1. משרד החינוך
מתמטיקה
ba
5 יחידות לימוד — שאלון ראשון
הוראות לנבחן
.w
ww
מדינת ישראל
סוג הבחינה:
מועד הבחינה:
מספר השאלון:
נספח:
א. בגרות לבתי ספר על־יסודיים
ב. בגרות לנבחנים אקסטרניים
קיץ תשע"ב, 2102
608530, 613
דפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד
א.
משך הבחינה: שלוש שעות וחצי.
ב.
מבנה השאלון ומפתח ההערכה: בשאלון זה שלושה פרקים.
—
—
פרק ראשון — אלגברה והסתברות
— גאומטריה וטריגונומטריה
פרק שני
2
— 2# 3 61 —
במישור
1
3 33 נקודות
gr
2
2# 3 61
2
הוראות מיוחדות:
(1) אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד.
(2) התחל כל שאלה בעמוד חדש. רשום במחברת את שלבי הפתרון, גם כאשר
החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון.
הסבר את כל פעולותיך, כולל חישובים, בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת.
חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה.
(3) לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים.
שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה.
ne
nli
ד.
1
— 2# 3 61 — 3 33 נקודות
פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
סה"כ — 001 נקודות
חומר עזר מותר בשימוש:
(1) מחשבון לא גרפי. אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות.
שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה.
(2) דפי נוסחאות (מצורפים).
uto
ג.
1
3 33 נקודות
.i
.co
ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד.
בהצלחה!
/המשך מעבר לדף/
2. .w
ww
-2-
מתמטיקה, קיץ תשע"ב, מס' 608530, 613 + נספח
השאלות
שים לב! הסבר את כל פעולותיך, כולל חישובים, בפירוט ובצורה ברורה.
חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה.
פרק ראשון — אלגברה והסתברות
1
( 3 33 נקודות)
ענה על שתיים מהשאלות 1-3 (לכל שאלה — 2 61 נקודות).
3
שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך.
1
הזמן שהצינור הזרים את המים, כולל ההפסקה, זהה לזמן שהיה נדרש לצינור, לו היה מזרים
ּ
03 מ"ק מים בלי הפסקה בקצב שלפני ההגברה.
gr
ba
1 .
צינור הזרים לברכה 01 מ"ק מים בקצב קבוע. לאחר הפסקה של 3 שעה הוגבר קצב ההזרמה
ֵ
של הצינור ב־ 3 מ"ק לשעה. בקצב המוגבר הזרים הצינור עוד 02 מ"ק מים.
א.
חשב כמה זמן הזרים הצינור את המים עד ההפסקה.
ב.
1
uto
נתון גם כי הצינור ממלא 3 מנפח ברכה ריקה ב־ 81 שעות, כאשר הוא מזרים מים בקצב
ֵ
שלפני ההגברה.
שני צינורות מזרימים יחד מים לברכה הריקה באותו קצב. קצב זה קטן מהקצב המוגבר של
הצינור הנתון וגדול מהקצב שלפני ההגברה.
ונתונה סדרה המוגדרת לפי כלל הנסיגה:
א.
ne
נתונה סדרה המוגדרת לפי כלל הנסיגה:
nli
2.
באיזה תחום שעות יהיה הזמן שבו שני הצינורות ימלאו את הברכה?
הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת כי לכל nטבעי מתקיים:
5 = 1b
3 + bn + 1 = bn
*
1
1
1
1
n
)2 + a1 $ b1 + a2 $ b2 + a3 $ b3 + ... + a n $ b n = 2 (3n
הראה כי הסכום:
.co
ב.
2 = 1a
3 + an + 1 = an
*
1
1
1
1
a n + 1 $ b n + 1 + a n + 2 $ b n + 2 + a n + 3 $ b n + 3 + ... + a2n $ b2n
.i
n
. a
שווה ל־
1 + n + 1 $ a2n
/המשך בעמוד 3/
3. 3.
א .
.w
ww
-3-
מתמטיקה, קיץ תשע"ב, מס' 608530, 613 + נספח
מחלקים 2 כדורים לבנים וכדור 1 שחור בין שני כדים.
בכל כד חייב להיות לפחות כדור אחד.
בוחרים באקראי כד ומוציאים ממנו כדור אחד.
מצא באיזה אופן צריך לחלק את הכדורים בין שני הכדים, כדי שהסיכוי להוציא כדור לבן
ב.
בכד אחד יש 5 כדורים: 2 לבנים ו־ 3 שחורים.
(1) מוציאים באקראי 5 פעמים כדור מהכד עם החזרה (בכל פעם מחזירים לכד את
הכדור שהוצא).
מהי ההסתברות להוציא בדיוק פעמיים כדור לבן?
ba
(2) מוציאים באקראי 6 פעמים כדור מהכד עם החזרה.
מהי ההסתברות להוציא בדיוק 3 פעמים כדור לבן כך שהכדור הלבן השלישי יוּצא
הערה: אין קשר בין סעיף א לסעיף ב.
uto
בפעם השישית?
gr
יהיה הגדול ביותר.
פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה במישור
1
( 3 33 נקודות)
ענה על שתיים מהשאלות 4-6 (לכל שאלה — 2 61 נקודות).
3
4.
nli
שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך.
A
נתון כי במשולש AEFחוצה־זווית EAF
Dהיא נקודת ההשקה של הצלע EF
למעגל, החותך את הצלעות AEו־ AF
בנקודות Bו־ Cבהתאמה.
המעגל עובר גם דרך קדקוד ( Aראה ציור).
הוכח:
א.
. BC z EF
ב.
. 3ABD + 3DCF
ג.
. AD $ BD = DF $ AB
.i
.co
ne
הוא . AD
C
F
B
D
E
המשך בעמוד 4/
4. -4-
.w
ww
מתמטיקה, קיץ תשע"ב, מס' 608530, 613 + נספח
5.
נתונה מקבילית . ABCD
Eו־ Hהן נקודות על
המשכי הצלעות CDו־ ABבהתאמה.
EHחותך את ADואת BC
בנקודות Fו־ Gבהתאמה (ראה ציור).
נתון: . ED = EF
(1) הוכח כי . HG = HB
נתון גם: 2 ס"מ = 3 , FDס"מ = , EF
6.
7 ס"מ = 4 , BGס"מ = . AB
(1) מצא את האורך של . BH
AF
(2) מצא את היחס . GC
C
uto
ב.
F
(2) הוכח כי . 3 AGH , 3 FBH
G
gr
H
ba
א.
B
A
טרפז שווה־שוקיים (DC z AB) ABCD
הבסיס ABהוא קוטר במעגל זה.
אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה . L
המשך MLחותך את DCבנקודה ( Kראה ציור).
נתון כי . B BAD = α
B
D
D
L
M
A
ne
nli
חסום במעגל שמרכזו . M
C
K
E
KL
.i
.co
הבע באמצעות αאת היחס . LM
/המשך בעמוד 5/
5. -5-
.w
ww
מתמטיקה, קיץ תשע"ב, מס' 608530, 613 + נספח
פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים,
של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות
1
ושל פונקציות טריגונומטריות ( 3 33 נקודות)
ענה על שתיים מהשאלות 7-9 (לכל שאלה — 2 61 נקודות).
3
שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך.
ba
7.
א.
נתון כי הפונקציה ) f(xהיא פונקציה רציונלית המקיימת:
–
הפונקציה מוגדרת לכל 1 -! xו־ 4 ! x
–
0 2 )0( f
–
0 = )5.1( f
–
0 1 ) f ' (xרק עבור 4 1 - 11 x
–
(1) על פי הנתונים שבסעיף זה, סרטט סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה ). f(x
ו־ 0 2 ) f (xעבור 1 -1 x
uto
0 1 ) f (xעבור 4 2 x
gr
–
לפונקציה יש שלוש אסימפטוטות: 4 = y = 0 , x = -1 , x
(2) על פי הגרף שסרטטת, הראה כי לפונקציית הנגזרת ) f '(xיש נקודת קיצון
בתחום 41 , - 11 xוקבע את סוגה. נמק.
aו־ bהם פרמטרים.
3a - 3bx
2 )4 - (x2 - ax
= ). f (x
מצא את הפונקציה ). f(x
.i
.co
נתון גם כי הפונקציה ) f(xמקיימת
ne
ב.
nli
אין צורך למצוא את השיעורים של נקודת הקיצון.
/המשך בעמוד 6/
6. 6-8.
נתונה הפונקציה f (x) = 4 sin2 x $ cos2 xבתחום . 0 # x # r
בתחום הנתון:
א.
מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה ) f(xעם הצירים.
ב.
מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה ) , f(xוקבע את סוגן.
ג.
סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ). f(x
ba
1
1
ד. (1) נתונה הפונקציה ). g (x) = 2 x - 8 sin (4x
הראה כי ). g'(x) = f (x
.w
ww
מתמטיקה, קיץ תשע"ב, מס' 608530, 613 + נספח
(2) בתחום הנתון מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ) f(xועל ידי ציר ה־ . x
gr
המשיק יוצר משולש עם ציר ה־ xועם הישר 1 = . x
מצא את השטח המקסימלי של המשולש הנוצר באופן שתואר.
.i
.co
ne
nli
uto
9.
ישר משיק לפרבולה 2 y = xבנקודה שבה 1 1 . 0 1 x
בהצלחה!
זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל
אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך
