Конспект

1. Тема «Кванторы. Квантор всеобщности. Квантор существования.
Равносильные формулы логики предикатов»
Цель урока: знакомство с кванторами.
Задачи урока:
образовательная – изучение кванторов всеобщности и существования, формирование умений и
навыков применения алгебры предикатов;
развивающие – развитие логического и комбинационного мышления, памяти, внимательности;
воспитательные – воспитание познавательного интереса учащихся, умения слушать,
аккуратности в работе, трудолюбия.
Тип урока: комбинированный урок.
Формы работы: фронтальная.
Наглядность и оборудование:
 компьютер;
 мультимедийный проектор;
 презентация, подготовленная в MS PowerPoint (файл LOGIKA15-16.PPT);
 карточки для устной работы;
 опорный конспект.
ПЛАН УРОКА.
1. Актуализация опорных знаний (10 минут).
2. Изучение нового материала (50 минут):
3. Решение упражнений (25 минут).
4. Подведение итогов урока. Домашнее задание (5 минут).
План урока.
1. Актуализация опорных знаний.
2. Новый материал.
3. Решение упражнений.
ХОД УРОКА
I. Новый материал.
1. Кванторы.
2. Квантор всеобщности.
3. Квантор существования.
4. Понятие формулы логики предикатов. Значение формулы логики
предикатов.
5. Равносильные формулы логики предикатов.
Лекция, используется презентация LOGIKA15-15.PPT.
Кванторы
Квантор - (от лат. quantum - сколько), логическая операция, дающая
1

2. количественную характеристику области предметов, к которой относится
выражение, получаемое в результате её применения.
В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа "все",
"каждый", "некоторый", "существует", "имеется", "любой", "всякий",
"единственный", "несколько", "бесконечно много", "конечное число", а также все
количественные числительные.
Для предикатов вводятся две новые по сравнению с логикой высказываний
операции.
Называются они квантором общности и квантором существования.
Квантор общности
Пусть Р(x) – одноместный предикат, определенный на предметном
множестве М.
Универсальным высказыванием, соответствующим предикату Р(x),
называется высказывание «каждый элемент множества М удовлетворяет
предикату Р(x)» (или «для всякого х выполняется предикат»), которое будем
обозначать (∀x)P(x).
Высказывание (∀x)P(x) считается истинным, если предикат P(x)
тождественно истинный, а ложным – в противном случае.
Символ ∀x называется квантором общности по переменной х, его читают
так: «для всех х», или «для каждого х», или «для любого х».
Выражение (∀x)P(x) читается: «для всех х, Р(х)», или «для каждого х, Р(х)».
Например, ∀x(х=х) – это истинное универсальное высказывание, а ∀x(х>2)
– ложное универсальное высказывание.
Если Р(х)- одноместный предикат, определенный на конечном множестве
{a1,a2,…am}, то [ ])(...)()()( 21 maPaPaPxP ∧∧∧↔∀
Таким образом, квантор общности можно понимать как оператор
конъюнкции по квантифицируемой переменной.
Квантор существования
2

3. Экзистенциональным высказыванием, соответствующим предикату Р(x),
называется высказывание «существует элемент множества М, удовлетворяющий
предикату Р(x)», которое обозначается ∃x P(x) и считается истинным, если
предикат Р(х) выполнимый, а ложным – в противном случае.
(Квантором существования называется высказывание, истинное, когда
существует элемент из множества М, для которого Р(х) истинно, и ложное в
противном случае)
Символ ∃x называют квантором существования, а выражение ∃x, в
котором этот квантор предшествует переменной х, читают так: «существует х
такой, что…», или «для некоторого х, …», или «для некоторого х, Р(х)».
Например, ∃x(х>2) – это истинное экзистенциональное высказывание, а
∃x(х=х+1) – ложное экзистенциональное высказывание.
Если Р(х)- одноместный предикат, определенный на конечном множестве
{a1,a2,…am}, то [ ])(...)()()( 21 maPaPaPxP ∨∨∨↔∃
Таким образом, квантор существования можно понимать как оператор
дизъюнкции по квантифицируемой переменной.
Операцию навешивания квантора ∀ или квантора ∃ на переменную х называ-
ют еще квантификацией переменной х.
Упражнение 1. Прочтите следующие записи, заменив обозначения кванторов
общности и существования их словесными выражениями:
А) ))1)(1(1( 2
+−=−∀ xxxx
Б) )0( ≤∃ xx
В) )0( >∀ xx
Г) )55( =+∃ yy
Д) )01( 2
=++∃ yyy
Е) )01( 2
>++∀ yyy
Ж) )( 23
xxx <∃
Решение.
А) ))1)(1(1( 2
+−=−∀ xxxx — «Для всех х выполняется предикат
)1)(1()1( 2
+−=− xxx »;
Б) )0( ≤∃ xx — «Для некоторого х, справедливо 0≤x »;
В) )0( >∀ xx — «Для всех х, 0>x »;
Г) )55( =+∃ yy — «Существует y такой, что 5+y=5»;
Д) )01( 2
=++∃ yyy — «Существует y такой, что 012
=++ yy ».
Е) )01( 2
>++∀ yyy — «Для всех y выполняется предикат 012
>++ yy »;
Ж) )( 23
xxx <∃ — «Для некоторого х, справедливо 23
xx < »
Упражнение 2. Запишите следующие предложения, используя символы
кванторов:
А) «Существует число х такое, что х+10=2»;
Б) «По крайней мере, одно число y является корнем уравнения 02
=++ cbyay »;
В) «Каково бы ни было число z, z+0=z»;
3

4. Г) «Уравнение f(x)=o имеет хотя бы один корень»;
Д) «Любое число либо положительно, либо отрицательно, либо равно нулю».
Решение.
А) ∃x(х+10=2) — «Существует число х такое, что х+10=2»;
Б) ∃y( 02
=++ cbyay ) — «По крайней мере, одно число y является корнем
уравнения 02
=++ cbyay »;
В) ∀z(z+0=z) — «Каково бы ни было число z, z+0=z»;
Г) ∃x(f(x)=0) — «Уравнение f(x)=o имеет хотя бы один корень»;
Д) ∃x( 0≥x ) — «Любое число либо положительно, либо отрицательно, либо
равно нулю».
ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
В логике предикатов будем пользоваться следующей символикой:
1. Символы p, q, r, …- переменные высказывания, принимающие два значения:
1- истина , 0 – ложь.
2. Предметные переменные – x, y, z, … , которые пробегают значения из
некоторого множества М;
x0
, y0
, z0
– предметные константы, т. е. значения предметных переменных.
3. P(·), Q(·), F(·), … - одноместные предикатные переменные;
Q(·,·,…,·), R(·,·, …,·) – n-местные предикатные переменные.
P0
(·), Q0
(·,·, …,·) – символы постоянных предикатов.
4. Символы логических операций: .,,, −→∨∧
5. Символы кванторных операций: ., xx ∃∀
6. Вспомогательные символы: скобки, запятые.
Предметная переменная называется свободной, если она не следует
непосредственно за квантором и не входит в область действия квантора по этой
переменной, все другие переменные, входящие в формулу, называются
связанными.
Формулой логики предикатов являются
a) Каждая предикатная буква и предикатная буква со следующими за
ней в скобках предметными переменными;
b) выражения вида F∧ G, F ∨G, ¬G, F⇒G, F ⇔G, (∀y)F, (∃y)G, где
F и G - формулы логики предикатов, переменная у∈М.
4

5. Примеры:
• P; Q(x,y,z); R(x1,x2) – элементарные формулы
• ),,(( xyxpx∀ ; )),,((( zyxPyx ∃∀ ; ( ))),,(( zyxPxQ ∀∧ —
составные формулы.
Определение формулы логики предикатов (более полное).
1. Каждое высказывание как переменное, так и постоянное, является
формулой (элементарной).
2. Если F(·,·, …,·) – n-местная предикатная переменная или постоянный
предикат, а x1, x2,…, xn– предметные переменные или предметные
постоянные (не обязательно все различные), то F(x1, x2,…, xn) есть формула.
Такая формула называется элементарной, в ней предметные переменные
являются свободными, не связанными кванторами.
3. Если А и В – формулы, причем, такие, что одна и та же предметная
переменная не является в одной из них связанной, а в другой – свободной,
то слова BABABA →∧∨ ,, есть формулы. В этих формулах те
переменные, которые в исходных формулах были свободны, являются
свободными, а те, которые были связанными, являются связанными.
4. Если А – формула, то A – формула, и характер предметных переменных
при переходе от формулы А к формуле A не меняется.
5. Если А(х) – формула, в которую предметная переменная х входит свободно,
то слова )(xxA∀ и )(xxA∃ являются формулами, причем, предметная
переменная входит в них связанно.
6. Всякое слово, отличное от тех, которые названы формулами в пунктах 1 – 5,
не является формулой.
Например, если Р(х) и Q(x,y) – одноместный и двухместный предикаты, а q, r –
переменные высказывания, то формулами будут, например, слова (выражения):
rqyxQyxxQxxPyxQxPxPq →∨∃→∀∧ )),((),,()(),,()(),(, 0
.
Не является формулой, например, слово: )(),( xPyxxQ →∀ . Здесь нарушено
условие п.3, так как формулу ),( yxxQ∀ переменная х входит связанно, а в формулу
Р(х) переменная х входит свободно.
Из определения формулы логики предикатов ясно, что всякая формула алгебры
высказываний является формулой логики предикатов.
Интерпретацией формулы исчисления предикатов называется
конкретизация множеств, из которых принимают значения предметные
переменные и конкретизация отношений и соответствующих множеств
истинности для каждой предикатной буквы.
Формула исчисления предикатов называется общезначимой, если она
тождественно истинна при любой интерпретации.
Определение.
Формула А логики предикатов называется общезначимой, если она
тождественна истинна на всякой области (на любой модели).
Все формулы исчисления предикатов можно разделить на три типа:

6. 1. тождественно истинные при любой интерпретации, т.е.
общезначимые;
Определение.
Формула А логики предикатов называется тождественно-истинной в области
М (выполнимой), если она принимает истинные значения для всех значений
переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области.
2. тождественно ложные при любой интерпретации, т.е.
противоречивые;
Определение1.
Формула А логики предикатов называется тождественно ложной в области М,
если она принимает ложные значения для всех значений переменных, входящих в эту
формулу и отнесенных к этой области (иными словами, на данной модели).
Определение2.
Формула А логики предикатов называется тождественно ложной
(невыполнимой), если она тождественно ложна на всякой области (на всякой
модели).
3. выполнимые (формулы, истинность которых зависит от
интерпретации).
Определение 1.
Формула А логики предикатов называется выполнимой в области М, если
существуют значения переменных входящих в эту формулу и отнесенных к области М
(иначе – существует модель), при которых формула А принимает истинные значения.
Определение 2.
Формула А логики предикатов называется выполнимой, если существует
область, на которой эта формула выполнима.
Например, формула )]()([ xPxPx ∧∀ является тождественно ложной
(невыполнимой) формулой логики предикатов.
Из приведенных определений с очевидностью следует:
1. Если формула А общезначима, то она и выполнима на всякой области
(модели).
2. Если формула А тождественно истинна в области М, то она и выполнима в
этой области.
3. Если формула А тождественно ложна в области М, то она не выполнима в
этой области.
4. Если формула А не выполнима, то она тождественно ложна на всякой
области (на всякой модели).
5. Для того, чтобы формула А логики предикатов была общезначима,
необходимо и достаточно, чтобы ее отрицание было не выполнимо.
6. Для того, чтобы формула А логики предикатов была выполнимой,
необходимо и достаточно, чтобы формула A была не общезначима.
Значение формулы логики предикатов.
О логическом значении формулы логики предикатов можно
говорить лишь тогда, когда задано множество M, на котором определены
входящие в эту формулу предикаты.
Логическое значение формулы логики предикатов зависит от
значений трех видов переменных:
1) значений входящих в формулу переменных высказываний,

7. 2) значений свободных предметных переменных из множества М,
3) значений предикатных переменных.
При конкретных значениях каждого из трех видов переменных
формула логики предикатов становится высказыванием, имеющим
истинное или ложное значение.
В качестве примера рассмотрим формулу )),(),(( zyPyxPzy →∀∃ ,
(1)
в которой двухместный предикат Р(x, y) определен на множестве
MхM, где M={0,1,2,…,n,…}, т.е. MхM=NхN.
В формулу (1) входит переменный предикат P(x,y), предметные
переменные x,y,z, две из которых y и z – связанные кванторами, а x –
свободная.
Возьмем за конкретное значение предиката P(x,y) фиксированный
предикат P0
(x,y): “x<y”, а свободной переменной х придадим значение
Mx ∈= 50
. Тогда при значениях y, меньших x0
=5, предикат P0
(x0
,y)
принимает значение “ложь”, а импликация ),(),( zyPyxP → при всех
Mz ∈ принимает значение “истина”, т.е. высказывание
)),(),(( 00
zyPyxPzy →∀∃ имеет значение “истина”.
Упражнение 3. Дана формула ))()()(( xRxQxPx →∧∀ , где предикаты
P(x), Q(x), R(x) определены на множестве N. Найти ее значение, если
1) P(x): «число х делится на 3», Q(x): «число х делится на 4»,
R(x) «число х делится на 2»;
2) P(x): «число х делится на 3», Q(x): «число х делится на 4»,
R(x) «число х делится на 5»;
Решение.
В обоих случаях конъюнкция )()( xQxP ∧ есть утверждение, что число х
делится на 12. Но тогда при всех х, если число х делится на 12, то оно
делится и на 2, и, значит, в случае 1) формула истинна.
Так как из делимости числа х на 12 не при всех х следует делимость
числа х на 5, то в случае 2) формула ложна.
Равносильные формулы логики предикатов.
Определение 1.
Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными
на области М, если они принимают одинаковые логические значения при
всех значениях входящих в них переменных, отнесенных к области М.
Определение 2.
Две формулы логики предикатов А и В называются
равносильными, если они равносильны на всякой области.

8. Ясно, что все равносильности алгебры высказываний будут верны,
если в них вместо переменных высказываний подставить формулы
логики предикатов. Но, кроме того, имеют место равносильности самой
логики предикатов. Рассмотрим основные из этих равносильностей.
Пусть А(х) и В(х) – переменные предикаты, а С – переменное
высказывание (или формула, не содержащая х). Тогда имеют место
равносильности:
1. ).()( xAxxxA ∃≡∀
2. ).()( xAxxxA ∀≡∃
3. ).()( xAxxxA ∃≡∀
4. ).()( xAxxxA ∀≡∃
5. )]()([)()( xBxAxxxBxxA ∧∀≡∀∧∀
6. )]([)( xBCxxxBC ∧∀≡∀∧ .
7. )]([)( xBCxxxBC ∨∀≡∀∨
8. )]([)( xBCxxxBC →∀≡∀→
9. .)(])([ CxxBCxBx →∃≡→∀
10. ).()()]()([ xxBxxAxBxAx ∃∨∃≡∨∃
11. ).()]([ xxBCxBCx ∃∨≡∨∃
12. ).()]([ xxBCxBCx ∃∧≡∧∃
13. )].()([)()( yBxAyxyyBxxA ∧∃∃≡∃∧∃
14. ).()]([ xxBCxBCx ∃→≡→∃
15. .)(])([ CxxBCxBx →∀≡→∃
Равносильность 1 означает тот простой факт, что, если не для всех х
истинно А(х), то существует х, при котором будет истиной )(xA .
Равносильность 2 означает тот простой факт, что, если не
существует х, при котором истинно А(х), то для всех х будет истиной
)(xA .
Равносильности 3 и 4 получаются из равносильностей 1 и 2,
соответственно, если от обеих их частей взять отрицания и
воспользоваться законом двойного отрицания.
Например:
Предикат Мать(x,y) означает, что x является матерью для y, тогда xy∃∀
Мать(x,y) означает, что у каждого человека есть мать, - истинное
утверждение.
yx∀∃ Мать(x,y) означает, что существует мать всех людей, что
является другим утверждением, истинность которого зависит от
множества значений, которые могут принимать y: если это множество
братьев и сестер, то оно истинно, а в противном случае оно ложно.
Таким образом, перестановка кванторов всеобщности и
существования может изменить смысл и значение выражения.
ЗАКОНЫ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ.
(общезначимые формулы логики предикатов)
16. )()( xPxxPx ∃≡∀ .
17. )()( xPxxPx ∀≡∃ .
30. )]()([)()( xPyPxxxPyP ⇒∃≡∃⇒ .
)]([)( xPCxxxPC ⇒∃≡∃⇒ .

9. 18. )()( xPxxxP ∃≡∀ .
19. )()( xPxxxP ∀≡∃ .
20. )()()]()([ xxQxxPxQxPx ∀∧∀≡∧∀ .
21. )()()]()([ xxQxxPxQxPx ∃∨∃≡∨∃ .
22. ),(),( yxxPyyxyPx ∀∀≡∀∀ .
23. ),(),( yxxPyyxyPx ∃∃≡∃∃ .
24. ),(),( yxxPyyxyPx ∃∀⇒∀∃ .
25. )]()([)()( xQxPxxxQxxP ∨∀⇒∀∨∀ .
26. )()()]()([ xxQxxPxQxPx ∃∧∃⇒∧∃ .
27.
)()([)]()([ xxQxxPxQxPx ∀⇒∀⇒⇒∀ .
28. )()( xxPxxP ∃⇒∀ .
29. )()()]()([ yPxxPyPxPx ⇒∃≡⇒∀ .
CxxPCxPx ⇒∃≡⇒∀ )(])([ .
31. )]([)( xPCxxxPC ∧∀≡∀∧ .
32. )]([)( xPCxxxPC ∨∀≡∀∨ .
33. )]([)( xPCxxxPC ⇒∀≡∀⇒ .
34. )()]([ xxPCxPCx ∃∨≡∨∃ .
35. )()]([ xxPCxPCx ∃∧≡∧∃ .
36.
)]()([)()( yQxPyxyyQxxP ∧∃∃≡∃∧∃ .
37. CxxPCxPx ⇒∀≡⇒∃ )(])([ .
38.
)].()([)]()([
)()()()(
yQxPyxyyQxPx
yyQxxPxxQxxP
∨∀∀≡∀∨∀≡
≡∀∨∀≡∀∨∀
39.
)].()([)]()([
)()()()(
yQxPyxyyQxPx
yyQxxPxxQxxP
∧∃∃≡∃∧∃≡
≡∃∧∃≡∃∧∃
Упражнение 4. Найти отрицание следующих формул:
А) ))()(( xQxPx ∧∀ ;
Б) ))()(( xQxPx ∨∃ ;
В) )),(),(( yxLyxRyx →∃∃
Решение.
А) ))()(())()(())()(( xQxPxxQxPxxQxPx ∨∃≡∧∃≡∧∀ ;
Б) ))()(())()(())()(( xQxPxxQxPxxQxPx ∧∀≡∨∀≡∨∃ ;
В)
)),(),(()),(),((
)),(),(()),(),(()),(),((
yxLyxryxyxLyxRyx
yxLyxRyxyxLyxRyxyxLyxRyx
∧∀∃≡∨∀∃≡
≡→∀∃≡→∃∃≡→∃∃
Упражнение 5. Доказать равносильность:
)()())()(( xxBxxAxBxAx ∃∨∃≡∨∃
Решение.
Для доказательства равносильности достаточно рассмотреть два случая:
1. Пусть предикаты А(х) и В(х) тождественно ложны. Тогда будет
ложным и предикат )()( xBxA ∨ . При этом будут ложными высказывания
))()(( xBxAx ∨∃ и )()( xxBxxA ∃∃ .
2. Пусть теперь хотя бы один из предикатов (например, А(х)) не
тождественно ложный. Тогда будет не тождественно ложным и предикат

10. )()( xBxA ∨ . При этом будут истинными высказывания )(xxA∃ и
))()(( xBxAx ∨∃ , а значит, будут истинными и исходные формулы.
Следовательно, )()())()(( xxBxxAxBxAx ∃∨∃≡∨∃ .
Упражнение 6. Доказать равносильность:
))(()( xACxxxAC ∧∀≡∀∧ .
Решение.
Рассмотрим два случая:
1. Пусть высказывание С ложно. Тогда для любого предиката )(xA будет
ложным высказывание )(xxAC ∀∧ и предикат )(xAC ∧ , и, следовательно,
высказывание ))(( xACx ∧∀ . Значит, в этом случае обе исходные формулы
тождественно ложны.
2. Пусть теперь высказывание С истинно. Тогда, очевидно, значения
исходных формул будут целиком зависеть от значений предиката А(х). Если
А(х) - тождественно истинный предикат, то будет тождественно истинным и
предикат )(xxAC ∀∧ , и, следовательно, будут тождественно истинными
высказывания )(xxA∀ , )(xxAC ∀∧ , ))(( xACx ∧∀ , т.е. тождественно
истинны и исходные формулы.
Если А(х) – не тождественно истинный предикат, то будет не тождественно
истинным и предикат )(xxAC ∀∧ , а высказывания )(xxA∀ , )(xxAC ∀∧ ,
))(( xACx ∧∀ будут ложными, т.е. ложные значения принимают обе
исходные формулы, что в итоге доказывает их равносильность.
Упражнение 7. Доказать, что формула )()())()(( xxQxxPxQxPA ∀∧∃→→≡
является общезначимой.
Решение.
Считая, что формула А определена на любой области М, проведем
равносильные преобразования:
1)(1)())()(()())()((
)())())()(()()())()((
)()())()(()()())()((
)()())()(()()())()((
≡∃∨≡∃∨∃∨∃≡∃∨∨∃≡
≡∃∨∨∧∃≡∃∨∃∨∧∃≡
≡∃∨∃∨∧∃≡∀∨∃∨∨∃≡
≡∀∧∃∨→∀≡∀∧∃→→∀≡
xQxxQxxxPxPxxxPxQxPx
xxPxQxQxPxxxPxQxxQxPx
xQxxxPxQxPxxxQxxPxQxPx
xxQxxPxQxPxxxQxxPxQxPxA
,
Т.е. формула А тождественно истинна для любых одноместных
предикатов Р(х) и Q(х) и в любой области.

11. Упражнение 8. Доказать, что формула
)))()(())()((( xFxFxFxFxA →∧→∃≡ тождественно ложна.
Решение.
Так формула )()())()(())()(( xFxFxFxFxFxF ↔≡→∧→ , а формула
)()( xFxF ↔ , очевидно, тождественно ложна, то тождественно ложна и
формула А.
Говорят, что формула логики предикатов имеет
нормальную форму, если она содержит только операции конъюнкции,
дизъюнкции и кванторные операции, а операция отрицания отнесена к
элементарным формулам.
Среди нормальных форм формул логики предикатов
важное значение имеют так называемые предваренные нормальные
формы. В них кванторные операции либо полностью отсутствуют, либо
используются после всех операций алгебры логики.
Справедливо утверждение о том, что всякая формула
логики предикатов путем равносильных преобразований может быть
приведена к предваренной нормальной форме. (ПНФ). При этом следует
использовать равносильности логики предикатов, которые позволяют
выносить за скобки кванторы существования и всеобщности, т.е.
равносильности:
1) ))()(()()( xQxPxxxQxxP ∧∀≡∀∧∀
2) ))(()( xPpxxxPp ∧∀≡∀∧
3) ))(()( xPpxxxPp ∨∀≡∀∨
4) ))(()( xPpxxxPp →∀≡∀→
5) ))()(()()( xQxPxxxQxxP ∨∃≡∃∨∃
6) ))(()( xPcxxxPc ∨∃≡∃∨
7) ))(()( xPcxxxPc ∧∃≡∃∧
8) ))(()( xPcxxxPc →∃≡∃→
9) ))()(()()( yQxPyxxxQxxP ∧∃∃≡∃∧∃
Д.з.
1) Выучить конспект.
Дополнительно (Источник: Рыбин С.В. Высказывания и предикаты //
Компьютерные инструменты в образовании. №6, 2005)
ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Введем теперь понятие формулы логики предикатов. Сделаем это так
же, как и в логике высказываний, индуктивным способом, то есть сначала
введем понятие атомарной формулы, а затем формулы.
В отличие от логики высказываний, где переменные (атомарные

12. формулы) не анализируются, атомарная формула для логики предикатов
имеет структуру.
Нам потребуются понятия сигнатуры и терма.
Определение.
Сигнатурой называется множество ∑ = ∑F ∪∑p ∪∑c, где ∑F ={fi}i∈I -
множество функциональных символов (функторов);
∑p ={Pj}j∈J - множество предикатных символов;
∑C ={Ck}k∈K - множество предметных констант (нульместных
символов функций).
В определении сигнатуры можно оставить два множества ∑F и ∑p,
считая, что ∑C ⊆∑F.
Замечание.
Проводя аналогию с объектно-ориентированным программированием,
можно считать, что введение сигнатуры аналогично заданию базового
класса с шаблонами методов. В дальнейшем будем предполагать, что
сигнатура X фиксирована.
Определим понятие терма данной сигнатуры. Термы играют роль
переменных в логике предикатов.
Определение. Термом называется
- переменная или предметная константа;
-выражение f(t1,...,tп) , где t1,...,tп -термы, а f- функциональный
символ.
Термы служат для задания объектов предметного множества.
Пример. Пусть
∑F = {сестра (х), друг (х), приятель (х,у)},
∑C = {Ольга, Иван, Петр, Мария}
Тогда выражения сестра(Иван), друг {Ольга), приятель (Мария,
Петр) есть термы данной сигнатуры.
Перейдем к определению формулы логики предикатов.
Определение. Атомарной формулой называется выражение вида
P(t1,...,tп) , где t1,...,tп - термы, а Р - символ предиката.
Формулой логики предикатов называется
c)атомарная формула,
d)выражения вида F∧ G, F ∨G, ¬G, F⇒G, F G, (∀y)F,
(∃y)G, где F и G - формулы логики предикатов, переменная
у∈М.
Дополнительно (Источник:
http://www.diplom-online.ru/standarts/mupk/lek_iis/lek_iis_011/)

13. Выводы в логике предикатов
Исследования по применению логики предикатов для представления знаний приняли широкий размах с
тех пор, как в 1965 году Джон Робинсон предположил способ машинных выводов, названным принципом
резолюции. Затем были разработаны языки программирования логического типа, например Prolog и
взгляд на логику предикатов в значительной степени изменился. И снова активно стали, проводится
исследования в этой области. Одной из причин такой активизации явилось использование Prolog в
качестве базового языка при создании в Японии технологии компьютеров 5-ого поколения.
Появление возможностей, как в техническом, так и в стоимостном отношении реализации
универсальным методом обработки информации за счет бурного процесса схемного решения
компьютеров, также способствовала росту интереса исследователей к методам математической логики.
Представление знаний с использованием логики предикатов имеет в некотором отношении сходство с
продукционными правилами. Это следует из того, что в логике предикатов тоже разрешаются формулы,
которые задают соответствующие представления знаний в форме "если то", допуская объединение
нескольких описаний в составе условия "если" и заключения "то". Однако между этими представлениями
имеются существенные различия.
Требованиям к представлению знаний присуще два противоречивых условий:
1) независимость знаний друг от друга и согласованность знаний как единое целое;
2) в продукционных правилах представлению отдельных знаний присуще полная независимость, а
свойства знания как единое целое не затрагиваются.
Это является причиной больших трудностей при практической реализации знаний.
В логике предикатов во внимание принимаются поведение и свойства знаний как единого целого. Этим
обусловлено различие систем обработки знаний, которые представляют числу пользователей, хранимых
в них информацию.
Алгоритм вывода в логике предикатов - это подстановка истинных формул (теорем) в формулу
истинность, которая выводится с целью получения истинной формулы (теорем, аксиом).
Этот подход подробно рассматривается в курсе математической логике и применение на компьютере
такого подхода крайне не эффективно. Поэтому был разработан принцип резолюции, который за
приемлемое время на компьютере позволяет доказать или опровергнуть любую формулу логики
предикатов.
§9. Применение языка логики предикатов для записи
математических предложений, определений, построения отрицания
предложений.
9.1 Запись математических предложений и определений в виде формул
логики предикатов.
Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений и
определений. Он дает возможность выражать логические связи между понятиями,
записывать определения, теоремы, доказательства. Приведем несколько примеров
таких записей.
Пример 1.Определение предела “ b ” функции ƒ(х), определенной в области E,
в точке x0: ))(0(00)(lim 0
0
εδδε <−→<−<∈∀>∃>∀⇔=
→
bxfxxExxfb
xx
.
Используя трехмесиный предикат ),,( xP δε , запишем:
)),,((00)(lim
0
xPExxfb
xx
δεδε ∈∀>∃>∀⇔=
→
,

14. где ))(0(),,( 0 εδδε <−→<−<= bxfxxxP .
Пример 2.
Определение непрерывности функции в точке.
Функция )(xf , определенная на множестве E, непрерывна в точке Ex ∈0 ,
если )),,((00 xPEx δεδε ∈∀>∃>∀ , где
))()(0(),,( 00 εδδε <−→<−<= xfxfxxxP .
Пример 3.
Определение возрастающей функции.
Функция )(xf , определенная на множестве E возрастает на этом множестве,
если ))()(( 212121 xfxfxxExEx <⇒<∈∀∈∀ .
Здесь использован двуместный предикат :),( 21 xxW ))()(( 2121 xfxfxx <⇒< .
9.2. Построение противоположный утверждений.
Пусть дано некоторое математическое утверждение А. Ему будет
противоположным будет утверждение A .
Логика предикатов позволяет путем равносильных преобразований формулы
A придать ей хорошо обозримый вид.
Определение неограниченной функции мы получим, беря отрицание этой
формулы и проводя равносильные преобразования:
))((
))(())(())((
3131
MxfExRM
MxfExRMMxfExRMMxfExRM
>∈∃∈∀≡
≡≤∈∃∈∀≡≤∈∀∈∀≡≤∈∀∈∃
+
+++
.
Последняя формула дает не негативное, а положительное определение
неограниченной функции.
Из приведенного определения видно, что для построения противоположного
утверждения к утверждению, заданному формулой логики предикатов, содержащей
все кванторы впереди, необходимо заменить все кванторы на противоположные и
взять отрицание от предиката, стоящего под знаком кванторов.
Особый интерес представляет построение утверждения, отрицающего
справедливость некоторой теоремы: ))()(( xQxPEx →∈∀ . Это будет утверждение:
))()(())()(())()((
1831
xQxPExxQxPExxQxPEx ∧∈∃≡→∈∃≡→∈∀ .
9.3 Прямая, обратная и противоположная теоремы.
Рассмотрим четыре теоремы:
))()(( xQxPEx →∈∀ , (1)
))()(( xPxQEx →∈∀ , (2)
))()(( xQxPEx →∈∀ , (3)
))()(( xPxQEx →∈∀ . (4)
Пара теорем, у которых условие одной является заключением второй, а
условие второй является заключением первой, называются взаимно обратными друг
другу.
Так, теоремы (1)и (2), а также (3) и (4)- взаимно обратные теоремы. При этом,
если одну из них называют прямой теоремой, то вторая называется обратной.
Пара теорем, у которых условие и заключение одной являются отрицанием
соответственно условия и заключения другой, называются взаимно
противоположными.
Так, теоремы (1) и (3), а также (2) и (4) являются взаимно противоположными
теоремами.
Например, для теоремы “Если в четырехугольнике диагонали равны, то
четырехугольник является прямоугольником ” (1) обратной является теорема “Если
четырехугольник является прямоугольником, то его диагонали равны” (2). Для
теоремы (1) противоположной является теорема “Если в четырехугольнике диагонали
не равны, то четырехугольник не является прямоугольником ” (3), а для теоремы (2)

15. противоположной является теорема “Если четырехугольник не является
прямоугольником, то его диагонали не равны ” (4).
В рассмотренном примере теоремы (1) и (4) являются одновременно ложными,
а теоремы (2) и (3) одновременно истинными. Контрпримером к теореме (1) является
равнобочная трапеция.
Ясно, что прямая и обратная теоремы , вообще говоря, не равносильны, т. е.
одна из них может быть истинной, а другая – ложной. Однако легко показать, что
теоремы (1) и (4), а также (2) и (3) всегда равносильны.
Действительно:
))()(())()(())()(())()((
182,118
xPxQExxPxQExxQxPExxQxPEx →∈∀≡∨∈∀≡∨∈∀≡→∈∀
.
Из этих равносильностей следует, что, если доказана теорема (1), то доказана и
теорема (4), а если доказана теорема (2), то доказана и теорема (3).
9.4 Необходимые и достаточные условия.
Рассмотрим теорему
))()(( xQxPEx →∈∀ (1)
Как отмечалось, множество истинности предиката )()( xQxP → есть
множество QP
II ∪ . Но тогда множеством ложности этого предиката будет
QPQP
IIII ∩=∪ . Последнее множество будет пустым лишь в случае, когда QP II ⊂
(см. рисунок).
Итак, предикат )()( xQxP → является истинным для всех Ex∈ том и в
только в том случае, когда множество истинности предиката Р(х) содержится в
множестве истинности предиката Q(x). При этом говорят, что предикат Q(x)
логически следует из предиката Р(х), и предикат Q(x) называют необходимым
условием для предиката Р(х), а предикат Р(х) – достаточным условием для Q(x).
Так, в теореме “Если х – число натуральное, то оно
целое ” предикат Q(x): “ х – число целое ” логически
следует из предиката Р(х): “х – число натуральное” , а
предикат “х- число натуральное” является достаточным
условием для предиката “ х – целое число”.
Часто встречается ситуация, при которой истинны
взаимно
обратные теоремы ))()(( xQxPEx →∈∀ (1)
Рис. 28 ))()(( xPxQEx →∈∀ .(2)
Это, очевидно, возможно при условии, что QP II = .
В таком случае из теоремы (1)следует, что условия Р(х)являются
достаточными для Q(x), а из теоремы (2) следует, что условие Р(х)является
необходимым для Q(x).
Таким образом, если истинны теоремы (1) и (2), то условие Р(х) является и
необходимым, и достаточным для Q(x). Аналогично в этом случае условие
Q(х)является необходимым и достаточным для Р(x).
Иногда вместо логической связки “необходимо и достаточно ” употребляют
логическую связку “тогда и только тогда”.
Так как здесь истинны высказывания (1) и (2), то истинно высказывание
))()(())()(())()((
19,35
xQxPExxPxQExxQxPEx ↔∈∀≡→∈∀∧→∈∀ .
9.5. Доказательство теорем методом от противного.
Доказательство теорем методом от противного обычно проводится по
следующей схеме: предполагается, что теорема
)]()([ xQxPEx →∈∀
(1)
IQI
P

16. не верна, т. е. , существует такой объект х, что условие Р(х) истинно, а
заключение Q(x) – ложно. Если из этих предложений путем логических рассуждений
приходят к противоречивому утверждению, то делают вывод о том, что исходное
предположение неверно, и верна теорема (1).
Покажем, что такой подход дает доказательство истинности теоремы (1).
Действительно, предположение о том, что теорема (1) не справедлива ,
означает истинность ее отрицания, т. е. формулы )]()([ xQxPEx →∈∀ . Можно
показать, что противоречивое утверждение, которое получается из допущенного
предположения, как мы видели из ранее рассмотренных примеров, может быть
записано как конъюнкция ACC =∧ , где С – некоторое высказывание.
Литература
1. Анкудинов Г.И., Анкудинов И.Г., Петухов О.А. Математическая логика
и теория алгоритмов: Учебное пособие. СПб.: СЗТУ, 2002. 104 с.
2. Казиев В.М. Готовимся к ЕГЭ по информатике Информатика в
школе. №2. 2006.
3. Лихтарников Л.М., Сукачева т.Г. Математическая логика. – СП.:
издательство «Лань», 1998. – 288 с.
4. Никольская И. Л. Математическая логика: Учебник. М.: Высшая
школа, 1981.
5. Онегов В.А. Решение логических задач средствами алгоритмических
языков Информатика и образование. №6. 2000.
6. Рыбин С.В. Высказывания и предикаты // Компьютерные
инструменты в образовании. №6, 2005.