1. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
למדעי חוג
מחשב
131
משולש אינטגרל
)(א
תיבה מעל משולש אינטגרל
1
.
.אינטגרלי סכום כגבול משולש אינטגרל
תהיה
( )
; ;
f x y z
פונקציה
התיבה מעל המוגדרת
( )
; ; ; ;
T x y z a x b c y d e z f
=
.
אם
( )
; ;
f x y z
-
ל השייכות הנקודות בכל רציפה
-
T
,
אז
( )
; ;
T
f x y z dxdydz
הגבול הוא
תלוי שלא אינטגרלי סכום של
התיבה חלוקת באופן
תלוי ולא ,
.התיבות בתוך הנקודות בבחירת
2
.
אינטגרל חישוב
.משולש
אם
( )
; ; ; ;
T x y z a x b c y d e z f
=
אז ,
( ) ( ) ( )
; ; ; ; ; ;
f
b b d
T a R a c e
f x y z dxdydz dx f x y z dydz dx dy f x y z dz
= =
.
דוגמא
את חשב
( )
; ; 0 1;0 1;0 1
1
T
dxdydz
T x y x y z
x y z
=
+ + +
.
פתרון
1
.
כאינטגרל המשולש האינטגרל את נציג
החוזר
:
1 1 1
0 0 0
1 1
T
dxdydz dz
dx dy
x y z x y z
=
+ + + + + +
2
.
הפנימי האינטגרל את נחשב
לפי
z
:
( )
1
1
0
0
2 1 2 2 1
1
z
z
dz
x y z x y x y
x y z
=
=
= + + + = + + − + +
+ + +
3
.
האינטגרל את נחשב עתה
לפי
y
:
( )
1 1 1
0 0 0
2 2 1
1
dz
dy x y x y dy
x y z
= + + − + +
+ + +
:מקבלים
( ) ( ) ( )
1
1 3 3
2 2
0 0
4
2 2 1 2 1
3
y
y
x y x y dy x y x y
=
=
+ + − + + = + + − + +
:ואז
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2
0
4 4
2 1 3 2 2 1
3 3
y
y
x y x y x x x
=
=
+ + − + + = + − + + +
,כלומר
( ) ( ) ( )
1 1 3 3 3
2 2 2
0 0
4
3 2 2 1
3
1
dz
dy x x x
x y z
= + − + + +
+ + +
.
4
.
החיצוני האינטגרל את נחשב ועתה
לפי
x
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 3 3 3 5 5 5
2 2 2 2 2 2
0 0
4 8
3 2 2 1 3 2 2 1
3 15
x x x dx x x x
+ − + + + = + − + + +
.
2. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
למדעי חוג
מחשב
132
:וסיימנו ,אחרון חישוב
( ) ( ) ( ) ( )
1
5 5 5
2 2 2
0
8 8
3 2 2 1 31 3 243 3 32
15 15
x x x
+ − + + + = − +
:סופית
( )
8
31 3 243 3 32
15
1
T
dxdydz
x y z
= − +
+ + +
.
)(ב
כללי תחום מעל משולש אינטגרל
1
.
תיאור
תהיה
( )
; ;
f x y z
פונקציה
הגוף מעל המוגדרת
V
בתיבה החסום
( )
; ; ; ;
T x y z a x b c y d e z f
=
התחום
D
הגוף של היטל הוא
V
המישור על
xOy
.
והפונקציות
( )
1 ;
z x y
=
ו
-
( )
2 ;
z x y
=
כאשר
( ) ( )
2 1
; ;
x y x y
הגוף את מגבילות
.)ציור (ראה ומלמטה מלמעלה
2
.
חישוב
( ) ( )
( )
( )
2
1
;
;
; ; ; ;
x y
V D x y
f x y z dxdydz dxdy f x y z dz
=
3. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
למדעי חוג
מחשב
133
:הערה
המישורים בין נמצא אם
z e
=
,
z f
=
ולכל ,
z
המקיים קבוע
e z f
תחום מהגוף חותך
z
P
,
:אז
( ) ( )
; ; ; ;
z
f
V e P
f x y z dxdydz dz f x y z dxdy
=
.
דוגמא
את חשב
V
zdxdydz
הפונקציה בין החסום הגוף כאשר
( )
2 2
4
z x y
= +
ומישור
2
z =
.
y
x
z
O
2
פתרון
1
.
המישורים בין נמצא הגוף
2
z =
ו
-
0
z =
.
ואז
( ) 2 2
;
4
z
z
P x y x y
= +
,כלומר .
z
P
ש מעגל הוא
רדיוסו
2
z
.
2
.
לפי
( ) ( )
; ; ; ;
z
f
V e P
f x y z dxdydz dz f x y z dxdy
=
:מקבלים
2 2
0 0
z z
V P P
zdxdydz dz zdxdy zdz dxdy
= =
.
הכפול האינטגרל
z
P
dx dy
ל בשווה העיגול שטח הוא
-
( )
2
4 4
z z
=
.
3
.
,לכן
2 2
2
0 0
2
4 3
z
V P
zdxdydz zdz dxdy z dz
= = =
.
4. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
למדעי חוג
מחשב
134
4
.
משולש באינטגרל שימוש
4
א
.נפח חישוב
V
V dxdydz
=
4
ב
.מסה חישוב
פונקצי אם
י
היא מישורית לצפיפות התפלגות ת
( )
; ;
x y z
הגוף וצורת ,
V
,
בעזרת שלו המסה את לחשב ניתן אז
( )
; ;
V
m x y z dxdy dz
=
.
4
ג
.אחיד גוף של הכובד מרכז
נפח ע"י מתואר הגוף אם
V
,
וצפיפותו
אחידה
הגוף של הכובד מרכז שיעורי אז ,
:ע"י לחשב אפשר
=
V
V
C
dxdydz
xdxdydz
x
,
=
V
V
C
dxdydz
ydxdydz
y
,
=
V
V
C
dxdydz
zdxdydz
z
5. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
למדעי חוג
מחשב
135
)(ג
משולש באינטגרל משתנים החלפת
1
.
יעקוביאן
אם
( )
( )
( )
; ;
; ;
; ;
x x u v w
y y u v w
z z u v w
=
=
=
אז ,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ;
u v w
u v w
u v w
x u v w x u v w x u v w
J y u v w y u v w y u v w
z u v w z u v w z u v w
=
2
.
משתנים החלפת
( ) ( )
; ; ; ;
V
f x y z dxdy J g u v w du dvdw
=
3
.
במרחב גליליות קואורדינטות
( ) ( )
cos
; ; ; ; sin ; 0 ; 0 2
x r
A x y z A r z y r r
z z
=
= =
=
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
r
J r r
−
= =
דוגמא
6. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
למדעי חוג
מחשב
136
את חשב גליליות קואורדינטות בעזרת
2 2
V
x y dxdydz
+
כאשר
V
הפרבולואיד בין החסום הגוף
2 2
4
z x y
= − −
והמישורים
0
y =
,
0
z =
1
.
2 2
x y r
+ =
,
dxdydz rdrd dz
=
.
2
.
:אינטגרל הצגת
2
2 4
2 2 2
0 0 0
r
V
x y dxdydz r r drd dz d r dr dz
−
+ = =
:תשובה
64
15
4
.
במרחב כדוריות קואורדינטות
7. חי תל אקדמית מכללה
למדעים ספר בית
למדעי חוג
מחשב
137
( ) ( )
2
0
;
0
;
0
;
cos
sin
sin
cos
sin
;
;
;
;
=
=
=
= r
r
z
r
y
r
x
r
A
z
y
x
A
וגם
+
+
=
=
+
=
+
=
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
tan
;
cos
;
sin
z
y
x
z
x
y
y
x
x
y
x
y
z
y
x
r
2 2
sin sin
J r dxdydz r drd d
= − =
דוגמא
את חשב כדוריות קואורדינטות בעזרת
V
xyz dxdydz
הגוף כאשר
V
ה שמינית
כדור
2 2 2
x y z R
+ +
,
0
x
,
0
y
,
0
z
.
1
.
3 2
sin cos sin cos
xyz r
=
,
2
sin
dxdydz r drd d
=
.
2
.
:אינטגרל הצגת
2 2
5 3
0 0 0
sin cos sin cos
R
V
xyz dxdydz d r dr d
=
:תשובה
6
48
R
