Trabajo Parcial II

1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Grupo N.º: 5
Nombres:
•ARIAS CAMPOS, Marco Antonio
•CHIU CAYAMBE, Vanessa Katherine
•YÁNEZ LOAIZA, Erick Darío
Nombre del profesor: Dra. Lucía Castro Mgs.
NRC: 4389
Fecha: viernes 12 de febrero 2021
Período: Noviembre 2020 Abril 2021
PARCIAL II
TALLER Nro. 2
TEMA:
APLICACIONES DE LA DERIVADA EN LA
CARRERA DE TELECOMUNICACIONES

2. • Contenido: Aplicaciones de la derivada en las telecomunicaciones
1. INTRODUCCION
1.1. Aplicaciones de la derivada
1.2. Optimización de funciones
1.3. Pasos para resolver problemas con optimización
1.4. Razón de cambio
2. Objetivos
3. Fundamentación teórica
3.1. Diferencial de potencial
3.2. Ley de Faraday
3.3. Ley de Lenz
3.4. Inductancia mutua
3.6. La potencia
3.7. Circuitos eléctricos
3.8. Ondas armónicas
4. Desarrollo
5. Conclusiones
6. Bibliografía

3. 1. Introducción
• En una función la derivada se puede representar geométricamente como la pendiente en una curva, además físicamente se le puede interpretar
como una razón de cambio instantánea. Hablando de otra forma, la derivada de una función nos llega a indicar el ritmo con el que la función puede
llegar a variar.
1.1 Aplicaciones de la derivada
• Según Hernández Juan (2017) dice que: “Mediante el estudio de funciones y, más concretamente, mediante el uso de la derivada podemos
conocer: la variación del espacio en función del tiempo, el crecimiento de una bacteria en función del tiempo, el desgaste de un neumático en función
del tiempo, el beneficio de una empresa en función del tiempo”, se puede afirmar que la derivada llega a ser fundamental en diversas situaciones de la
vida cotidiana.
• Tenemos aplicaciones a la: geometría, física, química, biología, medicina, ingeniería, arquitectura, economía.
1.2 Optimización de funciones
• Es la consecución de máximos y mínimos relativos, sometida a unas restricciones. Dicho de otra forma, tiene como objetivo encontrar áreas
mínimas, la menor resistencia, el mayor alcance y máximo beneficio, todo esto esta dentro de la categoría de optimización de funciones.
• Se puede decir que al momento de realizar problemas de optimización siempre va a ser encontrar un valor mínimo, reducirle o también nos puede
pedir todo lo contrario como es encontrar el valor máximo, maximizar.
• De esta manera se puede calcular medidas con precisión como pueden ser el radio y altura de alguna figura geométrica como latas que tiene forma de
un cilindro o cajas que prácticamente son cubos. Para llegar a obtener extremos relativos se tendrá que hacer uso de la derivada en la función para
luego poder igual esta misma a cero

4. 1.3. Pasos para resolver problemas con optimización
• 1.- Graficar si el problema lo requiere.
• 2.- Se analiza y plantea la función que tendremos que llegar a minimizar o maximizar.
• 3.- Si llega a ver mas de una variable se debe hacer un análisis el cual nos permita relacionar ambas variables.
• 4.- Se tiene que despejar por cualquier método y luego remplazar en la función original para que nos quede en función
de una sola variable
• 5.- Se tiene que derivar la función para luego igualar a cero, esto nos permitirá encontrar los extremos locales
• 6.- En caso de querer comprobar el resultado obtenido, hallar una segunda derivada
1.4. Razón de cambio
• Según Cova Guillermo (2016) dice que “La razón de cambio es la proporción en la que una variable cambia con
respecto a otra, de manera más explícita hablamos de la pendiente de una curva en una gráfica, es decir el cambio en el
eje "y" entre el cambio del eje "x". A esto se le conoce también como la primera derivada”. Se puede definir de una
forma mas sencilla como la medida en la cual una variable se modifica con otra.
• Tenemos también la razón de cambio instantánea que muchos le conocen con su nombre vulgar que viene a ser la
“segunda derivada”

5. 2. Objetivos
 Introducir el concepto de la derivada y proporcionar su aplicación en la ingeniería de las
telecomunicaciones.
 Conocer en que ramas, las derivadas cumplen funciones importantes y fundamentales que se llegan a
desarrollar, mediante el uso del cálculo.
 Aprender conceptos generales sobre la optimización de funciones y la razón de cambio en la cual
esta presente la derivación.

6. 3. Fundamentación teórica
Una vez conocido el concepto de derivada se debe conocer en cómo esta influye o
tiene aplicaciones en la carrera de Electrónica y Telecomunicaciones. Para empezar,
las Telecomunicaciones es una rama de la ingeniería que ayuda a la resolución con
problemas de transmisión y recepción de señales (mayormente electromagnéticas) y
circuitos de menor escala. Si bien las aplicaciones de la derivada e integrales son
extensas en este campo, mayormente se suelen utilizar para análisis de curvas,
máximos y mínimos o formas de onda y sobre todo para el análisis de potenciales
eléctricos y magnéticos en diseños de alto voltaje.

7. Entre algunas importantes aplicaciones de la derivada en la carrera se pueden destacar:
- Cambios instantáneos de corriente eléctrica.
- Variaciones de flujo magnético.
- Variaciones de campos eléctricos.
- Leyes de Maxwell.
- Conversión de energía.
- Leyes de electromagnetismo como la Ley de Ampere, Ley de Gauss, etc.
- Miniaturización de componentes internos.
- Comprensión y digitalización de imágenes, sonidos y videos.
Así, se puede decir que el Cálculo se aplica en casi todas las ramas de ciencias Físico-Matemáticas, con mayor énfasis en Ingenierías.
El uso de las derivadas debe ser correctamente aplicado ya que, si no se lo hace así, no se podrán plantear ecuaciones diferenciales ni resolver
problemas como el Análisis de Fourier el cuál consiste en la transformación de Ecuaciones Diferenciales en Ecuaciones Algebraicas con
coeficientes de fácil resolución.

8. A continuación, se dará ejemplos de la aplicación de las derivadas en carrera:
3.1. Diferencial de Potencial
El trabajo por unidad de carga se lo conoce como potencial eléctrico o voltaje. Para mover una carga desde el infinito hasta
cierto punto de otra carga o campo eléctrico requiere un cierto trabajo (W1). Para mover la misma carga desde el infinito a
otro punto en presencia de otra carga o campo eléctrico se requiere otro trabajo (W2) por tanto se tiene:
𝑊2 − 𝑊1
𝑞
En donde q deberá tender a un valor muy pequeño.
∆𝑉 = 𝑉2 − 𝑉1 = lim
𝑞→0
𝑊2 − 𝑊1
𝑞
Formalmente la diferencia de potencial se define como:
𝑉 =
𝑑𝑊
𝑑𝑞

9. Figura 1: Diferencia de Potencial
Fuente: Anónimo. (s.f.). Diferencia de potencial entre dos puntos. [Imagen]. Recuperado de https://www.calculisto.com/topics/circuitos-electricos/summary/353
3.2. Ley de Faraday
Esta ley relaciona la razón de cambio de flujo magnético que pasa a través de una espira o lazo con la magnitud de la fuerza electromotriz (FEM) ε
inducida en la espira:
𝜀 =
𝑑𝜙
𝑑𝑡
En donde:
ε = Fuerza electromotriz inducida
𝜙 = Flujo magnético.
La FEM es la diferencia de potencial a través de una espira cuando su resistencia es alta.

10. Esta ley va de la mano con la de Faraday, debido a que ésta en cambio, establece la dirección en la que fluye la
corriente y establece que la dirección siempre es tal que se opone al cambio de flujo que la produce.
𝜀 = −
𝑑𝜙
𝑑𝑡
En la práctica se lidia con inducciones magnéticas de espiras múltiples donde cada una contribuye a la FEM. En
donde N representa el número de vueltas.
𝜀 = −𝑁
𝑑𝜙
𝑑𝑡
3.3. Ley de Lenz
Figura 2: Ley de Lenz
Fuente: Anónimo. (s.f.). Aplicaciones de las derivadas en ingeniería Electrónica y de Telecomunicaciones. [Figura]. Recuperado de https://es.scribd.com/document/316309763/240745314-Aplicaciones-de-La-Derivada-en-
Electronica

11. 3.4. Inductancia mutua
Es el efecto de producir una fem en una bobina, esto se debe al cambio de corriente en una bobina acoplada. Su dirección
será siempre opuesta al cambio del campo magnético producido en ella por la bobina acoplada (Ley de Lenz).
La fem en la bobina 1 (izquierda) se debe a su inductancia L, mientras que la fem inducida de la bobina 2 se origina por el
cambio de la corriente I, se puede expresar como:
Figura 3: Bobinas
Fuente: Olmo, M. (s.f.). Inductancia Mutua. [Figura]. Recuperado de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/magnetic/indmut.html.
𝐹𝑒𝑚2 = −𝑁2𝐴
Δ𝐵
Δ𝑡
= −𝑀
Δ𝐼1
Δ𝑡

12. 3.5. Corriente Eléctrica
La corriente eléctrica es el movimiento de las cargas. Se la define como la razón de flujo de cargas con respecto
al tiempo:
𝑖 𝑡 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
La unidad de la corriente eléctrica es el Ampere, una de las siete unidades básicas. El Ampere es la intensidad de
una corriente constante que manteniéndose en conductores paralelos de sección circular despreciable y situados
a la distancia de un metro uno de otro en el vacío, produce una fuerza igual a 2x10-7 Newton por metro de
longitud.
Figura 4: Generador de Tensión
Fuente: Anónimo. (2017). Corriente eléctrica. [Figura]. Recuperado de https://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_el%C3%A9ctrica.

13. 3.6. Potencia
La potencia es la razón de absorber o generar energía por una unidad de tiempo:
𝑃 =
𝑑𝑊
𝑑𝑡
Sin embargo, con la ley de la cadena se obtiene:
𝑃 =
𝑑𝑊 𝑑𝑞
𝑑𝑡 𝑑𝑞
Considerando las ecuaciones 𝑖 𝑡 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
y 𝑉 =
𝑑𝑊
𝑑𝑞
se tiene que:
𝑃 = 𝑣𝑖
Esta será de suma utilidad ya que tanto el voltaje y corriente se miden con sus medidores (usualmente con
multímetro), de tal manera que es sencillo medir o calcular la potencia en cualquier elemento de un circuito.

14. 3.7. Circuitos eléctricos
Los capacitores (condensadores) y los inductores (bobinas) son elementos que almacenan energía, los capacitores
almacenan energía en forma de campo eléctrico (voltaje) y los inductores almacenan energía en forma de campo
magnético (corriente).
Por lo tanto, existen lapsos o tiempos de cargas y descargas, lo cual dependen de una función, con respecto al tiempo.
Figura 5: Ecuaciones de terminal para inductores y capacitores ideales.
Fuente: Anónimo. (s.f.). Práctica 2: Análisis en el tiempo de circuitos RL y RC. [Tabla]. Recuperado de https://fgagor.webs.ull.es/PracticaTC2.pdf.
En el SI la unidad de la inductancia es Henrios (H) y la de capacitancia se mide en Faradios (F).

15. 3.8. Ondas Armónicas
Una onda armónica es aquella que está descrita por una función seno o coseno. Nos
centraremos en aquellas ondas unidimensionales cuyas variables son la posición x y
el tiempo t.
𝑦 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝑘 ±𝑣. 𝑡 )
𝑦 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝑘 ±𝑣. 𝑡 )

16. 4. Desarrollo
1. La corriente que circula a través de un inductor de 0,3 H es i(t)= 𝟐𝟎𝒕𝒆−𝟔𝒕
[𝑨].Halle la tensión y la energía almacenada en él.
Datos Solución
• 𝑣 = 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
• 𝐿 = 0.3 𝐻
• 𝑖 𝑡 = 20𝑡𝑒−6𝑡
[𝐴]
𝑣 𝑡 = 0.3
𝑑
𝑑𝑡
20𝑡𝑒−6𝑡
→ 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟
𝑣(𝑡) = 0,3 . 20
𝑑
𝑑𝑡
(𝑡𝑒−6𝑡
)
𝑣 𝑡 = 6
𝑑
𝑑𝑡
𝑡𝑒−6𝑡 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
𝑣 𝑡 = 6 𝑡 ∗ −6𝑒−6𝑡
+ 𝑒−6𝑡
1
𝑣 𝑡 = 6 −6𝑒−6𝑡𝑡 + 𝑒−6𝑡
𝑣 𝑡 = 6 𝑒−6𝑡 −6𝑒−6𝑡 𝑡
𝑣 𝑡 = 6 𝑒−6𝑡
1 − 6𝑡 [𝑉]

17. 2. La función de onda correspondiente a una onda armónica en una cuerda es Y (x, t) = 0,005
sen(248t+58,5x), escrita en el SI. ¿Cuál es la ecuación de la velocidad y aceleración de una partícula de la
cuerda que se encuentre en el punto x = – 2 cm?
El desplazamiento máximo de un segmento cualquiera de la cuerda viene dado por la amplitud de la función Y
(x, t). Es decir: A = 0,005 m.
La función de onda de una partícula de la cuerda que se encuentra en el punto x = 0,02 m es:
𝛾 0,02 , 𝑡 = 𝛾 𝑡 = 0,005 𝑠𝑒𝑛 248𝑡 − 58,5 0,02 = 0,005 𝑠𝑒𝑛(248𝑡 − 1,17)
La ecuación de su velocidad:
𝑑𝛾
𝑑𝑡
= 0,005 248 cos 248𝑡 − 1,17 = 1,24 cos(248𝑡 − 1,17)
y la de su aceleración:
𝑑2
𝛾
𝑑𝑡2 = −1,24(248 𝑠𝑒𝑛 248𝑡 − 1,17 = −307,52 𝑠𝑒𝑛(248𝑡 − 1,17)

18. 5. Conclusiones
 Se llego a relacionar la asignatura de cálculo más específicamente en el tema de derivadas con nuestra carrera, ampliando el
enfoque hacia cualquier tipo de proceso matemático. Suelen usarse para el análisis de curvas, máximos y mínimos o formas
de onda y sobre todo para análisis de potenciales eléctricos y magnéticos en diseños de alto voltaje y antenas.
 La aplicación de la derivada en Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones es fundamental en cálculos tanto básicos
como la Potencia, hasta llegar a más complejos con integrales y derivadas para determinar ondas análogas y transformarlas a
digitales o viceversa. Estas cumplen un papel fundamental en circuitos electrónicos pudiéndose observar gráficamente a
través de un osciloscopio, para futuros cambios en circuitos o imagen.
 Podemos asociar las derivadas con las Telecomunicaciones ya que esta es esencial para resolver problemas de corriente
eléctrica, potencia, razón de cambio, entre otras. Particularmente es un elemento utilizado para conocer el cambio de una
variable con respecto a otra, por ello también se ocupa en varios temas relacionados con energía, electricidad, campos, etc.

19. 6. Bibliografía
• Camacho, S. (s.f.). Circuitos eléctricos AC. Recuperado de:
https://www.academia.edu/7188806/LABORATORIO_DE_CIRCUITOS_ELECTRICOS_AC.
• EcuRed. (s.f.). Optimización de funciones. Recuperado de:
https://www.ecured.cu/Optimizaci%C3%B3n_de_funciones#Problemas_de_optimizaci.C3.B3n.
• Fernández, J. (s.f.). Ondas Armónicas. Recuperado de: https://www.fisicalab.com/apartado/ondas-armonicas.
• Galdón, J. (s.f.). Optimización matemática: Una aplicación de la derivada de una función. Recuperado de:
https://www.tusclasesparticulares.com/blog/optimizacion-matematica-aplicacion-derivada-
funcion#:~:text=La%20llamada%20Optimizaci%C3%B3n%20de%20funciones,funci%C3%B3n%2C%20sometida%20a%20unas%20restriccion
es.&text=Una%20vez%20que%20tengamos%20la,funci%C3%B3n%2C%20e%20igual%C3%A1ndola%20a%20cero
• García, J. (2017). Aplicaciones de la derivada en la vida real. Recuperado de: http://entenderlasmates.blogspot.com/2017/11/aplicaciones-de-la-
derivada-en-la-vida.html#:~:text=La%20derivada%20es%20una%20herramienta,beneficio%2C%20producci%C3%B3n...).
• Khan Academy. (2015). ¿Qué es la ley de Faraday? Recuperado de: https://es.khanacademy.org/science/physics/magnetic-forces-and-magnetic-
fields/magnetic-flux-faradays-law/a/what-is-faradays-law.
• Madara. (s.f.). Aplicaciones de las derivadas en Ingeniería Electrónica y de Telecomunicaciones. Recuperado de:
https://es.scribd.com/document/316309763/240745314-Aplicaciones-de-La-Derivada-en-Electronica.
• Olmo, R. (s.f.). Acoplamiento de Inductancias. Hyperphysics. Recuperado de: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/magnetic/indmut.html.
• Pérez, J. (s.f.). Derivadas. Recuperado de: http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/calc1inf1011/apjperez/calculo_cap06.pdf.
• Teoría de Circuitos (1º de ITI). (s.f.). Práctica 2: Análisis en el tiempo de circuitos RL y RC. Recuperado de:
https://fgagor.webs.ull.es/PracticaTC2.pdf.