Estudi del camp gravitatori per a alumnes de 2n de Batxillerat

1. U N I T A T 2 : E L C A M P G R A V I T A T O R I
C o n s u e l o B a t a l l a G a r c í a
I N S Va l l d e m o s s a
B a r c e l o n a
Física 2n de Batxillerat

2. 1 . - C o n c e p t e d e c a m p
2 . - C a m p g r a v i t a t o r i c r e a t p e r m a s s e s p u n t u a l s
3 . - R e p r e s e n t a c i ó d e l c a m p g r a v i t a t o r i
4 . - C a m p c r e a t p e r u n a d i s t r i b u c i ó c o n t í n u a d e
m a s s a
5 . - M o v i m e n t d e l s p l a n e t e s i d e l s s a t è l · l i t s
A d r e c e s w e b
B i b l i o g ra f i a
Índex

3. C a m p : r e g i ó d e l ’ e s p a i e n q u è s ’ a p r e c i a l ’ e f e c t e
d ’ u n a p e r t o r b a c i ó .
S e g o n s e l t i p u s d e l a m a g n i t u d q u e d e f i n e i x l a
p e r t o r b a c i ó e l s c a m p s p o d e n s e r :
• E s c a l a r s : l a m a g n i t u d q u e m e s u r a l a p e r t o r b a c i ó
é s e s c a l a r . P e r e x e m p l e , u n c a m p d e t e m p e r a t u r e s
o d e p r e s s i o n s .
• V e c t o r i a l s : l a m a g n i t u d q u e m e s u r a l a
p e r t o r b a c i ó é s v e c t o r i a l . P e r e x e m p l e , u n c a m p d e
f o r c e s g r a v i t a t ò r i e s o e l è c t r i q u e s .
Concepte de camp

4. C a m p g r a v i t a t o r i : r e g i ó d e l ’ e s p a i e n q u è s ’ a p r e c i a l a
p e r t o r b a c i ó p r o v o c a d a p e r l a m a s s a d ’ u n c o s .
P e r q u è e l c a m p e s p o s i d e m a n i f e s t , c a l q u e s ’ i n t r o d u e i x i
e n e l c a m p u n a l t r e c o s a m b m a s s a . L a i n t e r a c c i ó q u e
s ’ o r i g i n a é s u n a f o r ç a d ’ a t r a c c i ó g r a v i t a t ò r i a e n t r e e l
c o s q u e c r e a e l c a m p i e l q u e h i i n t r o d u ï m .
Camp gravitatori creat per
masses puntuals

5. C a m p c r e a t p e r u n c o s p u n t u a l d e m a s s a M
C a m p c r e a t p e r u n a d i s t r i b u c i ó d e m a s s e s p u n t u a l s
Intensitat del camp gravitatori en un punt
Intensitat del camp gravitatori en un punt, , és la força que el
cos M exerceix sobre el cos de massa unitat que es col·loca en
aquest punt:
La intensitat del camp gravitatori en un punt és la suma
vectorial dels camps que crearien cadascuna d’aquestes
masses si estiguéssim soles en aquesta regió de l’espai
(principi de superposició).
2
2
r
G
r
GMm
uF GMrg g u
m m r

  
2
i
Total i ri
i i i
GM
g g u
r
 

6. E l t r e b a l l q u e f a n l e s f o r c e s d e l c a m p g r a v i t a t o r i d e p è n d e l p u n t i n i c i a l i d e l
p u n t f i n a l d e l d e s p l a ç a m e n t , n o d e l a t r a j e c t ò r i a
s e g u i d a . É s u n c a m p c o n s e r v a t i u .
Treball causat per les forces gravitatòries
• El treball de les forces del camp gravitatori al llarg d’una trajectòria
tancada és zero.
• Si rf < ri → Wi→f > 0. El treball de les forces del camp gravitatori és
positiu quan el cos que es desplaça s’acosta al que crea el camp.
• Si rf > ri → Wi→f < 0. El treball de les forces del camp gravitatori és
negatiu quan el cos que es desplaça s’allunya del que crea el camp.
2 2
f f f
r
i f
i i i
GMm u GMm
W F dr dr dr
r r
  
2
1 1 1f
i f
i
f i f i
GMm GMm
W GMm dr GMm
r r r r r
i f
f i
GMm GMm
W
r r

7. L ’ e n e r g i a p o t e n c i a l g r a v i t a t ò r i a , E p , : e n e r g i a q u e t é u n a m a s s a p e l
f e t d e t r o b a r - s e s o t a l a i n f l u è n c i a g r a v i t a t ò r i a d ’ u n a a l t r a o d ’ u n e s
a l t r e s . T a m b é e s d e f i n e i x c o m e l t r e b a l l q u e h a n d e f e r l e s f o r c e s d e l
c a m p p e r p o r t a r - l a d e s d ’ a q u e s t p u n t f i n s a f o r a d e l c a m p a m b
v e l o c i t a t c o n s t a n t :
É s u n a m a g n i t u d e s c a l a r . E n e l S I e s m e s u r a e n J o u l e s ( J ) .
Energia potencial gravitatòria
conservativos p i f pf pi
f i
GMm GMm
W E W E E
r r
p
GMm
E
r

8. Q u a n t e n i m u n s i s t e m a f o r m a t p e r d u e s p a r t í c u l e s , e l v a l o r d e l a s e v a
e n e r g i a p o t e n c i a l é s :
S i t e n i m u n s i s t e m a f o r m a t p e r n p a r t í c u l e s , l a s e v a e n e r g i a s e r à l a
s u m a d e l ’ e n e r g i a d e t o t e s l e s p a r e l l e s q u e h i p o d e m f o r m a r :
Energia potencial d’un sistema de partícules
1 2
1,2
1,2
p
GM M
E
r
1 2 1 3 2 3
t 1,2 1,3 2,3
1,2 1,3 2,3
p p p
GM M GM M GM M
E E E E
r r r

9. Q u a n u n c o s d e m a s s a m e s d e s p l a ç a d ’ u n p u n t a u n a l t r e p u n t d e l
c a m p g r a v i t a t o r i c r e a t p e r u n a m a s s a M , l a s e v a e n e r g i a p o t e n c i a l
v a r i a s e g o n s l ’ e x p r e s s i ó :
Diferència d’energia potencial
pf pi
f i
GMm GMm
E E
r r
Si el cos de massa m s’acosta al cos que crea el camp (ri > rf):
• El treball que fan les forces del camp és positiu.
• El cos perd energia potencial.
Si el cos de massa m s’allunya del cos que crea el camp (ri < rf):
• El treball que fan les forces del camp és negatiu. Cal una força exterior perquè es produeixi
el desplaçament.
• El cos guanya energia potencial.

10. Q u a n u n s i s t e m a e s t à s o t m è s n o m é s a l ’ a c c i ó d e f o r c e s c o n s e r v a t i v e s ,
l a s e v a e n e r g i a m e c à n i c a e s c o n s e r v a :
Conservació de l’energia mecànica
en un camp gravitatori
M cf pf Ci piE E E E E

11. P o t e n c i a l e n u n p u n t ( V ) é s l ’ e n e r g i a p o t e n c i a l q u e t é l a u n i t a t d e
m a s s a q u a n e s c o l · l o c a e n a q u e s t p u n t :
E l p o t e n c i a l é s u n a m a g n i t u d e s c a l a r j a q u e e n c a d a p u n t d e l c a m p ,
e l p o t e n c i a l t é u n v a l o r . L a s e v a u n i t a t e n e l s i s t e m a i n t e r n a c i o n a l e s
J / k g .
E l p o t e n c i a l a l ’ i n f i n i t ( f o r a d e l c a m p ) é s z e r o , i e n q u a l s e v o l a l t r e
p u n t d e l c a m p é s n e g a t i u , j a q u e l a f o r ç a g r a v i t a t ò r i a é s a t r a c t i v a .
Potencial gravitatori en un punt
p
GMm
E GMrV
m m r

12. Q u a n e n u n a r e g i ó d e t e r m i n a d a d e l ’ e s p a i s ’ a p r e c i a l ’ e f e c t e d e
d i v e r s o s p u n t s m a t e r i a l s d e m a s s a M 1 , M 2 , M 3 , e t c . , e l p o t e n c i a l
g r a v i t a t o r i e n u n p u n t P é s l a s u m a d e l s p o t e n c i a l s q u e c r e a r i e n
c a d a s c u n d ’ a q u e s t s c o s s o s s i e s t i g u e s s i n t o t s s o l s e n a q u e s t a r e g i ó d e
l ’ e s p a i ( p r i n c i p i d e s u p e r p o s i c i ó ) .
C o m q u e e l p o t e n c i a l é s u n e s c a l a r , e l p o t e n c i a l t o t a l é s l a s u m a
e s c a l a r d e l s p o t e n c i a l s c r e a t s p e r c a d a p u n t m a t e r i a l :
Potencial en un punt causat per una distribució
de masses puntuals
i
Total i
i i i
GM
V V
r

13. C o n s i d e r a n t d o s p u n t s d ’ u n c a m p g r a v i t a t o r i , i i f , l a d i f e r è n c i a d e
p o t e n c i a l e n t r e t o t s d o s , v f − v i , é s :
L a d i f e r è n c i a d e p o t e n c i a l g r a v i t a t o r i e n t r e d o s p u n t s é s i g u a l i d e
s i g n e c o n t r a r i a l t r e b a l l q u e f a n l e s f o r c e s d e l c a m p p e r t r a s l l a d a r l a
u n i t a t d e m a s s a e n t r e a q u e s t s p u n t s :
• S i r i > r f , Δ V < 0 . E n a c o s t a r - s e a l c o s q u e c r e a e l c a m p , e l
p o t e n c i a l d i s m i n u e i x .
• S i r i < r f , Δ V > 0 . E n a l l u n y a r - s e d e l c o s q u e c r e a e l c a m p , e l
p o t e n c i a l a u g m e n t a .
Diferència de potencial
f i
f i
GM GM
V V V V
r r
i fW
V
m

14. E l c a m p g r a v i t a t o r i e s p o t r e p r e s e n t a r g r à f i c a m e n t
d e d u e s m a n e r e s :
• L í n i e s d e c a m p .
• S u p e r f í c i e s e q u i p o t e n c i a l s .
Representació del camp
gravitatori

15. L e s l í n i e s d e c a m p s ó n t a n g e n t s a l v e c t o r i n t e n s i t a t d e c a m p e n c a d a p u n t .
E s d i b u i x e n d e m a n e r a q u e e l n o m b r e d e l í n i e s d e c a m p q u e t r a v e s s e n u n a
u n i t a t d e s u p e r f í c i e p e r p e n d i c u l a r a l e s l í n i e s é s p r o p o r c i o n a l a l a
i n t e n s i t a t d e l c a m p e n e l p u n t .
• S i e l c a m p é s c r e a t p e r u n a ú n i c a m a s s a p u n t u a l , l e s l í n i e s d e
c a m p t e n e n d i r e c c i ó r a d i a l i s e n t i t c a p a l c o s q u e c r e a e l c a m p .
• E n u n c a m p c r e a t p e r d u e s m a s s e s , a l a z o n a i n t e r m è d i a l e s
l í n i e s e s d e f o r m e n . H i h a u n p u n t e n t r e l e s m a s s e s
o n e l c a m p é s n u l : s i l e s m a s s e s s ó n i g u a l s , e l p u n t
e s t r o b a a l m i g d e l e s d u e s m a s s e s , p e r ò s i u n a d e
l e s m a s s e s é s m é s g r a n q u e l ’ a l t r a , e l p u n t e s t à m é s
p r ò x i m a l c o s d e m a s s a m e n o r .
L e s l í n i e s d e c a m p n o e s p o d e n e n c r e u a r j a q u e s i d u e s
l í n i e s d e c a m p s ’ e n c r e u e s s i n , e n e l p u n t d e t a l l h i h a u r i a
d o s v a l o r s d ’ i n t e n s i t a t d e l c a m p g r a v i t a t o r i ,
Línies de camp

16. S u p e r f í c i e s e q u i p o t e n c i a l s : r e g i o n s d e l ’ e s p a i e n q u è e l p o t e n c i a l
g r a v i t a t o r i t é e l m a t e i x v a l o r . P r t a n t , e l t r e b a l l n e c e s s a r i p e r d e s p l a ç a r
u n a m a s s a d ’ u n p u n t d ’ u n a s u p e r f í c i e e q u i p o t e n c i a l a u n a l t r e é s n u l :
W i → f = - ( E p f - E p i ) = - ( m ⋅ V f - m ⋅ V i ) = 0
• L e s s u p e r f í c i e s e q u i p o t e n c i a l s n o e s p o d e n t a l l a r . S i h o f e s s i n , e l p u n t
d e t a l l h a u r i a d e t e n i r d o s v a l o r s d e p o t e n c i a l .
• L e s s u p e r f í c i e s e q u i p o t e n c i a l s s ó n p e r p e n d i c u l a r s
a l e s l í n i e s d e c a m p .
Superfícies equipotencials

17. C a m p g r a v i t a t o r i t e r r e s t r e :
• P e r a u n p u n t i n t e r i o r a l a T e r r a ( r < R ) :
D e n s i t a t , ρ = M ’ / V
V o l u m d ’ u n a e s f e r a ,
i →
P e r t a n t :
• P e r a u n p u n t e x t e r i o r a l a T e r r a ( r ’ > R ) :
Camp creat per una distribució
contínua de massa
T
2
'
r
M
g G u
r
 

18. 1 . - S a t è l · l i t s q u e o r b i t e n l a t e r r a
V e l o c i t a t o r b i t a l
P e r í o d e d e r e v o l u c i ó
S a t è l · l i t s g e o e s t a c i o n a r i s
2 . - E n e r g i a d e l s s a t è l · l i t s
V e l o c i t a t d e l l a n ç a m e n t p e r p o s a r e n ò r b i t a u n
s a t è l · l i t .
E n e r g i a n e c e s s à r i a p e r e n v i a r u n s a t è l · l i t d ’ u n a
ò r b i t a a u n a a l t r a
V e l o c i t a t d ’ e s c a p a m e n t
Moviment dels planetes i dels
satèl·lits

19. V e l o c i t a t o r b i t a l
S u p o s a n t q u e l ’ ò r b i t a é s c i r c u l a r , q u a n u n s a t è l · l i t g i r a a u n a
a l t u r a h s o b r e l a s u p e r f í c i e d e l a T e r r a ,
• v : v e l o c i t a t o r b i t a l d e l c o s q u e g i r a .
• M T : m a s s a d e l a T e r r a
.
• R T : r a d i d e l a T e r r a ( 6 . 3 7 0 k m ) .
• r : r a d i d e l ’ ò r b i t a q u e d e s c r i u , r = R T + h ,
o n h é s l ’ a l t u r a a l a q u a l e s t à s i t u a t p e r s o b r e d e l a
s u p e r f í c i e d e l a t e r r a .
Satèl·lits que orbiten la terra
2
2
T s s
C G
M m m v
F F G
r r
T T
T
G M G M
v
r R h

20. P e r í o d e d e r e v o l u c i ó
E l p e r í o d e d ’ u n s a t è l · l i t q u e o r b i t a a u n a a l t u r a h é s :
Satèl·lits que orbiten la terra
2
2
2
s sT T
C G
M m Mm v
F F G v G
r rr
2
2 2 2 2
2
2 4; TGM
v r v r r
T rT
2 32 3 4 ( )4 T
T T
R hrT
G M G M

21. S a t è l · l i t g e o e s t a c i o n a r i o g e o s í n c r o n : o r b i t e n a l v o l t a n t d e l a
T e r r a m a n t e n i n t - s e s e m p r e e n u n m a t e i x p u n t ; p e r t a n t , e l s e u
p e r í o d e d e r e v o l u c i ó h a d e s e r e l m a t e i x q u e e l d e l a T e r r a ( 2 3 , 9 8 h ) i
h a d ’ o r b i t a r e n e l p l a d e l ’ e q u a d o r t e r r e s t r e .
S u s t i t u i n t l e s d a d e s G , M T i T = 2 3 , 9 8 h , o b t e n i m : r =
A l t u r a a l a q u a l o r b i t a s o b r e l a s u p e r f í c i e t e r r e s t r e :
Satèl·lits que orbiten la terra
22 3
3
2
4
4
T
T
T G MrT r
G M

22. E n e r g i a m e c à n i c a :
E n u n s a t è l · l i t e n ò r b i t a : →
A i x ò e n s p e r m e t o b t e n i r u n a f o r m a m é s s i m p l i f i c a d a p e r a
l a s e v a E M :
Energia dels satèl·lits
21
2pM C
GMmE E E m v
r
G CF F
2
2
2
M m v M mG m G m v
r rr
1 1
2 2M M
GMm GMm GMmE E
r r r

23. V e l o c i t a t d e l l a n ç a m e n t p e r p o s a r e n ò r b i t a u n s a t è l · l i t
A p l i c a c i ó d e l p r i n c i p i d e c o n s e r v a c i ó d e l ’ e n e r g i a :
E n l a p o s i c i ó 2 :
R e l a c i o n a n t l e s e q u a c i o n s a n t e r i o r s :
P e r t a n t , l a v e l o c i t a t d e l l a n ç a m e n t n e c e s s à r i a p e r p o s a r u n s a t è l · l i t e n
ò r b i t a é s :
Energia dels satèl·lits
1 2 1 1 2 2M M C p C pE E E E E E
2 2
1 2
1 1
2 2T
GMm GMm
mv mv
R r
2
22
22C G
m vM m GM
F F G v
r r r
2 2
1 1
1 1 1
2
2 2 2T T
GM GM GM GM GM
v v
R r r R r
1
1 1
2
2T
v GM
R r

24. E n e r g i a n e c e s s à r i a p e r e n v i a r u n s a t è l · l i t d ’ u n a ò r b i t a a u n a
a l t r a
E n e r g i a d ’ u n s a t è l · l i t e n u n a ò r b i t a :
L ’ e n e r g i a n e c e s s à r i a p e r p a s s a r d ’ u n a ò r b i t a d e r a d i r 1 a u n a a l t r a
d e r a d i r 2 , s i r 1 < r 2 é s :
Energia dels satèl·lits
21 1
2 2
M C p
GMm GMm
E E E m v
r r
2 1
2 1
1 1
2 2
GMm GMm
E E E
r r
1 2
1 1 1
2
E GMm
r r

25. V e l o c i t a t d ’ e s c a p a m e n t
V e l o c i t a t d ' e s c a p a m e n t é s l a m í n i m a v e l o c i t a t a m b q u e s ’ h a d e l l a n ç a r u n
c o s v e r t i c a l m e n t c a p a m u n t , d e s d e l a s u p e r f í c i e d ' u n p l a n e t a , p e r t a l q u e
e s c a p i d e l ' a t r a c c i ó g r a v i t a t ò r i a d e l p l a n e t a .
E n e r g i a t o t a l d ’ u n s a t è l · l i t q u e e s t à o r b i t a n t :
E l s a t è l · l i t s u r t d e l c a m p g r a v i t a t o r i q u a n r → ∞ , e l q u e f a q u e E M = 0 .
E n e l p u n t d e l l a n ç a m e n t c a l d r à c o m u n i c a r - l i u n a v e l o c i t a t q u e f a c i q u e :
R e o r d e n a n t l ’ e x p r e s i ó a n t e r i o r :
Energia dels satèl·lits
M
1
2
GMm
E
r
21
0
2
M C p
GMm
E E E m v
r
escapament 2
GM
v
r

26. Adreces web
1. ÒRBITES DE PROJECTILS I SATÈL·LITS
http://www.colegioheidelberg.com/deps/fisicaq
uimica/applets/Orbitas%20de%20Proyectiles%2
0y%20satelites/projectileOrbit.html
Inclou un interessant applet que permet simular el
llançament tant de projectils com de satèl·lits des de la
superfície de la Terra.
2. CAMPS VECTORIALS
http://www.falstad.com/vector3d
Permet visualitzar camps vectorials de característiques
diferents: lineals, radials, etc.
3. LA CONSTANT DE LA GRAVITACIÓ UNIVERSAL
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/
constante/constante.htm
En aquesta pàgina es descriu amb detall l’experiència
realitzada per Cavendish i es proposa una experiència
virtual amb l'objectiu de determinar el valor de G.
4. GRAVITACIÓ
http://www.xtec.es/~ocasella/applets/gravita/
alumne2.html
Permet col·locar un o diversos planetes i visualitzar-ne
les línies de força, les superfícies equipotencials en dues i
en tres dimensions.
5. ÒRBITES DE TRANSFERÈNCIA
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste/
kepler3/kepler3.html
Les òrbites de transferència de Hohman es fan servir per
llançar sondes i naus espacials des d’un planeta cap a un
altre. L’objectiu és triar el moment del llançament i la
velocitat per estalviar combustible.
6. LLANÇAMENT DE SATÈL·LITS
http://www.mcasco.com/p1aso.html
Inclou un applet per situar un satèl·lit sobre la Terra i
llançarlo amb una velocitat inicial.

27. B a t a l l a G a r c í a , C . ; V i d a l F e r n á n d e z , M . C . ( 2 0 0 8 ) .
F í s i c a 2 . B a r c e l o n a : G r u p P r o m o t o r S a n t i l l a n a
Bibliografia