696.культурология искусства теория и история искусства
706.моделирование нагрузочно измерительных устройств с полыми немагнитными роторами монография
1. Л. А. Потапов, М.Л. Потапов, И.Л. Симонов
М О Д Е Л И Р О В А Н И Е
НАГРУЗОЧНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ
С ПОЛЫМИ НЕМАГНИТНЫМИ РОТОРАМИ
БРЯНСК
2010
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Брянский государственный технический университет
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. 3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателей монография подготовлена на
основе работ, выполненных авторами в предыдущие годы и опублико-
ванных в ведущих электротехнических журналах: «Электричество»,
«Электротехника», «Известия вузов. Электромеханика». В этих рабо-
тах использовались уравнения теории электромагнитного поля и без-
размерный критерий – магнитное число Рейнольдса.
Монография содержит четыре главы и приложения.
Первая глава посвящена моделированию электромагнитного
тормоза с полым немагнитным ротором. В ней представлены уравне-
ния электромагнитного момента для упрощенной модели тормоза и
для модели, учитывающей вылеты ротора за пределы статора. От-
дельный параграф этой главы посвящен определению магнитного
числа Рейнольдса и коэффициента реакции, устанавливающему связь
критической скорости вращения ротора с конструктивными парамет-
рами тормоза. В четвертом параграфе проанализировано влияние кон-
структивных параметров электромагнитного тормоза на максималь-
ный электромагнитный момент и соответствующую этому моменту
критическую скорость вращения ротора. В других параграфах рас-
смотрены уравнения для определения тормозных моментов электро-
магнитных демпферов с продольными прорезями полого ротора, а
также примеры моделирования тормоза с помощью программы
MathCAD 14 и программного комплекса COMSOL Multiphysics3.4.
Во второй главе представлены математические модели асин-
хронного двигателя с полым немагнитным ротором, показано влияние
магнитного числа Рейнольдса на форму механической характеристики
асинхронного двигателя, рассмотрены примеры исследования дина-
мических режимов работы двигателя (пуск, реверс) с помощью про-
граммы MathCAD 14.
В третьей главе рассмотрены особенности работы, приведены
математические модели, а также примеры исследования с помощью
программы MathCAD 14 режимов работы асинхронного тахогенерато-
ра и датчика угловых ускорений.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. 4
В четвертой главе приведены конструкции, параметры и характе-
ристики некоторых нагрузочно-измерительных устройств с полыми
немагнитными роторами.
В приложении приведены краткие сведения о программном
комплексе COMSOL Multiphysics 3.4 (ранее FEMLAB), разработанном
шведской компанией Comsol, а также краткие технические характери-
стики некоторых российских асинхронных тахогенераторов и асин-
хронных двигателей с полыми немагнитными роторами. При подго-
товке рукописи работы распределились между авторами следующим
образом:
Потапов М.Л. – разработка программ, освоение нового про-
граммного обеспечения, подготовка фрагментов программ в текст ру-
кописи;
Симонов И.Л. – моделирование электромагнитного тормоза и
датчика угловых ускорений на компьютере, получение эксперимен-
тальных данных и сравнение их с результатами моделирования и ре-
зультатами численных вычислений, в которых используются получен-
ные аналитические зависимости;
Потапов Л.А. – руководство работами, подготовка текста руко-
писи.
Монография предназначена для инженерно-технических работ-
ников, связанных с разработкой и исследованиями нагрузочно-
измерительных устройств с полыми немагнитными роторами, а также
может быть использована в учебном процессе студентами электротех-
нических специальностей вузов при выполнении курсового и диплом-
ного проектов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. 5
ВВЕДЕНИЕ
Электромеханические устройства с полыми немагнитными рото-
рами могут быть выполнены в виде электромагнитных тормозов и
демпферов, асинхронных двигателей и тахогенераторов, датчиков уг-
ловых ускорений.
Наиболее широко применяются асинхронные двигатели. Для их
расчета при проектировании разработаны различные методы, осно-
ванные на теории электрических цепей, в которых используются клас-
сические Т- и Г-образные схемы замещения машины переменного то-
ка. Различаются они чаще всего способами расчета параметров полого
ротора.
На основе работ Е.М. Лопухиной, Г.С. Сомихиной и других ав-
торов был наиболее полно разработан параметрический метод расчета
асинхронных двигателей, тахогенераторов и датчиков момента. В этом
методе используются относительные величины, полученные делением
абсолютных параметров проектируемого устройства на активное со-
противление полого ротора. Для получения заданных свойств проек-
тируемого устройства эти относительные величины оптимизируют
определенными способами. При этом используются интегральные па-
раметры: токи, синусоидальные напряжения, потокосцепления. С их
помощью рассчитывают электромагнитные моменты и строят механи-
ческие характеристики М(п).
Расчету сопротивления полого ротора посвящено значительное
число работ [6, 12 – 15, 32, 36 – 38, 52 – 58, 103 – 113 и др.]. Сопро-
тивление полого ротора рассчитывают чаще всего исходя из предпо-
лагаемой картины распределения вихревых токов. Так, исходя из этой
картины рассчитывают сопротивления участков ротора, вдоль кото-
рых протекают эти токи. Предположение о распределении вихревых
токов по подобным прямоугольникам в своих работах принимают
Ю.М. Пульер, И.Я. Лехтман и частично Г. Мозер [103 – 113]. Если по-
ле вихревых токов ротора велико, Г. Мозер предлагает графо-
аналитический метод спиральных диаграмм [110] (исходя из распре-
деления вихревого тока по подобным прямоугольникам.
Используя теорию электромагнитного поля, Е.М. Лопухина по-
лучила [52] картину распределение вихревого тока в полом немагнит-
ном роторе без учета краевого эффекта. В работах [53, 54] было полу-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. 6
чено выражение для активного сопротивления полого ротора, приве-
денного к числу фаз и витков обмотки статора.
В работах И.А. Вевюрко [12 – 15]. получена картина распределе-
ния вихревых токов с учетом вылетов ротора за сталь статора, а также
определено влияние массивного дна, соединяющего цилиндр с валом.
Конструктивное назначение дна такое, что оно всегда выполняется
толще стенок самого цилиндра ротора, поэтому рассматривается как
сверхпроводящая область. В работе [13] получены выражения для
анализа и расчета машины методом симметричных составляющих,
приводятся коэффициенты увеличения сопротивления полого ротора
для прямой и обратной последовательностей:
Показательна также работа Э. Хабигера [106]. В ней кроме до-
пущений, принятых в [12], принято допущение о распределении ин-
дукции магнитного поля вдоль длины машины по прямоугольному за-
кону. Затем вводятся две системы координат, одна из которых непо-
движна и связана со статором, другая – связана с ротором и, следова-
тельно, является подвижной. После этого устанавливается закон рас-
пределения магнитной индукции, определяется плотность тока ротора
и вращающий момент, а также выражения для электромеханической
постоянной времени и сопротивления полого ротора.
В более поздних работах [1–4,66] использовались способы расче-
та сопротивления полого ротора, аналогичные рассмотренным в рабо-
те [12]. Хотя основой этих способов является теория электромагнит-
ного поля, но в итоге в них используется схема замещения машины
переменного тока, полученной на основе теории электрических цепей.
Отличия их между собой заключается в принятых допущениях и спо-
собах определения параметров ротора.
С помощью интегральных параметров, в том числе и активного
сопротивления ротора, при значительно выраженном краевом эффек-
те невозможно учесть электромагнитные процессы, происходящие в
электромеханическом устройстве с полым немагнитным ротором
(ЭМУПНР). При изменении частоты вращения ротора его сопротив-
ление изменяется, что обычно не всегда учитывается. Вследствие это-
го значительно уменьшается точность расчета устройства, особенно
при анализе динамических режимов.
Еще один недостаток рассматриваемых способов расчета
ЭМУПНР заключается в том, что трудно установить влияние геомет-
рических размеров и других конструктивных факторов на значение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. 7
электромагнитного момента. Они определенным образом влияют на
сопротивление полого ротора, а тот в свою очередь на ток, и только
используя ток и напряжение, можно рассчитать значение электромаг-
нитного момента. Этот недостаток особенно проявляется при проек-
тировании испытательного оборудования, когда необходимо иметь
явные зависимости, связывающие параметры выходной (механиче-
ской) характеристики с геометрическими и электрическими парамет-
рами самого устройства.
Преимуществом получаемых на основе теории цепей выражений
для расчета сопротивления полого немагнитного ротора является их
наглядность и простота, однако, как показывают результаты экспери-
ментов, погрешности при использовании этих выражений иногда со-
ставляют сотни процентов [53, 54], что не оправдывает их простоты.
Кроме того, формулы для расчета сопротивления полого ротора не
позволяют определить реактивные параметры ротора, которые необ-
ходимы для расчета тахогенераторов, датчиков угловых ускорений и
датчиков момента. Причиной значительных погрешностей при таком
подходе к расчету сопротивления ротора является неопределенность
картины распределения вихревых токов.
Для электромагнитных тормозов, муфт и датчиков угловых уско-
рений, подключаемых под постоянное напряжение, указанные спосо-
бы расчетов параметров трудно применить. Для них разрабатываются
другие способы, в которых используются уравнения электромагнит-
ного поля и дифференциальные величины: плотность тока J, магнит-
ная индукция В, напряженность электрического поля Е. С помощью
этих величин рассчитывают электромагнитные моменты, механиче-
ские характеристики М(п). Таким же образом можно рассчитать
устройства переменного тока.
При проектировании нагрузочно-измерительных устройств
(НИУ) электромеханические устройства с полыми роторами
(ЭМУПНР) используются чаще всего в виде электромагнитных тормо-
зов или демпферов (например, в стыковочных устройствах космиче-
ских аппаратов) и значительно реже в виде муфт, датчиков скоростей
и угловых ускорений. При испытании тихоходных двигателей иногда
используют в качестве нагрузки асинхронную машину в режиме про-
тивовключения.
В настоящее время для расчета устройств с распределенными
вторичными средами разрабатываются комбинированные методы, со-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. 8
гласно которым параметры проектируемого устройства рассчитыва-
ются по аналитическим зависимостям, а затем уточняется с помощью
конечноразностных или конечноэлементных моделей. Однако с по-
мощью 2D-конечноэлементных моделей невозможно учесть попереч-
ный краевой эффект, а разработка 3D-моделей затруднена из-за очень
высоких аппаратных требований к ЭВМ.
На основе многочисленных работ [10, 16 – 20, 43–44 и др.], по-
священных исследованию магнитогидродинамических машин, разра-
ботан метод расчета реального технического устройства. В соответ-
ствии с этим методом реальное техническое устройство заменяется
некоторой идеализированной схемой, для которой на основе теории
электромагнитного поля можно получить аналитические зависимости
для плотностей токов в роторе, магнитных индукций и электромаг-
нитного момента. Несмотря на существенное конструктивное отличие
магнитогидродинамических машин от классических электрических,
указанный метод расчета развит в более поздних работах [63–78, 82,
85 – 96 и др.] применительно к электромеханическому преобразовате-
лю с полым немагнитным ротором.
Применение современной вычислительной техники и программ-
ного обеспечения позволяет на основе уравнений теории электромаг-
нитного поля не только рассчитать электромагнитный момент рас-
сматриваемого устройства в установившемся режиме работы, но и
проанализировать распределение магнитных полей или токов в про-
странстве и во времени. При этом можно исключить допущения, при-
нятые в методах расчета электромеханических устройств, основанных
на теории электрических цепей. Именно таким образом получены и
исследованы с помощью аналитических и численных методов мате-
матические модели нагрузочно-измерительных устройств.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. 9
ГЛАВА 1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ТОРМОЗ
С ПОЛЫМ НЕМАГНИТНЫМ РОТОРОМ
Степень сложности и погрешности математической модели
определяется принятыми при ее построении допущениями и упроще-
ниями. Разумный подход и приемлемые допущения могут значительно
упростить математическую модель, практически не увеличивая при
этом погрешность расчета. Более того, во многих случаях записанные
для такой модели уравнения Максвелла можно решить и получить яв-
ные зависимости плотности тока в роторе и электромагнитного мо-
мента от геометрических размеров и других конструктивных парамет-
ров исследуемого устройства. Для этого вначале рассмотрим упро-
щенную модель тормоза, затем уточним ее с помощью поправочного
коэффициента, а также исследуем режимы работы тормоза с помощью
программы MathCAD14 и программного комплекса COMSOL Mul-
tiphysics3,4.
1.1. Упрощенная модель электромагнитного тормоза
При принятии допущений в первую очередь из рассмотрения ис-
ключаются второстепенные явления, не влияющее на электромехани-
ческие преобразования энергии. К таким явлениям можно отнести:
1) влияние механических напряжений на параметры сред;
2) анизотропию сред;
3) ЭДС Томпсона, Холла, Толмена и контактные.
Кроме того, из-за малых значений можно пренебречь следующи-
ми величинами:
1) токами проводимости в диэлектриках;
2) токами смещения и конвекционными токами в проводящих
средах.
Для упрощения математической модели электромеханического
преобразователя можно также использовать следующие, общеприня-
тые в теории электрических машин допущения:
1. Зубчатый воздушный зазор машины заменяется эквивалент-
ным гладким;
2. Радиальное поле в цилиндрической машине заменяется полем
между двумя плоскостями;
3. Магнитная проницаемость материала статора считается беско-
нечно большой (вихревые токи протекают только в роторе, влиянием
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. 10
вихревых токов в стали статора, явлением гистерезиса и насыщением
магнитной цепи пренебрегаем);
4. Магнитная индукция имеет только одну нормальную состав-
ляющую;
5. Несинусоидальные периодические величины представлены ря-
дом Фурье и анализируются для каждой гармоники в отдельности.
6. Еще одно допущение, упрощающее задачу расчета магнитного
поля и обеспечивающее выполнение четвертого допущения, заключа-
ется в замене обмотки статора, уложенной в специальные пазы и под-
ключенной под постоянное или многофазное переменное напряжение,
токовым слоем, имеющим одинаковую плотность по высоте воздуш-
ного зазора [17]. Плотность тока в этом слое определенным образом
связана с токами в обмотках статора и числом витков обмоток статора,
характеризующими распределение их в пространстве. Такая замена
используется многими авторами. Она имеет большое значение, так как
позволяет перейти от интегральных величин (ток в обмотке) к диффе-
ренциальным (плотность тока) и при необходимости обратно.
В результате упрощенная модель
электромагнитного тормоза может
быть представлена в виде двух полу-
пространств, заполненных ферромаг-
нитной средой с магнитной проницае-
мостью μ→, движущейся в зазоре
между ними со скорость v вдоль оси х
бесконечной немагнитной токопрово-
дящей полосы (рис.1). Силу торможе-
ния можно определить путем интегрирования произведения магнит-
ной индукции и плотности тока ротора по объему движущейся поло-
сы, ограниченному расстояниями: вдоль оси у – длиной ротора, вдоль
оси z расстоянием, равным зазору, вдоль оси х – расстоянием, равном
длине окружности ротора. Умножая эту силу на радиус ротора, опре-
деляют электромагнитный момент тормоза. Такая модель достаточно
широко применяется [17, 66, 85 – 96 и др.] и позволяет с учетом по-
правочных коэффициентов получать сравнительно хорошее совпаде-
ние с экспериментальными данными. В то же время она дает ясную
взаимосвязь параметров, переменных и выходных величин.
В этой модели зубчатый статор с обмоткой представлен в виде
бесконечной ферромагнитной полосы, имеющей относительную маг-
δ
J1 J2
z
x
vr
q
Рис. 1.1. Расчетная схема
АМПНР
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. 11
нитную проницаемость μ→, при этом толщина полосы не имеет зна-
чения. В зазоре распределен токовый слой, имеющий одинаковую
плотность по высоте воздушного зазора [17]. Плотность тока в этом
слое определенным образом связана с токами в обмотках статора и
числом витков обмоток статора и изменяется вдоль оси x по гармони-
ческому закону. Плотность этого тока имеет только одну y-
составляющую
xJxI
p
wk
J m
об
sinsin 11 ,
где I
p
wk
J îá
m
1 ; p – число пар полюсов;
D
p2
; D – диаметр ро-
тора; w – число витков; kоб – обмоточный коэффициент; kç –
расчетный зазор, учитывающий зубчатость статора с помощью коэф-
фициента Картера kδ.
Плотность тока ротора уменьшается в δ/q раз (ротор заполняет
весь зазор), где q – толщина ротора, т.е. J2 = cJр,
q
c .
Используя известные уравнения
21 JJHrot ; ])[(2 BvgradcEcJ ;
][1
2
BvrotcJrotHHrotrot ; HB 0 ;
2
D
v ,
,,
,,,,
1
01101
0000
x
J
zJrotJyJ
x
B
vzBvrotvByBvBzBvxv
получим уравнение для магнитной индукции
x
J
x
BD
ñ
x
B
1
002
2
2
.
Переходя к комплексной форме записи и представляя
]Im[)( )(
11
xj
meJxJ
; Bxj
meBxB
Im ,
получим уравнение, устанавливающее зависимость магнитной индук-
ции от плотности тока статора:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. 12
100
2
2
JjB
D
сjB , тогда
)1(
10
j
Jj
B
, (1.1)
где ε – магнитное число Рейнольдса (МЧР).
p
DccD
42
2
00
. (1.1, а)
Электромагнитный момент выразим через уравнение элементар-
ной электромагнитной силы f = JB, которое после интегрирования по
объему воздушного зазора и умножения на радиус ротора примет вид
)1(2
]Re[
4
2 2
2
1
22
1
êý
êý
kJlD
BJkl
D
M . (1.2)
Исследуя полученное уравнение момента на максимум, определим
критическое значение МЧР εкр и максимальное значение момента:
εкр = 1,
2
2
1
2
max
JlD
M .
Тогда относительный момент определяется по выражению
1
2
1
2
2
maxM
M
m . (1.2, а)
Зная, что критическое
значение магнитного числа
Рейнольдса равно единице,
можно определить критиче-
ское значение угловой скоро-
сти ротора
2
00
42
cD
p
cD
êð
,
тогда относительная угловая
скорость Ω’=Ω/Ωкр= ε = ε’.
Таким образом, уравнение (1.2,а) представляет собой универсаль-
ную механическую характеристику m(ε)=m(Ω’) (рис. 1.2) любого элек-
тромагнитного тормоза с полым немагнитным ротором.
Это дает возможность, используя предполагаемые размеры тормо-
за, определить МЧР по зависимости (1.1,а) и по универсальной меха-
нической характеристике определить характер зависимости M(n). Если
ε<<1, то характер зависимости M(n) практически линейный, если ε→1,
m
1 2 ε, Ω
0,8
0,6
0,4
0,2
0 0,5 1,5 2,5
Рис.1.2. Универсальная механическая
характеристика
электромагнитного тормоза
к
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. 13
то момент практически не зависит от скорости, если ε>1, то момент
убывает с увеличением скорости (что обычно нежелательно). Изменяя
величины, входящие в уравнение (1.1) можно подобрать оптимальный
характер механической характеристики тормоза.
1.2. Модель электромагнитного тормоза,
учитывающая краевые эффекты
Для учета влияния вылетов условно разобьем ротор на три обла-
сти (рис. 1.3): II – находится в рабочем зазоре между внутренним и
внешним статорами; III, IV – за пределами зазора. Плотности тока в
этих областях обозначим как J2, J3, J4, где J2 – плотность тока в рабо-
чем зазоре между статорами, а J3, J4 – плотности тока в областях вы-
летов ротора (с двух противоположных сторон).
Система уравнений Максвелла для рассматриваемых сред при
указанных условиях имеет вид [66]
;
;
;
0
21
ArotHB
Bv
t
A
gradE
EcJJHrot
(1.3)
J2
z
h2 h1
d2
J1
J4 J3
y
d1
δ
J1
vr
a
z
J2
x
Рис. 1.3. Расчетная схема электромеханического
устройства с полым немагнитным ротором
d1
y
x
II
III
IV
0
d2h2
h1
2πr
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. 14
Здесь 21,,,, JJEHB – соответственно векторы магнитной индукции,
напряженности магнитного поля, напряженности электрического по-
ля, плотность тока статора, плотность тока ротора, v – вектор линей-
ной скорости движения среды относительно избранной системы коор-
динат. Плотность тока 1J будем считать заданной, а плотность тока
ротора 2J определяется электромагнитными процессами, происходя-
щими в машине.
Подставим второе уравнение системы (1.3) в первое уравнение
этой же системы. Тогда второе уравнение можно записать в виде
Bv
t
A
gradcJHrot 1 .
Возьмем операцию rot от левой и правой частей полученного вы-
ражения:
Bvrot
t
A
rotgradrotcJrotHrotrot 1 ,
так как HHrotrot 2
, 0 gradrot , BArot , то
][][ 011
2
Hvrot
t
H
cJrotBvcrot
t
B
cJrotH .
Таким образом, уравнение для напряженности магнитного поля
будет иметь вид
][01
2
Hvrot
t
H
cJrotH . (1.4)
Возьмем операцию rot от обеих частей второго уравнения систе-
мы (1.3):
Bvrot
t
B
Erot
. (1.5)
Учитывая, что напряженность электрического поля имеет только
составляющие Ex и Ey и пренебрегая эффектом вытеснения тока в ро-
торе, раскроем левую часть уравнения (1.5):
y
E
x
E
zErot xy
0 .
Согласно принятым допущениям, индукция магнитного поля
имеет только нормальную к поверхностям статоров и ротора состав-
ляющую. При развороте электрической машины на плоскости нор-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. 15
мальная составляющая индукции превращается (с учетом выбранной
системы координат) в z-составляющую (рис. 2.1). Линейная скорость
движения среды после разворота электромеханического преобразова-
теля связана с угловой скоростью вращения ротора выражением
vxvxrv x 00 ,
где Ω – угловая скорость вращения ротора, r – радиус машины.
Второе слагаемое уравнения (1.5), при условии, что v = const,
можно упростить:
x
B
vk
x
B
vzBvrot z
0 .
Учитывая изложенное, уравнение (1.5) можно записать в виде
x
B
v
t
B
y
E
x
E xy
. (1.6)
Принимая, что магнитная индукция в зазоре машины равна сум-
ме индукций первичного (обусловленного плотностью тока статора) и
вторичного (обусловленного плотностью тока ротора) магнитных по-
лей 21 BBB , и, учитывая, что B имеет только z-составляющую,
принимаем геометрическую сумму равной алгебраической сумме
21 BBB .
Использовав закон Ома в дифференциальной форме EñJ 2 ,
преобразуем уравнение (1.6):
x
BB
v
t
BB
y
J
x
J
c
xy
2121221
, (1.7)
где γ – удельная проводимость материала ротора.
Принимая во внимание, что для плотности тока ротора J2 выпол-
няется условие непрерывности
0
22
2
y
J
x
J
Jdiv
yx
, (1.8)
продифференцируем уравнение (1.5) по x, а уравнение (1.6) по y:
2
21
2
21
2
2
2
2
2
2
x
BB
v
xt
BB
c
xy
J
x
J xy
,
02
2
2
2
2
y
J
yx
J yx
.
Затем сложим получившиеся уравнения:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. 16
2
21
2
21
2
2
2
2
2
2
2
x
BB
v
xt
BB
c
y
J
x
J yy
. (1.7,а)
Аналогичным образом продифференцируем уравнение (1.5) по x,
уравнение (1.6) по y:
yx
BB
v
yt
BB
c
y
J
yx
J xy 21
2
21
2
2
2
2
2
2
,
0
2
2
2
2
2
xy
J
x
J yx
.
Затем вычтем получившиеся уравнения:
yx
BB
v
yt
BB
c
y
J
x
J xx 21
2
21
2
2
2
2
2
2
2
(1.8,а)
Так как
x
H
yJHrot
1
011 , а J1 имеет только у-составляющую
и
x
H
y
y
H
xJHrot
2
0
2
022 , то выразим составляющие плотности
тока статора и ротора через индукцию магнитного поля:
10
11
0
1
11 ,
1
J
x
B
x
B
x
H
JJ y
; (1.9)
xx J
cy
B
y
Bc
y
H
cJ 2
022
0
2
2 ,
; (1.10)
yy J
cx
B
x
Bc
x
H
cJ 2
022
0
2
2 ,
. (1.11)
Преобразуем уравнение (1.8,а) с учетом выражения (1.10):
yx
B
v
yt
B
c
yx
B
v
yt
B
c
y
J
x
J xx 1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
;
yx
B
v
yt
B
c
x
J
v
t
J
c
y
J
x
J xxxx 1
2
1
2
2
2
2
02
2
2
2
2
2
. (1.12)
Аналогичным образом преобразуем уравнение (1.7,а) с учетом
выражения (1.11):
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. 17
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
B
v
xt
B
c
x
B
v
xt
B
c
y
J
x
J yy
;
2
1
2
1
2
22
02
2
2
2
2
2
x
B
v
xt
B
c
x
J
v
t
J
c
y
J
x
J yyyy
. (1.13)
Во многих случаях целесообразно выразить магнитную индук-
цию B1 через стороннюю плотность тока J1. Для этого воспользуемся
выражением (1.9), тогда уравнение системы (1.12) примет вид
y
J
v
yt
B
c
x
J
v
t
J
c
y
J
x
J xxxx 1
2
0
1
2
2
2
2
02
2
2
2
2
2
.
Так как 01
y
B
, то и 01
2
yt
B
. Аналогично 01
y
J
, так как yJJ 11 и
не изменяется по оси y. Следовательно, правая часть этого уравнения
равна нулю:
02
2
2
02
2
2
2
2
2
x
J
v
t
J
c
y
J
x
J xxxx . (1.14)
С учетом уравнения (1.9) перепишем второе уравнение системы
(1.13):
.
;
11
0
22
02
2
2
2
2
2
1
0
1
0
22
02
2
2
2
2
2
x
J
v
t
J
c
x
J
v
t
J
с
y
J
x
J
x
J
v
t
J
c
x
J
v
t
J
с
y
J
x
J
yyyy
yyyy
(1.15)
Система уравнений (1.14–1.15) характеризует распределение
плотности тока J2, а для плотностей токов J3, J4, можно получить ана-
логичные уравнения, учитывая, что в зоне вылетов отсутствует магни-
топровод и первичное магнитное поле. Плотности токов J3, J4, так же
как J2, будут иметь только x и y составляющие.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. 18
Для области вылета III характерны следующие выражения:
03 Erot ; 33 EJ ; 03 Jdiv ;
0
0
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
y
J
x
J
y
J
x
J
yy
xx
. (1.16)
Аналогично можно записать для области IV:
0
0
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
y
J
x
J
y
J
x
J
yy
xx
. (1.17)
Совокупность уравнений (1.14–1.17) описывают распределение
плотности тока в роторе в зависимости от геометрических размеров
активной части устройства, размеров вылетов ротора за пределы ак-
тивной части, проводимости материала ротора, скорости вращения ро-
тора. Решение полученных систем дифференциальных уравнений в
частных производных возможно, если дополнить их граничными
условиями: равенство нормальных составляющих плотности тока и
тангенциальных составляющих напряженности электрического поля
на границах зон, т. е.
.ïðèèëè;
;ïðèèëè;
2424242
1323232
hyJJEEJJ
hyJJEEJJ
xxxxyy
xxxxyy
(1.18)
Так же используют условие непрерывности плотностей тока
0
22
y
J
x
J yx ; 0
33
y
J
x
J yx
; 0
44
y
J
x
J yx (1.19)
и условие равенства нулю y-составляющих плотностей тока на краях
ротора, т.е. J3y = 0 при y = d1; 04 yJ при y = – d2.
Если исследуются переходные режимы работы устройства, то ток
в обмотках определяется не только приложенным напряжением, но и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. 19
магнитной индукцией в рабочем зазоре тормоза, наведенной изменя-
ющимся током ротора. Поэтому полученные уравнения необходимо
дополнять уравнением напряжений
;aa
a
aaa uE
dt
di
LRi (1.20)
где Ra, Rb, Lσa, Lσb – активные сопротивления и индуктивности рассе-
яния обмоток статора соответственно; l – длина машины в аксиальном
направлении;
lBdxw
dt
d
dt
d
E a
a
a
; (1.21)
Для учета механических процессов используется уравнение ди-
намики для вращательного движения
cMM
dt
d
G
, (1.22)
где G – момент инерции ротора и сочлененных с ним устройств; Mc –
момент сопротивления; M – электромагнитный момент, развиваемый
устройством. Электромагнитный момент может быть определен через
элементарную электромагнитную силу zy BJf 12 . После интегриро-
вания f по объему V воздушного зазора и умножения на радиус ротора
получим электромагнитный момент
V
zy dVBJrM 12 . (1.23)
Система уравнений (1.14–1.23) представляет собой общую мате-
матическую модель ЭМУПНР
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. 24
2
к.э
2
к.э
2
к.э
111
k
Wp
kBrpl
M
kIwkl
M 2
2
или,
4
0
2
1
2
00
,
где
rl
B
W 2
2 0
2
1 – энергия магнитного поля в рабочем зазоре
ЭМПНР.
1.4. Постоянная реакции и магнитное число Рейнольдса
Широко известный параметрический метод расчета [53–60] ис-
пользует безразмерные параметры, определяемые как отношение ре-
альных величин к сопротивлению полого ротора. В связи с тем, что
сопротивление полого ротора изменяется при изменении скорости
вращения, температуры его нагрева и, кроме того, определяется при-
ближенно, целесообразно применить иные способы расчета и иссле-
дования ЭМУПНР. Нами используется в качестве основной величины,
характеризующей интенсивность электромагнитных процессов в
ЭМУПНР магнитное число Рейнольдса (МЧР), которое также является
безразмерной величиной, но при этом связывает воедино скорость ро-
тора и другие конструктивные величины ЭМЧПНР. Через МЧР опре-
деляется другая константа – постоянная реакции Ср, устанавливающая
для каждого типа ЭМУПНР соотношение скорости ротора и основных
конструктивных параметров, при которых электромагнитный момент
достигает максимального значения.
В теории подобия широко используются безразмерные величины
(комплексы), которые получают смысл новых, характерных для рас-
сматриваемой задачи переменных. Наиболее значимые из них обозна-
чают по фамилиям выдающихся ученых – например, число Рейнольд-
са, число Прандтля и т.д. Эти величины (число Рейнольдса и т.д.) яв-
ляются критериями подобия и не являются константами, а изменяются
в широких пределах, характеризуя интенсивность процессов. В част-
ности число Рейнольдса
vL
Re в гидродинамике характеризует со-
отношение между силами инерции и силами трения в потоке жидко-
сти или газа. При этом ν – характерная для данной задачи скорость,
L– характерный линейный размер, χ – кинематическая вязкость жид-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25. 25
кости. При малых значениях числа Рейнольдса – течение жидкости
ламинарное, при больших значениях – турбулентное.
Число Рейнольдса можно также трактовать как отношение кон-
вективного переноса количества микродвижения жидкости к кондук-
тивному переносу количества микродвижения молекул (вязкое тре-
ние). Малым значениям числа Рейнольдса соответствуют медленные
течения вязких жидкостей, в уравнениях движения которых могут
быть исключены конвективные (нелинейные) члены. При больших
значениях числа Рейнольдса вблизи поверхности обтекаемых тел об-
разуется пограничный слой, вне которого движение жидкости может
рассматриваться как безвихревое, невязкое. Число Рейнольдса являет-
ся критерием подобия двух потоков вязкой жидкости, т.е. два одно-
типных течения вязкой жидкости могут быть динамически (по харак-
теру силового воздействия) подобны только тогда, когда у обоих тече-
ний равны числа Рейнольдса.
Для каждого вида течения существует критическое число Рей-
нольдса Reкр. Численное значение Reкр составляет несколько тысяч.
Так для вязкой жидкости, протекающей по длинной цилиндрической
трубе Reкр = 2300 [84].
В магнитной гидродинамике получают аналогичное число, опре-
делив отношение двух слагаемых в известном уравнении индукции
магнитного поля:
BBvrot
t
B
m
, (1.33)
где
4
2
c
m – магнитная вязкость, σ – электропроводность среды.
Магнитное число Рейнольдса определяют по формуле
m
m
vL
Re ,
аналогичной формуле из гидравлики. Однако сравнение МЧР прово-
дят по отношению к 1: Rem >> 1 или Rem << 1. При очень больших
значениях МЧР (Rem >> 1) можно пренебречь вторым слагаемым в
уравнении (1.33), представляющим собой диссипацию энергии вслед-
ствие протекания электрических токов. При этом проявляются усло-
вия «вмороженности» магнитных силовых линий в электропроводя-
щую среду, когда магнитный поток через заданную поверхность S,
ограниченную контуром, остается со временем постоянным.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26. 26
При очень малых значениях МЧР (Rem << 1) можно пренебречь
первым слагаемым в уравнении (1.33). Тогда окажется, что движение
электропроводящих жидкостей практически не влияют на магнитное
поле и другие электродинамические величины.
При исследовании электромеханических устройств с полыми не-
магнитными роторами (ЭМУПНР) также используют МЧР. Однако
смысл его и применение иное. Это число появляется автоматически
при решении уравнений идеализированных ЭМУПНР и его можно ис-
пользовать как критерий подобия. Однако физический смысл этого
числа применительно к электромеханическим устройствам с полыми
немагнитными роторами отличается от того, который имело число
Рейнольдса в гидродинамике (так как нет никаких течений, ни лами-
нарных, ни турбулентных).
Для электромагнитного тор-
моза, подключенного под посто-
янное напряжение, отсутствует по-
ток энергии со стороны статора в
ротор, поэтому определять МЧР
как отношение характерного раз-
мера к квадрату эквивалентной
глубины проникновения электро-
магнитной волны в движущуюся
среду [18] не очень оправдано. Бо-
лее оправдано определение МЧР
через отношение магнитных индукций [68], т.е.
B
B2
(1.34)
Это следует из уравнения (1.1) после некоторого преобразования
212
1010
2
10
)1(
)1(
)1(
)(
BB
JjJjJj
B
. (1.35)
Первая форма записи уравнения (1.35) позволяет построить кру-
говую диаграмму для суммарной магнитной индукции B (рис. 1.4), а
вторая и третья формы раскрывают фазовые соотношения между со-
ставляющими магнитной индукции B1 и B2. При изменении магнитно-
го числа Рейнольдса векторы В1 и В2 перемещаются по дуге окружно-
сти. Из диаграммы видно, что увеличение ε приводит к увеличению B2
и уменьшению B. При ε = 1, B2 = B и B отстает от B1 на 45о
. Численное
ε = ∞
1B
2BB
φВ
ε =1
1J
ε = 0
Рис. 1.4. Круговая диаграмма для
магнитной индукции в зазоре
электромагнитного тормоза
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
27. 27
моделирование тормоза
[69] с учетом зубчато-
сти статора (рис. 1.5)
подтверждают, что при
ε = 1 суммарная маг-
нитная индукция
уменьшилась в 2 раз
и оказалась сдвинута в
пространстве на 45о
.
Картина магнит-
ных силовых линий
электромагнитного
тормоза, представлен-
ная на рис. 1.6 для двух режимов: ε =0 и ε =1, также подтверждает
сдвиг суммарного магнитного поля в пространстве на 45о
.
Определив электромагнитный момент бесконечно длинного тор-
моза на единицу длины в виде зависимости
)1(2 2
2
10
2
JD
M
и исследовав эту зависимость на максимум [68], установили, что при
εкр = 1 электромагнитный момент достигает максимального значения.
Таким образом, применительно к идеализированным (бесконечно
длинным) электромеханическим устройствам с полыми немагнитными
Рис. 1.6. Картина магнитных силовых линий тормоза:
а – при ε = 0, б– при ε = 1
а) б)
1
2
Bn, Тл
l, м
Рис.1.5. Распределение магнитной индукции
в зазоре тормоза: 1 – при ε =0, 2 – при ε=1
0,3
0
0
0,2
0,1
–0,1
–0,2
–0,3
–0,4
0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28. 28
роторами критическое магнитное число Рейнольдса (КМЧР) опреде-
ляет такую критическую скорость ротора
aa
v
кр
кр
00
,
при которой наведенное магнитное поле ослабляет основное настоль-
ко, что дальнейшее увеличение скорости приводит к уменьшению
электромагнитного момента.
Для реальных тормозов конечных размеров из-за влияния крае-
вых эффектов максимум электромагнитного момента оказывается при
более высокой скорости, и тогда εкр > 1.
Для учета влияния краевых эффектов при симметричных и
несимметричных вылетах ротора ЭТ были получены аналитические
зависимости (1.31) для тормозного момента
2
0
ÊÝ
2
1
2
1
kBlr
Ì ,
где kкэ –коэффициент, учитывающий влияние краевого эффекта.
В частности, при симметричных вылетах ротора (1.32, а)
в
кэ
hKhh
j
k
thcth
1
1Re ,
где l – длина статора, h = l/2; Kв = lрот/l – коэффициент, учитывающий
вылет ротора за пределы ста-
тора.
Механическая характери-
стика тормоза, учитывающая
влияние краевых эффектов
(рис.1.7), отличается от меха-
нической характеристики иде-
ального (бесконечно длинного)
электромагнитного тормоза.
При этом максимальный элек-
тромагнитный момент умень-
шается и смещается в область
более высоких скоростей вращения (и магнитных чисел Рейнольдса).
Анализируя последние формулы, можно увидеть, что в обоих
формулах присутствует магнитное число Рейнольдса ε, и, следова-
Рис. 1.7. Сравнение механических ха-
рактеристик электромагнитных тормо-
зов: 1 – идеального; 2 – реального
1 2
0 0.5 1 1.5 2
0
0.25
0.5
0.75
1
M1 ( )
M ( )
( )
1
ε1 20
0
m
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
29. 29
тельно, максимальное значение электромагнитного момента будет
сложным образом связано с этим числом. Применяя эти уравнения для
типовых конструкций тормозов, имеющих различные диаметры, но
сохраняющих соотношения l/τ > 2; Kв = 1,1…1,2, установили, что
максимум электромагнитного момента получается при ε = 1,2 ± 0,03,
т.е. соотношение
à0
оказывается постоянной величиной для
различных значений параметров, входящих в это уравнение. Это поз-
воляет определять эту величину, как некоторую константу Ср, учиты-
вающую влияние краевых эффектов для геометрически подобных
конструкций. Она не может определяться как магнитное число Рей-
нольдса через отношение характерного размера к квадрату эквива-
лентной глубины проникновения плоской электромагнитной волны в
движущуюся среду [18], а также через отношение магнитной индук-
ций [66].
Эта константа имеет иной смысл, ее можно назвать постоянной
реакции Ср, которая учитывает влияние краевых эффектов и устанав-
ливает для геометрически подобных конструкций связь между кон-
структивными параметрами и критической скоростью вращения, при
которой электромагнитный момент достигает максимального значения
кр
p
va
C
0
. (1.36)
Постоянная реакции Ср практически не изменяется для геомет-
рически подобных устройств одного типа при значительном измене-
нии их параметров. Для различных конструктивных исполнений элек-
тромеханических устройств с полыми немагнитными роторами она
может иметь различные значения. В частности, для типовых кон-
струкций тормозов и датчиков угловых ускорений Ср =1,2, а для элек-
тродвигателей и тахогенераторов Ср = 2,5…3 [78]. Это позволяет ис-
пользовать ее на начальном этапе проектирования для оценки формы
механической характеристики или для выбора конструктивных пара-
метров для заданных режимов работы. Так, при проектировании элек-
тромагнитного тормоза стремятся использовать практически линей-
ный участок механической характеристики от 0 до 0,7 Ср. Этому
участку соответствует изменение МЧР от 0 до 0,84 и скорости враще-
ния от 0 до
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30. 30
2
00
84,084,0
ar
p
ar
a
Í
. (1.37)
При этом электромагнитный момент будет изменяться от 0 до
6
2
0
.
2
1 1008.1
84.01
84.0
2
Bklp
kBrlp
М эк
Н
(1.38)
Если в техническом задании на проектирование ЭТ заданы вели-
чины Mн и Ωн, то по ним определяют максимальную мощность, кото-
рая преобразуется в тепло в роторе ЭТ. Поверхность охлаждения и ра-
диус ротора определяют из условий охлаждения при соответствующей
температуре ротора и принятом отношении lc/dc ≈ 1,4…1,6. Остальные
параметры определяют из уравнений (1.37) и (1.38).
Следует иметь в виду, что при необходимости разработать неоп-
тимальный (короткий) тормоз с малым отношением l/τ постоянная ре-
акции Ср несколько увеличивается (рис.1.8). При этом влияние выле-
тов ротора начинает
сказываться сильнее.
Анализ уравнений
(1.37) и (1.38) позволяет
оценить возможности
электромагнитного тор-
моза для разных обла-
стей использования.
Так, при достаточно
больших радиусах рото-
ра электромагнитного
тормоза из-за ограни-
ченности диапазона из-
менения величин p, δ, a, γ трудно получить, а порой невозможно, мак-
симум электромагнитного момента при большом значении Ω (так как
максимум момента смещается в область малых скоростей вращения).
В то же время эта особенность может оказаться положительной для
асинхронных двигателей большой мощности, у которых желательно
иметь максимум электромагнитного момента при малых скольжениях.
Аналогичный анализ можно выполнить для датчика угловых
ускорений. Чтобы обеспечить приемлемую линейность выходной ха-
рактеристики датчика угловых ускорений необходимо обеспечить
диапазон его работы в пределах от нуля до 0,1Ср, что соответствует
Ср
1
2
1
0
Рис. 1.8. Зависимость постоянной реакции Ср
от относительных размеров ротора:
1– Kв = 1,01; 2– Kв = 1,1; 3– Kв = 1,2
l/τ
1
2
3
2 3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
31. 31
изменению МЧР от 0 до 0,12 и, следовательно, угловой скорости от 0
до
2
00
12,012,0
ar
p
ar
êð
.
Чтобы обеспечить этот диапазон изменения скорости при изме-
рении ускорения (например, при записи пуска или реверса двигателя)
необходимо применять датчик с малым радиусом ротора.
Таким образом, применение постоянной реакции Ср (или крити-
ческого магнитного числа Рейнольдса εкр ) позволяет определить вид
механической характеристики и параметры электромагнитного тормо-
за при заданных Mн и Ωн. Это значительно упрощает и ускоряет проек-
тирование электромеханических устройств с полыми немагнитными
роторами, что особенно актуально при проектировании нагрузочно-
измерительных устройств для испытания двигателей.
1.5. Влияние конструктивных параметров
на момент электромагнитного тормоза
Интересной особенностью электромагнитного тормоза с полым
ротором является то, что максимальный электромагнитный момент
тормоза определяется энергией магнитного поля в рабочем зазоре.
Чем больше объем зазора (т.е. r, l, δ), а также магнитная индукция В и
число полюсов р, тем больше максимальный электромагнитный мо-
мент
0
.
2
max
2
экkBrpl
M . (1.39)
Отметим, что толщина ротора и его удельная электропровод-
ность не влияют на максимальный момент, но влияют на критическую
скорость, т. е. при ее увеличении максимум электромагнитного мо-
мента смещается в зону более низких скоростей.
Влияние зазора δ на максимальный момент тормоза зависит от
того, что можно сохранить неизменным – магнитную индукцию в за-
зоре или ток в обмотке возбуждения. Если ток в обмотке индуктора
считается неизменным (так, при использовании статора асинхронного
двигателя в качестве индуктора), тогда увеличение зазора приводит к
уменьшению магнитной индукции и электромагнитного момента. При
этом максимальный момент определяется следующим уравнением:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32. 32
,
)(22 2
0
2
10
3
max
r
mwIlr
p
Jlr
M так как .1
r
mwI
J
Если можно создать неизменное значение магнитной индукции
(оно определяется предельным значением магнитной индукции из-за
насыщения отдельных участков магнитопровода), то увеличение зазо-
ра приведет к увеличению максимального электромагнитного момента
в соответствии с уравнением (1.39).
Следует обратить
внимание на то, что радиус
ротора по-разному влияет
на максимальный электро-
магнитный момент и кри-
тическую скорость враще-
ния. Увеличение радиуса
приводит к увеличению
максимального электромаг-
нитного момента и умень-
шению критической скоро-
сти. При этом получается
квадратичная зависимость электромагнитного момента тормоза от ра-
диуса ротора из-за того, что длина ротора обычно связана линейной
зависимостью с его радиусом (оптимальное соотношение l=(2,8…3) r).
На рис. 1.9 приведены на одном координатном поле графики за-
висимости максимального электромагнитного момента и критической
скорости от радиуса ротора при следующих типовых конструктивных
параметрах: l=3rр, δ = 0,1r, а=0,5δ, γ = 2,6·107
см/м, р = 2.
Анализ представленных графиков показывает, что электромаг-
нитный тормоз имеет ограниченную область работы (заштрихована на
рис. 1.10). Оказывается невозможно создать электромагнитным тормо-
зом с полым немагнитным ротором при скорости вращения 300 рад/с
В
Рис. 1.10. Области работы электромагнитного тормоза
М
Ри
с.
2.
5.
Ка
рт
ин
а
ма
гн
ит
н
ы
х
си
ло
в
М
М
Т
n nn1 n2
М2
М1
1 2
3
П
кр,с-1
Ммах
0
Р
ис
.
2.
5.
К
ар
ти
на
м
аг
н
ит
н
ы
х
си
ло
в
ы
х
л
и
н
и
й
то
р
м
оз
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
100
200
300
20
40
60
Ммах,
Нм
кр
r, м
Рис. 1.9. Зависимость максимального
электромагнитного момента и крити-
ческой скорости от радиуса тормоза
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
33. 33
тормозной момент более 60 Н·м. С другой стороны, при радиусах ро-
тора меньше 2 см любой тормоз будет иметь практически линейную
зависимость электромагнитного момента от скорости вращения (в
распространенном диапазоне скоростей 0…300 рад/с), так как эти ско-
рости значительно меньше критической скорости.
Другое ограничение области работы электромагнитного тормоза
возникает при использовании его в качестве нагрузочного устройства
при испытании двигателей. В технических заданиях обычно задают
область работы тормоза в виде прямоугольника (от Mmin до Mmax и от
nmin до nmax). В реальной конструкции тормоза область его работы на
координатном поле М – п представляет собой криволинейную фигуру
(рис.1.10). Сверху она ограничена максимально возможной механиче-
ской характеристикой (линия М) справа (линия Т) – допустимой рас-
сеиваемой мощностью (из условий охлаждения) и в некоторых случа-
ях пределом прочности ротора (линия П) при максимальной скорости
вращения, а снизу – наличием неучитываемых вентиляционных по-
терь из-за трения ротора о воздух (линия В).
При проектировании нагрузочно-измерительного устройства его
область работы должна совпадать с областью работы тормоза, т. е.
прямоугольник должен быть вписан в криволинейную фигуру
(рис.1.10, б). Три характерных точки используются при расчете элек-
тромагнитного тормоза: точка 1 – для расчета механической характе-
ристики, точка 2 – для теплового расчета, точка 3 –для расчета венти-
ляционных потерь. Каждая из этих точек может быть названа основ-
ной, в соответствии с чем определяется алгоритм расчета тормоза.
1.6. Электромагнитные демпферы
с продольными прорезями полого ротора
Для гашения кинетической энергии движущихся масс в электро-
приводах и других системах устанавливаются электромагнитные
демпфирующие устройства, которые являются промежуточным зве-
ном системы. Среди требований, предъявляемых к ним, наиболее зна-
чимыми являются быстрота действия и малая инерционность подвиж-
ных частей.
Для получения максимального отношения электромагнитного
момента к моменту инерции ротора, т.е. добротности демпфера, полу-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
34. 34
чены соответствующие формулы применительно к цилиндрическому
[96], дисковому [64] и коническому [89, 92, 93] роторам.
Одним из способов увеличения электромагнитного момента
ЭМУПНР является применение полых роторов с продольными проре-
зями, которые уменьшают растекание токов в поперечном направле-
нии. Многие авторы исследовали такие ЭМУПНР [1-4, 64, 91].
В работе [4] исследовались рациональные соотношения между
размерами в перфорированном полом роторе асинхронной микрома-
шины. Были установлены оптимальные соотношения между длиной
вылета гильзы ротора и длиной окон, а также определены длины окон
в материале ротора. Показано, что число окон целесообразно выби-
рать достаточно близким к числу зубцов статора, а ширину окна – ми-
нимально возможной.
Подобный подход был применен
рядом авторов [85–96] при исследовании
электромагнитных демпферов.
В работе [86, 91] исследовались
электромагнитные демпферы с продоль-
ными прорезями (рис 1.11). Для плотно-
стей токов в активной зоне были полу-
чены на основе теории электромагнит-
ного поля следующие уравнения:
)sin(
)ch(
)sh(
1
10 xb
a
ó
CHJ k
k
k
kk
k
j
j
x
;
xj
k
k
k
kk
k
у ejxb
a
у
C
j
j
HJ
)cos(
)ch(
)ch(
1 1
0 .
Используя эти уравнения, определили тормозной момент
a
a
BC
j
Rе
ab
aR
H
M
k
k
kkk
k
)th(12
1
2
2
2 1
2
2
00
,
где а – длина паза, lb – вылет ротора за паз, b – расстояние между па-
зами, R – радиус ротора,
Рис. 1.11. Расчетная схема
демпфера с продольными
прорезями ротора
x
x
ylb
2a
b
l
∆
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
35. 35
aajj
b
k
kkkkk /,),1(, 22222
, ajkk 22
,
)()(
)(
1 Bkkkk
b
k
lcthath
lcth
C
.
1при
2
1
2
1
1при
1
)1(1
2
k
abj
k
k
jabk
k
e
jab
e
A
1при
2
1при
)1(
)]cos()1(1[1
2
k
k
k
k
k
k
jk
ab
ab
B
При этом магнитное число Рейнольдса определялось по уравнению
dk2
0
,
где , – угловая скорость вращения, kd – коэффициент при-
ведения, учитывающий влияние пазов и насыщения. Полученные
уравнения позволили установить, что выполнение демпферов с акси-
альными прорезями на роторе увеличивает электромагнитный момент.
При увеличении числа прорезей максимальный электромагнитный
момент тормоза увеличивается и смещается в сторону малых частот.
1.7. Переходные режимы работы электромагнитного тормоза
Непосредственное решение полученных систем дифференциаль-
ных уравнений (1.24), содержащих частные производные, затрудни-
тельно, поэтому преобразуем эти системы к виду, удобному для их
решения с помощью ЭВМ. После преобразований эти системы долж-
ны содержать только обыкновенные дифференциальные уравнения,
разрешенные относительно производной и дополненные начальными
условиями.
В электромагнитном тормозе с полым немагнитным ротором ис-
пользуется только одна обмотка возбуждения, поэтому выражение для
плотности тока статора будет иметь вид
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
![ББК 31.21
Потапов, Л. А. Моделирование нагрузочно-измерительных
устройств с полыми немагнитными роторами [Текст]+[Электронный
ресурс]: монография/ Л.А.Потапов, М.Л. Потапов, И.Л. Симонов. –
Брянск: БГТУ, 2010. – 116 с.
ISBN-978–5-89838-520-0
Представлены математические модели, разработанные на основе
теории электромагнитного поля, приведены примеры моделирования с
помощью программы MathCAD 14 и программного комплекса COM-
SOL Multiphysics 3.4 электромеханических устройств с полыми немаг-
нитными роторами (электромагнитные тормозы и демпферы, асин-
хронные двигатели, тахогенераторы и датчики угловых ускорений).
Рассмотрена их реализация в качестве нагрузочно-измерительных
устройств для испытания электродвигателей.
Монография предназначена для инженерно-технических работ-
ников, связанных с разработкой нагрузочно-измерительных устройств
для испытания двигателей и может быть использована студентами
электротехнических специальностей вузов при выполнении курсового
и дипломного проектов.
Ил.120. Библиогр. – 124 назв.
Научный редактор В.П. Маклаков
Рецензенты: кафедра «Энергетика и автоматизация производст-
венных процессов» Брянской государственной ин-
женерно- технологической академии;
кандидат технических наук Н. И. Ушев
Редактор издательства Л.Н. Мажугина
Компьютерный набор Н.А.Синицына
Темплан 2010 г.,48
Подписано в печать 19.10.10. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Офсетная
печать. Усл. печ.л. 6,74 Уч.-изд.л. 6,74 Тираж 500 экз. Заказ
Брянский государственный технический университет
241035, Брянск, бульвар им. 50-летия Октября,7, тел. 58-82-49
Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская,16
ISBN 978–5-89838-520-0 © Брянский государственный
технический университет, 2010
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)