2. Основания квантовой механики
Движение микрообъектов описывается не траекториями, а волновыми
функциями. Все характеристики микрообъекта также определяются волновой
функцией (ψ - функцией). Задача определения и правильного истолкования
ψ - функций является основной задачей квантовой механики.
Волновая механика (1925) Матричная механика (1925)
Основные объекты - ψ - функции
и самосопряженные операторы
Основные объекты - векторы в
специальном гильбертовом
пространстве
Вернер Карл
Гейзенберг
Макс БорнЭрвин
Шредингер
3. Вычисление средних значений
Важным в физике микромира является понятие среднего значения.
Рассмотрим задачу о вычислении среднего значения кинетической энергии
молекул газа:
( ) ∑=
=+++>=<
N
i
iE
N
EEE
N
E
1
321
1
...
1
Возможен и другой способ. Пусть Nk – число молекул, обладающих энергией
от Ek до Ek+1:
∑∑ ==
=
n
k
kk
N
i
i ENE
11
∑∑∑ ===
==>=<
n
k
kk
n
k
k
k
n
k
kk EPE
N
N
EN
N
E
111
1
∫ ⋅>=< dEEPEE )( В квантовой механике роль функции плотности вероятности P(E)
играет квадрат модуля волновой функции |ψ|2
:
)()()(..,)()()( *22
xxxктdxxxfxf ψψψψ =⋅>=< ∫
∫ ⋅>=< dxxxfxxf )()()()( *
ψψ
4. Основные операторы квантовой
механики
Оператор – последовательность действий (правило), посредством которых
одной функции сопоставляется другая функция:
ϕψ =Fˆ
1. Оператор координаты:
ψψ ⋅= xxˆ Найдем среднее значение оператора координаты:
∫∫∫ ⋅=⋅⋅=>=< dxxxdxxxxdxxxxx
2
)()()(*)(ˆ)(* ψψψψψ
6. Основные операторы квантовой
механики
3. Оператор кинетической энергии:
( )222
2
2
1
2
zyxk ppp
mm
p
TE ++===
( )
2
2
2
2
2
2
2
22
222
222
22
2
1
ˆˆˆ
2
1ˆ
∇−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
=
∂
∂
−+
∂
∂
−+
∂
∂
−=++=
mzyxm
z
i
y
i
x
i
m
ppp
m
T zyx
- Связь кинетической энергии и
импульса
Вид оператора кинетической энергии
7. Основные операторы квантовой
механики
2
2
2
),,(ˆˆˆ ∇−=+=
m
zyxUUTH
4. Оператор полной энергии:
t
iH
∂
∂
= ˆили
Найдем среднее значение оператора полной энергии для фотона:
)(
)( kxti
ex −−
= ω
ψ
ωωωω
=−=
∂
∂
>=< −
∫ iidte
t
ieH titi
В результате получается известная формула Планка.
8. Основные операторы квантовой механики
[ ]
zyx ppp
zyx
kji
prM =×=
5. Оператор момента импульса:
∂
∂
−
∂
∂
−=
=
∂
∂
−−
∂
∂
−=−=
x
y
y
xi
x
iy
y
ixpypxM xyz
ˆˆˆˆˆ
rθ
ϕ y
x
z
=
=
=
ϕθ
ϕθ
θ
cossin
sinsin
cos
rx
ry
rz
x
y
y
x
y
r
x
r
z
z
y
y
x
x
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ϕθϕθ
ϕϕϕϕ
cossinsinsin
ϕ∂
∂
−= iMz
ˆ
9. Собственные функции и собственные
состояния операторов
В квантовой механике состояние частицы в данный момент времени описывается
комплексной функцией, причем эта функция сама по себе физического смысла не имеет, а
квадрат её модуля интерпретируется как плотность вероятности обнаружения частицы в
данной точке пространства.
Физическим величинам (энергии, импульсу, моменту импульса и др.) в квантовой механике
сопоставляются операторы соответствующих величин.
Состояние, в котором физическая величина, соответствующая оператору F имеет вполне
определенное значение λ, называется собственным состоянием оператора F, а Ψ-
функция этого состояния называется собственной функцией.
λψψ =Fˆ
λ − собственное значение оператора.
(1)
10. Собственные функции и собственные
состояния операторов
Если система находится в состоянии, описываемом собственной функцией оператора
некоторой физической величины, то при измерении этой величины всегда будет
получаться число λ, являющееся собственным значение этого оператора .
Квантовомеханические операторы имеют не одну, а множество собственных функций и
соответствующих им собственных значений. При этом совокупность собственных
значений называют спектром оператора. Спектр оператора считается дискретным, если
он состоит из счетного множества значений λ. Спектр собственных значений оператора
может быть и непрерывным, когда в (1) оказываются возможными все значения λ , либо
состоящим из отдельных полос, таких что возможные значения λ лежат в ряде
интервалов.
Решением уравнения являетсяψ
ϕ
ψ
zMi =
∂
∂
−
Т.к. ϕ - циклическая переменная, то
Пример дискретного спектра (оператор момента импульса):
=
ϕ
ψ zM
iAexp
( ) )(2 ϕψπϕψ =+
( ) ⇒
=
+
ϕπϕ zz M
i
M
i exp
2
exp 1
2
exp =
πzM
i
...2,1,0,2
2
±±== mm
Mz
π
π
mMz =
11. Уравнение Шредингера
U
m
H +∇−= 2
2
2
ˆ
t
iH
∂
∂
= ˆ
В изолированных физических системах выполняется закон сохранения энергии.
Запишем вид операторов полной энергии:
t
iU
m ∂
∂
=+∇−
ψ
ψψ
2
2
2
Уравнение Шредингера для
нерелятивистских систем
ψψ 0
ˆ EH = Е0 – собственные значения оператора полной энергии.
ψψψ 0
2
2
2
EU
m
=+∇−
Уравнение Шредингера для стационарных
состояний
12. Уравнение Шредингера
Покажем, как можно получить уравнение Шредингера:
)(
)(
Etpx
i
kxti
eAeA
−
−−
⋅=⋅= ω
ψ Волновая функция движущейся микрочастицы
ψ
ψ
E
i
t
−=
∂
∂
ψ
ψ 2
2
2
2
p
i
x
=
∂
∂
2
22
2
x
p
∂
∂
−=
ψ
ψ
t
i
E
∂
∂
=
ψ
ψ
По закону сохранения энергии, кинетическая энергия частицы равна:
UE
m
p
−=
2
2
U
t
i
xm
−
∂
∂
=
∂
∂
−
ψ
ψ
ψ
ψ
11
2 2
22
t
iU
xm ∂
∂
=+
∂
∂
−
ψ
ψ
ψ
2
22
2
Уравнение Шредингера для одномерного случая.
13. Уравнение Шредингера
В отличие от уравнений Ньютона, уравнение Шредингера является
дифференциальным уравнением в частных производных. Такие
уравнения в аналитическом виде решаются крайне редко. Поэтому в
квантовой механике существует очень узкий круг задач, решаемых в
аналитическом виде до конца. Тем не менее, можно научиться
оценивать результат и в тех случаях, когда точное решение не может
быть получено из-за сложности уравнения.
14. Проблема измерений в квантовой механике
Постулат квантовой механики утверждает, что в результате
измерений физической величины в любой квантовой системе могут быть получены
только такие значения, которые являются собственными значениями соответствующего
оператора. Этот важный постулат квантовой механики устанавливает связь между
теорией и возможностью ее экспериментальной проверки. Математический аппарат
теории, используя представление физических величин операторами, позволяет
предсказать результаты измерений физических величин в различных квантовых
системах. Эти выводы теории могут быть проверены экспериментально.
"Некоторые физики, в том числе и я сам, не могут поверить, что мы раз и навсегда
должны отказаться от идеи прямого изображения физической реальности в
пространстве и времени или что мы должны согласиться с мнением, будто явления в
природе подобны игре случая. .... Я еще верю в возможность создания модели, то есть
теории, способной излагать сами сущности, а не только вероятности их проявления."
А.Эйнштейн
Внедрение случайности в жизнь Вселенной не порождает хаоса. В жизни Вселенной
осуществляется безмерно великое число проб и испытаний. В этом многообразии
событий обнаруживается закон величайшей Красоты и Гармонии. Иллюстрацией этому
утверждению может служить квантовая механика, законы которой основаны на
концепции, отвергающей предопределенность событий. Именно на этой основе были
вскрыты изумительные закономерности атомного мира, позволившие понять строение
атомов и молекул, закономерности их взаимодействия" Д.И. Блохинцев
