segmento de recta y sistema de medidas angulares

1. CENTRO PRE UNIVERSITARIO CEPRE UNU PROCESO 2021- II
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
UNIDAD I
DOCENTES RESPONSABLES
Lic. Watson Baltazar Gonzales
Lic. Piero Esaud Morote Oliveira
GEOMETRÍA
SEMANA 01
SEGMENTO DE RECTA
Porción de recta comprendido entre dos puntos
denominados extremos.
A,B : extremos
AB : segmento AB
* El segmento al tener puntos extremos posee
longitud y por consiguiente tiene punto medio
* El segmento es un conjunto convexo
Operaciones con segmentos
a) Suma: AB + BC = AC
b) Resta: PR – QR = PQ
1. División Armónica De Un Segmento:
Se dice que los puntos coloniales y consecutivos
A, B, C y D constituyen una “Cuaterna
Armónica”. Si B y D son conjugados armónicos
de A y C ó B y D dividen armónicamente al
segmento AC . En toda cuaterna armónica se
cumple:
Cumple la relación:
➢
AB AD
BC CD
=
➢
1 1 2
AB AD AC
+ = (T. de Descartes)
En forma generalizada:
Si se cumple que:
( )( ) ( )( )
AB CD n BC AD
= ... ( I )

n 1 n 1
AB AD AC
+
+ =
... ( II )
2. Sección Áurea: La sección áurea es la media
geométrica entre el segmento menor y el
segmento total que se determina al tomar un
punto interior en un segmento dado.
( ) ( )
2
x a a x x a a x
= −  = −
2 2 2 2
x a ax x ax a 0
= −  + − =
Por Baskara se tiene: a a 5
x
2
− 
=
Consideramos solo con el signo positivo (+)
( )a
a a 5 5 1
x
2 2
− + −
= =
Se sabe que x AB y a= AC
=
( )
5 1 AC
AB
2
−
=
Entonces AB es la sección áurea de AC
Donde: 5 1
es Número Aureo
2
−
3. Relación de Isaac Newton
2
EC EB ED
= 
A B C
x
a
a x
−
A B
AB
R
P Q
B
A C
C
A E D
B
A B C D
1 2 3
4
1 3
4
2
=

2. CENTRO PRE UNIVERSITARIO CEPRE UNU PROCESO 2021- II
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
4. Segmento que une los puntos medios de
AB y CD :
AC BD
MN
2
+
=
5. Si C es punto medio de BD
2
2 BD
AC AB.AD
4
= +
( )
2 2 2 2
AB AD 2 AC BC
+ = +
6. Si B y C son puntos medios de AE y BD
AD DE
BC
4
−
=
Observación:
Para cualquier grupo de puntos A, B, C y D
colineales, en donde el enunciado presente las
siguientes relaciones:
AB CD BC AD
. .
= … ( I )
1 1 1
AB AD n
+ = , ( )
n 0
 … ( II )
La forma de desarrollarlo es siempre de la
siguiente manera:
Observamos en ( I ), AB y AD se encuentran en (
II ), pero CD y BC no se encuentran en ( II ),
entonces los que no se encuentran en ( II ) se
buscan en los puntos ubicados en la línea recta
y los que se encuentran en ( I ) y en ( II ) se dejan.
En conclusión solo consiste en transformar la
expresión ( I ) a la expresión ( II ).
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D, luego se ubican P y
Q puntos medios de 𝐴𝐵
̅̅̅̅ y 𝐶𝐷
̅̅̅̅
respectivamente. Calcula PQ, si AC + BD =
30
A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 60
2. En una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C y D siendo M y N puntos
medios de AC y BD. Calcula MN, si AB + CD
= 20.
A) 5 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13
3. Sobre una línea recta se consideran los
puntos consecutivos A, B y C; además M es
un puto medio de 𝐴𝐵
̅̅̅̅. Si AB.MC =AC.BC y
AB = 8m, entonces halla la longitud del
segmento 𝐵𝐶
̅̅̅̅.
A)2√2 B) 3√2 C)4√2
D) 4√3 E)4
4. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D, tal que CD = 7AC.
Calcula BC, si BD - 7AB = 40.
A) 3 B) 5 C) 8 D) 9 E) 20
5. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C y D, siendo: AB (BD) +
AC(CD) = AD(BC) Si: AB(CD) = 72, calcula
BC.
A) 10 B) 6 C) 18 D) 12 E) 5
6. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D de modo que: AC +
BD = 14. Calcula MN, si M y N son los puntos
medios de AB y CD respectivamente.
A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 3
7. En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B y C. Si (AB)2 + b(AC) =
(AC)2 + (BC)2 ; calcule BC.
A) b B) 2b C) b/2 D) b/4 E) 4b
C
A D
B
M N
C
A D
B
D
A E
B C

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GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
8. Los puntos AQRC de una recta son tales que
AQ es la media aritmética entre AR y RC, si
se cumple que 2
QC + 4= 4QC , el valor de AC
es:
A) 1 B) 3 C) 2 D) 5 E) 4
9. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D
sobre una recta, tal que: 2(AB) = CD y M es
punto medio de BC. Calcula BD, si AM = 12.
A) 10 B) 12 C) 21 D) 24 E) 28
10. En una recta se tienen los puntos
consecutivos A, B, C, D, E; siendo: AD + BE
= 20 y BD =
𝐴𝐸
4
. Calcule BD.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
11. Se tienen 5 puntos colineales consecutivos A,
B, C, D, E. Si AB= 5x, BC= 4x, CD= x, DE=
2x. Calcular BC si AE=24u
A)5u B) 6u C) 7u D)8u E)9u
12. Se tienen 5 puntos colineales consecutivos A,
B, C, D, E. Si AB= DE=4u, BC= CD=14u
Calcular la distancia entre los puntos medios
de los segmentos AB y CD
A)21u B) 22u C) 23u D)24u E)25u
13. Dados los puntos colineales y consecutivos
AMBCND, si AC=40u, BD=80u y BC=10 u,
calcular MN, siendo ”M” y “N” puntos medios
de AB y CD respectivamente
A)30 B)45 C)60 D)65 E)68
14. En una línea recta se ubican los puntos
consecutivos A,B,C , D y E de tal forma que
AB+CE =18m; BE – CD =12m y AE – DE =
10m.Hallar AE.
A) 20 B) 14 C) 15 D)16 E)18
15. En un segmento AD se toman los puntos B y
C de modo que B es punto medio de AC.
Calcula CD, si AB = 20 y BD = 30.
A) 20 B) 11 C) 10 D) 13 E) 12
16. En una recta se ubican los puntos
consecutivos P, Q, R y S, en el cual se
cumple que PS PQ 2
PQ PS PR
.
+
= , determinar el
valor de PQ RS
2
QR PS
.
.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
17. Sean los puntos colineales y consecutivos L,
M, N, P, Q, siendo: 2LM =MN y
𝐿𝑁
𝑀𝑄
=
1
5
Hallar: NQ
LM
A) 12 B)
1
12
C) 13 D)
1
13
E) 2
18. Sobre una recta se encuentran los puntos A,
B, C y D consecutivos. Si:
BC CD
AB AD
= ,
además
1 1 1
AB AD 10
+ = , la medida de AC , es:
A) 10 B) 20 C) 30 D) 15 E) 25
19. Sean los puntos colineales y
consecutivos P, Q, R y S, tales que:
PQ QR RS
3 4 5
= = y
2PQ + 5QR + 8RS = 132 , Hallar: PQ
A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 4
20. De acuerdo al gráfico; hallar el valor de “x”,
sabiendo además que: +  =
2
AB
MA MB 81
4
A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 3
M A O B
x

4. CENTRO PRE UNIVERSITARIO CEPRE UNU PROCESO 2021- II
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRIA
ANGULO TRIGONOMETRICO Y
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
ANGULO TRIGONOMETRICO:
Es aquel ángulo que se genera por la rotación
de un rayo alrededor de un punto fijo llamado
vértice.
Cuando la rotación se realiza en sentido
antihorario, la medida del ángulo generado es
de signo positivo, en cambio cuando la rotación
se realiza en sentido horario, la medida del
ángulo es de signo negativo.
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES:
Para medir ángulos trigonométricos existen una
infinidad de sistemas, debido a que la unidad
angular de medida se puede considerar de
manera arbitraria; siendo los sistemas
convencionales los siguientes:
SISTEMA SEXAGESIMAL O INGLÉS
La unidad de medida de este sistema es el grado
sexagesimal (1º)
m 1 Vuelta = 360º
Unidades
complementarias
Equivalencias
Minuto  (1’)
Segundo  (1’’)
1º <> 60’
1’ <> 60’’
SISTEMA CENTESIMAL O FRANCÉS
La unidad de medida de este sistema es el grado
centesimal (1g)
m 1 Vuelta = 400g
Unidades
complementarias
Equivalencias
Minuto  (1m)
Segundo  (1s)
1g <> 100m
1m <> 100s
SISTEMA RADIAL O CIRCULAR
La unidad de medida de este sistema es el grado
sexagesimal (1 rad), el cual se define como el
ángulo central que subtiende en toda
circunferencia un arco de igual longitud que la de
su radio.
m 1 Vuelta = 2π rad
Observaciones:
1 rad <> 57º 17’ 44’’ 1 rad > 1º > 1g
π  3,1416 π 22/7 π 2 3
+
RELACIÓN ENTRE SISTEMAS
Estos tres valores numéricos verifican la siguiente
relación:
, dividiendo por 40:
FORMULA GENERAL DE CONVERSION:
m   = Sº  S: # de grados
sexagesimales
m   = C
g
 C: # de grados
centesimales
m   = R rad  R: # de radianes

5. CENTRO PRE UNIVERSITARIO CEPRE UNU PROCESO 2021- II
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Expresar “x” en términos de α y β:
A) 180º – α + β
B) β – α + 180º
C) α – β – 180º
D) 180º - α - β
E) α + β + 180º
2. De la figura mostrada, determinar el valor
del ángulo “x”.
A) 30º B) -30º C) 60º D) -60º E) 37º
3. Reducir la siguiente expresión:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 3
4. Siendo: S, C y R los números de grados
sexagesimales, centesimales y radianes de
un mismo ángulo, reducir:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 3
5. Calcular el valor de “x” en:
A) 53 B) 50 C) 63 D) 54 E) 43
6. Se sabe que 25 grados en un sistema “N”
equivalen a 60 grados sexagesimales, ¿a
cuantos radianes equivalen 5 grados “N”?
A) π/10 B) π/15 C) π/12 D)
π/5 E) π/3
7. Evaluar:
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
8. Al convertir π/50 rad al sistema sexagesimal
se obtiene Aº B´.
Calcula:
A) 7 B) 5 C) 11 D) -2 E) -3
9. La suma de las medidas de dos ángulos es
7π/20 rad. Y su diferencia es 30g. calcula la
medida del menor ángulo en el sistema
centesimal.
A) 20g B) 30g C) 15g D) 25g E) 8g
10. El producto de los números que expresan la
medida de un ángulo en los sistemas inglés,
francés y radial es π/6 rad. Halla la medida
del ángulo en grados sexagesimales.
A) 1º B) 2º C) 3º D) 4º E) 5º
11. Si se cumple que:
S = x2 – 3x – 10
C = x2 – 2x – 4
Si S y C son los sistemas de medidas para un
mismo ángulo. Halla la medida del ángulo
en radianes.
A) 3π/10 B) π/9 C) 11π/10
D) 8π E) 7π/3
12. Convierte π/125 rad. Al sistema
sexagesimal.
A) 1º 26`24`` B) 2º 26´25´´ C) 1º 25´24´´
D) 2º 25´28´´ E) 1º 24´26´´

6. CENTRO PRE UNIVERSITARIO CEPRE UNU PROCESO 2021- II
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
13. Dos ángulos miden (3x)º y (20x/3)g si suman
π/2 rad. Hallar x.
A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 18
14. Si S, C y R son lo convencional, halla la
medida del ángulo que cumple la siguiente
relación:
𝐑 + 𝟑
𝐂 + 𝐒
=
𝐂 + 𝐒
𝐂𝟐 − 𝐒𝟐
A) 15π B) 15 rad C) 14π D)
16π E) 16 rad
15. Si se escribe 54g en lugar de 54º, hallar el
error cometido en radianes.
A) 3π/100 B) π/180 C) 2π/3 D)
π/6 E) π/7
16. Se idea dos nuevos sistemas de medidas
angulares W y V. sabiendo que la unidad de
medida de W (1w) es la quinta parte de la
unidad de medida en el sistema sexagesimal;
y que 20 grados V (20v) es 10g. halla la
relación entre los sistemas.
A) 1w = 2v
B) 1v = 2w
C) 1v = 2,25w
D) 1w = 1v
E) 1w = 2 (1v)
17. En un cierto ángulo se cumple que el número
de segundos sexagesimales menos tres
veces el número de minutos centesimales es
igual a 29400. Calcula la medida el ángulo,
en radianes.
A) π/20 B) π/5 C) π/10
D) π/30 E) π/15
18. Los ángulos de un triángulo isósceles miden
5xg y (4x + 5)º. Halla la medida del tercer
ángulo desigual en el sistema
internacional.
A) π/4 B) π/3 C) π/5
D) π/2 E) 2π/5
19. Se tiene un nuevo sistema de medida angular
V. si el número de grados en el nuevo sistema
y el número de grados sexagesimales están
en razón de 7 a 6. Encuentra la expresión
incorrecta.
A) V = 210R/π
B) C = 20V/21
C) 1 vuelta = 420v
D) 36v = 42º
E) 7v = 360´