Punim seminarik mbi kongruencat

1. SH.M.K “DRITA”
Kërçovë
Kongruencat
Detyrë projektuse nga lënda e matematikës
Kandidati: Mentor:
B. Xh.
Mars,2013
K.U.

2. Kongruencat
~ 1 ~
Përmbajtja:
Hyrje.....................................................................................................................................................................2
Teoria e numrave............................................................................................................................................3
Kongruencat......................................................................................................................................................5
Kongruencat lineare....................................................................................................................................10
Kongruencat lineare të formës a1x1 + a2x2 + ⋯ + amxm ≡ b(mod n) ................................12
Sistemet e kongruencave lineare...........................................................................................................14
Teorema kineze e mbetjeve.....................................................................................................................14
Zgjidhja e sistemeve kongruente lineare............................................................................................16
Detyra dhe zgjidhje......................................................................................................................................17
Përfundim .......................................................................................................................................................18
Literatura e përdorur.................................................................................................................................19

3. Kongruencat
~ 2 ~
Hyrje
Me zhvillimen e matematikës vazhdimisht paraqiten probleme të reja të cilave
matematikanët tentonin tu japin zgjidhje sa më të sakta dhe sqarime të thjeshta. Çdo
degë e matematikës ka objektin e vet të studimit.Teoria e Numrave (degë e
matematikës) si objekt kryesor studimi ka,të paktën në trajtëe e saj elemementa-
re:numrat e plotë,në vecanti numrat natyrorë,vetit e tyre dhe mardhëniet që i
rregullojnë ato.Ndër trajtat tjera të numrave të plotë të cilat i studion teoria e numrave
jane:pjestueshmëria e numrave,sistemet e mbetjeve,kongruencat e numrave,mbetjet
kuadratike,format kuadratike,ligji i reciprocitetit kuadratik etj.
Me ndihmën e kongruencave mundemi që pohimet mbi plotpejstëshmërinë më lehtë
ti formulojmë dhe ti vërtetojmë,gjithashtu përfitojmë edhe diferencimin e numrave të
cilat nuk janë te plotpestueshëm me një numër të caktuar.
Në fillim të këti punimi është dhënë një qasje e shkurtër mbi teorinë e numrave
dhe pastaj janë dhënë disa pohime mbi kongruencat,barazimet kongruente dhe sistemet
e barazimeve kongruente gjithashtu janë dhënë edhe shembuj dhe detyra për ta
qartësuar sa më mirë pjesën teorike.

4. Kongruencat
~ 3 ~
Teoria e numrave
Teoria e numrave është degë e matematikës e cila merret me studimin e vetive
të numrave në përgjithësi, e posaçërisht atyre të plotë si dhe me një klasë më të gjërë
problemesh. Ndër problemet elementare që studiohen janë: plotpjestueshmëria e
numrave, kriteret për gjetjen e numrave të cilat
plotësojnë ndonjë kusht të caktuar, shpërndarja
e numrave të thjeshtë, gjetja e numrit të particioneve të
një numri natyror etj. Bëhet fjalë për një nga zonat më
të rëndësishme dhe më interesante të algjbrës në
vecanti dhe të mëtematikës në pergjithësi ose sic e
quajti Gausi:’’mbretëreshën e matematikës”.Është një
nga degët më të vjetra. Disa nga rezultatet e saja ishin të
njohura qysh nga grekët e vjetër të periudhës Klasike
(800 p.e.s-1500 p.e.s),p.sh. Pitagora,Euklidi,Eratosteni
dhe Diofani.
Periudha modern e teorisë së numrave fillon formalisht në vitin 1500 me Klaud
Baher(1581-1638) dhe vazhdon me kërkimet e Pier Fermat(1601-1665) dhe Leonard
Euler(1707-1855).Por në të vërtetë fillon me botimin e librit të famshëm “Disquisitiones
arithmeticae”1 të matematikanit Gauss2(1777-1855) në vitin 1801.Gausi i sistemoi të
gjitha njohuritë e deriatëhershme mbi teorinë e numrave duke paraqitur dhe mjaft ide
të reja të tij.Nga viti 1800 dhe më vonë shumë nga problemet klasike të teorisë së
numrave u zgjodhën ,por më e rëndësishmja është se studimi i tyre çoi në krijimin e
teorive të reja të cilat gjetën zbatim në degët tjera të matematikës.
Ne shekullin e XIX teoria e numrave përjetoi një lulëzim. Me kontributin e
matematikanëve: Niels Abel,Carl Jacobi dhe Peter Gustav Dirichlet u zhvillua teoria e
funksioneve eliptike.Dirihleu futi termin e ri rendi-L dhe vëretoi teorinë e progresioneve
aritmetike të numrave priamrë. Bernhard Riemann zbuloi dhe vërtetoi barazimet
funksionale të funksionit zeta. Kontribut të rëndsishëm dhanë edhe Ernst
1
Disquisitiones arithmeticae(lat:Hulumtime Aritmetike) vepra e Gausit mbi teorinë e numrave e botuar ne
Lajpcig të Gjermanisë më 29 shtator 1801
2
Carl Friedrich Gauss,matematikan gjerman I cili punoi edhe në shkenca tjera si gjeodezi,astronomi dhe fizikë

5. Kongruencat
~ 4 ~
Kummer,Leopold Kronecker dhe Richard Dedekind. Keto së bashku themeluan teorinë e
grupeve,unazave dhe idealeve.
Në shkullin XX duke u bazuar në punën e Kumerit u zhvillua teoria e klasave të
trupave ku u dalluan:David Hlbert,Helmut Hasse,Philip Fyrtwangler etj. U vëretua edhe
teoria e egzistencës nga e cila Emil Artin themeloi ligjin e reciprocitetit.
Në gjysmen e dytë të shekullit XX u be nje hap i madh me hulumtimet e Bryan Birch
dhe Peter Swinnerton-Dyer.Këto supozuan se nje kurbë eliptike ka pakufi shumë
zgjidhje racionale atëher kur L-Rendi ne pikën 𝓈 = 1 ka vlerë zero edhepse kjo tezë
principisht nuk është e vërtetuar ka argumente të forta teorike dhe numerike që
dëshmojnë mbi vërtetësinë e saj.
Ndër matematikanët tjerë që bënë hulumtime të rëndësishme në teorinë e numrave
janë: Alan Baker,Gotthold Eisenstein Gerhard Frey,Sophie Germain,Don Zaiger etj.
Sot teoria e numrave është një shkencë e zgjeruar dhe ndahet në tre drejtime,që
emërtohen sipas mjeteve matematikore që përdorin:
1. Teoria elementare e numrave,që përdor metoda të pastra teorike numerike.
2. Teoria algjebrike e numrave,që përdor metoda algjebrike dhe në vecanti teorinë e
idealeve dhe fushave algjebrike.
3.Teoria analitike e numrave që përdor metodat bazë të analizës dhe në vecanti të
funksioneve komplekse.
Rëndësia e saj e madhe ne boten e matematikes qëndron në shumëllojshmërinë e
metodave që përdor, problemet të hapura që përmban si dhe në zbatimin që gjen në
shkenca modern si :kriptografia,teoria e kodimit,teoria e automateve etj.

6. Kongruencat
~ 5 ~
Kongruencat
Le të jenë 𝒶 dhe 𝒷 dy numra të plotë dhe 𝓃 një numër natyror.
PERKUFIZIMI 1:Numri i plotë 𝒶 quhet kongruent3 me numrin e plotë 𝒷 modulo 𝓃 (sipas
modulit 𝓃) vetëm atëher kur 𝑛|𝒶 − 𝒷 .
 Mënyra e shënimit: 𝒶 ≡ 𝒷(𝑚𝑜𝑑 𝑛).
Numri natyror 𝓃 quhet masë e kongruencës.Ne qoftë se 𝑛 ∤ 𝒶 − 𝒷 atëherë 𝒶 quhet
jokongruent me 𝒷 sipas modulit 𝓃 .
 Mënyra e shenimit 𝒶 ≢ 𝒷(𝑚𝑜𝑑 𝑛).
Shembull: 17 ≡ −7(𝑚𝑜𝑑8), 5 ≡ 15(𝑚𝑜𝑑5), 27 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑4), 6 ≢ 11(𝑚𝑜𝑑3), 25 ≢
12(𝑚𝑜𝑑7) sepse perkatësisht 8 ∣ 17 − (−7); 15|5 − 15; 4⌋27 − 7; 3 ∤ 6 − 11;
Termi kongruencë për her të parë është përdorur nga Christian Goldbach në vitin
1730 nëpër letrat që ia dërgonte Leonard Eulerit.Për dallim nga Gausi Goldbachu
përdorte simbolin e jo ≡ .
Nga përkufizimi 1 rrjedhin vetit e mëposhtme :
 Nurmri i plotë 𝑎 është çift vetëm atëher kur 𝑎 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑2)
 Numri i plotë 𝑎 është tek vetëm atehëher kur 𝑎 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑2)
 Në qoftë se 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) dhe 𝑚|𝑛, atëherë 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
 Per çdo çift numrash të plotë 𝑎, 𝑏 ka vend 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 1)
POHIMI 1 :Dy numra të plotë çfarëdo 𝒶 dhe 𝒷 janë kongruent sipas modulin 𝓃,vetëm
atëher kur lënë të njëjtën mbetje gjatë pjestimit të tyre me 𝓃.
Vërtetim: E zëmë se 𝒶 ≡ 𝒷(𝑚𝑜𝑑 𝑛). Atëher nga përkufizimi 1 kemi që 𝓃|𝒶 − 𝒷
domethënë 𝑎 − 𝒷 = 𝑛 ∗ 𝑞, 𝑞 𝜖 Ζ si rrjedhim:
𝑎 = 𝑏 + 𝑛𝑞 (1)
Duke pjestuar 𝒷 me 𝑛 fitojmë:
𝑏 = 𝑛𝑘 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 < 𝑛 (2)
Si rrjedhim i barazimit (1) shkruhet:
𝑎 = 𝑘𝑛 + 𝑛𝑞 + 𝑟 = (𝑘 = 𝑞)𝑛 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 < 𝑛 (3)
Relacionet (2) dhe (3) japin rezultatin e dëshiruar.4
3
Kongruent- congruuentia (lat. njëvlershëm)

7. Kongruencat
~ 6 ~
Vërejmë se kongruenca 𝑚𝑜𝑑 𝑛 cakton nje relacion " ≡ " në bashkësinë ℤ
(domethënë një nënbashkësi ≡ të ℤ × ℤ )si më poshtë :
(𝒶, 𝑏) ∈ ≡ ⟺ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
POHIMI 2 :Relacioni " ≡ (𝑚𝑜𝑑 𝑛)" është relacion ekuivalencene në bashkësinë e numrave
të plotë ℤ,domethënë është :
i. refleksiv është atëher kur: 𝑎 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑛) për çdo 𝑎 ∈ ℤ.Kjo është e sakt
pasi: 𝑛|(𝒶 − 𝑎), 𝑎 𝜖 ℤ pra 𝑛|0
ii. simetrik është atëher kur: 𝑎𝑎 ≡ 𝑏𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑎𝑎𝑎 𝑎) ⟹ 𝑎𝑏 ≡
𝑎𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑎𝑎𝑎 𝑎).Ky pohim vlen sepse për çdo 𝑎, 𝑎𝑎, 𝑏 ∈ ℤ raporti n|(a−b)
eshtë ekuivalent me 𝑛𝑎|(𝑏𝑎 − 𝑎𝑎).
iii. transitiv është atëher kur: 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) 𝑑ℎ𝑒 𝑏 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛) 𝑣𝑙𝑒𝑛:
𝑎 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛).Nga raportet n|(a−b) dhe 𝑛|(𝑏 − 𝑎) rrjedh se :
𝑛|(𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐), domethënë n|(a−c) që do të thotë se : 𝑎 ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑛).
POHIMI 3: Nëse n ∈ ℕ ∧ 𝑛 > 0 dhe numrat e plotë 𝑎, 𝑎′
, 𝑏, 𝑏′
∈ ℤ dhe relacionet:
𝑎 ≡ 𝑎′(𝑚𝑜𝑑 𝑛) 𝑑ℎ𝑒 𝑏 ≡ 𝑏′
(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
Atëher vlen edhe:
 𝑎 + 𝑏 ≡ 𝑎′
+ 𝑏′(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
 𝑎 ∗ 𝑏 ≡ 𝑎′
∗ 𝑏′
(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
VËRTETIM: Egzistojnë numra të plotë 𝑘, 𝑙 ashtu që 𝑎 = 𝑎′
+ 𝑘 ∗ 𝑛 dhe 𝑏 = 𝑏′
+ 𝑙 ∗
𝑛 dhe me këtë llogarisim se :
𝑎 + 𝑏 = 𝑎′
+ 𝑘 ∗ 𝑛 + 𝑏′
+ 𝑙 ∗ 𝑛 = (𝑎′
+ 𝑏′) + 𝑘 ∗ 𝑛 + 𝑙 ∗ 𝑛 = (𝑎′
+ 𝑏′) + (𝑘 + 𝑙) ∗ 𝑛.
Pasi që 𝑛 e e pjeston ndryshimin (𝑎 + 𝑏) − (𝑎′
+ 𝑏′) = (𝑘 + 𝑙) ∗ 𝑛 ashtu që:
𝑎 + 𝑏 ≡ 𝑎′
+ 𝑏′(𝑚𝑜𝑑 𝑛).
Mëtutje gjejme se : 𝑎 ∗ 𝑏 = (𝑎′
+ 𝑘 ∗ 𝑛) ∗ (𝑏′
+ 𝑙 ∗ 𝑛)
= 𝑎′
∗ 𝑏′
+ 𝑎′
∗ 𝑙 ∗ 𝑛 + 𝑏′
∗ 𝑘 ∗ 𝑙 ∗ 𝑛2
= 𝑎′
∗ 𝑏′
+ (𝑎′
∗ 𝑙 + 𝑏′
∗ 𝑘 + 𝑘 ∗ 𝑙 ∗ 𝑛) ∗ 𝑛.
Barzimi 𝑎 ∗ 𝑏 − 𝑎′
∗ 𝑏′
= (𝑎′
∗ 𝑙 + 𝑏′
∗ 𝑘 + 𝑘 ∗ 𝑙 ∗ 𝑛) ∗ 𝑛 pjestohet me 𝑛 dhe perfundojmë
se: 𝑎 ∗ 𝑏 ≡ 𝑎′
∗ 𝑏′(𝑚𝑜𝑑 𝑛). 5
4
Kostaq Hila,Jani Dine,Teoria e numrave,Universiteti “Eqrem Cabej”,Fakulteti i shkencave të natyrës
departamenti i matmatikës-Tiranë,2002 faqe .v, 112-113
5
Alexander Schmitt,Skript zur Vorlesung “Algebra und Zahlentheorie”,Berlin,Wintersemester2011/2012
Seite 15-16

8. Kongruencat
~ 7 ~
POHIMI 4. Nëse 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚)𝑑ℎ𝑒 𝑐 ≡ 𝑑(𝑚𝑜𝑑 𝑚) atëherë:
a) 𝑎 ± 𝑐 ≡ (𝑏 ± 𝑑)(𝑚𝑜𝑑 𝑚)
b) 𝑎𝑐 ≡ 𝑏𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)
c) 𝑎 𝑛
≡ 𝑏 𝑛 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) për cdo 𝑛 ≥ 1.
d) 𝑓(𝑎) ≡ 𝑓(𝑏)(𝑚𝑜𝑑 𝑛) per cdo 𝑓(𝑥) me koeficientë numra të plotë.
VËRTETIM:
a) Meqë 𝑎 − 𝑐 = 𝑎 + (−𝑐) mjafton të vërtetojmë vetëm rastin
𝑎 + 𝑐 ≡ (𝑏 + 𝑑) (𝑚𝑜𝑑 𝑚).
Nga 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑚) kemi : 𝑎 = 𝑚𝑘 + 𝑏, 𝑘 ∈ ℤ (1)
Ngjashëm nga 𝑐 ≡ 𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚)𝑘𝑒𝑚𝑖: 𝑐 = 𝑚𝑘1 + 𝑏, 𝑘1 ∈ ℤ (2)
Duke mbledhur anë për anë (1) dhe (2) merret:
𝑎 + 𝑐 = 𝑚𝑘 + 𝑚𝑘1 + 𝑏 + 𝑑
𝑎 + 𝑐 = 𝑚𝑘2 + (𝑏 + 𝑑), 𝑘2 = 𝑘 + 𝑘1
Pra 𝑎 + 𝑏 ≡ (𝑏 − 𝑑) (𝑚𝑜𝑑 𝑚).
b) Duke shumëzuar anë për anë (1) dhe (2) kemi:
𝑎𝑐 = (𝑚𝑘 + 𝑏)(𝑚𝑘1 + 𝑑)
= 𝑚𝑘𝑚𝑘1 + 𝑚𝑘𝑑 + 𝑚𝑘1 𝑏 + 𝑏𝑑
= 𝑚(𝑘𝑚𝑘1 + 𝑘𝑑 + 𝑘1 𝑏) + 𝑏𝑑
= 𝑚𝑘3 + 𝑏𝑑; 𝑘3 = 𝑘𝑚𝑘1 + 𝑘𝑑 + 𝑘1 𝑏
Pra 𝑎𝑐 ≡ 𝑏𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑚).
c) Vërtetimi do ta bëjmë me induksionin matematik:
Për 𝑛 = 1 pohimi është i sakt sipas supozimit.
Supozojmë se pohimi është i sakt për 𝑛 = 𝑘
Pra 𝑎 𝑘
≡ 𝑏 𝑘
(𝑚𝑜𝑑 𝑚)
Duke zbatuar supozimin 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) si dhe rastin b) kemi:
𝑎 𝑘
∗ 𝑎 ≡ 𝑏 𝑘
∗ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚)
Pra 𝑎 𝑘+1
≡ 𝑏 𝑘+1
(𝑚𝑜𝑑 𝑚)
d.m.th 𝑎 𝑛
≡ 𝑏 𝑛(𝑚𝑜𝑑 𝑚), ∀ 𝑛 ≥ 1
d) Le të jetë 𝑓(𝑥) = 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛
+. . +𝑐1 𝑥 + 𝑐0
Edhe këtë her do të zbatojme induksionin matematik.
Pra do të tregojmë se nëse 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) atëher:
𝑐 𝑛 𝑎 𝑛
+. . +𝑐1 𝑎 + 𝑐0 ≡ (𝑐 𝑛 𝑏 𝑛
+. . +𝑐1 + 𝑐0 )(𝑚𝑜𝑑 𝑚)

9. Kongruencat
~ 8 ~
Nëse 𝑛 = 0 kemi 𝑐0 ≡ 𝑐0(𝑚𝑜𝑑 𝑛) gjë që është e saktë në bazë të pohimit 2,rasti 1.
Supozojme se është i sakt për 𝑛 = 𝑘. Atëher kemi :
𝑐 𝑘 𝑎 𝑘
+…+𝑐1 𝑎 + 𝑐0 ≡ (𝑐 𝑘 𝑏 𝑘
+…+𝑐1 𝑏 + 𝑐0)(𝑚𝑜𝑑 𝑚)
Në rastin c) treguam:
𝑎 𝑘+1
≡ 𝑏 𝑘+1
(𝑚𝑜𝑑 𝑚)
Meqë 𝑐 𝑘+1 ≡ 𝑐 𝑘+1(𝑚𝑜𝑑 𝑚) ateher në bazë të rastit b) kemi:
𝑐 𝑘+1 𝑎 𝑘+1
≡ 𝑐 𝑘+1 𝑏 𝑘+1
Nga relacioni i fundit,hipoteza induktive si dhe rasti a) kemi:
𝑐 𝑘+1 𝑎 𝑘+1
+ 𝑐 𝑘 𝑎 𝑘
+ …+𝑐1 𝑎 ≡ 𝑐 𝑘+1 𝑏 𝑘+1
+ 𝑐 𝑘 𝑏 𝑘
+…+𝑐1 𝑏 + 𝑐0(𝑚𝑜𝑑 𝑚)
gjë që duhej treguar.
POHIMI 5 : Në qoftë se 𝑐 ∈ ℤ, 𝑐 ≠ 0,atëher:
𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ⟺ 𝑐𝑎 ≡ 𝑐𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑐)
Vërtetim: Vërejmë se 𝑛|𝑎 − 𝑏 vetëm atëher kur 𝑛𝑐|𝑐(𝑎 − 𝑏),domethënë 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
vetëm atëher kur 𝑐𝑎 ≡ 𝑐𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑐).
POHIMI 6:Në qoftë se 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ,ku 𝑐 ≠ 0 dhe 𝑑 = (𝑛, 𝑐) atëher:
𝑐𝑎 ≡ 𝑐𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ⟺ 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛 𝑑⁄ )
Vërtetim: Në qoftë se 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛 𝑑⁄ ) atëher meqë 𝑑 ≠ 0 nga pohimi 5 kemi që 𝑑𝑎 ≡
𝑑𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛).Por 𝑑|𝑐 si rrjedhim 𝑐 = 𝑑𝑐1.Në këtë menyrë kemi:
𝑐1 𝑑𝑎 ≡ 𝑐1 𝑑𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) 𝑑𝑚𝑡ℎ 𝑐𝑎 ≡ 𝑐𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
RRJEDHIMI 1: Në qoftë se 𝑐𝑎 ≡ 𝑐𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) dhe PMP (𝑐, 𝑛) = 1 atëher:
𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛).
RRJEDHIMI 2:Në qoftë se 𝑐𝑎 ≡ 𝑐𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑝) ku 𝑝 është numër i thjeshtë i tillë që 𝑝 ∤ 𝑐
atëher: 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑝).
POHIMI 7: Në qoftë se 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ 𝑑ℎ𝑒 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛), 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) atëher:
𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 [𝑚, 𝑛]) ku [m,n] është SHVP i 𝑚, 𝑛.
Vërtetim: E zëmë se 𝑝 është pjestues i thjeshtë i [m,n].Në qoftë se 𝑝 është fuqi më e
madhe që plotpjeston [m,n] atëher 𝑝 plotpjeston 𝑚 𝑜𝑠𝑒 𝑛 pra 𝑝|𝑎 − 𝑏 dhe si rrjedhim
[𝑚, 𝑛]|𝑎 − 𝑏 domethënë 𝑎 ≡ 𝑏[𝑚𝑜𝑑 (𝑚, 𝑛)]
RRJEDHIM: Në qoftë se 𝑎 ≡ 𝑏( 𝑚𝑜𝑑 𝑛)𝑑ℎ𝑒 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) ku numrat 𝑚 𝑑ℎ𝑒 𝑛 janë të
thjeshtë midis tyre,atëher :
𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑛) 6
6
Kostaq Hila,Jani Dine,Teoria e numrave,Universiteti “Eqrem Cabej”,Fakulteti i shkencave të natyrës
departamenti i matmatikës-Tiranë,2002 faqe 115-116

10. Kongruencat
~ 9 ~
POHIMI 8:Nëse 𝑎𝑖 ≡ 𝑏𝑖(𝑚𝑜𝑑 𝑛) për 𝑖 = 1,2,3 … 𝑛 atëher:
∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
≡ ∑ 𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
(𝑚𝑜𝑑 𝑛) 𝑑ℎ𝑒
∏ 𝑎𝑖 ≡ ∏ 𝑏𝑖 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
7
Detyra dhe zgjidhje
1.Të caktohet mbetja gjatë pjestimit në 520
me 26 ?
Zgjidhje: Meqë 52
= 25 ≡ −1 (𝑚𝑜𝑑 26) atëher sipas Pohimit 4 vlen :
520
≡ (−1)10
(𝑚𝑜𝑑 26) pra mbetja është 1 ose 520
≡ 1(𝑚𝑜𝑑 26).
2.Trego se per gjdo 𝑛 ∈ ℕ, 37 𝑛+2
+ 16 𝑛+1
+ 23 është i plotpjestueshëm me 7.
Zgjidhje: Nga 37 ≡ 16 ≡ 23 ≡ 2 (𝑚𝑜𝑑 7) kemi që :37 𝑛+2
+ 16 𝑛+1
+ 23 𝑛
≡ 2 𝑛+2
+
2 𝑛+1
+ 2 𝑛
= 2 𝑛(4 + 2 + 1) = 2 𝑛
∗ 7 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 7) 8
7
James J.Tattersall, Elementary number theory in nine capters,Cambrige University Press 1999.page 152-153
8
Jiri Herman,Radan Kucera,jaromir Simsa,Equations and inequalities in Algebra and Number
Theory,Department of Methematics and Statistics,Halifax.Canada,July 1999,page 192

11. Kongruencat
~ 10 ~
Kongruencat lineare
PERKUFIZIM :Kongruencë lineare ose kongruencë e shkallës së parë quhet çdo
kongruencë e formës:
𝑎𝑥 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ku 𝑛 ∈ ℕ(𝑛 > 1)𝑑ℎ𝑒 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ.
Numri i plotë x0vërteton ose plotëson kongruencën lineare në qoftë se :
𝑎𝑥0 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛). (1)
Për çdo 𝑦 ∈ ℤ kemi 𝑎𝑦 ≢ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) themi se kongruenca lineare nuk ka zgjidhje.
P.sh. 6𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 8) nuk ka zgjidhje sepse nëse egziston 𝑥0 ∈ ℤ.
6𝑥0 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑8) atëher 8|6𝑥0 − 1dhe numri 6𝑥0 − 1 është tek ?! asnjë numër tek nuk
është i plotpjestueshëm me një numër çift,pra barazimi nuk ka zgjidhje.Nëse 𝑥 është
zgjidhje e barazimit dhe 𝑥′ ≡ 𝑥 ateher 𝑎𝑥′ ≡ 𝑎𝑥 ≡ 𝑏.Nga kjo rrjedh se edhe 𝑥′ do të jetë
zgjidhje e barazimit.Barazimi 𝑎𝑥 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ka zgjidhje nëse dhe vetëm nëse egziston
një numër 𝑦 i cili me numrin 𝑥 e kënaq ekuacionin e Diofantit 𝑎𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑏.
POHIMI 1: Nëse 𝑑 = 𝑃𝑀𝑃(𝑎. 𝑛) atëher kongruenca lineare 𝑎𝑥 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ka zgjidhje
nëse dhe vetëm nëse 𝑑 plotpjeston 𝑏.Ne qoftë se numri i plotë 𝑥0 vërteton kongruencën
atëher egzistojnë 𝑑 zgjidhje.
𝑥 = 𝑥0; 𝑥0 +
𝑛
𝑑
; 𝑥0 +
2𝑛
𝑑
; … 𝑥0 +
(𝑑−1)𝑛
𝑑
. (2)
Nëse 𝑥0 është një zgjidhje e mundshme atëher zgjidhet tjera caktohen me anë të
formulës:
𝑥 = 𝑥0 +
𝑛𝑡
𝑑
; 𝑡 ∈ ℤ.
Vërtetim: Në qoftë se 𝑥 ≡ 𝑥0 është zgjidhje e barazimit atëher 𝑎𝑥0 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) si
rrjedhim 𝑛|𝑎𝑥0 − 𝑏.Por nga 𝑑|𝑛 𝑑ℎ𝑒 𝑑|𝑎 rrjedh se 𝑑|𝑏.Anasjelltas e zëmë se 𝑑|𝑏 atëher
𝑏 = 𝑑𝑏′
.Meqë 𝑑 = (𝑎, 𝑛) kemi që 𝑎 = 𝑑𝑎′
𝑑ℎ𝑒 𝑛 = 𝑑𝑛′
𝑘𝑢 (𝑎′
, 𝑛′) = 1.Nga ekuacioni i
Diofanit rrjedh se : 1 = 𝑎′
𝑥0 + 𝑛′𝑦0 prej nga marrim:
𝑏 = 𝑎′
𝑥0 𝑏 + 𝑛′
𝑦0 𝑏 = 𝑎′
𝑥0 𝑑𝑏′
+ 𝑛′𝑦0 𝑑𝑏′
= 𝑎(𝑥0 𝑏′) + 𝑛(𝑦0 𝑏′
)9
Domethënë: 𝑎(𝑥0 𝑏′) ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛),si rrjedhim barazimi 𝑎𝑥 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) ka zgjidhje
𝑥 ≡ 𝑥0 𝑏′(𝑚𝑜𝑑 𝑛).
9
Gareth Jones snd Mary Jones, Elementary number theory, Springer,London 2005,p 47

12. Kongruencat
~ 11 ~
Vërtetojmë tani se numrat (2) vërtetojnë (1).Vërtet për cdo:
𝑡 ∈ ℤ, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑑 − 1 kemi:
𝑎 (𝑥0 + 𝑡
𝑛
𝑑
) = 𝑎𝑥0 +
𝑎𝑡𝑛
𝑑
= 𝑎𝑥0 +
𝑎′𝑑𝑛
𝑑
= 𝑎𝑥0 + (𝑎′
𝑡)𝑛 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
Gjithashtu numrat(2) janë dy e nga dy jokongruent(mod n).
Në qoftë se 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑑 − 1 dhe 𝑘 ≠ 1 atëher :
|
𝑡𝑥0 + 𝑘
𝑛
𝑑
) − (𝑥0 + 𝑡
𝑛
𝑑
)
| = |𝑘 − 𝑡|
𝑛
𝑑
< 𝑛 ( 𝑠𝑒𝑝𝑠𝑒 |𝑘 − 𝑡| < 𝑛)
Si rrjedhim:
𝑛 ∤ |(𝑥0 + 𝑘
𝑛
𝑑
) − (𝑥0 + 𝑡
𝑛
𝑑
)| prej nga:
𝑥0 + 𝑘
𝑛
𝑑
≢ 𝑥0 + 𝑡
𝑛
𝑑
(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
Mbetet të tregojmë se çdo zgjidhje 𝑥 ≡ 𝑥1(𝑚𝑜𝑑 𝑛) e barazimit (1) përputhet me
një nga zgjidhjet e barazimit (2).
Kemi 𝑎𝑥1 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) 𝑑ℎ𝑒 𝑎𝑥0 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛) si rrjedhim:
𝑎𝑥1 ≡ 𝑎𝑥0(𝑚𝑜𝑑 𝑛) domethënë 𝑛|𝑎(𝑥1 − 𝑥0)
Pra:
𝑛′
𝑑|𝑎′
𝑑(𝑥1 − 𝑥0) si rrjedhim 𝑛′|𝑎′
(𝑥1 − 𝑥0) dhe meqë:
(𝑛′
, 𝑎′) = 1 do të kemi 𝑛′|𝑥1 − 𝑥0) domethënë :
𝑥1 − 𝑥0 = 𝑘𝑛′
, 𝑘 ∈ ℤ (3)
Duke pjestuar 𝑘 𝑚𝑒 𝑑 kemi :
𝑘 = 𝑑𝑞 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑑 − 1
Dhe nga barazimi (3) marrim :
𝑥1 − 𝑥0 = (𝑑𝑞 + 𝑟)𝑛′
= 𝑑𝑛′
𝑞 + 𝑟𝑛′
= 𝑛𝑞 + 𝑟𝑛′ ≡ 𝑟𝑛′
(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
Domethënë 𝑥1 ≡ 𝑥0 + 𝑟
𝑛
𝑑
, 𝑘𝑢 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑑 − 1. 10
RRJEDHIMI 1:Nëse PMP(a,n)=1 atëher kongruenca lineare 𝑎𝑥 ≡ 𝑏( 𝑚𝑜𝑑 𝑛) ka vetëm një
zgjidhje.
RRJEDHIMI 2: Kongruenca 𝑎𝑥 ≡ 𝑏( 𝑚𝑜𝑑 𝑛) ka zgjidhje vetëm kur PMP(a,n)=1
10
Kostaq Hila,Jani Dine,Teoria e numrave,Universiteti “Eqrem Cabej”,Fakulteti i shkencave të natyrës
departamenti i matmatikës-Tiranë,2002 faqe 133-134

13. Kongruencat
~ 12 ~
Kongruencat lineare të formës
𝒂 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝒎 𝒙 𝒎 ≡ 𝒃(𝒎𝒐𝒅 𝒏)
POHIMI 1: Kongruenca 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑚 𝑥 𝑚 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
ka zgjidhje vetëm kur 𝑑 = (𝑎1, 𝑎2 … 𝑎 𝑚, 𝑛) ∣ 𝑏.
Vërtetim: E zëmë se (𝑐1 … . 𝑐 𝑚) është zgjidhje e barazimit.Nga relacioni
𝑎1 𝑐1 + 𝑎2 𝑐2 + ⋯ 𝑎 𝑚 𝑐 𝑚 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
Rrjedh që 𝑎1 𝑐1 + 𝑎2 𝑐2 + ⋯ + 𝑎 𝑚 𝑐 𝑚 = 𝑏 + 𝑡𝑚, 𝑡 ∈ ℤ prej nga del që 𝑑|𝑏.
Anasjelltas e zëmë se 𝑑|𝑏 atëher 𝑑 = 𝑘1 𝑎1 + 𝑘2 𝑎2 + ⋯ + 𝑘 𝑚 𝑎 𝑚 + 𝑘𝑛
Prej nga marrim:
𝑎1 (𝑘1
𝑏
𝑑
) + 𝑎2 (𝑘2
𝑏
𝑑
) + ⋯ + 𝑎 𝑚 (𝑘 𝑚
𝑏
𝑑
) = 𝑏 − (𝑘
𝑏
𝑑
) 𝑛
Domethënë:
𝑎1 (𝑘1
𝑏
𝑑
) + 𝑎2 (𝑘2
𝑏
𝑑
) + ⋯ + 𝑎 𝑚 (𝑘 𝑚
𝑏
𝑑
) ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
Teorema u vërtetua.
POHIMI 2 : Numri i zgjidhjeve të kongruencës
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑚 𝑥 𝑚 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
Kur egziston (dmth 𝑑|𝑏) është 𝑑𝑛 𝑚−1
.
Detyra dhe zgjidhje
1).Shqyrto kongruencën lineare :18𝑥 ≡ 30(𝑚𝑜𝑑 42).
Meqë PMP (18,42)=6 nga pohimi i kongruencës ka 6 zgjidhje të cilat janë
kongruente mod. 42.Një zgjedhje është 𝑥 = 4 .Zgjedhjet tjera janë :
𝑥 ≡ 4 + (
42
6
) 𝑡 ≡ 4 + 7𝑡(𝑚𝑜𝑑 42), 𝑡 = 0,1,2,3,4,5
Pra 𝑥 ≡ 4,11,18,25,32,39(𝑚𝑜𝑑 42).
2).Të zgjidhet kongruenca lineare :51𝑥 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 38).
Zgjidhje: Meqë kemi 51 = 3 ∗ 17 𝑑ℎ𝑒 38 = 2 ∗ 19
Rrjedh që PMP(51,38)=1.Pra kongruenca ka vetëm një zgjidhje mod 38.Nga algoritmi i
Euklidit kemi:

14. Kongruencat
~ 13 ~
51 = 1 ∗ 38 + 13
38 = 2 ∗ 13 + 12
13 = 1 ∗ 21 + 1
Marrim 1 = 3 ∗ 51 − 4 ∗ 38 dhe si rrjedhim 2 = 6 ∗ 51 − 3 ∗ 38 që do të thotë se 51 ∗
6 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 38).Pra zgjidhja e vetme është 𝑥 = 6(𝑚𝑜𝑑 33).
3).Të zgjidhet barazimi: 2𝑥1 + 5𝑥2 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 6).
Zgjidhje:Meqë 𝑃𝑀𝑃(2,5,6) = 1; 𝑑 = 1; 𝑛 = 6; 𝑚 = 2; barazimi ka 6 zgjidhje sepse
𝑑𝑛 𝑚−1
= 62−1
= 6 Meqë 𝑃𝑀𝑃(2,6) = 2 duhet të kemi :
5𝑥2 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 2)
Kjo kongruencë ka zgjidhje 1(𝑚𝑜𝑑 2) dhe si rrjedhim 3 zgjidhje mod6
𝑥2 ≡ 1,3,5(𝑚𝑜𝑑 6).
Duke kombinuar këto zgjidhje me kongruencat fillestare marrim kongruencat:
Për 𝑥2 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 6) kemi 2𝑥1 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 6) ⟹ 𝑥1 ≡ 2; 5(𝑚𝑜𝑑 6)
Për 𝑥2 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑 6) 𝑘𝑒𝑚𝑖 2𝑥1 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 6) ⟹ 𝑥1 ≡ 0; 3(𝑚𝑜𝑑 6)
Për 𝑥2 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑 6)𝑘𝑒𝑚𝑖 2𝑥1 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 6) ⟹ 𝑥1 ≡ 1; 4(𝑚𝑜𝑑 6)
Si rrjedhim zgjidhjet e barazimit janë:
(2 𝑚𝑜𝑑6; 1 𝑚𝑜𝑑6), (5 𝑚𝑜𝑑6; 1 𝑚𝑜𝑑6), (0 𝑚𝑜𝑑6; 3 𝑚𝑜𝑑6)
(3 𝑚𝑜𝑑6; 3 𝑚𝑜𝑑6), (1 𝑚𝑜𝑑6; 5 𝑚𝑜𝑑6), (4 𝑚𝑜𝑑6; 5 𝑚𝑜𝑑6)
4).Vërteto se sistemi {
5𝑥 + 𝑦 = 3(𝑚𝑜𝑑 33)
𝑥 + 2𝑦 = 1(𝑚𝑜𝑑 21)
nuk ka zgjidhje.
Zgjidhje: 𝑆𝐻𝑉𝑃(33,21) = 231.Prej barazimit të parë kongruent kemi :
𝑦 = 3 − 5𝑥 + 33𝑖(𝑚𝑜𝑑 231), 𝑖 = 0,1,2 … 6
Zëvendësojmë te kongruenca e dytë dhe kemi:
9𝑥 = 5 + 66𝑖(𝑚𝑜𝑑 21)
Që nuk është e mundshme pasi 5 + 66𝑖 ≢ 0(𝑚𝑜𝑑 3) për çdo 𝑖 ∈ ℕ.

15. Kongruencat
~ 14 ~
Sistemet e kongruencave lineare
Sistemi i formës {
𝑎1 𝑥 ≡ 𝑏1(𝑚𝑜𝑑 𝑛1)
𝑎2 𝑥 ≡ 𝑏2(𝑚𝑜𝑑 𝑛2)
… … … … … … … … .
𝑎 𝑘 𝑥 ≡ 𝑏 𝑘(𝑚𝑜𝑑 𝑛 𝑘)
(1) paraqet sistem të kongruencave
lineare.Zgjidhje ose zgjidhje e përbashkët e sistemit (1) quhet numri i plotë 𝑥0 i cili
vërteton çdonjërën prej kongruencave lineare të sistemit.
Dy sisteme quhen kongruente ne qoftë se kanë të njejtë bashkësi zgjidhjesh.Kur
të paktën njëra nga kongruencat lineare të sistemit (1) nuk ka zgjidhje atëher edhe
sisemi (1) nuk ka zgjidhje. Por mund të ndodhë që një sistem të mos ketë zgjidhje edhe
në rastin kur secila nga kongruencat ka zgjidhje.P.sh.Nëse 𝑥 është një numër i plotë i
tillë që 𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 6) dhe 𝑥 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 4) atëher 𝑥 është njëkohësisht çift edhe
tek.Absurditet,dmth sistemi nuk ka zgjidhje edhepse çdonjëra nga kongruencate dhëna
ka zgjidhje të mundshme.
Problemi i gjetjes së një numri të plotë i cili na jep disa mbetje të caktuara kur
pjestohet nga numra të plotë të dhënë u has për her të parë te kinezët e vjetër kur
Sun-Tsu shtroi pyetjen:Gjeni cili numër lë mbetje 2,3,2 kur pjestohet me 3,5,7 pra i
përgjigjet sistemit:{
𝑥 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 3)
𝑥 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 5)
𝑥 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 7)
Teorema e njohur si “Teorema kineze e mbetjeve” i jep zgjidhje këti problem.
Teorema kineze e mbetjeve
TEOREMË: (Teorema kineze e mbetjeve) Nëse numrat natyrorë 𝑛1, 𝑛2. . 𝑛 𝑘 janë të
thjeshtë midis veti domethënë 𝑃𝑀𝑃( 𝑛𝑖, 𝑛𝑗) = 1, 𝑖 ≠ 𝑗 atëher sistemi i kongruencave:
{
𝑥 ≡ 𝑎1(𝑚𝑜𝑑 𝑛1)
𝑥 ≡ 𝑎2(𝑚𝑜𝑑 𝑛2)
… … … … … … … .
𝑥 ≡ 𝑎 𝑘(𝑚𝑜𝑑 𝑛 𝑘)
(2)
Ka një zgjidhje të vetme mod 𝑛1, 𝑛2. . 𝑛 𝑘.
Vërtetim: Le të jetë 𝑀 = 𝑛1, 𝑛2. . 𝑛 𝑘.Shqyrtojmë numrat natyrorë të mëposhtëm:

16. Kongruencat
~ 15 ~
𝑀𝑖 =
𝑀
𝑛1
, 𝑖 = 1,2,3 … 𝑘
Për të cilat nga supozimi kemi që 𝑃𝑀𝑃(𝑀𝑖 𝑛𝑖) = 1, 𝑖 = 1,2,3 … 𝑘.
Ka një zgjidhje të vetme .E zëmë 𝑀𝑖(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑖)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ domethënë :
𝑀𝑖 𝑀𝑖
̅̅̅ ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑛1) (1)
Shqyrtojmë numrin e plotë:
𝑥0 = ∑ 𝑀𝑖 𝑀𝑖
̅̅̅ 𝑎𝑖
𝑘
𝑖=1
= 𝑀𝑖 𝑀𝑖
̅̅̅ 𝑎𝑖 + ⋯ 𝑀 𝑘 𝑀 𝑘
̅̅̅̅ 𝑎 𝑘 (2)
Dhe do të tregojmë se është një zgjidhje e sistemit (2).
Vërtet për 𝑗 ≠ 𝑖, 𝑛𝑗 ∣ 𝑀𝑖
̅̅̅ domethënë 𝑀𝑖 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑗) dhe si rredhim kemi :
𝑀𝑖 𝑀𝑖
̅̅̅ 𝑎1 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑗)
Pra: 𝑥0 = 𝑥0 = ∑ 𝑀𝑖 𝑀𝑖
̅̅̅ 𝑎𝑖
𝑘
𝑖=1 = 𝑀𝑗 𝑀𝑗
̅̅̅ 𝑎𝑗 ≡ 𝑎𝑗(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑗) domethënë 𝑥0 është zgjidhje e
secilës prej kongruencave të sistemit (2) që do të thotë se 𝑥0 është një zgjidhje e
sistemit (2).
E zëmë se 𝑥1 ≡ 𝑎𝑖(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑖), 𝑖 = 1,2 … 𝑘
Atëher: 𝑥1 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑖) 𝑖 = 1,2 … 𝑘
Si rrjedhim kemi: 𝑛1 ∣ 𝑥1 − 𝑥0, 𝑖 = 1,2 … 𝑘
Dhe meqë: 𝑃𝑀𝑃(𝑛𝑖, 𝑛𝑗) = 1 për 𝑖 ≠ 𝑗 kemi:
𝑛1 𝑛2 … 𝑛 𝑘 ∣ 𝑥1 − 𝑥0
Prej nga marrim: 𝑥1 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑 𝑛1, 𝑛2 … 𝑛 𝑘)
Anasjelltas: për çdo numër të plotë 𝑥 të tillë që:
𝑥 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑 𝑛1, 𝑛2 … 𝑛 𝑘)
Kemi 𝑥 ≡ 𝑥0.(𝑚𝑜𝑑 𝑛), 𝑖 = 1,2. . 𝑘 dhe meqenëse 𝑥0 ≡ 𝑎1(𝑚𝑜𝑑 𝑛 𝑘) marrim
𝑥 ≡ 𝑎𝑖(𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑖) dmth 𝑥 është zgjidhje e sistemit (2).
Pra zgjedhja e vetmë e sistemit (2) është:
𝑥 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑 𝑛1, 𝑛2 … 𝑛 𝑘)
Teorema u vërtetua.

17. Kongruencat
~ 16 ~
Zgjedhja e sistemeve kongruente lineare
TEOREMA 1: Sistemi i kongruencave lineare
{
𝑥 ≡ 𝑎1(𝑚𝑜𝑑 𝑛1)
𝑥 ≡ 𝑎2(𝑚𝑜𝑑 𝑛2) (3)
Ka zgjidhje vetëm atëher kur 𝑑 ∣ 𝑎1 − 𝑎2 𝑘𝑢 𝑑 = (𝑛1, 𝑛2).Në qoftë se 𝑥0është një zgjidhje e
sistemit (3) atëher bashkësia e zgjidhjeve të sistemit (3) është klasa
𝑥 ≡ 𝑥0[𝑚𝑜𝑑(𝑛1, 𝑛2)].
Vërtetim: E zëmë se 𝑥0 është zgjidhja e sistemit (3).Atëher:
𝑥0 ≡ 𝑎1(𝑚𝑜𝑑 𝑛1) ⟹ 𝑛1 ∣ 𝑥0 − 𝑎1 ⇒ 𝑑 ∣ 𝑥0 − 𝑎1
𝑥0 ≡ 𝑎2(𝑚𝑜𝑑 𝑛2) ⟹ 𝑛2 ∣ 𝑥0 − 𝑎2 ⇒ 𝑑 ∣ 𝑥0 − 𝑎2
Nga këto rrjedh se 𝑑 ∣ 𝑎1 − 𝑎2.
Anasjelltas e zëmë se 𝑑 ∣ 𝑎1 − 𝑎2.Do të tregojmë se egziston një zgjidhje e
sistemit.Numrat e plotë që plotësojnë kongruencën janë të trajtës:
𝑎1 + 𝑛1 𝑦 ≡ 𝑎2(𝑚𝑜𝑑 𝑛2) ose njelloj:
𝑛1 𝑦 ≡ 𝑎2 − 𝑎1(𝑚𝑜𝑑 𝑛2) (3)
Meqë 𝑑 ∣ 𝑎1 − 𝑎2 kongruenca lineare (3) ka zgjidhje dhe si rrjedhim egziston një
numër i plotë 𝑦0 që e plotëson.Pra numri i plotë 𝑥0 = 𝑎1 + 𝑛1 𝑦0 është një zgjidhje e
sistemit .Le të jetë 𝑥0 një zgjidhje e sistemit.Në qoftë se 𝑥1 është një gjedhje tjetër e
sistemit atëherë:
𝑥1 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑 𝑛1) ⟹ 𝑛1 ∣ 𝑥1 − 𝑥0
𝑥1 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑 𝑛2) ⟹ 𝑛2 ∣ 𝑥1 − 𝑥0
Pra [𝑛1, 𝑛2]∣ 𝑥1 − 𝑥0 domethënë 𝑥1 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑 (𝑛1, 𝑛2)).
Teorema u vërtetua.
TEOREMA 2: Sistemi i kongruencave lineare (𝑘 ≥ 2).
{
𝑥 ≡ 𝑎1(𝑚𝑜𝑑 𝑛1)
𝑥 ≡ 𝑎2(𝑚𝑜𝑑 𝑛2)
… … … … … … … . .
𝑥 ≡ 𝑎 𝑘(𝑚𝑜𝑑 𝑛 𝑘)
(4)

18. Kongruencat
~ 17 ~
Ka zgjidhje vetëm atëher kur 𝑑 ∣ 𝑎𝑖 − 𝑎𝑗. ∀ 𝑖, 𝑗 ∈ {1 … 𝑘} ku 𝑖 ≠ 𝑗 𝑑ℎ𝑒 𝑑 = (𝑛𝑖, 𝑛𝑗).Në qoftë
se 𝑥0 është nje zgjidhje e sistemit (4) atëherë bashkësia e zgjidhjeve të sistemit (4) është
klasa 𝑥 ≡ 𝑥0(𝑚𝑜𝑑[𝑛𝑖 … . 𝑛 𝑘]).
Detyra dhe zgjidhje
1.Të zgjidhet sistemi:{
𝑥 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 8)
𝑥 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 12)
Zgjidhje: Kemi 𝑃𝑀𝑃(8,12) = 4 𝑑ℎ𝑒 𝑆𝐻𝑉𝑃(8,12) = 24.Meqë 4 ∣ 7 − 3 egziston një
zgjidhje e sistemit.Zëvendësojme te kongruenca e dytë 𝑥 = 3 + 8𝑦 dhe marrim 3 + 8𝑦 ≡
7(𝑚𝑜𝑑 12) ose 8𝑦 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 12) e cila është kongruente me 2𝑦 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 3).Kjo ka një
zgjidhje të vetme 𝑦 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 3).pra numri i plotë 𝑥0 = 3 + 8 ∗ 2 =
19.Pra 𝑥 ≡ 19(𝑚𝑜𝑑 24)
2.Të zgjidhet sistemi i kongruencave lineare:{
𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 15)
𝑥 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 18)
Zgjidhje: Kemi 𝑃𝑀𝑃(15,18) = 3 𝑑ℎ𝑒 𝑆𝐻𝑉𝑃(15,18) = 90. Pra sistemi ka zgjidhje të
vetme (mod 90).Mjafton të përcaktojmë tani një zgjidhje të tij që të marrim të gjithë
bashkësinë e zgjidhjeve.
Zëvendësojmë te kongruenca e dytë 𝑥 = 1 + 15𝑦 dhe marrim 1 + 15𝑦 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 18). Si
rrjedhim 15𝑦 ≡ 6(𝑚𝑜𝑑 18) prej nga kemi 5𝑦 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 6) dhe zgjidhja e vetme e
sistemit do të jetë : 𝑥 = 1 + 15 ∗ 4 ≡ 61(𝑚𝑜𝑑 90)
3.Të zgjidhet sistemi:{
𝑥 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 18)
𝑥 ≡ 10(𝑚𝑜𝑑 15)
𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 14)
.
Zgjidhje: Kemi 𝑑1 = 𝑃𝑀𝑃(18,15) = 3; 𝑑2 = 𝑃𝑀𝑃(18,24) = 2; 𝑑3 = 1𝑃𝑀𝑃(15,14) =.
Meqë 𝑑1 ∣ 7 − 10; 𝑑2 ∣ 7 − 1; 𝑑3 ∣ 10 − 1 sistemi ka zgjidhje të vetme 𝑚𝑜𝑑630
Ku 630 = [18,15,14] të cilën e gjejmë si më poshtë:
Marrim sistemin e kongruencave të para :
(i) {
𝑥 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 18)
𝑥 ≡ 10(𝑚𝑜𝑑 15)
dhe gjejmë zgjidhjet e këti sistemi 𝑚𝑜𝑑90 ku 90 = [18,15] e cila
është 𝑥 ≡ 25(𝑚𝑜𝑑 90).Në vazhdim marrim sistemin {
𝑥 ≡ 25(𝑚𝑜𝑑 90)
𝑥 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 14)
dhe gjejmë së
𝑥 ≡ 295(𝑚𝑜𝑑 630) eshtë zgjidhja e vetme ku 630 = [90,14] = [18,15,14].

19. Kongruencat
~ 18 ~
Zgjidhje e sistemit është 𝑥 ≡ 295(𝑚𝑜𝑑 630)11
Përfundim
Matematika si lëndë elemantare na përcjell që nga shkolla fillore dhe me kalimin
e kohes kemi krijuar njëfar lidhje,kështu që mënyra më e mirë për ta hulumtuar më tej
është studimi i teorisë së numrave.Problemet që i parashtron teoria e numrave në të
shumtën e rasteve jane të vështira por megjithatë ka disa arsye përse ta studijojmë këtë
degë të matematikës si historia e gjatë dhe interesante e saj si dhe problemet të cilat i
kanë inspiruar matematikanët.
Qëllimi i këti punimi është dhënia e njohurive themelore mbi kongruencat
të cilat mund të lexohen dhe të kuptohen sa më lehtë nga lexuesi pa ndonjë ndihmë
shtesë.
11
Kostaq Hila,Jani Dine,Teoria e numrave,Universiteti “Eqrem Cabej”,Fakulteti i shkencave të natyrës
departamenti i matmatikës-Tiranë,2002 faqe 140-141-143-144-147

20. Kongruencat
~ 19 ~
Literatura e përdorur
 Kostaq Hila, Jani Dine, Teoria e numrave, Universiteti “Eqrem Cabej”, Fakulteti i
shkencave të natyrës departamenti i matmatikës, Tiranë, 2002
 Alexander Schmitt, Skript zur Vorlesung “Algebra und Zahlentheorie”, Berlin,
Wintersemester 2011/2012
 James J.Tattersall, Elementary number theory in nine capters, Cambrige
University Press, 1999
 Jiri Herman, Radan Kucera ,jaromir Simsa, Equations and inequalities in Algebra
and Number Theory, Department of Methematics and Statistics, Halifax. Canada
 Gareth Jones and Mary Jones, Elementary numbertheory, Springer,London 2005
Interneti
 http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlentheorie#Historische_Entwicklung
 http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Zahlentheorie)
 http://armendshabani.dmon.com/UBT/Discrete1/Teoriaenumrave.pdf