Lý thuyết ước lượng

1. Trao đổi trực tuyến tại:
http://www.mientayvn.com/Y_online.html

2. 1
LYÙ THUYEÁT
ÖÔÙC LÖÔÏNG
GV: TS. TRAÀN ÑÌNH THANH

3. 2
Öôùc löôïng laø phoûng ñoaùn moät giaù trò chöa
bieát baèng caùch döïa vaøo quan saùt maãu.
Coù hai hình thöùc öôùc löôïng:
Öôùc löôïng ñieåm Öôùc löôïng khoaûngvaø
Thoâng thöôøng ta caàn öôùc löôïng giaù trò
trung bình, tæ leä, phöông sai, heä soá töông
quan…
ÖÔÙC LÖÔÏNG LAØ GÌ?

4. 3
a. Öôùc löôïng ñieåm: Keát quaû cuûa giaù trò caàn
öôùc löôïng cho bôûi 1 trò soá.
Thí duï: Ta laáy maãu vaø öôùc löôïng ñöôïc
chieàu cao trung bình cuûa ngöôøi VN laø:
µ = 160 cm
• b. Öôùc löôïng khoaûng: Keát quaû cuûa giaù trò
caàn ñöôïc öôùc löôïng cho bôûi 1 khoaûng.
Thí duï: Ta laáy maãu vaø öôùc löôïng ñöôïc
chieàu cao trung bình cuûa ngöôøi VN laø:
158cm  µ  162cm.

5. 4
Öôùc löôïng ñieåm coù öu ñieåm laø cho chuùng
ta moät giaù trò cuï theå, coù theå duøng ñeå tính
caùc keát quaû khaùc, nhöng khoâng cho bieát
ñöôïc sai soá öôùc löôïng nhieàu hay ít.
Öôùc löôïng khoaûng cho ta hình dung ñöôïc
sai soá nhieàu hay ít, nhöng khoâng cho ta
ñöôïc giaù trò cuï theå cuûa ñaïi löôïng caàn öôùc
löôïng.

6. 5
A. ÖÔÙC LÖÔÏNG ÑIEÅM.
I. TIEÂU CHUAÅN ÖÔÙC LÖÔÏNG
Coi nXXX ,,2,1  laø maãu ñoäc laäp, coù haøm maät
ñoä f(x,) phuï thuoäc vaøo moät tham soá  chöa
bieát vaø caàn öôùc löôïng
Goïi  n21 X...,,X,XTT  laø thoáng keâ duøng ñeå
öôùc löôïng tham soá .
1. Öôùc löôïng ñuùng:
Ta noùi T laø öôùc löôïng ñuùng cuûa  neáu:
E(T) = 

7. 6
2. Ít phaân taùn (phöông sai beù):
Coi T1 , T2 laø caùc öôùc löôïng ñuùng cuûa .
Ta noùi T1 toát hôn T2 neáu T1 ít phaân taùn hôn
T2 nghóa laø:
)T()T( 2
2
1
2

3. Öôùc löôïng toát nhaát:
Thoáng keâ T ñöôïc goïi laø öôùc löôïng toát nhaát
cuûa  neáu T laø öôùc löôïng ñuùng vaø ít phaân taùn
nhaát, nghóa laø:
(1) E(T) = 
)T()T(;)T(E:T)2( /22//


8. 7
Thí duï: ),(N~X 2

Quan saùt maãu X1, X2, …, Xn duøng ñeå öôùc
löôïng chieàu cao trung bình 
Ta coù theå ñaët ra nhieàu thoáng keâ duøng ñeå öôùc
löôïng  nhö sau:
11 XT 
2
XX
T 21
2


3
X2X
T 21
3


n
XX
T n1
4



Giaû söû chieàu cao

9. 8
Ta ñaùnh giaù moãi caùc öôùc löôïng T1, T2, T3, T4.
Ta coù:  )X(E)T(E 11







 

22
XX
E)T(E 21
2







 

3
2
3
X2X
E)T(E 21
3







 

nn
XX
E)T(E n1
4

Vaäy: T1,T2,T3,T4 laø caùc öôùc löôïng ñuùng cuûa .

10. 9
Ta tính phöông sai:
2
1
2
1
2
)X()T( 
24
1
4
1
2
XX
)T(
2
22212
2
2 





 

222212
3
2
9
5
9
4
9
1
3
x2X
)T( 




 

nn
XX
)T(
2
n12
4
2 





 


Vaäy trong 4 thoáng keâ: T1, T2, T3, T4 thì
T4 laø öôùc löôïng toát nhaát

11. 10
T2 laø öôùc löôïng toát thöù hai.
T3 laø öôùc löôïng toát thöù ba.
T1 laø öôùc löôïng toát thöù tö.
Ngoaøi caùc thoáng keâ T1, T2, T3, T4, chuùng ta
coù theå ñaët ra nhieàu thoáng keâ khaùc nöõa, nhö:
4
XXX2
T 321
5


...v.v,
14
X5X2X4X3
T 4321
6


Vaäy laøm theá naøo ñeå bieát ñöôïc moät öôùc
löôïng T toát nhaát? Vaán ñeà naøy ñöôïc giaûi
quyeát bôûi baát ñaúng thöùc Rao – Cramer.

12. 11
II. BAÁT ÑAÚNG THÖÙC RAO – CRAMER
1. Tin löôïng Fisher:
Xeùt bieán soá ngaãu nhieân X coù haøm maät ñoä
f(x,) phuï thuoäc tham số . Tin löôïng Fisher
cuûa X laø ñaïi löôïng:
2
),X(flnE)(I



 



Ta duøng tin löôïng Fisher trong vieäc
ñaùnh giaù öôùc löôïng.

13. 12
Thí duï:
X ~ B(1, ), haøm maät ñoä cuûa X laø:


 


khaùcnôi;0
)1;0x(;)1(
),x(f
x1x
)1ln()X1(lnX),X(fln 
)1(
X
1
X1X
),X(fln










2
2222
2
)X(E.
)1(
1
)1(
)X(
E)(I 










)1(
1
)1(.
)1(
1
22





14. 13
2. Baát ñaúng thöùc Rao – Cramer:
Neáu T laø öôùc löôïng ñuùng cuûa , thì:
)(I.n
1
)T(2


YÙ nghóa cuûa baát ñaúng thöùc Rao – Cramer
Baát ñaúng thöùc Rao – Cramer cho ta moät
chaën döôùi (giaù trò nhoû nhaát coù theå coù ñöôïc)
cuûa 2(T), vaäy neáu ta tìm ñöôïc moät thoáng keâ
T laø öôùc löôïng ñuùng cuûa  sao cho
)(I.n
1
)T(2


thì ñoù laø öôùc löôïng toát nhaát, vì khoâng coøn öôùc
löôïng naøo coù ñoä phaân taùn thaáp hôn
)(I.n
1

ñöôïc

15. 14
III. CAÙCH TÌM ÖÔÙC LÖÔÏNG:
Coù nhieàu phöông phaùp ñeå tìm öôùc löôïng,
trong soá ñoù, phöông phaùp öôùc löôïng cô hoäi
cöïc ñaïi ñöôïc thöôøng duøng nhieàu hôn caû.
1. Nguyeân lyù cô hoäi cöïc ñaïi:
Thí duï:
Giaû söû coù 1 hoäp chöùa 3 bi ñoû + 7 bi traéng +
5 bi xanh = 15 bi, coù cuøng kích thöôùc, laáy
ngaãu nhieân 1 bi. Haõy phaùn ñoaùn xem bi ñoù
maøu gì?

16. 15
Haún nhieân moãi chuùng ta ñeàu phaùn ñoaùn
raèng bi ñoù maøu traéng, vì soá löôïng nhieàu hôn,
taát nhieân cô hoäi ñeå ñoaùn truùng seõ cao hôn,
thaät vaäy neáu tính xaùc suaát ta thaáy:
 Ñ T X
P 3/15
7/15
5/15
Ta ñaõ maëc nhieân söû duïng nguyeân lyù cô
hoäi cöïc ñaïi trong luùc phaùn ñoaùn maøu cuûa
vieân bi laáy ra.

17. 16
2. Aùp duïng vaøo öôùc löôïng:
Haøm cô hoäi ñöôïc ñònh nghóa laø:
),x(f),x(f).,x(f),x(L n21  
Trong ñoù ),x(f i  laø haøm maät ñoä cuûa Xi.
Ta choïn giaù trò 

sao cho haøm cô hoäi
taïi ñoù lôùn nhaát.

18. 17
Khi ñaõ quan saùt ñöôïc maãu, ta bieát ñöôïc giaù trò
n21 X,,X,X  ; do ñoù bieåu thöùc ),x(L 
coøn phuï thuoäc moät ñaïi löôïng chöa bieát .
Haøm ),x(L  ñaït cöïc ñaïi choã naøo thì laáy
giaù trò ñoù laøm öôùc löôïng cho .
Ñeå yù raèng ),x(L  vaø ),x(Lln  coù cuøng
chieàu bieán thieân, neân ),x(L  cöïc ñaïi thì
),x(Lln  cuõng cöïc ñaïi.
chæ

19. 18
Thí duï:
Ta muoán öôùc löôïng tæ leä saûn phaåm  hoûng
trong moät loâ haøng thaät nhieàu.
Tröôùc heát ta quan saùt maãu.




toátphaåmsaûnñöôïcneáu,0
hoûngphaåmsaûnñöôïcneáu,1
X1
X1 0 1
P 1- 
Haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X1:
1x11x
1 )1.(),x(f 


20. 19
Töông töï, sau n laàn quan saùt ta ñöôïc
maãu: X1, X2, …, Xn.
Haøm cô hoäi:
),x(f),x(f).,x(f n21  ),x(L 

 ixnix
)1.(
    )1ln(xnlnx ii  ),x(Lln 






 
1
xnx
),x(Lln ii
)1(
nxi




n
x
f,
)1(
)f(n i




21. 20
 0 f 1
+ 0 -
lnL CÑ
Lln


),x(Lln  ñaït cöïc ñaïi khi  = f, do ñoù ),x(L 
cuõng ñaït cöïc ñaïi khi  = f. Do ñoù coâng thöùc
öôùc löôïng laø:
 = f







 

nn
XX
E)f(E n1 
Ta coù:

22. 21





 

n
XX
)f( n122 
n
)1( 
Tin löôïng Fisher
)1(
1
)(I


Do chaën döôùi Rao – Cramer
n
)1(
)(nI
1 


Vaäy   ,
)(nI
12



do ñoù  = f laø öôùc löôïng
toát nhaát.

23. 22
B.ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG
I. ÖÔÙC LÖÔÏNG  TRONG PHAÂN PHOÁI
)bieátñaõ:(),,(N 2
0
2
0 
Giaû söû ta muoán öôùc löôïng trung bình
trong phaân phoái bình thöôøng coù phöông sai
ñaõ bieát
2
0
Goïi X1, X2, X3, …, Xn laø maãu ñoäc laäp,
),(N~X 2
0i 
Ta duøng maãu naøy ñeå öôùc löôïng .

24. 23
 2
0i ,N~X  




 


n
,N~
n
X
X
2
0i
neân
Do ñoù:
 
)1,0(N~
nX
Z
0


Cho saün giaù trò )10(,  ta tìm ñöôïc giaù
trò C sao cho:  )CZC(P
Giaù trò C ñöôïc ñoïc trong baûng phaân phoái
chuaån N(0,1).

25. 24
–C C Z
f

Ta coù:
)CZC(P 
  








 C
nX
CP
0





 



n
CX
n
CP 00





 



n
CX
n
CXP 00
Do ñoù:



 



n
CX;
n
CX 00
Thoâng thöôøng ta vieát:
n
CX 0

Khoaûng öôùc löôïng cuûa laø:

26. 25
Chuù yù:
1.  ñöôïc goïi laø ñoä tin caäy (hay heä soá tin caäy)
cuûa öôùc löôïng. Caùc trò soá thöôøng ñöôïc söû
duïng cho ñoä tin caäy laø:
 = 0.90 thì C = 1,64
 = 0.95 thì C = 1.96
 = 0.99 thì C = 2.58
2. Neáu duøng ñoä tin caäy caøng lôùn thì C caøng
lôùn, do ñoù khoaûng öôùc löôïng caøng roäng, vaø
do ñoù sai soá öôùc löôïng seõ lôùn.
Neáu muoán giaûm bôùt sai soá öôùc löôïng ta coù theå
taêng n, nghóa laø phaûi quan saùt nhieàu hôn.

27. 26
Do ñoù ta thaáy giöõa caùc ñaïi löôïng:
 Ñoä tin caäy: 
 Sai soá öôùc löôïng:
n
C 0

 Côõ maãu quan saùt: n
Coù lieân heä maät thieát vôùi nhau, Thoâng
thöôøng, ñöùng tröôùc baøi toaùn öôùc löôïng, ta
xaùc ñònh tröôùc ñoä tin caäy caàn thieát laø bao
nhieâu, vaø sai soá toái ña coù theå chaáp nhaän
ñöôïc, töø ñoù tính ra côõ maãu caàn thieát phaûi
quan saùt ñeå ñaùp öùng yeâu caàu cuûa baøi toaùn.

28. 27
Giaû söû ta aán ñònh tröôùc ñoä tin caäy (do ñoù
bieát C), xaùc ñònh sai soá toái ña , vaø ta tính
côõ maãu nhö sau:
Ta muoán: X
Ta choïn: 

n
C 0
2
2
0
2
0 C
n
C
n







29. 28
Thí duï:
Bieát chieàu cao cuûa con ngöôøi )100,(N~X 
Ta muoán öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa
daân soá  vôùi sai soá khoâng quaù 1 cm, ôû ñoä tin
caäy 0,95 thì quan saùt ít nhaát maáy ngöôøi?
Giaûi:
Ta coù: 16,384
)1(
)100.()96.1(C
n 2
2
2
2
0
2




Vaäy quan saùt ít nhaát 385 ngöôøi.

30. 29
II. ÖÔÙC LÖÔÏNG  TRONG PHAÂN PHOÁI
)bieátchöa:(),,(N 22

Goïi X1, X2, …, Xn laø maãu ñoäc laäp;
22
i ),,(N~X  : chöa bieát.
Ta duøng maãu naøy ñeå öôùc löôïng .
Ta coù: 




 

n
,N~X
2
Do ñoù:
 
)1,0(N~
nX
Z



Ta khoâng theå duøng bieán soá naøy ñeå öôùc
löôïng  vì bieåu thöùc naøy coøn chöùa tham
soá chöa bieát.

31. 30
Ta coù:
 
)1,0(N~
nX
Z



)1n(~
S).1n(
Y 2
2
2
x




Vì Z, Y ñoäc laäp, do ñoù, ñaët:
1n
Y
Z
T


Thì T phaân phoái theo luaät Student(n-1).
Ta coù:    
)1n(Student~
S
nX
1n
S)1n(
n
X
T
2
2










32. 31
Cho saün giaù trò , (0<<1), ta tìm ñöôïc C sao
cho:
 )CTC(P
Trong thöïc haønh, giaù trò C ñöôïc ñoïc trong
baûng phaân phoái Student.
–C C Z
f


33. 32
Ta coù:
 








 C
S
nX
CP)CTC(P





 
n
S
CX
n
S
CP





 
n
S
CX
n
S
CXP
Do ñoù, khoaûng öôùc löôïng cuûa  laø:



 
n
S
X;
n
S
CX
Thoâng thöôøng ta vieát:
n
S
CX 

34. 33
Thí duï:
Quan saùt ngaãu nhieân chieàu cao cuûa 20 ngöôøi,
ta tính ñöôïc: 162X  cm; S = 14 cm.
Haõy öôùc löôïng chieàu cao trung bình cuûa daân
soá ôû ñoä tin caäy  = 0.95
Giaûi:
Ta coù:









093.2C
cm14S
cm162X
;
n
S
CX
cm65.6162

35. 34
Vaán ñeà côõ maãu
Giaû söû muoán öôùc löôïng  ôû ñoä tin caäy , vaø
sai soá khoâng quaù  thì ta phaûi quan saùt maáy
tröôøng hôïp?
Ta muoán: X
Ta choïn: 
n
S
C
n
CS


,C ñoïc trong PP chuaån

36. 35
Vaäy:
2
22
S.C
n


Chuù yù: Trong caùc baûng thieát laäp cho phaân
phoái Student, thoâng thöôøng ngöôøi ta chæ
thieát laäp ñeán 30 ñoä töï do. Vaäy, neáu gaëp
tröôøng hôïp maãu lôùn (ñoä töï do lôùn hôn 30),
ta duøng caùc trò soá ôû baûng N(0, 1) thay theá
baûng Student.

37. 36
III. ÖÔÙC LÖÔÏNG 2 TRONG PHAÂN PHOÁI
 2
0,N  (0: ñaõ bieát)
Quan saùt maãu X1, X2, …, Xn, ñoäc laäp;
 2
0i ,N~X 
Ta duøng maãu naøy ñeå öôùc löôïng phöông
sai 2.
Ta coù:   )1,0(N~
X
,N~X 0i2
0i



  )1(~
X 2
2
2
0i



 
 


 )n(~
X
Y 2
2
2
0i

38. 37
Cho saün giaù trò )10(,  ta tìm 2 soá a,
b sao cho:
 )bYa(P
vôùi qui öôùc:
2
1
)bY(P)aY(P


Caùc giaù trò a, b ñöôïc cho bôûi baûng )n(2

nhö sau:


 b
2
1
)bY(P




 a
2
1
2
1
)aY(P

39. 38
Ta coù:  











  b
X
aP)bYa(P 2
2
0i
   





 




a
X
b
X
P
2
0i2
2
0i
Vaäy khoaûng öôùc löôïng cuûa 2 ôû ñoä tin caäy  laø:
   





  
a
X
,
b
X 2
0i
2
0i
F

a b

40. 39
IV. ÖÔÙC LÖÔÏNG 2 TRONG PHAÂN PHOÁI
)bieátchöa:(),,(N 2
0 
Quan saùt maãu X1, X2, … ,Xn ñoäc laäp;
),(N~X 2
i  ta duøng maãu naøy ñeå öôùc löôïng 2
Ta coù:
2
2
S)1n(
Y



 
)1n(~
XX 2
2
2
i






41. 40
Vôùi quy öôùc:
2
1
)bY(P)aY(P


Cho saün giaù trò )10(,  tìm 2 soá a, b
sao cho:  )bYa(P
Caùc giaù trò a, b ñöôïc cho bôûi baûng )1n(2

nhö sau:


 b
2
1
)bY(P




 a
2
1
2
1
)aY(P

42. 41
Ta coù:
)bYa(P 
   







 




a
XX
b
XX
P
2
i2
2
i
Vaäy khoaûng öôùc löôïng cuûa 2 ôû ñoä tin caäy 
laø:
   





 

 
a
XX
b
XX
2
i2
2
i

43. 42
V. ÖÔÙC LÖÔÏNG TÆ LEÄ P TRONG PHAÂN PHOÁI
B(1, P)
Goïi X1, X2, …, Xn ñoäc laäp; )p,1(B~Xi
maãu naøy ñeå öôùc löôïng p.
ta duøng
Ñaët: suaátTaàn:
n
XX
f n1 


)1,0(N~
)p1(p
n)pf(
Z



Cho saün giaù trò )10(,  ta tìm ñöôïc C
sao cho:

44. 43
 )CZC(P
Ta coù:









 C
)p1(p
n)pf(
CP





 



n
)p1(p
Cpf
n
)p1(p
CP





 



n
)p1(p
Cfp
n
)p1(p
CfP

45. 44
Bieåu thöùc naøy chöa söû duïng ñöôïc, vì caùc ñaàu
muùt cuûa khoaûng öôùc löôïng coøn phuï thuïoâc p
(chöa bieát vaø caàn öôùc löôïng).
Trong tröôøng hôïp naøy, ta duøng öôùc löôïng
ñieåm cuûa p ñeå thay theá vaøo caùc giaù trò ôû ñaàu
muùt khoaûng öôùc löôïng.
fp 

Do ñoù:





 



n
)f1(f
Cfp
n
)f1(f
CfP
Vaäy khoaûng öôùc löôïng cuûa p laø:
n
)f1(f
Cfp



46. 45
Thí duï:
Quan saùt ngaãu nhieân 200 loï thuoác trong moät
loâ haøng raát nhieàu, ta thaáy coù 17 loï khoâng ñaït
tieâu chuaån. Haõy öôùc löôïng tæ leä thuoác khoâng
ñaït tieâu chuaån (p) ôû ñoä tin caäy 95%.
Giaûi:
Ta coù:
085.0
200
17
f 
Vaäy:










200n
96.1C
085.0f
;
n
)f1(f
Cfp
200
)915.0)(085.0(
)96.1(085.0 
039.0085.0p 

47. 46
Vaán Ñeà Côõ Maãu
Giaû söû ta muoán öôùc löôïng p ôû ñoä tin caäy , vôùi
sai soá khoâng quaù , thì quan saùt maãu ít nhaát
maáy tröôøng hôïp?
Ta muoán:
 pf
Ta choïn:


n
)f1(f
C
n
)f1(f
C 



48. 47
2
2
)f1(fC
n


 ( neáu bieát f )
Trong tröôøng hôïp khoâng bieát f
Ta coù:
4
1
)f1(f  khi 0  f  1
Vaäy neáu choïn:
2
2
2
2
2
2
)f1(fC
4
C4
1
C
n













Do ñoù ta cuõng coù coâng thöùc tính n:
2
2
4
C
n



49. 48
Thí duï:
Ta muoán öôùc löôïng tæ leä beänh soát reùt (p) ôû
vuøng ÑB soâng Cöûu Long.
• 1. Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.02 ôû
ñoä tin caäy 95% thì quan saùt ít nhaát maáy ngöôøi?
• 2. Ta quan saùt ngaãu nhieân 200 ngöôøi, thaáy coù
24 ngöôøi maéc beänh soát reùt.
• a. Tìm khoaûng öôùc löôïng cuûa p ôû ñoä tin
caäy 95%.
• b. Muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.02
ôû ñoä tin caäy 95% thì quan saùt ít nhaát
maáy ngöôøi?

50. 49
Giaûi:







02.0
96.1C
;
4
C
n 2
2
1. n  2401 ngöôøi












200n
96.1C
12.0
100
24
f
;
n
)f1(f
Cfpa.
2.
045.012.0p 

51. 50
b.











02.0
12.0f
96.1C
;
)11(fC
n 2
2
ngöôøi1015n
18.1014n

 
Ta thaáy trong tröôøng hôïp caâu 2 vôùi maãu
thaêm doø seõ cho ta côõ maãu n thaáp hôn,
nhö vaäy chæ caàn quan saùt ít cuõng ñuû.

52. 51
TOÙM TAÉT

53. 52
I. ÖL  trong PP N )bieátñaõ:(),,( 2
0
2
0 
Öôùc löôïng: ,
n
CX 0
 C ñoïc trong PP chuaån
Côõ maãu: Muoán sai soá toái ña  thì:
2
2
0
2
C
n



II. ÖL  trong PP N )bieátchöa:(),,( 22

Öôùc löôïng: ,
n
S
CX  C ñoïc trong PP
Student(n–1)
Côõ maãu: Muoán sai soá toái ña  thì:
2
22
SC
n

 , C ñoïc trong PP chuaån

54. 53
III. ÖL 2 trong PP N )bieátñaõ:(),,( 0
2
0 
 Khoaûng öôùc löôïng:
   







 

 
a
X
b
X
2
0i2
2
0i
2
1
)bY(P


Vôùi:
2
1
)aY(P


a, b ñoïc trong )n(2


55. 54
IV. ÖL 2 trong PP N )bieátchöa:(),,( 2

 Khoaûng öôùc löôïng:
   





 

 
a
XX
b
XX
2
i2
2
i
2
1
)bY(P


vôùi:
2
1
)aY(P


a, b ñoïc trong )1n(2


56. 55
V. ÖL tæ leä p trong PP B(1, p)
 Öôùc löôïng:
,
n
)f1(f
Cfp

 C ñoïc trong PP chuaån
 Côõ maãu:
2
2
)f1(fC
n


 neáu bieát f
2
2
4
C
n

 neáu khoâng bieát f

57. 56

58. 57
1. Ño ñöôøng kính X (ñôn vò : mm) cuûa moät chi
tieát maùy do moät maùy tieän töï ñoäng saûn xuaát, ta
ghi nhaän ñöôïc soá lieäu nhö sau:
X(mm) 12.00 12.05 12.10 12.15 12.20 12.25 12.30 12.35 12.40
Soá 2 3 7 9 10 8 6 5 3
a. Tính trung bình maãu X vaø ñoä leäch tieâu
chuaån cuûa S.
• b. Öôùc löôïng ñöôøng kính trung bình (x) ôû
ñoä tin caäy 0,95.
Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù
=0,02 mm ôû ñoä tin caäy 0,95 thì quan saùt maãu
ít nhaát maáy tröôøng hôïp?

59. 58
GIAÛI (1):
a. Ta coù:
n = 53 tröôøng hôïp
mm21,12X 

60. 59
Khoaûng öôùc löôïng cuûa trung bình:b.
n
S
CX)x( 
53
10,0
)96,1(21,12 
= 12,21  0,03 mm
Muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù  = 0,02 mm
thì côõ maãu laø:
61,101
)02,0(
)10,0()96,1(SC
n 2
22
2
22



n  102 tröôøng hôïp

61. 60
2. Ñem caân moät soá traùi caây vöøa thu hoaïch ôû
noâng tröôøng, ta ñöôïc keát quaû nhö sau:
X(gam) 200
210
210
220
220
230
230
240
240
250
Soá traùi 12 17 20 18 15
• a. Tìm khoaûng öôùc löôïng cuûa troïng löôïng
trung bình  cuûa traùi caây ôû noâng tröôøng ôû
ñoä tin caäy 0,95 vaø 0,99.
• b. Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 
= 2g ôû ñoä tin caäy 0,95 thì quan saùt ít nhaát
maáy tröôøng hôïp?

62. 61
• c.Traùi caây coù troïng löôïng X  230 gam
ñöôïc xeáp vaøo loaïi A.
Haõy tìm khoaûng öôùc löôïng tæ leä p cuûa traùi
caây loaïi A ôû ñoä tin caäy 0,95 vaø 0,99. Neáu
muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù  = 0,04 ôû
ñoä tin caäy 0,99 thì quan saùt maãu ít nhaát
maáy tröôøng hôïp?

63. 62
GIAÛI (2)
a. Ta coù: n = 82 traùi
gam85,225X 
S = 13,26 gam
n
S
CX 
Vôùi ñoä tin caäy 95%, ta coù:
g78,285,225
82
26,13
)96,1(85,225 
Vôùi ñoä tin caäy 99%, ta coù:
g78,385,225
82
26,13
)85,2(85,225 

64. 63
b. Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 2
gam, thì côõ maãu laø:
84,168
2
)26,13()96,1(SC
n 2
22
2
22



n  169 traùi.
c. Tæ leä traùi caây loaïi A ôû maãu laø:
40,0
82
1518
f 


Khoaûng öôùc löôïng cuûa p laø:
n
)f1(f
Cfp



65. 64
Vôùi ñoä tin caäy 0,95 ta coù:
Vôùi ñoä tin caäy 0,99 ta coù:
14,040,0
82
)6,0)(4,0(
)58,2(40,0p 
Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù =0,04
ôû ñoä tin caäy 0,99 thì côõ maãu laø:
46,998
)04,0(
)6,0)(4,0()58,2()f1(fc
n 2
2
2
2




11,040,0
82
)6,0)(4,0(
)96,1(40,0p 
n  999 traùi

66. 65
3. Ngöôøi ta ño ion Na+ treân moät soá ngöôøi vaø
ghi nhaän ñöôïc keát quaû nhö sau (ñôn vò:
mEq/lít)
129, 132, 140, 141, 138, 143
133, 137, 140, 143, 138, 140
Tính trung bình maãu X vaø phöông sai cuûa
maãu S2
Haõy öôùc löôïng trung bình  vaø phöông sai
2 cuûa daân soá ôû ñoä tin caäy 0,95
Neáu muoán sai soá öôùc löôïng trung bình
khoâng quaù  = 1 mEq/l vôùi ñoä tin caäy 0,95
thì quan saùt maãu ít nhaát maáy ngöôøi?

67. 66
Ta coù: n = 12 ngöôøi
GIAÛI (3):
92,137X  mEq/lít
S = 4,42 mEq/lít
S2 = 19,54 (mEq/lít)2
Khoaûng öôùc löôïng cuûa trung bình:
n
S
CX 
12
42,4
)20,2(92,137 
= 137,92  2,81 mEq/l

68. 67
Khoaûng öôùc löôïng phöông sai:
   
a
XX
b
XX
2
i2
2
i  


Ta coù:
   19,214)54,19(11S)1n(XX 22
i
92,21b025,0)bY(P 
82,3a975,0)aY(P 
(Caùc giaù trò a, b ñoïc ôû baûng 2(11) )

69. 68
Do ñoù:
82,3
92,214
92,21
92,214 2

26,5680,9 2

Neáu muoán sai soá khoâng quaù  = 1 mElq/l ôû
ñoä tin caäy 0,95 thì côõ maãu laø:
06.75
)1(
)54.19()96.1(SC
n 2
2
2
22



Vaäy quan saùt ít nhaát 76 ngöôøi.

70. 69
4. Quan saùt tuoåi thoï X(giôø) cuûa moät soá
boùng ñeøn do xí nghieäp A saûn xuaát, ta coù:
X 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800
Soá 10 14 16 17 18 16 16 12 9
Tính trung bình maãu X vaø ñoä leäch tieâu
chuaån cuûa maãu.
Haõy öôùc löôïng tuoåi thoï trung bình cuûa boùng
ñeøn ôû ñoä tin caäy 0,95 vaø 0,99.
Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù  = 30
giôø, ôû ñoä tin caäy 0,99 thì quan saùt maãu ít nhaát
maáy tröôøng hôïp?

71. 70
Ta coù: n = 128 tröôøng hôïp
GIAÛI (4):
giôø41,1391X 
S = 234,45 giôø
Khoaûng öôùc löôïng cuûa trung bình:
n
S
CX 
Vôùi ñoä tin caäy 0,95 ta coù:
128
45,234
)96,1(41,1391 
giôø62,4041,1391 

72. 71
Vôùi ñoä tin caäy 0,99 ta coù:
128
45,234
)58,2(41,1391 
= 1391,41  53,46 giôø
Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù  = 30
giôø, ôû ñoä tin caäy 0,99 thì côõ maãu laø:
52,406
)30(
)45,234()58,2(SC
n 2
2
2
22



n  407 tröôøng hôïp.

73. 72
5. Ta muoán öôùc löôïng tæ leä vieân thuoác bò söùt
meû p trong moät loâ thuoác raát nhieàu.
a. Neáu ta muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù
0,01 ôû ñoä tin caäy  = 0,95 thì phaûi quan saùt ít
nhaát maáy vieân?
b. Quan saùt ngaãu nhieân 200 vieân, thaáy coù
18 vieân bò söùt meû
 Haõy öôùc löôïng p ôû ñoä tin caäy  = 0,95
 Trong tröôøng hôïp naøy, neáu muoán sai soá
öôùc löôïng khoâng quaù 0,01 ôû ñoä tin caäy
=0.95 thì phaûi quan saùt ít nhaát maáy vieân?

74. 73
GIAÛI (5):
a. Vieân9604
)01,0(4
)96,1(
4
C
n 2
2
2
2



b. 09,0
200
18
f 
n
)f1(f
Cfp


200
)91,0)(09,0(
)96,1(09,0 
04,009,0p 

75. 74
2
2
)f1(fC
n



27,3146
)01,0(
)91,0)(09,0()96.1(
2
2

vieân3147n 

76. 75
6. Quan saùt chieàu cao X (cm) cuûa moät soá
ngöôøi, ta ghi nhaän ñöôïc:
X(cm) 140
145
145
150
150
155
155
160
160
165
165
170
Soá
ngöôøi
1 3 7 9 5 2
Tính X vaø S2a.
b. Haõy öôùc löôïng  vaø 2 ôû ñoä tin caäy
95,0

77. 76
GIAÛI (6):
a. n = 27 ngöôøi, cm20,156X 
S = 6,14 cm, S2 = 37,68 (cm)2
27
14,6
)06,2(20,156
n
S
CX 
b.
cm43,220,156 
   
a
XX
b
XX
2
i2
2
i  



78. 77
 










)261n(~
S)1n(
Y
)cm(63,979S)1n(XX
2
2
2
222
i
975,0)aY(P
025,0)bY(P








84,13a
92,41b
84,13
63,979
92,41
63,979 2

22
cm78,7037,23 

79. 78
7. Moät loaïi thuoác môùi ñöôïc ñem thöû ñieàu trò
cho 50 ngöôøi bò beänh B, keát quaû coù 40 ngöôøi
khoûi beänh.
a. Haõy öôùc löôïng tæ leä p khoûi beänh neáu duøng
thuoác ñoù ñieàu trò, ôû ñoä tin caäy =0.95 vaø
0,99.
b. Neáu ta muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù
0,02 ôû ñoä tin caäy  = 0,95 thì phaûi quan saùt ít
nhaát maáy tröôøng hôïp?

80. 79
GIAÛI (7):
a. 80,0
50
40
f 
n
)f1(f
CfP


:95,0
50
)2,0)(8,0(
)96,1(80,0P 
11,080,0 
:99,0
50
)2,0)(8,0(
)58,2(80,0P 
15,080,0 

81. 80
b.
64,1536
)02,0(
)2,0)(8,0()96,1()f1(fC
n 2
2
2
2




n  1537 ngöôøi

82. 81
8. Moät loaïi beänh coù tæ leä töû vong laø 0,10
Muoán chöùng toû 1 loaïi thuoác coù hieäu nghieäm
(nghóa laø haï thaáp ñöôïc tæ leä töû vong) ôû ñoä tin
caäy  = 0,95 thì phaûi thöû thuoác ñoù treân ít
nhaát bao nhieâu ngöôøi?

83. 82
GIAÛI (8):
P0=0,10
Goïi P = tæ leä töû vong khi coù duøng thuoác.
Duøng thuoác ñaëc trò moät soá ngöôøi, theo doõi
keát quaû (laáy maãu).
Ñaët
n
X
f i = tæ leä töû vong ôû maãu.
 Neáu f  0,10: Thuoác phaûn taùc duïng (loaïi)
 Neáu 0 < f < 0,10: Öôùc löôïng P
n
)f1(f
CfP



84. 83
Thuoác coù hieäu nghieäm neáu
10,0
n
)f1(f
CfPmax 


f10,0
n
)f1(f
C 

n
f10,0
)f1(fC



2
2
)f10,0(
)f1(fC
n




85. 84
9. Ñeå ñaùnh giaù söùc khoûe caùc beù gaùi sô sinh,
ngöôøi ta kieåm tra soá ño troïng löôïng caùc
chaùu gaùi sô sinh trong moät beänh vieän vaø coù
keát quaû thoáng keâ sau:
X 1,7
2,1
2,1
2,5
2,5
2,9
2,9
3,3
3,3
3,7
3,7
4,1
n 4 20 21 15 2 3

86. 85
a. Bieát troïng löôïng beù gaùi sô sinh theo phaân
phoái chuaån ),(N 2
σμ haõy tìm caùc öôùc löôïng
ñuùng(khoâng cheäch) cuûa  vaø 2.
• b. Ta quy ñònh nhöõng beù gaùi sô sinh naëng
treân 2,9 kg laø beù khoûe. Haõy öôùc löôïng tæ leä
beù khoûe trong vuøng vôùi ñoä tin caäy 99%.
• c. Haõy tìm khoaûng tin caäy cho troïng löôïng
trung bình cuûa beù gaùi sô sinh vôùi ñoä tin caäy
95%.

87. 86
GIAÛI (9):
Ta coù
Xi 1,9 2,3 2,7 3,1 3,5 3,9
n 4 20 21 15 2 3
Öôùc löôïng ñuùng cuûa µ laø 2,7X 
2
0,215S Öôùc löôïng ñuùng cuûa laø2


88. 87
b. Ta caàn öôùc löôïng khoaûng tæ leä
65
20
f 
caùc beù khoûe vôùi ñoä tin caäy 99% )01.0( 
khi ñoù: 58,2C 
Vaäy ta coù:
   



 


 
n
f1f
Cf;
n
f1f
Cf
Daãn tôùi [0,159 ; 0,455] laø khoaûng öôùc löôïng.
Hay 0,307 0,148  

89. 88
c. Ta caàn öôùng löôïng khoaûng tin caäy ñoái vôùi
trung bình  vôùi ñoä tin caäy 95%, vôùi
46,0215,0S 
Neân koaûng öôùc löôïng cuûa µ:



 
n
S
.96,1X
ˆ
;
n
S
.96,1X
hay:
 2,59; 2,81
2,70 0,11  

90. 89
10. Cho hai maãu ñoäc laäp cuøng côõ 10, ruùt ra
töø daân soá coù phaân phoái ),(N 2
σμ1 ),(Nvaø 2
σμ2
Neáu: 65,8S;8,4X 2
11 
88,7S;6,5X 2
22 
Haõy tìm khoaûng tin caäy 95% daønh cho 1–
2.

91. 90
GIAÛI (10):
a.
Vì:
4
S
S
2
2
2
1

)2mn(t~
m
1
n
1
)(XX( 2121





m
1
n
1
C)XX( 2121  


92. 91
2mn
S)1m(S)1n(
Vôùi
2
2
2
12



26,8
18
)88,7(9)65,8(9



87,2

1,2)18(tC 025,0 
69,28,0
10
2
)87,2(1,2)8,46,5(12 

93. 92
Baøi 1
Moät maãu goàm 35 ngöôøi bò K tieàn lieät tuyeán
coù di caên, tính ra haøm löôïng trung bình PSA
(Prostate Specific Antigen) laø 15ng/ml vôùi ñoä
leäch chuaån laø 1.5 ng/ml.
Tìm khoaûng tin caäy 95% veà giaù trò trung bình
PSA trong daân soá. Ñeå sai soá öôùc löôïng khoâng
quaù 0.2 ng/ml thì côû maãu phaûi laø bao nhieâu?

94. 93
Baøi giaûi (1-23)
Khoaûng tin caäy 95% veà giaù trò trung bình PSA:
n
S
CX 






35
5.1
)96.1(15
ml/g50.015 
Muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù ml/ng20.0
thì côû maãu laø:
2
22
SC
n



95. 94
09.216
)2.0(
)50.1()96.1(
n 2
22

ngöôøi217n 

96. 95
BAØI 2:
Ta muoán öôùc löôïng tyû leä vieân thuoác bò söùt meû
cuûa moät maùy daäp vieân A.
1. Phaûi quan saùt ít nhaát maáy vieân ñeå sai soá öôùc
löôïng khoâng quaù 0.03 ôû ñoä tin caäy 0.95
2. Ta quan saùt ngaãu nhieân 150 vieân töø maùy
daäp vieân A thaáy coù 16 vieân bò söùt meû.
 Tìm khoaûng öôùc löôïng cuûa tyû leä vieân
thuoác bò söùt meû vôùi ñoä tin caäy 0.95
Trong tröôøng hôïp naøy neáu muoán sai soá öôùc
löôïng khoâng quaù 0.03, ôû ñoä tin caäy 0.95 thì
phaûi quan saùt ít nhaát maáy tröôøng hôïp?

97. 96
Baøi giaûi (2-19)
11.1067
)03.0(4
)96.1(
4
C
n.1 2
2
2
2



vieân1068n 
2. Goïi p laø tyû leä vieân thuoác bò söùt meû cuûa
maùy daäp vieân vaø f laø tyû leä vieân thuoác bò söùt
meû ôû maãu quan saùt, ta coù:
1067.0
150
16
f 
Khoaûng öôùc löôïng cuûa p laø:

98. 97
n
)f1(f
Cfp


150
)1067.01)(1067.0(
)96.1(1067.0p


05.01067.0p 
Côû maãu phaûi quan saùt ñeå sai soá öôùc löôïng
khoâng qua  = 0.03
2
2
2
2
)03.0(
)8937.0)(1067.0()96.1()f1(fC
n 



= 406.73
Vaäy n  407 vieân

99. 98
Baøi 3:
Quan saùt ngaãu nhieân 200 loï töø moät loâ thuoác,
ta thaáy coù 38 loï hoûng.
1. Tìm khoaûng tin caäy 95% cuûa tyû leä thuoác
hoûng cuûa loâ thuoác ñoù.
2. Vôùi ñoä tin caäy 95%, neáu muoán sai soá öôùc
löôïng khoâng quaù 1% thì côû maãu toái thieåu
laø bao nhieâu?

100. 99
Giaûi (3-17)
1) Taàn suaát cuûa maãu quan saùt: 19.0
200
38
f 
Khoaûng öôùc löôïng cuûa tyû leä:
n
)f1(f
Cfp


200
)81.0)(19.0(
)96.1(19.0p 
05.019.0p 

101. 100
2) Ta coù:
2
2
)f1(fC
n



22.5912
)01.0(
)81.0)(19.0()96.1(
n 2
2

Vaäy phaûi quan saùt ít nhaát 5913 loï

102. 101
Baøi 4:
Khaùm ngaãu nhieân 150 ngöôøi thaáy coù 18
ngöôøi maéc beänh B.
1. Tìm khoaûng tin caäy 95% veà tyû leä beänh naøy
trong daân soá.
2. Muoán khoaûng tin caäy ñoù khoâng roäng quaù
0.02 thì phaûi khaùm ít nhaát bao nhieâu
ngöôøi?

103. 102
Baøi giaûi (4-16)
Ta coù: 12.0
150
18
f 
1) Khoaûng tin caäy cuûa p:
n
)f1(f
Cfp


150
)88.0)(12.0(
)96.1(12.0p 
05.012.0 

104. 103
2) Muoán khoaûng tin caäy khoâng roäng quaù 0.02
thì sai soá toái ña laø  = 0.01, do ñoù:
2
2
)f1(fC
n



2
2
(0.12)(0.88)
n (1.96) 4056.73
(0.01)
 
Vaäy phaûi quan saùt ít nhaát 4057 ngöôøi.

105. 104
BAØI 5
Ño löôïng cholesteùroleùmie X (mg%) treân moät
soá ngöôøi bình thöôøng, keát quaû:
X 125
149
150
174
175
199
200
224
225
249
250
274
275
299
300
324
Ni 2 5 5 7 10 10 8 3
Tính vaø S. Tìm khoaûng tin caäy 0.95 cuûa
löôïng cholesteùroleùmie trung bình trong daân
soá.
X

106. 105
Baøi giaûi (5-15)
X 137 162 187 212 237 262 287 312
n 2 5 5 7 10 10 8 3
Ta coù: n = 50;
%mg50.234X 
S=46.91%
Khoaûng öôùc löôïng cuûa trung bình:






50
91.46
)96.1(50.234
n
S
CX
%mg00.1350.234 

107. 106
BAØI 6
Quan saùt söùc naëng X(gam) cuûa 25 treû sô sinh
con trai, ta ghi nhaän ñöôïc:
X(gam) 2200 2500 2800 3100 3400 3700
Soá Tr. hôïp 1 1 4 10 7 2
1. Haõy öôùc löôïng söùc naëng trung bình (X) ôû
ñoä tin caäy 0.95
2. Quan saùt söùc naëng Y (gam) cuûa 30 treû sô
sinh con gaùi, ta tính ñöôïc: g300S;g3000Y Y 
• Nhaäp chung hai maãu laïi, haõy döïa vaøo maãu
nhaäp ñeå öôùc löôïng söùc naëng trung bình cuûa
treû sô sinh ôû ñoä tin caäy 0.95

108. 107
Baøi giaûi (6-14)








g54.345S
g3124X
25n
X
1.
Khoaûng öôùc löôïng cuûa trung bình:






25
54.345
)06.2(3124
n
S
CX X
X
g36.1423124X 

109. 108
2) Nhaäp hai maãu laïi, goïi Z laø soá lieäu maãu
nhaäp, ta coù:
55
)3000(30)3124(25
mn
YmXn
Z





g36.3056
1n
XnX
S
22
2
x




 
222
x XnXS)1n(
 
22
X
2
XnS)1n(X

110. 109
  222
)3124(25)54.345(24XMaãu 1:
= 246849949.40
  222
)3000(30)300(29YMaãu 2:
= 272610000
Maãu nhaäp:    222
YXZ
= 519459949.40

111. 110
1N
Z.NZ
S
22
2
Z




54
)36.3056(5540.519459949 2


= 105304.53
g51.32453.105304SZ 
N
S
CZ Z
Z 






55
51.324
)96.1(36.3056
g76.8536.3056 

112. 111
BAØI 7:
Ta muoán öôùc löôïng tyû leä p cuûa beänh B ôû TP.
HCM
1) Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.03
ôû ñoä tin caäy 0.95 thì quan saùt ít nhaát maáy
ngöôøi?
2) Quan saùt ngaãu nhieân 180 ngöôøi, thaáy coù 25
ngöôøi maéc beänh B.
– Haõy öôùc löôïng p ôû ñoä tin caäy 0.95
– Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.03
ôû ñoä tin caäy 0.95 thì quan saùt maãu ít nhaát
maáy ngöôøi?

113. 112
Baøi giaûi (7-13)
11.1067
)03.0(4
)96.1(
4
C
n 2
2
2
2


1.
Vaäy quan saùt ít nhaát 1068 ngöôøi
14.01388.0
180
25
f 2.
n
)f1(f
Cfp


180
)86.0)(14.0(
)96.1(14.0 
05.014.0p 

114. 113
Trong tröôøng hôïp naøy muoán sai soá öôùc löôïng
khoâng quaù  = 0.03 thì côû maãu caàn quan saùt
laø:
2
2
2
2
)03.0(
)86.0)(14.0()96.1()f1(fC
n 



= 510.50
Vaäy côû maãu quan saùt n  511 ngöôøi

115. 114
BAØI 8:
Quan saùt ngaãu nhieân 180 treû em ôû vuøng A,
thaáy coù 27 treû em suy dinh döôõng.
Haõy öôùc löôïng tyû leä p cuûa treû em bò suy dinh
döôõng ôû vuøng A vôùi ñoä tin caäy  = 95% vaø
=99%
Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù =0.02
ôû ñoä tin caäy  = 95% thì quan saùt maãu ít
nhaát maáy tröôøng hôïp?

116. 115
Baøi giaûi (8-12)
Öôùc löôïng tyû leä p:
Ta coù: 15.0
180
27
f 
Khoaûng öôùc löôïng cuûa p laø:
n
)f1(f
Cfp


Vôùi ñoä tin caäy  = 95% thì:
180
)85.0)(15.0(
)96.1(15.0p 
05.015.0 

117. 116
Vôùi ñoä tin caäy  = 99% thì:
07.015.0
180
)85.0)(15.0(
)58.2(15.0p 
Neáu muoán sai soá öôùc löôïng khoâng quaù 0.02
thì côû maãu laø:
2
2
2
2
)02.0(
)85.0)(15.0()96.1()f1(fC
n 



51.1224
Vaäy phaûi quan saùt ít nhaát 1225 treû em.

118. 117
BAØI 9:
Ta muoán öôùc löôïng tyû leä vieân thuoác bò söùt meû
p cuûa moät maùy daäp vieân A.
1. Phaûi quan saùt ít nhaát maáy vieân ñeå sai soá öôùc
löôïng khoâng quaù 0.03 ôû ñoä tin caäy 0.95.
2. Quan saùt ngaãu nhieân 150 vieân töø maùy daäp
ñoù thì thaáy coù 16 vieân bi bò söùt meû. Tìm
khoaûng öôùc löôïng cuûa tyû leä vieân thuoác bò
söùt meû vôùi ñoä tin caäy 0.95
Trong tröôøng hôïp naøy neáu muoán sai soá öôùc
löôïng khoâng quaù 0.03, ôû ñoä tin caäy 0.95 thì
phaûi quan saùt bao nhieâu tröôøng hôïp?

119. 118
Baøi giaûi (9-08)
11.1067
)03.0(4
)96.1(
4
C
n 2
2
2
2


1.
Vaäy n  1068 vieân
Öôùc löôïng p:2.
11.01067.0
150
16
f 
n
)f1(f
Cfp



120. 119
150
)89.0)(11.0(
)96.1(11.0p 
05.011.0 
2
2
)f1(fC
n



88.417
)03.0(
)89.0)(11.0()96.1(
n 2
2

n  418 vieân

121. 120