Els nombres naturals 1r ESO

1. Tema 1
Els nombres naturals

2. TEMA 1. ELS NOMBRES NATURALS
1. ELS SISTEMES DE NUMERACIÓ. LES XIFRES I
ELS NOMBRES NATURALS
2. OPERACIONS AMB NOMBRES NATURALS
3. POTÈNCIES I ARRELS QUADRADES DE
NOMBRES NATURALS
4. OPERACIONS COMBINADES AMB NOMBRES
NATURALS
5. ELS NOMBRES NATURALS I ELS PROBLEMES

3. 1. ELS SISTEMES DE NUMERACIÓ. LES XIFRES I ELS NOMBRES
NATURALS
Podem dir que, gairebé des dels nostres orígens, sempre hem tingut la necessitat de
comptar i ordenar les coses que ens envolten. Els primers humans, encara que fos de
manera inconscient, molts probablement sabien quantificar el nombre de fills que
tenien, els animals que disposaven per alimentar-se, el nombre de membres d’una
tribu, etc. Fa 10.000 anys van aparèixer els primers símbols per representar quantitats
de forma abstracta.
Com que tinc
quinze
ovelles,
marco quinze
ratlles
de forma abstracta.
Originàriament, per representar els nombres es feien servir pedres, óssos o marques
sobre els objectes o el terreny; més endavant, a mesura que les cultures anaven
avançant, van anar dissenyant els seus propis símbols per representar quantitats. Són
els anomenats sistemes de numeració.

4. Sistema de numeració egipci

5. Sistema de numeració egipci :

6. El sistema de numeració egipci es tracta d’un sistema de
numeració ADDITIU ( vas sumant el valor de cada símbol, el
mateix símbol val el mateix, sense importar el lloc, la posició on
està)
= 200 + 10 + 3 = 213
Però hi ha sistemes de numeració POSICIONALS, com el
nostre, o els dels maies. Cada símbol val diferent en depenent de la
posició on està

7. Sistema de numeració maia :
Es tracta d’un sistema de numeració posicional :

9. El sistema de numeració que tenim nosaltres és el sistema de numeració
decimal. Els àrabs varen inspirar-se en els hindús per desenvolupar la
seva numeració, que ara és la nostra. En aquest quadre es pot veure el
resultat de l'adaptació gràfica que va permetre l'adopció del sistema
decimal a Occident.
El nostre sistema és posicional perquè depenent del lloc que ocupa, el
símbol o xifra val un valor o un altre
Nota : Devanagari = alfabet hindú

10. 1 5 9 7 4 8 7 2
Desena de
milió
Unitats
de milió
Centenes
de miler
Desenes
de miler
Unitats
de
Centen
es
Desene
s
Unitats
EL SISTEMA DECIMAL :
El sistema decimal, d’origen àrab, és el sistema de numeració utilitzat actualment i
consta dels símbols 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8 i 9, anomenats dígits o xifres. És un
sistema posicional, per tant no és el mateix 245 que 542 malgrat tenir les mateixes
xifres.
Exemple : El nombre 15.974.872 :
1 D de milió = 10.000.000 unitats
5 U. de milió = 5.000.000 unitats
9 CM = 900.000 unitats
7 DM = 70.000 unitats
4 UM = 4000 unitats
8 C = 800 unitats
milió de milió de miler de miler de
miler
es s
1 D. de
milió
5 U. De
milió
7 DM 4 UM 7 D 2 U
8 C = 800 unitats
7 D= 70 unitats
2 unitats
Sumant totes les unitats obtenim el nombre :
10.000.000 + 5.000.000 + 900.000 + 70.000 + 4000 + 800 + 70 + 2 = 15.974.872
15.974.872 = 1·10.000.000 + 5·1.000.000 + 9·100.000 + 7·10.000 + 4·1.000 + 8·100
+ 7· 10 + 2 ·1 =
Com pots veure, la xifra 7 hi apareix dues vegades, amb dos valors diferents :
•El 7 de les desenes de miler equival a 70.000 unitats
•El 7 de les desenes equival a 70 unitats Això vol dir que és posicional !

12. Els nombres naturals
El nostre sistema de numeració és decimal.
Sistema decimal
Es basa en el nombre 10
i les seves potències.
1 unitat
1 desena 10 unitats
1 centena 10 desenes 100 unitats1 centena 10 desenes 100 unitats
1 unitat de miler 10 centenes 100 desenes 1 000 unitats
El nostre sistema de numeració és posicional.
El valor de cada xifra
depèn del lloc que ocupa
en cada nombre.
2 000 La xifra 2 val 2 000.
200 La xifra 2 val 200.
20 La xifra 2 val 20.
2 La xifra 2 val 2.

13. Els nombres naturals serveixen per comptar elements d’una col·lecció d’objectes.
Nombres naturals
Les propietats dels nombres naturals són:
Nombres naturals
L’1 és el primer nombre natural.
Cada nombre natural en té un de següent que s’obté sumant-li una unitat.
Cada nombre es representa amb un d’aquests 10 símbols, anomenats xifres.
Les propietats dels nombres naturals són:

17. Nombres naturals
Suma, resta, multiplicació i divisió
Suma Resta
a + b = c Suma total
Signe de la suma
a – b = c
Signe de la resta
DivisióMultiplicació
Suma total
Sumands
Subtrahend
Minuend
a · b = c Producte
Factors
a b
d c
Dividend
Residu
Divisor
Quocient
Signe de la multiplicació
© McGraw-Hill

21. Si vull repartir 84 caramels
entre la classe de 1r d’ESO,
que són avui 21 alumnes, a
cadascun li tocarà 4 caramels i
no me’n sobrarà cap !!!

23. Nombres naturals
Propietats de la suma
Commutativa Associativa
2 + 3 = 3 + 2 = 5 2 + 3 + 6 = (2 + 3) + 6 = 5 + 6 = 11
2 + 3 + 6 = 2 + (3 + 6) = 2 + 9 = 11
Propietats de la multiplicació
© McGraw-Hill
AssociativaCommutativa
Element neutre Distributiva
Propietats de la multiplicació
2 · 3 = 3 · 2 = 6 2 · 3 · 6 = (2 · 3) · 6 = 6 · 6 = 36
2 · 3 · 6 = 2 · (3 · 6) = 2 · 18 = 36
20 · 1 = 1 · 20 = 20 2 · (3 + 6) = 2 · 3 + 2 · 6 = 6 + 12 =18

25. •Distributiva de la multiplicació respecte de la suma :
Aquesta propietat relaciona les operacions suma i
multiplicació. Pots comprovar que la multiplicació d’un nombre
per la suma indicada entre parèntesis es pot realitzar de dues
maneres diferents, perquè el resultat serà el mateix. És a dir,
A · ( B + C ) = A · B + A · C
Així l’operació 2 · ( 5 + 3 ) és pot efectuar de les dues maneres següents :
2 · ( 5 + 3 ) = 2· 8 = 16 o bé2 · ( 5 + 3 ) = 2· 8 = 16 o bé
2 · ( 5 + 3) = 2· 5 + 2 · 3 = 10 + 6 = 16
Quan la propietat distributiva la llegim de dreta a esquerra, diem que hem extret
factor comú; extraiem el factor que es repeteix en la suma de les dues
multiplicacions, en aquest cas el factor comú és A, que és el que es repeteix :
A · B + A · C = A · ( B + C )
Si extrec factor comú , que en aquest cas és el 2 : 2·5 + 2·3 = 2·(5 + 3)

27. Els nombres naturals
La potenciació és un producte de factors iguals.
Potenciació
ab = c
Exponent
Basea·a·a·a·a·a = c
b factors
Hi han 4 rajoles Hi han 9 rajoles N’hi ha 16 25 rajoles 36 rajoles
Potència
Les potències d’exponent 2 s’anomenen quadrats.

28. Les potències d’exponent 3
s’anomenen cubs.
Hi ha 1 cubets Hi han 8 cubets N’hi ha 27 N’hi ha 64 cubets

32. Nombres naturals
Operacions combinades amb potències
Producte de potències de la mateixa base
34 · 32 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 36 = 729
34 · 32 = 34+2 = 36 = 729
Potència d’una potència
Quocient de potències de la mateixa base
34 : 32 = 3 · 3 · 3 · 3 :( 3 · 3) = 32 = 9
34 · 32 = 34-2 = 32 = 9
3 · 3 = 3 = 3 = 729
(52)3 = 52 · 52 · 52 = 56 = 15 625
(52)3 = 52·3 = 56 = 15 625

33. Nombres naturals
Operacions combinades amb potències
Potència d’un producte
(5 · 3 · 2)2 = 302 = 900
(5 · 3 · 2)2 = 52 · 32 · 22 = 25 · 9 · 4 = 900
Potències d’exponent zero
54 : 54 = 625 : 625 = 1
54 : 54 = 54-4 = 50 = 1
(5 · 3 · 2) = 5 · 3 · 2 = 25 · 9 · 4 = 900

35. És la descomposició polinòmica de 7345

39. Nombres naturals
La jerarquia d’operacions ens indica l’ordre en què cal efectuar diferents
operacions combinades.
Jerarquia d’operacions
operacions combinades.
1. Calculem les operacions entre parèntesis començant pels parèntesis més
interiors.
2. Calculem les potències.
3. Calculem les multiplicacions i les divisions en l’ordre en què apareixen.
4. Calculem les sumes i les restes en l’ordre en què apareixen.

42. Exemple :
En un partit de futbol, l’equip que guanya obté 3 punts, el
que perd cap punt i, en cas d’empat, cada equip guanya 1
punt. El meu equip té 57 punts després de jugar 28 partits,
dels quals n’ha empatat 6.
Quants partits ha perdut el meu equip ?