1. 1. Основные понятия математической логики
Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания,
рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности и ложности) и
логических операций над ними [4].
Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в
отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно [4].
Для обозначения истины (истинного высказывания) используется символ 1,
а для обозначения лжи (ложного высказывания) используется символ 0.
Рассмотрим примеры логических высказываний (см. Таблицу 1):
Таблица 1. Примеры логических выражений
Предложение Характеристика с точки зрения алгебры логики
Иваново – Родина Первого Совета Истинное логическое высказывание
За зимой наступит весна Истинное логическое высказывание
В городе Иваново проживают только
граждане России
Ложное логическое высказывание
После дождя всегда тепло Ложное логическое высказывание
После вторника будет выходной Не является логическим высказыванием, т.к. не
известно, о каком человеке, каком месяце и дне идет
речь (если у человека текущий график работы,
возможно, что у него в среду будет выходной, в
противном случае среда – рабочий день; если в среду
будет праздничный день, например, 8 марта, то этот
день также будет выходным)
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или»,
«если…то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных
высказываний строить более сложные высказывания. Такие слова и
словосочетания называют логическими связками. Высказывания, образованные с
помощью логических связок – называют составными высказываниями.
Высказывания, не являющиеся составными, называют элементарными.
Для обозначения логических высказываний, им назначают имена.
Например, если А – высказывание «В четверг был дождь», В – высказывание «В
пятницу было солнечно», то составное высказывание «В четверг был дождь, а в
пятницу было солнечно», можно записать в виде:
А и В.
Здесь А, В – логические высказывания (могут быть либо истинными, либо
ложными), и – логическая связка.
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими
высказываниями и имеет свое название и обозначение (см. Таблицу 2):
Таблица 2. Логические связки
№ Логическая
связка
Название Обозна-
чение
Высказы-
вание
Математическая
запись
1 и конъюнкция
логическое умножение
∧, &
*, And
A и В A ∧ B, A & B
A * B, A And B
2 или дизъюнкция
логическое сложение
∨
+, Or
A или В A ∨ B
A + B, A Or B
3 не инверсия,
логическое отрицание
¬, A ,
Not
не А
¬А, A ,
Not A
4 Если…то импликация,
логическое следование
→, ⇒ Если A, то В A → B
A ⇒ B
5 тогда и
только тогда
эквивалентность,
равносильность,
↔, ≡
⇔, ∼
А тогда и
только тогда,
А↔В, А≡В
А⇔В, А∼В

2. № Логическая
связка
Название Обозна-
чение
Высказы-
вание
Математическая
запись
логическое тождество когда В
Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:
A → B = ¬А ∨ B (1)
Эквивалентность можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и
конъюнкцию:
A ↔ B = (¬А ∨ B) ∧ (¬B ∨ А) (2)
Вычисление значения логического выражения производится слева направо
в соответствии с таблицей истинности (см. Таблицу 3) и приоритетом
выполнения логических операций (см. Таблицу 4). Порядок выполнения операций
можно менять, используя круглые скобки.
Таблица 3. Таблица истинности
A B A ∨ B A ∧ B ¬A
0 0 0 0 1
0 1 1 0 1
1 0 1 0 0
1 1 1 1 0
Таблица 4. Приоритет выполнения логических операций
Приоритет операции Логическая операция
Первый (высший) Логическое отрицание
Второй Конъюнкция (логическое умножение)
Третий Дизъюнкция (логическое сложение)
Четвертый Импликация (следование)
Пятый (низший) Эквивалентность (равносильность)
2.Основные законы алгебры логики
В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие
производить тождественные преобразования логических выражений (см.
Таблицу5.)
Таблица 5. Основные законы алгебры логики
Закон Для ИЛИ Для И
Переместительный x∨y = y∨x x∧y = y∧x (3)
Сочетательный x∨(y∨z) = (x∨y)∨z x∧(y∧z) = (x∧y)∧z (4)
Распределительный x∧(y∨z) = x∧y∨ x∧z x∨ y∧z = (x∨y) ∧ (x∨z) (5)
Правила Де Моргана ¬( x∨y)= ¬x∧(¬y) ¬(x∧y)= ¬x∨(¬y) (6)
Идемпотенции x∨x=x x∧x=x (7)
Поглощения x∨x∧y=x x∧(x∨y)=x (8)
Склеивания x∧y∨(¬x)∧y=y (x∨y)∧ (¬x∨y)=y (9)
Операция с переменной с ее
инверсией
x∨(¬x)=1 x∧(¬x)=0 (10)
Операция с константами x∨1=x; x∨0=х x∧1=x; x∧0=0 (11)
Операция двойного отрицания ¬(¬x)=x (12)
Основы логики и логические основы компьютера

3. Суждение (высказывание) - это некоторое высказывание, которое
может быть истинным или ложным. Суждения бывают общими или
частными.
Общее суждение называется тождественно истинным, если оно
справедливо для любого из высказываний, о которых говорится в суждении.
Утверждение - это суждение, которое требуется доказать или
опровергнуть.
Рассуждение - это цепочка взаимосвязанных суждений, фактов, общих
положений, умозаключений, получаемых из других суждений по
определенным правилам вывода.
Если А, то В
предпосылка следствие
Дедукция - это заключение от общего к частному.
Индукция - это заключение от частного к общему.
Элементы математической логики
Логика - это наука о формах и законах человеческого мышления.
Высказывания - это конкретные частные утверждения.
Предикаты - это утверждения о переменных.
Логические операции
_
Отрицание (не А) А (инверсия)
А
А
И Л
ЛИ
Коньюнкция (А и В) А&В (логическое умножение)
А
В А&В
И И И
И Л Л
Л И Л
ЛЛЛ
А В
И
А В
ИЛ
И
А
А
В
А
НЕ А
А В

4. Дизьюнкция (А или В) АvВ (логическое сложение)
А
В АvВ
И И И
И Л И
Л И И
ЛЛЛИмпликация (если А, то В) А В
А
В А В
И И И
И Л Л
Л И И
ЛЛИЭквиваленция А В
А В А В
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л И
Логические законы и правила преобразования логических выражений
Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе.
А=А
Закон непротиворечия. Высказывание не может быть одновременно
истинным и ложным. А&A=0
Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо
истинным, либо ложным, третьего не дано. АvА=1
Закон двойного отрицания. Если дважды отрицать некоторое
высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание. А=А
Правила логических преобразований.
Законы Моргана.
А В А&В АvВ
И И Л Л
И Л И И
Л И И И
Л Л И И
А&В=А v В
А В АvВ А&В
И И Л Л
И Л Л Л
Л И Л Л
Л Л И И
А&В=А v В
А В
А
В

5. Правило коммутативности. Можно менять местами логические
переменные при операциях коньюнкции и дизьюнкции. A&B=B&A
AvB=BvA
Правило ассоциативности. (A&B)&C=A&(B&C)
(AvB)vC=Av(BvC)
Правило дистрибутивности. (A&B)v(A&C)=A&(BvC)
(AvB)&(AvC)=Av(B&C)
Пример: Упростить логическое выражение.
1) (A&B)v(A&B)=A&(BvB)=A&1=A
2) ((AvB)&A)v(AvB)&A=(A&AvB&A)v(A&B&A)=(0vB&A)v(0&B)=
B&Av0=
=B&A
Логические элементы ЭВМ
Базовые логические элементы реализуют три основные логические
операции:
• логический элемент «И»
• логический элемент «ИЛИ»
• логический элемент «НЕ»
Т.к. любая логическая операция может быть представлена в виде
комбинации трех основных, любые устройства компьютера, производящие
обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых
логических элементов как из кирпичиков.
Логические элементы компьютера оперируют с сигналами,
представляющие собой электрические импульсы. Если есть импульс, то
логическое значение сигнала 1, нет импульса - значение 0.
A
B A&BvC&D
C
D
A
B (AvB)&C&D
НЕ
0 1
НЕ
1 0
И
0
1
0
И
1
1
1 ИЛИ
0
1
1 ИЛИ
0
0
0
И
1
0
0
ИЛИ
0
НЕ
1
И
1
0
0
1
1
ИЛИ
1
0
1
И
1
0
И
1
1
0
0

6. C
D
A
A&BvC
B
C
Построить таблицы истинности.
A B A&B A A B A B
И И И И И И
И Л И И Л И
Л И Л Л И Л
Л Л И Л Л И
Контрольная работа.
1. Работа по карточкам.
2. Упростить:
I вариант II вариант
a) (AvA)&B=1&B=B a)
AvA&B=(AvA)&(AvB)=1&(AvB)=A
vB
б)
A&(AvB)&(CvB)=(A&AvA&B)&(CvB)
=(0vA&B)&(CvB)=A&B&(CvB)=
(A&(B&CvB&B)=A&(B&Cv0)=A&(B
&C)
=A&B&C
б)
A&BvB&CvA&B=B&(AvC)vA&B=
=B&(AvCvA)=B&(Cv1)=B&C
НЕ
1
0
И
1
ИЛИ
1
НЕ
1
1
0
1 0

7. C
D
A
A&BvC
B
C
Построить таблицы истинности.
A B A&B A A B A B
И И И И И И
И Л И И Л И
Л И Л Л И Л
Л Л И Л Л И
Контрольная работа.
1. Работа по карточкам.
2. Упростить:
I вариант II вариант
a) (AvA)&B=1&B=B a)
AvA&B=(AvA)&(AvB)=1&(AvB)=A
vB
б)
A&(AvB)&(CvB)=(A&AvA&B)&(CvB)
=(0vA&B)&(CvB)=A&B&(CvB)=
(A&(B&CvB&B)=A&(B&Cv0)=A&(B
&C)
=A&B&C
б)
A&BvB&CvA&B=B&(AvC)vA&B=
=B&(AvCvA)=B&(Cv1)=B&C
НЕ
1
0
И
1
ИЛИ
1
НЕ
1
1
0
1 0