1. 1. TEORI PENDUKUNG
•1.1 Pendahuluan
•1.2 Variabel acak
•1.3 Distribusi variabel acak diskrit
•1.4 Distribusi variabel acak
kontinu
•1.5 Distribusi multivariat
1
2. Definisi 1:
Ruang sampel adalah Himpunan semua hasil yang mungkin
dari suatu percobaan acak. Notasi : S
2
Definisi 2:
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Sifat :
Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika A B
Prostok-1-firda
1.1 Pendahuluan
3. 3
Jika A suatu kejadian, maka peluang kejadian A,
ditulis dengan sifat:
( )atau { }
P A P A
( )0 ( ) 1
i P A
( ) ( ) 1 dan ( ) 0.
ii P S P
( ) Untuksetiapkejadian A, ( ') 1 ( ).
iii P A P A
• Jika ,maka ( ) ( ).
A B P A P B
• Untuk setiap kejadian A dan B berlaku
• Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika
( ) ( ) ( ) ( ).
P A B P A P B P AB
( ) ( ) ( ).
P AB P A P B
Prostok-1-firda
4. 4
• Jika A dan B dua kejadian , dengan
( )
( )
P A B
P B A
P A
( ) 0,
P A
peluang bersyarat B diberikan A, didefinisikan sebagai:
Jika kejadian-kejadian adalah partisi
dari ruang sampel S maka untuk kejadian B
sembarang dari S sedemikian sehingga P(B)>0
berlaku:
1 2
, ,..., k
A A A
Teorema Bayes :
1
( ). ( )
( )
( )
( )
( ). ( )
i i
i
i k
i i
i
P B A P A
P A B
P A B
P B
P B A P A
5. Definisi 3:
Variabel acak adalah suatu fungsi dari ruang sampel
ke himpunan bilangan real. (R)
Jika X variabel acak, maka nilainya dinyatakan dengan x,
dan peluang kejadian X bernilai kurang dari atau sama
dengan x dinyakan dengan
Variabel acak dinyatakan dengan huruf kapital, sedangkan
nilainya dinyatakan dengan huruf kecil.
5
1.2 Variabel Acak
( ).
P X x
6. Klasifikasi Variabel Acak:
1. Variabel Acak Diskrit
2. Variabel Acak Kontinu
Variabel acak X dikatakan variabel acak diskrit
jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk
himpunan bilangan terbilang (berupa bilangan cacah) .
Variabel acak X dikatakan variabel acak kontinu
jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk himpunan
bilangan tak terbilang (berupa bilangan real).
6
7. 7
Definisi 4:
Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak diskrit disebut
fungsi massa peluang (fmp) atau probability mass function
(pmf), atau fungsi peluang, ditulis :
( ) ( )
p x P X x
Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak kontinu
disebut fungsi padat peluang (fpp) atau probability
density function (pdf) atau fungsi densitas, ditulis f(x).
( ) ( )
b
a
P a X b f x dx
8. 8
( ) ( ),
F x P X x x
( ) ( ) ( )
t x
F x P X x p t
( ) ( ) ( )
x
F x P X x f t dt
Definisi 5:
Fungsi distribusi komulatif (cdf) dari variabel
acak X adalah:
• Untuk variabel acak diskrit :
• Untuk variabel acak kontinu :
9. 9
Definisi 6:
(i) Jika X variabel acak diskrit dengan fungsi masa peluang p(x),
maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:
( ) ( )
x
E X xp x
(ii) Jika X variabel acak kontinu dengan fungsi densitas peluang
f(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:
( ) ( )
E X x f x dx
Prostok-1-firda
10. 10
2
2
( ) ( ) ( )
Var X E X E X
Definisi 7:
Variansi dari variabel acak X dinyatakan sebagai:
Definisi 8:
Fungsi pembangkit momen (fpm/mgf) dari variabel acak X
merupakan salah satu bentuk khusus ekspektasi, yaitu
( ) tX
X
M t E e
( ) ,
tx
e f x dx
( ),
tx
x
e p x
X variabel acak
kontinu
X variabel acak diskrit
11. 1.3 Distribusi variabel acak diskrit
11
a. Distribusi Bernoulli
1
( ) , 0,1
x x
p x p q x
( )
E X p
( ) (1 )
Var X p p pq
• pmf:
• mean:
• variansi:
12. 12
b. Distribusi Binomial
• pmf:
• mean:
• varians:
( ) , 0,1,...,
x n x
n
p x p q x n
x
( )
E X np
( )
Var X npq
Peubah acak X menyatakan banyaknya
sukses dalam n usaha percobaan binomial
13. 13
c. Distribusi Geometri
• pmf:
• mean:
• varians:
1
( ) , 1,2,3,...
x
p x pq x
1
( )
E X
p
2
( )
q
Var X
p
Peubah acak X yang menyatakan banyaknya usaha
sampai terjadinya sukses pertama kali
14. 14
d. Distribusi Poisson
• pmf:
• mean:
• varians:
( ) , 0,1,2,...
!
x
e
p x x
x
( )
E X
( )
Var X
Peubah acak X menyatakan banyaknya
sukses dalam n usaha percobaan poison
15. 1.4 Distribusi variabel acak kontinu
15
a. Distribusi Uniform
• pdf:
• mean:
• varians:
1
( ) ,
f x a x b
b a
( )
2
a b
E X
2
( )
Var ( )
12
b a
X
17. 17
c. Distribusi Normal
• pdf:
• mean:
• varians:
2
( )
1
2
1
2
( ) ,
x
f x x
e
( )
E X
2
Var( )
X
18. 18
Fungsi peluang (Pmf) Mean Variansi Mgf
Distribusi Peluang Diskrit
1
( ) , 0,1
x x
p x p q x
p pq t
q pe
( ) ,
0,1,...,
x n x
n
p x p q
x
x n
np npq (
n
t
q pe
1
( ) ,
1,2,3,...
x
p x pq
x
1
p
2
q
p (1 )
t
t
pe
qe
( ) ,
!
0,1,2,...
x
e
p x
x
x
(1 )
t
e
e
( , )
X B n p
( )
X Bernoulli p
( )
X GEO p
( )
X POI
19. 19
Fungsi densitas (Pdf) Mean Variansi Mgf
1
( ) ,
f x a x b
b a
2
( )
1
2
1
2
( ) ,
x
f x
x
e
2
2 2
1
2
t t
e
1
( ) , 0
( )
k k x
x e
f x x
k
k
2
k
k
t
( ) , 0
x
f x e x
1
2
1
t
2
a b
2
( )
12
b a
( )
bt at
e e
t b a
( , )
X U a b
( )
X EXP
( , )
X GAM k
2
( , )
X N
Distribusi Peluang Kontinu
20. 20
1.5 Distribusi multivariat
a. Jika X dan Y variabel acak diskrit, maka
(i) Pmf bersama (gabungan) dari X dan Y :
(ii) Distribusi bersama dari X dan Y :
(iii) Pmf marjinal dari X :
(iv) Pmf marjinal dari Y :
( , ) ( , )
XY
p x y P X x Y y
( , ) ( , )
XY XY
a x b y
F x y p a b
( ) ( , )
X XY
y
p x p x y
( ) ( , )
Y XY
x
p y p x y
21. 21
(v) Pmf bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :
|
( , )
( | ) , ( ) 0
( )
XY
X Y Y
Y
p x y
p x y p y
p y
|
( , )
( | ) , ( ) 0
( )
XY
X Y Y
a x Y
p a y
F x y p y
p y
[ | ] . ( )
XY
x
E X Y y x p x y
Prostok-1-firda
22. 22
b. Jika X dan Y variabel acak kontinu, maka
(i) Pdf bersama (gabungan) dari X dan Y :
(ii) Distribusi bersama dari X dan Y :
(iii) Pdf marjinal dari X :
(iv) Pdf marjinal dari Y :
2
( , )
( , )
XY
F x y
f x y
y x
( , ) ( , )
y x
XY XY
F x y f s t ds dt
( ) ( , )
X XY
y
f x f x y dy
( ) ( , )
Y XY
x
f y f x y dx
23. 23
(v) Pdf bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :
(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :
|
( , )
( | ) , ( ) 0
( )
XY
X Y
Y
f x y
f x y f y
f y
|
( , )
( )
( )
x
XY
X Y
Y
f t y
F x y dt
f y
| ( | )
X Y
E X Y y xf x y dx
24. 24
[ ] [ ] [ ]
E X Y E X E Y
Kovariansi dari X dan Y:
( , ) [ ] [ ] [ ]
Cov X Y E XY E X E Y
Koefisien korelasi dari X dan Y:
( , )
( , )
( ). ( )
Cov X Y
X Y
Var X Var Y
25. Soal
1. Jika X,Y variabel acak saling bebas dan masing-
masing berdistribusi Poisson dengan mean
Tunjukkan bahwa
variabel acak X+Y berdistribusi Poisson dengan
mean
25
1 2
dan .
1 2.
2. Jika X variabel acak non negatif dengan distribusi
Asumsikan , tunjukkan bahwa
( ).
F x
0
. ( ) (1 ( ))
a E X F x dx
1
0
. ( ) (1 ( ))
n n
bE X nx F x dx
(0) 0,
F
Prostok-1-firda
Editor's Notes
Percobaan poison : banyaknya sukses dalam selang waktu/daerah tertentu bebas dari sukses pada waktu/daerah lainnya, peluang terjadinya lebih dari satu sukses pada waktu/daerah yg sempit bisa diabaikan.