Logaritamske jednacine i_nejednacine

15,810 views

Published on

1 Comment
4 Likes
Statistics
Notes
  • Jelena hvala puno na ovim skriptama. Srce si, ljubim te...cao.
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
No Downloads
Views
Total views
15,810
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
174
Comments
1
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Logaritamske jednacine i_nejednacine

  1. 1. www.matematiranje.com LOGARITAMSKE JEDNAČINE I NEJEDNAČINEPre nego što krenete u reševanje jednačine savetujemo vam da se podsetite pravila zalogaritme.1) Rešiti jednačine: a) log 3 (2 x + 3) = 2 b) log 4 (3 x + 4) = 3 1 c) log 3x + 1 = 2Rešenje:a) log 3 (2 x + 3) = 2 → Iskoristićemo definiciju log A B = ⊗ ⇔ B = A⊗Dakle: 2 x + 3 = 32 2x + 3 > 0 2x + 3 = 9 uz uslov 2 x > −3 2x = 6 3 x=3 x>− 2 3Pošto je 3 > − , rešenje x = 3 je ‘’dobro’’ 2b) log 4 (3 x + 4) = 3 → Opet po definiciji 3 x + 4 = 43 3x + 4 > 0 3x + 4 = 64 uslov 3x > −4 3x = 60 4 x = 20 x>− 3Rešenje zadovoljava uslov!!! 1v) log 3x + 1 = → Primetimo da nema osnova, pa dopišemo 10 po dogovoru,. 2 1
  2. 2. www.matematiranje.com 1 log10 3x + 1 = 2 1 3x + 1 > 0 3 x + 1 = 10 2 uz uslov 3x + 1 > 0 3 x + 1 = 10....... /() 2 kvadriramo 3x = 9 1 x>− x=3 3 1 3 > − , dobro je rešenje. 32) Rešiti jednačine: a) log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 2) = 2 b) log( x 2 + 19) − log( x − 8) = 2 v) log(5 − x) + 2 log 3 − x = 1Rešenja:a) Iskoristićemo log a x + log a y = log a ( xy) log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 2) = 2 log 2 ( x − 1)( x + 2) = 2 → Uslovi x − 1 > 0 i x + 2 > 0 x > 1 i x > −2Dalje po definiciji: ( x − 1)( x + 2) = 2 2 x 2 + 2x − x − 2 = 4 x2 + x − 6 = 0 −1± 5 x1, 2 = 2 x1 = 2 x 2 = −3Dalje se pitamo da li rešenja zadovoljavaju uslove: x > 1 i x > −2 x ∈ (1, ∞ ) x1 = 2 → Zadovoljava x2 = −3 → Ne zadovoljavaDakle, jedino rešenje je x = 2 2
  3. 3. www.matematiranje.comb) log( x 2 + 19) − log( x − 8) = 2Dopišemo najpre osnovu 10 log10 ( x 2 + 19) − log10 ( x − 8) = 2 xPošto je log a x − log a y = log a y x 2 + 19 log10 = 2 naravno uz uslove: x 2 + 19 > 0 i x − 8 > 0 x −8 x>8 x + 19 2 = 10 2 x −8 x 2 + 19 = 100 x −8 x 2 + 19 = 100( x − 8) x 2 + 19 = 100 x − 800 x 2 − 100 x + 819 = 0 100 ± 82 x1, 2 = 2 x1 = 91 x2 = 9Oba rešenja ‘’dobra’’ jer su veća od 8v)log(5 − x) + 2 log 3 − x = 1 2log(5 − x) + log 3 − x = 1log(5 − x) + log(3 − x) = 1Uslovi su: 5− x > 0 3− x > 0 − x > −5 i − x > −3 x<5 x<3Dakle uslov je x < 3 3
  4. 4. www.matematiranje.com (5 − x)(3 − x) = 101 15 − 5 x − 3 x + x 2 − 10 = 0 x 2 − 8x + 5 = 0 8 ± 44 8 ± 2 11 2(4 ± 11) x1, 2 = = = = 4 ± 11 2 2 2 x1 = 4 + 11 ≈ 7,32 x 2 = 4 − 11 ≈ 0,68x1 = 4 + 11 ne zadovoljava uslov, pa je jedino rešenje: x = 4 − 113) Rešiti jednačine: a) log 2 x − 3 log x + 2 = 0 5 b) log 2 x + log x 2 = 2Rešenja:a) Uvodimo smenu log x = t uz uslov x > 0 log 2 x − 3 log x + 2 = 0 t 2 − 3t + 2 = 0 3 ±1 t1, 2 = 2 t1 = 2 t2 = 1Vratimo se u smenu log10 x = 2 i log10 x = 1 x = 10 2 x = 101 x = 100 x = 10 5 1b) log 2 x + log x 2 = kako je log a b = 2 log b a 1 5 log 2 x + = → Uvodimo smenu log 2 x = t uz uslove x > 0 i x ≠ 1 log 2 x 2 1 5 t + = → Sve pomnožimo sa 2t t 2 4
  5. 5. www.matematiranje.com 2t 2 + 2 = 5t 2t 2 − 5t + 2 = 0 5±3 t1, 2 = 4 t1 = 2 1 t2 = 2 1Vratimo se u smenu : log 2 x = 2 ili log 2 x = 2 x = 22 1 x=4 x=2 2 x= 24) Rešiti jednačine: a) log 2 x + log 4 x + log16 x = 7 2 b) log 3 x ⋅ log 9 x ⋅ log 27 x ⋅ log 81 x = 3Rešenje: U oba primera ćemo koristiti da je: 1 log a S x = log a x Sa) log 2 x + log 4 x + log16 x = 7 uslov x>0 log 2 x + log 22 x + log 24 x = 7 1 1 log 2 x + log 2 x + log 2 x = 7 /⋅ 4 2 4 4 log 2 x + 2 log 2 x + 1log 2 x = 28 7 log 2 x = 28 log 2 x = 4 x = 2 4 ⇒ x = 16 5
  6. 6. www.matematiranje.comb) 2 log 3 x ⋅ log 9 x ⋅ log 27 x ⋅ log 81 x = 3 2 log 3 x ⋅ log 32 x ⋅ log 33 x ⋅ log 34 x = 3 1 1 1 2 log 3 x ⋅ log 3 x ⋅ log 3 x ⋅ log 3 x = 2 3 4 3 1 2 log 3 x = 4 24 3 log 3 x = 16 ⇒ log 3 x = t 4 t 4 − 16 = 0 ⇒ (t 2 ) 2 − 4 2 = (t 2 − 4)(t 2 + 4) = 0 (t − 2)(t + 2)(t 2 + 4) = 0 odavde je t=2 ili t=-2Kada se vratimo u smenu log 3 x = 2 v log 3 x = −2 x=3 2 x = 3− 2 x=9 v 1 x= 95)Rešiti jednačine: a) log 5 (4 x − 6) − log 5 (2 x − 2) = 2 b) log(7 − 2 x ) − log(5 + 4 x ) + log 7 = 0 Rešenjaa) log 5 (4 x − 6) − log 5 (2 x − 2) = 2 xKako je log a x − log a y = log a y 6
  7. 7. www.matematiranje.com 4x − 6 log =2 5 2x − 2 4x − 6 2 = 5 2 −2 x 4 x − 6 = 5(2 x − 2) 4 x − 6 = 5 ⋅ 2 x − 10 4 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0 ⇒ smena 2 x = t t 2 − 5t + 4 = 0 5±3 t1, 2 = 2 t1 = 4 t2 = 1 2x = 4 2x = 1 ili 2 x = 22 x=0 x=2Ovde je najbolje da proverimo rešenja u početnoj jednačini→ x=2 je jedino rešenjeb) log(7 − 2 x ) − log(5 + 4 x ) + log 7 = 0 log10 (7 − 2 x ) − log10 (5 + 4 x ) + log10 7 = 0 log10 (7 − 2 x ) ⋅ 7 = log10 (5 + 4 x )............... / ANTILOGARITMOVANJE (7 − 2 x ) ⋅ 7 = 5 + 4 x 49 − 7 ⋅ 2 x = 5 + 4 x 49 − 7 ⋅ 2 x − 5 − 4 x = 0 −4 x − 7 ⋅ 2 x + 44 = 0 / (−1) 4 x + 7 ⋅ 2 x − 44 = 0...................................smena 2 x = t t 2 + 7t − 44 = 0 −7 ± 15 t1,2 = 2 t1 = 4 t2 = −11 7
  8. 8. www.matematiranje.comVratimo se u smenu: 2x = 4 ili 2 x = −11 nema rešenja 2 x = 22 x=2Uslovi su 7 − 2 x > 0 i 5 + 4 x > 0 a rešenje je x=2 ih očigledno zadovoljava6) Rešiti jednačine: a) x1+ log3 x = 3x b) x log 4 x − 2 = 23(log 4 x −1)Ovo je tip zadataka gde moramo logaritmovati obe strane za odgovarajuću osnovu!!!a) x1+ log3 x = 3x................ / log 3 log 3 x1+ log3 x = log 3 3x važi log a b n = n log a b (1 + log 3 x) log 3 x = log 3 3 + log 3 x............ ⇒ smena log 3 x = t (1 + t ) ⋅ t = 1 + t t + t2 = 1+ t t 2 = 1 − t + t ⇒ t 2 = 1 ⇒ t = ±1Vratimo se u smenu: log 3 x = 1 ili log 3 x = −1 x = 31 ili x = 3−1 1 x=3 ili x= 3b) x log4 x − 2 = 23(log4 x −1) → logaritmijemo za osnovu 4 log 4 x log4 x − 2 = log 4 23(log 4 x −1) (log 4 x − 2) log 4 x = 3(log 4 x − 1) log 4 2 (log 4 x − 2) log 4 x = 3(log 4 x − 1) log 22 2 1 (log 4 x − 2) log 4 x = 3(log 4 x − 1) ⋅ 2Smena log 4 x = t : 8
  9. 9. www.matematiranje.com 3 (t − 2) ⋅ t = (t − 1) 2 2t (t − 2) = 3(t − 1) 2t 2 − 4t = 3t − 3 2t 2 − 4t − 3t + 3 = 0 2t 2 − 7t + 3 = 0 7±5 t1, 2 = 4 t1 = 3 1 t2 = 2Dakle: 1 log 4 x = 3 ili log 4 x = 2 1 x = 43 ili x = 42 x = 64 ili x=2Za logaritamske nejednačine koristimo iste ‘’trikove’’ kao za jednačine, ali vodimoračuna: 1) Kad je osnova veća od 1 (a>1) prepisujemo znak nejednakosti jer je funkcija rastuća. 2) Kaj je osnova izmedju 0 i 1 (0<a<1) okrećemo znak nejednakosti jer je tada funkcija opadajuća.Kad postavimo uslove tj. oblast definisanosti, nadjemo i rešimo nejednačinu, trebamonaći njihov presek.1) Reši nejednačine: a) log 2 (3 x + 4) ≥ 0 b) log 1 (4 x − 3) < 0 2 v) log 2 (3x − 5) < 1Rešenje: 9
  10. 10. www.matematiranje.coma) log 2 (3 x + 4) ≥ 0 uslov 3x + 4 > 0 3x + 4 ≥ 2 o 3 x > −4 3x + 4 ≥ 1 4 x>− 3x ≥ −3 3 x ≥ −1 ne okrećemo znak jer je osnova veća od 1Sad upakujemo rešenje i oblast definisanosti.Konačno: x ∈ [− 1, ∞ )b) log 1 (4 x − 3) < 0 uslov: 4x − 3 > 0 2 4x > 3PAZI: Okrećemo znak!!! 3 x> o 4 ⎛1⎞ 4x − 3 > ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 4x − 3 > 1 4x > 4 x >1Upakujemo ova dva:Konačno: x ∈ (1, ∞) 10
  11. 11. www.matematiranje.comv) log 2 (3 x − 5) < 1 uslov 3x − 5 > 0 3 x − 5 < 21 3x > 5 3x − 5 < 2 5 x> 3x < 7 3 7 x< 3 ⎛5 7⎞ x∈⎜ , ⎟ ⎝3 3⎠2) Rešiti nejednačine: a) log( x − 2) > log x b) log 0,5 (2 x + 6) > log 0,5 ( x + 8)Rešenja:a) log( x − 2) > log x uslovi: x−2 >0 i x >0 x−2 > x x>2 i x>0 x−x >2 Dakle x > 2 0x > 2Ovo nema rešenja, pa cela nejednačina nema rešenja!!!b) log 0,5 (2 x + 6) > log 0,5 ( x + 8) PAZI:Okreće se smer Uslovi: 2x + 6 < x + 8 2x + 6 > 0 ∧ x + 8 > 0 2x − x < 8 − 6 x > −3 ∧ x > −8 x<2 Uslovi daju : x > −3 11
  12. 12. www.matematiranje.comUpakujemo: x ∈ (−3,2) konačno rešenje3) Rešiti jednačine: a) log 3 ( x 2 − 5 x + 6) < 0 b) log 0,5 ( x 2 − 4 x + 3) ≥ −3a) log 3 ( x 2 − 5 x + 6) < 0 uslov x 2 − 5 x + 6 > 0 5 ±1 x1, 2 = x 2 − 5 x + 6 < 3o 2 x2 − 5x + 6 < 1 x1 = 3 x2 − 5x + 5 < 0 x2 = 2 5± 5 x1,2 = 2 5+ 5 x ∈ ( −∞,2) ∪ (3, ∞ ) Rešenje uslova x1 = ≈ 3, 62 2 5− 5 x2 = ≈ 1,38 2 ⎛5− 5 5+ 5 ⎞x∈⎜ ⎟ ⎜ 2 , 2 ⎟ rešenje zadatka konačno rešenje dobijemo kad upakujemo ova dva ⎝ ⎠ Dakle: Dakle: ⎛5− 5 ⎞ ⎛ 5+ 5 ⎞ x ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ,2 ⎟ ∪ ⎜ 3, 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 12
  13. 13. www.matematiranje.comb) log 0,5 ( x 2 − 4 x + 3) ≥ −3 uslov: x2 − 4x + 3 > 0 x 2 − 4 x + 3 ≤ (0,5) −3 4±2 x1, 2 = −3 2 ⎛1⎞ x2 − 4 x + 3 ≤ ⎜ ⎟ x1 = 3 ⎝2⎠ x2 = 1 x − 4 x + 3 ≤ 23 2 x2 − 4 x + 3 ≤ 8 x2 − 4 x + 3 − 8 ≤ 0 x2 − 4 x − 5 ≤ 0 4±6 x1,2 = 2 x1 = 5 x2 = −1 x ∈ [− 1,5]Upakujemo rešenja: x ∈ [− 1,1) ∪ (3,5] Konačno 13

×