関西大学総合情報学部・画像情報処理（担当・浅野晃）

1. A.Asano,KansaiUniv.
2019年度秋学期 画像情報処理
浅野 晃
関西大学総合情報学部
行列の直交変換と基底画像
第８回

2. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
JPEG方式による画像圧縮
2
画像を波の重ね合わせで表わし，
一部を省略して，データ量を減らす
（著作権の問題により画像をはずしました）

3. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
JPEG方式による画像圧縮
2
画像を波の重ね合わせで表わし，
一部を省略して，データ量を減らす
（著作権の問題により画像をはずしました）

4. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
JPEG方式による画像圧縮
2
画像を波の重ね合わせで表わし，
一部を省略して，データ量を減らす
8×8ピクセルずつの
セルに分解
（著作権の問題により画像をはずしました）

5. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
JPEG方式による画像圧縮
2
画像を波の重ね合わせで表わし，
一部を省略して，データ量を減らす
ひとつのセルを，
これらの波の重ね合わせで表す8×8ピクセルずつの
セルに分解
（著作権の問題により画像をはずしました）

6. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
JPEG方式による画像圧縮
2
画像を波の重ね合わせで表わし，
一部を省略して，データ量を減らす
ひとつのセルを，
これらの波の重ね合わせで表す8×8ピクセルずつの
セルに分解
細かい部分は，どの画像でも大してか
わらないから，省略しても気づかない
（著作権の問題により画像をはずしました）

7. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
JPEG方式による画像圧縮
2
画像を波の重ね合わせで表わし，
一部を省略して，データ量を減らす
ひとつのセルを，
これらの波の重ね合わせで表す8×8ピクセルずつの
セルに分解
細かい部分は，どの画像でも大してか
わらないから，省略しても気づかない
省略すると，データ量が減る
（著作権の問題により画像をはずしました）

8. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
Karhunen-Loève変換（KL変換）
3
画像を主成分に変換してから伝送する
p画素の画像
1
p
第１～第p / 2
主成分だけを
伝達する
主成分に
変換
もとの画
素に戻す
p画素の画像
（情報の損失が最小）

9. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
Karhunen-Loève変換（KL変換）
3
画像を主成分に変換してから伝送する
p画素の画像
1
p
第１～第p / 2
主成分だけを
伝達する
主成分に
変換
もとの画
素に戻す
p画素の画像
（情報の損失が最小）
データ量が半分でも
情報の損失は最小

10. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
KL変換の大問題
4
主成分を求めるには，
分散共分散行列が必要
分散共分散行列を求めるには，
「いまから取り扱うすべての画像」が
事前にわかっていないといけない

11. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
KL変換の大問題
4
主成分を求めるには，
分散共分散行列が必要
分散共分散行列を求めるには，
「いまから取り扱うすべての画像」が
事前にわかっていないといけない
そんなことは不可能😵😵

12. A.Asano,KansaiUniv.

13. A.Asano,KansaiUniv.
じゃあ，主成分を求めるのはあきらめて，
どういう直交変換をするか「直観的」に🤔🤔

14. A.Asano,KansaiUniv.

15. A.Asano,KansaiUniv.
画像をベクトルにしてしまったら，
直観がはたらかない…

16. A.Asano,KansaiUniv.

17. A.Asano,KansaiUniv.
行列の直交変換💡💡

18. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
画像を行列であらわす
8
素直に表せばいいのですが。
前回はベクトルで考えていたので，
ベクトルから行列に書き換える（戻す）ことを考える
z = P′
x
原画像を表すベクトル（m2要素）
直交変換を表す行列（m2×m2）
変換後の画像を
表すベクトル
（m2要素）

19. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
ベクトルを行列に書き換える
9
x =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x1
...
xj
...
xm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
X = x1 · · · xj · · · xm
m2要素ベクトル

20. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
ベクトルを行列に書き換える
9
x =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x1
...
xj
...
xm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
X = x1 · · · xj · · · xm
m2要素ベクトル

21. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
ベクトルを行列に書き換える
9
x =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x1
...
xj
...
xm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
X = x1 · · · xj · · · xm
m2要素ベクトル
m要素
m要素
m要素

22. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
ベクトルを行列に書き換える
9
x =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x1
...
xj
...
xm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
X = x1 · · · xj · · · xm
m2要素ベクトル
m要素
m要素
m要素
m要素

23. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
ベクトルを行列に書き換える
9
x =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x1
...
xj
...
xm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
X = x1 · · · xj · · · xm
m2要素ベクトル
m要素
m要素
m要素
m要素 m要素

24. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
ベクトルを行列に書き換える
9
x =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x1
...
xj
...
xm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
X = x1 · · · xj · · · xm
m2要素ベクトル
m要素
m要素
m要素
m要素 m要素 m要素

25. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
ベクトルを行列に書き換える
9
x =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x1
...
xj
...
xm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
X = x1 · · · xj · · · xm
m2要素ベクトル
m要素
m要素
m要素
m×m行列
m要素 m要素 m要素

26. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
ベクトルを行列に書き換える
9
x =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x1
...
xj
...
xm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
X = x1 · · · xj · · · xm
m2要素ベクトル
m要素
m要素
m要素
m×m行列
zも同じ
m要素 m要素 m要素

27. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
直交変換行列P′は？
10
P′がこういう形になっているのなら
P′
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm
...
...
...
rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

28. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
直交変換行列P′は？
10
P′がこういう形になっているのなら
P′
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm
...
...
...
rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
こういう形ってどういう形？

29. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列のKronecker積
11
P′
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm
...
...
...
rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
C =
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠ , R =
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠

30. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列のKronecker積
11
P′
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm
...
...
...
rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
C =
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠ , R =
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11×
C

31. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列のKronecker積
11
P′
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm
...
...
...
rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
C =
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠ , R =
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11×
C
r1m×
C

32. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列のKronecker積
11
P′
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm
...
...
...
rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
C =
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠ , R =
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11×
C
r1m×
C
rm1×
C

33. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列のKronecker積
11
P′
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm
...
...
...
rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
C =
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠ , R =
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11×
C
r1m×
C
rm1×
C
rmm
×C

34. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列のKronecker積
11
Rの各要素に
Cを貼付けたもの
P′
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm
...
...
...
rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
C =
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠ , R =
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11×
C
r1m×
C
rm1×
C
rmm
×C

35. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列のKronecker積
11
Rの各要素に
Cを貼付けたもの
P′
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm
...
...
...
rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
C =
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠ , R =
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11×
C
r1m×
C
rm1×
C
rmm
×C
P′
= R ⊗ C Kronecker積

36. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列のKronecker積
11
Rの各要素に
Cを貼付けたもの
P′
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
r11c11 · · · r11c1m r1mc11 · · · r1mc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
r11cm1 · · · r11cmm r1mcm1 · · · r1mcmm
...
...
...
rm1c11 · · · rm1c1m rmmc11 · · · rmmc1m
...
...
... · · ·
...
...
...
rm1cm1 · · · rm1cmm rmmcm1 · · · rmmcmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
C =
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠ , R =
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11×
C
r1m×
C
rm1×
C
rmm
×C
P′
= R ⊗ C Kronecker積
こうなっているのなら

37. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列の変換に書き換える
12
ベクトルxから
ベクトルzへの
行列P′による変換
z = P′
x
Z = CXR′ 行列Xから
行列Zへの
行列CとR′による変換

38. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列の変換に書き換える
12
ベクトルxから
ベクトルzへの
行列P′による変換
z = P′
x
Z = CXR′ 行列Xから
行列Zへの
行列CとR′による変換

39. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列の変換に書き換える
12
ベクトルxから
ベクトルzへの
行列P′による変換
z = P′
x
Z = CXR′ 行列Xから
行列Zへの
行列CとR′による変換

40. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列の変換に書き換える
12
ベクトルxから
ベクトルzへの
行列P′による変換
z = P′
x
Z = CXR′ 行列Xから
行列Zへの
行列CとR′による変換

41. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列の変換に書き換える
12
ベクトルxから
ベクトルzへの
行列P′による変換
z = P′
x
Z = CXR′ 行列Xから
行列Zへの
行列CとR′による変換
証明は…ひたすら計算（付録1）

42. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
分離可能性
13
CXR′
=
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x11 · · · x1m
...
...
...
xm1 · · · xmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠

43. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
分離可能性
13
CXR′
=
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x11 · · · x1m
...
...
...
xm1 · · · xmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠

44. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
分離可能性
13
CXR′
=
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x11 · · · x1m
...
...
...
xm1 · · · xmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠

45. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
分離可能性
13
CはXの列に作用
CXR′
=
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x11 · · · x1m
...
...
...
xm1 · · · xmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠

46. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
分離可能性
13
CはXの列に作用
CXR′
=
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x11 · · · x1m
...
...
...
xm1 · · · xmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠

47. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
分離可能性
13
CはXの列に作用
CXR′
=
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x11 · · · x1m
...
...
...
xm1 · · · xmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠

48. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
分離可能性
13
CはXの列に作用
CXR′
=
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x11 · · · x1m
...
...
...
xm1 · · · xmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
RはXの行に作用

49. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
分離可能性
13
CはXの列に作用
縦方向と横方向の作用を分離できる
ことを，分離可能(separable)という
CXR′
=
⎛
⎜
⎝
c11 · · · c1m
...
...
...
cm1 · · · cmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
x11 · · · x1m
...
...
...
xm1 · · · xmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
RはXの行に作用

50. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列の直交変換とユニタリー変換
14
縦横の作用を区別する必要はない場合，
C=Rとする
Z = RXR′
X = R′
ZR
ただし RR′=I
行列Xの行列Rに
よる直交変換
要素が複素数の場合は，R′のかわりに R′*を用いる
行列Xの行列Rによる
ユニタリー変換

51. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
行列の直交変換とユニタリー変換
14
縦横の作用を区別する必要はない場合，
C=Rとする
Z = RXR′
X = R′
ZR
ただし RR′=I
行列Xの行列Rに
よる直交変換
要素が複素数の場合は，R′のかわりに R′*を用いる
行列Xの行列Rによる
ユニタリー変換
*は複素共役（ i を(–i)にかえ
る）

52. A.Asano,KansaiUniv.

53. A.Asano,KansaiUniv.
ちょっと余談ですが☕

54. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
縦横の作用を区別する必要はないのか？
16
画像処理としてはその仮定はおかしくないが，
現実世界においては，
重力があるので，左右と上下は異なる

55. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
縦横の作用を区別する必要はないのか？
16
画像処理としてはその仮定はおかしくないが，
現実世界においては，
重力があるので，左右と上下は異なる

56. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
縦横の作用を区別する必要はないのか？
16
画像処理としてはその仮定はおかしくないが，
現実世界においては，
重力があるので，左右と上下は異なる

57. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
縦横の作用を区別する必要はないのか？
16
画像処理としてはその仮定はおかしくないが，
現実世界においては，
重力があるので，左右と上下は異なる
上下反転のほうが
違和感が大きい

58. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
縦横の作用を区別する必要はないのか？
16
画像処理としてはその仮定はおかしくないが，
現実世界においては，
重力があるので，左右と上下は異なる
上下反転のほうが
違和感が大きい
だから

59. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？
17
鏡で逆になっているのは，左右でも上下でもなく
前後。
鏡
実像 鏡像

60. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？
17
鏡で逆になっているのは，左右でも上下でもなく
前後。
鏡
実像 鏡像
北を見ているなら

61. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？
17
鏡で逆になっているのは，左右でも上下でもなく
前後。
鏡
実像 鏡像
北を見ているなら 南を見ている

62. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？
18
実像 鏡像
「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

63. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？
18
実像 鏡像
水平に回転
「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

64. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？
18
実像 鏡像
水平に回転
💃💃 💃💃
「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

65. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？
18
左右が反転
上下はそのまま
実像 鏡像
水平に回転
💃💃 💃💃
「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

66. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？
18
左右が反転
上下はそのまま
実像
🐻🐻💭💭 正解はこれしか
ないでしょう？
鏡像
水平に回転
💃💃 💃💃
「鏡で逆になる」というなら，「正解」はなにか？

67. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？
19
(💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません
鏡像物体

68. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？
19
(💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません
鏡像
縦回転だって
可能
物体

69. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？
19
(💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません
鏡像
縦回転だって
可能
🚀🚀
🚀🚀
物体

70. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？
19
上下が反転
左右はそのまま
(💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません
鏡像
縦回転だって
可能
🚀🚀
🚀🚀
物体

71. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
鏡ではなぜ左右だけ逆になるのか？
19
上下が反転
左右はそのまま
(💬💬 いいえ，正解はそれだけではありません
鏡像
縦回転だって
可能
🚀🚀
🚀🚀
物体
水平回転が正しいと思うのは
重力の都合でしかない

72. A.Asano,KansaiUniv.

73. A.Asano,KansaiUniv.
基底画像🤔🤔

74. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
21
Z = RXR′
どういうRを用いれば，
最適に画像データを圧縮できるか？
それは，依然わからない
しかし，画像をベクトルでなく行列で表したことで，
直交変換の効果がヴィジュアルにわかる

75. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
22
変換後の画像Zのm2個の要素を，
それぞれ行列に分ける
Z =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 z12 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+ · · · +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · zmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

76. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
22
変換後の画像Zのm2個の要素を，
それぞれ行列に分ける
を，上の各行列で行う。たとえば
Z =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 z12 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+ · · · +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · zmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
X = R′
ZR

77. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
22
変換後の画像Zのm2個の要素を，
それぞれ行列に分ける
を，上の各行列で行う。たとえば
Z =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 z12 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+ · · · +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · zmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
X = R′
ZR
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

78. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
22
変換後の画像Zのm2個の要素を，
それぞれ行列に分ける
を，上の各行列で行う。たとえば
Z =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 z12 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+ · · · +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · zmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
X = R′
ZR
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠

79. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
22
変換後の画像Zのm2個の要素を，
それぞれ行列に分ける
を，上の各行列で行う。たとえば
Z =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 z12 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+ · · · +
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · zmm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
X = R′
ZR
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠

80. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠

81. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
かけ算

82. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11が残る かけ算

83. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11が残る かけ算

84. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11が残る かけ算

85. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11が残る かけ算
この列が残る

86. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11が残る かけ算 かけ算
この列が残る

87. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11が残る r11が残るかけ算 かけ算
この列が残る

88. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11が残る r11が残るかけ算 かけ算
この列が残る

89. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11が残る r11が残るかけ算 かけ算
この列が残る

90. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
r11が残る r11が残るかけ算 かけ算
この列が残る この行が残る

91. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
z11
⎛
⎜
⎝
r11
...
r1m
⎞
⎟
⎠ (r11 · · · r1m)
r11が残る r11が残るかけ算 かけ算
この列が残る この行が残る

92. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
ベクトルの直積（付録3）
z11
⎛
⎜
⎝
r11
...
r1m
⎞
⎟
⎠ (r11 · · · r1m)
r11が残る r11が残るかけ算 かけ算
この列が残る この行が残る

93. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
ベクトルの直積（付録3）
z11
⎛
⎜
⎝
r11
...
r1m
⎞
⎟
⎠ (r11 · · · r1m) = z11
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
r11r11 r11r12 · · · r11r1m
r12r11 r12r12 · · · r12r1m
...
...
...
...
r1mr11 r1mr12 · · · r1mr1m
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
r11が残る r11が残るかけ算 かけ算
この列が残る この行が残る

94. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
23
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · rm1
...
...
...
r1m · · · rmm
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
z11 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
...
0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
r11 · · · r1m
...
...
...
rm1 · · · rmm
⎞
⎟
⎠
ベクトルの直積（付録3） 行列すなわち画像
z11
⎛
⎜
⎝
r11
...
r1m
⎞
⎟
⎠ (r11 · · · r1m) = z11
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
r11r11 r11r12 · · · r11r1m
r12r11 r12r12 · · · r12r1m
...
...
...
...
r1mr11 r1mr12 · · · r1mr1m
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
r11が残る r11が残るかけ算 かけ算
この列が残る この行が残る

95. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
基底画像
24
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
X = z11r1r′
1 + z12r1r′
2 + · · · + zmmrmr′
m
m m
つまり
基底画像
原画像Xは，m2個の基底画像に
それぞれZの各要素をかけて足し合わせた
ものになっている

96. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
つづきは
25
原画像Xは，m2個の基底画像に
それぞれZの各要素をかけて足し合わせた
ものになっている

97. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
つづきは
25
原画像Xは，m2個の基底画像に
それぞれZの各要素をかけて足し合わせた
ものになっている
つまり，今日の最初にでてきた，8×8
画像の１つ１つが基底画像です

98. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
つづきは
25
原画像Xは，m2個の基底画像に
それぞれZの各要素をかけて足し合わせた
ものになっている
元の関数は，いろいろな周波数の波に，
各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせた
ものになっている…
つまり，今日の最初にでてきた，8×8
画像の１つ１つが基底画像です

99. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
つづきは
25
原画像Xは，m2個の基底画像に
それぞれZの各要素をかけて足し合わせた
ものになっている
元の関数は，いろいろな周波数の波に，
各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせた
ものになっている…
つまり，今日の最初にでてきた，8×8
画像の１つ１つが基底画像です
第１部のこれと同じ？

100. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
つづきは
26
原画像Xは，m2個の基底画像に
それぞれZの各要素をかけて足し合わせた
ものになっている
元の関数は，いろいろな周波数の波に，
各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせた
ものになっている…
逆フーリエ変換？

101. 2019年度秋学期 画像情報処理
A.Asano,KansaiUniv.
/ 26
つづきは
26
フーリエ変換も，ユニタリー変換の一種
フーリエ変換を基本に，
画像圧縮に適した基底画像（一部を省略しても
影響が少ない基底画像）を選ぶ
原画像Xは，m2個の基底画像に
それぞれZの各要素をかけて足し合わせた
ものになっている
元の関数は，いろいろな周波数の波に，
各々対応するフーリエ係数をかけて足し合わせた
ものになっている…
逆フーリエ変換？

102. A.Asano,KansaiUniv.
Special thanks to
DynaFont 金剛黒体.