Resolució de problemes d'Optimització utilitzant diferents recursos : Matemàtiques, bombolles de sabó, cintes, cordes i el programa Geogebra

1. PROBLEMES
D’OPTIMITZACIÓ
AMB BOMBOLLES DE
SABÓ
Per Mònica Orpí i Mañé

3. Un problema es diu que es de màxims o mínims o, en general, d’extrems, sempre que es vulgui
resoldre una situació en la qual una determinada magnitud M depèn d’una altra magnitud x, de
manera que M = f(x), i s’hagi de trobar un màxim o un mínim de M.
En el cas d’un problema de màxims, es tractarà de trobar un màxim de f(x) i, per tant, s’haurà
de buscar x=a tal que f ’(a) = 0 i, a més, f ’’(a) < 0.
En canvi, en el cas d’un problema de mínims, es tractarà de trobar un mínim de f(x) i, per tant,
s'haurà de buscar x=a tal que f ’(a) = 0 i, a mes, f ’’(a) > 0.

4. LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER
ESTALVIAR :
MINIMITZANT EL MATERIAL
Problema per utilitzar el mínim
alumini :
Quines dimensions ha de tenir un cassó en
forma de cilindre d’un litre de capacitat
perquè la superfície total d’alumini sigui
mínima ?

5. Com ho fem perquè ens càpiga el màxim nombre d’objectes
si fem una capsa amb una planxa quadrada de cartró de 10
dm de costat?
Com hem de tallar les puntes per aconseguir el màxim volum ?
LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER
MAXIMITZAR EL RENDIMENT :

6. QUINES DIMENSIONS HA DE TENIR UN CASSÓ EN FORMA DE
CILINDRE d’ 1 LITRE DE CAPACITAT PERQUÈ LA SUPERFÍCIE
TOTAL SIGUI MÍNIMA. CALCULEU LA SUPERFÍCIE MÍNIMA

7. ⇒
Com que volem un mínim,
hem de imposar que la
derivada és 0

8. •El cassó que té una capacitat de volum fixat i la
superfície del qual és mínima, és aquell que
l’alçada és igual al radi. Qualsevol altra opció és
més costosa en material !!

9. HTTPS://TUBE.GEOGEBRA.ORG/MATERIAL/SIMPLE/ID/2801863

13. https://tube.geogebra.org/material/simple/id/2802389

15. 1564-1642.
Físic i astrònom italià
“Les matemàtiques són
l’alfabet amb el qual Déu ha
escrit l’univers”

16. La il·lusió és el gest desmesurat,
sorprenentment amable i ple de vida,
que no vulnera límits ni malmet
ocells ni flors, i crea meravelles
que esclaten com bombolles de sabó
passat el temps molt breu de l´encanteri,
però perduren sense fer remor
al fons amorosit de la mirada.
Miquel Martí i Pol

17. Yo amo los mundos
sutiles, ingrávidos y
gentiles como
pompas de jabón.
Antonio Machado.

22. I bombolles dalinianes, són font d’inspiració

23. Bombolles

24. Bombolles per viure-hi

25. Bombolles encantades

26. Bombolles encantadores

32. Bombolles
matemàtiques

34. Són els habitants d’un
món
amb lleis matemàtiques,
On els angles i les
longituds regeixen
les relacions socials
entre elles,
I on la bellesa amaga
regles numèriques,
on les formes són, al
mateix temps,
seductores i racionals.

35. questes existències efímeres
e gran bellesa
maguen un magnífic entramat matemàtic

36. Objectiu:
Constatar les possibilitats que ofereix la Matemàtica
per descriure,
explicar i predir el món que ens envolta.
Fórmula sabonosa :
65% d’aigua
25% de sabó i
10% de glicerina

37. Qui no ha jugat alguna vegada
amb bombolles de sabó?

38. Tot sembla molt
simple …
...darrera aquestes
divertides figures s’hi
amaga un formidable
entramat matemàtic!

39. Però també, s’hi amaga un
interminable entramat de treball
per fer possible la construcció
d’unes bombolles ben especials,
que per mi, són, de totes les
bombolles, les més belles !!
Les bombolles mestres!!!
Les que ens ensenyen !!

40. Gràcies a elles podem
aprendre molt !!
Però sobretot el millor que
ens donen les bombolles és
oferir-nos la oportunitat
de ...

43. Crear emocions
...i que les
matemàtiques
poden ser
emocionants!

44. Si ens apropem a una bresca d’abelles, les seves cel·les tenen seccions hexagonals;
Les ales de certs insectes, per exemple les libèl·lules, presenten un enreixat
igualment, gairebé hexagonal i, si seguim buscant hexàgons els trobarem en
situacions que han de recobrir un pla sense deixar forats. Però, per què la
natura opta per aquestes formes ??

45. .
Si enfoquem la vista cap a les plantes, les llavors dels gira-sols es
distribueixen formant espirals que també les trobarem en la llengua
de les papallones i en les closques dels cargols.

46. Veiem com la natura ha escollit l‘espiral logarítmica com a
forma geomètrica en altres moltes configuracions naturals, però
d’on surt aquesta forma espiral ??

47. EL PROBLEMA DELS CONILLS :
“Certa persona va posar una parella de conills en
un corral tancat completament per un mur.
Quants parells de conills hi haurà al corral en un
any, si posem una parella de conills no productius
que, tardarà un mes a ser productiva i llavors
engendrarà una nova parella de conills?”
Els conills es reprodueixen seguint també una pauta matemàtica, la
de la SUCCESSIÓ DE FIBONACCI

48. SUCCESSIÓ
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
PROPORCIONS ENTRE
NOMBRES CONSECUTIUS
1
2
1’5
1’66...
1’6
1’625
1’615384...
1’619047...
1’617647...
1’6188...
1’617977...
1’618055...
1’618025...
1’618037...
1’618032...
I MOLTES FLORS TENEN UN NOMBRE DE PÈTALS QUE SÓN TERMES DE LA SUCCESSIÓ DE
FIBONACCI.
Darrere de totes aquestes casualitats, hi ha el nombre d’or !!!
RELACIÓ ENTRE EL NOMBRE D’OR I LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI
Φ=




 +
n
n
f
f
lím 1

50. EL RECTANGLE D’OR :El quocient entre els seus costats és Ф=1’61..
I d’aquí surt l’espiral logarítmica que hi ha en els cargols, en les
Galàxies, en la nostra orella,…, fins i tot en les faccions
de les cares més boniques!!!

51. Serà un rectangle d’Or o rectangle auri si …

52. LA PROPORCIÓ ÀURIA AL COS HUMÀ
ALÇADA (cm) ALÇADA MELIC (cm) PROPORCIÓ
1 163 102 1’6
2 166 103 1’612
3 169 108 1’565
4 175 105 1’67
LE CORBUSIER
STEPHEN MARQUARDT

53. - La raó entre l’alçada total d’una persona
i l’alçada fins al melic
- La raó de la longitud del braç i la
longitud de la mà al colze
- La raó entre l’amplada i la llargada
de la cara
- La raó entre la primera falange de la mà
i la segona, i entre la segona i la tercera.
- La raó entre la longitud de la cama i
la longitud del peu al genoll
- La raó entre la longitud del colze al
canell i del canell a la punta dels dits
de la mà.

56. El nombre Ф el trobem en diverses
construccions arquitectòniques com
La piràmide de Keops, el Partenó
d’Atenes,l¡ edifici de la ONU i l’escala de la
Sagrada Família

58. La natura estructura els seus objectes seguint unes lleis, però quines són
aquestes lleis ?
Podem observar que molts dels objectes de la
natura, com ara els planetes
són esfèrics, així com també ho són
les gotes d’aigua i les bombolles de sabó.
La forma esfèrica no té cantons i és infinitament simètrica.
Però per què prenen aquesta forma les bombolles de sabó ?
Què té la forma esfèrica que la fa tant especial ?

59. L’objectiu de les abelles és emmagatzemar la major quantitat
de mel amb el mínim consum de la preuada cera
( fabricar ½ kg de cera equival, per a les abelles, a donar 12 voltes al món !!!)
L’HEXAGON és la forma plana que pren la natura, ja que és la de
major eficiència: És la figura que recobreix tot el pla i que
donada una superfície, és la que té menys perímetre de totes elles.

60. Podem veure que dels tres polígons regulars que
recobreixen el pla, el que té el mínim perímetre tot i tenint
tots tres la mateixa àrea és l’HEXÀGON !!
https://drive.google.com/drive/u/0/folders/0B6E3Y6IFddu1NnhmQkpDN0Nfd2c

61. Les lleis de la natura actuen de manera que
minimitza longituds i superfícies.
En 1744, Pierre-Luís Moreau de Maupertuis, va proposar el seu gran
Esquema del Món: “La natura opera sempre amb la màxima economia”.
 Per exemple, la línia recta per un raig de llum
Geomètricament, els hexàgons omplen el pla sense deixar forats i les
espirals estalvien espai.
La circumferència i l’esfera tenen la màxima simetria i compleixen els
principis d’optimització.
Per això les bombolles de sabó són esfèriques, ja que és la forma més
eficient, la que economitza sabó, és a dir la que donat un volum fixat és la que
té la superfície mínima

62. •La tensió superficial és la força que existeix entre les molècules de qualsevol
líquid que tendeix a reduir la superfície que presenta. Els líquids en estat lliure
presenten una tendència a reduir la superfície exterior que mostren ja que la
mínima superfície correspon al menor valor possible de l’energia potencial
deguda a la tensió superficial. I la natura estalvia energia !!
•Així doncs, si un volum de líquid es deixa lliure a l’aire prendrà una forma tal que
tingui la mínima superfície exterior possible compatible amb el seu volum.
Tanmateix les gotes dels líquids són esfèriques per què,
per a un volum donat fixat, l’esfera és la figura que presenta
menor superfície exterior.
Tensió superficial = Timidesa
Fonament físic

63. Propietat física Tensió superficial

64. Què fem quan tenim fred?
Ens esferifiquem?

65. I els iglús?

67. Els porquets de Sant Antoni :
Un exemple d’esferificació en dimnesió3

68. La tensió superficial és la timidesa de les molècules
Volen ajuntar-se, ningú vol estar a fora i s’apreten:
Si miressim dalt formarien un cercle : És la figura geométrica que donanda una
superficie, és la que té menys perímetre.En 3 D, si els jugadors fossin mosques
formarien una esfera, que és l’estructura geométrica que, donat un mateix
volum, és la que té superficie mínima

69. Què passa quan en un líquid hi
posem sabó?
La tensió superficial disminueix... però no s’elimina

70. Què passa quan en un líquid hi
posem sabó?
La tensió superficial disminueix... però no s’elimina
Es deixa “laminar”... però manté la tendència a formar superfícies mínimes.
El sabó fa perdre la timidesa

71. A cada configuració correspon una tensió superficial
que el líquid voldrà fer mínima

72. Propietat física Tensió superficial
Model matemàtic
Superfícies
d’àrea mínima
Hem passat de la propietat física
a un model matemàtic

73. Per això les bombolles són esfèriques

74. Són petits móns efímers...

75. Éssers encantadors, suggeridors...

77. Segons la Universitat de Bordeus els moviments del
líquid en les bombolles és un model del comportament
dels petits ciclons i de les turbulències que es
produeixen en la nostra atmosfera.

78. Una bombolla congelant-se!

79. Universos a l’abast de les nostres mans

80. Però tornem de l’univers a les
molècules i a la tensió superficial!

81. I què hi fa el sabó?

82. •El sabó té l’efecte de disminuir la tensió superficial
dels líquids i de permetre la seva laminació en
superfícies minimals (mínims relatius).
•Un experiment per veure que fa disminuir la tensió
superficial :
• Prenem dos gots d’aigua i en un hi afegim sabó.
Després tirem pols de talc sobre un got i l’altre de
manera abundant. Observarem que :
- En el got que no hi ha sabó, el talc sura, ja que la
tensió superficial impedeix que es trenqui la “pell del
líquid”
- En el got amb sabó, el talc s’enfonsa per què la
tensió superficial ha disminuït i no el pot aguantar.
Què fa el sabó ?

83. Quan em rento les mans no sento cap
força!

84. Uns especialistes en tensió superficial:
Els sabaters (Gerris najas)

85. Stenus comma

86. Els devastadors efectes que,
per a aquests insectes, té la contaminació de l’aigua dels rius amb
detergents.
Aquests animalons viuen gràcies a la tensió superficial

87. Depredadors a part...
la natura crea formes boniques

89. I les bombolles també!

90. •Gràcies al sabó i a la seva laminació podrem
observar quines seran les formes que donaran les
superfícies mínimes, és a dir podrem visualitzar que,
submergint una estructura dins d’un poal ple de
sabó, la forma que prendrà serà aquella que tingui
una menor superfície.
•Al introduir estructures tancades dins del sabó,
obliguem a que s’ajusti a l’estructura, per exemple,
que s’ajusti al perímetre del fil ferro, obligant a que
passi per tots els contorns, però de manera òptima,
és a dir, minimitzant la pel·lícula de sabó.
•Podem posar de manifest aquesta tendència
mitjançant un petit però vistós experiment en el
qual es tensa un fil unit a una estructura de filferro
com mostra la fotografia següent:
•Podem sentir ara la força de la tensió superficial?

91. Sents la Força?

92. Al submergir un filferro semicircular amb un fil lligat en els
extrems, aquest quedarà tensat cap a la part interior del fil ferro en
forma circular. Si, amb un dit mullat tirem del fil i el deixem
novament lliure, el fil torna a retrocedir tornant a la posició
d’equilibri
i de superfície mínima.
Amb el dit podem sentir la tensió superficial, la força !!!
Per efecte de la tensió superficial les superfícies que formarà l’aigua
amb sabó sempre seran mínimes.
Observem que hem passat d’una idea física a una idea matemàtica,
el de trobar mínims !!!!
Sense fer derivades i problemes d’optimització, simplement
submergint estructures dins del sabó !!

93. Molts cops, els problemes de màxims i mínims són difícils de resoldre. Però,
és suficient una dissolució sabonosa per a que puguem arribar a la
comprovació visual de quelcom que els matemàtics hem tardat molts segles
en demostrar-ho.
Plateau en el segle XIX, va resoldre i enunciar les lleis que regeixen el
comportament de minimitzar esforços que utilitza la natura, fent experiments
amb bombolles de sabó.
Una de las observacions que va fer i ha estat de gran importància per a les
matemàtiques, és la que correspon a que “si introduïm una estructura
tancada en una dissolució sabonosa, sempre es formarà una pel·lícula de
sabó, la superfície de la qual serà minimal”

94. Dues bombolles juntes minimitzen la pel·lícula de sabó compartint una cara i,
deixant de tenir una forma esfèrica, optant altres formes geomètriques més
econòmiques.
Així estalvien àrea superficial !!!

95. Si unim diferents bombolles, obtenim sempre formes geomètriques pures :
Unint 4 bombolles, en el seu interior, hi haurà un Tetràedre, i amb 12.... Un dodecàedre !!
Les formes regulars són les triades per la natura, per què ???
Perquè són les més eficients, és a dir, són les que estalvien sabó!!

96. Les tres parets d’una bombolla sempre es trobaran formant un angle
de 120º !! Així si fem moltes bombolles de mida similar obtenim
HEXÀGONS, com els de les abelles !!!

97. •Problema de Pierre Fermat (1601-1665):
Donat un triangle d’angles aguts, trobar el punt P tal que la suma de les distàncies als vèrtexs sigui la més
petita possible. A aquest punt se l’anomena el punt de Fermat.
•Problemes de Jacob Steiner (1796-1863):
•De totes les corbes de perímetre fixat, el cercle és el d’àrea màxima
•Camins mínims : Trobar la xarxa de línies que connecti diferents punts i la longitud total d’aquesta
connexió sigui la mínima possible
•Problema de Joseph A. Plateau (1801-1883):
•Determinar la superfície d’àrea mínima limitada en el espai per un contorn tancat.
Hi ha tres tipus de problemes que podem resoldre amb bombolles de sabó
Joseph A. F. Plateau
(1801-1883)

98. Com demostrem matemàticament que el cercle és,
de totes les corbes de perímetre fixat,
la que té una superfície més gran ?
De tots els polígons
regulars d’igual perímetre, quin de
tots té l’àrea màxima?

102. Què voldrà dir que la solució de l’angle sigui 0º?
Equivaldrà a dir que el polígon buscat
té infinits costats i, per tant,
Serà el cercle !!!

103. https://drive.google.com/drive/u/0/folders/0B6E3Y6IFddu1NnhmQkpDN0Nfd2c
De tots els polígons regulars de perímetre P fixat, el cercle és el que té
l’àrea màxima, ( cercle = polígon regular d’infinits costats )

104. Però les bombolles de sabó ho fan de
manera natural, sense derivar !!!

105. El cercle és la solució al problema
isoperimètric
1r Problema de Jacob Steiner (1796-1863) resolt:
Com que el sabó vol minimitzar la superfície que passi pel contorn, al
tensar el fil interior en forma de cercle, observem que la tensió
superficial contrau a la pel·lícula sabonosa que queda al exterior del
fil. El fil es tensa i adopta la forma d’una circumferència perfecta.
Dóna igual la manera en que es subjecti el fil, aconseguim una forma
circular perfecta. Aquest fet demostra que la circumferència és la
figura amb màxima àrea donat un perímetre fixat
Donat un perímetre fixat,
és el Cercle la figura que tanca la màxima àrea

107. 2n Problema de Jacob Steiner (1796-1863):
Trobar la xarxa de línies que connecti diferents punts i la longitud total
d’aquesta connexió sigui la mínima possible
Camins mínims
Problema de Steiner per 2 punts
Comprovarem experimentalment que la línia més curta entre dos punts és la línia recta. Per fer-ho,
submergirem una estructura transparent de dos claus.
El sabó obliga a passar per aquests dos punts però utilitzant la mínima quantitat de sabó. El camí més
curt que els unirà serà la línia recta
Problema de Steiner per 3 punts – Punt de Fermat
Posarem de manifest de l’existència i les propietats del punt de Fermat d’un triangle
Problema de Steiner per 4 punts
Resoldrem el problema de Steiner per quatre punts situats en els vèrtexs d’un rectangle obtenint una
estructura de camins que connecten els punts amb una longitud total mínima.

108. Punt de Fermat d’un triangle és un punt tal que la distància total des dels tres vèrtexs del
triangle al punt és la mínima.
Des d’aquest punt es veu cadascun dels costats del triangle sota un angle de 120 º

110. Özil ???

111. Özil ???

114. =17’32 m

116. http://www.geogebra.org/material/show/id/46701

117. Un nou problema que té per solució el punt de Fermat :
“Donats tres pobles, on s’ha de construir un hospital de manera
que el camí total que hauria de recórrer les ambulàncies sigui
mínim”.
El mètode de construcció del punt de Fermat d’un triangle acutangle amb
regla i compàs :
construïm triangles equilàters sobre cada costat del triangle original i unim el
vèrtex exterior de cadascun d’aquests triangles amb el vèrtex oposat d’aquell.
Els tres segments es tallaran en el punt de Fermat.
Vegi’s l’esquema següent i observeu que no coincideix amb el baricentre del
triangle
Baricentre d’un triangle
El baricentre d’un triangle és el punt
d’intersecció de les seves medianes.

118. És un punt la suma de les distàncies a tres punts donats és mínima. Des d’aquest punt es veu cadascun dels costats del triangle sota un angle de 120º
Observem que el que en l’estructura són parets de líquid, en projectar-la són
segments de manera que la propietat que s’ha comentat de superfície total
mínima, en la imatge projectada, passa a ser de longitud total mínima.
Observarem també que els angles lliures entre les superfícies de sabó són tots
de 120º (podem superposar-hi sectors de 120º retallats sobre transparències de
colors).
EL PUNT DE FERMAT amb
BOMBOLLES DE SABÓ

120. EL PUNT DE FERMAT amb CORDES

126. ?

130. 120º
120º
120º

131. Un altre final per al conte
dels tres mosqueters!

132. d'Artagnan
AthosPortos
Aramis

133. d'Artagnan
AthosPortos
Aramis

134. d'Artagnan
AthosPortos
Aramis

135. d'Artagnan
AthosPortos
Aramis

136. d'Artagnan
AthosPortos
Aramis
?

137. El problema de Steiner per a 4 punts :
La “solució del sabó” minimitza la longitud total de la xarxa que
uneixen els quatre punts donats. De nou, surten els 120º !!!
Demostrar-ho
matemàticament és
bastant complicat !!!

139. I si en lloc de quatre punts, en volem unir
6 ?
Matemàticam
ent
seria
terriblement
difícil !!

140. Hexàgon regular
Treballarem amb una estructura
formada per dues plaques planes
transparents unides per sis claus
metàl·lics situats en els vèrtexs d’un
hexàgon regular (els angles interiors ja
són de 120º!). Què passarà?
El sabó no farà dreceres i, en aquest
cas obtindrem el mateix hexàgon.

141. Quan xucles l'hexàgon es fa petit i queda
"suspès" per sis parets de sabó que l'uneixen
a cadascun dels vèrtexs de l'hexàgon original.
Si sumem la superfície d'aquestes sis parets
més la dels "costadets" de l'hexàgon petit, surt
la mateixa quantitat de paret.
Si ho imaginem projectat de manera que les
parets seran segments, resulta que la suma de
totes les longituds de l'hexàgon inicial són sis
radis.
Quan passem a l'altra configuració amb
l'hexàgon més petit tenim 6 "potetes" i 6
"costadets", però cada "costadet" és igual a
un "radiet" (radi de l'hexàgon petit) i "poteta"
més "radiet" és igual a radi gran de manera
que les dues configuracions internes tenen la
mateixa longitud total que la de l'hexàgon
inicial !!!

143. Estructures tancades de fil ferro tridimensionals.

144. Catenoide :
Superfície obtinguda per la revolució de la corba catenària

145. tangent en qualsevol punt produeix
un angle constant amb una línia fixa
anomenada eix.
Exemples d'hèlices són les molles i
les baranes de les escales de
cargol.
Una hèlix "plena" s'anomena
helicoide.
Les hèlices són importants en la
biologia donat que la molècula de l‘
ADN
està formada per una doble hèlix i
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/72/Nonsymmetric_velocity_time_
dilation.gif

147. Una cinta de Möbius o banda de Möbius és una superfiície d'una sola cara,
un sol contorn i és topològicament no orientable
Fou descoberta de manera independent pels matemàtics alemanys
August Ferdinand Möebius i Johann Benedict Listing l'any 1858
Què és la banda de Möebius ??
https://www.youtube.com/watch?v=pp7uevoCLZM

148. https://ztfnews.wordpress.com/2011/02/14/%C2%A1feliz-dia-de-san-valentin-matematico/
La banda de Möebius i l’amor
Quina classe d’amor sents tu ??

149. Quina clase d’amor sents tu ??Amor 1 : Aquest és l’amor de les persones molt independents,
cada
una va per la seva banda, tot i que s’assemblen en
molts
aspectes i tenen coses en comú.
Amor 2 : Simbolitzen l’amor autèntic : Les dues persones
conserven
la seva independència, però tenen un lligam
indestructible.
Amor 3 : És l’amor passional, els dos amants es fonen en un sol
amor com si fossin un sol ésser i això no els permet
diferenciar-se un de l’altre

150. Poliedres fets amb
varilles
Làmines sabonoses que es tallen en arestes i
arestes que es tallen en un punt

151. El punt de Fermat en 3D

153. Tetràedre (6 arestes – 4 cares – 4 vèrtexs)
•Obtindrem, de cada aresta del tetràedre, una làmina, obtenim sis làmines planes i
triangulars que es tallen en quatre arestes, i aquestes en un punt central, que
convergiran en el baricentre del tetràedre, si és regular.
•L’angle díedre d’aquesta forma sabonosa, és a dir l’angle entre cara parell de les
làmines és de 120º (com va postular Plateau)
•L’angle entre cada parell d’arestes que convergeixen en el baricentre és de 109º
28’ (com va postular Plateau)
•Si trenquem dues làmines obtindrem un bonic paraboloide hiperbòlic (sella de
muntar )
•Resulta interessant col·locar una bombolla sobre el baricentre i bufar amb l’ajut
d’una palleta: apareix una figura tetraèdrica amb les cares lleugerament corbades
sostinguda per sis làmines planes

154. La generalització d’unir 4 punts, però en
dimensió 3

155. Cub ( 6 cares-12 arestes- 8 vèrtexs)
En el cas d’una estructura cúbica apareixerà :
•Una làmina plana i quadrada en el centre sostinguda per dotze làmines planes en
forma de trapezi (cada làmina surt d’una aresta del cub)
•La simetria del cub ens permet observar que hi haurà tres solucions minimals que
tindran la làmina central amb orientacions diferents. Passarem d’una a l’altra
movent l’estructura, per tant, s’obtenen varies situacions de làmines en equilibri.
• A més, les arestes formen un nou cub en el interior (cub quadrimensional)

159. Hipercub:
Un tesseractis o hipercub és una figura formada per dos cubs
desplaçats en un quart eix dimensional (anomenem al primer
longitud, al segon alçada i al tercer profunditat).
Es compon de 8 cel·les cúbiques, 24 cares quadrades, 32 arestes
i 16 vèrtexs
Projecció d'un hipercub, amb una transformació
semblant a la que podem aplicar
a un cub de tridimensioal.
https://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:8-cell-simple.gif

160. Paraboloide hiperbòlic (sella de muntar):
x 2
/a 2 — y 2
/b 2 = 2 z ,
La seva intersecció amb un pla que
contingui l’eix de simetria és una
paràbola i la intersecció amb un pla
perpendicular a l’anterior és una
hipèrbola

161. L’Octàedre
En aquest cas poden obtenir-se diferents
formes.
Totes les figures que s’obtenen són molt
maques però resulta especialment
fascinant una rosa dels vents
tridimensional d’extraordinària bellesa.
I el reflexe de la llum sobre la pe´:lícula
sabonosa que evoca la bellesa d’un
diamant
Tots els angles dièdrics són de 120º
És bonic pensar que darrere d’aquestes
formes tan harmonioses hi ha la condició
que la superfície total sigui la mínima que
passa per les 12 arestes de l’octàedre

163. L’ús de les bombolles en l’arquitectura :
Formes estables que semblen fràgils però no ho són. Posseixen una estilitzada i increïble bellesa,
formant arcs i corbes.
La tensió superficial de les cordes crea una forma estable i económica (mínima superficie) que l’home
les ha utilitzat en el seu benefici fent …

164. El camp de Mart de Tarragona

166. Enginyer Frei Otto - 1972

167. Estadi Olímpic de Munic (1972)

168. Jocs Olímpics de Pequín 2008
The National Aquatics Center o “Water Cube"