Лекция №4.Элементы квантовоймеханики
Основания квантовой механикиДвижение микрообъектов описывается не траекториями, а волновымифункциями. Все характеристики м...
Вычисление средних значенийВажным в физике микромира является понятие среднего значения.Рассмотрим задачу о вычислении сре...
Основные операторы квантовоймеханикиОператор – последовательность действий (правило), посредством которыходной функции соп...
Основные операторы квантовоймеханики∂∂−=∂∂−=∂∂−=zipyipxipzyxˆˆˆxpiikxeex ==)(ψpdxxpidxxxixdxxpxp xx=−==⋅∂∂⋅=>...
Основные операторы квантовоймеханики3. Оператор кинетической энергии:( )2222212zyxk pppmmpTE ++===( )2222222222222222221ˆˆ...
Основные операторы квантовоймеханики222),,(ˆˆˆ ∇−=+=mzyxUUTH4. Оператор полной энергии:tiH∂∂= ˆилиНайдем среднее значени...
Основные операторы квантовой механики[ ]zyx pppzyxkjiprM =×=5. Оператор момента импульса:∂∂−∂∂−==∂∂−−...
Собственные функции и собственныесостояния операторовВ квантовой механике состояние частицы в данный момент времени описыв...
Собственные функции и собственныесостояния операторовЕсли система находится в состоянии, описываемом собственной функцией ...
Уравнение ШредингераUmH +∇−= 222ˆ tiH∂∂= ˆВ изолированных физических системах выполняется закон сохранения энергии.Запиш...
Уравнение ШредингераПокажем, как можно получить уравнение Шредингера:)()(EtpxikxtieAeA−−−⋅=⋅= ωψ Волновая функция движуще...
Уравнение ШредингераВ отличие от уравнений Ньютона, уравнение Шредингера являетсядифференциальным уравнением в частных про...
Проблема измерений в квантовой механикеПостулат квантовой механики утверждает, что в результатеизмерений физической величи...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

элементы квантовой механики

587 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
587
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

элементы квантовой механики

  1. 1. Лекция №4.Элементы квантовоймеханики
  2. 2. Основания квантовой механикиДвижение микрообъектов описывается не траекториями, а волновымифункциями. Все характеристики микрообъекта также определяются волновойфункцией (ψ - функцией). Задача определения и правильного истолкованияψ - функций является основной задачей квантовой механики.Волновая механика (1925) Матричная механика (1925)Основные объекты - ψ - функциии самосопряженные операторыОсновные объекты - векторы вспециальном гильбертовомпространствеВернер КарлГейзенбергМакс БорнЭрвинШредингер
  3. 3. Вычисление средних значенийВажным в физике микромира является понятие среднего значения.Рассмотрим задачу о вычислении среднего значения кинетической энергиимолекул газа:( ) ∑==+++>=<NiiENEEENE13211...1Возможен и другой способ. Пусть Nk – число молекул, обладающих энергиейот Ek до Ek+1:∑∑ ===nkkkNii ENE11∑∑∑ =====>=<nkkknkkknkkk EPENNENNE1111∫ ⋅>=< dEEPEE )( В квантовой механике роль функции плотности вероятности P(E)играет квадрат модуля волновой функции |ψ|2:)()()(..,)()()( *22xxxктdxxxfxf ψψψψ =⋅>=< ∫∫ ⋅>=< dxxxfxxf )()()()( *ψψ
  4. 4. Основные операторы квантовоймеханикиОператор – последовательность действий (правило), посредством которыходной функции сопоставляется другая функция:ϕψ =Fˆ1. Оператор координаты:ψψ ⋅= xxˆ Найдем среднее значение оператора координаты:∫∫∫ ⋅=⋅⋅=>=< dxxxdxxxxdxxxxx2)()()(*)(ˆ)(* ψψψψψ
  5. 5. Основные операторы квантовоймеханики∂∂−=∂∂−=∂∂−=zipyipxipzyxˆˆˆxpiikxeex ==)(ψpdxxpidxxxixdxxpxp xx=−==⋅∂∂⋅=>=<∫∫∫22)()()(*)(ˆ)(*ψψψψψ2. Оператор импульса:Найдем среднее значение проекцииимпульса на ось х:∇−= ipˆВ общем виде оператор импульса записывается такkzjyix∂∂+∂∂+∂∂=∇ - оператор «набла»
  6. 6. Основные операторы квантовоймеханики3. Оператор кинетической энергии:( )2222212zyxk pppmmpTE ++===( )2222222222222222221ˆˆˆ21ˆ∇−=∂∂+∂∂+∂∂−==∂∂−+∂∂−+∂∂−=++=mzyxmziyiximpppmT zyx- Связь кинетической энергии иимпульсаВид оператора кинетической энергии
  7. 7. Основные операторы квантовоймеханики222),,(ˆˆˆ ∇−=+=mzyxUUTH4. Оператор полной энергии:tiH∂∂= ˆилиНайдем среднее значение оператора полной энергии для фотона:)()( kxtiex −−= ωψωωωω =−=∂∂>=< −∫ iidtetieH titiВ результате получается известная формула Планка.
  8. 8. Основные операторы квантовой механики[ ]zyx pppzyxkjiprM =×=5. Оператор момента импульса:∂∂−∂∂−==∂∂−−∂∂−=−=xyyxixiyyixpypxM xyzˆˆˆˆˆrθϕ yxz===ϕθϕθθcossinsinsincosrxryrzxyyxyrxrzzyyxx∂∂−∂∂=∂∂+∂∂−=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ϕθϕθϕϕϕϕcossinsinsinϕ∂∂−= iMzˆ
  9. 9. Собственные функции и собственныесостояния операторовВ квантовой механике состояние частицы в данный момент времени описываетсякомплексной функцией, причем эта функция сама по себе физического смысла не имеет, аквадрат её модуля интерпретируется как плотность вероятности обнаружения частицы вданной точке пространства.Физическим величинам (энергии, импульсу, моменту импульса и др.) в квантовой механикесопоставляются операторы соответствующих величин.Состояние, в котором физическая величина, соответствующая оператору F имеет вполнеопределенное значение λ, называется собственным состоянием оператора F, а Ψ-функция этого состояния называется собственной функцией.λψψ =Fˆλ − собственное значение оператора.(1)
  10. 10. Собственные функции и собственныесостояния операторовЕсли система находится в состоянии, описываемом собственной функцией операторанекоторой физической величины, то при измерении этой величины всегда будетполучаться число λ, являющееся собственным значение этого оператора .Квантовомеханические операторы имеют не одну, а множество собственных функций исоответствующих им собственных значений. При этом совокупность собственныхзначений называют спектром оператора. Спектр оператора считается дискретным, еслион состоит из счетного множества значений λ. Спектр собственных значений оператораможет быть и непрерывным, когда в (1) оказываются возможными все значения λ , либосостоящим из отдельных полос, таких что возможные значения λ лежат в рядеинтервалов.Решением уравнения являетсяψϕψzMi =∂∂− Т.к. ϕ - циклическая переменная, тоПример дискретного спектра (оператор момента импульса):=ϕψ zMiAexp( ) )(2 ϕψπϕψ =+( ) ⇒= +ϕπϕ zz MiMi exp2exp 12exp =πzMi...2,1,0,22±±== mmMzππmMz =
  11. 11. Уравнение ШредингераUmH +∇−= 222ˆ tiH∂∂= ˆВ изолированных физических системах выполняется закон сохранения энергии.Запишем вид операторов полной энергии:tiUm ∂∂=+∇−ψψψ  222Уравнение Шредингера длянерелятивистских системψψ 0ˆ EH = Е0 – собственные значения оператора полной энергии.ψψψ 0222EUm=+∇− Уравнение Шредингера для стационарныхсостояний
  12. 12. Уравнение ШредингераПокажем, как можно получить уравнение Шредингера:)()(EtpxikxtieAeA−−−⋅=⋅= ωψ Волновая функция движущейся микрочастицыψψEit −=∂∂ψψ 2222pix=∂∂2222xp∂∂−=ψψtiE∂∂=ψψПо закону сохранения энергии, кинетическая энергия частицы равна:UEmp−=22Utixm−∂∂=∂∂−ψψψψ 112 222tiUxm ∂∂=+∂∂−ψψψ2222Уравнение Шредингера для одномерного случая.
  13. 13. Уравнение ШредингераВ отличие от уравнений Ньютона, уравнение Шредингера являетсядифференциальным уравнением в частных производных. Такиеуравнения в аналитическом виде решаются крайне редко. Поэтому вквантовой механике существует очень узкий круг задач, решаемых ваналитическом виде до конца. Тем не менее, можно научитьсяоценивать результат и в тех случаях, когда точное решение не можетбыть получено из-за сложности уравнения.
  14. 14. Проблема измерений в квантовой механикеПостулат квантовой механики утверждает, что в результатеизмерений физической величины в любой квантовой системе могут быть полученытолько такие значения, которые являются собственными значениями соответствующегооператора. Этот важный постулат квантовой механики устанавливает связь междутеорией и возможностью ее экспериментальной проверки. Математический аппараттеории, используя представление физических величин операторами, позволяетпредсказать результаты измерений физических величин в различных квантовыхсистемах. Эти выводы теории могут быть проверены экспериментально."Некоторые физики, в том числе и я сам, не могут поверить, что мы раз и навсегдадолжны отказаться от идеи прямого изображения физической реальности впространстве и времени или что мы должны согласиться с мнением, будто явления вприроде подобны игре случая. .... Я еще верю в возможность создания модели, то естьтеории, способной излагать сами сущности, а не только вероятности их проявления."А.ЭйнштейнВнедрение случайности в жизнь Вселенной не порождает хаоса. В жизни Вселеннойосуществляется безмерно великое число проб и испытаний. В этом многообразиисобытий обнаруживается закон величайшей Красоты и Гармонии. Иллюстрацией этомуутверждению может служить квантовая механика, законы которой основаны наконцепции, отвергающей предопределенность событий. Именно на этой основе быливскрыты изумительные закономерности атомного мира, позволившие понять строениеатомов и молекул, закономерности их взаимодействия" Д.И. Блохинцев

×