38. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
逆投影法
g(s,θ)
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから,
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
すなわち
x cos θ + y sin θ − s = 0
を満たします。したがって (3) 式と同様に
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)
が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) h
39. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
逆投影法
g(s,θ)
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから,
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
すなわち
x cos θ + y sin θ − s = 0
を満たします。したがって (3) 式と同様に
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)
が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) h
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を通って写された投影をすべて
とを考えます。こうすると,これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの,一応 f(x, y)
この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算して
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってき
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d
つまり
40. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
逆投影法
g(s,θ)
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから,
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
すなわち
x cos θ + y sin θ − s = 0
を満たします。したがって (3) 式と同様に
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)
が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) h
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を通って写された投影をすべて
とを考えます。こうすると,これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの,一応 f(x, y)
この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算して
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってき
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d
つまり
よって投影は
41. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
逆投影法
g(s,θ)
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから,
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
すなわち
x cos θ + y sin θ − s = 0
を満たします。したがって (3) 式と同様に
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)
が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) h
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を通って写された投影をすべて
とを考えます。こうすると,これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの,一応 f(x, y)
この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算して
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってき
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d
つまり
よって投影は
投影定理からはいったん離れて,もうすこ
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を
とを考えます。こうすると,これらの投影は
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは
この方法を逆投影法といいます。本当に復元
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s,
した s と x, y の関係式
s
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6)
g(s, θ) =
∞
f
42. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
逆投影法
g(s,θ)
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
これを半周分足し合わせたのが
逆投影
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから,
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
すなわち
x cos θ + y sin θ − s = 0
を満たします。したがって (3) 式と同様に
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)
が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) h
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を通って写された投影をすべて
とを考えます。こうすると,これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの,一応 f(x, y)
この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算して
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってき
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d
つまり
よって投影は
投影定理からはいったん離れて,もうすこ
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を
とを考えます。こうすると,これらの投影は
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは
この方法を逆投影法といいます。本当に復元
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s,
した s と x, y の関係式
s
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6)
g(s, θ) =
∞
f
43. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
逆投影法
g(s,θ)
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
これを半周分足し合わせたのが
逆投影
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから,
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
すなわち
x cos θ + y sin θ − s = 0
を満たします。したがって (3) 式と同様に
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)
が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) h
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を通って写された投影をすべて
とを考えます。こうすると,これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの,一応 f(x, y)
この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算して
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってき
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d
つまり
よって投影は
投影定理からはいったん離れて,もうすこ
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を
とを考えます。こうすると,これらの投影は
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは
この方法を逆投影法といいます。本当に復元
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s,
した s と x, y の関係式
s
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6)
g(s, θ) =
∞
f
用いられた「フィルタ補正逆投影法」の考えを説明します。
逆投影法
投影定理からはいったん離れて,もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみ
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を通って写された投影をすべての θ
とを考えます。こうすると,これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますか
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの,一応 f(x, y) が復
この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみま
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあ
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
44. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
逆投影法
g(s,θ)
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
これを半周分足し合わせたのが
逆投影
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから,
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
すなわち
x cos θ + y sin θ − s = 0
を満たします。したがって (3) 式と同様に
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)
が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) h
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を通って写された投影をすべて
とを考えます。こうすると,これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの,一応 f(x, y)
この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算して
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってき
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d
つまり
よって投影は
投影定理からはいったん離れて,もうすこ
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を
とを考えます。こうすると,これらの投影は
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは
この方法を逆投影法といいます。本当に復元
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s,
した s と x, y の関係式
s
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6)
g(s, θ) =
∞
f
用いられた「フィルタ補正逆投影法」の考えを説明します。
逆投影法
投影定理からはいったん離れて,もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみ
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を通って写された投影をすべての θ
とを考えます。こうすると,これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますか
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの,一応 f(x, y) が復
この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみま
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあ
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
45. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
逆投影法
g(s,θ)
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
これを半周分足し合わせたのが
逆投影
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから,
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
すなわち
x cos θ + y sin θ − s = 0
を満たします。したがって (3) 式と同様に
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)
が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) h
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を通って写された投影をすべて
とを考えます。こうすると,これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいま
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの,一応 f(x, y)
この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算して
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってき
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)d
つまり
よって投影は
投影定理からはいったん離れて,もうすこ
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を
とを考えます。こうすると,これらの投影は
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは
この方法を逆投影法といいます。本当に復元
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s,
した s と x, y の関係式
s
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6)
g(s, θ) =
∞
f
用いられた「フィルタ補正逆投影法」の考えを説明します。
逆投影法
投影定理からはいったん離れて,もうすこし素朴な再構成の方法を考えてみ
(x, y) での値 f(x, y) を求めるのに,(x, y) を通って写された投影をすべての θ
とを考えます。こうすると,これらの投影はすべて f(x, y) を含んでいますか
れ,投影に含まれている他の値によるぼけは生じるものの,一応 f(x, y) が復
この方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみま
角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあ
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち復元できているのか? f(x, y) とどれほど違うのだろうか?
46. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか?
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))d
逆投影
47. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか?
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))d
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′
dy′
dθ
=
∞
−∞
f(x′
, y′
)
π
0
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y) sin θ))dθ dx′
dy′
で,関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h′(θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影
48. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか?
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))d
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′
dy′
dθ
=
∞
−∞
f(x′
, y′
)
π
0
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y) sin θ))dθ dx′
dy′
で,関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h′(θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影
49. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか?角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通って
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)d
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x co
=
∞
f(x′
, y′
)
π
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y)
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))d
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′
dy′
dθ
=
∞
−∞
f(x′
, y′
)
π
0
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y) sin θ))dθ dx′
dy′
で,関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h′(θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影
50. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか?角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通って
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)d
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x co
=
∞
f(x′
, y′
)
π
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y)
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))d
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′
dy′
dθ
=
∞
−∞
f(x′
, y′
)
π
0
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y) sin θ))dθ dx′
dy′
で,関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h′(θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影
51. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか?角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通って
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)d
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x co
=
∞
f(x′
, y′
)
π
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y)
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))d
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′
dy′
dθ
=
∞
−∞
f(x′
, y′
)
π
0
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y) sin θ))dθ dx′
dy′
で,関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h′(θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影
方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう。
度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,前回の (8) 式
s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
って,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか
法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′
dy′
dθ
=
∞
−∞
f(x′
, y′
)
π
0
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y) sin θ))dθ dx′
dy′
ります。ここで,関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
52. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか?角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通って
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)d
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x co
=
∞
f(x′
, y′
)
π
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y)
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))d
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′
dy′
dθ
=
∞
−∞
f(x′
, y′
)
π
0
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y) sin θ))dθ dx′
dy′
で,関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h′(θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影
方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう。
度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,前回の (8) 式
s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
って,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか
法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′
dy′
dθ
=
∞
−∞
f(x′
, y′
)
π
0
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y) sin θ))dθ dx′
dy′
ります。ここで,関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
53. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか?角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通って
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)d
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x co
=
∞
f(x′
, y′
)
π
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y)
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))d
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′
dy′
dθ
=
∞
−∞
f(x′
, y′
)
π
0
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y) sin θ))dθ dx′
dy′
で,関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h′(θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影
方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう。
度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,前回の (8) 式
s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
って,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか
法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′
dy′
dθ
=
∞
−∞
f(x′
, y′
)
π
0
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y) sin θ))dθ dx′
dy′
ります。ここで,関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
54. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか?角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通って
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)d
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x co
=
∞
f(x′
, y′
)
π
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y)
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))d
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′
dy′
dθ
=
∞
−∞
f(x′
, y′
)
π
0
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y) sin θ))dθ dx′
dy′
で,関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h′(θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影
方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう。
度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,前回の (8) 式
s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
って,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか
法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′
dy′
dθ
=
∞
−∞
f(x′
, y′
)
π
0
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y) sin θ))dθ dx′
dy′
ります。ここで,関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
55. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
復元できているのだろうか?角度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通って
した s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
によって,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ につい
投影法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)d
と表されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −
と (1) 式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x co
=
∞
f(x′
, y′
)
π
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y)
投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう
に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,
の関係式
s = x cos θ + y sin θ
cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせる
再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式に代入すると
y) =
π ∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))d
成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
don 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
代入すると
=
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′
dy′
dθ
=
∞
−∞
f(x′
, y′
)
π
0
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y) sin θ))dθ dx′
dy′
で,関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき
δ[h(θ)] =
k
1
|h′(θk)|
δ[θ − θk]
Radon変換
逆投影
方法を逆投影法といいます。本当に復元ができるかどうか,計算してみましょう。
度 θ の軸に投影された Radon 変換 g(s, θ) のうち,(x, y) を通ってきた部分は,前回の (8) 式
s と x, y の関係式
s = x cos θ + y sin θ
って,g(x cos θ + y sin θ, θ) となります。これをすべての θ について足しあわせるわけですか
法による再構成像 b(x, y) は
b(x, y) =
π
0
g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
されます。Radon 変換の式 (前回の (6) 式),すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
式を (2) 式に代入すると
b(x, y) =
π
0
∞
−∞
f(x′
, y′
)δ(x′
cos θ + y′
sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′
dy′
dθ
=
∞
−∞
f(x′
, y′
)
π
0
δ((x′
− x) cos θ + (y′
− y) sin θ))dθ dx′
dy′
ります。ここで,関数 h(θ) が有限個の θ = θk についてしか 0 にならないとき