todo sobre las derivada

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL
DISEÑO GRAFICO
DERIVADAS
Alumno: Ninoska Avendaño
C.I 22.407.719
Prof. Jesús Gámez
Julio, 2021

2. ÍNDICE
CONCEPTO DE DERIVADA .............................................................................................1
HISTORIA DE LA DERIVADA ...........................................................................................2
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS.................................................................................3
REGLAS DE DERIVACIÓN ...............................................................................................5
REFERENCIAS ....................................................................................................................7

3. 1
CONCEPTO DE DERIVADA
. La derivada de una función en un punto dado, mide el coeficiente por el cual el
valor de la función cambia cuando la entrada de la función cambia. Es decir, que
una derivada provee una formulación matemática del coeficiente de cambio.
La derivada de una función es el límite del cociente del incremento de la función
[f(x+h)-f(x)] entre el incremento (h) de la variable independiente cuando h tiende a
cero. Representándose de la siguiente manera:
Una de las explicaciones o interpretaciones más sencillas para la derivada es la
geométrica, pues en esos términos la derivada es la pendiente de la recta
tangente en un punto cualesquiera de la curva de una función.
Una derivada puede determinarse u obtenerse de dos formas diferentes:

4. 2
1. En términos de su definición
2. Utilizando las reglas de diferenciación.
HISTORIA DE LA DERIVADA
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal comenzaron a
plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se
encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta diecinueve siglos después
(en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que
le dieron origen:
 El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
 El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
En su conjunto dieron origen a lo que actualmente se conoce como cálculo
diferencial.
Siglo XVII
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos les habían tenido a los
infinitesimales: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en
usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al
descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII las cantidades infinitesimales fueron cada vez más
usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los
primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.

5. 3
Newton y Leibniz
A finales del siglo XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados
por sus predecesores, en lo que hoy llamamos «derivada» e «integral». La historia
de la matemática reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibniz son los creadores
del cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para manipular las
derivadas (reglas de derivación) e Isaac Barrow demostró que la derivación y la
integración son operaciones inversas.
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de
tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que
coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a
reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales,
e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una
variable «fluye» (varía) con el tiempo.
Gottfried Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en
1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton
descubriera 10 años antes, de manera independiente. En su investigación
conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente
incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia
con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.
Leibniz es el inventor de diversos símbolos matemáticos. A él se deben los
nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de
derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥
y el símbolo de la integral ∫.
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
El concepto de derivada es uno de los conceptos básicos del análisis
matemático. Los otros son los de integral definida e indefinida, sucesión; sobre

6. 4
todo, el concepto de límite. Este es usado para la definición de cualquier tipo de
derivada y para la integral de Riemann, sucesión convergente y suma de una serie
y la continuidad. Por su importancia, hay un antes y un después de tal concepto
que biseca las matemáticas previas, como el álgebra, la trigonometría o la
geometría analítica, del cálculo. Según Albert Einstein, el mayor aporte que se
obtuvo de las derivadas fue la posibilidad de formular diversos problemas de la
física mediante ecuaciones diferenciales.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en
aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio
de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los
estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y
la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f,
se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el
punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando
la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero,
es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta
interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los
gráficos de funciones, tales como monotonía de una función (si es creciente o
decreciente) y la concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por
ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente
vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad
de las funciones que se consideran en las aplicaciones prácticas son continuas y
su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola
variable), son aproximables linealmente.

7. 5
REGLAS DE DERIVACIÓN
El proceso de derivación es posible de simplificar por medio de reglas que
identifican el tipo de función, por ejemplo:
 La derivada de una función constante, siempre será cero.
 La derivada de una variable, siempre será uno.
 La derivada de una potencia entera positiva, es la potencia como
constante de la incógnita y a la potencia se le resta 1.
 La derivada de una constante por una función, es igual producto de la
misma constante por la derivada de la función.
 La derivada de una suma, es la suma algebraica de las derivadas de cada
una de las funciones.

8. 6
 La derivada de un producto, es igual al producto de la primera función por
la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada
de la primera.
 La derivada de un cociente, es igual al producto del denominador por la
derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada
del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.

9. 7
REFERENCIAS
 Anónimo. La Derivada, ¿qué es?, ¿para qué sirve?. Paco el chato
website: https://pacoelchato.com/paco-te-explica/matematicas/la-
derivada-que-es-para-que-sirve-estudia-aprende-facil
 Selaya, R. (2011). Historia de la Derivada. Todo sobre la derivada
website: http://todosobreladerivada.blogspot.com/p/historia-de-la-
derivada.html