1. Федеральное агентство по образованию
_______________________________________________________________
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский Государственный технологический институт
( Технический университет )
________________________________________________________________
Кафедра теоретической механики
Ю.А. Иванов, Л.В. Колпакова, Л.И. Погребная
Уравнения Лагранжа второго рода
Методические указания
Санкт-Петербург
2009

2. УДК 531
Иванов Ю.А. Уравнение Лагранжа второго рода: методические указания.,/
Иванов Ю.А., Колпакова Л.В., Погребная Л.И.- СПб., СПбГТИ(ТУ),2009,-
30 с.
Кратко изложена суть этого метода в теоретическом плане и
приведены примеры решения. Методические указания предназначены для
студентов механических специальностей. Они могут быть также исполь-
зованы студентами химических и физико-химических специальностей.
Приведены (без доказательства) и разъяснены основные положения теории
уравнений Лагранжа второго рода, изучение которых вызывает у студентов
наибольшие затруднения. Имеются варианты заданий для самостоятельного
решения и выполнения контрольных заданий.
Методические указания по курсу теоретической механики
предназначены для студентов первого и второго курсов в соответствии с
рабочей программой .
Илл. 7 , Библиогр. 7 назв.
Рецензент: Д.А. Бартенев, к.т.н., доцент кафедры теоретических основ
химического машиностроения СПбГТИ(ТУ)
Утверждено на заседании методической комиссии физико-
математического отделения 03.04.2009
Рекомендовано к изданию РИСо СПбГТИ(ТУ)
2

3. СОДЕРЖАНИЕ
Введение..................................................................................................................4
1. Общие методически положения........................................................................5
2. Рекомендуемая последовательность решения задач.....................................10
3. Примеры решения задач...................................................................................11
4. Контрольные вопросы......................................................................................27
Литература………................................................................................................28
3

4. ВВЕДЕНИЕ
Уравнения Лагранжа второго рода – это дифференциальные уравнения
в обобщенных координатах, описывающие движение механической системы
с S степенями свободы, подчиненной идеальным и голономным связям. Они
находят самое широкое применение в исследовании поведения не только
механических, но и других физических систем (непрерывной среды,
гравитационного или электромагнитного поля, электромеханических систем
и др.). Такое широкое распространение они получили благодаря ряду
преимуществ перед другими способами составления дифференциальных
уравнений движения.
Так, например, число этих уравнений равно числу степеней свободы
системы, т. е. наименьшему возможному для данной системы числу
дифференциальных уравнений. Для сравнения заметим, что число
дифференциальных уравнений движения системы n материальных точек в
декартовых координатах равно 3n≥S, а решение задач с помощью уравнений
Лагранжа первого рода приводит к системе 3n+r уравнений с таким же
числом неизвестных (r – число уравнений связей).
Уравнениями Лагранжа второго рода можно пользоваться для
изучения движения любой механической системы с геометрическими
связями (т. е. голономной) независимо от того, сколько тел (или точек)
входит в систему, какое движение (поступательное, вращательное, плоское и
т. д.) совершают эти тела и движутся ли они в инерциальной или в
неинерциальной системе отсчета.
Преимуществом изучаемых уравнений является также отсутствие в них
наперед неизвестных реакций связей, в отличие от других методов
составления уравнений. Требование голономности связей по существу
является единственным принципиально важным условием возможности
применять методику этих уравнений.
Стационарность либо нестационарность связей значения не имеют, а
неидеальность их в реальных механических системах может быть учтена
путем условного «перевода» сил сопротивления в разряд активных с тем,
чтобы формально связи можно было оставить идеальными.
Процесс составления уравнений Лагранжа второго рода в известной
мере стандартизирован; встречающиеся трудности носят преимущественно
кинематический характер.
Все сказанное позволяет сделать вывод об универсальности уравнений
Лагранжа второго рода для весьма широкого класса задач механики и физики
и о предпочтительности их применения во многих случаях перед
применением основных теорем динамики, особенно для систем с числом
степеней свободы S>1. Условимся далее для краткости уравнения Лагранжа
второго рода называть просто уравнениями Лагранжа, так как другие виды
уравнений здесь не рассматриваются.
4

5. 1 ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим движение механической системы, состоящей из n
материальных точек, по отношению к инерциальной системе отсчета.
Положения всех точек этой системы определяются декартовыми
координатами общим числом 3n. Пусть на систему наложены связи,
ограничивающее действие которых аналитически выражается равенством
вида
f j ( x1, y1, z1 , x2 , y2 , z2 ,..., xn , yn , zn , t ) = 0 (1.1)
( j = 1, r )
Заметим, что в уравнения (1.1) входят, кроме времени, лишь координаты
точек системы, но не их скорости.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Связь, налагающая ограничение только на
положения точек системы, называется геометрической или конечной связью
(по терминологии Г. Герца – голономной).
Если ограничение, наложенное на скорости, выражается уравнением,
которое может быть проинтегрировано и, таким образом, сведено к
ограничению на координаты, то такая связь тоже считается голономной.
Неголономными связями будем называть такие, аналитические
выражения которых представляют собой принципиально неинтегрируемые
соотношения, содержащие скорости точек системы.
Если в уравнения (1.1) явно входит время, то такие связи называются
реономными (нестационарными), если не входит – склерономными
(стационарными).
Таким образом, при наложении связей (1.1) число независимых
координат точек системы равно S = 3n - r. Оно называется числом степеней
свободы положения системы. В качестве независимых можно выбрать какие-
либо S координат из общего числа 3n декартовых, тогда остальные можно
выразить через них с помощью конечных соотношений (1.1). Но можно
удобным для данной механической системы образом подобрать S таких
независимых скалярных геометрических параметров любого физического
смысла и размерности, которые однозначно определят положение всех точек
этой системы. Этими параметрами могут быть, например, отрезки прямых
или дуг, углы, площади и т. д.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Независимые параметры, однозначно
определяющие положение механической системы, называются обобщенными
координатами этой системы.
Для них приняты обозначения q1 , q 2 ,..., q S . Число их, разумеется,
равно числу степеней свободы системы.
Поскольку обобщенные координаты независимы (т. е. любую из них
можно мысленно изменять, сохраняя неизменными остальные), то и их
5

6. возможные приращения δq1 , δq2 ,..., δq S также независимы. Это свойство их
будет использовано далее.
Как при всяком переходе от одной системы координат к другой,
декартовы координаты xi , y i , z i i-й точки механической системы можно
выразить через обобщенные координаты с помощью зависимостей вида
xi = xi (q1 , q 2 ,..., q S , t );
y i = yi (q1 , q 2 ,..., q S , t );
z i = z i (q1 , q 2 ,..., q S , t ); (1.2)
(i = 1, n)
Эти зависимости, конечно, обращают уравнения связей (1.1) в
тождества. Следовательно, и для радиуса – вектора i-й точки, проекциями
которого являются xi , y i , z i , будем иметь
ri = r i (q1 , q 2 ,..., q S , t ),
(1.3)
(i = 1, n)
Производные первого порядка от обобщенных координат во времени
называются обобщенными скоростями и обозначаются & & &
q1 , q 2 ,..., q S , а
&& && &&
производные второго порядка q1 , q2 ,..., qS – обобщенными ускорениями.
Размерность и механический смысл обобщенных скоростей и
ускорений целиком определяются выбором обобщенных координат. Так,
например, если q – угол, то q – угловая скорость, q – угловое ускорение.
& &&
Введем понятие обобщенной силы.
Мысленно сообщим точкам системы возможные перемещения δ ri ,
допускаемые связями. Если связи нестационарные, то δ r i сообщаются при
«замороженных» связях, т. е. при фиксированном значении t – такие
вариации координат точек системы называются изохронными.
Вычислим элементарную работу активных сил и сил сопротивления,
условно переведенных в разряд активных (как говорилось во введении, это
дает возможность считать все наложенные на систему связи идеальными), на
этом перемещении:
n n
δA = ∑ F i ⋅ δ r i = ∑ ( Fix δxi + Fiy δy i + Fiz δz i ) (1.4)
i =1 i =1
В этом равенстве вариации декартовых координат
δxi , δy i , δz i (i = 1, n)
и, следовательно, δ r i являются зависимыми
величинами вследствие наложения на систему связей. Выразим их через
6

7. независимые вариации обобщенных координат, проварьировав равенства
(1.3) при фиксированном t:
S
∂r i
δ ri = ∑ δqν
ν =1 ∂qν
(1.5)
(i = 1, n)
Подставим (1.5) в (1.4) и изменим порядок суммирования:
n S
∂r i S n
∂r
δA = ∑ Fi ∑ δqν = ∑∑ Fi i δqν (1.6)
i =1 ν =1 ∂qν ν =1 i =1 ∂qν
Обозначим через Qν скалярную величину
n
∂ ri ∂(δA)
Qν = ∑ Fi =
i =1 ∂qν ∂qν
(1.7)
(i = 1, S )
Тогда элементарная работа запишется так:
S
δA = ∑ Qν δqν (1.8)
ν =1
В этом равенстве, как отмечалось раньше, все δqν независимы.
Выражение (1.8) по структуре сходно с (1.4), только оно записано «на языке»
обобщенных координат. Это дает возможность назвать выражение Qν
обобщенной силой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Обобщенной силой Qν , соответствующей
обобщенной координате qν , называется величина, являющаяся множителем
при независимой вариации δqν в выражении для элементарной работы
активных сил на возможных перемещениях точек системы.
Размерность и механический смысл обобщенных сил полностью
определяются выбором обобщенных координат. Так, например, если
обобщенной координатой является угол, то соответствующей обобщенной
силой будет момент сил, вызывающий изменение этого угла. Вообще же, так
как δA имеет размерность работы, то
[Q] = [ A] [q] (1.9)
Практический способ определения обобщенных сил основан на
независимости приращений обобщенных координат. Например, если нужно
определить обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате с
определенным номером ν, то механической системе сообщают такое
7

8. возможное перемещение, при котором δqν ≠ 0 , а все остальные
δqµ = 0, (µ ≠ ν ) . Тогда равенство (1.5) примет вид
∂ ri
δ riν = δqν
∂qν
(1.10),
(i = 1, n)
где δ riν обозначает приращение радиуса-вектора i-й точки системы,
вызванное изменением только ν-й обобщенной координаты, а все слагаемые
в правой части (1.5), кроме имеющего номер ν, обратились в ноль.
Элементарную работу активных сил на перемещениях точек системы
обозначают δ riν . Она, очевидно, равна
n
∂ ri
δAν = ∑ Fi δqν (1.11)
i =1 ∂qν
и тогда, согласно определению 3, обобщенной силой Qν будет выражение
n
∂ ri δAν
Qν = ∑ Fi = (1.12)
i =1 ∂qν δqν
Для определения обобщенных сил, соответствующих остальным
обобщенным координатам, поступают аналогичным образом.
Если все активные силы, действующие на механическую систему,
потенциальны, то для определения обобщенных сил нужно сначала выразить
потенциальную энергию системы как функцию обобщенных координат, и
тогда обобщенная сила определится так:
∂Π
Qν = −
∂qν
(1.13)
(ν = 1, S )
Если среди активных сил, действующих на механическую систему,
есть и потенциальные, и непотенциальные, то обобщенную силу можно
представить в виде
∂Π
Qν = − + Qν∗
∂qν
(1.14)
(ν = 1, S )
∗
где Qν находятся первым способом, но на возможных перемещениях точек
системы вычисляется работа только непотенциальных активных сил.
8

9. После того, как введены все необходимые понятия, можно записать
уравнение Лагранжа второго рода для голономной системы с S степенями
свободы, подчиненной идеальным связям:
d ∂T ∂T
( )− = Qν
dt ∂qν
& ∂qν
(1.15)
(ν = 1, S )
где T – кинетическая энергия системы, выраженная через обобщенные
координаты и скорости.
Основная задача динамики механической системы, сформулированная
в обобщенных координатах, состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы
Q1 , Q2 ,..., QS и начальные условияq1( 0 ) , q 20 ) ,..., q S0 ) , q1( 0 ) , q 20 ) ,..., q S0 ) ,
( (
& &( &(
определить обобщенные координаты q1 , q 2 ,..., q S как функции времени. Так
как кинетическая энергия T всегда содержит квадраты обобщенных
скоростей &
qν , то при выполнении необходимых операций
дифференцирования в левых частях уравнений (1.15) появятся вторые
&&
производные по времени qν от искомых координат, т. е. обобщенные
ускорения. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой
обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно
обобщенных координат.
В случае, когда все действующие на систему активные силы
потенциальны, уравнениям Лагранжа можно придать следующий вид:
d ∂L ∂L
( )− =0
dt ∂qν
& ∂qν
(1.16)
(ν = 1, S )
где L=T–П называется функцией Лагранжа, или кинетическим потенциалом
(лагранжианом).
Отметим, что в практике встречаются системы, функция Лагранжа
которых не содержит явно некоторых обобщенных координат. Они
называются циклическими координатами. Пусть среди S обобщенных
координат имеется k циклических (k<S): q1 , q 2 ,..., qk . По определению
циклических координат
∂L
=0
∂qµ
(1.17)
( µ = 1, k )
9

10. Тогда k первых уравнений Лагранжа (1.16) примут вид
d ∂L
( )=0
dt ∂qµ
&
(1.18)
( µ = 1, k )
откуда следует
∂L
= cµ = const
∂qµ
&
(1.19)
( µ = 1, k )
Равенства (1.19) называются циклическими интегралами.
Таким образом, если среди обобщенных координат имеются
циклические, то можно сразу понизить порядок системы на k единиц. Ниже
будут рассмотрены примеры систем с циклическими координатами.
В заключение отметим, что для склерономных систем, находящихся
под действием потенциальных сил, справедлив интеграл энергии
T + Π = const (1.20)
а для систем с нестационарными связями, но таких, функция Лагранжа
которых явно от времени не зависит, справедлив обобщенный интеграл
энергии, или интеграл Якоби
Π + T ( 2 ) − T ( 0 ) = const (1.21)
( 2) (0)
где T и T – части кинетической энергии соответственно второй и
нулевой степеней относительно обобщенных скоростей.
2. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Составлять уравнения Лагранжа для механической системы
предлагается в такой последовательности:
1. Определить число степеней свободы системы.
2. Ввести систему координат и выбрать независимые обобщенные
координаты в количестве, равном числу степеней свободы. Хотя выбор
обобщенных координат, вообще говоря, произволен, лишь бы они
были между собой независимы и однозначно определяли положение
системы, однако весьма важен «удачный» выбор их, т. е. такой, при
котором уравнения движения принимают наиболее компактный вид.
3. Изобразить систему в произвольном положении и показать на рисунке
все действующие силы (для систем с идеальными связями – только
активные).
10

11. 4. Определить обобщенные силы системы Q1 , Q2 ,..., QS одним из
описанных выше способов, при этом во избежание ошибок в знаках
нужно сообщить точкам системы такие возможные перемещения,
направления которых должны совпадать с выбранным положительным
направлением отсчета обобщенных координат.
5. Определить кинетическую энергию механической системы T и
выразить ее через обобщенные координаты qν и обобщенные скорости
&
qν .
6. Выполнить все операции дифференцирования, предопределенные
структурой левых частей уравнений Лагранжа.
7. Записать систему S уравнений Лагранжа для заданной механической
системы.
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
В приведенных примерах частично рассматриваются модели,
изученные ранее с помощью других методов, чтобы подчеркнуть
универсальность, а в ряде случаев и преимущество уравнений Лагранжа.
ПРИМЕР 3.1
Материальная точка M движется по гладкой прямой AB, вращающейся
с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси.
Прямая AB образует угол α с горизонталью. Найти закон движения точки по
прямой AB ([6], задача 48.23).
РЕШЕНИЕ
3.1.1. Система имеет одну степень свободы S=1. Так как стержень AB
вращается по заданному закону, не испытывая обратного влияния на него со
стороны движущейся точки M, то его следует рассматривать как
нестационарную связь.
3.1.2. В качестве обобщенной координаты выберем прямолинейную
координату ξ, характеризующую положение точки M относительно стержня
AB. Начало и положительное направление ее отсчета указано на рисунке 1.
11

12. Рисунок 1
3.1.3. Так как трением в системе пренебрегаем, то единственной силой,
которую следует указать на схеме и учесть при вычислении обобщенной
силы Qξ , является сила тяжести G .
3.1.4. Вычисляем элементарную работу силы G на перемещении δξ
при «замороженной» связи:
δA = −Gδξ sin α = (−G sin α )δξ ,
и, следовательно, по определению обобщенной силы
Qξ = −G sin α
Можно было получить тот же результат другим способом. Так как сила G
потенциальна, найдем потенциальную энергию системы; пользуясь
произвольностью выбора ее нулевого уровня, положим П=0 при ξ=0 и тогда
Π = mgξ sin α ,
а соответствующая обобщенная сила
∂Π
Qξ = − = −mg sin α
∂ξ
3.1.5. Кинетическая энергия точки вычисляется, несмотря на выбор
обобщенной координаты, в абсолютном движении:
mv 2 m 2 2 m
T= = (ve + vr ) = (ω 2ξ 2 cos2 α + ξ 2 ) ,
&
2 2 2
12

13. (здесь учтено, что vr ∟ ve и ve = Reω = ξω cos α ).
3.1.6. Вычисляем необходимые производные:
∂T
= mω 2ξ cos2 α ,
∂ξ
∂T
= mξ ,
&
∂ξ&
d ∂T
( & ) = mξ&&
dt ∂ξ
3.1.7. Записываем уравнение Лагранжа:
mξ& − mω 2ξ cos2 α = −mg sin α
&
Сокращая на массу m, получим
ξ& − ω 2ξ cos2 α = − g sin α
&
Общее решение этого линейного неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
g sin α
ξ (t ) = c1eωt cos α + c2e −ωt cos α +
ω 2 cos2 α
c1 и c2 могут быть найдены из начальных условий.
Аналогичные задачи решались раньше при изучении темы «Динамика
относительного движения точки».
Отметим преимущества метода Лагранжа:
● значительная упрощенность силовой схемы вследствие отсутствия
необходимости условно прикладывать к точке все силы инерции,
предварительно определив их величины и направления и лишь затем
проанализировав, какая из них влияет на относительное движение
(переносная центробежная сила инерции автоматически учитывается при
составлении уравнения);
● меньший объем математических выкладок.
Заметим, что, хотя ни кинетическая, ни потенциальная энергии не
зависят явно от времени, интеграл энергии T + Π = const не выполняется,
поскольку система не является склерономной. В данном случае (см.,
например, [1]) выполняется интеграл Якоби (1.21), имеющий вид
m &2 m 2 2
ξ − ω ξ cos2 α + mg sin α = const .
2 2
13

14. ПРИМЕР 3.2 На барабан однородного катка весом P и радиусом r,
лежащего на горизонтальном шероховатом полу, намотана нить, к которой
приложена сила T под углом α к горизонту. Радиус барабана a, радиус
инерции катка ρ. Определить закон движения оси катка O. В начальный
момент каток находился в покое, затем катился без скольжения ([6], задача
39.15).
РЕШЕНИЕ
3.2.1. Тело совершает плоскопараллельное движение – качение без
отрыва от поверхности и без проскальзывания, и в этом движении оно имеет
одну степень свободы S=1.
3.2.2. В качестве обобщенной координаты выберем x – координату
центра катка O в прямолинейном движении, как указано на рис.2.
Рисунок 2
3.2.3. На рисунке 2 указываем лишь активные силы P и T ; сила
нормальной реакции N , перпендикулярная оси O′x , и сила сцепления Fсц ,
приложенная в любой момент времени к мгновенному центру скоростей,
работы на возможном перемещении не совершают.
14

15. 3.2.4. Возможное перемещение колеса в плоскопараллельном движении
можно представить как бесконечно малый поворот на угол δϕ вокруг
мгновенной оси Kz′ , перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей
через точку K. Тогда элементарная работа определяется так:
δA = M kEz′δϕ = T (r cos α − a)δϕ
Так как качение происходит без проскальзывания, то
δx
δx = rδϕ , откуда δϕ =
r
Тогда
δx T
δA = T (r cos α − a) = [ (r cos α − a)]δx ,
r r
и по определению
Qx = T (r cos α − a ) / r
Здесь обобщенная сила имеет размерность силы и представляет собой
сумму проекций внешних сил на ось O′x (с учетом силы сцепления).
3.2.5. Кинетическая энергия катка может быть вычислена с помощью
теоремы Кёнига:
mx 2 mρ 2ϕ 2
& & &
x &
x
TK = + ϕ=
& =
2 2 , где OK r
Заметим, что это соотношение между зависимой угловой скоростью ϕ
& и
независимой линейной &
x отнюдь не означает неголономности
рассматриваемой системы, так как его можно проинтегрировать и получить
зависимость между соответствующими координатами
x
ϕ= + const
r
Неголономной данная система была бы в случае изменения положения
плоскости колеса, например, при наклоне или верчении его.
Выразим кинетическую энергию колеса через обобщенную скорость:
mx 2 mρ 2 x 2
& & ρ2
TK = + 2
= mx (1 + 2 ) / 2
& 2
2 2r r
Очевидно, от обобщенной координаты x кинетическая энергия не зависит.
15

16. 3.2.6. Вычислим производные в левой части уравнения Лагранжа:
∂T
=0
∂x
∂T ρ2
= mx(1 + 2 )
&
∂x& r
d ∂T ρ2
( ) = m&&(1 + 2 )
x
dt ∂x & r
.2.7. Запишем уравнение Лагранжа:
ρ2 T (r cos α − a)
m(1 + 2
) && =
x ,
r r
откуда
Tr (r cosα − a )
&& =
x
m(r 2 + ρ 2 )
Интегрируя при нулевых начальных условиях, получим
Tr (r cosα − a)t 2
x(t ) =
2m(r 2 + ρ 2 )
Дифференциальное уравнение относительно обобщенной координаты x
имеет тот же вид, что и при решении задачи с помощью составления
дифференциальных уравнений плоского движения (задача взята из
соответствующего раздела).
Преимущество метода Лагранжа в данном случае очевидно, так как
вместо трех дифференциальных уравнений и двух дополнительных
уравнений связей сразу записывается одно уравнение относительно искомой
величины. Заметим, что полученное уравнение фактически представляет
собой дифференциальное уравнение вращения катка относительно
мгновенной оси.
ПРИМЕР 3.3 Найти уравнение вращательного движения звена 2
механизма, изображенного на рисунке 3 (условие задания Д-10, [7], пример
выполнения задания).
16

17. РЕШЕНИЕ
3.3.1. Система имеет одну степень свободы (проскальзывание колес
отсутствует, нить нерастяжима).
3.3.2. В качестве обобщенной координаты q выбираем ϕ 2 – угол
поворота второго звена, подлежащий определению; положительное
направление ее отсчета указано на рисунке 3.
Рисунок 3
3.3.3. На схеме (рисунке 3) указываем наряду с активными силами
G1 , G 2 , G 3 и вращающим моментом M также и момент сопротивления M c ,
приложенный ко второму звену и условно переведенный в разряд активных
силовых воздействий, чтобы связи, наложенные на систему, можно было
считать идеальными.
3.3.4. Сообщим мысленно обобщенной координате ϕ2 приращение
δϕ2 > 0 и укажем возможные перемещения других тел системы,
17

18. обусловленные им – δϕ1 и δS3 . Вычислим элементарную работу всех
указанных на рис.3 сил и моментов на возможном перемещении системы:
δA = Mδϕ1 − M cδϕ2 − m3 gδS3 .
Выразим величины зависимых перемещений δS3 и δϕ1 через
независимое δϕ2 :
δϕ1 = δϕ2 R2 / R1 , δS3 = r2δϕ2 .
Подставим эти выражения в δA :
MR2δϕ2 MR2
δA = − M cδϕ2 − m3 gr2δϕ2 = ( − M c − m3 gr2 )δϕ2 .
R1 R1
Тогда по определению обобщенная сила равна
MR2
Qϕ2 = − M c − m3 gr2 .
R1
Она имеет размерность момента и может быть названа моментом внешних
активных сил, приведенным к оси вращения второго звена.
3.3.5. Вычислим кинетическую энергию системы:
I1ϕ12 I 2ϕ 2 m3 S32
& &2 &
T = T1 + T2 + T3 = + +
2 2 2 .
Выразим зависимые скорости ϕ1 и S3 через обобщенную скорость ϕ 2 :
& & &
ϕ =ϕ R /R , S = rϕ .
& 1
& 2
&
2 1
& 3 2 2
Определим из условия задачи моменты инерции вращающихся тел:
m1R12
I1 = , I 2 = m2i2 .
2
2
Подставим все найденные зависимости в выражение для T:
m1 R12ϕ 2 R2 m2i2 ϕ 2 m3r22ϕ 2
&2 2 2 2
& &2 2
2 m1 R2
T= + + = ϕ2 (
& + m2i2 + m3r22 ) / 2
2
2 ⋅ 2 R1 2
2 2 2
Выражение в скобках представляет собой величину размерности момента
инерции; ее можно назвать моментом инерции системы, приведенным к оси
вращения звена 2:
2
m1R2
I пр = + m2i2 + m3r22 .
2
2
Заметим, что, так как соотношения между скоростями линейные с
постоянными коэффициентами, то I пр = const .
18

19. Окончательно
I прϕ 2
&2
T=
2
3.3.6. Выполняем дифференцирование для записи левой части
уравнения Лагранжа:
∂T
=0
∂ϕ 2
∂T
= I прϕ2
&
∂ϕ
&2
.
d ∂T
( ) = I прϕ 2
&&
dt ∂ϕ 2
&
3.3.7. Составляем уравнение Лагранжа:
I прϕ 2 = Qϕ2 ,
&&
откуда
2
Qϕ2 MR2 m1R2
ϕ2 =
&& =( − M c − m3 gr2 ) /( + m2i2 + m3r22 ) .
2
I пр R1 2
Дифференциальное уравнение совпадает с полученным в [7].
Решая эту задачу с помощью теоремы об изменении кинетического
момента, неизбежно приходится мысленно расчленять систему на число
частей, равное числу неподвижных осей вращения, чтобы избежать
появления в дифференциальном уравнении неизвестных и не подлежащих
определению реакций осей Q1 и Q2 .
Применение метода Лагранжа значительно уменьшает объем выкладок
и дает возможность избежать этого неудобства.
Соотношения между зависимыми скоростями и обобщенной скоростью
не нарушают голономности системы, так как их можно проинтегрировать и
получить в качестве следствия зависимости между перемещениями тел
системы:
ϕ 2 R2
ϕ1 = + c1 , S3 = r2ϕ 2 + c2 .
R1
19

20. ПРИМЕР 3.4
Кривошипно-шатунный механизм движется в вертикальной плоскости
под действием вращающего момента M и силы сопротивления F,
приложенной к ползуну. Считая известными массы кривошипа и шатуна m1
и m2 и массу ползуна m3 , длины кривошипа и шатуна OA=AB=l,
принимаемых за однородные стержни, составьте дифференциальное
уравнение для угла поворота φ кривошипа (примечание: предположение о
равенстве длин кривошипа и шатуна вводится здесь только для избежания
громоздких математических выкладок и принципиального значения не
имеет).
РЕШЕНИЕ
3.4.1. Система имеет одну степень свободы, так как задание положения
одного тела (например, кривошипа) однозначно определяет положение
остальных тел.
3.4.2. В качестве обобщенной координаты q выберем φ – угол поворота
кривошипа; начало и положительное направление его отсчета указано на
рисунке 4.
Рисунок 4
3.4.3. На рисунке 4 указаны необходимые для определения обобщенной
силы силовые факторы: G1 , G 2 , M и F .
20

21. 3.4.4. Так как среди заданных сил имеются как потенциальные, так и
непотенциальные, то определим отдельно ту и другую части обобщенной
силы. Потенциальная энергия системы равна
1
Π= (m1 + m2 ) gl sin ϕ .
2
(считаем П=0 при φ=0). Тогда потенциальная часть обобщенной силы будет
равна
Π ∂Π 1
Qϕ = − = −(m1 + m2 ) gl cos ϕ .
∂ϕ 2
Сообщим системе мысленно возможное перемещение и вычислим
элементарную работу непотенциальных силовых факторов на этом
перемещении (рисунок 4):
δA∗ = Mδϕ + FxδxB
(здесь под δxB подразумевается алгебраическая величина, имеющая
собственный знак). Связь между δϕ и δxB установим, например, так
(рисунок 4а):
Рисунок 4а
Имеем зависимость между xB и ϕ:
xB = 2l cos ϕ
Проварьируем ее:
δxB = −2l sin ϕδϕ
21

22. Знак «минус» появился при этом неизбежно, так как при увеличении ϕ
π
координата xB , очевидно, убывает (для 0 < ϕ <
2 ).
Можно было бы установить связь между величинами δϕ и δxB и
другими способами, например, методом проекций (по теореме Грасгофа) или
построив мгновенный центр поворота звена AB в его плоскопараллельном
движении. Метод варьирования уравнения связи является более
универсальным.
Итак,
δA∗ = Mδϕ − 2 Fl sin ϕδϕ = ( M − 2 Fl sin ϕ )δϕ ,
а непотенциальная часть обобщенной силы выражается так:
∗
Qϕ = M − 2Fl sin ϕ .
Окончательно, полная обобщенная сила
Π ∗ 1
Qϕ = Qϕ + Qϕ = M − 2 Fl sin ϕ − (m1 + m2 ) gl cos ϕ .
2
3.4.5. Вычислим кинетическую энергию механизма с учетом вида
движения каждого его звена:
I1ϕ12 m2vC2 m3v3 I C2 ω2
2 2 2
&
T = T1 + T2 + T3 = + + +
2 2 2 2
Здесь согласно условию задачи:
m1l 2 m2l 2
I1 = IC =
3 , 2 12 .
Выразим зависимые скорости vC2 , v3 и ϕ 2 через обобщенную ϕ . Прежде
& &
всего заметим, что так как OA=AB, углы поворотов звеньев (1) и (2),
отсчитываемые от положительного направления оси Ox против часовой
стрелки, всегда в сумме равны π:
ϕ1 + ϕ2 = π ,
откуда
ϕ2 = −ϕ1 = −ϕ ; ϕ22 = ϕ12
& & & & &
22

23. Рисунок 5
Для определения величины vC2 запишем декартовы координаты точки C2 :
 1
 xC2 = 3l cos ϕ
 2

 y = 1 lϕ cos ϕ .
&
 C2 2

Проекции скорости точки C2 на оси координат равны
 1
vC2 x = xC2 = −3lϕ sin ϕ
& &
 2

v = y = 1 l sin ϕ
& C2
.
 C2 y
 2
Квадрат модуля скорости точки C2 равен
1 1
vC2 = xC2 + yC2 = l 2ϕ 2 (9 sin 2 ϕ + cos 2 ϕ ) = l 2ϕ 2 (5 − 4 cos 2ϕ ) .
2
&2 &2 & &
4 4
Продифференцируем по времени записанное ранее уравнение связи между
ϕ и xB :
xB = −2lϕ sin ϕ ,
& &
тогда имеем
23

24. vB = 4l 2ϕ 2 sin 2 ϕ = 2l 2ϕ 2 (1 − cos 2ϕ ) .
2
& &
Подставим все полученные зависимости в выражение для T:
m1l 2ϕ 2 m2l 2ϕ 2
& & m2l 2ϕ 2
&
T= + (5 − 4 cos 2ϕ ) + + m3l 2ϕ 2 (1 − cos 2ϕ ) =
&
6 8 24
2 m1 4 l2
= ϕ [( + m2 + 2m3 ) − (m2 + 2m3 ) cos 2ϕ ]
&
3 3 2
2
В этом выражении произведение членов в квадратной скобке на l есть
величина, имеющая размерность момента инерции. Ее можно назвать
моментом инерции кривошипно-шатунного механизма, приведенным к оси
вращения кривошипа. В отличие от предыдущих примеров он является не
постоянной величиной, а зависит от обобщенной координаты, что
объясняется изменением конфигурации механизма при его движении и
нелинейной связью между декартовыми координатами точек этого
механизма и обобщенной координатой ϕ .
Итак, выражение для кинетической энергии системы имеет вид
ϕ2
&
T = I пр (ϕ )
2 , где
m1 4
I пр (ϕ ) = [( + m2 + 2m3 ) − (m2 + 2m3 ) cos 2ϕ ]l 2 .
3 3
3.4.6. Вычислим необходимые производные для составления уравнения
Лагранжа:
∂T ϕ 2 dI пр (ϕ )
&
=
∂ϕ 2 dϕ
∂T
= I пр (ϕ )ϕ
&
∂ϕ&
.
d ∂T dI (ϕ ) 2
( ) = I пр (ϕ )ϕ + пр
&& ϕ
&
dt ∂ϕ
& dϕ
(Здесь необходимо обратить внимание на часто встречающуюся ошибку при
∂T
дифференцировании по времени частной производной & :
∂ϕ
при выполнении этой операции «забывают» продифференцировать по
времени множитель I пр (ϕ ) как сложную функцию).
Окончательно левая часть уравнения Лагранжа будет иметь вид
24

25. d ∂T ∂T dI (ϕ ) 2 1 dI пр (ϕ ) 2
( )− = I пр (ϕ )ϕ + пр
&& ϕ −
& ϕ =
&
dt ∂ϕ ∂ϕ& dϕ 2 dϕ
1 dI пр (ϕ ) 2
= I пр (ϕ )ϕ +
&& ϕ
&
2 dϕ
3.4.7. Запишем уравнение Лагранжа:
m1 4
[( + m2 + 2m3 ) − (m2 + 2m3 ) cos 2ϕ ]l 2ϕ + (m2 + 2m3 )l 2 sin 2ϕ ⋅ ϕ 2 =
&& &
3 3
1
= M − 2 Fl sin ϕ − (m1 + m2 ) gl cosϕ
2
Анализируя полученное уравнение, видим, что оно является нелинейным,
не поддающимся интегрированию в элементарных функциях. Даже для
весьма простой исходной модели с упрощающим предположением
l1 = l2 = l точное математическое описание ее движения является задачей
довольно сложной. Уравнения такого типа, встречающиеся в практике,
например, при изучении крутильных колебаний коленчатых валов, иногда
заменяются уравнениями с осредненными по углу поворота кривошипа
коэффициентами, искомая функция ϕ (t ) заменяется выражением вида
ϕ (t ) = ωt + ε (t ) ,
где ε (t ) – малое отклонение угла поворота от режима
равномерного вращения, и задача о нелинейных колебаниях заменяется
упрощенной задачей о линейных колебаниях системы с постоянными
инерционными характеристиками.
ПРИМЕР 3.5
Составить уравнения движения эллиптического маятника, состоящего
из ползуна A массой m1 , скользящего без трения по горизонтальной
плоскости, и шарика B массой m2 , соединенного с ползуном стержнем
длиной l . Стержень может вращаться вокруг оси, связанной с ползуном и
проходящей через точку C1 перпендикулярно плоскости чертежа. Массой
стержня пренебречь ([6], задача 48.35).
25

26. РЕШЕНИЕ
3.5.1. Система имеет две степени свободы, так как прямолинейное
движение груза A вдоль оси Oy и колебания маятника вокруг оси C1 могут
осуществляться независимо друг от друга.
3.5.2. В качестве обобщенных координат выбираем q1 = y –
координату центра масс груза А (точки C1 ) в прямолинейном движении,
q2 = ϕ – угол отклонения стержня от вертикали. Начала и положительные
направления отсчета обеих обобщенных координат указаны на рисунок 6.
Рисунок 6
3.5.3. Указываем на схеме активные силы G1 и G 2 ; так как обе они
потенциальны, то для вычисления обобщенных сил предварительно составим
выражение для потенциальной энергии данной системы:
Π = m2 gl (1 − cos ϕ ) .
(здесь принято П=0 при φ=0 и y=0).
3.5.4. Составляем выражение для кинетической энергии системы двух
точечных масс:
m1v12 m2 v2 m1 y 2 m2 ( y 2 + l 2ϕ 2 + 2lϕy cosϕ )
2
& & & &&
T = T1 + T2 = + = +
2 2 2 2
26

27. (здесь квадрат модуля абсолютной скорости v2 вычислен с помощью
теоремы косинусов в соответствии с рис.6, можно было также
воспользоваться для этого координатным методом).
3.5.5. Составим функцию Лагранжа для рассматриваемой модели:
y 2 m2
& m
L = T − Π = (m1 + m2 ) + lϕy cos ϕ + 2 lϕ 2 − m2 gl (1 − cos ϕ )
&& &
2 2 2
Очевидно, лагранжиан не зависит явно от обобщенной координаты y, т. е. по
определению эта координата является циклической. Ниже будет указан
соответствующий циклический интеграл.
3.5.6. Вычислим необходимые производные:
∂L
=0
∂y
∂L
= (m1 + m2 ) y + m2lϕ cosϕ
& &
∂y
&
∂L
= −m2lϕy sin ϕ − m2 gl sin ϕ
&&
∂ϕ
∂L
= m2ly cosϕ + m2l 2ϕ
&
∂ϕ&
3.5.7. Составим уравнения Лагранжа:
d
 [(m1 + m2 ) y + m2lϕ cosϕ ] = 0
& &
 dt
m l 2ϕ + m l&& cosϕ − m lϕy sin ϕ + m lϕy sin ϕ + m gl sin ϕ = 0
 2 && 2 y 2
&& 2
&& 2
после упрощений получим
Точному интегрированию в элементарных функциях эта система
уравнений не поддается; можно, предположив колебания малыми, найти их
период; это исследование выходит за рамки данного примера.
Интерес представляет исследование циклического интеграла, который
имеет вид
(m1 + m2 ) y + m2lϕ = c1 .
& &
27

28. Заметим, что левая часть этого равенства представляет собой полную
производную по времени:
d
[(m1 + m2 ) y + m2l sin ϕ ] = c1 ,
dt
откуда, интегрируя, получим
(m1 + m2 ) y + m2l sin ϕ = c1t + c2 .
Перепишем это равенство так:
m1 y + m2 ( y + l sin ϕ ) = c1t + c2 .
Теперь очевидно, что циклический интеграл представляет собой закон
сохранения движения центра масс системы в проекции на ось Oy (если
c1 ≠ 0 , то центр масс равномерно движется вдоль оси Oy, если c1 = 0 , то
yc = const ).
Необходимо отметить также, что для этой системы со склерономными
(стационарными) связями и потенциальными активными силами
выполняется и закон сохранения полной механической энергии:
T + Π = const .
4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что представляют собой обобщенные координаты механической
системы?
2. Чему равно число степеней свободы механической системы?
3. Какая величина называется обобщенной силой, соответствующей
некоторой обобщенной координате, и какую она имеет размерность?
4. Какими формулами выражаются обобщенные силы через проекции сил
на неподвижные оси декартовых координат?
5. Как определяются обобщенные силы в случаях консервативных и
неконсервативных сил?
6. Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода? Чему равно число
этих уравнений для каждой механической системы?
7. Что представляет собой функция Лагранжа, или кинетический
потенциал?
8. Какие обобщенные координаты называют циклическими и какой вид
имеют циклические интегралы?
ЛИТЕРАТУРА
28

29. 1. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики, ч. П. – М.:
Наука, 2000, 332 с.
2. Яблонский А. А., Никифоров В. М. Курс теоретической механики, ч. П.
– М.: Высшая школа, 2006, 488 с.
3. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в
примерах и задачах, ч. П. – М.: Наука, 2006, 664 с.
4. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Наука, 2002,
480 с.
5. Бутенин Н. В. Введение в аналитическую механику. – М.: Наука, 1971,
264 с.
6. Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М.:
Наука, 2007, 480 с.
7. Яблонский А. А. и др. Сборник заданий для курсовых работ по
теоретической механике. – М.: Высшая школа, 2005, 534 с.
29

30. Уравнение Лагранжа второго рода
Методические указания
Иванов Юрий Алексеевич ,Колпакова Лариса Васильевна,
Погребная Людмила Ивановна
Отпечатано с оригинал-макета. Формат 60×90 116 .
Печ. л. 1,3. Тираж 25 экз.
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)
198013, Санкт-Петербург, Московский пр., 26
30