Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
МЕТОДИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА         ДЛЯ НЕБОЛЬШОГО ЧИСЛА ИСПЫТАНИЙ                 В СРЕДЕ В MATHCAD     ...
риментальных данных» авторов С.Н.Кункина, П.А.Кузнецова, В.Н.Вострова,А.Г.Рябинина, а также других источниках, кроме точеч...
«исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению sслужит доверительный интервал                            ...
ключается в определении по выборке                нижней и верхней границинтервала       . Доверительная вероятность γ выб...
,     где под ε понимается точность накрытия, а доверительный интервалзапишется                                           ...
,которая в случае         или         называется критерием совместимости.Предельные значения Θ зависят от числа опытов n и...
выполняется, для максимального – не имеет места. Поэтому считаем величи-ну 3,80 грубой ошибкой-промахом, которую отбрасыва...
dv := Var( x)                              ( xi − xs) 2dv = 0.306                                  ∑          n −1        ...
ки по теме работы, выявлены общие положения и различия в работах различ-ных исследователей (авторов). По результатам анали...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

МЕТОДИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА

13,273 views

Published on

  • Решен пример на 'языке' теории вероятности. Язык теории - это метатеория, тогда правильно 'метоязык вероятности'. Логики предикатов второго порядка не заметил в работе.
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

МЕТОДИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА

  1. 1. МЕТОДИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА ДЛЯ НЕБОЛЬШОГО ЧИСЛА ИСПЫТАНИЙ В СРЕДЕ В MATHCAD Выполнили: студентки группы 08ФАПИ спец. 080801 «ПИ в экономике» Воинова А.В., Курилова Е.И., Штин О.А. Научный руководитель: Часов К.В., кпн, доцент кафедры ОНД АМТИ Большое число измерений, проводимых в технике и на производстве,осуществляется с некоторой погрешностью, иной раз с ошибками, а провестибесконечное число измерений для получения верного результата в реальнойжизни невозможно, поэтому важно дать объективное представление ре-зультатов ограниченного числа измерений, с этой целью мы проводим своюисследовательскую работу. Цель нашей исследовательской работы – разработка методики получе-ния наиболее точного значения исследуемой характеристики. Как известно,доверительный интервал позволяет с определенной точностью получить рас-пределение параметра, что дает хорошее представление об исследуемомобъекте. Это потребовало от нас изучения большого числа литературных ис-точников по указанной теме. В источниках по теории вероятности и матстатистике вопрос о вычис-лении доверительного интервала рассматривается по-отдельности для случа-ев числа испытаний больше 30 и меньше 30. На практике мы всегда имеем дело с ограниченным числом измерений,и задача, которая всегда стоит перед исследователем, состоит в том, как оце-нить точность измерений, т.е. найти его меру приближения к истинному зна-чению на основании группы результатов наблюдений. В частности, в работах «Статистические методы обработки данных»(лабораторный практикум) авторов В.С.Муха и Т.В.Слуяновой, «Теория ве-роятностей и математическая статистика» (конспект лекций) авторовА.И.Волковец и А.Б.Гуринович, «Математические методы обработки экспе-
  2. 2. риментальных данных» авторов С.Н.Кункина, П.А.Кузнецова, В.Н.Вострова,А.Г.Рябинина, а также других источниках, кроме точечной оценки, котораяопределяется одним числом, рассматривают интервальную оценку. При выборке малого объема и точечная, и интервальная оценки могутприводить к грубым ошибкам, что вызвано различными причинами, вчастности, ошибками экспериментатора (в том числе измерительной аппара-туры) или неправильной методикой проведения эксперимента. Именно поэтой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интер-вальными оценками. Интервальные оценки параметров распределений. По определению В.Е.Гмурмана (В.Е.Гмурман «Теория вероятностей иматематическая статистика»), «интервальной называют оценку, котораяопределяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оценивае-мый параметр». Интервальные оценки позволяют установить точность и на-дежность оценок. Этот вопрос рассматривается В.Е.Гмурманом следующим образом: 1. Интервальной оценкой (с надежностью γ) математического ожида-ния а нормально распределенного количественного признака X по выбороч-ной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ гене-ральной совокупности служит доверительный интервал , где – точность оценки, n – объем выборки, t – значение аргумента функции Лапласа Ф(t) (обычно табулирует-ся, соответствующая таблица содержится в приложениях), при котором ; при неизвестном а (и объёме выборки n < 30). , где s – «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклоне-ние, находят по таблице, которое также обычно содержится в прило-жениях, по заданным n и γ. 2. Интервальной оценкой (с надежностью γ) среднего квадратическогоотклонения σ нормально распределенного количественного признака X по
  3. 3. «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению sслужит доверительный интервал (при q<1), (при q > 1), где q находят по таблице соответствующего приложения по заданным nи γ. 3. Интервальной оценкой (с надежностью γ) неизвестной вероятности рбиномиального распределения по относительной частоте w служит довери-тельный интервал (с приближенными концами p1 и р2) p1 < р < р2 где где n – общее число испытаний; m – число появлений события; w – относительная частота, равная отношению m/n; t – значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(t) = γ/2 (γ– заданная надежность). Замечание. При больших значениях n (порядка сотен) можно принятьв качестве приближенных границ доверительного интервала В работе «Математические методы обработки экспериментальных дан-ных» авторов С.Н. Кункина, П.А. Кузнецова, В.Н. Вострова, А.Г. Рябининаговорится, что при проведении измерений случайной величины важно уста-новить величину доверительного интервала по данному числу измерений.Доверительный интервал нужен для установления границ приближенногооценивания случайного параметра, случайный характер которого обусловленрядом неучтенных факторов, влияющих на его значение. Доверительным интервалом для некоторого параметра θ называетсяинтервал накрывающий параметр θ с доверительной вероятностью γ : . Задача получения интервальной оценки параметра распределения за-
  4. 4. ключается в определении по выборке нижней и верхней границинтервала . Доверительная вероятность γ выбирается близкой к 1 из на-бора чисел {0,9; 0,95; 0,975}. Для придания задаче однозначности уравнение выше представляют ввиде двух уравнений где (В.С.Муха и Т.В.Слуянова). Аналогично этот вопрос рассматривают авторы А.И.Волковец иА.Б.Гуринович. По нашему мнению в работах указанных выше авторов, а также Гмур-мана В.Е., для малого количества испытаний не учитываются грубые ошиб-ки-промахи, на которые обращено внимание в работе «Математические мето-ды обработки экспериментальных данных» авторов С.Н.Кункина, П.А.Кузне-цова, В.Н.Вострова, А.Г.Рябинина. Изучение всей генеральной совокупности во многих случаях либо не-возможно, либо нецелесообразно в силу больших материальных затрат,поэтому на практике часто приходится иметь дело с выборками небольшогообъема п<10-20. В этом случае используемый обычно метод построения ин-тервальной оценки для генеральной средней (среднего арифметического ге-неральной совокупности) и генеральной доли (доли элементов, обладающихнеобходимым признаком) неприменим в силу двух обстоятельств: 1) необоснованным становится вывод о нормальном законе распределе-ния выборочных средней и доли w, так как он основан на центральной пре-дельной теореме при больших п; 2) необоснованной становится замена неизвестных генеральной дис-персии σ2 и доли р их точечными оценками (или ) или w, так как в силузакона больших чисел (состоятельности оценок) эта замена возможна лишьпри больших п. Решение задачи 1 Теория Выберем вероятность накрытия - α , тогда можно записать на основа-нии теории вероятностей
  5. 5. , где под ε понимается точность накрытия, а доверительный интервалзапишется , где – выборочная оценка. Если случайная величина подчиняется нормальному закону распреде-ления, то при большом числе повторных измерений (не менее 30) вероят-ность отклонения вычисляется как удвоенная функция Лапласа. Если имеет место более типичный случай малого числа измерений(n < 30), тогда в соответствии с распределением Стьюдента доверительныйинтервал определяется по формуле: , где t – параметр распределения Стьюдента, определяемый из соответ-ствующей таблицы, приводимой практически в каждом учебном издании потеории вероятностей и матстатистике (к примеру, Приложение 3. Таблицазначений tγ = t ( γ , n ) . В.Е. Гмурман. «Теория вероятностей и математическаястатистика»). 2 Выявление и исключение промахов из серии измерений Если серия из небольшого количества опытов содержит грубую ошиб-ку-промах, то среднее значение измеряемой величины и границы доверитель-ного интервала могут сильно искажать реальные величины измеряемого па-раметра. Промахи нужно исключать из числа наблюдений. Если в выборке есть значение, подозреваемое как промах, то следуетпровести анализ условий проведения эксперимента. Если в методике прове-дения опытов ошибки не обнаружено, то проводится статистический анализподозреваемого значения. Выявление ошибочных опытных данных осуществляется по критериюГруббса и выполняется в следующем порядке: 1. По результатам опытов определяем стандартное отклонение (средне-квадратичное отклонение) по формуле . 2. Рассматриваем переменную Θ:
  6. 6. ,которая в случае или называется критерием совместимости.Предельные значения Θ зависят от числа опытов n и заданной надежности р.В следующей таблице (таблица 1) представлены значения Θкр.. для довери-тельной вероятности р = 0,95. 3. Если Θ > Θкр., то хi max следует отбросить, как опыт, содержащийгрубую ошибку.Таблица 1 – Значения Θкр 3 Практическое применение метода Оценить доверительный интервал – средней толщины плоскихдеталей из листового материала по данным измерений, приведенных в табли-це при доверительной вероятности 0,95. Решение:n = 6; α = 0,95 ; t =2.57. 1X0 = ( 2,50 + 2,40 + 2,45 + 2,53 + 2,38 + 3,80) = 2,677 . 6D[ x ] = σ 2 = 1 6 [ ] ( 2,50 − 2,677 ) 2 + ( 2,40 − 2,677 ) 2 + ... + ( 3,80 − 2,677 ) 2 = 0,255 . n 6S2 = D = ⋅ 0,255 = 0,306 , S = 0,553 . n −1 5 Вычисляем Θ для различных значений (минимального и максимально-го) случайной величины. Θ = |2,38-2,677|/0,553 = 0,537 для минимального значения, Θ = |3,80-2,677|/0,553 = 2,03 для максимального значения. Из указанной выше таблицы 1 для n = 6 и α = 0,95 выбираем Θкр. = 2,00. Очевидно, что для минимального значения критерий совместимости
  7. 7. выполняется, для максимального – не имеет места. Поэтому считаем величи-ну 3,80 грубой ошибкой-промахом, которую отбрасываем и производим всевычисления заново с 5-ю значениями. n = 5; α = 0,95 ; t =2,78. 1X0 = ( 2,50 + 2,40 + 2,45 + 2,53 + 2,38) = 2,452 . 5D[ x ] = σ 2 = 1 5 [ ] ( 2,50 − 2,452) 2 + ( 2,40 − 2,452) 2 + ... + ( 2,53 − 2,452) 2 = 0,003 . n 5S2 = D = ⋅ 0,003 = 0,004 , S = 0,063 . n −1 4 Вычисляем Θ для различных значений (минимального и максимально-го) случайной величины. Θ = |2,38-2,452|/0,063 = 1,151 для минимального значения, Θ = |2,53-2,452|/0,063 = 1,248 для максимального значения. Из указанной выше таблицы 1 для n = 5 и α = 0,95 выбираем Θкр. = 1,87. Очевидно, что для минимального и максимального значений критерийсовместимости имеет место, поэтому все значения верны. Рассчитаем ε. t⋅S ε= = 0,078 . n Следовательно, доверительный интервал запишется [2,452 ± 0,078]. 4 Решение задачи в математическом редакторе MathCad n := 6x0 := 2.5 x1 := 2.4 x2 := 2.45 x3 := 2.53 x4 := 2.38 x5 := 3.8α := 0.95 ts := 2.57 i := 0 .. n − 1 xi xs := mean( x) xs = 2.677 ∑ n = 2.677 i dg := var( x) ( xi − xs) 2 dg = 0.255 ∑ n = 0.255 i
  8. 8. dv := Var( x) ( xi − xs) 2dv = 0.306 ∑ n −1 = 0.306 i sdv := dv sdv = 0.553 min( x) − xs Θkr := 2 Rmin := sdv Rmin = 0.536 max x) − xs ( Rmax:= sdv Rmax = 2.03 T Rmax = 2.03 y = T y := sort ( x) y = ( 2.38 2.4 2.45 2.5 2.53 3.8 ) Tx := submatrix y , 0 , n − 2 , 0 , 0) ( x = ( 2.38 2.4 2.45 2.5 2.53 ) n := n − 1αα := 0.95 := 0.95 tsts := 2.78 := 2.78 i := 0 .. .. n − 1 i := 0 n − 1 xi ∑x n= =2.452 2.452 ∑n i xs := mean( x) xs = 2.452 i dg := var( x) ( xi − xs) 2 i ∑ −3 = 3.256× 10 −3 n dg = 3.256× 10 i dv := Var( x) ( xi − xs) 2 ∑ −3 = 4.07 × 10 dv = 4.07 × 10 −3 n−1 i sdv := dv sdv = 0.064sdv := dv sdv = 0.064 min( x) − xs Θkr := 1.87Rmin := sdv Rmin = 1.129 max( x) − xs Rmax:= sdv Rmax = 1.223ñëåäîâàòåëüíî, äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë çàïèøåòñÿ òàê:xs − ε < x < xs + ε2 , 452 − 0 , 079 < x < 2 , 452 + 0 , 079 Замечание. При вычислении некоторых числовых характеристик слу-чайной величины с правой стороны приведены расчёты в виде соответствую-щих математических формул, подтверждающих правильность применяемыхопераций математической статистики. Выводы по работе. В настоящем исследовании нами были изучены литературные источни-
  9. 9. ки по теме работы, выявлены общие положения и различия в работах различ-ных исследователей (авторов). По результатам анализа указанных источни-ков сделаны выводы о применимости каждого исследования в своих рамках.Так как в исследовании нами рассматривался вопрос небольшого количестваиспытаний (наблюдений), то применительно к нему были подобраны соот-ветствующие положения и формулы. Решён пример на языке теории вероят-ностей и математической статистики, затем перенесён в математическуюсреду MathCad. Результаты совпадают, что говорит о правильности применя-емой методики расчёта доверительного интервала. Приведённое решениеможно совершенствовать, в частности, расчёт коэффициента Стьюдента икритерия совместимости можно автоматизировать.

×