Dimensi Tiga Geometri Ruang

Faridawati , M.Pd. M.Si
Smala
MATERI KELAS XII
SEMESTER GANJIL SEMESTER GENAP
1) GEOMETRI
RUANG
2) STATISTIKA
1) KAIDAH
PENCACAHAN
2) PELUANG
KEJADIAN
MAJEMUK

Smala
GEOMETRI RUANG
1) Kedudukan Titik, Garis,
dan Bidang dalam Ruang
2) Jarak dalam Ruang
3) Sudut dalam Ruang

Smala
1) TITIK
2) GARIS
3) BIDANG
A
A B
m
v
A B
RUAS GARIS
UNSUR-UNSUR DALAM
RUANG:


Smala
Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang
1) Kedudukan Titik terhadap Garis
2) Kedudukan Titik terhadap Bidang
3) Kedudukan Garis terhadap Garis
4) Kedudukan Garis terhadap Bidang
5) Kedudukan Bidang terhadap
Bidang

Smala
Kedudukan Titik terhadap Garis

Smala
Kedudukan Titik terhadap Bidang

Smala
Kedudukan Garis terhadap Garis

Smala
Kedudukan Garis terhadap Bidang

Smala
Kedudukan Bidang terhadap Bidang

Smala
Di dalam Teori Dimensi Tiga, terdapat beberapa aksioma yang berlaku.
Aksioma adalah sebuah pernyataan yang pasti atau mutlak kebenarannya tanpa perlu
adanya pembuktian
Aksioma 1: Melalui dua buah titik yang berbeda dapat dibuat tepat satu garis lurus
Aksioma 2: Melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut dapat dibuat
tepat sebuah bidang datar
A B
A
g

Smala
Aksioma 3: Melalui 3 buah titik yang tidak segaris dapat dibuat tepat satu bidang datar
A
B
C
Aksioma 4: Melalui dua garis berpotongan dapat dibuat tepat satu bidang datar
n
m

Smala
Aksioma 5: Melalui dua garis sejajar dapat dibuat tepat sebuah bidang datar
p
q

Smala
GARIS TEGAK LURUS BIDANG
n
a) Diketahui: garis g ⊥ garis m,
garis g ⊥ garis k
garis m dan garis k saling berpotongan
garis m dan garis k terletak pada bidang
α
Maka: garis g ⊥ bidang α
“Sebuah garis tegak lurus bidang, jika garis
tersebut tegak lurus pada dua garis yang
berpotongan yang terletak pada bidang itu.”
b) Diketahu: garis g ⊥ bidang α
garis n terletak pada bidang α
Maka: garis g ⊥ garis n
“Jika sebuah garis tegak lurus bidang, maka
garis itu akan tegak lurus pada semua garis
yang terletak pada bidang tersebut.”
garis g ⊥ garis p
p

Smala
T
C
D
A
B
Karena TC ⊥ bidang ABCD maka:
TCD = TCA = TCB = 90o
❖ BC ⊥ TC; BC ⊥ CD; TC dan CD adalah 2 garis
berpotongan yang terletak pada bidang TCD,
sehingga: BC ⊥ bidang TCD
Akibatnya: BC ⊥ semua garis yang terletak
pada bidang TCD, dan TD terletak pada bidang
TCD.
Jadi, BC ⊥ TD ...... (1)
❖ CD ⊥ TC; CD ⊥ BC; TC dan BC adalah 2 garis
berpotongan yang terletak pada bidang TCB,
sehingga: CD ⊥ bidang TCB
Akibatnya: CD ⊥ semua garis yang terletak
pada bidang TCB, dan TB terletak pada bidang
TCB.
Jadi, CD ⊥ TB ...... (3)
JAWABAN: B. (1) dan (3)

Smala
JARAK DALAM RUANG
adalah panjang garis hubung terpendek antara
2 unsur, yaitu:
1. Jarak antara 2 titik
2. Jarak titik ke garis
3. Jarak titik ke bidang
4. Jarak antara 2 garis
5. Jarak garis ke bidang
6. Jarak antara 2 bidang

Smala
JARAK ANTARA 2 TITIK
adalah panjang garis yang menghubungkan kedua titik tersebut.
Contoh 1:
Pada kubus ABCD.EFGH yang berusuk 6 cm, tentukan jarak titik H ke titik tengah BC
Jawab:
Misalkan titik tengah BC adalah titik P
maka CP =
1
2
x 6 = 3 cm
CH = 6 2 cm (diagonal bidang)
PCH siku-siku di C, sehingga:
HP = CH 2 + CP 2
= 6 2
2
+ 32
= 36 . 2 + 9
= 72 + 9 = 81 = 9 cm
Jadi, jarak titik H ke titik tengah BC adalah 9 cm

Smala
Contoh 2:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Hitunglah:
a) jarak titik A dan titik C c) jarak titik A dan titik R, jika R titik tengah
GH
b) jarak titik A dan titik G Jawab:
a)AC = 4 2 cm (diagonal bidang)
b)AG = 4 3 cm (diagonal ruang)
c) AHR siku-siku di H, sehingga:
AR = AH 2 + HR 2
= 4 2
2
+ 22
= 16 . 2 + 4
= 32 + 4
= 36 = 6
Jadi, jarak titik A dan titik R adalah 6 cm

Smala
JARAK TITIK KE GARIS
P
P’
g
❖ Titik P adalah titik di luar garis g
❖ P’ adalah hasil proyeksi orthogonal titik P pada garis g
Proyeksi orthogonal merupakan cara untuk melukis suatu objek
dengan cara menjatuhkan tegak lurus setiap titik pada objek
tersebut ke bidang proyeksi.
❖ Panjang ruas garis PP’ adalah jarak titik P ke garis g
Contoh 1:
Pada kubus ABCD.EFGH yang berusuk 6 cm, tentukan jarak titik A ke garis CF
Jawab:
Menghubungkan A dengan F dan C, sehingga terbentuk AFC
AF = AC = CF = 6 2 cm (diagonal bidang)
Cara I: (dengan rumus Trigonometri)
AA’ = AC . sin 600
= 6 2 .
1
2
3 = 3 6 cm
Cara II: (dengan Teorema Phytagoras)
AA’ = AC 2 − A′C 2
= 6 2
2
− 3 2
2
AA’ = 36 .2 − 9 . 2
= 72 − 18 = 54 = 9 . 6 = 3 6
cm
Jadi, jarak titik A ke garis CF adalah 3 𝟔 cm

Smala
Contoh 2:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Jika P titik tengah BC, tentukan jarak titik D
ke garis PH.
Jawab:
Menghubungkan D dengan P dan H, sehingga terbentuk PHD
PC =
1
2
BC = 2 cm
PCD siku-siku di C, sehingga:
PD = PC 2 + CD 2 = 22 + 42 = 4 + 16 = 20 cm
PDH siku-siku di D, sehingga:
PH = PD 2 + DH 2 = 20
2
+ 42 = 20 + 16 = 36 = 6 cm
Rumus Luas PDH:
1
2
. PH . DD’ =
1
2
. PD . DH
6 . DD’ = 20 . 4
DD’ =
20 .4
6
=
2 5 . 4
6
=
4
3
5 cm
Jadi, jarak titik D ke garis PH adalah
𝟒
𝟑
𝟓 cm

Smala
JARAK TITIK KE BIDANG

P
P’
▪Titik P adalah titik yang
terletak di luar bidang .
▪P’ adalah hasil proyeksi
orthogonal titik P pada
bidang .
▪Panjang ruas garis PP’
adalah jarak titik P ke
bidang .
Contoh 1:
Pada kubus ABCD.EFGH yang berusuk 6 cm, tentukan jarak
titik A ke bidang BDE. Jawab:
Proyeksi titik A pada bidang BDE adalah titik
A’ yang terletak pada garis berat EE’.
Menghubungkan A dengan E dan E’,
sehingga terbentuk AEE’.
AE’ =
1
2
AC =
1
2
. 6 2 = 3 2 cm
AE = 6 cm
AEE’ siku-siku di A, sehingga:
EE’ = AE 2 + AE′ 2 = 62 + 3 2
2
= 36 + 18 = 54 = 3 6 cm
Rumus Luas AEE’:
1
2
. EE’ . AA’ =
1
2
. AE . AE’
3 6 . AA’ = 6 . 3 2
AA’ =
6 2
6
AA’=
6 2
6
.
6
6
=
6 12
6
= 12 = 2 3
Jadi, jarak titik A ke bidang BDE adalah 2 𝟑 cm

Smala
Contoh 2:
Pada kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 1 cm, terdapat titik R ditengah-tengah EH dan titik S
ditengah-tengah GH. Tentukan jarak titik F ke bidang ACSR
N T
T’
Jawab:
Proyeksi titik F pada bidang ACSR adalah titik F’ yang terletak pada garis TT’.
Menghubungkan F dengan T dan T’, sehingga terbentuk FTT’.
BT’ =
1
2
BD =
1
2
2 cm
FT’ = FB 2 + BT′ 2 = 12 +
1
2
2
2
= 1 +
1
2
=
2+1
2
=
3
2
.
2
2
=
1
2
6 cm
FT =
3
4
FH =
3
4
2 cm (FH adalah diagonal bidang)
TNT’ siku-siku di N, dimana TN =
1
4
FH =
1
4
2 cm. Sehingga:
TT’ = TN 2 + NT′ 2 =
1
4
2
2
+ 12 =
1
8
+ 1 =
1+8
8
=
9
8
=
3
2 2
.
2
2
=
3
4
2 cm
F’
FP =
1
2
FT’ =
1
2
.
1
2
6 =
1
4
6 cm
TP = FT 2 − FP 2 =
3
4
2
2
−
1
4
6
2
=
9
8
−
3
8
=
6
8
=
3
4
=
1
2
3 cm
Rumus Luas FTT’:
1
2
. TT’ . FF’ =
1
2
. FT’ . TP
3
4
2 . FF’ =
1
2
6 .
1
2
3
3
4
2 . FF’ =
3
4
2
FF’ = 1
Jadi, jarak titik F ke bidang ACSR adalah 1 cm

Smala
JARAK ANTARA 2 GARIS
JARAK ANTARA DUA GARIS SEJAJAR
Diketahui: garis m // garis n
Cara menentukan jarak antara garis m dan garis
n:
1) Ambil sembarang titik pada garis m,
misal: titik A
2) Titik A diproyesikan orthogonal pada garis n
3) A’ adalah hasil proyeksi orthogonal titik A pada
garis n
4) Jarak antara garis m dan garis n adalah
panjang ruas garis AA’
5) Hitung panjang ruas garis AA’
Contoh 1:
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang
AB = 5 cm, BC = 4 cm, dan AE = 3 cm. Hitung
jarak antara garis AH dan BG.
Jawab:
BCG siku-siku di C,
sehingga:
BG = BC 2 + CG 2
= 42 + 32
= 16 + 9 = 25 = 5
AH = BG = 5 cm
Jadi, jarak antara garis AH
dan BG = 5 cm

Smala
Contoh 2:
Jika titik R di tengah EH dan titik S di tengah BC pada kubus ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 6 cm. Hitung jarak antara garis BR dan SH
Jawab:
• garis BR // garis SH
• Jarak garis BR dan SH = panjang ruas garis
RR’
• Lihat jajar genjang BSHR, gunakan rumus luas
jajar genjang BSHR
SCH siku-siku di C, sehingga:
SH = SC 2 + CH 2 = 32 + 6 2
2
= 9 + 36 . 2 = 9 + 72 = 81 = 9 cm
Rumus luas jajar genjang BSHR:
SH . RR’ = BS . SR
9 . RR’ = 3 . 6 2
RR’ =
6 2
3
RR’ = 2 2 cm
Jadi, jarak garis BR dan SH adalah 𝟐 𝟐 cm
3

Smala
JARAK ANTARA DUA GARIS BERSILANGAN
1) Jika garis g dan h saling bersilangan tegak lurus
❑ Buat bidang yang melalui g dan tegak lurus h (misal: bidang )
❑ Bidang  dan garis h saling berpotongan di suatu titik (misal: titik P)
❑ Jarak garis g ke garis h = jarak titik P ke garis g (Masih ingat jarak titik ke garis?)
❑ Jarak garis g ke garis h = panjang ruas garis PP’
g
h

P
P’

Smala
Contoh:
Titik N terletak pada perpotongan diagonal EG dan FH pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk
6 cm. Hitung jarak antara garis AC dan BN.
Jawab:
Jarak Antara 2 Garis Bersilangan Tegak Lurus
P
•Bidang yang melalui garis BN dan tegak lurus
garis AC adalah bidang BFHD
•Bidang BFHD dan garis AC saling berpotongan di
titik P
•Selanjutnya menghitung jarak titik P ke garis BN
P
’
BP =
1
2
BD =
1
2
. 6 2 = 3 2 cm
PN = 6 cm
BN = BP 2 + PN 2 = 3 2
2
+ 62
= 9 . 2 + 36 = 18 + 36 = 54 = 3 6 cm
Rumus Luas BPN:
1
2
. BN . PP’ =
1
2
. BP . PN
3 6 . PP’ = 3 2 . 6
PP’ =
6 2
6
.
6
6
= 12 = 2 3
Jadi jarak antar garis AC dan BN adalah 𝟐 𝟑 cm

Smala

JARAK ANTARA DUA GARIS BERSILANGAN
2) Jika garis g dan h saling bersilangan tidak tegak lurus
❑ Buat bidang yang melalui g dan sejajar h (misal: bidang )
❑ Tetapkan suatu titik pada garis h (misal: titik P)
❑ Jarak garis g ke garis h = jarak titik P ke bidang  (Masih ingat jarak titik ke bidang?)
❑ Jarak garis g ke garis h = panjang ruas garis PP’
g
h
P
P’

Smala
Contoh:
Diketahui bahwa ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 1 cm, AD = 2 cm, dan AE = 4 cm. Titik P terletak di
tengah BF. Hitung jarak antara garis AD dan HP.
Jawab:
Jarak Antara 2 Garis Bersilangan Tidak Tegak Lurus
•Bidang yang melalui garis HP dan sejajar garis AD
adalah bidang EHQR
•Titik D pada garis AD
•Selanjutnya menghitung jarak titik D ke bidang
EHQR
D’ HD = 4 cm
HQ = DQ 2 + HD 2 = 22 + 42
= 4 + 16 = 20 = 2 5 cm
Rumus Luas HDQ:
1
2
. HQ . DD’ =
1
2
. DQ . HD
2 5 . DD’ = 2 . 4
DD’ =
4
5
.
5
5
=
4
5
5 cm
Jadi, jarak antara garis AD dan
HP adalah
𝟒
𝟓
𝟓 cm
Rumus Kesebangunan
EP,
EA
=
AB
AR

2
4
=
1
AR
 AR =
4
2
=
2
AR = DQ = 2 cm

Smala
Jarak Garis ke Bidang
Jarak antara garis dan bidang yang
sejajar adalah jarak antara garis
tersebut dengan proyeksinya pada
bidang. Sehingga cara mencari jarak
antara garis dan bidang yang sejajar =
cara mencari jarak 2 garis sejajar.
Jarak garis g ke bidang 
= jarak garis g ke garis h (garis g // garis h)
= panjang ruas garis AA’
Contoh 1:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan
panjang rusuk 5 cm. Hitung jarak garis FH
ke bidang ABCD.
Jawab:
▪ garis BD adalah hasil
proyeksi garis FH pada
bidang ABCD.
▪ Jarak FH ke bidang
ABCD = jarak FH ke BD
(yaitu jarak 2 garis
sejajar)
▪ Titik B adalah hasil
proyeksi titik F ke BD
Jadi, jarak garis FH ke bidang ABCD =
panjang ruas garis FB = 5 cm.

Smala
Contoh 2:
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 2 cm, AD = 4 cm, dan AE = 6 cm. Jika K titik tengah
rusuk AD, tentukan jarak antara garis CD dengan bidang yang melalui EF dan titik K
Jawab:
▪ Buat bidang yang melalui EF dan titik K, diperoleh bidang EFPQ
▪ Jarak garis CD ke bidang EFPQ adalah CC’
CL =
1
2
BC =
1
2
. 4 = 2 cm
CP = CG = 6 cm
LP = CL 2 + CP 2 = 22 + 62
= 4 + 36 = 40 = 2 10 cm
Rumus Luas  PCL:
1
2
. LP . CC’ =
1
2
. CL . CP
2 10. CC’ = 2 . 6
CC’ =
6
10
.
10
10
=
6
10
10
=
3
5
10 cm
Jadi, jarak antara garis CD dengan bidang yang melalui
EF dan titik K adalah
𝟑
𝟓
𝟏𝟎 cm

Smala
Jarak Antara 2 Bidang
Jarak antara 2 bidang
sejajar u dan v adalah ruas
garis AB yang saling tegak
lurus pada kedua bidang
tersebut, dengan titik A dan
B masing-masing adalah
titik tembus garis AB dengan
kedua bidang yang
dimaksud.

Smala
Contoh 1:
Tentukan jarak antara bidang ACH dan bidang BEG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.
Jawab: ▪ ACH dan BEG adalah segitriga samasisi
▪ OB adalah garis berat BEG dan PH addalah garis berat BEG ACH
▪ garis OB // garis PH
▪ jarak antara bidang ACH dan bidang BEG = jarak antara garis OB & garis PH
= panjang ruas garis OO’
BP =
1
2
BD =
1
2
. 6 2 = 3 2 cm
OP = HD = 6 cm
PH = PD 2 + HD 2 = 3 2
2
+ 6 2 = 9 . 2 + 36 = 18 + 36 = 54
= 3 6 cm.
Rumus luas jajargenjang BPHO:
BP . OP = PH . OO’
3 2 . 6 = 3 6 . OO’
OO’ =
6 2
6
.
6
6
= 12 = 2 3 cm
Jadi, jarak antara bidang ACH dan bidang BEG adalah 𝟐 𝟑 cm

Smala
Contoh 2:
Diberikan balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 2 cm, AD = AE = 4 cm. Jika titik P, Q, R, dan S
masing-masing terletak di tengah rusuk AB, BC, AD, dan CD. Tentukan jarak antara bidang EPQG dan bidang
HRS.
Jawab:
▪ HRS adalah segitiga samakaki dan EPQG adalah trapesium sama kaki
▪ HK adalah garis berat HRS dan OL adalah garis berat trapesium EPQG
▪ garis HK // garis OL
▪ jarak antara bidang EPQG dan bidang HRS = jarak antara garis HK & garis OL
= panjang ruas garis OT
BD = AD 2 + AB 2 = 42 + 22 = 16 + 4 = 20 = 2 5 cm
KL =
1
2
BD =
1
2
. 2 5 = 5 cm
DK =
1
4
DB =
1
4
. 2 5 =
1
2
5 cm
HK = DH 2 + DK 2 = 42 +
1
2
5
2
= 16 +
5
4
=
64 +5
4
=
69
4
=
1
2
69 cm
Rumus luas jajargenjang:
KL . OO’ = HK . OT
5 . 4 =
1
2
69 . OT
OT =
8 5
69
=
8 5
69
.
69
69
=
8
69
345 cm
Jadi, jarak antara bidang EPQG dan bidang HRS adalah
8
69
345 cm

Smala
Rumus luas REP:
1
2
. RP . EE’ =
1
2
. RE . EP
1
2
a2
5 . EE’ = a2
.
1
2
a2
EE’ =
a2
5
.
5
5
=
1
5
a2
5
2) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a2 cm. Titik P di tengah EF
dan titik Q di tengah GH. Hitunglah jarak garis EQ ke bidang BPG.
Jawab:
▪ Bidang BPG diperluas menjadi
bidang BRST
▪ Jarak garis EQ ke bidang BPG =
jarak garis EQ ke bidang BRST =
panjang ruas garis EE’ atau QQ’
RP = RE 2 + EP 2
= a2 2 +
1
2
a2
2
= a4 +
1
4
a4 =
5
4
a4 =
1
2
a2
5 cm
Jadi, jarak garis EQ ke bidang BPG =
𝟏
𝟓
𝐚𝟐
𝟓 cm

Smala
3) Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a 3 cm. Titik M dan N
masing-masing di tengah rusuk EF dan CD. Hitung jarak antara garis BM ke
bidang AHN.
Jawab:
AB = a 3 cm
CN =
1
2
CD =
1
2
a 3 cm
AN = BN = BC 2 + CN 2
= a 3
2
+
1
2
a 3
2
= 3a2 +
3a2
4
=
12a2+3a2
4
=
15a2
4
=
1
2
a 15 cm
NT = AN 2 − AT 2 =
1
2
a 15
2
−
1
2
a 3
2
=
15a2
4
−
3a2
4
=
12a2
4
= 3a2 = a 3 cm
Luas ANB:
1
2
. AB . NT =
1
2
. AN . BK
a 3 . a 3 =
1
2
a 15 . BK
BK =
6a
15
.
15
15
BK =
6
15
a 15 =
2
5
a 15 cm
Jadi, jarak garis BM ke bidang AHN adalah
𝟐
𝟓
𝐚 𝟏𝟓 cm

Smala
4) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4a cm. Titik S di tengah BC
dan K di tengah diagonal CH. Hitung jarak antara garis SK ke bidang ABGH.
Jawab:
Jarak garis SK ke bidang ABGH =
panjang ruas garis SS’ atau KK’
BS = PS = 2a cm
PB = 2a 2 cm
Luas PSB:
1
2
. PB . SS’ =
1
2
. BS . PS
2a 2 . SS’ = 2a . 2a
SS’ =
2a
2
.
2
2
= a 2 cm
Jadi, jarak garis SK ke bidang ABGH adalah 𝐚 𝟐 cm

Smala
5) Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a2 cm. Titik J, K, dan L masing-masing
terletak di tengah AD, FG, dan AB. Hitung jarak antara bidang yang melalui titik B dengan
bidang yang melalui titik G dan garis JH.
Jawab: ▪ Bidang yang melalui titik G dan garis JH
adalah bidang GHJM
▪ Karena 2 bidangnya harus sejajar, maka
bidang yang melalui titik B dan sejajar bidang
GHJM adalah bidang ABKN
▪ Jadi, yang dicari adalah jarak antara bidang
GHJM dan ABKN
MK = a2
cm
KG =
1
2
a2
cm
MG = MK 2 + KG 2 = a2 2 +
1
2
a2
2
= a4 +
1
4
a4 =
5
4
a4 =
a2
2
5 cm
Luas MKG:
1
2
. MG . KK’ =
1
2
. KG . MK
a2
2
5 . KK’ =
1
2
a2
. a2
KK’ =
a2
5
.
5
5
=
a2
5
5 cm
Jadi, jarak antara bidang yang melalui titik B dengan bidang
yang melalui titik G dan garis JH adalah
𝐚𝟐
𝟓
𝟓 cm

Smala
SUDUT DALAM RUANG
1.Sudut Antara Dua Garis
2.Sudut Antara Garis & Bidang
3.Sudut Antara Dua Bidang

Smala
SUDUT ANTARA DUA GARIS
Sudut Antara Dua Garis Berpotongan
adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh 2 garis tersebut.
g
h
Garis g dan garis h berpotongan
di titik A, sudut yang dibentuk
adalah .


A
Contoh 1:
ABCD.EFGH adalah kubus dengan rusuk 4 cm. Tentukan besar sudut yang dibentuk
oleh garis AH dan HC.
Jawab:
AHC adalah segitiga samasisi, karena AH = HC = AC sama-
sama merupakan diagonal bidang. Sehingga AHC = 60
o
Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis AH dan
HC adalah 60o
.

Smala
Contoh 2:
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 8 cm dan BC = CG = 6 cm. Jika P di
tengah-tengah AB. Tentukan nilai cosinus sudut yang dibentuk oleh garis EG dan PG.
Jawab: Sudut yang dibentuk oleh garis EG dan PG adalah
EGP
EG = EH 2 + HG 2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
= 10 cm
EP = EA 2 + AP 2 = 62 + 42 = 36 + 16 = 52
= 𝟐 𝟏𝟑 cm
CP = PB 2 + BC 2 = 42 + 62 = 16 + 36 = 52
= 2 13 cm
GP = CP 2 + CG 2 = 2 13
2
+ 62 = 52 + 36 = 88
= 𝟐 𝟐𝟐 cm
Rumus Aturan Cosinus:
cos ∠EGP =
EG 2 + GP 2 − EP 2
2 .EG .GP
=
102 + 2 22
2
− 2 13
2
2 .10 . 2 22
=
100 + 88 − 52
40 22
=
136
40 22
.
22
22
=
136 22
40 .22
=
17 22
110
Jadi, nilai cosinus sudut yang dibentuk oleh garis EG dan PG adalah
𝟏𝟕 𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟎

Smala
v
Sudut Antara Dua Garis Bersilangan
Cara menentukan sudut antara 2 garis yang bersilangan adalah dengan menggeser
salah satu garis (posisi tetap sejajar dengan sebelumnya) sampai memotong garis
yang lain.
g
h
Misalkan garis g bersilangan dengan garis h
Sudut yang dibentuk oleh garis g dan h adalah 

g

Smala
Contoh 1:
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh garis AH
dengan garis BE.
Jawab:
Garis BE digeser ke belakang
menghasilkan garis CH yang
berpotongan dengan garis AH
di titik H.
AHC adalah segitiga
samasisi, karena AH = HC =
AC sama-sama merupakan
diagonal bidang.
Sehingga AHC = 60o.
Jadi, besar sudut yang
dibentuk oleh garis AH
dengan garis BE adalah 60o

Smala
Contoh 2:
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan
AE = 4 cm. Jika  adalah sudut yang dibentuk oleh DE dan HF, tentukan nilai cos .
Jawab: Cara I: Garis DE digeser ke kanan menghasilkan garis CF yang
berpotongan dengan garis HF di titik F. Jadi, sudut yang
dibentuk oleh DE dan HF adalah HFC.
HF = FG 2 + GH 2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 10 cm
FC = FB 2 + BC 2 = 42 + 62 = 16 + 36 = 52 = 2 13 cm
CH = HG 2 + GC 2 = 82 + 42 = 64 + 16 = 80 = 4 5 cm
cos ∠HFC =
HF 2+ FC 2− CH 2
2 .HF .FC
=
10 2+ 2 13
2
− 4 5
2
2 .10 .2 13
=
100+52 −80
40 13
=
72
40 13
.
13
13
=
9 13
5 . 13
=
𝟗 𝟏𝟑
𝟔𝟓
Cara II:
Garis HF digeser ke bawah menghasilkan garis DB yang
berpotongan dengan garis DE di titik D. Jadi, sudut yang
dibentuk oleh DE dan HF adalah EDB.
ED = EA 2 + AD 2 = 42 + 62 = 16 + 36 = 52
= 2 13 cm
DB = DA 2 + AB 2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 10 cm
EB = EA 2 + AB 2 = 42 + 82 = 16 + 64 = 80 = 4 5 cm
cos ∠EDB =
ED 2+ DB 2− EB 2
2 .ED .DB
=
2 13
2
+ 10 2− 4 5
2
2 . 2 13 . 10
=
52+100 −80
40 13
=
72
40 13
.
13
13
=
9 13
5 . 13
=
𝟗 𝟏𝟑
𝟔𝟓

Smala
SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG
▪ Garis AB memotong/menembus bidang v
di titik A
▪ Garis AB diproyeksikan orthogonal pada
bidang v menghasilkan garis AC
▪ Sudut antara garis AB dan bidang v =
sudut antara garis AB dan AC = BAC = 
Jadi, sudut antara garis dan bidang adalah
sudut antara garis tersebut dengan hasil
proyeksinya pada bidang
v
 C
Contoh 1:
Diketahui segiempat beraturan dengan
AB = 3 cm dan TA = 6 cm. Tentukan
besar sudut antara garis TB dengan
bidang ABCD.
Jawab:
cos TBO =
OB
TB
=
3
2
2
6
=
3
2 3
.
3
3
=
1
2
3
TBO = 30o
Jadi, besar sudut antara TB dengan
bidang ABCD adalah 30o
▪ Hasil proyeksi TB
pada ABCD adalah
OB
▪ Sudut antara garis
TB dengan bidang
ABCD adalah TBO
BD = 3 2 cm
OB =
1
2
 BD
=
3
2
2 cm
A
B

Smala
Contoh 2:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Tentukan besar sudut yang
dibentuk garis AC dan bidang BDG.
Jawab:
▪ Hasil proyeksi AC pada bidang BDG adalah OC’
▪ Sudut antara garis AC dan bidang BDG adalah COC’
▪ COC’ = COG
Lihat COG siku-siku di C:
CG = 4 cm
CO =
1
2
 CA =
1
2
 4 2 = 2 2 cm
tan COG =
CG
CO
=
4
2 2
.
2
2
= 2
COG = arc tan 2 = 54,74o (hitung dengan kalkulator)
Jadi, besar sudut yang dibentuk garis AC dan bidang BDG adalah 54,74o

Smala
SUDUT ANTARA DUA BIDANG
▪ Garis g adalah garis persekutuan antara bidang u dan bidang v
▪ Titik A pada garis g
▪ Garis a pada bidang u, melalui A, dan tegak lurus garis g
▪ Garis b pada bidang v, melalui A, dan tegak lurus garis g
▪  adalah sudut antara bidang u dan bidang v
Sudut antara dua bidang berpotongan adalah sudut antara dua garis yang
berpotongan dan tegak lurus terhadap garis persekutuan kedua bidang
dimana kedua garis itu masing-masing terletak pada bidang yang dimaksud.
u
v
g
A
a
b


Smala
Contoh 1:
Pada kubus ABCD.EFGH yang mempunyai rusuk 5 cm, tentukan besar sudut antara:
a) bidang ABCD dan bidang DCGH
b) bidang ABCD dan bidang ADGF
c) bidang ABD dan bidang BDE
Jawab: ▪ Garis DC adalah garis persekutuan antara bidang ABCD dan bidang DCGH
▪ Garis AD pada bidang ABCD dan tegak lurus garis DC
▪ Garis HD pada bidang DCGH dan tegak lurus garis DC
▪ HDA adalah sudut antara bidang ABCD dan bidang DCGH
▪ HDA = 90
o
(karena HDA siku-siku di D)
Jadi, besar sudut antara bidang ABCD dan bidang DCGH adalah 90
o
▪ Garis AD adalah garis persekutuan antara bidang ABCD dan bidang ADGF
▪ Garis CD pada bidang ABCD dan tegak lurus garis AD
▪ Garis DG pada bidang ADGH dan tegak lurus garis AD
▪ CDG adalah sudut antara bidang ABCD dan bidang ADGF
▪ CDG = 45
o
(karena CDG adalah segitiga siku-siku samakaki)
Jadi, besar sudut antara bidang ABCD dan bidang ADGF adalah 45
o
▪ Garis BD adalah garis persekutuan antara bidang ABD dan bidang BDE
▪ Garis AP pada bidang ABD dan tegak lurus garis BD
▪ Garis EP pada bidang BDE dan tegak lurus garis BD
▪ EPA adalah sudut antara bidang ABD dan bidang BDE
▪ tan EPA =
EA
AP
=
5
5 2
2
=
2
2
.
2
2
= 2
EPA = arc tan 2 = 54,73
o
(menggunakan kalkulator)
P

Smala
Contoh 2:
Diketahui bidang empat D.ABC dengan ABC segitiga sama sisi, DC tegak lurus bidang
ABC, panjang DC = 1 cm, dan DBC = 30
o
. Jika  adalah sudut antara bidang DAB
dan bidang CAB, tentukan nilai tan .
Jawab:
DC ⊥ bidang ABC
ABC samasisi
P titik tengah AB
tan 30o
=
DC
BC
1
3
3 =
1
BC
BC =
3
3
.
3
3
= 3 cm
AB = BC = AC = 3 cm
PB =
1
2
AB =
1
2
3 cm
BPC siku-siku di P
PC = BC 2 − PB 2
= 3
2
−
1
2
3
2
= 3 −
3
4
=
12 −3
4
=
9
4
=
3
2
cm
tan α =
DC
PC
=
1
3
2
=
2
3
Jadi, 𝐭𝐚𝐧 𝛂 =
𝟐
𝟑

Smala
Misalkan: Bidang v = bidang ABCD
Bidang w = bidang ADHE
Sehingga: garis g = garis AD
Jika garis AS = garis h maka garis AS
membentuk sudut 45
o
dengan bidang ABCD,
sehingga  APS haruslah segitiga siku-siku
samakaki.
Misal: AP = PS = a  AS = 𝐚 𝟐
Garis AS membentuk sudut 30
o
dengan bidang
ADHE, maka:
cos 30
o
=
AT
AS
1
2
3 =
AT
a 2
2 . AT = a 6
AT =
1
2
a 6
ET = AT2 − AE2 =
1
2
a 6
2
− a2
=
6a2
4
−
4a2
4
=
2
4
a2 =
1
2
a 2
EH = AD = 2 . ET = 2 .
1
2
a 2 = 𝐚 𝟐
Sudut antara garis h dan garis g = sudut
antara garis AS dan garis AD = DAS
Lihat  ADS: AD = a 2, AS = a 2, dan DS = AS = a 2
Jadi  ADS adalah segitiga samasisi, sehingga DAS = 60
o
sinus sudut antara garis h dan garis g = sin DAS = sin 60
o
=
𝟏
𝟐
𝟑 (E)

Smala
Hasil proyeksi garis DE pada bidang ACH adalah PE’.
Jadi,  = EPE’ = EPC
Lihat  EPC.
Misal panjang rusuk kubus ABCD.EFGH = 2a, maka:
EC = 2a 3
EP =
1
2
ED =
1
2
. 2a 2 = a 2
Untuk CP, lihat  ACH samasisi.
CP = CA2 − AP2
= 2a 2
2
− a 2
2
= 8a2 − 2a2 = 6a2
= a 6
cos EPC =
EP2+CP2−EC2
2 .EP .CP
=
a 2
2
+ a 6
2
− 2a 3
2
2 . a 2 . a 6
=
2a2+6a2−12a2
4a2 3
= −
4a2
4a2 3
= −
1
3
= −
1
3
.
3
3
= −
1
3
3
cos  = −
1
3
3

Smala
cos  = −
1
3
3 =
x
r
(Karena nilai cos-nya negatif maka  terletak di Kuadran II, sehingga nilai
sin-nya positif)
x = 3 dan r = 3, maka: y = r2 − x2 = 3 2 − 3
2
= 9 − 3 = 6
sin  =
y
r
=
6
3
sin  =
𝟏
𝟑
𝟔 (C)

Smala
Soal Cobalah:
Buku Bailmu Hal. 17 no. 10
Diketahui:
❑ bidang empat T.ABC dengan
AB = AC = 2 2 cm & AT = 2 cm.
❑ TA, TB, TC saling tegak lurus pada T
Ditanya: tan (TBC, ABC)
TB = TC = AC 2 − AT 2 = 2 2
2
− 22
= 8 − 4 = 4 = 2
❖ BC adalah garis persekutuan bidang TBC dan
bidang ABC
❖ AP pada bidang ABC dan AP ⊥ BC
❖ TP pada bidang TBC dan TP ⊥ BC
Maka: (TBC, ABC) = APT
TBC siku-siku samakaki  BC = 2 2 cm
PC =
1
2
BC =
1
2
. 2 2 = 2 cm
TP = TC2 − PC2 = 22 − 2
2
= 4 − 2 = 2 cm
tan APT =
AT
TP
=
2
2
.
2
2
= 𝟐

Smala
Soal Tantangan UKBM 3.3
Diketahui:
Limas segiempat beraturan T.ABCD
dengan AB = 2 cm dan TA = 3 cm.
Ditanya: (TAB, TAD)
Jawab:
TA adalah garis persekutuan antara bidang TAB
dan bidang TAD
BP pada bidang TAB dan BP ⊥TA
DP pada bidang TAD dan DP ⊥TA
(TAB, TAD) = BPD
BD = 2 2 cm
Lihat TAD samakaki:
TR = TD2 − DR2 = 3
2
− 12 = 2 cm
Luas TAD:
1
2
 AD  TR =
1
2
 TA  DP
1
2
 2  2 =
1
2
 3  DP
DP =
2 2
3

3
3
=
2
3
6 cm
BP = DP =
2
3
6 cm
cos BPD =
BP2+DP2−BD2
2 .BP .DP
=
2
3
6
2
+
2
3
6
2
− 2 2
2
2 .
2
3
6 .
2
3
6
=
8
3
+
8
3
−8
16
3
=
8
3
+
8
3
−
24
3
16
3
=
−
8
3
16
3
= −
8
16
= −
1
2
cos BPD = – cos 60
o
= cos (180
o
– 60
o
) = cos 120
o
BPD = 120
o

Smala
Jawab:
BC adalah garis persekutuan bidang TBC
dan bidang ABCD
TS terletak pada TBC dan TS ⊥ BC
PS terletak pada ABCD dan PS ⊥ BC
 = TSP = TSR
TS = TB 2 − BS 2
= 132 − 42 = 169 − 16
= 153 = 3 17 cm
RS = 4 cm
cos  =
RS
TS
=
4
3 17
.
17
17
=
4 17
51
=
x
r
Karena cos-nya (+) maka  terletak di Kuadran I sehingga sin-nya juga (+)
x = 4 17 dan r = 51
y = r2 − x2 = 512 − 4 17
2
= 2601 − 272 = 2329
sin  =
𝟐𝟑𝟐𝟗
𝟓𝟏

Smala
a

b
c
𝐜𝟐
= 𝐚𝟐
+ 𝐛𝟐
− 𝟐𝐚𝐛 𝐜𝐨𝐬 𝛂
cos 𝜶 =
𝐚𝟐
+ 𝐛𝟐
− 𝐜𝟐
𝟐𝐚𝐛 kembali

Dimensi Tiga Geometri Ruang

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Dimensi Tiga Geometri Ruang

Similar to Dimensi Tiga Geometri Ruang (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Dimensi Tiga Geometri Ruang