Bài tập tích phân- nguyên hàm.Xem thêm luyện thi tại đây http://tuyensinh247.com/?gclid=CLLljL-XwMQCFQhvvAodloMAMQ

1. I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ
BẢN:
1.
1
3
0
( 1)x x dx+ +∫ 2.
2
2
1
1 1
( )
e
x x dx
x x
+ + +∫
2.
3
1
2x dx−∫ 3.
2
1
1x dx+∫
4.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx
π
π
+ +∫ 5.
1
0
( )x
e x dx+∫
6.
1
3
0
( )x x x dx+∫ 7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx+ − +∫
8.
2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx
x
π
π
+ +∫ 9.
1
2
0
( 1)x
e x dx+ +∫
10.
2
2 3
1
( )x x x x dx+ +∫ 11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx− + +∫
1.
3
3
1
x 1 dx( ).
−
+∫ 13.
2
2
2
-1
x.dx
x +∫
14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x
− −
∫ 15.
x 2
5
2
dx
x 2+ + −
∫
16.
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln
+
+∫ 17.
2 3
3
6
x dx
x
cos .
sin
π
π
∫
18.
4
2
0
tgx dx
x
.
cos
π
∫ 19.
1 x x
x x
0
e e
e e
dx
−
−
−
+∫
20.
1 x
x x
0
e dx
e e
.
−
+
∫ 21.
2
2
1
dx
4x 8x+
∫
22.
3
x x
0
dx
e e
ln
.
−
+∫ 22.
2
0
dx
1 xsin
π
+∫
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫ 2.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫

2. 3.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+∫ 3.
4
0
tgxdx
π
∫
4.
4
6
cot gxdx
π
π
∫ 5.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+∫
6.
1
2
0
1x x dx+∫ 7.
1
2
0
1x x dx−∫
8.
1
3 2
0
1x x dx+∫ 9.
1 2
3
0 1
x
dx
x +
∫
10.
1
3 2
0
1x x dx−∫ 11.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
12.
1
2
0
1
1
dx
x+∫ 13.
1
2
1
1
2 2
dx
x x−
+ +∫
14.
1
2
0
1
1
dx
x +
∫ 15.
1
2 2
0
1
(1 3 )
dx
x+∫
16.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫ 17.
2
4
sincosx
e xdx
π
π
∫
18.
2
1
2
0
x
e xdx+
∫ 19.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
20.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫ 21.
2
4
sincosx
e xdx
π
π
∫
22.
2
1
2
0
x
e xdx+
∫ 23.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
24.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫ 25.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+∫
26.
4
0
tgxdx
π
∫ 27.
4
6
cot gxdx
π
π
∫

3. 28.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+∫ 29.
1
2
0
1x x dx+∫
30.
1
2
0
1x x dx−∫ 31.
1
3 2
0
1x x dx+∫
32.
1 2
3
0 1
x
dx
x +
∫ 33.
1
3 2
0
1x x dx−∫
34.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫ 35.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x∫ 37.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
38.
2ln 1
1
e x
e
dx
x
+
∫ 39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫
40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+∫ 41.
2
1 1 1
x
dx
x+ −
∫
42.
1
0 2 1
x
dx
x +
∫ 43.
1
0
1x x dx+∫
44.
1
0
1
1
dx
x x+ +
∫ 45.
1
0
1
1
dx
x x+ −
∫
46.
3
1
1x
dx
x
+
∫ 46.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
47.
1
sin(ln )
e
x
dx
x∫ 48.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
49.
2ln 1
1
e x
e
dx
x
+
∫ 50.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫
51.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+∫ 52.
1
2 3
0
5+
∫x x dx
53. ( )
2
4
0
sin 1 cos+
∫ x xdx
π
54.
4
2
0
4 x dx−
∫
55.
4
2
0
4 x dx−
∫ 56.
1
2
0
1
dx
x+∫
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

4. Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
x d u x v x v x u x dx= −∫ ∫
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin
( )
ax
ax
f x cosax dx
e
β
α
 
 
 
  
∫
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
= = 
 
    
⇒    
= =    
    
    
∫
@ Dạng 2: ( )ln( )f x ax dx
β
α
∫
Đặt
ln( )
( )
( )
dx
duu ax
x
dv f x dx
v f x dx

== 
⇒ 
=  =
 ∫
@ Dạng 3:
sin
.
 
 
 
∫
ax
ax
e dx
cosax
β
α
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1 2
2
0
( 1)
x
x e
dx
x +∫ đặt
2
2
( 1)
x
u x e
dx
dv
x
 =


= +
b/
3 8
4 3
2
( 1)
x dx
x −∫ đặt
5
3
4 3
( 1)
u x
x dx
dv
x
 =


= −
c/
1 1 1 12 2 2
1 22 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
+ −
= = − = −
+ + + +∫ ∫ ∫ ∫
Tính I1
1
2
0
1
dx
x
=
+∫ bằng phương pháp đổi biến số
Tính I2 =
1 2
2 2
0
(1 )
x dx
x+∫ bằng phương pháp từng phần : đặt
2 2
(1 )
u x
x
dv dx
x
=


= +
Bài tập

5. 1.
3
3
1
ln
e
x
dx
x∫ 2.
1
ln
e
x xdx∫
3.
1
2
0
ln( 1)x x dx+∫ 4.
2
1
ln
e
x xdx∫
5.
3
3
1
ln
e
x
dx
x∫ 6.
1
ln
e
x xdx∫
7.
1
2
0
ln( 1)x x dx+∫ 8.
2
1
ln
e
x xdx∫
9.
2
0
( osx)sinxx c dx
π
+∫ 10.
1
1
( )ln
e
x xdx
x
+∫
11.
2
2
1
ln( )x x dx+∫ 12.
3
2
4
tanx xdx
π
π
∫
13.
2
5
1
ln x
dx
x∫ 14.
2
0
cosx xdx
π
∫
15.
1
0
x
xe dx
∫ 16.
2
0
cosx
e xdx
π
∫
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1. ∫ +−
−
5
3
2
23
12
dx
xx
x
2. ∫ ++
b
a
dx
bxax ))((
1
3. ∫ +
++
1
0
3
1
1
dx
x
xx
4. dx
x
xx
∫ +
++
1
0
2
3
1
1
5. ∫ +
1
0
3
2
)13(
dx
x
x
6. ∫ ++
1
0
22
)3()2(
1
dx
xx
7. ∫ +
−
2
1
2008
2008
)1(
1
dx
xx
x
8. ∫− +−
++−
0
1
2
23
23
9962
dx
xx
xxx
9. ∫ −
3
2
22
4
)1(
dx
x
x
10. ∫ +
−1
0
2
32
)1(
dx
x
x
n
n
11. ∫ ++
−
2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx
x
12. ∫ +
2
1
4
)1(
1
dx
xx

6. 13. ∫ +
2
0
2
4
1
dx
x
14. ∫ +
1
0
4
1
dx
x
x
15. dx
xx∫ +−
2
0
2
22
1
16. ∫ +
1
0
32
)1(
dx
x
x
17. ∫ +−
4
2
23
2
1
dx
xxx
18. ∫ +−
++
3
2
3
2
23
333
dx
xx
xx
19. ∫ +
−
2
1
4
2
1
1
dx
x
x
20. ∫ +
1
0
3
1
1
dx
x
21. ∫ +
+++
1
0
6
456
1
2
dx
x
xxx
22. ∫ +
−
1
0
2
4
1
2
dx
x
x
23.
∫ +
+
1
0
6
4
1
1
dx
x
x 24.
1
2
0
4 11
5 6
x
dx
x x
+
+ +∫
25.
1
2
0
1
dx
x x+ +∫ 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1. xdxx 4
2
0
2
cossin∫
π
2.
∫
2
0
32
cossin
π
xdxx
3. dxxx∫
2
0
54
cossin
π
4.
∫ +
2
0
33
)cos(sin
π
dxx
5.
∫ +
2
0
44
)cos(sin2cos
π
dxxxx 6.
∫ −−
2
0
22
)coscossinsin2(
π
dxxxxx
7. ∫
2
3
sin
1
π
π
dx
x
8.
∫ −+
2
0
441010
)sincoscos(sin
π
dxxxxx
9.
∫ −
2
0
cos2
π
x
dx 10.
∫ +
2
0
sin2
1
π
dx
x

7. 11.
∫ +
2
0
2
3
cos1
sin
π
dx
x
x 12. ∫
3
6
4
cos.sin
π
π xx
dx
13.
∫ −+
4
0
22
coscossin2sin
π
xxxx
dx 14.
∫ +
2
0
cos1
cos
π
dx
x
x
15.
∫ −
2
0
cos2
cos
π
dx
x
x 16.
∫ +
2
0
sin2
sin
π
dx
x
x
17.
∫ +
2
0
3
cos1
cos
π
dx
x
x 18.
∫ ++
2
0
1cossin
1
π
dx
xx
19. ∫ −
2
3
2
)cos1(
cos
π
π x
xdx
20. ∫
−
++
+−2
2
3cos2sin
1cossin
π
π
dx
xx
xx
21.
∫
4
0
3
π
xdxtg 22. dxxg∫
4
6
3
cot
π
π
23. ∫
3
4
4
π
π
xdxtg 24.
∫ +
4
0
1
1
π
dx
tgx
25. ∫
+
4
0 )
4
cos(cos
π
π
xx
dx
26.
∫ ++
++2
0
5cos5sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
27. ∫ +
π2
0
sin1 dxx 28.
∫ ++
4
0 13cos3sin2
π
xx
dx
29.
∫ +
4
0
4
3
cos1
sin4
π
dx
x
x 30.
∫ +
++2
0
cossin
2sin2cos1
π
dx
xx
xx
31.
∫ +
2
0
cos1
3sin
π
dx
x
x 32. ∫ −
2
4
sin2sin
π
π xx
dx
33.
∫
4
0
2
3
cos
sin
π
dx
x
x 34.
∫ +
2
0
32
)sin1(2sin
π
dxxx

8. 35. ∫
π
0
sincos dxxx 36. ∫
−3
4
3
3 3
sin
sinsin
π
π
dx
xtgx
xx
37.
∫ ++
2
0
cossin1
π
xx
dx 38.
∫ +
2
0
1sin2
π
x
dx
39. ∫
2
4
53
sincos
π
π
xdxx 40.
∫ +
4
0
2
cos1
4sin
π
x
xdx
41.
∫ +
2
0
3sin5
π
x
dx 2. ∫
6
6
4
cossin
π
π xx
dx
43. ∫
+
3
6
)
6
sin(sin
π
π
π
xx
dx
4. ∫
+
3
4
)
4
cos(sin
π
π
π
xx
dx
45. ∫
3
4
6
2
cos
sin
π
π x
xdx
46. dxxtgxtg )
6
(
3
6
π
π
π
∫ +
47.
∫ +
3
0
3
)cos(sin
sin4
π
xx
xdx 48. ∫
−
+
0
2
2
)sin2(
2sin
π x
x
49.
∫
2
0
3
sin
π
dxx 50.
∫
2
0
2
cos
π
xdxx
51.
∫
+
2
0
12
.2sin
π
dxex x 52. dxe
x
x x
∫ +
+2
0
cos1
sin1
π
53. ∫ +
4
6
2cot
4sin3sin
π
π
dx
xgtgx
xx
54.
∫ +−
2
0
2
6sin5sin
2sin
π
xx
xdx
55. ∫
2
1
)cos(ln dxx 56. ∫
3
6
2
cos
)ln(sin
π
π
dx
x
x
57. dxxx∫ −
2
0
2
cos)12(
π
58. ∫
π
0
2
cossin xdxxx

9. 59.
∫
4
0
2
π
xdxxtg 60. ∫
π
0
22
sin xdxe x
61.
∫
2
0
3sin
cossin
2
π
xdxxe x 62.
∫ +
4
0
)1ln(
π
dxtgx
63.
∫ +
4
0
2
)cos2(sin
π
xx
dx 64.
∫ −+
−2
0
2
)cos2)(sin1(
cos)sin1(
π
dx
xx
xx
65.
2
2
sin 2 sin 7
−
∫ x xdx
π
π
66.
2
4 4
0
cos (sin cos )+
∫ x x x dx
π
67.
2
3
0
4sin
1 cos+∫
x
dx
x
π
68.
69. 70.
71. 72.
73. 74.
75. 76.
77. 78.
79. 80.
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
∫
b
a
dxxfxR ))(,( Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
+) R(x,
xa
xa
+
−
) §Æt x = a cos2t, t ]
2
;0[
π
∈
+) R(x, 22
xa − ) §Æt x = ta sin hoÆc x = ta cos
+) R(x, n
dcx
bax
+
+
) §Æt t = n
dcx
bax
+
+
+) R(x, f(x)) = γβα +++ xxbax 2
)(
1
Víi ( γβα ++ xx2
)’ =
k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t = γβα ++ xx2
, hoÆc ®Æt t =
bax +
1
+) R(x, 22
xa + ) §Æt x = tgta , t ]
2
;
2
[
ππ
−∈

10. +) R(x, 22
ax − ) §Æt x =
x
a
cos
, t }
2
{];0[
π
π∈
+) R( )1 2 in n n
x x x; ;...; Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni)
§Æt x = tk
1. ∫ +
32
5
2
4xx
dx
2. ∫ −
2
3
2
2
1xx
dx
3. ∫
−
+++
2
1
2
1
2
5124)32( xxx
dx
4. ∫ +
2
1
3
1xx
dx
5. ∫ +
2
1
2
2008dxx 6. ∫ +
2
1
2
2008x
dx
7. ∫ +
1
0
22
1 dxxx 8. ∫ −
1
0
32
)1( dxx
9. ∫ +
+
3
1
22
2
1
1
dx
xx
x
10. ∫ −
+2
2
0
1
1
dx
x
x
11. ∫ +
1
0
32
)1( x
dx
12. ∫ −
2
2
0
32
)1( x
dx
13. ∫ +
1
0
2
1 dxx 14. ∫ −
2
2
0
2
2
1 x
dxx
15. ∫ +
2
0 2cos7
cos
π
x
xdx 16. ∫ −
2
0
2
coscossin
π
dxxxx
17. ∫ +
2
0
2
cos2
cos
π
x
xdx 18. ∫ +
+2
0 cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
19. ∫ +
7
0
3 2
3
1 x
dxx
20. ∫ −
3
0
23
10 dxxx
21. ∫ +
1
0 12x
xdx
22. ∫ ++
1
0
2
3
1xx
dxx
23. ∫ ++
7
2 112x
dx
24. dxxx∫ +
1
0
815
31
25.
∫ −
2
0
56 3
cossincos1
π
xdxxx
26.
∫ +
3ln
0 1x
e
dx

11. 27. ∫− +++
1
1
2
11 xx
dx
28. ∫ +
2ln
0
2
1x
x
e
dxe
29. ∫ −−
1
4
5
2
8412 dxxx
30. ∫
+
e
dx
x
xx
1
lnln31
31. ∫ +
+
3
0
2
35
1
dx
x
xx
32. dxxxx∫ +−
4
0
23
2
33. ∫−
++
0
1
32
)1( dxxex x
34. ∫ +
3ln
2ln
2
1ln
ln
dx
xx
x
35.
∫
+3
0
2
2
cos
32
cos
2cosπ
dx
x
tgx
x
x
36. ∫ +
2ln
0
3
)1( x
x
e
dxe
37. ∫ +
3
0 2cos2
cos
π
x
xdx 38. ∫ +
2
0
2
cos1
cos
π
x
xdx
39. dx
x
x
∫ +
+
7
0
3
3
2
40. ∫ +
a
dxax
2
0
22
VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã:
∫∫ −+=
−
aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(
VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [- 2
3
;
2
3 ππ
] tháa m·n f(x) + f(-x) =
x2cos22 − ,
TÝnh: ∫
−
2
3
2
3
)(
π
π
dxxf
+) TÝnh ∫− +
+
1
1
2
4
1
sin
dx
x
xx
Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã: ∫−
a
a
dxxf )( =
0.
VÝ dô: TÝnh: ∫−
++
1
1
2
)1ln( dxxx ∫
−
++
2
2
2
)1ln(cos
π
π
dxxxx

12. Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:
∫−
a
a
dxxf )( = 2 ∫
a
dxxf
0
)(
VÝ dô: TÝnh ∫− +−
1
1
24
1xx
dxx
2
2
2
cos
4 sin
−
+
−∫
x x
dx
x
π
π
Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:
∫∫ =
+−
aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(
(1≠ b>0, ∀a)
VÝ dô: TÝnh: ∫− +
+
3
3
2
21
1
dx
x
x ∫
−
+
2
2
1
5cos3sinsin
π
π
dx
e
xxx
x
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; 2
π
], th× ∫∫ =
2
0
2
0
)(cos)(sin
ππ
dxxfxf
VÝ dô: TÝnh ∫ +
2
0
20092009
2009
cossin
sin
π
dx
xx
x
∫ +
2
0 cossin
sin
π
dx
xx
x
Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã:
∫∫ =
ππ
π
00
)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf
VÝ dô: TÝnh ∫ +
π
0
sin1
dx
x
x
∫ +
π
0
cos2
sin
dx
x
xx
Bµi to¸n 6: ∫∫ =−+
b
a
b
a
dxxfdxxbaf )()( ⇒ ∫∫ =−
bb
dxxfdxxbf
00
)()(
VÝ dô: TÝnh ∫ +
π
0
2
cos1
sin
dx
x
xx
∫ +
4
0
)1ln(4sin
π
dxtgxx
Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×:
∫∫ =
+ TTa
a
dxxfdxxf
0
)()( ⇒
∫∫ =
TnT
dxxfndxxf
00
)()(
VÝ dô: TÝnh ∫ −
π2008
0
2cos1 dxx
C¸c bµi tËp ¸p dông:

13. 1. ∫− +
−
1
1
2
21
1
dx
x
x 2. ∫
−
+−+−4
4
4
357
cos
1
π
π
dx
x
xxxx
3. ∫− ++
1
1
2
)1)(1( xe
dx
x 4. ∫
−
−
+2
2
2
sin4
cos
π
π
dx
x
xx
5. ∫
−
+
−2
1
2
1
)
1
1
ln(2cos dx
x
x
x 6. dxnx)xsin(sin
2
0
∫ +
π
7. ∫
− +
2
2
5
cos1
sin
π
π
dx
x
x
8. 1
)1(1
cot
1
2
1
2
=
+
+
+ ∫∫
ga
e
tga
e
xx
dx
x
xdx
(tga>0)
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1. ∫−
−
3
3
2
1dxx 2. ∫ +−
2
0
2
34 dxxx
3. ∫ −
2
0
2
dxxx ∫ −
1
0
dxmxx 4. ∫
−
2
2
sin
π
π
dxx
5. ∫−
−
π
π
dxxsin1 6. ∫ −+
3
6
22
2cot
π
π
dxxgxtg
7. ∫
4
3
4
2sin
π
π
dxx 8. ∫ +
π2
0
cos1 dxx
9. ∫−
−−+
5
2
)22( dxxx 10. ∫ −
3
0
42 dxx
11. ∫
−
−
3
2
3
coscoscos
π
π
dxxxx 12.
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1
, trục hoành , đường thẳng x = -2 và
đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex
+1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường
thẳng x = 1

14. c/ Đồ thị hàm số y = x3
- 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường
thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
π
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1
, trục hoành , đường thẳng x = -2 và
đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex
+1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường
thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3
- 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường
thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
π
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY