มีเนื้อหา 159 หน้า

1. 71
บทที่ 3
การสุมตัวอยางและการแจกแจงตัวอยาง
ในกรณีที่ประชากรซึ่งสนใจศึกษามีขอบเขตกวางขวางหรือมีจํานวนมากหรือการกระจายของขอมูลที่
จะนํามาใชในการวิเคราะหเชิงสถิติซึ่งวัดในรูปสัมประสิทธิ์การแปรผัน (coefficient of variation หรือ CV) มี
คานอย การเลือกตัวอยางแตเพียงบางหนวยจากทุกๆหนวยของประชากรมาเก็บรวบรวมขอมูลที่ตองการจะ
สามารถประหยัดเวลาและคาใชจายในการเก็บรวบรวมขอมูลไดมาก นอกจากนี้ การทราบการแจกแจงตัวอยาง
ของคาประมาณที่ใชกันอยูเสมอๆ คือ คาเฉลี่ย และคาสัดสวน ยังสามารถนําไปใชในการกําหนดตัวสถิติเพื่อ
การประมาณคาพารามิเตอร หรือการทดสอบสมมติฐานเชิงสถิติเกี่ยวกับพารามิเตอร ตลอดจนการประเมิน
ความถูกตองเชื่อถือไดของคาประมาณ หรือของผลการทดสอบสมมติฐานเชิงสถิติ ไมวาจะเปนพารามิเตอรของ
ประชากรชุดเดียว หรือประชากรตั้งแต 2 ชุดขึ้นไปไดอีกดวย
3.1 การสุมตัวอยาง
ในการประมาณคาสิ่งที่สนใจศึกษาดานวิศวกรรม เชน การประมาณอายุการใชงานของอุปกรณ
อิเล็กทรอนิกส การประมาณความเขมขนของสารตะกั่วในน้ํามันเบนซิน การประมาณกระแสไฟฟาที่ไหลผาน
ขดลวดทองแดง หรือการประมาณจํานวนครั้งที่รังสีแกมมาพุงออกจากธาตุกัมมันตรังสี หรือการทดสอบ
สมมติฐานซึ่งเปนความเชื่อของวิศวกรเกี่ยวกับจํานวนฟองอากาศในแกวที่ผลิตจากโรงงาน ระดับความดังของ
เสียงจากเครื่องขยายเสียง หรือความดันอากาศของยางรถยนตของรถยนตที่วิ่งอยูบนถนน การเก็บรวบรวม
ขอมูลที่เกี่ยวของทั้งหมดซึ่งจะนํามาใชในการประมาณคาสิ่งที่สนใจศึกษาดานวิศวกรรมที่กลาวมาแลวขางตน
หรือการเก็บรวบรวมขอมูลที่เกี่ยวของทั้งหมดซึ่งจะนํามาใชในการทดสอบความเชื่อของวิศวกรในเรื่องตางๆ
จะทําใหเสียเวลาและคาใชจายในการเก็บรวบรวมขอมูลคอนขางมาก การเก็บรวบรวมขอมูลจากตัวอยางบาง
หนวยที่เลือกมาเปนตัวแทนจากทุกๆหนวยในประชากรที่ตองการประมาณคาหรือตองมีการทดสอบสมมติฐาน
ก็เปนการเพียงพอ ทั้งนี้ เนื่องจากการศึกษาจากทุกหนวยของสิ่งที่ตองการเก็บรวบรวมขอมูลบางครั้งอาจทําให
เสียเวลาและคาใชจายโดยไมจําเปน เพราะสิ่งที่ศึกษาอาจจะมีบางกลุมที่มีลักษณะที่ตองการทราบอยูเหมือนๆ
กันหรือใกลเคียงกันมาก การเลือกตัวแทนของแตละกลุมมาทําการศึกษาก็เปนการเพียงพอที่จะทําใหสามารถ
ประมาณคาหรือทดสอบสมมติฐานของเรื่องที่ตองการศึกษาไดทั้งหมด เชน
ในการประมาณจํานวนสินคาชํารุดที่ผลิตโดยคนงานของโรงงานอุตสาหกรรมแหงหนึ่ง จํานวนสินคา
ชํารุดที่ผลิตโดยคนงานที่มีประสบการณใกลเคียงกันจะแตกตางกันไมมากนัก ดังนั้นอาจจะเลือกคนงานจํานวน
หนึ่งมาเปนตัวแทนของคนงานทั้งหมดที่มีประสบการณใกลเคียงกัน เชน เลือกตัวอยางคนงานที่มีประสบการณ
ต่ํากวา 2 ปลงมาจํานวน 100 คน คนงานที่มีประสบการณ 2 ถึง 4 ปจํานวน 60 คน และคนงานที่มี
ประสบการณตั้งแต 5 ปขึ้นไปจํานวน 40 คน จํานวนตัวอยางที่เลือกมาเปนตัวแทนของประชากรแตละกลุมนี้
จะมีจํานวนมากนอยเพียงใดขึ้นอยูกับความตองการของผูเก็บรวบรวมขอมูล วาจะใหคาประมาณที่ไดจาก
ตัวอยางที่เลือกมาเก็บรวบรวมขอมูลนี้ใกลเคียงกับคาที่ควรจะเปนจริงที่ไดจากการศึกษาทุกทุกหนวยหรือ
พารามิเตอร (parameter) มากนอยเพียงใด ถาตองการใหไดผลใกลเคียงมากก็ควรเลือกตัวแทนหรือตัวอยาง
มามาก นอกจากความตองการของผูเก็บรวบรวมขอมูลเกี่ยวกับความถูกตองของคาประมาณนี้แลว ความ
แปรปรวนหรือการกระจายของลักษณะที่สนใจศึกษาในแตละกลุม เชน จากตัวอยางขางตน คือ ประสบการณ
ในการผลิตสินคาที่อยูในกลุมเดียวกันมีความแตกตางกันมากหรือนอย ถามีความแตกตางกันมากก็อาจตองใช
จํานวนตัวอยางมาก แตถาแตกตางกันนอยก็อาจใชจํานวนตัวอยางนอยลงได สําหรับวิธีเลือกตัวอยางจาก

2. 72
ประชากรเพื่อนํามาเก็บรวบรวมขอมูลที่นิยมใชกันทั่วๆไปในการประมาณคาและการทดสอบสมมติฐาน คือ
วิธีการเลือกตัวแทนแบบสุมหรือการสุมตัวอยาง
การสุมตัวอยาง คือวิธีเลือกตัวอยางที่ทุกๆหนวยของประชากรจะมีโอกาสถูกเลือกมาเปนตัวอยาง
เทาๆกัน ตัวอยางที่เลือกไดมักจะกระจายกันอยูทั่วประชากร ซึ่งอาจเปนเหตุทําใหการเก็บรวบรวมขอมูลตอง
เสียเวลาและคาใชจายมาก โดยเฉพาะอยางยิ่งในกรณีที่ขอบเขตของการเก็บรวบรวมขอมูลกวางขวางหรือ
ประชากรมีขนาดใหญ นอกจากนี้ ถาลักษณะของประชากรที่ตองการเก็บรวบรวมขอมูลหาไดยากในประชากร
นั้นๆ การเลือกตัวอยางแบบสุมอาจจะไดลักษณะของประชากรที่ตองการศึกษาไมเพียงพอที่จะนํามาประมาณ
คาหรือทดสอบสมมติฐานเชิงสถิติได
วิธีสงตัวอยางที่ใชกันโดยทั่วไปมี 3 วิธี คือ
1) ใชวิธีจับฉลาก การสุมตัวอยางวิธีนี้ใชกับประชากรที่มีจํานวนหนวยไมมากนัก เพราะ
จะตองเขียนชื่อหรือหมายเลขที่ใชแทนหนวยแตละหนวยของประชากรลงในสลาก แลวนําสะอาดทั้งหมดใสใน
ภาชนะใดๆ เขยาใหปะปนกันกอนที่จะหยิบสลากออกมาใหมีจํานวนเทากับจํานวนตัวอยางที่ตองการ โดยเมื่อ
หยิบฉลากชิ้นนั้นออกมาแลวไมตองนําสลากชิ้นนั้นใสคืนลงไปในภาชนะใสสลากกอนที่จะหยิบสลากชิ้นตอไป
ชื่อหรือหมายเลขที่ใชแทนหมูของประชากรที่อยูในสลากที่จะออกมาไดจะเปนตัวอยางในการเก็บรวบรวม
ขอมูล
2) ใชตารางเลขสุม ( table of random numbers) การสุมตัวอยางโดยวิธีนี้นิยมใชกันมาก
เนื่องจากการสํารวจตัวอยางมักทํากับประชากรที่มีขนาดใหญ ดังนั้นการใชวิธีจับสลากจึงยุงยากและเสียเวลา
ในการสุมมาก ในกรณีที่ประชากรประกอบดวยหนวยที่อยูในทะเบียน (registation) หรือระเบียน (record)
การใชตารางเลขสุมในการสุมตัวอยางจะยิ่งสะดวกมากขึ้น เพราะหนวยแตละหนวยจะเรียงกันอยูตามลําดับ
กอนหลังหรือตามตัวอักษรนําหนาอยูแลวและอาจมีเลขที่ของแตละหนวยกํากับไวดวย เชน 001, 002, 003,
…, 323, 324, …, 498 ซึ่งสามารถนํามาใชเลือกตัวอยางไดทันที เชน ตองการเลือกตัวอยางจํานวน 50
ตัวอยางมาจากประชากรที่ประกอบดวย 498 หนวย ควรจะใชตารางเลขสุมที่แตละจํานวนประกอบดวยเลข
สามหลักแลวสงจํานวนที่ประกอบดวยเลขสามหลักนี้ขึ้นมา 50 จํานวนโดยไมเจาะจง ซึ่งอาจทําไดโดยการ
หลับตาแลวใชปลายดินสอจิ้มไปที่ตารางเลขสุม ถาตรงกับจํานวนใดก็คือวาหนวยที่มีเลขที่ตรงกับจํานวนนั้นตก
เปนตัวอยาง หรืออาจจะตั้งเปนเกณฑไวกอนการสุมก็บอกไดวาจะเริ่มตนที่จํานวนซึ่งอยูในแถว (row) แรก
และสดมภ (column) แรก แลวใชจํานวนที่อยูในสดมภถัดไปเรื่อยๆของแถวแรก เมื่อครบทุกสดมภแลวก็มา
เริ่มตนในแถวตอไปจนไดตัวอยางครบตามจํานวนที่ตองการ ในกรณีที่จํานวนใดมีคามากกวา 498 ก็ใหขามไป
เพราะไมมีหนวยใดในประชากรที่มีหมายเลขมากกวา 498
เนื่องจากเลขสุมแตละจํานวนที่ปรากฏอยูในตารางเลขสุมนี้มีโอกาสที่จะถูกเลิกขึ้นมาเปนตัวอยาง
เทาๆกัน เพราะถูกสรางขึ้นมาดวยวิธีการที่ทําใหเลขสุมแตละจํานวนมีโอกาสเกิดขึ้นเทาๆกัน ดังนั้นการใช
ตารางเลขสุมควรเลือกใหเหมาะสมกับจํานวนหนวยของประชากร เชน ประชากรที่มีจํานวนหนวยไมเกิน 99
หนวย ควรใชตารางเลขสุมที่แตละจํานวนประกอบดวยเลข 2 หลัก ประชากรที่มีจํานวนหนวยตั้งแต 1,000
หนวยขึ้นไปจนถึง 9,999 หนวย ควรใชตารางเลขสุมที่แตละจํานวนประกอบดวยเลข 4 หลัก
3) ใชคอมพิวเตอรสุมตัวอยาง โดยใชโปรแกรมสําเร็จรูป ที่มีโปรแกรมสุมตัวอยาง เชน
โปรแกรมสําเร็จรูป SPSS
3.2 การแจงตัวอยาง
เนื่องจากมีความจําเปนที่จะตองใชขอมูลจากตัวอยางในการประมาณคาหรือจากทดสอบสมมติฐาน
เกี่ยวกับลักษณะที่สนใจศึกษาหรือพารามิเตอรของประชากร เชน คาเฉลี่ย คาสัดสวน และคาความแปรปรวน

3. 73
ดังไดกลาวมาแลว ดังนั้นการทราบลักษณะของคาประมาณที่ไดจากขอมูลตัวอยาง เชน ลักษณะการแจกแจง
คาเฉลี่ย ลักษณะการแจกแจงคาสัดสวน และลักษณะการแจกแจงคาความแปรปรวนจะทําใหสามารทราบ
ความถูกตองและเชื่อถือไดของคาประมาณเหลานั้น นอกจากนี้ ยังสามารถนํามาใชประโยชนในการวิเคราะห
ทางสถิติเรื่องอื่นๆ ตอไป เชน การหาคาความเชื่อมั่น (confidence interval) การทดสอบสมมติฐานเชิงสถิติ
เกี่ยวกับพารามิเตอรตางๆ หรือการหาคาความสัมพันธระหวางขอมูลหรือตัวแปรตั้งแต 2 ตัวขึ้นไป
เพื่อใหมองเห็นความจําเปนของการแจกแจงตัวอยางและประโยชนที่จะนํามาใช ลองพิจารณาจาก
ตัวอยางตอไปนี้ บริษัทรับเหมากอสรางแหงหนึ่งตองการประมาณคาจางเฉลี่ยตอชั่วโมงของคนงานในจังหวัด
สมุทรปราการ จึงสุมคนงานที่ทํางานอยูในจังหวัดสมุทรปราการมา 16 คน ไดคาแรงตอชั่วโมงของคนงานทั้ง
16 คนดังนี้ คือ
16.80, 19.40, 17.90, 22.10, 20.84, 17.74, 18.84, 19.60, 18.30, 21.60, 20.48, 19.00, 20.20,
22.50, 18.00 และ 19.20 บาท เมื่อนํามาคํานวณหาคาเฉลี่ยจากตัวอยาง (x̅) จะไดx =
312.50
16
= 19.53 บาท
นั้นคือ x̅ ซึ่งเปนคาประมาณของคาเฉลี่ยตอชั่วโมงของคนงานทั้งหมดในจังหวัดสมุทรปราการเทากับ
19.53 บาท แตอยางไรก็ตาม คาประมาณดังกลาวนี้เปนเพียงคาประมาณคาหนึ่งในจํานวนคาที่ประมาณอาจ
เปนไปไดทั้งหมดของการเลือกคนงานจํานวน 16 คนมาจากคนงานทั้งหมดที่ทํางานอยูในจังหวัดสมุทรปราการ
เทานั้น กลาวคือ ถาคนงานที่เลือกมาเปนตัวอยาง 16 คนนี้เปนคนละชุดกับคนงานชุดเดิมขางตน ก็จะทําใหได
คาเฉลี่ยจากตัวอยางการเปลี่ยนไป ดังนั้นเมื่อเปลี่ยนชุดของตัวอยางไปเรื่อยๆก็จะมีผลทําใหไดคาเฉลี่ยจาก
ตัวอยางหลายจํานวนมาก เชน 19.53, 19.07, 20.09, 19.84, ... ความแตกตางที่เกิดขึ้นระหวางคาเฉลี่จาก
ตัวอยางแตละชุดเหลานี้จะเห็นไดวาเกิดจากการสุมตัวอยาง การกระจายหรือการแจกแจงของคาตางๆที่เปนไป
ไดทั้งหมดของประชากรนี้เรียกวาเปน การแจกแจงตัวอยางของx̅(sampling distribution of x̅)การที่จะใช x̅
เปนคาประมาณ µ จําเปนตองทราบลักษณะที่สําคัญบางประการของการแจกแจงของ x̅คือตองการทราบวา
การแจกแจงของคาประมาณ x̅เกี่ยวของกับการแจกแจงของขอมูลจากตัวอยางอยางไร
สมมติวาจํานวนคนงานทั้งหมดในจังหวัดในจังหวัดสมุทรปราการมี Nคน เลือกตัวอยางคนงานมา
สอบถามอัตราคาจางจํานวนn คน เมื่อตองการนําไปใชในการประมาณอัตราคาจางเฉลี่ยตอชั่วโมงของคนงาน
ในจังหวัดสมุทรปราการ (µ) ถาอัตราคาจางของคนงานทั้งหมดในจังหวัดสมุทรปราการมีการแจกแจงที่มี
คาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน σ2
จะไดคาเฉลี่ยของการแจกแจงของ x̅ซึ่งจะแทนดวย µx̅ เทากับ µ และ
ความแปรปรวนของ x̅ ซึ่งจะแทนดวย σx̅
2
เทากับ
σ2
n
N-n
N-1
ถา N มีขนาดใหญเมื่อเปรียบเทียบกับ n ซึ่งเปนกรณีของการเลือกตัวอยางโดยทั่วไป จะไดความ
แปรปรวนของ x̅หรือ σx̅
2
เทากับ
σ2
n
ดังนั้นความแปรปรวนของคาเฉลี่ยนอยกวาความแปรปรวนของคาสังเกตเดิม เนื่องจาก
σ2
n
นอยกวา
σ2
เสมอ ซึ่งแสดงวาคาเฉลี่ยมีการกระจายตัวนอยกวาเดิม
3.2.1 การแจกแจงตัวอยางของคาเฉลี่ย
การแจกแจงของคาเฉลี่ยจากตัวอยางขนาด n ที่เลือกมาจากประชากรขนาด N ที่มีคาเฉลี่ย µ
และความแปรปรวน σ2
จะมีคาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน
σ2
n
ตัวอยางที่ 3.1

4. 74
จํานวนวิศวกรไฟฟาในโรงงานอุตสาหกรรม 3 แหง คือ A, B และ C เทากับ 3 คน 4 คน และ 5 คน
ตามลําดับ ตองการประมาณจํานวนวิศวกรไฟฟาเฉลี่ยตอโรงงานอุตสาหกรรมและความแปรปรวนของจํานวน
วิศวกรไฟฟาตอโรงงานอุตสาหกรรม โดยการเลือกตัวอยางโรงงานอุตสาหกรรมมา 2 แหง
วิธีทํา
จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกโรงงานอุตสาหกรรม 2 แหงจากโรงงานอุตสาหกรรมทั้งหมด 3 แหงมี
3
2
= 3 วิธี
นั่นคือ จํานวนชุดของตัวอยางที่เปนไปไดเทากับ 3 ชุด คือ
ชุดที่ 1 ประกอบดวยโรงงานอุตสาหกรรม A และโรงงานอุตสาหกรรม B
ชุดที่ 2 ประกอบดวยโรงงานอุตสาหกรรม A และโรงงานอุตสาหกรรม C
ชุดที่ 3 ประกอบดวยโรงงานอุตสาหกรรม B และโรงงานอุตสาหกรรม C
ถาผูตองการประมาณเลือกไดตัวอยางชุดที่ 1 จะไดจํานวนวิศวกรไฟฟาเฉลี่ยตอโรงงานอุตสาหกรรม
x̅1=
3+4
2
=3.5 คน
ถาผูตองการประมาณเลือกไดตัวอยางชุดที่ 2 จะไดจํานวนวิศวกรไฟฟาเฉลี่ยตอโรงงานอุตสาหกรรม
x̅2=
3+5
2
=4.0 คน
ถาผูตองการประมาณเลือกไดตัวอยางชุดที่ 3 จะไดจํานวนวิศวกรไฟฟาเฉลี่ยตอโรงงานอุตสาหกรรม
x̅3=
4+5
2
=4.5 คน
นั้นคือ x̅1,x̅2, x̅3 หรือ 3.5, 4.0, 4.5 จะมีการแจกแจงที่มีคาเฉลี่ย และความแปรปรวน
σ2
n
N-n
N-1
, (Nมีขนาดใหญเมื่อเทียบกับn)
μ=
1
N
xi
N
i=1
=
1
3
(3+4+5)=4
เมื่อ
σ2
=
1
N
(xi-μ)2
N
i=1
=
1
3
[(3-4)2
+(4-4)2
+(5-4)2]=
2
3
ดังนั้นการแจกแจงของวิศวกรไฟฟาเฉลี่ยตอโรงงานอุตสาหกรรมมีคาเฉลี่ยเทากับ 4 และความ
แปรปรวนเทากับ
2
3
×
1
2
3-2
3-1
=
1
6

5. 75
ถาหาคาเฉลี่ยของ x̅1,x̅2,x̅3 โดยตรง จะได
μx̅=
1
3
x̅1,x̅2, x̅3
=
1
3
(3.5+4.0+4.5) =4
ถาหาความแปรปรวนของ x̅1,x̅2,x̅3 โดยตรง จะได
2
x
=
1
3
x̅1-μx̅
2
+ x̅2-μx̅
2
+ x̅3-μx̅
2
=
1
3
[(3.5-4)2
+(4.0-4)2
+(4.5-4)2]
=
1
6
ถาเทากับที่หาไดจากความสัมพันธระหวางการแจกแจงของ x̅กับการแจกแจงของ xซึ่งเปนคาของ
ขอมูลเดิม
3.2.2 การแจกแจงตัวอยางของคาเฉลี่ยเมื่อประชากรมีการแจกแจงปกติ
เนื่องจากโดยทั่วไปตัวแปรสวนใหญไมวาจะเปนตัวแปรดานเศรษฐกิจหรืออุตสาหกรรมมักจะมีการแจกแจง
ปกติ ดังนั้นในการวิเคราะหขอมูลจึงมีความจําเปนตองทราบการแจกแจงตัวอยางเมื่อประชากรมีการแจกแจง
ปกติ การแจกแจงของคาเฉลี่ยจากตัวอยางขนาด n ที่เลือกมาจากประชากรขนาด N ซึ่งมีการแจกแจงปกติที่มี
คาเฉลี่ย μ และมีความแปรปรวน σ2
จะมีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย μ และมีความแปรปรวน
σ2
n
ลักษณะของการแจกแจงของคาเฉลี่ยจากตัวอยางเมื่อใชตัวอยางขนาด 9 และ 25 ที่เลือกมาจาก
ประชากรที่มีการแจกแจงปกติ เปนดังนี้
ภาพ
ภาพ 3.1 แจกแจงของคาเฉลี่ยจากตัวอยางเมื่อใชตัวอยางขนาด 9 และ 25 จากประชากรที่มีการแจกแจงปกติ
ตัวอยางที่ 3.2

6. 76
อายุการใชงานทรานซิสเตอรในเครื่องคอมพิวเตอรสามารถอนุโลมไดวาการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย
80 ชั่วโมง และความแปรปรวน 10 จงหาความนาจะเปนที่อายุการใชงานเฉลี่ยของทรานซิสเตอรในเครื่อง
คอมพิวเตอร 4 เครื่องจะมากกวา 84 ชั่วโมง
วิธีทํา
ให x แทนอายุการใชงานของทรานซิสเตอรซึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย μ = 80 ชั่วโมง และ
ความแปรปรวน = 10
ดังนั้นการแจกแจงของคาเฉลี่ยจากตัวอยางเครื่องคอมพิวเตอร 4 เครื่องมีการแจกแจงปกติที่มี
μ = μ = 80
̅ = = =2.50
̅ = √2.50 =1.58
เพื่อใหสามารถใชตารางการแจกแจงปกติมาตรฐานในการหาความนาจะเปนที่ตองการได จะตอง
เปลี่ยนคาของ x ไปเปนคา Zซึ่งมีคาการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 และเนื่องจากการ
สุม xมีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย μ และความแปรปรวน
ดังนั้น Z = =
√
จะได z =
.
= 2.53
P(x > 84) = P(Z > 2.53) = 0.5 – P(0 <Z <2.53)
นั้นคือ = 0.5 – 0.4943
= 0.0057
ดังนั้นความนาจะเปนที่อายุการใชงานของทรานซิสเตอรในเครื่องคอมพิวเตอร 4 เครื่องจะมากกวา
84 ชั่วโมงเทากับ 0.0057
ตัวอยางที่ 3.3
น้ําหนักของลังที่บรรจุเครื่องจักรชนิดหนึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย 323 กิโลกรัม และคาสวน
เบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 กิโลกรัม จากการสุมลังบรรจุเครื่องจักรมา 9 ลัง แลวชั่งน้ําหนักเพื่อเพิ่มหาน้ําหนักเฉลี่ย
จงหาคาความนาจะเปนที่มีน้ําหนักเฉลี่ยของลังที่สุมมานั้นนอยกวา 320 กิโลกรัม
วิธีทํา
เนื่องจาก µ = 323 กิโลกรัม, σ = 6 กิโลกรัม, n = 9
ดังนั้น μ = µ = 323 กิโลกรัม

7. 77
̅ =
√
=
√
= 2 กิโลกรัม
จาก Z =
= = -1.5
P (x< 320) = P (Z < -1.5) = 0.5 - P (-1.5 < Z < 0)
นั้นคือ = 0.5 – 0.4332
= 0.0668
ดังนั้นความนาจะเปนที่น้ําหนักเฉลี่ยของลังที่สุมมานอยกวา 320 กิโลกรัมเทากับ 0.0668
สําหรับการแจกแจงของคาเฉลี่ยจากตัวอยางและการแจกแจงของขอมูลเดิมของตัวอยางนั้นแสดงได
ดังภาพ 3.2
ภาพ
ภาพ 3.2 การเปรียบเทียบการแจกแจงของประชากรและการแจกแจงของคาเฉลี่ยจากตัวอยาง
ตัวอยางที่ 3.4
โรงงานผลิตยางรถยนตยี่หอหนึ่งอางวาอายุการใชงานของยางรถยนตที่ผลิตจากโรงงานมีการแจกแจง
ปกติที่มีคาเฉลี่ย 43, 000 กิโลเมตร และมีคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุการใชงานเทากับ 3,000
กิโลเมตร ถาคํากลาวอางดังกลาวเปนจริง จงหาความนาจะเปนที่ตัวอยางยางรถยนตที่เลือกขึ้นมา 36 เสนจะมี
คาเฉลี่ยของอายุการใชงาน
1) ต่ํากวา 40,000 กิโลเมตร
2) สูงกวา 44,000 กิโลเมตร
3) อยูระหวาง 42,000 กับ 44,000 กิโลเมตร
วิธีทํา
เนื่องจาก µ = 43,000 กิโลเมตร และ σ = 3,000 กิโลเมตร
ดังนั้น μ = µ = 43,000 กิโลเมตร
ดังนั้น σ =
√
= ,
= 500 กิโลเมตร

8. 78
จาก Z =
1) หา P(x< 40,000)
Z = , ,
= -6
P(x< 40,000) = P(Z< -6) = P(Z> 6) = 0.5 - P(0 <Z< 6)
= 0.5 -0.5
= 0
นั่นคือ ความนาจะเปนที่ยางรถยนตมีอายุการใชงานเฉลี่ยต่ํากวา 40, 000 กิโลเมตร เทากับ 0
2) หา P(x> 44,000)
Z = , ,
= 2
P(x< 44,000) = P(Z< 2) = 0.5 - P(0 <Z<2)
= 0.5 -0.4775 = 0.0228
นั่นคือ ความนาจะเปนที่ยางรถยนตมีอายุการใชงานเฉลี่ยอยูระหวาง 42,000 กับ 44,000 กิโลเมตร
เทากับ 0.9544
3.2.3 ทฤษฏีบทลิมิตสวนกลาง
ถาตัวอยางขนาด n ถูกเลือกมาจากประชากรที่มีคาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน แลว เมื่อ n มี
ขนาดใหญ xจะมีการแจกแจงที่ประมาณไดดวยการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย µ และมีความแปรปรวน และ
การประมาณนี้จะมีความถูกตองมากขึ้นเมื่อ n มีขนาดใหญขึ้น
ทฤษฎีบทลิมิตสวนกลาง (central limit theorem) นี้สามารถใชไดกับประชากรใดๆ โดยไมตอง
คํานึงถึงวาประชากรนั้นจะมีการแจกแจงแบบใดก็ตาม สําหรับขนาดตัวอยางที่นับวาใหญเพียงพอสําหรับการ
ใชทฤษฎีนี้ไมควรต่ํากวา 30
ตัวอยางที่ 3.5
จุดหลอมตัวของโลหะผสมชนิดหนึ่งมีการแจกแจงที่มีคาเฉลี่ย 100 องศาเซลเซียสและความแปรปรวน
4 จงหาความนาจะเปนที่โลหะผสมชนิดนี้ 50 แผน ซึ่งเลือกมาเปนตัวอยางจะมีจุดหลอมตัวมากกวา 100.5
องศาเซลเซียส
วิธีทํา
เนื่องจากไมทราบวาประชากรมีการแจกแจงปกติหรือไม แตขนาดตัวอยางที่ใชไมเทากับ 50 ซึ่งเปน
ขนาดใหญพอที่จะประมาณการแจกแจงของ xดวยการแจกแจงปกติโดยใชทฤษฎีบทลิมิตสวนกลางได ดังนั้น
x จะมีการแจกแจงที่ประมาณไดดวยการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย 100 องศาเซลเซียส และความยาว
แปรปรวน = 0.08

9. 79
จาก Z =
=
.
√ .
= 1.77
P(x> 100.5) = P(Z> 1.77) = 0.5 - P(0 <Z< 1.77)
= 0.5 -0.4616 = 0.0384
ดังนั้นความนาจะเปนที่โลหะผสมชนิดนี้ 50 แผนซึ่งเลือกมาเปนตัวอยางจะมีจุดหลอมตัวเฉลี่ย
มากกวา 100.5 องศาเซลเซียสเทากับ 0.0384
3.2.4 การแจกแจงตัวอยางของผลตางระหวางคาเฉลี่ยของประชากรสองชุดที่มีการแจกแจงปกติ
ถา x และx เปนคาเฉลี่ยจากตัวอยางขนาด n1และ n2ที่เลือกมาจากแระชากรสองชุดที่ตางก็มีการ
แจกแจงที่มีคาเฉลี่ย µ1 และµ2และความแปรปรวน σ และ σ ตามลําดับแลว จะมีการแจกแจงปกติที่มี
คาเฉลี่ย µ1 -µ2และความแปรปรวน +
ตัวอยางที่ 3.6
คาแรงงานตอวันของโรงงานทอผาในจังหวัดหนึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย 160 บาท และความ
แปรปรวน 36 และคาแรงงานตอวันของโรงงานเย็บผามีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย 150 บาท และความ
แปรปรวน 9 ถาเลือกตัวอยางคนงานในโรงงานทอผาในจังหวัดนี้มา 90 คน และคนงานในโรงงานเย็บผาใน
จังหวัดนี้มา 45 คน จงหาความนาจะเปนที่ความแตกตางระหวางคาเฉลี่ยของคาแรงงานตอโรงงานของโรงงาน
ทั้งสองในจังหวัดนี้ต่ํากวา 8 บาท ตอวัน
วิธีทํา
ให x และx แทนคาแรงงานเฉลี่ยตอวันของคนงานที่เลือกมาเปนตัวอยางจากโรงงานทอผาและ
โรงงานเย็บผา ตามลําดับ
µ1 = 160, µ2 = 150
เนื่องจาก σ = 36, σ = 9
N1 = 90, N2 = 45
ดังนั้น x -x มีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย = µ1 - µ2 = 160 – 150 = 10 และความ
แปรปรวน + = + = 0.6
และเพื่อใหสามารถใชตารางการแจกแจงปกติมาตรฐานในการหาความนาจะเปนที่ตองการได จะตอง
เปลี่ยนคาของ x -x ไปเปนคามาตรฐาน Z ซึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 และ
เนื่องจาก x -x มีการแจกแจงปกติที่คาเฉลี่ย (µ1 - µ2) และมีความแปรปรวน
σ1
2
n1
+
σ2
2
n2
ดังนั้น
Z =
( ) ( )

10. 80
จะได Z =
√ .
= - 2.58
นั้นคือ P(x -x < 8) = P(Z<- 2.58)
= P(Z>2.58)
= 0.5 – 0.4951
= 0.0049
ดังนั้นความนาจะเปนที่ความแตกตางระหวางคาเฉลี่ยของคาแรงงานตอวันของโรงงานทอผาและ
โรงงานเย็บผาในจังหวัดนี้ต่ํากวา 8 บาทเทากับ 0.0049
ตัวอยางที่ 3.7
เวลาเฉลี่ยที่ใชประกอบเครื่องใชไฟฟาชนิดหนึ่งของชางเทคนิคชายเทากับ 130 นาที และมีคาสวน
เบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 นาที แตเวลาเฉลี่ยที่ใชประกอบเครื่องใชไฟฟาชนิดเดียวกันของชางเทคนิคหญิงเทากับ
125 นาที และคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 นาที ถาเลือกตัวอยางชางเทคนิคจากแตละเพศมา 36 คน จงหา
ความนาจะเปนที่ผลตางระหวางเวลาเฉลี่ยที่ใชประกอบเครื่องใชไฟฟาของชางเทคนิคชายและหญิง
1) มากกวาหรือเทากับ 5 นาที
2) นอยกวาหรือเทากับ 0 นาที
วิธีทํา
ให x และx แทนเวลาเฉลี่ยที่ใชประกอบเครื่องใชไฟฟาชนิดนี้ของชางเทคนิคชายและชางเทคนิค
หญิง
เนื่องจากประชากรทั้งสอง คือ เวลาที่ใชประกอบเครื่องใชไฟฟาของชางเทคนิคชายและชางเทคนิค
หญิงไมไดมีการแจกแจงปกติ แตขนาดตัวอยางชางเทคนิคที่เลือกมาจากทั้งสองเพศมีขนาดใหญพอสมควร
ดังนั้นจากทฤษฎีบทลิมิตสวนกลางสามารถอนุโลมไดวาผลตางระหวางเวลาเฉลี่ยที่ชางเทคนิคชายและหญิงที่ได
จากตัวอยางมีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย µ1 - µ2 และความแปรปรวน
σ1
2
n1
+
σ2
2
n2
และเพื่อใหสามารถใชตารางแจกแจงปกติมาตรฐานในการหาความนาจะเปนที่ตองการได จะตอง
เปลี่ยนคา x -x ไปเปนคามาตรฐาน Z โดยที่
Z =
( ) ( )
1) หา P(x -x ≥ 5)
Z =
( )
= 0
P(x -x ≥ 5) = P(Z ≥ 0) = 0.5
ดังนั้นความนาจะเปนที่ผลตางระหวางเวลาเฉลี่ยที่ใชประกอบเครื่องใชไฟฟาของชางเทคนิคชายและ
หญิงมากกวาหรือเทากับ 5 นาทีเทากับ 0.5

11. 81
2) หา P(x -x ≤ 0)
Z =
( )
= -2.35
P(x -x ≤ 0) = P(Z ≥ -2.35) = P(Z ≥ 2.35)
= 0.5 – P(0 ≤Z ≤ 2.35)
= 0.5 - 0.4906 = 0.0094
ดังนั้นความนาจะเปนที่ผลตางระหวางเวลาเฉลี่ยที่ใชประกอบเครื่องใชไฟฟาของชางเทคนิคชายและ
หญิงนอยกวาหรือเทากับ 0 นาทีเทากับ 0.0094
3.2.5 การแจกแจงตัวอยางของสัดสวน
สัดสวนตัวอยางเปนกรณีพิเศษของคาเฉลี่ยตัวอยาง (sample mean) เนื่องจากหนวยตัวอยาง
จองแตละหนวยมีคาไดเพียง 2 คา เทานั้น คือ 1 และ 0 ถาหนวยตัวอยางใดมีลักษณะสนใจศึกษาหนวย
ตัวอยางนั้นก็จะมีคาเทากับ 1 แตถาไมมีลักษณะที่สนใจศึกศึกษาหนวยตัวอยางนั้นก็จะมีคาเทากับ 0 เชน
เลือกตัวอยางชางเทคนิคโรงงานอุตสาหกรรมแหงหนึ่งโดยการสุมมา 10 คน ดังมีรายชื่อตอไปนี้
นายไพโรจน น.ส. กาญจนา นางแกวตา นายปรีชา นายปญญา นางเพลิน น.ส.บงกช น.ส.วิชุดา
นายไทร และนายสะอาด
ถาลักษณะที่สนในใจศึกษาคือเพศหญิง ดังนั้นชางเทคนิคคนใดที่เปนหญิง คาที่ใชแทนชาง
เทคนิคคนนั้นจะเทากับ 1 แตถาชางเทคนิคชาย คาที่ใชแทนชางชานคนนั้นจะเทากับ 0
นั่นคือ x = (x1 + x2+ x3 + x4+ x6 + x7 + x8 + x9 + x10)
= (0+1+1+0+0+1+1+1+0+0)
= = 0.5
= คาสัดสวนของชางเทคนิคหญิง
= P
การแจกแจงของคาสัดสวนจากตัวอยางขนาด n ที่เลือกมาจากประชากรใดๆจะมีคาเฉลี่ย P แล
ความแปรปรวน
( )
ในกรณีที่ตัวอยางที่เลือกมาจากประชากรมีขนาดใหญมาก หรือ nP และ n(1-P) มากกวาหรือ
เทากับ 5 สามารถใชทฤษฎีบทลิมิตสวนกลางเขามาประยุกตไดเชนเดียวกันกับการแจกแจงตัวอยางของ
คาเฉลี่ย กลาวคือ

12. 82
การแจกแจงของสัดสวนจากตัวอยางขนาด n สามารถอนุโลมไดวามีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย
P และความแปรปรวน
( )
เมื่อ n มีขนาดใหญมาก หรือ nP และ n(1-P) มากกวาหรือเทากับ 5
ตัวอยางที่ 3.8
โรงงานผลิตแผงวงจรไฟฟาแหงหนึ่งผลิตแผงวงจรไฟฟาชํารุด 4 %ถาสุมแผนวงจรไฟฟามา 200 แผง
จงหาความนาจะเปนที่สัดสวนของแผงวงจรไฟฟาชํารุดจากตัวอยางอยูระหวาง 0.03 และ 0.06
วิธีทํา
เนื่องจากn= 200, P = = 0.04
ดังนั้น nP = 200(0.04) = 8, P(1-P) = 200(1-0.04) = 192 ซึ่งตางก็มากกวา 6 สามารถอนุโลมไดวา
สัดสวนจากตัวอยาง (p) มีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย Pและความแปรปรวน
( )
และเพื่อใหสามารถใช
ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐานในการหาความนาจะเปนที่ตองได จะตองเปลี่ยนคา Pไปเปนคามาตรฐานใน
การหาความนาจะเปนที่ตองการได จะตองเปลี่ยนคา Pไปเปนคามาตรฐาน Zซึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย
0 และความแปรปรวน 1 โดยที่
Z = ( )
เมื่อจาก N = 0.03 Z1=
. .
( . . )( . )= -0.72
เมื่อจาก N = 0.06 Z2=
. .
( . . )( . )= 1.44
ดังนั้น P(0.03 <p < 0.06) = P(-0.72<Z < 1.44)
= P(-0.72 <Z<0) + P(0<Z< 1.44)
= P0 <Z< 0.72) + P(0<Z< 1.44)
= 0.2642 + 0.4251 = 0.6893
นั่นคือ ความนาจะเปนที่สัดสวนของแผงวงจรไฟฟาที่ชํารุดจากตัวอยางอยูระหวาง 0.03 กับ 0.06
เทากับ 0.6893
ตัวอยางที่ 3.9
ถาพนักงานของโรงงานผลิตผลไมกระปองแหงหนึ่งปดสลากสินคาขางกระปองผิดไปรอยละ 15 จงหา
ความนาจะเปนที่สุมผลไมกระปองมา 100 กระปอง แลวพบผลไมกระปองที่ปดสลากสินคาขางกระปองผิดต่ํา
กวารอยละ 10
วิธีทํา
เนื่องจาก n = 100, P = = 0.15
ดังนั้น nP = 100(0.15) = 15, P(1-P) = 100(1-0.15) = 85 ซึ่งตางก็มากกวา 5 สามารถอนุโลมไดวา
สัดสวนจากตัวอยาง (p) มีการแจกแจงปกติที่คาเฉลี่ย p และความแปรปรวน
( )
และเพื่อใหสามารถใช
ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐานในการหาความนาจะเปนที่ตองได จะตองเปลี่ยนคา Pไปเปนคามาตรฐานใน

13. 83
การหาความนาจะเปนที่ตองการได จะตองเปลี่ยนคา Pไปเปนคามาตรฐาน Zซึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย
0 และความแปรปรวน 1 โดยที่
Z =
( )
เมื่อ P = = 0.10 Z=
. .
( . )( . )
= -1.40
ดังนั้น P(p<0.10)= P(Z < -1.40) = P(Z<1.40)
= 0.5 – P(0 <Z< 1.40)
= 0.5 – 0.4192 = 0.0808
นั่นคือ ความนาจะเปนที่พนักงานปดสลากสินคาขางกระปองผิดต่ํากวารอยละ 10 เทากับ 0.0808
ตัวอยางที่ 3.10
โรงงานอุตสาหกรรมขนาดใหญแหงหนึ่ง รอยละ 3 ของคนงานประจําลาหยุดงานปละตั้งแต 15 วันขึ้น
ไป ถาผูจัดการฝายบุคคลเลือกตัวอยางคนงานแระจําโดยการซุมมา 300 คน จงหาความนาจะเปนที่พบคนงาน
ประจํามากกวา 12 คน ลาหยุดงานปละตั้งแต 15 วันขึ้นไป
วิธีทํา
เนื่องจาก n = 300, P = = 0.03
ดังนั้น nP = 300(0.03) = 9, n(1-P) = 300(1-0.03) = 291
ซึ่งตางก็มากวา 5 สามารถอนุโลมไดวาสัดสวนจากตัวอยาง (p) มีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย P และ
ความแปรปรวน
( )
จาก Z =
( )
เมื่อ P = = 0.04 Z=
. .
. ( . )
= 1.02
ดังนั้น P(p<0.04)= P(Z < 1.02) = 0.5-P(0< Z<1.02)
= 0.5 – 0.3461 = 0.1539
นั่นคือ ความนาจะเปนที่พบคนงานมากกวา 12 คน ลาหยุดงานปละตั้งแต 15 วัน เทากับ 0.1539
3.2.6 การแจกแจงตัวอยางของผลตางระหวางคาสัดสวนของประชากรสองชุด
เนื่องจากการแจกแจงของคาสัดสวนจากตัวอยาง (p) เปนกรณีพิเศษของการแจกแจงของคาเฉลี่ยจาก
ตัวอยาง ( ̅) ในทํานองเดียวกัน การแจกแจงตัวอยางของผลตางระหวางคาสัดสวนของประชากรสองชุดก็เปน
กรณีพิเศษของการแจกแจงตัวอยางของผลตางระหวางคาเฉลี่ยของประชากรสองชุด กลาวคือ

14. 84
ถา p1 และ p2 เปนคาสัดสวนจากตัวอยางขนาด n1และ n2ที่เลือกมาจากประชากรสองชุด สามารถ
อนุโลมไดวามีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย p1-p2 และความแปรปรวน
( )
+
( )
เมื่อ n1
และ n2มีขนาดใหญมากหรือ n1P1, n1(1-P1), n2P2และ n2(1-P2)ตางก็มากกวาหรือเทากับ 5
และเพื่อใหสามารถใชตารางการแจกแจงปกติมาตรฐานในการหาความนาจะเปนที่ตองการได จะตอง
เปลี่ยนคา p1 – p2ไปเปนคามาตรฐาน Z ซึ่งมีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 และ
เนื่องจาก p1 – p2 สามารถอนุโลมไดวามีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย p1 – p2 และความแปรปรวน
( )
+
( )
ดังนั้น Z =
( ) ( )
( ) ( )
ตัวอยางที่ 3.11
จากการสุมตัวอยางคนงายกลุมละ 100 คนที่มาทํางานกะกลางวันและกะกลางคืนในโรงงานผลิต
หัวอานคอมพิวเตอร ปรากฏวาสัดสวนของคนงานที่เปนหญิงที่มาทํางานกะกลางวันและกะกลางคืนเทากับ
0.45 และ 0.35 ตามลําดับ จงหาความนาจะเปนที่มีผลตางระหวางคาสัดสวนของคนงานที่เปนหญิงที่ทํางานใน
กะกลางวันและกะกลางคืนมากกวา 0.10 ถา
1) คาสัดสวนของคนงานหญิงที่ทํางานกะกลางวันและกลางคืนตางก็เทากับ 0.40
2) คาสัดสวนของคนงานหญิงที่ทํางานกะกลางวันและกลางคืนเทากับ 0.50 และ 0.30 ตามลําดับ
วิธีทํา
1) เนื่องจาก n1 = 100, n2 = 100, P1 = 0.40, P2 =0.40
ดังนั้น n1 P1= 100(0.40) = 40, n1(1- P1) = 100(1-0.40) = 60
N2 P2= 100(0.40) = 40, n2(1- P2) = 100(1-0.40) = 60
ซึ่งตางก็มากกวา 5 สามารถอนุโลมไดวา p1 – p2มีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย P1 – P2และความ
แปรปรวน
( )
+
( )
จาก Z =
( ) ( )
( ) ( )
=
. ( . . )
( . )( . ) ( . )( . )
=
.
.
= 1.44
ดังนั้น P(p1 – p2> 0.10) = P (Z > 1.44)
= 0.5 – P (0 ≤ Z ≤ 1.44)

15. 85
= 0.5 – 0.4251 = 0.0749
นั้นคือ ความนาจะเปนที่ผลตางระหวางคาสัดสวนของคนงานหญิงที่ทํางานกะกลางวันและกะกลางคืน
มากกวา 0.10 เทากับ 0.0749
2) เนื่องจาก n1 = 100, n2 = 100, P1 = 0.50, P2 =0.30
ดังนั้น n1 P1= 100(0.50) = 50, n1(1- P1) = 100(1-0.50) = 50
N2 P2= 100(0.30) = 40, n2(1- P2) = 100(1-0.30) = 70
ซึ่งตางก็มากกวา 5 สามารถอนุโลมไดวา p1 – p2มีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย P1 – P2และความ
แปรปรวน
( )
+
( )
จาก Z =
( ) ( )
( ) ( )
=
. ( . . )
( . )( . ) ( . )( . )
=
.
.
= -1.47
ดังนั้น P(p1 – p2> 0.10) = P (Z > -1.47)
= 0.5 – P (-1.47 ≤ Z ≤ 0)
= 0.5 – P (0 ≤ Z ≤ 1.47)
= 0.5 – 0.4292 = 0.9292
นั้นคือ ความนาจะเปนที่ผลตางระหวางคาสัดสวนของคนงานหญิงที่ทํางานกะกลางวันและกะกลางคืน
มากกวา 0.10 เทากับ 0.9292
ตัวอยางที่ 3.12
โรงงานอุตสาหกรรมแหงหนึ่งปกติซื้อวัตถุดิบมากจากบริษัท A และบริษัท B ภายใตขอตกลงที่วา
จะตองมีวัตถุดิบที่มีคุณพลาดไมไดมาตรฐานตามที่ตกลงกันไวไมเกินกวา 5 % จากการตรวจสอบคุณภาพของ
วัตถุดิบที่สงมาจากบริษัท A และบริษัท B โดยการสุมตัวอยางวัตถุดิบจากแตละบริษัทมาจํานวน 100 ชิ้น
ปรากฏวามีวัตถุดิบที่มีคุณภาพไมไดมาตรฐานจากบริษัท A และบริษัท B เปนจํานวน 5 %และ 3 %
ตามลําดับ จงหาความนาจะเปนที่ผลตางระหวางคาสัดสวนของวัตถุดิบที่มีคุณภาพไมไดมาตรฐานซึ่งมาจาก
บริษัททั้งสองมากกวา 2% ถาวัตถุดิบทั้งหมดที่สงมาจากบริษัททั้งสองตางก็มีวัตถุดิบที่มีคุณภาพไมได
มาตรฐานเทากับ 5 %
วิธีทํา
เนื่องจาก n1 = 100, n2 = 100,
P1 = = 0.05, P2 = = 0.05
ดังนั้น n1 P1= 100(0.05) = 5, n1(1- P1) = 100(1-0.05) = 95
n2 P2= 100(0.05) = 5, n2(1- P2) = 100(1-0.05) = 95

16. 86
ซึ่งตางก็มากกวา 5 สามารถอนุโลมไดวา p1 – p2 มีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย P1 – P2และความ
แปรปรวน
( )
+
( )
จาก Z =
( ) ( )
( ) ( )
เมื่อ p1 – p2 = = 0.02
=
. ( . . )
( . )( . ) ( . )( . )
= 0.65
ดังนั้น P(p1 – p2>0.02) = P (Z >0.65)
= 0.5 – P (0 ≤ Z ≤ 0.65)
= 0.5 – 0.2422 = 0.2578
นั้นคือ ความนาจะเปนที่ผลตางระหวางคาสัดสวนของวัตถุดิบที่มีคุณภาพไมไดมาตรฐานซึ่งมาจาก
บริษัททั้งสองมากกวา 2 % เทากับ 0.2578
ตัวอยางที่ 3.13
จากตัวอยางที่ 3.12 ถาวัตถุดิบทั้งหมดที่สงมาจากบริษัททั้งสองตางก็มีวัตถุดิบที่มีคุณภาพไมได
มาตรฐานเพิ่มขึ้นจากเดิม 2 เทาคือเทากับ 10%จงหาความนาจะเปนที่ผลตางระหวางคาสัดสวนของวัตถุดิบที่
มีคุณภาพไมไดมาตรฐานซึ่งมาจากบริษัททั้งสองมากกวา 2 %
วิธีทํา
เนื่องจาก n1 = 100, n2 = 100,
P1 = = 0.10, P2 = = 0.10
ดังนั้น n1 P1= 100(0.10) = 10, n1(1- P1) = 100(1-0.10) = 90
n2 P2= 100(0.10) = 10, n2(1- P2) = 100(1-0.10) = 90
ซึ่งตางก็มากกวา 5 สามารถอนุโลมไดวา p1 – p2 มีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย P1 – P2และความ
แปรปรวน
( )
+
( )
จาก Z =
( ) ( )
( ) ( )
เมื่อ p1 – p2 = = 0.02

17. 87
=
. ( . . )
( . )( . ) ( . )( . )
= 0.47
ดังนั้น P(p1 – p2>0.02) = P (Z >0.47)
= 0.5 – P (0 ≤ Z ≤ 0.47)
= 0.5 – 0.1808 = 0.3192
นั้นคือ ความนาจะเปนที่ผลตางระหวางคาสัดสวนของวัตถุดิบที่มีคุณภาพไมไดมาตรฐานซึ่งมาจาก
บริษัททั้งสองมากกวา 2 % เทากับ 0.3192
แบบฝกหัดบทที่ 3
3.1 บริษัทกอสรางแหงหนึ่งมีสาขา 5 แหงอยูในจังหวัดขอนแกน เชียงใหม สระบุรี ชลบุรี และสุราษฎรธานี
จํานวนวิศวกรของสาขาทั้ง 5 เทากับ 8, 10, 12, 6 และ 15 คน ถาเลือกตัวอยางสาขาบริษัทกอสราง 2 แหง
โดยวิธีการสุม จงหาจํานวนชุดของตัวอยางที่เปนไปไดทั้งหมดพรอมทั้งคาเฉลี่ยของจํานวนวิศวกรและความ
แปรปรวนของตัวยางแตละชุด
3.2 จงแสดงวาคาเฉลี่ยและคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรที่ประกอบดวยคา 1, 2, 3, 4 และ 5
เทากับ 3 และ √2 แลวหาคาเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวอยางแตละชุด
3.3 ถาราคาขายปลีกของสินคามีคาเฉลี่ย 279 บาท และคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 37 บาท ถาเลือกตัวอยาง
รานคาที่ขายสินคาชนิดนี้มา 100 ราน จงหาความนาจะเปนที่ราคาสินคาเฉลี่ยจากตัวอยางรานคาที่เลือกมานี้
จะอยูระหวาง 275 กับ 280 บาท
3.4 ผูสงผลไมจากจังหวัดจันทบุรีวาน้ําหนักเฉลี่ยของเขงบรรจุไมแตละใบเทากับ 49 กิโลกรัม โดยมีคาสวน
เบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 กิโลกรัมถาผูซื้อเลือกเขงใสผลไมมาเปนตัวอยาง 16 ใบ จงหาความนาจะเปนที่คาเฉลี่ย
จากตัวอยาง
1)นอยกวา 48 กิโลกรัม
2) อยูระหวาง 48.5 กิโลกรัม กับ 50.5 กิโลกรัม
3) มากกวา 49.5 กิโลกรัม
เมื่อน้ําหนักของเขงใสผลไมมีการแจกแจงปกติ
3.5 ถารานซอมไดนาโมเสียคาน้ําประปาโดยเฉลี่ยเดือนละ 97.63 บาท และมีคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12.40
บาท ในเดือนที่ผานมา ถาเลือกตัวอยางรานซอมไดนาโมจํานวน 64 ราน โดยการสุมจงหาความนาจะเปนที่
รานซอมไดนาโมจะเสียคาน้ําประปาเดือนละ

18. 88
1)ต่ํากวา 99.18 บาท
2) อยูระหวาง 92.98 กับ 102.78 บาท
3) มากกวา 103.00 บาท
3.6 วิศวกรเครื่องกลคนหนึ่งมีความสามารถสนใจเกี่ยวกับอายุของอะไหลรถยนตที่เปนชนิดอะไหลแทและชนิด
อะไหลปลอม จึงเลือกตัวอยางอะไรแทและอะไหลปลอมมาชนิดละ 45 ชิ้น ผลปรากฏวาอายุเฉลี่ยของอะไหล
แทและอะไหลปลอมเทากับ 6 ป และ 5 ป ตามลําดับ ถาคาเฉลี่ยของอายุอะไหลแทและอะไหลปลอมไมมี
ความแตกตางกัน และความแปรปรวนของอายุอะไหลทั้งสองชนิดเทากัน คือ 18 จงหาความนาจะเปนที่ความ
แตกตางระหวางอายุของอะไหลแทและอะไหลปลอมมากกวา 1 ป
3.7 จากจํานวนวิศวกรที่มาสมัครงานกับบริษัทผลิตทอเหล็กแหงหนึ่ง ปรากฏวาบริษัทสามารถรับผูสมัครได
เพียงรอยละ 90 เทานั้นถาเลือกตัวอยางวิศวกรที่สมัครงานมา 100 คนจงหาความนาจะเปนที่จะมีสัดสวนของ
วิศวกรที่มาสมัครงานที่บริษัทรับเขามาทํางานไดมากกวา 85 คน
3.8 วิศวกรที่ทํางานในภาคราชการมีวิศวกรไฟฟาเพียง 20 % จงหาความนาจะเปนที่วิศวกรไฟฟาจํานวน 350
คนซึ่งเลือกมาเปนตัวอยางจากวิศวกรทั้งหมดทํางานในภาคราชการ
3.9 ในรอบ 3 ปที่ผานมามีรานซอมจักรยานยนตและรานซอมรถยนตในจังหวัดหนึ่งเพิ่มขึ้นรอยละ 22 และ
รอยละ 17 ตามลําดับถาเลือกตัวอยางรานทั้งสองประเภทมาจํานวนประเภทละ 100 ราน โดยการสุมจงหา
ความนาจะเปนที่
1) ผลตางระหวางสัดสวนของรานซอมรถจักรยานยนตและรานซอมรถยนตที่เพิ่มขึ้นมากกวา 0.08
2) ผลตางระหวางสัดสวนของรานซอมรถจักรยานยนตและรานซอมรถยนตที่เพิ่มขึ้นมากกวา 0
3) ผลตางระหวางสัดสวนของรานซอมรถจักรยานยนตและรานซอมรถยนตที่เพิ่มขึ้นมากกวา 0.01

19. 89
บทที่ 4
การประมาณคา
การศึกษาลักษณะตาง ๆ ดานวิศวกรรมของเรื่องหรือกลุมประชากรที่สนใจศึกษาเชนราคาขายปลีก
เฉลี่ยของเหล็กเสนทั่วประเทศสัดสวนของวิศวกรในกรุงเทพมหานครที่ใชสีทาเหล็กยี่หอหนึ่งคาแรงงานเฉลี่ยตอ
วันของชางเทคนิคในนิคมอุตสาหกรรม หรือสัดสวนของรานคาที่จําหนายแบตเตอรี่ยี่หอ B ในภาคใต ฯลฯหาก
ผูศึกษาตองเก็บรวบรวมขอมูลจากทุกๆ หนวยในประชากรนั้นนั้นจะทําใหเสียเวลาและคาใชจายเปนจํานวน
มาก เชน ตองสอบถามราคาขายปลีกของรานคาที่ขายเหล็กเสนทั่วประเทศ ตองสอบถามวิศวกรทุกคนที่อาศัย
อยูในกรุงเทพมหานครเกี่ยวกับการใชสีทาเหล็กยี่หอหนึ่ง ตองสอบถามนายจางหรือคนงานทุกคนในนิคม
อุตสาหกรรมเกี่ยวกับคาจางหรือตองสอบถามรานคาทุกๆรานในภาคใตที่จําหนายแบตเตอรี่หอ B นอกจากนี้
การเก็บรวบรวมขอมูลดวยวิธีดังกลาวอาจจะไดขอมูลที่มีความเชื่อถือไดนอยเพราะไมสามารถหาผูที่มีคุณภาพ
ดีไดเพียงพอเพื่อออกไปเก็บรวบรวมขอมูลซึ่งมีจํานวนมากเหลานั้นไดปญหาที่สําคัญอีกประการหนึ่งก็คือขอมูล
ที่เก็บรวบรวมไดมักจะไมทันสมัยเนื่องจากตองใชเวลานานในการเก็บรวบรวมเพื่อนํามาวิเคราะหจึงทําใหเกิด
ประโยชนนอย โดยเฉพาะอยางยิ่งทางธุรกิจที่เกี่ยวกับเทคโนโลยีและวิศวกรรมซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงเคลื่อนไหว
เร็วมาก เพื่อเปนการแกไขปญหาตาง ๆ ดังกลาวมาแลวขางตนจึงมีความจําเปนตองเก็บรวบรวมขอมูลเกี่ยวกับ
ลักษณะที่สนใจศึกษาจากเพียงบางหนวยซึ่งเปนตัวแทนจากทุกๆหนวยในประชากรเทานั้นดังนั้นลักษณะของ
ประชากรที่สนใจศึกษาจึงไมสามารถหามาไดโดยตรง ตองประมาณจากขอมูลที่เก็บรวบรวมไดจากตัวอยางซึ่ง
เลือกมาเปนตัวแทนของประชากรที่สนใจศึกษาเทานั้นแตเนื่องจากคาประมาณที่ถูกตองและเชื่อถือไดขึ้นอยูกับ
ขอมูลที่เก็บรวบรวมไดและวิธีที่ใชในการประมาณเปนสําคัญดังนั้นในบทนี้จะกลาวถึงกันเก็บรวบรวมขอมูลจาก
ตัวอยางหรือการสํารวจตัวอยางพอสังเขปนอกเหนือจากกันประมาณคาจากขอมูลที่เก็บรวบรวมได
การประมาณคา คือการใชขอมูลจากตัวอยางในการประมาณพารามิเตอรของประชากร การ
ประมาณคามี 2 แบบ คือ การประมาณแบบจุดและการประมาณแบบชวง การประมาณแบบชวง แทนดวยคา
2 คา ซึ่งเกิดจากการนําคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากตัวอยางไปหักออกและรวมเขากับคาประมาณแบบจุด
ของพารามิเตอรนั้นๆ
4.1 การประมาณคาเฉลี่ยของประชากรชุดเดี่ยว (µ)
4.1.1 การประมาณแบบจุดของ µ
x̅ =
1
n
∑ x1
n
i=1 เปนคาประมาณแบบจุดของ µ
เมื่อ n แทนจํานวนตัวอยางที่เลือกมาจากประขากร
4.1.2 การประมาณแบบชวยเหลือชวงความเชื่อมั่นของ µ
การประมาณวิธีนี่จะไดคาประมาณสําหรับพารามิเตอรของประชากรอยูระหวางตัวเลขสองจํานวน
คาที่อยูระหวางตัวเลขสองจํานวนนี้เรียกวาชวงความเชื่อมั่น (confidence interval) และตัวเลขสองตัวที่อยู
ปลายชวงทั้งสองเรียกวาขีดจํากัดความเชื่อมั่นลาง (lower confidencelimit)และขีดจํากัดความเชื่อมั่นบน
(upper confidence limit) ตามลําดับ

20. 90
จากการแจกแจงตัวอยางของคาเฉลี่ยเมื่อประชากรมีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย µ คาเฉลี่ย ()
และความแปรปรวน σ2
และเมื่อเปลี่ยนคาของx̅ ไปเปนคา Z ที่มีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย 0 และความ
แปรปรวน 1 จะได
Z =
x̅-μ
σ
√n
หรือ µ = x̅ ±Z
σ
√n
จากความสัมพันธขางตนจะเห็นไดวาคาประมาณของ µ คือ x̅ ±Z
σ
√n
โดยที่มี x̅เปนคาประมาณ
แบบจุด และ Z
σ
√n
คือ ผลคูณระหวางคา Z และ
σ
√n
เมื่อ Z เปนคาที่ไดจากตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน
ซึ่งขึ้นอยูกับระดับนัยสําคัญหรือระดับความเชื่อมั่นที่ตองการ ดังนั้นถาจะให µ ซึ่งเปนพารามิเตอร x̅ มีโอกาส
ตกอยูในชวงนี้ประมาณ 0.95 หรือ 95 % ชวงความเชื่อมั่นควรจะกวางเทากับ x̅±1.96
σ
√n
(Z(0.025)มีคาเทากับ
1.96) กลาวคือ
P x̅-1.96
σ
√n
<μ<x̅+1.96
σ
√n
= 0.95
ชวงความเชื่อมันของ µ แสดงไวในภาพ 4.1
ภาพที่ 4.1 ชวงความเชื่อมั่นของ µ ณ ระดับความเชื่อมั่น (1-α) 100 %
ถาประชากรมีการแจกแจงปกติที่มีคาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน σ2
แลวคาประมาณ แบบชวง
หรือชวงความเชื่อมันของ µ ณ ระดับนัยสําคัญ α คือ
x̅ - Z α
2
σ
√n
<μ<x̅+Z α
2
σ
√n
หรือเขียนอยูในรูป x̅-Z α
2
σ
√n
หรือ x̅-Z ∝
2
σ
√n
,x̅+Z α
2
σ
√n
ขีดจํากัดความเชื่อมั่นลาง คาประมาณแบบจุด ขีดจํากัดความเชื่อมั่นบน
x - Z σ
2
σ
√n
x x + Z σ
2
σ
√n

21. 91
ในกรณีที่ตัวอยางมีขนาดใหญ กลาวคือ มากกวาหรือเทากับ 30 ไมวาประชากรจะมีการแจกแจง
แบบใด เมื่อประยุกตกับทฤษฎีบทลิมิตสวนกลาง x̅จะมีการแจกแจงที่ สามารถอนุโลมไดวาเปนการแจกแจง
ปกติที่มีคาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน
σ
√n
นั่นคือ คาประมาณแบบชวงหรือชวงความเชื่อมันของ µ ณ ระดับ
นัยสําคัญ αคือ
x̅ - Z α
2
σ
√n
< µ <x̅ + Z α
2
σ
√n
ในกรณีที่ประชากรมีการแจกแจงปกติหรือใกลเคียงกับการแจกแจงปกติและไมทราบความ
แปรปรวนของประชากร (σ2
) จะตองประมาณดวยความแปรปรวนจากตัวอยาง (s2
)x̅จะมีการแจกแจงแบบที
(t distribution)ที่มีคาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน
s2
n
การแจกแจงแบบทีเปนการแจกแจงของตัวแปรสุมชนิดตอเนืองเชนเดียวกับการ แจกแจงปกติ
และเปนการแจกแจงแบบเดียวกับการแจกแจงปกติมาตรฐาน คือ มีคาเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 รูปราง
ลักษณะของการแจกแจงแบบที่เหมือนกับรูปรางลักษณะของการแจกแจงปกติมาตรฐานทุกอยาง ยกเวนความ
โดงของโคงซึ่งจะโดงนอยกวาการแจกแจงปกติมาตรฐาน เนื่องจากการแจกแจงแบบที่จะมีการกระจายมากกวา
การแจกแจงปกติมาตรฐาน รูปรางของการแจกแจงแบบที่ขึ้นอยูกับระดับขั้นความเสรี (degree of freedom)
ซึ่งเทากับขนาดตัวอยางที่ใชลบดวย 1 หรือ df = n – 1 ถาระดับขั้นความเสรีนอยรูปรางของโคงจะแบนราบ
แตถาระดับขั้นความเสรีมากการแจกแจงแบบที่จะเขาใกลการแจกแจงปกติมาตรฐานมากขึ้น หรือความโดง
ของโคงมากขึ้นนั่นเอง เมื่อn เทากับหรือมากกวา 30 การแจกแจง แบบทีและการแจกแจงปกติมาตรฐาน
เกือบจะไมแตกตางกันเลย ภาพ 4.2 แสดงการเปรียบเทียบการแจกแจงแบบที่เมื่อระดับขั้นความเสรีเทากับ 5
และ 10 กับการแจกแจงปกติมาตรฐาน (Z)
ภาพ
ภาพที่ 4.2 เปรียบเทียบแจกแจงแบบทีที่ df = 5 และ df = 10 กับการแจกแจงปกติมาตรฐาน
นั่นคือ เมื่อประชากรแจกแจงปกติหรือใกลเคียงกับการแจกแจงปกติ และไมทราบคาสวนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของประชากร คาประมาณแบบชวงหรือชวงความเชื่อมั่นของ µ ณ ระดับนัยสําคัญ αคือ
x̅-t α
2
, n-1
s
√n
<μ<x̅+ t α
2
, n-1
s
√n
หรืออาจเขียนอยูในรูปx̅±t α
2
, n-1
s
√n

22. 92
หรือ x̅-t α
2
, n-1
s
√n
,x̅+ t α
2
, n-1
s
√n
คา t α
2
, n-1
หรือคา t ที่ระดับนัยสําคัญ
α
2
และระดับความขั้นความเสรี (n- 1) หาไดจากการเปด
ทางการแจกแจงแบบทีในตารางสถิติ
ในทางปฏิบัติทั่วไปถาทราบวาประชากรมีการแจกแจงปกติหรือใกลเคียงกับการแจกแจงปกติ และ
ไมทราบความแปรปรวนของประชากร จะหาคาประมาณแบบชวงหรือชวงความเชื่อมั่นของ µ ณ ระดับ
นัยสําคัญ α จาก
x̅-t α
2
, n-1
s
√n
<μ<x̅+ t α
2
, n-1
s
√n
แตถาไมทราบการแจกแจงของประชากรและตัวอยางที่ใชมีขนาดใหญ จะหาคาประมาณแบบชวง
จาก
x̅-t α
2
, n-1
s
√n
<μ<x̅+ t α
2
, n-1
s
√n
เมื่อทราบ σ2
x̅-t α
2
, n-1
s
√n
<μ<x̅+ t α
2
, n-1
s
√n
เมื่อไมทราบ σ2
ตัวอยางที่ 4.1
บริษัทผูผลิตปลั๊กไฟฟาชนิดหนึ่งตองการประมาณราคาขายปลีกเฉลี่ยที่รานคาใน กรุงเทพมหานครรับไป
จําหนาย จึงเลือกตัวอยางรานคาที่รับปลั๊กไฟฟาของบริษัทไปจําหนายมา 12 ราน ปรากฏวาไดราคาขายปลีก
(บาท) เปนดังนี้ 34, 35, 32, 36, 34, 33, 36, 32, 32 และ 34 บาทคาประมาณแบบจุดของราคาขายปลีก
ปลั๊กไฟฟาของรานคาในกรุงเทพมหานครเปนเทาไร
วิธีทํา
เนื่องจาก x̅เปนคาประมาณแบบจุดของ µ
จะได x =
1
n
∑ xi
n
i=1
=
1
2
(34+35+...+34)=
407
12
= 33.94 บาท
ดังนั้นคาประมาณแบบจุดของราคาขายปลีกปลั๊กไฟฟาเทากับ 33.92 บาท
ตัวอยางที่ 4.2
จาการสอบถามวิศวกร 16 คนที่เลือกมาจากวิศวกรทั้งหมดที่ทํางานอยูในอาคารสํานักงานแหงหนึ่ง ซึ่งมา
ทํางานในเดือนที่ผานมา ปรากฏวาไดจํานวนวันเฉลี่ยเปน 25 วัน และคาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 วัน จงสราง
ชวงความเชื่อมั่น ณ ระดับนัยสําคัญ 0.10 ของ µ ถาประชากรมีการแจกแจงปกติ

23. 93
วิธีทํา
เนื่องจากไมทราบการแจกแจงของประชากรและตัวอยางมีขนาดเล็ก ชวงความเชื่อมั่น ณ ระดับนัยสําคัญ
0.10 ของ µ คือ
x̅±t α
2
, n-1
s
√n
เนื่องจาก x̅ = 25, s = 2,
α
2
=
0.10
2
= 0.05, n = 16
และ t(0.05, 15)= 1.7530 (จากตารางการแจกแจงแบบที)
ดังนั้น x̅±t(0.05, 15)
s
√n
= 25 ± 1.7530
2
√16
= 25 ± 0.8765
= (24.1235, 25.8765) วัน
นั่นคือ ชวงความเชื่อมั่น ณ ระดับนัยสําคัญ 0.10 ของ µ อยูระหวาง 24.1235 กับ 25.8765 วัน
ตัวอยางที่ 4.3
จากการสอบถามคาน้ํามันเชื่อเพลิงตอวันของเครื่องจักรชนิดหนึ่งที่ใชในการสรางสะพานจํานวน 25
เครื่อง ที่เลือกมาเปนตัวอยางจากจํานวนทั้งหมดที่ใชงานอยู ซึ่งคาน้ํามันเชื่อเพลิงมีการแจกแจงปกติ ปรากฏวา
ไดคาน้ํามันเชื้อเพลิง 62 บาท และความแปรปรวนของคาน้ํามันเชื้อเพลิงเปน 100 จงสรางชวงความเชื่อมั่น ณ
ระดับความเชื่อมั่น 80% 90%และ 99%ของคาน้ํามันเชื้อเพลิงเฉลี่ยตอวัน
วิธีทํา
เนื่องจากไมทราบการแจกแจงของประชากรและตัวอยางมีขนาดเล็ก ชวงความเชื่อมั่น ณ ระดับนัยสําคัญ
α ของ µ คือ
x̅±t α
2
, n-1
s
√n
เนื่องจาก x̅ = 62, s = √100 = 10, n = 25
และ ณ ระดับความเชื่อมั่น 80% α= 0.20 จะได
α
2
= 0.10
ณ ระดับความเชื่อมั่น 90% α= 0.10 จะได
α
2
= 0.05
ณ ระดับความเชื่อมั่น 99% α= 0.01จะได
α
2
= 0.005
จากตารางการแจกแจงแบบที t(0.10, 24)= 1.318
t(0.05, 24)= 1.7109
t(0.005, 24)= 2.7969
ดังนั้นชวงความเชื่อมั่นของคาน้ํามันเชื้อเพลิงเฉลี่ยตอวัน ณ ระดับความเชื่อมมั่น 80% คือ

24. 94
62 ± 1.318
10
√25
= (59.364, 64.636) บาท
ชวงความเชื่อมั่นของคาน้ํามันเชื้อเพลิงเฉลี่ยตอวัน ณ ระดับความเชื่อมมั่น 90% คือ
62 ± 1.7109
10
√25
= (58.5782, 65.4218) บาท
ชวงความเชื่อมั่นของคาน้ํามันเชื้อเพลิงเฉลี่ยตอวัน ณ ระดับความเชื่อมมั่น 99% คือ
62 ± 2.7969
10
√25
= (56.4062, 67.5938) บาท
ตัวอยางที่ 4.4
ในการสุมตัวอยางรานขายอุปกรณไฟฟาจํานวน 400 รานมาจากรานขายอุปกรณไฟฟาทั้งหมดที่ตั้งอยูใน
เขตกรุงเทพมหานคร ปรากฏวามีรายไดเฉลี่ยเดือนละ 200,000 บาท จงหาชวงความเชื่อมั่นของรายไดเฉลี่ย
ของรานมาจากรานขายอุปกรณไฟฟา ณ ระดับความเชื่อมั่น 95%
วิธีทํา
เนื่องจากไมทราบการแจกแจงของประชากร แตตัวอยางมีขนาดใหญ และไมทราบความแปรปรวนของ
ประชากร ชวงความเชื่อมั่น ณ ระดับความเชื่อมั่น (1 - α) 100% ของ µ คือ
x̅±t α
2
, n-1
s
√n
จาก x̅ = 200,000, s = 80,000, n = 16
α
2
=
0.05
2
= 0.025, t(0.025, 399)= 1.96 (จากตารางการแจกแจงแบบที)
จะได x̅±t α
2
, n-1
s
√n
= 200,000 ± 1.96
80,000
√400
= 200,000 ± 7,840
= (192,160, 207,840) บาท
ดังนั้นชวงความเชื่อมั่นของรายไดเฉลี่ยของรานอุปกรณไฟฟาอยูระหวาง 192,160 บาท กับ 207,840
บาท
และ t(0.05, 15)= 1.7530 (จากตารางการแจกแจงแบบที)
ดังนั้น x̅±t(0.05, 15)
s
√n
= 25 ± 1.7530
2
√16
= 25 ± 0.8765
= (24.1235, 25.8765) วัน
นั่นคือ ชวงความเชื่อมั่น ณ ระดับนัยสําคัญ 0.10 ของ µ อยูระหวาง 24.1235 กับ 25.8765 วัน
ตัวอยางที่ 4.5
ถาความแปรปรวนของจํานวนวิศวกรในโรงงานอุตสาหกรรมตางๆในจังหวัดสมุทรปราการเทากับ 100
เลือกตัวอยางโรงงานอุตสาหกรรมในจังหวัดนี้มา 30 แหง พบวามีจํานวนวิศวกรโดยเฉลี่ย 25 คน จงหาชวง
ความเชื่อมั่นของจํานวนวิศวกรเฉลี่ยตอโรงงาน ณ ระดับความเชื่อมั่น 90%