п.1.1Б.Радианная мера углов и дуг

1. 10 класс
Радианная мера
углов и дуг

2. Радианом называется величина центрального
угла, который опирается на дугу окружности
длиной в один радиус (обозначается 1 рад).
1 рад
R
R
R
A
B
O
⋅
⋅
⋅
∪ AB=R
∠AOB=1 рад
600
1 рад

3.  Задание 1. Вывести правила перевода из радианной меры в
градусную и наоборот.
Ответ: α0
= α0
· рад − правило перевода из
градусной меры в радианную;
α рад= α· − правило перевода из
радианной меры в градусную.
1 рад = ; 1 рад ≈ 570
19’
10
= рад; 10
≈ 0,017 рад180
π
0
180
π
 
 ÷
 
0
180
π
0
180
π
3600
– 2π рад
10
– х рад
3600
– 2π рад
х 0
– 1 рад

4. Окружность с центром в начале системы координат Oxy
и радиусом, равным единице, называется единичной, а
ограниченный ей круг – тригонометрическим.
 Приняв точку пересечения
окружности с
положительной частью оси
Ох за начало отсчета;
 Выбрав положительное
направление – против
часовой стрелки,
отрицательное – по
часовой стрелке;
 Отложив от начала
отсчета дугу в 1 рад, мы
получим, что
тригонометрическая
окружность в некотором
смысле «эквивалентна»
понятию «числовая
прямая».
x
y
0
1
1
0
«+»
«−»
1

5. 0 1
0
3
2π
6
π
π
2π
у
х
2
π
1
2
π
–π
2
π
−
2
π
−
–π
Проследите за одновременным движением точки на координатной
прямой и на тригонометрической окружности:
Обязательно разберитесь, почему на прямой семь точек, а на окружности
их пять.

6. Так как дуги – это части окружности, то длины
некоторых из них будут выражены через число π
(объясните почему).
 Откладывая в положительном
и отрицательном направлениях
от начала отсчета прямой угол
получим точки,
соответствующие числам …
и (объясните
почему);
 Выполнив поворот на
развернутый угол в
положительном и
отрицательном направлениях
получаем две совпадающие
точки окружности с
координатами…
и .
2
π
−
x
y
0
1
1
0
1
2
π
2
π
2
π
−
π π−
π
π−
314159 314, ... ,π = ≈

7. Напомним, что декартова система разбивается
координатными осями на четыре координатные
четверти – I, II, III и IV.
 Задание 2. Определите
границы координатных
четвертей через углы
поворота в радианной мере,
взятых в положительном
направлении.
 Задание 3. Выполните
предыдущее задание, при
условии, что выбирается
отрицательное направление
углов поворота.
 Задание 4. Какой
координатной четверти
принадлежит точка
окружности с координатой
6,28?
x
y
0
1
1
0
1
III
III IV

8. − это соотношение может Вам
понадобиться для понимания некоторых фактов!
 Отметив на окружности точки
с абсциссой 0,5 мы получим
точки, соответствующие
числам …
и (объясните
почему);
 Аналогично, получаются
точки окружности с
координатами
; .
 Обратите внимание на
симметричность
относительно оси Ox
полученных точек! 3
π
−
x
y
0
1
1
0
1
0,5
3
π
3
π
3
π
−
2
3
π 2
3
π
−
− 0,5
2
3
π
−
2
3
π
0 1
60
2
cos =

9. − это соотношение может Вам
понадобиться для понимания некоторых фактов!
 Отметив на окружности точки
с ординатой 0,5 мы получим
точки, соответствующие
числам …
и (объясните
почему);
 Аналогично, получаются
точки окружности с
координатами
; .
 Обратите внимание на
симметричность
относительно оси Oy
полученных точек!
5
6
π
x
y
0
1
1
0
1
0,5 6
π
6
π 5
6
π
5
6
π
−
6
π
−
− 0,5
5
6
π
−
6
π
−
0 1
30
2
sin =

10. Графики функций y=x и y=−x − прямые,
являющиеся биссектрисами координатных
четвертей.
 Постройте графики
функций y=x и y=−x.
Подумайте, какие углы
поворота соответствуют
точкам пересечения
этих прямых с
тригонометрической
окружностью?...
 …Ответ:
; ; ; .
3
4
π
x
y
0
1
1
0
1
4
π
4
π
3
4
π
−
4
π
−
4
π
−
3
4
π 3
4
π
−
y x=y x= −

11. Отметим на тригонометрической окружности точку
А, соответствующую произвольному острому
положительному углу поворота .
 Если добавить
полный поворот к
углу α , то мы снова
окажемся в той же
точке А. Но теперь ее
координата равна
(подумайте)… .
 Вообще, любую точку
окружности можно
получить поворотом
на угол, вида α+2πn,
где n∈Ζ и α∈[0;2π).
x
y
0
1
1
0
α
A(α)A(α+2π)
2α π+
α

12. Итогом нашей предыдущей работы является данная
окружность, на которой отмечены наиболее часто
встречающиеся в различных таблицах углы.
 Примечание. На чертеже
отмечены только
положительные углы
поворота.
 Задание 5. Найдите
координаты всех точек,
отмеченных на данной
окружности (указание:
рассмотрите различные
прямоугольные треугольники
с гипотенузой-радиусом
(см.рис.) и примените
теорему Пифагора ; помните
о симметричности точек).
3
4
π
x
y
0
1
1
0
1
4
π
5
4
π 7
4
π
6
π5
6
π
2
π
π
3
2
π
7
6
π 11
6
π
3
π
5
3
π
2
3
π
4
3
π
0,5
0,5
-0,5
-0,5

13. Ответы и решения.
 Задание 2. - I четверть, - II четверть,
- III четверть, - IV четверть.
 Задание 3. - I четверть, - II четверть,
- III четверть, - IV четверть
0
2
π 
; ÷
  2
π
π
 
; ÷
 
3
2
2
π
π
 
; ÷
 
3
2
π
π
 
; ÷
 
3
2
2
π
π
 
− ;− ÷
 
3
2
π
π
 
− ;− ÷
 
2
π
π
 
− ;− ÷
 
0
2
π 
− ; ÷
 

14. Ответы и решения.
 Задание 4. 6,28∈IV
(см.рис.)
6,28<2π (обязательно
разберитесь в
совпадении цвета
цифр и некоторых
частей окружности)!
x
y
0
1
1
0
1
2
3
4
5
6
2π

15. Ответы и решения.
 Задание 5.
5 2 2
4 2
π  
− ;− ÷ ÷2 
3
6 2
π  1
; ÷ ÷2 
2 2
4 2
π  
; ÷ ÷2 
1 3
3 2 2
π  
; ÷ ÷
 
( )1
2
π
0;
( )0 01;
2 1 3
3 2
π  
− ; ÷ ÷2 
3 2 2
4 2
π  
− ; ÷ ÷2 
5 3
6 2
π  1
− ; ÷ ÷2 
( )0π −1; 7 3
6 2
π  1
− ;− ÷ ÷2 
4 1 3
3 2
π  
− ;− ÷ ÷2 
( )
3
1
2
π
0;−
5 1 3
3 2
π  
;− ÷ ÷2 
7 2 2
4 2
π  
;− ÷ ÷2 
11 3
6 2
π  1
;− ÷ ÷2 