Tabel mortalitas memberikan informasi tentang peluang kematian dan harapan hidup seseorang berdasarkan umur. Rumus dan konsep kunci meliputi lx, dx, qx, nPx, nqx, dan ex.

1. Kelompok 1
Alponsius Sinurat (4203230011)
Laila Alawiyah Pulungan (4202530011)
Lusi Afriana Malau (4203230034)
Rahmat Syahroni (4202530008)
Suci Hartati (4203230021)
PELUANG DAN MORTALITAS

2. TABLE OF CONTENTS
Pengantar Materi
Peluang Kehidupan
Tabel Mortalitas
1
3
2
4
Harapan Hidup (Life
Expectacy)
5
Contoh Soal dan
Pembahasan

3. Pengantar
Materi
1

4. Mortalitas atau kematian merupakan salah satu di antara tiga komponen
demografi yang dapat mempengaruhi perubahan penduduk, selain fertilitas
(kelahiran) dan migrasi. Informasi tentang kematian penting baik bagi
pemerintah maupun lembaga swasta. Salah satu diantaranya adalah perlunya
angka peluang kematian menurut umur dalam proyeksi penduduk. Informasi
tentang peluang kematian menurut umur suatu wilayah disajikan dalam bentuk
tabel, yang dikenal dengan sebutan life table (tabel hayat/tabel
mortalitas).Hidup matinya seseorang tidak seorang pun dapat menentukannya,
tapi dari segi matematika, lebih ditujukan pada rata-rata seseorang dapat
bertahan hidup hingga atau lebih dari waktu tertentu. Dari rata-rata tersebut
dapat diramalkan peluang hidup seseorang dipilih secara acak menurut
umurnya, peluang hidup ini diterapkan dalam suatu tabel yang disebut tabel
mortalitas
PENGANTAR

5. Peluang
Kehidupan
2

6. Bagi aktuaris yang bekerja di bidang asuransi jiwa, tugas utamanya adalah
memperkirakan pola kematian yang akan diperagakan oleh sekelompok
individu disuatu wilayah. Perangkat dasar untuk mencapai ini dikenal sebagai
tabel kehidupan. (Hal ini juga dikenal sebagai tabel kematian.)Misalkan ℓ0
menjadi angka tak terdefinisi, biasanya dianggap sebagai angka bulat seperti
100.000. Misalkan kita mulai dengan sekelompok ℓ0 yang baru lahir. Kami
ingin memprediksi berapa banyak dari individu ini akan tetap hidup pada waktu
tertentu di masa depan. Tentu saja, kita tidak bisa berharap untuk menghitung
ini dengan tepat, tetapi kita dapat berharap untuk sampai pada perkiraan yang
dekat jika kita memiliki penguasaan statistika yang cukup baik .Misalkan ℓ𝑥
menjadi orang yang berusia 1 hari (baru lahir) yang masih akan hidup pada
usia x, dan misalkan dx adalah jumlah dari orang berusia 1 hari (baru lahir)
yang meninggal antara usia x dan x + 1. Hubungan dasar antara besaran
tersebut adalah :
ℓ𝑥+1 = ℓ𝑥 - 𝑑𝑥
Keterangan :
ℓ𝑥= Jumlah orang yang tepat berusia x
dx = Jumlah orang yang mati sebelum mencapai usia x+1
Peluang Kehidupan

7. Peluang (Probability)
Meskipun kami berasumsi bahwa kami dapat memprediksi x dengan tepat,
masih ada keacakan/perkiraan dalam model kami,karena tidak diketahui
apakah ada individu tertentu yang akan termasuk di antara survivors yang di
ada titik waktu tertentu. Lebih mudah untuk memperkenalkan beberapa gagasan
probabilistik dasar.
Untuk bilangan bulat tak negatif n dan x:
n𝑃𝑋 =
ℓ𝑥+𝑛
ℓ𝑥
Maksud dari rumus diatas adalah Pertimbangkan ℓ𝑥 adalah pejuang (survivors)
usia x. Dari grup ini, ℓ𝑥+𝑛 akan bertahan hidup sampai usia x + n. Hasil bagi
kemudian memberi kita probabilitas bahwa seseorang berusia x,selanjutnya
dilambangkan dengan simbol (x), akan hidup pada umur x + n.

8. 𝑛𝑞𝑋 =
ℓ𝑥− ℓ𝑥+𝑛
ℓ𝑥
Ini memberi kita probabilitas bahwa (x) akan mati antara usia x dan x + n. Jelas bahwa
𝑛𝑞𝑋 = 1 - 𝑛𝑃𝑋
Melalui penerapan hukum-hukum probabilitas, peluang suatu kejadian yang berhubungan dengan X
dapat dituliskan sebagai persamaan dalam fungsi kehidupan atau fungsi distribusi. Sebagai contoh,
peluang seseorang yang baru lahir meninggal di antara x dan z (x<z) adalah :
Sebagai contoh, dalam tabel yang kita akan memiliki 2𝑃0 = 965/1000, 2𝑞1= 25/980. Besaran 𝑞𝑥
sering disebut dengan mortalitas tingkat pada usia x.
Berapa peluang (x) akan mati antara usia x + n dan x + n + k? Ini adalah kuantitas yang akan sering
kita gunakan. Ada tiga cara utama untuk mengekspresikannya:
ℓ𝑥+𝑛− ℓ𝑥+𝑛+𝑘
ℓ𝑥
, atau
𝑛𝑃𝑋 − 𝑛 + 𝑘𝑃𝑋 , atau
n|k𝑞𝑥= 𝑛𝑃𝑋 𝑘𝑞𝑋+𝑛 =
ℓ𝑥+𝑛− ℓ𝑥+𝑛+𝑘
ℓ𝑥
n|k𝑞𝑥 = Probabilitas seseorang berusia x meninggal antara usia x+n dan x+n+k dilambangkan
ketiga ekspresi adalah sama.Mereka masing-masing dapat dijelaskan secara intuitif.Pertimbangkan
yang pertama. Pembilangnya adalah bilangan orang yang hidup pada usia x + n, dikurangi jumlah
yang hidup pada usia x + n + k. Perbedaan ini harus jumlah orang yang meninggal antara dua usia.
Dibagi dengan jumlah orang yang kita mulai dengan akan memberi kita probabilitas yang diperlukan.

9. Dalam ekspresi kedua kami mengungkapkan kuantitas ini sebagai probabilitas
bahwa (x) akan hidup n tahun, tetapi tidak akan hidup n + k tahun. Di ketiga
ekspresi kami mempertimbangkan dua tahap. Untuk mati di antara usia yang
ditentukan, (x) harus hidup sampai usia x + n. Individu tersebut, saat itu berusia x
+ n, akan mati dalam k tahun berikutnya. Kami akan memiliki kesempatan untuk
menggunakan ketiga ekspresi ini, memilih salah satu yang paling nyaman untuk
tujuan yang ada.Identitas lain yang berguna, yang akan kita rujuk sebagai aturan
perkalian, sebagai berikut:
𝑛 + 𝑘𝑃𝑋 = 𝑛𝑃𝑋 𝑘𝑃𝑋+𝑛
untuk semua bilangan bulat tak negatif n, k dan x. Secara intuitif, dikatakan
bahwa agar (x) dapat hidup n + k tahun, individu pertama-tama harus hidup n
tahun, dan kemudian, menjadi usia x + n, harus hidup k tahun lagi.

10. Tabel
Mortalitas
3

11. Membangun Tabel Kehidupan (Life Table ) dari nilai 𝑞𝑥
Tabel Kehidupan dibangun dengan terlebih dahulu memperoleh nilai untuk x
=0,1,..., 𝜔 − 1. Pada dasarnya dilakukan dengan melakukan penelitian dimana
kita mengamati berapa lama orang yang berbeda usia akan hidup. Misalnya, jika
kita mengamati sekelompok 1000 orang yang berusia tepat 50 tahun dan 10 dari
mereka meninggal dalam waktu 1 tahun, maka kita dapat memperkirakan
sebagai 0,01, tentu saja penyederhanaan dan prosesnya jauh lebih rumit. Tidak
praktis untuk mengumpulkan kelompok orang yang berusia tepat 50 tahun pada
satu waktu tertentu dan mengamati mereka selama satu tahun penuh . Tabel
kehidupan (Life Table) dapat dibentuk secara induktif,dimulai dengan , dari
rumus
𝑑𝑥 = ℓ0𝑞𝑥 ℓ𝑥+1 = ℓ𝑥 - 𝑑𝑥

12. Tabel kehidupan ( Life Tabel)adalah tabulasi x dan dx di mana x adalah bilangan
bulat tidak negatif.
Berikut adalah contoh bagian dari tabel kehidupan (ini hanya ilustrasi, dan angkanya
tidak dimaksudkan untuk menjadi realistis):
x ℓ𝑥 𝑑𝑥
0 100 000 2000
1 98 000 1500
2 96 500 1000
3 95 500 900
. . .
. . .
. . .
𝜔 0

13. Harapan
Hidup (Life
Expectacy
4

14. Harapan Hidup
Harapan hidup adalah usia seseoramg yang dihitung secara statistik dimana
seseorang diharapkan untuk hidup sampai, berdasarkan data aktuaria. Ada
banyak kegunaannya di dunia keuangan, termasuk asuransi jiwa, perencanaan
pensiun, dan manfaat Jaminan Sosial .Misalkan kita mulai dengan x orang
berusia x. Setelah 1 tahun, akan ada x+1 orang yang masih hidup yang masing-
masing akan menyumbang 1 tahun hidup untuk total ini. Pada akhirnya dari 2
tahun akan ada x+2 porangbyang masih hidup ditahun ini yang masing-masing
akan berkontribusi satu tahun lagi untuktotal. Melanjutkan cara ini, kita dapat
memperkirakan total masa depan semua kehidupan sebagai:
ℓ𝑥+1 + ℓ𝑥+2 + ℓ𝑥+3 + …+ℓ𝜔−1
Rata-rata harapan hidup setiap orang dari ℓ𝑥
𝑒𝑥
=
ℓ𝑥+1+ℓ𝑥+2 + ℓ𝑥+3 + …+ℓ𝜔−1
ℓ𝑥

15. Kuantitas 𝑒𝑥 dikenal sebagai harapan hidup pendek atau harapan hidup singkat
pada usia x. Ada rumus rekursi sederhana untuk menghitung 𝑒𝑥 untuk semua
nilai x
𝑒𝑥 = 𝑝𝑥 + 2𝑃
𝑥 + 3𝑃𝑥 + ⋯ + 𝜔 − 𝑥 − 1𝑃𝑥
= 𝑃𝑥 1 + 𝑃𝑥+1 + 2𝑃𝑥+1 + ⋯ + 𝜔 − 𝑥 − 2𝑃𝑥+1
=𝑃𝑥 (1 + 𝑒𝑥+1)
Complex expectation of life adalah istilah yang terjadi ketika dalam perhitungan
harapan hidup , tahun tidak lengkap dialami oleh seorang anggota ℓ𝑥
diperhitungkan,maka cara menghitung harapan hidupnya adalah :
𝑒𝑥
°
=
1
ℓ𝑥 0
𝑤−𝑥
ℓ𝑥+𝑡 dt
= 0
𝑤−𝑥
𝑡𝑃𝑥
● Pada Interval [0,1]
0
1
ℓ𝑥+𝑡 dt =
ℓ𝑥+ ℓ𝑥+1
2
● Pada interval [1,2]
1
2
ℓ𝑥+𝑡 dt =
ℓ𝑥+1+ ℓ𝑥+2
2

16. Dengan cara yang sama pada semua interval, diperoleh
𝑒𝑥
°
=
1
ℓ𝑥
(
ℓ𝑥+ ℓ𝑥+1
2
+
ℓ𝑥+1+ ℓ𝑥+2
2
+ ……)
𝑒𝑥
°
= 𝑒𝑥 +
1
2

17. RINGKASAN FORMULA
ℓ𝒙+𝟏 = ℓ𝒙 - 𝒅𝒙
ℓ𝑥 = Jumlah orang yang tepat berusia x
ℓ𝑋+1 = Jumlah orang yang hidup pada x+1 tahun
dx = Jumlah orang yang mati sebelum mencapai usia x+1
𝒒𝒙 =
ℓ𝒙− ℓ𝒙+𝟏
ℓ𝒙
=
𝒅𝒙
ℓ𝒙
𝑞𝑥 = Peluang seseorang meninggal pada usia x
n𝑷𝑿 =
ℓ𝒙+𝒏
ℓ𝒙
𝑛𝑃
𝑥 = Peluang seseorang berusia x akan hidup n tahun
𝒏𝒒𝑿 =
𝓵𝒙− 𝓵𝒙+𝒏
𝓵𝒙
𝒏𝒒𝑿 = 1 − 𝒏𝑷𝑿
𝑛𝑞𝑥 = Peluang seseorang berusia x meninggal pada usia n tahun
n|k𝒒𝒙= 𝒏𝑷𝑿 𝒌𝒒𝑿+𝒏 =
𝓵𝒙+𝒏− 𝓵𝒙+𝒏+𝒌
𝓵𝒙
n|k𝑞𝑥= Peluang seseorang berusia x meninggal antara usia x+n dan
x+n+k tahun
𝒆𝒙
=
𝓵𝒙+𝟏+𝓵𝒙+𝟐 + 𝓵𝒙+𝟑 + …+𝓵𝝎−𝟏
ℓ𝒙
𝑒𝑥 = rata − rata harapan hidup ringkas
𝒆𝒙
°
= 𝒆𝒙 +
𝟏
𝟐
ex
°
= Harapan Hidup Lengkap

18. Contoh Soal
Peluang dan Mortalitas

19. X 𝜄𝑥 𝑑𝑥
30 10 000.00 34.78
31 9 965.22 38.10
32 9 927.12 41.76
33 9 885.35 45.81
34 9 839.55 50.26
35 9 789.29 55.17
36 9 734.12 60.56
37 9 673.56 66.49
38 9 607.07 72.99
39 9 534.08 80.11
Dari tabel diatas, Hitunglah :
a.)𝜄40
b.)10𝑃30
c.) 𝑞35
d.) 5𝑞30, dan
e.) peluang hidup orang yang berusia tepat 30 tahun
meninggal antara 35 dan 36 tahun

20. Penyelesaiana :
a. ) berdasarkan rumus, didapatkan
𝜄40 = 𝜄39 - 𝑑39
= 9 534.08 - 80.11
= 9453,91
b.) berdasarkan rumus, didapatkan
10𝑃30 =
𝜄40
𝑙30
=
9453,91
10 000
= 0,945391
c.) berdasarkan rumus, didapatkan
𝑞35 =
𝑑35
𝜄35
=
55.17
9 789.29
= 0.00564
d.) berdasarkan rumus, didapatkan
5𝑞30 =
𝜄30− ℓ35
ℓ30
=
10 000.00−9 789.29
10 000.00
= 0.02107
e.) peluang 5|𝑞30 =
𝜄35− ℓ36
ℓ30
=
𝑑35
𝜄35
= 0,0055

21. Sumber
Dickson, D. C., Hardy, M. R. & Waters, H. R., 2013. Actuarial Mathematics for Life Contigent Risk. 2nd ed. Cambridge: Cambridge
University Press.
Promislow, S. D., 2011. Fundamentals of Actuarial Mathematics. 2nd ed. West Sussex: wiley.

22. CREDITS: This presentation template was
created by Slidesgo, including icons by
Flaticon, infographics & images by Freepik
Does anyone have any questions?
addyouremail@freepik.com
+91 620 421 838
yourcompany.com
THANKS
!
Please keep this slide for attribution