̿( ) 𝟎‫عندما‬( 𝟏)
( ) -
( )
‫بالطرح‬( )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
256
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬2
( ‫ضربهما‬ ‫حاصل‬ ‫موجبان‬ ‫عددان‬16‫العددان؟ز‬ ‫فما‬ ‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫اصرر‬ ‫ومجموعهما‬ )
:‫الحل‬‫العددان‬ ‫نفرض‬x, yً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬
‫العاللة‬
̅
( )
⇒
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬2
‫وارتفاعه‬ ‫االضالع‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫داخل‬ ‫رسمه‬ ‫ٌمكن‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬𝟒√ 𝟑
:‫الحل‬‫المستطٌل‬ ‫أبعاد‬ ‫نفرض‬2x, yً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬A=2x y
‫المثلث‬ ً‫ف‬abcً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫المائم‬b:
√
√
√
√ √
‫المثلثٌن‬ ‫تشابه‬ ‫من‬abc,dec:‫على‬ ‫نحصل‬
√
√ √ ( )
√ √ ‫العاللة‬
( √ √ )
√ √
̀ √ √ √ √ ( √ )
√ √ √
( )( √ ) √
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
257
‫سٌارة‬2
‫سٌارة‬1
Z
Xm
Y
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1
ً‫ف‬ ‫ٌلتمٌان‬ ‫متعامدان‬ ‫طرٌمان‬m‫نمطة‬ ‫من‬ ‫سٌارتان‬ ‫تحركت‬ ‫ز‬m‫السٌارة‬ ‫سرعة‬ ‫معدل‬ ‫وكان‬ ‫طرٌك‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫كل‬
‫األول‬80km/h‫الثانٌة‬ ‫السٌارة‬ ‫سرعة‬ ‫ومعدل‬60km/h‫بدء‬ ‫من‬ ‫ساعة‬ ‫ربع‬ ‫بعد‬ ‫السٌارتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫االبتعاد‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ ‫ز‬
‫من‬ ‫الحركة‬m‫ز‬
:‫الحل‬
. / ‫ساعة‬ ‫ربع‬ ‫بعد‬ ‫األولى‬ ‫السٌارة‬ ‫لطعتها‬ ً‫الت‬ ‫المسافة‬
. / ‫ساعة‬ ‫ربع‬ ‫بعد‬ ‫الثانٌة‬ ‫السٌارة‬ ‫لطعتها‬ ً‫الت‬ ‫المسافة‬
‫فٌثاغورس‬
( ) ( )
-
. / ( ) ( )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1
‫كانت‬ ‫إذا‬( ) 𝟐 ( ) 𝟐
( ‫والنمطة‬1,-2‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫حرجةز‬ )b,a‫النمطة‬ ‫نوع‬ ‫بٌن‬ ‫ثم‬ ‫الموجبتٌن‬
‫الحرجةز‬
:‫الحل‬( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬ ‫الدالة‬ ( )
( )
( )
̀( ) ( ) ( ) ( ) -
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
258
( )
( )( )
‫ٌهمل‬
̀( ) ( )
‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ( )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2
‫المستمٌم‬ ‫كان‬ ‫إذا‬𝟗 𝟐𝟖‫للدالة‬ ‫مماسا‬( ) 𝟑 𝟐
𝟏( ‫النمطة‬ ‫عند‬3,1‫لٌمة‬ ‫جد‬ )‫ز‬
:‫الحل‬( ) ( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬ ‫الدالة‬ ( )
( )
( )
̀( ) ̀( ) ( ) ( )
̀( ) (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
‫المماس‬ ‫مٌل‬
‫معامل‬
‫معامل‬
( )
⇒ ( )
‫نحصل‬ ( )‫بالعدد‬ ( )‫المعادلة‬ ‫وبضرب‬
ً‫ف‬ ‫نعوض‬(𝟏)‫المعادلة‬‫لٌمة‬ ‫لحساب‬( )
( )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
259
X
Y
5m
13m
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2
( ‫طوله‬ ‫سلم‬13m‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫من‬ ‫مبتعدا‬ ‫للسلم‬ ‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫تحرن‬ ‫فاذا‬ ‫شالولًز‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫ٌرتكز‬ )4m/s‫جد‬
‫بعد‬ ‫على‬ ‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫فٌها‬ ‫ٌكون‬ ً‫الت‬ ‫اللحظة‬ ً‫ف‬ ‫األرض‬ ‫عن‬ ‫للسلم‬ ‫األعلى‬ ‫الطر‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬5m‫الحائطز‬ ‫من‬
:‫الحل‬
‫فٌثاغورس‬
( )
( )
( ⁄ )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬2
‫السالٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫دائرة‬ ‫داخل‬ ‫رسمه‬ ‫ٌمكن‬6 cm‫)ز‬
‫المثلث‬ ‫ابعاد‬ ‫نفرض‬ :‫الحل‬2x, h
( )
ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬
( )
√ ‫العاللة‬
√ √ ( )
̅ ( ) ( )
( )
( )
̅
( )
⇒ ( )
‫ٌهمل‬
√( )( ) √ √
( √ )( ) √
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
260
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬1
‫لتكن‬( )‫المكاف‬ ‫المطع‬ ‫على‬ ‫تتحرن‬ ‫نمطة‬𝟐
‫النمطة‬ ً‫أحداث‬ ‫جد‬( )‫ألبتعادها‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬
‫النمطة‬ ‫عن‬.𝟎
𝟑
𝟐
/‫ثلث‬ ‫ٌساوي‬‫للنمطة‬ ‫دي‬ ‫الصا‬ ً‫األحداث‬ ‫لترٌٌر‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬( )
‫الحل‬/
‫النمطة‬ ‫لتكن‬‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ( )
𝟏
𝟑
‫النمطة‬ ‫لتكن‬.𝟎
𝟑
𝟐
/
S‫بٌن‬ ‫المسافة‬N , M
̅̅̅̅̅ √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐
√( 𝟎) 𝟐 (
𝟑
𝟐
)
𝟐
√ 𝟐 (
𝟑
𝟐
)
𝟐
√ ( 𝟐 𝟑
𝟗
𝟒
)
( 𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
)
𝟏
𝟐
(‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬
𝟏
𝟐
( 𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
)
𝟏
𝟐
(𝟐 𝟐 )
(𝟐 𝟐)
𝟐 . 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒
/
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
(𝟐 𝟐)
𝟐 . 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒
/
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
𝟐( 𝟏)
𝟐 √ 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒
√ 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒
𝟑( 𝟏) ( ‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
𝟗( 𝟐
𝟐 𝟏) ( 𝟒)
𝟒 𝟐
𝟖 𝟗 𝟑𝟔 𝟐
𝟕𝟐 𝟑𝟔
𝟑𝟐 𝟐
𝟔𝟒 𝟐𝟕 𝟎
( 𝟑𝟐)
⇒ 𝟐
𝟐
𝟐𝟕
𝟑𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟐𝟕
𝟑𝟐
(‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫ٌصبح‬ ً‫لك‬ ‫المعادلة‬ ً‫طرف‬ ‫الى‬ (𝟏) ‫العدد‬ ‫)نضٌف‬
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐𝟕
𝟑𝟐
𝟏
( 𝟏) 𝟐
𝟓
𝟑𝟐
(‫الطرفٌن‬ ‫)جذر‬
𝟏 √
𝟓
𝟑𝟐
𝟏 √
𝟓
𝟑𝟐
𝟐
𝟏 √
𝟓
𝟑𝟐
√ 𝟏 √
𝟓
𝟑𝟐
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
261
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3
‫ج‬‫ــ‬‫ـ‬‫ـــ‬ً‫ـ‬‫ـ‬‫المنحن‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫معادل‬ ‫د‬( ) 𝟑 𝟐
‫ـة‬‫ـ‬‫النمط‬ ‫ـث‬‫ـ‬ٌ‫ح‬( 𝟏 𝟒)‫ـاس‬‫ـ‬‫المم‬ ‫ـل‬‫ـ‬ٌ‫وم‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـالب‬‫ـ‬‫أنم‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نمط‬
‫ٌساوي‬ ‫عندها‬(𝟏)
‫الحل‬/‫الدالة‬ ( )
( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬
( ) ( ) ( ) ( )
‫ٌساوي‬ ‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬(1)
∴̅( )
̀( ) ̀( ) ( ) ( )
( )
( )
‫أنٌا‬ ‫تحل‬
( )
‫النمطة‬( )‫أنمالب‬ ‫نمطة‬⇐̅̅( )
̿( ) ̿( ) ( ) ( )
( )
( )
‫أنٌا‬ ‫تحل‬
( ) ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬
( ) ( ) ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬
( ) ( )
( )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3
‫ج‬‫ــــ‬‫د‬‫ز‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫الناتج‬ ‫ٌكون‬ ً‫الضرب‬ ‫نظٌره‬ ‫الى‬ ٌ‫أض‬ ‫أذا‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬
‫الحل‬/
‫الفرضيت‬:‫نفرض‬‫الؼذد‬=
= ‫للؼذد‬ ً‫الضرب‬ ‫النظير‬
𝟏
‫الذالت‬:ً‫الضرب‬ ‫نظيره‬ + ‫الؼذد‬
( )
𝟏
‫الذراست‬:
̅( ) 𝟏 𝟐 𝟏
𝟏
𝟐
( ̅( ) 𝟎 ‫نجؼل‬ )
𝟏
𝟏
𝟐
𝟎 𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 𝟏
̅̅( ) 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏
𝟐
𝟑
̅̅(𝟏) 𝟑 𝟎 ̅̅( 𝟏) 𝟏 𝟎
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
262
∴‫عندما‬ ‫محلية‬ ‫عظمي‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬𝟏
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3
‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫أرسم‬( )
𝟑
𝟐‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫بأستخدام‬
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬⁄ *𝟎+
‫التناظر‬/‫حول‬ ‫متناظر‬ ً‫المنحن‬‫الصادي‬ ‫المحور‬: ‫ألن‬
( ) ➨ ( ) ( )
( )
𝟑
( ) 𝟐
𝟑
𝟐
( )
/ ‫المحاذٌات‬
𝟐
𝟎 𝟎 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
𝟏
𝟐
𝟐 𝟏
𝟎 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬⁄‫ألن‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬𝟎 𝟎
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
( )
𝟑
𝟐
𝟑 𝟐 ̅( ) 𝟔 𝟑
𝟔
𝟑
( ̅( ) 𝟎 )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟏𝟖 𝟒
𝟏𝟖
𝟒
.
̅( ) 𝟎 /
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
263
ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ‫الدالة‬‫الفترتٌن‬* 𝟎+ * 𝟎+
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
1√𝟑
2√
𝟑
𝟐
3𝟏
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬2
‫كان‬ ‫أذا‬( )
𝟏
√
‫جد‬‫للدالة‬ ً‫التمرٌب‬ ‫الترٌٌر‬ ‫ممدار‬‫أ‬‫ترٌرت‬ ‫ذا‬‫من‬𝟒‫الى‬𝟒 𝟎𝟏‫؟‬
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟒)‫معطى‬
‫نفرض‬( 𝟒 𝟎𝟏)‫معطى‬
𝟒 𝟎𝟏 𝟒 𝟎 𝟎𝟏
( )
𝟏
√
( ) ( ).
𝟏
𝟐
/ ̅( )
𝟏
𝟐
( ).
𝟑
𝟐
/ ̅( )
𝟏
𝟐 √ 𝟑
̅( )
𝟏
𝟐 √ 𝟑
̅(𝟒)
𝟏
𝟐 √(𝟒) 𝟑
̅(𝟒)
𝟏
𝟐(𝟖)
𝟏
𝟏𝟔
̅(𝟒) 𝟎 𝟎𝟔𝟐𝟓
̅( ) ̅( 𝟒) ( 𝟎 𝟎𝟏)( 𝟎 𝟎𝟔𝟐𝟓) 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟐𝟓 ً‫التمرٌب‬ ‫التغٌٌر‬ ‫ممدار‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
264
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬2
ً‫للمنحن‬ ً‫تنتم‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬𝟐 𝟐
𝟓‫ال‬ ‫من‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكون‬ ً‫لك‬‫نمطة‬(𝟒 𝟎)
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫النمطة‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬( )ً‫المنحن‬ ‫نمط‬ ‫من‬ ً‫ه‬𝟐 𝟐
𝟓‫للنمطة‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكن‬ ‫بحٌث‬(𝟒 𝟎)
√( 𝟒) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐
‫الدالة‬:ً‫ه‬‫المسافة‬ ‫لانون‬
√ 𝟐 𝟖 𝟏𝟔 ( 𝟐 )
√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏
‫العاللة‬:( 𝟐 𝟐 𝟓)
√ 𝟐 𝟖 𝟏𝟔 𝟐
𝟒 𝟖
(𝟐)√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏
( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟒 𝟖
( 𝟐)√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏
𝟎
𝟒 𝟖 𝟎 𝟐 𝟎
𝟐
𝟐 𝟐 𝟒 𝟗 𝟑
‫الدراسة‬:
ً‫ه‬ ‫النماط‬(𝟐 𝟑) ( 𝟑)
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
265
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬2
‫ـاع‬‫ـ‬‫أرتف‬ ‫علـى‬ ‫مصـباح‬𝟔 𝟒‫وشـخص‬ ً‫ـالول‬‫ـ‬‫ش‬ ‫عمـود‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫مثبـت‬ ‫متـر‬‫طولـــ‬‫ـــ‬‫ـــه‬𝟏 𝟔‫ٌتحـرن‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫مت‬‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫مبتعـدا‬
‫وبس‬ ‫العمود‬‫ــــ‬‫رعة‬𝟑𝟎 ⁄‫جد‬‫سرعة‬‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ترٌٌر‬
‫الحل‬/
8
‫المصباح‬ ‫لاعدة‬ ‫عن‬ ‫الرجل‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫الرجــــــــــــل‬ ‫ظل‬ ‫طــــــول‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t‫حٌث‬𝟑𝟎
‫أستعمال‬ ‫او‬ ‫مثلثات‬ ‫تشابه‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬(tan)
𝟔 𝟒
‫الكبٌر‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬
𝟏 𝟔
‫الصغٌر‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬
𝟔 𝟒 𝟏 𝟔 ( 𝟏 𝟔)
⇒
𝟒 𝟏
𝟒 𝟑 ( ‫بداللة‬ ‫)نشتك‬
𝟑
. /
𝟑
𝟑𝟎
𝟑
𝟏𝟎 ( ⁄ )
‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ترٌٌر‬ ‫معدل‬=𝟏𝟎 ( ⁄ )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3
‫ـى‬‫ـ‬‫األعل‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫طرف‬ ‫ـز‬‫ـ‬‫ٌرتك‬ ‫ـلم‬‫ـ‬‫س‬‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬, ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫أفم‬ ‫أرض‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـفل‬‫ـ‬‫األس‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫وطرف‬ ً‫ـالول‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـائط‬‫ـ‬‫ح‬‫ـأذا‬‫ـ‬‫ف‬‫ـفل‬‫ـ‬‫األس‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫طرف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫حرك‬ ‫ـرعة‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬
.
𝟏
𝟓
/‫أنزالق‬ ‫معدل‬ ‫,جد‬‫طرف‬‫األعلى‬ ‫ه‬‫تكون‬ ً‫الت‬ ‫اللحظة‬ ً‫ف‬‫الزاوٌة‬‫المحصورة‬‫واألرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬
𝟑
‫الحل‬/
‫الطريقة‬①
{
‫الســـــــــــــلم‬ ‫طــــــــــول‬ ‫نـــــفرض‬
‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫الســــــــــلم‬ ‫لاعدة‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫األرض‬ ‫عن‬ ‫السلم‬ ‫رأس‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫األرض‬ ‫و‬ ‫الســــــــلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t
‫فٌثاغورس‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬
𝟐 𝟐 𝟐
①‫معادلة‬
𝟑
√𝟑
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
266
‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 (
𝟏
𝟐
) (
𝟏
𝟓
) 𝟐 4
√𝟑
𝟐
5 𝟎
𝟏
𝟓
√𝟑 𝟎
𝟓√𝟑
𝟏
𝟓√𝟑
( ⁄ )
= ‫للسلم‬ ‫العلوي‬ ‫الطر‬ ‫االنزالق‬ ‫معدل‬
𝟐
√𝟑
m/s
‫الطرٌمة‬②
𝟑
√𝟑 √𝟑
‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐( ) (
𝟏
𝟓
) 𝟐(√𝟑 ) 𝟎
𝟐
𝟓
𝟐√𝟑 𝟎
𝟐
𝟏𝟎√𝟑
𝟏
𝟓√𝟑
( ⁄ )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3
‫كانت‬ ‫أذا‬( ) √ 𝟐 𝟔
𝟑
‫المٌمـ‬ ‫المتوســطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬ ‫بأستخدام‬ ‫جد‬‫لـ‬ ‫التمرٌبٌة‬ ‫ة‬(𝟏 𝟎𝟐)
‫ا‬‫لحل‬/
‫نفرض‬𝟏‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟏 𝟎𝟐‫معطى‬
𝟏 𝟎𝟐 𝟏 𝟎 𝟎𝟐
( ) √ 𝟐 𝟔
𝟑
( 𝟐 𝟔)
𝟏
𝟑 (𝟏) ( 𝟐 𝟔)
𝟏
𝟑 ( 𝟖)
𝟏
𝟑 . 𝟐 𝟑
/
𝟏
𝟑
𝟐
̅( )
𝟏
𝟑
(𝟐 𝟔)
𝟐
𝟑 (𝟐)
𝟐
𝟑(𝟐 𝟔)
𝟐
𝟑
̅(𝟏)
𝟐
𝟑(𝟖)
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑(𝟐 𝟑)
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑(𝟐) 𝟐
𝟏
𝟔
𝟎 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔
( ) ( ) ̅( )
( 𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟐)) (𝟏) (𝟎 𝟎𝟐) ̅(𝟏)
(𝟏 𝟎𝟐) 𝟐 (𝟎 𝟎𝟐) (𝟎 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑 (𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
267
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3
‫رسمه‬ ‫ٌمكن‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫دائرة‬ ‫نص‬ ‫داخل‬𝟔‫سم‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫المستطٌل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬=𝟐‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬= ‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫ونفرض‬A
‫الدالة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐 ( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬‫المائم‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬(ABC)
𝟐 𝟐 ( 𝟔) 𝟐 𝟐 𝟐
𝟑𝟔
√ 𝟑𝟔 𝟐 (②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐.√ 𝟑𝟔 𝟐/
𝟐.√ 𝟑𝟔 𝟐 𝟒/ √ 𝟒(𝟑𝟔 𝟐 𝟒)
√ 𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒
‫الدراسة‬:
𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑
𝟐 .√𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒/
( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑
𝟐 (√ 𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒
)
𝟎 𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑
𝟎
𝟏𝟖 𝟑
𝟎 ( 𝟐)
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟐
𝟑√𝟐 ( ‫السالب‬ ‫)ٌهمل‬
𝟑√𝟐 ( ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ )
√ 𝟑𝟔 𝟐 √𝟑𝟔 √ 𝟑√𝟐
𝟐 𝟐(𝟑√𝟐) 𝟔√𝟐 ( ‫المستطٌل‬ ‫طول‬ )
𝟐 (𝟔√𝟐)(𝟑√𝟐) 𝟑𝟔 𝟐
‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬
:‫األختبار‬‫لألطالع‬
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
268
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3
‫ــتمٌم‬‫ـ‬‫المســ‬𝟑 𝟕ً‫ـ‬‫ـ‬‫المنحن‬ ‫ـس‬‫ـ‬‫ٌم‬𝟐
‫ـد‬‫ـ‬‫عن‬(𝟐 𝟏)ً‫ـ‬‫ـ‬‫للمنحن‬ ‫ـان‬‫ـ‬‫وك‬‫نهاٌــ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـــ‬‫ـة‬
‫محلٌة‬‫صررى‬‫عند‬𝟓‫لٌمة‬ ‫جد‬
/‫الحل‬
‫النمطة‬(𝟐 𝟏)ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬
𝟐
𝟏 ( 𝟐) 𝟐
( 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟏 ( ‫معادلة‬① )
∵‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ً‫للمنحن‬‫عند‬ ‫محلٌة‬𝟓⇐‫عندما‬
𝟐 𝟎 𝟐 ( ) 𝟏𝟎 𝟎 ( ‫معادلة‬② )
‫معادلته‬ ‫من‬ ‫المماس‬ ‫المستمٌم‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫نجد‬:
‫معامل‬
‫معامل‬
‫نجد‬ ‫اي‬ ( ‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬ ‫نجد‬‫عندما‬)
𝟐 𝟒
∵‫المماس‬ ‫المستمٌم‬ ‫مٌل‬‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬
𝟒 𝟒 𝟑 ( ‫معادلة‬③ )
( ‫المعادلتٌن‬ ‫بحل‬2( ‫و‬ )3: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ )
( ‫معادلة‬② )
( ‫معادلة‬③ )
‫بالطرح‬
( ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫)نعوض‬②
( ) ( 𝐜 ‫ألٌجا‬‫د‬ ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نع‬‫وض‬ )
( ) ( )
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
269
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2016‫/د‬1
‫جـد‬‫أبعـاد‬‫أس‬ ‫أكبـر‬‫ــــــ‬‫لائم‬ ‫دائرٌـة‬ ‫طوانة‬‫ــــ‬‫ت‬ ‫ة‬‫أرتفاعـــــ‬ ‫لـائم‬ ‫دائـري‬ ‫مخـروط‬ ‫داخـل‬ ‫وضـــــع‬‫ه‬(𝟔 )‫ـر‬‫ـ‬‫لط‬ ‫وطـول‬
‫لاعدته‬(𝟏𝟎 )
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬= ‫األسطوانة‬R= ‫المخروط‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬h=‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V
‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫مثلثات‬ ‫تشابه‬(ADE , ABC)
𝟔
𝟔
𝟓
𝟔 𝟑𝟎 𝟓
𝟑𝟎 𝟔
𝟓
.②‫معادلة‬/
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐
(
𝟑𝟎 𝟔
𝟓
)
𝟓
(𝟑𝟎 𝟐
𝟔 𝟑
)
‫الدراسة‬:
𝟓
( 𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐
) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟓
(𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐
) 𝟎 𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐
𝟎 ( 𝟔)
𝟏𝟎 𝟑 𝟐
𝟎 ( 𝟏𝟎 𝟑 ) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟏𝟎 𝟑 𝟎
𝟏𝟎
𝟑
𝟑𝟎 𝟔
𝟓
𝟑𝟎 𝟔 .
𝟏𝟎
𝟑
/
𝟓
𝟑𝟎 𝟐𝟎
𝟓
𝟏𝟎
𝟓
𝟐
∴: ً‫ه‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫أبعاد‬𝟐,
𝟏𝟎
𝟑
: ً‫التال‬ ‫بالشكل‬ ‫السابك‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫العاللة‬ ‫كتابة‬ ‫ٌمكن‬ : ‫مالحظة‬
‫العاللة‬:‫مثلثات‬ ‫تشابه‬(ADE , ABC)
𝟓
𝟔 𝟔
𝟔 𝟑𝟎 𝟓
𝟑𝟎 𝟔
𝟓
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
270
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2016‫/د‬1
‫ص‬‫ــــ‬‫فٌحة‬‫معدنٌة‬‫مستطٌلة‬‫الشكل‬‫مسـاحتها‬𝟗𝟔 𝟐
‫ٌتمـدد‬‫عرضـ‬‫بمعـدل‬ ‫ها‬𝟐 ⁄‫مس‬ ‫تبمـى‬ ‫بحٌـث‬‫ـــــ‬‫احتها‬
‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫ثابتة‬‫الطول‬ ‫ترٌٌر‬‫ٌكون‬ ‫عندما‬‫لـ‬ ً‫ا‬ٌ‫مساو‬ ‫الطول‬𝟏𝟐
‫الحل‬/
8
‫المستطٌل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬
‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫اي‬ ً‫ف‬t
‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬( )=, -
𝟗𝟔 ①‫معادلة‬ ( ‫لٌمة‬ ‫)نحسب‬
𝟗𝟔 (𝟏𝟐)
𝟗𝟔
𝟏𝟐
𝟖
① ‫معادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟎 (𝟏𝟐)(𝟐) (𝟖) 𝟎
𝟐𝟒
𝟖
𝟑 ( ⁄ )
∴ً‫ف‬ ‫التنالص‬ ‫معدل‬‫طول‬= ‫المستطٌل‬( 𝟑 ⁄ )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2016‫/د‬1
‫ــت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) 𝟑
𝟒 𝟐
‫ــث‬‫ـ‬ٌ‫ح‬,𝟎 -‫ــت‬‫ـ‬‫وكان‬‫م‬ ‫ــك‬‫ـ‬‫تحم‬‫ـــ‬‫ـ‬‫ــ‬‫المٌم‬ ‫برهنة‬‫ـــ‬‫ـ‬‫ــ‬‫المتوس‬ ‫ة‬‫ـــ‬‫ـ‬‫ـــ‬‫طة‬
‫ع‬‫ـــ‬‫ندما‬
𝟐
𝟑
‫لٌمة‬ ‫فجد‬
‫الحل‬/
( ) 𝟑
𝟒 𝟐 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟖
‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحمك‬ ‫الدالة‬
̅( )
( ) ( )
( ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬ ‫ال‬‫وتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ )
𝟑 𝟐
𝟖
( 𝟑
𝟒 𝟐) (𝟎)
𝟑 (
𝟐
𝟑
)
𝟐
𝟖 (
𝟐
𝟑
)
( 𝟐
𝟒 ) 𝟒
𝟑
𝟏𝟔
𝟑
𝟐
𝟒
𝟏𝟐
𝟑
𝟐
𝟒
𝟒 𝟐
𝟒 𝟐
𝟒 𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐
‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
271
‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬ 𝟐(‫الطول‬ ‫العرض‬ )
‫المخروط‬ ‫حجم‬
𝟐
𝟑
‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫الطول‬ ‫العرض‬‫المكعب‬ ‫حجم‬ (‫الضلع‬ ‫طول‬ )
𝟑
‫المربع‬ ‫محٌط‬ 𝟒(‫الضلع‬ ‫)طول‬‫للمكعب‬ ‫السطحٌة‬ ‫المساحة‬ 𝟔(‫الضلع‬ ‫طول‬ )
𝟐
‫المربع‬ ‫مساحة‬ (‫الضلع‬ ‫طول‬ )
𝟐
‫المستطٌالت‬ ‫لمتوازي‬ ‫الجانبٌة‬ ‫المساحة‬ ‫األرتفاع‬ ‫الماعدة‬ ‫محٌط‬
‫محٌط‬ ‫الدائرة‬ 𝟐‫المستطٌالت‬ ‫لمتوازي‬ ‫الكلٌة‬ ‫المساحة‬ ‫الجانبٌة‬ ‫المساحة‬ ‫الماعدتٌن‬ ‫مساحة‬
‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ 𝟐
‫المستطٌالت‬ ‫متوازي‬ ‫حجم‬ ‫األرتفاع‬ ‫الماعدة‬ ‫مساحة‬
‫الكرة‬ ‫مساحة‬ 𝟒 𝟐
‫المثلث‬ ‫محٌط‬ ‫الثالثة‬ ‫أضالعه‬ ‫أطوال‬ ‫مجموع‬
‫األسطوانة‬ ‫حجم‬ 𝟐
‫المثلث‬ ‫مساحة‬
𝟏
𝟐
(‫)األرتفاع()الماعدة‬
‫الكرة‬ ‫حجم‬
𝟒
𝟑
𝟑‫المسافة‬ √( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟐
‫المٌل‬
𝟐 𝟏
𝟐 𝟏
𝟏
𝟏
‫م‬ ‫لوانٌن‬‫جدا‬ ‫فٌدة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
272
‫ال‬ ‫الفصل‬‫رابع‬/‫التكامل‬
‫للتكامــــــــــل‬ ‫األساسٌة‬ ‫النظرٌة‬–‫الممابلة‬ ‫الدالة‬
‫كانت‬ ‫أذا‬‫عل‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬‫الفترة‬ ‫ى‬, -‫دالة‬ ‫توجد‬ ‫فأنه‬F‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, -‫بحٌث‬:
( ) ( ) ( )
‫وٌكون‬∫ ( ) ( ) ( )‫تسمى‬ ‫حٌث‬‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬f‫الفترة‬ ‫على‬, -
‫مثال‬(1)/‫كانت‬ ‫أذا‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬,𝟏 𝟓-‫بحٌث‬( ) 𝟑 𝟐
‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬f‫لٌمة‬ ‫فجد‬∫ ( )
𝟓
𝟏
‫الحل‬/
∫
𝟓
𝟏
( ) (𝟓) (𝟏) 𝟑(𝟐𝟓) 𝟑(𝟏) 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐
: ‫األتٌة‬ ‫بالصورة‬ ‫ذلن‬ ‫نكتب‬ ‫أن‬ ‫وٌمكن‬
∫
𝟓
𝟏
( ) , ( )
𝟓
-
𝟏
,𝟑 𝟐
𝟓
-
𝟏
𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐
‫مثال‬(2)/‫كانت‬ ‫أذا‬f‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬0𝟎
𝟐
1‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫و‬f: ً‫ه‬
0𝟎 𝟐
1,( )
‫ف‬‫أو‬‫لٌمة‬ ‫جد‬∫ ( )𝟐
𝟎
‫الحل‬/
∫
𝟐
𝟎
( ) , ( )- .
𝟐
/ (𝟎) .
𝟐
/ (𝟎) 𝟏 𝟎 𝟎
‫م‬‫ثال‬(3)/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( ) 𝟑
𝟐,, 𝟏 𝟑-‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬( ) 𝟑 𝟐
‫الحل‬/∵( ) 𝟑
𝟐‫على‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬) ‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫ألنها‬ (
∴F‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬‫على‬,𝟏 𝟑-‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬‫على‬(𝟏 𝟑)
( ) 𝟑 𝟐 ( ) (𝟏 𝟑)
∴F‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬‫على‬,𝟏 𝟑-
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
273
‫م‬‫ثال‬(4)/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( )
𝟏
𝟐
𝟐,‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
( ) 𝟐,
‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬∫ 𝟐𝟒
𝟎
‫الحل‬/
∵( ) 𝟐‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
( )
𝟏
𝟐
𝟐‫أٌضا‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
( )
𝟏
𝟐
𝟐 (𝟐) 𝟐 ( )
∴‫للدالة‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
∫ ( ) ( ) ( )
∫ 𝟐
𝟒
𝟎
[
𝟏
𝟐
𝟐 ]
𝟎
𝟒
[
𝟏
𝟐
𝟐 .
𝟒
/] [
𝟏
𝟐
𝟐(𝟎)] [
𝟏
𝟐
.
𝟐
/] [
𝟏
𝟐
𝟎]
𝟏
𝟐
(𝟏)
𝟏
𝟐
(𝟎)
𝟏
𝟐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
274
‫بٌن‬ ‫العاللة‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدناه‬ ‫الجدول‬f‫لها‬ ‫الممابلة‬ ‫والدالة‬F
( ) ‫لها‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬( ) ‫الدالة‬
𝟏
𝟏𝟏
𝟏
𝟏𝟏
, ( )- 𝟏
𝟏, ( )- ( ) 𝟏
𝟏
( )( )
𝟏
( )
( )
𝟏
( )𝟐( )
𝟏
( )𝟐( )
𝟏
𝟏
∫ ( ) ( ) ‫نستنتج‬ ‫الجدول‬ ‫من‬
‫دالة‬ ‫ألٌة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدوال‬ ‫مجموعة‬ً‫ه‬ ‫أعاله‬ ‫الجدول‬ ً‫ف‬ ‫كما‬F+C‫أن‬ ‫حٌث‬Cً‫حمٌم‬ ‫ثابت‬ ‫عدد‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
275
‫م‬‫ثال‬(5)/‫أوجد‬∫ 𝟐𝟒
𝟎
‫الحل‬/
∫ 𝟐
𝟒
𝟎
, - 𝟎
𝟒
𝟒
𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
‫م‬‫ثال‬(6)/‫أوجد‬∫ 𝟐𝟐
𝟒
‫الحل‬/
∫ 𝟐
𝟐
𝟒
, -
𝟒
𝟐
0
𝟐 𝟒
1 , 𝟎 𝟏- 𝟏
‫م‬‫ثال‬(7)/‫أوجد‬∫ 𝟑
𝟎
‫الحل‬/
∫
𝟑
𝟎
, - 𝟎
𝟑
𝟑
𝟎
𝟏
𝟑
𝟏
𝟎
𝟏
.
𝟏
𝟐
/
𝟏 𝟐 𝟏 𝟏
‫م‬‫ثال‬(8)/‫أوجد‬∫ 𝟑𝟑
𝟏
‫الحل‬/
∫ 𝟑
𝟑
𝟏
*
𝟒
𝟒
+
𝟏
𝟑
[
𝟖𝟏
𝟒
𝟏
𝟒
]
𝟖𝟎
𝟒
𝟐𝟎
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
276
‫المحدد‬ ‫التكامـــــل‬ ‫خواص‬
:‫أوال‬Ⓘ‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( ) 𝟎 , -
‫فأن‬∫ ( ) 𝟎ً‫ال‬‫مث‬:
(𝑎) 𝑓(𝑥) 𝑥2
0 𝑥𝜖, 1 2- ∶ ‫ألن‬ ∫ 𝟐
𝟐
𝟏
𝑑𝑥 𝟎
(𝑏) 𝑓(𝑥) 3 > 0 𝑥𝜖, 2 3- ∶ ‫ألن‬ ∫ (𝟑)
𝟑
𝟐
𝑑𝑥 > 𝟎
(𝑐) 𝑓(𝑥) (𝑥 1) > 0 𝑥𝜖,2 3- ∶ ‫ألن‬ ∫ ( 𝟏)
𝟑
𝟐
𝑑𝑥 > 𝟎
②‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( ) 𝟎 , -
‫فأن‬∫ ( ) 𝟎ً‫ال‬‫مث‬:
(𝑎) 𝑓(𝑥) < 0 𝑥𝜖,1 2- ∶ ‫ألن‬ ∫ ( 𝟐)
𝟐
𝟏
𝑑𝑥 < 𝟎
(𝑏) 𝑓(𝑥) < 0 𝑥𝜖, 2 1- ∶ ‫ألن‬ ∫
𝟏
𝟐
𝑑𝑥 < 𝟎
:‫ثانٌا‬‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكان‬C‫ثابت‬ ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬‫فأن‬
∫ 𝑪𝒇(𝒙) 𝑪 ∫ 𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂
𝒃
𝒂
‫م‬‫ثال‬(9)/‫كان‬ ‫أذا‬∫ ( ) 𝟖
𝟓
𝟐
‫فأوجد‬∫ 𝟓 ( )
𝟓
𝟐
‫الحل‬/
∫ 𝟓 ( )
𝟓
𝟐
𝟓∫ ( )
𝟓
𝟐
𝟓( 𝟖) 𝟒𝟎
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
277
:‫ثالثا‬‫كانت‬ ‫أذا‬𝟏 𝟐‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالتٌن‬, -‫فأن‬( 𝟏 𝟐)∫ 𝟏∫ ∫ 𝟐
𝒃
𝒂
𝒃
𝒂
𝒃
𝒂
‫على‬ ‫المستمرة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫محدد‬ ‫عدد‬ ‫أي‬ ‫مجموع‬ ‫على‬ ‫الخاصٌة‬ ‫هذه‬ ‫تعمٌم‬ ‫وٌمكننا‬, -
‫م‬‫ثال‬(10)/‫كانت‬ ‫أذا‬∫ 𝟐( ) 𝟏𝟕
𝟑
𝟏
,∫ 𝟏( ) 𝟏𝟓
𝟑
𝟏
: ‫من‬ ‫كال‬ ‫فأوجد‬
∫ ( 𝟏( ) 𝟐( ))
𝟑
𝟏
∫ ( 𝟏( ) 𝟐( ))
𝟑
𝟏
‫الحل‬/
∫ ( 𝟏( ) 𝟐( ))
𝟑
𝟏
∫ 𝟏( )
𝟑
𝟏
∫ 𝟐( )
𝟑
𝟏
15 17 32
∫ ( 𝟏( ) 𝟐( ))
𝟑
𝟏
∫ 𝟏( )
𝟑
𝟏
∫ 𝟐( )
𝟑
𝟏
15 17 2
‫م‬‫ثال‬(11)/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟐
𝟐‫فأوجد‬∫ ( )
𝟐
𝟏
‫الحل‬/
∫ ( )
𝟐
𝟏
∫ ( 𝟑 𝟐
𝟐 )
𝟐
𝟏
∫ 𝟑 𝟐
𝟐
𝟏
∫ 𝟐
𝟐
𝟏
, 𝟑
𝟐
-
𝟏
, 𝟐
𝟐
-
𝟏
(8 1) (4 1) 7 3 10
:‫رابعا‬‫كانت‬ ‫أذا‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( )‫فأن‬:
∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥
𝒄
𝒂
∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥
𝒃
𝒄
𝒃
𝒂
‫م‬‫ثال‬(21)/‫كانت‬ ‫أذا‬∫ ( ) 𝟖
𝟕
𝟑
,∫ ( ) 𝟓
𝟑
𝟏
‫فأوجد‬∫ ( )
𝟕
𝟏
‫الحل‬/
∫ ( )
𝟕
𝟏
∫ ( )
𝟑
𝟏
∫ ( )
𝟕
𝟑
𝟓 𝟖 𝟏𝟑
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
278
‫م‬‫ثال‬(31)/‫كان‬ ‫أذا‬( ) | |‫أوجد‬∫ ( )
𝟒
𝟑
‫الحل‬/‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, 𝟑 𝟒-: ‫هما‬ ‫لاعدتان‬ ‫ولها‬
( ) 2
𝟎
< 𝟎
∫ ( )
𝟒
𝟑
∫ ( )
𝟎
𝟑
∫ ( ) *
𝟐
𝟐
+
𝟑
𝟎
,
𝟐
𝟐
𝟒
-
𝟎
𝟒
𝟎
[0 (
9
2
)] [
16
2
0]
9 16
2
25
2
‫م‬‫ثال‬(14)/‫كان‬ ‫أذا‬( ) 2
𝟐 𝟏 𝟏
𝟑 < 𝟏
‫فأوجد‬∫ ( )
𝟓
𝟎
‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟓-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟏)‫ألن‬
( ) ( 𝟏) 𝟐( 𝟏) 𝟏 𝟑 ‫معرفة‬
( )
𝟏
( ) {
( )
( 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟏
( )
𝟑 𝟑 𝟐
∵ 𝟏 = 𝟐
∴ 𝟏 ( ) 𝟑 ‫موجودة‬ 𝟏 ( ) ( 𝟏)
∴‫الدالة‬‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬* < 𝟏+ * > 𝟏+
∵‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟓-
∴ ∫ ( ) ∫ ( )
𝟏
𝟎
∫ ( )
𝟓
𝟏
∫ 𝟑
𝟏
𝟎
∫ (𝟐 𝟏)
𝟓
𝟏
𝟓
𝟎
,𝟑
𝟏
-
𝟎
, 𝟐
𝟓
-
𝟏
, 𝟑 𝟎- , 𝟑𝟎 𝟐- 𝟑 𝟐𝟖 𝟑𝟏
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
279
‫م‬/ ‫ثال‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) { 𝟑 𝟐
𝟐 𝟏
𝟔 𝟏 < 𝟏
‫فأوجد‬∫ ( )
𝟑
𝟐
‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟑-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟏)‫ألن‬
( ) ( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐
𝟐( 𝟏) 𝟓 ‫معرفة‬
( )
𝟏
( ) {
( )
( 𝟑 𝟐
𝟐 ) 𝟓 𝟏
( )
( 𝟔 𝟏) 𝟓 𝟐
∵ 𝟏 = 𝟐
∴ 𝟏 ( ) 𝟓 ‫موجودة‬ 𝟏 ( ) ( 𝟏)
∴‫الدالة‬‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬* < 𝟏+ * > 𝟏+
∵‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟑-
∴ ∫ ( ) ∫ ( )
𝟏
𝟐
∫ ( )
𝟑
𝟏
∫ (𝟔 𝟏)
𝟏
𝟐
∫ ( 𝟑 𝟐
𝟐 )
𝟑
𝟏
𝟑
𝟐
,𝟑 𝟐
𝟏
-
𝟐
, 𝟑 𝟐
𝟑
-
𝟏
, 𝟐 𝟏𝟒- , 𝟑𝟔 𝟐- 𝟏𝟐 𝟑𝟒 𝟐𝟐
‫م‬/ ‫ثال‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) | | 𝟑‫فأوجد‬∫ ( )
𝟒
𝟑
‫الحل‬/‫السابك‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫الحل‬ ‫أثبات‬ ‫طرٌمة‬ ‫نفس‬
( ) 2
𝟑 𝟎
𝟑 < 𝟎
∫ ( )
𝟒
𝟑
∫ (𝟑 )
𝟎
𝟑
∫ ( 𝟑) *𝟑
𝟐
𝟐
+
𝟑
𝟎
*
𝟐
𝟐
𝟑 +
𝟎
𝟒𝟒
𝟎
[𝟎 ( 𝟗
𝟗
𝟐
)] [(
𝟏𝟔
𝟐
𝟏𝟐) 𝟎]
𝟐𝟕 𝟒𝟎
𝟐
𝟔𝟕
𝟐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
280
:‫خامسا‬
( ) ∫ ( ) 𝟎 ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
: ً‫ال‬‫مث‬
( ) ∫
𝟑
𝟑
*
𝟐
𝟐
+
𝟑
𝟑
9
2
9
2
𝟎
( ) ∫ 𝟑 𝟐
𝟐
𝟑
∫ 𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
,
3
-
2
,27 8- 27 8 19
(𝟒 𝟏)‫تمارين‬
‫س‬1/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫أحسب‬:
( ) ∫ (𝟑 𝟐)
𝟐
𝟐
* 𝟑
𝟐
𝟐
𝟐 +
𝟐
𝟐
*
𝟑(𝟒)
𝟐
𝟒+ *
𝟑(𝟒)
𝟐
𝟒+ (𝟔 𝟒) (𝟔 𝟒) 𝟐 𝟏𝟎 𝟖
( ) ∫ ( 𝟐
𝟐 𝟏)
𝟐
𝟏
*
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐
𝟐
+
𝟏
𝟐
[
𝟏 𝟐
]
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
𝟒 𝟐) ( 𝟏 𝟏 𝟏) 𝟓
𝟏
𝟐
𝟏 𝟒
𝟏
𝟐
( ) ∫ ( 𝟒
𝟒 )
𝟑
𝟏
*
𝟓
𝟓
𝟐 𝟐
+
𝟏
𝟑
[
𝟐𝟒𝟑
𝟓
𝟏𝟖] [
𝟏
𝟓
𝟐]
𝟐𝟒𝟐
𝟓
𝟏𝟔
𝟐𝟒𝟐 𝟖𝟎
𝟓
𝟑𝟐𝟐
𝟓
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
281
( ) ∫ | 𝟏|
𝟐
𝟎
| 𝟏| 2
𝟏 𝟏
𝟏 < 𝟏
∫ | 𝟏|
𝟐
𝟎
∫ (1 ) ∫ ( 1)
2
*
2
2
+ *
2
2
+
2
[(1
1
2
) 0] [(2 2) (
1
2
1)]
1
2
1
2
𝟏
( ) ∫ ( )
𝟎
𝟐
*
𝟐
𝟐
+
𝟐
𝟎
*
(𝟎) 𝟐
𝟐
(𝟎)+ [
.
𝟐
/
𝟐
𝟐
.
𝟐
/]
,𝟎 𝟎- [
(
𝟐
𝟒
)
𝟐
𝟏]
𝟐
𝟖
𝟏 𝟏
𝟐
𝟖
( ) ‫مالحظة‬
( ) ∫
𝟑
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
∫
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟐
∫
( 𝟏)( 𝟐
𝟏)
𝟏
∫ ( 𝟐
𝟏)
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
*
3
3
2
2
+
2
3
(*
27
3
9
2
3+ *
8
3
4
2
2+) (
54 27 18 16 12 12
6
)
59
6
( ) ∫
𝟐 𝟑
𝟒 2
𝟓
𝟐
𝟑
𝟏
∫ (𝟐 𝟒 𝟓 𝟐)
𝟑
𝟏
* 2
4
5
1
+ , 2
4
5 𝟑
-
𝟏
[9 12
5
3
] ,1 4 5- 3
5
3
8 5
5
3
15 5
3
10
3
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
282
‫س‬2/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬f(x)‫حٌث‬
0𝟎
𝟔
1‫حٌث‬( )
( ) 𝟏‫حٌث‬0𝟎
𝟔
1‫ثم‬‫أحسب‬∫ ( )𝟔
𝟎
‫الحل‬/‫ل‬‫ـ‬‫أن‬ ‫نثبت‬ ً‫ك‬( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( )
‫أن‬ ‫نثبت‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬0𝟎
𝟔
1
( ) , - 0 𝟎
𝟔
1
( )
( ) ( )
∴( )‫مجالها‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬
( ) ̅( ) 𝟏 ( )
∴( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( )
∫ ( )
𝟔
𝟎
(
𝟔
) (𝟎) [
𝟔 𝟔
] , 𝟎 𝟎-
𝟏
𝟐 𝟔
𝟑
𝟔
‫س‬3/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫أوجد‬:
( ) ∫ ( 𝟐)( 𝟏) 𝟐
𝟒
𝟏
∫ ( 𝟐)( 𝟐
𝟐 𝟏)
𝟒
𝟏
∫ ( 𝟑
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟒 𝟐)
𝟒
𝟏
∫ ( 𝟑
𝟑 𝟐)
𝟒
𝟏
[
𝟒
𝟒
𝟑 𝟐
𝟐
𝟐 ]
𝟏
𝟒
, 𝟔𝟒 𝟐𝟒 𝟖- *
𝟏
𝟒
𝟑
𝟐
𝟐+
𝟑𝟐
𝟏
𝟒
𝟑
𝟐
𝟐 𝟑𝟒
𝟓
𝟒
𝟏𝟑𝟔 𝟓
𝟒
𝟏𝟒𝟏
𝟒
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
283
( ) ∫ | 𝟏|
𝟏
𝟏
( ) | 𝟏| {
𝟏 𝟏
𝟏 < 𝟏 (‫الفترة‬ ‫خارج‬ )
∫ | 𝟏| ∫ ( 1) *
2
2
+ (
1
2
1) (
1
2
1) 1 1 𝟐
( ) ∫
𝟒
𝟏
𝟏
𝟑
𝟐
∫
( 𝟐
𝟏)( 𝟐
𝟏)
𝟏
𝟑
𝟐
∫
( 𝟏)( 𝟏)( 𝟐
𝟏)
𝟏
∫ ( 𝟏)( 𝟐
𝟏)
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
∫ ( 𝟑 𝟐
𝟏)
𝟑
𝟐
*
𝟒
𝟒
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
+
𝟐
𝟑
[
𝟖𝟏
𝟒
𝟗
𝟗
𝟐
𝟑] [𝟒
𝟖
𝟑
𝟐 𝟐]
𝟖𝟏
𝟒
𝟗
𝟐
𝟏𝟐 𝟖
𝟖
𝟑
𝟒
𝟖𝟏
𝟒
𝟗
𝟐
𝟖
𝟑
𝟒𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟓𝟒 𝟑𝟐
𝟏𝟐
𝟑𝟏𝟑
𝟏𝟐
( ) ∫ √ (√ 𝟐)
𝟐
𝟏
𝟎
∫ √ ( 𝟒√ 𝟒)
𝟏
𝟎
∫
.
𝟏
𝟐
/
( 𝟒
.
𝟏
𝟐
/
𝟒)
𝟏
𝟎
∫ (
.
𝟑
𝟐
/
𝟒 𝟒
.
𝟏
𝟐
/
)
𝟏
𝟎
[
.
𝟓
𝟐
/
.
𝟓
𝟐
/
𝟐 𝟐
𝟒
.
𝟑
𝟐
/
.
𝟑
𝟐
/
]
𝟎
𝟏
[
𝟐
𝟓
𝟐
𝟖
𝟑
] 𝟎
𝟔 𝟑𝟎 𝟒𝟎
𝟏𝟓
𝟕𝟔
𝟏𝟓
‫س‬4/‫كان‬ ‫أذا‬‫ت‬( ) 2
𝟐 𝟑
𝟔 < 𝟑
‫فأوجد‬∫ ( )
𝟒
𝟏
‫الحل‬/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫نبرهن‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬‫الفترة‬, 𝟏 𝟒-
( ) (𝟑) 𝟐(𝟑) 𝟔 ( 𝟑 ‫عندما‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ )
( )
(𝟑)
( ) {
( )
(𝟐 ) 𝟐(𝟑) 𝟔 𝟏
( )
(𝟔) 𝟔 𝟐 𝟏 𝟐
( )
(𝟑)
( ) (𝟑) 𝟔 ( 𝟑 ‫عندما‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ )
∫ ( )
𝟒
𝟏
∫ 𝟔
𝟑
𝟏
∫ 𝟐 , 𝟔
𝟑
-
𝟏
, 𝟐
𝟒
-
𝟑
,𝟏𝟖 𝟔- ,𝟏𝟔 𝟗-
𝟒
𝟑
𝟏𝟐 𝟕 𝟏𝟗
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
284
‫س‬5/‫كان‬ ‫أذا‬( ) { 𝟑 𝟐
𝟎
𝟐 < 𝟎
‫فأوجد‬∫ ( )
𝟑
𝟏
‫وزاري‬2014/‫د‬1
‫الحل‬/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫نبرهن‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬‫الفترة‬, 𝟏 𝟑-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫أنها‬ ‫بأثبات‬ ‫وذلن‬( 𝟎)
( ) (𝟎) 𝟑(𝟎) 𝟐
𝟎 ( 𝟎 ‫عندما‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ )
( )
(𝟎)
( ) { 𝟎
(𝟑 𝟐) 𝟑(𝟎) 𝟐
𝟎 𝟏
𝟎
(𝟐 ) 𝟐(𝟎) 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐
( )
(𝟎)
( ) (𝟎) 𝟔 ( 𝟎 ‫عندما‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ )
∫ ( )
𝟑
𝟏
∫ 𝟐
𝟎
𝟏
∫ 𝟑 𝟐
, 𝟐
𝟎
-
𝟏
, 𝟑
𝟑
-
𝟎
,𝟎 𝟏- ,𝟐𝟕 𝟎-
𝟑
𝟎
𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟔
******************************************************************
‫التكامـــل‬‫الغٌــر‬‫المحدد‬
‫للدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫المستمرة‬, -‫ممابلة‬ ‫دالة‬F‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ً‫نهائ‬ ‫ال‬ ‫عدد‬ ‫ٌوجد‬ ‫فأنه‬f‫وكل‬
‫ٌساوي‬ ‫منها‬F + C‫حٌث‬C‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫ٌساوي‬ ‫منها‬ ‫أثنٌن‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫بٌن‬ ‫والفرق‬ ‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫ٌمثل‬
‫تس‬‫ـــــ‬‫مجموع‬ ‫مى‬‫ــــ‬‫الممابل‬ ‫الدوال‬ ‫ة‬‫ـــــ‬‫الصورة‬ ‫على‬ ‫ة‬F+C‫للدالةة‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫بالتكامل‬𝒇‫المسةتمرة‬‫الفتةرة‬ ‫علةى‬
, -‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙ٌ‫متغ‬ ‫رمز‬ ‫كان‬ ‫أذا‬‫الدالة‬ ‫ر‬‫هو‬𝒙
‫بالصورة‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫التكامل‬ ‫كتابة‬ ‫على‬ ‫ٌصطلح‬∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙 𝑭( 𝒙) 𝑪 𝑪 𝐑
‫هو‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫التكامل‬ ‫عملٌة‬‫األخرى‬ ‫دور‬ ً‫تنه‬ ‫أحداهما‬ ‫أي‬ ‫التفاضل‬ ‫لعملٌة‬ ‫المعاكسة‬ ‫العملٌة‬
‫م‬‫ثال‬(1)/‫أوجد‬‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫التكامل‬:
(𝒂) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝟑
𝒙 𝟑
𝟑
𝟐
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙 𝒄 𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 𝒙 𝒄
(𝒃) ∫( 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒙 𝟐) 𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝒙 𝟏
𝟏
𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝟏
𝒙
𝒄
(𝒄) ∫( 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒙) 𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝟐
𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒄
(𝒅) ∫ 𝐬𝐢𝐧( 𝟐𝒙 𝟒) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬( 𝟐𝒙 𝟒) 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
285
‫م‬‫ثال‬(2)/: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬
(𝒂) ∫( 𝒙 𝟐 𝟑)
𝟐
( 𝟐𝒙) 𝒅𝒙
( 𝒙 𝟐 𝟑)
𝟑
𝟑
𝒄
(𝒃) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓)
𝟔
( 𝟑𝒙 𝟒) 𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓)
𝟔
(2)( 𝟑𝒙 𝟒) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
( 𝟑𝒙 𝟐
𝟖𝒙 𝟓) 𝟕
𝟕
𝒄
1
𝟏𝟒
( 𝟑𝒙 𝟐
𝟖𝒙 𝟓) 𝟕
𝒄
(𝒄) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟒
𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝟓
𝒙
𝟓
𝒄
(𝒅) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟔
𝑥 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝟕
𝑥
𝟕
𝒄
‫المثلثٌة‬ ‫الدوال‬ ً‫ف‬ ‫العاللات‬ ‫بعض‬
(𝟏) 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 𝟏
(𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽
(𝟑) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 (𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽) 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽
(𝟒) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽) 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 𝟏
(𝟓) 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽
𝟏
𝟐
(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽)
(𝟔) 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽
𝟏
𝟐
(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽)
(𝟕) 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝜽 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝜽 𝟏
(𝟖) 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱
𝟏
𝟐
,𝒔𝒊𝒏(𝑨 𝑩)𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝑨 𝑩)𝒙-
(𝟗) 𝒄𝒐𝒔𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱
𝟏
𝟐
,𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙-
(𝟏𝟎) 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒔𝒊𝒏𝑩𝒙
𝟏
𝟐
,𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙-
(𝟏𝟏) 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟐𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝑠𝜃
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
286
‫التربٌعٌة‬ ‫المثلثٌة‬ ‫الدوال‬ ‫تكامالت‬
(𝟏) ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒄
(𝟐) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝒄
(𝟑) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫(𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝜽 𝟏 )𝒅𝜽 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝜽 𝒄
(𝟒) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫(𝐜𝐬𝐜 𝟐
𝜽 𝟏 )𝒅𝜽 ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝜽 𝒄
(𝟓) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫
𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽
𝟐
𝒅𝜽
𝟏
𝟐
(∫ 𝒅𝜽
𝟏
𝟐
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽(𝟐)𝒅𝜽)
𝟏
𝟐
(𝜽
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄
𝟏
𝟐
𝜽
𝟏
𝟒
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 𝒄
(𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫
𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽
𝟐
𝒅𝜽
𝟏
𝟐
(∫ 𝒅𝜽
𝟏
𝟐
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽(𝟐)𝒅𝜽)
𝟏
𝟐
(𝜽
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄
𝟏
𝟐
𝜽
𝟏
𝟒
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 𝑐
‫صفحة‬ ‫الكتاب‬ ‫من‬ ( ‫أمثلة‬185‫و‬‫صفحة‬618)
(𝟏) ∫ 𝟗 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅 𝒙 𝟑 ∫ 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒄
(𝟐) ∫ 𝒙 𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟑
𝒅 𝒙
𝟏
𝟑
∫ 𝟑𝒙 𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟑
𝒅𝒙
𝟏
𝟑
𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟑
𝒄
(𝟑) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙
∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟐 𝒅𝒙
∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ∓(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄
‫وزاري‬2012/‫د‬3
(4) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒
𝒙 𝒅𝒙 ∫ . 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙/
𝟐
𝒅𝒙 ∫ *
𝟏
𝟐
( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)+
𝟐
𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝟒
( 𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙) 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
(∫ 1 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 ) 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
(∫ 1 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫
𝟏
𝟐
( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)) 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
( 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄
𝟏
𝟒
(
𝟑
𝟐
𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄
𝟑
𝟖
𝒙
𝟏
𝟒
𝒔𝒊𝒏( 𝟐𝒙)
𝟏
𝟑𝟐
𝒔𝒊𝒏( 𝟒𝒙) 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
287
(𝟓) ∫( 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱) 𝟕( 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐱) 𝐝𝐱
( 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱) 𝟖
𝟖
𝒄
(𝟔) ∫
𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝟐
𝒙
𝐭𝐚𝐧 𝟑 𝒙
𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟑
𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
𝐭𝐚𝐧 𝟐
𝒙
𝟐
𝒄
𝟏
𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙
𝒄
(𝟕) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝒙)𝒅𝒙
∫ 𝐜𝐨𝐬𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝟑
𝒙
𝟑
𝒄
‫وزار‬‫ي‬4201/‫د‬2
(𝟖) ∫
𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 ( 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙
𝟐
𝒄
‫وزاري‬2014/‫د‬3‫وزاري‬6201/‫د‬1
(𝟗) ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟔𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 ∫( 𝟐𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟑𝐱) 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟑𝐱( 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱) 𝒅𝒙
𝟐
𝟑
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟑𝐱( 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱)( 𝟑) 𝒅𝒙 (
𝟐
𝟑
)
𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱
𝟒
𝐜
𝟏
𝟔
𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱 𝐜
‫مالحظة‬
𝐜𝐨𝐬 𝟒
𝟑𝐱 (𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱) 𝟒
(𝟏𝟎) ∫
𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟐𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝒅𝒙 ∫
(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝒅𝒙
∫( 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫( 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙) ( 𝟐) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄
(𝟏𝟏) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝟑𝐱 𝐝𝐱 ∫ *
𝟏
𝟐
( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)+ 𝐝𝐱
𝟏
𝟐
( 𝒙
𝟏
𝟔
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄
(𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟓𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝟏
𝟓
𝒄𝒐𝒕𝟓𝒙 𝒙 𝒄
(𝟏𝟑) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝟕𝐱 𝐝𝐱 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝟏
𝟕
𝒕𝒂𝒏 𝟕𝒙 𝒙 𝒄
‫وزاري‬2014/‫د‬1
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
288
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫أوجد‬:
(𝟏) ∫ 𝒙 𝟑𝒙 𝟐 𝟏
𝟑
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟏
𝟑)
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟔
)
( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟒
𝟑)
(
𝟒
𝟑
)
𝒄
𝟏
𝟖
( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟒
𝟑)
𝒄
(𝟐) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟓
(𝟐 𝒙) 𝐬𝐞𝐜 𝟐(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
)
𝒕𝒂𝒏 𝟔
(𝟐 𝒙)
𝟔
𝒄
𝒕𝒂𝒏 𝟔
(𝟐 𝒙)
𝟏𝟐
𝒄
(𝟑) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑(𝟒 𝒙) 𝒔𝒊𝒏(𝟒𝒙)𝒅𝒙 (
𝟏
𝟒
)
𝐜𝐨𝐬 𝟒(𝟒 𝒙)
𝟒
𝒄
𝐜𝐨𝐬 𝟒(𝟒 𝒙)
𝟏𝟔
𝒄
(𝟒) ∫ 𝒙 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟓(𝒙 𝟑) 𝒅𝒙 (
𝟏
𝟑
)
𝐜𝐨𝐬 𝟔(𝒙
𝟑
)
𝟔
𝒄
𝐜𝐨𝐬 𝟔( 𝒙 𝟑)
𝟏𝟖
𝒄
(𝟓) ∫
𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙)
𝒔𝒆𝒄(𝟐𝒙)
𝒅𝒙 ∫
𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙)
(
𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)
)
𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
)
𝐬𝐢𝐧 𝟒(𝟐𝒙)
𝟒
𝒄
𝐬𝐢𝐧 𝟒(𝟐𝒙)
𝟖
𝒄
(𝟔) ∫ 𝒙 𝒙 𝟐 𝟗 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝒙 𝟐
𝟗)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
)
(𝒙 𝟐
𝟗)
.
𝟑
𝟐
/
.
𝟑
𝟐
/
𝒄
(𝒙 𝟐
𝟗)
.
𝟑
𝟐
/
𝟑
𝒄
(𝒙 𝟐 𝟗) 𝟑
𝟑
𝒄
(𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝒄𝒐𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙)𝒅𝒙
∫ (𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟓
𝒙 𝒄𝒐𝐬𝒙)𝒅𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟒
𝒙
𝟒
𝒔𝒊𝒏 𝟔
𝒙
𝟔
𝒄
(𝟖) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟒
𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝒙
𝟓
𝒄
(𝟗) ∫ 𝒙 𝟓 𝟐𝒙 𝟑𝟑
𝒅𝒙 ∫(𝒙) 𝒙 𝟐 𝟐
𝟑
𝒅𝒙 ∫(𝒙) (𝒙 𝟐
𝟐)
.
𝟏
𝟑
/
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
)
(𝒙 𝟐
𝟐)
.
𝟒
𝟑
/
.
𝟒
𝟑/
𝒄
(
𝟑
𝟖
) (𝒙 𝟐
𝟐)
.
𝟒
𝟑
/
𝒄
(𝟏𝟎) ∫ 𝒙 𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟓) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟓)𝒅𝒙 (
𝒙 𝟐
𝟐
𝟓𝒙) 𝒄
(𝟏𝟏) ∫
𝟑
(𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟏)
𝒅𝒙 ∫
𝟑
(𝒙 𝟏) 𝟐
𝒅𝒙 𝟑 ∫(𝒙 𝟏) 𝟐
𝒅𝒙
𝟑(𝒙 𝟏) 𝟏
𝟏
𝒄
𝟑
(𝒙 𝟏)
𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
289
(𝟏𝟐) ∫
𝒙 𝟐
𝟏
√𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏
𝟓
𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟐
𝟏)(𝒙 𝟑
𝟑𝒙 𝟏)
.
𝟏
𝟓
/
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟑
)
(𝒙 𝟑
𝟑𝒙 𝟏)
.
𝟒
𝟓
/
.
𝟒
𝟓
/
𝒄
𝟓
𝟏𝟐
(𝒙 𝟑
𝟑𝒙 𝟏)
.
𝟒
𝟓
/
𝒄
(𝟏𝟑) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟐)
𝐜𝐨𝐬 𝟒
𝒙
𝟒
𝒄
(𝟏𝟒) ∫ 𝟗𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟗 (
𝟏
𝟐
) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄
𝟗𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝟐
𝑐
‫مثال‬/‫التكامالت‬ ‫أوجد‬‫للدوال‬‫األتٌة‬:
(𝟏) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝟏
𝟑
𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙 𝒙 𝒄
(𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝟏
𝟕
𝒄𝒐𝒕𝟕𝒙 𝒙 𝒄
(𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
2
𝟑
𝒄𝒐𝒔 𝟑
𝒙 𝐜
(𝟒) ∫(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏) 𝟐
𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏) 𝒅𝒙
∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒕 𝟑
𝒙
𝟑
𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒙 𝒄
(𝟓) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟐 𝒅𝒙
∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ∓(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄
(𝟔) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟔
𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟓
𝒙 (𝒄𝒐𝒕𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙 ) 𝒅𝒙
𝒄𝒔𝒄 𝟔
𝒙
𝟔
𝒄
(𝟕) ∫(𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)(𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙)𝒅𝒙
∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟒
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟔
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
290
(𝟖) ∫(𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫,𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙- 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫,𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙- 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟒
𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
𝟏
𝟔
𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒄
𝟏
𝟖
𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄
(𝟗) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 ( 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒔𝒆𝒄
𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝟏) 𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝟑
𝒙
𝟑
𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒙 𝒄
(𝟏𝟎) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟔
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙(𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙)
𝟐
𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 (𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝟏) 𝟐
𝒅𝒙
∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 (𝒕𝒂𝒏 𝟒
𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝟏) 𝒅𝒙
∫ (𝒕𝒂𝒏 𝟒
𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝟓
𝒙
𝟓
𝟐
𝒕𝒂𝒏 𝟑
𝒙
𝟑
𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄
(𝟔)‫من‬ ‫بدل‬ (𝟒)‫األس‬ ‫أجعل‬ ‫ولكن‬ (𝟏𝟎)‫السؤال‬ ‫حل‬ ∶ ‫واجب‬
(𝟏𝟏) ∫
𝒙 𝟓
𝒙 𝟒
𝟏
𝒙 𝟑 𝒙 𝟏
𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐
𝒙 𝟏) 𝒅𝒙
𝒙 𝟑
𝟑
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙 𝒄 (‫نكامل‬ ‫ثم‬ ‫المقام‬ ‫على‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
(𝟏𝟐) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟐𝐱 𝐝𝐱 ∫ *
𝟏
𝟐
( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)+ 𝐝𝐱
𝟏
𝟐
( 𝒙
𝟏
𝟒
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄
(𝟏𝟑) ∫ 𝒙 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟑 𝐝𝐱
𝟏
𝟑
∫ ( 𝟑) 𝒙 𝟐
𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟑 𝐝𝒙
𝟏
𝟑
𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄
(𝟏𝟒) ∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟐 𝐝𝐱
𝟏
𝟐
∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟐 ( 𝟐) 𝐝𝒙
𝟏
𝟐
𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒄
(𝟏𝟓) ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟕𝐱 𝐝𝐱
𝟏
𝟕
∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟕𝐱 ( 𝟕) 𝐝𝐱
𝟏
𝟕
𝐜𝐨𝐭 𝟕𝒙 𝒄
(𝟏𝟔) ∫
𝒙 𝟐
9
𝒙 𝟑
𝒅𝒙 ∫
(𝑥 3)(𝑥 3)
𝑥 3
𝒅𝒙 ∫(𝑥 3) 𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝟐
3𝒙 𝒄
(𝟏𝟕) ∫
𝒙 𝟒
16
𝒙 𝟐
𝒅𝒙 ∫
(𝒙 𝟐
4)(𝒙 𝟐
4)
𝑥 2
𝒅𝒙 ∫
(𝑥 2)(𝑥 2)(𝒙 𝟐
4)
𝑥 2
𝒅𝒙
∫(𝑥 2)(𝒙 𝟐
4) 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟑
4𝑥 2𝒙 𝟐
8) 𝒅𝒙
𝒙 𝟒
𝟒
2𝒙 𝟐
2
𝒙 𝟑
𝟑
8𝑥 𝒄
(𝟏𝟖) ∫
𝒙 𝟑
1
𝒙 1
𝒅𝒙 ∫
(𝑥 1)(𝒙 𝟐
𝑥 1)
𝑥 1
𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐
𝑥 1) 𝒅𝒙
𝒙 𝟑
𝟑
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
291
(𝟏𝟗) ∫
𝒙 𝟐
√𝒙 𝟑 𝟓
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟑
𝟓) 2 𝒅𝒙
1
3
∫(3)𝒙 𝟐(𝒙 𝟑
𝟓) 2 𝒅𝒙
1
3
×
(𝒙 𝟑
𝟓)2
1
2
𝒄
2
3
𝒙 𝟑 𝟓 𝒄
(𝟐𝟎) ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑
𝟗 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐
𝟗 𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟗
∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑
𝟗 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐
𝟗 𝒙 ( 𝟗)𝐝𝐱
𝟏
𝟗
×
𝐜𝐨𝐭 𝟒
𝟗 𝒙
𝟒
𝒄
(𝟐𝟏) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗 𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟗
∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗 𝒙 (𝟗) 𝐝𝐱
𝟏
𝟗
𝒄𝒐𝒔 𝟗𝒙 𝒄
(𝟐𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟕 𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟕
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟕 𝒙 (𝟕) 𝐝𝐱
𝟏
𝟕
𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝒄
‫وزاري‬2012/‫د‬2
(𝟐𝟑) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟑
𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝐝𝐱 ∫( 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 )𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙𝐝𝐱
𝟏
𝟑
𝒄𝒔𝒄 𝟑
𝒙 𝒄
(𝟐𝟒) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝟑𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟒
𝟑𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟑
∫ 𝟑( 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 )𝒔𝒆𝒄 𝟒
𝟑𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟑
×
𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝟑𝒙
𝟓
𝐜
𝟏
𝟏𝟓
𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝟑𝒙 𝐜
‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ : ‫مثال‬.𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
/‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(0 , 1)
‫الحل‬/
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫ (𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
) 𝟐
𝟏
𝟔
𝟑
((𝟎 𝟏)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐
𝟏
𝟔
𝟑
𝟏 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
292
‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ : ‫مثال‬(𝟑 𝟐 )‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(0 , 1)
‫الحل‬/
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐
) 𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
((𝟎 𝟏)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟏 𝟏 𝟐 𝟑
𝟐 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
: ‫مثال‬‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟑 𝟐
𝟔 𝟗)‫تساوي‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫ٌمتلن‬ ً‫والمنحن‬(15)
‫الحل‬/
𝟑 𝟐
𝟔 𝟗 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 𝟐
𝟔 𝟗 𝟎
( 𝟑)
⇒ 𝟐
𝟐 𝟑 𝟎
( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏
‫النمطة‬( 𝟏 𝟏𝟓)‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐
𝟔 𝟗) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟗 (( 𝟏 𝟏𝟓)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟏𝟓 𝟏 𝟑 𝟗 𝟏𝟎 𝟑
𝟑 𝟐
𝟗 𝟏𝟎 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
: ‫مثال‬‫م‬ ‫جد‬ً‫المنحن‬ ‫عادلة‬. 𝟔 /‫عند‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫ٌمتلن‬ ً‫والمنحن‬(-1,4)
‫الحل‬/
∫ ∫(𝟔 ) 𝟑 𝟐
( 𝟏 ‫عندما‬ 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 𝟐
𝟎 𝟑
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐
𝟑) 𝟑
𝟑 (( 𝟏 𝟒)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟒 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑
𝟑 𝟐 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
293
: ‫مثال‬ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫مٌله‬ ‫الذي‬(𝟐 )‫والمستمٌم‬𝟑 𝟕‫عندما‬ ‫له‬ ‫مماسا‬𝟐
‫الحل‬/
Ⓘ‫لٌمة‬ ‫نعوض‬(x)‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ً‫ف‬‫الستخراج‬‫لٌمة‬(y)‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ثم‬
𝟑 𝟕 𝟑(𝟐) 𝟕 𝟏 (𝟐 𝟏) ‫التماس‬ ‫نقطة‬
②‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ‫نشتك‬‫إلٌجاد‬‫األولى‬ ‫المشتمة‬ ‫أخر‬ ‫بمعنى‬ ‫أي‬ ‫المٌل‬
𝟑 𝟕 𝟑 𝟕 𝟑
③‫المنح‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫المجاهٌل‬ ‫لٌمة‬ ‫نجد‬‫ن‬ً‫حٌث‬( 𝟑)
𝟐 𝟑 𝟐( 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬
④‫التكامل‬ ‫ثابت‬ ‫لٌمة‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫نكامل‬(C)ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ‫فٌتم‬‫المطلوبة‬
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟐 𝟏) 𝟐
((2 1)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟏 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
: ‫مالحظات‬
‫مثل‬ ‫مجهول‬ ‫ثابت‬ ‫وفٌه‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬ ‫تكامل‬ ‫ال‬(C)‫او‬(P)‫المجهول‬ ‫لٌمة‬ ‫تجد‬ ‫حتى‬.
‫السؤال‬ ‫معلومات‬ ‫من‬ ‫كاملة‬ ‫نمطة‬ ‫أوال‬ ‫تجد‬ ‫أن‬ ‫ٌفضل‬ ‫دالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫ألٌجاد‬‫ألستخدمها‬‫ثوابت‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬
‫المجهولة‬ ‫التكامل‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
294
(𝟒 𝟐)‫تمارين‬
: ‫الدالة‬ ‫مجال‬ ‫ضمن‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫تكامالت‬ ‫جد‬
(1) ∫
(2𝒙 𝟐
𝟑) 𝟐
𝟗
𝒙 𝟐
𝐝𝐱 ∫
(𝟒𝒙 𝟒
𝟏𝟐𝒙 𝟐
𝟗) 𝟗
𝒙 𝟐
𝐝𝐱 ∫
(𝟒𝒙 𝟒
𝟏𝟐𝒙 𝟐)
𝒙 𝟐
𝐝𝐱 ∫
𝒙 𝟐(𝟒𝒙 𝟐
𝟏𝟐)
𝒙 𝟐
𝐝𝐱
𝟒𝒙 𝟑
𝟑
𝟏𝟐𝒙 𝒄
(𝟐) ∫
(𝟑 √𝟓𝒙)
𝟕
√ 𝟕𝒙
𝒅𝒙 ∫
.𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/
𝟕
√𝟕 (√ 𝒙)
𝒅𝒙
𝟏
√𝟕
∫
.𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/
𝟕
(√ 𝒙)
𝒅𝒙 (‫المشتقة‬ ‫)نوفر‬
𝟏
√𝟕
(
𝟐
√𝟓
) ∫ (
√𝟓
𝟐
)
.𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/
𝟕
(√ 𝒙)
𝒅𝒙
𝟏
√𝟕
(
𝟐
√𝟓
)
.𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/
𝟖
𝟖
𝒄
1
𝟒 √𝟑𝟓
(𝟑 √𝟓𝒙 )
𝟖
𝒄
(𝟑) ∫
𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝒙
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝒙)
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙)(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙)
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙
𝟐
𝒄
‫وزاري‬3201/‫د‬1
(𝟒) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙 (𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟏
𝒙
𝟏
𝐜
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝐜 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄
‫أخر‬ ‫حل‬:
∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏
𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄
(𝟓) ∫
𝒙
(𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟒
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝟑𝒙 𝟐
𝟓)
𝟒
𝒅𝒙
𝟏
𝟔
∫(𝟔)𝒙 (𝟑𝒙 𝟐
𝟓)
𝟒
𝒅𝒙
𝟏
𝟔
(𝟑𝒙 𝟐
𝟓)
𝟑
𝟑
𝒄
𝟏
𝟏𝟖 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟑
𝒄
(𝟔) ∫ 𝒙 𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓
𝟑
𝐝𝐱 ∫ (𝒙 𝟓) 𝟐𝟑
𝐝𝐱 ∫(𝒙 𝟓)
.
𝟐
𝟑
/
𝐝𝐱
(𝒙 𝟓)
.
𝟓
𝟑
/
.
𝟓
𝟑/
𝒄
𝟑
𝟓
(𝒙 𝟓)
.
𝟓
𝟑
/
𝒄
(𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 (𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙
∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 ( 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟑
𝒙
𝟑
𝒄
(𝟖) ∫
𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙
√𝟏 𝒙
𝒅𝒙 ( 𝟐) ∫ (
𝟏
𝟐
)
𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙
√𝟏 𝒙
𝐝𝐱 𝟐 𝒔𝒊𝒏 √𝟏 𝒙 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
295
.‫المثال‬ ‫كان‬ ‫/لو‬
∫
𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙
√𝟏 𝒙
𝒅𝒙 ( 𝟐) ∫ (
𝟏
𝟐
)
𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙
√𝟏 𝒙
𝐝𝐱 𝟐 𝒄𝒐𝒔 √𝟏 𝒙 𝒄
(𝟗) ∫(𝟑𝒙 𝟐
𝟏)
𝟐
𝒅𝒙 ∫(𝟗𝒙 𝟒
𝟔𝒙 𝟐
𝟏)𝒅𝒙
𝟗
𝟓
𝒙 𝟓
𝟐𝒙 𝟑
𝒙 𝒄
(𝟏𝟎) ∫
√ 𝒙 𝒙
√𝒙 𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) √ 𝒙(𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟑
𝟒 )( √ 𝒙) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙
∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) (𝒙
𝟏
𝟒) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟐
𝟒 ) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ [𝒙
.
𝟏
𝟐
/
] (𝟏 𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙
( 𝟐) ∫ [
𝟏
𝟐
𝒙
.
𝟏
𝟐
/
] (𝟏 𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙 𝟐
(𝟏 𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟑
𝟐
/
.
𝟑
𝟐
/
𝒄
𝟒
𝟑
(𝟏 𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟑
𝟐
/
𝒄
𝟒
𝟑
(𝟏 √ 𝒙)
𝟑
𝒄
.‫المثال‬ ‫كان‬ ‫/لو‬
∫
𝒙 √ 𝒙
√𝒙 𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) √ 𝒙(√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) ( √ 𝒙) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙
∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) (𝒙
𝟏
𝟒) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟐
𝟒 ) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ [𝒙
.
𝟏
𝟐
/
] (𝒙
.
𝟏
𝟐
/
𝟏)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙
(𝟐) ∫ (
𝟏
𝟐
) [𝒙
.
𝟏
𝟐
/
] (𝒙
.
𝟏
𝟐
/
𝟏)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙 𝟐
(𝒙
.
𝟏
𝟐
/
𝟏)
.
𝟑
𝟐
/
.
𝟑
𝟐/
𝒄
𝟒
𝟑
(𝒙
.
𝟏
𝟐
/
𝟏)
.
𝟑
𝟐
/
𝒄
𝟒
𝟑
(√ 𝒙 𝟏)
𝟑
𝒄
‫وزا‬‫ري‬2013/‫د‬2
(𝟏𝟏) ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐
𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙
𝒙 𝟐 (
𝟏
𝟑
) 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝒙
𝟐
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ [
𝟏
𝟐
(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)] 𝒅𝒙
𝒙
𝟐
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ (
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒅𝒙 𝒙
𝟐
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟔
) 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙
𝟑
𝟐
𝒙
𝟐
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄
(𝟏𝟐) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝟒𝒙 𝒅𝒙 (
𝟏
𝟒
) ∫(𝟒) 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝟒𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
𝒕𝒂𝒏𝟒𝒙 𝒄
(𝟏𝟑) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
) ∫( 𝟐) 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝒄
(𝟏𝟒) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝟖𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝟖𝒙 𝟏) 𝒅𝒙
𝟏
𝟖
𝒕𝒂𝒏𝟖𝒙 𝒙 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
296
‫وزاري‬2016/‫د‬1
(𝟏𝟓) ∫
√𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙
𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙
𝒅𝒙 ∫
(𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)
𝟏
𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙
(𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)
𝟏
𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)
𝟏
𝟐 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫( 𝟐)𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)
𝟏
𝟐 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
(𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)
𝟑
𝟐
.
𝟑
𝟐/
𝒄
𝟏
𝟑
(𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)
𝟑
𝟐 𝒄
(𝟏𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟒
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄
(𝟏𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟖𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟔𝒙)
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟏𝟔
𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙) 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟑𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙 𝒄
(𝟏𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟒
𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙)
𝟐
𝒅𝒙 ∫ (
𝟏
𝟐
,𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙-)
𝟐
𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝟒
𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟔𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
(∫ 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟔𝒙 𝒅𝒙)
𝟏
𝟒
[𝒙
𝟐
𝟔
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 ∫
𝟏
𝟐
(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐𝒙) 𝒅𝒙]
𝟏
𝟒
[𝒙
𝟏
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙)] 𝒄
𝟏
𝟒
𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙
𝟏
𝟖
𝒙
𝟏
𝟗𝟔
𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝒄
𝟑
𝟖
𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙
𝟏
𝟗𝟔
𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝑐
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬:
(1) ∫ 𝟐𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟐 (
𝟏
𝟒
) 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄
𝟏
𝟐
𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄
(𝟐) ∫
𝒔𝒊𝒏√ 𝒙
√ 𝒙
𝒅𝒙 (𝟐) ∫ (
𝟏
𝟐
)
𝒔𝒊𝒏√ 𝒙
√ 𝒙
𝒅𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔√ 𝒙 𝒄
(𝟑) ∫
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐
.
𝒂
𝟐/ 𝒙
𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 .
𝒂
𝟐
/ 𝒙
𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟐
.
𝒂
𝟐
/ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 0𝐬𝐞𝐜 𝟐
.
𝒂
𝟐
/ 𝒙 𝟏1 𝒅𝒙
𝟐
𝒂
𝒕𝒂𝒏 .
𝒂
𝟐
/ 𝒙 𝒙 𝒄
(𝟒) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟐𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙𝒅𝒙
𝟐
𝟑
∫ (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐( 3 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙)𝒅𝒙
𝟐
𝟑
×
(𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟑
𝟑
𝐜
𝟐
𝟗
(𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟑
𝐜
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
297
(𝟓) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)
.
𝟏
𝟐
/
𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙
1
4
∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)
.
𝟏
𝟐
/
(𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙) 𝒅𝒙
(
𝟏
𝟒
)
(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)
.
𝟑
𝟐
/
.
𝟑
𝟐
/
𝒄
(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)
.
𝟑
𝟐
/
𝟔
𝒄
(𝟔) ∫
𝒅𝒙
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒅𝒙 ∫
.
𝟏
𝟐
/ 𝒅𝒙
.
𝟏
𝟐
/ (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙)
𝐝𝐱 ∫
.
𝟏
𝟐
/ 𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐 .
𝟏
𝟐
/ 𝒙
∫ (
𝟏
𝟐
) 𝒔𝒆𝒄 𝟐
(
𝟏
𝟐
) 𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 (
𝟏
𝟐
) 𝒅𝒙 𝒄
(𝟕) ∫
𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙)
𝟏
𝟐 (𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝐝𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙)
𝟏
𝟐 (𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝐝𝒙
(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙)
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟐
/
𝒄 𝟐 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄
(𝟖) ∫
𝟑
𝒙 𝟐
𝒄𝒐𝒔 (
𝟏
𝒙
) 𝒅𝒙 ( 𝟑) ∫
𝟏
𝒙 𝟐
𝐜𝐨𝐬 (
𝟏
𝒙
) 𝐝𝐱 𝟑𝒔𝒊𝒏(
𝟏
𝒙
) 𝐜
(𝟗) ∫
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒅𝒙 ∫ (
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
) 𝐝𝐱 ∫ (𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝟏
𝒔𝒊𝒏𝒙
) 𝐝𝐱 ∫(𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄)𝐝𝒙
𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄
(𝟏𝟎) ∫
(𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝟏) 𝟐
(𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝒙 𝟏) 𝟐
𝒅𝒙 ∫
(𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙) 𝟐
(𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙) 𝟐
𝒅𝒙 ∫ .
𝒔𝒆𝒄𝒙
𝒄𝒔𝒄𝒙
/
𝟒
𝒅𝒙 ∫
0
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒙
1
0
𝟏
𝒔𝒊𝒏
1
𝟒
𝒅𝒙 ∫ (
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
)
𝟒
𝒅𝒙
∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒
𝒙 𝒅𝒙
‫المثال‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ‫الحل‬ ‫نكمل‬ ‫ثم‬)9(‫الصفحة‬ ً‫ف‬)36(
(𝟏𝟏) ∫ (
𝟓
𝒙 𝟑
𝟕
𝒙 𝟐
)
.
𝟏
𝟑
/
𝒙 𝒅𝒙 ∫ (
𝟓 𝟕𝒙
𝒙 𝟑
)
.
𝟏
𝟑
/
𝒙 𝒅𝒙 ∫
(𝟓 𝟕𝒙)
.
𝟏
𝟑
/
𝒙
𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟕
(𝟓 𝟕𝒙)
.
𝟒
𝟑
/
.
𝟒
𝟑/
𝒄
𝟑
𝟐𝟖
(𝟓 𝟕𝒙)
.
𝟒
𝟑
/
𝒄
(𝟏𝟐) ∫
𝟕𝒙 𝟒
(𝒙 𝟓) 𝟔
𝒅𝒙 ∫
𝟕𝒙 𝟒
(𝒙 𝟓) 𝟒(𝒙 𝟓) 𝟐
𝒅𝒙 𝟕 ∫
𝒙 𝟒
(𝒙 𝟓) 𝟒
(𝒙 𝟓) 𝟐
𝒅𝒙 𝟕 ∫ .
𝒙
𝒙 𝟓
/
𝟒
(𝒙 𝟓) 𝟐
𝒅𝒙
(
𝟕
𝟓
) ∫(𝟓) .
𝒙
𝒙 𝟓
/
𝟒
[
𝟏
(𝒙 𝟓) 𝟐] 𝒅𝒙
𝟕
𝟓
.
𝒙
𝒙 𝟓
/
𝟓
𝟓
𝒄
𝟕
𝟐𝟓
.
𝒙
𝒙 𝟓
/
𝟓
𝐜
(𝟏𝟑) ∫ 𝒙 𝟓 𝒙 𝟑𝟑
𝒅𝒙 ∫( 𝒙) 𝒙 𝟐 𝟏
𝟑
𝒅𝒙 ∫( 𝒙)( 𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟏
𝟑
)
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
) ∫( 𝟐𝒙)( 𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟏
𝟑
)
𝒅𝒙
(
𝟏
𝟐
)
( 𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟒
𝟑
)
(
𝟒
𝟑)
𝒄
𝟑
𝟖
( 𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟒
𝟑
)
𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
298
(𝟏𝟒) ∫ 𝟓𝒙 𝟒 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟓𝒙 𝟐 𝟑 𝒅𝒙 ∫ 𝒙(𝟓𝒙 𝟐
𝟑)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟏𝟎
) ∫(𝟏𝟎)𝒙(𝟓𝒙 𝟐
𝟑)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙
(
𝟏
𝟏𝟎
)
( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑)
(
𝟑
𝟐
)
(
𝟑
𝟐)
𝒄
1
𝟏𝟓
( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑)
(
𝟑
𝟐
)
𝒄
(𝟏𝟓) ∫
𝟓 𝟕√ 𝒙
𝟑
√ 𝒙
𝒅𝒙 ∫ (𝟓 𝟕𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟏
𝟑
/
(𝒙).
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙 [
𝟐
𝟕
] ∫ [
𝟕
𝟐
] (𝟓 𝟕𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟏
𝟑
/
(𝒙).
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙
[
𝟐
𝟕
]
(𝟓 𝟕𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟒
𝟑
/
.
𝟒
𝟑/
𝒄
𝟑
𝟏𝟒
(𝟓 𝟕𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟒
𝟑
/
𝒄
(𝟏𝟔) ∫ 𝒙 𝟔
(𝟓
𝟑
𝒙
)
𝟔
𝒅𝒙 ∫ (𝒙 [𝟓
𝟑
𝒙
])
𝟔
𝐝𝐱 ∫(𝟓𝒙 𝟑) 𝟔
𝐝𝐱 (
𝟏
𝟓
)
(𝟓𝒙 𝟑) 𝟕
𝟕
𝒄
1
𝟑𝟓
(𝟓𝒙 𝟑) 𝟕
𝒄
(𝟏𝟕) ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟔
𝟔𝒙 𝟑
𝟗) 𝟓
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(,𝒙 𝟑
𝟑- 𝟐) 𝟓
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟑
𝟑) 𝟏𝟎
𝒅𝒙
1
3
∫ 3𝒙 𝟐(𝒙 𝟑
𝟑) 𝟏𝟎
𝒅𝒙
(
𝟏
𝟑
)
(𝒙 𝟑
𝟑) 𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝒄
𝟏
𝟑𝟑
(𝒙 𝟑
𝟑) 𝟏𝟏
𝒄
(𝟏𝟖) ∫ 𝟕𝒙 𝟐
𝒙 𝟔 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟐
𝒙 𝟐(𝒙 𝟒 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟑
𝒙 𝟒 𝟏 𝒅𝒙 (
𝟕
𝟒
) ∫(𝟒)𝒙 𝟑
(𝒙 𝟒
𝟏)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙
(
𝟕
𝟒
)
(𝒙 𝟒
𝟏)
.
𝟑
𝟐
/
.
𝟑
𝟐
/
𝒄
𝟕
𝟔
(𝒙 𝟒
𝟏)
.
𝟑
𝟐
/
𝑐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
299
‫اللوغارٌتم‬‫الطبٌعــ‬ً‫ـ‬
‫ةةةةةةةتكن‬‫ة‬‫ل‬u‫ةةةةةةةى‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةةةةةبة‬‫ة‬‫بالنس‬ ‫ةةةةةةةتماق‬‫ة‬‫لالش‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫لابل‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫موجب‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫دال‬x‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫للدال‬ ً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫الطبٌع‬ ‫ةةةةةةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬ ‫ةةةةةةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫ةةةةةةةأن‬‫ة‬‫ف‬uً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫ه‬
( )
‫الدالة‬ ‫مشتقة‬
‫الدالة‬
. /
‫و‬‫فأن‬ ‫علٌه‬∫
𝟏
| |‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫شرط‬( )‫موجبةة‬‫هةذه‬ ‫وتسةتخدم‬
‫ٌصعب‬ ً‫الت‬ ‫الدوال‬ ‫بعض‬ ً‫ف‬ ‫األولى‬ ‫المشتمة‬ ‫توفٌر‬ ً‫ف‬ ‫الدالة‬‫اشتمالها‬‫مثل‬ ‫الخاصة‬ ‫الخصائص‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تمتلن‬ ً‫وه‬:
𝟏 𝟎 ( ) ( )
‫مثال‬(1)/‫كان‬ ‫اذا‬(𝟑 𝟐
𝟒)‫فأ‬‫و‬‫جد‬
(𝟑 𝟐
𝟒)
𝟔
𝟑 𝟐 𝟒
‫مثال‬(2)/‫جد‬∫
𝜃 𝑑
𝟏
𝜃
𝜃
𝟏 𝜃
𝜃
𝜃 𝜃 𝜃
∫
𝜃 𝑑
𝟏
𝜃
𝜃
∫ | | |𝟏 |𝜃
/ ‫مثال‬: ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫مشتمة‬ ‫جد‬ :
( )
( 𝟐)
𝟐 𝟐
𝟐
( ) ( ) ( ) . / ( )
. / ( )
( )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
300
/ ‫مثال‬‫التكامل‬ ‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
∫ ∫ ( )
( ) 𝟐
𝟐
∫ 𝟐 1
(
𝟏
𝟐
) ∫
(𝟐)
𝟐 1
𝟏
𝟐
| 𝟐
|1
∫
𝟏
| |
∫ ∫ ∫ | |
∫ ∫ | |
∫
𝟐
𝟑
𝟏 𝟑
𝟏
𝟑
∫
𝟑 𝟐
𝟑
𝟏 𝟑
𝟏
𝟑
|𝟏 𝟑 |
‫دالة‬‫اللوغارٌت‬‫م‬ً‫الطبٌع‬
‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الدال‬‫ةةة‬‫ة‬‫لدال‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫عكس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ه‬‫ةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬‫أو‬ ‫ةةتمها‬‫ة‬‫نش‬ ‫ةةدما‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةةدوال‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةض‬‫ة‬‫بع‬ ‫ةةان‬‫ة‬‫هن‬ ‫ةةر‬‫ة‬‫أخ‬ ‫ةةى‬‫ة‬‫بمعن‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫الطبٌع‬
‫ةةا‬‫ة‬‫علٌه‬ ‫ةةدخل‬‫ة‬‫ن‬ ‫ةةا‬‫ة‬‫نكامله‬‫ال‬‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ‫ةةال‬‫ة‬‫أدخ‬ ‫ةةك‬‫ة‬ٌ‫طر‬ ‫ةةن‬‫ة‬‫ع‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ‫ةةاط‬‫ة‬‫بألغ‬ ‫ةةوم‬‫ة‬‫نم‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ننته‬ ‫ةةدما‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫ث‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬‫ةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬
‫علٌها‬ ‫العمل‬ ‫المراد‬ ‫الدالة‬ ‫شكل‬ ‫لتغٌٌر‬ ً‫ه‬ ‫العملٌة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الهدف‬ ً‫الطبٌع‬
‫ةة‬‫ة‬‫ل‬‫ذا‬‫ةة‬‫ة‬‫ف‬‫ةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫أن‬‫ةةٌة‬‫ة‬‫أس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ‫اي‬‫ةةوة‬‫ة‬‫للم‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫مرفوع‬uً‫ةة‬‫ة‬‫ه‬( ) (‫االس()الدالة‬ ‫)مشتقة‬ ( )‫ةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةه‬‫ة‬ٌ‫وعل‬
∫( )‫مثل‬ ‫الخاصة‬ ‫الخصائص‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تمتلن‬ ً‫وه‬
𝟐 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 ( ) 𝟎
𝟏
𝟏
‫مثال‬(3)/‫لتكن‬‫فجد‬
( 𝟐 )
‫مثال‬(4)/‫جد‬∫
𝟐
‫وزاري‬2013/‫د‬3
∫
𝟐 𝟏
𝟐
∫ 𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
301
‫األسٌــ‬ ‫الدالة‬‫األساس‬ ( ‫ــة‬)‫ثابت‬ ‫عدد‬
‫أن‬ ‫نفةةةةةةرض‬( )‫ةةةةةأ‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ‫أسةةةةةةاس‬ ‫ةةةةةل‬‫ة‬‫ٌمث‬ ‫ةةةةةت‬‫ة‬‫ثاب‬ ‫ةةةةةدد‬‫ة‬‫ع‬‫للمةةةةةةوة‬ ‫مرفوعةةةةةةة‬ ‫ةةةةةٌة‬‫ة‬‫أس‬ ‫دالةةةةةةة‬ ‫اي‬ ‫ةةةةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫ن‬uً‫هةةةةةة‬
( ) (‫()الدالة‬ ‫األساس‬ )(‫االس‬ ‫)مشتقة‬ ( )( )‫ةةةةةةةةةةةةةةةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةه‬‫ة‬ٌ‫وعل‬∫( )
𝟏
( )
. ً‫التال‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬ ‫ذلن‬ ‫نوضح‬ ‫وسوف‬ ‫السابمة‬ ‫األسٌة‬ ‫الدالة‬ ً‫ف‬ ‫ذكرناها‬ ً‫الت‬ ‫الخصائص‬ ‫ببعض‬ ‫وتتمٌز‬
‫مثال‬(5)/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
𝟑 𝟐 𝟓
𝟑 𝟐 𝟓 ( 𝟑)(𝟐) (𝟐 𝟑) 𝟑 𝟐 𝟓
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐)( 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐)(𝟐
𝟐
)
𝟓 𝟓 ( 𝟓)( )
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐)
𝟏
( ) ( ), - , - ( )
𝟑(𝟐 𝟒 )
𝟑(𝟐 𝟒 )
( 𝟑),𝟒 ( 𝟒)(𝟏)-
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐 )
𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐 )
𝟑 𝟐 𝟓
𝟑 𝟐 𝟓 (𝟐 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟓
𝟓 𝟓 ( 𝟓)
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
302
‫مثال‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫جد‬:
∫ 𝟕
𝟏
𝟕
𝟕
∫ ( )
∫
∫
√
√
( 𝟐) ∫
√
( 𝟐)√
𝟐 √
‫مثال‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫جد‬:
∫ 𝟒 𝟒 (
𝟏
𝟒
)
∫ 𝟐 ( ) 𝟐 (
𝟏
𝟐
)
∫ 𝟑 𝟑
𝟏
𝟑
∫( 𝟑) 𝟑 𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
∫ 𝟑 𝟕 ( 𝟐
𝟕 ) (
𝟏
𝟕
) ∫( 𝟕) 𝟑 𝟕 ( 𝟐
𝟕 ) (
𝟏
𝟕
) 𝟑 𝟕
(
𝟏
𝟑
)
∫
𝟐 𝟑 𝟑
𝟒 𝟐 𝟏
𝟐 𝟑
∫
𝟐 𝟑 𝟑
𝟐 𝟒 𝟐
𝟐 𝟑
∫ (
𝟐 𝟑 𝟑
𝟐 𝟑
𝟐 𝟒 𝟐
𝟐 𝟑
)
∫(𝟐(𝟑 𝟑 𝟑)
𝟐(𝟒 𝟐 𝟑)
) ∫ 𝟐 𝟐
∫ 𝟐 𝟑 𝟓
(
1
2
) ∫( 𝟐) 𝟐 𝟐
(
𝟏
𝟑
) ∫( 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟓
(
1
2
) 𝟐 𝟐
(
𝟏
𝟐
) (
𝟏
𝟑
) 𝟐 𝟑 𝟓
(
𝟏
𝟐
)
∫ 𝟐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
303
(𝟒 𝟑)‫تمارين‬
‫س‬1/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
(𝒂) 𝟑
𝟑
𝟑
𝟏
(𝒃) 𝐲 𝐥𝐧 .
𝒙
𝟐
/
.
𝟏
𝟐
/
.
𝒙
𝟐
/
(
𝟏
𝟐
) (
𝟐
𝒙
)
𝟏
𝒙
(𝒄) 𝒚 𝒍𝒏(𝒙 𝟐)
𝟐𝒙
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙
(𝒅) 𝐲 (𝒍𝒏𝒙) 𝟐
𝟐 𝒍𝒏𝒙 (
𝟏
𝒙
)
𝟐
𝒙
𝐥𝐧𝐱
(𝒆) 𝒚 𝒍𝒏 (
𝟏
𝒙
)
𝟑
𝒚 𝒍𝒏 𝒙 𝟑
(
𝟑𝒙 𝟒
𝒙 𝟑
) 𝟑𝒙 𝟏
𝟑
𝒙
(𝒇) 𝒚 𝒍𝒏(𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙)
( 𝒔𝒊𝒏𝒙)
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙
(𝒈) 𝐲 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓)
𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓) , 𝟏𝟎𝒙 𝟑- ( 𝟏𝟎𝒙 𝟑) 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓)
(𝒉) 𝒚 𝟗√ 𝒙
𝟗√ 𝒙 (𝒍𝒏𝟗) (
𝟏
𝟐√ 𝒙
)
𝟗√ 𝒙
𝟐√ 𝒙
(𝒍𝒏𝟗)
(𝒊) 𝒚 𝟕
.
𝒙
𝟒
/
𝟕
.
𝒙
𝟒
/
(𝒍𝒏𝟕) (
𝟏
𝟒
)
𝒍𝒏𝟕
𝟒
𝟕
.
𝒙
𝟒
/
( ) 𝟐 𝟐
𝟐 ( 𝟐)
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
304
‫س‬2/‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬:
(𝑎) ∫
1
𝟏
,𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒙 𝟏
𝟑
-
𝟎
| 𝒍𝒏|𝟑 𝟏| 𝒍𝒏|𝟎 𝟏| 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟒 𝟎 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟐 𝟐
𝟐𝒍𝒏𝟐
(𝒃) ∫
𝟐
𝟐 𝟗
𝟒
𝟎
𝒅𝒙 , 𝒍𝒏 𝟐
𝟗
𝟒
-
𝟎
| | 𝒍𝒏|𝟏𝟔 𝟗| 𝒍𝒏|𝟎 𝟗| 𝒍𝒏𝟐𝟓 𝒍𝒏𝟗 𝒍𝒏𝟓(𝟐)
𝒍𝒏𝟑(𝟐)
𝟐𝒍𝒏𝟓 𝟐𝒍𝒏𝟑 𝟐𝒍𝒏
𝟓
𝟑
‫وزاري‬4201/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬1
(𝒄 ∫ 𝟐
𝟓
𝟑
) 𝒅𝒙 , 𝟐
𝟓
-
𝟑
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐( 𝟓) 𝟐( 𝟑)
𝟏
𝟐
(𝟓) 𝟐
0 (𝟑) 𝟐
1
𝟏
𝟐
𝟐𝟓, 𝟗-
𝟏
𝟐
𝟏𝟔, - 𝟖
(𝒅) ∫
𝟐
𝟎
𝒅𝒙 ,
𝟐
-
𝟎
𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟏
0 𝟏1 𝟐 𝟏
0 𝟏1
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
‫وزاري‬2011/‫د‬1‫وزاري‬2013/‫د‬2
(𝒆) ∫ ( 𝟏 )2
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 *
( 𝟏 )3
3
+
0
1
3
,( 𝟏 )3
𝟏
-
𝟎
1
3
1
[ (1 𝒆 𝟏)
3
(1 𝒆 𝟎)
3
]
𝟑
𝟏
( 𝟏 𝒆) 𝟑 ( 𝟏 𝟏) 𝟑
𝟑
𝟏
( 𝟏 𝒆) 𝟑 ( 𝟐) 𝟑
𝟑
𝟏
( 𝟏 𝒆) 𝟑
𝟑
𝟖
‫السؤال‬ ‫كان‬ ‫لو‬:
∫ ( 𝟏 )
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 ∫ ( 𝟐 )
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 * 𝒆 𝒙 𝒆 𝟐𝒙
𝟐
+
0
1
* 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐
𝟐
+ * 𝒆 𝟎 𝒆 𝟎
𝟐
+ 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
‫وزاري‬2011/‫د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬1
(𝒇) ∫
𝟑 𝟐 𝟒
𝟑 𝟒 𝟏
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 , 𝒍𝒏 𝟑 𝟒 𝟏
𝟏
-
𝟎
( ) 𝒍𝒏𝟔 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟔 𝟎 𝒍𝒏𝟔
‫وزاري‬5201/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬2
(𝒈) ∫
√
𝟐√
𝟒
𝟏
𝒅𝒙 , √
𝟒
-
𝟎
0𝒆√𝟒 𝒆√𝟏1 𝒆 𝟐
𝒆 𝟏
‫وزاري‬2011/‫د‬1
(𝒉 ∫ (
𝟐
𝟐
)
𝟒
𝟒
) 𝒅𝒙 , |𝟐 |
𝟒
-
𝟒
𝒍𝒏 |𝟐
𝟒
|𝒍𝒏 |𝟐
𝟒
|𝒍𝒏 𝒍𝒏𝟑 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟑 𝟎 𝒍𝒏𝟑
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
305
(𝒊) ∫
√
𝟐
𝟔
𝒅𝒙 ∫ ( ).
𝟏
𝟐
/𝟐
𝟔
𝐝𝐱
( ).
𝟏
𝟐
/
[
.
𝟏
𝟐
/
𝟔
𝟐
] , 𝟐√
𝟐
-
𝟔
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝟐
𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟔
𝒔𝒊𝒏 𝟐 √𝟏 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
√𝟐
𝟐 √𝟐
( ) ∫ 𝟑
𝟓 ∫( 𝟐
𝟓 ) 𝟓 ∫( 𝟐
𝟓 𝟏) 𝟓
∫( 𝟐
𝟓 𝟓 𝟓 ) ∫ 𝟓 𝟐
𝟓 ∫ 𝟓 𝒅𝒙
(
𝟏
𝟓
)
𝟐
𝟓
𝟐
∫
𝟓
𝟓
𝒅𝒙
𝟏
𝟏𝟎
𝟐
𝟓
𝟏
𝟓
𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙| 𝒄
‫وزاري‬2015/‫د‬1
( 𝒌 ∫ ( )
𝟐
𝟎
) 𝒅𝒙 , - 𝟐
0 .
𝟐
/ (𝟎)
1 , 𝟎 𝟏- 𝟏 𝒆
( 𝑳 ∫
𝟐
𝟏
) 𝒅𝒙 ∫ ( ) 𝟏
𝟐
𝟏
𝒅𝒙 ∫ ( ) 𝟏
𝟐
𝟏
𝒅𝒙 ∫
𝟐
𝟏
𝒅𝒙 ,
𝟐
-
𝟏
𝟐 𝟏 𝟏
‫س‬3/‫أثبت‬‫أن‬:
( ) ∫
√
𝟑
𝟏
√ 𝟐𝟑 𝟐
𝟖
𝟏
‫األٌسر‬ ∫
𝟐
𝟑 (
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟏
𝟐𝟖
𝟏
𝟑 ∫ (
𝟏
𝟑
)
𝟐
𝟑 (
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟏
𝟐𝟖
𝟏
𝟑
[
(
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
] 𝟏
𝟖
𝟐 [(
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟑
𝟐
]
𝟏
𝟖
𝟐 [(𝟖
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟑
𝟐
(𝟏
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟑
𝟐
]
𝟐 [(𝟐 𝟏)
𝟑
𝟐 (𝟏 𝟏)
𝟑
𝟐] 𝟐 [(𝟏)
𝟑
𝟐 𝟎] 𝟐(𝟏) 𝟐 ‫األٌمن‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
306
( ) ∫ |𝟑 𝟔|
𝟒
𝟐
𝒅𝒙 𝟑𝟎
‫مالحظة‬𝟑 𝟔 𝟐
|3 6| 2
3 6 2
6 3 < 2
‫األٌسر‬ ‫الطرف‬ ∫ |3 6|
2
𝑑𝑥 ∫ (6 3 )
2
2
𝑑𝑥 ∫ (3 6)
2
𝑑𝑥 *6
3 2
2
+
2
2
*
3 2
2
6 +
𝟐
𝟒
(,12 𝟔- , 12 6-) ( 24 24 ,𝟔 12-) 6 18 6 ‫األٌمن‬ ‫الطرف‬𝟑𝟎
‫وزاري‬2016/‫د‬1
‫س‬4/( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, 𝟐 𝟔-‫كان‬ ‫فأذا‬∫ ( )
𝟔
𝟏
𝟔‫وكان‬∫ , ( ) 𝟑-
𝟔
𝟐
𝟑𝟐‫فج‬‫ـــــ‬‫د‬
∫ ( )
𝟏
𝟐
∫ , ( ) 𝟑-
𝟔
𝟐
𝟑𝟐
∫ ( )
𝟔
𝟐
∫ 𝟑
𝟔
𝟐
𝟑𝟐
∫ ( )
𝟔
𝟐
| 𝟑 | 𝟐
𝟔
𝟑𝟐
∫ ( )
𝟔
𝟐
, 𝟏𝟖 ( 𝟔)- 𝟑𝟐
∫ ( )
𝟔
𝟐
𝟐𝟒 𝟑𝟐
∫ ( )
𝟔
𝟐
𝟖
∫ ( )
𝟔
𝟐
∫ ( )
𝟏
𝟐
∫ ( )
𝟔
𝟏
𝟖 ∫ ( )
𝟏
𝟐
𝟔
∫ ( )
𝟏
𝟐
𝟖 𝟔 ∫ ( )
𝟏
𝟐
𝟐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
307
‫س‬5/‫لٌمة‬ ‫جد‬‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬∫ .
𝟏
𝟐
/𝟏
𝟐 ∫ 𝟐𝟒
𝟎
‫الحل‬/
∫ (
𝟏
𝟐
)
𝟏
𝟐∫ 𝟐𝟒
𝟎
*
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐, - 𝟎
𝟒
(
𝟐
𝟐 𝟐
) (
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
) 𝟐 [
𝟒
𝟎]
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏 𝟐,𝟏 𝟎-
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟑
(×𝟐)
⇒ 𝟐
𝟔 𝟎 ( 𝟑)( 𝟐) 𝟎
𝟑 𝟐
‫س‬6/‫لتكن‬( ) 𝟐
𝟐‫حٌث‬‫تساوي‬ ‫الصغرى‬ ‫نهاٌتها‬ ‫دالة‬( 𝟓)‫فجد‬∫ ( )
𝟑
𝟏
‫الحل‬/‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬
∴̅( ) 𝟎
( ) 𝟐
𝟐
̅( ) 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟏
∴‫النمطة‬( 𝟏 𝟓)‫الدالة‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫وه‬ ‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬( )
𝟓 ( 𝟏) 𝟐
𝟐( 𝟏) 𝟓 𝟏 𝟐 𝟒
( ) 𝟐
𝟐 𝟒
∫ ( )
𝟑
𝟏
∫ ( 𝟐
𝟐 𝟒 )
𝟑
𝟏
*
𝟑
𝟑
𝟐
𝟒 +
(𝟗 𝟗 𝟏𝟐) (
𝟏
𝟑
𝟏 𝟒) 𝟔 (
𝟏
𝟑
𝟑)
𝟔 (
𝟏 𝟗
𝟑
) 𝟔 (
𝟖
𝟑
)
𝟏𝟖 𝟖
𝟑
𝟐𝟔
𝟑
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
308
‫س‬7/ً‫للمنحنةةة‬ ‫كةةةان‬ ‫أذا‬( ) ( 𝟑) 𝟑
𝟏‫انم‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫نمط‬‫ـــــةةةـ‬‫الب‬( )‫ةةةدار‬‫ة‬‫للمم‬ ‫العددٌةةةة‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المٌم‬ ‫جةةةد‬
∫ ( )𝟎
∫ ( )𝟎
‫وزاري‬2015/‫د‬3
‫الحل‬/‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬
∴̅̅( ) 𝟎
( ) ( 𝟑) 𝟑
𝟏
̅( ) 𝟑( 𝟑) 𝟐
̅̅( ) 𝟔( 𝟑) 𝟔( 𝟑) 𝟎
( 𝟔)
⇒ 𝟑 𝟎 𝟑
(𝟑) (𝟑 𝟑) 𝟑
𝟏 𝟏 𝟏
∴‫األنمالب‬ ‫نمطة‬( )ً‫ه‬(𝟑 𝟏)‫أن‬ ‫أي‬𝟑 𝟏
∫ ( )
𝟎
∫ ( )
𝟎
∫ 𝟑( 𝟑) 𝟐
𝟏
𝟎
∫ 𝟔( 𝟑)
𝟑
𝟎
𝟑 *
( 𝟑) 𝟑
𝟑
+
𝟎
𝟏
𝟔 *
( 𝟑) 𝟐
𝟐
+
𝟎
𝟑
𝟑 *
(𝟏 𝟑) 𝟑
𝟑
(𝟎 𝟑) 𝟑
𝟑
+ 𝟔 *
(𝟑 𝟑) 𝟐
𝟐
(𝟎 𝟑) 𝟐
𝟐
+
𝟑 [
𝟖
𝟑
𝟐𝟕
𝟑
] 𝟔 [ 𝟎
𝟗
𝟐
]
𝟑 [
𝟏𝟗
𝟑
] 𝟔 [
𝟗
𝟐
]
𝟏𝟗 𝟐𝟕 𝟒𝟔
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
309
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
/ ‫مثال‬‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬:
(𝟏) ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒅𝒙 ∫
𝒔𝒆𝒄𝒙(𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙)
(𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙)
𝒅𝒙 ∫
𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙
𝐝𝐱 𝐥𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙| 𝒄
(𝟐) ∫ 𝒆𝒍𝒏(𝒙 𝟐 𝟓)
𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐
𝟓)𝒅𝒙
𝒙 𝟑
𝟑
𝟓𝒙 𝒄
(𝟑) ∫ 𝒆|𝒙|
𝟐
𝟐
𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙
𝟎
𝟐
𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙
𝟐
𝟎
𝒅𝒙 ,𝟏 𝒆 𝟐- ,𝒆 𝟐
𝟏- 𝟐𝒆 𝟐
𝟐
(𝟒) ∫
𝒅𝒙
𝒙√𝟏 𝒍𝒏𝒙
∫
(𝟏 𝒍𝒏𝒙)
𝟏
𝟐 𝒅𝒙
𝒙
(𝟏 𝒍𝒏𝒙)
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟐
/
𝒄 𝟐√𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒄
(𝟓) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒐𝒔𝒙| 𝒄 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙| 𝒄
(𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏𝒙| 𝒄
(𝟕) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒔𝒄𝒙(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙)
(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙)
𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙| 𝒄
(𝟖) ∫
𝒔𝒆𝒄√ 𝒙
√ 𝒙
𝒅𝒙 𝟐 ∫
𝒔𝒆𝒄√ 𝒙
(𝟐)√ 𝒙
𝒅𝒙 𝟐𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄√ 𝒙 𝒕𝒂𝒏√ 𝒙| 𝒄
(𝟗) ∫ (
𝟏
𝒙
𝒍𝒏𝒙
𝒙
) 𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝒍𝒏𝒙
𝒙
𝒅𝒙 𝒍𝒏𝒙
(𝒍𝒏𝒙) 𝟐
𝟐
𝒄
(𝟏𝟎) ∫
(𝒍𝒏𝒙)
𝒙
𝟑
𝒅𝒙
(𝒍𝒏𝒙) 𝟒
𝟒
𝒄
(𝟏𝟒) ∫
𝒆 𝒙
(𝒆 𝒆 𝒙) 𝟐
𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙(𝒆 𝒆 𝒙) 𝟐
𝒅𝒙
(𝒆 𝒆 𝒙) 𝟏
𝟏
𝒄
𝟏
𝒆 𝒆 𝒙
𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
310
/ ‫مثال‬‫جد‬‫للدوال‬‫التالٌة‬:
(𝟏) ( ) (
𝟏
) (𝟏)
𝟏 (𝟏 ) ( ) (𝟏 )
(𝟐) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 𝟐
𝟐 (
𝟏
)
𝟐
(
𝟐
) ( ) (
𝟐
)
(𝟑) ( ) ( )
(𝟒 ) ( )𝒙 𝟐( ) ,𝟏 -𝒙
𝟐( ) 𝟐( )𝒙
𝟐( ) 𝟐( )𝒙
, 𝟐( )𝒙 𝟐( )-
𝟐( )
𝟐( )𝒙
(𝟓)
𝟑 𝟏
(𝟑 𝟏)(𝟏) ( )( 𝟑 𝟑 )
(𝟑 𝟏) 𝟐
(𝟑 𝟏) ( 𝟑 𝟑 )
(𝟑 𝟏) 𝟐
/ ‫مثال‬‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬:
⒜‫عندما‬𝟎
𝟎
𝟏 (𝟎 𝟏) ‫التماس‬ ‫نقطة‬
‫المماس‬ ‫مٌل‬ 𝟎
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟎
𝟏 𝟏 𝟎 .‫المماس‬ ‫معادلة‬/
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
311
(b)𝟐‫عندما‬𝟏
𝟐 𝟐 𝟏
𝟐 (𝟏 𝟐) ‫التماس‬ ‫نقطة‬
‫المماس‬ ‫مٌل‬ (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟐
𝟒
𝟏
𝟏
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐 𝟒( 𝟏) (‫المماس‬ ‫)معادلة‬
(c)‫عندما‬
( ) (𝟏) ( ) ‫التماس‬ ‫نقطة‬
‫المماس‬ ‫مٌل‬ (
𝟏
) (𝟏) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐( ) (‫المماس‬ ‫)معادلة‬
/ ‫مثال‬‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( ) ( ),0𝟎
𝟒
1‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( )‫ثم‬
‫لٌمة‬ ‫جد‬∫ ( )𝟒
𝟎
/ ‫الحل‬
( )‫وكذلن‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬( )‫أٌضا‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
( )
𝟐 ( )
( )
( ‫للدالة‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ )
∫
𝟒
𝟎
, ( )- (√𝟐 𝟏) (𝟏 𝟎) (√𝟐 𝟏)
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
312
:‫مالحظة‬
‫المتغٌر‬ ‫على‬ ‫ٌحتوي‬ ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫كان‬ ‫أذا‬( )‫نستخدم‬. /‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬ ‫ثم‬ ‫جهة‬ ‫على‬ ‫متغٌر‬ ‫كل‬ ‫نضع‬ ‫ثم‬ ‫للمٌل‬
******************************************************************
‫س‬1:‫المستمٌم‬ ‫ٌمس‬ ‫الذي‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫جد‬𝟑 𝟕‫ٌساوي‬ ‫نماطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫ومٌله‬𝟑 𝟐
𝟔
‫س‬2:‫الثانٌةة‬ ‫المشتمة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬𝟔‫للدالةة‬ ‫وكةان‬‫النمطةة‬( 𝟏 𝟒)‫ثةم‬ ‫الدالةة‬ ً‫منحنة‬ ‫جةد‬ ‫محلٌةة‬ ‫عظمةى‬ ‫نهاٌةة‬ ‫نمطةة‬
‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫أرسم‬ ‫التفاضل‬ ‫بأستخدام‬
‫س‬3:‫ٌساوي‬ ‫نمطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫مٌله‬ ‫الذي‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬( 𝟐
𝟔 )‫لٌمتهةا‬ ‫محلٌةة‬ ‫صةغرى‬ ‫نهاٌةة‬ ‫وله‬
( 𝟑)‫ممعر‬ ً‫المنحن‬ ‫وكان‬( > 𝟏)‫لكل‬ ‫ومحدب‬( < 𝟏)
‫س‬4:‫بالنمطة‬ ‫المار‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬( 𝟏 𝟐)‫ٌساوي‬ ‫نمطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫ومٌله‬
𝟑 𝟐 𝟐 𝟏
𝟑 𝟐 𝟐 𝟑
‫س‬5:‫جد‬‫معادلة‬‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬ ‫المنحنٌات‬‫عند‬ ‫مٌلها‬‫نمطها‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬( )‫هو‬
𝟐
𝟐
******************************************************************
‫المستوٌة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫اٌجاد‬
‫مسا‬‫حة‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المستوٌة‬ ‫المنطمة‬‫السـ‬ ‫ومحور‬ ً‫منحن‬‫ــٌنات‬
‫لتكن‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫ولتكن‬Aً‫بةالمنحن‬ ‫المحةددة‬ ‫المنطمةة‬ ‫مسةاحة‬( )‫ومحةور‬
‫والمستمٌمٌن‬ ‫السٌنات‬‫فأن‬|∫ ( ) |
‫الحل‬ ‫خطوات‬:
‫بٌن‬ ‫المساحة‬ ‫الٌجاد‬‫ما‬ ‫نتبع‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ ً‫منحن‬ً‫ٌل‬:
Ⓘ‫ةةةل‬‫ة‬‫نجع‬( ) 𝟎‫ةةةرة‬‫ة‬‫للفت‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ٌنتم‬ ‫ةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫ةةةأذا‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫مح‬ ‫ةةةع‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةاطع‬‫ة‬‫التم‬ ‫ةةةاط‬‫ة‬‫نم‬ ‫ةةةاد‬‫ة‬‫الٌج‬, -‫ةةةزي‬‫ة‬‫فنج‬
‫فمط‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫وتؤخذ‬ ‫فٌهمل‬ ‫للفترة‬ ً‫الٌنتم‬ ‫النات‬ ‫كان‬ ‫واذا‬ ‫سابما‬ ‫تعلمنا‬ ‫كما‬ ‫الفترة‬.
②‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫الدالة‬ ‫تماطع‬ ‫نماط‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تحدٌدها‬ ‫ٌتم‬ ‫فالفترة‬ ‫فترة‬ ‫الدالة‬ ‫مع‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫اذا‬
③‫مجموع‬ = ‫المساحة‬‫لل‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌم‬‫المجزئة‬ ‫تكامالت‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
313
‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(1)/‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟑
𝟒‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫الفترة‬, 𝟐 𝟐-
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟑
𝟒 𝟎 ( 𝟐
𝟒) 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐
∴ً‫ه‬ ‫التكامل‬ ‫فترات‬( 𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐)
|∫ ( 𝟑
𝟒 )
𝟎
𝟐
| |∫ ( 𝟑
𝟒 )
𝟐
𝟎
| *
𝟒
𝟒
𝟐 𝟐
+
𝟐
𝟎
*
𝟒
𝟒
𝟐 𝟐
+
𝟎
𝟐
|(𝟎) (𝟒 𝟖)| |(𝟒 𝟖) (𝟎)| 𝟒 | 𝟒| 𝟖 (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2013/‫د‬3
‫ةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(2)/‫مس‬ ‫ةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫المح‬ ‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫الدال‬ ً‫ةةةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ددة‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ــ‬‫ة‬𝟐
‫ةةةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫والمستمٌمٌن‬𝟏 𝟑
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟎 𝟎 ,𝟏 𝟑-
|∫ 𝟐
𝟑
𝟏
|
𝟑
*
𝟑
𝟑
+
𝟏
|[
𝟐𝟕
𝟑
] [
𝟏
𝟑
]|
𝟐𝟔
𝟑
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2013/‫د‬1
‫مثال‬(3)/‫الدالة‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟐‫السٌنات‬ ‫ومحور‬
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐 𝟎 ( 𝟐
𝟑 𝟐) 𝟎 ( 𝟏)( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐
|∫ ( 𝟑
𝟑 𝟐
𝟐 )
𝟏
𝟎
| |∫ ( 𝟑
𝟑 𝟐
𝟐 )
𝟐
𝟏
| *
𝟒
𝟒
𝟑 𝟐
+
𝟎
𝟏
*
𝟒
𝟒
𝟑 𝟐
+
𝟏
𝟐
|(
𝟏
𝟒
𝟏 𝟏) (𝟎)| |(𝟒 𝟖 𝟒) (
𝟏
𝟒
𝟏 𝟏)|
𝟏
𝟒
|
𝟏
𝟒
|
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
314
‫مثةةةال‬(4)/‫الدالةةةة‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫المنطمةةةة‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟐
𝟏‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫الفترة‬, 𝟐 𝟑-
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟏 𝟎 ( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏 , 𝟐 𝟑-
|∫ ( 𝟐
𝟏)
𝟏
𝟐
| |∫ ( 𝟐
𝟏)
𝟏
𝟏
| |∫ ( 𝟐
𝟏)
𝟑
𝟏
|
*
𝟑
𝟑
+
𝟐
𝟏
*
𝟑
𝟑
+
𝟏
𝟏
*
𝟑
𝟑
+
𝟏
𝟑
|[(
𝟏
𝟑
𝟏) (
𝟖
𝟑
𝟐)] [(
𝟏
𝟑
𝟏) (
𝟏
𝟑
𝟏)] [(𝟗 𝟑) (
𝟏
𝟑
𝟏)]|
|
𝟕
𝟑
𝟏| |
𝟐
𝟑
𝟐| |𝟕
𝟏
𝟑
|
𝟒
𝟑
𝟒
𝟑
𝟐𝟎
𝟑
𝟐𝟖
𝟑
𝟗
𝟏
𝟑
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(5)/‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬( )‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫الفترة‬0
𝟐
1
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟎 𝟎 [
𝟐
]
|∫
𝟎
𝟐
| |∫
𝟎
| |
𝟎
, -
𝟐
| | , -
𝟎
|
| (𝟎) .
𝟐
/| | ( ) (𝟎)| , 𝟏 𝟎- ,𝟏 𝟏- | 𝟏| 𝟐 𝟑 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
315
‫مثةةةةال‬(6)/‫مس‬ ‫جةةةةد‬‫ــةةةةـ‬‫الدال‬ ً‫بمنحنةةةة‬ ‫المحةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةة‬ ‫احة‬‫ـــةةةةـ‬‫ة‬‫وعلةةةةى‬ ‫السةةةةٌنات‬ ‫ومحةةةةور‬
‫الفترة‬, -
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟎
𝟐
, -
|∫
𝟐
| |∫
𝟐
𝟐
| |∫
𝟐
| | 𝟐
, -
| |
|
𝟐
, -
𝟐
|
| |
, -
𝟐
|
| .
𝟐
/ ( )| | .
𝟐
/ .
𝟐
/| | ( ) .
𝟐
/|
| 𝟏 𝟎| |𝟏 𝟏| |𝟎 𝟏| | 𝟏| 𝟐 | 𝟏| 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
/ ‫ةةةةال‬‫ة‬‫مث‬‫مس‬ ‫ةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬( ) 𝟐
𝟒‫ةةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫الفترة‬, 𝟏 𝟑-
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐 , 𝟏 𝟑- (‫السالب‬ ‫ٌهمل‬ )
|∫ ( 𝟐
𝟒)
𝟐
𝟏
| |∫ ( 𝟐
𝟒)
𝟑
𝟐
| |*
𝟑
𝟑
𝟒 +
𝟏
𝟐
| |*
𝟑
𝟑
𝟒 +
𝟐
𝟑
|
|(
𝟖
𝟑
𝟖) (
𝟏
𝟑
𝟒)| |(𝟗 𝟏𝟐) (
𝟖
𝟑
𝟖)| |
𝟗
𝟑
𝟖 𝟒| | 𝟑
𝟖
𝟑
𝟖|
|𝟑 𝟏𝟐| |𝟓
𝟖
𝟑
| | 𝟗| |
𝟏𝟓 𝟖
𝟑
| 𝟗
𝟕
𝟑
𝟐𝟕 𝟕
𝟑
𝟑𝟒
𝟑
.‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
316
/ ‫مثال‬‫مس‬ ‫جد‬‫ـــــ‬‫الدال‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫احة‬‫ــــ‬‫ة‬( )‫الس‬ ‫ومحور‬‫ــــ‬‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫ٌنات‬,𝟎 𝟐-
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟎 ( ‫الصفر‬ ‫من‬ ‫أكبر‬ ‫موجب‬ ‫عدد‬ ‫دائما‬ ‫ألنه‬ ‫الٌمكن‬ )
|∫
𝟐
𝟎
| | 𝟐 𝟎
| ( 𝟐
𝟏) (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ )
/ ‫مثةةةةال‬‫الدالةةةةة‬ ً‫بمنحنةةةة‬ ‫المحةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةة‬ ‫مسةةةةاحة‬ ‫جةةةةد‬( ) 𝟐 𝟐
‫السةةةةٌنات‬ ‫ومحةةةةور‬
‫الفترة‬ ‫وعلى‬0𝟎
𝟐
1
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐 𝟐
𝟎 𝟐 𝟎 𝟐
𝟐 𝟒
[ 𝟎
𝟐
]
|∫ 𝟐
𝟒
𝟎
| |∫ 𝟐
𝟐
𝟒
| |[
𝟏
𝟐
𝟐 ]
𝟎
𝟒
| |[
𝟏
𝟐
𝟐 ]
𝟒
𝟐
| [
𝟏
𝟐
(𝟏 𝟎)] [
𝟏
𝟐
(𝟎 𝟏)]
𝟏
𝟐
|
𝟏
𝟐
| 𝟏 (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ )
******************************************************************
‫بمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬
‫لتكن‬( ) ( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرتان‬ ‫دالتٌن‬, -‫المحةد‬ ‫المساحة‬ ‫فأن‬‫بةالمنحنٌٌن‬ ‫دة‬f,g‫والمسةتمٌمٌن‬
ً‫ه‬|∫ ( ( ) ( )) |
: ‫الحل‬ ‫خطوات‬
ً‫ماٌل‬ ‫نتبع‬ ‫دالتٌن‬ ً‫منحن‬ ‫بٌن‬ ‫المساحة‬ ‫الٌجاد‬:
Ⓘ‫نجعةةةل‬( ) ( )‫للفتةةةرة‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ٌنتم‬ ‫النةةةات‬ ‫ةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫فةةةأذا‬ ‫التمةةةاطع‬ ‫ةةةاط‬‫ة‬‫نم‬ ‫الٌجةةةاد‬, -‫ةةةا‬‫ة‬‫تعلمن‬ ‫كمةةةا‬ ‫ةةةرة‬‫ة‬‫الفت‬ ‫فنجةةةزي‬
‫فمط‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫وتؤخذ‬ ‫فٌهمل‬ ‫للفترة‬ ً‫الٌنتم‬ ‫النات‬ ‫كان‬ ‫واذا‬ ‫سابما‬.
②‫الدالتٌن‬ ‫تماطع‬ ‫نماط‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تحدٌدها‬ ‫ٌتم‬ ‫فالفترة‬ ‫فترة‬ ‫الدالة‬ ‫مع‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫اذا‬.
③= ‫المساحة‬‫المجزئة‬ ‫للتكامالت‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌم‬ ‫مجموع‬(‫األكبر‬ ‫للدالة‬–) ‫األصغر‬ ‫الدالة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
317
‫وزار‬‫ي‬2011/‫د‬1
‫مثال‬(1)/‫مساحة‬ ‫جد‬‫المنطمة‬ً‫بالمنحن‬ ‫المحددة‬√‫والمستمٌم‬
/ ‫الحل‬
‫نجد‬‫التماطع‬ ‫نمط‬‫بجعل‬ ‫وذلن‬√
√
(‫)بالتربٌع‬
⇒ 𝟐 𝟐
𝟎 ( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏
|∫ (√ )
𝟏
𝟎
| |∫ (
.
𝟏
𝟐
/
)
𝟏
𝟎
| |[
.
𝟑
𝟐
/
.
𝟑
𝟐
/
𝟐
𝟐
]
𝟎
𝟏
| [*
𝟐 √ 𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
+
𝟎
𝟏
]
[(
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
) (𝟎)]
𝟒 𝟑
𝟔
𝟏
𝟔
.‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
‫مثال‬(2)/‫مساحة‬ ‫جد‬‫المنطمة‬‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ً‫المنحن‬𝟑
‫والمستمٌم‬
/ ‫الحل‬
‫بجعل‬ ‫وذلن‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫نجد‬𝟑
𝟑 𝟑
𝟎 ( 𝟐
𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏
|∫ ( 𝟑 )
𝟎
𝟏
| |∫ ( 𝟑 )
𝟏
𝟎
| |*
𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
+
𝟏
𝟎
| |*
𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
+
𝟎
𝟏
|
|(𝟎) (
𝟏
𝟒
𝟏
𝟐
)| |(
𝟏
𝟒
𝟏
𝟐
) (𝟎)|
𝟏
𝟒
|
𝟏
𝟒
|
𝟏
𝟐
(‫مساحة‬ ‫)وحدة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
318
‫ةةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(3)/‫مس‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬‫ال‬‫منحنٌٌن‬( )‫و‬( )
‫الفترة‬ ‫وعلى‬0
𝟐 𝟐
1
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟏
𝟒
[
𝟐 𝟐
] (‫الموجب‬ ‫األتجاه‬)
|∫ ( )
𝟒
𝟐
| |∫ ( )
𝟐
𝟒
| |
|,
𝟒
-
𝟐
|
|
|
|,
𝟐
-
𝟒
|
|
|( .
𝟒
/ .
𝟒
/) ( .
𝟐
/ .
𝟐
/)| |( .
𝟐
/ .
𝟐
/) ( .
𝟒
/ .
𝟒
/)|
|(
𝟏
√𝟐
𝟏
√𝟐
) ( 𝟏 𝟎)| |(𝟏 𝟎) (
𝟏
√𝟐
𝟏
√𝟐
)|
|
𝟐
√𝟐
𝟏| |𝟏
𝟐
√𝟐
| |√𝟐 𝟏| |𝟏 √𝟐| √𝟐 𝟏 √𝟐 𝟏 𝟐√𝟐 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
/ ‫مثةةةةةةةال‬‫بةةةةةةة‬ ‫المحةةةةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةةةةة‬ ‫مسةةةةةةةاحة‬ ‫جةةةةةةةد‬‫ال‬‫منحنٌٌن‬( ) 𝟐
𝟐 𝟏‫و‬( ) 𝟓
‫الفترة‬ ‫وعلى‬, 𝟐 𝟑-
‫الحل‬/‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟐 𝟏 𝟓 𝟐
𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟒)( 𝟏) 𝟎
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑
|∫ ( 𝟐
𝟑 𝟒)
𝟏
𝟐
| |∫ ( 𝟐
𝟑 𝟒)
𝟑
𝟏
| |*
𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
𝟒 +
𝟐
𝟏
| |*
𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
𝟒 +
𝟏
𝟑
|
|(
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
𝟒) (
𝟖
𝟑
𝟔 𝟖)| |(𝟗
𝟐𝟕
𝟐
𝟏𝟐) (
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
𝟒)|
|
𝟐 𝟗 𝟐𝟒 𝟏𝟔 𝟑𝟔 𝟒𝟖
𝟔
| |
𝟓𝟒 𝟖𝟏 𝟕𝟐 𝟐 𝟗 𝟐𝟒
𝟔
|
𝟏𝟕
𝟔
|
𝟏𝟏𝟐
𝟔
|
𝟏𝟕
𝟔
𝟏𝟏𝟐
𝟔
𝟏𝟐𝟗
𝟔
𝟒𝟑
𝟐
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
319
/ ‫مثال‬‫جد‬‫المساحة‬‫بالمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬𝟒
𝟏𝟐‫و‬𝟐
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟒
𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐
𝟏𝟐 𝟎 ( 𝟐
𝟒)( 𝟐
𝟑) 𝟎 𝟐 ∓√ 𝟑 ‫ٌهمل‬
|∫ ( 𝟒 𝟐 𝟏𝟐)
𝟐
𝟐
| |*
𝟓
𝟓
𝟑
𝟑
𝟏𝟐 +
𝟐
𝟐
| *
𝟑𝟐
𝟓
𝟖
𝟑
𝟐𝟒+ *
𝟑𝟐
𝟓
𝟖
𝟑
𝟐𝟒+
|
𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟓
| |
𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟓
| |
𝟑𝟎𝟒
𝟏𝟓
|
𝟑𝟎𝟒
𝟏𝟓
𝟔𝟎𝟖
𝟏𝟓
𝟒𝟎
𝟖
𝟏𝟓
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
/ ‫مثةةةةةةال‬‫بةةةةةةالمنحنٌٌن‬ ‫المحةةةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةةةة‬ ‫مسةةةةةةاحة‬ ‫جةةةةةةد‬( ) 𝟐 𝟐
𝟏‫و‬( ) 𝟐
‫الفترة‬ ‫وعلى‬0𝟎
𝟐
1
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐 𝟐
𝟏 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏 𝟎 𝟐
𝟏 𝟏
𝟏
𝟐
[ 𝟎
𝟐
] 𝟏 (‫ٌهمل‬ )
|∫ ( 𝟐
𝟏)
𝟐
𝟎
| |∫ ( 𝟐 )
𝟐
𝟎
∫
𝟐
𝟎
| |∫ (
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 )
𝟐
𝟎
∫
𝟐
𝟎
|
|[
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐 ]
𝟎
𝟐
, - 𝟎
𝟐
| |[(
𝟏
𝟐
×
𝟐
𝟎) 𝟎] 0
𝟐
𝟎1| |
𝟒 𝟐
| |
𝟒
|
𝟒
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
320
/ ‫مثال‬‫المنحنٌٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) | 𝟏| 𝟐‫و‬( )
𝟏
𝟓
𝟕
/ ‫الحل‬( ) 2
𝟏 𝟐 𝟏
𝟏 𝟐 < 𝟏
( ) 2
𝟏 𝟏
𝟑 < 𝟏
‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟏
𝟏
𝟓
𝟕
𝟔
𝟓
𝟔 𝟓 𝟏
𝟑
𝟏
𝟓
𝟕
𝟒
𝟓
𝟒 𝟓 < 𝟏
|∫ (
𝟒
𝟓
𝟒)
𝟏
𝟓
| |∫ (
𝟔
𝟓
𝟔)
𝟓
𝟏
| |*
𝟒 𝟐
𝟏𝟎
𝟒 +
𝟓
𝟏
| |*
𝟔 𝟐
𝟏𝟎
𝟔 +
𝟏
𝟓
|
|(
𝟒
𝟏𝟎
𝟒) (𝟏𝟎 𝟐𝟎)| |( 𝟏𝟓 𝟑𝟎) (
𝟔
𝟏𝟎
𝟔)| |
𝟒𝟒
𝟏𝟎
𝟏𝟎| | 𝟏𝟓
𝟓𝟒
𝟏𝟎
|
|
𝟒𝟒 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟓𝟒
𝟏𝟎
|
𝟐𝟒𝟎
𝟏𝟎
𝟐𝟒 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
/ ‫مثال‬‫بالمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) 𝟐 ( )
𝟏
𝟐
𝟐‫الفترة‬ ‫وعلى‬,𝟎 𝟏-
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟎
(‫بالدستور‬)
⇒
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒
𝟖
𝟐
𝟏
𝟐
𝟑𝟑
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
√𝟑𝟑
𝟐
𝟐
𝟏 √𝟑𝟑
𝟒
𝟏 √ 𝟑𝟑
𝟒
𝟎 𝟏
‫الدالة‬ ‫نختبر‬(0) 0 < (0) 2‫الدالة‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬( )‫األكبر‬ ‫الدالة‬ ً‫ه‬
|∫ (
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
)
𝟏
𝟎
| |*
𝟐
𝟒
𝟐
𝟑
𝟑
+
𝟎
𝟏
| |(
𝟏
𝟒
𝟐
𝟏
𝟑
) (𝟎)|
𝟑 𝟐𝟒 𝟒
𝟏𝟐
𝟐𝟑
𝟏𝟐
.‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
321
‫المســــــافة‬
‫ةةتكن‬‫ة‬‫ل‬( )‫ةةرة‬‫ة‬‫الفت‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الممطوع‬ ‫ةةافة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةا‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةتوي‬‫ة‬‫مس‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫وف‬ ‫ةةتمٌم‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةط‬‫ة‬‫خ‬ ‫ةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ةةرن‬‫ة‬‫ٌتح‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫جس‬ ‫ةةرعة‬‫ة‬‫س‬
‫الزمنٌة‬, 𝟏 𝟐-ً‫ه‬:∫ | ( )|𝟐
𝟏
‫تمثل‬ ‫حٌث‬( )‫متجهة‬ ‫غٌر‬ ‫كمٌة‬ ً‫وه‬ ‫المسافة‬ ‫ممدار‬
‫أم‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ــــــــــ‬‫ةةةةةة‬‫ة‬‫األزاح‬ ‫ا‬( )‫والس‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــــــ‬‫رعة‬( )‫ةةةةةل‬‫ة‬ٌ‫والتعج‬( )ٌ‫كم‬ ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫فه‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ــــ‬‫أزاح‬ ‫وأن‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫متجه‬ ‫ات‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــــــ‬‫ة‬
ً‫ه‬ ‫الجسم‬∫ ( )𝟐
𝟏
‫الجسم‬ ‫سرعة‬ ‫و‬∫ ( )
: ‫مالحظات‬
Ⓘ‫ال‬ ‫النات‬ ‫ألن‬ ‫مطلك‬ ‫بدون‬ ‫وٌكون‬ ‫للسرعة‬ ‫محدد‬ ‫تكامل‬ ‫األزاحة‬‫صفر‬ ‫أو‬ ‫سالب‬ ‫أو‬ ‫موجب‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ ‫ٌهم‬
②‫ال‬ ً‫لك‬ ‫هو‬ ‫المسافة‬ ‫لانون‬ ً‫ف‬ ‫المطلك‬ ‫وجود‬‫سالب‬ ‫النات‬ ‫ٌكون‬
③‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫طلب‬ ‫أذا‬‫مثال‬‫حساب‬ ً‫ٌعن‬ ‫فهذا‬ ‫الثامنة‬ ‫الثانٌة‬ ‫خالل‬ ‫األزاحة‬ ‫جد‬∫ ‫الدالة‬
④‫حساب‬ ً‫ٌعن‬ ‫فهذا‬ ‫األولى‬ ‫الخمس‬ ً‫الثوان‬ ‫خالل‬ ‫األزاحة‬ ‫جد‬ ‫مثال‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫طلب‬ ‫أذا‬∫ ‫الدالة‬
⑤‫فأن‬ ‫الجسم‬ ‫تعجٌل‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ً‫أعط‬ ‫أذا‬‫السرعة‬ ( ) ∫ ‫التعجٌل‬‫محدد‬ ‫غٌر‬ ‫تكامل‬ ‫وهو‬
⑥‫ةةة‬‫ة‬‫حال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫وف‬ ‫ةةد‬‫ة‬‫وج‬ ‫أن‬ ‫ةةل‬‫ة‬‫التكام‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫تجزئ‬ ‫ةةدوث‬‫ة‬‫ح‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ٌعن‬ ‫ةةذا‬‫ة‬‫وه‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫الجس‬ ‫ةةاه‬‫ة‬‫أتج‬ ‫ةةر‬‫ة‬ٌ‫ٌتغ‬ ‫ةةافة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةاد‬‫ة‬‫أٌج‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫حال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬
. ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫التكامل‬ ً‫ف‬ ‫التجزئة‬ ‫تهمل‬ ‫لذا‬ ‫ثابت‬ ‫الجسم‬ ‫أتجاه‬ ‫ٌكون‬ ‫األزاحة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
322
‫مثال‬(1)/‫بسرعة‬ ‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬( ) 𝟐 𝟒 ⁄‫فجــــــــــــــد‬:
ⓐ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬,𝟏 𝟑 -ⓑ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫األزاحة‬,𝟏 𝟑 -
ⓒ‫الخ‬ ‫الثانٌة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬‫امسة‬ⓓً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫بعده‬(4)‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬
‫الح‬‫ل‬/2 4 0 2 4 𝟐 ,1 3 -
|∫ (𝟐 𝟒)
𝟐
𝟏
| |∫ (𝟐 𝟒)
𝟑
𝟐
| |, 𝟐
𝟒
𝟐
-
𝟏
| |, 𝟐
𝟒
𝟑
-
𝟐
|
|(𝟒 𝟖) (𝟏 𝟒)| |(𝟗 𝟏𝟐) (𝟒 𝟖)| | 𝟒 𝟑| | 𝟑 𝟒| 𝟏 𝟏 𝟐
∫ (𝟐 𝟒)
𝟑
𝟏
, 𝟐
𝟒
𝟑
-
𝟏
(𝟗 𝟏𝟐) (𝟏 𝟒) 𝟑 𝟑 𝟎
|∫ (𝟐 𝟒)
𝟓
𝟒
| |, 𝟐
𝟒
𝟓
-
𝟒
| |,(𝟐𝟓 𝟐𝟎) (𝟏𝟔 𝟏𝟔)-| 𝟓
∫ (𝟐 𝟒)
𝟒
𝟎
|, 𝟐
𝟒
𝟒
-
𝟎
| ,(𝟏𝟔 𝟏𝟔) (𝟎)- 𝟎
‫مثةةةةال‬(2)/‫بتعجٌةةةةل‬ ‫مسةةةةتمٌم‬ ‫خةةةةط‬ ‫ةةةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ٌتحةةةةرن‬ ‫جسةةةةم‬(𝟏𝟖 𝟐⁄ )‫ةةةةبحت‬‫ة‬‫أص‬ ‫لةةةةد‬ ‫سةةةةرعته‬ ‫كانةةةةت‬ ‫ةةةةأذا‬‫ة‬‫ف‬
(𝟖𝟐 )‫مرور‬ ‫بعد‬(4)ً‫ثوان‬‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬‫فجد‬:
ⓐ‫خالل‬ ‫المسافة‬‫الثانٌة‬‫الثالثة‬ⓑ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعده‬(3)ً‫ثوان‬
/ ‫الحل‬
∫ ( ) ∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖
𝟖𝟐 𝟏𝟖( 𝟒) 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎
𝟏𝟖 𝟏𝟎
|∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎)
𝟑
𝟐
| |, 𝟗 𝟐
𝟏𝟎
𝟑
-
𝟐
| |(𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟑𝟔 𝟐𝟎)| 𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟔 𝟓𝟓
∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎)
𝟑
𝟎
, 𝟗 𝟐
𝟏𝟎
𝟑
-
𝟎
(𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟎) 𝟏𝟏𝟏
ⓒ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫السرعة‬ ‫جد‬ ‫أعاله‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬(10)ً‫ثوان‬
( ) 𝟏𝟖 𝟏𝟎 (𝟏𝟎) 𝟏𝟖(𝟏𝟎) 𝟏𝟎 𝟏𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟗𝟎
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
323
(𝟒 𝟔)‫تمارين‬
‫س‬1/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟒
‫والمستمٌمٌن‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬𝟏 𝟏
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟒
𝟎 ( 𝟑
𝟏) 𝟎 𝟎 , 𝟏 𝟏- 𝟏 , 𝟏 𝟏-
|∫ ( 𝟒 )
𝟎
𝟏
| |∫ ( 𝟒 )
𝟏
𝟎
| |*
𝟓
𝟓 𝟐
𝟐
+
𝟏
𝟎
| |*
𝟓
𝟓 𝟐
𝟐
+
𝟎
𝟏
|
|(𝟎) (
𝟏
𝟓
𝟏
𝟐
)| |(
𝟏
𝟓
𝟏
𝟐
) (𝟎)| | (
𝟐 𝟓
𝟏𝟎
)| |(
𝟐 𝟓
𝟏𝟎
)|
𝟕
𝟏𝟎
𝟑
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟏 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
‫س‬2/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫الدالة‬( ) 𝟒
𝟑 𝟐
𝟒‫الفترة‬ ‫وعلى‬, 𝟐 𝟑-‫السٌنات‬ ‫ومحور‬
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟒
𝟑 𝟐
𝟒 𝟎 ( 𝟐
𝟒)( 𝟐
𝟏) 𝟎 𝟐 , 𝟐 𝟑- 𝟐
𝟏 ‫ٌهمل‬
|∫ ( 𝟒
𝟑 𝟐
𝟒)
𝟐
𝟐
| |∫ ( 𝟒
𝟑 𝟐
𝟒)
𝟑
𝟐
| |*
𝟓
𝟓
𝟑
𝟒 +
𝟐
𝟐
| |*
𝟓
𝟓
𝟑
𝟒 +
𝟐
𝟑
|
|(
𝟑𝟐
𝟓
𝟖 𝟖) (
𝟑𝟐
𝟓
𝟖 𝟖)| |(
𝟐𝟒𝟑
𝟓
𝟐𝟕 𝟏𝟐) (
𝟑𝟐
𝟓
𝟖 𝟖)|
|
𝟔𝟒
𝟓
𝟑𝟐| |
𝟐𝟏𝟏
𝟓
𝟐𝟑| |
𝟔𝟒 𝟏𝟔𝟎
𝟓
| |
𝟐𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟓
𝟓
|
| 𝟗𝟔| 𝟗𝟔
𝟓
𝟏𝟗𝟐
𝟓
.‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
‫س‬3/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫الدالة‬( ) 𝟒 𝟐
‫السٌنات‬ ‫ومحور‬
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟒 𝟐
𝟎 𝟐( 𝟐
𝟏) 𝟎 𝟐( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏
|∫ ( 𝟒 𝟐)
𝟎
𝟏
| |∫ ( 𝟒 𝟐)
𝟏
𝟎
| |*
𝟓
𝟓
𝟑
𝟑
+
𝟏
𝟎
| |*
𝟓
𝟓
𝟑
𝟑
+
𝟎
𝟏
|
|(𝟎) (
𝟏
𝟓
𝟏
𝟑
)| |(
𝟏
𝟓
𝟏
𝟑
) (𝟎)| |
𝟑 𝟓
𝟏𝟓
| |
𝟑 𝟓
𝟏𝟓
| |
𝟐
𝟏𝟓
| |
𝟐
𝟏𝟓
|
𝟒
𝟏𝟓
.‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
‫وزاري‬2012/‫د‬2
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
324
‫س‬4/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟑‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬0𝟎
𝟐
1
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟑 𝟎 𝟑 𝟎 𝟐 𝟎 0𝟎
𝟐
1
𝟑
0𝟎
𝟐
1
𝟐
𝟑
0𝟎
𝟐
1
|∫ 𝟑
𝟑
𝟎
| |∫ 𝟑
𝟐
𝟑
| |*
𝟑
𝟑
+
𝟎
𝟑
| |*
𝟑
𝟑
+
𝟑
𝟐
|
|[
𝟑 . 𝟑/
𝟑
] *
𝟑(𝟎)
𝟑
+| |[
𝟑 . 𝟐/
𝟑
] [
𝟑 . 𝟑/
𝟑
]|
|*
( )
𝟑
+ *
(𝟎)
𝟑
+| |[
(
𝟑
𝟐 )
𝟑
] *
( )
𝟑
+|
|*
( 𝟏)
𝟑
+ *
𝟏
𝟑
+| |, 𝟎- *
( 𝟏)
𝟑
+| |
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
| |
𝟏
𝟑
|
𝟐
𝟑
𝟏
𝟑
𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
‫س‬5/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟐 𝟐
𝟏‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬0𝟎
𝟐
1
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐 𝟐
𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐
𝟐
𝟑
𝟐 𝟒
0 𝟎
𝟐
1
𝟑
𝟒
0 𝟎
𝟐
1
|∫ 𝟐
𝟒
𝟎
| |∫ 𝟐
𝟐
𝟒
| |*
𝟐
𝟐
+
𝟎
𝟒
| |*
𝟐
𝟐
+
𝟒
𝟐
|
|
𝟐 .
𝟒
/
𝟐
𝟐(𝟎)
𝟐
| |
𝟐 .
𝟐
/
𝟐
𝟐 .
𝟒
/
𝟐
| |
.
𝟐
/
𝟐
(𝟎)
𝟐
| |
( )
𝟐
.
𝟐
/
𝟐
|
|
𝟏
𝟐
𝟎 | | 𝟎
𝟏
𝟐
| |
𝟏
𝟐
| |
𝟏
𝟐
|
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
325
‫س‬6/‫جد‬‫ال‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬ ‫مساحة‬√ 𝟏
𝟏
𝟐
‫الفترة‬ ‫وعلى‬[2,5]
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
√ 𝟏
𝟏
𝟐
.(‫بالتربٌع‬ )/
⇒ 𝟏
𝟏
𝟒
𝟐
(× 𝟒)
⇒ 𝟐
𝟒 𝟒 𝟎 ( 𝟐) 𝟐
𝟎 𝟐 ,𝟐 𝟓-
|∫ [
𝟏
𝟐
( 𝟏)
𝟏
𝟐]
𝟓
𝟐
| |[
𝟐
𝟒
( 𝟏)
𝟑
𝟐
.
𝟑
𝟐/
]
𝟐
𝟓
| |[
𝟐
𝟒
𝟐( 𝟏)
𝟑
𝟐
𝟑
]
𝟐
𝟓
|
|
𝟐𝟓
𝟒
𝟐(𝟒)
𝟑
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐(𝟏)
𝟑
𝟐
𝟑
| |
𝟐𝟓
𝟒
𝟐(𝟐 𝟐
)
𝟑
𝟐
𝟑
(𝟏
𝟐
𝟑
)|
|
𝟐𝟓
𝟒
𝟏𝟔
𝟑
𝟏
𝟑
| |
𝟕𝟓 𝟔𝟒 𝟒
𝟏𝟐
| |
𝟕
𝟏𝟐
|
𝟕
𝟏𝟐
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫س‬7/‫المساحة‬ ‫جد‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬𝟒
𝟏𝟐𝟐
/ ‫الحل‬‫صفحة‬ ‫محلول‬( 𝟒𝟖)
‫وزاري‬2014/‫د‬1
‫س‬8/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـــــ‬‫احة‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬( )( )‫حٌث‬,𝟎 𝟐 -
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟎 ( 𝟏) 𝟎
𝟎 𝟎 ,𝟎 𝟐 - ,𝟎 𝟐 - 𝟐 ,𝟎 𝟐 -
𝟏 𝟎 ,𝟎 𝟐 - 𝟐 ,𝟎 𝟐 -
|∫ ( )
𝟎
| |∫ ( )
𝟐
|
|*
𝟐
𝟐
+
𝟎
| |*
𝟐
𝟐
+
𝟐
|
|*
𝟐( )
𝟐
( )+ *
𝟐(𝟎)
𝟐
(𝟎)+| |*
𝟐(𝟐 )
𝟐
(𝟐 )+ *
𝟐( )
𝟐
( )+|
|(𝟎 𝟏) (𝟎 𝟏)| |(𝟎 𝟏) (𝟎 𝟏)| | 𝟏 𝟏| |𝟏 𝟏| | 𝟐| 𝟐 𝟒 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
326
‫وزاري‬2013/‫د‬2
‫س‬9/‫جد‬‫المساحة‬‫با‬ ‫المحددة‬‫لدالتٌن‬( ) 𝟐 𝟏( )‫حٌث‬0𝟎
𝟑
𝟐
1
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
𝟑
𝟐
[𝟎
𝟑
𝟐
]
|∫ ( 𝟏)
𝟑
𝟐
𝟎
| |, - 𝟎
𝟑
𝟐
|
|(
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
) ( 𝟎 𝟎)| |(𝟎
𝟑
𝟐
) ( 𝟏)| |
𝟑
𝟐
𝟏|
𝟑
𝟐
𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
‫س‬10/‫جد‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬‫الدالة‬𝟑
𝟒 𝟐
𝟑‫السٌنات‬ ‫ومحور‬
/ ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟑
𝟒 𝟐
𝟑 𝟎 ( 𝟐
𝟒 𝟑) 𝟎
( 𝟏)( 𝟑) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟑
|∫ ( 𝟑
𝟒 𝟐
𝟑 )
𝟏
𝟑
| |∫ ( 𝟑
𝟒 𝟐
𝟑 )
𝟎
𝟏
|
|*
𝟒
𝟒
𝟒 𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
+
𝟑
𝟏
| |*
𝟒
𝟒
𝟒 𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
+
𝟏
𝟎
|
|(
𝟏
𝟒
𝟒
𝟑
𝟑
𝟐
) (
𝟖𝟏
𝟒
𝟑𝟔
𝟐𝟕
𝟐
)| |( 𝟎) (
𝟏
𝟒
𝟒
𝟑
𝟑
𝟐
)|
|
𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟒𝟑𝟐 𝟏𝟔𝟐
𝟏𝟐
| |
𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖
𝟏𝟐
|
𝟑𝟐
𝟏𝟐
|
𝟓
𝟏𝟐
|
𝟑𝟐 𝟓
𝟏𝟐
𝟑𝟕
𝟏𝟐
𝟑
𝟏
𝟏𝟐
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
327
‫س‬11/‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬‫بسرعة‬( ) (𝟑 𝟐
𝟔 𝟑)‫أحسب‬
ⓐ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬,2 4-ⓑ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫األزاحة‬,0 5-
‫الحل‬/‫وزاري‬2015/‫د‬1
𝟑 𝟐
𝟔 𝟑 0 ( 3)
𝟐
𝟐 𝟏 0 ( 1)( 1) 0 𝟏 𝟎 1 ,2 4-
|∫ (𝟑 𝟐
𝟔 𝟑)
𝟒
𝟐
| |, 𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟒
-
𝟐
| |(𝟔𝟒 𝟒𝟖 𝟏𝟐) (𝟖 𝟏𝟐 𝟔)| |𝟐𝟖 𝟐| 𝟐𝟔
∫ (𝟑 𝟐
𝟔 𝟑)
𝟓
𝟎
|, 𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟓
-
𝟎
| ,(𝟏𝟐𝟓 𝟕𝟓 𝟏𝟓) (𝟎)- 𝟔𝟓
‫وزاري‬2011/‫د‬2
‫س‬12/‫جس‬‫ةةةةـ‬‫ة‬‫ــــ‬‫ةةةةدره‬‫ة‬‫ل‬ ‫ةةةةل‬‫ة‬ٌ‫بتعج‬ ‫ةةةةتمٌم‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةةط‬‫ة‬‫خ‬ ‫ةةةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ةةةةرن‬‫ة‬‫ٌتح‬ ‫م‬(𝟒 𝟏𝟐) 𝟐
‫ةةةةد‬‫ة‬‫بع‬ ‫ةةةةرعته‬‫ة‬‫س‬ ‫ةةةةت‬‫ة‬‫وكان‬
‫مرور‬(4)‫تساوي‬ ً‫ثوان‬𝟗𝟎‫أحسب‬
ⓐ‫عندما‬ ‫السرعة‬𝟐
ⓑ‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫المسافة‬,1 2-
ⓒ‫بعد‬ ‫االزاحة‬(10)‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬
‫الحل‬/
( ) ∫ ( ) ∫(𝟒 𝟏𝟐) 𝟐 𝟐
𝟏𝟐
𝟗𝟎 𝟐(𝟏𝟔) 𝟏𝟐(𝟒) 𝟗𝟎 𝟑𝟐 𝟒𝟖 𝟗𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟎
( ) 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟏𝟎 (𝟐) 𝟐(𝟒) 𝟏𝟐(𝟐) 𝟏𝟎 𝟖 𝟐𝟒 𝟏𝟎 𝟒𝟐
∫ (𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟏𝟎)
𝟐
𝟏
*
𝟐 𝟑
𝟑
𝟔 𝟐
𝟏𝟎 +
𝟏
𝟐
|(
𝟏𝟔
𝟑
𝟐𝟒 𝟐𝟎) (
𝟐
𝟑
𝟔 𝟏𝟎)|
|
𝟏𝟔
𝟑
𝟒𝟒
𝟐
𝟑
𝟏𝟔| |
𝟏𝟒
𝟑
𝟐𝟖|
𝟏𝟒 𝟖𝟒
𝟑
𝟗𝟖
𝟑
∫ ( 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟏𝟎)
𝟏𝟎
𝟎
*
𝟐 𝟑
𝟑
𝟔 𝟐
𝟏𝟎 +
𝟎
𝟏𝟎
|(
𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟑
𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎) (𝟎)|
𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎
𝟑
𝟒𝟏𝟎𝟎
𝟑
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
328
‫س‬13/‫وبعد‬ ‫السكون‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫تتحرن‬‫ثانٌة‬‫سةرعتها‬ ‫اصةبحت‬ ‫الحركةة‬ ‫بدط‬ ‫من‬(100 6 2)‫أو‬‫جةد‬
‫ال‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬‫نمطة‬‫موضع‬ ‫الى‬‫ها‬‫اال‬‫ول‬‫بدا‬ ‫الذي‬‫ت‬‫أحس‬ ‫ثم‬ ‫منه‬‫ب‬‫عندها‬ ‫التعجٌل‬.‫وزاري‬2014/‫د‬2
/ ‫الحل‬
( ) (100 6 2) ‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬
∫.100 6 2
/ 𝟓𝟎
2
𝟐
𝟑
‫السكون‬ ‫من‬ ‫تتحرك‬ ‫النقطة‬
∴𝟎 𝟎
𝟎 𝟓𝟎(0)2 𝟐( 𝟎) 𝟑
𝟎
𝟓𝟎
2
𝟐
𝟑
‫األزاحة‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫األول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النقطة‬ ‫عودة‬ ‫عند‬( )‫صفر‬ ‫تساوي‬: ‫ٌكون‬ ‫لذا‬
𝟓𝟎
2
𝟐 𝟑
𝟎
2
(𝟓𝟎 𝟐 ) 𝟎
2
𝟎 𝟎 ‫ٌهمل‬
50 2 𝟎 𝟐 𝟓𝟎 𝟐𝟓 ‫األول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النقطة‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬
( ) ̅( ) ‫التعجٌل‬
( ) 100 12
( 𝟐𝟓) 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐( 𝟐𝟓) 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 ⁄ 𝟐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
329
‫الدورانٌـ‬ ‫الحجــوم‬:‫ـة‬
1.‫ةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةكل‬‫ة‬‫الش‬ ‫ةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫ةاب‬‫ة‬‫لحس‬( )‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةتمرة‬‫ة‬‫المس‬‫الى‬
‫التالٌة‬ ‫العاللة‬ ‫نطبك‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬∫ 𝟐
2.‫ةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةكل‬‫ة‬‫الش‬ ‫ةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫ةاب‬‫ة‬‫لحس‬( )‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةتمرة‬‫ة‬‫المس‬‫الى‬
‫التالٌة‬ ‫العاللة‬ ‫نطبك‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬∫ 𝟐
‫وزاري‬2013/‫د‬3
‫ةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(1)/ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬0 4√‫ةةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬,‫دارت‬
‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬,. ‫حجمها‬ ‫جد‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ (√ )
𝟐
𝟒
𝟎
∫
𝟒
𝟎
*
2
2
+ [(
16
2
) (0)] 8 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2014/‫د‬3
‫مثال‬(2)/‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ً‫المنحن‬𝟏 𝟒
𝟏
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫دارت‬.‫حجمها‬ ‫جد‬.
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ (
𝟏
)
𝟐𝟒
𝟏
∫ (
𝟏
)
𝟒
𝟏
,
𝟒
-
𝟏
, 𝟒 𝟏- 𝟐 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2011/‫د‬2
‫مثةةةال‬(3)/‫ةةةه‬‫ة‬‫معادلت‬ ‫ةةةذي‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫بةةةالمطع‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫النةةةات‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2
8
‫والمستمٌمٌن‬2 0ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ 8
𝟐
𝟎
,4 2
𝟐
-
𝟎
,16 0- 16 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫مثةةةال‬(4)/‫معادلتةةةه‬ ‫الةةةذي‬ ‫المكةةةاف‬ ‫بةةةالمطع‬ ‫المحةةةددة‬ ‫المسةةةاحة‬ ‫دوران‬ ‫مةةةن‬ ‫النةةةات‬ ‫الحجةةةم‬ ‫أوجةةةد‬2 2
‫والمستمٌمٌن‬0 5ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ (𝟐 𝟐
)
𝟐
𝟓
𝟎
∫ 𝟒 𝟒
𝟓
𝟎
*
𝟒 𝟓
𝟓
+
𝟎
𝟓
*
𝟒(𝟓) 𝟓
𝟓
(𝟎)+ 𝟐𝟓𝟎𝟎 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
330
‫ةةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(5)/‫الم‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬‫ةةةةةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫ةةةةةةةالمطع‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫س‬4 2
‫والمستمٌمٌن‬0 16‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ .
𝟒
/
𝟏𝟔
𝟎
*
𝟐
𝟖
+
𝟎
𝟏𝟔
*
(𝟏𝟔) 𝟐
𝟖
(𝟎)+ 𝟑𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(6)/‫ةةةادات‬‫ة‬‫الص‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫مح‬ ‫ةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الناش‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫أوج‬‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ومنحن‬
𝟑
,1 3. ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ (
𝟗
𝟐
)
𝟑
𝟏
[
𝟏𝟖
]
𝟏
𝟑
𝟏𝟖 [
𝟏
]
𝟏
𝟑
𝟏𝟖 [
𝟏
𝟑
𝟏] 𝟏𝟖 [
𝟐
𝟑
]
𝟏𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2015/‫د‬3
‫الصةادات‬ ‫محةور‬ ‫بةٌن‬ ‫المحصةورة‬ ‫المنطمةة‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫الناش‬ ‫الحجم‬ ‫أوجد‬‫الدالةة‬ ً‫ومنحنة‬
𝟏
‫والمسةتمٌمٌن‬
1
2
. ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬
‫الحل‬/
1 1
1
2
2
∫ 𝟐
∫ (
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝟏
[
𝟏
]
𝟏
𝟐
[
𝟏
𝟐
𝟏]
𝟏
𝟐
(‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬3201/‫د‬2
‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫بةةةٌن‬ ‫ةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫أوجةةةد‬
𝟏
‫ةةةتمٌمٌن‬‫ة‬‫والمس‬2 1‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫الصادات‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ (
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝟏
[
𝟏
]
𝟏
𝟐
[
𝟏
𝟐
𝟏]
𝟏
𝟐
(‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
331
(𝟒 𝟕)‫تمارين‬
‫س‬(1)/:‫ةةةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫ةةةةةالمطع‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ً‫ةةةةةدوران‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2
‫والمستمٌمٌن‬1 2ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ ( 2)2
𝟐
𝟏
∫
𝟐
𝟏
*
5
+
2
[
32
5
1
5
]
31
5
(‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2013/‫د‬1
‫س‬2/‫ةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2
1
‫والمستمٌم‬4‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
0 1
2
1 2
1
∫ 𝟐
∫ ( 𝟏)
𝟒
𝟏
*
𝟐
𝟐
+
𝟏
𝟒
[(𝟖 𝟒) (
𝟏
𝟐
𝟏)] [𝟒
𝟏
𝟐
] 𝟒
𝟏
𝟐
(‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫س‬3/ً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةب‬‫ة‬‫أحس‬2
1
‫والمستمٌم‬0‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
2
1 1 2
𝟎 2
1 𝟏 (‫التكامل‬ ‫)حدود‬
∫ 𝟐
∫ (1 2)
𝟐
𝟏
𝟏
∫ (𝟏 𝟐 2 4)
𝟏
𝟏
*
𝟐 𝟑
𝟑
𝟓
𝟓
+
𝟏
𝟏
[(𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟓
) ( 𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟓
)] [𝟐
𝟒
𝟑
𝟐
𝟓
]
𝟑𝟎 𝟐𝟎 𝟔
𝟏𝟓
𝟏𝟔
𝟏𝟓
(‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2014/‫د‬2
‫س‬4/ً‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةةب‬‫ة‬‫أحس‬2
‫والمستمٌم‬‫ان‬0 2ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫ا‬‫لحل‬/
∫ 𝟐
∫
𝟐
𝟎
*
4
+
2
[
16
4
0] 4 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
332
‫الرابع‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬
‫س‬5/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬‫الفروع‬( )‫الت‬ ‫بموضوع‬ ‫مرتبطة‬‫فاض‬‫ل‬
( )
𝟐
|𝟐 |
𝟐 𝟏
𝟐
( 𝟐) | 𝟐 |
𝟐
( 𝟐 )
𝟐
𝟐
𝟐
| 𝟐 |
( ) ( )
𝟐( )( ) 𝟐( )
( ) 𝟐 | |
𝟐
𝟏
| | (𝟐 ) 𝟐 | |
( ) | 𝟐
|
𝟏
𝟐
𝟐( ) 𝟐 𝟐 𝟐
( )
( )( ) ( )( )
( ) 𝟐
( 𝟐
𝟐 𝟎 𝟐 ) ( 𝟐
𝟐 𝟎 𝟐 )
( ) 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
( ) 𝟐
𝟒
( ) 𝟐
( ) ( )
( ) ( )
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
333
‫س‬12/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫تكامالت‬
( ) ∫( 𝟒 𝟒 )
∫( 𝟐 𝟐 )( 𝟐 𝟐 ) ∫( 𝟐 )(𝟏)
𝟏
𝟐
∫( 𝟐 )(𝟐)
𝟏
𝟐
𝟐
( ) ∫( 𝟐 𝟏)( 𝟐
𝟐 𝟐)
∫( 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐)
∫ 𝟐
𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐
𝟐 𝟐 ∫
𝟏
𝟐
∫ 𝟐
𝟐 ( 𝟐) 𝟐 ∫ 𝟐 ( 𝟐)
𝟏
𝟐
∫( 𝟏 𝟒 ) 𝟐 ∫
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟒
𝟒 ) 𝟐
𝟏
𝟔
𝟑
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟖
𝟒 𝟐
𝟏
𝟔
𝟑
𝟐 𝟐
𝟓
𝟐
𝟏
𝟖
𝟒
( ) ∫
| |
∫
𝟏 ( ) 𝟐
𝟐
( ) ∫
𝟐 √
𝟑
√ 𝟐𝟑
∫ 𝟐
.
𝟐
𝟑
/
𝟏
𝟑 𝟐(𝟑) ∫ (
𝟏
𝟑
)
.
𝟐
𝟑
/
𝟏
𝟑 𝟔
𝟏
𝟑 𝟔 √
𝟑
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
334
( ) ∫ 𝟑
∫ 𝟐
∫( ) 𝟐
𝟑
𝟑
( ) ∫ 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓𝟑
∫ 𝟑(𝟑 𝟓 𝟐)
𝟑
∫ (𝟑 𝟓 𝟐)
𝟑
∫ (𝟑 𝟓 𝟐)
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏𝟎
∫( 𝟏𝟎) (𝟑 𝟓 𝟐)
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏𝟎
×
(𝟑 𝟓 𝟐)
𝟒
𝟑
𝟒
𝟑
𝟑
𝟒𝟎
(𝟑 𝟓 𝟐)
𝟒
𝟑
( ) ∫
𝟏
𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗
∫
𝟏
( 𝟕) 𝟐
∫( 𝟕) 𝟐
( 𝟕) 𝟏
𝟏
𝟏
𝟕
( ) ∫ 𝟐
𝟑 𝟑
𝟏
𝟑
∫(𝟑) 𝟐
𝟑 𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
335
‫الرابع‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬1⁄: ‫نات‬ ‫جد‬
(1) ∫( 3 2
)
3
(2) ∫
1
√1
∫(1 ) 2 [
(1 )2
1
2
] [2(1 )2] [2(22)2] [2(1)2] 4 2 2
(3) ∫ 6 3
∫(1 2 2
3 ) 3
∫ 3 2 ∫ 2
3 3
1
3
3
2
3
3
3
1
3
3
2
9
3
‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬2⁄‫نات‬ ‫جد‬:
∫( )( )
∫( 2 2 ) ∫ 2
1
2
∫(1 2 )
1
2
(
1
2
2 )
1
2
1
4
2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬1⁄‫نات‬ ‫جد‬:
∫ √ 2 15
∫ ( 2
15)2
1
2
∫ 2 ( 2
15)2
*2
( )
+ 0 ( 2
15) 1 0 (72) 1 0 (1) 1
2
114
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
336
‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬1⁄‫نات‬ ‫جد‬:
∫ 2 2
∫ 2
1
2
(1 2 )
1
2
∫ 2
1
2
∫ 2
2
1
2
1
2
∫(2) 2
1
2
1
2
∫(1 4 )
1
4
2
1
4
(
1
4
4 )
1
4
2
1
4
1
16
4
‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬2⁄: ‫نات‬ ‫جد‬
∫(1 3 )2
∫(1 2 3 2
3 ) ∫ 2 ∫ 3
1
2
∫(1 6 )
2
3
3
1
2
(
1
6
6 )
3
2
2
3
3
1
12
6
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1:‫جد‬ :
∫( 2 )2
∫( 2
2 2 2
2 )
1
2
∫(1 2 ) 2 ∫ (2 )
1
2
∫(1 4 )
1
2
(
1
2
2 ) 4
3
1
2
(
1
4
4 )
1
2
1
4
2
4
3
1
2
1
8
4
1
4
2
4
3
1
8
4
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
337
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1:‫كان‬ ‫إذا‬∫ ( 𝟑)
𝟗
𝟒𝟏
‫لٌمة‬ ‫ما‬‫؟‬
0
2
1 0
2
1 0
2
1
2 2
2
2 4
1
4
9
4
(× )
⇒ 2 2
1 9 2 2
1 9 0
2 2
8 0 2 2
8 0
( 2
4)( 2
2) 0
2
2 ‫ٌهمل‬
2
4 0 2
4 2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬2:‫كان‬ ‫إذا‬∫ (𝟐 𝟑) 𝟏𝟐‫وكان‬𝟐 𝟑‫لٌمة‬ ‫ما‬‫؟‬
/‫الحل‬
3 2 (1)
∫(2 3) 12 , 2
3 - 12
, 2
3 - , 2
3 - 12 2
3 2
3 12
2
3 (3 2 )2
3(3 2 ) 12
2
3 (9 12 4 2) 9 6 12 0
2
3 9 12 4 2
9 6 12 0 3 2
21 30 0
( )
⇒
2
7 10 0 ( 2)( 5) 0
2 0 2 3 2(2) 1
5 0 5 3 2(5) 7
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
338
‫وزاري‬ ‫ةةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2000‫/د‬2‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬ :( ) 𝟏 𝟐 𝟐
‫ةةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫وعلى‬ ‫السٌنات‬‫الفترة‬0𝟎
𝟐
1
:‫الحل‬
1 2 2
0 2 0 2
2 2
- 2
4
0𝟎
𝟐
1
3
4
0𝟎
𝟐
1
00 1 0
2
1 ‫التكامل‬ ‫فترات‬
||∫ 2 || ||∫ 2
2
|| |[
1
2
2 ] | |[
1
2
2 ]
2
|
|[
1
2 2
] [
1
2
0]| |[
1
2
] [
1
2 2
]|
|
1
2
(1)
1
2
(0)| |
1
2
(0)
1
2
(1)|
1
2
1
2
1 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬1:‫جد‬ :
∫ 2 2
∫, -2
∫ [
1
2
(2 )]
2
∫ (
1
2
2 )
2
∫
1
4
2
2
1
4
1
2
∫(1 4 )
1
8
(
1
4
4 )
1
8
1
32
4
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬2:‫جد‬ :
∫
9 12 4 2
∫
(3 2 )2
∫(3 2 ) 2
1
2
∫(3 2 ) 2( 2)
*
1
2
(3 2 )
1
+ [
1
2(3 2 )
]
[
1
2(1)
] [
1
2(5)
]
1
2
1
10
5 1
10
4
10
2
5
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
339
‫وزاري‬ ‫ةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2001‫د‬ /1‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬ :𝟑
𝟗‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫الفترة‬, 𝟑 𝟑-.
‫ا‬/‫لحل‬9 0 ( 2
9) 0 0 2
9 0
2
9 3
∴‫التكامل‬ ‫فترات‬, 3 0- ,0 3-
|∫ ( 9 ) | |∫ ( 9 ) |
|0 2
1 | |0 2
1 | |,0- 0
2
1| |0
2
1 ,0-|
|
2
| |
2
|
2
40
2
‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬1::‫لٌمة‬ ‫جد‬
∫ 2 5 (2 5)
∫( 2
5 )2(2 5) [
( 2
5 )2
3
2
] [
2
3
( 2
5 )2]
[
2
3
(16 20)2] [
2
3
(0)2] [
2
3
(62)2]
2
3
(216)
432
3
144
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫/د‬1‫الدالتٌن‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟒
𝟒 𝟑 𝟐
.
/‫الحل‬4 3 2
3 2
4 3 2
4 0
( 2
4)( 2
1) 0
2
4 0 2
4 2 ( 2
1 0)‫ٌهمل‬
|∫ ( 3 2
4)
2
2
| |0 4 1
2
2
|
|[
32
5
8 8] [
32
5
8 8]| |
64
5
32| |
96
5
|
96
5
‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
340
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫د‬ /1‫الدالتٌن‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟐 𝟐
‫وعلى‬,𝟏 𝟑-.
:‫الحل‬2
2 2
2 0 ( 2) 0
0 ,0 3- 2 0 2 ,0 3-
|∫ ( 2
2 )
2
| |∫ ( 2
2 )2
| |0 2
1
2
| |0 2
1
2
|
|0 41 0 11| |,9 9- 0 41| | 4 1| | 4|
| 3| |
2
| | | | |
2
2 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2004‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :∫ 𝟐 𝟗
𝟐
𝟒
‫لٌمة‬ ‫فجد‬h.
/‫الحل‬
∫
( 2 9)2
2 ∫ ( 2
9) 2 2
1
2
∫ 2 ( 2
9) 2 2
*2
( )
+ 2 0(16 9) 1 0( 2
9) 1 2
(52) ( 2
9) 2 ( 2
9) 5 2 ( 2
9) 3
‫بالتربٌع‬
⇒
2
9 9 2
0 0
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬1‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ (𝟓 𝟐 ) 𝟐
𝟐
𝟏
.
/‫الحل‬∫ (5 2 ) 2
2
∫ (5 2 ) 2 ( 2) 0
2
( 2 )
1
2
22
[
1
2(5 2 )
]
2
[
1
2(5 4)
] [
1
2(5 2)
]
1
2
1
6
3 1
6
2
6
1
3
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
341
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬2‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ (𝟑 𝟒) 𝟐
𝟐
𝟏
.
∫ (3 4) 2
∫ (3 4) 2
3 0
( )
1
2
22
0
( )
1
2
0
( )
1 0 ( )
1
2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :∫ ( ) 𝟓 ∫ ( ) 𝟑‫وكانت‬, -‫لٌمة‬ ‫جد‬
∫ ( )
/‫الحل‬
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) 5 ∫ ( ) 3
∫ ( ) 5 3 ∫ ( ) 2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬2‫جد‬ :∫ 𝟐
𝟐
∫(2 2
1)2
∫(4 4 2
1)
‫الدالة‬ ‫المشتقة‬∫ 4 ∫ 4 2
∫
4 ∫ ( ) 4 ∫ 2
( ) ∫
4 4
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1‫بسرعة‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬ :( ) 𝟑 𝟐
𝟏𝟐 𝟗‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t:‫إحسب‬
1-‫خالل‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬[ ‫الفترة‬0,2.]
2-‫التعجٌل‬ ‫فٌه‬ ‫ٌصبح‬ ‫الذي‬ ‫الزمن‬𝟏𝟖 𝟐
.
/‫الحل‬(1) 3 2
12 9 0 - 3
2
4 3 0 ( 3)( 1) 0
3 0 3 ,0 2-
1 0 1 ,0 2-
|∫(3 2
12 9) | |∫(3 2
12 9)
2
| |, 6 2
9 -
1
0
| |, 6 2
9 -2
1
|
|,1 6 9- ,0-| |,8 24 18- ,1 6 9-| |4| |2 4| 4 2 6
(2) ( ) ̅( ) 6 12
18 6 12 6 18 12 6 30 5
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
342
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ 𝟑 𝟐
𝟖
𝟑
/‫الحل‬
∫
2( 1)
∫
( 1)2
∫( 1) 2 [
( 1)2
1
2
]
[2( 1)2] [2(8 1)2] [2(3 1)2] [2(32)2] [2(22)2] 6 4 2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2:‫المنحنٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟐 𝟐
‫الفترة‬ ً‫ف‬0𝟎
𝟐
1.
/‫الحل‬
2 2
2
2 0 2
2
3
2
- 2
4
0𝟎
𝟐
1
3
4
0𝟎
𝟐
1
||∫ 2 || ||∫ 2
2
|| |[
1
2
2 ] | |[
1
2
2 ]
2
|
|0
2 2
1 0
2
01 0
2
1 0
2 2
1|
|
2
(1)
2
(0)| |
2
(0)
2
(1)|
2 2
1 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫جد‬ :‫ال‬‫المنحنٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫مساحة‬( ) ( ) √ 𝟐 𝟏[ ‫الفترة‬ ً‫ف‬1,5.]
/‫الحل‬
√2 1 √2 1 0 √2 1 ‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬
2 1 2 2
2 1 0 ( 1)2
0
1 0 1
|∫ [(2 1)2 ] | |∫(2 1)2 | |∫ |
|[
1
2
(2 1)2
3
2
] | |*
2
2
+ | |[
1
3
(2 1)2] | |*
2
2
+ |
|[
1
3
(9)2
1
3
(1)2] [
25
2
1
2
]| |[
1
3
(32)2
1
3
] [
24
2
]|
|9
1
3
24
2
| |
54 2 72
6
| |
20
6
|
10
3
‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
343
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ ( ) 𝟐𝟐
𝟎
.
/‫الحل‬
∫( 2
2 2 )
2
∫(2 1)
2
∫ ( 2 1) [
1
2
2 ]
22
[
1
2 2
] [
1
2
0 0] [
1
2
( 1)
2
] [
1
2
(1)]
1
2 2
1
2
.1
2
/ ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫مشتم‬ ً‫منحن‬ :‫ته‬‫األولى‬
𝟐
𝟐 𝟒 𝟒
( ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬1,2.ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ )
/‫الحل‬( )
2
‫الطرفٌن‬ ‫بتكامل‬
( ) ∫
2
( ) ∫
2
( 2)
( ) ∫ 2( 2) 2 ( ) 2
( 2)
( )
2
2
‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ً‫المنحن‬ (1 2) ‫ان‬ ‫وبما‬
2
2
2
2 2 0
( )
2
2
ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2010‫/د‬2‫ةةةةةةةةةةةةةةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫إذا‬ :∫ ( ) 𝟐 ∫ ( ) 𝟔
𝟐
𝟏
𝟑
𝟏
:‫ةةةةةةةةةةةةةةةةة‬‫ة‬‫لٌم‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬
∫ , ( ) ( ) 𝟒 -
𝟑
𝟏
/‫الحل‬
∫ , ( ) ( ) 4 - ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ 4
6 2 0
2
1 4 ,2 2-3
1
4 ,18 2- 4 16 20
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
344
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬2‫سرعته‬ ‫بحٌث‬ ‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬ :( ) 𝟑 𝟐
𝟒 𝟕‫المسافة‬ ‫جد‬
( ً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫الجسم‬ ‫ٌمطعها‬ ً‫الت‬4‫تماس‬ ‫المسافة‬ ‫أن‬ ً‫ا‬‫علم‬ ‫عندها‬ ‫التعجٌل‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ,‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬ ).‫باألمتار‬
/‫الحل‬
( ) 3 2
4 7 > 0
∫ (3 2
4 7) , 2 2
7 -
4
0
,64 32 28- ,0- 124
( ) ̅( ) 6 4 ‫لحظة‬ ‫أي‬ ً‫ف‬ ‫التعجٌل‬
(4) 6(4) 4 24 4 28 2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2012‫/د‬1‫المساحة‬ ‫جد‬ :‫المحددة‬ً‫بالمنحن‬( ) ( 𝟏) 𝟑
[ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬-1,3. ]
/‫الحل‬( 1) 0 1 0 1 , 1 3-
| ∫( 1) | |∫( 1) | *
( 1)
4
+ |
( 1)
4
|
|*0
( 2)
4
+| |*
(2)
4
0+| | 4| |4| 4 4 8 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫سةةةؤال‬2012‫/د‬1ً‫المنحنةةة‬ ‫بةةةٌن‬ ‫المحصةةةورة‬ ‫المسةةةاحة‬ ‫دوران‬ ‫مةةةن‬ ‫النةةةات‬ ‫الحجةةةم‬ ‫جةةةد‬ :𝟐
𝟏
‫والمستمٌمٌن‬𝟐 𝟏.‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
/‫الحل‬
∫ 2
∫( 1) *
2
2
+
2
[(
4
2
2) (
1
2
1)]
2
0(2 2) . 2
/1 .0 2
/ 2
‫مكعبة‬ ‫وحدة‬
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
345
‫وزاري‬ ‫ةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2012‫/د‬2:‫ةةةةةا‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬ً‫ةةةةةالمنحن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ت‬√5 2
‫والمستمٌمٌن‬2 1ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ . 5 2/
𝟐𝟐
𝟏
∫ 𝟓 𝟒
𝟐
𝟏
𝟓
𝟎
𝟓
(𝟓) 𝟓 (𝟎) 𝟑𝟏𝟐𝟓 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬ ‫سةةةؤال‬2012‫/د‬3:‫بتعجٌةةةل‬ ‫مسةةةتمٌم‬ ‫خةةةط‬ ‫علةةةى‬ ‫ٌتحةةةرن‬ ‫جسةةةم‬(𝟏𝟖 𝟐⁄ )‫لةةةد‬ ‫سةةةرعته‬ ‫كانةةةت‬ ‫فةةةأذا‬
‫أصبحت‬(𝟖𝟐 )‫مرور‬ ‫بعد‬(4)‫ساعات‬‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬‫فجد‬:
ⓐ‫الثانٌة‬ ‫الساعة‬ ‫خالل‬ ‫لطعها‬ ً‫الت‬ ‫المسافة‬
ⓑ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعده‬(3)‫ساعات‬
/ ‫الحل‬
∫ ( ) ∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖
𝟖𝟐 𝟏𝟖( 𝟒) 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎
𝟏𝟖 𝟏𝟎
|∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎)
𝟐
𝟏
| |, 𝟗 𝟐
𝟏𝟎
𝟐
-
𝟏
| |(𝟑𝟔 𝟐𝟎) (𝟗 𝟏𝟎)| 𝟓𝟔 𝟏𝟗 𝟑𝟕
∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎)
𝟑
𝟎
, 𝟗 𝟐
𝟏𝟎
𝟑
-
𝟎
(𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟎) 𝟏𝟏𝟏
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2013‫/د‬1:‫جد‬∫
𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒅𝒙
𝝅
𝟒
𝟎
‫الحل‬/
∫
𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒅𝒙
𝝅
𝟒
𝟎
∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 (𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝒙) 𝒅𝒙
𝝅
𝟒
𝟎
*
𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙
𝟐
+
𝟎
𝝅
𝟒 𝒕𝒂𝒏 𝟐
.
𝝅
𝟒
/
𝟐
𝒕𝒂𝒏 𝟐(𝟎)
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟐
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
346
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3:‫أن‬ ‫أثبت‬∫ | 𝟑 𝟔| 𝟑𝟎
𝟒
𝟐
‫الحل‬/
|𝟑 𝟔| {
𝟑 𝟔 𝟐
(𝟑 𝟔) < 𝟐
‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟒-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟐)‫ألن‬:
( ) (𝟐) 𝟑(𝟐) 𝟔 𝟎 ‫معرفة‬
( )
𝟐
( ) {
(𝟐 )
(𝟑 𝟔) 𝟎 𝟏
(𝟐 )
(𝟔 𝟑 ) 𝟎 𝟐
∵ 𝟏 = 𝟐
∴ 𝟐 ( ) 𝟎 ‫موجودة‬ 𝟐 ( ) (𝟐)
∫ |𝟑 𝟔|
𝟒
𝟐
∫ ( 𝟑 𝟔)
𝟐
𝟐
∫ (𝟑 𝟔)
𝟒
𝟐
[
𝟑
𝟐
𝟐
𝟔 ]
𝟐
𝟐
[
𝟑
𝟐
𝟐
𝟔 ]
𝟐
𝟒
,( 𝟔 𝟏𝟐) ( 𝟔 𝟏𝟐)- ,(𝟐𝟒 𝟐𝟒) (𝟔 𝟏𝟐)-
𝟔 𝟏𝟖 𝟔 𝟑𝟎
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3‫جد‬ :∫ √ 𝟐 𝟒
‫الحل‬/
∫ √ 𝟐 𝟒 ∫ √ 𝟐( 𝟐) ∫ 𝟐 𝟐
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬1‫جد‬ :∫
𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓
𝟐
𝟑
𝟏
‫الحل‬/
∫
𝟐 𝟑
𝟒 𝟐
𝟓
𝟐
𝟑
𝟏
∫ (𝟐 𝟒 𝟓 𝟐)
𝟑
𝟏
𝟐
* 4𝑥
𝟏
5
1
+ 𝟐
[ 4𝑥
5
𝑥
]
𝟗[ 12
𝟓
3
] 𝟏, 4 5- 3
𝟓
3
8 5
5
3
15 5
3
10
3
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
347
‫وزاري‬ ‫ةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2015‫/د‬2:‫ةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟑
𝟗‫ةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬, 𝟑 𝟑-
/ ‫الحل‬
‫الصفحة‬ ً‫ف‬ ‫محلول‬(𝟔𝟖)‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫د‬ /1:
‫وزاري‬ ‫ةةؤال‬‫ة‬‫س‬2015‫/د‬2:‫بتعجٌةةةل‬ ‫مسةةةتمٌم‬ ‫خةةةط‬ ‫علةةةى‬ ‫ٌتحةةةرن‬ ‫جسةةةم‬(𝟏𝟎 𝟐⁄ )‫وبعةةةد‬2‫بةةةدط‬ ‫مةةةن‬ ‫ثانٌةةةة‬
‫السرعة‬ ‫أصبحت‬ ‫الحركة‬(𝟐𝟒 ): ‫أحسب‬ ,
ⓐ‫المسافة‬. ‫الخامسة‬ ‫الثانٌة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬
ⓑً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫الجسم‬ ‫بعد‬4)) ً‫ثوان‬.
/ ‫الحل‬
∫ ( ) ∫ 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝟐𝟒 𝟏𝟎( 𝟐) 𝟐𝟒 𝟐𝟎 𝟒
𝟏𝟎 𝟒
|∫ (𝟏𝟎 𝟒)
𝟓
𝟒
| |, 𝟓 𝟐
𝟒
𝟓
-
𝟒
| |(𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟎) (𝟖𝟎 𝟏𝟔)| 𝟏𝟒𝟓 𝟗𝟔 𝟒𝟗
∫ (𝟏𝟎 𝟒)
𝟒
𝟎
, 𝟓 𝟐
𝟒
𝟒
-
𝟎
(𝟖𝟎 𝟏𝟔) (𝟎) 𝟗𝟔
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3:: ‫تكامل‬ ‫جد‬∫
√ 2
/ ‫الحل‬
∫
3 6
√ 2
3 ∫( 2)( 2) ( ‫األسس‬ ‫تجمع‬ ‫الضرب‬ ‫)عند‬
3 ∫( 2)
2
3
( 2)
5
3
9
5
( 2)
9
5
( 2)
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
348
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3:: ‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫جد‬(1) ∫(𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2
𝒅𝒙 (2) ∫
𝒙 𝟑
𝒙
𝒅𝒙
/ ‫الحل‬
(1) ∫(𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2
𝒅𝒙 ∫(𝑠𝑖𝑛2
2𝑥 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠2
2𝑥) 𝑑𝑥 ∫(1 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑑𝑥
∫(1 𝑠𝑖𝑛4𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑑𝑥 𝑥
1
4
𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑐
(2) ∫
𝒙 𝟑
1
𝒙 1
𝒅𝒙 ∫
(𝑥 1)(𝒙 𝟐
𝑥 1)
𝑥 1
𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐
𝑥 1) 𝒅𝒙
𝒙 𝟑
𝟑
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙 𝒄
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
349
‫التكامل‬ ‫حول‬ ‫إضافٌة‬ ‫أسئلة‬
‫س‬1:‫اآلتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫جد‬ /
(𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟓
𝐱𝐝𝐱(𝟐) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒
𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟕
𝐱 𝐝𝐱(𝟏) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝐱 𝐝𝐱
(𝟔) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑
𝐱 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝐝𝐱(𝟓) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝟒
𝐱 𝐝𝐱(𝟒) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝐱 𝒔𝒊𝒏 𝟒
𝐱𝐝𝐱
(𝟗) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱(𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱
(𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟑𝐱 𝐝𝐱
(𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑
.
𝒙
𝟑
/ 𝒅𝒙(𝟏𝟏) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑(𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔 𝟓
(𝟑𝒙) 𝒅𝒙(𝟏𝟎) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟑𝒙) 𝒅𝒙
(𝟏𝟓) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟓𝐱 𝐝𝐱(𝟏𝟒) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝐱 𝐝𝐱(𝟏𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒(𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔 𝟐
(𝟑𝒙) 𝒅𝒙
(𝟏𝟖) ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)
.
𝟑
𝟐
/
𝒅𝒙
(𝟏𝟕) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟓
𝒙 𝒅𝒙(𝟏𝟔) ∫ √𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙
(𝟐𝟏) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟑(𝟐𝒙) 𝒅𝒙(𝟐𝟎) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑(𝟑𝒙)𝒔𝒆𝒄 𝟒(𝟑𝒙) 𝒅𝒙(𝟏𝟗) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟒(𝟐𝒙) 𝒅𝒙
(𝟐𝟒) ∫
𝟑
𝟒(𝟐𝟑) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟑
𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟓
𝒙 𝒅𝒙(𝟐𝟐) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟔
𝒙 𝒅𝒙
(𝟐𝟕) ∫
𝟏
√ 𝟏
𝟒
𝟎
(𝟐𝟔) ∫
𝟏
√ (𝟏 √ )
(𝟐𝟓) ∫
𝟖 𝟑
𝟐
(𝟑𝟎) ∫ 𝟐 𝟐 𝟏
𝟑
𝟗
𝟎
(𝟐𝟗) ∫|𝟐 𝟒|
𝟑
𝟑
(𝟐𝟖) ∫ 𝟑 | |
𝟏
𝟐
(𝟑𝟑) ∫
𝟐
𝟐 𝟐
𝟔
𝟎
(𝟑𝟐) ∫
𝟐
𝟒
(𝟑𝟏) ∫ 𝟐
𝟒
𝟎
‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
350
‫س‬2/‫التكامل‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬∫ (𝟑 𝟐
𝟖 )
𝟒
𝟐
‫س‬3/‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(3,1).
‫س‬4/‫ةاوي‬‫ة‬‫تس‬ ‫ةة‬‫ة‬‫نمط‬ ‫أي‬ ‫ةد‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةة‬‫ة‬‫لدال‬ ‫ةة‬‫ة‬ٌ‫الثان‬ ‫ةتمة‬‫ة‬‫المش‬ ‫أن‬ ‫ةت‬‫ة‬‫علم‬ ‫أذا‬( )‫ةث‬‫ة‬ٌ‫ح‬‫ةذا‬‫ة‬‫ه‬ ‫ةة‬‫ة‬‫معادل‬ ‫ةد‬‫ة‬‫ج‬
‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫ٌمتلن‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ ً‫المنحن‬(0,1)‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫ونمطة‬(1,-1).
‫س‬5/‫ةد‬‫ة‬‫وبع‬ ‫ةكون‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةة‬‫ة‬‫نمط‬ ‫ةرن‬‫ة‬‫تتح‬t‫ةرعتها‬‫ة‬‫س‬ ‫ةبحت‬‫ة‬‫اص‬ ‫ةة‬‫ة‬‫الحرك‬ ‫ةدط‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةة‬‫ة‬ٌ‫ثان‬(𝟏𝟎𝟎 𝟐)‫ةد‬‫ة‬‫أوج‬
‫عندها‬ ‫التعجٌل‬ ‫أحسب‬ ‫ثم‬ ‫منه‬ ‫بدات‬ ‫الذي‬ ‫االول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النمطة‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬.
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
351
‫الخامس‬ ‫الفصل‬/‫المعادالت‬‫التفاضلٌة‬
‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬
‫أو‬ ‫واحدة‬ ‫مشتمة‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ً‫الت‬ ‫المعادلة‬ ً‫ه‬) ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫التابع‬ ‫للمتغٌر‬ ‫أي‬ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المجهولة‬ ‫للدالة‬ ‫أكثر‬
‫مالحظة‬:‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬‫االعتٌادٌة‬‫ولرٌكن‬ ‫مقرتمل‬ ‫متغٌرر‬ ‫اوول‬ ‫المتغٌرر‬ ( ‫متغٌرٌن‬ ‫بٌن‬ ‫عاللة‬ ً‫ه‬( )‫ودالرة‬
‫مثال‬ ‫ولتكن‬ ‫معروفة‬ ‫غٌر‬( )‫الدالة‬ ‫مشتمات‬ ‫وبعض‬( )‫للمتغٌر‬ ‫بالنقبة‬( )‫مثال‬
𝟓 𝟐 ̅ 𝟐
𝟐 ̅̿ 𝟓 (𝟒)
𝟎
‫تفاضلٌة‬ ‫معادالت‬ ‫كلها‬‫اعتٌادٌه‬‫المتغٌر‬ ‫الن‬( )‫المتغٌر‬ ‫على‬ ‫فمط‬ ‫ٌعتمد‬( )
: ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫درجة‬‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫مشتمة‬ ‫اعلى‬ ‫له‬ ‫مرفوعة‬ )‫(اس‬ ‫لوة‬ ‫أكبر‬ ً‫وه‬.
‫رتبة‬: ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫موجودة‬ ‫مشتمة‬ ‫أعلى‬ ‫رتبة‬ ً‫وه‬.
‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬𝟓 𝟎
‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫الثانٌة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬̿ 𝟐 𝟕 𝟑
‫الثانٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬(̅̿)
𝟐
̿ 𝟏
‫الخامقة‬ ‫والدرجة‬ ‫الرابعة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬( (𝟒)
)
𝟓
(̿) 𝟕 ̅ 𝟕
‫الثانٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬❺ ( ̿ ) 𝟑
( ̅̿ )
𝟐
𝟐 𝟑 𝟎
‫مالحظة‬:‫ٌجب‬ ‫ورتبتها‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫درجة‬ ‫اٌجاد‬ ‫عند‬‫مثال‬ ‫الكقرٌة‬ ‫االقس‬ ‫أو‬ ‫الجذور‬ ‫أزالة‬:
❻ (̅) 𝟑 √ 𝟓 (̅̿)
𝟐𝟑 (‫)بالتكعٌب‬
⇒ (̅) 𝟗
𝟓 (̅̿)
𝟐
‫الثا‬‫نٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثا‬‫لث‬‫ة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬‫االعتٌادٌة‬
‫ررة‬‫ر‬‫العالل‬ ‫ررذ‬‫ر‬‫ه‬ ‫أن‬ ‫رر‬‫ر‬ٌ‫بح‬ ‫ررلٌة‬‫ر‬‫التفاض‬ ‫ررة‬‫ر‬‫المعادل‬ ‫رررات‬‫ر‬ٌ‫متغ‬ ‫ررٌن‬‫ر‬‫ب‬ ‫ررة‬‫ر‬‫عالل‬ ‫ررة‬‫ر‬ٌ‫ا‬ ‫ررو‬‫ر‬‫ه‬ ‫ررة‬‫ر‬ٌ‫االعتٌاد‬ ‫ررلٌة‬‫ر‬‫التفاض‬ ‫ررة‬‫ر‬‫المعادل‬ ‫ررل‬‫ر‬‫ح‬
❶‫المشتمة‬ ‫من‬ ‫خالٌة‬❷‫معٌنة‬ ‫فترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬❸‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫تحمك‬.
‫وزاري‬2013/‫د‬3‫وزاري‬2014/‫د‬1
‫مثال‬(1)/‫ا‬ ‫بٌن‬‫العاللة‬ ‫ن‬𝟐
𝟑‫حال‬‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬̅ 𝟐
‫الحل‬/𝟐
𝟑 ̅ 𝟐 𝟑
̅ (𝟐 𝟑) 𝟐 𝟐
𝟑
𝟐 𝟐 ( 𝟐
𝟑 ) 𝟐 𝟐
𝟑
∴‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬ ‫المعطاة‬ ‫العاللة‬
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
352
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫والحل‬ ‫الخاص‬ ‫الحل‬
‫الع‬ ‫الحل‬ ‫أن‬‫ـــــــ‬‫الثوابرت‬ ‫مرن‬ ‫عردد‬ ‫علرى‬ ‫ٌشرتمل‬ ‫الرذي‬ ‫الحرل‬ ‫هرو‬ ‫تفاضلٌة‬ ‫معادلة‬ ‫وي‬ ‫ام‬‫االختٌارٌرة‬‫مق‬‫ــــرـ‬‫لرتبرة‬ ‫اوي‬
‫المعادلة‬,‫فإذا‬‫ثابرت‬ ‫علرى‬ ‫مشرتمال‬ ‫حلهرا‬ ‫ٌكرون‬ ‫أن‬ ‫وجرب‬ ‫اوولرى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المعادلة‬ ‫كانت‬‫اختٌراري‬‫واحرد‬(‫ثابرت‬ ‫هرو‬
‫التكامل‬)‫الرتبرة‬ ‫لمعادالت‬ ‫الوحٌدة‬ ‫التكامل‬ ‫خطوة‬ ‫اجراء‬ ‫عند‬ ‫ٌظهر‬ ‫الذي‬‫اوولرى‬,‫الرتبرة‬ ‫مرن‬ ‫المعادلرة‬ ‫كانرت‬ ‫اذا‬ ‫أمرا‬
‫وجب‬ ‫الثانٌة‬‫على‬ ‫مشتمال‬ ‫حلها‬ ‫ٌكون‬ ‫ان‬(‫تكامل‬ ً‫ثابت‬)‫نظرا‬‫وجرراء‬‫حرل‬ ‫عنرد‬ ‫تكامرل‬ ً‫خطروت‬‫الثانٌرة‬ ‫الرتبرة‬ ‫معادلرة‬
. ‫أعلى‬ ‫رتبة‬ ‫لها‬ ً‫الت‬ ‫للمعادالت‬ ‫بالنقبة‬ ‫وهكذا‬
‫مثال‬(2)/‫ان‬ ‫أثبت‬‫ا‬ ‫حلول‬ ‫أحد‬‫لمعادلة‬𝟎
‫الحل‬/
(
𝟏
) (𝟏) 𝟏
( )
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )ً‫ه‬‫أحد‬‫حل‬‫ا‬ ‫ول‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫لمعادلة‬.
‫وزاري‬2014/‫د‬2
‫مثال‬(3)/‫بٌن‬𝟐
ٌ‫ح‬( )‫حال‬‫ل‬‫لمعادلة‬𝟐̅ 𝟎
‫الحل‬/
𝟐
𝟐 𝟐 (
̅
) 𝟏 𝟐̅ 𝟐̅ 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
‫مثال‬(4)/‫هل‬𝟑
𝟐‫ل‬ ‫حال‬‫لمعادلة‬‫التفاضلٌة‬
𝟐
𝟐
𝟔‫؟‬
‫الحل‬/
𝟑
𝟐 𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟔
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟑
𝟐)‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
353
‫وزاري‬2012/‫د‬1
‫مثال‬(5)/‫برهن‬‫ا‬‫ن‬𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 )‫هو‬‫ل‬ ‫حال‬‫التفاضلٌة‬ ‫لمعادلة‬̿ 𝟒 𝟎
‫الحل‬/
𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 ) ̅ 𝟑 (𝟐 )(𝟐) 𝟐 (𝟐 )(𝟐) 𝟔 (𝟐 ) 𝟒 (𝟐 )
̅̅ 𝟔 ( 𝟐 )( 𝟐) 𝟒 ( 𝟐 )( 𝟐) 𝟏𝟐 ( 𝟐 ) 𝟖 ( 𝟐 )
̿ 𝟒 𝟏𝟐 (𝟐 ) 𝟖 (𝟐 ) 4[𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 )]
𝟏𝟐 ( 𝟐 ) 𝟖 ( 𝟐 ) 𝟏𝟐 ( 𝟐 ) 𝟖 ( 𝟐 )
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬𝟑 ( 𝟐 ) 𝟐 ( 𝟐 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
‫وزاري‬1201/‫د‬2
‫مثال‬(6)/‫ان‬ ‫هل‬𝟐
𝟑 𝟐 𝟑
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ‫هو‬‫؟‬ ̿ (̅) 𝟐
𝟑 𝟓
‫الحل‬/
𝟐
𝟑 𝟐 𝟑
𝟐 ̅ 𝟔 𝟑 𝟐
𝟐 ( ̅̅) ̅(𝟐 ̅) 𝟔 𝟔 ( 𝟐 )
( ̅̅) ( ̅) 𝟐
𝟑 𝟑 ( ̅̅) ( ̅) 𝟐
𝟑 𝟑 5
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐
𝟑 𝟐 𝟑)‫لٌقت‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫وزاري‬2015/‫د‬3
‫مثال‬(7)/‫ان‬ ‫بٌن‬𝟐 𝟑
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ‫هو‬̿ ̅ 𝟔 𝟎
‫الحل‬/
𝟐 𝟑
̅ 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑
̿ 𝟒 𝟐
𝟗 𝟑
̿ ̅ 𝟔 𝟒 𝟐
𝟗 𝟑 [ 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 ] 6[ 𝟐 𝟑 ]
𝟔 𝟐
𝟔 𝟑
6 𝟐
𝟔 𝟑
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 𝟑 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
354
(𝟓 𝟏)‫تمارين‬
‫س‬1/: ‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ودرجة‬ ‫رتبة‬ ‫بٌن‬
‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
( 𝟐 𝟐) 𝟑 𝟎
‫الثانٌة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬‫االولى‬ ‫والدرجة‬
𝟐
𝟐
𝟓 𝟕
‫م‬‫الثالثة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫ن‬(̅̿)
𝟑
𝟐̅ 𝟖 𝟑
‫الثانٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬(
𝟑
𝟑
)
𝟐
𝟐 ( )
𝟓
𝟑 𝟎
‫س‬2/‫ان‬ ‫برهن‬‫هو‬‫ل‬ ‫حل‬‫لمعادلة‬̿ 𝟎
‫الحل‬/
̅ ̿
̿ 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
‫س‬3/‫العاللة‬ ‫ان‬ ‫برهن‬𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 )‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
𝟐
𝟐
𝟗 𝟎
‫الحل‬/
𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 ) 𝟖 (𝟑 )(𝟑) 𝟔 (𝟑 )(𝟑) 𝟐𝟒 (𝟑 ) 𝟏𝟖 (𝟑 )
𝟐
𝟐
𝟐𝟒 (𝟑 )(𝟑) 𝟏𝟖 (𝟑 )(𝟑) 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 )
𝟐
𝟐
𝟗 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟗[𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 )]
𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬𝟖 ( 𝟑 ) 𝟔 ( 𝟑 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
355
‫س‬4/‫ان‬ ‫هل‬𝟐‫للمعادلة‬ ‫حال‬̿ 𝟑̅‫؟‬
‫الحل‬/
𝟐 ̅ 𝟏 ̿ 𝟎
̿ 𝟑̅ 𝟎 𝟑(𝟏) ( 𝟐) 𝟑 𝟐 𝟓
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐)‫لٌقت‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫س‬5/‫هل‬‫للمعادلة‬ ‫حال‬̿ 𝟐 (𝟏 𝟐)
‫الحل‬/
̅ 𝟐
̿ 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐
𝟐 ( 𝟏 𝟐) 𝟐 (𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟐
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫س‬6/‫هل‬𝟐 𝟐 𝟐
𝟏‫للمعادلة‬ ‫حال‬𝟑 ̿ 𝟐
‫الحل‬/
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏 𝟒 𝟐 ̅ 𝟎 𝟐 ̅ 𝟒
( 𝟐)
⇒ ̅ 𝟐 ̅
𝟐
̿
( ) ( )( ̅ ) (
𝟐
)
𝟒 𝟐
𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
̿
𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
𝟐( 𝟐
𝟐 𝟐) 𝟐(𝟏) 𝟐
̿
𝟐
𝟑
̿ 𝟑
(
𝟐
) 𝟐
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏)‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
356
‫س‬7/‫هل‬𝟓‫للمعادلة‬ ‫حال‬‫؟‬ ̿ 𝟐̅ 𝟐𝟓 𝟎
‫الحل‬/
𝟓 ̅ 𝟓 𝟓 ̅ ̿ ̅ 𝟐𝟓 𝟓
̿ 𝟐̅ 𝟐𝟓 𝟓 𝟎 ̿ 𝟐̅ 𝟐𝟓 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟓 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫وزاري‬2012/‫د‬3‫وزاري‬2013/‫د‬1
‫س‬8/‫بٌن‬‫ان‬‫هو‬‫للمعادلة‬ ‫حال‬̅ 𝟎ٌ‫ح‬( )
‫الحل‬/
̅
̅ 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫وزاري‬2015/‫د‬2
‫س‬9/‫ان‬ ‫بٌن‬| | 𝟐
,‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ‫هو‬̅̅ 𝟒 𝟐
𝟐
‫الحل‬/
𝟐
̅
𝟐 ̅ 𝟐 ̅̅ 𝟐 (̅) 𝟐
̅̅ 𝟐 (̅) 𝟐 𝟐 (𝟐 ) 𝟐 𝟒 𝟐
𝟐
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
******************************************************************
‫س‬1:‫ان‬ ‫هل‬
𝟏
𝟑
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬̅ 𝟐 𝟐ٌ‫ح‬( )
‫س‬2:‫ان‬ ‫هل‬𝟓‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬𝟐̅ ( ̅̅ 𝟓 ) 𝟎
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
357
‫اوولى‬ ‫والدرجة‬ ‫اوولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ‫طرق‬
‫متغٌراتها‬ ‫تنفصل‬ ً‫الت‬ ‫المعادالت‬ : ‫اوو‬
‫رر‬‫ر‬‫م‬ ‫ررو‬‫ر‬‫الن‬ ‫ررذا‬‫ر‬‫ه‬ ً‫رر‬‫ر‬‫ف‬‫ررى‬‫ر‬‫عل‬ ‫رروي‬‫ر‬‫تحت‬ ً‫رر‬‫ر‬‫الت‬ ‫رردود‬‫ر‬‫الح‬ ‫ررل‬‫ر‬‫ك‬ ‫ررزل‬‫ر‬‫نع‬ ‫أن‬ ‫ررتطٌع‬‫ر‬‫نق‬ ‫ررادالت‬‫ر‬‫المع‬ ‫ن‬( )‫ررع‬‫ر‬‫م‬( )‫ررر‬‫ر‬‫ط‬ ً‫رر‬‫ر‬‫ف‬
‫رررى‬‫ر‬‫عل‬ ‫ررروي‬‫ر‬‫تحت‬ ً‫ررر‬‫ر‬‫الت‬ ‫ررردود‬‫ر‬‫والح‬( )‫رررع‬‫ر‬‫م‬( )‫رررى‬‫ر‬‫عل‬ ‫رررل‬‫ر‬‫فنحص‬ ‫رررر‬‫ر‬‫اوخ‬ ‫رررر‬‫ر‬‫الط‬ ً‫ررر‬‫ر‬‫ف‬( ) ( )
‫على‬ ‫فنحصل‬ ‫الطرفان‬ ‫نكامل‬ ‫ثم‬∫ ( ) ∫ ( )‫ٌمثل‬ ٌ‫ح‬( )‫التكامل‬ ‫ثابت‬.
‫مثال‬(1)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 𝟓
‫الحل‬/
𝟐 𝟓 𝟐 𝟓( )𝒅𝒙
∫ ∫ 𝟐 𝟓( ) 𝒅𝒙 𝟐
𝟓
‫مثال‬()/‫المعادلة‬ ‫حل‬
𝟏
‫الحل‬/
𝟏
𝟏( )𝒅𝒙
∫ ∫ 𝟏( ) 𝒅𝒙
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
√ 𝟐 𝟐 𝟐 √ 𝟐 𝟐 𝟏 ( 𝟏 𝟐 ‫)حٌث‬
‫مثال‬(3)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐
ٌ‫ح‬𝒚 (𝟐𝒏 𝟏)
𝝅
𝟐
(𝒄𝒐𝒔𝒚 𝟎)
‫الحل‬/
𝟐
( 𝟐 )
⇒ 𝟐
∫ 𝟐
∫
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
358
‫وزاري‬6201/‫د‬1
‫مثال‬(4)/‫أوجد‬‫المعادلة‬ ‫حل‬̅ √ 𝟎‫عندما‬𝒙 𝟐 𝒚 𝟗
‫الحل‬/
√ 𝟎 ( )
𝟏
𝟐 ( )
𝟏
𝟐
( )
𝟏
𝟐
( )
𝟏
𝟐
∫( )
𝟏
𝟐 ∫
( )
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝟐
𝟐√
𝟐
𝟐
‫نعوض‬𝒙 𝟐 𝒚: ‫فٌنتج‬ 𝟗
𝟐√𝟗
(𝟐) 𝟐
𝟐
𝟔 𝟐 𝟒
𝟐√
𝟐
𝟐
𝟒
( 𝟐)
⇒ √
𝟐
𝟒
𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
(
𝟐
𝟒
𝟐)
𝟐
(‫المعادلة‬ ‫حل‬ )
‫وزاري‬2015/‫د‬1
‫مثال‬(5)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐
‫عندما‬𝒙 𝟎 𝒚 𝟎
‫الحل‬/
𝟐 ( 𝟐 ) ( )
( )
⇒
( )
( 𝟐 ) ( ) ( 𝟐 )
∫( ) ∫( 𝟐 ) ∫( 𝟏)( )
𝟏
𝟐
∫(𝟐)( 𝟐 )
𝟏
𝟐
𝟐
‫نعوض‬𝒙 𝟎 𝒚: ‫فٌنتج‬ 𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
∴
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏 𝟐
𝟑
𝟐
( 𝟐
𝟑) 𝟐
𝟐
( 𝟐 𝟑)
(‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬
⇒ |
𝟐
𝟐 𝟑
| |
𝟐
𝟐 𝟑
|
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
359
‫وزاري‬2015/‫د‬2
‫مثال‬(6)/: ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫جد‬( 𝟏) 𝟐
‫الحل‬/
( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟐
𝟐 ( 𝟏)
𝟐
( 𝟏)
∫ 𝟐 ∫
( 𝟏)
| | 𝟐 ( 𝟏) | | ( 𝟏) 𝟐
| | ( 𝟏) 𝟐
| |
( 𝟏) 𝟐
(‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬
⇒
| |
( 𝟏) 𝟐
| | ( 𝟏) 𝟐
𝟏 ( 𝟏) 𝟐
( 𝟏 ‫)حٌث‬
******************************************************************
(𝟓 𝟐)‫تمارين‬
‫س‬1/‫المعادالت‬ ‫حل‬ٌ‫اوت‬ ‫التفاضلٌة‬ٌ‫بطر‬ ‫ة‬‫م‬: ‫المتغٌرات‬ ‫فصل‬ ‫ة‬
( ) ̅ 𝟑
𝟑
( 𝟑
) ( ) 𝟑
( )
𝟏
( 𝟐 )
( )( 𝟐
) ∫ ∫ 𝟐
𝟐
𝟐
‫وزاري‬2014/‫د‬3‫وزاري‬2013/‫د‬2
( ) 𝟑 𝟏 𝟐
𝟑 ( 𝟑 )
( 𝟑 )
( 𝟏) ∫
( 𝟑 )
∫
| 𝟑 |
𝟐
𝟐
| 𝟑 𝟐 |
( 𝟏) 𝟐
𝟐
(𝟏)
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
| 𝟑 |
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
( 𝟏)
⇒ | 𝟑 |
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
(
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 )
𝟑
(
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 )
𝟑
𝟏
𝟐( 𝟏 𝟐)
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
360
( ) ( 𝟏)( 𝟏)
( 𝟏)( 𝟏)
( 𝟏)
( 𝟏) ∫
( 𝟏)
∫( 𝟏)
( 𝟏)
𝟐
𝟐
(‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬
⇒ 𝟏
(
𝟐
𝟐
) (
𝟐
𝟐
)
𝟏
( ) ( 𝟐
𝟒 𝟏)̅ 𝟐
𝟐 𝟑
( 𝟐
𝟒 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟑 ( 𝟐
𝟒 𝟏) ( 𝟐 𝟐 𝟑)
∫( 𝟐
𝟒 𝟏) ∫( 𝟐 𝟐 𝟑)
𝟑
𝟑
𝟐 𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑
( ) ̅ 𝟒√( 𝟏 𝟐) 𝟑
𝟒( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐 𝟒( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐
( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐
𝟒 ( ) ( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐 𝟒
∫( ) ( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐 ∫ 𝟒
𝟏
𝟐
∫ 𝟐( ) ( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐 ∫ 𝟒
𝟏
𝟐
( 𝟏 𝟐)
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒
𝟏
√ 𝟏 𝟐
𝟒
( ) 𝟑
𝟎 𝟐‫د‬ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬
𝟑
∫ ∫ 𝟑
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒 𝟒 √𝟒 𝟒
𝟒
√ 𝟒 𝟏
𝟒
( 𝟏 𝟒 ‫حٌث‬ )
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
361
( ) ̅ 𝟐 𝟑
𝟎
𝟏
𝟐
𝟐 𝟑
𝟐 𝟑
( 𝟑)
⇒ 𝟑
𝟐 ∫ 𝟑
𝟐 ∫
𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟐 𝟒 𝟐
𝟏
𝟐
𝟒 𝟐
𝟏
(
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒
𝟏
𝟐
𝟒 𝟖 𝟐
𝟏
𝟒 𝟖
√
𝟏
𝟒 𝟖
‫س‬2/‫الحل‬ ‫جد‬ٌ‫اوت‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادالت‬ ‫العام‬: ‫ة‬
( ) 𝟐
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 𝟐)
( 𝟏 𝟐 𝟐)
∫
(𝟏 𝟐 𝟐)
∫
𝟏
𝟒
∫
( 𝟒)
(𝟏 𝟐 𝟐)
∫
𝟏
𝟒
𝒍𝒏 𝟏 𝟐 𝟐
𝒍𝒏|𝒙| 𝒍𝒏|𝒄| (𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒𝒍𝒏 𝒍𝒏|𝒄𝒙|
(‫للطرفٌن‬ ‫نأخذ‬)
⇒ (𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒 𝒄𝒙
(𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒
𝟏
𝒄𝒙
𝟏
𝟏 𝟐 𝟐√
𝟒
𝒄𝒙 𝟏 𝟐 𝟐√
𝟒 𝟏
𝟏 𝟐 𝟐
𝒄𝒙
𝟏
( 𝒄𝒙) 𝟒
𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
(𝒄𝒙) 𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐𝒄 𝟒 𝒙 𝟒
√
𝟏
𝟐
𝟏
𝒄 𝟏 𝒙 𝟒 (𝒄 𝟏 𝟐𝒄 𝟒
‫حٌث‬ )
‫وزاري‬2015/‫د‬1
( ) 𝟎
( ) ( )
( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) | | | |
| | | | | | 𝒆 𝒄
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
362
( ) 𝟐
𝟎
𝟐
( 𝟐 )
⇒ 𝟐
∫ 𝟐
∫
∫ 𝟐 ∫
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏 ( 𝟐𝒄 𝒄 𝟏 ٌ‫ح‬‫ث‬ )
( ) 𝟐 𝟑
∫ 𝟐
∫ 𝟑
∫( 𝟐
𝟏) ∫(𝟏 𝟐 )
∫ 𝟐
∫ ∫ ∫ 𝟐
𝟑
𝟑
( ) 𝟐 𝟐
( 𝟐 𝟐 ) ∫ 𝟐
∫ 𝟐
∫ 𝟐
𝟏
𝟐
∫(𝟏 𝟐 )
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
𝟐 )
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐
( )
𝟑 𝟐
𝟏‫د‬ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬
∫(𝟑 𝟐 ) ∫
𝟑 𝟑
𝟑
𝟑
( ) 𝟐
̅ 𝟎
̅ 𝟐 ( )( 𝟐 ) 𝟐
∫ 𝟐
∫
𝟏
𝟐
𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟏 ( 𝟐𝒄 𝒄 𝟏 ‫حٌث‬)
‫المشتمة‬ ‫نوفر‬
𝟏
𝟐
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
363
‫قؤال‬‫خارجي‬: ‫من‬ ‫كال‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬ /
(𝒂) 𝒚 𝟐𝒆 𝒙 (𝒃) 𝒚 𝟑𝒙 (𝒄) 𝒚 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎
(𝒂) 𝒚 𝟐𝒆 𝒙
𝒚̅ 𝟐𝒆 𝒙
𝒚̅̅ 𝟐𝒆 𝒙
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟐𝒆 𝒙
(𝟏 𝒙) 𝟐𝒆 𝒙
𝟐𝒆 𝒙
𝟐𝒆 𝒙
𝟐𝒙𝒆 𝒙
𝟐𝒆 𝒙
𝟐𝒆 𝟎𝒙
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝒚 𝟐𝒆 )‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ 𝒙
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎
(𝒃) 𝒚 𝟑𝒙 𝒚̅ 𝟑 𝒚̅̅ 𝟎
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 (𝟎)(𝟏 𝒙) 𝟑 𝟑𝒙 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝒚 )‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ 𝟑𝒙𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎
(𝒄) 𝒚 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝒚̅ 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝒚̅̅ 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 (𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
)(𝟏 𝒙) (𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
) (𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
)
𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝑨𝒙𝒆 𝒙
𝑩𝒙𝒆 𝒙
𝑨𝒙𝒆 𝒙
𝑩𝒙𝒆 𝒙
𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝒚 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 )‫للمعادلة‬ ‫حل‬‫التفاضلٌة‬ 𝒙
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
364
‫المتجانقة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ : ‫ثانٌا‬
ً‫الت‬ ‫المعادلة‬ ً‫ه‬‫كتا‬ ‫نقتطٌع‬‫بالشكل‬ ‫بتها‬* ( ) +‫المعادلرة‬ ‫فمثال‬( 𝟒 𝟒) 𝟑
‫ٌمكرن‬
‫الصورة‬ ‫على‬ ‫كتابتها‬
𝟏 ( )
𝟒( 𝟒
‫على‬ ‫المعادلة‬ ً‫طرف‬ ‫بقسمة‬ )
/ ‫مثال‬‫؟‬ ‫متجانقة‬ ‫التالٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫أي‬ ‫بٌن‬
𝟑 𝟑
𝟑 𝟐
( 𝟑
𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟑
𝟑 𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟏
𝟑 ( )
∴‫متجانقة‬ ‫المعادلة‬
𝟐 ̅ 𝟐
𝟐 𝟐
𝟎
( 𝟐
𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐 ( ) ̅
𝟐
𝟐
𝟐 𝟎 𝟐 ( ) ( )
𝟐
𝟐 𝟎
𝟐 ( ) ( )
𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟐
𝟐 ( )
∴‫متجانقة‬ ‫المعادلة‬
𝟐
𝟑
[ ( ) ] ‫بالشكل‬ ‫كتابتها‬ ‫الٌمكن‬ ‫النه‬ ‫متجانسة‬ ‫غٌر‬ ‫المعادلة‬
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
365
‫المتجانقة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫طرٌمة‬
: ‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫المتجانقة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫لحل‬
❶‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫نكتب‬* ( ) +‫كل‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬* +‫أو‬[ ]ٌ‫ح‬( )‫الى‬ ‫دالة‬( )
❷‫نشتك‬[ ]‫الى‬ ‫بالنقبة‬( )‫على‬ ‫فنحصل‬* +
❸‫الخطوتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫نربط‬❶‫و‬❷‫على‬ ‫فنحصل‬* ( ) ( ) +
❹‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المتغٌرات‬ ‫فصل‬ ‫بعد‬* ( )
+
❺‫عن‬ ‫نعوض‬ ‫وأخٌرا‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫على‬ ‫فنحصل‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬* +
‫مثال‬(1)/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬̅
𝟑 𝟐 𝟐
𝟐
‫الحل‬/
𝟑 𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟐
𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟑 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑( )
𝟐
𝟏
𝟐( )
𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟏
∫
𝟏
∫
𝟐
𝟐 𝟏
∴ | | 𝟐
𝟏 | |
| | ( 𝟐
𝟏)
(‫للطرفٌن‬ ‫نأخذ‬)
⇒ ( 𝟐
𝟏)
∵ (
𝟐
𝟐
𝟏) (
𝟐 𝟐
𝟐 )
(
𝟐 𝟐
𝟐 )
𝒙 𝟑
𝟐 𝟐( )
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
366
‫مثال‬(2)/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
‫الحل‬/
( 𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نق‬‫سم‬ )
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏 ( 𝟏)
𝟏
𝟏 𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐 𝟏
𝟏
∫
𝟏
∫
𝟏
𝟐 𝟐 𝟏
∴
∫
𝟏 𝟏
𝟐
∫( 𝟐)
𝟏
𝟐 𝟐 𝟏
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏 | | | |
𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐 | | |
𝟏
√ 𝟐 𝟐 𝟏
| | |
𝟏
√ 𝟐 𝟐 𝟏
√ 𝟐 𝟐 𝟏
𝟏 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
⇒ 𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐
∵ 𝟐 ( ) ( )
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐 ( 𝟐
‫ب‬ ‫المعادلة‬ ً‫طرف‬ ‫نضرب‬ )
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
(
𝟏
𝟐
‫)حٌث‬
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
367
‫وزاري‬2013/‫د‬2
‫مثال‬(3)/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬(𝟑 ) ̅
‫الحل‬/
𝟑
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟑
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
𝟏 𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
𝟐 𝟏
𝟑
( 𝟏) 𝟐
𝟑
∫
(𝟑 )
( 𝟏) 𝟐
∫ ∫
( 𝟑)
( 𝟏) 𝟐
∫
∫
[( 𝟏) 𝟐]
( 𝟏) 𝟐
∫ ∫
( 𝟏)
( 𝟏) 𝟐
∫
𝟐
( 𝟏) 𝟐
∫
( 𝟏) ∫
𝟏
(𝟐) ∫( 𝟏) 𝟐
∫
| 𝟏|
(𝟐)( 𝟏) 𝟏
𝟏
| | | 𝟏|
𝟐
( 𝟏)
| |
∵ | | | 𝟏|
𝟐
𝟏
| | | 𝟏|
𝟐
( )
| ( 𝟏)|
𝟐
| |
𝟐
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
368
‫وزاري‬2201/‫د‬1‫وزاري‬2012/‫د‬3‫وزاري‬4201/‫د‬1
‫مثال‬(4)/‫الع‬ ‫الحل‬ ‫جد‬‫ـــــ‬‫التفاض‬ ‫للمعادلة‬ ‫ام‬‫ـــ‬‫لٌة‬𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
‫الحل‬/
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
( 𝟐 𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟏 ( )
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
( 𝟏) 𝟐
𝟐
∫
𝟐
( 𝟏) 𝟐
∫ ∫ 𝟐( 𝟏) 𝟐
∫
𝟐( 𝟏) 𝟏
𝟏
| |
𝟐
𝟏
| | ( ‫نضع‬ )
𝟐
𝟏
| |
𝟐
( )
| |
𝟐
| |
𝟐
| |
𝟐
| |
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
369
‫مثال‬‫محلول‬/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 ̅ 𝟐 𝟐
𝟎
‫الحل‬/
𝟐 ̅ 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
( ‫على‬ ‫والم‬‫قام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟏
𝟐( )
𝟐
𝟏
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
( 𝟐
𝟏)
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
∫
𝟐
𝟐 𝟏
∫∴ 𝟐
𝟏 | | | |
𝟐
𝟏 | | | | ( 𝟐
𝟏) 𝟏
( 𝟐
𝟏) |
𝟏
|
( 𝟐
𝟏)
𝟏 𝟏
( 𝟐 𝟏)
𝟏
(
𝟐
𝟐 𝟏)
𝟏
(
𝟐 𝟐
𝟐 )
𝟏
(
𝟐 𝟐
)
𝟐 𝟐
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
370
(𝟓 𝟑)‫تمارين‬
‫حل‬‫من‬ ‫كال‬‫المعادالت‬‫اوتٌة‬ ‫التفاضلٌة‬:
‫وزاري‬2013/‫د‬1‫وزاري‬2012/‫د‬2
(𝟏) ̅
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
∫ ∫ ∫ ∫
| | | | ( )
( 𝟐) ( 𝟐 ) 𝟐
𝟎
𝟐 ( 𝟐)
𝟐
𝟐
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟏
( )
𝟐
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬ )
∴ 𝟐 𝟐
𝟐
∫ 𝟐 ∫
𝟏
𝟏
| | | |
𝟏 ( 𝟏)
⇒ | |
𝟏
( )
| |
| | 𝟏 ( 𝟏 ‫حٌث‬)
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
371
(𝟑) ( 𝟐 ) (𝟐 𝟑 ) 𝟎
(𝟐 𝟑 ) ( 𝟐 )
𝟐
𝟐 𝟑
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐 ( )
𝟐 𝟑 ( )
𝟏 𝟐
𝟐 𝟑
( ‫وضعنا‬ )
∵ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬ )
∴
𝟏 𝟐
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐
𝟐 𝟑
( 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏)
𝟐 𝟑
∫
( 𝟐 𝟑 )
( 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏)
∫ (
𝟏
𝟐
) ∫
𝟐( 𝟐 𝟑 )
( 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏)
∫
𝟏
𝟐
𝟑 𝟐 𝟒 𝟏 | |
𝟏
𝟐
| 𝟑
𝟐
𝟐
𝟒 𝟏| | |
(𝟒)
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
( ‫على‬ ‫والمقا‬‫م‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( )
𝟐
𝟐 ( )
𝟏 𝟐
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬ )
∴
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟏 𝟐)
∫
𝟐
( 𝟏 𝟐)
∫ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 | | | |
( 𝟏 𝟐) | | (𝟏
𝟐
𝟐)
(𝟏
𝟐
𝟐)
𝟐
𝟐 𝟐
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
372
(𝟓) ( 𝟐 𝟐) 𝟎
( 𝟐 𝟐)
𝟐 𝟐
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( )
𝟐
( )
𝟏 𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐
( 𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒
∫
( 𝟒)
( 𝟏 𝟐 𝟐)
∫
𝟏
𝟒
| 𝟏 𝟐 𝟐
| | |
| 𝟏 𝟐 𝟐
|
(
𝟏
𝟒
)
| | | ( 𝟏 𝟐 𝟐
)
𝟏
𝟒
|
∴
(𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒
(𝟏 𝟐 ( )
𝟐
)
𝟏
𝟒
(𝟏 𝟐
𝟐
𝟐)
𝟏
𝟒
‫وزاري‬2014/‫د‬2
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
373
(𝟔) 𝟐 ( 𝟑 𝟑)
𝟐
𝟑 𝟑
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
( )
𝟏 ( )
𝟑
𝟏 𝟑
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
𝟒
𝟏 𝟑
𝟒
𝟏 𝟑
( 𝟏 𝟑)
𝟒
∫ (
𝟏
𝟒
𝟑
𝟒
) ∫ ∫ ∫ ( 𝟒
𝟏
)
| |
𝟑
𝟑
| | | |
𝟏
𝟑 𝟑
| |
( 𝟏)
⇒ | |
𝟏
𝟑 𝟑
| |
| |
𝟏
𝟑 ( )
𝟑 | | 𝟏 ( 𝟏 ‫)حٌث‬
‫وزاري‬2016/‫د‬1
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
374
(𝟕) ( )
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
∫ ∫
( )
∫ ∫ | | | | | | | | | |
∴
******************************************************************
‫س‬1:‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬(𝟒 )̅ 𝟑
‫س‬2:‫أوجد‬‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬̅ (𝟏 𝟐) 𝟐
‫س‬3:‫ل‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫أوجد‬‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫لمعادلة‬( √ 𝟐 𝟐)
‫س‬4:‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬( 𝟐 𝟐) 𝟒
‫س‬5:‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬( )
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
375
‫الخامس‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬
‫س‬13/: ‫اوتٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝒚̅
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚
𝒙
𝒚
𝝅
𝟒
𝒙 𝟏
‫الحل‬/
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒚
𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒚𝒅𝒙 ] ( 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒚)
𝒅𝒚
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚
𝒅𝒙
𝒙
∫
𝒅𝒚
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚
∫
𝒅𝒙
𝒙
∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒚 𝒅𝒚 ∫
𝒅𝒙
𝒙
𝒍𝒏| 𝒙| 𝒄 ( 𝒚
𝝅
𝟒
𝒙 𝟏 ‫)نعوض‬
𝝅
𝟒
𝒍𝒏| 𝟏| 𝒄 𝟏 𝟎 𝟏
∴ 𝒍𝒏| 𝒙| 𝟏
‫س‬14/: ‫اوتٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚‫أن‬ ٌ‫ح‬𝒚
𝝅
𝟐
‫عندما‬ 𝒙 𝟎
‫الحل‬/
𝒅𝒚 𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒙 ] ( 𝒕𝒂𝒏 𝒚)
𝒅𝒚
𝒕𝒂𝒏 𝒚
𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝒅𝒚
(
𝒔𝒊𝒏 𝒚
𝒄𝒐𝒔 𝒚
)
∫ 𝟐𝒙 𝒅𝒙
∫
𝒄𝒐𝒔 𝒚
𝒔𝒊𝒏 𝒚
𝒅𝒚 ∫ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏| 𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝟐
𝒙 𝟐
𝟐
𝒄
𝒍𝒏| 𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝒙 𝟐
𝒄 ( 𝒚
𝝅
𝟐
𝒙 𝟎 ‫)نعوض‬
𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏
𝝅
𝟐
| 𝟎 𝒄 𝒍𝒏 𝟏 𝒄 𝟎
∴ 𝒍𝒏| 𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝒙 𝟐
(‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬
⇒ 𝒔𝒊𝒏 𝒚 𝒆 𝒙 𝟐
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
376
‫وزاري‬2013/‫د‬3
‫س‬15/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝒙 𝒚̅ 𝒚 𝒙‫أن‬ ٌ‫ح‬𝒙 𝟏 𝒚 𝟏
‫الحل‬/
𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒚 𝒙 ( 𝒙)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒚 𝒙
𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒚
𝒙
𝟏
𝟏 ( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟏
] ( 𝒙) 𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒙
∫ 𝒅𝒗 ∫
𝒅𝒙
𝒙
| | 𝐜 | | 𝐜
‫نعوض‬𝒚 𝟏 𝒙 𝟏‫الثابت‬ ‫لٌمة‬ ‫وٌجاد‬𝒄
𝟏
𝟏
|𝟏| 𝐜 𝟏 𝟎 𝐜 𝟏
∴ | | 𝟏
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
377
‫س‬16/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬‫اوتٌة‬( 𝒙 𝟐
𝟑𝒚 𝟐) 𝒅𝒙 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝟎
‫الحل‬/
(𝒙 𝟐
𝟑𝒚 𝟐)𝒅𝒙 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚
𝟐𝒙𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝟑𝒚 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝟑𝒚 𝟐
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐𝒙𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝒙 𝟐 𝟑
𝒚 𝟐
𝒙 𝟐
𝟐𝒙𝒚
𝒙 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝟏 𝟑 (
𝒚
𝒙)
𝟐
𝟐 (
𝒚
𝒙)
𝟏 𝟑𝒗 𝟐
( ‫وضعنا‬ )
𝟐𝒗
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟑𝒗 𝟐
𝟐𝒗
𝟏 𝟑𝒗 𝟐
𝟐𝒗
𝒗
𝟏 𝟑𝒗 𝟐
𝟐𝒗 𝟐
𝟐𝒗
𝒗 𝟐
𝟏
𝟐𝒗
𝟐𝒗
𝒗 𝟐 𝟏
∫
𝟐𝒗
𝒗 𝟐 𝟏
∫
𝒗 𝟐 | |𝟏 𝒍𝒏|𝒙| 𝒍𝒏|𝒙 | 𝒄 (𝒗 𝟐
𝟏) 𝒙 𝒄 (𝒗 𝟐
𝟏)
𝒙 𝒄 (
𝒚 𝟐
𝒙 𝟐
𝟏) 𝒙 𝒄 (
𝒚 𝟐
𝒙 𝟐
𝒙 𝟐
)
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
378
‫الخامس‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬ ‫قؤال‬2012‫/د‬2
‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬( 𝟏)( 𝟏)ٌ‫ح‬𝟐‫عندما‬𝟐
‫الحل‬/
( 𝟏)( 𝟏)
( 𝟏)( 𝟏)
( 𝟏)
( 𝟏) ∫
( 𝟏)
∫( 𝟏)
( 𝟏)
𝟐
𝟐
‫نعوض‬𝒚 𝟐 𝒙 𝟐‫الثابت‬ ‫لٌمة‬ ‫وٌجاد‬𝒄
𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝟒 𝟒
∴ ( 𝟏)
𝟐
𝟐
𝟒
‫وزاري‬ ‫قؤال‬2014‫/د‬3
‫ان‬ ‫أثبت‬‫المعادلة‬ ‫حلول‬ ‫أحد‬𝟎
‫الحل‬/
(
𝟏
) (𝟏) 𝟏
( 𝟏 )
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫حلول‬ ‫أحد‬ ً‫ه‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬
‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
379
‫وزاري‬ ‫قؤال‬2015‫/د‬3
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫جد‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البس‬‫ط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟏 𝟏
( 𝟏)
∫ (
𝟏
) ∫ ∫ ∫ ( 𝟏
𝟏
)
| | | |
( 𝟏)
⇒ | | | |
| | | | 𝟏 ( 𝟏 ‫)حٌث‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
380
‫السادس‬ ‫الفصل‬
‫الفضائٌة‬ ‫الهندسة‬SPACE GEOMETRY/
‫مراجعة‬:
1-.‫ٌحتوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫لكل‬
2-‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫لكل‬.‫ٌحتوٌهما‬
3-‫التوازي‬ ‫عبارة‬‫وٌوازي‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫ٌمر‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫فٌوجد‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫ونقطة‬ ‫مستقٌم‬ ‫علم‬ ‫(إذا‬
)‫المعلوم‬ ‫المستقٌم‬.
4-.‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬
5-‫عم‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬.‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫ود‬
6-‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬ً‫تنتم‬ (
)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫أو‬ ‫للمستقٌم‬.
7-.‫ٌحتوٌهما‬ ‫فأنه‬ ‫اآلخر‬ ‫من‬ ‫ونقطة‬ ‫احدهما‬ ‫ٌحوي‬ ‫الذي‬ ‫فالمستوي‬ ‫مستقٌمان‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬
8-‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستوى‬.‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬
9-.‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫المستقٌمان‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬
10-.‫اآلخر‬ ‫ٌوازي‬ ‫احدهما‬ ‫ٌحوي‬ ‫الذي‬ ‫فالمستوي‬ ‫مستقٌمان‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬
11-.‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬
12-‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬.‫المستوي‬ ‫ضمن‬ ‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ٍ‫و‬‫مست‬
13-.‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫ٌوازي‬ ‫مستوٌهما‬ ‫فأن‬ ‫معلوم‬ ‫مستوي‬ ‫ٌوازٌان‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
14-.‫مستوٌهما‬ ‫وتوازى‬ ‫الزاوٌتان‬ ‫تساوت‬ ‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫زاوٌة‬ ‫ضلعا‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬
15-ٌ‫ب‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقٌم‬ ‫قطعة‬.‫بالقٌاس‬ ‫نصفه‬ ‫وتساوي‬ ‫الثالث‬ ‫الضلع‬ ‫توازي‬ ‫مثلث‬ ً‫ضلع‬ ً‫منتصف‬ ‫ن‬
16-.‫ٌنصفها‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫الساقٌن‬ ‫المتساوي‬ ‫المثلث‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫العمود‬
17-‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬‫مستوي‬‫المعلاوم‬ ‫للمساتقٌم‬ ً‫ا‬‫موازٌا‬ ‫المساتوي‬ ‫نقااط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬ ‫أٌة‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬
.‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ً‫ف‬ ‫محتوى‬ ‫ٌكون‬
18-‫المستق‬.‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫ٌمان‬
19-.‫متوازٌان‬ ‫الفراغ‬ ً‫ف‬ ‫ثالث‬ ‫لمستقٌم‬ ‫الموازٌان‬ ‫المستقٌمان‬
20-.‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫كل‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬ ‫أضالع‬ ‫متوازي‬ ً‫الرباع‬ ‫الشكل‬ ‫ٌكون‬
21-.‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫وتساوى‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬ ‫أضالع‬ ‫متوازي‬ ً‫الرباع‬ ‫الشكل‬ ‫ٌكون‬
22-‫أ‬ ‫متوازي‬ ‫هو‬ ‫المستطٌل‬.‫قائمة‬ ‫زواٌاه‬ ‫أحدى‬ ‫ضالع‬
23-.‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬
24-.‫بهما‬ ‫محددة‬ ‫وزاوٌة‬ ‫بضلعٌن‬ ‫المثلثان‬ ‫ٌتطابق‬
25-.‫والمستوي‬ ‫المعلومة‬ ‫النقطة‬ ‫بٌن‬ ‫مسافة‬ ‫أقصر‬ ‫هو‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫العمود‬
26-.‫ونتٌجتها‬ ‫الثالثة‬ ‫األعمدة‬ ‫مبرهنة‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
381
‫الزاوٌة‬‫المتعامدة‬ ‫والمستوٌات‬ ‫الزوجٌة‬
:‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬‫حافة‬ ‫لهما‬ ‫مستوٌٌن‬ ً‫نصف‬ ‫اتحاد‬(Edge).‫مشتركة‬
‫بـ‬ ‫المشتركة‬ ‫الحافة‬ ‫وتسمى‬)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(حرف‬.
‫بـ‬ ‫المستوٌٌن‬ ً‫نصف‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وٌسمى‬)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(وجه‬:‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬
‫حٌث‬⃡‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫هو‬
(X)‫و‬(Y)‫وجهاها‬ ‫هما‬
:‫بالتعبٌر‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫عن‬ ‫وٌعبر‬– ⃡ –
.‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ‫مع‬ ً‫ا‬‫مشترك‬ ‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫أن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫بحرف‬ ‫عنها‬ ‫ٌعبر‬ ‫وقد‬
:ً‫ال‬‫مث‬
:‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬
– ⃡ –
– ⃡ –
– ⃡ –
‫بشكل‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫تكتب‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬ ‫وال‬⃡‫الحرف‬ ‫ألن‬ ‫المثال‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬⃡.‫زوجٌة‬ ‫زاوٌة‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ً‫ف‬ ‫مشترك‬
‫مالحظة‬:‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ً‫ف‬ ‫لٌست‬ ‫نقاط‬ ‫أربع‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نكتب‬A – ⃡ – D‫أو‬
‫المستوٌٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬(DBC)‫و‬
(ABC:‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ )
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
382
:ً‫كاآلت‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫وتقاس‬
‫نقطة‬ ‫نأخذ‬D‫المشتركة‬ ‫الحافة‬ ‫على‬⃡‫من‬ ‫ونرسم‬D‫العمود‬ً⃡‫ف‬‫والعمود‬ً⃡‫ف‬‫الحرف‬ ‫على‬
⃡‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫هو‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫فٌكون‬‫الزاوٌة‬ ‫وتسمى‬‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬
:‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ,‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫لدٌنا‬ ‫أخرى‬ ‫بعبارة‬– ⃡ –
‫ولدٌنا‬⃡ ⃡
⃡ ⃡ ⃡ ⃡
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫أو‬– ⃡ –
‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫المستوٌة‬ ‫الزاوٌة‬:‫من‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌان‬ ‫ضلعاها‬ ً‫الت‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬
.‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫وجه‬ ‫أحد‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬
:‫أو‬ً‫وجه‬ ‫أحد‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬ ‫شعاعٌن‬ ‫اتحاد‬ ً‫ه‬
.‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬
‫والزو‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌتٌن‬ ‫تعرٌف‬ ‫ومن‬:ً‫اآلت‬ ‫استنتاج‬ ‫ٌمكن‬ ‫جٌة‬
1-.‫ثابت‬ ‫زوجٌة‬ ‫لزاوٌة‬ ‫عائدة‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬
2-.‫وبالعكس‬ ‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫ٌساوي‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬
.‫وبالعكس‬ ‫متعامدان‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫فأن‬ ‫قائمة‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
‫قٌاس‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ : ‫أي‬– ⃡ – 𝟗𝟎°
‫فأن‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
383
( ‫مبرهنة‬7‫(وزاري‬ :)2011‫د‬ /1‫(وزاري‬ ‫و‬ )2013‫د‬ /2)‫و‬‫(وزاري‬5201‫د‬ /3):
‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫إذا‬‫و‬.‫اآلخر‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫التقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫العمودي‬
:‫أنه‬ ‫أي‬
:‫كان‬ ‫إذا‬
⃡
‫في‬ ⃡ ⃡ ⃡
‫فأن‬⃡
:‫المعطٌات‬‫نقطة‬ ً‫ف‬, D⃡ ⃡ ⃡ ⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬
ً‫ف‬‫نرسم‬⃡ ⃡()‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫فٌه‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬
⃡ ⃡ ⃡)‫(معطى‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ⃡ –)‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬
∢ 𝟗𝟎)‫وبالعكس‬ ‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫ٌساوي‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(قٌاس‬
⃡ ⃡‫مستقٌمٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫كان‬ ‫(إذا‬𝟗𝟎)‫وبالعكس‬ ‫متعامدان‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫فأن‬
⃡)‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
( ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬7‫(وزاري‬ :)2013‫د‬ /3)‫و‬‫(وزاري‬5201‫د‬ /2):
ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫إذا‬.‫فٌه‬ ‫محتوى‬ ‫ٌكون‬ ‫اآلخر‬ ‫المستوى‬ ‫على‬
:‫المعطٌات‬⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬‫لٌكن‬⃡
‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫ان‬⃡
‫نرسم‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬⃡
‫من‬ ‫فٌه‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
384
)‫(معطى‬
⃡‫(مبرهنة‬7‫ٌكون‬ ‫التقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫إذا‬ ( )
)‫اآلخر‬ ‫المستوى‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬
‫ولكن‬⃡)‫(معطى‬
⃡ ⃡‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫(ٌوجد‬
‫ال‬ ‫أو‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬
⃡
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
( ‫مبرهنة‬8‫(وزاري‬ :)2011‫د‬ /1)‫و‬‫(وزاري‬6201‫د‬ /1):
‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫آخر‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫بمستقٌم‬ ‫مار‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫كل‬
: ‫أو‬‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫ٌتعامد‬.‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬
:‫المعطٌات‬⃡,⃡⃡
‫إثباته‬ ‫المطلوب‬:
:‫البرهان‬‫لٌكن‬⃡)‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتقاطع‬
⃡)‫المشتركة‬ ‫النقاط‬ ‫على‬ ‫ٌحتوي‬ ‫التقاطع‬ ‫(مستقٌم‬
ً‫ف‬‫نرسم‬⃡ ⃡)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫فٌه‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬
⃡)‫معطى‬ (
⃡ ⃡ ⃡‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬ً‫ف‬ ‫المحتوى‬
)‫أثره‬ ‫من‬ ‫والمارة‬ ‫المستوي‬
⃡)‫(معطى‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬⃡)‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬
⃡ ⃡ ‫ألن‬ ∢ 𝟗𝟎°
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬– ⃡ – 𝟗𝟎°ٌ‫الزوج‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(قٌاس‬‫ـــــ‬‫ٌس‬ ‫ة‬‫ــــ‬‫اوي‬‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬
)‫وبالعكس‬ ‫لها‬
(‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫كان‬ ‫إذا‬90 °‫وبالعكس‬ ‫متعامدان‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫فأن‬)
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
⇒ 𝑦 𝑥
‫أنه‬ ‫أي‬:𝑨𝑩⃡ 𝒙
𝑨𝑩⃡ 𝒚
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
385
( ‫مبرهنة‬9‫(وزاري‬ :)2014‫د‬ /1:)
ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬ ‫مستقٌم‬ ‫من‬‫ٌوجد‬ ‫معلوم‬ٍ‫و‬‫مست‬‫عمودي‬ ‫وحٌد‬
‫المعلوم‬ ‫المستوى‬ ‫على‬.
‫أنه‬ ‫أي‬:⃡‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬
‫ٌحتوي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستوي‬ ‫فٌوجد‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬
:‫المعطٌات‬⃡‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬‫ٌحتوي‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫إٌجاد‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬
:‫البرهان‬
‫نقطة‬ ‫من‬‫نرسم‬ً⃡‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫(ٌوجد‬)‫إلٌه‬
⃡ ⃡‫متقاطعان‬
‫مثل‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬‫ٌحوٌهما‬)‫ٌحوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
‫(م‬‫ب‬‫رهنة‬8))‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
:‫الوحدانٌة‬ ‫ولبرهنة‬
( ‫لٌكن‬Z‫ٌحوي‬ ‫آخر‬ ‫مستوي‬ )⃡‫على‬ ‫وعمودي‬
⃡)‫(بالبرهان‬
⃡‫مبرهنة‬ ‫(نتٌجة‬7)
)‫ٌحوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
( ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬9‫(وزاري‬ :)2012‫د‬ /3:)
‫مستقٌم‬ ‫فأن‬ ‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫المستوى‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬
.‫الثالث‬
:‫المعطٌات‬⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫إن‬⃡‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬
‫ٌحوي‬ ‫مستوي‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫وجد‬ ‫لما‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬‫(مبرهنة‬9)
⃡
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
386
( ‫مثال‬1:)
ً‫ف‬∆ ABC
̅̅̅̅̅ ∢ 𝟑𝟎°
𝟏𝟎 𝟓
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫جد‬– ̅̅̅̅ –
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅̅ ∢ 𝟑𝟎° 𝟏𝟎 𝟓
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫إٌجاد‬– ̅̅̅̅ –
:‫البرهان‬
‫المستوى‬ ً‫ف‬‫نرسم‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫نقطة‬ ً‫ف‬‫آخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬
)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬
̅̅̅̅̅)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫األعمدة‬ ‫(مبرهنة‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬̅̅̅̅‫العائد‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬‫ة‬)
̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫(المس‬‫ـــ‬‫المستوى‬ ً‫ف‬ ‫المحتواة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫تقٌم‬
)‫أثره‬ ‫من‬ ‫والمارة‬
∆ DBEً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قائم‬B
ً‫ف‬∆ BEAً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫القائم‬E:
𝟑𝟎 ⇒
𝟏
𝟐 𝟏𝟎
⇒ 𝟓
ً‫ف‬∆ DBEً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫القائم‬B:
∢
𝟓
𝟓
𝟏
‫قٌاس‬∢ 𝟒𝟓°
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬– ̅̅̅̅ – 𝟒𝟓°()‫وبالعكس‬ ‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫هو‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
387
( ‫مثال‬2:)
‫لٌكن‬ABC‫ولٌكن‬ ً‫ا‬‫مثلث‬
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
:‫أن‬ ‫برهن‬
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
:‫البرهان‬
̅̅̅̅)‫(معطى‬
‫(مبرهنة‬8‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬ ))‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫(معطى‬
̅̅̅̅‫(مبرهنة‬7‫التقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫والعمودي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫(إذا‬ )
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫مبرهنة‬ ‫(نتٌجة‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
388
( ‫مثال‬3‫(وزاري‬ :)2012‫د‬ /2)
‫متعامدان‬ ‫مستوٌان‬,
⃡ ⃡‫على‬ ‫عمودٌان‬⃡‫وٌقطعان‬ً‫ف‬C, D‫الترتٌب‬ ‫على‬
:‫أن‬ ‫برهن‬⃡
:‫المعطٌات‬
‫إن‬⃡ ⃡ ⃡ , )‫على‬ ‫عمودٌٌن‬⃡‫وٌقطعان‬ً‫ف‬C, D.‫الترتٌب‬ ‫على‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬‫المتقاطعٌن‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫مستوي‬⃡ ⃡)‫ٌحوٌهما‬ ً‫ا‬‫وحٌد‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
⃡ ⃡ ⃡)‫(معطى‬
⃡‫(المستقٌم‬)‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬
⃡)‫(معطى‬
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
)‫(معطى‬
‫كان‬ ‫ولما‬⃡)‫منهما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫محتوى‬ ‫(ألنه‬
⃡‫ف‬ ‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫(إذا‬ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫مستقٌم‬ ‫أن‬
)‫الثالث‬ ‫المستوي‬ ‫على‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
389
‫تمارين‬
‫س‬1/.‫حرفها‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫زوجٌة‬ ‫لزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫مستوي‬ ‫أن‬ ‫برهن‬‫(وزاري‬2013‫د‬ /1)
:‫المعطٌات‬‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬– ⃡ –
‫والزاوٌة‬CDE.‫لها‬ ‫عائدة‬ ‫مستوٌة‬ ‫زاوٌة‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬
‫الزاوٌة‬CDE‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬ ‫زاوٌة‬– ⃡ –)‫(معطى‬
⃡ ⃡)‫زوجٌة‬ ‫لزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫تعرٌف‬ ‫(من‬
⃡ ⃡‫اتحاد‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫(ه‬‫شعاعٌن‬ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬
‫وكل‬ ‫إلٌه‬‫اح‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬‫د‬)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫وجه‬
⃡()‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
(‫وزاري‬/2014‫د‬3)
‫س‬2/‫أن‬ ‫برهن‬‫ه‬.‫متعامدان‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫فأن‬ ‫آخر‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫وكان‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬
:‫المعطٌات‬⃡ ⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫أن‬‫ٌقطع‬‫فأن‬
⃡)‫(معطى‬
⃡‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬
‫المعطٌات‬ ‫خالف‬ ‫هذا‬ ‫ولكن‬‫يقطع‬
‫ولٌكن‬⃡)‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتقاطع‬
‫لتكن‬⃡‫ولتكن‬ ,⃡ ⃡‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوازي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ :‫التوازي‬ ‫(عبارة‬
)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬
⃡)‫(معطى‬
⃡‫للمستقٌم‬ ً‫ا‬ٌ‫مواز‬ ‫المستوي‬ ‫نقط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬ ‫أٌة‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫(إذا‬
)‫فٌه‬ ‫محتوى‬ ‫ٌكون‬ ‫المعلوم‬
⃡ ⃡)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمود‬ ‫(المستوي‬
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬‫أو‬‫بمستقٌم‬ ‫مار‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫(كل‬
)‫اآلخر‬ ٍ‫و‬‫المست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫ٌكون‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
390
‫(وزاري‬2014/‫د‬2)
‫س‬3/‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستوي‬ ‫أن‬ ‫برهن‬ً‫ا‬‫أٌض‬.
:‫المعطٌات‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬⃡
⃡
‫ولتكن‬⃡
‫نرسم‬⃡‫بحٌث‬⃡ ⃡
‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬
‫(معط‬‫ى‬)
⃡‫المرس‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫(إذا‬‫ـــ‬‫مس‬ ‫على‬ ‫والعمودي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫وم‬‫ــــ‬‫ٌكون‬ ‫التقاطع‬ ‫تقٌم‬
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬
‫ولكن‬)‫(معطى‬
⃡‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
‫س‬4/A, B, C, D‫بحٌث‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ً‫ف‬ ‫لٌست‬ ‫نقاط‬ ‫أربع‬‫و‬̅̅̅̅‫كانت‬ ‫فإذا‬∢
‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ̅̅̅̅ –‫برهن‬.
:‫المعطٌات‬A, B, C, D‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ً‫ف‬ ‫لٌست‬ ‫مختلفة‬ ‫نقاط‬ ‫أربع‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ̅̅̅̅ –
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ̅̅̅̅ –)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬ ‫شعاعٌن‬ ‫اتحاد‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬ ‫العائدة‬ ‫(الزاوٌة‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫وجه‬ ‫أحد‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬ ‫من‬
‫المثلث‬ ً‫ف‬ABC)‫(معطى‬
‫الساقٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫(العمود‬)‫ٌنصفها‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬
‫المثلثان‬DEB‫و‬DEC:‫فٌهما‬
∢ 𝟏 ∢ 𝟐)‫(قوائم‬
)‫مشترك‬ ‫(ضلع‬
CE = BE)‫(بالبرهان‬
.‫بهما‬ ‫محددة‬ ‫وزاوٌة‬ ‫بضلعٌن‬ ‫المثلثان‬ ‫ٌتطابق‬
:‫ٌنتج‬ ‫التطابق‬ ‫ومن‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫ٌتقاطع‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
391
‫(وزاري‬2015/‫د‬1)
‫س‬5/‫برهن‬‫أنه‬‫إذا‬‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬ ‫وكانا‬ ‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وازى‬
‫المعلوم‬ ‫المستوى‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫المتقاطعٌن‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫تقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫فأن‬.
:‫المعطٌات‬⃡ ⃡
‫يوازيان‬ ⃡ ⃡
⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬‫المتقاطعٌن‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫مستوي‬⃡ ⃡)‫ٌحتوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ‫مستوي‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
⃡ ⃡)‫(معطى‬
ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫ٌوازٌان‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫(إذا‬)‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫ٌوازي‬ ‫مستوٌهما‬ ‫فإن‬ ً‫ا‬‫معلوم‬
‫ولكن‬⃡
⃡
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
)‫(معطى‬
⃡‫كل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ (‫من‬‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫مستقٌم‬ ‫فأن‬ ‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫مست‬
)‫الثالث‬ ‫المستوي‬ ‫على‬
⃡)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
)‫(معطى‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
392
‫س‬6/‫قطرها‬ ‫دائرة‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫مس‬ ‫على‬ ‫عمودي‬‫ــــ‬‫توٌها‬,D‫أن‬ ‫برهن‬ ‫للدائرة‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬‫عمودي‬
‫على‬
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅‫و‬ ‫دائرة‬ ً‫ف‬ ‫قطر‬̅̅̅̅̅.‫الدائرة‬ ‫مستوي‬
D.‫للدائرة‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
∢‫محٌطٌة‬ ‫زاوٌة‬
∢ 𝟗𝟎°)‫قائمة‬ ‫دائرة‬ ‫لنصف‬ ‫المقابلة‬ ‫المحٌطٌة‬ ‫(الزاوٌة‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫متعامدٌن‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫فأن‬ ‫قائمة‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫كانت‬ ‫(إذا‬
̅̅̅̅‫الدائرة‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمودي‬)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫(مبرهنة‬
:‫لدٌنا‬ ‫اصبح‬̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫(بالبرهان‬
̅̅̅̅̅‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬)‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬
‫ولكن‬̅̅̅̅
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
393
ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫االسقاط‬
1-:ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫مسقط‬‫العمود‬ ‫أثر‬ ‫هو‬.‫المستوي‬ ‫على‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬
2-:‫مستوي‬ ‫على‬ ‫نقط‬ ‫مجموعة‬ ‫مسقط‬‫لتكن‬L‫اثار‬ ‫كل‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫مسقطهما‬ ‫فأن‬ ‫الفراغ‬ ً‫ف‬ ‫نقاط‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬
‫نقاط‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫االعمدة‬‫ه‬.‫المستوي‬ ‫على‬
3-:‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودٌة‬ ‫غٌر‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬‫المستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫هو‬‫المرسومٌن‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬
.‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫نهاٌت‬ ‫من‬
‫لٌكن‬̅̅̅̅‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬
‫ولٌكن‬̅̅̅̅‫مسقط‬A‫على‬‫هو‬
̅̅̅̅̅‫مسقط‬B‫على‬‫هو‬
‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬‫هو‬̅̅̅̅
:‫مالحظة‬‫كان‬ ‫إذا‬̅̅̅̅‫فأن‬
4-ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫المائل‬ ‫المستقٌم‬.‫له‬ ‫وقاطع‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫غٌر‬ ‫المستقٌم‬ ‫هو‬ :
5-:‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬.‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬ ‫المحددة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬
‫لٌكن‬⃡‫على‬ ً‫ال‬‫مائ‬ً‫ف‬
‫ولٌكن‬ً̅̅̅̅‫ف‬
‫مسقط‬‫على‬‫حٌث‬
‫كذلك‬‫حٌث‬ ‫نفسها‬ ‫مسقط‬
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
‫أن‬ ‫أي‬𝟎 𝛉 𝟗𝟎°
𝜽 𝟎 𝟗𝟎°
6-:‫المسقط‬ ‫طول‬= ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬ ‫طول‬‫المائل‬ ‫طول‬.‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫تمام‬ ‫جٌب‬
‫تكون‬ ‫فعندما‬̅̅̅̅‫على‬ ً‫ال‬‫مائ‬‫مٌلة‬ ‫وزاوٌة‬𝜽‫ومسقطه‬̅̅̅̅‫فأن‬𝛉
7-‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستوي‬ ‫مسقط‬:‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ٍ‫و‬‫مست‬‫على‬‫للزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫المستوٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬
.‫بٌنهما‬ ‫الزوجٌة‬
= ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائلة‬ ‫منطقة‬ ‫مسقط‬ ‫مساحة‬‫المائلة‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫تمام‬ ‫جٌب‬
‫و‬ ‫المائلة‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬‫و‬ ‫المسقط‬ ‫مساحة‬𝜽‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬𝛉
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
394
( ‫مثال‬4‫(وزاري‬ :)2013‫د‬ /2:)
.‫متعامدان‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ضلعٌهما‬ ً‫مسقط‬ ‫فأن‬ ً‫ا‬‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫قائمة‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫أحد‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬
:‫المعطٌات‬∢ً‫ف‬ ‫قائمة‬B
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬ ‫هو‬̅̅̅̅‫على‬
̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬ ‫هو‬̅̅̅̅‫على‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬A'B' ┴ B'C'
:‫البرهان‬
̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ ‫القطعة‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬
‫من‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫المرسومٌن‬)‫المستقٌمة‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅)‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫(المستقٌمان‬
‫المتوازٌٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن‬‫نعٌن‬
‫المتوازٌٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن‬‫نعٌن‬
‫لكن‬̅̅̅̅)‫(معطى‬
)‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتقاطع‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅‫المس‬ ‫جمٌع‬ ‫ٌوازي‬ ‫فأنه‬ ً‫ا‬‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫(إذا‬‫ــــ‬‫هذا‬ ‫تقاطع‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫تقٌمات‬
‫تحوي‬ ً‫الت‬ ‫والمستوٌات‬ ‫المستوي‬)‫المستقٌم‬
‫كذلك‬̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
)‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅(‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬ :‫الواحد‬ ‫المستوي‬ ً‫ف‬)
‫لكن‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫ألن‬ (∢ 𝟗𝟎)‫معطى‬
̅̅̅̅̅̅)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستوي‬
̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
.)‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬
‫هـــ‬ .‫(و‬.)‫م‬
(‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫لكل‬‫ٌحتوٌهما‬)
‫يحتويهما‬
)‫(معطى‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
395
( ‫مثال‬5:)
,‫مثلث‬̅̅̅̅‫المثلث‬ ‫مستوي‬ ‫بٌن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫والزاوٌة‬‫والمستوي‬‫قٌاسها‬𝟔𝟎°‫كان‬ ‫فإذا‬
𝟏𝟑 𝟏𝟎‫اد‬‫ا‬‫ج‬‫اث‬‫ا‬‫المثل‬ ‫اقط‬‫ا‬‫مس‬‫اى‬‫ا‬‫عل‬‫اقط‬‫ا‬‫مس‬ ‫ااحة‬‫ا‬‫مس‬ ‫اد‬‫ا‬‫ج‬ ‫ام‬‫ا‬‫ث‬
ABC∆‫على‬.
:‫المعطٌات‬̅̅̅̅
‫قٌاس‬– ⃡ – 𝟔𝟎°
𝟏𝟑 𝟏𝟎
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬‫مسقط‬ ‫إٌجاد‬‫على‬
‫مسقط‬ ‫مساحة‬ ‫وإٌجاد‬‫على‬
:‫البرهان‬
‫نرسم‬ً‫ف‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمود‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅̅
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅
̅̅̅̅‫على‬ ‫نفسه‬ ‫مسقط‬
‫مسقط‬‫على‬
ً‫ف‬‫نرسم‬̅̅̅̅ ً̅̅̅̅‫ف‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫آخر‬ ‫على‬ ‫عمود‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬
‫أن‬ ‫وبما‬)‫(معطى‬
𝟓)‫ٌنصفها‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫الساقٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫(العمود‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫مبرهنة‬ ‫(نتٌجة‬
∢‫عائدة‬‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬̅̅̅̅)‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫لكن‬𝟔𝟎° ̅̅̅̅)‫(معطى‬
ً‫ف‬ً‫ف‬ ‫القائم‬:√𝟏𝟔𝟗 𝟐𝟓 √𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟐
ً‫ف‬ً‫ف‬ ‫القائم‬:𝟔𝟎 ⇒
𝟏
𝟐 𝟏𝟐
⇒ 𝟔
𝟏
𝟐
𝟏𝟎 𝟔 𝟑𝟎 𝟐
=‫المثلث‬ ‫مساحة‬BCD
)‫.م‬ ‫هـ‬ .‫(و‬
‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ ‫القطعة‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬
‫المستوي‬ ‫على‬ ‫المرسومٌن‬)‫المستقٌمة‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
396
‫تمارين‬
‫س‬1/‫المس‬ ‫قطعة‬ ‫طول‬ ‫أن‬ ‫برهن‬‫ــ‬‫لمس‬ ‫الموازي‬ ‫تقٌم‬‫ــ‬‫مع‬ ٍ‫و‬‫ت‬‫ٌس‬ ‫لوم‬‫ـــــ‬‫مس‬ ‫طول‬ ‫اوي‬‫ـــ‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫قطه‬‫المعلوم‬
.‫وٌوازٌه‬‫(وزاري‬2011‫د‬ /1‫و‬2014‫د‬ /1‫و‬2016‫د‬ /1)
:‫المعطٌات‬̅̅̅̅
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
: ً‫ال‬‫أو‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅
: ً‫ا‬ٌ‫ثان‬
:‫البرهان‬
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫على‬ ‫عمودان‬‫المرس‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ ‫القطعة‬ ‫هو‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬‫ـ‬‫ومٌن‬
)‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅)‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫(المستقٌمان‬
‫المتوازٌٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن‬‫نعٌن‬)‫ٌحتوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
̅̅̅̅)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫اآلخر‬ ‫وٌوازي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫محتوى‬ ‫مستقٌم‬ ‫كل‬ ‫ٌوازي‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫تقاطع‬ ‫(مستقٌم‬
‫أو‬‫المستوي‬ ‫هذا‬ ‫تقاطع‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫ٌوازي‬ ‫فأنه‬ ً‫ا‬‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫(إذا‬
)‫المستقٌم‬ ‫هذا‬ ‫تحوي‬ ً‫الت‬ ‫المستوٌات‬ ‫مع‬
( )‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬1)
‫الشكل‬‫أضالع‬ ‫متوازي‬)‫متوازٌٌن‬ ‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫كل‬ ‫(ألن‬
‫األضالع‬ ‫متوازي‬ ‫خواص‬)‫بالطول‬ ‫متساوٌٌن‬ ‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫كل‬ (
( )‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬2)
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
397
‫س‬2/‫مس‬ ‫قطع‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ‫برهن‬‫ـــ‬.‫علٌه‬ ‫اآلخر‬ ‫مٌل‬ ‫ٌساوي‬ ‫احدهما‬ ‫على‬ ‫مٌله‬ ‫فأن‬ ‫بمستقٌم‬ ‫متوازٌان‬ ‫توٌان‬
‫(وزاري‬2012‫د‬ /2)‫و‬‫(وزاري‬2015‫د‬ /3)
:‫المعطٌات‬
⃡ { }
⃡ { }
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
‫مٌل‬⃡‫على‬‫مٌل‬⃡‫على‬
:‫البرهان‬
‫نرسم‬⃡(‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬)
)‫(معطى‬
⃡‫نقطة‬ ً‫ف‬)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
‫وكذلك‬⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
∢𝟏‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
∢𝟐‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
⃡ ⃡(‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫بمست‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫تقاطع‬ ‫خطأ‬‫متوازٌان‬)
∢𝟏 ∢ 𝟐(‫تساو‬ ‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫زاوٌة‬ ‫ضلعا‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬‫ى‬‫وتواز‬ ‫قٌاسهما‬‫ى‬‫مستوٌهما‬)
‫مٌل‬⃡‫على‬‫مٌل‬⃡‫على‬
)‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬
‫المستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودٌة‬ ‫غٌر‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬
)‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫المرسومٌن‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬
(‫المحاددة‬ ‫الزاوٌاة‬ ً‫ها‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬
‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬‫ذلك‬‫المستو‬‫ي‬)
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
398
‫س‬3/‫بر‬‫ه‬.‫نفسه‬ ‫المٌل‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫المائلة‬ ‫المتوازٌة‬ ‫للمستقٌمات‬ ‫أن‬ ‫على‬ ‫ن‬
‫وزاري‬ (2011‫د‬ /3‫(وزاري‬ )2013‫د‬ /3)
:‫المعطٌات‬
⃡ ⃡‫على‬ ‫مائل‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬⃡‫على‬=‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬⃡‫على‬
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬ً⃡‫ف‬
‫و‬‫لٌكن‬ً⃡‫ف‬
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
1∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
2∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
⃡ ⃡(‫معطى‬)
⃡ ⃡(‫متوازٌان‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫المستقٌمان‬)
∢𝟑 ∢ 𝟒(‫وازى‬ ‫إذا‬‫تساو‬ ‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫زاوٌة‬ ‫ضلعا‬‫ى‬‫مستوٌهما‬ ‫وتوازي‬ ‫قٌاسهما‬)
∢𝟓 ∢𝟔 𝟗𝟎°(‫المس‬‫ــ‬‫مس‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫تقٌم‬‫ــ‬‫جم‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫توي‬‫ـ‬‫المس‬ ‫ٌع‬‫ــــ‬‫تقٌمات‬
) ‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬
∢ 𝟏 ∢ 𝟐(‫المثلث‬ ‫زواٌا‬ ‫قٌاسات‬ ‫مجموع‬𝟏𝟖𝟎°)
‫قٌاس‬‫زاوٌة‬‫مٌل‬⃡‫على‬‫قٌاس‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬⃡‫على‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
(‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬)
(‫اتقٌم‬‫ا‬‫المس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫او‬‫ا‬‫ه‬ ‫اوم‬‫ا‬‫معل‬ ٍ‫و‬‫ات‬‫ا‬‫مس‬ ‫اى‬‫ا‬‫عل‬ ‫اة‬‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ار‬‫ا‬ٌ‫غ‬ ‫اتقٌم‬‫ا‬‫مس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫اقط‬‫ا‬‫مس‬
‫المرسو‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫مٌن‬)
(ً‫ه‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬‫المحددة‬ ‫الزاوٌة‬
‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬)
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
399
‫س‬4/‫زاوٌة‬ ‫أطولهما‬ ‫فإن‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الطول‬ ً‫ف‬ ‫مختلفان‬ ‫مائالن‬ ‫رسم‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ‫على‬ ‫برهن‬
‫مٌل‬‫ه‬.‫علٌه‬ ‫اآلخر‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫من‬ ‫أصغر‬ ‫المستوي‬ ‫على‬
:‫المعطٌات‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬̅̅̅̅(‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬)
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
𝛉 𝟏∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
𝛉 𝟐∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
(‫معطى‬)
𝟏𝟏
)‫التراجح‬ ‫(خواص‬
‫بـ‬ ‫المتراجحة‬ ً‫طرف‬ ‫وبضرب‬:‫ٌنتج‬
𝜽𝟏 𝜽𝟐(‫و‬‫ب‬‫رفع‬‫دالة‬ ‫ألن‬ ‫الطرفٌن‬)‫متزاٌدة‬ ‫دالة‬
𝛉 𝟏
𝜽 𝟐
‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
(‫ار‬‫ا‬ٌ‫غ‬ ‫اتقٌم‬‫ا‬‫مس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫اقط‬‫ا‬‫مس‬‫اتقٌم‬‫ا‬‫المس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫او‬‫ا‬‫ه‬ ‫اوم‬‫ا‬‫معل‬ ٍ‫و‬‫ات‬‫ا‬‫مس‬ ‫اى‬‫ا‬‫عل‬ ‫اة‬‫ا‬ٌ‫عمود‬
‫المرسو‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫مٌن‬)
(‫المح‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬‫ددة‬
‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬‫ذلك‬‫المستوي‬)
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
400
‫س‬5/.‫األطول‬ ‫هو‬ ً‫ال‬ٌ‫م‬ ‫فأصغرهما‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫إلى‬ ‫ما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مائالن‬ ‫رسم‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ‫على‬ ‫برهن‬
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫على‬ ‫مائالن‬
‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬̅̅̅̅(‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬)
̅̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
‫وكذلك‬̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
𝛉 𝟏
∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬̅̅̅̅‫على‬
𝛉 𝟐
∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬̅̅̅̅‫على‬
∢ 𝛉 𝟏
∢ 𝜽 𝟐
‫الـ‬ ‫دالة‬ ‫وبأخذ‬:‫للطرفٌن‬
𝛉 𝟏
𝛉 𝟐
‫و‬‫على‬ ‫المتراجحة‬ ً‫طرف‬ ‫بقسمة‬AD
𝟏 𝟏
‫ٌنتج‬ ‫التراجح‬ ‫وبقلب‬:
(‫التراجح‬ ‫خواص‬)
)‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬
(‫المساتقٌم‬ ‫قطعاة‬ ‫هاو‬ ‫معلاوم‬ ٍ‫و‬‫مسات‬ ‫علاى‬ ‫عمودٌاة‬ ‫غٌار‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬
‫المرسو‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫مٌن‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬)
(‫المحددة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬
‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬)
‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
401
‫س‬6/‫المستقٌم‬ ‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫من‬ ‫أصغر‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫المستقٌم‬ ‫بٌن‬ ‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫أنه‬ ‫على‬ ‫برهن‬
‫آخر‬ ‫مستقٌم‬ ‫وأي‬ ‫نفسه‬‫مرسوم‬.‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫موقعه‬ ‫من‬‫(وزاري‬2012‫د‬ /3)
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅‫على‬ ‫مائل‬,̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
∢ , ̅̅̅̅̅‫بـ‬ ‫محددة‬̅̅̅̅‫و‬̅̅̅̅
∢‫بـ‬ ‫محددة‬̅̅̅̅‫و‬̅̅̅̅̅
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
∢ ∢
:‫البرهان‬
‫نرسم‬̅̅̅̅)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬
‫ونرسم‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستوي‬
‫لتكن‬∢ 𝜽 𝟐 ∢ 𝜽 𝟏
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬)‫(معطى‬
AC AD)‫والمستوي‬ ‫المعلومة‬ ‫النقطة‬ ‫بٌن‬ ‫مسافة‬ ‫أقصر‬ ‫هو‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫(العمود‬
‫على‬ ‫وبالقسمة‬AB
)‫التراجح‬ ‫(خواص‬
𝜽 𝟏 𝜽 𝟐
𝜽 𝟏 𝜽 𝟐
∢ ∢
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬

ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي 2017 الأستاذ علي حميد

  • 2.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 1 ‫األول‬ ‫الفصل‬/‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫تعرٌف‬: ‫مالحظة‬ ‫الجذ‬ ‫كتابة‬ ‫ٌمكننا‬‫بداللة‬ ‫سالب‬ ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬ ‫ألي‬ ‫ر‬𝒊‫ا‬‫ال‬‫فمث‬: ‫مثال‬1)/‫صورة‬ ‫أبسط‬ ً‫ف‬ ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫أكتب‬:𝒂 𝒊 𝟏𝟔 𝒃 𝒊 𝟓𝟖 𝒄 𝒊 𝟏𝟐𝒏+𝟗𝟑 𝒅 𝒊−𝟏𝟑
  • 3.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 2 3 − 5i ‫مالحظة‬ ‫مثال‬2/‫أكتب‬‫الصورة‬ ‫على‬ ‫التالٌة‬ ‫األعداد‬𝒂 + 𝒃𝒊 𝒅 𝟏 + −𝟐𝟓 𝟒 𝒄 − 𝟏 − −𝟑𝒃 −𝟏𝟎𝟎𝒂 − 𝟓 𝒅 𝟏 + −𝟐𝟓 𝟒 = 𝟏 𝟒 + 𝟐𝟓𝒊 𝟒 = 𝟏 𝟒 + 𝟓 𝟒 𝒊 ‫مثال‬/‫التا‬ ‫األعداد‬ ‫أكتب‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫لٌة‬: 𝒂 𝒊 𝟏𝟔 = 𝒊 𝟒 𝟒 = 𝟏 𝟒 = 𝟏 = 𝟏 + 𝟎𝒊 𝒃 𝒊 𝟏𝟓 = 𝒊 𝟏𝟐 . 𝒊 𝟑 = 𝟏 . −𝐢 = −𝐢 = 𝟎 − 𝐢 𝒄 𝒊 −𝟐𝟑 = 𝟏 𝒊 𝟐𝟑 = 𝒊 𝟐𝟒 𝒊 𝟐𝟑 = 𝒊 = 𝟎 + 𝒊 𝒅 𝒊−𝟔 = 𝟏 𝒊 𝟔 = 𝒊 𝟖 𝒊 𝟔 = 𝒊 𝟐 = −𝟏 = −𝟏 + 𝟎𝐢 𝒆 𝒊−𝟒𝟒 = 𝟏 𝒊 𝟒𝟒 = 𝒊 𝟒𝟒 𝒊 𝟒𝟒 = 𝟏 = 𝟏 + 𝟎𝐢 𝒇 𝒊 −𝟏𝟑 = 𝟏 𝒊 𝟏𝟑 = 𝒊 𝟏𝟔 𝒊 𝟏𝟑 = 𝒊 𝟑 = −𝒊 = 𝟎 − 𝒊 𝒐𝒓 𝒊 −𝟏𝟑 = 𝒊 −𝟏𝟑 . 𝒊 𝟏𝟔 = 𝒊 𝟑 = −𝒊 = 𝟎 − 𝒊
  • 4.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 3 / ‫مثال‬ٌ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫أكتب‬‫أ‬ً‫ت‬‫بالصٌغة‬bi: , , , ‫مثال‬/‫ثم‬ ‫التالٌة‬ ‫المركبة‬ ‫لؤلعداد‬ ً‫التخٌل‬ ‫والجزء‬ ً‫الحقٌق‬ ‫الجزء‬ ‫عٌن‬‫الجبرٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫ضعها‬‫المركب‬ ‫للعدد‬. ‫ضع‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫ا‬‫ال‬‫ك‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرٌة‬ ‫أو‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫التساوي‬ ‫خاصٌة‬ ‫مثال‬(3)/‫من‬ ‫كل‬ ‫قٌمة‬ ‫جد‬x ,y‫تحقق‬ ً‫الت‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬: 𝒂 𝟐𝒙 − 𝟏 + 𝟐𝒊 = 𝟏 + 𝒚 + 𝟏 𝒊
  • 5.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 4 𝒃 𝟑𝐱 + 𝟒𝒊 = 𝟐 + 𝟖𝒚𝒊 (c ) 𝟐𝒚 + 𝟏 – 𝟐𝒙 – 𝟏 𝒊 = −𝟖 + 𝟑𝒊 ‫الجمع‬ ‫عملٌة‬‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬ ‫مزع‬ ‫التخٌلٌزة‬ ‫واألجززاء‬ ‫بعضها‬ ‫مع‬ ‫الحقٌقٌة‬ ‫األجزاء‬ ‫نجمع‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫جمع‬ ‫عند‬‫عزدد‬ ‫أٌضزا‬ ‫زو‬ ‫والنزاته‬ ‫بعضزها‬ ‫مركب‬ً‫ٌل‬ ‫وكما‬: ‫نفرض‬𝑪 𝟏 = 𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏 𝒊‫و‬𝑪 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒊: ‫فأن‬ ‫مركبان‬ ‫عددان‬ 𝑪 𝟏 + 𝑪 𝟐 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟏 + 𝒃 𝟐 𝒊 ‫الجمع‬ ‫خواص‬: ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬ ‫مغلقة‬ ‫أبدالٌة‬ ‫تجمٌعٌة‬ ً‫الجمع‬ ‫النظٌر‬ ‫المحاٌد‬ ‫العنصر‬ ‫أبدالٌة‬ ‫زمرة‬ ‫مثال‬(4)/ٌ‫العدد‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬‫ن‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ 𝒂 𝟑 + 𝟒 𝟐 𝒊 , 𝟓 − 𝟐 𝟐 𝒊 𝟑 + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟐 𝟐 = 𝟑 + 𝟓 + 𝟒 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟖 + 𝟐 𝟐 𝟑 , 𝟐 − 𝟓 𝟑 + 𝟎 + 𝟐 − 𝟓 = 𝟑 + 𝟐 + 𝟎 − 𝟓 = 𝟓 − 𝟓 𝟏 − , 𝟑 𝟏 − + 𝟎 + 𝟑 = 𝟏 + 𝟎 + −𝟏 + 𝟑 = 𝟏 + 𝟐
  • 6.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 5 ‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫جمع‬ ‫ناته‬ ‫أوجد‬: 𝟏 = 𝟏 + 𝟓 , = 𝟑 + 𝟕 , = −𝟏 − + + = + 5 + 3 + 7 + − − = + 3 − + 5 + 7 − = 3 + 𝟐 𝟐 + −𝟐 , − 𝟓 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + −𝟓 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟓 + 𝟐 + 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 𝟐 ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫طرح‬ ‫كان‬ ‫أذا‬= + ‫و‬ = +‫فأن‬− = + − ‫مثال‬(5)/: ‫ناته‬ ‫جد‬ 𝟕 − 𝟏𝟑 − 𝟗 + 𝟒 𝟕 − 𝟏𝟑 + −𝟗 − 𝟒 𝟕 − 𝟗 + −𝟏𝟑 − 𝟒 = −𝟐 − 𝟏𝟕 ‫مثال‬(6)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 − 𝟒 + = −𝟓 +‫حٌث‬ℂ = −𝟓 + − 𝟐 − 𝟒 = −𝟓 + + −𝟐 + 𝟒 = −𝟓 − 𝟐 + 𝟏 + 𝟒 = −𝟕 + 𝟓 ‫مثال‬/‫كان‬ ‫أذا‬= 𝟏 + 𝟐 , = −𝟏 − 𝟕 , = −𝟏 − 𝟏𝟏 ‫ما‬ ‫فأوجد‬ً‫ٌل‬−𝟐 − 𝟒 + 𝟑 −𝟐 − 𝟒 + 𝟑 = −𝟐 𝟏 + 𝟐 − 𝟒 −𝟏 − 𝟕 + 𝟑 −𝟏 − 𝟏𝟏 = −𝟐 − 𝟒 + 𝟒 + 𝟐𝟖 + −𝟑 − 𝟑𝟑 = −𝟐 + 𝟒 − 𝟑 + −𝟒 + 𝟐𝟖 − 𝟑𝟑 = −𝟏 − 𝟗 ‫كان‬ ‫أذا‬= 𝟏 + 𝟐 , = −𝟏 − 𝟕 , = −𝟏 − 𝟏𝟏‫ف‬‫ما‬ ‫أوجد‬ً‫ٌل‬: 𝟐 + 𝟑 𝟑𝟑 + +− 𝟑 + 𝟐 − 𝟒 + 𝟐𝟐 + + 𝟑
  • 7.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 6 ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملٌة‬ ‫كان‬ ‫أذا‬= +،= +,k‫فأن‬ 𝟏 . = + + = + + + 𝟐 = − + + 𝟐 . = + = + ‫الضرب‬ ‫عملٌة‬ ‫خواص‬‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬ (1)‫الضرب‬ ‫عملٌة‬‫مغلقة‬‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫دائما‬ ‫الناته‬ ‫أن‬ ‫أي‬ (2)‫الضرب‬ ‫عملٌة‬‫أبدالٌة‬‫أن‬ ‫أي‬𝟏 . 𝟐 = 𝟐 . 𝟏 (3)‫الضرب‬ ‫عملٌة‬‫تجمٌعٌة‬‫أن‬ ‫أي‬𝟏 . 𝟐 . 𝟑 = 𝟏 . 𝟐 . 𝟑 (4)ً‫الضرب‬ ‫المحاٌد‬( ‫و‬1‫وٌكتب‬ )𝟏 = 𝟏 + 𝟎 (5)ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬‫للعدد‬(c)‫و‬−𝟏 ‫و‬‫أن‬ ‫ٌمكن‬‫ٌكتب‬‫بالصٌغة‬ 𝟏 ‫مثال‬(7)/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ناته‬ ‫جد‬: 𝟐 − 𝟑 𝟑 − 𝟓 𝟐 − 𝟑 𝟑 − 𝟓 = 𝟔 − 𝟏𝟎 − 𝟗 + 𝟏𝟓 𝟐 = 𝟔 − 𝟏𝟓 + −𝟏𝟎 − 𝟗 = −𝟗 − 𝟏𝟗 𝟑 + 𝟒 𝟐 𝟑 + 𝟒 𝟐 = 𝟗 + 𝟐𝟒 + 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟗 − 𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 = −𝟕 + 𝟐𝟒 𝟏 + 𝟏 + = + 𝟐 = − 𝟏 = −𝟏 + −𝟓 𝟐 𝟒 + 𝟑 −𝟓 𝟐 𝟒 + 𝟑 = −𝟓 𝟐 𝟒 − 𝟓 𝟐 𝟑 = −𝟏𝟎 − 𝟏𝟓 𝟐 i 𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 : ً‫ٌل‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ناته‬ ‫جد‬ 𝟐 𝟏 + − 𝟑 𝟏 + 𝟐𝟏 𝟐 + −𝟑 𝟏 + 𝟐 −𝟑 𝟒 𝟐 + −𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 + −𝟖 𝟐 + 𝟐 −𝟐
  • 8.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 7 ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫كان‬ ‫أذا‬C‫له‬ ‫ٌرمز‬ ‫مرافقه‬ ‫فأن‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬̅‫كان‬ ‫أذا‬ ‫أي‬= +‫فأن‬̅ = −. : ‫ا‬‫ال‬‫فمث‬𝟑 +‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫و‬𝟑 −‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬‫و‬−. ‫وبالعكس‬ 𝟑 + 𝟐‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫و‬𝟑 − 𝟐‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬𝟑‫و‬𝟑. ‫مالحظة‬ ‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 = +‫هو‬ ‫مرافقه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬𝟐 = −‫و‬‫فأن‬ 𝟏 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 ً‫والضرب‬ ً‫الجمع‬ ‫والنظٌر‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫المرافق‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدناه‬ ‫الجدول‬: ‫المركب‬ ‫العدد‬ً‫الجمع‬ ‫النظٌر‬ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬‫المرافق‬ +− − 𝟏 + − 𝟑 − 𝟐−𝟑 + 𝟐 𝟏 𝟑 − 𝟐 𝟑 + 𝟐 −𝟒𝟒 𝟏 −𝟒 −𝟒 −𝟔𝟔 𝟏 −𝟔 𝟔 𝟑− 𝟑 = 𝟏 𝟑 𝟐− 𝟐 = 𝟏 𝟏 𝟐 = 𝟐 = −𝟏𝟐 = −𝟏 𝟏 , −𝟒−𝟏 , 𝟒 𝟏 𝟏 , −𝟒 𝟏 , 𝟒 ‫مثال‬(8)/‫كان‬ ‫أذا‬𝟐 = 𝟑 − 𝟐 , 𝟏 = 𝟏 +‫فتحقق‬: ‫من‬ 𝟏 𝟏 + 𝟐 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 ̅̅̅ + 𝟐 ̅̅̅ . 𝟏 + 𝟐 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + + 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟒 −̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟒 + . 𝟏 ̅̅̅ + 𝟐 ̅̅̅ = 𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅ + 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 − + 𝟑 + 𝟐 = 𝟒 + . = . 𝟐 𝟏 − 𝟐 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 ̅̅̅ − 𝟐 ̅̅̅ . 𝟏 − 𝟐 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + − 𝟑 + 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = −𝟐 + 𝟑̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = −𝟐 − 𝟑 . 𝟏 ̅̅̅ − 𝟐 ̅̅̅ = 𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅ − 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 − − 𝟑 + 𝟐 = −𝟐 − 𝟑 . = .
  • 9.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 8 𝟑 𝟏. 𝟐 ̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 ̅̅̅ . 𝟐 ̅̅̅ . 𝟏. 𝟐 ̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + . 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟑 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟐 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟓 +̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟓 − . 𝟏 ̅̅̅ . 𝟐 ̅̅̅ = 𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅ . 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 − . 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 − 𝟑 − 𝟐 𝟐 = 𝟓 − 𝟒 𝟏 ̿̿̿ = 𝟏 𝟏 ̿̿̿ = 𝟏 +̿̿̿̿̿̿̿ = 𝟏 −̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + = 𝟏 𝟓 ( 𝟏 𝟐 ) ̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 ̅̅̅ 𝟐 ̅̅̅ 𝟐 𝟎 . ( 𝟏 𝟐 ) ̅̅̅̅̅̅ = ( 𝟏 + 𝟑 − 𝟐 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ( 𝟏 + 𝟑 − 𝟐 𝟑 + 𝟐 𝟑 + 𝟐 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = . 𝟑 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟐 𝟐 𝟗 + 𝟒 / ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ( 𝟏 + 𝟓 𝟏𝟑 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 − 𝟓 𝟏𝟑 . 𝟏 ̅̅̅ 𝟐 ̅̅̅ = 𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅ 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 − 𝟑 + 𝟐 = 𝟏 − 𝟑 + 𝟐 𝟑 − 𝟐 𝟑 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟐 𝟐 𝟗 + 𝟒 = 𝟏 − 𝟓 𝟏𝟑 ‫مالحظة‬ (1)‫ظهور‬ ‫عند‬‫وكسره‬ ‫البسط‬ ‫مقام‬ ‫نضرب‬ ‫المقام‬ ً‫ف‬‫الحل‬ ‫لتبسٌط‬ ‫المقام‬ ‫بمرافق‬. (2)‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫وٌرمز‬ )ً‫الضرب‬ ‫(النظٌر‬ ‫بدل‬ )‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫(مقلوب‬ ‫التعبٌر‬ ‫أستخدام‬ ‫ٌمكن‬−𝟏 ‫ٌساوي‬ ‫و‬ ‫و‬ 𝟏 ( ‫مثال‬9)/‫للعدد‬ ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬ ‫جد‬‫ال‬‫مركب‬= 𝟐 − 𝟐‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫وضعه‬ 𝟏 = 𝟏 𝟐 − 𝟐 = 𝟏 𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟒 + 𝟒 = 𝟐 + 𝟐 𝟖 = 𝟐 𝟖 + 𝟐 𝟖 = 𝟏 𝟒 + 𝟏 𝟒 ( ‫مثال‬10)/‫كان‬ ‫أذا‬ 𝟑−𝟐− 𝟏+𝟓 ,‫من‬ ‫كل‬ ‫قٌمة‬ ‫فجد‬ ‫مترافقان‬,. − 𝟏+𝟓 = ( 𝟑−𝟐 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 𝟏+𝟓 = 𝟑+𝟐 − − − = 𝟑 + 𝟐 𝟏 + 𝟓 − + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏𝟓 + 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟐 − − = −𝟕 + 𝟏𝟕 ‫أن‬ ‫نجد‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫تساوي‬ ‫من‬ − = −𝟕 = 𝟕 ‫الحقيقي‬ − = 𝟏𝟕 = −𝟏𝟕 ‫التخيلي‬
  • 10.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 9 ( ‫مثال‬11)/‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 = 𝟑 − 𝟐,𝟐 = 𝟏 +‫من‬ ‫فتحقق‬( 𝟏 𝟐 ) ̅̅̅̅̅̅ = 𝟏̅̅̅̅ 𝟐̅̅̅̅ . ( 𝟏 𝟐 ) ̅̅̅̅̅̅ = ( 𝟑 − 𝟐 𝟏 + ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ( 𝟑 − 𝟐 𝟏 + 𝟏 − 𝟏 − ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = . 𝟑 − 𝟑 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 / ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ( 𝟏 − 𝟓 𝟐 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + 𝟓 𝟐 = 𝟏 𝟐 + 𝟓 𝟐 . 𝟏 ̅̅̅ 𝟐 ̅̅̅̅ = 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟑 + 𝟐 𝟏 − = 𝟑 + 𝟐 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 + = 𝟑 + 𝟑 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟏 + 𝟓 𝟐 = 𝟏 𝟐 + 𝟓 𝟐 ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫قسمة‬ ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫نضرب‬ ‫أخر‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫على‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫قسمة‬ ‫عند‬ 𝟏 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝟐̅̅̅̅ 𝟐̅̅̅̅ ( ‫مثال‬12)/‫بالصورة‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬+: 𝟏 + 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 + = 𝟏 + + + 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟐 𝟐 = = 𝟎 + 𝟐 − 𝟑 + 𝟒 𝟐 − 𝟑 + 𝟒 𝟑 − 𝟒 𝟑 − 𝟒 = 𝟔 − 𝟖 − 𝟑 + 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 − 𝟏𝟏 𝟗 + 𝟏𝟔 = 𝟐 − 𝟏𝟏 𝟐𝟓 = 𝟐 𝟐𝟓 − 𝟏𝟏 𝟐𝟓 𝟏 + 𝟐 −𝟐 + 𝟏 + 𝟐 −𝟐 + −𝟐 − −𝟐 − = −𝟐 − − 𝟒 − 𝟐 𝟐 −𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟎 − 𝟓 𝟓 = −𝟓 𝟓 = − = 𝟎 − ‫مالحظة‬ ‫تحلٌل‬ ‫ٌمكن‬𝟐 + 𝟐 ‫الصورة‬ ‫من‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫مركبٌن‬ ‫عددٌن‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬+‫أي‬: 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 = − + ( ‫مثال‬13)/‫ح‬‫ا‬‫ال‬‫ك‬ ‫لل‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬‫الصورة‬ ‫من‬ ‫عاملٌن‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬+‫حٌث‬,‫نسبٌة‬ ‫أعداد‬. 𝟏𝟎 𝟓𝟑 𝟑𝟗 𝟏𝟎 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟗 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟑 + 𝟓𝟑 = 𝟒𝟗 + 𝟒 = 𝟒𝟗 − 𝟒 𝟐 = 𝟕 − 𝟐 𝟕 + 𝟐 𝟑𝟗 = 𝟑𝟔 + 𝟑 = 𝟑𝟔 − 𝟑 𝟐 = 𝟔 − 𝟑 𝟔 + 𝟑
  • 11.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 10 − ‫تمارين‬ ‫س‬1/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫ا‬‫ال‬‫ك‬ ‫ضع‬: 𝟓 , 𝟔 , 𝟏𝟐𝟒 , 𝟗𝟗𝟗 , 𝟒 +𝟏 , 𝟐 + 𝟑 𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐 , 𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 , 𝟏 + 𝟒 − 𝟏 − 𝟒 , 𝟏𝟐 + , 𝟑 + 𝟒 𝟑 − 𝟒 , 𝟐 + 𝟑 , ( 𝟑 + 𝟏 + ) 𝟑 , 𝟐 + 𝟑 𝟏 − 𝟏 + 𝟒 𝟒 + , 𝟏 + 𝟑 + 𝟏 − 𝟑 𝟓 = 𝟒 . = 𝟏 . = = 𝟎 + 𝟔 = 𝟒 . 𝟐 = 𝟏 −𝟏 = −𝟏 = −𝟏 + 𝟎 𝟏𝟐𝟒 = 𝟒 𝟑𝟏 = 𝟏 𝟑𝟏 = 𝟏 = 𝟏 + 𝟎 𝟗𝟗𝟗 = 𝟒 𝟐𝟒𝟗 . 𝟑 = 𝟏 𝟐𝟒𝟗 . 𝟐 . = 𝟏. −𝟏 . = − = 𝟎 − 𝟒 +𝟏 = 𝟒 . = 𝟒 . = 𝟏 = = 𝟎 + 𝟐 + 𝟑 𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟏𝟐 + 𝟗 𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟏𝟒 𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 = 𝟎 + 𝟔𝟎 + 𝟎 + 𝟏𝟖 𝟐 = −𝟏𝟖 + 𝟔𝟎 𝟏 + 𝟒 − 𝟏 − 𝟒 = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟏 − 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟐 𝟐 − −𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟐 = 𝟎 = 𝟎 + 𝟎 𝟏𝟐 + = 𝟏𝟐 + − − = −𝟏𝟐 − 𝟐 − 𝟐 = 𝟏 − 𝟏𝟐 𝟏 = 𝟏 − 𝟏𝟐 𝟑 + 𝟒 𝟑 − 𝟒 = 𝟑 + 𝟒 𝟑 − 𝟒 𝟑 + 𝟒 𝟑 + 𝟒 = 𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟔 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐 = −𝟕 + 𝟐𝟒 𝟗 + 𝟏𝟔 = −𝟕 𝟐𝟓 + 𝟐𝟒 𝟐𝟓 𝟐 + 𝟑 = 𝟐 + 𝟑 𝟐 − 𝟑 𝟐 − 𝟑 = 𝟐 − 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 𝟒 + 𝟗 = 𝟑 + 𝟐 𝟏𝟑 = 𝟑 𝟏𝟑 + 𝟐 𝟏𝟑 ( 𝟑 + 𝟏 + ) 𝟑 = ( 𝟑 + 𝟏 + 𝟏 − 𝟏 − ) 𝟑 = . 𝟑 − 𝟑 + − 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 / 𝟑 = ( 𝟒 − 𝟐 𝟐 ) 𝟑 = 𝟐 − 𝟑 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 − = 𝟒 − 𝟒 + 𝟐 𝟐 − = 𝟑 − 𝟒 𝟐 − = 𝟔 − 𝟑 − 𝟖 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 − 𝟏𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟏 − 𝟏 + 𝟒 𝟒 + = 𝟐 + 𝟖 + 𝟑 + 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 + − 𝟒 − 𝟐 = −𝟏𝟎 + 𝟏𝟏 𝟓 − 𝟑 = −𝟏𝟎 + 𝟏𝟏 𝟓 − 𝟑 𝟓 + 𝟑 𝟓 + 𝟑 = −𝟓𝟎 − 𝟑𝟎 + 𝟓𝟓 + 𝟑𝟑 𝟐 𝟓 𝟐 + 𝟑 𝟐 = −𝟖𝟑 + 𝟐𝟓 𝟐𝟓 + 𝟗 = −𝟖𝟑 + 𝟐𝟓 𝟑𝟒 = −𝟖𝟑 𝟑𝟒 + 𝟐𝟓 𝟑𝟒 𝟏 + 𝟑 + 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 + 𝟐 𝟏 + + 𝟏 − 𝟐 𝟏 − = 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟏 + + 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟏 − = 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 = −𝟒 = −𝟒 + 𝟎
  • 12.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 11 ‫س‬2/‫قٌمة‬ ‫جد‬‫من‬ ‫كل‬,: ‫األتٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫تحققان‬ ‫اللتٌن‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬ + 𝟓 = 𝟐 + + 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 + 𝟒 + + 𝟐 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟒 + + 𝟓 = 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 − 𝟐 ‫معادلة‬① 𝟓 = 𝟓 = 𝟏 ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬ = 𝟐 𝟏 𝟐 − 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 = 𝟎 𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏 𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 𝟐 + 𝟏 𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 − 𝟑 𝟖 = − 𝟑 + 𝟐 + 𝟐 − 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 = 𝟑 ‫معادلة‬① 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 𝟐 ⇒ + = 𝟒 = 𝟒 − ② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬ 𝟒 − = 𝟑 𝟒 − 𝟐 = 𝟑 𝟐 − 𝟒 + 𝟑 = 𝟎 − 𝟑 − 𝟏 = 𝟎 − 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬ = 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 = 𝟏 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬ = 𝟑 ( 𝟏 − 𝟏 + ) + + = 𝟏 + 𝟐 𝟐 + = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − ( 𝟏 − 𝟏 + ) = 𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐 − ( 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 − 𝟏 − ) = −𝟑 + 𝟒 − . 𝟏 − − + 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 / + = −𝟑 + 𝟒 − ( −𝟐 𝟐 ) = −𝟑 + 𝟒 + + = −𝟑 + 𝟓 = −𝟑 = 𝟓 𝟐 − 𝟏 + + 𝟑 − 𝟐 + = 𝟏 [ 𝟐 − 𝟏 + 𝟏 − 𝟏 − ] + [ 𝟑 − 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − ] = 𝟒 0 𝟐 − 𝟐 − + 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 1 + 0 𝟔 − 𝟑 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐 1 = 𝟑 [ 𝟏 − 𝟑 𝟐 ] + [ 𝟓 − 𝟓 𝟓 ] = − ( 𝟏𝟎 ‫بالعدد‬ ‫نضرب‬ ) ⇒ 𝟓 𝟏 − 𝟑 + 𝟐 𝟓 − 𝟓 = −𝟏𝟎 𝟓 − 𝟏𝟓 + 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟎 − 𝟏𝟎 𝟓 + 𝟏𝟎 = 𝟎 ‫معادلة‬① −𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 = −𝟏𝟎 ‫معادلة‬ ‫بالجمع‬ ‫أنيآ‬ ‫تحل‬ −𝟏𝟎 = −𝟏𝟎 = 𝟏 ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬ 𝟓 𝟏 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝟏𝟎 = −𝟓 = −𝟓 𝟏𝟎 = −𝟏 𝟐
  • 13.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 12 ‫س‬3/‫أن‬ ‫أثبت‬: 𝟏 𝟐 − 𝟐 − 𝟏 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 𝟐𝟓 ‫األولى‬ ‫الطريقة‬ 𝟏 𝟐 − 𝟐 − 𝟏 𝟐 + 𝟐 = ( 𝟏 𝟐 − ) 𝟐 − ( 𝟏 𝟐 + ) 𝟐 ( 𝟏 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 + ) 𝟐 − ( 𝟏 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − ) 𝟐 ( 𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐 ) 𝟐 − ( 𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐 ) 𝟐 ( 𝟐 + 𝟓 ) 𝟐 − ( 𝟐 − 𝟓 ) 𝟐 = . 𝟒 + 𝟒 + 𝟐 𝟐𝟓 / − . 𝟒 − 𝟒 + 𝟐 𝟐𝟓 / = ( 𝟑 + 𝟒 𝟐𝟓 ) − ( 𝟑 − 𝟒 𝟐𝟓 ) 𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒 𝟐𝟓 = 𝟖 𝟐𝟓 ‫الثانية‬ ‫الطريقة‬ 𝟏 𝟐 − 𝟐 − 𝟏 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟒 + 𝟐 − 𝟒 − 𝟒 + 𝟐 𝟒 − 𝟒 + 𝟐 𝟒 + 𝟒 + 𝟐 𝟑 + 𝟒 − 𝟑 − 𝟒 𝟑 − 𝟒 𝟑 + 𝟒 = 𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒 𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐 = 𝟖 𝟗 + 𝟏𝟔 = 𝟖 𝟐𝟓 ‫الثالثة‬ ‫الطريقة‬ 𝟏 𝟐 − 𝟐 − 𝟏 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 𝟒 − 𝟒 + 𝟐 − 𝟏 𝟒 + 𝟒 + 𝟐 = 𝟏 𝟑 − 𝟒 − 𝟏 𝟑 + 𝟒 ( 𝟏 𝟑 − 𝟒 𝟑 + 𝟒 𝟑 + 𝟒 ) − ( 𝟏 𝟑 + 𝟒 𝟑 − 𝟒 𝟑 − 𝟒 ) = ( 𝟑 + 𝟒 𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐 ) − ( 𝟑 − 𝟒 𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐 ) ( 𝟑 + 𝟒 𝟗 + 𝟏𝟔 ) − ( 𝟑 − 𝟒 𝟗 + 𝟏𝟔 ) = ( 𝟑 + 𝟒 𝟐𝟓 ) − ( 𝟑 − 𝟒 𝟐𝟓 ) = 𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒 𝟐𝟓 = 𝟖 𝟐𝟓 ‫وزاري‬2012/‫د‬3 𝟏 − 𝟐 𝟏 + + 𝟏 + 𝟐 𝟏 − = −𝟐 ‫األولى‬ ‫الطريقة‬ 𝟏 − 𝟑 + 𝟏 + 𝟑 𝟏 + 𝟏 − = 𝟏 − 𝟐 𝟏 − + 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟏 − + 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 = −𝟐 𝟏 − + 𝟐 𝟏 + 𝟐 −𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 = −𝟐 − 𝟐 𝟐 = −𝟒 𝟐 = −𝟐
  • 14.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 13 ‫الثانية‬ ‫الطريقة‬ 𝟏 − 𝟐 𝟏 + + 𝟏 + 𝟐 𝟏 − = 𝟏 − 𝟏 − 𝟏 + + 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 − ( 𝟏 − 𝟏 + ) 𝟏 − + ( 𝟏 + 𝟏 − ) 𝟏 + = ( 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 − 𝟏 − ) 𝟏 − + ( 𝟏 + 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 + ) 𝟏 + . 𝟏 − − + 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 / 𝟏 − + . 𝟏 + + + 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 / 𝟏 + = ( −𝟐 𝟐 ) 𝟏 − + ( 𝟐 𝟐 ) 𝟏 + − 𝟏 − + 𝟏 + = − + 𝟐 + + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = −𝟏 − 𝟏 = −𝟐 ‫الثالثة‬ ‫الطريقة‬ 𝟏 − 𝟐 𝟏 + + 𝟏 + 𝟐 𝟏 − = 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟏 + + 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟏 − = −𝟐 𝟏 + + 𝟐 𝟏 − )‫المقامات‬ ‫(توحٌد‬ ‫المضاعف‬ ‫توجد‬ ‫أو‬ ‫بالمرافق‬ ‫جزء‬ ‫كل‬ ‫تضرب‬ ‫أن‬ ‫تستطٌع‬ ‫نا‬ ‫الطالب‬ ‫عزٌزي‬ ‫الحظ‬ −𝟐 𝟏 − + 𝟐 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 − = −𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏 + 𝟏 = −𝟐 − 𝟐 𝟐 = −𝟒 𝟐 = −𝟐 ‫الرابعة‬ ‫الطريقة‬ 𝟏 − 𝟐 𝟏 + + 𝟏 + 𝟐 𝟏 − = 0 𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟏 − 𝟏 − 1 + 0 𝟏 + 𝟐 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 + 1 = 0 𝟏 − 𝟑 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 1 + 0 𝟏 + 𝟑 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 1 = 0 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 1 + 0 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 1 = 0 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟏 − 𝟐 1 + 0 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟏 + 𝟐 1 = 0 −𝟐 𝟏 − 𝟐 1 + 0 𝟐 𝟏 + 𝟐 1 = 0 −𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 1 + 0 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 1 = [ −𝟐 − 𝟐 𝟐 ] + [ −𝟐 + 𝟐 𝟐 ] = −𝟏 − − 𝟏 + = −𝟐 𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟒 𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ] 𝟏 − 𝟐 [𝟏 + ] = 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒 ‫س‬4/‫ا‬‫ال‬‫ز‬‫ز‬‫ك‬ ‫زل‬‫ز‬‫حل‬‫زداد‬‫ز‬‫األع‬ ‫زن‬‫ز‬‫م‬𝟐𝟗 , 𝟏𝟐𝟓 , 𝟒𝟏 , 𝟖𝟓‫زن‬‫ز‬‫م‬ ‫زاملٌن‬‫ز‬‫ع‬ ‫زرب‬‫ز‬‫ض‬ ‫زل‬‫ز‬‫حاص‬ ‫زى‬‫ز‬‫ال‬ ‫الصورة‬+‫حٌث‬,‫نسبٌان‬ ‫عددان‬: 𝟐𝟗 = 𝟐𝟓 + 𝟒 = 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 = 𝟓 − 𝟐 𝟓 + 𝟐 𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟐𝟏 + 𝟒 = 𝟏𝟐𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟏𝟏 − 𝟐 𝟏𝟏 + 𝟐 𝟒𝟏 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟓 − 𝟒 𝟓 + 𝟒 𝟖𝟓 = 𝟖𝟏 + 𝟒 = 𝟖𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟗 − 𝟐 𝟗 + 𝟐
  • 15.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 14 ‫س‬5/‫قٌمة‬ ‫جد‬,‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬ 𝟔 + , 𝟑+ 𝟐− ‫مترافقان‬. ‫نغٌر‬‫إشارة‬ً‫التخٌل‬ ‫للعدد‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ 𝟑+ 𝟐− ‫المعالة‬ ‫ونحل‬ ‫متساوٌان‬ ‫العددان‬ ‫ٌصبح‬ ً‫لك‬. 𝟔 + = 𝟑 − 𝟐 + 𝟔 𝟐 + = + 𝟑 − + = 𝟔 𝟐 + 𝟑 − + = 𝟔 𝟐 + 𝟑 − 𝟑 + 𝟑 + = 𝟔 𝟔 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟔 𝟓 + 𝟓 𝟗 + 𝟏 = 𝟑𝟎 + 𝟑𝟎 𝟏𝟎 + = 𝟑 + 𝟑 = 𝟑 , = 𝟑 ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافية‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫الجبرٌة‬ ‫أو‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫أكتب‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ 𝟏 𝟓 + 𝟑 𝟏 + + 𝟐 − 𝟐 𝟓 + 𝟓 + 𝟑 + 𝟑 𝟐 + 𝟒 − 𝟒 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟖 + 𝟑 − 𝟒 = 𝟓 + 𝟒 𝟐 . 𝟑 − 𝟏 + 𝟑 / 𝟗 . 𝟑 − 𝟏 + 𝟑 / 𝟗 = . 𝟑 − 𝟏 + 𝟑 𝟏 − 𝟑 𝟏 − 𝟑 / 𝟗 = ( 𝟑 − 𝟑 − + 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 ) 𝟗 = ( −𝟒 𝟒 ) 𝟗 = − 𝟗 = − 𝟖 = − = 𝟎 − 𝟑 𝟏 − −𝟑 𝟐 + 𝟐 − −𝟑 𝟐 𝟏 − 𝟑 𝟐 + 𝟐 − 𝟑 𝟐 = 𝟏 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐 + 𝟒 − 𝟒 𝟑 + 𝟑 𝟐 −𝟐 − 𝟐 𝟑 + 𝟏 − 𝟒 𝟑 = −𝟏 − 𝟔 𝟑 ‫مثال‬/‫مركبٌن‬ ‫عددٌن‬ ‫جد‬‫مترافقٌن‬‫مجموعهما‬𝟔 =‫ضربهما‬ ‫وحاصل‬𝟏𝟎 = ‫أن‬ ‫نفرض‬‫هو‬ ‫العدد‬𝟏 = +‫هو‬ ‫مرافقه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬𝟐 = − 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟔 = 𝟐 = 𝟑 𝟏. 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟏𝟎 = 𝟑 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 = 𝟏 ∴‫هما‬ ‫العددان‬𝟑 −‫و‬𝟑 +
  • 16.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 15 ‫مثال‬/‫أكتب‬‫العدد‬𝟑 + 𝟐 −𝟐 +‫الدٌكارتٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫له‬ ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬. 𝟑 + 𝟐 −𝟐 + = −𝟔 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟐 𝟐 = −𝟖 − ‫االجبرية‬ ‫الصيغة‬ 𝟏 −𝟖 − = 𝟏 −𝟖 − −𝟖 + −𝟖 + = −𝟖 + −𝟖 𝟐 + 𝟏 𝟐 = −𝟖 𝟔𝟓 + 𝟏 𝟔𝟓 = ( −𝟖 𝟔𝟓 , 𝟏 𝟔𝟓 ) ‫الديكارتية‬ ‫الصيغة‬ ‫مثال‬/‫كان‬ ‫أذا‬= −𝟏 + 𝟐‫المعادلة‬ ‫قٌمة‬ ‫فأوجد‬𝟐 + 𝟐 + 𝟓 𝟐 + 𝟐 + 𝟓 = −𝟏 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 −𝟏 + 𝟐 + 𝟓 = 𝟏 − 𝟒 + 𝟒 𝟐 + −𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = −𝟑 − 𝟒 − 𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = 𝟎 = 𝟎 + 𝟎 ‫مثال‬/‫كان‬ ‫أذا‬ℂ‫و‬̅‫ٌحقق‬ ‫الذي‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جد‬ ‫له‬ ‫مرافق‬𝟐 + 𝟑=𝟑 + ̅ = + ̅ = − 𝟑 + + − = 𝟐 + 𝟑 𝟑 + 𝟑 + − = 𝟐 + 𝟑 𝟑 + = 𝟑 𝟒 = 𝟑 = 𝟑 𝟒 𝟑 − = 𝟐 𝟐 = 𝟐 = 𝟏 = + = 𝟑 𝟒 + ‫مثال‬/‫أذا‬‫كان‬= 𝟏𝟑− 𝟒+ ,= 𝟕− 𝟐− ‫أن‬ ‫أثبت‬,‫مترافقان‬‫ثم‬‫ر‬ ‫المقدا‬ ‫أحسب‬𝟐 + 𝟐 𝟐 . ‫الحقيقية‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ينتمي‬ ‫والضرب‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫ناتج‬ ‫أن‬ ‫نثبت‬ = 𝟏𝟑 − 𝟒 + = 𝟏𝟑 − 𝟒 + 𝟒 − 𝟒 − = 𝟓𝟐 − 𝟏𝟑 − 𝟒 + 𝟐 𝟒 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟓𝟏 − 𝟏𝟕 𝟏𝟕 = 𝟓𝟏 𝟏𝟕 − 𝟏𝟕 𝟏𝟕 = 𝟑 − = 𝟕 − 𝟐 − = 𝟕 − 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 + = 𝟏𝟒 + 𝟕 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟏𝟓 + 𝟓 𝟓 = 𝟑 + 𝟑 + + 𝟑 − = 𝟔 𝟑 + 𝟑 − = 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎 , ‫مترافقان‬ 𝟐 + 𝟐 = + = 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟔𝟎
  • 17.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 16 ‫مثال‬/‫بالصٌغة‬ ‫أكتب‬)‫(المرافق‬ ‫المنسب‬ ‫بالعامل‬ ‫الضرب‬ ‫بدون‬ ‫الجبرٌة‬ ‫أو‬ ‫العادٌة‬ 𝟓 𝟏 − 𝟐 𝟓 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + 𝟒 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 − 𝟒 𝟐 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 𝟓 𝟐 − 𝟓 𝟐 − = 𝟒 + 𝟏 𝟐 − = 𝟒 − 𝟐 𝟐 − = 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 − = 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟐 + 𝟑 𝟏𝟑 𝟐 + 𝟑 = 𝟒 + 𝟗 𝟐 + 𝟑 = 𝟒 − 𝟗 𝟐 𝟐 + 𝟑 = 𝟐 − 𝟑 𝟐 + 𝟑 𝟐 + 𝟑 = 𝟐 − 𝟑 𝟏𝟑 𝟑 + 𝟐 𝟏𝟑 𝟑 + 𝟐 = 𝟗 + 𝟒 𝟑 + 𝟐 = 𝟗 − 𝟒 𝟐 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 − 𝟐 𝟑 + 𝟐 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 − 𝟐 𝟏𝟎 𝟏 + 𝟐 𝟏𝟎 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟓 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟏 + 𝟒 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟏 − 𝟒 𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟏 − 𝟐 𝟏𝟎 𝟏 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟒 𝟏𝟎 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟐 + = 𝟐 𝟓 𝟐 + = 𝟐 𝟒 + 𝟏 𝟐 + = 𝟐 𝟒 − 𝟐 𝟐 + = 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 + = 𝟐 𝟐 − = 𝟒 − 𝟐 ‫مثال‬/‫مركبٌن‬ ‫لعددٌن‬ ‫عاملٌن‬ ‫الى‬ ‫حلل‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ 𝟏 𝟐 + 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟐 − 𝟒 𝟐 = − 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟐𝟓 𝟐 𝟐 + 𝟐𝟓 𝟐 = 𝟐 − 𝟐𝟓 𝟐 𝟐 = − 𝟓 + 𝟓 𝟑 𝟑 − 𝟔𝟒 𝟑 − 𝟔𝟒 = 𝟑 + 𝟔𝟒 𝟑 = + 𝟒 𝟐 − 𝟒 − 𝟏𝟔 𝟒 𝟑 + 𝟏 𝟐𝟕 𝟑 + 𝟏 𝟐𝟕 = 𝟑 − 𝟏 𝟐𝟕 𝟑 = ( − 𝟏 𝟑 ) ( 𝟐 + 𝟏 𝟑 + 𝟏 𝟗 𝟐 ) 𝟑 + 𝟏 𝟐𝟕 = ( − 𝟏 𝟑 ) ( 𝟐 + 𝟏 𝟑 − 𝟏 𝟗 ) 𝟓 𝟐 − + 𝟏𝟐 𝟐 − + 𝟏𝟐 = 𝟐 − − 𝟏𝟐 𝟐 = − 𝟒 + 𝟑 𝟔 𝟐 + 𝟕 − 𝟏𝟎 𝟐 + 𝟕 + 𝟏𝟎 𝟐 = + 𝟓 + 𝟐 𝟕 − 𝟐 𝟐 + 𝟒 − 𝟐 𝟐 + 𝟒 = − 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟐 = − 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 + 𝟐
  • 18.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 17 ‫مثال‬/‫قٌمة‬ ‫أوجد‬,‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ً‫والت‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ 𝟑 + 𝟐 𝟐 = + 𝟑 𝟐 𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 + 𝟔 + 𝟗 𝟐 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟒 = 𝟐 + 𝟔 − 𝟗 𝟗 − 𝟒 = 𝟐 − 𝟗 𝟓 = 𝟐 − 𝟗 = 𝟐 − 𝟗 𝟓 ‫معادلة‬ 𝟏𝟐 = 𝟔 𝟐 = ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬ = 𝟐 − 𝟗 𝟓 = 𝟐 𝟐 − 𝟗 𝟓 = 𝟒 𝟐 − 𝟗 𝟓 𝟓 = 𝟒 𝟐 − 𝟗 𝟒 𝟐 − 𝟓 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 𝟐 − 𝟓 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 − 𝟗 + 𝟏 = 𝟎 𝟒 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 = 𝟗 = 𝟗 𝟒 = 𝟐 = 𝟐 ( 𝟗 𝟒 ) = 𝟗 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 = −𝟏 = 𝟐 = 𝟐 −𝟏 = −𝟐 + 𝟓 = 𝟐 + + + 𝟓 = 𝟐 + + + 𝟓 = 𝟐 𝟐 + 𝟐 + + 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐 + 𝟑 − 𝟏 = 𝟐 𝟐 − 𝟏 ‫معادلة‬ 𝟓 = 𝟑 = 𝟓 𝟑 ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬ = 𝟐 ( 𝟓 𝟑 ) 𝟐 − 𝟏 = 𝟐 ( 𝟐𝟓 𝟗 ) − 𝟏 = 𝟓𝟎 𝟗 − 𝟏 = 𝟓𝟎 − 𝟗 𝟗 = 𝟒𝟏 𝟗 + 𝟐 − = 𝟖 + + = 𝟖 + 𝟐 − = 𝟖 + 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 + = 𝟏𝟔 + 𝟖 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟏𝟓 + 𝟏𝟎 𝟓 = 𝟑 + 𝟐 + = 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟐 + + = 𝟏 + = 𝟏 + = 𝟏 + − − = − 𝟐 + 𝟐 + = − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = − 𝟐 + 𝟐
  • 19.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 18 + + − = 𝟏𝟑 − 𝟐 + + 𝟐 − = 𝟏𝟑 − 𝟐 + 𝟐 + − = 𝟏𝟑 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟑 ‫معادلة‬ − = −𝟏 = + 𝟏 ‫معادلة‬ ① ‫معادلة‬②‫في‬ ‫نعوض‬ 𝟐 + + 𝟏 𝟐 = 𝟏𝟑 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏 = 𝟏𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟎 (𝟐 ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫نقسم‬ ) ⇒ 𝟐 + − 𝟔 = + 𝟑 − 𝟐 = 𝟎 + 𝟑 = 𝟎 = −𝟑 = + 𝟏 = −𝟑 + 𝟏 = −𝟐 − 𝟐 = 𝟎 = 𝟐 = + 𝟏 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑 𝟐 + − + = 𝟗 𝟐 + 𝟒𝟗 𝟑 + 𝟕 −𝟐 + 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟗 𝟐 − 𝟒𝟗 𝟐 𝟑 + 𝟕 −𝟑 + 𝟐 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟕 𝟑 + 𝟕 𝟑 + 𝟕 −𝟑 + 𝟐 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟕 −𝟑 = 𝟑 − = ‫معادلة‬ 𝟐 − 𝟐 = −𝟕 𝟐 + 𝟕 = 𝟐 𝟐 = 𝟗 = 𝟑 ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬ = − = − 𝟑 = 𝟑 ‫س‬1/‫حلل‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬‫مركبٌن‬ ‫لعددٌن‬ ‫عاملٌن‬ ‫الى‬: 𝟒 𝟑 + 𝟏 𝟏𝟐𝟓 𝟏 𝟐 + 𝟗 𝟓 𝟐 − + 𝟔𝟐 𝟐 + 𝟏𝟔 𝟐 𝟔 𝟐 + 𝟕 − 𝟏𝟐𝟑 𝟑 − 𝟖 𝟖 𝟑 − 𝟐 𝟐 + 𝟗𝟕 − 𝟏 𝟐 + 𝟒
  • 20.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 19 ‫س‬2/‫قٌمة‬ ‫أوجد‬,‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ً‫والت‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟒 + 𝟐 𝟏 + 𝟑 = 𝟏 + −𝟏 = 𝟏 + 𝟑 𝟏 − 𝟑 𝟏 𝟏 + = + 𝟐 𝟏 + 𝟑 + = 𝟓 + 𝟐 −𝟐 ‫س‬3/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ً‫ٌل‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬: 𝟓 + 𝟐 −𝟐 𝟑 + 𝟒 −𝟏 𝟏 + 𝟐 −𝟐 𝟑 + 𝟒 𝟐 ****************************************************************** ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫كان‬ ‫أذا‬𝟐 =‫فأن‬=‫د‬ ‫للعد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ً ‫و‬‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫أما‬𝟐 = 𝟒‫فأن‬= 𝟐‫زو‬ ‫التالٌة‬ ‫األمثلة‬ ‫الحظ‬ ‫طرٌقتان‬ ‫توجد‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫وألٌجاد‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬. ( ‫مثال‬14)/‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬= 𝟖 + 𝟔 ‫الطرٌقة‬①/‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬(c)‫و‬+ + 𝟐 = 𝟖 + 𝟔 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟖 + 𝟔 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 + 𝟔 𝟐 − 𝟐 = 𝟖 ‫معادلة‬① 𝟐 = 𝟔 = 𝟑 = 𝟑 ‫معادلة‬② ① ‫معادلة‬②‫في‬ ‫نعوض‬ 𝟐 − 𝟗 𝟐 = 𝟖 ( 𝟐 ‫)نضرب‬ ⇒ 𝟒 − 𝟗 = 𝟖 𝟐 𝟒 − 𝟖 𝟐 − 𝟗 = 𝟎 𝟐 − 𝟗 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 = 𝟗 = 𝟑 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬ = 𝟑 = 𝟑 𝟑 = 𝟏 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 = −𝟏 ‫يهمل‬ 𝟑 + , − 𝟑 − ‫هما‬ ‫الجذران‬ ‫الطرٌقة‬②/‫نجزئ‬‫عدد‬ ‫الى‬ ً‫الحقٌق‬ ‫الجزء‬‫ٌن‬ 𝟖 + 𝟔 = 𝟗 + 𝟔 − 𝟏 = 𝟗 + 𝟔 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 ‫بالجذر‬ ⇒ = 𝟑 + 𝟑 + , − 𝟑 − ‫هما‬ ‫الجذران‬
  • 21.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 20 ‫مالحظة‬ ‫لعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫أٌجاد‬ ‫عند‬‫مركب‬‫على‬ ‫ٌحتوي‬‫زو‬ ‫الجزذر‬ ‫نفرض‬+‫كمزا‬ ‫الحزل‬ ‫ونكمزل‬ ‫نربعزه‬ ‫ثزم‬ ً‫التال‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬. ( ‫مثال‬51)/‫لؤلعداد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬:𝟖 , − , −𝟏𝟕, −𝟐𝟓 𝟖 ‫الطرٌقة‬①/‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬𝟖‫و‬+ 𝟖 = + 𝟐 𝟖 = 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟖 = 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 ‫معادلة‬① 𝟐 = 𝟖 = 𝟒 = 𝟒 ‫معادلة‬② ① ‫معادلة‬②‫في‬ ‫نعوض‬ 𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟎 ( 𝟐 ‫)نضرب‬ ⇒ 𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟎 𝟐 − 𝟒 = 𝟎 𝟐 = 𝟒 = 𝟐 ② ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬ = 𝟒 = 𝟒 𝟐 = 𝟐 𝟐 + 𝟒 = 𝟎 𝟐 = −𝟒 ‫تهمل‬ 𝟐 + 𝟐 , −𝟐 − 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬ ‫الطريقة‬②/ 𝟖 = 𝟒 + 𝟖 − 𝟒 = 𝟒 + 𝟖 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 ‫بالجذر‬ ⇒ 𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 , −𝟐 − 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬ − ‫الطرٌقة‬①/‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬−‫و‬+ − = + 𝟐 − = 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 − = 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 ‫معادلة‬① 𝟐 = −𝟏 = −𝟏 𝟐 = −𝟏 𝟐 ‫معادلة‬② ① ‫معادلة‬②‫في‬ ‫نعوض‬ 𝟐 − 𝟏 𝟒 𝟐 = 𝟎 (𝟒 𝟐 ‫)نضرب‬ ⇒ 𝟒 𝟒 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 = 𝟏 𝟐 = 𝟏 𝟐 ② ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬ = −𝟏 𝟐 = −𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) = −𝟏 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟏 𝟐
  • 22.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 21 𝟐 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 = −𝟏 𝟐 = −𝟏 𝟐 ‫تهمل‬ −𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 , 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬ ‫الطريقة‬②/ − = √ 𝟏 𝟐 − − 𝟏 𝟐 = √ 𝟏 𝟐 − + 𝟏 𝟐 𝟐 = √( 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 ) 𝟐 = ( 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 ) −𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 , 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬ − 𝟏𝟕 𝟐 = −𝟏𝟕 = −𝟏𝟕 = 𝟏𝟕 −𝟏 = 𝟏𝟕 𝟐 = 𝟏𝟕 − 𝟐𝟓 𝟐 = −𝟐𝟓 = −𝟐𝟓 = 𝟐𝟓 −𝟏 = 𝟐𝟓 𝟐 = 𝟓 ً‫ف‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ ‫ال‬ ‫تربٌعٌة‬ ‫معادلة‬ ‫كل‬ٌ‫م‬‫الدستور‬ ‫بطرٌقة‬ ‫تحل‬ ً‫فه‬ ‫التجربة‬ ‫بطرٌقة‬ ‫حلها‬ ‫كن‬‫ا‬‫ال‬‫مث‬𝟐 + + = 𝟎 ‫حٌث‬𝟎‫و‬, ,‫فزأن‬= − 𝟐−𝟒 𝟐 ‫ونالح‬‫ـزـ‬‫أن‬ ‫ظ‬‫ــــزـ‬‫مق‬ ‫كزان‬ ‫أذا‬ ‫ه‬‫ــزـ‬ٌ‫المم‬ ‫دار‬‫ـزـ‬‫ز‬ 𝟐 − 𝟒‫ا‬‫ا‬‫سالب‬‫المركبزة‬ ‫األعزداد‬ ‫مجموعزة‬ ‫الزى‬ ً‫تنتمز‬ ‫بالمعادلزة‬ ‫الخاصة‬ ‫الحلول‬ ‫مجموعة‬ ‫فأن‬‫نوعزان‬ ‫وٌوجزد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ‫من‬. ‫الممٌز‬ / ‫األول‬ ‫النوع‬‫ٌحتو‬ ‫ال‬‫ي‬‫على‬ ( ‫مثال‬16)/‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = 𝟎‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ ً‫ف‬. ‫فأن‬ ‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫حسب‬= , = 4 , = 5 = − 𝟐 − 𝟒 𝟐 = −𝟒 𝟏𝟔 − 𝟒 𝟏 𝟓 𝟐 𝟏 = −𝟒 𝟏𝟔 − 𝟐𝟎 𝟐 = −𝟒 −𝟒 𝟐 = −𝟒 𝟒 −𝟏 𝟐 = −𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 = −𝟒 𝟐 𝟐 = −𝟐 {−𝟐 + , −𝟐 − } ‫هي‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬
  • 23.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 22 ‫مالحظة‬ ‫أن‬ ‫نعلم‬ ‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬‫جذري‬‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬𝟐 + + = 𝟎ً‫الت‬ً ‫الحقٌقٌة‬ ‫معامالتها‬ 𝟏 = − + 𝟐 − 𝟒 𝟐 , 𝟐 = − − 𝟐 − 𝟒 𝟐 𝟏 + 𝟐 = − + 𝟐 − 𝟒 𝟐 + − − 𝟐 − 𝟒 𝟐 = − + 𝟐 − 𝟒 − − 𝟐 − 𝟒 𝟐 𝟏 + 𝟐 = −𝟐 𝟐 𝟏 + 𝟐 = − (‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬ 𝟏. 𝟐 = − + 𝟐 − 𝟒 𝟐 − − 𝟐 − 𝟒 𝟐 𝟏. 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟒 − 𝟐 − 𝟒 − 𝟐 − 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 + 𝟒 𝟒 𝟐 = 𝟒 𝟒 𝟐 = 𝟏. 𝟐 = (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) ‫وٌمكن‬‫االستفادة‬ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫أعاله‬ ‫الخاصٌة‬ ‫من‬: 𝟐 − (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎 𝟐 − + = 𝟎 ( ‫مثال‬71)/‫ال‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬ً‫ت‬‫ا‬ ‫جذرا‬𝟐 + 𝟐 −𝟐 − 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟐 + −𝟐 + 𝟐 = 𝟎 + 𝟎 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ −𝟐 − 𝟐 . 𝟐 + 𝟐 = −𝟒 − 𝟒 − 𝟒 − 𝟒 𝟐 = −𝟒 − 𝟖 + 𝟒 = −𝟖 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ 𝟐 − (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎 𝟐 − 𝟎 + −𝟖 = 𝟎 𝟐 − 𝟖 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫مالحظة‬ ً‫ز‬‫ز‬‫الت‬ ‫زة‬‫ز‬ٌ‫التربٌع‬ ‫زة‬‫ز‬‫المعادل‬ً‫ز‬‫ز‬‫والت‬ ‫زة‬‫ز‬ٌ‫حقٌق‬ ‫زا‬‫ز‬‫معامالته‬‫زذرا‬‫ز‬‫ج‬ ‫زد‬‫ز‬‫أح‬‫ا‬+‫زث‬‫ز‬ٌ‫ح‬𝟎‫زو‬‫ز‬ ‫زر‬‫ز‬‫األخ‬ ‫زذر‬‫ز‬‫الج‬ ‫زأن‬‫ز‬‫ف‬ −. ‫صحٌح‬ ‫والعكس‬ ( ‫مثال‬81)/ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬‫وأحد‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫معامالتها‬‫جذر‬ٌ‫ها‬𝟑 − 𝟒 ∵‫و‬ ‫حقيقية‬ ‫المعادلة‬ ‫معامالت‬‫هو‬ ‫الجذرين‬ ‫أحد‬𝟑 − 𝟒 ∴‫ويساوي‬ ‫المرافق‬ ‫هو‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬𝟑 + 𝟒 𝟑 − 𝟒 + 𝟑 + 𝟒 = 𝟑 + 𝟑 + −𝟒 + 𝟒 = 𝟔 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ 𝟑 − 𝟒 . 𝟑 + 𝟒 = 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟗 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ 𝟐 − (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎 𝟐 − 𝟔 + 𝟐𝟓 = 𝟎 𝟐 − 𝟔 + 𝟐𝟓 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
  • 24.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 23 − 2 ‫تمارين‬ ‫س‬1/‫؟‬ ‫مترافقان‬ ‫ا‬ ‫جذرا‬ ‫ٌكون‬ ‫منها‬ ‫أي‬ ‫وبٌن‬ ‫األتٌة‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ 𝟐 = −𝟏𝟐 𝟐 = 𝟏𝟐 𝟐 = 𝟏𝟐 𝟐 = 𝟐 𝟑 (‫مترافقان‬ ‫جذراها‬ ) 𝟐 − 𝟑 + 𝟑 + = 𝟎 = 𝟏 = −𝟑 = 𝟑 + ‫بالدستور‬ ‫تحل‬ = − 𝟐 − 𝟒 𝟐 = − −𝟑 𝟗 − 𝟒 𝟏 𝟑 + 𝟐 𝟏 = 𝟑 𝟗 − 𝟏𝟐 − 𝟒 𝟐 = 𝟑 −𝟑 − 𝟒 𝟐 ‫معادلة‬① ‫الجذر‬ ‫مقدار‬ ‫نحسب‬ ‫األن‬−𝟑 − 𝟒‫نعوضه‬ ‫ثم‬‫المعادلة‬ ً‫ف‬① + = −𝟑 − 𝟒 ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬ ⇒ + 𝟐 = −𝟑 − 𝟒 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟑 − 𝟒 𝟐 − 𝟐 = −𝟑 ‫معادلة‬② 𝟐 = −𝟒 = −𝟒 𝟐 = −𝟐 ‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫معادلة‬③ ‫نعوض‬ 𝟐 − ( −𝟐 ) 𝟐 = −𝟑 𝟐 − 𝟒 𝟐 = −𝟑 ( 𝟐 ‫)نضرب‬ 𝟒 − 𝟒 = −𝟑 𝟐 𝟒 + 𝟑 𝟐 − 𝟒 = 𝟎 𝟐 + 𝟒 𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 + 𝟒 = 𝟎 𝟐 = −𝟒 (‫)يهمل‬ 𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 = 𝟏 = 𝟏 ‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫نعوض‬ = −𝟐 = −𝟐 𝟏 = 𝟐 𝟏 − 𝟐 , −𝟏 + 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬① = 𝟑 − 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + = 𝟑 + 𝟏 − 𝟐 𝟐 = 𝟒 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 − ∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟏 + , 𝟐 − }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬
  • 25.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 24 𝟐 𝟐 − 𝟓 + 𝟏𝟑 = 𝟎 = 𝟐 = −𝟓 = 𝟏𝟑 ‫بالدستور‬ ‫تحل‬ = − 𝟐 − 𝟒 𝟐 = − −𝟓 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 𝟏𝟑 𝟐 𝟐 = 𝟓 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝟒 𝟒 = 𝟓 −𝟕𝟗 𝟒 = 𝟓 𝟕𝟗 𝟐 𝟒 = 𝟓 𝟕𝟗 𝟒 = 𝟓 𝟒 𝟕𝟗 𝟒 ∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬, 𝟓 𝟒 + 𝟕𝟗 𝟒 , 𝟓 𝟒 − 𝟕𝟗 𝟒 -‫مترافقان‬ ‫والجذران‬ 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 − = 𝟎 = 𝟏 = 𝟐 = 𝟐 − = 𝟐 − 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 ‫بالدستور‬ ‫تحل‬ = − 𝟐 − 𝟒 𝟐 = −𝟐 𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟏 + 𝟐 𝟐 𝟏 = −𝟐 𝟒 − 𝟒 − 𝟖 𝟐 = −𝟐 −𝟖 𝟐 ‫معادلة‬① ‫الجذر‬ ‫مقدار‬ ‫نحسب‬ ‫األن‬−𝟖‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضه‬ ‫ثم‬① + = −𝟖 ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬ ⇒ + 𝟐 = −𝟖 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟎 − 𝟖 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 ‫معادلة‬② 𝟐 = −𝟖 = −𝟖 𝟐 = −𝟒 ‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫معادلة‬③ ‫نعوض‬ ( −𝟒 ) 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 (− 𝟐 ‫)نضرب‬ 𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟎 𝟐 − 𝟒 = 𝟎 𝟐 = 𝟒 = 𝟐 ‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫نعوض‬ = −𝟒 = −𝟒 𝟐 = 𝟐 𝟐 − 𝟐 , −𝟐 + 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬① = −𝟐 + 𝟐 − 𝟐 𝟐 = −𝟐 𝟐 = − = −𝟐 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 = −𝟒 + 𝟐 𝟐 = −𝟐 + ∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , − 𝟐 + }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬
  • 26.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 25 ‫الفرع‬ ‫حل‬ ‫ٌمكن‬(d)‫بطرٌقة‬ ‫السابق‬‫قانون‬ ‫بواسطة‬ ‫أخرى‬‫الحل‬ ‫الحظ‬ ‫التجربة‬ 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 − = 𝟎 + + 𝟐 − = 𝟎 = − = −𝟐 + ∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , − 𝟐 + }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬ 𝟒 𝟐 + 𝟐𝟓 = 𝟎 𝟒 𝟐 = −𝟐𝟓 𝟐 = −𝟐𝟓 𝟒 𝟐 = 𝟐𝟓 𝟐 𝟒 = √ 𝟐𝟓 𝟐 𝟒 = 𝟓 𝟐 ∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬,− 𝟓 𝟐 , 𝟓 𝟐 -‫مترافقان‬ ‫والجذران‬ 𝟐 − 𝟐 + 𝟑 = 𝟎 𝟐 − 𝟐 − 𝟑 𝟐 = 𝟎 − 𝟑 + = 𝟎 − 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 + = 𝟎 = − ∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , 𝟑 }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬ 𝟐 − 𝟐 + 𝟑 = 𝟎 (‫أخر‬ ‫حل‬ ) = 𝟏 = −𝟐 = 𝟑 ‫بالدستور‬ ‫تحل‬ = − 𝟐 − 𝟒 𝟐 = − −𝟐 −𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟑 𝟐 𝟏 = 𝟐 −𝟏𝟔 𝟐 = 𝟐 𝟒 𝟐 = 𝟐 ∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , 𝟑 }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬ ‫س‬2/‫كون‬‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬,: ‫حٌث‬ = 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 − 𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − = 𝟏 + 𝟏 + 𝟐 − 𝟏 = 𝟐 + ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ 𝟏 + 𝟐 . 𝟏 − = 𝟏 − + 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟑 + ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ 𝟐 − (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎 𝟐 − 𝟐 + + 𝟑 + = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
  • 27.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 26 = 𝟑 − 𝟏 + = 𝟑 − 𝟐 𝟐 = 𝟑 − 𝟏 + = 𝟑 − 𝟏 + 𝟏 − 𝟏 − = 𝟑 − 𝟑 − + 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟐 − 𝟒 𝟐 = 𝟏 − 𝟐 = 𝟑 − 𝟐 𝟐 = 𝟗 − 𝟏𝟐 + 𝟒 𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 𝟏 − 𝟐 + 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟏 + 𝟓 + −𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟔 − 𝟏𝟒 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ 𝟏 − 𝟐 . 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 + 𝟐𝟒 𝟐 = −𝟏𝟗 − 𝟐𝟐 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ 𝟐 − (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎 𝟐 − 𝟔 − 𝟏𝟒 + −𝟏𝟗 − 𝟐𝟐 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫س‬3/‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬‫لؤلعداد‬‫األتٌة‬ ‫المركبة‬: − 𝟔 + = 𝟔 ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬ ⇒ + 𝟐 = −𝟔 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = −𝟔 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟔 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 ‫معادلة‬① 𝟐 = −𝟔 = −𝟔 𝟐 = −𝟑 ‫معادلة‬② ① ‫في‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬ 𝟐 − ( −𝟑 ) 𝟐 = 𝟎 𝟐 − 𝟗 𝟐 = 𝟎 ( 𝟐 ‫)نضرب‬ ⇒ 𝟒 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 − 𝟗 = 𝟎 𝟐 − 𝟑 𝟐 + 𝟑 = 𝟎 𝟐 − 𝟑 = 𝟎 𝟐 = 𝟑 = 𝟑 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬ = −𝟑 = −𝟑 𝟑 = 𝟑 𝟐 + 𝟑 = 𝟎 𝟐 = −𝟑 (‫تهمل‬ ) − 𝟑 + 𝟑 , 𝟑 − 𝟑 ‫هما‬ ‫الجذران‬
  • 28.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 27 𝟕 + 𝟐𝟒 + = 𝟕 + 𝟐𝟒 ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬ ⇒ + 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒 𝟐 − 𝟐 = 𝟕 ‫معادلة‬① 𝟐 = 𝟐𝟒 = 𝟐𝟒 𝟐 = 𝟏𝟐 ‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬ 𝟐 − ( 𝟏𝟐 ) 𝟐 = 𝟕 𝟐 − 𝟏𝟒𝟒 𝟐 = 𝟕 ( 𝟐 ‫)نضرب‬ ⇒ 𝟒 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝟕 𝟐 𝟒 − 𝟕 𝟐 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝟎 𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 = 𝟏𝟔 = 𝟒 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬ = 𝟏𝟐 = 𝟏𝟐 𝟒 = 𝟑 𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐 = −𝟗 (‫تهمل‬ ) 𝟒 + 𝟑 , −𝟒 − 𝟑 ‫هما‬ ‫الجذران‬ 𝟒 𝟏 − 𝟑 ‫الصٌغة‬ ‫الى‬ ‫تحوٌلة‬ ‫ٌجب‬+‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫الضرب‬ ‫طرٌق‬ ‫عن‬ 𝟒 𝟏 − 𝟑 = 𝟒 𝟏 − 𝟑 𝟏 + 𝟑 𝟏 + 𝟑 = 𝟒 𝟏 + 𝟑 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 = 𝟒 𝟏 + 𝟑 𝟏 + 𝟑 = 𝟒 𝟏 + 𝟑 𝟒 = 𝟏 + 𝟑 ‫الطرٌقة‬①/ + = √ 𝟏 + 𝟑 ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬ ⇒ + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟑 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑 𝟐 − 𝟐 = 𝟏 ‫معادلة‬① 𝟐 = 𝟑 = 𝟑 𝟐 ‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬ . 𝟑 𝟐 / 𝟐 − 𝟐 = 𝟏 𝟑 𝟒 𝟐 − 𝟐 = 𝟏 ( 𝟒 𝟐 ‫)نضرب‬ ⇒ 𝟑 − 𝟒 𝟒 = 𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 + 𝟒 𝟐 − 𝟑 = 𝟎 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 = 𝟏 𝟐 = 𝟏 𝟐 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬ = 𝟑 𝟐 = 𝟑 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟑 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟑 = 𝟎 𝟐 𝟐 = −𝟑 (‫تهمل‬ ) 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 , − 𝟑 𝟐 − 𝟏 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬
  • 29.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 28 ‫الطرٌقة‬②/ √ 𝟏 + 𝟑 = √ 𝟑 𝟐 + 𝟑 − 𝟏 𝟐 = √ 𝟑 𝟐 + 𝟑 + 𝟏 𝟐 𝟐 = √. 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 / 𝟐 = . 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 / 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 , − 𝟑 𝟐 − 𝟏 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬ ‫س‬4/‫ذات‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬‫و‬ ‫جذرٌها‬ ‫وأحد‬ ‫الحقٌقٌة‬ ‫المعامالت‬: ‫و‬ ‫و‬ ‫المرافق‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬ ‫لذا‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬ ‫المعامالت‬− + − = 𝟎 + 𝟎 + 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 + 𝟎 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ . − = − 𝟐 = − −𝟏 = 𝟏 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ 𝟐 − (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎 𝟐 − 𝟎 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ 𝟓 − ‫و‬ ‫و‬ ‫المرافق‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬ ‫لذا‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬ ‫المعامالت‬𝟓 + 𝟓 − + 𝟓 + = 𝟓 + 𝟓 + −𝟏 + 𝟏 = 𝟏𝟎 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ 𝟓 − . 𝟓 + = 𝟐𝟓 − 𝟓 + 𝟓 − 𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟏 = 𝟐𝟔 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ 𝟐 − (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎 𝟐 − 𝟏𝟎 + 𝟐𝟔 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ 𝟐 + 𝟑 𝟒 ‫و‬ ‫و‬ ‫المرافق‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬ ‫لذا‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬ ‫المعامالت‬( 𝟐 𝟒 − 𝟑 𝟒 ) . 𝟐 𝟒 + 𝟑 𝟒 / + . 𝟐 𝟒 − 𝟑 𝟒 / = . 𝟐 𝟒 + 𝟐 𝟒 / + ( 𝟑 𝟒 − 𝟑 𝟒 ) = 𝟐 𝟐 𝟒 = 𝟐 𝟐 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ . 𝟐 𝟒 + 𝟑 𝟒 / . . 𝟐 𝟒 − 𝟑 𝟒 / = . 𝟐 𝟒 / 𝟐 + ( 𝟑 𝟒 ) 𝟐 = 𝟐 𝟏𝟔 + 𝟗 𝟏𝟔 = 𝟏𝟏 𝟏𝟔 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ 𝟐 − (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎 𝟐 − . 𝟐 𝟐 / + ( 𝟏𝟏 𝟏𝟔 ) = 𝟎 𝟐 − 𝟏 𝟐 + 𝟏𝟏 𝟏𝟔 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
  • 30.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 29 ‫س‬5/‫كان‬ ‫أذا‬𝟑 +‫ج‬ ‫أحزد‬ ‫و‬‫ــــزـ‬‫المعادلزة‬ ‫ذري‬𝟐 − + 𝟓 + 𝟓 = 𝟎‫قٌمزة‬ ‫فمزا‬‫ومزا‬ ‫؟‬ ‫األخر؟‬ ‫الجذر‬ ‫قٌمة‬‫وزاري‬2011/‫د‬1 ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬ 𝟑 + + = ‫معادلة‬① (‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬ 𝟑 + . = 𝟓 + 𝟓 (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟓 + 𝟓 𝟑 + = 𝟓 + 𝟓 𝟑 + 𝟑 − 𝟑 − = 𝟏𝟓 − 𝟓 + 𝟏𝟓 − 𝟓 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟐𝟎 + 𝟏𝟎 𝟏𝟎 = 𝟐 + (‫األخر‬ ‫)الجذر‬ = 𝟐 + ( ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫)نعوض‬ 𝟑 + + = 𝟑 + + 𝟐 + = = 𝟓 + 𝟐 ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافية‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫أوجد‬‫المركب‬−𝟓𝟓 − 𝟒𝟖‫أس‬ ‫ثم‬‫ــــ‬‫التربٌعٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫الناته‬ ‫تخدم‬ ‫التالٌة‬𝟐 + 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟏 + = 𝟎 ‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬−𝟓𝟓 − 𝟒𝟖‫و‬+ + = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬ ⇒ + 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 𝟐 − 𝟐 = −𝟓𝟓 ‫معادلة‬① 𝟐 = −𝟒𝟖 = −𝟒𝟖 𝟐 = −𝟐𝟒 ‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬ 𝟓𝟕𝟔 𝟐 − 𝟐 = −𝟓𝟓 ( 𝟐 ‫)نضرب‬ ⇒ 𝟓𝟕𝟔 − 𝟒 = −𝟓𝟓 𝟐 𝟒 − 𝟓𝟓 𝟐 − 𝟓𝟕𝟔 = 𝟎 𝟐 − 𝟔𝟒 𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐 = 𝟔𝟒 = 𝟖 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬ = −𝟐𝟒 = −𝟐𝟒 𝟖 = 𝟑 𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐 = −𝟗 ‫يهمل‬ 𝟑 − 𝟖 , − 𝟑 + 𝟖 ‫هما‬ ‫الجذران‬ ‫المعادلة‬ ‫نحل‬ ‫األن‬𝟐 + 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟏 + = 𝟎‫حٌث‬ ‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫بأستخدام‬ = 𝟏 , = 𝟏 + 𝟐 , = 𝟏𝟑 𝟏 + = − 𝟐 − 𝟒 𝟐 = − 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟏𝟑 + 𝟏𝟑 𝟐 𝟏 = − 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐 − 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐 𝟐 𝟏 = − 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐 𝟐
  • 31.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 30 = − 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 − 𝟓𝟐 𝟐 = − 𝟏 + 𝟐 −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 𝟐 ‫ا‬ ‫الجذور‬ ‫نعوض‬ ‫األن‬‫للعدد‬ ‫سابقا‬ ‫بحسابها‬ ‫قمنا‬ ً‫لت‬−𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 = − 𝟏 + 𝟐 𝟑 − 𝟖 𝟐 𝟏 = −𝟏 − 𝟐 − 𝟑 − 𝟖 𝟐 = −𝟏 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟖 𝟐 = −𝟒 + 𝟔 𝟐 𝟏 = −𝟐 + 𝟑 𝟐 = −𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟖 𝟐 = −𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟖 𝟐 = 𝟐 − 𝟏𝟎 𝟐 𝟐 = 𝟏 − 𝟓 ً ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{−𝟐 + 𝟑 , 𝟏 − 𝟓 } ‫مثال‬‫ا‬ ‫جذر‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬ /𝟑 −, 𝟏𝟎 𝟑− 𝟏 = 𝟑 − , 𝟐 = 𝟏𝟎 𝟑 − = 𝟏𝟎 𝟑 − 𝟑 + 𝟑 + = 𝟏𝟎 𝟑 + 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 = 𝟏𝟎 𝟑 + 𝟏𝟎 𝟐 = 𝟑 + 𝟑 − + 𝟑 + = 𝟑 + 𝟑 + −𝟏 + 𝟏 = 𝟔 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ 𝟑 − . 𝟑 + = 𝟗 + 𝟑 − 𝟑 − 𝟐 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ 𝟐 − (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎 𝟐 − 𝟔 + 𝟏𝟎 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫مثال‬/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬−𝟖 𝟑 = −𝟖 𝟑 + 𝟖 = 𝟎 𝟑 − 𝟖 𝟐 = 𝟎 𝟑 − 𝟖 𝟑 = 𝟎 𝟑 − 𝟖 𝟑 = − 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 𝟐 = − 𝟐 𝟐 + 𝟐 − 𝟒 = 𝟎 − 𝟐 = 𝟎 𝟏 = 𝟐 𝟐 + 𝟐 − 𝟒 = 𝟎 (‫بالدستور‬ ) ⇒ = 𝟏 = 𝟐 = −𝟒 = − 𝟐 − 𝟒 𝟐 = −𝟐 𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟏 −𝟒 𝟐 𝟏 = −𝟐 −𝟒 + 𝟏𝟔 𝟐 = −𝟐 𝟏𝟐 𝟐 = −𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 = − 𝟑 ∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟐 , − + 𝟑 , − − 𝟑}
  • 32.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 31 ‫مثال‬/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬𝟖 𝟑 = 𝟖 𝟑 − 𝟖 = 𝟎 𝟑 − 𝟖 = − 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟎 − 𝟐 = 𝟎 = 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟎 (‫بالدستور‬ ) ⇒ = 𝟏 = 𝟐 = 𝟒 = − 𝟐 − 𝟒 𝟐 = −𝟐 𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 = −𝟐 𝟒 − 𝟏𝟔 𝟐 = −𝟐 −𝟏𝟐 𝟐 = −𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟐 = −𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 = −𝟏 𝟑 ∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟐 , −𝟏 + 𝟑 , −𝟏 − 𝟑 } ‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫أوجد‬𝟐 − 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 ( ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫نقسم‬ ) 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 𝟐 − 𝟐 𝟒 − 𝟐 = 𝟎 𝟐 − 𝟐 𝟑 − 𝟐 = 𝟎 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 (‫بالدستور‬ ‫تحل‬ ) ⇒ = 𝟏 = 𝟐 = −𝟐 = − 𝟐 − 𝟒 𝟐 = −𝟐 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 −𝟐 𝟐 𝟏 = −𝟐 −𝟒 + 𝟖 𝟐 = −𝟐 𝟒 𝟐 = −𝟐 𝟐 𝟐 = − 𝟏 ∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− + 𝟏 , − − 𝟏} ‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫أوجد‬𝟐 − 𝟒 + 𝟒 = 𝟎 𝟐 − 𝟒 + 𝟒 = 𝟎 (‫بالدستور‬ ‫تحل‬ ) ⇒ = 𝟏 = −𝟒 = 𝟒 = − 𝟐 − 𝟒 𝟐 = − −𝟒 −𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 = 𝟒 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟒 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟏 𝟐 = 𝟒 𝟏𝟔 − 𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟒 𝟐 = 𝟐 𝟐 ∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟐 + 𝟐 , 𝟐 − 𝟐 }
  • 33.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 32 ‫مثال‬/‫من‬ ‫كل‬ ‫قٌمة‬ ‫أوجد‬x , y‫التالٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬+ 𝟐 − 𝟖−𝟖 𝟏+ + 𝟏𝟓 = 𝟎 + 𝟐 − 𝟖 − 𝟖 𝟏 + + 𝟏𝟓 = 𝟎 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟖 − 𝟖 𝟏 + − 𝟏𝟓 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = ( 𝟖 − 𝟖 𝟏 + 𝟏 − 𝟏 − ) − 𝟏𝟓 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = . 𝟖 − 𝟖 − 𝟖 + 𝟖 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 / − 𝟏𝟓 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = ( −𝟏𝟔 𝟐 ) − 𝟏𝟓 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟖 − 𝟏𝟓 𝟐 − 𝟐 = −𝟏𝟓 ‫معادلة‬① 𝟐 = −𝟖 = −𝟖 𝟐 = −𝟒 ‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬ ( −𝟒 ) 𝟐 − 𝟐 = −𝟏𝟓 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟐 = −𝟏𝟓 ( 𝟐 ‫)نضرب‬ ⇒ 𝟏𝟔 − 𝟒 = −𝟏𝟓 𝟐 𝟒 − 𝟏𝟓 𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐 = 𝟏𝟔 = 𝟒 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوضها‬ = −𝟒 = −𝟒 𝟒 = 𝟏 𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟐 = −𝟏 ‫تهمل‬ ‫مثال‬/‫من‬ ‫كل‬ ‫قٌمة‬ ‫أوجد‬x , y‫التالٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬+ 𝟐 = 𝟑𝟔−𝟐 𝟑+𝟐 + 𝟐 = 𝟑𝟔 − 𝟐 𝟑 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 = ( 𝟑𝟔 − 𝟐 𝟑 + 𝟐 𝟑 − 𝟐 𝟑 − 𝟐 ) 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = . 𝟏𝟎𝟖 − 𝟕𝟐 − 𝟔 + 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝟐 𝟐 / = ( 𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟖 𝟗 + 𝟒 ) = ( 𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟖 𝟏𝟑 ) 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 − 𝟔 𝟐 − 𝟐 = 𝟖 ‫معادلة‬① 𝟐 = −𝟔 = −𝟔 𝟐 = −𝟑 ‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬ ( −𝟑 ) 𝟐 − 𝟐 = 𝟖 𝟗 𝟐 − 𝟐 = 𝟖 ( 𝟐 ‫)نضرب‬ ⇒ 𝟗 − 𝟒 = 𝟖 𝟐 𝟒 + 𝟖 𝟐 − 𝟗 = 𝟎 𝟐 + 𝟗 𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 − 𝟏 = 𝟎 𝟐 = 𝟏 = 𝟏 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوضها‬ = −𝟑 = −𝟑 𝟏 = 𝟑 𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐 = −𝟗 ‫تهمل‬
  • 34.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 33 ‫مثال‬/ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬‫ا‬ ‫جذرا‬ ‫وأحد‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫معامالتها‬𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟐 = 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 − 𝟐 𝟐 ‫األول‬ ‫الجذر‬ ‫المرافق‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫معامالت‬𝟏 + 𝟐 𝟐 𝟏 − 𝟐 𝟐 + 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 + −𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟐 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ 𝟏 − 𝟐 𝟐 . 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟖 = 𝟗 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ 𝟐 − (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎 𝟐 − 𝟐 + 𝟗 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ****************************************************************** ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬‫لؤلعداد‬‫التالٌة‬−𝟔𝟒 , 𝟔𝟒 , 𝟏𝟐𝟓 , −𝟐𝟕‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬ ‫ثم‬𝟔𝟒 ‫ال‬ ‫التمثٌل‬‫هندس‬‫لؤل‬ ً‫عد‬‫ا‬‫المركب‬ ‫د‬‫ة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬+‫بالنقطة‬ ‫ا‬‫ا‬ٌ‫ندس‬ ‫تمثٌله‬ ‫ٌمكن‬,‫المحور‬ ‫ٌسمى‬ ‫حٌث‬−‫بالمحور‬ ‫المحور‬ ‫أما‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ً‫الحقٌق‬ ‫الجزء‬ ‫ٌمثل‬ ‫و‬ ‫و‬ ً‫الحقٌق‬−‫ٌمثل‬ ‫و‬ ‫و‬ ً‫التخٌل‬ ‫المحور‬ ‫فٌسمى‬ ‫وتسمى‬ ‫ا‬‫ا‬ٌ‫ندس‬ ‫ا‬‫ال‬ٌ‫تمث‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬ ‫تجري‬ ً‫الت‬ ‫العملٌات‬ ‫بعض‬ ‫تمثٌل‬ ‫وٌمكن‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ً‫التخٌل‬ ‫الجزء‬ . ‫المركب‬ ‫بالمستوي‬ ‫ٌحتوٌها‬ ‫الذي‬ ‫المستوي‬ ‫وٌسمى‬ ‫أرجاند‬ ‫بأشكال‬ ‫الناتجة‬ ‫األشكال‬
  • 35.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 34 ‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 = 𝟏 + 𝟏,𝟐 = 𝟐 + 𝟐‫بالنقطتٌن‬ ‫ممثالن‬ ‫مركبان‬ ‫عددان‬𝟏 𝟏 , 𝟏 𝟐 𝟐 , 𝟐: ‫فأن‬ 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟏 + 𝟐 ‫تمثٌل‬ ‫وٌمكن‬𝟏 + 𝟐‫بالنقطة‬𝟑 𝟏 + 𝟐 , 𝟏 + 𝟐‫بالمتجهات‬ ‫المتعلقة‬ ‫المعلومات‬ ‫بأستخدام‬ ‫وذلك‬ : ‫بالشكل‬ ‫موضح‬ ‫وكما‬ : ‫أن‬ ‫أي‬𝟏 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝟐 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝟑 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ( ‫مثال‬19): ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ً‫ف‬ ‫ا‬‫ا‬ٌ‫ندس‬ ‫األتٌة‬ ‫العملٌات‬ ‫مثل‬ / 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐 𝟏 = 𝟑 + 𝟒 𝟏 𝟑, 𝟒 𝟐 = 𝟓 + 𝟐 𝟐 𝟓, 𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟖 + 𝟔 𝟑 𝟖, 𝟔 𝟔 − 𝟐 − 𝟐 − 𝟓 𝟏 = 𝟔 − 𝟐 𝟏 𝟔, −𝟐 𝟐 = 𝟐 − 𝟓 𝟐 −𝟐, 𝟓 𝟏 + − 𝟐 = 𝟔 − 𝟐 + −𝟐 + 𝟓 𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟒 + 𝟑 𝟑 = 𝟒 + 𝟑 𝟑 𝟒, 𝟑
  • 36.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 35 − 3 ‫تمارين‬ ‫س‬1/. ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعٌة‬ ‫ا‬ ‫ونظائر‬ ‫االعداد‬ ‫ذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫األتٌة‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ً‫الجمع‬ ‫النظٌر‬ ‫أكتب‬ 𝟏 = 𝟐 + 𝟑 , 𝟐 = −𝟏 + 𝟑 , 𝟑 = 𝟏 − , 𝟒 = ً‫البٌان‬ ‫تمثٌله‬ً‫الجمع‬ ‫نظٌره‬‫العدد‬ − 𝟏 = −𝟐 − 𝟑 − 𝟏 = −𝟐 , − 𝟑 𝟏 = 𝟐 + 𝟑 𝟏 = 𝟐 , 𝟑 − 𝟐 = 𝟏 − 𝟑 − 𝟐 = 𝟏 , − 𝟑 𝟐 = −𝟏 + 𝟑 𝟐 = −𝟏 , 𝟑 − 𝟑 = −𝟏 + − 𝟑 = −𝟏 , 𝟏 𝟑 = 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 , −𝟏 − 𝟒 = − − 𝟒 = 𝟎 , −𝟏 𝟒 = 𝟒 = 𝟎 , 𝟏
  • 37.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 36 ‫س‬2/‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫األعداد‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالٌة‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬ 𝟏 = 𝟓 + 𝟑 , 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 , 𝟑 = 𝟏 − , 𝟒 = −𝟐 ً‫البٌان‬ ‫تمثٌله‬‫العدد‬ ‫مرافق‬‫العدد‬ ̅ 𝟏 = 𝟓 − 𝟑 𝟏 ̅ 𝟏 = 𝟓 , − 𝟑 𝟏 = 𝟓 + 𝟑 𝟏 𝟏 = 𝟓 , 𝟑 ̅ 𝟐 = −𝟑 − 𝟐 𝟐 ̅ 𝟐 = −𝟑 , − 𝟐 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 𝟐 𝟐 = −𝟑 , 𝟐 ̅ 𝟑 = 𝟏 + 𝟑 ̅ 𝟑 = 𝟏 , 𝟏 𝟑 = 𝟏 − 𝟑 𝟑 = 𝟏 , −𝟏 ̅ 𝟒 = 𝟐 𝟒 ̅ 𝟒 = 𝟎 , 𝟐 𝟒 = −𝟐 𝟒 = 𝟎 , −𝟐
  • 38.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 37 ‫س‬3/‫كان‬ ‫أذا‬= 𝟒 + 𝟐‫من‬ ‫كآل‬ ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬, , − = 4 + 2 = 4 , 2 = 4 − 2 = 4 , −2 − = −4 − 2 − = −4 , −2 ‫س‬4/‫كان‬ ‫أذا‬𝟐 = 𝟏 + 𝟐 , 𝟏 = 𝟒 − 𝟐‫من‬ ‫كآل‬ ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬: −𝟑 𝟐 , 𝟐 𝟏 , 𝟏 − 𝟐 , 𝟏 + 𝟐 −3 = −3 + 2 = −3 − 6 −3 = −3 , −6 2 = 2 4 − 2 = 8 − 4 2 = 8 , −4 − = 4 − 2 − + 2 = 4 − + −2 − 2 = 3 − 4 − = = 3 − 4 = 3, −4 + = 4 − 2 + + 2 = 4 + + −2 + 2 = 5 + i + = = 5 + i = 5,
  • 39.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 38 ‫القطبٌة‬ ‫الصورة‬𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓 𝑭𝒐𝒓𝒎‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫ارا‬‫كان‬= + = ,‫فان‬= =‫و‬= =‫حٍث‬‫أن‬ ‫انجسء‬ً‫انحقٍق‬‫نهعذد‬‫انمركب‬‫انجسء‬ً‫انتخٍه‬‫نهعذد‬‫انمركب‬( )‫مقٍاش‬‫انعذد‬‫انمركب‬‫وهو‬‫ع‬‫ذد‬ ً‫حقٍق‬‫غٍر‬‫سانب‬‫وٌسمى‬‫وٌرمس‬‫نه‬‫بانرمس‬‖ ‖‫و‬‫تسمى‬(𝜃)‫سعة‬‫انعذد‬‫انمركب‬‫وتكتب‬ =‫حٍث‬[ 𝟎 , 𝟐‫أن‬ ‫انقول‬ ‫وٌمكه‬= ‖ ‖ + ‫ٌكتب‬ ‫أو‬= + = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = = ‖ ‖ = = ‖ ‖ ( ‫مثال‬02)/‫كان‬ ‫اذا‬= 𝟏 + 𝟑‫لسعة‬ ‫األساسٌة‬ ‫والقٌمة‬ ‫المقٌاس‬ ‫فجد‬. = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑 = 𝟐 = = ‖ ‖ = 𝟏 𝟐 = = ‖ ‖ = 𝟑 𝟐 = 𝟑 ‫األول‬ ‫الربع‬ = 𝟑 ( ‫مثال‬12)/‫كان‬ ‫اذا‬= −𝟏 −‫للعدد‬ ‫األساسٌة‬ ‫والقٌمة‬ ‫المقٌاس‬ ‫فجد‬. = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐 = = ‖ ‖ = −𝟏 𝟐 = = ‖ ‖ = −𝟏 𝟐 = 𝟒 ‫الثالث‬ ‫الربع‬ = + 𝟒 = 𝟓 𝟒
  • 40.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 39 ( ‫مثال‬22)/: ‫القطبٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫التالٌة‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫عبر‬ ‫وزاري‬2012/‫د‬2 𝟐 𝟑 − 𝟐 = 𝟐 𝟑 − 𝟐 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟒 = 𝟏𝟔 = 𝟒 = = ‖ ‖ = 𝟐 𝟑 𝟒 = 𝟑 𝟐 = = ‖ ‖ = −𝟐 𝟒 = −𝟏 𝟐 = = 𝟐 − 𝟔 = 𝟏𝟏 𝟔 = 𝟒 ( 𝟏𝟏 𝟔 + 𝟏𝟏 𝟔 ) ‫وزاري‬2013/‫د‬1 − 𝟐 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟐 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟒 = 𝟖 = 𝟐 𝟐 = = ‖ ‖ = −𝟐 𝟐 𝟐 = −𝟏 𝟐 = = ‖ ‖ = 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 = = − 𝟒 = 𝟑 𝟒 = 𝟐 𝟐 ( 𝟑 𝟒 + 𝟑 𝟒 ) ( ‫مثال‬32)/‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫عبر‬: ‫القطبٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫التالٌة‬ 𝟏 − 𝟏 − 𝟏 = 𝟏 + 𝟎 = 𝟏 𝟎 + 𝟎 − 𝟏 = −𝟏 + 𝟎 = 𝟏 + = 𝟎 + = 𝟏 ( 𝟐 + 𝟐 ) − = 𝟎 − = 𝟏 ( 𝟑 𝟐 + 𝟑 𝟐 ) ‫مالحظة‬ ( ‫المثال‬ ‫خالل‬ ‫من‬23‫تطبٌقها‬ ‫ٌمكن‬ ‫طرٌقة‬ ‫نستنته‬ ‫السابق‬ ): ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬ 𝟑 = 𝟑 𝟏 = 𝟑 𝟏 + 𝟎 = 𝟑 𝟎 + 𝟎 𝟓 = 𝟓 𝟎 + = 𝟓 ( 𝟐 + 𝟐 ) −𝟐 = 𝟐 −𝟏 = 𝟐 −𝟏 + 𝟎 = 𝟐 + −𝟕 = 𝟕 − = 𝟕 𝟎 − = 𝟕 ( 𝟑 𝟐 + 𝟑 𝟐 )
  • 41.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 40 ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬𝑫𝒆 𝑴𝒐𝒊𝒗𝒓𝒆′ 𝒔 𝑻𝒉𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎 = + = + ‫فأن‬ , ‫لكل‬ = − = − ‫فأن‬ , − ‫لكل‬ = ( 𝟏 ) ( ( + 𝟐 ) + ( + 𝟐 )) = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, , − 𝟏 ( ‫مثال‬42)/‫أحسب‬( 𝟑 𝟖 + 𝟑 𝟖 ) 𝟒 ( 𝟑 𝟖 + 𝟑 𝟖 ) 𝟒 = ( 𝟏𝟐 𝟖 + 𝟏𝟐 𝟖 ) = ( 𝟑 𝟐 + 𝟑 𝟐 ) = 𝟎 − ( ‫مثال‬52)/− = − ‫فأن‬ , ‫لكل‬ ‫بين‬ ‫األيسر‬ ‫الطرف‬ = − = + − = [ + − ] = [ − + − ] = − ‫وبجعل‬ = [ + ] = + = − + − = − = ‫مالحظة‬ ً‫ف‬ ‫مهمة‬ ‫التالٌة‬ ‫القوانٌن‬‫عملٌات‬: ‫التبسٌط‬ + = + − = − + = − − = + ( ‫مثال‬62)‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫أحسب‬ /𝟏 + 𝟏𝟏 .‫وزاري‬3201/‫د‬2‫وزاري‬2015/‫د‬1
  • 42.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 41 = + = = ‖ ‖ = + = + = 2 𝜃 = = ‖ ‖ = 2 𝜃 = = 2 = 4 = + = 𝜃 + i i 𝜃 = 2 ( ( 4 ) + i i ( 4 )) = 2 ( ( 4 ) + i i ( 4 )) = 2 2 ( ( 8 + 3 4 ) + i i ( 8 + 3 4 )) = 2 2 ( (2 + 3 4 ) + i i (2 + 3 4 )) = 32 2 *( 2 ( ) − 2 ( )) + ( 2 ( ) + 2 ( ))+ = 32 2 0( ( 3 4 )) + . ( 3 4 )/1 = 32 2 [ − 2 + 2 ] = 32 − + = −32 + 32 ‫مالحظة‬ − = + − = − + − = − − = − ( ‫مثال‬27)‫المعادلة‬ ‫حل‬ /𝟑 + 𝟏 = 𝟎‫حٌث‬ℂ 𝟑 + 𝟏 = 𝟎 𝟑 = −𝟏 𝟑 = + ‫التكعيبي‬ ‫بالجذر‬ = + 𝟏 𝟑 = ( + 𝟐 𝟑 ) + ( + 𝟐 𝟑 ) = 𝟎, 𝟏, 𝟐 = 𝟎 = ( 𝟑 ) + ( 𝟑 ) = 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 = 𝟏 = + = −𝟏 + 𝟎 = −𝟏 = 𝟐 = ( 𝟓 𝟑 ) + ( 𝟓 𝟑 ) = 𝟏 𝟐 − 𝟑 𝟐 2 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 , −𝟏 , 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 3 ‫هي‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ( ‫مثال‬28)/: ‫للمقدار‬ ‫القطبٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫أوجد‬𝟑 + 𝟐 . ‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
  • 43.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 42 = 𝟑 + = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟐 = = ‖ ‖ = 𝟑 𝟐 = = 𝟏 𝟐 = 𝟔 = 𝟐 ( 𝟔 + 𝟔 ) 𝟐 = 𝟐 𝟐 ( 𝟔 + 𝟔 ) 𝟐 𝟐 = 𝟒 ( 𝟑 + 𝟑 ) 𝟐 𝟏 𝟓 = 𝟒 ( 𝟏 𝟓 ) ( 𝟑 + 𝟑 ) 𝟏 𝟓 = 4 4 6 ( 𝟑 ) + 𝟐 𝟓 7 + i i 6 ( 𝟑 ) + 𝟐 𝟓 75 = 4 6 4 + 𝟔 𝟑 𝟓 5 + 4 + 𝟔 𝟑 𝟓 57 𝟐𝟓 = 𝟒 𝟓 [ ( + 𝟔 𝟏𝟓 ) + ( + 𝟔 𝟑 )] = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 = 𝟎 𝟏 = 𝟒 𝟓 𝟏𝟓 + 𝟏𝟓 = 𝟏 𝟐 = 𝟒 𝟓 𝟕 𝟏𝟓 + 𝟕 𝟏𝟓 = 𝟐 𝟑 = 𝟒 𝟓 𝟏𝟑 𝟏𝟓 + 𝟏𝟑 𝟏𝟓 = 𝟑 𝟒 = 𝟒 𝟓 𝟏𝟗 𝟏𝟓 + 𝟏𝟗 𝟏𝟓 = 𝟒 𝟓 = 𝟒 𝟓 𝟐𝟓 𝟏𝟓 + 𝟐𝟓 𝟏𝟓 = 𝟒 𝟓 𝟓 𝟑 + 𝟓 𝟑
  • 44.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 43 − 4 ‫تمارين‬ ‫س‬1/: ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫أحسب‬ [ 𝟓 𝟐𝟒 + 𝟓 𝟐𝟒 ] 𝟒 [ 𝟓 𝟐𝟒 + 𝟓 𝟐𝟒 ] 𝟒 = [ 𝟐𝟎 𝟐𝟒 + 𝟐𝟎 𝟐𝟒 ] = [ 𝟓 𝟔 + 𝟓 𝟔 ] = * ( − 𝟔 ) + ( − 𝟔 )+ = * ( 𝟔 ) + ( 𝟔 )+ + * ( 𝟔 ) − ( 𝟔 )+ = − 𝟔 + 𝟔 = − 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 [ 𝟕 𝟏𝟐 + 𝟕 𝟏𝟐 ] −𝟑 [ 𝟕 𝟏𝟐 + 𝟕 𝟏𝟐 ] −𝟑 = [ −𝟐𝟏 𝟏𝟐 + −𝟐𝟏 𝟏𝟐 ] = [ −𝟕 𝟒 + −𝟕 𝟒 ] = [ 𝟕 𝟒 − 𝟕 𝟒 ] = * (𝟐 − 𝟒 ) − (𝟐 − 𝟒 )+ = * 𝟐 ( 𝟒 ) + 𝟐 ( 𝟒 )+ − * 𝟐 ( 𝟒 ) − 𝟐 ( 𝟒 )+ = 𝟐 ( 𝟒 ) + 𝟐 ( 𝟒 ) = 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 ‫س‬2/‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫أحسب‬) ‫التعمٌم‬ ‫(أو‬ً‫ٌأت‬ ‫ما‬: ‫وزاري‬2012/‫د‬1 𝟏 − 𝟕 = − = = ‖ ‖ = + = + = 2 𝜃 = = ‖ ‖ = 2 , 𝜃 = = − 2 , = 2 − 4 = 7 4 ‫الرابع‬ ‫الربع‬ = 𝟏 − 𝟕 = 𝜃 + i i 𝜃 = 2 ( 7 4 + i i 7 4 ) = 2 ( 49 4 + i i 49 4 ) = 2 2 * ( 4 + 2 ) + i i ( 4 + 2 )+ = 2 2 *( ( 4 ) 2 − ( 4 ) 2 ) + ( i ( 4 ) 2 + ( 4 ) 2 )+ = 8 2 *( ( 4 ) 2 ) + ( i ( 4 ) 2 )+ = 8 2 * ( 4 ) + i ( 4 )+ = 8 2 [ 2 + 2 ] = 8 + = 8 + 8
  • 45.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 44 ‫وزاري‬2014/‫د‬2 𝟑 + −𝟗 = 𝟑 + = = ‖ ‖ = + = 3 + = 2 𝜃 = = ‖ ‖ = 𝟑 2 𝜃 = = 2 = 6 ‫األول‬ ‫الربع‬ − = 𝟑 + −𝟗 = − 𝜃 + i i 𝜃 − = 2 − ( 6 + i i 6 ) − − = 2 ( ( −9 6 ) + i i ( −9 6 )) = 5 2 ( ( −3 2 ) + i i ( −3 2 )) = 5 2 ( 3 2 − i i 3 2 ) − = 5 2 [ − − ] = 5 2 ‫س‬3/ً‫ٌأت‬ ‫ما‬ ‫بسط‬:‫وزاري‬2013/‫د‬2 𝟐 + 𝟐 𝟓 𝟑 + 𝟑 𝟑 𝟐 + 𝟐 𝟓 𝟑 + 𝟑 𝟑 = [ + 𝟐] 𝟓 [ + 𝟑] 𝟑 = + 𝟏𝟎 + 𝟗 = + + 𝟖 − 𝟒 = 𝜃 + i 𝜃 𝜃 + i 𝜃 𝜃 − i 𝜃 = 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 + i 𝜃 𝜃 − i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 − i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 + i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 = 4 𝜃 + i 4𝜃 ‫س‬4/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫باستخدام‬−𝟏 + 𝟑 = − + 3 = = ‖ ‖ = + = + 3 = 4 = 2 𝜃 = = ‖ ‖ = −𝟏 2 , 𝜃 = = 3 2 = − 3 = 2 3 ‫الثاني‬ ‫الربع‬ = √− + 3 = − + 3 ( ) = ( ) 𝜃 + i i 𝜃 ( ) = 2 ( ) ( ( 2 3 ) + i i ( 2 3 )) ( ) = 2 6 4 2 3 + 2 2 5 + i i 4 2 3 + 2 2 57 = 2 6 4 2 + 6 3 2 5 + i i 4 2 + 6 3 2 57 = 2 [ ( 2 + 6 6 ) + i i ( 2 + 6 6 )] = 𝟎, 𝟏 = 𝟎 = 2[ ( 2 6 ) + ( 2 6 )] = 2 ( 𝟑 + 𝟑 ) = 2 . 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 / = 𝟏 2 + 𝟑 2 = 𝟏 = 2[ ( 8 6 ) + ( 8 6 )] = 2 ( 𝟒 𝟑 + 𝟒 𝟑 ) = 𝟐 * ( + 𝟑 ) + ( + 𝟑 )+ = 2[ ( 𝟑 ) − ( 𝟑 )] + * ( 𝟑 ) + ( 𝟑 )+ = 2[− ( 𝟑 ) − ( 𝟑 )] = 2 . −𝟏 𝟐 − 𝟑 𝟐 / = −𝟏 2 − 𝟑 2
  • 46.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 45 ‫س‬5/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫باستخدام‬𝟐𝟕 = 𝟐𝟕 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟐𝟕 𝟐 = 𝟐𝟕 = = ‖ ‖ = 𝟎 𝟐𝟕 = 𝟎 , = = 𝟐𝟕 𝟐𝟕 = 𝟏 = 𝟐 ‫االول‬ ‫الربع‬ 𝟑 = 𝟐𝟕 𝟑 = 𝟐𝟕 ( 𝟏 𝟑 ) = ( 𝟏 𝟑 ) + ( 𝟏 𝟑 ) = 𝟐𝟕 ( 𝟏 𝟑 ) ( 𝟐 + 𝟐 ) ( 𝟏 𝟑 ) 𝟑 = 𝟐𝟕 𝟑 4 4 𝟐 + 𝟐 𝟑 5 + 4 𝟐 + 𝟐 𝟑 55 = 𝟎, 𝟏, 𝟐 = 𝟎 = 3[ ( 6 ) + ( 6 )] = 𝟑 0 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 1 = 𝟑 𝟑 𝟐 + 𝟑 𝟐 = 𝟏 = 3[ ( 5 6 ) + ( 5 6 )] = 𝟑 * ( − 6 ) + ( − 6 )+ = 𝟑 *− ( 6 ) + ( 6 )+ = 𝟑 0 − 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 1 = −𝟑 𝟑 𝟐 + 𝟑 𝟐 = 𝟐 = 3[ ( 9 6 ) + ( 9 6 )] = 𝟑 [ ( 3 2 ) + ( 3 2 )] = 𝟎 + 𝟑 − = −𝟑 ‫س‬6/‫الجذ‬ ‫جد‬‫األربعة‬ ‫ور‬‫للعدد‬−𝟏𝟔‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫باستخدام‬. = −𝟏𝟔 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟏𝟔 = = ‖ ‖ = −𝟏𝟔 𝟏𝟔 = −𝟏 , = = 𝟎 𝟏𝟔 = 𝟎 = 𝟒 = −𝟏𝟔 𝟒 = −𝟏𝟔 ( 𝟏 𝟒 ) = ( 𝟏 𝟒 ) + ( 𝟏 𝟒 ) = 𝟏𝟔 ( 𝟏 𝟒 ) + ( 𝟏 𝟒 ) = 6 ( ( + 2 ) + i i ( + 2 )) = 4 = 𝟎 = 2[ ( 4 ) + ( 4 )] = 𝟐 [ 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 ] = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 𝟐 = 𝟐[ ( 𝟑 𝟒 ) + ( 𝟑 𝟒 )] = 𝟐[ ( − 𝟒 ) + ( − 𝟒 )] = 𝟐[− ( 𝟒 ) + ( 𝟒 )] = 𝟐 [ −𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 ] = − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 𝟑 = 𝟐[ ( 𝟓 𝟒 ) + ( 𝟓 𝟒 )] = 𝟐[ ( + 𝟒 ) + ( + 𝟒 )] = 𝟐[− ( 𝟒 ) − ( 𝟒 )] = 𝟐 [ −𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 ] = − 𝟐 − 𝟐 = 𝟑 𝟒 = 𝟐[ ( 𝟕 𝟒 ) + ( 𝟕 𝟒 )] = 𝟐[ (𝟐 − 𝟒 ) + (𝟐 − 𝟒 )] = 𝟐[ ( 𝟒 ) − ( 𝟒 )] = 𝟐 [ 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 ] = 𝟐 − 𝟐
  • 47.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 46 ‫س‬7/‫للعدد‬ ‫الستة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬−64‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬. = −64 = = ‖ ‖ = + = 64 = 64 𝜃 = = ‖ ‖ = 𝟎 64 = , 𝜃 = = −𝟔𝟒 64 = − = 3 2 = −64 = −64 ( ) = ( ) 𝜃 + i i 𝜃 ( ) = 64 ( ) ( 3 2 + i i 3 2 ) ( ) = 64 6 4 3 2 + 2 6 5 + i i 4 3 2 + 2 6 57 = 2 [ ( 3 + 4 2 ) + i i ( 3 + 4 2 )] = 𝟎 = 2[ ( 3 2 ) + ( 3 2 )] = 𝟐 * ( 𝟒 ) + ( 𝟒 )+ = 𝟐 [ 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 ] = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 𝟐 = 𝟐[ ( 𝟕 𝟏𝟐 ) + ( 𝟕 𝟏𝟐 )] = 𝟐[ ( 𝟑 + 𝟒 ) + ( 𝟑 + 𝟒 )] = 𝟐 *( ( 𝟑 ) ( 𝟒 ) − ( 𝟑 ) ( 𝟒 )) + ( ( 𝟑 ) ( 𝟒 ) + ( 𝟑 ) ( 𝟒 ))+ = 𝟐 0. 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 − 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 / + . 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 /1 = 𝟐 0. 𝟏 𝟐 𝟐 − 𝟑 𝟐 𝟐 / + . 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟐 /1 = 𝟐 0. 𝟏 − 𝟑 𝟐 𝟐 / + . 𝟑 + 𝟏 𝟐 𝟐 /1 = 𝟏 − 𝟑 𝟐 + 𝟑 + 𝟏 𝟐 = 𝟐 𝟑 = 𝟐[ ( 𝟏𝟏 𝟏𝟐 ) + ( 𝟏𝟏 𝟏𝟐 )] = 𝟐[ ( − 𝟏𝟐 ) + ( − 𝟏𝟐 )] = 𝟐 *( ( 𝟏𝟐 ) + ( 𝟏𝟐 )) + ( ( 𝟏𝟐 ) − ( 𝟏𝟐 ))+ = 𝟐 *− ( 𝟏𝟐 ) + ( 𝟏𝟐 )+ = *− ( 𝟒 − 𝟔 ) + ( 𝟒 − 𝟔 )+ = 𝟐 *− ( ( 𝟒 ) ( 𝟔 ) + ( 𝟒 ) ( 𝟔 )) + ( ( 𝟒 ) ( 𝟔 ) − ( 𝟒 ) ( 𝟔 ))+ = 𝟐 0− . 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 / + . 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 /1 = 𝟐 0 − 𝟑 − 𝟏 𝟐 𝟐 + 𝟑 − 𝟏 𝟐 𝟐 1 = − 𝟑 − 𝟏 𝟐 + 𝟑 − 𝟏 𝟐 = 𝟑 = 2[ ( 5 2 ) + ( 5 2 )] = 𝟐 [ ( 𝟓 𝟒 ) + ( 𝟓 𝟒 )] = 𝟐[ ( + 𝟒 ) + ( + 𝟒 )] = 𝟐 *( ( 𝟒 ) − ( 𝟒 )) + ( ( 𝟒 ) + ( 𝟒 ))+ = 𝟐 *− ( 𝟒 ) − ( 𝟒 )+ = 𝟐 [ −𝟏 𝟐 − 𝟏 𝟐 ] = − 𝟐 − 𝟐
  • 48.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 47 = 𝟒 𝟓 = 𝟐[ ( 𝟏𝟗 𝟏𝟐 ) + ( 𝟏𝟗 𝟏𝟐 )] = 𝟐[ (𝟐 − 𝟓 𝟏𝟐 ) + (𝟐 − 𝟓 𝟏𝟐 )] = 𝟐 [( 𝟐 ( 𝟓 𝟏𝟐 ) + 𝟐 ( 𝟓 𝟏𝟐 )) + ( 𝟐 ( 𝟓 𝟏𝟐 ) − 𝟐 ( 𝟓 𝟏𝟐 ))] = 𝟐 [ ( 𝟓 𝟏𝟐 ) − ( 𝟓 𝟏𝟐 )] = * ( 𝟒 + 𝟔 ) − ( 𝟒 + 𝟔 )+ = 𝟐 *( ( 𝟒 ) ( 𝟔 ) − ( 𝟒 ) ( 𝟔 )) − ( ( 𝟒 ) ( 𝟔 ) + ( 𝟒 ) ( 𝟔 ))+ = 𝟐 0. 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 / − . 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 /1 = 𝟐 0 𝟑 − 𝟏 𝟐 𝟐 − 𝟑 + 𝟏 𝟐 𝟐 1 = 𝟑 − 𝟏 𝟐 − 𝟑 + 𝟏 𝟐 = 𝟓 𝟔 = 𝟐[ ( 𝟐𝟑 𝟏𝟐 ) + ( 𝟐𝟑 𝟏𝟐 )] = 𝟐[ (𝟐 − 𝟏𝟐 ) + (𝟐 − 𝟏𝟐 )] = 𝟐 *( 𝟐 ( 𝟏𝟐 ) + 𝟐 ( 𝟏𝟐 )) + ( 𝟐 ( 𝟏𝟐 ) − 𝟐 ( 𝟏𝟐 ))+ = 𝟐 * ( 𝟏𝟐 ) − ( 𝟏𝟐 )+ = * ( 𝟒 − 𝟔 ) − ( 𝟒 − 𝟔 )+ = 𝟐 *( ( 𝟒 ) ( 𝟔 ) + ( 𝟒 ) ( 𝟔 )) − ( ( 𝟒 ) ( 𝟔 ) − ( 𝟒 ) ( 𝟔 ))+ = 𝟐 0. 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 / − . 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 /1 = 𝟐 0 𝟑 + 𝟏 𝟐 𝟐 − 𝟑 − 𝟏 𝟐 𝟐 1 = 𝟑 + 𝟏 𝟐 − 𝟑 − 𝟏 𝟐 ****************************************************************** ‫األول‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬ ‫حلول‬ ‫س‬1/‫قٌمة‬ ‫جد‬,: ‫تحقق‬ ً‫والت‬ 𝟏+ = 𝟐+𝟒 +𝟐 ‫وزاري‬2013/‫د‬3 𝟏 + = 𝟐 + 𝟒 + 𝟐 𝟏 + 𝟏 − 𝟏 − = 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟐 − 𝟏 𝟐+𝟏 𝟐 = −𝟐 +𝟐 +𝟐 − 𝟐 = − 2 − = 𝟐 − 4 = 𝟐 − = −4 − ⇒ = 𝟒 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬ 𝟒 = 𝟐 = 𝟐
  • 49.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 48 ‫س‬2/‫كان‬ ‫أذا‬= 𝟏− 𝟑 𝟏+ −𝟑 ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫جد‬ , ‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫ا‬‫ا‬‫عدد‬ 𝟏 𝟐 = 𝟏 − 𝟑 𝟏 + −𝟑 = 𝟏 − 𝟑 𝟏 + 𝟑 𝟏 − 𝟑 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 − 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 = 𝟏 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐 𝟏 + 𝟑 = −𝟐 − 𝟐 𝟑 𝟒 = −𝟏 𝟐 − 𝟑 𝟐 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = √. −𝟏 𝟐 / 𝟐 + . − 𝟑 𝟐 / 𝟐 = √ 𝟏 𝟒 + 𝟑 𝟒 = 𝟏 = 𝟏 = = ‖ ‖ = ( −𝟏 𝟐 ) 𝟏 = −𝟏 𝟐 , = = . − 𝟑 𝟐 / 𝟏 = − 𝟑 𝟐 ‫الثالث‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ = + 𝟑 = 𝟒 𝟑 𝟏 𝟐 = . −𝟏 𝟐 − 𝟑 𝟐 / ( 𝟏 𝟐 ) = ( 𝟏 𝟐 ) + ( 𝟏 𝟐 ) = 𝟏 ( 𝟏 𝟐 ) ( 𝟒 𝟑 + 𝟒 𝟑 ) ( 𝟏 𝟐 ) 𝟏 𝟐 = 6 4 𝟒 𝟑 + 2 2 5 + i i 4 𝟒 𝟑 + 2 2 57 = , = 𝟎 𝟏 𝟐 = ( 4 6 ) + ( 4 6 ) = ( 2 3 ) + ( 2 3 ) = ( − 3 ) + ( − 3 ) 𝟏 𝟐 = [ ( 𝟑 ) + ( 𝟑 )] + * ( 𝟑 ) − ( 𝟑 )+ 𝟏 𝟐 = ( 𝟑 ) − ( 𝟑 ) = − 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 = 𝟏 𝟏 𝟐 = [ 4 𝟒 𝟑 + 2 2 5 + 4 𝟒 𝟑 + 2 2 5] = 4 𝟒 + 𝟔 𝟑 2 5 + 4 𝟒 + 𝟔 𝟑 2 5 𝟏 𝟐 = . 𝟏𝟎 6 / + . 𝟏𝟎 6 / = . 5 3 / + . 5 3 / = (2 − 3 ) + (2 − 3 ) 𝟏 𝟐 = [ 2 ( 𝟑 ) + 2 ( 𝟑 )] + * 2 ( 𝟑 ) − 2 ( 𝟑 )+ 𝟏 𝟐 = 2 ( 𝟑 ) − 2 ( 𝟑 ) = 𝟏 𝟐 − 𝟑 𝟐
  • 50.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 49 ‫األول‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارية‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫د‬ /1‫ضع‬ :𝟏 + 𝟑 𝟐 + 𝟑 − 𝟐 𝟐 .‫المركب‬ ‫للعد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ /‫الحل‬‫المقدار‬ = + 6 + 9 + 9 − 2 + 4 = + 6 − 9 + 9 − 2 − 4 = −3 − 6 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬99‫/د‬1ً‫قٍمت‬ ‫جذ‬ :x‫و‬y:‫أن‬ ‫عهمت‬ ‫إرا‬ ‫انحقٍقٍتٍه‬𝟑 + 𝟐 𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 𝟒+𝟑 /‫انحم‬9 + 2 + 4 = + − − 9 − 4 + 2 = − + 9 − 4 + 2 = 32 − 24 9 − 4 = 32 . . , 2 = −24 ⇒ = −2 = − . 2 9 − 4 ( ) = 32 9 − = 32 . ⇒ 9 − 6 = 32 9 − 32 − 6 = 9 + 4 − 4 = ‫يهمـــل‬‫أما‬ 9 + 4 = ‫أو‬ − 4 = = 4 = 2 2 = − = − −2 = ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬1:‫كان‬ ‫إرا‬ := 𝟐 + 𝟑,= 𝟑 −‫قٍمة‬ ‫جذ‬ ,𝟐 + 𝟐 𝟐 . /‫انحم‬= 2 + 3 = 4 + 2 + 9 = −5 + 2 = 3 − = 9 − 6 + = 8 − 6 + 2 = −5 + 2 + 2 8 − 6 = −5 + 2 + 6 − 2 =
  • 51.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 50 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬2‫مه‬ ‫كم‬ ‫قٍمة‬ ‫جذ‬ :x‫و‬y:‫عهمت‬ ‫إرا‬ ‫انحقٍقٍتٍه‬ + + − + = 3 /‫انحم‬+ + − + = 3 + + − + = 3 + + = 3 . , − + = = + . . 2 + + = 3 + + 2 + − 3 = 2 + 2 − 2 = ⇒ + − 6 = + 3 − 2 = + 3 = = −3 = −3 + = −2 − 2 = = 2 = 2 + = 3 ‫وزاري‬ ‫سؤؤؤؤال‬2001‫/د‬1‫ؤؤؤذار‬‫ؤ‬‫انمق‬ ‫ؤؤؤم‬‫ؤ‬‫ض‬ : 𝟕+ 𝟑 𝟏+𝟐 𝟑 ‫ؤؤؤة‬‫ؤ‬‫وانقٍم‬ ‫ؤؤؤاش‬‫ؤ‬ٍ‫انمق‬ ‫ؤؤؤذ‬‫ؤ‬‫ج‬ ‫اؤؤؤم‬ ‫ؤؤؤب‬‫ؤ‬‫انمرك‬ ‫ؤؤؤذد‬‫ؤ‬‫نهع‬ ‫ؤؤؤة‬‫ؤ‬ٌ‫انعاد‬ ‫بانصؤؤؤٍاة‬ .‫نهسعة‬ ‫األساسٍة‬ /‫انحم‬ + + = + + − − = − + − + = − = − 3 ‫المقياس‬ = + 3 = 4 = 2 , 𝜃 = , i 𝜃 = − ‫للسعة‬ ‫األساسية‬ ‫القيمة‬ 𝜃 = 2 − = ‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ 𝜃 ‫وزاري‬ ‫ؤؤؤال‬‫ؤ‬‫س‬2002‫/د‬1‫ؤؤم‬‫ؤ‬‫ض‬ :𝟑 + 𝟐 −𝟐 +ً‫ؤؤرب‬‫ؤ‬ ‫ان‬ ‫ؤؤر‬‫ؤ‬ٍ ‫و‬ ‫ؤؤذ‬‫ؤ‬‫ج‬ ‫ؤؤم‬‫ؤ‬‫ا‬ ‫ؤؤب‬‫ؤ‬‫انمرك‬ ‫ؤؤذد‬‫ؤ‬‫نهع‬ ‫ؤؤة‬‫ؤ‬ٌ‫انعاد‬ ‫ؤؤٍاة‬‫ؤ‬‫بانص‬ .ً‫ا‬ ٌ‫أ‬ ‫انعادٌة‬ ‫وبانصٍاة‬ /‫انحم‬3 + 2 −2 + = −6 + 3 − 4 + 2 = −8 − ‫الضربي‬ ‫النظير‬ = − − − + − + = − + + = − + ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬− −3 − 4 + 5 + 6 =
  • 52.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 51 ‫سؤال‬2002‫/د‬2‫كان‬ ‫اذا‬ := − 𝟑, 𝟏‫والقٌمة‬ ‫مقٌاسه‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫العدد‬ ‫لهذا‬ ‫الجبري‬ ‫الشكل‬ ‫أكتب‬ ,‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫ا‬‫ا‬‫عدد‬ .‫لسعته‬ ‫األساسٌة‬ /‫الحل‬= − 3 + ‫الجبري‬ ‫الشكل‬ ║ = 3 + = 4 = 2 ‫المقياس‬ , 𝜃 = − , i 𝜃 = ‫للسعة‬ ‫األسياسية‬ ‫القيمة‬ 𝜃 = − 6 = 5 6 ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ 𝜃 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ := 𝟏 − , = 𝟑 + 𝟐‫أن‬ ‫إثبت‬+ = +. /‫الحل‬+ = 3 + 2 + − = 4 + = 4 − + = 3 + 2 + − = 3 − 2 + + = 4 − + = + ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬1‫المركب‬ ‫للعدد‬ ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬ ‫جد‬ :𝟑 + 𝟓.‫العادٌة‬ ‫بالصورة‬ ‫ضعه‬ ‫ثم‬ /‫الحل‬‫الضربي‬ ‫النظير‬ = + = + − − = − + = − = − ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬2‫كان‬ ‫إذا‬ :Z( ‫مقٌاسه‬ ‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫ا‬‫ا‬‫عدد‬2‫وسزعته‬ )( 𝟑 )‫والجبزري‬ ً‫الزدٌكارت‬ ‫الشزكل‬ ‫مزن‬ ‫كزال‬ ‫جزد‬ .‫العدد‬ ‫لهذا‬ /‫الحل‬𝜃 = = = = i 𝜃 = i = = = 3 ‫الجبري‬ ‫الشكل‬= + 3 ‫الديكارتي‬ ‫الشكل‬= , 3
  • 53.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 52 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2004‫/د‬1‫المركب‬ ‫للعد‬ ‫العادٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫جد‬ :𝟏 − 𝟑 𝟐 + 𝟐 − 𝟑 𝟐 . /‫الحل‬− 𝟑 + 2 − 𝟑 = − 2 𝟑 + 3 + 4 − 4 𝟑 + 3 = 5 − 6 𝟑 − 3 − 3 = − − 6 𝟑 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2005‫/د‬1‫ناته‬ ‫جد‬ :𝟑 + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟑 𝟏 +.‫الدٌكارتٌة‬ ‫بالصٌغة‬ /‫الحل‬‫المقدار‬ = 9 + 24 + 6 + 5 + 5 − 3 − 3 = 9 − 6 + 5 + 3 + 24 + 5 − 3 = + 26 ,26 ‫الديكارتية‬ ‫الصيغة‬ ‫سؤال‬2005‫/د‬2‫كان‬ ‫إذا‬ := −𝟏 + 𝟐‫فجد‬𝟐 + 𝟑 + 𝟓.‫الدٌكارتٌة‬ ‫بالصٌغة‬ + 3 + 5 = − + 2 + 3 − + 2 + 5 = − 4 + 4 − 3 + 6 + 5 = − + 2 ‫الصيغة‬‫الديكارتية‬− ,2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :z( ‫مقٌاسه‬ ‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫عددا‬4‫االساسٌة‬ ‫وسعته‬ )( 𝟓 𝟔 )ً‫الدٌكارت‬ ‫الشكل‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫فجد‬ ‫للعد‬ ‫الجبري‬ ‫والشكل‬‫د‬z. /‫الحل‬= − = 2 = −4 3 = −2 3 i = = 2 = 4 = 2 ‫الجبري‬ ‫الشكل‬= −2 3 + 2 ‫الديكارتي‬ ‫الشكل‬= −2 3, 2
  • 54.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 53 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬1ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y:‫المعادلة‬ ‫من‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬𝟐 + + 𝟐 = 𝟐 + 𝟗. /‫الحل‬2 + 4 + + 2 = 2 + 9 2 − 2 + 4 + = 2 + 9 2 − 2 = 2 2 = 4 = 2 = 4 + = 9 . 2 4 + = 9 . ⇒ 4 + 2 = 9 4 − 9 + 2 = 4 − − 2 = ‫أما‬ 4 − = 4 = = 4 = 2 4 = 8 ‫أو‬ − 2 = = 2 = 2 2 = ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬2ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y:‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬ 3 − 2 + + = 7 /‫الحل‬6 + 3 − 2 − + = + 7 6 + 2 + 3 − 2 = + 7 6 + 2 = ⇒ = −2 = − . . 3 − 2 = 7 . 2 3 − 2 ( − ) = 7 . ⇒ 3 + 4 = 7 3 − 7 + 4 = 3 − 4 − = 3 − 4 = 3 = 4 = = − = − = − − = = = − = −2
  • 55.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 54 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬1‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬ :𝟑 + 𝟒. /‫الحل‬‫نفرض‬ 3 + 4 = + ‫بالتربيع‬ 3 + 4 = − + 2 − = 3 . . , 2 = 4 ⇒ = 2 = 2 . . 2 − 4 = 3 . ⇒ − 4 = 3 − 3 − 4 = − 4 + = − 4 = = 4 = { 2 = −2 = − 3 + 4 = , 2 + −2 − ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬2‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫األساسٌة‬ ‫والسعة‬ ‫المقٌاس‬ ‫جد‬ :( 𝟐 𝟏+ ). /‫الحل‬ + = + − − = − = + = + = + ‫المقياس‬ = + = 2 , 𝜃 = , i 𝜃 = 𝜃 = ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬1‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫للسعة‬ ‫األساسٌة‬ ‫والقٌمة‬ ‫المقٌاس‬ ‫جد‬ :𝟏 + 𝟑 𝟐 . /‫الحل‬+ 3 = + 2 3 + 3 = −2 + 2 3 ‫المقياس‬ = 4 + 2 = 6 = 4 , 𝜃 = − = − , i 𝜃 = = = − = ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬2ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫واللتان‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬ + 5 = 2 + + /‫الحل‬+ 5 = 2 + 2 + + + 5 = 2 − + 3 = 2 − . , 5 = 3 = = 2 ( ) − = − = − = = 4
  • 56.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 55 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1:‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬ : 𝟏𝟒+𝟐 𝟏+ . /‫الحل‬ + + = + + − − = − + − = − = 8 − 6 ‫نفرض‬ 8 − 6 = + ‫بالتربيع‬ ⇒ 8 − 6 = − + 2 − = 8 . . , 2 = −6 ⇒ = −3 = − . 2 − 9 = 8 . ⇒ − 9 = 8 − 8 − 9 = − 9 + = ‫يهمل‬ − 9 = = 9 = { 3 = − −3 = 8 − 6 = , 3 − −3 + ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2‫المعادلة‬ ‫حل‬ :𝟒 + 𝟏𝟑 𝟐 + 𝟑𝟔 = 𝟎‫حٌث‬z.‫مركب‬ ‫عدد‬ /‫الحل‬+ 9 + 4 = + 9 = = −9 = 9 = 3 + 4 = = −4 = 4 = 2 ‫مج‬ = {−2 , 2 , −3 , 3 }
  • 57.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 56 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y:‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫واللتان‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬ + 𝟑 − 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟓 /‫الحل‬− 2 + 3 − 6 = 2 + 5 + 6 + −2 + 3 = 2 + 5 + 6 = 2 = 6 = . −2 + 3 = 5 2 −2 + 3 ( ) = 5 . ⇒ −2 + 8 = 5 2 + 5 − 8 = 2 + 9 − 2 = 2 + 9 = 2 = −9 = − = = − = = − − 2 = = 2 = = = 3 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬2‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌٌن‬ ‫الجذرٌن‬ ‫جد‬ :z‫حٌث‬= −𝟏 + 𝟕 𝟏 + /‫الحل‬= − − + 7 + 7 = −8 + 6 ‫نفرض‬ −8 + 6 = + ‫بالتربيع‬ ⇒ −8 + 6 = − + 2 − = −8 . , 2 = 6 = 3 = . . 2 − ( ) = −8 − = −8 . ⇒ − 9 = −8 + 8 − 9 = + 9 − = ‫أما‬ + 9 = ‫يهمل‬ ‫أو‬ − = = = { = 3 − = −3 −8 + 6 = , + 3 − − 3
  • 58.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 57 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2012‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ : 𝟐+ 𝟑− , 𝟓 + ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ ,‫مترافقٌن‬y,x.‫الحقٌقٌتٌن‬ /‫الحل‬ + = − + 2 − + = 5 + 5 + = + − + + + = + + + + + = + = 5 , = 5+ = 5 + 5 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2012‫/د‬2:: ‫المقدار‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫ضع‬𝟏 + 𝟓 + 𝟏 − 𝟓 /‫الحل‬ 𝟏 + 𝟓 − 𝟏 − 𝟓 = [ 𝟏 + 𝟐] 𝟐 𝟏 + − [ 𝟏 − 𝟐] 𝟐 𝟏 − = 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏 + − 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏 − = 𝟐 𝟐 𝟏 + − −𝟐 𝟐 𝟏 − = −𝟒 𝟏 + − −𝟒 𝟏 − = −𝟒 − 𝟒 + 𝟒 − 𝟒 = −𝟖 = 𝟎 − 𝟖 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2013‫/د‬1:: ‫قٌمة‬ ‫جد‬𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 ‫الصفحة‬ ً‫ف‬ ‫محلول‬ ‫السؤال‬ ‫ذا‬ /‫الحل‬(13)‫أثبت‬ ‫بصٌغة‬𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟒 𝟏 − 𝟏 − 𝟐 𝟏 − 𝟑 = 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ] = 𝟏 − 𝟐 [𝟏 + ] = 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2013‫/د‬3: ‫كان‬ ‫أذا‬𝟐 = 𝟓 + 𝟐 , 𝟏 = 𝟑 + 𝟒‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ً‫ف‬ ‫وضح‬𝟏 + 𝟐 /‫الحل‬ 𝟏 = 𝟑 + 𝟒 𝟏 = 𝟑 , 𝟒 𝟐 = 𝟓 + 𝟐 𝟐 = 𝟓 , 𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐 𝟑 = 𝟖 + 𝟔 𝟑 = 𝟖 , 𝟔
  • 59.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 58 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬1:‫القطبٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫جد‬‫الخمسة‬ ‫للجذور‬: ‫للمقدار‬√ 𝟑 + 𝟐𝟓 = 𝟑 + = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟐 = = ‖ ‖ = 𝟑 𝟐 = = 𝟏 𝟐 = 𝟔 = 𝟐 ( 𝟔 + 𝟔 ) 𝟐 = 𝟐 𝟐 ( 𝟔 + 𝟔 ) 𝟐 𝟐 = 𝟒 ( 𝟑 + 𝟑 ) 𝟐 𝟏 𝟓 = 𝟒 ( 𝟏 𝟓 ) ( 𝟑 + 𝟑 ) 𝟏 𝟓 = 4 4 6 ( 𝟑 ) + 𝟐 𝟓 7 + i i 6 ( 𝟑 ) + 𝟐 𝟓 75 = 4 6 4 + 𝟔 𝟑 𝟓 5 + 4 + 𝟔 𝟑 𝟓 57 𝟐𝟓 = 𝟒 𝟓 [ ( + 𝟔 𝟏𝟓 ) + ( + 𝟔 𝟏𝟓 )] = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 = 𝟎 𝟏 = 𝟒 𝟓 𝟏𝟓 + 𝟏𝟓 = 𝟏 𝟐 = 𝟒 𝟓 𝟕 𝟏𝟓 + 𝟕 𝟏𝟓 = 𝟐 𝟑 = 𝟒 𝟓 𝟏𝟑 𝟏𝟓 + 𝟏𝟑 𝟏𝟓 = 𝟑 𝟒 = 𝟒 𝟓 𝟏𝟗 𝟏𝟓 + 𝟏𝟗 𝟏𝟓 = 𝟒 𝟓 = 𝟒 𝟓 𝟐𝟓 𝟏𝟓 + 𝟐𝟓 𝟏𝟓 = 𝟒 𝟓 𝟓 𝟑 + 𝟓 𝟑
  • 60.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 59 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3:‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫جد‬= 𝟓 − 𝟓 /‫الحل‬ = ‖ ‖ = = 𝟐 + 𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟐𝟓 = 𝟓𝟎 = 𝟓 𝟐 = ‖ ‖ = 𝟓 𝟓 𝟐 = 𝟏 𝟐 , = ‖ ‖ = −𝟓 𝟓 𝟐 = −𝟏 𝟐 = 𝟐 − 𝟒 = 𝟕 𝟒 ‫الرابع‬ ‫الربع‬ = 𝟓 𝟐 𝟕 𝟒 + 𝟕 𝟒 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬2:‫كان‬ ‫اذا‬𝟐 − 𝟒‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫أحد‬ ‫و‬𝟐 𝟐 – – + – 𝟔 = 𝟎, ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ , ‫حقٌقٌة‬ ‫معامالتها‬, /‫الحل‬‫مترافقان‬ ‫الجذران‬ ‫فان‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬ = 𝟐 − 𝟒 , = 𝟐 + 𝟒 + = 𝟐 − 𝟒 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟒 . = 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟒 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟎 𝟐 – 𝟒 + 𝟐𝟎 = 𝟎 .𝟐 ⇒ 𝟐 𝟐 – 𝟖 + 𝟒𝟎 = 𝟎 ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬ 𝟐 𝟐 – 𝟏 + + − 𝟔 = 𝟎 𝟏 + = 𝟖 = 𝟕 – 𝟔 = 𝟒𝟎 = 𝟒𝟔 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3:
  • 61.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 60 : ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬𝟑 − 𝟖 = 𝟎 /‫الحل‬ 𝟑 − 𝟖 = 𝟎 𝟑 = 𝟖 𝟑 = 𝟖 * ( 𝟐 ) + ( 𝟐 )+ ‫التكعيبي‬ ‫بالجذر‬ = 𝟐 . ( 𝟐 ) + ( 𝟐 )/ 𝟏 𝟑 = 𝟐 6 4 𝟐 + 𝟐 𝟑 5 + 4 𝟐 + 𝟐 𝟑 57 = 𝟐 6 4 + 𝟒 𝟐 𝟑 5 + 4 + 𝟒 𝟐 𝟑 57 = 𝟐 [ ( + 𝟒 𝟔 ) + ( + 𝟒 𝟔 )] = 𝟎, 𝟏, 𝟐 = 𝟎 = 𝟐 * ( 𝟔 ) + ( 𝟔 )+ = 𝟐 0 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 1 = 𝟑 + = 𝟏 = 𝟐 [ ( 𝟓 𝟔 ) + ( 𝟓 𝟔 )] = 𝟐 0 − 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 1 = − 𝟑 + = 𝟏 = 𝟐 [ ( 𝟗 𝟔 ) + ( 𝟗 𝟔 )] = 𝟐[𝟎 − ] = −𝟐 { 𝟑 + , −𝟐 , − 𝟑 + } ‫هي‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2016‫/د‬1:‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ , ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬𝟖. /‫الحل‬ = 𝟖 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 𝟐 = 𝟖 = = ‖ ‖ = 𝟎 𝟖 = 𝟎 , = = 𝟖 𝟖 = 𝟏 = 𝟐 ‫االول‬ ‫الربع‬ 𝟑 = 𝟖 𝟑 = 𝟖 ( 𝟏 𝟑 ) = ( 𝟏 𝟑 ) + ( 𝟏 𝟑 ) = 𝟖 ( 𝟏 𝟑 ) ( 𝟐 + 𝟐 ) ( 𝟏 𝟑 ) 𝟑 = 𝟖 𝟑 4 4 𝟐 + 𝟐 𝟑 5 + 4 𝟐 + 𝟐 𝟑 55 = 𝟎, 𝟏, 𝟐 = 𝟎 = 2[ ( 6 ) + ( 6 )] = 𝟐 0 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 1 = 𝟑 + = 𝟏 = 2[ ( 5 6 ) + ( 5 6 )] = 𝟐 * ( − 6 ) + ( − 6 )+ = 𝟐 *− ( 6 ) + ( 6 )+ = 𝟐 0 − 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 1 = − 𝟑 + = 𝟐 = 2[ ( 9 6 ) + ( 9 6 )] = 𝟐 [ ( 3 2 ) + ( 3 2 )] = 𝟎 + 𝟐 − = −𝟐
  • 62.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 61 ‫حول‬ ‫أسئلة‬‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫س‬1/‫كان‬ ‫إذا‬–( ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌن‬ ‫الجذرٌن‬ ‫أحد‬bi+3‫حٌث‬ ),‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫السعة‬ ‫جد‬ ,‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬ = 𝟐 − 𝟑 − 𝟐 − 𝟏𝟗 ‫س‬2/: ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫ناته‬ ‫جد‬ 𝟏 + 𝟑 𝟓 − 𝟏 + 𝟑 𝟓𝟐𝟏 − 𝟑 𝟒𝟏 𝟏 − 𝟔𝟒𝟏 + 𝟖𝟑 ‫س‬3/‫التربٌعٌة‬ ‫الجدور‬ ‫أوجد‬‫للعدد‬𝟓 + 𝟏𝟐 ‫س‬4/‫كان‬ ‫أذا‬= + 𝟑‫مقٌاسه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬𝟐‫قٌمة‬ ‫جد‬ ,. ‫س‬5/‫كان‬ ‫إذا‬+ = 𝟐+ 𝟏− ‫أن‬ ‫فأثبت‬𝟐[ 𝟑 + 𝟑] = 𝟕 ‫س‬6/‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 +‫الجذور‬ ‫أحد‬ ‫و‬‫المعادلة‬‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬+ 𝟒ً‫قٌمت‬ ‫فجد‬, ‫س‬7‫المركب‬ ‫العدد‬ /𝟏 − 𝟐‫المعادلة‬ ‫جذور‬ ‫أحذ‬ ‫و‬𝟐 − 𝟐 − + − 𝟕 = 𝟎‫قٌم‬ ‫فجد‬, ‫س‬8/‫المعادلة‬ ‫حل‬ , ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬𝟐 + 𝟐𝟕 = 𝟎‫حٌث‬ℂ ‫س‬9/‫المعادالت‬ ‫حل‬‫التالٌة‬‫المجموعة‬ ً‫ف‬‫مختلفتٌن‬ ‫بطرٌقتٌن‬ ℂ 𝟑 − 𝟖 = 𝟎𝟐𝟑 − 𝟖 = 𝟎𝟏 𝟑 − 𝟔𝟒 = 𝟎𝟒𝟑 + 𝟔𝟒 = 𝟎𝟑 ‫س‬10/: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫ا‬‫ال‬‫ك‬ ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫أحسب‬ 𝟑 − 𝟕 −𝟏 + 𝟕 𝟏 + 𝟓
  • 63.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 62 ً‫الثان‬ ‫الفصل‬/‫المخروطٌة‬ ‫المطوع‬ ً‫المخروط‬ ‫المطع‬:‫لٌكن‬( 𝟏 𝟏)‫ولٌكن‬ ‫المستوي‬ ً‫ف‬ ‫ثابتة‬ ‫نمطة‬𝟎ً‫ف‬ ‫ثابت‬ ‫مستمٌم‬ ‫نفسه‬ ‫المستوي‬‫فان‬ ‫لذا‬‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫بعد‬ ‫نسبة‬ ً‫الت‬ ‫النماط‬ ‫كل‬ ‫مجموعة‬( 𝟏 𝟏)‫المستمٌم‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫الى‬ 𝟎‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫تساوي‬( )ً‫المخروط‬ ‫بالمطع‬ ‫ٌسمى‬ ً‫هندس‬ ‫شكل‬ ‫تكون‬‫أو‬‫النمط‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ‫مستمٌم‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫ٌساوي‬ ‫معلومة‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ً‫الت‬ ‫عدة‬ ً‫مخروط‬ ‫شكل‬ ‫لكل‬ ‫ان‬ ‫حٌث‬ً‫وه‬ ‫بها‬ ‫ٌتعٌن‬ ‫أساسٌة‬ ‫مفاهٌم‬: ①‫الثابتة‬ ‫النمطة‬( 𝟏 𝟏)ً‫المخروط‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫تسمى‬( ) ②‫الثابت‬ ‫المستمٌم‬𝟎ً‫المخروط‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫ٌسمى‬( ) ③‫النسبة‬( )‫المركزي‬ ‫باالختالف‬ ‫تسمى‬( )‫كان‬ ‫أذا‬ ‫حٌث‬ ( 𝟏) ‫مكافئ‬ ‫القطع‬ ‫نوع‬ ( 𝟏) ‫ناقص‬ ‫القطع‬ ‫نوع‬ ( 𝟏) ‫زائد‬ ‫القطع‬ ‫نوع‬ ④= ‫والدلٌل‬ ‫البإرة‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬|𝟐 | ‫الم‬ ‫المطع‬‫كافئ‬:‫النمط‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬( )‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫ٌكون‬ ً‫والت‬ ‫المستوي‬ ً‫ف‬‫نمطة‬‫ثابت‬‫ة‬( 𝟎)‫تسمى‬ ‫حٌث‬ ‫البإرة‬𝟎‫معلوم‬ ‫مستمٌم‬ ‫عن‬ ‫لبعدها‬ ‫دائمآ‬ ‫مساوٌآ‬( )‫البإرة‬ ‫ٌحتوي‬ ‫ال‬ ‫وهو‬ ‫الدلٌل‬ ‫ٌسمى‬ ‫والذي‬ ‫أخر‬ ‫بمعنى‬ ‫أو‬ً‫والت‬ ‫مستوي‬ ‫داخل‬ ‫النمط‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬‫ٌك‬‫مستمٌم‬ ‫عن‬ ‫لبعدها‬ ‫مساوٌا‬ ‫معلومة‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫ون‬ ‫معلوم‬. ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬xis)a-(x‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬: ‫باستخدام‬‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌمكن‬ ‫التعرٌف‬‫نمطتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬ ‫لانون‬ ‫على‬ ‫باالعتماد‬ √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 (‫البعد‬ ‫)قانون‬ ( ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫من‬ ) √( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( ) 𝟐 ( ) 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 𝟎 (‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القٌاسٌة‬ ‫)المعادلة‬ ‫و‬‫ذذذ‬‫ذ‬‫ه‬‫ذذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫للمطذذذع‬ ‫ذذٌة‬‫ذ‬‫المٌاس‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫المعادل‬ ً‫ذذ‬‫ذ‬‫ه‬‫ذذٌنات‬‫ذ‬‫الس‬ ‫ذذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ً‫تنتمذذذ‬ ‫ذذه‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬((x-axisً‫فذذذ‬ ‫ذذرأس‬‫ذ‬‫وال‬ ‫ذذذل‬‫ذ‬‫األص‬ ‫ذذذة‬‫ذ‬‫نمط‬‫ذذذث‬‫ذ‬ٌ‫ح‬‫ذذذة‬‫ذ‬‫النمط‬ ‫ذذذمى‬‫ذ‬‫تس‬"O"‫ذذذث‬‫ذ‬ٌ‫ح‬ ‫ذذذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫ذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذرأس‬‫ذ‬‫ب‬‫ذذذه‬‫ذ‬‫بإرت‬( 𝟎)‫ذذذه‬‫ذ‬‫دلٌل‬ ‫ذذذة‬‫ذ‬‫ومعادل‬ 𝟎‫حٌث‬‫أثبات‬ ‫ٌمكن‬ ‫األسلوب‬ ‫وبنفس‬𝟐 𝟒
  • 64.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 63 ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬xis)a-(y‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬: ‫نمطتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬ ‫لانون‬ ‫على‬ ‫باالعتماد‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌمكن‬ ‫التعرٌف‬ ‫باستخدام‬ √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 (‫البعد‬ ‫)قانون‬ ( ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫من‬ ) √( 𝟎) 𝟐 ( ) 𝟐 √( ) 𝟐 ( ) 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟎 (‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القٌاسٌة‬ ‫)المعادلة‬ ‫ال‬ ‫لمحذور‬ ً‫تنتمذ‬ ‫بإرتذه‬ ‫الذذي‬ ‫المكذافئ‬ ‫للمطذع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ً‫ه‬ ‫وهذ‬‫صذاد‬‫ات‬( (‫نمطذة‬ ً‫فذ‬ ‫والذرأس‬ ‫النمطة‬ ‫تسمى‬ ‫حٌث‬ ‫األصل‬"O"‫بإرته‬ ‫حٌث‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫برأس‬(𝟎 )‫دلٌله‬ ‫ومعادلة‬𝟎‫حٌذث‬ ‫أثبات‬ ‫ٌمكن‬ ‫األسلوب‬ ‫وبنفس‬𝟐 𝟒 ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫معادلتٌن‬ ‫ٌوجد‬ ‫انه‬ ‫سبك‬ ‫مما‬ ‫نالحظ‬(𝟎 𝟎)‫على‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫أحداهما‬ ‫الم‬ ‫على‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫واألخرى‬ ً‫السٌن‬ ‫المحور‬‫ح‬‫الصادي‬ ‫ور‬‫ذلن‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدنا‬ ‫والجدول‬. ‫انسٕىاث‬ ‫محُر‬ ّ‫عه‬ ‫ٔكُن‬ ‫عىدما‬( )‫انصاداث‬ ‫محُر‬ ّ‫عه‬ ‫ٔكُن‬ ‫عىدما‬( ) ①‫انسٕىاث‬ ‫نمحُر‬ ٓ‫تىتم‬ ‫انبؤرة‬( )①‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬( ) ②‫انبؤرة‬( 𝟎)‫اندنٕم‬ ‫َمعادنت‬②‫البإرة‬(𝟎 )‫الدلٌل‬ ‫ومعادلة‬ ③ٌٓ ‫انمطع‬ ‫محُر‬ ‫معادنت‬𝟎③ً‫ه‬ ‫المطع‬ ‫محور‬ ‫معادلة‬𝟎 ④‫اندنٕم‬ْ‫ُٔاس‬ْ‫انصاد‬ ‫انمحُر‬④‫الدلٌل‬‫ٌوازي‬ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ⑤‫انسٕىاث‬ ‫محُر‬ ‫حُل‬ ‫انتىاظز‬⑤‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫التناظر‬ ⑥‫الدلٌل‬ ‫ٌنصف‬ ً‫السٌن‬ ‫المحور‬⑥‫الصادي‬ ‫المحور‬‫الدلٌل‬ ‫ٌنصف‬ ⑦‫المانون‬𝟐 𝟒⑦‫المانون‬𝟐 𝟒 ‫عامة‬ ‫مالحظات‬: ❶‫صحٌح‬ ‫والعكس‬ ‫الدلٌل‬ ‫أشار‬ ‫عكس‬ ‫البإرة‬ ‫أشار‬ ❷‫والدلٌل‬ ‫البإرة‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬=2p ❸) ‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫أن‬ ‫(أي‬ ‫معادلته‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ❹‫للمطع‬ ً‫تنتم‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬‫الدلٌل‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫ٌساوي‬ ‫البإرة‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫المكافئ‬ ❺ً‫ه‬ ‫به‬ ‫الخاصة‬ ‫الممٌز‬ ‫ومعادلة‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫هو‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫رأس‬( 𝟐 𝟒 𝟎) ❻‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادالت‬ ‫عن‬ ‫أكثر‬ ‫تفاصٌل‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدنا‬ ‫الجدول‬ ‫التناظر‬‫المطع‬ ‫أتجا‬‫المحور‬‫الدلٌل‬‫البإرة‬‫المعادلة‬ x-axis‫الٌمٌن‬x-axis( 𝟎)𝟐 𝟒 x-axis‫الٌسار‬x-axis( 𝟎)𝟐 𝟒 y-axis‫األعلى‬y-axis(𝟎 )𝟐 𝟒 y-axis‫األسفل‬y-axis(𝟎 )𝟐 𝟒
  • 65.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 64 ‫مثال‬)1)/‫المكاف‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البإرة‬ ‫جد‬‫ئ‬𝟐 𝟖 / ‫الحل‬𝟐 𝟖 𝟐 𝟒 (‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟒 𝟖 𝟖 𝟒 𝟐 ( 𝟎) ( 𝟐 𝟎) ‫انبؤرة‬ 𝟐 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬ ‫مثال‬)2)/‫معادل‬ ‫جد‬‫بإرته‬ ) ‫أ‬ : ‫علم‬ ‫أذا‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫ة‬(3,0)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬. ‫معادلة‬ ) ‫ب‬‫الدلٌل‬𝟐 𝟔 𝟎. ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫ورأسه‬ / ‫الحل‬) ‫أ‬( 𝟎) (𝟑 𝟎) ‫البؤرة‬ 𝟑 𝟐 𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ ) 𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 𝟏𝟐 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬ ___________________________ ) ‫ب‬𝟐 𝟔 𝟎 ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ 𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 𝟏𝟐 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬ ‫مثال‬)3)/‫جد‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫ومعادلة‬ ‫بإرة‬𝟐 𝟒‫أرسمه‬ ‫ثم‬ / ‫الحل‬𝟐 𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟏 ( 𝟎) (𝟏 𝟎) ‫انبؤرة‬ 𝟏 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬ 𝟐 4 𝟒(𝟏) 𝟒 𝟐√ 𝟐𝟏𝟎 𝟐√2𝟎
  • 66.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 65 ‫مثال‬)4)/‫التعرٌف‬ ‫بؤستخدام‬‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫بإرته‬ ‫أن‬ ‫علم‬ ‫أذا‬ ‫المكافئ‬(√𝟑 𝟎). ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ / ‫ذل‬‫ذ‬‫الح‬‫ذإرة‬‫ذ‬‫الب‬(√𝟑 𝟎)‫ذة‬‫ذ‬‫النمط‬ ‫ذتكن‬‫ذ‬‫ول‬( )‫ذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ً‫ذ‬‫ذ‬‫منحن‬ ‫ذى‬‫ذ‬‫ال‬ ً‫ذ‬‫ذ‬‫تنتم‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬‫ذة‬‫ذ‬‫النمط‬ ‫ذتكن‬‫ذ‬‫ول‬ ( √ 𝟑 )ً‫ه‬‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫العمود‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬( )‫الدلٌل‬ ‫على‬⃡‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫فمن‬ ( ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫من‬ ) √( √𝟑) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( √𝟑) 𝟐 ( ) 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ ) ( √𝟑 ) 𝟐 𝟐 ( √𝟑 ) 𝟐 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑 𝟐 𝟒√𝟑 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬ ‫مثال‬)5)/‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البإرة‬ ‫جد‬𝟑 𝟐 𝟐𝟒 𝟎 / ‫الحل‬𝟑 𝟐 𝟐𝟒 𝟎 𝟑 𝟐 𝟐𝟒 (𝟑 ‫عهى‬ ‫انمعادنت‬ ‫طرفي‬ ‫وقسم‬ ) 𝟐 𝟖 𝟐 𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟒 𝟖 𝟖 𝟒 𝟐 (𝟎 ) (𝟎 𝟐) ‫انبؤرة‬ 𝟐 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬ ‫مثال‬)6)/‫بإرته‬ ) ‫أ‬ : ‫علم‬ ‫أذا‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟎 𝟓)‫و‬‫رأس‬‫ه‬‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬. ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ) ‫ب‬𝟕. ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫ورأسه‬ / ‫الحل‬) ‫أ‬(𝟎 ) (𝟎 𝟓) ‫البؤرة‬ 𝟓 𝟐 𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ ) 𝟐 𝟒(𝟓) 𝟐 𝟐𝟎 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬ ___________________________ ) ‫ب‬𝟕 (‫اندنيم‬ ‫معادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟕 𝟐 𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ ) 𝟐 𝟒(𝟕) 𝟐 𝟐𝟖 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
  • 67.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 66 ‫مثال‬)7)/‫بالنمطتٌن‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟐 𝟒) (𝟐 𝟒 )‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫ورأسه‬ / ‫الحل‬‫لٌمة‬ ‫(ألن‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬ ‫النمطتان‬) ‫تتغٌر‬ ‫لم‬ ‫ثابتة‬ ٌٓ ‫انمكافئ‬ ‫نهمطع‬ ‫انمٕاسٕت‬ ‫انمعادنت‬𝟐 𝟒 ‫انىمطت‬ ‫َنتكه‬ ‫بٍا‬ ‫ٔمز‬ ً‫ألو‬ ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬ ‫تحممان‬ ‫انهتٕه‬ ‫انىمطتٕه‬ ِ‫أحد‬ ‫وعُض‬(𝟐 𝟒) (𝟒) 𝟐 𝟒 (𝟐) 𝟏𝟔 𝟖 𝟏𝟔 𝟖 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟐) 𝟐 𝟖 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬ ‫مثال‬)8)/‫بالنمطة‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫وٌمر‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟑 𝟓) /‫الحل‬‫لعدم‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫أحتمالٌن‬ ‫ٌوجد‬, ‫انبؤرة‬ ‫تحدٔد‬‫َاالحتمانٕه‬: ‫ٌما‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ : ‫أوال‬‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ : ‫ثانٌا‬ 𝟐 𝟒 (‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ) 𝟓 (‫الدلٌل‬ ‫)معادلة‬ 𝟓 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟓) 𝟐 𝟐𝟎 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬ 𝟐 𝟒 (‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ) 𝟑 (‫الدلٌل‬ ‫)معادلة‬ 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒( 𝟑) 𝟐 𝟏𝟐 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬ (𝟐 𝟏)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫لها‬ ً‫البٌان‬ ً‫المنحن‬ ‫أرسم‬ ‫ثم‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬: ) ‫أ‬ (‫البإرة‬(𝟓 𝟎)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ /‫الحل‬(𝟓 𝟎) 𝟓 𝒙 𝟓 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬ 𝒚 𝟒𝟐 𝒚 𝟒(𝟓)𝟐 𝒚 𝟐𝟎 ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬𝟐 𝟐𝟏𝟎 2√2√5𝟎
  • 68.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 67 ) ‫ب‬ (‫البإرة‬(𝟎 𝟒)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ /‫الحل‬(𝟎 𝟒) 𝟒 y 4 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬ 𝑥 𝟒2 𝑥 𝟒(𝟒)2 𝑥 𝟏𝟔 ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬2 4√24𝟎 2𝟎 ) ‫ج‬ (‫البإرة‬(𝟎 √𝟐 )‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ /‫الحل‬(𝟎 √𝟐 ) √𝟐 y √𝟐 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬ 𝑥 𝟒2 𝑥 𝟒(√𝟐) ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬2 2√2 2√√𝟐 𝟎 √𝟐𝟎 ) ‫د‬ (‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫معادلة‬𝟒 𝟑 𝟎‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ /‫الحل‬ 𝟒 𝟑 𝟎 𝟒 𝟑 y 3 4 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬ p 3 4 F 3 4 ‫البؤرة‬ 𝑥 𝟒2 𝑥 𝟒2 3 4 𝑥 𝟑 ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬2 √6√𝟑𝟎 𝟐𝟎
  • 69.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 68 ‫س‬2/‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫والدلٌل‬ ‫المحور‬ ً‫ومعادلت‬ ‫والرأس‬ ‫البإرة‬ ‫جد‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬: ( ) 𝟐 𝟒 /‫الحل‬𝟒 𝟒 𝑝 (𝟎 𝟏)‫البؤرة‬ 𝟎 (‫المحور‬ ‫معادلة‬ ) 𝟏 (‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ) (𝟎 𝟎)‫الرأس‬ ( ) 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟎 /‫الحل‬ 𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟖 𝟒 𝟏 𝟖 p 𝟏 𝟑𝟐 ( 𝟏 𝟑𝟐 𝟎) ‫البؤرة‬ 𝟎 (‫المحور‬ ‫معا‬‫دلة‬ ) 𝟏 𝟑𝟐 (‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ) (𝟎 𝟎)‫الرأس‬ ‫س‬3/‫بالنمطتٌن‬ ‫المار‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟐 𝟓) (𝟐 𝟓)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ /‫الحل‬∵‫ال‬‫نمطتان‬ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬‫والمانون‬( 𝟐 𝟒 ) ‫تحمم‬ ‫النمطتان‬‫ان‬‫الن‬ ‫المعادلة‬‫بهما‬ ‫ٌمر‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬‫لذا‬‫نؤخذ‬‫النمطة‬( 𝟐 𝟓)‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫ونعوضها‬ (𝟓) 𝟐 𝟒 (𝟐) 𝟐𝟓 𝟖𝒑 𝒑 𝟐𝟓 𝟖 𝟐 𝟒 𝟒 25 8 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫س‬4/‫بالنمطذة‬ ‫ٌمذر‬ ‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫دلٌل‬ ‫كان‬ ‫أذا‬( 𝟑 𝟒)‫بإرتذه‬ ‫أن‬ ‫علمذا‬ ‫معادلتذه‬ ‫جذد‬ ‫األصذل‬ ‫نمطذة‬ ً‫فذ‬ ‫والذرأس‬ ‫المحورٌن‬ ‫ألحد‬ ً‫تنتم‬ /‫الحل‬∵‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫الدلٌل‬( 𝟑 𝟒)‫األول‬ ‫هما‬ ‫دلٌالن‬ ‫هنان‬( 𝟑)ً‫والثان‬( 𝟒) ‫مكافئ‬ ‫لطعان‬ ‫هنان‬‫ان‬ ‫األول‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬)‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ ( 𝟑 𝟑 ‫المانون‬𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 𝟏𝟐 ‫المكافئ‬ ‫المطع‬‫الصاد‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ ( ً‫الثان‬)‫ات‬ 𝟒 𝟒 ‫المانون‬𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟒) 𝟐 𝟏𝟔
  • 70.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 69 ‫س‬5/‫معادلته‬ ‫مكافئ‬ ‫لطع‬𝟐 𝟖 𝟎‫ٌمر‬‫بالنمطة‬( 𝟏 𝟐)‫لٌمة‬ ‫جد‬A‫ودلٌله‬ ‫بإرته‬ ‫جد‬ ‫ثم‬‫و‬‫المطع‬ ‫أرسم‬ /‫الحل‬∵‫ٌمر‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬‫ب‬‫النمطة‬(𝟏 𝟐 ) ‫النمطة‬(𝟏 𝟐 )‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( 𝟐 𝟖 𝟎) (𝟏) 𝟐 𝟖(𝟐) 𝟎 A 6 𝟐 𝟖 𝟎 ( 𝟏𝟔)6 𝟐 𝟏 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐 ( 𝟐 𝟒 ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫)بالمقارنة‬ 𝟒𝒑 𝟏 𝟐 𝒑 𝟏 𝟖 F( 𝑝) F 𝟏 𝟖 ‫البؤرة‬ 𝟏 𝟖 ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ yx 00 𝟏𝟏 √𝟐 𝟐 ‫س‬6/‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫التعرٌف‬ ‫باستخدام‬: ) ‫أ‬ (‫البإرة‬(𝟕 𝟎)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ /‫الحل‬𝟕 𝒙 ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬𝟕 (‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ) √( 𝟕) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( 𝟕) 𝟐 ( ) 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬) ( 𝟕) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 ( 𝟕) 𝟐 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟐 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟏𝟒 𝟐 𝟏𝟒 𝟐 𝟐𝟖 (‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) ‫وزاري‬2011/‫د‬1
  • 71.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 70 ) ‫ب‬ (‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬√ 𝟑‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ /‫الحل‬√𝟑 𝑝 √𝟑 (𝟎 ) (𝟎 √𝟑) ‫البؤرة‬ (‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ) √( 𝟎) 𝟐 ( √𝟑) 𝟐 √( ) 𝟐 ( √𝟑) 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫)بتربٌع‬ 𝟐 ( √ 𝟑) 𝟐 ( √ 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐√ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐√ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐√ 𝟑 𝟐√ 𝟑 𝟐 𝟒√ 𝟑 (‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫التالٌة‬ ‫الشروط‬ ‫وٌحمك‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬: (1)‫بإرته‬(𝟓 𝟎) ‫انحم‬/‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ً‫ه‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬𝟐 𝟒 ( 𝟎) (𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐 𝟒(𝟓) 𝟐 𝟐𝟎 𝟎 (2)‫بإرته‬(𝟎 𝟑) ‫انحم‬/‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ً‫ه‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬𝟐 𝟒 (𝟎 ) (𝟎 𝟑) 𝟑 𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 𝟏𝟐 𝟎 (3)‫دلٌله‬ ‫معادلة‬𝟐 𝟔 𝟎 ‫انحم‬/ 𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 (𝟎 𝟑) ‫البؤرة‬ 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒( 𝟑) 𝟐 𝟏𝟐 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 72.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 71 (4)‫و‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ٌ‫بالنمطة‬ ‫مر‬(√𝟐 𝟏 𝟐 ) ‫انحم‬/‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ً‫ه‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬𝟐 𝟒 ‫النمطة‬(√𝟐 𝟏 𝟐 )‫معادلته‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬ (√𝟐) 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒 𝟒(𝟏) 𝟐 𝟒 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ (5)‫بالنمطتٌن‬ ‫ٌمر‬(𝟏 𝟐√𝟓) (𝟏 √𝟓)‫دلٌله‬ ‫ومعادلة‬ ‫معادلته‬ ‫جد‬ ‫انحم‬/‫لٌمة‬ ‫(ألن‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬ ‫النمطتٌن‬x) ‫تتغٌر‬ ‫لم‬ ‫ثابتة‬ٌٓ ً‫معادنت‬𝟐 𝟒 ∴‫بٍا‬ ‫ٔمز‬ ً‫ألو‬ ‫انىمطتٕه‬ ِ‫أحد‬ ‫وعُض‬ (𝟐√𝟓) 𝟐 𝟒 (𝟏) 𝟐𝟎 𝟒 𝟓 𝟓 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬ 𝟐 𝟒 𝟒(𝟓) 𝟐 𝟐𝟎 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ (6)‫بانىمطت‬ ‫ٔمز‬ ً‫َدنٕه‬ ‫انسٕىاث‬ ‫نمحُر‬ ٓ‫تىتم‬ ً‫بؤرت‬(𝟐 𝟒) ‫انحم‬/‫انسٕىاث‬ ‫نمحُر‬ ٓ‫تىتم‬ ً‫بؤرت‬ٌٓ ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬𝟐 𝟒 ‫بانىمطت‬ ‫ٔمز‬ ً‫دنٕه‬(𝟐 𝟒)‫فأن‬ ‫نذا‬𝟐‫اندنٕم‬ ‫معادنت‬ ٌٓٓ‫انسٕى‬ ٓ‫األحداث‬ ‫ٔمطع‬ ‫اندنٕم‬ ‫ألن‬𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒( 𝟐) 𝟐 𝟖 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ (7)‫معادنتٍا‬ ٓ‫انت‬ ‫اندائزة‬ ‫مزكش‬ ً‫َبؤرت‬ ‫األصم‬ ‫ومطت‬ ً‫رأس‬𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 𝟎 ‫انحم‬/‫اندائزة‬ ‫مزكش‬=( ( ‫)معامم‬ 𝟐 ( ‫)معامم‬ 𝟐 )=( 𝟎 𝟐 ( 𝟒) 𝟐 )=(𝟎 𝟐)‫انبؤرة‬ = 𝟐ٌٓ ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫َمعادنت‬ ‫انصاداث‬ ‫نمحُر‬ ٓ‫تىتم‬ ‫انبؤرة‬ َ𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟒(𝟐) 𝟐 𝟖 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ (8)‫محُري‬ ‫َمعادنت‬ ْ‫انصاد‬ ‫انمحُر‬ ْ‫ُٔاس‬ ً‫دنٕه‬𝟎‫بانىمطت‬ ‫َٔمز‬( 𝟐 𝟏 ) ‫انحم‬/‫بانىمطت‬ ‫َٔمز‬ ْ‫انصاد‬ ‫انمحُر‬ ْ‫ُٔاس‬ ‫اندنٕم‬( 𝟐 𝟏 ) ‫انمُجب‬ ٓ‫انسٕى‬ ٓ‫األحداث‬ ّ‫عه‬ ‫تمع‬ ‫َانبؤرة‬ ‫انسانب‬ ٓ‫انسٕى‬ ٓ‫األحداث‬ ‫ٔمطع‬ ‫اندنٕم‬ ٌٓ ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬𝟐 𝟒 ‫بانىمطت‬ ‫ٔمز‬ ‫انمطع‬( 𝟐 𝟏 )ً‫تحمم‬ ٍٓ‫ف‬ ‫نذا‬ 𝟐 𝟒 (𝟏) 𝟐 𝟒 ( 𝟐) 𝟏 𝟖 𝟏 𝟖 𝟐 𝟒 𝟏 𝟖 𝟐 𝟏 𝟐 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 73.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 72 (9)‫انمستمٕم‬ ‫مه‬ ‫ٔمطع‬𝟒‫طُنٍا‬ ‫لطعت‬‫وحداث‬ (𝟏𝟎) ‫انحم‬/ 𝟐 𝟏𝟎 𝟓 (𝟒 𝟓)(𝟒 𝟓) ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫رأسي‬ ‫انسٕىاث‬ ‫محُر‬ ‫حُل‬ ‫انتىاظز‬‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬𝟐 𝟒‫َانىمطت‬( 𝟒 𝟓)ً‫تحمم‬ 𝟐 𝟒 (𝟓) 𝟐 𝟒 (𝟒) 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟒 ‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫الشروط‬ ‫وٌحمك‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ (1)‫للعدد‬ ‫الدٌكارتٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫بإرته‬𝐳 𝟒+𝟐𝐢 𝟐 𝐢 ‫انحم‬/ 𝐳 𝟒 𝟐𝐢 𝟐 𝐢 × 𝟐 𝒊 𝟐 𝒊 𝟖 𝟒𝒊 𝟒𝒊 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 𝟓 𝟐 ( 𝟐 𝟎) ‫الدٌكارتٌة‬ ‫الصٌغة‬ ( 𝟐 𝟎) (𝒑 𝟎) ‫البؤرة‬ 𝐩 𝟐 𝒚 𝟐 𝟒𝒑𝒙 𝟒( 𝟐)𝒙 𝒚 𝟐 𝟖𝒙 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ (2)‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫ودلٌله‬ ‫المحورٌن‬ ‫ألحد‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬(3,4) ‫انحم‬/∵‫بالن‬ ‫ٌمر‬ ‫الدلٌل‬‫مطة‬(3,4)‫ٌوازي‬ ‫المحورٌن‬ ‫الي‬ ‫ٌحدد‬ ‫ولم‬‫دلٌالن‬ ‫ٌوجد‬𝒑 𝟑 𝒑 𝟒 ‫االولى‬ ‫بإرتان‬ ‫ٌوجد‬(𝟎 𝟒)‫والثانٌة‬( 𝟑 𝟎)‫مكافئان‬ ‫لطعان‬ ‫وجدود‬ ً‫ٌعن‬ ‫مما‬ 𝒚 𝟐 𝟒𝒑𝒙 𝟒(𝟑)𝒙 𝒚 𝟐 𝟏𝟐𝒙 ‫األول‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ 𝒙 𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒(𝟒)𝒚 𝒙 𝟐 𝟏𝟔𝒚 ‫انثاوي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ (3)‫المثلث‬ ‫برإوس‬ ‫ٌمر‬ABC‫حٌث‬𝑨(𝟎 𝟎) 𝑩( 𝟐 𝟒) 𝑪(𝟐 𝒎)‫لٌمة‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬m ‫انحم‬/∵‫النمطة‬(2,m)‫الرابع‬ ‫أو‬ ‫األول‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬ ‫أما‬ ‫تمع‬ ‫النمطة‬(2,m)‫المطع‬ ‫ٌتحمك‬ ً‫لك‬ ‫األول‬ ‫للربع‬ ‫المانون‬ ‫و‬ ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫على‬ ‫تمع‬ ‫البإرة‬𝒙 𝟐 𝟒𝒑𝒚 ∵‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫المطع‬( 𝟐 𝟒)‫تحممه‬ ً‫فه‬ ( 𝟐) 𝟐 𝟒𝒑(𝟒) 𝒑 𝟒 𝟏𝟔 𝐩 𝟏 𝟒 𝒙 𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒 𝟏 𝟒 𝒚 𝒙 𝟐 𝒚 ‫انقطع‬ ‫معادنت‬ ∵‫النمطة‬(2,m)‫معادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫لذا‬ ‫المطع‬ ‫على‬ ‫تمع‬‫المطع‬ (𝟐) 𝟐 𝐦 𝐦 𝟒 (4)‫دلٌله‬ ‫ومعادلة‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬𝟐𝒚 √ 𝟑 𝟎 ‫ا‬‫نحم‬/ 𝟐𝒚 √𝟑 𝟎 𝟐𝐲 √𝟑 𝐲 √𝟑 𝟐 𝐩 √𝟑 𝟐 𝒙 𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒 √𝟑 𝟐 𝒚 𝒙 𝟐 𝟐√𝟑𝒚 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 74.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 73 ‫س‬1‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫والدلٌل‬ ‫المحور‬ ً‫ومعادلت‬ ‫البإرة‬ ‫جد‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ :: ( ) 𝟐 𝟖 ( ) 𝟐 𝟒 𝟎 ( ) 𝟐 𝟐𝟖 𝟎 ‫س‬2‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ :( 𝟐 𝟓)‫بإرتــــــه‬ ‫أن‬ ‫علما‬ ‫معادلته‬ ‫فجد‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ ‫المحورٌن‬ ‫ألحد‬ ً‫تنتم‬ ‫س‬3‫جد‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ :: ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫بإرته‬ )‫(أ‬( 𝟕 𝟎). ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ ‫له‬ ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ )‫(ب‬𝟐 𝟑 𝟎. ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ ‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬ ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ )‫(ج‬(𝟑 𝟔). ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫دلٌله‬ ‫و‬ ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ )‫(د‬( 𝟒 𝟓). ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ ‫معادلة‬ )‫(ب‬‫له‬ ‫الدلٌل‬𝟐 √ 𝟑 𝟎. ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ ‫س‬4:‫معادل‬ ‫جد‬ ‫التعرٌف‬ ‫بؤستخدام‬‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫ة‬: ) ‫أ‬ (‫بإرته‬(𝟒 𝟎)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬ ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ) ‫ب‬ (𝟓 𝟎‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
  • 75.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 74 ‫ال‬ ‫المطع‬‫نالص‬) ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫الرأس‬ (: ‫هو‬‫مجموعة‬‫نماط‬‫المستوي‬( )ً‫الت‬‫ٌكون‬‫مجموع‬‫بعدي‬‫أي‬‫نمطة‬‫منهذا‬‫عذن‬‫نمطتذٌن‬‫ثذابتتٌن‬‫تسذمٌان‬‫البإرتذان‬ ‫تساوي‬‫عددا‬‫ثابتا‬‫لٌمته‬‫تساوي‬(𝟐 ) ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمٌان‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬xis)a-(x‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬ 𝟏 𝟐 𝟐 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ) √( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐 √( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐 √( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 ( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 √( ) 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 √( ) 𝟐 ( ) 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 ( 𝟒) √ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬) 𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐) [ 𝟎 ‫حٌث‬ 𝟐 𝟐 𝟐 ‫]نفرض‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) ‫أن‬ ‫حٌث‬( ) ( ) ‫هما‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬𝟐( 𝟎) 𝟏( 𝟎)ً‫ه‬ ‫وبإرتا‬𝟐( 𝟎) 𝟏( 𝟎) ً‫وهذذذ‬ ‫ذذادات‬‫ذ‬‫الص‬ ‫ذذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ‫ذذان‬‫ذ‬ٌ‫تنتم‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذاد‬‫ذ‬‫أٌج‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫ٌمكنن‬ ‫ذذلوب‬‫ذ‬‫األس‬ ‫ذذنفس‬‫ذ‬‫ب‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏‫أن‬ ‫حٌذذذذث‬‫ذذذذا‬‫ذ‬‫هم‬ ‫ذذذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذا‬‫ذ‬‫رأس‬𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )ً‫ذذذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذذذا‬‫ذ‬‫وبإرت‬ 𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )
  • 76.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 75 : ً‫التال‬ ‫الشكل‬ ‫الحظ‬ : ‫مالحظات‬ ①‫دائما‬( ) ( )‫أن‬ ‫حٌث‬( 𝟎) ②‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬𝟐 ③‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬𝟐 ④‫البإرتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬𝟐 ⑤‫ٌكون‬ ‫دائما‬𝟐 𝟐 𝟐 ⑥‫المركزي‬ ‫االختالف‬ √ 𝟐 𝟐 ‫ٌكون‬ ‫أنه‬ ‫ٌالحظ‬ ‫حٌث‬( 𝟏)‫ولٌمة‬( √ 𝟐 𝟐 ) ⑦‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫مساحة‬ ⑧‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫محٌط‬𝟐 √ 𝟐+ 𝟐 𝟐 ‫أن‬ ‫حٌث‬( 𝟐𝟐 𝟕 ) ⑨‫محورٌه‬ ‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫النسبة‬ 𝟐 𝟐 ⑩‫أذا‬‫مر‬‫المطع‬‫بنمطة‬‫أحد‬‫إحداثٌاتها‬‫صفر‬ً‫فاإلحداث‬ً‫الثان‬‫هو‬‫أما‬( )‫أو‬( )‫واألكبر‬‫هو‬( )‫واألصغر‬‫هو‬( ) ⑪‫الجدول‬ ‫الحظ‬: ‫أدنا‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بإرتا‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بإرتا‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬ ‫المعادلة‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏‫المعادلة‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ‫البإرتان‬𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )‫البإرتان‬𝟐( 𝟎) 𝟏( 𝟎) ‫الرأسان‬𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )‫الرأسان‬𝟐( 𝟎) 𝟏( 𝟎)
  • 77.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 76 ( ‫مثال‬9/)‫البإر‬ ‫من‬ ‫كل‬ ً‫وأحداث‬ ‫المحورٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬‫والرأسٌن‬ ‫تٌن‬‫واالختالف‬‫المركزي‬ ① 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝟏 ② 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 ‫الحل‬(1) ‫النالص‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫بالممارنة‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝑎 𝟐𝟓2 𝟓 𝟐 𝟏𝟔𝑎 𝟒 𝟐 b 𝑎 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗2 𝟑c 𝟐 𝟐(𝟓) 𝟏𝟎 ‫وحدة‬ ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 𝟐 𝟐(𝟒) 𝟖 ‫وحدة‬ ‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 𝟐 𝟐(𝟑) 𝟔 ‫وحدة‬ ‫البؤري‬ ‫البعد‬ 𝟏(𝟓 𝟎) 𝟐( 𝟓 𝟎) ‫الرأسان‬ 𝟏 (𝟑 𝟎) 𝟐( 𝟑 𝟎) ‫البؤرتان‬ 𝟓 𝟏 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ 𝟑 ‫الحل‬(2) 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 × 𝟑 𝟒 𝟒 𝟐 ( 𝟒 𝟑 ) 𝟑 𝟐 ( 𝟒 𝟑 ) 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟑 ) 𝟗 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟑 ) 𝟐 ( 𝟒 𝟗 ) 𝟏 𝑎 𝟒 𝟗 2 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝑎 𝟏 √𝟑 𝟐 b 𝑎 𝟐 𝟒 𝟗 𝟏 𝟑 𝟏 𝟗 2 𝟏 𝟑 c 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 ‫وحدة‬ ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟑 𝟐 √𝟑 ‫وحدة‬ ‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 𝟏 𝟎 𝟐 𝟑 𝟐 𝟎 𝟐 𝟑 ‫الرأسان‬ 𝟏 𝟎 𝟏 𝟑 𝟐 𝟎 𝟏 𝟑 ‫البؤرتان‬ 𝟏 𝟑 ( 𝟐 𝟑 ) ( ) 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
  • 78.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 77 ( ‫مثال‬10/)‫معادل‬ ‫جد‬‫ـــ‬‫النال‬ ‫المطع‬ ‫ـــة‬‫ــ‬‫بإرتــــــا‬ ‫الذي‬ ‫ـص‬𝟐( 𝟑 𝟎) 𝟏(𝟑 𝟎)‫ورأس‬‫ـ‬‫النمطـــــتـــان‬ ‫ــــا‬ 𝟐( 𝟓 𝟎) 𝟏(𝟓 𝟎). ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬ /‫الحل‬ ∵‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والمركز‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫ٌمعان‬ ‫والرأسان‬ ‫البإرتان‬⇐ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑 𝑪 𝟗𝟐 𝟓 𝒂 𝟐𝟓𝟐 𝑪 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝑪 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝒃 𝟐 𝟏 𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝟏 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ( ‫مثال‬11/)‫معادل‬ ‫جد‬‫ـ‬ٌ‫و‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالــــــص‬ ‫المطع‬ ‫ــة‬‫المحورٌـــ‬ ‫على‬ ‫محورا‬ ‫نطبك‬‫ـن‬‫اإلحداثٌٌن‬ ‫وٌمطع‬‫من‬‫الس‬ ‫محور‬‫طوله‬ ً‫ا‬‫جزء‬ ‫ـٌنات‬(𝟖)‫الص‬ ‫محور‬ ‫ومن‬ ‫وحدات‬‫طوله‬ ً‫ا‬‫جزء‬ ‫ادات‬(𝟏𝟐),‫وحدة‬‫ثم‬ . ‫ومحٌطه‬ ‫منطمته‬ ‫ومساحة‬ ‫البإرتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬ ‫جد‬ /‫الحل‬ ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂 𝟐 (‫الصادات‬ ‫على‬ ‫تقع‬ ‫)البؤرة‬𝟑𝟔 ‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ 𝟐 𝟖 b 4 𝑏2 6 𝑥 𝟏𝟔 2 𝒚 𝟑𝟔 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐𝟎 𝐜 √𝟐𝟎 𝟐√𝟓 𝟐𝐜 𝟒√𝟓 (‫انبؤرتيه‬ ‫بيه‬ ‫انمسافت‬ ) ‫انمساحت‬ (6)(4) 24 ( ‫مربعة‬ ‫)وحدة‬ ‫انمحيط‬ 2 √ 2 2 2 2 √ 𝟑𝟔 𝟏𝟔 2 2 √ 𝟓𝟐 2 𝐩 2√𝟐𝟔 ( ‫)وحدة‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ 𝟐√𝟓 𝟔 √𝟓 𝟑
  • 79.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 78 ( ‫مثال‬21/)‫لتكن‬𝟐 𝟒 𝟐 𝟑𝟔‫معادلـــ‬‫م‬ ‫نالـــــــص‬ ‫لطع‬ ‫ة‬‫بإرتٌــــــــه‬ ‫وأحدى‬ ‫األصـــــل‬ ‫نمطة‬ ‫ــركز‬ (√𝟑 𝟎)‫لٌمة‬ ‫جد‬‫وزاري‬2015/‫د‬1 /‫الحل‬ 𝟐 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔) 𝟐 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟏 𝟐 ( 𝟑𝟔 ) 𝟐 𝟗 𝟏 ∵‫البإرة‬(√𝟑 𝟎)‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬‫المانون‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ⇐ √𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟗 𝑎 𝟑𝟔2 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝟑𝟔 𝟗 𝟑 𝟑𝟔 𝟏𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐 𝐤 𝟑 ( ‫مثال‬31/)‫معادل‬ ‫جد‬‫ـ‬‫النال‬ ‫المطع‬ ‫ــة‬‫ـ‬‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫ـص‬‫الســـ‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبإرتا‬ ‫األصل‬‫بٌن‬ ‫والمسافة‬ ‫ـــٌنات‬ ‫البإرتٌن‬(𝟔)‫وحدات‬‫المحورٌن‬ ً‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫والفرق‬(𝟐). ‫وحدة‬ /‫الحل‬ 𝟐 𝟔 c 3 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝟏( ) 𝟐 𝒃 𝟗𝟐 𝟏 𝟐 𝒃 𝟐 𝒃 𝟗𝟐 𝟐 𝟖 𝐛 𝟒 𝒂 𝟓 𝒙 𝟐𝟓 𝟐 𝑦 𝟏𝟔 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ( ‫مثال‬41/)‫معادل‬ ‫جد‬‫ــ‬‫النال‬ ‫المطع‬ ‫ـة‬‫ــ‬‫ا‬ ‫ـص‬‫األصــ‬ ‫نمطــــــة‬ ‫مركز‬ ‫لذي‬‫وأحدى‬ ‫ــل‬‫المكافــــ‬ ‫المطـــع‬ ‫بإرة‬ ‫بإرتٌه‬‫ئ‬ 𝟐 𝟏𝟐 𝟎‫ٌساوي‬ ‫الصغٌر‬ ‫محور‬ ‫وطول‬(𝟏𝟎). ‫وحدات‬ /‫الحل‬‫المعطى‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬: 𝟐 𝟏𝟐 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐 𝟒 4p 2 p 3 (3 ‫البورة‬) ‫النالص‬ ‫المطع‬:‫البإرتان‬𝟏(𝟑 𝟎) 𝟐( 𝟑 𝟎)𝟑 ⇐ 𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝑎 𝟐 𝟐2 𝑎 𝟐𝟓 𝟗2 𝑎 𝟑𝟒2 𝒙 𝟑𝟒 𝟐 𝑦 𝟐𝟓 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2
  • 80.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 79 ( ‫مثال‬51/): ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعرٌف‬ ‫بؤستخدام‬ 𝟐( 𝟐 𝟎) 𝟏(𝟐 𝟎)‫الثابت‬ ‫والعدد‬𝟔. /‫الحل‬ 𝟏 𝟐 𝟐 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ) √( 𝟐) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( 𝟐) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐(𝟑) √( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟔 √( 𝟐) 𝟐 𝟐 ( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬) ( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐) 𝟐 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟏𝟐√( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟖 ( 𝟒) 𝟑√( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟗 𝟐 ( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬) 𝟗( 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐) 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟗 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟒𝟓 ( 𝟒𝟓) 𝟐 𝟗 𝟐 𝟓 𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) ‫مالحظة‬ ‫المطع‬ ‫ولٌكن‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬ ‫لرسم‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏: ‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ①‫النمطتٌن‬ ‫نعٌن‬𝟏( 𝟎) 𝟐( 𝟎) ②‫النمطتٌن‬ ‫نعٌن‬𝟏(𝟎 ) 𝟐(𝟎 ) ③‫األربعة‬ ‫النماط‬ ‫بٌن‬ ‫نصل‬𝟏 𝟏 𝟐 𝟐‫متصل‬ ً‫منحن‬ ‫ٌتكون‬ ‫حتى‬ ‫بالترتٌب‬ ④‫البإرتٌن‬ ‫نعٌن‬𝟏( 𝟎) 𝟐( 𝟎)
  • 81.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 80 (𝟐 𝟐)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫والرأسذٌن‬ ‫البذإرتٌن‬ ‫مذن‬ ‫كذل‬ ‫عذٌن‬‫والمركذز‬ ‫والمطبذٌن‬‫المحذورٌن‬ ‫مذن‬ ‫كذل‬ ‫ومعادلذة‬ ‫طذول‬ ‫جذد‬ ‫ثذم‬‫واالخذتالف‬ ‫المركزي‬ٓ‫ٔأت‬ ‫مما‬ ‫كم‬ ٓ‫ف‬ ‫معادالتٍا‬ ‫انمبٕىت‬ ‫انىالصت‬ ‫نهمطُع‬: ⓐ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 /‫الحل‬ 𝟐 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟏 𝑎 𝟏2 𝑎 𝑏 𝟏 𝟐 2 b 𝟏 √𝟐 𝟐𝒂 𝟐(𝟏) 𝟐 ‫وحدة‬ ( ‫انمحىرانكبير‬ ‫طىل‬) 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟐 √𝟐 ‫وحدة‬ ( ‫انمحىرانصغير‬ ‫طىل‬) 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 √𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟐 √𝟐 ‫وحدة‬ ( ‫انبؤرتيه‬ ‫بي‬ ‫انمسافت‬) 𝟏(𝟏 𝟎) 𝟐( 𝟏 𝟎) ‫الرأسان‬ 𝟏 𝟏 √𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 √𝟐 𝟎 ‫البؤرتان‬ 𝟏 𝟎 𝟏 √𝟐 𝟐 𝟎 𝟏 √𝟐 (‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫القطبٌن)طرفا‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ 𝟏 √𝟐 𝟏 𝟏 √𝟐 𝟏 ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬( 𝟎)‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫ومعادلة‬( 𝟎)‫والمركز‬(𝟎 𝟎)
  • 82.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 81 ⓑ 𝟗 𝟐 𝟏𝟑 𝟐 𝟏𝟏𝟕 /‫الحل‬‫على‬ ‫بالمسمة‬(𝟏𝟏𝟕) 𝟐 𝟏𝟑 𝟐 𝟗 𝟏 𝑎 𝟏𝟑2 𝑎 √𝟏𝟑 𝑏 𝟗2 b 𝟑 𝟐𝒂 𝟐 √𝟏𝟑( ) √𝟏𝟑𝟐 ‫وحدة‬ ( ‫انمح‬‫ىرانكبير‬ ‫طىل‬) 𝟐 𝟐(𝟑) 𝟔 ‫وحدة‬ ( ‫انمحىرانصغير‬ ‫طىل‬) 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟏𝟑 𝟗 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐(𝟐) 𝟒 ‫وحدة‬ ( ‫انبؤرتيه‬ ‫بي‬ ‫انمسافت‬) 𝟏(√𝟏𝟑 𝟎) 𝟐( √𝟏𝟑 𝟎) ‫الرأسان‬ 𝟏 (𝟐 𝟎) 𝟐( 𝟐 𝟎) ‫البؤرتان‬ 𝟏 (𝟎 𝟑) 𝟐(𝟎 𝟑) ‫القطبٌن‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ 𝟐 √𝟏𝟑 𝟏 ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬( 𝟎)‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫ومعادلة‬( 𝟎)‫والمركز‬(𝟎 𝟎) ‫س‬2/‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬ً‫ٌؤت‬: )‫(أ‬‫النمطتان‬ ‫هما‬ ‫البإرتان‬( 𝟓 𝟎) ‫و‬ (𝟓 𝟎)‫ٌساوي‬ ‫الكبٌر‬ ‫محور‬ ‫وطول‬(𝟏𝟐)‫وحدة‬ /‫الحل‬ 𝟏(𝟓 𝟎) 𝟐( 𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂 𝟐 𝟑𝟔 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒄 𝟐 𝟑𝟔 𝟐𝟓 𝒃 𝟏𝟏𝟐 𝒙 𝟑𝟔 𝟐 y 𝟏𝟏 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2
  • 83.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 82 )‫(ب‬‫هما‬ ‫البإرتان‬(𝟎 𝟐)‫عند‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫وٌتماطع‬𝟒 /‫الحل‬ 𝟏(𝟎 𝟐) 𝟐(𝟎 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟒 (‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمٌان‬ ‫البؤرتان‬ ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬‫عند‬𝟒ً‫وه‬ ‫المطبٌن‬ ‫تمثل‬( 𝟒 𝟎) (𝟒 𝟎)𝟐 𝟏𝟔 ⇐ 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟏𝟔 𝟒𝟐 𝒂 𝟐𝟎𝟐 𝒙 𝟏𝟔 𝟐 y 𝟐𝟎 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ()‫ج‬‫عن‬ ‫تبعد‬ ‫بإرتٌه‬ ‫أحدى‬ً‫نهاٌت‬‫بال‬ ‫الكبٌر‬ ‫محور‬‫عددٌن‬𝟓 𝟏‫وحدة‬‫الترتٌب‬ ‫على‬ /‫الحل‬ 𝟐 𝟏 𝟓 2𝑎 6 𝑎 3 𝑎 𝟗2 𝟐 𝟓 𝟏 2c 4 𝑐 2 𝑐 𝟒2 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒄 𝟗 𝟒𝟐 𝟐 𝟓 ‫حالتٌن‬ ‫هنان‬‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫لمعادلة‬: ‫وهما‬ ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬ 𝒙 𝟗 𝟐 y 𝟓 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬ 𝒙 𝟓 𝟐 y 𝟗 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2
  • 84.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 83 )‫(د‬‫المركزي‬ ‫االختالف‬ 𝟏 𝟐 ‫الصغٌر‬ ‫محور‬ ‫وطول‬(𝟏𝟐)‫طولٌة‬ ‫وحدة‬ /‫الحل‬ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝑐 𝑎 𝟐 c 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝒃 𝟐 𝟑𝟔 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟑𝟔 𝟐 𝟒 𝟐 𝒂 𝟏𝟒𝟒𝟐 𝒂 𝟒 𝟐 4𝒂 𝟐 44 𝒂 𝟐 3𝒂 𝟐 44 𝟐 𝟒𝟖 : ‫وهما‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫لمعادلة‬ ‫حالتٌن‬ ‫هنان‬ 𝒙 𝟒𝟖 𝟐 y 𝟑𝟔 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬ 𝒙 𝟑𝟔 𝟐 y 𝟒𝟖 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬ )‫(هـ‬‫تساوي‬ ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬(𝟖)‫ٌساوي‬ ‫الصغٌر‬ ‫محور‬ ‫ونصف‬ ‫وحدات‬(3)‫وحدة‬ /‫الحل‬ 𝟏 𝟐 (𝟐 ) 𝟑 𝑏 3 b2 9 𝟐 𝟖 𝟒 c2 6 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟗 𝟏𝟔𝟐 𝒂 𝟐𝟓𝟐 : ‫وهما‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫لمعادلة‬ ‫حالتٌن‬ ‫هنان‬ 𝒙 𝟐𝟓 𝟐 y 𝟗 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬‫السٌنات‬ 𝒙 𝟗 𝟐 y 𝟐𝟓 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬
  • 85.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 84 ‫س‬3/‫علم‬ ‫أذا‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫التعرٌف‬ ‫باستخدام‬: ⓐ‫ب‬‫النمطتان‬ ‫إرتا‬(𝟎 𝟐)‫النمطتان‬ ‫ورأسا‬(𝟎 𝟑)‫االصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫ومركز‬. /‫الحل‬ 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 (‫التعرٌف‬ ‫حسب‬ ) √( 𝟎) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 √( 𝟎) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟐(𝟑) √ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 √ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟔 √ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟔 √ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟑𝟔 𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟖 𝟑𝟔 ( 𝟒) 𝟑√ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟗 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ ) 𝟗( 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟖𝟏 𝟗 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟖𝟏 𝟗 𝟐 𝟓 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟗 𝟐 𝟓 𝟐 𝟒𝟓 ( 45 ) 𝑥2 5 𝑦2 9 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
  • 86.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 85 ⓑ‫البذإرتٌن‬ ‫بذٌن‬ ‫المسافة‬(𝟔)‫وحذدة‬‫الثابذت‬ ‫والعذدد‬(𝟏𝟎)ً‫فذ‬ ‫ومركذز‬ ‫السذٌنات‬ ‫محذور‬ ‫علذى‬ ‫تمعذان‬ ‫والبإرتذان‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬. /‫الحل‬ 𝟐 𝟔 𝟑 ( 𝟑 𝟎) ‫البؤرتان‬ 𝟐 𝟏𝟎 𝟓 ( 𝟓 𝟎)‫الراسان‬ ‫وباالعتماد‬‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫على‬ 𝟏 𝟐 𝟐 √( 𝟑) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( 𝟑) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐(𝟓) √( 𝟑) 𝟐 𝟐 √( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟏𝟎 √( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟏𝟎 √( 𝟑) 𝟐 𝟐 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ ) 𝟐 𝟔 𝟗 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟎√( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 𝟗 𝟐 𝟐𝟎√( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 ( 𝟒) 𝟓√( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐𝟓 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ ) 𝟐𝟓( 𝟐 𝟔 𝟗 𝟐) 𝟗 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟔𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎) 𝑥2 25 𝑦2 6 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
  • 87.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 86 ‫وزاري‬2014/‫د‬2 ‫س‬4/‫واحذذد‬ ‫االصذذل‬ ‫نمطذذة‬ ً‫فذذ‬ ‫مركذذز‬ ‫الذذذي‬ ‫النذذالص‬ ‫المطذذع‬ ‫معادلذذة‬ ‫جذذد‬‫ى‬‫المكذذافئ‬ ‫المطذذع‬ ‫بذذإرة‬ ً‫هذذ‬ ‫بإرتٌذذه‬ ‫معادلته‬ ‫الذي‬( 𝟐 𝟖 𝟎)‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫ان‬ ‫علما‬(𝟐√𝟑 √ 𝟑) /‫الحل‬ً‫ف‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬: 𝟐 𝟖 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟖 𝒑 𝟐 ( 𝟐 𝟎 ‫البورة‬) ً‫ف‬: ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫البإرتان‬(𝟐 𝟎) ( 𝟐 𝟎𝟐 )‫هو‬ ‫والمانون‬ ⇐ 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 𝒚 𝟐 𝟏 𝟐 ‫النمطة‬(𝟐√𝟑 √ 𝟑)‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ 𝟐√𝟑( ) 𝟐 𝒂 𝟐 √𝟑( ) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 (① ‫معادلة‬ )𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟒 ①( ‫في‬ ‫وعىض‬ ) 𝟐 𝟑𝟏𝟐 (𝒃 𝟐 𝟒) (𝒃 𝟐 𝟒 𝟐 ) 𝟐 𝟑𝟏𝟐 𝒃 𝟐 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟏 𝟐 𝟏𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟏𝟐)( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝒙 𝟏𝟔 𝟐 𝒚 𝟏𝟐 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 𝟐 𝟐 𝟏 ‫ٌهمل‬ ‫س‬5/‫االصذذذل‬ ‫نمطذذذة‬ ً‫فذذذ‬ ‫مركذذذز‬ ‫الذذذذي‬ ‫النذذذالص‬ ‫المطذذذع‬ ‫معادلذذذة‬ ‫جذذذد‬‫وٌمذذذر‬ ‫السذذذٌنات‬ ‫محذذذور‬ ‫علذذذى‬ ‫وبإرتذذذا‬ ‫بالنمطتٌن‬(𝟑 𝟒) (𝟔 𝟐) /‫الحل‬∵‫البإرتان‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬⇐‫هو‬ ‫المانون‬ 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 𝒚 𝟐 𝟏 𝟐 ∵‫النمطة‬(𝟔 𝟐)‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ (𝟔) 𝟐 𝒂 𝟐 (𝟐) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑𝟔 𝒂 𝟐 𝟐 𝟏 𝟒 𝟐 𝟒𝟑𝟔 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 (① ‫معادلة‬ )𝟐 ∵‫النمطة‬(𝟑 𝟒)‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ (𝟑) 𝟐 𝒂 𝟐 (𝟒) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟗 𝒂 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔𝟗 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 (② ‫معادلة‬ )𝟐 ‫التالٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫بالطرح‬ ‫انٌا‬ ‫المعادلتٌن‬ ‫وبحل‬ 𝟐 𝟏𝟐𝟐𝟕 𝒂 𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝟐 𝟐𝟕 𝟒 𝒂 𝟐 𝟐 𝟗 𝒂 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 ①( ‫في‬ ‫وعىض‬ ) 𝟐 𝟒𝟑𝟔 𝟐 𝟗 𝟒 𝟐 𝟗 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟗 𝟐 𝟗 𝟒 𝟐 𝟐 𝟒𝟓 𝟒 𝟗 𝟒 𝟐 𝟒 𝟏𝟖𝟎 𝟗 𝟒 𝟗 𝟐 𝟏𝟖𝟎 𝟎 𝟒 𝟐 𝟐𝟎 𝟎 𝟐 ( 𝟐 )𝟐𝟎 𝟎 𝟐 𝟐𝟎 𝟐 𝟒𝟓 𝒙 𝟒𝟓 𝟐 𝒚 𝟐𝟎 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 𝟐
  • 88.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 87 ‫س‬6/‫ج‬‫ذذـ‬‫ذ‬‫ـــــ‬‫معادل‬ ‫د‬‫ذذـ‬‫ذ‬‫ــــــ‬‫النال‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ة‬‫ذذـ‬‫ذ‬‫ـــــ‬‫االص‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ص‬‫ذذـ‬‫ذ‬‫ــ‬‫ل‬‫ذذا‬‫ذ‬‫وبإرت‬ً‫ذذ‬‫ذ‬‫المنحن‬ ‫ذذاطع‬‫ذ‬‫تم‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫نمطت‬ 𝟐 𝟐 𝟑 𝟏𝟔‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫وٌمس‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬𝟐 𝟏𝟐 /‫الحل‬∵ً‫المنحن‬( 𝟐 𝟐 𝟑 𝟏𝟔)‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫ٌمطع‬𝟎 ⇐ 𝟐 𝟏𝟔 𝐲 𝟒 ‫البإرتان‬(𝟎 𝟒) (𝟎 𝟒𝟐 𝟏𝟔 )‫هو‬ ‫والمانون‬ ⇐ 𝒙 𝟐 𝟐 𝒚 𝟐 𝒂 𝟏𝟐 ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫المعطى‬ 𝟐 𝟏𝟐 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟐 𝒑 𝟑 𝐱 𝐩 𝒙 𝟑 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫دنيم‬ ( 𝟑 𝟎) ‫انتماس‬ ‫وقطت‬ ∵‫النمطة‬( 𝟑 𝟎)‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ ( 𝟑) 𝟐 𝟐 (𝟎) 𝟐 𝒂 𝟏𝟐 𝟗 𝒃 𝟏𝟐 𝟐 𝟗 𝑎2 𝑏2 𝑐2 9 6 𝒂 𝟐𝟓𝟐 𝒙 𝟗 𝟐 𝒚 𝟐𝟓 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 𝟐 ‫س‬7/‫ج‬‫ـــ‬‫ــــ‬‫ــ‬‫النذالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫د‬‫بإرتذا‬ ‫الذذي‬‫الس‬ ‫محذور‬ ‫الذى‬ ً‫تنتمذ‬‫ـــ‬‫ــــ‬‫ـذـ‬‫األص‬ ‫نمطذة‬ ً‫فذ‬ ‫ومركذز‬ ‫ٌنات‬‫ــذـ‬‫ل‬ ‫ذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫وٌمط‬ ‫ذغٌر‬‫ذ‬‫الص‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذول‬‫ذ‬‫ط‬ ‫ذعف‬‫ذ‬‫ض‬ ‫ذر‬‫ذ‬ٌ‫الكب‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذول‬‫ذ‬‫وط‬𝟐 𝟖 𝟎ً‫ذ‬‫ذ‬‫الت‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫النمط‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫عن‬ ً‫السٌن‬ ‫احداثٌها‬( 𝟐) /‫الحل‬∵‫البإرتان‬‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬‫هو‬ ‫المانون‬ ⇐ 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 𝒚 𝟐 𝟏 𝟐 ∵‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫ضعف‬ ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 𝟐 𝟐( 𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫لٌمة‬ ‫نعوض‬ ‫المعطى‬( 𝟐) 𝟐 𝟖 𝟎 𝟐 𝟖( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟒 ( 𝟐 𝟒) ( 𝟐 𝟒) ‫النقطتان‬‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫لذا‬ ‫النالص‬ ‫والمطع‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬ ( 𝟐) 𝟐 𝒂 𝟐 (𝟒) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒 𝒂 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟔 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏𝟔 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏𝟔 𝟐 𝟏 𝟏𝟕 𝟐 𝟏𝟕 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟏𝟕) 𝟐 𝟔𝟖 𝒙 𝟔𝟖 𝟐 𝒚 𝟏𝟕 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫مع‬‫ادلة‬ ) 𝟐
  • 89.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 88 ‫س‬8/‫نالص‬ ‫لطع‬‫معادلته‬𝟐 𝟐 𝟑𝟔‫مركز‬ ‫و‬‫طول‬ ً‫مربع‬ ‫ومجموع‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ً‫محورٌه‬ ‫ٌساوي‬(𝟔𝟎)‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ً‫ه‬ ‫بإرتٌه‬ ‫واحد‬𝟐 𝟒√ 𝟑‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌمة‬ ‫ما‬ /‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫المعطى‬ 𝟐 𝟒√𝟑 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟒√𝟑 𝒑 √𝟑 √𝟑( 𝟎 ‫البؤرة‬) ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ √ 𝟑( 𝟎 √ 𝟑) ( 𝟎)𝟐 𝟑‫المانون‬ ⇐ 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 𝒚 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔) 𝒙 𝟐 ( 𝟑𝟔 𝒉 ) 𝒚 ( 𝟑𝟔 ) 𝟏 𝟐 𝒂 𝟐 𝟑𝟔 𝒉 𝟐 𝟑𝟔 ∵= ‫محورٌه‬ ‫طول‬ ً‫مربع‬ ‫مجموع‬𝟔𝟎 ( 𝟐 ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 𝟔𝟎 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔𝟎 𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝟐 3 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟔 𝟐 𝟗 𝒂 𝟐 𝟑𝟔 𝒉 𝟗 𝟑𝟔 𝟒 𝒃 𝟐 𝟑𝟔 𝒌 𝟔 𝟑𝟔 𝟔 ‫س‬9/‫ج‬‫ـــذـ‬‫معادل‬ ‫د‬‫ــذـ‬‫النال‬ ‫المطذع‬ ‫ة‬‫ــذـ‬‫ص‬‫مركذز‬ ‫الذذي‬‫نمط‬‫ـــــــذـ‬‫االص‬ ‫ة‬‫ــ‬‫ــــ‬‫ـذـ‬‫واح‬ ‫ل‬‫ـــذـ‬‫المطذع‬ ‫بذإرة‬ ً‫هذ‬ ‫بإرتٌذه‬ ‫دى‬ ‫المكافئ‬𝟐 𝟐𝟒‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫ومجموع‬(𝟑𝟔)‫وحدة‬. /‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫المعطى‬ 𝟐 𝟐𝟒 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐𝟒 𝐩 𝟔 𝟎( 𝟔 ‫البؤرة‬) ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ 𝟎( 𝟔 𝟎) ( 𝟔)𝟐 𝟑𝟔‫المانون‬ ⇐ 𝒙 𝟐 𝟐 𝒚 𝟐 𝒂 𝟏𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝒂 𝒃 𝟏𝟖 𝒂 𝟏𝟖 𝒃 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟏𝟖 ) 𝟐 𝟐 36𝒃 𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 36 𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 36 𝟑𝟔 288 𝐛 𝟖 𝟐 𝟔𝟒 𝒂 𝟏𝟖 𝒃 𝟏𝟖 𝟖 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒙 𝟔𝟒 𝟐 𝒚 𝟏𝟎𝟎 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 𝟐 ‫وزاري‬2012/‫د‬3
  • 90.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 89 ‫س‬10/‫النذالص‬ ‫المطذع‬ ‫معادلذة‬ ‫جذد‬‫بإرتٌذه‬ ‫الذذي‬𝟏( 𝟒 𝟎) 𝟐(𝟒 𝟎)‫والنمطذة‬‫النذالص‬ ‫للمطذع‬ ً‫تنتمذ‬ ‫المثلث‬ ‫محٌــــــط‬ ‫أن‬ ‫بحٌث‬𝟏 𝟐‫ٌساوي‬(𝟐𝟒)‫وحدة‬.‫وزاري‬0142/‫د‬1 /‫الحل‬ 𝟏( 𝟒 𝟎) 𝟐(𝟒 𝟎) 𝟒 𝐂 𝟐 𝟏𝟔 ‫المثلث‬ ‫محٌــــــط‬𝟏 𝟐‫ٌساوي‬(𝟐𝟒)‫المطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫وحسب‬ ‫وحدة‬: ‫النالص‬ ∵ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐𝟒 ( ① ‫)معادلة‬ 𝟏 𝟐 𝟐𝐂 𝟐( 𝟒) 𝟖 ‫وحدة‬ (‫البؤرتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬ ) 𝟏 𝟐 𝟐𝒂 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫حسب‬ ) ( ① ‫)معادلة‬ ً‫ف‬ ‫وبالتعوٌض‬: ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ 𝟐 𝟖 𝟐𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 6 𝟐 𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟒𝟖 ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( 𝟒 𝟎) (𝟒 𝟎)‫المانون‬ 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 𝒚 𝟐 𝟏 𝟐 𝒙 𝟔𝟒 𝟐 𝒚 𝟒𝟖 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 𝟐
  • 91.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 90 ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ⓐ‫بإرتا‬( 𝟑 𝟎) (𝟑 𝟎)‫وطول‬‫المحور‬‫الكبٌر‬(‫وحدات‬ 𝟏𝟎 )‫ومركز‬‫نمطة‬‫األصل‬ 𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟑 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝟒 𝒙 𝟐𝟓 𝟐 𝑦 𝟏𝟔 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ⓑ‫رأسا‬(𝟎 𝟔) (𝟎 𝟔)‫وطول‬‫المحور‬‫الصغٌر‬(‫وحدات‬ 𝟖 )‫ومركز‬‫نمطة‬‫األصل‬ 𝟐 𝟖 𝟒 𝟔 𝒚 𝟑𝟔 𝟐 𝑥 𝟏𝟔 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ⓒ‫أحدى‬‫بإرتٌه‬(𝟎 𝟒)‫ومركز‬‫نمطة‬‫األصل‬‫والنسبة‬‫بٌن‬‫طول‬‫محور‬‫الصغٌر‬‫والمسافة‬‫بٌن‬‫بإرتٌه‬‫تساوي‬( 𝟑 𝟒 ) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟒 𝟒 𝟑 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝟐𝟓 𝟓 𝒚 𝟐𝟓 𝟐 𝑥 𝟗 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ⓓ‫مركز‬‫نمطة‬‫األصل‬‫بالنمطتٌن‬ ‫وٌمر‬(𝟎 𝟑) ( 𝟒 𝟎)‫ومحٌطه‬ ‫مساحته‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ 𝟒 𝟑 𝒙 𝟏𝟔 𝟐 𝑦 𝟗 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ‫انمساحت‬ (4)(3) 2 ( ‫مربعة‬ ‫)وحدة‬ ‫انمحيط‬ 2 √ 2 2 2 2 √ 𝟏𝟔 𝟗 2 2 √ 𝟐𝟓 2 5√𝟐 ( ‫)وحدة‬
  • 92.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 91 ⓔ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬‫لطبٌه‬ ‫وأحد‬‫ب‬ ‫ٌمر‬‫ؤحدى‬‫المستمٌم‬ ‫تماطع‬ ً‫نمطت‬𝟐 𝟖 / ‫الحل‬‫نجعل‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫ألٌجاد‬( 𝟎)‫ثم‬‫ن‬‫لٌم‬ ‫جد‬( )‫نجعل‬ ‫ثم‬( 𝟎)‫لٌم‬ ‫ألٌجاد‬( ) 𝟎 𝒚 𝟖 (𝟎 𝟖) 𝒊𝒇 𝒚 𝟎 𝟐𝒙 𝟖 (𝟒 𝟎) 𝟖 𝟒 𝒙 𝟐 𝟐 𝑦 𝟐 𝟏 ( ‫القانون‬ ) 2 𝒙 𝟏𝟔 𝟐 𝑦 𝟔𝟒 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ⓕ‫مركز‬‫نمطة‬‫األصل‬‫ومحور‬‫الكبٌر‬‫ٌنطبك‬‫على‬‫محذور‬‫السذٌنات‬‫لذه‬ ‫الثابذت‬ ‫والبعذد‬(‫وحدات‬ 𝟏𝟎)‫وطذول‬‫محذور‬ ‫الصغٌر‬(‫وحدات‬ 𝟔) 𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟐 𝟔 b 3 𝒙 𝟐𝟓 𝟐 𝑦 𝟗 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ⓖ‫بإرتٌه‬ ‫أحدى‬(𝟎 𝟑)‫تساوي‬ ‫محورٌه‬ ‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫والنسبة‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬( 𝟒 𝟓 ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 𝟓 𝒃 𝟒 𝟓 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒄 𝟐 6 25 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝒂 𝟐𝟓𝟐 𝒂 𝟐𝟐𝟓𝟐 𝟗 𝒂 𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝒂 𝟐𝟓𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝒚 𝟐𝟓 𝟐 𝑥 𝟏𝟔 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ⓗ‫أحدى‬‫بإرتٌه‬(𝟒 𝟎)‫ومركز‬‫نمطة‬‫األصل‬‫واختالفه‬‫المركزي‬( 𝟏 𝟐 ) 𝟒 𝟏 𝟐 4 𝑎 𝟖 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒄 𝟔𝟒 𝟏𝟔𝟐 𝒃 𝟒𝟖𝟐 𝑥 𝟔𝟒 2 𝒚 𝟒𝟖 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 𝟐
  • 93.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 92 ⓘ‫ومساحته‬ ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمٌان‬ ‫وبإرتا‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬(𝟐𝟒 )‫محورٌه‬ ‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫والنسبة‬( 𝟑 𝟖 ) 𝟐𝟒 𝑎 24 ( ‫معادلة‬ ) 𝑏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟖 3𝑎 8𝑏 8 𝟑 𝑏 24 𝑏 8 𝟑 𝑏 8𝑏 𝟕𝟐2 𝑏 𝟗2 𝟑 𝟖 𝑥 𝟔𝟒 2 𝒚 𝟗 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 𝟐 ⓙ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫ٌنطبمان‬ ‫ومحورا‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬‫اإلحداثٌٌن‬‫الذذي‬ ‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫بإرة‬ ً‫ه‬ ‫بإرتٌه‬ ‫وأحدى‬ ‫معادلته‬( 𝟐 𝟏𝟐 𝟎)‫الصغٌر‬ ‫محور‬ ‫طول‬ ‫ضعف‬ ‫الكبٌر‬ ‫محور‬ ‫وطول‬ / ‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬: 𝟐 𝟏𝟐 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐 𝟒 4p 2 p 3 ( 3 ‫البورة‬) ‫من‬‫النالص‬ ‫المطع‬: ‫البإرتان‬(𝟎 𝟑) (𝟎 𝟑)𝟑 ⇐⇐‫هو‬ ‫المانون‬ 𝒙 𝟐 𝟐 𝑦2 𝑎 𝟏2 𝟐 𝑎 𝟐 𝟐2 𝟐( ) 𝟐 𝟗2 𝟒 𝟐 𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑 𝑎 𝟒 𝟐 𝟒(𝟑)2 𝑎 𝟏𝟐2 𝒙 𝟑 𝟐 𝑦 𝟏𝟐 𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ⓚ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬(𝟎 𝟑)‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫والمسافة‬(‫وحدات‬ 𝟔) 𝟐 𝟔 c 3 b (‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫ألنه‬ )3 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝟗𝟗 𝒂 𝟐 (‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫معادلتٌن‬ ‫)توجد‬𝟏𝟖 𝒙 𝟐 𝟗 𝑦2 𝟏 ( ‫األولى‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 𝟏𝟖 𝒙 𝟏𝟖 𝟐 𝑦 𝟗 𝟏 ( ‫الثانٌة‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2
  • 94.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 93 ‫مثال‬/‫المحذورٌن‬ ‫مذن‬ ‫كذل‬ ‫طذول‬ ‫جذد‬‫البذإري‬ ‫والبعذد‬‫وإحذداثٌات‬‫والرأسذٌن‬ ‫البذإرتٌن‬‫واالخذتالف‬‫والمحذٌط‬ ‫المركذزي‬ ‫لمعادلة‬ ‫والمساحة‬‫التالٌة‬ ‫المطع‬𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎) 𝟏𝟔 𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟏 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝟏 𝑎 𝟐𝟓2 𝟓 𝟐 𝟏𝟔𝑎 𝟒 𝟐 b 𝑎 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗2 𝟑c 𝟐 𝟐(𝟓) 𝟏𝟎 ‫وحدة‬ ( ‫الكبٌر‬ ‫)المحور‬ 𝟐 𝟐(𝟒) 𝟖 ‫وحدة‬ ( ‫الصغٌر‬ ‫)المحور‬ 𝟐 𝟐(𝟑) 𝟔 ‫وحدة‬ (‫البؤري‬ ‫)البعد‬ (𝟓 𝟎) ( 𝟓 𝟎) ‫الرأسان‬ (𝟑 𝟎) ( 𝟑 𝟎) ‫البؤرتان‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ 𝟓 𝟑 ‫انمساحت‬ (5)(4) 2 ( ‫مربعة‬ ‫)وحدة‬ ‫انمحيط‬ 2 √ 2 2 2 2 √ 𝟐𝟓 𝟏𝟔 2 2 √ 𝟒𝟏 2 ( ‫)وحدة‬ ‫ذذذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫ذذذتكن‬‫ذ‬‫ل‬𝟐 𝟐 𝟒𝟎𝟎‫ذذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذذدى‬‫ذ‬‫اح‬ ‫ذذذالص‬‫ذ‬‫ن‬ ‫ذذذع‬‫ذ‬‫لط‬ ‫ذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬(𝟑 𝟎)‫ذذذول‬‫ذ‬‫ط‬ ‫ذذذٌن‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذذذبة‬‫ذ‬‫والنس‬ ‫الصغٌر‬ ‫ومحور‬ ‫الكبٌر‬ ‫محور‬ 𝟒 𝟓 ‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬ / ‫انحم‬ 𝟐 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎) 𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟏 𝟐 ( 𝟒𝟎𝟎 ) 𝟐 ( 𝟒𝟎𝟎 ) 𝟏 ∵‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ ‫المانون‬𝟑 𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝑎 𝟒𝟎𝟎2 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏⇐ 𝟐 𝟐 𝟒 𝟓 𝟒 𝟓 𝑏 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 2 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟐𝟓 𝟐 𝟗
  • 95.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 94 𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝑏 𝟏𝟔2 𝟒𝟎𝟎 𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟒𝟎𝟎 𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟏𝟔 𝟐𝟓 𝒙 𝟐𝟓 𝟐 𝑦 𝟏𝟔 𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ‫ذذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫ذذاحته‬‫ذ‬‫مس‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذد‬‫ذ‬‫ج‬(𝟖𝟎 )‫ذذد‬‫ذ‬‫للبع‬ ‫ذذاوٌا‬‫ذ‬‫مس‬ ‫ذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذٌن‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذذد‬‫ذ‬‫البع‬ ‫ذذون‬‫ذ‬‫ٌك‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫وال‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫بٌن‬( 𝟐 𝟐𝟒 𝟎)‫ودلٌله‬ / ‫انحم‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬ 𝟐 𝟐𝟒 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐 𝟒 4p 24 p 6 2|p| 2 2 2 c 6 𝑐2 36 ‫من‬‫النالص‬ ‫المطع‬: 𝟖𝟎 𝟖𝟎 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝑎 ( ‫)معادلة‬2 𝑎 𝟐 𝟐2 𝑎 𝟔𝟒𝟎𝟎2 𝑎 𝟑𝟔2 𝟒 𝟑𝟔 𝑎 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎2 (𝑎2 )( 𝑎2 ) 𝟎64 either 𝑎2 𝟐 𝟔𝟒 𝑜𝑟 𝑎2 64 ‫يهمم‬ 𝒙 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝑦2 𝟏 ( ‫األولى‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 𝟔𝟒 𝒙 𝟔𝟒 𝟐 𝑦 𝟏𝟎𝟎 𝟏 ( ‫الثانٌة‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2
  • 96.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 95 ‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬ 𝟐 𝟑 𝟐 𝟎‫معادلة‬‫لطع‬‫مكافئ‬‫دلٌله‬‫ٌمذر‬‫بالنفطذة‬( 𝟏 𝟐)‫جذد‬‫معادلذة‬‫المطذع‬‫النذالص‬‫الذذي‬ ‫أحد‬‫بإرتٌه‬(𝟎 )‫ومربع‬‫طول‬‫النسبة‬‫بٌن‬‫محورٌه‬ 𝟑 𝟒 / ‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫له‬ ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ‫فؤن‬ ‫لذا‬ ً‫السٌن‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫أن‬ ‫نالحظ‬ ( [ 𝟏] 𝟏 )ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫على‬ ‫ٌمع‬ ‫ألنه‬ 𝟐 ( 𝟑 𝟐) (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐 𝟒 ( 𝟑 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟐 4 M 2 ‫من‬‫النالص‬ ‫المطع‬:‫بإرتا‬(𝟎 𝟐) (𝟎 𝟐)‫هو‬ ‫والمانون‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟐 𝟒 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟐 𝒙 𝟏𝟐 𝟐 𝑦 𝟏𝟔 𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ‫مثال‬/‫الذذي‬ ‫النذالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫وبإرتذا‬ ‫األصذل‬ ‫نمطذة‬ ‫مركذز‬𝟏( √ 𝟔 𝟎) 𝟐(√𝟔 𝟎)‫خذالل‬ ‫وٌمذر‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟏 𝟎 / ‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬ ‫حدود‬ ‫تكون‬ ‫بحٌث‬ ‫المعادلة‬ ‫نرتب‬( )‫وحدود‬ ‫طرف‬ ً‫ف‬( )‫األخر‬ ‫الطرف‬ ً‫ف‬𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟏 ‫نضٌف‬(𝟏)‫حدود‬ ‫تكون‬ ‫حتى‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ً‫طرف‬ ‫الى‬( )‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫بشكل‬ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟏 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐 𝟏𝟐𝟐 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐( 𝟏)𝟐 ‫انمكافئ‬ ‫نهمطع‬ ‫انمٕاسٕت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمماروت‬( ) 𝟐 𝟒 ( )ّ‫عه‬ ‫وحصم‬ 𝟏 𝟏 ( ) ( 𝟏 𝟏)‫انرأس‬ 𝟒 𝟏𝟐 𝟑 F(𝑝 ℎ 𝑘) 𝐹 𝟑 𝟏( ) 𝐹 𝟐( (‫انىاقص‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬ ‫)تحقق‬) ‫النا‬ ‫المطع‬ ‫من‬: ‫لص‬ ∵‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫بإرت‬( √ 𝟔 𝟎) (√𝟔 𝟎)‫هو‬ ‫المانون‬𝟐 𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ⇐ ‫انىمطت‬𝟐() ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫بؤرة‬ ( ‫بٍا‬ ‫ٔمز‬ ً‫ألو‬ ‫انىالص‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬ ‫تحمك‬ )
  • 97.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 96 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 (× 𝟐 𝟐 ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( ① ‫معادلة‬ ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 ( ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬ ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟔 ( 𝟐 𝟔) 𝟐 𝟓 𝟐 𝟔 𝟒 𝟔 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔 𝟎 (𝒃 𝟐 )(𝟑 𝒃 𝟐 ) 𝟎𝟐 𝑒𝑖𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑏2 2 𝟐 𝟖 𝑜𝑟 𝑏2 3 ‫يهمم‬ 𝒙 𝟖 𝟐 𝑦 𝟐 𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 2 ‫ذذذذذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫ذذذذذن‬‫ذ‬‫م‬ ‫ذذذذذل‬‫ذ‬‫ك‬ ‫ذذذذذـة‬‫ذ‬‫ومعادل‬ ‫ذذذذذـول‬‫ذ‬‫وط‬ ‫ذذذذذٌن‬‫ذ‬‫والمطب‬ ‫ذذذذذـٌن‬‫ذ‬‫والرأسـ‬ ‫ذذذذذإرتٌن‬‫ذ‬‫الب‬ ً‫ذذذذذداث‬‫ذ‬‫أح‬ ‫ذذذذذد‬‫ذ‬‫ج‬‫الم‬‫ذذذذذ‬‫ذ‬‫ح‬‫ذذذذذع‬‫ذ‬‫للمط‬ ‫ورٌن‬ ‫النالص‬(𝟒 𝟐 𝟖 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟒 𝟎)‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬e‫؟‬ / ‫انحم‬‫حدود‬ ‫تكون‬ ‫بحٌث‬ ‫المعادلة‬ ‫نرتب‬( )‫وحدود‬( )ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬: 𝟒 𝟐 𝟖 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟒 𝟒( 𝟐 𝟐 ) 𝟗( 𝟐 𝟒 ) 𝟒 ‫بإضافة‬(𝟒𝟎)‫المطع‬ ‫معادلة‬ ً‫طرف‬ ‫الى‬‫انىالص‬‫حدود‬ ‫تكون‬ ‫حتى‬( )‫وحدود‬( )‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫بشكل‬ 𝟒( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟗( 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟒 𝟒𝟎 𝟒( 𝟏) 𝟐 𝟗( 𝟐) 𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔) ( 𝟏) 𝟐 𝟗 ( 𝟐) 𝟐 𝟒 𝟏 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫انىالص‬ ‫نهمطع‬ ‫انمٕاسٕت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمماروت‬ ( ) 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐 𝟏ّ‫عه‬ ‫وحصم‬ 𝟏 𝟐 ( ) (𝟏 𝟐) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫مركز‬ 𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟒𝑎 b 2 𝟐 5 𝑐 √5 𝟐 𝟐(√ )5 2√ ‫وحدة‬5 ( ‫انبؤرتيه‬ ‫بي‬ ‫انمسافت‬) 𝑦 𝑘 𝑦 2 (‫انمحىرانكبير‬ ‫)معادنت‬ 𝑥 ℎ 𝑥 (‫انمحىرانصغير‬ ‫)معادنت‬ (ℎ ) 2(ℎ ) ( √ 2) 2(5 √ 2) ‫انبؤرتان‬5 (ℎ ) 2(ℎ ) (4 2) 2( 2 2) ‫انرأسان‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ √ 3 𝟏 5
  • 98.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 97 ‫مثال‬/‫المحذورٌن‬ ‫مذن‬ ‫كذل‬ ‫ومعادلذة‬ ‫طذول‬ ‫و‬ ‫والمطبذٌن‬ ‫والرأسذٌن‬ ‫البذإرتٌن‬ ً‫أحذداث‬ ‫جذد‬‫وممذدار‬‫االخذتالف‬‫المركذزي‬ ‫مركذز‬ ‫الذذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫ومعادلة‬(𝟏 𝟒)‫عذن‬ ‫تبعذد‬ ‫بإرتٌذه‬ ‫وأحذدى‬ ‫الصذادات‬ ‫محذور‬ ‫ٌذوازي‬ ‫الكبٌذر‬ ‫ومحذور‬ ‫بالبعدٌن‬ ‫الرأسٌن‬2, 10‫طول‬ ‫وحدة‬ / ‫انحم‬∵‫انبعدٔه‬ ‫مجمُع‬𝟐‫انبعدٔه‬ ‫بٕه‬ ‫َانفزق‬𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝟐𝐜 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝐜 𝟖 𝐜 𝟒 ∵‫انصاداث‬ ‫محُر‬ ْ‫ُٔاس‬ ‫انكبٕز‬ ‫محُري‬⇐‫انىالص‬ ‫نهمطع‬ ‫انمٕاسٕت‬ ‫انمعادنت‬ ( ) 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐 𝟏 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟎 𝟏 𝟒 ( 𝟏) 𝟐 𝟐𝟎 ( 𝟒) 𝟐 𝟑𝟔 𝟏 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معا‬‫دلة‬ 𝟐 𝟐( )4 ‫وحدة‬8 ( ‫انبؤرتيه‬ ‫بي‬ ‫انمسافت‬) 𝑥 ℎ 𝑥 (‫انمحىرانكبير‬ ‫)معادنت‬ 𝑦 𝑘 𝑦 4 (‫انمحىرانصغير‬ ‫)معادنت‬ (ℎ ) 2(ℎ ) ( ) 2( 8) ‫انبؤرتان‬ (ℎ ) 2(ℎ ) ( 2) 2( ) ‫انرأسان‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ 𝟔 4 𝟑 𝟏 2 ****************************************************************** ‫س‬1:‫جد‬ً‫أحداث‬‫البذإرتٌن‬‫والرأسذٌن‬‫والمطبذٌن‬‫و‬‫طذول‬‫ومعادلذة‬‫كذل‬‫مذن‬‫المحذورٌن‬‫المركذزي‬ ‫واالخذتالف‬‫للمطذوع‬ ‫النالصة‬: ‫التالٌة‬ ( ) 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐𝟐𝟓 ( ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 ( ) 𝟏𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟑𝟎𝟎 ‫س‬2:‫جد‬ ‫التعرٌف‬ ‫بؤستخدام‬‫معادل‬‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫ة‬: ) ‫أ‬ (‫النمطتان‬ ‫بإرتا‬( 𝟑 𝟎)‫النمطتان‬ ‫ورأسا‬( 𝟔 𝟎)‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬. ) ‫ب‬ (‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تمعان‬ ‫بإرتا‬‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬‫انزأس‬ ‫عه‬ ‫تبعد‬ ًٕ‫بؤرت‬ ِ‫َأحد‬‫ـــــــــــــــــ‬‫ٕه‬ ‫بانبعدٔه‬2, 8‫طُل‬ ‫َحدة‬.
  • 99.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 98 ‫ا‬:‫الزائد‬ ‫لمطع‬: ) ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫الرأس‬ ( ‫هو‬‫مجموع‬‫ـــ‬‫ة‬‫نماط‬‫المس‬‫ــ‬‫توي‬( )ً‫الت‬‫ثذابتتٌن‬ ‫نمطتٌن‬ ‫عن‬ ‫منها‬ ‫اي‬ ‫بعدي‬ ‫لفرق‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌمة‬ ‫تكون‬‫تسذمى‬ ‫لٌمته‬ ‫ثابتا‬ ‫عددا‬ ‫ٌساوي‬ ) ‫البإرتٌن‬ ((𝟐 ) ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمٌان‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬xis)a-(x‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬ | 𝟏 𝟐| 𝟐 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫حسب‬ ) 𝟏 𝟐 𝟐 √( 𝒙 𝒄) 𝟐 (𝒚 𝟎) 𝟐 √( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐 √( 𝒙 𝒄) 𝟐 𝒚 𝟐 √( ) 𝟐 𝟐 𝟐𝒚 √( 𝒙 𝒄) 𝟐 𝒚 𝟐 𝟐 √( ) 𝟐 𝟐 ( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬)𝒚 (𝒙 𝒄) 𝟐 𝒚 𝟒 𝟐 𝟒 √( ) 𝟐𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐 𝒚 𝒚 (𝒙 𝒄) 𝟒 𝟐 𝟒 √( ) 𝟐𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝒚 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 √( ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝒚 𝟒 √( ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 ( 𝟒)𝒚 √( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬)𝒚 𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐) [ 𝟎 ‫حٌث‬ 𝟐 𝟐 𝟐 ‫]نفرض‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) ⦁‫ال‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬‫زا‬‫ئـ‬‫د‬‫هما‬( 𝟎) ( 𝟎)ً‫ه‬ ‫وبإرتا‬( 𝟎) ( 𝟎)‫والمعادلة‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ⦁‫ال‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌمكننا‬ ‫األسلوب‬ ‫بنفس‬‫زائد‬ً‫وه‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمٌان‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏‫أن‬ ‫حٌث‬ ‫ال‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬‫زائد‬‫هما‬( 𝟎 ) ( 𝟎 )ً‫ه‬ ‫وبإرتا‬( 𝟎 ) ( 𝟎 )
  • 100.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 99 : ‫مالحظات‬ ①‫دائما‬( ) ( )‫أن‬ ‫حٌث‬( 𝟎) ②‫ال‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ً‫حمٌم‬𝟐 ③‫المحور‬ ‫طول‬‫المرافك‬𝟐 ④‫البإرتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬𝟐 ⑤‫المركزي‬ ‫االختالف‬( )‫ٌكون‬ ‫أنه‬ ‫ٌالحظ‬ ‫حٌث‬( 𝟏) ⑥‫ٌكون‬ ‫دائما‬𝟐 𝟐 𝟐 ⑦‫النمط‬‫ة‬‫ال‬ً‫ت‬‫تمع‬‫و‬ ‫المحورٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بها‬ ‫ٌمر‬‫تمثل‬‫ر‬‫أ‬‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫س‬‫لٌمة‬ ‫وتمثل‬( ) ⑧( ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬ ‫نمطة‬ ‫واي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬ ‫تسمى‬‫البإري‬ ‫المطر‬ ‫منتصف‬) ( ‫مثال‬61/)‫الزائد‬ ‫للمطع‬ ‫والمرافك‬ ً‫الحمٌم‬ ‫المحورٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وطول‬ ‫والرأسٌن‬ ‫البإرتٌن‬ ‫عٌن‬ 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟏 /‫الحل‬ 𝟐 𝟔𝟒 𝒂 𝟖 𝟐𝒂 𝟏𝟔 ‫وحدة‬ ‫انحقيقي‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬ 𝟐 𝟑𝟔 𝒃 𝟔 𝟐𝒃 𝟏𝟐 ‫وحدة‬ ‫انمرافق‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬ 𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝒄 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒄 𝟏𝟎 𝐕𝟏(𝟖 𝟎) 𝐕𝟐( 𝟖 𝟎) ‫انزائد‬ ‫انقطع‬ ‫رأسا‬ 𝑷 𝟏(𝟎 𝟔) 𝑷 𝟐(𝟎 𝟔) ‫انزائد‬ ‫انقطع‬ ‫قطبا‬ 𝐅𝟏(𝟏𝟎 𝟎) 𝐅𝟐( 𝟏𝟎 𝟎) ‫انزائد‬ ‫انقطع‬ ‫بؤرتا‬
  • 101.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 100 ( ‫مثال‬17/)ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬ ‫وطول‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟔‫واالخ‬ ‫وحدات‬‫ـتالف‬ ‫ٌساوي‬ ‫المركزي‬(𝟐)‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫والبإرتان‬ /‫الحل‬ 𝟐 𝟔 𝒂 𝟑 𝒂 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑 𝒄 (𝟐)(𝟑) 𝐜 𝟔 𝒄 𝟐 𝟑𝟔 𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟗 𝟐 𝟐𝟕 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐𝟕 𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ( ‫مثال‬18/)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المرافك‬ ‫محور‬ ‫وطول‬(𝟒)‫وحدات‬‫و‬‫بإرتا‬‫هــــ‬‫ـما‬ ‫النمطتان‬𝟏(𝟎 √ 𝟖) 𝟐(𝟎 √ 𝟖) /‫الحل‬∵‫البإرتان‬‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ً‫ه‬ ‫الزائد‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ 𝒚 𝟐 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝒃 𝟒𝟐 √𝟖 𝒄 𝟖𝟐 𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟏 ‫الزائـد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ً‫ف‬‫المثال‬(18)‫المطوع‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫مثل‬ ‫المرافك‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫الى‬ ٍ‫و‬‫مسا‬ ً‫الحمٌم‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫أن‬ ‫نالحظ‬ ‫أعال‬ ( ‫ٌدعى‬ ‫الزائدة‬‫األ‬ ‫متساوي‬ ‫او‬ ‫المائم‬ ‫الزائد‬ ‫بالمطع‬‫ضالع‬‫ٌكون‬ ‫وفٌه‬ ‫مربع‬ ‫رإوس‬ ‫تشكل‬ ‫األربعة‬ ‫النماط‬ ‫ألن‬ ) ‫االختالف‬‫المركزي‬( )‫لٌمته‬ ‫ثابت‬ ‫ممدار‬(√𝟐 ).
  • 102.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 101 (𝟐 𝟑)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫المركزي‬ ‫واألختالف‬ ‫المحورٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫والرأسٌن‬ ‫البإرتٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عٌن‬‫ان‬ ‫نهمطُع‬‫شائدة‬: ‫االتٕت‬ ⓐ 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒𝟖 ‫الحل‬/ّ‫عه‬ ‫انمعادنت‬ ٓ‫طزف‬ ‫ومسم‬( 𝟒𝟖) 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏𝟐 𝟏 𝑎 𝟒2 𝑎 2 2𝑎 4 ‫وحدة‬ ‫انحقيقي‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬ 𝑏 𝟏𝟐2 b 𝟐√𝟑 2𝑏 √𝟑4 ‫وحدة‬ ‫انمرافق‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬ 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝟒 𝟏𝟐 𝒄 𝟐 𝟏𝟔 𝟒 𝟏(𝟐 𝟎) 𝟐( 𝟐 𝟎) ‫الرأسان‬ 𝟏 (𝟒 𝟎) 𝟐( 𝟒 𝟎) ‫البؤرتان‬ 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬ ⓑ 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟒𝟒 /‫الحل‬ّ‫عه‬ ‫انمعادنت‬ ٓ‫طزف‬ ‫ومسم‬( 𝟏𝟒𝟒) 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟏 𝑎 92 𝑎 3 2𝑎 6 ‫وحدة‬ ‫انحقيقي‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬ 𝑏 𝟏𝟔2 b 𝟒 2𝑏 8 ‫وحدة‬ ‫انمرافق‬ ‫انم‬‫حىر‬ ‫طىل‬ 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟏(𝟑 𝟎) 𝟐( 𝟑 𝟎) ‫الرأسان‬ 𝟏 (𝟓 𝟎) 𝟐( 𝟓 𝟎) ‫البؤرتان‬ 𝟓 𝟑 𝟏 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
  • 103.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 102 ‫س‬2/‫أكتب‬ً‫ف‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬: ‫المطع‬ ‫ارسم‬ ‫ثم‬ ‫التالٌة‬ ‫الحاالت‬ ⓐ‫النمطتان‬ ‫هما‬ ‫البإرتان‬( 𝟓 𝟎)‫عند‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫وٌتماطع‬𝟑‫االصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫ومركز‬. /‫الحل‬ ∵‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( 5 ) 2 (5 )𝟓‫المانون‬ ⇐ 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 𝒚 𝟐 𝟏 𝟐 ∵‫عند‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫ٌتماطع‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬𝟑 ∴‫الراسان‬( 3 ) (3 )𝟐 𝟗 ⇐ 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔𝟐 𝒙 𝟗 𝟐 𝐲 𝟏𝟔 𝟏 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 𝟐
  • 104.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 103 ⓑً‫ذذذ‬‫ذ‬‫الحمٌم‬ ‫ذذذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذول‬‫ذ‬‫ط‬(𝟏𝟐)‫ذذذك‬‫ذ‬‫المراف‬ ‫ذذذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذول‬‫ذ‬‫وط‬ ‫ذذذدة‬‫ذ‬‫وح‬(𝟏𝟎)‫ذذذى‬‫ذ‬‫عل‬ ‫ذذذورا‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذك‬‫ذ‬‫وٌنطب‬ ‫ذذذدات‬‫ذ‬‫وح‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬ ‫االحداثٌٌن‬ ‫المحورٌن‬. /‫الحل‬ 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟏𝟎 𝒃 𝟓 𝒃 𝟐 𝟐𝟓 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 25 36 𝑪 𝟐 𝟔𝟏 ∴‫هن‬‫ــــ‬ٌ‫حالت‬ ‫ان‬‫ـــــــ‬‫الزائ‬ ‫للمطع‬ ‫ن‬‫ـــــــ‬‫وهما‬ ‫د‬:- ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫ٌوازي‬ ‫عندما‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫ٌوازي‬ ‫عندما‬ 𝑭 𝟏(𝟎 √𝟔𝟏 ) 𝑭 𝟐(𝟎 √𝟔𝟏) ‫الرأسان‬ 𝑽 𝟏(𝟎 𝟔) 𝑽 𝟐(𝟎 𝟔) ‫البؤرتان‬ 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ 𝑭 𝟏(√𝟔𝟏 𝟎) 𝑭 𝟐( √𝟔𝟏 𝟎) ‫الرأسان‬ 𝑽 𝟏(𝟔 𝟎) 𝑭𝑽 𝟐( 𝟔 𝟎) ‫البؤرتان‬ 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ⓒ‫المرافذك‬ ‫محذور‬ ‫وطذول‬ ‫الصذادات‬ ‫محذور‬ ‫علذى‬ ‫وبإرتذا‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬(𝟐√𝟐)‫المركذزي‬ ‫واختالفذه‬ ‫وحذدة‬ ‫ٌساوي‬(𝟑) /‫الحل‬∵‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐‫المانون‬ 𝒚 𝟐 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐√𝟐 𝒃 √𝟐 𝒃 𝟐 𝟐 𝟑 𝒄 𝟑𝒂 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟗𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 𝟐 𝟖𝒂 𝟐𝟐 𝒂 𝟐 𝟏 𝟒 𝑪 𝟐 𝟗 𝟒 (𝟎 ) 𝟎 𝟑 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐 ‫البؤرتان‬ (𝟎 ) 𝟎 𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟐 ‫الراسان‬ 𝐲 ( 𝟐 𝟏 ) 𝟒 𝒙 𝟐 𝟏 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 𝟐 ‫وزاري‬/2013/‫د‬2
  • 105.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 104 ‫س‬3/‫وبإرتٌذه‬ ‫االصذل‬ ‫نمطذة‬ ‫مركذز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫باستخدام‬ ‫جد‬( 𝟐√𝟐 𝟎)(𝟐√𝟐 𝟎)‫وٌنطبذك‬ ‫اال‬ ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫محورا‬‫ٌساوي‬ ‫بإرتٌه‬ ‫عن‬ ‫نمطة‬ ‫اٌة‬ ‫بعدي‬ ‫بٌن‬ ‫للفرق‬ ‫المطلمة‬ ‫والمٌمة‬ ‫حداثٌٌن‬(𝟒)‫وحدات‬ /‫الحل‬ 𝟐 𝟒 𝒂 𝟐 ‫النمطة‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬( )‫الزائد‬ ‫للمطع‬ | 𝟏 𝟐| 𝟐 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫)من‬ 𝟏 𝟐 𝟐 √( 𝟐√𝟐) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( 𝟐√𝟐 ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟒 √( 𝟐√𝟐) 𝟐 𝟐 𝟒 √( 𝟐√𝟐 ) 𝟐 𝟐 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ ) ( 𝟐√𝟐) 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 ) 𝟐 𝟐 ( 𝟐√𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐 𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐 𝟖√( 𝟐√𝟐) 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟖√𝟐 ( 𝟖) √( 𝟐√𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 √𝟐 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ ) 𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐 𝟒 𝟒√𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 ] ( 𝟒) 𝑥2 4 𝑦2 4 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 106.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 105 ‫س‬4/‫زائد‬ ‫لطع‬‫طول‬ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬(𝟔)‫نمطة‬ ‫راسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ً‫ه‬ ‫بإرتٌه‬ ‫واحدى‬ ‫وحدات‬ ‫بالنمطتٌن‬ ‫وٌمر‬ ‫االصل‬(𝟏 𝟐√𝟓)(𝟏 𝟐√𝟓)‫والمطع‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫راسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ً‫معادلت‬ ‫جد‬ . ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬.‫وزاري‬2013/‫د‬3‫وزاري‬2014/‫د‬1 /‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬: ∵‫النمطتان‬(𝟏 𝟐√𝟓)(𝟏 𝟐√𝟓)‫الس‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬‫ــ‬‫فالبإرة‬ ‫لذا‬ ً‫ٌن‬ً‫السٌن‬ ‫للمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫والمانون‬( 𝟐 𝟒 ) ∴‫النمطة‬(𝟏 𝟐√𝟓)) ‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ( ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ 𝟐𝟎 𝟒 (𝟏) 𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 (𝟓 𝟎 ‫البؤرة‬) 𝟐 𝟐𝟎 ( ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) ً‫ف‬‫المطع‬‫الزائد‬: 𝟐 𝟔 𝟑 𝒂 𝟗𝟐 ∵‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( 𝟓 𝟎)(𝟓 𝟎)𝟐 𝟐𝟓‫المانون‬ ⇐ 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 𝒚 𝟐 𝟏 𝟐 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔𝟐 𝒙 𝟗 𝟐 𝐲 𝟏𝟔 𝟏 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ) 𝟐 ‫س‬5/‫زائذد‬ ‫لطذع‬‫االص‬ ‫نمطذة‬ ‫مركذز‬‫ـــــــــذـ‬‫ل‬‫ومعادلتذه‬𝟐 𝟐 𝟗𝟎ً‫الحمٌمذ‬ ‫محذور‬ ‫وطذول‬(𝟔√𝟐) ‫معادلتذ‬ ‫الذذي‬ ‫النذالص‬ ‫المطذع‬ ً‫بذإرت‬ ‫على‬ ‫تنطبمان‬ ‫وبإرتا‬ ‫وحدة‬‫ـ‬‫ه‬𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟓𝟕𝟔‫ج‬‫ــذـ‬‫لٌم‬ ‫د‬‫ـــــذـ‬‫كذل‬ ‫ة‬ ‫من‬‫الحمٌمٌة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬ /‫الحل‬‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫نالص‬: 𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟓𝟕𝟔 ] ( 𝟓𝟕𝟔) 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟏 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟐𝟖 𝟐√𝟕 ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬( 𝟐√ 𝟕 ) (𝟐√𝟕 ) ‫من‬‫ال‬ ‫المطع‬‫زائد‬: ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( 𝟐√ 𝟕 ) (𝟐√𝟕 )𝟐√ 𝟕‫المانون‬ ⇐ 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 𝒚 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐 𝟏𝟖 𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟖 𝟏𝟖 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟖 𝟐 𝟏𝟎 𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ 𝟐 𝟐 𝟗𝟎 𝟐 ( 𝟗𝟎 ) 𝟐 ( 𝟗𝟎 ) 𝟏 𝟐 𝟗𝟎 𝟗𝟎 𝟐 𝟗𝟎 𝟏𝟖 𝟓 𝟐 𝟗𝟎 𝟗𝟎 𝟏𝟎 𝟗 ‫وزاري‬2012/‫د‬2
  • 107.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 106 ‫س‬6/‫االص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذب‬‫ذ‬‫اكت‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــــ‬‫ل‬‫اح‬ ‫ان‬ ‫ذت‬‫ذ‬‫علم‬ ‫اذا‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــ‬‫ذإرتٌن‬‫ذ‬‫الب‬ ‫ذن‬‫ذ‬‫ع‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ٌبع‬ ‫ذٌه‬‫ذ‬‫راس‬ ‫د‬ ‫بالعددٌن‬𝟏 𝟗‫وٌنط‬ ‫الترتٌب‬ ‫على‬ ‫وحدات‬ٌٌ‫االحداث‬ ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫محورا‬ ‫بك‬‫ن‬.‫وزاري‬2012/‫د‬3 /‫الحل‬ 𝟐 𝟏 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝒄 𝟓 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟏 𝒂 𝟒 𝒂 𝟐 𝟏𝟔 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝒃 𝟗𝟐 ∴‫أحتم‬ ‫هنان‬‫ـــــــــــــ‬‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫لمعادلة‬ ‫الٌن‬ 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟏 ‫سٌنٌة‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟏 ‫صادٌة‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫س‬7/‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬ ‫هما‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐‫والنسبة‬ ‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫بٌن‬ 𝟓 𝟑 ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬.‫وزاري‬2013/‫د‬3 /‫الحل‬‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫زائد‬: 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 ] ( 𝟏𝟐) 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝟒 ∴‫ال‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬‫زائد‬( 𝟒 ) (𝟒 ) ‫من‬‫ا‬ ‫المطع‬‫لنالص‬: ‫ال‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬‫نالص‬⇐ ( 𝟒 ) (𝟒 )𝟒‫المانون‬ ⇐ 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 𝒚 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟓 𝟑 𝒂 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟔 ( 𝟗) 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟗 2 25 2 9 25 (9) 9 2 25 2 25 2 9 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 108.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 107 ‫س‬8/‫النمطة‬( 𝟔 )‫ومعادلته‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫الى‬ ً‫تنتم‬𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐:‫من‬ ‫كال‬ ‫جد‬ ‫أ‬.‫لٌمة‬‫النمطة‬ ‫من‬ ‫الٌمنى‬ ‫الجهة‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫للمطع‬ ‫البإري‬ ‫المطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ .‫ب‬ /‫الحل‬)‫(أ‬∵‫النمطة‬(𝟔 )‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫الى‬ ً‫تنتم‬ ∴‫النمطة‬(𝟔 )‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐) (𝟔) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐 𝟑 𝟐 24 𝟑 𝟐 𝟐 𝟖 L 2√2 𝟏(𝟔 𝟐√𝟐) 𝟐(𝟔 𝟐√𝟐) )‫(ب‬‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫زائد‬: 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝒄 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒄 𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝒄 𝟏𝟔𝟐 (𝟒 𝟎) ‫االٌمن‬ ‫البؤرة‬ ً‫احداث‬ 𝟏 𝟏 √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 √(𝟔 𝟒) 𝟐 (𝟐√𝟐 𝟎) 𝟐 √𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 𝟐√𝟑 (‫طول‬ ‫)وحدة‬ 𝟐 𝟏 √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 √(𝟔 𝟒) 𝟐 ( 𝟐√𝟐 𝟎) 𝟐 √𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 𝟐√𝟑 (‫طول‬ ‫)وحدة‬ ‫وزاري‬2011/‫د‬1‫وزاري‬4201/‫د‬2‫وزاري‬5201/‫د‬1 ‫س‬9/‫ذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذذذد‬‫ذ‬‫الزائ‬‫هم‬ ‫ذذذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬‫ذذذـ‬‫ذ‬‫ــــ‬‫ذذذإرت‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ا‬ً‫ذذذع‬‫ذ‬‫المط‬‫ذذذالص‬‫ذ‬‫الن‬‫ذذذ‬‫ذ‬‫معادلت‬ ‫ذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬‫ـ‬‫ه‬ 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐𝟓 𝟏 ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫وٌمس‬𝟐 𝟏𝟐 𝟎 /‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬: 𝟐 𝟏𝟐 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟐 𝐩 𝟑 𝐲 ( ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ )𝟑 ‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫نالص‬: 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟏𝟔𝟐 𝟒 (𝟎 𝟒 (𝟎 𝟒) ‫البؤرتان‬) ‫من‬‫ال‬ ‫المطع‬‫زائد‬: ∵‫النمطة‬ ‫عند‬ ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫ٌمطع‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬(𝟎 𝟑)‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫راس‬ ً‫وه‬ 𝟑 𝟐 𝟗 ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ (𝟎 𝟒 (𝟎 𝟒))𝟒‫المانون‬ ⇐ 𝒚 𝟐 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟗 𝟐 𝟕 𝟐 𝟗 𝟐 𝟕 𝟏 ‫الزائ‬‫د‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 109.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 108 ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫ذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫االص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ــــ‬‫ل‬‫الص‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذى‬‫ذ‬‫عل‬ ‫ذان‬‫ذ‬‫والبإرت‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــ‬‫ادات‬‫ذور‬‫ذ‬‫المح‬ ‫ذول‬‫ذ‬‫وط‬ ‫له‬ ً‫الحمٌم‬𝟏𝟔ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬ ‫وطول‬ ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬ ‫بٌن‬ ‫والنسبة‬ 𝟓 𝟒 /‫الحل‬ 𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝒂 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟐 𝟓 𝟒 𝒄 𝟖 𝟓 𝟒 𝐜 𝟏𝟎 𝒄 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫مثال‬/‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫بإرتٌه‬ ‫أحدى‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐 𝟐𝟎‫المرافك‬ ‫محور‬ ‫وطول‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫بإرت‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬ ‫ٌساوي‬ 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟏 /‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬: 𝟐 𝟐𝟎 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 𝟎( 𝟓 ‫البؤرة‬) ‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫نالص‬: 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟕𝟐 √𝟕 𝟐√𝟕 ‫البؤري‬ ‫البعد‬𝟐 ‫من‬‫ال‬ ‫المطع‬‫زائد‬: 𝟐√𝟕 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬𝟐 √𝟕 𝟐 𝟕 ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ 𝟎( 𝟓 𝟎) ( 𝟓)𝟓‫المانون‬ ⇐ 𝒚 𝟐 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟕 𝟐 𝟏𝟖 𝟐 𝟏𝟖 𝟐 𝟕 𝟏 ‫ا‬‫لزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 110.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 109 ‫مثال‬/‫بالنمطتٌن‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟎 𝟑√𝟐) (𝟑 𝟔) /‫الحل‬ ∵‫الزائذذذذذذذذد‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬‫بالنمطذذذذذذذذة‬ ‫ذذذذذذذر‬‫ذ‬‫ٌم‬(𝟎 𝟑√𝟐)‫ولٌمذذذذذذذذة‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫المطذذذذذذذذع‬ ‫رأس‬ ‫ذذذذذذذل‬‫ذ‬‫تمث‬ ‫فالنمطذذذذذذذذة‬ ‫ذذذذذذذذا‬‫ذ‬‫ل‬ ( 𝟑√𝟐)‫هو‬ ‫والمانون‬ 𝒚 𝟐 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 (𝟑 𝟔) ‫النقطة‬‫معادلته‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫لذا‬ ‫الزائد‬ ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬ ( 𝟔) 𝟐 𝟑√𝟐( ) 𝟐 (𝟑) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑𝟔 𝟏𝟖 𝟗 𝟐 𝟐 𝟏 𝟗 𝟐 𝟏 𝟗 𝟐 𝟗 𝒚 𝟐 𝟏𝟖 𝒙 𝟗 𝟏 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معاد‬‫لة‬ ) 𝟐 ‫ذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬‫رأس‬ ‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــــــــ‬‫ذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ا‬ 𝒙 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝒚 𝟔𝟒 𝟏‫مح‬ ‫ذول‬‫ذ‬‫وط‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ــــ‬‫ور‬ 𝟐 ً‫الحمٌم‬(𝟏𝟐)‫وحدة‬ ‫الحل‬/‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫نالص‬: 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒 𝒂 𝟏𝟎 ( 𝟏𝟎 𝟎) (𝟏𝟎 𝟎) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫راسا‬ ‫من‬‫ال‬ ‫المطع‬‫زائد‬: ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( ) ( )𝟏𝟎‫المانون‬ ⇐ 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 𝒚 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐 𝟑𝟔 𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟔𝟒 𝟏 ‫الزا‬‫ئد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 111.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 110 ‫س‬1:‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫و‬ ‫ذل‬‫ذ‬‫االص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ً‫ذ‬‫ذ‬‫ف‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذو‬‫ذ‬‫وط‬ ‫ذادات‬‫ذ‬‫الص‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ً‫ذ‬‫ذ‬‫تنتم‬‫ذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ل‬ ‫ٌسذاوي‬ ‫المرافك‬‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫بذإرة‬ ‫بذٌن‬ ‫البعذد‬( 𝟐 𝟏𝟐 )‫طذول‬ ‫امثذال‬ ‫ثالثذة‬ ً‫الحمٌمذ‬ ‫محذور‬ ‫وطذول‬ ‫ودلٌلذه‬ ‫المرافك‬ ‫محور‬ ‫س‬2:‫ذذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ً‫ذذإرت‬‫ذ‬‫ب‬ ‫همذذا‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫راس‬ ‫و‬ ‫ذذل‬‫ذ‬‫االص‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ً‫ذذ‬‫ذ‬‫ف‬ ‫مركذذز‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫جذذد‬‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫معادلته‬(𝟗𝒚 𝟏𝟔𝟐 𝒙 𝟏𝟒𝟒𝟐 ‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫طول‬ ‫ومجموع‬(𝟏𝟔)‫طول‬ ‫وحدة‬ ) ‫س‬3:‫معادلذذذة‬ ‫ذذت‬‫ذ‬‫كان‬ ‫فذذذاذا‬ . ‫ذذر‬‫ذ‬‫االخ‬ ‫ببذذذإرة‬ ‫ذذر‬‫ذ‬‫ٌم‬ ‫منهمذذذا‬ ‫ذذل‬‫ذ‬‫ك‬ ‫زائذذذد‬ ‫ذذر‬‫ذ‬‫واالخ‬ ‫نذذذالص‬ ‫ذذدهما‬‫ذ‬‫اح‬ ‫مخروطٌذذذان‬ ‫ذذان‬‫ذ‬‫لطع‬ ‫احدهما‬( 𝟐 𝟐 𝟑)‫االخر‬ ‫معادلة‬ ‫فجد‬ ‫س‬4:‫ذذذذذذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذذذذذذذالنمطتٌن‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذذذذذذذر‬‫ذ‬‫ٌم‬ ‫ذذذذذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬(𝟑 𝟏 )(𝟑 𝟏)‫ذذذذذذذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذذذذذول‬‫ذ‬‫وط‬ ‫ٌساوي‬ ‫الكبٌر‬(𝟐𝟓)‫وحدة‬ ‫س‬5:‫االصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ً‫ه‬ ‫بإرتا‬ ‫أحدى‬ ‫و‬‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬‫معادلته‬ ‫الذي‬ 𝒙 𝟑𝟔 𝟐 𝒚 𝟐𝟎 𝟏‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ً‫ه‬ ‫رأسٌه‬ ‫وأحد‬𝟐 𝟖 𝟎 𝟐 ‫س‬6:‫ذذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ً‫ذذإرت‬‫ذ‬‫ب‬ ً‫ذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫و‬ ‫ذذل‬‫ذ‬‫االص‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ً‫ذذ‬‫ذ‬‫ف‬ ‫ذذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫معادلته‬(𝟖𝒚 𝟐 𝒙 𝟑𝟐𝟐 ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫وٌمس‬( 𝟐 𝟏𝟔 𝟎) ) ‫س‬7:‫ذذذذذذذتكن‬‫ذ‬‫ل‬(𝒚 𝟐 𝒙 𝟑𝟐 ‫ذذذذذذذا‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫راس‬ ً‫ذذذذذذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذذذذذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫أح‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫زائ‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫لط‬ ‫ذذذذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬‫لص‬ ) ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬( 𝟏 𝟐)‫بإرتٌه‬ ‫احد‬ ‫والذي‬(𝟎 √ 𝟔)‫لٌمة‬ ‫فجد‬ ‫س‬8:‫ذذذذتكن‬‫ذ‬‫ل‬(𝟓𝒚 𝟒𝟐 𝒙 𝟐 ‫ذذذذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫ذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذإرة‬‫ذ‬‫ب‬ ً‫ذذذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذذذد‬‫ذ‬‫أح‬ ‫ذذذذد‬‫ذ‬‫زائ‬ ‫ذذذذع‬‫ذ‬‫لط‬ ‫ذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬‫ذذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ) ‫معادلته‬(𝟒 √𝟓 𝟐 𝟎)‫لٌمة‬ ‫فجد‬ ‫س‬9:‫لذذذذذذذتكن‬( 𝒙 𝟐 𝑵𝒚 𝟗𝟎𝟐 ‫النذذذذذذذالص‬ ‫المطذذذذذذذع‬ ‫بإرتذذذذذذذا‬ ً‫هذذذذذذذ‬ ‫بإرتٌذذذذذذذه‬ ‫زائذذذذذذذد‬ ‫لطذذذذذذذع‬ ‫معادلذذذذذذذة‬ ) ‫ذذذذذذذذذذه‬‫ذ‬‫معادلت‬ ‫ذذذذذذذذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬(𝟗 𝟐 𝟏𝟔𝒚 𝟓𝟕𝟔)ً‫ذذذذذذذذذذ‬‫ذ‬‫الحمٌم‬ ‫ذذذذذذذذذذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذذذذذذذذول‬‫ذ‬‫وط‬𝟔√𝟐‫ذذذذذذذذذذة‬‫ذ‬‫لٌم‬ ‫ذذذذذذذذذذد‬‫ذ‬‫فج‬ 𝟐 ‫س‬10:‫ذذذذذذذتكن‬‫ذ‬‫ل‬(𝟓𝒚 𝟒𝟐 𝒙 𝟐 ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذذذذإرة‬‫ذ‬‫ب‬ ً‫ذذذذذذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذذذذذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذذذذذذدى‬‫ذ‬‫اح‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫زائ‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫لط‬ ‫ذذذذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ) ‫المكافئ‬‫معادلته‬ ‫الذي‬(𝟒 𝟓 𝟐 𝟎)‫لٌمة‬ ‫فجد‬
  • 112.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 111 ً‫الثان‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬ ‫وزاري‬2014/‫د‬3 ‫س‬3/‫األص‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬‫ـــــــ‬‫األخذر‬ ‫ببذإرة‬ ‫ٌمذر‬ ‫أحذدهما‬ ‫األصذل‬ ‫نمطة‬ ‫محورٌه‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬ ‫زائد‬ ‫ولطع‬ ‫ل‬ ‫كانت‬ ‫فؤذا‬𝟗 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟐𝟓‫فجد‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬: )‫(أ‬. ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫محٌط‬ )‫(ب‬ . ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫مساحة‬ . ‫منهما‬ ‫لكل‬ ‫المركزي‬ ‫األختالف‬ )‫(د‬ . ‫أرسمه‬ ‫ثم‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ )‫(ج‬ ‫الحل‬/)‫(أ‬ 𝟗 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟐𝟓 ( 225) 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟏 𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝟑 𝒂𝒃 (𝟓)(𝟑) 𝟏𝟓𝝅 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ )‫(ب‬ ‫المحٌط‬ 𝒑 𝟐𝝅 √ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝝅 √ 𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟐 𝝅 √ 𝟑𝟒 𝟐 𝟐 √𝟏𝟕 ‫وحدة‬ )‫(ج‬: ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫من‬ 𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝒃 𝟐𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝐜 𝟒 (𝟓 𝟎) ( 𝟓 𝟎) ‫الرأسان‬ (𝟒 𝟎) ( 𝟒 𝟎) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫من‬: ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫ببإرة‬ ‫ٌمر‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ (𝟒 𝟎) ( 𝟒 𝟎) ‫الرأسان‬ (𝟓 𝟎) ( 𝟓 𝟎) ‫البؤرتان‬
  • 113.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 112 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟏 ‫انزائد‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬ )‫(د‬ 𝟒 𝟓 𝟏 ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫األختالف‬ 𝟓 𝟒 𝟏 ‫الزائد‬ ‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫األختالف‬
  • 114.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 113 ‫وزاري‬2011/‫د‬2‫وزاري‬2015/‫د‬3 ‫س‬4/‫ذـادل‬‫ذ‬‫معـــــ‬ ‫جذد‬‫ال‬ ‫ة‬‫ذع‬‫ذ‬‫مط‬‫ال‬‫ذالص‬‫ذ‬‫ن‬‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬‫الس‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ‫تنتمٌذان‬ ‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــــ‬‫ومس‬ ‫ذل‬‫ذ‬‫األص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫ومرك‬ ‫ٌنات‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــ‬‫احة‬ ‫منطمته‬𝟕‫ٌساوي‬ ‫ومحٌطه‬ ‫مربعة‬ ‫وحدة‬𝟏𝟎‫وحدة‬. ‫الحل‬/ 𝒂𝒃 𝟕𝝅 𝒃 𝟕 𝒂 ( ① ‫معادلة‬ ) 𝒑 𝟐𝝅 √ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝝅 𝟐𝝅 √ 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟓 √ 𝟐 𝟐 𝟐 ( ② ‫معادلة‬ ) ‫المعادلة‬ ‫بتعوٌض‬①‫المعادلة‬ ً‫ف‬②: ‫على‬ ‫نحصل‬ 𝟓 √ 𝟐 𝟕 𝟐 𝟐 𝒂 𝟓 √ 𝟐 𝟒𝟗 𝒂 𝟐 𝟐 ( ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬ ) 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟗 𝒂 𝟐 𝟐 𝟓𝟎 𝟐 𝟒𝟗 𝒂 𝟐 ( 𝟐 ‫ب‬ ‫المعادلة‬ ً‫طرف‬ ‫نضرب‬ ) 𝟓𝟎 𝟐 𝟒 𝟒𝟗 𝟒 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟒𝟗)( 𝟐 𝟏) 𝟎𝟒𝟗 𝟐 𝟒𝟗 𝟎 𝟐 𝟒𝟗 𝟕 ( ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬ ) 𝒃 𝟕 𝒂 𝟏 𝟐 𝟏 𝟕 𝟕 𝟐 𝟒𝟗 𝟐 𝟏 𝟏 ‫انىاقص‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬ 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟏 𝟏 ( ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬ ) 𝒃 𝟕 𝒂 𝟕 𝟕 ‫ٌهمل‬ 𝟏 ‫لٌمة‬ ‫ألن‬( )‫تكون‬ ‫أن‬ ‫ٌجب‬‫أ‬‫كب‬‫لٌمة‬ ‫من‬ ‫ر‬( )‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬.
  • 115.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 114 ً‫الثان‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬ ‫وزاري‬ ‫سإال‬98‫/د‬1 ‫معادلته‬ ‫زائد‬ ‫لطع‬𝟐 𝟐 𝟗𝟎ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬ ‫وطول‬𝟔√𝟐‫المطذع‬ ً‫بذإرت‬ ‫علذى‬ ‫تنطبمذان‬ ‫وبإرتذا‬ ‫وحذدة‬ ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟓𝟕𝟔‫لٌمة‬ ‫جد‬k,h. :‫الحل‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬‫الناقص‬: [9 2 6 2 576] 576 2 2 2 64 2 36 2 2 2 64 36 2 2 28 2√7 ‫البؤرتان‬(2√7 ) ( 2√7 ) ‫القطع‬ ً‫ف‬‫البؤرتان‬ : ‫الزائد‬(2√7 ) ( 2√7 ) c 2√7 2 6√2 3√2 2 2 2 8 2 28 2 ℎ 2 2 9 ] 9 2 9 ℎ 2 9 2 8 8ℎ 9 ℎ 5 2 9 9
  • 116.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 115 ‫وزاري‬ ‫سإال‬99‫/د‬2 ‫النمطة‬( 𝟏 𝟑 𝟐)ً‫هذ‬ ً‫والت‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬ ‫وبإرته‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫بإرت‬ ‫احدى‬,‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫النسبة‬ 𝟓 𝟒 ,.‫والنالص‬ ‫المكافئ‬ ‫المطعٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ :‫الحل‬ ‫المكافئ‬:2 4 (2)2 4 ( ) 4 3 (3 ) ‫البؤرة‬ 2 4(3) 2 2 3 ⇐ (3 ) ( 3 ) ‫هما‬ ‫البؤرتان‬ ‫الناقص‬ 2 2 5 4 4 5 5 4 2 2 2 25 2 6 2 9 ] ( 6) 25 2 6 2 44 9 2 44 2 6 4 5( ) 5 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ 2 25 2 ‫وزاري‬ ‫سإال‬2000‫/د‬2 ‫معادلتذه‬ ‫الذذي‬ ‫الزائذد‬ ‫المطذع‬ ً‫بذإرت‬ ‫همذا‬ ‫بإرتذا‬ ‫الذذي‬ ‫النذالص‬ ‫المطذع‬ ‫معادلذة‬ ‫جد‬𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐‫بذٌن‬ ‫والنسذبة‬ ‫محورٌة‬ ً‫طول‬ 𝟓 𝟑 :‫الحل‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬:‫الزائد‬2 3 2 2 ( 2) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 6 4 ‫البؤرتان‬( 4 ) (4 ) ‫القطع‬ ً‫ف‬:‫الناقص‬( 4 ) (4 ) ‫البؤرتان‬⇐4 2 2 5 3 5 5 ( ) 2 2 2 25 2 2 6 25 2 9 2 44 6 2 44 2 9 3 5( ) 5 ‫النا‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬‫قص‬ 2 25 2
  • 117.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 116 ‫وزاري‬ ‫سإال‬2001‫/د‬1 ‫ذه‬‫ذ‬‫معادلت‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ً‫ذإرت‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذى‬‫ذ‬‫عل‬ ‫ذان‬‫ذ‬‫تنطبم‬ ‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬𝟑 𝟐 𝟓 𝟐 𝟏𝟐𝟎 ‫و‬‫تساوي‬ ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫والبعد‬ ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬ ‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫النسبة‬ 𝟏 𝟐 :‫الحل‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬3 2 5 2 2 ( 2 ) 2 2 2 2 4 2 24 2 2 2 2 4 24 2 6 4 ‫البؤرتان‬( 4 ) (4 ) ‫القطع‬ ً‫ف‬‫البؤرتان‬ :‫الزائد‬( 4 ) (4 )⇐4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 4 2 6 2 2 2 2 2 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬ ‫سإال‬2001‫/د‬2 :‫المكذافئٌن‬ ‫المطعذٌن‬ ‫بإرتذا‬ ‫همذا‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐 𝟐𝟎 𝟐 𝟐𝟎‫بذٌن‬ ‫والفذرق‬ = ‫والمرافك‬ ً‫الحمٌم‬ ‫محورٌه‬ ً‫طول‬2.‫وحدة‬ :‫الحل‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬:‫المكافئ‬2 2 2 2 4 2 5 4 2 5 ( 5 ) ‫البؤرة‬ (5 ) ‫البؤرة‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬:( ‫البؤرتان‬5,0( , )-5,0)⇐5 2 2 2 ( 2) 2 2 2 ( )2 2 25 2 2 2 25 2 2 2 24 ( 2) 2 2 ( 4)( 3) 4 4 ‫ٌهمل‬ 3 3 3 4 2 6 2 9
  • 118.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 117 ‫وزاري‬ ‫سإال‬2002‫/د‬1 ( ‫تسذاو‬ ‫بإرتٌذه‬ ‫بذٌن‬ ‫والمسذافة‬ ‫السذٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبإرتا‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬8) ‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫ومجموع‬ ‫وحدات‬16.‫وحدة‬ :‫الحل‬2 8 4 2 2 6 8 8 2 2 2 (8 )2 2 6 64 6 2 2 6 6 48 3 8 3 5 2 25 2 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬ ‫سإال‬2002‫/د‬2 ‫النذالص‬ ‫المطذع‬ ‫راسذا‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐 𝟗 𝟐 𝟑𝟔ً‫الحمٌمذ‬ ‫محذور‬ ‫طذول‬ ‫بذٌن‬ ‫والنسذبة‬ = ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬ ‫إلى‬ 𝟏 𝟐 :‫الحل‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬‫النالص‬ 2 2 2 36 6 ( 6 ) (6 ) ‫الرأسان‬ ( 6 ) (6 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬⇐c 6 2 2 2 2 2 6 3 2 2 2 9 2 36 2 27 2 2 2 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬ ‫سإال‬2003‫/د‬1 ‫معادلته‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬𝟐 𝟒 𝟐 𝟒.‫ورأسٌه‬ ‫بإرتٌه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ً‫وأحداث‬ ‫محورٌه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ :‫الحل‬ 2 4 2 4 ( ) 2 2 2 4 2 2 2 2(2) 4 ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ 2 2( ) 2 ‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ( 2 ) (2 ) ‫الرأسان‬ 2 2 2 4 2 2 3 √3 ( √3 ) (√3 ) ‫البؤرتان‬
  • 119.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 118 ‫وزاري‬ ‫سإال‬2004‫د‬ /1 ‫جد‬( ‫رإوسه‬ ‫احد‬ ‫والذي‬ ‫االحداثٌات‬ ‫محوري‬ ‫محورا‬ ‫الذي‬ ً‫المخروط‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬3,0( ‫بإرتٌه‬ ‫واحد‬ )-5,0) :‫الحل‬ 3 5 2 2 2 9 2 25 2 6 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ( ‫ألن‬ ) 2 2 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬ ‫سإال‬2004‫/د‬2 ً‫ه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ .‫اآلخر‬ ً‫ببإرت‬ ‫ٌمر‬ ‫احدهما‬ ‫نالص‬ ‫ولطع‬ ‫زائد‬ ‫لطع‬ 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟏.‫االحداثٌات‬ ‫محوري‬ ‫على‬ ‫محورٌهما‬ ‫أن‬ ‫علما‬ :‫الحل‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬2 25 5 ( 5 ) (5 ) ‫الرأسان‬ 2 9 2 2 2 25 9 2 2 6 4 ( 4 ) (4 ) ‫البؤرتان‬ 4 ⇐ ( 4 ) (4 ) ‫الرأسان‬ ‫ا‬‫لزائد‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬ 5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬ 2 2 2 6 2 25 2 9 2 2 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬ ‫سإال‬2006‫/د‬1 ( ‫بالنمطتٌن‬ ‫وٌمر‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬-3,6( , )3,6.‫دلٌله‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ) :‫الحل‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ‫القطع‬‫األعلى‬ ‫إلى‬ ‫القطع‬ ‫وفتحة‬ ‫الصادي‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫القطع‬ 2 4 (3)2 4 (6) 9 24 2 4 ( ) 2 2 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬ ‫سإال‬2006‫د‬ /2 ( ‫بالنمطتٌن‬ ‫وٌمر‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬1,-3( , )1,3.‫دلٌلة‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ) :‫الحل‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ‫القطع‬.‫الٌمٌن‬ ‫إلى‬ ‫القطع‬ ‫وفتحة‬ ً‫السٌن‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫القطع‬ 2 4 (3)2 4 ( ) 9 4 2 4 9 4 2 9 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬
  • 120.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 119 ‫وزاري‬ ‫سإال‬2007‫/د‬1 ( ‫ذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذٌن‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫والبع‬ ‫ذل‬‫ذ‬‫األص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬8‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذا‬‫ذ‬‫ورأس‬ ‫ذدة‬‫ذ‬‫وح‬ )‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟏. :‫الحل‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬‫الزائد‬ 2 2 2 6 2 9 2 2 2 6 9 2 2 25 5 ( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬ 4 ⇐ 2 8 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬ 5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫هما‬ ‫الرأسان‬ 2 2 2 25 2 6 2 25 6 2 9 2 25 2 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬ ‫سإال‬2007‫/د‬1 ‫لتكن‬𝟐 𝟐 𝟑‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫بإرتٌه‬ ‫احدى‬ ‫زائد‬ ‫لطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬𝟐 𝟖‫لٌمة‬ ‫جد‬h. :‫الحل‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬:‫المكافئ‬4 8 2 (2 ) ‫البؤرة‬ c 2 ⇐ ( 2 ) (2 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬ 2 ℎ 2 3 2 3 2 3 ℎ 2 3 2 3 ℎ 2 2 2 3 4 ℎ 3 ‫وزاري‬ ‫سإال‬2007‫/د‬2 ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬ ‫هما‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ 𝟐 𝟒𝟏 𝟐 𝟏𝟔 𝟏( ‫المرافك‬ ‫محور‬ ‫وطول‬8.‫وحدات‬ ) :‫الحل‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬2 4 2 6 2 2 2 2 4 6 2 25 5 ( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬ 5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬ 2 8 4 2 2 2 2 6 25 2 9 2 2 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 121.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 120 ‫وزاري‬ ‫سإال‬2008‫/د‬1 ‫المكافئٌن‬ ‫المطعٌن‬ ً‫بإرت‬ ‫هما‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐 𝟐𝟎 𝟐 𝟐𝟎‫محور‬ ‫وطول‬ = ‫المرافك‬8.‫وحدات‬ :‫المكافئ‬ :‫الحل‬2 2 2 2 4 2 5 4 2 5 ( 5 ) ‫البؤرة‬ (5 ) ‫البؤرة‬ 5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬ 2 8 4 2 2 2 2 6 25 2 9 2 2 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬ ‫سإال‬2008‫/د‬1 ‫معادلته‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 = ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫والبعد‬𝟐√ 𝟑‫لٌمة‬ ‫جد‬ .‫وحدة‬L. :‫الحل‬2 2√3 √3 4 2 2 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 4 3 2 ‫وزاري‬ ‫سإال‬2009‫/د‬1 ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫ببإرت‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟒𝟒ً‫ا‬‫جزء‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫وٌمطع‬ ( ‫طوله‬12.‫وحدة‬ ) :‫الحل‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬:‫الزائد‬9 2 6 2 44 ( ) 2 2 2 6 2 9 2 2 2 6 9 2 2 25 5 ( 5) ( 5) ‫البؤرتان‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬5 2 2 6 2 2 25 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 122.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 121 ‫وزاري‬ ‫سإال‬2010‫/د‬1 ‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫ببذإرة‬ ‫وٌمر‬ ‫االحداثٌٌن‬ ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫ومحورا‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ 𝟐 𝟏𝟔‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫منطمة‬ ‫ومساحة‬𝟐𝟎.‫مربعة‬ ‫وحدة‬ :‫الحل‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬:‫المكافئ‬2 6 4 6 4 (4 ) ‫البؤرة‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬‫النالص‬:2 2 2 ( ) ( ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬4,0)( ‫النمطة‬4,0)‫أ‬‫لطب‬ ‫أو‬ ‫رأس‬ ‫تمثل‬ ‫ما‬ 4 2 5 ‫ممكن‬ ‫غٌر‬ ‫وهذ‬‫ا‬ b 4 4 2 4 2 5 ‫الصادي‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫والمطع‬ 2 25 2 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬ ‫سإال‬2010‫/د‬2 𝟐 𝟑 𝟐 ‫المستمٌم‬ ‫تماطع‬ ‫بنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬𝟐 √ 𝟑‫مساحة‬ ‫أن‬ ً‫ا‬‫علم‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تساوي‬ ‫منطمته‬𝟐√ 𝟑‫لٌمة‬ ‫جد‬ .‫مساحة‬ ‫وحدة‬‫نمطذة‬ ‫ومركذز‬ ‫السذٌنات‬ ‫لمحذور‬ ‫تنتمٌذان‬ ‫بإرتذا‬ ‫حٌث‬ .‫االصل‬ :‫المستمٌم‬ :‫الحل‬2 √3 y √3 ⇐ 2( ) √3 ⇐ ‫عندما‬ ( √3) ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬ً‫السٌن‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫المطع‬ ‫أن‬ ‫بما‬⇐√ 𝟑 ℎ 2 3 2 2 2 2 2 2 2 (ً‫السٌن‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫القطع‬ ‫ألن‬ ) 2√3 2√ 2√ √ 2 4 2 3 2 3ℎ 2 ℎ 4
  • 123.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 122 ‫وزاري‬2012‫د‬ /1 = ‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫ومجموع‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبإرتا‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬16 ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫بإرت‬ ‫على‬ ‫تنطبمان‬ ‫وبإرتا‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 :‫الحل‬ ً‫ف‬:‫الزائد‬ ‫المطع‬2 2 2 6 2 2 2 6 2 3 2 2 2 6 3 2 2 9 3 (3 ) ( 3 ) ‫البؤرتان‬ ً‫ف‬:‫النالص‬ ‫المطع‬‫البؤرتان‬c 3 ⇐ (3 ) ( 3 ) 2 2 6 2 8 8 2 2 2 (8 )2 2 9 64 6 2 2 9 6 64 9 6 55 55 8 55 2 55 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬2012‫/د‬2 ‫محور‬ ‫من‬ ‫وٌمطع‬ ‫االحداثٌٌن‬ ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫محورا‬ ‫وٌنطبك‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫طوله‬ ً‫ا‬‫جزء‬ ‫السٌنات‬8‫منمطته‬ ‫ومساحة‬ ‫وحدات‬𝟐𝟒.‫مساحة‬ ‫وحدة‬ :‫الحل‬24 24 2 ‫طوله‬ ً‫ا‬‫جز‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫ٌمطع‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫أن‬ ‫بما‬(8)‫الكبٌذر‬ ‫المحذور‬ ‫طذول‬ ‫ٌمثل‬ ‫أما‬ ‫الجزء‬ ‫هذا‬ ‫فؤن‬ ‫وحدات‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫ٌمثل‬ ‫الجزء‬ ‫هذا‬ ‫كان‬ ‫فؤذا‬ .‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫أو‬:‫فٌكون‬ ‫الكبٌر‬ 2 8 4 2 6 ‫ألن‬ ‫ممكن‬ ‫غٌر‬ ‫وهذا‬:‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫ٌمثل‬ ‫الممطوع‬ ‫الجزء‬ ‫فؤن‬ ‫لذا‬ .‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬ ً‫ا‬‫دائم‬ 2 8 4 6 :‫الصادي‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫والمطع‬ 2 2 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 124.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 123 ‫وزاري‬2013‫/د‬1 ‫بإرتا‬ ً‫مخروط‬ ‫لطع‬𝟏(𝟒 𝟎) 𝟐( 𝟒 𝟎)= ‫المركزي‬ ‫واختالفه‬2.‫معادلته‬ ‫جد‬ , :‫الحل‬ 4 ⇐ ‫الن‬ ‫زائد‬ ‫القطع‬ ⇐ 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 6 2 6 4 2 2 2 2 2 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬2015‫/د‬2 ‫لتكن‬𝟓 𝟐 – 𝟒 𝟐 ‫معادلة‬‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫بذإرة‬ ً‫هذ‬ ‫بإرتٌــذـه‬ ‫أحذدى‬ ‫زائذد‬ ‫لطذع‬𝟒 √𝟓 𝟐 𝟎 ‫لٌمة‬ ‫جد‬. :‫الحل‬ : ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬ 𝟒 √ 𝟓 𝟐 𝟎 𝟒 √𝟓 𝟐 𝟐 𝟒 √𝟓 𝟐 𝟒 𝟒 𝟒 √𝟓 𝟏 √ 𝟓 𝟎 𝟏 √ 𝟓 ‫البؤرة‬ : ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬‫البإرتان‬(𝟎 𝟏 √𝟓 ) (𝟎 𝟏 √𝟓 )⇐c = 𝟏 √𝟓 𝟓 𝟐 – 𝟒 𝟐 ( ) 𝟐 𝟓 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 𝟓 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 [ 𝟏 𝟓 𝟓 𝟒 ] (×𝟐𝟎) 𝟒 𝟒 𝟓 𝟗 𝟒 𝟗 𝟒
  • 125.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 124 ‫وزاري‬2015‫/د‬2 ‫ذذذذاحته‬‫ذ‬‫مس‬ , ‫ذذذذادات‬‫ذ‬‫الص‬ ‫ذذذذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ‫ذذذذان‬‫ذ‬ٌ‫تنتم‬ ‫ذذذذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذذذد‬‫ذ‬‫ج‬𝟑𝟐‫ذذذذاحة‬‫ذ‬‫مس‬ ‫ذذذذدة‬‫ذ‬‫وح‬ ‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫والنسبة‬ 𝟏 𝟐 :‫الحل‬ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑𝟐 𝟐 × 𝟑𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟒 𝟖 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝟏 ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬ ‫سإال‬2015‫/د‬3 ‫المكافئٌن‬ ‫المطعٌن‬ ً‫بإرت‬ ‫هما‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐 𝟐𝟎 𝟐 𝟐𝟎‫محور‬ ‫وطول‬ = ‫المرافك‬8.‫وحدات‬ :‫المكافئ‬ :‫الحل‬2 2 2 2 4 2 5 4 2 5 ( 5 ) ‫البؤرة‬ (5 ) ‫البؤرة‬ 5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬ 2 8 4 2 2 2 2 6 25 2 9 2 2 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 126.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 125 ‫وزاري‬ ‫سإال‬2016‫/د‬1 ‫ذذن‬‫ذ‬‫ع‬ ‫المكذذافئ‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫بذذإرة‬ ‫ذذد‬‫ذ‬‫لبع‬ ً‫ا‬ٌ‫مسذذاو‬ ‫ذذإري‬‫ذ‬‫الب‬ ‫وبعذذد‬ ‫ذذل‬‫ذ‬‫األص‬ ‫نمطذذة‬ ‫ذذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫الذذذي‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫المطذذع‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫جذذد‬ ‫دلٌله‬𝟐 𝟐𝟒 𝟎‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫مساحة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬ ,𝟖𝟎 𝟐 :‫الحل‬ : ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟐𝟒 𝟎 𝟐 𝟐𝟒 (‫مع‬ ‫بالمقارنة‬ ) 𝟐 𝟒 𝟐𝟒 𝟒 ( 𝟒) 𝟔 𝟐 𝟏𝟐 (‫ودلٌه‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫بٌن‬ ‫)البعد‬ : ‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 (𝟏) 𝟖𝟎 𝟖𝟎 (𝟐) ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬(𝟐)‫المعدلة‬ ً‫ف‬(𝟏): ‫فٌنتج‬ 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟐 𝟑𝟔 (× 𝟐) 𝟒 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎 ( 𝟐 𝟏𝟎𝟎)( 𝟐 𝟔𝟒) 𝟎 ‫أما‬ 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒 ‫أو‬ 𝟐 𝟔𝟒 ‫ٌهمل‬ ∴: ‫وهما‬ ‫محدد‬ ‫غٌر‬ ‫البإرتٌن‬ ‫مولع‬ ‫ألن‬ ‫النالص‬ ‫للمطع‬ ‫معادلتان‬ ‫هنان‬ 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒 𝟏 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟏
  • 127.
    ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 126 ‫وزاري‬ ‫سإال‬2016‫/د‬1 ‫والنذذذالص‬ ‫الزائذذذد‬ ‫المطذذذع‬ ‫معادلذذذة‬ ‫جذذذد‬‫السذذذٌنات‬ ‫محذذذور‬ ‫علذذذى‬ ‫ٌمعذذذان‬ ‫وكالهمذذذا‬ ‫األخذذذر‬ ً‫ببذذذإرت‬ ‫ٌمذذذر‬ ‫كذذذل‬ ‫كذذذان‬ ‫أذا‬ ‫ٌساوي‬ ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫وطول‬𝟔√𝟐‫ٌساوي‬ ً‫الحمٌم‬ ‫المحور‬ ‫وطول‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬𝟔. ‫طول‬ ‫وحدة‬ :‫الحل‬ ‫األخر‬ ‫ببإرة‬ ‫ٌمر‬ ‫المطعٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ∴‫الزا‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬ ‫تمثالن‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫وبإرتا‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬ ‫ٌمثالن‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬‫ئ‬‫د‬ ً‫ف‬‫النالص‬ ‫المطع‬:ً‫ف‬‫الزائد‬ ‫المطع‬: 𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐 𝟏𝟖 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟖 𝟐 𝟗 𝟏 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ 𝟐 𝟔 𝟑 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟖 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟐 𝟗 𝟐 𝟗 𝟐 𝟗 𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
  • 128.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 127 ‫الثالث‬ ‫الفصل‬/‫التفاضل‬ ‫تطبٌمات‬ )‫مراجعة‬ ( ‫للمشتمة‬ ‫األساسٌة‬ ‫المواعد‬ ‫األولى‬ ‫الماعدة‬:‫صف‬ ‫تساوي‬ ‫الثابتة‬ ‫الدالة‬ ‫مشتمة‬‫ر‬ (𝟏) ( ) 𝟑 ̅( ) 𝟎 (𝟐) ( ) √𝟒 ̅( ) 𝟎 (𝟑) ( ) 𝟐 𝟓 ̅( ) 𝟎 ‫الثانٌة‬ ‫الماعدة‬‫كان‬ ‫أذا‬ :( )‫فأن‬̅( ) ( 𝟏) (𝟏) ( ) 𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟐 (𝟐) ( ) √ . 𝟏 𝟐 / ̅( ) 𝟏 𝟐 . 𝟏 𝟐 / 𝟏 𝟐√ (𝟑) ( ) 𝟕 ̅( ) 𝟕 𝟖 𝟕 𝟖 ‫الثالثة‬ ‫الماعدة‬‫كان‬ ‫أذا‬ :( )‫فأن‬̅( ) ( ) ( 𝟏) ‫حٌث‬ (𝟏) ( ) 𝟔 𝟒 ̅( ) 𝟐𝟒 𝟑 (𝟐) ( ) 𝟕√ 𝟕 . 𝟏 𝟐 / ̅( ) 𝟕 ( 𝟏 𝟐 ) . 𝟏 𝟐 / 𝟕 𝟐√ (𝟑) ( ) 𝟓 𝟑 ̅( ) 𝟏𝟓 𝟒 𝟏𝟓 𝟒 (𝟒) ( ) 𝟗 ̅( ) 𝟗 ‫الرابعة‬ ‫الماعدة‬‫مشتماتها‬ ‫مجوع‬ = ‫دوال‬ ‫مجموعة‬ ‫مشتمة‬ : (𝟏) ( ) 𝟑 𝟕 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟕 (𝟐) ( ) 𝟔 𝟒 𝟏 ̅( ) 𝟐𝟒 𝟑 𝟏 𝟐 (𝟑) ( ) 𝟕√ 𝟐 𝟓 ( ) 𝟕 . 𝟏 𝟐 / 𝟐 𝟏 𝟓 ̅( ) 𝟕 ( 𝟏 𝟐 ) . 𝟏 𝟐 / 𝟐 𝟐 𝟓 ̅( ) 𝟕 𝟐√ 𝟐 𝟐 𝟓
  • 129.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 128 ‫الخامسة‬ ‫الماعدة‬:]‫األولى‬ ‫الدالة‬= ‫دالتٌن‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫مشتمة‬‫الثانٌة‬ ‫الدالة‬ + ‫الثانٌة‬ ‫الدالة‬ ‫مشتمة‬‫األولى‬ ‫الدالة‬ ‫مشتمة‬[ ( ) (𝟒 𝟑 𝟕 )(𝟐 ) ̅( ) (𝟒 𝟑 𝟕 )(𝟐) (𝟐 )(𝟏𝟐 𝟐 𝟕) 𝟖 𝟑 𝟏𝟒 𝟐𝟒 𝟑 𝟏𝟒 ‫السادسة‬ ‫الماعدة‬= ‫دالتٌن‬ ‫لسمة‬ ‫مشتمة‬ : ‫الممام‬ ‫مشتمة‬ ‫البسط‬ ‫البسط‬ ‫مشتمة‬ ‫الممام‬ (‫)الممام‬ 𝟐 ( ) 𝟐 𝟑 𝟏 𝟒 𝟏 ̅( ) ( 𝟒 𝟏)(𝟔 ) (𝟐 𝟑 𝟏)(𝟒 𝟑 ) ( 𝟒 𝟏) 𝟐 𝟔 𝟓 𝟔 𝟖 𝟔 𝟒 𝟑 ( 𝟒 𝟏) 𝟐 ‫السابعة‬ ‫الماعدة‬ٌ‫مع‬ ‫ألس‬ ‫مرفوعة‬ ‫دوال‬ ‫مجموعة‬ ‫مشتمة‬ :‫ن‬̅( ) , ( )-( 𝟏) ̅( ) ‫فأن‬ ( ) , ( )- (𝟏) ( ) (𝟒 𝟑 𝟕 ) 𝟓 ̅( ) 𝟓(𝟒 𝟑 𝟕 ) 𝟒 (𝟏𝟐 𝟐 𝟕) (𝟔𝟎 𝟐 𝟑𝟓)(𝟒 𝟑 𝟕 ) 𝟒 (𝟐) ( ) ( 𝟏) 𝟐 (𝟐 𝟐) 𝟑 ̅( ) ( 𝟏) 𝟐 ,𝟑(𝟐 𝟐) 𝟐(𝟐)- (𝟐 𝟐) 𝟑 ,𝟐( 𝟏)(𝟏)- ̅( ) 𝟔( 𝟏) 𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟑( 𝟏) (𝟑) ( ) 𝟐√ 𝟒 𝟑 𝟐 ( ) 𝟐 (𝟒 𝟑 𝟐 ) 𝟏 𝟐 ̅( ) 𝟐 6( 𝟏 𝟐 ) (𝟒 𝟑 𝟐 ) 𝟏 𝟐 (𝟏𝟐 𝟐 𝟐)7 (𝟒 𝟑 𝟐 ) 𝟏 𝟐 ,𝟐 - 𝟐 (𝟏𝟐 𝟐 𝟐) 𝟐(𝟒 𝟑 𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝟐 (𝟒 𝟑 𝟐 ) 𝟏 𝟐 ̅( ) 𝟐 (𝟏𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 (𝟒 𝟑 𝟐 ) 𝟐(𝟒 𝟑 𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟒 𝟖 𝟐 𝟐√ 𝟒 𝟑 𝟐 ‫الدائرٌة‬ ‫الدوال‬ ‫ألشتماق‬ ‫األساسٌة‬ ‫المواعد‬ (𝟒) ( ) ̅( ) 𝟐 ( )(𝟏) ( ) ̅( ) ( ) (𝟓) ( ) ̅( )(𝟐) ( ) ̅( ) ( ) (𝟔) ( ) ̅( )(𝟑) ( ) ̅( ) 𝟐( ) ‫المهم‬ ‫والعاللات‬ ‫الموانٌن‬ ‫بعض‬ (𝟐 ) 𝟐(𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟏𝟏
  • 130.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 129 (𝟐 ) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ( ) 𝟏 𝟐 𝟏 (𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟏 (𝟐 ) 𝟐 ( ) ( ) (‫األشارة‬ ‫)تعكس‬ ‫مثال‬/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫مشتمة‬ (𝟏) ( ) √ ̅( ) 𝟏 𝟐 √ (𝟐) ( ) 𝟐 ̅( ) 𝟏 𝟐 (𝟑) ( ) ̅( ) ̅( ) ( 𝟏) ̅( ) 𝟏 (𝟒) ( ) ̅( ) (𝟓) ( ) √ ̅( ) 𝟏 𝟐√ √ (𝟔) ( ) √ ̅( ) 𝟏 𝟐√ (𝟕) ( ) 𝟐 ( ) 𝟐 ̅( ) 𝟐 (𝟖) ( ) 𝟐 ( ) 𝟐 ̅( ) 𝟐 (𝟗) ( ) ̅( ) ( ) ( ) ̅( ) 𝟐 𝟐 ̅( ) (𝟐 ) (𝟗) ( ) ̅( ) 𝟐 𝟏 ̅( ) ( 𝟐 𝟏) 𝟏 ̅( ) 𝟐
  • 131.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 130 ‫العلٌا‬ ‫الرتب‬ ‫ذات‬‫المشتمات‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬( )ً‫ه‬ ‫األولى‬ ‫مشتمتها‬ ‫فأن‬ ‫األشتماق‬ ‫شروط‬ ‫فٌها‬ ‫تتوافر‬ ‫دالة‬0̅ ̅( )1‫تمثل‬ ً‫وه‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫الجدٌدة‬ ‫والدالة‬ , ‫جدٌدة‬ ‫دالة‬‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬ ‫جدٌدة‬ ‫دالة‬ ‫أٌضا‬ ‫تكون‬ ‫الثانٌة‬ ‫مشتمتها‬ ‫فأن‬ ̅̅‫حٌث‬0̅̅ 𝟐 𝟐 ̅̅ ( )1‫دالة‬ ‫أٌضا‬ ‫تكون‬ ‫الثالثة‬ ‫مشتمتها‬ ‫فأن‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫الجدٌدة‬ ‫والدالة‬ , ‫با‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬ ‫جدٌدة‬‫لرمز‬̅̅̅‫حٌث‬0̅̅̅ 𝟑 𝟑 ̅̅ ( )1‫كان‬ ‫فأذا‬ ‫وهكذا‬(n)‫المشتمة‬ ‫فأن‬ ‫موجب‬ ‫صحٌح‬ ‫عدد‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬(n)ً‫كالتال‬ ‫تكون‬0 ( ) ( )1 ‫عامة‬ ‫مالحظات‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬, ( ) -‫حٌث‬( )‫زمن‬ ‫أي‬ ‫عند‬ ‫الجسم‬ ‫أزاحة‬ ‫تمثل‬( ): ‫فأن‬ ‫لذا‬ ̅( ) ①)‫األولى‬ ‫(المشتمة‬ً‫وه‬‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬ ‫للجسم‬ ‫اللحظٌة‬ ‫السرعة‬ ‫تمثل‬( ) 𝟐 𝟐 ̅̅( ) ②‫(المشتمة‬‫الثانٌة‬)ً‫وه‬‫تمثل‬‫التعجٌل‬‫للجسم‬‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬ ) ‫السرعة‬ ‫تغٌٌر‬ ‫(معدل‬( ) 𝟑 𝟑 ̅̅̅ ( ) ③)‫الثالثة‬ ‫(المشتمة‬ً‫وه‬‫(معدل‬ ‫تمثل‬‫ال‬)‫للتعجٌل‬ ً‫الزمن‬ ‫تغٌٌر‬ ④‫وم‬ , ‫الثانٌة‬ ‫بالمشتمة‬ ‫تسمى‬ ‫األول‬ ‫األشتماق‬ ‫ناتج‬ ‫مشتمة‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ , ‫مرة‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫الدوال‬ ‫بعض‬‫شتمة‬ ‫األشتما‬ ‫ناتج‬‫الثالثة‬ ‫بالمشتمة‬ ‫تسمى‬ ً‫الثان‬ ‫ق‬ ‫ال‬ ‫المشتمـــــــــة‬‫ضمنٌة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬( )‫بداللة‬ ‫دالة‬( )‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫معادلة‬ ‫أشتماق‬ ‫فعند‬( )‫و‬( )‫لل‬ ‫بالنسبة‬‫ـ‬( )‫نضٌف‬(̅)‫بعد‬ ‫لل‬ ‫مشتمة‬ ‫كل‬( )‫أس‬ ‫لٌمة‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫الضمنٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫وتستخدم‬ (( )) ‫واحد‬ ‫من‬ ‫أكبر‬: ً‫التال‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ‫مثال‬/‫أوجد‬(̅): ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ً‫ال‬‫لك‬ ① 𝟐 𝟐 𝟒 ̅ ( 𝟐) ⇒ ̅ ̅ ̅ ② 𝟐 𝟐 𝟑 ( ̅) ( ) ̅ ̅
  • 132.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 131 ‫مثال‬)1)/‫كان‬ ‫أذا‬𝟐‫فجد‬ 𝟒 𝟒 ‫الحل‬/ 𝟐 ( 𝟐)(𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐 )(𝟐) 𝟒 𝟐 𝟑 𝟑 (𝟒 𝟐 )(𝟐) 𝟖 𝟐 𝟒 𝟒 (𝟖 𝟐 )(𝟐) 𝟏𝟔 𝟐 ‫مثال‬))/‫أذا‬‫بأن‬ ‫علمت‬𝟐 𝟐 𝟏‫فبرهن‬: ‫أن‬ ‫على‬ 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎 ‫الحل‬/ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 ( ) 𝟐 𝟎 ( 𝟐) ( ) 𝟎 ( ‫للمتغٌر‬ ‫بالنسبة‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نشتك‬ ‫)واالن‬ 4 𝟐 𝟐 5 ( ) ( ) 𝟏 𝟎 4 𝟐 𝟐 5 ( ) 𝟐 𝟏 𝟎 ( ‫أخرى‬ ‫مرة‬ ‫للمتغٌر‬ ‫بالنسبة‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نشتك‬ ‫)واالن‬ . 𝟑 𝟑/ . 𝟐 𝟐/ 𝟐 . 𝟐 𝟐/ 𝟎 𝟎 . 𝟑 𝟑/ 𝟑 . 𝟐 𝟐/ 𝟎 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎 (‫المطلوب‬ ‫)وهو‬ ‫مثال‬/‫لتكن‬𝟏𝟑 𝟎‫حٌث‬𝟎 𝟎‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫فجد‬ ‫الحل‬/ 𝟎 𝟎 𝟎 ‫األولى‬ ‫المشتمة‬ 𝟐 𝟐 𝟎 ̅̅ ̅( 𝟏) ̅ 𝟎 ̅̅ 𝟐̅ 𝟎 ̅̅ 𝟐̅ ‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬
  • 133.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 132 ‫مثال‬/‫أذا‬‫كانت‬( ) 𝟐 ‫وكان‬(𝟏)𝟓‫وكان‬̅(𝟏) 𝟑‫وكان‬̅̅ (𝟏) 𝟒‫فجد‬ ‫الحل‬/ ( 𝟏) ( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟓 𝟓 ① ‫معادلة‬ ̅( ) 𝟐 ̅( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 ② ‫معادلة‬ ̅̅ ( ) 𝟐 ̅̅ ( 𝟏) 𝟐 𝟒 𝟐 ② ً‫ف‬ ‫نعوض‬ 𝟐 𝟑 𝟐( 𝟐) 𝟑 𝟑 𝟒 𝟕 ① ً‫ف‬ ‫نعوض‬ ( 𝟐) ( 𝟕) 𝟓 𝟓 𝟐 𝟕 𝟎 ‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬‫أن‬ ‫فبرهن‬ 𝟐 𝟐 𝟐 ‫الحل‬/ 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟑 𝟏)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫جد‬ 𝟐 𝟐 ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: ( ) √𝟐 𝟐 ‫الحل‬/ (𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 (𝟐 ) 𝟏 𝟐 ( 𝟏) 𝟏 𝟐 (𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) ( 𝟏 𝟐 ) (𝟐 ) 𝟑 𝟐 ( 𝟏) 𝟏 𝟒(𝟐 ) 𝟑 𝟐 𝟏 𝟒 √(𝟐 ) 𝟑
  • 134.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 133 ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ‫الحل‬/ (𝟐 )(𝟏) (𝟐 )(𝟏) (𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟐 ) 𝟐 𝟒 (𝟐 ) 𝟐 𝟒(𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟒)( 𝟐)(𝟐 ) 𝟑(𝟏) 𝟖 (𝟐 ) 𝟑 ( ) 𝟐 𝟒 𝟓 𝟎 𝟐 𝟎 ‫الحل‬/ 𝟐 [ ] 𝟒 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 𝟒 𝟎 (𝟐 𝟒) 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟒) 𝟐 6 𝟐 𝟐 7 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟒) 𝟒 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟒) ( 𝟒) 𝟐 (𝟐 𝟒) 𝟐 𝟐 𝟖 (𝟐 𝟒) 𝟐 𝟖 𝟒( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 ‫لحل‬ ‫أخرى‬ ‫طرٌمة‬‫السؤال‬ 𝟐 𝟒 𝟓 (𝟐 𝟒) 𝟓 𝟓 (𝟐 𝟒) 𝟓 𝟐( 𝟐) 𝟓 𝟐 ( 𝟐) 𝟏 𝟓 𝟐 ( 𝟏)( 𝟐) 𝟐(𝟏) 𝟓 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟓 𝟐 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟑(𝟏) 𝟓( 𝟐) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟓 ( 𝟐) 𝟑
  • 135.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 134 ‫س‬2/‫جد‬̅̅̅ (𝟏)ً‫ت‬ ‫ٌأ‬‫مما‬ ‫لكل‬: ( ) ( ) 𝟒√𝟔 𝟐 𝟑 ‫الحل‬/ ( ) 𝟒(𝟔 𝟐 ) 𝟏 𝟐 ̅( ) 𝟒 ( 𝟏 𝟐 ) (𝟔 𝟐 ) 𝟏 𝟐 ( 𝟐) 𝟒(𝟔 𝟐 ) 𝟏 𝟐 ̅̅( ) 𝟒 ( 𝟏 𝟐 ) (𝟔 𝟐 ) 𝟑 𝟐 ( 𝟐) 𝟒(𝟔 𝟐 ) 𝟑 𝟐 ̅̅̅ ( ) 𝟒 ( 𝟑 𝟐 ) (𝟔 𝟐 ) 𝟓 𝟐 ( 𝟐) 𝟏𝟐(𝟔 𝟐 ) 𝟓 𝟐 𝟏𝟐 (𝟔 𝟐 ) 𝟓 𝟐 ̅̅̅ ( 𝟏) 𝟏𝟐 (𝟔 𝟐) 𝟓 𝟐 𝟏𝟐 (𝟒) 𝟓 𝟐 𝟏𝟐 (𝟐 𝟐) 𝟓 𝟐 𝟏𝟐 (𝟐) 𝟓 𝟏𝟐 𝟑𝟐 𝟑 𝟖 ( ) ( ) ‫الحل‬/ ̅( ) ( ) ̅̅( ) ( ) 𝟐 ̅̅̅( ) 𝟐 ( ) 𝟑 ̅̅̅(𝟏) 𝟑 (𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟑 ( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ‫الحل‬/ ( ) 𝟑(𝟐 ) 𝟏 ̅( ) 𝟑(𝟐 ) 𝟐 ( 𝟏) (𝟐 ) 𝟐 ̅̅( ) 𝟑( 𝟐)(𝟐 ) 𝟑 ( ) (𝟐 ) 𝟑 ̅̅̅ ( ) ( )(𝟐 ) 𝟒 ( 𝟏) 𝟏𝟖(𝟐 ) 𝟒 𝟏𝟖 (𝟐 ) 𝟒 ̅̅̅ ( 𝟏) ( )
  • 136.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 135 ‫س‬3/‫كانت‬ ‫أذا‬‫أن‬ ‫فبرهن‬ 𝟐 𝟐 𝟐(𝟏 𝟐)‫حٌث‬ (𝟐 𝟏) 𝟐 ‫الحل‬/ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 ( 𝟏 𝟐) ‫س‬4/‫كانت‬ ‫أذا‬‫أن‬ ‫فبرهن‬:(𝟒) 𝟒 𝟎 ‫الحل‬/ (𝟏) 𝟐 𝟐 ( ) (𝟏) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 ̅ 𝟐 𝟒 𝟒 ̅̅ 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟒) 𝟒 𝟎 .‫م‬ ‫هـ‬ ‫و‬/ ‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬ ‫بالزمن‬ ‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬ ‫مسائل‬ ‫لحل‬‫الضمنٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫تطبٌمات‬ ‫أحدى‬ ً‫وه‬: ‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ①‫نرس‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــــــ‬‫للمس‬ ‫ـط‬‫ـ‬‫مخط‬ ‫م‬‫ــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫و‬ ) ‫ـن‬‫ـ‬‫ذل‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫ال‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫أحتج‬ ‫(أن‬ ‫ألة‬‫ن‬‫و‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫والثواب‬ ‫ـرات‬‫ـ‬ٌ‫المتر‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ح‬‫ن‬‫و‬ ‫ـوز‬‫ـ‬‫الرم‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫له‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫ض‬‫ن‬‫ـة‬‫ـ‬‫العالل‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ح‬ ‫السؤال‬ ‫لحل‬ ‫الرئٌسٌة‬ ②‫الحل‬ ً‫ف‬ ‫الداخلة‬ ‫المترٌرات‬ ‫عدد‬ ‫ٌمل‬ ً‫لك‬ ‫المترٌرات‬ ‫بٌن‬ ‫أخرى‬ ‫عاللة‬ ‫أٌجاد‬ ‫نحاول‬ ③‫للمترٌر‬ ‫بالنسبة‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نشتك‬t)‫(الزمن‬ ④‫المطلوب‬ ‫فٌنتج‬ ‫األشتماق‬ ‫بعد‬ ‫المترٌرات‬ ‫من‬ ‫السؤال‬ ‫معطٌات‬ ‫نعوض‬
  • 137.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 136 ( ‫مثال‬1/)‫متوازي‬ ‫شكل‬‫على‬ ‫بالماء‬ ‫مملوء‬ ‫خزان‬‫طول‬ ‫مربعة‬ ‫لاعدته‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬‫ضلعها‬𝟐‫ٌتس‬‫ـــ‬‫ـ‬‫منه‬ ‫رب‬ ‫بمعدل‬ ‫الماء‬𝟎 𝟒 𝟑⁄‫زمن‬ ‫أي‬ ‫عند‬ ‫الخزان‬ ً‫ف‬ ‫الماء‬ ‫أنخفاض‬ ‫ترٌر‬ ‫معدل‬ ‫جد‬t ‫وزاري‬2011/‫د‬1‫وزاري‬2013/‫د‬2 ‫الحل‬/ { ‫الخزان‬ ً‫ف‬ ‫الماء‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬ ‫الماعـــــــــدة‬ ‫مســـــــــــــاحة‬ ‫الخزان‬ ً‫ف‬ ‫الماء‬ ‫حجم‬ ‫نفرض‬ ً‫ف‬‫زمن‬ ‫أي‬t ‫الخزان‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬( )=[‫األرتفاع‬ ‫الماعدة‬ ‫مساحة‬ ] (𝟐) 𝟐 𝟒 ‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬ 𝟒 𝟎 𝟒 𝟒 𝟎 𝟒 𝟒 𝟎 𝟏 ( ⁄ ) ∴= ‫الخزان‬ ً‫ف‬ ‫الماء‬ ‫أنخفاض‬ ‫ترٌر‬ ‫معدل‬(𝟎 𝟏 ⁄ ) ( ‫مثال‬2/)‫تسـاوي‬ ‫مسـاحتها‬ ‫المعـدن‬ ‫من‬ ‫مستطٌلة‬ ‫صفٌحة‬𝟗𝟔 𝟐 ‫بمعـدل‬ ‫طولــــــها‬ ‫ٌتمـدد‬𝟐 ⁄‫بحٌـث‬ ‫النم‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫ثابتة‬ ‫مساحتها‬ ‫تبمى‬‫عرضها‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫عرضها‬ ً‫ف‬ ‫صان‬𝟖 ‫وزاري‬2014/‫د‬3‫وزاري‬2011/‫د‬2 ‫الحل‬/ 8 ‫المستطٌل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬ ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬ ‫زمن‬ ‫اي‬ ً‫ف‬t ‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬( )=, - 𝟗𝟔 ①‫معادلة‬ ( ‫لٌمة‬ ‫)نحسب‬ 𝟗𝟔 (𝟖) 𝟗𝟔 𝟖 𝟏𝟐 ① ‫معادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ 𝟎 (𝟏𝟐) (𝟖)(𝟐) 𝟎 𝟏𝟔 𝟏𝟐 𝟒 𝟑 ( ⁄ ) ∴= ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ً‫ف‬ ‫التنالص‬ ‫معدل‬. 𝟒 𝟑 ⁄ /
  • 138.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 137 ( ‫مثال‬3/)‫حرفـه‬ ‫طـول‬‫صلد‬ ‫مكعب‬𝟖‫مكعـب‬ ‫ٌبمـى‬ ‫شـكله‬ ‫بحٌـث‬ ‫الجلٌـد‬ ‫مـن‬ ‫بطبمـة‬ ‫مرطـى‬,‫الجلٌـد‬ ‫بـدأ‬ ‫فـأذا‬ ‫بالذوبان‬‫بمعدل‬𝟔 𝟑⁄= ‫السمن‬ ‫هذا‬ ‫فٌها‬ ‫ٌكون‬ ً‫الت‬ ‫اللحظة‬ ً‫ف‬ ‫الجلٌد‬ ‫بسمن‬ ‫النمصان‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬𝟏 ‫الحل‬/‫وزاري‬2015/‫د‬1 8 ‫الجلٌد‬ ‫سمن‬ ‫نفرض‬ ‫الجلٌد‬ ‫حجم‬ ‫نفرض‬ ‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t ‫حساب‬ ‫المطلوب‬. /‫عندما‬( 𝟏 )‫حٌث‬. 𝟔 𝟑⁄ / ً‫األصل‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ ‫بالجلٌد‬ ‫مغطى‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ ‫الجلٌد‬ ‫حجم‬ (𝟖 𝟐 ) 𝟑 (𝟖) 𝟑 (‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬ 𝟑(𝟖 𝟐 ) 𝟐(𝟐) 𝟎 𝟔 𝟔(𝟖 𝟐(𝟏)) 𝟐 𝟏 (𝟏𝟎) 𝟐 𝟏 𝟏𝟎𝟎 ⁄ = ‫الجلٌد‬ ‫سمن‬ ً‫ف‬ ‫النمصان‬ ‫معدل‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬⁄0.01 ( ‫مثال‬4/)‫طوله‬ ‫سلم‬𝟏𝟎‫ا‬ ‫طرفه‬ ‫ٌستند‬‫العلوي‬ ‫وطرفه‬ ‫أفمٌة‬ ‫أرض‬ ‫على‬ ‫السفل‬‫ف‬ , ً‫رأســــ‬ ‫حائط‬ ‫على‬‫انزلـك‬ ‫اذا‬‫الطـر‬ ‫األ‬‫سف‬‫ل‬‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫مبتعدا‬ ‫مبتعد‬𝟐 ⁄‫بعد‬ ‫على‬ ‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬𝟖‫فجد‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬: ①‫العلوي‬ ‫الطر‬ ‫أنزالق‬ ‫معدل‬②‫واألرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫ترٌر‬ ‫سرعة‬ ‫وزاري‬2014/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬1 ‫الحل‬/① ‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬‫الحائط‬ ‫عن‬ً‫ف‬‫لحظة‬ ‫أي‬ ‫نفرض‬‫األعلى‬ ‫الطر‬ ‫بعد‬ً‫ف‬ ‫األرض‬ ‫عن‬‫لحظة‬ ‫أي‬ ‫واألرض‬ ‫الســــلم‬ ‫بٌــــن‬ ‫الزاوٌـــــة‬ ‫لـــــٌاس‬ ‫نفرض‬ 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 (‫)فٌثاغورس‬ 𝟔𝟒 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟑𝟔 𝟔 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 (‫الطرفٌن‬ ‫)نشتك‬ 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐(𝟖)(𝟐) 𝟐(𝟔) 𝟎 𝟑𝟐 𝟏𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝟑𝟐 𝟖 𝟑 ( ⁄ ) ∴‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ 𝟖 𝟑 ⁄ =
  • 139.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 138 ‫الحل‬/② (‫الطرفٌن‬ ‫)نشتك‬ ( ‫لٌمة‬‫نعوض‬ ) ( 𝟏𝟎 ‫ب‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نضرب‬ ) ( 𝟖 ‫على‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نمسم‬ ) ( ⁄ ) ‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫تغٌٌر‬ ‫سرعة‬ ( ‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬5/)‫ورأس‬ ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫أفم‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫لاعدت‬ ً‫ـ‬‫ـ‬‫مخروط‬ ‫ـح‬‫ـ‬‫مرش‬‫ــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫ٌس‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫ارتفاع‬ ‫ـفل‬‫ـ‬‫االس‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫ال‬ ‫ه‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــــ‬‫اوي‬𝟐𝟒‫ـر‬‫ـ‬‫لط‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫وط‬ ‫لاعدته‬𝟏𝟔‫بمعدل‬ ‫سائل‬ ‫فٌه‬ ‫ٌصب‬𝟓 𝟑⁄‫بمعـدل‬ ‫ئل‬ ‫السا‬ ‫منه‬ ‫ٌتسرب‬ ‫بٌنما‬𝟏 𝟑⁄‫معـدل‬ ‫جـد‬ ‫عمك‬ ‫ترٌر‬ً‫ف‬ ‫السائل‬‫السائل‬ ‫عمك‬ ‫فٌها‬ ‫ٌكون‬ ً‫الت‬ ‫اللحظة‬𝟏𝟐 ‫الحل‬/ { ‫الســـــــائل‬ ‫أرتفاع‬ ‫نفرض‬ ‫الماعدة‬ ‫لطر‬ ‫نصف‬ ‫نفرض‬ ‫الســــــــائل‬ ‫حجم‬ ‫نفرض‬ ‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t ‫التسرب‬ ‫معدل‬ ‫الصب‬ ‫معدل‬ ‫السائل‬ ‫حجم‬ ‫تغٌر‬ ‫معدل‬ 𝟓 𝟏 𝟒 ( 𝟑⁄ ) ‫مالحظة‬ ً‫المخروط‬ ‫المرشح‬ ً‫ف‬ ‫السائل‬ ‫حجم‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬ 𝟏 𝟑 𝟐 ①‫معادلة‬ ①‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬ 𝟏 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 ( 𝟑 ) 𝟐 𝟏 𝟐𝟕 𝟑 𝟐𝟕 𝟑 (‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬ 𝟐𝟕 𝟑 𝟐 𝟗 𝟐 𝟒 𝟗 (𝟏𝟐) 𝟐 (𝟒)(𝟗) 𝟏𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ( ⁄ ) ‫السائل‬ ‫أرتفاع‬ ‫أزدٌاد‬ ‫معدل‬
  • 140.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 139 ( ‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬6/)‫ـتكن‬‫ـ‬‫ل‬M‫ـاف‬‫ـ‬‫المك‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫المط‬ً‫ـ‬‫ـ‬‫منحن‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫متحرك‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نمط‬𝟐 𝟒‫ـة‬‫ـ‬‫النمط‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫أبتعاده‬ ‫ـدل‬‫ـ‬‫مع‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫ٌك‬ ‫ـث‬‫ـ‬ٌ‫بح‬ ( 𝟕 𝟎)‫ـــاوي‬‫ـ‬‫ٌس‬𝟎 𝟐 ⁄ً‫ـــٌن‬‫ـ‬‫الس‬ ً‫ـــداث‬‫ـ‬‫األح‬ ‫ـــر‬‫ـ‬ٌ‫لتر‬ ً‫ـــ‬‫ـ‬‫الزمن‬ ‫ـــدل‬‫ـ‬‫المع‬ ‫ـــد‬‫ـ‬‫ج‬‫ـــة‬‫ـ‬‫للنمط‬M‫ـــون‬‫ـ‬‫ٌك‬ ‫ـــدما‬‫ـ‬‫عن‬𝟒 ‫الحل‬/ ‫النمطة‬ ‫لتكن‬‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ( ) ‫النمطة‬ ‫لتكن‬( ) S‫بٌن‬ ‫المسافة‬N , M √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 √( 𝟕) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √ 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟐 √ 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟒 ( 𝟐 𝟒 ) √ 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗 ( 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗) 𝟏 𝟐 (‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬ 𝟏 𝟐 ( 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗) 𝟏 𝟐 (𝟐 𝟏𝟎) 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 √ 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗 𝟎 𝟐 𝟐(𝟒) 𝟏𝟎 𝟐 √(𝟒) 𝟐 𝟏𝟎(𝟒) 𝟒𝟗 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐√𝟐𝟓 𝟎 𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 ( ⁄ )
  • 141.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 140 (𝟑 𝟐)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫عـ‬ ‫مبتعـدا‬‫األسـفل‬ ‫الطـر‬ ‫أنزلـك‬ ‫فـأذا‬ ً‫رأسـ‬ ‫حـائط‬ ‫علـى‬ ‫األعلـى‬ ‫وطرفـه‬ ‫أفمٌة‬ ‫أرض‬ ‫على‬ ‫األسفل‬ ‫طرفه‬ ‫ٌستند‬ ‫سلم‬‫ـ‬‫ن‬ ‫بمعدل‬ ‫الحائط‬𝟐‫تساوي‬ ‫واألرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫لٌاس‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫العلوي‬ ‫الطر‬ ‫أنزالق‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬ 𝟑 ‫الحل‬/ ‫الطريقة‬① { ‫الســـــــــــــلم‬ ‫طــــــــــول‬ ‫نـــــفرض‬ ‫الجدار‬ ‫عن‬ ‫الســــــــــلم‬ ‫لاعدة‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬ ‫األرض‬ ‫عن‬ ‫عن‬ ‫السلم‬ ‫رأس‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬ ‫األرض‬ ‫و‬ ‫الســــــــلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نفرض‬ ‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t ‫العاللة‬‫فٌثاغورس‬ ً‫ه‬ 𝟐 𝟐 𝟐 ①‫معادلة‬ 𝟑 √𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 ‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) (𝟐) 𝟐 4 √𝟑 𝟐 5 𝟎 𝟐 √𝟑 𝟎 𝟐 √𝟑 𝟐 √𝟑 ( ⁄ ) ‫االنزالق‬ ‫معدل‬‫للسلم‬ ‫العلوي‬ ‫الطر‬= 𝟐 √𝟑 m/s ‫الطرٌمة‬② 𝟑 √𝟑 √𝟑 ‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐( )(𝟐) 𝟐(√𝟑 ) 𝟎 𝟒 𝟐√𝟑 𝟎 𝟒 𝟐√𝟑 𝟐 √𝟑 ( ⁄ )
  • 142.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 141 ‫س‬2/‫طول‬ ‫ـود‬‫ـ‬‫عم‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــ‬‫ه‬𝟕 𝟐‫طول‬‫ـل‬‫ـ‬‫رج‬ ‫ـرن‬‫ـ‬‫ٌتح‬ ‫ـباح‬‫ـ‬‫مص‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫نهاٌت‬ ً‫فــ‬‫ـــ‬‫ـــ‬‫ــــ‬‫ه‬𝟏 𝟖‫العمــود‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـدا‬‫ـ‬‫مبتع‬ ‫وبس‬‫ــــ‬‫رعة‬𝟑𝟎 ⁄‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ترٌٌر‬ ‫معدل‬ ‫جد‬‫وزاري‬2013/‫د‬1 ‫الحل‬/ 8 ‫المصباح‬ ‫لاعدة‬ ‫عن‬ ‫الرجل‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬ ‫الرجــــــــــــل‬ ‫ظل‬ ‫طــــــول‬ ‫نفرض‬ ‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t‫حٌث‬𝟑𝟎 ‫مثلثات‬ ‫تشابه‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬‫أستعمال‬ ‫او‬(tan) 𝟕 𝟐 ‫الكبٌر‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬ 𝟏 𝟖 ‫الصغٌر‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬ 𝟕 𝟐 𝟏 𝟖 𝟒 𝟏 𝟒 𝟑 ( ‫بداللة‬ ‫)نشتك‬ 𝟑 . / 𝟑 𝟑𝟎 𝟑 𝟏𝟎 ( ⁄ ) ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ترٌٌر‬ ‫معدل‬=𝟏𝟎 ( ⁄ ) ‫س‬3/‫للدائرة‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬ ‫النمط‬ ‫جد‬𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟏𝟎𝟖ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ‫ٌكون‬ ‫عندها‬ ً‫والت‬ ‫لترٌٌر‬( )‫لترٌٌر‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ‫ٌساوي‬( )‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬t‫وزاري‬2012/‫د‬3 ‫الحل‬/ ‫معطاة‬ ‫العاللة‬ً‫وه‬( 𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟏𝟎𝟖)‫حٌث‬ 𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟎 ( ‫ب‬ ‫كل‬ ‫بدل‬ ‫نعوض‬ ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟎 (𝟐 ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫)نمسم‬ 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 (‫المعطاة‬ ‫العاللة‬ ً‫ف‬ ‫نعوضها‬ ) (𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟒(𝟐 ) 𝟖 𝟏𝟎𝟖 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒 𝟖 𝟏𝟎𝟖 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟏𝟎𝟖 𝟏𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟗𝟔 𝟐 𝟖 𝟒𝟖 𝟐 𝟖 𝟒𝟖 𝟎 ( 𝟏𝟐)( 𝟒) 𝟎 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎 𝟒 𝟐 ( 𝟒) 𝟔 ( )( )‫النمطتان‬
  • 143.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 142 ‫س‬4/‫لتكن‬M‫المكاف‬ ‫المطع‬ ‫على‬‫تتحرن‬ ‫نمطة‬𝟐 ‫النمطة‬ ً‫أحداث‬ ‫جد‬M‫ألبتعادها‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫النمطة‬ ‫عن‬.𝟎 𝟑 𝟐 /‫للنمطة‬ ‫دي‬ ‫الصا‬ ً‫األحداث‬ ‫لترٌٌر‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ً‫ثلث‬ ‫ٌساوي‬M‫وزاري‬2012/‫د‬2 ‫الحل‬/ ‫النمطة‬ ‫لتكن‬‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ( ) 𝟐 𝟑 ‫النمطة‬ ‫لتكن‬.𝟎 𝟑 𝟐 / S‫بٌن‬ ‫المسافة‬N , M ̅̅̅̅̅ √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 √( 𝟎) 𝟐 ( 𝟑 𝟐 ) 𝟐 √ 𝟐 ( 𝟑 𝟐 ) 𝟐 √ ( 𝟐 𝟑 𝟗 𝟒 ) ( 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 ) 𝟏 𝟐 (‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬ 𝟏 𝟐 ( 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 ) 𝟏 𝟐 (𝟐 𝟐 ) (𝟐 𝟐) 𝟐 . 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒/ 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 (𝟐 𝟐) 𝟐 . 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒/ 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐( 𝟏) 𝟐 √ 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 𝟐√ 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 𝟑( 𝟏) ( ‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ ) 𝟒 ( 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 ) 𝟗( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟒 𝟐 𝟖 𝟗 𝟗 𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟓 𝟐 𝟏𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟎 (𝟎 𝟎)‫تهمل‬ 𝟐 √𝟐 ( √𝟐 𝟐) ( √𝟐 𝟐) ‫س‬5/‫بمعـدل‬ ‫الماعـدة‬ ‫ضـلع‬ ‫طـول‬ ‫ٌـزداد‬ ‫ز‬ ‫الشـكل‬ ‫مربعـة‬ ‫لاعدتـه‬ ‫تبمى‬ ‫بحٌث‬ ‫تترٌر‬ ‫ابعاده‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬(𝟎 𝟑 ⁄ ) ‫بمعدل‬ ‫ٌتنالص‬ ‫وأرتفاعه‬(𝟎 𝟓 ⁄ )‫الماعدة‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫الحجم‬ ‫ترٌٌر‬ ‫معدل‬ ‫جد‬(𝟒 )‫واالرتفاع‬(𝟑 ) ‫الحل‬/ { ‫الماعدة‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬ ‫ارتفاعـــــــــــــه‬ ‫نفرض‬ ‫حجمــــــــــــــــــــــه‬ ‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t ‫حٌث‬ ‫الحجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬‫االرتفاع‬ ‫العرض‬ ‫الطول‬ 𝟐 (‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬ 𝟐 (𝟐 ) (‫المجاهٌل‬ ‫نعوض‬ ) (𝟒) 𝟐 ( 𝟎 𝟓) (𝟑) (𝟐 𝟒)(𝟎 𝟑) (𝟏𝟔)( 𝟎 𝟓) (𝟎 𝟗)(𝟖) 𝟖 𝟕 𝟐 𝟎 𝟖 ( 𝟑⁄ )
  • 144.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 143 ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫مبتعدا‬‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫أنزلك‬ ‫فأذا‬ ً‫رأس‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫األعلى‬ ‫وطرفه‬ ‫أفمٌة‬ ‫أرض‬ ‫على‬ ‫األسفل‬ ‫طرفه‬ ‫ٌستند‬ ‫سلم‬ ‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫عـن‬(𝟐 )‫واألرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫لٌاس‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫العلوي‬ ‫الطر‬ ‫أنزالق‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬ ‫تساوي‬ 𝟒 ‫الحل‬/ ‫الطريقة‬① { ‫الســـــــــــــلم‬ ‫طــــــــــول‬ ‫نــــــفرض‬ ‫الجدار‬ ‫عن‬ ‫الســــــــــلم‬ ‫لاعدة‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬ ‫األرض‬ ‫عن‬ ‫عن‬ ‫السلم‬ ‫رأس‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬ ‫األرض‬ ‫و‬ ‫الســــــــلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نفرض‬ ‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t ‫فٌثاغورس‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬ 𝟐 𝟐 𝟐 ①‫معادلة‬ 𝟒 𝟏 √𝟐 𝟒 𝟏 √𝟐 ‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ( 𝟏 √𝟐 ) (𝟐) 𝟐 ( 𝟏 √𝟐 ) 𝟎 𝟐√𝟐 √𝟐 𝟎 𝟐√𝟐 √𝟐 𝟐( ⁄ ) ∴= ‫االنزالق‬ ‫معدل‬𝟐 ( ) ‫الطريقة‬② 𝟒 𝟏 ‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐( )(𝟐) 𝟐( ) 𝟎 𝟒 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐 𝟐( ⁄ )
  • 145.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 144 ‫مثال‬/‫تسـاوي‬ ‫ثابتـة‬ ‫بمسـاحة‬‫نـالص‬ ‫لطـع‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫معدنٌة‬ ‫لطعة‬(𝟔𝟎 )‫محـوره‬ ‫طـول‬ ‫أزداد‬ ‫فـأذا‬ ‫مربعـة‬ ‫وحـدة‬ ‫بمعـدل‬ ‫األصـرر‬(𝟎 𝟐)‫ـوره‬‫ـ‬‫مح‬ ‫طـول‬ ‫ٌكـون‬ ‫ـدما‬‫ـ‬‫عن‬ ‫االكبـر‬ ‫محـوره‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫ط‬ ً‫فـ‬ ‫النمصـان‬ ‫ـدل‬‫ـ‬‫مع‬ ‫فجـد‬ ‫طول/دلٌمـة‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫وح‬ ‫االصرر‬(𝟏𝟐)‫طول‬ ‫وحدة‬ ‫الحل‬/ 8 ‫االكبر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬ ‫االصغر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫نفرص‬ ‫زمن‬ ‫اي‬ ً‫ف‬t ‫المساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬‫حٌث‬ 𝟔𝟎 𝟔𝟎 . 𝟐 / . 𝟐 / ( ‫ب‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نضرب‬ ) 𝟐𝟒𝟎 𝟐𝟒𝟎 𝟐𝟒𝟎 𝟏 (‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬ 𝟐𝟒𝟎 𝟐 ( 𝟐𝟒𝟎 𝟐 ) ( 𝟐𝟒𝟎 (𝟏𝟐) 𝟐 ) (𝟎 𝟐) 𝟒𝟖 𝟏𝟒𝟒 𝟏 𝟑 ∴‫االكبر‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ً‫ف‬ ‫النمصان‬ ‫معدل‬( ‫دلٌمة‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬⁄ ) 𝟏 𝟑 ****************************************************************** ‫س‬1:‫ـاز‬‫ـ‬‫الر‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫منه‬ ‫ـرب‬‫ـ‬‫ٌتس‬ ‫ـاز‬‫ـ‬‫بالر‬ ‫ـؤة‬‫ـ‬‫ممل‬ ‫ـرة‬‫ـ‬‫ك‬‫بمعدل‬( 𝟑 𝟑⁄ )‫ـا‬‫ـ‬‫لطره‬ ‫ـ‬‫ـ‬‫نص‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫ط‬ ً‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـان‬‫ـ‬‫النمص‬ ‫ـدل‬‫ـ‬‫مع‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫ج‬ ‫عندم‬‫ـــــ‬‫ا‬‫حجمها‬ ‫ٌكون‬. 𝟑𝟐 𝟑 / ‫س‬2:‫معادلته‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫على‬ ‫تتحرن‬ ‫مادٌة‬ ‫نمطة‬√ 𝟐 𝟕ٌ‫تر‬ ‫معدل‬ ‫كان‬ ‫فأذا‬‫ـــــ‬‫الس‬ ً‫األحداث‬ ‫ر‬‫ـ‬ً‫ٌن‬ = ‫للنمطة‬(𝟑 ⁄ )‫عندما‬x=4,‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫النمطة‬ ‫بعد‬ ‫ترٌر‬ ‫معدل‬ ‫جد‬(0,0) ‫س‬3:‫طوله‬ ‫رجل‬(175 cm)‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ ‫ٌرتفع‬ ‫مصباح‬ ‫أمام‬ ‫ٌم‬(7 m)‫فـ‬‫ا‬‫باال‬ ‫الرجـل‬ ‫أخـذ‬ ‫ذا‬‫بتعـاد‬‫عـن‬ ‫بمعدل‬ ‫المصباح‬ ‫لاعدة‬(6 m/s)‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ازدٌاد‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬
  • 146.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 145 ‫مبرهن‬‫تا‬‫رول‬‫المتوسطة‬ ‫والمٌمة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫المرلمة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬, -: ‫فأن‬ ①‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫لٌمة‬ ‫تأخذ‬‫حٌث‬, -: ‫أذا‬ ‫وفمط‬ ‫أذا‬ 𝒙 , - ‫لكل‬ ( ) ( ) ②‫عند‬ ‫صررى‬ ‫لٌمة‬ ‫تأخذ‬‫حٌث‬, -: ‫أذا‬ ‫وفمط‬ ‫أذا‬ 𝒙 , - ‫لكل‬ ( ) ( ) (𝟑 𝟏)‫كانت‬ ‫أذا‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬, -‫للدالة‬ ‫وكان‬‫صـررى‬ ‫لٌمـة‬ ‫أو‬ ‫عظمـى‬ ‫لٌمـة‬ ‫مبرهنة‬ ‫عند‬C‫ح‬‫ـ‬‫ٌث‬( )‫وأن‬̅( )‫موجود‬‫ة‬‫فأن‬̅( ) 𝟎 (𝟑 𝟐)‫لتكن‬‫الدالة‬‫العدد‬ ‫عند‬ ‫معرفة‬Cٌ‫ـ‬‫ع‬ ‫مال‬‫ــــــــ‬‫العدد‬ ‫ن‬C‫حرج‬ ‫عدد‬ ‫بأنه‬(critical number) ‫مبرهنة‬ ‫كان‬ ‫أذا‬̅( ) 𝟎‫الدال‬ ‫ان‬ ‫أو‬‫ــ‬‫ــ‬ً‫ف‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫غٌر‬ ‫ة‬C‫وتسمى‬( ( ))‫الحرجة‬ ‫بالنمطة‬ ( ‫مثال‬1/)‫لتكن‬, 𝟏 𝟏- ( ) | |‫الدالة‬ ‫هل‬ ‫بٌن‬ ,‫صررى‬ ‫او‬ ‫عظمى‬ ‫لٌمة‬ ‫تمتلن‬ ‫الحل‬/ ‫الدالة‬‫من‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫لٌمة‬ ‫أعظم‬ ‫تمتلن‬𝟏 𝟏‫لٌمة‬ ‫أصرر‬ ‫وتمتلن‬‫عند‬𝟎 ‫الدالة‬‫عند‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫غٌر‬𝟎‫أن‬ ‫أي‬̅(𝟎)‫ٌكون‬ ‫أن‬ ‫ٌشترط‬ ‫ال‬ ‫وهذا‬ ‫موجودة‬ ‫غٌر‬̅( ) 𝟎 ‫وأن‬ ‫الصفر‬ ‫عند‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫وٌالحظ‬ (̅( 𝟎)‫للدالة‬ ‫الحرج‬ ‫العدد‬ ‫هو‬ " ‫صفر‬ " ‫العدد‬ ‫أن‬ ‫ٌمال‬ ‫لذا‬ ‫موجودة‬ ‫غٌر‬‫وأن‬ ‫النمطة‬( 𝟎 (𝟎))‫)ز‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ ً‫ه‬ ( ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ROLLE'S THEOREM) ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬f ①‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, -②‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( )③( ) ( ) ‫األلل‬ ‫على‬ ‫ٌوجد‬ ‫فأنه‬‫واحدة‬ ‫لٌمة‬‫ت‬‫الفترة‬ ‫الى‬ ً‫نتم‬( )‫بحٌث‬̅( ) 𝟎‫أدناه‬ ‫مبٌن‬ ‫كما‬
  • 147.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 146 ‫مالحظات‬ 𝟏‫هندس‬ ً‫تعن‬ ‫النظرٌة‬‫هذه‬‫ـ‬‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫موازٌة‬ ‫وتكون‬ ً‫للمنحن‬ ً‫تنتم‬ ‫األلل‬ ‫على‬ ‫واحدة‬ ‫نمطة‬ ‫وجود‬ ‫ٌا‬ 𝟐‫الشروط‬ ‫أحد‬ ‫توفر‬ ‫عدم‬ ‫عند‬‫ال‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫فأن‬ ‫الثالثة‬‫تنطبك‬ ( ‫مثال‬2/)‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫؟‬ ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫تتحمك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫أن‬ ‫هل‬ ‫بٌن‬: ‫الممكنة‬ ( ) ( ) (𝟐 ) 𝟐 ,𝟎 𝟒- ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟒-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 𝟒)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ③‫نوجد‬(𝟒) (𝟎) ( ) (𝟐 𝟎) 𝟐 (𝟐) 𝟐 ( ) (𝟐 𝟒) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 (𝟎) (𝟒) ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎 ( ) (𝟐 ) 𝟐 ̅( ) 𝟐(𝟐 ) ̅( ) 𝟐(𝟐 ) 𝟐(𝟐 ) 𝟎 𝟐 (𝟎 𝟒) ( ) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 𝟑 , 𝟏 𝟏- ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟏-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟏)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ③‫نوجد‬( 𝟏) (𝟏) ( ) 𝟗(𝟏) 𝟑(𝟏) 𝟐 (𝟏) 𝟑 𝟗 𝟑 𝟏 ( ) 𝟗( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟑 𝟗 𝟑 𝟏 ( 𝟏) (𝟏) ‫الدالة‬‫ال‬‫ٌتحمك‬ ‫لم‬ ‫الثالث‬ ‫الشرط‬ ‫ألن‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬
  • 148.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 147 ( ) () { 𝟐 𝟏 , 𝟏 𝟐- 𝟏 , 𝟒 𝟏- ‫الحل‬/ ‫الدالة‬ ‫مجال‬, 𝟒 𝟐- ①‫األول‬ ‫الشرط‬ ( 𝟏) ( 𝟐 𝟏) 𝟐 𝟏 ( 𝟏) ( 𝟏) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 ‫ألن‬ ‫مستمرة‬ ‫غٌر‬ ‫الدالة‬‫الفترة‬ ً‫ف‬, 𝟒 𝟐- ‫الدالة‬‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫ال‬ ( ) ( ) , - ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, -‫ثابتة‬ ‫دالة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( ) ③‫نوجد‬( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ‫الدالة‬‫لٌمة‬ ‫وأن‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫لٌمة‬ ‫أي‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬( ) ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫؟‬ ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫تتحمك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫أن‬ ‫هل‬ ‫بٌن‬‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫عند‬ (𝟏) ( ) 𝟒 𝟖 𝟐 , 𝟐 𝟐- ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟐-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟐 𝟐) ③‫نوجد‬(𝟐) ( 𝟐) (𝟐) (𝟐) 𝟒 𝟖(𝟐) 𝟐 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟏𝟔 ( 𝟐) ( 𝟐) 𝟒 𝟖( 𝟐) 𝟐 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟏𝟔 ( ) ( ) ‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎 ( ) 𝟒 𝟖 𝟐 ̅( ) 𝟒 𝟑 𝟏𝟔 ̅( ) 𝟒( 𝟑) 𝟏𝟔( ) 𝟒 ( 𝟐 𝟒) 𝟎 𝟒 𝟎 𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟒 𝟐 ( 𝟐 𝟐)
  • 149.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 148 (𝟐) ( ),𝟎 𝟐 - ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟐 -‫دائرٌة‬ ‫دالة‬ ‫ألنها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 𝟐 ) ③‫نوجد‬(𝟎) (𝟐 ) ( ) (𝟎) (𝟐 ) (𝟐 ) (𝟎) (𝟐 ) ‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎 ( ) ̅( ) ̅( ) ( ) ( ) 𝟐 𝟐 (𝟎 𝟐 ) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 (𝟎 𝟐 ) (𝟑) ( ) 𝟗 ,𝟓 𝟗- ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟓 𝟗-‫ثابتة‬ ‫دالة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟓 𝟗) ③‫نوجد‬(𝟓) (𝟗) ( ) 𝟗 ( ) 𝟗 (𝟓) (𝟗) ‫الدالة‬‫لٌمة‬ ‫وأن‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫لٌمة‬ ‫أي‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬(𝟓 𝟗) (𝟒) ( ) √ 𝟏𝟔 𝟐 , 𝟐 𝟐- ‫الحل‬/ 𝟏𝟔 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟒 , 𝟒 𝟒- ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟒 𝟒-‫الجزئٌة‬ ‫المجموعات‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟒 𝟒)‫الحظ‬ ̅( ) 𝟐 𝟐√𝟏𝟔 𝟐 √𝟏𝟔 𝟐 ③‫نوجد‬(𝟐) ( 𝟐) ( ) √ 𝟏𝟔 (𝟐) 𝟐 √𝟏𝟔 𝟒 √𝟏𝟐 ( ) √ 𝟏𝟔 ( 𝟐) 𝟐 √𝟏𝟔 𝟒 √𝟏𝟐 (𝟐) ( 𝟐) ‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎 ̅( ) √𝟏𝟔 𝟐 ̅( ) √𝟏𝟔 𝟐 𝟎 𝟎 ( 𝟒 𝟒)
  • 150.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 149 (𝟓) ( )√ 𝟐𝟑 , 𝟏 𝟏- ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟏-‫الحمٌمٌة‬ ‫المجموعة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫النها‬R ②‫غٌر‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟏)‫الحظ‬ ‫الصفر‬ ‫عند‬ ‫معرفة‬ ‫غٌر‬ ‫ألنها‬ ̅( ) 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑4 𝟏 𝟑5 𝟐 𝟑 √ 𝟑 ∴‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تتحمك‬ ‫ال‬‫وال‬‫تطبٌمها‬ ‫ٌمكن‬‫متحمك‬ ‫غٌر‬ ً‫الثان‬ ‫الشرط‬ ‫ألن‬ ****************************************************************** ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫تتحمك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫أن‬ ‫هل‬ ‫بٌن‬‫لٌمة‬ ‫وجد‬ ‫؟‬ ‫التالٌة‬C‫الممكنة‬ (𝟐) ( ) 𝟒 𝟒 𝟐 𝟏 , 𝟓 𝟓-‫الفترة‬(𝟏) ( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟏 , 𝟒 𝟒-‫الفترة‬ (𝟒) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 𝟑 , 𝟏 𝟎-‫الفترة‬(𝟑) ( ) (𝟐 ) 𝟐 , 𝟒 𝟒-‫الفترة‬ (𝟔) ( ) { 𝟐 𝟏 , 𝟏 𝟑- 𝟏 , 𝟓 𝟏- (𝟓) ( ) , -‫الفترة‬ (𝟖) ( ) ( 𝟐 𝟑) 𝟐 , 𝟏 𝟒-‫الفترة‬(𝟕) ( ) 𝟑 𝟐 𝟗 , 𝟓 𝟑-‫الفترة‬ (𝟏𝟎) ( ) 𝟐 𝟑 , 𝟏 𝟏-(𝟗) ( ) ( 𝟏) 𝟒 , 𝟑 𝟑-‫الفترة‬ (𝟏𝟐) ( ) |𝟐 𝟑| , 𝟓 𝟑-‫الفترة‬(𝟏𝟏) ( ) 𝟐 , 𝟐 𝟐 -‫الفترة‬
  • 151.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 150 ( ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬‫مبرهنة‬THE MEAN VALUE THEOREM) ‫كانت‬ ‫اذا‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫لالشتماق‬ ‫ولابلة‬‫على‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬( )‫األلل‬ ‫على‬ ‫ٌوجد‬ ‫فأنه‬ ‫واحدة‬ ‫لٌمة‬C‫الى‬ ً‫تنتم‬( )‫وتحمك‬̅( ) ( ) ( ) ‫ٌكتب‬ ‫او‬( ) ( ) ( )̅( ) ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫لمبرهنة‬ ً‫الهندس‬ ‫التفسٌر‬ ‫ٌبٌن‬ ً‫التال‬ ‫المخطط‬ ①‫الوتر‬ ‫ٌوازي‬ ‫المماس‬̅̅̅̅ ②‫بالنمطتٌن‬ ‫المار‬ ‫الوتر‬ ‫مٌل‬‫ٌساوي‬ ( ) ( ) ③‫ػنذ‬ ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬‫للذالت‬ ‫األولى‬ ‫المشتقت‬ =‫ػنذ‬.̅ ( )/ ً‫أ‬ ④‫والوت‬ ‫المماس‬‫ـــــــــ‬ٌ‫متواز‬ ‫ر‬‫ـــــــــــــــــــ‬‫أن‬ ‫أي‬ , ‫مٌلهما‬ ‫ٌتساوى‬ ‫لذا‬ ‫ان‬ ̅ ( ) ( ) ( ) ‫مالحظات‬ 𝟏‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫من‬ ‫خاصة‬ ‫حالة‬ ‫تعتبر‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ /‫السبب‬‫الشرط‬ ‫ألن‬( ) ( )‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ً‫ف‬ ‫موجود‬ ‫غٌر‬ 𝟐‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ً‫ف‬:‫المم‬‫ــــــ‬‫والوت‬ ‫اس‬‫ــــــــــ‬‫كاله‬ ‫ر‬‫ــــــ‬ٌ ‫ما‬‫ــــــــ‬‫وازي‬‫المح‬‫ــــــــ‬‫الس‬ ‫ور‬‫ـــــــــ‬‫ــــــــ‬‫أن‬ ‫أي‬ ً‫ٌن‬̅( ) 𝟎 ‫الصادات‬ ‫فرق‬ ‫اي‬𝟎‫المٌل‬ ‫ٌصبح‬ ‫لذا‬𝟎 𝟑‫لٌمة‬ ‫ألٌجاد‬C‫تحمك‬ ً‫الت‬̅( ) ( ) ( ) ‫التالٌٌن‬ ‫الشرطٌن‬ ‫توافر‬ ‫ٌجب‬: ①‫تكون‬ ‫أن‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, - ②‫تكون‬ ‫أن‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( )
  • 152.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 151 ( ‫مثال‬3/)‫أو‬ ‫و‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحمك‬ ‫األتٌة‬ ‫الدوال‬ ‫أن‬ ‫برهن‬‫لٌمة‬ ‫جد‬: ( ) ( ) 𝟐 𝟔 𝟒 , 𝟏 𝟕- 𝟑 ‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟐 ‫وزاري‬ ‫الحل‬/ ①‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬, 𝟏 𝟕-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟕)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬ ‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬ ̅( ) 𝟐 𝟔 ̅( ) 𝟐 𝟔 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ ) ̅( ) ( ) ( ) ( 𝟕) ( 𝟏) 𝟕 ( 𝟏) 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟖 𝟎 (‫الوتر‬ ‫مٌل‬ ) ∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬ 𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 ( 𝟏 𝟕) ( ) ( ) √ 𝟐𝟓 𝟐 , 𝟒 𝟎- ‫الحل‬/ 𝟐𝟓 𝟐 𝟎 𝟐𝟓 𝟐 𝟓 , 𝟓 𝟓- ( ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ) ①‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الدالة‬ ‫أستمرارٌة‬ ‫نبحث‬( 𝟒 𝟎) ( 𝟒) ( ) ( 𝟒) .√ 𝟐𝟓 𝟐/ √𝟐𝟓 𝟏𝟔 √𝟗 𝟑 (𝟎) ( ) (𝟎) .√ 𝟐𝟓 𝟐/ √𝟐𝟓 𝟎 √𝟐𝟓 𝟓 ∴‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟒 𝟎- ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟒 𝟎) ‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬ ‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬ ̅( ) 𝟐 𝟐√𝟐𝟓 𝟐 √𝟐𝟓 𝟐 ̅( ) √𝟐𝟓 𝟐 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ ) ̅( ) ( ) ( ) (𝟎) ( 𝟒) 𝟎 ( 𝟒) 𝟓 𝟑 𝟒 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 .‫الوتر‬ ‫مٌل‬ / ∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬ 𝟏 𝟐 √𝟐𝟓 𝟐 √ 𝟐𝟓 𝟐 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫)تربٌع‬ 𝟐𝟓 𝟐 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟓 √ √ ( 𝟒 𝟎) √ ( 𝟒 𝟎)
  • 153.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 152 ( ‫مثال‬4/)‫كانت‬ ‫أذا‬,𝟎- ( ) 𝟑 𝟒 𝟐 ‫وكانت‬‫عند‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ 𝟐 𝟑 ‫لٌمة‬ ‫فجد‬ ‫الحل‬/ ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟖 ̅( ) 𝟑 ̅ ( 𝟐 𝟑 ) 𝟑 ( 𝟐 𝟑 ) ( 𝟐 𝟑 ) 𝟑 ( 𝟒 𝟗 ) 𝟏𝟔 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏𝟔 𝟑 𝟏𝟐 𝟑 ̅( ) 𝟒 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ ) ̅( ) ( ) ( ) ( ) (𝟎) 𝟎 𝟑 𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 (‫الوتر‬ ‫مٌل‬ ) ∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬ 𝟒 𝟐 𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐 ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫اثبت‬‫شروط‬ ‫تحمك‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫على‬‫الفترة‬( )‫لٌمة‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬ ‫المعطاة‬C (𝟏) ( ) 𝟐 𝟐 𝟏 ,𝟎 𝟏- ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟏-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 𝟏) ‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬ ‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬ ̅( ) 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟐 𝟐 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ ) ̅( ) ( ) ( ) (𝟏) (𝟎) 𝟏 𝟎 𝟐 ( 𝟏) 𝟏 𝟑 .‫الوتر‬ ‫مٌل‬ / ∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬ 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 (𝟎 𝟏)
  • 154.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 153 (𝟐) ( )√𝟒 ,𝟎 𝟒- ‫الحل‬/ 𝟒 𝟎 𝟒 ( ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ) ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟒-‫الجزئٌة‬ ‫المجموعات‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 𝟒) ‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬ ‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬Cً‫الت‬‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ̅( ) 𝟏 𝟐√𝟒 ̅( ) 𝟏 𝟐√𝟒 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ ) ̅( ) ( ) ( ) (𝟒) (𝟎) 𝟒 𝟎 𝟎 (𝟐) 𝟒 𝟏 𝟐 .‫الوتر‬ ‫مٌل‬ / ∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬ 𝟏 𝟐√𝟒 𝟏 𝟐 𝟏 √𝟒 𝟏 (‫الطرفٌن‬ ‫)تربٌع‬ 𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 𝟏 𝟑 (𝟎 𝟒) (𝟑) ( ) 𝟐 ,𝟎 - ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 -‫دائرٌة‬ ‫دالة‬ ‫ألنها‬ ②‫الذالت‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 ) ‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬ ‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬ ( ) 𝟐 ̅( ) 𝟐 ̅( ) 𝟐 ( ) (‫المماس‬ ‫مٌل‬ ) ̅( ) ( ) ( ) (𝟐 ) 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 .‫الوتر‬ ‫مٌل‬ / ∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬ 𝟐 ( ) 𝟐 ( ) 𝟎 𝟐 (𝟎 ) ****************************************************************** ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫اثبت‬‫شروط‬ ‫تحمك‬‫مبرهنة‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬‫الفترة‬ ‫على‬( )‫لٌمة‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬ ‫المعطاة‬C (𝟐) ( ) 𝟒 𝟏 ,𝟏 𝟒-(𝟏) ( ) 𝟐 𝟏 , 𝟐 𝟒- (𝟑) ( ) ( 𝟐 𝟑) 𝟐 , 𝟏 𝟏-
  • 155.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 154 ( ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬ ‫التمرٌب‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬) ‫أ‬‫كانت‬ ‫ذا‬‫على‬ ‫ومعرفة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫لألش‬ ‫ولابلة‬‫ـــــ‬ً‫ف‬ ‫تماق‬( )‫ول‬‫ـــــ‬‫أعتبرنا‬ ‫و‬( )‫فأن‬ ( )‫حٌث‬𝟎: ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بموجب‬ ‫فأنه‬- ̅( ) ( ) ( ) ̅( ) ( ) ( ) ̅( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ̅( ) ( ‫للدالة‬ ً‫التمرٌب‬ ‫التغٌٌر‬ ‫لانون‬ ) ‫ألتراب‬ ‫ٌكون‬ ‫وعندما‬( )‫من‬( )‫الحالة‬ ‫هذه‬ ً‫ف‬ ‫تكون‬ ً‫ا‬ٌ‫كاف‬ ً‫ا‬‫لرب‬( )‫من‬ ‫لرٌبتان‬ ‫ونهاٌتٌه‬ ً‫ا‬‫صرٌر‬ ‫الوتر‬ ‫وٌصبح‬ ‫صرٌرة‬ ( )‫عند‬ ‫المماس‬ ‫أن‬ ‫أي‬ ,( )‫حٌث‬ ‫النمطة‬ ‫من‬ ‫جدا‬ ‫لرٌبة‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ً‫للمنحن‬ ً‫ا‬‫مماس‬ ‫سٌكون‬( ): ‫وٌصبح‬ ( ) ( ) ̅( )‫للممدار‬ ‫وٌمال‬̅( )‫للدالة‬ ً‫التمرٌب‬ ‫الترٌٌر‬ ‫التمرٌب‬ ‫لمسائل‬ ‫أنواع‬ ‫ثالث‬ ‫هنان‬ ‫األول‬ ‫النوع‬:‫الحظ‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫موجودة‬ ‫غٌر‬ ‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬( ‫مثال‬5) ( ‫مثال‬5/)‫للعدد‬ ً‫ا‬‫مناسب‬ ‫تمرٌبا‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬ ‫بأستخدام‬ ‫جد‬√ 𝟐𝟔 ‫الحل‬/ ‫نفرض‬( 𝟐𝟓)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬( 𝟐𝟔)‫معطى‬ 𝟐𝟔 𝟐𝟓 𝟏 ( ) √ ( ) . 𝟏 𝟐 / ̅( ) 𝟏 𝟐 . 𝟏 𝟐 / 𝟏 𝟐 . 𝟏 𝟐 / ̅( ) 𝟏 𝟐√ ( ) √ ( 𝟐𝟓) √𝟐𝟓 ( 𝟐𝟓) 𝟓 ̅( ) 𝟏 𝟐√ ̅( 𝟐𝟓) 𝟏 𝟐√𝟐𝟓 ̅( 𝟐𝟓) 𝟏 ( 𝟐)( 𝟓) 𝟏 𝟏𝟎 ̅( 𝟐𝟓) 𝟎 𝟏 ( ) ( ) ̅( ) ( 𝟐𝟓 𝟏) ( 𝟐𝟓) ( 𝟏) ̅( 𝟐𝟓) ( 𝟐𝟔) 𝟓 ( 𝟏)( ) 𝟓 𝟏 √𝟐𝟔 𝟓 𝟏
  • 156.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 155 ً‫الثان‬ ‫النوع‬:‫الحظ‬ ‫السؤال‬ً‫ف‬ ‫موجودة‬ ‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬( ‫مثال‬6) ( ‫مثال‬6/)‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟓‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫فجد‬( 𝟏 𝟎𝟎𝟏) ‫الحل‬/ ‫نفرض‬( 𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬( 𝟏 𝟎𝟎𝟏)‫معطى‬ 𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏 ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟓 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟒 ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟓 ( 𝟏) ( 𝟏) 𝟑 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟒( 𝟏) 𝟓 ( 𝟏) 𝟏𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟒 ̅( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟔( 𝟏) 𝟒 ̅( 𝟏) 𝟏𝟑 ( ) ( ) ̅( ) ( 𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏) ( 𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟎𝟏) ̅( 𝟏) ( 𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 ( 𝟎 𝟎𝟎𝟏)( 𝟏𝟑) ( 𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 𝟎 𝟎𝟏𝟑 ( 𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 𝟎𝟏𝟑 ‫الثالث‬ ‫النوع‬:‫او‬ ‫حجم‬ ‫او‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬‫شابه‬ ‫ما‬‫الحظ‬ ‫ذلن‬( ‫مثال‬7) ( ‫مثال‬7/)‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬( 𝟗 𝟗𝟖 )‫بأستخدام‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫حجمه‬ ‫جد‬‫نتٌجة‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫الحل‬/ ‫لٌكن‬‫المكعب‬ ‫حجم‬‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫الذي‬( ) ‫نفرض‬( 𝟏𝟎)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬( 𝟗 𝟗𝟖)‫معطى‬ 𝟗 𝟗𝟖 𝟏𝟎 𝟎 𝟎𝟐 ( ) 𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 ( 𝟏𝟎) ( 𝟏𝟎) 𝟑 ( 𝟏𝟎) 𝟏𝟎𝟎𝟎 ̅( ) 𝟑 𝟐 ̅( 𝟏𝟎) 𝟑( 𝟏𝟎) 𝟐 ̅( 𝟏𝟎) 𝟑𝟎𝟎 ( ) ( ) ̅( ) (𝟏𝟎 ( 𝟎 𝟎𝟐)) ( 𝟏𝟎) ( 𝟎 𝟎𝟐) ̅( 𝟏𝟎) ( 𝟗 𝟗𝟖) 𝟏𝟎𝟎𝟎 ( 𝟎 𝟎𝟐)( 𝟑𝟎𝟎) 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟔 ( 𝟗 𝟗𝟖) 𝟗𝟗𝟒 𝟑
  • 157.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 156 ( ‫مثال‬8/)‫لتكن‬( )√ 𝟐𝟑 ‫ترٌرت‬ ‫فاذا‬‫من‬𝟖‫الى‬𝟖 𝟎𝟔‫؟‬ ‫للدالة‬ ً‫التمرٌب‬ ‫الترٌٌر‬ ‫ممدار‬ ‫فما‬ ‫الحل‬/ ‫نفرض‬( 𝟖)‫معطى‬ ‫نفرض‬( 𝟖 𝟎𝟔)‫معطى‬ 𝟖 𝟎𝟔 𝟖 𝟎 𝟎𝟔 ( ) √ 𝟐𝟑 ( ) ( ). 𝟐 𝟑 / ̅( ) 𝟐 𝟑 ( ). 𝟏 𝟑 / ̅( ) 𝟐 𝟑 √ 𝟑 ̅( ) 𝟐 𝟑 √ 𝟑 ̅(𝟖) 𝟐 𝟑 √𝟖 𝟑 ̅(𝟖) 𝟐 𝟔 ̅(𝟖) 𝟏 𝟑 ̅( ) ̅(𝟖) (𝟎 𝟎𝟔) ( 𝟏 𝟑 ) 𝟎 𝟎𝟐 ً‫التمرٌب‬ ‫التغٌٌر‬ ‫ممدار‬ ( ‫مثال‬9/)‫طالء‬ ‫ٌراد‬‫حرفـه‬ ‫طـول‬ ‫مكعب‬( 𝟏𝟎 )‫الطـالء‬ ‫سـمن‬ ‫كـان‬ ‫فـأذا‬( 𝟎 𝟏𝟓 )‫بصـورة‬ ‫الطـالء‬ ‫حجـم‬ ‫أوجـد‬ ‫وبأستخدام‬ ‫تمرٌبٌة‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬ ‫الحل‬/ ‫لٌكن‬‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫الذي‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬( ) ‫نفرض‬( 𝟏𝟎)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬( 𝟏𝟎 𝟑) 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟎 𝟑 ( ) 𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟐 ̅( ) 𝟑 𝟐 ̅( 𝟏𝟎) 𝟑( 𝟏𝟎) 𝟐 ̅( 𝟏𝟎) 𝟑𝟎𝟎 ̅( ) ̅(𝟏𝟎) (𝟎 𝟑)(𝟑𝟎𝟎) 𝟗𝟎 𝟑 ‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫حجم‬
  • 158.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 157 ( ‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬10/)‫ـثالث‬‫ـ‬‫ل‬ ً‫ـا‬‫ـ‬‫وممرب‬ ‫ــة‬‫ـ‬‫تمرٌبٌـــــــــ‬ ‫ـورة‬‫ـ‬‫وبص‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫ج‬ ‫ــطة‬‫ـ‬‫المتوســــــــ‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المٌم‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مبرهن‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نتٌج‬ ‫ــتخدام‬‫ـ‬‫بأســـــــــ‬ ‫األل‬ ‫على‬ ‫عشرٌة‬ ‫مراتب‬: ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫ل‬ ( ) √𝟕 𝟖 𝟑 ( ) √( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟑𝟓 (𝟎 𝟗𝟖) 𝟒 𝟑 ( ) √𝟎 𝟏𝟐 𝟑 ( ) √𝟏𝟕 √𝟏𝟕 𝟒 ( ) √( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟑𝟓 (𝟎 𝟗𝟖) 𝟒 𝟑 ‫الحل‬/ ‫نفرض‬( 𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬( 𝟎 𝟗𝟖)‫معطى‬ 𝟎 𝟗𝟖 𝟏 𝟎 𝟎𝟐 ( ) √ 𝟑𝟓 𝟒 𝟑 ( ) ( ). 𝟑 𝟓 / 𝟒 𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟓 ( ). 𝟐 𝟓 / 𝟒 𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟓 √ 𝟐𝟓 𝟒 𝟑 ( ) ( ). 𝟑 𝟓 / 𝟒 𝟑 ( 𝟏) ( 𝟏). 𝟑 𝟓 / 𝟏 𝟒 𝟑 ( 𝟏) 𝟓 ̅( ) 𝟑 𝟓 √ 𝟐𝟓 𝟒 𝟑 ̅( 𝟏) 𝟑 𝟓 √𝟏 𝟐𝟓 𝟒( 𝟏) 𝟑 𝟑 𝟓 𝟒 ̅( 𝟏) 𝟒 𝟔 ( ) ( ) ̅( ) (𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟐)) ( 𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟐) ̅( 𝟏) ( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟐)( 𝟒 𝟔) ( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟓 𝟎 𝟎𝟗𝟐 √( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟑𝟓 ( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟒 𝟑 𝟒 𝟗𝟎𝟖 ( ) √𝟕 𝟖 𝟑 𝟏‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬ ‫الحل‬/ ‫نفرض‬( 𝟖)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬( 𝟕 𝟖)‫معطى‬ 𝟕 𝟖 𝟖 𝟎 𝟐 ( ) √ 𝟑 ( ) . 𝟏 𝟑 / ̅( ) 𝟏 𝟑 . 𝟐 𝟑 / ̅( ) 𝟏 𝟑 . 𝟐 𝟑 / ̅( ) 𝟏 𝟑 √ 𝟐𝟑 ( ) √ 𝟑 ( 𝟖) √𝟖 𝟑 ( 𝟖) 𝟐 ̅( ) 𝟏 𝟑 √ 𝟐𝟑 ̅( 𝟖) 𝟏 𝟑 √ 𝟖 𝟐𝟑 𝟏 (𝟑) √𝟔𝟒 𝟑 𝟏 (𝟑)(𝟒) 𝟏 𝟏𝟐 ̅( 𝟖) 𝟎 𝟎𝟖𝟑 ( ) ( ) ̅( ) (𝟖 ( 𝟎 𝟐)) ( 𝟖) ( 𝟎 𝟐) ̅( 𝟖) ( 𝟕 𝟖) 𝟐 ( 𝟎 𝟐)( 𝟎 𝟎𝟖𝟑) ( 𝟕 𝟖) 𝟐 𝟎 𝟎𝟏𝟔𝟔 √𝟕 𝟖 𝟑 𝟏 𝟗𝟖𝟑𝟒
  • 159.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 158 ( ) √𝟏𝟕√𝟏𝟕 𝟒 ‫الحل‬/ ‫نفرض‬( 𝟏𝟔)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬( 𝟏𝟕)‫معطى‬ 𝟏𝟕 𝟏𝟔 𝟏 ( ) √ √ 𝟒 ( ) . 𝟏 𝟐 / . 𝟏 𝟒 / ̅( ) 𝟏 𝟐 . 𝟏 𝟐 / 𝟏 𝟒 . 𝟑 𝟒 / ̅( ) 𝟏 𝟐 . 𝟏 𝟐 / 𝟏 𝟒 . 𝟑 𝟒 / ̅( ) 𝟏 𝟐 √ 𝟏 𝟒 √ 𝟑𝟒 ( ) √ √ 𝟒 (𝟏𝟔) √𝟏𝟔 √𝟏𝟔 𝟒 𝟒 𝟐 (𝟏𝟔) 𝟔 ̅( ) 𝟏 𝟐 √ 𝟏 𝟒 √ 𝟑𝟒 ̅(𝟏𝟔) 𝟏 𝟐 √ 𝟏𝟔 𝟏 𝟒 √(𝟏𝟔) 𝟑𝟒 𝟏 (𝟐)(𝟒) 𝟏 (𝟒)(𝟖) ̅( 𝟏𝟔) 𝟏 𝟖 𝟏 𝟑𝟐 𝟒 𝟏 𝟑𝟐 𝟓 𝟑𝟐 ̅( 𝟏𝟔) 𝟎 𝟏𝟓𝟔 ( ) ( ) ̅( ) (𝟏𝟔 𝟏) (𝟏𝟔) (𝟏) ̅(𝟏𝟔) (𝟏𝟕) 𝟔 ( 𝟏)( 𝟎 𝟏𝟓𝟔 ) (𝟏𝟕) 𝟔 𝟎 𝟏𝟓𝟔 √𝟏𝟕 √𝟏𝟕 𝟒 𝟔 𝟏𝟓𝟔 ( ) √𝟎 𝟏𝟐 𝟑 ‫الحل‬/ ‫نفرض‬( 𝟎 𝟏𝟐𝟓)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬( 𝟎 𝟏𝟐)‫معطى‬ 𝟎 𝟏𝟐 𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟓 ( ) √ 𝟑 ( ) . 𝟏 𝟑 / ̅( ) 𝟏 𝟑 . 𝟐 𝟑 / ̅( ) 𝟏 𝟑 . 𝟐 𝟑 / ( ) √ 𝟑 ( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) √ 𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝟑 ( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟎 𝟓 ̅( ) 𝟏 𝟑 . 𝟐 𝟑 / ̅( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 (𝟑)(𝟎 𝟏𝟐𝟓) . 𝟐 𝟑 / 𝟏 (𝟑)((𝟎 𝟓) 𝟑). 𝟐 𝟑 / 𝟏 (𝟑)(𝟎 𝟐𝟓) ̅( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 𝟎 𝟕𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟕𝟓 𝟒 𝟑 ̅( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 𝟑𝟑𝟑 ( ) ( ) ̅( ) ( 𝟎 𝟏𝟐𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓)) ( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓) ̅( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) ( 𝟎 𝟏𝟐) 𝟎 𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓)( 𝟏 𝟑𝟑𝟑) ( 𝟎 𝟏𝟐) 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟔𝟔𝟔𝟓 √𝟎 𝟏𝟐 𝟑 𝟎 𝟒𝟗𝟑𝟑𝟑𝟓
  • 160.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 159 (𝟑 𝟑)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫لٌمة‬ ‫أوجد‬C‫تعٌن‬ً‫الت‬‫مبرهنة‬ ‫ها‬‫رول‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬: ( ) ( ) 𝟑 𝟗 , 𝟑 𝟑- ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟑 𝟑-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟑 𝟑)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ③‫نوجد‬(𝟑) ( 𝟑) (𝟑) (𝟑) 𝟑 𝟗(𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟎 ( 𝟑) ( 𝟑) 𝟑 𝟗( 𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟎 (𝟑) ( 𝟑) ‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎 ( ) 𝟑 𝟗 ̅( ) 𝟑 𝟐 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟗 𝟎 𝟑 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑 √𝟑 ( 𝟑 𝟑) ( ) ( ) 𝟐 𝟐 [ 𝟏 𝟐 𝟐] ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬0 𝟏 𝟐 𝟐1‫الن‬𝟎 0 𝟏 𝟐 𝟐1 ②‫الذالت‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬. 𝟏 𝟐 𝟐/‫الن‬𝟎 0 𝟏 𝟐 𝟐1 ③‫نوجد‬. 𝟏 𝟐 / (𝟐) ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 . 𝟏 𝟐/ 𝟏 𝟒 𝟓 (𝟐) 𝟐(𝟐) 𝟐 (𝟐) 𝟒 𝟏 𝟓 . 𝟏 𝟐 / (𝟐) ‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎 ( ) 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 ( 𝟏 𝟐 𝟐) ‫السالب‬ ‫نهمل‬
  • 161.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 160 ( ) () ( 𝟐 𝟑) 𝟐 , 𝟏 𝟏- ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟏-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟏)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ③‫نوجد‬(𝟏) ( 𝟏) (𝟏) (𝟏 𝟐 𝟑) 𝟐 (𝟏 𝟑) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟒 ( 𝟏) (( 𝟏) 𝟐 𝟑) 𝟐 (𝟏 𝟑) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟒 (𝟏) ( 𝟏) ‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎 ( ) ( 𝟐 𝟑) 𝟐 ̅( ) 𝟐( 𝟐 𝟑)( 𝟐 ) 𝟒 ( 𝟐 𝟑) ̅( ) 𝟒 ( 𝟐 𝟑) 𝟒 ( 𝟐 𝟑) 𝟎 𝟒 𝟎 𝟎 ( 𝟏 𝟏) 𝟐 𝟑 𝟎 𝟐 𝟑 √𝟑 ( 𝟏 𝟏) ‫س‬2/ً‫ا‬‫تمرٌب‬ ‫جد‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: ( )√𝟔𝟑 √𝟔𝟑 𝟑 ‫الحل‬/ ‫نفرض‬𝟔𝟒‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬𝟔𝟑‫معطى‬ 𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏 ( ) √ √ 𝟑 ( ) √ ( ). 𝟏 𝟑 / ̅( ) 𝟏 𝟐 √ 𝟏 𝟑 ( ). 𝟐 𝟑 / 𝟏 𝟐 √ 𝟏 𝟑 √ 𝟐𝟑 ( ) √ √ 𝟑 (𝟔𝟒) √𝟔𝟒 √𝟔𝟒 𝟑 (𝟔𝟒) 𝟖 𝟒 (𝟔𝟒) 𝟏𝟐 ̅( ) 𝟏 𝟐 √ 𝟏 𝟑 √ 𝟐𝟑 ̅(𝟔𝟒) 𝟏 𝟐 √𝟔𝟒 𝟏 𝟑 √(𝟔𝟒) 𝟐𝟑 ̅(𝟔𝟒) 𝟏 (𝟐)(𝟖) 𝟏 (𝟑)(𝟏𝟔) ̅(𝟔𝟒) 𝟏 𝟏𝟔 𝟏 𝟒𝟖 𝟑 𝟏 𝟒𝟖 𝟒 𝟒𝟖 𝟏 𝟏𝟐 ̅(𝟔𝟒) 𝟎 𝟎𝟖𝟑 ( ) ( ) ̅( ) ( 𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) ̅(𝟔𝟒) (𝟔𝟑) 𝟏𝟐 ( 𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟖𝟑) 𝟏𝟐 𝟎 𝟎𝟖𝟑 (√𝟔𝟑 √𝟔𝟑 𝟑 ) 𝟏𝟏 𝟗𝟏𝟕
  • 162.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 161 ( ) (𝟏𝟎𝟒) 𝟑 𝟑(𝟏 𝟎𝟒) 𝟒 ‫الحل‬/ ‫نفرض‬𝟏‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬b= 𝟏 𝟎𝟒‫معطى‬ 𝟏 𝟎𝟒 𝟏 𝟎 𝟎𝟒 ( ) 𝟑 𝟑 𝟒 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑 ( ) 𝟑 𝟑 𝟒 (𝟏) (𝟏) 𝟑 𝟑(𝟏) 𝟒 (𝟏) 𝟒 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑 ̅(𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟏𝟐( 𝟏) 𝟑 ̅(𝟏) 𝟏𝟓 ( ) ( ) ̅( ) ( 𝟏 𝟎 𝟎𝟒) (𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟒) ̅(𝟏) (𝟏 𝟎𝟒) 𝟒 (𝟎 𝟎𝟒) ( 𝟏𝟓) 𝟒 𝟎 𝟔 (𝟏 𝟎𝟒) 𝟒 𝟔 ( ) 𝟏 √𝟗 𝟑 ‫الحل‬/ ‫نفرض‬𝟖‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬𝟗‫معطى‬ 𝟗 𝟖 𝟏 ( ) 𝟏 √ 𝟑 𝟏 . 𝟏 𝟑 / . 𝟏 𝟑 / ̅( ) 𝟏 𝟑 ( ). 𝟒 𝟑 / ( ) . 𝟏 𝟑 / (𝟖) (𝟖). 𝟏 𝟑 / (𝟖) (𝟐 𝟑). 𝟏 𝟑 / (𝟐) 𝟏 𝟏 𝟐 (𝟖) 𝟏 𝟐 ̅( ) 𝟏 𝟑 ( ) ( 𝟒 𝟑 ) ̅(𝟖) 𝟏 𝟑 ( 𝟖) ( 𝟒 𝟑 ) ̅(𝟖) 𝟏 𝟑 . 𝟐 𝟑 / ( 𝟒 𝟑 ) ̅(𝟖) 𝟏 ( 𝟑). 𝟐 𝟒 / ̅(𝟖) 𝟏 ( 𝟑)( 𝟏𝟔) 𝟏 𝟒𝟖 ̅(𝟖) 𝟏 𝟒𝟖 ( ) ( ) ̅( ) ( 𝟖 𝟏) (𝟖) ( 𝟏) ̅(𝟖) (𝟗) 𝟏 𝟐 (𝟏) ( 𝟏 𝟒𝟖 ) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒𝟖 𝟐𝟒 𝟏 𝟒𝟖 𝟐𝟑 𝟒𝟖 (𝟗) 𝟎 𝟒𝟕𝟗
  • 163.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 162 ( ) 𝟏 𝟏𝟎𝟏 ‫الحل‬/ ‫نفرض‬𝟏𝟎𝟎‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬𝟏𝟎𝟏‫معطى‬ 𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏 ( ) 𝟏 𝟏 ̅( ) 𝟏 ( ) 𝟐 ( ) 𝟏 (𝟏𝟎𝟎) (𝟏𝟎𝟎) 𝟏 𝟏 𝟏𝟎𝟎 (𝟏𝟎𝟎) 𝟎 𝟎𝟏 ̅( ) 𝟏 ( ) 𝟐 ̅(𝟏𝟎𝟎) 𝟏 (𝟏𝟎𝟎) 𝟐 ̅(𝟏𝟎𝟎) 𝟏 (𝟏𝟎𝟎) 𝟐 ̅(𝟏𝟎𝟎) 𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ̅(𝟏𝟎𝟎) 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏 ( ) ( ) ̅( ) (𝟏𝟎𝟎 𝟏) (𝟏𝟎𝟎) (𝟏) ̅(𝟏𝟎𝟎) (𝟏𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟏 (𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏 (𝟏𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟎𝟗𝟗 ( ) √ 𝟏 𝟐 𝟐 ‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟐 ‫وزاري‬ 𝟐 ‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟒 ‫وزاري‬ ‫الحل‬/ ‫نفرض‬𝟎 𝟒𝟗‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬𝟎 𝟓𝟎‫معطى‬ 𝟎 𝟓𝟎 𝟎 𝟒𝟗 𝟎 𝟎𝟏 ( ) √ ̅( ) 𝟏 𝟐√ ( ) √ (𝟎 𝟒𝟗) √𝟎 𝟒𝟗 (𝟎 𝟒𝟗) 𝟎 𝟕 ̅( ) 𝟏 𝟐√ ̅(𝟎 𝟒𝟗) 𝟏 𝟐√𝟎 𝟒𝟗 𝟏 (𝟐)(𝟎 𝟕) 𝟏 𝟏 𝟒 ̅(𝟎 𝟒𝟗) 𝟎 𝟕𝟏𝟒 ( ) ( ) ̅( ) (𝟎 𝟒𝟗 𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟒𝟗) (𝟎 𝟎𝟏) ̅(𝟎 𝟒𝟗) (𝟎 𝟓) 𝟎 𝟕 (𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟕𝟏𝟒) 𝟎 𝟕 𝟎 𝟎𝟎𝟕𝟏𝟒 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟎 𝟕𝟎𝟕𝟏𝟒
  • 164.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 163 ‫س‬3/‫كرة‬‫لطرها‬ ‫نص‬(𝟔 )‫سمكه‬‫بطالء‬ ‫طلٌت‬(𝟎 𝟏 )‫تمرٌبٌـة‬ ‫بصـورة‬ ‫الطـالء‬ ‫كمٌـة‬ ‫جـد‬‫بأسـتخدام‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫ز‬‫وزاري‬2014/‫د‬1 ‫الحل‬/‫الطالء‬ ‫مع‬ ‫الكرة‬ ‫حجم‬ = ‫الطالء‬ ‫كمٌة‬ ‫حجم‬–‫الكرة‬ ‫حجم‬ ‫نفرض‬𝟔‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫ونفرض‬𝟔 𝟏‫ز‬ ‫الطالء‬ ‫كمٌة‬ ‫له‬ ً‫ا‬‫مضاف‬ ‫للكرة‬ ‫المطر‬ ‫نص‬ ‫وٌمثل‬ 𝟔 𝟏 𝟔 𝟎 𝟏 𝟒 𝟑 𝟑 ̅ 𝟒 𝟑 (𝟑 𝟐) 𝟒 𝟐 ̅( ) 𝟒 𝟐 ̅(𝟔) 𝟒 (𝟔) 𝟐 ̅(𝟔) 𝟏𝟒𝟒 ̅( ) ̅(𝟔) (𝟎 𝟏) (𝟏𝟒𝟒 ) 𝟏𝟒 𝟒 𝟑 (‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫كمٌة‬ ) ‫س‬4/‫كرة‬‫حجمها‬(𝟖𝟒 𝟑)‫جد‬‫لطرها‬ ‫نص‬‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬‫ز‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬ ‫الحل‬/ ‫الحجم‬ ‫نفرض‬ ‫المطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬ 𝟒 𝟑 𝟑 𝟖𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟑 (𝟑)(𝟖𝟒 ) 𝟒 ( )(𝟐𝟏) 𝟔𝟑 √𝟔𝟑 𝟑 ‫نفرض‬𝟔𝟒‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬𝟔𝟑‫معطى‬ 𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏 ( ) √ 𝟑 . 𝟏 𝟑 / ̅( ) 𝟏 𝟑 ( ). 𝟐 𝟑 / ( ) . 𝟏 𝟑 / (𝟔𝟒) (𝟔𝟒). 𝟏 𝟑 / (𝟒 𝟑). 𝟏 𝟑 / (𝟔𝟒) 𝟒 ̅( ) 𝟏 𝟑 ( ). 𝟐 𝟑 / ̅(𝟔𝟒) 𝟏 𝟑 (𝟔𝟒). 𝟐 𝟑 / ̅(𝟔𝟒) 𝟏 𝟑 (𝟒 𝟑). 𝟐 𝟑 / 𝟏 𝟑 (𝟒)( 𝟐) ̅( 𝟔𝟒) 𝟏 (𝟑)(𝟒 𝟐) 𝟏 (𝟑)(𝟏𝟔) ̅( 𝟔𝟒) 𝟎 𝟎𝟐 ( ) ( ) ̅( ) ( 𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) ̅(𝟔𝟒) (𝟔𝟑) 𝟒 ( 𝟏) (𝟎 𝟎𝟐) 𝟒 𝟎 𝟎𝟐 (𝟔𝟑) 𝟑 𝟗𝟖
  • 165.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 164 ‫س‬5/‫فأذا‬ ‫الماعدة‬ ‫لطر‬‫طول‬ ‫ٌساوي‬ ‫أرتفاعه‬ ‫لائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬‫ٌساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫كان‬(𝟐 𝟗𝟖 )‫حجمـه‬ ‫فجـد‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬‫ز‬ ‫نتٌجتها‬ ‫أو‬ ‫الحل‬/ ‫األرتفاع‬ ‫نفرض‬ ‫المطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬ 𝟑 𝟐 ( 𝟐 𝟏 𝟐 ) 𝟑 ( 𝟐 ) 𝟐 𝟏𝟐 𝟑 ‫نفرض‬𝟑‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬𝟐 𝟗𝟖‫معطى‬ 𝟐 𝟗𝟖 𝟑 𝟎 𝟎𝟐 𝟏𝟐 𝟑 ̅ 𝟏𝟐 (𝟑 𝟐) 𝟒 𝟐 ( ) 𝟏𝟐 𝟑 (𝟑) 𝟏𝟐 (𝟑) 𝟑 𝟐𝟕 𝟏𝟐 𝟗 𝟒 (𝟑) 𝟐 𝟐𝟓 ̅( ) 𝟏 𝟒 𝟐 ̅(𝟑) 𝟏 𝟒 (𝟑) 𝟐 ̅(𝟑) 𝟗 𝟒 ̅(𝟑) 𝟐 𝟐𝟓 ( ) ( ) ̅( ) ( 𝟑 ( 𝟎 𝟎𝟐)) ( 𝟑) ( 𝟎 𝟎𝟐) ̅(𝟑) ( 𝟐 𝟗𝟖) 𝟐 𝟐𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟐) (𝟐 𝟐𝟓 ) 𝟐 𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟒𝟓 ( 𝟐 𝟗𝟖) 𝟐 𝟐𝟎𝟓 𝟑 ‫س‬6/‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫ازاء‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫دالة‬ ‫كل‬ ‫أن‬ ‫بٌن‬C ( ) ( ) ( 𝟏) 𝟒 , 𝟏 𝟑- 𝟐‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬ ‫الحل‬/ ①‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬, 𝟏 𝟑-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ②‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫الدالة‬( 𝟏 𝟑)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ③‫نوجد‬(𝟑) ( 𝟏) ( 𝟏) ( 𝟏 𝟏) 𝟒 ( 𝟐) 𝟒 𝟏𝟔 (𝟑) (𝟑 𝟏) 𝟒 (𝟐) 𝟒 𝟏𝟔 ( 𝟏) (𝟑) ‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎 ( ) ( 𝟏) 𝟒 ̅( ) 𝟒( 𝟏) 𝟑 ̅( ) 𝟒( 𝟏) 𝟑 𝟒( 𝟏) 𝟑 𝟎 ( 𝟏) 𝟑 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ( 𝟏 𝟑)
  • 166.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 165 ( ) () 𝟑 , 𝟏 𝟏- ‫د‬ ⁄ ‫وزاري‬ ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟏-‫النها‬‫كثٌرة‬‫ال‬‫حدود‬ ②‫الذالت‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟏)‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ③‫نوجد‬( 𝟏) (𝟏) ( ) ( 𝟏) 𝟑 ( 𝟏) ( ) ( 𝟏) 𝟑 ( 𝟏) ( 𝟏) (𝟏) ‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎 ( ) 𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟑 ( 𝟏 𝟏) ( ) ( ) 𝟐 𝟑 , 𝟏 𝟒- ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟒-‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟒)‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ③‫نوجد‬( 𝟏) (𝟒) ( 𝟏) ( 𝟏) 𝟐 𝟑( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟒 (𝟒) (𝟒) 𝟐 𝟑(𝟒) 𝟏𝟔 𝟏𝟐 𝟒 ( 𝟏) (𝟒) ‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎 ( ) 𝟐 𝟑 ̅( ) 𝟐 𝟑 ̅( ) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟎 𝟐 𝟑 𝟐 ( 𝟏 𝟒)
  • 167.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 166 ( ) () ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) , 𝟎 𝟐 - ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟐 - ②‫الدالة‬‫لاب‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لة‬(𝟎 𝟐 ) ③‫نوجد‬(𝟎) (𝟐 ) (𝟎) ( 𝟎) 𝟐 (𝟎) 𝟏 𝟐(𝟏) 𝟑 (𝟐 ) ( 𝟒 ) 𝟐 (𝟐 ) 𝟏 𝟐(𝟏) 𝟑 (𝟎) (𝟐 ) ‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎 ( ) ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) ̅( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) ̅( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) ( 𝟐 ) ( ) 𝟎 𝟐 ( ) ( ) ( ) 𝟎 ( ),𝟐 ( ) 𝟏- 𝟎 ( ) 𝟎 𝟎 𝟐 𝟑 ( 𝟎 𝟐 ) 𝟐 ( ) 𝟏 ( ) (‫الثالث‬ ‫و‬ ً‫الثان‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬ ‫ٌمع‬ ‫السالب‬ ) 𝟑 𝟐 𝟑 ( 𝟎 𝟐 ) ً‫الثان‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬ 𝟑 𝟒 𝟑 ( 𝟎 𝟐 ) ‫الثالث‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬ ‫س‬7/‫السـبب‬ ‫ذكـر‬ ‫مـع‬ ‫ازاءهـا‬ ‫المعطـاة‬ ‫الفتـرة‬ ‫على‬ ‫األتٌة‬ ‫للدوال‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تطبٌك‬ ‫أمكانٌة‬ ‫أختبر‬. ‫لٌم‬ ‫جد‬ ‫المبرهنة‬ ‫تحممت‬ ‫وأن‬C‫الممكنة‬ ( ) ( ) 𝟑 𝟏 , 𝟏 𝟐- ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟐-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟐)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬ ‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬ ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟏 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ ) ̅( ) ( ) ( ) (𝟐) ( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟓 ( 𝟏) 𝟑 𝟔 𝟑 .‫الوتر‬ ‫مٌل‬ / ∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬ 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 ( 𝟏 𝟐) ( 𝟏 𝟐)
  • 168.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 167 ( ) () 𝟐 𝟒 𝟓 , 𝟏 𝟓- ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟓-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟓)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬ ‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬ ̅( ) 𝟐 𝟒 ̅( ) 𝟐 𝟒 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ ) ̅( ) ( ) ( ) ( 𝟓) ( 𝟏) 𝟓 ( 𝟏) 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟓 𝟏 𝟎 𝟔 𝟎 (‫الوتر‬ ‫مٌل‬ ) ∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬ 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 ( 𝟏 𝟓) ( ) ( ) 𝟒 𝟐 , 𝟏 𝟐- ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟐-‫ألن‬𝟐 , 𝟏 𝟐- ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟐)‫ألن‬𝟐 ( 𝟏 𝟐) ‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬ ‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬ ̅( ) 𝟒 ( 𝟐) 𝟐 ̅( ) 𝟒 ( 𝟐) 𝟐 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ ) ̅( ) ( ) ( ) ( 𝟐) ( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟏 𝟒 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏 (‫الوتر‬ ‫مٌل‬ ) ∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬ 𝟒 ( 𝟐) 𝟐 𝟏 ( 𝟐) 𝟐 𝟒 . ‫الطرفٌن‬ ‫جذر‬/ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟏 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟒 ( 𝟏 𝟐)
  • 169.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 168 ( ) () √( 𝟏) 𝟐𝟑 , 𝟐 𝟕- ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟕- ②‫غٌر‬ ‫الدالة‬‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬‫عند‬( 𝟏)‫ألن‬𝟏 ( 𝟐 𝟕) ∴‫ألن‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫نظرٌة‬ ‫تطبٌك‬ ‫ٌمكن‬ ‫ال‬‫غٌر‬ ‫الدالة‬‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬‫عند‬( 𝟏) ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫للدالة‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تطبٌك‬ ‫أمكانٌة‬ ‫أختبر‬‫السـبب‬ ‫ذكـر‬ ‫مـع‬ ‫ازاءهـا‬ ‫المعطـاة‬ ‫الفتـرة‬ ‫علـى‬ ‫األتٌـة‬. ‫لٌم‬ ‫جد‬ ‫المبرهنة‬ ‫تحممت‬ ‫وأن‬C‫الممكنة‬ ( ) 𝟑 𝟐 𝟏 , 𝟏 𝟑- ‫الحل‬/ ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟑-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟑)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬ ‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬ ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ ) ̅( ) ( ) ( ) (𝟑) ( 𝟏) 𝟑 ( 𝟏) 𝟏𝟔 𝟎 𝟒 𝟏𝟔 𝟒 .‫الوتر‬ ‫مٌل‬ / ∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐 𝟓 𝟎 (𝟑 𝟓)( 𝟏) 𝟎 ‫أما‬ 𝟑 𝟓 𝟎 𝟑 𝟓 𝟓 𝟑 ( 𝟏 𝟐) ‫أو‬ 𝟏 𝟎 𝟏 ( 𝟏 𝟐)
  • 170.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 169 ‫مثال‬/: ‫نتٌجتها‬ ‫أو‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ً‫ا‬‫تمرٌب‬ ‫جد‬ (𝟏) √𝟖𝟐 𝟒 ‫الحل‬/ ‫نفرض‬( 𝟖𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬( 𝟖𝟐)‫معطى‬ 𝟖𝟐 𝟖𝟏 𝟏 ( ) √ 𝟒 ( ) . 𝟏 𝟒 / ̅( ) 𝟏 𝟒 . 𝟑 𝟒 / ( ) √ 𝟒 (𝟖𝟏) √𝟖𝟏 𝟒 (𝟖𝟏) 𝟑 ̅( ) 𝟏 𝟒 . 𝟑 𝟒 / ̅(𝟖𝟏) 𝟏 𝟒 (𝟖𝟏). 𝟑 𝟒 / ̅(𝟖𝟏) 𝟏 𝟒 (𝟑 𝟒). 𝟑 𝟒 / ̅(𝟖𝟏) 𝟏 𝟒 (𝟑)( 𝟑) 𝟏 𝟒 𝟏 (𝟑) 𝟑 𝟏 𝟏𝟎𝟖 ̅(𝟖𝟏) 𝟎 𝟎𝟎𝟗 ( ) ( ) ̅( ) (𝟖𝟐) 𝟑 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟎𝟗) 𝟑 𝟎 𝟎𝟎𝟗 (𝟖𝟐) 𝟑 𝟎𝟎𝟗 (𝟐) √𝟎 𝟏𝟐𝟔 𝟑 ‫الحل‬/ ‫نفرض‬( 𝟎 𝟏𝟐𝟓)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬( 𝟎 𝟏𝟐𝟔)‫معطى‬ 𝟎𝟏𝟐𝟔 𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟏 ( ) √ 𝟑 ( ) . 𝟏 𝟑 / ̅( ) 𝟏 𝟑 . 𝟐 𝟑 / ( ) √ 𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) √𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟎 𝟓 ̅( ) 𝟏 𝟑 . 𝟐 𝟑 / ̅(𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) . 𝟐 𝟑 / ̅(𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 𝟑 ((𝟎 𝟓) 𝟑). 𝟐 𝟑 / ̅(𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 𝟑 (𝟎 𝟓)( 𝟐) 𝟏 𝟑 𝟏 (𝟎 𝟓) 𝟐 𝟏 𝟎 𝟕𝟓 ̅(𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑 ( ) ( ) ̅( ) (𝟎 𝟏𝟐𝟔) 𝟎 𝟓 (𝟎 𝟎𝟎𝟏) (𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑) 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟔) 𝟎 𝟓𝟎𝟏𝟑𝟑
  • 171.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 170 (𝟑) √ 𝟑𝟏 𝟓 ‫الحل‬/ ‫نفرض‬(𝟑𝟐)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬( 𝟑𝟏)‫معطى‬ 𝟑𝟏 ( 𝟑𝟐) 𝟏 ( ) √ 𝟓 ( ) . 𝟏 𝟓 / ̅( ) 𝟏 𝟓 . 𝟒 𝟓 / ( ) √ 𝟓 ( 𝟑𝟐) √ 𝟑𝟐 𝟓 ( 𝟑𝟐) 𝟐 ̅( ) 𝟏 𝟓 . 𝟒 𝟓 / ̅( 𝟑𝟐) 𝟏 𝟓 ( 𝟑𝟐) . 𝟒 𝟓 / ̅( 𝟑𝟐) 𝟏 𝟓 (( 𝟐) 𝟓 ) . 𝟒 𝟓 / ̅( 𝟑𝟐) 𝟏 𝟓 ( 𝟐)( 𝟒) 𝟏 𝟓 𝟏 (𝟐) 𝟒 𝟏 𝟖𝟎 ̅( 𝟑𝟐) 𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓 ( ) ( ) ̅( ) ( 𝟑𝟏) 𝟐 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓 ( 𝟑𝟏) 𝟏 𝟗𝟖𝟕𝟓 ‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟑 𝟐 ‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫جد‬(𝟏 𝟎𝟎𝟏)‫عشرٌة‬ ‫مراتب‬ ‫ولثالث‬ ‫الحل‬/ ‫نفرض‬( 𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬( 𝟎 𝟎𝟎𝟏)‫معطى‬ 𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏 ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟔 ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 (𝟏) (𝟏) 𝟑 𝟑(𝟏) 𝟐 (𝟏) 𝟒 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟔 ̅(𝟏) 𝟑(𝟏) 𝟐 𝟔(𝟏) ̅(𝟏) 𝟗 ( ) ( ) ̅( ) (𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟒 (𝟎 𝟎𝟎𝟏) (𝟗) 𝟒 𝟎 𝟎𝟎𝟗 (𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟒 𝟎𝟎𝟗 ‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) √ 𝟑 𝟏‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫جد‬(𝟎 𝟗𝟗) ‫الحل‬/ ‫نفرض‬( 𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬( 𝟎 𝟗𝟗)‫معطى‬ 𝟎 𝟗𝟗 𝟏 𝟎 𝟎𝟏 ( ) √𝟑 𝟏 ( ) (𝟑 𝟏) . 𝟏 𝟐 / ̅( ) 𝟑 𝟐 √ 𝟑 𝟏 ( ) √𝟑 𝟏 (𝟏) √𝟑(𝟏) 𝟏 (𝟏) 𝟐 ̅( ) 𝟑 𝟐 √ 𝟑 𝟏 ̅(𝟏) 𝟑 𝟐 √𝟑(𝟏) 𝟏 ̅(𝟏) 𝟑 𝟒 ̅(𝟏) 𝟎 𝟕𝟓 ( ) ( ) ̅( ) (𝟎 𝟗𝟗) 𝟐 ( 𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟕𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟕𝟓 (𝟎 𝟗𝟗) 𝟏 𝟗𝟗𝟐𝟓
  • 172.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 171 ‫مثال‬/‫بأستخدام‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫مساحته‬‫مربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫جد‬(𝟓𝟎 𝟐) ‫الحل‬/ ∵= ‫المربع‬ ‫مساحة‬‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫مربع‬ ‫نفرض‬( 𝟒𝟗)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬( 𝟓𝟎)‫معطى‬ 𝟓𝟎 𝟒𝟗 𝟏 𝟐 𝟓𝟎 𝟐 √𝟓𝟎 ( ) √ ̅( ) 𝟏 𝟐 √ ( ) √ (𝟒𝟗) √𝟒𝟗 (𝟒𝟗) 𝟕 ̅( ) 𝟏 𝟐 √ ̅(𝟒𝟗) 𝟏 𝟐 √𝟒𝟗 ̅(𝟒𝟗) 𝟏 𝟏𝟒 ̅(𝟒𝟗) 𝟎 𝟎𝟕𝟏 ( ) ( ) ̅( ) (𝟓𝟎) 𝟕 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟕𝟏) 𝟕 𝟎 𝟎𝟕𝟏 (𝟓𝟎) 𝟕 𝟎𝟕𝟏 ****************************************************************** ‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫جد‬‫بأستخدام‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫مما‬ ‫كل‬ً‫ٌأت‬: ( ) √𝟐𝟕 𝟏𝟒 𝟑 ( ) √𝟏𝟓 𝟖𝟖 ( ) √𝟑𝟏 𝟐𝟖 𝟓 ( ) √𝟖𝟎 𝟒 ( ) (𝟖 𝟏𝟐) 𝟐 𝟑 (𝟖 𝟏𝟐) 𝟓 𝟑( ) √ 𝟗 𝟏𝟐 𝟑
  • 173.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 172 ‫الدالة‬ ‫دراســـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــة‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬:‫الدا‬ً‫لمنحن‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬ ‫النمطة‬ ً‫ه‬‫ل‬‫عندها‬ ‫ٌكون‬ ً‫والت‬ ‫ة‬̅( ) 𝟎‫تكون‬ ‫أو‬‫ز‬ ‫معرفة‬ ‫غٌر‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ‫اٌجاد‬ ‫كٌفٌة‬ ‫األولى‬ ‫الحالة‬:‫نجد‬̅( )‫نجعل‬ ‫ثم‬̅( ) 𝟎‫لٌم‬ ‫ونجد‬ ‫المتكونة‬ ‫المعادلة‬ ‫نحل‬ ‫ثم‬(X)‫ولتكن‬(X1 ,X2 , X3 ,….)‫ثـم‬ ‫لٌم‬ ‫نعوض‬(X)‫لٌم‬ ‫ونجد‬ ‫األصلٌة‬ ‫الدالة‬ ً‫ف‬(Y)‫فتكون‬ ‫لها‬ ‫الممابلة‬(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),…‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ً‫ه‬ ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ‫جد‬: ( ) ( ) 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ( ̅( ) 𝟎) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟎 𝟏 (𝟏) 𝟏 𝟐 𝟑 (𝟏 𝟑)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ ( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟔 ̅( ) 𝟔 𝟔 (̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬ 𝟔 𝟔 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 (𝟏) 𝟑(𝟏) 𝟐 𝟔(𝟏) 𝟑 (𝟏 𝟑)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ ( ) ( ) 𝟑 ( ) 𝟑 𝟏 ̅( ) 𝟑 𝟐 ̅( ) 𝟑 𝟐 ( ̅( ) 𝟎) 𝟑 𝟐 𝟎 𝟑 𝟎 ( ‫ممكن‬ ‫)غٌر‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫التوجد‬ ( ) ( ) 𝟐 𝟑 ̅( ) 𝟐 (̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬ 𝟐 𝟎 ( ‫ممكن‬ ‫)غٌر‬ ̅( ) 𝟎 ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫التوجد‬ ( ) ( ) (𝟐 𝟏) 𝟑 𝟔 ̅( ) 𝟑(𝟐 𝟏) 𝟐(𝟐) 𝟔 ̅( ) 𝟔(𝟐 𝟏) 𝟐 𝟔 𝟔(𝟐 𝟏) 𝟐 𝟔 𝟎 ( 𝟔 ) (𝟐 𝟏) 𝟐 𝟏 𝟎 𝟒 𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟎 𝟒 𝟐 𝟒 𝟎 ( 𝟒 ) 𝟐 𝟎 ( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟓 (𝟏 𝟓)(𝟎 𝟏)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗 𝟓 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 (̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬ 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 𝟎 ( 𝟑 ) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏 (𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟓 𝟐𝟐 ( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟗 𝟓 𝟏𝟎 ( 𝟏 𝟏𝟎) (𝟑 𝟐𝟐)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ( ) ( ) 𝟑 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 ̅( ) (𝟏 𝟐 )(𝟑) (𝟑 𝟏)( 𝟐) (𝟏 𝟐 ) 𝟐 ̅( ) 𝟑 𝟔 𝟔 𝟐 (𝟏 𝟐 ) 𝟐 ̅( ) 𝟏 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 (̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬ 𝟏 (𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟎 𝟎 ( ‫ممكن‬ ‫)غٌر‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫التوجد‬ ( ) ( ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟒 𝟑 𝟒 (̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬ 𝟒 𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟒 ) 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 (𝟎 𝟏) (𝟏 𝟎)( 𝟏 𝟎)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬
  • 174.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 173 :‫الثانٌة‬ ‫الحالة‬‫المعطاة‬ ‫الدالة‬ً‫ف‬ ‫الثوابت‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫ذلن‬ ‫من‬ ‫ٌستفاد‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫أعطٌت‬ ‫اذا‬ ‫مثال‬ً‫توضٌح‬①/‫لتكن‬( ) 𝟑 𝟐 𝟓ً‫هـ‬ ‫حرجـة‬ ‫نمطـة‬ ‫للدالـة‬ ‫وكانت‬( 𝟏 𝟏𝟎)‫فجـد‬ ‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫الحل‬/ (-1,10)ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬𝟏𝟎 𝟏 𝟓𝟔( ‫معادلة‬① ) ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟐̅( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟐.②‫معادلة‬ 𝟑 𝟐 𝟎/ : ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ‫المعادلتٌن‬ ‫وبحل‬𝟑 𝟗 ‫مثال‬ً‫توضٌح‬②/‫لتكن‬( ) 𝟐 ً‫ه‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ‫وكانت‬(1,3)‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬ ‫الحل‬/ (𝟏 𝟑)ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬( ‫معادلة‬① 𝟑) ( ) 𝟐 𝟏̅( ) 𝟐 𝟐̅(𝟏) 𝟐 (𝟏) (𝟏) 𝟐 𝟐 𝟎.②‫معادلة‬ / : ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ‫المعادلتٌن‬ ‫وبحل‬𝟏 𝟐 ‫المشتمة‬ ‫بأستخدام‬ ‫للدالة‬ ‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫أختبار‬‫األولى‬ ‫لتكن‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫الفتر‬ ً‫ف‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬‫المفتوحة‬ ‫ة‬(𝑎 𝑏)‫كانت‬ ‫فأذا‬: ( ) ̅( ) 𝟎 ‫متزاٌدة‬① ② ( ) ̅( ) 𝟎 ‫متنالصة‬ ‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬ ‫أٌجاد‬ ‫طرٌمة‬ o‫لٌم‬ ‫نجد‬( )‫المشتمة‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬‫االولى‬‫سابما‬ ‫تعلمنا‬ ‫كما‬ ‫موجودة‬ ‫غٌر‬ ‫أو‬ ‫للصفر‬ ‫مساوٌة‬‫ز‬ o‫كانت‬ ‫فأذا‬ ‫األعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫المٌم‬ ‫نختبر‬ ( ‫متزاٌدة‬ ‫الدالة‬ ̅( ) ) ( ‫متنالصة‬ ‫الدالة‬ ̅( ) )
  • 175.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 174 ( ‫مثال‬1/)‫لتكن‬( )𝟐 ‫مناطك‬ ‫جد‬ ‫ز‬‫ا‬‫والتنالص‬ ‫لتزاٌد‬ ‫الحل‬/ ̅( ) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / ̅( ) * + ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ̅( ) * + ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( ‫مثال‬2/): ‫األتٌتٌن‬ ‫الدالتٌن‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬ ‫جد‬ ( ) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 𝟑 ‫الحل‬/ ̅( ) 𝟗 𝟔 𝟑 𝟐 . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / 𝟗 𝟔 𝟑 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏 ‫نختبر‬‫على‬‫خ‬‫األعداد‬ ‫ط‬‫إشارة‬‫للعددٌن‬ ‫مجاورة‬ ‫بمٌم‬ ‫بالتعوٌض‬ ‫األولى‬ ‫المشتمة‬𝟏 𝟑 * 𝟏+ * 𝟑+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( 𝟏 𝟑) ‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( ) ( ) √ 𝟐𝟑 /‫الحل‬ ( ) ( ) 𝟐 𝟑 ̅( ) 𝟐 𝟑 ( ) 𝟏 𝟑 ̅( ) 𝟐 𝟑 √ 𝟑 ̅( )‫غٌر‬‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫معرفة‬( 𝟎)‫ان‬ ‫أي‬( 𝟎)‫حرج‬ ‫عدد‬ ‫على‬ ‫نختبر‬‫خ‬‫األعداد‬ ‫ط‬‫إشارة‬‫للع‬ ‫مجاورة‬ ‫بمٌم‬ ‫بالتعوٌض‬ ‫األولى‬ ‫المشتمة‬‫دد‬𝟎 * 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ * 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬
  • 176.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 175 ‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫والنهاٌة‬‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬ ‫ـتكن‬‫ـ‬‫ل‬‫ـرة‬‫ـ‬‫الفت‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ــتمرة‬‫ـ‬‫مســــــــ‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫دال‬, -‫ـد‬‫ـ‬‫عن‬ ‫ـتماق‬‫ـ‬‫لألش‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫ولابل‬( )‫ــرة‬‫ـ‬‫الفتــ‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫ال‬ ً‫ــ‬‫ـ‬‫تنتمـــ‬ ً‫ـ‬‫ـ‬‫الت‬ ‫المفتوحة‬( )‫كانت‬ ‫فأذا‬: ( ) ̅( ) 𝟎 ( ) ̅( ) 𝟎 ( ) ̅( ) 𝟎 ( ) ̅( ) 𝟎 ( ) ̅( ) 𝟎 ( ) ̅( ) 𝟎 ‫مالحظة‬ ‫النمطة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬( ) ( ) ‫فمط‬ ‫حرجة‬ ( ) ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ( ) ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ( ‫مثال‬3/)‫للدالة‬ ‫المحلٌة‬ ‫والصررى‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌات‬ ‫نمط‬ ‫جد‬f: ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬ ‫وجودها‬ ‫حالة‬ ً‫ف‬ ( ) ( ) 𝟑 𝟗 𝟐 𝟐𝟒( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐) 𝟐( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐) 𝟐 ( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐) 𝟐 /‫الحل‬ ̅( ) ( 𝟐) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / 𝟐( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 ( 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟏 * + ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ * + ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬ (𝟐 𝟏) (𝟐 (𝟐)) ‫النمطة‬
  • 177.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 176 ( ) () 𝟏 ( 𝟐) 𝟐 /‫الحل‬ ̅( ) ( 𝟐) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / 𝟐( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 ( 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟏 * 𝟐+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ * + ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬‫عظمى‬‫محلٌة‬ (𝟐 𝟏) (𝟐 (𝟐)) ‫النمطة‬ ( ) ( ) 𝟑 𝟗 𝟐 𝟐𝟒 /‫الحل‬ ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟖 𝟐𝟒 . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / 𝟑 𝟐 𝟏𝟖 𝟐𝟒 𝟎 ( 𝟑) ⇒ 𝟐 𝟔 𝟖 𝟎 ( 𝟒)( 𝟐) 𝟎 𝟒 𝟐 ( 𝟐) ( 𝟐) 𝟑 𝟗( 𝟐) 𝟐 𝟐𝟒( 𝟐) 𝟖 𝟑𝟔 𝟒𝟖 𝟐𝟎 ( 𝟒) ( 𝟒) 𝟑 𝟗( 𝟒) 𝟐 𝟐𝟒( 𝟒) 𝟔𝟒 𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟔 ( ) ‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ * + * + ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬‫عظمى‬‫محلٌة‬ (𝟐 𝟐𝟎) (𝟐 (𝟐)) ‫النمطة‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬‫صرر‬‫ى‬‫محلٌة‬ (𝟒 𝟏𝟔) (𝟒 (𝟒)) ‫النمطة‬ ‫األنمالب‬ ‫ونمط‬ ‫المنحنٌات‬ ‫وتحدب‬ ‫تمعر‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬f‫دال‬‫ـــــ‬‫المفتوح‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫ة‬‫ـــ‬‫ة‬( )‫الدال‬ ‫عن‬ ‫فٌمال‬‫ـــــ‬‫ة‬‫محدب‬ ‫بأنهـا‬‫ـــــ‬‫كانـت‬ ‫أذا‬ ‫ة‬ ̅‫متنالصة‬̅‫الفترة‬ ‫تلن‬ ‫خالل‬ ‫متزاٌدة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫ممعرة‬ ‫وتسمى‬ ‫الفترة‬ ‫تلن‬ ‫خالل‬‫ز‬ ‫مالحظة‬ ‫ك‬ ‫أذا‬‫ـــــ‬‫انت‬f‫م‬‫ـــــ‬‫ف‬ ‫عرفة‬‫ـــــ‬ً, -( )‫فأنه‬‫ــ‬‫ا‬: ‫مش‬ ‫ولها‬‫ــــــ‬‫ومش‬ ‫أولى‬ ‫تمة‬‫ـــــ‬‫ث‬ ‫تمة‬‫ـــــ‬‫انٌة‬‫على‬ ‫تكون‬‫ممع‬‫ـ‬‫رة‬‫على‬( ): ً‫األت‬ ‫الشرط‬ ‫حممت‬ ‫أذا‬( ) ̅( ) 𝟎 ‫تكون‬‫محدبة‬‫على‬( ): ً‫األت‬ ‫الشرط‬ ‫حممت‬ ‫أذا‬( ) ̅( ) 𝟎
  • 178.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 177 ( ‫مثال‬1/): ‫الدالتٌن‬‫من‬ ‫كل‬ ‫وتحدب‬ ‫تمعر‬ ‫أدرس‬ ( ) ( ) 𝟑( ) ( ) 𝟐 ( ) ( ) 𝟐 /‫الحل‬ ̅( ) ̅̅( ) ̅̅( ) ( ‫على‬ ‫ممعرة‬ ‫الدالة‬ ) /‫الحل‬( ) ( ) 𝟑 ̅( ) 𝟐 ̅̅( ) ‫نجعل‬̅̅( )‫أل‬‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫ٌجاد‬ 𝟔 𝟎 𝟎 ( 𝟎) 𝟎 * + ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ * + ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ‫النمطة‬(𝟎 𝟎) (𝟎 (𝟎))‫تسمى‬‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ : ‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫ل‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬ ‫النمطة‬ ً‫ه‬‫الدال‬ ً‫منحن‬‫ــــ‬ً‫المنحن‬ ‫ٌنملب‬ ‫عندها‬ ً‫والت‬ ‫ة‬‫بـالعكس‬ ‫أو‬ ‫التمعـر‬ ‫حالـة‬ ‫الـى‬ ‫التحـدب‬ ‫حالـة‬ ‫مـن‬ )‫أخر‬ ‫بأسلوب‬ ‫(أو‬‫النمطة‬( )‫النمطـة‬ ‫كانـت‬ ‫أذا‬ ‫أنمـالب‬ ‫نمطة‬ ً‫ه‬( )‫والمشـتمة‬ ‫الدالـة‬ ً‫لمنحنـ‬ ً‫تنتمـ‬ ‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬ ‫الثانٌة‬( ( ) )
  • 179.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 178 ‫األنمالب‬ ‫نمط‬ ‫اٌجاد‬‫كٌفٌة‬ ‫األولى‬ ‫الحالة‬:‫نجد‬̅( )‫وم‬‫ــ‬‫ث‬ ‫ن‬‫ـــ‬‫نجـد‬ ‫م‬ ̅( )‫ثـم‬‫نجع‬‫ـــ‬‫ل‬ ̅( ) 𝟎‫نح‬ ‫ثـم‬‫ـــ‬‫المعادل‬ ‫ل‬‫ــــ‬‫ل‬ ‫ونجـد‬ ‫المتكونـة‬ ‫ة‬‫ــ‬‫ـــ‬‫ـــ‬‫ٌم‬ (X)‫ولـتكن‬( X1 ,X2 , X3,.. )‫ث‬‫ـــــــ‬‫ن‬ ‫م‬‫ــــــ‬‫لـٌم‬ ‫عوض‬(X)ٌ‫األصل‬ ‫الدالـة‬ ً‫فـ‬‫ـــــــــ‬‫ل‬ ‫ونجـد‬ ‫ة‬‫ـــــــ‬‫ٌم‬(Y)‫الممابل‬‫ـــــ‬‫له‬ ‫ة‬‫ــــــــــــ‬‫ا‬ ‫فتكون‬(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),…‫االنمالب‬ ‫نمط‬ ً‫ه‬ ‫حول‬ ‫مالحظات‬: ‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫أٌجاد‬ ‫طرٌمة‬ ‫لٌم‬ ‫نجد‬( )‫للصفر‬ ‫مساوٌة‬ ‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬‫لٌم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬( )‫لها‬ ‫الممابلة‬ ‫كانت‬ ‫فأذا‬ ‫األعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫المٌم‬ ‫نختبر‬. ‫ممعرة‬ ‫الدالة‬ ̅ ( ) / ‫أو‬ . ‫محدبة‬ ‫الدالة‬ ̅ ( ) / ‫تترٌر‬ ‫لم‬ ‫اذا‬‫إشارة‬ ̅( )‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ً‫ه‬ ‫وأنما‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫لٌست‬ ً‫ه‬ ‫النمطة‬ ‫فأن‬ ( ‫مثال‬2/): ً‫للمنحن‬ ‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬( ) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟏 /‫الحل‬ ̅( ) 𝟔 𝟐 𝟔 𝟏𝟐 ̅̅( ) 𝟏𝟐 𝟔 ‫نجعل‬̅̅( )‫أل‬‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫ٌجاد‬ 𝟏𝟐 𝟔 𝟎 𝟏𝟐 𝟔 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐 ‫موجبة‬ ̅( ) ‫الن‬ 2 3 ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ‫سالبة‬ ̅( ) ‫الن‬ 2 3 ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ‫النمطة‬. 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟐 / . 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟐 )/ً‫ه‬‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ( ‫مثال‬3/): ‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫األنمالب‬ ‫ونمط‬ ‫والتمعر‬ ‫التحدب‬ ‫مناطك‬ ‫جد‬ ( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟒 ( ) ( ) 𝟏 𝟎 ( ) ( ) 𝟒 ( 𝟐) 𝟒 ( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑
  • 180.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 179 /‫الحل‬( ) () 𝟒 𝟑 𝟒 ̅( ) 𝟐 𝟒 𝟑 ̅̅( ) 𝟐 ‫نجعل‬̅̅( )‫أل‬‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫ٌجاد‬ 𝟐 𝟎 ( 𝟏𝟐) ⇒ 𝟐 𝟎 ( ) 𝟎 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟏𝟔 ( 𝟎) 𝟎 * + ‫و‬ * + ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( ) ‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ‫النمطتان‬( ) ( )‫نمطتا‬ ‫هما‬‫أنمالب‬ /‫الحل‬( ) ( ) 𝟏 𝟎 ̅( ) 𝟏 𝟐 ̅̅( ) 𝟐 𝟑 ̅̅(𝟎)‫معرفة‬ ‫غٌر‬ * + ً‫ف‬ ‫محدبة‬ * + ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ‫ألن‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬0‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ً‫ٌنتم‬ ‫ال‬ /‫الحل‬( ) ( ) 𝟒 ( 𝟐) 𝟒 ̅̅̅( ) ( 𝟐) 𝟑 ̅̅( ) ( 𝟐) 𝟐 ‫نجعل‬̅̅( )‫أل‬‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫ٌجاد‬ ( 𝟐) 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟐 𝟎 𝟎 𝟐 * 𝟐+ ‫و‬ * 𝟐+ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ‫الدالــــــــة‬ ∴‫عنـد‬ ‫أنمـالب‬ ‫نمطـة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬( )‫محدبـة‬ ‫الدالـة‬ ‫ألن‬ ‫جهتٌها‬ ‫على‬
  • 181.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 180 /‫الحل‬( ) () 𝟑 𝟐 𝟐 ̅ ( ) 𝟐 𝟐 ̅̅( ) ‫جعل‬ ‫ٌمكن‬ ‫ال‬̅̅( ) ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ‫الدالــــــــة‬ ∴‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ /‫الحل‬( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑 ̅ ( ) 𝟒 𝟑 𝟔 ̅̅( ) 𝟏𝟐 𝟐 𝟔 𝟎 ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ‫الدالــــــــة‬‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ ‫لذا‬ ‫المحلٌة‬ ‫والصررى‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌات‬ ‫لنمط‬ ‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫أختبار‬ ‫المشتمة‬ ‫من‬ ‫ٌستفاد‬ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫دراستها‬ ‫دون‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ‫نوعٌة‬ ‫ومعرفة‬ ‫فحص‬ ً‫ف‬ ‫الثانٌة‬: ‫إشـارة‬ ‫ترٌٌـر‬ ‫كٌفٌـة‬ ‫مالحظـة‬ ‫مـن‬ ً‫ال‬‫فبد‬̅‫حٌـث‬ ‫الحرجـة‬ ‫بالنمطـة‬ ‫المـرور‬ ‫عنـد‬̅( )‫أسـتخدام‬ ‫ٌمكننـا‬ ‫فأنـه‬ ‫صررى‬ ‫أو‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫فٌما‬ ‫لنمرر‬ ً‫التال‬ ‫األختبار‬‫أختبار‬ ‫بأستخدام‬ ‫وذلن‬ ‫محلٌة‬ : ً‫ٌأت‬ ‫وكما‬ ‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬ ( )‫كانت‬ ‫أذا‬̅( )‫وأن‬̅̅( )‫فأن‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬( )‫ز‬ ( )‫كانت‬ ‫أذا‬̅( )‫وأن‬̅̅( )‫فأن‬‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬‫صرر‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫ى‬( )‫ز‬ ( )‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫أذا‬̅̅( )‫أو‬̅̅( )‫ـة‬‫ـ‬‫الطرٌم‬ ‫ـطة‬‫ـ‬‫بواس‬ ‫ـار‬‫ـ‬‫األختب‬ ‫ـاد‬‫ـ‬‫وٌع‬ ( ‫ـار‬‫ـ‬‫األختب‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـح‬‫ـ‬‫ٌص‬ ‫ـال‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫معرف‬ ‫ـر‬‫ـ‬ٌ‫غ‬ ‫األولى‬ ‫المشتمة‬ ‫طرٌك‬ ‫عن‬ ‫السابمة‬)‫ز‬ ‫مالحظة‬: ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ ً‫ف‬ ‫الحال‬ ‫هو‬ ‫كما‬ ‫الثوابت‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫االنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫من‬ ‫ٌستفاد‬ ( ‫مثال‬1/)‫جد‬ , ‫أمكن‬ ‫أن‬ ‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫أختبار‬ ‫بأستخدام‬‫األتٌة‬ ‫للدوال‬ ‫المحلٌة‬ ‫النهاٌات‬: ( ) ( ) 𝟔 𝟑 𝟐 𝟏 ( ) ( ) 𝟒 𝟐 𝟎 ( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗 ( ) ( ) 𝟒 ( 𝟏) 𝟒
  • 182.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 181 /‫الحل‬( ) () 𝟔 𝟑 𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟔 𝟔 .̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/ 𝟔 𝟔 𝟎 𝟔 𝟔 𝟏 ̅(𝟏) 𝟎 ̅̅( ) 𝟔 ̅̅( 𝟏) 𝟔 𝟎 ∵̅(𝟏) 𝟎‫و‬̅̅(𝟏) 𝟔 𝟎 ∴‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫توجد‬( 𝟏) ∴‫ال‬‫نهاٌة‬‫ال‬‫عظمى‬‫ال‬‫محلٌة‬: ً‫ه‬(𝟏) 𝟔(𝟏) 𝟑(𝟏) 𝟐 𝟏 𝟐 /‫الحل‬( ) ( ) 𝟒 𝟐 𝟎 ̅( ) 𝟏 𝟖 𝟑 .̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/ 𝟏 𝟖 𝟑 𝟎 𝟑 𝟖 𝟎 𝟑 𝟖 𝟐 ̅( 𝟐) 𝟎 ̅̅( ) 𝟐𝟒 𝟒 ̅̅( 𝟐) 𝟐𝟒 𝟏𝟔 𝟎 ∵̅( 𝟐) 𝟎‫و‬̅̅( 𝟐) 𝟎 ∴‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫توجد‬( 𝟐) ∴‫ال‬‫نهاٌة‬‫ال‬‫عظمى‬‫ال‬‫محلٌة‬: ً‫ه‬( 𝟐) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟏 𝟑 /‫الحل‬( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 .̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/ 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 𝟎 ( 𝟑) ⇒ 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏 ̅̅( ) 𝟔 𝟔 ‫عندما‬𝟏 ‫فأن‬̅( 𝟏) 𝟎‫و‬̅̅( 𝟏) 𝟏𝟐 𝟎 ∴‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫توجد‬( 𝟏) ∴‫ال‬‫نهاٌة‬‫ال‬‫عظمى‬‫ال‬‫محلٌة‬: ً‫ه‬( 𝟏) ( 𝟏) 𝟑 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟗( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟗 𝟓 ‫عندما‬𝟑 ‫فأن‬̅(𝟑) 𝟎‫و‬̅̅(𝟑) 𝟏𝟐 𝟎 ∴‫نهاٌة‬ ‫توجد‬‫صرر‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫ى‬( 𝟑) ∴‫ال‬‫نهاٌة‬‫الصرر‬‫ى‬‫ال‬‫محلٌة‬: ً‫ه‬(𝟑) ( 𝟑) 𝟑 𝟑( 𝟑) 𝟐 𝟗( 𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕
  • 183.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 182 ( ) () 𝟒 ( 𝟏) 𝟒 /‫الحل‬ ̅( ) 𝟒( 𝟏) 𝟑 .̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/ 𝟒( 𝟏) 𝟑 𝟎 ( 𝟏) 𝟑 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ̅( 𝟏) 𝟎 ̅̅( ) 𝟏𝟐( 𝟏) 𝟐 ̅̅( 𝟏) 𝟎 ∵̅̅( 𝟏) 𝟎‫ترٌٌر‬ ‫مالحظة‬ ‫الى‬ ‫نعود‬ ‫لذا‬ ‫تنفع‬ ‫ال‬ ‫الطرٌمة‬ ‫هذه‬ ‫أذن‬‫إشارة‬̅‫بجوار‬( 𝟏) fً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬* 𝟏+ f‫متنالص‬ً‫ف‬ ‫ة‬* 𝟏+ ∴‫توجد‬‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬: ً‫ه‬( 𝟏) 𝟒 ( 𝟏 𝟏) 𝟒 𝟒 ( ‫مثال‬2/)‫لتكن‬( ) 𝟐 𝟎 ‫لٌمـة‬ ‫فجـد‬‫عنـد‬ ‫أنمـالب‬ ‫نمطـة‬ ‫تمتلـن‬ ‫الدالـة‬ ‫أن‬ ً‫ا‬‫علمـ‬‫الدالـة‬ ‫أن‬ ‫بـٌن‬ ‫ثـم‬ ,‫عظمـى‬ ‫نهاٌـة‬ ‫تمتلـن‬ ‫ال‬ ‫ز‬ ‫محلٌة‬ /‫الحل‬ ̅( ) 𝟐 𝟐 ̅̅( ) 𝟐 𝟐 𝟑 ̅̅(𝟏) 𝟐 𝟐 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟐 . ̅̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/ 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟏 ( ) 𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟐 𝟏 𝟐 (̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬ 𝟐 𝟏 𝟐 𝟎 𝟐 𝟑 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏 𝟐 √ 𝟏 𝟐 𝟑 ̅̅( ) 𝟐 𝟐 𝟑 ̅̅( ) 𝟐 𝟐 . 𝟏 𝟐 / 𝟐 𝟒 ̅̅( ) 𝟔 𝟎 ∴‫نهاٌة‬ ‫توجد‬‫صرر‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫ى‬4 √ 𝟏 𝟐 𝟑 5 ∴‫الدالة‬‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬ ‫ال‬
  • 184.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 183 ‫وزاري‬2012/‫د‬1‫وزاري‬2013/‫د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬3 ( ‫مثال‬3/)‫الثابتٌن‬ ً‫لٌمت‬‫عٌن‬‫الدال‬ ً‫لمنحن‬ ‫ٌكون‬ ً‫لك‬‫ـ‬‫ة‬𝟑 𝟐 ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫عند‬𝟏‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫ونهاٌة‬𝟐‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬‫ز‬ /‫الحل‬ 𝟑 𝟐 ̅ 𝟑 𝟐 𝟐 ∵‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬𝟏⇐̅ 𝟎 𝟎 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟐 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟎 ( ‫معادلة‬ ) ∵‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬‫صرر‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫ى‬𝟐⇐̅ 𝟎 𝟎 𝟑(𝟐) 𝟐 𝟐 (𝟐) 𝟏𝟐 𝟒 𝟎 ( ‫معادلة‬ ) ( ‫المعادلتٌن‬ ‫وبحل‬1( ‫و‬ )2: ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫أنٌا‬ ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟔 ̅ 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 ̅ 𝟔 𝟑 (̅ 𝟎 ‫)نجعل‬ 𝟔 𝟑 𝟎 𝟔 𝟑 𝟏 𝟐 4 𝟏 𝟐 5 4 𝟏 𝟐 5 𝟑 𝟑 𝟐 4 𝟏 𝟐 5 𝟐 𝟔 4 𝟏 𝟐 5 𝟏 𝟖 𝟑 𝟖 𝟑 𝟏 𝟑 𝟐𝟒 𝟖 𝟐𝟔 𝟖 4 𝟏 𝟐 5 𝟏𝟑 𝟒 ‫الدالة‬fً‫ف‬ ‫ممعرة‬2 𝟏 𝟐 3 ‫الدالة‬fً‫ف‬ ‫محدبة‬2 𝟏 𝟐 3 ∴. 𝟏 𝟐 𝟏𝟑 𝟒 /‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ( ‫مثال‬4/)‫أذا‬‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫كان‬( ) 𝟑 𝟐 ‫فــ‬ ‫ممعـــر‬ً‫ـ‬* 𝟏+‫ومح‬ً‫ف‬ ‫ـدب‬* 𝟏+ : ‫المستمٌم‬ ‫وٌمس‬𝟗 𝟐𝟖‫النمطة‬ ‫عند‬( 𝟑 𝟏)‫الحمٌمٌة‬ ‫األعداد‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬ /‫الحل‬‫وزاري‬2014/‫د‬1 ∵‫و‬ ‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫ألنها‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ً‫فــــ‬ ‫ممعـــرة‬* 𝟏+ً‫ف‬ ‫ومحـــدبة‬* 𝟏+ ∴‫عند‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫تمتلن‬ ‫الدالة‬𝟏 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ̅̅( ) 𝟔 𝟐 ̅̅(𝟏) 𝟔 𝟐 . ̅̅(𝟏) 𝟎 ‫نجعل‬/ 𝟔 𝟐 𝟎 ( 𝟐) ⇒ 𝟑 𝟎 𝟑 ( ‫معادلة‬ ) ∵‫للمستمٌم‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬𝟗 𝟐𝟖‫هو‬(̅ 𝟗)‫عند‬𝟑 ∴̅( 𝟑)‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬ ‫هو‬f‫عند‬𝟑 ̅(𝟑) 𝟐𝟕 𝟔 𝟗 𝟐𝟕 𝟔 ( 𝟑) ⇒ 𝟑 𝟗 𝟐 . ‫معادلة‬ / ‫النمطة‬( 𝟑 𝟏)‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( ) 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐𝟕 𝟗 (③ ‫معادلة‬ ) ( ‫المعادلة‬ ‫وبتعوٌض‬1( ً‫ف‬ )2: ‫على‬ ‫نحصل‬ ) 𝟑 𝟗 𝟔 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 ( ‫وبتعوٌض‬𝟏( ‫و‬ )𝟑‫المعادلة‬ ً‫ف‬ )(3): ‫على‬ ‫نحصل‬ 𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟏
  • 185.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 184 ( ‫مثال‬5/)‫للدالة‬ ‫كان‬‫أذا‬( )‫محلٌــ‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬‫تســــاوي‬ ‫ة‬8‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫و‬ , ‫عند‬‫لٌمة‬ ‫فجد‬‫وزاري‬2015/‫د‬2 /‫الحل‬ ̅ 𝟑 𝟐 𝟔 ̅ 𝟔 𝟔 ∵‫للدالة‬‫أنمالب‬ ‫نمطة‬‫عند‬𝟏⇐̅ 𝟎 𝟎 𝟔 (𝟏) 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏 ∵‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬‫عظم‬‫محلٌة‬ ‫ى‬‫تساوي‬(𝟖)⇐̅ 𝟎 ̅ 𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 𝟑 ( 𝟐) 𝟎 𝟐 ****************************************************************** ‫واج‬‫ب‬/‫للدالة‬ ‫كان‬ ‫أذا‬( )‫نهاٌة‬‫صرر‬‫تســــاوي‬ ‫محلٌــــة‬ ‫ى‬4‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫و‬ , ‫عند‬‫لٌمة‬ ‫فجد‬ (𝟑 𝟒)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫لتكن‬( ) 𝟐 𝟔‫حيث‬,* 𝟒 𝟖+‫قيمة‬ ‫جد‬: ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫الدالة‬ )‫(أ‬f)‫(ب‬ ‫محدبة‬‫الدالة‬f‫ممعرة‬ /‫الحل‬ ( ) 𝟐 𝟔 ̅( ) 𝟐 𝟔 ̅( ) 𝟐 ‫محدبة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ .‫/أ‬ ̅( ) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟎 𝟒 ‫مقعرة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ .‫/ب‬ ̅( ) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟎 𝟖
  • 186.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 185 ‫س‬2/‫كانت‬ ‫أذا‬(2,6)‫حرج‬ ‫نمطة‬‫تمثل‬‫ـــــ‬‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ‫ة‬( ) ( ) 𝟒 ‫لٌمة‬ ‫فجد‬‫نوع‬ ‫وبٌن‬ ‫النمطة‬‫الحرجة‬‫ز‬ /‫الحل‬ ̅( ) 𝟒( ) 𝟑(𝟏) ̅( ) 𝟒( ) 𝟑 ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ (𝟐 𝟔) ‫النمطة‬ ‫ألن‬ 𝟐 ‫عندما‬ ( ̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬ 𝟎 𝟒( 𝟐 ) 𝟑 ( 𝟒) ⇒ 𝟎 ( 𝟐 ) 𝟑 . ‫الثالث‬ ‫بالجذر‬ / 𝟎 𝟐 ‫النمطة‬(𝟐 𝟔)‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( ) ( 𝟐) 𝟒 𝟔 (𝟐 𝟐) 𝟒 𝟔 𝟎 𝟔 ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ ‫نوع‬ ‫لبٌان‬‫الرسم‬ ‫نالحظ‬: ̅( ) 𝟒( 𝟐) 𝟑 ∴‫النمطة‬( )‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫س‬3/‫كان‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟐 ‫وكان‬( ) 𝟏 𝟏𝟐‫من‬ ‫كل‬ ‫وكان‬‫متماســـــــ‬‫عند‬ ‫ان‬ ‫للدالة‬ ‫وكانت‬ ‫األنمالب‬ ‫نمطة‬f‫أنمالب‬ ‫نمطة‬(1, -11)‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬ /‫الحل‬‫وزاري‬2014/‫د‬2 ∵‫الدالتٌن‬( ) ( )‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫متماستان‬ ∴‫الدالتٌن‬ ‫مٌل‬( ) ( )‫عند‬( )‫أي‬ ‫متساوٌان‬‫أن‬̅( ) ̅( ) ( ) 𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( ) 𝟏 𝟏𝟐 ̅( ) 𝟏𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 (𝟏) 𝟐 𝟐 (𝟏) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 ( ‫معادلة‬① ) ∵‫النمطة‬( )‫لدالة‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬( )⇐(̅̅( ) 𝟎)‫عندما‬( ) ̅( ) 𝟔 𝟐 𝟔 𝟐 ( 𝟐) ⇒ 𝟑 𝟎 ( ‫معادلة‬② ) ‫النمطة‬( )‫الدالة‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( ) ( ) 𝟏𝟏 ( ‫معادلة‬③ ) ‫المعادالت‬ ‫وبحل‬①‫و‬②‫و‬③‫على‬ ‫نحصل‬ ‫سو‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ( ‫معادلة‬① ) ( ‫معادلة‬③ ) ‫بالطرح‬ ( ‫معادلة‬② ) ‫بالطرح‬
  • 187.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 186 ‫س‬4/‫كانت‬ ‫أذا‬(𝟔)‫الدال‬ ً‫لمنحن‬‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمثل‬‫ــــ‬‫ة‬( ) 𝟑 𝟐 𝟑 ‫لٌمة‬ ‫فجد‬‫جد‬ ‫ثم‬ ‫معادلة‬ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ً‫ف‬‫انمالبه‬ ‫نمطة‬‫؟‬ /‫الحل‬ ( ) 𝟑 𝟐 𝟑 ̅( ) 𝟔 𝟑 𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬) 𝟎 𝟔 𝟑 𝟐 ( 𝟑) ⇒ 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐 ) 𝟎 𝟐 ‫النمطة‬( )‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ً‫تنتم‬( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟑( 𝟎) 𝟐 ( 𝟎) 𝟑 𝟔 ̅( ) 𝟔 𝟑 𝟐 ̅̅( ) 𝟔 𝟔 . ̅̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/ 𝟎 𝟔 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏 ( ) 𝟑 𝟐 𝟑 ( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟑 𝟔 𝟑 𝟏 𝟔 𝟖 ( 𝟏) 𝟖 ∴‫النمطة‬( )‫المماس‬ ‫مٌل‬ ‫نمطة‬ ً‫وه‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬‫نحسب‬ ‫اي‬ (̅( )‫عندما‬) ̅(𝟏) 𝟔( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 ̅(𝟏) 𝟑 ( ) 𝟖 𝟑( 𝟏) 𝟖 𝟑 𝟑 (ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ ) ‫س‬5/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟐 ‫وكانت‬‫ممعـ‬‫ـــ‬‫ــرة‬( 𝟏)‫ومحدبــــــ‬‫ة‬( 𝟏) ‫وللدالة‬fً‫ه‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬( 𝟏 𝟓)‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬ /‫الحل‬‫وزاري‬2012/‫د‬3 ‫النمطة‬( 𝟏 𝟓)ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟓 ( 𝟏) 𝟑 ( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟓 ( ‫معادلة‬① ) ‫النمطة‬( 𝟏 𝟓)‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬‫للدالة‬f⇐( ) 𝟎‫عندما‬( 𝟏) ( ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎 𝟑 ( 𝟏) 𝟐 𝟐 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟎 ( ‫معادلة‬② ) ∵‫الدالة‬‫ممع‬‫ـــ‬‫رة‬( 𝟏)‫ومحدب‬‫ـــــ‬‫ة‬( 𝟏) ∴‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫النه‬ ( 𝟏) ‫عندما‬ ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ ̅( ) 𝟔 𝟐 𝟎 𝟔 (𝟏) 𝟐 𝟔 𝟐 𝟎 ( ‫معادلة‬③ ) ‫المعادالت‬ ‫وبحل‬①‫و‬②‫و‬③‫على‬ ‫نحصل‬ ‫سو‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ( ‫معادلة‬① ) ( ‫معادلة‬② ) ‫بالجمع‬ ( ) ( ‫معادلة‬③ ) ‫بالجمع‬ ( )
  • 188.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 187 ‫س‬6/‫لتكن‬( )‫الدالة‬ ‫أن‬‫برهن‬‫ز‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬ ‫ال‬ /‫الحل‬‫وزاري‬2013/‫د‬1 ( ) 𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟐 𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬) 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 . ‫معادلة‬ / ̅̅( ) 𝟐 𝟐 𝟑 ̅̅( ) 𝟐 𝟐 𝟑 . ‫معادلة‬ / ‫وبتعوٌض‬‫المعادلة‬(1)ً‫ف‬(2: ‫على‬ ‫نحصل‬ ) ̅̅( ) 𝟐 𝟐 . 𝟐 / 𝟐 𝟐 𝟏 4 𝟐 5 𝟐 𝟒 𝟔 ̅̅( ) 𝟔 ∴‫الدالة‬‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬‫ألن‬̅̅( ) 𝟔 𝟎 ∴‫الدالة‬‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬ ‫ال‬‫محلٌة‬ ‫عظمى‬‫لٌمة‬ ‫كانت‬ ‫مهما‬( ) ‫س‬7/‫المس‬‫ـــ‬‫تمٌم‬𝟑 𝟕ً‫المنحن‬ ‫ٌمس‬𝟐 ‫عند‬(𝟐 𝟏)‫نهاٌــ‬ ‫له‬ ‫وكانت‬‫ـــ‬‫ـة‬ ‫عند‬ ‫محلٌة‬ 𝟏 𝟐 ‫لٌمة‬ ‫جد‬‫؟‬ ‫النهاٌة‬ ‫نوع‬ ‫وما‬ , /‫الحل‬‫وزاري‬2015/‫د‬1‫وزاري‬2016/‫د‬1 ‫النمطة‬(𝟐 𝟏)‫نعوض‬ ‫حٌث‬ : ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( 𝟏 𝟐) 𝟐 𝟏 ( 𝟐) 𝟐 ( 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟏 ( ‫معادلة‬① ) ∵‫نهاٌة‬ ً‫للمنحن‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ 𝟏 𝟐 ⇐‫عندما‬ 𝟐 𝟎 𝟐 ( ) 𝟎 ( ‫معادلة‬② ) ‫معادلته‬ ‫من‬ ‫المماس‬ ‫المستمٌم‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫نجد‬: ‫معامل‬ ‫معامل‬ ‫نجد‬ ‫اي‬ ( ‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬ ‫نجد‬‫عندما‬) 𝟐 𝟒 ∵‫المماس‬ ‫المستمٌم‬ ‫مٌل‬‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬ 𝟒 𝟒 𝟑 ( ‫معادلة‬③ ) ‫بحل‬‫ا‬‫لمعادلتٌن‬(2)‫و‬(3)ً‫ا‬ٌ‫أن‬: ‫على‬ ‫نحصل‬ ( ‫معادلة‬② ) ( ‫معادلة‬③ ) ‫بالطرح‬ ( ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫)نعوض‬② ( 𝐜 ‫ألٌجاد‬ ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نع‬‫وض‬ ) ( ) ( ) ( ) 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟒 ∴‫النمطة‬. 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟒 /‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمثل‬
  • 189.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 188 ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫والنمط‬‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬ ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫جد‬:‫األتٌة‬ ‫للدوال‬ ‫النهاٌات‬ ‫نماط‬ ‫ولٌم‬ ‫الحرجة‬ ( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 ̅( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ / ( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟒 𝟎 𝟎 ( )( )ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬ (‫النمطة‬(0,0‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تساوي‬ ‫المحلٌة‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬( ) (‫النمطة‬(2,-4‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تساوي‬ ‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬( ) ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬2 3 ‫الفترة‬ = ‫التنالص‬ ‫مناطك‬( ) ( ) ( ) 𝟐 𝟔 𝟒 ̅( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ / 𝟑 𝟗 𝟏𝟖 𝟒 𝟓 (𝟑 𝟓)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ( ‫النمطة‬(3,-5‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تساوي‬ ‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬( ) ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬* + ‫التنالص‬ ‫مناطك‬* + ( ) ( ) 𝟒 ̅( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ / 𝟎 (𝟎 𝟎)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬ (‫النمطة‬(0,0‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تساوي‬ ‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬( ) ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬* + ‫التنالص‬ ‫مناطك‬* +
  • 190.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 189 ( ) () 𝟐 𝟑 ̅( ) . ̅( ) ‫جعل‬ ‫الٌمكن‬/ 𝟎 ‫حرجة‬ ‫نمط‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬* + ( ) ( ) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒 ̅( ) ( 𝟐 𝟒)(𝟐 ) ( 𝟐 𝟏)(𝟐 ) ( 𝟐 𝟒) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟖 𝟐 𝟑 𝟐 ( 𝟐 𝟒) 𝟐 𝟏𝟎 ( 𝟐 𝟒) 𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟏𝟎 ( 𝟐 𝟒) 𝟐 𝟎 𝟏𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟒 (𝟎 𝟏 𝟒 ) ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ‫النمطة‬.𝟎 𝟏 𝟒 /‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ = ‫المحلٌة‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬{ ( )‫الفترة‬ ‫التنالص‬ ‫مناطك‬ ‫و‬{ ( )‫الفترة‬ ‫مثال‬/‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬‫الدال‬ ً‫لمنحن‬ ‫كان‬ ‫أذا‬‫ــــــــــ‬‫ة‬( )‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ً‫ه‬ ‫محلٌة‬( ) /‫الحل‬ ‫النمطة‬(3,-5)‫والمشتمة‬ ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬‫األولى‬‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬‫عندما‬( 𝟑) ( ) 𝟐 𝟒 𝟓 𝟗 𝟑 𝟒 𝟗 𝟗 𝟑 ( 𝟑) ⇒ 𝟑 𝟑 ‫معادلة‬① ̅( ) 𝟐 . ̅( ) ‫نجعل‬ / 𝟎 𝟐 (𝟑) 𝟔 𝟎 ②‫معادلة‬ ‫المعادلة‬ ‫وبحل‬①‫والمعادلة‬②: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ً‫ال‬‫ح‬
  • 191.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 190 ‫مثال‬/‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬‫الدالـ‬ً‫لمنحن‬ ‫كان‬ ‫أذا‬‫ـــ‬‫ــة‬( ) ( )‫نهاٌـــ‬ ‫نمطة‬‫ــ‬‫ـة‬ ً‫ه‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬( ) /‫الحل‬‫النمطة‬(𝟏 𝟔)‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬ ‫والمشتمة‬ ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬ ( ) ( ) 𝟔 ( ) ‫معادلة‬① ̅( ) ( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ / 𝟎 ( ) ( 𝟐) ⇒ 𝟏 ②‫معادلة‬ ‫نعو‬‫المعادلة‬ ‫ض‬②‫المعادلة‬ ً‫ف‬①: ‫على‬ ‫فنحصل‬ ( ) 𝟔 𝟎 ( 𝟑)( 𝟐) 𝟎 (‫)ٌهمل‬ ‫مثال‬/‫لتكن‬( )‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬ٌ‫محل‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬‫ـــ‬‫ة‬ ‫عندما‬( )‫عندما‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫ونهاٌة‬( ) /‫الحل‬‫المشتمة‬ ‫على‬ ‫الحل‬ ً‫ف‬ ‫نعتمد‬ ‫لذلن‬ ‫فمط‬ ‫والصررى‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌات‬ ‫نماط‬ ‫حدد‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬‫األولى‬‫فمط‬ ( ) ̅( ) . ‫لٌم‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬ ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / 𝟏 ( ) ( ) 𝟒 𝟑 ( ‫معادلة‬① ) 𝟑 ( ) ( ) 𝟐𝟕 (②‫معادلة‬ ) ‫المعادلة‬ ‫وبحل‬①‫والمعادلة‬②: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝟏𝟔 𝟐𝟒 𝟑 𝟐 ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬ ( 𝟑 𝟐 ) ‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬(5)‫للدالة‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمثل‬( ) 𝟑 𝟑 𝟑‫لٌمة‬ ‫فجد‬ /‫الحل‬‫لٌمة‬ ‫وأنما‬ ‫كاملة‬ ‫النمطة‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬( 𝟓)‫لٌم‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌجب‬ ‫لذا‬ ‫فمط‬‫نه‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ‫ٌكون‬ ‫حتى‬‫ـــــ‬‫عظمى‬ ‫اٌة‬ ‫محلٌة‬‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫الدالة‬ ‫مشتمة‬ ‫عندما‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫او‬(̅( ) 𝟎) ̅( ) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / ( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏 𝟏 ‫النمطة‬((-1,5‫الدالة‬ ‫وتحمك‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ( ) 𝟑 𝟑 𝟏
  • 192.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 191 ‫مثال‬/‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ‫أن‬‫علمت‬ ‫أذا‬( )ً‫ه‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬(3,10)‫لٌمة‬ ‫فجد‬ /‫الحل‬‫النمطة‬(3,10)‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬ ‫والمشتمة‬ ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬ ( ) 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟑 ( 𝟐) ⇒ 𝟐𝟎 𝟔 ( ‫معادلة‬① ) ( ) ( ) ̅( ) ( ) ̅( ) ( ) ( ̅( ) ‫نجعل‬ ) ( ) ( ) ( 𝟒) ⇒ 𝟒 𝟎 (②‫معادلة‬ ) ‫المعادلة‬ ‫وبحل‬①‫والمعادلة‬②: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ً‫ال‬‫ح‬ 𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝟐 ② ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬ ( ) ‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟐 𝟗‫وكانت‬( 𝟏) 𝟓 ‫و‬ ̅(𝟑) 𝟎‫لٌم‬ ‫فجد‬ /‫الحل‬ ( ) ( 𝟏) ( ) ( ) ( ) 𝟓 𝟒 ( ‫معادلة‬① ) ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟗 ̅(𝟑) 𝟑 (𝟑) 𝟐 𝟐 (𝟑) 𝟗 𝟎 𝟎 𝟗 𝟐 𝟑 .②‫معادلة‬ / ‫مثال‬/: ‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫االنمالب‬ ‫ونمط‬ ‫التمعر‬ ‫ومناطك‬ ‫التحدب‬ ‫مناطك‬ ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫جد‬ ( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 ̅( ) ̅( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ / 𝟏 ‫مرشحة‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ( )‫النمطة‬ ‫النمطة‬( )‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫التحدب‬ ‫مناطك‬* + ‫التمعر‬ ‫مناطك‬* +
  • 193.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 192 ( ) () ( 𝟏) 𝟒 ̅( ) ( ) ̅( ) ( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ / ( ) ( ) 𝟏 ‫مرشحة‬ ‫حرجة‬ (𝟏 𝟎)‫النمطة‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬* * +} ( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟒 𝟐 ̅( ) ̅( ) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / ( ) ( ) ( ) ‫مرشحة‬ ‫انمالب‬ ‫(نمطة‬ 𝟏 𝟐𝟖)‫النمطة‬ ‫التحدب‬ ‫مناطك‬* 𝟏+ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬* 𝟏+ ‫مثال‬/‫لتكن‬( ) 𝟐 ‫حٌث‬‫وكان‬* 𝟐 𝟓+ ‫لٌمة‬ ‫فجد‬A‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬( )‫ممعرة‬( )‫محدبة‬ /‫الحل‬ ‫أشاره‬ ‫على‬ ‫اعتمادا‬ ‫ممعرة‬ ‫أو‬ ‫محدبة‬ ‫الدالة‬ ‫تكون‬ ̅( )‫نجد‬ ‫سو‬ ‫لذلن‬ ̅( ) ( ) ̅( ) ̅( ) ‫ممعرة‬ ‫الدالة‬ ‫أذا‬ ( ) ̅( ) ‫محدبة‬ ‫الدالة‬ ‫أذا‬ ( ) ̅( )
  • 194.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 193 ‫مثال‬/‫الدال‬ ً‫منحن‬‫ــــــ‬‫ــــــ‬‫ــ‬‫ة‬( )𝟑 𝟐 𝟓‫مح‬ ‫ٌمس‬‫ــ‬‫الس‬ ‫ور‬‫ـــ‬‫النمطة‬ ‫عند‬ ‫ٌنات‬(2,0) ‫نمط‬ ‫وله‬‫ــــــ‬ً‫ه‬ ‫أنمالب‬ ‫ة‬(0,5)‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬ /‫الحل‬‫النمطة‬(𝟎 𝟓)‫والمشتمة‬ ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬‫الثانٌة‬‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬‫ولٌمة‬( )‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬ ( ) 𝟑 𝟐 𝟓 ( ) (𝟎) (𝟎) (𝟎) 𝟓 (‫ٌنفع‬ ‫ال‬ ) ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟔 𝟐 𝟎 𝟔 ( 𝟎) 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 ‫النمطة‬(𝟐 𝟎)ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬ ( ) 𝟑 𝟐 𝟓 𝟖 𝟐 𝟓 ‫معادلة‬① ‫المشتمة‬‫األولى‬̅( )‫عند‬‫النمطة‬(𝟐 𝟎)‫تساوي‬))‫صفر‬‫عندما‬( 𝟐)‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫تمس‬ ‫ألنها‬ ̅( ) 𝟐 ( ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوضها‬ )① 𝟖 𝟐 𝟓 𝟖 𝟐( 𝟏𝟐 ) 𝟓 𝟖 𝟐𝟒 𝟓 𝟏𝟔 𝟓 𝟓 𝟏𝟔 ( 𝟓 𝟏𝟔 ) ‫مثال‬/‫لتكن‬( ) 𝟑 𝟐 ‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬‫للدال‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬‫ـــــــ‬‫ص‬ ‫نهاٌة‬ ‫ة‬‫ــــــ‬‫ررى‬ ‫عندما‬ ‫محلٌة‬( 𝟒)‫ونمطة‬‫انمالب‬‫عندما‬( 𝟏) /‫الحل‬ ( ) 𝟑 𝟐 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟔 𝟐 ̅( ) ( ) ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( )( )
  • 195.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 194 ‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬(6)‫للدالـة‬ ‫محلٌـة‬‫عظمـى‬ ‫نهاٌـة‬ ‫تمثـل‬( ) 𝟑 𝟑 𝟐 ‫لٌمـة‬ ‫فجـد‬‫جـد‬ ‫ثـم‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬‫انمالبه‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ً‫للمنحن‬‫ز‬ /‫الحل‬ ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐 𝟔 ( ̅( ) ‫نجعل‬ ) 𝟎 𝟑 𝟐 𝟔 𝟐 𝟐 ( ) ‫النمطة‬(0,6)‫الدالة‬ ‫وتحمك‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 𝟎 𝟔 ( ) 𝟑 𝟐 𝟔 ̅( ) 𝟔 𝟔 . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / 𝟔 𝟔 ( ) 𝟑 𝟔 ‫النمطة‬( )‫المماس‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫وتحمك‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬ ‫نجد‬ ‫األن‬‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬)‫األولى‬ ‫المشتمة‬ = ‫المماس‬ ‫(مٌل‬ ‫حٌث‬‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫لانون‬ ‫ونستخدم‬ ( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟑(𝟏) 𝟐 𝟔(𝟏) 𝟑 𝟔 𝟑 𝟏 ( 𝟏) 𝟒 𝟑( 𝟏) 𝟒 𝟑 𝟑 𝟑 𝟕 𝟎 ( ‫انمالبه‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ ) ****************************************************************** ‫والنمط‬ ‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬ ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫جد‬‫األتٌة‬ ‫للدوال‬ ‫النهاٌات‬ ‫نماط‬ ‫ولٌم‬ ‫الحرجة‬: ( ) ( ) 𝟐 𝟏 𝟑 ( ) ( ) 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 ( ) ( ) 𝟐 𝟏( ) ( ) 𝟑 (𝟒 )
  • 196.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 195 ‫للدالة‬ ً‫البٌان‬ ‫المخطط‬‫رســم‬ ‫دالة‬ ‫ألي‬ ً‫البٌان‬ ‫المخطط‬ ‫لرسم‬‫معطاة‬‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬‫للرسم‬ ‫األساسٌة‬ ‫النمط‬ ‫تمثل‬ ً‫والت‬: ❶‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬❷‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬❸‫التناظر‬❹‫المحاذٌات‬❺‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ❻‫دراسة‬ ̅( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬❼‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬ ❶: ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬‫كانت‬ ‫أذا‬‫الى‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬( )‫لٌم‬ ‫كل‬ ‫هو‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫فأن‬( )‫ص‬ ‫لها‬ ً‫الت‬ ‫الحمٌمٌة‬‫ــ‬‫ور‬( ) ‫الدالة‬ ‫بواسطة‬( )‫فٌها‬ ‫الموجودة‬ ‫المترٌرات‬ ‫حسب‬ ‫أشكال‬ ‫ثالث‬ ‫الى‬ ‫الدوال‬ ‫تمسٌم‬ ‫ٌمكن‬ ‫ولهذا‬ ⓐ‫الحــدود‬ ‫كثٌــرات‬ ‫الــدوال‬:‫مترٌرهــا‬ ً‫التــ‬ ‫الــدوال‬ ً‫وهــ‬( )‫داخــل‬ ً‫فــ‬ ‫موجــود‬ ‫غٌــر‬ ‫وكــذلن‬ ‫الدالــة‬ ‫ممــام‬ ً‫فــ‬ ‫موجــود‬ ‫غٌــر‬ ‫لها‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫وٌكون‬ ‫الجذر‬ ⓑ‫الكس‬ ‫ـــدوال‬‫ـ‬‫ال‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ـــــــــ‬:‫رٌة‬‫وه‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫مترٌره‬ ً‫ـــ‬‫ـ‬‫الت‬ ‫ـــدوال‬‫ـ‬‫ال‬ ً‫ــــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫ا‬( )‫الدال‬ ‫ـــام‬‫ـ‬‫مم‬ ً‫ـــ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـــود‬‫ـ‬‫موج‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ــــــ‬‫وٌك‬ ‫ة‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ــــــ‬‫اوس‬ ‫ون‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫ع‬ ‫مج‬‫ــــــ‬‫ل‬ ‫ال‬‫ــ‬‫ها‬ {𝟎 ‫الممام‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬ ‫}المٌم‬ ⓒ‫الدوال‬‫الجـــــــــــــــ‬:‫ذرٌة‬‫مترٌرها‬ ً‫الت‬ ‫الدوال‬ ً‫وه‬( )‫نوعان‬ ً‫وه‬ ‫الجذر‬ ‫داخل‬ ً‫ف‬ ‫موجود‬: ‫األول‬ ‫النوع‬:‫لٌم‬ ‫هو‬ ‫لها‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫وٌكون‬ ‫فردي‬ ‫جذرها‬ ‫دلٌل‬ ‫جذرٌة‬ ‫دوال‬( )‫الجذر‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬‫معرفا‬ :ً‫الثان‬ ‫النوع‬‫جذرها‬ ‫دلٌل‬ ‫جذرٌة‬ ‫دوال‬ً‫زوج‬‫لٌم‬ ‫هو‬ ‫لها‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫وٌكون‬( )‫الجذر‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬‫معرفا‬ ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬①/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫جد‬: ➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )ⓐ ( ) ➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )ⓑ ( ) ➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )ⓒ ( ) ( ) ➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )ⓓ ( ) ( )( ) ➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ ) Ⓔ ( ) ➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ ) Ⓕ ( ) ➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )Ⓖ ( ) √ √ ➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )Ⓗ ( ) √ ➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ ) Ⓘ ( )
  • 197.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 196 ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬②/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬‫من‬ ‫لكل‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫جد‬: ① ( ) 𝟐 𝟑 𝟐 ➨ *𝟐+⁄ ② ( ) 𝟐 𝟐 𝟒 ➨ * 𝟐+⁄ ③ ( ) 𝟏 𝟐 𝟏 ➨ * 𝟏+⁄ ‫الخاطئ‬ ‫الحل‬ ‫الى‬ ‫تؤدي‬ ‫النها‬ ‫المقام‬ ‫تبسيظ‬ ‫طرق‬ ‫تستخذم‬ ‫ال‬ ( ) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 ( 𝟏)( 𝟏) 𝟏 ( 𝟏) * 𝟏+⁄ (‫خاطئ‬ ‫حل‬ ) ④ ( ) 𝟐 𝟑 . 𝟑 𝟐 / ( ) (𝟐 𝟑 ) ( 𝟐 𝟑 ) ➨ * 𝟑+⁄ ( ) 𝟑 𝟐 ➨ *𝟎+⁄ ‫الدوال‬ ‫من‬ ً‫خال‬ ‫فالمنهج‬ ‫الجذرٌة‬ ‫الدوال‬ ‫أما‬‫لالطالع‬ ‫أمثلة‬ ‫سأضع‬ ‫لذلن‬ ‫علٌها‬ ‫مثال‬ ‫أي‬ ً‫ٌعط‬ ‫ولم‬ ‫الجذرٌة‬ ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬③/:‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫جد‬ ① ( ) √𝟐 𝟖 𝟐 ➨ * 𝟒+ ② ( ) √ 𝟏 𝟐 𝟖 𝟐 ➨ *𝟒+⁄ ❷‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬:‫نوعٌن‬ ‫على‬ ‫وهو‬: (a)‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬( ):‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫ألٌجاد‬( )‫نجعل‬( 𝟎)‫لٌم‬ ‫الٌجاد‬( ) (b)ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬( ):‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫ألٌجاد‬( )‫نجعل‬( 𝟎)‫لٌم‬ ‫الٌجاد‬( ) ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬④/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫جد‬: ( ) ( ) 𝟑 𝟒 𝟎 𝟎 𝟎 𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟐 𝟒) 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 (𝟐 𝟎) ( 𝟐 𝟎) (𝟎 𝟎 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
  • 198.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 197 ( ) () ( 𝟐) 𝟑 𝟎 𝟖 𝟎 ( 𝟐) 𝟑 𝟎 𝟐 (𝟐 𝟎) (𝟎 𝟖 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ( ) ( ) 𝟑 𝟒 𝟎 𝟑 𝟒 𝟎 𝟑 𝟒 𝟎 𝟑 𝟑 (𝟑 𝟎) (𝟎 𝟑 𝟒 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ❸: ‫التناظر‬: ‫نوعٌن‬ ‫على‬ ‫وهو‬ (a)‫الم‬ ‫ٌكون‬‫ن‬‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫متناظر‬ ً‫حن‬(y-axis)‫المترٌر‬ ‫أسس‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬(x)‫أن‬ ‫أي‬ ‫زوجٌة‬ ‫كلها‬( ) ( )‫أي‬‫أن‬ ( ) ➨ ( ) ( ) (b)‫الم‬ ‫ٌكون‬‫ن‬‫متناظر‬ ً‫حن‬‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫حول‬‫المترٌر‬ ‫أسس‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬(x)‫كلها‬‫فردٌة‬‫أن‬ ‫أي‬( ) ( )‫أن‬ ‫أي‬ ( ) ➨ ( ) ( ) ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬⑤/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫التناظر‬ ‫جد‬‫التناظر‬ ‫وجود‬ ‫حالة‬ ً‫ف‬ ‫ذلن‬ ‫برهن‬ ‫ثم‬: ➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /ⓐ ( ) ➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /ⓑ ( ) ➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /ⓒ ( ) ➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ / ⓓ ( ) ➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ / Ⓔ ( ) ➨ .‫فرديـــــــة‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /Ⓕ ( ) ➨ .‫فرديـــــــة‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /Ⓖ ( ) ➨ .‫فرديـــــــة‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /Ⓗ ( ) ➨ ( ‫المتغيير‬ ‫اسس‬ ‫الختالف‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ) Ⓘ ( ) ( ) ( ) ( ) }
  • 199.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 198 ‫البرهان‬‫األمثلة‬ ‫جمٌع‬ ً‫ف‬‫متشابه‬‫السابمة‬‫التناظر‬ ‫من‬ ‫نوع‬ ‫لكل‬ ‫مثال‬ ‫سنبرهن‬ ‫لذا‬ Ⓔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ⓕ ( ) ( ) ( ) ( ) , - ( ) ( ) ❹‫المحاذٌات‬:‫لل‬ ‫دراستنا‬‫فمط‬ ‫الكسرٌة‬ ‫الدوال‬ ‫على‬ ‫تمتصر‬ ‫محاذٌات‬ ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫الموازي‬ ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫الطرٌمة‬: ‫األولى‬ ‫نجعل‬ ( ) ( ) ‫نجعل‬ ‫ثم‬( ) 𝟎‫لٌم‬ ‫ونجد‬( )‫ولتكن‬( )‫ز‬ ً‫األفم‬ ‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬ ً‫فه‬ : ‫الثانٌة‬ ‫الطرٌمة‬ ‫مع‬ ‫تكون‬‫ادلته‬‫عدد‬‫حاص‬ ‫هو‬ ‫العدد‬ ‫هذا‬‫ـــ‬‫من‬ ‫درجة‬ ‫االكبر‬ ‫الحد‬ ‫معامل‬ ‫على‬ ‫البسط‬ ‫من‬ ‫درجة‬ ‫االكبر‬ ‫الحد‬ ‫معامل‬ ‫لسمة‬ ‫ل‬ ‫تساوي‬ ‫بشرط‬ ‫الممام‬‫الدرجتٌن‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫الموازي‬ ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ : ‫األولى‬ ‫الطرٌمة‬ ‫نجعل‬ ( ) ( ) ‫نجعل‬ ‫ثم‬( ) 𝟎‫لٌم‬ ‫ونجد‬( )‫ولتكن‬( )‫ز‬ ً‫الشالول‬ ‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬ ً‫فه‬ : ‫الثانٌة‬ ‫الطرٌمة‬ ‫معادلته‬ ‫تكون‬‫عدد‬‫هو‬ ‫العدد‬ ‫هذا‬‫المجموعة‬ ‫من‬ ‫ٌستثنى‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬R‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫حساب‬ ‫عند‬ ‫الممام‬ ً‫ف‬‫ز‬ ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬⑥/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المحاذٌة‬ ‫المستمٌمات‬ ‫ومعادالت‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫جد‬: ( ) ( ) 𝟑 𝟒 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬ ( ) 𝟑 𝟒 𝟐 𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟐 ( 𝟑) 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟑 𝟑 𝟎 𝟑 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬ ‫الثانٌة‬ ‫الطرٌمة‬ ‫الحظ‬ ‫او‬ * +⁄ ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬ 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
  • 200.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 199 ( ) () 𝟑 𝟐 𝟒 * +⁄ ‫الشالولٌة‬ ‫المحاذٌات‬ ‫االفمٌة‬ ‫المحاذٌات‬ 𝟑 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 (‫الدرجتٌن‬ ‫)نساوي‬ ( ) ( ) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟓 * +⁄ ‫الشالولٌة‬ ‫المحاذٌات‬ ‫االفمٌة‬ ‫المحاذٌات‬ 𝟐 𝟑 𝟑 𝟓 𝟐 𝟑 𝟑 𝟎 𝟐 𝟓 (‫الدرجتٌن‬ ‫)نساوي‬ ‫معرف‬ ‫غٌر‬ ( ) ( ) 𝟓 * +⁄ ‫الشالولٌة‬ ‫المحاذٌات‬ ‫االفمٌة‬ ‫المحاذٌات‬ 𝟓 𝟎 𝟓 (‫الدرجتٌن‬ ‫)نساوي‬ ( ‫مثال‬1/)‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫بمعلوماتن‬ ‫باألستعانة‬ ‫أرسم‬:( ) 𝟓 /‫الحل‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫التناظر‬/: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ً‫المنحن‬ ( ) ➨ ( ) ( ) ( ) ( ) 𝟓 𝟓 ( ) ‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬) ‫كسرٌة‬ ( ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 ‫األحداثٌٌن‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬ (𝟎 𝟎) ‫النمطة‬ ‫وزاري‬2013/‫د‬3
  • 201.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 200 ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬‫وما‬ ̅( ) 𝟓 𝟒 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟓 𝟒 𝟎 𝟎 ( ) 𝟓 (𝟎) 𝟎 𝟎 ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) 𝟐𝟎 𝟑 . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / 𝟐𝟎 𝟑 𝟎 𝟎 ( ) 𝟓 (𝟎) 𝟎 𝟎 ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
  • 202.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 201 ( ‫مثال‬2/)‫الدالة‬ ‫بالتفاضل‬‫بمعلوماتن‬ ‫باألستعانة‬ ‫أرسم‬:( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 /‫الحل‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫التناظر‬/ ( ) ➨ ( ) ( ) 𝟑 𝟑( ) 𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒 ∴‫ال‬: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬ ( ) ( ) ( ) ( ) ‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬) ‫كسرٌة‬ ( ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ 𝟎 𝟒 𝟎 (‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫ٌمكن‬ ‫ال‬ ) ‫نمطة‬‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟎 𝟒) ‫النمطة‬ ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟔 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟐 (𝟎) 𝟒 𝟒 (𝟎 𝟒) (𝟐) 𝟎 𝟎 (𝟐 𝟎) ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) 𝟔 𝟔 . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / 𝟔 𝟔 𝟎 𝟔 𝟔 𝟏 (𝟏) 𝟐 𝟐 (𝟏 𝟐)
  • 203.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 202 ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬ ( ‫مثال‬3/)‫الدالة‬ ‫بالتفاضل‬ ‫بمعلوماتن‬ ‫باألستعانة‬ ‫أرسم‬:( ) 𝟑 𝟏 𝟏 /‫الحل‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬/{-1} ‫التناظر‬/ ∵‫العدد‬(𝟏)‫العدد‬ ‫ولكن‬ ‫الدالة‬ ‫مجال‬ ‫الى‬ ً‫ٌنتم‬( 𝟏)‫الدال‬ ‫مجال‬ ‫الى‬ ً‫ٌنتم‬ ‫ال‬‫ــــــ‬‫محور‬ ‫مع‬ ‫متناظر‬ ‫غٌر‬ ً‫فالمنحن‬ ‫لذلن‬ ‫ة‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫متناظر‬ ‫وغٌر‬ ‫الصادات‬ ∴‫ال‬‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬ / ‫المحاذٌات‬ 𝟏 𝟎 𝟏 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬ ( ) 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 ( 𝟑) 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟎 𝟑 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 ‫نمط‬‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬‫ٌن‬ . 𝟏 𝟑 𝟎/ (𝟎 𝟏) ‫النمط‬ ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 𝟒 ( 𝟏) 𝟐 𝟎 𝟒 𝟎 (‫ممكن‬ ‫غٌر‬ )
  • 204.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 203 ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬‫وما‬ ̅( ) ( 𝟏) 𝟐( 𝟎) 𝟒, 𝟐( 𝟏)- ( 𝟏) 𝟒 𝟖( 𝟏) ( 𝟏) 𝟒 𝟖 ( 𝟏) 𝟑 ( ) (‫ممكن‬ ‫غٌر‬ ) ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬ ( ‫مثال‬4/)‫بأستخدام‬‫بالتفاضل‬ ‫معلوماتن‬ً‫المنحن‬ ‫أرسم‬:( ) 𝟐 𝟐 𝟏 /‫الحل‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫التناظر‬/ ( ) ➨ ( ) ( ) 𝟐 ( ) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 ( ) ∴: ‫ألن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ً‫المنحن‬( ) ( ) / ‫المحاذٌات‬ 𝟐 𝟏 𝟎 ‫عمودي‬ ‫محاذي‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬ ( ) 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟏) 𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
  • 205.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 204 ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬‫نمط‬ 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 ‫نمط‬‫ة‬‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟎 𝟎) ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 𝟐 ( 𝟏) 𝟐 𝟎 ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) ( ) ( ) , ( )- ( ) ( ), - ( ) ( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ / ( ) ( ) ⇒ √ ( ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) . / . /
  • 206.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 205 ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬ (𝟑 𝟓)‫تمارين‬ : ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫بأستخدام‬ ‫أرسم‬ (𝟏) ( ) 𝟏𝟎 𝟑 𝟐 /‫الحل‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫التناظر‬/ ( ) ➨ ( ) 𝟏𝟎 𝟑( ) ( ) 𝟐 𝟏𝟎 𝟑 𝟐 ∴‫ال‬‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬: ‫ألن‬ ( ) ( ) ( ) ( ) ‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬) ‫(كسرٌة‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ 𝟎 𝟏𝟎 ( )( ) 𝟓 𝟐 ( 𝟓 𝟎) (𝟐 𝟎) (𝟎 𝟏𝟎 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) 𝟑 𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 . 𝟑 𝟐 / 𝟏𝟎 𝟑 . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝟐 𝟏𝟎 𝟗 𝟐 𝟗 𝟒 𝟒𝟎 𝟏𝟖 𝟗 𝟒 𝟒𝟗 𝟒
  • 207.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 206 ‫النمطة‬. 𝟑 𝟐 𝟒𝟗 𝟒 /‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬‫نمطة‬ 2 𝟑 𝟐 3 ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( ) { 𝟑 𝟐 } ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( ) ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) ( ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ ‫دائما‬ ‫محدب‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫فلهذا‬ ‫لٌمة‬ ‫تكون‬ ‫مهما‬ ‫دائما‬ ‫سالب‬ ) * +ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( ) ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬ ( 𝟐) ( ) 𝟐 𝟒 𝟑 /‫الحل‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫التناظر‬/ ( ) ➨ ( ) ( ) 𝟐 𝟒( ) 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 ∴‫ال‬: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬ ( ) ( ) ( ) ( ) ‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬) ‫(كسرٌة‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ 𝟎 𝟑 ( )( ) ( 𝟑 𝟎) ( 𝟏 𝟎) (𝟎 𝟑 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
  • 208.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 207 ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬‫وما‬ ̅( ) ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 ‫النمطة‬( 𝟐 𝟏)‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬‫صرر‬‫محلٌة‬ ‫ى‬ * 𝟐+ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( ) * 𝟐+ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( ) ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) 𝟐 ( ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ ‫دائما‬ ‫ممعر‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫فلهذا‬ ‫لٌمة‬ ‫تكون‬ ‫مهما‬ ‫دائما‬ ‫موجب‬ ) * +ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( ) ∴ ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬ ( 𝟑) ( ) ( 𝟏 ) 𝟑 𝟏 𝟐‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬ 𝟐‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟑 ‫وزاري‬ /‫الحل‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫التناظر‬/ ( ) ➨ ( ) (𝟏 ( )) 𝟑 𝟏 (𝟏 ) 𝟑 𝟏 ∴‫ال‬: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬ ( ) ( ) ( ) ( ) ‫المحاذٌات‬‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ /)‫(كسرٌة‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ 𝟎 (𝟏 𝟎) 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 (𝟏 ) 𝟑 𝟏 (𝟏 ) 𝟑 ‫للطرفٌن‬ ‫الثالث‬ ‫بالجذر‬ (𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
  • 209.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 208 ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬‫وما‬ ̅( ) ( ) ( ) ̅( ) ( ) ( ̅( ) ‫نجعل‬ ) ( ) ( ) ( ) ( ‫الطرفٌن‬ ‫)نجذر‬ ( ) (𝟏 ) 𝟑 𝟏 (𝟏) (𝟏 𝟏) 𝟑 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 ‫النمطة‬(𝟏 𝟏)‫فمط‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ * 𝟏+ * 𝟏+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( ) ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) ( ) ( ) ̅( ) ( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ / ( ) ∴‫النمطة‬(1,1)‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ * 𝟏 +ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( ) * 𝟏 +ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( ) ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬‫رسمها‬ ‫ثم‬
  • 210.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 209 ( 𝟒) () 𝟔 𝟑 𝟏‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟓 ‫وزاري‬ /‫الحل‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫التناظر‬/ ( ) ➨ ( ) 𝟔( ) ( ) 𝟑 𝟔 𝟑 (𝟔 𝟑) ∴‫ال‬‫تناظر‬‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫حول‬: ‫ألن‬ ( ) ( ) ‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ 𝟎 𝟎 𝟔 𝟑 (𝟔 𝟐) ‫أما‬ ‫أو‬ 𝟔 𝟐 𝟐 √ (𝟎 𝟎) (√ 𝟎) ( √ 𝟎 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ ) √ ( ) (√ ) (√ ) (√ ) √ √ √ ( √𝟐) 𝟔( √𝟐) ( √𝟐) 𝟑 𝟔√𝟐 𝟐√𝟐 𝟒√𝟐 ‫النمطة‬(√ √ )‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫النمطة‬( √ √ )‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ( √ √ ) ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( ) { √ 𝟐} { √ 𝟐} ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( ) ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / ∴‫النمطة‬(0,0)‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ * 𝟎 +ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( ) * 𝟎 +ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
  • 211.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 210 ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬ (𝟓) ( ) 𝟏 /‫الحل‬ = ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬*𝟎+ ‫التناظر‬/ ( ) ➨ ( ) 𝟏 ( 𝟏 ) ∴‫مع‬ ‫التناظر‬‫األصل‬ ‫نمطة‬: ‫ألن‬ ( ) ( ) ‫المحاذٌات‬ 𝟎 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬ ( ) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬‫الن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬(𝟎 𝟏 ‫الن‬ 𝟎) ‫ٌوجد‬ ‫ال‬‫الن‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬(𝟎 𝟏 ‫الن‬ 𝟎) ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ( ) 𝟏 ̅( ) 𝟐 𝟏 𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 (‫ممكن‬ ‫)غٌر‬ ∴‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
  • 212.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 211 ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬‫وما‬ ̅( ) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / (‫ممكن‬ ‫)غٌر‬ ∴‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ * 𝟎 +ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( ) * 𝟎 +ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( ) ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬ ( 𝟔) ( ) 𝟏 𝟏 /‫الحل‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬* + ‫التناظر‬/ ( ) ➨ ( ) 𝟏 𝟏 ∴‫ال‬: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬ ( ) ( ) ( ) ( ) / ‫المحاذٌات‬ 𝟏 𝟎 𝟏 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬ ( ) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ( 𝟏) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
  • 213.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 212 ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬‫نمط‬ 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 ‫نمط‬‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟏 𝟎) (𝟎 𝟏) ‫النمط‬ ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) ( 𝟏)( 𝟏) ( 𝟏)( 𝟏) ( 𝟏) 𝟐 𝟏 𝟏 ( 𝟏) 𝟐 𝟐 ( 𝟏) 𝟐 𝟐 ( 𝟏) 𝟐 𝟎 ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) ( ) ( ) , ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (‫ممكن‬ ‫غٌر‬ ) ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
  • 214.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 213 ( 𝟕) () ( 𝟐)( 𝟏) 𝟐 /‫الحل‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫التناظر‬/ ( ) ➨ ( ) ( 𝟐)( 𝟏) 𝟐 ∴‫ال‬‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬: ( ) ( ) ( ) ( ) / ‫المحاذٌات‬‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬)‫(كسرٌة‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ 𝟎 (𝟎 𝟐)(𝟎 𝟏) 𝟐 (𝟐)(𝟏) 𝟐 𝟎 𝟎 ( 𝟐)( 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ( 𝟏) 𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ‫نمط‬‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟏 𝟎) ( 𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐) ‫النمط‬ ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) ( 𝟐), 𝟐( 𝟏)- ( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) ( 𝟏), 𝟐 𝟒 𝟏- ̅( ) ( 𝟏), 𝟑 𝟑- ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ ) ( 𝟏),𝟑 𝟑- 𝟏 𝟎 𝟏 (𝟏) (𝟏 𝟐)(𝟏 𝟏) 𝟐 𝟎 𝟑 𝟑 𝟎 𝟏 ( 𝟏) ( 𝟏 𝟐)( 𝟏 𝟏) 𝟐 𝟒 ‫النماط‬( 𝟏 𝟒) (𝟏 𝟎)‫حرجة‬ ‫نماط‬ * 𝟏+ * 𝟏+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( ) ( 𝟏 𝟏) ‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( ) ∴‫النمطة‬(𝟏 𝟎)‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ∴‫النمطة‬( 𝟏 𝟒)‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) ( )( ) ( )( ) ̅( ) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / 𝟔 𝟎 (𝟎) (𝟎 𝟐)(𝟎 𝟏) 𝟐 𝟐 ∴‫النمطة‬(𝟎 𝟐)‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ * 𝟎+ ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( ) * 𝟎+ ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )
  • 215.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 214 ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬ (𝟖) ( ) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 /‫الحل‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬‫ألن‬( 𝟐 𝟏 𝟎 ➨ 𝟐 𝟏 ) ‫التناظر‬/ ( ) ➨ ( ) ( ) 𝟐 𝟏 ( ) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 ∴‫ال‬‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬‫الصادات‬‫ألن‬( ) ( ) / ‫المحاذٌات‬ 𝟐 𝟏 𝟎 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫مستمٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬ ( ) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐( 𝟏) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 ( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏 ‫نمط‬‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ( 𝟏 𝟎) (𝟏 𝟎) (𝟎 𝟏) ‫النمط‬ ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) ( 𝟐 𝟏)(𝟐 ) ( 𝟐 𝟏)(𝟐 ) ( 𝟐 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 ̅( ) 𝟒 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ ) ( ) 𝟎 (𝟏) 𝟏 𝟏
  • 216.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 215 ∴‫النمطة‬( 𝟎 𝟏)‫نمطة‬‫محلٌة‬‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ * 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( ) * 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( ) ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) ( ) ( ) ( )( ( )( )) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ̅( ) ( ), - ( ) , - ( ) , - ( ) ̅( ) ( ) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟑 ( 𝟏 √𝟑 ) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 ( 𝟏 √𝟑 ) 𝟐 𝟏 ( 𝟏 √𝟑 ) 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 ( 𝟏 √𝟑 ) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 ( 𝟏 √𝟑 ) 𝟐 𝟏 ( 𝟏 √𝟑 ) 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 ∴‫النماط‬. 𝟏 √𝟑 𝟏 𝟐 / . 𝟏 √𝟑 𝟏 𝟐 /‫أنمالب‬ ‫نماط‬ { 𝟏 √ 𝟑 } { 𝟏 √ 𝟑 } ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( ) ( 𝟏 √ 𝟑 𝟏 √ 𝟑 ) ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )
  • 217.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 216 ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬ ( 𝟗) ( ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟐 ‫وزاري‬ /‫الحل‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫التناظر‬/ ( ) ➨ ( ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐( ) 𝟐 ( ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟒 ∴: ‫ألن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التناظر‬ ( ) ( ) ‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬() ‫كسرٌة‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐(𝟐 𝟐) ‫أما‬ 𝟐 ‫أو‬ 𝟐 𝟐 𝟐 √ (𝟎 𝟎) (√ 𝟎) ( √ 𝟎 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) 𝟒 𝟒 𝟑 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟒 𝟒 𝟑 𝟎 ( 𝟒) ⇒ 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟏 𝟏 ( ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟎 𝟏 𝟏 ‫النمطة‬( )‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫النمطة‬( )‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫النمطة‬( )‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ * 𝟏+ (𝟎 𝟏) ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( ) * 𝟏+ ( 𝟏 𝟎) ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )
  • 218.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 217 ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬‫وما‬ ̅( ) 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / 𝟎 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 ( 𝟒) ⇒ 𝟏 𝟑 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 √𝟑 ( 𝟏 √𝟑 ) 𝟐 ( 𝟏 √𝟑 ) 𝟐 ( 𝟏 √𝟑 ) 𝟒 𝟐 𝟑 𝟏 𝟗 𝟔 𝟏 𝟗 𝟓 𝟗 ‫النمط‬( 𝟏 √𝟑 𝟓 𝟗 )( 𝟏 √𝟑 𝟓 𝟗 )‫مرشحة‬ ‫أنمالب‬ ‫نمط‬ ( 𝟏 √𝟑 𝟏 √𝟑 ) ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( ) 8 𝟏 √ 𝟑 9 8 𝟏 √ 𝟑 9 ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( ) ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
  • 219.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 218 ( 𝟏𝟎) () 𝟔 𝟐 𝟑 /‫الحل‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬‫ألن‬( 𝟐 𝟑 𝟎 ) ‫التناظر‬/ ( ) ➨ ( ) 𝟔 ( ) 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟑 ∴‫محور‬ ‫مع‬ ‫التناظر‬‫الصادات‬‫ألن‬( ) ( ) / ‫المحاذٌات‬ 𝟐 𝟑 𝟎 ً‫الشالول‬ ‫محاذي‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬ ( ) 𝟔 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟔 𝟑 𝟐 𝟔 𝟑 𝟎 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ 𝟎 𝟐 𝟎 𝟎 𝟔 𝟐 𝟑 𝟎 𝟔 ‫نمط‬‫ة‬‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟎 𝟐) ‫النمطة‬ ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) ( )( ) ( ) ( ) 𝟏𝟐 ( ) ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟏𝟐 𝟎 (𝟎) 𝟐 𝟐 ∴‫النمطة‬( 𝟎 𝟐)‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬‫عظمى‬‫محلٌة‬ * 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( ) * 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( ) ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) ( ) ( ) ( )( ( )( )) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ̅( ) ( ), ( ) - ( ) ( ) ̅( ) ( ) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ / 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐
  • 220.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 219 ( ) 𝟔 (𝟏) 𝟐𝟑 𝟔 𝟒 𝟑 𝟐 ( ) 𝟔 ( 𝟏) 𝟐 𝟑 𝟔 𝟒 𝟑 𝟐 ∴‫النماط‬. 𝟏 𝟑 𝟐 / .𝟏 𝟑 𝟐 /‫أنمالب‬ ‫نماط‬ * 𝟏+ * 𝟏+ ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( ) ( 𝟏 𝟏) ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( ) ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬ ****************************************************************** ( ‫مثال‬1/)‫األتٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫كل‬ ً‫منحن‬ ‫أرسم‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫باستخدام‬ ( ) ( ) 𝟓 ( ) ( ) (𝟐 𝟏) 𝟑 ( ) ( ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 ( ) ( ) 𝟐 𝟐 𝟒 ( ‫مثــال‬2/)‫كانــت‬ ‫أذا‬( ) 𝟐 ( 𝟏) 𝟏‫لٌمــة‬ ‫جــد‬ ‫الصــادات‬ ‫محــور‬ ‫حــول‬ ‫متنــاظرة‬(b)‫ثــم‬ ‫ومــن‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫وأرسم‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫استخدام‬‫ز‬ ( ‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬3/)‫ـة‬‫ـ‬‫الدال‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) 𝟐 ‫ـة‬‫ـ‬‫النمط‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫وكان‬1,3)-(‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫والعمود‬ ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫االفم‬ ‫ـات‬‫ـ‬ٌ‫المحاذ‬ ‫ـاطع‬‫ـ‬‫تم‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نمط‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫جد‬ ‫للدالة‬‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫وأرسم‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫استخدام‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬‫ز‬
  • 221.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 220 :‫المحلٌة‬ ‫والصررى‬ ‫العظمى‬‫النهاٌــات‬ ‫على‬ ‫عملٌة‬ ‫تطبٌمــــــات‬ ‫مسـائل‬ ‫المسـائل‬ ‫هـذه‬ ‫ومـن‬ ‫والتكامـل‬ ‫التفاضـل‬ ‫حسـاب‬ ‫تطـور‬ ‫الـى‬ ‫أدت‬ ً‫التـ‬ ‫المسـائل‬ ‫مـن‬ ‫الكثٌـر‬ ‫الفٌزٌـاء‬ ً‫فـ‬ ‫ظهرت‬ ‫الـى‬ ً‫ا‬ٌ‫شالول‬ ‫ممذو‬ ‫جسم‬ ‫ٌصله‬ ‫أرتفاع‬ ‫ألصى‬ ‫أو‬ ‫مختلفة‬ ‫بزواٌا‬ ‫أطلمت‬ ‫لذٌفة‬ ‫تصله‬ ‫أرتفاع‬ ‫ألصى‬ ‫حساب‬‫األ‬‫أو‬ ‫علـى‬ ‫كلفة‬ ‫ألل‬‫زمن‬ ‫ألل‬ ‫أو‬‫ز‬ ‫ألخ‬ ‫ززز‬ , ‫محٌط‬ ‫وألل‬ ‫حجم‬ ‫وأكبر‬ ‫مساحة‬ ‫ألل‬ ‫مثل‬ ‫الصناعات‬ ‫من‬ ‫ومسائل‬ ‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫الموضوع‬ ‫بهذا‬ ‫المتعلمة‬ ‫المسائل‬ ‫لحل‬: Ⓘ‫نبـدأ‬ ‫ثـم‬ ‫ومـن‬ ‫والثوابـت‬ ‫المترٌـرات‬ ‫كـل‬ ‫الشـكل‬ ‫علـى‬ ‫ونثبـت‬ ‫ممكنـا‬ ‫ذلـن‬ ‫كـان‬ ‫كلمـا‬ ‫للمسـألة‬ ً‫توضـٌح‬ ‫رسـم‬ ‫نرسم‬ ‫(جد‬ ‫كلمة‬ ‫على‬ ‫تعتمد‬ ً‫الت‬ ‫الفرضٌة‬ ‫بتكوٌن‬‫المطلوب‬ ‫أساس‬ ‫على‬ ‫الفرضٌة‬ ‫نكون‬ ‫أي‬ ) ‫ززز‬ ,‫,احسب‬ ‫,عٌن‬ ً‫ماه‬ ,‫ز‬ ②‫الدال‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫نك‬‫ــ‬‫ـ‬‫ـــ‬‫أٌج‬ ‫ـوب‬‫ـ‬‫المطل‬ ‫ة‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــــ‬‫له‬ ‫ـررى‬‫ـ‬‫الص‬ ‫أو‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫العظم‬ ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫النها‬ ‫اد‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــــ‬‫ز‬ ‫ا‬‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـألة‬‫ـ‬‫المس‬ ً‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـث‬‫ـ‬‫نبح‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫أخ‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫بمعن‬ ٌ‫النها‬ ‫على‬ ‫تدل‬ ً‫الت‬ ‫الكلمات‬‫ـــــ‬‫م‬ ‫المحلٌـة‬ ‫الصررى‬ ‫أو‬ ‫العظمى‬ ‫ات‬‫ــــ‬‫م‬ ‫اصـرر‬ , ‫ٌمكـن‬ ‫مـا‬ ‫(اكبـر‬ ‫ثل‬‫ــــ‬‫ا‬‫ال‬ , ‫ٌمكـن‬‫ـــــ‬‫ل‬ )‫ززز‬ , ‫مسافة‬ ‫اطول‬ , ‫كمٌة‬‫الدالة‬ ‫هذه‬ ‫تكون‬ ‫األحٌان‬ ‫أكثر‬ ً‫وف‬ ‫الكلمات‬ ‫هذه‬ ‫أساس‬ ‫على‬ ‫الدالة‬ ‫بتكوٌن‬ ‫نبدأ‬ ‫ثم‬(‫لانون‬ ‫محٌط‬ , ‫مساحة‬ , ‫حجم‬,)‫ززز‬ , ‫دائرٌة‬ ‫دوال‬ , ‫مثلثات‬ ‫تشابه‬ , ‫فٌثاغورس‬ ③‫ٌجب‬ ‫لذا‬ ‫مترٌر‬ ‫من‬ ‫اكثر‬ ‫على‬ ‫تعتمد‬ ‫اعاله‬ ‫المكونة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬‫ذات‬ ‫دالـة‬ ‫لتكـوٌن‬ ‫المترٌـرات‬ ‫بـٌن‬ ‫عاللـة‬ ‫اٌجاد‬ ‫السابمةز‬ ‫للموانٌن‬ ‫مشابهة‬ )‫ززززززززززز‬ , ‫مساحة‬ , ‫حجم‬ ‫(لانون‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬ ‫هذه‬ ‫االحٌان‬ ‫وأكثر‬ ‫واحد‬ ‫مترٌر‬ ④‫كما‬ ‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫أو‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬ ‫ألٌجاد‬ ‫واحد‬ ‫مترٌر‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ً‫والت‬ ‫المتكونة‬ ‫الدالة‬ ‫بدراسة‬ ‫نبدأ‬ ‫أخٌر‬ ‫ـــــا‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـــــا‬‫ـ‬‫تعلمن‬‫بما‬‫ـــــرة‬‫ـ‬‫الفت‬ ‫ـــــرا‬‫ـ‬‫أط‬ ً‫ـــــ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـــــة‬‫ـ‬‫الحرج‬ ‫ـــــداد‬‫ـ‬‫األع‬ ‫ـــــاد‬‫ـ‬‫أٌج‬ ‫ـــــك‬‫ـ‬ٌ‫طر‬ ‫ـــــن‬‫ـ‬‫ع‬( ‫أي‬‫ـــــة‬‫ـ‬‫الدال‬ ‫ـــــٌم‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـــــاد‬‫ـ‬‫أٌج‬‫)ز‬ ( ‫مثال‬1/)‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أصرر‬ ‫الناتج‬ ‫ٌكون‬ ‫مربعه‬ ‫الى‬ ٌ‫أض‬ ‫أذا‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫جد‬: /‫الحل‬ ‫الفرضيت‬:‫نفرض‬‫الؼذد‬= = ‫الؼذد‬ ‫مربغ‬𝟐 ‫الذالت‬:‫مربؼو‬ + ‫الؼذد‬ ( ) 𝟐 ‫الذراست‬: ̅( ) 𝟏 𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجؼل‬ ) 𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟐 ̅( ) 𝟐 ̅ 4 𝟏 𝟐 5 𝟐 𝟎 ∴‫نهاية‬ ‫توجد‬‫صغر‬‫عندما‬ ‫محلية‬ ‫ى‬ 𝟏 𝟐 ∴‫هو‬ ‫العدد‬. 𝟏 𝟐 / ‫األختبار‬
  • 222.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 221 ( ‫مثال‬2/)‫ضـلعها‬ ‫طـول‬‫الشـكل‬ ‫مربعـة‬ ‫النحـاس‬ ‫مـن‬ ‫لطعة‬ ‫من‬ ‫مفتوح‬ ‫صندوق‬ ‫صنع‬(𝟏𝟐 )‫أربـع‬ ‫بمـص‬ ‫وذلـن‬ ‫األربعة‬ ‫أركانها‬ ‫من‬ ‫األبعاد‬ ‫متساوٌة‬ ‫مربعات‬‫العلبة‬ ‫لهذه‬ ‫األعظم‬ ‫الحجم‬ ‫هو‬ ‫ما‬ ‫ز‬ ‫لها‬ ‫البارزة‬ ‫األجزاء‬ ً‫ثن‬ ‫ثم‬‫؟‬ /‫الحل‬‫وزاري‬2015/‫د‬1 ‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫طول‬‫الممطوع‬ ‫المربع‬ ‫ضلع‬ = ‫الصندوق‬ ‫أبعاد‬( 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 ) ‫الدالة‬:‫الصندوق‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫الثالثة‬ ‫أبعاده‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ = (𝟏𝟐 𝟐 )(𝟏𝟐 𝟐 )( ) (𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟖 𝟒 𝟐)( ) 𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟖 𝟐 𝟒 𝟑 ‫العاللة‬:‫واحد‬ ‫مترٌر‬ ‫تحتوي‬ ‫المعادلة‬ ‫الن‬ ‫عاللة‬ ‫الى‬ ‫نحتاج‬ ‫ال‬ ‫الدراسة‬: 𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟐 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟏𝟐) 𝟏𝟐 𝟖 𝟐 𝟎 (𝟔 )(𝟐 ) 𝟎 𝟔 ‫ٌمكن‬ ‫ال‬ 𝟐 ∴‫عندما‬( 𝟐): ‫تساوي‬ ‫للحجم‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫توجد‬ (𝟖)(𝟖)(𝟐) 𝟏𝟐𝟖 𝟑 :‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (
  • 223.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 222 ( ‫مثال‬3/)‫لطرهـا‬ ‫نصـ‬‫دائـرة‬ ‫داخـل‬ ‫ٌوضع‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬ ‫السالٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫أكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬(𝟏𝟐 )‫بـرهن‬ ‫ثـم‬ ‫الدائ‬ ‫مساحة‬ ‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫نسبة‬ ‫أن‬‫كنسبة‬ ‫رة‬ 𝟑√𝟑 𝟒 /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫المثلث‬ ‫أرتفاع‬ ‫نفرض‬=h= ‫المثلث‬ ‫لاعدة‬ ‫طول‬𝟐 ‫الدالة‬:‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟏 𝟐 (𝟐 )( ) ‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬ 𝟐 ( 𝟏𝟐) 𝟐 (𝟏𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟒 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟐𝟒 𝟐 √ 𝟐𝟒 𝟐 .√ 𝟐𝟒 𝟐 / √ 𝟐𝟒 𝟑 𝟒 ‫الدراسة‬: 𝟕𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 (𝟐)√𝟐𝟒 𝟑 𝟒 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟕𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 (𝟐)√𝟐𝟒 𝟑 𝟒 𝟎 𝟕𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 𝟎 ( 𝟒) 𝟐(𝟏𝟖 ) 𝟎 𝟎 ( ‫)الٌمكن‬ 𝟏𝟖 √𝟐𝟒(𝟏𝟖) (𝟏𝟖) 𝟐 √(𝟏𝟖)(𝟔) 𝟔√𝟑 ∴‫المثلث‬ ‫لاعدة‬ ‫طول‬: ‫تساوي‬ 𝟐 𝟐( 𝟔√ 𝟑 ) 𝟏𝟐√ 𝟑 ‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫نسبة‬: ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ 𝟏 𝟐 (𝟏𝟐) 𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟐 ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ 𝟐 𝟏 𝟐 (𝟐 )( ) ( 𝟔√ 𝟑)(𝟏𝟖) 𝟐 𝟏𝟎𝟖√ 𝟑 𝟐 ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ 𝟐 𝟏 𝟏𝟎𝟖√ 𝟑 𝟏𝟒𝟒 𝟑√ 𝟑 𝟒 :‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (
  • 224.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 223 ( ‫مثال‬4/)‫لاعدتـه‬ ‫طـول‬‫مثلـث‬ ‫داخل‬ ‫ٌوضع‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬(24 cm)‫وأرتفاعـه‬(18 cm)‫بحٌـث‬ ‫ال‬ ‫على‬ ‫تمعان‬ ‫رؤوسه‬ ‫من‬ ‫متجاورٌن‬ ‫رأسٌن‬ ‫أن‬‫تمعان‬ ‫البالٌان‬ ‫والرأسٌن‬ ‫ماعدة‬‫على‬‫سالٌه‬‫ز‬‫وزاري‬2013/‫د‬2 /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫المستطٌل‬ ‫بعدي‬: ‫الدالة‬:‫مساحة‬ ً‫ه‬‫المستطٌل‬‫بعدٌه‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫العاللة‬:‫تشـــــــا‬‫المثلثات‬ ‫به‬btr , bcq‫لتس‬ (‫ـــ‬‫لذا‬ ‫المتناظرة‬ ‫زواٌاهما‬ ‫اوي‬ ‫تتناسب‬) ‫أرتفاعهما‬ ‫وكذلن‬ ‫المتناظرة‬ ‫أضالعهما‬ 𝟐𝟒 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟐𝟒 ( 𝟏𝟖 𝟏𝟖 ) 𝟒 𝟑 ( 𝟏𝟖 ) ( 𝟒 𝟑 ( 𝟏𝟖 )) 𝟒 𝟑 ( 𝟏𝟖 𝟐) ‫الدراسة‬: 𝟒 𝟑 ( 𝟏𝟖 𝟐 ) ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟒 𝟑 ( 𝟏𝟖 𝟐 ) 𝟎 ( 𝟒 𝟑 ) 𝟏𝟖 𝟐 𝟎 𝟗 𝟏𝟐 ∴‫هما‬ ‫المستطٌل‬ ‫بعدي‬( 𝟗) ( 𝟏𝟐) :‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ ( ‫ثانٌة‬ ‫طرٌمة‬‫لألختبار‬: 𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 ( 𝟐) 𝟖 𝟑 𝟎 ‫ل‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬‫لدالة‬‫عندما‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫مساحة‬( 𝟗 )
  • 225.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 224 ( ‫مثال‬5/)‫ومربـع‬ ‫دائرة‬ً‫محٌط‬ ‫مجموع‬(𝟔𝟎 )‫مـا‬ ‫أصـرر‬ ‫الشـكلٌن‬ ً‫مسـاحت‬ ‫مجمـوع‬ ‫ٌكـون‬ ‫عنـدما‬ ‫أنـه‬ ‫أثبـت‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫ٌساوي‬ ‫الدائرة‬ ‫لطر‬ ‫طول‬ ‫فأن‬ ‫ٌمكن‬‫المربع‬‫ز‬‫وزاري‬2013/‫د‬3 /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:= ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬x cm= ‫الدائرة‬ ‫لطر‬ ‫ونص‬R cm ‫الدالة‬:‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ +‫المربع‬ ‫مساحة‬ ً‫ه‬ 𝟐 𝟐 𝟑𝟎 𝟐 𝟑𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟑𝟎 𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟏 (𝟑𝟎 𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟏 (𝟗𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟒 𝟐) ‫العاللة‬:=‫الدائرة‬ ‫محٌط‬ + ‫المربع‬ ‫محٌط‬60 cm 𝟔𝟎 𝟒 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟏 ( 𝟏𝟐𝟎 𝟖 ) ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟐 𝟏 ( 𝟏𝟐𝟎 𝟖 ) 𝟎 . 𝟐 / 𝟔𝟎 𝟒 𝟎 ( 𝟒) 𝟔𝟎 𝟔𝟎 𝟒 ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫الدائرة‬ ‫لطر‬ 𝟐 𝟐 4 𝟏 (𝟑𝟎 𝟐 )5 𝟐 (𝟑𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟒 ) ‫الدائرة‬ ‫لطر‬ 𝟐 ( 𝟑𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟒 ) 𝟐 ( 𝟑𝟎 𝟒 ) 𝟔𝟎 𝟒 ‫الدراسة‬: 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ( 𝟖) 𝟎 : ‫األختبار‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬
  • 226.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 225 ( ‫مثال‬6/)‫لل‬ ً‫تنتم‬‫نماط‬ ‫أو‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬‫الزائد‬ ‫مطع‬𝟐 𝟐 𝟑‫للنمطة‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكون‬ ‫بحٌث‬(𝟎 𝟒) /‫الحل‬ ****************************************************************** : ‫مالحظات‬ Ⓘ‫عن‬ ‫المول‬ ‫ٌمكن‬‫المساحة‬ ‫دالة‬‫األحٌان‬ ‫بعض‬ ً‫ف‬‫مسطح‬ ‫أصرر‬ ‫أو‬ ‫أكبر‬‫للشكل‬ ②‫عن‬ ‫المول‬ ‫ٌمكن‬‫السعة‬ ‫أو‬ ‫الحجم‬ ‫دالة‬‫األحٌان‬ ‫بعض‬ ً‫ف‬‫مجسم‬ ‫أصرر‬ ‫أو‬ ‫أكبر‬‫للشكل‬ ③‫أٌجاد‬ ‫طرٌك‬ ‫عن‬ ‫السابك‬ ‫الحل‬ ‫نفس‬ ‫هو‬ ‫الحل‬ ‫ٌكون‬ ‫أعاله‬ ‫الحالتٌن‬ ‫كال‬ ً‫ف‬‫الفرضٌة‬,‫الدالة‬,‫العاللة‬ً‫ف‬ ‫(فمط‬ , )‫مترٌر‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫وجود‬ ‫حالة‬‫الدراسة‬,‫االختبار‬ ‫الفرضٌة‬:‫النمطة‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬( )ً‫المنحن‬ ‫نمط‬ ‫من‬ ً‫ه‬𝟐 𝟐 𝟑‫للنمطة‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكن‬ ‫بحٌث‬(𝟎 𝟒) √( 𝟎) 𝟐 ( 𝟒) 𝟐 ‫الدالة‬:ً‫ه‬‫المسافة‬ ‫لانون‬ √( 𝟐 𝟑) 𝟐 𝟖 𝟏𝟔 √ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑 ‫العاللة‬:( 𝟐 𝟐 𝟑) √ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟔 𝟒 𝟖 (𝟐)√𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟒 𝟖 ( 𝟐)√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑 𝟎 𝟒 𝟖 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 ‫الدراسة‬: ً‫ه‬ ‫النماط‬(𝟏 𝟐) ( 𝟏 𝟐) ‫وزاري‬2011/‫د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬1
  • 227.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 226 (𝟑 𝟔)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫مجموعهما‬ ‫موجبٌن‬‫عددٌن‬ ‫جد‬(75)‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫األخر‬ ‫مربع‬ ً‫ف‬ ‫أحدهما‬ ‫ضرب‬ ‫وحاصل‬‫ز‬ /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:= ‫األول‬ ‫العدد‬ ‫نفرض‬= ً‫الثان‬ ‫والعدد‬ ‫األول‬ ‫العدد‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬= ً‫الثان‬ ‫العدد‬ ‫مربع‬ ‫الدالة‬:‫عددٌة‬ ‫عاللة‬ ً‫ه‬ 𝟐 ( ‫)معادلة‬ 𝟕𝟓 𝟕𝟓 (② ‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ (𝟕𝟓 ) 𝟐 𝟕𝟓 𝟐 𝟑 ‫الدراسة‬: ̅ 𝟏𝟓𝟎 𝟑 𝟐 (̅ 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟏𝟓𝟎 𝟑 𝟐 𝟎 ( 𝟑) 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 (𝟓𝟎 ) 𝟎 𝟎 (‫)ٌهمل‬ 𝟓𝟎 𝟕𝟓 𝟕𝟓 𝟓𝟎 𝟐𝟓 ‫األول‬ ‫العدد‬(𝟐𝟓)ً‫الثان‬ ‫والعدد‬(𝟓𝟎) :‫األختبار‬‫لألطالع‬
  • 228.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 227 ‫س‬2/‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫كرة‬‫داخل‬ ‫توضع‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫أرتفاع‬ ‫جد‬𝟒√‫وزاري‬2012/‫د‬3 /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫االسطوانة‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬== ‫االسطوانة‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬𝟐= ‫الحجم‬ ‫ونفرض‬ ‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟐(𝟐 ) ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬ 𝟐 𝟐 . 𝟒√ 𝟑/ 𝟐 𝟐 𝟒𝟖 𝟐 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟒𝟖 𝟐) 𝟐 (𝟒𝟖 𝟑) (③‫)معادلة‬ ‫الدراسة‬: 𝟐 (𝟒𝟖 𝟑 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟐 ( 𝟒𝟖 𝟑 𝟐 ) 𝟎 ( 𝟐 ) 𝟒𝟖 𝟑 𝟐 𝟎 ( 𝟑) 𝟏𝟔 𝟐 𝟎 (𝟒 )(𝟒 ) 𝟎 𝟒 ( ‫ٌهمل‬ ) 𝟒 𝟐 𝟒𝟖 𝟐 𝟒𝟖 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟒√𝟐 : ‫لالسطوانة‬ ‫ارتفاع‬ ‫أكبر‬ 𝟐 𝟐(𝟒 ) 𝟖 :‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (
  • 229.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 228 ‫س‬3/‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫دائرة‬‫نص‬ ‫داخل‬ ‫ٌوضع‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬𝟒√‫وزاري‬2012/‫د‬1 /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫المستطٌل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬=𝟐‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬= ‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫ونفرض‬A ‫الدالة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬‫المائم‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬(ABC) 𝟐 𝟐 . 𝟒√ 𝟐/ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟐 √ 𝟑𝟐 𝟐 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟐.√ 𝟑𝟐 𝟐/ 𝟐.√ 𝟑𝟐 𝟐 𝟒/ √ 𝟒(𝟑𝟐 𝟐 𝟒) √ 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒 ‫الدراسة‬: 𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑 𝟐 .√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒/ ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑 𝟐 (√ 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒 ) 𝟎 𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑 𝟎 𝟏𝟔 𝟑 𝟎 ( 𝟐) 𝟎 (‫ٌهمل‬ ) 𝟐 𝟒 ( ‫السالب‬ ‫)ٌهمل‬ 𝟒 ( ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ) √ 𝟑𝟐 𝟐 √𝟑𝟐 √ 𝟐 𝟐(𝟒) 𝟖 ( ‫المستطٌل‬ ‫طول‬ ) :‫األختبار‬‫لألطالع‬
  • 230.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 229 ‫س‬4/‫سالٌه‬ ‫من‬ ‫كل‬‫طول‬ ‫السالٌن‬ ‫متساوي‬ ‫لمثلث‬ ‫مساحة‬ ‫أكبر‬ ‫جد‬𝟖√ /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫أرتفاع‬‫المثلث‬= ‫المثلث‬ ‫لاعدة‬ ‫طول‬ ‫ونفرض‬𝟐= ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫ونفرض‬ ‫الدالة‬:‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟏 𝟐 (𝟐 ) ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬ 𝟐 𝟐 . 𝟖√ 𝟐/ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟏𝟐𝟖 𝟐 √𝟏𝟐𝟖 𝟐 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ .√ 𝟏𝟐𝟖 𝟐/ √ 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒 ‫الدراسة‬: 𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑 𝟐 (√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒) ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑 𝟐(√ 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒 ) 𝟎 𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑 𝟎 𝟔𝟒 𝟑 𝟎 (𝟔𝟒 𝟐 ) 𝟎 𝟎 (‫ٌهمل‬ ) 𝟔𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟔𝟒 𝟖 ‫األرتفاع‬ 𝟖 ( ‫ٌهمل‬ ) 𝟐 𝟐(𝟖) 𝟏𝟔 (‫المثلث‬ ‫لاعدة‬ ‫طول‬ ) : ‫للمثلث‬ ‫مساحة‬ ‫اكبر‬ (𝟖)(𝟖) 𝟔𝟒 𝟐 :‫األختبار‬‫لألطالع‬
  • 231.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 230 ‫س‬5/‫مساحته‬ ‫الذي‬ ‫للمستطٌل‬‫ممكن‬ ‫محٌط‬ ‫ألل‬ ‫جد‬𝟏𝟔 𝟐 /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫طول‬‫المستطٌل‬== ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫ونفرض‬‫محٌط‬ ‫ونفرض‬‫المستطٌل‬= ‫مساحة‬ ‫ونفرض‬= ‫المستطٌل‬ ‫الدالة‬:‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟐 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫ا‬‫لعاللة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ 𝟏𝟔 𝟏𝟔 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐4 𝟏𝟔 5 𝟐 𝟑𝟐 𝟏 ‫الدراسة‬: 𝟐 𝟑𝟐 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟐 𝟑𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟏 𝟏𝟔 𝟐 𝟎 ( 𝟐 ‫ب‬ ‫المعادلة‬ ‫)نضرب‬ 𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟒 𝟒 : ‫ممكن‬ ‫محٌط‬ ‫ألل‬ 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟒) 𝟐( 𝟒) 𝟏𝟔 :‫األختبار‬‫لألطالع‬
  • 232.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 231 ‫س‬6/‫جد‬‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫كرة‬‫داخل‬ ‫وضعه‬ ‫ٌمكن‬ ‫لائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫أكبر‬ ‫حجم‬(3 cm) /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫المخروط‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬== ‫المخروط‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬= ‫الحجم‬ ‫ونفرض‬ ‫الدالة‬:‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟏 𝟑 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬‫الزاوٌة‬ ‫المائم‬ ‫للمثلث‬ (ABC) 𝟐 ( 𝟑) 𝟐 (𝟑) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 𝟗 𝟗 𝟐 𝟔 𝟐 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟏 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 (𝟔 𝟐 ) 𝟑 (𝟔 𝟐 𝟑 ) ‫الدراسة‬: 𝟑 ( 𝟏𝟐 𝟑 𝟐 ) ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 (𝟏𝟐 𝟑 𝟐 ) 𝟎 ( 𝟑) 𝟒 𝟐 𝟎 ( ) 𝟒 𝟐 𝟎 (𝟒 ) 𝟎 𝟎 (‫ٌهمل‬ ) 𝟒 ‫األرتفاع‬ 𝟐 𝟔 𝟐 𝟔(𝟒) (𝟏𝟔) 𝟖 √𝟖 𝟐√𝟐 ‫المطر‬ ‫نصف‬ : ‫للمخروط‬ ‫حجم‬ ‫أكبر‬ 𝟏 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 (𝟐√𝟐) 𝟐 (𝟒) 𝟑𝟐 𝟑 𝟑 : ‫األختبار‬‫لألطالع‬
  • 233.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 232 ‫س‬7/‫جد‬‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬(6,8)‫مثلث‬ ‫أصرر‬ ‫األول‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫ٌصنع‬ ‫والذي‬ /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬( 𝟎)‫المحور‬ ‫مع‬ ‫المستمٌم‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬ = ‫المثلث‬ ‫أبعاد‬ ‫نفرض‬x , y= ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫ونفرض‬A ‫الدالة‬:‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟏 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫المٌل‬ ‫لانون‬‫مٌل‬ (̅̅̅̅‫مٌل‬ =̅̅̅̅) ‫النمطة‬(𝟔 𝟖)‫للمستمٌم‬ ً‫تنتم‬̅̅̅̅ 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟖 𝟎 𝟔 𝟖 𝟎 𝟔 ( 𝟖)(𝟔 ) 𝟒𝟖 𝟔 𝟒𝟖 𝟖 𝟒𝟖 𝟔 𝟖 𝟎 (𝟔 ) 𝟖 𝟖 𝟔 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 ( 𝟖 𝟔 ) 𝟒 𝟐 𝟔 (③‫)معادلة‬ ‫الدراسة‬: (𝟔 )( 𝟖 ) ( 𝟒 𝟐)( 𝟏) (𝟔 ) 𝟐 𝟒𝟖 𝟖 𝟐 𝟒 𝟐 (𝟔 ) 𝟐 𝟒𝟖 𝟒 𝟐 (𝟔 ) 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟒 𝟐 𝟒𝟖 ( 𝟔 ) 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐 𝟒𝟖 𝟎 ( 𝟒 ‫على‬ ‫نمسم‬ ) 𝟐 𝟏𝟐 𝟎 ( 𝟏𝟐) 𝟎 𝟎 (‫ٌهمل‬ ) 𝟏𝟐 ∴(𝟏𝟐 𝟎)‫المحور‬ ‫مع‬ ‫المستمٌم‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬) ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ( (̅̅̅̅) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟖 𝟎 𝟔 𝟏𝟐 𝟖 𝟔 𝟒 𝟑 ‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬(6,8)‫مٌله‬ ‫الذي‬. 𝟒 𝟑 /ً‫ه‬: 𝟏 ( 𝟏) 𝟖 ( 𝟒 𝟑 ) ( 𝟔) ( 𝟑) ⇒ 𝟑 𝟐𝟒 𝟒 𝟐𝟒 𝟒 𝟑 𝟒𝟖 𝟎
  • 234.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 233 ‫س‬8/‫جــد‬‫بعــدي‬‫مس‬ ‫أكبــر‬‫ــــــ‬‫ٌوض‬ ‫تطٌل‬‫ــــــ‬‫بالدال‬‫المحــددة‬ ‫المنطمــة‬ ‫داخــل‬ ‫ع‬‫ـــــ‬‫ة‬( ) 𝟏𝟐 𝟐 ‫ومحــور‬ ‫الس‬‫ـــــ‬‫ٌنات‬,‫رؤوس‬ ‫من‬ ‫رأسان‬‫ه‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫األخران‬ ‫والرأسان‬ ً‫المنحن‬ ‫على‬‫ز‬ ‫محٌطه‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ , /‫الحل‬‫وزاري‬2012/‫د‬2 ‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫طول‬‫المستطٌل‬=𝟐= ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬‫ونفرض‬‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫الدالة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫المعادلة‬( 𝟏𝟐 𝟐) 𝟏𝟐 𝟐 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟐 (𝟏𝟐 𝟐) 𝟐𝟒 𝟐 𝟑 ‫الدراسة‬: 𝟐𝟒 𝟔 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟐𝟒 𝟔 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟒 ‫الطول‬ 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝟖 ‫العرض‬ : ‫للمستطٌل‬ ‫محٌط‬ ‫أكبر‬ 𝟐(𝟐 ) 𝟒 𝟐 𝟒(𝟐) 𝟐(𝟖) 𝟖 𝟏𝟔 𝟐𝟒 :‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (
  • 235.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 234 ‫س‬9/‫مس‬ ‫جد‬‫ــــــــ‬‫أرتفاع‬ ‫لـائم‬‫دائـري‬ ‫مخـروط‬ ‫داخـل‬ ‫توضـع‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫احة‬‫ــــ‬‫ه‬(𝟖 )‫وطـول‬ ‫لاعدته‬ ‫لطر‬(𝟏𝟐 ) /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:= ‫األسطوانة‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬R‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬‫األسطوانة‬=h=‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V ‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫مثلثات‬ ‫تشابه‬(ADE , ABC) 𝟖 𝟖 𝟔 ( 𝟏 𝟐 ‫على‬ ‫الطرفين‬ ‫نقسم‬ ) 𝟒 𝟐𝟒 𝟑 𝟐𝟒 𝟒 𝟑 .②‫معادلة‬/ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟐 ( 𝟐𝟒 𝟒 𝟑 ) 𝟑 (𝟐𝟒 𝟐 𝟒 𝟑 ) ‫الدراسة‬: 𝟑 ( 𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐 ) ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 (𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐 ) 𝟎 𝟏𝟔 𝟒 𝟐 𝟎 ( 𝟒 ) 𝟒 𝟐 𝟎 ( 𝟒 ) 𝟎 𝟎 (‫ٌهمل‬ ) 𝟒 𝟖 𝟑 ‫لألسطوانة‬ ‫مساحة‬ ‫أكبر‬) ‫لألطالع‬ (: (‫األرتفاع‬ ‫الماعدة‬ ‫)محٌط‬ ‫الماعدتٌن‬ ‫مساحة‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟒) ( 𝟖 𝟑 ) 𝟐 (𝟒) 𝟐 𝟔𝟒 𝟑 𝟑𝟐 𝟔𝟒 𝟗𝟔 𝟑 𝟏𝟔𝟎 𝟑 𝟐
  • 236.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 235 ‫س‬10/‫وتره‬ ‫طول‬ ‫الزاوٌة‬‫لائم‬ ‫مثلث‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫ناتج‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫أكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬𝟔√ 𝟑‫كاملة‬ ‫دورة‬‫حول‬ ‫المائمٌن‬ ‫ضلعٌه‬ ‫أحد‬‫وزاري‬2014/‫د‬1‫وزاري‬1201/‫د‬1 /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:= ‫المخروط‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬R= ‫المخروط‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬h=‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V ‫الدالة‬:‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟑 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬‫الزاوٌة‬ ‫المائم‬ ‫المثلث‬ ‫على‬ 𝟐 𝟐 (𝟔√𝟑) 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟖 𝟐 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟑 𝟐 𝟑 ( 𝟏𝟎𝟖 𝟐) 𝟑 ( 𝟏𝟎𝟖 𝟑) ‫الدراسة‬: 𝟑 ( 𝟏𝟎𝟖 𝟑 𝟐 ) ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 (𝟏𝟎𝟖 𝟑 𝟐 ) 𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟎 ( ) 𝟑𝟔 𝟐 𝟎 𝟔 (‫ٌهمل‬ ) 𝟔 𝟐 𝟏𝟎𝟖 𝟐 𝟏𝟎𝟖 𝟑𝟔 𝟕𝟐 √ 𝟕𝟐 ‫أكبر‬: ‫للمخروط‬ ‫حجم‬ 𝟑 𝟐 𝟑 (√𝟕𝟐) 𝟐 (𝟔) (𝟕𝟐)(𝟔) 𝟑 𝟏𝟒𝟒 𝟑
  • 237.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 236 ‫س‬11/‫علبة‬‫سـعتها‬ ‫األعلـى‬ ‫مـن‬‫مفتوحـة‬ ‫الشـكل‬ ‫أسـطوانٌة‬(𝟏𝟐𝟓 𝟑 )‫مس‬ ‫تكـون‬ ‫عنـدما‬ ‫أبعادهـا‬ ‫جـد‬‫ــــــ‬‫احة‬ ‫أ‬ ‫صناعتها‬ ً‫ف‬ ‫المستخدم‬ ‫المعدن‬‫لل‬‫ٌمكن‬ ‫ما‬‫ز‬ /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫لطر‬ ‫نص‬‫االسطوانة‬=R= ‫األسطوانة‬ ‫أرتفاع‬ ‫نفرض‬h= ‫غطاء‬ ‫بدون‬ ‫الكلٌة‬ ‫المساحة‬ ‫ونفرض‬A ‫الدالة‬:‫المساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫واحدة‬ ‫لاعدة‬ ‫مساحة‬ ‫المساحةالجانبٌة‬ 𝟐 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫ا‬‫لعاللة‬:‫األسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ 𝟐 𝟏𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟐𝟓 𝟐 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟏𝟐𝟓 𝟐 ) 𝟐 𝟐𝟓𝟎 𝟏 ‫الدراسة‬: 𝟐 𝟐𝟓𝟎 𝟐 𝟐 𝟐𝟓𝟎 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟐 𝟐𝟓𝟎 𝟐 𝟎 ( 𝟐 ) ⇒ 𝟏𝟐𝟓 𝟐 𝟎 ( 𝟐 ) ( 𝟑 𝟏𝟐𝟓) 𝟎 𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟓 :‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (
  • 238.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 237 ‫س‬12/ً‫فـ‬ ‫المسـتعمل‬ ‫المعـدن‬‫مسـاحة‬ ‫كانـت‬ ‫فـأذا‬ ‫عرضـها‬ ‫ضـع‬ ‫لاعدته‬ ‫طول‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫خزان‬ ‫صناعته‬𝟏𝟎𝟖 𝟐 ‫كامل‬ ‫غطاء‬ ‫ذو‬ ‫الخزان‬ ‫ان‬ ‫علما‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫حجمه‬ ‫ٌكون‬ ً‫لك‬ ‫الخزان‬ ‫أبعاد‬ ‫جد‬ /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:= ‫الماعدة‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬x‫الماعدة‬ ‫طول‬ ‫ونفرض‬=2x= ‫االرتفاع‬ ‫ونفرض‬y=‫الخزان‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V ‫الدالة‬:‫الخزان‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ (𝟐 )( )( ) 𝟐 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫الجانبٌة‬ ‫المساحة‬ ‫الماعدتٌن‬ ‫مساحة‬ 𝟏𝟎𝟖 𝟐(𝟐 ) 𝟒 𝟐 𝟏𝟎𝟖 𝟐(𝟑 ) 𝟒 𝟐 ( 𝟐) 𝟓𝟒 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟓𝟒 𝟐 𝟐 𝟓𝟒 𝟐 𝟐 𝟑 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 4 𝟓𝟒 𝟐 𝟐 𝟑 5 𝟐 𝟑 (𝟓𝟒 𝟐 𝟑) ‫الدراسة‬: 𝟐 𝟑 (𝟓𝟒 𝟔 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟐 𝟑 (𝟓𝟒 𝟔 𝟐) 𝟎 𝟓𝟒 𝟔 𝟐 𝟎 ( 𝟔 ) 𝟗 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐 𝟔 ‫الماعدة‬ ‫طول‬ 𝟓𝟒 𝟐 𝟐 𝟑 𝟓𝟒 𝟏𝟖 𝟗 𝟑𝟔 𝟗 𝟒 ‫الماعدة‬ ‫عرض‬ :‫األختبار‬() ‫لألطالع‬ ) ‫المستطٌلة‬ ‫السطوح‬ ‫لمتوازي‬ ‫المساحة‬ ‫لوانٌن‬ ( :‫للتذكٌر‬ ‫مالحظة‬ ‫االرتفاع‬ × ‫القاػذة‬ ‫محيظ‬ = ‫الجانبيت‬ ‫المساحت‬ ‫القاػذتين‬ ً‫مساحت‬ ‫مجمىع‬ + ‫الجانبيت‬ ‫المساحت‬ = ‫الكليت‬ ‫المساحت‬
  • 239.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 238 ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫وأرتفاعه‬‫لاعدته‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫مجموع‬ ‫لائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬(12 cm)‫ز‬ ‫المخروط‬ ‫لهذا‬ ‫حجم‬ ‫أكبر‬ ‫جد‬ /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫المخروط‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬=R= ‫المخروط‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬h= ‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V ‫الدالة‬:‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟑 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬: 𝟏𝟐 𝟏𝟐 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐(𝟏𝟐 ) 𝟑 (𝟏𝟐 𝟐 𝟑) (③‫)معادلة‬ ‫الدراسة‬: 𝟑 (𝟐𝟒 𝟑 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 (𝟐𝟒 𝟑 𝟐) 𝟎 (𝟖 𝟐) 𝟎 𝟖 𝟐 𝟎 (𝟖 ) 𝟎 𝟎 𝟏𝟐 ( ‫)الٌمكن‬ 𝟖 𝟒 ‫حجم‬ ‫أكبر‬: ‫للمخروط‬ 𝟑 𝟐 𝟑 (𝟖) 𝟐(𝟒) 𝟐𝟓𝟔 𝟑 𝟑
  • 240.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 239 ‫مثال‬/‫لطرهـا‬ ‫نصـ‬ ‫كـرة‬‫داخـل‬ ‫موضـوعة‬ ‫لائمـة‬ ‫دائرٌـة‬ ‫اسطوانة‬𝟗‫ٌكـون‬ ً‫لكـ‬ ‫االسـطوانة‬ ‫أرتفـاع‬ ‫أحسـب‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫حجمها‬‫ز‬ /‫الحل‬ ‫ا‬‫لفرضٌة‬:‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬‫االسطوانة‬ ‫لاعدة‬=R‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬‫االسطوانة‬=2 h ‫الدالة‬:‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫االسطوانة‬ 𝟐(𝟐 ) ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬ 𝟐 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝟖𝟏 𝟐 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟖𝟏 𝟐) 𝟐 (𝟖𝟏 𝟑) (③‫)معادلة‬ ‫الدراسة‬: 𝟐 (𝟖𝟏 𝟑 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟐 ( 𝟖𝟏 𝟑 𝟐 ) 𝟎 ( ) ⇒ 𝟖𝟏 𝟑 𝟐 𝟎 𝟖𝟏 𝟑 𝟐 ( ) ⇒ 𝟐 𝟐𝟕 𝟑√𝟑 (‫ٌهمل‬ ) 𝟑√𝟑 𝟑√𝟔 ‫أكبر‬‫لالسطوانة‬ ‫ارتفاع‬: ‫األرتفاع‬ 𝟐 𝟐(𝟑√𝟑 ) 𝟔√𝟑 ‫مثال‬/‫بٌنهما‬ ‫الفرق‬ ‫عددان‬(12)‫ز‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫ضربهما‬ ‫حاصل‬ ‫ٌكون‬ ‫بحٌث‬ ‫العددان‬ ‫هذان‬ ‫جد‬ ‫الفرضٌة‬:= ‫األول‬ ‫العدد‬ ‫نفرض‬x= ً‫الثان‬ ‫والعدد‬𝟏𝟐 = ‫ضربهما‬ ‫وحاصل‬y ‫الدالة‬:ً‫ه‬‫عددٌة‬ ‫عاللة‬ ( 𝟏𝟐) 𝟐 𝟏𝟐 ‫الدراسة‬: 𝟐 𝟏𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟐 𝟏𝟐 𝟎 𝟔 𝟎 𝟔 ‫األول‬ ‫العدد‬(𝟔)ً‫الثان‬ ‫والعدد‬( 𝟔)
  • 241.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 240 ‫مثال‬/‫مساحته‬ ‫مستطٌل‬ ‫بعدي‬‫جد‬𝟐𝟓 𝟐 ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫محٌطه‬ ‫ٌكون‬ ‫بحٌث‬ /‫الحل‬ ‫ا‬‫لفرضٌة‬:‫هما‬ ‫المستطٌل‬ ‫بعدي‬ ‫نفرض‬x, y= ‫محٌطه‬ ‫ونفرض‬m ‫الدالة‬:‫محٌط‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫المستطٌل‬ 𝟐 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ 𝟐𝟓 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐𝟓 ) 𝟐 𝟓𝟎 𝟏 (③‫)معادلة‬ ‫الدراسة‬: 𝟐 𝟓𝟎 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟐 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 𝟏 𝟐𝟓 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐𝟓 𝟎 𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟓 (‫ٌهمل‬ ) 𝟓 𝟓 ‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬/‫ـه‬‫ـ‬‫لاعدت‬ ‫ـٌط‬‫ـ‬‫مح‬ ‫ـوع‬‫ـ‬‫مجم‬ ‫ـان‬‫ـ‬‫ك‬ ‫ـأذا‬‫ـ‬‫ف‬ , ‫ـكل‬‫ـ‬‫الش‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مربع‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫لاعدت‬ ‫ـتطٌلة‬‫ـ‬‫مس‬ ‫ـطوح‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـوازي‬‫ـ‬‫مت‬ ‫ـكل‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـوض‬‫ـ‬‫ح‬ ‫وأرتفاعه‬24 m‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ) ‫(حجمه‬ ‫سعته‬ ‫تكون‬ ً‫لك‬ ‫الحوض‬ ‫ابعاد‬ ‫,جد‬ /‫الحل‬ ‫ا‬‫لفرضٌة‬:‫الحوض‬ ‫ابعاد‬ ‫نفرض‬x, y,x‫ونفرض‬‫حجمه‬=V ‫الدالة‬:‫لانون‬ ً‫ه‬‫الحوض‬ ‫حجم‬ 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:+ ‫المربعة‬ ‫الماعدة‬ ‫(محٌط‬‫االرتفاع‬)‫للحوض‬ 𝟒 𝟐𝟒 𝟐𝟒 𝟒 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟐 (𝟐𝟒 𝟒 ) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒 𝟑 ‫الدراسة‬: 𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐 𝟎 (𝟒 ) 𝟎 𝟎 (‫ٌهمل‬ ) 𝟒 𝟖
  • 242.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 241 ‫مثال‬/‫بعدي‬ ‫جد‬‫أكبر‬‫م‬ ‫مستطٌل‬‫حٌطه‬𝟏𝟎𝟎 /‫الحل‬ ‫ا‬‫لفرضٌة‬:‫هما‬‫المستطٌل‬ ‫بعدي‬ ‫نفرض‬x, y‫ونفرض‬‫مساحته‬=A ‫الدالة‬:‫م‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫ساحة‬‫المستطٌل‬ ( ‫)معادلة‬ ‫ا‬‫لعاللة‬:‫م‬‫المستطٌل‬ ‫حٌط‬ 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟓𝟎 𝟓𝟎 .②‫معادلة‬/ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ ( 𝟓𝟎 ) 𝟓𝟎 𝟐 ‫الدراسة‬: 𝟓𝟎 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 𝟐𝟓 𝟎 𝟐𝟓 𝟐𝟓 ‫مثال‬/‫محٌطه‬ ‫مستطٌل‬(30 cm)‫المسـتطٌل‬ ‫هـذا‬ ‫بعـدي‬ ‫جـد‬ , ‫لائمـة‬ ‫دائرٌـة‬ ‫أسطوانة‬ ‫فكون‬ ‫أضالعه‬ ‫أحد‬ ‫حول‬ ‫أدٌر‬ ‫ز‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫المتكونة‬ ‫األسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫ٌكون‬ ً‫لك‬ /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫االسطوانة‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬=x= ‫االسطوانة‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬y= ‫الحجم‬ ‫ونفرض‬V ‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬ 𝟐 𝟐 𝟑𝟎 𝟏𝟓 𝟏𝟓 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟐( 𝟏𝟓 ) ( 𝟏𝟓 𝟐 𝟑) ‫الدراسة‬: (𝟑𝟎 𝟑 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) ( 𝟑𝟎 𝟑 𝟐) 𝟎 𝟏𝟎 𝟐 𝟎 (𝟏𝟎 ) 𝟎 𝟎 (‫ٌهمل‬ ) 𝟏𝟎 𝟓 ً‫ه‬ ‫األسطوانة‬ ‫بعدي‬(10 cm , 5 cm)
  • 243.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 242 ‫مثال‬/‫مخـروط‬ ‫داخـل‬ ‫وضـعها‬‫ٌمكـن‬ ‫لائمـة‬ ‫دائرٌة‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬‫لـائم‬ ‫دائـري‬‫أرتفاعـه‬(12 cm)‫ونصـ‬ ‫لاعدته‬ ‫لطر‬(9 cm)‫متماستان‬ ‫والمخروط‬ ‫األسطوانة‬ ً‫لاعدت‬ ‫أحد‬ ‫بحٌث‬‫ز‬ /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫االسطوانة‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬=R= ‫االسطوانة‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬h= ‫الحجم‬ ‫ونفرض‬V ‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫مثلثات‬ ‫تشابه‬ 𝟗 𝟏𝟐 𝟏𝟐 ( 𝟑 ) 𝟑𝟔 𝟑 𝟒 𝟑𝟔 𝟒 𝟑 𝟑𝟔 𝟒 𝟑 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟐 ( 𝟑𝟔 𝟒 𝟑 ) 𝟑 (𝟑𝟔 𝟐 𝟒 𝟑) ‫الدراسة‬: 𝟑 (𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 (𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐) 𝟎 𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟎 ( ) 𝟔 𝟐 (𝟔 ) 𝟎 𝟎 (‫ٌهمل‬ ) 𝟔 𝟒 : ‫لالسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫أكبر‬ 𝟐 (𝟔) 𝟐(𝟒) 𝟏𝟒𝟒 ****************************************************************** ً‫المنحن‬ ‫على‬ ‫ٌمعان‬ ‫منه‬ ‫رأسان‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬𝟐 𝟖‫المستمٌم‬ ‫على‬ ‫ٌمعان‬ ‫األخران‬ ‫والرأسان‬𝟒 ②‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫دائرة‬ ‫داخل‬ ‫رسمه‬ ‫ٌمكن‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬(𝟐 ) ③‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬ ‫النمط‬ ‫أوجد‬𝟗 𝟏 𝟐 𝟐 ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫من‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكون‬ ‫بحٌث‬ ④‫أرتفاعه‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫داخل‬ ‫وضعها‬ ‫ٌمكن‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬(𝟏𝟐 )‫لاعدته‬ ‫لطر‬ ‫ونص‬(𝟗 ) ⑤‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫جد‬: ⒜‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫يكون‬ ‫مربعه‬ ‫على‬ ‫زيادته‬ ⒝‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫أصغر‬ ‫يكون‬ ‫مربعه‬ ‫الى‬ ‫أضافته‬ ‫عند‬ ⒞‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫أصغر‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مقلوبه‬ ‫الى‬ ‫أضافته‬ ‫عند‬ ⑥‫كان‬ ‫أذا‬𝟒 𝟐𝟒‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬x , y‫تجعل‬ ً‫الت‬𝟐 ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬
  • 244.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 243 ‫الثالث‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬ ‫س‬5/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬‫الفروع‬( )‫التكامل‬ ‫بموضوع‬ ‫مرتبطة‬ ( ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟓 𝟑 𝟑 (𝟐 ) 𝟐(𝟑 𝟐) 𝟐 𝟓 𝟐 𝟑 𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟑 𝟐) 𝟓 𝟑 𝟐 𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 ( ) 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟒 ( 𝟒) 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 ‫س‬6/‫لٌم‬ ‫ألٌجاد‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫ثم‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫أستخدم‬C‫للدالة‬ ( ) 𝟒 𝟐 𝟐 , 𝟐 𝟐- ‫الحل‬/‫وزاري‬2013‫/د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬3 ①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟐-‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟐 𝟐)‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬ ③‫نوجد‬( 𝟐) (𝟐) (𝟐) (𝟐) 𝟒 𝟐(𝟐) 𝟐 𝟏𝟔 𝟖 𝟖 ( 𝟐) ( 𝟐) 𝟒 𝟐( 𝟐) 𝟐 𝟏𝟔 𝟖 𝟖 (𝟐) ( 𝟐) : ‫أوال‬‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬‫رول‬ ‫مبرهنة‬‫نفرض‬ ‫لذا‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎 ( ) 𝟒 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟒 𝟑 𝟒 ̅( ) 𝟒 𝟑 𝟒 𝟒 𝟑 𝟒 𝟎 ( ) ⇒ 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐)
  • 245.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 244 ‫ثانٌا‬:‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬‫ضمن‬ ‫الدالة‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ∴‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬ ̅( ) 𝟒 𝟑 𝟒 ̅( ) 𝟒 𝟑 𝟒 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ ) ̅( ) ( ) ( ) (𝟐) ( 𝟐) 𝟐 ( 𝟐) 𝟖 𝟖 𝟒 𝟎 𝟒 .‫الوتر‬ ‫مٌل‬ / ∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬ 𝟒 𝟑 𝟒 𝟎 ( ) ⇒ 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) ‫س‬7/( ) 𝟐 𝟒 𝟓‫الفتـرة‬ ‫علـى‬ ‫رول‬ ‫مبرهنـة‬ ‫شـروط‬ ‫تحمك‬ ‫دالة‬, 𝟏 -‫كانـت‬ ‫فـأذا‬𝟐 ‫للفترة‬ ً‫تنتم‬( 𝟏 )‫لٌمة‬ ‫فجد‬ ‫الحل‬/ ‫الدالة‬‫ز‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحمك‬ ̅( ) 𝟎 ̅( 𝟐) 𝟎 ̅( ) 𝟐 𝟒 ̅( 𝟐) 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟎 𝟒 𝟒 𝟏 ( ) ( ) ( 𝟏) ( ) ( 𝟏) 𝟐 𝟒( 𝟏) 𝟓 𝟐 𝟒 𝟓 𝟐 𝟒 𝟓 𝟏𝟎 𝟐 𝟒 𝟓 𝟎 ( 𝟓)( 𝟏) 𝟎 ‫أما‬ 𝟓 𝟎 𝟓 ‫أو‬ 𝟏 𝟎 𝟏 ‫ٌهمل‬ ‫س‬8/‫عنـدما‬ ‫لـه‬ ً‫التمرٌب‬ ‫الحجم‬ ‫جد‬ , ‫لاعدته‬ ‫طول‬ ‫أمثال‬ ‫ثالثة‬ ‫أرتفاعه‬ ‫و‬ ‫مربعة‬ ‫لاعدته‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫لاعدته‬ ‫طول‬ ‫ٌكون‬(𝟐 𝟗𝟕 ) ‫ا‬‫لحل‬/ ‫نفرض‬‫الماعدة‬ ‫طول‬ ∴‫األرتفاع‬𝟑 ( ) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑 ( ) 𝟑 𝟑 ̅( ) 𝟗 𝟐 ‫نفرض‬𝟑‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬𝟐 𝟗𝟕‫معطى‬ 𝟐 𝟗𝟕 𝟑 𝟎 𝟎𝟑 (𝟑) 𝟑(𝟑) 𝟑 𝟑( 𝟐𝟕) 𝟖𝟏 ̅(𝟑) 𝟗(𝟑) 𝟐 𝟗( 𝟗) 𝟖𝟏 ( ) ( ) ̅( ) ( 𝟑 ( 𝟎 𝟎𝟑)) (𝟑) ( 𝟏) ̅(𝟑) (𝟐 𝟗𝟕) 𝟖𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟑) (𝟖𝟏) 𝟖𝟏 𝟐 𝟒𝟑 (𝟐 𝟗𝟕) 𝟕𝟖 𝟓𝟕 𝟑
  • 246.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 245 ‫س‬9/‫حجمـــ‬ ‫ـائم‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـري‬‫ـ‬‫دائ‬‫ـروط‬‫ـ‬‫مخ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ــــ‬‫ـه‬(𝟐𝟏𝟎 𝟑)‫ـان‬‫ـ‬‫ك‬ ‫أذا‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫لاعدت‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫لط‬ ‫ـ‬‫ـ‬‫لنص‬ ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫التمرٌب‬ ‫ــة‬‫ـ‬‫المٌمــ‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫ج‬ ‫أرتفاعه‬(𝟏𝟎 )‫وزاري‬2013/‫د‬2 ‫ا‬‫لحل‬/ 𝟏 𝟑 𝟐 𝟐𝟏𝟎 𝟏 𝟑 𝟐(𝟏𝟎) 𝟐 (𝟐𝟏𝟎)(𝟑) 𝟏𝟎 𝟐 (𝟐𝟏)(𝟑) 𝟐 𝟔𝟑 √𝟔𝟑 ‫نفرض‬𝟔𝟒‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬𝟔𝟑 𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏 ( ) √ ( ) (𝟔𝟒) √𝟔𝟒 𝟖 ̅( ) 𝟏 𝟐 √ ̅( ) ̅(𝟔𝟒) 𝟏 𝟐 √𝟔𝟒 𝟏 (𝟐)(𝟖) 𝟏 𝟏𝟔 𝟎 𝟎𝟔𝟑 ( ) ( ) ̅( ) ( 𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) ̅(𝟔𝟒) (𝟔𝟑) 𝟖 ( 𝟏) (𝟎 𝟎𝟔𝟑) 𝟖 𝟎 𝟎𝟔𝟑 (𝟔𝟑) 𝟕 𝟗𝟑𝟕 ‫س‬10/‫ــت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) √ 𝟑𝟏 𝟏 𝟓 ‫ـــة‬‫ـ‬‫المٌمــ‬ ‫ـــطة‬‫ـ‬‫المتوســ‬ ‫ـــة‬‫ـ‬‫المٌمــ‬ ‫ــة‬‫ـ‬‫مبرهن‬ ‫ـــة‬‫ـ‬‫نتٌجـــ‬ ‫ـــتخدام‬‫ـ‬‫بأســـ‬ ‫ــد‬‫ـ‬‫ج‬ ‫الى‬ ‫التمرٌبٌة‬(𝟏 𝟎𝟏)‫وزاري‬2013/‫د‬1 ‫ا‬‫لحل‬/ ‫نفرض‬𝟏‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬𝟏 𝟎𝟏‫معطى‬ 𝟏 𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟏 ( ) √ 𝟑𝟏 𝟏 𝟓 ( 𝟑𝟏 𝟏) 𝟏 𝟓 (𝟏) ( 𝟑𝟏 𝟏) 𝟏 𝟓 ( 𝟑𝟐) 𝟏 𝟓 . 𝟐 𝟓 / 𝟏 𝟓 𝟐 ̅( ) 𝟏 𝟓 (𝟑𝟏 𝟏) 𝟒 𝟓 (𝟑𝟏) 𝟑𝟏 𝟓(𝟑𝟏 𝟏) 𝟒 𝟓 ̅(𝟏) 𝟑𝟏 𝟓(𝟑𝟐) 𝟒 𝟓 𝟑𝟏 𝟓(𝟐 𝟓) 𝟒 𝟓 𝟑𝟏 𝟓(𝟐) 𝟒 𝟑𝟏 𝟖𝟎 𝟎 𝟑𝟖𝟕𝟓 ( ) ( ) ̅( ) ( 𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟏)) (𝟏) (𝟎 𝟎𝟏) ̅(𝟏) (𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 (𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟑𝟖𝟕𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟖𝟕𝟓 (𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 𝟎𝟎𝟑𝟖𝟕𝟓
  • 247.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 246 ‫س‬11/‫للدالة‬ ً‫البٌان‬ ً‫المنحن‬‫أرسم‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫بأستخدام‬𝟐 𝟏 /‫الحل‬ 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬⁄ *𝟎+ ‫التناظر‬/‫حول‬ ‫متناظر‬ ً‫المنحن‬‫الصادي‬ ‫المحور‬: ‫ألن‬ ( ) ➨ ( ) ( ) ( ) 𝟏 ( ) 𝟐 𝟏 𝟐 ( ) / ‫المحاذٌات‬ 𝟐 𝟎 𝟎 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬ 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬⁄‫ألن‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬𝟎 𝟎 ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ( ) 𝟏 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 ( ̅( ) 𝟎 ) ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 . ̅( ) 𝟎 / ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ‫الدالة‬‫الفترتٌن‬* 𝟎+ * 𝟎+
  • 248.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 247 ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬ ****************************************************************** ‫الثالث‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬1 ‫معادلتها‬ ً‫الت‬ ‫الدائرة‬ ‫على‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬𝟐 𝟐 𝟒 𝟒‫ازدٌاد‬ ‫معدل‬ ‫عندها‬ ‫ٌكون‬yً‫ا‬ٌ‫مساو‬‫ل‬‫ازدٌاد‬ ‫معدل‬x‫ز‬ :‫الحل‬ ( ) - ( ) ‫على‬ ‫نمسم‬ ( ) ( ) ( ) ‫على‬ ‫نمسم‬ ⇒ ( ) ( ) ‫النمطة‬ ( ) ‫النمطة‬
  • 249.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 248 X Y ‫السٌارة‬ 3m ‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬1 ( ‫بسرعة‬‫تسٌر‬ ‫سٌارة‬30m/s( ‫ارتفاعها‬ ‫حمراء‬ ‫مرورٌة‬ ‫إشارة‬ ‫اجتازت‬ )3m‫ابتعدت‬ ‫أن‬ ‫وبعد‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ ) ‫مسافة‬ ‫عنها‬(𝟑√𝟑 )‫بٌن‬ ‫المسافة‬ ‫ترٌر‬ ‫سرعة‬ ‫جد‬ ‫المرورز‬ ‫بموانٌن‬ ‫االلتزام‬ ‫عدم‬ ‫نتٌجة‬ ‫أخرى‬ ‫بسٌارة‬ ‫اصطدمت‬ ‫الضوئٌةز‬ ‫واالشارة‬ ‫السٌارة‬ :‫الحل‬√ ‫فٌثاغورس‬ ( √ ) √ √ √ ( ) √ √ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1 ( ‫كانت‬ ‫إذا‬1,6‫للدالة‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمثل‬ )( ) 𝟐 ( ) 𝟐 ‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌمة‬ ‫جد‬b,‫الحمٌمٌتٌن‬ ‫ال‬‫م‬‫وجبتٌنز‬ :‫الحل‬‫الدالة‬ ( ) ( ) ( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬ ( ) ̀( ) ( ) ( ) ( ) - ( ) ( )( ) ‫ٌهمل‬
  • 250.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 249 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1 ‫حجمها‬ ‫لائمة‬‫دائرٌة‬ ‫اسطوانة‬ ‫هٌئة‬ ‫على‬ ‫حاوٌة‬(𝟐𝟏𝟔 𝟑)ً‫ف‬ ‫المستخدم‬ ‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫ابعادها‬ ‫جد‬ ‫األعلىز‬ ‫من‬ ‫مفتوحة‬ ‫الحاوٌة‬ ‫أن‬ ‫العلم‬ ‫مع‬ ‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫صناعتها‬ :‫الحل‬ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬ ‫العاللة‬ . / ̅ ( ) ⇒ ( ) ‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1 ً‫المنحن‬ ‫كان‬ ‫إذا‬( ) 𝟑 𝟐 ( ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬-2,2‫عند‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ‫وكانت‬ )x=1ً‫لٌمت‬ ‫جد‬ ‫للدالة‬ ‫المحلٌة‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬f‫ز‬ :‫الحل‬‫الدالة‬ ( ) ( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ̅( ) ̅̅( ) ( ) ( ) ̅( ) ( ) ( ) ̀( ) ( ) → ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ( ) ‫تنالص‬ ‫تزاٌد‬‫تزاٌد‬ ‫إ‬‫شارة‬(x)̀++++++-------+++++++ 3-1
  • 251.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 250 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬2 ( ‫لطرها‬‫نص‬ ‫بكرة‬ ‫وٌحٌط‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫حجمه‬ ‫لائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫أبعاد‬ ‫جد‬3cm‫)ز‬ :‫الحل‬‫المخروط‬ ‫أبعاد‬ ‫نفرض‬r ,h ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬abcً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫المائم‬b: ( ) √ ‫المثلثٌن‬ ‫تشابه‬ ‫من‬abc,ade:‫على‬ ‫نحصل‬ √ √ ( ) ‫بالتربٌع‬ ( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) - ( ) ‫العاللة‬ ( ) ( ) ̀ ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )- ( ) ̀ , - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ̀ ‫نضع‬ ( ) ( ) ⇒ ( ) ‫ٌهمل‬ ( ) ( ) ( ) √
  • 252.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 251 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬99‫/د‬1 ‫لطرها‬ ‫نص‬‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫موضوعة‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫الجانبٌة‬ ‫مساحتها‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫اسطوانة‬ ‫إبعاد‬ ‫جد‬𝟔√𝟐‫ز‬ :‫الحل‬ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬ ‫الجانبٌة‬ ‫المساحة‬ ‫لتكن‬ ‫االسطوانة‬ ‫أبعاد‬ ‫نفرض‬r, 2h ( √ ) ‫فٌثاغورس‬ √ ‫العاللة‬ √ √ ( ) ( ) ̅ ( ) ( ) ( ) √ ̅ ( ) ( ) → ( ) ( ) ‫ٌهمل‬ √ √ ( ) ‫االرتفاع‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬2 ( ‫بمعدل‬ ‫ارتفاعها‬ ‫ٌزداد‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫اسطوانة‬0.5 cm/sً‫ا‬ٌ‫مساو‬ ً‫ا‬‫دائم‬ ‫حجمها‬ ‫ٌظل‬ ‫بحٌث‬ )(𝟑𝟐𝟎 𝟑)‫جد‬ ( ‫االرتفاع‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫الماعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫ترٌر‬ ‫معدل‬5 cm‫)ز‬ :‫الحل‬ ‫العاللة‬ ̅ ( ) ( )
  • 253.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 252 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬2 ‫وحجمه‬ ‫مربعة‬‫لاعدته‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫كامل‬ ‫غطاء‬ ‫ذو‬ ‫الحدٌد‬ ‫من‬ ‫خزان‬𝟐𝟏𝟔 𝟐 ‫ابعاده‬ ‫جد‬ ‫ص‬ ً‫ف‬ ‫المستخدمة‬ ‫الصفائح‬ ‫مساحة‬ ‫لتكون‬‫نع‬‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫ة‬ :‫الحل‬‫لتكن‬A‫الكلٌة‬ ‫المساحة‬ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬ ‫المربع‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬x‫االرتفاع‬ ,y ‫العاللة‬ . / ̅ ̅ ( ) ⇒ ( ) → ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬1 ‫تساوي‬ ‫السطحٌة‬ ‫مساحتها‬ ,‫نهاٌتها‬ ‫من‬ ‫مسدودة‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫اسطوانٌة‬ ‫علبة‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬𝟐𝟒 𝟐 ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫حجمها‬ :‫الحل‬‫االسطوانة‬ ‫ابعاد‬ ‫نفرض‬r , h ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬ ( ) ⇒ ‫العاللة‬ ( ) ( ) ̅ ( ) ( ) ( ) ⇒ ( ) ⇒ ‫االرتفاع‬×‫الماعدة‬ ‫محٌط‬
  • 254.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 253 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫/د‬1 ‫لتكن‬𝟐 𝟖‫جد‬( ‫النمطة‬‫إلى‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫وتكون‬ ً‫المنحن‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬ ‫نمطة‬6,0) :‫الحل‬( ‫النمطة‬ ‫نفترض‬x ,y) ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬√( ) ( ) √ ‫العاللة‬ √ √ ( ) ̅ ( ) ( ) √ ( ̅ ‫نجعل‬ ) ( ) ( ‫النماط‬2,4( , )2,-4) ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫/د‬2 ‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ‫االنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬( ) 𝟑 𝟑 𝟐‫انمالبهز‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ً‫المنحن‬ ‫مماس‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ :‫الحل‬̀( ) ( ) ( ) ⇒ ( ) ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ( ) ‫المماس‬ ‫مٌل‬ ̀( ) ( ) ( ) ( ) ‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬2 ‫المستمٌم‬𝟑 𝟕ً‫المنحن‬ ‫ٌمس‬𝟐 ( ‫النمطة‬ ‫عند‬2,-1‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ً‫وللمنحن‬ ) ‫عند‬ ‫محلٌة‬ 𝟏 𝟐 ‫لٌمة‬ ‫جد‬ :‫الحل‬̀ ‫المٌل‬ ( ) ‫المٌل‬ ‫معامل‬ ‫معامل‬ ( ) ̀ ( ) ( 𝟏 𝟐 ‫عند‬ ) ⇒ ( ) ( ) ‫الدالة‬ ( )‫معادلتها‬ ‫تحمك‬ ( ) ( ) ‫بالطرح‬
  • 255.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 254 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2004‫/د‬1 ‫طولها‬ ‫سلن‬‫لطعة‬8 cm‫بحٌث‬ ‫لطعتٌن‬ ‫إلى‬ ‫لطعت‬‫صن‬‫عرضه‬ ‫نص‬ ‫طوله‬ ‫مستطٌل‬ ‫الثانٌة‬ ‫ومن‬ ‫دائرة‬ ‫األولى‬ ‫من‬ ‫ع‬ ‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫والدائرة‬ ‫المستطٌل‬ ً‫مساحت‬ ‫مجموع‬ ‫لٌكون‬ ‫لطعة‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ :‫الحل‬‫الدائرة‬ ‫محٌط‬ ‫لٌكن‬x ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬y ‫هو‬ ‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬8-x = ‫المستطٌل‬ ‫طول‬2y ( ) ‫المانون‬ ( ) ‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬ ( )‫العاللة‬ ‫الدائرة‬ ‫محٌط‬ ( ) ‫العاللة‬ ( ) . / ( ) ( ) ̀ ( ) ( ) ( ) ( ) ̀ ( ) ( ) ‫االولى‬ ‫المطعة‬ ‫طول‬ ‫الثانٌة‬ ‫المطعة‬ ‫طول‬ ( ) ‫االرتفاع‬×‫الماعدة‬ ‫محٌط‬
  • 256.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 255 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2005‫/د‬1 ‫لتكن‬( )𝟑 𝟐 𝟏( ,-1,2ً‫لٌمت‬ ‫جد‬ ‫للدالةز‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ )‫هل‬ ‫للدالة؟ز‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ :‫الحل‬‫الدالة‬ ( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬ ( ) ̀( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬ . / ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬1 ‫كانت‬ ‫إذا‬𝟑 𝟐 ‫لٌمة‬ ‫جد‬( ً‫ه‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫الدالة‬ ً‫المنحن‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬1,2‫ز‬ ) :‫الحل‬( ) ( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬ ‫الدالة‬ ( ) ( ) ̀( ) ̀̀( ) ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ (𝟏 𝟐)⇐̿( ) 𝟎‫عندما‬( 𝟏) ( ) - ( ) ‫بالطرح‬( )
  • 257.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 256 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬2 ( ‫ضربهما‬‫حاصل‬ ‫موجبان‬ ‫عددان‬16‫العددان؟ز‬ ‫فما‬ ‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫اصرر‬ ‫ومجموعهما‬ ) :‫الحل‬‫العددان‬ ‫نفرض‬x, yً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬ ‫العاللة‬ ̅ ( ) ⇒ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬2 ‫وارتفاعه‬ ‫االضالع‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫داخل‬ ‫رسمه‬ ‫ٌمكن‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬𝟒√ 𝟑 :‫الحل‬‫المستطٌل‬ ‫أبعاد‬ ‫نفرض‬2x, yً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬A=2x y ‫المثلث‬ ً‫ف‬abcً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫المائم‬b: √ √ √ √ √ ‫المثلثٌن‬ ‫تشابه‬ ‫من‬abc,dec:‫على‬ ‫نحصل‬ √ √ √ ( ) √ √ ‫العاللة‬ ( √ √ ) √ √ ̀ √ √ √ √ ( √ ) √ √ √ ( )( √ ) √
  • 258.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 257 ‫سٌارة‬2 ‫سٌارة‬1 Z Xm Y ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1 ً‫ف‬ ‫ٌلتمٌان‬‫متعامدان‬ ‫طرٌمان‬m‫نمطة‬ ‫من‬ ‫سٌارتان‬ ‫تحركت‬ ‫ز‬m‫السٌارة‬ ‫سرعة‬ ‫معدل‬ ‫وكان‬ ‫طرٌك‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫األول‬80km/h‫الثانٌة‬ ‫السٌارة‬ ‫سرعة‬ ‫ومعدل‬60km/h‫بدء‬ ‫من‬ ‫ساعة‬ ‫ربع‬ ‫بعد‬ ‫السٌارتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫االبتعاد‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ ‫ز‬ ‫من‬ ‫الحركة‬m‫ز‬ :‫الحل‬ . / ‫ساعة‬ ‫ربع‬ ‫بعد‬ ‫األولى‬ ‫السٌارة‬ ‫لطعتها‬ ً‫الت‬ ‫المسافة‬ . / ‫ساعة‬ ‫ربع‬ ‫بعد‬ ‫الثانٌة‬ ‫السٌارة‬ ‫لطعتها‬ ً‫الت‬ ‫المسافة‬ ‫فٌثاغورس‬ ( ) ( ) - . / ( ) ( ) ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1 ‫كانت‬ ‫إذا‬( ) 𝟐 ( ) 𝟐 ( ‫والنمطة‬1,-2‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫حرجةز‬ )b,a‫النمطة‬ ‫نوع‬ ‫بٌن‬ ‫ثم‬ ‫الموجبتٌن‬ ‫الحرجةز‬ :‫الحل‬( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬ ‫الدالة‬ ( ) ( ) ( ) ̀( ) ( ) ( ) ( ) -
  • 259.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 258 ( ) ( )() ‫ٌهمل‬ ̀( ) ( ) ‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ( ) ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2 ‫المستمٌم‬ ‫كان‬ ‫إذا‬𝟗 𝟐𝟖‫للدالة‬ ‫مماسا‬( ) 𝟑 𝟐 𝟏( ‫النمطة‬ ‫عند‬3,1‫لٌمة‬ ‫جد‬ )‫ز‬ :‫الحل‬( ) ( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬ ‫الدالة‬ ( ) ( ) ( ) ̀( ) ̀( ) ( ) ( ) ̀( ) (‫المماس‬ ‫مٌل‬ ) ‫المماس‬ ‫مٌل‬ ‫معامل‬ ‫معامل‬ ( ) ⇒ ( ) ‫نحصل‬ ( )‫بالعدد‬ ( )‫المعادلة‬ ‫وبضرب‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬(𝟏)‫المعادلة‬‫لٌمة‬ ‫لحساب‬( ) ( )
  • 260.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 259 X Y 5m 13m ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2 ( ‫طوله‬‫سلم‬13m‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫من‬ ‫مبتعدا‬ ‫للسلم‬ ‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫تحرن‬ ‫فاذا‬ ‫شالولًز‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫ٌرتكز‬ )4m/s‫جد‬ ‫بعد‬ ‫على‬ ‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫فٌها‬ ‫ٌكون‬ ً‫الت‬ ‫اللحظة‬ ً‫ف‬ ‫األرض‬ ‫عن‬ ‫للسلم‬ ‫األعلى‬ ‫الطر‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬5m‫الحائطز‬ ‫من‬ :‫الحل‬ ‫فٌثاغورس‬ ( ) ( ) ( ⁄ ) ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬2 ‫السالٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫دائرة‬ ‫داخل‬ ‫رسمه‬ ‫ٌمكن‬6 cm‫)ز‬ ‫المثلث‬ ‫ابعاد‬ ‫نفرض‬ :‫الحل‬2x, h ( ) ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬ ( ) √ ‫العاللة‬ √ √ ( ) ̅ ( ) ( ) ( ) ( ) ̅ ( ) ⇒ ( ) ‫ٌهمل‬ √( )( ) √ √ ( √ )( ) √
  • 261.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 260 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬1 ‫لتكن‬( )‫المكاف‬‫المطع‬ ‫على‬ ‫تتحرن‬ ‫نمطة‬𝟐 ‫النمطة‬ ً‫أحداث‬ ‫جد‬( )‫ألبتعادها‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫النمطة‬ ‫عن‬.𝟎 𝟑 𝟐 /‫ثلث‬ ‫ٌساوي‬‫للنمطة‬ ‫دي‬ ‫الصا‬ ً‫األحداث‬ ‫لترٌٌر‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬( ) ‫الحل‬/ ‫النمطة‬ ‫لتكن‬‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ( ) 𝟏 𝟑 ‫النمطة‬ ‫لتكن‬.𝟎 𝟑 𝟐 / S‫بٌن‬ ‫المسافة‬N , M ̅̅̅̅̅ √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 √( 𝟎) 𝟐 ( 𝟑 𝟐 ) 𝟐 √ 𝟐 ( 𝟑 𝟐 ) 𝟐 √ ( 𝟐 𝟑 𝟗 𝟒 ) ( 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 ) 𝟏 𝟐 (‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬ 𝟏 𝟐 ( 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 ) 𝟏 𝟐 (𝟐 𝟐 ) (𝟐 𝟐) 𝟐 . 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 / 𝟏 𝟐 𝟏 𝟑 (𝟐 𝟐) 𝟐 . 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 / 𝟏 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐( 𝟏) 𝟐 √ 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 √ 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 𝟑( 𝟏) ( ‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ ) 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 𝟗( 𝟐 𝟐 𝟏) ( 𝟒) 𝟒 𝟐 𝟖 𝟗 𝟑𝟔 𝟐 𝟕𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟐𝟕 𝟎 ( 𝟑𝟐) ⇒ 𝟐 𝟐 𝟐𝟕 𝟑𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐𝟕 𝟑𝟐 (‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫ٌصبح‬ ً‫لك‬ ‫المعادلة‬ ً‫طرف‬ ‫الى‬ (𝟏) ‫العدد‬ ‫)نضٌف‬ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐𝟕 𝟑𝟐 𝟏 ( 𝟏) 𝟐 𝟓 𝟑𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫)جذر‬ 𝟏 √ 𝟓 𝟑𝟐 𝟏 √ 𝟓 𝟑𝟐 𝟐 𝟏 √ 𝟓 𝟑𝟐 √ 𝟏 √ 𝟓 𝟑𝟐
  • 262.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 261 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3 ‫ج‬‫ــ‬‫ـ‬‫ـــ‬ً‫ـ‬‫ـ‬‫المنحن‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫معادل‬‫د‬( ) 𝟑 𝟐 ‫ـة‬‫ـ‬‫النمط‬ ‫ـث‬‫ـ‬ٌ‫ح‬( 𝟏 𝟒)‫ـاس‬‫ـ‬‫المم‬ ‫ـل‬‫ـ‬ٌ‫وم‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـالب‬‫ـ‬‫أنم‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نمط‬ ‫ٌساوي‬ ‫عندها‬(𝟏) ‫الحل‬/‫الدالة‬ ( ) ( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬ ( ) ( ) ( ) ( ) ‫ٌساوي‬ ‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬(1) ∴̅( ) ̀( ) ̀( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ‫أنٌا‬ ‫تحل‬ ( ) ‫النمطة‬( )‫أنمالب‬ ‫نمطة‬⇐̅̅( ) ̿( ) ̿( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ‫أنٌا‬ ‫تحل‬ ( ) ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬ ( ) ( ) ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬ ( ) ( ) ( ) ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3 ‫ج‬‫ــــ‬‫د‬‫ز‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫الناتج‬ ‫ٌكون‬ ً‫الضرب‬ ‫نظٌره‬ ‫الى‬ ٌ‫أض‬ ‫أذا‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫الحل‬/ ‫الفرضيت‬:‫نفرض‬‫الؼذد‬= = ‫للؼذد‬ ً‫الضرب‬ ‫النظير‬ 𝟏 ‫الذالت‬:ً‫الضرب‬ ‫نظيره‬ + ‫الؼذد‬ ( ) 𝟏 ‫الذراست‬: ̅( ) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجؼل‬ ) 𝟏 𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 ̅̅( ) 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 ̅̅(𝟏) 𝟑 𝟎 ̅̅( 𝟏) 𝟏 𝟎
  • 263.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 262 ∴‫عندما‬ ‫محلية‬ ‫عظمي‬‫نهاية‬ ‫توجد‬𝟏 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3 ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫أرسم‬( ) 𝟑 𝟐‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫بأستخدام‬ /‫الحل‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬⁄ *𝟎+ ‫التناظر‬/‫حول‬ ‫متناظر‬ ً‫المنحن‬‫الصادي‬ ‫المحور‬: ‫ألن‬ ( ) ➨ ( ) ( ) ( ) 𝟑 ( ) 𝟐 𝟑 𝟐 ( ) / ‫المحاذٌات‬ 𝟐 𝟎 𝟎 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬ 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬⁄‫ألن‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬𝟎 𝟎 ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ( ) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 ̅( ) 𝟔 𝟑 𝟔 𝟑 ( ̅( ) 𝟎 ) ‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬ ̅( ) 𝟏𝟖 𝟒 𝟏𝟖 𝟒 . ̅( ) 𝟎 /
  • 264.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 263 ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ‫الدالة‬‫الفترتٌن‬*𝟎+ * 𝟎+ ‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬ 1√𝟑 2√ 𝟑 𝟐 3𝟏 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬2 ‫كان‬ ‫أذا‬( ) 𝟏 √ ‫جد‬‫للدالة‬ ً‫التمرٌب‬ ‫الترٌٌر‬ ‫ممدار‬‫أ‬‫ترٌرت‬ ‫ذا‬‫من‬𝟒‫الى‬𝟒 𝟎𝟏‫؟‬ ‫الحل‬/ ‫نفرض‬( 𝟒)‫معطى‬ ‫نفرض‬( 𝟒 𝟎𝟏)‫معطى‬ 𝟒 𝟎𝟏 𝟒 𝟎 𝟎𝟏 ( ) 𝟏 √ ( ) ( ). 𝟏 𝟐 / ̅( ) 𝟏 𝟐 ( ). 𝟑 𝟐 / ̅( ) 𝟏 𝟐 √ 𝟑 ̅( ) 𝟏 𝟐 √ 𝟑 ̅(𝟒) 𝟏 𝟐 √(𝟒) 𝟑 ̅(𝟒) 𝟏 𝟐(𝟖) 𝟏 𝟏𝟔 ̅(𝟒) 𝟎 𝟎𝟔𝟐𝟓 ̅( ) ̅( 𝟒) ( 𝟎 𝟎𝟏)( 𝟎 𝟎𝟔𝟐𝟓) 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟐𝟓 ً‫التمرٌب‬ ‫التغٌٌر‬ ‫ممدار‬
  • 265.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 264 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬2 ً‫للمنحن‬ ً‫تنتم‬‫نمطة‬ ‫جد‬𝟐 𝟐 𝟓‫ال‬ ‫من‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكون‬ ً‫لك‬‫نمطة‬(𝟒 𝟎) /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫النمطة‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬( )ً‫المنحن‬ ‫نمط‬ ‫من‬ ً‫ه‬𝟐 𝟐 𝟓‫للنمطة‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكن‬ ‫بحٌث‬(𝟒 𝟎) √( 𝟒) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 ‫الدالة‬:ً‫ه‬‫المسافة‬ ‫لانون‬ √ 𝟐 𝟖 𝟏𝟔 ( 𝟐 ) √ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏 ‫العاللة‬:( 𝟐 𝟐 𝟓) √ 𝟐 𝟖 𝟏𝟔 𝟐 𝟒 𝟖 (𝟐)√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟒 𝟖 ( 𝟐)√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏 𝟎 𝟒 𝟖 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟗 𝟑 ‫الدراسة‬: ً‫ه‬ ‫النماط‬(𝟐 𝟑) ( 𝟑)
  • 266.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 265 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬2 ‫ـاع‬‫ـ‬‫أرتف‬ ‫علـى‬‫مصـباح‬𝟔 𝟒‫وشـخص‬ ً‫ـالول‬‫ـ‬‫ش‬ ‫عمـود‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫مثبـت‬ ‫متـر‬‫طولـــ‬‫ـــ‬‫ـــه‬𝟏 𝟔‫ٌتحـرن‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫مت‬‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫مبتعـدا‬ ‫وبس‬ ‫العمود‬‫ــــ‬‫رعة‬𝟑𝟎 ⁄‫جد‬‫سرعة‬‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ترٌٌر‬ ‫الحل‬/ 8 ‫المصباح‬ ‫لاعدة‬ ‫عن‬ ‫الرجل‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬ ‫الرجــــــــــــل‬ ‫ظل‬ ‫طــــــول‬ ‫نفرض‬ ‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t‫حٌث‬𝟑𝟎 ‫أستعمال‬ ‫او‬ ‫مثلثات‬ ‫تشابه‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬(tan) 𝟔 𝟒 ‫الكبٌر‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬ 𝟏 𝟔 ‫الصغٌر‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬ 𝟔 𝟒 𝟏 𝟔 ( 𝟏 𝟔) ⇒ 𝟒 𝟏 𝟒 𝟑 ( ‫بداللة‬ ‫)نشتك‬ 𝟑 . / 𝟑 𝟑𝟎 𝟑 𝟏𝟎 ( ⁄ ) ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ترٌٌر‬ ‫معدل‬=𝟏𝟎 ( ⁄ ) ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3 ‫ـى‬‫ـ‬‫األعل‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫طرف‬ ‫ـز‬‫ـ‬‫ٌرتك‬ ‫ـلم‬‫ـ‬‫س‬‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬, ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫أفم‬ ‫أرض‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـفل‬‫ـ‬‫األس‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫وطرف‬ ً‫ـالول‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـائط‬‫ـ‬‫ح‬‫ـأذا‬‫ـ‬‫ف‬‫ـفل‬‫ـ‬‫األس‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫طرف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫حرك‬ ‫ـرعة‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬ . 𝟏 𝟓 /‫أنزالق‬ ‫معدل‬ ‫,جد‬‫طرف‬‫األعلى‬ ‫ه‬‫تكون‬ ً‫الت‬ ‫اللحظة‬ ً‫ف‬‫الزاوٌة‬‫المحصورة‬‫واألرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬ 𝟑 ‫الحل‬/ ‫الطريقة‬① { ‫الســـــــــــــلم‬ ‫طــــــــــول‬ ‫نـــــفرض‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫الســــــــــلم‬ ‫لاعدة‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬ ‫األرض‬ ‫عن‬ ‫السلم‬ ‫رأس‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬ ‫األرض‬ ‫و‬ ‫الســــــــلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نفرض‬ ‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t ‫فٌثاغورس‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬ 𝟐 𝟐 𝟐 ①‫معادلة‬ 𝟑 √𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐
  • 267.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 266 ‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬‫بالنسبة‬ 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) ( 𝟏 𝟓 ) 𝟐 4 √𝟑 𝟐 5 𝟎 𝟏 𝟓 √𝟑 𝟎 𝟓√𝟑 𝟏 𝟓√𝟑 ( ⁄ ) = ‫للسلم‬ ‫العلوي‬ ‫الطر‬ ‫االنزالق‬ ‫معدل‬ 𝟐 √𝟑 m/s ‫الطرٌمة‬② 𝟑 √𝟑 √𝟑 ‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐( ) ( 𝟏 𝟓 ) 𝟐(√𝟑 ) 𝟎 𝟐 𝟓 𝟐√𝟑 𝟎 𝟐 𝟏𝟎√𝟑 𝟏 𝟓√𝟑 ( ⁄ ) ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3 ‫كانت‬ ‫أذا‬( ) √ 𝟐 𝟔 𝟑 ‫المٌمـ‬ ‫المتوســطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬ ‫بأستخدام‬ ‫جد‬‫لـ‬ ‫التمرٌبٌة‬ ‫ة‬(𝟏 𝟎𝟐) ‫ا‬‫لحل‬/ ‫نفرض‬𝟏‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬ ‫نفرض‬𝟏 𝟎𝟐‫معطى‬ 𝟏 𝟎𝟐 𝟏 𝟎 𝟎𝟐 ( ) √ 𝟐 𝟔 𝟑 ( 𝟐 𝟔) 𝟏 𝟑 (𝟏) ( 𝟐 𝟔) 𝟏 𝟑 ( 𝟖) 𝟏 𝟑 . 𝟐 𝟑 / 𝟏 𝟑 𝟐 ̅( ) 𝟏 𝟑 (𝟐 𝟔) 𝟐 𝟑 (𝟐) 𝟐 𝟑(𝟐 𝟔) 𝟐 𝟑 ̅(𝟏) 𝟐 𝟑(𝟖) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑(𝟐 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑(𝟐) 𝟐 𝟏 𝟔 𝟎 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔 ( ) ( ) ̅( ) ( 𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟐)) (𝟏) (𝟎 𝟎𝟐) ̅(𝟏) (𝟏 𝟎𝟐) 𝟐 (𝟎 𝟎𝟐) (𝟎 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑 (𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑
  • 268.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 267 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3 ‫رسمه‬ ‫ٌمكن‬‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫دائرة‬ ‫نص‬ ‫داخل‬𝟔‫سم‬ /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫المستطٌل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬=𝟐‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬= ‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫ونفرض‬A ‫الدالة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬‫المائم‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬(ABC) 𝟐 𝟐 ( 𝟔) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 √ 𝟑𝟔 𝟐 (②‫)معادلة‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟐.√ 𝟑𝟔 𝟐/ 𝟐.√ 𝟑𝟔 𝟐 𝟒/ √ 𝟒(𝟑𝟔 𝟐 𝟒) √ 𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒 ‫الدراسة‬: 𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑 𝟐 .√𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒/ ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑 𝟐 (√ 𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒 ) 𝟎 𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑 𝟎 𝟏𝟖 𝟑 𝟎 ( 𝟐) 𝟎 (‫ٌهمل‬ ) 𝟐 𝟑√𝟐 ( ‫السالب‬ ‫)ٌهمل‬ 𝟑√𝟐 ( ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ) √ 𝟑𝟔 𝟐 √𝟑𝟔 √ 𝟑√𝟐 𝟐 𝟐(𝟑√𝟐) 𝟔√𝟐 ( ‫المستطٌل‬ ‫طول‬ ) 𝟐 (𝟔√𝟐)(𝟑√𝟐) 𝟑𝟔 𝟐 ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ :‫األختبار‬‫لألطالع‬
  • 269.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 268 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3 ‫ــتمٌم‬‫ـ‬‫المســ‬𝟑 𝟕ً‫ـ‬‫ـ‬‫المنحن‬‫ـس‬‫ـ‬‫ٌم‬𝟐 ‫ـد‬‫ـ‬‫عن‬(𝟐 𝟏)ً‫ـ‬‫ـ‬‫للمنحن‬ ‫ـان‬‫ـ‬‫وك‬‫نهاٌــ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـــ‬‫ـة‬ ‫محلٌة‬‫صررى‬‫عند‬𝟓‫لٌمة‬ ‫جد‬ /‫الحل‬ ‫النمطة‬(𝟐 𝟏)ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ 𝟐 𝟏 ( 𝟐) 𝟐 ( 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟏 ( ‫معادلة‬① ) ∵‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ً‫للمنحن‬‫عند‬ ‫محلٌة‬𝟓⇐‫عندما‬ 𝟐 𝟎 𝟐 ( ) 𝟏𝟎 𝟎 ( ‫معادلة‬② ) ‫معادلته‬ ‫من‬ ‫المماس‬ ‫المستمٌم‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫نجد‬: ‫معامل‬ ‫معامل‬ ‫نجد‬ ‫اي‬ ( ‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬ ‫نجد‬‫عندما‬) 𝟐 𝟒 ∵‫المماس‬ ‫المستمٌم‬ ‫مٌل‬‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬ 𝟒 𝟒 𝟑 ( ‫معادلة‬③ ) ( ‫المعادلتٌن‬ ‫بحل‬2( ‫و‬ )3: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ) ( ‫معادلة‬② ) ( ‫معادلة‬③ ) ‫بالطرح‬ ( ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫)نعوض‬② ( ) ( 𝐜 ‫ألٌجا‬‫د‬ ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نع‬‫وض‬ ) ( ) ( )
  • 270.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 269 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2016‫/د‬1 ‫جـد‬‫أبعـاد‬‫أس‬ ‫أكبـر‬‫ــــــ‬‫لائم‬‫دائرٌـة‬ ‫طوانة‬‫ــــ‬‫ت‬ ‫ة‬‫أرتفاعـــــ‬ ‫لـائم‬ ‫دائـري‬ ‫مخـروط‬ ‫داخـل‬ ‫وضـــــع‬‫ه‬(𝟔 )‫ـر‬‫ـ‬‫لط‬ ‫وطـول‬ ‫لاعدته‬(𝟏𝟎 ) /‫الحل‬ ‫الفرضٌة‬:‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬= ‫األسطوانة‬R= ‫المخروط‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬h=‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V ‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ 𝟐 ( ‫)معادلة‬ ‫العاللة‬:‫مثلثات‬ ‫تشابه‬(ADE , ABC) 𝟔 𝟔 𝟓 𝟔 𝟑𝟎 𝟓 𝟑𝟎 𝟔 𝟓 .②‫معادلة‬/ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬ 𝟐 𝟐 ( 𝟑𝟎 𝟔 𝟓 ) 𝟓 (𝟑𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 ) ‫الدراسة‬: 𝟓 ( 𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐 ) ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟓 (𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐 ) 𝟎 𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐 𝟎 ( 𝟔) 𝟏𝟎 𝟑 𝟐 𝟎 ( 𝟏𝟎 𝟑 ) 𝟎 𝟎 (‫ٌهمل‬ ) 𝟏𝟎 𝟑 𝟎 𝟏𝟎 𝟑 𝟑𝟎 𝟔 𝟓 𝟑𝟎 𝟔 . 𝟏𝟎 𝟑 / 𝟓 𝟑𝟎 𝟐𝟎 𝟓 𝟏𝟎 𝟓 𝟐 ∴: ً‫ه‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫أبعاد‬𝟐, 𝟏𝟎 𝟑 : ً‫التال‬ ‫بالشكل‬ ‫السابك‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫العاللة‬ ‫كتابة‬ ‫ٌمكن‬ : ‫مالحظة‬ ‫العاللة‬:‫مثلثات‬ ‫تشابه‬(ADE , ABC) 𝟓 𝟔 𝟔 𝟔 𝟑𝟎 𝟓 𝟑𝟎 𝟔 𝟓
  • 271.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 270 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2016‫/د‬1 ‫ص‬‫ــــ‬‫فٌحة‬‫معدنٌة‬‫مستطٌلة‬‫الشكل‬‫مسـاحتها‬𝟗𝟔 𝟐 ‫ٌتمـدد‬‫عرضـ‬‫بمعـدل‬‫ها‬𝟐 ⁄‫مس‬ ‫تبمـى‬ ‫بحٌـث‬‫ـــــ‬‫احتها‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫ثابتة‬‫الطول‬ ‫ترٌٌر‬‫ٌكون‬ ‫عندما‬‫لـ‬ ً‫ا‬ٌ‫مساو‬ ‫الطول‬𝟏𝟐 ‫الحل‬/ 8 ‫المستطٌل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬ ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬ ‫زمن‬ ‫اي‬ ً‫ف‬t ‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬( )=, - 𝟗𝟔 ①‫معادلة‬ ( ‫لٌمة‬ ‫)نحسب‬ 𝟗𝟔 (𝟏𝟐) 𝟗𝟔 𝟏𝟐 𝟖 ① ‫معادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ 𝟎 (𝟏𝟐)(𝟐) (𝟖) 𝟎 𝟐𝟒 𝟖 𝟑 ( ⁄ ) ∴ً‫ف‬ ‫التنالص‬ ‫معدل‬‫طول‬= ‫المستطٌل‬( 𝟑 ⁄ ) ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2016‫/د‬1 ‫ــت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟒 𝟐 ‫ــث‬‫ـ‬ٌ‫ح‬,𝟎 -‫ــت‬‫ـ‬‫وكان‬‫م‬ ‫ــك‬‫ـ‬‫تحم‬‫ـــ‬‫ـ‬‫ــ‬‫المٌم‬ ‫برهنة‬‫ـــ‬‫ـ‬‫ــ‬‫المتوس‬ ‫ة‬‫ـــ‬‫ـ‬‫ـــ‬‫طة‬ ‫ع‬‫ـــ‬‫ندما‬ 𝟐 𝟑 ‫لٌمة‬ ‫فجد‬ ‫الحل‬/ ( ) 𝟑 𝟒 𝟐 ̅( ) 𝟑 𝟐 𝟖 ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحمك‬ ‫الدالة‬ ̅( ) ( ) ( ) ( ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬ ‫ال‬‫وتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ ) 𝟑 𝟐 𝟖 ( 𝟑 𝟒 𝟐) (𝟎) 𝟑 ( 𝟐 𝟑 ) 𝟐 𝟖 ( 𝟐 𝟑 ) ( 𝟐 𝟒 ) 𝟒 𝟑 𝟏𝟔 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐
  • 272.
    ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 271 ‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬ 𝟐(‫الطول‬‫العرض‬ ) ‫المخروط‬ ‫حجم‬ 𝟐 𝟑 ‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫الطول‬ ‫العرض‬‫المكعب‬ ‫حجم‬ (‫الضلع‬ ‫طول‬ ) 𝟑 ‫المربع‬ ‫محٌط‬ 𝟒(‫الضلع‬ ‫)طول‬‫للمكعب‬ ‫السطحٌة‬ ‫المساحة‬ 𝟔(‫الضلع‬ ‫طول‬ ) 𝟐 ‫المربع‬ ‫مساحة‬ (‫الضلع‬ ‫طول‬ ) 𝟐 ‫المستطٌالت‬ ‫لمتوازي‬ ‫الجانبٌة‬ ‫المساحة‬ ‫األرتفاع‬ ‫الماعدة‬ ‫محٌط‬ ‫محٌط‬ ‫الدائرة‬ 𝟐‫المستطٌالت‬ ‫لمتوازي‬ ‫الكلٌة‬ ‫المساحة‬ ‫الجانبٌة‬ ‫المساحة‬ ‫الماعدتٌن‬ ‫مساحة‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ 𝟐 ‫المستطٌالت‬ ‫متوازي‬ ‫حجم‬ ‫األرتفاع‬ ‫الماعدة‬ ‫مساحة‬ ‫الكرة‬ ‫مساحة‬ 𝟒 𝟐 ‫المثلث‬ ‫محٌط‬ ‫الثالثة‬ ‫أضالعه‬ ‫أطوال‬ ‫مجموع‬ ‫األسطوانة‬ ‫حجم‬ 𝟐 ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ 𝟏 𝟐 (‫)األرتفاع()الماعدة‬ ‫الكرة‬ ‫حجم‬ 𝟒 𝟑 𝟑‫المسافة‬ √( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟐 ‫المٌل‬ 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 ‫م‬ ‫لوانٌن‬‫جدا‬ ‫فٌدة‬
  • 273.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 272 ‫ال‬ ‫الفصل‬‫رابع‬/‫التكامل‬ ‫للتكامــــــــــل‬ ‫األساسٌة‬ ‫النظرٌة‬–‫الممابلة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫عل‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬‫الفترة‬ ‫ى‬, -‫دالة‬ ‫توجد‬ ‫فأنه‬F‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, -‫بحٌث‬: ( ) ( ) ( ) ‫وٌكون‬∫ ( ) ( ) ( )‫تسمى‬ ‫حٌث‬‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬f‫الفترة‬ ‫على‬, - ‫مثال‬(1)/‫كانت‬ ‫أذا‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬,𝟏 𝟓-‫بحٌث‬( ) 𝟑 𝟐 ‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬f‫لٌمة‬ ‫فجد‬∫ ( ) 𝟓 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ 𝟓 𝟏 ( ) (𝟓) (𝟏) 𝟑(𝟐𝟓) 𝟑(𝟏) 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐 : ‫األتٌة‬ ‫بالصورة‬ ‫ذلن‬ ‫نكتب‬ ‫أن‬ ‫وٌمكن‬ ∫ 𝟓 𝟏 ( ) , ( ) 𝟓 - 𝟏 ,𝟑 𝟐 𝟓 - 𝟏 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐 ‫مثال‬(2)/‫كانت‬ ‫أذا‬f‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬0𝟎 𝟐 1‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫و‬f: ً‫ه‬ 0𝟎 𝟐 1,( ) ‫ف‬‫أو‬‫لٌمة‬ ‫جد‬∫ ( )𝟐 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 𝟎 ( ) , ( )- . 𝟐 / (𝟎) . 𝟐 / (𝟎) 𝟏 𝟎 𝟎 ‫م‬‫ثال‬(3)/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( ) 𝟑 𝟐,, 𝟏 𝟑-‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬( ) 𝟑 𝟐 ‫الحل‬/∵( ) 𝟑 𝟐‫على‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬) ‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫ألنها‬ ( ∴F‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬‫على‬,𝟏 𝟑-‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬‫على‬(𝟏 𝟑) ( ) 𝟑 𝟐 ( ) (𝟏 𝟑) ∴F‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬‫على‬,𝟏 𝟑-
  • 274.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 273 ‫م‬‫ثال‬(4)/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( ) 𝟏 𝟐 𝟐,‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ( ) 𝟐, ‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬∫ 𝟐𝟒 𝟎 ‫الحل‬/ ∵( ) 𝟐‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ( ) 𝟏 𝟐 𝟐‫أٌضا‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ( ) 𝟏 𝟐 𝟐 (𝟐) 𝟐 ( ) ∴‫للدالة‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ 𝟐 𝟒 𝟎 [ 𝟏 𝟐 𝟐 ] 𝟎 𝟒 [ 𝟏 𝟐 𝟐 . 𝟒 /] [ 𝟏 𝟐 𝟐(𝟎)] [ 𝟏 𝟐 . 𝟐 /] [ 𝟏 𝟐 𝟎] 𝟏 𝟐 (𝟏) 𝟏 𝟐 (𝟎) 𝟏 𝟐
  • 275.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 274 ‫بٌن‬ ‫العاللة‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدناه‬ ‫الجدول‬f‫لها‬ ‫الممابلة‬ ‫والدالة‬F ( ) ‫لها‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬( ) ‫الدالة‬ 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 𝟏𝟏 , ( )- 𝟏 𝟏, ( )- ( ) 𝟏 𝟏 ( )( ) 𝟏 ( ) ( ) 𝟏 ( )𝟐( ) 𝟏 ( )𝟐( ) 𝟏 𝟏 ∫ ( ) ( ) ‫نستنتج‬ ‫الجدول‬ ‫من‬ ‫دالة‬ ‫ألٌة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدوال‬ ‫مجموعة‬ً‫ه‬ ‫أعاله‬ ‫الجدول‬ ً‫ف‬ ‫كما‬F+C‫أن‬ ‫حٌث‬Cً‫حمٌم‬ ‫ثابت‬ ‫عدد‬
  • 276.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 275 ‫م‬‫ثال‬(5)/‫أوجد‬∫ 𝟐𝟒 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 𝟒 𝟎 , - 𝟎 𝟒 𝟒 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ‫م‬‫ثال‬(6)/‫أوجد‬∫ 𝟐𝟐 𝟒 ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 𝟐 𝟒 , - 𝟒 𝟐 0 𝟐 𝟒 1 , 𝟎 𝟏- 𝟏 ‫م‬‫ثال‬(7)/‫أوجد‬∫ 𝟑 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ 𝟑 𝟎 , - 𝟎 𝟑 𝟑 𝟎 𝟏 𝟑 𝟏 𝟎 𝟏 . 𝟏 𝟐 / 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 ‫م‬‫ثال‬(8)/‫أوجد‬∫ 𝟑𝟑 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ 𝟑 𝟑 𝟏 * 𝟒 𝟒 + 𝟏 𝟑 [ 𝟖𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 ] 𝟖𝟎 𝟒 𝟐𝟎
  • 277.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 276 ‫المحدد‬ ‫التكامـــــل‬ ‫خواص‬ :‫أوال‬Ⓘ‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( ) 𝟎 , - ‫فأن‬∫ ( ) 𝟎ً‫ال‬‫مث‬: (𝑎) 𝑓(𝑥) 𝑥2 0 𝑥𝜖, 1 2- ∶ ‫ألن‬ ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 𝑑𝑥 𝟎 (𝑏) 𝑓(𝑥) 3 > 0 𝑥𝜖, 2 3- ∶ ‫ألن‬ ∫ (𝟑) 𝟑 𝟐 𝑑𝑥 > 𝟎 (𝑐) 𝑓(𝑥) (𝑥 1) > 0 𝑥𝜖,2 3- ∶ ‫ألن‬ ∫ ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝑑𝑥 > 𝟎 ②‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( ) 𝟎 , - ‫فأن‬∫ ( ) 𝟎ً‫ال‬‫مث‬: (𝑎) 𝑓(𝑥) < 0 𝑥𝜖,1 2- ∶ ‫ألن‬ ∫ ( 𝟐) 𝟐 𝟏 𝑑𝑥 < 𝟎 (𝑏) 𝑓(𝑥) < 0 𝑥𝜖, 2 1- ∶ ‫ألن‬ ∫ 𝟏 𝟐 𝑑𝑥 < 𝟎 :‫ثانٌا‬‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكان‬C‫ثابت‬ ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬‫فأن‬ ∫ 𝑪𝒇(𝒙) 𝑪 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 ‫م‬‫ثال‬(9)/‫كان‬ ‫أذا‬∫ ( ) 𝟖 𝟓 𝟐 ‫فأوجد‬∫ 𝟓 ( ) 𝟓 𝟐 ‫الحل‬/ ∫ 𝟓 ( ) 𝟓 𝟐 𝟓∫ ( ) 𝟓 𝟐 𝟓( 𝟖) 𝟒𝟎
  • 278.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 277 :‫ثالثا‬‫كانت‬ ‫أذا‬𝟏 𝟐‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالتٌن‬, -‫فأن‬( 𝟏 𝟐)∫ 𝟏∫ ∫ 𝟐 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 ‫على‬ ‫المستمرة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫محدد‬ ‫عدد‬ ‫أي‬ ‫مجموع‬ ‫على‬ ‫الخاصٌة‬ ‫هذه‬ ‫تعمٌم‬ ‫وٌمكننا‬, - ‫م‬‫ثال‬(10)/‫كانت‬ ‫أذا‬∫ 𝟐( ) 𝟏𝟕 𝟑 𝟏 ,∫ 𝟏( ) 𝟏𝟓 𝟑 𝟏 : ‫من‬ ‫كال‬ ‫فأوجد‬ ∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑 𝟏 ∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟏( ) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟐( ) 𝟑 𝟏 15 17 32 ∫ ( 𝟏( ) 𝟐( )) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟏( ) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟐( ) 𝟑 𝟏 15 17 2 ‫م‬‫ثال‬(11)/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟐 𝟐‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟐 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ ( ) 𝟐 𝟏 ∫ ( 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟏 ∫ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 , 𝟑 𝟐 - 𝟏 , 𝟐 𝟐 - 𝟏 (8 1) (4 1) 7 3 10 :‫رابعا‬‫كانت‬ ‫أذا‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( )‫فأن‬: ∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥 𝒄 𝒂 ∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥 𝒃 𝒄 𝒃 𝒂 ‫م‬‫ثال‬(21)/‫كانت‬ ‫أذا‬∫ ( ) 𝟖 𝟕 𝟑 ,∫ ( ) 𝟓 𝟑 𝟏 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟕 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ ( ) 𝟕 𝟏 ∫ ( ) 𝟑 𝟏 ∫ ( ) 𝟕 𝟑 𝟓 𝟖 𝟏𝟑
  • 279.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 278 ‫م‬‫ثال‬(31)/‫كان‬ ‫أذا‬( ) | |‫أوجد‬∫ ( ) 𝟒 𝟑 ‫الحل‬/‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, 𝟑 𝟒-: ‫هما‬ ‫لاعدتان‬ ‫ولها‬ ( ) 2 𝟎 < 𝟎 ∫ ( ) 𝟒 𝟑 ∫ ( ) 𝟎 𝟑 ∫ ( ) * 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟎 , 𝟐 𝟐 𝟒 - 𝟎 𝟒 𝟎 [0 ( 9 2 )] [ 16 2 0] 9 16 2 25 2 ‫م‬‫ثال‬(14)/‫كان‬ ‫أذا‬( ) 2 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 < 𝟏 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟓 𝟎 ‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟓-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟏)‫ألن‬ ( ) ( 𝟏) 𝟐( 𝟏) 𝟏 𝟑 ‫معرفة‬ ( ) 𝟏 ( ) { ( ) ( 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟏 ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 ∵ 𝟏 = 𝟐 ∴ 𝟏 ( ) 𝟑 ‫موجودة‬ 𝟏 ( ) ( 𝟏) ∴‫الدالة‬‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬* < 𝟏+ * > 𝟏+ ∵‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟓- ∴ ∫ ( ) ∫ ( ) 𝟏 𝟎 ∫ ( ) 𝟓 𝟏 ∫ 𝟑 𝟏 𝟎 ∫ (𝟐 𝟏) 𝟓 𝟏 𝟓 𝟎 ,𝟑 𝟏 - 𝟎 , 𝟐 𝟓 - 𝟏 , 𝟑 𝟎- , 𝟑𝟎 𝟐- 𝟑 𝟐𝟖 𝟑𝟏
  • 280.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 279 ‫م‬/ ‫ثال‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) { 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟔 𝟏 < 𝟏 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟑 𝟐 ‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟑-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟏)‫ألن‬ ( ) ( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟐( 𝟏) 𝟓 ‫معرفة‬ ( ) 𝟏 ( ) { ( ) ( 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟓 𝟏 ( ) ( 𝟔 𝟏) 𝟓 𝟐 ∵ 𝟏 = 𝟐 ∴ 𝟏 ( ) 𝟓 ‫موجودة‬ 𝟏 ( ) ( 𝟏) ∴‫الدالة‬‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬* < 𝟏+ * > 𝟏+ ∵‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟑- ∴ ∫ ( ) ∫ ( ) 𝟏 𝟐 ∫ ( ) 𝟑 𝟏 ∫ (𝟔 𝟏) 𝟏 𝟐 ∫ ( 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟑 𝟏 𝟑 𝟐 ,𝟑 𝟐 𝟏 - 𝟐 , 𝟑 𝟐 𝟑 - 𝟏 , 𝟐 𝟏𝟒- , 𝟑𝟔 𝟐- 𝟏𝟐 𝟑𝟒 𝟐𝟐 ‫م‬/ ‫ثال‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) | | 𝟑‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟒 𝟑 ‫الحل‬/‫السابك‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫الحل‬ ‫أثبات‬ ‫طرٌمة‬ ‫نفس‬ ( ) 2 𝟑 𝟎 𝟑 < 𝟎 ∫ ( ) 𝟒 𝟑 ∫ (𝟑 ) 𝟎 𝟑 ∫ ( 𝟑) *𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟎 * 𝟐 𝟐 𝟑 + 𝟎 𝟒𝟒 𝟎 [𝟎 ( 𝟗 𝟗 𝟐 )] [( 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟐) 𝟎] 𝟐𝟕 𝟒𝟎 𝟐 𝟔𝟕 𝟐
  • 281.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 280 :‫خامسا‬ ( ) ∫ ( ) 𝟎 ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) : ً‫ال‬‫مث‬ ( ) ∫ 𝟑 𝟑 * 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟑 9 2 9 2 𝟎 ( ) ∫ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 ∫ 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 , 3 - 2 ,27 8- 27 8 19 (𝟒 𝟏)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫أحسب‬: ( ) ∫ (𝟑 𝟐) 𝟐 𝟐 * 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 * 𝟑(𝟒) 𝟐 𝟒+ * 𝟑(𝟒) 𝟐 𝟒+ (𝟔 𝟒) (𝟔 𝟒) 𝟐 𝟏𝟎 𝟖 ( ) ∫ ( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟐 𝟏 * 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝟐 ] 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟐 𝟒 𝟐) ( 𝟏 𝟏 𝟏) 𝟓 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 ( ) ∫ ( 𝟒 𝟒 ) 𝟑 𝟏 * 𝟓 𝟓 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟑 [ 𝟐𝟒𝟑 𝟓 𝟏𝟖] [ 𝟏 𝟓 𝟐] 𝟐𝟒𝟐 𝟓 𝟏𝟔 𝟐𝟒𝟐 𝟖𝟎 𝟓 𝟑𝟐𝟐 𝟓
  • 282.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 281 ( ) ∫ | 𝟏| 𝟐 𝟎 | 𝟏| 2 𝟏 𝟏 𝟏 < 𝟏 ∫ | 𝟏| 𝟐 𝟎 ∫ (1 ) ∫ ( 1) 2 * 2 2 + * 2 2 + 2 [(1 1 2 ) 0] [(2 2) ( 1 2 1)] 1 2 1 2 𝟏 ( ) ∫ ( ) 𝟎 𝟐 * 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟎 * (𝟎) 𝟐 𝟐 (𝟎)+ [ . 𝟐 / 𝟐 𝟐 . 𝟐 /] ,𝟎 𝟎- [ ( 𝟐 𝟒 ) 𝟐 𝟏] 𝟐 𝟖 𝟏 𝟏 𝟐 𝟖 ( ) ‫مالحظة‬ ( ) ∫ 𝟑 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 ∫ 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 ∫ ( 𝟏)( 𝟐 𝟏) 𝟏 ∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 * 3 3 2 2 + 2 3 (* 27 3 9 2 3+ * 8 3 4 2 2+) ( 54 27 18 16 12 12 6 ) 59 6 ( ) ∫ 𝟐 𝟑 𝟒 2 𝟓 𝟐 𝟑 𝟏 ∫ (𝟐 𝟒 𝟓 𝟐) 𝟑 𝟏 * 2 4 5 1 + , 2 4 5 𝟑 - 𝟏 [9 12 5 3 ] ,1 4 5- 3 5 3 8 5 5 3 15 5 3 10 3
  • 283.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 282 ‫س‬2/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬f(x)‫حٌث‬ 0𝟎 𝟔 1‫حٌث‬( ) ( ) 𝟏‫حٌث‬0𝟎 𝟔 1‫ثم‬‫أحسب‬∫ ( )𝟔 𝟎 ‫الحل‬/‫ل‬‫ـ‬‫أن‬ ‫نثبت‬ ً‫ك‬( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( ) ‫أن‬ ‫نثبت‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬0𝟎 𝟔 1 ( ) , - 0 𝟎 𝟔 1 ( ) ( ) ( ) ∴( )‫مجالها‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ( ) ̅( ) 𝟏 ( ) ∴( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( ) ∫ ( ) 𝟔 𝟎 ( 𝟔 ) (𝟎) [ 𝟔 𝟔 ] , 𝟎 𝟎- 𝟏 𝟐 𝟔 𝟑 𝟔 ‫س‬3/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫أوجد‬: ( ) ∫ ( 𝟐)( 𝟏) 𝟐 𝟒 𝟏 ∫ ( 𝟐)( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟒 𝟏 ∫ ( 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐) 𝟒 𝟏 ∫ ( 𝟑 𝟑 𝟐) 𝟒 𝟏 [ 𝟒 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 ] 𝟏 𝟒 , 𝟔𝟒 𝟐𝟒 𝟖- * 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐+ 𝟑𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑𝟒 𝟓 𝟒 𝟏𝟑𝟔 𝟓 𝟒 𝟏𝟒𝟏 𝟒
  • 284.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 283 ( ) ∫ | 𝟏| 𝟏 𝟏 ( ) | 𝟏| { 𝟏 𝟏 𝟏 < 𝟏 (‫الفترة‬ ‫خارج‬ ) ∫ | 𝟏| ∫ ( 1) * 2 2 + ( 1 2 1) ( 1 2 1) 1 1 𝟐 ( ) ∫ 𝟒 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 ∫ ( 𝟐 𝟏)( 𝟐 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟐 ∫ ( 𝟏)( 𝟏)( 𝟐 𝟏) 𝟏 ∫ ( 𝟏)( 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 ∫ ( 𝟑 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟐 * 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟑 [ 𝟖𝟏 𝟒 𝟗 𝟗 𝟐 𝟑] [𝟒 𝟖 𝟑 𝟐 𝟐] 𝟖𝟏 𝟒 𝟗 𝟐 𝟏𝟐 𝟖 𝟖 𝟑 𝟒 𝟖𝟏 𝟒 𝟗 𝟐 𝟖 𝟑 𝟒𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟓𝟒 𝟑𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟏𝟑 𝟏𝟐 ( ) ∫ √ (√ 𝟐) 𝟐 𝟏 𝟎 ∫ √ ( 𝟒√ 𝟒) 𝟏 𝟎 ∫ . 𝟏 𝟐 / ( 𝟒 . 𝟏 𝟐 / 𝟒) 𝟏 𝟎 ∫ ( . 𝟑 𝟐 / 𝟒 𝟒 . 𝟏 𝟐 / ) 𝟏 𝟎 [ . 𝟓 𝟐 / . 𝟓 𝟐 / 𝟐 𝟐 𝟒 . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / ] 𝟎 𝟏 [ 𝟐 𝟓 𝟐 𝟖 𝟑 ] 𝟎 𝟔 𝟑𝟎 𝟒𝟎 𝟏𝟓 𝟕𝟔 𝟏𝟓 ‫س‬4/‫كان‬ ‫أذا‬‫ت‬( ) 2 𝟐 𝟑 𝟔 < 𝟑 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟒 𝟏 ‫الحل‬/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫نبرهن‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬‫الفترة‬, 𝟏 𝟒- ( ) (𝟑) 𝟐(𝟑) 𝟔 ( 𝟑 ‫عندما‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ ) ( ) (𝟑) ( ) { ( ) (𝟐 ) 𝟐(𝟑) 𝟔 𝟏 ( ) (𝟔) 𝟔 𝟐 𝟏 𝟐 ( ) (𝟑) ( ) (𝟑) 𝟔 ( 𝟑 ‫عندما‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ ) ∫ ( ) 𝟒 𝟏 ∫ 𝟔 𝟑 𝟏 ∫ 𝟐 , 𝟔 𝟑 - 𝟏 , 𝟐 𝟒 - 𝟑 ,𝟏𝟖 𝟔- ,𝟏𝟔 𝟗- 𝟒 𝟑 𝟏𝟐 𝟕 𝟏𝟗
  • 285.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 284 ‫س‬5/‫كان‬ ‫أذا‬( ) { 𝟑 𝟐 𝟎 𝟐 < 𝟎 ‫فأوجد‬∫ ( ) 𝟑 𝟏 ‫وزاري‬2014/‫د‬1 ‫الحل‬/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫نبرهن‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬‫الفترة‬, 𝟏 𝟑-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫أنها‬ ‫بأثبات‬ ‫وذلن‬( 𝟎) ( ) (𝟎) 𝟑(𝟎) 𝟐 𝟎 ( 𝟎 ‫عندما‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ ) ( ) (𝟎) ( ) { 𝟎 (𝟑 𝟐) 𝟑(𝟎) 𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 (𝟐 ) 𝟐(𝟎) 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐 ( ) (𝟎) ( ) (𝟎) 𝟔 ( 𝟎 ‫عندما‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ ) ∫ ( ) 𝟑 𝟏 ∫ 𝟐 𝟎 𝟏 ∫ 𝟑 𝟐 , 𝟐 𝟎 - 𝟏 , 𝟑 𝟑 - 𝟎 ,𝟎 𝟏- ,𝟐𝟕 𝟎- 𝟑 𝟎 𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟔 ****************************************************************** ‫التكامـــل‬‫الغٌــر‬‫المحدد‬ ‫للدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫المستمرة‬, -‫ممابلة‬ ‫دالة‬F‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ً‫نهائ‬ ‫ال‬ ‫عدد‬ ‫ٌوجد‬ ‫فأنه‬f‫وكل‬ ‫ٌساوي‬ ‫منها‬F + C‫حٌث‬C‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫ٌساوي‬ ‫منها‬ ‫أثنٌن‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫بٌن‬ ‫والفرق‬ ‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫ٌمثل‬ ‫تس‬‫ـــــ‬‫مجموع‬ ‫مى‬‫ــــ‬‫الممابل‬ ‫الدوال‬ ‫ة‬‫ـــــ‬‫الصورة‬ ‫على‬ ‫ة‬F+C‫للدالةة‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫بالتكامل‬𝒇‫المسةتمرة‬‫الفتةرة‬ ‫علةى‬ , -‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙ٌ‫متغ‬ ‫رمز‬ ‫كان‬ ‫أذا‬‫الدالة‬ ‫ر‬‫هو‬𝒙 ‫بالصورة‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫التكامل‬ ‫كتابة‬ ‫على‬ ‫ٌصطلح‬∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙 𝑭( 𝒙) 𝑪 𝑪 𝐑 ‫هو‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫التكامل‬ ‫عملٌة‬‫األخرى‬ ‫دور‬ ً‫تنه‬ ‫أحداهما‬ ‫أي‬ ‫التفاضل‬ ‫لعملٌة‬ ‫المعاكسة‬ ‫العملٌة‬ ‫م‬‫ثال‬(1)/‫أوجد‬‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫التكامل‬: (𝒂) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝟑 𝟐 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 𝒄 𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 𝒙 𝒄 (𝒃) ∫( 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒙 𝟐) 𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒙 𝟏 𝟏 𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟏 𝒙 𝒄 (𝒄) ∫( 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒙) 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟐 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒄 (𝒅) ∫ 𝐬𝐢𝐧( 𝟐𝒙 𝟒) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝐜𝐨𝐬( 𝟐𝒙 𝟒) 𝒄
  • 286.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 285 ‫م‬‫ثال‬(2)/: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬ (𝒂) ∫( 𝒙 𝟐 𝟑) 𝟐 ( 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟐 𝟑) 𝟑 𝟑 𝒄 (𝒃) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓) 𝟔 ( 𝟑𝒙 𝟒) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓) 𝟔 (2)( 𝟑𝒙 𝟒) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓) 𝟕 𝟕 𝒄 1 𝟏𝟒 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓) 𝟕 𝒄 (𝒄) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟒 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝟓 𝒙 𝟓 𝒄 (𝒅) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟔 𝑥 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟕 𝑥 𝟕 𝒄 ‫المثلثٌة‬ ‫الدوال‬ ً‫ف‬ ‫العاللات‬ ‫بعض‬ (𝟏) 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝟏 (𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 (𝟑) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 (𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽) 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 (𝟒) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽) 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝟏 (𝟓) 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝜽 𝟏 𝟐 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽) (𝟔) 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝟏 𝟐 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽) (𝟕) 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝜽 𝟏 (𝟖) 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱 𝟏 𝟐 ,𝒔𝒊𝒏(𝑨 𝑩)𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝑨 𝑩)𝒙- (𝟗) 𝒄𝒐𝒔𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱 𝟏 𝟐 ,𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙- (𝟏𝟎) 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒔𝒊𝒏𝑩𝒙 𝟏 𝟐 ,𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙- (𝟏𝟏) 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟐𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝑠𝜃
  • 287.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 286 ‫التربٌعٌة‬ ‫المثلثٌة‬ ‫الدوال‬ ‫تكامالت‬ (𝟏) ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝒄 (𝟑) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫(𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝟏 )𝒅𝜽 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝜽 𝒄 (𝟒) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫(𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝜽 𝟏 )𝒅𝜽 ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝜽 𝒄 (𝟓) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝟐 𝒅𝜽 𝟏 𝟐 (∫ 𝒅𝜽 𝟏 𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽(𝟐)𝒅𝜽) 𝟏 𝟐 (𝜽 𝟏 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄 𝟏 𝟐 𝜽 𝟏 𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝟐 𝒅𝜽 𝟏 𝟐 (∫ 𝒅𝜽 𝟏 𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽(𝟐)𝒅𝜽) 𝟏 𝟐 (𝜽 𝟏 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄 𝟏 𝟐 𝜽 𝟏 𝟒 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 𝑐 ‫صفحة‬ ‫الكتاب‬ ‫من‬ ( ‫أمثلة‬185‫و‬‫صفحة‬618) (𝟏) ∫ 𝟗 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅 𝒙 𝟑 ∫ 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟑 𝒅 𝒙 𝟏 𝟑 ∫ 𝟑𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟏 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟑 𝒄 (𝟑) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ∓(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ‫وزاري‬2012/‫د‬3 (4) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 ∫ . 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙/ 𝟐 𝒅𝒙 ∫ * 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)+ 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝟒 ( 𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 (∫ 1 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 ) 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 (∫ 1 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫ 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)) 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 ( 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄 𝟏 𝟒 ( 𝟑 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄 𝟑 𝟖 𝒙 𝟏 𝟒 𝒔𝒊𝒏( 𝟐𝒙) 𝟏 𝟑𝟐 𝒔𝒊𝒏( 𝟒𝒙) 𝒄
  • 288.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 287 (𝟓) ∫( 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱) 𝟕( 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐱) 𝐝𝐱 ( 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱) 𝟖 𝟖 𝒄 (𝟔) ∫ 𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙 𝟐 𝒄 𝟏 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙 𝒄 (𝟕) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙)𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝟑 𝒙 𝟑 𝒄 ‫وزار‬‫ي‬4201/‫د‬2 (𝟖) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 ( 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟐 𝒄 ‫وزاري‬2014/‫د‬3‫وزاري‬6201/‫د‬1 (𝟗) ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟔𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 ∫( 𝟐𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟑𝐱) 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟑𝐱( 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱) 𝒅𝒙 𝟐 𝟑 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟑𝐱( 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱)( 𝟑) 𝒅𝒙 ( 𝟐 𝟑 ) 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱 𝟒 𝐜 𝟏 𝟔 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱 𝐜 ‫مالحظة‬ 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱 (𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱) 𝟒 (𝟏𝟎) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫( 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙) ( 𝟐) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄 (𝟏𝟏) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝟑𝐱 𝐝𝐱 ∫ * 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)+ 𝐝𝐱 𝟏 𝟐 ( 𝒙 𝟏 𝟔 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄 (𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟓𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝟓 𝒄𝒐𝒕𝟓𝒙 𝒙 𝒄 (𝟏𝟑) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝟕𝐱 𝐝𝐱 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝟕 𝒕𝒂𝒏 𝟕𝒙 𝒙 𝒄 ‫وزاري‬2014/‫د‬1
  • 289.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 288 ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫أوجد‬: (𝟏) ∫ 𝒙 𝟑𝒙 𝟐 𝟏 𝟑 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟏 𝟑) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟔 ) ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟒 𝟑) ( 𝟒 𝟑 ) 𝒄 𝟏 𝟖 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟒 𝟑) 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟓 (𝟐 𝒙) 𝐬𝐞𝐜 𝟐(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) 𝒕𝒂𝒏 𝟔 (𝟐 𝒙) 𝟔 𝒄 𝒕𝒂𝒏 𝟔 (𝟐 𝒙) 𝟏𝟐 𝒄 (𝟑) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑(𝟒 𝒙) 𝒔𝒊𝒏(𝟒𝒙)𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟒 ) 𝐜𝐨𝐬 𝟒(𝟒 𝒙) 𝟒 𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝟒(𝟒 𝒙) 𝟏𝟔 𝒄 (𝟒) ∫ 𝒙 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟓(𝒙 𝟑) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟑 ) 𝐜𝐨𝐬 𝟔(𝒙 𝟑 ) 𝟔 𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝟔( 𝒙 𝟑) 𝟏𝟖 𝒄 (𝟓) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙) 𝒔𝒆𝒄(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙) ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) ) 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) 𝐬𝐢𝐧 𝟒(𝟐𝒙) 𝟒 𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝟒(𝟐𝒙) 𝟖 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒙 𝒙 𝟐 𝟗 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝒙 𝟐 𝟗) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) (𝒙 𝟐 𝟗) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝒄 (𝒙 𝟐 𝟗) . 𝟑 𝟐 / 𝟑 𝒄 (𝒙 𝟐 𝟗) 𝟑 𝟑 𝒄 (𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒄𝒐𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙)𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟓 𝒙 𝒄𝒐𝐬𝒙)𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝒙 𝟒 𝒔𝒊𝒏 𝟔 𝒙 𝟔 𝒄 (𝟖) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝒙 𝟓 𝒄 (𝟗) ∫ 𝒙 𝟓 𝟐𝒙 𝟑𝟑 𝒅𝒙 ∫(𝒙) 𝒙 𝟐 𝟐 𝟑 𝒅𝒙 ∫(𝒙) (𝒙 𝟐 𝟐) . 𝟏 𝟑 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) (𝒙 𝟐 𝟐) . 𝟒 𝟑 / . 𝟒 𝟑/ 𝒄 ( 𝟑 𝟖 ) (𝒙 𝟐 𝟐) . 𝟒 𝟑 / 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ 𝒙 𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟓) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟓)𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟐 𝟐 𝟓𝒙) 𝒄 (𝟏𝟏) ∫ 𝟑 (𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝟑 (𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 𝟑 ∫(𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 𝟑(𝒙 𝟏) 𝟏 𝟏 𝒄 𝟑 (𝒙 𝟏) 𝒄
  • 290.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 289 (𝟏𝟐) ∫ 𝒙 𝟐 𝟏 √𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏 𝟓 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟐 𝟏)(𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏) . 𝟏 𝟓 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟑 ) (𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏) . 𝟒 𝟓 / . 𝟒 𝟓 / 𝒄 𝟓 𝟏𝟐 (𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏) . 𝟒 𝟓 / 𝒄 (𝟏𝟑) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟐) 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝒙 𝟒 𝒄 (𝟏𝟒) ∫ 𝟗𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟗 ( 𝟏 𝟐 ) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄 𝟗𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝟐 𝑐 ‫مثال‬/‫التكامالت‬ ‫أوجد‬‫للدوال‬‫األتٌة‬: (𝟏) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝟑 𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙 𝒙 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝟕 𝒄𝒐𝒕𝟕𝒙 𝒙 𝒄 (𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 2 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝒙 𝐜 (𝟒) ∫(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟑 𝒙 𝟑 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒙 𝒄 (𝟓) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ∓(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟔 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟓 𝒙 (𝒄𝒐𝒕𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙 ) 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟔 𝒙 𝟔 𝒄 (𝟕) ∫(𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)(𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙)𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟒 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟔 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄
  • 291.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 290 (𝟖) ∫(𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫,𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙- 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫,𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙- 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟒 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝟏 𝟔 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒄 𝟏 𝟖 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄 (𝟗) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 ( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝟑 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒙 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟔 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙(𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 (𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 (𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟓 𝒙 𝟓 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝟑 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄 (𝟔)‫من‬ ‫بدل‬ (𝟒)‫األس‬ ‫أجعل‬ ‫ولكن‬ (𝟏𝟎)‫السؤال‬ ‫حل‬ ∶ ‫واجب‬ (𝟏𝟏) ∫ 𝒙 𝟓 𝒙 𝟒 𝟏 𝒙 𝟑 𝒙 𝟏 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝒙 𝟑 𝟑 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 𝒄 (‫نكامل‬ ‫ثم‬ ‫المقام‬ ‫على‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) (𝟏𝟐) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟐𝐱 𝐝𝐱 ∫ * 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)+ 𝐝𝐱 𝟏 𝟐 ( 𝒙 𝟏 𝟒 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄 (𝟏𝟑) ∫ 𝒙 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟑 𝐝𝐱 𝟏 𝟑 ∫ ( 𝟑) 𝒙 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟑 𝐝𝒙 𝟏 𝟑 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄 (𝟏𝟒) ∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 𝟏 𝟐 ∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟐 ( 𝟐) 𝐝𝒙 𝟏 𝟐 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒄 (𝟏𝟓) ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟕𝐱 𝐝𝐱 𝟏 𝟕 ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟕𝐱 ( 𝟕) 𝐝𝐱 𝟏 𝟕 𝐜𝐨𝐭 𝟕𝒙 𝒄 (𝟏𝟔) ∫ 𝒙 𝟐 9 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 ∫ (𝑥 3)(𝑥 3) 𝑥 3 𝒅𝒙 ∫(𝑥 3) 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟐 3𝒙 𝒄 (𝟏𝟕) ∫ 𝒙 𝟒 16 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟐 4)(𝒙 𝟐 4) 𝑥 2 𝒅𝒙 ∫ (𝑥 2)(𝑥 2)(𝒙 𝟐 4) 𝑥 2 𝒅𝒙 ∫(𝑥 2)(𝒙 𝟐 4) 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟑 4𝑥 2𝒙 𝟐 8) 𝒅𝒙 𝒙 𝟒 𝟒 2𝒙 𝟐 2 𝒙 𝟑 𝟑 8𝑥 𝒄 (𝟏𝟖) ∫ 𝒙 𝟑 1 𝒙 1 𝒅𝒙 ∫ (𝑥 1)(𝒙 𝟐 𝑥 1) 𝑥 1 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐 𝑥 1) 𝒅𝒙 𝒙 𝟑 𝟑 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 𝒄
  • 292.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 291 (𝟏𝟗) ∫ 𝒙 𝟐 √𝒙 𝟑 𝟓 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟑 𝟓) 2 𝒅𝒙 1 3 ∫(3)𝒙 𝟐(𝒙 𝟑 𝟓) 2 𝒅𝒙 1 3 × (𝒙 𝟑 𝟓)2 1 2 𝒄 2 3 𝒙 𝟑 𝟓 𝒄 (𝟐𝟎) ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑 𝟗 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟗 𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟗 ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑 𝟗 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟗 𝒙 ( 𝟗)𝐝𝐱 𝟏 𝟗 × 𝐜𝐨𝐭 𝟒 𝟗 𝒙 𝟒 𝒄 (𝟐𝟏) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗 𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟗 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗 𝒙 (𝟗) 𝐝𝐱 𝟏 𝟗 𝒄𝒐𝒔 𝟗𝒙 𝒄 (𝟐𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟕 𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟕 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟕 𝒙 (𝟕) 𝐝𝐱 𝟏 𝟕 𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝒄 ‫وزاري‬2012/‫د‬2 (𝟐𝟑) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟑 𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝐝𝐱 ∫( 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 )𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙𝐝𝐱 𝟏 𝟑 𝒄𝒔𝒄 𝟑 𝒙 𝒄 (𝟐𝟒) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝟑𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟒 𝟑𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟑 ∫ 𝟑( 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 )𝒔𝒆𝒄 𝟒 𝟑𝒙 𝐝𝐱 𝟏 𝟑 × 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝟑𝒙 𝟓 𝐜 𝟏 𝟏𝟓 𝒔𝒆𝒄 𝟓 𝟑𝒙 𝐜 ‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ : ‫مثال‬.𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 /‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(0 , 1) ‫الحل‬/ ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫ (𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟏 𝟔 𝟑 ((𝟎 𝟏)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 𝟔 𝟑 𝟏 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
  • 293.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 292 ‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ : ‫مثال‬(𝟑 𝟐 )‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(0 , 1) ‫الحل‬/ ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐 ) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ((𝟎 𝟏)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ : ‫مثال‬‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟑 𝟐 𝟔 𝟗)‫تساوي‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫ٌمتلن‬ ً‫والمنحن‬(15) ‫الحل‬/ 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 𝟎 ( 𝟑) ⇒ 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏 ‫النمطة‬( 𝟏 𝟏𝟓)‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐 𝟔 𝟗) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗 (( 𝟏 𝟏𝟓)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟏𝟓 𝟏 𝟑 𝟗 𝟏𝟎 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗 𝟏𝟎 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ : ‫مثال‬‫م‬ ‫جد‬ً‫المنحن‬ ‫عادلة‬. 𝟔 /‫عند‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫ٌمتلن‬ ً‫والمنحن‬(-1,4) ‫الحل‬/ ∫ ∫(𝟔 ) 𝟑 𝟐 ( 𝟏 ‫عندما‬ 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 𝟐 𝟎 𝟑 ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐 𝟑) 𝟑 𝟑 (( 𝟏 𝟒)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟒 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
  • 294.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 293 : ‫مثال‬ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫مٌله‬ ‫الذي‬(𝟐 )‫والمستمٌم‬𝟑 𝟕‫عندما‬ ‫له‬ ‫مماسا‬𝟐 ‫الحل‬/ Ⓘ‫لٌمة‬ ‫نعوض‬(x)‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ً‫ف‬‫الستخراج‬‫لٌمة‬(y)‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ثم‬ 𝟑 𝟕 𝟑(𝟐) 𝟕 𝟏 (𝟐 𝟏) ‫التماس‬ ‫نقطة‬ ②‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ‫نشتك‬‫إلٌجاد‬‫األولى‬ ‫المشتمة‬ ‫أخر‬ ‫بمعنى‬ ‫أي‬ ‫المٌل‬ 𝟑 𝟕 𝟑 𝟕 𝟑 ③‫المنح‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫المجاهٌل‬ ‫لٌمة‬ ‫نجد‬‫ن‬ً‫حٌث‬( 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟐( 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ④‫التكامل‬ ‫ثابت‬ ‫لٌمة‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫نكامل‬(C)ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ‫فٌتم‬‫المطلوبة‬ ∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟐 𝟏) 𝟐 ((2 1)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ ) 𝟏 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ : ‫مالحظات‬ ‫مثل‬ ‫مجهول‬ ‫ثابت‬ ‫وفٌه‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬ ‫تكامل‬ ‫ال‬(C)‫او‬(P)‫المجهول‬ ‫لٌمة‬ ‫تجد‬ ‫حتى‬. ‫السؤال‬ ‫معلومات‬ ‫من‬ ‫كاملة‬ ‫نمطة‬ ‫أوال‬ ‫تجد‬ ‫أن‬ ‫ٌفضل‬ ‫دالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫ألٌجاد‬‫ألستخدمها‬‫ثوابت‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫المجهولة‬ ‫التكامل‬
  • 295.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 294 (𝟒 𝟐)‫تمارين‬ : ‫الدالة‬ ‫مجال‬ ‫ضمن‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫تكامالت‬ ‫جد‬ (1) ∫ (2𝒙 𝟐 𝟑) 𝟐 𝟗 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 ∫ (𝟒𝒙 𝟒 𝟏𝟐𝒙 𝟐 𝟗) 𝟗 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 ∫ (𝟒𝒙 𝟒 𝟏𝟐𝒙 𝟐) 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 ∫ 𝒙 𝟐(𝟒𝒙 𝟐 𝟏𝟐) 𝒙 𝟐 𝐝𝐱 𝟒𝒙 𝟑 𝟑 𝟏𝟐𝒙 𝒄 (𝟐) ∫ (𝟑 √𝟓𝒙) 𝟕 √ 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ .𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/ 𝟕 √𝟕 (√ 𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 √𝟕 ∫ .𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/ 𝟕 (√ 𝒙) 𝒅𝒙 (‫المشتقة‬ ‫)نوفر‬ 𝟏 √𝟕 ( 𝟐 √𝟓 ) ∫ ( √𝟓 𝟐 ) .𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/ 𝟕 (√ 𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 √𝟕 ( 𝟐 √𝟓 ) .𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/ 𝟖 𝟖 𝒄 1 𝟒 √𝟑𝟓 (𝟑 √𝟓𝒙 ) 𝟖 𝒄 (𝟑) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙) 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙)(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝟐 𝒄 ‫وزاري‬3201/‫د‬1 (𝟒) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 (𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟏 𝒙 𝟏 𝐜 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝐜 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄 ‫أخر‬ ‫حل‬: ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄 (𝟓) ∫ 𝒙 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟒 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟒 𝒅𝒙 𝟏 𝟔 ∫(𝟔)𝒙 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟒 𝒅𝒙 𝟏 𝟔 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟑 𝟑 𝒄 𝟏 𝟏𝟖 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟑 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒙 𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓 𝟑 𝐝𝐱 ∫ (𝒙 𝟓) 𝟐𝟑 𝐝𝐱 ∫(𝒙 𝟓) . 𝟐 𝟑 / 𝐝𝐱 (𝒙 𝟓) . 𝟓 𝟑 / . 𝟓 𝟑/ 𝒄 𝟑 𝟓 (𝒙 𝟓) . 𝟓 𝟑 / 𝒄 (𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 (𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 ( 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝒙 𝟑 𝒄 (𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙 √𝟏 𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟐) ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙 √𝟏 𝒙 𝐝𝐱 𝟐 𝒔𝒊𝒏 √𝟏 𝒙 𝒄
  • 296.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 295 .‫المثال‬ ‫كان‬ ‫/لو‬ ∫ 𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙 √𝟏 𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟐) ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙 √𝟏 𝒙 𝐝𝐱 𝟐 𝒄𝒐𝒔 √𝟏 𝒙 𝒄 (𝟗) ∫(𝟑𝒙 𝟐 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 ∫(𝟗𝒙 𝟒 𝟔𝒙 𝟐 𝟏)𝒅𝒙 𝟗 𝟓 𝒙 𝟓 𝟐𝒙 𝟑 𝒙 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ √ 𝒙 𝒙 √𝒙 𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) √ 𝒙(𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 )( √ 𝒙) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) (𝒙 𝟏 𝟒) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟐 𝟒 ) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ [𝒙 . 𝟏 𝟐 / ] (𝟏 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟐) ∫ [ 𝟏 𝟐 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ] (𝟏 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 𝟐 (𝟏 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝒄 𝟒 𝟑 (𝟏 𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟑 𝟐 / 𝒄 𝟒 𝟑 (𝟏 √ 𝒙) 𝟑 𝒄 .‫المثال‬ ‫كان‬ ‫/لو‬ ∫ 𝒙 √ 𝒙 √𝒙 𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) √ 𝒙(√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) ( √ 𝒙) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟑 𝟒 ) (𝒙 𝟏 𝟒) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟐 𝟒 ) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ [𝒙 . 𝟏 𝟐 / ] (𝒙 . 𝟏 𝟐 / 𝟏) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 (𝟐) ∫ ( 𝟏 𝟐 ) [𝒙 . 𝟏 𝟐 / ] (𝒙 . 𝟏 𝟐 / 𝟏) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 𝟐 (𝒙 . 𝟏 𝟐 / 𝟏) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐/ 𝒄 𝟒 𝟑 (𝒙 . 𝟏 𝟐 / 𝟏) . 𝟑 𝟐 / 𝒄 𝟒 𝟑 (√ 𝒙 𝟏) 𝟑 𝒄 ‫وزا‬‫ري‬2013/‫د‬2 (𝟏𝟏) ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 ( 𝟏 𝟑 ) 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ [ 𝟏 𝟐 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)] 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ ( 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟔 ) 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝟑 𝟐 𝒙 𝟐 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄 (𝟏𝟐) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟒 ) ∫(𝟒) 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 𝒕𝒂𝒏𝟒𝒙 𝒄 (𝟏𝟑) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) ∫( 𝟐) 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝒄 (𝟏𝟒) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝟖𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟖𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝟏 𝟖 𝒕𝒂𝒏𝟖𝒙 𝒙 𝒄
  • 297.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 296 ‫وزاري‬2016/‫د‬1 (𝟏𝟓) ∫ √𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫( 𝟐)𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟑 𝟐 . 𝟑 𝟐/ 𝒄 𝟏 𝟑 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) 𝟑 𝟐 𝒄 (𝟏𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙) 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟒 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄 (𝟏𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟖𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟔𝒙) 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟏𝟔 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙) 𝒄 𝟏 𝟐 𝒙 𝟏 𝟑𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙 𝒄 (𝟏𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟒 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟑𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟏 𝟐 ,𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙-) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟔𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟒 (∫ 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟔𝒙 𝒅𝒙) 𝟏 𝟒 [𝒙 𝟐 𝟔 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 ∫ 𝟏 𝟐 (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐𝒙) 𝒅𝒙] 𝟏 𝟒 [𝒙 𝟏 𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙)] 𝒄 𝟏 𝟒 𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝟏 𝟖 𝒙 𝟏 𝟗𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝒄 𝟑 𝟖 𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝟏 𝟗𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝑐 ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬: (1) ∫ 𝟐𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ( 𝟏 𝟒 ) 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄 𝟏 𝟐 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒔𝒊𝒏√ 𝒙 √ 𝒙 𝒅𝒙 (𝟐) ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝒔𝒊𝒏√ 𝒙 √ 𝒙 𝒅𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔√ 𝒙 𝒄 (𝟑) ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐 . 𝒂 𝟐/ 𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 . 𝒂 𝟐 / 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟐 . 𝒂 𝟐 / 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 0𝐬𝐞𝐜 𝟐 . 𝒂 𝟐 / 𝒙 𝟏1 𝒅𝒙 𝟐 𝒂 𝒕𝒂𝒏 . 𝒂 𝟐 / 𝒙 𝒙 𝒄 (𝟒) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟐𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙𝒅𝒙 𝟐 𝟑 ∫ (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐( 3 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙)𝒅𝒙 𝟐 𝟑 × (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟑 𝟑 𝐜 𝟐 𝟗 (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟑 𝐜
  • 298.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 297 (𝟓) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) . 𝟏 𝟐 / 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙 1 4 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) . 𝟏 𝟐 / (𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟒 ) (𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝒄 (𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) . 𝟑 𝟐 / 𝟔 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒅𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 . 𝟏 𝟐 / (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝐝𝐱 ∫ . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 . 𝟏 𝟐 / 𝒙 ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝒔𝒆𝒄 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 ( 𝟏 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒄 (𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙) 𝟏 𝟐 (𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝐝𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙) 𝟏 𝟐 (𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝐝𝒙 (𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙) 𝟏 𝟐 . 𝟏 𝟐 / 𝒄 𝟐 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄 (𝟖) ∫ 𝟑 𝒙 𝟐 𝒄𝒐𝒔 ( 𝟏 𝒙 ) 𝒅𝒙 ( 𝟑) ∫ 𝟏 𝒙 𝟐 𝐜𝐨𝐬 ( 𝟏 𝒙 ) 𝐝𝐱 𝟑𝒔𝒊𝒏( 𝟏 𝒙 ) 𝐜 (𝟗) ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 ) 𝐝𝐱 ∫ (𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 ) 𝐝𝐱 ∫(𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄)𝐝𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ (𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟏) 𝟐 (𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝒙 𝟏) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙) 𝟐 (𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ . 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 / 𝟒 𝒅𝒙 ∫ 0 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 1 0 𝟏 𝒔𝒊𝒏 1 𝟒 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 ) 𝟒 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 ‫المثال‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ‫الحل‬ ‫نكمل‬ ‫ثم‬)9(‫الصفحة‬ ً‫ف‬)36( (𝟏𝟏) ∫ ( 𝟓 𝒙 𝟑 𝟕 𝒙 𝟐 ) . 𝟏 𝟑 / 𝒙 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟓 𝟕𝒙 𝒙 𝟑 ) . 𝟏 𝟑 / 𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝟓 𝟕𝒙) . 𝟏 𝟑 / 𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟕 (𝟓 𝟕𝒙) . 𝟒 𝟑 / . 𝟒 𝟑/ 𝒄 𝟑 𝟐𝟖 (𝟓 𝟕𝒙) . 𝟒 𝟑 / 𝒄 (𝟏𝟐) ∫ 𝟕𝒙 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟔 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟒(𝒙 𝟓) 𝟐 𝒅𝒙 𝟕 ∫ 𝒙 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟐 𝒅𝒙 𝟕 ∫ . 𝒙 𝒙 𝟓 / 𝟒 (𝒙 𝟓) 𝟐 𝒅𝒙 ( 𝟕 𝟓 ) ∫(𝟓) . 𝒙 𝒙 𝟓 / 𝟒 [ 𝟏 (𝒙 𝟓) 𝟐] 𝒅𝒙 𝟕 𝟓 . 𝒙 𝒙 𝟓 / 𝟓 𝟓 𝒄 𝟕 𝟐𝟓 . 𝒙 𝒙 𝟓 / 𝟓 𝐜 (𝟏𝟑) ∫ 𝒙 𝟓 𝒙 𝟑𝟑 𝒅𝒙 ∫( 𝒙) 𝒙 𝟐 𝟏 𝟑 𝒅𝒙 ∫( 𝒙)( 𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟏 𝟑 ) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) ∫( 𝟐𝒙)( 𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟏 𝟑 ) 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟒 𝟑 ) ( 𝟒 𝟑) 𝒄 𝟑 𝟖 ( 𝒙 𝟐 𝟏) ( 𝟒 𝟑 ) 𝒄
  • 299.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 298 (𝟏𝟒) ∫ 𝟓𝒙 𝟒 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟓𝒙 𝟐 𝟑 𝒅𝒙 ∫ 𝒙(𝟓𝒙 𝟐 𝟑) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟏𝟎 ) ∫(𝟏𝟎)𝒙(𝟓𝒙 𝟐 𝟑) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟏𝟎 ) ( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑) ( 𝟑 𝟐 ) ( 𝟑 𝟐) 𝒄 1 𝟏𝟓 ( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑) ( 𝟑 𝟐 ) 𝒄 (𝟏𝟓) ∫ 𝟓 𝟕√ 𝒙 𝟑 √ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝟓 𝟕𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟏 𝟑 / (𝒙). 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 [ 𝟐 𝟕 ] ∫ [ 𝟕 𝟐 ] (𝟓 𝟕𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟏 𝟑 / (𝒙). 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 [ 𝟐 𝟕 ] (𝟓 𝟕𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟒 𝟑 / . 𝟒 𝟑/ 𝒄 𝟑 𝟏𝟒 (𝟓 𝟕𝒙 . 𝟏 𝟐 / ) . 𝟒 𝟑 / 𝒄 (𝟏𝟔) ∫ 𝒙 𝟔 (𝟓 𝟑 𝒙 ) 𝟔 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 [𝟓 𝟑 𝒙 ]) 𝟔 𝐝𝐱 ∫(𝟓𝒙 𝟑) 𝟔 𝐝𝐱 ( 𝟏 𝟓 ) (𝟓𝒙 𝟑) 𝟕 𝟕 𝒄 1 𝟑𝟓 (𝟓𝒙 𝟑) 𝟕 𝒄 (𝟏𝟕) ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟔 𝟔𝒙 𝟑 𝟗) 𝟓 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(,𝒙 𝟑 𝟑- 𝟐) 𝟓 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟑 𝟑) 𝟏𝟎 𝒅𝒙 1 3 ∫ 3𝒙 𝟐(𝒙 𝟑 𝟑) 𝟏𝟎 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟑 ) (𝒙 𝟑 𝟑) 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝒄 𝟏 𝟑𝟑 (𝒙 𝟑 𝟑) 𝟏𝟏 𝒄 (𝟏𝟖) ∫ 𝟕𝒙 𝟐 𝒙 𝟔 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟐 𝒙 𝟐(𝒙 𝟒 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟑 𝒙 𝟒 𝟏 𝒅𝒙 ( 𝟕 𝟒 ) ∫(𝟒)𝒙 𝟑 (𝒙 𝟒 𝟏) . 𝟏 𝟐 / 𝒅𝒙 ( 𝟕 𝟒 ) (𝒙 𝟒 𝟏) . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝒄 𝟕 𝟔 (𝒙 𝟒 𝟏) . 𝟑 𝟐 / 𝑐
  • 300.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 299 ‫اللوغارٌتم‬‫الطبٌعــ‬ً‫ـ‬ ‫ةةةةةةةتكن‬‫ة‬‫ل‬u‫ةةةةةةةى‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةةةةةبة‬‫ة‬‫بالنس‬ ‫ةةةةةةةتماق‬‫ة‬‫لالش‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫لابل‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫موجب‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫دال‬x‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫للدال‬ ً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫الطبٌع‬ ‫ةةةةةةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬ ‫ةةةةةةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫ةةةةةةةأن‬‫ة‬‫ف‬uً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫ه‬ ( ) ‫الدالة‬ ‫مشتقة‬ ‫الدالة‬ . / ‫و‬‫فأن‬ ‫علٌه‬∫ 𝟏 | |‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫شرط‬( )‫موجبةة‬‫هةذه‬ ‫وتسةتخدم‬ ‫ٌصعب‬ ً‫الت‬ ‫الدوال‬ ‫بعض‬ ً‫ف‬ ‫األولى‬ ‫المشتمة‬ ‫توفٌر‬ ً‫ف‬ ‫الدالة‬‫اشتمالها‬‫مثل‬ ‫الخاصة‬ ‫الخصائص‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تمتلن‬ ً‫وه‬: 𝟏 𝟎 ( ) ( ) ‫مثال‬(1)/‫كان‬ ‫اذا‬(𝟑 𝟐 𝟒)‫فأ‬‫و‬‫جد‬ (𝟑 𝟐 𝟒) 𝟔 𝟑 𝟐 𝟒 ‫مثال‬(2)/‫جد‬∫ 𝜃 𝑑 𝟏 𝜃 𝜃 𝟏 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 ∫ 𝜃 𝑑 𝟏 𝜃 𝜃 ∫ | | |𝟏 |𝜃 / ‫مثال‬: ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫مشتمة‬ ‫جد‬ : ( ) ( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 ( ) ( ) ( ) . / ( ) . / ( ) ( )
  • 301.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 300 / ‫مثال‬‫التكامل‬ ‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: ∫ ∫ ( ) ( ) 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 1 ( 𝟏 𝟐 ) ∫ (𝟐) 𝟐 1 𝟏 𝟐 | 𝟐 |1 ∫ 𝟏 | | ∫ ∫ ∫ | | ∫ ∫ | | ∫ 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 ∫ 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 |𝟏 𝟑 | ‫دالة‬‫اللوغارٌت‬‫م‬ً‫الطبٌع‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الدال‬‫ةةة‬‫ة‬‫لدال‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫عكس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ه‬‫ةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬‫أو‬ ‫ةةتمها‬‫ة‬‫نش‬ ‫ةةدما‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةةدوال‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةض‬‫ة‬‫بع‬ ‫ةةان‬‫ة‬‫هن‬ ‫ةةر‬‫ة‬‫أخ‬ ‫ةةى‬‫ة‬‫بمعن‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫الطبٌع‬ ‫ةةا‬‫ة‬‫علٌه‬ ‫ةةدخل‬‫ة‬‫ن‬ ‫ةةا‬‫ة‬‫نكامله‬‫ال‬‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ‫ةةال‬‫ة‬‫أدخ‬ ‫ةةك‬‫ة‬ٌ‫طر‬ ‫ةةن‬‫ة‬‫ع‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ‫ةةاط‬‫ة‬‫بألغ‬ ‫ةةوم‬‫ة‬‫نم‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ننته‬ ‫ةةدما‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫ث‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬‫ةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬ ‫علٌها‬ ‫العمل‬ ‫المراد‬ ‫الدالة‬ ‫شكل‬ ‫لتغٌٌر‬ ً‫ه‬ ‫العملٌة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الهدف‬ ً‫الطبٌع‬ ‫ةة‬‫ة‬‫ل‬‫ذا‬‫ةة‬‫ة‬‫ف‬‫ةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫أن‬‫ةةٌة‬‫ة‬‫أس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ‫اي‬‫ةةوة‬‫ة‬‫للم‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫مرفوع‬uً‫ةة‬‫ة‬‫ه‬( ) (‫االس()الدالة‬ ‫)مشتقة‬ ( )‫ةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةه‬‫ة‬ٌ‫وعل‬ ∫( )‫مثل‬ ‫الخاصة‬ ‫الخصائص‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تمتلن‬ ً‫وه‬ 𝟐 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 ( ) 𝟎 𝟏 𝟏 ‫مثال‬(3)/‫لتكن‬‫فجد‬ ( 𝟐 ) ‫مثال‬(4)/‫جد‬∫ 𝟐 ‫وزاري‬2013/‫د‬3 ∫ 𝟐 𝟏 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐
  • 302.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 301 ‫األسٌــ‬ ‫الدالة‬‫األساس‬ ( ‫ــة‬)‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫أن‬ ‫نفةةةةةةرض‬( )‫ةةةةةأ‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ‫أسةةةةةةاس‬ ‫ةةةةةل‬‫ة‬‫ٌمث‬ ‫ةةةةةت‬‫ة‬‫ثاب‬ ‫ةةةةةدد‬‫ة‬‫ع‬‫للمةةةةةةوة‬ ‫مرفوعةةةةةةة‬ ‫ةةةةةٌة‬‫ة‬‫أس‬ ‫دالةةةةةةة‬ ‫اي‬ ‫ةةةةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫ن‬uً‫هةةةةةة‬ ( ) (‫()الدالة‬ ‫األساس‬ )(‫االس‬ ‫)مشتقة‬ ( )( )‫ةةةةةةةةةةةةةةةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةه‬‫ة‬ٌ‫وعل‬∫( ) 𝟏 ( ) . ً‫التال‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬ ‫ذلن‬ ‫نوضح‬ ‫وسوف‬ ‫السابمة‬ ‫األسٌة‬ ‫الدالة‬ ً‫ف‬ ‫ذكرناها‬ ً‫الت‬ ‫الخصائص‬ ‫ببعض‬ ‫وتتمٌز‬ ‫مثال‬(5)/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: 𝟑 𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟓 ( 𝟑)(𝟐) (𝟐 𝟑) 𝟑 𝟐 𝟓 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐)( 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐)(𝟐 𝟐 ) 𝟓 𝟓 ( 𝟓)( ) ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ ‫مثال‬/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐) 𝟏 ( ) ( ), - , - ( ) 𝟑(𝟐 𝟒 ) 𝟑(𝟐 𝟒 ) ( 𝟑),𝟒 ( 𝟒)(𝟏)- 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐 ) 𝟑 𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟓 (𝟐 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟓 𝟓 𝟓 ( 𝟓)
  • 303.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 302 ‫مثال‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫جد‬: ∫ 𝟕 𝟏 𝟕 𝟕 ∫ ( ) ∫ ∫ √ √ ( 𝟐) ∫ √ ( 𝟐)√ 𝟐 √ ‫مثال‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫جد‬: ∫ 𝟒 𝟒 ( 𝟏 𝟒 ) ∫ 𝟐 ( ) 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) ∫ 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 ∫( 𝟑) 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 ∫ 𝟑 𝟕 ( 𝟐 𝟕 ) ( 𝟏 𝟕 ) ∫( 𝟕) 𝟑 𝟕 ( 𝟐 𝟕 ) ( 𝟏 𝟕 ) 𝟑 𝟕 ( 𝟏 𝟑 ) ∫ 𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 ∫ 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟑 ∫ ( 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟑 ) ∫(𝟐(𝟑 𝟑 𝟑) 𝟐(𝟒 𝟐 𝟑) ) ∫ 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟑 𝟓 ( 1 2 ) ∫( 𝟐) 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟑 ) ∫( 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟓 ( 1 2 ) 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) ( 𝟏 𝟑 ) 𝟐 𝟑 𝟓 ( 𝟏 𝟐 ) ∫ 𝟐
  • 304.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 303 (𝟒 𝟑)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: (𝒂) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏 (𝒃) 𝐲 𝐥𝐧 . 𝒙 𝟐 / . 𝟏 𝟐 / . 𝒙 𝟐 / ( 𝟏 𝟐 ) ( 𝟐 𝒙 ) 𝟏 𝒙 (𝒄) 𝒚 𝒍𝒏(𝒙 𝟐) 𝟐𝒙 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 (𝒅) 𝐲 (𝒍𝒏𝒙) 𝟐 𝟐 𝒍𝒏𝒙 ( 𝟏 𝒙 ) 𝟐 𝒙 𝐥𝐧𝐱 (𝒆) 𝒚 𝒍𝒏 ( 𝟏 𝒙 ) 𝟑 𝒚 𝒍𝒏 𝒙 𝟑 ( 𝟑𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 ) 𝟑𝒙 𝟏 𝟑 𝒙 (𝒇) 𝒚 𝒍𝒏(𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙) ( 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝒈) 𝐲 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓) 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓) , 𝟏𝟎𝒙 𝟑- ( 𝟏𝟎𝒙 𝟑) 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓) (𝒉) 𝒚 𝟗√ 𝒙 𝟗√ 𝒙 (𝒍𝒏𝟗) ( 𝟏 𝟐√ 𝒙 ) 𝟗√ 𝒙 𝟐√ 𝒙 (𝒍𝒏𝟗) (𝒊) 𝒚 𝟕 . 𝒙 𝟒 / 𝟕 . 𝒙 𝟒 / (𝒍𝒏𝟕) ( 𝟏 𝟒 ) 𝒍𝒏𝟕 𝟒 𝟕 . 𝒙 𝟒 / ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐)
  • 305.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 304 ‫س‬2/‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬: (𝑎) ∫ 1 𝟏 ,𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒙 𝟏 𝟑 - 𝟎 | 𝒍𝒏|𝟑 𝟏| 𝒍𝒏|𝟎 𝟏| 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟒 𝟎 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟐 𝟐 𝟐𝒍𝒏𝟐 (𝒃) ∫ 𝟐 𝟐 𝟗 𝟒 𝟎 𝒅𝒙 , 𝒍𝒏 𝟐 𝟗 𝟒 - 𝟎 | | 𝒍𝒏|𝟏𝟔 𝟗| 𝒍𝒏|𝟎 𝟗| 𝒍𝒏𝟐𝟓 𝒍𝒏𝟗 𝒍𝒏𝟓(𝟐) 𝒍𝒏𝟑(𝟐) 𝟐𝒍𝒏𝟓 𝟐𝒍𝒏𝟑 𝟐𝒍𝒏 𝟓 𝟑 ‫وزاري‬4201/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬1 (𝒄 ∫ 𝟐 𝟓 𝟑 ) 𝒅𝒙 , 𝟐 𝟓 - 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐( 𝟓) 𝟐( 𝟑) 𝟏 𝟐 (𝟓) 𝟐 0 (𝟑) 𝟐 1 𝟏 𝟐 𝟐𝟓, 𝟗- 𝟏 𝟐 𝟏𝟔, - 𝟖 (𝒅) ∫ 𝟐 𝟎 𝒅𝒙 , 𝟐 - 𝟎 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟏 0 𝟏1 𝟐 𝟏 0 𝟏1 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 ‫وزاري‬2011/‫د‬1‫وزاري‬2013/‫د‬2 (𝒆) ∫ ( 𝟏 )2 𝟏 𝟎 𝒅𝒙 * ( 𝟏 )3 3 + 0 1 3 ,( 𝟏 )3 𝟏 - 𝟎 1 3 1 [ (1 𝒆 𝟏) 3 (1 𝒆 𝟎) 3 ] 𝟑 𝟏 ( 𝟏 𝒆) 𝟑 ( 𝟏 𝟏) 𝟑 𝟑 𝟏 ( 𝟏 𝒆) 𝟑 ( 𝟐) 𝟑 𝟑 𝟏 ( 𝟏 𝒆) 𝟑 𝟑 𝟖 ‫السؤال‬ ‫كان‬ ‫لو‬: ∫ ( 𝟏 ) 𝟏 𝟎 𝒅𝒙 ∫ ( 𝟐 ) 𝟏 𝟎 𝒅𝒙 * 𝒆 𝒙 𝒆 𝟐𝒙 𝟐 + 0 1 * 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 𝟐 + * 𝒆 𝟎 𝒆 𝟎 𝟐 + 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 ‫وزاري‬2011/‫د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬1 (𝒇) ∫ 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑 𝟒 𝟏 𝟏 𝟎 𝒅𝒙 , 𝒍𝒏 𝟑 𝟒 𝟏 𝟏 - 𝟎 ( ) 𝒍𝒏𝟔 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟔 𝟎 𝒍𝒏𝟔 ‫وزاري‬5201/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬2 (𝒈) ∫ √ 𝟐√ 𝟒 𝟏 𝒅𝒙 , √ 𝟒 - 𝟎 0𝒆√𝟒 𝒆√𝟏1 𝒆 𝟐 𝒆 𝟏 ‫وزاري‬2011/‫د‬1 (𝒉 ∫ ( 𝟐 𝟐 ) 𝟒 𝟒 ) 𝒅𝒙 , |𝟐 | 𝟒 - 𝟒 𝒍𝒏 |𝟐 𝟒 |𝒍𝒏 |𝟐 𝟒 |𝒍𝒏 𝒍𝒏𝟑 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟑 𝟎 𝒍𝒏𝟑
  • 306.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 305 (𝒊) ∫ √ 𝟐 𝟔 𝒅𝒙 ∫ ( ). 𝟏 𝟐 /𝟐 𝟔 𝐝𝐱 ( ). 𝟏 𝟐 / [ . 𝟏 𝟐 / 𝟔 𝟐 ] , 𝟐√ 𝟐 - 𝟔 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟐 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝟐 √𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 √𝟐 𝟐 √𝟐 ( ) ∫ 𝟑 𝟓 ∫( 𝟐 𝟓 ) 𝟓 ∫( 𝟐 𝟓 𝟏) 𝟓 ∫( 𝟐 𝟓 𝟓 𝟓 ) ∫ 𝟓 𝟐 𝟓 ∫ 𝟓 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟓 ) 𝟐 𝟓 𝟐 ∫ 𝟓 𝟓 𝒅𝒙 𝟏 𝟏𝟎 𝟐 𝟓 𝟏 𝟓 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙| 𝒄 ‫وزاري‬2015/‫د‬1 ( 𝒌 ∫ ( ) 𝟐 𝟎 ) 𝒅𝒙 , - 𝟐 0 . 𝟐 / (𝟎) 1 , 𝟎 𝟏- 𝟏 𝒆 ( 𝑳 ∫ 𝟐 𝟏 ) 𝒅𝒙 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟏 𝒅𝒙 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟏 𝒅𝒙 ∫ 𝟐 𝟏 𝒅𝒙 , 𝟐 - 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 ‫س‬3/‫أثبت‬‫أن‬: ( ) ∫ √ 𝟑 𝟏 √ 𝟐𝟑 𝟐 𝟖 𝟏 ‫األٌسر‬ ∫ 𝟐 𝟑 ( 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟏 𝟐𝟖 𝟏 𝟑 ∫ ( 𝟏 𝟑 ) 𝟐 𝟑 ( 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟏 𝟐𝟖 𝟏 𝟑 [ ( 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 ] 𝟏 𝟖 𝟐 [( 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟑 𝟐 ] 𝟏 𝟖 𝟐 [(𝟖 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟑 𝟐 (𝟏 𝟏 𝟑 𝟏) 𝟑 𝟐 ] 𝟐 [(𝟐 𝟏) 𝟑 𝟐 (𝟏 𝟏) 𝟑 𝟐] 𝟐 [(𝟏) 𝟑 𝟐 𝟎] 𝟐(𝟏) 𝟐 ‫األٌمن‬
  • 307.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 306 ( ) ∫ |𝟑 𝟔| 𝟒 𝟐 𝒅𝒙 𝟑𝟎 ‫مالحظة‬𝟑 𝟔 𝟐 |3 6| 2 3 6 2 6 3 < 2 ‫األٌسر‬ ‫الطرف‬ ∫ |3 6| 2 𝑑𝑥 ∫ (6 3 ) 2 2 𝑑𝑥 ∫ (3 6) 2 𝑑𝑥 *6 3 2 2 + 2 2 * 3 2 2 6 + 𝟐 𝟒 (,12 𝟔- , 12 6-) ( 24 24 ,𝟔 12-) 6 18 6 ‫األٌمن‬ ‫الطرف‬𝟑𝟎 ‫وزاري‬2016/‫د‬1 ‫س‬4/( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, 𝟐 𝟔-‫كان‬ ‫فأذا‬∫ ( ) 𝟔 𝟏 𝟔‫وكان‬∫ , ( ) 𝟑- 𝟔 𝟐 𝟑𝟐‫فج‬‫ـــــ‬‫د‬ ∫ ( ) 𝟏 𝟐 ∫ , ( ) 𝟑- 𝟔 𝟐 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 ∫ 𝟑 𝟔 𝟐 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 | 𝟑 | 𝟐 𝟔 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 , 𝟏𝟖 ( 𝟔)- 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 𝟐𝟒 𝟑𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 𝟖 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟏 𝟖 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟔 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟖 𝟔 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 𝟐
  • 308.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 307 ‫س‬5/‫لٌمة‬ ‫جد‬‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬∫ . 𝟏 𝟐 /𝟏 𝟐 ∫ 𝟐𝟒 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟏 𝟐∫ 𝟐𝟒 𝟎 * 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐, - 𝟎 𝟒 ( 𝟐 𝟐 𝟐 ) ( 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 ) 𝟐 [ 𝟒 𝟎] 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐,𝟏 𝟎- 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 (×𝟐) ⇒ 𝟐 𝟔 𝟎 ( 𝟑)( 𝟐) 𝟎 𝟑 𝟐 ‫س‬6/‫لتكن‬( ) 𝟐 𝟐‫حٌث‬‫تساوي‬ ‫الصغرى‬ ‫نهاٌتها‬ ‫دالة‬( 𝟓)‫فجد‬∫ ( ) 𝟑 𝟏 ‫الحل‬/‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬ ∴̅( ) 𝟎 ( ) 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐) ⇒ 𝟏 ∴‫النمطة‬( 𝟏 𝟓)‫الدالة‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫وه‬ ‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬( ) 𝟓 ( 𝟏) 𝟐 𝟐( 𝟏) 𝟓 𝟏 𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 𝟐 𝟒 ∫ ( ) 𝟑 𝟏 ∫ ( 𝟐 𝟐 𝟒 ) 𝟑 𝟏 * 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 + (𝟗 𝟗 𝟏𝟐) ( 𝟏 𝟑 𝟏 𝟒) 𝟔 ( 𝟏 𝟑 𝟑) 𝟔 ( 𝟏 𝟗 𝟑 ) 𝟔 ( 𝟖 𝟑 ) 𝟏𝟖 𝟖 𝟑 𝟐𝟔 𝟑
  • 309.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 308 ‫س‬7/ً‫للمنحنةةة‬ ‫كةةةان‬ ‫أذا‬( ) ( 𝟑) 𝟑 𝟏‫انم‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫نمط‬‫ـــــةةةـ‬‫الب‬( )‫ةةةدار‬‫ة‬‫للمم‬ ‫العددٌةةةة‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المٌم‬ ‫جةةةد‬ ∫ ( )𝟎 ∫ ( )𝟎 ‫وزاري‬2015/‫د‬3 ‫الحل‬/‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ∴̅̅( ) 𝟎 ( ) ( 𝟑) 𝟑 𝟏 ̅( ) 𝟑( 𝟑) 𝟐 ̅̅( ) 𝟔( 𝟑) 𝟔( 𝟑) 𝟎 ( 𝟔) ⇒ 𝟑 𝟎 𝟑 (𝟑) (𝟑 𝟑) 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 ∴‫األنمالب‬ ‫نمطة‬( )ً‫ه‬(𝟑 𝟏)‫أن‬ ‫أي‬𝟑 𝟏 ∫ ( ) 𝟎 ∫ ( ) 𝟎 ∫ 𝟑( 𝟑) 𝟐 𝟏 𝟎 ∫ 𝟔( 𝟑) 𝟑 𝟎 𝟑 * ( 𝟑) 𝟑 𝟑 + 𝟎 𝟏 𝟔 * ( 𝟑) 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟑 𝟑 * (𝟏 𝟑) 𝟑 𝟑 (𝟎 𝟑) 𝟑 𝟑 + 𝟔 * (𝟑 𝟑) 𝟐 𝟐 (𝟎 𝟑) 𝟐 𝟐 + 𝟑 [ 𝟖 𝟑 𝟐𝟕 𝟑 ] 𝟔 [ 𝟎 𝟗 𝟐 ] 𝟑 [ 𝟏𝟗 𝟑 ] 𝟔 [ 𝟗 𝟐 ] 𝟏𝟗 𝟐𝟕 𝟒𝟔
  • 310.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 309 ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ / ‫مثال‬‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬: (𝟏) ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒙(𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙) (𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝐝𝐱 𝐥𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙| 𝒄 (𝟐) ∫ 𝒆𝒍𝒏(𝒙 𝟐 𝟓) 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐 𝟓)𝒅𝒙 𝒙 𝟑 𝟑 𝟓𝒙 𝒄 (𝟑) ∫ 𝒆|𝒙| 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙 𝟎 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙 𝟐 𝟎 𝒅𝒙 ,𝟏 𝒆 𝟐- ,𝒆 𝟐 𝟏- 𝟐𝒆 𝟐 𝟐 (𝟒) ∫ 𝒅𝒙 𝒙√𝟏 𝒍𝒏𝒙 ∫ (𝟏 𝒍𝒏𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 (𝟏 𝒍𝒏𝒙) 𝟏 𝟐 . 𝟏 𝟐 / 𝒄 𝟐√𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒄 (𝟓) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒐𝒔𝒙| 𝒄 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙| 𝒄 (𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏𝒙| 𝒄 (𝟕) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙) (𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙| 𝒄 (𝟖) ∫ 𝒔𝒆𝒄√ 𝒙 √ 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄√ 𝒙 (𝟐)√ 𝒙 𝒅𝒙 𝟐𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄√ 𝒙 𝒕𝒂𝒏√ 𝒙| 𝒄 (𝟗) ∫ ( 𝟏 𝒙 𝒍𝒏𝒙 𝒙 ) 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒍𝒏𝒙 𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏𝒙 (𝒍𝒏𝒙) 𝟐 𝟐 𝒄 (𝟏𝟎) ∫ (𝒍𝒏𝒙) 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 (𝒍𝒏𝒙) 𝟒 𝟒 𝒄 (𝟏𝟒) ∫ 𝒆 𝒙 (𝒆 𝒆 𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙(𝒆 𝒆 𝒙) 𝟐 𝒅𝒙 (𝒆 𝒆 𝒙) 𝟏 𝟏 𝒄 𝟏 𝒆 𝒆 𝒙 𝒄
  • 311.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 310 / ‫مثال‬‫جد‬‫للدوال‬‫التالٌة‬: (𝟏) ( ) ( 𝟏 ) (𝟏) 𝟏 (𝟏 ) ( ) (𝟏 ) (𝟐) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 𝟐 𝟐 ( 𝟏 ) 𝟐 ( 𝟐 ) ( ) ( 𝟐 ) (𝟑) ( ) ( ) (𝟒 ) ( )𝒙 𝟐( ) ,𝟏 -𝒙 𝟐( ) 𝟐( )𝒙 𝟐( ) 𝟐( )𝒙 , 𝟐( )𝒙 𝟐( )- 𝟐( ) 𝟐( )𝒙 (𝟓) 𝟑 𝟏 (𝟑 𝟏)(𝟏) ( )( 𝟑 𝟑 ) (𝟑 𝟏) 𝟐 (𝟑 𝟏) ( 𝟑 𝟑 ) (𝟑 𝟏) 𝟐 / ‫مثال‬‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬: ⒜‫عندما‬𝟎 𝟎 𝟏 (𝟎 𝟏) ‫التماس‬ ‫نقطة‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬ 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 .‫المماس‬ ‫معادلة‬/
  • 312.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 311 (b)𝟐‫عندما‬𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 (𝟏 𝟐) ‫التماس‬ ‫نقطة‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬ (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒( 𝟏) (‫المماس‬ ‫)معادلة‬ (c)‫عندما‬ ( ) (𝟏) ( ) ‫التماس‬ ‫نقطة‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬ ( 𝟏 ) (𝟏) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐( ) (‫المماس‬ ‫)معادلة‬ / ‫مثال‬‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( ) ( ),0𝟎 𝟒 1‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( )‫ثم‬ ‫لٌمة‬ ‫جد‬∫ ( )𝟒 𝟎 / ‫الحل‬ ( )‫وكذلن‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬( )‫أٌضا‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ( ) 𝟐 ( ) ( ) ( ‫للدالة‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ ) ∫ 𝟒 𝟎 , ( )- (√𝟐 𝟏) (𝟏 𝟎) (√𝟐 𝟏)
  • 313.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 312 :‫مالحظة‬ ‫المتغٌر‬ ‫على‬ ‫ٌحتوي‬ ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫كان‬ ‫أذا‬( )‫نستخدم‬. /‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬ ‫ثم‬ ‫جهة‬ ‫على‬ ‫متغٌر‬ ‫كل‬ ‫نضع‬ ‫ثم‬ ‫للمٌل‬ ****************************************************************** ‫س‬1:‫المستمٌم‬ ‫ٌمس‬ ‫الذي‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫جد‬𝟑 𝟕‫ٌساوي‬ ‫نماطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫ومٌله‬𝟑 𝟐 𝟔 ‫س‬2:‫الثانٌةة‬ ‫المشتمة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬𝟔‫للدالةة‬ ‫وكةان‬‫النمطةة‬( 𝟏 𝟒)‫ثةم‬ ‫الدالةة‬ ً‫منحنة‬ ‫جةد‬ ‫محلٌةة‬ ‫عظمةى‬ ‫نهاٌةة‬ ‫نمطةة‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫أرسم‬ ‫التفاضل‬ ‫بأستخدام‬ ‫س‬3:‫ٌساوي‬ ‫نمطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫مٌله‬ ‫الذي‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬( 𝟐 𝟔 )‫لٌمتهةا‬ ‫محلٌةة‬ ‫صةغرى‬ ‫نهاٌةة‬ ‫وله‬ ( 𝟑)‫ممعر‬ ً‫المنحن‬ ‫وكان‬( > 𝟏)‫لكل‬ ‫ومحدب‬( < 𝟏) ‫س‬4:‫بالنمطة‬ ‫المار‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬( 𝟏 𝟐)‫ٌساوي‬ ‫نمطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫ومٌله‬ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 ‫س‬5:‫جد‬‫معادلة‬‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬ ‫المنحنٌات‬‫عند‬ ‫مٌلها‬‫نمطها‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬( )‫هو‬ 𝟐 𝟐 ****************************************************************** ‫المستوٌة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫اٌجاد‬ ‫مسا‬‫حة‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المستوٌة‬ ‫المنطمة‬‫السـ‬ ‫ومحور‬ ً‫منحن‬‫ــٌنات‬ ‫لتكن‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫ولتكن‬Aً‫بةالمنحن‬ ‫المحةددة‬ ‫المنطمةة‬ ‫مسةاحة‬( )‫ومحةور‬ ‫والمستمٌمٌن‬ ‫السٌنات‬‫فأن‬|∫ ( ) | ‫الحل‬ ‫خطوات‬: ‫بٌن‬ ‫المساحة‬ ‫الٌجاد‬‫ما‬ ‫نتبع‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ ً‫منحن‬ً‫ٌل‬: Ⓘ‫ةةةل‬‫ة‬‫نجع‬( ) 𝟎‫ةةةرة‬‫ة‬‫للفت‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ٌنتم‬ ‫ةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫ةةةأذا‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫مح‬ ‫ةةةع‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةاطع‬‫ة‬‫التم‬ ‫ةةةاط‬‫ة‬‫نم‬ ‫ةةةاد‬‫ة‬‫الٌج‬, -‫ةةةزي‬‫ة‬‫فنج‬ ‫فمط‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫وتؤخذ‬ ‫فٌهمل‬ ‫للفترة‬ ً‫الٌنتم‬ ‫النات‬ ‫كان‬ ‫واذا‬ ‫سابما‬ ‫تعلمنا‬ ‫كما‬ ‫الفترة‬. ②‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫الدالة‬ ‫تماطع‬ ‫نماط‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تحدٌدها‬ ‫ٌتم‬ ‫فالفترة‬ ‫فترة‬ ‫الدالة‬ ‫مع‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫اذا‬ ③‫مجموع‬ = ‫المساحة‬‫لل‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌم‬‫المجزئة‬ ‫تكامالت‬
  • 314.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 313 ‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(1)/‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟑 𝟒‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬, 𝟐 𝟐- / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟐 𝟒) 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 ∴ً‫ه‬ ‫التكامل‬ ‫فترات‬( 𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐) |∫ ( 𝟑 𝟒 ) 𝟎 𝟐 | |∫ ( 𝟑 𝟒 ) 𝟐 𝟎 | * 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟎 * 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟐 |(𝟎) (𝟒 𝟖)| |(𝟒 𝟖) (𝟎)| 𝟒 | 𝟒| 𝟖 (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2013/‫د‬3 ‫ةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(2)/‫مس‬ ‫ةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫المح‬ ‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫الدال‬ ً‫ةةةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ددة‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ــ‬‫ة‬𝟐 ‫ةةةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫والمستمٌمٌن‬𝟏 𝟑 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟎 𝟎 ,𝟏 𝟑- |∫ 𝟐 𝟑 𝟏 | 𝟑 * 𝟑 𝟑 + 𝟏 |[ 𝟐𝟕 𝟑 ] [ 𝟏 𝟑 ]| 𝟐𝟔 𝟑 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2013/‫د‬1 ‫مثال‬(3)/‫الدالة‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟑 𝟐) 𝟎 ( 𝟏)( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 |∫ ( 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟏 𝟎 | |∫ ( 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟏 | * 𝟒 𝟒 𝟑 𝟐 + 𝟎 𝟏 * 𝟒 𝟒 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐 |( 𝟏 𝟒 𝟏 𝟏) (𝟎)| |(𝟒 𝟖 𝟒) ( 𝟏 𝟒 𝟏 𝟏)| 𝟏 𝟒 | 𝟏 𝟒 | 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
  • 315.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 314 ‫مثةةةال‬(4)/‫الدالةةةة‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫المنطمةةةة‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟐 𝟏‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬, 𝟐 𝟑- / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟏 𝟎 ( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏 , 𝟐 𝟑- |∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟏 𝟐 | |∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟏 𝟏 | |∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟏 | * 𝟑 𝟑 + 𝟐 𝟏 * 𝟑 𝟑 + 𝟏 𝟏 * 𝟑 𝟑 + 𝟏 𝟑 |[( 𝟏 𝟑 𝟏) ( 𝟖 𝟑 𝟐)] [( 𝟏 𝟑 𝟏) ( 𝟏 𝟑 𝟏)] [(𝟗 𝟑) ( 𝟏 𝟑 𝟏)]| | 𝟕 𝟑 𝟏| | 𝟐 𝟑 𝟐| |𝟕 𝟏 𝟑 | 𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝟐𝟎 𝟑 𝟐𝟖 𝟑 𝟗 𝟏 𝟑 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) ‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(5)/‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬( )‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬0 𝟐 1 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟎 𝟎 [ 𝟐 ] |∫ 𝟎 𝟐 | |∫ 𝟎 | | 𝟎 , - 𝟐 | | , - 𝟎 | | (𝟎) . 𝟐 /| | ( ) (𝟎)| , 𝟏 𝟎- ,𝟏 𝟏- | 𝟏| 𝟐 𝟑 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
  • 316.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 315 ‫مثةةةةال‬(6)/‫مس‬ ‫جةةةةد‬‫ــةةةةـ‬‫الدال‬ ً‫بمنحنةةةة‬ ‫المحةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةة‬ ‫احة‬‫ـــةةةةـ‬‫ة‬‫وعلةةةةى‬ ‫السةةةةٌنات‬ ‫ومحةةةةور‬ ‫الفترة‬, - / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟎 𝟐 , - |∫ 𝟐 | |∫ 𝟐 𝟐 | |∫ 𝟐 | | 𝟐 , - | | | 𝟐 , - 𝟐 | | | , - 𝟐 | | . 𝟐 / ( )| | . 𝟐 / . 𝟐 /| | ( ) . 𝟐 /| | 𝟏 𝟎| |𝟏 𝟏| |𝟎 𝟏| | 𝟏| 𝟐 | 𝟏| 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ / ‫ةةةةال‬‫ة‬‫مث‬‫مس‬ ‫ةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬( ) 𝟐 𝟒‫ةةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬, 𝟏 𝟑- / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐 , 𝟏 𝟑- (‫السالب‬ ‫ٌهمل‬ ) |∫ ( 𝟐 𝟒) 𝟐 𝟏 | |∫ ( 𝟐 𝟒) 𝟑 𝟐 | |* 𝟑 𝟑 𝟒 + 𝟏 𝟐 | |* 𝟑 𝟑 𝟒 + 𝟐 𝟑 | |( 𝟖 𝟑 𝟖) ( 𝟏 𝟑 𝟒)| |(𝟗 𝟏𝟐) ( 𝟖 𝟑 𝟖)| | 𝟗 𝟑 𝟖 𝟒| | 𝟑 𝟖 𝟑 𝟖| |𝟑 𝟏𝟐| |𝟓 𝟖 𝟑 | | 𝟗| | 𝟏𝟓 𝟖 𝟑 | 𝟗 𝟕 𝟑 𝟐𝟕 𝟕 𝟑 𝟑𝟒 𝟑 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
  • 317.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 316 / ‫مثال‬‫مس‬ ‫جد‬‫ـــــ‬‫الدال‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫احة‬‫ــــ‬‫ة‬( )‫الس‬ ‫ومحور‬‫ــــ‬‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫ٌنات‬,𝟎 𝟐- / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟎 ( ‫الصفر‬ ‫من‬ ‫أكبر‬ ‫موجب‬ ‫عدد‬ ‫دائما‬ ‫ألنه‬ ‫الٌمكن‬ ) |∫ 𝟐 𝟎 | | 𝟐 𝟎 | ( 𝟐 𝟏) (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ) / ‫مثةةةةال‬‫الدالةةةةة‬ ً‫بمنحنةةةة‬ ‫المحةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةة‬ ‫مسةةةةاحة‬ ‫جةةةةد‬( ) 𝟐 𝟐 ‫السةةةةٌنات‬ ‫ومحةةةةور‬ ‫الفترة‬ ‫وعلى‬0𝟎 𝟐 1 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟒 [ 𝟎 𝟐 ] |∫ 𝟐 𝟒 𝟎 | |∫ 𝟐 𝟐 𝟒 | |[ 𝟏 𝟐 𝟐 ] 𝟎 𝟒 | |[ 𝟏 𝟐 𝟐 ] 𝟒 𝟐 | [ 𝟏 𝟐 (𝟏 𝟎)] [ 𝟏 𝟐 (𝟎 𝟏)] 𝟏 𝟐 | 𝟏 𝟐 | 𝟏 (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ) ****************************************************************** ‫بمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫لتكن‬( ) ( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرتان‬ ‫دالتٌن‬, -‫المحةد‬ ‫المساحة‬ ‫فأن‬‫بةالمنحنٌٌن‬ ‫دة‬f,g‫والمسةتمٌمٌن‬ ً‫ه‬|∫ ( ( ) ( )) | : ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ً‫ماٌل‬ ‫نتبع‬ ‫دالتٌن‬ ً‫منحن‬ ‫بٌن‬ ‫المساحة‬ ‫الٌجاد‬: Ⓘ‫نجعةةةل‬( ) ( )‫للفتةةةرة‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ٌنتم‬ ‫النةةةات‬ ‫ةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫فةةةأذا‬ ‫التمةةةاطع‬ ‫ةةةاط‬‫ة‬‫نم‬ ‫الٌجةةةاد‬, -‫ةةةا‬‫ة‬‫تعلمن‬ ‫كمةةةا‬ ‫ةةةرة‬‫ة‬‫الفت‬ ‫فنجةةةزي‬ ‫فمط‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫وتؤخذ‬ ‫فٌهمل‬ ‫للفترة‬ ً‫الٌنتم‬ ‫النات‬ ‫كان‬ ‫واذا‬ ‫سابما‬. ②‫الدالتٌن‬ ‫تماطع‬ ‫نماط‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تحدٌدها‬ ‫ٌتم‬ ‫فالفترة‬ ‫فترة‬ ‫الدالة‬ ‫مع‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫اذا‬. ③= ‫المساحة‬‫المجزئة‬ ‫للتكامالت‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌم‬ ‫مجموع‬(‫األكبر‬ ‫للدالة‬–) ‫األصغر‬ ‫الدالة‬
  • 318.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 317 ‫وزار‬‫ي‬2011/‫د‬1 ‫مثال‬(1)/‫مساحة‬ ‫جد‬‫المنطمة‬ً‫بالمنحن‬ ‫المحددة‬√‫والمستمٌم‬ / ‫الحل‬ ‫نجد‬‫التماطع‬ ‫نمط‬‫بجعل‬ ‫وذلن‬√ √ (‫)بالتربٌع‬ ⇒ 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 |∫ (√ ) 𝟏 𝟎 | |∫ ( . 𝟏 𝟐 / ) 𝟏 𝟎 | |[ . 𝟑 𝟐 / . 𝟑 𝟐 / 𝟐 𝟐 ] 𝟎 𝟏 | [* 𝟐 √ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟏 ] [( 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 ) (𝟎)] 𝟒 𝟑 𝟔 𝟏 𝟔 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ‫مثال‬(2)/‫مساحة‬ ‫جد‬‫المنطمة‬‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ً‫المنحن‬𝟑 ‫والمستمٌم‬ / ‫الحل‬ ‫بجعل‬ ‫وذلن‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫نجد‬𝟑 𝟑 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 |∫ ( 𝟑 ) 𝟎 𝟏 | |∫ ( 𝟑 ) 𝟏 𝟎 | |* 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟎 | |* 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟏 | |(𝟎) ( 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 )| |( 𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 ) (𝟎)| 𝟏 𝟒 | 𝟏 𝟒 | 𝟏 𝟐 (‫مساحة‬ ‫)وحدة‬
  • 319.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 318 ‫ةةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(3)/‫مس‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬‫ال‬‫منحنٌٌن‬( )‫و‬( ) ‫الفترة‬ ‫وعلى‬0 𝟐 𝟐 1 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟏 𝟒 [ 𝟐 𝟐 ] (‫الموجب‬ ‫األتجاه‬) |∫ ( ) 𝟒 𝟐 | |∫ ( ) 𝟐 𝟒 | | |, 𝟒 - 𝟐 | | | |, 𝟐 - 𝟒 | | |( . 𝟒 / . 𝟒 /) ( . 𝟐 / . 𝟐 /)| |( . 𝟐 / . 𝟐 /) ( . 𝟒 / . 𝟒 /)| |( 𝟏 √𝟐 𝟏 √𝟐 ) ( 𝟏 𝟎)| |(𝟏 𝟎) ( 𝟏 √𝟐 𝟏 √𝟐 )| | 𝟐 √𝟐 𝟏| |𝟏 𝟐 √𝟐 | |√𝟐 𝟏| |𝟏 √𝟐| √𝟐 𝟏 √𝟐 𝟏 𝟐√𝟐 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ****************************************************************** ‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬ / ‫مثةةةةةةةال‬‫بةةةةةةة‬ ‫المحةةةةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةةةةة‬ ‫مسةةةةةةةاحة‬ ‫جةةةةةةةد‬‫ال‬‫منحنٌٌن‬( ) 𝟐 𝟐 𝟏‫و‬( ) 𝟓 ‫الفترة‬ ‫وعلى‬, 𝟐 𝟑- ‫الحل‬/‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟓 𝟐 𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟒)( 𝟏) 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 |∫ ( 𝟐 𝟑 𝟒) 𝟏 𝟐 | |∫ ( 𝟐 𝟑 𝟒) 𝟑 𝟏 | |* 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 + 𝟐 𝟏 | |* 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 + 𝟏 𝟑 | |( 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒) ( 𝟖 𝟑 𝟔 𝟖)| |(𝟗 𝟐𝟕 𝟐 𝟏𝟐) ( 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒)| | 𝟐 𝟗 𝟐𝟒 𝟏𝟔 𝟑𝟔 𝟒𝟖 𝟔 | | 𝟓𝟒 𝟖𝟏 𝟕𝟐 𝟐 𝟗 𝟐𝟒 𝟔 | 𝟏𝟕 𝟔 | 𝟏𝟏𝟐 𝟔 | 𝟏𝟕 𝟔 𝟏𝟏𝟐 𝟔 𝟏𝟐𝟗 𝟔 𝟒𝟑 𝟐 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
  • 320.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 319 / ‫مثال‬‫جد‬‫المساحة‬‫بالمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬𝟒 𝟏𝟐‫و‬𝟐 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟒)( 𝟐 𝟑) 𝟎 𝟐 ∓√ 𝟑 ‫ٌهمل‬ |∫ ( 𝟒 𝟐 𝟏𝟐) 𝟐 𝟐 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟑 𝟏𝟐 + 𝟐 𝟐 | * 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟑 𝟐𝟒+ * 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟑 𝟐𝟒+ | 𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎 𝟏𝟓 | | 𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎 𝟏𝟓 | | 𝟑𝟎𝟒 𝟏𝟓 | 𝟑𝟎𝟒 𝟏𝟓 𝟔𝟎𝟖 𝟏𝟓 𝟒𝟎 𝟖 𝟏𝟓 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) / ‫مثةةةةةةال‬‫بةةةةةةالمنحنٌٌن‬ ‫المحةةةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةةةة‬ ‫مسةةةةةةاحة‬ ‫جةةةةةةد‬( ) 𝟐 𝟐 𝟏‫و‬( ) 𝟐 ‫الفترة‬ ‫وعلى‬0𝟎 𝟐 1 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 [ 𝟎 𝟐 ] 𝟏 (‫ٌهمل‬ ) |∫ ( 𝟐 𝟏) 𝟐 𝟎 | |∫ ( 𝟐 ) 𝟐 𝟎 ∫ 𝟐 𝟎 | |∫ ( 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟎 ∫ 𝟐 𝟎 | |[ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 𝟐 ] 𝟎 𝟐 , - 𝟎 𝟐 | |[( 𝟏 𝟐 × 𝟐 𝟎) 𝟎] 0 𝟐 𝟎1| | 𝟒 𝟐 | | 𝟒 | 𝟒 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
  • 321.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 320 / ‫مثال‬‫المنحنٌٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) | 𝟏| 𝟐‫و‬( ) 𝟏 𝟓 𝟕 / ‫الحل‬( ) 2 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 < 𝟏 ( ) 2 𝟏 𝟏 𝟑 < 𝟏 ‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟏 𝟏 𝟓 𝟕 𝟔 𝟓 𝟔 𝟓 𝟏 𝟑 𝟏 𝟓 𝟕 𝟒 𝟓 𝟒 𝟓 < 𝟏 |∫ ( 𝟒 𝟓 𝟒) 𝟏 𝟓 | |∫ ( 𝟔 𝟓 𝟔) 𝟓 𝟏 | |* 𝟒 𝟐 𝟏𝟎 𝟒 + 𝟓 𝟏 | |* 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 𝟔 + 𝟏 𝟓 | |( 𝟒 𝟏𝟎 𝟒) (𝟏𝟎 𝟐𝟎)| |( 𝟏𝟓 𝟑𝟎) ( 𝟔 𝟏𝟎 𝟔)| | 𝟒𝟒 𝟏𝟎 𝟏𝟎| | 𝟏𝟓 𝟓𝟒 𝟏𝟎 | | 𝟒𝟒 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟓𝟒 𝟏𝟎 | 𝟐𝟒𝟎 𝟏𝟎 𝟐𝟒 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / / ‫مثال‬‫بالمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) 𝟐 ( ) 𝟏 𝟐 𝟐‫الفترة‬ ‫وعلى‬,𝟎 𝟏- / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 (‫بالدستور‬) ⇒ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 𝟖 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑𝟑 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 √𝟑𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟑𝟑 𝟒 𝟏 √ 𝟑𝟑 𝟒 𝟎 𝟏 ‫الدالة‬ ‫نختبر‬(0) 0 < (0) 2‫الدالة‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬( )‫األكبر‬ ‫الدالة‬ ً‫ه‬ |∫ ( 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 ) 𝟏 𝟎 | |* 𝟐 𝟒 𝟐 𝟑 𝟑 + 𝟎 𝟏 | |( 𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟑 ) (𝟎)| 𝟑 𝟐𝟒 𝟒 𝟏𝟐 𝟐𝟑 𝟏𝟐 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
  • 322.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 321 ‫المســــــافة‬ ‫ةةتكن‬‫ة‬‫ل‬( )‫ةةرة‬‫ة‬‫الفت‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الممطوع‬ ‫ةةافة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةا‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةتوي‬‫ة‬‫مس‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫وف‬ ‫ةةتمٌم‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةط‬‫ة‬‫خ‬ ‫ةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ةةرن‬‫ة‬‫ٌتح‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫جس‬ ‫ةةرعة‬‫ة‬‫س‬ ‫الزمنٌة‬, 𝟏 𝟐-ً‫ه‬:∫ | ( )|𝟐 𝟏 ‫تمثل‬ ‫حٌث‬( )‫متجهة‬ ‫غٌر‬ ‫كمٌة‬ ً‫وه‬ ‫المسافة‬ ‫ممدار‬ ‫أم‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ــــــــــ‬‫ةةةةةة‬‫ة‬‫األزاح‬ ‫ا‬( )‫والس‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــــــ‬‫رعة‬( )‫ةةةةةل‬‫ة‬ٌ‫والتعج‬( )ٌ‫كم‬ ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫فه‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ــــ‬‫أزاح‬ ‫وأن‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫متجه‬ ‫ات‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــــــ‬‫ة‬ ً‫ه‬ ‫الجسم‬∫ ( )𝟐 𝟏 ‫الجسم‬ ‫سرعة‬ ‫و‬∫ ( ) : ‫مالحظات‬ Ⓘ‫ال‬ ‫النات‬ ‫ألن‬ ‫مطلك‬ ‫بدون‬ ‫وٌكون‬ ‫للسرعة‬ ‫محدد‬ ‫تكامل‬ ‫األزاحة‬‫صفر‬ ‫أو‬ ‫سالب‬ ‫أو‬ ‫موجب‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ ‫ٌهم‬ ②‫ال‬ ً‫لك‬ ‫هو‬ ‫المسافة‬ ‫لانون‬ ً‫ف‬ ‫المطلك‬ ‫وجود‬‫سالب‬ ‫النات‬ ‫ٌكون‬ ③‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫طلب‬ ‫أذا‬‫مثال‬‫حساب‬ ً‫ٌعن‬ ‫فهذا‬ ‫الثامنة‬ ‫الثانٌة‬ ‫خالل‬ ‫األزاحة‬ ‫جد‬∫ ‫الدالة‬ ④‫حساب‬ ً‫ٌعن‬ ‫فهذا‬ ‫األولى‬ ‫الخمس‬ ً‫الثوان‬ ‫خالل‬ ‫األزاحة‬ ‫جد‬ ‫مثال‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫طلب‬ ‫أذا‬∫ ‫الدالة‬ ⑤‫فأن‬ ‫الجسم‬ ‫تعجٌل‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ً‫أعط‬ ‫أذا‬‫السرعة‬ ( ) ∫ ‫التعجٌل‬‫محدد‬ ‫غٌر‬ ‫تكامل‬ ‫وهو‬ ⑥‫ةةة‬‫ة‬‫حال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫وف‬ ‫ةةد‬‫ة‬‫وج‬ ‫أن‬ ‫ةةل‬‫ة‬‫التكام‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫تجزئ‬ ‫ةةدوث‬‫ة‬‫ح‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ٌعن‬ ‫ةةذا‬‫ة‬‫وه‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫الجس‬ ‫ةةاه‬‫ة‬‫أتج‬ ‫ةةر‬‫ة‬ٌ‫ٌتغ‬ ‫ةةافة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةاد‬‫ة‬‫أٌج‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫حال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬ . ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫التكامل‬ ً‫ف‬ ‫التجزئة‬ ‫تهمل‬ ‫لذا‬ ‫ثابت‬ ‫الجسم‬ ‫أتجاه‬ ‫ٌكون‬ ‫األزاحة‬
  • 323.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 322 ‫مثال‬(1)/‫بسرعة‬ ‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬( ) 𝟐 𝟒 ⁄‫فجــــــــــــــد‬: ⓐ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬,𝟏 𝟑 -ⓑ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫األزاحة‬,𝟏 𝟑 - ⓒ‫الخ‬ ‫الثانٌة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬‫امسة‬ⓓً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫بعده‬(4)‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬ ‫الح‬‫ل‬/2 4 0 2 4 𝟐 ,1 3 - |∫ (𝟐 𝟒) 𝟐 𝟏 | |∫ (𝟐 𝟒) 𝟑 𝟐 | |, 𝟐 𝟒 𝟐 - 𝟏 | |, 𝟐 𝟒 𝟑 - 𝟐 | |(𝟒 𝟖) (𝟏 𝟒)| |(𝟗 𝟏𝟐) (𝟒 𝟖)| | 𝟒 𝟑| | 𝟑 𝟒| 𝟏 𝟏 𝟐 ∫ (𝟐 𝟒) 𝟑 𝟏 , 𝟐 𝟒 𝟑 - 𝟏 (𝟗 𝟏𝟐) (𝟏 𝟒) 𝟑 𝟑 𝟎 |∫ (𝟐 𝟒) 𝟓 𝟒 | |, 𝟐 𝟒 𝟓 - 𝟒 | |,(𝟐𝟓 𝟐𝟎) (𝟏𝟔 𝟏𝟔)-| 𝟓 ∫ (𝟐 𝟒) 𝟒 𝟎 |, 𝟐 𝟒 𝟒 - 𝟎 | ,(𝟏𝟔 𝟏𝟔) (𝟎)- 𝟎 ‫مثةةةةال‬(2)/‫بتعجٌةةةةل‬ ‫مسةةةةتمٌم‬ ‫خةةةةط‬ ‫ةةةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ٌتحةةةةرن‬ ‫جسةةةةم‬(𝟏𝟖 𝟐⁄ )‫ةةةةبحت‬‫ة‬‫أص‬ ‫لةةةةد‬ ‫سةةةةرعته‬ ‫كانةةةةت‬ ‫ةةةةأذا‬‫ة‬‫ف‬ (𝟖𝟐 )‫مرور‬ ‫بعد‬(4)ً‫ثوان‬‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬‫فجد‬: ⓐ‫خالل‬ ‫المسافة‬‫الثانٌة‬‫الثالثة‬ⓑ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعده‬(3)ً‫ثوان‬ / ‫الحل‬ ∫ ( ) ∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟖𝟐 𝟏𝟖( 𝟒) 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟖 𝟏𝟎 |∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎) 𝟑 𝟐 | |, 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑 - 𝟐 | |(𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟑𝟔 𝟐𝟎)| 𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟔 𝟓𝟓 ∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎) 𝟑 𝟎 , 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑 - 𝟎 (𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟎) 𝟏𝟏𝟏 ⓒ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫السرعة‬ ‫جد‬ ‫أعاله‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬(10)ً‫ثوان‬ ( ) 𝟏𝟖 𝟏𝟎 (𝟏𝟎) 𝟏𝟖(𝟏𝟎) 𝟏𝟎 𝟏𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟗𝟎
  • 324.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 323 (𝟒 𝟔)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟒 ‫والمستمٌمٌن‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬𝟏 𝟏 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟒 𝟎 ( 𝟑 𝟏) 𝟎 𝟎 , 𝟏 𝟏- 𝟏 , 𝟏 𝟏- |∫ ( 𝟒 ) 𝟎 𝟏 | |∫ ( 𝟒 ) 𝟏 𝟎 | |* 𝟓 𝟓 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟎 | |* 𝟓 𝟓 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟏 | |(𝟎) ( 𝟏 𝟓 𝟏 𝟐 )| |( 𝟏 𝟓 𝟏 𝟐 ) (𝟎)| | ( 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 )| |( 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 )| 𝟕 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ‫س‬2/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫الدالة‬( ) 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒‫الفترة‬ ‫وعلى‬, 𝟐 𝟑-‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒 𝟎 ( 𝟐 𝟒)( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟐 , 𝟐 𝟑- 𝟐 𝟏 ‫ٌهمل‬ |∫ ( 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒) 𝟐 𝟐 | |∫ ( 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒) 𝟑 𝟐 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟒 + 𝟐 𝟐 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟒 + 𝟐 𝟑 | |( 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟖) ( 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟖)| |( 𝟐𝟒𝟑 𝟓 𝟐𝟕 𝟏𝟐) ( 𝟑𝟐 𝟓 𝟖 𝟖)| | 𝟔𝟒 𝟓 𝟑𝟐| | 𝟐𝟏𝟏 𝟓 𝟐𝟑| | 𝟔𝟒 𝟏𝟔𝟎 𝟓 | | 𝟐𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟓 𝟓 | | 𝟗𝟔| 𝟗𝟔 𝟓 𝟏𝟗𝟐 𝟓 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ‫س‬3/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫الدالة‬( ) 𝟒 𝟐 ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟒 𝟐 𝟎 𝟐( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟐( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 |∫ ( 𝟒 𝟐) 𝟎 𝟏 | |∫ ( 𝟒 𝟐) 𝟏 𝟎 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟑 + 𝟏 𝟎 | |* 𝟓 𝟓 𝟑 𝟑 + 𝟎 𝟏 | |(𝟎) ( 𝟏 𝟓 𝟏 𝟑 )| |( 𝟏 𝟓 𝟏 𝟑 ) (𝟎)| | 𝟑 𝟓 𝟏𝟓 | | 𝟑 𝟓 𝟏𝟓 | | 𝟐 𝟏𝟓 | | 𝟐 𝟏𝟓 | 𝟒 𝟏𝟓 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ / ‫وزاري‬2012/‫د‬2
  • 325.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 324 ‫س‬4/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟑‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬0𝟎 𝟐 1 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟑 𝟎 𝟑 𝟎 𝟐 𝟎 0𝟎 𝟐 1 𝟑 0𝟎 𝟐 1 𝟐 𝟑 0𝟎 𝟐 1 |∫ 𝟑 𝟑 𝟎 | |∫ 𝟑 𝟐 𝟑 | |* 𝟑 𝟑 + 𝟎 𝟑 | |* 𝟑 𝟑 + 𝟑 𝟐 | |[ 𝟑 . 𝟑/ 𝟑 ] * 𝟑(𝟎) 𝟑 +| |[ 𝟑 . 𝟐/ 𝟑 ] [ 𝟑 . 𝟑/ 𝟑 ]| |* ( ) 𝟑 + * (𝟎) 𝟑 +| |[ ( 𝟑 𝟐 ) 𝟑 ] * ( ) 𝟑 +| |* ( 𝟏) 𝟑 + * 𝟏 𝟑 +| |, 𝟎- * ( 𝟏) 𝟑 +| | 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 | | 𝟏 𝟑 | 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ‫س‬5/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟐 𝟐 𝟏‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬0𝟎 𝟐 1 / ‫الحل‬ ‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 0 𝟎 𝟐 1 𝟑 𝟒 0 𝟎 𝟐 1 |∫ 𝟐 𝟒 𝟎 | |∫ 𝟐 𝟐 𝟒 | |* 𝟐 𝟐 + 𝟎 𝟒 | |* 𝟐 𝟐 + 𝟒 𝟐 | | 𝟐 . 𝟒 / 𝟐 𝟐(𝟎) 𝟐 | | 𝟐 . 𝟐 / 𝟐 𝟐 . 𝟒 / 𝟐 | | . 𝟐 / 𝟐 (𝟎) 𝟐 | | ( ) 𝟐 . 𝟐 / 𝟐 | | 𝟏 𝟐 𝟎 | | 𝟎 𝟏 𝟐 | | 𝟏 𝟐 | | 𝟏 𝟐 | 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
  • 326.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 325 ‫س‬6/‫جد‬‫ال‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬ ‫مساحة‬√ 𝟏 𝟏 𝟐 ‫الفترة‬ ‫وعلى‬[2,5] / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ √ 𝟏 𝟏 𝟐 .(‫بالتربٌع‬ )/ ⇒ 𝟏 𝟏 𝟒 𝟐 (× 𝟒) ⇒ 𝟐 𝟒 𝟒 𝟎 ( 𝟐) 𝟐 𝟎 𝟐 ,𝟐 𝟓- |∫ [ 𝟏 𝟐 ( 𝟏) 𝟏 𝟐] 𝟓 𝟐 | |[ 𝟐 𝟒 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 . 𝟑 𝟐/ ] 𝟐 𝟓 | |[ 𝟐 𝟒 𝟐( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 ] 𝟐 𝟓 | | 𝟐𝟓 𝟒 𝟐(𝟒) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐(𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 | | 𝟐𝟓 𝟒 𝟐(𝟐 𝟐 ) 𝟑 𝟐 𝟑 (𝟏 𝟐 𝟑 )| | 𝟐𝟓 𝟒 𝟏𝟔 𝟑 𝟏 𝟑 | | 𝟕𝟓 𝟔𝟒 𝟒 𝟏𝟐 | | 𝟕 𝟏𝟐 | 𝟕 𝟏𝟐 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ) ‫س‬7/‫المساحة‬ ‫جد‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬𝟒 𝟏𝟐𝟐 / ‫الحل‬‫صفحة‬ ‫محلول‬( 𝟒𝟖) ‫وزاري‬2014/‫د‬1 ‫س‬8/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـــــ‬‫احة‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬( )( )‫حٌث‬,𝟎 𝟐 - / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟎 ( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟎 ,𝟎 𝟐 - ,𝟎 𝟐 - 𝟐 ,𝟎 𝟐 - 𝟏 𝟎 ,𝟎 𝟐 - 𝟐 ,𝟎 𝟐 - |∫ ( ) 𝟎 | |∫ ( ) 𝟐 | |* 𝟐 𝟐 + 𝟎 | |* 𝟐 𝟐 + 𝟐 | |* 𝟐( ) 𝟐 ( )+ * 𝟐(𝟎) 𝟐 (𝟎)+| |* 𝟐(𝟐 ) 𝟐 (𝟐 )+ * 𝟐( ) 𝟐 ( )+| |(𝟎 𝟏) (𝟎 𝟏)| |(𝟎 𝟏) (𝟎 𝟏)| | 𝟏 𝟏| |𝟏 𝟏| | 𝟐| 𝟐 𝟒 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
  • 327.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 326 ‫وزاري‬2013/‫د‬2 ‫س‬9/‫جد‬‫المساحة‬‫با‬ ‫المحددة‬‫لدالتٌن‬( ) 𝟐 𝟏( )‫حٌث‬0𝟎 𝟑 𝟐 1 / ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟑 𝟐 [𝟎 𝟑 𝟐 ] |∫ ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟎 | |, - 𝟎 𝟑 𝟐 | |( 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 ) ( 𝟎 𝟎)| |(𝟎 𝟑 𝟐 ) ( 𝟏)| | 𝟑 𝟐 𝟏| 𝟑 𝟐 𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ‫س‬10/‫جد‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬‫الدالة‬𝟑 𝟒 𝟐 𝟑‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ / ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬ 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟒 𝟑) 𝟎 ( 𝟏)( 𝟑) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟑 |∫ ( 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 ) 𝟏 𝟑 | |∫ ( 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 ) 𝟎 𝟏 | |* 𝟒 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟏 | |* 𝟒 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟎 | |( 𝟏 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟐 ) ( 𝟖𝟏 𝟒 𝟑𝟔 𝟐𝟕 𝟐 )| |( 𝟎) ( 𝟏 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟐 )| | 𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟒𝟑𝟐 𝟏𝟔𝟐 𝟏𝟐 | | 𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖 𝟏𝟐 | 𝟑𝟐 𝟏𝟐 | 𝟓 𝟏𝟐 | 𝟑𝟐 𝟓 𝟏𝟐 𝟑𝟕 𝟏𝟐 𝟑 𝟏 𝟏𝟐 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
  • 328.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 327 ‫س‬11/‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬‫بسرعة‬( ) (𝟑 𝟐 𝟔 𝟑)‫أحسب‬ ⓐ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬,2 4-ⓑ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫األزاحة‬,0 5- ‫الحل‬/‫وزاري‬2015/‫د‬1 𝟑 𝟐 𝟔 𝟑 0 ( 3) 𝟐 𝟐 𝟏 0 ( 1)( 1) 0 𝟏 𝟎 1 ,2 4- |∫ (𝟑 𝟐 𝟔 𝟑) 𝟒 𝟐 | |, 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒 - 𝟐 | |(𝟔𝟒 𝟒𝟖 𝟏𝟐) (𝟖 𝟏𝟐 𝟔)| |𝟐𝟖 𝟐| 𝟐𝟔 ∫ (𝟑 𝟐 𝟔 𝟑) 𝟓 𝟎 |, 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟓 - 𝟎 | ,(𝟏𝟐𝟓 𝟕𝟓 𝟏𝟓) (𝟎)- 𝟔𝟓 ‫وزاري‬2011/‫د‬2 ‫س‬12/‫جس‬‫ةةةةـ‬‫ة‬‫ــــ‬‫ةةةةدره‬‫ة‬‫ل‬ ‫ةةةةل‬‫ة‬ٌ‫بتعج‬ ‫ةةةةتمٌم‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةةط‬‫ة‬‫خ‬ ‫ةةةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ةةةةرن‬‫ة‬‫ٌتح‬ ‫م‬(𝟒 𝟏𝟐) 𝟐 ‫ةةةةد‬‫ة‬‫بع‬ ‫ةةةةرعته‬‫ة‬‫س‬ ‫ةةةةت‬‫ة‬‫وكان‬ ‫مرور‬(4)‫تساوي‬ ً‫ثوان‬𝟗𝟎‫أحسب‬ ⓐ‫عندما‬ ‫السرعة‬𝟐 ⓑ‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫المسافة‬,1 2- ⓒ‫بعد‬ ‫االزاحة‬(10)‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬ ‫الحل‬/ ( ) ∫ ( ) ∫(𝟒 𝟏𝟐) 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟗𝟎 𝟐(𝟏𝟔) 𝟏𝟐(𝟒) 𝟗𝟎 𝟑𝟐 𝟒𝟖 𝟗𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟎 ( ) 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎 (𝟐) 𝟐(𝟒) 𝟏𝟐(𝟐) 𝟏𝟎 𝟖 𝟐𝟒 𝟏𝟎 𝟒𝟐 ∫ (𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎) 𝟐 𝟏 * 𝟐 𝟑 𝟑 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 + 𝟏 𝟐 |( 𝟏𝟔 𝟑 𝟐𝟒 𝟐𝟎) ( 𝟐 𝟑 𝟔 𝟏𝟎)| | 𝟏𝟔 𝟑 𝟒𝟒 𝟐 𝟑 𝟏𝟔| | 𝟏𝟒 𝟑 𝟐𝟖| 𝟏𝟒 𝟖𝟒 𝟑 𝟗𝟖 𝟑 ∫ ( 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎) 𝟏𝟎 𝟎 * 𝟐 𝟑 𝟑 𝟔 𝟐 𝟏𝟎 + 𝟎 𝟏𝟎 |( 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟑 𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎) (𝟎)| 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟑 𝟒𝟏𝟎𝟎 𝟑
  • 329.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 328 ‫س‬13/‫وبعد‬ ‫السكون‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫تتحرن‬‫ثانٌة‬‫سةرعتها‬ ‫اصةبحت‬ ‫الحركةة‬ ‫بدط‬ ‫من‬(100 6 2)‫أو‬‫جةد‬ ‫ال‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬‫نمطة‬‫موضع‬ ‫الى‬‫ها‬‫اال‬‫ول‬‫بدا‬ ‫الذي‬‫ت‬‫أحس‬ ‫ثم‬ ‫منه‬‫ب‬‫عندها‬ ‫التعجٌل‬.‫وزاري‬2014/‫د‬2 / ‫الحل‬ ( ) (100 6 2) ‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬ ∫.100 6 2 / 𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑 ‫السكون‬ ‫من‬ ‫تتحرك‬ ‫النقطة‬ ∴𝟎 𝟎 𝟎 𝟓𝟎(0)2 𝟐( 𝟎) 𝟑 𝟎 𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑 ‫األزاحة‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫األول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النقطة‬ ‫عودة‬ ‫عند‬( )‫صفر‬ ‫تساوي‬: ‫ٌكون‬ ‫لذا‬ 𝟓𝟎 2 𝟐 𝟑 𝟎 2 (𝟓𝟎 𝟐 ) 𝟎 2 𝟎 𝟎 ‫ٌهمل‬ 50 2 𝟎 𝟐 𝟓𝟎 𝟐𝟓 ‫األول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النقطة‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬ ( ) ̅( ) ‫التعجٌل‬ ( ) 100 12 ( 𝟐𝟓) 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐( 𝟐𝟓) 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 ⁄ 𝟐
  • 330.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 329 ‫الدورانٌـ‬ ‫الحجــوم‬:‫ـة‬ 1.‫ةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةكل‬‫ة‬‫الش‬ ‫ةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫ةاب‬‫ة‬‫لحس‬( )‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةتمرة‬‫ة‬‫المس‬‫الى‬ ‫التالٌة‬ ‫العاللة‬ ‫نطبك‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬∫ 𝟐 2.‫ةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةكل‬‫ة‬‫الش‬ ‫ةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫ةاب‬‫ة‬‫لحس‬( )‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةتمرة‬‫ة‬‫المس‬‫الى‬ ‫التالٌة‬ ‫العاللة‬ ‫نطبك‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬∫ 𝟐 ‫وزاري‬2013/‫د‬3 ‫ةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(1)/ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬0 4√‫ةةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬,‫دارت‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬,. ‫حجمها‬ ‫جد‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ (√ ) 𝟐 𝟒 𝟎 ∫ 𝟒 𝟎 * 2 2 + [( 16 2 ) (0)] 8 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2014/‫د‬3 ‫مثال‬(2)/‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ً‫المنحن‬𝟏 𝟒 𝟏 ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫دارت‬.‫حجمها‬ ‫جد‬. ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟏 ) 𝟐𝟒 𝟏 ∫ ( 𝟏 ) 𝟒 𝟏 , 𝟒 - 𝟏 , 𝟒 𝟏- 𝟐 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2011/‫د‬2 ‫مثةةةال‬(3)/‫ةةةه‬‫ة‬‫معادلت‬ ‫ةةةذي‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫بةةةالمطع‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫النةةةات‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2 8 ‫والمستمٌمٌن‬2 0ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ 8 𝟐 𝟎 ,4 2 𝟐 - 𝟎 ,16 0- 16 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫مثةةةال‬(4)/‫معادلتةةةه‬ ‫الةةةذي‬ ‫المكةةةاف‬ ‫بةةةالمطع‬ ‫المحةةةددة‬ ‫المسةةةاحة‬ ‫دوران‬ ‫مةةةن‬ ‫النةةةات‬ ‫الحجةةةم‬ ‫أوجةةةد‬2 2 ‫والمستمٌمٌن‬0 5ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ (𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟓 𝟎 ∫ 𝟒 𝟒 𝟓 𝟎 * 𝟒 𝟓 𝟓 + 𝟎 𝟓 * 𝟒(𝟓) 𝟓 𝟓 (𝟎)+ 𝟐𝟓𝟎𝟎 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
  • 331.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 330 ‫ةةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(5)/‫الم‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬‫ةةةةةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫ةةةةةةةالمطع‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫س‬4 2 ‫والمستمٌمٌن‬0 16‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ . 𝟒 / 𝟏𝟔 𝟎 * 𝟐 𝟖 + 𝟎 𝟏𝟔 * (𝟏𝟔) 𝟐 𝟖 (𝟎)+ 𝟑𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(6)/‫ةةةادات‬‫ة‬‫الص‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫مح‬ ‫ةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الناش‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫أوج‬‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ومنحن‬ 𝟑 ,1 3. ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟗 𝟐 ) 𝟑 𝟏 [ 𝟏𝟖 ] 𝟏 𝟑 𝟏𝟖 [ 𝟏 ] 𝟏 𝟑 𝟏𝟖 [ 𝟏 𝟑 𝟏] 𝟏𝟖 [ 𝟐 𝟑 ] 𝟏𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2015/‫د‬3 ‫الصةادات‬ ‫محةور‬ ‫بةٌن‬ ‫المحصةورة‬ ‫المنطمةة‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫الناش‬ ‫الحجم‬ ‫أوجد‬‫الدالةة‬ ً‫ومنحنة‬ 𝟏 ‫والمسةتمٌمٌن‬ 1 2 . ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫الحل‬/ 1 1 1 2 2 ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟏 [ 𝟏 ] 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝟐 𝟏] 𝟏 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬3201/‫د‬2 ‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫بةةةٌن‬ ‫ةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫أوجةةةد‬ 𝟏 ‫ةةةتمٌمٌن‬‫ة‬‫والمس‬2 1‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫الصادات‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟏 [ 𝟏 ] 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝟐 𝟏] 𝟏 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
  • 332.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 331 (𝟒 𝟕)‫تمارين‬ ‫س‬(1)/:‫ةةةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫ةةةةةالمطع‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ً‫ةةةةةدوران‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2 ‫والمستمٌمٌن‬1 2ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ ( 2)2 𝟐 𝟏 ∫ 𝟐 𝟏 * 5 + 2 [ 32 5 1 5 ] 31 5 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2013/‫د‬1 ‫س‬2/‫ةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2 1 ‫والمستمٌم‬4‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ 0 1 2 1 2 1 ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟏) 𝟒 𝟏 * 𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟒 [(𝟖 𝟒) ( 𝟏 𝟐 𝟏)] [𝟒 𝟏 𝟐 ] 𝟒 𝟏 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫س‬3/ً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةب‬‫ة‬‫أحس‬2 1 ‫والمستمٌم‬0‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ 2 1 1 2 𝟎 2 1 𝟏 (‫التكامل‬ ‫)حدود‬ ∫ 𝟐 ∫ (1 2) 𝟐 𝟏 𝟏 ∫ (𝟏 𝟐 2 4) 𝟏 𝟏 * 𝟐 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓 + 𝟏 𝟏 [(𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟓 ) ( 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟓 )] [𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝟓 ] 𝟑𝟎 𝟐𝟎 𝟔 𝟏𝟓 𝟏𝟔 𝟏𝟓 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬2014/‫د‬2 ‫س‬4/ً‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةةب‬‫ة‬‫أحس‬2 ‫والمستمٌم‬‫ان‬0 2ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫ا‬‫لحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ 𝟐 𝟎 * 4 + 2 [ 16 4 0] 4 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
  • 333.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 332 ‫الرابع‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬ ‫س‬5/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬‫الفروع‬( )‫الت‬ ‫بموضوع‬ ‫مرتبطة‬‫فاض‬‫ل‬ ( ) 𝟐 |𝟐 | 𝟐 𝟏 𝟐 ( 𝟐) | 𝟐 | 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟐 | 𝟐 | ( ) ( ) 𝟐( )( ) 𝟐( ) ( ) 𝟐 | | 𝟐 𝟏 | | (𝟐 ) 𝟐 | | ( ) | 𝟐 | 𝟏 𝟐 𝟐( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 𝟐 ( 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ) ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟒 ( ) 𝟐 ( ) ( ) ( ) ( )
  • 334.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 333 ‫س‬12/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫تكامالت‬ ( ) ∫( 𝟒 𝟒 ) ∫( 𝟐 𝟐 )( 𝟐 𝟐 ) ∫( 𝟐 )(𝟏) 𝟏 𝟐 ∫( 𝟐 )(𝟐) 𝟏 𝟐 𝟐 ( ) ∫( 𝟐 𝟏)( 𝟐 𝟐 𝟐) ∫( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) ∫ 𝟐 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 𝟐 ∫ 𝟏 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 ∫ 𝟐 ( 𝟐) 𝟏 𝟐 ∫( 𝟏 𝟒 ) 𝟐 ∫ 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟒 𝟒 ) 𝟐 𝟏 𝟔 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟖 𝟒 𝟐 𝟏 𝟔 𝟑 𝟐 𝟐 𝟓 𝟐 𝟏 𝟖 𝟒 ( ) ∫ | | ∫ 𝟏 ( ) 𝟐 𝟐 ( ) ∫ 𝟐 √ 𝟑 √ 𝟐𝟑 ∫ 𝟐 . 𝟐 𝟑 / 𝟏 𝟑 𝟐(𝟑) ∫ ( 𝟏 𝟑 ) . 𝟐 𝟑 / 𝟏 𝟑 𝟔 𝟏 𝟑 𝟔 √ 𝟑
  • 335.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 334 ( ) ∫ 𝟑 ∫ 𝟐 ∫( ) 𝟐 𝟑 𝟑 ( ) ∫ 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓𝟑 ∫ 𝟑(𝟑 𝟓 𝟐) 𝟑 ∫ (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟑 ∫ (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏𝟎 ∫( 𝟏𝟎) (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏𝟎 × (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝟑 𝟒𝟎 (𝟑 𝟓 𝟐) 𝟒 𝟑 ( ) ∫ 𝟏 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 ∫ 𝟏 ( 𝟕) 𝟐 ∫( 𝟕) 𝟐 ( 𝟕) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟕 ( ) ∫ 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 ∫(𝟑) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑
  • 336.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 335 ‫الرابع‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬1⁄: ‫نات‬ ‫جد‬ (1) ∫( 3 2 ) 3 (2) ∫ 1 √1 ∫(1 ) 2 [ (1 )2 1 2 ] [2(1 )2] [2(22)2] [2(1)2] 4 2 2 (3) ∫ 6 3 ∫(1 2 2 3 ) 3 ∫ 3 2 ∫ 2 3 3 1 3 3 2 3 3 3 1 3 3 2 9 3 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬2⁄‫نات‬ ‫جد‬: ∫( )( ) ∫( 2 2 ) ∫ 2 1 2 ∫(1 2 ) 1 2 ( 1 2 2 ) 1 2 1 4 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬1⁄‫نات‬ ‫جد‬: ∫ √ 2 15 ∫ ( 2 15)2 1 2 ∫ 2 ( 2 15)2 *2 ( ) + 0 ( 2 15) 1 0 (72) 1 0 (1) 1 2 114
  • 337.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 336 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬1⁄‫نات‬ ‫جد‬: ∫ 2 2 ∫ 2 1 2 (1 2 ) 1 2 ∫ 2 1 2 ∫ 2 2 1 2 1 2 ∫(2) 2 1 2 1 2 ∫(1 4 ) 1 4 2 1 4 ( 1 4 4 ) 1 4 2 1 4 1 16 4 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬2⁄: ‫نات‬ ‫جد‬ ∫(1 3 )2 ∫(1 2 3 2 3 ) ∫ 2 ∫ 3 1 2 ∫(1 6 ) 2 3 3 1 2 ( 1 6 6 ) 3 2 2 3 3 1 12 6 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1:‫جد‬ : ∫( 2 )2 ∫( 2 2 2 2 2 ) 1 2 ∫(1 2 ) 2 ∫ (2 ) 1 2 ∫(1 4 ) 1 2 ( 1 2 2 ) 4 3 1 2 ( 1 4 4 ) 1 2 1 4 2 4 3 1 2 1 8 4 1 4 2 4 3 1 8 4
  • 338.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 337 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1:‫كان‬ ‫إذا‬∫ ( 𝟑) 𝟗 𝟒𝟏 ‫لٌمة‬ ‫ما‬‫؟‬ 0 2 1 0 2 1 0 2 1 2 2 2 2 4 1 4 9 4 (× ) ⇒ 2 2 1 9 2 2 1 9 0 2 2 8 0 2 2 8 0 ( 2 4)( 2 2) 0 2 2 ‫ٌهمل‬ 2 4 0 2 4 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬2:‫كان‬ ‫إذا‬∫ (𝟐 𝟑) 𝟏𝟐‫وكان‬𝟐 𝟑‫لٌمة‬ ‫ما‬‫؟‬ /‫الحل‬ 3 2 (1) ∫(2 3) 12 , 2 3 - 12 , 2 3 - , 2 3 - 12 2 3 2 3 12 2 3 (3 2 )2 3(3 2 ) 12 2 3 (9 12 4 2) 9 6 12 0 2 3 9 12 4 2 9 6 12 0 3 2 21 30 0 ( ) ⇒ 2 7 10 0 ( 2)( 5) 0 2 0 2 3 2(2) 1 5 0 5 3 2(5) 7
  • 339.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 338 ‫وزاري‬ ‫ةةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2000‫/د‬2‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬ :( ) 𝟏 𝟐 𝟐 ‫ةةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬‫الفترة‬0𝟎 𝟐 1 :‫الحل‬ 1 2 2 0 2 0 2 2 2 - 2 4 0𝟎 𝟐 1 3 4 0𝟎 𝟐 1 00 1 0 2 1 ‫التكامل‬ ‫فترات‬ ||∫ 2 || ||∫ 2 2 || |[ 1 2 2 ] | |[ 1 2 2 ] 2 | |[ 1 2 2 ] [ 1 2 0]| |[ 1 2 ] [ 1 2 2 ]| | 1 2 (1) 1 2 (0)| | 1 2 (0) 1 2 (1)| 1 2 1 2 1 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬1:‫جد‬ : ∫ 2 2 ∫, -2 ∫ [ 1 2 (2 )] 2 ∫ ( 1 2 2 ) 2 ∫ 1 4 2 2 1 4 1 2 ∫(1 4 ) 1 8 ( 1 4 4 ) 1 8 1 32 4 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬2:‫جد‬ : ∫ 9 12 4 2 ∫ (3 2 )2 ∫(3 2 ) 2 1 2 ∫(3 2 ) 2( 2) * 1 2 (3 2 ) 1 + [ 1 2(3 2 ) ] [ 1 2(1) ] [ 1 2(5) ] 1 2 1 10 5 1 10 4 10 2 5
  • 340.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 339 ‫وزاري‬ ‫ةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2001‫د‬ /1‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬ :𝟑 𝟗‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬, 𝟑 𝟑-. ‫ا‬/‫لحل‬9 0 ( 2 9) 0 0 2 9 0 2 9 3 ∴‫التكامل‬ ‫فترات‬, 3 0- ,0 3- |∫ ( 9 ) | |∫ ( 9 ) | |0 2 1 | |0 2 1 | |,0- 0 2 1| |0 2 1 ,0-| | 2 | | 2 | 2 40 2 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬1::‫لٌمة‬ ‫جد‬ ∫ 2 5 (2 5) ∫( 2 5 )2(2 5) [ ( 2 5 )2 3 2 ] [ 2 3 ( 2 5 )2] [ 2 3 (16 20)2] [ 2 3 (0)2] [ 2 3 (62)2] 2 3 (216) 432 3 144 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫/د‬1‫الدالتٌن‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟒 𝟒 𝟑 𝟐 . /‫الحل‬4 3 2 3 2 4 3 2 4 0 ( 2 4)( 2 1) 0 2 4 0 2 4 2 ( 2 1 0)‫ٌهمل‬ |∫ ( 3 2 4) 2 2 | |0 4 1 2 2 | |[ 32 5 8 8] [ 32 5 8 8]| | 64 5 32| | 96 5 | 96 5 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
  • 341.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 340 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫د‬ /1‫الدالتٌن‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟐 𝟐 ‫وعلى‬,𝟏 𝟑-. :‫الحل‬2 2 2 2 0 ( 2) 0 0 ,0 3- 2 0 2 ,0 3- |∫ ( 2 2 ) 2 | |∫ ( 2 2 )2 | |0 2 1 2 | |0 2 1 2 | |0 41 0 11| |,9 9- 0 41| | 4 1| | 4| | 3| | 2 | | | | | 2 2 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2004‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :∫ 𝟐 𝟗 𝟐 𝟒 ‫لٌمة‬ ‫فجد‬h. /‫الحل‬ ∫ ( 2 9)2 2 ∫ ( 2 9) 2 2 1 2 ∫ 2 ( 2 9) 2 2 *2 ( ) + 2 0(16 9) 1 0( 2 9) 1 2 (52) ( 2 9) 2 ( 2 9) 5 2 ( 2 9) 3 ‫بالتربٌع‬ ⇒ 2 9 9 2 0 0 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬1‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ (𝟓 𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟏 . /‫الحل‬∫ (5 2 ) 2 2 ∫ (5 2 ) 2 ( 2) 0 2 ( 2 ) 1 2 22 [ 1 2(5 2 ) ] 2 [ 1 2(5 4) ] [ 1 2(5 2) ] 1 2 1 6 3 1 6 2 6 1 3
  • 342.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 341 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬2‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ (𝟑 𝟒) 𝟐 𝟐 𝟏 . ∫ (3 4) 2 ∫ (3 4) 2 3 0 ( ) 1 2 22 0 ( ) 1 2 0 ( ) 1 0 ( ) 1 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :∫ ( ) 𝟓 ∫ ( ) 𝟑‫وكانت‬, -‫لٌمة‬ ‫جد‬ ∫ ( ) /‫الحل‬ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) 5 ∫ ( ) 3 ∫ ( ) 5 3 ∫ ( ) 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬2‫جد‬ :∫ 𝟐 𝟐 ∫(2 2 1)2 ∫(4 4 2 1) ‫الدالة‬ ‫المشتقة‬∫ 4 ∫ 4 2 ∫ 4 ∫ ( ) 4 ∫ 2 ( ) ∫ 4 4 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1‫بسرعة‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬ :( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟗‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t:‫إحسب‬ 1-‫خالل‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬[ ‫الفترة‬0,2.] 2-‫التعجٌل‬ ‫فٌه‬ ‫ٌصبح‬ ‫الذي‬ ‫الزمن‬𝟏𝟖 𝟐 . /‫الحل‬(1) 3 2 12 9 0 - 3 2 4 3 0 ( 3)( 1) 0 3 0 3 ,0 2- 1 0 1 ,0 2- |∫(3 2 12 9) | |∫(3 2 12 9) 2 | |, 6 2 9 - 1 0 | |, 6 2 9 -2 1 | |,1 6 9- ,0-| |,8 24 18- ,1 6 9-| |4| |2 4| 4 2 6 (2) ( ) ̅( ) 6 12 18 6 12 6 18 12 6 30 5
  • 343.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 342 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ 𝟑 𝟐 𝟖 𝟑 /‫الحل‬ ∫ 2( 1) ∫ ( 1)2 ∫( 1) 2 [ ( 1)2 1 2 ] [2( 1)2] [2(8 1)2] [2(3 1)2] [2(32)2] [2(22)2] 6 4 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2:‫المنحنٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟐 𝟐 ‫الفترة‬ ً‫ف‬0𝟎 𝟐 1. /‫الحل‬ 2 2 2 2 0 2 2 3 2 - 2 4 0𝟎 𝟐 1 3 4 0𝟎 𝟐 1 ||∫ 2 || ||∫ 2 2 || |[ 1 2 2 ] | |[ 1 2 2 ] 2 | |0 2 2 1 0 2 01 0 2 1 0 2 2 1| | 2 (1) 2 (0)| | 2 (0) 2 (1)| 2 2 1 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫جد‬ :‫ال‬‫المنحنٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫مساحة‬( ) ( ) √ 𝟐 𝟏[ ‫الفترة‬ ً‫ف‬1,5.] /‫الحل‬ √2 1 √2 1 0 √2 1 ‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ 2 1 2 2 2 1 0 ( 1)2 0 1 0 1 |∫ [(2 1)2 ] | |∫(2 1)2 | |∫ | |[ 1 2 (2 1)2 3 2 ] | |* 2 2 + | |[ 1 3 (2 1)2] | |* 2 2 + | |[ 1 3 (9)2 1 3 (1)2] [ 25 2 1 2 ]| |[ 1 3 (32)2 1 3 ] [ 24 2 ]| |9 1 3 24 2 | | 54 2 72 6 | | 20 6 | 10 3 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
  • 344.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 343 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ ( ) 𝟐𝟐 𝟎 . /‫الحل‬ ∫( 2 2 2 ) 2 ∫(2 1) 2 ∫ ( 2 1) [ 1 2 2 ] 22 [ 1 2 2 ] [ 1 2 0 0] [ 1 2 ( 1) 2 ] [ 1 2 (1)] 1 2 2 1 2 .1 2 / ‫مربعة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫مشتم‬ ً‫منحن‬ :‫ته‬‫األولى‬ 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 ( ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬1,2.ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ) /‫الحل‬( ) 2 ‫الطرفٌن‬ ‫بتكامل‬ ( ) ∫ 2 ( ) ∫ 2 ( 2) ( ) ∫ 2( 2) 2 ( ) 2 ( 2) ( ) 2 2 ‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ً‫المنحن‬ (1 2) ‫ان‬ ‫وبما‬ 2 2 2 2 2 0 ( ) 2 2 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫وزاري‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2010‫/د‬2‫ةةةةةةةةةةةةةةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫إذا‬ :∫ ( ) 𝟐 ∫ ( ) 𝟔 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 :‫ةةةةةةةةةةةةةةةةة‬‫ة‬‫لٌم‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬ ∫ , ( ) ( ) 𝟒 - 𝟑 𝟏 /‫الحل‬ ∫ , ( ) ( ) 4 - ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ 4 6 2 0 2 1 4 ,2 2-3 1 4 ,18 2- 4 16 20
  • 345.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 344 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬2‫سرعته‬ ‫بحٌث‬ ‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬ :( ) 𝟑 𝟐 𝟒 𝟕‫المسافة‬ ‫جد‬ ( ً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫الجسم‬ ‫ٌمطعها‬ ً‫الت‬4‫تماس‬ ‫المسافة‬ ‫أن‬ ً‫ا‬‫علم‬ ‫عندها‬ ‫التعجٌل‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ,‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬ ).‫باألمتار‬ /‫الحل‬ ( ) 3 2 4 7 > 0 ∫ (3 2 4 7) , 2 2 7 - 4 0 ,64 32 28- ,0- 124 ( ) ̅( ) 6 4 ‫لحظة‬ ‫أي‬ ً‫ف‬ ‫التعجٌل‬ (4) 6(4) 4 24 4 28 2 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2012‫/د‬1‫المساحة‬ ‫جد‬ :‫المحددة‬ً‫بالمنحن‬( ) ( 𝟏) 𝟑 [ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬-1,3. ] /‫الحل‬( 1) 0 1 0 1 , 1 3- | ∫( 1) | |∫( 1) | * ( 1) 4 + | ( 1) 4 | |*0 ( 2) 4 +| |* (2) 4 0+| | 4| |4| 4 4 8 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬ ‫وزاري‬ ‫سةةةؤال‬2012‫/د‬1ً‫المنحنةةة‬ ‫بةةةٌن‬ ‫المحصةةةورة‬ ‫المسةةةاحة‬ ‫دوران‬ ‫مةةةن‬ ‫النةةةات‬ ‫الحجةةةم‬ ‫جةةةد‬ :𝟐 𝟏 ‫والمستمٌمٌن‬𝟐 𝟏.‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ /‫الحل‬ ∫ 2 ∫( 1) * 2 2 + 2 [( 4 2 2) ( 1 2 1)] 2 0(2 2) . 2 /1 .0 2 / 2 ‫مكعبة‬ ‫وحدة‬
  • 346.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 345 ‫وزاري‬ ‫ةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2012‫/د‬2:‫ةةةةةا‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬ً‫ةةةةةالمنحن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ت‬√5 2 ‫والمستمٌمٌن‬2 1ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 ∫ . 5 2/ 𝟐𝟐 𝟏 ∫ 𝟓 𝟒 𝟐 𝟏 𝟓 𝟎 𝟓 (𝟓) 𝟓 (𝟎) 𝟑𝟏𝟐𝟓 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ ) ‫وزاري‬ ‫سةةةؤال‬2012‫/د‬3:‫بتعجٌةةةل‬ ‫مسةةةتمٌم‬ ‫خةةةط‬ ‫علةةةى‬ ‫ٌتحةةةرن‬ ‫جسةةةم‬(𝟏𝟖 𝟐⁄ )‫لةةةد‬ ‫سةةةرعته‬ ‫كانةةةت‬ ‫فةةةأذا‬ ‫أصبحت‬(𝟖𝟐 )‫مرور‬ ‫بعد‬(4)‫ساعات‬‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬‫فجد‬: ⓐ‫الثانٌة‬ ‫الساعة‬ ‫خالل‬ ‫لطعها‬ ً‫الت‬ ‫المسافة‬ ⓑ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعده‬(3)‫ساعات‬ / ‫الحل‬ ∫ ( ) ∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟖𝟐 𝟏𝟖( 𝟒) 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟖 𝟏𝟎 |∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎) 𝟐 𝟏 | |, 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 - 𝟏 | |(𝟑𝟔 𝟐𝟎) (𝟗 𝟏𝟎)| 𝟓𝟔 𝟏𝟗 𝟑𝟕 ∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎) 𝟑 𝟎 , 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝟑 - 𝟎 (𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟎) 𝟏𝟏𝟏 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2013‫/د‬1:‫جد‬∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝝅 𝟒 𝟎 ‫الحل‬/ ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝝅 𝟒 𝟎 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 (𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 𝝅 𝟒 𝟎 * 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝟎 𝝅 𝟒 𝒕𝒂𝒏 𝟐 . 𝝅 𝟒 / 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝟐(𝟎) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟐
  • 347.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 346 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3:‫أن‬ ‫أثبت‬∫ | 𝟑 𝟔| 𝟑𝟎 𝟒 𝟐 ‫الحل‬/ |𝟑 𝟔| { 𝟑 𝟔 𝟐 (𝟑 𝟔) < 𝟐 ‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟒-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟐)‫ألن‬: ( ) (𝟐) 𝟑(𝟐) 𝟔 𝟎 ‫معرفة‬ ( ) 𝟐 ( ) { (𝟐 ) (𝟑 𝟔) 𝟎 𝟏 (𝟐 ) (𝟔 𝟑 ) 𝟎 𝟐 ∵ 𝟏 = 𝟐 ∴ 𝟐 ( ) 𝟎 ‫موجودة‬ 𝟐 ( ) (𝟐) ∫ |𝟑 𝟔| 𝟒 𝟐 ∫ ( 𝟑 𝟔) 𝟐 𝟐 ∫ (𝟑 𝟔) 𝟒 𝟐 [ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟔 ] 𝟐 𝟐 [ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟔 ] 𝟐 𝟒 ,( 𝟔 𝟏𝟐) ( 𝟔 𝟏𝟐)- ,(𝟐𝟒 𝟐𝟒) (𝟔 𝟏𝟐)- 𝟔 𝟏𝟖 𝟔 𝟑𝟎 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3‫جد‬ :∫ √ 𝟐 𝟒 ‫الحل‬/ ∫ √ 𝟐 𝟒 ∫ √ 𝟐( 𝟐) ∫ 𝟐 𝟐 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬1‫جد‬ :∫ 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟑 𝟏 ‫الحل‬/ ∫ 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟑 𝟏 ∫ (𝟐 𝟒 𝟓 𝟐) 𝟑 𝟏 𝟐 * 4𝑥 𝟏 5 1 + 𝟐 [ 4𝑥 5 𝑥 ] 𝟗[ 12 𝟓 3 ] 𝟏, 4 5- 3 𝟓 3 8 5 5 3 15 5 3 10 3
  • 348.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 347 ‫وزاري‬ ‫ةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2015‫/د‬2:‫ةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟑 𝟗‫ةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬ ‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬, 𝟑 𝟑- / ‫الحل‬ ‫الصفحة‬ ً‫ف‬ ‫محلول‬(𝟔𝟖)‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫د‬ /1: ‫وزاري‬ ‫ةةؤال‬‫ة‬‫س‬2015‫/د‬2:‫بتعجٌةةةل‬ ‫مسةةةتمٌم‬ ‫خةةةط‬ ‫علةةةى‬ ‫ٌتحةةةرن‬ ‫جسةةةم‬(𝟏𝟎 𝟐⁄ )‫وبعةةةد‬2‫بةةةدط‬ ‫مةةةن‬ ‫ثانٌةةةة‬ ‫السرعة‬ ‫أصبحت‬ ‫الحركة‬(𝟐𝟒 ): ‫أحسب‬ , ⓐ‫المسافة‬. ‫الخامسة‬ ‫الثانٌة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ⓑً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫الجسم‬ ‫بعد‬4)) ً‫ثوان‬. / ‫الحل‬ ∫ ( ) ∫ 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟐𝟒 𝟏𝟎( 𝟐) 𝟐𝟒 𝟐𝟎 𝟒 𝟏𝟎 𝟒 |∫ (𝟏𝟎 𝟒) 𝟓 𝟒 | |, 𝟓 𝟐 𝟒 𝟓 - 𝟒 | |(𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟎) (𝟖𝟎 𝟏𝟔)| 𝟏𝟒𝟓 𝟗𝟔 𝟒𝟗 ∫ (𝟏𝟎 𝟒) 𝟒 𝟎 , 𝟓 𝟐 𝟒 𝟒 - 𝟎 (𝟖𝟎 𝟏𝟔) (𝟎) 𝟗𝟔 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3:: ‫تكامل‬ ‫جد‬∫ √ 2 / ‫الحل‬ ∫ 3 6 √ 2 3 ∫( 2)( 2) ( ‫األسس‬ ‫تجمع‬ ‫الضرب‬ ‫)عند‬ 3 ∫( 2) 2 3 ( 2) 5 3 9 5 ( 2) 9 5 ( 2)
  • 349.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 348 ‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3:: ‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫جد‬(1) ∫(𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2 𝒅𝒙 (2) ∫ 𝒙 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 / ‫الحل‬ (1) ∫(𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2 𝒅𝒙 ∫(𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠2 2𝑥) 𝑑𝑥 ∫(1 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑑𝑥 ∫(1 𝑠𝑖𝑛4𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑑𝑥 𝑥 1 4 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑐 (2) ∫ 𝒙 𝟑 1 𝒙 1 𝒅𝒙 ∫ (𝑥 1)(𝒙 𝟐 𝑥 1) 𝑥 1 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐 𝑥 1) 𝒅𝒙 𝒙 𝟑 𝟑 𝒙 𝟐 𝟐 𝒙 𝒄
  • 350.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 349 ‫التكامل‬ ‫حول‬ ‫إضافٌة‬ ‫أسئلة‬ ‫س‬1:‫اآلتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫جد‬ / (𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟓 𝐱𝐝𝐱(𝟐) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟕 𝐱 𝐝𝐱(𝟏) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐱 𝐝𝐱 (𝟔) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝐱 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝐝𝐱(𝟓) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝟒 𝐱 𝐝𝐱(𝟒) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐱 𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝐱𝐝𝐱 (𝟗) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱(𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱 (𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟑𝐱 𝐝𝐱 (𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑 . 𝒙 𝟑 / 𝒅𝒙(𝟏𝟏) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑(𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔 𝟓 (𝟑𝒙) 𝒅𝒙(𝟏𝟎) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟑𝒙) 𝒅𝒙 (𝟏𝟓) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟓𝐱 𝐝𝐱(𝟏𝟒) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝐱 𝐝𝐱(𝟏𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒(𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔 𝟐 (𝟑𝒙) 𝒅𝒙 (𝟏𝟖) ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) . 𝟑 𝟐 / 𝒅𝒙 (𝟏𝟕) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟓 𝒙 𝒅𝒙(𝟏𝟔) ∫ √𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 (𝟐𝟏) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟑(𝟐𝒙) 𝒅𝒙(𝟐𝟎) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑(𝟑𝒙)𝒔𝒆𝒄 𝟒(𝟑𝒙) 𝒅𝒙(𝟏𝟗) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟒(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 (𝟐𝟒) ∫ 𝟑 𝟒(𝟐𝟑) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟑 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟓 𝒙 𝒅𝒙(𝟐𝟐) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟔 𝒙 𝒅𝒙 (𝟐𝟕) ∫ 𝟏 √ 𝟏 𝟒 𝟎 (𝟐𝟔) ∫ 𝟏 √ (𝟏 √ ) (𝟐𝟓) ∫ 𝟖 𝟑 𝟐 (𝟑𝟎) ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑 𝟗 𝟎 (𝟐𝟗) ∫|𝟐 𝟒| 𝟑 𝟑 (𝟐𝟖) ∫ 𝟑 | | 𝟏 𝟐 (𝟑𝟑) ∫ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 𝟎 (𝟑𝟐) ∫ 𝟐 𝟒 (𝟑𝟏) ∫ 𝟐 𝟒 𝟎
  • 351.
    ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 350 ‫س‬2/‫التكامل‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬∫ (𝟑 𝟐 𝟖 ) 𝟒 𝟐 ‫س‬3/‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(3,1). ‫س‬4/‫ةاوي‬‫ة‬‫تس‬ ‫ةة‬‫ة‬‫نمط‬ ‫أي‬ ‫ةد‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةة‬‫ة‬‫لدال‬ ‫ةة‬‫ة‬ٌ‫الثان‬ ‫ةتمة‬‫ة‬‫المش‬ ‫أن‬ ‫ةت‬‫ة‬‫علم‬ ‫أذا‬( )‫ةث‬‫ة‬ٌ‫ح‬‫ةذا‬‫ة‬‫ه‬ ‫ةة‬‫ة‬‫معادل‬ ‫ةد‬‫ة‬‫ج‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫ٌمتلن‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ ً‫المنحن‬(0,1)‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫ونمطة‬(1,-1). ‫س‬5/‫ةد‬‫ة‬‫وبع‬ ‫ةكون‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةة‬‫ة‬‫نمط‬ ‫ةرن‬‫ة‬‫تتح‬t‫ةرعتها‬‫ة‬‫س‬ ‫ةبحت‬‫ة‬‫اص‬ ‫ةة‬‫ة‬‫الحرك‬ ‫ةدط‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةة‬‫ة‬ٌ‫ثان‬(𝟏𝟎𝟎 𝟐)‫ةد‬‫ة‬‫أوج‬ ‫عندها‬ ‫التعجٌل‬ ‫أحسب‬ ‫ثم‬ ‫منه‬ ‫بدات‬ ‫الذي‬ ‫االول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النمطة‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬.
  • 352.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 351 ‫الخامس‬ ‫الفصل‬/‫المعادالت‬‫التفاضلٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫أو‬ ‫واحدة‬ ‫مشتمة‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ً‫الت‬ ‫المعادلة‬ ً‫ه‬) ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫التابع‬ ‫للمتغٌر‬ ‫أي‬ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المجهولة‬ ‫للدالة‬ ‫أكثر‬ ‫مالحظة‬:‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬‫االعتٌادٌة‬‫ولرٌكن‬ ‫مقرتمل‬ ‫متغٌرر‬ ‫اوول‬ ‫المتغٌرر‬ ( ‫متغٌرٌن‬ ‫بٌن‬ ‫عاللة‬ ً‫ه‬( )‫ودالرة‬ ‫مثال‬ ‫ولتكن‬ ‫معروفة‬ ‫غٌر‬( )‫الدالة‬ ‫مشتمات‬ ‫وبعض‬( )‫للمتغٌر‬ ‫بالنقبة‬( )‫مثال‬ 𝟓 𝟐 ̅ 𝟐 𝟐 ̅̿ 𝟓 (𝟒) 𝟎 ‫تفاضلٌة‬ ‫معادالت‬ ‫كلها‬‫اعتٌادٌه‬‫المتغٌر‬ ‫الن‬( )‫المتغٌر‬ ‫على‬ ‫فمط‬ ‫ٌعتمد‬( ) : ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫درجة‬‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫مشتمة‬ ‫اعلى‬ ‫له‬ ‫مرفوعة‬ )‫(اس‬ ‫لوة‬ ‫أكبر‬ ً‫وه‬. ‫رتبة‬: ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫موجودة‬ ‫مشتمة‬ ‫أعلى‬ ‫رتبة‬ ً‫وه‬. ‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬𝟓 𝟎 ‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫الثانٌة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬̿ 𝟐 𝟕 𝟑 ‫الثانٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬(̅̿) 𝟐 ̿ 𝟏 ‫الخامقة‬ ‫والدرجة‬ ‫الرابعة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬( (𝟒) ) 𝟓 (̿) 𝟕 ̅ 𝟕 ‫الثانٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬❺ ( ̿ ) 𝟑 ( ̅̿ ) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎 ‫مالحظة‬:‫ٌجب‬ ‫ورتبتها‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫درجة‬ ‫اٌجاد‬ ‫عند‬‫مثال‬ ‫الكقرٌة‬ ‫االقس‬ ‫أو‬ ‫الجذور‬ ‫أزالة‬: ❻ (̅) 𝟑 √ 𝟓 (̅̿) 𝟐𝟑 (‫)بالتكعٌب‬ ⇒ (̅) 𝟗 𝟓 (̅̿) 𝟐 ‫الثا‬‫نٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثا‬‫لث‬‫ة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬‫االعتٌادٌة‬ ‫ررة‬‫ر‬‫العالل‬ ‫ررذ‬‫ر‬‫ه‬ ‫أن‬ ‫رر‬‫ر‬ٌ‫بح‬ ‫ررلٌة‬‫ر‬‫التفاض‬ ‫ررة‬‫ر‬‫المعادل‬ ‫رررات‬‫ر‬ٌ‫متغ‬ ‫ررٌن‬‫ر‬‫ب‬ ‫ررة‬‫ر‬‫عالل‬ ‫ررة‬‫ر‬ٌ‫ا‬ ‫ررو‬‫ر‬‫ه‬ ‫ررة‬‫ر‬ٌ‫االعتٌاد‬ ‫ررلٌة‬‫ر‬‫التفاض‬ ‫ررة‬‫ر‬‫المعادل‬ ‫ررل‬‫ر‬‫ح‬ ❶‫المشتمة‬ ‫من‬ ‫خالٌة‬❷‫معٌنة‬ ‫فترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬❸‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫تحمك‬. ‫وزاري‬2013/‫د‬3‫وزاري‬2014/‫د‬1 ‫مثال‬(1)/‫ا‬ ‫بٌن‬‫العاللة‬ ‫ن‬𝟐 𝟑‫حال‬‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬̅ 𝟐 ‫الحل‬/𝟐 𝟑 ̅ 𝟐 𝟑 ̅ (𝟐 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟑 ) 𝟐 𝟐 𝟑 ∴‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬ ‫المعطاة‬ ‫العاللة‬
  • 353.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 352 ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫والحل‬ ‫الخاص‬ ‫الحل‬ ‫الع‬ ‫الحل‬ ‫أن‬‫ـــــــ‬‫الثوابرت‬ ‫مرن‬ ‫عردد‬ ‫علرى‬ ‫ٌشرتمل‬ ‫الرذي‬ ‫الحرل‬ ‫هرو‬ ‫تفاضلٌة‬ ‫معادلة‬ ‫وي‬ ‫ام‬‫االختٌارٌرة‬‫مق‬‫ــــرـ‬‫لرتبرة‬ ‫اوي‬ ‫المعادلة‬,‫فإذا‬‫ثابرت‬ ‫علرى‬ ‫مشرتمال‬ ‫حلهرا‬ ‫ٌكرون‬ ‫أن‬ ‫وجرب‬ ‫اوولرى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المعادلة‬ ‫كانت‬‫اختٌراري‬‫واحرد‬(‫ثابرت‬ ‫هرو‬ ‫التكامل‬)‫الرتبرة‬ ‫لمعادالت‬ ‫الوحٌدة‬ ‫التكامل‬ ‫خطوة‬ ‫اجراء‬ ‫عند‬ ‫ٌظهر‬ ‫الذي‬‫اوولرى‬,‫الرتبرة‬ ‫مرن‬ ‫المعادلرة‬ ‫كانرت‬ ‫اذا‬ ‫أمرا‬ ‫وجب‬ ‫الثانٌة‬‫على‬ ‫مشتمال‬ ‫حلها‬ ‫ٌكون‬ ‫ان‬(‫تكامل‬ ً‫ثابت‬)‫نظرا‬‫وجرراء‬‫حرل‬ ‫عنرد‬ ‫تكامرل‬ ً‫خطروت‬‫الثانٌرة‬ ‫الرتبرة‬ ‫معادلرة‬ . ‫أعلى‬ ‫رتبة‬ ‫لها‬ ً‫الت‬ ‫للمعادالت‬ ‫بالنقبة‬ ‫وهكذا‬ ‫مثال‬(2)/‫ان‬ ‫أثبت‬‫ا‬ ‫حلول‬ ‫أحد‬‫لمعادلة‬𝟎 ‫الحل‬/ ( 𝟏 ) (𝟏) 𝟏 ( ) ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )ً‫ه‬‫أحد‬‫حل‬‫ا‬ ‫ول‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫لمعادلة‬. ‫وزاري‬2014/‫د‬2 ‫مثال‬(3)/‫بٌن‬𝟐 ٌ‫ح‬( )‫حال‬‫ل‬‫لمعادلة‬𝟐̅ 𝟎 ‫الحل‬/ 𝟐 𝟐 𝟐 ( ̅ ) 𝟏 𝟐̅ 𝟐̅ 𝟎 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬ ‫مثال‬(4)/‫هل‬𝟑 𝟐‫ل‬ ‫حال‬‫لمعادلة‬‫التفاضلٌة‬ 𝟐 𝟐 𝟔‫؟‬ ‫الحل‬/ 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟔 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟑 𝟐)‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
  • 354.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 353 ‫وزاري‬2012/‫د‬1 ‫مثال‬(5)/‫برهن‬‫ا‬‫ن‬𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 )‫هو‬‫ل‬ ‫حال‬‫التفاضلٌة‬ ‫لمعادلة‬̿ 𝟒 𝟎 ‫الحل‬/ 𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 ) ̅ 𝟑 (𝟐 )(𝟐) 𝟐 (𝟐 )(𝟐) 𝟔 (𝟐 ) 𝟒 (𝟐 ) ̅̅ 𝟔 ( 𝟐 )( 𝟐) 𝟒 ( 𝟐 )( 𝟐) 𝟏𝟐 ( 𝟐 ) 𝟖 ( 𝟐 ) ̿ 𝟒 𝟏𝟐 (𝟐 ) 𝟖 (𝟐 ) 4[𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 )] 𝟏𝟐 ( 𝟐 ) 𝟖 ( 𝟐 ) 𝟏𝟐 ( 𝟐 ) 𝟖 ( 𝟐 ) ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬𝟑 ( 𝟐 ) 𝟐 ( 𝟐 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬ ‫وزاري‬1201/‫د‬2 ‫مثال‬(6)/‫ان‬ ‫هل‬𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ‫هو‬‫؟‬ ̿ (̅) 𝟐 𝟑 𝟓 ‫الحل‬/ 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 ̅ 𝟔 𝟑 𝟐 𝟐 ( ̅̅) ̅(𝟐 ̅) 𝟔 𝟔 ( 𝟐 ) ( ̅̅) ( ̅) 𝟐 𝟑 𝟑 ( ̅̅) ( ̅) 𝟐 𝟑 𝟑 5 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑)‫لٌقت‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫وزاري‬2015/‫د‬3 ‫مثال‬(7)/‫ان‬ ‫بٌن‬𝟐 𝟑 ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ‫هو‬̿ ̅ 𝟔 𝟎 ‫الحل‬/ 𝟐 𝟑 ̅ 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 ̿ 𝟒 𝟐 𝟗 𝟑 ̿ ̅ 𝟔 𝟒 𝟐 𝟗 𝟑 [ 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 ] 6[ 𝟐 𝟑 ] 𝟔 𝟐 𝟔 𝟑 6 𝟐 𝟔 𝟑 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 𝟑 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
  • 355.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 354 (𝟓 𝟏)‫تمارين‬ ‫س‬1/: ‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ودرجة‬ ‫رتبة‬ ‫بٌن‬ ‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ( 𝟐 𝟐) 𝟑 𝟎 ‫الثانٌة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬‫االولى‬ ‫والدرجة‬ 𝟐 𝟐 𝟓 𝟕 ‫م‬‫الثالثة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫ن‬(̅̿) 𝟑 𝟐̅ 𝟖 𝟑 ‫الثانٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬( 𝟑 𝟑 ) 𝟐 𝟐 ( ) 𝟓 𝟑 𝟎 ‫س‬2/‫ان‬ ‫برهن‬‫هو‬‫ل‬ ‫حل‬‫لمعادلة‬̿ 𝟎 ‫الحل‬/ ̅ ̿ ̿ 𝟎 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬ ‫س‬3/‫العاللة‬ ‫ان‬ ‫برهن‬𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 )‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬ 𝟐 𝟐 𝟗 𝟎 ‫الحل‬/ 𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 ) 𝟖 (𝟑 )(𝟑) 𝟔 (𝟑 )(𝟑) 𝟐𝟒 (𝟑 ) 𝟏𝟖 (𝟑 ) 𝟐 𝟐 𝟐𝟒 (𝟑 )(𝟑) 𝟏𝟖 (𝟑 )(𝟑) 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟐 𝟐 𝟗 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟗[𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 )] 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟎 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬𝟖 ( 𝟑 ) 𝟔 ( 𝟑 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
  • 356.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 355 ‫س‬4/‫ان‬ ‫هل‬𝟐‫للمعادلة‬ ‫حال‬̿ 𝟑̅‫؟‬ ‫الحل‬/ 𝟐 ̅ 𝟏 ̿ 𝟎 ̿ 𝟑̅ 𝟎 𝟑(𝟏) ( 𝟐) 𝟑 𝟐 𝟓 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐)‫لٌقت‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫س‬5/‫هل‬‫للمعادلة‬ ‫حال‬̿ 𝟐 (𝟏 𝟐) ‫الحل‬/ ̅ 𝟐 ̿ 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐) 𝟐 (𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟐 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫س‬6/‫هل‬𝟐 𝟐 𝟐 𝟏‫للمعادلة‬ ‫حال‬𝟑 ̿ 𝟐 ‫الحل‬/ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟒 𝟐 ̅ 𝟎 𝟐 ̅ 𝟒 ( 𝟐) ⇒ ̅ 𝟐 ̅ 𝟐 ̿ ( ) ( )( ̅ ) ( 𝟐 ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 ̿ 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐) 𝟐(𝟏) 𝟐 ̿ 𝟐 𝟑 ̿ 𝟑 ( 𝟐 ) 𝟐 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏)‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
  • 357.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 356 ‫س‬7/‫هل‬𝟓‫للمعادلة‬ ‫حال‬‫؟‬ ̿ 𝟐̅ 𝟐𝟓 𝟎 ‫الحل‬/ 𝟓 ̅ 𝟓 𝟓 ̅ ̿ ̅ 𝟐𝟓 𝟓 ̿ 𝟐̅ 𝟐𝟓 𝟓 𝟎 ̿ 𝟐̅ 𝟐𝟓 𝟎 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟓 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫وزاري‬2012/‫د‬3‫وزاري‬2013/‫د‬1 ‫س‬8/‫بٌن‬‫ان‬‫هو‬‫للمعادلة‬ ‫حال‬̅ 𝟎ٌ‫ح‬( ) ‫الحل‬/ ̅ ̅ 𝟎 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫وزاري‬2015/‫د‬2 ‫س‬9/‫ان‬ ‫بٌن‬| | 𝟐 ,‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ‫هو‬̅̅ 𝟒 𝟐 𝟐 ‫الحل‬/ 𝟐 ̅ 𝟐 ̅ 𝟐 ̅̅ 𝟐 (̅) 𝟐 ̅̅ 𝟐 (̅) 𝟐 𝟐 (𝟐 ) 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ****************************************************************** ‫س‬1:‫ان‬ ‫هل‬ 𝟏 𝟑 ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬̅ 𝟐 𝟐ٌ‫ح‬( ) ‫س‬2:‫ان‬ ‫هل‬𝟓‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬𝟐̅ ( ̅̅ 𝟓 ) 𝟎
  • 358.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 357 ‫اوولى‬ ‫والدرجة‬ ‫اوولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ‫طرق‬ ‫متغٌراتها‬ ‫تنفصل‬ ً‫الت‬ ‫المعادالت‬ : ‫اوو‬ ‫رر‬‫ر‬‫م‬ ‫ررو‬‫ر‬‫الن‬ ‫ررذا‬‫ر‬‫ه‬ ً‫رر‬‫ر‬‫ف‬‫ررى‬‫ر‬‫عل‬ ‫رروي‬‫ر‬‫تحت‬ ً‫رر‬‫ر‬‫الت‬ ‫رردود‬‫ر‬‫الح‬ ‫ررل‬‫ر‬‫ك‬ ‫ررزل‬‫ر‬‫نع‬ ‫أن‬ ‫ررتطٌع‬‫ر‬‫نق‬ ‫ررادالت‬‫ر‬‫المع‬ ‫ن‬( )‫ررع‬‫ر‬‫م‬( )‫ررر‬‫ر‬‫ط‬ ً‫رر‬‫ر‬‫ف‬ ‫رررى‬‫ر‬‫عل‬ ‫ررروي‬‫ر‬‫تحت‬ ً‫ررر‬‫ر‬‫الت‬ ‫ررردود‬‫ر‬‫والح‬( )‫رررع‬‫ر‬‫م‬( )‫رررى‬‫ر‬‫عل‬ ‫رررل‬‫ر‬‫فنحص‬ ‫رررر‬‫ر‬‫اوخ‬ ‫رررر‬‫ر‬‫الط‬ ً‫ررر‬‫ر‬‫ف‬( ) ( ) ‫على‬ ‫فنحصل‬ ‫الطرفان‬ ‫نكامل‬ ‫ثم‬∫ ( ) ∫ ( )‫ٌمثل‬ ٌ‫ح‬( )‫التكامل‬ ‫ثابت‬. ‫مثال‬(1)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 𝟓 ‫الحل‬/ 𝟐 𝟓 𝟐 𝟓( )𝒅𝒙 ∫ ∫ 𝟐 𝟓( ) 𝒅𝒙 𝟐 𝟓 ‫مثال‬()/‫المعادلة‬ ‫حل‬ 𝟏 ‫الحل‬/ 𝟏 𝟏( )𝒅𝒙 ∫ ∫ 𝟏( ) 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐) ⇒ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 √ 𝟐 𝟐 𝟐 √ 𝟐 𝟐 𝟏 ( 𝟏 𝟐 ‫)حٌث‬ ‫مثال‬(3)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 ٌ‫ح‬𝒚 (𝟐𝒏 𝟏) 𝝅 𝟐 (𝒄𝒐𝒔𝒚 𝟎) ‫الحل‬/ 𝟐 ( 𝟐 ) ⇒ 𝟐 ∫ 𝟐 ∫
  • 359.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 358 ‫وزاري‬6201/‫د‬1 ‫مثال‬(4)/‫أوجد‬‫المعادلة‬ ‫حل‬̅ √ 𝟎‫عندما‬𝒙 𝟐 𝒚 𝟗 ‫الحل‬/ √ 𝟎 ( ) 𝟏 𝟐 ( ) 𝟏 𝟐 ( ) 𝟏 𝟐 ( ) 𝟏 𝟐 ∫( ) 𝟏 𝟐 ∫ ( ) 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟐√ 𝟐 𝟐 ‫نعوض‬𝒙 𝟐 𝒚: ‫فٌنتج‬ 𝟗 𝟐√𝟗 (𝟐) 𝟐 𝟐 𝟔 𝟐 𝟒 𝟐√ 𝟐 𝟐 𝟒 ( 𝟐) ⇒ √ 𝟐 𝟒 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ ) ( 𝟐 𝟒 𝟐) 𝟐 (‫المعادلة‬ ‫حل‬ ) ‫وزاري‬2015/‫د‬1 ‫مثال‬(5)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 ‫عندما‬𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 ‫الحل‬/ 𝟐 ( 𝟐 ) ( ) ( ) ⇒ ( ) ( 𝟐 ) ( ) ( 𝟐 ) ∫( ) ∫( 𝟐 ) ∫( 𝟏)( ) 𝟏 𝟐 ∫(𝟐)( 𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝟐 ‫نعوض‬𝒙 𝟎 𝒚: ‫فٌنتج‬ 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 ∴ 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 ( 𝟐 𝟑) 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟑) (‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬ ⇒ | 𝟐 𝟐 𝟑 | | 𝟐 𝟐 𝟑 |
  • 360.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 359 ‫وزاري‬2015/‫د‬2 ‫مثال‬(6)/: ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫جد‬( 𝟏) 𝟐 ‫الحل‬/ ( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟐 𝟐 ( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) ∫ 𝟐 ∫ ( 𝟏) | | 𝟐 ( 𝟏) | | ( 𝟏) 𝟐 | | ( 𝟏) 𝟐 | | ( 𝟏) 𝟐 (‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬ ⇒ | | ( 𝟏) 𝟐 | | ( 𝟏) 𝟐 𝟏 ( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏 ‫)حٌث‬ ****************************************************************** (𝟓 𝟐)‫تمارين‬ ‫س‬1/‫المعادالت‬ ‫حل‬ٌ‫اوت‬ ‫التفاضلٌة‬ٌ‫بطر‬ ‫ة‬‫م‬: ‫المتغٌرات‬ ‫فصل‬ ‫ة‬ ( ) ̅ 𝟑 𝟑 ( 𝟑 ) ( ) 𝟑 ( ) 𝟏 ( 𝟐 ) ( )( 𝟐 ) ∫ ∫ 𝟐 𝟐 𝟐 ‫وزاري‬2014/‫د‬3‫وزاري‬2013/‫د‬2 ( ) 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 ( 𝟑 ) ( 𝟑 ) ( 𝟏) ∫ ( 𝟑 ) ∫ | 𝟑 | 𝟐 𝟐 | 𝟑 𝟐 | ( 𝟏) 𝟐 𝟐 (𝟏) 𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 | 𝟑 | 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 ( 𝟏) ⇒ | 𝟑 | 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 ( 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 ) 𝟑 ( 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 ) 𝟑 𝟏 𝟐( 𝟏 𝟐)
  • 361.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 360 ( ) ( 𝟏)( 𝟏) ( 𝟏)( 𝟏) ( 𝟏) ( 𝟏) ∫ ( 𝟏) ∫( 𝟏) ( 𝟏) 𝟐 𝟐 (‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬ ⇒ 𝟏 ( 𝟐 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐 ) 𝟏 ( ) ( 𝟐 𝟒 𝟏)̅ 𝟐 𝟐 𝟑 ( 𝟐 𝟒 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟑 ( 𝟐 𝟒 𝟏) ( 𝟐 𝟐 𝟑) ∫( 𝟐 𝟒 𝟏) ∫( 𝟐 𝟐 𝟑) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 ( ) ̅ 𝟒√( 𝟏 𝟐) 𝟑 𝟒( 𝟏 𝟐) 𝟑 𝟐 𝟒( 𝟏 𝟐) 𝟑 𝟐 ( 𝟏 𝟐) 𝟑 𝟐 𝟒 ( ) ( 𝟏 𝟐) 𝟑 𝟐 𝟒 ∫( ) ( 𝟏 𝟐) 𝟑 𝟐 ∫ 𝟒 𝟏 𝟐 ∫ 𝟐( ) ( 𝟏 𝟐) 𝟑 𝟐 ∫ 𝟒 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟐) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒 𝟏 √ 𝟏 𝟐 𝟒 ( ) 𝟑 𝟎 𝟐‫د‬ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬ 𝟑 ∫ ∫ 𝟑 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 √𝟒 𝟒 𝟒 √ 𝟒 𝟏 𝟒 ( 𝟏 𝟒 ‫حٌث‬ )
  • 362.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 361 ( ) ̅ 𝟐 𝟑 𝟎 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 ( 𝟑) ⇒ 𝟑 𝟐 ∫ 𝟑 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐) ⇒ 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒 𝟏 𝟐 𝟒 𝟖 𝟐 𝟏 𝟒 𝟖 √ 𝟏 𝟒 𝟖 ‫س‬2/‫الحل‬ ‫جد‬ٌ‫اوت‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادالت‬ ‫العام‬: ‫ة‬ ( ) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 𝟐) ( 𝟏 𝟐 𝟐) ∫ (𝟏 𝟐 𝟐) ∫ 𝟏 𝟒 ∫ ( 𝟒) (𝟏 𝟐 𝟐) ∫ 𝟏 𝟒 𝒍𝒏 𝟏 𝟐 𝟐 𝒍𝒏|𝒙| 𝒍𝒏|𝒄| (𝟏 𝟐 𝟐) 𝟏 𝟒𝒍𝒏 𝒍𝒏|𝒄𝒙| (‫للطرفٌن‬ ‫نأخذ‬) ⇒ (𝟏 𝟐 𝟐) 𝟏 𝟒 𝒄𝒙 (𝟏 𝟐 𝟐) 𝟏 𝟒 𝟏 𝒄𝒙 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐√ 𝟒 𝒄𝒙 𝟏 𝟐 𝟐√ 𝟒 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝒄𝒙 𝟏 ( 𝒄𝒙) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 (𝒄𝒙) 𝟒 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐𝒄 𝟒 𝒙 𝟒 √ 𝟏 𝟐 𝟏 𝒄 𝟏 𝒙 𝟒 (𝒄 𝟏 𝟐𝒄 𝟒 ‫حٌث‬ ) ‫وزاري‬2015/‫د‬1 ( ) 𝟎 ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) | | | | | | | | | | 𝒆 𝒄
  • 363.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 362 ( ) 𝟐 𝟎 𝟐 ( 𝟐 ) ⇒ 𝟐 ∫ 𝟐 ∫ ∫ 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐) ⇒ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ( 𝟐𝒄 𝒄 𝟏 ٌ‫ح‬‫ث‬ ) ( ) 𝟐 𝟑 ∫ 𝟐 ∫ 𝟑 ∫( 𝟐 𝟏) ∫(𝟏 𝟐 ) ∫ 𝟐 ∫ ∫ ∫ 𝟐 𝟑 𝟑 ( ) 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐 ) ∫ 𝟐 ∫ 𝟐 ∫ 𝟐 𝟏 𝟐 ∫(𝟏 𝟐 ) 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟐 𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐 𝟏‫د‬ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬ ∫(𝟑 𝟐 ) ∫ 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ( ) 𝟐 ̅ 𝟎 ̅ 𝟐 ( )( 𝟐 ) 𝟐 ∫ 𝟐 ∫ 𝟏 𝟐 𝟐 ( 𝟐) ⇒ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ( 𝟐𝒄 𝒄 𝟏 ‫حٌث‬) ‫المشتمة‬ ‫نوفر‬ 𝟏 𝟐
  • 364.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 363 ‫قؤال‬‫خارجي‬: ‫من‬ ‫كال‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬ / (𝒂) 𝒚 𝟐𝒆 𝒙 (𝒃) 𝒚 𝟑𝒙 (𝒄) 𝒚 𝑨𝒆 𝒙 𝑩𝒆 𝒙 ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎 (𝒂) 𝒚 𝟐𝒆 𝒙 𝒚̅ 𝟐𝒆 𝒙 𝒚̅̅ 𝟐𝒆 𝒙 𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟐𝒆 𝒙 (𝟏 𝒙) 𝟐𝒆 𝒙 𝟐𝒆 𝒙 𝟐𝒆 𝒙 𝟐𝒙𝒆 𝒙 𝟐𝒆 𝒙 𝟐𝒆 𝟎𝒙 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝒚 𝟐𝒆 )‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ 𝒙 𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎 (𝒃) 𝒚 𝟑𝒙 𝒚̅ 𝟑 𝒚̅̅ 𝟎 𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 (𝟎)(𝟏 𝒙) 𝟑 𝟑𝒙 𝟎 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝒚 )‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ 𝟑𝒙𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎 (𝒄) 𝒚 𝑨𝒆 𝒙 𝑩𝒆 𝒙 𝒚̅ 𝑨𝒆 𝒙 𝑩𝒆 𝒙 𝒚̅̅ 𝑨𝒆 𝒙 𝑩𝒆 𝒙 𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 (𝑨𝒆 𝒙 𝑩𝒆 𝒙 )(𝟏 𝒙) (𝑨𝒆 𝒙 𝑩𝒆 𝒙 ) (𝑨𝒆 𝒙 𝑩𝒆 𝒙 ) 𝑨𝒆 𝒙 𝑩𝒆 𝒙 𝑨𝒙𝒆 𝒙 𝑩𝒙𝒆 𝒙 𝑨𝒙𝒆 𝒙 𝑩𝒙𝒆 𝒙 𝑨𝒆 𝒙 𝑩𝒆 𝒙 𝟎 ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝒚 𝑨𝒆 𝒙 𝑩𝒆 )‫للمعادلة‬ ‫حل‬‫التفاضلٌة‬ 𝒙 𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎
  • 365.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 364 ‫المتجانقة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ : ‫ثانٌا‬ ً‫الت‬ ‫المعادلة‬ ً‫ه‬‫كتا‬ ‫نقتطٌع‬‫بالشكل‬ ‫بتها‬* ( ) +‫المعادلرة‬ ‫فمثال‬( 𝟒 𝟒) 𝟑 ‫ٌمكرن‬ ‫الصورة‬ ‫على‬ ‫كتابتها‬ 𝟏 ( ) 𝟒( 𝟒 ‫على‬ ‫المعادلة‬ ً‫طرف‬ ‫بقسمة‬ ) / ‫مثال‬‫؟‬ ‫متجانقة‬ ‫التالٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫أي‬ ‫بٌن‬ 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 ( 𝟑 𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 ( ) ∴‫متجانقة‬ ‫المعادلة‬ 𝟐 ̅ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) 𝟐 ( ) ̅ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ( ) ( ) 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ( ) ( ) 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ( ) ∴‫متجانقة‬ ‫المعادلة‬ 𝟐 𝟑 [ ( ) ] ‫بالشكل‬ ‫كتابتها‬ ‫الٌمكن‬ ‫النه‬ ‫متجانسة‬ ‫غٌر‬ ‫المعادلة‬
  • 366.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 365 ‫المتجانقة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫طرٌمة‬ : ‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫المتجانقة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫لحل‬ ❶‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫نكتب‬* ( ) +‫كل‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬* +‫أو‬[ ]ٌ‫ح‬( )‫الى‬ ‫دالة‬( ) ❷‫نشتك‬[ ]‫الى‬ ‫بالنقبة‬( )‫على‬ ‫فنحصل‬* + ❸‫الخطوتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫نربط‬❶‫و‬❷‫على‬ ‫فنحصل‬* ( ) ( ) + ❹‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المتغٌرات‬ ‫فصل‬ ‫بعد‬* ( ) + ❺‫عن‬ ‫نعوض‬ ‫وأخٌرا‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫على‬ ‫فنحصل‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬* + ‫مثال‬(1)/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬̅ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 ‫الحل‬/ 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑( ) 𝟐 𝟏 𝟐( ) 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 ( ‫وضعنا‬ ) ∵ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬ 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 ∫ 𝟏 ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 ∴ | | 𝟐 𝟏 | | | | ( 𝟐 𝟏) (‫للطرفٌن‬ ‫نأخذ‬) ⇒ ( 𝟐 𝟏) ∵ ( 𝟐 𝟐 𝟏) ( 𝟐 𝟐 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐 𝟐 ) 𝒙 𝟑 𝟐 𝟐( )
  • 367.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 366 ‫مثال‬(2)/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫الحل‬/ ( 𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نق‬‫سم‬ ) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ( ‫وضعنا‬ ) ∵ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬ 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ( 𝟏) 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 ∫ 𝟏 ∫ 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 ∴ ∫ 𝟏 𝟏 𝟐 ∫( 𝟐) 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 | | | | 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 | | | 𝟏 √ 𝟐 𝟐 𝟏 | | | 𝟏 √ 𝟐 𝟐 𝟏 √ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ ) ⇒ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 ∵ 𝟐 ( ) ( ) 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 ( 𝟐 ‫ب‬ ‫المعادلة‬ ً‫طرف‬ ‫نضرب‬ ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ‫)حٌث‬
  • 368.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 367 ‫وزاري‬2013/‫د‬2 ‫مثال‬(3)/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬(𝟑 ) ̅ ‫الحل‬/ 𝟑 ( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 ( ‫وضعنا‬ ) ∵ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬ 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑 ( 𝟏) 𝟐 𝟑 ∫ (𝟑 ) ( 𝟏) 𝟐 ∫ ∫ ( 𝟑) ( 𝟏) 𝟐 ∫ ∫ [( 𝟏) 𝟐] ( 𝟏) 𝟐 ∫ ∫ ( 𝟏) ( 𝟏) 𝟐 ∫ 𝟐 ( 𝟏) 𝟐 ∫ ( 𝟏) ∫ 𝟏 (𝟐) ∫( 𝟏) 𝟐 ∫ | 𝟏| (𝟐)( 𝟏) 𝟏 𝟏 | | | 𝟏| 𝟐 ( 𝟏) | | ∵ | | | 𝟏| 𝟐 𝟏 | | | 𝟏| 𝟐 ( ) | ( 𝟏)| 𝟐 | | 𝟐
  • 369.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 368 ‫وزاري‬2201/‫د‬1‫وزاري‬2012/‫د‬3‫وزاري‬4201/‫د‬1 ‫مثال‬(4)/‫الع‬ ‫الحل‬ ‫جد‬‫ـــــ‬‫التفاض‬ ‫للمعادلة‬ ‫ام‬‫ـــ‬‫لٌة‬𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ‫الحل‬/ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ( ) 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 ( ‫وضعنا‬ ) ∵ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬ 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 ( 𝟏) 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 ( 𝟏) 𝟐 ∫ ∫ 𝟐( 𝟏) 𝟐 ∫ 𝟐( 𝟏) 𝟏 𝟏 | | 𝟐 𝟏 | | ( ‫نضع‬ ) 𝟐 𝟏 | | 𝟐 ( ) | | 𝟐 | | 𝟐 | | 𝟐 | |
  • 370.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 369 ‫مثال‬‫محلول‬/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 ̅ 𝟐 𝟐 𝟎 ‫الحل‬/ 𝟐 ̅ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( ‫على‬ ‫والم‬‫قام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟏 𝟐( ) 𝟐 𝟏 𝟐 ( ‫وضعنا‬ ) ∵ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬ 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 ∫∴ 𝟐 𝟏 | | | | 𝟐 𝟏 | | | | ( 𝟐 𝟏) 𝟏 ( 𝟐 𝟏) | 𝟏 | ( 𝟐 𝟏) 𝟏 𝟏 ( 𝟐 𝟏) 𝟏 ( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟏 ( 𝟐 𝟐 𝟐 ) 𝟏 ( 𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟐
  • 371.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 370 (𝟓 𝟑)‫تمارين‬ ‫حل‬‫من‬ ‫كال‬‫المعادالت‬‫اوتٌة‬ ‫التفاضلٌة‬: ‫وزاري‬2013/‫د‬1‫وزاري‬2012/‫د‬2 (𝟏) ̅ ( ‫وضعنا‬ ) ∵ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬ ∫ ∫ ∫ ∫ | | | | ( ) ( 𝟐) ( 𝟐 ) 𝟐 𝟎 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟐 ( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟏 ( ) 𝟐 𝟐 ( ‫وضعنا‬ ) ∵ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬ ) ∴ 𝟐 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 ∫ 𝟏 𝟏 | | | | 𝟏 ( 𝟏) ⇒ | | 𝟏 ( ) | | | | 𝟏 ( 𝟏 ‫حٌث‬)
  • 372.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 371 (𝟑) ( 𝟐 ) (𝟐 𝟑 ) 𝟎 (𝟐 𝟑 ) ( 𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟑 ( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 ( ) 𝟐 𝟑 ( ) 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 ( ‫وضعنا‬ ) ∵ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬ ) ∴ 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 ( 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏) 𝟐 𝟑 ∫ ( 𝟐 𝟑 ) ( 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏) ∫ ( 𝟏 𝟐 ) ∫ 𝟐( 𝟐 𝟑 ) ( 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏) ∫ 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏 | | 𝟏 𝟐 | 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 𝟏| | | (𝟒) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( ‫على‬ ‫والمقا‬‫م‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ( ) 𝟐 𝟐 ( ) 𝟏 𝟐 𝟐 ( ‫وضعنا‬ ) ∵ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬ ) ∴ 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐) ∫ 𝟐 ( 𝟏 𝟐) ∫ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 | | | | ( 𝟏 𝟐) | | (𝟏 𝟐 𝟐) (𝟏 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐
  • 373.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 372 (𝟓) ( 𝟐 𝟐) 𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 ( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 ( ) 𝟐 ( ) 𝟏 𝟐 ( ‫وضعنا‬ ) ∵ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 𝟐) 𝟏 𝟒 ∫ ( 𝟒) ( 𝟏 𝟐 𝟐) ∫ 𝟏 𝟒 | 𝟏 𝟐 𝟐 | | | | 𝟏 𝟐 𝟐 | ( 𝟏 𝟒 ) | | | ( 𝟏 𝟐 𝟐 ) 𝟏 𝟒 | ∴ (𝟏 𝟐 𝟐) 𝟏 𝟒 (𝟏 𝟐 ( ) 𝟐 ) 𝟏 𝟒 (𝟏 𝟐 𝟐 𝟐) 𝟏 𝟒 ‫وزاري‬2014/‫د‬2
  • 374.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 373 (𝟔) 𝟐 ( 𝟑 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟑 ( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ( ) 𝟏 ( ) 𝟑 𝟏 𝟑 ( ‫وضعنا‬ ) ∵ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬ 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟒 𝟏 𝟑 𝟒 𝟏 𝟑 ( 𝟏 𝟑) 𝟒 ∫ ( 𝟏 𝟒 𝟑 𝟒 ) ∫ ∫ ∫ ( 𝟒 𝟏 ) | | 𝟑 𝟑 | | | | 𝟏 𝟑 𝟑 | | ( 𝟏) ⇒ | | 𝟏 𝟑 𝟑 | | | | 𝟏 𝟑 ( ) 𝟑 | | 𝟏 ( 𝟏 ‫)حٌث‬ ‫وزاري‬2016/‫د‬1
  • 375.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 374 (𝟕) ( ) ( ‫وضعنا‬ ) ∵ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ | | | | | | | | | | ∴ ****************************************************************** ‫س‬1:‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬(𝟒 )̅ 𝟑 ‫س‬2:‫أوجد‬‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬̅ (𝟏 𝟐) 𝟐 ‫س‬3:‫ل‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫أوجد‬‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫لمعادلة‬( √ 𝟐 𝟐) ‫س‬4:‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬( 𝟐 𝟐) 𝟒 ‫س‬5:‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬( )
  • 376.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 375 ‫الخامس‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬ ‫س‬13/: ‫اوتٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝒚̅ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚 𝒙 𝒚 𝝅 𝟒 𝒙 𝟏 ‫الحل‬/ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚𝒅𝒙 ] ( 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚) 𝒅𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚 𝒅𝒙 𝒙 ∫ 𝒅𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚 ∫ 𝒅𝒙 𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒚 𝒅𝒚 ∫ 𝒅𝒙 𝒙 𝒍𝒏| 𝒙| 𝒄 ( 𝒚 𝝅 𝟒 𝒙 𝟏 ‫)نعوض‬ 𝝅 𝟒 𝒍𝒏| 𝟏| 𝒄 𝟏 𝟎 𝟏 ∴ 𝒍𝒏| 𝒙| 𝟏 ‫س‬14/: ‫اوتٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚‫أن‬ ٌ‫ح‬𝒚 𝝅 𝟐 ‫عندما‬ 𝒙 𝟎 ‫الحل‬/ 𝒅𝒚 𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒙 ] ( 𝒕𝒂𝒏 𝒚) 𝒅𝒚 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒚 ( 𝒔𝒊𝒏 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒚 ) ∫ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒔𝒊𝒏 𝒚 𝒅𝒚 ∫ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏| 𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝟐 𝒙 𝟐 𝟐 𝒄 𝒍𝒏| 𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝒙 𝟐 𝒄 ( 𝒚 𝝅 𝟐 𝒙 𝟎 ‫)نعوض‬ 𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏 𝝅 𝟐 | 𝟎 𝒄 𝒍𝒏 𝟏 𝒄 𝟎 ∴ 𝒍𝒏| 𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝒙 𝟐 (‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬ ⇒ 𝒔𝒊𝒏 𝒚 𝒆 𝒙 𝟐
  • 377.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 376 ‫وزاري‬2013/‫د‬3 ‫س‬15/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝒙 𝒚̅ 𝒚 𝒙‫أن‬ ٌ‫ح‬𝒙 𝟏 𝒚 𝟏 ‫الحل‬/ 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒚 𝒙 ( 𝒙) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒚 𝒙 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒚 𝒙 𝟏 𝟏 ( ‫وضعنا‬ ) ∵ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬ 𝟏 𝟏 ] ( 𝒙) 𝒅𝒗 𝒅𝒙 𝒙 ∫ 𝒅𝒗 ∫ 𝒅𝒙 𝒙 | | 𝐜 | | 𝐜 ‫نعوض‬𝒚 𝟏 𝒙 𝟏‫الثابت‬ ‫لٌمة‬ ‫وٌجاد‬𝒄 𝟏 𝟏 |𝟏| 𝐜 𝟏 𝟎 𝐜 𝟏 ∴ | | 𝟏
  • 378.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 377 ‫س‬16/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬‫اوتٌة‬( 𝒙 𝟐 𝟑𝒚 𝟐) 𝒅𝒙 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝟎 ‫الحل‬/ (𝒙 𝟐 𝟑𝒚 𝟐)𝒅𝒙 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟑𝒚 𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝟑𝒚 𝟐 ( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ ) 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝟑 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐 𝟐𝒙𝒚 𝒙 𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟏 𝟑 ( 𝒚 𝒙) 𝟐 𝟐 ( 𝒚 𝒙) 𝟏 𝟑𝒗 𝟐 ( ‫وضعنا‬ ) 𝟐𝒗 ∵ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬ 𝟏 𝟑𝒗 𝟐 𝟐𝒗 𝟏 𝟑𝒗 𝟐 𝟐𝒗 𝒗 𝟏 𝟑𝒗 𝟐 𝟐𝒗 𝟐 𝟐𝒗 𝒗 𝟐 𝟏 𝟐𝒗 𝟐𝒗 𝒗 𝟐 𝟏 ∫ 𝟐𝒗 𝒗 𝟐 𝟏 ∫ 𝒗 𝟐 | |𝟏 𝒍𝒏|𝒙| 𝒍𝒏|𝒙 | 𝒄 (𝒗 𝟐 𝟏) 𝒙 𝒄 (𝒗 𝟐 𝟏) 𝒙 𝒄 ( 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐 𝟏) 𝒙 𝒄 ( 𝒚 𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 )
  • 379.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 378 ‫الخامس‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬ ‫وزاري‬ ‫قؤال‬2012‫/د‬2 ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬( 𝟏)( 𝟏)ٌ‫ح‬𝟐‫عندما‬𝟐 ‫الحل‬/ ( 𝟏)( 𝟏) ( 𝟏)( 𝟏) ( 𝟏) ( 𝟏) ∫ ( 𝟏) ∫( 𝟏) ( 𝟏) 𝟐 𝟐 ‫نعوض‬𝒚 𝟐 𝒙 𝟐‫الثابت‬ ‫لٌمة‬ ‫وٌجاد‬𝒄 𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝟒 𝟒 ∴ ( 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟒 ‫وزاري‬ ‫قؤال‬2014‫/د‬3 ‫ان‬ ‫أثبت‬‫المعادلة‬ ‫حلول‬ ‫أحد‬𝟎 ‫الحل‬/ ( 𝟏 ) (𝟏) 𝟏 ( 𝟏 ) ∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫حلول‬ ‫أحد‬ ً‫ه‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬
  • 380.
    ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬/‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 379 ‫وزاري‬ ‫قؤال‬2015‫/د‬3 ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫جد‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البس‬‫ط‬ ‫نقسم‬ ) 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 ( ‫وضعنا‬ ) ∵ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬ 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 ( 𝟏) ∫ ( 𝟏 ) ∫ ∫ ∫ ( 𝟏 𝟏 ) | | | | ( 𝟏) ⇒ | | | | | | | | 𝟏 ( 𝟏 ‫)حٌث‬
  • 381.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 380 ‫السادس‬ ‫الفصل‬ ‫الفضائٌة‬ ‫الهندسة‬SPACE GEOMETRY/ ‫مراجعة‬: 1-.‫ٌحتوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫لكل‬ 2-‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫لكل‬.‫ٌحتوٌهما‬ 3-‫التوازي‬ ‫عبارة‬‫وٌوازي‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫ٌمر‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫فٌوجد‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫ونقطة‬ ‫مستقٌم‬ ‫علم‬ ‫(إذا‬ )‫المعلوم‬ ‫المستقٌم‬. 4-.‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬ 5-‫عم‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬.‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫ود‬ 6-‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬ً‫تنتم‬ ( )‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫أو‬ ‫للمستقٌم‬. 7-.‫ٌحتوٌهما‬ ‫فأنه‬ ‫اآلخر‬ ‫من‬ ‫ونقطة‬ ‫احدهما‬ ‫ٌحوي‬ ‫الذي‬ ‫فالمستوي‬ ‫مستقٌمان‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬ 8-‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستوى‬.‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ 9-.‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫المستقٌمان‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬ 10-.‫اآلخر‬ ‫ٌوازي‬ ‫احدهما‬ ‫ٌحوي‬ ‫الذي‬ ‫فالمستوي‬ ‫مستقٌمان‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬ 11-.‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬ 12-‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬.‫المستوي‬ ‫ضمن‬ ‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ٍ‫و‬‫مست‬ 13-.‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫ٌوازي‬ ‫مستوٌهما‬ ‫فأن‬ ‫معلوم‬ ‫مستوي‬ ‫ٌوازٌان‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ 14-.‫مستوٌهما‬ ‫وتوازى‬ ‫الزاوٌتان‬ ‫تساوت‬ ‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫زاوٌة‬ ‫ضلعا‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬ 15-ٌ‫ب‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقٌم‬ ‫قطعة‬.‫بالقٌاس‬ ‫نصفه‬ ‫وتساوي‬ ‫الثالث‬ ‫الضلع‬ ‫توازي‬ ‫مثلث‬ ً‫ضلع‬ ً‫منتصف‬ ‫ن‬ 16-.‫ٌنصفها‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫الساقٌن‬ ‫المتساوي‬ ‫المثلث‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫العمود‬ 17-‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬‫مستوي‬‫المعلاوم‬ ‫للمساتقٌم‬ ً‫ا‬‫موازٌا‬ ‫المساتوي‬ ‫نقااط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬ ‫أٌة‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ .‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ً‫ف‬ ‫محتوى‬ ‫ٌكون‬ 18-‫المستق‬.‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫ٌمان‬ 19-.‫متوازٌان‬ ‫الفراغ‬ ً‫ف‬ ‫ثالث‬ ‫لمستقٌم‬ ‫الموازٌان‬ ‫المستقٌمان‬ 20-.‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫كل‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬ ‫أضالع‬ ‫متوازي‬ ً‫الرباع‬ ‫الشكل‬ ‫ٌكون‬ 21-.‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫وتساوى‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬ ‫أضالع‬ ‫متوازي‬ ً‫الرباع‬ ‫الشكل‬ ‫ٌكون‬ 22-‫أ‬ ‫متوازي‬ ‫هو‬ ‫المستطٌل‬.‫قائمة‬ ‫زواٌاه‬ ‫أحدى‬ ‫ضالع‬ 23-.‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬ 24-.‫بهما‬ ‫محددة‬ ‫وزاوٌة‬ ‫بضلعٌن‬ ‫المثلثان‬ ‫ٌتطابق‬ 25-.‫والمستوي‬ ‫المعلومة‬ ‫النقطة‬ ‫بٌن‬ ‫مسافة‬ ‫أقصر‬ ‫هو‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫العمود‬ 26-.‫ونتٌجتها‬ ‫الثالثة‬ ‫األعمدة‬ ‫مبرهنة‬
  • 382.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 381 ‫الزاوٌة‬‫المتعامدة‬ ‫والمستوٌات‬ ‫الزوجٌة‬ :‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬‫حافة‬ ‫لهما‬ ‫مستوٌٌن‬ ً‫نصف‬ ‫اتحاد‬(Edge).‫مشتركة‬ ‫بـ‬ ‫المشتركة‬ ‫الحافة‬ ‫وتسمى‬)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(حرف‬. ‫بـ‬ ‫المستوٌٌن‬ ً‫نصف‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وٌسمى‬)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(وجه‬:‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ‫حٌث‬⃡‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫هو‬ (X)‫و‬(Y)‫وجهاها‬ ‫هما‬ :‫بالتعبٌر‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫عن‬ ‫وٌعبر‬– ⃡ – .‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ‫مع‬ ً‫ا‬‫مشترك‬ ‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫أن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫بحرف‬ ‫عنها‬ ‫ٌعبر‬ ‫وقد‬ :ً‫ال‬‫مث‬ :‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ – ⃡ – – ⃡ – – ⃡ – ‫بشكل‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫تكتب‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬ ‫وال‬⃡‫الحرف‬ ‫ألن‬ ‫المثال‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬⃡.‫زوجٌة‬ ‫زاوٌة‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ً‫ف‬ ‫مشترك‬ ‫مالحظة‬:‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ً‫ف‬ ‫لٌست‬ ‫نقاط‬ ‫أربع‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نكتب‬A – ⃡ – D‫أو‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬(DBC)‫و‬ (ABC:‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ )
  • 383.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 382 :ً‫كاآلت‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫وتقاس‬ ‫نقطة‬ ‫نأخذ‬D‫المشتركة‬ ‫الحافة‬ ‫على‬⃡‫من‬ ‫ونرسم‬D‫العمود‬ً⃡‫ف‬‫والعمود‬ً⃡‫ف‬‫الحرف‬ ‫على‬ ⃡‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫هو‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫فٌكون‬‫الزاوٌة‬ ‫وتسمى‬‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ :‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ,‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫لدٌنا‬ ‫أخرى‬ ‫بعبارة‬– ⃡ – ‫ولدٌنا‬⃡ ⃡ ⃡ ⃡ ⃡ ⃡ ∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫أو‬– ⃡ – ‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫المستوٌة‬ ‫الزاوٌة‬:‫من‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌان‬ ‫ضلعاها‬ ً‫الت‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬ .‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫وجه‬ ‫أحد‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬ :‫أو‬ً‫وجه‬ ‫أحد‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬ ‫شعاعٌن‬ ‫اتحاد‬ ً‫ه‬ .‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫والزو‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌتٌن‬ ‫تعرٌف‬ ‫ومن‬:ً‫اآلت‬ ‫استنتاج‬ ‫ٌمكن‬ ‫جٌة‬ 1-.‫ثابت‬ ‫زوجٌة‬ ‫لزاوٌة‬ ‫عائدة‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬ 2-.‫وبالعكس‬ ‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫ٌساوي‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ .‫وبالعكس‬ ‫متعامدان‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫فأن‬ ‫قائمة‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫قٌاس‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ : ‫أي‬– ⃡ – 𝟗𝟎° ‫فأن‬
  • 384.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 383 ( ‫مبرهنة‬7‫(وزاري‬ :)2011‫د‬ /1‫(وزاري‬ ‫و‬ )2013‫د‬ /2)‫و‬‫(وزاري‬5201‫د‬ /3): ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫إذا‬‫و‬.‫اآلخر‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫التقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ :‫أنه‬ ‫أي‬ :‫كان‬ ‫إذا‬ ⃡ ‫في‬ ⃡ ⃡ ⃡ ‫فأن‬⃡ :‫المعطٌات‬‫نقطة‬ ً‫ف‬, D⃡ ⃡ ⃡ ⃡ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡ :‫البرهان‬ ً‫ف‬‫نرسم‬⃡ ⃡()‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫فٌه‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬ ⃡ ⃡ ⃡)‫(معطى‬ ∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ⃡ –)‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬ ∢ 𝟗𝟎)‫وبالعكس‬ ‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫ٌساوي‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(قٌاس‬ ⃡ ⃡‫مستقٌمٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫كان‬ ‫(إذا‬𝟗𝟎)‫وبالعكس‬ ‫متعامدان‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫فأن‬ ⃡)‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬ ( ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬7‫(وزاري‬ :)2013‫د‬ /3)‫و‬‫(وزاري‬5201‫د‬ /2): ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫إذا‬.‫فٌه‬ ‫محتوى‬ ‫ٌكون‬ ‫اآلخر‬ ‫المستوى‬ ‫على‬ :‫المعطٌات‬⃡ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡ :‫البرهان‬‫لٌكن‬⃡ ‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫ان‬⃡ ‫نرسم‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬⃡ ‫من‬ ‫فٌه‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬
  • 385.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 384 )‫(معطى‬ ⃡‫(مبرهنة‬7‫ٌكون‬ ‫التقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫إذا‬ ( ) )‫اآلخر‬ ‫المستوى‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ولكن‬⃡)‫(معطى‬ ⃡ ⃡‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫(ٌوجد‬ ‫ال‬ ‫أو‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ⃡ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬ ( ‫مبرهنة‬8‫(وزاري‬ :)2011‫د‬ /1)‫و‬‫(وزاري‬6201‫د‬ /1): ‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫آخر‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫بمستقٌم‬ ‫مار‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫كل‬ : ‫أو‬‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫ٌتعامد‬.‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ :‫المعطٌات‬⃡,⃡⃡ ‫إثباته‬ ‫المطلوب‬: :‫البرهان‬‫لٌكن‬⃡)‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتقاطع‬ ⃡)‫المشتركة‬ ‫النقاط‬ ‫على‬ ‫ٌحتوي‬ ‫التقاطع‬ ‫(مستقٌم‬ ً‫ف‬‫نرسم‬⃡ ⃡)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫فٌه‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬ ⃡)‫معطى‬ ( ⃡ ⃡ ⃡‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬ً‫ف‬ ‫المحتوى‬ )‫أثره‬ ‫من‬ ‫والمارة‬ ‫المستوي‬ ⃡)‫(معطى‬ ∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬⃡)‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬ ⃡ ⃡ ‫ألن‬ ∢ 𝟗𝟎° ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬– ⃡ – 𝟗𝟎°ٌ‫الزوج‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(قٌاس‬‫ـــــ‬‫ٌس‬ ‫ة‬‫ــــ‬‫اوي‬‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ )‫وبالعكس‬ ‫لها‬ (‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫كان‬ ‫إذا‬90 °‫وبالعكس‬ ‫متعامدان‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫فأن‬) )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬ ⇒ 𝑦 𝑥 ‫أنه‬ ‫أي‬:𝑨𝑩⃡ 𝒙 𝑨𝑩⃡ 𝒚
  • 386.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 385 ( ‫مبرهنة‬9‫(وزاري‬ :)2014‫د‬ /1:) ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬ ‫مستقٌم‬ ‫من‬‫ٌوجد‬ ‫معلوم‬ٍ‫و‬‫مست‬‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫المعلوم‬ ‫المستوى‬ ‫على‬. ‫أنه‬ ‫أي‬:⃡‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬ ‫ٌحتوي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستوي‬ ‫فٌوجد‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬ :‫المعطٌات‬⃡‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬‫ٌحتوي‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫إٌجاد‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬ :‫البرهان‬ ‫نقطة‬ ‫من‬‫نرسم‬ً⃡‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫(ٌوجد‬)‫إلٌه‬ ⃡ ⃡‫متقاطعان‬ ‫مثل‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬‫ٌحوٌهما‬)‫ٌحوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬ ‫(م‬‫ب‬‫رهنة‬8))‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬ :‫الوحدانٌة‬ ‫ولبرهنة‬ ( ‫لٌكن‬Z‫ٌحوي‬ ‫آخر‬ ‫مستوي‬ )⃡‫على‬ ‫وعمودي‬ ⃡)‫(بالبرهان‬ ⃡‫مبرهنة‬ ‫(نتٌجة‬7) )‫ٌحوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬ ( ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬9‫(وزاري‬ :)2012‫د‬ /3:) ‫مستقٌم‬ ‫فأن‬ ‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫المستوى‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ .‫الثالث‬ :‫المعطٌات‬⃡ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡ :‫البرهان‬‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫إن‬⃡‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌحوي‬ ‫مستوي‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫وجد‬ ‫لما‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬‫(مبرهنة‬9) ⃡ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
  • 387.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 386 ( ‫مثال‬1:) ً‫ف‬∆ ABC ̅̅̅̅̅ ∢ 𝟑𝟎° 𝟏𝟎 𝟓 ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫جد‬– ̅̅̅̅ – :‫المعطٌات‬ ̅̅̅̅̅ ∢ 𝟑𝟎° 𝟏𝟎 𝟓 :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫إٌجاد‬– ̅̅̅̅ – :‫البرهان‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬‫نرسم‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫نقطة‬ ً‫ف‬‫آخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬ )‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ̅̅̅̅̅)‫(معطى‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫األعمدة‬ ‫(مبرهنة‬ ∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬̅̅̅̅‫العائد‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬‫ة‬) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫(المس‬‫ـــ‬‫المستوى‬ ً‫ف‬ ‫المحتواة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫تقٌم‬ )‫أثره‬ ‫من‬ ‫والمارة‬ ∆ DBEً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قائم‬B ً‫ف‬∆ BEAً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫القائم‬E: 𝟑𝟎 ⇒ 𝟏 𝟐 𝟏𝟎 ⇒ 𝟓 ً‫ف‬∆ DBEً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫القائم‬B: ∢ 𝟓 𝟓 𝟏 ‫قٌاس‬∢ 𝟒𝟓° ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬– ̅̅̅̅ – 𝟒𝟓°()‫وبالعكس‬ ‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫هو‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
  • 388.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 387 ( ‫مثال‬2:) ‫لٌكن‬ABC‫ولٌكن‬ ً‫ا‬‫مثلث‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ :‫أن‬ ‫برهن‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ :‫المعطٌات‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ :‫البرهان‬ ̅̅̅̅)‫(معطى‬ ‫(مبرهنة‬8‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬ ))‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫(معطى‬ ̅̅̅̅‫(مبرهنة‬7‫التقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫والعمودي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫(إذا‬ ) )‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫(معطى‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫مبرهنة‬ ‫(نتٌجة‬ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
  • 389.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 388 ( ‫مثال‬3‫(وزاري‬ :)2012‫د‬ /2) ‫متعامدان‬ ‫مستوٌان‬, ⃡ ⃡‫على‬ ‫عمودٌان‬⃡‫وٌقطعان‬ً‫ف‬C, D‫الترتٌب‬ ‫على‬ :‫أن‬ ‫برهن‬⃡ :‫المعطٌات‬ ‫إن‬⃡ ⃡ ⃡ , )‫على‬ ‫عمودٌٌن‬⃡‫وٌقطعان‬ً‫ف‬C, D.‫الترتٌب‬ ‫على‬ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡ :‫البرهان‬ ‫لٌكن‬‫المتقاطعٌن‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫مستوي‬⃡ ⃡)‫ٌحوٌهما‬ ً‫ا‬‫وحٌد‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬ ⃡ ⃡ ⃡)‫(معطى‬ ⃡‫(المستقٌم‬)‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ⃡)‫(معطى‬ )‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬ )‫(معطى‬ ‫كان‬ ‫ولما‬⃡)‫منهما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫محتوى‬ ‫(ألنه‬ ⃡‫ف‬ ‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫(إذا‬ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫مستقٌم‬ ‫أن‬ )‫الثالث‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
  • 390.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 389 ‫تمارين‬ ‫س‬1/.‫حرفها‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫زوجٌة‬ ‫لزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫مستوي‬ ‫أن‬ ‫برهن‬‫(وزاري‬2013‫د‬ /1) :‫المعطٌات‬‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬– ⃡ – ‫والزاوٌة‬CDE.‫لها‬ ‫عائدة‬ ‫مستوٌة‬ ‫زاوٌة‬ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡ :‫البرهان‬ ‫الزاوٌة‬CDE‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬ ‫زاوٌة‬– ⃡ –)‫(معطى‬ ⃡ ⃡)‫زوجٌة‬ ‫لزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫تعرٌف‬ ‫(من‬ ⃡ ⃡‫اتحاد‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫(ه‬‫شعاعٌن‬ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬ ‫وكل‬ ‫إلٌه‬‫اح‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬‫د‬)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫وجه‬ ⃡()‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬ (‫وزاري‬/2014‫د‬3) ‫س‬2/‫أن‬ ‫برهن‬‫ه‬.‫متعامدان‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫فأن‬ ‫آخر‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫وكان‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬ :‫المعطٌات‬⃡ ⃡ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬ :‫البرهان‬ ‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫أن‬‫ٌقطع‬‫فأن‬ ⃡)‫(معطى‬ ⃡‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬ ‫المعطٌات‬ ‫خالف‬ ‫هذا‬ ‫ولكن‬‫يقطع‬ ‫ولٌكن‬⃡)‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتقاطع‬ ‫لتكن‬⃡‫ولتكن‬ ,⃡ ⃡‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوازي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ :‫التوازي‬ ‫(عبارة‬ )‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ⃡)‫(معطى‬ ⃡‫للمستقٌم‬ ً‫ا‬ٌ‫مواز‬ ‫المستوي‬ ‫نقط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬ ‫أٌة‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫(إذا‬ )‫فٌه‬ ‫محتوى‬ ‫ٌكون‬ ‫المعلوم‬ ⃡ ⃡)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمود‬ ‫(المستوي‬ )‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬‫أو‬‫بمستقٌم‬ ‫مار‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫(كل‬ )‫اآلخر‬ ٍ‫و‬‫المست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫ٌكون‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
  • 391.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 390 ‫(وزاري‬2014/‫د‬2) ‫س‬3/‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستوي‬ ‫أن‬ ‫برهن‬ً‫ا‬‫أٌض‬. :‫المعطٌات‬ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬ :‫البرهان‬ ‫لٌكن‬⃡ ⃡ ‫ولتكن‬⃡ ‫نرسم‬⃡‫بحٌث‬⃡ ⃡ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫(معط‬‫ى‬) ⃡‫المرس‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫(إذا‬‫ـــ‬‫مس‬ ‫على‬ ‫والعمودي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫وم‬‫ــــ‬‫ٌكون‬ ‫التقاطع‬ ‫تقٌم‬ )‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ولكن‬)‫(معطى‬ ⃡‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ )‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬ ‫س‬4/A, B, C, D‫بحٌث‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ً‫ف‬ ‫لٌست‬ ‫نقاط‬ ‫أربع‬‫و‬̅̅̅̅‫كانت‬ ‫فإذا‬∢ ‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ̅̅̅̅ –‫برهن‬. :‫المعطٌات‬A, B, C, D‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ً‫ف‬ ‫لٌست‬ ‫مختلفة‬ ‫نقاط‬ ‫أربع‬ ∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ̅̅̅̅ – :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬ :‫البرهان‬ ∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ̅̅̅̅ –)‫(معطى‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬ ‫شعاعٌن‬ ‫اتحاد‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬ ‫العائدة‬ ‫(الزاوٌة‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫وجه‬ ‫أحد‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬ABC)‫(معطى‬ ‫الساقٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫(العمود‬)‫ٌنصفها‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫المثلثان‬DEB‫و‬DEC:‫فٌهما‬ ∢ 𝟏 ∢ 𝟐)‫(قوائم‬ )‫مشترك‬ ‫(ضلع‬ CE = BE)‫(بالبرهان‬ .‫بهما‬ ‫محددة‬ ‫وزاوٌة‬ ‫بضلعٌن‬ ‫المثلثان‬ ‫ٌتطابق‬ :‫ٌنتج‬ ‫التطابق‬ ‫ومن‬ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬ ‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫ٌتقاطع‬
  • 392.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 391 ‫(وزاري‬2015/‫د‬1) ‫س‬5/‫برهن‬‫أنه‬‫إذا‬‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬ ‫وكانا‬ ‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وازى‬ ‫المعلوم‬ ‫المستوى‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫المتقاطعٌن‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫تقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫فأن‬. :‫المعطٌات‬⃡ ⃡ ‫يوازيان‬ ⃡ ⃡ ⃡ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡ :‫البرهان‬ ‫لٌكن‬‫المتقاطعٌن‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫مستوي‬⃡ ⃡)‫ٌحتوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ‫مستوي‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬ ⃡ ⃡)‫(معطى‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫ٌوازٌان‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫(إذا‬)‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫ٌوازي‬ ‫مستوٌهما‬ ‫فإن‬ ً‫ا‬‫معلوم‬ ‫ولكن‬⃡ ⃡ )‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬ )‫(معطى‬ ⃡‫كل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ (‫من‬‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫مستقٌم‬ ‫فأن‬ ‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫مست‬ )‫الثالث‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ⃡)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬ )‫(معطى‬
  • 393.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 392 ‫س‬6/‫قطرها‬ ‫دائرة‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫مس‬ ‫على‬ ‫عمودي‬‫ــــ‬‫توٌها‬,D‫أن‬ ‫برهن‬ ‫للدائرة‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬‫عمودي‬ ‫على‬ :‫المعطٌات‬ ̅̅̅̅‫و‬ ‫دائرة‬ ً‫ف‬ ‫قطر‬̅̅̅̅̅.‫الدائرة‬ ‫مستوي‬ D.‫للدائرة‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬ :‫البرهان‬ ∢‫محٌطٌة‬ ‫زاوٌة‬ ∢ 𝟗𝟎°)‫قائمة‬ ‫دائرة‬ ‫لنصف‬ ‫المقابلة‬ ‫المحٌطٌة‬ ‫(الزاوٌة‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫متعامدٌن‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫فأن‬ ‫قائمة‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫كانت‬ ‫(إذا‬ ̅̅̅̅‫الدائرة‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمودي‬)‫(معطى‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫(مبرهنة‬ :‫لدٌنا‬ ‫اصبح‬̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫(بالبرهان‬ ̅̅̅̅̅‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬)‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫ولكن‬̅̅̅̅ )‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
  • 394.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 393 ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫االسقاط‬ 1-:ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫مسقط‬‫العمود‬ ‫أثر‬ ‫هو‬.‫المستوي‬ ‫على‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ 2-:‫مستوي‬ ‫على‬ ‫نقط‬ ‫مجموعة‬ ‫مسقط‬‫لتكن‬L‫اثار‬ ‫كل‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫مسقطهما‬ ‫فأن‬ ‫الفراغ‬ ً‫ف‬ ‫نقاط‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫نقاط‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫االعمدة‬‫ه‬.‫المستوي‬ ‫على‬ 3-:‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودٌة‬ ‫غٌر‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬‫المستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫هو‬‫المرسومٌن‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ .‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫نهاٌت‬ ‫من‬ ‫لٌكن‬̅̅̅̅‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬ ‫ولٌكن‬̅̅̅̅‫مسقط‬A‫على‬‫هو‬ ̅̅̅̅̅‫مسقط‬B‫على‬‫هو‬ ‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬‫هو‬̅̅̅̅ :‫مالحظة‬‫كان‬ ‫إذا‬̅̅̅̅‫فأن‬ 4-ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫المائل‬ ‫المستقٌم‬.‫له‬ ‫وقاطع‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫غٌر‬ ‫المستقٌم‬ ‫هو‬ : 5-:‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬.‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬ ‫المحددة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬ ‫لٌكن‬⃡‫على‬ ً‫ال‬‫مائ‬ً‫ف‬ ‫ولٌكن‬ً̅̅̅̅‫ف‬ ‫مسقط‬‫على‬‫حٌث‬ ‫كذلك‬‫حٌث‬ ‫نفسها‬ ‫مسقط‬ ̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬ ‫أن‬ ‫أي‬𝟎 𝛉 𝟗𝟎° 𝜽 𝟎 𝟗𝟎° 6-:‫المسقط‬ ‫طول‬= ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬ ‫طول‬‫المائل‬ ‫طول‬.‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫تمام‬ ‫جٌب‬ ‫تكون‬ ‫فعندما‬̅̅̅̅‫على‬ ً‫ال‬‫مائ‬‫مٌلة‬ ‫وزاوٌة‬𝜽‫ومسقطه‬̅̅̅̅‫فأن‬𝛉 7-‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستوي‬ ‫مسقط‬:‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ٍ‫و‬‫مست‬‫على‬‫للزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫المستوٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ .‫بٌنهما‬ ‫الزوجٌة‬ = ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائلة‬ ‫منطقة‬ ‫مسقط‬ ‫مساحة‬‫المائلة‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫تمام‬ ‫جٌب‬ ‫و‬ ‫المائلة‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬‫و‬ ‫المسقط‬ ‫مساحة‬𝜽‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬𝛉
  • 395.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 394 ( ‫مثال‬4‫(وزاري‬ :)2013‫د‬ /2:) .‫متعامدان‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ضلعٌهما‬ ً‫مسقط‬ ‫فأن‬ ً‫ا‬‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫قائمة‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫أحد‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬ :‫المعطٌات‬∢ً‫ف‬ ‫قائمة‬B ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬ ‫هو‬̅̅̅̅‫على‬ ̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬ ‫هو‬̅̅̅̅‫على‬ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬A'B' ┴ B'C' :‫البرهان‬ ̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ ‫القطعة‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬ ‫من‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫المرسومٌن‬)‫المستقٌمة‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅)‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫(المستقٌمان‬ ‫المتوازٌٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن‬‫نعٌن‬ ‫المتوازٌٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن‬‫نعٌن‬ ‫لكن‬̅̅̅̅)‫(معطى‬ )‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتقاطع‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅‫المس‬ ‫جمٌع‬ ‫ٌوازي‬ ‫فأنه‬ ً‫ا‬‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫(إذا‬‫ــــ‬‫هذا‬ ‫تقاطع‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫تقٌمات‬ ‫تحوي‬ ً‫الت‬ ‫والمستوٌات‬ ‫المستوي‬)‫المستقٌم‬ ‫كذلك‬̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬ )‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅(‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬ :‫الواحد‬ ‫المستوي‬ ً‫ف‬) ‫لكن‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫ألن‬ (∢ 𝟗𝟎)‫معطى‬ ̅̅̅̅̅̅)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستوي‬ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬ .)‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫هـــ‬ .‫(و‬.)‫م‬ (‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫لكل‬‫ٌحتوٌهما‬) ‫يحتويهما‬ )‫(معطى‬
  • 396.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 395 ( ‫مثال‬5:) ,‫مثلث‬̅̅̅̅‫المثلث‬ ‫مستوي‬ ‫بٌن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫والزاوٌة‬‫والمستوي‬‫قٌاسها‬𝟔𝟎°‫كان‬ ‫فإذا‬ 𝟏𝟑 𝟏𝟎‫اد‬‫ا‬‫ج‬‫اث‬‫ا‬‫المثل‬ ‫اقط‬‫ا‬‫مس‬‫اى‬‫ا‬‫عل‬‫اقط‬‫ا‬‫مس‬ ‫ااحة‬‫ا‬‫مس‬ ‫اد‬‫ا‬‫ج‬ ‫ام‬‫ا‬‫ث‬ ABC∆‫على‬. :‫المعطٌات‬̅̅̅̅ ‫قٌاس‬– ⃡ – 𝟔𝟎° 𝟏𝟑 𝟏𝟎 :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬‫مسقط‬ ‫إٌجاد‬‫على‬ ‫مسقط‬ ‫مساحة‬ ‫وإٌجاد‬‫على‬ :‫البرهان‬ ‫نرسم‬ً‫ف‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمود‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬ ̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫على‬ ‫نفسه‬ ‫مسقط‬ ‫مسقط‬‫على‬ ً‫ف‬‫نرسم‬̅̅̅̅ ً̅̅̅̅‫ف‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫آخر‬ ‫على‬ ‫عمود‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬ ‫أن‬ ‫وبما‬)‫(معطى‬ 𝟓)‫ٌنصفها‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫الساقٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫(العمود‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫مبرهنة‬ ‫(نتٌجة‬ ∢‫عائدة‬‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬̅̅̅̅)‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫لكن‬𝟔𝟎° ̅̅̅̅)‫(معطى‬ ً‫ف‬ً‫ف‬ ‫القائم‬:√𝟏𝟔𝟗 𝟐𝟓 √𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟐 ً‫ف‬ً‫ف‬ ‫القائم‬:𝟔𝟎 ⇒ 𝟏 𝟐 𝟏𝟐 ⇒ 𝟔 𝟏 𝟐 𝟏𝟎 𝟔 𝟑𝟎 𝟐 =‫المثلث‬ ‫مساحة‬BCD )‫.م‬ ‫هـ‬ .‫(و‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ ‫القطعة‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫المرسومٌن‬)‫المستقٌمة‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬
  • 397.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 396 ‫تمارين‬ ‫س‬1/‫المس‬ ‫قطعة‬ ‫طول‬ ‫أن‬ ‫برهن‬‫ــ‬‫لمس‬ ‫الموازي‬ ‫تقٌم‬‫ــ‬‫مع‬ ٍ‫و‬‫ت‬‫ٌس‬ ‫لوم‬‫ـــــ‬‫مس‬ ‫طول‬ ‫اوي‬‫ـــ‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫قطه‬‫المعلوم‬ .‫وٌوازٌه‬‫(وزاري‬2011‫د‬ /1‫و‬2014‫د‬ /1‫و‬2016‫د‬ /1) :‫المعطٌات‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬ : ً‫ال‬‫أو‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅ : ً‫ا‬ٌ‫ثان‬ :‫البرهان‬ ̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬)‫(معطى‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫على‬ ‫عمودان‬‫المرس‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ ‫القطعة‬ ‫هو‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬‫ـ‬‫ومٌن‬ )‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅)‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫(المستقٌمان‬ ‫المتوازٌٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن‬‫نعٌن‬)‫ٌحتوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬ ̅̅̅̅)‫(معطى‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫اآلخر‬ ‫وٌوازي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫محتوى‬ ‫مستقٌم‬ ‫كل‬ ‫ٌوازي‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫تقاطع‬ ‫(مستقٌم‬ ‫أو‬‫المستوي‬ ‫هذا‬ ‫تقاطع‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫ٌوازي‬ ‫فأنه‬ ً‫ا‬‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫(إذا‬ )‫المستقٌم‬ ‫هذا‬ ‫تحوي‬ ً‫الت‬ ‫المستوٌات‬ ‫مع‬ ( )‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬1) ‫الشكل‬‫أضالع‬ ‫متوازي‬)‫متوازٌٌن‬ ‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫كل‬ ‫(ألن‬ ‫األضالع‬ ‫متوازي‬ ‫خواص‬)‫بالطول‬ ‫متساوٌٌن‬ ‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫كل‬ ( ( )‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬2)
  • 398.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 397 ‫س‬2/‫مس‬ ‫قطع‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ‫برهن‬‫ـــ‬.‫علٌه‬ ‫اآلخر‬ ‫مٌل‬ ‫ٌساوي‬ ‫احدهما‬ ‫على‬ ‫مٌله‬ ‫فأن‬ ‫بمستقٌم‬ ‫متوازٌان‬ ‫توٌان‬ ‫(وزاري‬2012‫د‬ /2)‫و‬‫(وزاري‬2015‫د‬ /3) :‫المعطٌات‬ ⃡ { } ⃡ { } :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬ ‫مٌل‬⃡‫على‬‫مٌل‬⃡‫على‬ :‫البرهان‬ ‫نرسم‬⃡(‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬) )‫(معطى‬ ⃡‫نقطة‬ ً‫ف‬)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬ ⃡‫مسقط‬⃡‫على‬ ‫وكذلك‬⃡‫مسقط‬⃡‫على‬ ∢𝟏‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬ ∢𝟐‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬ ⃡ ⃡(‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫بمست‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫تقاطع‬ ‫خطأ‬‫متوازٌان‬) ∢𝟏 ∢ 𝟐(‫تساو‬ ‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫زاوٌة‬ ‫ضلعا‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬‫ى‬‫وتواز‬ ‫قٌاسهما‬‫ى‬‫مستوٌهما‬) ‫مٌل‬⃡‫على‬‫مٌل‬⃡‫على‬ )‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬ ‫المستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودٌة‬ ‫غٌر‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬ )‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫المرسومٌن‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ (‫المحاددة‬ ‫الزاوٌاة‬ ً‫ها‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬‫ذلك‬‫المستو‬‫ي‬)
  • 399.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 398 ‫س‬3/‫بر‬‫ه‬.‫نفسه‬ ‫المٌل‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫المائلة‬ ‫المتوازٌة‬ ‫للمستقٌمات‬ ‫أن‬ ‫على‬ ‫ن‬ ‫وزاري‬ (2011‫د‬ /3‫(وزاري‬ )2013‫د‬ /3) :‫المعطٌات‬ ⃡ ⃡‫على‬ ‫مائل‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬⃡‫على‬=‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬⃡‫على‬ :‫البرهان‬ ‫لٌكن‬ً⃡‫ف‬ ‫و‬‫لٌكن‬ً⃡‫ف‬ ⃡‫مسقط‬⃡‫على‬ ⃡‫مسقط‬⃡‫على‬ 1∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬ 2∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬ ⃡ ⃡(‫معطى‬) ⃡ ⃡(‫متوازٌان‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫المستقٌمان‬) ∢𝟑 ∢ 𝟒(‫وازى‬ ‫إذا‬‫تساو‬ ‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫زاوٌة‬ ‫ضلعا‬‫ى‬‫مستوٌهما‬ ‫وتوازي‬ ‫قٌاسهما‬) ∢𝟓 ∢𝟔 𝟗𝟎°(‫المس‬‫ــ‬‫مس‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫تقٌم‬‫ــ‬‫جم‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫توي‬‫ـ‬‫المس‬ ‫ٌع‬‫ــــ‬‫تقٌمات‬ ) ‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ∢ 𝟏 ∢ 𝟐(‫المثلث‬ ‫زواٌا‬ ‫قٌاسات‬ ‫مجموع‬𝟏𝟖𝟎°) ‫قٌاس‬‫زاوٌة‬‫مٌل‬⃡‫على‬‫قٌاس‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬⃡‫على‬ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬ (‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬) (‫اتقٌم‬‫ا‬‫المس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫او‬‫ا‬‫ه‬ ‫اوم‬‫ا‬‫معل‬ ٍ‫و‬‫ات‬‫ا‬‫مس‬ ‫اى‬‫ا‬‫عل‬ ‫اة‬‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ار‬‫ا‬ٌ‫غ‬ ‫اتقٌم‬‫ا‬‫مس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫اقط‬‫ا‬‫مس‬ ‫المرسو‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫مٌن‬) (ً‫ه‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬‫المحددة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬)
  • 400.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 399 ‫س‬4/‫زاوٌة‬ ‫أطولهما‬ ‫فإن‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الطول‬ ً‫ف‬ ‫مختلفان‬ ‫مائالن‬ ‫رسم‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ‫على‬ ‫برهن‬ ‫مٌل‬‫ه‬.‫علٌه‬ ‫اآلخر‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫من‬ ‫أصغر‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ :‫المعطٌات‬ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬ :‫البرهان‬ ‫لٌكن‬̅̅̅̅(‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬) ⃡‫مسقط‬⃡‫على‬ ⃡‫مسقط‬⃡‫على‬ 𝛉 𝟏∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬ 𝛉 𝟐∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬ (‫معطى‬) 𝟏𝟏 )‫التراجح‬ ‫(خواص‬ ‫بـ‬ ‫المتراجحة‬ ً‫طرف‬ ‫وبضرب‬:‫ٌنتج‬ 𝜽𝟏 𝜽𝟐(‫و‬‫ب‬‫رفع‬‫دالة‬ ‫ألن‬ ‫الطرفٌن‬)‫متزاٌدة‬ ‫دالة‬ 𝛉 𝟏 𝜽 𝟐 ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬ (‫ار‬‫ا‬ٌ‫غ‬ ‫اتقٌم‬‫ا‬‫مس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫اقط‬‫ا‬‫مس‬‫اتقٌم‬‫ا‬‫المس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫او‬‫ا‬‫ه‬ ‫اوم‬‫ا‬‫معل‬ ٍ‫و‬‫ات‬‫ا‬‫مس‬ ‫اى‬‫ا‬‫عل‬ ‫اة‬‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫المرسو‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫مٌن‬) (‫المح‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬‫ددة‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬‫ذلك‬‫المستوي‬)
  • 401.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 400 ‫س‬5/.‫األطول‬ ‫هو‬ ً‫ال‬ٌ‫م‬ ‫فأصغرهما‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫إلى‬ ‫ما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مائالن‬ ‫رسم‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ‫على‬ ‫برهن‬ :‫المعطٌات‬ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫على‬ ‫مائالن‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬ :‫البرهان‬ ‫لٌكن‬̅̅̅̅(‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬) ̅̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬ ‫وكذلك‬̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬ 𝛉 𝟏 ∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬̅̅̅̅‫على‬ 𝛉 𝟐 ∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬̅̅̅̅‫على‬ ∢ 𝛉 𝟏 ∢ 𝜽 𝟐 ‫الـ‬ ‫دالة‬ ‫وبأخذ‬:‫للطرفٌن‬ 𝛉 𝟏 𝛉 𝟐 ‫و‬‫على‬ ‫المتراجحة‬ ً‫طرف‬ ‫بقسمة‬AD 𝟏 𝟏 ‫ٌنتج‬ ‫التراجح‬ ‫وبقلب‬: (‫التراجح‬ ‫خواص‬) )‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬ (‫المساتقٌم‬ ‫قطعاة‬ ‫هاو‬ ‫معلاوم‬ ٍ‫و‬‫مسات‬ ‫علاى‬ ‫عمودٌاة‬ ‫غٌار‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬ ‫المرسو‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫مٌن‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬) (‫المحددة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬)
  • 402.
    ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬/‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 401 ‫س‬6/‫المستقٌم‬ ‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫من‬ ‫أصغر‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫المستقٌم‬ ‫بٌن‬ ‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫أنه‬ ‫على‬ ‫برهن‬ ‫آخر‬ ‫مستقٌم‬ ‫وأي‬ ‫نفسه‬‫مرسوم‬.‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫موقعه‬ ‫من‬‫(وزاري‬2012‫د‬ /3) :‫المعطٌات‬ ̅̅̅̅‫على‬ ‫مائل‬,̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬ ∢ , ̅̅̅̅̅‫بـ‬ ‫محددة‬̅̅̅̅‫و‬̅̅̅̅ ∢‫بـ‬ ‫محددة‬̅̅̅̅‫و‬̅̅̅̅̅ :‫إثباته‬ ‫المطلوب‬ ∢ ∢ :‫البرهان‬ ‫نرسم‬̅̅̅̅)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬ ‫ونرسم‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستوي‬ ‫لتكن‬∢ 𝜽 𝟐 ∢ 𝜽 𝟏 ̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬)‫(معطى‬ AC AD)‫والمستوي‬ ‫المعلومة‬ ‫النقطة‬ ‫بٌن‬ ‫مسافة‬ ‫أقصر‬ ‫هو‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫(العمود‬ ‫على‬ ‫وبالقسمة‬AB )‫التراجح‬ ‫(خواص‬ 𝜽 𝟏 𝜽 𝟐 𝜽 𝟏 𝜽 𝟐 ∢ ∢ )‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬