تناقش الوثيقة مفهوم الأعداد المركبة وعملية كتابة الأعداد في صيغ مختلفة، مع أمثلة توضيحية حول التعبيرات الجبرية. تتضمن الوثيقة أيضًا شرحًا لعمليتي الجمع والطرح للأعداد المركبة وخصائصها، بالإضافة إلى بعض الأمثلة على الحلول. في ختام الوثيقة، يتم تقديم أمثلة متعددة عن استخدام الأعداد المركبة في سياقات جبرية مختلفة.

2. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
1
‫األول‬ ‫الفصل‬/‫المركبة‬ ‫األعداد‬
‫تعرٌف‬:
‫مالحظة‬
‫الجذ‬ ‫كتابة‬ ‫ٌمكننا‬‫بداللة‬ ‫سالب‬ ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬ ‫ألي‬ ‫ر‬𝒊‫ا‬‫ال‬‫فمث‬:
‫مثال‬1)/‫صورة‬ ‫أبسط‬ ً‫ف‬ ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫أكتب‬:𝒂 𝒊 𝟏𝟔
𝒃 𝒊 𝟓𝟖
𝒄 𝒊 𝟏𝟐𝒏+𝟗𝟑
𝒅 𝒊−𝟏𝟑

3. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
2
3 − 5i
‫مالحظة‬
‫مثال‬2/‫أكتب‬‫الصورة‬ ‫على‬ ‫التالٌة‬ ‫األعداد‬𝒂 + 𝒃𝒊
𝒅
𝟏 + −𝟐𝟓
𝟒
𝒄 − 𝟏 − −𝟑𝒃 −𝟏𝟎𝟎𝒂 − 𝟓
𝒅
𝟏 + −𝟐𝟓
𝟒
=
𝟏
𝟒
+
𝟐𝟓𝒊
𝟒
=
𝟏
𝟒
+
𝟓
𝟒
𝒊
‫مثال‬/‫التا‬ ‫األعداد‬ ‫أكتب‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫لٌة‬:
𝒂 𝒊 𝟏𝟔
= 𝒊 𝟒 𝟒
= 𝟏 𝟒
= 𝟏 = 𝟏 + 𝟎𝒊
𝒃 𝒊 𝟏𝟓
= 𝒊 𝟏𝟐
. 𝒊 𝟑
= 𝟏 . −𝐢 = −𝐢 = 𝟎 − 𝐢
𝒄 𝒊 −𝟐𝟑
=
𝟏
𝒊 𝟐𝟑
=
𝒊 𝟐𝟒
𝒊 𝟐𝟑
= 𝒊 = 𝟎 + 𝒊
𝒅 𝒊−𝟔
=
𝟏
𝒊 𝟔
=
𝒊 𝟖
𝒊 𝟔
= 𝒊 𝟐
= −𝟏 = −𝟏 + 𝟎𝐢
𝒆 𝒊−𝟒𝟒
=
𝟏
𝒊 𝟒𝟒
=
𝒊 𝟒𝟒
𝒊 𝟒𝟒
= 𝟏 = 𝟏 + 𝟎𝐢
𝒇 𝒊 −𝟏𝟑
=
𝟏
𝒊 𝟏𝟑
=
𝒊 𝟏𝟔
𝒊 𝟏𝟑
= 𝒊 𝟑
= −𝒊 = 𝟎 − 𝒊 𝒐𝒓 𝒊 −𝟏𝟑
= 𝒊 −𝟏𝟑
. 𝒊 𝟏𝟔
= 𝒊 𝟑
= −𝒊 = 𝟎 − 𝒊

4. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
3
/ ‫مثال‬ٌ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫أكتب‬‫أ‬ً‫ت‬‫بالصٌغة‬bi:
, , ,
‫مثال‬/‫ثم‬ ‫التالٌة‬ ‫المركبة‬ ‫لؤلعداد‬ ً‫التخٌل‬ ‫والجزء‬ ً‫الحقٌق‬ ‫الجزء‬ ‫عٌن‬‫الجبرٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫ضعها‬‫المركب‬ ‫للعدد‬.
‫ضع‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫ا‬‫ال‬‫ك‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرٌة‬ ‫أو‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬
‫التساوي‬ ‫خاصٌة‬
‫مثال‬(3)/‫من‬ ‫كل‬ ‫قٌمة‬ ‫جد‬x ,y‫تحقق‬ ً‫الت‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬:
𝒂 𝟐𝒙 − 𝟏 + 𝟐𝒊 = 𝟏 + 𝒚 + 𝟏 𝒊

5. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
4
𝒃 𝟑𝐱 + 𝟒𝒊 = 𝟐 + 𝟖𝒚𝒊
(c ) 𝟐𝒚 + 𝟏 – 𝟐𝒙 – 𝟏 𝒊 = −𝟖 + 𝟑𝒊
‫الجمع‬ ‫عملٌة‬‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬
‫مزع‬ ‫التخٌلٌزة‬ ‫واألجززاء‬ ‫بعضها‬ ‫مع‬ ‫الحقٌقٌة‬ ‫األجزاء‬ ‫نجمع‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫جمع‬ ‫عند‬‫عزدد‬ ‫أٌضزا‬ ‫زو‬ ‫والنزاته‬ ‫بعضزها‬
‫مركب‬ً‫ٌل‬ ‫وكما‬:
‫نفرض‬𝑪 𝟏 = 𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏 𝒊‫و‬𝑪 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒊: ‫فأن‬ ‫مركبان‬ ‫عددان‬
𝑪 𝟏 + 𝑪 𝟐 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟏 + 𝒃 𝟐 𝒊
‫الجمع‬ ‫خواص‬: ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬
‫مغلقة‬
‫أبدالٌة‬
‫تجمٌعٌة‬
ً‫الجمع‬ ‫النظٌر‬
‫المحاٌد‬ ‫العنصر‬
‫أبدالٌة‬ ‫زمرة‬
‫مثال‬(4)/ٌ‫العدد‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬‫ن‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬
𝒂 𝟑 + 𝟒 𝟐 𝒊 , 𝟓 − 𝟐 𝟐 𝒊
𝟑 + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟐 𝟐 = 𝟑 + 𝟓 + 𝟒 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝟖 + 𝟐 𝟐
𝟑 , 𝟐 − 𝟓
𝟑 + 𝟎 + 𝟐 − 𝟓 = 𝟑 + 𝟐 + 𝟎 − 𝟓 = 𝟓 − 𝟓
𝟏 − , 𝟑
𝟏 − + 𝟎 + 𝟑 = 𝟏 + 𝟎 + −𝟏 + 𝟑 = 𝟏 + 𝟐

6. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
5
‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫جمع‬ ‫ناته‬ ‫أوجد‬:
𝟏 = 𝟏 + 𝟓 , = 𝟑 + 𝟕 , = −𝟏 −
+ + = + 5 + 3 + 7 + − − = + 3 − + 5 + 7 − = 3 +
𝟐 𝟐 + −𝟐 , − 𝟓 + 𝟐
𝟐 + 𝟐 + −𝟓 + 𝟐 = 𝟐 − 𝟓 + 𝟐 + 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 𝟐
‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫طرح‬
‫كان‬ ‫أذا‬= + ‫و‬ = +‫فأن‬− = + −
‫مثال‬(5)/: ‫ناته‬ ‫جد‬
𝟕 − 𝟏𝟑 − 𝟗 + 𝟒
𝟕 − 𝟏𝟑 + −𝟗 − 𝟒
𝟕 − 𝟗 + −𝟏𝟑 − 𝟒 = −𝟐 − 𝟏𝟕
‫مثال‬(6)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 − 𝟒 + = −𝟓 +‫حٌث‬ℂ
= −𝟓 + − 𝟐 − 𝟒 = −𝟓 + + −𝟐 + 𝟒 = −𝟓 − 𝟐 + 𝟏 + 𝟒 = −𝟕 + 𝟓
‫مثال‬/‫كان‬ ‫أذا‬= 𝟏 + 𝟐 , = −𝟏 − 𝟕 , = −𝟏 − 𝟏𝟏
‫ما‬ ‫فأوجد‬ً‫ٌل‬−𝟐 − 𝟒 + 𝟑
−𝟐 − 𝟒 + 𝟑 = −𝟐 𝟏 + 𝟐 − 𝟒 −𝟏 − 𝟕 + 𝟑 −𝟏 − 𝟏𝟏
= −𝟐 − 𝟒 + 𝟒 + 𝟐𝟖 + −𝟑 − 𝟑𝟑
= −𝟐 + 𝟒 − 𝟑 + −𝟒 + 𝟐𝟖 − 𝟑𝟑 = −𝟏 − 𝟗
‫كان‬ ‫أذا‬= 𝟏 + 𝟐 , = −𝟏 − 𝟕 , = −𝟏 − 𝟏𝟏‫ف‬‫ما‬ ‫أوجد‬ً‫ٌل‬:
𝟐 + 𝟑 𝟑𝟑 + +− 𝟑 + 𝟐 − 𝟒 + 𝟐𝟐 + + 𝟑

7. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
6
‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملٌة‬
‫كان‬ ‫أذا‬= +،= +,k‫فأن‬
𝟏 . = + + = + + + 𝟐
= − + +
𝟐 . = + = +
‫الضرب‬ ‫عملٌة‬ ‫خواص‬‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬
(1)‫الضرب‬ ‫عملٌة‬‫مغلقة‬‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫دائما‬ ‫الناته‬ ‫أن‬ ‫أي‬
(2)‫الضرب‬ ‫عملٌة‬‫أبدالٌة‬‫أن‬ ‫أي‬𝟏 . 𝟐 = 𝟐 . 𝟏
(3)‫الضرب‬ ‫عملٌة‬‫تجمٌعٌة‬‫أن‬ ‫أي‬𝟏 . 𝟐 . 𝟑 = 𝟏 . 𝟐 . 𝟑
(4)ً‫الضرب‬ ‫المحاٌد‬( ‫و‬1‫وٌكتب‬ )𝟏 = 𝟏 + 𝟎
(5)ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬‫للعدد‬(c)‫و‬−𝟏
‫و‬‫أن‬ ‫ٌمكن‬‫ٌكتب‬‫بالصٌغة‬
𝟏
‫مثال‬(7)/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ناته‬ ‫جد‬:
𝟐 − 𝟑 𝟑 − 𝟓
𝟐 − 𝟑 𝟑 − 𝟓 = 𝟔 − 𝟏𝟎 − 𝟗 + 𝟏𝟓 𝟐
= 𝟔 − 𝟏𝟓 + −𝟏𝟎 − 𝟗 = −𝟗 − 𝟏𝟗
𝟑 + 𝟒 𝟐
𝟑 + 𝟒 𝟐
= 𝟗 + 𝟐𝟒 + 𝟏𝟔 𝟐
= 𝟗 − 𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 = −𝟕 + 𝟐𝟒
𝟏 +
𝟏 + = + 𝟐
= − 𝟏 = −𝟏 +
−𝟓
𝟐
𝟒 + 𝟑
−𝟓
𝟐
𝟒 + 𝟑 =
−𝟓
𝟐
𝟒 −
𝟓
𝟐
𝟑 = −𝟏𝟎 −
𝟏𝟓
𝟐
i
𝟏 + 𝟐
+ 𝟏 − 𝟐
𝟏 + 𝟐
+ 𝟏 − 𝟐
= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐
+ 𝟏 − 𝟐 + 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 = 𝟎
: ً‫ٌل‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ناته‬ ‫جد‬
𝟐 𝟏 + − 𝟑
𝟏 + 𝟐𝟏 𝟐 + −𝟑 𝟏 + 𝟐 −𝟑
𝟒 𝟐 + −𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 + −𝟖 𝟐 + 𝟐 −𝟐

8. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
7
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
‫كان‬ ‫أذا‬C‫له‬ ‫ٌرمز‬ ‫مرافقه‬ ‫فأن‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬̅‫كان‬ ‫أذا‬ ‫أي‬= +‫فأن‬̅ = −.
: ‫ا‬‫ال‬‫فمث‬𝟑 +‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫و‬𝟑 −‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬‫و‬−. ‫وبالعكس‬
𝟑 + 𝟐‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫و‬𝟑 − 𝟐‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬𝟑‫و‬𝟑.
‫مالحظة‬
‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 = +‫هو‬ ‫مرافقه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬𝟐 = −‫و‬‫فأن‬
𝟏 𝟏 + 𝟐 = 𝟐
𝟐 𝟏 + 𝟐 = 𝟐
𝟑 𝟏 𝟐 = 𝟐
+ 𝟐
ً‫والضرب‬ ً‫الجمع‬ ‫والنظٌر‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫المرافق‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدناه‬ ‫الجدول‬:
‫المركب‬ ‫العدد‬ً‫الجمع‬ ‫النظٌر‬ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬‫المرافق‬
+− −
𝟏
+
−
𝟑 − 𝟐−𝟑 + 𝟐
𝟏
𝟑 − 𝟐
𝟑 + 𝟐
−𝟒𝟒
𝟏
−𝟒
−𝟒
−𝟔𝟔
𝟏
−𝟔
𝟔
𝟑− 𝟑
=
𝟏
𝟑
𝟐− 𝟐
= 𝟏
𝟏
𝟐
= 𝟐
= −𝟏𝟐
= −𝟏
𝟏 , −𝟒−𝟏 , 𝟒
𝟏
𝟏 , −𝟒
𝟏 , 𝟒
‫مثال‬(8)/‫كان‬ ‫أذا‬𝟐 = 𝟑 − 𝟐 , 𝟏 = 𝟏 +‫فتحقق‬: ‫من‬
𝟏 𝟏 + 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏
̅̅̅ + 𝟐
̅̅̅
. 𝟏 + 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + + 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟒 −̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟒 +
. 𝟏
̅̅̅ + 𝟐
̅̅̅ = 𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅ + 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 − + 𝟑 + 𝟐 = 𝟒 + . = .
𝟐 𝟏 − 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏
̅̅̅ − 𝟐
̅̅̅
. 𝟏 − 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + − 𝟑 + 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = −𝟐 + 𝟑̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = −𝟐 − 𝟑
. 𝟏
̅̅̅ − 𝟐
̅̅̅ = 𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅ − 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 − − 𝟑 + 𝟐 = −𝟐 − 𝟑 . = .

9. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
8
𝟑 𝟏. 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏
̅̅̅ . 𝟐
̅̅̅
. 𝟏. 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + . 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟑 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟐 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟓 +̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟓 −
. 𝟏
̅̅̅ . 𝟐
̅̅̅ = 𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅ . 𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 − . 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐 − 𝟑 − 𝟐 𝟐
= 𝟓 −
𝟒 𝟏
̿̿̿ = 𝟏
𝟏
̿̿̿ = 𝟏 +̿̿̿̿̿̿̿ = 𝟏 −̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + = 𝟏
𝟓 (
𝟏
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅
=
𝟏
̅̅̅
𝟐
̅̅̅ 𝟐 𝟎
. (
𝟏
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅
= (
𝟏 +
𝟑 − 𝟐
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (
𝟏 +
𝟑 − 𝟐
𝟑 + 𝟐
𝟑 + 𝟐
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= .
𝟑 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟐 𝟐
𝟗 + 𝟒
/
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (
𝟏 + 𝟓
𝟏𝟑
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=
𝟏 − 𝟓
𝟏𝟑
.
𝟏
̅̅̅
𝟐
̅̅̅
=
𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅
𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=
𝟏 −
𝟑 + 𝟐
=
𝟏 −
𝟑 + 𝟐
𝟑 − 𝟐
𝟑 − 𝟐
=
𝟑 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟐 𝟐
𝟗 + 𝟒
=
𝟏 − 𝟓
𝟏𝟑
‫مالحظة‬
(1)‫ظهور‬ ‫عند‬‫وكسره‬ ‫البسط‬ ‫مقام‬ ‫نضرب‬ ‫المقام‬ ً‫ف‬‫الحل‬ ‫لتبسٌط‬ ‫المقام‬ ‫بمرافق‬.
(2)‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫وٌرمز‬ )ً‫الضرب‬ ‫(النظٌر‬ ‫بدل‬ )‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫(مقلوب‬ ‫التعبٌر‬ ‫أستخدام‬ ‫ٌمكن‬−𝟏
‫ٌساوي‬ ‫و‬ ‫و‬
𝟏
( ‫مثال‬9)/‫للعدد‬ ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬ ‫جد‬‫ال‬‫مركب‬= 𝟐 − 𝟐‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫وضعه‬
𝟏
=
𝟏
𝟐 − 𝟐
=
𝟏
𝟐 − 𝟐
𝟐 + 𝟐
𝟐 + 𝟐
=
𝟐 + 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐
=
𝟐 + 𝟐
𝟒 + 𝟒
=
𝟐 + 𝟐
𝟖
=
𝟐
𝟖
+
𝟐
𝟖
=
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟒
( ‫مثال‬10)/‫كان‬ ‫أذا‬
𝟑−𝟐−
𝟏+𝟓
,‫من‬ ‫كل‬ ‫قٌمة‬ ‫فجد‬ ‫مترافقان‬,.
−
𝟏+𝟓
= (
𝟑−𝟐
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ −
𝟏+𝟓
=
𝟑+𝟐
−
− − = 𝟑 + 𝟐 𝟏 + 𝟓
− + 𝟐
= 𝟑 + 𝟏𝟓 + 𝟐 + 𝟏𝟎 𝟐
− − = −𝟕 + 𝟏𝟕
‫أن‬ ‫نجد‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
− = −𝟕 = 𝟕 ‫الحقيقي‬
− = 𝟏𝟕 = −𝟏𝟕 ‫التخيلي‬

10. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
9
( ‫مثال‬11)/‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 = 𝟑 − 𝟐,𝟐 = 𝟏 +‫من‬ ‫فتحقق‬( 𝟏
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅
= 𝟏̅̅̅̅
𝟐̅̅̅̅
. (
𝟏
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅
= (
𝟑 − 𝟐
𝟏 +
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (
𝟑 − 𝟐
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= .
𝟑 − 𝟑 − 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (
𝟏 − 𝟓
𝟐
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=
𝟏 + 𝟓
𝟐
=
𝟏
𝟐
+
𝟓
𝟐
.
𝟏
̅̅̅
𝟐
̅̅̅̅
=
𝟑 − 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝟏 +̅̅̅̅̅̅̅
=
𝟑 + 𝟐
𝟏 −
=
𝟑 + 𝟐
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 +
=
𝟑 + 𝟑 + 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟏 + 𝟓
𝟐
=
𝟏
𝟐
+
𝟓
𝟐
‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫قسمة‬
ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫نضرب‬ ‫أخر‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫على‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫قسمة‬ ‫عند‬
𝟏
𝟐
= 𝟏
𝟐
𝟐̅̅̅̅
𝟐̅̅̅̅
( ‫مثال‬12)/‫بالصورة‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬+:
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 +
=
𝟏 + + + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟐
𝟐
= = 𝟎 +
𝟐 −
𝟑 + 𝟒
𝟐 −
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
𝟑 − 𝟒
=
𝟔 − 𝟖 − 𝟑 + 𝟒 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
=
𝟐 − 𝟏𝟏
𝟗 + 𝟏𝟔
=
𝟐 − 𝟏𝟏
𝟐𝟓
=
𝟐
𝟐𝟓
−
𝟏𝟏
𝟐𝟓
𝟏 + 𝟐
−𝟐 +
𝟏 + 𝟐
−𝟐 +
−𝟐 −
−𝟐 −
=
−𝟐 − − 𝟒 − 𝟐 𝟐
−𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟎 − 𝟓
𝟓
=
−𝟓
𝟓
= − = 𝟎 −
‫مالحظة‬
‫تحلٌل‬ ‫ٌمكن‬𝟐
+ 𝟐
‫الصورة‬ ‫من‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫مركبٌن‬ ‫عددٌن‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬+‫أي‬:
𝟐
+ 𝟐
= 𝟐
− 𝟐 𝟐
= − +
( ‫مثال‬13)/‫ح‬‫ا‬‫ال‬‫ك‬ ‫لل‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬‫الصورة‬ ‫من‬ ‫عاملٌن‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬+‫حٌث‬,‫نسبٌة‬ ‫أعداد‬.
𝟏𝟎 𝟓𝟑 𝟑𝟗
𝟏𝟎 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟗 − 𝟐
= 𝟑 − 𝟑 +
𝟓𝟑 = 𝟒𝟗 + 𝟒 = 𝟒𝟗 − 𝟒 𝟐
= 𝟕 − 𝟐 𝟕 + 𝟐
𝟑𝟗 = 𝟑𝟔 + 𝟑 = 𝟑𝟔 − 𝟑 𝟐
= 𝟔 − 𝟑 𝟔 + 𝟑

11. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
10
− ‫تمارين‬
‫س‬1/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫ا‬‫ال‬‫ك‬ ‫ضع‬:
𝟓
, 𝟔
, 𝟏𝟐𝟒
, 𝟗𝟗𝟗
, 𝟒 +𝟏
, 𝟐 + 𝟑 𝟐
+ 𝟏𝟐 + 𝟐 , 𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 ,
𝟏 + 𝟒
− 𝟏 − 𝟒
,
𝟏𝟐 +
,
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
,
𝟐 + 𝟑
, (
𝟑 +
𝟏 +
)
𝟑
,
𝟐 + 𝟑
𝟏 −
𝟏 + 𝟒
𝟒 +
,
𝟏 + 𝟑
+ 𝟏 − 𝟑
𝟓
= 𝟒
. = 𝟏 . = = 𝟎 +
𝟔
= 𝟒
. 𝟐
= 𝟏 −𝟏 = −𝟏 = −𝟏 + 𝟎
𝟏𝟐𝟒
= 𝟒 𝟑𝟏
= 𝟏 𝟑𝟏
= 𝟏 = 𝟏 + 𝟎
𝟗𝟗𝟗
= 𝟒 𝟐𝟒𝟗
. 𝟑
= 𝟏 𝟐𝟒𝟗
. 𝟐
. = 𝟏. −𝟏 . = − = 𝟎 −
𝟒 +𝟏
= 𝟒
. = 𝟒
. = 𝟏 = = 𝟎 +
𝟐 + 𝟑 𝟐
+ 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟏𝟐 + 𝟗 𝟐
+ 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟏𝟒
𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 = 𝟎 + 𝟔𝟎 + 𝟎 + 𝟏𝟖 𝟐
= −𝟏𝟖 + 𝟔𝟎
𝟏 + 𝟒
− 𝟏 − 𝟒
= 𝟏 + 𝟐 𝟐
− 𝟏 − 𝟐 𝟐
= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟐
− 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟐 𝟐
− −𝟐 𝟐
= 𝟒 𝟐
− 𝟒 𝟐
= 𝟎 = 𝟎 + 𝟎
𝟏𝟐 +
=
𝟏𝟐 + −
−
=
−𝟏𝟐 − 𝟐
− 𝟐
=
𝟏 − 𝟏𝟐
𝟏
= 𝟏 − 𝟏𝟐
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
=
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
𝟑 + 𝟒
𝟑 + 𝟒
=
𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟔 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
=
−𝟕 + 𝟐𝟒
𝟗 + 𝟏𝟔
=
−𝟕
𝟐𝟓
+
𝟐𝟒
𝟐𝟓
𝟐 + 𝟑
=
𝟐 + 𝟑
𝟐 − 𝟑
𝟐 − 𝟑
=
𝟐 − 𝟑 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟑 𝟐
=
𝟑 + 𝟐
𝟒 + 𝟗
=
𝟑 + 𝟐
𝟏𝟑
=
𝟑
𝟏𝟑
+
𝟐
𝟏𝟑
(
𝟑 +
𝟏 +
)
𝟑
= (
𝟑 +
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
)
𝟑
= .
𝟑 − 𝟑 + − 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/
𝟑
= (
𝟒 − 𝟐
𝟐
)
𝟑
= 𝟐 − 𝟑
= 𝟐 − 𝟐
𝟐 − = 𝟒 − 𝟒 + 𝟐
𝟐 − = 𝟑 − 𝟒 𝟐 − = 𝟔 − 𝟑 − 𝟖 + 𝟒 𝟐
= 𝟐 − 𝟏𝟏
𝟐 + 𝟑
𝟏 −
𝟏 + 𝟒
𝟒 +
=
𝟐 + 𝟖 + 𝟑 + 𝟏𝟐 𝟐
𝟒 + − 𝟒 − 𝟐
=
−𝟏𝟎 + 𝟏𝟏
𝟓 − 𝟑
=
−𝟏𝟎 + 𝟏𝟏
𝟓 − 𝟑
𝟓 + 𝟑
𝟓 + 𝟑
=
−𝟓𝟎 − 𝟑𝟎 + 𝟓𝟓 + 𝟑𝟑 𝟐
𝟓 𝟐 + 𝟑 𝟐
=
−𝟖𝟑 + 𝟐𝟓
𝟐𝟓 + 𝟗
=
−𝟖𝟑 + 𝟐𝟓
𝟑𝟒
=
−𝟖𝟑
𝟑𝟒
+
𝟐𝟓
𝟑𝟒
𝟏 + 𝟑
+ 𝟏 − 𝟑
= 𝟏 + 𝟐
𝟏 + + 𝟏 − 𝟐
𝟏 −
= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐
𝟏 + + 𝟏 − 𝟐 + 𝟐
𝟏 −
= 𝟐 + 𝟐 𝟐
− 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟒 𝟐
= −𝟒 = −𝟒 + 𝟎

12. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
11
‫س‬2/‫قٌمة‬ ‫جد‬‫من‬ ‫كل‬,: ‫األتٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫تحققان‬ ‫اللتٌن‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬
+ 𝟓 = 𝟐 + + 𝟐
+ 𝟓 = 𝟐 𝟐
+ 𝟒 + + 𝟐 𝟐
+ 𝟓 = 𝟐 𝟐
− 𝟐 + 𝟒 +
+ 𝟓 = 𝟐 𝟐
− 𝟐 + 𝟓 = 𝟐 𝟐
− 𝟐 ‫معادلة‬①
𝟓 = 𝟓 = 𝟏 ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
= 𝟐 𝟏 𝟐
− 𝟐 = 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 = 𝟎
𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 + 𝟏
𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 + 𝟒 𝟐
+ 𝟏 𝟖 = + 𝟐 + 𝟐 − 𝟑
𝟖 = − 𝟑 + 𝟐 + 𝟐
− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 =
𝟑
‫معادلة‬①
𝟐 + 𝟐 = 𝟖
𝟐
⇒ + = 𝟒 = 𝟒 − ② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
𝟒 − = 𝟑 𝟒 − 𝟐
= 𝟑 𝟐
− 𝟒 + 𝟑 = 𝟎 − 𝟑 − 𝟏 = 𝟎
− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬ = 𝟏
− 𝟏 = 𝟎 = 𝟏 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬ = 𝟑
(
𝟏 −
𝟏 +
) + + = 𝟏 + 𝟐 𝟐
+ = 𝟏 + 𝟐 𝟐
− (
𝟏 −
𝟏 +
) = 𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐
− (
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
) = −𝟑 + 𝟒 − .
𝟏 − − + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/
+ = −𝟑 + 𝟒 − (
−𝟐
𝟐
) = −𝟑 + 𝟒 + + = −𝟑 + 𝟓 = −𝟑 = 𝟓
𝟐 −
𝟏 +
+
𝟑 −
𝟐 +
=
𝟏
[
𝟐 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
] + [
𝟑 −
𝟐 +
𝟐 −
𝟐 −
] =
𝟒
0
𝟐 − 𝟐 − + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
1 + 0
𝟔 − 𝟑 − 𝟐 + 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
1 = 𝟑
[
𝟏 − 𝟑
𝟐
] + [
𝟓 − 𝟓
𝟓
] = −
( 𝟏𝟎 ‫بالعدد‬ ‫نضرب‬ )
⇒ 𝟓 𝟏 − 𝟑 + 𝟐 𝟓 − 𝟓 = −𝟏𝟎
𝟓 − 𝟏𝟓 + 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟎 − 𝟏𝟎
𝟓 + 𝟏𝟎 = 𝟎 ‫معادلة‬①
−𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 = −𝟏𝟎 ‫معادلة‬ ‫بالجمع‬ ‫أنيآ‬ ‫تحل‬
−𝟏𝟎 = −𝟏𝟎 = 𝟏 ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
𝟓 𝟏 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝟏𝟎 = −𝟓 =
−𝟓
𝟏𝟎
=
−𝟏
𝟐

13. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
12
‫س‬3/‫أن‬ ‫أثبت‬:
𝟏
𝟐 − 𝟐
−
𝟏
𝟐 + 𝟐
=
𝟖
𝟐𝟓
‫األولى‬ ‫الطريقة‬
𝟏
𝟐 − 𝟐
−
𝟏
𝟐 + 𝟐
= (
𝟏
𝟐 −
)
𝟐
− (
𝟏
𝟐 +
)
𝟐
(
𝟏
𝟐 −
𝟐 +
𝟐 +
)
𝟐
− (
𝟏
𝟐 +
𝟐 −
𝟐 −
)
𝟐
(
𝟐 +
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
)
𝟐
− (
𝟐 −
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
)
𝟐
(
𝟐 +
𝟓
)
𝟐
− (
𝟐 −
𝟓
)
𝟐
= .
𝟒 + 𝟒 + 𝟐
𝟐𝟓
/ − .
𝟒 − 𝟒 + 𝟐
𝟐𝟓
/ = (
𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓
) − (
𝟑 − 𝟒
𝟐𝟓
)
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓
=
𝟖
𝟐𝟓
‫الثانية‬ ‫الطريقة‬
𝟏
𝟐 − 𝟐
−
𝟏
𝟐 + 𝟐
=
𝟐 + 𝟐
− 𝟐 − 𝟐
𝟐 − 𝟐 𝟐 + 𝟐
=
𝟒 + 𝟒 + 𝟐
− 𝟒 − 𝟒 + 𝟐
𝟒 − 𝟒 + 𝟐 𝟒 + 𝟒 + 𝟐
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 − 𝟒
𝟑 − 𝟒 𝟑 + 𝟒
=
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
=
𝟖
𝟗 + 𝟏𝟔
=
𝟖
𝟐𝟓
‫الثالثة‬ ‫الطريقة‬
𝟏
𝟐 − 𝟐
−
𝟏
𝟐 + 𝟐
=
𝟏
𝟒 − 𝟒 + 𝟐
−
𝟏
𝟒 + 𝟒 + 𝟐
=
𝟏
𝟑 − 𝟒
−
𝟏
𝟑 + 𝟒
(
𝟏
𝟑 − 𝟒
𝟑 + 𝟒
𝟑 + 𝟒
) − (
𝟏
𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒
𝟑 − 𝟒
) = (
𝟑 + 𝟒
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
) − (
𝟑 − 𝟒
𝟑 𝟐 + 𝟒 𝟐
)
(
𝟑 + 𝟒
𝟗 + 𝟏𝟔
) − (
𝟑 − 𝟒
𝟗 + 𝟏𝟔
) = (
𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓
) − (
𝟑 − 𝟒
𝟐𝟓
) =
𝟑 + 𝟒 − 𝟑 + 𝟒
𝟐𝟓
=
𝟖
𝟐𝟓
‫وزاري‬2012/‫د‬3
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
= −𝟐
‫األولى‬ ‫الطريقة‬
𝟏 − 𝟑
+ 𝟏 + 𝟑
𝟏 + 𝟏 −
=
𝟏 − 𝟐
𝟏 − + 𝟏 + 𝟐
𝟏 +
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
𝟏 − 𝟐 + 𝟐
𝟏 − + 𝟏 + 𝟐 + 𝟐
𝟏 +
𝟏 + 𝟏
=
−𝟐 𝟏 − + 𝟐 𝟏 +
𝟐
−𝟐 + 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟐 𝟐
+ 𝟐 𝟐
𝟐
=
−𝟐 − 𝟐
𝟐
=
−𝟒
𝟐
= −𝟐

14. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
13
‫الثانية‬ ‫الطريقة‬
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
=
𝟏 − 𝟏 −
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟏 +
𝟏 −
(
𝟏 −
𝟏 +
) 𝟏 − + (
𝟏 +
𝟏 −
) 𝟏 + = (
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
) 𝟏 − + (
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 +
) 𝟏 +
.
𝟏 − − + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/ 𝟏 − + .
𝟏 + + + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/ 𝟏 + = (
−𝟐
𝟐
) 𝟏 − + (
𝟐
𝟐
) 𝟏 +
− 𝟏 − + 𝟏 + = − + 𝟐
+ + 𝟐
= 𝟐
+ 𝟐
= −𝟏 − 𝟏 = −𝟐
‫الثالثة‬ ‫الطريقة‬
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
=
𝟏 − 𝟐 + 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐 + 𝟐
𝟏 −
=
−𝟐
𝟏 +
+
𝟐
𝟏 −
)‫المقامات‬ ‫(توحٌد‬ ‫المضاعف‬ ‫توجد‬ ‫أو‬ ‫بالمرافق‬ ‫جزء‬ ‫كل‬ ‫تضرب‬ ‫أن‬ ‫تستطٌع‬ ‫نا‬ ‫الطالب‬ ‫عزٌزي‬ ‫الحظ‬
−𝟐 𝟏 − + 𝟐 𝟏 +
𝟏 + 𝟏 −
=
−𝟐 + 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟐 𝟐
+ 𝟐 𝟐
𝟏 + 𝟏
=
−𝟐 − 𝟐
𝟐
=
−𝟒
𝟐
= −𝟐
‫الرابعة‬ ‫الطريقة‬
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
+
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
= 0
𝟏 − 𝟐
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
1 + 0
𝟏 + 𝟐
𝟏 −
𝟏 +
𝟏 +
1
= 0
𝟏 − 𝟑
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
1 + 0
𝟏 + 𝟑
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
1 = 0
𝟏 − 𝟐
𝟏 −
𝟏 + 𝟏
1 + 0
𝟏 + 𝟐
𝟏 +
𝟏 + 𝟏
1
= 0
𝟏 − 𝟐 + 𝟐
𝟏 −
𝟐
1 + 0
𝟏 + 𝟐 + 𝟐
𝟏 +
𝟐
1 = 0
−𝟐 𝟏 −
𝟐
1 + 0
𝟐 𝟏 +
𝟐
1
= 0
−𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟐
1 + 0
𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟐
1 = [
−𝟐 − 𝟐
𝟐
] + [
−𝟐 + 𝟐
𝟐
] = −𝟏 − − 𝟏 + = −𝟐
𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
= 𝟒
𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
= 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ]
𝟏 − 𝟐 [𝟏 + ] = 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟐 + 𝟐 = 𝟒
‫س‬4/‫ا‬‫ال‬‫ز‬‫ز‬‫ك‬ ‫زل‬‫ز‬‫حل‬‫زداد‬‫ز‬‫األع‬ ‫زن‬‫ز‬‫م‬𝟐𝟗 , 𝟏𝟐𝟓 , 𝟒𝟏 , 𝟖𝟓‫زن‬‫ز‬‫م‬ ‫زاملٌن‬‫ز‬‫ع‬ ‫زرب‬‫ز‬‫ض‬ ‫زل‬‫ز‬‫حاص‬ ‫زى‬‫ز‬‫ال‬
‫الصورة‬+‫حٌث‬,‫نسبٌان‬ ‫عددان‬:
𝟐𝟗 = 𝟐𝟓 + 𝟒 = 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐
= 𝟓 − 𝟐 𝟓 + 𝟐
𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟐𝟏 + 𝟒 = 𝟏𝟐𝟏 − 𝟒 𝟐
= 𝟏𝟏 − 𝟐 𝟏𝟏 + 𝟐
𝟒𝟏 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 𝟐
= 𝟓 − 𝟒 𝟓 + 𝟒
𝟖𝟓 = 𝟖𝟏 + 𝟒 = 𝟖𝟏 − 𝟒 𝟐
= 𝟗 − 𝟐 𝟗 + 𝟐

15. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
14
‫س‬5/‫قٌمة‬ ‫جد‬,‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬
𝟔
+
,
𝟑+
𝟐−
‫مترافقان‬.
‫نغٌر‬‫إشارة‬ً‫التخٌل‬ ‫للعدد‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬
𝟑+
𝟐−
‫المعالة‬ ‫ونحل‬ ‫متساوٌان‬ ‫العددان‬ ‫ٌصبح‬ ً‫لك‬.
𝟔
+
=
𝟑 −
𝟐 +
𝟔 𝟐 + = + 𝟑 − + =
𝟔 𝟐 +
𝟑 −
+ =
𝟔 𝟐 +
𝟑 −
𝟑 +
𝟑 +
=
𝟔 𝟔 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟔 𝟓 + 𝟓
𝟗 + 𝟏
=
𝟑𝟎 + 𝟑𝟎
𝟏𝟎
+ = 𝟑 + 𝟑 = 𝟑 , = 𝟑
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافية‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫الجبرٌة‬ ‫أو‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫أكتب‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬
𝟏 𝟓 + 𝟑 𝟏 + + 𝟐 − 𝟐
𝟓 + 𝟓 + 𝟑 + 𝟑 𝟐
+ 𝟒 − 𝟒 + 𝟐
= 𝟐 + 𝟖 + 𝟑 − 𝟒 = 𝟓 + 𝟒
𝟐 .
𝟑 −
𝟏 + 𝟑
/
𝟗
.
𝟑 −
𝟏 + 𝟑
/
𝟗
= .
𝟑 −
𝟏 + 𝟑
𝟏 − 𝟑
𝟏 − 𝟑
/
𝟗
= (
𝟑 − 𝟑 − + 𝟑 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟑
𝟐
)
𝟗
= (
−𝟒
𝟒
)
𝟗
= − 𝟗
= − 𝟖
= − = 𝟎 −
𝟑 𝟏 − −𝟑
𝟐
+ 𝟐 − −𝟑
𝟐
𝟏 − 𝟑
𝟐
+ 𝟐 − 𝟑
𝟐
= 𝟏 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐
+ 𝟒 − 𝟒 𝟑 + 𝟑 𝟐
−𝟐 − 𝟐 𝟑 + 𝟏 − 𝟒 𝟑 = −𝟏 − 𝟔 𝟑
‫مثال‬/‫مركبٌن‬ ‫عددٌن‬ ‫جد‬‫مترافقٌن‬‫مجموعهما‬𝟔 =‫ضربهما‬ ‫وحاصل‬𝟏𝟎 =
‫أن‬ ‫نفرض‬‫هو‬ ‫العدد‬𝟏 = +‫هو‬ ‫مرافقه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬𝟐 = −
𝟏 + 𝟐 = 𝟐 𝟔 = 𝟐 = 𝟑
𝟏. 𝟐 = 𝟐
+ 𝟐
𝟏𝟎 = 𝟑 𝟐
+ 𝟐 𝟐
= 𝟏 = 𝟏
∴‫هما‬ ‫العددان‬𝟑 −‫و‬𝟑 +

16. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
15
‫مثال‬/‫أكتب‬‫العدد‬𝟑 + 𝟐 −𝟐 +‫الدٌكارتٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫له‬ ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬.
𝟑 + 𝟐 −𝟐 + = −𝟔 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟐 𝟐
= −𝟖 − ‫االجبرية‬ ‫الصيغة‬
𝟏
−𝟖 −
=
𝟏
−𝟖 −
−𝟖 +
−𝟖 +
=
−𝟖 +
−𝟖 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
−𝟖
𝟔𝟓
+
𝟏
𝟔𝟓
= (
−𝟖
𝟔𝟓
,
𝟏
𝟔𝟓
) ‫الديكارتية‬ ‫الصيغة‬
‫مثال‬/‫كان‬ ‫أذا‬= −𝟏 + 𝟐‫المعادلة‬ ‫قٌمة‬ ‫فأوجد‬𝟐
+ 𝟐 + 𝟓
𝟐
+ 𝟐 + 𝟓 = −𝟏 + 𝟐 𝟐
+ 𝟐 −𝟏 + 𝟐 + 𝟓
= 𝟏 − 𝟒 + 𝟒 𝟐
+ −𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = −𝟑 − 𝟒 − 𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = 𝟎 = 𝟎 + 𝟎
‫مثال‬/‫كان‬ ‫أذا‬ℂ‫و‬̅‫ٌحقق‬ ‫الذي‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جد‬ ‫له‬ ‫مرافق‬𝟐 + 𝟑=𝟑 + ̅
= + ̅ = −
𝟑 + + − = 𝟐 + 𝟑 𝟑 + 𝟑 + − = 𝟐 + 𝟑
𝟑 + = 𝟑 𝟒 = 𝟑 =
𝟑
𝟒
𝟑 − = 𝟐 𝟐 = 𝟐 = 𝟏
= + =
𝟑
𝟒
+
‫مثال‬/‫أذا‬‫كان‬=
𝟏𝟑−
𝟒+
,=
𝟕−
𝟐−
‫أن‬ ‫أثبت‬,‫مترافقان‬‫ثم‬‫ر‬ ‫المقدا‬ ‫أحسب‬𝟐
+ 𝟐 𝟐
.
‫الحقيقية‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ينتمي‬ ‫والضرب‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫ناتج‬ ‫أن‬ ‫نثبت‬
=
𝟏𝟑 −
𝟒 +
=
𝟏𝟑 −
𝟒 +
𝟒 −
𝟒 −
=
𝟓𝟐 − 𝟏𝟑 − 𝟒 + 𝟐
𝟒 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟓𝟏 − 𝟏𝟕
𝟏𝟕
=
𝟓𝟏
𝟏𝟕
−
𝟏𝟕
𝟏𝟕
= 𝟑 −
=
𝟕 −
𝟐 −
=
𝟕 −
𝟐 −
𝟐 +
𝟐 +
=
𝟏𝟒 + 𝟕 − 𝟐 − 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟏𝟓 + 𝟓
𝟓
= 𝟑 +
𝟑 + + 𝟑 − = 𝟔
𝟑 + 𝟑 − = 𝟑 𝟐
+ 𝟏 𝟐
= 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎
, ‫مترافقان‬
𝟐
+ 𝟐
= + = 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟔𝟎

17. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
16
‫مثال‬/‫بالصٌغة‬ ‫أكتب‬)‫(المرافق‬ ‫المنسب‬ ‫بالعامل‬ ‫الضرب‬ ‫بدون‬ ‫الجبرٌة‬ ‫أو‬ ‫العادٌة‬
𝟓
𝟏 − 𝟐
𝟓
𝟏 − 𝟐
=
𝟏 + 𝟒
𝟏 − 𝟐
=
𝟏 − 𝟒 𝟐
𝟏 − 𝟐
=
𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐
𝟏 − 𝟐
= 𝟏 + 𝟐
𝟓
𝟐 −
𝟓
𝟐 −
=
𝟒 + 𝟏
𝟐 −
=
𝟒 − 𝟐
𝟐 −
=
𝟐 − 𝟐 +
𝟐 −
= 𝟐 +
𝟏𝟑
𝟐 + 𝟑
𝟏𝟑
𝟐 + 𝟑
=
𝟒 + 𝟗
𝟐 + 𝟑
=
𝟒 − 𝟗 𝟐
𝟐 + 𝟑
=
𝟐 − 𝟑 𝟐 + 𝟑
𝟐 + 𝟑
= 𝟐 − 𝟑
𝟏𝟑
𝟑 + 𝟐
𝟏𝟑
𝟑 + 𝟐
=
𝟗 + 𝟒
𝟑 + 𝟐
=
𝟗 − 𝟒 𝟐
𝟑 + 𝟐
=
𝟑 − 𝟐 𝟑 + 𝟐
𝟑 + 𝟐
= 𝟑 − 𝟐
𝟏𝟎
𝟏 + 𝟐
𝟏𝟎
𝟏 + 𝟐
=
𝟐 𝟓
𝟏 + 𝟐
=
𝟐 𝟏 + 𝟒
𝟏 + 𝟐
=
𝟐 𝟏 − 𝟒 𝟐
𝟏 + 𝟐
=
𝟐 𝟏 − 𝟐 𝟏 + 𝟐
𝟏 + 𝟐
= 𝟐 𝟏 − 𝟐
𝟏𝟎
𝟏 + 𝟐
= 𝟐 − 𝟒
𝟏𝟎
𝟐 +
𝟏𝟎
𝟐 +
=
𝟐 𝟓
𝟐 +
=
𝟐 𝟒 + 𝟏
𝟐 +
=
𝟐 𝟒 − 𝟐
𝟐 +
=
𝟐 𝟐 − 𝟐 +
𝟐 +
= 𝟐 𝟐 − = 𝟒 − 𝟐
‫مثال‬/‫مركبٌن‬ ‫لعددٌن‬ ‫عاملٌن‬ ‫الى‬ ‫حلل‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬
𝟏 𝟐
+ 𝟒 𝟐
+ 𝟒 = 𝟐
− 𝟒 𝟐
= − 𝟐 + 𝟐
𝟐 𝟐
+ 𝟐𝟓 𝟐 𝟐
+ 𝟐𝟓 𝟐
= 𝟐
− 𝟐𝟓 𝟐 𝟐
= − 𝟓 + 𝟓
𝟑 𝟑
− 𝟔𝟒 𝟑
− 𝟔𝟒 = 𝟑
+ 𝟔𝟒 𝟑
= + 𝟒 𝟐
− 𝟒 − 𝟏𝟔
𝟒 𝟑
+
𝟏
𝟐𝟕
𝟑
+
𝟏
𝟐𝟕
= 𝟑
−
𝟏
𝟐𝟕
𝟑
= ( −
𝟏
𝟑
) ( 𝟐
+
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟗
𝟐
)
𝟑
+
𝟏
𝟐𝟕
= ( −
𝟏
𝟑
) ( 𝟐
+
𝟏
𝟑
−
𝟏
𝟗
)
𝟓 𝟐
− + 𝟏𝟐 𝟐
− + 𝟏𝟐 = 𝟐
− − 𝟏𝟐 𝟐
= − 𝟒 + 𝟑
𝟔 𝟐
+ 𝟕 − 𝟏𝟎 𝟐
+ 𝟕 + 𝟏𝟎 𝟐
= + 𝟓 + 𝟐
𝟕 − 𝟐 𝟐
+ 𝟒 − 𝟐 𝟐
+ 𝟒 = − 𝟐 𝟐
− 𝟒 𝟐
= − 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 + 𝟐

18. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
17
‫مثال‬/‫قٌمة‬ ‫أوجد‬,‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ً‫والت‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬
𝟑 + 𝟐 𝟐
= + 𝟑 𝟐
𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟒 𝟐
= 𝟐
+ 𝟔 + 𝟗 𝟐
𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟒 = 𝟐
+ 𝟔 − 𝟗
𝟗 − 𝟒 = 𝟐
− 𝟗 𝟓 = 𝟐
− 𝟗 =
𝟐
− 𝟗
𝟓
‫معادلة‬
𝟏𝟐 = 𝟔 𝟐 = ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
=
𝟐
− 𝟗
𝟓
=
𝟐 𝟐
− 𝟗
𝟓
=
𝟒 𝟐
− 𝟗
𝟓
𝟓 = 𝟒 𝟐
− 𝟗 𝟒 𝟐
− 𝟓 − 𝟗 = 𝟎
𝟒 𝟐
− 𝟓 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 − 𝟗 + 𝟏 = 𝟎
𝟒 − 𝟗 = 𝟎 𝟒 = 𝟗 =
𝟗
𝟒
= 𝟐 = 𝟐 (
𝟗
𝟒
) =
𝟗
𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 = −𝟏 = 𝟐 = 𝟐 −𝟏 = −𝟐
+ 𝟓 = 𝟐 + +
+ 𝟓 = 𝟐 + + + 𝟓 = 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + + 𝟐
+ 𝟓 = 𝟐 𝟐
+ 𝟑 − 𝟏
= 𝟐 𝟐
− 𝟏 ‫معادلة‬
𝟓 = 𝟑 =
𝟓
𝟑
‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
= 𝟐 (
𝟓
𝟑
)
𝟐
− 𝟏 = 𝟐 (
𝟐𝟓
𝟗
) − 𝟏 =
𝟓𝟎
𝟗
− 𝟏 =
𝟓𝟎 − 𝟗
𝟗
=
𝟒𝟏
𝟗
+ 𝟐 − = 𝟖 +
+ =
𝟖 +
𝟐 −
=
𝟖 +
𝟐 −
𝟐 +
𝟐 +
=
𝟏𝟔 + 𝟖 + 𝟐 + 𝟐
𝟐 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟏𝟓 + 𝟏𝟎
𝟓
= 𝟑 + 𝟐
+ = 𝟑 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟐
+ + = 𝟏
+ =
𝟏
+
=
𝟏
+
−
−
=
−
𝟐 + 𝟐
+ =
−
𝟐 + 𝟐
= 𝟐 + 𝟐
=
−
𝟐 + 𝟐

19. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
18
+ + − = 𝟏𝟑 −
𝟐
+ + 𝟐
− = 𝟏𝟑 − 𝟐
+ 𝟐
+ − = 𝟏𝟑 −
𝟐
+ 𝟐
= 𝟏𝟑 ‫معادلة‬
− = −𝟏 = + 𝟏 ‫معادلة‬ ① ‫معادلة‬②‫في‬ ‫نعوض‬
𝟐
+ + 𝟏 𝟐
= 𝟏𝟑 𝟐
+ 𝟐
+ 𝟐 + 𝟏 = 𝟏𝟑
𝟐 𝟐
+ 𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟎
(𝟐 ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫نقسم‬ )
⇒ 𝟐
+ − 𝟔 = + 𝟑 − 𝟐 = 𝟎
+ 𝟑 = 𝟎 = −𝟑 = + 𝟏 = −𝟑 + 𝟏 = −𝟐
− 𝟐 = 𝟎 = 𝟐 = + 𝟏 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑
𝟐 + − + =
𝟗 𝟐
+ 𝟒𝟗
𝟑 + 𝟕
−𝟐 + 𝟐 − 𝟐
+ 𝟐
=
𝟗 𝟐
− 𝟒𝟗 𝟐
𝟑 + 𝟕
−𝟑 + 𝟐 − 𝟐
=
𝟑 − 𝟕 𝟑 + 𝟕
𝟑 + 𝟕
−𝟑 + 𝟐 − 𝟐
= 𝟑 − 𝟕
−𝟑 = 𝟑 − = ‫معادلة‬
𝟐 − 𝟐
= −𝟕 𝟐 + 𝟕 = 𝟐 𝟐
= 𝟗 = 𝟑 ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
= − = − 𝟑 = 𝟑
‫س‬1/‫حلل‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬‫مركبٌن‬ ‫لعددٌن‬ ‫عاملٌن‬ ‫الى‬:
𝟒 𝟑
+
𝟏
𝟏𝟐𝟓
𝟏 𝟐
+ 𝟗
𝟓 𝟐
− + 𝟔𝟐 𝟐
+ 𝟏𝟔 𝟐
𝟔 𝟐
+ 𝟕 − 𝟏𝟐𝟑 𝟑
− 𝟖
𝟖 𝟑
− 𝟐 𝟐
+ 𝟗𝟕 − 𝟏 𝟐
+ 𝟒

20. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
19
‫س‬2/‫قٌمة‬ ‫أوجد‬,‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ً‫والت‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬
+ 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟒
+ 𝟐
𝟏 + 𝟑
= 𝟏
+ −𝟏
=
𝟏 + 𝟑
𝟏 − 𝟑
𝟏
𝟏 +
=
+ 𝟐
𝟏 + 𝟑
+ = 𝟓 + 𝟐 −𝟐
‫س‬3/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ً‫ٌل‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬:
𝟓 + 𝟐 −𝟐
𝟑 + 𝟒 −𝟏
𝟏 + 𝟐 −𝟐
𝟑 + 𝟒 𝟐
******************************************************************
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬
‫كان‬ ‫أذا‬𝟐
=‫فأن‬=‫د‬ ‫للعد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ً ‫و‬‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫أما‬𝟐
= 𝟒‫فأن‬= 𝟐‫زو‬
‫التالٌة‬ ‫األمثلة‬ ‫الحظ‬ ‫طرٌقتان‬ ‫توجد‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫وألٌجاد‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬.
( ‫مثال‬14)/‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬= 𝟖 + 𝟔
‫الطرٌقة‬①/‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬(c)‫و‬+
+ 𝟐
= 𝟖 + 𝟔 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟖 + 𝟔 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟖 + 𝟔
𝟐
− 𝟐
= 𝟖 ‫معادلة‬①
𝟐 = 𝟔 = 𝟑 =
𝟑
‫معادلة‬② ① ‫معادلة‬②‫في‬ ‫نعوض‬
𝟐
−
𝟗
𝟐
= 𝟖
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒
− 𝟗 = 𝟖 𝟐 𝟒
− 𝟖 𝟐
− 𝟗 = 𝟎 𝟐
− 𝟗 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
𝟐
= 𝟗 = 𝟑 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬
=
𝟑
=
𝟑
𝟑
= 𝟏
𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 𝟐
= −𝟏 ‫يهمل‬
𝟑 + , − 𝟑 − ‫هما‬ ‫الجذران‬
‫الطرٌقة‬②/‫نجزئ‬‫عدد‬ ‫الى‬ ً‫الحقٌق‬ ‫الجزء‬‫ٌن‬
𝟖 + 𝟔 = 𝟗 + 𝟔 − 𝟏 = 𝟗 + 𝟔 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟐
‫بالجذر‬
⇒ = 𝟑 +
𝟑 + , − 𝟑 − ‫هما‬ ‫الجذران‬

21. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
20
‫مالحظة‬
‫لعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫أٌجاد‬ ‫عند‬‫مركب‬‫على‬ ‫ٌحتوي‬‫زو‬ ‫الجزذر‬ ‫نفرض‬+‫كمزا‬ ‫الحزل‬ ‫ونكمزل‬ ‫نربعزه‬ ‫ثزم‬
ً‫التال‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬.
( ‫مثال‬51)/‫لؤلعداد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬:𝟖 , − , −𝟏𝟕, −𝟐𝟓
𝟖
‫الطرٌقة‬①/‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬𝟖‫و‬+
𝟖 = + 𝟐
𝟖 = 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟖 = 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐
𝟐
− 𝟐
= 𝟎 ‫معادلة‬①
𝟐 = 𝟖 = 𝟒 =
𝟒
‫معادلة‬② ① ‫معادلة‬②‫في‬ ‫نعوض‬
𝟐
−
𝟏𝟔
𝟐
= 𝟎
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
− 𝟒 𝟐
+ 𝟒 = 𝟎
𝟐
− 𝟒 = 𝟎 𝟐
= 𝟒 = 𝟐 ② ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬
=
𝟒
=
𝟒
𝟐
= 𝟐
𝟐
+ 𝟒 = 𝟎 𝟐
= −𝟒 ‫تهمل‬
𝟐 + 𝟐 , −𝟐 − 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬
‫الطريقة‬②/
𝟖 = 𝟒 + 𝟖 − 𝟒 = 𝟒 + 𝟖 + 𝟒 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟐
‫بالجذر‬
⇒ 𝟐 + 𝟐
𝟐 + 𝟐 , −𝟐 − 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬
−
‫الطرٌقة‬①/‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬−‫و‬+
− = + 𝟐
− = 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
− = 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐
𝟐
− 𝟐
= 𝟎 ‫معادلة‬①
𝟐 = −𝟏 =
−𝟏
𝟐
=
−𝟏
𝟐
‫معادلة‬② ① ‫معادلة‬②‫في‬ ‫نعوض‬
𝟐
−
𝟏
𝟒 𝟐
= 𝟎
(𝟒 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒 𝟒
− 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
− 𝟏 𝟐 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
𝟐 𝟐
− 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
= 𝟏 𝟐
=
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟐
② ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬
=
−𝟏
𝟐
=
−𝟏
𝟐 (
𝟏
𝟐
)
=
−𝟏
𝟐 𝟐 (
𝟏
𝟐
)
=
𝟏
𝟐

22. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
21
𝟐 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
= −𝟏 𝟐
=
−𝟏
𝟐
‫تهمل‬
−𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
‫هما‬ ‫الجذران‬
‫الطريقة‬②/
− = √
𝟏
𝟐
− −
𝟏
𝟐
= √
𝟏
𝟐
− +
𝟏
𝟐
𝟐
= √(
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
)
𝟐
= (
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
)
−𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
‫هما‬ ‫الجذران‬
− 𝟏𝟕
𝟐
= −𝟏𝟕 = −𝟏𝟕 = 𝟏𝟕 −𝟏 = 𝟏𝟕 𝟐 = 𝟏𝟕
− 𝟐𝟓
𝟐
= −𝟐𝟓 = −𝟐𝟓 = 𝟐𝟓 −𝟏 = 𝟐𝟓 𝟐 = 𝟓
ً‫ف‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ
‫ال‬ ‫تربٌعٌة‬ ‫معادلة‬ ‫كل‬ٌ‫م‬‫الدستور‬ ‫بطرٌقة‬ ‫تحل‬ ً‫فه‬ ‫التجربة‬ ‫بطرٌقة‬ ‫حلها‬ ‫كن‬‫ا‬‫ال‬‫مث‬𝟐
+ + = 𝟎
‫حٌث‬𝟎‫و‬, ,‫فزأن‬=
− 𝟐−𝟒
𝟐
‫ونالح‬‫ـزـ‬‫أن‬ ‫ظ‬‫ــــزـ‬‫مق‬ ‫كزان‬ ‫أذا‬ ‫ه‬‫ــزـ‬ٌ‫المم‬ ‫دار‬‫ـزـ‬‫ز‬
𝟐
− 𝟒‫ا‬‫ا‬‫سالب‬‫المركبزة‬ ‫األعزداد‬ ‫مجموعزة‬ ‫الزى‬ ً‫تنتمز‬ ‫بالمعادلزة‬ ‫الخاصة‬ ‫الحلول‬ ‫مجموعة‬ ‫فأن‬‫نوعزان‬ ‫وٌوجزد‬
‫التربٌعٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ‫من‬.
‫الممٌز‬ / ‫األول‬ ‫النوع‬‫ٌحتو‬ ‫ال‬‫ي‬‫على‬
( ‫مثال‬16)/‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐
+ 𝟒 + 𝟓 = 𝟎‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ ً‫ف‬.
‫فأن‬ ‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫حسب‬= , = 4 , = 5
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟒 𝟏𝟔 − 𝟒 𝟏 𝟓
𝟐 𝟏
=
−𝟒 𝟏𝟔 − 𝟐𝟎
𝟐
=
−𝟒 −𝟒
𝟐
=
−𝟒 𝟒 −𝟏
𝟐
=
−𝟒 𝟒 𝟐
𝟐
=
−𝟒 𝟐
𝟐
= −𝟐
{−𝟐 + , −𝟐 − } ‫هي‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬

23. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
22
‫مالحظة‬
‫أن‬ ‫نعلم‬ ‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬‫جذري‬‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬𝟐
+ + = 𝟎ً‫الت‬ً ‫الحقٌقٌة‬ ‫معامالتها‬
𝟏 =
− + 𝟐 − 𝟒
𝟐
, 𝟐 =
− − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟏 + 𝟐 =
− + 𝟐 − 𝟒
𝟐
+
− − 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− + 𝟐 − 𝟒 − − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟏 + 𝟐 =
−𝟐
𝟐 𝟏 + 𝟐 =
−
(‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬
𝟏. 𝟐 =
− + 𝟐 − 𝟒
𝟐
− − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟏. 𝟐 =
𝟐
+ 𝟐 − 𝟒 − 𝟐 − 𝟒 − 𝟐 − 𝟒
𝟐
𝟒 𝟐
=
𝟐
− 𝟐
+ 𝟒
𝟒 𝟐
=
𝟒
𝟒 𝟐
=
𝟏. 𝟐 = (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ )
‫وٌمكن‬‫االستفادة‬ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫أعاله‬ ‫الخاصٌة‬ ‫من‬:
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎 𝟐
− + = 𝟎
( ‫مثال‬71)/‫ال‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬ً‫ت‬‫ا‬ ‫جذرا‬𝟐 + 𝟐
−𝟐 − 𝟐 + 𝟐 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟐 + −𝟐 + 𝟐 = 𝟎 + 𝟎 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
−𝟐 − 𝟐 . 𝟐 + 𝟐 = −𝟒 − 𝟒 − 𝟒 − 𝟒 𝟐
= −𝟒 − 𝟖 + 𝟒 = −𝟖 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟎 + −𝟖 = 𝟎 𝟐
− 𝟖 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫مالحظة‬
ً‫ز‬‫ز‬‫الت‬ ‫زة‬‫ز‬ٌ‫التربٌع‬ ‫زة‬‫ز‬‫المعادل‬ً‫ز‬‫ز‬‫والت‬ ‫زة‬‫ز‬ٌ‫حقٌق‬ ‫زا‬‫ز‬‫معامالته‬‫زذرا‬‫ز‬‫ج‬ ‫زد‬‫ز‬‫أح‬‫ا‬+‫زث‬‫ز‬ٌ‫ح‬𝟎‫زو‬‫ز‬ ‫زر‬‫ز‬‫األخ‬ ‫زذر‬‫ز‬‫الج‬ ‫زأن‬‫ز‬‫ف‬
−. ‫صحٌح‬ ‫والعكس‬
( ‫مثال‬81)/ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬‫وأحد‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫معامالتها‬‫جذر‬ٌ‫ها‬𝟑 − 𝟒
∵‫و‬ ‫حقيقية‬ ‫المعادلة‬ ‫معامالت‬‫هو‬ ‫الجذرين‬ ‫أحد‬𝟑 − 𝟒
∴‫ويساوي‬ ‫المرافق‬ ‫هو‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬𝟑 + 𝟒
𝟑 − 𝟒 + 𝟑 + 𝟒 = 𝟑 + 𝟑 + −𝟒 + 𝟒 = 𝟔 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟑 − 𝟒 . 𝟑 + 𝟒 = 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟔 𝟐
= 𝟗 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟔 + 𝟐𝟓 = 𝟎 𝟐
− 𝟔 + 𝟐𝟓 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬

24. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
23
− 2 ‫تمارين‬
‫س‬1/‫؟‬ ‫مترافقان‬ ‫ا‬ ‫جذرا‬ ‫ٌكون‬ ‫منها‬ ‫أي‬ ‫وبٌن‬ ‫األتٌة‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
𝟐
= −𝟏𝟐
𝟐
= 𝟏𝟐 𝟐
= 𝟏𝟐 𝟐 = 𝟐 𝟑 (‫مترافقان‬ ‫جذراها‬ )
𝟐
− 𝟑 + 𝟑 + = 𝟎
= 𝟏 = −𝟑 = 𝟑 + ‫بالدستور‬ ‫تحل‬
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− −𝟑 𝟗 − 𝟒 𝟏 𝟑 +
𝟐 𝟏
=
𝟑 𝟗 − 𝟏𝟐 − 𝟒
𝟐
=
𝟑 −𝟑 − 𝟒
𝟐
‫معادلة‬①
‫الجذر‬ ‫مقدار‬ ‫نحسب‬ ‫األن‬−𝟑 − 𝟒‫نعوضه‬ ‫ثم‬‫المعادلة‬ ً‫ف‬①
+ = −𝟑 − 𝟒
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
⇒ + 𝟐
= −𝟑 − 𝟒 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = −𝟑 − 𝟒
𝟐
− 𝟐
= −𝟑 ‫معادلة‬②
𝟐 = −𝟒 =
−𝟒
𝟐
=
−𝟐
‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫معادلة‬③ ‫نعوض‬
𝟐
− (
−𝟐
)
𝟐
= −𝟑 𝟐
−
𝟒
𝟐
= −𝟑 ( 𝟐
‫)نضرب‬
𝟒
− 𝟒 = −𝟑 𝟐 𝟒
+ 𝟑 𝟐
− 𝟒 = 𝟎 𝟐
+ 𝟒 𝟐
− 𝟏 = 𝟎
𝟐
+ 𝟒 = 𝟎 𝟐
= −𝟒 (‫)يهمل‬
𝟐
− 𝟏 = 𝟎 𝟐
= 𝟏 = 𝟏 ‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫نعوض‬
=
−𝟐
=
−𝟐
𝟏
= 𝟐
𝟏 − 𝟐 , −𝟏 + 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬①
=
𝟑 − 𝟏 + 𝟐
𝟐
=
𝟐 + 𝟐
𝟐
= 𝟏 +
=
𝟑 + 𝟏 − 𝟐
𝟐
=
𝟒 − 𝟐
𝟐
= 𝟐 −
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟏 + , 𝟐 − }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬

25. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
24
𝟐 𝟐
− 𝟓 + 𝟏𝟑 = 𝟎
= 𝟐 = −𝟓 = 𝟏𝟑 ‫بالدستور‬ ‫تحل‬
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− −𝟓 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 𝟏𝟑
𝟐 𝟐
=
𝟓 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎𝟒
𝟒
=
𝟓 −𝟕𝟗
𝟒
=
𝟓 𝟕𝟗 𝟐
𝟒
=
𝟓 𝟕𝟗
𝟒
=
𝟓
𝟒
𝟕𝟗
𝟒
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬,
𝟓
𝟒
+
𝟕𝟗
𝟒
,
𝟓
𝟒
−
𝟕𝟗
𝟒
-‫مترافقان‬ ‫والجذران‬
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 − = 𝟎
= 𝟏 = 𝟐 = 𝟐 − = 𝟐 − 𝟐
= 𝟏 + 𝟐 ‫بالدستور‬ ‫تحل‬
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟏 + 𝟐
𝟐 𝟏
=
−𝟐 𝟒 − 𝟒 − 𝟖
𝟐
=
−𝟐 −𝟖
𝟐
‫معادلة‬①
‫الجذر‬ ‫مقدار‬ ‫نحسب‬ ‫األن‬−𝟖‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضه‬ ‫ثم‬①
+ = −𝟖
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
⇒ + 𝟐
= −𝟖 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟎 − 𝟖
𝟐
− 𝟐
= 𝟎 ‫معادلة‬②
𝟐 = −𝟖 =
−𝟖
𝟐
=
−𝟒
‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫معادلة‬③ ‫نعوض‬
(
−𝟒
)
𝟐
− 𝟐
= 𝟎
𝟏𝟔
𝟐
− 𝟐
= 𝟎 (− 𝟐
‫)نضرب‬
𝟒
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
− 𝟒 𝟐
+ 𝟒 = 𝟎
𝟐
− 𝟒 = 𝟎 𝟐
= 𝟒 = 𝟐 ‫معادلة‬③ ‫في‬ ‫نعوض‬
=
−𝟒
=
−𝟒
𝟐
= 𝟐
𝟐 − 𝟐 , −𝟐 + 𝟐 ‫هما‬ ‫الجذران‬‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬①
=
−𝟐 + 𝟐 − 𝟐
𝟐
=
−𝟐
𝟐
= −
=
−𝟐 − 𝟐 + 𝟐
𝟐
=
−𝟒 + 𝟐
𝟐
= −𝟐 +
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , − 𝟐 + }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬

26. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
25
‫الفرع‬ ‫حل‬ ‫ٌمكن‬(d)‫بطرٌقة‬ ‫السابق‬‫قانون‬ ‫بواسطة‬ ‫أخرى‬‫الحل‬ ‫الحظ‬ ‫التجربة‬
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 − = 𝟎
+ + 𝟐 − = 𝟎
= − = −𝟐 +
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , − 𝟐 + }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬
𝟒 𝟐
+ 𝟐𝟓 = 𝟎
𝟒 𝟐
= −𝟐𝟓 𝟐
=
−𝟐𝟓
𝟒
𝟐
=
𝟐𝟓 𝟐
𝟒
= √
𝟐𝟓 𝟐
𝟒
=
𝟓
𝟐
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬,−
𝟓
𝟐
,
𝟓
𝟐
-‫مترافقان‬ ‫والجذران‬
𝟐
− 𝟐 + 𝟑 = 𝟎
𝟐
− 𝟐 − 𝟑 𝟐
= 𝟎 − 𝟑 + = 𝟎
− 𝟑 = 𝟎 = 𝟑 + = 𝟎 = −
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , 𝟑 }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬
𝟐
− 𝟐 + 𝟑 = 𝟎 (‫أخر‬ ‫حل‬ )
= 𝟏 = −𝟐 = 𝟑 ‫بالدستور‬ ‫تحل‬
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− −𝟐 −𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟑
𝟐 𝟏
=
𝟐 −𝟏𝟔
𝟐
=
𝟐 𝟒
𝟐
= 𝟐
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− , 𝟑 }‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫والجذران‬
‫س‬2/‫كون‬‫ا‬ ‫جذرا‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬,: ‫حٌث‬
= 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 −
𝟏 + 𝟐 + 𝟏 − = 𝟏 + 𝟏 + 𝟐 − 𝟏 = 𝟐 + ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟏 + 𝟐 . 𝟏 − = 𝟏 − + 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟑 + ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟐 + + 𝟑 + = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬

27. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
26
=
𝟑 −
𝟏 +
= 𝟑 − 𝟐 𝟐
=
𝟑 −
𝟏 +
=
𝟑 −
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
=
𝟑 − 𝟑 − + 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟐 − 𝟒
𝟐
= 𝟏 − 𝟐
= 𝟑 − 𝟐 𝟐
= 𝟗 − 𝟏𝟐 + 𝟒 𝟐
= 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐
𝟏 − 𝟐 + 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟏 + 𝟓 + −𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟔 − 𝟏𝟒 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟏 − 𝟐 . 𝟓 − 𝟏𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 + 𝟐𝟒 𝟐
= −𝟏𝟗 − 𝟐𝟐 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟔 − 𝟏𝟒 + −𝟏𝟗 − 𝟐𝟐 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫س‬3/‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬‫لؤلعداد‬‫األتٌة‬ ‫المركبة‬:
− 𝟔
+ = 𝟔
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
⇒ + 𝟐
= −𝟔 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= −𝟔
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = −𝟔
𝟐
− 𝟐
= 𝟎 ‫معادلة‬①
𝟐 = −𝟔 =
−𝟔
𝟐
=
−𝟑
‫معادلة‬② ① ‫في‬ ‫معادلة‬ ‫نعوض‬
𝟐
− (
−𝟑
)
𝟐
= 𝟎 𝟐
−
𝟗
𝟐
= 𝟎
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒
− 𝟗 = 𝟎
𝟒
− 𝟗 = 𝟎 𝟐
− 𝟑 𝟐
+ 𝟑 = 𝟎
𝟐
− 𝟑 = 𝟎 𝟐
= 𝟑 = 𝟑 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
=
−𝟑
=
−𝟑
𝟑
= 𝟑
𝟐
+ 𝟑 = 𝟎 𝟐
= −𝟑 (‫تهمل‬ )
− 𝟑 + 𝟑 , 𝟑 − 𝟑 ‫هما‬ ‫الجذران‬

28. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
27
𝟕 + 𝟐𝟒
+ = 𝟕 + 𝟐𝟒
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
⇒ + 𝟐
= 𝟕 + 𝟐𝟒
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟕 + 𝟐𝟒 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟕 + 𝟐𝟒
𝟐
− 𝟐
= 𝟕 ‫معادلة‬①
𝟐 = 𝟐𝟒 =
𝟐𝟒
𝟐
=
𝟏𝟐
‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
𝟐
− (
𝟏𝟐
)
𝟐
= 𝟕 𝟐
−
𝟏𝟒𝟒
𝟐
= 𝟕
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟒
− 𝟏𝟒𝟒 = 𝟕 𝟐
𝟒
− 𝟕 𝟐
− 𝟏𝟒𝟒 = 𝟎 𝟐
− 𝟏𝟔 𝟐
+ 𝟗 = 𝟎
𝟐
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
= 𝟏𝟔 = 𝟒 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬
=
𝟏𝟐
=
𝟏𝟐
𝟒
= 𝟑
𝟐
+ 𝟗 = 𝟎 𝟐
= −𝟗 (‫تهمل‬ )
𝟒 + 𝟑 , −𝟒 − 𝟑 ‫هما‬ ‫الجذران‬
𝟒
𝟏 − 𝟑
‫الصٌغة‬ ‫الى‬ ‫تحوٌلة‬ ‫ٌجب‬+‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫الضرب‬ ‫طرٌق‬ ‫عن‬
𝟒
𝟏 − 𝟑
=
𝟒
𝟏 − 𝟑
𝟏 + 𝟑
𝟏 + 𝟑
=
𝟒 𝟏 + 𝟑
𝟏 𝟐 + 𝟑
𝟐
=
𝟒 𝟏 + 𝟑
𝟏 + 𝟑
=
𝟒 𝟏 + 𝟑
𝟒
= 𝟏 + 𝟑
‫الطرٌقة‬①/
+ = √ 𝟏 + 𝟑
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
⇒ + 𝟐
= 𝟏 + 𝟑
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= 𝟏 + 𝟑 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟏 + 𝟑
𝟐
− 𝟐
= 𝟏 ‫معادلة‬①
𝟐 = 𝟑 =
𝟑
𝟐
‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
.
𝟑
𝟐
/
𝟐
− 𝟐
= 𝟏
𝟑
𝟒 𝟐
− 𝟐
= 𝟏
( 𝟒 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟑 − 𝟒 𝟒
= 𝟒 𝟐
𝟒 𝟒
+ 𝟒 𝟐
− 𝟑 = 𝟎 𝟐 𝟐
+ 𝟑 𝟐 𝟐
− 𝟏 = 𝟎
𝟐 𝟐
− 𝟏 = 𝟎 𝟐 𝟐
= 𝟏 𝟐
=
𝟏
𝟐
=
𝟏
𝟐
‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬
=
𝟑
𝟐
=
𝟑
𝟐 (
𝟏
𝟐
)
=
𝟑
𝟐 𝟐 (
𝟏
𝟐
)
=
𝟑
𝟐
𝟐 𝟐
+ 𝟑 = 𝟎 𝟐 𝟐
= −𝟑 (‫تهمل‬ )
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
, −
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
‫هما‬ ‫الجذران‬

29. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
28
‫الطرٌقة‬②/
√ 𝟏 + 𝟑 = √
𝟑
𝟐
+ 𝟑 −
𝟏
𝟐
= √
𝟑
𝟐
+ 𝟑 +
𝟏
𝟐
𝟐
= √.
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
/
𝟐
= .
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
/
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
, −
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
‫هما‬ ‫الجذران‬
‫س‬4/‫ذات‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬‫و‬ ‫جذرٌها‬ ‫وأحد‬ ‫الحقٌقٌة‬ ‫المعامالت‬:
‫و‬ ‫و‬ ‫المرافق‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬ ‫لذا‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬ ‫المعامالت‬−
+ − = 𝟎 + 𝟎 + 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 + 𝟎 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
. − = − 𝟐
= − −𝟏 = 𝟏 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟎 + 𝟏 = 𝟎 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
𝟓 −
‫و‬ ‫و‬ ‫المرافق‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬ ‫لذا‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬ ‫المعامالت‬𝟓 +
𝟓 − + 𝟓 + = 𝟓 + 𝟓 + −𝟏 + 𝟏 = 𝟏𝟎 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟓 − . 𝟓 + = 𝟐𝟓 − 𝟓 + 𝟓 − 𝟐
= 𝟐𝟓 + 𝟏 = 𝟐𝟔 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟏𝟎 + 𝟐𝟔 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
𝟐 + 𝟑
𝟒
‫و‬ ‫و‬ ‫المرافق‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬ ‫لذا‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬ ‫المعامالت‬(
𝟐
𝟒
−
𝟑
𝟒
)
.
𝟐
𝟒
+
𝟑
𝟒
/ + .
𝟐
𝟒
−
𝟑
𝟒
/ = .
𝟐
𝟒
+
𝟐
𝟒
/ + (
𝟑
𝟒
−
𝟑
𝟒
) =
𝟐 𝟐
𝟒
=
𝟐
𝟐
‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
.
𝟐
𝟒
+
𝟑
𝟒
/ . .
𝟐
𝟒
−
𝟑
𝟒
/ = .
𝟐
𝟒
/
𝟐
+ (
𝟑
𝟒
)
𝟐
=
𝟐
𝟏𝟔
+
𝟗
𝟏𝟔
=
𝟏𝟏
𝟏𝟔
‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− .
𝟐
𝟐
/ + (
𝟏𝟏
𝟏𝟔
) = 𝟎 𝟐
−
𝟏
𝟐
+
𝟏𝟏
𝟏𝟔
= 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬

30. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
29
‫س‬5/‫كان‬ ‫أذا‬𝟑 +‫ج‬ ‫أحزد‬ ‫و‬‫ــــزـ‬‫المعادلزة‬ ‫ذري‬𝟐
− + 𝟓 + 𝟓 = 𝟎‫قٌمزة‬ ‫فمزا‬‫ومزا‬ ‫؟‬
‫األخر؟‬ ‫الجذر‬ ‫قٌمة‬‫وزاري‬2011/‫د‬1
‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬
𝟑 + + = ‫معادلة‬① (‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬
𝟑 + . = 𝟓 + 𝟓 (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ )
=
𝟓 + 𝟓
𝟑 +
=
𝟓 + 𝟓
𝟑 +
𝟑 −
𝟑 −
=
𝟏𝟓 − 𝟓 + 𝟏𝟓 − 𝟓 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟐𝟎 + 𝟏𝟎
𝟏𝟎
= 𝟐 + (‫األخر‬ ‫)الجذر‬
= 𝟐 + ( ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫)نعوض‬
𝟑 + + = 𝟑 + + 𝟐 + = = 𝟓 + 𝟐
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافية‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫أوجد‬‫المركب‬−𝟓𝟓 − 𝟒𝟖‫أس‬ ‫ثم‬‫ــــ‬‫التربٌعٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫الناته‬ ‫تخدم‬
‫التالٌة‬𝟐
+ 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟏 + = 𝟎
‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬−𝟓𝟓 − 𝟒𝟖‫و‬+
+ = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
⇒ + 𝟐
= −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
𝟐
− 𝟐
= −𝟓𝟓 ‫معادلة‬①
𝟐 = −𝟒𝟖 =
−𝟒𝟖
𝟐
=
−𝟐𝟒
‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
𝟓𝟕𝟔
𝟐
− 𝟐
= −𝟓𝟓
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟓𝟕𝟔 − 𝟒
= −𝟓𝟓 𝟐 𝟒
− 𝟓𝟓 𝟐
− 𝟓𝟕𝟔 = 𝟎
𝟐
− 𝟔𝟒 𝟐
+ 𝟗 = 𝟎
𝟐
= 𝟔𝟒 = 𝟖 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوض‬
=
−𝟐𝟒
=
−𝟐𝟒
𝟖
= 𝟑
𝟐
+ 𝟗 = 𝟎 𝟐
= −𝟗 ‫يهمل‬
𝟑 − 𝟖 , − 𝟑 + 𝟖 ‫هما‬ ‫الجذران‬
‫المعادلة‬ ‫نحل‬ ‫األن‬𝟐
+ 𝟏 + 𝟐 + 𝟏𝟑 𝟏 + = 𝟎‫حٌث‬ ‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫بأستخدام‬
= 𝟏 , = 𝟏 + 𝟐 , = 𝟏𝟑 𝟏 +
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟏𝟑 + 𝟏𝟑
𝟐 𝟏
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 + 𝟒 𝟐 − 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐
𝟐 𝟏
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 + 𝟓𝟐
𝟐

31. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
30
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 − 𝟓𝟐
𝟐
=
− 𝟏 + 𝟐 −𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
𝟐
‫ا‬ ‫الجذور‬ ‫نعوض‬ ‫األن‬‫للعدد‬ ‫سابقا‬ ‫بحسابها‬ ‫قمنا‬ ً‫لت‬−𝟓𝟓 − 𝟒𝟖
=
− 𝟏 + 𝟐 𝟑 − 𝟖
𝟐
𝟏 =
−𝟏 − 𝟐 − 𝟑 − 𝟖
𝟐
=
−𝟏 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟖
𝟐
=
−𝟒 + 𝟔
𝟐 𝟏 = −𝟐 + 𝟑
𝟐 =
−𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟖
𝟐
=
−𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟖
𝟐
=
𝟐 − 𝟏𝟎
𝟐 𝟐 = 𝟏 − 𝟓
ً ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{−𝟐 + 𝟑 , 𝟏 − 𝟓 }
‫مثال‬‫ا‬ ‫جذر‬ ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬ /𝟑 −,
𝟏𝟎
𝟑−
𝟏 = 𝟑 − , 𝟐 =
𝟏𝟎
𝟑 −
=
𝟏𝟎
𝟑 −
𝟑 +
𝟑 +
=
𝟏𝟎 𝟑 +
𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟐
=
𝟏𝟎 𝟑 +
𝟏𝟎 𝟐 = 𝟑 +
𝟑 − + 𝟑 + = 𝟑 + 𝟑 + −𝟏 + 𝟏 = 𝟔 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟑 − . 𝟑 + = 𝟗 + 𝟑 − 𝟑 − 𝟐
= 𝟗 + 𝟏 = 𝟏𝟎 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟔 + 𝟏𝟎 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
‫مثال‬/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬−𝟖
𝟑
= −𝟖 𝟑
+ 𝟖 = 𝟎 𝟑
− 𝟖 𝟐
= 𝟎 𝟑
− 𝟖 𝟑
= 𝟎
𝟑
− 𝟖 𝟑
= − 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + 𝟒 𝟐
= − 𝟐 𝟐
+ 𝟐 − 𝟒 = 𝟎
− 𝟐 = 𝟎 𝟏 = 𝟐
𝟐
+ 𝟐 − 𝟒 = 𝟎
(‫بالدستور‬ )
⇒ = 𝟏 = 𝟐 = −𝟒
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟏 −𝟒
𝟐 𝟏
=
−𝟐 −𝟒 + 𝟏𝟔
𝟐
=
−𝟐 𝟏𝟐
𝟐
=
−𝟐 𝟐 𝟑
𝟐
= − 𝟑
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟐 , − + 𝟑 , − − 𝟑}

32. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
31
‫مثال‬/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬𝟖
𝟑
= 𝟖 𝟑
− 𝟖 = 𝟎 𝟑
− 𝟖 = − 𝟐 𝟐
+ 𝟐 + 𝟒 = 𝟎
− 𝟐 = 𝟎 = 𝟐
𝟐
+ 𝟐 + 𝟒 = 𝟎
(‫بالدستور‬ )
⇒ = 𝟏 = 𝟐 = 𝟒
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟒 − 𝟒 𝟏 𝟒
𝟐 𝟏
=
−𝟐 𝟒 − 𝟏𝟔
𝟐
=
−𝟐 −𝟏𝟐
𝟐
=
−𝟐 𝟏𝟐 𝟐
𝟐
=
−𝟐 𝟐 𝟑
𝟐
= −𝟏 𝟑
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟐 , −𝟏 + 𝟑 , −𝟏 − 𝟑 }
‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫أوجد‬𝟐
− 𝟐 − 𝟐 = 𝟎
𝟐
− 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 ( ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
−
𝟐
−
𝟐
= 𝟎 𝟐
−
𝟐 𝟒
− 𝟐 = 𝟎 𝟐
− 𝟐 𝟑
− 𝟐 = 𝟎
𝟐
+ 𝟐 − 𝟐 = 𝟎
(‫بالدستور‬ ‫تحل‬ )
⇒ = 𝟏 = 𝟐 = −𝟐
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 −𝟐
𝟐 𝟏
=
−𝟐 −𝟒 + 𝟖
𝟐
=
−𝟐 𝟒
𝟐
=
−𝟐 𝟐
𝟐
= − 𝟏
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{− + 𝟏 , − − 𝟏}
‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ‫أوجد‬𝟐
− 𝟒 + 𝟒 = 𝟎
𝟐
− 𝟒 + 𝟒 = 𝟎
(‫بالدستور‬ ‫تحل‬ )
⇒ = 𝟏 = −𝟒 = 𝟒
=
− 𝟐 − 𝟒
𝟐
=
− −𝟒 −𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟒
𝟐 𝟏
=
𝟒 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟏𝟔
𝟐
=
𝟒 𝟏𝟔 𝟐 − 𝟏
𝟐
=
𝟒 𝟏𝟔 − 𝟐
𝟐
=
𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟒 𝟒
𝟐
= 𝟐 𝟐
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{𝟐 + 𝟐 , 𝟐 − 𝟐 }

33. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
32
‫مثال‬/‫من‬ ‫كل‬ ‫قٌمة‬ ‫أوجد‬x , y‫التالٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬+ 𝟐
−
𝟖−𝟖
𝟏+
+ 𝟏𝟓 = 𝟎
+ 𝟐
−
𝟖 − 𝟖
𝟏 +
+ 𝟏𝟓 = 𝟎 𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
=
𝟖 − 𝟖
𝟏 +
− 𝟏𝟓
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = (
𝟖 − 𝟖
𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
) − 𝟏𝟓
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = .
𝟖 − 𝟖 − 𝟖 + 𝟖 𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐
/ − 𝟏𝟓
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = (
−𝟏𝟔
𝟐
) − 𝟏𝟓 𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = −𝟖 − 𝟏𝟓
𝟐
− 𝟐
= −𝟏𝟓 ‫معادلة‬①
𝟐 = −𝟖 =
−𝟖
𝟐
=
−𝟒
‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
(
−𝟒
)
𝟐
− 𝟐
= −𝟏𝟓
𝟏𝟔
𝟐
− 𝟐
= −𝟏𝟓
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟏𝟔 − 𝟒
= −𝟏𝟓 𝟐
𝟒
− 𝟏𝟓 𝟐
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
− 𝟏𝟔 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
𝟐
− 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟐
= 𝟏𝟔 = 𝟒 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوضها‬
=
−𝟒
=
−𝟒
𝟒
= 𝟏
𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 𝟐
= −𝟏 ‫تهمل‬
‫مثال‬/‫من‬ ‫كل‬ ‫قٌمة‬ ‫أوجد‬x , y‫التالٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬+ 𝟐
=
𝟑𝟔−𝟐
𝟑+𝟐
+ 𝟐
=
𝟑𝟔 − 𝟐
𝟑 + 𝟐
𝟐
+ 𝟐 + 𝟐 𝟐
= (
𝟑𝟔 − 𝟐
𝟑 + 𝟐
𝟑 − 𝟐
𝟑 − 𝟐
)
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = .
𝟏𝟎𝟖 − 𝟕𝟐 − 𝟔 + 𝟒 𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟐 𝟐
/ = (
𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟖
𝟗 + 𝟒
) = (
𝟏𝟎𝟒 − 𝟕𝟖
𝟏𝟑
)
𝟐
− 𝟐
+ 𝟐 = 𝟖 − 𝟔 𝟐
− 𝟐
= 𝟖 ‫معادلة‬①
𝟐 = −𝟔 =
−𝟔
𝟐
=
−𝟑
‫معادلة‬② ‫معادلة‬① ‫في‬ ‫نعوض‬
(
−𝟑
)
𝟐
− 𝟐
= 𝟖
𝟗
𝟐
− 𝟐
= 𝟖
( 𝟐 ‫)نضرب‬
⇒ 𝟗 − 𝟒
= 𝟖 𝟐
𝟒
+ 𝟖 𝟐
− 𝟗 = 𝟎 𝟐
+ 𝟗 𝟐
− 𝟏 = 𝟎
𝟐
− 𝟏 = 𝟎 𝟐
= 𝟏 = 𝟏 ‫معادلة‬② ‫في‬ ‫نعوضها‬
=
−𝟑
=
−𝟑
𝟏
= 𝟑
𝟐
+ 𝟗 = 𝟎 𝟐
= −𝟗 ‫تهمل‬

34. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
33
‫مثال‬/ً‫الت‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬‫ا‬ ‫جذرا‬ ‫وأحد‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫معامالتها‬𝟐 −
𝟐
𝟐 −
𝟐
= 𝟐
𝟐
− 𝟐 𝟐 + 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟏 = 𝟏 − 𝟐 𝟐 ‫األول‬ ‫الجذر‬
‫المرافق‬ ‫و‬ ‫األخر‬ ‫الجذر‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫معامالت‬𝟏 + 𝟐 𝟐
𝟏 − 𝟐 𝟐 + 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 + −𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟐 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
𝟏 − 𝟐 𝟐 . 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐 − 𝟐 𝟐
𝟐
= 𝟏 + 𝟖 = 𝟗 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
𝟐
− (‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ) + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ) = 𝟎
𝟐
− 𝟐 + 𝟗 = 𝟎 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
******************************************************************
‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬‫لؤلعداد‬‫التالٌة‬−𝟔𝟒 , 𝟔𝟒 , 𝟏𝟐𝟓 , −𝟐𝟕‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬ ‫ثم‬𝟔𝟒
‫ال‬ ‫التمثٌل‬‫هندس‬‫لؤل‬ ً‫عد‬‫ا‬‫المركب‬ ‫د‬‫ة‬
‫المركب‬ ‫العدد‬+‫بالنقطة‬ ‫ا‬‫ا‬ٌ‫ندس‬ ‫تمثٌله‬ ‫ٌمكن‬,‫المحور‬ ‫ٌسمى‬ ‫حٌث‬−‫بالمحور‬
‫المحور‬ ‫أما‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ً‫الحقٌق‬ ‫الجزء‬ ‫ٌمثل‬ ‫و‬ ‫و‬ ً‫الحقٌق‬−‫ٌمثل‬ ‫و‬ ‫و‬ ً‫التخٌل‬ ‫المحور‬ ‫فٌسمى‬
‫وتسمى‬ ‫ا‬‫ا‬ٌ‫ندس‬ ‫ا‬‫ال‬ٌ‫تمث‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬ ‫تجري‬ ً‫الت‬ ‫العملٌات‬ ‫بعض‬ ‫تمثٌل‬ ‫وٌمكن‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ً‫التخٌل‬ ‫الجزء‬
. ‫المركب‬ ‫بالمستوي‬ ‫ٌحتوٌها‬ ‫الذي‬ ‫المستوي‬ ‫وٌسمى‬ ‫أرجاند‬ ‫بأشكال‬ ‫الناتجة‬ ‫األشكال‬

35. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
34
‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 = 𝟏 + 𝟏,𝟐 = 𝟐 + 𝟐‫بالنقطتٌن‬ ‫ممثالن‬ ‫مركبان‬ ‫عددان‬𝟏 𝟏 , 𝟏
𝟐 𝟐 , 𝟐: ‫فأن‬
𝟏 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟏 + 𝟐
‫تمثٌل‬ ‫وٌمكن‬𝟏 + 𝟐‫بالنقطة‬𝟑 𝟏 + 𝟐 , 𝟏 + 𝟐‫بالمتجهات‬ ‫المتعلقة‬ ‫المعلومات‬ ‫بأستخدام‬ ‫وذلك‬
: ‫بالشكل‬ ‫موضح‬ ‫وكما‬
: ‫أن‬ ‫أي‬𝟏
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝟐
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝟑
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
( ‫مثال‬19): ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ً‫ف‬ ‫ا‬‫ا‬ٌ‫ندس‬ ‫األتٌة‬ ‫العملٌات‬ ‫مثل‬ /
𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐
𝟏 = 𝟑 + 𝟒 𝟏 𝟑, 𝟒
𝟐 = 𝟓 + 𝟐 𝟐 𝟓, 𝟐
𝟏 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐
𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟖 + 𝟔 𝟑 𝟖, 𝟔
𝟔 − 𝟐 − 𝟐 − 𝟓
𝟏 = 𝟔 − 𝟐 𝟏 𝟔, −𝟐
𝟐 = 𝟐 − 𝟓 𝟐 −𝟐, 𝟓
𝟏 + − 𝟐 = 𝟔 − 𝟐 + −𝟐 + 𝟓
𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟒 + 𝟑
𝟑 = 𝟒 + 𝟑 𝟑 𝟒, 𝟑

36. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
35
− 3 ‫تمارين‬
‫س‬1/. ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعٌة‬ ‫ا‬ ‫ونظائر‬ ‫االعداد‬ ‫ذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫األتٌة‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ً‫الجمع‬ ‫النظٌر‬ ‫أكتب‬
𝟏 = 𝟐 + 𝟑 , 𝟐 = −𝟏 + 𝟑 , 𝟑 = 𝟏 − , 𝟒 =
ً‫البٌان‬ ‫تمثٌله‬ً‫الجمع‬ ‫نظٌره‬‫العدد‬
− 𝟏 = −𝟐 − 𝟑
− 𝟏 = −𝟐 , − 𝟑
𝟏 = 𝟐 + 𝟑
𝟏 = 𝟐 , 𝟑
− 𝟐 = 𝟏 − 𝟑
− 𝟐 = 𝟏 , − 𝟑
𝟐 = −𝟏 + 𝟑
𝟐 = −𝟏 , 𝟑
− 𝟑 = −𝟏 +
− 𝟑 = −𝟏 , 𝟏
𝟑 = 𝟏 −
𝟑 = 𝟏 , −𝟏
− 𝟒 = −
− 𝟒 = 𝟎 , −𝟏
𝟒 =
𝟒 = 𝟎 , 𝟏

37. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
36
‫س‬2/‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫األعداد‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالٌة‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬
𝟏 = 𝟓 + 𝟑 , 𝟐 = −𝟑 + 𝟐 , 𝟑 = 𝟏 − , 𝟒 = −𝟐
ً‫البٌان‬ ‫تمثٌله‬‫العدد‬ ‫مرافق‬‫العدد‬
̅ 𝟏 = 𝟓 − 𝟑
𝟏
̅ 𝟏 = 𝟓 , − 𝟑
𝟏 = 𝟓 + 𝟑
𝟏 𝟏 = 𝟓 , 𝟑
̅ 𝟐 = −𝟑 − 𝟐
𝟐
̅ 𝟐 = −𝟑 , − 𝟐
𝟐 = −𝟑 + 𝟐
𝟐 𝟐 = −𝟑 , 𝟐
̅ 𝟑 = 𝟏 +
𝟑
̅ 𝟑 = 𝟏 , 𝟏
𝟑 = 𝟏 −
𝟑 𝟑 = 𝟏 , −𝟏
̅ 𝟒 = 𝟐
𝟒
̅ 𝟒 = 𝟎 , 𝟐
𝟒 = −𝟐
𝟒 = 𝟎 , −𝟐

38. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
37
‫س‬3/‫كان‬ ‫أذا‬= 𝟒 + 𝟐‫من‬ ‫كآل‬ ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬, , −
= 4 + 2 = 4 , 2
= 4 − 2 = 4 , −2
− = −4 − 2 − = −4 , −2
‫س‬4/‫كان‬ ‫أذا‬𝟐 = 𝟏 + 𝟐 , 𝟏 = 𝟒 − 𝟐‫من‬ ‫كآل‬ ‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬:
−𝟑 𝟐 , 𝟐 𝟏 , 𝟏 − 𝟐 , 𝟏 + 𝟐
−3 = −3 + 2 = −3 − 6 −3 = −3 , −6
2 = 2 4 − 2 = 8 − 4 2 = 8 , −4
− = 4 − 2 − + 2 = 4 − + −2 − 2 = 3 − 4
− = = 3 − 4 = 3, −4
+ = 4 − 2 + + 2 = 4 + + −2 + 2 = 5 + i
+ = = 5 + i = 5,

39. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
38
‫القطبٌة‬ ‫الصورة‬𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓 𝑭𝒐𝒓𝒎‫المركب‬ ‫للعدد‬
‫ارا‬‫كان‬= + = ,‫فان‬= =‫و‬= =‫حٍث‬‫أن‬
‫انجسء‬ً‫انحقٍق‬‫نهعذد‬‫انمركب‬‫انجسء‬ً‫انتخٍه‬‫نهعذد‬‫انمركب‬( )‫مقٍاش‬‫انعذد‬‫انمركب‬‫وهو‬‫ع‬‫ذد‬
ً‫حقٍق‬‫غٍر‬‫سانب‬‫وٌسمى‬‫وٌرمس‬‫نه‬‫بانرمس‬‖ ‖‫و‬‫تسمى‬(𝜃)‫سعة‬‫انعذد‬‫انمركب‬‫وتكتب‬
=‫حٍث‬[ 𝟎 , 𝟐‫أن‬ ‫انقول‬ ‫وٌمكه‬= ‖ ‖ +
‫ٌكتب‬ ‫أو‬= +
= ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐
= = ‖ ‖
= = ‖ ‖
( ‫مثال‬02)/‫كان‬ ‫اذا‬= 𝟏 + 𝟑‫لسعة‬ ‫األساسٌة‬ ‫والقٌمة‬ ‫المقٌاس‬ ‫فجد‬.
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟑 = 𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟏
𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟑
𝟐
=
𝟑
‫األول‬ ‫الربع‬
=
𝟑
( ‫مثال‬12)/‫كان‬ ‫اذا‬= −𝟏 −‫للعدد‬ ‫األساسٌة‬ ‫والقٌمة‬ ‫المقٌاس‬ ‫فجد‬.
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐
= =
‖ ‖
=
−𝟏
𝟐
= =
‖ ‖
=
−𝟏
𝟐
=
𝟒
‫الثالث‬ ‫الربع‬
= +
𝟒
=
𝟓
𝟒

40. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
39
( ‫مثال‬22)/: ‫القطبٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫التالٌة‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫عبر‬
‫وزاري‬2012/‫د‬2
𝟐 𝟑 − 𝟐
= 𝟐 𝟑 − 𝟐
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟒
= 𝟏𝟔 = 𝟒
= =
‖ ‖
=
𝟐 𝟑
𝟒
=
𝟑
𝟐
= =
‖ ‖
=
−𝟐
𝟒
=
−𝟏
𝟐
= = 𝟐 −
𝟔
=
𝟏𝟏
𝟔
= 𝟒 (
𝟏𝟏
𝟔
+
𝟏𝟏
𝟔
)
‫وزاري‬2013/‫د‬1
− 𝟐 + 𝟐
= −𝟐 + 𝟐
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒 + 𝟒
= 𝟖 = 𝟐 𝟐
= =
‖ ‖
=
−𝟐
𝟐 𝟐
=
−𝟏
𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟐
𝟐 𝟐
=
𝟏
𝟐
= = −
𝟒
=
𝟑
𝟒
= 𝟐 𝟐 (
𝟑
𝟒
+
𝟑
𝟒
)
( ‫مثال‬32)/‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫عبر‬: ‫القطبٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫التالٌة‬
𝟏 − 𝟏 −
𝟏 = 𝟏 + 𝟎 = 𝟏 𝟎 + 𝟎
− 𝟏 = −𝟏 + 𝟎 = 𝟏 +
= 𝟎 + = 𝟏 (
𝟐
+
𝟐
)
− = 𝟎 − = 𝟏 (
𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
)
‫مالحظة‬
( ‫المثال‬ ‫خالل‬ ‫من‬23‫تطبٌقها‬ ‫ٌمكن‬ ‫طرٌقة‬ ‫نستنته‬ ‫السابق‬ ): ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫على‬
𝟑 = 𝟑 𝟏 = 𝟑 𝟏 + 𝟎 = 𝟑 𝟎 + 𝟎
𝟓 = 𝟓 𝟎 + = 𝟓 (
𝟐
+
𝟐
)
−𝟐 = 𝟐 −𝟏 = 𝟐 −𝟏 + 𝟎 = 𝟐 +
−𝟕 = 𝟕 − = 𝟕 𝟎 − = 𝟕 (
𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
)

41. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
40
‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬𝑫𝒆 𝑴𝒐𝒊𝒗𝒓𝒆′
𝒔 𝑻𝒉𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎
= + = + ‫فأن‬ , ‫لكل‬
= − = − ‫فأن‬ , − ‫لكل‬
=
(
𝟏
)
( (
+ 𝟐
) + (
+ 𝟐
)) = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, , − 𝟏
( ‫مثال‬42)/‫أحسب‬(
𝟑
𝟖
+
𝟑
𝟖
)
𝟒
(
𝟑
𝟖
+
𝟑
𝟖
)
𝟒
= (
𝟏𝟐
𝟖
+
𝟏𝟐
𝟖
) = (
𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
) = 𝟎 −
( ‫مثال‬52)/− = − ‫فأن‬ , ‫لكل‬ ‫بين‬
‫األيسر‬ ‫الطرف‬ = − = + − = [ + − ]
= [ − + − ] = − ‫وبجعل‬
= [ + ] = +
= − + − = − =
‫مالحظة‬
ً‫ف‬ ‫مهمة‬ ‫التالٌة‬ ‫القوانٌن‬‫عملٌات‬: ‫التبسٌط‬
+ = +
− = −
+ = −
− = +
( ‫مثال‬62)‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫أحسب‬ /𝟏 + 𝟏𝟏
.‫وزاري‬3201/‫د‬2‫وزاري‬2015/‫د‬1

42. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
41
= + = = ‖ ‖ = + = + = 2
𝜃 = =
‖ ‖
=
2
𝜃 = =
2
=
4
= + = 𝜃 + i i 𝜃 = 2 ( (
4
) + i i (
4
))
= 2 ( (
4
) + i i (
4
)) = 2 2 ( (
8 + 3
4
) + i i (
8 + 3
4
))
= 2 2 ( (2 +
3
4
) + i i (2 +
3
4
))
= 32 2 *( 2 ( ) − 2 ( )) + ( 2 ( ) + 2 ( ))+
= 32 2 0( (
3
4
)) + . (
3
4
)/1 = 32 2 [
−
2
+
2
] = 32 − + = −32 + 32
‫مالحظة‬
−
= + −
= − + − = −
−
= −
( ‫مثال‬27)‫المعادلة‬ ‫حل‬ /𝟑
+ 𝟏 = 𝟎‫حٌث‬ℂ
𝟑
+ 𝟏 = 𝟎 𝟑
= −𝟏 𝟑
= + ‫التكعيبي‬ ‫بالجذر‬
= +
𝟏
𝟑 = (
+ 𝟐
𝟑
) + (
+ 𝟐
𝟑
) = 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = (
𝟑
) + (
𝟑
) =
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
= 𝟏 = + = −𝟏 + 𝟎 = −𝟏
= 𝟐 = (
𝟓
𝟑
) + (
𝟓
𝟑
) =
𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
2
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
, −𝟏 ,
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
3 ‫هي‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬
( ‫مثال‬28)/: ‫للمقدار‬ ‫القطبٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫أوجد‬𝟑 +
𝟐
. ‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫ثم‬

43. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
42
= 𝟑 + = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟑
𝟐
= =
𝟏
𝟐
=
𝟔
= 𝟐 (
𝟔
+
𝟔
) 𝟐
= 𝟐 𝟐
(
𝟔
+
𝟔
)
𝟐
𝟐
= 𝟒 (
𝟑
+
𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟓 = 𝟒
(
𝟏
𝟓
)
(
𝟑
+
𝟑
)
𝟏
𝟓
= 4 4 6
(
𝟑
) + 𝟐
𝟓
7 + i i 6
(
𝟑
) + 𝟐
𝟓
75
= 4 6 4
+ 𝟔
𝟑
𝟓
5 + 4
+ 𝟔
𝟑
𝟓
57
𝟐𝟓
= 𝟒
𝟓
[ (
+ 𝟔
𝟏𝟓
) + (
+ 𝟔
𝟑
)] = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
= 𝟎 𝟏 = 𝟒
𝟓
𝟏𝟓
+
𝟏𝟓
= 𝟏 𝟐 = 𝟒
𝟓 𝟕
𝟏𝟓
+
𝟕
𝟏𝟓
= 𝟐 𝟑 = 𝟒
𝟓 𝟏𝟑
𝟏𝟓
+
𝟏𝟑
𝟏𝟓
= 𝟑 𝟒 = 𝟒
𝟓 𝟏𝟗
𝟏𝟓
+
𝟏𝟗
𝟏𝟓
= 𝟒 𝟓 = 𝟒
𝟓 𝟐𝟓
𝟏𝟓
+
𝟐𝟓
𝟏𝟓
= 𝟒
𝟓 𝟓
𝟑
+
𝟓
𝟑

44. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
43
− 4 ‫تمارين‬
‫س‬1/: ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫أحسب‬
[
𝟓
𝟐𝟒
+
𝟓
𝟐𝟒
]
𝟒
[
𝟓
𝟐𝟒
+
𝟓
𝟐𝟒
]
𝟒
= [
𝟐𝟎
𝟐𝟒
+
𝟐𝟎
𝟐𝟒
] = [
𝟓
𝟔
+
𝟓
𝟔
] = * ( −
𝟔
) + ( −
𝟔
)+
= * ( 𝟔
) + ( 𝟔
)+ + * ( 𝟔
) − ( 𝟔
)+
= −
𝟔
+
𝟔
=
− 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
[
𝟕
𝟏𝟐
+
𝟕
𝟏𝟐
]
−𝟑
[
𝟕
𝟏𝟐
+
𝟕
𝟏𝟐
]
−𝟑
= [
−𝟐𝟏
𝟏𝟐
+
−𝟐𝟏
𝟏𝟐
] = [
−𝟕
𝟒
+
−𝟕
𝟒
] = [
𝟕
𝟒
−
𝟕
𝟒
]
= * (𝟐 −
𝟒
) − (𝟐 −
𝟒
)+
= * 𝟐 ( 𝟒
) + 𝟐 ( 𝟒
)+ − * 𝟐 ( 𝟒
) − 𝟐 ( 𝟒
)+
= 𝟐 (
𝟒
) + 𝟐 (
𝟒
) =
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
‫س‬2/‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫أحسب‬) ‫التعمٌم‬ ‫(أو‬ً‫ٌأت‬ ‫ما‬:
‫وزاري‬2012/‫د‬1
𝟏 − 𝟕
= − = = ‖ ‖ = + = + = 2
𝜃 = =
‖ ‖
=
2
, 𝜃 = =
−
2
, = 2 −
4
=
7
4
‫الرابع‬ ‫الربع‬
= 𝟏 − 𝟕
= 𝜃 + i i 𝜃 = 2 (
7
4
+ i i
7
4
)
= 2 (
49
4
+ i i
49
4
) = 2 2 * (
4
+ 2 ) + i i (
4
+ 2 )+
= 2 2 *( (
4
) 2 − (
4
) 2 ) + ( i (
4
) 2 + (
4
) 2 )+
= 8 2 *( (
4
) 2 ) + ( i (
4
) 2 )+ = 8 2 * (
4
) + i (
4
)+
= 8 2 [
2
+
2
] = 8 + = 8 + 8

45. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
44
‫وزاري‬2014/‫د‬2
𝟑 +
−𝟗
= 𝟑 + = = ‖ ‖ = + = 3 + = 2
𝜃 = =
‖ ‖
=
𝟑
2
𝜃 = =
2
=
6
‫األول‬ ‫الربع‬
−
= 𝟑 +
−𝟗
= −
𝜃 + i i 𝜃 −
= 2 −
(
6
+ i i
6
)
−
−
=
2
( (
−9
6
) + i i (
−9
6
)) =
5 2
( (
−3
2
) + i i (
−3
2
)) =
5 2
(
3
2
− i i
3
2
)
−
=
5 2
[ − − ] =
5 2
‫س‬3/ً‫ٌأت‬ ‫ما‬ ‫بسط‬:‫وزاري‬2013/‫د‬2
𝟐 + 𝟐 𝟓
𝟑 + 𝟑 𝟑
𝟐 + 𝟐 𝟓
𝟑 + 𝟑 𝟑
=
[ + 𝟐] 𝟓
[ + 𝟑] 𝟑
=
+ 𝟏𝟎
+ 𝟗
= +
+ 𝟖
− 𝟒
= 𝜃 + i 𝜃 𝜃 + i 𝜃 𝜃 − i 𝜃
= 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 + i 𝜃 𝜃 − i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 − i 𝜃 ]
= 𝜃 + i 𝜃 [ 𝜃 + i 𝜃 ] = 𝜃 + i 𝜃 = 4 𝜃 + i 4𝜃
‫س‬4/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫باستخدام‬−𝟏 + 𝟑
= − + 3 = = ‖ ‖ = + = + 3 = 4 = 2
𝜃 = =
‖ ‖
=
−𝟏
2
, 𝜃 = =
3
2
= −
3
=
2
3
‫الثاني‬ ‫الربع‬
= √− + 3 = − + 3
( )
=
( )
𝜃 + i i 𝜃
( )
= 2
( )
( (
2
3
) + i i (
2
3
))
( )
= 2 6 4
2
3
+ 2
2
5 + i i 4
2
3
+ 2
2
57 = 2 6 4
2 + 6
3
2
5 + i i 4
2 + 6
3
2
57
= 2 [ (
2 + 6
6
) + i i (
2 + 6
6
)] = 𝟎, 𝟏
= 𝟎 = 2[ (
2
6
) + (
2
6
)] = 2 (
𝟑
+
𝟑
) = 2 .
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
/ =
𝟏
2
+
𝟑
2
= 𝟏 = 2[ (
8
6
) + (
8
6
)] = 2 (
𝟒
𝟑
+
𝟒
𝟑
) = 𝟐 * ( +
𝟑
) + ( +
𝟑
)+
= 2[ (
𝟑
) − (
𝟑
)] + * (
𝟑
) + (
𝟑
)+
= 2[− (
𝟑
) − (
𝟑
)] = 2 .
−𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
/ =
−𝟏
2
−
𝟑
2

46. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
45
‫س‬5/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫باستخدام‬𝟐𝟕
= 𝟐𝟕 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟐𝟕 𝟐 = 𝟐𝟕
= =
‖ ‖
=
𝟎
𝟐𝟕
= 𝟎 , = =
𝟐𝟕
𝟐𝟕
= 𝟏 =
𝟐
‫االول‬ ‫الربع‬
𝟑
= 𝟐𝟕
𝟑
= 𝟐𝟕
(
𝟏
𝟑
)
=
(
𝟏
𝟑
)
+
(
𝟏
𝟑
)
= 𝟐𝟕
(
𝟏
𝟑
)
(
𝟐
+
𝟐
)
(
𝟏
𝟑
)
𝟑
= 𝟐𝟕
𝟑
4 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
5 + 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
55 = 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = 3[ (
6
) + (
6
)] = 𝟑 0
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 =
𝟑 𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
= 𝟏 = 3[ (
5
6
) + (
5
6
)] = 𝟑 * ( −
6
) + ( −
6
)+
= 𝟑 *− (
6
) + (
6
)+ = 𝟑 0
− 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 =
−𝟑 𝟑
𝟐
+
𝟑
𝟐
= 𝟐 = 3[ (
9
6
) + (
9
6
)] = 𝟑 [ (
3
2
) + (
3
2
)] = 𝟎 + 𝟑 − = −𝟑
‫س‬6/‫الجذ‬ ‫جد‬‫األربعة‬ ‫ور‬‫للعدد‬−𝟏𝟔‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫باستخدام‬.
= −𝟏𝟔 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟏𝟔
= =
‖ ‖
=
−𝟏𝟔
𝟏𝟔
= −𝟏 , = =
𝟎
𝟏𝟔
= 𝟎 =
𝟒
= −𝟏𝟔
𝟒
= −𝟏𝟔
(
𝟏
𝟒
)
=
(
𝟏
𝟒
)
+
(
𝟏
𝟒
)
= 𝟏𝟔
(
𝟏
𝟒
)
+
(
𝟏
𝟒
)
= 6 ( (
+ 2
) + i i (
+ 2
)) = 4
= 𝟎 = 2[ (
4
) + (
4
)] = 𝟐 [
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
] = 𝟐 + 𝟐
= 𝟏 𝟐 = 𝟐[ (
𝟑
𝟒
) + (
𝟑
𝟒
)] = 𝟐[ ( −
𝟒
) + ( −
𝟒
)] = 𝟐[− (
𝟒
) + (
𝟒
)]
= 𝟐 [
−𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
] = − 𝟐 + 𝟐
= 𝟐 𝟑 = 𝟐[ (
𝟓
𝟒
) + (
𝟓
𝟒
)] = 𝟐[ ( +
𝟒
) + ( +
𝟒
)] = 𝟐[− (
𝟒
) − (
𝟒
)]
= 𝟐 [
−𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
] = − 𝟐 − 𝟐
= 𝟑 𝟒 = 𝟐[ (
𝟕
𝟒
) + (
𝟕
𝟒
)] = 𝟐[ (𝟐 −
𝟒
) + (𝟐 −
𝟒
)]
= 𝟐[ (
𝟒
) − (
𝟒
)] = 𝟐 [
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
] = 𝟐 − 𝟐

47. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
46
‫س‬7/‫للعدد‬ ‫الستة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬−64‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬.
= −64 = = ‖ ‖ = + = 64 = 64
𝜃 = =
‖ ‖
=
𝟎
64
= , 𝜃 = =
−𝟔𝟒
64
= − =
3
2
= −64 = −64 ( )
=
( )
𝜃 + i i 𝜃
( )
= 64
( )
(
3
2
+ i i
3
2
)
( )
= 64 6 4
3
2
+ 2
6
5 + i i 4
3
2
+ 2
6
57 = 2 [ (
3 + 4
2
) + i i (
3 + 4
2
)]
= 𝟎 = 2[ (
3
2
) + (
3
2
)] = 𝟐 * (
𝟒
) + (
𝟒
)+ = 𝟐 [
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
]
= 𝟐 + 𝟐
= 𝟏 𝟐 = 𝟐[ (
𝟕
𝟏𝟐
) + (
𝟕
𝟏𝟐
)] = 𝟐[ (
𝟑
+
𝟒
) + (
𝟑
+
𝟒
)]
= 𝟐 *( (
𝟑
) (
𝟒
) − (
𝟑
) (
𝟒
)) + ( (
𝟑
) (
𝟒
) + (
𝟑
) (
𝟒
))+
= 𝟐 0.
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
/ + .
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/1 = 𝟐 0.
𝟏
𝟐 𝟐
−
𝟑
𝟐 𝟐
/ + .
𝟑
𝟐 𝟐
+
𝟏
𝟐 𝟐
/1
= 𝟐 0.
𝟏 − 𝟑
𝟐 𝟐
/ + .
𝟑 + 𝟏
𝟐 𝟐
/1 =
𝟏 − 𝟑
𝟐
+
𝟑 + 𝟏
𝟐
= 𝟐 𝟑 = 𝟐[ (
𝟏𝟏
𝟏𝟐
) + (
𝟏𝟏
𝟏𝟐
)] = 𝟐[ ( −
𝟏𝟐
) + ( −
𝟏𝟐
)]
= 𝟐 *( (
𝟏𝟐
) + (
𝟏𝟐
)) + ( (
𝟏𝟐
) − (
𝟏𝟐
))+
= 𝟐 *− (
𝟏𝟐
) + (
𝟏𝟐
)+ = *− (
𝟒
−
𝟔
) + (
𝟒
−
𝟔
)+
= 𝟐 *− ( (
𝟒
) (
𝟔
) + (
𝟒
) (
𝟔
)) + ( (
𝟒
) (
𝟔
) − (
𝟒
) (
𝟔
))+
= 𝟐 0− .
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/ + .
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/1 = 𝟐 0
− 𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐
+
𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐
1
=
− 𝟑 − 𝟏
𝟐
+
𝟑 − 𝟏
𝟐
= 𝟑 = 2[ (
5
2
) + (
5
2
)] = 𝟐 [ (
𝟓
𝟒
) + (
𝟓
𝟒
)]
= 𝟐[ ( +
𝟒
) + ( +
𝟒
)]
= 𝟐 *( (
𝟒
) − (
𝟒
)) + ( (
𝟒
) + (
𝟒
))+
= 𝟐 *− (
𝟒
) − (
𝟒
)+ = 𝟐 [
−𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐
] = − 𝟐 − 𝟐

48. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
47
= 𝟒 𝟓 = 𝟐[ (
𝟏𝟗
𝟏𝟐
) + (
𝟏𝟗
𝟏𝟐
)] = 𝟐[ (𝟐 −
𝟓
𝟏𝟐
) + (𝟐 −
𝟓
𝟏𝟐
)]
= 𝟐 [( 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐
) + 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐
)) + ( 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐
) − 𝟐 (
𝟓
𝟏𝟐
))]
= 𝟐 [ (
𝟓
𝟏𝟐
) − (
𝟓
𝟏𝟐
)] = * (
𝟒
+
𝟔
) − (
𝟒
+
𝟔
)+
= 𝟐 *( (
𝟒
) (
𝟔
) − (
𝟒
) (
𝟔
)) − ( (
𝟒
) (
𝟔
) + (
𝟒
) (
𝟔
))+
= 𝟐 0.
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/ − .
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/1 = 𝟐 0
𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐
−
𝟑 + 𝟏
𝟐 𝟐
1
=
𝟑 − 𝟏
𝟐
−
𝟑 + 𝟏
𝟐
= 𝟓 𝟔 = 𝟐[ (
𝟐𝟑
𝟏𝟐
) + (
𝟐𝟑
𝟏𝟐
)] = 𝟐[ (𝟐 −
𝟏𝟐
) + (𝟐 −
𝟏𝟐
)]
= 𝟐 *( 𝟐 (
𝟏𝟐
) + 𝟐 (
𝟏𝟐
)) + ( 𝟐 (
𝟏𝟐
) − 𝟐 (
𝟏𝟐
))+
= 𝟐 * (
𝟏𝟐
) − (
𝟏𝟐
)+ = * (
𝟒
−
𝟔
) − (
𝟒
−
𝟔
)+
= 𝟐 *( (
𝟒
) (
𝟔
) + (
𝟒
) (
𝟔
)) − ( (
𝟒
) (
𝟔
) − (
𝟒
) (
𝟔
))+
= 𝟐 0.
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/ − .
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
/1 = 𝟐 0
𝟑 + 𝟏
𝟐 𝟐
−
𝟑 − 𝟏
𝟐 𝟐
1
=
𝟑 + 𝟏
𝟐
−
𝟑 − 𝟏
𝟐
******************************************************************
‫األول‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬ ‫حلول‬
‫س‬1/‫قٌمة‬ ‫جد‬,: ‫تحقق‬ ً‫والت‬
𝟏+
=
𝟐+𝟒
+𝟐
‫وزاري‬2013/‫د‬3
𝟏 +
=
𝟐
+ 𝟒
+ 𝟐 𝟏 +
𝟏 −
𝟏 −
=
𝟐
− 𝟒 𝟐
+ 𝟐
−
𝟏 𝟐+𝟏 𝟐 =
−𝟐 +𝟐
+𝟐
−
𝟐
= − 2
− = 𝟐 − 4 = 𝟐
− = −4
−
⇒ = 𝟒 ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
𝟒 = 𝟐 = 𝟐

49. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
48
‫س‬2/‫كان‬ ‫أذا‬=
𝟏− 𝟑
𝟏+ −𝟑
‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫جد‬ , ‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫ا‬‫ا‬‫عدد‬
𝟏
𝟐
=
𝟏 − 𝟑
𝟏 + −𝟑
=
𝟏 − 𝟑
𝟏 + 𝟑
𝟏 − 𝟑
𝟏 − 𝟑
=
𝟏 − 𝟑
𝟐
𝟏 𝟐 + 𝟑
𝟐
=
𝟏 − 𝟐 𝟑 + 𝟑 𝟐
𝟏 + 𝟑
=
−𝟐 − 𝟐 𝟑
𝟒
=
−𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
= = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = √.
−𝟏
𝟐
/
𝟐
+ .
− 𝟑
𝟐
/
𝟐
= √
𝟏
𝟒
+
𝟑
𝟒
= 𝟏 = 𝟏
= =
‖ ‖
=
(
−𝟏
𝟐
)
𝟏
=
−𝟏
𝟐
, = =
.
− 𝟑
𝟐
/
𝟏
=
− 𝟑
𝟐
‫الثالث‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬
= +
𝟑
=
𝟒
𝟑
𝟏
𝟐 = .
−𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
/
(
𝟏
𝟐
)
=
(
𝟏
𝟐
)
+
(
𝟏
𝟐
)
= 𝟏
(
𝟏
𝟐
)
(
𝟒
𝟑
+
𝟒
𝟑
)
(
𝟏
𝟐
)
𝟏
𝟐 = 6 4
𝟒
𝟑
+ 2
2
5 + i i 4
𝟒
𝟑
+ 2
2
57 = ,
= 𝟎
𝟏
𝟐 = (
4
6
) + (
4
6
) = (
2
3
) + (
2
3
) = ( −
3
) + ( −
3
)
𝟏
𝟐 = [ (
𝟑
) + (
𝟑
)] + * (
𝟑
) − (
𝟑
)+
𝟏
𝟐 = (
𝟑
) − (
𝟑
) = −
𝟏
𝟐
+
𝟑
𝟐
= 𝟏
𝟏
𝟐 = [ 4
𝟒
𝟑
+ 2
2
5 + 4
𝟒
𝟑
+ 2
2
5] = 4
𝟒 + 𝟔
𝟑
2
5 + 4
𝟒 + 𝟔
𝟑
2
5
𝟏
𝟐 = .
𝟏𝟎
6
/ + .
𝟏𝟎
6
/ = .
5
3
/ + .
5
3
/ = (2 −
3
) + (2 −
3
)
𝟏
𝟐 = [ 2 (
𝟑
) + 2 (
𝟑
)] + * 2 (
𝟑
) − 2 (
𝟑
)+
𝟏
𝟐 = 2 (
𝟑
) − 2 (
𝟑
) =
𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐

50. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
49
‫األول‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارية‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫د‬ /1‫ضع‬ :𝟏 + 𝟑 𝟐
+ 𝟑 − 𝟐 𝟐
.‫المركب‬ ‫للعد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬
/‫الحل‬‫المقدار‬ = + 6 + 9 + 9 − 2 + 4
= + 6 − 9 + 9 − 2 − 4 = −3 − 6
‫وزاري‬ ‫سؤال‬99‫/د‬1ً‫قٍمت‬ ‫جذ‬ :x‫و‬y:‫أن‬ ‫عهمت‬ ‫إرا‬ ‫انحقٍقٍتٍه‬𝟑 + 𝟐 𝟐
=
𝟐𝟎𝟎
𝟒+𝟑
/‫انحم‬9 + 2 + 4 =
+
−
−
9 − 4 + 2 =
−
+
9 − 4 + 2 = 32 − 24
9 − 4 = 32 . . , 2 = −24 ⇒ = −2 =
−
. 2
9 − 4 ( ) = 32 9 − = 32
.
⇒ 9 − 6 = 32
9 − 32 − 6 = 9 + 4 − 4 =
‫يهمـــل‬‫أما‬ 9 + 4 =
‫أو‬ − 4 = = 4 = 2
2 =
−
= −
−2 =
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬1:‫كان‬ ‫إرا‬ := 𝟐 + 𝟑,= 𝟑 −‫قٍمة‬ ‫جذ‬ ,𝟐
+ 𝟐 𝟐
.
/‫انحم‬= 2 + 3 = 4 + 2 + 9 = −5 + 2
= 3 − = 9 − 6 + = 8 − 6
+ 2 = −5 + 2 + 2 8 − 6 = −5 + 2 + 6 − 2 =

51. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
50
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬2‫مه‬ ‫كم‬ ‫قٍمة‬ ‫جذ‬ :x‫و‬y:‫عهمت‬ ‫إرا‬ ‫انحقٍقٍتٍه‬
+ + − + = 3
/‫انحم‬+ + − + = 3 + + − + = 3 +
+ = 3 . , − + = = + . . 2
+ + = 3 + + 2 + − 3 =
2 + 2 − 2 = ⇒ + − 6 = + 3 − 2 =
+ 3 = = −3 = −3 + = −2
− 2 = = 2 = 2 + = 3
‫وزاري‬ ‫سؤؤؤؤال‬2001‫/د‬1‫ؤؤؤذار‬‫ؤ‬‫انمق‬ ‫ؤؤؤم‬‫ؤ‬‫ض‬ :
𝟕+ 𝟑
𝟏+𝟐 𝟑
‫ؤؤؤة‬‫ؤ‬‫وانقٍم‬ ‫ؤؤؤاش‬‫ؤ‬ٍ‫انمق‬ ‫ؤؤؤذ‬‫ؤ‬‫ج‬ ‫اؤؤؤم‬ ‫ؤؤؤب‬‫ؤ‬‫انمرك‬ ‫ؤؤؤذد‬‫ؤ‬‫نهع‬ ‫ؤؤؤة‬‫ؤ‬ٌ‫انعاد‬ ‫بانصؤؤؤٍاة‬
.‫نهسعة‬ ‫األساسٍة‬
/‫انحم‬
+
+
=
+
+
−
−
=
− + −
+
=
−
= − 3
‫المقياس‬ = + 3 = 4 = 2 , 𝜃 = , i 𝜃 =
−
‫للسعة‬ ‫األساسية‬ ‫القيمة‬ 𝜃 = 2 − = ‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ 𝜃
‫وزاري‬ ‫ؤؤؤال‬‫ؤ‬‫س‬2002‫/د‬1‫ؤؤم‬‫ؤ‬‫ض‬ :𝟑 + 𝟐 −𝟐 +ً‫ؤؤرب‬‫ؤ‬ ‫ان‬ ‫ؤؤر‬‫ؤ‬ٍ ‫و‬ ‫ؤؤذ‬‫ؤ‬‫ج‬ ‫ؤؤم‬‫ؤ‬‫ا‬ ‫ؤؤب‬‫ؤ‬‫انمرك‬ ‫ؤؤذد‬‫ؤ‬‫نهع‬ ‫ؤؤة‬‫ؤ‬ٌ‫انعاد‬ ‫ؤؤٍاة‬‫ؤ‬‫بانص‬
.ً‫ا‬ ٌ‫أ‬ ‫انعادٌة‬ ‫وبانصٍاة‬
/‫انحم‬3 + 2 −2 + = −6 + 3 − 4 + 2 = −8 −
‫الضربي‬ ‫النظير‬ =
− −
− +
− +
=
− +
+
=
−
+
‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬− −3 − 4 + 5 + 6 =

52. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
51
‫سؤال‬2002‫/د‬2‫كان‬ ‫اذا‬ := − 𝟑, 𝟏‫والقٌمة‬ ‫مقٌاسه‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫العدد‬ ‫لهذا‬ ‫الجبري‬ ‫الشكل‬ ‫أكتب‬ ,‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫ا‬‫ا‬‫عدد‬
.‫لسعته‬ ‫األساسٌة‬
/‫الحل‬= − 3 + ‫الجبري‬ ‫الشكل‬
║ = 3 + = 4 = 2 ‫المقياس‬ , 𝜃 =
−
, i 𝜃 =
‫للسعة‬ ‫األسياسية‬ ‫القيمة‬ 𝜃 = −
6
=
5
6
‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ 𝜃
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ := 𝟏 − , = 𝟑 + 𝟐‫أن‬ ‫إثبت‬+ = +.
/‫الحل‬+ = 3 + 2 + − = 4 + = 4 −
+ = 3 + 2 + − = 3 − 2 + + = 4 −
+ = +
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬1‫المركب‬ ‫للعدد‬ ً‫الضرب‬ ‫النظٌر‬ ‫جد‬ :𝟑 + 𝟓.‫العادٌة‬ ‫بالصورة‬ ‫ضعه‬ ‫ثم‬
/‫الحل‬‫الضربي‬ ‫النظير‬ =
+
=
+
−
−
=
−
+
=
−
= −
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬2‫كان‬ ‫إذا‬ :Z( ‫مقٌاسه‬ ‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫ا‬‫ا‬‫عدد‬2‫وسزعته‬ )( 𝟑
)‫والجبزري‬ ً‫الزدٌكارت‬ ‫الشزكل‬ ‫مزن‬ ‫كزال‬ ‫جزد‬
.‫العدد‬ ‫لهذا‬
/‫الحل‬𝜃 = = = =
i 𝜃 = i = = = 3
‫الجبري‬ ‫الشكل‬= + 3
‫الديكارتي‬ ‫الشكل‬= , 3

53. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
52
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2004‫/د‬1‫المركب‬ ‫للعد‬ ‫العادٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫جد‬ :𝟏 − 𝟑
𝟐
+ 𝟐 − 𝟑
𝟐
.
/‫الحل‬− 𝟑 + 2 − 𝟑 = − 2 𝟑 + 3 + 4 − 4 𝟑 + 3
= 5 − 6 𝟑 − 3 − 3
= − − 6 𝟑
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2005‫/د‬1‫ناته‬ ‫جد‬ :𝟑 + 𝟒 𝟐
+ 𝟓 − 𝟑 𝟏 +.‫الدٌكارتٌة‬ ‫بالصٌغة‬
/‫الحل‬‫المقدار‬ = 9 + 24 + 6 + 5 + 5 − 3 − 3
= 9 − 6 + 5 + 3 + 24 + 5 − 3 = + 26
,26 ‫الديكارتية‬ ‫الصيغة‬
‫سؤال‬2005‫/د‬2‫كان‬ ‫إذا‬ := −𝟏 + 𝟐‫فجد‬𝟐
+ 𝟑 + 𝟓.‫الدٌكارتٌة‬ ‫بالصٌغة‬
+ 3 + 5 = − + 2 + 3 − + 2 + 5
= − 4 + 4 − 3 + 6 + 5 = − + 2
‫الصيغة‬‫الديكارتية‬− ,2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :z( ‫مقٌاسه‬ ‫ا‬‫ا‬‫مركب‬ ‫عددا‬4‫االساسٌة‬ ‫وسعته‬ )(
𝟓
𝟔
)ً‫الدٌكارت‬ ‫الشكل‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫فجد‬
‫للعد‬ ‫الجبري‬ ‫والشكل‬‫د‬z.
/‫الحل‬= − = 2 = −4 3 = −2 3
i = = 2 = 4 = 2
‫الجبري‬ ‫الشكل‬= −2 3 + 2
‫الديكارتي‬ ‫الشكل‬= −2 3, 2

54. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
53
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬1ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y:‫المعادلة‬ ‫من‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬𝟐 + + 𝟐 = 𝟐 + 𝟗.
/‫الحل‬2 + 4 + + 2 = 2 + 9 2 − 2 + 4 + = 2 + 9
2 − 2 = 2 2 = 4 = 2 =
4 + = 9 . 2
4 + = 9
.
⇒ 4 + 2 = 9 4 − 9 + 2 =
4 − − 2 =
‫أما‬ 4 − = 4 = =
4
=
2
4
= 8
‫أو‬ − 2 = = 2 =
2
2
=
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬2ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y:‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬
3 − 2 + + = 7
/‫الحل‬6 + 3 − 2 − + = + 7
6 + 2 + 3 − 2 = + 7
6 + 2 = ⇒ = −2 =
−
. .
3 − 2 = 7 . 2
3 − 2 (
−
) = 7
.
⇒ 3 + 4 = 7 3 − 7 + 4 =
3 − 4 − =
3 − 4 = 3 = 4 = =
−
=
−
=
−
− = = =
−
= −2

55. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
54
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬1‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬ :𝟑 + 𝟒.
/‫الحل‬‫نفرض‬ 3 + 4 = + ‫بالتربيع‬
3 + 4 = − + 2
− = 3 . . , 2 = 4 ⇒ = 2 =
2
. . 2
−
4
= 3
.
⇒ − 4 = 3 − 3 − 4 = − 4 + =
− 4 = = 4 = {
2 =
−2 = −
3 + 4 = ,
2 +
−2 −
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬2‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫األساسٌة‬ ‫والسعة‬ ‫المقٌاس‬ ‫جد‬ :(
𝟐
𝟏+
).
/‫الحل‬
+
=
+
−
−
=
−
=
+
= + = +
‫المقياس‬ = + = 2 , 𝜃 = , i 𝜃 = 𝜃 =
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬1‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫للسعة‬ ‫األساسٌة‬ ‫والقٌمة‬ ‫المقٌاس‬ ‫جد‬ :𝟏 + 𝟑
𝟐
.
/‫الحل‬+ 3 = + 2 3 + 3 = −2 + 2 3
‫المقياس‬ = 4 + 2 = 6 = 4 , 𝜃 =
−
=
−
, i 𝜃 = =
= − = ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬2ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫واللتان‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬
+ 5 = 2 + +
/‫الحل‬+ 5 = 2 + 2 + + + 5 = 2 − + 3
= 2 − . , 5 = 3 =
= 2 ( ) − = − =
−
= = 4

56. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
55
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1:‫للعدد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬ :
𝟏𝟒+𝟐
𝟏+
.
/‫الحل‬
+
+
=
+
+
−
−
=
− + −
=
−
= 8 − 6
‫نفرض‬ 8 − 6 = +
‫بالتربيع‬
⇒ 8 − 6 = − + 2
− = 8 . . , 2 = −6 ⇒ = −3 =
−
. 2
−
9
= 8
.
⇒ − 9 = 8 − 8 − 9 = − 9 + =
‫يهمل‬
− 9 = = 9 = {
3 = −
−3 =
8 − 6 = ,
3 −
−3 +
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2‫المعادلة‬ ‫حل‬ :𝟒
+ 𝟏𝟑 𝟐
+ 𝟑𝟔 = 𝟎‫حٌث‬z.‫مركب‬ ‫عدد‬
/‫الحل‬+ 9 + 4 =
+ 9 = = −9 = 9 = 3
+ 4 = = −4 = 4 = 2
‫مج‬ = {−2 , 2 , −3 , 3 }

57. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
56
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ :x‫و‬y:‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫واللتان‬ ‫الحقٌقٌتٌن‬
+ 𝟑 − 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟓
/‫الحل‬− 2 + 3 − 6 = 2 + 5 + 6 + −2 + 3 = 2 + 5
+ 6 = 2 = 6 = .
−2 + 3 = 5 2
−2 + 3 ( ) = 5
.
⇒ −2 + 8 = 5 2 + 5 − 8 =
2 + 9 − 2 =
2 + 9 = 2 = −9 =
−
= =
−
= =
−
− 2 = = 2 = = = 3
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬2‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌٌن‬ ‫الجذرٌن‬ ‫جد‬ :z‫حٌث‬= −𝟏 + 𝟕 𝟏 +
/‫الحل‬= − − + 7 + 7 = −8 + 6
‫نفرض‬ −8 + 6 = +
‫بالتربيع‬
⇒ −8 + 6 = − + 2
− = −8 . , 2 = 6 = 3 = . . 2
− ( ) = −8 − = −8
.
⇒ − 9 = −8 + 8 − 9 =
+ 9 − =
‫أما‬ + 9 = ‫يهمل‬
‫أو‬ − = = = {
= 3
− = −3
−8 + 6 = ,
+ 3
− − 3

58. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
57
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2012‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :
𝟐+
𝟑−
,
𝟓
+
ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ ,‫مترافقٌن‬y,x.‫الحقٌقٌتٌن‬
/‫الحل‬
+
=
−
+
2 − + = 5 + 5 + =
+
−
+
+
+ =
+ + +
+
+ =
+
= 5 , = 5+ = 5 + 5
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2012‫/د‬2:: ‫المقدار‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادٌة‬ ‫بالصٌغة‬ ‫ضع‬𝟏 + 𝟓
+ 𝟏 − 𝟓
/‫الحل‬
𝟏 + 𝟓
− 𝟏 − 𝟓
= [ 𝟏 + 𝟐] 𝟐
𝟏 + − [ 𝟏 − 𝟐] 𝟐
𝟏 −
= 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 + − 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟐
𝟏 −
= 𝟐 𝟐
𝟏 + − −𝟐 𝟐
𝟏 −
= −𝟒 𝟏 + − −𝟒 𝟏 −
= −𝟒 − 𝟒 + 𝟒 − 𝟒 = −𝟖 = 𝟎 − 𝟖
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2013‫/د‬1:: ‫قٌمة‬ ‫جد‬𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
‫الصفحة‬ ً‫ف‬ ‫محلول‬ ‫السؤال‬ ‫ذا‬ /‫الحل‬(13)‫أثبت‬ ‫بصٌغة‬𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
= 𝟒
𝟏 − 𝟏 − 𝟐
𝟏 − 𝟑
= 𝟏 − 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ] = 𝟏 − 𝟐 [𝟏 + ]
= 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 − 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟐 − 𝟐 𝟐
= 𝟐 + 𝟐 = 𝟒
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2013‫/د‬3:
‫كان‬ ‫أذا‬𝟐 = 𝟓 + 𝟐 , 𝟏 = 𝟑 + 𝟒‫أرجاند‬ ‫شكل‬ ً‫ف‬ ‫وضح‬𝟏 + 𝟐
/‫الحل‬
𝟏 = 𝟑 + 𝟒 𝟏 = 𝟑 , 𝟒
𝟐 = 𝟓 + 𝟐 𝟐 = 𝟓 , 𝟐
𝟏 + 𝟐 = 𝟑 = 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟐
𝟑 = 𝟖 + 𝟔 𝟑 = 𝟖 , 𝟔

59. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
58
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬1:‫القطبٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫جد‬‫الخمسة‬ ‫للجذور‬: ‫للمقدار‬√ 𝟑 +
𝟐𝟓
= 𝟑 + = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟐
= =
‖ ‖
=
𝟑
𝟐
= =
𝟏
𝟐
=
𝟔
= 𝟐 (
𝟔
+
𝟔
) 𝟐
= 𝟐 𝟐
(
𝟔
+
𝟔
)
𝟐
𝟐
= 𝟒 (
𝟑
+
𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟓 = 𝟒
(
𝟏
𝟓
)
(
𝟑
+
𝟑
)
𝟏
𝟓
= 4 4 6
(
𝟑
) + 𝟐
𝟓
7 + i i 6
(
𝟑
) + 𝟐
𝟓
75
= 4 6 4
+ 𝟔
𝟑
𝟓
5 + 4
+ 𝟔
𝟑
𝟓
57
𝟐𝟓
= 𝟒
𝟓
[ (
+ 𝟔
𝟏𝟓
) + (
+ 𝟔
𝟏𝟓
)] = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
= 𝟎 𝟏 = 𝟒
𝟓
𝟏𝟓
+
𝟏𝟓
= 𝟏 𝟐 = 𝟒
𝟓 𝟕
𝟏𝟓
+
𝟕
𝟏𝟓
= 𝟐 𝟑 = 𝟒
𝟓 𝟏𝟑
𝟏𝟓
+
𝟏𝟑
𝟏𝟓
= 𝟑 𝟒 = 𝟒
𝟓 𝟏𝟗
𝟏𝟓
+
𝟏𝟗
𝟏𝟓
= 𝟒 𝟓 = 𝟒
𝟓 𝟐𝟓
𝟏𝟓
+
𝟐𝟓
𝟏𝟓
= 𝟒
𝟓 𝟓
𝟑
+
𝟓
𝟑

60. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
59
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3:‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫جد‬= 𝟓 − 𝟓
/‫الحل‬
= ‖ ‖ = = 𝟐 + 𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟐𝟓 = 𝟓𝟎 = 𝟓 𝟐
= ‖ ‖
=
𝟓
𝟓 𝟐
=
𝟏
𝟐
, = ‖ ‖
=
−𝟓
𝟓 𝟐
=
−𝟏
𝟐
= 𝟐 −
𝟒
=
𝟕
𝟒
‫الرابع‬ ‫الربع‬
= 𝟓 𝟐
𝟕
𝟒
+
𝟕
𝟒
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬2:‫كان‬ ‫اذا‬𝟐 − 𝟒‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫أحد‬ ‫و‬𝟐 𝟐
– – + – 𝟔 = 𝟎,
ً‫قٌمت‬ ‫جد‬ , ‫حقٌقٌة‬ ‫معامالتها‬,
/‫الحل‬‫مترافقان‬ ‫الجذران‬ ‫فان‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬
= 𝟐 − 𝟒 , = 𝟐 + 𝟒
+ = 𝟐 − 𝟒 + 𝟐 + 𝟒 = 𝟒
. = 𝟐 − 𝟒 𝟐 + 𝟒 = 𝟒 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟎
𝟐
– 𝟒 + 𝟐𝟎 = 𝟎
.𝟐
⇒ 𝟐 𝟐
– 𝟖 + 𝟒𝟎 = 𝟎
‫مع‬ ‫بالمقارنة‬ 𝟐 𝟐
– 𝟏 + + − 𝟔 = 𝟎
𝟏 + = 𝟖 = 𝟕
– 𝟔 = 𝟒𝟎 = 𝟒𝟔
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3:

61. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
60
: ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫المركبة‬ ‫األعداد‬ ‫مجموعة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬𝟑
− 𝟖 = 𝟎
/‫الحل‬
𝟑
− 𝟖 = 𝟎 𝟑
= 𝟖 𝟑
= 𝟖 * (
𝟐
) + (
𝟐
)+ ‫التكعيبي‬ ‫بالجذر‬
= 𝟐 . (
𝟐
) + (
𝟐
)/
𝟏
𝟑
= 𝟐 6 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
5 + 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
57
= 𝟐 6 4
+ 𝟒
𝟐
𝟑
5 + 4
+ 𝟒
𝟐
𝟑
57 = 𝟐 [ (
+ 𝟒
𝟔
) + (
+ 𝟒
𝟔
)]
= 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = 𝟐 * (
𝟔
) + (
𝟔
)+ = 𝟐 0
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 = 𝟑 +
= 𝟏 = 𝟐 [ (
𝟓
𝟔
) + (
𝟓
𝟔
)] = 𝟐 0
− 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 = − 𝟑 +
= 𝟏 = 𝟐 [ (
𝟗
𝟔
) + (
𝟗
𝟔
)] = 𝟐[𝟎 − ] = −𝟐
{ 𝟑 + , −𝟐 , − 𝟑 + } ‫هي‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2016‫/د‬1:‫للعدد‬ ‫التكعٌبٌة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ , ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬𝟖.
/‫الحل‬
= 𝟖 = = ‖ ‖ = 𝟐 + 𝟐 = 𝟖 𝟐 = 𝟖
= =
‖ ‖
=
𝟎
𝟖
= 𝟎 , = =
𝟖
𝟖
= 𝟏 =
𝟐
‫االول‬ ‫الربع‬
𝟑
= 𝟖
𝟑
= 𝟖
(
𝟏
𝟑
)
=
(
𝟏
𝟑
)
+
(
𝟏
𝟑
)
= 𝟖
(
𝟏
𝟑
)
(
𝟐
+
𝟐
)
(
𝟏
𝟑
)
𝟑
= 𝟖
𝟑
4 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
5 + 4 𝟐
+ 𝟐
𝟑
55 = 𝟎, 𝟏, 𝟐
= 𝟎 = 2[ (
6
) + (
6
)] = 𝟐 0
𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 = 𝟑 +
= 𝟏 = 2[ (
5
6
) + (
5
6
)] = 𝟐 * ( −
6
) + ( −
6
)+
= 𝟐 *− (
6
) + (
6
)+ = 𝟐 0
− 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
1 = − 𝟑 +
= 𝟐 = 2[ (
9
6
) + (
9
6
)] = 𝟐 [ (
3
2
) + (
3
2
)] = 𝟎 + 𝟐 − = −𝟐

62. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫المركــــــــــــــــبة‬ ‫األعــــداد‬ /‫األول‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
61
‫حول‬ ‫أسئلة‬‫المركبة‬ ‫األعداد‬
‫س‬1/‫كان‬ ‫إذا‬–( ‫للعدد‬ ‫التربٌعٌن‬ ‫الجذرٌن‬ ‫أحد‬bi+3‫حٌث‬ ),‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫السعة‬ ‫جد‬ ,‫حقٌقٌة‬ ‫أعداد‬
= 𝟐
− 𝟑 − 𝟐 − 𝟏𝟗
‫س‬2/: ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫ناته‬ ‫جد‬
𝟏 + 𝟑
𝟓
− 𝟏 + 𝟑
𝟓𝟐𝟏 − 𝟑
𝟒𝟏
𝟏 − 𝟔𝟒𝟏 + 𝟖𝟑
‫س‬3/‫التربٌعٌة‬ ‫الجدور‬ ‫أوجد‬‫للعدد‬𝟓 + 𝟏𝟐
‫س‬4/‫كان‬ ‫أذا‬= + 𝟑‫مقٌاسه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬𝟐‫قٌمة‬ ‫جد‬ ,.
‫س‬5/‫كان‬ ‫إذا‬+ =
𝟐+
𝟏−
‫أن‬ ‫فأثبت‬𝟐[ 𝟑
+ 𝟑] = 𝟕
‫س‬6/‫كان‬ ‫أذا‬𝟏 +‫الجذور‬ ‫أحد‬ ‫و‬‫المعادلة‬‫للعدد‬ ‫التربٌعٌة‬+ 𝟒ً‫قٌمت‬ ‫فجد‬,
‫س‬7‫المركب‬ ‫العدد‬ /𝟏 − 𝟐‫المعادلة‬ ‫جذور‬ ‫أحذ‬ ‫و‬𝟐
− 𝟐 − + − 𝟕 = 𝟎‫قٌم‬ ‫فجد‬,
‫س‬8/‫المعادلة‬ ‫حل‬ , ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬𝟐
+ 𝟐𝟕 = 𝟎‫حٌث‬ℂ
‫س‬9/‫المعادالت‬ ‫حل‬‫التالٌة‬‫المجموعة‬ ً‫ف‬‫مختلفتٌن‬ ‫بطرٌقتٌن‬ ℂ
𝟑
− 𝟖 = 𝟎𝟐𝟑
− 𝟖 = 𝟎𝟏
𝟑
− 𝟔𝟒 = 𝟎𝟒𝟑
+ 𝟔𝟒 = 𝟎𝟑
‫س‬10/: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫ا‬‫ال‬‫ك‬ ‫دٌموافر‬ ‫نة‬ ‫مبر‬ ‫بأستخدام‬ ‫أحسب‬
𝟑 −
𝟕
−𝟏 + 𝟕
𝟏 + 𝟓

63. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
62
ً‫الثان‬ ‫الفصل‬/‫المخروطٌة‬ ‫المطوع‬
ً‫المخروط‬ ‫المطع‬:‫لٌكن‬( 𝟏 𝟏)‫ولٌكن‬ ‫المستوي‬ ً‫ف‬ ‫ثابتة‬ ‫نمطة‬𝟎ً‫ف‬ ‫ثابت‬ ‫مستمٌم‬
‫نفسه‬ ‫المستوي‬‫فان‬ ‫لذا‬‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫بعد‬ ‫نسبة‬ ً‫الت‬ ‫النماط‬ ‫كل‬ ‫مجموعة‬( 𝟏 𝟏)‫المستمٌم‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫الى‬
𝟎‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫تساوي‬( )ً‫المخروط‬ ‫بالمطع‬ ‫ٌسمى‬ ً‫هندس‬ ‫شكل‬ ‫تكون‬‫أو‬‫النمط‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬
‫معلوم‬ ‫مستمٌم‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫ٌساوي‬ ‫معلومة‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ً‫الت‬
‫عدة‬ ً‫مخروط‬ ‫شكل‬ ‫لكل‬ ‫ان‬ ‫حٌث‬ً‫وه‬ ‫بها‬ ‫ٌتعٌن‬ ‫أساسٌة‬ ‫مفاهٌم‬:
①‫الثابتة‬ ‫النمطة‬( 𝟏 𝟏)ً‫المخروط‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫تسمى‬( )
②‫الثابت‬ ‫المستمٌم‬𝟎ً‫المخروط‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫ٌسمى‬( )
③‫النسبة‬( )‫المركزي‬ ‫باالختالف‬ ‫تسمى‬( )‫كان‬ ‫أذا‬ ‫حٌث‬
( 𝟏) ‫مكافئ‬ ‫القطع‬ ‫نوع‬ ( 𝟏) ‫ناقص‬ ‫القطع‬ ‫نوع‬ ( 𝟏) ‫زائد‬ ‫القطع‬ ‫نوع‬
④= ‫والدلٌل‬ ‫البإرة‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬|𝟐 |
‫الم‬ ‫المطع‬‫كافئ‬:‫النمط‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬( )‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫ٌكون‬ ً‫والت‬ ‫المستوي‬ ً‫ف‬‫نمطة‬‫ثابت‬‫ة‬( 𝟎)‫تسمى‬
‫حٌث‬ ‫البإرة‬𝟎‫معلوم‬ ‫مستمٌم‬ ‫عن‬ ‫لبعدها‬ ‫دائمآ‬ ‫مساوٌآ‬( )‫البإرة‬ ‫ٌحتوي‬ ‫ال‬ ‫وهو‬ ‫الدلٌل‬ ‫ٌسمى‬ ‫والذي‬
‫أخر‬ ‫بمعنى‬ ‫أو‬ً‫والت‬ ‫مستوي‬ ‫داخل‬ ‫النمط‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬‫ٌك‬‫مستمٌم‬ ‫عن‬ ‫لبعدها‬ ‫مساوٌا‬ ‫معلومة‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫ون‬
‫معلوم‬.
‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬xis)a-(x‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬:
‫باستخدام‬‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌمكن‬ ‫التعرٌف‬‫نمطتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬ ‫لانون‬ ‫على‬ ‫باالعتماد‬
√( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 (‫البعد‬ ‫)قانون‬
( ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫من‬ )
√( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( ) 𝟐 ( ) 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟎
𝟐
𝟒 𝟎 (‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القٌاسٌة‬ ‫)المعادلة‬
‫و‬‫ذذذ‬‫ذ‬‫ه‬‫ذذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫للمطذذذع‬ ‫ذذٌة‬‫ذ‬‫المٌاس‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫المعادل‬ ً‫ذذ‬‫ذ‬‫ه‬‫ذذٌنات‬‫ذ‬‫الس‬ ‫ذذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ً‫تنتمذذذ‬ ‫ذذه‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬((x-axisً‫فذذذ‬ ‫ذذرأس‬‫ذ‬‫وال‬
‫ذذذل‬‫ذ‬‫األص‬ ‫ذذذة‬‫ذ‬‫نمط‬‫ذذذث‬‫ذ‬ٌ‫ح‬‫ذذذة‬‫ذ‬‫النمط‬ ‫ذذذمى‬‫ذ‬‫تس‬"O"‫ذذذث‬‫ذ‬ٌ‫ح‬ ‫ذذذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫ذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذرأس‬‫ذ‬‫ب‬‫ذذذه‬‫ذ‬‫بإرت‬( 𝟎)‫ذذذه‬‫ذ‬‫دلٌل‬ ‫ذذذة‬‫ذ‬‫ومعادل‬
𝟎‫حٌث‬‫أثبات‬ ‫ٌمكن‬ ‫األسلوب‬ ‫وبنفس‬𝟐
𝟒

64. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
63
‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬xis)a-(y‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬:
‫نمطتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬ ‫لانون‬ ‫على‬ ‫باالعتماد‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌمكن‬ ‫التعرٌف‬ ‫باستخدام‬
√( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 (‫البعد‬ ‫)قانون‬
( ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫من‬ )
√( 𝟎) 𝟐 ( ) 𝟐 √( ) 𝟐 ( ) 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟒 𝟎 (‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القٌاسٌة‬ ‫)المعادلة‬
‫ال‬ ‫لمحذور‬ ً‫تنتمذ‬ ‫بإرتذه‬ ‫الذذي‬ ‫المكذافئ‬ ‫للمطذع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ً‫ه‬ ‫وهذ‬‫صذاد‬‫ات‬( (‫نمطذة‬ ً‫فذ‬ ‫والذرأس‬
‫النمطة‬ ‫تسمى‬ ‫حٌث‬ ‫األصل‬"O"‫بإرته‬ ‫حٌث‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫برأس‬(𝟎 )‫دلٌله‬ ‫ومعادلة‬𝟎‫حٌذث‬
‫أثبات‬ ‫ٌمكن‬ ‫األسلوب‬ ‫وبنفس‬𝟐
𝟒
‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫معادلتٌن‬ ‫ٌوجد‬ ‫انه‬ ‫سبك‬ ‫مما‬ ‫نالحظ‬(𝟎 𝟎)‫على‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫أحداهما‬
‫الم‬ ‫على‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫واألخرى‬ ً‫السٌن‬ ‫المحور‬‫ح‬‫الصادي‬ ‫ور‬‫ذلن‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدنا‬ ‫والجدول‬.
‫انسٕىاث‬ ‫محُر‬ ّ‫عه‬ ‫ٔكُن‬ ‫عىدما‬( )‫انصاداث‬ ‫محُر‬ ّ‫عه‬ ‫ٔكُن‬ ‫عىدما‬( )
①‫انسٕىاث‬ ‫نمحُر‬ ٓ‫تىتم‬ ‫انبؤرة‬( )①‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬( )
②‫انبؤرة‬( 𝟎)‫اندنٕم‬ ‫َمعادنت‬②‫البإرة‬(𝟎 )‫الدلٌل‬ ‫ومعادلة‬
③ٌٓ ‫انمطع‬ ‫محُر‬ ‫معادنت‬𝟎③ً‫ه‬ ‫المطع‬ ‫محور‬ ‫معادلة‬𝟎
④‫اندنٕم‬ْ‫ُٔاس‬ْ‫انصاد‬ ‫انمحُر‬④‫الدلٌل‬‫ٌوازي‬ً‫السٌن‬ ‫المحور‬
⑤‫انسٕىاث‬ ‫محُر‬ ‫حُل‬ ‫انتىاظز‬⑤‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫التناظر‬
⑥‫الدلٌل‬ ‫ٌنصف‬ ً‫السٌن‬ ‫المحور‬⑥‫الصادي‬ ‫المحور‬‫الدلٌل‬ ‫ٌنصف‬
⑦‫المانون‬𝟐
𝟒⑦‫المانون‬𝟐
𝟒
‫عامة‬ ‫مالحظات‬:
❶‫صحٌح‬ ‫والعكس‬ ‫الدلٌل‬ ‫أشار‬ ‫عكس‬ ‫البإرة‬ ‫أشار‬
❷‫والدلٌل‬ ‫البإرة‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬=2p
❸) ‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫أن‬ ‫(أي‬ ‫معادلته‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬
❹‫للمطع‬ ً‫تنتم‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬‫الدلٌل‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫ٌساوي‬ ‫البإرة‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫المكافئ‬
❺ً‫ه‬ ‫به‬ ‫الخاصة‬ ‫الممٌز‬ ‫ومعادلة‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫هو‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫رأس‬( 𝟐
𝟒 𝟎)
❻‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادالت‬ ‫عن‬ ‫أكثر‬ ‫تفاصٌل‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدنا‬ ‫الجدول‬
‫التناظر‬‫المطع‬ ‫أتجا‬‫المحور‬‫الدلٌل‬‫البإرة‬‫المعادلة‬
x-axis‫الٌمٌن‬x-axis( 𝟎)𝟐
𝟒
x-axis‫الٌسار‬x-axis( 𝟎)𝟐
𝟒
y-axis‫األعلى‬y-axis(𝟎 )𝟐
𝟒
y-axis‫األسفل‬y-axis(𝟎 )𝟐
𝟒

65. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
64
‫مثال‬)1)/‫المكاف‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البإرة‬ ‫جد‬‫ئ‬𝟐
𝟖
/ ‫الحل‬𝟐
𝟖
𝟐
𝟒 (‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ )
𝟒 𝟖
𝟖
𝟒
𝟐
( 𝟎) ( 𝟐 𝟎) ‫انبؤرة‬
𝟐 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
‫مثال‬)2)/‫معادل‬ ‫جد‬‫بإرته‬ ) ‫أ‬ : ‫علم‬ ‫أذا‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫ة‬(3,0)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬.
‫معادلة‬ ) ‫ب‬‫الدلٌل‬𝟐 𝟔 𝟎. ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫ورأسه‬
/ ‫الحل‬) ‫أ‬( 𝟎) (𝟑 𝟎) ‫البؤرة‬
𝟑 𝟐
𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ )
𝟐
𝟒(𝟑) 𝟐
𝟏𝟐 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
___________________________
) ‫ب‬𝟐 𝟔 𝟎 ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬
𝟐 𝟔 𝟑
𝟑 𝟐
𝟒
𝟐
𝟒(𝟑) 𝟐
𝟏𝟐 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
‫مثال‬)3)/‫جد‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫ومعادلة‬ ‫بإرة‬𝟐
𝟒‫أرسمه‬ ‫ثم‬
/ ‫الحل‬𝟐
𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ )
𝟐
𝟒
𝟒 𝟒
𝟒
𝟒
𝟏
( 𝟎) (𝟏 𝟎) ‫انبؤرة‬
𝟏 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
𝟐
4 𝟒(𝟏) 𝟒 𝟐√
𝟐𝟏𝟎
𝟐√2𝟎

66. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
65
‫مثال‬)4)/‫التعرٌف‬ ‫بؤستخدام‬‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫بإرته‬ ‫أن‬ ‫علم‬ ‫أذا‬ ‫المكافئ‬(√𝟑 𝟎). ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/ ‫ذل‬‫ذ‬‫الح‬‫ذإرة‬‫ذ‬‫الب‬(√𝟑 𝟎)‫ذة‬‫ذ‬‫النمط‬ ‫ذتكن‬‫ذ‬‫ول‬( )‫ذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ً‫ذ‬‫ذ‬‫منحن‬ ‫ذى‬‫ذ‬‫ال‬ ً‫ذ‬‫ذ‬‫تنتم‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬‫ذة‬‫ذ‬‫النمط‬ ‫ذتكن‬‫ذ‬‫ول‬
( √ 𝟑 )ً‫ه‬‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫العمود‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬( )‫الدلٌل‬ ‫على‬⃡‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫فمن‬
( ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫من‬ )
√( √𝟑)
𝟐
( 𝟎) 𝟐 √( √𝟑)
𝟐
( ) 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
( √𝟑 )
𝟐
𝟐
( √𝟑 )
𝟐
𝟐
𝟐√𝟑 𝟑 𝟐 𝟐
𝟐√𝟑 𝟑
𝟐
𝟒√𝟑 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
‫مثال‬)5)/‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البإرة‬ ‫جد‬𝟑 𝟐
𝟐𝟒 𝟎
/ ‫الحل‬𝟑 𝟐
𝟐𝟒 𝟎 𝟑 𝟐
𝟐𝟒 (𝟑 ‫عهى‬ ‫انمعادنت‬ ‫طرفي‬ ‫وقسم‬ )
𝟐
𝟖
𝟐
𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ )
𝟒 𝟖
𝟖
𝟒
𝟐
(𝟎 ) (𝟎 𝟐) ‫انبؤرة‬
𝟐 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
‫مثال‬)6)/‫بإرته‬ ) ‫أ‬ : ‫علم‬ ‫أذا‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟎 𝟓)‫و‬‫رأس‬‫ه‬‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬.
‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ) ‫ب‬𝟕. ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫ورأسه‬
/ ‫الحل‬) ‫أ‬(𝟎 ) (𝟎 𝟓) ‫البؤرة‬
𝟓 𝟐
𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ )
𝟐
𝟒(𝟓) 𝟐
𝟐𝟎 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
___________________________
) ‫ب‬𝟕 (‫اندنيم‬ ‫معادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ )
𝟕 𝟐
𝟒 (‫انمكافئ‬ ‫نهقطع‬ ‫انقياسيت‬ ‫انمعادنت‬ )
𝟐
𝟒(𝟕) 𝟐
𝟐𝟖 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬

67. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
66
‫مثال‬)7)/‫بالنمطتٌن‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟐 𝟒) (𝟐 𝟒 )‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫ورأسه‬
/ ‫الحل‬‫لٌمة‬ ‫(ألن‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬ ‫النمطتان‬) ‫تتغٌر‬ ‫لم‬ ‫ثابتة‬
ٌٓ ‫انمكافئ‬ ‫نهمطع‬ ‫انمٕاسٕت‬ ‫انمعادنت‬𝟐
𝟒
‫انىمطت‬ ‫َنتكه‬ ‫بٍا‬ ‫ٔمز‬ ً‫ألو‬ ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬ ‫تحممان‬ ‫انهتٕه‬ ‫انىمطتٕه‬ ِ‫أحد‬ ‫وعُض‬(𝟐 𝟒)
(𝟒) 𝟐
𝟒 (𝟐) 𝟏𝟔 𝟖
𝟏𝟔
𝟖
𝟐
𝟐
𝟒 𝟐
𝟒(𝟐) 𝟐
𝟖 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
‫مثال‬)8)/‫بالنمطة‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫وٌمر‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟑 𝟓)
/‫الحل‬‫لعدم‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫أحتمالٌن‬ ‫ٌوجد‬, ‫انبؤرة‬ ‫تحدٔد‬‫َاالحتمانٕه‬: ‫ٌما‬
‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ : ‫أوال‬‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ : ‫ثانٌا‬
𝟐
𝟒 (‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ )
𝟓 (‫الدلٌل‬ ‫)معادلة‬
𝟓
𝟐
𝟒 𝟐
𝟒(𝟓)
𝟐
𝟐𝟎 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
𝟐
𝟒 (‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ )
𝟑 (‫الدلٌل‬ ‫)معادلة‬
𝟑
𝟐
𝟒 𝟐
𝟒( 𝟑)
𝟐
𝟏𝟐 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
(𝟐 𝟏)‫تمارين‬
‫س‬1/‫لها‬ ً‫البٌان‬ ً‫المنحن‬ ‫أرسم‬ ‫ثم‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬:
) ‫أ‬ (‫البإرة‬(𝟓 𝟎)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬(𝟓 𝟎)
𝟓 𝒙 𝟓 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
𝒚 𝟒𝟐
𝒚 𝟒(𝟓)𝟐
𝒚 𝟐𝟎 ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬𝟐
𝟐𝟏𝟎
2√2√5𝟎

68. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
67
) ‫ب‬ (‫البإرة‬(𝟎 𝟒)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬(𝟎 𝟒)
𝟒 y 4 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
𝑥 𝟒2
𝑥 𝟒(𝟒)2
𝑥 𝟏𝟔 ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬2
4√24𝟎
2𝟎
) ‫ج‬ (‫البإرة‬(𝟎 √𝟐 )‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬(𝟎 √𝟐 )
√𝟐 y √𝟐 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
𝑥 𝟒2
𝑥 𝟒(√𝟐) ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬2
2√2
2√√𝟐
𝟎
√𝟐𝟎
) ‫د‬ (‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫معادلة‬𝟒 𝟑 𝟎‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬
𝟒 𝟑 𝟎 𝟒 𝟑 y
3
4
‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
p
3
4
F
3
4
‫البؤرة‬
𝑥 𝟒2
𝑥 𝟒2
3
4
𝑥 𝟑 ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬2
√6√𝟑𝟎
𝟐𝟎

69. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
68
‫س‬2/‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫والدلٌل‬ ‫المحور‬ ً‫ومعادلت‬ ‫والرأس‬ ‫البإرة‬ ‫جد‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬:
( ) 𝟐
𝟒
/‫الحل‬𝟒 𝟒 𝑝 (𝟎 𝟏)‫البؤرة‬
𝟎 (‫المحور‬ ‫معادلة‬ ) 𝟏 (‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ) (𝟎 𝟎)‫الرأس‬
( ) 𝟐 𝟏𝟔 𝟐
𝟎
/‫الحل‬
𝟏𝟔 𝟐
𝟐 𝟐 𝟏
𝟖
𝟒
𝟏
𝟖
p
𝟏
𝟑𝟐
(
𝟏
𝟑𝟐
𝟎) ‫البؤرة‬
𝟎 (‫المحور‬ ‫معا‬‫دلة‬ )
𝟏
𝟑𝟐
(‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ) (𝟎 𝟎)‫الرأس‬
‫س‬3/‫بالنمطتٌن‬ ‫المار‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟐 𝟓) (𝟐 𝟓)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬∵‫ال‬‫نمطتان‬ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬‫والمانون‬( 𝟐
𝟒 )
‫تحمم‬ ‫النمطتان‬‫ان‬‫الن‬ ‫المعادلة‬‫بهما‬ ‫ٌمر‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬‫لذا‬‫نؤخذ‬‫النمطة‬( 𝟐 𝟓)‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫ونعوضها‬
(𝟓) 𝟐
𝟒 (𝟐) 𝟐𝟓 𝟖𝒑 𝒑
𝟐𝟓
𝟖
𝟐
𝟒 𝟒
25
8
𝟐
𝟐𝟓
𝟐
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫س‬4/‫بالنمطذة‬ ‫ٌمذر‬ ‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫دلٌل‬ ‫كان‬ ‫أذا‬( 𝟑 𝟒)‫بإرتذه‬ ‫أن‬ ‫علمذا‬ ‫معادلتذه‬ ‫جذد‬ ‫األصذل‬ ‫نمطذة‬ ً‫فذ‬ ‫والذرأس‬
‫المحورٌن‬ ‫ألحد‬ ً‫تنتم‬
/‫الحل‬∵‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫الدلٌل‬( 𝟑 𝟒)‫األول‬ ‫هما‬ ‫دلٌالن‬ ‫هنان‬( 𝟑)ً‫والثان‬( 𝟒)
‫مكافئ‬ ‫لطعان‬ ‫هنان‬‫ان‬
‫األول‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬)‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ (
𝟑 𝟑
‫المانون‬𝟐 𝟒
𝟐
𝟒(𝟑) 𝟐
𝟏𝟐
‫المكافئ‬ ‫المطع‬‫الصاد‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ ( ً‫الثان‬)‫ات‬
𝟒 𝟒
‫المانون‬𝟐 𝟒
𝟐
𝟒(𝟒) 𝟐
𝟏𝟔

70. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
69
‫س‬5/‫معادلته‬ ‫مكافئ‬ ‫لطع‬𝟐
𝟖 𝟎‫ٌمر‬‫بالنمطة‬( 𝟏 𝟐)‫لٌمة‬ ‫جد‬A‫ودلٌله‬ ‫بإرته‬ ‫جد‬ ‫ثم‬‫و‬‫المطع‬ ‫أرسم‬
/‫الحل‬∵‫ٌمر‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬‫ب‬‫النمطة‬(𝟏 𝟐 )
‫النمطة‬(𝟏 𝟐 )‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( 𝟐
𝟖 𝟎)
(𝟏) 𝟐
𝟖(𝟐) 𝟎 A 6 𝟐
𝟖 𝟎 ( 𝟏𝟔)6
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎 𝟐
𝟏
𝟐
( 𝟐
𝟒 ‫القٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫)بالمقارنة‬
𝟒𝒑
𝟏
𝟐
𝒑
𝟏
𝟖
F( 𝑝) F
𝟏
𝟖
‫البؤرة‬
𝟏
𝟖
‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬
yx
00
𝟏𝟏
√𝟐
𝟐
‫س‬6/‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫التعرٌف‬ ‫باستخدام‬:
) ‫أ‬ (‫البإرة‬(𝟕 𝟎)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬𝟕 𝒙 ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬𝟕
(‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ )
√( 𝟕) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( 𝟕) 𝟐 ( ) 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬)
( 𝟕) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 ( 𝟕) 𝟐
𝟐
𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟐 𝟐
𝟏𝟒 𝟒𝟗
𝟏𝟒 𝟐
𝟏𝟒 𝟐
𝟐𝟖 (‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
‫وزاري‬2011/‫د‬1

71. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
70
) ‫ب‬ (‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬√ 𝟑‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬√𝟑 𝑝 √𝟑
(𝟎 ) (𝟎 √𝟑) ‫البؤرة‬
(‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ )
√( 𝟎) 𝟐 ( √𝟑)
𝟐
√( ) 𝟐 ( √𝟑)
𝟐
(‫الطرفٌن‬ ‫)بتربٌع‬
𝟐
( √ 𝟑)
𝟐
( √ 𝟑)
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐√ 𝟑 𝟑 𝟐
𝟐√ 𝟑 𝟑
𝟐
𝟐√ 𝟑 𝟐√ 𝟑 𝟐
𝟒√ 𝟑 (‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫التالٌة‬ ‫الشروط‬ ‫وٌحمك‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬:
(1)‫بإرته‬(𝟓 𝟎)
‫انحم‬/‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ً‫ه‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬𝟐
𝟒
( 𝟎) (𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐
𝟒(𝟓) 𝟐
𝟐𝟎 𝟎
(2)‫بإرته‬(𝟎 𝟑)
‫انحم‬/‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ً‫ه‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬𝟐
𝟒
(𝟎 ) (𝟎 𝟑) 𝟑 𝟐
𝟒(𝟑) 𝟐
𝟏𝟐 𝟎
(3)‫دلٌله‬ ‫معادلة‬𝟐 𝟔 𝟎
‫انحم‬/
𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 (𝟎 𝟑) ‫البؤرة‬
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒( 𝟑) 𝟐
𝟏𝟐 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

72. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
71
(4)‫و‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ٌ‫بالنمطة‬ ‫مر‬(√𝟐
𝟏
𝟐
)
‫انحم‬/‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬ً‫ه‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬𝟐
𝟒
‫النمطة‬(√𝟐
𝟏
𝟐
)‫معادلته‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬
(√𝟐)
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐 𝟏
𝟐
𝟒 𝟒(𝟏) 𝟐
𝟒 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
(5)‫بالنمطتٌن‬ ‫ٌمر‬(𝟏 𝟐√𝟓) (𝟏 √𝟓)‫دلٌله‬ ‫ومعادلة‬ ‫معادلته‬ ‫جد‬
‫انحم‬/‫لٌمة‬ ‫(ألن‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬ ‫النمطتٌن‬x) ‫تتغٌر‬ ‫لم‬ ‫ثابتة‬ٌٓ ً‫معادنت‬𝟐
𝟒
∴‫بٍا‬ ‫ٔمز‬ ً‫ألو‬ ‫انىمطتٕه‬ ِ‫أحد‬ ‫وعُض‬
(𝟐√𝟓)
𝟐
𝟒 (𝟏) 𝟐𝟎 𝟒 𝟓 𝟓 ‫اندنيم‬ ‫معادنت‬
𝟐
𝟒 𝟒(𝟓) 𝟐
𝟐𝟎 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
(6)‫بانىمطت‬ ‫ٔمز‬ ً‫َدنٕه‬ ‫انسٕىاث‬ ‫نمحُر‬ ٓ‫تىتم‬ ً‫بؤرت‬(𝟐 𝟒)
‫انحم‬/‫انسٕىاث‬ ‫نمحُر‬ ٓ‫تىتم‬ ً‫بؤرت‬ٌٓ ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬𝟐
𝟒
‫بانىمطت‬ ‫ٔمز‬ ً‫دنٕه‬(𝟐 𝟒)‫فأن‬ ‫نذا‬𝟐‫اندنٕم‬ ‫معادنت‬ ٌٓٓ‫انسٕى‬ ٓ‫األحداث‬ ‫ٔمطع‬ ‫اندنٕم‬ ‫ألن‬𝟐
𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
𝟒( 𝟐) 𝟐
𝟖 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
(7)‫معادنتٍا‬ ٓ‫انت‬ ‫اندائزة‬ ‫مزكش‬ ً‫َبؤرت‬ ‫األصم‬ ‫ومطت‬ ً‫رأس‬𝟐 𝟐
𝟒 𝟏 𝟎
‫انحم‬/‫اندائزة‬ ‫مزكش‬=(
( ‫)معامم‬
𝟐
( ‫)معامم‬
𝟐
)=(
𝟎
𝟐
( 𝟒)
𝟐
)=(𝟎 𝟐)‫انبؤرة‬ =
𝟐ٌٓ ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫َمعادنت‬ ‫انصاداث‬ ‫نمحُر‬ ٓ‫تىتم‬ ‫انبؤرة‬ َ𝟐
𝟒
𝟐
𝟒 𝟒(𝟐) 𝟐
𝟖 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
(8)‫محُري‬ ‫َمعادنت‬ ْ‫انصاد‬ ‫انمحُر‬ ْ‫ُٔاس‬ ً‫دنٕه‬𝟎‫بانىمطت‬ ‫َٔمز‬( 𝟐 𝟏 )
‫انحم‬/‫بانىمطت‬ ‫َٔمز‬ ْ‫انصاد‬ ‫انمحُر‬ ْ‫ُٔاس‬ ‫اندنٕم‬( 𝟐 𝟏 )
‫انمُجب‬ ٓ‫انسٕى‬ ٓ‫األحداث‬ ّ‫عه‬ ‫تمع‬ ‫َانبؤرة‬ ‫انسانب‬ ٓ‫انسٕى‬ ٓ‫األحداث‬ ‫ٔمطع‬ ‫اندنٕم‬
ٌٓ ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬𝟐
𝟒
‫بانىمطت‬ ‫ٔمز‬ ‫انمطع‬( 𝟐 𝟏 )ً‫تحمم‬ ٍٓ‫ف‬ ‫نذا‬
𝟐
𝟒 (𝟏) 𝟐
𝟒 ( 𝟐) 𝟏 𝟖
𝟏
𝟖
𝟐
𝟒
𝟏
𝟖
𝟐
𝟏
𝟐
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

73. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
72
(9)‫انمستمٕم‬ ‫مه‬ ‫ٔمطع‬𝟒‫طُنٍا‬ ‫لطعت‬‫وحداث‬ (𝟏𝟎)
‫انحم‬/
𝟐 𝟏𝟎 𝟓 (𝟒 𝟓)(𝟒 𝟓) ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫رأسي‬
‫انسٕىاث‬ ‫محُر‬ ‫حُل‬ ‫انتىاظز‬‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬𝟐
𝟒‫َانىمطت‬( 𝟒 𝟓)ً‫تحمم‬
𝟐
𝟒 (𝟓) 𝟐
𝟒 (𝟒)
𝟐𝟓
𝟏𝟔
𝟐
𝟒 𝟒
𝟐𝟓
𝟏𝟔
𝟐
𝟐𝟓
𝟒
‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫الشروط‬ ‫وٌحمك‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
(1)‫للعدد‬ ‫الدٌكارتٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫بإرته‬𝐳
𝟒+𝟐𝐢
𝟐 𝐢
‫انحم‬/
𝐳
𝟒 𝟐𝐢
𝟐 𝐢
×
𝟐 𝒊
𝟐 𝒊
𝟖 𝟒𝒊 𝟒𝒊 𝟐
𝟓
𝟏𝟎
𝟓
𝟐 ( 𝟐 𝟎) ‫الدٌكارتٌة‬ ‫الصٌغة‬
( 𝟐 𝟎) (𝒑 𝟎) ‫البؤرة‬ 𝐩 𝟐
𝒚 𝟐
𝟒𝒑𝒙 𝟒( 𝟐)𝒙 𝒚 𝟐
𝟖𝒙 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
(2)‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫ودلٌله‬ ‫المحورٌن‬ ‫ألحد‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬(3,4)
‫انحم‬/∵‫بالن‬ ‫ٌمر‬ ‫الدلٌل‬‫مطة‬(3,4)‫ٌوازي‬ ‫المحورٌن‬ ‫الي‬ ‫ٌحدد‬ ‫ولم‬‫دلٌالن‬ ‫ٌوجد‬𝒑 𝟑 𝒑 𝟒
‫االولى‬ ‫بإرتان‬ ‫ٌوجد‬(𝟎 𝟒)‫والثانٌة‬( 𝟑 𝟎)‫مكافئان‬ ‫لطعان‬ ‫وجدود‬ ً‫ٌعن‬ ‫مما‬
𝒚 𝟐
𝟒𝒑𝒙 𝟒(𝟑)𝒙 𝒚 𝟐
𝟏𝟐𝒙 ‫األول‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝒙 𝟐
𝟒𝒑𝒚 𝟒(𝟒)𝒚 𝒙 𝟐
𝟏𝟔𝒚 ‫انثاوي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
(3)‫المثلث‬ ‫برإوس‬ ‫ٌمر‬ABC‫حٌث‬𝑨(𝟎 𝟎) 𝑩( 𝟐 𝟒) 𝑪(𝟐 𝒎)‫لٌمة‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬m
‫انحم‬/∵‫النمطة‬(2,m)‫الرابع‬ ‫أو‬ ‫األول‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬ ‫أما‬ ‫تمع‬
‫النمطة‬(2,m)‫المطع‬ ‫ٌتحمك‬ ً‫لك‬ ‫األول‬ ‫للربع‬
‫المانون‬ ‫و‬ ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫على‬ ‫تمع‬ ‫البإرة‬𝒙 𝟐
𝟒𝒑𝒚
∵‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫المطع‬( 𝟐 𝟒)‫تحممه‬ ً‫فه‬
( 𝟐) 𝟐
𝟒𝒑(𝟒) 𝒑
𝟒
𝟏𝟔
𝐩
𝟏
𝟒
𝒙 𝟐
𝟒𝒑𝒚 𝟒
𝟏
𝟒
𝒚 𝒙 𝟐
𝒚 ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
∵‫النمطة‬(2,m)‫معادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫لذا‬ ‫المطع‬ ‫على‬ ‫تمع‬‫المطع‬
(𝟐) 𝟐
𝐦 𝐦 𝟒
(4)‫دلٌله‬ ‫ومعادلة‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬𝟐𝒚 √ 𝟑 𝟎
‫ا‬‫نحم‬/
𝟐𝒚 √𝟑 𝟎 𝟐𝐲 √𝟑 𝐲
√𝟑
𝟐
𝐩
√𝟑
𝟐
𝒙 𝟐
𝟒𝒑𝒚 𝟒
√𝟑
𝟐
𝒚 𝒙 𝟐
𝟐√𝟑𝒚 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

74. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
73
‫س‬1‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ‫والدلٌل‬ ‫المحور‬ ً‫ومعادلت‬ ‫البإرة‬ ‫جد‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ::
( ) 𝟐
𝟖
( ) 𝟐
𝟒 𝟎
( ) 𝟐
𝟐𝟖 𝟎
‫س‬2‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ :( 𝟐 𝟓)‫بإرتــــــه‬ ‫أن‬ ‫علما‬ ‫معادلته‬ ‫فجد‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫المحورٌن‬ ‫ألحد‬ ً‫تنتم‬
‫س‬3‫جد‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ :: ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬
‫بإرته‬ )‫(أ‬( 𝟕 𝟎). ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫له‬ ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ )‫(ب‬𝟐 𝟑 𝟎. ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬ ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ )‫(ج‬(𝟑 𝟔). ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫دلٌله‬ ‫و‬ ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫بإرته‬ )‫(د‬( 𝟒 𝟓). ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫معادلة‬ )‫(ب‬‫له‬ ‫الدلٌل‬𝟐 √ 𝟑 𝟎. ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫س‬4:‫معادل‬ ‫جد‬ ‫التعرٌف‬ ‫بؤستخدام‬‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫ة‬:
) ‫أ‬ (‫بإرته‬(𝟒 𝟎)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬
‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ) ‫ب‬ (𝟓 𝟎‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والرأس‬

75. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
74
‫ال‬ ‫المطع‬‫نالص‬) ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫الرأس‬ (:
‫هو‬‫مجموعة‬‫نماط‬‫المستوي‬( )ً‫الت‬‫ٌكون‬‫مجموع‬‫بعدي‬‫أي‬‫نمطة‬‫منهذا‬‫عذن‬‫نمطتذٌن‬‫ثذابتتٌن‬‫تسذمٌان‬‫البإرتذان‬
‫تساوي‬‫عددا‬‫ثابتا‬‫لٌمته‬‫تساوي‬(𝟐 )
‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمٌان‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬xis)a-(x‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬
𝟏 𝟐 𝟐 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ )
√( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐
√( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐 √( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 ( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬)
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
𝟒 √( ) 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟒 √( ) 𝟐 ( ) 𝟐 𝟒 𝟐
𝟒 ( 𝟒)
√ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬)
𝟐( 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐
𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐) [ 𝟎 ‫حٌث‬ 𝟐 𝟐 𝟐
‫]نفرض‬
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐)
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
‫أن‬ ‫حٌث‬( ) ( )
‫هما‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬𝟐( 𝟎) 𝟏( 𝟎)ً‫ه‬ ‫وبإرتا‬𝟐( 𝟎) 𝟏( 𝟎)
ً‫وهذذذ‬ ‫ذذادات‬‫ذ‬‫الص‬ ‫ذذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ‫ذذان‬‫ذ‬ٌ‫تنتم‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذاد‬‫ذ‬‫أٌج‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫ٌمكنن‬ ‫ذذلوب‬‫ذ‬‫األس‬ ‫ذذنفس‬‫ذ‬‫ب‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏‫أن‬ ‫حٌذذذذث‬‫ذذذذا‬‫ذ‬‫هم‬ ‫ذذذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذا‬‫ذ‬‫رأس‬𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )ً‫ذذذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذذذا‬‫ذ‬‫وبإرت‬
𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )

76. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
75
: ً‫التال‬ ‫الشكل‬ ‫الحظ‬
: ‫مالحظات‬
①‫دائما‬( ) ( )‫أن‬ ‫حٌث‬( 𝟎)
②‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬𝟐
③‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬𝟐
④‫البإرتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬𝟐
⑤‫ٌكون‬ ‫دائما‬𝟐 𝟐 𝟐
⑥‫المركزي‬ ‫االختالف‬
√ 𝟐 𝟐
‫ٌكون‬ ‫أنه‬ ‫ٌالحظ‬ ‫حٌث‬( 𝟏)‫ولٌمة‬( √ 𝟐 𝟐 )
⑦‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫مساحة‬
⑧‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫محٌط‬𝟐 √
𝟐+ 𝟐
𝟐
‫أن‬ ‫حٌث‬(
𝟐𝟐
𝟕
)
⑨‫محورٌه‬ ‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫النسبة‬
𝟐
𝟐
⑩‫أذا‬‫مر‬‫المطع‬‫بنمطة‬‫أحد‬‫إحداثٌاتها‬‫صفر‬ً‫فاإلحداث‬ً‫الثان‬‫هو‬‫أما‬( )‫أو‬( )‫واألكبر‬‫هو‬( )‫واألصغر‬‫هو‬( )
⑪‫الجدول‬ ‫الحظ‬: ‫أدنا‬
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بإرتا‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بإرتا‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬
‫المعادلة‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏‫المعادلة‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
‫البإرتان‬𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )‫البإرتان‬𝟐( 𝟎) 𝟏( 𝟎)
‫الرأسان‬𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )‫الرأسان‬𝟐( 𝟎) 𝟏( 𝟎)

77. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
76
( ‫مثال‬9/)‫البإر‬ ‫من‬ ‫كل‬ ً‫وأحداث‬ ‫المحورٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬‫والرأسٌن‬ ‫تٌن‬‫واالختالف‬‫المركزي‬
①
𝟐
𝟐𝟓
𝟐
𝟏𝟔
𝟏 ② 𝟒 𝟐
𝟑 𝟐
𝟒
𝟑
‫الحل‬(1)
‫النالص‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫بالممارنة‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝑎 𝟐𝟓2
𝟓 𝟐
𝟏𝟔𝑎 𝟒 𝟐
b 𝑎 𝟐
𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗2
𝟑c
𝟐 𝟐(𝟓) 𝟏𝟎 ‫وحدة‬ ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝟐 𝟐(𝟒) 𝟖 ‫وحدة‬ ‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝟐 𝟐(𝟑) 𝟔 ‫وحدة‬ ‫البؤري‬ ‫البعد‬
𝟏(𝟓 𝟎) 𝟐( 𝟓 𝟎) ‫الرأسان‬ 𝟏 (𝟑 𝟎) 𝟐( 𝟑 𝟎) ‫البؤرتان‬
𝟓
𝟏 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟑
‫الحل‬(2)
𝟒 𝟐
𝟑 𝟐
𝟒
𝟑
×
𝟑
𝟒
𝟒 𝟐
(
𝟒
𝟑
)
𝟑 𝟐
(
𝟒
𝟑
)
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟑
)
𝟗 𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟑
)
𝟐
(
𝟒
𝟗
)
𝟏
𝑎
𝟒
𝟗
2
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
𝟑
𝑎
𝟏
√𝟑
𝟐
b 𝑎 𝟐
𝟒
𝟗
𝟏
𝟑
𝟏
𝟗
2
𝟏
𝟑
c
𝟐 𝟐
𝟐
𝟑
𝟒
𝟑
‫وحدة‬ ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝟐 𝟐
𝟏
√𝟑
𝟐
√𝟑
‫وحدة‬ ‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝟏 𝟎
𝟐
𝟑 𝟐 𝟎
𝟐
𝟑
‫الرأسان‬ 𝟏 𝟎
𝟏
𝟑 𝟐 𝟎
𝟏
𝟑
‫البؤرتان‬
𝟏
𝟑
(
𝟐
𝟑
)
( ) 𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬

78. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
77
( ‫مثال‬10/)‫معادل‬ ‫جد‬‫ـــ‬‫النال‬ ‫المطع‬ ‫ـــة‬‫ــ‬‫بإرتــــــا‬ ‫الذي‬ ‫ـص‬𝟐( 𝟑 𝟎) 𝟏(𝟑 𝟎)‫ورأس‬‫ـ‬‫النمطـــــتـــان‬ ‫ــــا‬
𝟐( 𝟓 𝟎) 𝟏(𝟓 𝟎). ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬
/‫الحل‬
∵‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫والمركز‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫ٌمعان‬ ‫والرأسان‬ ‫البإرتان‬⇐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟑 𝑪 𝟗𝟐
𝟓 𝒂 𝟐𝟓𝟐
𝑪 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝑪 𝟐
𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝒃 𝟐
𝟏 𝟔
𝟐
𝟐𝟓
𝟐
𝟏𝟔
𝟏 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
( ‫مثال‬11/)‫معادل‬ ‫جد‬‫ـ‬ٌ‫و‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالــــــص‬ ‫المطع‬ ‫ــة‬‫المحورٌـــ‬ ‫على‬ ‫محورا‬ ‫نطبك‬‫ـن‬‫اإلحداثٌٌن‬
‫وٌمطع‬‫من‬‫الس‬ ‫محور‬‫طوله‬ ً‫ا‬‫جزء‬ ‫ـٌنات‬(𝟖)‫الص‬ ‫محور‬ ‫ومن‬ ‫وحدات‬‫طوله‬ ً‫ا‬‫جزء‬ ‫ادات‬(𝟏𝟐),‫وحدة‬‫ثم‬
. ‫ومحٌطه‬ ‫منطمته‬ ‫ومساحة‬ ‫البإرتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬ ‫جد‬
/‫الحل‬
‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂 𝟐
(‫الصادات‬ ‫على‬ ‫تقع‬ ‫)البؤرة‬𝟑𝟔
‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ 𝟐 𝟖 b 4 𝑏2
6
𝑥
𝟏𝟔
2
𝒚
𝟑𝟔
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒄 𝟐
𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐𝟎
𝐜 √𝟐𝟎 𝟐√𝟓
𝟐𝐜 𝟒√𝟓 (‫انبؤرتيه‬ ‫بيه‬ ‫انمسافت‬ )
‫انمساحت‬ (6)(4) 24 ( ‫مربعة‬ ‫)وحدة‬
‫انمحيط‬ 2 √
2 2
2
2 √
𝟑𝟔 𝟏𝟔
2
2 √
𝟓𝟐
2
𝐩 2√𝟐𝟔 ( ‫)وحدة‬
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟐√𝟓
𝟔
√𝟓
𝟑

79. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
78
( ‫مثال‬21/)‫لتكن‬𝟐
𝟒 𝟐
𝟑𝟔‫معادلـــ‬‫م‬ ‫نالـــــــص‬ ‫لطع‬ ‫ة‬‫بإرتٌــــــــه‬ ‫وأحدى‬ ‫األصـــــل‬ ‫نمطة‬ ‫ــركز‬
(√𝟑 𝟎)‫لٌمة‬ ‫جد‬‫وزاري‬2015/‫د‬1
/‫الحل‬
𝟐
𝟒 𝟐
𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)
𝟐
𝟑𝟔
𝟒 𝟐
𝟑𝟔
𝟏
𝟐
(
𝟑𝟔
)
𝟐
𝟗
𝟏
∵‫البإرة‬(√𝟑 𝟎)‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬‫المانون‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ⇐
√𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
𝟗 𝑎
𝟑𝟔2
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝟑𝟔
𝟗 𝟑
𝟑𝟔
𝟏𝟐
𝟑𝟔
𝟏𝟐
𝐤 𝟑
( ‫مثال‬31/)‫معادل‬ ‫جد‬‫ـ‬‫النال‬ ‫المطع‬ ‫ــة‬‫ـ‬‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫ـص‬‫الســـ‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبإرتا‬ ‫األصل‬‫بٌن‬ ‫والمسافة‬ ‫ـــٌنات‬
‫البإرتٌن‬(𝟔)‫وحدات‬‫المحورٌن‬ ً‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫والفرق‬(𝟐). ‫وحدة‬
/‫الحل‬
𝟐 𝟔 c 3
𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝟏( ) 𝟐
𝒃 𝟗𝟐
𝟏 𝟐 𝒃 𝟐
𝒃 𝟗𝟐
𝟐 𝟖 𝐛 𝟒 𝒂 𝟓
𝒙
𝟐𝟓
𝟐
𝑦
𝟏𝟔
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
( ‫مثال‬41/)‫معادل‬ ‫جد‬‫ــ‬‫النال‬ ‫المطع‬ ‫ـة‬‫ــ‬‫ا‬ ‫ـص‬‫األصــ‬ ‫نمطــــــة‬ ‫مركز‬ ‫لذي‬‫وأحدى‬ ‫ــل‬‫المكافــــ‬ ‫المطـــع‬ ‫بإرة‬ ‫بإرتٌه‬‫ئ‬
𝟐
𝟏𝟐 𝟎‫ٌساوي‬ ‫الصغٌر‬ ‫محور‬ ‫وطول‬(𝟏𝟎). ‫وحدات‬
/‫الحل‬‫المعطى‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬:
𝟐
𝟏𝟐 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒 4p 2 p 3 (3 ‫البورة‬)
‫النالص‬ ‫المطع‬:‫البإرتان‬𝟏(𝟑 𝟎) 𝟐( 𝟑 𝟎)𝟑 ⇐
𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝑎 𝟐 𝟐2
𝑎 𝟐𝟓 𝟗2
𝑎 𝟑𝟒2
𝒙
𝟑𝟒
𝟐
𝑦
𝟐𝟓
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2

80. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
79
( ‫مثال‬51/): ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعرٌف‬ ‫بؤستخدام‬
𝟐( 𝟐 𝟎) 𝟏(𝟐 𝟎)‫الثابت‬ ‫والعدد‬𝟔.
/‫الحل‬
𝟏 𝟐 𝟐 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ )
√( 𝟐) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( 𝟐) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐(𝟑)
√( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟔 √( 𝟐) 𝟐 𝟐 ( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬)
( 𝟐) 𝟐 𝟐
𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐) 𝟐 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟐
𝟐
𝟒 𝟒 𝟐
𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐
𝟒 𝟒 𝟐
𝟏𝟐√( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟖 ( 𝟒)
𝟑√( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟗 𝟐 ( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬)
𝟗( 𝟐
𝟒 𝟒 𝟐) 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐
𝟗 𝟐
𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟗 𝟐
𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐
𝟓 𝟐
𝟗 𝟐
𝟖𝟏 𝟑𝟔
𝟓 𝟐
𝟗 𝟐
𝟒𝟓 ( 𝟒𝟓)
𝟐
𝟗
𝟐
𝟓
𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
‫مالحظة‬
‫المطع‬ ‫ولٌكن‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬ ‫لرسم‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏: ‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬
①‫النمطتٌن‬ ‫نعٌن‬𝟏( 𝟎) 𝟐( 𝟎)
②‫النمطتٌن‬ ‫نعٌن‬𝟏(𝟎 ) 𝟐(𝟎 )
③‫األربعة‬ ‫النماط‬ ‫بٌن‬ ‫نصل‬𝟏 𝟏 𝟐 𝟐‫متصل‬ ً‫منحن‬ ‫ٌتكون‬ ‫حتى‬ ‫بالترتٌب‬
④‫البإرتٌن‬ ‫نعٌن‬𝟏( 𝟎) 𝟐( 𝟎)

81. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
80
(𝟐 𝟐)‫تمارين‬
‫س‬1/‫والرأسذٌن‬ ‫البذإرتٌن‬ ‫مذن‬ ‫كذل‬ ‫عذٌن‬‫والمركذز‬ ‫والمطبذٌن‬‫المحذورٌن‬ ‫مذن‬ ‫كذل‬ ‫ومعادلذة‬ ‫طذول‬ ‫جذد‬ ‫ثذم‬‫واالخذتالف‬
‫المركزي‬ٓ‫ٔأت‬ ‫مما‬ ‫كم‬ ٓ‫ف‬ ‫معادالتٍا‬ ‫انمبٕىت‬ ‫انىالصت‬ ‫نهمطُع‬:
ⓐ 𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
/‫الحل‬
𝟐
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
)
𝟏 𝑎 𝟏2
𝑎 𝑏
𝟏
𝟐
2
b
𝟏
√𝟐
𝟐𝒂 𝟐(𝟏) 𝟐 ‫وحدة‬ ( ‫انمحىرانكبير‬ ‫طىل‬)
𝟐 𝟐
𝟏
√𝟐
√𝟐 ‫وحدة‬ ( ‫انمحىرانصغير‬ ‫طىل‬)
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
√𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
√𝟐
√𝟐 ‫وحدة‬ ( ‫انبؤرتيه‬ ‫بي‬ ‫انمسافت‬)
𝟏(𝟏 𝟎) 𝟐( 𝟏 𝟎) ‫الرأسان‬
𝟏
𝟏
√𝟐
𝟎 𝟐
𝟏
√𝟐
𝟎 ‫البؤرتان‬
𝟏 𝟎
𝟏
√𝟐
𝟐 𝟎
𝟏
√𝟐
(‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫القطبٌن)طرفا‬
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟏
√𝟐
𝟏
𝟏
√𝟐
𝟏
‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬( 𝟎)‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫ومعادلة‬( 𝟎)‫والمركز‬(𝟎 𝟎)

82. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
81
ⓑ 𝟗 𝟐
𝟏𝟑 𝟐
𝟏𝟏𝟕
/‫الحل‬‫على‬ ‫بالمسمة‬(𝟏𝟏𝟕)
𝟐
𝟏𝟑
𝟐
𝟗
𝟏 𝑎 𝟏𝟑2
𝑎 √𝟏𝟑 𝑏 𝟗2
b 𝟑
𝟐𝒂 𝟐 √𝟏𝟑( ) √𝟏𝟑𝟐 ‫وحدة‬ ( ‫انمح‬‫ىرانكبير‬ ‫طىل‬)
𝟐 𝟐(𝟑) 𝟔 ‫وحدة‬ ( ‫انمحىرانصغير‬ ‫طىل‬)
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝟏𝟑 𝟗 𝟒 𝟐
𝟐 𝟐(𝟐) 𝟒 ‫وحدة‬ ( ‫انبؤرتيه‬ ‫بي‬ ‫انمسافت‬)
𝟏(√𝟏𝟑 𝟎) 𝟐( √𝟏𝟑 𝟎) ‫الرأسان‬
𝟏 (𝟐 𝟎) 𝟐( 𝟐 𝟎) ‫البؤرتان‬
𝟏 (𝟎 𝟑) 𝟐(𝟎 𝟑) ‫القطبٌن‬
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟐
√𝟏𝟑
𝟏
‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬( 𝟎)‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫ومعادلة‬( 𝟎)‫والمركز‬(𝟎 𝟎)
‫س‬2/‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬ً‫ٌؤت‬:
)‫(أ‬‫النمطتان‬ ‫هما‬ ‫البإرتان‬( 𝟓 𝟎) ‫و‬ (𝟓 𝟎)‫ٌساوي‬ ‫الكبٌر‬ ‫محور‬ ‫وطول‬(𝟏𝟐)‫وحدة‬
/‫الحل‬
𝟏(𝟓 𝟎) 𝟐( 𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐
𝟐𝟓
𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂 𝟐
𝟑𝟔
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝒄 𝟐
𝟑𝟔 𝟐𝟓 𝒃 𝟏𝟏𝟐
𝒙
𝟑𝟔
𝟐
y
𝟏𝟏
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2

83. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
82
)‫(ب‬‫هما‬ ‫البإرتان‬(𝟎 𝟐)‫عند‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫وٌتماطع‬𝟒
/‫الحل‬
𝟏(𝟎 𝟐) 𝟐(𝟎 𝟐) 𝟐 𝟐
𝟒 (‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمٌان‬ ‫البؤرتان‬ )
‫التماطع‬ ‫نمط‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬‫عند‬𝟒ً‫وه‬ ‫المطبٌن‬ ‫تمثل‬( 𝟒 𝟎) (𝟒 𝟎)𝟐
𝟏𝟔 ⇐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟏𝟔 𝟒𝟐
𝒂 𝟐𝟎𝟐
𝒙
𝟏𝟔
𝟐 y
𝟐𝟎
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
()‫ج‬‫عن‬ ‫تبعد‬ ‫بإرتٌه‬ ‫أحدى‬ً‫نهاٌت‬‫بال‬ ‫الكبٌر‬ ‫محور‬‫عددٌن‬𝟓 𝟏‫وحدة‬‫الترتٌب‬ ‫على‬
/‫الحل‬
𝟐 𝟏 𝟓 2𝑎 6 𝑎 3 𝑎 𝟗2
𝟐 𝟓 𝟏 2c 4 𝑐 2 𝑐 𝟒2
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝒄 𝟗 𝟒𝟐 𝟐
𝟓
‫حالتٌن‬ ‫هنان‬‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫لمعادلة‬: ‫وهما‬
‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬
𝒙
𝟗
𝟐
y
𝟓
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬
𝒙
𝟓
𝟐
y
𝟗
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2

84. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
83
)‫(د‬‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟏
𝟐
‫الصغٌر‬ ‫محور‬ ‫وطول‬(𝟏𝟐)‫طولٌة‬ ‫وحدة‬
/‫الحل‬
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝑐
𝑎 𝟐
c 𝟐
𝟐
𝟒
𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝒃 𝟐
𝟑𝟔
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟑𝟔
𝟐
𝟒
𝟐
𝒂
𝟏𝟒𝟒𝟐
𝒂
𝟒
𝟐
4𝒂 𝟐
44 𝒂 𝟐
3𝒂 𝟐
44 𝟐
𝟒𝟖
: ‫وهما‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫لمعادلة‬ ‫حالتٌن‬ ‫هنان‬
𝒙
𝟒𝟖
𝟐
y
𝟑𝟔
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬
𝒙
𝟑𝟔
𝟐
y
𝟒𝟖
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬
)‫(هـ‬‫تساوي‬ ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬(𝟖)‫ٌساوي‬ ‫الصغٌر‬ ‫محور‬ ‫ونصف‬ ‫وحدات‬(3)‫وحدة‬
/‫الحل‬
𝟏
𝟐
(𝟐 ) 𝟑 𝑏 3 b2
9
𝟐 𝟖 𝟒 c2
6
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟗 𝟏𝟔𝟐
𝒂 𝟐𝟓𝟐
: ‫وهما‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫لمعادلة‬ ‫حالتٌن‬ ‫هنان‬
𝒙
𝟐𝟓
𝟐
y
𝟗
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬‫السٌنات‬
𝒙
𝟗
𝟐
y
𝟐𝟓
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرتان‬ ‫عندما‬

85. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
84
‫س‬3/‫علم‬ ‫أذا‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫التعرٌف‬ ‫باستخدام‬:
ⓐ‫ب‬‫النمطتان‬ ‫إرتا‬(𝟎 𝟐)‫النمطتان‬ ‫ورأسا‬(𝟎 𝟑)‫االصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫ومركز‬.
/‫الحل‬
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐 𝟐 (‫التعرٌف‬ ‫حسب‬ )
√( 𝟎) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 √( 𝟎) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟐(𝟑)
√ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 √ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟔
√ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟔 √ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ )
𝟐 𝟐
𝟒 𝟒 𝟑𝟔 𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐
𝟒 𝟒
𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟖 𝟑𝟔 ( 𝟒)
𝟑√ 𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟗 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ )
𝟗( 𝟐 𝟐
𝟒 𝟒) 𝟒 𝟐
𝟑𝟔 𝟖𝟏
𝟗 𝟐
𝟗 𝟐
𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟒 𝟐
𝟑𝟔 𝟖𝟏
𝟗 𝟐
𝟓 𝟐
𝟖𝟏 𝟑𝟔
𝟗 𝟐
𝟓 𝟐
𝟒𝟓 ( 45 )
𝑥2
5
𝑦2
9
(‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )

86. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
85
ⓑ‫البذإرتٌن‬ ‫بذٌن‬ ‫المسافة‬(𝟔)‫وحذدة‬‫الثابذت‬ ‫والعذدد‬(𝟏𝟎)ً‫فذ‬ ‫ومركذز‬ ‫السذٌنات‬ ‫محذور‬ ‫علذى‬ ‫تمعذان‬ ‫والبإرتذان‬
‫االصل‬ ‫نمطة‬.
/‫الحل‬
𝟐 𝟔 𝟑 ( 𝟑 𝟎) ‫البؤرتان‬
𝟐 𝟏𝟎 𝟓 ( 𝟓 𝟎)‫الراسان‬
‫وباالعتماد‬‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫على‬
𝟏 𝟐 𝟐
√( 𝟑) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √( 𝟑) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐(𝟓)
√( 𝟑) 𝟐 𝟐 √( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟏𝟎
√( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟏𝟎 √( 𝟑) 𝟐 𝟐 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ )
𝟐
𝟔 𝟗 𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟎√( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟐
𝟔 𝟗 𝟐
𝟐𝟎√( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 ( 𝟒)
𝟓√( 𝟑) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐𝟓 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ )
𝟐𝟓( 𝟐
𝟔 𝟗 𝟐) 𝟗 𝟐
𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓
𝟐𝟓 𝟐
𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟐
𝟗 𝟐
𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓
𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟔𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟓
𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎)
𝑥2
25
𝑦2
6
(‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )

87. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
86
‫وزاري‬2014/‫د‬2
‫س‬4/‫واحذذد‬ ‫االصذذل‬ ‫نمطذذة‬ ً‫فذذ‬ ‫مركذذز‬ ‫الذذذي‬ ‫النذذالص‬ ‫المطذذع‬ ‫معادلذذة‬ ‫جذذد‬‫ى‬‫المكذذافئ‬ ‫المطذذع‬ ‫بذذإرة‬ ً‫هذذ‬ ‫بإرتٌذذه‬
‫معادلته‬ ‫الذي‬( 𝟐
𝟖 𝟎)‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫ان‬ ‫علما‬(𝟐√𝟑 √ 𝟑)
/‫الحل‬ً‫ف‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬:
𝟐
𝟖
(‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ )
𝟐
𝟒 𝟒 𝟖 𝒑 𝟐 ( 𝟐 𝟎 ‫البورة‬)
ً‫ف‬: ‫النالص‬ ‫المطع‬
‫البإرتان‬(𝟐 𝟎) ( 𝟐 𝟎𝟐 )‫هو‬ ‫والمانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
‫النمطة‬(𝟐√𝟑 √ 𝟑)‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬
𝟐√𝟑( )
𝟐
𝒂 𝟐
√𝟑( )
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏𝟐
𝒂 𝟐 𝟐
𝟏
𝟑 𝟐
𝟑𝟏𝟐 𝒂 𝟐
𝒂 𝟐
(① ‫معادلة‬ )𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝟒 ①( ‫في‬ ‫وعىض‬ )
𝟐
𝟑𝟏𝟐 (𝒃 𝟐
𝟒) (𝒃 𝟐
𝟒 𝟐
) 𝟐
𝟑𝟏𝟐 𝒃 𝟐 𝟒
𝟏𝟐 𝟐
𝟒 𝟒
𝟏𝟏 𝟐
𝟏𝟐 𝟎
( 𝟐
𝟏𝟐)( 𝟐
𝟏) 𝟎
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟏𝟔
𝒙
𝟏𝟔
𝟐
𝒚
𝟏𝟐
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
𝟐
𝟏 ‫ٌهمل‬
‫س‬5/‫االصذذذل‬ ‫نمطذذذة‬ ً‫فذذذ‬ ‫مركذذذز‬ ‫الذذذذي‬ ‫النذذذالص‬ ‫المطذذذع‬ ‫معادلذذذة‬ ‫جذذذد‬‫وٌمذذذر‬ ‫السذذذٌنات‬ ‫محذذذور‬ ‫علذذذى‬ ‫وبإرتذذذا‬
‫بالنمطتٌن‬(𝟑 𝟒) (𝟔 𝟐)
/‫الحل‬∵‫البإرتان‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬⇐‫هو‬ ‫المانون‬
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
∵‫النمطة‬(𝟔 𝟐)‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬
(𝟔) 𝟐
𝒂 𝟐
(𝟐)
𝟐
𝟏
𝟐 𝟑𝟔
𝒂 𝟐 𝟐
𝟏
𝟒 𝟐
𝟒𝟑𝟔 𝒂 𝟐
𝒂 𝟐
(① ‫معادلة‬ )𝟐
∵‫النمطة‬(𝟑 𝟒)‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬
(𝟑) 𝟐
𝒂 𝟐
(𝟒)
𝟐
𝟏
𝟐 𝟗
𝒂 𝟐 𝟐
𝟏
𝟏𝟔 𝟐
𝟏𝟔𝟗 𝒂 𝟐
𝒂 𝟐
(② ‫معادلة‬ )𝟐
‫التالٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫بالطرح‬ ‫انٌا‬ ‫المعادلتٌن‬ ‫وبحل‬
𝟐
𝟏𝟐𝟐𝟕 𝒂 𝟐
𝟎 𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝟐
𝟐𝟕 𝟒 𝒂 𝟐 𝟐
𝟗 𝒂 𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
①( ‫في‬ ‫وعىض‬ )
𝟐
𝟒𝟑𝟔
𝟐
𝟗
𝟒
𝟐
𝟗
𝟒
𝟐 𝟐 𝟐
𝟑𝟔 𝟗
𝟐
𝟗
𝟒
𝟐 𝟐
𝟒𝟓
𝟒
𝟗
𝟒
𝟐 𝟒
𝟏𝟖𝟎 𝟗
𝟒
𝟗 𝟐
𝟏𝟖𝟎 𝟎 𝟒 𝟐
𝟐𝟎 𝟎 𝟐
( 𝟐
)𝟐𝟎 𝟎 𝟐
𝟐𝟎 𝟐
𝟒𝟓
𝒙
𝟒𝟓
𝟐
𝒚
𝟐𝟎
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐

88. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
87
‫س‬6/‫ج‬‫ذذـ‬‫ذ‬‫ـــــ‬‫معادل‬ ‫د‬‫ذذـ‬‫ذ‬‫ــــــ‬‫النال‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ة‬‫ذذـ‬‫ذ‬‫ـــــ‬‫االص‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ص‬‫ذذـ‬‫ذ‬‫ــ‬‫ل‬‫ذذا‬‫ذ‬‫وبإرت‬ً‫ذذ‬‫ذ‬‫المنحن‬ ‫ذذاطع‬‫ذ‬‫تم‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫نمطت‬
𝟐 𝟐
𝟑 𝟏𝟔‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫وٌمس‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬𝟐
𝟏𝟐
/‫الحل‬∵ً‫المنحن‬( 𝟐 𝟐
𝟑 𝟏𝟔)‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫ٌمطع‬𝟎 ⇐
𝟐
𝟏𝟔 𝐲 𝟒
‫البإرتان‬(𝟎 𝟒) (𝟎 𝟒𝟐
𝟏𝟔 )‫هو‬ ‫والمانون‬ ⇐
𝒙
𝟐
𝟐 𝒚 𝟐
𝒂
𝟏𝟐
‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫المعطى‬
𝟐
𝟏𝟐 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒 𝟒 𝟏𝟐 𝒑 𝟑
𝐱 𝐩 𝒙 𝟑 ‫انمكافئ‬ ‫انقطع‬ ‫دنيم‬ ( 𝟑 𝟎) ‫انتماس‬ ‫وقطت‬
∵‫النمطة‬( 𝟑 𝟎)‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬
( 𝟑)
𝟐
𝟐 (𝟎) 𝟐
𝒂
𝟏𝟐
𝟗
𝒃
𝟏𝟐
𝟐
𝟗
𝑎2
𝑏2
𝑐2
9 6 𝒂 𝟐𝟓𝟐
𝒙
𝟗
𝟐
𝒚
𝟐𝟓
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
‫س‬7/‫ج‬‫ـــ‬‫ــــ‬‫ــ‬‫النذالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫د‬‫بإرتذا‬ ‫الذذي‬‫الس‬ ‫محذور‬ ‫الذى‬ ً‫تنتمذ‬‫ـــ‬‫ــــ‬‫ـذـ‬‫األص‬ ‫نمطذة‬ ً‫فذ‬ ‫ومركذز‬ ‫ٌنات‬‫ــذـ‬‫ل‬
‫ذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫وٌمط‬ ‫ذغٌر‬‫ذ‬‫الص‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذول‬‫ذ‬‫ط‬ ‫ذعف‬‫ذ‬‫ض‬ ‫ذر‬‫ذ‬ٌ‫الكب‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذول‬‫ذ‬‫وط‬𝟐
𝟖 𝟎ً‫ذ‬‫ذ‬‫الت‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫النمط‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫عن‬
ً‫السٌن‬ ‫احداثٌها‬( 𝟐)
/‫الحل‬∵‫البإرتان‬‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬‫هو‬ ‫المانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
∵‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫ضعف‬ ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
𝟐 𝟐( 𝟐 ) 𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫لٌمة‬ ‫نعوض‬ ‫المعطى‬( 𝟐)
𝟐
𝟖 𝟎 𝟐
𝟖( 𝟐) 𝟎 𝟐
𝟏𝟔 𝟎 𝟐
𝟏𝟔 𝟎 𝟒
( 𝟐 𝟒) ( 𝟐 𝟒) ‫النقطتان‬‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫لذا‬ ‫النالص‬ ‫والمطع‬ ‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬
( 𝟐) 𝟐
𝒂 𝟐
(𝟒)
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒
𝒂 𝟐 𝟐
𝟏
𝟏𝟔
𝟒 𝟐
𝟒
𝟐
𝟏
𝟏𝟔
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏𝟔
𝟐
𝟏
𝟏𝟕 𝟐
𝟏𝟕
𝟐
𝟒 𝟐
𝟒(𝟏𝟕) 𝟐
𝟔𝟖
𝒙
𝟔𝟖
𝟐
𝒚
𝟏𝟕
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫مع‬‫ادلة‬ )
𝟐

89. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
88
‫س‬8/‫نالص‬ ‫لطع‬‫معادلته‬𝟐 𝟐
𝟑𝟔‫مركز‬ ‫و‬‫طول‬ ً‫مربع‬ ‫ومجموع‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ً‫محورٌه‬
‫ٌساوي‬(𝟔𝟎)‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ً‫ه‬ ‫بإرتٌه‬ ‫واحد‬𝟐
𝟒√ 𝟑‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌمة‬ ‫ما‬
/‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫المعطى‬
𝟐
𝟒√𝟑 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒
𝟒 𝟒√𝟑 𝒑 √𝟑 √𝟑( 𝟎 ‫البؤرة‬)
‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ √ 𝟑( 𝟎 √ 𝟑) ( 𝟎)𝟐
𝟑‫المانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)
𝒙 𝟐
(
𝟑𝟔
𝒉
)
𝒚
(
𝟑𝟔
)
𝟏
𝟐
𝒂 𝟐 𝟑𝟔
𝒉
𝟐 𝟑𝟔
∵= ‫محورٌه‬ ‫طول‬ ً‫مربع‬ ‫مجموع‬𝟔𝟎
( 𝟐 ) 𝟐
( 𝟐 ) 𝟐
𝟔𝟎 𝟒 𝟐
𝟒 𝟐
𝟔𝟎 𝟐 𝟐
𝟏𝟓 𝟐
𝟏𝟓 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟓 𝟐 𝟐
3 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟐
𝟔 𝟐
𝟗
𝒂 𝟐
𝟑𝟔
𝒉 𝟗
𝟑𝟔
𝟒
𝒃 𝟐
𝟑𝟔
𝒌 𝟔
𝟑𝟔
𝟔
‫س‬9/‫ج‬‫ـــذـ‬‫معادل‬ ‫د‬‫ــذـ‬‫النال‬ ‫المطذع‬ ‫ة‬‫ــذـ‬‫ص‬‫مركذز‬ ‫الذذي‬‫نمط‬‫ـــــــذـ‬‫االص‬ ‫ة‬‫ــ‬‫ــــ‬‫ـذـ‬‫واح‬ ‫ل‬‫ـــذـ‬‫المطذع‬ ‫بذإرة‬ ً‫هذ‬ ‫بإرتٌذه‬ ‫دى‬
‫المكافئ‬𝟐
𝟐𝟒‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫ومجموع‬(𝟑𝟔)‫وحدة‬.
/‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫المعطى‬
𝟐
𝟐𝟒 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒
𝟒 𝟐𝟒 𝐩 𝟔 𝟎( 𝟔 ‫البؤرة‬)
‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ 𝟎( 𝟔 𝟎) ( 𝟔)𝟐
𝟑𝟔‫المانون‬ ⇐
𝒙
𝟐
𝟐 𝒚 𝟐
𝒂
𝟏𝟐
𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝒂 𝒃 𝟏𝟖 𝒂 𝟏𝟖 𝒃
𝟐 𝟐 𝟐
( 𝟏𝟖 ) 𝟐 𝟐
36𝒃 𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟐
36
𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 36 𝟑𝟔 288 𝐛 𝟖 𝟐
𝟔𝟒
𝒂 𝟏𝟖 𝒃 𝟏𝟖 𝟖 𝟏𝟎 𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝒙
𝟔𝟒
𝟐
𝒚
𝟏𝟎𝟎
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
‫وزاري‬2012/‫د‬3

90. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
89
‫س‬10/‫النذالص‬ ‫المطذع‬ ‫معادلذة‬ ‫جذد‬‫بإرتٌذه‬ ‫الذذي‬𝟏( 𝟒 𝟎) 𝟐(𝟒 𝟎)‫والنمطذة‬‫النذالص‬ ‫للمطذع‬ ً‫تنتمذ‬
‫المثلث‬ ‫محٌــــــط‬ ‫أن‬ ‫بحٌث‬𝟏 𝟐‫ٌساوي‬(𝟐𝟒)‫وحدة‬.‫وزاري‬0142/‫د‬1
/‫الحل‬
𝟏( 𝟒 𝟎) 𝟐(𝟒 𝟎)
𝟒 𝐂 𝟐
𝟏𝟔
‫المثلث‬ ‫محٌــــــط‬𝟏 𝟐‫ٌساوي‬(𝟐𝟒)‫المطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫وحسب‬ ‫وحدة‬: ‫النالص‬ ∵
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐𝟒 ( ① ‫)معادلة‬
𝟏 𝟐 𝟐𝐂 𝟐( 𝟒) 𝟖 ‫وحدة‬ (‫البؤرتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬ )
𝟏 𝟐 𝟐𝒂 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫حسب‬ )
( ① ‫)معادلة‬ ً‫ف‬ ‫وبالتعوٌض‬: ً‫ٌل‬ ‫ما‬ ‫على‬ ‫نحصل‬
𝟐 𝟖 𝟐𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝟐
𝟔𝟒
𝟐 𝟐 𝟐
𝟔𝟒 𝟐
6 𝟐
𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟐
𝟒𝟖
‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( 𝟒 𝟎) (𝟒 𝟎)‫المانون‬
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐 𝟏
𝟐
𝒙
𝟔𝟒
𝟐
𝒚
𝟒𝟖
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐

91. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
90
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/ً‫ٌؤت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬: ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
ⓐ‫بإرتا‬( 𝟑 𝟎) (𝟑 𝟎)‫وطول‬‫المحور‬‫الكبٌر‬(‫وحدات‬ 𝟏𝟎 )‫ومركز‬‫نمطة‬‫األصل‬
𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟑 𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝒄 𝟐
𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝟒
𝒙
𝟐𝟓
𝟐
𝑦
𝟏𝟔
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
ⓑ‫رأسا‬(𝟎 𝟔) (𝟎 𝟔)‫وطول‬‫المحور‬‫الصغٌر‬(‫وحدات‬ 𝟖 )‫ومركز‬‫نمطة‬‫األصل‬
𝟐 𝟖 𝟒 𝟔
𝒚
𝟑𝟔
𝟐
𝑥
𝟏𝟔
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
ⓒ‫أحدى‬‫بإرتٌه‬(𝟎 𝟒)‫ومركز‬‫نمطة‬‫األصل‬‫والنسبة‬‫بٌن‬‫طول‬‫محور‬‫الصغٌر‬‫والمسافة‬‫بٌن‬‫بإرتٌه‬‫تساوي‬(
𝟑
𝟒
)
𝟐
𝟐
𝟑
𝟒
𝟒 𝟑 𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝟗 𝟏𝟔 𝟐𝟓 𝟓
𝒚
𝟐𝟓
𝟐
𝑥
𝟗
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
ⓓ‫مركز‬‫نمطة‬‫األصل‬‫بالنمطتٌن‬ ‫وٌمر‬(𝟎 𝟑) ( 𝟒 𝟎)‫ومحٌطه‬ ‫مساحته‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
𝟒 𝟑
𝒙
𝟏𝟔
𝟐
𝑦
𝟗
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫انمساحت‬ (4)(3) 2 ( ‫مربعة‬ ‫)وحدة‬
‫انمحيط‬ 2 √
2 2
2
2 √
𝟏𝟔 𝟗
2
2 √
𝟐𝟓
2
5√𝟐 ( ‫)وحدة‬

92. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
91
ⓔ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬‫لطبٌه‬ ‫وأحد‬‫ب‬ ‫ٌمر‬‫ؤحدى‬‫المستمٌم‬ ‫تماطع‬ ً‫نمطت‬𝟐 𝟖
/ ‫الحل‬‫نجعل‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫ألٌجاد‬( 𝟎)‫ثم‬‫ن‬‫لٌم‬ ‫جد‬( )‫نجعل‬ ‫ثم‬( 𝟎)‫لٌم‬ ‫ألٌجاد‬( )
𝟎 𝒚 𝟖 (𝟎 𝟖) 𝒊𝒇 𝒚 𝟎 𝟐𝒙 𝟖 (𝟒 𝟎)
𝟖 𝟒
𝒙
𝟐
𝟐
𝑦
𝟐
𝟏 ( ‫القانون‬ )
2
𝒙
𝟏𝟔
𝟐
𝑦
𝟔𝟒
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
ⓕ‫مركز‬‫نمطة‬‫األصل‬‫ومحور‬‫الكبٌر‬‫ٌنطبك‬‫على‬‫محذور‬‫السذٌنات‬‫لذه‬ ‫الثابذت‬ ‫والبعذد‬(‫وحدات‬ 𝟏𝟎)‫وطذول‬‫محذور‬
‫الصغٌر‬(‫وحدات‬ 𝟔)
𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟐 𝟔 b 3
𝒙
𝟐𝟓
𝟐
𝑦
𝟗
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
ⓖ‫بإرتٌه‬ ‫أحدى‬(𝟎 𝟑)‫تساوي‬ ‫محورٌه‬ ‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫والنسبة‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬(
𝟒
𝟓
)
𝟑
𝟐
𝟐
𝟒
𝟓
𝒃
𝟒
𝟓
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝒄 𝟐
6
25
𝒂 𝟐
𝒂 𝟐
𝟗 𝟏𝟔 𝒂 𝟐𝟓𝟐
𝒂 𝟐𝟐𝟓𝟐
𝟗 𝒂 𝟐
𝟐𝟐𝟓 𝒂 𝟐𝟓𝟐
𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝒄 𝟐
𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔
𝒚
𝟐𝟓
𝟐
𝑥
𝟏𝟔
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
ⓗ‫أحدى‬‫بإرتٌه‬(𝟒 𝟎)‫ومركز‬‫نمطة‬‫األصل‬‫واختالفه‬‫المركزي‬(
𝟏
𝟐
)
𝟒
𝟏
𝟐
4
𝑎
𝟖 𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝒄 𝟔𝟒 𝟏𝟔𝟐
𝒃 𝟒𝟖𝟐
𝑥
𝟔𝟒
2
𝒚
𝟒𝟖
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐

93. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
92
ⓘ‫ومساحته‬ ‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمٌان‬ ‫وبإرتا‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬(𝟐𝟒 )‫محورٌه‬ ‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫والنسبة‬(
𝟑
𝟖
)
𝟐𝟒 𝑎
24
( ‫معادلة‬ )
𝑏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟖
3𝑎 8𝑏
8
𝟑
𝑏 24
𝑏
8
𝟑
𝑏
8𝑏 𝟕𝟐2
𝑏 𝟗2
𝟑 𝟖
𝑥
𝟔𝟒
2
𝒚
𝟗
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
ⓙ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫ٌنطبمان‬ ‫ومحورا‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬‫اإلحداثٌٌن‬‫الذذي‬ ‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫بإرة‬ ً‫ه‬ ‫بإرتٌه‬ ‫وأحدى‬
‫معادلته‬( 𝟐
𝟏𝟐 𝟎)‫الصغٌر‬ ‫محور‬ ‫طول‬ ‫ضعف‬ ‫الكبٌر‬ ‫محور‬ ‫وطول‬
/ ‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬:
𝟐
𝟏𝟐 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒 4p 2 p 3 ( 3 ‫البورة‬)
‫من‬‫النالص‬ ‫المطع‬:
‫البإرتان‬(𝟎 𝟑) (𝟎 𝟑)𝟑 ⇐⇐‫هو‬ ‫المانون‬
𝒙
𝟐
𝟐 𝑦2
𝑎
𝟏2
𝟐 𝑎 𝟐 𝟐2
𝟐( ) 𝟐
𝟗2
𝟒 𝟐 𝟐
𝟗 𝟑 𝟐
𝟗 𝟐
𝟑
𝑎 𝟒 𝟐
𝟒(𝟑)2
𝑎 𝟏𝟐2
𝒙
𝟑
𝟐
𝑦
𝟏𝟐
𝟏 (‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
ⓚ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬(𝟎 𝟑)‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫والمسافة‬(‫وحدات‬ 𝟔)
𝟐 𝟔 c 3
b (‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫ألنه‬ )3
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝟗𝟗 𝒂 𝟐
(‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫معادلتٌن‬ ‫)توجد‬𝟏𝟖
𝒙 𝟐
𝟗
𝑦2
𝟏 ( ‫األولى‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟏𝟖
𝒙
𝟏𝟖
𝟐
𝑦
𝟗
𝟏 ( ‫الثانٌة‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2

94. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
93
‫مثال‬/‫المحذورٌن‬ ‫مذن‬ ‫كذل‬ ‫طذول‬ ‫جذد‬‫البذإري‬ ‫والبعذد‬‫وإحذداثٌات‬‫والرأسذٌن‬ ‫البذإرتٌن‬‫واالخذتالف‬‫والمحذٌط‬ ‫المركذزي‬
‫لمعادلة‬ ‫والمساحة‬‫التالٌة‬ ‫المطع‬𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎)
𝟏𝟔 𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝟐𝟓 𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝟏
𝟐
𝟐𝟓
𝟐
𝟏𝟔
𝟏
𝑎 𝟐𝟓2
𝟓 𝟐
𝟏𝟔𝑎 𝟒 𝟐
b 𝑎 𝟐
𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗2
𝟑c
𝟐 𝟐(𝟓) 𝟏𝟎 ‫وحدة‬ ( ‫الكبٌر‬ ‫)المحور‬ 𝟐 𝟐(𝟒) 𝟖 ‫وحدة‬ ( ‫الصغٌر‬ ‫)المحور‬
𝟐 𝟐(𝟑) 𝟔 ‫وحدة‬ (‫البؤري‬ ‫)البعد‬
(𝟓 𝟎) ( 𝟓 𝟎) ‫الرأسان‬ (𝟑 𝟎) ( 𝟑 𝟎) ‫البؤرتان‬
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟓
𝟑
‫انمساحت‬ (5)(4) 2 ( ‫مربعة‬ ‫)وحدة‬
‫انمحيط‬ 2 √
2 2
2
2 √
𝟐𝟓 𝟏𝟔
2
2 √
𝟒𝟏
2
( ‫)وحدة‬
‫ذذذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫ذذذتكن‬‫ذ‬‫ل‬𝟐 𝟐
𝟒𝟎𝟎‫ذذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذذدى‬‫ذ‬‫اح‬ ‫ذذذالص‬‫ذ‬‫ن‬ ‫ذذذع‬‫ذ‬‫لط‬ ‫ذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬(𝟑 𝟎)‫ذذذول‬‫ذ‬‫ط‬ ‫ذذذٌن‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذذذبة‬‫ذ‬‫والنس‬
‫الصغٌر‬ ‫ومحور‬ ‫الكبٌر‬ ‫محور‬
𝟒
𝟓
‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬
/ ‫انحم‬
𝟐 𝟐
𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎)
𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝟏
𝟐
(
𝟒𝟎𝟎
)
𝟐
(
𝟒𝟎𝟎
)
𝟏
∵‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫البإرة‬
‫المانون‬𝟑 𝟐 𝟒𝟎𝟎
𝑎
𝟒𝟎𝟎2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏⇐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟓
𝟒
𝟓
𝑏
𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟓
2
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐 𝟐
𝟏𝟔
𝟐𝟓
𝟐
𝟗

95. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
94
𝟐𝟓 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟐𝟓 𝟗 𝟐
𝟐𝟐𝟓 𝟐
𝟐𝟓 𝑏 𝟏𝟔2
𝟒𝟎𝟎
𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝟐𝟓
𝟏𝟔
𝟒𝟎𝟎
𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟔
𝟐𝟓
𝒙
𝟐𝟓
𝟐
𝑦
𝟏𝟔
𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫ذذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫ذذاحته‬‫ذ‬‫مس‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذد‬‫ذ‬‫ج‬(𝟖𝟎 )‫ذذد‬‫ذ‬‫للبع‬ ‫ذذاوٌا‬‫ذ‬‫مس‬ ‫ذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذٌن‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذذد‬‫ذ‬‫البع‬ ‫ذذون‬‫ذ‬‫ٌك‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫وال‬
‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫بٌن‬( 𝟐
𝟐𝟒 𝟎)‫ودلٌله‬
/ ‫انحم‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬
𝟐
𝟐𝟒 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒
4p 24 p 6 2|p| 2
2 2 c 6 𝑐2
36
‫من‬‫النالص‬ ‫المطع‬:
𝟖𝟎 𝟖𝟎 𝟐
𝟔𝟒𝟎𝟎
𝑎
( ‫)معادلة‬2
𝑎 𝟐 𝟐2
𝑎
𝟔𝟒𝟎𝟎2
𝑎
𝟑𝟔2
𝟒
𝟑𝟔 𝑎 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎2
(𝑎2 )( 𝑎2 ) 𝟎64
either 𝑎2 𝟐
𝟔𝟒 𝑜𝑟 𝑎2
64 ‫يهمم‬
𝒙 𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝑦2
𝟏 ( ‫األولى‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟔𝟒
𝒙
𝟔𝟒
𝟐
𝑦
𝟏𝟎𝟎
𝟏 ( ‫الثانٌة‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2

96. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
95
‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬
𝟐
𝟑 𝟐
𝟎‫معادلة‬‫لطع‬‫مكافئ‬‫دلٌله‬‫ٌمذر‬‫بالنفطذة‬( 𝟏 𝟐)‫جذد‬‫معادلذة‬‫المطذع‬‫النذالص‬‫الذذي‬
‫أحد‬‫بإرتٌه‬(𝟎 )‫ومربع‬‫طول‬‫النسبة‬‫بٌن‬‫محورٌه‬
𝟑
𝟒
/ ‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫له‬ ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ ‫فؤن‬ ‫لذا‬ ً‫السٌن‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫أن‬ ‫نالحظ‬
( [ 𝟏] 𝟏 )ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫على‬ ‫ٌمع‬ ‫ألنه‬
𝟐 ( 𝟑 𝟐)
(‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ )
𝟐
𝟒 ( 𝟑 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟐 4 M 2
‫من‬‫النالص‬ ‫المطع‬:‫بإرتا‬(𝟎 𝟐) (𝟎 𝟐)‫هو‬ ‫والمانون‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟒 𝟐
𝟒 𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
𝟐 𝟐
𝟒
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐 𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟒 𝟒 𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟏𝟐
𝒙
𝟏𝟐
𝟐
𝑦
𝟏𝟔
𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫مثال‬/‫الذذي‬ ‫النذالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫وبإرتذا‬ ‫األصذل‬ ‫نمطذة‬ ‫مركذز‬𝟏( √ 𝟔 𝟎) 𝟐(√𝟔 𝟎)‫خذالل‬ ‫وٌمذر‬
‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬𝟐
𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟏 𝟎
/ ‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬
‫حدود‬ ‫تكون‬ ‫بحٌث‬ ‫المعادلة‬ ‫نرتب‬( )‫وحدود‬ ‫طرف‬ ً‫ف‬( )‫األخر‬ ‫الطرف‬ ً‫ف‬𝟐
𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟏
‫نضٌف‬(𝟏)‫حدود‬ ‫تكون‬ ‫حتى‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ً‫طرف‬ ‫الى‬( )‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫بشكل‬
𝟐
𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟏 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐 𝟏𝟐𝟐 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐( 𝟏)𝟐
‫انمكافئ‬ ‫نهمطع‬ ‫انمٕاسٕت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمماروت‬( ) 𝟐
𝟒 ( )ّ‫عه‬ ‫وحصم‬
𝟏 𝟏 ( ) ( 𝟏 𝟏)‫انرأس‬
𝟒 𝟏𝟐 𝟑 F(𝑝 ℎ 𝑘) 𝐹 𝟑 𝟏( ) 𝐹 𝟐( (‫انىاقص‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬ ‫)تحقق‬)
‫النا‬ ‫المطع‬ ‫من‬: ‫لص‬
∵‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫بإرت‬( √ 𝟔 𝟎) (√𝟔 𝟎)‫هو‬ ‫المانون‬𝟐
𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ⇐
‫انىمطت‬𝟐() ‫انمكافئ‬ ‫انمطع‬ ‫بؤرة‬ ( ‫بٍا‬ ‫ٔمز‬ ً‫ألو‬ ‫انىالص‬ ‫انمطع‬ ‫معادنت‬ ‫تحمك‬ )

97. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
96
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
(× 𝟐 𝟐 )
𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
( ① ‫معادلة‬ )
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟔 ( ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬ )
𝟒 𝟐 𝟐
𝟔 ( 𝟐
𝟔) 𝟐
𝟓 𝟐
𝟔 𝟒
𝟔 𝟐 𝟒 𝟐
𝟔 𝟎
(𝒃 𝟐 )(𝟑 𝒃 𝟐 ) 𝟎𝟐
𝑒𝑖𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑏2
2 𝟐
𝟖 𝑜𝑟 𝑏2
3 ‫يهمم‬
𝒙
𝟖
𝟐
𝑦
𝟐
𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
2
‫ذذذذذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫ذذذذذن‬‫ذ‬‫م‬ ‫ذذذذذل‬‫ذ‬‫ك‬ ‫ذذذذذـة‬‫ذ‬‫ومعادل‬ ‫ذذذذذـول‬‫ذ‬‫وط‬ ‫ذذذذذٌن‬‫ذ‬‫والمطب‬ ‫ذذذذذـٌن‬‫ذ‬‫والرأسـ‬ ‫ذذذذذإرتٌن‬‫ذ‬‫الب‬ ً‫ذذذذذداث‬‫ذ‬‫أح‬ ‫ذذذذذد‬‫ذ‬‫ج‬‫الم‬‫ذذذذذ‬‫ذ‬‫ح‬‫ذذذذذع‬‫ذ‬‫للمط‬ ‫ورٌن‬
‫النالص‬(𝟒 𝟐
𝟖 𝟗 𝟐
𝟑𝟔 𝟒 𝟎)‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬e‫؟‬
/ ‫انحم‬‫حدود‬ ‫تكون‬ ‫بحٌث‬ ‫المعادلة‬ ‫نرتب‬( )‫وحدود‬( )ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫كامل‬ ‫مربع‬:
𝟒 𝟐
𝟖 𝟗 𝟐
𝟑𝟔 𝟒 𝟒( 𝟐
𝟐 ) 𝟗( 𝟐
𝟒 ) 𝟒
‫بإضافة‬(𝟒𝟎)‫المطع‬ ‫معادلة‬ ً‫طرف‬ ‫الى‬‫انىالص‬‫حدود‬ ‫تكون‬ ‫حتى‬( )‫وحدود‬( )‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫بشكل‬
𝟒( 𝟐
𝟐 𝟏) 𝟗( 𝟐
𝟒 𝟒) 𝟒 𝟒𝟎 𝟒( 𝟏) 𝟐
𝟗( 𝟐) 𝟐
𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)
( 𝟏) 𝟐
𝟗
( 𝟐) 𝟐
𝟒
𝟏 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫انىالص‬ ‫نهمطع‬ ‫انمٕاسٕت‬ ‫انمعادنت‬ ‫مع‬ ‫بانمماروت‬
( ) 𝟐
𝟐
( ) 𝟐
𝟐
𝟏ّ‫عه‬ ‫وحصم‬
𝟏 𝟐 ( ) (𝟏 𝟐) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫مركز‬
𝟐
𝟗 𝟑 𝟐
𝟒𝑎 b 2 𝟐
5 𝑐 √5
𝟐 𝟐(√ )5 2√ ‫وحدة‬5 ( ‫انبؤرتيه‬ ‫بي‬ ‫انمسافت‬)
𝑦 𝑘 𝑦 2 (‫انمحىرانكبير‬ ‫)معادنت‬ 𝑥 ℎ 𝑥 (‫انمحىرانصغير‬ ‫)معادنت‬
(ℎ ) 2(ℎ ) ( √ 2) 2(5 √ 2) ‫انبؤرتان‬5
(ℎ ) 2(ℎ ) (4 2) 2( 2 2) ‫انرأسان‬
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
√
3
𝟏
5

98. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
97
‫مثال‬/‫المحذورٌن‬ ‫مذن‬ ‫كذل‬ ‫ومعادلذة‬ ‫طذول‬ ‫و‬ ‫والمطبذٌن‬ ‫والرأسذٌن‬ ‫البذإرتٌن‬ ً‫أحذداث‬ ‫جذد‬‫وممذدار‬‫االخذتالف‬‫المركذزي‬
‫مركذز‬ ‫الذذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫ومعادلة‬(𝟏 𝟒)‫عذن‬ ‫تبعذد‬ ‫بإرتٌذه‬ ‫وأحذدى‬ ‫الصذادات‬ ‫محذور‬ ‫ٌذوازي‬ ‫الكبٌذر‬ ‫ومحذور‬
‫بالبعدٌن‬ ‫الرأسٌن‬2, 10‫طول‬ ‫وحدة‬
/ ‫انحم‬∵‫انبعدٔه‬ ‫مجمُع‬𝟐‫انبعدٔه‬ ‫بٕه‬ ‫َانفزق‬𝟐
𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝟐𝐜 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝐜 𝟖 𝐜 𝟒
∵‫انصاداث‬ ‫محُر‬ ْ‫ُٔاس‬ ‫انكبٕز‬ ‫محُري‬⇐‫انىالص‬ ‫نهمطع‬ ‫انمٕاسٕت‬ ‫انمعادنت‬
( ) 𝟐
𝟐
( ) 𝟐
𝟐
𝟏
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒃 𝟐
𝒂 𝟐
𝒄 𝟐
𝒃 𝟐
𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐
𝟐𝟎 𝟏 𝟒
( 𝟏) 𝟐
𝟐𝟎
( 𝟒) 𝟐
𝟑𝟔
𝟏 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معا‬‫دلة‬
𝟐 𝟐( )4 ‫وحدة‬8 ( ‫انبؤرتيه‬ ‫بي‬ ‫انمسافت‬)
𝑥 ℎ 𝑥 (‫انمحىرانكبير‬ ‫)معادنت‬ 𝑦 𝑘 𝑦 4 (‫انمحىرانصغير‬ ‫)معادنت‬
(ℎ ) 2(ℎ ) ( ) 2( 8) ‫انبؤرتان‬
(ℎ ) 2(ℎ ) ( 2) 2( ) ‫انرأسان‬
‫المركزي‬ ‫االختالف‬
𝟔
4
𝟑
𝟏
2
******************************************************************
‫س‬1:‫جد‬ً‫أحداث‬‫البذإرتٌن‬‫والرأسذٌن‬‫والمطبذٌن‬‫و‬‫طذول‬‫ومعادلذة‬‫كذل‬‫مذن‬‫المحذورٌن‬‫المركذزي‬ ‫واالخذتالف‬‫للمطذوع‬
‫النالصة‬: ‫التالٌة‬
( ) 𝟐𝟓 𝟐
𝟗 𝟐
𝟐𝟐𝟓
( ) 𝟒 𝟐 𝟐
𝟏𝟔
( ) 𝟏𝟐 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟑𝟎𝟎
‫س‬2:‫جد‬ ‫التعرٌف‬ ‫بؤستخدام‬‫معادل‬‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫ة‬:
) ‫أ‬ (‫النمطتان‬ ‫بإرتا‬( 𝟑 𝟎)‫النمطتان‬ ‫ورأسا‬( 𝟔 𝟎)‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬.
) ‫ب‬ (‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تمعان‬ ‫بإرتا‬‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬‫انزأس‬ ‫عه‬ ‫تبعد‬ ًٕ‫بؤرت‬ ِ‫َأحد‬‫ـــــــــــــــــ‬‫ٕه‬
‫بانبعدٔه‬2, 8‫طُل‬ ‫َحدة‬.

99. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
98
‫ا‬:‫الزائد‬ ‫لمطع‬: ) ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫الرأس‬ (
‫هو‬‫مجموع‬‫ـــ‬‫ة‬‫نماط‬‫المس‬‫ــ‬‫توي‬( )ً‫الت‬‫ثذابتتٌن‬ ‫نمطتٌن‬ ‫عن‬ ‫منها‬ ‫اي‬ ‫بعدي‬ ‫لفرق‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌمة‬ ‫تكون‬‫تسذمى‬
‫لٌمته‬ ‫ثابتا‬ ‫عددا‬ ‫ٌساوي‬ ) ‫البإرتٌن‬ ((𝟐 )
‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمٌان‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬xis)a-(x‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬
| 𝟏 𝟐| 𝟐 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫حسب‬ )
𝟏 𝟐 𝟐
√( 𝒙 𝒄) 𝟐 (𝒚 𝟎) 𝟐 √( ) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 𝟐
√( 𝒙 𝒄) 𝟐 𝒚 𝟐 √( ) 𝟐 𝟐 𝟐𝒚
√( 𝒙 𝒄) 𝟐 𝒚 𝟐 𝟐 √( ) 𝟐 𝟐 ( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬)𝒚
(𝒙 𝒄) 𝟐
𝒚 𝟒 𝟐
𝟒 √( ) 𝟐𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐
𝒚 𝒚
(𝒙 𝒄) 𝟒 𝟐
𝟒 √( ) 𝟐𝟐 𝟐 ( ) 𝟐
𝒚
𝟐
𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
𝟒 √( ) 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝒚
𝟒 √( ) 𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
𝟒 ( 𝟒)𝒚
√( ) 𝟐 𝟐 𝟐
( ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌـــــــع‬)𝒚
𝟐( 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐
𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐) [ 𝟎 ‫حٌث‬ 𝟐 𝟐 𝟐
‫]نفرض‬
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐)
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
⦁‫ال‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬‫زا‬‫ئـ‬‫د‬‫هما‬( 𝟎) ( 𝟎)ً‫ه‬ ‫وبإرتا‬( 𝟎) ( 𝟎)‫والمعادلة‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
⦁‫ال‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌمكننا‬ ‫األسلوب‬ ‫بنفس‬‫زائد‬ً‫وه‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمٌان‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏‫أن‬ ‫حٌث‬
‫ال‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬‫زائد‬‫هما‬( 𝟎 ) ( 𝟎 )ً‫ه‬ ‫وبإرتا‬( 𝟎 ) ( 𝟎 )

100. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
99
: ‫مالحظات‬
①‫دائما‬( ) ( )‫أن‬ ‫حٌث‬( 𝟎)
②‫ال‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ً‫حمٌم‬𝟐
③‫المحور‬ ‫طول‬‫المرافك‬𝟐
④‫البإرتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬𝟐
⑤‫المركزي‬ ‫االختالف‬( )‫ٌكون‬ ‫أنه‬ ‫ٌالحظ‬ ‫حٌث‬( 𝟏)
⑥‫ٌكون‬ ‫دائما‬𝟐 𝟐 𝟐
⑦‫النمط‬‫ة‬‫ال‬ً‫ت‬‫تمع‬‫و‬ ‫المحورٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بها‬ ‫ٌمر‬‫تمثل‬‫ر‬‫أ‬‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫س‬‫لٌمة‬ ‫وتمثل‬( )
⑧( ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬ ‫نمطة‬ ‫واي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬ ‫تسمى‬‫البإري‬ ‫المطر‬ ‫منتصف‬)
( ‫مثال‬61/)‫الزائد‬ ‫للمطع‬ ‫والمرافك‬ ً‫الحمٌم‬ ‫المحورٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وطول‬ ‫والرأسٌن‬ ‫البإرتٌن‬ ‫عٌن‬
𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟑𝟔
𝟏
/‫الحل‬
𝟐
𝟔𝟒 𝒂 𝟖 𝟐𝒂 𝟏𝟔 ‫وحدة‬ ‫انحقيقي‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬
𝟐
𝟑𝟔 𝒃 𝟔 𝟐𝒃 𝟏𝟐 ‫وحدة‬ ‫انمرافق‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐
𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝒄 𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝒄 𝟏𝟎
𝐕𝟏(𝟖 𝟎) 𝐕𝟐( 𝟖 𝟎) ‫انزائد‬ ‫انقطع‬ ‫رأسا‬
𝑷 𝟏(𝟎 𝟔) 𝑷 𝟐(𝟎 𝟔) ‫انزائد‬ ‫انقطع‬ ‫قطبا‬
𝐅𝟏(𝟏𝟎 𝟎) 𝐅𝟐( 𝟏𝟎 𝟎) ‫انزائد‬ ‫انقطع‬ ‫بؤرتا‬

101. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
100
( ‫مثال‬17/)ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬ ‫وطول‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟔‫واالخ‬ ‫وحدات‬‫ـتالف‬
‫ٌساوي‬ ‫المركزي‬(𝟐)‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫والبإرتان‬
/‫الحل‬
𝟐 𝟔 𝒂 𝟑 𝒂 𝟐
𝟗
𝟐
𝟑
𝒄 (𝟐)(𝟑) 𝐜 𝟔 𝒄 𝟐
𝟑𝟔
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟑𝟔 𝟗 𝟐
𝟐𝟕
𝟐
𝟗
𝟐
𝟐𝟕
𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
( ‫مثال‬18/)‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المرافك‬ ‫محور‬ ‫وطول‬(𝟒)‫وحدات‬‫و‬‫بإرتا‬‫هــــ‬‫ـما‬
‫النمطتان‬𝟏(𝟎 √ 𝟖) 𝟐(𝟎 √ 𝟖)
/‫الحل‬∵‫البإرتان‬‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬
ً‫ه‬ ‫الزائد‬ ‫للمطع‬ ‫المٌاسٌة‬ ‫المعادلة‬
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐
𝒙
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟒 𝟐 𝒃 𝟒𝟐
√𝟖 𝒄 𝟖𝟐
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟖 𝟒 𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟏 ‫الزائـد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
ً‫ف‬‫المثال‬(18)‫المطوع‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫مثل‬ ‫المرافك‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫الى‬ ٍ‫و‬‫مسا‬ ً‫الحمٌم‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫أن‬ ‫نالحظ‬ ‫أعال‬
( ‫ٌدعى‬ ‫الزائدة‬‫األ‬ ‫متساوي‬ ‫او‬ ‫المائم‬ ‫الزائد‬ ‫بالمطع‬‫ضالع‬‫ٌكون‬ ‫وفٌه‬ ‫مربع‬ ‫رإوس‬ ‫تشكل‬ ‫األربعة‬ ‫النماط‬ ‫ألن‬ )
‫االختالف‬‫المركزي‬( )‫لٌمته‬ ‫ثابت‬ ‫ممدار‬(√𝟐 ).

102. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
101
(𝟐 𝟑)‫تمارين‬
‫س‬1/‫المركزي‬ ‫واألختالف‬ ‫المحورٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫والرأسٌن‬ ‫البإرتٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عٌن‬‫ان‬ ‫نهمطُع‬‫شائدة‬: ‫االتٕت‬
ⓐ 𝟏𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
𝟒𝟖
‫الحل‬/ّ‫عه‬ ‫انمعادنت‬ ٓ‫طزف‬ ‫ومسم‬( 𝟒𝟖)
𝟐
𝟒
𝟐
𝟏𝟐
𝟏
𝑎 𝟒2
𝑎 2 2𝑎 4 ‫وحدة‬ ‫انحقيقي‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬
𝑏 𝟏𝟐2
b 𝟐√𝟑 2𝑏 √𝟑4 ‫وحدة‬ ‫انمرافق‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝟒 𝟏𝟐 𝒄 𝟐
𝟏𝟔 𝟒
𝟏(𝟐 𝟎) 𝟐( 𝟐 𝟎) ‫الرأسان‬ 𝟏 (𝟒 𝟎) 𝟐( 𝟒 𝟎) ‫البؤرتان‬
𝟒
𝟐
𝟐 𝟏 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
ⓑ 𝟏𝟔 𝟐
𝟗 𝟐
𝟏𝟒𝟒
/‫الحل‬ّ‫عه‬ ‫انمعادنت‬ ٓ‫طزف‬ ‫ومسم‬( 𝟏𝟒𝟒)
𝟐
𝟗
𝟐
𝟏𝟔
𝟏
𝑎 92
𝑎 3 2𝑎 6 ‫وحدة‬ ‫انحقيقي‬ ‫انمحىر‬ ‫طىل‬
𝑏 𝟏𝟔2
b 𝟒 2𝑏 8 ‫وحدة‬ ‫انمرافق‬ ‫انم‬‫حىر‬ ‫طىل‬
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝟗 𝟏𝟔 𝒄 𝟐
𝟐𝟓 𝟓
𝟏(𝟑 𝟎) 𝟐( 𝟑 𝟎) ‫الرأسان‬ 𝟏 (𝟓 𝟎) 𝟐( 𝟓 𝟎) ‫البؤرتان‬
𝟓
𝟑
𝟏 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬

103. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
102
‫س‬2/‫أكتب‬ً‫ف‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬: ‫المطع‬ ‫ارسم‬ ‫ثم‬ ‫التالٌة‬ ‫الحاالت‬
ⓐ‫النمطتان‬ ‫هما‬ ‫البإرتان‬( 𝟓 𝟎)‫عند‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫وٌتماطع‬𝟑‫االصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫ومركز‬.
/‫الحل‬
∵‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( 5 ) 2 (5 )𝟓‫المانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
∵‫عند‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫ٌتماطع‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬𝟑
∴‫الراسان‬( 3 ) (3 )𝟐
𝟗 ⇐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔𝟐
𝒙
𝟗
𝟐
𝐲
𝟏𝟔
𝟏 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐

104. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
103
ⓑً‫ذذذ‬‫ذ‬‫الحمٌم‬ ‫ذذذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذول‬‫ذ‬‫ط‬(𝟏𝟐)‫ذذذك‬‫ذ‬‫المراف‬ ‫ذذذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذول‬‫ذ‬‫وط‬ ‫ذذذدة‬‫ذ‬‫وح‬(𝟏𝟎)‫ذذذى‬‫ذ‬‫عل‬ ‫ذذذورا‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذك‬‫ذ‬‫وٌنطب‬ ‫ذذذدات‬‫ذ‬‫وح‬
‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬ ‫االحداثٌٌن‬ ‫المحورٌن‬.
/‫الحل‬
𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂 𝟐
𝟑𝟔
𝟐 𝟏𝟎 𝒃 𝟓 𝒃 𝟐
𝟐𝟓
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
25 36 𝑪 𝟐
𝟔𝟏
∴‫هن‬‫ــــ‬ٌ‫حالت‬ ‫ان‬‫ـــــــ‬‫الزائ‬ ‫للمطع‬ ‫ن‬‫ـــــــ‬‫وهما‬ ‫د‬:-
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫ٌوازي‬ ‫عندما‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫ٌوازي‬ ‫عندما‬
𝑭 𝟏(𝟎 √𝟔𝟏 ) 𝑭 𝟐(𝟎 √𝟔𝟏) ‫الرأسان‬
𝑽 𝟏(𝟎 𝟔) 𝑽 𝟐(𝟎 𝟔) ‫البؤرتان‬
𝟐
𝟑𝟔
𝟐
𝟐𝟓
𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝑭 𝟏(√𝟔𝟏 𝟎) 𝑭 𝟐( √𝟔𝟏 𝟎) ‫الرأسان‬
𝑽 𝟏(𝟔 𝟎) 𝑭𝑽 𝟐( 𝟔 𝟎) ‫البؤرتان‬
𝟐
𝟑𝟔
𝟐
𝟐𝟓
𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
ⓒ‫المرافذك‬ ‫محذور‬ ‫وطذول‬ ‫الصذادات‬ ‫محذور‬ ‫علذى‬ ‫وبإرتذا‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬(𝟐√𝟐)‫المركذزي‬ ‫واختالفذه‬ ‫وحذدة‬
‫ٌساوي‬(𝟑)
/‫الحل‬∵‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ً‫تنتم‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐‫المانون‬
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐
𝒙
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐√𝟐 𝒃 √𝟐 𝒃 𝟐
𝟐
𝟑 𝒄 𝟑𝒂
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝟗𝒂 𝟐
𝒂 𝟐
𝟐
𝟖𝒂 𝟐𝟐
𝒂 𝟐
𝟏
𝟒
𝑪 𝟐
𝟗
𝟒
(𝟎 ) 𝟎
𝟑
𝟐
𝟎
𝟑
𝟐
‫البؤرتان‬
(𝟎 ) 𝟎
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟐
‫الراسان‬
𝐲
(
𝟐
𝟏
)
𝟒
𝒙
𝟐
𝟏 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
‫وزاري‬/2013/‫د‬2

105. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
104
‫س‬3/‫وبإرتٌذه‬ ‫االصذل‬ ‫نمطذة‬ ‫مركذز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫باستخدام‬ ‫جد‬( 𝟐√𝟐 𝟎)(𝟐√𝟐 𝟎)‫وٌنطبذك‬
‫اال‬ ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫محورا‬‫ٌساوي‬ ‫بإرتٌه‬ ‫عن‬ ‫نمطة‬ ‫اٌة‬ ‫بعدي‬ ‫بٌن‬ ‫للفرق‬ ‫المطلمة‬ ‫والمٌمة‬ ‫حداثٌٌن‬(𝟒)‫وحدات‬
/‫الحل‬
𝟐 𝟒 𝒂 𝟐
‫النمطة‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬( )‫الزائد‬ ‫للمطع‬
| 𝟏 𝟐| 𝟐 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫تعرٌف‬ ‫)من‬
𝟏 𝟐 𝟐
√( 𝟐√𝟐)
𝟐
( 𝟎) 𝟐 √( 𝟐√𝟐 )
𝟐
( 𝟎) 𝟐 𝟒
√( 𝟐√𝟐)
𝟐
𝟐 𝟒 √( 𝟐√𝟐 )
𝟐
𝟐 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ )
( 𝟐√𝟐)
𝟐
𝟐
𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 )
𝟐
𝟐 ( 𝟐√𝟐)
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒√𝟐 𝟖 𝟐
𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 )
𝟐
𝟐 𝟐
𝟒√𝟐 𝟖 𝟐
𝟖√( 𝟐√𝟐)
𝟐
𝟐 𝟏𝟔 𝟖√𝟐 ( 𝟖)
√( 𝟐√𝟐)
𝟐
𝟐 𝟐 √𝟐 (‫األقواس‬ ‫وفك‬ ‫الطرفٌن‬ ‫بتربٌع‬ )
𝟐
𝟒√𝟐 𝟖 𝟐
𝟒 𝟒√𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟒 ] ( 𝟒)
𝑥2
4
𝑦2
4
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

106. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
105
‫س‬4/‫زائد‬ ‫لطع‬‫طول‬ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬(𝟔)‫نمطة‬ ‫راسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ً‫ه‬ ‫بإرتٌه‬ ‫واحدى‬ ‫وحدات‬
‫بالنمطتٌن‬ ‫وٌمر‬ ‫االصل‬(𝟏 𝟐√𝟓)(𝟏 𝟐√𝟓)‫والمطع‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫راسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ً‫معادلت‬ ‫جد‬ .
‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬.‫وزاري‬2013/‫د‬3‫وزاري‬2014/‫د‬1
/‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬:
∵‫النمطتان‬(𝟏 𝟐√𝟓)(𝟏 𝟐√𝟓)‫الس‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬‫ــ‬‫فالبإرة‬ ‫لذا‬ ً‫ٌن‬ً‫السٌن‬ ‫للمحور‬ ً‫تنتم‬
‫والمانون‬( 𝟐
𝟒 )
∴‫النمطة‬(𝟏 𝟐√𝟓)) ‫بها‬ ‫ٌمر‬ ‫ألنه‬ ( ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬
𝟐𝟎 𝟒 (𝟏) 𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 (𝟓 𝟎 ‫البؤرة‬)
𝟐
𝟐𝟎 ( ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
ً‫ف‬‫المطع‬‫الزائد‬:
𝟐 𝟔 𝟑 𝒂 𝟗𝟐
∵‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( 𝟓 𝟎)(𝟓 𝟎)𝟐
𝟐𝟓‫المانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔𝟐
𝒙
𝟗
𝟐
𝐲
𝟏𝟔
𝟏 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ )
𝟐
‫س‬5/‫زائذد‬ ‫لطذع‬‫االص‬ ‫نمطذة‬ ‫مركذز‬‫ـــــــــذـ‬‫ل‬‫ومعادلتذه‬𝟐 𝟐
𝟗𝟎ً‫الحمٌمذ‬ ‫محذور‬ ‫وطذول‬(𝟔√𝟐)
‫معادلتذ‬ ‫الذذي‬ ‫النذالص‬ ‫المطذع‬ ً‫بذإرت‬ ‫على‬ ‫تنطبمان‬ ‫وبإرتا‬ ‫وحدة‬‫ـ‬‫ه‬𝟗 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟓𝟕𝟔‫ج‬‫ــذـ‬‫لٌم‬ ‫د‬‫ـــــذـ‬‫كذل‬ ‫ة‬
‫من‬‫الحمٌمٌة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬
/‫الحل‬‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫نالص‬:
𝟗 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟓𝟕𝟔 ] ( 𝟓𝟕𝟔)
𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟑𝟔
𝟏
𝟐
𝟔𝟒 𝟐
𝟑𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝟐
𝟐𝟖 𝟐√𝟕
‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬( 𝟐√ 𝟕 ) (𝟐√𝟕 )
‫من‬‫ال‬ ‫المطع‬‫زائد‬:
‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( 𝟐√ 𝟕 ) (𝟐√𝟕 )𝟐√ 𝟕‫المانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐
𝟏𝟖
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐𝟖 𝟏𝟖 𝟐
𝟏𝟎
𝟐
𝟏𝟖
𝟐
𝟏𝟎
𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝟐 𝟐 𝟗𝟎
𝟐
(
𝟗𝟎
)
𝟐
(
𝟗𝟎
)
𝟏
𝟐
𝟗𝟎 𝟗𝟎
𝟐
𝟗𝟎
𝟏𝟖
𝟓
𝟐
𝟗𝟎 𝟗𝟎
𝟏𝟎
𝟗
‫وزاري‬2012/‫د‬2

107. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
106
‫س‬6/‫االص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذب‬‫ذ‬‫اكت‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــــ‬‫ل‬‫اح‬ ‫ان‬ ‫ذت‬‫ذ‬‫علم‬ ‫اذا‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــ‬‫ذإرتٌن‬‫ذ‬‫الب‬ ‫ذن‬‫ذ‬‫ع‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ٌبع‬ ‫ذٌه‬‫ذ‬‫راس‬ ‫د‬
‫بالعددٌن‬𝟏 𝟗‫وٌنط‬ ‫الترتٌب‬ ‫على‬ ‫وحدات‬ٌٌ‫االحداث‬ ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫محورا‬ ‫بك‬‫ن‬.‫وزاري‬2012/‫د‬3
/‫الحل‬
𝟐 𝟏 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝒄 𝟓 𝒄 𝟐
𝟐𝟓
𝟓 𝟏 𝒂 𝟒 𝒂 𝟐
𝟏𝟔
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝒃 𝟗𝟐
∴‫أحتم‬ ‫هنان‬‫ـــــــــــــ‬‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫لمعادلة‬ ‫الٌن‬
𝟐
𝟏𝟔
𝟐
𝟗
𝟏 ‫سٌنٌة‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝟐
𝟏𝟔
𝟐
𝟗
𝟏 ‫صادٌة‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫س‬7/‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬ ‫هما‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟐‫والنسبة‬
‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫بٌن‬
𝟓
𝟑
‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫ومركز‬.‫وزاري‬2013/‫د‬3
/‫الحل‬‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫زائد‬:
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟐 ] ( 𝟏𝟐)
𝟐
𝟏𝟐
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
𝟏𝟐 𝟐
𝟒 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟒 𝟐
𝟏𝟔 𝟒
∴‫ال‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬‫زائد‬( 𝟒 ) (𝟒 )
‫من‬‫ا‬ ‫المطع‬‫لنالص‬:
‫ال‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬‫نالص‬⇐ ( 𝟒 ) (𝟒 )𝟒‫المانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓
𝟑
𝒂
𝟐
𝟐𝟓
𝟗
𝟐
𝟐 𝟐𝟓 𝟐
𝟗
𝟐 𝟐
𝒄 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟗
𝟐
𝟏𝟔
( 𝟗)
𝟐𝟓 𝟐
𝟗 𝟐
𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟔 𝟐
𝟏𝟒𝟒 𝟐
𝟗
2
25 2
9
25 (9)
9
2
25
2
25
2
9
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

108. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
107
‫س‬8/‫النمطة‬( 𝟔 )‫ومعادلته‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫الى‬ ً‫تنتم‬𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟐:‫من‬ ‫كال‬ ‫جد‬
‫أ‬.‫لٌمة‬‫النمطة‬ ‫من‬ ‫الٌمنى‬ ‫الجهة‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫للمطع‬ ‫البإري‬ ‫المطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬ .‫ب‬
/‫الحل‬)‫(أ‬∵‫النمطة‬(𝟔 )‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫الى‬ ً‫تنتم‬
∴‫النمطة‬(𝟔 )‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( 𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟐)
(𝟔) 𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐 𝟑 𝟐
24 𝟑 𝟐 𝟐
𝟖 L 2√2
𝟏(𝟔 𝟐√𝟐) 𝟐(𝟔 𝟐√𝟐)
)‫(ب‬‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫زائد‬:
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟐
𝟐
𝟏𝟐
𝟐
𝟒
𝟏 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟒
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
𝒃 𝟐
𝒄 𝟐
𝟏𝟐 𝟒 𝒄 𝟏𝟔𝟐 (𝟒 𝟎) ‫االٌمن‬ ‫البؤرة‬ ً‫احداث‬
𝟏 𝟏 √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 √(𝟔 𝟒) 𝟐 (𝟐√𝟐 𝟎)
𝟐
√𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 𝟐√𝟑 (‫طول‬ ‫)وحدة‬
𝟐 𝟏 √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐 √(𝟔 𝟒) 𝟐 ( 𝟐√𝟐 𝟎)
𝟐
√𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 𝟐√𝟑 (‫طول‬ ‫)وحدة‬
‫وزاري‬2011/‫د‬1‫وزاري‬4201/‫د‬2‫وزاري‬5201/‫د‬1
‫س‬9/‫ذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذذذد‬‫ذ‬‫الزائ‬‫هم‬ ‫ذذذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬‫ذذذـ‬‫ذ‬‫ــــ‬‫ذذذإرت‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ا‬ً‫ذذذع‬‫ذ‬‫المط‬‫ذذذالص‬‫ذ‬‫الن‬‫ذذذ‬‫ذ‬‫معادلت‬ ‫ذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬‫ـ‬‫ه‬
𝟐
𝟗
𝟐
𝟐𝟓
𝟏
‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫وٌمس‬𝟐
𝟏𝟐 𝟎
/‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬:
𝟐
𝟏𝟐 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒
𝟒 𝟏𝟐 𝐩 𝟑
𝐲 ( ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬ )𝟑
‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫نالص‬:
𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟗 𝟐 𝟐
𝒄 𝟐
𝒄 𝟏𝟔𝟐
𝟒
(𝟎 𝟒 (𝟎 𝟒) ‫البؤرتان‬)
‫من‬‫ال‬ ‫المطع‬‫زائد‬:
∵‫النمطة‬ ‫عند‬ ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫ٌمطع‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬(𝟎 𝟑)‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫راس‬ ً‫وه‬
𝟑 𝟐
𝟗
‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ (𝟎 𝟒 (𝟎 𝟒))𝟒‫المانون‬ ⇐
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐
𝒙
𝟐
𝟏
𝟐
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟔 𝟗 𝟐
𝟕
𝟐
𝟗
𝟐
𝟕
𝟏 ‫الزائ‬‫د‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

109. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
108
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫ذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫االص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ــــ‬‫ل‬‫الص‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذى‬‫ذ‬‫عل‬ ‫ذان‬‫ذ‬‫والبإرت‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــ‬‫ادات‬‫ذور‬‫ذ‬‫المح‬ ‫ذول‬‫ذ‬‫وط‬
‫له‬ ً‫الحمٌم‬𝟏𝟔ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬ ‫وطول‬ ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫المسافة‬ ‫بٌن‬ ‫والنسبة‬
𝟓
𝟒
/‫الحل‬
𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝒂 𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟐
𝟓
𝟒
𝒄
𝟖
𝟓
𝟒
𝐜 𝟏𝟎 𝒄 𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟒 𝟐
𝟑𝟔
𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟑𝟔
𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫مثال‬/‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫بإرتٌه‬ ‫أحدى‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐
𝟐𝟎‫المرافك‬ ‫محور‬ ‫وطول‬
‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫بإرت‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬ ‫ٌساوي‬
𝟐
𝟗
𝟐
𝟏𝟔
𝟏
/‫الحل‬‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫من‬:
𝟐
𝟐𝟎 (‫مع‬ ‫بانمقاروت‬ ) 𝟐
𝟒
𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 𝟎( 𝟓 ‫البؤرة‬)
‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫نالص‬:
𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟗 𝟐 𝟐
𝒄 𝟐
𝒄 𝟕𝟐
√𝟕 𝟐√𝟕 ‫البؤري‬ ‫البعد‬𝟐
‫من‬‫ال‬ ‫المطع‬‫زائد‬:
𝟐√𝟕 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬𝟐 √𝟕 𝟐
𝟕
‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ 𝟎( 𝟓 𝟎) ( 𝟓)𝟓‫المانون‬ ⇐
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐
𝒙
𝟐
𝟏
𝟐
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐𝟓 𝟕 𝟐
𝟏𝟖
𝟐
𝟏𝟖
𝟐
𝟕
𝟏 ‫ا‬‫لزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

110. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
109
‫مثال‬/‫بالنمطتٌن‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟎 𝟑√𝟐) (𝟑 𝟔)
/‫الحل‬
∵‫الزائذذذذذذذذد‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬‫بالنمطذذذذذذذذة‬ ‫ذذذذذذذر‬‫ذ‬‫ٌم‬(𝟎 𝟑√𝟐)‫ولٌمذذذذذذذذة‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫المطذذذذذذذذع‬ ‫رأس‬ ‫ذذذذذذذل‬‫ذ‬‫تمث‬ ‫فالنمطذذذذذذذذة‬ ‫ذذذذذذذذا‬‫ذ‬‫ل‬
( 𝟑√𝟐)‫هو‬ ‫والمانون‬
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐
𝒙
𝟐
𝟏
𝟐
(𝟑 𝟔) ‫النقطة‬‫معادلته‬ ‫تحمك‬ ً‫فه‬ ‫لذا‬ ‫الزائد‬ ‫للمطع‬ ً‫تنتم‬
( 𝟔) 𝟐
𝟑√𝟐( )
𝟐
(𝟑)
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟑𝟔
𝟏𝟖
𝟗
𝟐 𝟐
𝟏
𝟗
𝟐
𝟏
𝟗 𝟐
𝟗
𝒚 𝟐
𝟏𝟖
𝒙
𝟗
𝟏 (‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معاد‬‫لة‬ )
𝟐
‫ذال‬‫ذ‬‫مث‬/‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬‫رأس‬ ‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــــــــ‬‫ذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ا‬
𝒙
𝟏𝟎𝟎
𝟐 𝒚
𝟔𝟒
𝟏‫مح‬ ‫ذول‬‫ذ‬‫وط‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ــــ‬‫ور‬
𝟐
ً‫الحمٌم‬(𝟏𝟐)‫وحدة‬
‫الحل‬/‫ال‬ ‫المطع‬ ‫من‬‫نالص‬:
𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟐
𝟔𝟒 𝒂 𝟏𝟎 ( 𝟏𝟎 𝟎) (𝟏𝟎 𝟎) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫راسا‬
‫من‬‫ال‬ ‫المطع‬‫زائد‬:
‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬⇐ ( ) ( )𝟏𝟎‫المانون‬ ⇐
𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
𝒚
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐
𝟑𝟔
𝒄 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟑𝟔
𝟐
𝟔𝟒
𝟏 ‫الزا‬‫ئد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

111. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
110
‫س‬1:‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫و‬ ‫ذل‬‫ذ‬‫االص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ً‫ذ‬‫ذ‬‫ف‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذو‬‫ذ‬‫وط‬ ‫ذادات‬‫ذ‬‫الص‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ً‫ذ‬‫ذ‬‫تنتم‬‫ذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ل‬
‫ٌسذاوي‬ ‫المرافك‬‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫بذإرة‬ ‫بذٌن‬ ‫البعذد‬( 𝟐
𝟏𝟐 )‫طذول‬ ‫امثذال‬ ‫ثالثذة‬ ً‫الحمٌمذ‬ ‫محذور‬ ‫وطذول‬ ‫ودلٌلذه‬
‫المرافك‬ ‫محور‬
‫س‬2:‫ذذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ً‫ذذإرت‬‫ذ‬‫ب‬ ‫همذذا‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫راس‬ ‫و‬ ‫ذذل‬‫ذ‬‫االص‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ً‫ذذ‬‫ذ‬‫ف‬ ‫مركذذز‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫جذذد‬‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬
‫معادلته‬(𝟗𝒚 𝟏𝟔𝟐
𝒙 𝟏𝟒𝟒𝟐
‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫طول‬ ‫ومجموع‬(𝟏𝟔)‫طول‬ ‫وحدة‬ )
‫س‬3:‫معادلذذذة‬ ‫ذذت‬‫ذ‬‫كان‬ ‫فذذذاذا‬ . ‫ذذر‬‫ذ‬‫االخ‬ ‫ببذذذإرة‬ ‫ذذر‬‫ذ‬‫ٌم‬ ‫منهمذذذا‬ ‫ذذل‬‫ذ‬‫ك‬ ‫زائذذذد‬ ‫ذذر‬‫ذ‬‫واالخ‬ ‫نذذذالص‬ ‫ذذدهما‬‫ذ‬‫اح‬ ‫مخروطٌذذذان‬ ‫ذذان‬‫ذ‬‫لطع‬
‫احدهما‬( 𝟐 𝟐
𝟑)‫االخر‬ ‫معادلة‬ ‫فجد‬
‫س‬4:‫ذذذذذذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذذذذذذذالنمطتٌن‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذذذذذذذر‬‫ذ‬‫ٌم‬ ‫ذذذذذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬(𝟑 𝟏 )(𝟑 𝟏)‫ذذذذذذذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذذذذذول‬‫ذ‬‫وط‬
‫ٌساوي‬ ‫الكبٌر‬(𝟐𝟓)‫وحدة‬
‫س‬5:‫االصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ً‫ه‬ ‫بإرتا‬ ‫أحدى‬ ‫و‬‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬‫معادلته‬ ‫الذي‬
𝒙
𝟑𝟔
𝟐 𝒚
𝟐𝟎
𝟏‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ً‫ه‬ ‫رأسٌه‬ ‫وأحد‬𝟐
𝟖 𝟎
𝟐
‫س‬6:‫ذذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ً‫ذذإرت‬‫ذ‬‫ب‬ ً‫ذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫و‬ ‫ذذل‬‫ذ‬‫االص‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ً‫ذذ‬‫ذ‬‫ف‬ ‫ذذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذد‬‫ذ‬‫ج‬‫ذذذي‬‫ذ‬‫ال‬
‫معادلته‬(𝟖𝒚 𝟐
𝒙 𝟑𝟐𝟐
‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫دلٌل‬ ‫وٌمس‬( 𝟐
𝟏𝟔 𝟎) )
‫س‬7:‫ذذذذذذذتكن‬‫ذ‬‫ل‬(𝒚 𝟐
𝒙 𝟑𝟐
‫ذذذذذذذا‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫راس‬ ً‫ذذذذذذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذذذذذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫أح‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫زائ‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫لط‬ ‫ذذذذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬‫لص‬ )
‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬( 𝟏 𝟐)‫بإرتٌه‬ ‫احد‬ ‫والذي‬(𝟎 √ 𝟔)‫لٌمة‬ ‫فجد‬
‫س‬8:‫ذذذذتكن‬‫ذ‬‫ل‬(𝟓𝒚 𝟒𝟐
𝒙 𝟐
‫ذذذذافئ‬‫ذ‬‫المك‬ ‫ذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذإرة‬‫ذ‬‫ب‬ ً‫ذذذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذذذد‬‫ذ‬‫أح‬ ‫ذذذذد‬‫ذ‬‫زائ‬ ‫ذذذذع‬‫ذ‬‫لط‬ ‫ذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬‫ذذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ )
‫معادلته‬(𝟒 √𝟓 𝟐
𝟎)‫لٌمة‬ ‫فجد‬
‫س‬9:‫لذذذذذذذتكن‬( 𝒙 𝟐
𝑵𝒚 𝟗𝟎𝟐
‫النذذذذذذذالص‬ ‫المطذذذذذذذع‬ ‫بإرتذذذذذذذا‬ ً‫هذذذذذذذ‬ ‫بإرتٌذذذذذذذه‬ ‫زائذذذذذذذد‬ ‫لطذذذذذذذع‬ ‫معادلذذذذذذذة‬ )
‫ذذذذذذذذذذه‬‫ذ‬‫معادلت‬ ‫ذذذذذذذذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬(𝟗 𝟐
𝟏𝟔𝒚 𝟓𝟕𝟔)ً‫ذذذذذذذذذذ‬‫ذ‬‫الحمٌم‬ ‫ذذذذذذذذذذور‬‫ذ‬‫مح‬ ‫ذذذذذذذذذذول‬‫ذ‬‫وط‬𝟔√𝟐‫ذذذذذذذذذذة‬‫ذ‬‫لٌم‬ ‫ذذذذذذذذذذد‬‫ذ‬‫فج‬ 𝟐
‫س‬10:‫ذذذذذذذتكن‬‫ذ‬‫ل‬(𝟓𝒚 𝟒𝟐
𝒙 𝟐
‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذذذذإرة‬‫ذ‬‫ب‬ ً‫ذذذذذذذ‬‫ذ‬‫ه‬ ‫ذذذذذذذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذذذذذذذدى‬‫ذ‬‫اح‬ ‫ذذذذذذذد‬‫ذ‬‫زائ‬ ‫ذذذذذذذع‬‫ذ‬‫لط‬ ‫ذذذذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ )
‫المكافئ‬‫معادلته‬ ‫الذي‬(𝟒 𝟓 𝟐
𝟎)‫لٌمة‬ ‫فجد‬

112. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
111
ً‫الثان‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬2014/‫د‬3
‫س‬3/‫األص‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬‫ـــــــ‬‫األخذر‬ ‫ببذإرة‬ ‫ٌمذر‬ ‫أحذدهما‬ ‫األصذل‬ ‫نمطة‬ ‫محورٌه‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬ ‫زائد‬ ‫ولطع‬ ‫ل‬
‫كانت‬ ‫فؤذا‬𝟗 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟐𝟐𝟓‫فجد‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬:
)‫(أ‬. ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫محٌط‬ )‫(ب‬ . ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫مساحة‬
. ‫منهما‬ ‫لكل‬ ‫المركزي‬ ‫األختالف‬ )‫(د‬ . ‫أرسمه‬ ‫ثم‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ )‫(ج‬
‫الحل‬/)‫(أ‬
𝟗 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟐𝟐𝟓
( 225) 𝟐
𝟐𝟓
𝟐
𝟗
𝟏
𝟐
𝟐𝟓 𝟓 𝟐
𝟗 𝟑
𝒂𝒃 (𝟓)(𝟑) 𝟏𝟓𝝅 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
)‫(ب‬
‫المحٌط‬ 𝒑 𝟐𝝅 √
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐𝝅 √
𝟐𝟓 𝟗
𝟐
𝟐 𝝅 √
𝟑𝟒
𝟐
𝟐 √𝟏𝟕 ‫وحدة‬
)‫(ج‬: ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫من‬
𝟐
𝟐𝟓 𝟓 𝟐
𝟗 𝟑
𝟐
𝒃 𝟐𝟐 𝟐
𝟐𝟓 𝟗 𝟐
𝟏𝟔 𝐜 𝟒
(𝟓 𝟎) ( 𝟓 𝟎) ‫الرأسان‬ (𝟒 𝟎) ( 𝟒 𝟎) ‫البؤرتان‬
‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫من‬:
‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫ببإرة‬ ‫ٌمر‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬
(𝟒 𝟎) ( 𝟒 𝟎) ‫الرأسان‬ (𝟓 𝟎) ( 𝟓 𝟎) ‫البؤرتان‬

113. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
112
𝟐
𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐
𝟗
𝟐
𝟏𝟔
𝟐
𝟗
𝟏 ‫انزائد‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
)‫(د‬
𝟒
𝟓
𝟏 ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫األختالف‬
𝟓
𝟒
𝟏 ‫الزائد‬ ‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫األختالف‬

114. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
113
‫وزاري‬2011/‫د‬2‫وزاري‬2015/‫د‬3
‫س‬4/‫ذـادل‬‫ذ‬‫معـــــ‬ ‫جذد‬‫ال‬ ‫ة‬‫ذع‬‫ذ‬‫مط‬‫ال‬‫ذالص‬‫ذ‬‫ن‬‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬‫الس‬ ‫ذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ‫تنتمٌذان‬ ‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــــ‬‫ومس‬ ‫ذل‬‫ذ‬‫األص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫ومرك‬ ‫ٌنات‬‫ذـ‬‫ذ‬‫ـــ‬‫احة‬
‫منطمته‬𝟕‫ٌساوي‬ ‫ومحٌطه‬ ‫مربعة‬ ‫وحدة‬𝟏𝟎‫وحدة‬.
‫الحل‬/
𝒂𝒃 𝟕𝝅 𝒃
𝟕
𝒂
( ① ‫معادلة‬ )
𝒑 𝟐𝝅 √
𝟐 𝟐
𝟐
𝟏𝟎𝝅 𝟐𝝅 √
𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟐 )
𝟓 √
𝟐 𝟐
𝟐
( ② ‫معادلة‬ )
‫المعادلة‬ ‫بتعوٌض‬①‫المعادلة‬ ً‫ف‬②: ‫على‬ ‫نحصل‬
𝟓
√
𝟐 𝟕 𝟐
𝟐
𝒂
𝟓
√
𝟐 𝟒𝟗
𝒂 𝟐
𝟐
( ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬ )
𝟐𝟓
𝟐 𝟒𝟗
𝒂 𝟐
𝟐
𝟓𝟎 𝟐
𝟒𝟗
𝒂 𝟐
( 𝟐 ‫ب‬ ‫المعادلة‬ ً‫طرف‬ ‫نضرب‬ )
𝟓𝟎 𝟐 𝟒
𝟒𝟗
𝟒
𝟓𝟎 𝟐
𝟎 ( 𝟐
𝟒𝟗)( 𝟐
𝟏) 𝟎𝟒𝟗
𝟐
𝟒𝟗 𝟎 𝟐
𝟒𝟗 𝟕 ( ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬ )
𝒃
𝟕
𝒂
𝟏 𝟐
𝟏
𝟕
𝟕
𝟐
𝟒𝟗
𝟐
𝟏
𝟏 ‫انىاقص‬ ‫انقطع‬ ‫معادنت‬
𝟐
𝟏 𝟎 𝟐
𝟏 𝟏 ( ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬ )
𝒃
𝟕
𝒂
𝟕
𝟕 ‫ٌهمل‬
𝟏
‫لٌمة‬ ‫ألن‬( )‫تكون‬ ‫أن‬ ‫ٌجب‬‫أ‬‫كب‬‫لٌمة‬ ‫من‬ ‫ر‬( )‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬.

115. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
114
ً‫الثان‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬98‫/د‬1
‫معادلته‬ ‫زائد‬ ‫لطع‬𝟐 𝟐
𝟗𝟎ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬ ‫وطول‬𝟔√𝟐‫المطذع‬ ً‫بذإرت‬ ‫علذى‬ ‫تنطبمذان‬ ‫وبإرتذا‬ ‫وحذدة‬
‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬𝟗 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟓𝟕𝟔‫لٌمة‬ ‫جد‬k,h.
:‫الحل‬
‫القطع‬ ً‫ف‬‫الناقص‬:
[9 2
6 2
576] 576
2 2
2
64 2
36
2 2 2
64 36 2
2
28 2√7
‫البؤرتان‬(2√7 ) ( 2√7 )
‫القطع‬ ً‫ف‬‫البؤرتان‬ : ‫الزائد‬(2√7 ) ( 2√7 )
c 2√7 2 6√2 3√2
2 2 2
8 2
28 2
ℎ 2 2
9 ] 9
2
9
ℎ
2
9
2
8 8ℎ 9 ℎ 5
2
9 9

116. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
115
‫وزاري‬ ‫سإال‬99‫/د‬2
‫النمطة‬(
𝟏
𝟑
𝟐)ً‫هذ‬ ً‫والت‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬ ‫وبإرته‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ً‫ف‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬
‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫بإرت‬ ‫احدى‬,‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫النسبة‬
𝟓
𝟒
,.‫والنالص‬ ‫المكافئ‬ ‫المطعٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
:‫الحل‬
‫المكافئ‬:2
4 (2)2
4 ( ) 4 3 (3 ) ‫البؤرة‬
2
4(3) 2
2
3 ⇐ (3 ) ( 3 ) ‫هما‬ ‫البؤرتان‬ ‫الناقص‬
2
2
5
4
4 5
5
4
2 2 2
25 2
6
2
9 ] ( 6)
25 2
6 2
44 9 2
44
2
6 4
5( )
5
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
2
25
2
‫وزاري‬ ‫سإال‬2000‫/د‬2
‫معادلتذه‬ ‫الذذي‬ ‫الزائذد‬ ‫المطذع‬ ً‫بذإرت‬ ‫همذا‬ ‫بإرتذا‬ ‫الذذي‬ ‫النذالص‬ ‫المطذع‬ ‫معادلذة‬ ‫جد‬𝟐
𝟑 𝟐
𝟏𝟐‫بذٌن‬ ‫والنسذبة‬
‫محورٌة‬ ً‫طول‬
𝟓
𝟑
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫الزائد‬2
3 2
2
( 2) 2
2
2
2
2 2
4
2 2 2 2
2 4 2
6 4
‫البؤرتان‬( 4 ) (4 )
‫القطع‬ ً‫ف‬:‫الناقص‬( 4 ) (4 ) ‫البؤرتان‬⇐4
2
2
5
3 5
5
( )
2 2 2 25 2
2
6 25 2
9 2
44
6 2
44 2
9 3
5( )
5
‫النا‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬‫قص‬
2
25
2

117. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
116
‫وزاري‬ ‫سإال‬2001‫/د‬1
‫ذه‬‫ذ‬‫معادلت‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ً‫ذإرت‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذى‬‫ذ‬‫عل‬ ‫ذان‬‫ذ‬‫تنطبم‬ ‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬𝟑 𝟐
𝟓 𝟐
𝟏𝟐𝟎
‫و‬‫تساوي‬ ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫والبعد‬ ً‫الحمٌم‬ ‫محور‬ ‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫النسبة‬
𝟏
𝟐
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬3 2
5 2
2
( 2 ) 2 2
2
2
4 2
24
2 2 2 2
4 24 2
6 4
‫البؤرتان‬( 4 ) (4 )
‫القطع‬ ً‫ف‬‫البؤرتان‬ :‫الزائد‬( 4 ) (4 )⇐4
2
2 2 4 2
2 4 2
2 2 2
4 2
6 2
2
2 2
2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2001‫/د‬2
:‫المكذافئٌن‬ ‫المطعذٌن‬ ‫بإرتذا‬ ‫همذا‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐
𝟐𝟎 𝟐
𝟐𝟎‫بذٌن‬ ‫والفذرق‬
= ‫والمرافك‬ ً‫الحمٌم‬ ‫محورٌه‬ ً‫طول‬2.‫وحدة‬
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫المكافئ‬2
2 2
2
4 2 5 4 2 5
( 5 ) ‫البؤرة‬ (5 ) ‫البؤرة‬
‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬:( ‫البؤرتان‬5,0( , )-5,0)⇐5
2 2 2
( 2)
2 2 2 ( )2 2
25 2 2 2
25
2 2
2 24
( 2)
2
2
( 4)( 3)
4 4 ‫ٌهمل‬
3 3
3 4
2
6
2
9

118. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
117
‫وزاري‬ ‫سإال‬2002‫/د‬1
( ‫تسذاو‬ ‫بإرتٌذه‬ ‫بذٌن‬ ‫والمسذافة‬ ‫السذٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبإرتا‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬8)
‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫ومجموع‬ ‫وحدات‬16.‫وحدة‬
:‫الحل‬2 8 4
2 2 6 8 8
2 2 2 (8 )2 2
6 64 6 2 2
6
6 48 3 8 3 5
2
25
2
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2002‫/د‬2
‫النذالص‬ ‫المطذع‬ ‫راسذا‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐
𝟗 𝟐
𝟑𝟔ً‫الحمٌمذ‬ ‫محذور‬ ‫طذول‬ ‫بذٌن‬ ‫والنسذبة‬
= ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫البعد‬ ‫إلى‬
𝟏
𝟐
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬‫النالص‬
2 2
2
36 6
( 6 ) (6 ) ‫الرأسان‬
( 6 ) (6 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬⇐c 6
2
2 2 2
2 6 3
2 2 2
9 2
36 2
27
2 2
2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2003‫/د‬1
‫معادلته‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬𝟐
𝟒 𝟐
𝟒.‫ورأسٌه‬ ‫بإرتٌه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ً‫وأحداث‬ ‫محورٌه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬
:‫الحل‬
2
4 2
4
( ) 2 2
2
4 2
2
2 2(2) 4 ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
2 2( ) 2 ‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
( 2 ) (2 ) ‫الرأسان‬
2 2 2
4 2
2
3 √3
( √3 ) (√3 ) ‫البؤرتان‬

119. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
118
‫وزاري‬ ‫سإال‬2004‫د‬ /1
‫جد‬( ‫رإوسه‬ ‫احد‬ ‫والذي‬ ‫االحداثٌات‬ ‫محوري‬ ‫محورا‬ ‫الذي‬ ً‫المخروط‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬3,0( ‫بإرتٌه‬ ‫واحد‬ )-5,0)
:‫الحل‬
3 5
2 2 2
9 2
25 2
6 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ( ‫ألن‬ )
2 2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2004‫/د‬2
ً‫ه‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ .‫اآلخر‬ ً‫ببإرت‬ ‫ٌمر‬ ‫احدهما‬ ‫نالص‬ ‫ولطع‬ ‫زائد‬ ‫لطع‬
𝟐
𝟐𝟓
𝟐
𝟗
𝟏.‫االحداثٌات‬ ‫محوري‬ ‫على‬ ‫محورٌهما‬ ‫أن‬ ‫علما‬
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬2
25 5 ( 5 ) (5 ) ‫الرأسان‬
2
9 2 2 2
25 9 2 2
6 4 ( 4 ) (4 ) ‫البؤرتان‬
4 ⇐ ( 4 ) (4 ) ‫الرأسان‬ ‫ا‬‫لزائد‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬
5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬
2 2 2
6 2
25 2
9
2 2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2006‫/د‬1
( ‫بالنمطتٌن‬ ‫وٌمر‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬-3,6( , )3,6.‫دلٌله‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ )
:‫الحل‬
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ‫القطع‬‫األعلى‬ ‫إلى‬ ‫القطع‬ ‫وفتحة‬ ‫الصادي‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫القطع‬
2
4 (3)2
4 (6) 9 24
2
4 ( ) 2
2
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2006‫د‬ /2
( ‫بالنمطتٌن‬ ‫وٌمر‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬1,-3( , )1,3.‫دلٌلة‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ )
:‫الحل‬
‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ‫القطع‬.‫الٌمٌن‬ ‫إلى‬ ‫القطع‬ ‫وفتحة‬ ً‫السٌن‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫القطع‬
2
4
(3)2
4 ( ) 9 4
2
4
9
4
2
9 ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫الدلٌل‬ ‫معادلة‬

120. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
119
‫وزاري‬ ‫سإال‬2007‫/د‬1
( ‫ذه‬‫ذ‬ٌ‫بإرت‬ ‫ذٌن‬‫ذ‬‫ب‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫والبع‬ ‫ذل‬‫ذ‬‫األص‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫نمط‬ ‫ذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫ذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذد‬‫ذ‬‫ج‬8‫ذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذا‬‫ذ‬‫ورأس‬ ‫ذدة‬‫ذ‬‫وح‬ )‫ذد‬‫ذ‬‫الزائ‬ ‫ذع‬‫ذ‬‫المط‬
𝟐
𝟏𝟔
𝟐
𝟗
𝟏.
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬‫الزائد‬
2 2
2
6 2
9
2 2 2
6 9 2 2
25 5
( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬
4 ⇐ 2 8 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬
5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫هما‬ ‫الرأسان‬
2 2 2
25 2
6 2
25 6 2
9
2
25
2
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2007‫/د‬1
‫لتكن‬𝟐 𝟐
𝟑‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ‫بإرة‬ ‫بإرتٌه‬ ‫احدى‬ ‫زائد‬ ‫لطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬𝟐
𝟖‫لٌمة‬ ‫جد‬h.
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫المكافئ‬4 8 2 (2 ) ‫البؤرة‬
c 2 ⇐ ( 2 ) (2 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬
2
ℎ 2
3
2
3
2
3
ℎ
2
3 2
3
ℎ
2 2 2
3 4 ℎ 3
‫وزاري‬ ‫سإال‬2007‫/د‬2
‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬ ‫هما‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
𝟐
𝟒𝟏
𝟐
𝟏𝟔
𝟏( ‫المرافك‬ ‫محور‬ ‫وطول‬8.‫وحدات‬ )
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬2
4 2
6 2 2 2 2
4 6
2
25 5
( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬
5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ً‫ف‬
2 8 4 2 2 2 2
6 25
2
9
2 2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

121. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
120
‫وزاري‬ ‫سإال‬2008‫/د‬1
‫المكافئٌن‬ ‫المطعٌن‬ ً‫بإرت‬ ‫هما‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐
𝟐𝟎 𝟐
𝟐𝟎‫محور‬ ‫وطول‬
= ‫المرافك‬8.‫وحدات‬
:‫المكافئ‬ :‫الحل‬2
2 2
2
4 2 5 4 2 5
( 5 ) ‫البؤرة‬ (5 ) ‫البؤرة‬
5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬
2 8 4
2 2 2 2
6 25 2
9
2 2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2008‫/د‬1
‫معادلته‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬𝟒 𝟐
𝟐 𝟐
= ‫بإرتٌه‬ ‫بٌن‬ ‫والبعد‬𝟐√ 𝟑‫لٌمة‬ ‫جد‬ .‫وحدة‬L.
:‫الحل‬2 2√3 √3
4 2
2 2
]
2 2
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2 4
3
4
3 2
‫وزاري‬ ‫سإال‬2009‫/د‬1
‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫ببإرت‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟗 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟏𝟒𝟒ً‫ا‬‫جزء‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫وٌمطع‬
( ‫طوله‬12.‫وحدة‬ )
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫الزائد‬9 2
6 2
44
( ) 2 2
2
6 2
9
2 2 2
6 9 2 2
25 5
( 5) ( 5) ‫البؤرتان‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬5 2 2 6
2 2
25
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

122. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
121
‫وزاري‬ ‫سإال‬2010‫/د‬1
‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫ببذإرة‬ ‫وٌمر‬ ‫االحداثٌٌن‬ ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫ومحورا‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
𝟐
𝟏𝟔‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫منطمة‬ ‫ومساحة‬𝟐𝟎.‫مربعة‬ ‫وحدة‬
:‫الحل‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫المكافئ‬2
6 4 6 4
(4 ) ‫البؤرة‬
‫المطع‬ ً‫ف‬‫النالص‬:2 2
2
( )
( ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬4,0)( ‫النمطة‬4,0)‫أ‬‫لطب‬ ‫أو‬ ‫رأس‬ ‫تمثل‬ ‫ما‬
4
2
5 ‫ممكن‬ ‫غٌر‬ ‫وهذ‬‫ا‬
b 4 4
2
4 2 5
‫الصادي‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫والمطع‬
2
25
2
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2010‫/د‬2
𝟐
𝟑 𝟐
‫المستمٌم‬ ‫تماطع‬ ‫بنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫نالص‬ ‫لطع‬𝟐 √ 𝟑‫مساحة‬ ‫أن‬ ً‫ا‬‫علم‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬
‫تساوي‬ ‫منطمته‬𝟐√ 𝟑‫لٌمة‬ ‫جد‬ .‫مساحة‬ ‫وحدة‬‫نمطذة‬ ‫ومركذز‬ ‫السذٌنات‬ ‫لمحذور‬ ‫تنتمٌذان‬ ‫بإرتذا‬ ‫حٌث‬
.‫االصل‬
:‫المستمٌم‬ :‫الحل‬2 √3
y √3 ⇐ 2( ) √3 ⇐ ‫عندما‬
( √3) ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬
‫المطع‬ ً‫ف‬:‫النالص‬ً‫السٌن‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫المطع‬ ‫أن‬ ‫بما‬⇐√ 𝟑
ℎ 2
3 2
2 2 2 2
2 2
(ً‫السٌن‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫القطع‬ ‫ألن‬ )
2√3
2√ 2√
√
2
4 2 3
2
3ℎ 2 ℎ 4

123. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
122
‫وزاري‬2012‫د‬ /1
= ‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫ومجموع‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبإرتا‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬16
‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫بإرت‬ ‫على‬ ‫تنطبمان‬ ‫وبإرتا‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬𝟐
𝟐 𝟐
𝟔
:‫الحل‬
ً‫ف‬:‫الزائد‬ ‫المطع‬2
2 2
6
2 2
2
6 2
3
2 2 2
6 3 2 2
9 3
(3 ) ( 3 ) ‫البؤرتان‬
ً‫ف‬:‫النالص‬ ‫المطع‬‫البؤرتان‬c 3 ⇐ (3 ) ( 3 )
2 2 6
2
8 8
2 2 2 (8 )2 2
9 64 6 2 2
9
6 64 9 6 55
55
8
55 2 55
2
( )
2
2
( )
2
2
2
2
2
2
2
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬2012‫/د‬2
‫محور‬ ‫من‬ ‫وٌمطع‬ ‫االحداثٌٌن‬ ‫المحورٌن‬ ‫على‬ ‫محورا‬ ‫وٌنطبك‬ ‫االصل‬ ‫نمطة‬ ‫مركز‬ ‫الذي‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫طوله‬ ً‫ا‬‫جزء‬ ‫السٌنات‬8‫منمطته‬ ‫ومساحة‬ ‫وحدات‬𝟐𝟒.‫مساحة‬ ‫وحدة‬
:‫الحل‬24 24
2
‫طوله‬ ً‫ا‬‫جز‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫ٌمطع‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫أن‬ ‫بما‬(8)‫الكبٌذر‬ ‫المحذور‬ ‫طذول‬ ‫ٌمثل‬ ‫أما‬ ‫الجزء‬ ‫هذا‬ ‫فؤن‬ ‫وحدات‬
‫المحور‬ ‫طول‬ ‫ٌمثل‬ ‫الجزء‬ ‫هذا‬ ‫كان‬ ‫فؤذا‬ .‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫أو‬:‫فٌكون‬ ‫الكبٌر‬
2 8 4
2
6
‫ألن‬ ‫ممكن‬ ‫غٌر‬ ‫وهذا‬:‫الصغٌر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫ٌمثل‬ ‫الممطوع‬ ‫الجزء‬ ‫فؤن‬ ‫لذا‬ .‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬ ً‫ا‬‫دائم‬
2 8 4 6
:‫الصادي‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫والمطع‬
2 2
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

124. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
123
‫وزاري‬2013‫/د‬1
‫بإرتا‬ ً‫مخروط‬ ‫لطع‬𝟏(𝟒 𝟎) 𝟐( 𝟒 𝟎)= ‫المركزي‬ ‫واختالفه‬2.‫معادلته‬ ‫جد‬ ,
:‫الحل‬
4 ⇐ ‫الن‬ ‫زائد‬ ‫القطع‬ ⇐ 2
2 2 4 2
2 2 2
4 2
6 2
6 4 2
2
2 2
2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬2015‫/د‬2
‫لتكن‬𝟓 𝟐
– 𝟒 𝟐
‫معادلة‬‫المكذافئ‬ ‫المطذع‬ ‫بذإرة‬ ً‫هذ‬ ‫بإرتٌــذـه‬ ‫أحذدى‬ ‫زائذد‬ ‫لطذع‬𝟒 √𝟓 𝟐
𝟎
‫لٌمة‬ ‫جد‬.
:‫الحل‬
: ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬
𝟒 √ 𝟓 𝟐 𝟎 𝟒 √𝟓 𝟐 𝟐
𝟒
√𝟓
𝟐 𝟒 𝟒
𝟒
√𝟓
𝟏
√ 𝟓
𝟎
𝟏
√ 𝟓
‫البؤرة‬
: ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬‫البإرتان‬(𝟎
𝟏
√𝟓
) (𝟎
𝟏
√𝟓
)⇐c =
𝟏
√𝟓
𝟓 𝟐
– 𝟒 𝟐
( ) 𝟐
𝟓
𝟐
𝟒
𝟏 𝟐
𝟓
𝟐
𝟒
𝟐 𝟐 𝟐
[
𝟏
𝟓 𝟓 𝟒
]
(×𝟐𝟎)
𝟒 𝟒 𝟓 𝟗 𝟒
𝟗
𝟒

125. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
124
‫وزاري‬2015‫/د‬2
‫ذذذذاحته‬‫ذ‬‫مس‬ , ‫ذذذذادات‬‫ذ‬‫الص‬ ‫ذذذذور‬‫ذ‬‫لمح‬ ‫ذذذذان‬‫ذ‬ٌ‫تنتم‬ ‫ذذذذا‬‫ذ‬‫بإرت‬ ‫ذذذذذي‬‫ذ‬‫ال‬ ‫ذذذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫ذذذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫ذذذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫ذذذذد‬‫ذ‬‫ج‬𝟑𝟐‫ذذذذاحة‬‫ذ‬‫مس‬ ‫ذذذذدة‬‫ذ‬‫وح‬
‫محورٌه‬ ً‫طول‬ ‫بٌن‬ ‫والنسبة‬
𝟏
𝟐
:‫الحل‬
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑𝟐 𝟐 × 𝟑𝟐 𝟐
𝟏𝟔 𝟒 𝟖
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟏𝟔
𝟏 ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سإال‬2015‫/د‬3
‫المكافئٌن‬ ‫المطعٌن‬ ً‫بإرت‬ ‫هما‬ ‫بإرتا‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐
𝟐𝟎 𝟐
𝟐𝟎‫محور‬ ‫وطول‬
= ‫المرافك‬8.‫وحدات‬
:‫المكافئ‬ :‫الحل‬2
2 2
2
4 2 5 4 2 5
( 5 ) ‫البؤرة‬ (5 ) ‫البؤرة‬
5 ⇐ ( 5 ) (5 ) ‫البؤرتان‬ ‫الزائد‬
2 8 4
2 2 2 2
6 25 2
9
2 2
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

126. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
125
‫وزاري‬ ‫سإال‬2016‫/د‬1
‫ذذن‬‫ذ‬‫ع‬ ‫المكذذافئ‬ ‫ذذع‬‫ذ‬‫المط‬ ‫بذذإرة‬ ‫ذذد‬‫ذ‬‫لبع‬ ً‫ا‬ٌ‫مسذذاو‬ ‫ذذإري‬‫ذ‬‫الب‬ ‫وبعذذد‬ ‫ذذل‬‫ذ‬‫األص‬ ‫نمطذذة‬ ‫ذذز‬‫ذ‬‫مرك‬ ‫الذذذي‬ ‫ذذالص‬‫ذ‬‫الن‬ ‫المطذذع‬ ‫ذذة‬‫ذ‬‫معادل‬ ‫جذذد‬
‫دلٌله‬𝟐
𝟐𝟒 𝟎‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫مساحة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬ ,𝟖𝟎 𝟐
:‫الحل‬
: ‫المكافئ‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬
𝟐
𝟐𝟒 𝟎 𝟐
𝟐𝟒 (‫مع‬ ‫بالمقارنة‬ ) 𝟐
𝟒
𝟐𝟒 𝟒
( 𝟒)
𝟔 𝟐 𝟏𝟐 (‫ودلٌه‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫بٌن‬ ‫)البعد‬
: ‫النالص‬ ‫المطع‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐
𝟑𝟔
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟑𝟔 (𝟏)
𝟖𝟎
𝟖𝟎
(𝟐)
‫المعادلة‬ ‫نعوض‬(𝟐)‫المعدلة‬ ً‫ف‬(𝟏): ‫فٌنتج‬
𝟐
𝟔𝟒𝟎𝟎
𝟐
𝟑𝟔
(× 𝟐)
𝟒
𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟒
𝟑𝟔 𝟐
𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎
( 𝟐
𝟏𝟎𝟎)( 𝟐
𝟔𝟒) 𝟎
‫أما‬ 𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟐
𝟔𝟒𝟎𝟎
𝟐
𝟔𝟒𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟐
𝟔𝟒
‫أو‬ 𝟐
𝟔𝟒 ‫ٌهمل‬
∴: ‫وهما‬ ‫محدد‬ ‫غٌر‬ ‫البإرتٌن‬ ‫مولع‬ ‫ألن‬ ‫النالص‬ ‫للمطع‬ ‫معادلتان‬ ‫هنان‬
𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝟐
𝟔𝟒
𝟏
𝟐
𝟔𝟒
𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝟏

127. ‫حمٌــــــد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعــــــــــــداد‬ ‫المخروطٌة‬ ‫المطــــــــــــــــــــــوع‬ /ً‫الثان‬ ‫الفصــــــــــل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
126
‫وزاري‬ ‫سإال‬2016‫/د‬1
‫والنذذذالص‬ ‫الزائذذذد‬ ‫المطذذذع‬ ‫معادلذذذة‬ ‫جذذذد‬‫السذذذٌنات‬ ‫محذذذور‬ ‫علذذذى‬ ‫ٌمعذذذان‬ ‫وكالهمذذذا‬ ‫األخذذذر‬ ً‫ببذذذإرت‬ ‫ٌمذذذر‬ ‫كذذذل‬ ‫كذذذان‬ ‫أذا‬
‫ٌساوي‬ ‫الكبٌر‬ ‫المحور‬ ‫وطول‬𝟔√𝟐‫ٌساوي‬ ً‫الحمٌم‬ ‫المحور‬ ‫وطول‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬𝟔. ‫طول‬ ‫وحدة‬
:‫الحل‬
‫األخر‬ ‫ببإرة‬ ‫ٌمر‬ ‫المطعٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬
∴‫الزا‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬ ‫تمثالن‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫وبإرتا‬ ‫الزائد‬ ‫المطع‬ ‫بإرتا‬ ‫ٌمثالن‬ ‫النالص‬ ‫المطع‬ ‫رأسا‬‫ئ‬‫د‬
ً‫ف‬‫النالص‬ ‫المطع‬:ً‫ف‬‫الزائد‬ ‫المطع‬:
𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐
𝟏𝟖
𝟐
𝟗
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏𝟖 𝟗 𝟐
𝟗
𝟐
𝟏𝟖
𝟐
𝟗
𝟏 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
𝟐 𝟔 𝟑 𝟐
𝟗
𝟐
𝟏𝟖
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏𝟖 𝟗 𝟐
𝟗
𝟐
𝟗
𝟐
𝟗
𝟏 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬

128. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
127
‫الثالث‬ ‫الفصل‬/‫التفاضل‬ ‫تطبٌمات‬
) ‫مراجعة‬ ( ‫للمشتمة‬ ‫األساسٌة‬ ‫المواعد‬
‫األولى‬ ‫الماعدة‬:‫صف‬ ‫تساوي‬ ‫الثابتة‬ ‫الدالة‬ ‫مشتمة‬‫ر‬
(𝟏) ( ) 𝟑 ̅( ) 𝟎
(𝟐) ( ) √𝟒 ̅( ) 𝟎
(𝟑) ( )
𝟐
𝟓
̅( ) 𝟎
‫الثانٌة‬ ‫الماعدة‬‫كان‬ ‫أذا‬ :( )‫فأن‬̅( ) ( 𝟏)
(𝟏) ( ) 𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟐
(𝟐) ( ) √
.
𝟏
𝟐
/ ̅( )
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟐
/ 𝟏
𝟐√
(𝟑) ( ) 𝟕 ̅( ) 𝟕 𝟖
𝟕
𝟖
‫الثالثة‬ ‫الماعدة‬‫كان‬ ‫أذا‬ :( )‫فأن‬̅( ) ( ) ( 𝟏)
‫حٌث‬
(𝟏) ( ) 𝟔 𝟒 ̅( ) 𝟐𝟒 𝟑
(𝟐) ( ) 𝟕√ 𝟕
.
𝟏
𝟐
/ ̅( ) 𝟕 (
𝟏
𝟐
)
.
𝟏
𝟐
/ 𝟕
𝟐√
(𝟑) ( ) 𝟓 𝟑 ̅( ) 𝟏𝟓 𝟒
𝟏𝟓
𝟒
(𝟒) ( ) 𝟗 ̅( ) 𝟗
‫الرابعة‬ ‫الماعدة‬‫مشتماتها‬ ‫مجوع‬ = ‫دوال‬ ‫مجموعة‬ ‫مشتمة‬ :
(𝟏) ( ) 𝟑
𝟕 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟕
(𝟐) ( ) 𝟔 𝟒
𝟏
̅( ) 𝟐𝟒 𝟑
𝟏
𝟐
(𝟑) ( ) 𝟕√
𝟐
𝟓 ( ) 𝟕
.
𝟏
𝟐
/
𝟐 𝟏
𝟓
̅( ) 𝟕 (
𝟏
𝟐
)
.
𝟏
𝟐
/
𝟐 𝟐
𝟓
̅( )
𝟕
𝟐√
𝟐
𝟐
𝟓

129. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
128
‫الخامسة‬ ‫الماعدة‬:]‫األولى‬ ‫الدالة‬ = ‫دالتٌن‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫مشتمة‬‫الثانٌة‬ ‫الدالة‬ + ‫الثانٌة‬ ‫الدالة‬ ‫مشتمة‬‫األولى‬ ‫الدالة‬ ‫مشتمة‬[
( ) (𝟒 𝟑
𝟕 )(𝟐 ) ̅( ) (𝟒 𝟑
𝟕 )(𝟐) (𝟐 )(𝟏𝟐 𝟐
𝟕) 𝟖 𝟑
𝟏𝟒 𝟐𝟒 𝟑
𝟏𝟒
‫السادسة‬ ‫الماعدة‬= ‫دالتٌن‬ ‫لسمة‬ ‫مشتمة‬ :
‫الممام‬ ‫مشتمة‬ ‫البسط‬ ‫البسط‬ ‫مشتمة‬ ‫الممام‬
(‫)الممام‬
𝟐
( )
𝟐 𝟑
𝟏
𝟒 𝟏
̅( )
( 𝟒
𝟏)(𝟔 ) (𝟐 𝟑
𝟏)(𝟒 𝟑
)
( 𝟒 𝟏) 𝟐
𝟔 𝟓
𝟔 𝟖 𝟔
𝟒 𝟑
( 𝟒 𝟏) 𝟐
‫السابعة‬ ‫الماعدة‬ٌ‫مع‬ ‫ألس‬ ‫مرفوعة‬ ‫دوال‬ ‫مجموعة‬ ‫مشتمة‬ :‫ن‬̅( ) , ( )-( 𝟏) ̅( ) ‫فأن‬ ( ) , ( )-
(𝟏) ( ) (𝟒 𝟑
𝟕 ) 𝟓 ̅( ) 𝟓(𝟒 𝟑
𝟕 ) 𝟒 (𝟏𝟐 𝟐
𝟕) (𝟔𝟎 𝟐
𝟑𝟓)(𝟒 𝟑
𝟕 ) 𝟒
(𝟐) ( ) ( 𝟏) 𝟐 (𝟐 𝟐) 𝟑 ̅( ) ( 𝟏) 𝟐 ,𝟑(𝟐 𝟐) 𝟐(𝟐)- (𝟐 𝟐) 𝟑 ,𝟐( 𝟏)(𝟏)-
̅( ) 𝟔( 𝟏) 𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟑( 𝟏)
(𝟑) ( ) 𝟐√ 𝟒 𝟑 𝟐 ( ) 𝟐 (𝟒 𝟑
𝟐 )
𝟏
𝟐
̅( ) 𝟐
6(
𝟏
𝟐
) (𝟒 𝟑
𝟐 )
𝟏
𝟐 (𝟏𝟐 𝟐
𝟐)7 (𝟒 𝟑
𝟐 )
𝟏
𝟐 ,𝟐 -
𝟐
(𝟏𝟐 𝟐
𝟐)
𝟐(𝟒 𝟑 𝟐 )
𝟏
𝟐
𝟐 (𝟒 𝟑
𝟐 )
𝟏
𝟐
̅( )
𝟐
(𝟏𝟐 𝟐
𝟐) 𝟒 (𝟒 𝟑
𝟐 )
𝟐(𝟒 𝟑 𝟐 )
𝟏
𝟐
𝟏𝟐 𝟒
𝟐 𝟐
𝟏𝟔 𝟒
𝟖 𝟐
𝟐√ 𝟒 𝟑 𝟐
‫الدائرٌة‬ ‫الدوال‬ ‫ألشتماق‬ ‫األساسٌة‬ ‫المواعد‬
(𝟒) ( ) ̅( ) 𝟐
( )(𝟏) ( ) ̅( ) ( )
(𝟓) ( ) ̅( )(𝟐) ( ) ̅( ) ( )
(𝟔) ( ) ̅( )(𝟑) ( ) ̅( ) 𝟐( )
‫المهم‬ ‫والعاللات‬ ‫الموانٌن‬ ‫بعض‬
(𝟐 ) 𝟐(𝟐 ) 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟏
𝟏𝟏𝟏

130. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
129
(𝟐 )
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐𝟐
𝟏 𝟐
( )
𝟏
𝟐
𝟏 (𝟐 )
𝟐
𝟐
𝟏 (𝟐 )
𝟐
( )
( ) (‫األشارة‬ ‫)تعكس‬
‫مثال‬/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫مشتمة‬
(𝟏) ( ) √ ̅( )
𝟏
𝟐 √
(𝟐) ( )
𝟐
̅( )
𝟏
𝟐
(𝟑) ( ) ̅( ) ̅( ) ( 𝟏) ̅( ) 𝟏
(𝟒) ( ) ̅( )
(𝟓) ( ) √ ̅( )
𝟏
𝟐√
√
(𝟔) ( ) √ ̅( )
𝟏
𝟐√
(𝟕) ( ) 𝟐 ( ) 𝟐 ̅( ) 𝟐
(𝟖) ( ) 𝟐 ( ) 𝟐 ̅( ) 𝟐
(𝟗) ( ) ̅( ) ( ) ( )
̅( ) 𝟐 𝟐
̅( ) (𝟐 )
(𝟗) ( ) ̅( ) 𝟐
𝟏
̅( ) ( 𝟐
𝟏) 𝟏
̅( ) 𝟐

131. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
130
‫العلٌا‬ ‫الرتب‬ ‫ذات‬ ‫المشتمات‬
‫كانت‬ ‫أذا‬( )ً‫ه‬ ‫األولى‬ ‫مشتمتها‬ ‫فأن‬ ‫األشتماق‬ ‫شروط‬ ‫فٌها‬ ‫تتوافر‬ ‫دالة‬0̅ ̅( )1‫تمثل‬ ً‫وه‬
‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫الجدٌدة‬ ‫والدالة‬ , ‫جدٌدة‬ ‫دالة‬‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬ ‫جدٌدة‬ ‫دالة‬ ‫أٌضا‬ ‫تكون‬ ‫الثانٌة‬ ‫مشتمتها‬ ‫فأن‬
̅̅‫حٌث‬0̅̅
𝟐
𝟐
̅̅ ( )1‫دالة‬ ‫أٌضا‬ ‫تكون‬ ‫الثالثة‬ ‫مشتمتها‬ ‫فأن‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫الجدٌدة‬ ‫والدالة‬ ,
‫با‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬ ‫جدٌدة‬‫لرمز‬̅̅̅‫حٌث‬0̅̅̅
𝟑
𝟑
̅̅ ( )1‫كان‬ ‫فأذا‬ ‫وهكذا‬(n)‫المشتمة‬ ‫فأن‬ ‫موجب‬ ‫صحٌح‬ ‫عدد‬
‫الرتبة‬ ‫من‬(n)ً‫كالتال‬ ‫تكون‬0 ( )
( )1
‫عامة‬ ‫مالحظات‬
‫كانت‬ ‫أذا‬, ( ) -‫حٌث‬( )‫زمن‬ ‫أي‬ ‫عند‬ ‫الجسم‬ ‫أزاحة‬ ‫تمثل‬( ): ‫فأن‬ ‫لذا‬
̅( ) ①)‫األولى‬ ‫(المشتمة‬ً‫وه‬‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬ ‫للجسم‬ ‫اللحظٌة‬ ‫السرعة‬ ‫تمثل‬( )
𝟐
𝟐
̅̅( ) ②‫(المشتمة‬‫الثانٌة‬)ً‫وه‬‫تمثل‬‫التعجٌل‬‫للجسم‬‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬ ) ‫السرعة‬ ‫تغٌٌر‬ ‫(معدل‬( )
𝟑
𝟑
̅̅̅
( ) ③)‫الثالثة‬ ‫(المشتمة‬ً‫وه‬‫(معدل‬ ‫تمثل‬‫ال‬)‫للتعجٌل‬ ً‫الزمن‬ ‫تغٌٌر‬
④‫وم‬ , ‫الثانٌة‬ ‫بالمشتمة‬ ‫تسمى‬ ‫األول‬ ‫األشتماق‬ ‫ناتج‬ ‫مشتمة‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ , ‫مرة‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫الدوال‬ ‫بعض‬‫شتمة‬
‫األشتما‬ ‫ناتج‬‫الثالثة‬ ‫بالمشتمة‬ ‫تسمى‬ ً‫الثان‬ ‫ق‬
‫ال‬ ‫المشتمـــــــــة‬‫ضمنٌة‬
‫كانت‬ ‫أذا‬( )‫بداللة‬ ‫دالة‬( )‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫معادلة‬ ‫أشتماق‬ ‫فعند‬( )‫و‬( )‫لل‬ ‫بالنسبة‬‫ـ‬( )‫نضٌف‬(̅)‫بعد‬
‫لل‬ ‫مشتمة‬ ‫كل‬( )‫أس‬ ‫لٌمة‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫الضمنٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫وتستخدم‬ (( )) ‫واحد‬ ‫من‬ ‫أكبر‬: ً‫التال‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬ ‫كما‬
‫مثال‬/‫أوجد‬(̅): ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ً‫ال‬‫لك‬
① 𝟐 𝟐
𝟒
̅
( 𝟐)
⇒ ̅ ̅ ̅
② 𝟐
𝟐 𝟑
( ̅) ( ) ̅ ̅

132. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
131
‫مثال‬)1)/‫كان‬ ‫أذا‬𝟐‫فجد‬
𝟒
𝟒
‫الحل‬/
𝟐
( 𝟐 )(𝟐) 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐 𝟐 )(𝟐) 𝟒 𝟐
𝟑
𝟑
(𝟒 𝟐 )(𝟐) 𝟖 𝟐
𝟒
𝟒
(𝟖 𝟐 )(𝟐) 𝟏𝟔 𝟐
‫مثال‬))/‫أذا‬‫بأن‬ ‫علمت‬𝟐 𝟐
𝟏‫فبرهن‬: ‫أن‬ ‫على‬
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
𝟎
‫الحل‬/
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐 ( ) 𝟐 𝟎 ( 𝟐)
( ) 𝟎 ( ‫للمتغٌر‬ ‫بالنسبة‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نشتك‬ ‫)واالن‬
4
𝟐
𝟐
5 ( ) ( ) 𝟏 𝟎
4
𝟐
𝟐
5 ( )
𝟐
𝟏 𝟎 ( ‫أخرى‬ ‫مرة‬ ‫للمتغٌر‬ ‫بالنسبة‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نشتك‬ ‫)واالن‬
.
𝟑
𝟑/ .
𝟐
𝟐/ 𝟐 .
𝟐
𝟐/ 𝟎 𝟎 .
𝟑
𝟑/ 𝟑 .
𝟐
𝟐/ 𝟎
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
𝟎 (‫المطلوب‬ ‫)وهو‬
‫مثال‬/‫لتكن‬𝟏𝟑 𝟎‫حٌث‬𝟎 𝟎‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫فجد‬
‫الحل‬/
𝟎 𝟎
𝟎 ‫األولى‬ ‫المشتمة‬
𝟐
𝟐
𝟎 ̅̅ ̅( 𝟏) ̅ 𝟎
̅̅ 𝟐̅ 𝟎 ̅̅
𝟐̅
‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬

133. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
132
‫مثال‬/‫أذا‬‫كانت‬( ) 𝟐
‫وكان‬(𝟏) 𝟓‫وكان‬̅(𝟏) 𝟑‫وكان‬̅̅ (𝟏) 𝟒‫فجد‬
‫الحل‬/
( 𝟏) ( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟓 𝟓 ① ‫معادلة‬
̅( ) 𝟐 ̅( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟑 ② ‫معادلة‬
̅̅ ( ) 𝟐 ̅̅ ( 𝟏) 𝟐 𝟒 𝟐 ② ً‫ف‬ ‫نعوض‬
𝟐 𝟑 𝟐( 𝟐) 𝟑 𝟑 𝟒 𝟕 ① ً‫ف‬ ‫نعوض‬
( 𝟐) ( 𝟕) 𝟓 𝟓 𝟐 𝟕 𝟎
‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬‫أن‬ ‫فبرهن‬
𝟐
𝟐
𝟐
‫الحل‬/
𝟐
𝟐
( ) 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
(𝟑 𝟏)‫تمارين‬
‫س‬1/‫جد‬
𝟐
𝟐
ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
( ) √𝟐 𝟐
‫الحل‬/
(𝟐 )
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
(𝟐 )
𝟏
𝟐 ( 𝟏)
𝟏
𝟐
(𝟐 )
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
(
𝟏
𝟐
) (
𝟏
𝟐
) (𝟐 )
𝟑
𝟐 ( 𝟏)
𝟏
𝟒(𝟐 )
𝟑
𝟐
𝟏
𝟒 √(𝟐 ) 𝟑

134. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
133
( )
𝟐
𝟐
𝟐
‫الحل‬/
(𝟐 )( 𝟏) (𝟐 )(𝟏)
(𝟐 ) 𝟐
𝟐 𝟐
(𝟐 ) 𝟐
𝟒
(𝟐 ) 𝟐
𝟒(𝟐 ) 𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟒)( 𝟐)(𝟐 ) 𝟑(𝟏)
𝟖
(𝟐 ) 𝟑
( ) 𝟐 𝟒 𝟓 𝟎 𝟐 𝟎
‫الحل‬/
𝟐 [ ] 𝟒 𝟎 𝟎
𝟐 𝟐 𝟒 𝟎 (𝟐 𝟒) 𝟐
𝟐
(𝟐 𝟒)
𝟐 6
𝟐
𝟐
7 𝟐 𝟒
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐 𝟒
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
(𝟐 𝟒) 𝟒
𝟐
𝟐
(𝟐 𝟒) ( 𝟒)
𝟐
(𝟐 𝟒)
𝟐
𝟐
𝟖
(𝟐 𝟒) 𝟐
𝟖
𝟒( 𝟐) 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐) 𝟐
‫لحل‬ ‫أخرى‬ ‫طرٌمة‬‫السؤال‬
𝟐 𝟒 𝟓
(𝟐 𝟒) 𝟓
𝟓
(𝟐 𝟒)
𝟓
𝟐( 𝟐)
𝟓
𝟐
( 𝟐) 𝟏
𝟓
𝟐
( 𝟏)( 𝟐) 𝟐(𝟏)
𝟓
𝟐
( 𝟐) 𝟐
𝟐
𝟐
𝟓
𝟐
( 𝟐)( 𝟐) 𝟑(𝟏) 𝟓( 𝟐) 𝟑
𝟐
𝟐
𝟓
( 𝟐) 𝟑

135. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
134
‫س‬2/‫جد‬̅̅̅ (𝟏)ً‫ت‬ ‫ٌأ‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
( ) ( ) 𝟒√𝟔 𝟐 𝟑
‫الحل‬/
( ) 𝟒(𝟔 𝟐 )
𝟏
𝟐 ̅( ) 𝟒 (
𝟏
𝟐
) (𝟔 𝟐 )
𝟏
𝟐 ( 𝟐) 𝟒(𝟔 𝟐 )
𝟏
𝟐
̅̅( ) 𝟒 (
𝟏
𝟐
) (𝟔 𝟐 )
𝟑
𝟐 ( 𝟐) 𝟒(𝟔 𝟐 )
𝟑
𝟐
̅̅̅
( ) 𝟒 (
𝟑
𝟐
) (𝟔 𝟐 )
𝟓
𝟐 ( 𝟐) 𝟏𝟐(𝟔 𝟐 )
𝟓
𝟐
𝟏𝟐
(𝟔 𝟐 )
𝟓
𝟐
̅̅̅
( 𝟏)
𝟏𝟐
(𝟔 𝟐)
𝟓
𝟐
𝟏𝟐
(𝟒)
𝟓
𝟐
𝟏𝟐
(𝟐 𝟐)
𝟓
𝟐
𝟏𝟐
(𝟐) 𝟓
𝟏𝟐
𝟑𝟐
𝟑
𝟖
( ) ( )
‫الحل‬/
̅( ) ( )
̅̅( ) ( ) 𝟐
̅̅̅( ) 𝟐 ( ) 𝟑
̅̅̅(𝟏) 𝟑 (𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟑
( ) ( )
𝟑
𝟐
𝟐
‫الحل‬/
( ) 𝟑(𝟐 ) 𝟏 ̅( ) 𝟑(𝟐 ) 𝟐 ( 𝟏) (𝟐 ) 𝟐
̅̅( ) 𝟑( 𝟐)(𝟐 ) 𝟑 ( ) (𝟐 ) 𝟑
̅̅̅
( ) ( )(𝟐 ) 𝟒 ( 𝟏) 𝟏𝟖(𝟐 ) 𝟒
𝟏𝟖
(𝟐 ) 𝟒
̅̅̅
( 𝟏)
( )

136. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
135
‫س‬3/‫كانت‬ ‫أذا‬‫أن‬ ‫فبرهن‬
𝟐
𝟐
𝟐 (𝟏 𝟐)‫حٌث‬
(𝟐 𝟏)
𝟐
‫الحل‬/
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 ( 𝟏 𝟐
) 𝟐 ( 𝟏 𝟐)
‫س‬4/‫كانت‬ ‫أذا‬‫أن‬ ‫فبرهن‬:(𝟒)
𝟒 𝟎
‫الحل‬/
(𝟏)
𝟐
𝟐
( ) (𝟏) 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
̅ 𝟐
𝟒
𝟒
̅̅ 𝟐
𝟒
𝟒
𝟐 𝟐
𝟒
𝟒
𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟒)
𝟒 𝟎 .‫م‬ ‫هـ‬ ‫و‬/
‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
‫بالزمن‬ ‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬ ‫مسائل‬ ‫لحل‬‫الضمنٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫تطبٌمات‬ ‫أحدى‬ ً‫وه‬: ‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬
①‫نرس‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــــــ‬‫للمس‬ ‫ـط‬‫ـ‬‫مخط‬ ‫م‬‫ــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫و‬ ) ‫ـن‬‫ـ‬‫ذل‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫ال‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫أحتج‬ ‫(أن‬ ‫ألة‬‫ن‬‫و‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫والثواب‬ ‫ـرات‬‫ـ‬ٌ‫المتر‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ح‬‫ن‬‫و‬ ‫ـوز‬‫ـ‬‫الرم‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫له‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫ض‬‫ن‬‫ـة‬‫ـ‬‫العالل‬ ‫ـدد‬‫ـ‬‫ح‬
‫السؤال‬ ‫لحل‬ ‫الرئٌسٌة‬
②‫الحل‬ ً‫ف‬ ‫الداخلة‬ ‫المترٌرات‬ ‫عدد‬ ‫ٌمل‬ ً‫لك‬ ‫المترٌرات‬ ‫بٌن‬ ‫أخرى‬ ‫عاللة‬ ‫أٌجاد‬ ‫نحاول‬
③‫للمترٌر‬ ‫بالنسبة‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نشتك‬t)‫(الزمن‬
④‫المطلوب‬ ‫فٌنتج‬ ‫األشتماق‬ ‫بعد‬ ‫المترٌرات‬ ‫من‬ ‫السؤال‬ ‫معطٌات‬ ‫نعوض‬

137. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
136
( ‫مثال‬1/)‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫بالماء‬ ‫مملوء‬ ‫خزان‬‫طول‬ ‫مربعة‬ ‫لاعدته‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬‫ضلعها‬𝟐‫ٌتس‬‫ـــ‬‫ـ‬‫منه‬ ‫رب‬
‫بمعدل‬ ‫الماء‬𝟎 𝟒 𝟑⁄‫زمن‬ ‫أي‬ ‫عند‬ ‫الخزان‬ ً‫ف‬ ‫الماء‬ ‫أنخفاض‬ ‫ترٌر‬ ‫معدل‬ ‫جد‬t
‫وزاري‬2011/‫د‬1‫وزاري‬2013/‫د‬2
‫الحل‬/
{
‫الخزان‬ ً‫ف‬ ‫الماء‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬
‫الماعـــــــــدة‬ ‫مســـــــــــــاحة‬
‫الخزان‬ ً‫ف‬ ‫الماء‬ ‫حجم‬ ‫نفرض‬
ً‫ف‬‫زمن‬ ‫أي‬t
‫الخزان‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬( )=[‫األرتفاع‬ ‫الماعدة‬ ‫مساحة‬ ]
(𝟐) 𝟐
𝟒
‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬
𝟒
𝟎 𝟒 𝟒
𝟎 𝟒
𝟒
𝟎 𝟏 ( ⁄ )
∴= ‫الخزان‬ ً‫ف‬ ‫الماء‬ ‫أنخفاض‬ ‫ترٌر‬ ‫معدل‬(𝟎 𝟏 ⁄ )
( ‫مثال‬2/)‫تسـاوي‬ ‫مسـاحتها‬ ‫المعـدن‬ ‫من‬ ‫مستطٌلة‬ ‫صفٌحة‬𝟗𝟔 𝟐
‫بمعـدل‬ ‫طولــــــها‬ ‫ٌتمـدد‬𝟐 ⁄‫بحٌـث‬
‫النم‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫ثابتة‬ ‫مساحتها‬ ‫تبمى‬‫عرضها‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫عرضها‬ ً‫ف‬ ‫صان‬𝟖
‫وزاري‬2014/‫د‬3‫وزاري‬2011/‫د‬2
‫الحل‬/
8
‫المستطٌل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬
‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫اي‬ ً‫ف‬t
‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬( )=, -
𝟗𝟔 ①‫معادلة‬ ( ‫لٌمة‬ ‫)نحسب‬
𝟗𝟔 (𝟖)
𝟗𝟔
𝟖
𝟏𝟐
① ‫معادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟎 (𝟏𝟐) (𝟖)(𝟐) 𝟎
𝟏𝟔
𝟏𝟐
𝟒
𝟑
( ⁄ )
∴= ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ً‫ف‬ ‫التنالص‬ ‫معدل‬.
𝟒
𝟑
⁄ /

138. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
137
( ‫مثال‬3/)‫حرفـه‬ ‫طـول‬ ‫صلد‬ ‫مكعب‬𝟖‫مكعـب‬ ‫ٌبمـى‬ ‫شـكله‬ ‫بحٌـث‬ ‫الجلٌـد‬ ‫مـن‬ ‫بطبمـة‬ ‫مرطـى‬,‫الجلٌـد‬ ‫بـدأ‬ ‫فـأذا‬
‫بالذوبان‬‫بمعدل‬𝟔 𝟑⁄= ‫السمن‬ ‫هذا‬ ‫فٌها‬ ‫ٌكون‬ ً‫الت‬ ‫اللحظة‬ ً‫ف‬ ‫الجلٌد‬ ‫بسمن‬ ‫النمصان‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬𝟏
‫الحل‬/‫وزاري‬2015/‫د‬1
8
‫الجلٌد‬ ‫سمن‬ ‫نفرض‬
‫الجلٌد‬ ‫حجم‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t
‫حساب‬ ‫المطلوب‬. /‫عندما‬( 𝟏 )‫حٌث‬. 𝟔 𝟑⁄ /
ً‫األصل‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ ‫بالجلٌد‬ ‫مغطى‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ ‫الجلٌد‬ ‫حجم‬
(𝟖 𝟐 ) 𝟑 (𝟖) 𝟑
(‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬
𝟑(𝟖 𝟐 ) 𝟐(𝟐) 𝟎
𝟔 𝟔(𝟖 𝟐(𝟏))
𝟐
𝟏 (𝟏𝟎) 𝟐
𝟏
𝟏𝟎𝟎
⁄
= ‫الجلٌد‬ ‫سمن‬ ً‫ف‬ ‫النمصان‬ ‫معدل‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬⁄0.01
( ‫مثال‬4/)‫طوله‬ ‫سلم‬𝟏𝟎‫ا‬ ‫طرفه‬ ‫ٌستند‬‫العلوي‬ ‫وطرفه‬ ‫أفمٌة‬ ‫أرض‬ ‫على‬ ‫السفل‬‫ف‬ , ً‫رأســــ‬ ‫حائط‬ ‫على‬‫انزلـك‬ ‫اذا‬‫الطـر‬
‫األ‬‫سف‬‫ل‬‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫مبتعدا‬ ‫مبتعد‬𝟐 ⁄‫بعد‬ ‫على‬ ‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬𝟖‫فجد‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬:
①‫العلوي‬ ‫الطر‬ ‫أنزالق‬ ‫معدل‬②‫واألرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫ترٌر‬ ‫سرعة‬
‫وزاري‬2014/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬1
‫الحل‬/①
‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬‫الحائط‬ ‫عن‬ً‫ف‬‫لحظة‬ ‫أي‬
‫نفرض‬‫األعلى‬ ‫الطر‬ ‫بعد‬ً‫ف‬ ‫األرض‬ ‫عن‬‫لحظة‬ ‫أي‬
‫واألرض‬ ‫الســــلم‬ ‫بٌــــن‬ ‫الزاوٌـــــة‬ ‫لـــــٌاس‬ ‫نفرض‬
𝟐 𝟐
𝟏𝟎𝟎 (‫)فٌثاغورس‬
𝟔𝟒 𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟐
𝟑𝟔 𝟔
𝟐 𝟐
𝟏𝟎𝟎 (‫الطرفٌن‬ ‫)نشتك‬
𝟐 𝟐 𝟎
𝟐(𝟖)(𝟐) 𝟐(𝟔) 𝟎
𝟑𝟐 𝟏𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝟑𝟐
𝟖
𝟑
( ⁄ )
∴‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬
𝟖
𝟑
⁄ =

139. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
138
‫الحل‬/②
(‫الطرفٌن‬ ‫)نشتك‬
( ‫لٌمة‬ ‫نعوض‬ )
( 𝟏𝟎 ‫ب‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نضرب‬ )
( 𝟖 ‫على‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نمسم‬ )
( ⁄ ) ‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫تغٌٌر‬ ‫سرعة‬
( ‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬5/)‫ورأس‬ ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫أفم‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫لاعدت‬ ً‫ـ‬‫ـ‬‫مخروط‬ ‫ـح‬‫ـ‬‫مرش‬‫ــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫ٌس‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫ارتفاع‬ ‫ـفل‬‫ـ‬‫االس‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫ال‬ ‫ه‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــــ‬‫اوي‬𝟐𝟒‫ـر‬‫ـ‬‫لط‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫وط‬
‫لاعدته‬𝟏𝟔‫بمعدل‬ ‫سائل‬ ‫فٌه‬ ‫ٌصب‬𝟓 𝟑⁄‫بمعـدل‬ ‫ئل‬ ‫السا‬ ‫منه‬ ‫ٌتسرب‬ ‫بٌنما‬𝟏 𝟑⁄‫معـدل‬ ‫جـد‬
‫عمك‬ ‫ترٌر‬ً‫ف‬ ‫السائل‬‫السائل‬ ‫عمك‬ ‫فٌها‬ ‫ٌكون‬ ً‫الت‬ ‫اللحظة‬𝟏𝟐
‫الحل‬/
{
‫الســـــــائل‬ ‫أرتفاع‬ ‫نفرض‬
‫الماعدة‬ ‫لطر‬ ‫نصف‬ ‫نفرض‬
‫الســــــــائل‬ ‫حجم‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t
‫التسرب‬ ‫معدل‬ ‫الصب‬ ‫معدل‬ ‫السائل‬ ‫حجم‬ ‫تغٌر‬ ‫معدل‬
𝟓 𝟏 𝟒 ( 𝟑⁄ )
‫مالحظة‬
ً‫المخروط‬ ‫المرشح‬ ً‫ف‬ ‫السائل‬ ‫حجم‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬
𝟏
𝟑
𝟐
①‫معادلة‬
①‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬
𝟏
𝟑
𝟐
𝟏
𝟑
(
𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟐𝟕
𝟑
𝟐𝟕
𝟑
(‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬
𝟐𝟕
𝟑 𝟐
𝟗
𝟐
𝟒
𝟗
(𝟏𝟐) 𝟐
(𝟒)(𝟗)
𝟏𝟒𝟒
𝟏
𝟒
( ⁄ ) ‫السائل‬ ‫أرتفاع‬ ‫أزدٌاد‬ ‫معدل‬

140. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
139
( ‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬6/)‫ـتكن‬‫ـ‬‫ل‬M‫ـاف‬‫ـ‬‫المك‬ ‫ـع‬‫ـ‬‫المط‬ ً‫ـ‬‫ـ‬‫منحن‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫متحرك‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نمط‬𝟐
𝟒‫ـة‬‫ـ‬‫النمط‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫أبتعاده‬ ‫ـدل‬‫ـ‬‫مع‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫ٌك‬ ‫ـث‬‫ـ‬ٌ‫بح‬
( 𝟕 𝟎)‫ـــاوي‬‫ـ‬‫ٌس‬𝟎 𝟐 ⁄ً‫ـــٌن‬‫ـ‬‫الس‬ ً‫ـــداث‬‫ـ‬‫األح‬ ‫ـــر‬‫ـ‬ٌ‫لتر‬ ً‫ـــ‬‫ـ‬‫الزمن‬ ‫ـــدل‬‫ـ‬‫المع‬ ‫ـــد‬‫ـ‬‫ج‬‫ـــة‬‫ـ‬‫للنمط‬M‫ـــون‬‫ـ‬‫ٌك‬ ‫ـــدما‬‫ـ‬‫عن‬𝟒
‫الحل‬/
‫النمطة‬ ‫لتكن‬‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ( )
‫النمطة‬ ‫لتكن‬( )
S‫بٌن‬ ‫المسافة‬N , M
√( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐
√( 𝟕) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐 √ 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟐
√ 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟒 ( 𝟐
𝟒 )
√ 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗 ( 𝟐
𝟏𝟎 𝟒𝟗)
𝟏
𝟐 (‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬
𝟏
𝟐
( 𝟐
𝟏𝟎 𝟒𝟗)
𝟏
𝟐 (𝟐 𝟏𝟎)
𝟐 𝟏𝟎
𝟐 √ 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗
𝟎 𝟐
𝟐(𝟒) 𝟏𝟎
𝟐 √(𝟒) 𝟐 𝟏𝟎(𝟒) 𝟒𝟗
𝟎 𝟐
𝟐
𝟐√𝟐𝟓
𝟎 𝟐
𝟐
𝟏𝟎
𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 ( ⁄ )

141. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
140
(𝟑 𝟐)‫تمارين‬
‫س‬1/‫عـ‬ ‫مبتعـدا‬ ‫األسـفل‬ ‫الطـر‬ ‫أنزلـك‬ ‫فـأذا‬ ً‫رأسـ‬ ‫حـائط‬ ‫علـى‬ ‫األعلـى‬ ‫وطرفـه‬ ‫أفمٌة‬ ‫أرض‬ ‫على‬ ‫األسفل‬ ‫طرفه‬ ‫ٌستند‬ ‫سلم‬‫ـ‬‫ن‬
‫بمعدل‬ ‫الحائط‬𝟐‫تساوي‬ ‫واألرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫لٌاس‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫العلوي‬ ‫الطر‬ ‫أنزالق‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬
𝟑
‫الحل‬/
‫الطريقة‬①
{
‫الســـــــــــــلم‬ ‫طــــــــــول‬ ‫نـــــفرض‬
‫الجدار‬ ‫عن‬ ‫الســــــــــلم‬ ‫لاعدة‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫األرض‬ ‫عن‬ ‫عن‬ ‫السلم‬ ‫رأس‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫األرض‬ ‫و‬ ‫الســــــــلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t
‫العاللة‬‫فٌثاغورس‬ ً‫ه‬
𝟐 𝟐 𝟐
①‫معادلة‬
𝟑
√𝟑
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 (
𝟏
𝟐
) (𝟐) 𝟐 4
√𝟑
𝟐
5 𝟎
𝟐 √𝟑 𝟎
𝟐
√𝟑
𝟐
√𝟑
( ⁄ )
‫االنزالق‬ ‫معدل‬‫للسلم‬ ‫العلوي‬ ‫الطر‬=
𝟐
√𝟑
m/s
‫الطرٌمة‬②
𝟑
√𝟑 √𝟑
‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐( )(𝟐) 𝟐(√𝟑 ) 𝟎
𝟒 𝟐√𝟑 𝟎
𝟒
𝟐√𝟑
𝟐
√𝟑
( ⁄ )

142. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
141
‫س‬2/‫طول‬ ‫ـود‬‫ـ‬‫عم‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــ‬‫ه‬𝟕 𝟐‫طول‬ ‫ـل‬‫ـ‬‫رج‬ ‫ـرن‬‫ـ‬‫ٌتح‬ ‫ـباح‬‫ـ‬‫مص‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫نهاٌت‬ ً‫فــ‬‫ـــ‬‫ـــ‬‫ــــ‬‫ه‬𝟏 𝟖‫العمــود‬ ‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـدا‬‫ـ‬‫مبتع‬
‫وبس‬‫ــــ‬‫رعة‬𝟑𝟎 ⁄‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ترٌٌر‬ ‫معدل‬ ‫جد‬‫وزاري‬2013/‫د‬1
‫الحل‬/
8
‫المصباح‬ ‫لاعدة‬ ‫عن‬ ‫الرجل‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫الرجــــــــــــل‬ ‫ظل‬ ‫طــــــول‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t‫حٌث‬𝟑𝟎
‫مثلثات‬ ‫تشابه‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬‫أستعمال‬ ‫او‬(tan)
𝟕 𝟐
‫الكبٌر‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬
𝟏 𝟖
‫الصغٌر‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬
𝟕 𝟐 𝟏 𝟖 𝟒 𝟏
𝟒 𝟑 ( ‫بداللة‬ ‫)نشتك‬
𝟑
. /
𝟑
𝟑𝟎
𝟑
𝟏𝟎 ( ⁄ )
‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ترٌٌر‬ ‫معدل‬=𝟏𝟎 ( ⁄ )
‫س‬3/‫للدائرة‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬ ‫النمط‬ ‫جد‬𝟐 𝟐
𝟒 𝟖 𝟏𝟎𝟖ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ‫ٌكون‬ ‫عندها‬ ً‫والت‬
‫لترٌٌر‬( )‫لترٌٌر‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ‫ٌساوي‬( )‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬t‫وزاري‬2012/‫د‬3
‫الحل‬/
‫معطاة‬ ‫العاللة‬ً‫وه‬( 𝟐 𝟐
𝟒 𝟖 𝟏𝟎𝟖)‫حٌث‬
𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟎 ( ‫ب‬ ‫كل‬ ‫بدل‬ ‫نعوض‬ )
𝟐 𝟐 𝟒 𝟖 𝟎 (𝟐 ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫)نمسم‬
𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 (‫المعطاة‬ ‫العاللة‬ ً‫ف‬ ‫نعوضها‬ )
(𝟐 ) 𝟐 𝟐
𝟒(𝟐 ) 𝟖 𝟏𝟎𝟖
𝟒 𝟒 𝟐 𝟐
𝟖 𝟒 𝟖 𝟏𝟎𝟖
𝟐 𝟐
𝟏𝟔 𝟏𝟎𝟖 𝟏𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟔 𝟗𝟔
𝟐
𝟖 𝟒𝟖 𝟐
𝟖 𝟒𝟖 𝟎 ( 𝟏𝟐)( 𝟒) 𝟎
𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎
𝟒 𝟐 ( 𝟒) 𝟔
( )( )‫النمطتان‬

143. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
142
‫س‬4/‫لتكن‬M‫المكاف‬ ‫المطع‬ ‫على‬ ‫تتحرن‬ ‫نمطة‬𝟐
‫النمطة‬ ً‫أحداث‬ ‫جد‬M‫ألبتعادها‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬
‫النمطة‬ ‫عن‬.𝟎
𝟑
𝟐
/‫للنمطة‬ ‫دي‬ ‫الصا‬ ً‫األحداث‬ ‫لترٌٌر‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ً‫ثلث‬ ‫ٌساوي‬M‫وزاري‬2012/‫د‬2
‫الحل‬/
‫النمطة‬ ‫لتكن‬‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ( )
𝟐
𝟑
‫النمطة‬ ‫لتكن‬.𝟎
𝟑
𝟐
/
S‫بٌن‬ ‫المسافة‬N , M
̅̅̅̅̅ √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐
√( 𝟎) 𝟐 (
𝟑
𝟐
)
𝟐
√ 𝟐 (
𝟑
𝟐
)
𝟐
√ ( 𝟐 𝟑
𝟗
𝟒
)
( 𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
)
𝟏
𝟐
(‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬
𝟏
𝟐
( 𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
)
𝟏
𝟐
(𝟐 𝟐 )
(𝟐 𝟐)
𝟐 . 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒/
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
(𝟐 𝟐)
𝟐 . 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒/
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐( 𝟏)
𝟐 √ 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒
𝟐√ 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒
𝟑( 𝟏) ( ‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
𝟒 ( 𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
) 𝟗( 𝟐
𝟐 𝟏)
𝟒 𝟐
𝟖 𝟗 𝟗 𝟐
𝟏𝟖 𝟗
𝟓 𝟐
𝟏𝟎 𝟎 𝟐
𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟎
𝟎 𝟎 (𝟎 𝟎)‫تهمل‬
𝟐 √𝟐 ( √𝟐 𝟐)
( √𝟐 𝟐)
‫س‬5/‫بمعـدل‬ ‫الماعـدة‬ ‫ضـلع‬ ‫طـول‬ ‫ٌـزداد‬ ‫ز‬ ‫الشـكل‬ ‫مربعـة‬ ‫لاعدتـه‬ ‫تبمى‬ ‫بحٌث‬ ‫تترٌر‬ ‫ابعاده‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬(𝟎 𝟑 ⁄ )
‫بمعدل‬ ‫ٌتنالص‬ ‫وأرتفاعه‬(𝟎 𝟓 ⁄ )‫الماعدة‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫الحجم‬ ‫ترٌٌر‬ ‫معدل‬ ‫جد‬(𝟒 )‫واالرتفاع‬(𝟑 )
‫الحل‬/
{
‫الماعدة‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬
‫ارتفاعـــــــــــــه‬ ‫نفرض‬
‫حجمــــــــــــــــــــــه‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t
‫حٌث‬ ‫الحجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬‫االرتفاع‬ ‫العرض‬ ‫الطول‬
𝟐
(‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬
𝟐 (𝟐 ) (‫المجاهٌل‬ ‫نعوض‬ )
(𝟒) 𝟐 ( 𝟎 𝟓) (𝟑) (𝟐 𝟒)(𝟎 𝟑)
(𝟏𝟔)( 𝟎 𝟓) (𝟎 𝟗)(𝟖) 𝟖 𝟕 𝟐 𝟎 𝟖 ( 𝟑⁄ )

144. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
143
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫مبتعدا‬ ‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫أنزلك‬ ‫فأذا‬ ً‫رأس‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫األعلى‬ ‫وطرفه‬ ‫أفمٌة‬ ‫أرض‬ ‫على‬ ‫األسفل‬ ‫طرفه‬ ‫ٌستند‬ ‫سلم‬
‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫عـن‬(𝟐 )‫واألرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫لٌاس‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫العلوي‬ ‫الطر‬ ‫أنزالق‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬
‫تساوي‬
𝟒
‫الحل‬/
‫الطريقة‬①
{
‫الســـــــــــــلم‬ ‫طــــــــــول‬ ‫نــــــفرض‬
‫الجدار‬ ‫عن‬ ‫الســــــــــلم‬ ‫لاعدة‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫األرض‬ ‫عن‬ ‫عن‬ ‫السلم‬ ‫رأس‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫األرض‬ ‫و‬ ‫الســــــــلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t
‫فٌثاغورس‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬
𝟐 𝟐 𝟐
①‫معادلة‬
𝟒
𝟏
√𝟐
𝟒
𝟏
√𝟐
‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 (
𝟏
√𝟐
) (𝟐) 𝟐 (
𝟏
√𝟐
) 𝟎
𝟐√𝟐 √𝟐 𝟎
𝟐√𝟐
√𝟐
𝟐( ⁄ )
∴= ‫االنزالق‬ ‫معدل‬𝟐 ( )
‫الطريقة‬②
𝟒
𝟏
‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐( )(𝟐) 𝟐( ) 𝟎
𝟒 𝟐 𝟎
𝟒
𝟐
𝟐( ⁄ )

145. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
144
‫مثال‬/‫تسـاوي‬ ‫ثابتـة‬ ‫بمسـاحة‬ ‫نـالص‬ ‫لطـع‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫معدنٌة‬ ‫لطعة‬(𝟔𝟎 )‫محـوره‬ ‫طـول‬ ‫أزداد‬ ‫فـأذا‬ ‫مربعـة‬ ‫وحـدة‬
‫بمعـدل‬ ‫األصـرر‬(𝟎 𝟐)‫ـوره‬‫ـ‬‫مح‬ ‫طـول‬ ‫ٌكـون‬ ‫ـدما‬‫ـ‬‫عن‬ ‫االكبـر‬ ‫محـوره‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫ط‬ ً‫فـ‬ ‫النمصـان‬ ‫ـدل‬‫ـ‬‫مع‬ ‫فجـد‬ ‫طول/دلٌمـة‬ ‫ـدة‬‫ـ‬‫وح‬
‫االصرر‬(𝟏𝟐)‫طول‬ ‫وحدة‬
‫الحل‬/
8
‫االكبر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬
‫االصغر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ ‫نفرص‬
‫زمن‬ ‫اي‬ ً‫ف‬t
‫المساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬‫حٌث‬
𝟔𝟎
𝟔𝟎 .
𝟐
/ .
𝟐
/ ( ‫ب‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نضرب‬ )
𝟐𝟒𝟎
𝟐𝟒𝟎
𝟐𝟒𝟎 𝟏
(‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬
𝟐𝟒𝟎 𝟐
(
𝟐𝟒𝟎
𝟐
)
(
𝟐𝟒𝟎
(𝟏𝟐) 𝟐
) (𝟎 𝟐)
𝟒𝟖
𝟏𝟒𝟒
𝟏
𝟑
∴‫االكبر‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ً‫ف‬ ‫النمصان‬ ‫معدل‬( ‫دلٌمة‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬⁄ )
𝟏
𝟑
******************************************************************
‫س‬1:‫ـاز‬‫ـ‬‫الر‬ ‫ـا‬‫ـ‬‫منه‬ ‫ـرب‬‫ـ‬‫ٌتس‬ ‫ـاز‬‫ـ‬‫بالر‬ ‫ـؤة‬‫ـ‬‫ممل‬ ‫ـرة‬‫ـ‬‫ك‬‫بمعدل‬( 𝟑 𝟑⁄ )‫ـا‬‫ـ‬‫لطره‬ ‫ـ‬‫ـ‬‫نص‬ ‫ـول‬‫ـ‬‫ط‬ ً‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـان‬‫ـ‬‫النمص‬ ‫ـدل‬‫ـ‬‫مع‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫ج‬
‫عندم‬‫ـــــ‬‫ا‬‫حجمها‬ ‫ٌكون‬.
𝟑𝟐
𝟑
/
‫س‬2:‫معادلته‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫على‬ ‫تتحرن‬ ‫مادٌة‬ ‫نمطة‬√ 𝟐 𝟕ٌ‫تر‬ ‫معدل‬ ‫كان‬ ‫فأذا‬‫ـــــ‬‫الس‬ ً‫األحداث‬ ‫ر‬‫ـ‬ً‫ٌن‬
= ‫للنمطة‬(𝟑 ⁄ )‫عندما‬x=4,‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫النمطة‬ ‫بعد‬ ‫ترٌر‬ ‫معدل‬ ‫جد‬(0,0)
‫س‬3:‫طوله‬ ‫رجل‬(175 cm)‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ ‫ٌرتفع‬ ‫مصباح‬ ‫أمام‬ ‫ٌم‬(7 m)‫فـ‬‫ا‬‫باال‬ ‫الرجـل‬ ‫أخـذ‬ ‫ذا‬‫بتعـاد‬‫عـن‬
‫بمعدل‬ ‫المصباح‬ ‫لاعدة‬(6 m/s)‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ازدٌاد‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬

146. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
145
‫مبرهن‬‫تا‬‫رول‬‫المتوسطة‬ ‫والمٌمة‬
‫كانت‬ ‫أذا‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬, -: ‫فأن‬
①‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫لٌمة‬ ‫تأخذ‬‫حٌث‬, -: ‫أذا‬ ‫وفمط‬ ‫أذا‬
𝒙 , - ‫لكل‬ ( ) ( )
②‫عند‬ ‫صررى‬ ‫لٌمة‬ ‫تأخذ‬‫حٌث‬, -: ‫أذا‬ ‫وفمط‬ ‫أذا‬
𝒙 , - ‫لكل‬ ( ) ( )
(𝟑 𝟏)‫كانت‬ ‫أذا‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬, -‫للدالة‬ ‫وكان‬‫صـررى‬ ‫لٌمـة‬ ‫أو‬ ‫عظمـى‬ ‫لٌمـة‬ ‫مبرهنة‬
‫عند‬C‫ح‬‫ـ‬‫ٌث‬( )‫وأن‬̅( )‫موجود‬‫ة‬‫فأن‬̅( ) 𝟎
(𝟑 𝟐)‫لتكن‬‫الدالة‬‫العدد‬ ‫عند‬ ‫معرفة‬Cٌ‫ـ‬‫ع‬ ‫مال‬‫ــــــــ‬‫العدد‬ ‫ن‬C‫حرج‬ ‫عدد‬ ‫بأنه‬(critical number) ‫مبرهنة‬
‫كان‬ ‫أذا‬̅( ) 𝟎‫الدال‬ ‫ان‬ ‫أو‬‫ــ‬‫ــ‬ً‫ف‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫غٌر‬ ‫ة‬C‫وتسمى‬( ( ))‫الحرجة‬ ‫بالنمطة‬
( ‫مثال‬1/)‫لتكن‬, 𝟏 𝟏- ( ) | |‫الدالة‬ ‫هل‬ ‫بٌن‬ ,‫صررى‬ ‫او‬ ‫عظمى‬ ‫لٌمة‬ ‫تمتلن‬
‫الحل‬/
‫الدالة‬‫من‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫لٌمة‬ ‫أعظم‬ ‫تمتلن‬𝟏 𝟏‫لٌمة‬ ‫أصرر‬ ‫وتمتلن‬‫عند‬𝟎
‫الدالة‬‫عند‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫غٌر‬𝟎‫أن‬ ‫أي‬̅(𝟎)‫ٌكون‬ ‫أن‬ ‫ٌشترط‬ ‫ال‬ ‫وهذا‬ ‫موجودة‬ ‫غٌر‬̅( ) 𝟎
‫وأن‬ ‫الصفر‬ ‫عند‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫وٌالحظ‬ (̅( 𝟎)‫للدالة‬ ‫الحرج‬ ‫العدد‬ ‫هو‬ " ‫صفر‬ " ‫العدد‬ ‫أن‬ ‫ٌمال‬ ‫لذا‬ ‫موجودة‬ ‫غٌر‬‫وأن‬
‫النمطة‬( 𝟎 (𝟎))‫)ز‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ ً‫ه‬
( ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ROLLE'S THEOREM)
‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬f
①‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, -②‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( )③( ) ( )
‫األلل‬ ‫على‬ ‫ٌوجد‬ ‫فأنه‬‫واحدة‬ ‫لٌمة‬‫ت‬‫الفترة‬ ‫الى‬ ً‫نتم‬( )‫بحٌث‬̅( ) 𝟎‫أدناه‬ ‫مبٌن‬ ‫كما‬

147. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
146
‫مالحظات‬
𝟏‫هندس‬ ً‫تعن‬ ‫النظرٌة‬ ‫هذه‬‫ـ‬‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫موازٌة‬ ‫وتكون‬ ً‫للمنحن‬ ً‫تنتم‬ ‫األلل‬ ‫على‬ ‫واحدة‬ ‫نمطة‬ ‫وجود‬ ‫ٌا‬
𝟐‫الشروط‬ ‫أحد‬ ‫توفر‬ ‫عدم‬ ‫عند‬‫ال‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫فأن‬ ‫الثالثة‬‫تنطبك‬
( ‫مثال‬2/)‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫؟‬ ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫تتحمك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫أن‬ ‫هل‬ ‫بٌن‬: ‫الممكنة‬
( ) ( ) (𝟐 ) 𝟐
,𝟎 𝟒-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟒-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 𝟒)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬(𝟒) (𝟎)
( ) (𝟐 𝟎) 𝟐 (𝟐) 𝟐
( ) (𝟐 𝟒) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐
(𝟎) (𝟒)
‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) (𝟐 ) 𝟐 ̅( ) 𝟐(𝟐 )
̅( ) 𝟐(𝟐 ) 𝟐(𝟐 ) 𝟎
𝟐 (𝟎 𝟒)
( ) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 𝟑
, 𝟏 𝟏-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟏-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟏)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬( 𝟏) (𝟏)
( ) 𝟗(𝟏) 𝟑(𝟏) 𝟐 (𝟏) 𝟑
𝟗 𝟑 𝟏
( ) 𝟗( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟑
𝟗 𝟑 𝟏
( 𝟏) (𝟏)
‫الدالة‬‫ال‬‫ٌتحمك‬ ‫لم‬ ‫الثالث‬ ‫الشرط‬ ‫ألن‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬

148. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
147
( ) ( ) {
𝟐
𝟏 , 𝟏 𝟐-
𝟏 , 𝟒 𝟏-
‫الحل‬/
‫الدالة‬ ‫مجال‬, 𝟒 𝟐-
①‫األول‬ ‫الشرط‬
( 𝟏)
( 𝟐
𝟏) 𝟐 𝟏
( 𝟏)
( 𝟏) 𝟏 𝟐
𝟏 𝟐 ‫ألن‬ ‫مستمرة‬ ‫غٌر‬ ‫الدالة‬‫الفترة‬ ً‫ف‬, 𝟒 𝟐-
‫الدالة‬‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫ال‬
( ) ( ) , -
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, -‫ثابتة‬ ‫دالة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( )
③‫نوجد‬( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
‫الدالة‬‫لٌمة‬ ‫وأن‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫لٌمة‬ ‫أي‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬( )
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫؟‬ ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫تتحمك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫أن‬ ‫هل‬ ‫بٌن‬‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫عند‬
(𝟏) ( ) 𝟒
𝟖 𝟐 , 𝟐 𝟐-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟐-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟐 𝟐)
③‫نوجد‬(𝟐) ( 𝟐)
(𝟐) (𝟐) 𝟒
𝟖(𝟐) 𝟐
𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟏𝟔
( 𝟐) ( 𝟐) 𝟒
𝟖( 𝟐) 𝟐
𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟏𝟔
( ) ( )
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) 𝟒
𝟖 𝟐 ̅( ) 𝟒 𝟑
𝟏𝟔
̅( ) 𝟒( 𝟑) 𝟏𝟔( ) 𝟒 ( 𝟐
𝟒) 𝟎
𝟒 𝟎 𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟐
𝟒 𝟐 ( 𝟐 𝟐)

149. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
148
(𝟐) ( ) ,𝟎 𝟐 -
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟐 -‫دائرٌة‬ ‫دالة‬ ‫ألنها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 𝟐 )
③‫نوجد‬(𝟎) (𝟐 )
( ) (𝟎)
(𝟐 ) (𝟐 )
(𝟎) (𝟐 )
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) ̅( )
̅( ) ( ) ( )
𝟐 𝟐
(𝟎 𝟐 )
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
(𝟎 𝟐 )
(𝟑) ( ) 𝟗 ,𝟓 𝟗-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟓 𝟗-‫ثابتة‬ ‫دالة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟓 𝟗)
③‫نوجد‬(𝟓) (𝟗)
( ) 𝟗
( ) 𝟗
(𝟓) (𝟗)
‫الدالة‬‫لٌمة‬ ‫وأن‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫لٌمة‬ ‫أي‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬(𝟓 𝟗)
(𝟒) ( ) √ 𝟏𝟔 𝟐 , 𝟐 𝟐-
‫الحل‬/
𝟏𝟔 𝟐
𝟎 𝟐
𝟏𝟔 𝟒 , 𝟒 𝟒- ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟒 𝟒-‫الجزئٌة‬ ‫المجموعات‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟒 𝟒)‫الحظ‬
̅( )
𝟐
𝟐√𝟏𝟔 𝟐 √𝟏𝟔 𝟐
③‫نوجد‬(𝟐) ( 𝟐)
( ) √ 𝟏𝟔 (𝟐) 𝟐 √𝟏𝟔 𝟒 √𝟏𝟐
( ) √ 𝟏𝟔 ( 𝟐) 𝟐 √𝟏𝟔 𝟒 √𝟏𝟐
(𝟐) ( 𝟐)
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
̅( )
√𝟏𝟔 𝟐
̅( )
√𝟏𝟔 𝟐
𝟎 𝟎 ( 𝟒 𝟒)

150. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
149
(𝟓) ( ) √ 𝟐𝟑
, 𝟏 𝟏-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟏-‫الحمٌمٌة‬ ‫المجموعة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫النها‬R
②‫غٌر‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟏)‫الحظ‬ ‫الصفر‬ ‫عند‬ ‫معرفة‬ ‫غٌر‬ ‫ألنها‬
̅( )
𝟐
𝟑
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑4
𝟏
𝟑5
𝟐
𝟑 √
𝟑
∴‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تتحمك‬ ‫ال‬‫وال‬‫تطبٌمها‬ ‫ٌمكن‬‫متحمك‬ ‫غٌر‬ ً‫الثان‬ ‫الشرط‬ ‫ألن‬
******************************************************************
‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫تتحمك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫أن‬ ‫هل‬ ‫بٌن‬‫لٌمة‬ ‫وجد‬ ‫؟‬ ‫التالٌة‬C‫الممكنة‬
(𝟐) ( ) 𝟒
𝟒 𝟐
𝟏 , 𝟓 𝟓-‫الفترة‬(𝟏) ( ) 𝟑 𝟐
𝟏𝟐 𝟏𝟏 , 𝟒 𝟒-‫الفترة‬
(𝟒) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 𝟑 , 𝟏 𝟎-‫الفترة‬(𝟑) ( ) (𝟐 ) 𝟐 , 𝟒 𝟒-‫الفترة‬
(𝟔) ( ) {
𝟐
𝟏 , 𝟏 𝟑-
𝟏 , 𝟓 𝟏-
(𝟓) ( ) , -‫الفترة‬
(𝟖) ( ) ( 𝟐
𝟑) 𝟐 , 𝟏 𝟒-‫الفترة‬(𝟕) ( ) 𝟑 𝟐
𝟗 , 𝟓 𝟑-‫الفترة‬
(𝟏𝟎) ( ) 𝟐
𝟑 , 𝟏 𝟏-(𝟗) ( ) ( 𝟏) 𝟒 , 𝟑 𝟑-‫الفترة‬
(𝟏𝟐) ( ) |𝟐 𝟑| , 𝟓 𝟑-‫الفترة‬(𝟏𝟏) ( ) 𝟐 , 𝟐 𝟐 -‫الفترة‬

151. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
150
( ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬THE MEAN VALUE THEOREM)
‫كانت‬ ‫اذا‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫لالشتماق‬ ‫ولابلة‬‫على‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬( )‫األلل‬ ‫على‬ ‫ٌوجد‬ ‫فأنه‬
‫واحدة‬ ‫لٌمة‬C‫الى‬ ً‫تنتم‬( )‫وتحمك‬̅( )
( ) ( )
‫ٌكتب‬ ‫او‬( ) ( ) ( )̅( )
‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫لمبرهنة‬ ً‫الهندس‬ ‫التفسٌر‬ ‫ٌبٌن‬ ً‫التال‬ ‫المخطط‬
①‫الوتر‬ ‫ٌوازي‬ ‫المماس‬̅̅̅̅
②‫بالنمطتٌن‬ ‫المار‬ ‫الوتر‬ ‫مٌل‬‫ٌساوي‬
( ) ( )
③‫ػنذ‬ ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬‫للذالت‬ ‫األولى‬ ‫المشتقت‬ =‫ػنذ‬.̅ ( )/ ً‫أ‬
④‫والوت‬ ‫المماس‬‫ـــــــــ‬ٌ‫متواز‬ ‫ر‬‫ـــــــــــــــــــ‬‫أن‬ ‫أي‬ , ‫مٌلهما‬ ‫ٌتساوى‬ ‫لذا‬ ‫ان‬
̅ ( )
( ) ( )
‫مالحظات‬
𝟏‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫من‬ ‫خاصة‬ ‫حالة‬ ‫تعتبر‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬
/‫السبب‬‫الشرط‬ ‫ألن‬( ) ( )‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ً‫ف‬ ‫موجود‬ ‫غٌر‬
𝟐‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ً‫ف‬:‫المم‬‫ــــــ‬‫والوت‬ ‫اس‬‫ــــــــــ‬‫كاله‬ ‫ر‬‫ــــــ‬ٌ ‫ما‬‫ــــــــ‬‫وازي‬‫المح‬‫ــــــــ‬‫الس‬ ‫ور‬‫ـــــــــ‬‫ــــــــ‬‫أن‬ ‫أي‬ ً‫ٌن‬̅( ) 𝟎
‫الصادات‬ ‫فرق‬ ‫اي‬𝟎‫المٌل‬ ‫ٌصبح‬ ‫لذا‬𝟎
𝟑‫لٌمة‬ ‫ألٌجاد‬C‫تحمك‬ ً‫الت‬̅( )
( ) ( )
‫التالٌٌن‬ ‫الشرطٌن‬ ‫توافر‬ ‫ٌجب‬:
①‫تكون‬ ‫أن‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -
②‫تكون‬ ‫أن‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( )

152. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
151
( ‫مثال‬3/)‫أو‬ ‫و‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحمك‬ ‫األتٌة‬ ‫الدوال‬ ‫أن‬ ‫برهن‬‫لٌمة‬ ‫جد‬:
( ) ( ) 𝟐
𝟔 𝟒 , 𝟏 𝟕- 𝟑 ‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟐 ‫وزاري‬
‫الحل‬/
①‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬, 𝟏 𝟕-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟕)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( ) 𝟐 𝟔 ̅( ) 𝟐 𝟔 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) ( 𝟕) ( 𝟏)
𝟕 ( 𝟏)
𝟏𝟏 𝟏𝟏
𝟏𝟖
𝟎 (‫الوتر‬ ‫مٌل‬ )
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟔
𝟑 ( 𝟏 𝟕)
( ) ( ) √ 𝟐𝟓 𝟐 , 𝟒 𝟎-
‫الحل‬/
𝟐𝟓 𝟐
𝟎 𝟐𝟓 𝟐
𝟓 , 𝟓 𝟓- ( ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ )
①‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الدالة‬ ‫أستمرارٌة‬ ‫نبحث‬( 𝟒 𝟎)
( 𝟒)
( )
( 𝟒)
.√ 𝟐𝟓 𝟐/ √𝟐𝟓 𝟏𝟔 √𝟗 𝟑
(𝟎)
( )
(𝟎)
.√ 𝟐𝟓 𝟐/ √𝟐𝟓 𝟎 √𝟐𝟓 𝟓
∴‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟒 𝟎-
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟒 𝟎)
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( )
𝟐
𝟐√𝟐𝟓 𝟐 √𝟐𝟓 𝟐
̅( )
√𝟐𝟓 𝟐
(‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) (𝟎) ( 𝟒)
𝟎 ( 𝟒)
𝟓 𝟑
𝟒
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
.‫الوتر‬ ‫مٌل‬ /
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟏
𝟐 √𝟐𝟓 𝟐
√ 𝟐𝟓 𝟐 𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫)تربٌع‬
𝟐𝟓 𝟐
𝟒 𝟐
𝟓 𝟐
𝟐𝟓 𝟐
𝟓 √
√ ( 𝟒 𝟎) √ ( 𝟒 𝟎)

153. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
152
( ‫مثال‬4/)‫كانت‬ ‫أذا‬,𝟎 - ( ) 𝟑
𝟒 𝟐
‫وكانت‬‫عند‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬
𝟐
𝟑
‫لٌمة‬ ‫فجد‬
‫الحل‬/
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟖 ̅( ) 𝟑
̅ (
𝟐
𝟑
) 𝟑 (
𝟐
𝟑
) (
𝟐
𝟑
) 𝟑 (
𝟒
𝟗
)
𝟏𝟔
𝟑
𝟒
𝟑
𝟏𝟔
𝟑
𝟏𝟐
𝟑
̅( ) 𝟒 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) ( ) (𝟎)
𝟎
𝟑
𝟒 𝟐
𝟎 𝟐
𝟒 (‫الوتر‬ ‫مٌل‬ )
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟒 𝟐
𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫اثبت‬‫شروط‬ ‫تحمك‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫على‬‫الفترة‬( )‫لٌمة‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬ ‫المعطاة‬C
(𝟏) ( ) 𝟐
𝟐 𝟏 ,𝟎 𝟏-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟏-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 𝟏)
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( ) 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟐 𝟐 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) (𝟏) (𝟎)
𝟏 𝟎
𝟐 ( 𝟏)
𝟏
𝟑 .‫الوتر‬ ‫مٌل‬ /
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏
𝟏
𝟐
(𝟎 𝟏)

154. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
153
(𝟐) ( ) √𝟒 ,𝟎 𝟒-
‫الحل‬/
𝟒 𝟎 𝟒 ( ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ )
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟒-‫الجزئٌة‬ ‫المجموعات‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 𝟒)
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬Cً‫الت‬‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬
̅( )
𝟏
𝟐√𝟒
̅( )
𝟏
𝟐√𝟒
(‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) (𝟒) (𝟎)
𝟒 𝟎
𝟎 (𝟐)
𝟒
𝟏
𝟐
.‫الوتر‬ ‫مٌل‬ /
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟏
𝟐√𝟒
𝟏
𝟐
𝟏
√𝟒
𝟏 (‫الطرفٌن‬ ‫)تربٌع‬
𝟏
𝟒
𝟏 𝟒 𝟏 𝟑 (𝟎 𝟒)
(𝟑) ( ) 𝟐 ,𝟎 -
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 -‫دائرٌة‬ ‫دالة‬ ‫ألنها‬
②‫الذالت‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬(𝟎 )
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
( ) 𝟐 ̅( ) 𝟐 ̅( ) 𝟐 ( ) (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) (𝟐 ) 𝟎
𝟎
𝟐
𝟐 .‫الوتر‬ ‫مٌل‬ /
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟐 ( ) 𝟐 ( ) 𝟎
𝟐
(𝟎 )
******************************************************************
ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫اثبت‬‫شروط‬ ‫تحمك‬‫مبرهنة‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬‫الفترة‬ ‫على‬( )‫لٌمة‬ ‫أوجد‬ ‫ثم‬ ‫المعطاة‬C
(𝟐) ( ) 𝟒 𝟏 ,𝟏 𝟒-(𝟏) ( ) 𝟐
𝟏 , 𝟐 𝟒-
(𝟑) ( ) ( 𝟐
𝟑) 𝟐 , 𝟏 𝟏-

155. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
154
( ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬ ‫التمرٌب‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬)
‫أ‬‫كانت‬ ‫ذا‬‫على‬ ‫ومعرفة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫لألش‬ ‫ولابلة‬‫ـــــ‬ً‫ف‬ ‫تماق‬( )‫ول‬‫ـــــ‬‫أعتبرنا‬ ‫و‬( )‫فأن‬
( )‫حٌث‬𝟎: ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بموجب‬ ‫فأنه‬-
̅( )
( ) ( )
̅( )
( ) ( )
̅( ) ( ) ( )
( ) ( ) ̅( ) ( ‫للدالة‬ ً‫التمرٌب‬ ‫التغٌٌر‬ ‫لانون‬ )
‫ألتراب‬ ‫ٌكون‬ ‫وعندما‬( )‫من‬( )‫الحالة‬ ‫هذه‬ ً‫ف‬ ‫تكون‬ ً‫ا‬ٌ‫كاف‬ ً‫ا‬‫لرب‬( )‫من‬ ‫لرٌبتان‬ ‫ونهاٌتٌه‬ ً‫ا‬‫صرٌر‬ ‫الوتر‬ ‫وٌصبح‬ ‫صرٌرة‬
( )‫عند‬ ‫المماس‬ ‫أن‬ ‫أي‬ ,( )‫حٌث‬ ‫النمطة‬ ‫من‬ ‫جدا‬ ‫لرٌبة‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ً‫للمنحن‬ ً‫ا‬‫مماس‬ ‫سٌكون‬( ): ‫وٌصبح‬
( ) ( ) ̅( )‫للممدار‬ ‫وٌمال‬̅( )‫للدالة‬ ً‫التمرٌب‬ ‫الترٌٌر‬
‫التمرٌب‬ ‫لمسائل‬ ‫أنواع‬ ‫ثالث‬ ‫هنان‬
‫األول‬ ‫النوع‬:‫الحظ‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫موجودة‬ ‫غٌر‬ ‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬( ‫مثال‬5)
( ‫مثال‬5/)‫للعدد‬ ً‫ا‬‫مناسب‬ ‫تمرٌبا‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬ ‫بأستخدام‬ ‫جد‬√ 𝟐𝟔
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟐𝟓)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟐𝟔)‫معطى‬
𝟐𝟔 𝟐𝟓 𝟏
( ) √ ( ) .
𝟏
𝟐
/ ̅( )
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟐
/ 𝟏
𝟐 .
𝟏
𝟐
/
̅( )
𝟏
𝟐√
( ) √ ( 𝟐𝟓) √𝟐𝟓 ( 𝟐𝟓) 𝟓
̅( )
𝟏
𝟐√
̅( 𝟐𝟓)
𝟏
𝟐√𝟐𝟓
̅( 𝟐𝟓)
𝟏
( 𝟐)( 𝟓)
𝟏
𝟏𝟎
̅( 𝟐𝟓) 𝟎 𝟏
( ) ( ) ̅( )
( 𝟐𝟓 𝟏) ( 𝟐𝟓) ( 𝟏) ̅( 𝟐𝟓) ( 𝟐𝟔) 𝟓 ( 𝟏)( ) 𝟓 𝟏
√𝟐𝟔 𝟓 𝟏

156. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
155
ً‫الثان‬ ‫النوع‬:‫الحظ‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫موجودة‬ ‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬( ‫مثال‬6)
( ‫مثال‬6/)‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟒 𝟓‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫فجد‬( 𝟏 𝟎𝟎𝟏)
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟏 𝟎𝟎𝟏)‫معطى‬
𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏
( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟒 𝟓 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟔 𝟒
( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟒 𝟓 ( 𝟏) ( 𝟏) 𝟑
𝟑( 𝟏) 𝟐
𝟒( 𝟏) 𝟓 ( 𝟏) 𝟏𝟑
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟔 𝟒 ̅( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐
𝟔( 𝟏) 𝟒 ̅( 𝟏) 𝟏𝟑
( ) ( ) ̅( )
( 𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏) ( 𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟎𝟏) ̅( 𝟏) ( 𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 ( 𝟎 𝟎𝟎𝟏)( 𝟏𝟑)
( 𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 𝟎 𝟎𝟏𝟑 ( 𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 𝟎𝟏𝟑
‫الثالث‬ ‫النوع‬:‫او‬ ‫حجم‬ ‫او‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬‫شابه‬ ‫ما‬‫الحظ‬ ‫ذلن‬( ‫مثال‬7)
( ‫مثال‬7/)‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬( 𝟗 𝟗𝟖 )‫بأستخدام‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫حجمه‬ ‫جد‬‫نتٌجة‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬
‫الحل‬/
‫لٌكن‬‫المكعب‬ ‫حجم‬‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫الذي‬( )
‫نفرض‬( 𝟏𝟎)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟗 𝟗𝟖)‫معطى‬
𝟗 𝟗𝟖 𝟏𝟎 𝟎 𝟎𝟐
( ) 𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟐
( ) 𝟑 ( 𝟏𝟎) ( 𝟏𝟎) 𝟑 ( 𝟏𝟎) 𝟏𝟎𝟎𝟎
̅( ) 𝟑 𝟐 ̅( 𝟏𝟎) 𝟑( 𝟏𝟎) 𝟐 ̅( 𝟏𝟎) 𝟑𝟎𝟎
( ) ( ) ̅( )
(𝟏𝟎 ( 𝟎 𝟎𝟐)) ( 𝟏𝟎) ( 𝟎 𝟎𝟐) ̅( 𝟏𝟎)
( 𝟗 𝟗𝟖) 𝟏𝟎𝟎𝟎 ( 𝟎 𝟎𝟐)( 𝟑𝟎𝟎) 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟔 ( 𝟗 𝟗𝟖) 𝟗𝟗𝟒 𝟑

157. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
156
( ‫مثال‬8/)‫لتكن‬( ) √ 𝟐𝟑
‫ترٌرت‬ ‫فاذا‬‫من‬𝟖‫الى‬𝟖 𝟎𝟔‫؟‬ ‫للدالة‬ ً‫التمرٌب‬ ‫الترٌٌر‬ ‫ممدار‬ ‫فما‬
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟖)‫معطى‬
‫نفرض‬( 𝟖 𝟎𝟔)‫معطى‬
𝟖 𝟎𝟔 𝟖 𝟎 𝟎𝟔
( ) √ 𝟐𝟑
( ) ( ).
𝟐
𝟑
/ ̅( )
𝟐
𝟑
( ).
𝟏
𝟑
/ ̅( )
𝟐
𝟑 √
𝟑
̅( )
𝟐
𝟑 √
𝟑
̅(𝟖)
𝟐
𝟑 √𝟖
𝟑
̅(𝟖)
𝟐
𝟔
̅(𝟖)
𝟏
𝟑
̅( ) ̅(𝟖) (𝟎 𝟎𝟔) (
𝟏
𝟑
) 𝟎 𝟎𝟐 ً‫التمرٌب‬ ‫التغٌٌر‬ ‫ممدار‬
( ‫مثال‬9/)‫طالء‬ ‫ٌراد‬‫حرفـه‬ ‫طـول‬ ‫مكعب‬( 𝟏𝟎 )‫الطـالء‬ ‫سـمن‬ ‫كـان‬ ‫فـأذا‬( 𝟎 𝟏𝟓 )‫بصـورة‬ ‫الطـالء‬ ‫حجـم‬ ‫أوجـد‬
‫وبأستخدام‬ ‫تمرٌبٌة‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬
‫الحل‬/
‫لٌكن‬‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫الذي‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬( )
‫نفرض‬( 𝟏𝟎)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟏𝟎 𝟑)
𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟎 𝟑
( ) 𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟐
̅( ) 𝟑 𝟐 ̅( 𝟏𝟎) 𝟑( 𝟏𝟎) 𝟐 ̅( 𝟏𝟎) 𝟑𝟎𝟎
̅( ) ̅(𝟏𝟎) (𝟎 𝟑)(𝟑𝟎𝟎) 𝟗𝟎 𝟑 ‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫حجم‬

158. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
157
( ‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬10/)‫ـثالث‬‫ـ‬‫ل‬ ً ‫ـا‬‫ـ‬‫وممرب‬ ‫ــة‬‫ـ‬‫تمرٌبٌـــــــــ‬ ‫ـورة‬‫ـ‬‫وبص‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫ج‬ ‫ــطة‬‫ـ‬‫المتوســــــــ‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫المٌم‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مبرهن‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نتٌج‬ ‫ــتخدام‬‫ـ‬‫بأســـــــــ‬
‫األل‬ ‫على‬ ‫عشرٌة‬ ‫مراتب‬: ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫ل‬
( ) √𝟕 𝟖
𝟑
( ) √( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟑𝟓
(𝟎 𝟗𝟖) 𝟒
𝟑
( ) √𝟎 𝟏𝟐
𝟑
( ) √𝟏𝟕 √𝟏𝟕
𝟒
( ) √( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟑𝟓
(𝟎 𝟗𝟖) 𝟒
𝟑
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟎 𝟗𝟖)‫معطى‬
𝟎 𝟗𝟖 𝟏 𝟎 𝟎𝟐
( ) √ 𝟑𝟓 𝟒
𝟑 ( ) ( ).
𝟑
𝟓
/ 𝟒
𝟑
̅( )
𝟑
𝟓
( ).
𝟐
𝟓
/ 𝟒
𝟑 ̅( )
𝟑
𝟓 √ 𝟐𝟓 𝟒 𝟑
( ) ( ).
𝟑
𝟓
/ 𝟒
𝟑 ( 𝟏) ( 𝟏).
𝟑
𝟓
/
𝟏 𝟒
𝟑 ( 𝟏) 𝟓
̅( )
𝟑
𝟓 √ 𝟐𝟓 𝟒 𝟑 ̅( 𝟏)
𝟑
𝟓 √𝟏 𝟐𝟓 𝟒( 𝟏) 𝟑
𝟑
𝟓
𝟒 ̅( 𝟏) 𝟒 𝟔
( ) ( ) ̅( )
(𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟐)) ( 𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟐) ̅( 𝟏) ( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟐)( 𝟒 𝟔)
( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟓 𝟎 𝟎𝟗𝟐 √( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟑𝟓
( 𝟎 𝟗𝟖) 𝟒 𝟑 𝟒 𝟗𝟎𝟖
( ) √𝟕 𝟖
𝟑
𝟏‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟖)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟕 𝟖)‫معطى‬
𝟕 𝟖 𝟖 𝟎 𝟐
( ) √
𝟑
( ) .
𝟏
𝟑
/
̅( )
𝟏
𝟑
.
𝟐
𝟑
/ ̅( )
𝟏
𝟑 .
𝟐
𝟑
/
̅( )
𝟏
𝟑 √ 𝟐𝟑
( ) √
𝟑
( 𝟖) √𝟖
𝟑
( 𝟖) 𝟐
̅( )
𝟏
𝟑 √ 𝟐𝟑
̅( 𝟖)
𝟏
𝟑 √ 𝟖 𝟐𝟑
𝟏
(𝟑) √𝟔𝟒
𝟑
𝟏
(𝟑)(𝟒)
𝟏
𝟏𝟐
̅( 𝟖) 𝟎 𝟎𝟖𝟑
( ) ( ) ̅( )
(𝟖 ( 𝟎 𝟐)) ( 𝟖) ( 𝟎 𝟐) ̅( 𝟖) ( 𝟕 𝟖) 𝟐 ( 𝟎 𝟐)( 𝟎 𝟎𝟖𝟑)
( 𝟕 𝟖) 𝟐 𝟎 𝟎𝟏𝟔𝟔 √𝟕 𝟖
𝟑
𝟏 𝟗𝟖𝟑𝟒

159. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
158
( ) √𝟏𝟕 √𝟏𝟕
𝟒
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟏𝟔)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟏𝟕)‫معطى‬
𝟏𝟕 𝟏𝟔 𝟏
( ) √ √
𝟒
( ) .
𝟏
𝟐
/ .
𝟏
𝟒
/
̅( )
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟐
/ 𝟏
𝟒
.
𝟑
𝟒
/ ̅( )
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟐
/
𝟏
𝟒
.
𝟑
𝟒
/
̅( )
𝟏
𝟐 √
𝟏
𝟒 √ 𝟑𝟒
( ) √ √
𝟒
(𝟏𝟔) √𝟏𝟔 √𝟏𝟔
𝟒
𝟒 𝟐 (𝟏𝟔) 𝟔
̅( )
𝟏
𝟐 √
𝟏
𝟒 √ 𝟑𝟒
̅(𝟏𝟔)
𝟏
𝟐 √ 𝟏𝟔
𝟏
𝟒 √(𝟏𝟔) 𝟑𝟒
𝟏
(𝟐)(𝟒)
𝟏
(𝟒)(𝟖)
̅( 𝟏𝟔)
𝟏
𝟖
𝟏
𝟑𝟐
𝟒 𝟏
𝟑𝟐
𝟓
𝟑𝟐
̅( 𝟏𝟔) 𝟎 𝟏𝟓𝟔
( ) ( ) ̅( )
(𝟏𝟔 𝟏) (𝟏𝟔) (𝟏) ̅(𝟏𝟔) (𝟏𝟕) 𝟔 ( 𝟏)( 𝟎 𝟏𝟓𝟔 )
(𝟏𝟕) 𝟔 𝟎 𝟏𝟓𝟔 √𝟏𝟕 √𝟏𝟕
𝟒
𝟔 𝟏𝟓𝟔
( ) √𝟎 𝟏𝟐
𝟑
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟎 𝟏𝟐𝟓)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟎 𝟏𝟐)‫معطى‬
𝟎 𝟏𝟐 𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟓
( ) √
𝟑
( ) .
𝟏
𝟑
/
̅( )
𝟏
𝟑
.
𝟐
𝟑
/ ̅( )
𝟏
𝟑 .
𝟐
𝟑
/
( ) √
𝟑
( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) √ 𝟎 𝟏𝟐𝟓
𝟑
( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟎 𝟓
̅( )
𝟏
𝟑
.
𝟐
𝟑
/
̅( 𝟎 𝟏𝟐𝟓)
𝟏
(𝟑)(𝟎 𝟏𝟐𝟓)
.
𝟐
𝟑
/
𝟏
(𝟑)((𝟎 𝟓) 𝟑).
𝟐
𝟑
/
𝟏
(𝟑)(𝟎 𝟐𝟓)
̅( 𝟎 𝟏𝟐𝟓)
𝟏
𝟎 𝟕𝟓
𝟏𝟎𝟎
𝟕𝟓
𝟒
𝟑
̅( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 𝟑𝟑𝟑
( ) ( ) ̅( )
( 𝟎 𝟏𝟐𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓)) ( 𝟎 𝟏𝟐𝟓) ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓) ̅( 𝟎 𝟏𝟐𝟓)
( 𝟎 𝟏𝟐) 𝟎 𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓)( 𝟏 𝟑𝟑𝟑)
( 𝟎 𝟏𝟐) 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟔𝟔𝟔𝟓 √𝟎 𝟏𝟐
𝟑
𝟎 𝟒𝟗𝟑𝟑𝟑𝟓

160. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
159
(𝟑 𝟑)‫تمارين‬
‫س‬1/‫لٌمة‬ ‫أوجد‬C‫تعٌن‬ ً‫الت‬‫مبرهنة‬ ‫ها‬‫رول‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬:
( ) ( ) 𝟑
𝟗 , 𝟑 𝟑-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟑 𝟑-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟑 𝟑)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬(𝟑) ( 𝟑)
(𝟑) (𝟑) 𝟑
𝟗(𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟎
( 𝟑) ( 𝟑) 𝟑
𝟗( 𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟎
(𝟑) ( 𝟑)
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) 𝟑
𝟗 ̅( ) 𝟑 𝟐
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟗 𝟑 𝟐
𝟗 𝟎 𝟑 𝟐
𝟗 𝟐
𝟑
√𝟑 ( 𝟑 𝟑)
( ) ( ) 𝟐
𝟐
[
𝟏
𝟐
𝟐]
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬0
𝟏
𝟐
𝟐1‫الن‬𝟎 0
𝟏
𝟐
𝟐1
②‫الذالت‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬.
𝟏
𝟐
𝟐/‫الن‬𝟎 0
𝟏
𝟐
𝟐1
③‫نوجد‬.
𝟏
𝟐
/ (𝟐)
(
𝟏
𝟐
) 𝟐 (
𝟏
𝟐
)
𝟐
.
𝟏
𝟐/
𝟏 𝟒 𝟓 (𝟐) 𝟐(𝟐)
𝟐
(𝟐)
𝟒 𝟏 𝟓
.
𝟏
𝟐
/ (𝟐)
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) 𝟐
𝟐
( ) 𝟐 𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟐
𝟐
𝟐
̅( ) 𝟐
𝟐
𝟐
𝟎 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟎 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟏 (
𝟏
𝟐
𝟐) ‫السالب‬ ‫نهمل‬

161. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
160
( ) ( ) ( 𝟐
𝟑) 𝟐 , 𝟏 𝟏-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟏-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟏)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬(𝟏) ( 𝟏)
(𝟏) (𝟏 𝟐
𝟑) 𝟐 (𝟏 𝟑) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐
𝟒
( 𝟏) (( 𝟏) 𝟐
𝟑) 𝟐 (𝟏 𝟑) 𝟐 ( 𝟐) 𝟐
𝟒
(𝟏) ( 𝟏)
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) ( 𝟐
𝟑) 𝟐 ̅( ) 𝟐( 𝟐
𝟑)( 𝟐 ) 𝟒 ( 𝟐
𝟑)
̅( ) 𝟒 ( 𝟐
𝟑) 𝟒 ( 𝟐
𝟑) 𝟎
𝟒 𝟎 𝟎 ( 𝟏 𝟏)
𝟐
𝟑 𝟎 𝟐
𝟑 √𝟑 ( 𝟏 𝟏)
‫س‬2/ً‫ا‬‫تمرٌب‬ ‫جد‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
( )√𝟔𝟑 √𝟔𝟑
𝟑
‫الحل‬/
‫نفرض‬𝟔𝟒‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟔𝟑‫معطى‬
𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏
( ) √ √
𝟑
( ) √ ( ).
𝟏
𝟑
/ ̅( )
𝟏
𝟐 √
𝟏
𝟑
( ).
𝟐
𝟑
/ 𝟏
𝟐 √
𝟏
𝟑 √ 𝟐𝟑
( ) √ √
𝟑
(𝟔𝟒) √𝟔𝟒 √𝟔𝟒
𝟑
(𝟔𝟒) 𝟖 𝟒 (𝟔𝟒) 𝟏𝟐
̅( )
𝟏
𝟐 √
𝟏
𝟑 √ 𝟐𝟑
̅(𝟔𝟒)
𝟏
𝟐 √𝟔𝟒
𝟏
𝟑 √(𝟔𝟒) 𝟐𝟑
̅(𝟔𝟒)
𝟏
(𝟐)(𝟖)
𝟏
(𝟑)(𝟏𝟔)
̅(𝟔𝟒)
𝟏
𝟏𝟔
𝟏
𝟒𝟖
𝟑 𝟏
𝟒𝟖
𝟒
𝟒𝟖
𝟏
𝟏𝟐
̅(𝟔𝟒) 𝟎 𝟎𝟖𝟑
( ) ( ) ̅( )
( 𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) ̅(𝟔𝟒)
(𝟔𝟑) 𝟏𝟐 ( 𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟖𝟑) 𝟏𝟐 𝟎 𝟎𝟖𝟑 (√𝟔𝟑 √𝟔𝟑
𝟑
) 𝟏𝟏 𝟗𝟏𝟕

162. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
161
( ) (𝟏 𝟎𝟒) 𝟑
𝟑(𝟏 𝟎𝟒) 𝟒
‫الحل‬/
‫نفرض‬𝟏‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬b= 𝟏 𝟎𝟒‫معطى‬
𝟏 𝟎𝟒 𝟏 𝟎 𝟎𝟒
( ) 𝟑
𝟑 𝟒 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟏𝟐 𝟑
( ) 𝟑
𝟑 𝟒 (𝟏) (𝟏) 𝟑
𝟑(𝟏) 𝟒 (𝟏) 𝟒
̅( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑 ̅(𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟏𝟐( 𝟏) 𝟑 ̅(𝟏) 𝟏𝟓
( ) ( ) ̅( )
( 𝟏 𝟎 𝟎𝟒) (𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟒) ̅(𝟏)
(𝟏 𝟎𝟒) 𝟒 (𝟎 𝟎𝟒) ( 𝟏𝟓) 𝟒 𝟎 𝟔 (𝟏 𝟎𝟒) 𝟒 𝟔
( )
𝟏
√𝟗
𝟑
‫الحل‬/
‫نفرض‬𝟖‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟗‫معطى‬
𝟗 𝟖 𝟏
( )
𝟏
√
𝟑
𝟏
.
𝟏
𝟑
/
.
𝟏
𝟑
/ ̅( )
𝟏
𝟑
( ).
𝟒
𝟑
/
( ) .
𝟏
𝟑
/
(𝟖) (𝟖).
𝟏
𝟑
/
(𝟖) (𝟐 𝟑).
𝟏
𝟑
/
(𝟐) 𝟏
𝟏
𝟐
(𝟖)
𝟏
𝟐
̅( )
𝟏
𝟑
( )
(
𝟒
𝟑 )
̅(𝟖)
𝟏
𝟑
( 𝟖)
(
𝟒
𝟑 )
̅(𝟖)
𝟏
𝟑
. 𝟐 𝟑
/
(
𝟒
𝟑 )
̅(𝟖)
𝟏
( 𝟑). 𝟐 𝟒
/
̅(𝟖)
𝟏
( 𝟑)( 𝟏𝟔)
𝟏
𝟒𝟖
̅(𝟖)
𝟏
𝟒𝟖
( ) ( ) ̅( )
( 𝟖 𝟏) (𝟖) ( 𝟏) ̅(𝟖)
(𝟗)
𝟏
𝟐
(𝟏) (
𝟏
𝟒𝟖
)
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒𝟖
𝟐𝟒 𝟏
𝟒𝟖
𝟐𝟑
𝟒𝟖
(𝟗) 𝟎 𝟒𝟕𝟗

163. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
162
( )
𝟏
𝟏𝟎𝟏
‫الحل‬/
‫نفرض‬𝟏𝟎𝟎‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟏𝟎𝟏‫معطى‬
𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏
( )
𝟏 𝟏 ̅( ) 𝟏 ( ) 𝟐
( ) 𝟏 (𝟏𝟎𝟎) (𝟏𝟎𝟎) 𝟏
𝟏
𝟏𝟎𝟎
(𝟏𝟎𝟎) 𝟎 𝟎𝟏
̅( ) 𝟏 ( ) 𝟐 ̅(𝟏𝟎𝟎) 𝟏 (𝟏𝟎𝟎) 𝟐 ̅(𝟏𝟎𝟎)
𝟏
(𝟏𝟎𝟎) 𝟐
̅(𝟏𝟎𝟎)
𝟏
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
̅(𝟏𝟎𝟎) 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏
( ) ( ) ̅( )
(𝟏𝟎𝟎 𝟏) (𝟏𝟎𝟎) (𝟏) ̅(𝟏𝟎𝟎)
(𝟏𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟏 (𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏 (𝟏𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟎𝟗𝟗
( ) √
𝟏
𝟐
𝟐 ‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟐 ‫وزاري‬ 𝟐 ‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟒 ‫وزاري‬
‫الحل‬/
‫نفرض‬𝟎 𝟒𝟗‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟎 𝟓𝟎‫معطى‬
𝟎 𝟓𝟎 𝟎 𝟒𝟗 𝟎 𝟎𝟏
( ) √ ̅( )
𝟏
𝟐√
( ) √ (𝟎 𝟒𝟗) √𝟎 𝟒𝟗 (𝟎 𝟒𝟗) 𝟎 𝟕
̅( )
𝟏
𝟐√
̅(𝟎 𝟒𝟗)
𝟏
𝟐√𝟎 𝟒𝟗
𝟏
(𝟐)(𝟎 𝟕)
𝟏
𝟏 𝟒
̅(𝟎 𝟒𝟗) 𝟎 𝟕𝟏𝟒
( ) ( ) ̅( )
(𝟎 𝟒𝟗 𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟒𝟗) (𝟎 𝟎𝟏) ̅(𝟎 𝟒𝟗)
(𝟎 𝟓) 𝟎 𝟕 (𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟕𝟏𝟒) 𝟎 𝟕 𝟎 𝟎𝟎𝟕𝟏𝟒 (
𝟏
𝟐
) 𝟎 𝟕𝟎𝟕𝟏𝟒

164. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
163
‫س‬3/‫كرة‬‫لطرها‬ ‫نص‬(𝟔 )‫سمكه‬ ‫بطالء‬ ‫طلٌت‬(𝟎 𝟏 )‫تمرٌبٌـة‬ ‫بصـورة‬ ‫الطـالء‬ ‫كمٌـة‬ ‫جـد‬‫بأسـتخدام‬
‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫ز‬‫وزاري‬2014/‫د‬1
‫الحل‬/‫الطالء‬ ‫مع‬ ‫الكرة‬ ‫حجم‬ = ‫الطالء‬ ‫كمٌة‬ ‫حجم‬–‫الكرة‬ ‫حجم‬
‫نفرض‬𝟔‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫ونفرض‬𝟔 𝟏‫ز‬ ‫الطالء‬ ‫كمٌة‬ ‫له‬ ً‫ا‬‫مضاف‬ ‫للكرة‬ ‫المطر‬ ‫نص‬ ‫وٌمثل‬
𝟔 𝟏 𝟔 𝟎 𝟏
𝟒
𝟑
𝟑 ̅
𝟒
𝟑
(𝟑 𝟐) 𝟒 𝟐
̅( ) 𝟒 𝟐 ̅(𝟔) 𝟒 (𝟔) 𝟐 ̅(𝟔) 𝟏𝟒𝟒
̅( ) ̅(𝟔) (𝟎 𝟏) (𝟏𝟒𝟒 ) 𝟏𝟒 𝟒 𝟑
(‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫كمٌة‬ )
‫س‬4/‫كرة‬‫حجمها‬(𝟖𝟒 𝟑)‫جد‬‫لطرها‬ ‫نص‬‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬‫ز‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬
‫الحل‬/
‫الحجم‬ ‫نفرض‬
‫المطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬
𝟒
𝟑
𝟑
𝟖𝟒
𝟒
𝟑
𝟑 𝟑
(𝟑)(𝟖𝟒 )
𝟒
( )(𝟐𝟏) 𝟔𝟑 √𝟔𝟑
𝟑
‫نفرض‬𝟔𝟒‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟔𝟑‫معطى‬
𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏
( ) √
𝟑 .
𝟏
𝟑
/ ̅( )
𝟏
𝟑
( ).
𝟐
𝟑
/
( ) .
𝟏
𝟑
/
(𝟔𝟒) (𝟔𝟒).
𝟏
𝟑
/
(𝟒 𝟑).
𝟏
𝟑
/
(𝟔𝟒) 𝟒
̅( )
𝟏
𝟑
( ).
𝟐
𝟑
/ ̅(𝟔𝟒)
𝟏
𝟑
(𝟔𝟒).
𝟐
𝟑
/ ̅(𝟔𝟒)
𝟏
𝟑
(𝟒 𝟑).
𝟐
𝟑
/ 𝟏
𝟑
(𝟒)( 𝟐)
̅( 𝟔𝟒)
𝟏
(𝟑)(𝟒 𝟐)
𝟏
(𝟑)(𝟏𝟔)
̅( 𝟔𝟒) 𝟎 𝟎𝟐
( ) ( ) ̅( )
( 𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) ̅(𝟔𝟒)
(𝟔𝟑) 𝟒 ( 𝟏) (𝟎 𝟎𝟐) 𝟒 𝟎 𝟎𝟐 (𝟔𝟑) 𝟑 𝟗𝟖

165. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
164
‫س‬5/‫فأذا‬ ‫الماعدة‬ ‫لطر‬ ‫طول‬ ‫ٌساوي‬ ‫أرتفاعه‬ ‫لائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬‫ٌساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫كان‬(𝟐 𝟗𝟖 )‫حجمـه‬ ‫فجـد‬
‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬‫ز‬ ‫نتٌجتها‬ ‫أو‬
‫الحل‬/
‫األرتفاع‬ ‫نفرض‬
‫المطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬
𝟑
𝟐
( 𝟐
𝟏
𝟐
)
𝟑
(
𝟐
)
𝟐
𝟏𝟐
𝟑
‫نفرض‬𝟑‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟐 𝟗𝟖‫معطى‬
𝟐 𝟗𝟖 𝟑 𝟎 𝟎𝟐
𝟏𝟐
𝟑 ̅
𝟏𝟐
(𝟑 𝟐)
𝟒
𝟐
( )
𝟏𝟐
𝟑 (𝟑)
𝟏𝟐
(𝟑) 𝟑
𝟐𝟕
𝟏𝟐
𝟗
𝟒
(𝟑) 𝟐 𝟐𝟓
̅( )
𝟏
𝟒
𝟐 ̅(𝟑)
𝟏
𝟒
(𝟑) 𝟐 ̅(𝟑)
𝟗
𝟒
̅(𝟑) 𝟐 𝟐𝟓
( ) ( ) ̅( )
( 𝟑 ( 𝟎 𝟎𝟐)) ( 𝟑) ( 𝟎 𝟎𝟐) ̅(𝟑)
( 𝟐 𝟗𝟖) 𝟐 𝟐𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟐) (𝟐 𝟐𝟓 ) 𝟐 𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟒𝟓 ( 𝟐 𝟗𝟖) 𝟐 𝟐𝟎𝟓 𝟑
‫س‬6/‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫ازاء‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫دالة‬ ‫كل‬ ‫أن‬ ‫بٌن‬C
( ) ( ) ( 𝟏) 𝟒 , 𝟏 𝟑- 𝟐‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬
‫الحل‬/
①‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬, 𝟏 𝟑-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫الدالة‬( 𝟏 𝟑)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬(𝟑) ( 𝟏)
( 𝟏) ( 𝟏 𝟏) 𝟒 ( 𝟐) 𝟒
𝟏𝟔
(𝟑) (𝟑 𝟏) 𝟒 (𝟐) 𝟒
𝟏𝟔
( 𝟏) (𝟑)
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) ( 𝟏) 𝟒 ̅( ) 𝟒( 𝟏) 𝟑
̅( ) 𝟒( 𝟏) 𝟑
𝟒( 𝟏) 𝟑
𝟎
( 𝟏) 𝟑
𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ( 𝟏 𝟑)

166. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
165
( ) ( ) 𝟑 , 𝟏 𝟏- ‫د‬ ⁄ ‫وزاري‬
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟏-‫النها‬‫كثٌرة‬‫ال‬‫حدود‬
②‫الذالت‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟏)‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬( 𝟏) (𝟏)
( ) ( 𝟏) 𝟑 ( 𝟏)
( ) ( 𝟏) 𝟑 ( 𝟏)
( 𝟏) (𝟏)
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) 𝟑 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟏
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟏 𝟑 𝟐
𝟏
𝟑 𝟐 𝟐
𝟏
√𝟑
( 𝟏 𝟏)
( ) ( ) 𝟐
𝟑 , 𝟏 𝟒-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟒-‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟒)‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬( 𝟏) (𝟒)
( 𝟏) ( 𝟏) 𝟐
𝟑( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟒
(𝟒) (𝟒) 𝟐
𝟑(𝟒) 𝟏𝟔 𝟏𝟐 𝟒
( 𝟏) (𝟒)
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) 𝟐
𝟑 ̅( ) 𝟐 𝟑
̅( ) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟎 𝟐
𝟑
𝟐
( 𝟏 𝟒)

167. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
166
( ) ( ) ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) , 𝟎 𝟐 -
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟐 -
②‫الدالة‬‫لاب‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لة‬(𝟎 𝟐 )
③‫نوجد‬(𝟎) (𝟐 )
(𝟎) ( 𝟎) 𝟐 (𝟎) 𝟏 𝟐(𝟏) 𝟑
(𝟐 ) ( 𝟒 ) 𝟐 (𝟐 ) 𝟏 𝟐(𝟏) 𝟑
(𝟎) (𝟐 )
‫نفرض‬ ‫لذا‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) ̅( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( )
̅( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( )
( 𝟐 ) ( ) 𝟎 𝟐 ( ) ( ) ( ) 𝟎 ( ),𝟐 ( ) 𝟏- 𝟎
( ) 𝟎 𝟎 𝟐 𝟑 ( 𝟎 𝟐 )
𝟐 ( ) 𝟏 ( ) (‫الثالث‬ ‫و‬ ً‫الثان‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬ ‫ٌمع‬ ‫السالب‬ )
𝟑
𝟐
𝟑
( 𝟎 𝟐 ) ً‫الثان‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬
𝟑
𝟒
𝟑
( 𝟎 𝟐 ) ‫الثالث‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬
‫س‬7/‫السـبب‬ ‫ذكـر‬ ‫مـع‬ ‫ازاءهـا‬ ‫المعطـاة‬ ‫الفتـرة‬ ‫على‬ ‫األتٌة‬ ‫للدوال‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تطبٌك‬ ‫أمكانٌة‬ ‫أختبر‬.
‫لٌم‬ ‫جد‬ ‫المبرهنة‬ ‫تحممت‬ ‫وأن‬C‫الممكنة‬
( ) ( ) 𝟑
𝟏 , 𝟏 𝟐-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟐-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟐)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟏 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟏 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) (𝟐) ( 𝟏)
𝟐 ( 𝟏)
𝟓 ( 𝟏)
𝟑
𝟔
𝟑
.‫الوتر‬ ‫مٌل‬ /
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟑 𝟐
𝟏 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑 𝟐
𝟏 𝟏
( 𝟏 𝟐) ( 𝟏 𝟐)

168. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
167
( ) ( ) 𝟐
𝟒 𝟓 , 𝟏 𝟓-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟓-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟓)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( ) 𝟐 𝟒 ̅( ) 𝟐 𝟒 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) ( 𝟓) ( 𝟏)
𝟓 ( 𝟏)
𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝟓 𝟏
𝟎
𝟔
𝟎 (‫الوتر‬ ‫مٌل‬ )
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 ( 𝟏 𝟓)
( ) ( )
𝟒
𝟐
, 𝟏 𝟐-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟐-‫ألن‬𝟐 , 𝟏 𝟐-
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟐)‫ألن‬𝟐 ( 𝟏 𝟐)
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( )
𝟒
( 𝟐) 𝟐
̅( )
𝟒
( 𝟐) 𝟐
(‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) ( 𝟐) ( 𝟏)
𝟐 ( 𝟏)
𝟏 𝟒
𝟑
𝟑
𝟑
𝟏 (‫الوتر‬ ‫مٌل‬ )
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟒
( 𝟐) 𝟐
𝟏 ( 𝟐) 𝟐 𝟒 . ‫الطرفٌن‬ ‫جذر‬/
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟏 𝟐)
𝟐 𝟐 𝟒 ( 𝟏 𝟐)

169. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
168
( ) ( ) √( 𝟏) 𝟐𝟑
, 𝟐 𝟕-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟕-
②‫غٌر‬ ‫الدالة‬‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬‫عند‬( 𝟏)‫ألن‬𝟏 ( 𝟐 𝟕)
∴‫ألن‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫نظرٌة‬ ‫تطبٌك‬ ‫ٌمكن‬ ‫ال‬‫غٌر‬ ‫الدالة‬‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬‫عند‬( 𝟏)
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫للدالة‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تطبٌك‬ ‫أمكانٌة‬ ‫أختبر‬‫السـبب‬ ‫ذكـر‬ ‫مـع‬ ‫ازاءهـا‬ ‫المعطـاة‬ ‫الفتـرة‬ ‫علـى‬ ‫األتٌـة‬.
‫لٌم‬ ‫جد‬ ‫المبرهنة‬ ‫تحممت‬ ‫وأن‬C‫الممكنة‬
( ) 𝟑 𝟐
𝟏 , 𝟏 𝟑-
‫الحل‬/
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟏 𝟑-‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟏 𝟑)‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
‫متحممة‬ ‫الشروط‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫متحممة‬
‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟐 𝟏 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) (𝟑) ( 𝟏)
𝟑 ( 𝟏)
𝟏𝟔 𝟎
𝟒
𝟏𝟔
𝟒
.‫الوتر‬ ‫مٌل‬ /
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟑 𝟐
𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐
𝟐 𝟓 𝟎 (𝟑 𝟓)( 𝟏) 𝟎
‫أما‬ 𝟑 𝟓 𝟎 𝟑 𝟓
𝟓
𝟑
( 𝟏 𝟐)
‫أو‬ 𝟏 𝟎 𝟏 ( 𝟏 𝟐)

170. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
169
‫مثال‬/: ‫نتٌجتها‬ ‫أو‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ً‫ا‬‫تمرٌب‬ ‫جد‬
(𝟏) √𝟖𝟐
𝟒
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟖𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟖𝟐)‫معطى‬
𝟖𝟐 𝟖𝟏 𝟏
( ) √
𝟒
( ) .
𝟏
𝟒
/ ̅( )
𝟏
𝟒
.
𝟑
𝟒
/
( ) √
𝟒
(𝟖𝟏) √𝟖𝟏
𝟒
(𝟖𝟏) 𝟑
̅( )
𝟏
𝟒
.
𝟑
𝟒
/ ̅(𝟖𝟏)
𝟏
𝟒
(𝟖𝟏).
𝟑
𝟒
/ ̅(𝟖𝟏)
𝟏
𝟒
(𝟑 𝟒).
𝟑
𝟒
/
̅(𝟖𝟏)
𝟏
𝟒
(𝟑)( 𝟑)
𝟏
𝟒
𝟏
(𝟑) 𝟑
𝟏
𝟏𝟎𝟖
̅(𝟖𝟏) 𝟎 𝟎𝟎𝟗
( ) ( ) ̅( )
(𝟖𝟐) 𝟑 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟎𝟗) 𝟑 𝟎 𝟎𝟎𝟗 (𝟖𝟐) 𝟑 𝟎𝟎𝟗
(𝟐) √𝟎 𝟏𝟐𝟔
𝟑
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟎 𝟏𝟐𝟓)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟎 𝟏𝟐𝟔)‫معطى‬
𝟎𝟏𝟐𝟔 𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟏
( ) √
𝟑
( ) .
𝟏
𝟑
/ ̅( )
𝟏
𝟑
.
𝟐
𝟑
/
( ) √
𝟑
(𝟎 𝟏𝟐𝟓) √𝟎 𝟏𝟐𝟓
𝟑
(𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟎 𝟓
̅( )
𝟏
𝟑
.
𝟐
𝟑
/ ̅(𝟎 𝟏𝟐𝟓)
𝟏
𝟑
(𝟎 𝟏𝟐𝟓)
.
𝟐
𝟑
/ ̅(𝟎 𝟏𝟐𝟓)
𝟏
𝟑
((𝟎 𝟓) 𝟑).
𝟐
𝟑
/
̅(𝟎 𝟏𝟐𝟓)
𝟏
𝟑
(𝟎 𝟓)( 𝟐)
𝟏
𝟑
𝟏
(𝟎 𝟓) 𝟐
𝟏
𝟎 𝟕𝟓
̅(𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑
( ) ( ) ̅( )
(𝟎 𝟏𝟐𝟔) 𝟎 𝟓 (𝟎 𝟎𝟎𝟏) (𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑) 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟔) 𝟎 𝟓𝟎𝟏𝟑𝟑

171. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
170
(𝟑) √ 𝟑𝟏
𝟓
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟑𝟐)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟑𝟏)‫معطى‬
𝟑𝟏 ( 𝟑𝟐) 𝟏
( ) √
𝟓
( ) .
𝟏
𝟓
/ ̅( )
𝟏
𝟓
.
𝟒
𝟓
/
( ) √
𝟓
( 𝟑𝟐) √ 𝟑𝟐
𝟓
( 𝟑𝟐) 𝟐
̅( )
𝟏
𝟓
.
𝟒
𝟓
/ ̅( 𝟑𝟐)
𝟏
𝟓
( 𝟑𝟐)
.
𝟒
𝟓
/ ̅( 𝟑𝟐)
𝟏
𝟓
(( 𝟐) 𝟓
)
.
𝟒
𝟓
/
̅( 𝟑𝟐)
𝟏
𝟓
( 𝟐)( 𝟒)
𝟏
𝟓
𝟏
(𝟐) 𝟒
𝟏
𝟖𝟎
̅( 𝟑𝟐) 𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓
( ) ( ) ̅( )
( 𝟑𝟏) 𝟐 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓 ( 𝟑𝟏) 𝟏 𝟗𝟖𝟕𝟓
‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑
𝟑 𝟐
‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫جد‬(𝟏 𝟎𝟎𝟏)‫عشرٌة‬ ‫مراتب‬ ‫ولثالث‬
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟎 𝟎𝟎𝟏)‫معطى‬
𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏
( ) 𝟑
𝟑 𝟐 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟔
( ) 𝟑
𝟑 𝟐 (𝟏) (𝟏) 𝟑
𝟑(𝟏) 𝟐 (𝟏) 𝟒
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟔 ̅(𝟏) 𝟑(𝟏) 𝟐
𝟔(𝟏) ̅(𝟏) 𝟗
( ) ( ) ̅( )
(𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟒 (𝟎 𝟎𝟎𝟏) (𝟗) 𝟒 𝟎 𝟎𝟎𝟗 (𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟒 𝟎𝟎𝟗
‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) √ 𝟑 𝟏‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫جد‬(𝟎 𝟗𝟗)
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟏)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟎 𝟗𝟗)‫معطى‬
𝟎 𝟗𝟗 𝟏 𝟎 𝟎𝟏
( ) √𝟑 𝟏 ( ) (𝟑 𝟏)
.
𝟏
𝟐
/ ̅( )
𝟑
𝟐 √ 𝟑 𝟏
( ) √𝟑 𝟏 (𝟏) √𝟑(𝟏) 𝟏 (𝟏) 𝟐
̅( )
𝟑
𝟐 √ 𝟑 𝟏
̅(𝟏)
𝟑
𝟐 √𝟑(𝟏) 𝟏
̅(𝟏)
𝟑
𝟒
̅(𝟏) 𝟎 𝟕𝟓
( ) ( ) ̅( )
(𝟎 𝟗𝟗) 𝟐 ( 𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟕𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟕𝟓 (𝟎 𝟗𝟗) 𝟏 𝟗𝟗𝟐𝟓

172. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
171
‫مثال‬/‫بأستخدام‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫مساحته‬ ‫مربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫جد‬(𝟓𝟎 𝟐)
‫الحل‬/
∵= ‫المربع‬ ‫مساحة‬‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫مربع‬
‫نفرض‬( 𝟒𝟗)‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬( 𝟓𝟎)‫معطى‬
𝟓𝟎 𝟒𝟗 𝟏
𝟐
𝟓𝟎 𝟐 √𝟓𝟎
( ) √ ̅( )
𝟏
𝟐 √
( ) √ (𝟒𝟗) √𝟒𝟗 (𝟒𝟗) 𝟕
̅( )
𝟏
𝟐 √
̅(𝟒𝟗)
𝟏
𝟐 √𝟒𝟗
̅(𝟒𝟗)
𝟏
𝟏𝟒
̅(𝟒𝟗) 𝟎 𝟎𝟕𝟏
( ) ( ) ̅( )
(𝟓𝟎) 𝟕 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟕𝟏) 𝟕 𝟎 𝟎𝟕𝟏 (𝟓𝟎) 𝟕 𝟎𝟕𝟏
******************************************************************
‫تمرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫جد‬‫بأستخدام‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬‫مما‬ ‫كل‬ً‫ٌأت‬:
( ) √𝟐𝟕 𝟏𝟒
𝟑
( ) √𝟏𝟓 𝟖𝟖
( ) √𝟑𝟏 𝟐𝟖
𝟓
( ) √𝟖𝟎
𝟒
( ) (𝟖 𝟏𝟐)
𝟐
𝟑 (𝟖 𝟏𝟐)
𝟓
𝟑( ) √ 𝟗 𝟏𝟐
𝟑

173. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
172
‫الدالة‬ ‫دراســـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــة‬
‫الحرجة‬ ‫النمطة‬:‫الدا‬ ً‫لمنحن‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬ ‫النمطة‬ ً‫ه‬‫ل‬‫عندها‬ ‫ٌكون‬ ً‫والت‬ ‫ة‬̅( ) 𝟎‫تكون‬ ‫أو‬‫ز‬ ‫معرفة‬ ‫غٌر‬
‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ‫اٌجاد‬ ‫كٌفٌة‬
‫األولى‬ ‫الحالة‬:‫نجد‬̅( )‫نجعل‬ ‫ثم‬̅( ) 𝟎‫لٌم‬ ‫ونجد‬ ‫المتكونة‬ ‫المعادلة‬ ‫نحل‬ ‫ثم‬(X)‫ولتكن‬(X1 ,X2 , X3 ,….)‫ثـم‬
‫لٌم‬ ‫نعوض‬(X)‫لٌم‬ ‫ونجد‬ ‫األصلٌة‬ ‫الدالة‬ ً‫ف‬(Y)‫فتكون‬ ‫لها‬ ‫الممابلة‬(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),…‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ً‫ه‬
ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ‫جد‬:
( ) ( ) 𝟐 𝟐
( ) 𝟐 𝟏
̅( ) 𝟐 𝟐 𝟐
̅( ) 𝟐
𝟐
𝟐 ( ̅( ) 𝟎)
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑
𝟐 𝟑
𝟏 𝟎
𝟏 (𝟏) 𝟏 𝟐 𝟑
(𝟏 𝟑)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬
( ) ( ) 𝟑 𝟐
𝟔
̅( ) 𝟔 𝟔 (̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟔 𝟔 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
(𝟏) 𝟑(𝟏) 𝟐
𝟔(𝟏) 𝟑
(𝟏 𝟑)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬
( ) ( )
𝟑
( ) 𝟑 𝟏
̅( ) 𝟑 𝟐
̅( )
𝟑
𝟐 ( ̅( ) 𝟎)
𝟑
𝟐
𝟎 𝟑 𝟎 ( ‫ممكن‬ ‫)غٌر‬
‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫التوجد‬
( ) ( ) 𝟐 𝟑
̅( ) 𝟐 (̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟐 𝟎 ( ‫ممكن‬ ‫)غٌر‬ ̅( ) 𝟎
‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫التوجد‬
( ) ( ) (𝟐 𝟏) 𝟑
𝟔
̅( ) 𝟑(𝟐 𝟏) 𝟐(𝟐) 𝟔
̅( ) 𝟔(𝟐 𝟏) 𝟐
𝟔
𝟔(𝟐 𝟏) 𝟐
𝟔 𝟎 ( 𝟔 )
(𝟐 𝟏) 𝟐
𝟏 𝟎
𝟒 𝟐
𝟒 𝟏 𝟏 𝟎
𝟒 𝟐
𝟒 𝟎 ( 𝟒 )
𝟐
𝟎 ( 𝟏) 𝟎
𝟎 𝟏
𝟏 𝟓
(𝟏 𝟓)(𝟎 𝟏)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬
( ) ( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟗 𝟓
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟔 𝟗
(̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟑 𝟐
𝟔 𝟗 𝟎 ( 𝟑 )
𝟐
𝟐 𝟑 𝟎
( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏
(𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟓 𝟐𝟐
( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟗 𝟓 𝟏𝟎
( 𝟏 𝟏𝟎) (𝟑 𝟐𝟐)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬
( ) ( )
𝟑 𝟏
𝟏 𝟐
𝟏
𝟐
̅( )
(𝟏 𝟐 )(𝟑) (𝟑 𝟏)( 𝟐)
(𝟏 𝟐 ) 𝟐
̅( )
𝟑 𝟔 𝟔 𝟐
(𝟏 𝟐 ) 𝟐
̅( )
𝟏
( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 (̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟏
(𝟏 𝟐 ) 𝟐
𝟎 𝟎 ( ‫ممكن‬ ‫)غٌر‬
‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫التوجد‬
( ) ( ) 𝟒
𝟐 𝟐
𝟏
̅( ) 𝟒 𝟑
𝟒
(̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟒 𝟑
𝟒 𝟎 ( 𝟒 )
𝟑
𝟎 ( 𝟐
𝟏) 𝟎
𝟎 𝟏
𝟏 𝟎
𝟏 𝟎
(𝟎 𝟏) (𝟏 𝟎)( 𝟏 𝟎)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬

174. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
173
:‫الثانٌة‬ ‫الحالة‬‫المعطاة‬ ‫الدالة‬ ً‫ف‬ ‫الثوابت‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫ذلن‬ ‫من‬ ‫ٌستفاد‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫أعطٌت‬ ‫اذا‬
‫مثال‬ً‫توضٌح‬①/‫لتكن‬( ) 𝟑 𝟐
𝟓ً‫هـ‬ ‫حرجـة‬ ‫نمطـة‬ ‫للدالـة‬ ‫وكانت‬( 𝟏 𝟏𝟎)‫فجـد‬
‫الثوابت‬ ‫لٌم‬
‫الحل‬/
(-1,10)ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬𝟏𝟎 𝟏 𝟓𝟔( ‫معادلة‬① )
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟐̅( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐
𝟐.②‫معادلة‬ 𝟑 𝟐 𝟎/
: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ‫المعادلتٌن‬ ‫وبحل‬𝟑 𝟗
‫مثال‬ً‫توضٌح‬②/‫لتكن‬( ) 𝟐
ً‫ه‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ‫وكانت‬(1,3)‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬
‫الحل‬/
(𝟏 𝟑)ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬( ‫معادلة‬① 𝟑)
( ) 𝟐 𝟏̅( ) 𝟐 𝟐̅(𝟏) 𝟐 (𝟏)
(𝟏) 𝟐
𝟐 𝟎.②‫معادلة‬ /
: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ‫المعادلتٌن‬ ‫وبحل‬𝟏 𝟐
‫المشتمة‬ ‫بأستخدام‬ ‫للدالة‬ ‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫أختبار‬‫األولى‬
‫لتكن‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫الفتر‬ ً‫ف‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬‫المفتوحة‬ ‫ة‬(𝑎 𝑏)‫كانت‬ ‫فأذا‬:
( ) ̅( ) 𝟎 ‫متزاٌدة‬①
② ( ) ̅( ) 𝟎 ‫متنالصة‬
‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬ ‫أٌجاد‬ ‫طرٌمة‬
o‫لٌم‬ ‫نجد‬( )‫المشتمة‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬‫االولى‬‫سابما‬ ‫تعلمنا‬ ‫كما‬ ‫موجودة‬ ‫غٌر‬ ‫أو‬ ‫للصفر‬ ‫مساوٌة‬‫ز‬
o‫كانت‬ ‫فأذا‬ ‫األعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫المٌم‬ ‫نختبر‬
( ‫متزاٌدة‬ ‫الدالة‬ ̅( ) )
( ‫متنالصة‬ ‫الدالة‬ ̅( ) )

175. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
174
( ‫مثال‬1/)‫لتكن‬( ) 𝟐
‫مناطك‬ ‫جد‬ ‫ز‬‫ا‬‫والتنالص‬ ‫لتزاٌد‬
‫الحل‬/
̅( ) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
̅( )
* + ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬
̅( )
* + ً‫ف‬ ‫متنالصة‬
( ‫مثال‬2/): ‫األتٌتٌن‬ ‫الدالتٌن‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬ ‫جد‬
( ) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 𝟑
‫الحل‬/
̅( ) 𝟗 𝟔 𝟑 𝟐 . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟗 𝟔 𝟑 𝟐 ( )
𝟐
𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏
‫نختبر‬‫على‬‫خ‬‫األعداد‬ ‫ط‬‫إشارة‬‫للعددٌن‬ ‫مجاورة‬ ‫بمٌم‬ ‫بالتعوٌض‬ ‫األولى‬ ‫المشتمة‬𝟏 𝟑
* 𝟏+ * 𝟑+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬
( 𝟏 𝟑) ‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬
( ) ( ) √ 𝟐𝟑
/‫الحل‬
( ) ( )
𝟐
𝟑 ̅( )
𝟐
𝟑
( )
𝟏
𝟑 ̅( )
𝟐
𝟑 √
𝟑
̅( )‫غٌر‬‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫معرفة‬( 𝟎)‫ان‬ ‫أي‬( 𝟎)‫حرج‬ ‫عدد‬
‫على‬ ‫نختبر‬‫خ‬‫األعداد‬ ‫ط‬‫إشارة‬‫للع‬ ‫مجاورة‬ ‫بمٌم‬ ‫بالتعوٌض‬ ‫األولى‬ ‫المشتمة‬‫دد‬𝟎
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬

176. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
175
‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫والنهاٌة‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬
‫ـتكن‬‫ـ‬‫ل‬‫ـرة‬‫ـ‬‫الفت‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ــتمرة‬‫ـ‬‫مســــــــ‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫دال‬, -‫ـد‬‫ـ‬‫عن‬ ‫ـتماق‬‫ـ‬‫لألش‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫ولابل‬( )‫ــرة‬‫ـ‬‫الفتــ‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫ال‬ ً‫ــ‬‫ـ‬‫تنتمـــ‬ ً‫ـ‬‫ـ‬‫الت‬
‫المفتوحة‬( )‫كانت‬ ‫فأذا‬:
( ) ̅( ) 𝟎 ( )
̅( ) 𝟎 ( )
̅( ) 𝟎
( ) ̅( ) 𝟎 ( )
̅( ) 𝟎 ( )
̅( ) 𝟎
‫مالحظة‬
‫النمطة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬( ) ( ) ‫فمط‬ ‫حرجة‬ ( ) ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ( ) ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬
( ‫مثال‬3/)‫للدالة‬ ‫المحلٌة‬ ‫والصررى‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌات‬ ‫نمط‬ ‫جد‬f: ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬ ‫وجودها‬ ‫حالة‬ ً‫ف‬
( ) ( ) 𝟑
𝟗 𝟐
𝟐𝟒( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐) 𝟐( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐) 𝟐
( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐) 𝟐
/‫الحل‬
̅( ) ( 𝟐) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟐( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐
( 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟐
𝟏
* + ً‫ف‬ ‫متنالصة‬
* + ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬
‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬ (𝟐 𝟏) (𝟐 (𝟐)) ‫النمطة‬

177. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
176
( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐) 𝟐
/‫الحل‬
̅( ) ( 𝟐) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟐( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐
( 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟐
𝟏
* 𝟐+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬
* + ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬
‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬‫عظمى‬‫محلٌة‬ (𝟐 𝟏) (𝟐 (𝟐)) ‫النمطة‬
( ) ( ) 𝟑
𝟗 𝟐
𝟐𝟒
/‫الحل‬
̅( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟖 𝟐𝟒 . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟑 𝟐 𝟏𝟖 𝟐𝟒 𝟎
( 𝟑)
⇒ 𝟐 𝟔 𝟖 𝟎
( 𝟒)( 𝟐) 𝟎 𝟒 𝟐
( 𝟐) ( 𝟐) 𝟑
𝟗( 𝟐) 𝟐
𝟐𝟒( 𝟐) 𝟖 𝟑𝟔 𝟒𝟖 𝟐𝟎
( 𝟒) ( 𝟒) 𝟑
𝟗( 𝟒) 𝟐
𝟐𝟒( 𝟒) 𝟔𝟒 𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟔
( ) ‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬
* + * + ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬
‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬‫عظمى‬‫محلٌة‬ (𝟐 𝟐𝟎) (𝟐 (𝟐)) ‫النمطة‬
‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬‫صرر‬‫ى‬‫محلٌة‬ (𝟒 𝟏𝟔) (𝟒 (𝟒)) ‫النمطة‬
‫األنمالب‬ ‫ونمط‬ ‫المنحنٌات‬ ‫وتحدب‬ ‫تمعر‬
‫كانت‬ ‫أذا‬f‫دال‬‫ـــــ‬‫المفتوح‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫ة‬‫ـــ‬‫ة‬( )‫الدال‬ ‫عن‬ ‫فٌمال‬‫ـــــ‬‫ة‬‫محدب‬ ‫بأنهـا‬‫ـــــ‬‫كانـت‬ ‫أذا‬ ‫ة‬
̅‫متنالصة‬̅‫الفترة‬ ‫تلن‬ ‫خالل‬ ‫متزاٌدة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫ممعرة‬ ‫وتسمى‬ ‫الفترة‬ ‫تلن‬ ‫خالل‬‫ز‬
‫مالحظة‬
‫ك‬ ‫أذا‬‫ـــــ‬‫انت‬f‫م‬‫ـــــ‬‫ف‬ ‫عرفة‬‫ـــــ‬ً, -( )‫فأنه‬‫ــ‬‫ا‬: ‫مش‬ ‫ولها‬‫ــــــ‬‫ومش‬ ‫أولى‬ ‫تمة‬‫ـــــ‬‫ث‬ ‫تمة‬‫ـــــ‬‫انٌة‬‫على‬
‫تكون‬‫ممع‬‫ـ‬‫رة‬‫على‬( ): ً‫األت‬ ‫الشرط‬ ‫حممت‬ ‫أذا‬( ) ̅( ) 𝟎
‫تكون‬‫محدبة‬‫على‬( ): ً‫األت‬ ‫الشرط‬ ‫حممت‬ ‫أذا‬( ) ̅( ) 𝟎

178. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
177
( ‫مثال‬1/): ‫الدالتٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وتحدب‬ ‫تمعر‬ ‫أدرس‬
( ) ( ) 𝟑( ) ( ) 𝟐
( ) ( ) 𝟐
/‫الحل‬
̅( ) ̅̅( )
̅̅( ) ( ‫على‬ ‫ممعرة‬ ‫الدالة‬ )
/‫الحل‬( ) ( ) 𝟑
̅( ) 𝟐 ̅̅( )
‫نجعل‬̅̅( )‫أل‬‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫ٌجاد‬
𝟔 𝟎 𝟎 ( 𝟎) 𝟎
* + ً‫ف‬ ‫ممعرة‬
* + ً‫ف‬ ‫محدبة‬
‫النمطة‬(𝟎 𝟎) (𝟎 (𝟎))‫تسمى‬‫أنمالب‬ ‫نمطة‬
: ‫األنمالب‬ ‫نمطة‬
‫ل‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬ ‫النمطة‬ ً‫ه‬‫الدال‬ ً‫منحن‬‫ــــ‬ً‫المنحن‬ ‫ٌنملب‬ ‫عندها‬ ً‫والت‬ ‫ة‬‫بـالعكس‬ ‫أو‬ ‫التمعـر‬ ‫حالـة‬ ‫الـى‬ ‫التحـدب‬ ‫حالـة‬ ‫مـن‬
)‫أخر‬ ‫بأسلوب‬ ‫(أو‬‫النمطة‬( )‫النمطـة‬ ‫كانـت‬ ‫أذا‬ ‫أنمـالب‬ ‫نمطة‬ ً‫ه‬( )‫والمشـتمة‬ ‫الدالـة‬ ً‫لمنحنـ‬ ً‫تنتمـ‬
‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬ ‫الثانٌة‬( ( ) )

179. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
178
‫األنمالب‬ ‫نمط‬ ‫اٌجاد‬ ‫كٌفٌة‬
‫األولى‬ ‫الحالة‬:‫نجد‬̅( )‫وم‬‫ــ‬‫ث‬ ‫ن‬‫ـــ‬‫نجـد‬ ‫م‬
̅( )‫ثـم‬‫نجع‬‫ـــ‬‫ل‬
̅( ) 𝟎‫نح‬ ‫ثـم‬‫ـــ‬‫المعادل‬ ‫ل‬‫ــــ‬‫ل‬ ‫ونجـد‬ ‫المتكونـة‬ ‫ة‬‫ــ‬‫ـــ‬‫ـــ‬‫ٌم‬
(X)‫ولـتكن‬( X1 ,X2 , X3,.. )‫ث‬‫ـــــــ‬‫ن‬ ‫م‬‫ــــــ‬‫لـٌم‬ ‫عوض‬(X)ٌ‫األصل‬ ‫الدالـة‬ ً‫فـ‬‫ـــــــــ‬‫ل‬ ‫ونجـد‬ ‫ة‬‫ـــــــ‬‫ٌم‬(Y)‫الممابل‬‫ـــــ‬‫له‬ ‫ة‬‫ــــــــــــ‬‫ا‬
‫فتكون‬(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),…‫االنمالب‬ ‫نمط‬ ً‫ه‬
‫حول‬ ‫مالحظات‬: ‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫أٌجاد‬ ‫طرٌمة‬
‫لٌم‬ ‫نجد‬( )‫للصفر‬ ‫مساوٌة‬ ‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬‫لٌم‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬( )‫لها‬ ‫الممابلة‬
‫كانت‬ ‫فأذا‬ ‫األعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫المٌم‬ ‫نختبر‬. ‫ممعرة‬ ‫الدالة‬
̅
( ) / ‫أو‬ . ‫محدبة‬ ‫الدالة‬
̅
( ) /
‫تترٌر‬ ‫لم‬ ‫اذا‬‫إشارة‬
̅( )‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ً‫ه‬ ‫وأنما‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫لٌست‬ ً‫ه‬ ‫النمطة‬ ‫فأن‬
( ‫مثال‬2/): ً‫للمنحن‬ ‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬( ) 𝟐 𝟑
𝟑 𝟐
𝟏𝟐 𝟏
/‫الحل‬
̅( ) 𝟔 𝟐 𝟔 𝟏𝟐 ̅̅( ) 𝟏𝟐 𝟔
‫نجعل‬̅̅( )‫أل‬‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫ٌجاد‬
𝟏𝟐 𝟔 𝟎 𝟏𝟐 𝟔
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
)
𝟏𝟏
𝟐
‫موجبة‬
̅( ) ‫الن‬ 2 3 ً‫ف‬ ‫ممعرة‬
‫سالبة‬
̅( ) ‫الن‬ 2 3 ً‫ف‬ ‫محدبة‬
‫النمطة‬.
𝟏
𝟐
𝟏𝟏
𝟐
/ .
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
)/ً‫ه‬‫أنمالب‬ ‫نمطة‬
( ‫مثال‬3/): ‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫األنمالب‬ ‫ونمط‬ ‫والتمعر‬ ‫التحدب‬ ‫مناطك‬ ‫جد‬
( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟒
( ) ( )
𝟏
𝟎
( ) ( ) 𝟒 ( 𝟐) 𝟒
( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟐
( ) ( ) 𝟒
𝟑 𝟐
𝟑

180. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
179
/‫الحل‬( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟒
̅( ) 𝟐 𝟒 𝟑 ̅̅( ) 𝟐
‫نجعل‬̅̅( )‫أل‬‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫ٌجاد‬
𝟐 𝟎
( 𝟏𝟐)
⇒ 𝟐 𝟎
( ) 𝟎 𝟐 𝟎
( 𝟐) 𝟏𝟔 ( 𝟎) 𝟎
* + ‫و‬ * + ً‫ف‬ ‫محدبة‬
( ) ‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫ممعرة‬
‫النمطتان‬( ) ( )‫نمطتا‬ ‫هما‬‫أنمالب‬
/‫الحل‬( ) ( )
𝟏
𝟎
̅( )
𝟏
𝟐
̅̅( )
𝟐
𝟑
̅̅(𝟎)‫معرفة‬ ‫غٌر‬
* + ً‫ف‬ ‫محدبة‬
* + ً‫ف‬ ‫ممعرة‬
‫ألن‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬0‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ً‫ٌنتم‬ ‫ال‬
/‫الحل‬( ) ( ) 𝟒 ( 𝟐) 𝟒
̅̅̅( ) ( 𝟐) 𝟑 ̅̅( ) ( 𝟐) 𝟐
‫نجعل‬̅̅( )‫أل‬‫والتحدب‬ ‫التمعر‬ ‫مناطك‬ ‫ٌجاد‬
( 𝟐) 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟐 𝟎
𝟎 𝟐
* 𝟐+ ‫و‬ * 𝟐+ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ‫الدالــــــــة‬
∴‫عنـد‬ ‫أنمـالب‬ ‫نمطـة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬( )‫محدبـة‬ ‫الدالـة‬ ‫ألن‬
‫جهتٌها‬ ‫على‬

181. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
180
/‫الحل‬( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟐
̅ ( ) 𝟐 𝟐 ̅̅( )
‫جعل‬ ‫ٌمكن‬ ‫ال‬̅̅( )
ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ‫الدالــــــــة‬
∴‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
/‫الحل‬( ) ( ) 𝟒
𝟑 𝟐
𝟑
̅ ( ) 𝟒 𝟑 𝟔 ̅̅( ) 𝟏𝟐 𝟐 𝟔 𝟎
ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ‫الدالــــــــة‬‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ ‫لذا‬
‫المحلٌة‬ ‫والصررى‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌات‬ ‫لنمط‬ ‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫أختبار‬
‫المشتمة‬ ‫من‬ ‫ٌستفاد‬ً‫ٌل‬ ‫وكما‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫دراستها‬ ‫دون‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬ ‫نوعٌة‬ ‫ومعرفة‬ ‫فحص‬ ً‫ف‬ ‫الثانٌة‬:
‫إشـارة‬ ‫ترٌٌـر‬ ‫كٌفٌـة‬ ‫مالحظـة‬ ‫مـن‬ ً‫ال‬‫فبد‬̅‫حٌـث‬ ‫الحرجـة‬ ‫بالنمطـة‬ ‫المـرور‬ ‫عنـد‬̅( )‫أسـتخدام‬ ‫ٌمكننـا‬ ‫فأنـه‬
‫صررى‬ ‫أو‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ ‫فٌما‬ ‫لنمرر‬ ً‫التال‬ ‫األختبار‬‫أختبار‬ ‫بأستخدام‬ ‫وذلن‬ ‫محلٌة‬
: ً‫ٌأت‬ ‫وكما‬ ‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬
( )‫كانت‬ ‫أذا‬̅( )‫وأن‬̅̅( )‫فأن‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬( )‫ز‬
( )‫كانت‬ ‫أذا‬̅( )‫وأن‬̅̅( )‫فأن‬‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬‫صرر‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫ى‬( )‫ز‬
( )‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫أذا‬̅̅( )‫أو‬̅̅( )‫ـة‬‫ـ‬‫الطرٌم‬ ‫ـطة‬‫ـ‬‫بواس‬ ‫ـار‬‫ـ‬‫األختب‬ ‫ـاد‬‫ـ‬‫وٌع‬ ( ‫ـار‬‫ـ‬‫األختب‬ ‫ـذا‬‫ـ‬‫ه‬ ‫ـح‬‫ـ‬‫ٌص‬ ‫ـال‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫معرف‬ ‫ـر‬‫ـ‬ٌ‫غ‬
‫األولى‬ ‫المشتمة‬ ‫طرٌك‬ ‫عن‬ ‫السابمة‬)‫ز‬
‫مالحظة‬:
‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ ً‫ف‬ ‫الحال‬ ‫هو‬ ‫كما‬ ‫الثوابت‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫االنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫من‬ ‫ٌستفاد‬
( ‫مثال‬1/)‫جد‬ , ‫أمكن‬ ‫أن‬ ‫الثانٌة‬ ‫المشتمة‬ ‫أختبار‬ ‫بأستخدام‬‫األتٌة‬ ‫للدوال‬ ‫المحلٌة‬ ‫النهاٌات‬:
( ) ( ) 𝟔 𝟑 𝟐
𝟏
( ) ( )
𝟒
𝟐
𝟎
( ) ( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟗
( ) ( ) 𝟒 ( 𝟏) 𝟒

182. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
181
/‫الحل‬( ) ( ) 𝟔 𝟑 𝟐
𝟏
̅( ) 𝟔 𝟔 .̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/
𝟔 𝟔 𝟎 𝟔 𝟔 𝟏 ̅(𝟏) 𝟎
̅̅( ) 𝟔 ̅̅( 𝟏) 𝟔 𝟎
∵̅(𝟏) 𝟎‫و‬̅̅(𝟏) 𝟔 𝟎
∴‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫توجد‬( 𝟏)
∴‫ال‬‫نهاٌة‬‫ال‬‫عظمى‬‫ال‬‫محلٌة‬: ً‫ه‬(𝟏) 𝟔(𝟏) 𝟑(𝟏) 𝟐
𝟏 𝟐
/‫الحل‬( ) ( )
𝟒
𝟐
𝟎
̅( ) 𝟏
𝟖
𝟑
.̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/
𝟏
𝟖
𝟑
𝟎 𝟑 𝟖 𝟎 𝟑 𝟖 𝟐 ̅( 𝟐) 𝟎
̅̅( )
𝟐𝟒
𝟒
̅̅( 𝟐)
𝟐𝟒
𝟏𝟔
𝟎
∵̅( 𝟐) 𝟎‫و‬̅̅( 𝟐) 𝟎
∴‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫توجد‬( 𝟐)
∴‫ال‬‫نهاٌة‬‫ال‬‫عظمى‬‫ال‬‫محلٌة‬: ً‫ه‬( 𝟐) 𝟐
𝟒
𝟒
𝟐 𝟏 𝟑
/‫الحل‬( ) ( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟗
̅( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 .̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/
𝟑 𝟐
𝟔 𝟗 𝟎
( 𝟑)
⇒ 𝟐
𝟐 𝟑 𝟎
( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏
̅̅( ) 𝟔 𝟔
‫عندما‬𝟏
‫فأن‬̅( 𝟏) 𝟎‫و‬̅̅( 𝟏) 𝟏𝟐 𝟎
∴‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫توجد‬( 𝟏)
∴‫ال‬‫نهاٌة‬‫ال‬‫عظمى‬‫ال‬‫محلٌة‬: ً‫ه‬( 𝟏) ( 𝟏) 𝟑 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟗( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟗 𝟓
‫عندما‬𝟑
‫فأن‬̅(𝟑) 𝟎‫و‬̅̅(𝟑) 𝟏𝟐 𝟎
∴‫نهاٌة‬ ‫توجد‬‫صرر‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫ى‬( 𝟑)
∴‫ال‬‫نهاٌة‬‫الصرر‬‫ى‬‫ال‬‫محلٌة‬: ً‫ه‬(𝟑) ( 𝟑) 𝟑 𝟑( 𝟑) 𝟐 𝟗( 𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕

183. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
182
( ) ( ) 𝟒 ( 𝟏) 𝟒
/‫الحل‬
̅( ) 𝟒( 𝟏) 𝟑 .̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/
𝟒( 𝟏) 𝟑 𝟎 ( 𝟏) 𝟑 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ̅( 𝟏) 𝟎
̅̅( ) 𝟏𝟐( 𝟏) 𝟐 ̅̅( 𝟏) 𝟎
∵̅̅( 𝟏) 𝟎‫ترٌٌر‬ ‫مالحظة‬ ‫الى‬ ‫نعود‬ ‫لذا‬ ‫تنفع‬ ‫ال‬ ‫الطرٌمة‬ ‫هذه‬ ‫أذن‬‫إشارة‬̅‫بجوار‬( 𝟏)
fً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬* 𝟏+
f‫متنالص‬ً‫ف‬ ‫ة‬* 𝟏+
∴‫توجد‬‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬: ً‫ه‬( 𝟏) 𝟒 ( 𝟏 𝟏) 𝟒 𝟒
( ‫مثال‬2/)‫لتكن‬( ) 𝟐
𝟎
‫لٌمـة‬ ‫فجـد‬‫عنـد‬ ‫أنمـالب‬ ‫نمطـة‬ ‫تمتلـن‬ ‫الدالـة‬ ‫أن‬ ً‫ا‬‫علمـ‬‫الدالـة‬ ‫أن‬ ‫بـٌن‬ ‫ثـم‬ ,‫عظمـى‬ ‫نهاٌـة‬ ‫تمتلـن‬ ‫ال‬
‫ز‬ ‫محلٌة‬
/‫الحل‬
̅( ) 𝟐 𝟐
̅̅( ) 𝟐
𝟐
𝟑
̅̅(𝟏) 𝟐
𝟐
( 𝟏) 𝟑
𝟐 𝟐 . ̅̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟏
( ) 𝟐 𝟏 ̅( ) 𝟐
𝟏
𝟐
(̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎 𝟐 𝟑 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏
𝟐
√
𝟏
𝟐
𝟑
̅̅( ) 𝟐
𝟐
𝟑
̅̅( ) 𝟐
𝟐
.
𝟏
𝟐
/
𝟐 𝟒 ̅̅( ) 𝟔 𝟎
∴‫نهاٌة‬ ‫توجد‬‫صرر‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫ى‬4 √
𝟏
𝟐
𝟑
5
∴‫الدالة‬‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬ ‫ال‬

184. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
183
‫وزاري‬2012/‫د‬1‫وزاري‬2013/‫د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬3
( ‫مثال‬3/)‫الثابتٌن‬ ً‫لٌمت‬ ‫عٌن‬‫الدال‬ ً‫لمنحن‬ ‫ٌكون‬ ً‫لك‬‫ـ‬‫ة‬𝟑 𝟐
‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
‫عند‬𝟏‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫ونهاٌة‬𝟐‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬‫ز‬
/‫الحل‬
𝟑 𝟐
̅ 𝟑 𝟐
𝟐
∵‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬𝟏⇐̅ 𝟎
𝟎 𝟑( 𝟏) 𝟐
𝟐 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟎 ( ‫معادلة‬ )
∵‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬‫صرر‬‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫ى‬𝟐⇐̅ 𝟎
𝟎 𝟑(𝟐) 𝟐
𝟐 (𝟐) 𝟏𝟐 𝟒 𝟎 ( ‫معادلة‬ )
( ‫المعادلتٌن‬ ‫وبحل‬1( ‫و‬ )2: ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫أنٌا‬ )
𝟑
𝟐
𝟔
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
𝟔 ̅ 𝟑 𝟐
𝟑 𝟔 ̅ 𝟔 𝟑 (̅ 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟔 𝟑 𝟎 𝟔 𝟑
𝟏
𝟐
4
𝟏
𝟐
5 4
𝟏
𝟐
5
𝟑
𝟑
𝟐
4
𝟏
𝟐
5
𝟐
𝟔 4
𝟏
𝟐
5
𝟏
𝟖
𝟑
𝟖
𝟑
𝟏 𝟑 𝟐𝟒
𝟖
𝟐𝟔
𝟖
4
𝟏
𝟐
5
𝟏𝟑
𝟒
‫الدالة‬fً‫ف‬ ‫ممعرة‬2
𝟏
𝟐
3
‫الدالة‬fً‫ف‬ ‫محدبة‬2
𝟏
𝟐
3
∴.
𝟏
𝟐
𝟏𝟑
𝟒
/‫أنمالب‬ ‫نمطة‬
( ‫مثال‬4/)‫أذا‬‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫كان‬( ) 𝟑 𝟐
‫فــ‬ ‫ممعـــر‬ً‫ـ‬* 𝟏+‫ومح‬ً‫ف‬ ‫ـدب‬* 𝟏+
: ‫المستمٌم‬ ‫وٌمس‬𝟗 𝟐𝟖‫النمطة‬ ‫عند‬( 𝟑 𝟏)‫الحمٌمٌة‬ ‫األعداد‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬
/‫الحل‬‫وزاري‬2014/‫د‬1
∵‫و‬ ‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫ألنها‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ً‫فــــ‬ ‫ممعـــرة‬* 𝟏+ً‫ف‬ ‫ومحـــدبة‬* 𝟏+
∴‫عند‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫تمتلن‬ ‫الدالة‬𝟏
̅( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ̅̅( ) 𝟔 𝟐 ̅̅(𝟏) 𝟔 𝟐 . ̅̅(𝟏) 𝟎 ‫نجعل‬/
𝟔 𝟐 𝟎
( 𝟐)
⇒ 𝟑 𝟎 𝟑 ( ‫معادلة‬ )
∵‫للمستمٌم‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬𝟗 𝟐𝟖‫هو‬(̅ 𝟗)‫عند‬𝟑
∴̅( 𝟑)‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬ ‫هو‬f‫عند‬𝟑
̅(𝟑) 𝟐𝟕 𝟔 𝟗 𝟐𝟕 𝟔
( 𝟑)
⇒ 𝟑 𝟗 𝟐 . ‫معادلة‬ /
‫النمطة‬( 𝟑 𝟏)‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( ) 𝟑 𝟐
𝟏 𝟐𝟕 𝟗 (③ ‫معادلة‬ )
( ‫المعادلة‬ ‫وبتعوٌض‬1( ً‫ف‬ )2: ‫على‬ ‫نحصل‬ )
𝟑 𝟗 𝟔 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑
( ‫وبتعوٌض‬𝟏( ‫و‬ )𝟑‫المعادلة‬ ً‫ف‬ )(3): ‫على‬ ‫نحصل‬
𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟏

185. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
184
( ‫مثال‬5/)‫للدالة‬ ‫كان‬ ‫أذا‬( )‫محلٌــ‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬‫تســــاوي‬ ‫ة‬8‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫و‬ ,
‫عند‬‫لٌمة‬ ‫فجد‬‫وزاري‬2015/‫د‬2
/‫الحل‬
̅ 𝟑 𝟐
𝟔 ̅ 𝟔 𝟔
∵‫للدالة‬‫أنمالب‬ ‫نمطة‬‫عند‬𝟏⇐̅ 𝟎
𝟎 𝟔 (𝟏) 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏
∵‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬‫عظم‬‫محلٌة‬ ‫ى‬‫تساوي‬(𝟖)⇐̅ 𝟎
̅ 𝟑 𝟐
𝟔 𝟎 𝟑 𝟐
𝟔 𝟎 𝟑 ( 𝟐)
𝟎 𝟐
******************************************************************
‫واج‬‫ب‬/‫للدالة‬ ‫كان‬ ‫أذا‬( )‫نهاٌة‬‫صرر‬‫تســــاوي‬ ‫محلٌــــة‬ ‫ى‬4‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫و‬ ,
‫عند‬‫لٌمة‬ ‫فجد‬
(𝟑 𝟒)‫تمارين‬
‫س‬1/‫لتكن‬( ) 𝟐
𝟔‫حيث‬,* 𝟒 𝟖+‫قيمة‬ ‫جد‬: ‫كانت‬ ‫اذا‬
‫الدالة‬ )‫(أ‬f)‫(ب‬ ‫محدبة‬‫الدالة‬f‫ممعرة‬
/‫الحل‬
( ) 𝟐
𝟔 ̅( ) 𝟐 𝟔
̅( ) 𝟐
‫محدبة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ .‫/أ‬
̅( ) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟎 𝟒
‫مقعرة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬ .‫/ب‬
̅( ) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟎 𝟖

186. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
185
‫س‬2/‫كانت‬ ‫أذا‬(2,6)‫حرج‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬‫ـــــ‬‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ‫ة‬( ) ( ) 𝟒
‫لٌمة‬ ‫فجد‬‫نوع‬ ‫وبٌن‬
‫النمطة‬‫الحرجة‬‫ز‬
/‫الحل‬
̅( ) 𝟒( ) 𝟑(𝟏) ̅( ) 𝟒( ) 𝟑
‫حرجة‬ ‫نمطة‬ (𝟐 𝟔) ‫النمطة‬ ‫ألن‬ 𝟐 ‫عندما‬ ( ̅( ) 𝟎 ‫)نجعل‬
𝟎 𝟒( 𝟐 ) 𝟑
( 𝟒)
⇒ 𝟎 ( 𝟐 ) 𝟑 . ‫الثالث‬ ‫بالجذر‬ /
𝟎 𝟐
‫النمطة‬(𝟐 𝟔)‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( ) ( 𝟐) 𝟒
𝟔 (𝟐 𝟐) 𝟒
𝟔 𝟎 𝟔
‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ ‫نوع‬ ‫لبٌان‬‫الرسم‬ ‫نالحظ‬:
̅( ) 𝟒( 𝟐) 𝟑
∴‫النمطة‬( )‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬‫محلٌة‬ ‫عظمى‬
‫س‬3/‫كان‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟐
‫وكان‬( ) 𝟏 𝟏𝟐‫من‬ ‫كل‬ ‫وكان‬‫متماســـــــ‬‫عند‬ ‫ان‬
‫للدالة‬ ‫وكانت‬ ‫األنمالب‬ ‫نمطة‬f‫أنمالب‬ ‫نمطة‬(1, -11)‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬
/‫الحل‬‫وزاري‬2014/‫د‬2
∵‫الدالتٌن‬( ) ( )‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫متماستان‬
∴‫الدالتٌن‬ ‫مٌل‬( ) ( )‫عند‬( )‫أي‬ ‫متساوٌان‬‫أن‬̅( ) ̅( )
( ) 𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐
𝟐
( ) 𝟏 𝟏𝟐 ̅( ) 𝟏𝟐
𝟑 𝟐
𝟐 𝟑 (𝟏) 𝟐
𝟐 (𝟏) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 ( ‫معادلة‬① )
∵‫النمطة‬( )‫لدالة‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬( )⇐(̅̅( ) 𝟎)‫عندما‬( )
̅( ) 𝟔 𝟐 𝟔 𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟑 𝟎 ( ‫معادلة‬② )
‫النمطة‬( )‫الدالة‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( )
( ) 𝟏𝟏 ( ‫معادلة‬③ )
‫المعادالت‬ ‫وبحل‬①‫و‬②‫و‬③‫على‬ ‫نحصل‬ ‫سو‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬
( ‫معادلة‬① )
( ‫معادلة‬③ )
‫بالطرح‬
( ‫معادلة‬② ) ‫بالطرح‬

187. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
186
‫س‬4/‫كانت‬ ‫أذا‬(𝟔)‫الدال‬ ً‫لمنحن‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمثل‬‫ــــ‬‫ة‬( ) 𝟑 𝟐 𝟑
‫لٌمة‬ ‫فجد‬‫جد‬ ‫ثم‬
‫معادلة‬ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ً‫ف‬‫انمالبه‬ ‫نمطة‬‫؟‬
/‫الحل‬
( ) 𝟑 𝟐 𝟑 ̅( ) 𝟔 𝟑 𝟐
( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬)
𝟎 𝟔 𝟑 𝟐 ( 𝟑)
⇒ 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐 ) 𝟎 𝟐
‫النمطة‬( )‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ً‫تنتم‬( )
( ) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟑( 𝟎) 𝟐 ( 𝟎) 𝟑 𝟔
̅( ) 𝟔 𝟑 𝟐 ̅̅( ) 𝟔 𝟔 . ̅̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬/
𝟎 𝟔 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏
( ) 𝟑 𝟐 𝟑 ( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟑
𝟔 𝟑 𝟏 𝟔 𝟖 ( 𝟏) 𝟖
∴‫النمطة‬( )‫المماس‬ ‫مٌل‬ ‫نمطة‬ ً‫وه‬ ‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬‫نحسب‬ ‫اي‬ (̅( )‫عندما‬)
̅(𝟏) 𝟔( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 ̅(𝟏) 𝟑
( ) 𝟖 𝟑( 𝟏) 𝟖 𝟑 𝟑
(ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ )
‫س‬5/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟐
‫وكانت‬‫ممعـ‬‫ـــ‬‫ــرة‬( 𝟏)‫ومحدبــــــ‬‫ة‬( 𝟏)
‫وللدالة‬fً‫ه‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬( 𝟏 𝟓)‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬
/‫الحل‬‫وزاري‬2012/‫د‬3
‫النمطة‬( 𝟏 𝟓)ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬( )
( ) 𝟑 𝟐
𝟓 ( 𝟏) 𝟑 ( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟓 ( ‫معادلة‬① )
‫النمطة‬( 𝟏 𝟓)‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬‫للدالة‬f⇐( ) 𝟎‫عندما‬( 𝟏)
( ) 𝟑 𝟐
𝟐 𝟎 𝟑 ( 𝟏) 𝟐
𝟐 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟎 ( ‫معادلة‬② )
∵‫الدالة‬‫ممع‬‫ـــ‬‫رة‬( 𝟏)‫ومحدب‬‫ـــــ‬‫ة‬( 𝟏)
∴‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫النه‬ ( 𝟏) ‫عندما‬
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬
̅( ) 𝟔 𝟐 𝟎 𝟔 (𝟏) 𝟐 𝟔 𝟐 𝟎 ( ‫معادلة‬③ )
‫المعادالت‬ ‫وبحل‬①‫و‬②‫و‬③‫على‬ ‫نحصل‬ ‫سو‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬
( ‫معادلة‬① )
( ‫معادلة‬② )
‫بالجمع‬
( )
( ‫معادلة‬③ ) ‫بالجمع‬
( )

188. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
187
‫س‬6/‫لتكن‬( )‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫برهن‬‫ز‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬ ‫ال‬
/‫الحل‬‫وزاري‬2013/‫د‬1
( ) 𝟐 𝟏
̅( ) 𝟐 𝟐
̅( ) 𝟐
𝟐
( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬)
𝟎 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟑 𝟑
𝟐
. ‫معادلة‬ /
̅̅( ) 𝟐 𝟐 𝟑 ̅̅( ) 𝟐
𝟐
𝟑
. ‫معادلة‬ /
‫وبتعوٌض‬‫المعادلة‬(1)ً‫ف‬(2: ‫على‬ ‫نحصل‬ )
̅̅( ) 𝟐
𝟐
.
𝟐
/
𝟐
𝟐
𝟏
4
𝟐
5 𝟐 𝟒 𝟔 ̅̅( ) 𝟔
∴‫الدالة‬‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬‫ألن‬̅̅( ) 𝟔 𝟎
∴‫الدالة‬‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬ ‫ال‬‫محلٌة‬ ‫عظمى‬‫لٌمة‬ ‫كانت‬ ‫مهما‬( )
‫س‬7/‫المس‬‫ـــ‬‫تمٌم‬𝟑 𝟕ً‫المنحن‬ ‫ٌمس‬𝟐
‫عند‬(𝟐 𝟏)‫نهاٌــ‬ ‫له‬ ‫وكانت‬‫ـــ‬‫ـة‬
‫عند‬ ‫محلٌة‬
𝟏
𝟐
‫لٌمة‬ ‫جد‬‫؟‬ ‫النهاٌة‬ ‫نوع‬ ‫وما‬ ,
/‫الحل‬‫وزاري‬2015/‫د‬1‫وزاري‬2016/‫د‬1
‫النمطة‬(𝟐 𝟏)‫نعوض‬ ‫حٌث‬ : ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬( 𝟏 𝟐)
𝟐
𝟏 ( 𝟐) 𝟐
( 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟏 ( ‫معادلة‬① )
∵‫نهاٌة‬ ً‫للمنحن‬‫عند‬ ‫محلٌة‬
𝟏
𝟐
⇐‫عندما‬
𝟐 𝟎 𝟐 ( ) 𝟎 ( ‫معادلة‬② )
‫معادلته‬ ‫من‬ ‫المماس‬ ‫المستمٌم‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫نجد‬:
‫معامل‬
‫معامل‬
‫نجد‬ ‫اي‬ ( ‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬ ‫نجد‬‫عندما‬)
𝟐 𝟒
∵‫المماس‬ ‫المستمٌم‬ ‫مٌل‬‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬
𝟒 𝟒 𝟑 ( ‫معادلة‬③ )
‫بحل‬‫ا‬‫لمعادلتٌن‬(2)‫و‬(3)ً‫ا‬ٌ‫أن‬: ‫على‬ ‫نحصل‬
( ‫معادلة‬② )
( ‫معادلة‬③ )
‫بالطرح‬
( ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫)نعوض‬②
( 𝐜 ‫ألٌجاد‬ ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نع‬‫وض‬ )
( ) ( )
( ) 𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒
𝟏
𝟐
𝟑 𝟑
𝟏
𝟒
∴‫النمطة‬.
𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟒
/‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمثل‬

189. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
188
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫والنمط‬ ‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬ ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫جد‬:‫األتٌة‬ ‫للدوال‬ ‫النهاٌات‬ ‫نماط‬ ‫ولٌم‬ ‫الحرجة‬
( ) ( ) 𝟑
𝟑 𝟐
̅( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ /
( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎
𝟒 𝟎 𝟎
( )( )ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬
(‫النمطة‬(0,0‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
‫تساوي‬ ‫المحلٌة‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬( )
(‫النمطة‬(2,-4‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬
‫تساوي‬ ‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬( )
‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬2 3
‫الفترة‬ = ‫التنالص‬ ‫مناطك‬( )
( ) ( ) 𝟐
𝟔 𝟒
̅( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ /
𝟑 𝟗 𝟏𝟖 𝟒 𝟓
(𝟑 𝟓)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬
( ‫النمطة‬(3,-5‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬
‫تساوي‬ ‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬( )
‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬* +
‫التنالص‬ ‫مناطك‬* +
( ) ( ) 𝟒
̅( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ /
𝟎
(𝟎 𝟎)ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬
(‫النمطة‬(0,0‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬
‫تساوي‬ ‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬( )
‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬* +
‫التنالص‬ ‫مناطك‬* +

190. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
189
( ) ( ) 𝟐 𝟑
̅( ) . ̅( ) ‫جعل‬ ‫الٌمكن‬/ 𝟎
‫حرجة‬ ‫نمط‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬* +
( ) ( )
𝟐
𝟏
𝟐 𝟒
̅( )
( 𝟐 𝟒)(𝟐 ) ( 𝟐 𝟏)(𝟐 )
( 𝟐 𝟒)
𝟐
𝟐 𝟑 𝟖 𝟐 𝟑 𝟐
( 𝟐 𝟒)
𝟐
𝟏𝟎
( 𝟐 𝟒)
𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟏𝟎
( 𝟐 𝟒) 𝟐
𝟎 𝟏𝟎 𝟎 𝟎
𝟏
𝟒
(𝟎
𝟏
𝟒
) ً‫ه‬ ‫الحرجة‬ ‫النمط‬
‫النمطة‬.𝟎
𝟏
𝟒
/‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
= ‫المحلٌة‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬ ‫لٌمة‬
‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬{
( )‫الفترة‬
‫التنالص‬ ‫مناطك‬ ‫و‬{
( )‫الفترة‬
‫مثال‬/‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬‫الدال‬ ً‫لمنحن‬ ‫كان‬ ‫أذا‬‫ــــــــــ‬‫ة‬( )‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬
ً‫ه‬ ‫محلٌة‬( )
/‫الحل‬
‫النمطة‬(3,-5)‫والمشتمة‬ ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬‫األولى‬‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬‫عندما‬( 𝟑)
( ) 𝟐
𝟒 𝟓 𝟗 𝟑 𝟒 𝟗 𝟗 𝟑
( 𝟑)
⇒ 𝟑 𝟑 ‫معادلة‬①
̅( ) 𝟐 . ̅( ) ‫نجعل‬ /
𝟎 𝟐 (𝟑) 𝟔 𝟎 ②‫معادلة‬
‫المعادلة‬ ‫وبحل‬①‫والمعادلة‬②: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ً‫ال‬‫ح‬

191. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
190
‫مثال‬/‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬‫الدالـ‬ ً‫لمنحن‬ ‫كان‬ ‫أذا‬‫ـــ‬‫ــة‬( ) ( )‫نهاٌـــ‬ ‫نمطة‬‫ــ‬‫ـة‬
ً‫ه‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬( )
/‫الحل‬‫النمطة‬(𝟏 𝟔)‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬ ‫والمشتمة‬ ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬
( ) ( ) 𝟔 ( ) ‫معادلة‬①
̅( ) ( ) . ̅( ) ‫نجعل‬ /
𝟎 ( )
( 𝟐)
⇒ 𝟏 ②‫معادلة‬
‫نعو‬‫المعادلة‬ ‫ض‬②‫المعادلة‬ ً‫ف‬①: ‫على‬ ‫فنحصل‬
( ) 𝟔 𝟎 ( 𝟑)( 𝟐) 𝟎
(‫)ٌهمل‬
‫مثال‬/‫لتكن‬( )‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬ٌ‫محل‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬‫ـــ‬‫ة‬
‫عندما‬( )‫عندما‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫ونهاٌة‬( )
/‫الحل‬‫المشتمة‬ ‫على‬ ‫الحل‬ ً‫ف‬ ‫نعتمد‬ ‫لذلن‬ ‫فمط‬ ‫والصررى‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌات‬ ‫نماط‬ ‫حدد‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬‫األولى‬‫فمط‬
( )
̅( ) . ‫لٌم‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬ ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟏 ( ) ( ) 𝟒 𝟑 ( ‫معادلة‬① )
𝟑 ( ) ( ) 𝟐𝟕 (②‫معادلة‬ )
‫المعادلة‬ ‫وبحل‬①‫والمعادلة‬②: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝟏𝟔 𝟐𝟒
𝟑
𝟐
① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬
(
𝟑
𝟐
)
‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬(5)‫للدالة‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمثل‬( ) 𝟑
𝟑 𝟑‫لٌمة‬ ‫فجد‬
/‫الحل‬‫لٌمة‬ ‫وأنما‬ ‫كاملة‬ ‫النمطة‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬( 𝟓)‫لٌم‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌجب‬ ‫لذا‬ ‫فمط‬‫نه‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ‫ٌكون‬ ‫حتى‬‫ـــــ‬‫عظمى‬ ‫اٌة‬
‫محلٌة‬‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫الدالة‬ ‫مشتمة‬ ‫عندما‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫او‬(̅( ) 𝟎)
̅( ) . ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏 𝟏
‫النمطة‬((-1,5‫الدالة‬ ‫وتحمك‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
( ) 𝟑 𝟑 𝟏

192. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
191
‫مثال‬/‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬( )ً‫ه‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬(3,10)‫لٌمة‬ ‫فجد‬
/‫الحل‬‫النمطة‬(3,10)‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬ ‫والمشتمة‬ ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬
( ) 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟑
( 𝟐)
⇒ 𝟐𝟎 𝟔 ( ‫معادلة‬① )
( ) ( ) ̅( ) ( ) ̅( )
( )
( ̅( ) ‫نجعل‬ )
( ) ( )
( 𝟒)
⇒ 𝟒 𝟎 (②‫معادلة‬ )
‫المعادلة‬ ‫وبحل‬①‫والمعادلة‬②: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ ً‫ال‬‫ح‬
𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝟐 ② ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬
( )
‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟐
𝟗‫وكانت‬( 𝟏) 𝟓 ‫و‬ ̅(𝟑) 𝟎‫لٌم‬ ‫فجد‬
/‫الحل‬
( ) ( 𝟏) ( ) ( ) ( )
𝟓 𝟒 ( ‫معادلة‬① )
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟐 𝟗 ̅(𝟑) 𝟑 (𝟑) 𝟐
𝟐 (𝟑) 𝟗
𝟎 𝟎 𝟗 𝟐 𝟑 .②‫معادلة‬ /
‫مثال‬/: ‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫االنمالب‬ ‫ونمط‬ ‫التمعر‬ ‫ومناطك‬ ‫التحدب‬ ‫مناطك‬ ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫جد‬
( ) ( ) 𝟑
𝟑 𝟐
̅( ) ̅( ) .
̅( ) ‫نجعل‬ /
𝟏
‫مرشحة‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ( )‫النمطة‬
‫النمطة‬( )‫انمالب‬ ‫نمطة‬
‫التحدب‬ ‫مناطك‬* +
‫التمعر‬ ‫مناطك‬* +

193. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
192
( ) ( ) ( 𝟏) 𝟒
̅( ) ( ) ̅( ) ( ) .
̅( ) ‫نجعل‬ /
( ) ( ) 𝟏
‫مرشحة‬ ‫حرجة‬ (𝟏 𝟎)‫النمطة‬
‫التمعر‬ ‫مناطك‬* * +}
( ) ( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟐𝟒 𝟐
̅( ) ̅( ) .
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
( ) ( ) ( )
‫مرشحة‬ ‫انمالب‬ ‫(نمطة‬ 𝟏 𝟐𝟖)‫النمطة‬
‫التحدب‬ ‫مناطك‬* 𝟏+
‫التمعر‬ ‫مناطك‬* 𝟏+
‫مثال‬/‫لتكن‬( ) 𝟐
‫حٌث‬‫وكان‬* 𝟐 𝟓+
‫لٌمة‬ ‫فجد‬A‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬( )‫ممعرة‬( )‫محدبة‬
/‫الحل‬
‫أشاره‬ ‫على‬ ‫اعتمادا‬ ‫ممعرة‬ ‫أو‬ ‫محدبة‬ ‫الدالة‬ ‫تكون‬
̅( )‫نجد‬ ‫سو‬ ‫لذلن‬
̅( )
( ) ̅( ) ̅( )
‫ممعرة‬ ‫الدالة‬ ‫أذا‬ ( )
̅( )
‫محدبة‬ ‫الدالة‬ ‫أذا‬ ( )
̅( )

194. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
193
‫مثال‬/‫الدال‬ ً‫منحن‬‫ــــــ‬‫ــــــ‬‫ــ‬‫ة‬( ) 𝟑 𝟐
𝟓‫مح‬ ‫ٌمس‬‫ــ‬‫الس‬ ‫ور‬‫ـــ‬‫النمطة‬ ‫عند‬ ‫ٌنات‬(2,0)
‫نمط‬ ‫وله‬‫ــــــ‬ً‫ه‬ ‫أنمالب‬ ‫ة‬(0,5)‫الثوابت‬ ‫لٌم‬ ‫فجد‬
/‫الحل‬‫النمطة‬(𝟎 𝟓)‫والمشتمة‬ ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬‫الثانٌة‬‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬‫ولٌمة‬( )‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندها‬
( ) 𝟑 𝟐
𝟓 ( ) (𝟎) (𝟎) (𝟎) 𝟓 (‫ٌنفع‬ ‫ال‬ )
̅( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟔 𝟐 𝟎 𝟔 ( 𝟎) 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎
‫النمطة‬(𝟐 𝟎)ً‫المنحن‬ ‫دالة‬ ‫تحمك‬
( ) 𝟑 𝟐
𝟓 𝟖 𝟐 𝟓 ‫معادلة‬①
‫المشتمة‬‫األولى‬̅( )‫عند‬‫النمطة‬(𝟐 𝟎)‫تساوي‬))‫صفر‬‫عندما‬( 𝟐)‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫تمس‬ ‫ألنها‬
̅( ) 𝟐
( ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوضها‬ )①
𝟖 𝟐 𝟓 𝟖 𝟐( 𝟏𝟐 ) 𝟓 𝟖 𝟐𝟒 𝟓 𝟏𝟔 𝟓
𝟓
𝟏𝟔
(
𝟓
𝟏𝟔
)
‫مثال‬/‫لتكن‬( ) 𝟑 𝟐
‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬‫للدال‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬‫ـــــــ‬‫ص‬ ‫نهاٌة‬ ‫ة‬‫ــــــ‬‫ررى‬
‫عندما‬ ‫محلٌة‬( 𝟒)‫ونمطة‬‫انمالب‬‫عندما‬( 𝟏)
/‫الحل‬
( ) 𝟑 𝟐 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟐 ̅( ) 𝟔 𝟐
̅( ) ( )
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟐 ( )( )

195. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
194
‫مثال‬/‫كانت‬ ‫أذا‬(6)‫للدالـة‬ ‫محلٌـة‬ ‫عظمـى‬ ‫نهاٌـة‬ ‫تمثـل‬( ) 𝟑
𝟑 𝟐
‫لٌمـة‬ ‫فجـد‬‫جـد‬ ‫ثـم‬
‫المماس‬ ‫معادلة‬‫انمالبه‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ً‫للمنحن‬‫ز‬
/‫الحل‬
( ) 𝟑
𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐
𝟔 ( ̅( ) ‫نجعل‬ )
𝟎 𝟑 𝟐
𝟔 𝟐
𝟐 ( )
‫النمطة‬(0,6)‫الدالة‬ ‫وتحمك‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬
( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟔 𝟎 𝟎 𝟔
( ) 𝟑 𝟐
𝟔
̅( ) 𝟔 𝟔 .
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟔 𝟔 ( ) 𝟑 𝟔
‫النمطة‬( )‫المماس‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫وتحمك‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬
‫المماس‬ ‫مٌل‬ ‫نجد‬ ‫األن‬‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬)‫األولى‬ ‫المشتمة‬ = ‫المماس‬ ‫(مٌل‬ ‫حٌث‬‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫لانون‬ ‫ونستخدم‬
( ) 𝟑 𝟐
𝟔 𝟑(𝟏) 𝟐
𝟔(𝟏) 𝟑 𝟔 𝟑
𝟏 ( 𝟏) 𝟒 𝟑( 𝟏) 𝟒 𝟑 𝟑
𝟑 𝟕 𝟎 ( ‫انمالبه‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ )
******************************************************************
‫والنمط‬ ‫والتنالص‬ ‫التزاٌد‬ ‫مناطك‬ ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫جد‬‫األتٌة‬ ‫للدوال‬ ‫النهاٌات‬ ‫نماط‬ ‫ولٌم‬ ‫الحرجة‬:
( ) ( )
𝟐 𝟏
𝟑
( ) ( )
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
( ) ( ) 𝟐
𝟏( ) ( ) 𝟑
(𝟒 )

196. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
195
‫للدالة‬ ً‫البٌان‬ ‫المخطط‬ ‫رســم‬
‫دالة‬ ‫ألي‬ ً‫البٌان‬ ‫المخطط‬ ‫لرسم‬‫معطاة‬‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬‫للرسم‬ ‫األساسٌة‬ ‫النمط‬ ‫تمثل‬ ً‫والت‬:
❶‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬❷‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬❸‫التناظر‬❹‫المحاذٌات‬❺‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
❻‫دراسة‬
̅( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬❼‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
❶: ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬‫كانت‬ ‫أذا‬‫الى‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬( )‫لٌم‬ ‫كل‬ ‫هو‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫فأن‬( )‫ص‬ ‫لها‬ ً‫الت‬ ‫الحمٌمٌة‬‫ــ‬‫ور‬( )
‫الدالة‬ ‫بواسطة‬( )‫فٌها‬ ‫الموجودة‬ ‫المترٌرات‬ ‫حسب‬ ‫أشكال‬ ‫ثالث‬ ‫الى‬ ‫الدوال‬ ‫تمسٌم‬ ‫ٌمكن‬ ‫ولهذا‬
ⓐ‫الحــدود‬ ‫كثٌــرات‬ ‫الــدوال‬:‫مترٌرهــا‬ ً‫التــ‬ ‫الــدوال‬ ً‫وهــ‬( )‫داخــل‬ ً‫فــ‬ ‫موجــود‬ ‫غٌــر‬ ‫وكــذلن‬ ‫الدالــة‬ ‫ممــام‬ ً‫فــ‬ ‫موجــود‬ ‫غٌــر‬
‫لها‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫وٌكون‬ ‫الجذر‬
ⓑ‫الكس‬ ‫ـــدوال‬‫ـ‬‫ال‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ـــــــــ‬:‫رٌة‬‫وه‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫مترٌره‬ ً‫ـــ‬‫ـ‬‫الت‬ ‫ـــدوال‬‫ـ‬‫ال‬ ً‫ــــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫ا‬( )‫الدال‬ ‫ـــام‬‫ـ‬‫مم‬ ً‫ـــ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـــود‬‫ـ‬‫موج‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ــــــ‬‫وٌك‬ ‫ة‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ــــــ‬‫اوس‬ ‫ون‬‫ــــ‬‫ـ‬‫ـــــ‬‫ع‬
‫مج‬‫ــــــ‬‫ل‬ ‫ال‬‫ــ‬‫ها‬
{𝟎 ‫الممام‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬ ‫}المٌم‬
ⓒ‫الدوال‬‫الجـــــــــــــــ‬:‫ذرٌة‬‫مترٌرها‬ ً‫الت‬ ‫الدوال‬ ً‫وه‬( )‫نوعان‬ ً‫وه‬ ‫الجذر‬ ‫داخل‬ ً‫ف‬ ‫موجود‬:
‫األول‬ ‫النوع‬:‫لٌم‬ ‫هو‬ ‫لها‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫وٌكون‬ ‫فردي‬ ‫جذرها‬ ‫دلٌل‬ ‫جذرٌة‬ ‫دوال‬( )‫الجذر‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬‫معرفا‬
:ً‫الثان‬ ‫النوع‬‫جذرها‬ ‫دلٌل‬ ‫جذرٌة‬ ‫دوال‬ً‫زوج‬‫لٌم‬ ‫هو‬ ‫لها‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫وٌكون‬( )‫الجذر‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬‫معرفا‬
ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬①/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫جد‬:
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )ⓐ ( )
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )ⓑ ( )
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )ⓒ ( ) ( )
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )ⓓ ( ) ( )( )
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )
Ⓔ ( )
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )
Ⓕ ( )
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )Ⓖ ( ) √
√
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )Ⓗ ( ) √
➨ (‫الحدود‬ ‫كثيرات‬ ‫ألنها‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوســـــــــع‬ )
Ⓘ ( )

197. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
196
ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬②/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫جد‬:
① ( )
𝟐 𝟑
𝟐
➨ *𝟐+⁄
② ( )
𝟐
𝟐 𝟒
➨ * 𝟐+⁄
③ ( )
𝟏
𝟐 𝟏
➨ * 𝟏+⁄
‫الخاطئ‬ ‫الحل‬ ‫الى‬ ‫تؤدي‬ ‫النها‬ ‫المقام‬ ‫تبسيظ‬ ‫طرق‬ ‫تستخذم‬ ‫ال‬
( )
𝟏
𝟐 𝟏
𝟏
( 𝟏)( 𝟏)
𝟏
( 𝟏)
* 𝟏+⁄ (‫خاطئ‬ ‫حل‬ )
④ ( )
𝟐 𝟑
.
𝟑
𝟐
/
( ) (𝟐 𝟑 ) (
𝟐
𝟑
) ➨ * 𝟑+⁄
( )
𝟑 𝟐
➨ *𝟎+⁄
‫الدوال‬ ‫من‬ ً‫خال‬ ‫فالمنهج‬ ‫الجذرٌة‬ ‫الدوال‬ ‫أما‬‫لالطالع‬ ‫أمثلة‬ ‫سأضع‬ ‫لذلن‬ ‫علٌها‬ ‫مثال‬ ‫أي‬ ً‫ٌعط‬ ‫ولم‬ ‫الجذرٌة‬
ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬③/:‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫جد‬
① ( ) √𝟐 𝟖
𝟐
➨ * 𝟒+
② ( ) √
𝟏
𝟐 𝟖
𝟐
➨ *𝟒+⁄
❷‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬:‫نوعٌن‬ ‫على‬ ‫وهو‬:
(a)‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬( ):‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫ألٌجاد‬( )‫نجعل‬( 𝟎)‫لٌم‬ ‫الٌجاد‬( )
(b)ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬( ):‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫ألٌجاد‬( )‫نجعل‬( 𝟎)‫لٌم‬ ‫الٌجاد‬( )
ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬④/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫جد‬:
( ) ( ) 𝟑
𝟒
𝟎 𝟎
𝟎 𝟑
𝟒 𝟎 ( 𝟐
𝟒) 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎
(𝟐 𝟎) ( 𝟐 𝟎) (𝟎 𝟎 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬

198. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
197
( ) ( ) ( 𝟐) 𝟑
𝟎 𝟖
𝟎 ( 𝟐) 𝟑
𝟎 𝟐
(𝟐 𝟎) (𝟎 𝟖 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
( ) ( )
𝟑
𝟒
𝟎
𝟑
𝟒
𝟎
𝟑
𝟒
𝟎 𝟑 𝟑
(𝟑 𝟎) (𝟎
𝟑
𝟒
) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
❸: ‫التناظر‬: ‫نوعٌن‬ ‫على‬ ‫وهو‬
(a)‫الم‬ ‫ٌكون‬‫ن‬‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫متناظر‬ ً‫حن‬(y-axis)‫المترٌر‬ ‫أسس‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬(x)‫أن‬ ‫أي‬ ‫زوجٌة‬ ‫كلها‬( ) ( )‫أي‬‫أن‬
( ) ➨ ( ) ( )
(b)‫الم‬ ‫ٌكون‬‫ن‬‫متناظر‬ ً‫حن‬‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫حول‬‫المترٌر‬ ‫أسس‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬(x)‫كلها‬‫فردٌة‬‫أن‬ ‫أي‬( ) ( )‫أن‬ ‫أي‬
( ) ➨ ( ) ( )
ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬⑤/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫التناظر‬ ‫جد‬‫التناظر‬ ‫وجود‬ ‫حالة‬ ً‫ف‬ ‫ذلن‬ ‫برهن‬ ‫ثم‬:
➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /ⓐ ( )
➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /ⓑ ( )
➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /ⓒ ( )
➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /
ⓓ ( )
➨ .‫زوجية‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫الصادي‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /
Ⓔ ( )
➨ .‫فرديـــــــة‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /Ⓕ ( )
➨ .‫فرديـــــــة‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /Ⓖ ( )
➨ .‫فرديـــــــة‬ ‫كلها‬ ‫أسس‬ ‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مع‬ ‫متناظرة‬ /Ⓗ ( )
➨ ( ‫المتغيير‬ ‫اسس‬ ‫الختالف‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ )
Ⓘ
( )
( )
( ) ( )
}

199. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
198
‫البرهان‬‫األمثلة‬ ‫جمٌع‬ ً‫ف‬ ‫متشابه‬‫السابمة‬‫التناظر‬ ‫من‬ ‫نوع‬ ‫لكل‬ ‫مثال‬ ‫سنبرهن‬ ‫لذا‬
Ⓔ ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
Ⓕ ( ) ( ) ( ) ( ) , - ( ) ( )
❹‫المحاذٌات‬:‫لل‬ ‫دراستنا‬‫فمط‬ ‫الكسرٌة‬ ‫الدوال‬ ‫على‬ ‫تمتصر‬ ‫محاذٌات‬
‫السٌنات‬ ‫لمحور‬ ‫الموازي‬ ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬
‫الطرٌمة‬: ‫األولى‬
‫نجعل‬
( )
( )
‫نجعل‬ ‫ثم‬( ) 𝟎‫لٌم‬ ‫ونجد‬( )‫ولتكن‬( )‫ز‬ ً‫األفم‬ ‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬ ً‫فه‬
: ‫الثانٌة‬ ‫الطرٌمة‬
‫مع‬ ‫تكون‬‫ادلته‬‫عدد‬‫حاص‬ ‫هو‬ ‫العدد‬ ‫هذا‬‫ـــ‬‫من‬ ‫درجة‬ ‫االكبر‬ ‫الحد‬ ‫معامل‬ ‫على‬ ‫البسط‬ ‫من‬ ‫درجة‬ ‫االكبر‬ ‫الحد‬ ‫معامل‬ ‫لسمة‬ ‫ل‬
‫تساوي‬ ‫بشرط‬ ‫الممام‬‫الدرجتٌن‬
‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫الموازي‬ ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬
: ‫األولى‬ ‫الطرٌمة‬
‫نجعل‬
( )
( )
‫نجعل‬ ‫ثم‬( ) 𝟎‫لٌم‬ ‫ونجد‬( )‫ولتكن‬( )‫ز‬ ً‫الشالول‬ ‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬ ً‫فه‬
: ‫الثانٌة‬ ‫الطرٌمة‬
‫معادلته‬ ‫تكون‬‫عدد‬‫هو‬ ‫العدد‬ ‫هذا‬‫المجموعة‬ ‫من‬ ‫ٌستثنى‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬R‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫حساب‬ ‫عند‬ ‫الممام‬ ً‫ف‬‫ز‬
ً‫توضٌح‬ ‫مثال‬⑥/‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المحاذٌة‬ ‫المستمٌمات‬ ‫ومعادالت‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬ ‫جد‬:
( ) ( )
𝟑 𝟒
𝟐
𝟐 𝟎 𝟐 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
( )
𝟑 𝟒
𝟐
𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟐 ( 𝟑) 𝟒 𝟐
𝟒 𝟐
𝟑
𝟑 𝟎 𝟑 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫الثانٌة‬ ‫الطرٌمة‬ ‫الحظ‬ ‫او‬
* +⁄
ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
𝟑 𝟒
𝟐
𝟑
ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬

200. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
199
( ) ( )
𝟑
𝟐 𝟒
* +⁄
‫الشالولٌة‬ ‫المحاذٌات‬
‫االفمٌة‬ ‫المحاذٌات‬
𝟑
𝟐 𝟒
𝟎 𝟐
𝟑
𝟐 𝟒
(‫الدرجتٌن‬ ‫)نساوي‬
( ) ( )
𝟐
𝟑 𝟑
𝟓
* +⁄
‫الشالولٌة‬ ‫المحاذٌات‬
‫االفمٌة‬ ‫المحاذٌات‬
𝟐
𝟑 𝟑
𝟓
𝟐
𝟑 𝟑
𝟎 𝟐 𝟓
(‫الدرجتٌن‬ ‫)نساوي‬
‫معرف‬ ‫غٌر‬
( ) ( )
𝟓
* +⁄
‫الشالولٌة‬ ‫المحاذٌات‬
‫االفمٌة‬ ‫المحاذٌات‬
𝟓 𝟎 𝟓
(‫الدرجتٌن‬ ‫)نساوي‬
( ‫مثال‬1/)‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫بمعلوماتن‬ ‫باألستعانة‬ ‫أرسم‬:( ) 𝟓
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ً‫المنحن‬
( ) ➨ ( ) ( )
( ) ( ) 𝟓 𝟓 ( )
‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬) ‫كسرٌة‬ (
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
‫األحداثٌٌن‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬ (𝟎 𝟎) ‫النمطة‬
‫وزاري‬2013/‫د‬3

201. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
200
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟓 𝟒 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟓 𝟒
𝟎 𝟎
( ) 𝟓 (𝟎) 𝟎 𝟎
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟐𝟎 𝟑
.
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟐𝟎 𝟑
𝟎 𝟎
( ) 𝟓 (𝟎) 𝟎 𝟎
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬

202. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
201
( ‫مثال‬2/)‫الدالة‬ ‫بالتفاضل‬ ‫بمعلوماتن‬ ‫باألستعانة‬ ‫أرسم‬:( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟒
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( ) ( ) 𝟑
𝟑( ) 𝟐
𝟒 𝟑 𝟐 𝟒
∴‫ال‬: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬
( ) ( ) ( ) ( )
‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬) ‫كسرٌة‬ (
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟒
𝟎 (‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫ٌمكن‬ ‫ال‬ )
‫نمطة‬‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟎 𝟒) ‫النمطة‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟑 𝟐
𝟔 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟐
(𝟎) 𝟒 𝟒 (𝟎 𝟒)
(𝟐) 𝟎 𝟎 (𝟐 𝟎)
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟔 𝟔 .
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟔 𝟔 𝟎 𝟔 𝟔 𝟏
(𝟏) 𝟐 𝟐 (𝟏 𝟐)

203. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
202
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
( ‫مثال‬3/)‫الدالة‬ ‫بالتفاضل‬ ‫بمعلوماتن‬ ‫باألستعانة‬ ‫أرسم‬:( )
𝟑 𝟏
𝟏
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬/{-1}
‫التناظر‬/
∵‫العدد‬(𝟏)‫العدد‬ ‫ولكن‬ ‫الدالة‬ ‫مجال‬ ‫الى‬ ً‫ٌنتم‬( 𝟏)‫الدال‬ ‫مجال‬ ‫الى‬ ً‫ٌنتم‬ ‫ال‬‫ــــــ‬‫محور‬ ‫مع‬ ‫متناظر‬ ‫غٌر‬ ً‫فالمنحن‬ ‫لذلن‬ ‫ة‬
‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫متناظر‬ ‫وغٌر‬ ‫الصادات‬
∴‫ال‬‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬
/ ‫المحاذٌات‬
𝟏 𝟎 𝟏 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
( )
𝟑 𝟏
𝟏
𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 ( 𝟑) 𝟏
𝟏
𝟑
𝟑 𝟎 𝟑 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
𝟑 𝟏
𝟏
𝟑 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏
𝟏
𝟑
‫نمط‬‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬‫ٌن‬ .
𝟏
𝟑
𝟎/ (𝟎 𝟏) ‫النمط‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
𝟒
( 𝟏) 𝟐
𝟎 𝟒 𝟎 (‫ممكن‬ ‫غٌر‬ )

204. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
203
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( 𝟏) 𝟐( 𝟎) 𝟒, 𝟐( 𝟏)-
( 𝟏) 𝟒
𝟖( 𝟏)
( 𝟏) 𝟒
𝟖
( 𝟏) 𝟑
( )
(‫ممكن‬ ‫غٌر‬ )
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
( ‫مثال‬4/)‫بأستخدام‬‫بالتفاضل‬ ‫معلوماتن‬ً‫المنحن‬ ‫أرسم‬:( )
𝟐
𝟐 𝟏
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( )
( ) 𝟐
( ) 𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟏
( )
∴: ‫ألن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظر‬ ً‫المنحن‬( ) ( )
/ ‫المحاذٌات‬
𝟐
𝟏 𝟎 ‫عمودي‬ ‫محاذي‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬
( )
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟏)
𝟐
𝟏
𝟏 𝟎 𝟏 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬

205. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
204
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
‫نمط‬‫ة‬‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟎 𝟎)
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
𝟐
( 𝟏) 𝟐
𝟎
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( ) ( ) , ( )-
( )
( ), -
( ) ( )
.
̅( ) ‫نجعل‬ /
( )
( )
⇒
√
( ) (
√
)
(
√
)
(
√
)
. /
. /

206. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
205
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
(𝟑 𝟓)‫تمارين‬
: ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫بأستخدام‬ ‫أرسم‬
(𝟏) ( ) 𝟏𝟎 𝟑 𝟐
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( ) 𝟏𝟎 𝟑( ) ( ) 𝟐
𝟏𝟎 𝟑 𝟐
∴‫ال‬‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬: ‫ألن‬
( ) ( ) ( ) ( )
‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬) ‫(كسرٌة‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟏𝟎
( )( )
𝟓 𝟐
( 𝟓 𝟎) (𝟐 𝟎) (𝟎 𝟏𝟎 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟑 𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟑 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
.
𝟑
𝟐
/ 𝟏𝟎 𝟑 .
𝟑
𝟐
/ .
𝟑
𝟐
/
𝟐
𝟏𝟎
𝟗
𝟐
𝟗
𝟒
𝟒𝟎 𝟏𝟖 𝟗
𝟒
𝟒𝟗
𝟒

207. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
206
‫النمطة‬.
𝟑
𝟐
𝟒𝟗
𝟒
/‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬
2
𝟑
𝟐
3 ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
{
𝟑
𝟐
} ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) ( ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ ‫دائما‬ ‫محدب‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫فلهذا‬ ‫لٌمة‬ ‫تكون‬ ‫مهما‬ ‫دائما‬ ‫سالب‬ )
* +ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
( 𝟐) ( ) 𝟐
𝟒 𝟑
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( ) ( ) 𝟐
𝟒( ) 𝟑 𝟐
𝟒 𝟑
∴‫ال‬: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬
( ) ( ) ( ) ( )
‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬) ‫(كسرٌة‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟑
( )( )
( 𝟑 𝟎) ( 𝟏 𝟎) (𝟎 𝟑 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬

208. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
207
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏
‫النمطة‬( 𝟐 𝟏)‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬‫صرر‬‫محلٌة‬ ‫ى‬
* 𝟐+ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
* 𝟐+ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟐 ( ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ ‫دائما‬ ‫ممعر‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫فلهذا‬ ‫لٌمة‬ ‫تكون‬ ‫مهما‬ ‫دائما‬ ‫موجب‬ )
* +ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( ) ∴
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
( 𝟑) ( ) ( 𝟏 ) 𝟑
𝟏 𝟐‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬ 𝟐‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟑 ‫وزاري‬
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( ) (𝟏 ( ))
𝟑
𝟏 (𝟏 ) 𝟑
𝟏
∴‫ال‬: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬
( ) ( ) ( ) ( )
‫المحاذٌات‬‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ /)‫(كسرٌة‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 (𝟏 𝟎) 𝟑
𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐
(𝟏 ) 𝟑
𝟏 (𝟏 ) 𝟑
‫للطرفٌن‬ ‫الثالث‬ ‫بالجذر‬
(𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬

209. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
208
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) ( ) ( ) ̅( ) ( ) ( ̅( ) ‫نجعل‬ )
( ) ( )
( ) ( ‫الطرفٌن‬ ‫)نجذر‬
( ) (𝟏 ) 𝟑
𝟏 (𝟏) (𝟏 𝟏) 𝟑
𝟏 𝟎 𝟏 𝟏
‫النمطة‬(𝟏 𝟏)‫فمط‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬
* 𝟏+ * 𝟏+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) ( ) ( ) ̅( ) ( ) .
̅( ) ‫نجعل‬ /
( )
∴‫النمطة‬(1,1)‫أنمالب‬ ‫نمطة‬
* 𝟏 +ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )
* 𝟏 +ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬‫رسمها‬ ‫ثم‬

210. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
209
( 𝟒) ( ) 𝟔 𝟑
𝟏‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟓 ‫وزاري‬
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( ) 𝟔( ) ( ) 𝟑
𝟔 𝟑 (𝟔 𝟑)
∴‫ال‬‫تناظر‬‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫حول‬: ‫ألن‬
( ) ( )
‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟎
𝟔 𝟑 (𝟔 𝟐)
‫أما‬
‫أو‬ 𝟔 𝟐 𝟐
√
(𝟎 𝟎) (√ 𝟎) ( √ 𝟎 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
√
( )
(√ ) (√ ) (√ ) √ √ √
( √𝟐) 𝟔( √𝟐) ( √𝟐)
𝟑
𝟔√𝟐 𝟐√𝟐 𝟒√𝟐
‫النمطة‬(√ √ )‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
‫النمطة‬( √ √ )‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬
( √ √ ) ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
{ √ 𝟐} { √ 𝟐} ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) .
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
∴‫النمطة‬(0,0)‫أنمالب‬ ‫نمطة‬
* 𝟎 +ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )
* 𝟎 +ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )

211. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
210
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
(𝟓) ( )
𝟏
/‫الحل‬
= ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬*𝟎+
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( )
𝟏
(
𝟏
)
∴‫مع‬ ‫التناظر‬‫األصل‬ ‫نمطة‬: ‫ألن‬
( ) ( )
‫المحاذٌات‬
𝟎 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
( )
𝟏
𝟏
𝟏
𝟎 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
‫ٌوجد‬ ‫ال‬‫الن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬(𝟎 𝟏 ‫الن‬ 𝟎)
‫ٌوجد‬ ‫ال‬‫الن‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬(𝟎 𝟏 ‫الن‬ 𝟎)
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
( ) 𝟏 ̅( ) 𝟐
𝟏
𝟐
( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟏
𝟐
𝟎 𝟏 𝟎 (‫ممكن‬ ‫)غٌر‬
∴‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬

212. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
211
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) .
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
(‫ممكن‬ ‫)غٌر‬
∴‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
* 𝟎 +ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )
* 𝟎 +ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
( 𝟔) ( )
𝟏
𝟏
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬* +
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( )
𝟏
𝟏
∴‫ال‬: ‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬
( ) ( ) ( ) ( )
/ ‫المحاذٌات‬
𝟏 𝟎 𝟏 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
( )
𝟏
𝟏
𝟏 𝟏 ( 𝟏) 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏 𝟎 𝟏 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬

213. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
212
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
𝟏
𝟏
𝟏 𝟎 𝟏
‫نمط‬‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟏 𝟎) (𝟎 𝟏) ‫النمط‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( 𝟏)( 𝟏) ( 𝟏)( 𝟏)
( 𝟏) 𝟐
𝟏 𝟏
( 𝟏) 𝟐
𝟐
( 𝟏) 𝟐
𝟐
( 𝟏) 𝟐
𝟎
‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( ) ( ) , ( )-
( )
( )
( ) ( )
( )
(‫ممكن‬ ‫غٌر‬ )
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬

214. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
213
( 𝟕) ( ) ( 𝟐)( 𝟏) 𝟐
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( ) ( 𝟐)( 𝟏) 𝟐
∴‫ال‬‫ألن‬ ‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫مع‬ ‫او‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬ ‫ٌوجد‬:
( ) ( ) ( ) ( )
/ ‫المحاذٌات‬‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬)‫(كسرٌة‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 (𝟎 𝟐)(𝟎 𝟏) 𝟐 (𝟐)(𝟏) 𝟐
𝟎 𝟎 ( 𝟐)( 𝟏) 𝟐
𝟐 𝟎 𝟐
( 𝟏) 𝟐
𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
‫نمط‬‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟏 𝟎) ( 𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐) ‫النمط‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) ( 𝟐), 𝟐( 𝟏)- ( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) ( 𝟏), 𝟐 𝟒 𝟏-
̅( ) ( 𝟏), 𝟑 𝟑- ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
( 𝟏),𝟑 𝟑-
𝟏 𝟎 𝟏 (𝟏) (𝟏 𝟐)(𝟏 𝟏) 𝟐
𝟎
𝟑 𝟑 𝟎 𝟏 ( 𝟏) ( 𝟏 𝟐)( 𝟏 𝟏) 𝟐
𝟒
‫النماط‬( 𝟏 𝟒) (𝟏 𝟎)‫حرجة‬ ‫نماط‬
* 𝟏+ * 𝟏+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
( 𝟏 𝟏) ‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )
∴‫النمطة‬(𝟏 𝟎)‫محلٌة‬ ‫صررى‬
∴‫النمطة‬( 𝟏 𝟒)‫محلٌة‬ ‫عظمى‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) ( )( ) ( )( )
̅( ) .
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟔 𝟎 (𝟎) (𝟎 𝟐)(𝟎 𝟏) 𝟐
𝟐
∴‫النمطة‬(𝟎 𝟐)‫أنمالب‬ ‫نمطة‬
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )

215. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
214
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
(𝟖) ( )
𝟐
𝟏
𝟐 𝟏
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬‫ألن‬( 𝟐
𝟏 𝟎 ➨ 𝟐
𝟏 )
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( )
( ) 𝟐
𝟏
( ) 𝟐 𝟏
𝟐
𝟏
𝟐 𝟏
∴‫ال‬‫محور‬ ‫مع‬ ‫تناظر‬‫الصادات‬‫ألن‬( ) ( )
/ ‫المحاذٌات‬
𝟐
𝟏 𝟎 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫مستمٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬
( )
𝟐 𝟏
𝟐 𝟏
𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐( 𝟏) 𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟏 𝟎 𝟏 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
𝟐
𝟏
𝟐 𝟏
𝟐
𝟏 𝟎 ( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏
‫نمط‬‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ( 𝟏 𝟎) (𝟏 𝟎) (𝟎 𝟏) ‫النمط‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( 𝟐
𝟏)(𝟐 ) ( 𝟐
𝟏)(𝟐 )
( 𝟐 𝟏) 𝟐
𝟐 𝟑
𝟐 𝟐 𝟑
𝟐
( 𝟐 𝟏) 𝟐
̅( )
𝟒
( 𝟐 𝟏) 𝟐
( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
( )
𝟎
(𝟏) 𝟏 𝟏

216. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
215
∴‫النمطة‬( 𝟎 𝟏)‫نمطة‬‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( ) ( ) ( )( ( )( ))
( )
( ) ( )( )
( )
̅( )
( ), -
( )
, -
( )
, -
( )
̅( )
( )
.
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟐
( 𝟐 𝟏)
𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏
√𝟑
(
𝟏
√𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟐 𝟏
(
𝟏
√𝟑
)
𝟐
𝟏
(
𝟏
√𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑
𝟒
𝟑
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
(
𝟏
√𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟐 𝟏
(
𝟏
√𝟑
)
𝟐
𝟏
(
𝟏
√𝟑
)
𝟐
𝟏
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑
𝟒
𝟑
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
∴‫النماط‬.
𝟏
√𝟑
𝟏
𝟐
/ .
𝟏
√𝟑
𝟏
𝟐
/‫أنمالب‬ ‫نماط‬
{
𝟏
√ 𝟑
} {
𝟏
√ 𝟑
} ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
(
𝟏
√ 𝟑
𝟏
√ 𝟑
) ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )

217. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
216
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
( 𝟗) ( ) 𝟐 𝟐 𝟒
𝟐‫د‬ ⁄ 𝟐𝟎𝟏𝟐 ‫وزاري‬
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( ) 𝟐 𝟐 𝟒
𝟐( ) 𝟐 ( ) 𝟒
𝟐 𝟐 𝟒
∴: ‫ألن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التناظر‬
( ) ( )
‫نسبٌة‬ ‫لٌست‬ ‫الدالة‬ ‫ألن‬ ‫توجد‬ ‫ال‬ / ‫المحاذٌات‬() ‫كسرٌة‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟎
𝟐 𝟐 𝟒 𝟐(𝟐 𝟐)
‫أما‬ 𝟐
‫أو‬ 𝟐 𝟐 𝟐
√
(𝟎 𝟎) (√ 𝟎) ( √ 𝟎 ) ‫التماطع‬ ‫نمط‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟒 𝟒 𝟑 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟒 𝟒 𝟑
𝟎
( 𝟒)
⇒ 𝟑
𝟎 ( 𝟐
𝟏) 𝟎 𝟏 𝟏
( ) 𝟐 𝟐 𝟒
𝟎 𝟏 𝟏
‫النمطة‬( )‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬
‫النمطة‬( )‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
‫النمطة‬( )‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
* 𝟏+ (𝟎 𝟏) ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
* 𝟏+ ( 𝟏 𝟎) ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )

218. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
217
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟒 𝟏𝟐 𝟐
.
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟎 𝟒 𝟏𝟐 𝟐
( 𝟒)
⇒ 𝟏 𝟑 𝟐
𝟎 𝟐
𝟏
𝟑
𝟏
√𝟑
(
𝟏
√𝟑
) 𝟐 (
𝟏
√𝟑
)
𝟐
(
𝟏
√𝟑
)
𝟒
𝟐
𝟑
𝟏
𝟗
𝟔 𝟏
𝟗
𝟓
𝟗
‫النمط‬(
𝟏
√𝟑
𝟓
𝟗
)(
𝟏
√𝟑
𝟓
𝟗
)‫مرشحة‬ ‫أنمالب‬ ‫نمط‬
(
𝟏
√𝟑
𝟏
√𝟑
) ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )
8
𝟏
√ 𝟑
9 8
𝟏
√ 𝟑
9 ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬

219. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
218
( 𝟏𝟎) ( )
𝟔
𝟐 𝟑
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬‫ألن‬( 𝟐
𝟑 𝟎 )
‫التناظر‬/
( ) ➨ ( )
𝟔
( ) 𝟐 𝟑
𝟔
𝟐 𝟑
∴‫محور‬ ‫مع‬ ‫التناظر‬‫الصادات‬‫ألن‬( ) ( )
/ ‫المحاذٌات‬
𝟐
𝟑 𝟎 ً‫الشالول‬ ‫محاذي‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬
( )
𝟔
𝟐 𝟑
𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟔 𝟑
𝟐
𝟔 𝟑
𝟎 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬
𝟎 𝟐
𝟎 𝟎
𝟔
𝟐 𝟑
𝟎 𝟔
‫نمط‬‫ة‬‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ (𝟎 𝟐) ‫النمطة‬
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( )( ) ( )
( )
𝟏𝟐
( )
( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟏𝟐 𝟎
(𝟎) 𝟐 𝟐
∴‫النمطة‬( 𝟎 𝟐)‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬‫عظمى‬‫محلٌة‬
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متزاٌدة‬ ( )
* 𝟎+ ً‫ف‬ ‫متنالصة‬ ( )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( )
( ) ( ) ( )( ( )( ))
( )
( ) ( )( )
( )
̅( )
( ), ( ) -
( ) ( )
̅( )
( )
.
̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ /
𝟐
𝟎 𝟐 𝟐

220. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
219
( )
𝟔
(𝟏) 𝟐 𝟑
𝟔
𝟒
𝟑
𝟐
( )
𝟔
( 𝟏) 𝟐 𝟑
𝟔
𝟒
𝟑
𝟐
∴‫النماط‬. 𝟏
𝟑
𝟐
/ .𝟏
𝟑
𝟐
/‫أنمالب‬ ‫نماط‬
* 𝟏+ * 𝟏+ ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ( )
( 𝟏 𝟏) ً‫ف‬ ‫محدبة‬ ( )
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
******************************************************************
( ‫مثال‬1/)‫األتٌة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫كل‬ ً‫منحن‬ ‫أرسم‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫باستخدام‬
( ) ( ) 𝟓 ( ) ( ) (𝟐 𝟏) 𝟑
( ) ( ) 𝟒
𝟐 𝟐
𝟏 ( ) ( ) 𝟐 𝟐 𝟒
( ‫مثــال‬2/)‫كانــت‬ ‫أذا‬( ) 𝟐 ( 𝟏) 𝟏‫لٌمــة‬ ‫جــد‬ ‫الصــادات‬ ‫محــور‬ ‫حــول‬ ‫متنــاظرة‬(b)‫ثــم‬ ‫ومــن‬
‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫وأرسم‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫استخدام‬‫ز‬
( ‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬3/)‫ـة‬‫ـ‬‫الدال‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫أذا‬( )
𝟐
‫ـة‬‫ـ‬‫النمط‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫وكان‬1,3)-(‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫والعمود‬ ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫االفم‬ ‫ـات‬‫ـ‬ٌ‫المحاذ‬ ‫ـاطع‬‫ـ‬‫تم‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نمط‬
‫من‬ ‫كل‬ ‫جد‬ ‫للدالة‬‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫وأرسم‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫استخدام‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬‫ز‬

221. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
220
:‫المحلٌة‬ ‫والصررى‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌــات‬ ‫على‬ ‫عملٌة‬ ‫تطبٌمــــــات‬
‫مسـائل‬ ‫المسـائل‬ ‫هـذه‬ ‫ومـن‬ ‫والتكامـل‬ ‫التفاضـل‬ ‫حسـاب‬ ‫تطـور‬ ‫الـى‬ ‫أدت‬ ً‫التـ‬ ‫المسـائل‬ ‫مـن‬ ‫الكثٌـر‬ ‫الفٌزٌـاء‬ ً‫فـ‬ ‫ظهرت‬
‫الـى‬ ً‫ا‬ٌ‫شالول‬ ‫ممذو‬ ‫جسم‬ ‫ٌصله‬ ‫أرتفاع‬ ‫ألصى‬ ‫أو‬ ‫مختلفة‬ ‫بزواٌا‬ ‫أطلمت‬ ‫لذٌفة‬ ‫تصله‬ ‫أرتفاع‬ ‫ألصى‬ ‫حساب‬‫األ‬‫أو‬ ‫علـى‬
‫كلفة‬ ‫ألل‬‫زمن‬ ‫ألل‬ ‫أو‬‫ز‬ ‫ألخ‬ ‫ززز‬ , ‫محٌط‬ ‫وألل‬ ‫حجم‬ ‫وأكبر‬ ‫مساحة‬ ‫ألل‬ ‫مثل‬ ‫الصناعات‬ ‫من‬ ‫ومسائل‬
‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫الموضوع‬ ‫بهذا‬ ‫المتعلمة‬ ‫المسائل‬ ‫لحل‬:
Ⓘ‫نبـدأ‬ ‫ثـم‬ ‫ومـن‬ ‫والثوابـت‬ ‫المترٌـرات‬ ‫كـل‬ ‫الشـكل‬ ‫علـى‬ ‫ونثبـت‬ ‫ممكنـا‬ ‫ذلـن‬ ‫كـان‬ ‫كلمـا‬ ‫للمسـألة‬ ً‫توضـٌح‬ ‫رسـم‬ ‫نرسم‬
‫(جد‬ ‫كلمة‬ ‫على‬ ‫تعتمد‬ ً‫الت‬ ‫الفرضٌة‬ ‫بتكوٌن‬‫المطلوب‬ ‫أساس‬ ‫على‬ ‫الفرضٌة‬ ‫نكون‬ ‫أي‬ ) ‫ززز‬ ,‫,احسب‬ ‫,عٌن‬ ً‫ماه‬ ,‫ز‬
②‫الدال‬ ‫ـون‬‫ـ‬‫نك‬‫ــ‬‫ـ‬‫ـــ‬‫أٌج‬ ‫ـوب‬‫ـ‬‫المطل‬ ‫ة‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــــ‬‫له‬ ‫ـررى‬‫ـ‬‫الص‬ ‫أو‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫العظم‬ ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫النها‬ ‫اد‬‫ــ‬‫ـ‬‫ــــ‬‫ز‬ ‫ا‬‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫ـألة‬‫ـ‬‫المس‬ ً‫ـ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـث‬‫ـ‬‫نبح‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫أخ‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫بمعن‬
ٌ‫النها‬ ‫على‬ ‫تدل‬ ً‫الت‬ ‫الكلمات‬‫ـــــ‬‫م‬ ‫المحلٌـة‬ ‫الصررى‬ ‫أو‬ ‫العظمى‬ ‫ات‬‫ــــ‬‫م‬ ‫اصـرر‬ , ‫ٌمكـن‬ ‫مـا‬ ‫(اكبـر‬ ‫ثل‬‫ــــ‬‫ا‬‫ال‬ , ‫ٌمكـن‬‫ـــــ‬‫ل‬
)‫ززز‬ , ‫مسافة‬ ‫اطول‬ , ‫كمٌة‬‫الدالة‬ ‫هذه‬ ‫تكون‬ ‫األحٌان‬ ‫أكثر‬ ً‫وف‬ ‫الكلمات‬ ‫هذه‬ ‫أساس‬ ‫على‬ ‫الدالة‬ ‫بتكوٌن‬ ‫نبدأ‬ ‫ثم‬(‫لانون‬
‫محٌط‬ , ‫مساحة‬ , ‫حجم‬,)‫ززز‬ , ‫دائرٌة‬ ‫دوال‬ , ‫مثلثات‬ ‫تشابه‬ , ‫فٌثاغورس‬
③‫ٌجب‬ ‫لذا‬ ‫مترٌر‬ ‫من‬ ‫اكثر‬ ‫على‬ ‫تعتمد‬ ‫اعاله‬ ‫المكونة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬‫ذات‬ ‫دالـة‬ ‫لتكـوٌن‬ ‫المترٌـرات‬ ‫بـٌن‬ ‫عاللـة‬ ‫اٌجاد‬
‫السابمةز‬ ‫للموانٌن‬ ‫مشابهة‬ )‫ززززززززززز‬ , ‫مساحة‬ , ‫حجم‬ ‫(لانون‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬ ‫هذه‬ ‫االحٌان‬ ‫وأكثر‬ ‫واحد‬ ‫مترٌر‬
④‫كما‬ ‫المحلٌة‬ ‫الصررى‬ ‫أو‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬ ‫ألٌجاد‬ ‫واحد‬ ‫مترٌر‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ً‫والت‬ ‫المتكونة‬ ‫الدالة‬ ‫بدراسة‬ ‫نبدأ‬ ‫أخٌر‬
‫ـــــا‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـــــا‬‫ـ‬‫تعلمن‬‫بما‬‫ـــــرة‬‫ـ‬‫الفت‬ ‫ـــــرا‬‫ـ‬‫أط‬ ً‫ـــــ‬‫ـ‬‫ف‬ ‫ـــــة‬‫ـ‬‫الحرج‬ ‫ـــــداد‬‫ـ‬‫األع‬ ‫ـــــاد‬‫ـ‬‫أٌج‬ ‫ـــــك‬‫ـ‬ٌ‫طر‬ ‫ـــــن‬‫ـ‬‫ع‬( ‫أي‬‫ـــــة‬‫ـ‬‫الدال‬ ‫ـــــٌم‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـــــاد‬‫ـ‬‫أٌج‬‫)ز‬
( ‫مثال‬1/)‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أصرر‬ ‫الناتج‬ ‫ٌكون‬ ‫مربعه‬ ‫الى‬ ٌ‫أض‬ ‫أذا‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫جد‬:
/‫الحل‬
‫الفرضيت‬:‫نفرض‬‫الؼذد‬=
= ‫الؼذد‬ ‫مربغ‬𝟐
‫الذالت‬:‫مربؼو‬ + ‫الؼذد‬
( ) 𝟐
‫الذراست‬:
̅( ) 𝟏 𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجؼل‬ )
𝟏 𝟐 𝟎
𝟏
𝟐
̅( ) 𝟐 ̅
4
𝟏
𝟐
5 𝟐 𝟎
∴‫نهاية‬ ‫توجد‬‫صغر‬‫عندما‬ ‫محلية‬ ‫ى‬
𝟏
𝟐
∴‫هو‬ ‫العدد‬.
𝟏
𝟐
/
‫األختبار‬

222. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
221
( ‫مثال‬2/)‫ضـلعها‬ ‫طـول‬ ‫الشـكل‬ ‫مربعـة‬ ‫النحـاس‬ ‫مـن‬ ‫لطعة‬ ‫من‬ ‫مفتوح‬ ‫صندوق‬ ‫صنع‬(𝟏𝟐 )‫أربـع‬ ‫بمـص‬ ‫وذلـن‬
‫األربعة‬ ‫أركانها‬ ‫من‬ ‫األبعاد‬ ‫متساوٌة‬ ‫مربعات‬‫العلبة‬ ‫لهذه‬ ‫األعظم‬ ‫الحجم‬ ‫هو‬ ‫ما‬ ‫ز‬ ‫لها‬ ‫البارزة‬ ‫األجزاء‬ ً‫ثن‬ ‫ثم‬‫؟‬
/‫الحل‬‫وزاري‬2015/‫د‬1
‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫طول‬‫الممطوع‬ ‫المربع‬ ‫ضلع‬
= ‫الصندوق‬ ‫أبعاد‬( 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 )
‫الدالة‬:‫الصندوق‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫الثالثة‬ ‫أبعاده‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ =
(𝟏𝟐 𝟐 )(𝟏𝟐 𝟐 )( )
(𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟖 𝟒 𝟐)( )
𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟖 𝟐
𝟒 𝟑
‫العاللة‬:‫واحد‬ ‫مترٌر‬ ‫تحتوي‬ ‫المعادلة‬ ‫الن‬ ‫عاللة‬ ‫الى‬ ‫نحتاج‬ ‫ال‬
‫الدراسة‬:
𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟐 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟐 𝟐
𝟎 ( 𝟏𝟐)
𝟏𝟐 𝟖 𝟐 𝟎 (𝟔 )(𝟐 ) 𝟎
𝟔 ‫ٌمكن‬ ‫ال‬
𝟐
∴‫عندما‬( 𝟐): ‫تساوي‬ ‫للحجم‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫توجد‬
(𝟖)(𝟖)(𝟐) 𝟏𝟐𝟖 𝟑
:‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (

223. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
222
( ‫مثال‬3/)‫لطرهـا‬ ‫نصـ‬ ‫دائـرة‬ ‫داخـل‬ ‫ٌوضع‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬ ‫السالٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫أكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬(𝟏𝟐 )‫بـرهن‬ ‫ثـم‬
‫الدائ‬ ‫مساحة‬ ‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫نسبة‬ ‫أن‬‫كنسبة‬ ‫رة‬
𝟑√𝟑
𝟒
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫المثلث‬ ‫أرتفاع‬ ‫نفرض‬=h= ‫المثلث‬ ‫لاعدة‬ ‫طول‬𝟐
‫الدالة‬:‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟏
𝟐
(𝟐 )( )
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬
𝟐 ( 𝟏𝟐) 𝟐 (𝟏𝟐) 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐𝟒 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟒𝟒
𝟐
𝟐𝟒 𝟐 √ 𝟐𝟒 𝟐
.√ 𝟐𝟒 𝟐 / √ 𝟐𝟒 𝟑 𝟒
‫الدراسة‬:
𝟕𝟐 𝟐
𝟒 𝟑
(𝟐)√𝟐𝟒 𝟑 𝟒
( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟕𝟐 𝟐
𝟒 𝟑
(𝟐)√𝟐𝟒 𝟑 𝟒
𝟎
𝟕𝟐 𝟐
𝟒 𝟑
𝟎 ( 𝟒)
𝟐(𝟏𝟖 ) 𝟎
𝟎 ( ‫)الٌمكن‬
𝟏𝟖
√𝟐𝟒(𝟏𝟖) (𝟏𝟖) 𝟐 √(𝟏𝟖)(𝟔) 𝟔√𝟑
∴‫المثلث‬ ‫لاعدة‬ ‫طول‬: ‫تساوي‬
𝟐 𝟐( 𝟔√ 𝟑 ) 𝟏𝟐√ 𝟑
‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫نسبة‬: ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬
𝟏
𝟐 (𝟏𝟐) 𝟐
𝟏𝟒𝟒 𝟐
‫الدائرة‬ ‫مساحة‬
𝟐
𝟏
𝟐
(𝟐 )( ) ( 𝟔√ 𝟑)(𝟏𝟖)
𝟐 𝟏𝟎𝟖√ 𝟑 𝟐
‫المثلث‬ ‫مساحة‬
‫المثلث‬ ‫مساحة‬
‫الدائرة‬ ‫مساحة‬
𝟐
𝟏
𝟏𝟎𝟖√ 𝟑
𝟏𝟒𝟒
𝟑√ 𝟑
𝟒
:‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (

224. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
223
( ‫مثال‬4/)‫لاعدتـه‬ ‫طـول‬ ‫مثلـث‬ ‫داخل‬ ‫ٌوضع‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬(24 cm)‫وأرتفاعـه‬(18 cm)‫بحٌـث‬
‫ال‬ ‫على‬ ‫تمعان‬ ‫رؤوسه‬ ‫من‬ ‫متجاورٌن‬ ‫رأسٌن‬ ‫أن‬‫تمعان‬ ‫البالٌان‬ ‫والرأسٌن‬ ‫ماعدة‬‫على‬‫سالٌه‬‫ز‬‫وزاري‬2013/‫د‬2
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫المستطٌل‬ ‫بعدي‬:
‫الدالة‬:‫مساحة‬ ً‫ه‬‫المستطٌل‬‫بعدٌه‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
‫العاللة‬:‫تشـــــــا‬‫المثلثات‬ ‫به‬btr , bcq‫لتس‬ (‫ـــ‬‫لذا‬ ‫المتناظرة‬ ‫زواٌاهما‬ ‫اوي‬
‫تتناسب‬) ‫أرتفاعهما‬ ‫وكذلن‬ ‫المتناظرة‬ ‫أضالعهما‬
𝟐𝟒
𝟏𝟖
𝟏𝟖
𝟐𝟒 (
𝟏𝟖
𝟏𝟖
)
𝟒
𝟑
( 𝟏𝟖 )
(
𝟒
𝟑
( 𝟏𝟖 ))
𝟒
𝟑
( 𝟏𝟖 𝟐)
‫الدراسة‬:
𝟒
𝟑
( 𝟏𝟖 𝟐 ) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟒
𝟑
( 𝟏𝟖 𝟐 ) 𝟎 (
𝟒
𝟑
)
𝟏𝟖 𝟐 𝟎 𝟗 𝟏𝟐
∴‫هما‬ ‫المستطٌل‬ ‫بعدي‬( 𝟗) ( 𝟏𝟐)
:‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (
‫ثانٌة‬ ‫طرٌمة‬‫لألختبار‬:
𝟐
𝟐
𝟒
𝟑
( 𝟐)
𝟖
𝟑
𝟎
‫ل‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬‫لدالة‬‫عندما‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫مساحة‬( 𝟗 )

225. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
224
( ‫مثال‬5/)‫ومربـع‬ ‫دائرة‬ ً‫محٌط‬ ‫مجموع‬(𝟔𝟎 )‫مـا‬ ‫أصـرر‬ ‫الشـكلٌن‬ ً‫مسـاحت‬ ‫مجمـوع‬ ‫ٌكـون‬ ‫عنـدما‬ ‫أنـه‬ ‫أثبـت‬
‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫ٌساوي‬ ‫الدائرة‬ ‫لطر‬ ‫طول‬ ‫فأن‬ ‫ٌمكن‬‫المربع‬‫ز‬‫وزاري‬2013/‫د‬3
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:= ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬x cm= ‫الدائرة‬ ‫لطر‬ ‫ونص‬R cm
‫الدالة‬:‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ +‫المربع‬ ‫مساحة‬ ً‫ه‬
𝟐 𝟐
𝟑𝟎 𝟐
𝟑𝟎 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 (
𝟑𝟎 𝟐
)
𝟐
𝟐
𝟏
(𝟑𝟎 𝟐 ) 𝟐 𝟐
𝟏
(𝟗𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟒 𝟐)
‫العاللة‬:=‫الدائرة‬ ‫محٌط‬ + ‫المربع‬ ‫محٌط‬60 cm
𝟔𝟎 𝟒 𝟐 ( 𝟐)
𝟐
𝟏
( 𝟏𝟐𝟎 𝟖 ) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐
𝟏
( 𝟏𝟐𝟎 𝟖 ) 𝟎 .
𝟐
/
𝟔𝟎 𝟒 𝟎 ( 𝟒) 𝟔𝟎
𝟔𝟎
𝟒
‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬
‫الدائرة‬ ‫لطر‬ 𝟐 𝟐 4
𝟏
(𝟑𝟎 𝟐 )5
𝟐
(𝟑𝟎
𝟏𝟐𝟎
𝟒
)
‫الدائرة‬ ‫لطر‬
𝟐
(
𝟑𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟐𝟎
𝟒
)
𝟐
(
𝟑𝟎
𝟒
)
𝟔𝟎
𝟒
‫الدراسة‬:
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
( 𝟖) 𝟎
: ‫األختبار‬
‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمتلن‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫هذا‬

226. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
225
( ‫مثال‬6/)‫لل‬ ً‫تنتم‬ ‫نماط‬ ‫أو‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬‫الزائد‬ ‫مطع‬𝟐 𝟐
𝟑‫للنمطة‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكون‬ ‫بحٌث‬(𝟎 𝟒)
/‫الحل‬
******************************************************************
: ‫مالحظات‬
Ⓘ‫عن‬ ‫المول‬ ‫ٌمكن‬‫المساحة‬ ‫دالة‬‫األحٌان‬ ‫بعض‬ ً‫ف‬‫مسطح‬ ‫أصرر‬ ‫أو‬ ‫أكبر‬‫للشكل‬
②‫عن‬ ‫المول‬ ‫ٌمكن‬‫السعة‬ ‫أو‬ ‫الحجم‬ ‫دالة‬‫األحٌان‬ ‫بعض‬ ً‫ف‬‫مجسم‬ ‫أصرر‬ ‫أو‬ ‫أكبر‬‫للشكل‬
③‫أٌجاد‬ ‫طرٌك‬ ‫عن‬ ‫السابك‬ ‫الحل‬ ‫نفس‬ ‫هو‬ ‫الحل‬ ‫ٌكون‬ ‫أعاله‬ ‫الحالتٌن‬ ‫كال‬ ً‫ف‬‫الفرضٌة‬,‫الدالة‬,‫العاللة‬ً‫ف‬ ‫(فمط‬
, )‫مترٌر‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫وجود‬ ‫حالة‬‫الدراسة‬,‫االختبار‬
‫الفرضٌة‬:‫النمطة‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬( )ً‫المنحن‬ ‫نمط‬ ‫من‬ ً‫ه‬𝟐 𝟐
𝟑‫للنمطة‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكن‬ ‫بحٌث‬(𝟎 𝟒)
√( 𝟎) 𝟐 ( 𝟒) 𝟐
‫الدالة‬:ً‫ه‬‫المسافة‬ ‫لانون‬
√( 𝟐 𝟑) 𝟐 𝟖 𝟏𝟔
√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑
‫العاللة‬:( 𝟐 𝟐 𝟑)
√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟔
𝟒 𝟖
(𝟐)√𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑
( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟒 𝟖
( 𝟐)√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑
𝟎
𝟒 𝟖 𝟎 𝟐 𝟎
𝟐
𝟐 𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏
‫الدراسة‬:
ً‫ه‬ ‫النماط‬(𝟏 𝟐) ( 𝟏 𝟐)
‫وزاري‬2011/‫د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬1

227. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
226
(𝟑 𝟔)‫تمارين‬
‫س‬1/‫مجموعهما‬ ‫موجبٌن‬ ‫عددٌن‬ ‫جد‬(75)‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫األخر‬ ‫مربع‬ ً‫ف‬ ‫أحدهما‬ ‫ضرب‬ ‫وحاصل‬‫ز‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:= ‫األول‬ ‫العدد‬ ‫نفرض‬= ً‫الثان‬ ‫والعدد‬
‫األول‬ ‫العدد‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬= ً‫الثان‬ ‫العدد‬ ‫مربع‬
‫الدالة‬:‫عددٌة‬ ‫عاللة‬ ً‫ه‬
𝟐
( ‫)معادلة‬
𝟕𝟓
𝟕𝟓 (② ‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
(𝟕𝟓 ) 𝟐
𝟕𝟓 𝟐 𝟑
‫الدراسة‬:
̅ 𝟏𝟓𝟎 𝟑 𝟐
(̅ 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟏𝟓𝟎 𝟑 𝟐
𝟎 ( 𝟑)
𝟓𝟎 𝟐
𝟎 (𝟓𝟎 ) 𝟎
𝟎 (‫)ٌهمل‬
𝟓𝟎 𝟕𝟓 𝟕𝟓 𝟓𝟎 𝟐𝟓
‫األول‬ ‫العدد‬(𝟐𝟓)ً‫الثان‬ ‫والعدد‬(𝟓𝟎)
:‫األختبار‬‫لألطالع‬

228. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
227
‫س‬2/‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫توضع‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫أرتفاع‬ ‫جد‬𝟒√‫وزاري‬2012/‫د‬3
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫االسطوانة‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬== ‫االسطوانة‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬𝟐= ‫الحجم‬ ‫ونفرض‬
‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐(𝟐 ) ( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬
𝟐 𝟐
. 𝟒√ 𝟑/
𝟐
𝟐
𝟒𝟖 𝟐
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐 𝟐 (𝟒𝟖 𝟐)
𝟐 (𝟒𝟖 𝟑) (③‫)معادلة‬
‫الدراسة‬:
𝟐 (𝟒𝟖 𝟑 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐 ( 𝟒𝟖 𝟑 𝟐
) 𝟎 ( 𝟐 )
𝟒𝟖 𝟑 𝟐
𝟎 ( 𝟑)
𝟏𝟔 𝟐
𝟎 (𝟒 )(𝟒 ) 𝟎
𝟒 ( ‫ٌهمل‬ )
𝟒
𝟐
𝟒𝟖 𝟐
𝟒𝟖 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟒√𝟐
: ‫لالسطوانة‬ ‫ارتفاع‬ ‫أكبر‬
𝟐 𝟐(𝟒 ) 𝟖
:‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (

229. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
228
‫س‬3/‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫دائرة‬ ‫نص‬ ‫داخل‬ ‫ٌوضع‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬𝟒√‫وزاري‬2012/‫د‬1
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫المستطٌل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬=𝟐‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬= ‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫ونفرض‬A
‫الدالة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐 ( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬‫المائم‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬(ABC)
𝟐 𝟐
. 𝟒√ 𝟐/
𝟐
𝟐 𝟐
𝟑𝟐
√ 𝟑𝟐 𝟐 (②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐.√ 𝟑𝟐 𝟐/
𝟐.√ 𝟑𝟐 𝟐 𝟒/ √ 𝟒(𝟑𝟐 𝟐 𝟒)
√ 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒
‫الدراسة‬:
𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑
𝟐 .√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒/
( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑
𝟐 (√ 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒
)
𝟎 𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑
𝟎
𝟏𝟔 𝟑
𝟎 ( 𝟐)
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟐
𝟒 ( ‫السالب‬ ‫)ٌهمل‬
𝟒 ( ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ )
√ 𝟑𝟐 𝟐 √𝟑𝟐 √
𝟐 𝟐(𝟒) 𝟖 ( ‫المستطٌل‬ ‫طول‬ )
:‫األختبار‬‫لألطالع‬

230. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
229
‫س‬4/‫سالٌه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫السالٌن‬ ‫متساوي‬ ‫لمثلث‬ ‫مساحة‬ ‫أكبر‬ ‫جد‬𝟖√
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫أرتفاع‬‫المثلث‬= ‫المثلث‬ ‫لاعدة‬ ‫طول‬ ‫ونفرض‬𝟐= ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫ونفرض‬
‫الدالة‬:‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟏
𝟐
(𝟐 ) ( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬
𝟐 𝟐
. 𝟖√ 𝟐/
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏𝟐𝟖
𝟐
𝟏𝟐𝟖 𝟐
√𝟏𝟐𝟖 𝟐 (②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
.√ 𝟏𝟐𝟖 𝟐/
√ 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒
‫الدراسة‬:
𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑
𝟐 (√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒)
( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑
𝟐(√ 𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒
)
𝟎 𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑
𝟎
𝟔𝟒 𝟑
𝟎 (𝟔𝟒 𝟐
) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟔𝟒 𝟐
𝟎 𝟐
𝟔𝟒
𝟖 ‫األرتفاع‬ 𝟖 ( ‫ٌهمل‬ )
𝟐 𝟐(𝟖) 𝟏𝟔 (‫المثلث‬ ‫لاعدة‬ ‫طول‬ )
: ‫للمثلث‬ ‫مساحة‬ ‫اكبر‬
(𝟖)(𝟖) 𝟔𝟒 𝟐
:‫األختبار‬‫لألطالع‬

231. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
230
‫س‬5/‫مساحته‬ ‫الذي‬ ‫للمستطٌل‬ ‫ممكن‬ ‫محٌط‬ ‫ألل‬ ‫جد‬𝟏𝟔 𝟐
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫طول‬‫المستطٌل‬== ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫ونفرض‬‫محٌط‬ ‫ونفرض‬‫المستطٌل‬=
‫مساحة‬ ‫ونفرض‬= ‫المستطٌل‬
‫الدالة‬:‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐 𝟐 ( ‫)معادلة‬
‫ا‬‫لعاللة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬
𝟏𝟔
𝟏𝟔
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐4
𝟏𝟔
5
𝟐 𝟑𝟐 𝟏
‫الدراسة‬:
𝟐 𝟑𝟐 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐 𝟑𝟐 𝟐
𝟎 ( 𝟐)
𝟏 𝟏𝟔 𝟐 𝟎 ( 𝟐
‫ب‬ ‫المعادلة‬ ‫)نضرب‬
𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟒 𝟒
: ‫ممكن‬ ‫محٌط‬ ‫ألل‬
𝟐 𝟐 𝟐( 𝟒) 𝟐( 𝟒) 𝟏𝟔
:‫األختبار‬‫لألطالع‬

232. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
231
‫س‬6/‫جد‬‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫وضعه‬ ‫ٌمكن‬ ‫لائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫أكبر‬ ‫حجم‬(3 cm)
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫المخروط‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬== ‫المخروط‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬= ‫الحجم‬ ‫ونفرض‬
‫الدالة‬:‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟏
𝟑
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬‫الزاوٌة‬ ‫المائم‬ ‫للمثلث‬ (ABC)
𝟐 ( 𝟑) 𝟐 (𝟑) 𝟐
𝟐 𝟐
𝟔 𝟗 𝟗 𝟐
𝟔 𝟐
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟏
𝟑
𝟐
𝟏
𝟑
(𝟔 𝟐
)
𝟑
(𝟔 𝟐 𝟑
)
‫الدراسة‬:
𝟑
( 𝟏𝟐 𝟑 𝟐
) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟑
(𝟏𝟐 𝟑 𝟐
) 𝟎 ( 𝟑)
𝟒 𝟐
𝟎 ( )
𝟒 𝟐
𝟎 (𝟒 ) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟒 ‫األرتفاع‬
𝟐
𝟔 𝟐
𝟔(𝟒) (𝟏𝟔) 𝟖
√𝟖 𝟐√𝟐 ‫المطر‬ ‫نصف‬
: ‫للمخروط‬ ‫حجم‬ ‫أكبر‬
𝟏
𝟑
𝟐
𝟏
𝟑
(𝟐√𝟐)
𝟐
(𝟒)
𝟑𝟐
𝟑
𝟑
: ‫األختبار‬‫لألطالع‬

233. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
232
‫س‬7/‫جد‬‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬ ‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬(6,8)‫مثلث‬ ‫أصرر‬ ‫األول‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫ٌصنع‬ ‫والذي‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬( 𝟎)‫المحور‬ ‫مع‬ ‫المستمٌم‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬
= ‫المثلث‬ ‫أبعاد‬ ‫نفرض‬x , y= ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫ونفرض‬A
‫الدالة‬:‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟏
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫المٌل‬ ‫لانون‬‫مٌل‬ (̅̅̅̅‫مٌل‬ =̅̅̅̅)
‫النمطة‬(𝟔 𝟖)‫للمستمٌم‬ ً‫تنتم‬̅̅̅̅
𝟐 𝟏
𝟐 𝟏
𝟖
𝟎 𝟔
𝟖 𝟎
𝟔
( 𝟖)(𝟔 ) 𝟒𝟖
𝟔 𝟒𝟖 𝟖 𝟒𝟖
𝟔 𝟖 𝟎
(𝟔 ) 𝟖
𝟖
𝟔
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
(
𝟖
𝟔
)
𝟒 𝟐
𝟔
(③‫)معادلة‬
‫الدراسة‬:
(𝟔 )( 𝟖 ) ( 𝟒 𝟐)( 𝟏)
(𝟔 ) 𝟐
𝟒𝟖 𝟖 𝟐
𝟒 𝟐
(𝟔 ) 𝟐
𝟒𝟖 𝟒 𝟐
(𝟔 ) 𝟐
( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟒 𝟐
𝟒𝟖
( 𝟔 ) 𝟐
𝟎 𝟒 𝟐
𝟒𝟖 𝟎 ( 𝟒 ‫على‬ ‫نمسم‬ )
𝟐
𝟏𝟐 𝟎 ( 𝟏𝟐) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟏𝟐
∴(𝟏𝟐 𝟎)‫المحور‬ ‫مع‬ ‫المستمٌم‬ ‫تماطع‬ ‫نمطة‬) ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ (
(̅̅̅̅)
𝟐 𝟏
𝟐 𝟏
𝟖 𝟎
𝟔 𝟏𝟐
𝟖
𝟔
𝟒
𝟑
‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬ ‫الذي‬(6,8)‫مٌله‬ ‫الذي‬.
𝟒
𝟑
/ً‫ه‬:
𝟏 ( 𝟏)
𝟖 (
𝟒
𝟑
) ( 𝟔)
( 𝟑)
⇒ 𝟑 𝟐𝟒 𝟒 𝟐𝟒
𝟒 𝟑 𝟒𝟖 𝟎

234. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
233
‫س‬8/‫جــد‬‫بعــدي‬‫مس‬ ‫أكبــر‬‫ــــــ‬‫ٌوض‬ ‫تطٌل‬‫ــــــ‬‫بالدال‬ ‫المحــددة‬ ‫المنطمــة‬ ‫داخــل‬ ‫ع‬‫ـــــ‬‫ة‬( ) 𝟏𝟐 𝟐
‫ومحــور‬
‫الس‬‫ـــــ‬‫ٌنات‬,‫رؤوس‬ ‫من‬ ‫رأسان‬‫ه‬‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫األخران‬ ‫والرأسان‬ ً‫المنحن‬ ‫على‬‫ز‬ ‫محٌطه‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ,
/‫الحل‬‫وزاري‬2012/‫د‬2
‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫طول‬‫المستطٌل‬=𝟐= ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬‫ونفرض‬‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬
‫الدالة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐 ( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫المعادلة‬( 𝟏𝟐 𝟐)
𝟏𝟐 𝟐
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐 (𝟏𝟐 𝟐)
𝟐𝟒 𝟐 𝟑
‫الدراسة‬:
𝟐𝟒 𝟔 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐𝟒 𝟔 𝟐
𝟎 𝟒 𝟐
𝟎
𝟐 𝟐 𝟒 ‫الطول‬
𝟏𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟒 𝟖 ‫العرض‬
: ‫للمستطٌل‬ ‫محٌط‬ ‫أكبر‬
𝟐(𝟐 )
𝟒 𝟐 𝟒(𝟐) 𝟐(𝟖) 𝟖 𝟏𝟔 𝟐𝟒
:‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (

235. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
234
‫س‬9/‫مس‬ ‫جد‬‫ــــــــ‬‫أرتفاع‬ ‫لـائم‬ ‫دائـري‬ ‫مخـروط‬ ‫داخـل‬ ‫توضـع‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫احة‬‫ــــ‬‫ه‬(𝟖 )‫وطـول‬
‫لاعدته‬ ‫لطر‬(𝟏𝟐 )
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:= ‫األسطوانة‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬R‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬‫األسطوانة‬=h=‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V
‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫مثلثات‬ ‫تشابه‬(ADE , ABC)
𝟖
𝟖
𝟔
(
𝟏
𝟐
‫على‬ ‫الطرفين‬ ‫نقسم‬ )
𝟒 𝟐𝟒 𝟑
𝟐𝟒 𝟒
𝟑
.②‫معادلة‬/
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐
(
𝟐𝟒 𝟒
𝟑
)
𝟑
(𝟐𝟒 𝟐
𝟒 𝟑
)
‫الدراسة‬:
𝟑
( 𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐
) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟑
(𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐
) 𝟎 𝟏𝟔 𝟒 𝟐
𝟎 ( 𝟒 )
𝟒 𝟐
𝟎 ( 𝟒 ) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟒
𝟖
𝟑
‫لألسطوانة‬ ‫مساحة‬ ‫أكبر‬) ‫لألطالع‬ (:
(‫األرتفاع‬ ‫الماعدة‬ ‫)محٌط‬ ‫الماعدتٌن‬ ‫مساحة‬
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 (𝟒) (
𝟖
𝟑
) 𝟐 (𝟒) 𝟐
𝟔𝟒
𝟑
𝟑𝟐
𝟔𝟒 𝟗𝟔
𝟑
𝟏𝟔𝟎
𝟑
𝟐

236. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
235
‫س‬10/‫وتره‬ ‫طول‬ ‫الزاوٌة‬ ‫لائم‬ ‫مثلث‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫ناتج‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫أكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬𝟔√ 𝟑‫كاملة‬ ‫دورة‬‫حول‬
‫المائمٌن‬ ‫ضلعٌه‬ ‫أحد‬‫وزاري‬2014/‫د‬1‫وزاري‬1201/‫د‬1
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:= ‫المخروط‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬R= ‫المخروط‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬h=‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V
‫الدالة‬:‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟑
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬‫الزاوٌة‬ ‫المائم‬ ‫المثلث‬ ‫على‬
𝟐 𝟐
(𝟔√𝟑)
𝟐
𝟐
𝟏𝟎𝟖 𝟐
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟑
𝟐
𝟑
( 𝟏𝟎𝟖 𝟐)
𝟑
( 𝟏𝟎𝟖 𝟑)
‫الدراسة‬:
𝟑
( 𝟏𝟎𝟖 𝟑 𝟐
) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟑
(𝟏𝟎𝟖 𝟑 𝟐
) 𝟎 𝟑𝟔 𝟐
𝟎 ( )
𝟑𝟔 𝟐
𝟎
𝟔 (‫ٌهمل‬ )
𝟔
𝟐
𝟏𝟎𝟖
𝟐
𝟏𝟎𝟖 𝟑𝟔 𝟕𝟐
√ 𝟕𝟐
‫أكبر‬: ‫للمخروط‬ ‫حجم‬
𝟑
𝟐
𝟑
(√𝟕𝟐)
𝟐
(𝟔)
(𝟕𝟐)(𝟔)
𝟑
𝟏𝟒𝟒 𝟑

237. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
236
‫س‬11/‫علبة‬‫سـعتها‬ ‫األعلـى‬ ‫مـن‬ ‫مفتوحـة‬ ‫الشـكل‬ ‫أسـطوانٌة‬(𝟏𝟐𝟓 𝟑
)‫مس‬ ‫تكـون‬ ‫عنـدما‬ ‫أبعادهـا‬ ‫جـد‬‫ــــــ‬‫احة‬
‫أ‬ ‫صناعتها‬ ً‫ف‬ ‫المستخدم‬ ‫المعدن‬‫لل‬‫ٌمكن‬ ‫ما‬‫ز‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫نفرض‬‫لطر‬ ‫نص‬‫االسطوانة‬=R= ‫األسطوانة‬ ‫أرتفاع‬ ‫نفرض‬h= ‫غطاء‬ ‫بدون‬ ‫الكلٌة‬ ‫المساحة‬ ‫ونفرض‬A
‫الدالة‬:‫المساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫واحدة‬ ‫لاعدة‬ ‫مساحة‬ ‫المساحةالجانبٌة‬
𝟐
𝟐 ( ‫)معادلة‬
‫ا‬‫لعاللة‬:‫األسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬
𝟐
𝟏𝟐𝟓 𝟐
𝟏𝟐𝟓
𝟐
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 (
𝟏𝟐𝟓
𝟐
)
𝟐
𝟐𝟓𝟎 𝟏
‫الدراسة‬:
𝟐 𝟐𝟓𝟎 𝟐
𝟐
𝟐𝟓𝟎
𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐
𝟐𝟓𝟎
𝟐
𝟎
( 𝟐 )
⇒
𝟏𝟐𝟓
𝟐
𝟎 ( 𝟐
)
( 𝟑
𝟏𝟐𝟓) 𝟎
𝟓
𝟏𝟐𝟓
𝟐
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟓
𝟓
:‫األختبار‬) ‫لألطالع‬ (

238. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
237
‫س‬12/ً‫فـ‬ ‫المسـتعمل‬ ‫المعـدن‬ ‫مسـاحة‬ ‫كانـت‬ ‫فـأذا‬ ‫عرضـها‬ ‫ضـع‬ ‫لاعدته‬ ‫طول‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫خزان‬
‫صناعته‬𝟏𝟎𝟖 𝟐
‫كامل‬ ‫غطاء‬ ‫ذو‬ ‫الخزان‬ ‫ان‬ ‫علما‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫حجمه‬ ‫ٌكون‬ ً‫لك‬ ‫الخزان‬ ‫أبعاد‬ ‫جد‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:= ‫الماعدة‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬x‫الماعدة‬ ‫طول‬ ‫ونفرض‬=2x= ‫االرتفاع‬ ‫ونفرض‬y=‫الخزان‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V
‫الدالة‬:‫الخزان‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
(𝟐 )( )( ) 𝟐 𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫المعدن‬ ‫مساحة‬
‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫الجانبٌة‬ ‫المساحة‬ ‫الماعدتٌن‬ ‫مساحة‬
𝟏𝟎𝟖 𝟐(𝟐 ) 𝟒 𝟐
𝟏𝟎𝟖 𝟐(𝟑 ) 𝟒 𝟐
( 𝟐)
𝟓𝟒 𝟑 𝟐 𝟐
𝟑 𝟓𝟒 𝟐 𝟐
𝟓𝟒 𝟐 𝟐
𝟑
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
4
𝟓𝟒 𝟐 𝟐
𝟑
5
𝟐
𝟑
(𝟓𝟒 𝟐 𝟑)
‫الدراسة‬:
𝟐
𝟑
(𝟓𝟒 𝟔 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐
𝟑
(𝟓𝟒 𝟔 𝟐) 𝟎 𝟓𝟒 𝟔 𝟐
𝟎 ( 𝟔 )
𝟗 𝟐
𝟎
𝟑 𝟐 𝟔 ‫الماعدة‬ ‫طول‬
𝟓𝟒 𝟐 𝟐
𝟑
𝟓𝟒 𝟏𝟖
𝟗
𝟑𝟔
𝟗
𝟒 ‫الماعدة‬ ‫عرض‬
:‫األختبار‬() ‫لألطالع‬
) ‫المستطٌلة‬ ‫السطوح‬ ‫لمتوازي‬ ‫المساحة‬ ‫لوانٌن‬ ( :‫للتذكٌر‬ ‫مالحظة‬
‫االرتفاع‬ × ‫القاػذة‬ ‫محيظ‬ = ‫الجانبيت‬ ‫المساحت‬
‫القاػذتين‬ ً‫مساحت‬ ‫مجمىع‬ + ‫الجانبيت‬ ‫المساحت‬ = ‫الكليت‬ ‫المساحت‬

239. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
238
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫وأرتفاعه‬ ‫لاعدته‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫مجموع‬ ‫لائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬(12 cm)‫ز‬ ‫المخروط‬ ‫لهذا‬ ‫حجم‬ ‫أكبر‬ ‫جد‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫المخروط‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬=R= ‫المخروط‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬h= ‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V
‫الدالة‬:‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟑
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:
𝟏𝟐 𝟏𝟐 (②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐(𝟏𝟐 )
𝟑
(𝟏𝟐 𝟐 𝟑) (③‫)معادلة‬
‫الدراسة‬:
𝟑
(𝟐𝟒 𝟑 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟑
(𝟐𝟒 𝟑 𝟐) 𝟎 (𝟖 𝟐) 𝟎
𝟖 𝟐
𝟎 (𝟖 ) 𝟎
𝟎 𝟏𝟐 ( ‫)الٌمكن‬
𝟖 𝟒
‫حجم‬ ‫أكبر‬: ‫للمخروط‬
𝟑
𝟐
𝟑
(𝟖) 𝟐(𝟒)
𝟐𝟓𝟔
𝟑
𝟑

240. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
239
‫مثال‬/‫لطرهـا‬ ‫نصـ‬ ‫كـرة‬ ‫داخـل‬ ‫موضـوعة‬ ‫لائمـة‬ ‫دائرٌـة‬ ‫اسطوانة‬𝟗‫ٌكـون‬ ً‫لكـ‬ ‫االسـطوانة‬ ‫أرتفـاع‬ ‫أحسـب‬
‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫حجمها‬‫ز‬
/‫الحل‬
‫ا‬‫لفرضٌة‬:‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬‫االسطوانة‬ ‫لاعدة‬=R‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬‫االسطوانة‬=2 h
‫الدالة‬:‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫االسطوانة‬
𝟐(𝟐 ) ( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬
𝟐 𝟐
𝟗 𝟐 𝟐
𝟖𝟏 𝟐
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐
𝟐 (𝟖𝟏 𝟐)
𝟐 (𝟖𝟏 𝟑) (③‫)معادلة‬
‫الدراسة‬:
𝟐 (𝟖𝟏 𝟑 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐 ( 𝟖𝟏 𝟑 𝟐
) 𝟎
( )
⇒ 𝟖𝟏 𝟑 𝟐
𝟎
𝟖𝟏 𝟑 𝟐
( )
⇒ 𝟐
𝟐𝟕
𝟑√𝟑 (‫ٌهمل‬ )
𝟑√𝟑 𝟑√𝟔
‫أكبر‬‫لالسطوانة‬ ‫ارتفاع‬:
‫األرتفاع‬ 𝟐 𝟐(𝟑√𝟑 ) 𝟔√𝟑
‫مثال‬/‫بٌنهما‬ ‫الفرق‬ ‫عددان‬(12)‫ز‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫ضربهما‬ ‫حاصل‬ ‫ٌكون‬ ‫بحٌث‬ ‫العددان‬ ‫هذان‬ ‫جد‬
‫الفرضٌة‬:= ‫األول‬ ‫العدد‬ ‫نفرض‬x= ً‫الثان‬ ‫والعدد‬𝟏𝟐
= ‫ضربهما‬ ‫وحاصل‬y
‫الدالة‬:ً‫ه‬‫عددٌة‬ ‫عاللة‬
( 𝟏𝟐) 𝟐
𝟏𝟐
‫الدراسة‬:
𝟐 𝟏𝟐 ( ̅( ) 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐 𝟏𝟐 𝟎 𝟔 𝟎
𝟔
‫األول‬ ‫العدد‬(𝟔)ً‫الثان‬ ‫والعدد‬( 𝟔)

241. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
240
‫مثال‬/‫مساحته‬ ‫مستطٌل‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬𝟐𝟓 𝟐
‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫محٌطه‬ ‫ٌكون‬ ‫بحٌث‬
/‫الحل‬
‫ا‬‫لفرضٌة‬:‫هما‬ ‫المستطٌل‬ ‫بعدي‬ ‫نفرض‬x, y= ‫محٌطه‬ ‫ونفرض‬m
‫الدالة‬:‫محٌط‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫المستطٌل‬
𝟐 𝟐 ( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬
𝟐𝟓 (②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 (
𝟐𝟓
) 𝟐 𝟓𝟎 𝟏
(③‫)معادلة‬
‫الدراسة‬:
𝟐 𝟓𝟎 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐 𝟓𝟎 𝟐
𝟎 𝟏 𝟐𝟓 𝟐
𝟎
𝟐
𝟐𝟓 𝟎 𝟐
𝟐𝟓
𝟓 𝟓 (‫ٌهمل‬ )
𝟓 𝟓
‫ـال‬‫ـ‬‫مث‬/‫ـه‬‫ـ‬‫لاعدت‬ ‫ـٌط‬‫ـ‬‫مح‬ ‫ـوع‬‫ـ‬‫مجم‬ ‫ـان‬‫ـ‬‫ك‬ ‫ـأذا‬‫ـ‬‫ف‬ , ‫ـكل‬‫ـ‬‫الش‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫مربع‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫لاعدت‬ ‫ـتطٌلة‬‫ـ‬‫مس‬ ‫ـطوح‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـوازي‬‫ـ‬‫مت‬ ‫ـكل‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـوض‬‫ـ‬‫ح‬
‫وأرتفاعه‬24 m‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ) ‫(حجمه‬ ‫سعته‬ ‫تكون‬ ً‫لك‬ ‫الحوض‬ ‫ابعاد‬ ‫,جد‬
/‫الحل‬
‫ا‬‫لفرضٌة‬:‫الحوض‬ ‫ابعاد‬ ‫نفرض‬x, y,x‫ونفرض‬‫حجمه‬=V
‫الدالة‬:‫لانون‬ ً‫ه‬‫الحوض‬ ‫حجم‬
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:+ ‫المربعة‬ ‫الماعدة‬ ‫(محٌط‬‫االرتفاع‬)‫للحوض‬
𝟒 𝟐𝟒 𝟐𝟒 𝟒 (②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐
𝟐 (𝟐𝟒 𝟒 ) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒 𝟑
‫الدراسة‬:
𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐
𝟎 𝟒 𝟐
𝟎
(𝟒 ) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟒 𝟖

242. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
241
‫مثال‬/‫بعدي‬ ‫جد‬‫أكبر‬‫م‬ ‫مستطٌل‬‫حٌطه‬𝟏𝟎𝟎
/‫الحل‬
‫ا‬‫لفرضٌة‬:‫هما‬ ‫المستطٌل‬ ‫بعدي‬ ‫نفرض‬x, y‫ونفرض‬‫مساحته‬=A
‫الدالة‬:‫م‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬‫ساحة‬‫المستطٌل‬
( ‫)معادلة‬
‫ا‬‫لعاللة‬:‫م‬‫المستطٌل‬ ‫حٌط‬
𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎
𝟓𝟎 𝟓𝟎 .②‫معادلة‬/
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
( 𝟓𝟎 ) 𝟓𝟎 𝟐
‫الدراسة‬:
𝟓𝟎 𝟐 ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟓𝟎 𝟐 𝟎 𝟐𝟓 𝟎
𝟐𝟓 𝟐𝟓
‫مثال‬/‫محٌطه‬ ‫مستطٌل‬(30 cm)‫المسـتطٌل‬ ‫هـذا‬ ‫بعـدي‬ ‫جـد‬ , ‫لائمـة‬ ‫دائرٌـة‬ ‫أسطوانة‬ ‫فكون‬ ‫أضالعه‬ ‫أحد‬ ‫حول‬ ‫أدٌر‬
‫ز‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫المتكونة‬ ‫األسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫ٌكون‬ ً‫لك‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫االسطوانة‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬=x= ‫االسطوانة‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬y= ‫الحجم‬ ‫ونفرض‬V
‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬
𝟐 𝟐 𝟑𝟎 𝟏𝟓 𝟏𝟓 (②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐( 𝟏𝟓 )
( 𝟏𝟓 𝟐 𝟑)
‫الدراسة‬:
(𝟑𝟎 𝟑 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
( 𝟑𝟎 𝟑 𝟐) 𝟎 𝟏𝟎 𝟐
𝟎
(𝟏𝟎 ) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟏𝟎 𝟓
ً‫ه‬ ‫األسطوانة‬ ‫بعدي‬(10 cm , 5 cm)

243. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
242
‫مثال‬/‫مخـروط‬ ‫داخـل‬ ‫وضـعها‬ ‫ٌمكـن‬ ‫لائمـة‬ ‫دائرٌة‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬‫لـائم‬ ‫دائـري‬‫أرتفاعـه‬(12 cm)‫ونصـ‬
‫لاعدته‬ ‫لطر‬(9 cm)‫متماستان‬ ‫والمخروط‬ ‫األسطوانة‬ ً‫لاعدت‬ ‫أحد‬ ‫بحٌث‬‫ز‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫االسطوانة‬ ‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬=R= ‫االسطوانة‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬h= ‫الحجم‬ ‫ونفرض‬V
‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫مثلثات‬ ‫تشابه‬
𝟗
𝟏𝟐
𝟏𝟐
( 𝟑 )
𝟑𝟔 𝟑 𝟒 𝟑𝟔 𝟒 𝟑
𝟑𝟔 𝟒
𝟑
(②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐
(
𝟑𝟔 𝟒
𝟑
)
𝟑
(𝟑𝟔 𝟐
𝟒 𝟑)
‫الدراسة‬:
𝟑
(𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟑
(𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐) 𝟎 𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐
𝟎 ( )
𝟔 𝟐 (𝟔 ) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟔 𝟒
: ‫لالسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫أكبر‬
𝟐 (𝟔) 𝟐(𝟒) 𝟏𝟒𝟒
******************************************************************
ً‫المنحن‬ ‫على‬ ‫ٌمعان‬ ‫منه‬ ‫رأسان‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬𝟐
𝟖‫المستمٌم‬ ‫على‬ ‫ٌمعان‬ ‫األخران‬ ‫والرأسان‬𝟒
②‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫دائرة‬ ‫داخل‬ ‫رسمه‬ ‫ٌمكن‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬(𝟐 )
③‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ً‫تنتم‬ ً‫الت‬ ‫النمط‬ ‫أوجد‬𝟗
𝟏
𝟐
𝟐
‫األصل‬ ‫نمطة‬ ‫من‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكون‬ ‫بحٌث‬
④‫أرتفاعه‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫داخل‬ ‫وضعها‬ ‫ٌمكن‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬(𝟏𝟐 )‫لاعدته‬ ‫لطر‬ ‫ونص‬(𝟗 )
⑤‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫جد‬:
⒜‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫يكون‬ ‫مربعه‬ ‫على‬ ‫زيادته‬
⒝‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫أصغر‬ ‫يكون‬ ‫مربعه‬ ‫الى‬ ‫أضافته‬ ‫عند‬
⒞‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫أصغر‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مقلوبه‬ ‫الى‬ ‫أضافته‬ ‫عند‬
⑥‫كان‬ ‫أذا‬𝟒 𝟐𝟒‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌم‬ ‫جد‬x , y‫تجعل‬ ً‫الت‬𝟐
‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬

244. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
243
‫الثالث‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬
‫س‬5/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬‫الفروع‬( )‫التكامل‬ ‫بموضوع‬ ‫مرتبطة‬
( ) 𝟑 𝟐
𝟐 𝟓 𝟑
𝟑
(𝟐 ) 𝟐(𝟑 𝟐) 𝟐 𝟓 𝟐 𝟑
𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟐
𝟐 𝟑
𝟐 𝟓 𝟑 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟑
𝟐) 𝟓 𝟑 𝟐 𝟐
𝟓 𝟑 𝟐 𝟐
𝟐 𝟑 𝟐
( ) 𝟒 𝟐
𝟒 𝟐
𝟐 ( 𝟐) 𝟐 𝟒 ( 𝟒) 𝟐 𝟒 𝟐
𝟐 𝟒 𝟐 𝟒
‫س‬6/‫لٌم‬ ‫ألٌجاد‬ ‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫ثم‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫أستخدم‬C‫للدالة‬
( ) 𝟒
𝟐 𝟐 , 𝟐 𝟐-
‫الحل‬/‫وزاري‬2013‫/د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬3
①‫الدالة‬‫المرلمة‬ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟐-‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
②‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتماق‬ ‫لابلة‬( 𝟐 𝟐)‫الحدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫النها‬
③‫نوجد‬( 𝟐) (𝟐)
(𝟐) (𝟐) 𝟒
𝟐(𝟐) 𝟐
𝟏𝟔 𝟖 𝟖
( 𝟐) ( 𝟐) 𝟒
𝟐( 𝟐) 𝟐
𝟏𝟔 𝟖 𝟖
(𝟐) ( 𝟐)
: ‫أوال‬‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬‫رول‬ ‫مبرهنة‬‫نفرض‬ ‫لذا‬( )‫ونفرض‬̅( ) 𝟎
( ) 𝟒 𝟐 𝟐 ̅( ) 𝟒 𝟑 𝟒
̅( ) 𝟒 𝟑
𝟒 𝟒 𝟑
𝟒 𝟎
( )
⇒ 𝟑
𝟎 ( 𝟐
𝟏) 𝟎
𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐)

245. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
244
‫ثانٌا‬:‫تحمك‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬
∴‫النمطة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬C‫المبرهنة‬ ‫تحمك‬ ً‫الت‬
̅( ) 𝟒 𝟑 𝟒 ̅( ) 𝟒 𝟑 𝟒 (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
̅( )
( ) ( ) (𝟐) ( 𝟐)
𝟐 ( 𝟐)
𝟖 𝟖
𝟒
𝟎
𝟒
.‫الوتر‬ ‫مٌل‬ /
∵‫الوتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ = ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬
𝟒 𝟑 𝟒 𝟎
( )
⇒ 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎
𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐)
‫س‬7/( ) 𝟐
𝟒 𝟓‫الفتـرة‬ ‫علـى‬ ‫رول‬ ‫مبرهنـة‬ ‫شـروط‬ ‫تحمك‬ ‫دالة‬, 𝟏 -‫كانـت‬ ‫فـأذا‬𝟐
‫للفترة‬ ً‫تنتم‬( 𝟏 )‫لٌمة‬ ‫فجد‬
‫الحل‬/
‫الدالة‬‫ز‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحمك‬
̅( ) 𝟎 ̅( 𝟐) 𝟎
̅( ) 𝟐 𝟒 ̅( 𝟐) 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟎 𝟒 𝟒 𝟏
( ) ( ) ( 𝟏) ( ) ( 𝟏) 𝟐
𝟒( 𝟏) 𝟓
𝟐
𝟒 𝟓
𝟐
𝟒 𝟓 𝟏𝟎 𝟐
𝟒 𝟓 𝟎 ( 𝟓)( 𝟏) 𝟎
‫أما‬ 𝟓 𝟎 𝟓
‫أو‬ 𝟏 𝟎 𝟏 ‫ٌهمل‬
‫س‬8/‫عنـدما‬ ‫لـه‬ ً‫التمرٌب‬ ‫الحجم‬ ‫جد‬ , ‫لاعدته‬ ‫طول‬ ‫أمثال‬ ‫ثالثة‬ ‫أرتفاعه‬ ‫و‬ ‫مربعة‬ ‫لاعدته‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬
‫لاعدته‬ ‫طول‬ ‫ٌكون‬(𝟐 𝟗𝟕 )
‫ا‬‫لحل‬/
‫نفرض‬‫الماعدة‬ ‫طول‬
∴‫األرتفاع‬𝟑
( ) 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 𝟑 ( ) 𝟑 𝟑
̅( ) 𝟗 𝟐
‫نفرض‬𝟑‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟐 𝟗𝟕‫معطى‬
𝟐 𝟗𝟕 𝟑 𝟎 𝟎𝟑
(𝟑) 𝟑(𝟑) 𝟑
𝟑( 𝟐𝟕) 𝟖𝟏 ̅(𝟑) 𝟗(𝟑) 𝟐
𝟗( 𝟗) 𝟖𝟏
( ) ( ) ̅( )
( 𝟑 ( 𝟎 𝟎𝟑)) (𝟑) ( 𝟏) ̅(𝟑)
(𝟐 𝟗𝟕) 𝟖𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟑) (𝟖𝟏) 𝟖𝟏 𝟐 𝟒𝟑 (𝟐 𝟗𝟕) 𝟕𝟖 𝟓𝟕 𝟑

246. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
245
‫س‬9/‫حجمـــ‬ ‫ـائم‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـري‬‫ـ‬‫دائ‬ ‫ـروط‬‫ـ‬‫مخ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ــــ‬‫ـه‬(𝟐𝟏𝟎 𝟑)‫ـان‬‫ـ‬‫ك‬ ‫أذا‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫لاعدت‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫لط‬ ‫ـ‬‫ـ‬‫لنص‬ ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫التمرٌب‬ ‫ــة‬‫ـ‬‫المٌمــ‬ ‫ـد‬‫ـ‬‫ج‬
‫أرتفاعه‬(𝟏𝟎 )‫وزاري‬2013/‫د‬2
‫ا‬‫لحل‬/
𝟏
𝟑
𝟐
𝟐𝟏𝟎
𝟏
𝟑
𝟐(𝟏𝟎) 𝟐
(𝟐𝟏𝟎)(𝟑)
𝟏𝟎
𝟐 (𝟐𝟏)(𝟑)
𝟐
𝟔𝟑 √𝟔𝟑
‫نفرض‬𝟔𝟒‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟔𝟑
𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏
( ) √ ( ) (𝟔𝟒) √𝟔𝟒 𝟖
̅( )
𝟏
𝟐 √
̅( ) ̅(𝟔𝟒)
𝟏
𝟐 √𝟔𝟒
𝟏
(𝟐)(𝟖)
𝟏
𝟏𝟔
𝟎 𝟎𝟔𝟑
( ) ( ) ̅( )
( 𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) ̅(𝟔𝟒)
(𝟔𝟑) 𝟖 ( 𝟏) (𝟎 𝟎𝟔𝟑) 𝟖 𝟎 𝟎𝟔𝟑 (𝟔𝟑) 𝟕 𝟗𝟑𝟕
‫س‬10/‫ــت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) √ 𝟑𝟏 𝟏
𝟓
‫ـــة‬‫ـ‬‫المٌمــ‬ ‫ـــطة‬‫ـ‬‫المتوســ‬ ‫ـــة‬‫ـ‬‫المٌمــ‬ ‫ــة‬‫ـ‬‫مبرهن‬ ‫ـــة‬‫ـ‬‫نتٌجـــ‬ ‫ـــتخدام‬‫ـ‬‫بأســـ‬ ‫ــد‬‫ـ‬‫ج‬
‫الى‬ ‫التمرٌبٌة‬(𝟏 𝟎𝟏)‫وزاري‬2013/‫د‬1
‫ا‬‫لحل‬/
‫نفرض‬𝟏‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟏 𝟎𝟏‫معطى‬
𝟏 𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟏
( ) √ 𝟑𝟏 𝟏
𝟓
( 𝟑𝟏 𝟏)
𝟏
𝟓 (𝟏) ( 𝟑𝟏 𝟏)
𝟏
𝟓 ( 𝟑𝟐)
𝟏
𝟓 . 𝟐 𝟓
/
𝟏
𝟓
𝟐
̅( )
𝟏
𝟓
(𝟑𝟏 𝟏)
𝟒
𝟓 (𝟑𝟏)
𝟑𝟏
𝟓(𝟑𝟏 𝟏)
𝟒
𝟓
̅(𝟏)
𝟑𝟏
𝟓(𝟑𝟐)
𝟒
𝟓
𝟑𝟏
𝟓(𝟐 𝟓)
𝟒
𝟓
𝟑𝟏
𝟓(𝟐) 𝟒
𝟑𝟏
𝟖𝟎
𝟎 𝟑𝟖𝟕𝟓
( ) ( ) ̅( )
( 𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟏)) (𝟏) (𝟎 𝟎𝟏) ̅(𝟏)
(𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 (𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟑𝟖𝟕𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟖𝟕𝟓 (𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 𝟎𝟎𝟑𝟖𝟕𝟓

247. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
246
‫س‬11/‫للدالة‬ ً‫البٌان‬ ً‫المنحن‬ ‫أرسم‬ ‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫بأستخدام‬𝟐
𝟏
/‫الحل‬
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬⁄ *𝟎+
‫التناظر‬/‫حول‬ ‫متناظر‬ ً‫المنحن‬‫الصادي‬ ‫المحور‬: ‫ألن‬
( ) ➨ ( ) ( )
( )
𝟏
( ) 𝟐
𝟏
𝟐
( )
/ ‫المحاذٌات‬
𝟐
𝟎 𝟎 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
𝟏
𝟐
𝟐 𝟏
𝟎 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬⁄‫ألن‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬𝟎 𝟎
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
( )
𝟏
𝟐
𝟐 ̅( ) 𝟐 𝟑
𝟐
𝟑
( ̅( ) 𝟎 )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟔 𝟒
𝟔
𝟒
.
̅( ) 𝟎 /
ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ‫الدالة‬‫الفترتٌن‬* 𝟎+ * 𝟎+

248. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
247
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
******************************************************************
‫الثالث‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬1
‫معادلتها‬ ً‫الت‬ ‫الدائرة‬ ‫على‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬𝟐 𝟐
𝟒 𝟒‫ازدٌاد‬ ‫معدل‬ ‫عندها‬ ‫ٌكون‬yً‫ا‬ٌ‫مساو‬‫ل‬‫ازدٌاد‬ ‫معدل‬x‫ز‬
:‫الحل‬
( )
- ( ) ‫على‬ ‫نمسم‬
( )
( )
( ) ‫على‬ ‫نمسم‬
⇒ ( )
( ) ‫النمطة‬
( ) ‫النمطة‬

249. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
248
X
Y
‫السٌارة‬
3m
‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬1
( ‫بسرعة‬ ‫تسٌر‬ ‫سٌارة‬30m/s( ‫ارتفاعها‬ ‫حمراء‬ ‫مرورٌة‬ ‫إشارة‬ ‫اجتازت‬ )3m‫ابتعدت‬ ‫أن‬ ‫وبعد‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫عن‬ )
‫مسافة‬ ‫عنها‬(𝟑√𝟑 )‫بٌن‬ ‫المسافة‬ ‫ترٌر‬ ‫سرعة‬ ‫جد‬ ‫المرورز‬ ‫بموانٌن‬ ‫االلتزام‬ ‫عدم‬ ‫نتٌجة‬ ‫أخرى‬ ‫بسٌارة‬ ‫اصطدمت‬
‫الضوئٌةز‬ ‫واالشارة‬ ‫السٌارة‬
:‫الحل‬√
‫فٌثاغورس‬
( √ )
√
√ √ ( )
√
√
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1
( ‫كانت‬ ‫إذا‬1,6‫للدالة‬ ‫محلٌة‬ ‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ‫تمثل‬ )( ) 𝟐 ( ) 𝟐
‫من‬ ‫كل‬ ‫لٌمة‬ ‫جد‬b,‫الحمٌمٌتٌن‬
‫ال‬‫م‬‫وجبتٌنز‬
:‫الحل‬‫الدالة‬ ( )
( ) ( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬
( )
̀( ) ( ) ( ) ( ) -
( )
( )( )
‫ٌهمل‬

250. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
249
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1
‫حجمها‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫اسطوانة‬ ‫هٌئة‬ ‫على‬ ‫حاوٌة‬(𝟐𝟏𝟔 𝟑)ً‫ف‬ ‫المستخدم‬ ‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫ابعادها‬ ‫جد‬
‫األعلىز‬ ‫من‬ ‫مفتوحة‬ ‫الحاوٌة‬ ‫أن‬ ‫العلم‬ ‫مع‬ ‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫صناعتها‬
:‫الحل‬ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬
‫العاللة‬
. /
̅
( )
⇒ ( )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1
ً‫المنحن‬ ‫كان‬ ‫إذا‬( ) 𝟑 𝟐
( ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬-2,2‫عند‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬ ‫وكانت‬ )x=1ً‫لٌمت‬ ‫جد‬
‫للدالة‬ ‫المحلٌة‬ ‫العظمى‬ ‫النهاٌة‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬f‫ز‬
:‫الحل‬‫الدالة‬ ( )
( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬
( ) ( ) ( ) ( )
( )
̅( )
̅̅( ) ( )
( )
̅( ) ( ) ( ) ̀( )
( )
→ ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ( )
‫تنالص‬ ‫تزاٌد‬‫تزاٌد‬
‫إ‬‫شارة‬(x)̀++++++-------+++++++
3-1

251. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
250
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬2
( ‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫بكرة‬ ‫وٌحٌط‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫حجمه‬ ‫لائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫أبعاد‬ ‫جد‬3cm‫)ز‬
:‫الحل‬‫المخروط‬ ‫أبعاد‬ ‫نفرض‬r ,h
ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬
‫المثلث‬ ً‫ف‬abcً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫المائم‬b:
( ) √
‫المثلثٌن‬ ‫تشابه‬ ‫من‬abc,ade:‫على‬ ‫نحصل‬
√
√ ( ) ‫بالتربٌع‬
( ) ( )
( ) ( )
,( ) -
( )
‫العاللة‬
( ) ( )
̀ ( ) ( )
( )
, ( ) ( )-
( )
̀
, -
( )
( )
( )
( )
( )
̀ ‫نضع‬
( )
( )
⇒ ( )
‫ٌهمل‬
( )
( )
( )
√

252. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
251
‫وزاري‬ ‫سؤال‬99‫/د‬1
‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫موضوعة‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫الجانبٌة‬ ‫مساحتها‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫اسطوانة‬ ‫إبعاد‬ ‫جد‬𝟔√𝟐‫ز‬
:‫الحل‬ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬ ‫الجانبٌة‬ ‫المساحة‬ ‫لتكن‬
‫االسطوانة‬ ‫أبعاد‬ ‫نفرض‬r, 2h
( √ ) ‫فٌثاغورس‬
√ ‫العاللة‬
√ √ ( ) ( )
̅ ( ) ( )
( )
√
̅ ( )
( )
→ ( )
( )
‫ٌهمل‬
√ √
( ) ‫االرتفاع‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬2
( ‫بمعدل‬ ‫ارتفاعها‬ ‫ٌزداد‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫اسطوانة‬0.5 cm/sً‫ا‬ٌ‫مساو‬ ً‫ا‬‫دائم‬ ‫حجمها‬ ‫ٌظل‬ ‫بحٌث‬ )(𝟑𝟐𝟎 𝟑)‫جد‬
( ‫االرتفاع‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬ ‫الماعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫ترٌر‬ ‫معدل‬5 cm‫)ز‬
:‫الحل‬
‫العاللة‬
̅ ( ) ( )

253. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
252
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2000‫/د‬2
‫وحجمه‬ ‫مربعة‬ ‫لاعدته‬ ‫مستطٌلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫كامل‬ ‫غطاء‬ ‫ذو‬ ‫الحدٌد‬ ‫من‬ ‫خزان‬𝟐𝟏𝟔 𝟐
‫ابعاده‬ ‫جد‬
‫ص‬ ً‫ف‬ ‫المستخدمة‬ ‫الصفائح‬ ‫مساحة‬ ‫لتكون‬‫نع‬‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫ة‬
:‫الحل‬‫لتكن‬A‫الكلٌة‬ ‫المساحة‬ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬
‫المربع‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬x‫االرتفاع‬ ,y
‫العاللة‬
. / ̅
̅
( )
⇒
( )
→
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬1
‫تساوي‬ ‫السطحٌة‬ ‫مساحتها‬ ,‫نهاٌتها‬ ‫من‬ ‫مسدودة‬ ‫لائمة‬ ‫دائرٌة‬ ‫اسطوانٌة‬ ‫علبة‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬𝟐𝟒 𝟐
‫ٌكون‬ ‫عندما‬
‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫حجمها‬
:‫الحل‬‫االسطوانة‬ ‫ابعاد‬ ‫نفرض‬r , h
ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬
( )
⇒
‫العاللة‬
( ) ( )
̅ ( ) ( )
( )
⇒
( )
⇒
‫االرتفاع‬×‫الماعدة‬ ‫محٌط‬

254. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
253
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫/د‬1
‫لتكن‬𝟐
𝟖‫جد‬( ‫النمطة‬ ‫إلى‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫وتكون‬ ً‫المنحن‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬ ‫نمطة‬6,0)
:‫الحل‬( ‫النمطة‬ ‫نفترض‬x ,y)
ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬√( ) ( ) √
‫العاللة‬
√ √ ( )
̅ ( ) ( )
√
( ̅ ‫نجعل‬ )
( )
( ‫النماط‬2,4( , )2,-4)
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫/د‬2
‫الدالة‬ ً‫لمنحن‬ ‫االنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬( ) 𝟑
𝟑 𝟐‫انمالبهز‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ً‫المنحن‬ ‫مماس‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
:‫الحل‬̀( ) ( )
( )
⇒ ( )
‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ( )
‫المماس‬ ‫مٌل‬ ̀( ) ( )
( ) ( )
‫المماس‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2003‫/د‬2
‫المستمٌم‬𝟑 𝟕ً‫المنحن‬ ‫ٌمس‬𝟐
( ‫النمطة‬ ‫عند‬2,-1‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ً‫وللمنحن‬ )
‫عند‬ ‫محلٌة‬
𝟏
𝟐
‫لٌمة‬ ‫جد‬
:‫الحل‬̀
‫المٌل‬ ( )
‫المٌل‬
‫معامل‬
‫معامل‬
( )
̀ ( )
(
𝟏
𝟐
‫عند‬ )
⇒ ( )
( )
‫الدالة‬ ( )‫معادلتها‬ ‫تحمك‬
( ) ( )
‫بالطرح‬

255. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
254
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2004‫/د‬1
‫طولها‬ ‫سلن‬ ‫لطعة‬8 cm‫بحٌث‬ ‫لطعتٌن‬ ‫إلى‬ ‫لطعت‬‫صن‬‫عرضه‬ ‫نص‬ ‫طوله‬ ‫مستطٌل‬ ‫الثانٌة‬ ‫ومن‬ ‫دائرة‬ ‫األولى‬ ‫من‬ ‫ع‬
‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫ألل‬ ‫والدائرة‬ ‫المستطٌل‬ ً‫مساحت‬ ‫مجموع‬ ‫لٌكون‬ ‫لطعة‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬
:‫الحل‬‫الدائرة‬ ‫محٌط‬ ‫لٌكن‬x
‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬y
‫هو‬ ‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬8-x
= ‫المستطٌل‬ ‫طول‬2y
( ) ‫المانون‬
( ) ‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬
( )‫العاللة‬
‫الدائرة‬ ‫محٌط‬ ( ) ‫العاللة‬
( ) . /
( )
( )
̀ ( ) ( ) ( ) ( )
̀ ( ) ( )
‫االولى‬ ‫المطعة‬ ‫طول‬
‫الثانٌة‬ ‫المطعة‬ ‫طول‬ ( )
‫االرتفاع‬×‫الماعدة‬ ‫محٌط‬

256. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
255
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2005‫/د‬1
‫لتكن‬( ) 𝟑 𝟐
𝟏( ,-1,2ً‫لٌمت‬ ‫جد‬ ‫للدالةز‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬ )‫هل‬
‫للدالة؟ز‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬
:‫الحل‬‫الدالة‬ ( )
‫معادلتها‬ ‫تحمك‬
( )
̀( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫تمثل‬ . /
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬1
‫كانت‬ ‫إذا‬𝟑 𝟐
‫لٌمة‬ ‫جد‬( ً‫ه‬ ‫انمالب‬ ‫نمطة‬ ‫الدالة‬ ً‫المنحن‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬1,2‫ز‬ )
:‫الحل‬( ) ( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬ ‫الدالة‬ ( )
( )
̀( ) ̀̀( )
‫انمالب‬ ‫نمطة‬ (𝟏 𝟐)⇐̿( ) 𝟎‫عندما‬( 𝟏)
( ) -
( )
‫بالطرح‬( )

257. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
256
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2007‫/د‬2
( ‫ضربهما‬ ‫حاصل‬ ‫موجبان‬ ‫عددان‬16‫العددان؟ز‬ ‫فما‬ ‫ٌمكنز‬ ‫ما‬ ‫اصرر‬ ‫ومجموعهما‬ )
:‫الحل‬‫العددان‬ ‫نفرض‬x, yً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬
‫العاللة‬
̅
( )
⇒
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬2
‫وارتفاعه‬ ‫االضالع‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫داخل‬ ‫رسمه‬ ‫ٌمكن‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬𝟒√ 𝟑
:‫الحل‬‫المستطٌل‬ ‫أبعاد‬ ‫نفرض‬2x, yً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬A=2x y
‫المثلث‬ ً‫ف‬abcً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫المائم‬b:
√
√
√
√ √
‫المثلثٌن‬ ‫تشابه‬ ‫من‬abc,dec:‫على‬ ‫نحصل‬
√
√ √ ( )
√ √ ‫العاللة‬
( √ √ )
√ √
̀ √ √ √ √ ( √ )
√ √ √
( )( √ ) √

258. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
257
‫سٌارة‬2
‫سٌارة‬1
Z
Xm
Y
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1
ً‫ف‬ ‫ٌلتمٌان‬ ‫متعامدان‬ ‫طرٌمان‬m‫نمطة‬ ‫من‬ ‫سٌارتان‬ ‫تحركت‬ ‫ز‬m‫السٌارة‬ ‫سرعة‬ ‫معدل‬ ‫وكان‬ ‫طرٌك‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫كل‬
‫األول‬80km/h‫الثانٌة‬ ‫السٌارة‬ ‫سرعة‬ ‫ومعدل‬60km/h‫بدء‬ ‫من‬ ‫ساعة‬ ‫ربع‬ ‫بعد‬ ‫السٌارتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫االبتعاد‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ ‫ز‬
‫من‬ ‫الحركة‬m‫ز‬
:‫الحل‬
. / ‫ساعة‬ ‫ربع‬ ‫بعد‬ ‫األولى‬ ‫السٌارة‬ ‫لطعتها‬ ً‫الت‬ ‫المسافة‬
. / ‫ساعة‬ ‫ربع‬ ‫بعد‬ ‫الثانٌة‬ ‫السٌارة‬ ‫لطعتها‬ ً‫الت‬ ‫المسافة‬
‫فٌثاغورس‬
( ) ( )
-
. / ( ) ( )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1
‫كانت‬ ‫إذا‬( ) 𝟐 ( ) 𝟐
( ‫والنمطة‬1,-2‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫حرجةز‬ )b,a‫النمطة‬ ‫نوع‬ ‫بٌن‬ ‫ثم‬ ‫الموجبتٌن‬
‫الحرجةز‬
:‫الحل‬( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬ ‫الدالة‬ ( )
( )
( )
̀( ) ( ) ( ) ( ) -

259. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
258
( )
( )( )
‫ٌهمل‬
̀( ) ( )
‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ( )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2
‫المستمٌم‬ ‫كان‬ ‫إذا‬𝟗 𝟐𝟖‫للدالة‬ ‫مماسا‬( ) 𝟑 𝟐
𝟏( ‫النمطة‬ ‫عند‬3,1‫لٌمة‬ ‫جد‬ )‫ز‬
:‫الحل‬( ) ( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬ ‫الدالة‬ ( )
( )
( )
̀( ) ̀( ) ( ) ( )
̀( ) (‫المماس‬ ‫مٌل‬ )
‫المماس‬ ‫مٌل‬
‫معامل‬
‫معامل‬
( )
⇒ ( )
‫نحصل‬ ( )‫بالعدد‬ ( )‫المعادلة‬ ‫وبضرب‬
ً‫ف‬ ‫نعوض‬(𝟏)‫المعادلة‬‫لٌمة‬ ‫لحساب‬( )
( )

260. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
259
X
Y
5m
13m
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2
( ‫طوله‬ ‫سلم‬13m‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫من‬ ‫مبتعدا‬ ‫للسلم‬ ‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫تحرن‬ ‫فاذا‬ ‫شالولًز‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫ٌرتكز‬ )4m/s‫جد‬
‫بعد‬ ‫على‬ ‫األسفل‬ ‫الطر‬ ‫فٌها‬ ‫ٌكون‬ ً‫الت‬ ‫اللحظة‬ ً‫ف‬ ‫األرض‬ ‫عن‬ ‫للسلم‬ ‫األعلى‬ ‫الطر‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬5m‫الحائطز‬ ‫من‬
:‫الحل‬
‫فٌثاغورس‬
( )
( )
( ⁄ )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬2
‫السالٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫دائرة‬ ‫داخل‬ ‫رسمه‬ ‫ٌمكن‬6 cm‫)ز‬
‫المثلث‬ ‫ابعاد‬ ‫نفرض‬ :‫الحل‬2x, h
( )
ً‫الرئٌس‬ ‫المانون‬
( )
√ ‫العاللة‬
√ √ ( )
̅ ( ) ( )
( )
( )
̅
( )
⇒ ( )
‫ٌهمل‬
√( )( ) √ √
( √ )( ) √

261. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
260
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬1
‫لتكن‬( )‫المكاف‬ ‫المطع‬ ‫على‬ ‫تتحرن‬ ‫نمطة‬𝟐
‫النمطة‬ ً‫أحداث‬ ‫جد‬( )‫ألبتعادها‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ‫ٌكون‬ ‫عندما‬
‫النمطة‬ ‫عن‬.𝟎
𝟑
𝟐
/‫ثلث‬ ‫ٌساوي‬‫للنمطة‬ ‫دي‬ ‫الصا‬ ً‫األحداث‬ ‫لترٌٌر‬ ً‫الزمن‬ ‫المعدل‬( )
‫الحل‬/
‫النمطة‬ ‫لتكن‬‫المكافئ‬ ‫للمطع‬ ( )
𝟏
𝟑
‫النمطة‬ ‫لتكن‬.𝟎
𝟑
𝟐
/
S‫بٌن‬ ‫المسافة‬N , M
̅̅̅̅̅ √( 𝟐 𝟏) 𝟐 ( 𝟐 𝟏) 𝟐
√( 𝟎) 𝟐 (
𝟑
𝟐
)
𝟐
√ 𝟐 (
𝟑
𝟐
)
𝟐
√ ( 𝟐 𝟑
𝟗
𝟒
)
( 𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
)
𝟏
𝟐
(‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫)نشتك‬
𝟏
𝟐
( 𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
)
𝟏
𝟐
(𝟐 𝟐 )
(𝟐 𝟐)
𝟐 . 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒
/
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
(𝟐 𝟐)
𝟐 . 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒
/
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
𝟐( 𝟏)
𝟐 √ 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒
√ 𝟐 𝟐
𝟗
𝟒
𝟑( 𝟏) ( ‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
𝟗( 𝟐
𝟐 𝟏) ( 𝟒)
𝟒 𝟐
𝟖 𝟗 𝟑𝟔 𝟐
𝟕𝟐 𝟑𝟔
𝟑𝟐 𝟐
𝟔𝟒 𝟐𝟕 𝟎
( 𝟑𝟐)
⇒ 𝟐
𝟐
𝟐𝟕
𝟑𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟐𝟕
𝟑𝟐
(‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫ٌصبح‬ ً‫لك‬ ‫المعادلة‬ ً‫طرف‬ ‫الى‬ (𝟏) ‫العدد‬ ‫)نضٌف‬
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐𝟕
𝟑𝟐
𝟏
( 𝟏) 𝟐
𝟓
𝟑𝟐
(‫الطرفٌن‬ ‫)جذر‬
𝟏 √
𝟓
𝟑𝟐
𝟏 √
𝟓
𝟑𝟐
𝟐
𝟏 √
𝟓
𝟑𝟐
√ 𝟏 √
𝟓
𝟑𝟐

262. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
261
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3
‫ج‬‫ــ‬‫ـ‬‫ـــ‬ً‫ـ‬‫ـ‬‫المنحن‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫معادل‬ ‫د‬( ) 𝟑 𝟐
‫ـة‬‫ـ‬‫النمط‬ ‫ـث‬‫ـ‬ٌ‫ح‬( 𝟏 𝟒)‫ـاس‬‫ـ‬‫المم‬ ‫ـل‬‫ـ‬ٌ‫وم‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫ل‬ ‫ـالب‬‫ـ‬‫أنم‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫نمط‬
‫ٌساوي‬ ‫عندها‬(𝟏)
‫الحل‬/‫الدالة‬ ( )
( ) ‫معادلتها‬ ‫تحمك‬
( ) ( ) ( ) ( )
‫ٌساوي‬ ‫األنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫المماس‬ ‫مٌل‬(1)
∴̅( )
̀( ) ̀( ) ( ) ( )
( )
( )
‫أنٌا‬ ‫تحل‬
( )
‫النمطة‬( )‫أنمالب‬ ‫نمطة‬⇐̅̅( )
̿( ) ̿( ) ( ) ( )
( )
( )
‫أنٌا‬ ‫تحل‬
( ) ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬
( ) ( ) ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نعوض‬
( ) ( )
( )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3
‫ج‬‫ــــ‬‫د‬‫ز‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫أكبر‬ ‫الناتج‬ ‫ٌكون‬ ً‫الضرب‬ ‫نظٌره‬ ‫الى‬ ٌ‫أض‬ ‫أذا‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬
‫الحل‬/
‫الفرضيت‬:‫نفرض‬‫الؼذد‬=
= ‫للؼذد‬ ً‫الضرب‬ ‫النظير‬
𝟏
‫الذالت‬:ً‫الضرب‬ ‫نظيره‬ + ‫الؼذد‬
( )
𝟏
‫الذراست‬:
̅( ) 𝟏 𝟐 𝟏
𝟏
𝟐
( ̅( ) 𝟎 ‫نجؼل‬ )
𝟏
𝟏
𝟐
𝟎 𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 𝟏
̅̅( ) 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏
𝟐
𝟑
̅̅(𝟏) 𝟑 𝟎 ̅̅( 𝟏) 𝟏 𝟎

263. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
262
∴‫عندما‬ ‫محلية‬ ‫عظمي‬ ‫نهاية‬ ‫توجد‬𝟏
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3
‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫أرسم‬( )
𝟑
𝟐‫التفاضل‬ ً‫ف‬ ‫معلوماتن‬ ‫بأستخدام‬
/‫الحل‬
‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫أوسع‬⁄ *𝟎+
‫التناظر‬/‫حول‬ ‫متناظر‬ ً‫المنحن‬‫الصادي‬ ‫المحور‬: ‫ألن‬
( ) ➨ ( ) ( )
( )
𝟑
( ) 𝟐
𝟑
𝟐
( )
/ ‫المحاذٌات‬
𝟐
𝟎 𝟎 ً‫الشالول‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
𝟏
𝟐
𝟐 𝟏
𝟎 ً‫األفم‬ ‫المحاذي‬ ‫المستمٌم‬
‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬⁄‫ألن‬ ‫المحورٌن‬ ‫مع‬ ‫تماطع‬ ‫ٌوجد‬ ‫ال‬𝟎 𝟎
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
( )
𝟑
𝟐
𝟑 𝟐 ̅( ) 𝟔 𝟑
𝟔
𝟑
( ̅( ) 𝟎 )
‫دراسة‬( )‫عنها‬ ‫ٌنتج‬ ‫وما‬
̅( ) 𝟏𝟖 𝟒
𝟏𝟖
𝟒
.
̅( ) 𝟎 /

264. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
263
ً‫ف‬ ‫ممعرة‬ ‫الدالة‬‫الفترتٌن‬* 𝟎+ * 𝟎+
‫رسمها‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫بالرسم‬ ‫الخاصة‬ ‫النمط‬ ‫تحدٌد‬
1√𝟑
2√
𝟑
𝟐
3𝟏
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬2
‫كان‬ ‫أذا‬( )
𝟏
√
‫جد‬‫للدالة‬ ً‫التمرٌب‬ ‫الترٌٌر‬ ‫ممدار‬‫أ‬‫ترٌرت‬ ‫ذا‬‫من‬𝟒‫الى‬𝟒 𝟎𝟏‫؟‬
‫الحل‬/
‫نفرض‬( 𝟒)‫معطى‬
‫نفرض‬( 𝟒 𝟎𝟏)‫معطى‬
𝟒 𝟎𝟏 𝟒 𝟎 𝟎𝟏
( )
𝟏
√
( ) ( ).
𝟏
𝟐
/ ̅( )
𝟏
𝟐
( ).
𝟑
𝟐
/ ̅( )
𝟏
𝟐 √ 𝟑
̅( )
𝟏
𝟐 √ 𝟑
̅(𝟒)
𝟏
𝟐 √(𝟒) 𝟑
̅(𝟒)
𝟏
𝟐(𝟖)
𝟏
𝟏𝟔
̅(𝟒) 𝟎 𝟎𝟔𝟐𝟓
̅( ) ̅( 𝟒) ( 𝟎 𝟎𝟏)( 𝟎 𝟎𝟔𝟐𝟓) 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟐𝟓 ً‫التمرٌب‬ ‫التغٌٌر‬ ‫ممدار‬

265. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
264
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬2
ً‫للمنحن‬ ً‫تنتم‬ ‫نمطة‬ ‫جد‬𝟐 𝟐
𝟓‫ال‬ ‫من‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكون‬ ً‫لك‬‫نمطة‬(𝟒 𝟎)
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫النمطة‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬( )ً‫المنحن‬ ‫نمط‬ ‫من‬ ً‫ه‬𝟐 𝟐
𝟓‫للنمطة‬ ‫ٌمكن‬ ‫ما‬ ‫ألرب‬ ‫تكن‬ ‫بحٌث‬(𝟒 𝟎)
√( 𝟒) 𝟐 ( 𝟎) 𝟐
‫الدالة‬:ً‫ه‬‫المسافة‬ ‫لانون‬
√ 𝟐 𝟖 𝟏𝟔 ( 𝟐 )
√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏
‫العاللة‬:( 𝟐 𝟐 𝟓)
√ 𝟐 𝟖 𝟏𝟔 𝟐
𝟒 𝟖
(𝟐)√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏
( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟒 𝟖
( 𝟐)√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏
𝟎
𝟒 𝟖 𝟎 𝟐 𝟎
𝟐
𝟐 𝟐 𝟒 𝟗 𝟑
‫الدراسة‬:
ً‫ه‬ ‫النماط‬(𝟐 𝟑) ( 𝟑)

266. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
265
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬2
‫ـاع‬‫ـ‬‫أرتف‬ ‫علـى‬ ‫مصـباح‬𝟔 𝟒‫وشـخص‬ ً‫ـالول‬‫ـ‬‫ش‬ ‫عمـود‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫مثبـت‬ ‫متـر‬‫طولـــ‬‫ـــ‬‫ـــه‬𝟏 𝟔‫ٌتحـرن‬ ‫ـر‬‫ـ‬‫مت‬‫ـن‬‫ـ‬‫ع‬ ‫مبتعـدا‬
‫وبس‬ ‫العمود‬‫ــــ‬‫رعة‬𝟑𝟎 ⁄‫جد‬‫سرعة‬‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ترٌٌر‬
‫الحل‬/
8
‫المصباح‬ ‫لاعدة‬ ‫عن‬ ‫الرجل‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫الرجــــــــــــل‬ ‫ظل‬ ‫طــــــول‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t‫حٌث‬𝟑𝟎
‫أستعمال‬ ‫او‬ ‫مثلثات‬ ‫تشابه‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬(tan)
𝟔 𝟒
‫الكبٌر‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬
𝟏 𝟔
‫الصغٌر‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬
𝟔 𝟒 𝟏 𝟔 ( 𝟏 𝟔)
⇒
𝟒 𝟏
𝟒 𝟑 ( ‫بداللة‬ ‫)نشتك‬
𝟑
. /
𝟑
𝟑𝟎
𝟑
𝟏𝟎 ( ⁄ )
‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫ترٌٌر‬ ‫معدل‬=𝟏𝟎 ( ⁄ )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3
‫ـى‬‫ـ‬‫األعل‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫طرف‬ ‫ـز‬‫ـ‬‫ٌرتك‬ ‫ـلم‬‫ـ‬‫س‬‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬, ‫ـة‬‫ـ‬ٌ‫أفم‬ ‫أرض‬ ‫ـى‬‫ـ‬‫عل‬ ‫ـفل‬‫ـ‬‫األس‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫وطرف‬ ً‫ـالول‬‫ـ‬‫ش‬ ‫ـائط‬‫ـ‬‫ح‬‫ـأذا‬‫ـ‬‫ف‬‫ـفل‬‫ـ‬‫األس‬ ‫ـه‬‫ـ‬‫طرف‬ ‫ـة‬‫ـ‬‫حرك‬ ‫ـرعة‬‫ـ‬‫س‬ ‫ـت‬‫ـ‬‫كان‬
.
𝟏
𝟓
/‫أنزالق‬ ‫معدل‬ ‫,جد‬‫طرف‬‫األعلى‬ ‫ه‬‫تكون‬ ً‫الت‬ ‫اللحظة‬ ً‫ف‬‫الزاوٌة‬‫المحصورة‬‫واألرض‬ ‫السلم‬ ‫بٌن‬
𝟑
‫الحل‬/
‫الطريقة‬①
{
‫الســـــــــــــلم‬ ‫طــــــــــول‬ ‫نـــــفرض‬
‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫الســــــــــلم‬ ‫لاعدة‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫األرض‬ ‫عن‬ ‫السلم‬ ‫رأس‬ ‫بعد‬ ‫نفرض‬
‫األرض‬ ‫و‬ ‫الســــــــلم‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t
‫فٌثاغورس‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬
𝟐 𝟐 𝟐
①‫معادلة‬
𝟑
√𝟑
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐

267. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
266
‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 (
𝟏
𝟐
) (
𝟏
𝟓
) 𝟐 4
√𝟑
𝟐
5 𝟎
𝟏
𝟓
√𝟑 𝟎
𝟓√𝟑
𝟏
𝟓√𝟑
( ⁄ )
= ‫للسلم‬ ‫العلوي‬ ‫الطر‬ ‫االنزالق‬ ‫معدل‬
𝟐
√𝟑
m/s
‫الطرٌمة‬②
𝟑
√𝟑 √𝟑
‫المعادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬①‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐( ) (
𝟏
𝟓
) 𝟐(√𝟑 ) 𝟎
𝟐
𝟓
𝟐√𝟑 𝟎
𝟐
𝟏𝟎√𝟑
𝟏
𝟓√𝟑
( ⁄ )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3
‫كانت‬ ‫أذا‬( ) √ 𝟐 𝟔
𝟑
‫المٌمـ‬ ‫المتوســطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬ ‫بأستخدام‬ ‫جد‬‫لـ‬ ‫التمرٌبٌة‬ ‫ة‬(𝟏 𝟎𝟐)
‫ا‬‫لحل‬/
‫نفرض‬𝟏‫حسابه‬ ‫ٌسهل‬ ‫المعطى‬ ‫للعدد‬ ‫رلم‬ ‫ألرب‬
‫نفرض‬𝟏 𝟎𝟐‫معطى‬
𝟏 𝟎𝟐 𝟏 𝟎 𝟎𝟐
( ) √ 𝟐 𝟔
𝟑
( 𝟐 𝟔)
𝟏
𝟑 (𝟏) ( 𝟐 𝟔)
𝟏
𝟑 ( 𝟖)
𝟏
𝟑 . 𝟐 𝟑
/
𝟏
𝟑
𝟐
̅( )
𝟏
𝟑
(𝟐 𝟔)
𝟐
𝟑 (𝟐)
𝟐
𝟑(𝟐 𝟔)
𝟐
𝟑
̅(𝟏)
𝟐
𝟑(𝟖)
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑(𝟐 𝟑)
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑(𝟐) 𝟐
𝟏
𝟔
𝟎 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔
( ) ( ) ̅( )
( 𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟐)) (𝟏) (𝟎 𝟎𝟐) ̅(𝟏)
(𝟏 𝟎𝟐) 𝟐 (𝟎 𝟎𝟐) (𝟎 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑 (𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑

268. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
267
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3
‫رسمه‬ ‫ٌمكن‬ ‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬‫لطرها‬ ‫نص‬ ‫دائرة‬ ‫نص‬ ‫داخل‬𝟔‫سم‬
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫المستطٌل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬=𝟐‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬= ‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫ونفرض‬A
‫الدالة‬:‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐 ( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫فٌثاغورس‬‫المائم‬ ‫المثلث‬ ً‫ف‬(ABC)
𝟐 𝟐 ( 𝟔) 𝟐 𝟐 𝟐
𝟑𝟔
√ 𝟑𝟔 𝟐 (②‫)معادلة‬
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐.√ 𝟑𝟔 𝟐/
𝟐.√ 𝟑𝟔 𝟐 𝟒/ √ 𝟒(𝟑𝟔 𝟐 𝟒)
√ 𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒
‫الدراسة‬:
𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑
𝟐 .√𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒/
( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑
𝟐 (√ 𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒
)
𝟎 𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑
𝟎
𝟏𝟖 𝟑
𝟎 ( 𝟐)
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟐
𝟑√𝟐 ( ‫السالب‬ ‫)ٌهمل‬
𝟑√𝟐 ( ‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ )
√ 𝟑𝟔 𝟐 √𝟑𝟔 √ 𝟑√𝟐
𝟐 𝟐(𝟑√𝟐) 𝟔√𝟐 ( ‫المستطٌل‬ ‫طول‬ )
𝟐 (𝟔√𝟐)(𝟑√𝟐) 𝟑𝟔 𝟐
‫مستطٌل‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬
:‫األختبار‬‫لألطالع‬

269. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
268
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3
‫ــتمٌم‬‫ـ‬‫المســ‬𝟑 𝟕ً‫ـ‬‫ـ‬‫المنحن‬ ‫ـس‬‫ـ‬‫ٌم‬𝟐
‫ـد‬‫ـ‬‫عن‬(𝟐 𝟏)ً‫ـ‬‫ـ‬‫للمنحن‬ ‫ـان‬‫ـ‬‫وك‬‫نهاٌــ‬‫ـ‬‫ـ‬‫ـــ‬‫ـة‬
‫محلٌة‬‫صررى‬‫عند‬𝟓‫لٌمة‬ ‫جد‬
/‫الحل‬
‫النمطة‬(𝟐 𝟏)ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬
𝟐
𝟏 ( 𝟐) 𝟐
( 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟏 ( ‫معادلة‬① )
∵‫صررى‬ ‫نهاٌة‬ ً‫للمنحن‬‫عند‬ ‫محلٌة‬𝟓⇐‫عندما‬
𝟐 𝟎 𝟐 ( ) 𝟏𝟎 𝟎 ( ‫معادلة‬② )
‫معادلته‬ ‫من‬ ‫المماس‬ ‫المستمٌم‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫نجد‬:
‫معامل‬
‫معامل‬
‫نجد‬ ‫اي‬ ( ‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬ ‫نجد‬‫عندما‬)
𝟐 𝟒
∵‫المماس‬ ‫المستمٌم‬ ‫مٌل‬‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬
𝟒 𝟒 𝟑 ( ‫معادلة‬③ )
( ‫المعادلتٌن‬ ‫بحل‬2( ‫و‬ )3: ‫على‬ ‫نحصل‬ ً‫ا‬ٌ‫أن‬ )
( ‫معادلة‬② )
( ‫معادلة‬③ )
‫بالطرح‬
( ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫)نعوض‬②
( ) ( 𝐜 ‫ألٌجا‬‫د‬ ① ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫نع‬‫وض‬ )
( ) ( )

270. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
269
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2016‫/د‬1
‫جـد‬‫أبعـاد‬‫أس‬ ‫أكبـر‬‫ــــــ‬‫لائم‬ ‫دائرٌـة‬ ‫طوانة‬‫ــــ‬‫ت‬ ‫ة‬‫أرتفاعـــــ‬ ‫لـائم‬ ‫دائـري‬ ‫مخـروط‬ ‫داخـل‬ ‫وضـــــع‬‫ه‬(𝟔 )‫ـر‬‫ـ‬‫لط‬ ‫وطـول‬
‫لاعدته‬(𝟏𝟎 )
/‫الحل‬
‫الفرضٌة‬:‫لاعدة‬ ‫لطر‬ ‫نص‬ ‫نفرض‬= ‫األسطوانة‬R= ‫المخروط‬ ‫أرتفاع‬ ‫ونفرض‬h=‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫ونفرض‬V
‫الدالة‬:‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫لانون‬ ً‫ه‬
𝟐
( ‫)معادلة‬
‫العاللة‬:‫مثلثات‬ ‫تشابه‬(ADE , ABC)
𝟔
𝟔
𝟓
𝟔 𝟑𝟎 𝟓
𝟑𝟎 𝟔
𝟓
.②‫معادلة‬/
‫معادلة‬ ‫نعوض‬②‫معادلة‬ ً‫ف‬
𝟐 𝟐
(
𝟑𝟎 𝟔
𝟓
)
𝟓
(𝟑𝟎 𝟐
𝟔 𝟑
)
‫الدراسة‬:
𝟓
( 𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐
) ( 𝟎 ‫نجعل‬ )
𝟓
(𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐
) 𝟎 𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐
𝟎 ( 𝟔)
𝟏𝟎 𝟑 𝟐
𝟎 ( 𝟏𝟎 𝟑 ) 𝟎
𝟎 (‫ٌهمل‬ )
𝟏𝟎 𝟑 𝟎
𝟏𝟎
𝟑
𝟑𝟎 𝟔
𝟓
𝟑𝟎 𝟔 .
𝟏𝟎
𝟑
/
𝟓
𝟑𝟎 𝟐𝟎
𝟓
𝟏𝟎
𝟓
𝟐
∴: ً‫ه‬ ‫أسطوانة‬ ‫أكبر‬ ‫أبعاد‬𝟐,
𝟏𝟎
𝟑
: ً‫التال‬ ‫بالشكل‬ ‫السابك‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫العاللة‬ ‫كتابة‬ ‫ٌمكن‬ : ‫مالحظة‬
‫العاللة‬:‫مثلثات‬ ‫تشابه‬(ADE , ABC)
𝟓
𝟔 𝟔
𝟔 𝟑𝟎 𝟓
𝟑𝟎 𝟔
𝟓

271. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
270
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2016‫/د‬1
‫ص‬‫ــــ‬‫فٌحة‬‫معدنٌة‬‫مستطٌلة‬‫الشكل‬‫مسـاحتها‬𝟗𝟔 𝟐
‫ٌتمـدد‬‫عرضـ‬‫بمعـدل‬ ‫ها‬𝟐 ⁄‫مس‬ ‫تبمـى‬ ‫بحٌـث‬‫ـــــ‬‫احتها‬
‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫ثابتة‬‫الطول‬ ‫ترٌٌر‬‫ٌكون‬ ‫عندما‬‫لـ‬ ً‫ا‬ٌ‫مساو‬ ‫الطول‬𝟏𝟐
‫الحل‬/
8
‫المستطٌل‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬
‫المستطٌل‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬
‫زمن‬ ‫اي‬ ً‫ف‬t
‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ً‫ه‬ ‫العاللة‬( )=, -
𝟗𝟔 ①‫معادلة‬ ( ‫لٌمة‬ ‫)نحسب‬
𝟗𝟔 (𝟏𝟐)
𝟗𝟔
𝟏𝟐
𝟖
① ‫معادلة‬ ‫نشتك‬ ‫األن‬‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
𝟎 (𝟏𝟐)(𝟐) (𝟖) 𝟎
𝟐𝟒
𝟖
𝟑 ( ⁄ )
∴ً‫ف‬ ‫التنالص‬ ‫معدل‬‫طول‬= ‫المستطٌل‬( 𝟑 ⁄ )
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2016‫/د‬1
‫ــت‬‫ـ‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) 𝟑
𝟒 𝟐
‫ــث‬‫ـ‬ٌ‫ح‬,𝟎 -‫ــت‬‫ـ‬‫وكان‬‫م‬ ‫ــك‬‫ـ‬‫تحم‬‫ـــ‬‫ـ‬‫ــ‬‫المٌم‬ ‫برهنة‬‫ـــ‬‫ـ‬‫ــ‬‫المتوس‬ ‫ة‬‫ـــ‬‫ـ‬‫ـــ‬‫طة‬
‫ع‬‫ـــ‬‫ندما‬
𝟐
𝟑
‫لٌمة‬ ‫فجد‬
‫الحل‬/
( ) 𝟑
𝟒 𝟐 ̅( ) 𝟑 𝟐
𝟖
‫المتوسطة‬ ‫المٌمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحمك‬ ‫الدالة‬
̅( )
( ) ( )
( ‫الممـــــاس‬ ‫مـــــــٌل‬ ‫ال‬‫وتـــــــر‬ ‫مـــــــٌل‬ )
𝟑 𝟐
𝟖
( 𝟑
𝟒 𝟐) (𝟎)
𝟑 (
𝟐
𝟑
)
𝟐
𝟖 (
𝟐
𝟑
)
( 𝟐
𝟒 ) 𝟒
𝟑
𝟏𝟔
𝟑
𝟐
𝟒
𝟏𝟐
𝟑
𝟐
𝟒
𝟒 𝟐
𝟒 𝟐
𝟒 𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐

272. ‫الفصل‬‫الثا‬‫لث‬/‫تطبٌمات‬‫التفاضل‬‫أعداد‬/‫األستاذ‬ً‫عل‬‫حمٌد‬𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎
271
‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬ 𝟐(‫الطول‬ ‫العرض‬ )
‫المخروط‬ ‫حجم‬
𝟐
𝟑
‫المستطٌل‬ ‫مساحة‬ ‫الطول‬ ‫العرض‬‫المكعب‬ ‫حجم‬ (‫الضلع‬ ‫طول‬ )
𝟑
‫المربع‬ ‫محٌط‬ 𝟒(‫الضلع‬ ‫)طول‬‫للمكعب‬ ‫السطحٌة‬ ‫المساحة‬ 𝟔(‫الضلع‬ ‫طول‬ )
𝟐
‫المربع‬ ‫مساحة‬ (‫الضلع‬ ‫طول‬ )
𝟐
‫المستطٌالت‬ ‫لمتوازي‬ ‫الجانبٌة‬ ‫المساحة‬ ‫األرتفاع‬ ‫الماعدة‬ ‫محٌط‬
‫محٌط‬ ‫الدائرة‬ 𝟐‫المستطٌالت‬ ‫لمتوازي‬ ‫الكلٌة‬ ‫المساحة‬ ‫الجانبٌة‬ ‫المساحة‬ ‫الماعدتٌن‬ ‫مساحة‬
‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ 𝟐
‫المستطٌالت‬ ‫متوازي‬ ‫حجم‬ ‫األرتفاع‬ ‫الماعدة‬ ‫مساحة‬
‫الكرة‬ ‫مساحة‬ 𝟒 𝟐
‫المثلث‬ ‫محٌط‬ ‫الثالثة‬ ‫أضالعه‬ ‫أطوال‬ ‫مجموع‬
‫األسطوانة‬ ‫حجم‬ 𝟐
‫المثلث‬ ‫مساحة‬
𝟏
𝟐
(‫)األرتفاع()الماعدة‬
‫الكرة‬ ‫حجم‬
𝟒
𝟑
𝟑‫المسافة‬ √( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟐
‫المٌل‬
𝟐 𝟏
𝟐 𝟏
𝟏
𝟏
‫م‬ ‫لوانٌن‬‫جدا‬ ‫فٌدة‬

273. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
272
‫ال‬ ‫الفصل‬‫رابع‬/‫التكامل‬
‫للتكامــــــــــل‬ ‫األساسٌة‬ ‫النظرٌة‬–‫الممابلة‬ ‫الدالة‬
‫كانت‬ ‫أذا‬‫عل‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬‫الفترة‬ ‫ى‬, -‫دالة‬ ‫توجد‬ ‫فأنه‬F‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, -‫بحٌث‬:
( ) ( ) ( )
‫وٌكون‬∫ ( ) ( ) ( )‫تسمى‬ ‫حٌث‬‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬f‫الفترة‬ ‫على‬, -
‫مثال‬(1)/‫كانت‬ ‫أذا‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬,𝟏 𝟓-‫بحٌث‬( ) 𝟑 𝟐
‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬f‫لٌمة‬ ‫فجد‬∫ ( )
𝟓
𝟏
‫الحل‬/
∫
𝟓
𝟏
( ) (𝟓) (𝟏) 𝟑(𝟐𝟓) 𝟑(𝟏) 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐
: ‫األتٌة‬ ‫بالصورة‬ ‫ذلن‬ ‫نكتب‬ ‫أن‬ ‫وٌمكن‬
∫
𝟓
𝟏
( ) , ( )
𝟓
-
𝟏
,𝟑 𝟐
𝟓
-
𝟏
𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐
‫مثال‬(2)/‫كانت‬ ‫أذا‬f‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬0𝟎
𝟐
1‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫و‬f: ً‫ه‬
0𝟎 𝟐
1,( )
‫ف‬‫أو‬‫لٌمة‬ ‫جد‬∫ ( )𝟐
𝟎
‫الحل‬/
∫
𝟐
𝟎
( ) , ( )- .
𝟐
/ (𝟎) .
𝟐
/ (𝟎) 𝟏 𝟎 𝟎
‫م‬‫ثال‬(3)/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( ) 𝟑
𝟐,, 𝟏 𝟑-‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬( ) 𝟑 𝟐
‫الحل‬/∵( ) 𝟑
𝟐‫على‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬) ‫حدود‬ ‫كثٌرة‬ ‫ألنها‬ (
∴F‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬‫على‬,𝟏 𝟑-‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬‫على‬(𝟏 𝟑)
( ) 𝟑 𝟐 ( ) (𝟏 𝟑)
∴F‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬‫على‬,𝟏 𝟑-

274. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
273
‫م‬‫ثال‬(4)/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( )
𝟏
𝟐
𝟐,‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
( ) 𝟐,
‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬∫ 𝟐𝟒
𝟎
‫الحل‬/
∵( ) 𝟐‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
( )
𝟏
𝟐
𝟐‫أٌضا‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
( )
𝟏
𝟐
𝟐 (𝟐) 𝟐 ( )
∴‫للدالة‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
∫ ( ) ( ) ( )
∫ 𝟐
𝟒
𝟎
[
𝟏
𝟐
𝟐 ]
𝟎
𝟒
[
𝟏
𝟐
𝟐 .
𝟒
/] [
𝟏
𝟐
𝟐(𝟎)] [
𝟏
𝟐
.
𝟐
/] [
𝟏
𝟐
𝟎]
𝟏
𝟐
(𝟏)
𝟏
𝟐
(𝟎)
𝟏
𝟐

275. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
274
‫بٌن‬ ‫العاللة‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدناه‬ ‫الجدول‬f‫لها‬ ‫الممابلة‬ ‫والدالة‬F
( ) ‫لها‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬( ) ‫الدالة‬
𝟏
𝟏𝟏
𝟏
𝟏𝟏
, ( )- 𝟏
𝟏, ( )- ( ) 𝟏
𝟏
( )( )
𝟏
( )
( )
𝟏
( )𝟐( )
𝟏
( )𝟐( )
𝟏
𝟏
∫ ( ) ( ) ‫نستنتج‬ ‫الجدول‬ ‫من‬
‫دالة‬ ‫ألٌة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدوال‬ ‫مجموعة‬ً‫ه‬ ‫أعاله‬ ‫الجدول‬ ً‫ف‬ ‫كما‬F+C‫أن‬ ‫حٌث‬Cً‫حمٌم‬ ‫ثابت‬ ‫عدد‬

276. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
275
‫م‬‫ثال‬(5)/‫أوجد‬∫ 𝟐𝟒
𝟎
‫الحل‬/
∫ 𝟐
𝟒
𝟎
, - 𝟎
𝟒
𝟒
𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
‫م‬‫ثال‬(6)/‫أوجد‬∫ 𝟐𝟐
𝟒
‫الحل‬/
∫ 𝟐
𝟐
𝟒
, -
𝟒
𝟐
0
𝟐 𝟒
1 , 𝟎 𝟏- 𝟏
‫م‬‫ثال‬(7)/‫أوجد‬∫ 𝟑
𝟎
‫الحل‬/
∫
𝟑
𝟎
, - 𝟎
𝟑
𝟑
𝟎
𝟏
𝟑
𝟏
𝟎
𝟏
.
𝟏
𝟐
/
𝟏 𝟐 𝟏 𝟏
‫م‬‫ثال‬(8)/‫أوجد‬∫ 𝟑𝟑
𝟏
‫الحل‬/
∫ 𝟑
𝟑
𝟏
*
𝟒
𝟒
+
𝟏
𝟑
[
𝟖𝟏
𝟒
𝟏
𝟒
]
𝟖𝟎
𝟒
𝟐𝟎

277. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
276
‫المحدد‬ ‫التكامـــــل‬ ‫خواص‬
:‫أوال‬Ⓘ‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( ) 𝟎 , -
‫فأن‬∫ ( ) 𝟎ً‫ال‬‫مث‬:
(𝑎) 𝑓(𝑥) 𝑥2
0 𝑥𝜖, 1 2- ∶ ‫ألن‬ ∫ 𝟐
𝟐
𝟏
𝑑𝑥 𝟎
(𝑏) 𝑓(𝑥) 3 > 0 𝑥𝜖, 2 3- ∶ ‫ألن‬ ∫ (𝟑)
𝟑
𝟐
𝑑𝑥 > 𝟎
(𝑐) 𝑓(𝑥) (𝑥 1) > 0 𝑥𝜖,2 3- ∶ ‫ألن‬ ∫ ( 𝟏)
𝟑
𝟐
𝑑𝑥 > 𝟎
②‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( ) 𝟎 , -
‫فأن‬∫ ( ) 𝟎ً‫ال‬‫مث‬:
(𝑎) 𝑓(𝑥) < 0 𝑥𝜖,1 2- ∶ ‫ألن‬ ∫ ( 𝟐)
𝟐
𝟏
𝑑𝑥 < 𝟎
(𝑏) 𝑓(𝑥) < 0 𝑥𝜖, 2 1- ∶ ‫ألن‬ ∫
𝟏
𝟐
𝑑𝑥 < 𝟎
:‫ثانٌا‬‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكان‬C‫ثابت‬ ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬‫فأن‬
∫ 𝑪𝒇(𝒙) 𝑪 ∫ 𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂
𝒃
𝒂
‫م‬‫ثال‬(9)/‫كان‬ ‫أذا‬∫ ( ) 𝟖
𝟓
𝟐
‫فأوجد‬∫ 𝟓 ( )
𝟓
𝟐
‫الحل‬/
∫ 𝟓 ( )
𝟓
𝟐
𝟓∫ ( )
𝟓
𝟐
𝟓( 𝟖) 𝟒𝟎

278. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
277
:‫ثالثا‬‫كانت‬ ‫أذا‬𝟏 𝟐‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالتٌن‬, -‫فأن‬( 𝟏 𝟐)∫ 𝟏∫ ∫ 𝟐
𝒃
𝒂
𝒃
𝒂
𝒃
𝒂
‫على‬ ‫المستمرة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫محدد‬ ‫عدد‬ ‫أي‬ ‫مجموع‬ ‫على‬ ‫الخاصٌة‬ ‫هذه‬ ‫تعمٌم‬ ‫وٌمكننا‬, -
‫م‬‫ثال‬(10)/‫كانت‬ ‫أذا‬∫ 𝟐( ) 𝟏𝟕
𝟑
𝟏
,∫ 𝟏( ) 𝟏𝟓
𝟑
𝟏
: ‫من‬ ‫كال‬ ‫فأوجد‬
∫ ( 𝟏( ) 𝟐( ))
𝟑
𝟏
∫ ( 𝟏( ) 𝟐( ))
𝟑
𝟏
‫الحل‬/
∫ ( 𝟏( ) 𝟐( ))
𝟑
𝟏
∫ 𝟏( )
𝟑
𝟏
∫ 𝟐( )
𝟑
𝟏
15 17 32
∫ ( 𝟏( ) 𝟐( ))
𝟑
𝟏
∫ 𝟏( )
𝟑
𝟏
∫ 𝟐( )
𝟑
𝟏
15 17 2
‫م‬‫ثال‬(11)/‫كانت‬ ‫أذا‬( ) 𝟑 𝟐
𝟐‫فأوجد‬∫ ( )
𝟐
𝟏
‫الحل‬/
∫ ( )
𝟐
𝟏
∫ ( 𝟑 𝟐
𝟐 )
𝟐
𝟏
∫ 𝟑 𝟐
𝟐
𝟏
∫ 𝟐
𝟐
𝟏
, 𝟑
𝟐
-
𝟏
, 𝟐
𝟐
-
𝟏
(8 1) (4 1) 7 3 10
:‫رابعا‬‫كانت‬ ‫أذا‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫وكانت‬( )‫فأن‬:
∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥
𝒄
𝒂
∫ 𝒇(𝑥)𝑑𝑥
𝒃
𝒄
𝒃
𝒂
‫م‬‫ثال‬(21)/‫كانت‬ ‫أذا‬∫ ( ) 𝟖
𝟕
𝟑
,∫ ( ) 𝟓
𝟑
𝟏
‫فأوجد‬∫ ( )
𝟕
𝟏
‫الحل‬/
∫ ( )
𝟕
𝟏
∫ ( )
𝟑
𝟏
∫ ( )
𝟕
𝟑
𝟓 𝟖 𝟏𝟑

279. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
278
‫م‬‫ثال‬(31)/‫كان‬ ‫أذا‬( ) | |‫أوجد‬∫ ( )
𝟒
𝟑
‫الحل‬/‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, 𝟑 𝟒-: ‫هما‬ ‫لاعدتان‬ ‫ولها‬
( ) 2
𝟎
< 𝟎
∫ ( )
𝟒
𝟑
∫ ( )
𝟎
𝟑
∫ ( ) *
𝟐
𝟐
+
𝟑
𝟎
,
𝟐
𝟐
𝟒
-
𝟎
𝟒
𝟎
[0 (
9
2
)] [
16
2
0]
9 16
2
25
2
‫م‬‫ثال‬(14)/‫كان‬ ‫أذا‬( ) 2
𝟐 𝟏 𝟏
𝟑 < 𝟏
‫فأوجد‬∫ ( )
𝟓
𝟎
‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟓-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟏)‫ألن‬
( ) ( 𝟏) 𝟐( 𝟏) 𝟏 𝟑 ‫معرفة‬
( )
𝟏
( ) {
( )
( 𝟐 𝟏) 𝟑 𝟏
( )
𝟑 𝟑 𝟐
∵ 𝟏 = 𝟐
∴ 𝟏 ( ) 𝟑 ‫موجودة‬ 𝟏 ( ) ( 𝟏)
∴‫الدالة‬‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬* < 𝟏+ * > 𝟏+
∵‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬,𝟎 𝟓-
∴ ∫ ( ) ∫ ( )
𝟏
𝟎
∫ ( )
𝟓
𝟏
∫ 𝟑
𝟏
𝟎
∫ (𝟐 𝟏)
𝟓
𝟏
𝟓
𝟎
,𝟑
𝟏
-
𝟎
, 𝟐
𝟓
-
𝟏
, 𝟑 𝟎- , 𝟑𝟎 𝟐- 𝟑 𝟐𝟖 𝟑𝟏

280. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
279
‫م‬/ ‫ثال‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) { 𝟑 𝟐
𝟐 𝟏
𝟔 𝟏 < 𝟏
‫فأوجد‬∫ ( )
𝟑
𝟐
‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟑-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟏)‫ألن‬
( ) ( 𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟐
𝟐( 𝟏) 𝟓 ‫معرفة‬
( )
𝟏
( ) {
( )
( 𝟑 𝟐
𝟐 ) 𝟓 𝟏
( )
( 𝟔 𝟏) 𝟓 𝟐
∵ 𝟏 = 𝟐
∴ 𝟏 ( ) 𝟓 ‫موجودة‬ 𝟏 ( ) ( 𝟏)
∴‫الدالة‬‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬* < 𝟏+ * > 𝟏+
∵‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟑-
∴ ∫ ( ) ∫ ( )
𝟏
𝟐
∫ ( )
𝟑
𝟏
∫ (𝟔 𝟏)
𝟏
𝟐
∫ ( 𝟑 𝟐
𝟐 )
𝟑
𝟏
𝟑
𝟐
,𝟑 𝟐
𝟏
-
𝟐
, 𝟑 𝟐
𝟑
-
𝟏
, 𝟐 𝟏𝟒- , 𝟑𝟔 𝟐- 𝟏𝟐 𝟑𝟒 𝟐𝟐
‫م‬/ ‫ثال‬‫كان‬ ‫أذا‬( ) | | 𝟑‫فأوجد‬∫ ( )
𝟒
𝟑
‫الحل‬/‫السابك‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫الحل‬ ‫أثبات‬ ‫طرٌمة‬ ‫نفس‬
( ) 2
𝟑 𝟎
𝟑 < 𝟎
∫ ( )
𝟒
𝟑
∫ (𝟑 )
𝟎
𝟑
∫ ( 𝟑) *𝟑
𝟐
𝟐
+
𝟑
𝟎
*
𝟐
𝟐
𝟑 +
𝟎
𝟒𝟒
𝟎
[𝟎 ( 𝟗
𝟗
𝟐
)] [(
𝟏𝟔
𝟐
𝟏𝟐) 𝟎]
𝟐𝟕 𝟒𝟎
𝟐
𝟔𝟕
𝟐

281. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
280
:‫خامسا‬
( ) ∫ ( ) 𝟎 ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
: ً‫ال‬‫مث‬
( ) ∫
𝟑
𝟑
*
𝟐
𝟐
+
𝟑
𝟑
9
2
9
2
𝟎
( ) ∫ 𝟑 𝟐
𝟐
𝟑
∫ 𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
,
3
-
2
,27 8- 27 8 19
(𝟒 𝟏)‫تمارين‬
‫س‬1/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫أحسب‬:
( ) ∫ (𝟑 𝟐)
𝟐
𝟐
* 𝟑
𝟐
𝟐
𝟐 +
𝟐
𝟐
*
𝟑(𝟒)
𝟐
𝟒+ *
𝟑(𝟒)
𝟐
𝟒+ (𝟔 𝟒) (𝟔 𝟒) 𝟐 𝟏𝟎 𝟖
( ) ∫ ( 𝟐
𝟐 𝟏)
𝟐
𝟏
*
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐
𝟐
+
𝟏
𝟐
[
𝟏 𝟐
]
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
𝟒 𝟐) ( 𝟏 𝟏 𝟏) 𝟓
𝟏
𝟐
𝟏 𝟒
𝟏
𝟐
( ) ∫ ( 𝟒
𝟒 )
𝟑
𝟏
*
𝟓
𝟓
𝟐 𝟐
+
𝟏
𝟑
[
𝟐𝟒𝟑
𝟓
𝟏𝟖] [
𝟏
𝟓
𝟐]
𝟐𝟒𝟐
𝟓
𝟏𝟔
𝟐𝟒𝟐 𝟖𝟎
𝟓
𝟑𝟐𝟐
𝟓

282. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
281
( ) ∫ | 𝟏|
𝟐
𝟎
| 𝟏| 2
𝟏 𝟏
𝟏 < 𝟏
∫ | 𝟏|
𝟐
𝟎
∫ (1 ) ∫ ( 1)
2
*
2
2
+ *
2
2
+
2
[(1
1
2
) 0] [(2 2) (
1
2
1)]
1
2
1
2
𝟏
( ) ∫ ( )
𝟎
𝟐
*
𝟐
𝟐
+
𝟐
𝟎
*
(𝟎) 𝟐
𝟐
(𝟎)+ [
.
𝟐
/
𝟐
𝟐
.
𝟐
/]
,𝟎 𝟎- [
(
𝟐
𝟒
)
𝟐
𝟏]
𝟐
𝟖
𝟏 𝟏
𝟐
𝟖
( ) ‫مالحظة‬
( ) ∫
𝟑
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
∫
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟐
∫
( 𝟏)( 𝟐
𝟏)
𝟏
∫ ( 𝟐
𝟏)
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
*
3
3
2
2
+
2
3
(*
27
3
9
2
3+ *
8
3
4
2
2+) (
54 27 18 16 12 12
6
)
59
6
( ) ∫
𝟐 𝟑
𝟒 2
𝟓
𝟐
𝟑
𝟏
∫ (𝟐 𝟒 𝟓 𝟐)
𝟑
𝟏
* 2
4
5
1
+ , 2
4
5 𝟑
-
𝟏
[9 12
5
3
] ,1 4 5- 3
5
3
8 5
5
3
15 5
3
10
3

283. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
282
‫س‬2/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬f(x)‫حٌث‬
0𝟎
𝟔
1‫حٌث‬( )
( ) 𝟏‫حٌث‬0𝟎
𝟔
1‫ثم‬‫أحسب‬∫ ( )𝟔
𝟎
‫الحل‬/‫ل‬‫ـ‬‫أن‬ ‫نثبت‬ ً‫ك‬( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( )
‫أن‬ ‫نثبت‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬0𝟎
𝟔
1
( ) , - 0 𝟎
𝟔
1
( )
( ) ( )
∴( )‫مجالها‬ ً‫ف‬ ‫مستمرة‬
( ) ̅( ) 𝟏 ( )
∴( )‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( )
∫ ( )
𝟔
𝟎
(
𝟔
) (𝟎) [
𝟔 𝟔
] , 𝟎 𝟎-
𝟏
𝟐 𝟔
𝟑
𝟔
‫س‬3/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫أوجد‬:
( ) ∫ ( 𝟐)( 𝟏) 𝟐
𝟒
𝟏
∫ ( 𝟐)( 𝟐
𝟐 𝟏)
𝟒
𝟏
∫ ( 𝟑
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟒 𝟐)
𝟒
𝟏
∫ ( 𝟑
𝟑 𝟐)
𝟒
𝟏
[
𝟒
𝟒
𝟑 𝟐
𝟐
𝟐 ]
𝟏
𝟒
, 𝟔𝟒 𝟐𝟒 𝟖- *
𝟏
𝟒
𝟑
𝟐
𝟐+
𝟑𝟐
𝟏
𝟒
𝟑
𝟐
𝟐 𝟑𝟒
𝟓
𝟒
𝟏𝟑𝟔 𝟓
𝟒
𝟏𝟒𝟏
𝟒

284. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
283
( ) ∫ | 𝟏|
𝟏
𝟏
( ) | 𝟏| {
𝟏 𝟏
𝟏 < 𝟏 (‫الفترة‬ ‫خارج‬ )
∫ | 𝟏| ∫ ( 1) *
2
2
+ (
1
2
1) (
1
2
1) 1 1 𝟐
( ) ∫
𝟒
𝟏
𝟏
𝟑
𝟐
∫
( 𝟐
𝟏)( 𝟐
𝟏)
𝟏
𝟑
𝟐
∫
( 𝟏)( 𝟏)( 𝟐
𝟏)
𝟏
∫ ( 𝟏)( 𝟐
𝟏)
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
∫ ( 𝟑 𝟐
𝟏)
𝟑
𝟐
*
𝟒
𝟒
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
+
𝟐
𝟑
[
𝟖𝟏
𝟒
𝟗
𝟗
𝟐
𝟑] [𝟒
𝟖
𝟑
𝟐 𝟐]
𝟖𝟏
𝟒
𝟗
𝟐
𝟏𝟐 𝟖
𝟖
𝟑
𝟒
𝟖𝟏
𝟒
𝟗
𝟐
𝟖
𝟑
𝟒𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟓𝟒 𝟑𝟐
𝟏𝟐
𝟑𝟏𝟑
𝟏𝟐
( ) ∫ √ (√ 𝟐)
𝟐
𝟏
𝟎
∫ √ ( 𝟒√ 𝟒)
𝟏
𝟎
∫
.
𝟏
𝟐
/
( 𝟒
.
𝟏
𝟐
/
𝟒)
𝟏
𝟎
∫ (
.
𝟑
𝟐
/
𝟒 𝟒
.
𝟏
𝟐
/
)
𝟏
𝟎
[
.
𝟓
𝟐
/
.
𝟓
𝟐
/
𝟐 𝟐
𝟒
.
𝟑
𝟐
/
.
𝟑
𝟐
/
]
𝟎
𝟏
[
𝟐
𝟓
𝟐
𝟖
𝟑
] 𝟎
𝟔 𝟑𝟎 𝟒𝟎
𝟏𝟓
𝟕𝟔
𝟏𝟓
‫س‬4/‫كان‬ ‫أذا‬‫ت‬( ) 2
𝟐 𝟑
𝟔 < 𝟑
‫فأوجد‬∫ ( )
𝟒
𝟏
‫الحل‬/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫نبرهن‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬‫الفترة‬, 𝟏 𝟒-
( ) (𝟑) 𝟐(𝟑) 𝟔 ( 𝟑 ‫عندما‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ )
( )
(𝟑)
( ) {
( )
(𝟐 ) 𝟐(𝟑) 𝟔 𝟏
( )
(𝟔) 𝟔 𝟐 𝟏 𝟐
( )
(𝟑)
( ) (𝟑) 𝟔 ( 𝟑 ‫عندما‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ )
∫ ( )
𝟒
𝟏
∫ 𝟔
𝟑
𝟏
∫ 𝟐 , 𝟔
𝟑
-
𝟏
, 𝟐
𝟒
-
𝟑
,𝟏𝟖 𝟔- ,𝟏𝟔 𝟗-
𝟒
𝟑
𝟏𝟐 𝟕 𝟏𝟗

285. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
284
‫س‬5/‫كان‬ ‫أذا‬( ) { 𝟑 𝟐
𝟎
𝟐 < 𝟎
‫فأوجد‬∫ ( )
𝟑
𝟏
‫وزاري‬2014/‫د‬1
‫الحل‬/‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫نبرهن‬( )‫على‬ ‫مستمرة‬‫الفترة‬, 𝟏 𝟑-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫أنها‬ ‫بأثبات‬ ‫وذلن‬( 𝟎)
( ) (𝟎) 𝟑(𝟎) 𝟐
𝟎 ( 𝟎 ‫عندما‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ )
( )
(𝟎)
( ) { 𝟎
(𝟑 𝟐) 𝟑(𝟎) 𝟐
𝟎 𝟏
𝟎
(𝟐 ) 𝟐(𝟎) 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐
( )
(𝟎)
( ) (𝟎) 𝟔 ( 𝟎 ‫عندما‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ )
∫ ( )
𝟑
𝟏
∫ 𝟐
𝟎
𝟏
∫ 𝟑 𝟐
, 𝟐
𝟎
-
𝟏
, 𝟑
𝟑
-
𝟎
,𝟎 𝟏- ,𝟐𝟕 𝟎-
𝟑
𝟎
𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟔
******************************************************************
‫التكامـــل‬‫الغٌــر‬‫المحدد‬
‫للدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫المستمرة‬, -‫ممابلة‬ ‫دالة‬F‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ً‫نهائ‬ ‫ال‬ ‫عدد‬ ‫ٌوجد‬ ‫فأنه‬f‫وكل‬
‫ٌساوي‬ ‫منها‬F + C‫حٌث‬C‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫ٌساوي‬ ‫منها‬ ‫أثنٌن‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫بٌن‬ ‫والفرق‬ ‫ثابت‬ ‫عدد‬ ‫ٌمثل‬
‫تس‬‫ـــــ‬‫مجموع‬ ‫مى‬‫ــــ‬‫الممابل‬ ‫الدوال‬ ‫ة‬‫ـــــ‬‫الصورة‬ ‫على‬ ‫ة‬F+C‫للدالةة‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫بالتكامل‬𝒇‫المسةتمرة‬‫الفتةرة‬ ‫علةى‬
, -‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙ٌ‫متغ‬ ‫رمز‬ ‫كان‬ ‫أذا‬‫الدالة‬ ‫ر‬‫هو‬𝒙
‫بالصورة‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫التكامل‬ ‫كتابة‬ ‫على‬ ‫ٌصطلح‬∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙 𝑭( 𝒙) 𝑪 𝑪 𝐑
‫هو‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫التكامل‬ ‫عملٌة‬‫األخرى‬ ‫دور‬ ً‫تنه‬ ‫أحداهما‬ ‫أي‬ ‫التفاضل‬ ‫لعملٌة‬ ‫المعاكسة‬ ‫العملٌة‬
‫م‬‫ثال‬(1)/‫أوجد‬‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫التكامل‬:
(𝒂) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝟑
𝒙 𝟑
𝟑
𝟐
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙 𝒄 𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 𝒙 𝒄
(𝒃) ∫( 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒙 𝟐) 𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝒙 𝟏
𝟏
𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝟏
𝒙
𝒄
(𝒄) ∫( 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒙) 𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝟐
𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒄
(𝒅) ∫ 𝐬𝐢𝐧( 𝟐𝒙 𝟒) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬( 𝟐𝒙 𝟒) 𝒄

286. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
285
‫م‬‫ثال‬(2)/: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬
(𝒂) ∫( 𝒙 𝟐 𝟑)
𝟐
( 𝟐𝒙) 𝒅𝒙
( 𝒙 𝟐 𝟑)
𝟑
𝟑
𝒄
(𝒃) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓)
𝟔
( 𝟑𝒙 𝟒) 𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
) ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓)
𝟔
(2)( 𝟑𝒙 𝟒) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
( 𝟑𝒙 𝟐
𝟖𝒙 𝟓) 𝟕
𝟕
𝒄
1
𝟏𝟒
( 𝟑𝒙 𝟐
𝟖𝒙 𝟓) 𝟕
𝒄
(𝒄) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟒
𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝟓
𝒙
𝟓
𝒄
(𝒅) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟔
𝑥 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝟕
𝑥
𝟕
𝒄
‫المثلثٌة‬ ‫الدوال‬ ً‫ف‬ ‫العاللات‬ ‫بعض‬
(𝟏) 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 𝟏
(𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽
(𝟑) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 (𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽) 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽
(𝟒) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽) 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 𝟏
(𝟓) 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽
𝟏
𝟐
(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽)
(𝟔) 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽
𝟏
𝟐
(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽)
(𝟕) 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝜽 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝜽 𝟏
(𝟖) 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱
𝟏
𝟐
,𝒔𝒊𝒏(𝑨 𝑩)𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝑨 𝑩)𝒙-
(𝟗) 𝒄𝒐𝒔𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱
𝟏
𝟐
,𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙-
(𝟏𝟎) 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒔𝒊𝒏𝑩𝒙
𝟏
𝟐
,𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝑨 𝑩)𝒙-
(𝟏𝟏) 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟐𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝑠𝜃

287. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
286
‫التربٌعٌة‬ ‫المثلثٌة‬ ‫الدوال‬ ‫تكامالت‬
(𝟏) ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒄
(𝟐) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝒄
(𝟑) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫(𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝜽 𝟏 )𝒅𝜽 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝜽 𝒄
(𝟒) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫(𝐜𝐬𝐜 𝟐
𝜽 𝟏 )𝒅𝜽 ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝜽 𝒄
(𝟓) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫
𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽
𝟐
𝒅𝜽
𝟏
𝟐
(∫ 𝒅𝜽
𝟏
𝟐
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽(𝟐)𝒅𝜽)
𝟏
𝟐
(𝜽
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄
𝟏
𝟐
𝜽
𝟏
𝟒
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 𝒄
(𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫
𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽
𝟐
𝒅𝜽
𝟏
𝟐
(∫ 𝒅𝜽
𝟏
𝟐
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽(𝟐)𝒅𝜽)
𝟏
𝟐
(𝜽
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄
𝟏
𝟐
𝜽
𝟏
𝟒
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 𝑐
‫صفحة‬ ‫الكتاب‬ ‫من‬ ( ‫أمثلة‬185‫و‬‫صفحة‬618)
(𝟏) ∫ 𝟗 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅 𝒙 𝟑 ∫ 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒄
(𝟐) ∫ 𝒙 𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟑
𝒅 𝒙
𝟏
𝟑
∫ 𝟑𝒙 𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟑
𝒅𝒙
𝟏
𝟑
𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟑
𝒄
(𝟑) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙
∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟐 𝒅𝒙
∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ∓(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄
‫وزاري‬2012/‫د‬3
(4) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒
𝒙 𝒅𝒙 ∫ . 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙/
𝟐
𝒅𝒙 ∫ *
𝟏
𝟐
( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)+
𝟐
𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝟒
( 𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙) 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
(∫ 1 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 ) 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
(∫ 1 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫
𝟏
𝟐
( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)) 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
( 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄
𝟏
𝟒
(
𝟑
𝟐
𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄
𝟑
𝟖
𝒙
𝟏
𝟒
𝒔𝒊𝒏( 𝟐𝒙)
𝟏
𝟑𝟐
𝒔𝒊𝒏( 𝟒𝒙) 𝒄

288. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
287
(𝟓) ∫( 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱) 𝟕( 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐱) 𝐝𝐱
( 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱) 𝟖
𝟖
𝒄
(𝟔) ∫
𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝟐
𝒙
𝐭𝐚𝐧 𝟑 𝒙
𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟑
𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
𝐭𝐚𝐧 𝟐
𝒙
𝟐
𝒄
𝟏
𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙
𝒄
(𝟕) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝒙)𝒅𝒙
∫ 𝐜𝐨𝐬𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝟑
𝒙
𝟑
𝒄
‫وزار‬‫ي‬4201/‫د‬2
(𝟖) ∫
𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 ( 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙
𝟐
𝒄
‫وزاري‬2014/‫د‬3‫وزاري‬6201/‫د‬1
(𝟗) ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟔𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 ∫( 𝟐𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟑𝐱) 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟑𝐱( 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱) 𝒅𝒙
𝟐
𝟑
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟑𝐱( 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱)( 𝟑) 𝒅𝒙 (
𝟐
𝟑
)
𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱
𝟒
𝐜
𝟏
𝟔
𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱 𝐜
‫مالحظة‬
𝐜𝐨𝐬 𝟒
𝟑𝐱 (𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱) 𝟒
(𝟏𝟎) ∫
𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟐𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝒅𝒙 ∫
(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)(𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝒅𝒙
∫( 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫( 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙) ( 𝟐) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄
(𝟏𝟏) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝟑𝐱 𝐝𝐱 ∫ *
𝟏
𝟐
( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)+ 𝐝𝐱
𝟏
𝟐
( 𝒙
𝟏
𝟔
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄
(𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟓𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝟏
𝟓
𝒄𝒐𝒕𝟓𝒙 𝒙 𝒄
(𝟏𝟑) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝟕𝐱 𝐝𝐱 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝟏
𝟕
𝒕𝒂𝒏 𝟕𝒙 𝒙 𝒄
‫وزاري‬2014/‫د‬1

289. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
288
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫أوجد‬:
(𝟏) ∫ 𝒙 𝟑𝒙 𝟐 𝟏
𝟑
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟏
𝟑)
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟔
)
( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟒
𝟑)
(
𝟒
𝟑
)
𝒄
𝟏
𝟖
( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟒
𝟑)
𝒄
(𝟐) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟓
(𝟐 𝒙) 𝐬𝐞𝐜 𝟐(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
)
𝒕𝒂𝒏 𝟔
(𝟐 𝒙)
𝟔
𝒄
𝒕𝒂𝒏 𝟔
(𝟐 𝒙)
𝟏𝟐
𝒄
(𝟑) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑(𝟒 𝒙) 𝒔𝒊𝒏(𝟒𝒙)𝒅𝒙 (
𝟏
𝟒
)
𝐜𝐨𝐬 𝟒(𝟒 𝒙)
𝟒
𝒄
𝐜𝐨𝐬 𝟒(𝟒 𝒙)
𝟏𝟔
𝒄
(𝟒) ∫ 𝒙 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟓(𝒙 𝟑) 𝒅𝒙 (
𝟏
𝟑
)
𝐜𝐨𝐬 𝟔(𝒙
𝟑
)
𝟔
𝒄
𝐜𝐨𝐬 𝟔( 𝒙 𝟑)
𝟏𝟖
𝒄
(𝟓) ∫
𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙)
𝒔𝒆𝒄(𝟐𝒙)
𝒅𝒙 ∫
𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙)
(
𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)
)
𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟑(𝟐𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
)
𝐬𝐢𝐧 𝟒(𝟐𝒙)
𝟒
𝒄
𝐬𝐢𝐧 𝟒(𝟐𝒙)
𝟖
𝒄
(𝟔) ∫ 𝒙 𝒙 𝟐 𝟗 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝒙 𝟐
𝟗)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
)
(𝒙 𝟐
𝟗)
.
𝟑
𝟐
/
.
𝟑
𝟐
/
𝒄
(𝒙 𝟐
𝟗)
.
𝟑
𝟐
/
𝟑
𝒄
(𝒙 𝟐 𝟗) 𝟑
𝟑
𝒄
(𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝒄𝒐𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙)𝒅𝒙
∫ (𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟓
𝒙 𝒄𝒐𝐬𝒙)𝒅𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟒
𝒙
𝟒
𝒔𝒊𝒏 𝟔
𝒙
𝟔
𝒄
(𝟖) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟒
𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝒙
𝟓
𝒄
(𝟗) ∫ 𝒙 𝟓 𝟐𝒙 𝟑𝟑
𝒅𝒙 ∫(𝒙) 𝒙 𝟐 𝟐
𝟑
𝒅𝒙 ∫(𝒙) (𝒙 𝟐
𝟐)
.
𝟏
𝟑
/
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
)
(𝒙 𝟐
𝟐)
.
𝟒
𝟑
/
.
𝟒
𝟑/
𝒄
(
𝟑
𝟖
) (𝒙 𝟐
𝟐)
.
𝟒
𝟑
/
𝒄
(𝟏𝟎) ∫ 𝒙 𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟓) 𝟐 𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟓)𝒅𝒙 (
𝒙 𝟐
𝟐
𝟓𝒙) 𝒄
(𝟏𝟏) ∫
𝟑
(𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟏)
𝒅𝒙 ∫
𝟑
(𝒙 𝟏) 𝟐
𝒅𝒙 𝟑 ∫(𝒙 𝟏) 𝟐
𝒅𝒙
𝟑(𝒙 𝟏) 𝟏
𝟏
𝒄
𝟑
(𝒙 𝟏)
𝒄

290. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
289
(𝟏𝟐) ∫
𝒙 𝟐
𝟏
√𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏
𝟓
𝒅𝒙 ∫ (𝒙 𝟐
𝟏)(𝒙 𝟑
𝟑𝒙 𝟏)
.
𝟏
𝟓
/
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟑
)
(𝒙 𝟑
𝟑𝒙 𝟏)
.
𝟒
𝟓
/
.
𝟒
𝟓
/
𝒄
𝟓
𝟏𝟐
(𝒙 𝟑
𝟑𝒙 𝟏)
.
𝟒
𝟓
/
𝒄
(𝟏𝟑) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝒙 𝒅𝒙 ( 𝟐)
𝐜𝐨𝐬 𝟒
𝒙
𝟒
𝒄
(𝟏𝟒) ∫ 𝟗𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟗 (
𝟏
𝟐
) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄
𝟗𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝟐
𝑐
‫مثال‬/‫التكامالت‬ ‫أوجد‬‫للدوال‬‫األتٌة‬:
(𝟏) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝟏
𝟑
𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙 𝒙 𝒄
(𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝟏
𝟕
𝒄𝒐𝒕𝟕𝒙 𝒙 𝒄
(𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
2
𝟑
𝒄𝒐𝒔 𝟑
𝒙 𝐜
(𝟒) ∫(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏) 𝟐
𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏) 𝒅𝒙
∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒕 𝟑
𝒙
𝟑
𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒙 𝒄
(𝟓) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝟐 𝒅𝒙
∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 ( 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄 ∓(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒄
(𝟔) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟔
𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟓
𝒙 (𝒄𝒐𝒕𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙 ) 𝒅𝒙
𝒄𝒔𝒄 𝟔
𝒙
𝟔
𝒄
(𝟕) ∫(𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)(𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙)𝒅𝒙
∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟒
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟔
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄

291. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
290
(𝟖) ∫(𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫,𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙- 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫,𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙- 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟒
𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
𝟏
𝟔
𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒄
𝟏
𝟖
𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄
(𝟗) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 ( 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒔𝒆𝒄
𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝟏) 𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝟑
𝒙
𝟑
𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒙 𝒄
(𝟏𝟎) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟔
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙(𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙)
𝟐
𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 (𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝟏) 𝟐
𝒅𝒙
∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 (𝒕𝒂𝒏 𝟒
𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝟏) 𝒅𝒙
∫ (𝒕𝒂𝒏 𝟒
𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝟓
𝒙
𝟓
𝟐
𝒕𝒂𝒏 𝟑
𝒙
𝟑
𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄
(𝟔)‫من‬ ‫بدل‬ (𝟒)‫األس‬ ‫أجعل‬ ‫ولكن‬ (𝟏𝟎)‫السؤال‬ ‫حل‬ ∶ ‫واجب‬
(𝟏𝟏) ∫
𝒙 𝟓
𝒙 𝟒
𝟏
𝒙 𝟑 𝒙 𝟏
𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐
𝒙 𝟏) 𝒅𝒙
𝒙 𝟑
𝟑
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙 𝒄 (‫نكامل‬ ‫ثم‬ ‫المقام‬ ‫على‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
(𝟏𝟐) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟐𝐱 𝐝𝐱 ∫ *
𝟏
𝟐
( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)+ 𝐝𝐱
𝟏
𝟐
( 𝒙
𝟏
𝟒
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄
(𝟏𝟑) ∫ 𝒙 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟑 𝐝𝐱
𝟏
𝟑
∫ ( 𝟑) 𝒙 𝟐
𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟑 𝐝𝒙
𝟏
𝟑
𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄
(𝟏𝟒) ∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟐 𝐝𝐱
𝟏
𝟐
∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟐 ( 𝟐) 𝐝𝒙
𝟏
𝟐
𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒄
(𝟏𝟓) ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟕𝐱 𝐝𝐱
𝟏
𝟕
∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟕𝐱 ( 𝟕) 𝐝𝐱
𝟏
𝟕
𝐜𝐨𝐭 𝟕𝒙 𝒄
(𝟏𝟔) ∫
𝒙 𝟐
9
𝒙 𝟑
𝒅𝒙 ∫
(𝑥 3)(𝑥 3)
𝑥 3
𝒅𝒙 ∫(𝑥 3) 𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝟐
3𝒙 𝒄
(𝟏𝟕) ∫
𝒙 𝟒
16
𝒙 𝟐
𝒅𝒙 ∫
(𝒙 𝟐
4)(𝒙 𝟐
4)
𝑥 2
𝒅𝒙 ∫
(𝑥 2)(𝑥 2)(𝒙 𝟐
4)
𝑥 2
𝒅𝒙
∫(𝑥 2)(𝒙 𝟐
4) 𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟑
4𝑥 2𝒙 𝟐
8) 𝒅𝒙
𝒙 𝟒
𝟒
2𝒙 𝟐
2
𝒙 𝟑
𝟑
8𝑥 𝒄
(𝟏𝟖) ∫
𝒙 𝟑
1
𝒙 1
𝒅𝒙 ∫
(𝑥 1)(𝒙 𝟐
𝑥 1)
𝑥 1
𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐
𝑥 1) 𝒅𝒙
𝒙 𝟑
𝟑
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙 𝒄

292. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
291
(𝟏𝟗) ∫
𝒙 𝟐
√𝒙 𝟑 𝟓
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟑
𝟓) 2 𝒅𝒙
1
3
∫(3)𝒙 𝟐(𝒙 𝟑
𝟓) 2 𝒅𝒙
1
3
×
(𝒙 𝟑
𝟓)2
1
2
𝒄
2
3
𝒙 𝟑 𝟓 𝒄
(𝟐𝟎) ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑
𝟗 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐
𝟗 𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟗
∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑
𝟗 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐
𝟗 𝒙 ( 𝟗)𝐝𝐱
𝟏
𝟗
×
𝐜𝐨𝐭 𝟒
𝟗 𝒙
𝟒
𝒄
(𝟐𝟏) ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗 𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟗
∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗 𝒙 (𝟗) 𝐝𝐱
𝟏
𝟗
𝒄𝒐𝒔 𝟗𝒙 𝒄
(𝟐𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟕 𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟕
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟕 𝒙 (𝟕) 𝐝𝐱
𝟏
𝟕
𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝒄
‫وزاري‬2012/‫د‬2
(𝟐𝟑) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟑
𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝐝𝐱 ∫( 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 )𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙𝐝𝐱
𝟏
𝟑
𝒄𝒔𝒄 𝟑
𝒙 𝒄
(𝟐𝟒) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝟑𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟒
𝟑𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟑
∫ 𝟑( 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 )𝒔𝒆𝒄 𝟒
𝟑𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟑
×
𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝟑𝒙
𝟓
𝐜
𝟏
𝟏𝟓
𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝟑𝒙 𝐜
‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ : ‫مثال‬.𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
/‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(0 , 1)
‫الحل‬/
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫ (𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
) 𝟐
𝟏
𝟔
𝟑
((𝟎 𝟏)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐
𝟏
𝟔
𝟑
𝟏 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬

293. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
292
‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ : ‫مثال‬(𝟑 𝟐 )‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(0 , 1)
‫الحل‬/
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐
) 𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
((𝟎 𝟏)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟏 𝟏 𝟐 𝟑
𝟐 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
: ‫مثال‬‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(𝟑 𝟐
𝟔 𝟗)‫تساوي‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫ٌمتلن‬ ً‫والمنحن‬(15)
‫الحل‬/
𝟑 𝟐
𝟔 𝟗 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 𝟐
𝟔 𝟗 𝟎
( 𝟑)
⇒ 𝟐
𝟐 𝟑 𝟎
( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏
‫النمطة‬( 𝟏 𝟏𝟓)‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐
𝟔 𝟗) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟗 (( 𝟏 𝟏𝟓)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟏𝟓 𝟏 𝟑 𝟗 𝟏𝟎 𝟑
𝟑 𝟐
𝟗 𝟏𝟎 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
: ‫مثال‬‫م‬ ‫جد‬ً‫المنحن‬ ‫عادلة‬. 𝟔 /‫عند‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫ٌمتلن‬ ً‫والمنحن‬(-1,4)
‫الحل‬/
∫ ∫(𝟔 ) 𝟑 𝟐
( 𝟏 ‫عندما‬ 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 𝟐
𝟎 𝟑
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐
𝟑) 𝟑
𝟑 (( 𝟏 𝟒)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟒 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑
𝟑 𝟐 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬

294. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
293
: ‫مثال‬ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫مٌله‬ ‫الذي‬(𝟐 )‫والمستمٌم‬𝟑 𝟕‫عندما‬ ‫له‬ ‫مماسا‬𝟐
‫الحل‬/
Ⓘ‫لٌمة‬ ‫نعوض‬(x)‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ً‫ف‬‫الستخراج‬‫لٌمة‬(y)‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ثم‬
𝟑 𝟕 𝟑(𝟐) 𝟕 𝟏 (𝟐 𝟏) ‫التماس‬ ‫نقطة‬
②‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ‫نشتك‬‫إلٌجاد‬‫األولى‬ ‫المشتمة‬ ‫أخر‬ ‫بمعنى‬ ‫أي‬ ‫المٌل‬
𝟑 𝟕 𝟑 𝟕 𝟑
③‫المنح‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ً‫ف‬ ‫المجاهٌل‬ ‫لٌمة‬ ‫نجد‬‫ن‬ً‫حٌث‬( 𝟑)
𝟐 𝟑 𝟐( 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬
④‫التكامل‬ ‫ثابت‬ ‫لٌمة‬ ‫نجد‬ ‫ثم‬ ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫نكامل‬(C)ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ‫فٌتم‬‫المطلوبة‬
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟐 𝟏) 𝟐
((2 1)‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟏 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
: ‫مالحظات‬
‫مثل‬ ‫مجهول‬ ‫ثابت‬ ‫وفٌه‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬ ‫تكامل‬ ‫ال‬(C)‫او‬(P)‫المجهول‬ ‫لٌمة‬ ‫تجد‬ ‫حتى‬.
‫السؤال‬ ‫معلومات‬ ‫من‬ ‫كاملة‬ ‫نمطة‬ ‫أوال‬ ‫تجد‬ ‫أن‬ ‫ٌفضل‬ ‫دالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫ألٌجاد‬‫ألستخدمها‬‫ثوابت‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ف‬
‫المجهولة‬ ‫التكامل‬

295. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
294
(𝟒 𝟐)‫تمارين‬
: ‫الدالة‬ ‫مجال‬ ‫ضمن‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫تكامالت‬ ‫جد‬
(1) ∫
(2𝒙 𝟐
𝟑) 𝟐
𝟗
𝒙 𝟐
𝐝𝐱 ∫
(𝟒𝒙 𝟒
𝟏𝟐𝒙 𝟐
𝟗) 𝟗
𝒙 𝟐
𝐝𝐱 ∫
(𝟒𝒙 𝟒
𝟏𝟐𝒙 𝟐)
𝒙 𝟐
𝐝𝐱 ∫
𝒙 𝟐(𝟒𝒙 𝟐
𝟏𝟐)
𝒙 𝟐
𝐝𝐱
𝟒𝒙 𝟑
𝟑
𝟏𝟐𝒙 𝒄
(𝟐) ∫
(𝟑 √𝟓𝒙)
𝟕
√ 𝟕𝒙
𝒅𝒙 ∫
.𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/
𝟕
√𝟕 (√ 𝒙)
𝒅𝒙
𝟏
√𝟕
∫
.𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/
𝟕
(√ 𝒙)
𝒅𝒙 (‫المشتقة‬ ‫)نوفر‬
𝟏
√𝟕
(
𝟐
√𝟓
) ∫ (
√𝟓
𝟐
)
.𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/
𝟕
(√ 𝒙)
𝒅𝒙
𝟏
√𝟕
(
𝟐
√𝟓
)
.𝟑 √𝟓 (√ 𝒙)/
𝟖
𝟖
𝒄
1
𝟒 √𝟑𝟓
(𝟑 √𝟓𝒙 )
𝟖
𝒄
(𝟑) ∫
𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝒙
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝒙)
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙)(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙)
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙
𝟐
𝒄
‫وزاري‬3201/‫د‬1
(𝟒) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙 (𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟏
𝒙
𝟏
𝐜
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝐜 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄
‫أخر‬ ‫حل‬:
∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏
𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄
(𝟓) ∫
𝒙
(𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟒
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝟑𝒙 𝟐
𝟓)
𝟒
𝒅𝒙
𝟏
𝟔
∫(𝟔)𝒙 (𝟑𝒙 𝟐
𝟓)
𝟒
𝒅𝒙
𝟏
𝟔
(𝟑𝒙 𝟐
𝟓)
𝟑
𝟑
𝒄
𝟏
𝟏𝟖 (𝟑𝒙 𝟐 𝟓) 𝟑
𝒄
(𝟔) ∫ 𝒙 𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓
𝟑
𝐝𝐱 ∫ (𝒙 𝟓) 𝟐𝟑
𝐝𝐱 ∫(𝒙 𝟓)
.
𝟐
𝟑
/
𝐝𝐱
(𝒙 𝟓)
.
𝟓
𝟑
/
.
𝟓
𝟑/
𝒄
𝟑
𝟓
(𝒙 𝟓)
.
𝟓
𝟑
/
𝒄
(𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 (𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙
∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 ( 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟑
𝒙
𝟑
𝒄
(𝟖) ∫
𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙
√𝟏 𝒙
𝒅𝒙 ( 𝟐) ∫ (
𝟏
𝟐
)
𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙
√𝟏 𝒙
𝐝𝐱 𝟐 𝒔𝒊𝒏 √𝟏 𝒙 𝒄

296. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
295
.‫المثال‬ ‫كان‬ ‫/لو‬
∫
𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙
√𝟏 𝒙
𝒅𝒙 ( 𝟐) ∫ (
𝟏
𝟐
)
𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙
√𝟏 𝒙
𝐝𝐱 𝟐 𝒄𝒐𝒔 √𝟏 𝒙 𝒄
(𝟗) ∫(𝟑𝒙 𝟐
𝟏)
𝟐
𝒅𝒙 ∫(𝟗𝒙 𝟒
𝟔𝒙 𝟐
𝟏)𝒅𝒙
𝟗
𝟓
𝒙 𝟓
𝟐𝒙 𝟑
𝒙 𝒄
(𝟏𝟎) ∫
√ 𝒙 𝒙
√𝒙 𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) √ 𝒙(𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟑
𝟒 )( √ 𝒙) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙
∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) (𝒙
𝟏
𝟒) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟐
𝟒 ) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ [𝒙
.
𝟏
𝟐
/
] (𝟏 𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙
( 𝟐) ∫ [
𝟏
𝟐
𝒙
.
𝟏
𝟐
/
] (𝟏 𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙 𝟐
(𝟏 𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟑
𝟐
/
.
𝟑
𝟐
/
𝒄
𝟒
𝟑
(𝟏 𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟑
𝟐
/
𝒄
𝟒
𝟑
(𝟏 √ 𝒙)
𝟑
𝒄
.‫المثال‬ ‫كان‬ ‫/لو‬
∫
𝒙 √ 𝒙
√𝒙 𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) √ 𝒙(√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) ( √ 𝒙) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙
∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) (𝒙
𝟏
𝟒) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟐
𝟒 ) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ [𝒙
.
𝟏
𝟐
/
] (𝒙
.
𝟏
𝟐
/
𝟏)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙
(𝟐) ∫ (
𝟏
𝟐
) [𝒙
.
𝟏
𝟐
/
] (𝒙
.
𝟏
𝟐
/
𝟏)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙 𝟐
(𝒙
.
𝟏
𝟐
/
𝟏)
.
𝟑
𝟐
/
.
𝟑
𝟐/
𝒄
𝟒
𝟑
(𝒙
.
𝟏
𝟐
/
𝟏)
.
𝟑
𝟐
/
𝒄
𝟒
𝟑
(√ 𝒙 𝟏)
𝟑
𝒄
‫وزا‬‫ري‬2013/‫د‬2
(𝟏𝟏) ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐
𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙
𝒙 𝟐 (
𝟏
𝟑
) 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝒙
𝟐
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ [
𝟏
𝟐
(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)] 𝒅𝒙
𝒙
𝟐
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ (
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒅𝒙 𝒙
𝟐
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟔
) 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙
𝟑
𝟐
𝒙
𝟐
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄
(𝟏𝟐) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝟒𝒙 𝒅𝒙 (
𝟏
𝟒
) ∫(𝟒) 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝟒𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
𝒕𝒂𝒏𝟒𝒙 𝒄
(𝟏𝟑) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
) ∫( 𝟐) 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝒄
(𝟏𝟒) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝟖𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝟖𝒙 𝟏) 𝒅𝒙
𝟏
𝟖
𝒕𝒂𝒏𝟖𝒙 𝒙 𝒄

297. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
296
‫وزاري‬2016/‫د‬1
(𝟏𝟓) ∫
√𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙
𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙
𝒅𝒙 ∫
(𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)
𝟏
𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙
(𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)
𝟏
𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)
𝟏
𝟐 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫( 𝟐)𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝟐𝒙 (𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)
𝟏
𝟐 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
(𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)
𝟑
𝟐
.
𝟑
𝟐/
𝒄
𝟏
𝟑
(𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)
𝟑
𝟐 𝒄
(𝟏𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟒
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄
(𝟏𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟖𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟔𝒙)
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟏𝟔
𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙) 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟑𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙 𝒄
(𝟏𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟒
𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙)
𝟐
𝒅𝒙 ∫ (
𝟏
𝟐
,𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙-)
𝟐
𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝟒
𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟔𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
(∫ 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟔𝒙 𝒅𝒙)
𝟏
𝟒
[𝒙
𝟐
𝟔
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 ∫
𝟏
𝟐
(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐𝒙) 𝒅𝒙]
𝟏
𝟒
[𝒙
𝟏
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙)] 𝒄
𝟏
𝟒
𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙
𝟏
𝟖
𝒙
𝟏
𝟗𝟔
𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝒄
𝟑
𝟖
𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙
𝟏
𝟗𝟔
𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝑐
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬:
(1) ∫ 𝟐𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟐 (
𝟏
𝟒
) 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄
𝟏
𝟐
𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄
(𝟐) ∫
𝒔𝒊𝒏√ 𝒙
√ 𝒙
𝒅𝒙 (𝟐) ∫ (
𝟏
𝟐
)
𝒔𝒊𝒏√ 𝒙
√ 𝒙
𝒅𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔√ 𝒙 𝒄
(𝟑) ∫
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐
.
𝒂
𝟐/ 𝒙
𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 .
𝒂
𝟐
/ 𝒙
𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟐
.
𝒂
𝟐
/ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 0𝐬𝐞𝐜 𝟐
.
𝒂
𝟐
/ 𝒙 𝟏1 𝒅𝒙
𝟐
𝒂
𝒕𝒂𝒏 .
𝒂
𝟐
/ 𝒙 𝒙 𝒄
(𝟒) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟐𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙𝒅𝒙
𝟐
𝟑
∫ (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟐( 3 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙)𝒅𝒙
𝟐
𝟑
×
(𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟑
𝟑
𝐜
𝟐
𝟗
(𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙) 𝟑
𝐜

298. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
297
(𝟓) ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)
.
𝟏
𝟐
/
𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙
1
4
∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)
.
𝟏
𝟐
/
(𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙) 𝒅𝒙
(
𝟏
𝟒
)
(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)
.
𝟑
𝟐
/
.
𝟑
𝟐
/
𝒄
(𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)
.
𝟑
𝟐
/
𝟔
𝒄
(𝟔) ∫
𝒅𝒙
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒅𝒙 ∫
.
𝟏
𝟐
/ 𝒅𝒙
.
𝟏
𝟐
/ (𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙)
𝐝𝐱 ∫
.
𝟏
𝟐
/ 𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐 .
𝟏
𝟐
/ 𝒙
∫ (
𝟏
𝟐
) 𝒔𝒆𝒄 𝟐
(
𝟏
𝟐
) 𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 (
𝟏
𝟐
) 𝒅𝒙 𝒄
(𝟕) ∫
𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙)
𝟏
𝟐 (𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙)𝐝𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙)
𝟏
𝟐 (𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙)𝐝𝒙
(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙)
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟐
/
𝒄 𝟐 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄
(𝟖) ∫
𝟑
𝒙 𝟐
𝒄𝒐𝒔 (
𝟏
𝒙
) 𝒅𝒙 ( 𝟑) ∫
𝟏
𝒙 𝟐
𝐜𝐨𝐬 (
𝟏
𝒙
) 𝐝𝐱 𝟑𝒔𝒊𝒏(
𝟏
𝒙
) 𝐜
(𝟗) ∫
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒅𝒙 ∫ (
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
) 𝐝𝐱 ∫ (𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝟏
𝒔𝒊𝒏𝒙
) 𝐝𝐱 ∫(𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄)𝐝𝒙
𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄
(𝟏𝟎) ∫
(𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝟏) 𝟐
(𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝒙 𝟏) 𝟐
𝒅𝒙 ∫
(𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙) 𝟐
(𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙) 𝟐
𝒅𝒙 ∫ .
𝒔𝒆𝒄𝒙
𝒄𝒔𝒄𝒙
/
𝟒
𝒅𝒙 ∫
0
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒙
1
0
𝟏
𝒔𝒊𝒏
1
𝟒
𝒅𝒙 ∫ (
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
)
𝟒
𝒅𝒙
∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒
𝒙 𝒅𝒙
‫المثال‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ‫الحل‬ ‫نكمل‬ ‫ثم‬)9(‫الصفحة‬ ً‫ف‬)36(
(𝟏𝟏) ∫ (
𝟓
𝒙 𝟑
𝟕
𝒙 𝟐
)
.
𝟏
𝟑
/
𝒙 𝒅𝒙 ∫ (
𝟓 𝟕𝒙
𝒙 𝟑
)
.
𝟏
𝟑
/
𝒙 𝒅𝒙 ∫
(𝟓 𝟕𝒙)
.
𝟏
𝟑
/
𝒙
𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟕
(𝟓 𝟕𝒙)
.
𝟒
𝟑
/
.
𝟒
𝟑/
𝒄
𝟑
𝟐𝟖
(𝟓 𝟕𝒙)
.
𝟒
𝟑
/
𝒄
(𝟏𝟐) ∫
𝟕𝒙 𝟒
(𝒙 𝟓) 𝟔
𝒅𝒙 ∫
𝟕𝒙 𝟒
(𝒙 𝟓) 𝟒(𝒙 𝟓) 𝟐
𝒅𝒙 𝟕 ∫
𝒙 𝟒
(𝒙 𝟓) 𝟒
(𝒙 𝟓) 𝟐
𝒅𝒙 𝟕 ∫ .
𝒙
𝒙 𝟓
/
𝟒
(𝒙 𝟓) 𝟐
𝒅𝒙
(
𝟕
𝟓
) ∫(𝟓) .
𝒙
𝒙 𝟓
/
𝟒
[
𝟏
(𝒙 𝟓) 𝟐] 𝒅𝒙
𝟕
𝟓
.
𝒙
𝒙 𝟓
/
𝟓
𝟓
𝒄
𝟕
𝟐𝟓
.
𝒙
𝒙 𝟓
/
𝟓
𝐜
(𝟏𝟑) ∫ 𝒙 𝟓 𝒙 𝟑𝟑
𝒅𝒙 ∫( 𝒙) 𝒙 𝟐 𝟏
𝟑
𝒅𝒙 ∫( 𝒙)( 𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟏
𝟑
)
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
) ∫( 𝟐𝒙)( 𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟏
𝟑
)
𝒅𝒙
(
𝟏
𝟐
)
( 𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟒
𝟑
)
(
𝟒
𝟑)
𝒄
𝟑
𝟖
( 𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟒
𝟑
)
𝒄

299. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
298
(𝟏𝟒) ∫ 𝟓𝒙 𝟒 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟓𝒙 𝟐 𝟑 𝒅𝒙 ∫ 𝒙(𝟓𝒙 𝟐
𝟑)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟏𝟎
) ∫(𝟏𝟎)𝒙(𝟓𝒙 𝟐
𝟑)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙
(
𝟏
𝟏𝟎
)
( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑)
(
𝟑
𝟐
)
(
𝟑
𝟐)
𝒄
1
𝟏𝟓
( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑)
(
𝟑
𝟐
)
𝒄
(𝟏𝟓) ∫
𝟓 𝟕√ 𝒙
𝟑
√ 𝒙
𝒅𝒙 ∫ (𝟓 𝟕𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟏
𝟑
/
(𝒙).
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙 [
𝟐
𝟕
] ∫ [
𝟕
𝟐
] (𝟓 𝟕𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟏
𝟑
/
(𝒙).
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙
[
𝟐
𝟕
]
(𝟓 𝟕𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟒
𝟑
/
.
𝟒
𝟑/
𝒄
𝟑
𝟏𝟒
(𝟓 𝟕𝒙
.
𝟏
𝟐
/
)
.
𝟒
𝟑
/
𝒄
(𝟏𝟔) ∫ 𝒙 𝟔
(𝟓
𝟑
𝒙
)
𝟔
𝒅𝒙 ∫ (𝒙 [𝟓
𝟑
𝒙
])
𝟔
𝐝𝐱 ∫(𝟓𝒙 𝟑) 𝟔
𝐝𝐱 (
𝟏
𝟓
)
(𝟓𝒙 𝟑) 𝟕
𝟕
𝒄
1
𝟑𝟓
(𝟓𝒙 𝟑) 𝟕
𝒄
(𝟏𝟕) ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟔
𝟔𝒙 𝟑
𝟗) 𝟓
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(,𝒙 𝟑
𝟑- 𝟐) 𝟓
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐(𝒙 𝟑
𝟑) 𝟏𝟎
𝒅𝒙
1
3
∫ 3𝒙 𝟐(𝒙 𝟑
𝟑) 𝟏𝟎
𝒅𝒙
(
𝟏
𝟑
)
(𝒙 𝟑
𝟑) 𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝒄
𝟏
𝟑𝟑
(𝒙 𝟑
𝟑) 𝟏𝟏
𝒄
(𝟏𝟖) ∫ 𝟕𝒙 𝟐
𝒙 𝟔 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟐
𝒙 𝟐(𝒙 𝟒 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟑
𝒙 𝟒 𝟏 𝒅𝒙 (
𝟕
𝟒
) ∫(𝟒)𝒙 𝟑
(𝒙 𝟒
𝟏)
.
𝟏
𝟐
/
𝒅𝒙
(
𝟕
𝟒
)
(𝒙 𝟒
𝟏)
.
𝟑
𝟐
/
.
𝟑
𝟐
/
𝒄
𝟕
𝟔
(𝒙 𝟒
𝟏)
.
𝟑
𝟐
/
𝑐

300. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
299
‫اللوغارٌتم‬‫الطبٌعــ‬ً‫ـ‬
‫ةةةةةةةتكن‬‫ة‬‫ل‬u‫ةةةةةةةى‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةةةةةبة‬‫ة‬‫بالنس‬ ‫ةةةةةةةتماق‬‫ة‬‫لالش‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫لابل‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫موجب‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫دال‬x‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫للدال‬ ً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫الطبٌع‬ ‫ةةةةةةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬ ‫ةةةةةةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫ةةةةةةةأن‬‫ة‬‫ف‬uً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫ه‬
( )
‫الدالة‬ ‫مشتقة‬
‫الدالة‬
. /
‫و‬‫فأن‬ ‫علٌه‬∫
𝟏
| |‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫شرط‬( )‫موجبةة‬‫هةذه‬ ‫وتسةتخدم‬
‫ٌصعب‬ ً‫الت‬ ‫الدوال‬ ‫بعض‬ ً‫ف‬ ‫األولى‬ ‫المشتمة‬ ‫توفٌر‬ ً‫ف‬ ‫الدالة‬‫اشتمالها‬‫مثل‬ ‫الخاصة‬ ‫الخصائص‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تمتلن‬ ً‫وه‬:
𝟏 𝟎 ( ) ( )
‫مثال‬(1)/‫كان‬ ‫اذا‬(𝟑 𝟐
𝟒)‫فأ‬‫و‬‫جد‬
(𝟑 𝟐
𝟒)
𝟔
𝟑 𝟐 𝟒
‫مثال‬(2)/‫جد‬∫
𝜃 𝑑
𝟏
𝜃
𝜃
𝟏 𝜃
𝜃
𝜃 𝜃 𝜃
∫
𝜃 𝑑
𝟏
𝜃
𝜃
∫ | | |𝟏 |𝜃
/ ‫مثال‬: ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫مشتمة‬ ‫جد‬ :
( )
( 𝟐)
𝟐 𝟐
𝟐
( ) ( ) ( ) . / ( )
. / ( )
( )

301. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
300
/ ‫مثال‬‫التكامل‬ ‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
∫ ∫ ( )
( ) 𝟐
𝟐
∫ 𝟐 1
(
𝟏
𝟐
) ∫
(𝟐)
𝟐 1
𝟏
𝟐
| 𝟐
|1
∫
𝟏
| |
∫ ∫ ∫ | |
∫ ∫ | |
∫
𝟐
𝟑
𝟏 𝟑
𝟏
𝟑
∫
𝟑 𝟐
𝟑
𝟏 𝟑
𝟏
𝟑
|𝟏 𝟑 |
‫دالة‬‫اللوغارٌت‬‫م‬ً‫الطبٌع‬
‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الدال‬‫ةةة‬‫ة‬‫لدال‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫عكس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ه‬‫ةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬‫أو‬ ‫ةةتمها‬‫ة‬‫نش‬ ‫ةةدما‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةةدوال‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةض‬‫ة‬‫بع‬ ‫ةةان‬‫ة‬‫هن‬ ‫ةةر‬‫ة‬‫أخ‬ ‫ةةى‬‫ة‬‫بمعن‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫الطبٌع‬
‫ةةا‬‫ة‬‫علٌه‬ ‫ةةدخل‬‫ة‬‫ن‬ ‫ةةا‬‫ة‬‫نكامله‬‫ال‬‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ‫ةةال‬‫ة‬‫أدخ‬ ‫ةةك‬‫ة‬ٌ‫طر‬ ‫ةةن‬‫ة‬‫ع‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ‫ةةاط‬‫ة‬‫بألغ‬ ‫ةةوم‬‫ة‬‫نم‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ننته‬ ‫ةةدما‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫ث‬ ‫ةةٌة‬‫ة‬‫األس‬‫ةةارٌتم‬‫ة‬‫اللوغ‬
‫علٌها‬ ‫العمل‬ ‫المراد‬ ‫الدالة‬ ‫شكل‬ ‫لتغٌٌر‬ ً‫ه‬ ‫العملٌة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الهدف‬ ً‫الطبٌع‬
‫ةة‬‫ة‬‫ل‬‫ذا‬‫ةة‬‫ة‬‫ف‬‫ةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫أن‬‫ةةٌة‬‫ة‬‫أس‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫دال‬ ‫اي‬‫ةةوة‬‫ة‬‫للم‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫مرفوع‬uً‫ةة‬‫ة‬‫ه‬( ) (‫االس()الدالة‬ ‫)مشتقة‬ ( )‫ةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةه‬‫ة‬ٌ‫وعل‬
∫( )‫مثل‬ ‫الخاصة‬ ‫الخصائص‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫تمتلن‬ ً‫وه‬
𝟐 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 ( ) 𝟎
𝟏
𝟏
‫مثال‬(3)/‫لتكن‬‫فجد‬
( 𝟐 )
‫مثال‬(4)/‫جد‬∫
𝟐
‫وزاري‬2013/‫د‬3
∫
𝟐 𝟏
𝟐
∫ 𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐

302. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
301
‫األسٌــ‬ ‫الدالة‬‫األساس‬ ( ‫ــة‬)‫ثابت‬ ‫عدد‬
‫أن‬ ‫نفةةةةةةرض‬( )‫ةةةةةأ‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةةةٌة‬‫ة‬‫األس‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ‫أسةةةةةةاس‬ ‫ةةةةةل‬‫ة‬‫ٌمث‬ ‫ةةةةةت‬‫ة‬‫ثاب‬ ‫ةةةةةدد‬‫ة‬‫ع‬‫للمةةةةةةوة‬ ‫مرفوعةةةةةةة‬ ‫ةةةةةٌة‬‫ة‬‫أس‬ ‫دالةةةةةةة‬ ‫اي‬ ‫ةةةةةتمة‬‫ة‬‫مش‬ ‫ن‬uً‫هةةةةةة‬
( ) (‫()الدالة‬ ‫األساس‬ )(‫االس‬ ‫)مشتقة‬ ( )( )‫ةةةةةةةةةةةةةةةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةه‬‫ة‬ٌ‫وعل‬∫( )
𝟏
( )
. ً‫التال‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬ ‫ذلن‬ ‫نوضح‬ ‫وسوف‬ ‫السابمة‬ ‫األسٌة‬ ‫الدالة‬ ً‫ف‬ ‫ذكرناها‬ ً‫الت‬ ‫الخصائص‬ ‫ببعض‬ ‫وتتمٌز‬
‫مثال‬(5)/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
𝟑 𝟐 𝟓
𝟑 𝟐 𝟓 ( 𝟑)(𝟐) (𝟐 𝟑) 𝟑 𝟐 𝟓
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐)( 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐)(𝟐
𝟐
)
𝟓 𝟓 ( 𝟓)( )
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫مثال‬/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐)
𝟏
( ) ( ), - , - ( )
𝟑(𝟐 𝟒 )
𝟑(𝟐 𝟒 )
( 𝟑),𝟒 ( 𝟒)(𝟏)-
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐 )
𝟐 𝟐 (𝟐 𝟐 )
𝟑 𝟐 𝟓
𝟑 𝟐 𝟓 (𝟐 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟓
𝟓 𝟓 ( 𝟓)

303. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
302
‫مثال‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫جد‬:
∫ 𝟕
𝟏
𝟕
𝟕
∫ ( )
∫
∫
√
√
( 𝟐) ∫
√
( 𝟐)√
𝟐 √
‫مثال‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫جد‬:
∫ 𝟒 𝟒 (
𝟏
𝟒
)
∫ 𝟐 ( ) 𝟐 (
𝟏
𝟐
)
∫ 𝟑 𝟑
𝟏
𝟑
∫( 𝟑) 𝟑 𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
∫ 𝟑 𝟕 ( 𝟐
𝟕 ) (
𝟏
𝟕
) ∫( 𝟕) 𝟑 𝟕 ( 𝟐
𝟕 ) (
𝟏
𝟕
) 𝟑 𝟕
(
𝟏
𝟑
)
∫
𝟐 𝟑 𝟑
𝟒 𝟐 𝟏
𝟐 𝟑
∫
𝟐 𝟑 𝟑
𝟐 𝟒 𝟐
𝟐 𝟑
∫ (
𝟐 𝟑 𝟑
𝟐 𝟑
𝟐 𝟒 𝟐
𝟐 𝟑
)
∫(𝟐(𝟑 𝟑 𝟑)
𝟐(𝟒 𝟐 𝟑)
) ∫ 𝟐 𝟐
∫ 𝟐 𝟑 𝟓
(
1
2
) ∫( 𝟐) 𝟐 𝟐
(
𝟏
𝟑
) ∫( 𝟑) 𝟐 𝟑 𝟓
(
1
2
) 𝟐 𝟐
(
𝟏
𝟐
) (
𝟏
𝟑
) 𝟐 𝟑 𝟓
(
𝟏
𝟐
)
∫ 𝟐

304. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
303
(𝟒 𝟑)‫تمارين‬
‫س‬1/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
(𝒂) 𝟑
𝟑
𝟑
𝟏
(𝒃) 𝐲 𝐥𝐧 .
𝒙
𝟐
/
.
𝟏
𝟐
/
.
𝒙
𝟐
/
(
𝟏
𝟐
) (
𝟐
𝒙
)
𝟏
𝒙
(𝒄) 𝒚 𝒍𝒏(𝒙 𝟐)
𝟐𝒙
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙
(𝒅) 𝐲 (𝒍𝒏𝒙) 𝟐
𝟐 𝒍𝒏𝒙 (
𝟏
𝒙
)
𝟐
𝒙
𝐥𝐧𝐱
(𝒆) 𝒚 𝒍𝒏 (
𝟏
𝒙
)
𝟑
𝒚 𝒍𝒏 𝒙 𝟑
(
𝟑𝒙 𝟒
𝒙 𝟑
) 𝟑𝒙 𝟏
𝟑
𝒙
(𝒇) 𝒚 𝒍𝒏(𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙)
( 𝒔𝒊𝒏𝒙)
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙
(𝒈) 𝐲 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓)
𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓) , 𝟏𝟎𝒙 𝟑- ( 𝟏𝟎𝒙 𝟑) 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓)
(𝒉) 𝒚 𝟗√ 𝒙
𝟗√ 𝒙 (𝒍𝒏𝟗) (
𝟏
𝟐√ 𝒙
)
𝟗√ 𝒙
𝟐√ 𝒙
(𝒍𝒏𝟗)
(𝒊) 𝒚 𝟕
.
𝒙
𝟒
/
𝟕
.
𝒙
𝟒
/
(𝒍𝒏𝟕) (
𝟏
𝟒
)
𝒍𝒏𝟕
𝟒
𝟕
.
𝒙
𝟒
/
( ) 𝟐 𝟐
𝟐 ( 𝟐)

305. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
304
‫س‬2/‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬:
(𝑎) ∫
1
𝟏
,𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒙 𝟏
𝟑
-
𝟎
| 𝒍𝒏|𝟑 𝟏| 𝒍𝒏|𝟎 𝟏| 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟒 𝟎 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟐 𝟐
𝟐𝒍𝒏𝟐
(𝒃) ∫
𝟐
𝟐 𝟗
𝟒
𝟎
𝒅𝒙 , 𝒍𝒏 𝟐
𝟗
𝟒
-
𝟎
| | 𝒍𝒏|𝟏𝟔 𝟗| 𝒍𝒏|𝟎 𝟗| 𝒍𝒏𝟐𝟓 𝒍𝒏𝟗 𝒍𝒏𝟓(𝟐)
𝒍𝒏𝟑(𝟐)
𝟐𝒍𝒏𝟓 𝟐𝒍𝒏𝟑 𝟐𝒍𝒏
𝟓
𝟑
‫وزاري‬4201/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬1
(𝒄 ∫ 𝟐
𝟓
𝟑
) 𝒅𝒙 , 𝟐
𝟓
-
𝟑
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐( 𝟓) 𝟐( 𝟑)
𝟏
𝟐
(𝟓) 𝟐
0 (𝟑) 𝟐
1
𝟏
𝟐
𝟐𝟓, 𝟗-
𝟏
𝟐
𝟏𝟔, - 𝟖
(𝒅) ∫
𝟐
𝟎
𝒅𝒙 ,
𝟐
-
𝟎
𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟏
0 𝟏1 𝟐 𝟏
0 𝟏1
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
‫وزاري‬2011/‫د‬1‫وزاري‬2013/‫د‬2
(𝒆) ∫ ( 𝟏 )2
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 *
( 𝟏 )3
3
+
0
1
3
,( 𝟏 )3
𝟏
-
𝟎
1
3
1
[ (1 𝒆 𝟏)
3
(1 𝒆 𝟎)
3
]
𝟑
𝟏
( 𝟏 𝒆) 𝟑 ( 𝟏 𝟏) 𝟑
𝟑
𝟏
( 𝟏 𝒆) 𝟑 ( 𝟐) 𝟑
𝟑
𝟏
( 𝟏 𝒆) 𝟑
𝟑
𝟖
‫السؤال‬ ‫كان‬ ‫لو‬:
∫ ( 𝟏 )
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 ∫ ( 𝟐 )
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 * 𝒆 𝒙 𝒆 𝟐𝒙
𝟐
+
0
1
* 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐
𝟐
+ * 𝒆 𝟎 𝒆 𝟎
𝟐
+ 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
‫وزاري‬2011/‫د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬1
(𝒇) ∫
𝟑 𝟐 𝟒
𝟑 𝟒 𝟏
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 , 𝒍𝒏 𝟑 𝟒 𝟏
𝟏
-
𝟎
( ) 𝒍𝒏𝟔 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟔 𝟎 𝒍𝒏𝟔
‫وزاري‬5201/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬2
(𝒈) ∫
√
𝟐√
𝟒
𝟏
𝒅𝒙 , √
𝟒
-
𝟎
0𝒆√𝟒 𝒆√𝟏1 𝒆 𝟐
𝒆 𝟏
‫وزاري‬2011/‫د‬1
(𝒉 ∫ (
𝟐
𝟐
)
𝟒
𝟒
) 𝒅𝒙 , |𝟐 |
𝟒
-
𝟒
𝒍𝒏 |𝟐
𝟒
|𝒍𝒏 |𝟐
𝟒
|𝒍𝒏 𝒍𝒏𝟑 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟑 𝟎 𝒍𝒏𝟑

306. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
305
(𝒊) ∫
√
𝟐
𝟔
𝒅𝒙 ∫ ( ).
𝟏
𝟐
/𝟐
𝟔
𝐝𝐱
( ).
𝟏
𝟐
/
[
.
𝟏
𝟐
/
𝟔
𝟐
] , 𝟐√
𝟐
-
𝟔
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝟐
𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟔
𝒔𝒊𝒏 𝟐 √𝟏 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
√𝟐
𝟐 √𝟐
( ) ∫ 𝟑
𝟓 ∫( 𝟐
𝟓 ) 𝟓 ∫( 𝟐
𝟓 𝟏) 𝟓
∫( 𝟐
𝟓 𝟓 𝟓 ) ∫ 𝟓 𝟐
𝟓 ∫ 𝟓 𝒅𝒙
(
𝟏
𝟓
)
𝟐
𝟓
𝟐
∫
𝟓
𝟓
𝒅𝒙
𝟏
𝟏𝟎
𝟐
𝟓
𝟏
𝟓
𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙| 𝒄
‫وزاري‬2015/‫د‬1
( 𝒌 ∫ ( )
𝟐
𝟎
) 𝒅𝒙 , - 𝟐
0 .
𝟐
/ (𝟎)
1 , 𝟎 𝟏- 𝟏 𝒆
( 𝑳 ∫
𝟐
𝟏
) 𝒅𝒙 ∫ ( ) 𝟏
𝟐
𝟏
𝒅𝒙 ∫ ( ) 𝟏
𝟐
𝟏
𝒅𝒙 ∫
𝟐
𝟏
𝒅𝒙 ,
𝟐
-
𝟏
𝟐 𝟏 𝟏
‫س‬3/‫أثبت‬‫أن‬:
( ) ∫
√
𝟑
𝟏
√ 𝟐𝟑 𝟐
𝟖
𝟏
‫األٌسر‬ ∫
𝟐
𝟑 (
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟏
𝟐𝟖
𝟏
𝟑 ∫ (
𝟏
𝟑
)
𝟐
𝟑 (
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟏
𝟐𝟖
𝟏
𝟑
[
(
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
] 𝟏
𝟖
𝟐 [(
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟑
𝟐
]
𝟏
𝟖
𝟐 [(𝟖
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟑
𝟐
(𝟏
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟑
𝟐
]
𝟐 [(𝟐 𝟏)
𝟑
𝟐 (𝟏 𝟏)
𝟑
𝟐] 𝟐 [(𝟏)
𝟑
𝟐 𝟎] 𝟐(𝟏) 𝟐 ‫األٌمن‬

307. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
306
( ) ∫ |𝟑 𝟔|
𝟒
𝟐
𝒅𝒙 𝟑𝟎
‫مالحظة‬𝟑 𝟔 𝟐
|3 6| 2
3 6 2
6 3 < 2
‫األٌسر‬ ‫الطرف‬ ∫ |3 6|
2
𝑑𝑥 ∫ (6 3 )
2
2
𝑑𝑥 ∫ (3 6)
2
𝑑𝑥 *6
3 2
2
+
2
2
*
3 2
2
6 +
𝟐
𝟒
(,12 𝟔- , 12 6-) ( 24 24 ,𝟔 12-) 6 18 6 ‫األٌمن‬ ‫الطرف‬𝟑𝟎
‫وزاري‬2016/‫د‬1
‫س‬4/( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, 𝟐 𝟔-‫كان‬ ‫فأذا‬∫ ( )
𝟔
𝟏
𝟔‫وكان‬∫ , ( ) 𝟑-
𝟔
𝟐
𝟑𝟐‫فج‬‫ـــــ‬‫د‬
∫ ( )
𝟏
𝟐
∫ , ( ) 𝟑-
𝟔
𝟐
𝟑𝟐
∫ ( )
𝟔
𝟐
∫ 𝟑
𝟔
𝟐
𝟑𝟐
∫ ( )
𝟔
𝟐
| 𝟑 | 𝟐
𝟔
𝟑𝟐
∫ ( )
𝟔
𝟐
, 𝟏𝟖 ( 𝟔)- 𝟑𝟐
∫ ( )
𝟔
𝟐
𝟐𝟒 𝟑𝟐
∫ ( )
𝟔
𝟐
𝟖
∫ ( )
𝟔
𝟐
∫ ( )
𝟏
𝟐
∫ ( )
𝟔
𝟏
𝟖 ∫ ( )
𝟏
𝟐
𝟔
∫ ( )
𝟏
𝟐
𝟖 𝟔 ∫ ( )
𝟏
𝟐
𝟐

308. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
307
‫س‬5/‫لٌمة‬ ‫جد‬‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬∫ .
𝟏
𝟐
/𝟏
𝟐 ∫ 𝟐𝟒
𝟎
‫الحل‬/
∫ (
𝟏
𝟐
)
𝟏
𝟐∫ 𝟐𝟒
𝟎
*
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐, - 𝟎
𝟒
(
𝟐
𝟐 𝟐
) (
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
) 𝟐 [
𝟒
𝟎]
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏 𝟐,𝟏 𝟎-
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟑
(×𝟐)
⇒ 𝟐
𝟔 𝟎 ( 𝟑)( 𝟐) 𝟎
𝟑 𝟐
‫س‬6/‫لتكن‬( ) 𝟐
𝟐‫حٌث‬‫تساوي‬ ‫الصغرى‬ ‫نهاٌتها‬ ‫دالة‬( 𝟓)‫فجد‬∫ ( )
𝟑
𝟏
‫الحل‬/‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬
∴̅( ) 𝟎
( ) 𝟐
𝟐
̅( ) 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟏
∴‫النمطة‬( 𝟏 𝟓)‫الدالة‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫وه‬ ‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬( )
𝟓 ( 𝟏) 𝟐
𝟐( 𝟏) 𝟓 𝟏 𝟐 𝟒
( ) 𝟐
𝟐 𝟒
∫ ( )
𝟑
𝟏
∫ ( 𝟐
𝟐 𝟒 )
𝟑
𝟏
*
𝟑
𝟑
𝟐
𝟒 +
(𝟗 𝟗 𝟏𝟐) (
𝟏
𝟑
𝟏 𝟒) 𝟔 (
𝟏
𝟑
𝟑)
𝟔 (
𝟏 𝟗
𝟑
) 𝟔 (
𝟖
𝟑
)
𝟏𝟖 𝟖
𝟑
𝟐𝟔
𝟑

309. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
308
‫س‬7/ً‫للمنحنةةة‬ ‫كةةةان‬ ‫أذا‬( ) ( 𝟑) 𝟑
𝟏‫انم‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫نمط‬‫ـــــةةةـ‬‫الب‬( )‫ةةةدار‬‫ة‬‫للمم‬ ‫العددٌةةةة‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المٌم‬ ‫جةةةد‬
∫ ( )𝟎
∫ ( )𝟎
‫وزاري‬2015/‫د‬3
‫الحل‬/‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬
∴̅̅( ) 𝟎
( ) ( 𝟑) 𝟑
𝟏
̅( ) 𝟑( 𝟑) 𝟐
̅̅( ) 𝟔( 𝟑) 𝟔( 𝟑) 𝟎
( 𝟔)
⇒ 𝟑 𝟎 𝟑
(𝟑) (𝟑 𝟑) 𝟑
𝟏 𝟏 𝟏
∴‫األنمالب‬ ‫نمطة‬( )ً‫ه‬(𝟑 𝟏)‫أن‬ ‫أي‬𝟑 𝟏
∫ ( )
𝟎
∫ ( )
𝟎
∫ 𝟑( 𝟑) 𝟐
𝟏
𝟎
∫ 𝟔( 𝟑)
𝟑
𝟎
𝟑 *
( 𝟑) 𝟑
𝟑
+
𝟎
𝟏
𝟔 *
( 𝟑) 𝟐
𝟐
+
𝟎
𝟑
𝟑 *
(𝟏 𝟑) 𝟑
𝟑
(𝟎 𝟑) 𝟑
𝟑
+ 𝟔 *
(𝟑 𝟑) 𝟐
𝟐
(𝟎 𝟑) 𝟐
𝟐
+
𝟑 [
𝟖
𝟑
𝟐𝟕
𝟑
] 𝟔 [ 𝟎
𝟗
𝟐
]
𝟑 [
𝟏𝟗
𝟑
] 𝟔 [
𝟗
𝟐
]
𝟏𝟗 𝟐𝟕 𝟒𝟔

310. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
309
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
/ ‫مثال‬‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬:
(𝟏) ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒅𝒙 ∫
𝒔𝒆𝒄𝒙(𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙)
(𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙)
𝒅𝒙 ∫
𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙
𝐝𝐱 𝐥𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙| 𝒄
(𝟐) ∫ 𝒆𝒍𝒏(𝒙 𝟐 𝟓)
𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐
𝟓)𝒅𝒙
𝒙 𝟑
𝟑
𝟓𝒙 𝒄
(𝟑) ∫ 𝒆|𝒙|
𝟐
𝟐
𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙
𝟎
𝟐
𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙
𝟐
𝟎
𝒅𝒙 ,𝟏 𝒆 𝟐- ,𝒆 𝟐
𝟏- 𝟐𝒆 𝟐
𝟐
(𝟒) ∫
𝒅𝒙
𝒙√𝟏 𝒍𝒏𝒙
∫
(𝟏 𝒍𝒏𝒙)
𝟏
𝟐 𝒅𝒙
𝒙
(𝟏 𝒍𝒏𝒙)
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟐
/
𝒄 𝟐√𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒄
(𝟓) ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒐𝒔𝒙| 𝒄 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙| 𝒄
(𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏𝒙| 𝒄
(𝟕) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒔𝒄𝒙(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙)
(𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙)
𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙| 𝒄
(𝟖) ∫
𝒔𝒆𝒄√ 𝒙
√ 𝒙
𝒅𝒙 𝟐 ∫
𝒔𝒆𝒄√ 𝒙
(𝟐)√ 𝒙
𝒅𝒙 𝟐𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄√ 𝒙 𝒕𝒂𝒏√ 𝒙| 𝒄
(𝟗) ∫ (
𝟏
𝒙
𝒍𝒏𝒙
𝒙
) 𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝒍𝒏𝒙
𝒙
𝒅𝒙 𝒍𝒏𝒙
(𝒍𝒏𝒙) 𝟐
𝟐
𝒄
(𝟏𝟎) ∫
(𝒍𝒏𝒙)
𝒙
𝟑
𝒅𝒙
(𝒍𝒏𝒙) 𝟒
𝟒
𝒄
(𝟏𝟒) ∫
𝒆 𝒙
(𝒆 𝒆 𝒙) 𝟐
𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙(𝒆 𝒆 𝒙) 𝟐
𝒅𝒙
(𝒆 𝒆 𝒙) 𝟏
𝟏
𝒄
𝟏
𝒆 𝒆 𝒙
𝒄

311. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
310
/ ‫مثال‬‫جد‬‫للدوال‬‫التالٌة‬:
(𝟏) ( ) (
𝟏
) (𝟏)
𝟏 (𝟏 ) ( ) (𝟏 )
(𝟐) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 𝟐
𝟐 (
𝟏
)
𝟐
(
𝟐
) ( ) (
𝟐
)
(𝟑) ( ) ( )
(𝟒 ) ( )𝒙 𝟐( ) ,𝟏 -𝒙
𝟐( ) 𝟐( )𝒙
𝟐( ) 𝟐( )𝒙
, 𝟐( )𝒙 𝟐( )-
𝟐( )
𝟐( )𝒙
(𝟓)
𝟑 𝟏
(𝟑 𝟏)(𝟏) ( )( 𝟑 𝟑 )
(𝟑 𝟏) 𝟐
(𝟑 𝟏) ( 𝟑 𝟑 )
(𝟑 𝟏) 𝟐
/ ‫مثال‬‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬:
⒜‫عندما‬𝟎
𝟎
𝟏 (𝟎 𝟏) ‫التماس‬ ‫نقطة‬
‫المماس‬ ‫مٌل‬ 𝟎
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟎
𝟏 𝟏 𝟎 .‫المماس‬ ‫معادلة‬/

312. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
311
(b)𝟐‫عندما‬𝟏
𝟐 𝟐 𝟏
𝟐 (𝟏 𝟐) ‫التماس‬ ‫نقطة‬
‫المماس‬ ‫مٌل‬ (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟐
𝟒
𝟏
𝟏
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐 𝟒( 𝟏) (‫المماس‬ ‫)معادلة‬
(c)‫عندما‬
( ) (𝟏) ( ) ‫التماس‬ ‫نقطة‬
‫المماس‬ ‫مٌل‬ (
𝟏
) (𝟏) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐( ) (‫المماس‬ ‫)معادلة‬
/ ‫مثال‬‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬( ) ( ),0𝟎
𝟒
1‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬( )‫ثم‬
‫لٌمة‬ ‫جد‬∫ ( )𝟒
𝟎
/ ‫الحل‬
( )‫وكذلن‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬( )‫أٌضا‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
( )
𝟐 ( )
( )
( ‫للدالة‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ )
∫
𝟒
𝟎
, ( )- (√𝟐 𝟏) (𝟏 𝟎) (√𝟐 𝟏)

313. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
312
:‫مالحظة‬
‫المتغٌر‬ ‫على‬ ‫ٌحتوي‬ ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫كان‬ ‫أذا‬( )‫نستخدم‬. /‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬ ‫ثم‬ ‫جهة‬ ‫على‬ ‫متغٌر‬ ‫كل‬ ‫نضع‬ ‫ثم‬ ‫للمٌل‬
******************************************************************
‫س‬1:‫المستمٌم‬ ‫ٌمس‬ ‫الذي‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫جد‬𝟑 𝟕‫ٌساوي‬ ‫نماطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫ومٌله‬𝟑 𝟐
𝟔
‫س‬2:‫الثانٌةة‬ ‫المشتمة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬𝟔‫للدالةة‬ ‫وكةان‬‫النمطةة‬( 𝟏 𝟒)‫ثةم‬ ‫الدالةة‬ ً‫منحنة‬ ‫جةد‬ ‫محلٌةة‬ ‫عظمةى‬ ‫نهاٌةة‬ ‫نمطةة‬
‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫أرسم‬ ‫التفاضل‬ ‫بأستخدام‬
‫س‬3:‫ٌساوي‬ ‫نمطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫مٌله‬ ‫الذي‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬( 𝟐
𝟔 )‫لٌمتهةا‬ ‫محلٌةة‬ ‫صةغرى‬ ‫نهاٌةة‬ ‫وله‬
( 𝟑)‫ممعر‬ ً‫المنحن‬ ‫وكان‬( > 𝟏)‫لكل‬ ‫ومحدب‬( < 𝟏)
‫س‬4:‫بالنمطة‬ ‫المار‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬( 𝟏 𝟐)‫ٌساوي‬ ‫نمطه‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫ومٌله‬
𝟑 𝟐 𝟐 𝟏
𝟑 𝟐 𝟐 𝟑
‫س‬5:‫جد‬‫معادلة‬‫أن‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬ ‫المنحنٌات‬‫عند‬ ‫مٌلها‬‫نمطها‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬( )‫هو‬
𝟐
𝟐
******************************************************************
‫المستوٌة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫اٌجاد‬
‫مسا‬‫حة‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المستوٌة‬ ‫المنطمة‬‫السـ‬ ‫ومحور‬ ً‫منحن‬‫ــٌنات‬
‫لتكن‬( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬, -‫ولتكن‬Aً‫بةالمنحن‬ ‫المحةددة‬ ‫المنطمةة‬ ‫مسةاحة‬( )‫ومحةور‬
‫والمستمٌمٌن‬ ‫السٌنات‬‫فأن‬|∫ ( ) |
‫الحل‬ ‫خطوات‬:
‫بٌن‬ ‫المساحة‬ ‫الٌجاد‬‫ما‬ ‫نتبع‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ ً‫منحن‬ً‫ٌل‬:
Ⓘ‫ةةةل‬‫ة‬‫نجع‬( ) 𝟎‫ةةةرة‬‫ة‬‫للفت‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ٌنتم‬ ‫ةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫ةةةأذا‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫مح‬ ‫ةةةع‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةاطع‬‫ة‬‫التم‬ ‫ةةةاط‬‫ة‬‫نم‬ ‫ةةةاد‬‫ة‬‫الٌج‬, -‫ةةةزي‬‫ة‬‫فنج‬
‫فمط‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫وتؤخذ‬ ‫فٌهمل‬ ‫للفترة‬ ً‫الٌنتم‬ ‫النات‬ ‫كان‬ ‫واذا‬ ‫سابما‬ ‫تعلمنا‬ ‫كما‬ ‫الفترة‬.
②‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫الدالة‬ ‫تماطع‬ ‫نماط‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تحدٌدها‬ ‫ٌتم‬ ‫فالفترة‬ ‫فترة‬ ‫الدالة‬ ‫مع‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫اذا‬
③‫مجموع‬ = ‫المساحة‬‫لل‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌم‬‫المجزئة‬ ‫تكامالت‬

314. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
313
‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(1)/‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟑
𝟒‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫الفترة‬, 𝟐 𝟐-
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟑
𝟒 𝟎 ( 𝟐
𝟒) 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐
∴ً‫ه‬ ‫التكامل‬ ‫فترات‬( 𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐)
|∫ ( 𝟑
𝟒 )
𝟎
𝟐
| |∫ ( 𝟑
𝟒 )
𝟐
𝟎
| *
𝟒
𝟒
𝟐 𝟐
+
𝟐
𝟎
*
𝟒
𝟒
𝟐 𝟐
+
𝟎
𝟐
|(𝟎) (𝟒 𝟖)| |(𝟒 𝟖) (𝟎)| 𝟒 | 𝟒| 𝟖 (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2013/‫د‬3
‫ةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(2)/‫مس‬ ‫ةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫المح‬ ‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫الدال‬ ً‫ةةةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ددة‬‫ةةةةةةـ‬‫ة‬‫ــ‬‫ة‬𝟐
‫ةةةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫والمستمٌمٌن‬𝟏 𝟑
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟎 𝟎 ,𝟏 𝟑-
|∫ 𝟐
𝟑
𝟏
|
𝟑
*
𝟑
𝟑
+
𝟏
|[
𝟐𝟕
𝟑
] [
𝟏
𝟑
]|
𝟐𝟔
𝟑
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2013/‫د‬1
‫مثال‬(3)/‫الدالة‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟐‫السٌنات‬ ‫ومحور‬
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐 𝟎 ( 𝟐
𝟑 𝟐) 𝟎 ( 𝟏)( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐
|∫ ( 𝟑
𝟑 𝟐
𝟐 )
𝟏
𝟎
| |∫ ( 𝟑
𝟑 𝟐
𝟐 )
𝟐
𝟏
| *
𝟒
𝟒
𝟑 𝟐
+
𝟎
𝟏
*
𝟒
𝟒
𝟑 𝟐
+
𝟏
𝟐
|(
𝟏
𝟒
𝟏 𝟏) (𝟎)| |(𝟒 𝟖 𝟒) (
𝟏
𝟒
𝟏 𝟏)|
𝟏
𝟒
|
𝟏
𝟒
|
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )

315. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
314
‫مثةةةال‬(4)/‫الدالةةةة‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫المنطمةةةة‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟐
𝟏‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫الفترة‬, 𝟐 𝟑-
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟏 𝟎 ( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏 , 𝟐 𝟑-
|∫ ( 𝟐
𝟏)
𝟏
𝟐
| |∫ ( 𝟐
𝟏)
𝟏
𝟏
| |∫ ( 𝟐
𝟏)
𝟑
𝟏
|
*
𝟑
𝟑
+
𝟐
𝟏
*
𝟑
𝟑
+
𝟏
𝟏
*
𝟑
𝟑
+
𝟏
𝟑
|[(
𝟏
𝟑
𝟏) (
𝟖
𝟑
𝟐)] [(
𝟏
𝟑
𝟏) (
𝟏
𝟑
𝟏)] [(𝟗 𝟑) (
𝟏
𝟑
𝟏)]|
|
𝟕
𝟑
𝟏| |
𝟐
𝟑
𝟐| |𝟕
𝟏
𝟑
|
𝟒
𝟑
𝟒
𝟑
𝟐𝟎
𝟑
𝟐𝟖
𝟑
𝟗
𝟏
𝟑
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(5)/‫مس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬( )‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫الفترة‬0
𝟐
1
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟎 𝟎 [
𝟐
]
|∫
𝟎
𝟐
| |∫
𝟎
| |
𝟎
, -
𝟐
| | , -
𝟎
|
| (𝟎) .
𝟐
/| | ( ) (𝟎)| , 𝟏 𝟎- ,𝟏 𝟏- | 𝟏| 𝟐 𝟑 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )

316. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
315
‫مثةةةةال‬(6)/‫مس‬ ‫جةةةةد‬‫ــةةةةـ‬‫الدال‬ ً‫بمنحنةةةة‬ ‫المحةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةة‬ ‫احة‬‫ـــةةةةـ‬‫ة‬‫وعلةةةةى‬ ‫السةةةةٌنات‬ ‫ومحةةةةور‬
‫الفترة‬, -
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟎
𝟐
, -
|∫
𝟐
| |∫
𝟐
𝟐
| |∫
𝟐
| | 𝟐
, -
| |
|
𝟐
, -
𝟐
|
| |
, -
𝟐
|
| .
𝟐
/ ( )| | .
𝟐
/ .
𝟐
/| | ( ) .
𝟐
/|
| 𝟏 𝟎| |𝟏 𝟏| |𝟎 𝟏| | 𝟏| 𝟐 | 𝟏| 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
/ ‫ةةةةال‬‫ة‬‫مث‬‫مس‬ ‫ةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬( ) 𝟐
𝟒‫ةةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫الفترة‬, 𝟏 𝟑-
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐 , 𝟏 𝟑- (‫السالب‬ ‫ٌهمل‬ )
|∫ ( 𝟐
𝟒)
𝟐
𝟏
| |∫ ( 𝟐
𝟒)
𝟑
𝟐
| |*
𝟑
𝟑
𝟒 +
𝟏
𝟐
| |*
𝟑
𝟑
𝟒 +
𝟐
𝟑
|
|(
𝟖
𝟑
𝟖) (
𝟏
𝟑
𝟒)| |(𝟗 𝟏𝟐) (
𝟖
𝟑
𝟖)| |
𝟗
𝟑
𝟖 𝟒| | 𝟑
𝟖
𝟑
𝟖|
|𝟑 𝟏𝟐| |𝟓
𝟖
𝟑
| | 𝟗| |
𝟏𝟓 𝟖
𝟑
| 𝟗
𝟕
𝟑
𝟐𝟕 𝟕
𝟑
𝟑𝟒
𝟑
.‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /

317. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
316
/ ‫مثال‬‫مس‬ ‫جد‬‫ـــــ‬‫الدال‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫احة‬‫ــــ‬‫ة‬( )‫الس‬ ‫ومحور‬‫ــــ‬‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫ٌنات‬,𝟎 𝟐-
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟎 ( ‫الصفر‬ ‫من‬ ‫أكبر‬ ‫موجب‬ ‫عدد‬ ‫دائما‬ ‫ألنه‬ ‫الٌمكن‬ )
|∫
𝟐
𝟎
| | 𝟐 𝟎
| ( 𝟐
𝟏) (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ )
/ ‫مثةةةةال‬‫الدالةةةةة‬ ً‫بمنحنةةةة‬ ‫المحةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةة‬ ‫مسةةةةاحة‬ ‫جةةةةد‬( ) 𝟐 𝟐
‫السةةةةٌنات‬ ‫ومحةةةةور‬
‫الفترة‬ ‫وعلى‬0𝟎
𝟐
1
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐 𝟐
𝟎 𝟐 𝟎 𝟐
𝟐 𝟒
[ 𝟎
𝟐
]
|∫ 𝟐
𝟒
𝟎
| |∫ 𝟐
𝟐
𝟒
| |[
𝟏
𝟐
𝟐 ]
𝟎
𝟒
| |[
𝟏
𝟐
𝟐 ]
𝟒
𝟐
| [
𝟏
𝟐
(𝟏 𝟎)] [
𝟏
𝟐
(𝟎 𝟏)]
𝟏
𝟐
|
𝟏
𝟐
| 𝟏 (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ )
******************************************************************
‫بمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬
‫لتكن‬( ) ( )‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرتان‬ ‫دالتٌن‬, -‫المحةد‬ ‫المساحة‬ ‫فأن‬‫بةالمنحنٌٌن‬ ‫دة‬f,g‫والمسةتمٌمٌن‬
ً‫ه‬|∫ ( ( ) ( )) |
: ‫الحل‬ ‫خطوات‬
ً‫ماٌل‬ ‫نتبع‬ ‫دالتٌن‬ ً‫منحن‬ ‫بٌن‬ ‫المساحة‬ ‫الٌجاد‬:
Ⓘ‫نجعةةةل‬( ) ( )‫للفتةةةرة‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ٌنتم‬ ‫النةةةات‬ ‫ةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫فةةةأذا‬ ‫التمةةةاطع‬ ‫ةةةاط‬‫ة‬‫نم‬ ‫الٌجةةةاد‬, -‫ةةةا‬‫ة‬‫تعلمن‬ ‫كمةةةا‬ ‫ةةةرة‬‫ة‬‫الفت‬ ‫فنجةةةزي‬
‫فمط‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫وتؤخذ‬ ‫فٌهمل‬ ‫للفترة‬ ً‫الٌنتم‬ ‫النات‬ ‫كان‬ ‫واذا‬ ‫سابما‬.
②‫الدالتٌن‬ ‫تماطع‬ ‫نماط‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تحدٌدها‬ ‫ٌتم‬ ‫فالفترة‬ ‫فترة‬ ‫الدالة‬ ‫مع‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫اذا‬.
③= ‫المساحة‬‫المجزئة‬ ‫للتكامالت‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌم‬ ‫مجموع‬(‫األكبر‬ ‫للدالة‬–) ‫األصغر‬ ‫الدالة‬

318. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
317
‫وزار‬‫ي‬2011/‫د‬1
‫مثال‬(1)/‫مساحة‬ ‫جد‬‫المنطمة‬ً‫بالمنحن‬ ‫المحددة‬√‫والمستمٌم‬
/ ‫الحل‬
‫نجد‬‫التماطع‬ ‫نمط‬‫بجعل‬ ‫وذلن‬√
√
(‫)بالتربٌع‬
⇒ 𝟐 𝟐
𝟎 ( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏
|∫ (√ )
𝟏
𝟎
| |∫ (
.
𝟏
𝟐
/
)
𝟏
𝟎
| |[
.
𝟑
𝟐
/
.
𝟑
𝟐
/
𝟐
𝟐
]
𝟎
𝟏
| [*
𝟐 √ 𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
+
𝟎
𝟏
]
[(
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
) (𝟎)]
𝟒 𝟑
𝟔
𝟏
𝟔
.‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
‫مثال‬(2)/‫مساحة‬ ‫جد‬‫المنطمة‬‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ً‫المنحن‬𝟑
‫والمستمٌم‬
/ ‫الحل‬
‫بجعل‬ ‫وذلن‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫نجد‬𝟑
𝟑 𝟑
𝟎 ( 𝟐
𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏
|∫ ( 𝟑 )
𝟎
𝟏
| |∫ ( 𝟑 )
𝟏
𝟎
| |*
𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
+
𝟏
𝟎
| |*
𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
+
𝟎
𝟏
|
|(𝟎) (
𝟏
𝟒
𝟏
𝟐
)| |(
𝟏
𝟒
𝟏
𝟐
) (𝟎)|
𝟏
𝟒
|
𝟏
𝟒
|
𝟏
𝟐
(‫مساحة‬ ‫)وحدة‬

319. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
318
‫ةةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(3)/‫مس‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬‫ةةةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــ‬‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫احة‬‫ال‬‫منحنٌٌن‬( )‫و‬( )
‫الفترة‬ ‫وعلى‬0
𝟐 𝟐
1
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟏
𝟒
[
𝟐 𝟐
] (‫الموجب‬ ‫األتجاه‬)
|∫ ( )
𝟒
𝟐
| |∫ ( )
𝟐
𝟒
| |
|,
𝟒
-
𝟐
|
|
|
|,
𝟐
-
𝟒
|
|
|( .
𝟒
/ .
𝟒
/) ( .
𝟐
/ .
𝟐
/)| |( .
𝟐
/ .
𝟐
/) ( .
𝟒
/ .
𝟒
/)|
|(
𝟏
√𝟐
𝟏
√𝟐
) ( 𝟏 𝟎)| |(𝟏 𝟎) (
𝟏
√𝟐
𝟏
√𝟐
)|
|
𝟐
√𝟐
𝟏| |𝟏
𝟐
√𝟐
| |√𝟐 𝟏| |𝟏 √𝟐| √𝟐 𝟏 √𝟐 𝟏 𝟐√𝟐 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
/ ‫مثةةةةةةةال‬‫بةةةةةةة‬ ‫المحةةةةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةةةةة‬ ‫مسةةةةةةةاحة‬ ‫جةةةةةةةد‬‫ال‬‫منحنٌٌن‬( ) 𝟐
𝟐 𝟏‫و‬( ) 𝟓
‫الفترة‬ ‫وعلى‬, 𝟐 𝟑-
‫الحل‬/‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟐 𝟏 𝟓 𝟐
𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟒)( 𝟏) 𝟎
𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑
|∫ ( 𝟐
𝟑 𝟒)
𝟏
𝟐
| |∫ ( 𝟐
𝟑 𝟒)
𝟑
𝟏
| |*
𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
𝟒 +
𝟐
𝟏
| |*
𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
𝟒 +
𝟏
𝟑
|
|(
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
𝟒) (
𝟖
𝟑
𝟔 𝟖)| |(𝟗
𝟐𝟕
𝟐
𝟏𝟐) (
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
𝟒)|
|
𝟐 𝟗 𝟐𝟒 𝟏𝟔 𝟑𝟔 𝟒𝟖
𝟔
| |
𝟓𝟒 𝟖𝟏 𝟕𝟐 𝟐 𝟗 𝟐𝟒
𝟔
|
𝟏𝟕
𝟔
|
𝟏𝟏𝟐
𝟔
|
𝟏𝟕
𝟔
𝟏𝟏𝟐
𝟔
𝟏𝟐𝟗
𝟔
𝟒𝟑
𝟐
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )

320. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
319
/ ‫مثال‬‫جد‬‫المساحة‬‫بالمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬𝟒
𝟏𝟐‫و‬𝟐
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟒
𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐
𝟏𝟐 𝟎 ( 𝟐
𝟒)( 𝟐
𝟑) 𝟎 𝟐 ∓√ 𝟑 ‫ٌهمل‬
|∫ ( 𝟒 𝟐 𝟏𝟐)
𝟐
𝟐
| |*
𝟓
𝟓
𝟑
𝟑
𝟏𝟐 +
𝟐
𝟐
| *
𝟑𝟐
𝟓
𝟖
𝟑
𝟐𝟒+ *
𝟑𝟐
𝟓
𝟖
𝟑
𝟐𝟒+
|
𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟓
| |
𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟓
| |
𝟑𝟎𝟒
𝟏𝟓
|
𝟑𝟎𝟒
𝟏𝟓
𝟔𝟎𝟖
𝟏𝟓
𝟒𝟎
𝟖
𝟏𝟓
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
/ ‫مثةةةةةةال‬‫بةةةةةةالمنحنٌٌن‬ ‫المحةةةةةةددة‬ ‫المنطمةةةةةةة‬ ‫مسةةةةةةاحة‬ ‫جةةةةةةد‬( ) 𝟐 𝟐
𝟏‫و‬( ) 𝟐
‫الفترة‬ ‫وعلى‬0𝟎
𝟐
1
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐 𝟐
𝟏 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏 𝟎 𝟐
𝟏 𝟏
𝟏
𝟐
[ 𝟎
𝟐
] 𝟏 (‫ٌهمل‬ )
|∫ ( 𝟐
𝟏)
𝟐
𝟎
| |∫ ( 𝟐 )
𝟐
𝟎
∫
𝟐
𝟎
| |∫ (
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 )
𝟐
𝟎
∫
𝟐
𝟎
|
|[
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐 ]
𝟎
𝟐
, - 𝟎
𝟐
| |[(
𝟏
𝟐
×
𝟐
𝟎) 𝟎] 0
𝟐
𝟎1| |
𝟒 𝟐
| |
𝟒
|
𝟒
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )

321. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
320
/ ‫مثال‬‫المنحنٌٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) | 𝟏| 𝟐‫و‬( )
𝟏
𝟓
𝟕
/ ‫الحل‬( ) 2
𝟏 𝟐 𝟏
𝟏 𝟐 < 𝟏
( ) 2
𝟏 𝟏
𝟑 < 𝟏
‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟏
𝟏
𝟓
𝟕
𝟔
𝟓
𝟔 𝟓 𝟏
𝟑
𝟏
𝟓
𝟕
𝟒
𝟓
𝟒 𝟓 < 𝟏
|∫ (
𝟒
𝟓
𝟒)
𝟏
𝟓
| |∫ (
𝟔
𝟓
𝟔)
𝟓
𝟏
| |*
𝟒 𝟐
𝟏𝟎
𝟒 +
𝟓
𝟏
| |*
𝟔 𝟐
𝟏𝟎
𝟔 +
𝟏
𝟓
|
|(
𝟒
𝟏𝟎
𝟒) (𝟏𝟎 𝟐𝟎)| |( 𝟏𝟓 𝟑𝟎) (
𝟔
𝟏𝟎
𝟔)| |
𝟒𝟒
𝟏𝟎
𝟏𝟎| | 𝟏𝟓
𝟓𝟒
𝟏𝟎
|
|
𝟒𝟒 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟓𝟒
𝟏𝟎
|
𝟐𝟒𝟎
𝟏𝟎
𝟐𝟒 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
/ ‫مثال‬‫بالمنحنٌٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬( ) 𝟐 ( )
𝟏
𝟐
𝟐‫الفترة‬ ‫وعلى‬,𝟎 𝟏-
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟎
(‫بالدستور‬)
⇒
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒
𝟖
𝟐
𝟏
𝟐
𝟑𝟑
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
√𝟑𝟑
𝟐
𝟐
𝟏 √𝟑𝟑
𝟒
𝟏 √ 𝟑𝟑
𝟒
𝟎 𝟏
‫الدالة‬ ‫نختبر‬(0) 0 < (0) 2‫الدالة‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬( )‫األكبر‬ ‫الدالة‬ ً‫ه‬
|∫ (
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
)
𝟏
𝟎
| |*
𝟐
𝟒
𝟐
𝟑
𝟑
+
𝟎
𝟏
| |(
𝟏
𝟒
𝟐
𝟏
𝟑
) (𝟎)|
𝟑 𝟐𝟒 𝟒
𝟏𝟐
𝟐𝟑
𝟏𝟐
.‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /

322. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
321
‫المســــــافة‬
‫ةةتكن‬‫ة‬‫ل‬( )‫ةةرة‬‫ة‬‫الفت‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الممطوع‬ ‫ةةافة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةأن‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةا‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةتوي‬‫ة‬‫مس‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫وف‬ ‫ةةتمٌم‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةط‬‫ة‬‫خ‬ ‫ةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ةةرن‬‫ة‬‫ٌتح‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫جس‬ ‫ةةرعة‬‫ة‬‫س‬
‫الزمنٌة‬, 𝟏 𝟐-ً‫ه‬:∫ | ( )|𝟐
𝟏
‫تمثل‬ ‫حٌث‬( )‫متجهة‬ ‫غٌر‬ ‫كمٌة‬ ً‫وه‬ ‫المسافة‬ ‫ممدار‬
‫أم‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ــــــــــ‬‫ةةةةةة‬‫ة‬‫األزاح‬ ‫ا‬( )‫والس‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــــــ‬‫رعة‬( )‫ةةةةةل‬‫ة‬ٌ‫والتعج‬( )ٌ‫كم‬ ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫فه‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ــــ‬‫أزاح‬ ‫وأن‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫متجه‬ ‫ات‬‫ةةةةةـ‬‫ة‬‫ـــــــ‬‫ة‬
ً‫ه‬ ‫الجسم‬∫ ( )𝟐
𝟏
‫الجسم‬ ‫سرعة‬ ‫و‬∫ ( )
: ‫مالحظات‬
Ⓘ‫ال‬ ‫النات‬ ‫ألن‬ ‫مطلك‬ ‫بدون‬ ‫وٌكون‬ ‫للسرعة‬ ‫محدد‬ ‫تكامل‬ ‫األزاحة‬‫صفر‬ ‫أو‬ ‫سالب‬ ‫أو‬ ‫موجب‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ ‫ٌهم‬
②‫ال‬ ً‫لك‬ ‫هو‬ ‫المسافة‬ ‫لانون‬ ً‫ف‬ ‫المطلك‬ ‫وجود‬‫سالب‬ ‫النات‬ ‫ٌكون‬
③‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫طلب‬ ‫أذا‬‫مثال‬‫حساب‬ ً‫ٌعن‬ ‫فهذا‬ ‫الثامنة‬ ‫الثانٌة‬ ‫خالل‬ ‫األزاحة‬ ‫جد‬∫ ‫الدالة‬
④‫حساب‬ ً‫ٌعن‬ ‫فهذا‬ ‫األولى‬ ‫الخمس‬ ً‫الثوان‬ ‫خالل‬ ‫األزاحة‬ ‫جد‬ ‫مثال‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ‫طلب‬ ‫أذا‬∫ ‫الدالة‬
⑤‫فأن‬ ‫الجسم‬ ‫تعجٌل‬ ‫السؤال‬ ً‫ف‬ ً‫أعط‬ ‫أذا‬‫السرعة‬ ( ) ∫ ‫التعجٌل‬‫محدد‬ ‫غٌر‬ ‫تكامل‬ ‫وهو‬
⑥‫ةةة‬‫ة‬‫حال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫وف‬ ‫ةةد‬‫ة‬‫وج‬ ‫أن‬ ‫ةةل‬‫ة‬‫التكام‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫تجزئ‬ ‫ةةدوث‬‫ة‬‫ح‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ٌعن‬ ‫ةةذا‬‫ة‬‫وه‬ ‫ةةم‬‫ة‬‫الجس‬ ‫ةةاه‬‫ة‬‫أتج‬ ‫ةةر‬‫ة‬ٌ‫ٌتغ‬ ‫ةةافة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةاد‬‫ة‬‫أٌج‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫حال‬ ً‫ةة‬‫ة‬‫ف‬
. ‫وجدت‬ ‫أن‬ ‫التكامل‬ ً‫ف‬ ‫التجزئة‬ ‫تهمل‬ ‫لذا‬ ‫ثابت‬ ‫الجسم‬ ‫أتجاه‬ ‫ٌكون‬ ‫األزاحة‬

323. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
322
‫مثال‬(1)/‫بسرعة‬ ‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬( ) 𝟐 𝟒 ⁄‫فجــــــــــــــد‬:
ⓐ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬,𝟏 𝟑 -ⓑ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫األزاحة‬,𝟏 𝟑 -
ⓒ‫الخ‬ ‫الثانٌة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬‫امسة‬ⓓً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫بعده‬(4)‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬
‫الح‬‫ل‬/2 4 0 2 4 𝟐 ,1 3 -
|∫ (𝟐 𝟒)
𝟐
𝟏
| |∫ (𝟐 𝟒)
𝟑
𝟐
| |, 𝟐
𝟒
𝟐
-
𝟏
| |, 𝟐
𝟒
𝟑
-
𝟐
|
|(𝟒 𝟖) (𝟏 𝟒)| |(𝟗 𝟏𝟐) (𝟒 𝟖)| | 𝟒 𝟑| | 𝟑 𝟒| 𝟏 𝟏 𝟐
∫ (𝟐 𝟒)
𝟑
𝟏
, 𝟐
𝟒
𝟑
-
𝟏
(𝟗 𝟏𝟐) (𝟏 𝟒) 𝟑 𝟑 𝟎
|∫ (𝟐 𝟒)
𝟓
𝟒
| |, 𝟐
𝟒
𝟓
-
𝟒
| |,(𝟐𝟓 𝟐𝟎) (𝟏𝟔 𝟏𝟔)-| 𝟓
∫ (𝟐 𝟒)
𝟒
𝟎
|, 𝟐
𝟒
𝟒
-
𝟎
| ,(𝟏𝟔 𝟏𝟔) (𝟎)- 𝟎
‫مثةةةةال‬(2)/‫بتعجٌةةةةل‬ ‫مسةةةةتمٌم‬ ‫خةةةةط‬ ‫ةةةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ٌتحةةةةرن‬ ‫جسةةةةم‬(𝟏𝟖 𝟐⁄ )‫ةةةةبحت‬‫ة‬‫أص‬ ‫لةةةةد‬ ‫سةةةةرعته‬ ‫كانةةةةت‬ ‫ةةةةأذا‬‫ة‬‫ف‬
(𝟖𝟐 )‫مرور‬ ‫بعد‬(4)ً‫ثوان‬‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬‫فجد‬:
ⓐ‫خالل‬ ‫المسافة‬‫الثانٌة‬‫الثالثة‬ⓑ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعده‬(3)ً‫ثوان‬
/ ‫الحل‬
∫ ( ) ∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖
𝟖𝟐 𝟏𝟖( 𝟒) 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎
𝟏𝟖 𝟏𝟎
|∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎)
𝟑
𝟐
| |, 𝟗 𝟐
𝟏𝟎
𝟑
-
𝟐
| |(𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟑𝟔 𝟐𝟎)| 𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟔 𝟓𝟓
∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎)
𝟑
𝟎
, 𝟗 𝟐
𝟏𝟎
𝟑
-
𝟎
(𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟎) 𝟏𝟏𝟏
ⓒ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫السرعة‬ ‫جد‬ ‫أعاله‬ ‫المثال‬ ً‫ف‬(10)ً‫ثوان‬
( ) 𝟏𝟖 𝟏𝟎 (𝟏𝟎) 𝟏𝟖(𝟏𝟎) 𝟏𝟎 𝟏𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟗𝟎

324. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
323
(𝟒 𝟔)‫تمارين‬
‫س‬1/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟒
‫والمستمٌمٌن‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬𝟏 𝟏
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟒
𝟎 ( 𝟑
𝟏) 𝟎 𝟎 , 𝟏 𝟏- 𝟏 , 𝟏 𝟏-
|∫ ( 𝟒 )
𝟎
𝟏
| |∫ ( 𝟒 )
𝟏
𝟎
| |*
𝟓
𝟓 𝟐
𝟐
+
𝟏
𝟎
| |*
𝟓
𝟓 𝟐
𝟐
+
𝟎
𝟏
|
|(𝟎) (
𝟏
𝟓
𝟏
𝟐
)| |(
𝟏
𝟓
𝟏
𝟐
) (𝟎)| | (
𝟐 𝟓
𝟏𝟎
)| |(
𝟐 𝟓
𝟏𝟎
)|
𝟕
𝟏𝟎
𝟑
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟏 .‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
‫س‬2/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫الدالة‬( ) 𝟒
𝟑 𝟐
𝟒‫الفترة‬ ‫وعلى‬, 𝟐 𝟑-‫السٌنات‬ ‫ومحور‬
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟒
𝟑 𝟐
𝟒 𝟎 ( 𝟐
𝟒)( 𝟐
𝟏) 𝟎 𝟐 , 𝟐 𝟑- 𝟐
𝟏 ‫ٌهمل‬
|∫ ( 𝟒
𝟑 𝟐
𝟒)
𝟐
𝟐
| |∫ ( 𝟒
𝟑 𝟐
𝟒)
𝟑
𝟐
| |*
𝟓
𝟓
𝟑
𝟒 +
𝟐
𝟐
| |*
𝟓
𝟓
𝟑
𝟒 +
𝟐
𝟑
|
|(
𝟑𝟐
𝟓
𝟖 𝟖) (
𝟑𝟐
𝟓
𝟖 𝟖)| |(
𝟐𝟒𝟑
𝟓
𝟐𝟕 𝟏𝟐) (
𝟑𝟐
𝟓
𝟖 𝟖)|
|
𝟔𝟒
𝟓
𝟑𝟐| |
𝟐𝟏𝟏
𝟓
𝟐𝟑| |
𝟔𝟒 𝟏𝟔𝟎
𝟓
| |
𝟐𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟓
𝟓
|
| 𝟗𝟔| 𝟗𝟔
𝟓
𝟏𝟗𝟐
𝟓
.‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
‫س‬3/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫الدالة‬( ) 𝟒 𝟐
‫السٌنات‬ ‫ومحور‬
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟒 𝟐
𝟎 𝟐( 𝟐
𝟏) 𝟎 𝟐( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏
|∫ ( 𝟒 𝟐)
𝟎
𝟏
| |∫ ( 𝟒 𝟐)
𝟏
𝟎
| |*
𝟓
𝟓
𝟑
𝟑
+
𝟏
𝟎
| |*
𝟓
𝟓
𝟑
𝟑
+
𝟎
𝟏
|
|(𝟎) (
𝟏
𝟓
𝟏
𝟑
)| |(
𝟏
𝟓
𝟏
𝟑
) (𝟎)| |
𝟑 𝟓
𝟏𝟓
| |
𝟑 𝟓
𝟏𝟓
| |
𝟐
𝟏𝟓
| |
𝟐
𝟏𝟓
|
𝟒
𝟏𝟓
.‫مساحة‬ ‫وحدة‬ /
‫وزاري‬2012/‫د‬2

325. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
324
‫س‬4/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟑‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬0𝟎
𝟐
1
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟑 𝟎 𝟑 𝟎 𝟐 𝟎 0𝟎
𝟐
1
𝟑
0𝟎
𝟐
1
𝟐
𝟑
0𝟎
𝟐
1
|∫ 𝟑
𝟑
𝟎
| |∫ 𝟑
𝟐
𝟑
| |*
𝟑
𝟑
+
𝟎
𝟑
| |*
𝟑
𝟑
+
𝟑
𝟐
|
|[
𝟑 . 𝟑/
𝟑
] *
𝟑(𝟎)
𝟑
+| |[
𝟑 . 𝟐/
𝟑
] [
𝟑 . 𝟑/
𝟑
]|
|*
( )
𝟑
+ *
(𝟎)
𝟑
+| |[
(
𝟑
𝟐 )
𝟑
] *
( )
𝟑
+|
|*
( 𝟏)
𝟑
+ *
𝟏
𝟑
+| |, 𝟎- *
( 𝟏)
𝟑
+| |
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
| |
𝟏
𝟑
|
𝟐
𝟑
𝟏
𝟑
𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
‫س‬5/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟐 𝟐
𝟏‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬0𝟎
𝟐
1
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬( ) 𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐 𝟐
𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐
𝟐
𝟑
𝟐 𝟒
0 𝟎
𝟐
1
𝟑
𝟒
0 𝟎
𝟐
1
|∫ 𝟐
𝟒
𝟎
| |∫ 𝟐
𝟐
𝟒
| |*
𝟐
𝟐
+
𝟎
𝟒
| |*
𝟐
𝟐
+
𝟒
𝟐
|
|
𝟐 .
𝟒
/
𝟐
𝟐(𝟎)
𝟐
| |
𝟐 .
𝟐
/
𝟐
𝟐 .
𝟒
/
𝟐
| |
.
𝟐
/
𝟐
(𝟎)
𝟐
| |
( )
𝟐
.
𝟐
/
𝟐
|
|
𝟏
𝟐
𝟎 | | 𝟎
𝟏
𝟐
| |
𝟏
𝟐
| |
𝟏
𝟐
|
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬

326. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
325
‫س‬6/‫جد‬‫ال‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬ ‫مساحة‬√ 𝟏
𝟏
𝟐
‫الفترة‬ ‫وعلى‬[2,5]
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
√ 𝟏
𝟏
𝟐
.(‫بالتربٌع‬ )/
⇒ 𝟏
𝟏
𝟒
𝟐
(× 𝟒)
⇒ 𝟐
𝟒 𝟒 𝟎 ( 𝟐) 𝟐
𝟎 𝟐 ,𝟐 𝟓-
|∫ [
𝟏
𝟐
( 𝟏)
𝟏
𝟐]
𝟓
𝟐
| |[
𝟐
𝟒
( 𝟏)
𝟑
𝟐
.
𝟑
𝟐/
]
𝟐
𝟓
| |[
𝟐
𝟒
𝟐( 𝟏)
𝟑
𝟐
𝟑
]
𝟐
𝟓
|
|
𝟐𝟓
𝟒
𝟐(𝟒)
𝟑
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐(𝟏)
𝟑
𝟐
𝟑
| |
𝟐𝟓
𝟒
𝟐(𝟐 𝟐
)
𝟑
𝟐
𝟑
(𝟏
𝟐
𝟑
)|
|
𝟐𝟓
𝟒
𝟏𝟔
𝟑
𝟏
𝟑
| |
𝟕𝟓 𝟔𝟒 𝟒
𝟏𝟐
| |
𝟕
𝟏𝟐
|
𝟕
𝟏𝟐
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫س‬7/‫المساحة‬ ‫جد‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬𝟒
𝟏𝟐𝟐
/ ‫الحل‬‫صفحة‬ ‫محلول‬( 𝟒𝟖)
‫وزاري‬2014/‫د‬1
‫س‬8/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـــــ‬‫احة‬‫بالدالتٌن‬ ‫المحددة‬( )( )‫حٌث‬,𝟎 𝟐 -
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟎 ( 𝟏) 𝟎
𝟎 𝟎 ,𝟎 𝟐 - ,𝟎 𝟐 - 𝟐 ,𝟎 𝟐 -
𝟏 𝟎 ,𝟎 𝟐 - 𝟐 ,𝟎 𝟐 -
|∫ ( )
𝟎
| |∫ ( )
𝟐
|
|*
𝟐
𝟐
+
𝟎
| |*
𝟐
𝟐
+
𝟐
|
|*
𝟐( )
𝟐
( )+ *
𝟐(𝟎)
𝟐
(𝟎)+| |*
𝟐(𝟐 )
𝟐
(𝟐 )+ *
𝟐( )
𝟐
( )+|
|(𝟎 𝟏) (𝟎 𝟏)| |(𝟎 𝟏) (𝟎 𝟏)| | 𝟏 𝟏| |𝟏 𝟏| | 𝟐| 𝟐 𝟒 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬

327. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
326
‫وزاري‬2013/‫د‬2
‫س‬9/‫جد‬‫المساحة‬‫با‬ ‫المحددة‬‫لدالتٌن‬( ) 𝟐 𝟏( )‫حٌث‬0𝟎
𝟑
𝟐
1
/ ‫الحل‬‫نجعل‬( ) ( )‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
𝟑
𝟐
[𝟎
𝟑
𝟐
]
|∫ ( 𝟏)
𝟑
𝟐
𝟎
| |, - 𝟎
𝟑
𝟐
|
|(
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
) ( 𝟎 𝟎)| |(𝟎
𝟑
𝟐
) ( 𝟏)| |
𝟑
𝟐
𝟏|
𝟑
𝟐
𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
‫س‬10/‫جد‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬‫الدالة‬𝟑
𝟒 𝟐
𝟑‫السٌنات‬ ‫ومحور‬
/ ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟑
𝟒 𝟐
𝟑 𝟎 ( 𝟐
𝟒 𝟑) 𝟎
( 𝟏)( 𝟑) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟑
|∫ ( 𝟑
𝟒 𝟐
𝟑 )
𝟏
𝟑
| |∫ ( 𝟑
𝟒 𝟐
𝟑 )
𝟎
𝟏
|
|*
𝟒
𝟒
𝟒 𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
+
𝟑
𝟏
| |*
𝟒
𝟒
𝟒 𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
+
𝟏
𝟎
|
|(
𝟏
𝟒
𝟒
𝟑
𝟑
𝟐
) (
𝟖𝟏
𝟒
𝟑𝟔
𝟐𝟕
𝟐
)| |( 𝟎) (
𝟏
𝟒
𝟒
𝟑
𝟑
𝟐
)|
|
𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟒𝟑𝟐 𝟏𝟔𝟐
𝟏𝟐
| |
𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖
𝟏𝟐
|
𝟑𝟐
𝟏𝟐
|
𝟓
𝟏𝟐
|
𝟑𝟐 𝟓
𝟏𝟐
𝟑𝟕
𝟏𝟐
𝟑
𝟏
𝟏𝟐
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )

328. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
327
‫س‬11/‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬‫بسرعة‬( ) (𝟑 𝟐
𝟔 𝟑)‫أحسب‬
ⓐ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬,2 4-ⓑ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫األزاحة‬,0 5-
‫الحل‬/‫وزاري‬2015/‫د‬1
𝟑 𝟐
𝟔 𝟑 0 ( 3)
𝟐
𝟐 𝟏 0 ( 1)( 1) 0 𝟏 𝟎 1 ,2 4-
|∫ (𝟑 𝟐
𝟔 𝟑)
𝟒
𝟐
| |, 𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟒
-
𝟐
| |(𝟔𝟒 𝟒𝟖 𝟏𝟐) (𝟖 𝟏𝟐 𝟔)| |𝟐𝟖 𝟐| 𝟐𝟔
∫ (𝟑 𝟐
𝟔 𝟑)
𝟓
𝟎
|, 𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟓
-
𝟎
| ,(𝟏𝟐𝟓 𝟕𝟓 𝟏𝟓) (𝟎)- 𝟔𝟓
‫وزاري‬2011/‫د‬2
‫س‬12/‫جس‬‫ةةةةـ‬‫ة‬‫ــــ‬‫ةةةةدره‬‫ة‬‫ل‬ ‫ةةةةل‬‫ة‬ٌ‫بتعج‬ ‫ةةةةتمٌم‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةةط‬‫ة‬‫خ‬ ‫ةةةةى‬‫ة‬‫عل‬ ‫ةةةةرن‬‫ة‬‫ٌتح‬ ‫م‬(𝟒 𝟏𝟐) 𝟐
‫ةةةةد‬‫ة‬‫بع‬ ‫ةةةةرعته‬‫ة‬‫س‬ ‫ةةةةت‬‫ة‬‫وكان‬
‫مرور‬(4)‫تساوي‬ ً‫ثوان‬𝟗𝟎‫أحسب‬
ⓐ‫عندما‬ ‫السرعة‬𝟐
ⓑ‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫المسافة‬,1 2-
ⓒ‫بعد‬ ‫االزاحة‬(10)‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬
‫الحل‬/
( ) ∫ ( ) ∫(𝟒 𝟏𝟐) 𝟐 𝟐
𝟏𝟐
𝟗𝟎 𝟐(𝟏𝟔) 𝟏𝟐(𝟒) 𝟗𝟎 𝟑𝟐 𝟒𝟖 𝟗𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟎
( ) 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟏𝟎 (𝟐) 𝟐(𝟒) 𝟏𝟐(𝟐) 𝟏𝟎 𝟖 𝟐𝟒 𝟏𝟎 𝟒𝟐
∫ (𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟏𝟎)
𝟐
𝟏
*
𝟐 𝟑
𝟑
𝟔 𝟐
𝟏𝟎 +
𝟏
𝟐
|(
𝟏𝟔
𝟑
𝟐𝟒 𝟐𝟎) (
𝟐
𝟑
𝟔 𝟏𝟎)|
|
𝟏𝟔
𝟑
𝟒𝟒
𝟐
𝟑
𝟏𝟔| |
𝟏𝟒
𝟑
𝟐𝟖|
𝟏𝟒 𝟖𝟒
𝟑
𝟗𝟖
𝟑
∫ ( 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟏𝟎)
𝟏𝟎
𝟎
*
𝟐 𝟑
𝟑
𝟔 𝟐
𝟏𝟎 +
𝟎
𝟏𝟎
|(
𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟑
𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎) (𝟎)|
𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎
𝟑
𝟒𝟏𝟎𝟎
𝟑

329. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
328
‫س‬13/‫وبعد‬ ‫السكون‬ ‫من‬ ‫نمطة‬ ‫تتحرن‬‫ثانٌة‬‫سةرعتها‬ ‫اصةبحت‬ ‫الحركةة‬ ‫بدط‬ ‫من‬(100 6 2)‫أو‬‫جةد‬
‫ال‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬‫نمطة‬‫موضع‬ ‫الى‬‫ها‬‫اال‬‫ول‬‫بدا‬ ‫الذي‬‫ت‬‫أحس‬ ‫ثم‬ ‫منه‬‫ب‬‫عندها‬ ‫التعجٌل‬.‫وزاري‬2014/‫د‬2
/ ‫الحل‬
( ) (100 6 2) ‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬
∫.100 6 2
/ 𝟓𝟎
2
𝟐
𝟑
‫السكون‬ ‫من‬ ‫تتحرك‬ ‫النقطة‬
∴𝟎 𝟎
𝟎 𝟓𝟎(0)2 𝟐( 𝟎) 𝟑
𝟎
𝟓𝟎
2
𝟐
𝟑
‫األزاحة‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫األول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النقطة‬ ‫عودة‬ ‫عند‬( )‫صفر‬ ‫تساوي‬: ‫ٌكون‬ ‫لذا‬
𝟓𝟎
2
𝟐 𝟑
𝟎
2
(𝟓𝟎 𝟐 ) 𝟎
2
𝟎 𝟎 ‫ٌهمل‬
50 2 𝟎 𝟐 𝟓𝟎 𝟐𝟓 ‫األول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النقطة‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬
( ) ̅( ) ‫التعجٌل‬
( ) 100 12
( 𝟐𝟓) 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐( 𝟐𝟓) 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 ⁄ 𝟐

330. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
329
‫الدورانٌـ‬ ‫الحجــوم‬:‫ـة‬
1.‫ةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةكل‬‫ة‬‫الش‬ ‫ةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫ةاب‬‫ة‬‫لحس‬( )‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةتمرة‬‫ة‬‫المس‬‫الى‬
‫التالٌة‬ ‫العاللة‬ ‫نطبك‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬∫ 𝟐
2.‫ةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةكل‬‫ة‬‫الش‬ ‫ةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫ةاب‬‫ة‬‫لحس‬( )‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةتمرة‬‫ة‬‫المس‬‫الى‬
‫التالٌة‬ ‫العاللة‬ ‫نطبك‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬∫ 𝟐
‫وزاري‬2013/‫د‬3
‫ةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(1)/ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬0 4√‫ةةةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬,‫دارت‬
‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬,. ‫حجمها‬ ‫جد‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ (√ )
𝟐
𝟒
𝟎
∫
𝟒
𝟎
*
2
2
+ [(
16
2
) (0)] 8 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2014/‫د‬3
‫مثال‬(2)/‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ً‫المنحن‬𝟏 𝟒
𝟏
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫دارت‬.‫حجمها‬ ‫جد‬.
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ (
𝟏
)
𝟐𝟒
𝟏
∫ (
𝟏
)
𝟒
𝟏
,
𝟒
-
𝟏
, 𝟒 𝟏- 𝟐 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2011/‫د‬2
‫مثةةةال‬(3)/‫ةةةه‬‫ة‬‫معادلت‬ ‫ةةةذي‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫بةةةالمطع‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫النةةةات‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2
8
‫والمستمٌمٌن‬2 0ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ 8
𝟐
𝟎
,4 2
𝟐
-
𝟎
,16 0- 16 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫مثةةةال‬(4)/‫معادلتةةةه‬ ‫الةةةذي‬ ‫المكةةةاف‬ ‫بةةةالمطع‬ ‫المحةةةددة‬ ‫المسةةةاحة‬ ‫دوران‬ ‫مةةةن‬ ‫النةةةات‬ ‫الحجةةةم‬ ‫أوجةةةد‬2 2
‫والمستمٌمٌن‬0 5ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ (𝟐 𝟐
)
𝟐
𝟓
𝟎
∫ 𝟒 𝟒
𝟓
𝟎
*
𝟒 𝟓
𝟓
+
𝟎
𝟓
*
𝟒(𝟓) 𝟓
𝟓
(𝟎)+ 𝟐𝟓𝟎𝟎 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )

331. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
330
‫ةةةةةةةال‬‫ة‬‫مث‬(5)/‫الم‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬‫ةةةةةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫ةةةةةةةالمطع‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫س‬4 2
‫والمستمٌمٌن‬0 16‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ .
𝟒
/
𝟏𝟔
𝟎
*
𝟐
𝟖
+
𝟎
𝟏𝟔
*
(𝟏𝟔) 𝟐
𝟖
(𝟎)+ 𝟑𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫ةةةال‬‫ة‬‫مث‬(6)/‫ةةةادات‬‫ة‬‫الص‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫مح‬ ‫ةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫دوران‬ ‫ةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةة‬‫ة‬‫الناش‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫أوج‬‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫ومنحن‬
𝟑
,1 3. ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ (
𝟗
𝟐
)
𝟑
𝟏
[
𝟏𝟖
]
𝟏
𝟑
𝟏𝟖 [
𝟏
]
𝟏
𝟑
𝟏𝟖 [
𝟏
𝟑
𝟏] 𝟏𝟖 [
𝟐
𝟑
]
𝟏𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2015/‫د‬3
‫الصةادات‬ ‫محةور‬ ‫بةٌن‬ ‫المحصةورة‬ ‫المنطمةة‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫الناش‬ ‫الحجم‬ ‫أوجد‬‫الدالةة‬ ً‫ومنحنة‬
𝟏
‫والمسةتمٌمٌن‬
1
2
. ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬
‫الحل‬/
1 1
1
2
2
∫ 𝟐
∫ (
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝟏
[
𝟏
]
𝟏
𝟐
[
𝟏
𝟐
𝟏]
𝟏
𝟐
(‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬3201/‫د‬2
‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫بةةةٌن‬ ‫ةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةم‬‫ة‬‫حج‬ ‫أوجةةةد‬
𝟏
‫ةةةتمٌمٌن‬‫ة‬‫والمس‬2 1‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫الصادات‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ (
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝟏
[
𝟏
]
𝟏
𝟐
[
𝟏
𝟐
𝟏]
𝟏
𝟐
(‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )

332. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
331
(𝟒 𝟕)‫تمارين‬
‫س‬(1)/:‫ةةةةةاف‬‫ة‬‫المك‬ ‫ةةةةةالمطع‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ً‫ةةةةةدوران‬‫ة‬‫ال‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2
‫والمستمٌمٌن‬1 2ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ ( 2)2
𝟐
𝟏
∫
𝟐
𝟏
*
5
+
2
[
32
5
1
5
]
31
5
(‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2013/‫د‬1
‫س‬2/‫ةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةةة‬‫ة‬‫منحن‬ ‫ةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةات‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫أوج‬2
1
‫والمستمٌم‬4‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
0 1
2
1 2
1
∫ 𝟐
∫ ( 𝟏)
𝟒
𝟏
*
𝟐
𝟐
+
𝟏
𝟒
[(𝟖 𝟒) (
𝟏
𝟐
𝟏)] [𝟒
𝟏
𝟐
] 𝟒
𝟏
𝟐
(‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫س‬3/ً‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةب‬‫ة‬‫أحس‬2
1
‫والمستمٌم‬0‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
2
1 1 2
𝟎 2
1 𝟏 (‫التكامل‬ ‫)حدود‬
∫ 𝟐
∫ (1 2)
𝟐
𝟏
𝟏
∫ (𝟏 𝟐 2 4)
𝟏
𝟏
*
𝟐 𝟑
𝟑
𝟓
𝟓
+
𝟏
𝟏
[(𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟓
) ( 𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟓
)] [𝟐
𝟒
𝟑
𝟐
𝟓
]
𝟑𝟎 𝟐𝟎 𝟔
𝟏𝟓
𝟏𝟔
𝟏𝟓
(‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2014/‫د‬2
‫س‬4/ً‫ةةةةةةةة‬‫ة‬‫المنحن‬ ‫ةةةةةةةةٌن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةةةةورة‬‫ة‬‫المحص‬ ‫ةةةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةةةةةةةةد‬‫ة‬‫المتول‬ ‫ةةةةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةةةةب‬‫ة‬‫أحس‬2
‫والمستمٌم‬‫ان‬0 2ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫ا‬‫لحل‬/
∫ 𝟐
∫
𝟐
𝟎
*
4
+
2
[
16
4
0] 4 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )

333. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
332
‫الرابع‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬
‫س‬5/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬‫الفروع‬( )‫الت‬ ‫بموضوع‬ ‫مرتبطة‬‫فاض‬‫ل‬
( )
𝟐
|𝟐 |
𝟐 𝟏
𝟐
( 𝟐) | 𝟐 |
𝟐
( 𝟐 )
𝟐
𝟐
𝟐
| 𝟐 |
( ) ( )
𝟐( )( ) 𝟐( )
( ) 𝟐 | |
𝟐
𝟏
| | (𝟐 ) 𝟐 | |
( ) | 𝟐
|
𝟏
𝟐
𝟐( ) 𝟐 𝟐 𝟐
( )
( )( ) ( )( )
( ) 𝟐
( 𝟐
𝟐 𝟎 𝟐 ) ( 𝟐
𝟐 𝟎 𝟐 )
( ) 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
( ) 𝟐
𝟒
( ) 𝟐
( ) ( )
( ) ( )

334. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
333
‫س‬12/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫تكامالت‬
( ) ∫( 𝟒 𝟒 )
∫( 𝟐 𝟐 )( 𝟐 𝟐 ) ∫( 𝟐 )(𝟏)
𝟏
𝟐
∫( 𝟐 )(𝟐)
𝟏
𝟐
𝟐
( ) ∫( 𝟐 𝟏)( 𝟐
𝟐 𝟐)
∫( 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐)
∫ 𝟐
𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐
𝟐 𝟐 ∫
𝟏
𝟐
∫ 𝟐
𝟐 ( 𝟐) 𝟐 ∫ 𝟐 ( 𝟐)
𝟏
𝟐
∫( 𝟏 𝟒 ) 𝟐 ∫
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟒
𝟒 ) 𝟐
𝟏
𝟔
𝟑
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟖
𝟒 𝟐
𝟏
𝟔
𝟑
𝟐 𝟐
𝟓
𝟐
𝟏
𝟖
𝟒
( ) ∫
| |
∫
𝟏 ( ) 𝟐
𝟐
( ) ∫
𝟐 √
𝟑
√ 𝟐𝟑
∫ 𝟐
.
𝟐
𝟑
/
𝟏
𝟑 𝟐(𝟑) ∫ (
𝟏
𝟑
)
.
𝟐
𝟑
/
𝟏
𝟑 𝟔
𝟏
𝟑 𝟔 √
𝟑

335. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
334
( ) ∫ 𝟑
∫ 𝟐
∫( ) 𝟐
𝟑
𝟑
( ) ∫ 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓𝟑
∫ 𝟑(𝟑 𝟓 𝟐)
𝟑
∫ (𝟑 𝟓 𝟐)
𝟑
∫ (𝟑 𝟓 𝟐)
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏𝟎
∫( 𝟏𝟎) (𝟑 𝟓 𝟐)
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏𝟎
×
(𝟑 𝟓 𝟐)
𝟒
𝟑
𝟒
𝟑
𝟑
𝟒𝟎
(𝟑 𝟓 𝟐)
𝟒
𝟑
( ) ∫
𝟏
𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗
∫
𝟏
( 𝟕) 𝟐
∫( 𝟕) 𝟐
( 𝟕) 𝟏
𝟏
𝟏
𝟕
( ) ∫ 𝟐
𝟑 𝟑
𝟏
𝟑
∫(𝟑) 𝟐
𝟑 𝟑
𝟏
𝟑
𝟑

336. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
335
‫الرابع‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬1⁄: ‫نات‬ ‫جد‬
(1) ∫( 3 2
)
3
(2) ∫
1
√1
∫(1 ) 2 [
(1 )2
1
2
] [2(1 )2] [2(22)2] [2(1)2] 4 2 2
(3) ∫ 6 3
∫(1 2 2
3 ) 3
∫ 3 2 ∫ 2
3 3
1
3
3
2
3
3
3
1
3
3
2
9
3
‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬2⁄‫نات‬ ‫جد‬:
∫( )( )
∫( 2 2 ) ∫ 2
1
2
∫(1 2 )
1
2
(
1
2
2 )
1
2
1
4
2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬1⁄‫نات‬ ‫جد‬:
∫ √ 2 15
∫ ( 2
15)2
1
2
∫ 2 ( 2
15)2
*2
( )
+ 0 ( 2
15) 1 0 (72) 1 0 (1) 1
2
114

337. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
336
‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬1⁄‫نات‬ ‫جد‬:
∫ 2 2
∫ 2
1
2
(1 2 )
1
2
∫ 2
1
2
∫ 2
2
1
2
1
2
∫(2) 2
1
2
1
2
∫(1 4 )
1
4
2
1
4
(
1
4
4 )
1
4
2
1
4
1
16
4
‫وزاري‬ ‫سؤال‬97‫/د‬2⁄: ‫نات‬ ‫جد‬
∫(1 3 )2
∫(1 2 3 2
3 ) ∫ 2 ∫ 3
1
2
∫(1 6 )
2
3
3
1
2
(
1
6
6 )
3
2
2
3
3
1
12
6
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1:‫جد‬ :
∫( 2 )2
∫( 2
2 2 2
2 )
1
2
∫(1 2 ) 2 ∫ (2 )
1
2
∫(1 4 )
1
2
(
1
2
2 ) 4
3
1
2
(
1
4
4 )
1
2
1
4
2
4
3
1
2
1
8
4
1
4
2
4
3
1
8
4

338. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
337
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬1:‫كان‬ ‫إذا‬∫ ( 𝟑)
𝟗
𝟒𝟏
‫لٌمة‬ ‫ما‬‫؟‬
0
2
1 0
2
1 0
2
1
2 2
2
2 4
1
4
9
4
(× )
⇒ 2 2
1 9 2 2
1 9 0
2 2
8 0 2 2
8 0
( 2
4)( 2
2) 0
2
2 ‫ٌهمل‬
2
4 0 2
4 2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬98‫/د‬2:‫كان‬ ‫إذا‬∫ (𝟐 𝟑) 𝟏𝟐‫وكان‬𝟐 𝟑‫لٌمة‬ ‫ما‬‫؟‬
/‫الحل‬
3 2 (1)
∫(2 3) 12 , 2
3 - 12
, 2
3 - , 2
3 - 12 2
3 2
3 12
2
3 (3 2 )2
3(3 2 ) 12
2
3 (9 12 4 2) 9 6 12 0
2
3 9 12 4 2
9 6 12 0 3 2
21 30 0
( )
⇒
2
7 10 0 ( 2)( 5) 0
2 0 2 3 2(2) 1
5 0 5 3 2(5) 7

339. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
338
‫وزاري‬ ‫ةةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2000‫/د‬2‫ةةةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬ :( ) 𝟏 𝟐 𝟐
‫ةةةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫وعلى‬ ‫السٌنات‬‫الفترة‬0𝟎
𝟐
1
:‫الحل‬
1 2 2
0 2 0 2
2 2
- 2
4
0𝟎
𝟐
1
3
4
0𝟎
𝟐
1
00 1 0
2
1 ‫التكامل‬ ‫فترات‬
||∫ 2 || ||∫ 2
2
|| |[
1
2
2 ] | |[
1
2
2 ]
2
|
|[
1
2 2
] [
1
2
0]| |[
1
2
] [
1
2 2
]|
|
1
2
(1)
1
2
(0)| |
1
2
(0)
1
2
(1)|
1
2
1
2
1 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬96‫/د‬1:‫جد‬ :
∫ 2 2
∫, -2
∫ [
1
2
(2 )]
2
∫ (
1
2
2 )
2
∫
1
4
2
2
1
4
1
2
∫(1 4 )
1
8
(
1
4
4 )
1
8
1
32
4
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬2:‫جد‬ :
∫
9 12 4 2
∫
(3 2 )2
∫(3 2 ) 2
1
2
∫(3 2 ) 2( 2)
*
1
2
(3 2 )
1
+ [
1
2(3 2 )
]
[
1
2(1)
] [
1
2(5)
]
1
2
1
10
5 1
10
4
10
2
5

340. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
339
‫وزاري‬ ‫ةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2001‫د‬ /1‫ةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫ةةةد‬‫ة‬‫ج‬ :𝟑
𝟗‫ةةةى‬‫ة‬‫وعل‬ ‫ةةةٌنات‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫الفترة‬, 𝟑 𝟑-.
‫ا‬/‫لحل‬9 0 ( 2
9) 0 0 2
9 0
2
9 3
∴‫التكامل‬ ‫فترات‬, 3 0- ,0 3-
|∫ ( 9 ) | |∫ ( 9 ) |
|0 2
1 | |0 2
1 | |,0- 0
2
1| |0
2
1 ,0-|
|
2
| |
2
|
2
40
2
‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫/د‬1::‫لٌمة‬ ‫جد‬
∫ 2 5 (2 5)
∫( 2
5 )2(2 5) [
( 2
5 )2
3
2
] [
2
3
( 2
5 )2]
[
2
3
(16 20)2] [
2
3
(0)2] [
2
3
(62)2]
2
3
(216)
432
3
144
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫/د‬1‫الدالتٌن‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟒
𝟒 𝟑 𝟐
.
/‫الحل‬4 3 2
3 2
4 3 2
4 0
( 2
4)( 2
1) 0
2
4 0 2
4 2 ( 2
1 0)‫ٌهمل‬
|∫ ( 3 2
4)
2
2
| |0 4 1
2
2
|
|[
32
5
8 8] [
32
5
8 8]| |
64
5
32| |
96
5
|
96
5
‫مربعة‬ ‫وحدة‬

341. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
340
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2002‫د‬ /1‫الدالتٌن‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟐 𝟐
‫وعلى‬,𝟏 𝟑-.
:‫الحل‬2
2 2
2 0 ( 2) 0
0 ,0 3- 2 0 2 ,0 3-
|∫ ( 2
2 )
2
| |∫ ( 2
2 )2
| |0 2
1
2
| |0 2
1
2
|
|0 41 0 11| |,9 9- 0 41| | 4 1| | 4|
| 3| |
2
| | | | |
2
2 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2004‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :∫ 𝟐 𝟗
𝟐
𝟒
‫لٌمة‬ ‫فجد‬h.
/‫الحل‬
∫
( 2 9)2
2 ∫ ( 2
9) 2 2
1
2
∫ 2 ( 2
9) 2 2
*2
( )
+ 2 0(16 9) 1 0( 2
9) 1 2
(52) ( 2
9) 2 ( 2
9) 5 2 ( 2
9) 3
‫بالتربٌع‬
⇒
2
9 9 2
0 0
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬1‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ (𝟓 𝟐 ) 𝟐
𝟐
𝟏
.
/‫الحل‬∫ (5 2 ) 2
2
∫ (5 2 ) 2 ( 2) 0
2
( 2 )
1
2
22
[
1
2(5 2 )
]
2
[
1
2(5 4)
] [
1
2(5 2)
]
1
2
1
6
3 1
6
2
6
1
3

342. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
341
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2006‫/د‬2‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ (𝟑 𝟒) 𝟐
𝟐
𝟏
.
∫ (3 4) 2
∫ (3 4) 2
3 0
( )
1
2
22
0
( )
1
2
0
( )
1 0 ( )
1
2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬1‫كان‬ ‫إذا‬ :∫ ( ) 𝟓 ∫ ( ) 𝟑‫وكانت‬, -‫لٌمة‬ ‫جد‬
∫ ( )
/‫الحل‬
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) 5 ∫ ( ) 3
∫ ( ) 5 3 ∫ ( ) 2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2008‫/د‬2‫جد‬ :∫ 𝟐
𝟐
∫(2 2
1)2
∫(4 4 2
1)
‫الدالة‬ ‫المشتقة‬∫ 4 ∫ 4 2
∫
4 ∫ ( ) 4 ∫ 2
( ) ∫
4 4
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬1‫بسرعة‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬ :( ) 𝟑 𝟐
𝟏𝟐 𝟗‫زمن‬ ‫أي‬ ً‫ف‬t:‫إحسب‬
1-‫خالل‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسافة‬[ ‫الفترة‬0,2.]
2-‫التعجٌل‬ ‫فٌه‬ ‫ٌصبح‬ ‫الذي‬ ‫الزمن‬𝟏𝟖 𝟐
.
/‫الحل‬(1) 3 2
12 9 0 - 3
2
4 3 0 ( 3)( 1) 0
3 0 3 ,0 2-
1 0 1 ,0 2-
|∫(3 2
12 9) | |∫(3 2
12 9)
2
| |, 6 2
9 -
1
0
| |, 6 2
9 -2
1
|
|,1 6 9- ,0-| |,8 24 18- ,1 6 9-| |4| |2 4| 4 2 6
(2) ( ) ̅( ) 6 12
18 6 12 6 18 12 6 30 5

343. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
342
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ 𝟑 𝟐
𝟖
𝟑
/‫الحل‬
∫
2( 1)
∫
( 1)2
∫( 1) 2 [
( 1)2
1
2
]
[2( 1)2] [2(8 1)2] [2(3 1)2] [2(32)2] [2(22)2] 6 4 2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2009‫/د‬2:‫المنحنٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟐 𝟐
‫الفترة‬ ً‫ف‬0𝟎
𝟐
1.
/‫الحل‬
2 2
2
2 0 2
2
3
2
- 2
4
0𝟎
𝟐
1
3
4
0𝟎
𝟐
1
||∫ 2 || ||∫ 2
2
|| |[
1
2
2 ] | |[
1
2
2 ]
2
|
|0
2 2
1 0
2
01 0
2
1 0
2 2
1|
|
2
(1)
2
(0)| |
2
(0)
2
(1)|
2 2
1 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫جد‬ :‫ال‬‫المنحنٌن‬ ‫بٌن‬ ‫المحددة‬ ‫مساحة‬( ) ( ) √ 𝟐 𝟏[ ‫الفترة‬ ً‫ف‬1,5.]
/‫الحل‬
√2 1 √2 1 0 √2 1 ‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬
2 1 2 2
2 1 0 ( 1)2
0
1 0 1
|∫ [(2 1)2 ] | |∫(2 1)2 | |∫ |
|[
1
2
(2 1)2
3
2
] | |*
2
2
+ | |[
1
3
(2 1)2] | |*
2
2
+ |
|[
1
3
(9)2
1
3
(1)2] [
25
2
1
2
]| |[
1
3
(32)2
1
3
] [
24
2
]|
|9
1
3
24
2
| |
54 2 72
6
| |
20
6
|
10
3
‫مربعة‬ ‫وحدة‬

344. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
343
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ ( ) 𝟐𝟐
𝟎
.
/‫الحل‬
∫( 2
2 2 )
2
∫(2 1)
2
∫ ( 2 1) [
1
2
2 ]
22
[
1
2 2
] [
1
2
0 0] [
1
2
( 1)
2
] [
1
2
(1)]
1
2 2
1
2
.1
2
/ ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬1‫مشتم‬ ً‫منحن‬ :‫ته‬‫األولى‬
𝟐
𝟐 𝟒 𝟒
( ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬1,2.ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ )
/‫الحل‬( )
2
‫الطرفٌن‬ ‫بتكامل‬
( ) ∫
2
( ) ∫
2
( 2)
( ) ∫ 2( 2) 2 ( ) 2
( 2)
( )
2
2
‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ً‫المنحن‬ (1 2) ‫ان‬ ‫وبما‬
2
2
2
2 2 0
( )
2
2
ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2010‫/د‬2‫ةةةةةةةةةةةةةةةةان‬‫ة‬‫ك‬ ‫إذا‬ :∫ ( ) 𝟐 ∫ ( ) 𝟔
𝟐
𝟏
𝟑
𝟏
:‫ةةةةةةةةةةةةةةةةة‬‫ة‬‫لٌم‬ ‫ةةةةةةةةةةةةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬
∫ , ( ) ( ) 𝟒 -
𝟑
𝟏
/‫الحل‬
∫ , ( ) ( ) 4 - ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ 4
6 2 0
2
1 4 ,2 2-3
1
4 ,18 2- 4 16 20

345. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
344
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2010‫/د‬2‫سرعته‬ ‫بحٌث‬ ‫مستمٌم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬ :( ) 𝟑 𝟐
𝟒 𝟕‫المسافة‬ ‫جد‬
( ً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫الجسم‬ ‫ٌمطعها‬ ً‫الت‬4‫تماس‬ ‫المسافة‬ ‫أن‬ ً‫ا‬‫علم‬ ‫عندها‬ ‫التعجٌل‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ,‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬ ً‫ثوان‬ ).‫باألمتار‬
/‫الحل‬
( ) 3 2
4 7 > 0
∫ (3 2
4 7) , 2 2
7 -
4
0
,64 32 28- ,0- 124
( ) ̅( ) 6 4 ‫لحظة‬ ‫أي‬ ً‫ف‬ ‫التعجٌل‬
(4) 6(4) 4 24 4 28 2
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2012‫/د‬1‫المساحة‬ ‫جد‬ :‫المحددة‬ً‫بالمنحن‬( ) ( 𝟏) 𝟑
[ ‫الفترة‬ ً‫ف‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬-1,3. ]
/‫الحل‬( 1) 0 1 0 1 , 1 3-
| ∫( 1) | |∫( 1) | *
( 1)
4
+ |
( 1)
4
|
|*0
( 2)
4
+| |*
(2)
4
0+| | 4| |4| 4 4 8 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫سةةةؤال‬2012‫/د‬1ً‫المنحنةةة‬ ‫بةةةٌن‬ ‫المحصةةةورة‬ ‫المسةةةاحة‬ ‫دوران‬ ‫مةةةن‬ ‫النةةةات‬ ‫الحجةةةم‬ ‫جةةةد‬ :𝟐
𝟏
‫والمستمٌمٌن‬𝟐 𝟏.‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
/‫الحل‬
∫ 2
∫( 1) *
2
2
+
2
[(
4
2
2) (
1
2
1)]
2
0(2 2) . 2
/1 .0 2
/ 2
‫مكعبة‬ ‫وحدة‬

346. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
345
‫وزاري‬ ‫ةةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2012‫/د‬2:‫ةةةةةا‬‫ة‬‫الن‬ ‫ةةةةةم‬‫ة‬‫الحج‬ ‫ةةةةةد‬‫ة‬‫ج‬ً‫ةةةةةالمنحن‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةةاحة‬‫ة‬‫المس‬ ‫دوران‬ ‫ةةةةةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ت‬√5 2
‫والمستمٌمٌن‬2 1ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ . 5 2/
𝟐𝟐
𝟏
∫ 𝟓 𝟒
𝟐
𝟏
𝟓
𝟎
𝟓
(𝟓) 𝟓 (𝟎) 𝟑𝟏𝟐𝟓 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬ ‫سةةةؤال‬2012‫/د‬3:‫بتعجٌةةةل‬ ‫مسةةةتمٌم‬ ‫خةةةط‬ ‫علةةةى‬ ‫ٌتحةةةرن‬ ‫جسةةةم‬(𝟏𝟖 𝟐⁄ )‫لةةةد‬ ‫سةةةرعته‬ ‫كانةةةت‬ ‫فةةةأذا‬
‫أصبحت‬(𝟖𝟐 )‫مرور‬ ‫بعد‬(4)‫ساعات‬‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫من‬‫فجد‬:
ⓐ‫الثانٌة‬ ‫الساعة‬ ‫خالل‬ ‫لطعها‬ ً‫الت‬ ‫المسافة‬
ⓑ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫الحركة‬ ‫بدط‬ ‫نمطة‬ ‫عن‬ ‫بعده‬(3)‫ساعات‬
/ ‫الحل‬
∫ ( ) ∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖
𝟖𝟐 𝟏𝟖( 𝟒) 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎
𝟏𝟖 𝟏𝟎
|∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎)
𝟐
𝟏
| |, 𝟗 𝟐
𝟏𝟎
𝟐
-
𝟏
| |(𝟑𝟔 𝟐𝟎) (𝟗 𝟏𝟎)| 𝟓𝟔 𝟏𝟗 𝟑𝟕
∫ (𝟏𝟖 𝟏𝟎)
𝟑
𝟎
, 𝟗 𝟐
𝟏𝟎
𝟑
-
𝟎
(𝟖𝟏 𝟑𝟎) (𝟎) 𝟏𝟏𝟏
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2013‫/د‬1:‫جد‬∫
𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒅𝒙
𝝅
𝟒
𝟎
‫الحل‬/
∫
𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒅𝒙
𝝅
𝟒
𝟎
∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 (𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝒙) 𝒅𝒙
𝝅
𝟒
𝟎
*
𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙
𝟐
+
𝟎
𝝅
𝟒 𝒕𝒂𝒏 𝟐
.
𝝅
𝟒
/
𝟐
𝒕𝒂𝒏 𝟐(𝟎)
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟐

347. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
346
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3:‫أن‬ ‫أثبت‬∫ | 𝟑 𝟔| 𝟑𝟎
𝟒
𝟐
‫الحل‬/
|𝟑 𝟔| {
𝟑 𝟔 𝟐
(𝟑 𝟔) < 𝟐
‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬, 𝟐 𝟒-‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫ألنها‬ ‫وذلن‬( 𝟐)‫ألن‬:
( ) (𝟐) 𝟑(𝟐) 𝟔 𝟎 ‫معرفة‬
( )
𝟐
( ) {
(𝟐 )
(𝟑 𝟔) 𝟎 𝟏
(𝟐 )
(𝟔 𝟑 ) 𝟎 𝟐
∵ 𝟏 = 𝟐
∴ 𝟐 ( ) 𝟎 ‫موجودة‬ 𝟐 ( ) (𝟐)
∫ |𝟑 𝟔|
𝟒
𝟐
∫ ( 𝟑 𝟔)
𝟐
𝟐
∫ (𝟑 𝟔)
𝟒
𝟐
[
𝟑
𝟐
𝟐
𝟔 ]
𝟐
𝟐
[
𝟑
𝟐
𝟐
𝟔 ]
𝟐
𝟒
,( 𝟔 𝟏𝟐) ( 𝟔 𝟏𝟐)- ,(𝟐𝟒 𝟐𝟒) (𝟔 𝟏𝟐)-
𝟔 𝟏𝟖 𝟔 𝟑𝟎
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2014‫/د‬3‫جد‬ :∫ √ 𝟐 𝟒
‫الحل‬/
∫ √ 𝟐 𝟒 ∫ √ 𝟐( 𝟐) ∫ 𝟐 𝟐
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬1‫جد‬ :∫
𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓
𝟐
𝟑
𝟏
‫الحل‬/
∫
𝟐 𝟑
𝟒 𝟐
𝟓
𝟐
𝟑
𝟏
∫ (𝟐 𝟒 𝟓 𝟐)
𝟑
𝟏
𝟐
* 4𝑥
𝟏
5
1
+ 𝟐
[ 4𝑥
5
𝑥
]
𝟗[ 12
𝟓
3
] 𝟏, 4 5- 3
𝟓
3
8 5
5
3
15 5
3
10
3

348. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
347
‫وزاري‬ ‫ةةةةؤال‬‫ة‬‫س‬2015‫/د‬2:‫ةةةةة‬‫ة‬‫الدال‬ ً‫ةةةة‬‫ة‬‫بمنحن‬ ‫ةةةةددة‬‫ة‬‫المح‬ ‫ةةةةة‬‫ة‬‫المنطم‬ ‫ةةةةاحة‬‫ة‬‫مس‬ ‫ةةةةد‬‫ة‬‫ج‬( ) 𝟑
𝟗‫ةةةةور‬‫ة‬‫ومح‬
‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬, 𝟑 𝟑-
/ ‫الحل‬
‫الصفحة‬ ً‫ف‬ ‫محلول‬(𝟔𝟖)‫وزاري‬ ‫سؤال‬2001‫د‬ /1:
‫وزاري‬ ‫ةةؤال‬‫ة‬‫س‬2015‫/د‬2:‫بتعجٌةةةل‬ ‫مسةةةتمٌم‬ ‫خةةةط‬ ‫علةةةى‬ ‫ٌتحةةةرن‬ ‫جسةةةم‬(𝟏𝟎 𝟐⁄ )‫وبعةةةد‬2‫بةةةدط‬ ‫مةةةن‬ ‫ثانٌةةةة‬
‫السرعة‬ ‫أصبحت‬ ‫الحركة‬(𝟐𝟒 ): ‫أحسب‬ ,
ⓐ‫المسافة‬. ‫الخامسة‬ ‫الثانٌة‬ ً‫ف‬ ‫الممطوعة‬
ⓑً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫الجسم‬ ‫بعد‬4)) ً‫ثوان‬.
/ ‫الحل‬
∫ ( ) ∫ 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝟐𝟒 𝟏𝟎( 𝟐) 𝟐𝟒 𝟐𝟎 𝟒
𝟏𝟎 𝟒
|∫ (𝟏𝟎 𝟒)
𝟓
𝟒
| |, 𝟓 𝟐
𝟒
𝟓
-
𝟒
| |(𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟎) (𝟖𝟎 𝟏𝟔)| 𝟏𝟒𝟓 𝟗𝟔 𝟒𝟗
∫ (𝟏𝟎 𝟒)
𝟒
𝟎
, 𝟓 𝟐
𝟒
𝟒
-
𝟎
(𝟖𝟎 𝟏𝟔) (𝟎) 𝟗𝟔
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3:: ‫تكامل‬ ‫جد‬∫
√ 2
/ ‫الحل‬
∫
3 6
√ 2
3 ∫( 2)( 2) ( ‫األسس‬ ‫تجمع‬ ‫الضرب‬ ‫)عند‬
3 ∫( 2)
2
3
( 2)
5
3
9
5
( 2)
9
5
( 2)

349. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
348
‫وزاري‬ ‫سؤال‬2015‫/د‬3:: ‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫جد‬(1) ∫(𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2
𝒅𝒙 (2) ∫
𝒙 𝟑
𝒙
𝒅𝒙
/ ‫الحل‬
(1) ∫(𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2
𝒅𝒙 ∫(𝑠𝑖𝑛2
2𝑥 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠2
2𝑥) 𝑑𝑥 ∫(1 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑑𝑥
∫(1 𝑠𝑖𝑛4𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑑𝑥 𝑥
1
4
𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑐
(2) ∫
𝒙 𝟑
1
𝒙 1
𝒅𝒙 ∫
(𝑥 1)(𝒙 𝟐
𝑥 1)
𝑥 1
𝒅𝒙 ∫(𝒙 𝟐
𝑥 1) 𝒅𝒙
𝒙 𝟑
𝟑
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙 𝒄

350. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
349
‫التكامل‬ ‫حول‬ ‫إضافٌة‬ ‫أسئلة‬
‫س‬1:‫اآلتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫جد‬ /
(𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟓
𝐱𝐝𝐱(𝟐) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒
𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟕
𝐱 𝐝𝐱(𝟏) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝐱 𝐝𝐱
(𝟔) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑
𝐱 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝐝𝐱(𝟓) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝟒
𝐱 𝐝𝐱(𝟒) ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝐱 𝒔𝒊𝒏 𝟒
𝐱𝐝𝐱
(𝟗) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱(𝟖) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱
(𝟕) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟑𝐱 𝐝𝐱
(𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑
.
𝒙
𝟑
/ 𝒅𝒙(𝟏𝟏) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑(𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔 𝟓
(𝟑𝒙) 𝒅𝒙(𝟏𝟎) ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝟑𝒙) 𝒅𝒙
(𝟏𝟓) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟓𝐱 𝐝𝐱(𝟏𝟒) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝐱 𝐝𝐱(𝟏𝟑) ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒(𝟑𝒙)𝒄𝒐𝒔 𝟐
(𝟑𝒙) 𝒅𝒙
(𝟏𝟖) ∫(𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)
.
𝟑
𝟐
/
𝒅𝒙
(𝟏𝟕) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟓
𝒙 𝒅𝒙(𝟏𝟔) ∫ √𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙
(𝟐𝟏) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟑(𝟐𝒙) 𝒅𝒙(𝟐𝟎) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑(𝟑𝒙)𝒔𝒆𝒄 𝟒(𝟑𝒙) 𝒅𝒙(𝟏𝟗) ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟒(𝟐𝒙) 𝒅𝒙
(𝟐𝟒) ∫
𝟑
𝟒(𝟐𝟑) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟑
𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟓
𝒙 𝒅𝒙(𝟐𝟐) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟔
𝒙 𝒅𝒙
(𝟐𝟕) ∫
𝟏
√ 𝟏
𝟒
𝟎
(𝟐𝟔) ∫
𝟏
√ (𝟏 √ )
(𝟐𝟓) ∫
𝟖 𝟑
𝟐
(𝟑𝟎) ∫ 𝟐 𝟐 𝟏
𝟑
𝟗
𝟎
(𝟐𝟗) ∫|𝟐 𝟒|
𝟑
𝟑
(𝟐𝟖) ∫ 𝟑 | |
𝟏
𝟐
(𝟑𝟑) ∫
𝟐
𝟐 𝟐
𝟔
𝟎
(𝟑𝟐) ∫
𝟐
𝟒
(𝟑𝟏) ∫ 𝟐
𝟒
𝟎

351. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
350
‫س‬2/‫التكامل‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬∫ (𝟑 𝟐
𝟖 )
𝟒
𝟐
‫س‬3/‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(3,1).
‫س‬4/‫ةاوي‬‫ة‬‫تس‬ ‫ةة‬‫ة‬‫نمط‬ ‫أي‬ ‫ةد‬‫ة‬‫عن‬ ‫ةة‬‫ة‬‫لدال‬ ‫ةة‬‫ة‬ٌ‫الثان‬ ‫ةتمة‬‫ة‬‫المش‬ ‫أن‬ ‫ةت‬‫ة‬‫علم‬ ‫أذا‬( )‫ةث‬‫ة‬ٌ‫ح‬‫ةذا‬‫ة‬‫ه‬ ‫ةة‬‫ة‬‫معادل‬ ‫ةد‬‫ة‬‫ج‬
‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫ٌمتلن‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ ً‫المنحن‬(0,1)‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫ونمطة‬(1,-1).
‫س‬5/‫ةد‬‫ة‬‫وبع‬ ‫ةكون‬‫ة‬‫الس‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةة‬‫ة‬‫نمط‬ ‫ةرن‬‫ة‬‫تتح‬t‫ةرعتها‬‫ة‬‫س‬ ‫ةبحت‬‫ة‬‫اص‬ ‫ةة‬‫ة‬‫الحرك‬ ‫ةدط‬‫ة‬‫ب‬ ‫ةن‬‫ة‬‫م‬ ‫ةة‬‫ة‬ٌ‫ثان‬(𝟏𝟎𝟎 𝟐)‫ةد‬‫ة‬‫أوج‬
‫عندها‬ ‫التعجٌل‬ ‫أحسب‬ ‫ثم‬ ‫منه‬ ‫بدات‬ ‫الذي‬ ‫االول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النمطة‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬.

352. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
351
‫الخامس‬ ‫الفصل‬/‫المعادالت‬‫التفاضلٌة‬
‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬
‫أو‬ ‫واحدة‬ ‫مشتمة‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ً‫الت‬ ‫المعادلة‬ ً‫ه‬) ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫التابع‬ ‫للمتغٌر‬ ‫أي‬ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المجهولة‬ ‫للدالة‬ ‫أكثر‬
‫مالحظة‬:‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬‫االعتٌادٌة‬‫ولرٌكن‬ ‫مقرتمل‬ ‫متغٌرر‬ ‫اوول‬ ‫المتغٌرر‬ ( ‫متغٌرٌن‬ ‫بٌن‬ ‫عاللة‬ ً‫ه‬( )‫ودالرة‬
‫مثال‬ ‫ولتكن‬ ‫معروفة‬ ‫غٌر‬( )‫الدالة‬ ‫مشتمات‬ ‫وبعض‬( )‫للمتغٌر‬ ‫بالنقبة‬( )‫مثال‬
𝟓 𝟐 ̅ 𝟐
𝟐 ̅̿ 𝟓 (𝟒)
𝟎
‫تفاضلٌة‬ ‫معادالت‬ ‫كلها‬‫اعتٌادٌه‬‫المتغٌر‬ ‫الن‬( )‫المتغٌر‬ ‫على‬ ‫فمط‬ ‫ٌعتمد‬( )
: ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫درجة‬‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫مشتمة‬ ‫اعلى‬ ‫له‬ ‫مرفوعة‬ )‫(اس‬ ‫لوة‬ ‫أكبر‬ ً‫وه‬.
‫رتبة‬: ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫موجودة‬ ‫مشتمة‬ ‫أعلى‬ ‫رتبة‬ ً‫وه‬.
‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬𝟓 𝟎
‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫الثانٌة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬̿ 𝟐 𝟕 𝟑
‫الثانٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬(̅̿)
𝟐
̿ 𝟏
‫الخامقة‬ ‫والدرجة‬ ‫الرابعة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬( (𝟒)
)
𝟓
(̿) 𝟕 ̅ 𝟕
‫الثانٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬❺ ( ̿ ) 𝟑
( ̅̿ )
𝟐
𝟐 𝟑 𝟎
‫مالحظة‬:‫ٌجب‬ ‫ورتبتها‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫درجة‬ ‫اٌجاد‬ ‫عند‬‫مثال‬ ‫الكقرٌة‬ ‫االقس‬ ‫أو‬ ‫الجذور‬ ‫أزالة‬:
❻ (̅) 𝟑 √ 𝟓 (̅̿)
𝟐𝟑 (‫)بالتكعٌب‬
⇒ (̅) 𝟗
𝟓 (̅̿)
𝟐
‫الثا‬‫نٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثا‬‫لث‬‫ة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬‫االعتٌادٌة‬
‫ررة‬‫ر‬‫العالل‬ ‫ررذ‬‫ر‬‫ه‬ ‫أن‬ ‫رر‬‫ر‬ٌ‫بح‬ ‫ررلٌة‬‫ر‬‫التفاض‬ ‫ررة‬‫ر‬‫المعادل‬ ‫رررات‬‫ر‬ٌ‫متغ‬ ‫ررٌن‬‫ر‬‫ب‬ ‫ررة‬‫ر‬‫عالل‬ ‫ررة‬‫ر‬ٌ‫ا‬ ‫ررو‬‫ر‬‫ه‬ ‫ررة‬‫ر‬ٌ‫االعتٌاد‬ ‫ررلٌة‬‫ر‬‫التفاض‬ ‫ررة‬‫ر‬‫المعادل‬ ‫ررل‬‫ر‬‫ح‬
❶‫المشتمة‬ ‫من‬ ‫خالٌة‬❷‫معٌنة‬ ‫فترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬❸‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫تحمك‬.
‫وزاري‬2013/‫د‬3‫وزاري‬2014/‫د‬1
‫مثال‬(1)/‫ا‬ ‫بٌن‬‫العاللة‬ ‫ن‬𝟐
𝟑‫حال‬‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬̅ 𝟐
‫الحل‬/𝟐
𝟑 ̅ 𝟐 𝟑
̅ (𝟐 𝟑) 𝟐 𝟐
𝟑
𝟐 𝟐 ( 𝟐
𝟑 ) 𝟐 𝟐
𝟑
∴‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬ ‫المعطاة‬ ‫العاللة‬

353. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
352
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫والحل‬ ‫الخاص‬ ‫الحل‬
‫الع‬ ‫الحل‬ ‫أن‬‫ـــــــ‬‫الثوابرت‬ ‫مرن‬ ‫عردد‬ ‫علرى‬ ‫ٌشرتمل‬ ‫الرذي‬ ‫الحرل‬ ‫هرو‬ ‫تفاضلٌة‬ ‫معادلة‬ ‫وي‬ ‫ام‬‫االختٌارٌرة‬‫مق‬‫ــــرـ‬‫لرتبرة‬ ‫اوي‬
‫المعادلة‬,‫فإذا‬‫ثابرت‬ ‫علرى‬ ‫مشرتمال‬ ‫حلهرا‬ ‫ٌكرون‬ ‫أن‬ ‫وجرب‬ ‫اوولرى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المعادلة‬ ‫كانت‬‫اختٌراري‬‫واحرد‬(‫ثابرت‬ ‫هرو‬
‫التكامل‬)‫الرتبرة‬ ‫لمعادالت‬ ‫الوحٌدة‬ ‫التكامل‬ ‫خطوة‬ ‫اجراء‬ ‫عند‬ ‫ٌظهر‬ ‫الذي‬‫اوولرى‬,‫الرتبرة‬ ‫مرن‬ ‫المعادلرة‬ ‫كانرت‬ ‫اذا‬ ‫أمرا‬
‫وجب‬ ‫الثانٌة‬‫على‬ ‫مشتمال‬ ‫حلها‬ ‫ٌكون‬ ‫ان‬(‫تكامل‬ ً‫ثابت‬)‫نظرا‬‫وجرراء‬‫حرل‬ ‫عنرد‬ ‫تكامرل‬ ً‫خطروت‬‫الثانٌرة‬ ‫الرتبرة‬ ‫معادلرة‬
. ‫أعلى‬ ‫رتبة‬ ‫لها‬ ً‫الت‬ ‫للمعادالت‬ ‫بالنقبة‬ ‫وهكذا‬
‫مثال‬(2)/‫ان‬ ‫أثبت‬‫ا‬ ‫حلول‬ ‫أحد‬‫لمعادلة‬𝟎
‫الحل‬/
(
𝟏
) (𝟏) 𝟏
( )
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )ً‫ه‬‫أحد‬‫حل‬‫ا‬ ‫ول‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫لمعادلة‬.
‫وزاري‬2014/‫د‬2
‫مثال‬(3)/‫بٌن‬𝟐
ٌ‫ح‬( )‫حال‬‫ل‬‫لمعادلة‬𝟐̅ 𝟎
‫الحل‬/
𝟐
𝟐 𝟐 (
̅
) 𝟏 𝟐̅ 𝟐̅ 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
‫مثال‬(4)/‫هل‬𝟑
𝟐‫ل‬ ‫حال‬‫لمعادلة‬‫التفاضلٌة‬
𝟐
𝟐
𝟔‫؟‬
‫الحل‬/
𝟑
𝟐 𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟔
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟑
𝟐)‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬

354. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
353
‫وزاري‬2012/‫د‬1
‫مثال‬(5)/‫برهن‬‫ا‬‫ن‬𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 )‫هو‬‫ل‬ ‫حال‬‫التفاضلٌة‬ ‫لمعادلة‬̿ 𝟒 𝟎
‫الحل‬/
𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 ) ̅ 𝟑 (𝟐 )(𝟐) 𝟐 (𝟐 )(𝟐) 𝟔 (𝟐 ) 𝟒 (𝟐 )
̅̅ 𝟔 ( 𝟐 )( 𝟐) 𝟒 ( 𝟐 )( 𝟐) 𝟏𝟐 ( 𝟐 ) 𝟖 ( 𝟐 )
̿ 𝟒 𝟏𝟐 (𝟐 ) 𝟖 (𝟐 ) 4[𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 )]
𝟏𝟐 ( 𝟐 ) 𝟖 ( 𝟐 ) 𝟏𝟐 ( 𝟐 ) 𝟖 ( 𝟐 )
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬𝟑 ( 𝟐 ) 𝟐 ( 𝟐 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
‫وزاري‬1201/‫د‬2
‫مثال‬(6)/‫ان‬ ‫هل‬𝟐
𝟑 𝟐 𝟑
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ‫هو‬‫؟‬ ̿ (̅) 𝟐
𝟑 𝟓
‫الحل‬/
𝟐
𝟑 𝟐 𝟑
𝟐 ̅ 𝟔 𝟑 𝟐
𝟐 ( ̅̅) ̅(𝟐 ̅) 𝟔 𝟔 ( 𝟐 )
( ̅̅) ( ̅) 𝟐
𝟑 𝟑 ( ̅̅) ( ̅) 𝟐
𝟑 𝟑 5
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐
𝟑 𝟐 𝟑)‫لٌقت‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫وزاري‬2015/‫د‬3
‫مثال‬(7)/‫ان‬ ‫بٌن‬𝟐 𝟑
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ‫هو‬̿ ̅ 𝟔 𝟎
‫الحل‬/
𝟐 𝟑
̅ 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑
̿ 𝟒 𝟐
𝟗 𝟑
̿ ̅ 𝟔 𝟒 𝟐
𝟗 𝟑 [ 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 ] 6[ 𝟐 𝟑 ]
𝟔 𝟐
𝟔 𝟑
6 𝟐
𝟔 𝟑
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 𝟑 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬

355. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
354
(𝟓 𝟏)‫تمارين‬
‫س‬1/: ‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ودرجة‬ ‫رتبة‬ ‫بٌن‬
‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
( 𝟐 𝟐) 𝟑 𝟎
‫الثانٌة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬‫االولى‬ ‫والدرجة‬
𝟐
𝟐
𝟓 𝟕
‫م‬‫الثالثة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫ن‬(̅̿)
𝟑
𝟐̅ 𝟖 𝟑
‫الثانٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬(
𝟑
𝟑
)
𝟐
𝟐 ( )
𝟓
𝟑 𝟎
‫س‬2/‫ان‬ ‫برهن‬‫هو‬‫ل‬ ‫حل‬‫لمعادلة‬̿ 𝟎
‫الحل‬/
̅ ̿
̿ 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
‫س‬3/‫العاللة‬ ‫ان‬ ‫برهن‬𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 )‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
𝟐
𝟐
𝟗 𝟎
‫الحل‬/
𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 ) 𝟖 (𝟑 )(𝟑) 𝟔 (𝟑 )(𝟑) 𝟐𝟒 (𝟑 ) 𝟏𝟖 (𝟑 )
𝟐
𝟐
𝟐𝟒 (𝟑 )(𝟑) 𝟏𝟖 (𝟑 )(𝟑) 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 )
𝟐
𝟐
𝟗 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟗[𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 )]
𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬𝟖 ( 𝟑 ) 𝟔 ( 𝟑 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬

356. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
355
‫س‬4/‫ان‬ ‫هل‬𝟐‫للمعادلة‬ ‫حال‬̿ 𝟑̅‫؟‬
‫الحل‬/
𝟐 ̅ 𝟏 ̿ 𝟎
̿ 𝟑̅ 𝟎 𝟑(𝟏) ( 𝟐) 𝟑 𝟐 𝟓
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐)‫لٌقت‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫س‬5/‫هل‬‫للمعادلة‬ ‫حال‬̿ 𝟐 (𝟏 𝟐)
‫الحل‬/
̅ 𝟐
̿ 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐
𝟐 ( 𝟏 𝟐) 𝟐 (𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟐
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫س‬6/‫هل‬𝟐 𝟐 𝟐
𝟏‫للمعادلة‬ ‫حال‬𝟑 ̿ 𝟐
‫الحل‬/
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏 𝟒 𝟐 ̅ 𝟎 𝟐 ̅ 𝟒
( 𝟐)
⇒ ̅ 𝟐 ̅
𝟐
̿
( ) ( )( ̅ ) (
𝟐
)
𝟒 𝟐
𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
̿
𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
𝟐( 𝟐
𝟐 𝟐) 𝟐(𝟏) 𝟐
̿
𝟐
𝟑
̿ 𝟑
(
𝟐
) 𝟐
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏)‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬

357. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
356
‫س‬7/‫هل‬𝟓‫للمعادلة‬ ‫حال‬‫؟‬ ̿ 𝟐̅ 𝟐𝟓 𝟎
‫الحل‬/
𝟓 ̅ 𝟓 𝟓 ̅ ̿ ̅ 𝟐𝟓 𝟓
̿ 𝟐̅ 𝟐𝟓 𝟓 𝟎 ̿ 𝟐̅ 𝟐𝟓 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟓 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫وزاري‬2012/‫د‬3‫وزاري‬2013/‫د‬1
‫س‬8/‫بٌن‬‫ان‬‫هو‬‫للمعادلة‬ ‫حال‬̅ 𝟎ٌ‫ح‬( )
‫الحل‬/
̅
̅ 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫وزاري‬2015/‫د‬2
‫س‬9/‫ان‬ ‫بٌن‬| | 𝟐
,‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ‫هو‬̅̅ 𝟒 𝟐
𝟐
‫الحل‬/
𝟐
̅
𝟐 ̅ 𝟐 ̅̅ 𝟐 (̅) 𝟐
̅̅ 𝟐 (̅) 𝟐 𝟐 (𝟐 ) 𝟐 𝟒 𝟐
𝟐
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
******************************************************************
‫س‬1:‫ان‬ ‫هل‬
𝟏
𝟑
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬̅ 𝟐 𝟐ٌ‫ح‬( )
‫س‬2:‫ان‬ ‫هل‬𝟓‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬𝟐̅ ( ̅̅ 𝟓 ) 𝟎

358. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
357
‫اوولى‬ ‫والدرجة‬ ‫اوولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ‫طرق‬
‫متغٌراتها‬ ‫تنفصل‬ ً‫الت‬ ‫المعادالت‬ : ‫اوو‬
‫رر‬‫ر‬‫م‬ ‫ررو‬‫ر‬‫الن‬ ‫ررذا‬‫ر‬‫ه‬ ً‫رر‬‫ر‬‫ف‬‫ررى‬‫ر‬‫عل‬ ‫رروي‬‫ر‬‫تحت‬ ً‫رر‬‫ر‬‫الت‬ ‫رردود‬‫ر‬‫الح‬ ‫ررل‬‫ر‬‫ك‬ ‫ررزل‬‫ر‬‫نع‬ ‫أن‬ ‫ررتطٌع‬‫ر‬‫نق‬ ‫ررادالت‬‫ر‬‫المع‬ ‫ن‬( )‫ررع‬‫ر‬‫م‬( )‫ررر‬‫ر‬‫ط‬ ً‫رر‬‫ر‬‫ف‬
‫رررى‬‫ر‬‫عل‬ ‫ررروي‬‫ر‬‫تحت‬ ً‫ررر‬‫ر‬‫الت‬ ‫ررردود‬‫ر‬‫والح‬( )‫رررع‬‫ر‬‫م‬( )‫رررى‬‫ر‬‫عل‬ ‫رررل‬‫ر‬‫فنحص‬ ‫رررر‬‫ر‬‫اوخ‬ ‫رررر‬‫ر‬‫الط‬ ً‫ررر‬‫ر‬‫ف‬( ) ( )
‫على‬ ‫فنحصل‬ ‫الطرفان‬ ‫نكامل‬ ‫ثم‬∫ ( ) ∫ ( )‫ٌمثل‬ ٌ‫ح‬( )‫التكامل‬ ‫ثابت‬.
‫مثال‬(1)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 𝟓
‫الحل‬/
𝟐 𝟓 𝟐 𝟓( )𝒅𝒙
∫ ∫ 𝟐 𝟓( ) 𝒅𝒙 𝟐
𝟓
‫مثال‬()/‫المعادلة‬ ‫حل‬
𝟏
‫الحل‬/
𝟏
𝟏( )𝒅𝒙
∫ ∫ 𝟏( ) 𝒅𝒙
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
√ 𝟐 𝟐 𝟐 √ 𝟐 𝟐 𝟏 ( 𝟏 𝟐 ‫)حٌث‬
‫مثال‬(3)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐
ٌ‫ح‬𝒚 (𝟐𝒏 𝟏)
𝝅
𝟐
(𝒄𝒐𝒔𝒚 𝟎)
‫الحل‬/
𝟐
( 𝟐 )
⇒ 𝟐
∫ 𝟐
∫

359. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
358
‫وزاري‬6201/‫د‬1
‫مثال‬(4)/‫أوجد‬‫المعادلة‬ ‫حل‬̅ √ 𝟎‫عندما‬𝒙 𝟐 𝒚 𝟗
‫الحل‬/
√ 𝟎 ( )
𝟏
𝟐 ( )
𝟏
𝟐
( )
𝟏
𝟐
( )
𝟏
𝟐
∫( )
𝟏
𝟐 ∫
( )
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝟐
𝟐√
𝟐
𝟐
‫نعوض‬𝒙 𝟐 𝒚: ‫فٌنتج‬ 𝟗
𝟐√𝟗
(𝟐) 𝟐
𝟐
𝟔 𝟐 𝟒
𝟐√
𝟐
𝟐
𝟒
( 𝟐)
⇒ √
𝟐
𝟒
𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
(
𝟐
𝟒
𝟐)
𝟐
(‫المعادلة‬ ‫حل‬ )
‫وزاري‬2015/‫د‬1
‫مثال‬(5)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐
‫عندما‬𝒙 𝟎 𝒚 𝟎
‫الحل‬/
𝟐 ( 𝟐 ) ( )
( )
⇒
( )
( 𝟐 ) ( ) ( 𝟐 )
∫( ) ∫( 𝟐 ) ∫( 𝟏)( )
𝟏
𝟐
∫(𝟐)( 𝟐 )
𝟏
𝟐
𝟐
‫نعوض‬𝒙 𝟎 𝒚: ‫فٌنتج‬ 𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
∴
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏 𝟐
𝟑
𝟐
( 𝟐
𝟑) 𝟐
𝟐
( 𝟐 𝟑)
(‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬
⇒ |
𝟐
𝟐 𝟑
| |
𝟐
𝟐 𝟑
|

360. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
359
‫وزاري‬2015/‫د‬2
‫مثال‬(6)/: ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫جد‬( 𝟏) 𝟐
‫الحل‬/
( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟐
𝟐 ( 𝟏)
𝟐
( 𝟏)
∫ 𝟐 ∫
( 𝟏)
| | 𝟐 ( 𝟏) | | ( 𝟏) 𝟐
| | ( 𝟏) 𝟐
| |
( 𝟏) 𝟐
(‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬
⇒
| |
( 𝟏) 𝟐
| | ( 𝟏) 𝟐
𝟏 ( 𝟏) 𝟐
( 𝟏 ‫)حٌث‬
******************************************************************
(𝟓 𝟐)‫تمارين‬
‫س‬1/‫المعادالت‬ ‫حل‬ٌ‫اوت‬ ‫التفاضلٌة‬ٌ‫بطر‬ ‫ة‬‫م‬: ‫المتغٌرات‬ ‫فصل‬ ‫ة‬
( ) ̅ 𝟑
𝟑
( 𝟑
) ( ) 𝟑
( )
𝟏
( 𝟐 )
( )( 𝟐
) ∫ ∫ 𝟐
𝟐
𝟐
‫وزاري‬2014/‫د‬3‫وزاري‬2013/‫د‬2
( ) 𝟑 𝟏 𝟐
𝟑 ( 𝟑 )
( 𝟑 )
( 𝟏) ∫
( 𝟑 )
∫
| 𝟑 |
𝟐
𝟐
| 𝟑 𝟐 |
( 𝟏) 𝟐
𝟐
(𝟏)
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
| 𝟑 |
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
( 𝟏)
⇒ | 𝟑 |
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
(
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 )
𝟑
(
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 )
𝟑
𝟏
𝟐( 𝟏 𝟐)

361. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
360
( ) ( 𝟏)( 𝟏)
( 𝟏)( 𝟏)
( 𝟏)
( 𝟏) ∫
( 𝟏)
∫( 𝟏)
( 𝟏)
𝟐
𝟐
(‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬
⇒ 𝟏
(
𝟐
𝟐
) (
𝟐
𝟐
)
𝟏
( ) ( 𝟐
𝟒 𝟏)̅ 𝟐
𝟐 𝟑
( 𝟐
𝟒 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟑 ( 𝟐
𝟒 𝟏) ( 𝟐 𝟐 𝟑)
∫( 𝟐
𝟒 𝟏) ∫( 𝟐 𝟐 𝟑)
𝟑
𝟑
𝟐 𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑
( ) ̅ 𝟒√( 𝟏 𝟐) 𝟑
𝟒( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐 𝟒( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐
( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐
𝟒 ( ) ( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐 𝟒
∫( ) ( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐 ∫ 𝟒
𝟏
𝟐
∫ 𝟐( ) ( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐 ∫ 𝟒
𝟏
𝟐
( 𝟏 𝟐)
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒
𝟏
√ 𝟏 𝟐
𝟒
( ) 𝟑
𝟎 𝟐‫د‬ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬
𝟑
∫ ∫ 𝟑
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒 𝟒 √𝟒 𝟒
𝟒
√ 𝟒 𝟏
𝟒
( 𝟏 𝟒 ‫حٌث‬ )

362. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
361
( ) ̅ 𝟐 𝟑
𝟎
𝟏
𝟐
𝟐 𝟑
𝟐 𝟑
( 𝟑)
⇒ 𝟑
𝟐 ∫ 𝟑
𝟐 ∫
𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟐 𝟒 𝟐
𝟏
𝟐
𝟒 𝟐
𝟏
(
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒
𝟏
𝟐
𝟒 𝟖 𝟐
𝟏
𝟒 𝟖
√
𝟏
𝟒 𝟖
‫س‬2/‫الحل‬ ‫جد‬ٌ‫اوت‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادالت‬ ‫العام‬: ‫ة‬
( ) 𝟐
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 𝟐)
( 𝟏 𝟐 𝟐)
∫
(𝟏 𝟐 𝟐)
∫
𝟏
𝟒
∫
( 𝟒)
(𝟏 𝟐 𝟐)
∫
𝟏
𝟒
𝒍𝒏 𝟏 𝟐 𝟐
𝒍𝒏|𝒙| 𝒍𝒏|𝒄| (𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒𝒍𝒏 𝒍𝒏|𝒄𝒙|
(‫للطرفٌن‬ ‫نأخذ‬)
⇒ (𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒 𝒄𝒙
(𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒
𝟏
𝒄𝒙
𝟏
𝟏 𝟐 𝟐√
𝟒
𝒄𝒙 𝟏 𝟐 𝟐√
𝟒 𝟏
𝟏 𝟐 𝟐
𝒄𝒙
𝟏
( 𝒄𝒙) 𝟒
𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
(𝒄𝒙) 𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐𝒄 𝟒 𝒙 𝟒
√
𝟏
𝟐
𝟏
𝒄 𝟏 𝒙 𝟒 (𝒄 𝟏 𝟐𝒄 𝟒
‫حٌث‬ )
‫وزاري‬2015/‫د‬1
( ) 𝟎
( ) ( )
( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) | | | |
| | | | | | 𝒆 𝒄

363. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
362
( ) 𝟐
𝟎
𝟐
( 𝟐 )
⇒ 𝟐
∫ 𝟐
∫
∫ 𝟐 ∫
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏 ( 𝟐𝒄 𝒄 𝟏 ٌ‫ح‬‫ث‬ )
( ) 𝟐 𝟑
∫ 𝟐
∫ 𝟑
∫( 𝟐
𝟏) ∫(𝟏 𝟐 )
∫ 𝟐
∫ ∫ ∫ 𝟐
𝟑
𝟑
( ) 𝟐 𝟐
( 𝟐 𝟐 ) ∫ 𝟐
∫ 𝟐
∫ 𝟐
𝟏
𝟐
∫(𝟏 𝟐 )
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
𝟐 )
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐
( )
𝟑 𝟐
𝟏‫د‬ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬
∫(𝟑 𝟐 ) ∫
𝟑 𝟑
𝟑
𝟑
( ) 𝟐
̅ 𝟎
̅ 𝟐 ( )( 𝟐 ) 𝟐
∫ 𝟐
∫
𝟏
𝟐
𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟏 ( 𝟐𝒄 𝒄 𝟏 ‫حٌث‬)
‫المشتمة‬ ‫نوفر‬
𝟏
𝟐

364. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
363
‫قؤال‬‫خارجي‬: ‫من‬ ‫كال‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬ /
(𝒂) 𝒚 𝟐𝒆 𝒙 (𝒃) 𝒚 𝟑𝒙 (𝒄) 𝒚 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎
(𝒂) 𝒚 𝟐𝒆 𝒙
𝒚̅ 𝟐𝒆 𝒙
𝒚̅̅ 𝟐𝒆 𝒙
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟐𝒆 𝒙
(𝟏 𝒙) 𝟐𝒆 𝒙
𝟐𝒆 𝒙
𝟐𝒆 𝒙
𝟐𝒙𝒆 𝒙
𝟐𝒆 𝒙
𝟐𝒆 𝟎𝒙
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝒚 𝟐𝒆 )‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ 𝒙
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎
(𝒃) 𝒚 𝟑𝒙 𝒚̅ 𝟑 𝒚̅̅ 𝟎
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 (𝟎)(𝟏 𝒙) 𝟑 𝟑𝒙 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝒚 )‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ 𝟑𝒙𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎
(𝒄) 𝒚 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝒚̅ 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝒚̅̅ 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 (𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
)(𝟏 𝒙) (𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
) (𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
)
𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝑨𝒙𝒆 𝒙
𝑩𝒙𝒆 𝒙
𝑨𝒙𝒆 𝒙
𝑩𝒙𝒆 𝒙
𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝒚 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 )‫للمعادلة‬ ‫حل‬‫التفاضلٌة‬ 𝒙
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎

365. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
364
‫المتجانقة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ : ‫ثانٌا‬
ً‫الت‬ ‫المعادلة‬ ً‫ه‬‫كتا‬ ‫نقتطٌع‬‫بالشكل‬ ‫بتها‬* ( ) +‫المعادلرة‬ ‫فمثال‬( 𝟒 𝟒) 𝟑
‫ٌمكرن‬
‫الصورة‬ ‫على‬ ‫كتابتها‬
𝟏 ( )
𝟒( 𝟒
‫على‬ ‫المعادلة‬ ً‫طرف‬ ‫بقسمة‬ )
/ ‫مثال‬‫؟‬ ‫متجانقة‬ ‫التالٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫أي‬ ‫بٌن‬
𝟑 𝟑
𝟑 𝟐
( 𝟑
𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟑
𝟑 𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟏
𝟑 ( )
∴‫متجانقة‬ ‫المعادلة‬
𝟐 ̅ 𝟐
𝟐 𝟐
𝟎
( 𝟐
𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐 ( ) ̅
𝟐
𝟐
𝟐 𝟎 𝟐 ( ) ( )
𝟐
𝟐 𝟎
𝟐 ( ) ( )
𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟐
𝟐 ( )
∴‫متجانقة‬ ‫المعادلة‬
𝟐
𝟑
[ ( ) ] ‫بالشكل‬ ‫كتابتها‬ ‫الٌمكن‬ ‫النه‬ ‫متجانسة‬ ‫غٌر‬ ‫المعادلة‬

366. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
365
‫المتجانقة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫طرٌمة‬
: ‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫المتجانقة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫لحل‬
❶‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫نكتب‬* ( ) +‫كل‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬* +‫أو‬[ ]ٌ‫ح‬( )‫الى‬ ‫دالة‬( )
❷‫نشتك‬[ ]‫الى‬ ‫بالنقبة‬( )‫على‬ ‫فنحصل‬* +
❸‫الخطوتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫نربط‬❶‫و‬❷‫على‬ ‫فنحصل‬* ( ) ( ) +
❹‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المتغٌرات‬ ‫فصل‬ ‫بعد‬* ( )
+
❺‫عن‬ ‫نعوض‬ ‫وأخٌرا‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫على‬ ‫فنحصل‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬* +
‫مثال‬(1)/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬̅
𝟑 𝟐 𝟐
𝟐
‫الحل‬/
𝟑 𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟐
𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟑 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑( )
𝟐
𝟏
𝟐( )
𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟏
∫
𝟏
∫
𝟐
𝟐 𝟏
∴ | | 𝟐
𝟏 | |
| | ( 𝟐
𝟏)
(‫للطرفٌن‬ ‫نأخذ‬)
⇒ ( 𝟐
𝟏)
∵ (
𝟐
𝟐
𝟏) (
𝟐 𝟐
𝟐 )
(
𝟐 𝟐
𝟐 )
𝒙 𝟑
𝟐 𝟐( )

367. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
366
‫مثال‬(2)/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
‫الحل‬/
( 𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نق‬‫سم‬ )
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏 ( 𝟏)
𝟏
𝟏 𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐 𝟏
𝟏
∫
𝟏
∫
𝟏
𝟐 𝟐 𝟏
∴
∫
𝟏 𝟏
𝟐
∫( 𝟐)
𝟏
𝟐 𝟐 𝟏
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏 | | | |
𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐 | | |
𝟏
√ 𝟐 𝟐 𝟏
| | |
𝟏
√ 𝟐 𝟐 𝟏
√ 𝟐 𝟐 𝟏
𝟏 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
⇒ 𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐
∵ 𝟐 ( ) ( )
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐 ( 𝟐
‫ب‬ ‫المعادلة‬ ً‫طرف‬ ‫نضرب‬ )
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
(
𝟏
𝟐
‫)حٌث‬

368. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
367
‫وزاري‬2013/‫د‬2
‫مثال‬(3)/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬(𝟑 ) ̅
‫الحل‬/
𝟑
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟑
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
𝟏 𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
𝟐 𝟏
𝟑
( 𝟏) 𝟐
𝟑
∫
(𝟑 )
( 𝟏) 𝟐
∫ ∫
( 𝟑)
( 𝟏) 𝟐
∫
∫
[( 𝟏) 𝟐]
( 𝟏) 𝟐
∫ ∫
( 𝟏)
( 𝟏) 𝟐
∫
𝟐
( 𝟏) 𝟐
∫
( 𝟏) ∫
𝟏
(𝟐) ∫( 𝟏) 𝟐
∫
| 𝟏|
(𝟐)( 𝟏) 𝟏
𝟏
| | | 𝟏|
𝟐
( 𝟏)
| |
∵ | | | 𝟏|
𝟐
𝟏
| | | 𝟏|
𝟐
( )
| ( 𝟏)|
𝟐
| |
𝟐

369. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
368
‫وزاري‬2201/‫د‬1‫وزاري‬2012/‫د‬3‫وزاري‬4201/‫د‬1
‫مثال‬(4)/‫الع‬ ‫الحل‬ ‫جد‬‫ـــــ‬‫التفاض‬ ‫للمعادلة‬ ‫ام‬‫ـــ‬‫لٌة‬𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
‫الحل‬/
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
( 𝟐 𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟏 ( )
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
( 𝟏) 𝟐
𝟐
∫
𝟐
( 𝟏) 𝟐
∫ ∫ 𝟐( 𝟏) 𝟐
∫
𝟐( 𝟏) 𝟏
𝟏
| |
𝟐
𝟏
| | ( ‫نضع‬ )
𝟐
𝟏
| |
𝟐
( )
| |
𝟐
| |
𝟐
| |
𝟐
| |

370. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
369
‫مثال‬‫محلول‬/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 ̅ 𝟐 𝟐
𝟎
‫الحل‬/
𝟐 ̅ 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
( ‫على‬ ‫والم‬‫قام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟏
𝟐( )
𝟐
𝟏
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
( 𝟐
𝟏)
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
∫
𝟐
𝟐 𝟏
∫∴ 𝟐
𝟏 | | | |
𝟐
𝟏 | | | | ( 𝟐
𝟏) 𝟏
( 𝟐
𝟏) |
𝟏
|
( 𝟐
𝟏)
𝟏 𝟏
( 𝟐 𝟏)
𝟏
(
𝟐
𝟐 𝟏)
𝟏
(
𝟐 𝟐
𝟐 )
𝟏
(
𝟐 𝟐
)
𝟐 𝟐

371. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
370
(𝟓 𝟑)‫تمارين‬
‫حل‬‫من‬ ‫كال‬‫المعادالت‬‫اوتٌة‬ ‫التفاضلٌة‬:
‫وزاري‬2013/‫د‬1‫وزاري‬2012/‫د‬2
(𝟏) ̅
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
∫ ∫ ∫ ∫
| | | | ( )
( 𝟐) ( 𝟐 ) 𝟐
𝟎
𝟐 ( 𝟐)
𝟐
𝟐
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟏
( )
𝟐
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬ )
∴ 𝟐 𝟐
𝟐
∫ 𝟐 ∫
𝟏
𝟏
| | | |
𝟏 ( 𝟏)
⇒ | |
𝟏
( )
| |
| | 𝟏 ( 𝟏 ‫حٌث‬)

372. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
371
(𝟑) ( 𝟐 ) (𝟐 𝟑 ) 𝟎
(𝟐 𝟑 ) ( 𝟐 )
𝟐
𝟐 𝟑
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐 ( )
𝟐 𝟑 ( )
𝟏 𝟐
𝟐 𝟑
( ‫وضعنا‬ )
∵ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬ )
∴
𝟏 𝟐
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐
𝟐 𝟑
( 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏)
𝟐 𝟑
∫
( 𝟐 𝟑 )
( 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏)
∫ (
𝟏
𝟐
) ∫
𝟐( 𝟐 𝟑 )
( 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏)
∫
𝟏
𝟐
𝟑 𝟐 𝟒 𝟏 | |
𝟏
𝟐
| 𝟑
𝟐
𝟐
𝟒 𝟏| | |
(𝟒)
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
( ‫على‬ ‫والمقا‬‫م‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( )
𝟐
𝟐 ( )
𝟏 𝟐
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬ )
∴
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟏 𝟐)
∫
𝟐
( 𝟏 𝟐)
∫ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 | | | |
( 𝟏 𝟐) | | (𝟏
𝟐
𝟐)
(𝟏
𝟐
𝟐)
𝟐
𝟐 𝟐

373. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
372
(𝟓) ( 𝟐 𝟐) 𝟎
( 𝟐 𝟐)
𝟐 𝟐
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( )
𝟐
( )
𝟏 𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐
( 𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒
∫
( 𝟒)
( 𝟏 𝟐 𝟐)
∫
𝟏
𝟒
| 𝟏 𝟐 𝟐
| | |
| 𝟏 𝟐 𝟐
|
(
𝟏
𝟒
)
| | | ( 𝟏 𝟐 𝟐
)
𝟏
𝟒
|
∴
(𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒
(𝟏 𝟐 ( )
𝟐
)
𝟏
𝟒
(𝟏 𝟐
𝟐
𝟐)
𝟏
𝟒
‫وزاري‬2014/‫د‬2

374. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
373
(𝟔) 𝟐 ( 𝟑 𝟑)
𝟐
𝟑 𝟑
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
( )
𝟏 ( )
𝟑
𝟏 𝟑
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
𝟒
𝟏 𝟑
𝟒
𝟏 𝟑
( 𝟏 𝟑)
𝟒
∫ (
𝟏
𝟒
𝟑
𝟒
) ∫ ∫ ∫ ( 𝟒
𝟏
)
| |
𝟑
𝟑
| | | |
𝟏
𝟑 𝟑
| |
( 𝟏)
⇒ | |
𝟏
𝟑 𝟑
| |
| |
𝟏
𝟑 ( )
𝟑 | | 𝟏 ( 𝟏 ‫)حٌث‬
‫وزاري‬2016/‫د‬1

375. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
374
(𝟕) ( )
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
∫ ∫
( )
∫ ∫ | | | | | | | | | |
∴
******************************************************************
‫س‬1:‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬(𝟒 )̅ 𝟑
‫س‬2:‫أوجد‬‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬̅ (𝟏 𝟐) 𝟐
‫س‬3:‫ل‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫أوجد‬‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫لمعادلة‬( √ 𝟐 𝟐)
‫س‬4:‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬( 𝟐 𝟐) 𝟒
‫س‬5:‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬( )

376. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
375
‫الخامس‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬
‫س‬13/: ‫اوتٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝒚̅
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚
𝒙
𝒚
𝝅
𝟒
𝒙 𝟏
‫الحل‬/
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒚
𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒚𝒅𝒙 ] ( 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒚)
𝒅𝒚
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚
𝒅𝒙
𝒙
∫
𝒅𝒚
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚
∫
𝒅𝒙
𝒙
∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒚 𝒅𝒚 ∫
𝒅𝒙
𝒙
𝒍𝒏| 𝒙| 𝒄 ( 𝒚
𝝅
𝟒
𝒙 𝟏 ‫)نعوض‬
𝝅
𝟒
𝒍𝒏| 𝟏| 𝒄 𝟏 𝟎 𝟏
∴ 𝒍𝒏| 𝒙| 𝟏
‫س‬14/: ‫اوتٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚‫أن‬ ٌ‫ح‬𝒚
𝝅
𝟐
‫عندما‬ 𝒙 𝟎
‫الحل‬/
𝒅𝒚 𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒙 ] ( 𝒕𝒂𝒏 𝒚)
𝒅𝒚
𝒕𝒂𝒏 𝒚
𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝒅𝒚
(
𝒔𝒊𝒏 𝒚
𝒄𝒐𝒔 𝒚
)
∫ 𝟐𝒙 𝒅𝒙
∫
𝒄𝒐𝒔 𝒚
𝒔𝒊𝒏 𝒚
𝒅𝒚 ∫ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏| 𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝟐
𝒙 𝟐
𝟐
𝒄
𝒍𝒏| 𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝒙 𝟐
𝒄 ( 𝒚
𝝅
𝟐
𝒙 𝟎 ‫)نعوض‬
𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏
𝝅
𝟐
| 𝟎 𝒄 𝒍𝒏 𝟏 𝒄 𝟎
∴ 𝒍𝒏| 𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝒙 𝟐
(‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬
⇒ 𝒔𝒊𝒏 𝒚 𝒆 𝒙 𝟐

377. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
376
‫وزاري‬2013/‫د‬3
‫س‬15/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝒙 𝒚̅ 𝒚 𝒙‫أن‬ ٌ‫ح‬𝒙 𝟏 𝒚 𝟏
‫الحل‬/
𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒚 𝒙 ( 𝒙)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒚 𝒙
𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒚
𝒙
𝟏
𝟏 ( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟏
] ( 𝒙) 𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒙
∫ 𝒅𝒗 ∫
𝒅𝒙
𝒙
| | 𝐜 | | 𝐜
‫نعوض‬𝒚 𝟏 𝒙 𝟏‫الثابت‬ ‫لٌمة‬ ‫وٌجاد‬𝒄
𝟏
𝟏
|𝟏| 𝐜 𝟏 𝟎 𝐜 𝟏
∴ | | 𝟏

378. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
377
‫س‬16/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬‫اوتٌة‬( 𝒙 𝟐
𝟑𝒚 𝟐) 𝒅𝒙 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝟎
‫الحل‬/
(𝒙 𝟐
𝟑𝒚 𝟐)𝒅𝒙 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚
𝟐𝒙𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝟑𝒚 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝟑𝒚 𝟐
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐𝒙𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝒙 𝟐 𝟑
𝒚 𝟐
𝒙 𝟐
𝟐𝒙𝒚
𝒙 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝟏 𝟑 (
𝒚
𝒙)
𝟐
𝟐 (
𝒚
𝒙)
𝟏 𝟑𝒗 𝟐
( ‫وضعنا‬ )
𝟐𝒗
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟑𝒗 𝟐
𝟐𝒗
𝟏 𝟑𝒗 𝟐
𝟐𝒗
𝒗
𝟏 𝟑𝒗 𝟐
𝟐𝒗 𝟐
𝟐𝒗
𝒗 𝟐
𝟏
𝟐𝒗
𝟐𝒗
𝒗 𝟐 𝟏
∫
𝟐𝒗
𝒗 𝟐 𝟏
∫
𝒗 𝟐 | |𝟏 𝒍𝒏|𝒙| 𝒍𝒏|𝒙 | 𝒄 (𝒗 𝟐
𝟏) 𝒙 𝒄 (𝒗 𝟐
𝟏)
𝒙 𝒄 (
𝒚 𝟐
𝒙 𝟐
𝟏) 𝒙 𝒄 (
𝒚 𝟐
𝒙 𝟐
𝒙 𝟐
)

379. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
378
‫الخامس‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬ ‫قؤال‬2012‫/د‬2
‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬( 𝟏)( 𝟏)ٌ‫ح‬𝟐‫عندما‬𝟐
‫الحل‬/
( 𝟏)( 𝟏)
( 𝟏)( 𝟏)
( 𝟏)
( 𝟏) ∫
( 𝟏)
∫( 𝟏)
( 𝟏)
𝟐
𝟐
‫نعوض‬𝒚 𝟐 𝒙 𝟐‫الثابت‬ ‫لٌمة‬ ‫وٌجاد‬𝒄
𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝟒 𝟒
∴ ( 𝟏)
𝟐
𝟐
𝟒
‫وزاري‬ ‫قؤال‬2014‫/د‬3
‫ان‬ ‫أثبت‬‫المعادلة‬ ‫حلول‬ ‫أحد‬𝟎
‫الحل‬/
(
𝟏
) (𝟏) 𝟏
( 𝟏 )
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫حلول‬ ‫أحد‬ ً‫ه‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬

380. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
379
‫وزاري‬ ‫قؤال‬2015‫/د‬3
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫جد‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البس‬‫ط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟏 𝟏
( 𝟏)
∫ (
𝟏
) ∫ ∫ ∫ ( 𝟏
𝟏
)
| | | |
( 𝟏)
⇒ | | | |
| | | | 𝟏 ( 𝟏 ‫)حٌث‬

381. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
380
‫السادس‬ ‫الفصل‬
‫الفضائٌة‬ ‫الهندسة‬SPACE GEOMETRY/
‫مراجعة‬:
1-.‫ٌحتوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫لكل‬
2-‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫لكل‬.‫ٌحتوٌهما‬
3-‫التوازي‬ ‫عبارة‬‫وٌوازي‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫ٌمر‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫فٌوجد‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫ونقطة‬ ‫مستقٌم‬ ‫علم‬ ‫(إذا‬
)‫المعلوم‬ ‫المستقٌم‬.
4-.‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬
5-‫عم‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬.‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫ود‬
6-‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬ً‫تنتم‬ (
)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫أو‬ ‫للمستقٌم‬.
7-.‫ٌحتوٌهما‬ ‫فأنه‬ ‫اآلخر‬ ‫من‬ ‫ونقطة‬ ‫احدهما‬ ‫ٌحوي‬ ‫الذي‬ ‫فالمستوي‬ ‫مستقٌمان‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬
8-‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستوى‬.‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬
9-.‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫المستقٌمان‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬
10-.‫اآلخر‬ ‫ٌوازي‬ ‫احدهما‬ ‫ٌحوي‬ ‫الذي‬ ‫فالمستوي‬ ‫مستقٌمان‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬
11-.‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬
12-‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬.‫المستوي‬ ‫ضمن‬ ‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ٍ‫و‬‫مست‬
13-.‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫ٌوازي‬ ‫مستوٌهما‬ ‫فأن‬ ‫معلوم‬ ‫مستوي‬ ‫ٌوازٌان‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
14-.‫مستوٌهما‬ ‫وتوازى‬ ‫الزاوٌتان‬ ‫تساوت‬ ‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫زاوٌة‬ ‫ضلعا‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬
15-ٌ‫ب‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقٌم‬ ‫قطعة‬.‫بالقٌاس‬ ‫نصفه‬ ‫وتساوي‬ ‫الثالث‬ ‫الضلع‬ ‫توازي‬ ‫مثلث‬ ً‫ضلع‬ ً‫منتصف‬ ‫ن‬
16-.‫ٌنصفها‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫الساقٌن‬ ‫المتساوي‬ ‫المثلث‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫العمود‬
17-‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬‫مستوي‬‫المعلاوم‬ ‫للمساتقٌم‬ ً‫ا‬‫موازٌا‬ ‫المساتوي‬ ‫نقااط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬ ‫أٌة‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬
.‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ً‫ف‬ ‫محتوى‬ ‫ٌكون‬
18-‫المستق‬.‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫ٌمان‬
19-.‫متوازٌان‬ ‫الفراغ‬ ً‫ف‬ ‫ثالث‬ ‫لمستقٌم‬ ‫الموازٌان‬ ‫المستقٌمان‬
20-.‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫كل‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬ ‫أضالع‬ ‫متوازي‬ ً‫الرباع‬ ‫الشكل‬ ‫ٌكون‬
21-.‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫وتساوى‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬ ‫أضالع‬ ‫متوازي‬ ً‫الرباع‬ ‫الشكل‬ ‫ٌكون‬
22-‫أ‬ ‫متوازي‬ ‫هو‬ ‫المستطٌل‬.‫قائمة‬ ‫زواٌاه‬ ‫أحدى‬ ‫ضالع‬
23-.‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬
24-.‫بهما‬ ‫محددة‬ ‫وزاوٌة‬ ‫بضلعٌن‬ ‫المثلثان‬ ‫ٌتطابق‬
25-.‫والمستوي‬ ‫المعلومة‬ ‫النقطة‬ ‫بٌن‬ ‫مسافة‬ ‫أقصر‬ ‫هو‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫العمود‬
26-.‫ونتٌجتها‬ ‫الثالثة‬ ‫األعمدة‬ ‫مبرهنة‬

382. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
381
‫الزاوٌة‬‫المتعامدة‬ ‫والمستوٌات‬ ‫الزوجٌة‬
:‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬‫حافة‬ ‫لهما‬ ‫مستوٌٌن‬ ً‫نصف‬ ‫اتحاد‬(Edge).‫مشتركة‬
‫بـ‬ ‫المشتركة‬ ‫الحافة‬ ‫وتسمى‬)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(حرف‬.
‫بـ‬ ‫المستوٌٌن‬ ً‫نصف‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وٌسمى‬)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(وجه‬:‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬
‫حٌث‬⃡‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫هو‬
(X)‫و‬(Y)‫وجهاها‬ ‫هما‬
:‫بالتعبٌر‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫عن‬ ‫وٌعبر‬– ⃡ –
.‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ‫مع‬ ً‫ا‬‫مشترك‬ ‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫أن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫بحرف‬ ‫عنها‬ ‫ٌعبر‬ ‫وقد‬
:ً‫ال‬‫مث‬
:‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬
– ⃡ –
– ⃡ –
– ⃡ –
‫بشكل‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫تكتب‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬ ‫وال‬⃡‫الحرف‬ ‫ألن‬ ‫المثال‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬⃡.‫زوجٌة‬ ‫زاوٌة‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ً‫ف‬ ‫مشترك‬
‫مالحظة‬:‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ً‫ف‬ ‫لٌست‬ ‫نقاط‬ ‫أربع‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نكتب‬A – ⃡ – D‫أو‬
‫المستوٌٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬(DBC)‫و‬
(ABC:‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ )

383. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
382
:ً‫كاآلت‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫وتقاس‬
‫نقطة‬ ‫نأخذ‬D‫المشتركة‬ ‫الحافة‬ ‫على‬⃡‫من‬ ‫ونرسم‬D‫العمود‬ً⃡‫ف‬‫والعمود‬ً⃡‫ف‬‫الحرف‬ ‫على‬
⃡‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫هو‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫فٌكون‬‫الزاوٌة‬ ‫وتسمى‬‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬
:‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ,‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫لدٌنا‬ ‫أخرى‬ ‫بعبارة‬– ⃡ –
‫ولدٌنا‬⃡ ⃡
⃡ ⃡ ⃡ ⃡
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫أو‬– ⃡ –
‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫المستوٌة‬ ‫الزاوٌة‬:‫من‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌان‬ ‫ضلعاها‬ ً‫الت‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬
.‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫وجه‬ ‫أحد‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬
:‫أو‬ً‫وجه‬ ‫أحد‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬ ‫شعاعٌن‬ ‫اتحاد‬ ً‫ه‬
.‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬
‫والزو‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌتٌن‬ ‫تعرٌف‬ ‫ومن‬:ً‫اآلت‬ ‫استنتاج‬ ‫ٌمكن‬ ‫جٌة‬
1-.‫ثابت‬ ‫زوجٌة‬ ‫لزاوٌة‬ ‫عائدة‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬
2-.‫وبالعكس‬ ‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫ٌساوي‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬
.‫وبالعكس‬ ‫متعامدان‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫فأن‬ ‫قائمة‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
‫قٌاس‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ : ‫أي‬– ⃡ – 𝟗𝟎°
‫فأن‬

384. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
383
( ‫مبرهنة‬7‫(وزاري‬ :)2011‫د‬ /1‫(وزاري‬ ‫و‬ )2013‫د‬ /2)‫و‬‫(وزاري‬5201‫د‬ /3):
‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫إذا‬‫و‬.‫اآلخر‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫التقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫العمودي‬
:‫أنه‬ ‫أي‬
:‫كان‬ ‫إذا‬
⃡
‫في‬ ⃡ ⃡ ⃡
‫فأن‬⃡
:‫المعطٌات‬‫نقطة‬ ً‫ف‬, D⃡ ⃡ ⃡ ⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬
ً‫ف‬‫نرسم‬⃡ ⃡()‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫فٌه‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬
⃡ ⃡ ⃡)‫(معطى‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ⃡ –)‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬
∢ 𝟗𝟎)‫وبالعكس‬ ‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫ٌساوي‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(قٌاس‬
⃡ ⃡‫مستقٌمٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫كان‬ ‫(إذا‬𝟗𝟎)‫وبالعكس‬ ‫متعامدان‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫فأن‬
⃡)‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
( ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬7‫(وزاري‬ :)2013‫د‬ /3)‫و‬‫(وزاري‬5201‫د‬ /2):
ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫إذا‬.‫فٌه‬ ‫محتوى‬ ‫ٌكون‬ ‫اآلخر‬ ‫المستوى‬ ‫على‬
:‫المعطٌات‬⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬‫لٌكن‬⃡
‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫ان‬⃡
‫نرسم‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬⃡
‫من‬ ‫فٌه‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬

385. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
384
)‫(معطى‬
⃡‫(مبرهنة‬7‫ٌكون‬ ‫التقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫إذا‬ ( )
)‫اآلخر‬ ‫المستوى‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬
‫ولكن‬⃡)‫(معطى‬
⃡ ⃡‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫(ٌوجد‬
‫ال‬ ‫أو‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬
⃡
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
( ‫مبرهنة‬8‫(وزاري‬ :)2011‫د‬ /1)‫و‬‫(وزاري‬6201‫د‬ /1):
‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫آخر‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫بمستقٌم‬ ‫مار‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫كل‬
: ‫أو‬‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫ٌتعامد‬.‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬
:‫المعطٌات‬⃡,⃡⃡
‫إثباته‬ ‫المطلوب‬:
:‫البرهان‬‫لٌكن‬⃡)‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتقاطع‬
⃡)‫المشتركة‬ ‫النقاط‬ ‫على‬ ‫ٌحتوي‬ ‫التقاطع‬ ‫(مستقٌم‬
ً‫ف‬‫نرسم‬⃡ ⃡)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫فٌه‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬
⃡)‫معطى‬ (
⃡ ⃡ ⃡‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬ً‫ف‬ ‫المحتوى‬
)‫أثره‬ ‫من‬ ‫والمارة‬ ‫المستوي‬
⃡)‫(معطى‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬⃡)‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬
⃡ ⃡ ‫ألن‬ ∢ 𝟗𝟎°
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬– ⃡ – 𝟗𝟎°ٌ‫الزوج‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(قٌاس‬‫ـــــ‬‫ٌس‬ ‫ة‬‫ــــ‬‫اوي‬‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬
)‫وبالعكس‬ ‫لها‬
(‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫كان‬ ‫إذا‬90 °‫وبالعكس‬ ‫متعامدان‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫فأن‬)
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
⇒ 𝑦 𝑥
‫أنه‬ ‫أي‬:𝑨𝑩⃡ 𝒙
𝑨𝑩⃡ 𝒚

386. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
385
( ‫مبرهنة‬9‫(وزاري‬ :)2014‫د‬ /1:)
ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬ ‫مستقٌم‬ ‫من‬‫ٌوجد‬ ‫معلوم‬ٍ‫و‬‫مست‬‫عمودي‬ ‫وحٌد‬
‫المعلوم‬ ‫المستوى‬ ‫على‬.
‫أنه‬ ‫أي‬:⃡‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬
‫ٌحتوي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستوي‬ ‫فٌوجد‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬
:‫المعطٌات‬⃡‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬‫ٌحتوي‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫إٌجاد‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬
:‫البرهان‬
‫نقطة‬ ‫من‬‫نرسم‬ً⃡‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫(ٌوجد‬)‫إلٌه‬
⃡ ⃡‫متقاطعان‬
‫مثل‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬‫ٌحوٌهما‬)‫ٌحوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
‫(م‬‫ب‬‫رهنة‬8))‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
:‫الوحدانٌة‬ ‫ولبرهنة‬
( ‫لٌكن‬Z‫ٌحوي‬ ‫آخر‬ ‫مستوي‬ )⃡‫على‬ ‫وعمودي‬
⃡)‫(بالبرهان‬
⃡‫مبرهنة‬ ‫(نتٌجة‬7)
)‫ٌحوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
( ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬9‫(وزاري‬ :)2012‫د‬ /3:)
‫مستقٌم‬ ‫فأن‬ ‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫المستوى‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬
.‫الثالث‬
:‫المعطٌات‬⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫إن‬⃡‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬
‫ٌحوي‬ ‫مستوي‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫وجد‬ ‫لما‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬‫(مبرهنة‬9)
⃡
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬

387. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
386
( ‫مثال‬1:)
ً‫ف‬∆ ABC
̅̅̅̅̅ ∢ 𝟑𝟎°
𝟏𝟎 𝟓
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫جد‬– ̅̅̅̅ –
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅̅ ∢ 𝟑𝟎° 𝟏𝟎 𝟓
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫إٌجاد‬– ̅̅̅̅ –
:‫البرهان‬
‫المستوى‬ ً‫ف‬‫نرسم‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫نقطة‬ ً‫ف‬‫آخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬
)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬
̅̅̅̅̅)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫األعمدة‬ ‫(مبرهنة‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬̅̅̅̅‫العائد‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬‫ة‬)
̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫(المس‬‫ـــ‬‫المستوى‬ ً‫ف‬ ‫المحتواة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫تقٌم‬
)‫أثره‬ ‫من‬ ‫والمارة‬
∆ DBEً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قائم‬B
ً‫ف‬∆ BEAً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫القائم‬E:
𝟑𝟎 ⇒
𝟏
𝟐 𝟏𝟎
⇒ 𝟓
ً‫ف‬∆ DBEً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫القائم‬B:
∢
𝟓
𝟓
𝟏
‫قٌاس‬∢ 𝟒𝟓°
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬– ̅̅̅̅ – 𝟒𝟓°()‫وبالعكس‬ ‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫هو‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬

388. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
387
( ‫مثال‬2:)
‫لٌكن‬ABC‫ولٌكن‬ ً‫ا‬‫مثلث‬
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
:‫أن‬ ‫برهن‬
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
:‫البرهان‬
̅̅̅̅)‫(معطى‬
‫(مبرهنة‬8‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬ ))‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫(معطى‬
̅̅̅̅‫(مبرهنة‬7‫التقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫والعمودي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫(إذا‬ )
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫مبرهنة‬ ‫(نتٌجة‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬

389. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
388
( ‫مثال‬3‫(وزاري‬ :)2012‫د‬ /2)
‫متعامدان‬ ‫مستوٌان‬,
⃡ ⃡‫على‬ ‫عمودٌان‬⃡‫وٌقطعان‬ً‫ف‬C, D‫الترتٌب‬ ‫على‬
:‫أن‬ ‫برهن‬⃡
:‫المعطٌات‬
‫إن‬⃡ ⃡ ⃡ , )‫على‬ ‫عمودٌٌن‬⃡‫وٌقطعان‬ً‫ف‬C, D.‫الترتٌب‬ ‫على‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬‫المتقاطعٌن‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫مستوي‬⃡ ⃡)‫ٌحوٌهما‬ ً‫ا‬‫وحٌد‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
⃡ ⃡ ⃡)‫(معطى‬
⃡‫(المستقٌم‬)‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬
⃡)‫(معطى‬
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
)‫(معطى‬
‫كان‬ ‫ولما‬⃡)‫منهما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫محتوى‬ ‫(ألنه‬
⃡‫ف‬ ‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫(إذا‬ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫مستقٌم‬ ‫أن‬
)‫الثالث‬ ‫المستوي‬ ‫على‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬

390. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
389
‫تمارين‬
‫س‬1/.‫حرفها‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫زوجٌة‬ ‫لزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫مستوي‬ ‫أن‬ ‫برهن‬‫(وزاري‬2013‫د‬ /1)
:‫المعطٌات‬‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬– ⃡ –
‫والزاوٌة‬CDE.‫لها‬ ‫عائدة‬ ‫مستوٌة‬ ‫زاوٌة‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬
‫الزاوٌة‬CDE‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬ ‫زاوٌة‬– ⃡ –)‫(معطى‬
⃡ ⃡)‫زوجٌة‬ ‫لزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫تعرٌف‬ ‫(من‬
⃡ ⃡‫اتحاد‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫(ه‬‫شعاعٌن‬ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬
‫وكل‬ ‫إلٌه‬‫اح‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬‫د‬)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫وجه‬
⃡()‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
(‫وزاري‬/2014‫د‬3)
‫س‬2/‫أن‬ ‫برهن‬‫ه‬.‫متعامدان‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫فأن‬ ‫آخر‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫وكان‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬
:‫المعطٌات‬⃡ ⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫أن‬‫ٌقطع‬‫فأن‬
⃡)‫(معطى‬
⃡‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬
‫المعطٌات‬ ‫خالف‬ ‫هذا‬ ‫ولكن‬‫يقطع‬
‫ولٌكن‬⃡)‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتقاطع‬
‫لتكن‬⃡‫ولتكن‬ ,⃡ ⃡‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوازي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ :‫التوازي‬ ‫(عبارة‬
)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬
⃡)‫(معطى‬
⃡‫للمستقٌم‬ ً‫ا‬ٌ‫مواز‬ ‫المستوي‬ ‫نقط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬ ‫أٌة‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫(إذا‬
)‫فٌه‬ ‫محتوى‬ ‫ٌكون‬ ‫المعلوم‬
⃡ ⃡)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمود‬ ‫(المستوي‬
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬‫أو‬‫بمستقٌم‬ ‫مار‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫(كل‬
)‫اآلخر‬ ٍ‫و‬‫المست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫ٌكون‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬

391. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
390
‫(وزاري‬2014/‫د‬2)
‫س‬3/‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستوي‬ ‫أن‬ ‫برهن‬ً‫ا‬‫أٌض‬.
:‫المعطٌات‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬⃡
⃡
‫ولتكن‬⃡
‫نرسم‬⃡‫بحٌث‬⃡ ⃡
‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬
‫(معط‬‫ى‬)
⃡‫المرس‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫(إذا‬‫ـــ‬‫مس‬ ‫على‬ ‫والعمودي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫وم‬‫ــــ‬‫ٌكون‬ ‫التقاطع‬ ‫تقٌم‬
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬
‫ولكن‬)‫(معطى‬
⃡‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
‫س‬4/A, B, C, D‫بحٌث‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ً‫ف‬ ‫لٌست‬ ‫نقاط‬ ‫أربع‬‫و‬̅̅̅̅‫كانت‬ ‫فإذا‬∢
‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ̅̅̅̅ –‫برهن‬.
:‫المعطٌات‬A, B, C, D‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ً‫ف‬ ‫لٌست‬ ‫مختلفة‬ ‫نقاط‬ ‫أربع‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ̅̅̅̅ –
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ̅̅̅̅ –)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬ ‫شعاعٌن‬ ‫اتحاد‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬ ‫العائدة‬ ‫(الزاوٌة‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫وجه‬ ‫أحد‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬ ‫من‬
‫المثلث‬ ً‫ف‬ABC)‫(معطى‬
‫الساقٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫(العمود‬)‫ٌنصفها‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬
‫المثلثان‬DEB‫و‬DEC:‫فٌهما‬
∢ 𝟏 ∢ 𝟐)‫(قوائم‬
)‫مشترك‬ ‫(ضلع‬
CE = BE)‫(بالبرهان‬
.‫بهما‬ ‫محددة‬ ‫وزاوٌة‬ ‫بضلعٌن‬ ‫المثلثان‬ ‫ٌتطابق‬
:‫ٌنتج‬ ‫التطابق‬ ‫ومن‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫ٌتقاطع‬

392. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
391
‫(وزاري‬2015/‫د‬1)
‫س‬5/‫برهن‬‫أنه‬‫إذا‬‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬ ‫وكانا‬ ‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وازى‬
‫المعلوم‬ ‫المستوى‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫المتقاطعٌن‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫تقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫فأن‬.
:‫المعطٌات‬⃡ ⃡
‫يوازيان‬ ⃡ ⃡
⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬‫المتقاطعٌن‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫مستوي‬⃡ ⃡)‫ٌحتوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ‫مستوي‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
⃡ ⃡)‫(معطى‬
ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫ٌوازٌان‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫(إذا‬)‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫ٌوازي‬ ‫مستوٌهما‬ ‫فإن‬ ً‫ا‬‫معلوم‬
‫ولكن‬⃡
⃡
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
)‫(معطى‬
⃡‫كل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ (‫من‬‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫مستقٌم‬ ‫فأن‬ ‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫مست‬
)‫الثالث‬ ‫المستوي‬ ‫على‬
⃡)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
)‫(معطى‬

393. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
392
‫س‬6/‫قطرها‬ ‫دائرة‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫مس‬ ‫على‬ ‫عمودي‬‫ــــ‬‫توٌها‬,D‫أن‬ ‫برهن‬ ‫للدائرة‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬‫عمودي‬
‫على‬
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅‫و‬ ‫دائرة‬ ً‫ف‬ ‫قطر‬̅̅̅̅̅.‫الدائرة‬ ‫مستوي‬
D.‫للدائرة‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
∢‫محٌطٌة‬ ‫زاوٌة‬
∢ 𝟗𝟎°)‫قائمة‬ ‫دائرة‬ ‫لنصف‬ ‫المقابلة‬ ‫المحٌطٌة‬ ‫(الزاوٌة‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫متعامدٌن‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫فأن‬ ‫قائمة‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫كانت‬ ‫(إذا‬
̅̅̅̅‫الدائرة‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمودي‬)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫(مبرهنة‬
:‫لدٌنا‬ ‫اصبح‬̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫(بالبرهان‬
̅̅̅̅̅‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬)‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬
‫ولكن‬̅̅̅̅
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬

394. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
393
ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫االسقاط‬
1-:ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫مسقط‬‫العمود‬ ‫أثر‬ ‫هو‬.‫المستوي‬ ‫على‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬
2-:‫مستوي‬ ‫على‬ ‫نقط‬ ‫مجموعة‬ ‫مسقط‬‫لتكن‬L‫اثار‬ ‫كل‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫مسقطهما‬ ‫فأن‬ ‫الفراغ‬ ً‫ف‬ ‫نقاط‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬
‫نقاط‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫االعمدة‬‫ه‬.‫المستوي‬ ‫على‬
3-:‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودٌة‬ ‫غٌر‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬‫المستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫هو‬‫المرسومٌن‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬
.‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫نهاٌت‬ ‫من‬
‫لٌكن‬̅̅̅̅‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬
‫ولٌكن‬̅̅̅̅‫مسقط‬A‫على‬‫هو‬
̅̅̅̅̅‫مسقط‬B‫على‬‫هو‬
‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬‫هو‬̅̅̅̅
:‫مالحظة‬‫كان‬ ‫إذا‬̅̅̅̅‫فأن‬
4-ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫المائل‬ ‫المستقٌم‬.‫له‬ ‫وقاطع‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫غٌر‬ ‫المستقٌم‬ ‫هو‬ :
5-:‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬.‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬ ‫المحددة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬
‫لٌكن‬⃡‫على‬ ً‫ال‬‫مائ‬ً‫ف‬
‫ولٌكن‬ً̅̅̅̅‫ف‬
‫مسقط‬‫على‬‫حٌث‬
‫كذلك‬‫حٌث‬ ‫نفسها‬ ‫مسقط‬
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
‫أن‬ ‫أي‬𝟎 𝛉 𝟗𝟎°
𝜽 𝟎 𝟗𝟎°
6-:‫المسقط‬ ‫طول‬= ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬ ‫طول‬‫المائل‬ ‫طول‬.‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫تمام‬ ‫جٌب‬
‫تكون‬ ‫فعندما‬̅̅̅̅‫على‬ ً‫ال‬‫مائ‬‫مٌلة‬ ‫وزاوٌة‬𝜽‫ومسقطه‬̅̅̅̅‫فأن‬𝛉
7-‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستوي‬ ‫مسقط‬:‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ٍ‫و‬‫مست‬‫على‬‫للزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫المستوٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬
.‫بٌنهما‬ ‫الزوجٌة‬
= ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائلة‬ ‫منطقة‬ ‫مسقط‬ ‫مساحة‬‫المائلة‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫تمام‬ ‫جٌب‬
‫و‬ ‫المائلة‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬‫و‬ ‫المسقط‬ ‫مساحة‬𝜽‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬𝛉

395. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
394
( ‫مثال‬4‫(وزاري‬ :)2013‫د‬ /2:)
.‫متعامدان‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ضلعٌهما‬ ً‫مسقط‬ ‫فأن‬ ً‫ا‬‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫قائمة‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫أحد‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬
:‫المعطٌات‬∢ً‫ف‬ ‫قائمة‬B
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬ ‫هو‬̅̅̅̅‫على‬
̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬ ‫هو‬̅̅̅̅‫على‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬A'B' ┴ B'C'
:‫البرهان‬
̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ ‫القطعة‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬
‫من‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫المرسومٌن‬)‫المستقٌمة‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅)‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫(المستقٌمان‬
‫المتوازٌٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن‬‫نعٌن‬
‫المتوازٌٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن‬‫نعٌن‬
‫لكن‬̅̅̅̅)‫(معطى‬
)‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتقاطع‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅‫المس‬ ‫جمٌع‬ ‫ٌوازي‬ ‫فأنه‬ ً‫ا‬‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫(إذا‬‫ــــ‬‫هذا‬ ‫تقاطع‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫تقٌمات‬
‫تحوي‬ ً‫الت‬ ‫والمستوٌات‬ ‫المستوي‬)‫المستقٌم‬
‫كذلك‬̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
)‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅(‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬ :‫الواحد‬ ‫المستوي‬ ً‫ف‬)
‫لكن‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫ألن‬ (∢ 𝟗𝟎)‫معطى‬
̅̅̅̅̅̅)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستوي‬
̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
.)‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬
‫هـــ‬ .‫(و‬.)‫م‬
(‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫لكل‬‫ٌحتوٌهما‬)
‫يحتويهما‬
)‫(معطى‬

396. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
395
( ‫مثال‬5:)
,‫مثلث‬̅̅̅̅‫المثلث‬ ‫مستوي‬ ‫بٌن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫والزاوٌة‬‫والمستوي‬‫قٌاسها‬𝟔𝟎°‫كان‬ ‫فإذا‬
𝟏𝟑 𝟏𝟎‫اد‬‫ا‬‫ج‬‫اث‬‫ا‬‫المثل‬ ‫اقط‬‫ا‬‫مس‬‫اى‬‫ا‬‫عل‬‫اقط‬‫ا‬‫مس‬ ‫ااحة‬‫ا‬‫مس‬ ‫اد‬‫ا‬‫ج‬ ‫ام‬‫ا‬‫ث‬
ABC∆‫على‬.
:‫المعطٌات‬̅̅̅̅
‫قٌاس‬– ⃡ – 𝟔𝟎°
𝟏𝟑 𝟏𝟎
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬‫مسقط‬ ‫إٌجاد‬‫على‬
‫مسقط‬ ‫مساحة‬ ‫وإٌجاد‬‫على‬
:‫البرهان‬
‫نرسم‬ً‫ف‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمود‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅̅
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅
̅̅̅̅‫على‬ ‫نفسه‬ ‫مسقط‬
‫مسقط‬‫على‬
ً‫ف‬‫نرسم‬̅̅̅̅ ً̅̅̅̅‫ف‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫آخر‬ ‫على‬ ‫عمود‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬
‫أن‬ ‫وبما‬)‫(معطى‬
𝟓)‫ٌنصفها‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫الساقٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫(العمود‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫مبرهنة‬ ‫(نتٌجة‬
∢‫عائدة‬‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬̅̅̅̅)‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫لكن‬𝟔𝟎° ̅̅̅̅)‫(معطى‬
ً‫ف‬ً‫ف‬ ‫القائم‬:√𝟏𝟔𝟗 𝟐𝟓 √𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟐
ً‫ف‬ً‫ف‬ ‫القائم‬:𝟔𝟎 ⇒
𝟏
𝟐 𝟏𝟐
⇒ 𝟔
𝟏
𝟐
𝟏𝟎 𝟔 𝟑𝟎 𝟐
=‫المثلث‬ ‫مساحة‬BCD
)‫.م‬ ‫هـ‬ .‫(و‬
‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ ‫القطعة‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬
‫المستوي‬ ‫على‬ ‫المرسومٌن‬)‫المستقٌمة‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬

397. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
396
‫تمارين‬
‫س‬1/‫المس‬ ‫قطعة‬ ‫طول‬ ‫أن‬ ‫برهن‬‫ــ‬‫لمس‬ ‫الموازي‬ ‫تقٌم‬‫ــ‬‫مع‬ ٍ‫و‬‫ت‬‫ٌس‬ ‫لوم‬‫ـــــ‬‫مس‬ ‫طول‬ ‫اوي‬‫ـــ‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫قطه‬‫المعلوم‬
.‫وٌوازٌه‬‫(وزاري‬2011‫د‬ /1‫و‬2014‫د‬ /1‫و‬2016‫د‬ /1)
:‫المعطٌات‬̅̅̅̅
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
: ً‫ال‬‫أو‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅
: ً‫ا‬ٌ‫ثان‬
:‫البرهان‬
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫على‬ ‫عمودان‬‫المرس‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ ‫القطعة‬ ‫هو‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬‫ـ‬‫ومٌن‬
)‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅)‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫(المستقٌمان‬
‫المتوازٌٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن‬‫نعٌن‬)‫ٌحتوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
̅̅̅̅)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫اآلخر‬ ‫وٌوازي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫محتوى‬ ‫مستقٌم‬ ‫كل‬ ‫ٌوازي‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫تقاطع‬ ‫(مستقٌم‬
‫أو‬‫المستوي‬ ‫هذا‬ ‫تقاطع‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫ٌوازي‬ ‫فأنه‬ ً‫ا‬‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫(إذا‬
)‫المستقٌم‬ ‫هذا‬ ‫تحوي‬ ً‫الت‬ ‫المستوٌات‬ ‫مع‬
( )‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬1)
‫الشكل‬‫أضالع‬ ‫متوازي‬)‫متوازٌٌن‬ ‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫كل‬ ‫(ألن‬
‫األضالع‬ ‫متوازي‬ ‫خواص‬)‫بالطول‬ ‫متساوٌٌن‬ ‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫كل‬ (
( )‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬2)

398. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
397
‫س‬2/‫مس‬ ‫قطع‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ‫برهن‬‫ـــ‬.‫علٌه‬ ‫اآلخر‬ ‫مٌل‬ ‫ٌساوي‬ ‫احدهما‬ ‫على‬ ‫مٌله‬ ‫فأن‬ ‫بمستقٌم‬ ‫متوازٌان‬ ‫توٌان‬
‫(وزاري‬2012‫د‬ /2)‫و‬‫(وزاري‬2015‫د‬ /3)
:‫المعطٌات‬
⃡ { }
⃡ { }
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
‫مٌل‬⃡‫على‬‫مٌل‬⃡‫على‬
:‫البرهان‬
‫نرسم‬⃡(‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬)
)‫(معطى‬
⃡‫نقطة‬ ً‫ف‬)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
‫وكذلك‬⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
∢𝟏‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
∢𝟐‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
⃡ ⃡(‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫بمست‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫تقاطع‬ ‫خطأ‬‫متوازٌان‬)
∢𝟏 ∢ 𝟐(‫تساو‬ ‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫زاوٌة‬ ‫ضلعا‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬‫ى‬‫وتواز‬ ‫قٌاسهما‬‫ى‬‫مستوٌهما‬)
‫مٌل‬⃡‫على‬‫مٌل‬⃡‫على‬
)‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬
‫المستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودٌة‬ ‫غٌر‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬
)‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫المرسومٌن‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬
(‫المحاددة‬ ‫الزاوٌاة‬ ً‫ها‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬
‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬‫ذلك‬‫المستو‬‫ي‬)

399. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
398
‫س‬3/‫بر‬‫ه‬.‫نفسه‬ ‫المٌل‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫المائلة‬ ‫المتوازٌة‬ ‫للمستقٌمات‬ ‫أن‬ ‫على‬ ‫ن‬
‫وزاري‬ (2011‫د‬ /3‫(وزاري‬ )2013‫د‬ /3)
:‫المعطٌات‬
⃡ ⃡‫على‬ ‫مائل‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬⃡‫على‬=‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬⃡‫على‬
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬ً⃡‫ف‬
‫و‬‫لٌكن‬ً⃡‫ف‬
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
1∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
2∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
⃡ ⃡(‫معطى‬)
⃡ ⃡(‫متوازٌان‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫المستقٌمان‬)
∢𝟑 ∢ 𝟒(‫وازى‬ ‫إذا‬‫تساو‬ ‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫زاوٌة‬ ‫ضلعا‬‫ى‬‫مستوٌهما‬ ‫وتوازي‬ ‫قٌاسهما‬)
∢𝟓 ∢𝟔 𝟗𝟎°(‫المس‬‫ــ‬‫مس‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫تقٌم‬‫ــ‬‫جم‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫توي‬‫ـ‬‫المس‬ ‫ٌع‬‫ــــ‬‫تقٌمات‬
) ‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬
∢ 𝟏 ∢ 𝟐(‫المثلث‬ ‫زواٌا‬ ‫قٌاسات‬ ‫مجموع‬𝟏𝟖𝟎°)
‫قٌاس‬‫زاوٌة‬‫مٌل‬⃡‫على‬‫قٌاس‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬⃡‫على‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
(‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬)
(‫اتقٌم‬‫ا‬‫المس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫او‬‫ا‬‫ه‬ ‫اوم‬‫ا‬‫معل‬ ٍ‫و‬‫ات‬‫ا‬‫مس‬ ‫اى‬‫ا‬‫عل‬ ‫اة‬‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ار‬‫ا‬ٌ‫غ‬ ‫اتقٌم‬‫ا‬‫مس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫اقط‬‫ا‬‫مس‬
‫المرسو‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫مٌن‬)
(ً‫ه‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬‫المحددة‬ ‫الزاوٌة‬
‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬)

400. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
399
‫س‬4/‫زاوٌة‬ ‫أطولهما‬ ‫فإن‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الطول‬ ً‫ف‬ ‫مختلفان‬ ‫مائالن‬ ‫رسم‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ‫على‬ ‫برهن‬
‫مٌل‬‫ه‬.‫علٌه‬ ‫اآلخر‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫من‬ ‫أصغر‬ ‫المستوي‬ ‫على‬
:‫المعطٌات‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬̅̅̅̅(‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬)
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
𝛉 𝟏∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
𝛉 𝟐∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
(‫معطى‬)
𝟏𝟏
)‫التراجح‬ ‫(خواص‬
‫بـ‬ ‫المتراجحة‬ ً‫طرف‬ ‫وبضرب‬:‫ٌنتج‬
𝜽𝟏 𝜽𝟐(‫و‬‫ب‬‫رفع‬‫دالة‬ ‫ألن‬ ‫الطرفٌن‬)‫متزاٌدة‬ ‫دالة‬
𝛉 𝟏
𝜽 𝟐
‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
(‫ار‬‫ا‬ٌ‫غ‬ ‫اتقٌم‬‫ا‬‫مس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫اقط‬‫ا‬‫مس‬‫اتقٌم‬‫ا‬‫المس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫او‬‫ا‬‫ه‬ ‫اوم‬‫ا‬‫معل‬ ٍ‫و‬‫ات‬‫ا‬‫مس‬ ‫اى‬‫ا‬‫عل‬ ‫اة‬‫ا‬ٌ‫عمود‬
‫المرسو‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫مٌن‬)
(‫المح‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬‫ددة‬
‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬‫ذلك‬‫المستوي‬)

401. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
400
‫س‬5/.‫األطول‬ ‫هو‬ ً‫ال‬ٌ‫م‬ ‫فأصغرهما‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫إلى‬ ‫ما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مائالن‬ ‫رسم‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ‫على‬ ‫برهن‬
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫على‬ ‫مائالن‬
‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬̅̅̅̅(‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬)
̅̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
‫وكذلك‬̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
𝛉 𝟏
∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬̅̅̅̅‫على‬
𝛉 𝟐
∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬̅̅̅̅‫على‬
∢ 𝛉 𝟏
∢ 𝜽 𝟐
‫الـ‬ ‫دالة‬ ‫وبأخذ‬:‫للطرفٌن‬
𝛉 𝟏
𝛉 𝟐
‫و‬‫على‬ ‫المتراجحة‬ ً‫طرف‬ ‫بقسمة‬AD
𝟏 𝟏
‫ٌنتج‬ ‫التراجح‬ ‫وبقلب‬:
(‫التراجح‬ ‫خواص‬)
)‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬
(‫المساتقٌم‬ ‫قطعاة‬ ‫هاو‬ ‫معلاوم‬ ٍ‫و‬‫مسات‬ ‫علاى‬ ‫عمودٌاة‬ ‫غٌار‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬
‫المرسو‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫مٌن‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬)
(‫المحددة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬
‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬)

402. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
401
‫س‬6/‫المستقٌم‬ ‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫من‬ ‫أصغر‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫المستقٌم‬ ‫بٌن‬ ‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫أنه‬ ‫على‬ ‫برهن‬
‫آخر‬ ‫مستقٌم‬ ‫وأي‬ ‫نفسه‬‫مرسوم‬.‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫موقعه‬ ‫من‬‫(وزاري‬2012‫د‬ /3)
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅‫على‬ ‫مائل‬,̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
∢ , ̅̅̅̅̅‫بـ‬ ‫محددة‬̅̅̅̅‫و‬̅̅̅̅
∢‫بـ‬ ‫محددة‬̅̅̅̅‫و‬̅̅̅̅̅
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
∢ ∢
:‫البرهان‬
‫نرسم‬̅̅̅̅)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬
‫ونرسم‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستوي‬
‫لتكن‬∢ 𝜽 𝟐 ∢ 𝜽 𝟏
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬)‫(معطى‬
AC AD)‫والمستوي‬ ‫المعلومة‬ ‫النقطة‬ ‫بٌن‬ ‫مسافة‬ ‫أقصر‬ ‫هو‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫(العمود‬
‫على‬ ‫وبالقسمة‬AB
)‫التراجح‬ ‫(خواص‬
𝜽 𝟏 𝜽 𝟐
𝜽 𝟏 𝜽 𝟐
∢ ∢
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬