1. Теория математических бильярдов
и
математическая теория бильярда

2. Законы бильярда
Закон упругого отражения
Закон
упругого
столкновения
6
6
90°
Угол падения равен углу отражения.
При нецентральном соударении траектории шаров всегда перпендикулярны.

3. Примеры
траекторий
Теория математических бильярдов (ТМБ) одно из самых молодых направлений
математики (1970 г.). Её автором является Я. Г. Синай – ныне профессор
Принстонского университета, внук основателя Российской школы
дифференциальной геометрии В. Ф. Кагана.

4. Бильярд в круге
α
m
α = 2π
n
Критериальное уравнение
Наиболее изученным является бильярд в круге.

5. Бильярд в эллипсе
F1 M + MF2 = const
Многими интересными свойствами обладает бильярд в эллипсе

6. Первое бильярдное
свойство эллипса
n
M
m F2
F1
∠mMF1 = ∠nMF2
Если траектория шара проходит через один фокус, то она обязательно
пройдёт и через второй фокус эллипса

7. „ Мнимое “ Солнце
Эллипсоидальное зеркало
Солнце
„Мнимое“ Солнце
Наблюдатель на Земле
Если Солнце находится в фокусе эллипсоидального зеркала, то наблюдатель с
Земли будет видеть два Солнца: одно реальное, другое мнимое

8. Эффекты первого бильярдного
свойства эллипса
М
B
А

9. Второе бильярдное
свойство эллипса
ε
Если траектория шара проходит через фокус, то последующие звенья
траектории будут асимптотически стремиться к большой оси эллипса

10. Третье бильярдное
свойство эллипса
Каустика
Траектории шаров в эллипсе касаются либо софокусного эллипса, либо
софокусной гиперболы

11. Константа каустики
a
x b
z
y c
d
a + b + y + z = c + d + z + x = const

12. Задача об освещении
невыпуклой области
Задача об освещении невыпуклой области тесно связана с ТМБ

13. Гипотеза: всякий невыпуклый
многоугольник можно осветить
одним произвольным источником
Точное доказательство этой гипотезы пока не создано

14. «Телефон»
Чтобы осветить область, состоящую из 2N «Телефонов»
2N лампочек будет недостаточно

15. Закон скользящего
притяжения
Область
притяжения
Закон упругого отражения заменяется законом скользящего притяжения.
Каждое звено траектории шара должно касаться области притяжения

16. Критериальное уравнение
треугольника
d 2 + R2 = ( R1 − R2 )
2 2
S
R1 − R2
R2
d
Если в бильярде круга область притяжения является тоже кругом и существует
одна трёхзвенная замкнутая траектория, то и любая другая траектория будет
трёхзвенной и замкнутой. Здесь - радиус бильярда, - радиус области
притяжения, d – расстояние между центрами этих окружностей.

17. Критериальное
уравнение
четырёхугольника
1 1 1
+ = 2
( r1 + d ) ( r1 − d ) r2
2 2
( ) ( )
d 4 − 2 r12 + r22 d 2 + r12 r12 − 2r22 = 0

18. Критерий
концентричности
2
R1 R
r =
2
2 2
R1 − R2
d = const
R1 = r1
Центры областей притяжения трёхзвенной и четырёхзвенной
траекторий совпадают

19. «Золотой» критерий
концентричности
√Ф
Ф
Ф² Ф 1
1
Ф²
1
√Ф
d = r2
Если центр бильярда принадлежит четырёхзвенной окружности
притяжения, то отношения радиусов становятся «золотыми».

20. Задача о двух сосудах
7
0 11
При помощи ТМБ наглядно решаются задачи на переливание. Здесь
участвуют сосуды 7-ми и 11-ти литровые. Требуется отмерить 2 литра. Воду
можно черпать из большой бочки. Выливать воду можно в эту же бочку

21. Математическая теория
Бильярда

22. Глядя на
оглавление
понятно, что
Кориолис не
рассматривал
точки
прицела

23. Геометрическая теория
прицела
Окружность
прицела
R = 2r
r
A
R
Точка
прицела
Точка А является распространённой ошибкой. За редким исключением она не
может быть точкой прицела

24. «Чужой» - «Свой»
Точки прицела

25. Дуплет
«Чужой» - «Свой»
Точка отскока
Мнимый шар (зеркальное отражение от борта) и окружность прицела
показаны пунктиром.

26. Абриколь
«Чужой» - «Свой»

27. Карамболь
«Чужой» - «Свой»

28. Чемпионат по бильярду в
Нигерии